Mecânica dos fluidos IProf. Strobel Mecânica dos fluidos I Forças sobre placas submersas Por Christian Strobel "Deus, se quiseres que eu coma as oferendas não se manifeste de nenhuma maneira... ... Tua vontade será feita... ” - Homer Simpson 1. Introdução No estudo dos reservatórios de represamento, a estática dos fluidos é bastante útil na determinação das forças presentes na interface fluido-superfície. Nestes casos, o equilíbrio do sistema, as reações nos apoio ou a abertura e fechamento de comportas dependem de uma análise precisa das forças presentes nas colunas de líquido. Podem-se projetar mecanismos automáticos de abertura e fechamento de represas que mantenham constantes os níveis do reservatório, ou façam a descarga após o reservatório acumular um volume pré-determinado. Determinação das forças sobre grandes barragens e hidrelétricas também são exemplo da importância da hidrostática nos reservatórios. 2. Fundamentação matemática Como visto anteriormente, temos que a pressão é dada por: Como no caso de placas submersas a pressão atmosférica atua nos dois lados da comporta, a pressão atmosférica se anula, e a força resultante sobre a placa pode ser escrita como: ̅ Mecânica dos fluidos I Página 1 de 6 Mecânica dos fluidos I Onde hc é a altura de coluna de líquido do centro de gravidade da placa submersa até a superfície livre do fluido. Vale lembrar que esta força é sempre aplicada perpendicularmente a superfície. Porém, apesar da força ser facilmente calculada, o seu ponto de aplicação não reflete o centro de gravidade, visto as placas nem sempre se apresentarem na posição horizontal. Neste caso, o ponto onde a força é aplicada chama-se centro de pressão, ou CP. Prof. Strobel A distância relativa do centro de pressão ao centro de gravidade é indicada abaixo. Se realizarmos um balanço de momento igual a zero, visto a placa estar imóvel, temos que: ∫ ∫ ∫ Sabendo que ∫ substituindo FR, temos: é a definição de momento de inércia, e Esta equação mostra que o centro de pressão sempre fica um pouco abaixo do centro de gravidade. Para simplificar o cálculo, utilizaremos a seguinte expressão para o cálculo da posição de aplicação da força. Esta expressão é válida apenas para comportas quadradas ou retangulares, e nos fornece uma posição vertical da aplicação da força tomando como referência a base da comporta. Mecânica dos fluidos I Página 2 de 6 Mecânica dos fluidos I 3. Exercícios Prof. Strobel 1. Qual deve ser a força e o momento no engaste de uma comporta quadrada, de 1 m 2 de área, suportando 1m de coluna d’água e engastada apenas pela aresta inferior. Dado: g=9,81 m/s2 e ρágua= 998 kg/m3. 2. Sobre a boca de um copo vazio é colocada uma tampa plana de forma que promova vedação. Copo e tampa são submergidos em água. Encontre uma equação para a força necessária para levantar a tampa na vertical sem mover o copo. Caso o copo esteja cheio de água, qual o valor da nova força. 3. Considerando a figura fornecida, e que g = 9,81 m/s2 e ρágua= 998 kg/m3, determine: a) O valor da força resultante da coluna líquida sobre a comporta hachurada e o ponto de aplicação em relação a y para α=90°, a=0m, b=5m; b) O valor da força resultante da coluna líquida sobre a comporta hachurada e o ponto de aplicação em relação a y para α=60°, a=2m, b=5m; c) O valor da força F que equilibra a comporta quando α=90°, a=1m, b=5m, bF=1m; d) O valor da força F que equilibra a comporta quando α=60°, a=1m, b=4m, bF=2m; e) O valor da força F que equilibra a comporta quando: mcomp=500kg; α=30°, a=1m, b=4m, bF=3m; 4. A comporta ABC na figura é fixada por uma dobradiça em B e possui uma largura (para dentro da folha) de 2m. A comporta abrirá em A para soltar água se a profundidade for suficiente para tal. Calcule a profundidade mínima h necessária para abrir a comporta. Considere g=9,81 m/s2 e ρágua=998 kg/m3 Mecânica dos fluidos I Página 3 de 6 Mecânica dos fluidos I 5. Prof. Strobel Repita o problema anterior se a largura for 4m e se a massa da comporta no trecho AB for de 50 kg. 6. Duas comportas quadradas fecham aberturas em um condutor conectado a um tanque aberto de água, como mostrado na figura. Quando a água atinge uma altura de 5metros, é desejado que as aberturas sejam acionadas ao mesmo tempo. Determine a massa da comporta horizontal e a força de reação R que age sobre a comporta vertical para mantêlas fechadas até que a altura seja alcançada. Considere g=9,78 m/s2, ρágua=997 kg/m3. 7. Uma comporta retangular homogênea de dimensões 4ft x 8ft pesando 363kg é posicionada conforme a figura por meio de um cabo flexível. Água age contra a comporta, que possui uma articulação no ponto A. Desprezando a fricção na dobradiça, determine a tensão no cabo. 8. A comporta rígida OAB é articulada em O e repousa contra um suporte rígido B. Qual a força horizontal mínima, P, requerida para manter a comporta fechada quando o nível da água está a 3 metros acima da articulação? Despreze o peso da comporta e a fricção na articulação. A parte oposta da comporta é exposta a atmosfera. Caso o peso da comporta seja de 500 kg, qual a nova força P? Mecânica dos fluidos I Página 4 de 6 Mecânica dos fluidos I Prof. Strobel 9. Uma comporta retangular que possui uma largura de 5 ft é localizada na face inclinada de um reservatório, conforme figura. A comporta é articulada na aresta superior e é mantida em sua posição por meio de uma força P. Determine o valor da força P no caso (A) desprezando a força peso da comporta e no caso (B) se a comporta possuir um peso de 200 kg. 10. Uma comporta possui a seção transversal conforme ilustra a figura e possui 4 ft de largura, sendo articulada em C. A comporta possui um peso de 8 toneladas. Determine a reação vertical na reação em A na comporta quando o nível se encontra a 3 ft acima da base. Determine ainda para qual altura a comporta se abrirá. 11. A comporta AB na figura possui uma massa de 180kg, e uma largura de 1,2m para dentro do papel, com momento em A, em repouso sobre um anteparo B. Para qual altura de água h a força em B será zero? Considere g=9,78 m/s2, ρágua=997 kg/m3 e ρglicerina=1260 kg/m3. Utilize o excel para realizar o cálculo do h após o equacionamento do problema. 12. Uma porta de acesso (largura de 1 metro e altura de 1,5 metro) está localizada em uma parede vertical, plana, de um tanque d’água. A porta é articulada ao longo da sua borda superior que está a 1 metro abaixo da superfície da água. A pressão atmosférica atua na superfície externa da porta. (a) Se a pressão atmosférica atua na superfície da água, que força mínima deve ser aplicada na borda inferior da porta de forma a mantêla fechada? (b) Se a pressão manométrica na superfície for aumentada de 0,1 bar em 0,1 bar até 1,0 bar (manométrica), traçe um gráfico da pressão na superfície vesus força mínima requerida para manter a porta fechada. Mecânica dos fluidos I Página 5 de 6 Mecânica dos fluidos I 13. Uma comporta plana semi-circular AB é articulada ao longo de B e suportada pela força horizontal FA aplicada em A. O líquido à esquerda da comporta é àgua. Calcule a força FA requerida para o equilíbrio. Prof. Strobel 14. Uma comporta plana, de espessura uniforme, suporta uma profundidade de água conforme ilustrado. Determine o peso mínimo da comporta necessário para mantê-la fechada. 15. Uma comporta retangular (w = 2 m) é articulada conforme mostrado, com um batente na borda inferior. Em que profundidade H a comporta estará prestes a abrir? 16. As comportas de Poe Lock, no Salto de Santa Maria em Michigan, fecham um canal com largura W = 110 ft, comprimento L = 1200 ft e profundidade D = 32 ft. A geometria de um par de comportas é mostrada na figura; cada comporta é articulada na junção com a parede do canal. Quando fechadas, as bordas das comportas são forçadas uma contra a outra, no centro do canal, pela água. Avalie a força exercida pela água sobre a comporta A. Determine o módulo e o sentido das componentes da força exercida pela comporta sobre a articulação, além da profundidade onde está localizada esta força. Após, detemrine o torque do motor necessário para a abertura da comporta. Mecânica dos fluidos I Página 6 de 6