Mecânica dos fluidos IProf. Strobel Mecânica dos Fluidos I Relações Integrais para um Volume de Controle Conservação da quantidade de movimento Por Christian Strobel “Senhores alienígenas, não me comam! Eu tenho mulher e filhos... comam eles!” - Homer Simpson 1. Objetivo No estudo dos sistemas abertos ou volumes de controle, fluxos de massa carregam energia para dentro e para fora do volume através da fronteira. No estudo do equilibrio de corpos que interagem com fluxos de massa, devemos observar também as forças que interagem com a superficie do volume de controle. Como exemplo, podemos citar a força gerada por um jato de água sobre uma parede ou a força de empuxo gerada em um motor de foguete. Quantificar esta força é fundamental para se estabelecer condições de equilibrio ou de aceleração destes sistemas. A determinação destas forças é possível usando a segunda lei de Newton e a equação da conservação da massa, ambas aplicadas ao volume de controle. 2. Formulação matemática Como visto anteriormente, a formulação matemática para quaisquer grandezas físicas em um volume de controle na forma integral é dada pelo teorema do transporte de Reynolds: ) ∫ ∫ ⃗ A quantidade de movimento, designada aqui pela letra “P”, relaciona massa e velocidade: Mecânica dos fluidos I Página 1 de 6 Mecânica dos fluidos I Aplicando a equação básica visto no início: ) ∫ ∫ ⃗ Prof. Strobel E chamando N = P = m.V e η = V, temos: ⃗ ⃗ ) ∫ ⃗ ∫ ⃗ (⃗ ) Assim, ∫ ⃗ ∫ ⃗ (⃗ ) Lembrando que as forças de superfície são: E que o vetor pressão é sempre apontado para dentro do volume de controle. As forças de corpo são: Com a força peso sempre para baixo. 3. Exercícios 1. Para a redução de dutos mostrada na figura, de D1 = 8 cm, D2 = 5 cm e P2 = 101 kPa. Se V1 = 5 m/s, ρH2O = 998 kg/m3, ρmerc = 13600 kg/m3 e o manometro lê h = 58 cm, estime a força total resistida pelos parafusos da flange. Mecânica dos fluidos I Página 2 de 6 Mecânica dos fluidos I Prof. Strobel 2. O reservatório da figura está sobre um apoio com rodas livre de atrito, e alimenta um jato de 4cm de diâmetro com velocidade de 8 m/s, que é defletida a 60° por um anteparo inclinado. Calcule a tensão no cabo. 3. Água escoa por um cotovelo como mostrado na figura, e é descsrregado na atmosfera. A tubulação possui diâmetro de D 1 = 10cm, enquanto D2 = 3 cm. A uma vazão de 15 kg/s, a pressão no ponto 1 é 230 kPa. Desprezando o peso da água contida no cotovelo e o peso do próprio cotovelo, estime as forças suportadas pelos parafusos da flange 1. 4. O springler de gramado ilustrado recebe água a 20°C (ρ=998 kg/m3) pelo centro, a uma vazão de 2,7 m3 /h. Se não houver atrito, qual o torque inicial se (a) θ = 0° e (b) θ = 40°. 5. O controle de empuxo de uma aeronave militar pode promover uma grande melhora na manobrabilidade. Consiste em um bocal com ângulo variável em relação a linha de centro da aeronave. Compare a redução de empuxo no caso indicado na ilustração em relação ao vôo normal quando o escoamento está paralelo a linha de centro. (16 slug/s = 233,5 kg/s; 300 ft/s = 91,44 m/s; 1500 ft/s = 457,2 kg/s). Mecânica dos fluidos I Página 3 de 6 Mecânica dos fluidos I 6. Bombeiros estão segurando um bocal conectado a Prof. Strobel uma mangueira enquanto tentam extinguir o fogo. Se o diâmetro de saída do bocal é de 6 cm e a água escoa a uma vazão volumétrica de 5 m3/min, determine: a. A velocidade média de saída; b. A força horizontal de resistência necessária para os bombeiros segurarem a mangueira na posição estacionária. Dados: ρH2O = 998 kg/m3, g = 9,81 m/s2. 7. Um cotovelo redutor é utilizado para alterar a direção do escoamento de água que entra com uma vazão mássica de 30 kg/s e pressão absoluta de 150 kPa, saindo a um ângulo de 45°. A água é descarregada para a atmosfera (100 kPa). A área de entrada é de 0,015 m2 e a área de saída é de 0,0025 m2. A massa do cotovelo somada com a massa de água em seu interior é de 50 kg. Determine as forças de reação em x e y. Dados: ρH2O = 998 kg/m3, g = 9,81 m/s2. 8. Rodas Pelton são normalmente utilizadas em turbinas de usinas hidrelétricas para gerar potência elétrica. Nestas turbinas, um jato com alta velocidade colide com o anteparo da roda, gerando energia mecânica de eixo. O efluente deste anteparo sai na mesma velocidade de entrada. Para os dados fornecidos abaixo, qual o torque que a roda sofrerá no momento inicial e quando a roda girar a 2000 rpm? Dados: ̇ ; ; ; ; Mecânica dos fluidos I Página 4 de 6 Mecânica dos fluidos I 9. A idealização de Torricelli para a velocidade em um furo na √ . Considere um tanque contendo água, Prof. Strobel lateral de um tanque é conforme ilustrado. O tanque pesa 150 N quando vazio, e contém água a 20°C (ρ = 1000 kg/m3). A parte inferior do tanque está em contato com gelo em uma superfície lisa, com coeficiente de atrito próximo a ξ = 0,01. O diâmetro do furo é de 9 cm. Para qual altura h o tanque começa a se movimentar para o lado? 10. Ar a 20°C (ρ = 1,2 kg/m3) e a 100 kPa entra pela parte de baixo de um medidor de vazão cônico de 85° com uma vazão mássica de 0,3 kg/s, conforme ilustrado. Esta vazão é capaz de manter o cone centrado e na mesma posição, devido ao fluxo em regime permanente ao redor do cone A velocidade de saída é igual a velocidade de entrada. Estime a força peso do cone, em N. 11. Um jato de água a 20°C (ρ = 998 kg/m3) atinge um defletor montado em um reservatório com rodas, onde o atrito pode ser desprezado. Após atingir o defletor, a água retorna e cai no reservatório, sem perdas por respingos e/ou derramamento. Se θ=30°, avalie a força horizontal F necessária para manter o tanque parado. (50 ft/s = 15,24 m/s) 12. Um jato de 6cm de diâmetro de água (ρ = 998 kg/m3) atinge uma placa que possui um furo de 4 cm de diâmetro. Parte do jato passa pelo furo, e a outra parte é defletida pela placa radialmente. Determine a força necessária para manter a placa na posição estacionária. Mecânica dos fluidos I Página 5 de 6 Mecânica dos fluidos I 13. O tanque mostrado na figura pesa 500N quando vazio, Prof. Strobel e contém 600 L de água a 20°C (ρ=1000 kg/m3). Os dutos 1 e 2 possuem o mesmo diâmetro de 6 cm e a mesma vazão volumétrica de 300 m3/h. Qual deve ser a letura W na balança, em N? 14. Uma draga carrega areia (ρ = 2600 kg/m3) em uma barca, conforme mostra a figura. A areia deixa a tubulação a uma velocidade de 1,22 m/s com um fluxo e massa de 12 kg/s. Estime a tensão no cabo de amarração causada pelo processo de carregamento. 15. Água a 20°C (ρ = 998 kg/m3) escoa em regime permanente por um cotovelo redutor de 180°. As condições conhecidas são: P 1 = 350 kPa, D1 = 25 cm, V1 = 2,2 m/s, P2 = 120 kPa, e D2 = 8 cm. Sabendo que a massa de água mais o cotovelo somam 50 kg, determine a força total que deve ser resistida pelos parafusos da flange. 16. O veículo de brinquedo ilustrado pesa 17 N e é acelerado por um jato de água a 20°C (ρ = 998 kg/m3) de 1 cm de diâmetro que sai do bocal a 75 m/s. Determine a aceleração no momento inicial se (a) a velocidade inicial for 25m/s e (b) se partir do repouso. 17. Estime o torque inicial que um sprinkler de gramado com dimensões conforme ilustrado, sabendo que possui uma vazão volumétrica de 1 m3/h introduzido verticalmente pelo centro do mesmo. Mecânica dos fluidos I Página 6 de 6
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