AULA 15 - LTC37BControle 02 __________________________________ Prof. Leandro Castilho Brolin UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELN – Departamento de Eletrônica ___________________________________ RESUMO (1) Tratamento Matemático do Sinal (2) Transformada de Laplace para Sinais Discretos (3) Modelagem do Holder (Sampler e Holder) (4) Relação entre os Planos s e z (5) Estabilidade Discreta TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO ● ● ● Entender matematicamente o problema da discretização; Obter uma descrição matemática, o mais exato possível, do sinal tipo discreto; Serão apresentadas várias formas de se representar um sinal discreto. Primeiramente utilizando uma abordagem somente no domínio do tempo. Utilize o método de aproximação retangular. . ● Resp.TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO Exemplo 01: Determine olhando para o gráfico a seguir qual é o valor da integral no tempo kT dada por x(k). ● Esta resposta é chamada de ordem recursiva. TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO Exercício 01: Repita o exercício anterior para a função a seguir. ● Resp. . tem-se: assim.TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO Exemplo 02: Considere o seguinte caso: Numericamente a derivada pode ser escrita como: Assumindo que . . e que De modo a simplificar a notação faz-se é pequeno. . Portanto aplicando a equação acima para solucionar o problema tem-se: que é uma equação diferença homogênea com coeficientes constantes.TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO Esta é a expressão para a derivada discreta. . Utilize a seguinte definição numérica: ● Resp.TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO Exercício 02: Seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior resolva o caso a seguir: Obs. .TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO Exercício 03: Obter a discretização em forma de equação diferença para: ● Resp. TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO TREM DE IMPULSO Uma amostragem pode ser dada como a seguir: Amostrador analógico com retenção h . TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO Caso . temos: A representação matemática da função amostrada fica: . TRATAMENTO MATEMÁTICO DO SINAL AMOSTRADO O portador p(t) pode ser escrito como uma sequência de impulsos: Assim. no caso ideal. obtém-se o sinal amostrado como sendo dado por: Como a representação de um sinal discreto também pode ser dado como: . TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SINAIS DISCRETOS A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa aplicada à sistemas dinâmicos lineares e analógicos. A transformada de Laplace de um impulso unitário deslocado é dada como: Adotando a representação de uma função discretizada já utilizada: . A seguir será mostrada uma abordagem da transformada de Laplace aplicada a sistemas dinâmicos discretos que será muito útil em análises posteriores. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SINAIS DISCRETOS Aplicando a transformada de Laplace tem-se: (*) A equação acima é periódica com frequência angular . abaixo encontra-se o processo de amostragem com um holder: .MODELAGEM DO HOLDER (SAMPLER-HOLDER) Conforme já visto. a fim de se obter uma modelagem completa do processo discreto. pois isto é o que ocorre no ambiente digital. Entretanto o intervalo de retenção é aqui estendido por todo o período T0 . há que se obter uma representação matemática para o mesmo. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO HOLDER DE ORDEM ZERO Considere a decomposição da função m(t) conforme visto a seguir: .MODELAGEM DO HOLDER (SAMPLER-HOLDER) O bloco Holder é parte integrante dos módulos A/D ou D/A para que se processe a conversão do sinal. Desde que o bloco Holder como indicado passa a ser parte integrante do processo discreto. podemos escrever a saída para o primeiro retângulo como: . conforme a figura: Sendo assim.MODELAGEM DO HOLDER (SAMPLER-HOLDER) O primeiro retângulo pode ser escrito como a subtração de duas funções impulso defasadas por T. a resposta para os dois primeiros retângulos será: Sendo assim.MODELAGEM DO HOLDER (SAMPLER-HOLDER) Estendendo a ideia para o segundo retângulo. podemos escrever a resposta completa como: Aplicando a transformada de Laplace e o teorema do deslocamento. estendendo a ideia para os retângulos seguintes. temse: . a função de transferência do Holder de ordem zero é dada como: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO HOLDER DE ORDEM ZERO Substituindo na FT do holder e escrevendo a parte exponencial como uma série de Taylor obtêm-se: .MODELAGEM DO HOLDER (SAMPLER-HOLDER) Utilizando a equação (*) encontramos a expressão: Sendo assim. Conclusão: – A expressão acima é uma representação típica de um filtro passa-baixa.MODELAGEM DO HOLDER (SAMPLER-HOLDER) Para uma pequena frequência de amostragem podemos obter a série de Taylor truncada no primeiro termo. já que T0 tende a ser pequeno. . – O holder de ordem zero irá atuar como um filtro e rejeitará as componentes harmônicas de alta frequência geradas no processo de amostragem. assim. .RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ Vamos considerar a função exponencial contínua no tempo: Considere agora a mesma função. A transformada z da função f(k) é: ● A transformada z tem polo em Observe que para este caso a relação entre os planos z e s é exponencial. mas agora amostrada: A transformada de Laplace de f(t) é dada como: A transformada de Laplace tem um polo em s = .a. RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ Vamos agora considerar a função seno sem amortecimento: A transformada de Laplace de f(t) é dada como: Os polos da função estão locados em: A Transformada z da função f(t) amostrada é: . RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ O denominador da função é dado como: Utilizando a fórmula de Báscara as raízes da equação acima são: Manipulando a equação acima temos: Note que o termo entre parêntese é a própria identidade de Euler. como visto anteriormente. assim podemos dizer que: . assim: Portanto. a relação entre os planos s e z também é exponencial neste caso. assim: Agora vamos analisar o gráfico que relaciona dos planos s e z. mas antes. considere as notações abaixo de forma a padronizar a construção dos gráficos: .RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ Olhando para a forma polar da relação entre os planos s e z temos o módulo como: o argumento é dado como o próprio termo que multiplica a variável complexa. RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ . RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ . RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ . RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ CASOS ESPECIAIS a) Parte real constante . RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ b) Fator de amortecimento constante . RELAÇÃO ENTRE OS PLANOS S EZ c) Parte imaginária constante . O root-locus pode ser utilizado para a análise da estabilidade verificando o caminho dos polos de malha fechada no plano z. sendo assim.ESTABILIDADE DISCRETA ● ● ● ● Assim como no tempo contínuo é fundamental determinarmos a estabilidade para sistemas discretos. se os polos em z estiverem dentro do círculo de raio unitário o sistema é dito ser estável. . Apesar das várias metodologias existentes para a análise da estabilidade iremos estudar somente uma delas denominada de Método da Transformação Bilinear. A localização dos polos é um indicativo da estabilidade. EXEMPLO 01 – Considere a equação abaixo como sendo a equação característica de um sistema de controle digital. o circulo unitário do plano z é mapeado no semiplano esquerdo do plano w. Assim. .ESTABILIDADE DISCRETA MÉTODO DA TRANSFORMAÇÃO BILINEAR Este método consiste no mapeamento do plano z em um plano w similar ao plano s através da transformação bilinear a seguir: Através da transformação acima. pode ser utilizada o critério de Routh-Hurwitz para a análise da estabilidade. Sendo assim. analise a estabilidade da mesmo em relação aos coeficientes da equação. ESTABILIDADE DISCRETA Utilizando a expressão da transformação bilinear tem-se: ou Aplicando o critério de Routh-Hurwitz: . ESTABILIDADE DISCRETA Para que o sistema seja estável temos que ter: Exercício 01 – Considere o sistema de controle a seguir e determine a faixa de valores de q0 para que o sistema seja estável. .
Report "Aula 15 Tratamento Matematico Do Sinal Amostrado, Plano S-z, Jury"