Aula 02 - Raciocínio Lógico

RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.Arthur Lima – Aula 02 AULA 02: PROBABILIDADE SUMÁRIO 1. Teoria da probabilidade 2. Resolução de exercícios 3. Lista de exercícios vistos na aula 4. Gabarito PÁGINA 01 16 46 59 Olá! Seja bem-vindo a mais esta aula. Hoje trabalharemos a teoria da probabilidade. Tenha uma boa aula, e lembre-se de me procurar sempre que tiver alguma dúvida. 1. TEORIA DA PROBABILIDADE Imagine que você possui um dado e vai lançá-lo uma vez. Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Isso é o que chamamos de espaço amostral – o conjunto dos resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Chamamos este experimento de aleatório pois: antes de executá-lo (jogar o dado) não podemos prever o resultado que será obtido; podemos repetir este experimento indefinidamente; e após executá-lo várias vezes, esperamos ver um certo padrão (neste caso, esperamos que após vários lançamentos tenhamos um número parecido de resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6). Digamos que só nos interessam os resultados pares. Isto é, apenas os resultados 2, 4 e 6. Esse subconjunto do espaço amostral é chamado de Evento, sendo composto apenas daqueles resultados que nos são favoráveis. Conhecendo essas duas definições, podemos definir a probabilidade de obter o nosso Evento em um determinado experimento aleatório como: Probabilidade do Evento= n(Evento) n(Espaço Amostral) Na fórmula acima, n(Evento) é o número de elementos do subconjunto Evento, isto é, o número de resultados favoráveis; e n(Espaço Amostral) é o número Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 02 total de resultados possíveis no experimento aleatório. Por isso, costumamos dizer também que: Probabilidade do Evento= número de resultados favoráveis número total de resultados Em nosso exemplo, n(Evento) = 3 possibilidades, e n(Espaço Amostral) = 6 possibilidades. Portanto: Probabilidade do Evento= 3 1 = = 0,50 = 50% 6 2 Uma propriedade importante do espaço amostral é: a probabilidade de ocorrência do próprio espaço amostral é 100%. No caso do dado, a probabilidade de obter um dos 6 números existentes é de 100%, pois isso sempre vai ocorrer. Na fórmula, teríamos: Probabilidade do Espaço Amostral= n(Espaço Amostral) = 1 = 100% n(Espaço Amostral) Observe que, sabendo o número total de resultados e o número de resultados favoráveis, o cálculo da probabilidade é muito simples. Portanto, normalmente a dificuldade dos exercícios está justamente no cálculo dessas duas parcelas. Em alguns casos (como no exemplo do dado) é possível simplesmente contar os casos possíveis e os casos favoráveis. Entretanto, na maioria das vezes será necessário lembrar os conceitos de princípios de contagem / análise combinatória para resolver a questão. Veja um exemplo a seguir: 0. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-Sena quem acerta todos os seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Megasena ao fazer a aposta máxima é o inverso de: a) 20.000.000. b) 3.300.000. c) 330.000. d) 100.000. Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 02 e) 10.000. RESOLUÇÃO: Sabemos que a probabilidade de acertar na Mega-Sena é a divisão entre o número de resultados favoráveis (isto é, os conjuntos de 6 números formados com os 15 que preenchemos em nossa cartela) e o número de resultados possíveis (os conjuntos de 6 números que podem ser formados com os 60 números disponíveis). Quantos conjuntos de 6 números podemos obter a partir de 15 números marcados? Veja que a ordem dos números não importa (o resultado 1, 2, 3, 4, 5, 6 é igual ao resultado 4, 5, 3, 6, 2, 1). Portanto, estamos diante de um caso de combinação de 15 números em grupos de 6, ou simplesmente C(15,6). C(15,6) = 15 × 14 × 13 × 12 × 11× 10 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 E quantos conjuntos de 6 números podemos formar com os 60 números disponíveis na cartela da Mega-Sena? Ora, combinação de 60, 6 a 6: C(60,6) = 60 × 59 × 58 × 57 × 56 × 55 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 Portanto, a probabilidade de se acertar na Mega-Sena fazendo a aposta máxima (15 números) é dada pela divisão: P= resultados favoráveis C(15,6) = total de resultados C(60,6) Substituindo nesta expressão os resultados que obtivemos acima, temos: 15 × 14 × 13 × 12 × 11× 10 15 × 14 × 13 × 12 × 11× 10 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 P= = 60 × 59 × 58 × 57 × 56 × 55 60 × 59 × 58 × 57 × 56 × 55 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 Veja que a questão pediu o inverso de P. Invertendo a expressão acima, e simplificando o que for possível, temos: 1 60 × 59 × 58 × 57 × 56 × 55 4 × 59 × 58 × 57 × 4 × 5 = = P 15 × 14 × 13 × 12 × 11× 10 1× 1× 13 × 12 × 1× 10 1 1× 59 × 58 × 19 × 2 × 1 = = 10002,7 P 1× 1× 13 × 1× 1× 1 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 02 Portanto, o inverso da probabilidade de acertar é aproximadamente igual a 10.000. Veja que a probabilidade de acertar é de apenas 0,00001, ou 0,001%, mesmo fazendo a aposta máxima! Resposta: E 1.1 Eventos independentes Qual seria a probabilidade de, em dois lançamentos consecutivos do dado, obtermos um resultado par em cada um deles? Veja que temos dois experimentos independentes ocorrendo: o primeiro lançamento e o segundo lançamento do dado. O resultado do primeiro lançamento em nada influencia o resultado do segundo. Quando temos experimentos independentes, a probabilidade de ter um resultado favorável em um E um resultado favorável no outro é dada pela multiplicação das probabilidades de cada experimento: P(2 lançamentos) =P(lançamento 1) × P(lançamento 2) Em nosso exemplo, teríamos: P(2 lançamentos) =0,50 × 0,50 = 0,25 = 25% Portanto, a chance de obter dois resultados pares em dois lançamentos de dado consecutivos é de 25%. Generalizando, podemos dizer que a probabilidade de dois eventos independentes A e B acontecerem é dada pela multiplicação da probabilidade de cada um deles: P (A e B) = P(A) x P(B) Sendo mais formal, também é possível escrever P(A ∩ B)=P(A) × P(B) , onde ∩ simboliza a intersecção entre os eventos A e B. Analise essa questão: 1. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 02 Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? a) 0,001. b) 0,0001. c) 0,000125. d) 0,005. e) 0,008. RESOLUÇÃO: Na primeira tecla apertada ao acaso temos 5 das 25 letras disponíveis. Portanto, a chance dessa tecla conter a primeira letra da senha (que pode ser qualquer uma das 25) é de 5 em 25, isto é, P = 5/25 = 1/5. Da mesma forma, a chance da segunda tecla apertada ao acaso conter a segunda letra da senha é de 5 em 25, ou seja, P = 1/5. Analogamente, a chance da terceira tecla apertada conter a terceira letra da senha é P = 1/5. A chance de acertar a primeira E acertar a segunda E acertar a terceira letras da senha é dada pela multiplicação dessas probabilidades, pois temos três eventos independentes entre si: P= 1 1 1 1 × × = = 0,008 5 5 5 125 Resposta: E 1.1.1 Eventos mutuamente exclusivos Existem certos eventos que, se ocorrerem, excluem a possibilidade de ocorrência de outro. Por exemplo, imagine que A é o evento “obter um resultado par no lançamento de um dado”, e B é o evento “obter um resultado ímpar”. Veja que, Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 e B exclui a possibilidade de ocorrer A. Chamamos esses eventos de mutuamente exclusivos. Portanto. Assim. A ∪ B ocorre se o resultado do dado for {2. caso sejam eventos mutuamente exclusivos. 5. 6}. chamamos de A ∪ B o evento que ocorre quando ocorrem A. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) P( A ∪ B) = 3 1 4 2 + −0 = = 6 6 6 3 Note.com.estrategiaconcursos. Arthur Lima www. pois A exclui a possibilidade de ocorrer B. ele impossibilita a ocorrência simultânea de B (afinal. somando a probabilidade de obter resultados pares com a probabilidade Prof. portanto. a probabilidade do evento A ∪ B é: P( A ∪ B) = 4 2 = 6 3 Essa probabilidade pode ser calculada também através da seguinte expressão: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) Neste caso. como vimos logo acima. P ( A ∩ B ) = 0 .2 Eventos complementares O lançamento de um dado só pode ter resultados pares ou ímpares. pois o número 5 não é par. Se A = probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado e B = probabilidade de obter o número 5. Quando tempos eventos mutuamente exclusivos. Portanto.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. não há um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo). Note ainda que A e B são eventos mutuamente exclusivos. a probabilidade de ocorrência simultânea é nula: P(A ∩ B) = 0 1.1. veja que P(A) = 3/6 e P(B) = 1/6. 1. 4.2 Probabilidade da união de dois eventos Dados dois eventos A e B. Arthur Lima – Aula 02 se A ocorrer. que a probabilidade do evento A OU do evento B ocorrerem é simplesmente igual à soma das probabilidades. B ou ambos. Portanto.br 6 . teremos 100%.Probabilidade(pares) O subconjunto dos resultados pares é o complemento do subconjunto dos resultados ímpares. ou simplesmente “obter apenas resultados ímpares”.br 7 . Portanto: Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 . Arthur Lima – Aula 02 de obter resultados ímpares. Portanto.Probabilidade(só ímpares) Usamos a propriedade pois é bem fácil calcular a probabilidade de ter apenas resultados ímpares. O seu complemento é “não obter nenhum resultado par”.25%=75% Vamos trabalhar isso no exemplo abaixo: Prof. Em outras palavras. basta multiplicar essas duas probabilidades: 50% x 50% = 25%. a chance de ter um resultado ímpar é de 50%. efetuando duas vezes o lançamento de um dado. podemos utilizar a expressão abaixo: Probabilidade(E) = 1 .com. Para que o resultado seja ímpar no primeiro E no segundo lançamentos. pois unindo esses dois subconjuntos obtemos o espaço amostral. Vamos utilizar essa propriedade para resolver o seguinte problema: qual a probabilidade de. e no segundo lançamento. Se já calculamos a probabilidade de ter resultados pares (50%). Sabemos que. no primeiro lançamento. o nosso Evento é: “obter pelo menos um resultado par”. Arthur Lima www.estrategiaconcursos. E é o Evento procurado e Ec o seu complemento.Probabilidade(Ec) Nesta fórmula.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. o que estamos dizendo aqui é que a probabilidade de um evento ocorrer é igual a 100% menos a probabilidade do seu complemento ocorrer. obter pelo menos um resultado par? Neste caso.Probabilidade(só ímpares) Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 . A propriedade vista acima nos diz que: Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 . podemos obter a probabilidade de ter resultados ímpares segundo a fórmula abaixo: Probabilidade(ímpares) = 1 . outros 50%. 3 a 3: C(4.br 8 . Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada.3) = C(4. Dona Matilde. a probabilidade dele estar na comissão é: P = 3 / 4 = 0. E Veja que. Portanto. B. Sabendo que D não pertence à comissão. C.com.75 = 75% (letra E) A probabilidade de C participar também pode ser calculada sem listar as comissões. das 4. Arthur Lima – Aula 02 2. Denílson e Eleonora. E B. uma antiga moradora. E A. B. C. Bruce. Dona Matilde selecionou. D e E. então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é. B. os amigos Arnor. Para tanto. Carlão.1) = 4 São tão poucas comissões que podemos listá-las rapidamente: A. C.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. C participa de 3. ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. três pessoas entre os amigos Arnor. em termos percentuais. podemos calcular o total de comissões de 3 pessoas que podem ser criadas utilizando-se um total de 4 indivíduos. C A. igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 % RESOLUÇÃO: Chamemos os 5 moradores de A. Carlão. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade. lembrando que: Probabilidade de C fazer parte = 1 – Probabilidade de C não fazer parte Prof. Trata-se da combinação de 4. Bruce. ao acaso. Arthur Lima www.estrategiaconcursos. você a repôs. sendo que destas apenas 1 é branca. vê a sua cor. após retirar a primeira bola. A probabilidade de ter retirado uma bola branca do saco é de 2 em 7.com. O total de comissões que podem ser formados é C(3. 2 . e sim 1 .3) 4 Para este cálculo acima. C(3. a probabilidade de retirar outra bola branca é novamente de 2 . Você retira uma bola. Resposta: E 1. Arthur Lima www.3) 1 = 1 − = 75% C(4. restam apenas 3 pessoas para serem escolhidas formando grupos de 3. Qual a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas? Veja que. isto é. Assim. 7 7 49 Agora. portanto a probabilidade 7 combinada será a multiplicação dessas duas: 2 × 2 = 4 .estrategiaconcursos. você a colocou de volta no saco. caso nem D nem C façam parte. ou seja. Portanto.3 Cálculo de probabilidades com e sem reposição Um problema muito comum em questões de concursos segue o seguinte modelo: você possui uma urna com 2 bolas brancas. 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. coloca-a de volta na urna retira outra bola. a probabilidade de retirar duas bolas brancas 7 6 da urna será: 2 × 1 = 2 = 1 .RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. teremos apenas 6 bolas dentro da 7 urna. basta lembrar que. Estamos diante de um cálculo de probabilidades com reposição.3). Assim. e se o exercício dissesse que você não coloca de volta na urna a bola que retirou? Estaríamos diante de um cálculo de probabilidades sem reposição. Arthur Lima – Aula 02 Se nem D nem C fizerem parte das comissões. Temos dois eventos independentes. Neste caso. ou seja: P = 1− C(3.3) = 1. a probabilidade de C não fazer parte é de 1 em 4 comissões. 7 Como você devolveu esta bola ao saco. a probabilidade de retirar uma bola branca inicialmente continua igual: 2 .br 9 . a probabilidade de retirá-la não é mais de 2 . Já no momento de retirar a segunda bola. temos 3 pessoas para formar 3 comissões. isto é. 7 6 42 21 Outra forma de efetuar esse cálculo último cálculo é observando que o número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar com 7 bolas é igual a Prof. P (Branca ∩ Pr eta ) = 0 . Já quando utilizamos o OU (probabilidade dos eventos A ou B). E o número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar apenas com as 2 bolas brancas é igual a C(2.P (Branca ∩ Pr eta ) Sabemos que a probabilidade de uma bola ser branca e preta ao mesmo tempo é nula.com. basta somar as probabilidades de cada evento. estamos diante de eventos mutuamente excludentes. sem reposição. 7 Analogamente. 7 7 7 Dica: repare que quando utilizamos o E (probabilidade dos eventos A e B acontecerem) basta multiplicar as probabilidades de cada evento. Para finalizar. bastaria somar 2 + 3 = 5 . A 7 probabilidade de ocorrer um evento (bola branca) OU o outro evento (bola preta) é dada por: P (Branca ∪ Pr eta ) = P (Branca ) + P (Pr eta ) .2) = 1. Arthur Lima www. Isto é. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas. ou seja. e é igual a 2 . A probabilidade de se retirar uma bola branca já foi calculada anteriormente. Vamos exercitar com o seguinte exemplo: 3. vejamos uma variação do problema envolvendo a urna: qual seria a probabilidade de se retirar uma bola branca ou retirar uma bola preta? Veja que. todas de mesmo tamanho e peso.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.2) = 21. das 7 bolas. Portanto. 2 a 2: C(7.estrategiaconcursos. Isso só vale para probabilidade de eventos independentes (no caso do E) ou mutuamente excludentes (no caso do OU) – mas a grande maioria dos exercícios de concurso são assim. a probabilidade de tirar exatamente duas bolas brancas. a probabilidade de que sejam da mesma cor é de: a) 20% b) 30% c) 40% Prof.br 10 . 2 são brancas e 3 são pretas. Arthur Lima – Aula 02 combinação de 7. a probabilidade de se retirar uma bola preta é de 3 . Portanto. Sacando ao acaso duas bolas da urna. é P = 1/21. 2) = 3. 2) 3 = = 0.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.2) = 1. dado que temos apenas 2 bolas dessa cor disponíveis. é C(3. isto é. Arthur Lima – Aula 02 d) 50% e) 60% RESOLUÇÃO: Veja a expressão “sacando ao acaso duas bolas”. a probabilidade de pegar 2 bolas brancas é: P= 2 bolas pretas: O número de formas de pegar duas bolas pretas. 2) 10 C (2. a probabilidade de pegar 2 bolas pretas é: P= C (3. Portanto.2) = 10 Vamos calcular a probabilidade de pegar 2 bolas brancas.estrategiaconcursos. dado que temos apenas 3 bolas dessa cor disponíveis. é C(2. Portanto.10 = 10% C (5. e a seguir a probabilidade de pegar 2 bolas pretas: 2 bolas brancas: O número de formas de pegar duas bolas brancas.com. 2) 1 = = 0. Devemos assumir que estamos diante de um experimento aleatório sem reposição. após pegar a primeira bola e verificar a sua cor. 2) 10 A chance de pegar 2 bolas brancas OU 2 bolas pretas é dada por: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = 10% + 30% − 0 = 40% Prof. 30 = 30% C (5. ela não é devolvida à urna para só então retirar a segunda. o total de maneiras de combiná-las duas a duas é: C(5.br 11 . Se temos 5 bolas na urna. Ela nos dá a idéia de que não há reposição de bolas. Arthur Lima www. 2 e 3. o resultado do lançamento do dado foi 1. a probabilidade de A ocorrer. dado que B ocorreu. qual a probabilidade de B ocorrer. 2 ou 3 (três resultados possíveis). é igual a zero. Portanto. Portanto. dado B”). dado que A ocorreu? Prof. dado que foi obtido um resultado inferior a 4? Em outras palavras. Imagine que vamos lançar um dado. Aqui já sabemos de antemão que B ocorreu. qual é a probabilidade de obter um resultado par. 4 e 6. essa pergunta é: qual a probabilidade do evento A. isto é. Arthur Lima – Aula 02 Veja que P ( A ∩ B ) . Arthur Lima www. os resultados favoráveis são 2. Destes resultados. Vamos calcular rapidamente a probabilidade de cada um desses eventos: P ( A) = P (B ) = 3 = 50% 6 3 = 50% 6 A pergunta em sua prova pode ser: no lançamento de um dado. apenas um deles (o resultado 2) atende o evento A. dado que o evento B ocorreu? Matematicamente. Para o evento B ser atendido.br 12 .3% 3 E se nos fosse perguntado qual a probabilidade de obter um resultado inferior a 4. dado que o resultado do lançamento foi um número par? Isto é.4 Probabilidade de um evento ocorrer se outro ocorreu Neste tópico vamos tratar sobre outro tipo muito comum de questões em concursos. Resposta: C 1.estrategiaconcursos.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. a probabilidade de pegar uma bola que seja branca e preta ao mesmo tempo.com. e estamos analisando 2 eventos distintos: A B sair um resultado par sair um resultado inferior a 4 Para o evento A ser atendido. é simplesmente: P( A / B) = 1 = 33. pois os eventos A e B são mutuamente excludentes. os resultados favoráveis são 1. podemos escrever P(A/B) (leia “probabilidade de A. ao acaso. já vimos que 3 resultados atendem. sendo 4 azuis e 5 pretas. dado que outro ocorreu. sendo 8 azuis e 3 pretas. Para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 4).com. se A ocorreu. apenas 1 dos 6 resultados nos atende. é a divisão entre a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente e a probabilidade de B ocorrer. A probabilidade de um evento ocorrer. P ( A ∩ B ) = 1 . temos: 1 P( A ∩ B) 1 P( A / B) = = 6 = = 33. Arthur Lima www. 6 Para que B ocorra (resultado inferior a 4). Arthur Lima – Aula 02 Veja que. Assim.3% 3 3 P (B ) 6 Veja essa questão: 4. ela colocou na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de ponta grossa. a única possibilidade é o resultado igual a 2.3% 3 Coincidentemente. a professora colocou na gaveta 9 canetas esferográficas de ponta fina. No dia seguinte. A probabilidade de que esta caneta fosse de ponta grossa é: Prof. obtivemos o mesmo resultado para P(A/B) e P(B/A). dado que B ocorreu. o resultado foi 2. é chamada de probabilidade condicional. apenas o resultado 2 atende o evento B (é inferior a 4).RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.estrategiaconcursos. e percebeu que ela era azul. a professora retirou da gaveta. P (B / A ) = 1 = 33. Portanto. uma caneta. 4 ou 6. P (B ) = 3 6 Logo. usando a fórmula acima. Destes. Portanto. Isto é. Uma outra forma de calculá-la é através da seguinte divisão: P( A / B) = P(A ∩ B) P (B ) A fórmula nos diz que a probabilidade de A ocorrer. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia. No dia seguinte.br 13 . Portanto.com. O exercício pede a probabilidade de a caneta retirada ter ponta grossa. Prof. é simplesmente pensar que das 12 canetas azuis. Arthur Lima www.estrategiaconcursos. se foi pega uma das 12 canetas azuis. a probabilidade de retirar uma caneta de ponta grossa. apenas 8 tem ponta grossa. sem o uso de fórmulas. o gabarito é a letra C.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. ou seja. Uma forma mais direta de se resolver esse tipo de questão. e B = retirar uma caneta de ponta grossa. dado que ela é azul.br 14 . P(B/A): P (B / A ) = P(A ∩ B) P ( A) A probabilidade de retirar uma caneta azul é: P(A) = 12/20 = 3/5 A probabilidade de retirar uma caneta azul E de ponta grossa é: P ( A ∩ B ) = 8 / 20 = 2 / 5 Portanto. Arthur Lima – Aula 02 a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/5 RESOLUÇÃO: Aqui é possível destacar 2 eventos: A = retirar uma caneta azul. dado que ela é azul. a probabilidade de ela ter ponta grossa é: Probabilidade= Canetas azuis de ponta grossa 8 2 = = Canetas azuis 12 3 Resposta: C. é: 2 P( A ∩ B) 2 P (B / A ) = = 5= 3 P ( A) 3 5 Assim. Da mesma forma.estrategiaconcursos. podemos dizer que: P(B/A) = P(B) = 1/6 Portanto. Arthur Lima – Aula 02 1. Como P(B) = 1/6. o fato de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer ou não. Arthur Lima www. Portanto. Qual a probabilidade de obter o número 6 no segundo lançamento. Prof. a probabilidade de B ocorrer. dado que foi obtido o número 2 no primeiro? Sabemos que esses dois eventos são independentes. P(B)). a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é igual aprópria probabilidade de A ocorrer. é igual a 1/6.1 Independência estatística Vimos acima que. sejam os eventos A = obter o número 2 no primeiro lançamento de um dado. temos: P( A / B) = P ( A ∩ B ) P ( A ) × P (B ) = P (B ) P (B ) P ( A / B ) = P ( A) Esta última equação nos diz que. podemos dizer que: P(B/A) = P(B) Exemplificando. se A e B são dois eventos independentes. quando dois eventos A e B são independentes. é simplesmente a probabilidade de B ocorrer (isto é. dado que A ocorreu (P(B/A)). e o evento B = obter o número 6 no segundo lançamento. a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento. Isto é. afinal o fato de ter saído o número 2 no primeiro lançamento em nada altera a probabilidade de sair o número 6 no segundo lançamento.com. podemos dizer que: P(A ∩ B)=P(A) × P(B) Por outro lado.br 15 .4. dado que foi obtido 2 no primeiro. vimos que: P( A / B) = P(A ∩ B) P (B ) Substituindo a primeira equação nesta segunda.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. 5 Número de sucessos esperados após N repetições do experimento Imagine que vamos vamos executar o experimento aleatório “X”. Prof. que dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum evento. 5. sendo 3 delas adolescentes. esperamos que quantos tenham dado resultado par? Ora. é esperado que 20 resultados sejam pares.com. . Após 40 lançamentos. Arthur Lima www. Arthur Lima – Aula 02 1. basta multiplicar a probabilidade de ter resultado par em cada lançamento (50%) pelo número de lançamentos (40): Sucessos = 50% x 40 = 20 Ou seja. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Vejamos mais uma série de exercícios para você praticar bastante o cálculo de probabilidades. Buscamos a ocorrência do evento “obter um resultado par”. a probabilidade de obter um resultado par é P = 50%. é esperado que o número de resultados em que o nosso evento ocorreu seja: Sucessos = N x p 2. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes. ( ) Considere que 9 rapazes e 6 moças. das quais 3 são moças adolescentes.br 16 .2. em cada lançamento.estrategiaconcursos. que consiste em efetuar o lançamento do nosso dado. Se a primeira pessoa chamada para ser interrogada for escolhida aleatoriamente. se envolvam em um tumulto e sejam detidos para interrogatório.2. após N repetições de um experimento com “p” chances de que o nosso Evento ocorra. Generalizando. A probabilidade de uma delas ser escolhida é P = 3/15 = 1/5 = 0. Item CERTO.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Já vimos que. RESOLUÇÃO: Temos ao todo 15 pessoas. então a probabilidades de essa pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0. 433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais. na região Norte do Brasil. CESPE – PREVIC – 2011) Estimou-se que. RESOLUÇÃO: O número total de sequências possíveis é 210 = 1024.com. Arthur Lima – Aula 02 Resposta: C 6. aproximadamente.estrategiaconcursos. pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos. e que na região Centro-Oeste.505. na região Norte ou na região Centro-Oeste. havia 840. uma vez que para cada um dos 10 dígitos da sequência existem 2 possibilidades (0 ou 1). Arthur Lima www. portanto este item está CORRETO. 10. O número de sequências começando com 3 dígitos iguais a 0 (correspondente a 3 coroas) é igual a 1x1x1x2x2x2x2x2x2x2 = 27 = 128 Assim. ser analfabeta é inferior a 20%.br 17 . Em cada jogada. Considerando essas informações. julgue os próximos itens.000 habitantes. ( ) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009. por exemplo. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. em 2009. A partir dessas informações. aproximadamente. a probabilidade de se obter uma sequência com 3 coroas nas primeiras jogadas é igual a: P= favoráveis 27 1 1 = 10 = 3 = total 2 2 8 Este valor é inferior a 1/4.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. em uma população total de. 0110011010. no mesmo ano. havia 1.074.747. Resposta: C 7. em uma população total de. ( ) A probabilidade de serem obtidas sequências nas quais ocorra coroa nas primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4. como. julgue o item subsequente. 10. Prof.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais.415 habitantes. 3. é superior a 0. ( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 0. de acordo com a faixa etária.252. Como o total de analfabetos é inferior a isto. Arthur Lima – Aula 02 RESOLUÇÃO: Somando a população com 15 ou mais anos de idade das regiões Norte e Centro-Oeste.505. julgue os itens subseqüentes.br 18 . realizada com 900 pessoas que contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes.747. ao acaso. Item CORRETO. podemos dizer que o percentual de analfabetos é inferior a 20% . Você também poderia calcular a probabilidade de uma dessas pessoas ser analfabeta: P= favoráveis 1915133 = = 0.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.09 = 9% total 21252415 Resposta: C 8. Arthur Lima www.915. A partir da tabela acima e considerando a escolha.433 = 1. o total de analfabetos é de 1. mostrou a seguinte divisão dessas pessoas.5. Destas. de uma pessoa entre as 900 que participaram da referida pesquisa. CESPE – Banco do Brasil – 2007) Uma pesquisa.133.700+840.com.2 milhões.074.415 pessoas. ( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 0.415 = 21. Veja que 20% de 21 milhões é igual a 4.000+10. sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos.logo.52. ( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade. temos 10. Prof. a probabilidade de se escolher um analfabeto é inferior a 20%.estrategiaconcursos. ela está nos 3 grupos da direita.566 = 56.5.3. a probabilidade de uma pessoa ter entre 41 e 50 anos. Prof. é de: P = 356/760 = 0.277 = 27. a probabilidade de uma pessoa não ter menos de 41 anos é: P = 510/900 = 0. O total de pessoas que não tem menos de 41 anos é de 356 + 154 = 510. é superior a 0.com. sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos. Assim. a probabilidade procurada é: P = 250/900 = 0. Assim. Arthur Lima www. ( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 0. ( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.br 19 . sabemos que 356 tem entre 41 e 50 anos de idade. que totalizam 250+356+154 = 760 pessoas.estrategiaconcursos. de um total de 900. RESOLUÇÃO: ( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 0. Existem 250 pessoas nesta faixa de idade.6% Item ERRADO. Dessas 760.7% Item CORRETO.52.8% Item ERRADO. Assim. Arthur Lima – Aula 02 ( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de idade é superior a 30%.468 = 46. Se uma pessoa tem pelo menos 31 anos. sabendo que ela tem pelo menos 31 anos. 5 e 2. Nessa situação. CESPE – MPE/AM – 2008) Julgue os itens seguintes. relativos a conceitos básicos de probabilidade: ( ) Considere que. e o jogador B pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. a probabilidade de se obter pelo menos um número ímpar é superior a 5/6.6% Item CORRETO. 5 e 1. 1 e 6. 6 e 1 Portanto. Item CORRETO. Arthur Lima www. 4 e 1 Já para obter a soma 6 ou 7. 2 e 5. Arthur Lima – Aula 02 ( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de idade é superior a 30%. Prof. em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados. 3 e 2. 3 e 1. existem apenas 7 resultados favoráveis ao jogador A e 11 resultados favoráveis ao jogador B. obtiver a soma 4 ou 5. e que tem mais de 50 é de 154. 3 e 3. temos as seguintes possibilidades de combinação de resultado entre os dados: 1 e 3. Resposta: E E C C 9. a probabilidade de se escolher uma pessoa com até 30 ou com mais de 50 anos é: P = 294/900 = 0. 2 e 2. Assim. 4 e 2. o jogador A pontuará se. O número de pessoas que tem até 30 anos é de 140. 2 e 3. ( ) Ao se lançar dois dados não-viciados. é correto afirmar que o jogador 2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados.estrategiaconcursos. Este último leva clara vantagem.br 20 . 3 e 4. ao lançar os dados. 1 e 4.com. os resultados possíveis são: 1 e 5. Como o total de pessoas é de 900.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. 4 e 3. 2 e 4. o total de casos “favoráveis” é de 140 + 154 = 294. RESOLUÇÃO: PRIMEIRO ITEM: para obter a soma 4 ou 5.326 = 32. br 21 . que é inferior a 5/6 (aproximadamente 83%).com. para operações nas florestas. uma calça na cor cinza. uma camisa amarela. CESPE – Polícia Civil/TO – 2008) Cada um dos itens subseqüentes contém uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada: ( ) Um policial civil possui uma vestimenta na cor preta destinada às solenidades festivas.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Resposta: C E 10. a probabilidade de obter um número par ao lançar um dado é: P (resultado par em 1 dado) = 3 1 = 6 2 Portanto. Prof. uma vestimenta com estampa de camuflagem. Nessa situação. a probabilidade de ter pelo menos 1 resultado ímpar é de 75%. Esta última é facilmente calculada. se as vestimentas de ocasiões festivas. Arthur Lima – Aula 02 SEGUNDO ITEM: a probabilidade de obter pelo menos um número ímpar é igual a 100% menos a probabilidade de obter apenas números pares. ele possui uma calça na cor preta. Para o dia-a-dia. Arthur Lima www. uma camisa branca e uma camisa preta. a probabilidade de obter um número par no primeiro dado E obter um número par também no segundo dado é dada pela multiplicação das probabilidades de cada evento isolado: 1 1 1 P (resultado par em 2 dados) = × = 2 2 4 Portanto. a probabilidade de obter pelo menos um número ímpar é: P(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) = 100% − P(resultado par em 2 dados) 1 3 P(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) = 1 − = = 75% 4 4 Assim.estrategiaconcursos. de camuflagem e do dia-a-dia não podem ser misturadas de forma alguma. Assim. então esse policial possui exatamente 7 maneiras diferentes de combinar suas roupas. Existem 3 números pares e 3 números ímpares em um dado. 2010) João possui figurinhas com a foto de jogadores das seleções de 3 países. Nesse caso. Prof. obtendo 2 x 3 = 6 formas diferentes de se vestir. Item ERRADO. totalizando 8 formas de se vestir. Além dessas 6.PREF.br 22 . FDC . ele ainda pode usar a roupa festiva ou a camuflada. Arthur Lima www. O quadro abaixo mostra a distribuição dessas figurinhas por cada um desses países. Ele pode combinar as 2 calças com as 3 camisas. Observe que ele não pode misturar essas 2 últimas.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. temos um item CORRETO. Arthur Lima – Aula 02 ( ) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para operações policiais e 2 modelos inadequados. a camuflada. PALMAS .com.estrategiaconcursos. 2 calças e 3 camisas. então a probabilidade de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1/2 RESOLUÇÃO: PRIMEIRO ITEM: O policial tem a roupa de ocasiões festivas. se a pessoa encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar essa adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas. SEGUNDO ITEM: A probabilidade de adquirir uma arma inadequada é: P= tipos de armas inadequadas 2 1 = = total de tipos de armas 8 4 Como 1/4 é inferior a 1/2. Resposta: E C 11. como disse o enunciado. p. Arthur Lima www. indicou que 66% das vítimas eram mulheres. Assim. 23 (com adaptações). Prof.com. julgue os itens a seguir. a probabilidade do evento “pegar uma figurinha com jogador brasileiro” é: Probabilidade = 20 = 0. 13% eram meninas. Ministério da Justiça.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. enquanto o total é 50. meninas e adolescentes. pois as vítimas são. mulheres. na sua maioria. as possibilidades favoráveis são 20 (pois temos 20 jogadores brasileiros). concluída em 2009. 12. Arthur Lima – Aula 02 Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas 50 figurinhas. Janeiro de 2010.4 = 40% 50 Resposta: D.br 23 .estrategiaconcursos. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC). CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual. enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. a probabilidade de que nela haja uma foto de um jogador brasileiro é igual a: a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Com base no texto acima. basta nos lembrarmos que: Probabilidade do Evento= possibilidades favoráveis total de possibilidades Neste caso. a probabilidade de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na tabela é superior a 0. Arthur Lima – Aula 02 ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa. a probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 80%. CESPE – Polícia Federal – 2004) Com a campanha nacional do desarmamento.br 24 . Resposta: E 13. isto é. a probabilidade de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0. a soma das probabilidades: 79% + 9% = 88%.011. () Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito. não é possível uma vítima ser do sexo feminino e ser menino ao mesmo tempo. a Polícia Federal já recolheu em todo o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. Já a probabilidade da vítima ser um menino é de 9%. a probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0.( RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. A probabilidade da união desses dois eventos (feminino ou menino) é. Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único depósito.73. Isto é.estrategiaconcursos. Item ERRADO. Temos dois eventos mutuamente excludentes. que é superior a 80%. A tabela acima apresenta a quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros. portanto. a probabilidade da vítima ser do sexo feminino é de 79%. Arthur Lima www. ( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito.com. ( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito. RESOLUÇÃO: Veja que as vítimas do sexo feminino são 66% + 13% = 79%. RESOLUÇÃO: Prof.11. julgue os itens que se seguem. a probabilidade de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0. Portanto. Item CERTO. Assim. a probabilidade de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na tabela é superior a 0.6363 33000 Veja que este número é inferior a 0.1666 33000 Como vemos. 21000 armas foram recolhidas na região Sudeste (SP e RJ). 2 a 2. Arthur Lima – Aula 02 ( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito. 2 a 2.011. a probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0.11. Arthur Lima www.11. a probabilidade de escolher 2 armas de Pernambuco é: Prof. 5500 das 33000 armas recolhidas são do RS. a probabilidade do evento “pegar uma arma do Rio Grande do Sul” é de 5500 chances em 33000.73. ( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito. Assim. () Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito. de um total de 33000. a probabilidade de uma arma ser da região Sudeste é de 21000 chances em 33000: P= 21000 = 0. Casos favoráveis: o número de formas de escolher 2 armas dentre as 6500 de Pernambuco é dado pela combinação de 6500.estrategiaconcursos.com. Total de casos: O número de formas de escolher 2 armas dentre as 33000 (total) é dado pela combinação de 33000.br 25 . essa probabilidade é superior a 0. ou seja: Probabilidade do Evento= possibilidades favoráveis total de possibilidades 5500 Probabilidade do Evento= = 0. Item ERRADO.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.73. 000 habitantes na Europa. Portanto: P= 1. a probabilidade referida é inferior a 10-5. O índice de homicídios por 100. 65 na Colômbia. o item está ERRADO. RESOLUÇÃO: Se. temos 45 mortes para cada 100. O crime é apontado como o principal problema desses países.noticias. por exemplo. em cada 100.000 habitantes na América Latina é alarmante. e na Europa este número é 30 vezes menor.2) 2 ×1 P= = = total C(33000. tendo crescido 16% nos últimos 12 anos.estrategiaconcursos.com. teremos 50 / 30 = 1. em El Salvador. 50 na Guatemala.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.5 = 5 = 1. temos 50 mortes para cada 100.uol.5 mortes para cada 100.com. Resposta: C E E 14. e na Europa este número é 30 vezes menor. Portanto: Prof. Arthur Lima – Aula 02 6500 × 6499 favoráveis C(6500. 45 em El Salvador. a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala. teremos 45 / 30 = 1. julgue o item que se segue. em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina.5 1.br 26 . na Guatemala.000 habitantes na Europa.5 × 10 −5 100000 10 Já se. então.000 habitantes da Europa. CESPE – Polícia Federal – 2009) De acordo com o jornal espanhol El País.667 mortes para cada 100. Arthur Lima www.000 habitantes da Europa. provocando uma grande quantidade de mortes.000 habitantes.br> Tendo como referência as informações apresentados no texto acima.2) 33000 × 32999 2 ×1 P= 6500 × 6499 = 0. em cada grupo de 100. 28 no Brasil. sendo.000 habitantes.038 33000 × 32999 Portanto. Internet: <www. ( ) Se. Arthur Lima www. e delas devemos escolher um grupo de 5. Arthur Lima – Aula 02 P= 1. as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B.5) = Item ERRADO. então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%. de 3 sejam completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho. Temos 11 equipes. para formar o grupo A. entre titulares e reservas.5x10-5 como 1. Para isto.com. basta efetuar a combinação de 11.667 × 10−5 5 100000 10 Como tanto 1. que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos. RESOLUÇÃO: ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%. em um torneio de basquete. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. serão sorteadas 5 equipes. 11× 10 × 9 × 8 × 7 = 462 5 × 4 × 3 × 2 ×1 ( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores. entre titulares e reservas.br 27 .667 = = 1. ( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores.667x10-5 são maiores que 10-5.667 1. e que. 5 a 5: C(11. Prof. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que. de 3 sejam completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho. Resposta: E 15. julgue os itens que se seguem. que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos.estrategiaconcursos. o item está ERRADO. ao menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas. E (Anulada) 16. Destes. CESPE – DETRAN/DFT – 2010) Considere que. Arthur Lima www. Se queremos os jogadores que usam apenas azul ou apenas vermelho. ( ) Entre as 210 pessoas da amostra. 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos. ao acaso. nessa amostra.63% 110 110 Item ERRADO. para resolver problemas relacionados a multas. 70. menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. 30 somente azul e outros 40 usam azul e vermelho. para se selecionar. A respeito dessa situação hipotética. ( ) Caso se selecionem. julgue os itens a seguir. a probabilidade que buscamos é: P= 40 30 + = 0. em um total de 110. Arthur Lima – Aula 02 Temos.br 28 . ao acaso. para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. e a banca preferiu anular a questão a alterar o gabarito. RESOLUÇÃO: Prof.6363 = 63. o número de casos favoráveis é de 30 + 40 = 70.estrategiaconcursos. Resposta: E. Assim. entre as 210 da amostra. ao todo 11 x 10 = 110 jogadores. 40 usam somente vermelho.com. duas pessoas. é correto afirmar que. em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN. O gabarito inicial foi dado como CERTO.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 1/6. e 70. ( ) Em face dessa situação. Usando os conjuntos Documentação. nessa amostra. Item ERRADO. menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. temos que 105 – X foram resolver apenas problemas de documentação. ( ) Caso se selecionem. a única certeza que temos é que 70 pessoas não foram tratar nem de documentação e nem de multas. ao acaso. mais de 30 pessoas foram resolver problemas de documentação e também de multas. duas pessoas. Para resolver essa questão vamos usar alguns conceitos que veremos na aula sobre Conjuntos e Diagramas Lógicos (aula 05). e 70 – X foram resolver apenas problemas de multas: Portanto. mas pode haver pessoas que foram resolver problemas de documentação e de multas também. Além disso. entre as 210 da amostra. Arthur Lima www. Arthur Lima – Aula 02 ( ) Em face dessa situação. é correto afirmar que. Assumindo que X pessoas foram resolver problemas de documentação e de multas. do contexto podemos assumir que as pessoas que foram resolver problemas de documentação ou de multas não foram também resolver outras coisas.estrategiaconcursos.com. a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para Prof. podemos dizer que: 210 = 70 + (105 – X) + X + (70 – X) 210 = 245 – X X = 35 pessoas Assim.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.br 29 . Multas e Outros. ( ) Entre as 210 pessoas da amostra. ao acaso. Prof. a probabilidade de escolher 2 pessoas que foram resolver problemas de documentação ou de multas é: 140 × 139 favoráveis C(140. para se selecionar. o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73.br 30 .RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Usando o diagrama acima.2). o item está CERTO. Portanto. O número de formas de escolher 2 dessas 140 pessoas é dada pela combinação C(140.estrategiaconcursos. O total de pessoas é de 210.com. sabendo que X = 35. Assim. Arthur Lima www. Portanto.2) 210 × 219 210 × 219 3 × 219 2 ×1 Veja que esta é superior a 1/6. Arthur Lima – Aula 02 solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 1/6. temos: Veja que 140 pessoas foram resolver problemas de documentação ou de multas. o número de formas de escolher 2 dessas 210 pessoas é C(210. ao menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas.2) 140 × 139 2 × 139 2 ×1 P= = = = = total C(210.2). c) CM. ESAF – AFT – 2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de uma população. Arthur Lima – Aula 02 Veja que.k pk (1-p)n-k. sendo exatamente 4 homens não fumantes. Seja qual for. e) Cn.n. sendo N=100. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da amostra. n=5. sendo N=100. Para que a outra pessoa não seja um homem fumante. temos 85 x C(15. b) Cm.k CN-m. Prof. n=5 e k=4. n=5. Se escolhermos mais uma (71). sendo p=0. esta também foi resolver problemas de documentação ou de multas. sendo N=100. temos 85 possibilidades (40 mulheres. podemos garantir que agora temos pelo menos 2 pessoas que foram resolver problemas de documentação ou de multas.5). sem reposição.4) possibilidades de escolher 5 pessoas.n.: documentação) e a 72ª tenha ido resolver apenas o outro (multas). n=5 e k=4. esta certamente foi resolver problemas de documentação ou de multas. Resposta: E C C 17. se selecionarmos 70 pessoas. m=60 e k=4. a probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada por: a) Cn. 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homens da amostra também são fumantes. RESOLUÇÃO: Temos 15 homens fumantes no grupo de 100 pessoas.25.com. Se escolhermos mais uma. esta também certamente foi resolver problemas de documentação ou de multas.k CN-m. m=15 e k=4. Para escolher 4 homens fumantes.n.k CN-m. Assim.n-k /CN.4). m=5 e k=4. pode ser que as 70 façam parte do grupo que foi resolver outros problemas.estrategiaconcursos. d) Cm. Item CERTO. e mais os 45 homens não fumantes).RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.k pk (1-p)n-k.br 31 . A quantidade de formas de se escolher 5 pessoas em um grupo de 100 é dado pela C(100.n-k /CN. sendo p=0.n-k /CN.15. Mas pode ser que a 71ª tenha ido resolver apenas um desses problemas (ex. n=15. Ao escolher a 73ª. 4 a 4: C(15. basta calcular a combinação de 15. fumantes ou não. chegando a 72. Arthur Lima www. a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5. é preciso que uma dessas situações ocorra: 1. sendo N=100. qual a probabilidade de pelo menos dois dos três tiros acertarem o alvo? a) 90/100 b) 50/100 c) 71/100 d) 71/90 e) 60/90 RESOLUÇÃO: Para que pelo menos dois tiros acertem o alvo. e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. m=15 e k=4. Em cada tiro. 5 = C15. Aqui. 1 / C100.com.n-k /CN.4 C100-15. 5 = C15.4 85 / C100. As três amigas acertem.4) = total C(100. Resposta: B 18. temos: C15. 5 Portanto. contendo exatamente 4 homens não fumantes. n. n=5. a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6. esta é a resposta. Arthur Lima – Aula 02 Portanto.k CN-m.estrategiaconcursos. Arthur Lima www. ESAF – ATRFB – 2009) Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. a probabilidade de escolher 5 pessoas.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. 5-4 / C100. m e k pelos valores dados nessa alternativa. a probabilidade é dada pela multiplicação das três probabilidades: P1 = 3 5 2 1 × × = 5 6 3 3 Prof.5) Veja que na letra B temos Cm. Substituindo as letras N. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas.4 C85.n.br 32 . é: P= favoráveis 85 × C(15. a probabilidade de pelo menos 2 acertarem é: P = P1 + P2 + P3 + P4 P = 1/3 + 1/6 + 1/15 + 2/9 P = 30/90 + 15/90 + 6/90 + 20/90 P = 71/90 Resposta: D 19. Arthur Lima – Aula 02 2.com. A primeira e terceira amigas acertarem. Note que a probabilidade da primeira errar é de 1 – 3/5 = 2/5.br 33 . As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.estrategiaconcursos. Note que a probabilidade da terceira errar é de 1 – 2/3 = 1/3. e a terceira errar. Note que a probabilidade da segunda errar é de 1 – 5/6 = 1/6. Assim: P4 = 2 5 2 2 × × = 5 6 3 9 Assim. Arthur Lima www. ESAF – MPOG – 2009) Em uma urna existem 200 bolas misturadas. A primeira e segunda amigas acertarem. Assim: P2 = 3 5 1 1 × × = 5 6 3 6 3. A segunda e terceira amigas acertarem. as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Prof. e a terceira errar. Assim: P3 = 3 1 2 1 × × = 5 6 3 15 4. e a primeira errar. diferindo apenas na cor e na numeração. qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos números pares? a) 10/512. com reposição. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso. destas. c) 4/128.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. destas. A probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola serem vermelhas e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512. 50 são pares. d) 3/64. 25 são pares. Das 200 bolas. devolve-la à urna. A probabilidade de retirar uma bola amarela par é de 50/200 = 1/4. A probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola serem azuis e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512 (multiplicamos pois temos o conectivo “E” – eventos independentes). temos as seguintes possibilidades: retirar 3 bolas azuis pares OU retirar 3 bolas amarelas pares OU retirar 3 bolas vermelhas pares. A probabilidade de retirar uma bola azul par é de 25/200 = 1/8. 100 são amarelas e. destas. vamos retirar uma. Arthur Lima www. 50 são vermelhas e. Podemos acabar tirando a mesma bola duas ou três vezes.br 34 . Portanto. e) 1/64. Das 200 bolas. Arthur Lima – Aula 02 b) 3/512. A probabilidade de retirar uma bola vermelha par é de 25/200 = 1/8. a probabilidade de tirar 3 bolas da mesma cor e pares é dada pela soma: P = 1/512 + 1/64 + 1/512 = 10/512 Resposta: A Prof. e a seguir somá-las. ou seja. pois temos o conectivo “OU”.com. Se queremos retirar 3 bolas da mesma cor e pares.estrategiaconcursos. RESOLUÇÃO: Muito cuidado ao seguinte detalhe: vamos retirar as bolas com reposição. A probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola serem amarelas e pares é P = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64. Das 200 bolas. Vamos calcular separadamente a probabilidade de cada uma dessas possibilidades. 50 são azuis e. e retirar outra. 25 são pares. considerando que temos um número par de cofres.Em uma segunda etapa. ESAF – SMF/RJ – 2010) Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro. e em cada um dos cofres restantes. é colocada uma moeda de ouro. Portanto. uma de prata e uma de bronze.20 c) 0. escolhidos ao acaso. uma moeda de bronze. necessariamente. Arthur Lima – Aula 02 20. neste caso 2xN cofres. Por fim. N cofres passam a ter 2 moedas de ouro. uma moeda de prata. . Ao escolher. Em uma segunda etapa. é colocada uma moeda de ouro. 1 de prata e 1 de bronze.7 RESOLUÇÃO: Vamos seguir os passos do enunciado. em cada um de metade dos cofres. e em cada um dos cofres restantes. Desse modo. veja que N cofres possuem 2 moedas de ouro e outros N possuem apenas uma. qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro? a) 0. e em cada um dos cofres restantes.5 d) 0. . e N cofres passam a ter 1 moeda de ouro. 2 de prata e 1 de bronze.estrategiaconcursos. serão escolhidos novamente N cofres. Porém estes não serão. cada cofre ficou com cinco moedas. escolhidos ao acaso. em cada um de metade dos cofres.com. em cada um de metade dos cofres. uma moeda de prata. Portanto. coloca-se uma moeda de ouro. uma moeda de bronze. A chance de Prof. metade dos cofres para colocar mais uma moeda de ouro. escolhidos ao acaso. uma de prata e uma de bronze. em cada um de metade dos cofres. os mesmos N cofres que já tem 2 moedas de ouro. escolhidos ao acaso.25 e) 0. Arthur Lima www. coloca-se uma moeda de ouro. Por fim.Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro. ao acaso. Ao se escolher um cofre ao acaso.br 35 . Até aqui.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. e em cada um dos cofres restantes. cada um dos 2N cofres tem 1 moeda de cada tipo.15 b) 0. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Um resultado falso negativo ocorre quando a pessoa tem a doença. espera-se que 1/2 dos N cofres que já tinham 2 moedas de ouro passem a ter 3. mas o exame indica que a pessoa não a tem. RESOLUÇÃO: Veja que há 30% de chance da pessoa efetivamente ter a doença. b) 7. Isto é. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%.25 total 2N Resposta: D 21. c) 25%. N/2 cofres do total de 2N cofres terão 3 moedas de ouro.com. e) 12. ESAF – SUSEP – 2010) Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Ao se escolher um cofre ao acaso. e 70% de chance dela não ter a doença.5%. Portanto.br 36 . mas o exame indica que a pessoa a tem. d) 15%. Arthur Lima – Aula 02 escolher um cofre que já possui 2 moedas de ouro é P = N/2N = 1/2. qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo? a) 30%. Já um falso positivo ocorre quando a pessoa não tem a doença.estrategiaconcursos. Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame. Prof.5%. qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro? Essa probabilidade será dada por: P= favoráveis N / 2 = = 0. Arthur Lima www. br 37 . Arthur Lima www. ocorrer um falso negativo probabilidade = 30%). são: P = favoráveis/total = 9% / 72% = 0. sem reposição. RESOLUÇÃO: O número de formas de se escolher 3 pessoas em um grupo de 15. qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro? a) 45/91.estrategiaconcursos. Ou seja. no TOTAL. e) 42/81. ESAF – SUSEP – 2010) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros.2) = 45 formas de escolher os Prof.a pessoa ter a doença (probabilidade = 30%) e o resultado do exame for der negativo (isto é. temos 5 possibilidades de escolha do estrangeiro e C(10. sem reposição. Portanto. d) 2/9. as chances de a pessoa ter a doença. não ocorrer um falso positivo 90%).a pessoa não ter a doença (probabilidade = 70%). Desses 72%.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. mesmo o exame dando resultado negativo.5% Resposta: E probabilidade = 1 – 10% = 22. Arthur Lima – Aula 02 Assim.125 = 12. As chances disso acontecer são P1 = 30% x 30% = 9% . Para formar grupos com exatamente 1 estrangeiro e 2 brasileiros. a chance de o resultado do exame dar negativo é dada pela soma de 9% + 63% = 72%. o resultado do exame pode dar negativo em 2 casos: . b) 1/3. é C(15.com. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo. As chances disso acontecer são P2 = 70% x 90% = 63%. c) 4/9. e o diagnóstico dado pelo exame for correto (isto é.3) = 455. apenas em 9% dos casos a pessoa efetivamente tem a doença. Arthur Lima – Aula 02 brasileiros. a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. a chance de formar grupos dessa forma é: P = favoráveis/total = 225 / 455 = 45/91 Resposta: A 23. a probabilidade de ter uma mulher (M) é de 1 – 1/4 = 3/4. temos 5 x 45 = 225 formas de escolher 1 estrangeiro e 2 brasileiros. a probabilidade de ter 2 H e 3M é: Probabilidade = 10 × 27 135 = 1024 512 Prof. ESAF – SUSEP – 2010 – Adaptada) Um estudo indica que.2) = 5! = 10 3!2! Portanto. Arthur Lima www.estrategiaconcursos. veja que podemos ter esses 5 filhos em outra ordem (ex. Temos. que permutar esses 5 filhos. Ao todo. a probabilidade de ter H H M M M.: H M H M M). é: PHHMMM = 1 1 3 3 3 27 × × × × = 4 4 4 4 4 1024 Entretanto. Veja que se trata de uma permutação de 5 filhos.3. Desse modo.br 38 . Portanto. Isto é: Permutação(5. a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: a) 37/64 b) 45/216 c) 1/64 d) 135/512 e) 9/16 RESOLUÇÃO: Se a probabilidade de ter um homem (H) é de 1/4.com.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Portanto. nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal. exatamente nessa ordem. portanto. com a repetição de 2 H e 3M. Como o exercício diz que devemos repor a bola Prof. 24. d) 115/243. azuis.br 39 . RESOLUÇÃO: Chamando de P. Azuis. AM e V o número de bolas Pretas.: na prova. de modo que a questão ficou sem resposta. amarelas e pretas. Veja: AZ = 2AM = 2x(5V) = 10V P = 2AZ = 2x(10V) = 20V Portanto. Se as bolas diferem apenas na cor. e) 25/81. a letra D era 45/512.estrategiaconcursos. com reposição. o total de bolas é: Total = P + AZ + AM + V = 20V + 10V + 5V + V = 36V Temos 36V bolas. Arthur Lima www. Arthur Lima – Aula 02 Resposta: D Obs. AZ. A chance de retirar uma bola preta é de 20V/36V = 20/36 = 5/9.com. o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas. e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis. das quais 20V são pretas. ao se retirar ao acaso três bolas da urna. ESAF – SUSEP – 2010) Uma urna contém bolas vermelhas. b) 100/243.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Amarelas e Verdes. c) 10/27. temos: P = 2AZ AM = 5V AZ = 2AM Podemos escrever tudo em função de V. 32 .40 .32 . ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários. a probabilidade de ter 2 bolas pretas e uma não preta.br 40 .24 . com a repetição de 2: P (3.50 . a sua idade seja superior a 48 anos é de: a) 28% b) 27. Devemos ainda permutar esses 3 resultados.25 . E a chance da terceira bola não ser preta é de 16V/36V = 16/36 = 2/9. são as seguintes: 24 .54 . a chance de tirar uma segunda bola preta é também 5/9.54 .46 . a probabilidade da primeira E da segunda bolas serem pretas E da terceira bolas não ser preta é: Probabilidade(preta.24 . preta.40 .32 35 . não preta) = 5 5 4 100 × × = 9 9 9 729 Veja que este é o caso onde temos Preta – Preta – Não Preta.48 48 .36 . Assim.30 . cujas idades.estrategiaconcursos. FCC – Banco do Brasil – 2011) considere as informações abaixo: Para responder às questões a seguir. em qualquer ordem. Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários. é: Probabilidade = 3 × 100 100 = 729 243 Resposta: B 25.36 . em anos.8% Prof.com.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.40 .40 .4% c) 27% d) 25.25 .2) = 3! =3 2! Portanto.60 . Arthur Lima www. Arthur Lima – Aula 02 (“com reposição”).60 .65 A probabilidade de que. Arthur Lima www.br 41 . Arthur Lima – Aula 02 e) 24% RESOLUÇÃO: Observe que temos 25 funcionários. 8 das 100 residências tem consumo igual a 25m3. A probabilidade de escolher uma casa com este consumo é: Prof.com. Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso.24 = 24% Resposta: E 26.estrategiaconcursos. A probabilidade de escolher um deles é: P = favoráveis/total = 6/25 = 0. dos quais apenas 6 tem mais de 48 anos. veja que temos 100 residências ao todo. FCC – Sergipe Gás S/A – 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio mensal de 100 residências em um bairro servido pela SERGAS. Assim. a probabilidade de que o seu consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é a) 2/25 b) 7/100 c) 3/50 d) 1/20 e) 1/25 RESOLUÇÃO: Para começar.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. podemos descobrir o valor de X: 100 = 28 + 53 + 11 + X X=8 Portanto. 25 = 25% total 28 4 Resposta: A 28.5% RESOLUÇÃO: Se temos 8 processos. (6 e 7). Arthur Lima – Aula 02 favoráveis 8 2 P= = = total 100 25 Resposta: A 27. (7 e 8). FCC – TCE/MG – 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados. (4 e 5).5% (D) 10% (E) 7. Arthur Lima www.2) = 8×7 = 28 2 ×1 Existem as seguintes possibilidades de pegar 2 processos consecutivos: (1 e 2). Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e.com. (3 e 4).RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. em cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. a quantidade de duplas que podemos formar com eles é dada pela combinação de 8. a probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de (A) 25% (B) 20% (C) 12. (2 e 3). (5 e 6). FCC – SEFAZ/SP – 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros: Prof. um funcionário do Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos. 2 a 2: C(8. A probabilidade de pegar uma delas é: P= favoráveis 7 1 = = = 0.estrategiaconcursos. Isto é.br 42 . para dar início à execução de tal tarefa. 7 possibilidades atendem o pedido do enunciado. A probabilidade de ser formada uma senha que seja um número par e tenha os quatro algarismos distintos é P = 4/10 = 40%. faça parte da comissão é a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 3/10 RESOLUÇÃO: Prof. Se Everaldo escolher de modo aleatório o algarismo que falta. Destes 10. Assim. Arthur Lima – Aula 02 163. é de (A) 60%. (E) 40%. a probabilidade de que a senha formada seja um número par. que corresponde ao número de seu apartamento. (D) 45%. sabemos que 5 são pares. RESOLUÇÃO: Existem 10 algarismos que podem ser escolhidos por Everaldo para completar a senha. e permitiriam formar uma senha par.estrategiaconcursos. João ou sua esposa. das 10 opções existentes. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. (C) 50%. Para que todos os algarismos sejam distintos entre si. o último algarismo não pode ser o 6. Resposta: E 29. Portanto. Arthur Lima www. A probabilidade de que no máximo um deles.br 43 . (B) 55%. apenas 4 atendem a condição.com. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. que já foi usado na senha.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. em que os quatro algarismos são distintos entre si. sobram 4 opções que atendem a condição dada no enunciado. 3) = 20 Dessas. elas podem ter apenas João. um deles. (C) 15%. não seja vendido nenhum televisor é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Podemos resolver esse problema calculando quantas comissões podem ser formadas incluindo tanto João quanto sua esposa. no máximo. Isto é. a chance de obter uma comissão que tenha no máximo 1 deles é: P = 16/20 = 4/5 Resposta: D 30. no máximo. Se existem 4 possíveis comissões incluindo João e também sua esposa.br 44 . 4 possibilidades. Neste caso. Arthur Lima – Aula 02 O total de comissões com 3 funcionários que podem ser formadas a partir de um grupo de 6 funcionários é dada pela combinação de 6.com. apenas a esposa ou nenhum deles. 3 a 3: C(6. (E) 20%. estamos interessados apenas nas que tenham.estrategiaconcursos. isto é. então o número de comissões que tenha. (D) 18%. em um determinado dia. Assim. a probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de (A) 10%. é 20 – 4 = 16. FCC – TRF/4ª – 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades de venda: A probabilidade de que. já temos 2 das 3 pessoas da comissão escolhidas. Arthur Lima www.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. ou João ou sua esposa. Então. (B) 12%. Temos ainda 4 pessoas disponíveis para a última vaga restante. Prof. não seja vendido nenhum. então x = 10%. Portanto.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.br) Prof. sejam vendidos 4 OU 5 P(4) + P(5)). Arthur Lima – Aula 02 RESOLUÇÃO: Veja na tabela que a probabilidade de que sejam vendidos zero televisores (P(0)).estrategiaconcursos. então: 2y + x = 30% 2y + 10% = 30% y = 10% Repare que a soma das probabilidades deve ser igual a 100% (pois a probabilidade do espaço amostral é sempre 100%).br 45 . A probabilidade de que sejam vendidos mais do que 3 televisores (isto é. Arthur Lima www. P(2) é igual a 15%. é igual a x. Bons estudos. P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 100% x + 3y + z + z +2y + x = 100% 2x + 5y +2z = 100% 20% + 50% + 2z = 100% z = 15% Assim. isto é. Resposta: C **************************** Por hoje é isso. e até a próxima aula! Saudações.com. Arthur Lima (arthurlima@estrategiaconcursos. Como o próprio enunciado disse que esta mesma probabilidade é igual a 10%.com. Como enunciado disse que esta mesma probabilidade é igual a 30%. é igual a 2y + x. de 1 a 60.000125. marcados em volante próprio. o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Megasena ao fazer a aposta máxima é o inverso de: a) 20. totalizando 25 letras. o correntista deve acionar. assim.000. e. a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. c) 330. para digitar sua senha.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto. Como ganha na Mega-Sena quem acerta todos os seis números sorteados.estrategiaconcursos.005. b) 3. 1.000. com exceção do W. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. em grupos de cinco letras por tecla. b) 0. d) 100.000. por cinco teclas. um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras. três vezes. e) 10.300.br 46 . em determinada sequência. a cada vez. Prof. Arthur Lima – Aula 02 3. d) 0.000. c) 0.001.008.000. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? a) 0. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 0.000. na tela do terminal.com. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 números distintos. não necessariamente distintas. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente. Arthur Lima www. e) 0. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco.0001. estrategiaconcursos. os amigos Arnor. Dona Matilde. ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Sacando ao acaso duas bolas da urna. Arthur Lima – Aula 02 2. Bruce. No dia seguinte. sendo 8 azuis e 3 pretas. Arthur Lima www. Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. em termos percentuais. Carlão. igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 % 3. então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é. No dia seguinte. Dona Matilde selecionou. todas de mesmo tamanho e peso. A probabilidade de que esta caneta fosse de ponta grossa é: a) 1/2 Prof. Denílson e Eleonora. Para tanto. ao acaso. Bruce. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas. ao acaso. sendo 4 azuis e 5 pretas. a professora colocou na gaveta 9 canetas esferográficas de ponta fina.br 47 . Carlão. e percebeu que ela era azul. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade.com. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia. a professora retirou da gaveta. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada. a probabilidade de que sejam da mesma cor é de: a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% 4. ela colocou na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de ponta grossa. uma antiga moradora.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. três pessoas entre os amigos Arnor. uma caneta. com. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes.415 habitantes. por exemplo.074. aproximadamente. Arthur Lima www.br 48 . em 2009. havia 1. Prof.747. havia 840. Considerando essas informações.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais. pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos. ( ) Considere que 9 rapazes e 6 moças. A partir dessas informações. se envolvam em um tumulto e sejam detidos para interrogatório. julgue os próximos itens. Em cada jogada.505. Se a primeira pessoa chamada para ser interrogada for escolhida aleatoriamente.000 habitantes. no mesmo ano. na região Norte do Brasil. 10. em uma população total de. na região Norte ou na região Centro-Oeste. Arthur Lima – Aula 02 b) 1/3 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/5 5. 6. 0110011010.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais. sendo 3 delas adolescentes. em uma população total de. julgue o item subsequente. 10. que dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum evento. e que na região Centro-Oeste. ser analfabeta é inferior a 20%. CESPE – PREVIC – 2011) Estimou-se que. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes.2. como. aproximadamente. 7. ( ) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. ( ) A probabilidade de serem obtidas sequências nas quais ocorra coroa nas primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4.estrategiaconcursos. então a probabilidades de essa pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0. 3.5. ( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 0. julgue os itens subseqüentes. realizada com 900 pessoas que contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes. é superior a 0. ( ) Ao se lançar dois dados não-viciados. relativos a conceitos básicos de probabilidade: ( ) Considere que. obtiver a soma 4 ou 5. de uma pessoa entre as 900 que participaram da referida pesquisa. Arthur Lima – Aula 02 8. CESPE – MPE/AM – 2008) Julgue os itens seguintes. ao lançar os dados.br 49 . Nessa situação. em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados. é correto afirmar que o jogador 2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados. Prof. mostrou a seguinte divisão dessas pessoas.estrategiaconcursos. Arthur Lima www.52. A partir da tabela acima e considerando a escolha. ( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 0. a probabilidade de se obter pelo menos um número ímpar é superior a 5/6. o jogador A pontuará se. ao acaso. e o jogador B pontuará se obtiver a soma 6 ou 7.com. ( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de idade é superior a 30%.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. de acordo com a faixa etária. sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos. CESPE – Banco do Brasil – 2007) Uma pesquisa. ( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade. 9. se a pessoa encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar essa adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas.com. Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas 50 figurinhas. Nesse caso.2010) João possui figurinhas com a foto de jogadores das seleções de 3 países. uma calça na cor cinza. ele possui uma calça na cor preta.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.br 50 .estrategiaconcursos.PREF. O quadro abaixo mostra a distribuição dessas figurinhas por cada um desses países. então a probabilidade de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1/2 11. se as vestimentas de ocasiões festivas. Arthur Lima – Aula 02 10. para operações nas florestas. Para o dia-a-dia. Arthur Lima www. então esse policial possui exatamente 7 maneiras diferentes de combinar suas roupas. CESPE – Polícia Civil/TO – 2008) Cada um dos itens subseqüentes contém uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada: ( ) Um policial civil possui uma vestimenta na cor preta destinada às solenidades festivas. uma camisa branca e uma camisa preta. FDC . a probabilidade de que nela haja uma foto de um jogador brasileiro é igual a: a) 10% b) 20% c) 30% Prof. Nessa situação. uma camisa amarela. ( ) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para operações policiais e 2 modelos inadequados. de camuflagem e do dia-a-dia não podem ser misturadas de forma alguma. PALMAS . uma vestimenta com estampa de camuflagem. mulheres. na sua maioria.com. CESPE – Polícia Federal – 2004) Com a campanha nacional do desarmamento. Prof. meninas e adolescentes. indicou que 66% das vítimas eram mulheres. enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. 13.estrategiaconcursos. p. julgue os itens a seguir. 13% eram meninas. Janeiro de 2010.br 51 .11. Ministério da Justiça. Arthur Lima www. a probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 80%. ( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. A tabela acima apresenta a quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros. 23 (com adaptações). concluída em 2009. a Polícia Federal já recolheu em todo o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. a probabilidade de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0. pois as vítimas são. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual. ( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito. julgue os itens que se seguem. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Arthur Lima – Aula 02 d) 40% e) 50% 12. Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único depósito. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC). Com base no texto acima. em um torneio de basquete. 14. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que. que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. 15.000 habitantes da Europa.000 habitantes na América Latina é alarmante. sendo. então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%.br 52 . a probabilidade de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na tabela é superior a 0.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.73.000 habitantes da Europa. Arthur Lima www.noticias. () Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito. entre titulares e reservas. CESPE – Polícia Federal – 2009) De acordo com o jornal espanhol El País. 50 na Guatemala. em cada 100. julgue o item que se segue.com. serão sorteadas 5 equipes. em cada grupo de 100.com. para formar o grupo A. O crime é apontado como o principal problema desses países. as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B.011.estrategiaconcursos. de 3 sejam completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho. 45 em El Salvador. a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala. provocando uma grande quantidade de mortes. 65 na Colômbia. por exemplo. e que.br> Tendo como referência as informações apresentados no texto acima. Internet: <www. julgue os itens que se seguem. Arthur Lima – Aula 02 ( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito. ( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores. 28 no Brasil. O índice de homicídios por 100. a probabilidade referida é inferior a 10-5. ( ) Se. então.uol. Prof. a probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0. em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina. tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da amostra. ao acaso. o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73.br 53 . duas pessoas. n=5. a probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada por: a) Cn. para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. nessa amostra. n=15.n. d) Cm. sendo p=0.n. b) Cm.n-k /CN.k pk (1-p)n-k.n. m=60 e k=4. sem reposição. Arthur Lima www. a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 1/6. sendo N=100.n-k /CN. sendo p=0. 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homens da amostra também são fumantes. entre as 210 da amostra. A respeito dessa situação hipotética. é correto afirmar que. 17. sendo N=100.n-k /CN. para se selecionar. Prof. n=5.estrategiaconcursos.com.15. 70. n=5 e k=4. ESAF – AFT – 2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de uma população.k pk (1-p)n-k. Arthur Lima – Aula 02 16.k CN-m. ao menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas. sendo N=100. menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.25. e 70. 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos. em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN. julgue os itens a seguir. e) Cn. ao acaso. ( ) Caso se selecionem. m=15 e k=4. ( ) Entre as 210 pessoas da amostra. CESPE – DETRAN/DFT – 2010) Considere que.k CN-m.k CN-m. ( ) Em face dessa situação. para resolver problemas relacionados a multas. c) CM. m=5 e k=4. n=5 e k=4. qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos números pares? a) 10/512. diferindo apenas na cor e na numeração.estrategiaconcursos. escolhidos ao acaso.com. escolhidos ao acaso. e em cada um dos cofres restantes. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50. 20. com reposição. uma de prata e uma de bronze. e) 1/64. Em cada tiro. d) 3/64. coloca-se uma moeda de Prof.br 54 . ESAF – ATRFB – 2009) Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6. é colocada uma moeda de ouro. e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. uma moeda de prata.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. c) 4/128. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso. Arthur Lima – Aula 02 18. Em uma segunda etapa. b) 3/512. Arthur Lima www. em cada um de metade dos cofres. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas. as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. ESAF – SMF/RJ – 2010) Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro. qual a probabilidade de pelo menos dois dos três tiros acertarem o alvo? a) 90/100 b) 50/100 c) 71/100 d) 71/90 e) 60/90 19. a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5. Por fim. ESAF – MPOG – 2009) Em uma urna existem 200 bolas misturadas. em cada um de metade dos cofres. c) 4/9. Arthur Lima www. uma moeda de bronze.5 d) 0. qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro? a) 45/91. b) 7.estrategiaconcursos. sem reposição. Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof.com. cada cofre ficou com cinco moedas. Desse modo.br 55 . ESAF – SUSEP – 2010) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. e) 12. ESAF – SUSEP – 2010) Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. b) 1/3.5%.25 e) 0. qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro? a) 0. Arthur Lima – Aula 02 ouro. 22. Ao se escolher um cofre ao acaso.7 21.20 c) 0. qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo? a) 30%. e em cada um dos cofres restantes.5%. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo.15 b) 0. d) 15%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. c) 25%. Prof. com reposição. Arthur Lima www.com. 23. Prof. amarelas e pretas. e) 25/81. e) 42/81.br 56 . 25. d) 115/243. Desse modo. FCC – Banco do Brasil – 2011) considere as informações abaixo: Para responder às questões a seguir. nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal.estrategiaconcursos. Se as bolas diferem apenas na cor. a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: a) 37/64 b) 45/216 c) 1/64 d) 135/512 e) 9/16 24. Arthur Lima – Aula 02 d) 2/9. qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis. ESAF – SUSEP – 2010 – Adaptada) Um estudo indica que. a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. azuis. b) 100/243. o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas. ESAF – SUSEP – 2010) Uma urna contém bolas vermelhas. ao se retirar ao acaso três bolas da urna. c) 10/27.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. 46 .60 .24 .25 . cujas idades. Arthur Lima – Aula 02 Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários.50 .24 .32 .36 .32 . Arthur Lima www.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso.54 . FCC – Sergipe Gás S/A – 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio mensal de 100 residências em um bairro servido pela SERGAS.60 .36 . em anos.br 57 .48 48 . a probabilidade de que o seu consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é a) 2/25 b) 7/100 c) 3/50 d) 1/20 e) 1/25 Prof.32 35 .54 . ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários. a sua idade seja superior a 48 anos é de: a) 28% b) 27.4% c) 27% d) 25. são as seguintes: 24 .65 A probabilidade de que.30 .25 .8% e) 24% 26.40 .com.40 .40 .40 .estrategiaconcursos. a probabilidade de que a senha formada seja um número par. FCC – TCE/MG – 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados. A probabilidade de que no máximo um deles.br 58 . Arthur Lima – Aula 02 27. em cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. (C) 50%. a probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de (A) 25% (B) 20% (C) 12.estrategiaconcursos. (B) 55%. é de (A) 60%. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros: 163. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6.com.5% (D) 10% (E) 7. (E) 40%. Se Everaldo escolher de modo aleatório o algarismo que falta.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e. para dar início à execução de tal tarefa. (D) 45%. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. João ou sua esposa. Arthur Lima www. um funcionário do Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos. que corresponde ao número de seu apartamento. 29.5% 28. faça parte da comissão é a) 1/5 Prof. em que os quatro algarismos são distintos entre si. (E) 20%. GABARITO 0 07 14 21 28 E C E E E 01 08 15 22 29 E 02 E CE 03 10 C EC B B 04 11 18 25 C D D E 05 12 19 26 C E A A 06 13 20 27 C CEE D A EECC 09 EE A D 16 23 30 ECC 17 D C 24 Prof. em um determinado dia. (D) 18%. Arthur Lima – Aula 02 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 3/10 30. não seja vendido nenhum televisor é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.RACIOCÍNIO LÓGICO p/ POLÍCIA FEDERAL TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. (C) 15%. a probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de (A) 10%.br 59 . FCC – TRF/4ª – 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades de venda: A probabilidade de que. Então.com. (B) 12%.