Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1 AULA 5: Álgebra linear 1. MATRIZES ....................................................................................................................................... 5 1.1. Introdução ............................................................................................................................................. 5 1.2. Diagonais da matriz quadrada ............................................................................................................. 8 1.3. Matrizes “especiais” ............................................................................................................................. 9 1.4. Igualdade entre matrizes ..................................................................................................................... 10 1.5. Adição e subtração de matrizes .......................................................................................................... 11 1.6. Multiplicação de uma matriz por um número real .............................................................................. 13 1.7. Multiplicação entre matrizes. .............................................................................................................. 14 1.8. Matriz Inversa ..................................................................................................................................... 20 2. DETERMINANTES .......................................................................................................................... 24 2.1. Introdução ........................................................................................................................................... 24 2.2. Propriedades dos Determinantes. ....................................................................................................... 31 2.3. Situações em que o determinante é nulo. ............................................................................................ 32 2.4. Situações em que o determinante não se altera. ................................................................................. 33 2.5. Situações em que o determinante se altera. ........................................................................................ 34 2.6. Determinante da matriz-produto e determinante da inversa. ............................................................. 35 2.7. Casos especiais: cálculo facilitado ..................................................................................................... 42 2.8. Detalhando um pouco mais: cálculo de qualquer determinante (opcional) ....................................... 44 3. SISTEMAS LINEARES ..................................................................................................................... 53 3.1. Introdução ........................................................................................................................................... 53 3.2. Classificação dos Sistemas Lineares ................................................................................................... 56 3.3. Sistema Possível e Determinado ......................................................................................................... 57 3.4. Sistema Possível e Indeterminado ....................................................................................................... 57 3.5. Sistema Impossível .............................................................................................................................. 58 3.6. Como classificar os sistemas e achar suas soluções ........................................................................... 58 4. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS ......................................................................................... 68 5. GABARITO ..................................................................................................................................... 73 Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 2 ERRATA Na 1ª lista de revisão, na questão 10, apesar de termos resolvido corretamente, acabei indicando a alternativa B como gabarito. Na verdade, o gabarito é letra E. Agradeço ao Fernando, que percebeu o erro e me avisou. DÚVIDAS ENVIADAS POR E-MAIL Como nosso fórum de dúvidas ainda não está ativo, tenho recebido (e respondido) as dúvidas por e-mail. Hoje vou usar esse espaço da aula para responder algumas dúvidas que se repetiram mais do que o usual. A primeira dúvida foi sobre a equivalência lógica envolvendo o condicional. Num condicional, podemos inverter as parcelas, fazendo as negações. Assim: ሺ → ݍሻ ⇔ (∼ ݍ →∼ ) Vejamos as tabelas verdade, para comprovar que são mesmo equivalentes: ݍ → ݍ V V V V F F F V V F F V ݍ ~ݍ ~ ~ݍ → ~ V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V As últimas colunas, destacadas em vermelho, são idênticas, mostrando que as proposições são equivalentes. Então é isso: temos que negar, e temos que inverter. As duas coisas. Se só negarmos, não dá certo. Ou seja: ሺ → ݍሻ não é equivalente a ሺ~ → ~ݍሻ. Vejam: ݍ → ݍ V V V V F F F V V F F V Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 3 ݍ ~ ~ݍ ~ → ~ݍ V V F F V V F F V V F V V F F F F V V V Observe que, nas células em amarelo, as tabelas verdade foram diferentes, mostrando que as proposições não são equivalentes. Se só invertermos, sem fazer as negações, também não dá certo. Vejam: ݍ → ݍ V V V V F F F V V F F V ݍ ݍ → V V V V F V F V F F F V Novamente as tabelas verdade ficaram diferentes. Ok gente? Então a equivalência só vale se a gente negar as parcelas e também inverter. As duas coisas. Não vale só inverter. Nem só negar. Outra dúvida corrente foi sobre a questão 17 da aula 4. Alguns alunos pediram um detalhamento maior de como eu cheguei à função. ݊ = 3.600 +1000 × (17 − ݔ) Aqui peço desculpas, realmente eu fui no “piloto automático”, nem percebi. De fato a questão merecia um detalhamento melhor. Vamos lá então. Bom, uma forma mais sistemática de se obter o mesmo resultado é a que segue. Para uma dada variação no preço (redução de 0,01), temos uma dada variação na quantidade (aumento de 10 unidades). Ou seja, temos variações proporcionais (variação de 0,01 para 10). Isso nos indica que a função é uma reta, ou seja, uma função de primeiro grau. Do tipo: ݊ = ܽݔ +ܾ Se n = 3.600, então x = 17: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 4 3.600 = ܽ ⋅ 17 + ܾ Se “x” diminui 1 centavo (indo para 16,99), a quantidade aumenta 10 (vai para 3.610). Assim: 3.610 = ܽ ⋅ 16,99 + ܾ Subtraindo as duas equações: 3.600 = ܽ ⋅ 17 + ܾ −(3.610 = ܽ ⋅ 16,99 + ܾ) −10 = 0,01 ⋅ ܽ ܽ = − 10 0,01 = −1.000 Agora podemos voltar na primeira equação e encontrar “b”: 3.600 = ܽ ⋅ 17 + ܾ 3.600 = −1.000 ⋅ 17 + ܾ ܾ = 3.600 +17.000 = 20.600 Logo: ݊ = −1.000ݔ +20.600 Esta é exatamente a mesma função que achamos, apenas escrita de modo ligeiramente diferente. Outra pergunta, bem interessante, foi sobre como resolver o seguinte problema: Três números formam, em sequência, uma PG de soma 19. Retirando-se 1 do primeiro termo, forma-se uma PA. Quais são os termos da PG? Seja “r” a razão da PA. A PA fica: ሺݔ −ܽሻ, ݔ, ሺݔ +ܽሻ A soma dos termos da PG é 19. Do jeito que a PA foi formada, sua soma dos termos é uma unidade menor. Logo, a soma dos termos da PA é 18. ሺݔ −ܽሻ +ݔ +ሺݔ +ܽሻ = 18 3ݔ = 18 ݔ = 6 O termo do meio da PA, que coincide com o termo do meio da PG, é 6. Seja “q” a razão da PG. A PG fica: ൬ 6 ݍ ൰ , 6, ሺ6ݍሻ Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 5 A soma dos termos da PG é 19: 6 ݍ +6 +6ݍ = 19 Multiplicando todos os termos por “q”: 6 +6ݍ +6ݍ ଶ = 19ݍ 6ݍ ଶ −13ݍ +6 = 0 Δ = 13 ଶ −4 × 6 × 6 = 25 Logo: ݍ = 13 ± √25 2 × 6 No numerador, tanto faz sinal positivo ou negativo. A PG será exatamente a mesma. Vamos trabalhar com o sinal positivo: ݍ = 13 + √25 2 × 6 = 1,5 A PG fica: 6 1,5 = 4; 6; 6 × 1,5 = 9 PG: 4, 6, 9 Vamos à aula de hoje. Álgebra linear envolve: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Vamos começar nossa aula por matrizes. Existe um motivo importante para isso. Matrizes são ferramentas básicas para a resolução de sistemas lineares. Por isso, é interessante sabermos bem as propriedades das matrizes. 1. MATRIZES 1.1. Introdução Uma matriz é uma tabela cheia de números. Esta tabela apresenta algumas linhas e algumas colunas. Geralmente damos o nome para as matrizes de letras maiúsculas (A, B, C, etc). Exemplos: Prof. Vítor Menezes 1 2 A = Podemos usar colchetes, parênteses ou duplas barras para representar matrizes. Na no geral, são usados colchetes. Como todas as matrizes possuem linhas e colunas, costumamos colocar dois índices no nome dela. O primeiro é o número de linhas e o segundo é o número de colunas. Assim, a matriz A 2x1 possui duas linhas e uma coluna A matriz B 3x3 possui três linhas e três colunas. Finalmente, a matriz quatro colunas. Quando queremos dizer que a matriz tem um número genérico de linhas e colunas, usamos fazer assim: D mxn . Isto significa que a mat Para as matrizes que têm o número de linhas igual ao número de colunas, nós damos tratamento especial. São as chamadas retangulares). A ordem da matriz quadrada é o número de li mesmo). Assim uma matriz Y Exemplos de matrizes quadradas ( 2 1 0 3 X = − Para localizarmos os elementos das matrizes nós precisamos de duas informações: em que linha este elemento está e em que coluna. Para nos referirmos a algum elemento da matriz, costumamo Assim, por exemplo, na matriz “numerozinhos”. São dois índices. O que eles significam? O primeiro é a linha e o segundo é a coluna do elemento. Por isso, o elemento na primeira linha e na segunda coluna, deste je Ou seja: 4 12 = a . Quando queremos falar, genericamente, de algum elemento da matriz utilizar a ij . Significa que é o elemento que está na linha “i” e na coluna “j”. O primeiro índice sempre se refere à linha e o segundo s Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 2 5 7 3 0 0 1 2 0, 3 B = − − C = Podemos usar colchetes, parênteses ou duplas barras para representar matrizes. Na no geral, são usados colchetes. Como todas as matrizes possuem linhas e colunas, costumamos colocar dois índices no nome dela. O primeiro é o número de linhas e o segundo é o número de colunas. possui duas linhas e uma coluna. Simples assim. possui três linhas e três colunas. Finalmente, a matriz C 1x4 Quando queremos dizer que a matriz tem um número genérico de linhas e colunas, usamos . Isto significa que a matriz D tem “m” linhas e “n” colunas. Para as matrizes que têm o número de linhas igual ao número de colunas, nós damos tratamento especial. São as chamadas matrizes quadradas (as outras são chamadas retangulares). A ordem da matriz quadrada é o número de linhas (e colunas, porque é o quadrada de ordem 5 possui 5 linhas e, obviamente, 5 colunas. Exemplos de matrizes quadradas (X tem ordem 2 e A tem ordem 3): 1 4 3 0 1 2 7 0 0 A = elementos das matrizes nós precisamos de duas informações: em que linha este elemento está e em que coluna. Para nos referirmos a algum elemento da matriz, costumamos usar letras minúsculas. , por exemplo, na matriz A, temos o elemento a 12 . Vejam que este elemento tem dois “numerozinhos”. São dois índices. O que eles significam? O primeiro é a linha e o segundo é a coluna do elemento. Por isso, o elemento a 12 é o elemento da matriz A que está localizado na primeira linha e na segunda coluna, deste jeito: Quando queremos falar, genericamente, de algum elemento da matriz . Significa que é o elemento que está na linha “i” e na coluna “j”. O primeiro índice sempre se refere à linha e o segundo sempre se refere à coluna, assim: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 6 [ ] 1 2 1 0 = Podemos usar colchetes, parênteses ou duplas barras para representar matrizes. Na aula, e Como todas as matrizes possuem linhas e colunas, costumamos colocar dois índices no nome dela. O primeiro é o número de linhas e o segundo é o número de colunas. possui uma linha e Quando queremos dizer que a matriz tem um número genérico de linhas e colunas, usamos tem “m” linhas e “n” colunas. Para as matrizes que têm o número de linhas igual ao número de colunas, nós damos (as outras são chamadas nhas (e colunas, porque é o quadrada de ordem 5 possui 5 linhas e, obviamente, 5 colunas. 1 4 3 0 1 2 7 0 0 − elementos das matrizes nós precisamos de duas informações: em que s usar letras minúsculas. e este elemento tem dois “numerozinhos”. São dois índices. O que eles significam? O primeiro é a linha e o segundo é que está localizado Quando queremos falar, genericamente, de algum elemento da matriz A, costumamos . Significa que é o elemento que está na linha “i” e na coluna “j”. O primeiro índice Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 7 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = Quando queremos falar matriz como um todo, formada por seus elementos, usamos falar assim: [ ] mn ij a A = Esta é matriz A, formada pelos elementos a ij . Esta matriz tem “m” linhas e “n” colunas. Exemplos Exemplo 1: Monte a matriz B 3x4 , cujos elementos são dados por j i b ij − = 2 . Resolução: A matriz B tem 3 linhas e 4 colunas. Desta forma: 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 b b b b B b b b b b b b b = Sabemos que cada elemento de B é construído da seguinte maneira: j i b ij − = 2 Vamos fazendo, então, cada elemento da matriz B. Por exemplo, o elemento b 11 tem 1 = i e 1 = j . Então 0 1 1 2 = − = ij b Colocando na matriz: 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 0 b b b B b b b b b b b b = Podemos achar todos os elementos dela assim: 2 2 2 2 11 12 13 14 2 2 2 2 21 22 23 24 2 2 2 2 31 32 33 34 1 1 0 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 1 3 2 2 2 2 3 1 2 4 0 3 1 8 3 2 7 3 3 6 3 4 5 b b b b B b b b b b b b b = − = = − = − = − = − = − = − = = − = = − = = − = = − = = − = = − = = − = = − = Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 8 Assim, encontramos todos os elementos da matriz B. 0 1 2 3 3 2 1 0 8 7 6 5 B − − − = Exemplo 2: Construa a matriz C, quadrada de ordem 2, sabendo que: • c ij = 1, se i = j • c ij = 0 se i ≠ j. Resolução: A matriz C é quadrada e tem duas linhas e duas colunas. Desse jeito: 11 12 21 22 c c C c c = Temos dois casos. Quando i = j, c ij = 1. Quando i ≠ j, c ij = 0. Quais são as situações em que i = j? Ora, é quando i = j = 1 (c 11 ) e quando i = j = 2 (c 22 ). Estes dois elemento, c 11 e c 22 , serão iguais a 1: 11 12 21 22 1 1 c c C c c = = = Para os outros dois, i ≠ j. Neste caso, o valor é zero. Daí fica assim: 11 12 21 22 1 0 0 1 c c C c c = = = = = Pronto. Já achamos todos os elementos. 1 0 0 1 C = 1.2. Diagonais da matriz quadrada Numa matriz quadrada temos duas diagonais. A diagonal principal e a diagonal secundária. Dada uma matriz A quadrada, a diagonal principal é formada pelos elementos a ij quando i = j. Assim, os elementos a 11 (primeira linha e primeira coluna), a 22 , a 33 , etc. compõem a diagonal principal de uma matriz quadrada. A diagonal secundária é a diagonal restante. Para a diagonal secundária vale a seguinte regra: a ij quando i + j = n + 1, onde “n” é a ordem da nossa matriz quadrada. Assim, na matriz quadrada A de ordem 3, a diagonal secundária é Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 9 formada pelos elementos a 13 , a 22 (este também está na diagonal principal) e a 31 . Repare que a soma dos índices destes elementos da diagonal secundária é sempre 4 (=3 + 1). Vamos ver o exemplo para clarear as ideias. 2 1 0 0 7 3 1 2 9 A − = − − Os números 2, 7 e 9 formam a diagonal principal da matriz A, acima. Do mesmo modo, vejamos a diagonal secundária: 2 1 0 0 7 3 1 2 9 A − = − − Os números –1, 7 e 0 formam a diagonal secundária da mesma matriz. Lembrem-se que só faz sentido em falar das diagonais (principal e secundária) para matrizes QUADRADAS. 1.3. Matrizes “especiais” Algumas matrizes têm nomes especiais. A matriz cujos elementos são todos zerados é chamada de matriz nula. Assim a matriz nula quadrada de ordem 2 e matriz retangular nula O 3x1 são dadas por: 2 2 0 0 0 0 x O = 3 1 0 0 0 x O = Outra matriz importante é a matriz identidade. Uma matriz identidade é uma matriz quadrada, cuja diagonal principal é formada apenas por 1 e o restante é preenchido por zeros. Exemplos de matriz identidade: 2 1 0 0 1 I = 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I = Reparem que quando a matriz é quadrada não precisamos colocar dois índices no nome dela para indicar a quantidade de linhas e colunas. Como ela tem o mesmo número de linhas e colunas, podemos colocar um índice só. Assim, I 2 é a matriz identidade de ordem 2. A matriz oposta é a matriz “negativa” da matriz original. Assim, a oposta da matriz A é a matriz –A. A matriz oposta é formada invertendo todos os sinais dos elementos da matriz A. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 10 Exemplo: 2 1 0 7 3, 5 1 A − = − 2 1 0 7 3, 5 1 A − − = − − Uma matriz fundamental para conhecermos é a matriz transposta (cuidado para não confundir com oposta). A matriz transposta é construída trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz original. Como assim? A primeira linha da matriz A vai virar a primeira coluna na matriz transposta de A (chamada de A T ). A segunda linha de A será a segunda coluna de A T , e assim por diante. Vejamos dois exemplos: 2 3 5 2 3 1 0 0 1 A = − ⇒ 2 2 0 3 3 0 5 1 1 T A = − [ ] 1 2 3 B = ⇒ 1 2 3 T B = 1.4. Igualdade entre matrizes Duas matrizes são iguais se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e se todos os seus elementos foram iguais. Assim, duas matrizes A = [a ij ] e B = [b ij ] são iguais se tiverem mesma quantidade de linhas e de colunas e se a ij = b ij para todos os valores de “i” e de “j”. Exemplos de matrizes que NÃO são iguais: 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 B = Então A ≠ B. Já que B tem três linhas e A tem 2 linhas. Então C ≠ D porque os elementos Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 11 2 2 1 0 C = 2 2 1 0 D = − da segunda linha e primeira coluna são diferentes Exemplos de matrizes iguais: 1 0 0 1 Y = 1 0 0 1 X = Então X = Y. 1 2 3 Z = 1 2 3 W = Então Z = W. 1.5. Adição e subtração de matrizes Duas matrizes só podem ser somadas se possuírem o mesmo número de linhas e de colunas. Para somar as matrizes, basta somar os elementos que estão nas mesmas posições. Assim, considere as matrizes A e B abaixo. A matriz C = A + B é dada por: 1 2 1 5 A = − 3 0 0 1 B = − 1 3 2 0 1 0 5 ( 1) C + + = − + + − Desta maneira, todos os elementos da matriz C são dados por c ij = a ij + b ij . 4 2 1 4 C = − A subtração é a mesma coisa. Basta subtrair os elementos que estão na mesma posição. Assim, a matriz D = A – B será assim: 1 2 1 5 A = − 3 0 0 1 B = − 1 3 2 0 1 0 5 ( 1) D − − = − − − − Ou seja: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 12 2 2 1 6 D − = − Já podemos fazer um exercício da Esaf!! Questão 1 CGU 2004 [ESAF] Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por ij m , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz ij x X = , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ) ( ij a A = e ) ( ij b B = . Sabendo-se que 2 ) ( i a ij = e que 2 ) ( ) ( j i b ij − = , então o produto dos elementos 31 x e 13 x é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Resolução: A matriz X é de terceira ordem (então é quadrada). Ela tem essa cara: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 x x x X x x x x x x = Ela é a soma de A e B. Ou seja, X = A + B. Isto significa que as matrizes A e B também são quadradas de terceira ordem. Elas têm este aspecto: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 b b b B b b b b b b = Sabemos que cada elemento de X é a soma dos respectivos elementos de A e de B. Ou seja, ij ij ij b a x + = , para cada valor de “i” e de “j”. Desta maneira: 11 11 11 12 12 12 13 13 13 21 21 21 22 22 22 23 23 23 31 31 31 32 32 32 33 32 32 x a b x a b x a b X x a b x a b x a b x a b x a b x a b = + = + = + = = + = + = + = + = + = + Sabemos como calcular cada elemento da matriz A e cada elemento da matriz B. Sabemos calcular porque o enunciado nos diz como fazer. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 13 2 ) ( i a ij = 2 ) ( ) ( j i b ij − = Com estes dados nós somos capazes de calcular todos os elementos de A e todos os elementos de B. Com isso, podemos achar todos os elementos de X (que é a soma). Mas nós não precisamos de todos os elementos. O enunciado nos pediu apenas o produto dos elementos 31 x e 13 x . Para calcular 31 x precisamos saber 31 a e 31 b . Para calcular 13 x , precisamos de 13 a e 13 b . Vamos calcular estes elementos? 9 3 2 31 = = a 4 ) 1 3 ( 2 31 = − = b a 13 = 1 2 = 1 4 ) 3 1 ( 2 13 = − = b Agora podemos calcular 31 x e 13 x . 13 4 9 31 31 31 = + = + = b a x 5 4 1 13 13 13 = + = + = b a x Desse modo, o produto é igual a: 65 5 13 13 31 = × = × x x Gabarito: D 1.6. Multiplicação de uma matriz por um número real Quando tínhamos a adição, nós só podíamos somar uma matriz com outra matriz. Idem para subtração. Não podíamos, nunca, somar uma matriz com um número real. Aqui é diferente. Aqui nós podemos multiplicar uma matriz por um número real qualquer. Para tanto, a matriz resultante terá cada elemento da matriz original multiplicado por este número. Assim, dada a matriz A abaixo, a matriz 3 B A = × será igual a: 2 1 0 7 3, 5 1 A − = − × × − × × × − × = 3 1 3 5 , 3 3 7 3 0 3 1 3 2 B Portanto: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 14 6 3 0 21 10, 5 3 B − = − Veja que temos uma nova matriz, cujos elementosܾ = 3 × ܽ , para todos os valores de “i”e de “j”. 1.7. Multiplicação entre matrizes. Multiplicar duas matrizes NÃO é o mesmo que multiplicar os elementos que estão nas mesmas posições. Muita gente confunde isso. Como este era o procedimento usado lá na adição e na subtração, muitas pessoas acham que basta repetir o raciocínio aqui, no caso da multiplicação. Nem sempre é possível fazer o produto entre duas matrizes. Temos uma exigência para isso. Apenas podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Exemplo: vamos dizer que temos as matrizes A 2x3 e a matriz B 3x1 . Podemos multiplicar essas matrizes? Resposta: sim, nós podemos fazer a matriz ܥ = ܣ ଶ×ଷ × ܤ ଷ×ଵ . Por quê? Porque o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B (3 colunas em A e 3 linhas em B). TOME NOTA!!! Só podemos multiplicar duas matrizes se o número de COLUNAS DA PRIMEIRA for igual ao número de LINHAS DA SEGUNDA. Vamos agora aprender a multiplicar duas matrizes. Dadas duas matrizes, os elementos da matriz resultante do produto destas duas matrizes são obtidos multiplicando-se cada elemento de uma linha da primeira matriz pelo elemento correspondente na coluna da segunda matriz e somando-se os valores obtidos. Nossa!! Professor, agora não entendi nada!?! Vamos ver um exemplo. Sejam as matrizes A e B dadas: 2 1 0 1 A = − 2 1 0 4 0 1 B = − Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 15 Queremos achar a matriz ܥ = ܣ × ܤ Inicialmente, vamos ver se o produto é possível ou não. A matriz A tem duas linhas e duas colunas. A matriz B tem duas linhas e três colunas. Podemos multiplicar estas matrizes porque o número de colunas de A (duas) é o mesmo do número de linhas de B (duas também). ܣ ଶ× ; ܤ ×ଷ Os números em vermelho são iguais (2 = 2), logo, a multiplicação é possível. A matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz, e o número de colunas da segunda matriz. Agora vamos à multiplicação. Primeiro fazemos um quadro, assim: Agora, no canto inferior esquerdo colocamos a primeira matriz. No canto superior direito, a segunda matriz: 2 1 0 -4 0 1 2 1 0 -1 Agora multiplicamos linha com coluna. O primeiro termo da matriz C (o termo c 11 ) é encontrado multiplicando os termos da primeira linha de A pelos termos da primeira coluna de B e somando-se os valores obtidos. Ou seja, o primeiro termo da linha multiplicado pelo primeiro termo da coluna. O segundo termo da linha multiplicado pelo segundo termo da coluna. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 16 Por fim, somamos estes valores. O resultado é anotado no canto inferior direito: 2 1 0 -4 0 1 2 1 0 -1 0 2 × 2 +1 × ሺ−4ሻ = 0 O termo 12 c segue o mesmo princípio, mas agora vamos usar a primeira linha de A e a segunda coluna de B. 2 1 0 -4 0 1 2 1 0 -1 0 2 2 × 1 +1 × 0 = 2 O termo c 13 é obtido usando a primeira linha de A e a terceira coluna de B. 2 1 0 -4 0 1 2 1 0 -1 0 2 1 2 × 0 +1 × 1 = 1 Do mesmo modo, o termo 21 c é obtido usando a segunda linha de A e primeira coluna de B. 2 1 0 -4 0 1 2 1 0 -1 0 2 1 4 0 × 2 +ሺ−1ሻ × (−4) = 4 Continuando: 2 1 0 Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 17 -4 0 1 2 1 0 -1 0 2 1 4 0 0 × 1 +ሺ−1ሻ × 0 = 0 E por fim: 2 1 0 -4 0 1 2 1 0 -1 0 2 1 4 0 -1 0 × 0 +ሺ−1ሻ × 1 = −1 No canto inferior direito surgiu a matriz produto (C). Em geral, para acharmos qualquer termo c ij de C, vamos usar a linha “i” de A e a coluna “j” de B. Multiplicar os termos e somar os resultados. Fica assim: × − + × × − + × − × − + × × + × × + × − × + × = 1 ) 1 ( 0 0 0 ) 1 ( 1 0 ) 4 ( ) 1 ( 2 0 1 1 0 2 0 1 1 2 ) 4 ( 1 2 2 C Resumindo: 0 2 1 . 4 0 1 C AB = = − TOME NOTA!!! Dadas duas matrizes n m A , e B nxp , a matriz C = B A× terá “m” linhas e “p” colunas: C mxp Para frisar: a matriz-produto A.B terá o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. Temos algumas conclusões importantes para tirar. A primeira é que, em geral, A.B ≠ B.A! Muitas vezes acontece de a matriz A.B existir (o número de linhas de A é igual ao de colunas de B) e a matriz B.A não existir (porque o número de linhas de B não igual ao número de colunas de A). Exemplo 1: A 2x3 e B 3x1 . Existe C 2x1 = A 2x3 . B 3x1 , mas não existe B 3x1 . A 2x3 Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 18 Exemplo 2: A 2x3 e B 4x2 . Não existe A 2x3 . B 4x2 , mas existe D 4x3 = B 4x2 . A 2x3 No caso de matrizes quadradas de MESMA ORDEM existem tanto A.B como B.A. Mesmo assim, em regra, A.B ≠ B.A Exemplo: 2 1 0 1 A = − 2 1 4 0 B = − 0 2 . 4 0 AB = 4 1 . 8 4 B A = − − Duas outras conclusões importantes! Primeira: a multiplicação de uma matriz qualquer por uma matriz nula resulta em outra matriz nula (com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda). Segunda e mais importante: multiplicar uma matriz A qualquer por uma matriz identidade tem como resultado a própria matriz A (desde que, obviamente, esta multiplicação seja possível). Exemplo: 2 1 0 1 A = − 1 0 0 1 I = Então: B = A.I = A 2 1 0 1 B = − TOME NOTA!!! Qualquer matriz X multiplicada por uma matriz identidade resulta na própria matriz X. Assim: X.I = I.X = X Mais uma observação deve ser feita com relação à multiplicação. Nós podemos usar a mesma notação de potenciação que usamos para os números. Assim A 2 é o mesmo que A.A. Do mesmo modo, B 3 é o mesmo que B.B.B. E assim por diante. Vamos fazer mais um exercício! Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 19 Questão 2 MPU 2004 [ESAF] Sejam as matrizes: = 3 3 6 2 4 1 A e = 4 3 2 1 5 4 3 1 B e seja x ij o elemento genérico de uma matriz X tal que T B A X ) ( × = , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x 31 e x 12 é igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 1/3. e) 1/2. Resolução: Podemos dizer que a matriz X = C T e C = A.B. Ou seja, X é a transposta da matriz C e C é o produto A.B. Vamos resolver esta questão sem achar todos os elementos de X. Por quê? Porque queremos ganhar tempo. O enunciado pede que achemos a razão entre x 31 e x 12 , ou seja: 31 12 x x =? Sabemos que X é a trasposta de C (ou C é a trasposta de X, dá no mesmo). Na trasposta, as linhas e as colunas estão trocadas. Assim: ji ij c x = Isto é o mesmo que dizer que trocamos as linhas pelas colunas, ou seja, fizemos a transposta. Podemos concluir que: 31 13 x c = 12 21 x c = Ótimo. Agora temos que achar estes elementos da matriz C. O termo c 13 é encontrado usando a primeira linha de A e a terceira coluna de B. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 20 1 4 2 6 3 3 A = 1 3 4 5 1 2 3 4 B = 13 11 13 12 23 13 13 . . 1.4 4.3 16 c a b a b c c = + ⇒ = + ⇒ = Da mesma maneira, o elemento c 21 é encontrado usando a segunda linha de A e a primeira coluna de B. 1 4 2 6 3 3 A = 1 3 4 5 1 2 3 4 B = 21 21 11 22 21 21 21 . . 2.1 6.1 8 c a b a b c c = + ⇒ = + ⇒ = Pronto: 31 13 12 21 16 2 8 x c x c = = = Gabarito: B 1.8. Matriz Inversa Lá nos números reais existe o inverso de um número. Para as matrizes quadradas é parecido: existe a matriz inversa. No caso dos números, o inverso de um número é aquele que multiplicado por este número resulta na unidade. Assim, dado um número x, dizemos que seu inverso é 1/x ou 1 − x . Para o inverso vale a propriedade: 1 . 1 x x − = Do mesmo modo, para as matrizes, a inversa da matriz quadrada A (chamada de A -1 ) é uma matriz quadrada de mesma ordem de A que, multiplicada por ela, resulta na matriz identidade (I). Deste jeito: 1 1 . . A A A A I − − = = Lembrem-se de que a regra é que a multiplicação de duas matrizes A e B resulte em matrizes diferentes, a depender da ordem em que a multiplicação acontece (em regra, AB ≠ BA ). Esta regra não vale para a inversa. Tanto A.A -1 , como A -1 .A resultam na matriz identidade. A matriz inversa sempre existe?? NÃO!! A condição para que a matriz inversa exista é que o determinante de A seja diferente de zero. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 21 Aqui também existe um paralelo com os números reais. O inverso de um número sempre existe? NÃO! Não existe o inverso de zero (1/0 não existe). Com as matrizes é parecido. Todas as matrizes com determinante nulo não possuem inversa. Existem métodos para determinar a matriz inversa. Em geral, as provas não pedem matrizes inversas de ordem maior que 2, porque o tempo para calcular seria grande. Então fica a informação de que existe um modo sistemático para calcular qualquer inversa. Para ordens superiores a dois, este método é bem custoso de fazer na mão. Vejamos um exemplo: Seja a matriz A dada por: 4 0 1 2 A = − Vamos calcular a matriz inversa (A -1 ). Sabemos que a matriz inversa tem a mesma ordem de A (segunda ordem). Então ela vai ter esta cara: 1 x y A z w − = Até aqui não sabemos os valores dos elementos de A -1 . Mas sabemos que: 1 . A A I − = ⇒ 4 0 1 0 . 1 2 0 1 x y z w = − Aprendemos a fazer a multiplicação de matriz, ficará assim: 4 1 2 0 x x z = ¦ ´ − + = ¹ 1/ 4 0, 25 x x ⇒ = ⇒ = e 2 0, 25 0,125 z z = ⇒ = 4 0 2 1 y y w = − + = 0 y ⇒ = e 2 1 0, 5 w w = ⇒ = A matriz inversa fica: 1 0, 25 0 0,125 0, 5 A − 1 = 1 ¸ ] Sempre podemos usar este método para o cálculo da inversa. Para matrizes de segunda ordem, teremos dois sistemas de duas incógnitas. Para matriz de ordem 3 teremos três sistemas de três incógnitas cada (o que já é bastante trabalho), e assim por diante. A matriz inversa é usada para “isolar matrizes”. O que isso significa? Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 22 Vejamos um exemplo com números: 3 9 x = O que fazemos para isolar o x? Dividimos os dois lados por 3 (é o mesmo que dizer que passamos o 3 para o outro lado dividindo). Desse modo: 1 1 3. . 9. 3 3 3 x x = ⇒ = Usamos o inverso do número 3 porque este inverso, multiplicado pelo próprio número 3, resulta em 1. E “um” multiplicado por x é o próprio x. Para matrizes vale a mesma coisa. Só temos que tomar cuidado porque o lado da multiplicação é importante, diferentemente do que acontece com os números. Vejamos um exemplo: Seja: 1 . . . A B X C D − = Considere que todas as matrizes são quadradas e de mesma ordem. Queremos isolar a matriz X. Como fazemos? Usamos o conceito de matriz inversa. A matriz que eu usar para multiplicar de um lado da igualdade, também usarei do outro lado. Mais uma coisa: se eu multiplicar a matriz pela direita em um lado, terei que também multiplicar pela direita no outro. Isso é importante!! Do mesmo modo, se eu multiplicar uma matriz pela esquerda, também terei que multiplicar pelo lado esquerdo do outro lado da igualdade. Vamos começar eliminando a matriz B, que está ao lado de X. Para tanto, basta que multipliquemos os dois lados da equação por B -1 pelo LADO ESQUERDO. Deste modo: 1 1 1 . . . . . B A B B X C D − − − = Qual o resultado de B -1 .B? É a matriz identidade I: 1 1 . . . . B A I X C D − − = Mas sabemos que I multiplicada por qualquer matriz, resulta na própria matriz. É como multiplicar um número por um. Resulta no próprio número. A matriz identidade “some” porque ela é um “elemento neutro” na multiplicação de matrizes. Do mesmo modo que o 1 é o elemento neutro na multiplicação de números. Fica assim: 1 1 . . . B A X C D − − = Ótimo. Agora vamos começar a sumir com o que está a direita de X. Temos que tirar primeiro o que está mais para fora. Porque só podemos multiplicar ou pela direita ou pela Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 23 esquerda. Não podemos multiplicar nada “no meio”. Temos que sumir com D -1 . Para tanto, basta multiplicarmos por D do lado DIREITO nos dois lados da equação. Assim: 1 1 . . . . . B AD X C D D − − = Novamente, D -1 .D resulta na identidade e ela, multiplicada pelas outras, “desaparece”. 1 . . . B AD X C − = Só falta C. Vamos multiplicar por C -1 do lado direito nos dois lados da equação. Assim: 1 1 1 . . . . . B ADC X CC − − − = Resulta em: 1 1 . . . B A DC X − − = Pronto, isolamos a matriz X. 1 1 . . . X B ADC − − = Este método é útil quando sabemos os elementos das outras matrizes (A, B, C e D) e queremos saber os elementos de X. Bastaria, neste momento, achar as inversas e fazer as multiplicações. Nos exercícios, às vezes nem precisamos calcular mais nada. O examinador pode querer saber o que fizemos acima. Questão 3 SEFAZ/ MG 2005 [ESAF] A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto B Z A × × , onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A -1 B C b) A C -1 B -1 c) A -1 C B -1 d) A B C -1 e) C -1 B -1 A -1 Resolução: Este exercício é bem parecido com o que acabamos de fazer. Este é até mais simples. O enunciado diz que: C AZB = Queremos isolar Z. Vamos começar pelo lado esquerdo. Vamos sumir com A. Basta multiplicarmos os dois lados por A -1 pelo LADO ESQUERDO. Assim: 1 1 A C A AZB − − = Sabemos que A A × −1 dá a identidade. E a identidade é o elemento neutro da multiplicação. Ou seja, ela “desaparece”. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 24 1 A C ZB − = Agora queremos “sumir”com B. Basta multiplicarmos os dois lado por B -1 pelo LADO DIREITO. 1 1 1 A CB ZBB − − − = Novamente, simplificando, resulta em: 1 1 A CB Z − − = Pronto, isolamos Z. 1 1 Z A CB − − = Gabarito: C 2. DETERMINANTES Vamos começar agora a estudar os determinantes. Um determinante é um número que se relaciona com uma determinada matriz quadrada. Cada matriz quadrada possui um e apenas um determinante. Todas as matrizes quadradas possuem determinante? SIM!! Por que ele é importante? Porque ele aparece por diversas vezes em várias áreas da matemática. Determinantes são muito úteis para resolver sistemas lineares. Aparecem também em Geometria Analítica, no cálculo de áreas. E por aí vai. 2.1. Introdução Como já falamos, para cada matriz quadrada podemos associar um único número real. Este número é chamado de determinante da matriz e é calculado conforme as regras que vamos aprender. Dada a matriz A, quadrada, de terceira ordem: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = Podemos representar o determinante da matriz A assim: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 det a a a A a a a a a a = Prof. Vítor Menezes As barras verticais significam que estamos falando do determinante e não d Existem outras maneiras de chamar o determinante de Também usamos as seguintes notações: |A| e Vamos ver como calculamos o determinante. Existe uma maneira que serve para todas as matrizes. Mas é um jeito mais Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é igual ao elemento da matriz. Exemplo: O determinante da matriz A é 7. Assim, det Em uma matriz de ordem 2, que terá este aspec O determinante da matriz A é dado por: Ou seja, em uma matriz de segunda ordem, o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal subtraindo do produto dos elementos da diagonal secundária. Vejamos um exemplo: O determinante de A será calculado assim: 5 1 det det 5.( 1/ 5) ( 1).( 2) det 1 2 2 1/ 5 A A A − = ⇒ ⇒ ⇒ − − Vamos para o caso da matriz de terceira ordem, que tem esta aparência: Queremos encontrar o determ Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br As barras verticais significam que estamos falando do determinante e não d Existem outras maneiras de chamar o determinante de A. Esta, “detA”, é a mais comum. Também usamos as seguintes notações: |A| e ∆. Vamos ver como calculamos o determinante. Existe uma maneira que serve para todas as matrizes. Mas é um jeito mais complicado. É melhor aprendermos os atalhos. Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é igual ao elemento da matriz. [ ] 7 A = O determinante da matriz A é 7. Assim, detA = 7. Em uma matriz de ordem 2, que terá este aspecto: 11 12 21 22 a a A a a = é dado por: 11 22 12 21 det A a a a a = − Ou seja, em uma matriz de segunda ordem, o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal subtraindo do produto dos elementos da diagonal 5 1 2 1/ 5 A − = − − será calculado assim: 5 1 det det 5.( 1/ 5) ( 1).( 2) det 1 2 2 1/ 5 det 3 A A A A ⇒ = − − − − ⇒ = − − ⇒ = − Vamos para o caso da matriz de terceira ordem, que tem esta aparência: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = Queremos encontrar o determinante de A: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 25 As barras verticais significam que estamos falando do determinante e não da matriz. , é a mais comum. Vamos ver como calculamos o determinante. Existe uma maneira que serve para todas as complicado. É melhor aprendermos os atalhos. Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é igual ao elemento da matriz. Ou seja, em uma matriz de segunda ordem, o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal subtraindo do produto dos elementos da diagonal det det 5.( 1/ 5) ( 1).( 2) det 1 2 ⇒ ⇒ = − − ⇒ Prof. Vítor Menezes Para tanto, vamos usar uma regra que é conhecida como regra prática de Sarrus. Nós repetimos a primeira e a segunda coluna, na ordem, após a terceira coluna, deste jeito: Agora multiplicamos as diagonais Esta primeira parte tem como resultado: Depois multiplicamos os valores nas diagonais para a esquerda com sinal negativo e somamos os valores. Assim: Esta segunda etapa resulta em: Agora é só somar as duas parcelas: 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − Vejamos um exemplo: Vamos calcular o determinante de A: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 11 12 13 21 22 23 31 32 33 det a a a A a a a a a a = Para tanto, vamos usar uma regra que é conhecida como regra prática de Sarrus. Nós repetimos a primeira e a segunda coluna, na ordem, após a terceira coluna, deste jeito: 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a diagonais para direita e somados os valores. Assim: Esta primeira parte tem como resultado: 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a + + Depois multiplicamos os valores nas diagonais para a esquerda com sinal negativo e resulta em: 13 22 31 11 23 32 12 21 33 a a a a a a a a a − − − Agora é só somar as duas parcelas: 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 A a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − 2 2 0 3 3 2 5 1 1 A = − − Vamos calcular o determinante de A: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 26 Para tanto, vamos usar uma regra que é conhecida como regra prática de Sarrus. Nós repetimos a primeira e a segunda coluna, na ordem, após a terceira coluna, deste jeito: para direita e somados os valores. Assim: Depois multiplicamos os valores nas diagonais para a esquerda com sinal negativo e 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 A a a a a a a a a a a a a a a a a a a Prof. Vítor Menezes Temos que repetir as duas primeiras colunas Assim, o determinante de A fica: 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 det det 2.3.1 2.( 2).5 0.3.( 1) 0.3.5 2.( 2).( 1) 2.3. det 6 20 0 0 4 6 det 24 A a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A A = + + − − − ⇒ = + − + − − − − − − ⇒ = − + − − − ⇒ = − Questão 4 CGU 2008 [ESAF] Genericamente, qualquer elemento de uma matriz representa a linha e “j” a coluna em que esse elemen terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes que 2 / 1 ) ( i x ij = e que (i y ij = a 12 a ) e o determinante da matriz a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 2 − e 1 d) 2 e 0 e) 2 − e 0 Resolução: Não seria necessário montar todas as matrizes. Vamos fazer isso apenas como treino. No fim, mostramos a solução mais rápida. Sabemos que X e Y são quadradas de terceira ordem, já que quadrada de terceira ordem. Elas são assim: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 2 2 0 det 3 3 2 5 1 1 A = − − Temos que repetir as duas primeiras colunas, na ordem, após a terceira coluna: Assim, o determinante de A fica: 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 det 2.3.1 2.( 2).5 0.3.( 1) 0.3.5 2.( 2).( 1) 2.3.1 det 6 20 0 0 4 6 A a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − ⇒ = + − + − − − − − − ⇒ = − + − − − CGU 2008 [ESAF] Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (x ij ) e Y 2 ) j − , então a potência dada por 12 ) ( 22 a a (ou seja, ) e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: seria necessário montar todas as matrizes. Vamos fazer isso apenas como treino. No fim, mostramos a solução mais rápida. são quadradas de terceira ordem, já que A é a soma das duas e quadrada de terceira ordem. Elas são assim: = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 x x x x x x x x x X Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 27 , na ordem, após a terceira coluna: pode ser representado por z ij , onde “i” to se localiza. Uma matriz A = (a ij ), de Y = (y ij ). Sabendo-se (ou seja, 22 a elevado seria necessário montar todas as matrizes. Vamos fazer isso apenas como treino. No é a soma das duas e A é Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 28 = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 y y y y y y y y y Y Sabemos calcular os elementos de X, já que do enunciado: 2 / 1 ) ( i x ij = . Fica assim: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 / 1 33 2 / 1 32 2 / 1 31 2 / 1 23 2 / 1 22 2 / 1 21 2 / 1 13 2 / 1 12 2 / 1 11 x x x x x x x x x X Então: = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 X Agora vamos ver os elementos de Y: 2 ) ( j i y ij − = . Montando a matriz, fica: = − = = − = = − = = − = = − = = − = = − = = − = = − = = 0 ) 3 3 ( 1 ) 2 3 ( 4 ) 1 3 ( 1 ) 3 2 ( 0 ) 2 2 ( 1 ) 1 2 ( 4 ) 3 1 ( 1 ) 2 1 ( 0 ) 1 1 ( 2 33 2 32 2 31 2 23 2 22 2 21 2 13 2 12 2 11 y y y y y y y y y Y Logo: = 0 1 4 1 0 1 4 1 0 Y O exercício nos afirma que a matriz A é a soma das matrizes X e Y. A é assim: = + + + + = + + = + = + = + = + = 3 0 3 1 3 4 3 1 2 2 0 2 1 2 5 4 1 2 1 1 1 0 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 A + + + + = 3 1 3 4 3 1 2 2 1 2 5 2 1 A Precisamos dos valores de a 22 e a 12 para calcular a potência 12 ) ( 22 a a : 2 22 = a 2 12 = a Logo: 2 ) 2 ( ) ( 2 22 12 = = a a Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 29 E com isso já dá para marcar a alternativa correta. Mas, para treinarmos, vamos calcular o determinante de X. = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 X Então: 0 6 6 6 6 6 6 3 3 3 2 2 2 1 1 1 det = − − − + + = = X 0 det = ⇒ X Gabarito: D Vamos ver um jeito mais rápido? 0 2 ) 2 2 ( 2 2 2 / 1 22 22 22 + = − + = + = y x a 2 22 = a 1 1 ) 2 1 ( 1 2 2 / 1 12 12 12 + = − + = + = y x a 2 12 = a Dessa forma: 2 ) 2 ( ) ( 2 22 12 = = a a O que já é suficiente para responder a questão. Para calcular o determinante de X, não tem jeito; temos que calcular a matriz X inteira como foi feito na primeira resolução. Por sorte, nem era preciso calcular o determinante para marcar a resposta correta. Questão 5 MPU 2004 [ESAF] Sabendo-se que a matriz = 1 0 1 1 A e que Ν ∈ n e 1 ≥ n então o determinante da matriz 1 − − n n A A é igual a: a) 1 b) -1 c) 0 d) n e) n-1 Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 30 Resolução: Quando o enunciado fala A n , ele está querendo dizer A.A.... A, ou seja, trata-se da matriz A multiplica por ela mesma “n” vezes. Beleza. O exercício fala que 1 ≥ n . Vamos começar a análise com n = 1, já que este é o menor valor que n pode assumir. Neste caso temos: I A A A A A A n n = = = = = − − 0 1 1 1 1 Aqui temos um ponto interessante. Assim como qualquer número elevado a zero é igual a 1 (menos 0 0 que não é determinado), assim também para as matrizes. Qualquer matriz não nula elevada à potência zero é igual à matriz identidade. Lembram-se de que a matriz identidade é nosso elemento neutro para a multiplicação de matrizes assim como o 1 é o elemento neutro para a multiplicação de números? Este é o motivo para que a matriz A (quadrada) elevada a zero seja igual à matriz identidade de mesma ordem (I). Deste modo temos: = − = − = − − 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 I A A A n n = − ⇒ − 0 0 1 0 1 n n A A para n = 1 Vejam que o determinante desta matriz é: 0 0 . 1 0 . 0 0 0 1 0 ) det( 1 = − = = − − n n A A Certo. Agora vamos ver para n = 2. Neste caso: A A A A A A A A n n = = = = = − − 1 1 2 1 2 . Vamos calcular A.A: = = = 1 0 2 1 1 0 1 1 . 1 0 1 1 . 2 A A A Assim: = − = − = − − 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 2 1 2 1 A A A A n n para n = 2. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 31 O resultado foi o mesmo encontrado para n = 1. 0 0 . 1 0 . 0 0 0 1 0 ) det( 1 = − = = − − n n A A Vamos fazer para n = 3? Neste caso: 2 1 3 1 2 3 . A A A A A A A n n = = = = − − Já calculamos A 2 . Temos apenas que calcular A 3 . = = = 1 0 3 1 1 0 1 1 . 1 0 2 1 . 2 3 A A A Portanto: = − = − = − − 0 0 1 0 1 0 2 1 1 0 3 1 2 3 1 A A A A n n para n = 3. Agora, calculando o determinante: 0 0 . 1 0 . 0 0 0 1 0 ) det( 1 = − = = − − n n A A Se fizermos para outros valores de n, sempre vamos chegar à mesma matriz e o determinante desta matriz é sempre zero. Gabarito: C Aí vem a pergunta: Professor, como podemos ter certeza de que sempre vai dar zero se não fizemos para todos os valores de n? Resposta: Esta pergunta é muito pertinente. A priori, não temos como saber. Mas vejam que zero seria a única resposta possível, dadas as alternativas. Já que resolvemos para 3 valores de n e sempre deu zero como resposta. Existe um jeito de resolver que garanta que sempre vai dar zero? SIM!! Só que para resolver deste outro jeito temos que saber uma propriedade dos determinantes que ainda não vimos. Quando a virmos, vamos voltar nesta questão e fazer deste outro jeito. Ok? 2.2. Propriedades dos Determinantes. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 32 A idéia de conhecermos algumas propriedades dos determinantes, como sempre, é facilitar a nossa vida. Se não conhecermos as propriedades mais importantes, corremos o risco de perder questões simples. Algumas vezes, o exercício pede apenas e tão somente a aplicação imediata de uma propriedade conhecida sobre determinantes. Algumas propriedades têm nome de matemáticos famosos. Vez ou outra, vamos colocar o nome pelo qual a propriedade ficou conhecida. Não se preocupem com isso. Vocês não precisam saber o nome de ninguém. Isso não cai na prova. Vamos usar os nomes apenas para iniciar uma seção do texto e nada mais. 2.3. Situações em que o determinante é nulo. Uma matriz possui determinante nulo quando: • uma fila (uma linha ou uma coluna) é toda preenchida por zeros; • uma fila é igual ou proporcional a uma fila paralela; • uma das filas é uma combinação linear de outras filas paralelas. O primeiro caso é bem simples de entender. Uma das filas sendo composta só por zeros, o determinante é nulo. Exemplos: ⇒ − = 18 0 4 1 0 1 0 0 1 A det A = 0 porque a segunda coluna é preenchida apenas por zeros. ⇒ − = 1 1 0 0 B det B = 0 porque a primeira linha de B é nula. O segundo caso é simples também. Sempre que duas filas paralelas forem iguais ou proporcionais, o determinante é nulo. Duas filas são proporcionais quando uma é igual à outra multiplicada por um número real qualquer. Exemplos: ⇒ = 18 0 18 7 0 7 1 3 1 A det A = 0 porque as colunas 1 e 3 são iguais. ⇒ − − = 2 5 , 1 4 3 B det B = 0 porque a segunda linha é igual à primeira multiplicada por 0,5. O terceiro caso nem sempre é fácil de identificar. Uma combinação linear significa que uma das filas é igual à soma de outras multiplicadas, cada uma, por algum número real. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 33 Exemplos: ⇒ − = 18 0 18 4 3 7 4 3 1 A det A = 0 porque a terceira coluna é igual à soma das duas outras. Significa que: 3ª coluna = 1× (1ª coluna) + 1 × (2ª coluna) ⇒ − − − = 3 1 9 0 0 0 3 4 1 1 0 2 0 1 3 1 B detB = 0 porque: 4ª linha = 2×(1ª linha) - 3× (2ª linha) + 1× (3ª linha) Reparem que muitas vezes é difícil de identificar que uma fila é combinação linear de outras paralelas. Fato é que sempre que o determinante for nulo, ou seja, sempre que nós o calcularmos e ele for zero, é porque uma três situações dadas acontece. Ou uma fila é nula, ou uma fila é proporcional a outra paralela, ou uma fila é combinação linear de outras paralelas (não precisa ser de todas as outras, pode ser só de algumas). Acontece que nem sempre somos capazes de bater o olho na matriz e verificar se um dos casos (em especial o último) está acontecendo. É o que ocorre, por exemplo, na última matriz dada acima. Se eu não tivesse inventado o exemplo, provavelmente não conseguiria bater o olho e ver que existe uma linha que é combinação linear de outras. Mesmo assim, sempre que conseguirmos verificar um destes casos, não precisamos calcular o determinante. Ele será, com certeza absoluta, zero. Aconteceu um caso destes lá na Questão 4. Tínhamos que calcular o determinante da matriz X dada por: 0 det 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = ⇒ = X X Podemos perceber que a segunda linha de X é igual à primeira linha multiplicada por raiz de 2. Apenas sabendo disso, já concluiríamos que o determinante de X é zero. 2.4. Situações em que o determinante não se altera. Existem duas situações em que um determinante não muda de valor. A primeira é quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas. Ou seja, o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original. T A A det det = para qualquer matriz quadrada A. A segunda situação é quando multiplicamos os elementos de uma fila por um número qualquer e somamos isso a uma fila paralela. Exemplo: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 34 − − = 18 0 9 4 3 1 3 0 1 A Vamos montar uma matriz B a partir da matriz A. Vamos repetir as duas primeiras colunas. A terceira coluna de B é igual à terceira coluna de A somando-se o valor da primeira coluna multiplicada por -3. Ou seja: b 13 = a 13 – 3.a 11 = 3 – 3.(1) = 0 b 23 = a 23 – 3.a 21 = 4 – 3.(-1) = 7 b 33 = a 33 – 3.a 31 = 18 – 3.(9) = –9 − − − = 9 0 9 7 3 1 0 0 1 B Assim: det B = det A = 27 2.5. Situações em que o determinante se altera. Existem duas situações importantes, em que o determinante se altera. A primeira é quando trocamos duas filas paralelas de lugar, uma com a outra. Neste caso, o determinante muda de sinal. Exemplo: − − = 18 0 9 4 3 1 3 0 1 A Vamos montar uma matriz B repetindo a matriz A. Só que vamos trocar a segunda com a terceira linha. − − = 4 3 1 18 0 9 3 0 1 B Neste caso: det B = – det A = – 27 Um outro caso importante de alteração do valor do determinante é quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) por um determinado número k. Neste caso, o determinante também fica multiplicado por este mesmo número k. Exemplo: − − = 18 0 9 4 3 1 3 0 1 A Vamos montar uma matriz B repetindo a matriz A. Mas multiplicando a segunda coluna por 1/3. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 35 − − = 18 0 9 4 1 1 3 0 1 B Neste caso: det B = 9 det 3 1 = × A De forma geral, se uma fila de uma matriz A é multiplicada por um número k qualquer, dando origem a uma nova matriz B, então temos: det B =k. det A Desta última informação, podemos tirar uma conclusão importante. Dada uma matriz A quadrada de ordem n, se multiplicarmos esta matriz por um número k qualquer, seu determinante é multiplicado k n . Por quê? Porque a matriz tem n linhas (e n colunas). Se eu multiplico a matriz toda por k, TODAS as suas linhas vão ficar multiplicadas por k. Cada linha multiplicada por k, faz com que o determinante seja multiplicado por k. Como são n linhas, o determinante vai ficar multiplicado por k.k.k.....k = k n . Assim: Seja A uma matriz quadrada. Se B = k.A, então det B = k n det A, onde n é a ordem de A e B. 2.6. Determinante da matriz-produto e determinante da inversa. Uma propriedade bem interessante dos determinantes é que o determinante da multiplicação de duas matrizes é o produto dos determinantes. Simples assim! B A C B A C det . det det . = ⇒ = Esta propriedade é interessante porque podemos achar o determinante da matriz-produto apenas multiplicando os determinantes das matrizes originais, sem precisar fazer a multiplicação das matrizes, que é mais trabalhosa. Outra coisa que temos que saber é que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Assim, seja A uma matriz que possui inversa (ou seja, que tem determinante diferente de zero), o determinante de A -1 é achado assim: 1 1 det det A A − = Vamos resumir o que vimos até aqui sobre as propriedades dos determinantes? Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 36 Propriedade 1 Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é formada apenas por zeros, seu determinante é nulo. Propriedade 2 Se uma fila é proporcional (ou igual) a outra paralela, o determinante é nulo. Propriedade 3 Se uma fila é combinação linear de outras paralelas, o determinante é nulo. Propriedade 4 det A = det A T para qualquer matriz. Ou seja, o determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta. Propriedade 5 O determinante não se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por um número qualquer. Propriedade 6 Se trocarmos uma fila de lugar com outra paralela, o determinante muda de sinal. Propriedade 7 Se multiplicarmos um fila por um número k, o determinante também é multiplicado por k. Propriedade 8 Se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é multiplicado por k n , onde n é a ordem da matriz. Propriedade 9 O determinante da multiplicação de matrizes é a multiplicação dos determinantes. Assim: B A B A C B A C det . det ) . det( det . = = ⇒ = Propriedade 10 O determinante da inversa é o inverso do determinante: 1 1 det det A A − = Pratiquemos!! Questão 6 STN 2005 [ESAF] Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x 3 , então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) –x -6 Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 37 b) –x 6 c) x 3 d) –1 e) 1 Resolução: Esta questão é uma questão típica de aplicação de propriedades dos determinantes. Vejam que A é uma matriz quadrada de terceira ordem. Então tem esta cara: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = A matriz B é parecida com a matriz A. A diferença é que as colunas estão de trás para frente, ou seja, a terceira coluna de A é a primeira de B, a segunda de A é a segunda de B e, por fim, a primeira de A é a terceira de B. Deste jeito: 13 12 11 23 22 21 33 32 31 a a a B a a a a a a = Sabemos do enunciado que: 3 det A x = A diferença entre a matriz A e a matriz B é que houve uma simples troca de colunas. A primeira coluna e a terceira coluna foram trocadas de lugar. Temos uma propriedade dos determinantes que diz: Se trocarmos uma fila (linha ou coluna) de lugar com outra paralela, o determinante muda de sinal. Esta é a propriedade 6 da nossa tabela-resumo. Então sabemos que: det det B A = − 3 det B x = − O que o enunciado pediu? O produto entre os determinantes das matrizes A e B! Agora já podemos calcular: 3 3 6 det .det .( ) A B x x x = − = − Gabarito: B Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 38 Questão 7 CGU 2008 [ESAF] Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por x ij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (a ij ), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (b ij ), também de terceira ordem, dada por: = = = = = = = = = 13 33 12 32 11 31 23 23 22 22 21 21 33 13 32 12 31 11 a b a b a b a b a b a b a b a b a b Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 Resolução: Novamente, é aplicação direta da propriedade 6 da nossa tabela-resumo. A é uma matriz quadrada de terceira ordem, dessa forma: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = A matriz B é assim: 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a B a a a a a a = Qual a diferença entre as duas? Na matriz B, a primeira linha foi trocada de posição com a terceira linha, se compararmos com a matriz A. Sabemos o determinante de A: det 100 A = Então também sabemos o determinante de B: det det B A = − det 100 B = − Gabarito: D Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 39 Questão 8 MPOG 2008 [ESAF] Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: a) 10 -6 b) 10 5 c) 10 10 d) 10 6 e) 10 3 Resolução: Outra vez, é aplicação direta de propriedades de determinantes. A matriz X é de quinta ordem e tem: 10 det = X A matriz B é obtida multiplicando-se a matriz X por 10. Assim: X B . 10 = Temos uma propriedade que diz: Se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é multiplicado por k n , onde n é a ordem da matriz. Esta é a nossa propriedade 8, da tabela-resumo. Com isso: X B det 10 det 5 = Lembrando que neste caso k = 10 e n = 5 (a matriz é de quinta ordem). Sabemos quanto vale o determinante de X, podemos substituir na equação: 10 . 10 det 10 det 5 5 = = X B 6 10 det = ⇒ B Gabarito: D Antes de passarmos para a próxima questão, vamos voltar, como prometido, para a Questão 5Questão 6. O enunciado diz o seguinte: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 40 Sabendo-se que a matriz = 1 0 1 1 A e que Ν ∈ n e 1 ≥ n então o determinante da matriz 1 − − n n A A é igual a: a) 1 b) -1 c) 0 d) n e) n-1 Outra resolução: Nós já calculamos o determinante para caso de n = 1. = − = − = − − 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 I A A A n n = − ⇒ − 0 0 1 0 1 n n A A para n = 1 Como a primeira coluna é preenchida apenas por zeros, o determinante é nulo: 0 ) det( = − I A Agora, para qualquer valor de n > 1, podemos usar uma propriedade muito interessante: ) .( 1 1 I A A A A n n n − = − − − Por que esta igualdade é válida? Porque, para matrizes, assim como para números, também podemos usar a propriedade distributiva (apenas cuidando para multiplicar pelo lado correto), ou seja: 1 1 1 1 . . ) .( − − − − − = + = − n n n n n A A I A A A I A A Podemos usar a propriedade que diz: O determinante da multiplicação de matrizes é a multiplicação dos determinantes. Esta é a propriedade 9 da nossa tabelinha. Vejam que: 0 0 . det ) det( . det )] .( det[ 1 1 1 = = − = − − − − n n n A I A A I A A Concluímos que o determinante é nulo para qualquer valor de n ≥ 1. 0 ) det( 1 = − − n n A A Pronto. Matamos a questão! Quando tínhamos feito este exercício lá atrás, nós fomos fazendo para cada valor de n. Agora, usando a propriedade, concluímos que não importa o valor de n, o determinante é sempre zero. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 41 Questão 9 SEFAZ/SP 2009 [ESAF] O determinante de uma matriz 3x3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª coluna por 1 − , o determinante será: a) 2 x − b) 2 2x − c) x 2 − d) 2 x e) 2 4x Resolução: Exercício de aplicação da propriedade 7. Relembrando: Se multiplicarmos um fila por um número k, o determinante também é multiplicado por k. Primeiro multiplicamos os elementos da 1ª linha por 2. Nesse momento, o determinante é dobrado. Ele valia x. Agora, vale x 2 . Depois multiplicamos os elementos da 2ª coluna por 1 − . O determinante também será multiplicado por 1 − . O determinante passa a valer x 2 − . Gabarito: C Questão 10 ANA 2009 [ESAF] O determinante da matriz + + = c b a c b a B 2 4 0 1 2 é a) a c bc − + 2 b) c b − 2 c) c b a + + d) c b a + + + 6 e) 0 Resolução: Observem que a terceira linha é uma combinação linear das duas primeiras linhas. Basta fazer assim: • multiplicamos a primeira linha por 2 Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 42 • multiplicamos a segunda linha por 1 (ou seja, a segunda linha permanece intacta) • somamos os resultados acima, obtendo a terceira linha Quando uma fila é combinação linear de outras paralelas a ela, o determinante é nulo. Gabarito: E 2.7. Casos especiais: cálculo facilitado Existem dois casos em que fica mais simples calcular o determinante. Vamos a eles. Matriz diagonal ou triangular. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos. Exemplos: − − = 7 0 0 0 3 0 0 0 4 A − − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 B Reparem que a matriz identidade é um caso particular de matriz diagonal. Uma matriz triangular é a matriz que tem todos os elementos a direita ou a esquerda da diagonal principal nulos. Exemplos: − − = 7 0 0 0 14 0 1 1 2 C − − − − = 1 3 17 1 0 3 3 7 0 0 3 2 0 0 0 1 D Em ambos os casos, o cálculo do determinante é feito multiplicando-se os elementos da diagonal principal. ⇒ − − = 7 0 0 0 3 0 0 0 4 A 84 det ) 7 ).( 3 .( 4 det = ⇒ − − = A A Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 43 ⇒ − − − − = 1 3 17 1 0 3 3 7 0 0 3 2 0 0 0 1 D 9 det ) 1 .( 3 ). 3 .( 1 det = ⇒ − − = D D Então guarde isso: Para uma matriz diagonal ou triangular de qualquer ordem, o determinante é calculado multiplicando-se os elementos da diagonal principal. Matriz de Vandermonde A matriz de Vandermonde é quadrada e apresenta a seguinte característica: a primeira linha ou a primeira coluna é formada só por 1. A segunda linha ou coluna é formada por números quaisquer. A terceira fila é feita por quadrados dos números da segunda fila. A quarta fila são cubos dos números da segunda fila e assim por diante. Exemplos: = 36 9 4 6 3 2 1 1 1 A = 64 16 4 1 27 9 3 1 8 4 2 1 125 25 5 1 B Para calcular o determinante, multiplicamos as diferenças, duas a duas, entre os elementos da segunda fila (linha ou coluna). Deste jeito: = 2 2 2 1 1 1 c b a c b a A ) ).( ).( ( det b c a c a b A − − − = ⇒ = 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 d d d c c c b b b a a a B ) ).( ).( ).( ).( ).( ( det c d b d a d b c a c a b B − − − − − − = ⇒ Questão 11 MPU 2004 [ESAF] O determinante da matriz − − = 6 0 0 0 5 0 0 0 0 2 2 b a a a b X Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 44 Onde a e b são inteiros positivos tais que a>1 e b>1, é igual a: a) -60a b) 0 c) 60a d) 20ba 2 e) a(b-60) Resolução: A matriz X é uma matriz triangular. Para calcular o determinante, então, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal. 6 . 5 ). .( 2 det a X − = a X 60 det − = Gabarito: A 2.8. Detalhando um pouco mais: cálculo de qualquer determinante (opcional) A coisa mais importante a se dizer nessa seção é que ela tem um péssimo custo/benefício. A teoria é mais complicadinha para aplicarmos. E a chance de cair algo que vamos falar a seguir é mínima! Dificilmente os conceitos vistos nesta parte vão cair. Se tiver alguma dificuldade aqui, não tenha pena de pular e ir direto para Sistemas Lineares, que podem cair com uma probabilidade muito maior. Então por que vamos estudar isso, professor? Primeiro, porque pode cair, apesar de a chance ser muito pequena (lembram da propaganda do seguro: Vai que...). Segundo, porque ajuda a nos familiarizarmos um pouco mais com determinantes. É importante que fique claro, então, que o que consta nesta seção tem grandes chances de não cair. Existe uma questão, que faremos na seguida, que é de concurso e se refere a esta parte da matéria, mas o exercício nos guia como resolvê-lo. De forma que não precisamos saber profundamente o que vamos explicar. Prof. Vítor Menezes Até aqui, já sabemos calcular os determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira ordem, além de alguns outros casos específicos. Existe uma maneira de se calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. Para tanto, temos que aprender alguns conceitos. Menor complementar Dada uma matriz quadrada determinante que se obtém quando se extraem a linha e a coluna que contêm aquele elemento. Exemplo: O determinante de A é representado assim: Vamos fazer o menor complementar do elemento Nós chamamos este menor complementar de M coluna que contêm este elemento. O menor complementar, portanto, fi Vejam que podemos calcular o menor complementar de todos os elementos. Basta, para cada um deles, tirar a linha e a coluna que o contém e só. Adjunto ou Cofator Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br calcular os determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira ordem, além de alguns outros casos específicos. Existe uma maneira de se calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. Para tanto, temos que aprender alguns conceitos. Dada uma matriz quadrada A, o menor complementar de um elemento de determinante que se obtém quando se extraem a linha e a coluna que contêm aquele = 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a A é representado assim: 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 det a a a a a a a a a a a a a a a a A = Vamos fazer o menor complementar do elemento a 23 (nós o destacamos no determinante). Nós chamamos este menor complementar de M 23 . Para tanto, temos que tirar a linha e a coluna que contêm este elemento. O menor complementar, portanto, fica assim: 44 42 41 34 32 31 14 12 11 23 a a a a a a a a a M = Vejam que podemos calcular o menor complementar de todos os elementos. Basta, para cada um deles, tirar a linha e a coluna que o contém e só. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 45 calcular os determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira Existe uma maneira de se calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. Para tanto, , o menor complementar de um elemento de A é o determinante que se obtém quando se extraem a linha e a coluna que contêm aquele (nós o destacamos no determinante). . Para tanto, temos que tirar a linha e a Vejam que podemos calcular o menor complementar de todos os elementos. Basta, para Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 46 O adjunto ou cofator deriva do menor complementar. Quando a soma da linha e da coluna do elemento que deu origem ao menor complementar for par, o adjunto coincide com o menor complementar. Se a soma da linha e da coluna do elemento for ímpar, o adjunto é o oposto do menor complementar (sinal negativo). Ou seja: ij ij M A = se i + j for par. ij ij M A − = se i + j for ímpar. Podemos representar estas duas possibilidades em uma única fórmula. ij j i ij M A + − = ) 1 ( Teorema de Laplace Agora que sabemos o que é um cofator (ou adjunto), podemos ver como se calcula o determinante de qualquer matriz quadrada, de qualquer ordem. A regra é essa: O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Exemplo: − − − = 4 0 1 0 1 7 7 7 0 5 1 2 13 0 2 1 X Podemos escolher qualquer linha ou coluna de X. Sempre será mais fácil quando escolhermos uma linha ou coluna que tenha muitos zeros. Assim teremos que fazer menos contas. Neste caso, uma das opções é a quarta linha. Vamos usá-la. − − − = 4 0 1 0 1 7 7 7 0 5 1 2 13 0 2 1 X O determinante de X é dado assim: primeiro elemento da fila vezes o seu cofator, mais o segundo elemento da fila vezes o seu cofator, e assim por diante. No caso da quarta linha, fica assim: 44 44 23 43 42 42 41 41 . . . . det A a A a A a A a X + + + = Onde A ij é o cofator (adjunto) do elemento a ij . Vamos relembrar como calculamos o A 41 ? Prof. Vítor Menezes Calculamos o menor complementar do elemento elemento. Então: Para achar o cofator é só fazer: Do mesmo modo, fazemos para achar os outros cofatores. det X 1 7 7 0 5 1 13 0 2 . ) 1 .( 0 det 5 − − − = X Veja que quando o elemento da fila for zero, o resultado já será zero, porque zero vezes qualquer coisa é zero. Este é o motivo para escolhermos a fila Poderíamos ter escolhido qualquer linha ou qualquer coluna, mas aquela que apresenta mais zeros nos deixará menos determinantes para Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br Calculamos o menor complementar do elemento a 41 retirando a linha e a coluna deste 1 7 7 0 5 1 13 0 2 41 − − = M é só fazer: 41 1 4 41 ) 1 ( M A + − = 41 2 0 13 1 5 0 7 7 1 A = − − − s para achar os outros cofatores. 44 44 23 43 42 42 41 41 . . . . A a A a A a A a X + + + = 1 7 7 0 1 2 13 2 1 . ) 1 .( 0 1 7 7 0 5 2 13 0 1 . ) 1 ).( 1 ( 7 6 − − + − − − + Veja que quando o elemento da fila for zero, o resultado já será zero, porque zero vezes 0 . 1 7 7 0 5 1 13 0 2 ) 1 ( 0 41 41 1 4 41 41 = ⇒ − − − = = + A a A a Este é o motivo para escolhermos a fila com o maior número de zeros possível. Poderíamos ter escolhido qualquer linha ou qualquer coluna, mas aquela que apresenta mais zeros nos deixará menos determinantes para calcular. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 47 retirando a linha e a coluna deste 7 7 7 5 1 2 0 2 1 . ) 1 .( 4 1 0 13 8 − − − + Veja que quando o elemento da fila for zero, o resultado já será zero, porque zero vezes com o maior número de zeros possível. Poderíamos ter escolhido qualquer linha ou qualquer coluna, mas aquela que apresenta Prof. Vítor Menezes O primeiro e o terceiro determinantes eu não preciso calcular porque ele multiplicados por zero. Assim: 7 2 1 .. 4 1 7 7 0 5 2 13 0 1 . det + − − = X Agora é só calcular dois determinantes de terceira ordem. Isto nós já sabemos fazer. ݀݁ݐܺ ൌ ሺെ1ሻ ൈ ሺ5 0 െ É isso: Primeira pergunta: Este método serve para o determinante de qualquer matriz quadrada? Resposta: Sim! Segunda pergunta: Qual o problema do mét Resposta: A maior limitação é o trabalhão que ele dá. Na hora da prova é muito improvável que você tenha que usar tanta conta. Se eles pedirem o cálculo de um determinante, ou a ordem da matriz será no máximo três, ou estaremos diante de um caso simpl cálculo. Veja que para a ordem 4, caímos em determinantes de ordem 3, e estes nós sabemos calcular. O problema é que para ordem 5, por exemplo, cairemos em determinantes de ordem 4 e teríamos que aplicar o método de novo, situação que resultaria em zilhões de cálculos. Algo totalmente inviável. Terceira pergunta: Existe uma variante mais fácil de aplicar do método? Qual? Resposta: Sim! Nós podemos usar uma propriedade importante dos determinantes para “criar” zeros na fila e facilitar a aplicaçã Vamos ver como. A propriedade que vamos usar diz assim: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br O primeiro e o terceiro determinantes eu não preciso calcular porque ele multiplicados por zero. Assim: 7 7 5 1 0 2 − − Agora é só calcular dois determinantes de terceira ordem. Isto nós já sabemos fazer. െ182 െ455 െ0 െ0ሻ 4 ൈ ሺ7 70 0 െ ݀݁ݐܺ ൌ 632 280 ݀݁ݐܺ ൌ 912 912 4 0 1 0 1 7 7 7 0 5 1 2 13 0 2 1 det = − − − = X Este método serve para o determinante de qualquer matriz quadrada? Qual o problema do método? Resposta: A maior limitação é o trabalhão que ele dá. Na hora da prova é muito improvável que você tenha que usar tanta conta. Se eles pedirem o cálculo de um determinante, ou a ordem da matriz será no máximo três, ou estaremos diante de um caso simpl cálculo. Veja que para a ordem 4, caímos em determinantes de ordem 3, e estes nós sabemos calcular. O problema é que para ordem 5, por exemplo, cairemos em determinantes de ordem 4 e teríamos que aplicar o método de novo, situação que resultaria em zilhões de cálculos. Algo totalmente inviável. Existe uma variante mais fácil de aplicar do método? Qual? Resposta: Sim! Nós podemos usar uma propriedade importante dos determinantes para “criar” zeros na fila e facilitar a aplicação do método. Vamos ver como. A propriedade que vamos usar diz assim: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 48 O primeiro e o terceiro determinantes eu não preciso calcular porque eles estão Agora é só calcular dois determinantes de terceira ordem. Isto nós já sabemos fazer. െ0 28 െ35ሻ Este método serve para o determinante de qualquer matriz quadrada? Resposta: A maior limitação é o trabalhão que ele dá. Na hora da prova é muito improvável que você tenha que usar tanta conta. Se eles pedirem o cálculo de um determinante, ou a ordem da matriz será no máximo três, ou estaremos diante de um caso simplificado de cálculo. Veja que para a ordem 4, caímos em determinantes de ordem 3, e estes nós sabemos calcular. O problema é que para ordem 5, por exemplo, cairemos em determinantes de ordem 4 e teríamos que aplicar o método de novo, situação que resultaria Existe uma variante mais fácil de aplicar do método? Qual? Resposta: Sim! Nós podemos usar uma propriedade importante dos determinantes para Prof. Vítor Menezes O determinante não se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por um número qualquer. É a propriedade 5 da nossa tabela Com ela, nós podemos criar zeros e Vamos voltar ao nosso exemplo: Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira coluna inteira por coluna. Para que? Para surgir um zero. Veja: Vejam que surgiu um zero no elemento Podemos repetir o procedimento. Agora, multiplicamos a primeira coluna por somamos na quarta coluna. Vejam que agora ficamos com uma fila (a primeira linha) com vários zeros. Vamos agora aplica nosso método. Usaremos a primeira li Fica assim: det . . . . Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br O determinante não se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por É a propriedade 5 da nossa tabela-resumo. Com ela, nós podemos criar zeros e diminuir as contas. Vamos voltar ao nosso exemplo: 4 0 1 0 1 7 7 7 0 5 1 2 13 0 2 1 det − − − = X Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira coluna inteira por -2 e somar na segunda coluna. Para que? Para surgir um zero. Veja: Vejam que surgiu um zero no elemento a 12 . s repetir o procedimento. Agora, multiplicamos a primeira coluna por Vejam que agora ficamos com uma fila (a primeira linha) com vários zeros. 4 0 1 0 90 7 7 7 26 5 5 2 0 0 0 1 − − − − − − Vamos agora aplica nosso método. Usaremos a primeira linha. 11 11 12 12 13 13 14 14 det . . . . X a A a A a A a A = + + + Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 49 O determinante não se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por 2 e somar na segunda s repetir o procedimento. Agora, multiplicamos a primeira coluna por -13 e Vejam que agora ficamos com uma fila (a primeira linha) com vários zeros. Prof. Vítor Menezes Acontece que: Só vai sobrar o primeiro termo: Como o primeiro termo é igual a 1, ficamos com: Vamos ver quem é A 11 ? Primei O cofator é calculado assim: Portanto: Agora temos um determinante 3x3 e este nós sabemos calcular! Parece que fizemos muita coisa para chegar até aqui. Mas na verdade apenas fizemos com que surgissem zeros em uma determinada fila até que conseguimos “diminuir” uma ordem do determinante. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 12 13 14 0 a a a = = = Só vai sobrar o primeiro termo: 11 11 det . X a A = Como o primeiro termo é igual a 1, ficamos com: 11 11 11 det . 1. X a A A = = 11 det X A = ? Primeiro precisamos do menor complementar. 11 5 5 26 7 7 90 1 0 4 M − − = − − − − 1 1 11 11 11 ( 1) A M M + = − = 11 5 5 26 7 7 90 1 0 4 A − − ⇒ = − − − − 5 5 26 det 7 7 90 1 0 4 X − − = − − − − Agora temos um determinante 3x3 e este nós sabemos calcular! que fizemos muita coisa para chegar até aqui. Mas na verdade apenas fizemos com que surgissem zeros em uma determinada fila até que conseguimos “diminuir” uma ordem Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 50 que fizemos muita coisa para chegar até aqui. Mas na verdade apenas fizemos com que surgissem zeros em uma determinada fila até que conseguimos “diminuir” uma ordem Prof. Vítor Menezes Basicamente, quando uma fila tem um “1” e o restante de zeros, podemos re linha e a coluna que contém o 1. Com isso o determinante vai ficar uma ordem menor. Apenas temos que cuidar se vai ser negativo ou não. Quando a soma da linha e da coluna for par, não terá um negativo na frente do determinante. Quando a soma da linha com a coluna for ímpar, aparece um negativo na frente do determinante, porque o cofator é o negativo do menor complementar neste caso. Isto acontece porque, na hora que aplicamos o método, só vai sobrar o elemento diferente de zero multiplicado pelo seu cofator. Então, se você tiver que calcular um determinante assim: Veja que a segunda linha tem apenas um 1 e o restante é zero. Podemos tirar, portanto a segunda linha e a terceira coluna (é a coluna que contém o 1). C (coluna)= 5 é ímpar, temos que colocar um menos na frente. Assim: Agora, reparem que acontece o mesmo com a quarta coluna. Temos um 1 e o restante é zero. Como a soma 1 + 4 = 5 é ímpar, temos que por u um negativo lá, eles se cancelam. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br Basicamente, quando uma fila tem um “1” e o restante de zeros, podemos re linha e a coluna que contém o 1. Com isso o determinante vai ficar uma ordem menor. Apenas temos que cuidar se vai ser negativo ou não. Quando a soma da linha e da coluna for par, não terá um negativo na frente do determinante. da linha com a coluna for ímpar, aparece um negativo na frente do determinante, porque o cofator é o negativo do menor complementar neste caso. Isto acontece porque, na hora que aplicamos o método, só vai sobrar o elemento diferente pelo seu cofator. Então, se você tiver que calcular um determinante assim: 1 5 5 1 1 0 0 1 0 0 det 1 2 18 3 0 0 1 4 1 0 8 2 17 7 0 Y − = − − − − − Veja que a segunda linha tem apenas um 1 e o restante é zero. Podemos tirar, portanto a segunda linha e a terceira coluna (é a coluna que contém o 1). Como a soma 2 , temos que colocar um menos na frente. Assim: 1 5 1 1 1 2 3 0 det 0 1 1 0 8 2 7 0 Y − − = − − − − Agora, reparem que acontece o mesmo com a quarta coluna. Temos um 1 e o restante é zero. Como a soma 1 + 4 = 5 é ímpar, temos que por um negativo na frente. Como já tem um negativo lá, eles se cancelam. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 51 Basicamente, quando uma fila tem um “1” e o restante de zeros, podemos retirar toda a linha e a coluna que contém o 1. Com isso o determinante vai ficar uma ordem menor. Apenas temos que cuidar se vai ser negativo ou não. Quando a soma da linha e da coluna da linha com a coluna for ímpar, aparece um negativo na frente do determinante, porque o cofator é o negativo do menor complementar neste caso. Isto acontece porque, na hora que aplicamos o método, só vai sobrar o elemento diferente Veja que a segunda linha tem apenas um 1 e o restante é zero. Podemos tirar, portanto a omo a soma 2 (linha) + 3 Agora, reparem que acontece o mesmo com a quarta coluna. Temos um 1 e o restante é m negativo na frente. Como já tem Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 52 1 2 3 det 0 1 1 8 2 7 Y − = − − − Vejam como um determinante de quinta ordem foi reduzido para um determinante de terceira ordem. Caso não tenhamos uma fila com um 1 e o restante zero, podemos fazer mudanças até encontrá-la, como fizemos com o nosso exemplo, usando a propriedade 5 da nossa tabela-resumo. Chega de falarmos, vamos resolver uma questão! Questão 12 MPOG 2005 [ESAF] O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = (y ij ), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que ( ) 2 ) ( j i a ij + = e que ( ) 2 ) (i b ij = , então o menor complementar do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 Resolução: Como foi falado lá no texto, esta questão trata da matéria desta seção. Mas não precisamos de nada para resolvê-la, já que o exercício ensina o que é um menor complementar. Vamos montar a matriz A. É só vermos que ( ) 2 ) ( j i a ij + = : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3) (3 1) (3 2) (3 3) A + + + = + + + + + + 4 9 16 9 16 25 16 25 36 A ⇒ = Agora vamos montar a matriz B. É só ver no enunciado que ( ) 2 ) (i b ij = : Prof. Vítor Menezes A matriz Y é a soma de A e B: Temos que calcular o menor complementar do elemento M 23 . Precisamos retirar a segunda linha e a terceira coluna (porque o element segunda linha e na terceira coluna). Então: Este determinante nós sabemos calcular. Bastar multiplicarmos os elementos da diagonal principal e subtrair o resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secund Gabarito: C 3. SISTEMAS LINEARES O último tópico de Álgebra Linear que cai na prova são os Sistemas Lineares. Costumamos estudar os Sistemas Lineares após os determinantes porque estes nos são muito úteis para a resolução destes sistemas. 3.1. Introdução Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 B = 1 1 1 4 4 4 9 9 9 B ⇒ = Y A B = + 5 10 17 13 20 29 25 34 45 Y = Temos que calcular o menor complementar do elemento y 23 . Vamos chamar este valor de . Precisamos retirar a segunda linha e a terceira coluna (porque o element segunda linha e na terceira coluna). 23 5 10 25 34 M = Este determinante nós sabemos calcular. Bastar multiplicarmos os elementos da diagonal trair o resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secund 23 23 5.34 10.25 80 M M = − ⇒ = − SISTEMAS LINEARES O último tópico de Álgebra Linear que cai na prova são os Sistemas Lineares. Costumamos estudar os Sistemas Lineares após os determinantes porque estes nos são muito úteis para a Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT .com.br 53 . Vamos chamar este valor de . Precisamos retirar a segunda linha e a terceira coluna (porque o elemento y 23 está na Este determinante nós sabemos calcular. Bastar multiplicarmos os elementos da diagonal trair o resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária. O último tópico de Álgebra Linear que cai na prova são os Sistemas Lineares. Costumamos estudar os Sistemas Lineares após os determinantes porque estes nos são muito úteis para a Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 54 Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações lineares. Uma equação linear nada mais é do que uma equação com uma ou mais incógnitas. Esta equação apresenta apenas termos lineares. Isto significa que não existe multiplicação de incógnitas (exemplo: y x × ) e o expoente de todas elas é 1 (ou seja, para cada incógnita, não temos x 2 , ou x 1/3 ou nada que não seja x 1 = x). Exemplos: 4 5 0 x y + − = : Temos apenas termos lineares. É uma equação linear. 14 3 10 y z w x + − + = − Novamente, trata-se de uma equação linear. Não existe multiplicação de incógnitas e as incógnitas todas são elevadas a 1. Exemplos de equações NÃO lineares: . 3 x y w − = 2 2 x h t − = A primeira equação não é linear porque tem duas incógnitas multiplicadas. A segunda equação não é linear porque tem x 2 . Um sistema linear pode ter qualquer número de equações lineares e de incógnitas. Entretanto, o que costuma cair em concurso são os sistemas lineares que apresentam o mesmo número de equações e de incógnitas. Ou seja, 2 equações e 2 incógnitas, 3 equações e 3 incógnitas, e assim por diante. Vejamos dois exemplos de Sistemas lineares (o primeiro é 2x2 e o segundo é 3x3): 2 4 1 x y x y − = + = − 13 3 0 0 w y y x w y x − + = − + − = + + = Sempre existe um termo que não está junto de nenhuma incógnita. Nós o chamamos de termo independente. Voltemos ao nosso primeiro sistema linear. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 55 2 4 1 x y x y − = + = − O termo independente da primeira equação acima é 4. E o termo independente da segunda equação é -1. Agora vamos focar no segundo sistema linear. 13 3 0 0 w y y x w y x − + = − + − = + + = O termo independente da última equação acima é zero. Agora, observem a segunda equação acima. Qual seu termo independente? Devemos ter cuidado aqui! O termo independente da segunda equação do sistema 3x3 acima NÃO é zero. Neste caso, o termo independente é 3. Basta verificar que poderíamos ter escrito a equação assim: 3 y x − + = É a mesma equação. Agora fica claro que o termo independente é 3. Quando todos os termos independentes de um sistema forem nulos, o sistema é dito homogêneo. Exemplo: 3 0 4 0 x y x y − = + = Há duas maneiras simples de resolver os sistemas. Chamamos a primeira de substituição e a segunda de adição. Nós já até vimos como fazer, quando estudamos equações (aula 3) Voltemos ao nosso primeiro exemplo de Sistema Linear: 2 4 1 x y x y − = + = − Para resolvermos este sistema pelo método da substituição, temos que isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir na outra. Vamos isolar o y na primeira equação: 2 4 2 4 x y y x − = ⇒ = − Agora, substituímos este valor de y na segunda equação: 1 2 4 1 3 3 1 x y x x x x + = − ⇒ + − = − ⇒ = ⇒ = Por último, usamos este valor de x, agora conhecido, para encontrar y: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 56 2 4 2 4 2 y x y y = − ⇒ = − ⇒ = − Pronto, achamos as duas incógnitas do sistema. 1 2 x y = = − A outra maneira de resolver sistemas é usar a adição. Vamos voltar ao mesmo exemplo: 2 4 1 x y x y − = + = − Podemos somar as duas equações para achar uma terceira. Isto é interessante por que a incógnita y vai sumir. Ela só vai sumir porque temos –y na primeira equação e y na segunda, de forma que a soma cancela. Se não tivéssemos uma incógnita que sumisse, era só multiplicar os dois lados de uma das equações por algum número de maneira a fazer com que na soma das equações uma das incógnitas sumisse. Vamos somar as equações: 2 4 1 3 0 3 3 3 1 x y x y x x x − = + = − + = ⇒ = ⇒ = Encontramos x. Para acharmos y, é só substituir o valor de x em uma das duas equações. Assim: 2 4 2 4 2 x y y y − = ⇒ − = ⇒ = − Achamos x e y e o resultado, obviamente, foi o mesmo para os dois métodos. 3.2. Classificação dos Sistemas Lineares Muitas vezes, as questões não nos pedem para que achemos as soluções do sistema. Elas podem querer que saibamos apenas se um sistema tem solução. Como assim, professor? Vamos imaginar o sistema: 2 2 4 1 x y x y + = + = − Este sistema não tem solução. Isto porque não existem valores de x e y que satisfaçam, ao mesmo tempo, as duas equações do sistema. Quer ver como ele não tem solução? Vamos tentar resolvê-lo. Isolamos o x na segunda equação: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 57 1 x y = − − Substituímos na primeira: 2 2 4 2.( 1 ) 2 4 2 2 2 4 2 4 x y y y y y + = ⇒ − − + = ⇒− − + = ⇒ − = Chegamos a um absurdo matemático. Isto aconteceu porque este sistema não tem solução. Temos três possibilidades para classificar os Sistemas Lineares. Vamos a elas. 3.3. Sistema Possível e Determinado Um sistema é dito possível e determinado quando existe solução para o sistema, ou seja, existem valores para as incógnitas que satisfaçam todas as equações do sistema, e esta solução é a única possível. Exemplo: 2 4 1 x y x y − = + = − Vimos que a única solução para este sistema é x = 1 e y = -2. Trata-se de um sistema possível e determinado. 3.4. Sistema Possível e Indeterminado Quando um sistema tem mais de uma solução possível, dizemos que ele é possível e indeterminado. Exemplo: 3 3 18 6 x y x y − = − + = − Vejam que temos várias respostas possíveis que satisfazem as duas equações. Vejamos duas soluções possíveis (existem infinitas): 7 1 6 0 x y x y = = = = Vimos que um sistema homogêneo é aquele que possui todos os termos independentes nulos. Pois bem, um sistema homogêneo sempre é um sistema possível. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 58 Repare que quando todas as incógnitas assumem o valor zero o sistema é solucionado. Então dizemos que o caso em que todas as incógnitas são nulas num sistema homogêneo é a solução trivial do sistema homogêneo. Exemplo: 3 0 4 0 x y x y − = + = Uma solução (a solução trivial) deste sistema homogêneo é x = y = 0. Neste caso, ela é a única solução. Quando um sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, ele é possível e determinado. Quando o sistema homogêneo tem mais soluções, ele é possível e indeterminado. Veja, então, que todo sistema homogêneo é possível, ou seja, tem ao menos uma solução. 3.5. Sistema Impossível Quando um sistema não tem solução, ele é dito impossível. Vimos que o sistema abaixo é um caso de sistema sem solução: 2 2 4 1 x y x y + = + = − 3.6. Como classificar os sistemas e achar suas soluções Vamos aprender agora um método sistemático para classificar os sistemas e achar suas soluções. Para tanto, temos que aprender alguns conceitos. Determinante Principal (Determinante da matriz incompleta) Vamos chamar de determinante principal (D) o determinante formado pelos números que acompanham as incógnitas (coeficientes das incógnitas). Na verdade, é comum os livros se referirem a tal determinante como “determinante da matriz incompleta”. Exemplo: 2 4 1 x y x y − = + = − Neste caso, o D é assim: 2 1 1 1 D − = Veja que D é composto pelos números que multiplicam as incógnitas em cada equação. O número 2 multiplica o x na primeira equação. Ele é nosso primeiro termo da primeira linha. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 59 O –1 multiplica o y na mesma equação. É o segundo termo da primeira linha. E assim por diante. É importante que exista uma ordem. Assim, se x é a primeira incógnita na primeira equação (pode ser y, não tem problema), ele terá que ser a primeira na segunda. Outro exemplo: 13 3 0 0 w y y x w y x − + = − + − = + + = Neste caso, temos que arrumar um pouco as equações, para não errarmos no determinante. Veja: 0. 13 0. 3 0 w y x w y x w y x − + + = − + = + + = Reescrevemos o mesmo sistema. Mas colocamos de tal forma que sabemos os termos de cada incógnita nas equações. Portanto, D fica assim: 1 1 0 0 1 1 1 1 1 D − = − Veja novamente que temos que manter a ordem das incógnitas nas três equações. Determinante de cada incógnita Além do determinante principal, temos os determinantes das incógnitas. Para achar o determinante de uma incógnita, basta substituirmos, em D, os elementos da coluna daquela incógnita pelos termos independentes do sistema. Exemplo: 2 4 1 x y x y − = + = − Temos duas incógnitas. Teremos o determinante de x (chamamos de D x ) e o determinante de y (D y ). Vamos achar D x . Sabemos que o determinante principal é assim: 2 1 1 1 D − = Para acharmos D x temos que substituir a coluna de x (é a primeira coluna) pelos termos independentes. Os termos independentes são, na ordem, 4 e –1. Logo: 4 1 1 1 x D − = − Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 60 Do mesmo modo, D y é encontrada substituindo a segunda coluna de D pelos termos independentes. 2 4 1 1 y D = − Regra de Rouché-Capelli Agora podemos classificar os sistemas e determinar as soluções. A regra é assim: 0 D ≠ ⇒Sistema Possível e Determinado. todas as variáveis 0 0 D D = ⇒ = Se houver solução, teremos um Sistema Possível e Indeterminado alguma variável 0 0 D D = ⇒ ≠ Sistema Impossível Ou seja, se o determinante principal (D) é diferente de zero, o sistema é possível e deteminado. Se D = 0 e o determinante de todas as incógnitas for zero, podemos ter duas situações: • o sistema é possível e indeterminado. • o sistema é impossível Por último, se D = 0 e determinante de alguma incógnita for diferente de zero, o sistema é impossível. Quando o sistema é possível e determinado, temos um método para calcular as soluções. É assim: ... e assim por diante... x y D x D D y D = = Isto ajuda a entender a classificação acima. Todas as variáveis dependem do cálculo do determinante principal (D). Ele entra no denominador, sempre. Assim, se D for diferente de zero, todas as divisões são possíveis. Sempre podemos fazer uma divisão, basta que o denominador seja diferente de zero. Por isso, se D for diferente de zero, todas as incógnitas podem ser calculadas e o sistema será possível e determinado. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 61 Caso D seja igual a zero e pelo menos um dos determinantes das incógnitas (D x ou D y ou D z , etc) seja diferente de zero, aí nós teremos uma divisão impossível. Não é possível dividir por zero. Por fim, caso D seja igual a zero, e todos os determinantes das incógnitas também sejam iguais a zero, aí teremos um monte de divisões do tipo 0/0. E esta divisão é complicada. Ela é indeterminada. Por que ela é indeterminada? É só a gente pensar assim. Seis dividido por dois é igual a 3. 3 2 6 = Por quê? Porque 6 3 2 = × . A divisão, definida como o inverso da multiplicação, é possível porque existe um número que multiplica o denominador para resultar no numerador. Agora vamos para: k = 0 3 Se esta divisão fosse possível, então: 0 × k deveria ser igual a 3. Mas nós sabemos que todo número multiplicado por zero resulta em zero. Ou seja, esta divisão é impossível. Por fim, quanto vale 0/0? Poderia valer 2, pois 2 vezes zero é zero. 0 0 2 2 0 0 = × ⇒ = Ou poderia valer 3, pois 3 vezes zero é zero. Ou poderia valer 4. Ou seja, é indeterminado. Poderia até não existir (dizemos que poderia tender ao infinito). Resumo da ópera: quando todos os determinantes são nulos, podemos ter um sistema indeterminado. Ou então pode ser um sistema impossível. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 62 Para este último caso, em que todos os determinantes são nulos, vamos dar um exemplo de sistema possível e indeterminado: = + = + 0 2 2 0 y x y x Todos os determinantes são nulos. E este sistema possui infinitas soluções. Seguem alguns exemplos: (0; 0), (1; -1), (2, -2) Já o sistema abaixo, apesar de possuir todos os determinantes nulos, é impossível: = + + = + + = + + 5 3 3 3 2 2 2 2 1 z y x z y x z y x Vamos fazer questões, porque é assim que assimilamos a matéria. Questão 13 MPU 2004 [ESAF] Com relação ao sistema = + = − 0 2 0 a x y ax de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a. Resolução: A primeira coisa importante para perceber é que as incógnitas neste caso são x e y. “a” não é incógnita do sistema. Temos que considerar que “a” é uma constante qualquer. Vamos reescrever o sistema de uma maneira que temos mais facilidade de visualizar. 0 0. 2 ax y x y a − = + = − Veja que este sistema só é homogêneo se a = 0. Porque neste caso todos os termos independentes do sistema serão nulos. Se a ≠ 0 o sistema não é homogêneo. Só faz sentido falar em solução trivial para sistemas homogêneos. Assim, a alternativa “d” não pode ser nossa resposta! A solução trivial só cabe para a = 0. Vamos montar o determinante principal do sistema. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 63 1 1 0 a D − = Calculando este determinante temos: .0 ( 1).1 1 D a D = − − ⇒ = Note que para qualquer valor de a, temos D ≠ 0. Logo, o sistema SEMPRE é possível e determinado. Assim, para a = 0, temos a solução trivial (sistema homogêneo) e para qualquer outro valor de a, temos uma solução não trivial (diferente de x = y = 0). Então existe uma infinidade de valores de a para os quais temos solução não trivial. Gabarito: A Daí vem a pergunta: Professor, tem outra forma de fazer? Resposta: Sim! Como é um sistema 2x2, podemos resolver de uma maneira mais simples. Se fosse um sistema maior, o melhor jeito seria este feito acima. Vejam que da segunda equação temos: 2 x a = − Podemos substituir isso na primeira equação. Fica assim: 2 0 .( 2 ) 0 2 ax y a a y y a − = ⇒ − − = ⇒ = − Daí que encontramos as soluções do sistema, para qualquer valor de a. 2 2 2 x a y a = − = − Assim, para a = 0 temos a solução trivial (o sistema é homogêneo, x = y = 0) e para todos os outros valores de a (ou seja, existem infinitos valores), temos um sistema possível e determinado com solução não trivial, já que neste caso o sistema não é homogêneo. Questão 14 MPU 2004/1 [ESAF] Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que = + = + 4 2 0 3 mb a mb ma Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 64 a) se m ≠ 0 e m ≠ 6, o sistema é possível e determinado. b) se m = 0, o sistema é impossível. c) se m = 6, o sistema é indeterminado. d) se m ≠ 0 e a = 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m ≠ 0 e a ≠ 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. Resolução: As incógnitas aqui são a e b. Vamos montar o determinante principal do sistema. 3 2 m m D m = Vamos calcular o determinante. 2 . 3 .2 6 D mm m D m m = − ⇒ = − Sabemos que quando o determinante principal é diferente de zero, o sistema é possível e determinado. Vamos ver quando este determinante é zero (para sabermos quando ele é diferente de zero). 2 6 0 0 ou 6 D m m m m = − = ⇒ = = Isto significa que se m = 0 ou se m = 6 o determinante principal é nulo. Para todos os outros casos, ele é diferente de zero. Logo, sempre que m ≠ 0 e m ≠ 6 teremos D ≠ 0 e o sistema será possível e determinado. Já encontramos a alternativa correta. (Letra a). Gabarito: A Questão 15 CGU 2008 [ESAF] Considerando o sistema de equações lineares, pode-se corretamente afirmar que: = + = − q px x x x 2 1 2 1 2 2 a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 65 Resolução: Vejam como as questões são semelhantes. O sistema costuma ser 2x2 e temos sempre uma ou duas constantes que não sabemos os valores (uma hora chamada de a, outra hora chamada de m, etc.) Aqui, as incógnitas são x 1 e x 2 e ainda temos duas constantes: p e q. Vamos ver quem é nosso determinante principal neste caso. 1 1 2 D p − = Calculando o determinante: 2 D p = + Agora vamos ver quando este determinante é nulo (para saber quando ele não é nulo). 0 2 0 2 D p p = ⇒ + = ⇒ = − Se p = -2, temos D = 0. Além disso, se p ≠ - 2, vemos que D ≠ 0. Conclusão: Se 2 − ≠ p , o sistema é possível e determinado. 1ª conclusão Se 2 − ≠ p , então o sistema é possível e determinado. Ótimo. Vamos agora analisar os casos em que D = 0. Isto ocorrerá quando 2 = p . Temos duas incógnitas. Teremos dois determinantes de incógnitas. O determinante de x 1 e o determinante de x 2 . Vejamos: 1 2 1 x D q p − = 2 1 2 2 x D q = Lembrando que apenas substituímos a coluna da incógnita pelos termos independentes do sistema. Lembrando que estamos analisando o caso em que D = 0 (que ocorre quando p = 2 − ). Neste caso, se ambos os determinantes das incógnitas forem nulos, o sistema pode ser impossível ou possível e indeterminado. Se, pelo menos um deles for diferente de zero, o sistema é impossível. Substituindo p por –2: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 66 1 2 1 2 x D q − = − 2 1 2 2 x D q = Resolvendo os determinantes: 1 4 x D q = − + 2 4 x D q = − Vejam que ambos têm a mesma resposta. Vejamos quando eles são nulos: 1 2 1 4 Se 0 4 x x x D D q D q = = − + = ⇒ = Para que os determinantes das incógnitas sejam nulos, q deve ser igual a 4. Agora temos três situações: Se 2 − ≠ p , então o sistema é possível e determinado. Se 2 − = p e q = 4, então o sistema pode ser: - possível e indeterminado. - impossível Se 2 − = p e q ≠ 4, então o sistema é impossível. Gabarito: A Apenas por curiosidade, vamos trabalhar com o caso em que 2 − = p e 4 = q . Neste caso, todos os determinantes são nulos. Podemos ter um sistema possível e indeterminado. Ou podemos ter um sistema impossível. Qual das duas opções é a correta? Bem, teremos que tentar resolver o sistema. Se acharmos pelo menos uma solução, ele é possível e indeterminado. Vamos lá. Ficamos com: = + = − q px x x x 2 1 2 1 2 2 = − = − 4 2 2 2 2 1 2 1 x x x x Dividindo a segunda equação por 2: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 67 = − = − 2 2 2 1 2 1 x x x x Observem que as duas equações, no fundo, são iguais. Na verdade, é como se tivéssemos um sistema de duas incógnitas e uma equação. Tal sistema admite inúmeras soluções. Exemplos: (2, 0); (1, -1), (3, 1), etc Assim, quando 2 − = p e 4 = q , o sistema é possível e indeterminado. Questão 16 AFRF 2009 [ESAF] Com relação ao sistema ቐ ݔ +ݕ +ݖ = 1 2ݔ −ݕ 3ݖ +2 = ݖ +1 2ݔ +ݕ = 1 onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: a) é impossível. b) é indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo. Resolução. O enunciado ficou meio mal escrito. A letra C, que é a resposta dada como correta, se refere ao determinante da matriz incompleta (é o determinante que chamamos de determinante principal). Para resolvermos o sistema, temos que colocá-lo na forma usual, a que estamos acostumados (incógnitas de um lado e termos independentes do outro). A primeira equação já está assim. Podemos mantê-la: 1 = + + z y x A segunda equação dada foi: 1 2 3 2 = + − z y x Ficamos com: 2 3 2 + = − z y x 2 3 2 = − − z y x A última equação dada foi: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 68 1 2 1 = + + y x z Logo: 1 2 + = + z y x 1 2 = − + z y x Deste modo nosso sistema fica: 1 = + + z y x 2 3 2 = − − z y x 1 2 = − + z y x Vamos calcular o determinante principal. 1 1 2 3 1 2 1 1 1 − − − = D 4 2 3 2 6 2 1 = + + + − + = D Isto já garante um sistema possível e determinado. Já descartamos as letras A e B. Como os termos independentes são diferentes de zero, não temos um sistema homogêneo (descartamos a letra E). Logo, não há que se falar em solução trivial (descartamos a letra D). Por exclusão, marcamos a letra C. Só assim é que dá para concluir que esta alternativa estava se referindo ao determinante da matriz incompleta. Gabarito: C Outra possível falha da questão é a que segue. Dependendo de como a pessoa montasse o sistema, poderia inverter a ordem das incógnitas. O resultado disso é que duas filas do determinante poderiam ser trocadas de lugar, fazendo com que determinante fosse igual a -4. Ou seja, temos outro defeito na questão. Encerramos aqui nossa aula. Bons estudos! Vítor. 4. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA Questão 1 CGU 2004 [ESAF] Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por ij m , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz ij x X = , Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 69 de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ) ( ij a A = e ) ( ij b B = . Sabendo-se que 2 ) ( i a ij = e que 2 ) ( ) ( j i b ij − = , então o produto dos elementos 31 x e 13 x é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Questão 2 MPU 2004 [ESAF] Sejam as matrizes: = 3 3 6 2 4 1 A e = 4 3 2 1 5 4 3 1 B e seja x ij o elemento genérico de uma matriz X tal que T B A X ) ( × = , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x 31 e x 12 é igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 1/3. e) 1/2. Questão 3 SEFAZ/ MG 2005 [ESAF] A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto B Z A × × , onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A -1 B C b) A C -1 B -1 c) A -1 C B -1 d) A B C -1 e) C -1 B -1 A -1 Questão 4 CGU 2008 [ESAF] Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por z ij , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (a ij ), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (x ij ) e Y = (y ij ). Sabendo-se Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 70 que 2 / 1 ) ( i x ij = e que 2 ) ( j i y ij − = , então a potência dada por 12 ) ( 22 a a (ou seja, 22 a elevado a 12 a ) e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 2 − e 1 d) 2 e 0 e) 2 − e 0 Questão 5 MPU 2004 [ESAF] Sabendo-se que a matriz = 1 0 1 1 A e que Ν ∈ n e 1 ≥ n então o determinante da matriz 1 − − n n A A é igual a: a) 1 b) -1 c) 0 d) n e) n-1 Questão 6 STN 2005 [ESAF] Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x 3 , então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) –x -6 b) –x 6 c) x 3 d) –1 e) 1 Questão 7 CGU 2008 [ESAF] Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por x ij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (a ij ), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (b ij ), também de terceira ordem, dada por: = = = = = = = = = 13 33 12 32 11 31 23 23 22 22 21 21 33 13 32 12 31 11 a b a b a b a b a b a b a b a b a b Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 71 a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 Questão 8 MPOG 2008 [ESAF] Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: a) 10 -6 b) 10 5 c) 10 10 d) 10 6 e) 10 3 Questão 9 SEFAZ/SP 2009 [ESAF] O determinante de uma matriz 3x3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª coluna por 1 − , o determinante será: a) 2 x − b) 2 2x − c) x 2 − d) 2 x e) 2 4x Questão 10 ANA 2009 [ESAF] O determinante da matriz + + = c b a c b a B 2 4 0 1 2 é a) a c bc − + 2 b) c b − 2 c) c b a + + d) c b a + + + 6 e) 0 Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 72 Questão 11 MPU 2004 [ESAF] O determinante da matriz − − = 6 0 0 0 5 0 0 0 0 2 2 b a a a b X Onde a e b são inteiros positivos tais que a>1 e b>1, é igual a: a) -60a b) 0 c) 60a d) 20ba 2 e) a(b-60) Questão 12 MPOG 2005 [ESAF] O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = (y ij ), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que ( ) 2 ) ( j i a ij + = e que ( ) 2 ) (i b ij = , então o menor complementar do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 Questão 13 MPU 2004 [ESAF] Com relação ao sistema = + = − 0 2 0 a x y ax de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a. Questão 14 MPU 2004/1 [ESAF] Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 73 Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que = + = + 4 2 0 3 mb a mb ma a) se m ≠ 0 e m ≠ 6, o sistema é possível e determinado. b) se m = 0, o sistema é impossível. c) se m = 6, o sistema é indeterminado. d) se m ≠ 0 e a = 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m ≠ 0 e a ≠ 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. Questão 15 CGU 2008 [ESAF] Considerando o sistema de equações lineares, pode-se corretamente afirmar que: = + = − q px x x x 2 1 2 1 2 2 a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. Questão 16 AFRF 2009 [ESAF] Com relação ao sistema ቐ ݔ +ݕ +ݖ = 1 2ݔ −ݕ 3ݖ +2 = ݖ +1 2ݔ +ݕ = 1 onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: a) é impossível. b) é indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo. 5. GABARITO Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 74 1 d 2 b 3 c 4 d 5 c 6 b 7 d 8 d 9 c 10 e 11 a 12 c 13 a 14 a 15 a 16 c