AULA 00-Estatistica Concurseiro Fiscal

Estatística p/ AFRFB - 2015Prof. Alexandre Azevedo, AULA 00 ATENÇÂO! Essa obra é protegida por direitos autorais. O material é de uso restrito do seu adquirente, sendo expressamente proibida a sua distribuição ou o fornecimento a terceiros sem a prévia autorização do autor ou do Concurseiro Fiscal. A reprodução, distribuição, venda ou utilização em grupo por meio de rateio sujeita os infratores às sanções da Lei nº 9.610/1998. Os grupos de rateio são ilegais! Valorize o trabalho dos professores e somente adquira materiais diretamente no site Concurseiro Fiscal. O Concurseiro Fiscal dispõe de descontos exclusivos para compras em grupo. Adquira de forma legal. ALUNO - 999.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 AULA 00 – Aula Demonstrativa Salve, concurseiros fiscais de todo o país! Sejam bem-vindos ao curso de Estatística para o concurso de AFRFB. Saiba que você, só de já estar lendo esta aula deu um grande passo em relação à sua aprovação. Digo isso pois, para muitos candidatos, a pior fase é aquele início dos estudos, onde tudo ainda é muito novo e as horas de estudo demoram a passar. Neste curso, o nosso objetivo será o de treinarmos ao máximo questões da Esaf e, quando for pertinente, questões de outras bancas que, por algum motivo, sejam adequadas ao nosso objetivo. Possuo uma didática em que priorizo, na hora de abordar a teoria, que o aluno entenda o básico da matéria, sem sobrecarregá-lo, colocando os aprofundamentos pertinentes ao longo das questões a serem resolvidas, até mesmo para que tais observações façam mais sentido ao aluno. Fiquem tranquilos, pois você se encontra em ótimas mãos e trilharemos juntos o caminho até a sua vitória e conquista! Nesta nossa aula demonstrativa, procurei pegar o básico do início do conteúdo(nem tão básico assim), para depois trabalharmos probabilidades, distribuições, inferências,ou seja, todo o programa do edital. Os assuntos da aula “zero” foram escolhidos para que você entre com o pé direito no estudo desta matéria, sem também ficar te iludindo com apenas questões fáceis, que não ajudariam em nada na sua preparação. Por falar nisso, observe que, como todo mundo, irei utilizar ao máximo as questões da ESAF, mas também aparecerão questões de outras bancas, à medida em que eu achar necessário para exemplificar alguma parte da teoria ou pelo motivo daquele tipo de questão ser extremamente copiado de prova para prova, mesmo com as bancas não sendo as mesmas. O meu objetivo é o de atender a todos, seja aqueles que agora estão começando ,seja aqueles que estão em nível mais avançado (e é comum termos pessoas de nível altíssimo num concurso como da Receita). Para isso, ao longo de cada apresentarei questões de nível fácil, médio e difícil, questões essas que vocês devem tentar resolver e depois conferir a resolução. Concurseiro Fiscal ALUNO - 999.999.999-99 www.concurseirofiscal.com.br Página 1 de 89 ALUNO - 999.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 É claro, caso você não consiga sair do lugar, olhe a resposta e veja muito bem como a questão foi resolvida, pois questões de concurso são, em seu grande número, cópias carbono umas das outras, pelo menos nas matérias de exatas. Justamente por isso, te dou muita força para nunca desanimar, pois se as questões são repetitivas, basta que você treine muito, muito e muito mesmo! Agora, veja bem o que eu disse: treinar significa pegar a questão, vencer o cansaço e realmente tentar fazer. No início, muitas pessoas querem pegar a aula em pdf e ficar lendo as resoluções, numa zonade-conforto. Mas, logo te aviso: para pegar o jeito de resolvê-las, você deve realmente tentar fazer e, com o tempo, você perceberá que você passou do status dos que “tentam” fazer ao daqueles que realmente saem resolvendo questões uma após a outra. Como todos sabem, temos um fórum onde estarei à sua disposição, seja para dúvidas, seja para você me dizer que não precisa mais de mim, pois finalmente alcançou a sua almejada vaga! Apresentação do professor Olá, é com imenso prazer que venho me apresentar, já que seremos companheiros na nossa tarefa de prepará-lo para os concursos que tenham a temida disciplina de estatística como parte de seu edital. Na realidade você terá em mim um professor e aliado para te ajudar a destrinchar uma prova em cujo edital aparecem conteúdos de matemática e estatística, sendo esta última a matéria que eu predominantemente irei ministrar no site. Digo que seremos companheiros porque, muito mais do que aluno e professor, estarei sempre à disposição para ajudá-lo, seja em suas dúvidas, seja para ensiná-lo a estudar de forma correta a minha matéria, o que inclui aprender os “macetes” inerentes a cada tipo de assunto ou questão. Bom, primeiramente, deixem que eu me apresente. Meu nome é Alexandre de Azevedo Silva e trabalho desde os 19 anos de idade preparando alunos para exames vestibulares e concursos públicos. Meu contato com a grande emoção que é fazer uma prova começou cedo, quando prestei prova para o ensino técnico do CefetRJ, onde cursei o ensino médio e, posteriormente, fiz turma Ime-Ita, Concurseiro Fiscal ALUNO - 999.999.999-99 www.concurseirofiscal.com.br Página 2 de 89 com uma especialização em segurança de redes de computadores. Alguns podem pensar que sou louco por ter usado a palavra “emoção” para descrever o meu sentimento ao fazer uma prova. Adoro trabalhar com qualquer coisa que envolva competição. mas explico: para muitas pessoas.Alexandre Azevedo – Aula 00 tendo sido aprovado no Ime.999. Em Estatística. reforço que. era bem menor. também pela Uerj.999. acabei de terminar o meu mestrado em matemática pelo Impa.999.concurseirofiscal. cada vez mais especializado e “antenado” quanto ao conteúdo cobrado nas provas. Concurseiro Fiscal ALUNO . e muito. o de um desafio a ser vencido e que iria melhorar . quando for pertinente. Além disso. Mais uma vez. estar ali é um sacrifício. mas hoje temos a estatística descritiva e a inferencial. pela Uff. Trabalho há vários anos num curso e colégio especializado em vestibulares. moda e variância. o que significa que teremos de ver assuntos um pouco mais conhecidos como média. pois é uma forma democrática e justa de galgar postos mais altos em suas vidas. além de . por tudo o quanto é motivo.br Página 3 de 89 . por exemplo. o nosso objetivo será o de treinarmos ao máximo questões da Esaf e. a minha vida. seja vestibular ou concurso.999. E era com esse sentimento que eu ia fazer uma prova. não será diferente. sejam adequadas ao nosso objetivo. questões de outras bancas que.com.999-99 www. Antigamente o conteúdo cobrado numa prova da Receita. Sou formado em Matemática pela Uerj e em Informática. como os testes de hipóteses. por algum motivo. que acabei não cursando.ALUNO . mas é um sacrifício que elas sabem que lhes trará muitos benefícios. posteriormente. e outros nem tão conhecidos. neste curso. ter sido convidado para dar aula em vários cursos de concursos do RJ. pois acho interessante a responsabilidade de preparar pessoas com uma bagagem tão grande quanto é o concurseiro. onde dou aulas de matemática para as turmas normais e matemática e física para a turma IME-ITA.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Função distribuição de probabilidade (FDP). Função densidade de Uso da integral para cálculo de probabilidades. Variáveis probabilidade (fdp) AULA 06 AULA 08 01/06/2015 AULA 09 15/06/2015 AULA 10 contínuas. geométrica e harmônica.com. Distribuição de Poisson. Distribuição Geométrica. AULA 01 23/02/2015 Conceitos básicos.999. Desvio médio Desvio padrão e variância. Propriedades das medidas de posição associadas a desvios Propriedades das medidas de dispersão Coeficiente de variação.concurseirofiscal. Distribuição Binomial. Intervalo interquartílico Desvio em relação à média aritmética. Desvio-padrão. Relação entre FDP e fdp Esperança para variáveis contínuas. Amplitude. Coeficiente de variação AULA 07 18/05/2015 Covariância. Distribuição uniforme discreta Distribuição de Bernoulli. Principais distribuições discretas.Alexandre Azevedo – Aula 00 Informações sobre o curso Nosso curso será ministrado ao longo de 16 aulas. Distribuição Hipergeométrica Distribuição binomial negativa Principais Concurseiro Fiscal ALUNO . Médias ponderada. Variável aleatória discreta.br Distribuição uniforme Página 4 de 89 .999. medidas de posição e dispersão AULA 02 09/03/2015 AULA 03 23/03/2015 Medidas de posição. Dados agrupados em rol ou em classes. incluindo esta aula demonstrativa. Variância para variáveis contínuas.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999-99 distribuições contínuas.999. Medidas de dispersão. moda e variância e suas propriedades. Propriedades da esperança e da variância.ALUNO . AULA 04 06/04/2015 Análise Combinatória AULA 05 20/04/2015 Probabilidade 04/05/2015 Estatística Inferencial. de acordo com o cronograma abaixo: AULA 00 23/01/2015 Conceitos básicos. Média. www. Teorema de Chebychev. Variáveis aleatórias: conceitos iniciais. . ser mais um de meus discípulos rumo à conquista do mundo!(rss.concurseirofiscal. Teste para proporções usando a distribuição normal Teste de quiquadrado. então. pois a chave para que você vá muito bem numa disciplina de exatas é o treino incessante. Distribuição normal. Amplitude do intervalo de confiança e tamanho da amostra Testes de hipóteses. Análise de variância da regressão Em cada aula. Aproximação normal à binomial Distribuição exponencial. Teste para proporções usando a distribuição binomial. Intervalo de confiança para média Intervalo de confiança para proporção.999.999. Teste para proporções usando a distribuição binomial. para que você que já é concurseiro de longa data tenha uma melhor oportunidade de me avaliar e.br Página 5 de 89 . Teste para a média e P-valor. Análise de variância Correlação linear entre variáveis aleatórias.. Teste de quiquadrado. Estimador de máxima verossimilhança. Análise de variância Testes de hipóteses. coloquei tanto questões do nosso conteúdo inicial quanto outras pertencentes a tudo o que será visto ao longo do curso. Concurseiro Fiscal ALUNO . Teste para a média e P-valor. Distribuição de qui-quadrado Amostragem. com os conceitos básicos.rsss) Comecemos. Na aula de hoje.999. Regressão linear simples. Estimadores pontuais e distribuições amostrais Características dos estimadores.com. tomara.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 29/06/2015 AULA 11 13/07/2015 AULA 12 27/07/2015 AULA 13 10/08/2015 AULA 14 24/08/2015 AULA 15 07/09/2015 contínua. Estimador de mínimos quadrados.999-99 www. sempre teremos um grande número de questões. Intervalos de confiança. Teste para proporções usando a distribuição normal. Estimador não viciado Estimador de variância mínima.ALUNO . 999-99 www. Amostra: Subconjunto da população que. 5. 3. Uma variável pode ser qualitativa. Exemplo: Foi feita uma pesquisa para analisar o desempenho do 3º ano do Ensino Médio de um determinado colégio. armazenamento. por convenção. 9. ou quantitativa.999. 4.999. População: População ou Universo Estatístico é o conjunto formado por todos os elementos envolvidos no âmbito da pesquisa. 4. Em outras palavras. 9. 4. 6. decidiu-se a média final de um conjunto de 45 alunos (15 de cada turno). com o objetivo de permitir a melhor utilização possível destas informações. 4. 5. a amostra seria o conjunto dos 45 alunos cujas notas foram coletadas. Através de um exemplo simples. 0. quando seus valores são expressos por atributos (sexo.Alexandre Azevedo – Aula 00 Conceitos Básicos de Estatística A Estatística é a área da Matemática que estuda métodos de captação. 1. o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 6. Um “macete” para melhor classificar uma variável é pensar assim: vamos perguntar para a variável o valor da mesma. 2. 7. 3. 10. 3. Variável: A variável da pesquisa é. análise e interpretação de dados. As notas coletadas foram: {1. 1. 6. 6. 1. 2.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. quando seus valores são expressos em números (como o do exemplo em questão). No nosso exemplo. 8. Como o total de alunos era muito grande (o colégio funcionava em 3 turnos.999. 8. 8. a população seria o conjunto de todos os alunos do 3º ano do Ensino Médio deste colégio. 10. ao ser analisado. cor da pele).999.concurseirofiscal. no nosso exemplo a nota final do aluno. permite que se atinja um resultado bem próximo da realidade da população. 6. Concurseiro Fiscal ALUNO . 5. 10. 9. cada um com cerca de 6 turmas).com. 4. 8. 7. 2. assim como medidas que serão utilizadas na interpretação destes dados. vamos abordar alguns dos tópicos mais importantes desta ciência tão usada em diversas áreas do conhecimento. 3. representação. 9.br Página 6 de 89 . 5. variável é o item que está sendo usado na pesquisa. 9} Vamos agora determinar alguns processos de armazenamento e representação. 2. No nosso exemplo. 10. 8. 9. 7.ALUNO . 67% 8 5 11.89% 4 5 11. a resposta será uma palavra. por exemplo.ALUNO .11% 28. a variável é quantitativa.11% 5 4 8.999.67% 33.89% 6 5 11. Vamos apresentar dois exemplos de tabela que poderiam ser utilizados na situação problema: Média Final Número de Alunos(FA) FR 0 1 2. tem freqüência absoluta igual a 4). variável qualitativa. Se fizermos um resumo de tais símbolos. pois ao questionar qual a nacionalidade do indivíduo.concurseirofiscal. Freqüência: Absoluta: número de vezes que um valor da variável aparece no conjunto de dados coletados (a nota 2.com.33% Onde FA é a frequência absoluta e FR é a frequência relativa.11% 9 6 13. por exemplo.89% 3 4 8.22% 1 4 8. Relativa: razão entre a freqüência absoluta e o número total de valores da variável ( a nota 3. se for uma palavra.89% 26. a variável “nacionalidade” em uma pesquisa é uma variável qualitativa.999. enquanto o símbolo | − indica intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.999-99 www.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999.br Página 7 de 89 .89% Média Final 0 2 2 5 5 8 8 10 Número de Alunos(FA) 5 13 12 15 FR 11.11% 7 3 6. tem freqüência relativa igual a 4 45  8. O símbolo | − | significa intervalo fechado à esquerda e à direita.999.33% 10 4 8. teremos o seguinte: Concurseiro Fiscal ALUNO .89% 2 4 8. Por exemplo.88%) Tabelas: Quadro que é usado para armazenar e apresentar os dados coletados.Alexandre Azevedo – Aula 00 Se a resposta for um número. 999. cada valor da variável aparece acompanhado de suas frequências absoluta e relativa.999. Representação Gráfica: Representaremos a seguir os dados obtidos através de gráficos.999-99 www. cada um com suas frequências absoluta e relativa.concurseirofiscal.com. que recebem nomes diferentes de acordo com sua apresentação: Número de Alunos 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média Final Gráfico de Segmento Número de Alunos 6 5 4 4 4 5 5 4 4 3 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média Final Gráfico de Barras Concurseiro Fiscal ALUNO .Alexandre Azevedo – Aula 00 Na primeira tabela.999. os valores são distribuídos em intervalos (ou classes).999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999.br Página 8 de 89 .ALUNO . Na segunda tabela. 89% 2 5 Gráfico de Setores (ou Gráfico ”Pizza”) Número de Alunos 15 13 12 5 0 2 5 8 10 Média Final Histograma Estes são alguns exemplos de representação gráfica dos dados de nosso exemplo.br Página 9 de 89 . Vale ressaltar que o HISTOGRAMA é utilizado quando os dados estão organizados em classes. mas cuja base de cada retângulo corresponde à amplitude de classes.com. e a linha que aparece neste gráfico é denominada Polígono do Histograma ou Polígono de Frequência (os pontos em destaque estão em verticais traçadas pelos valores médios de cada classe).67% 11.33% 5 8 26. o histograma é um gráfico em barras.999.Alexandre Azevedo – Aula 00 Média Final 8 10 33.999. Na verdade.concurseirofiscal.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Os gráficos de Segmento e de Barras foram construídos a partir da primeira tabela.11% 0 2 28. enquanto o Gráfico de Setores e o Histograma foram construídos a partir da segunda tabela.999.ALUNO .999-99 www. Concurseiro Fiscal ALUNO .999. ALUNO . temos: Concurseiro Fiscal ALUNO .999-99 www. n  x . calcula-se a Média Aritmética Simples destes n valores dividindo-se a soma destes valores por n.999. 𝑑𝑓 = 𝑓 ℎ Medidas de Posição Média Aritmética x : -Simples: Dado o conjunto de valores A = {x1 .. Uma outra possibilidade é quando queremos que a área de cada retângulo corresponda à respectiva frequência de cada classe . x3 .com.concurseirofiscal. a altura de cada um tem de ter correspondência com o conceito de densidade de frequência. que são números que indicam a intensidade de cada valor (frequências absolutas ou relativas).999.Alexandre Azevedo – Aula 00 Na construção do histograma. o mais comum é que a altura de cada retângulo seja dada pela frequência absoluta ou relativa do intervalo de dados em questão. p  i x Sendo pi o peso associado ao valor xi .999. .Com isso.. n x x = i i 1 n No exemplo: x 1  3  4  6  8  10  4  3  6  7  9  2  2  4  7  8  5  1  9  10  5  4  5  6  9  2  1  3  9  10  3  5  6  8  2  4  1  6  9  8  10  0  7  8  9 x 45 249 83   5.999. x2 . que é a divisão da frequência de cada classe pela sua correspondente amplitude.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof..33 45 15 -Ponderada: É utilizada no caso em que os valores são influenciados por pesos. xn}.br i i1 n p i i1 Página 10 de 89 . 9.999. por convenção. Obs. 10. Confesso que. 2. 4. 2. 5. 9.999. 6. 8. a moda será determinada identificando-se a classe de maior freqüência e calculando-se a média aritmética de seus limites. formamos a seqüência: (0. 3. 8.4  3.33 45 15 Moda (Mo): É o valor de maior freqüência. 9. 4. 4.4  6. Colocando em ordem crescente os valores de nosso exemplo. Em nosso exemplo.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.3  8. 4. Desta forma temos: Concurseiro Fiscal ALUNO . o conjunto é dito amodal. e assim por diante. 3.br Página 11 de 89 . 4. 3. 6. 9. 1. 7. podemos calcular a média aritmética ponderada usando os dados da primeira tabela: x 0. não me recordo de nenhuma questão em que isso tenha caído. dizemos que o conjunto é bimodal.: Caso os valores sejam fornecidos apenas divididos em classes.10) Nesta seqüência. 10.ALUNO .999-99 www. 5. 6. 1. 9.com.4 83   5. 5.Alexandre Azevedo – Aula 00 Em nosso exemplo.6  10 .concurseirofiscal. 2.999. 5. 3. o termo central é 6 (vigésimo terceiro termo). 6. que são dois métodos de interpolação para que tenhamos o valor da moda de uma forma um pouco mais precisa do que aquela encontrada pelo método acima.5  5. 7. 8. Caso a quantidade de valores do conjunto seja par. 6. 8.1  1.4  4. 9. a mediana será. trimodal.5  9. numa prova da FCC.: Aqui temos uma grande diferença entre a cobrança realizada pelas bancas Esaf e FCC. 7. 8. que será dado na próxima aula. Em concursos como o da Receita Federal. 1. Mo = 9 Quando a freqüência máxima ocorre para dois valores distintos. Como o nosso curso tem foco na Receita Federal. para três valores distintos. banca Esaf. Mediana (Md): È o valor central de um conjunto ordenado (segundo ordem crescente ou decrescente) de valores. com certeza teremos este conteúdo. é comum vermos a utilização da chamada moda de Czuber ou da moda de King. 1. Neste caso.4  2. a média aritmética dos dois valores centrais. 10. Obs2. a moda (Mo) é igual a 9 (FA = 6). Caso todos os valores tenham a mesma freqüência.999. 2.5  7. a moda é denominada moda bruta. Esta classe chama-se classe mediana. são os valores da variável analisada e média aritmética destes valores. 2. i = 1.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. caso tenhamos a seguinte distribuição: a){3. o cálculo da mediana é feito de forma diferente. Como a frequência acumulada até a classe anterior é 18. ambos sempre não negativos. dividimos esta amplitude em 12 partes iguais (0. em nosso exemplo.ALUNO .concurseirofiscal. devemos somar ao limite inferior da classe mediana 4. Calcula-se a soma de todas as freqüências absolutas (soma = 45) e divide-se este valor por 2  45   22.. ou seja.999.999. obtendo assim a mediana: Md = 5 + (4.125 A escolha pela utilização de cada uma destas medidas será feito de acordo com o tipo de análise que se pretende fazer. o quão heterogêneo ele é.5 – 18) vezes 0.5 (22. n.999-99 www. Sejamos bem informais no exemplo a seguir.5). (0.3. . Como existem 12 elementos nesta classe e a amplitude deste intervalo é igual a 3.5) .: Caso os valores sejam fornecidos apenas divididos em classes. mais homogênea é a distribuição dos valores da variável. então...Alexandre Azevedo – Aula 00 Md = 6 Obs. sem as frequências individuais de cada valor. onde xi .25. x é a -Desvio Padrão: DP = V Obs1: A variância e o desvio padrão.999.5   2  . Define-se. em qual das classes se encontra mediana (primeira classe cuja frequência acumulada até ali seja maior que 22. Medidas de Dispersão -Variância:  x  x n 2 i V= i1 n . Vamos lá. que seria a terceira classe (5 8).25 cada parte). Suponha que. determinam o grau de dispersão de um grupo.com.3} Concurseiro Fiscal ALUNO . apenas a segunda tabela nos fosse fornecida.25) = 6.999. Quanto mais próximos de zero forem estes valores.br Página 12 de 89 . ... MH = n 1 1 1 1    . Fiquem tranquilos. neste caso..999-99 www. zero. pois apenas o termo do meio vale zero.Intuitivamente. utilizamos os valores médios de cada classe para o cálculo destas medidas de dispersão. a média não é um valor tão bom assim para ser um representante do grupo como um todo. x2. Você acha que tal valor é uma boa representação da distribuição como um todo? É claro que sim! Pois toda a distribuição é formada unicamente pelo valor 3. ..5} Neste outro exemplo..Média Geométrica: Chama-se Média Geométrica ou Proporcional dos números positivos x1 . os outros. temos aqui a mesma média do exemplo anterior.3. x3 . X 3 3 Ou seja. pois esta utilização do valor médio quando temos uma organização em classes será melhor abordada quando resolvermos os exercícios logo abaixo. x3 . Concurseiro Fiscal ALUNO .999. não.Alexandre Azevedo – Aula 00 Qual a média da distribuição acima? Isso mesmo. sem fazer nenhuma conta. .  x1 x 2 x 3 xn Fique tranquilo: teremos vários exemplos destas médias ao longo das questões. xn o inverso da média aritmética de seus inversos.x . Outras médias: ..br Página 13 de 89 . x2 . Com isso. . No entanto.. vamos também calcular a média? Quanto vale a média da distribuição acima? ̅ = 1+3+5 = 9 = 3. Obs2: Se os dados fornecidos estiverem organizados em classes. é igual a 3. você me diria que a variância ainda é igual a zero? Não.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.xn -Média Harmônica: Chama-se Média Harmônica dos números não nulos x1.999.999. b){1. temos que. xn o seguinte valor : MG = n x ..com. quanto você acha que vale a variância desta distribuição? Isso mesmo.999.x ..concurseirofiscal. 1 2 3 .ALUNO . O número médio de reclamações formais por posto de saúde da cidade.7 (B) 2.ALUNO .1 (C) 1.br Página 14 de 89 .999. em número de salários mínimos. está apresentada na tabela abaixo: Concurseiro Fiscal ALUNO .999.concurseirofiscal. nesse mês. O gráfico a seguir mostra como as reclamações de um determinado mês se distribuíram pelos diferentes postos.8 (D) 2.Alexandre Azevedo – Aula 00 Lista de Questões 1)(SABESP – 2012) A Secretaria de Saúde de um município monitora as reclamações formais que os pacientes fazem dos 60 postos de saúde da cidade.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999-99 www.999.PR – 2011) A distribuição dos salários dos 1000 funcionários da companhia A.2 (E) 1.6 2) (TCE .999.com. foi (A) 1. 50. (C) 3.br Página 15 de 89 .999. (A) 4. é: Dados: md = Mediana interpolação dos salários calculada pelo método da linear. Concurseiro Fiscal ALUNO . (E) 5.concurseirofiscal.0. (C) 4. é igual a (A) 4. (E) 3.8.25. 3) (TCE .com. calculada supondo-se que todos os valores dentro de uma faixa salarial tenham seus valores iguais ao ponto médio desta faixa.999. (D) 3.ALUNO .Alexandre Azevedo – Aula 00 A média dos salários.999-99 www. (D) 4.00.999. calculado pelo método da interpolação linear. (B) 4.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.5.75. (B) 3.PR – 2011) O valor de X-md.2. X = Valor que separa os 15% salários mais altos. em número de salários mínimos.6. em número de salários mínimos.999.00. concurseirofiscal.Alexandre Azevedo – Aula 00 4) (FCC .999.999. de junho de 2005.2006 .com. que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais. Com base nestas informações. o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém: a) 24% das empresas b) 16% das empresas c) 9% das empresas d) 7% das empresas e) 5% das empresas 5) (BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ . obtida pelo método da interpolação linear.BACEN) O histograma de frequências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”. é igual a: Concurseiro Fiscal ALUNO .999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.br Página 16 de 89 .999-99 www. Com relação ao total de empresas deste histograma.999. obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas deste estudo.ALUNO . considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. 00 6) AFRF-2001: Frequências acumuladas de salários anuais.concurseirofiscal.00 d) R$ 3.br Página 17 de 89 . Alfa.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO .00 e) R$ 4. 9 9 .650. Assinale a opção que corresponde a este número.com. a frequência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$7. Alfa.999.000.00 na Cia.Alexandre Azevedo – Aula 00 a) R$ 3. Deseja-se estimar.800. utilizando interpolação linear da ogiva.500. observado como um inteiro.000.999. 18 18 . 12 12 .999-99 www. em milhares de reais.625.2: O atributo do tipo contínuo X. a)150 b)120 c)130 d) 160 e)180 7) AFRF-2002. produziu a tabela de freqüências seguinte: Concurseiro Fiscal ALUNO .00 b) R$ 3. da Cia.00 c) R$ 3.999. 15 15 . numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos. 21 Frequências acumuladas 12 30 50 60 65 68 Suponha que a tabela de frequências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Classes de salários 3 . Alfa. 6 6 . 500. Classes de Salários (5.5 69. e no eixo horizontal os intervalos de classe.000 – 15.5 e maiores do que 50.5 --69. o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população.5 59.5 99.5 --79. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa.5 79.500.00 9) (TRT 5ª região FCC/2013) A distribuição das medidas em metros (m) dos comprimentos dos cabos no estoque de uma fábrica está representada pelo histograma mostrado abaixo.500) Frequências 12 28 52 74 89 97 100 Deseja-se estimar.500 – 11.999. As frequências são acumuladas.000 – 9. a)R$10.com.concurseirofiscal. via interpolação da ogiva.000.000) (14.5 49.5 89.Alexandre Azevedo – Aula 00 Classes 29. em que no eixo vertical constam as densidades de frequências.000 – 6.5 --59. em (m)-1.5.500 – 14.500 – 8.5 --- 39.999. Definese densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.500) (6.5 --89.000) (8.999.00 b)R$9.br Página 18 de 89 .999-99 www.500. Concurseiro Fiscal ALUNO .5 --49.000 – 12.500) (12.00 d)R$11.4 --39.00 e)R$11.000.999. a) 700 b)638 c)826 d)995 e)900 8) Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001 A tabela abaixo mostra a distribuição de frequências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma.000) (11.500) (9.00 c)R$12.5 Frequência (f) 4 8 14 20 26 18 10 Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos com valores do atributo X menores ou iguais a 95.ALUNO . referente a um ramo de atividade escolhido para análise. sobre determinado tributo. Sabe-se que: I – As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos.999-99 www. (Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as próximas duas questões. considere a tabela de frequências relativas abaixo. então a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos igual a 4 m e inferior a 10 m é de: a) 50%. II – A média aritmética da distribuição.00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo). sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y.com.999. b) 60%.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. valor arrecadado por recolhimento. c) 70%. respectivamente. e) 90%.Alexandre Azevedo – Aula 00 Sabendo-se que todos os intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita.999. é igual a R$ 3. Concurseiro Fiscal ALUNO .ALUNO .999. d) 80%. que mostra a distribuição dos valores arrecadados.350.concurseirofiscal.999. em 2008.br Página 19 de 89 . ALUNO .) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. c.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.00 é A) 70% B) 65% C) 55% D) 45% E) 40% 11) Utilizando o método da interpolação linear.999. d.00 D) R$ 3. e.com.400. tem-se que o valor da respectiva mediana é: A) R$ 3.00 C) R$ 3.00 12) (TCDF/95) Assinale a opção correta.) Em Estatística. entende-se por população um conjunto de pessoas.) A serie estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.120.) Freqüência relativa de uma variável aleatória e o número de repetições dessa variável.concurseirofiscal.) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.999. a.200.999.00 B) R$ 3.Alexandre Azevedo – Aula 00 10) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.br Página 20 de 89 .999.999-99 www.000.800. 13) Julgue os itens a seguir. b.00 E) R$ 3. Concurseiro Fiscal ALUNO .600. (B) Apenas os itens I e II estão certos.000 pessoas. 14) (Gestor Fazendário MG .999. com esse material. ele escrevia o número 2 no mesmo papel. com o objetivo de calcular a vida média desse tipo de lâmpada. (E) Todos os itens estão certos. ele verificava se a face sorteada era “cara” ou “coroa”.ALUNO . São sorteadas 100 lâmpadas.999. é um problema estudado pela estatística inferencial. (C) Apenas os itens I e III estão certos.000 habitantes.999. de uma amostra de 1. Caso fosse “cara”. entrevistou 200 pessoas.000 lâmpadas por mês.br Página 21 de 89 . II Um estudante tinha 1 moeda.com. encontre a observações que divide a série de dados em duas partes iguais: 9 9 10 10 11 9 002234 57778 Concurseiro Fiscal ALUNO . Caso fosse “coroa”. A experiência. É correto dizer que. nesse exemplo específico. 1 folha de papel em branco e 1 caneta e. Esse resultado foi atribuído a uma variável X. No final da experiência.concurseirofiscal. Assinale a alternativa correta. Em cada uma das vezes. (D) Apenas os itens II e III estão certos.Alexandre Azevedo – Aula 00 I Uma cidade possui 1. III Uma fábrica produz 100. ele escrevia o número 1 no papel. Com isso.modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo. (A) Nenhum item está certo. o estudante obteve 7 “coroas” e somou todos os números existentes no papel. e essas são mantidas acesas até queimarem. resolveu fazer uma experiência.999.2005/ESAF . Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. o resultado encontrado para X foi 27. necessitando fazer uma determinada pesquisa. o estatístico entrevistou uma população de 200 indivíduos.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Um estatístico.999-99 www. que utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado parâmetro e admite que esse parâmetro é válido para todo o grupo. EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009 A média aritmética dos salários dos 140 empregados de uma empresa X excede em R$ 250.999.ALUNO .00 e o total dos salários pagos em cada uma das empresas são iguais. Os salários médios de homens e mulheres são R$ 600.00 a média aritmética dos salários dos empregados de uma outra empresa Y.00 e R$ 420.999.00.999.concurseirofiscal.650. Sabe-se que a soma dessas duas médias é igual a R$ 1. Concurseiro Fiscal ALUNO . respectivamente.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.00. observa-se que o salário médio mensal dos indivíduos entrevistados é de R$ 500. Assinale a opção que dá a relação entre o número de homens e de mulheres da amostra.com. O número de empregados de Y é: a) 160 b) 170 c) 180 d) 190 e) 200 16) ESAF AFPS/INSS/Administração Previdenciária/2002 Tributária Numa pesquisa amostral.999-99 www.br Página 22 de 89 .Alexandre Azevedo – Aula 00 11 11 12 12 13 13 14 14 0 6 0 5 0 5 0 5 1 6 0 5 0 5 3 012 8 4 5 a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) 111 15) FCC . quanto vale.12 18) ESAF . b) O número de homens é 4/5 do número de mulheres. 5. e) O número de homens é 3/5 do número de mulheres.ATRFB/SRFB/Tecnologia da Informação/2006 Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão.999-99 www.999.03 e) 6..ATE (SEFAZ MS)/SEFAZ MS/2006 As médias aritméticas das provas das turmas A e B foram. .Alexandre Azevedo – Aula 00 a) O número de homens é o dobro do número de mulheres.concurseirofiscal.999.4..999.com. em quilômetros por hora.br Página 23 de 89 . a média aritmética das notas dos estudantes das duas turmas? a) 5. d) O número de homens é 1/5 do número de mulheres. Ele calcula e anota a velocidade média. respectivamente.79 b) 5. no Rio de Janeiro. Xn): 19)ESAF . X2.94 d) 6. Concurseiro Fiscal ALUNO .AFRFB/SRFB/Tributária e Aduaneira/2005 Assinale a opção que expresse a relação entre as médias ̅ ). 17) FGV . para um aritmética (𝑿 conjunto de n valores positivos (X1. aproximadamente.6 e 6.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. geométrica (G) e harmônica (H).88 c) 5. c) O número de homens é igual ao número de mulheres.999.ALUNO . Se há 40 alunos na turma A e 30 na turma B.. é verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: a) x < mg < mh b) x > mg > mh c) mg < x < mh d) x < mg = mh e) x = mg = mh Concurseiro Fiscal ALUNO . ele deve calcular a média: a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.mg : a média geométrica da mesma amostra. 20) ESAF . agora. saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso. G como a média geométrica e H como a média harmônica. e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas.mh : a média harmônica também da mesma amostra. e .Ana Tec (SUSEP)/SUSEP/Controle e Fiscalização Atuária/2006 Para um conjunto determinado de números positivos temos: como a média aritmética. .999.ESAF) Indicando por: .concurseirofiscal.com.br Página 24 de 89 .ALUNO .x : a média aritmética de uma amostra. d) harmônica das velocidades médias observadas. Para tanto. considerando todas as 10 viagens ida-evolta.999. b) geométrica das velocidades médias observadas. O motorista quer.999.999. em quilômetros por hora. c) aritmética das velocidades médias observadas. podemos afirmar que: 21) (SEFAZ CE 2007 .999-99 www. E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si.Alexandre Azevedo – Aula 00 em cada uma dessas viagens. br Página 25 de 89 .999-99 www. A partir da questão 24 temos algumas questões de assuntos variados do nosso cronograma. 1.ALUNO . o valor da moda encontra-se entre o valor da média e o da mediana. A média geométrica simples dessa amostra é: a)2.999. 1.7 5. c) 2. O resultado foi {2. 23) ESAF . 2}.com. b) a moda é uma medida de dispersão relativa. b) 1.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. conforme já havia avisado no início da aula. e) sendo o valor mais provável da distribuição. 3.2 5. tal como a probabilidade.999.999. pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade. d) em distribuições assimétricas. em minha apresentação. foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. e) 2.4 .5 . 24) (ESAF – ATRFB – 2012) A variância da amostra formada pelos valores 2.Alexandre Azevedo – Aula 00 22) FGV .concurseirofiscal. é correto afirmar que a) para toda variável existe uma e apenas uma moda.AFRE RJ/SEFAZ RJ/2011 Em uma repartição. 5 e 3 é igual a a) 3 b) 2.999. Concurseiro Fiscal ALUNO . c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos. 4. a moda. 4.ATRFB/SRFB/Tecnologia da Informação/2006 Sobre a moda de uma variável. d) 2. 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos.br Página 26 de 89 . Sabendo-se que a E(z2) = 20. então o coeficiente de variação de z é igual a: a) 1/√𝟐𝟎 b) 1/5 c) 1/2 d) 1 e) 0 27) Concurseiro Fiscal ALUNO .999. ou seja: E(z) = 4. 25) (ESAF – ATPS – 2012) Do total de moradores de um condomínio. então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a: a) 3/7 b) 8/15 c) 3/15 d) 1/30 e) 4/19 26)(ESAF – ATPS – 2012) A expectância de uma variável aleatória z é igual a 4.com. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. e) 5.concurseirofiscal. um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos.Alexandre Azevedo – Aula 00 c) 1. Por outro lado.999.999. 60% dos moradores são homens. d) 4.ALUNO .999-99 www.999. y diminui. e) x aumenta. (x. possui coeficiente de correlação igual a ρ = -0. y. iguais a: a) 12.999.35 d) 0. em média. então a média e a variância de y são.ALUNO . então a probabilidade de (1 ≤ x ≤ 3/2) é igual a: a) 0. c) x aumenta em 32%. 12 b) 4.75 c) 0. b] e f(x) = 𝐛−𝐚 para a ≤ x ≤ b. y diminui de 32%. y diminui.25 29) Uma variável aleatória x possui média igual a 4 e variância igual a 2.com.32.concurseirofiscal. respectivamente.999. b) x aumenta.br Página 27 de 89 . 2]. Sabendo-se que x é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída no intervalo [0.15 e) 0. Sabendo-se que a variável aleatória y é dada por y = 2x + 4 e que x e y são variáveis aleatórias independentes. d) x diminui em 32%. b] se sua função densidade de probabilidade for dada por f(x) = 0 para todo x 𝟏 que não pertencer ao intervalo [a . 28) Uma variável aleatória contínua x é uma variável uniformemente distribuída no intervalo [a. em média. em média.999.5 b) 0.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. y). diminui em 32%.Alexandre Azevedo – Aula 00 Uma variável aleatória bidimensional.999-99 www. y diminui em 32%. 8 Concurseiro Fiscal ALUNO . em média. Desse modo. pode-se afirmar que à medida que: a) x diminui.999. 999-99 www.999. 0. 8 e) 4.ALUNO .3.999. e variância igual a 4. 12 30) Uma variável aleatória possui distribuição normal com média igual a 10. b) 0. Sabendo que “k” é um número real.0.3k. 0.999. a média e o desvio padrão de X são. μ = 10.concurseirofiscal. σ2 = 4. tem-se que a distribuição amostral das médias. 8 d) 8. c) 0.9k. d) k.3. e) 0.Alexandre Azevedo – Aula 00 c) 12. respectivamente.3.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. a) 0.Retirando-se desta população uma amostra de tamanho n = 100.br Página 28 de 89 . ou distribuição amostral de x é uma distribuição: a) não normal com μ =10 e σ = 1/5 b) normal com μ =10 e σ = 1/5 c) normal com μ =100 e σ2 = 4 d) normal com μ =10 e σ2 = 2 e) não normal com μ =100 e σ2 = 4 31) A tabela mostra populacionais a distribuição de freqüências relativas (f ’) de uma variável X. Concurseiro Fiscal ALUNO .9.com. 0.3.999. 3k. 0. encontre a observações que divide a série de dados em duas partes iguais: 3 4 3 8 4 22 4 57 5 124 5 7889 6 013 6 5567899 7 0112334 7 556679 8 1123344 8 57 9 013 9 7 a) 69 b) 71 c) 70 d) 72 e) 74 33) Para estimar por intervalo a média μ de uma população normal com variância igual a 9.br Página 29 de 89 .ALUNO .999.999. retirou-se uma amostra de 16 Concurseiro Fiscal ALUNO .concurseirofiscal.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999-99 www.com.Alexandre Azevedo – Aula 00 32)(IRB – 2004/ESAF – modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo.999. 47 34) (CGU – Técnico de Finanças e Controle – ESAF –2008) Quando Paulo vai ao futebol. a probabilidade Fernando é igual a: de Paulo encontrar Ricardo ou 0. registram-se os seguintes salários mensais (em salários mínimos): Concurseiro Fiscal ALUNO . Desse modo. a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0.ALUNO .50 d) 0. a probabilidade de ele encontrar ambos. o valor tabelado é igual a 1.com. a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0.Alexandre Azevedo – Aula 00 elementos.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.br Página 30 de 89 .96.999.concurseirofiscal. ao acaso. Sorteando-se.10. a semiamplitude do intervalo ou erro de estimação ─ como também é chamado ─ é igual a: a) 2.999. a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros.7350 e) 0.40. obtendo-se x = 5.15 d) 0.94 b) 1. a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0.20 e) 0.5625 d) 0.45 e) 0.10 b) 0.24 36)(AFRF – ESAF – 2005) Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro.999.999-99 www.05.47 c) 0.12 c) 0. Ricardo e Fernando. três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho. Assim. Para um nível de confiança de 95%.95 35) (CGU – Analista de Finanças e Controle – ESAF –2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados.40 c) 0.04 b) 0. é igual a 0.999. br Página 31 de 89 .72 b) 0. X3.concurseirofiscal.75 c) 0.com. Concurseiro Fiscal ALUNO ..78 37) (AFPS 2002/ESAF) Sejam X1. a) 0.999. d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. X2. .999.999-99 www. 1 n  xi n i 1 s2  1 n xi  x 2  n i 1 Assinale a opção correta.999.Alexandre Azevedo – Aula 00 Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos homens e os salários das mulheres.68 d) 0.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Xn Sejam x observações de um atributo X.81 e) 0.. c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.999.ALUNO . a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. . ALUNO - 999.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. 38)(MPU – Analista – ESAF – 2004) Uma variável aleatória X tem função de distribuição Assinale a opção que corresponde ao valor da função massa de probabilidades (ou função densidade de probabilidades, se for o caso) de X no ponto x = 1. a) 0,250 b) 0,333 c) 0,083 d) 0,583 e) 0,417 39) (ESAF/Auditor Fiscal da Previdência Social/2002) Uma empresa presta serviços de manutenção de eletrodomésticos em domicílio. Para cada um de 18 atendimentos coletou o tempo gasto em minutos (y) com a manutenção e o número de máquinas servidas (x). Postula-se que o modelo linear Yi = α + βXi + εi seja adequado, onde α e β são parâmetros desconhecidos e os εi são componentes de erro não diretamente observáveis, não correlacionados, com média nula e variância σ2 desconhecida. As estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros do ̂ = 𝟐 𝐞 𝛔𝟐 = 𝟒. ̂ = 𝟏𝟎, 𝛃 modelo linear são dadas por 𝛂 A estimativa do aumento esperado de tempo adicional servida por chamada é de: por máquina a) 2 minutos b) 10 minutos Concurseiro Fiscal ALUNO - 999.999.999-99 www.concurseirofiscal.com.br Página 32 de 89 ALUNO - 999.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 c) 12 minutos d) 5 minutos e) 6 minutos (ESAF – Agente Fiscal de Tributos Estaduais – SEFAZ PI) Um investigador toma uma amostra de 10 carregamentos levados a efeito em caminhões de uma firma de transporte. Para cada carregamento (i) anota a distância percorrida pelo caminhão em 1.000 Km (X(i)) e o tempo de entrega do carregamento em dias (Y(i)). Neste contexto postula que o modelo de regressão linear se ajusta a suas observações, onde 𝛂 e 𝛃 são parâmetros desconhecidos e os 𝛆(i) são componentes estocásticas (resíduos) não diretamente observáveis, não correlacionadas, com média zero e variância 𝛔² > 0. Foram encontradas as estatísticas seguintes no ajuste do modelo de regressão linear: Com base nessas informações responda: 40) Assinale a opção que corresponde à estimativa do aumento esperado no tempo de entrega decorrente da adição de 1.000km na distância percorrida. a) 0,5 dias b) 1,0 dias Concurseiro Fiscal ALUNO - 999.999.999-99 www.concurseirofiscal.com.br Página 33 de 89 ALUNO - 999.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 c) 3,0 dias d) 5,0 dias e) 4,5 dias 41) Assinale a opção que corresponde à estimativa de mínimos quadrados do parâmetro 𝛔². a) 1,77 b) 1,81 c) 0,40 d) 1,22 e) 1,13 42)(ESAF – ATPS – 2012) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se afirmar que: a)A e B são eventos independentes b)P(A ∩ B) = P(A) + P(B) c)P(B/A) ≠ 0 d)P(A/B) ≠ 0 e)P(A ∩ B) = 0 Concurseiro Fiscal ALUNO - 999.999.999-99 www.concurseirofiscal.com.br Página 34 de 89 ALUNO - 999.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 Gabarito 1-A 6-E 11-B 16-B 21-B 27-C 32-A 37-B 42-B 2-D 7-C 12-D 17-C 22-C 28-E 33-B 38-C 43-E Concurseiro Fiscal ALUNO - 999.999.999-99 3-E 8-E 13-D 18-D 23-C 29-E 34-B 39-B 4-B 9-B 14-C 19-C 24-B 30-C 35-D 40-A www.concurseirofiscal.com.br 5-B 10-D 15-D 20-D 25-E 31-B 36-D 41-A Página 35 de 89 ALUNO - 999.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 Resolução das Questões 1)(SABESP – 2012) A Secretaria de Saúde de um município monitora as reclamações formais que os pacientes fazem dos 60 postos de saúde da cidade. O gráfico a seguir mostra como as reclamações de um determinado mês se distribuíram pelos diferentes postos. O número médio de reclamações formais por posto de saúde da cidade, nesse mês, foi: (A) 1,7 (B) 2,1 (C) 1,8 (D) 2,2 (E) 1,6 Resolução: Num gráfico como esse, em que temos a quantidade de postos de saúde para cada número de reclamações, basta simplesmente fazermos a média ponderada dos valores encontrados no gráfico, lembrando que, aqui, os pesos ou frequências absolutas são os valores encontrados no topo de cada barra. Com isso, teremos: x̅ = 0x18 + 1x16 + 2x7 + 3x10 + 4x5 + 5x2 + 6x2 102 = = 1,7 18 + 16 + 7 + 10 + 5 + 2 + 2 60 Gabarito: A Concurseiro Fiscal ALUNO - 999.999.999-99 www.concurseirofiscal.com.br Página 36 de 89 Resolução: Façamos uma nova tabela com os pontos médios de cada intervalo.7 7I.999.concurseirofiscal.2 + 400. calculada supondo-se que todos os valores dentro de uma faixa salarial tenham seus valores iguais ao ponto médio desta faixa.999.5 5I. está apresentada na tabela abaixo: A média dos salários. como o foi sugerido pela própria questão. (B) 4. dividiremos o resultado encontrado pela soma das frequências. após isso.4 + 200.8 400 + 1600 + 1200 + 1600 4800 = = 200 + 400 + 200 + 200 1000 1000 = 4.999.9 Ponto médio 2 4 6 8 Frequência absoluta 200 400 200 200 A média será o resultado de uma média ponderada de cada ponto médio multiplicado pela sua respectiva frequência absoluta (que funciona como o “peso” da ponderação) e.999. é igual a: (A) 4.com.2.6. (D) 4.999-99 www. ̅ X= 200. em número de salários mínimos. Com isso.0.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. (E) 5.3 3I.br Página 37 de 89 . (C) 4.Alexandre Azevedo – Aula 00 2) (TCE .6 + 200.8 Concurseiro Fiscal ALUNO . teremos: Faixa salarial 1I.PR – 2011) A distribuição dos salários dos 1000 funcionários da companhia A.5.8. em número de salários mínimos.ALUNO . Última linha: 7 – 9 --- intervalo = 9 – 7 = 2 2 -----------------------------.1.Alexandre Azevedo – Aula 00 Gabarito: D 3) (TCE .999. contados . em número de salários mínimos.00.999. salários calculada pelo método da X = Valor que separa os 15% salários mais altos. (D) 3.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Com isso. ou seja.5 =7.50. O cálculo da mediana será feito de forma parecida. 1.5 Como queremos 150 elementos finais da linha. Resolução: Se queremos os 15% salários mais altos. o que faz com que os 150 salários procurados estejam nessa linha.75.com. calculado pelo método da interpolação linear. (C) 3. é: Dados: md = Mediana dos interpolação linear.999. Concurseiro Fiscal ALUNO . (E) 3. obtendo 9 .ALUNO . (A) 4.x x = 300/200 = 1.00. (B) 3. de baixo para cima. devemos separar 15% de 1000 = 150 salários.200 x -----------------------------.concurseirofiscal.25.PR – 2011) O valor de X-md. voltarmos uma unidade e meia.150 300 = 200. devemos fazer uma regra de três para saber onde começam os 150 elementos finais desta linha.5.999-99 www.5.br Página 38 de 89 . atenção: devemos.na tabela.999. A última linha da tabela já possui 200 elementos. a partir do “9”. para que alcancemos o valor da mediana. Faltam.BACEN) O histograma de frequências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”.5 – 4. X-md = 7.Alexandre Azevedo – Aula 00 Como temos um total de 1000 elementos.999. o que significa que iremos precisar encontrar quem é o termo de posição 300 nesta segunda linha.X X = 600/400 = 1. Concurseiro Fiscal ALUNO .999-99 www. Teremos. teremos: Segunda linha: temos uma amplitude.999. de junho de 2005.300 600 = 400.5 = 4. o que significa que a mediana se encontra na segunda linha da tabela.999.400 X ------. Ainda não alcançamos os 500.5 = 3. No entanto. ou seja.5 Com isso.999. Gabarito: E 4)(FCC . que é o início desta linha. 500 – 200 = 300 termos. devemos encontrar o elemento de posição 500. temos de “caminhar” um espaço de 1.Reparem em como já temos 200 elementos na primeira linha. um tamanho de intervalo de 5 – 3 =2 Fica assim: 2 ------.2006 . então: Mediana = 3 + 1.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO . já teremos passado pelo elemento de posição 500.com.concurseirofiscal.br Página 39 de 89 . teremos 200 + 400 = 600 termos.5 a partir do “3”. da primeira para a segunda linha.5 Logo. ao passarmos para a linha seguinte.0. Por regra de três. que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais. Com relação ao total de empresas deste histograma. obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas deste estudo.br Página 40 de 89 .ALUNO .com.999. o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém: a) 24% das empresas b) 16% das empresas c) 9% das empresas d) 7% das empresas e) 5% das empresas Resolução: Vamos montar a tabela referente a este histograma? Intervalos 15—30 30—45 45—60 60—75 75—90 90—105 105—120 Frequências absolutas 31 24 16 9 5 7 8 Para calcular a média. teremos: Concurseiro Fiscal ALUNO .Com isso.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999.999.concurseirofiscal. considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo.999-99 www.999.Alexandre Azevedo – Aula 00 Com base nestas informações. teremos de achar o ponto médio de cada intervalo. 5 + 412.5 52.5 + 900 5040 = = 50.5 112. podemos simplesmente a partir do momento em que encontramos o 22.5 37.Alexandre Azevedo – Aula 00 Intervalos 15—30 30—45 45—60 60—75 75—90 90—105 105—120 Ponto médio 22.999.ALUNO . x̅ = 22. é igual a 30 – 15 = 15.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.4 100 100 O valor 50. é igual a: Concurseiro Fiscal ALUNO .5 Frequências absolutas 31 24 16 9 5 7 8 Reparem que.5x8 31 + 4 + 16 + 9 + 5 + 7 + 8 x̅ = 697. basta fazermos a média ponderada com as frequências e os pontos médios que chegaremos ao resultado desejado.com.5 + 900 + 840 + 607.999.5 97. obtida pelo método da interpolação linear.br Página 41 de 89 .5 82.999.5. de uma linha para outra o valor do ponto médio aumenta de exatamente o valor da amplitude de cada intervalo.5x5 + 97. Gabarito: B 5) (BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ . olhando para a primeira linha.5x31 + 37.5x16 + 67. que.5x7 + 112.5 67.999.4 pertence ao intervalo da terceira linha. Agora.999-99 www.5x9 + 82.concurseirofiscal. Ou seja.Tal frequência representa um percentual de 16/100 = 16% das empresas.5 + 682. cuja frequência absoluta vale 16. sair somando 15 a cada novo ponto médio para obter os valores dos demais pontos médios.5x24 + 52. 999-99 www.com. Alfa.00 e) R$ 4. desejamos encontrar onde está o termo que constitui o 20o termo da sequência. 10 = 16 .16 X ---------------------------------------------------.500. da Cia.800.concurseirofiscal.ALUNO . Gabarito: B 6) AFRF-2001: Freqüências acumuladas de salários anuais.999.650.000.00 c) R$ 3. 12 50 12 .br Página 42 de 89 . 15 60 Concurseiro Fiscal ALUNO .Alexandre Azevedo – Aula 00 a) R$ 3.625. Até a segunda linha. Com isso. teremos 10 + 16 = 26 elementos e aí teremos ultrapassado o vigésimo termo.999.999. temos que o número total de salários é de 2+8+16+10+4=40 salários. Classes de salários Freqüências acumuladas 3 . nesta terceira linha.10 1000.00 d) R$ 3. 9 30 9 .00 Resolução: Pela tabela. num intervalo começando por 3000. Temos que.999. em milhares de reais. fazer uma regra de três pra localizar em qual valor serão alcançados os 10 termos restantes: 4000 – 3000 = 1000 --------------------------. devemos fazer a interpolação para localizarmos onde está o termo que divide a distribuição ao meio. Somando isso aos 16 da terceira linha. precisamos de mais 625 termos para atingirmos nosso objetivo. 6 12 6 . teremos: 3000 + 625 = 3625.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.00 b) R$ 3. X X = 10000 / 16 = 625 Logo. temos 2 + 8 = 10 termos. Como temos 40 elementos.Com isso. muito cuidado pois esta questão é muito traiçoeira. Alfa.999-99 www. uma regra de três. 6 . cada linha da nova coluna será a diferença da frequência acumulada da mesma com a da linha anterior.com.000. 12 . Alfa. Com isso.999. percebam que o salário de 7000 encontra-se na segunda linha.00 na Cia.999.ALUNO . a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$7. já que todos os valores na coluna estão em milhares. temos de gerar tal coluna da tabela. devemos perceber que o que temos aqui são as frequências acumuladas e não as frequências simples. Deseja-se estimar. teremos que fazer uma interpolação. ou melhor. Teremos o seguinte: 6|----|9 amplitude = 3. a)150 b)120 c)130 d) 160 e)180 Resolução: Pessoal.999. a fim de localizar quantos funcionários tem um salário menor ou igual a 7000. Para isso. Em primeiro lugar.Alexandre Azevedo – Aula 00 15 18 . 6 9 12 15 18 21 Frequências acumuladas 12 30 50 60 65 68 Frequência simples 12-0=12 30-12=18 50-18=32 60-32=28 65-28=37 68-37=31 Agora. 18 21 65 68 Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. entre 6 e 9. Com isso. pois os “três zeros” serão desprezados.intervalo corresponde a 18 elementos 6|----|7 amplitude=1.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. para que saibamos qual o número de funcionários que temos com salários entre 6000 e 7000. Assinale a opção que corresponde a este número. 9 . um intervalo de amplitude igual a 7 – 6 = 1.br Página 43 de 89 . ou seja. utilizando interpolação linear da ogiva. .concurseirofiscal. 15 .999. 18 .intervalo correspondente a x elementos Concurseiro Fiscal ALUNO . Classes de salários 3 . Agora.2: O atributo do tipo contínuo X.5 Freqüência (f) 4 8 14 20 26 18 10 Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos com valores do atributo X menores ou iguais a 95.x = 18 X=6 Logo.18 elementos 1 ------.999.Alexandre Azevedo – Aula 00 3 ------. No entanto.999.br Página 44 de 89 . a resposta seriam os 18 encontrados. como já tínhamos 12 funcionários ganhando salários entre 3000 e 6000. observado como um inteiro.5. queremos saber a frequência populacional. teremos: 10% ------- 18 100 % ------.5 69.999.5 e maiores do que 50.5 89. Sendo assim.5 --69.4 --39.y Y = 180 elementos Gabarito: E 7) AFRF-2002.x elementos 3.com.5 --59. temos um total de 12 + 6 = 18 funcionários ganhando até 7000.999. numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos.999-99 www.5 79.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO .5 59. temos uma armadilha bem no final da questão: todos os valores se referem a 10 % do total da população. Caso a pergunta tivesse sido a frequência amostral de funcionários.5 --- 39. produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes 29.5 --79.5 49.5 99.concurseirofiscal.5 --89. Concurseiro Fiscal ALUNO .5 --49. 12.5 .concurseirofiscal. Além disso.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Concurseiro Fiscal ALUNO .5 89.0 .0.5.6 Temos. Tal valor pertence à classe que vai de 89.5 até 59. 59.5 e 59.0 X = 12.5 até 99.com.5 69.5 até 99.5 79.5 – 50. temos de localizar em qual linha se encontra o 50.5 até 59.999.5 Freqüência (f) 4 8 14 20 26 18 10 Temos que saber quantos valores temos de 50. destaquemos na tabela desde a classe que contém o 50. Tal valor pertence à classe que vai de 49.0.14 elementos 9. teremos: 10.5 --79.5 --89.5 temos amplitude igual a 10 e 10 elementos.ALUNO . que possui 14 termos.5. então.999-99 www.5 49.999.br Página 45 de 89 . Com isso.999.5 = 9.5 --- 39. Localizemos também a classe que possui o 95.5 --69.5 --59.6 elementos entre 50.5 --49.5.5 59.4 --39.5. Classes 29. Vamos agora encontrar de quantos termos da última linha precisamos para que possamos alcançar o valor de 95.5 99.0 ---------. A amplitude de todos os intervalos é igual a 10. De 89.999.5.5.Alexandre Azevedo – Aula 00 a) 700 b)638 c)826 d)995 e)900 Resolução: Em primeiro lugar.x elementos 10.0 ----------.5. Por uma regra de três.5 até a classe que contém o 95. 9. x = 14 . com 10 termos. 999.999-99 www. fica: 10 ------------.5 69.5 até 95. temos um fator multiplicativo de 1000/100 = 10.5 temos um intervalo de 95.5 79.5 --50.0 Logo.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.0 e queremos saber quantos elementos teremos.ALUNO .5 59. acabamos ficando com o seguinte: Classes 29. y = 10 .5 --89.10 elementos 6. temos que multiplicar a resposta da amostra por 10.4 --39.5 95.5 – 89.5.6 elementos entre 50. As freqüências são acumuladas. pois de 100 pessoas da amostra para 1000 da população.Alexandre Azevedo – Aula 00 De 89. Como pretendemos chegar ao resultado relacionado à população.com.6 x 10 = 826 Gabarito: C 8) Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001 A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma.br Página 46 de 89 .0 -------------.5 89.6 20 26 18 6. 82.5 Freqüência (f) 4 8 12.5 --59.5 --79.6 + 20 + 26 + 18 + 6 = 82.y elementos 10 .5 --- 39.concurseirofiscal.5 --69. teremos um total de 12. Por uma regra de três.999. 6 Y = 6 elementos Só para ficar mais claro.5 49.5 e 95.5 = 6.999.999. Concurseiro Fiscal ALUNO . 000) (11.00 Resolução: Para que o que estou fazendo fique mais claro.500) (12.500) (12.000 – 12.500) (6. Verifiquemos onde ficam 79 % da população.000) (14. a)R$10. observaremos que temos um total de 74 termos até a quarta linha.000) (11.000) (14.500) Freqüências 12 28 52 74 89 97 100 Deseja-se estimar.999.concurseirofiscal.000-15. faltam mais 5 termos da próxima linha para que encontremos o que nos foi pedido.br Página 47 de 89 .500-8.500) (9.000) (8.Alexandre Azevedo – Aula 00 Classes de Salários (5. sempre por meio da subtração das frequências acumuladas consecutivas. ou melhor.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.00 b)R$9.999.999.00 e)R$11.com.000.00 c)R$12. Fazendo uma regra de três.500.500 – 11. 100 salários.000) (8.000 – 15.500 – 14.000 – 6. 79% de 100 = 79 Se observarmos a coluna de frequências acumulada.000 – 9. o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população.500. já que este é o valor da última frequência acumulada.500 – 8.500) (9.999.500-14.000-6. construiremos a coluna de frequências absoluta simples. Classes de Salários (5.500) (6. Como na quinta linha a frequência acumulada salta para 89.000.000-9.500.00 d)R$11. teremos: Concurseiro Fiscal ALUNO .500-11. via interpolação da ogiva. A amplitude de tal intervalo é igual a 12500 – 11000 = 1500.ALUNO .000-12.500) fac  12 28 (28-12=) 52 (52-28=) 74 (74-52=) 89 (89-74=) 97 (97-89=) 100 (100-97=) fi 12 16 24 22 15 8 3 Sabemos que temos um total de 100 funcionários. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa.999-99 www. 999-99 www.Alexandre Azevedo – Aula 00 1500 ----------. em que no eixo vertical constam as densidades de frequências. Definese densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.999.5 15 . 5 X = 500 Este X = 500 representa o quanto precisamos “avançar” dentro da quinta linha para chegarmos ao que queremos.999.concurseirofiscal. b) 60%. Logo. e no eixo horizontal os intervalos de classe. X = 1500 . o valor procurado será de 11000 + 500 = 11500. em (m)-1. Gabarito : E 9) (TRT 5ª região FCC/2013) A distribuição das medidas em metros (m) dos comprimentos dos cabos no estoque de uma fábrica está representada pelo histograma mostrado abaixo.com.999.ALUNO .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.15 X ----------. então a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos igual a 4 m e inferior a 10 m é de: a) 50%. Sabendo-se que todos os intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita.999. e) 90%. d) 80%. Concurseiro Fiscal ALUNO . c) 70%.br Página 48 de 89 . 30 0.20 0.Alexandre Azevedo – Aula 00 Resolução: O gráfico acima equivale à seguinte tabela de frequências relativas: Intervalo 1⊢ 3 3⊢4 4⊢6 6⊢8 8 ⊢ 10 10⊢ 11 Densidade de frequência relativa 0.10 0.10 0.15 0.com.10 0.10 0.15 0.15 0. h h Ou seja. 1 = 0.10.20 0.10 0. Intervalo 1 ⊢ 3 ( h = 3-1 =2) 3 ⊢ 4 ( h = 4-3 =1) 4 ⊢ 6 ( h = 6-4 =2) 6 ⊢ 8 ( h =8 -6 =2) 8 ⊢ 10 ( h = 10 -8 = 2) 10⊢ 11 ( h = 11–10 =1) Densidade frequência relativa 0.10.10 de Frequência relativa f= f= f= f= f= f= 0.999. 2 = 0.20. 2= 0. 1 = 0.20 0. 2 = 0.999. 2 = 0.20 0.br f= f= f= f= f= f= 0. vamos encontrar a frequência relativa ao multiplicarmos a densidade pela amplitude.10 0.10.20.05 . 2 = 0.10 Página 49 de 89 .10 0.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. o que é esta tal de frequência relativa da qual fala o enunciado? Conforme o próprio examinador explica. ou seja: d= f ⟹ f = d. trata-se da divisão da frequência relativa (f) pela amplitude do intervalo. 1 = 0.2 = 0.999-99 Densidade frequência relativa 0. 1 = 0. saber a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos igual a 4 m e inferior a 10 m é o mesmo que saber a quantos por cento correspondem as frequências encontradas nas linhas abaixo: Intervalo 1 ⊢ 3 ( h = 3-1 =2) 3 ⊢ 4 ( h = 4-3 =1) 4 ⊢ 6 ( h = 6-4 =2) 6 ⊢ 8 ( h =8 -6 =2) 8 ⊢ 10 ( h = 10 -8 = 2) 10⊢ 11 ( h = 11–10 =1) Concurseiro Fiscal ALUNO .concurseirofiscal.20 0.10.05 0.999.15.05.30 0.05 0.10 Mas.2 = 0.05.10 de Frequência relativa www.15. 2= 0.05 0.20 0.05 0.20 0.05 0.10 Com isso.999.05 . em cada linha.05 0.ALUNO . 999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.concurseirofiscal. ou seja: Porcentagem = 0. Sabe-se que: I – As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos.350.00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo). considere a tabela de frequências relativas abaixo.999.30 + 0. é igual a R$ 3. 10) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.ALUNO .br Página 50 de 89 . II – A média aritmética da distribuição. respectivamente. que mostra a distribuição dos valores arrecadados.999-99 www. valor arrecadado por recolhimento.999.999.999.10 = 0.000.00 é A) 70% B) 65% C) 55% D) 45% E) 40% Resolução: Concurseiro Fiscal ALUNO . sobre determinado tributo.60 = 60% Gabarito: B (Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as próximas duas questões.com. basta que façamos a soma dos valores encontrados. em 2008. referente a um ramo de atividade escolhido para análise. sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y.Alexandre Azevedo – Aula 00 Como a tabela apresentada já é a de frequências relativas.20 + 0. concurseirofiscal.00 x + y + 0. teremos o salário médio.999. Como estamos num diagrama de classes. para que possamos seguir em frente. temos: y = 0. além disso. ou seja: 0. devemos observar que das frequências relativas é sempre igual a 1. x + 3500 . Primeiramente.multiplicando cada um desses meios pela frequência da linha da qual sai tal valor e.com. 0.40 = 1.999. a média será de 1500 .10 + x + y + 0.6000 Salário mediano 1500 2500 3500 4500 5500 Frequência relativa 0.35 Concurseiro Fiscal ALUNO .20 0.20 + 5500 .2000 |----.Alexandre Azevedo – Aula 00 Em primeiro lugar.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. 0.10 = 1. isolando y.br Página 51 de 89 .00 x + y = 0. 0. y + 4500 .4000 |----. teremos de pegar o ponto médio de cada intervalo a fim . somando o que foi encontrado.ALUNO .999-99 www.10 + 2500 .6 – x 2500x + 3500(0.5000 |----. deve-se primeiro obter os valores de “x” e “y”.6.6 Um outro dado importante é o valor da média de tais valores.999.10 = 3350 150 + 2500x + 3500y + 900 + 550 = 3350 2500x + 3500y = 1750 Como x + y = 0.999.20 + 0.3000 |----.10 x y 0.10 Com isso. Ou seja: Valor 1000 2000 3000 4000 5000 arrecadado |----.6 – x) = 1750 2500x + 2100 – 3500x = 1750 1000x = 350 x = 0. br Página 52 de 89 .05 = 0.0.3000 |----.6000 Salário mediano 1500 2500 3500 4500 5500 Frequência relativa 0. tem-se que o valor da respectiva mediana é: A) R$ 3.45 para encontrar o valor correspondente à mediana.00 D) R$ 3.25.05 1000 .45 = 45%.800.10 0. temos de encontrar o valor onde iremos alcançar 50%.35 = 0.00 C) R$ 3.600.ALUNO .120. Valor 1000 2000 3000 4000 5000 arrecadado |----. x x = 50 / 0.999.35 = 0. Com isso.999-99 www.10 Até a segunda linha. o percentual de valores menores ou iguais a 3000 será de 0.999.20 0.05 = 0.0.00 Resolução: Como a tabela que nos foi dada é a das frequências relativas.999. 0.45.200.25 Logo.concurseirofiscal.25 0.4000 |----. precisamos alcançar 0.Alexandre Azevedo – Aula 00 y = 0.50 – 0.00 B) R$ 3.com.5000 |----.2000 |----.00 E) R$ 3.6 – 0.400.999.25.4000 amplitude = 4000 – 3000 = 1000 -------------. x 50 = 0.10 + 0. Gabarito: D 11) Utilizando o método da interpolação linear.25 x -------------. 3000 ---.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.35 0. temos que a soma das frequências é igual a 0.25 = 200 Concurseiro Fiscal ALUNO . em comum. em estatística. c.) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo. e. As populações podem ser finitas ou infinitas. embora finitas.999-99 www.) Frequência relativa de uma variável aleatória e o número de repetições dessa variável.é exatamente a definição que vimos no resumo teórico logo acima. são consideradas infinitas para qualquer finalidade prática.999. que é de 3000. Concurseiro Fiscal ALUNO . Na verdade. a. entende-se por população um conjunto de pessoas.pois esta é a definição de variável contínua.) A serie estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo. Portanto. a frequência relativa é a divisão do número de ocorrências de uma dada variável pelo total de valores existentes. Gabarito: B 12) (TCDF/95) Assinale a opção correta. define-se população como o conjunto de elementos que têm.concurseirofiscal. Além disso existem populações que.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00 Este valor de “x” que encontramos é o quanto que temos de somar ao início do intervalo. c)Errado.com. mediana = 3000 + 200 = 3200. Resolução: a)A população não é simplesmente um conjunto qualquer de pessoas. d)Correto. d.br Página 53 de 89 .) Em Estatística.ALUNO . Já a amostra é qualquer conjunto de elementos retirado da população. para chegarmos ao valor da mediana.999. determinada característica.) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo.999. b. desde que esse conjunto seja não vazio e tenha um menor número de elementos que a população b)Errado.999. ele escrevia o número 1 no papel. necessitando fazer uma determinada pesquisa. nesse exemplo específico. II Um estudante tinha 1 moeda. É correto dizer que. Caso fosse “cara”. III Uma fábrica produz 100.com. A experiência. Em cada uma das vezes. ele escrevia o número 2 no mesmo papel. com esse material. o estatístico entrevistou uma população de 200 indivíduos. I Uma cidade possui 1. resolveu fazer uma experiência. (E) Todos os itens estão certos. e essas são mantidas acesas até queimarem. (B) Apenas os itens I e II estão certos. que utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado parâmetro e admite que esse parâmetro é válido para todo o grupo.000 lâmpadas por mês. ele verificava se a face sorteada era “cara” ou “coroa”. (D) Apenas os itens II e III estão certos.ALUNO .000 habitantes. 1 folha de papel em branco e 1 caneta e. Resolução: Concurseiro Fiscal ALUNO .000 pessoas. Esse resultado foi atribuído a uma variável X. São sorteadas 100 lâmpadas. entrevistou 200 pessoas.br Página 54 de 89 .concurseirofiscal.999. (A) Nenhum item está certo. Com isso.999. é um problema estudado pela estatística inferencial. com o objetivo de calcular a vida média desse tipo de lâmpada. de uma amostra de 1. o resultado encontrado para X foi 27.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. No final da experiência. Gabarito: D 13) Julgue os itens a seguir.999-99 www.Alexandre Azevedo – Aula 00 e)Errado.999. o estudante obteve 7 “coroas” e somou todos os números existentes no papel. amplitude total é a diferença entre os valores extremos de uma distribuição. Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Caso fosse “coroa”. (C) Apenas os itens I e III estão certos. Assinale a alternativa correta. Um estatístico.999. concurseirofiscal.com. Item III: A generalização dos resultados de uma amostra. Tal item está correto.999. temos uma população de 1000 habitantes e uma amostra de 200 habitantes. pois a questão inverteu os conceitos de “população” e “amostra”. Com isso. A população corresponde ao todo. nos leva a resultados que podem ser aplicados à população.ALUNO .2005/ESAF .br Página 55 de 89 . temos que a soma dos pontos obtidos é igual a 7 x 2 + 13 x 1 = 14 + 13 = 27. através da estatística inferencial.999-99 www. Gabarito: D 14) (Gestor Fazendário MG . o item está correto.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. encontre a observações que divide a série de dados em duas partes iguais: 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 1 9 0 5 0 6 0 5 0 5 0 5 1 0 7 1 6 0 5 0 5 2234 778 3 012 8 4 5 a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) 111 Concurseiro Fiscal ALUNO . Com isso.999. enquanto a amostra é um subconjunto da população. Item II: Como foram 7 coroas e 13 caras.Alexandre Azevedo – Aula 00 Item I: Muito cuidado.modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo.999. 999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.00 a média aritmética dos salários dos empregados de uma outra empresa Y.103.122.ALUNO .108.Alexandre Azevedo – Aula 00 Resolução: Bom.concurseirofiscal.999.999.999-99 www.125.121.111. ou seja.140.102.13 5.116.999.100. De acordo com o enunciado.107.120. a observação número 18 será aquela que dividirá a série em duas partes iguais.100.134. temos: ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑆𝑥 = 𝑆 𝑦 + 250 ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑆𝑥 + 𝑆 𝑦 = 1650 Concurseiro Fiscal ALUNO .120.107.116.110.00 e o total dos salários pagos em cada uma das empresas são iguais. Gabarito: C 15) FCC .EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009 A média aritmética dos salários dos 140 empregados de uma empresa X excede em R$ 250.105. 113.130.br Página 56 de 89 .107.120.650.145.999. Sabe-se que a soma dessas duas médias é igual a R$ 1.125. Como temos 35 observações e.128.135. será o número 116.99.com.130. estando as mesmas já em ordem crescente.91. O número de empregados de Y é: a) 160 b) 170 c) 180 d) 190 e) 200 Resolução: Resolução: ̅̅̅ Chamemos de ̅̅̅ 𝑆𝑥 a média dos salários na empresa X e de 𝑆 𝑦 a média dos salários na empresa Y.135.104.102. vamos colocar as observações num rol: 91. c) O número de homens é igual ao número de mulheres.999. chamando de T o total de salários pagos em cada uma das duas empresas. Concurseiro Fiscal ALUNO . observa-se que o salário médio mensal dos indivíduos entrevistados é de R$ 500. Assinale a opção que dá a relação entre o número de homens e de mulheres da amostra. d) O número de homens é 1/5 do número de mulheres.br Página 57 de 89 . teremos: 𝑇 ̅̅̅ 𝑆𝑥 = 140 = 950 ⟹ 𝑇 = 140 . respectivamente.com.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999. b) O número de homens é 4/5 do número de mulheres. Substituindo o valor de “T” na expressão da médias dos salários da empresa Y: 𝑇 𝑇 133000 ̅̅̅ 𝑆 𝑦 = 𝑛 = 700 ⟹ 𝑛 = 700 = 700 = 190.00.999. 950 = 133000.ALUNO .concurseirofiscal. a) O número de homens é o dobro do número de mulheres. Gabarito: D 16) ESAF AFPS/INSS/Administração Previdenciária/2002 Tributária Numa pesquisa amostral.00.999. e) O número de homens é 3/5 do número de mulheres.00 e R$ 420. Os salários médios de homens e mulheres são R$ 600.Alexandre Azevedo – Aula 00 Logo: ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑆 𝑦 + 250 + 𝑆𝑦 = 1650 ̅̅̅ 2𝑆 𝑦 = 1400 ̅̅̅ 𝑆 𝑦 = 700 ̅̅̅ 𝑆𝑥 = 950 Com isso.999-99 www. será a média ponderada entre as médias salariais de homens e mulheres.4.ALUNO . pede a média global. com a utilização do número de homens e mulheres como sendo os pesos destas médias. 𝑚 ℎ+𝑚 500. temos: 500m – 420m = 600h – 500h 80m = 100h ℎ= 80 4 . aproximadamente. teremos: 500 = 600. chamando de h o número de homens e de m o número de mulheres.h + 500.6 e 6.999. a média aritmética das notas dos estudantes das duas turmas? a) 5.m = 600.94 d) 6. A média de todo o grupo.concurseirofiscal. 5.12 Concurseiro Fiscal ALUNO . respectivamente.79 b) 5. (ℎ + 𝑚) = 600. Ele primeiro te dá a média de uma parte do grupo e a média da outra parte.𝑚 = .h + 420.88 c) 5.com. só das mulheres. Sempre que isso acontecer. quanto vale.999. formado por homens e mulheres. Com isso.ATE (SEFAZ MS)/SEFAZ MS/2006 As médias aritméticas das provas das turmas A e B foram. a média de todos os elementos irá sair por média ponderada. ℎ + 420.03 e) 6.999-99 www.m Isolando o “h” à direita da equação e passando o “m” para a esquerda.𝑚 100 5 Gabarito: B 17)FGV . ℎ + 420. Depois.Alexandre Azevedo – Aula 00 Resolução: A questão nos dá a média de salários dos homens e depois.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.br Página 58 de 89 . 𝑚 ⇒ 500.999. Fiquem muito atentos! Este tipo de questão costuma cair muito em prova.999. Se há 40 alunos na turma A e 30 na turma B. para um aritmética (𝑿 conjunto de n valores positivos (X1.AFRFB/SRFB/Tributária e Aduaneira/2005 Assinale a opção que expresse a relação entre as médias ̅ ).999. a média harmônica será menor do que a geométrica e esta. menor do que a aritmética. para os valores 2. teremos: ̅= 𝑿 𝟓.3 = √6 = 2.ALUNO . geométrica (G) e harmônica (H). 𝟒𝒙𝟑𝟎 𝟐𝟐𝟒 + 𝟏𝟗𝟐 𝟒𝟏𝟔 = = = 𝟓.Alexandre Azevedo – Aula 00 Resolução: Idem a questão anterior.999. 𝟔𝒙𝟒𝟎 + 𝟔. a média das duas turmas será a média ponderada das médias dadas pelo enunciado.999. Xn): Resolução: Guardem isso: .caso tenhamos “n” valores iguais.3: 𝑋̅ = 2+3 5 = = 2. Logo. . média harmônica(H) =média geométrica(G) = média aritmética (𝑋̅) Por exemplo.999-99 www.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.45 𝐻= 2 1 1 2+3 = 2 12 = = 2. .999. 𝟗𝟒. X2.concurseirofiscal.4 5 5 6 Concurseiro Fiscal ALUNO . Se temos a média das turmas A e B..br Página 59 de 89 . com a utilização das quantidades de alunos como sendo os pesos das médias.se tivermos “n” valores diferentes..com.5 2 2 𝐺 = √2. 𝟒𝟎 + 𝟑𝟎 𝟕𝟎 𝟕𝟎 Gabarito: C 18) ESAF .. t5.v4.v2...999. Resolução: Chamemos a distância em cada viagem de “d”. ele deve calcular a média: a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas.br Página 60 de 89 . … . 𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡10 Como a velocidade média é a divisão da distância total pelo tempo total. o tempo para cada percurso será: t1. no Rio de Janeiro... c) aritmética das velocidades médias observadas.Alexandre Azevedo – Aula 00 Como podemos ver. saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso. Sendo v1. Com isso. em quilômetros por hora.ATRFB/SRFB/Tecnologia da Informação/2006 Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão..concurseirofiscal.v3.999. Concurseiro Fiscal ALUNO . b) geométrica das velocidades médias observadas. d) harmônica das velocidades médias observadas. será a média harmônica. teremos: 𝑣= 10 .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO . 𝑑 10. 𝑣3 = . em quilômetros por hora. 𝑑 10 = = 1 1 1 𝑑 𝑑 𝑑 𝑡1 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡10 +𝑣 +⋯𝑣 + + ⋯ + 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣10 1 2 10 Com isso. considerando todas as 10 viagens ida-evolta. O motorista quer.999. então: 𝑣1 = 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 .999-99 www.t3.. H < G < 𝑋̅ Gabarito: D 19)ESAF .. e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas. fica. Ele calcula e anota a velocidade média.v10.t10. vemos que tal velocidade será o inverso da média aritmética dos inversos das velocidades. 𝑣2 = .t2. 𝑣10 = .com.999. ou seja. Para tanto. em cada uma dessas viagens. agora..t4. Mas.Ana Tec (SUSEP)/SUSEP/Controle e Fiscalização Atuária/2006 Para um conjunto determinado de números positivos temos: como a média aritmética.999. e .999. H < G < 𝑋̅.br Página 61 de 89 .mh : a média harmônica também da mesma amostra. E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si. Gabarito: D 21) (SEFAZ CE 2007 .com.mg : a média geométrica da mesma amostra.as médias serão todas iguais entre si.concurseirofiscal. podemos afirmar que: Resolução: Como falamos anteriormente.ESAF) Indicando por: .999-99 www. é verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: a) x < mg < mh b) x > mg > mh c) mg < x < mh d) x < mg = mh e) x = mg = mh Concurseiro Fiscal ALUNO .x : a média aritmética de uma amostra. se os valores forem iguais .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999.Alexandre Azevedo – Aula 00 Gabarito: C 20) ESAF .ALUNO .999. G como a média geométrica e H como a média harmônica. se os valores forem diferentes. . 1. c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos.ALUNO . tal valor será igual a: G = 𝑛√𝑥1 . 𝑥𝑛 . Concurseiro Fiscal ALUNO . é correto afirmar que a) para toda variável existe uma e apenas uma moda.ATRFB/SRFB/Tecnologia da Informação/2006 Sobre a moda de uma variável. Gabarito: C 23)ESAF . a média aritmética > geométrica > harmônica.999-99 www.br Página 62 de 89 . Gabarito: B 22) FGV .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.7 5.4. 2}. c) 2.999. Toda vez em que quisermos calcular tal média para “n” termos. O resultado foi {2. 4.4 .5 .2 = √16 = 2 . 𝑥3 … . b) a moda é uma medida de dispersão relativa.999.2 5. temos: 4 4 G = √2.999. Resolução: Questão bem simples e direta.concurseirofiscal. para valores diferentes. A média geométrica simples dessa amostra é: a)2.com.999. b) 1.Temos que saber a definição de média geométrica simples(G). Ou seja. e) 2.AFRE RJ/SEFAZ RJ/2011 Em uma repartição. para quatro valores. foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. 1. 𝑥2 .Alexandre Azevedo – Aula 00 Resolução: Mais uma vez. d) 2. 5 e 3 é igual a a) 3 b) 2. Concurseiro Fiscal ALUNO . Alternativa b – incorreta.com. Resolução: Alternativa a – incorreta. pois é a mediana quem fica no meio. e) 5. a moda é uma medida de posição.999. tal como a probabilidade.br Página 63 de 89 .ALUNO . e) sendo o valor mais provável da distribuição. Gabarito:C 24) (ESAF – ATRFB – 2012) A variância da amostra formada pelos valores 2. pois tanto a moda quanto a mediana não são afetadas por valores extremos. a moda. pois podem existir sequências com mais de uma moda ou. c) 1.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. d) 4. Alternativa e –incorreta. podemos utilizar: V(X) = E(X2) –(E(X))2 . Alternativa c – correta.999. Resolução: Muito cuidado com esta questão! Existe uma diferença quanto ao cálculo da variância populacional e da variância amostral.concurseirofiscal. Alternativa d – incorreta. Tais fórmulas diferem quanto ao denominador.999-99 www. pois a moda pode assumir qualquer valor. Além disso. até mesmo.Alexandre Azevedo – Aula 00 d) em distribuições assimétricas. para a variância populacional. nenhuma. 4.999. Isso acontece apenas com a média. 1. o valor da moda encontra-se entre o valor da média e o da mediana. pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade. 3.999. na variância amostral. Por outro lado. temos de calcular a mesma por meio da definição. ou seja.999. um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas.com. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio. vamos calcular a média.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. não podemos utilizar tal artifício.999. que é: σ2 = ∑(Xi − ̅ X)2 n−1 Xi :representa cada uma das observações ̅ : média da amostra X n: número de observações Perceberam? A diferença é que. 60% dos moradores são homens.999. ao contrário da variância populacional.ALUNO .0 6 6 Com isso. em que o denominador era igual a “n”.br Página 64 de 89 . para a variância amostral.Alexandre Azevedo – Aula 00 Mas.999.999-99 www. que é igual a : ̅= X 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 18 = = 3. o denominador é igual a “n-1”. Sabendo-se que o Concurseiro Fiscal ALUNO .concurseirofiscal. temos que (1 − 3)2 +(2 − 3)2 +(3 − 3)2 +(3 − 3)2 +(4 − 3)2 +(5 − 3)2 σ = = 6−1 2 = 4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4 10 = =2 5 5 Gabarito: B 25)(ESAF – ATPS – 2012) Do total de moradores de um condomínio. 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Primeiramente. ALUNO .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Com mais de 40 Com menos de anos 40 anos número homens de 60% número mulheres de 40% Além disso: Concurseiro Fiscal ALUNO .concurseirofiscal.Alexandre Azevedo – Aula 00 morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos.999.999-99 www.999.999. então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a: a) 3/7 b) 8/15 c) 3/15 d) 1/30 e) 4/19 Resolução: Vamos agora montar uma tabela com os dados que nos forma fornecidos? Com mais de 40 Com menos de anos 40 anos número homens de número mulheres de Se 60% dos moradores são homens que 40% dos moradores são mulheres.br Página 65 de 89 .com.999. Dentre estes.8 %. ele está restringindo o espaço amostral a todas aquelas pessoas com mais do que 40.999.Ou seja.8 % 96.999.2 % 100%(total geral) Devemos notar que a questão é de probabilidade condicional.2% 40% Somando os valores presentes em cada coluna. 2% das mulheres = 2% de 40% =0.com.0.8% = 39. ou seja.0.Quando ele faz a pergunta desta maneira. ele está interessado que algum deles seja mulher. Com mais de 40 Com menos de anos 40 anos número homens de 3% 60% .3% = 57% 60% número mulheres de 0. 0.8% 8 4 = 38 = 19 3.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.8% 40% .ALUNO . Percebemos isso quando é pedido a probabilidade de um morador ser mulher DADO QUE possui mais de 40.999.3% = 57% 60% número mulheres de 0. teremos: Com mais de 40 Com menos de anos 40 anos número homens de 3% 60% .8% 40% .8% Gabarito: E Concurseiro Fiscal ALUNO .8% tem mais de 40 anos.999.Logo: P= 0. 3.br Página 66 de 89 .Alexandre Azevedo – Aula 00 5% dos homens = 5% de 60% = 3% tem mais de 40 anos.2% 40% 3.concurseirofiscal.8 % dos moradores.999-99 www.8% = 39. 999. teremos: Concurseiro Fiscal ALUNO .com. Esta questão é uma outra que. Ou seja. A maioria dos professores chama de esperança e alguns podem achar estranho o termo expectância. Sabendo-se que a E(z2) = 20. de forma direta ou indireta. Guardem isso: o desvio–padrão é representado normalmente da seguinte maneira: σ. alternativamente.concurseirofiscal. ou seja: E(z) = 4. vai aparecer muito na sua prova: Como calcular a variância e o desviopadrão por meio da esperança.999. expectância e esperança são a mesma coisa.Alexandre Azevedo – Aula 00 26)(ESAF – ATPS – 2012) A expectância de uma variável aleatória z é igual a 4. E(z) = média = 4.Como a variância é o quadrado do desvio-padrão.999. A esperança pode ser entendida como o valor médio a ser utilizado mais adiante no cálculo do coeficiente de variação. Tal variância pode. ser calculada da seguinte maneira: σ2 = E(z2) – [E(z)]2 Com isso.999-99 www.ALUNO . então o coeficiente de variação de z é igual a: a) 1/√𝟐𝟎 b) 1/5 c) 1/2 d) 1 e) 0 Em primeiro lugar.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.br Página 67 de 89 . teremos: Variância =σ2 . Estamos relembrando pois o cálculo do coeficiente de variação é feito dividindo-se o desvio-padrão pela média.Alexandre Azevedo – Aula 00 σ2 = E(z2) – [E(z)]2 = 20 – (4)2 = 4 Logo.br Página 68 de 89 .com.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Resolução: O sinal do coeficiente indica se as grandezas possuem uma relação direta ou inversa.999. y diminui. (x. d) x diminui em 32%. em média. o desvio-padrão será igual a σ = 2. em média.32. diminui em 32%. y diminui.999-99 www. Quando uma delas diminui. a outra também. Desse modo. a outra faz o mesmo. as grandezas tem uma relação direta. possui coeficiente de correlação igual a ρ = -0. y diminui de 32%. Com isso. b) x aumenta. y.concurseirofiscal.ALUNO . c) x aumenta em 32%. em média. Se o sinal for positivo.999. teremos: CV = σ ̅ X = 2 4 = 1 2 Gabarito : C 27) Uma variável aleatória bidimensional. Concurseiro Fiscal ALUNO . y diminui em 32%. y). e) x aumenta. pode-se afirmar que à medida que: a) x diminui. Quando uma delas aumenta.999.999. em média. 25 Resolução: O gráfico de uma variável uniformemente distribuída é sempre um retângulo.999-99 www. Sabendo-se que x é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída no intervalo [0. Apenas se aumenta ou diminui. y diminui. o que nos dá a letra E.35 d) 0. tipo: dado o quanto x diminuiu. Não há como tratarmos de valores. Quanto maior o preço. Seria o caso da relação entre o preço de um produto e a sua demanda.com. Como o coeficiente é negativo. quando x aumenta. não dá. o quanto.5 b) 0.999. E quanto menor o preço.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.15 e) 0. Devemos observar que apenas o comportamento de uma em função da outra pode ser observado. já que o “x” varia de “a” até “b”.75 c) 0. maior a demanda. menor sua demanda. saber o quanto y aumenta ou diminui.999. Gabarito: E 28) Uma variável aleatória contínua x é uma variável uniformemente distribuída no intervalo [a.Alexandre Azevedo – Aula 00 Se o sinal for negativo. b] se sua função densidade de probabilidade for dada por f(x) = 0 para todo x 𝟏 que não pertencer ao intervalo [a .ALUNO . 2]. b] e f(x) = 𝐛−𝐚 para a ≤ x ≤ b.Tal cálculo só seria possível por meio de uma técnica conhecida como regressão.999.concurseirofiscal.br Página 69 de 89 . então a probabilidade de (1 ≤ x ≤ 3/2) é igual a: a) 0. Concurseiro Fiscal ALUNO . de base igual a b – a . as grandezas tem uma relação inversa. br Página 70 de 89 . pois sabemos que a b−a área abaixo de f(x) tem que ser sempre igual a 1. neste caso.Alexandre Azevedo – Aula 00 Com isso.concurseirofiscal. “a” e “b” serem. Sabendo-se que a variável aleatória y é dada por y = 2x + 4 e que x e y são variáveis aleatórias independentes. respectivamente.999.Lembre-se de que tal área meio que representa a soma das probabilidades de todos os casos possíveis e quanto vale tal soma? Isso.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. mas esta não é a melhor maneira. iguais a: a) 12.com.ALUNO . Com isso.999-99 www.Logo: 3 3 1 1 P (1 ≤ x ≤ ) = base vezes altura = ( − 1) vezes ( ) = = 0.999. Algumas pessoas vão querer resolver esta questão por integral.999.999. Encontrar a probabilidade de x entre 1 e 3/2 é justamente calcular a área do retângulo no intervalo de 1 a 3/2. vale 1. 2 2 2 4 Gabarito: E 29) Uma variável aleatória x possui média igual a 4 e variância igual a 2. a altura do retângulo será sempre 1 . teremos: 1/2 0 1 3/2 2 Reparem que a altura do retângulo vale ½ devido a.25. Com isso. iguais a “0” e “2”. então a média e a variância de y são. a altura do retângulo será igual a 1 b−a = 1 2−0 1 = 2. A melhor forma de fazer isso é desenhando o gráfico mesmo. 12 Concurseiro Fiscal ALUNO . respectivamente. numa prova.. A ideia é que você tenha em mente o que eu acabei de dizer: multipliquei todos os valores por dois. Então.. a média também o será. mas a variância é o quadrado do desvio-padrão.999.Alexandre Azevedo – Aula 00 b) 4.com.Com isso. Ok. Somei 3 a todos os valores. Concurseiro Fiscal ALUNO .. 8 e) 4. bem como suas respectivas média. subtração.999. teremos: 6. mas a questão fala a respeito da variância. não queremos que você recalcule a média. Caso multipliquemos todos os valores por 2.. 8 c) 12. 3 Percebeu? A média também ficou multiplicada por dois. cuja 6+10+14 média é igual a x̅ = = 10. E o desvio-padrão? Lá vai: O desvio-padrão será afetado apenas pela multiplicação e pela divisão.7 a média será x̅ = 3+5+7 3 = 5. o que acontecer com o desvio-padrão(se acontecer) proporcionará o quadrado do efeito na variância. pois é.ALUNO . também somarei 3 à média anterior. 8 d) 8. 12 Resposta: Esta questão trata de uma propriedade muito cobrada pela Esaf.10.999-99 www.14. até pelo fato da questão não fornecer dados para que isso aconteça.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.br Página 71 de 89 . fiquem atentos: A média de uma variável aleatória sempre será afetada por qualquer uma das quatro operações: soma. Mas. que é a relação entre duas variáveis.concurseirofiscal.999.5. multiplicação e divisão.999. Como assim? Na sequência 3. variância e desvio-padrão. e por aí vai. que é 4. o novo desvio-padrão ficaria multiplicado por dois.999. μ = 10.999. vejamos a nossa questão. portanto.ALUNO . E a variância.br Página 72 de 89 .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999. Feita a revisão. Variância de y = 4 vezes a variância de x = 4 x 2 =8. este “+4” em y = 2x + 4 não terá o menor efeito e. Ele.a variância seria multiplicada por 9. portanto. e variância igual a 4.999-99 www. Logo. σ2 = 4.999. a nova média será 12. Temos y = 2 x + 4. dobra o valor de x e soma 4 ao resultado. Gabarito: C 30) Uma variável aleatória possui distribuição normal com média igual a 10. o quadrado do efeito. ela ficará multiplicada por 4. ao mesmo tempo. Para a média. Logo. Já para o cálculo da variância de y.com. a variância. ele continuaria o mesmo e. será multiplicada por quatro. a soma e subtração não afetam o desvio-padrão e. Retirando-se Concurseiro Fiscal ALUNO . o desvio-padrão também o será. mas queremos a nova variância e. Ou seja.Alexandre Azevedo – Aula 00 Caso multipliquemos todos os valores por dois. multiplicar por 2 e somar 4. ambas as operações serão de feito: vamos pegar a média de x.o que nos dá: 2(4) + 4 =12. Mais um exemplo: caso o desvio-padrão tivesse sido multiplicado por 3. consequentemente. Mas atenção: e se somarmos 3 a todos os valores? Como disse logo acima. apenas a multiplicação por dois irá alterar o resultado. portanto.que é dois ao quadrado.concurseirofiscal. Já a variância da média é igual à divisão da variância de “x” pelo tamanho da amostra.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO . o desvio-padrão da média será igual a 2 √100 2 1 = 10 = 5.999-99 σ √n ) www. não há mudança de distribuição: ela continua sendo normal. ainda: σx̅ = σx √n Com isso.concurseirofiscal. O nosso amigo concurseiro deve saber que a Esperança da média é igual à esperança da variável em si.999.Alexandre Azevedo – Aula 00 desta população uma amostra de tamanho n = 100. Além disso.com. ou seja: σx̅ 2 σx 2 = n Ou. ou distribuição amostral de x é uma distribuição: a) não normal com μ =10 e σ = 1/5 b) normal com μ =10 e σ = 1/5 c) normal com μ =100 e σ2 = 4 d) normal com μ =10 e σ2 = 2 e) não normal com μ =100 e σ2 = 4 Resposta: Esta questão é bem tranquila. tem-se que a distribuição amostral das médias.br Página 73 de 89 . Concurseiro Fiscal ALUNO .999.999. X ~ N(μ.999. ou seja: E(x̅) = E(x) = 10. σ) e X̅ ~ N(μ. a) 0. temos que: Variância = E(X2) – [E(X)]2.br Página 74 de 89 .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Concurseiro Fiscal ALUNO . c) 0. Sabendo que “k” é um número real.0.ALUNO .3. primeiramente.3. e) 0.3.9.999.999-99 www.Alexandre Azevedo – Aula 00 Gabarito: B 31) A tabela mostra populacionais a distribuição de freqüências relativas (f ’) de uma variável X. b) 0. a média e o desvio padrão de X são.3. depois. respectivamente.999. 0.999.3k.Com isso. temos que 3k + k + 6k = 1 10 k = 1 → k = 1/10 A média de X é multiplicarmos cada valor pela sua respectiva frequência relativa e. a variância. Como trata-se da variância populacional. d) k. 3k. Podemos chegar ao desvio-padrão calculando. Resolução: A soma das frequências relativas é sempre igual a 1. 0. 0.com.concurseirofiscal.9k.999. Média = -1(3k) + 0(k) + 1(6k) = 3k = 3/10 = 0. somarmos os resultados obtidos. 0.3. multiplicarmos o mesmo pela sua respectiva frequência relativa. variância = 0.Alexandre Azevedo – Aula 00 E(X) é a mesma coisa que a média acima encontrada.br Página 75 de 89 .9. teremos: E(X2) = (-1)2 x 3k + (0)2 x K + (+1)2 x 6k = 9k = 9/10 = 0.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO .999.9 – 0. ao quadrado.concurseirofiscal. Logo.com.9. Mas como chegamos ao valor de E(X2)? Tal valor será pegarmos cada valor de X. Gabarito: A 32)(IRB – 2004/ESAF – modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo. encontre a observações que divide a série de dados em duas partes iguais: 3 4 3 8 4 22 4 57 5 124 5 7889 6 013 6 5567899 7 0112334 7 556679 8 1123344 8 57 9 013 9 7 Concurseiro Fiscal ALUNO .999.3)2 = 0.81 = 0.999.999-99 www.999.09 = 0.9 – (0. e Com isso.81 Desvio-padrão = √Variância = √0. 42.58.79. teremos a seguinte sequência: 34.65. nesta questão a principal dificuldade é que o candidato conheça esta maneira de representação dos dados.999.71.65.82.com.93. ou seja. o vigésimo-quinto termo.54.Alexandre Azevedo – Aula 00 a) 69 b) 71 c) 70 d) 72 e) 74 Resolução: Pessoal.96.42.61. temos que. para cada linha.81.999-99 www.59.br Página 76 de 89 .45.87.71. o valor tabelado é igual a 1. temos: 65 .75. combinando o “6” da esquerda com cada valor da direita.69.84.74.83.69 .81.72.75.67.68.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.91.52.70. temos 49 valores e.38.73.999. Nesta representação.69.67.66. Se você ainda não entendeu. que é o termo de posição 24 + 1 = 25.83. que é igual a 71. Desse modo.58. Com isso. obtendo-se x = 5.ALUNO . 24 à direita e 1 no meio.999.97.concurseirofiscal. 69.84. devemos combinar cada número da esquerda com cada número da direita. temos 24 termos à esquerda.63.76.66.47.77. retirou-se uma amostra de 16 elementos.999. Gabarito: B 33)Para estimar por intervalo a média μ de uma população normal com variância igual a 9.60.73. portanto. Contando. Para um nível de confiança de 95%. repare que na oitava linha temos: 6 5567899 Com isso.57.65.76.51.90. a semi- Concurseiro Fiscal ALUNO .85 .68. 999.br Página 77 de 89 . Num intervalo de confiança.999.com.999. ou não. o que é o zα/2 ? Tal valor é o valor de “z” que determinará os limites do intervalo. como o conhecimento ou não da variância populacional. A tabela abaixo resume como ficam os intervalos de confiança para várias possibilidades que temos.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.999-99 www.concurseirofiscal.47 Resolução: Vamos fazer um pequeno resumo teórico a respeito de intervalos de confiança. sendo dada.47 c) 0. Ou seja: Na verdade.999. a utilização da distribuição normal ou da “t” de student dependerá de alguns fatores.5625 d) 0. a variância populacional e sendo n >30 ou menor ou igual do que 30.7350 e) 0.94 b) 1. Concurseiro Fiscal ALUNO .Alexandre Azevedo – Aula 00 amplitude do intervalo ou erro de estimação ─ como também é chamado ─ é igual a: a) 2.ALUNO . Alexandre Azevedo – Aula 00 A partir da tabela acima.999-99 www.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO . podemos também determinar o erro de estimação inerente a cada situação.999.47.999.concurseirofiscal. Gabarito: B 34)(CGU – Técnico de Finanças e Controle – ESAF –2008) Concurseiro Fiscal ALUNO .999. para cada caso. sempre igual a A = 2E. Com isso.br Página 78 de 89 . Por exemplo: A amplitude do intervalo será.999. temos que E = zα/2 x σ √n = 1.com.96 x 3 √16 = 1. br Página 79 de 89 .40 c) 0.999. a Concurseiro Fiscal ALUNO .ALUNO . três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho. a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0.40.95 Resolução: A questão acima trata da probabilidade da união de dois eventos.Isso é identificado pelo “ou” na pergunta feita pelo examinador. a probabilidade Fernando é igual a: de Paulo encontrar Ricardo ou 0.05. O que meu nobre amigo concurseiro deve saber é que toda vez em que isso aparecer. o que na fórmula está indicado como união. Ricardo e Fernando. a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0.999. Sorteando-se.Alexandre Azevedo – Aula 00 Quando Paulo vai ao futebol.com.999. a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros.999-99 www. a probabilidade de ele encontrar ambos. Assim.05 =0.10.50 d) 0.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. é igual a 0.45 e) 0.999.Temos assim: P(A ou B) = 0.concurseirofiscal.1 -0. ao acaso.devemos lembrar da expressão abaixo: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) Reparem que. pode ser interpretado como o “ou” e o que está indicado por interseção. Seja A :Paulo encontrar Ricardo e B: Paulo encontrar Fernando.04 b) 0. pode ser indicado como “e”.45 Gabarito: D 35)(CGU – Analista de Finanças e Controle – ESAF –2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados.4 + 0. 9 Para o terceiro.999. = 10 9 8 30 Logo. como temos um caso ou o outro.12 c) 0. Logo.com.10 b) 0. pois temos 6 engenheiros num total de 10 pessoas.2.Alexandre Azevedo – Aula 00 probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 0. 5 Portanto: P =30 + 1 6 1 = 30 = 5 = 0. . 30 Gabarito:D Concurseiro Fiscal ALUNO .15 d) 0.ALUNO .999-99 www.cuidado: como já sorteamos 1 engenheiro. a probabilidade 4 3 2 1 de sortearmos 3 engenheiras será de . 8 =30 Da mesma maneira que fizemos com os engenheiros. a probabilidade deste primeiro caso será de 6 10 5 4 5 . 6 10 Agora. 9 . quando temos a idéia de “ou” devemos fazer o que? Somar as probabilidades.20 e) 0. a probabilidade de sortear o segundo engenheiro será de 5.999.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. temos agora 8 pessoas e 4 engenheiros.24 Resolução: Temos aqui duas possibilidades: Sortear 3 engenheiros Sortear 3 engenheiras A probabilidade de sortearmos o primeiro engenheiro do grupo é de . Com isso.999. a 4 probabilidade de sortear o mesmo será de 8. temos agora 9 pessoas e 5 engenheiros.999. Com isso.concurseirofiscal.br Página 80 de 89 . Y) DP(X) x DP(Y) E(XY) – E(X).999.75 c) 0.999-99 www.Alexandre Azevedo – Aula 00 36)(AFRF – ESAF – 2005) Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro.72 b) 0.com.Y) = COV(XY) 171 221 10 .br Página 81 de 89 - .concurseirofiscal. registram-se os seguintes salários mensais (em salários mínimos): Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos homens e os salários das mulheres.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. n = 3940 10 100 Concurseiro Fiscal ALUNO . A correlação entre “x” e “y” é dada por Correlação(X. 10 = = COV(X.68 d) 0.999.999.999. a) 0.78 Resolução: Questão-padrão e que sempre aparece em prova.ALUNO .81 e) 0.E(Y) = 39400 – 171x 221 ∑ XY n − ∑X ∑Y n . 999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Y) = DP(X) x DP(Y) 39400 – 171x 221 100 √2469 √1849 ( ) x( ) 10 10 = 39400−171x221 √2469 x √1849 O problema agora são as contas que teremos de fazer. Fica assim: √2469 ≅ 2469 + 2500 = 49. que não irei demonstrar. sempre.Y)=49. e a raiz de 2469??? Existe um método muito bom. A raiz quadrada de 1849 é exatamente igual a 43. Mas não é só isso.ALUNO . maior do que ele? Isso mesmo 502 = 2500. o cinquenta.br Página 82 de 89 .999.999.999.. tal soma será o numerador de uma fração.753 Gabarito: B Concurseiro Fiscal ALUNO . A forma de aproximarmos tal raiz é pegando o valor cuja raiz quadrada queremos e somando com o quadrado perfeito que vem logo depois de tal número. no caso.Alexandre Azevedo – Aula 00 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑X ∑X 3171 171 √31710−29241 DP(X) = √(E(X 2 ) − (E(X)) = √ n − ( n ) = √ 10 − ( 10 ) = = 10 √2469 10 ∑Y ∑Y 5069 221 √50690−48841 DP(Y) = √(E(Y 2 ) − (E(Y)) = √ n − ( n ) = √ 10 − ( 10 ) = = 10 √1849 10 Logo.999. Correlação(X.com.50 1609 Correlação(X. ser humilde e atento quanto ao que ainda posso aprender com os meus colegas.69 2. mas que aprendi há muito tempo atrás em turmas pré-militar e de concurso -e algo que eu faço é sempre.. Mas.999-99 www. Tal método é o seguinte: qual é o quadrado perfeito mais próximo de 2469. O denominador será o dobro do número cujo quadrado foi utilizado.69 X 43 = 0.Y) = COV(X.concurseirofiscal. teremos que utilizar o Teorema de Tchebychev.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Resolução: Esta é uma questão que. como é o caso aqui.ALUNO ..999. . b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. Podemos enunciar da seguinte maneira: Concurseiro Fiscal ALUNO ..999. tome muito cuidado: é bem diferente o caso em que essa pergunta é feita relativamente à distribuição normal do que aquela em que a distribuição é uma outra qualquer. em sala-de-aula. Xn Sejam observações de um atributo X. muitas vezes uma distribuição que o enunciado nem sequer diz qual é. que é a forma de saber a máxima proporção de valores que se encontra fora de um dado intervalo.br Página 83 de 89 . c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.999. No entanto.999-99 www. A questão trata da probabilidade de um dado valor diferir de sua média por um certo número de desvios-padrão. X2. X3. .com. Neste caso.Alexandre Azevedo – Aula 00 37)(AFPS 2002/ESAF) Sejam X1. a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.concurseirofiscal.999. dá origem a muitas dúvidas. 1 n x   xi n i 1 s2  1 n xi  x 2  n i 1 Assinale a opção correta. se for o caso) de X no ponto x = 1. Gabarito : C 38)(MPU – Analista – ESAF – 2004) Uma variável aleatória X tem função de distribuição Assinale a opção que corresponde ao valor da função massa de probabilidades (ou função densidade de probabilidades.999.br Página 84 de 89 .583 e) 0. t = 2.25% = 75%.333 c) 0. só importa saber o valor de “t”. como é o caso da nossa questão . que pede 2S. a) 0.999. será 100% .com.083 d) 0.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. 1 t2 é a proporção de observações que diferem da média por mais do que um determinado desvio-padrão. que é o número de desvios-padrões. o caso contrário. que é t2 = ¼ = 0. que é diferir por menos que 2S. O que fazer? Pela forma.999-99 www.concurseirofiscal.250 b) 0.ALUNO . Com isso.Alexandre Azevedo – Aula 00 P(|X – μ| ≥ tσ ) ≤ 1 t2 O problema é que .417 Concurseiro Fiscal ALUNO .25 = 25%. O que podemos fazer é calcular o número de observações que diferem 1 da média em mais do que 2 S.999.999. O problema é que a maioria das questões que cobram isso vai pedir a diferença por menos que um dado número de S. no caso. . 𝛃 são dadas por 𝛂 A estimativa do aumento esperado de tempo adicional servida por chamada é de: por máquina a) 2 minutos Concurseiro Fiscal ALUNO . tal valor seria igual a F(2) – F(1) E por aí vai. subtrairmos os dois. onde α e β são parâmetros desconhecidos e os i ε são componentes de erro não diretamente observáveis. Gabarito: B 39)(ESAF/Auditor Fiscal da Previdência Social/2002) Uma empresa presta serviços de manutenção de eletrodomésticos em domicílio.. após isso. ̂ = 𝟏𝟎. Se tivessem pedido a f(2).999.Alexandre Azevedo – Aula 00 Resolução: Numa questão como essa.333. Ou seja: f(1) = F(1) – F(0) = 7/12 – 1/4 = 4/12 = 1/3 = 0. com média nula e variância σ2 desconhecida..999.999.999..com.ALUNO . Postula-se que o modelo linear Yi = α + βXi + εi seja adequado. sempre que ele pedir f de um dado valor.999-99 www. bastar substituir tal valor e o seu anterior em F(x) e. não correlacionados.concurseirofiscal.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. Para cada um de 18 atendimentos coletou o tempo gasto em minutos (y) com a manutenção e o número de máquinas servidas (x). As estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros do modelo linear ̂ = 𝟐 𝐞 𝛔𝟐 = 𝟒.br Página 85 de 89 . Alexandre Azevedo – Aula 00 b) 10 minutos c) 12 minutos d) 5 minutos e) 6 minutos Resolução: Para resolver esta questão.br Página 86 de 89 . Gabarito: A ESAF – Agente Fiscal de Tributos Estaduais – SEFAZ PI) Um investigador toma uma amostra de 10 carregamentos levados a efeito em caminhões de uma firma de transporte.ALUNO . onde 𝛂 e 𝛃 são parâmetros desconhecidos e os 𝛆(i) são componentes estocásticas (resíduos) não diretamente observáveis. tal valor é igual a 2 minutos.999.999. Para cada carregamento (i) anota a distância percorrida pelo caminhão em 1. Logo. Foram encontradas as estatísticas seguintes no ajuste do modelo de regressão linear: Concurseiro Fiscal ALUNO . É justamente isso que queremos: como “X” representa o número de máquinas.concurseirofiscal. o aumento de tempo esperado por máquina adicional será justamente o valor de “Beta”.999. se os demais fatores que podem influenciar Y permanecerem constantes. Neste contexto postula que o modelo de regressão linear se ajusta a suas observações.000 Km (X(i)) e o tempo de entrega do carregamento em dias (Y(i)). com média zero e variância 𝛔² > 0.999.999-99 www.com. não correlacionadas.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. basta que saibamos que β̂ é a variação de Y quando X varia de uma unidade. na verdade.0 dias d) 5. devemos notar que a questão menciona que cada unidade de “x”.000km na distância percorrida. o “x” é medido de 1000 km em 1000 km.br Página 87 de 89 .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof. n = 10 10 10 β= = = V(X) E(X 2 ) − (E(X))2 12 8 2 ∑ X2 ∑X 2 − ( − ( ) 10 10) n n 260 − 232 28 100 = = = 0. Y) E(XY) − E(X).999. E(Y) n − n . Cov(X.999.999.999. está relacionada a 1000 km.ALUNO .5 dias b) 1.999-99 www. Como o mesmo é calculado? Da seguinte maneira: ∑ XY ∑ X ∑ Y 26 8 29 − .concurseirofiscal. ou seja.5 120 − 64 56 100 Onde Cov(X. a) 0. Concurseiro Fiscal ALUNO . Com isso. Gabarito: A 41) Assinale a opção que corresponde à estimativa de mínimos quadrados do parâmetro 𝛔².5 dias Resolução: Em primeiro lugar.Alexandre Azevedo – Aula 00 Com base nessas informações responda: 40) Assinale a opção que corresponde à estimativa do aumento esperado no tempo de entrega decorrente da adição de 1.com.0 dias e) 4.Y) é a covariância entre X e Y e V(X) é a variância de X.0 dias c) 3. aumentar 1000 km na distância percorrida significa aumentar uma unidade de “x”. o que é justamente a definição de β. a partir dos dados pela questão.999-99 www.13 Resolução: Aí é mais complicado.999.9 – 1.com. Tal valor pode ser calculado como sendo: σ² = SQR n−2 Onde SQR é a soma dos quadrados dos resíduos e “n” é o número de observações. SQR = 15. Mas como.5 = 10−2 = 14.81 Gabarito: B Concurseiro Fiscal ALUNO . pois as pessoas não costumam lembrar de como chegar à variância dos erros.9 82 ) = 0. (12 − 10) = 1.999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.22 e) 1.999. podemos calcular o valor de SQR? Devemos lembrar que SQR = SQT – SQE Além disso: SQT = ∑ Y 2 − (∑ Y)2 n SQE = β2 . (∑ X 2 − = 100 − (∑ X)2 n 292 10 = 15.5 8 = 1.br Página 88 de 89 .ALUNO .Alexandre Azevedo – Aula 00 a) 1.999.999.concurseirofiscal.52 .4 Com isso.5 σ² = SQR n−2 14.77 b) 1.4 = 14.81 c) 0.40 d) 1. Gabarito: E Concurseiro Fiscal ALUNO .com.concurseirofiscal.999-99 www. então pode-se afirmar que: a)A e B são eventos independentes b)P(A ∩ B) = P(A) + P(B) c)P(B/A) ≠ 0 d)P(A/B) ≠ 0 e)P(A ∩ B) = 0 Resolução: Esta é uma questão tranquila.Com isso.Alexandre Azevedo – Aula 00 42)(ESAF – ATPS – 2012) Se A e B são eventos mutuamente excludentes. a probabilidade de ocorrência simultânea dos mesmos é igual a zero.br Página 89 de 89 .999-99 Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.ALUNO .999. Os eventos mutuamente excludentes são aqueles que não podem ocorrer ao mesmo tempo.999.999.999. 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