Aula 2 – CINEMÁTICAPARTE 1 – M.U. e M.U.V 1 - INTRODUÇÃO A cinemática é a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar em desvendar as suas causas. No estud o da cinemática, estamos interessados em determinar a posição do móvel, a sua velocidade ou mesmo a sua aceleração num dado instante. Para esse estudo, nos utilizamos de funções horárias, gráficos e propriedades dos movimentos. 2 - VALOR MÉDIO DE UMA GRANDEZA No estudo da mecânica, é comum estarmos interessados em calcular a velocidade média de um móvel, a aceleração média de um foguete, a força média que uma raquete aplica à uma bola de tênis. Calcular o valor médio de uma grandeza é algo simples e a maneira de calcular é única para todos os casos. A seguir aprenderemos a calcular o valor médio de uma grandeza genérica e isso será muito útil para os capítulos seguintes. Suponha uma função matemática contínua F(t) qualquer que depende da variável t. Considere que a função F(t) tenha um comp ortamento dado pelo gráfico da figura 1: F F F m t1 t2 área 2 área 1 t t1 figura1 t t2 t1 figura 2 t2 t figura 3 Percemos que o valor de F é variável, isto é, para cada valor da variável independente t, a função assume um novo valor F(t). Assim, qual o valor médio m da função F no intervalo [t1, t2] ? É o valor constante m que essa função F deve assumir no intervalo [t 1, t2] que faz com que a área 1 seja igual a área 2. Interpretando geometricamente, estamos transformando a área 1 numa área 2 retangular idêntica, de mesma base t 2 – t1 e altura m a ser determinada. Seguindo essa definição, temos: área1 = área 2 área1 = m x ( t2 – t1 ) m= área1 ( t 2 t 1) Profi, mas por que as áreas têm que ser iguais ? Essas áreas, em cada caso, têm um significado físico diferente. Veremos a seguir. Exemplo resolvido 1: Um móvel está se deslocando numa trajetória retilínea e sua velocidade, em cada instante t, é dada pela função V = 2 + 4.t válida no SI. Pede-se determinar a velocidade média do móvel no intervalo de tempo [5s , 10s]. Solução: O gráfico da função V = 2 + 4.t é uma reta, visto que é uma função do 1 o grau, e está ilustrado na figura 4: 1 no intervalo [5s.10s]. para ter o mesmo deslocamento de antes s = 160m. durante aquele intervalo de tempo. ainda assim. vem: área1 (42m / s 22m/s) (10s 5s) 64m / s 5s = = 160 m 2 2 Observe que a unidade física que resultou do cálculo acima foi metro. e como saberei o significado físico de uma área em cada gráfico ? É simples e não requer nenhuma memorização. O significado físico da área varia. em cada gráfico. que podem ser obtidas por: Leitura direta dos valores numéricos dos eixos do gráfico Analisando a área sob a curva Analisando a inclinação da curva em pontos convenientes A área sob a curva. geralmente trás informações importantes na solução de problemas. a área sob a curva representa s. como mostrarei a seguir 2 . Nesse contexto. em cada contexto. mas o cálculo do valor médio m de qualquer grandeza sempre segue o mesmo raciocínio: Transforma-se a área 1 numa área 2 retangular igual. vale Vm = 32 m/s ? Essa é a velocidade constante (figura 5) com que o móvel deveria se deslocar. 3 . Assim. mesma base e altura Vm a ser determinada (área 2 na figura 5) : área 1 = área 2 160 = Vm x (10 – 5) Vm = 32 m/s Assim. transformemos a área 1 em um retângulo de mesma área. “mesmo deslocamento” significa dizerárea1 = área2. Daí vem a necessidade de que as áreas 1 e 2 sejam iguais.V(m/s) V(m/s) 42 vm 22 área 2 área 1 5 10 t(s) 5 figura 4 10 t(s) figura 5 Determinemos o valor numérico da área 1 acima. o valor numérico da área 1 s = 160 m do móvel no intervalo de tempo [5s .INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS Um gráfico é uma forma de representação de dados bastante compacta e. o que significa dizer que a velocidade média do móvel. 10s]. de mesma base e altura m a ser determinada. efetuando os cálculos com as unidades físicas envolvidas. O estudante deve ser capaz de extrair todas as informações de um gráfico. Profi. trás uma quantidade de informações muito grande. já que no gráfico V x t. Lembrando da fórmula da área de um trapézio. representa o deslocamento Para determinar a velocidade média Vm do móvel nesse intervalo. o móvel A passou a se mover com velocidade maior que o S0B móvel B. basta dividir a unidade física do eixo Y pela unidade física do eixo X. A tabela a seguir mostra o significado físico da área e da inclinação em alguns gráficos como de posição S. conclui-se que o móvel A está à frente do móvel B no instante inicial ( t = 0 ) visto que S0A > S0B. é possível afirmar que: Por leitura direta dos valores do gráfico. em função do tempo. t2 ] os móveis se movem com velocidades escalares iguais. visto que os gráficos de A e B são retas paralelas ( mesma inclinação = ) nesse intervalo de tempo. Para se determinar o significado físico da inclinação do gráfico (tg). aceleração escalar a e potência P. Analise o gráfico: Solução: A S(m) Analisando o gráfico acima. B No intervalo de tempo [ 0 . que se movem sobre uma mesm a estrada. basta multiplicar a unidade física do eixo Y pela unidade física do eixo X. No gráfico de potência P. note que: 1 watt = 1 Sxt Área (Yx X) Inclinação (YX) Sem significado físico m m/ s s tg v joule segundo Vx t a x t Px t m sm s m m s 2 s s j s j s área s área v área energia Sem significado físico Sem significado físico m/ s m / s2 s tg a A tabela mostra que não há necessidade de se memorizar o significado da área e da inclinação da curva para todos os inúmeros gráficos. para t > t2 . A partir do instante t2. Exemplo resolvido 2: A figura abaixo mostra o gráfico da posição escalar S. visto que o ângulo que a reta A faz com a horizontal é maior que o t(s) ângulo que a reta B faz com a horizontal. A unidade física resultante indicará a grandeza física representada pela inclinação da curva em um dado instante. Assim. Então. A unidade física resultante indicará a grandeza física representada pela área sob a curva. velocidades dos móveis certamente são entre si S0A iguais no instante t1. velocidade escalar V. Afinal. certamente o carro t1 t2 t3 A está mais veloz que o B no instante t3.Para se determinar saber o significado físico da área sob a curva em gráfico. 3 . todos seguem o mesmo princípio. em função do tempo. de dois móveis A e B. ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA Considere um móvel que se desloca ao longo de uma trajetória orientada. Define-se como aceleração escalar média no intervalo de tempo [ t o . S(m) 10 m 14 m 18 m 0s 1s 2s figura 7 O móvel acima se desloca em movimento uniforme com velocidade escalar 4 m/s constante.MOVIMENTO UNIFORME . portanto. portanto. No instante t o sua velocidade escalar vale Vo e. Esse fato pode ser notado analisando a área sob a curva no gráfico da figura 8. A característica marcante desse movimento é que o móvel se desloca espacos iguais em intervalos de tempos iguais. se aplica ao cálculo da velocidade escalar média para qualquer classe de movimentos.(MU) O movimento uniforme é aquele em que o móvel desloca-se com velocidade escalar constante .VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA Considere um móvel que se desloca ao longo de uma trajetória orientada. no instante t. Define-se como velocidade escalar média no intervalo de tempo [ to . t ] o quociente: Vm S S So t t to S(m) So S to t A expressão acima é geral e. ou observando as posições ocupadas pelo móvel na tabela 1. No instante t o sua posição escalar vale So e. t (s) 0 1 2 3 4 5 6 S (m) 10 14 18 22 26 30 34 V (m/s) 4 4 4 4 4 4 4 Tabela 1 – movimento uniforme 4 . no instante t. vale V. vale S. se aplica ao cálculo da aceleração escalar média para qualquer classe de movimentos. 5 . t ] o quociente: am V V Vo t t to vo V S(m) to t A expressão acima é geral e.4 . 6 . o cálculo da sua velocidade média Vm entre quaisquer dois ins tantes t1 e t2 sempre resultará o mesmo valor V. assim: S = So + V. percorre distâncias cada vez maiores. quando o móvel se desloca no sentido contrário da trajetória. 3s ] o móvel percorre s = 4 + 4 + 4 + 2 = 14 m O móvel. 7 . 5s] e [3s . distâncias progressivamente crescentes. considera-se que o instante inicial to vale zero ( to = 0 ) e a expressão se reduz a: S = So + V. Isso significa que o móvel tem uma aceleração escalar +4 m/s 2 durante o movimento. Analisando a área sob a curva.( t – to ) A expressão acima chama-se função horária completa da posição para o MU. de fato. Essa é a diferença prática entre o MU e o MUV e é causada pela aceleração. t S = 10 + 4. A fim de verificar esse fato. A área sob a curva na figura 9 revela que o móvel em movimento acelerado não percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais mas. sim. visto que sua velocidade escalar não aume nta nem diminui durante o movimento. tem-se So = 10 m e V = +4 m/s. negativo (–). Considere o MUV descrito pelo gráfico da figura 9 em que a velocidade do móvel aumenta de 4 m/s em 4 m/s a cada segundo num ritmo constante. no gráfico da figura 9. Em geral.MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO .(MUV) Ao contrário do MU. [2s. 5 . ( t – to ) S = So + V. A tabela 1 também mostra que a aceleração escalar do móvel é nula durante o MU. t Essa função determina a posição do móvel para qualquer instante t > 0. Para o móvel da figura 7. a cada segundo. 3s] . 2s ] o móvel percorre s = 4 + 4 + 2 = 10 m No intervalo [ 2s. no MUV o móvel apresenta uma aceleração escalar não nula que permanece constante durante o movimento. a seguir caculamos as velocidades médias do móvel da figura 7 nos intervalos [1s. t O Sinal da velocidade escalar é tomado positivo (+) quando o móvel se desloca a favor da trajetória (movimento progressivo) e.Quando o móvel se desloca com velocidade escalar constante V. 1s ] o móvel percorre s = 4 + 2 = 6 m No intervalo [ 1s. 6s] : Vm S S So 22 14 30 18 34 22 = = 4 m/s t t to 3 1 52 63 Assim. pode-se perceber que: No intervalo [ 0s. Isso significa que a velocidade varia linearmente durante o movimento. para o MU podemos escrever: Vm S S So = V t t to S – So = V. o comprimento do túnel vale 60 m. Assim. t ] a partir da definição geral de velocidade média: V(m/s) V V0 (V V0 ) (t 2 t1) V V S área hachurada trapézio 2 Vm = = 0 t t 2 t1 (t 2 t1) 2 t0 t t(s) Assim. Determine o comprimento do túnel. Solução: O comprimento do túnel corresponde ao deslocamento s do veículo naquele intervalo de 4 s. Aplicamos a fórmula quando. valem as seguintes relações para o cálculo da velocidade média de um móvel : Vm S V0 V t 2 Exemplo resolvido 3: Um veículo.V(m/s) V(m/s) 20 20 16 16 12 12 8 8 4 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4 2 figura 8 – gráfico de MU 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 1 T(s) 4 2 4 5 4 2 2 3 4 5 T(s) figura 9 – gráfico de MUV A velocidade escalar média no MUV Uma das características marcantes de todo MUV é que a sua velocidade escalar varia linearmente com o tempo. deslocando-se em movimento uniformemente variado. Esse exercício mostra uma interessante aplicação da fórmula da velocidade média do MUV. A seguir. desprezando-se o comprimento do carro. com uma velocidade de 20 m/s. Assim. sim. na verda de. 6 . considere o gráfico de um MUV genérico mostrado ao lado. o deslocamento s. não havia interesse em determinar a velocidade média mas. sendo o movimento um MRU. penetra um túnel a uma velocidade 10 m/s e sai pelo outro extremo 4 s depois. no MUV. determinaremos a velocidade média Vm desse móvel no intervalo [ t 0 . podemos escrever: Vm S V0 V t 2 Vm S 10 20 4 2 S 15 4 s = 60 m Assim. ( t t o )2 2 para t to So é a posição do móvel no instante to S é a posição do móvel no instante t.A FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO DO MUV Considere um móvel deslocando-se em MUV tal que no instante to sua posição escalar vale So e sua velocidade escalar vale Vo .A FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE DO MUV Uma das características marcantes do MUV é que o móvel se desloca com aceleração escalar constante a ao longo do tempo. com t > to 7 . por simplicidade. em qualquer intervalo [ t0 . A função horária completa é obtida se não considerarmos o instante inicial to = 0.t 2 ( S – So ) = Vo Vo a. Se sua aceleração vale a .( t 0 ) 2 S = So + Vo. t ] .( t – t0) tomando t0 = 0. t 9 .( t – to) + a. Isso significa que a sua aceleração média am . assim: am V V Vo = a t t to (V – V0) = a. devemos recordar que no MUV valem as seguinte relações: Vm S V0 V t 2 So S to = 0 t V = Vo + a.t 2 2 A relação acima chama-se função horária da posição para o MUV. qual será a posição escalar S do móvel no instante t > to ? Vo a V S(m) Para determinar S. temos: V V S o .t .8 . vem: V = Vo + a. t A partir dessas relações. sempre resulta o mesmo valor a. t + a. o que pode ser útil em problemas nos quais os móveis não começam a se mover no mesmo instante: S = So + Vo. verticalmente para cima. já que a 0m gravidade.t 2 = 25 + 20. t 0 s a) o coco atinge a altura máxima no instante em que sua velocidade se anula ( a bola pára momentaneamente) . t t=2s b) determinar a altura máxima do coco corresponde a determinar a sua posição S no instante t = 2 s. a partir do solo. uma segunda esfera B foi lançada verticalmente para cima. t – 5. então somente t = 5 s faz sentido fisicamente. t + V = Vo + a.Exemplo resolvido 3: Juquinha está no alto de um prédio de 25 m de altura e rebola. t2 0 = 25 + 20. determine: a) +60 m/s VoA 15 A quanto tempo a bola B se moveu até encontrar a bola A . ( 2 ) – 5. Assim. t 10. Exemplo resolvido 4: S (m) Uma esfera A foi lançada verticalmente para cima com velocidade 60 m/s de um ponto 15 m acima do solo. ( 2 )2 = 45 m c) perguntar o instante t em que o coco atinge a calçada equivale a perguntar: “ em qual instante t a posição do móvel será S = 0 m ? ” Afinal. t2 t2 – 4. com velocidade 80 m/s.t – 5 = 0 Resolvendo a equação. Assim : S = 25 + 20. utiliza-se a função horária completa do MUV seguinte: VoB 5 B 0 figura 10 8 - a= g . a velocidade escalar inicial do coco será tomada positiva ( a favor do eixo ) V o = + 20 m/s e a sua aceleração escalar será tomada negativa a = –g = –10 m/s2. t – 5. t . se opõe ao eixo. Se a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s 2. t2 = 25 + 20.t 2 a. Assim. O coco atinge o solo em t = 5 s. t 0 = 20 – 10. Três segundos depois. t – 5. 25 m inicialmente adotamos arbitrariamente um eixo orientado para cima. c) após quanto tempo o coco chega à calçada. o coco está na posição So = 25 m de acordo com o eixo adotado. as funções horárias da posição e da velocidade do coco são: S = So + Vo. 10 b) a que altura ocorreu o encontro. +80 m/s Solução: Nesse problema. sendo vertical para baixo. portanto: Hmax = 45 m S = 25 + 20. t – 5. com a origem S = 0 m no nível da calçada. os movimentos das esferas não iniciam no mesmo instante. S(m) 45 m a = -g 25 m Solução: Para definir o sinal algébrico das grandezas tratadas escalarmente. t 0 s S = 25 + 20. portanto: V = 20 – 10. t2 . Sendo g = 10 m/s2.t – 2 2 V = 20 – 10. encontramos t = –1 s e t = 5 s. Como o movimento começa em t = 0 s. b) a altura máxima atingida pelo coco em relação à calçada. pede-se determinar: a) o instante em que o coco atinge a altura máxima. O aluno deve atentar para o fato de que uma única função horária da posição é útil para estudar tanto a subida como a descida do móvel. No instante inicial to = 0. um coco com velocidade de 20 m/s. c) a velocidade das bolas e a direção em que se moviam no instante do encontro. Para esse tipo de problema. a origem do eixo orientado foi adotada na calçada. ( t – 3 ) O encontro dos móveis ocorreu no instante t = 6 s no eixo dos eventos.( t – 3 ) T (s) 0s 3s 6 s lançamento da bola A toA = 0 s lançamento da bola B toB = 3 s encontro das bolas VB = 80 – 10. encontro das bolas Para o móvel A.( t 0)2 2 válida para t 0 s Para o móvel B. t – 5. as velocidades iniciais dos móveis A e B serão positivas ( a favor do eixo) e a aceleração escalar do movimento será negativa ( a = –g) já que a gravidade é vertical para baixo ao contrário do eixo.( t – 0) – 10. seu movimento durou t = 6 – 3 = 3 s A função horária da velocidade para o móvel A vale: VA = VoA + a. as velocidades escalares dos móveis valem: VA = 60 – 10. O diagrama ao lado mostra a sequência dos eventos ao longo do tempo: Para o móvel A. com a origem S = 0 no solo.( t – 3)2 . temos So = 15 m. to = 0 s. to = 3 s. resolvemos a equação S A = SB: SA = SB 15 + 60.( t – to) + So é a posição do móvel no instante to S é a posição do móvel no instante t. Nesse instante. válida para t 3 s Para achar o instante do encontro. Vo = + 80 m/s Adotando o eixo das posições na vertical apontando para cima. t2 .( t – to) + a. a função da posição fica: a.( t – 3) – 5. ( 6 )2 = 180 m O encontro ocorreu a 180 m de altura do solo.( t – to) + SA = 15 + 60.( t – 3) – 5.( t – 0 ) VA = 60 – 10.( t t o )2 2 SA = So + Vo.( t t o )2 2 = 0 + 80. durante quanto tempo a bola B se moveu até encontrar a bola A ? Observando o diagrama de eventos acima. t2 = 80. Assim.( t t o )2 2 S = So + Vo. t – 5. t – 5. t A função horária da velocidade para o móvel B vale: VB = VoA + a.( t – 3) – 10. a função da posição fica: SB = So + Vo. com t > to Nessa função.a. = 0 + 60. Vo = + 60 m/s T (s) 0s 3s lançamento da bola A toA = 0 s lançamento da bola B toB = 3 s t Para o móvel BA.( t 3)2 2 SB = 80.( t – 3)2 t = 6s O encontro ocorreu no instante t = 6 s no eixo dos eventos. t = 60 – 10 x 6 = 0 m/s 9 . e S o é a posição do móvel no instante to . t2 = 60x ( 6 ) – 5.( t – to ) = +60 – 10. vemos que a bola B se moveu do instante 3 s ao instante 6 s. temos So = 0 m. A posição do encontro é obtida substituindo t = 6 s em qualquer função horária da posição: S = 60.( t – to ) = +80 – 10. to é o instante em que o móvel inicia o seu movimento. Assim. a bola A estava momentaneamente em repouso ( v = 0 ).( 6 – 3 ) = 80 – 10. 10 .( 3 ) = + 50 m/s Vemos que. A velocidade escalar da bola B em t = 6 s resultou positiva (a favor do eixo) .( t – 3 ) = 80 – 10. indicando que B estava em movimen to ascendente no momento do encontro.VB = 80 – 10. em t = 6 s. indicando que ela estava em sua altura máxima naquele instante. Claudete. querida ! Horizontalmente a bola percorrerá espaços iguais em intervalos de tempos iguais. Sem aceleração horizontal. Entretanto. 11 . mas acho que ela deve diminuir. o que você espera que ocorra com a velocidade horizontal Vx da bola durante o movimento em direção ao solo ? Claudete: Não sei. Claudete: Ah ! Legal ! Mostre um exemplo prático. Agora me diga. A velocidade Vy vai aumentando gradativamente de acordo com a gravidade. professor ! g = 10 m/s2 t=0s Vo t=1s 40 m/s 40 m/s t=2s 10 m/s H = 45 m V 20 m/s 40 m/s V t=3s 40 m/s 30 m/s V Alcance = D Professor: Olhe atentamente a figura acima. a única força atuante na bola é o peso. Esse movimento chama-se lançamento horizontal porque sua velocidade era exclusivamente horizontal Vx Vo no início da queda. entra em queda livre (sob ação exclusiva da fo rça peso) até atingir o solo. Claudete. a aceleração g da gravidade causará um aumento progressivo da velocidade Vy. não causando nenhuma aceleração horizontal. a velocidade Vx da bola não irá aumentar ou diminuir de valor. prôfi. O que se pode concluir sobre o comportamento da velocidade vertical Vy da bola durante a sua queda ? Claudete: Agora eu sei ! Como tem a força peso P agindo na direção vertical. A bola de basquete que vinha com V o = 40 m/s rolando num plano a 45 m de altura entra em queda até o chão. certo ? Professor: A velocidade Vx da bola só aumenta se houver uma aceleração horizontal causada por alguma força resultante horizontal. já que a velocidade horizontal permanece constante ? Professor: Exatamente. A bola vem rolando pelo solo horizontal e. Claudete: Ah. permanecendo constante Vx Vo . que só atua na direção vertical. entendi ! Quer dizer que se a gente observar somente o movimento da bola na direção horizontal. seria um Movimento Uniforme MU né.10 . de repente. né verdade ? Professor: Sem dúvida ! Seu movimento vertical é idêntico ao de um coco que cai verticalmente de uma árvore.LANÇAMENTO HORIZONTAL Vx Vo Vx Vy Vx V Vy V Vx V Vy figura 11 Professor: Observe a figura acima. não havendo nenhuma componente vertical. prôfi. em seu “vôo” até o chão percorreu. E seu eu quisesse saber quanto vale aquela distância percorrida pela bolota horizontalmente. Em outras palavras. horizontalmente. como eu iria saber que a bola leva t = 3 s para chegar lá embaixo ? Professor: Ora. A figura aba ixo resume todos os resultados que encontramos. é um MRU. no instante t = 3 s. que legal ! E prôfi. t = 40 m/s x 3s D = 120 m (cálculo do alcance) Ou seja. na horizontal. percebi uma coi sa interessante nesse movimento: quando calculamos o tempo de queda da bolinha ( t = 3 s ). Agora você já sabe como se calcula o tempo de queda da bolinha. que partiu lá de cima com velocidade Vo = 40 m/s. Lembra que o movimento vertical daquela bola é idêntico ao de um coco caindo de uma árvore. Por que. nem precisamos utilizar a velocidade V 0 = 40 m/s com que a bolinha iniciou o seu movimento. temos que achar a resultante (teorema de Pitágoras) entre as velocidades Vx e Vy da bola. que é o chamado alcance. que inicialmente valia Vy = 0. t 2 2 45 = 10. 120 m . já que horizontalmente sua velocidade é constante Vx = 40 m/s ? Assim. acredita ? Olhe. prôfi ! E olhe. aquele tal d e alcance D . ela “não sabe” que também está indo para a direita em MRU ! A tabela abaixo resume tudo isso: 12 . amiga Claudete. quando a bolinha está caindo. A bola. Claudete. chegou ao solo em t = 3 s com velocidade V = 50 m/s Claudete: Puxa. Isso ocorre porque o movimento de queda vertical é totalmente independente do movimento horizontal da bola. Claudete ! O cálculo do tempo de queda é efetuado usando apenas a altura e a gravidade. o que permite facilmente achar o valor da velocidade total V da bola: V2 = (Vx)2 + (Vy)2 = (30)2 + (40)2 V2 = 900 + 1600 = 2500 V = 50 m/s A bola. aumentando progressivamente de 10 m/s em 10 m/s a cada 1 s egundo. Quanto tempo um coco leva para despencar do alto de uma árvore gigante de 45 m de altura ? Basta usar aquela conhecida relação da queda livre: H g. bem como o seu alcance: g = 10 m/s2 t=0s Vo t=1s 40 m/s 40 m/s t=2s 10 m/s H = 45 m V 40 m/s 20 m/s V t=3s 40 m/s 30 m/s 50 m/s Alcance = 120 m Claudete: Afff ! Gostei desse negócio. prôfi ? Professor: Beeem facinho ! Você lembra que o movimento daquela bola. qual a distância horizontal percorrida por um móvel que se desloca com 40 m/s durante t = 3 s ? Adiviiiiinha ? D = Vx . e é porque pensei que nunca fosse entender.t 2 2 t = 3s (cálculo do tempo de queda) Claudete:Hummmm ! entendi. prôfi ? Professor: Bem notado. Note que se quisermos achar a velocidade V da bola num certo instante. da mesma forma como calculamos o tempo de queda de um coco. Vy = 40 m/s . Assim. Veja a velocidade Vx = 40 m/s da bola permanecendo constante durante a queda. já que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2. a bola tem velocidade Vx = 30 m/s . Veja a velocidade Vy da bola. H e g 13 . ou seja.Grandeza a ser determinada Únicos fatores dos quais a grandeza depende Tempo de queda (t) H e g apenas Vo e tempo de queda (t). Alcance (D) Vo . Isso significa que. A partir daí a velocidade vertical volta a aumentar de valor gradativamente.LANÇAMENTO OBLÍQUO Professor: Agora o lançamento não será mais horizontal. Claudete: Bora ver um exemplo prático. só atuará na mesma a força vertical peso P. durante todo o movimento da bola. que nem antes ! A velocidade horizontal Vx da bola nem aumentará nem diminuirá de valor durante o “vôo” da bol ota. a velocidade vai mudando de acordo com a gravidade. no início do lançamento. por causa do peso. Uma vez mais. se deve à presença da força peso na vertical. Claudete ! A figura acima mostra que a velocidade Vx da bola não muda de valor durante o movimento da bola. prôfi ! 14 . na vertical. certo ? g = 10 m/s2 Professor: Muito bem. proporcionando a aceleração da gravidade g que controla Vy. Claudete. Assim.11 . logicamente. a bola já terá tanto velocidade horizontal Vx quanto vertical Vy. durante o movimento ? g = 10 m/s2 VoY Vo VoX Claudete: Ora. coisa que não existe ! Agora. Esse comportamento da velocidade Vy. prôfi . Já a velocidade vertical Vy vai diminuindo durante o movimento até atingir a altura máxima (onde Vy = 0 já que a bola pára de subir). pois para isso teria que haver alguma força na horizontal para empurrar ou frear a bola. A bola será lançada numa direção que forma um ângulo com a horizontal. como você espera que seja o comportamento da velocidade horizontal Vx da bola. t=3s t=2s t=4s 40 m/s 10 m/s t=1s g = 10 m/s2 40 m/s 40 m/s 20 m/s 10 m/s 40 m/s t=5s 40 m/s 30 m/s H 50 m/s 20 m/s 40 m/s t=0s t=6s 40 m/s 30 m/s 50 m/s alcance = D Professor: Na figura acima. Decompondo a velocidade inicial Vo da bola em suas componentes Vox = 40 m/s e Voy = 30 m/s .23 44. claudete. Basta você decompor a velocidade inicial Vo da bola. As velocidade Vx e Vy da bola durante todo o movimento. prôfi ? 15 VoX . e como faço para determinar as componentes Vox e Voy no instante inicial ? Professor: Ora. podem ser vistas na tabela abaixo: T (s) 0 1 2 3 4 5 6 Vx (m/s) 40 40 40 40 40 40 40 Vy (m/s) +30 +20 +10 0 –10 –20 –30 V (m/s) 50 44.8 = 40 m/s VoY Vo Voy = Vo. cos 36 = 50 x 0. a velocidade Vy passa a aumentar 10 m/s a cada 1 s durante o movimento de descida. bem como a velocidade resultante V (determinada pelo teorema de Pitágoras) . Observe os seguintes detalhes na figura acima: A velocidade Vx = 40 m/s da bola não se altera durante todo o “vôo” da bola MRU) como era esperado. sen 36 = 50 x 0. Claudete: Prôfi. podemos estudar separadamente os movimentos vertical (MUV) e horizontal (MRU).72 41.6 = 30 m/s Claudete: E como sei quanto tempo a bola vai durar o “vôo” da bola. veja: Suponha dado sen 36 = 0.6 e cos 36 = 0. A velocidade inicial Vy = 30 m/s da bola vai diminuindo 10 m/s a cada segundo que se passa durante a subida até se anular na altura máxima (t = 3 s) .72 50 Note que a velocidade mínima da bola ocorre na altura máxima ( V = 40 m/s ) .23 40 41. onde toda a componente Vy se anula. A seguir. uma bola é lançada com velocidade inicial Vo = 50 m/s numa direção que forma um ângulo = 36 com a horizontal. restando a penas a componente horizontal Vx naquele instante ( t = 3 s ). já que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2.8 Vox = Vo. e como a gente faz para determinar a altura máxima atingida pela bola ? Professor: Claudete.Professor: Ora.( 3 )2 2 Hmax = 45 m (cálculo da altura máxima) Claudete: Ahhh ! Entendi ! Basta notar que ela leva 3 s para descer lá de cima. atingir a altura máxima e 3 s para descer. a partir do repouso. T Voy = +30 m/s Claudete: Prôfi. Tvôo = 40 m/s x 6s D = 240 m (cálculo do alcance) Assim. o tempo de vôo é dado por: Tvôo = Tsub + Tdes = 3 s + 3 s = 6 s Eixo y A velocidade Vy da bola. perguntar quanto vale o alcance equivale a perguntar “qual a distância percorrida horizontalmente (MRU) pela bolinha durante os 6 s de duração do vôo ?” Se na horizontal o movimento ocorre com velocidade constante (MRU). Como o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Claudete: Ah. o tempo de subida vale T sub = 3 s. E prôfi. ela “não sabe” que também está se deslocando para a direita. em qualquer instante. 16 . vê-se que ela se anula após 3 s . o movimento vertical da bola é igual ao de um coco jogado verticalmente para cima com 30 m/s né ? Professor: Exato. T . aprendemos como interpretar direitinho o lançamento horizontal e o lançamento oblíquo em queda livre no campo gravitacional. ( Tdesc )2 2 Hmax = 10. Assim. e como se faz para achar o alcance horizontal D da bola em seu vôo ? Professor: Ora. como a gravidade vale g = 10 m/s 2. Ou seja. em quanto tempo ela se anula ? Fácil : Vy 30 20 10 0 T 0 1 2 3 Intuitivamente. vamos analisar apenas o movimento vertical. Quando um coco é jogado com Vy = 30 m/s verticalmente para cima. Se ela vale 30 m/s no começo e diminui de 10 em 10. Se ele leva 3 s para desc er lá de cima. onde encontrava-se em repouso na vertical ( Vy = 0). vem: Hmax g. prôfi ! Sendo assim. quanto tempo ele leva para parar (e atingir a altura máxima) ? Ora. Claudete ! Esse coco levará 3 s para subir. com Voy = +30 m/s e a = –10 m/s2 a = -10 m/s2 Vy = 30 – 10. devido à simetria. quando a bola está subindo ou descendo. vamos avaliar apenas o movimento vertical da bola. de que altura ele desceu ? Usando a conhecida relação da queda livre. a velocidade na subida diminui de 10 m/s em 10 m/s a cada 1 segundo. lembre-se que o movimento vertical é independente do horizontal. Para determinar a altura máxima. vem: D = Vx . para isso. pode ser determinada: Vy = Voy + a. g 2 Vo Vo A Dois disparos feitos com mesma velocidade inicial Vo atingem o mesmo alcance A + = 90o 17 .cos() g Alcance A atingido pelo corpo : A = Altura máxima atingida pelo corpo: Hmax = ou A = Vo2 . sen(2) g Vo2 sen2 () . sen().2.12 .PROPRIEDADES DO LANÇAMENTO OBLÍQUO VoY Hmax Vo VoX A Vo2 .