Acesse: ☞ http://fuvestibular.com.br/ A A UA UL L A 18 18 A raiz quadrada Introdução Q ual é o número positivo que elevado ao quadrado dá 16? Basta pensar um pouco para descobrir que esse número é 4. 4 2 = 4 · 4 = 16 O número 4 é então chamado raiz quadrada de 16, e essa operação, chamada de radiciação, é representada assim: 16 = 4 Vamos agora explorar um pouco mais este exemplo pedindo ao leitor para resolver a equação x 2 = 16 Lembre que resolver uma equação significa encontrar todos os valores que, se colocados no lugar do x , tornam a igualdade correta. Já sabemos que x = 4 é uma solução porque 4 2 = 16 16. Já que, também, ( - 4)2 = ((- 4) · ((- 4) = 16 descobrimos que a equação x 2= 16 tem duas soluções: x = 4 e x = - 44. Então, toda vez que tivermos uma equação desse tipo, nós a resolveremos assim: x2 = 16 x = ± 16 x = ±4 Observe que o símbolo ±4 (lê-se: mais ou menos 4) representa dois números: o 4 e o - 44, que são as duas soluções da equação dada. Vamos então explorar a raiz quadrada e ver algumas aplicações. Em primeiro lugar, observe os exemplos a seguir: Nossa aula 9 =3 100 = 10 5,76 = 2, 4 porque porque porque 32 = 3 · 3 = 9 102 = 10 · 10 = 100 2,42 = 2,4 · 2,4 = 5,76 P/ as outras apostilas de Matemática, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/ Temos conhecimento de que. às descobertas de dois gênios chamados Tales e Pitágoras. Esse desenvolvimento organizado da matemática teve início na Grécia antiga devido. Mas. mas antes. vamos mostrar como isso começou.com. hoje. como os egípcios e os babilônios. descobertas através de experiências. De qualquer forma.Acesse: ☞ http://fuvestibular. Ela ficou conhecida como Teorema de Pitágoras . A U L A 18 Um Pouco de História Por volta do século VI a. ou seja. ainda antes dessa época. foi descoberta uma propriedade válida em todos os triângulos retângulos. Essa afirmação. mas o terceiro já parece difícil.76 é 2.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/ . suas fórmulas. de forma que. Se em um triângulo retângulo. é impossível saber o que é lenda e o que realmente aconteceu.C. e são demonstradas a partir de conhecimentos anteriores. principalmente. Em todo triângulo retângulo. a matemática começou a se desenvolver de forma organizada. o importante foram as idéias que surgiram naquela época e que permitiram o rápido e sólido desenvolvimento da matemática. que será demonstrada na nossa próxima aula.com. nem sempre eram corretas. existiam povos. Como podemos descobrir que a raiz quadrada de 5. Esse desenvolvimento se deu através de teoremas que são afirmações válidas em todas as situações de um mesmo tipo. representamos o comprimento da hipotenusa por a e os comprimentos dos catetos por b e c (como na figura abaixo). b a c então.C. pode ser escrita como uma fórmula. davam certo em alguns casos mas em outros não. Acesse: http://fuvestibular. o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O Teorema de Pitágoras No século VI a. que usavam matemática para resolver problemas que ocorriam em suas comunidades.br/ Repare que os dois primeiros exemplos são simples. o Teorema de Pitágoras nos diz que a 2 = b2 + c2 P/ as outras apostilas de Matemática. Tudo o que sabemos desses dois primeiros grandes matemáticos que a humanidade conheceu foram relatos de outras pessoas.4? Esta pergunta será respondida ao longo desta aula. 42 é a área de um quadrado de lado 4 e 3 2 é a área de um triângulo de lado 3 . Ele já apareceu na aula 7 e esse problema foi resolvido. Daí. Agora. Consideremos um triângulo retângulo com catetos iguais a 1 e tratemos de calcular sua hipotenusa. 4 e 5 é um triângulo retângulo.com. De fato. podemos resolvê-lo pelo teorema de Pitágoras. A volta da raiz quadrada Será que todo número positivo possui uma raiz quadrada? Esta é uma pergunta intrigante e a resposta é: sim. Mas. como x é um comprimento. x 2 = 12 + 12 x2 = 1 + 1 x2 = 2 Já sabemos que essa equação tem duas soluções: uma positiva e outra negativa. Observe ainda que 5 2 é a área de um quadrado de lado 5 . então ele é representado por um número positivo. se na fórmula acima fizemos a = 55. já era conhecido mesmo antes de Pitágoras que o triângulo de lados 3 . b = 4 e c = 33. aproximadamente. observe que. pela medida do comprimento da hipotenusa. obtemos: 5 2 = 42 + 3 2 que é uma igualdade correta.com. 1 x 1 Esse é um triângulo conhecido.Acesse: ☞ http://fuvestibular. x= 2 P/ as outras apostilas de Matemática.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/ . Veja então na figura a seguir a seguinte interpretação do Teorema de Pitágoras: A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos. Acesse: http://fuvestibular.br/ A U L A 18 Por exemplo. Vejamos o seguinte exemplo. 413² = 1.41 é uma aproximação por falta de 2 melhor que a anterior. Uma máquina de calcular comum.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/ . A fórmula.6 c onde c é o comprimento da marca deixada pelos pneus em metros e v é a velocidade do carro em quilômetros por hora.4 para continuar nossas tentativas.96 (é pouco mas está próximo) 1. Um guarda próximo quis logo multar o motorista por excesso de velocidade mas o motorista garantiu que vinha a menos de 80 km por hora. Mas. Apertando as teclas 2 e encontramos no visor o número 1. ele só pode ser determinado aproximadamente .com.52 = 2.42 = 1. 1. um automóvel vinha em grande velocidade por uma estrada quando um transeunte distraído foi atravessá-la.4142135 que é uma excelente aproximação para a raiz quadrada de 2. nunca conseguiremos encontrar um número decimal cujo quadrado seja exatamente 2. 1.415² = 2.414 é uma aproximação ainda melhor para 2 . felizmente. ele é próximo mas é menor que o valor que procuramos. é a seguinte: v = 14. obtida através da física.42 = 2.414² = 1. infelizmente. ou seja.412 = 1. Medindo o comprimento dessa marca é possível saber.4 é uma aproximação de 2 por falta. 1.44 (é pouco) 2 1. Esses números. os pneus cantaram no asfalto e felizmente o carro parou a uma pequena distância do assustado pedestre. Esse processo pode continuar mas. O motorista pisou fundo no freio.com. neste caso. em nossos problemas práticos só necessitaremos de aproximações com poucas casas decimais. Os números irracionais aparecerão com grande freqüência em nosso curso. Façamos então algumas tentativas. que número é esse? Sabemos que ele existe porque estamos vendo sua representação no desenho. são chamados de números irracionais . Tudo o que podemos fazer é encontrar aproximações cada vez melhores.9966 (é pouco) 1. que era a velocidade máxima permitida naquele trecho. Em uma freada de emergência os pneus deixam uma marca no asfalto.br/ Temos então que x é a raiz quadrada de 2. P/ as outras apostilas de Matemática. Vamos ver que.69 (é pouco) 1. Vamos então acrescentar mais uma casa decimal ao 1.Acesse: ☞ http://fuvestibular.9881 (é pouco) 2 1. faz isso muito bem.22 = 1. com infinitas casas decimais e que só podemos conhecer por meio de aproximações.0022 (passou) Temos então que 1. Podemos continuar tentando encontrar mais uma casa decimal.25 (passou de 2) A U L A 18 Concluímos que 1. Uma aplicação da raiz quadrada Certo dia. aproximadamente a velocidade com que vinha o carro. 0164 (passou) Concluímos agora que 1.3 = 1. Como o guarda poderia saber a velocidade com que vinha o carro? É possível saber.9994 (é pouco) 1. com tecla de raiz quadrada. Mas. Acesse: http://fuvestibular. não existe a A nossa segunda propriedade é uma consequência da definição de raiz quadrada: II . Acesse: http://fuvestibular.Se a e b são positivos (e b ¹ 0).br/ A U L A 18 Na nossa história.6 · 43 = 14. Logo.Se a e b são positivos. então: I . nenhum número negativo possui raiz quadrada.Se a > 0. E quanto será a raiz quadrada de . Propriedades da raiz quadrada Já sabemos que todo número positivo possui raiz quadrada. Aplicando a fórmula. então ab = a · b IV . então a · a = a A terceira e a quarta propriedades vão nos ajudar a operar com as raízes quadradas: III .Se a > 0 existe a . então a a = b b Observe agora o exemplo seguinte.Acesse: ☞ http://fuvestibular. teremos: v = 14. os pneus do carro deixaram gravadas no asfalto uma marca de 43 m. seu motorista deveria ser multado. Quanto vale a raiz quadrada de zero? Pense: Vale zero. 3x2 = 7 Solução Solução: A primeira coisa a fazer é dividir por 3 para isolar a incógnita.com.78 ou seja. A nossa primeira propriedade será. o resultado é sempre positivo. porque 02 = 0.6 · 6.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/ . é claro.3? Pense: Essa não existe. porque quando elevamos qualquer número ao quadrado. no qual aplicaremos essas propriedades na solução de uma equação: EXEMPLO Use a máquina de calcular para obter aproximadamente (4 casas decimais) a solução positiva da equação.56 = 95.com. portanto. 3x 2 7 = = 3 3 7 x2 = 3 P/ as outras apostilas de Matemática. Se a < 0. o carro vinha a aproximadamente 96 km/h e. determine as raízes abaixo fazendo tentativas e aproximações. P/ as outras apostilas de Matemática. multiplicamos o numerador e o denominador da fração pelo próprio denominador. x= 21 3 Esta é a solução positiva da nossa equação. Temos então: 7 x= 3 A U L A 18 Observe agora como usamos as propriedades para dar a resposta de outra forma. a) 529 b) 1156 c) 57 .br/ Agora vamos extrair a raiz quadrada. Pela propriedade IV. Acesse: http://fuvestibular. Usando a máquina. Para resolver isso. 76 Exercício 4 Determine um valor aproximado para 3 com duas casas decimais. Exercício 1 Determine as raízes quadradas a) 25 b) 64 Exercícios c) 196 Exercício 2 Resolva as equações a) x2 = 36 b) 2x2 = 98 Exercício 3 Sem usar a tecla de sua calculadora.com. Chamamos isto de racionalizar o denominador. podemos escrever x= 7 3 É sempre incômodo ter uma raiz no denominador de uma fração. e digitando 2 1 3 = encontraremos como aproximação de x o número 1.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/ .5275.Acesse: ☞ http://fuvestibular. 7 × 3 = 7 ×3 = 21 . Neste caso. Então. não precisaremos colocar o sinal + do lado direito porque o enunciado só nos pede para determinar a solução positiva. x= 7× 3 3× 3 Pelas propriedades II e III temos que 3 × 3 = 3 e ainda. complete: a) a2 = b) a4 = c) a6 = Exercício 6 Simplifique as raízes fatorando o número que está em baixo do radical. Determine um valor aproximado para o comprimento de sua diagonal. Quanto mede.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/ . Exemplo: 512 = 2 9 = 2 8 ⋅ 2 = 28 ⋅ 2 = 2 4 ⋅ 2 = 16 2 (Para recordar as regras de operações com potências reveja a aula 14. Acesse: http://fuvestibular.Acesse: ☞ http://fuvestibular.br/ A U L A 18 Exercício 5 Se a é um número positivo. aproximadamente o lado desse quadrado? P/ as outras apostilas de Matemática.com. 18 m 30 m Exercício 9 Na casa de João existe um quarto cujo chão é quadrado e tem 12 m2 de área.) a) 12 b) 144 c) 800 Exercício 7 Racionalize os denominadores e dê valores aproximados (com 2 decimais) para as frações abaixo.com. a) 10 2 b) 6 3 Exercício 8 Uma certa quadra de futebol de salão tem 30 m de comprimento e 18 m de largura.