Aula 01

CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 1 www.pontodosconcursos.com.br Aula 1 ­ Petrobras Juros . ........................................................................................................................................... 2 Regimes de Capitalização. ........................................................................................................... 5 Juros Simples. .............................................................................................................................. 7 Disposição gráfica do montante no regime simples . ................................................................ 13 Descontos Simples . ................................................................................................................... 14 Desconto Racional Simples (por dentro). .................................................................................. 16 Desconto Comercial Simples (por fora) . ................................................................................... 23 Relação entre os descontos simples por fora e por dentro. ..................................................... 33 Juros Compostos . ....................................................................................................................... 36 Período de Capitalização. ...................................................................................................... 37 Fórmula do Montante Composto. .......................................................................................... 37 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta. ...................................................... 38 Taxas Equivalentes . ................................................................................................................... 43 Taxa Nominal e Taxa Efetiva . .................................................................................................... 44 Descontos Compostos. .............................................................................................................. 48 Desconto Racional (por dentro) Composto . ............................................................................. 49 Desconto Comercial (por fora) Composto . ............................................................................... 51 Relação das questões comentadas . .......................................................................................... 56 Gabaritos . .................................................................................................................................. 63 CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 2 www.pontodosconcursos.com.br Olá pessoal! Vamos começar o nosso curso de Matemática para a Petrobras. Infelizmente, quando estava terminando de formatar a nossa primeira aula o Word deu um erro e eu tive que redigitar todas as equações que aparecem nesta aula (equation). Peço desculpas pelo ocorrido (vamos reclamar juntos para a Microsoft, rss). Por esse ocorrido, a parte de aritmética que seria colocada nesta aula, será colocada junto da próxima aula. Assim, a partir da próxima semana as aulas serão disponibilizadas normalmente nos dias programados. Se vocês tiverem sugestões de provas e questões da CESGRANRIO para serem colocadas nas nossas aulas, vocês podem enviar para o meu e-mail do Ponto: [email protected] Juros Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar certa importância, o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. O conceito de juros pode ser fixado através das expressões: i) Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. ii) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. Em suma, o juro corresponde ao “aluguel” recebido ou pago pelo uso de certo capital financeiro. Ilustrarei através de um pergunta uma observação importantíssima que todo estudante de matemática financeira deve saber: Você prefere receber R$100.000,00 hoje ou daqui a 20 anos? É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida. Um aspecto muito relevante é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 3 www.pontodosconcursos.com.br O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. Exemplo: 24% ao ano 24% . . 6% ao trimestre 6% . . 2,5% ao dia 2,5% . . i a a i a t i a d = = = = = = Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. Logo, o grande objetivo da MATEMÁTICA FINANCEIRA é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros. Na prática da Matemática Financeira, o juro é o elemento que nos permite levar um valor datado de uma data para outra, isto é, são os juros que nos permitem levar um Valor Presente para um Valor Futuro ou vice-versa. Enfim, são os juros que nos permitem comparar valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, venda ou pagamento. Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida? Ora, se a taxa de juros é de 6% ao mês e eu peguei emprestado R$ 2.000,00, então para saldar a minha dívida eu devo pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que irei pagar daqui a um mês será 6% de 2.000. Ou seja, 6 6% de 2000 2000 120 100 j = = ⋅ = O valor total que devo depositar na minha conta para saldar a minha dívida é igual a 2.000+120 =2.120. É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações: CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 4 www.pontodosconcursos.com.br i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano =6% a.a. ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): 6 0,06 100 = A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal. Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros. “ Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?” Capital (C) → Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que peguei emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ 2.000,00. Juros (J) → Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros. Taxa de juros (i) → A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se eu vou ao banco tomar um empréstimo e o gerente me diz: Ok! O seu empréstimo foi liberado!! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo!!! E se essa taxa de juros for ao dia?? Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL. Tempo (n) → Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se eu ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nosso número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma- C=R$2.000,00 J =R$ 120,00 i=6% a.m. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 5 www.pontodosconcursos.com.br se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se você demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses é composto por 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e eu usei o cheque especial durante apenas um mês. Montante (M) → Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros. Podemos então escrever que M=C+J. As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. Regimes de Capitalização Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização. Capitalização Simples De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos. Atenção!! OS JUROS SÃO PAGOS SOMENTE NO FINAL DA APLICAÇÃO!!! n = 1 mês M=R$2.120,0 CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 6 www.pontodosconcursos.com.br Exemplo: Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação. Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? De R$ 10.000,00!! Os juros gerados no primeiro ano são 20 10.000 2.000 ⋅ 100 = . Os juros gerados no segundo ano são 20 10.000 2.000 ⋅ 100 = . Os juros gerados no terceiro ano são 20 10.000 2.000 ⋅ 100 = . Os juros gerados no quarto ano são 20 10.000 2.000 ⋅ 100 = . Os juros gerados no quinto ano são 20 10.000 2.000 ⋅ 100 = . NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro). Capitalização Composta No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. Exemplo: Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são 20 10.000 2.000 ⋅ 100 = e o montante após o primeiro ano é 10.000+2.000=12.000. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 7 www.pontodosconcursos.com.br Os juros gerados no segundo ano são 20 12.000 2.400 ⋅ 100 = e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano são 20 14.400 2.880 ⋅ 100 = e o montante após o terceiro ano é 14.400+2.880=17.280. Os juros gerados no quarto ano são 20 17.280 3.456 ⋅ 100 = e o montante após o quarto ano é 17.280+3.456=20.736. Os juros gerados no quinto ano são 20 20.736 4.147,20 ⋅ 100 = e o montante após o quinto ano é 20.736+4.147,20=24.883,20. Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalização. Verifique! Juros Simples Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será: 3 3% de 5.000 5.000 150 = 100 ⋅ = Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 =1.500. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 8 www.pontodosconcursos.com.br A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples. Adotaremos as seguintes notações: O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será: J C i n = ⋅ ⋅ (1) E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo: M C J = + (2) Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão: M C = C i n + ⋅ ⋅ Em álgebra, C significa 1 C ⋅ , portanto, 1 M C C i n = ⋅ + ⋅ ⋅ Colocando o C em evidência, (1 ) M C = i n ⋅ + ⋅ (3) Devemos saber memorizadas as fórmulas (1), (2) e (3)!!! C → Capital inicial i → taxa de juros simples n → tempo de aplicação J → juro simples produzido durante o período de aplicação. M → montante ao final da aplicação J CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 9 www.pontodosconcursos.com.br J C i n = ⋅ ⋅ (1) M C J = + (2) (1 ) M C = i n ⋅ + ⋅ (3) E devemos estar atentos a algumas observações importantíssimas... Para começar, deve-se utilizar a taxa na forma fracionária ou unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de 10% , utilizamos 10 ou 0,1. 100 As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais. Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. Caso a taxa e o período de aplicação não estejam expressos na mesma unidade de tempo, é preciso primeiro expressá-los na mesma unidade, antes de utilizar as fórmulas. Exemplo i=3% a.m. n=150 dias. Neste caso, antes de utilizarmos as fórmulas, devemos expressar i e n na mesma unidade. O mais simples, neste, é expressar ambos em meses. Assim, teremos: i=3% a.m. n= 5 meses Observe que no exemplo acima, para converter “dias” em meses, consideramos que 1 mês equivale a 30 dias (mês comercial). Vamos praticar um pouco. 01. (Petrobras – Auditor J r – 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 10 www.pontodosconcursos.com.br no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de a) 12.600,00 b) 12.800,00 c) 13.200,00 d) 13.600,00 e) 13.800,00 Resolução A questão é muito clara: o regime é de juros simples, o capital é de R$ 12.000,00, a taxa é de 5% ao mês e o prazo é de 90 dias (3 meses). Lembre-se que SEMPRE deve haver conformidade entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Como a taxa é mensal, o tempo deve ser trabalhado em meses. Vamos calcular o juro simples utilizando a sua fórmula básica. [ = C · i · n [ = 12.uuu · S O montante é a soma do capital inicial com o juro. Portanto: 1uu · S = 1.8uu H = C + [ = 12.uuu + 1.8uu = 1S.8uu Letra E 02. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99 Resolução Observe que o período de aplicação e taxa de juros já estão em conformidade em termos de unidade. Sabemos que o montante no regime de capitalização simples é dado por CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 11 www.pontodosconcursos.com.br H = C · (1 + i · n) O montante é igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros é de 5% =0,05 ao mês e o tempo de aplicação é de 6 meses. Su.uuu = C · (1 + u,uS · 6) Su.uuu = C · 1,S C = 2S.u76,9S Letra D 03. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? (A) 1,04% a.m. (B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m. (D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a. Resolução Para facilitar nossos cálculos, vamos estipular um valor para o montante. J á que o capital é 2/3 do montante, então escolherei um montante que seja múltiplo de 3. Vamos considerar que o montante seja de R$ 90,00. Desta forma: C = 2 S · H = 2 S · 9u = 6u O capital aplicado é, portanto, de R$ 60,00. Como o juro é a diferença entre o montante e o capital aplicado, então: Sabemos, portanto que: [ = 9u - 6u = Su [ = Su, C = 6u, n = 2 onos Estamos prontos para aplicar a fórmula de juros simples. Note que como o tempo dado é em anos, a taxa calculada será anual. [ = C · i · n Su = 6u · i · 2 Su = 12ui CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 12 www.pontodosconcursos.com.br i = Su 12u = u,2S = 2S% o. o. Letra E 04. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$ 9.240,00 à taxa de juros simples de 26,4% ao ano. (A) 21 (B) 12 (C) 5 (D) 4,41 (E) 1,75 Resolução A questão pede o prazo em meses. A taxa dada foi de 26,4% ao ano. Para calcular a taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. Assim: i = 26,4% oo ono = 26,4% O capital aplicado foi de R$ 20.000,00 e os juros auferidos são iguais a R$ 12 oo mês = 2,2% oo mês 9.240,00. Vamos aplicar a fórmula de juros simples. [ = C · i · n 9.24u = 2u.uuu · 2,2 1uu · n 9.24u = 44u · n n = 9.24u 44u = 21 mcscs Letra A 05. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi (A) menor do que R$ 500,00. (B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00. (C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00. (D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00. (E) maior do que R$ 2.500,00. Resolução Vamos aplicar diretamente a fórmula dos juros simples. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 13 www.pontodosconcursos.com.br [ = C · i · n 1S6 = C · 6 1uu · 4 1S6 = C · u,24 C = 1S6 u,24 = 6Su,uu Letra B Disposição gráfica do montante no regime simples Coloquei este tópico na aula apenas para que possamos fazer uma comparação entre o regime simples e o regime composto. É um assunto de pouca relevância e praticamente não há questões de concursos com envolvendo este tópico. Recordo-me de apenas uma questão da CESGRANRIO em um concurso da Caixa Econômica em que aparece um gráfico para que o aluno faça a comparação entre o Regime Simples e o Composto. Resolveremos esta questão na aula de J uros Compostos. É fato que no Regime Simples o montante cresce a uma taxa de variação constante. Lembremos a fórmula do montante simples: H = C · (1 + i · n) H = C +C · i · n Ora, o capital aplicado é constante e a taxa de juros também. O único elemento que pode variar é o tempo. Temos então uma função polinomial do 1º grau (função afim) do tipo y = o · n +b. Basta fazer o = C · i c b = C. É fato também que o gráfico de uma função afim é uma reta não-perpendicular aos eixos. Portanto, o gráfico do montante em função do tempo, no regime simples, tem o seguinte aspecto. n M C CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 14 www.pontodosconcursos.com.br A função é crescente, pois à medida que o tempo vai passando, o montante vai aumentando. Descontos Simples Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui a dois anos. Mas você foi aprovado no seu tão sonhado concurso e decidiu liquidar a sua divida com o primeiro salário. É justo você pagar R$ 10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? É óbvio que não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a minha dívida de R$ 10.000,00? Essa é uma situação típica de uma operação de desconto. Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. Notas promissórias, duplicatas, letras de câmbio são alguns documentos que atestam dívidas e são chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os seguintes conceitos de valores: Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N) É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na data do vencimento. Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A) O valor líquido é obtido pela diferença entre o valor nominal e o desconto. Desconto (D) Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Para caracterizar uma operação de desconto, devemos saber qual é o tempo de antecipação do pagamento. Esse tempo de antecipação será denotado pela letra “n”. E já que estamos “transportando” uma quantia no tempo, devemos saber qual é a taxa percentual que fará esse transporte. A taxa do desconto será denotada pela letra “i”. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 15 www.pontodosconcursos.com.br O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. Pode ainda ser simples ou composto. Isso gera quatro tipos de descontos: Desconto Racional Simples Desconto Racional Composto Desconto Comercial Simples Desconto Comercial Composto Existe uma diferença entre o desconto comercial e o chamado desconto bancário. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas (ou impostos) cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto). Nesta aula, falaremos apenas dos descontos simples. Quando a questão nada falar acerca do regime trabalhado, adotaremos a convenção de usar o regime simples. E quanto à modalidade do desconto? Adiante falaremos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Então se o enunciado deixar claro que a taxa percentual de desconto é na realidade uma taxa de juros, devemos inferir que se trata de uma operação de desconto racional. Caso contrário, trata-se de uma operação de desconto comercial. Essa convenção também será utilizada quando estudarmos os descontos compostos. Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. Esse raciocínio é válido para os quatro tipos de desconto. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 16 www.pontodosconcursos.com.br A N D = − Voltando ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. E quando você foi ao banco negociar a dívida, seu gerente disse que você ia ter um desconto de R$ 2.000,00. Logicamente, você irá pagar R$ 8.000,00. 10.000 2.000 8.000 A N D = − = − = Alternativamente, podemos dizer que o desconto é a diferença entre os valores nominal e atual. D N A = − Voltemos ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. Foi ao banco e eles disseram que a dívida poderia ser quitada hoje por R$ 8.000,00. Podemos, então, concluir que o desconto dado pelo banco foi de R$ 2.000,00. 10.000 8.000 2.000 D N A = − = − = Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e em seguida resolverei questões diversas de concursos passados. Comecemos pelo desconto racional simples ou desconto simples por dentro. Então para deixar bem clara a situação: Existe uma dívida para ser paga em alguma data futura. O valor dessa dívida é chamado de VALOR NOMINAL (N). Quero antecipar o pagamento dessa dívida. Obviamente, se eu antecipar o pagamento da dívida, pagarei um valor menor do que o valor nominal. O valor que será acordado para que o pagamento seja antecipado será denominado VALOR ATUAL (A). A diferença entre o valor nominal e o valor atual é denominada DESCONTO (D). Desconto Racional Simples (por dentro) A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros simples. Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 17 www.pontodosconcursos.com.br ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título. J á que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo. O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operação de juros simples. O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operação de juros simples. O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da operação de juros simples. Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!! Correspondência entre os elementos das operações Juros Simples Desconto Racional Simples (por dentro) Capital Inicial (C) Valor Atual (A) Montante (M) Valor Nominal (N) Juro (J) Desconto (D) CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 18 www.pontodosconcursos.com.br Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por dentro). Juros Simples: J C i n = ⋅ ⋅ Desconto Racional Simples: Juros Simples: (1 ) M C i n = ⋅ + ⋅ Desconto Racional Simples: E não podemos nos esquecer que a taxa e o tempo devem estar sempre na mesma unidade! De acordo com as fórmulas explicitadas acima, só podemos calcular o desconto racional simples se soubermos o valor atual. Vamos então deduzir uma fórmula para calcular o desconto racional simples em função do valor nominal. (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ O fator (1+i.n) que está “multiplicando” no segundo membro, “passará dividindo” para o primeiro membro. (1 ) N A i n = + ⋅ D A i n = ⋅ ⋅ (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 19 www.pontodosconcursos.com.br Devemos agora substituir essa expressão na fórmula D A i n = ⋅ ⋅ . 1 N D i n i n = ⋅ ⋅ + ⋅ Logo, Portanto, há três expressões básicas que precisamos saber em uma operação de desconto racional simples. São elas: Vejamos um exemplo: 06. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Um título sofreu desconto racional simples 3 meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na operação foi 5% ao mês. Se o valor do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de face desse título, em reais, era (A) menor do que 5.400,00. (B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00. (C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00. (D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00. (E) maior do que 6.000,00. Resolução A questão exige uma aplicação direta da fórmula do desconto racional simples. Ð = A · i · n 798 = A · S 1uu · S 798 = u,1S · A A = S.S2u 1 N i n D i n ⋅ ⋅ = + ⋅ D A i n = ⋅ ⋅ (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ 1 N i n D i n ⋅ ⋅ = + ⋅ CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 20 www.pontodosconcursos.com.br O problema pede o valor de face (valor nominal). Lembre-se que o valor nominal é igual a soma do valor atual com o desconto. N = A + Ð = S.S2u + 798 = 6.118 Letra E 07. (BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.666,67 c) R$ 32.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 160.000,00 Resolução Lembre-se sempre que uma operação de desconto racional equivale a uma operação de juros simples, de tal forma que o valor atual equivale ao capital inicial e o valor nominal equivale ao montante. Além disso, a questão usou alguns “apelidos” do valor atual e do valor nominal. Vamos relembrar: Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N) Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A) Então, já que a questão está pedindo o valor de face, queremos, portanto, o valor nominal. J á os R$ 8.000,00 que a questão chamou de valor descontado nós estamos acostumados a chamá-lo de valor atual. De posse dessas informações, podemos desenhar o diagrama abaixo. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 21 www.pontodosconcursos.com.br Utilizaremos a fórmula (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ que é idêntica à fórmula do montante em juros simples. A taxa é igual a 5% =0,05 ao mês. (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ 8.000 (1 0,05 5) N = ⋅ + ⋅ 10.000,00 N = Letra A 08. (BNB 2003 – ACEP) J osé tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor J osé pagaria a dívida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? a) R$ 16.000,00 b) R$ 13.800,00 c) R$ 17.600,00 d) R$ 14545,45 e) R$ 14.800,00 Resolução Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado. O valor do empréstimo é o valor atual da operação. A =10.000,00 Taxa de juros do empréstimo: 30% a.a. Tempo para pagamento do empréstimo: 2 anos. Prazo de antecipação do pagamento do empréstimo: 5 meses CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 22 www.pontodosconcursos.com.br Taxa de desconto racional: 24% a.a. O próximo passo é saber quanto J osé se comprometeu a pagar daqui a 2 anos. Queremos saber o montante em uma operação de juros simples. Esse valor do montante será o valor nominal da dívida (que depois será renegociada). (1 ) M C = i n ⋅ + ⋅ 10.000 (1 0,30 2) M = ⋅ + ⋅ 16.000 M = Ou seja, o valor nominal da dívida é igual a R$ 16.000,00. De posse desse valor, deixe-me “recontar” o enunciado. J osé tem uma dívida de R$ 16.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. Quanto J osé deve pagar se ele quer antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 24% a.a.? Ou seja, temos agora uma operação de desconto racional simples, já que existe uma dívida que será antecipada usando uma taxa de juros simples. Comentei anteriormente que o desconto racional simples EQUIVALE, ou seja, é a mesma coisa que uma operação de juros simples. Temos um valor nominal N =16.000,00 que será antecipado 5 meses a uma taxa de juros simples igual a 24% a.a. =2% a.m. Observe que para transformar a taxa anual para taxa mensal basta dividir por 12. Queremos saber o valor atual do desconto racional simples. (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ Portanto, 1 N A i n = + ⋅ 1 0,02 5 1,1 16.000 16.000 14545,45 A = = = + ⋅ Letra D 09. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 60.000,00. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 23 www.pontodosconcursos.com.br b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00 d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00. Resolução Sabemos que no desconto simples por dentro a taxa é incidida sobre o valor atual. Assim, Ð = A · i · n 1u.uuu = A · u,u4 · S 1u.uuu = A · u,2 A = 1u.uuu Dessa forma, o valor nominal será dado por u,2 = Su.uuu N =A +D =50.000 +10.000 =60.000,00 Letra A Desconto Comercial Simples (por fora) Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Na operação de juros simples, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional simples (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual. Imagine que você fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente te dissesse que a taxa de juros iria incidir sobre o montante (valor final). Estranho ou não? Pois é justamente o que acontece no desconto comercial simples. A taxa não incide sobre o valor atual como em uma operação de juros simples. No caso do desconto comercial a taxa incide sobre o valor nominal (valor futuro). É justamente por isso que o desconto comercial simples não é o “teoricamente” correto, mas é usado em larga escala no mercado financeiro. Os elementos da operação de desconto comercial simples são os mesmos do desconto racional simples. A única coisa que vai mudar é o fato de a taxa CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 24 www.pontodosconcursos.com.br incidir sobre o valor nominal. Portanto, o desconto comercial simples será dado por Em qualquer tipo de desconto, o valor atual é igual ao valor nominal menos o desconto. A N D = − Substituindo a primeira expressão na segunda: A N = N i n − ⋅ ⋅ Finalmente colocando o “N” em evidência: 10. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do vencimento (desconto simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao mês? (A) 1.600,00 (B) 1.620,00 (C) 1.680,00 (D) 1.720,00 (E) 1.800,00 Resolução Para resolver tal problema, podemos aplicar a fórmula que está imediatamente acima do enunciado. Lembre-se que valor de face é o mesmo que valor nominal. A = N · (1 - i · n) A = 2.uuu · (1 - u,1u · 2) = 2.uuu · u,8u = 1.6uu,uu Letra A D N i n = ⋅ ⋅ (1 ) A N i n = ⋅ − ⋅ CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 25 www.pontodosconcursos.com.br 11. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a (A) 400,00 (B) 352,00 (C) 256,00 (D) 144,00 (E) 48,00 Resolução Outra questão muito simples sobre descontos. Aplicação direta da fórmula utilizada no problema anterior. A = N · (1 -i · n) A = 4uu · (1 - u,12 · S) = 4uu · u,64 = 2S6,uu Letra C 12. (TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será: a) R$ 14.850,00 b) R$ 16.119,29 c) R$ 16.335,00 d) R$ 16.665,32 e) R$ 18.233,50 Resolução O desconto simples bancário é, nesse caso, o mesmo que o desconto comercial simples (por fora). Nesse caso, podemos utilizar a fórmula (1 ) A N = i n ⋅ − ⋅ Perceba que a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo. Portanto, não há alterações a fazer nos dados do enunciado. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 26 www.pontodosconcursos.com.br 0,02 16.500 1 50 100 A ⎛ ⎞ = ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 16.335,00 A = Letra C 13. (AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês. b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês. c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês. Resolução O primeiro passo é colocar a taxa e o tempo na mesma unidade. Podemos, por exemplo, colocar a taxa e o tempo em meses. 45 dias correspondem a 1 mês e meio. Ou seja, 45 d = 1,5 m. Já em relação à taxa, para transformar a taxa anual em taxa mensal basta dividi-la por 12. Assim, i = 60%/12 = 5% = 0,05 ao mês. O valor descontado (valor atual) é igual a R$ 370.000,00. Da teoria exposta sobre desconto comercial simples, sabemos que: (1 ) A N = i n ⋅ − ⋅ 370.000 1 1 0,05 1,5 A N i n = = − ⋅ − ⋅ 400.000 N = O problema ainda pergunta qual é a taxa efetiva da operação. O que é a taxa efetiva??? CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 27 www.pontodosconcursos.com.br A taxa de desconto efetiva nada mais é do que a taxa de juros simples que aplicada ao valor descontado do título, durante um prazo equivalente ao que falta para o vencimento, produz como montante o valor nominal do título. ??? Ou seja, a taxa efetiva é igual a taxa de desconto racional simples que produz o mesmo valor atual no mesmo tempo de antecipação. Ou, se preferir, pode aplicar uma capitalização simples sobre o valor atual para gerar o valor nominal. (1 ) e M C i n = ⋅ + ⋅ (1 ) e N A i n = ⋅ + ⋅ 400.000 370.000 (1 1,5) e i = ⋅ + ⋅ Pode-se dividir ambos os membros por 10.000 ou “cortar 4 zeros”. 40 37 (1 1,5) e i = ⋅ + ⋅ 40 37 55,5 e i = + ⋅ 55,5 3 e i ⋅ = 3 55,5 e i = Para transformar em taxa percentual multiplicamos por 100%. 3 300 100% % 55,5 55,5 e i = ⋅ = 5,4% . . i a m ≅ Letra B ATENÇÃO!!!!!! CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 28 www.pontodosconcursos.com.br Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva a partir do seu conceito, colocarei a sua disposição uma fórmula indispensável para ganhar tempo. Lembre que nos últimos 10 minutos da sua prova você vai implorar por um pouco mais de tempo. Então, vamos aprender a ganhar tempo. Guarde bem essa fórmula porque nem todos os livros a descreve. A taxa efetiva para o desconto simples comercial é dada por 1 e i i i n = − ⋅ Onde i é a taxa do desconto! Um detalhe: essa fórmula só poderá ser utilizada se não houver taxas administrativas ou impostos cobrados pelo banco!! Vamos resolver novamente a segunda parte desse quesito. A taxa é de 5% ao mês durante 1,5 meses. 0,05 5,4% 1 1 0,05 1,5 e i i i n = = ≅ − ⋅ − ⋅ 14. (Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3% Resolução Sabemos que a taxa de desconto no desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal. Dessa forma, o desconto é dado por D N i n = ⋅ ⋅ Como estamos querendo calcular a taxa mensal do desconto. Podemos “isolar” a taxa na fórmula acima. O “N” e o “n” que estão multiplicando “vão para o outro membro dividindo”. Assim, CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 29 www.pontodosconcursos.com.br D i N n = ⋅ O enunciado nos forneceu o valor nominal (R$ 20.000,00), o desconto (R$ 1.800,00) e o tempo de antecipação (três meses). J á que o tempo de antecipação é dado em meses, obviamente a taxa será mensal. E lembre-se que para transformar a taxa em termos percentuais devemos multiplicá-la por 100%. 1.800 100% i 20.000 3 = ⋅ ⋅ 180.000% i = 60.000 3% a.m. i = Letra E 15. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser (A) 5.104 (B) 5.191 (C) 5.250 (D) 5.280 (E) 5.344 Resolução Trata-se de um desconto bancário simples. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 30 www.pontodosconcursos.com.br Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as despesas administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas são calculadas como se não houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas administrativas. Portanto, F B V N D D = − − , onde D F é o desconto por fora e D B são as taxas e as despesas administrativas cobradas pelo banco. Lembrando que o desconto comercial simples (por fora) é dado por D =N.i.n, 0,07 0,01 V N N i n N N = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ Além disso, o tempo de antecipação (2 meses e 20 dias) pode ser escrito como 80 dias (30+30+20). Observação: O mês comercial possui 30 dias e o ano comercial possui 30x12 = 360 dias. Assim, a taxa de 18% =0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa diária deverá ser dividida por 360. Ou seja, 0,18 360 i = . Ufa! Voltemos à nossa expressão. 7% 1% V N N i n N N = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ O valor líquido recebido foi igual a R$ 4.620,00. 0,18 80 0,07 0,01 4.620 360 N N N N − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = 1 0,04 0,07 0,01 4.620 N N N N ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = J á que 1 – 0,04 – 0,07 – 0,01 =0,88, temos que 0,88 4.620 N ⋅ = CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 31 www.pontodosconcursos.com.br 4.620 5.250 0,88 N = = Letra C 16. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro meses antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês. Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa deverá receber, em reais, (A) 12.000,00 (B) 10.000,00 (C) 9.600,00 (D) 9.200,00 (E) 9.000,00 Resolução Vimos na questão anterior um resumo sobre desconto bancário. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as despesas administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas são calculadas como se não houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas administrativas. I = N -Ð P -Ð B I = N -N · i · n - 8 1uu · N I = 12.uuu - 12.uuu · S 1uu · 4 - 8 1uu · 12.uuu I = 12.uuu - 1.44u - 96u I = 9.6uu Letra C 17. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 32 www.pontodosconcursos.com.br prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, (A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63% Resolução A questão envolve o cálculo da taxa efetiva em uma operação de desconto simples comercial. Basta aplicar a fórmula descrita anteriormente: 0,025 0,025 2,5% 100% 2,63% 1 1 0,025 2 0,95 0,95 e i i i n = = = ⋅ = ≅ − ⋅ − ⋅ Mas de qualquer forma, é bom saber resolver das duas maneiras. Nunca se sabe o que pode acontecer na hora da prova (esquecer a fórmula, por exemplo). A taxa efetiva é a taxa de juros que aplicada sobre o valor líquido gera um montante igual ao valor de face. Além disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide sobre o valor nominal. E a fórmula que envolve o valor líquido e o valor de face é dada por (1 ) A N = i n ⋅ − ⋅ 2,5 1 2 100 A N ⎛ ⎞ = ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0,95 A N = ⋅ Faremos agora uma capitalização simples em que o capital inicial é igual a A e o montante é igual a N. (1 ) M C = i n ⋅ + ⋅ CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 33 www.pontodosconcursos.com.br (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ 0,95 (1 2) N N i = ⋅ + ⋅ 1 0,95 (1 2) i = ⋅ + ⋅ 1 0,95 1,9 i = + ⋅ 1,9 0,05 i ⋅ = 0,05 5% 100% 1,9 1,9 i = ⋅ = 2,63% i ≅ Letra E Um pouco mais trabalhoso, não !? Relação entre os descontos simples por fora e por dentro Como o desconto simples comercial (por fora) é calculado sobre o valor nominal, ao passo que o desconto simples racional é calculado sobre o valor atual, é fácil constatar que, quando calculados nas mesmas condições, o desconto simples por fora será sempre maior do que o por dentro. Isso porque o valor nominal é sempre maior do que o valor atual. Acompanhe o raciocínio: Quanto maior o desconto, menor o valor atual do título. Pode-se concluir que o valor atual do desconto simples comercial é sempre menor do que no desconto simples por dentro (por isso é tão utilizado no mercado financeiro: experimente trocar um cheque e veja onde é incidida a taxa – no valor nominal). Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, é mais vantajoso para o adquirente do título (o banco, ou uma empresa de factoring, por exemplo) utilizar o desconto bancário (daí o “apelido” do desconto comercial) do que o desconto racional. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 34 www.pontodosconcursos.com.br Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir qual é a relação entre os descontos simples por fora e por dentro, quando calculados nas mesmas condições, ou seja, à mesma taxa de desconto e pelo mesmo prazo para o vencimento do título. Para diferenciar, chamarei de D F o desconto simples por fora (comercial) e D D o desconto simples por dentro (racional). Vimos anteriormente que e 1 D F N i n D D N i n i n ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ + ⋅ Logo, 1 F D D D i n = + ⋅ ( ) 1 F D D D = i n ⋅ + ⋅ 18. (Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00 Resolução Para quem conhece a fórmula que mostrei anteriormente, a questão é facílima!! ( ) 1 F D D D = i n ⋅ + ⋅ O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por fora) que é igual a R$ 981,00, a taxa que é igual a 3% =0,03 ao mês e o tempo de antecipação que é igual a 3 meses. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 35 www.pontodosconcursos.com.br ( ) 981 1 0,03 3 D D = ⋅ + ⋅ 981 1,09 D D = ⋅ 981 900 1,09 D D = = Letra E 19. (AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00 Resolução A taxa de desconto será igual nas duas operações. A primeira operação é um desconto comercial simples com valor nominal R$ 10.900,00, desconto igual a R$ 981,00 e tempo de antecipação igual a 3 meses. Como sabemos que o desconto comercial simples é dado por F D N i n = ⋅ ⋅ , então 981 10.900 3 i = ⋅ ⋅ 981 32.700 i = ⋅ 981 0,03 32700 i = = CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 36 www.pontodosconcursos.com.br J á que a taxa utilizada será a mesma nos dois descontos, e a questão trocou o desconto comercial simples por um desconto racional simples, podemos calcular esse novo desconto com a fórmula ( ) 1 F D D D = i n ⋅ + ⋅ ( ) 981 1 0,03 3 D D = ⋅ + ⋅ 981 1,09 D D = ⋅ 981 900 1,09 D D = = Letra B Juros Compostos No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são 20 100 · 1u.uuu = 2.uuu e o montante após o primeiro ano é 10.000 +2.000 =12.000. Os juros gerados no segundo ano são 20 100 · 12.uuu = 2.4uu e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano são 20 100 · 14.4uu = 2.88u e o montante após o terceiro ano é 14.400 +2.880 =17.280. Os juros gerados no quarto ano são 20 100 · 17.28u = S.4S6 e o montante após o quarto ano é 17.280 +3.456 =20.736. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 37 www.pontodosconcursos.com.br Os juros gerados no quinto ano são 20 100 · 2u.7S6 = 4.147,2u e o montante após o quinto ano é 20.736 +4.147,20 =24.883,20. Período de Capitalização O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre. E assim por diante. Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros). Fórmula do Montante Composto Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: H = C · (1 + i) n M → montante (capital +juros). C → Capital inicial aplicado. i → taxa de juros n → número de períodos. Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação: H = [ +C = [ = H-C CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 38 www.pontodosconcursos.com.br Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta Considere a seguinte situação: J oão aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização: a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses Resolução a) Capitalização Simples H S = C · (1 +i · n) Capitalização Composta H S = 1.uuu · (1 +u,1 · 1) = 1.1uu H C = C · (1 +i) n Observe que, para H C = 1.uuu · (1 + u,1) 1 = 1.1uu n = 1, o montante simples é igual ao montante composto. b) Capitalização Simples H S = C · (1 +i · n) Capitalização Composta H S = 1.uuu · (1 + u,1 · u,S) = 1.uSu H C = C · (1 +i) n Observe que, para H C = 1.uuu · (1 + u,1) 0,5 = 1.u48,81 n = u,S, o montante simples é maior do que o montante composto. c) Capitalização Simples H S = C · (1 +i · n) Capitalização Composta H S = 1.uuu · (1 +u,1 · 2) = 1.2uu H C = C · (1 +i) n CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 39 www.pontodosconcursos.com.br Observe que, para H C = 1.uuu · (1 + u,1) 2 = 1.21u n = 2, o montante simples é menor do que o montante composto. Em resumo, temos as seguintes relações n = 1 O montante simples é igual ao montante composto. u < n < 1 O montante simples é maior do que o montante composto. n > 1 O montante simples é menor do que o montante composto. 20. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 Resolução H = C · (1 + i) n O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. H = 2u.uuu · 1,u4 3 1,u4 × 1,u4 = 1,u816 1,u816 × 1,u4 = 1,124864 ÷ 1,1249 Letra E H = 2u.uuu · 1,u4 3 = 2u.uuu · 1,1249 = 22.498,uu 21. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um montante de R$18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.? (A) 14.325,00 (B) 14.000,00 (C) 13.425,00 (D) 12.000,00 (E) 10.000,00 CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 40 www.pontodosconcursos.com.br Resolução Vamos utilizar a fórmula do montante composto. Observe que a taxa e o tempo já estão em conformidade em relação às unidades. H = C · (1 + i) n 18.6S4 = C · (1 + u,1u) S 18.6S4 = C · 1,SS1 C = 18.6S4 1,SS1 = 14.uuu Letra B 22. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se aplicamos o capital C por 3 meses à taxa composta de 7% a.m., o rendimento total obtido é, proporcionalmente a C, de, aproximadamente, (A) 10,0% (B) 20,5% (C) 21,0% (D) 22,5% (E) 25,0% Resolução Rendimento é sinônimo de juros. Vamos aplicar a fórmula do montante composto. H = C · (1 + i) n H = C · (1 + u,u7) S H = 1,22Su4S · C Como o rendimento (juro) é igual a diferença entre o montante e o capital aplicado, então: Percentualmente temos: [ = H - C = 1,22Su4S · C - C = u,22Su4S · C [ ÷ 22,S% · C Letra D 23. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês. Simultaneamente, a outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 41 www.pontodosconcursos.com.br de i%. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%. Quantos são os divisores inteiros positivos de i ? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 2 (E) 1 Resolução Para facilitar os cálculos, vamos considerar que o capital aplicado foi igual a R$ 100,00. C = 1uu,uu Temos duas aplicações: i) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês durante dois meses. A metade do capital é igual a R$ 50,00. H 1 = C 1 · (1 +i 1 ) n H 1 = Su · (1 + 2u%) 2 H 1 = Su · 1,2 2 = 72 ii) A outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal de i% durante 2 meses. O juro simples é calculado da seguinte maneira: [uro = Copitol × toxo × tcmpo É importante notar que deve haver conformidade entre a unidade da taxa e a unidade de tempo. [ = Su · i%· 2 [ = 1uu · i% = 1uu · i 1uu [ = i Por definição, o montante é a soma do capital aplicado com os juros auferidos no período. Desta forma, o montante simples é igual a Su + i. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 42 www.pontodosconcursos.com.br Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%. Como estamos supondo que o capital aplicado é igual a R$ 100,00, então os montantes somados resultam R$ 150,00. Hontontc Composto + Hontontc Simplcs = 1Su 72 + Su + i = 1Su 122 + i = 1Su Os divisores positivos de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14, 28. i = 28 O número i possui 6 divisores positivos. Letra A 24. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a J uros Simples e do Montante a J uros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. Resolução CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 43 www.pontodosconcursos.com.br O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto). Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto. Letra E Taxas Equivalentes Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples é o mesmo que falar em taxas proporcionais. Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos. Exemplo Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao mês? Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a seguinte equação: 3 1 (1 ) (1 ) m t C i C i ⋅ + = ⋅ + 3 (1 0,10) 1 t i + = + 1 1,331 t i + = 0,331 t i = 33,1% t i = Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1 +i) n CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 44 www.pontodosconcursos.com.br Exemplo Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao trimestre? J á que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: (1 + i unuuI ) 1 = (1 +i t¡ìmcst¡uI ) 4 1 +i unuuI = (1 +u,2) 4 1 + i unuuI = 2,u7S6 i unuuI = 1,u7S6 i unuuI = 1u7,S6% oo ono Taxa Nominal e Taxa Efetiva Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”. A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada de taxa efetiva. No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por mês e imediatamente incorporados ao capital). J á quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. São exemplos de taxas nominais: - 30% ao mês com capitalização diária. - 48% ao ano com capitalização bimestral. Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 45 www.pontodosconcursos.com.br Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”. A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!! Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: Ioxo c¡cti:o = Ioxo Nominol Númcro Jc pcrioJos Jc copitolizoção contiJos no toxo nominol Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva. Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. 1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será 60% 10% a.b. 6 b i = = Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas equivalentes. Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira: 1 6 (1 ) (1 ) a b i i + = + 6 1 (1 0,10) a i + = + 6 1,10 1 a i = − 0,7715 a i = 77,15% a i = Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 46 www.pontodosconcursos.com.br 60% (taxa nominal). J á se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b.. Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal. 25. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% Resolução Vamos analisar cada parte do enunciado. “ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”. J á que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral é dada por 40% 20% a.b. 2 b i = = Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres. 1 3 (1 ) (1 ) s b i i + = + 3 1 (1 0,20) s i + = + 1,728 1 0,728 s i = − = 72,8% s i = Letra B CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 47 www.pontodosconcursos.com.br 26. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Aplicando-se R$5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será (A) 5.400,00 (B) 5.405,00 (C) 5.408,00 (D) 6.272,00 (E) 6.275,00 Resolução O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é bimestral, então os juros são calculados em todos os bimestres e imediatamente incorporados ao capital. Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização bimestral” significa na realidade “4% ao bimestre”, isto porque 24% dividido por 6 é igual a 4% (lembre-se que um ano é composto por 6 bimestres). A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao bimestre é chamada de taxa efetiva. Nas fórmulas de juros compostos sempre devemos utilizar as TAXAS EFETIVAS. Lembre-se sempre disto!! No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada bimestralmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por bimestre e imediatamente incorporados ao capital). J á quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao bimestre com capitalização bimestral é uma taxa efetiva. Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: H = C · (1 + i) n M → montante (capital +juros). CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 48 www.pontodosconcursos.com.br C → Capital inicial aplicado. i → taxa de juros n → número de períodos. Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 4 meses, então o número de períodos é igual a 2 bimestres. Temos os seguintes dados no enunciado: C = S.uuu i = 4% o. b. = u,u4 o. b. n = 2 bimcstrcs H = C · (1 + i) n H = S.uuu · (1 + u,u4) 2 = S.uuu · 1,u4 2 H = S.4u8,uu Letra C Descontos Compostos A operação de desconto foi estudada na aula passada. Foi visto que desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. Os principais elementos de uma operação de desconto são: Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N) É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na data do vencimento. Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A) O valor líquido é obtido pela diferença entre o valor nominal e o desconto. Desconto (D) Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 49 www.pontodosconcursos.com.br Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. A = N -Ð Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos elementos da operação de desconto simples. A única coisa que irá mudar é a natureza da taxa. O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime de capitalização composta. Pode ser, também, de dois tipos (por fora e por dentro). Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto Comercial Composto. Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto). Desconto Racional (por dentro) Composto A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a uma operação de juros compostos. Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional composto teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título. J á que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo. Capital Inicial JUROS COMPOSTOS Juros Montante CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 50 www.pontodosconcursos.com.br O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital inicial da operação de juros compostos. O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao montante da operação de juros compostos. O desconto da operação de desconto racional composto corresponde ao juro da operação de juros compostos. Correspondência entre os elementos das operações Juros Compostos Desconto Racional Composto (por dentro) Capital Inicial (C) Valor Atual (A) Montante (M) Valor Nominal (N) Juro (J) Desconto (D) Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples (por dentro). Juros Compostos: (1 ) n M C i = ⋅ + Desconto Racional Simples: Valor Atual 0 (Data zero) Linha do tempo Desconto Valor Nominal DESCONTO RACIONAL (1 ) n N A i = ⋅ + CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 51 www.pontodosconcursos.com.br Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto. Desconto Racional Simples (por dentro) Desconto Racional Composto (por dentro) (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ (1 ) n N A i = ⋅ + A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente. O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Desconto Comercial (por fora) Composto Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual. O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto comercial composto incide sobre o valor nominal. Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto. Desconto Racional Simples (por dentro) Desconto Racional Composto (por dentro) (1 ) N A i n = ⋅ + ⋅ (1 ) n N A i = ⋅ + Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi para o expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto. Desconto Comercial Simples (por fora) Desconto Comercial Composto (por fora) CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 52 www.pontodosconcursos.com.br (1 ) A N = i n ⋅ − ⋅ (1 ) n A N i = ⋅ − Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. A = N -Ð 27. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do vencimento (desconto composto por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao mês? (A) 1.600,00 (B) 1.620,00 (C) 1.680,00 (D) 1.720,00 (E) 1.800,00 Resolução Aplicação direta da fórmula do valor atual no desconto composto por fora. Lembre-se que valor de face é o mesmo que valor nominal. A = N · (1 -i) n A = 2.uuu · (1 - u,1u) 2 A = 2.uuu · u,81 A = 1.62u,uu Letra B 28. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 53 www.pontodosconcursos.com.br d) 396,00 e) 395,00 Resolução Dados do problema: N = 24.200,00 n = 2 meses i = 10% a.m. = 0,10 a.m. 1º) Desconto comercial composto (D) Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto: (1 ) n A N i = ⋅ − 2 24.200 (1 0,10) A = ⋅ − 2 24.200 0,90 24.200 0,81 A = ⋅ = ⋅ 19.602,00 A = E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que D =24.200 – 19.602 D = 4.598,00 2º) Desconto racional composto (d) Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto: (1 ) n N A i = ⋅ + 2 24.200 (1 0,10) A = ⋅ + 24.200 1,21 A = ⋅ CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 54 www.pontodosconcursos.com.br 24.200 20.000,00 1,21 A = = E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que d =24.200,00 – 20.000,00 d =4.200,00. Dessa forma, a diferença D – d =4.598,00 – 4.200,00 =398,00 Letra B 29. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto será igual a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa mensal de desconto para que o valor do desconto seja o mesmo? (A) 83,3% (B) 69,1% (C) 42,8% (D) 20,0% (E) 16,7% Resolução Existe uma fórmula muito interessante que é empregada em questões que relacionam duas taxas de desconto composto (racional e comercial) de forma que o valor do desconto seja o mesmo nas duas modalidades. A fórmula é a seguinte: 1 i C - 1 i R = 1 Onde i C é a taxa do desconto comercial composto e i R é a taxa do desconto racional composto. A taxa do desconto racional composto é igual a 20% =0,2, ou seja, i R = u,2. 1 i C - 1 u,2 = 1 1 i C -S = 1 CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 55 www.pontodosconcursos.com.br 1 i C = 6 i C = 1 6 = u,166666 … . ÷ 16,7% Letra E CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 56 www.pontodosconcursos.com.br Relação das questões comentadas 01. (Petrobras – Auditor J r – 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de a) 12.600,00 b) 12.800,00 c) 13.200,00 d) 13.600,00 e) 13.800,00 02. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99 03. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? (A) 1,04% a.m. (B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m. (D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a. 04. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$ 9.240,00 à taxa de juros simples de 26,4% ao ano. (A) 21 (B) 12 (C) 5 (D) 4,41 (E) 1,75 05. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi (A) menor do que R$ 500,00. (B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 57 www.pontodosconcursos.com.br (C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00. (D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00. (E) maior do que R$ 2.500,00. 06. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Um título sofreu desconto racional simples 3 meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na operação foi 5% ao mês. Se o valor do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de face desse título, em reais, era (A) menor do que 5.400,00. (B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00. (C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00. (D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00. (E) maior do que 6.000,00. 07. (BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.666,67 c) R$ 32.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 160.000,00 08. (BNB 2003 – ACEP) J osé tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor J osé pagaria a dívida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? a) R$ 16.000,00 b) R$ 13.800,00 c) R$ 17.600,00 d) R$ 14545,45 e) R$ 14.800,00 09. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00 d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00. 10. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 58 www.pontodosconcursos.com.br vencimento (desconto simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao mês? (A) 1.600,00 (B) 1.620,00 (C) 1.680,00 (D) 1.720,00 (E) 1.800,00 11. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a (A) 400,00 (B) 352,00 (C) 256,00 (D) 144,00 (E) 48,00 12. (TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será: a) R$ 14.850,00 b) R$ 16.119,29 c) R$ 16.335,00 d) R$ 16.665,32 e) R$ 18.233,50 13. (AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês. b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês. c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês. 14. (Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. a) 6% b) 5% c) 4% CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 59 www.pontodosconcursos.com.br d) 3,3% e) 3% 15. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser (A) 5.104 (B) 5.191 (C) 5.250 (D) 5.280 (E) 5.344 16. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro meses antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês. Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa deverá receber, em reais, (A) 12.000,00 (B) 10.000,00 (C) 9.600,00 (D) 9.200,00 (E) 9.000,00 17. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, (A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63% 18. (Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 60 www.pontodosconcursos.com.br a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00 19. (AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00 20. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 21. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um montante de R$18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.? (A) 14.325,00 (B) 14.000,00 (C) 13.425,00 (D) 12.000,00 (E) 10.000,00 22. (Técnico de Administração e Controle J únior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se aplicamos o capital C por 3 meses à taxa composta de 7% a.m., o rendimento total obtido é, proporcionalmente a C, de, aproximadamente, (A) 10,0% (B) 20,5% (C) 21,0% (D) 22,5% (E) 25,0% CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 61 www.pontodosconcursos.com.br 23. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês. Simultaneamente, a outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal de i%. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%. Quantos são os divisores inteiros positivos de i ? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 2 (E) 1 24. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a J uros Simples e do Montante a J uros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. 25. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 62 www.pontodosconcursos.com.br 26. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Aplicando-se R$5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será (A) 5.400,00 (B) 5.405,00 (C) 5.408,00 (D) 6.272,00 (E) 6.275,00 27. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do vencimento (desconto composto por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao mês? (A) 1.600,00 (B) 1.620,00 (C) 1.680,00 (D) 1.720,00 (E) 1.800,00 28. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00 29. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto será igual a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa mensal de desconto para que o valor do desconto seja o mesmo? (A) 83,3% (B) 69,1% (C) 42,8% (D) 20,0% (E) 16,7% CURSO ON-LINE –MATEMÁTICA P/ PETROBRÁS (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES 63 www.pontodosconcursos.com.br Gabaritos 01. E 02. D 03. E 04. A 05. B 06. E 07. A 08. D 09. A 10. A 11. C 12. C 13. B 14. E 15. C 16. C 17. E 18. E 19. B 20. E 21. B 22. D 23. A 24. E 25. B 26. C 27. B 28. B 29. E