Astronomische Berechnungen

Inhaltsverzeichnis1 Kalender 1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Julianisches Datum . . . . . . . . . . . . 1.3 Julianisch und Gregorianisch . . . . . . . 1.4 Astronomische Grundlagen . . . . . . . . 1.5 Festkalender . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Festkalender . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Ostern im julianischen Kalender . . 1.5.3 Ostern im gregorianischen Kalender 1.6 Andere Kulturen . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . 1.7.2 Osterdatum . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Julianisches Datum . . . . . . . . . 1.7.4 Wochentage . . . . . . . . . . . . . 1.7.5 Festkalender . . . . . . . . . . . . 1.7.6 Kalenderwoche . . . . . . . . . . . 1.8 Historische Anmerkungen . . . . . . . . . 1.8.1 Altertum . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Gregorianische Reform . . . . . . . 1.8.3 Neuere Entwicklungen . . . . . . . Zeit 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 5 5 7 9 11 20 20 22 25 28 34 34 35 36 39 40 40 41 41 46 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Sonnenzeit . . Zeitgleichung Ortszeit . . . . Sternzeit . . . Atomzeit . . . Richtige Zeit . Standardepoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . 49 . . . . . . . 51 . . . . . . . 58 . . . . . . . 61 . . . . . . . 63 . . . . . . . 66 . . . . . . . 70 2 2.8 Zeitrechnungen . . . 2.8.1 Vorbemerkung 2.8.2 Sternzeit . . . 2.8.3 Zeitskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 . 72 . 72 . 74 79 79 82 87 92 92 92 97 99 100 101 107 107 108 114 116 119 124 124 128 129 130 131 132 132 134 137 139 142 147 147 155 157 157 3 Astronomische Distanzen 3.1 Erdnaher Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Sonnensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Erdglobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Die Erde als Kugel . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Die Erde als Rotationsellipsoid . . . . . . . . 3.4.3 Abstand zweier Punkte auf der Erdoberfläche 3.4.4 Steigerung der Genauigkeit . . . . . . . . . . 3.4.5 Höhe über Meer . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sphärische Astronomie, Positionsastronomie 4.1 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Horizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Räumliche Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Astronomische Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . 4.5 Sphärische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Horizontsystem und festes Äquatorsystem . . . . . . . 4.6.2 Festes Äquatorsystem und rotierendes Äquatorsystem 4.6.3 Rotierendes Äquatorsystem und Ekliptiksystem . . . . 4.6.4 Rotierendes Äquatorsystem und galaktisches System . 4.6.5 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.6 Die Ekliptik am Horizont . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.7 Allgemeines zu Koordinatentransformationen . . . . . 4.7 Parallaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Positionswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Kataloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Positionsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Himmelsmechanik 5.1 Von geozentrisch zu heliozentrisch 5.2 Keplergesetze . . . . . . . . . . . 5.3 Ellipsengeometrie . . . . . . . . . 5.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5.3.2 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Eigenschaften einer Ellipse . . . . . . . . 5.3.4 Analytische Darstellung einer Ellipse . . 5.4 Keplergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Bahnelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Bahnelemente . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Mittlere und oskulierende Bahnelemente 5.6.3 Berechnung von Koordinaten . . . . . . 5.6.4 Beispielrechnung . . . . . . . . . . . . . 5.7 Newtonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 n-Körperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Planeten VSOP87 . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Zeitgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 160 161 162 166 172 172 174 175 177 182 189 192 194 200 201 209 209 209 210 211 211 213 216 216 217 217 218 218 219 220 220 220 221 222 Lösungen zu den Übungen 6.1 Kalender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Julianisches Datum . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Julianischer und gregorianischer Kalender . . . 6.1.4 Astronomische Grundlagen . . . . . . . . . . . 6.1.5 Festkalender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Wahre und mittlere Ortszeit . . . . . . . . . . . 6.2.2 Zeitgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Ortszeit und Zonenzeit . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Sternzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Atomzeit, Ephemeridenzeit und Dynamische Zeit 6.2.6 Welche Zeit ist die richtige? . . . . . . . . . . . 6.2.7 Standardepoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Distanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Der erdnahe Raum; Horizontalparallaxe . . . . . 6.3.2 Das Sonnensystem; Lichtzeit . . . . . . . . . . . 6.3.3 In den Weiten des Kosmos; Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Anhang 225 7.1 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.2 Archiv der Kalender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.2.1 Kalender 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4 7.2.2 7.2.3 8 9 Autoren GNU Free Documentation License Kalender 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Kalender 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 233 235 239 10 Bildnachweis 2004. Die Wochenzählung ist etwas kompliziert festgelegt. ab Mittag oder ab Sonnenuntergang zählen. Januar enthält. in der der Donnerstag sicher ein Januardatum hat. die den 4. Januar. 28 (29). Seine Grundeinheit ist der Tag. Jede Datumsangabe ist letztlich eine Zählung: seit dem Beginn der Zählung sind x Tage / Wochen / Jahre vergangen.Kapitel 1 Kalender 1. Januars und erste bzw. jede Stunde in 60 Minuten. Die Tages. 2009). 1988 bestimmte die ISO in der Norm 8601 folgende Regel: zum einen beginnt eine Woche mit dem Montag. in der mindestens 4 Tage des neuen Jahres liegen – mit anderen Worten: die Mehrheit der Tage in dieser Woche gehört zum neuen Jahr. Dieser wird in der europäisch geprägten Welt weiter unterteilt in 24 Stunden. Damit hat ein Jahr in der Regel 52 Wochen. Mehrere Tage werden zu grösseren Einheiten zusammen gefasst: 7 Tage zu einer Woche. Es bleibt die Frage. und seit Tagesbeginn y Stunden / Minuten / Sekunden.und Monatszählung beginnt ab dem 1. und jede Minute in 60 Sekunden. B. Oder es ist die erste Woche im Jahr. Als Alternative könnte man sie auch ab Sonnenaufgang. und 12 Monate zu einem Jahr. In unserem Kalender werden die Stunden ab „Mitternacht“ hochgezählt. bedienen wir uns des Kalenders. letzte Kalenderwoche Mo Di Mi Do Fr Sa So Kalenderwoche 5 . Oder es ist diejenige Woche. in Ausnahmefällen 53 Wochen (z. Lage des 1.1 Definitionen Um Ereignisse zeitlich eindeutig festlegen zu können. von welchem Moment an gezählt wird. 30 oder 31 Tage zu einem Monat. Zum anderen ist die erste Kalenderwoche (KW) eines Jahres diejenige Woche. weitere 2 Arbeitswochen fallen weg wegen Feiertagen und anderen Arbeitsunterbrechungen. bzw.: nach unserer Zeitrechnung.6 1 31 30 29 28 27 26 2 1 31 30 29 28 27 3 2 1 31 30 29 28 4 3 2 1 31 30 29 5 4 3 2 1 31 30 6 5 4 3 2 1 31 7 6 5 4 3 2 1 erste KW des neuen Jahres erste KW des neuen Jahres erste KW des neuen Jahres erste KW des neuen Jahres letzte KW des alten Jahres letzte KW des alten Jahres letzte KW des alten Jahres Der Beginn der Jahrzählung heisst Epoche..[u. In dieser Zählung gibt es kein Jahr Null. ein Kalenderjahr? • Eine Arbeitswoche umfasst 5 Tage zu 8 Stunden. Januar des Jahres 1. Übungen • Wie viele Minuten bzw. vor der Zeitenwende. vor unserer Zeitrechnung. dem Jahr 2000 v.. total also 40 Arbeitsstunden. Gelegentlich findet man noch den Zusatz n. Die Jahre werden ab diesem Zeitpunkt nach Christi [Geburt]. Dafür sieht sie ein Jahr 0 (entspricht 1 v. bzw.[u. abgekürzt v. vor Christi [Geburt]. entspricht das Jahr –1999. Der Ferienanspruch betrage 4 Arbeitswochen pro Jahr. Sekunden dauert ein Kalendertag bzw.]Z. die Jahrzahlen erhalten keinen speziellen Zusatz mehr. Chr. gezählt. nach der Zeitenwende bzw. abgekürzt n. Wie hoch ist die jährliche Sollarbeitszeit in Stunden (genähertes Resultat)? • Wie viele Tage hat ein Monat im Durchschnitt? • Können zwei aufeinanderfolgende Kalenderjahre 53 Kalenderwochen haben? . Chr.]Z. Die christliche oder abendländische Epoche ist der 1. Chr. Chr. Die ISO-Norm 8601 in der Fassung von 2000 sieht keinen Bezug zur christlichen Tradition mehr vor.) sowie negative Jahrzahlen vor: das Jahr –1 entspricht 2 v. v.. Chr. 7 1. Beispiel: Dem 1. Januar 2009 entspricht JD 2 454 832. Da die Zahlen des Julianischen Datums recht gross sind. November 1858 0 h UT gezählt. also um Mittag. Chr. Beispiel: .2 Julianisches Datum In astronomischen und kalendarischen Berechnungen benötigt man regelmässig die Anzahl Tage zwischen zwei bestimmten Daten. wenn die Tage fortlaufend und ohne Rücksicht auf Wochen. Monate oder Jahre durchgezählt werden. Es empfiehlt sich.0 und dem 1. Mai 1968 0 h UT entsprechend JD 2 440 000. denn 14 h MEZ entspricht 13 h UT. also 1 Std oder 1 /24 Tag nach Mittag. diesen Teil schon jetzt zu lesen.5. Januar 2009 liegen demzufolge 2 454 832. Im Kapitel „Kalenderrechnungen“ werden Sie ein Verfahren kennen lernen.5. Januar 2008 0 h UT entspricht das Modifizierte Julianische Datum MJD 54 466. Januar 2008 14 h MEZ entspricht MJD 54 466. wie Sie aus dem Kalenderdatum das Julianische Datum und aus dem Julianischen Datum das Kalenderdatum berechnen können.54167.5 gezählt. Januar 2008 12 h UT entspricht JD 2 454 467.5 – 2 454 466. Januar 2008 14 h MEZ (früher Nachmittag in Mitteleuropa) entspricht JD 2 454 467. Hier werden die Tage ab dem 24. denn 2008 ist ein Schaltjahr mit 366 Tagen. zwischen dem 1. Januar 4713 v.0. Januar –4712 (entspricht dem 1. ist um Mitternacht ein halber Tag verflossen. daher der Bruchteil 0. beginnt ein neuer Tag jeweils um 12 h UT. Januar 2008 und dem 1. Dies entspricht dem Julianischen Datum JD 2 400 000. Dem 1.5.5 in der Zahl. Hier werden die Tage ab dem 17.) gezählt. Solche Berechnungen werden erleichtert. Beispiel: Dem 1. wird an seiner Stelle gelegentlich das Modifizierte Julianische Datum verwendet. dem Beginn eines neuen Julianischen Datums. dem 1.5. Dem 1.5 = 366 Tage. Damit bei astronomischen Beobachtungen während der Nacht kein „Datumwechsel“ vollzogen werden muss. Genau dies ist die Idee des Julianischen Datums: die Tage werden seit dem 1. Da der Julianische Tag um 12 h mittags des 31. Das Modifizierte Julianische Datum erhält man aus dem Julianischen durch Subtraktion von 2 400 000.04167. Dezember 2007 begonnen hat. In der Raumfahrt wird gelegentlich das Truncated Julian Date verwendet. Januar 2008 0 h UT (Mitternacht in London) entspricht das Julianische Datum JD 2 454 466. sie wurde noch im Mittelalter für die Jahrzählung verwendet Die Jahrzahlen werden je nach Zyklus von 1 bis 28 bzw. 0. März 1997 = 28. Astronomische Jahrbücher wie z. 15 durchnummeriert. ISBN 978-3440110355 1 Der . auf die wir noch eingehen werden. Das Julianische Datum ist nicht mit einem Datum im julianischen Kalender zu verwechseln.8 Dem 1. März 1996 = 29. 19 bzw. eines Monats bekannt ist. Dezember 2007. März 2008. kann man das Julianische Datum für jeden Tag des Monats berechnen.5. denn nach dieser Zeit fallen die Mondphasen (ungefähr) wieder auf das gleiche Datum • 15 Jahre (Indiktion). Am 1.0. wenn man als 0. Januar 2008 0 h UT entspricht das Truncated Julian Date TJD 14 466. Verlag Franckh-Kosmos. Hans Roth. Für den 29. Wenn nichts Anderes vermerkt ist. Das nächste Mal wird dies nach 28•19•15 = 7980 Jahren der Fall sein. spielen drei grosse Zyklen eine Rolle. Februar 1997. also im Jahr 3268 n. Januar 2008 = 31. 0. Um Rechnungen mit dem Kalender und dem Julianischen Datum zu vereinfachen. Chr. April 1928.5 das Julianische Datum für den 23.und Kalenderrechnung. Mai 1928 = 30. damit die übrigen Daten für das ganze Jahr berechnet werden können. Beispiel: 0. Justina Engelmann (Herausgeber). 0. ist es praktisch. März 2008 ist JD 2 454 525. Februar 2008 = 0. Es sind dies • 28 Jahre. Februar 1996. der Sternenhimmel 1 geben das Julianische Datum für den 0. folglich ist JD 2 454 548. denn nach dieser Zeit fallen die Wochentage wieder auf das gleiche Datum • 19 Jahre (Meton-Zyklus). B. (Tag) eines Monats den letzten Tag des Vormonats definiert. 2007. indem man einfach die Tageszahl dazu zählt. bezieht sich die Angabe des Julianischen Datums immer auf den Zeitpunkt 0 h UT. Es wurde 1582 vom Franzosen Joseph Justus Scaliger (1540 – 1609) Sternenhimmel 2008: Astronomisches Jahrbuch für Sternfreunde. dann beginnt die Zählung von vorn. Wenn das Julianische Datum für den 0. der Zyklus für die Steuer bei den Römern. den Ostersonntag. Die Dauer von 7980 Jahren wird als Julianische Periode bezeichnet. Das Neujahr des Jahres –4712 ist zwar ein willkürlich gewählter Zeitpunkt. hat aber in der Kalenderrechnung durchaus seine Bedeutung: für die Oster. eines jeden Monats. Januar –4712 begannen alle 3 Zyklen gleichzeitig mit der Zählung bei 1. damit Sie für diese beiden Jahre schnell das JD zu einem beliebigen Kalenderdatum berechnen können. In unserem Kalender ist der Zusammenhang zwischen der Monatslänge und den Mondphasen völlig verloren gegangen. – 14 n. (31. Unixsysteme zählen die Sekunden seit dem 1. um damit seinen Vater Julius Scaliger zu ehren. Nach einer anderen Version wählte er die Bezeichnung.1999 für viele andere Computersysteme erwartet wurde. speziell der Juden und Ägypter zurück. Die grösste Zahl. danach ergibt sich beim weiteren Hochzählen ein Überlauf. eines jeden Monats. Übungen • Erstellen Sie für die Jahre 2008 und 2009 eine Tabelle mit den Julianischen Daten für den 0. An welchem Kalenderdatum ist das der Fall? Nachweis: 1. Chr. dass sich die entsprechenden Himmelsereignisse nach einer bestimmten Anzahl Tage nicht exakt wiederholen. Monat) eingeschoben („geschaltet“) werden.9 eingeführt. Unser Kalender geht in seinen Ursprüngen auf die alten Völker des Vorderen Orients. Gaius Julius Caesar (100 – 44 v. Januar 1970 0 h UT. • Für die Unixzeit wird in der Regel eine 32-Bit-Zahl verwendet. . Chr. weil zum Zeitpunkt der Einführung der julianische Kalender galt.1.3 Julianisch und Gregorianisch Kalenderperioden liegen astronomische Vorgänge zugrunde. Zu diesem Zeitpunkt droht den Unixsystemen die gleiche Katastrophe. sichtbar an den Mondphasen. beträgt +2 147 483 647 = 231 .). die damit dargestellt werden kann. doch stehen diese untereinander nicht in ganzzahligem Verhältnis. Es kann davon ausgegangen werden.12. Dies bedeutet. In unserem Kalender ist die Schaltung von einzelnen Tagen zur Anpassung der Jahreslänge an die astronomische Realität die älteste und bekannteste Schaltregel. Tag. Bekanntestes Beispiel ist die Kalendereinheit „Monat“ und der Mondlauf.) Dezember 1899 als Nullpunkt. wie sie mit dem „Millenium-Bug“ am 31. OOo Calc oder Delphi beginnen ihre Tageszählung mit dem 30. dass er die Bezeichnung „julianisch“ gewählt hat. dann muss von Zeit zu Zeit eine zusätzliche Einheit (Sekunde. In der Informatik wird ebenfalls mit einer Art Julianischem Datum gerechnet: Programme wie MS Excel. Will man den Zusammenhang zwischen Kalender und astronomischem Ereignis aufrecht erhalten. mit Verbesserungen durch seinen Nachfolger Augustus (63 v. wo sie bereits in der Schöpfungsgeschichte des alten Testaments vorkam. Im Zusammenhang mit der Regelung des Osterdatums legte 525 der Mönch Dionysius Exiguus (ca. März gerutscht. 540) den Frühlingsbeginn auf den 21. Januar • zur Anpassung des kalendarischen Jahrs an die astronomische „Realität“ wird nach drei Jahren im Februar des vierten Jahres ein Schalttag eingeführt.25 Tage = (4·365 + 1)/4 Tage • die Jahre nach der Zeitenwende. es sei denn. schuf im Jahr 45 v.10 Chr. sie sind ohne Rest durch 400 teilbar . dass die Säkularjahre (Jahre. Die Woche mit ihren sieben Tagen wurde erst im späten römischen Kaiserreich eingeführt. Jahrhundert war der Unterschied auf rund 10 Tage angewachsen. Es war schliesslich Papst Gregor XIII. Dieses Datum war für die Osterrechnung entscheidend. 470 – ca. keine Schaltjahre sind. dass sich der wahre Frühlingsbeginn immer mehr von diesem Datum entfernte. also 10 Kalendertage wurden ausgelassen • die Schaltregel des julianischen Kalenders wurde dahin gehend abgeändert. 15. Im Laufe der Zeit stellten die Kalendermacher fest. 4. Als religiöser Kalender ist er in der orthodoxen Kirche noch heute in Gebrauch. folgte auf Donnerstag. der im Jahre 1582 den julianischen Kalender reformierte. Sie wurde aus dem jüdischen Kalender übernommen. (1502 – 1585). Seine Reform beinhaltete folgende Punkte: • um den Frühlingsbeginn wieder auf den 21. die ohne Rest durch 100 teilbar sind). die durchschnittliche Länge eines julianischen Jahres beträgt somit 365. Im 16. Deswegen war der Frühlingsbeginn im Kalender im Laufe der Zeit auf den 11. März fest. Oktober 1582. dass das julianische Jahr mit seiner durchschnittlichen Länge von 365.25 Tagen etwas zu lang war.). März fallen zu lassen. die restlos durch 4 teilbar sind. Daraus ergaben sich Probleme mit dem Osterdatum. Er rührte daher. sind Schaltjahre (moderne Fassung dieser Regel) Zu Ehren seines Schöpfers wird er julianischer Kalender genannt. Sie geht bis auf die Mesopotamier zurück. Chr. Oktober 1582 unmittelbar Freitag. die im wesentlichen bis heute gültigen Grundlagen des abendländischen Kalenders: • das Jahr umfasst 12 Monate unterschiedlicher Länge mit ihren heute noch gebräuchlichen Namen und Längen • das Jahr beginnt am 1. B. Monat und Jahr liegen astronomische Abläufe zugrunde. dass der gregorianische Kalender in 400 Jahren 3 Tage weniger aufweist als der julianische Kalender: z. / 44 v. Sie bewirkt eine regelmässige Abfolge von Tag und Nacht. Für den Tag ist es die Drehung der Erde um ihre eigene Achse. Chr. die Rotation. B. proleptischer Gebrauch der Kalender). Chr. Nehmen Sie an. und als Kalendertag kann die mittlere Dauer zwischen zwei aufeinander folgenden Zeitpunkten des Sonnenhöchststandes definiert werden.2425 Tage = (400·365 + 100·1 3)/400 Tage. Chr. März stattgefunden? Welche Schlussfolgerungen ziehen Sie? • Welche der folgenden Jahre sind Schaltjahre im gregorianischen bzw. Weihnacht oder Ostern Dieser gregorianische Kalender ist der heute noch gültige Kalender in den christlichen Ländern der Erde. Die geänderte Schaltregel bewirkt. Chr. Die Differenz von 0. beide Kalender seien in all den aufgeführten Jahren bekannt und im Gebrauch gewesen (sog. Zum Vergleich: der Unterschied zwischen julianischem und astronomischem Jahr hat sich in der Zeit bis 1582 zu 10 Tagen aufsummiert. Chr. / 401 v. julianischen Kalender: 2000 / 1968 / 1914 / 1900 / 1812 / 1456 / 900 / 800 / 4 / 1 v. im gregorianischen Kalender ist nur das Jahr 2000 ein Schaltjahr. 1.11 • ein neues Jahr sollte (wieder) einheitlich am 1. misst doch das „astronomische Jahr“ zur Zeit 365. / 4713 v. zu Dionysius’ Zeiten stattgefunden haben? Wann hat er wirklich am 21. 1800. Im Zuge der Globalisierung richten sich auch viele nicht-christliche Länder zumindest im Geschäftsleben danach. Für den Monat ist der astronomische Ab- . Die durchschnittliche Jahreslänge beträgt im gregorianischen Kalender somit 365. Sie ist immer noch etwas zu gross. so z. / 701 v. Chr. sind im julianischen Kalender die Jahre 1700.2422 Tage. Übungen • In welcher Zeit hat sich der Unterschied zwischen einem julianischen und einem astronomischen Jahr zu 1 Tag aufsummiert? Wann müsste folglich der Frühlingsbeginn zu Caesars bzw. Chr. / 65 v.0003 Tagen wird sich in rund 3200 Jahren zu einem Unterschied von 1 Tag aufsummiert haben. 1900 und 2000 Schaltjahre. / 100 v. Januar beginnen – im Mittelalter hatten sich in verschiedenen Ländern unterschiedliche „NeujahrsTermine“ eingebürgert.4 Astronomische Grundlagen Den kalendarischen Einheiten Tag. 12 lauf die Bewegung des Mondes um die Erde. als Kalendermonat kann die mittlere Dauer zwischen zwei gleichen Mondphasen (Neumond. Vollmond. als Kalenderjahr kann die mittlere Dauer eines Umlaufs der Erde um die Sonne definiert werden. Dem Jahr liegt die Bewegung der Erde um die Sonne zugrunde. . Erstes oder Letztes Viertel) definiert werden. 13 Abbildung 1: Der Unterschied zwischen Rotationsdauer und Sonnentag . 14 Abbildung 2: Unterschied Rotationsdauer und Sonnentag. Anblick Die vorsichtigen Formulierungen im voranstehenden Abschnitt zeigen: so einfach ist die Sache nicht. so sieht derjenige auf der Nachtseite den Stern wieder im Meridian. genau Richtung Süden. Betrachten Sie dazu die nebenstehende Figur: im Punkt A blicken zwei Beobachter an den Himmel. Dies rührt daher. Die Erde muss sich von B noch um den Winkel α bis zum Punkt C bewegen. dass sich die Erde während ihrer Rotation gleichzeitig auf ihrer Bahn um die Sonne weiterbewegt. Während sich die Erde einmal um ihre Achse dreht. um ein Mal um ihre eigene Achse zu rotieren. bewegt sie sich auf ihrer Bahn um die Sonne von A nach B. Blicken die beiden Beobachter wieder genau nach Süden. Der Beobachter auf der Tagseite sieht die Sonne im Meridian. In dieser Zeit hat sich für den Beobachter auf der Nachtseite der Stern weiter nach We- . Ein Tag ist etwas länger als die Erde braucht. derjenige auf der Tagseite die Sonne aber noch etwas östlich des Meridians. der Beobachter auf der Nachtseite einen (unendlich weit entfernten) Stern. bis die Sonne für den Beobachter auf der Tagseite wieder im Meridian steht. die Rotation der Erde konstant ablaufen. Nach den gleichen Überlegungen ist die Zeit zwischen zwei gleichen Mondphasen länger als die Umlaufzeit des Mondes um die Erde. • Für eine präzise Zeitmessung sind nur Vorgänge sinnvoll.15 sten. dass die Bahnen der Himmelskörper keinesfalls unveränderlich sind. . Den Ursachen gehen wir in einem späteren Kapitel auf den Grund. die über mehrere Perioden gemittelt werden. haben die Sterne nicht immer zur gleichen Zeit ihren Höchststand am Nachthimmel. sondern sowohl ihre Form wie auch ihre Lage im Raum stetigen Veränderungen unterworfen sind. um eine Bewegung eindeutig bestimmen zu können. B. Dank diesem Unterschied sehen wir im Laufe eines Jahres den ganzen Himmel. während andere Bewegungen abwechselnd beschleunigt und dann wieder verzögert ablaufen. Die mittlere der nebenstehenden Abbildungen zeigt den Blick der beiden Beobachter in den drei Bahnpunkten A. Als drittes Element kommt hinzu. B und C. seinem Untergangspunkt zu bewegt. jetzt beschäftigen wir uns nur mit den Auswirkungen auf die Kalendereinheiten: • Es braucht die Angabe eines Referenzpunktes. Die Sache wird dadurch noch kompliziert. dass gewisse Bewegungen wie z. dass wir die Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Höchstständen eines bestimmten Fixsterns bestimmen. Anschaulich bedeutet dies. Seinen Höchststand über Horizont. so erhalten wir im Falle der Erdrotation den Sterntag oder die siderische Rotationsdauer. unendlich weit entfernten Sterne als Referenz bestimmt.16 Abbildung 3: Der Himmel über einem Beobachter und die wichtigsten Orientierungspunkte Werden die als unveränderlich festgemachten. die sogenannte obere Kulmina- . so ist der solchermassen gemessene Sterntag (tropische Rotationsdauer) um ein Kleines kürzer als die siderische Rotationsdauer.bzw.17 tion oK. Vollmond in den Knoten aufhält • Der anomalistische Monat misst die Zeit zwischen zwei Durchgängen des Monds durch das Perigäum und damit gleicher scheinbarer Durchmesser am Erdhimmel • Der tropische Monat misst die Zeit zwischen zwei Durchgängen des Mondes durch den Meridian des Frühlingspunktes und damit seine Bewegung in einem erdgebundenen Koordinatensystem • Das siderische Jahr misst die Umlaufzeit der Erde um die Sonne. im absteigenden Knoten in umgekehrter Richtung. da der Frühlingspunkt am Sternenhimmel nicht fix ist. wenn sich der Neu.bzw. so sprechen wir vom anomalistischen Jahr bzw. vom anomalistischen Monat. Beziehen wir uns im Falle der Mondbahn schliesslich auf die Knoten der Mondbahn2 . erreicht ein Himmelskörper. All diese Umlaufzeiten unterscheiden sich leicht voneinander. Mondbahn (Jahres. 2 Als . weil die Fixpunkte eben nicht wirklich fix sind. Und doch hat jede Zeitdefinition ihren Sinn: • Der siderische Tag oder Sterntag misst die Rotationsdauer der Erde • Der synodische Tag oder Sonnentag misst den scheinbaren Lauf der Sonne am Erdenhimmel (relevant für Kalender) • Der siderische Monat misst die Umlaufzeit des Mondes bezogen auf die Fixsterne • Der synodische Monat misst die Zeit zwischen zwei gleichen Mondphasen (relevant für Kalender) • Der drakonitische Monat misst die Zeit zwischen zwei Knotendurchgängen und spielt bei Finsternissen eine Rolle: Sonnen.bzw. wo der entsprechende Himmelskörper den kleinsten Abstand vom Zentralkörper hat (Perihel im Falle des Abstandes der Erde von der Sonne. so sprechen wir vom drakonitischen Monat. Beziehen wir uns im Fall der Erd. unterste der nebenstehenden Grafiken). Es gibt zwei Knoten: im aufsteigenden Knoten durchstösst er die Ekliptik von Süd nach Nord. bezogen auf die Fixsterne Knoten bezeichnet man diejenigen Punkte einer Bahn. Beziehen wir uns statt auf einen Fixstern auf den Frühlingspunkt. Mondfinsternisse können nur eintreten. wenn er bei seiner scheinbaren täglichen Bewegung am Erdhimmel zwischen Aufgangspunkt A und Untergangspunkt U den Meridian von Ost nach West überquert (s. Ekliptik) durchstösst. Monatslänge) auf den Punkt der Bahn.bzw. in denen ein Himmelskörper die Ebene der Erdbahn (die sog. Perigäum im Falle des Abstandes des Monds von der Erde). 554 55 365. Welche Zeit ist die richtige? 4 Tropisches und synodisches Jahr sind identisch.18 • Das tropische Jahr misst die Umlaufzeit der Erde um die Sonne. verwandeln Sie die Tage des Mond. bisher als „astronomisches Jahr“ bezeichnet) • Das anomalistische Jahr misst die Zeit zwischen zwei Durchgängen der Erde durch das Perihel und damit gleicher scheinbarer Durchmesser am Erdhimmel Hinzu kommt. 3 Im .256 366 Tage Tage synodisch 86 400 Sekunden3 29.259 636 Tage Tage drakonitisch – 27. –700. sondern ganz langsam abnimmt.242 199 Tage4 Tage tropisch 86 164. bezogen auf den Frühlingspunkt und damit gleicher Jahreszeiten (relevant für Kalender. Minuten und Sekunden. dass die Rotationsdauer der Erde nicht konstant ist.212 22 – Tage Übungen • Verwandeln Sie die Sekunden der Erdrotation in Stunden. Die Tageslänge nimmt gegenwärtig um etwa 17 µs pro Jahr zu. Vor 400 Millionen Jahre hatte das Jahr bei gleicher Länge ca. Kapitel Zeit.099 Sekunden 27.530 59 365. Über Details und Auswirkungen s. Minuten und Sekunden! Grunde von den Kalendermachern erzwungen: streng genommen ist heute ein Tag.a.321 66 365. 400 (kürzere) Tage. Stunden. Oder: analysiert man mesopotamische Himmelsbeobachtungen (v. was auf die Abbremsung der Erdbewegung seit dieser Zeit zurück zu führen ist.321 58 365. aber doch ein messbarer.und den Erdumlauf Typ Erdrotation Mondumlauf Erdumlauf siderisch 86 164.und Erdumlaufs in Tage. 86 400. so stellt man eine Zeitverschiebung von 5 bis 6 Stunden gegenüber heute fest. also eine mittlere synodische Rotation. Finsternisse) aus der Zeit um ca. In historischen Dimensionen fällt er wohl ins Gewicht. oder anders formuliert: ein Tag war damals gut 2 Stunden kürzer als heute.242 199 Tage Tage anomalistisch – 27. Dies ist zwar nur ein geringer Effekt. den Mond. Ephemeridenzeit und Dynamische Zeit bzw.091 Sekunden 27. Abschliessend geben wir noch die folgenden Zahlen: Zahlenwerte für die Erdrotation. Zeit.002 s lang. Atomzeit. einer Stunde? • Bestimmen Sie für die Erdrotation und den Mondumlauf den Zusammenhang zwischen siderischer und (mittlerer) synodischer Zeit als Formel. gegeben die synodische Zeit: wie kann die siderische berechnet werden? Nachweise: . dh. um den sich die Erde täglich weiter drehen muss.19 • Wie gross ist im Mittel der Winkel α. bis die Sonne wieder im Meridian kulminiert? • Um welchen Winkel verschieben sich Sonne und Mond vor dem Hintergrund der unendlich weit entfernten Sternen im Laufe eines Tages bzw. 1 Festkalender Festkalender Abbildung 4: Die Grafik zeigt die Daten von Ostern und Muttertag von 2000 bis 2020 zur Illustration des Unterschiedes zwischen einem beweglichen und einem halbfixen Feiertag Es gibt drei verschiedene Arten von Festtagen: • Festtage.5 1. Beispiel: Ostern wird bestimmt durch den Frühlings. Beispiel: Weihnachten ist am 25.20 1. Dezember (fixer Festtag) • Festtage. Schwankung gut ein Monat) .oder Ostervollmond (beweglicher Festtag. die unverändert immer am gleichen Datum stattfinden.5. bei denen das bestimmende Ereignis immer an einem anderen Datum stattfindet. Dezember 25. Advent.21 • Festtage. Dank-. Schwankung um eine Woche) Die Festtage vom fixen Typ sind unproblematisch. Dezember 8. Sonntag im Mai (halbfixer Festtag. Dezember Bemerkung Beginn Kalenderjahr Beginn der Fasnacht Beginn Fastenzeit Beginn Karwoche Kürzel: O Ende Osterzyklus Schweiz Schweiz Nationalfeiertag D Österreich Deutschland. Österreich Ende des Kirchenjahres 1. beim Erstellen eines Kalenders erhebt sich nur die Frage. November Mittwoch vor Totensonntag 1 Woche vor 1. bis 4. 1. Februar O – 7 Tage O – 2 Tage (Osterformel) 1. Sonntag Mai O + 49 Tage O + 60 Tage 1. Ostersonntag Tag der Arbeit Auffahrt / Christi Himmelfahrt Muttertag Pfingsten Fronleichnam Nationalfeiertag Mariä Himmelfahrt Eidg. Dezember 24. Advent Sonntage vor Weihnacht 6. Januar O – 52 Tage O – 48 Tage O – 46 Tage 14. August 15. August 3. Advent: Beginn Kirchenjahr Ende Kalenderjahr 5 Im Anhang finden Sie einen Festkalender je für das laufende und das kommende Jahr.und Bettag Tag der deutschen Einheit Nationalfeiertag Allerheiligen Buss. aber an wenig wechselnden Kalenderdaten stattfinden. . auf welchen Wochentag das Fest fällt. Nachstehend eine Zusammenstellung der wichtigsten kirchlichen und weltlichen Feiertage im deutschsprachigen Raum als Jahresfestkalender5 : Jahresfestkalender Fest Neujahr Dreikönigstag /Epiphanias Schmutziger Donnerstag /Weiberfasnacht Rosenmontag Aschermittwoch Valentinstag Palmsonntag Karfreitag Ostern. Buss. 3. Oktober 1.und Bettag Totensonntag Advent Nikolaus Mariä Empfängnis Heiligabend Weihnacht Stephanstag Silvester Typ fix fix beweglich beweglich beweglich fix beweglich beweglich beweglich fix beweglich halbfix beweglich beweglich fix fix halbfix fix fix fix halbfix halbfix halbfix fix fix fix fix fix fix Datum / Berechnung 1. Sonntag Sept. Am schwierigsten ist die Frage zu beantworten. Beispiel: Muttertag ist der 2. Dezember 31. Januar 6. wochentagsgebunden. welchem Kalenderdatum dies entspricht. Mai O + 39 Tage 2. Für die Festtage vom halbfixen Typ ist in der Regel der Wochentag klar. die Frage erhebt sich. an welchem Datum die beweglichen Festtage in einem bestimmten Jahr stattfinden. Dezember 26. die an einem bestimmten Wochentag. Oktober 26. sondern nach einem vereinfachten Lauf. Die Regel zur Bestimmung des Osterdatums wurde 325 auf dem Konzil zu Nicäa festgelegt: • Ostern wird an einem Sonntag gefeiert • Ostern wird nach dem Frühlingsvollmond gefeiert • Frühlingsvollmond ist der erste Vollmond.5. Demnach müsste Ostern nach den astronomischen Ereignissen am folgenden Sonntag 24.24219 = 6939.22 1. März um 2:43 h MEZ ein. Es kann daher vorkommen. Dann findet Ostern am 22. • Ostern darf nicht mit dem jüdischen Passahfest zusammen fallen. Ostergrenze) und dieser Tag ein Samstag ist. Tatsächlich fällt die kirchliche Ostergrenze (dh. das nächste Mal wird das 2019 der Fall sein: der astronomische Frühlingsanfang ist am 20. April 2019 gefeiert – wenn nicht in der Zwischenzeit die Osterregel geändert wird. März. März. dann findet Ostern 7 Tage später am 25. März fällt (sog. der am Tag des Frühlingsbeginns (21. das letzte Mal 1818. astronomischen Mondlauf bestimmt. wenn der Vollmond auf den 21.6016 Tage bzw. in diesem Fall wird Ostern 1 Woche später gefeiert Der frühest mögliche Ostertermin tritt ein. Das letzte Mal geschah dies bezogen auf die Mitteleuropäische Zeitzone 1974. Dieser Fall tritt sehr selten ein. Die kirchliche Osterrechnung nutzt für ihre Berechnungen die Tatsache. April. Ist dieses Datum ein Sonntag. April als spätestem Osterdatum statt. Fällt der Vollmond auf den 20. der astronomische Vollmond tritt am 21. März statt. März gefeiert werden. der für Ostern massgebende Vollmondtermin) auf den 18. April der für Ostern massgebende Vollmondtermin (Ostergrenze). und Ostern wird am 21. Tag-und-Nacht-Gleiche nach dem Winterhalbjahr) oder danach stattfindet. Dieser Fall trat letztmals 1943 auf und wird sich 2038 wiederholen. Ostern wurde nicht nach dem exakten. dass Ostern astronomisch zum falschen Zeitpunkt gefeiert wird (sog. Osterparadoxie).439 Stunden . Das nächste Mal wird Ostern erst 2285 wieder auf dieses Datum fallen. dass 19 Umläufe der Erde um die Sonne (salopp: 19 Jahre) ziemlich genau 235 synodischen Monaten entsprechen: 19 • 365. dann ist am 18.2 Ostern im julianischen Kalender Bei den beweglichen Festtagen hängt alles vom Osterdatum ab. März um 22:59 h MEZ. 6939 Tage 14. so ist Rest(2008. dieses Jahr hat die Goldene Zahl I. indem Sie 11 hinzu zählen. dh.: wir nehmen den Divisionsrest.53059 Tage = 354. 2 Stunden auf 1 Tag summiert haben. Chr. Für ein beliebiges Jahr finden wir sehr leicht die Goldene Zahl: GZ = Rest(Jahr. Für die Berechnung des Osterdatums wird eine zweite Zahl benötigt.528 Stunden Erst nach rund 11½ Zyklen oder rund 218 Jahren wird sich dieser kleine Unterschied von ca. die Goldenen Zahlen mit römischen Zahlzeichen zu schreiben. die Goldene Zahl des Jahres 2008 folglich GZ = XIV (14). Als Mondalter bezeichnet man die seit dem letzten Neumond verstrichene Zeit in Tagen.: ist die Epakte für ein bestimmtes Jahr bekannt. dass 12 synodische Monate 12 • 29. M. Es ist üblich. Die Goldene Zahl GZ eines Jahres gibt in der kirchlichen Kalenderrechnung an. das Mondalter 0 den Neumond.B.a. a. Jhdt. Ist also für das Jahr mit der Goldenen Zahl GZ = I die Epakte E = 0. wenn wir die Jahrzahl durch 19 teilen. Der Beginn der Zählung ist das Jahr 1 v. B. so finden Sie sie im Folgejahr. Dionysius berechnete die Epakte auf sehr einfache Weise: er ging davon aus. Er hat zur Folge. den Vollmond. Jahr = 2008. dem Astronomen Meton von Athen (5. und erhöhen diesen Rest um 1.23 235 • 29. v. W. so ergibt sich nach Dionysius folgende Reihe der Epakten: Zusammenhang zwischen Goldener Zahl GZ und Epakte E GZ I II III IV V VI VII VIII E 0 11 22 3 14 25 6 17 GZ E XI 20 XII 1 XIII 12 XIV 23 XV 4 XVI 15 IX 28 X 9 XVII XVIII XIX 26 7 18 . Dieser Zyklus von 19 Jahren wird nach seinem Entdecker.6887 Tage bzw. Chr. 19) + 1 M. 6939 Tage 16. = 0. die sogenannte Epakte E.) Meton-Zyklus genannt. um welches Jahr innerhalb eines Meton-Zyklus es sich handelt. dass sich die Mondphasen nach 19 Erdumläufen um die Sonne oder nach 19 Jahren praktisch wiederholen. so wird 30 subtrahiert. Das Mondalter 14 bezeichnet z.19) = 13. März. Ist z. In der Rechenvorschrift von Dionysius (gültig für den julianischen Kalender) handelt es sich um das Mondalter am 22. Wird der Wert der so berechneten Epakte grösser als 29.W.367 Tage um 11 Tage kürzer sind als ein Jahr.53059 Tage = 6939. . Januar. der Buchstabe C. der zweite für den Rest des Jahres gilt.. da 30 > 29 ist. wie man mittels Tafeln Ostern bestimmen kann. dem 3.. 250) aus dem 9. Tagesbuchstabe Tb und Goldene Zahl lender T 21 22 23 24 25 26 27 Tb C D E F G A B GZ 16 5 – 13 2 – 10 T Tb GZ T Tb GZ 31 F – 10 B 6 1 G 15 11 C – 2 A 4 12 D 14 3 B – 13 E 3 4 C 12 14 F – 5 D 1 15 G 11 6 E – GZ im julianischen Ka28 C – 7 F 9 16 A – 29 D 18 8 G – 17 B 19 30 E 7 9 A 17 18 C 8 schönes Beispiel einer alten Ostertafel findet sich als Faksimile-Wiedergabe im Internet. muss 30 subtrahiert werden..... dem 2.. 6 Ein . . wobei der erste für Januar und Februar.. Im julianischen Kalender konnte man – gestützt auf die Vorgaben des Dionysius – sehr einfach einen immerwährenden Kalender der Ostervollmonde erstellen. Jedem Tag des Jahres wird ein Buchstabe von A bis G zugeordnet. Diese Ausnahme nennt man Mondsprung. . Jahrhundert. Als Sonntagsbuchstabe wird der Buchstabe des ersten Sonntags im Jahr bezeichnet.24 Danach beginnt die Reihe wieder von vorn. Für das Jahr 2008 lauten die beiden Sonntagsbuchstaben FE.Dabei nimmt aber die Epakte um 12 und nicht 11 Einheiten zu: 18 + 12 = 30.. der Epakte oder der Ostergrenze (Luna Paschae XIV) und des Sonntagsbuchstabens das genaue Osterdatum zu ermitteln6 Wir zeigen hier. 15. indem man vom Meton-Zyklus ausging: Ostergrenze T. denn nach Ablauf der 19 Jahre eines Meton-Zyklus wiederholen sich die Mondphasen am gleichen Datum. 9. usw. was für GZ = I wieder E = 0 ergibt. es handelt sich dabei um eine astronomisch-komputistische Enzyklopädie (Sang. und zwar dem 1. . Januar. Als letztes Hilfsmittel zur Berechnung des Osterdatums benötigte man den Sonntagsbuchstaben des Jahres. Gallen befindet: http://www.. 16. Alle Tage mit gleichem Buchstaben haben den gleichen Wochentag.ch/de/csg/0250/003. 8. der Buchstabe B. Meist wurden in früheren Zeiten Tabellen erstellt. Ein Schaltjahr hat zwei Sonntagsbuchstaben..unifr. 10.ecodices. Januar. der Buchstabe A. 17. um mit Hilfe der Goldenen Zahl. deren Original sich im Besitz der Stiftsbibliothek St. und Mondgleichung sind. Die Lilianischen Epakten treffen also den Mondlauf besser als die Dionysischen. nicht aber nach dem gregorianischen Kalender ein Schaltjahr ist (Sonnengleichung). 1. Für einige Jahrhunderte ergibt dies die folgende Tabelle: Ostergrenze und Goldene Zahl im julianischen und gregorianischen Kalender GZ jul. bezeichnet die Epakte das Mondalter am 1. und zwar im März für 21 – 31. Kalen1900 – 2200 – 2400 – 2300 der 2199 2299 2499 2399 1 5 14 15 16 2 25 3 4 5 3 13 23 24 25 4 2 11 12 13 5 22 31 1 2 6 10 *19 21 22 7 30 8 9 10 8 18 28 29 30 9 7 16 17 18 10 27 5 6 7 11 15 25 26 27 12 4 13 14 15 13 24 2 3 4 14 12 22 23 24 15 1 10 11 12 – 2500 2599 – 2600 2899 17 6 26 14 3 23 11 31 *19 8 28 16 5 25 13 – . die Epakte wird um 1 vermindert. dass 12 synodische Monate nicht genau 11 Tage kürzer sind als 1 Jahr. Beispiel: In einem Jahr mit GZ = 13 ist der 24. sind aber komplizierter zu berechnen. Danach dauert es 400 Jahre. wie gross Sonnen. März die Ostergrenze. Die Lilianische Epakte des Jahres 2008 betrug 22. Im gregorianischen Kalender kommt es also darauf an. bis wieder ein neuer Zyklus beginnt. wenn das Jahr nach dem julianischen. im April für 1 – 18. dann 7 mal jeweils nach 300 Jahren. also in welchem Jahrhundert das Jahr mit einer bestimmten Goldenen Zahl liegt. dieser Tag hat den Tagesbuchstaben Tb = F. Für die Berechnung der Epakte nach Lilius kann man für GZ = 1 nicht mehr in dieser einfachen Weise verfahren: zum einen muss in den Säkularjahren die geänderte Schaltregel berücksichtigt werden. Je nach Lage ist die Ostergrenze verschoben. Januar. die der Gregorianischen Reform zugrunde lag. Striche bedeuten: es gibt keine Goldene Zahl (also kein Jahr) mit dieser Ostergrenze. Eine zweite Korrektur führt 8-mal in 2500 Jahren zu einer zusätzlichen Erhöhung der Epakte um 1 Tag (Mondgleichung): zum ersten Mal 1800.25 Die Ostergrenze bezeichnet Kalenderdaten.3 Ostern im gregorianischen Kalender In der Rechenvorschrift des Astronomen Aloisius Lilius (1510? – 1576). Diese Korrektur berücksichtigt.5. und die Dionysische Epakte beträgt in diesem Jahr 12. März zu liegen kommt. dass die Ostergrenze auf den 12. Sonntagsbuchstabe ist B. . März hat danach den Tagesbuchstaben D. *18 und *19 sind Hinweise auf zwei Ausnahmeregelungen: in der gregorianischen Osterrechnung kann 19 (gemeint ist der 19. Somit fiel das orthodoxe Osterfest. April im gregorianischen Kalender. April zurückgesetzt. April) als äusserste Ostergrenze vorkommen. ohne eine weitere Korrektur vornehmen zu müssen. März 2008. April könnte auf diese Weise im gleichen MetonZyklus zweimal vorkommen. April zu liegen kommt. Julianische Ostern 2008? Es ist wiederum GZ(2008) = 14. voranstehende Tabelle). verfügte darum Papst Gregor XIII. April zurück gesetzt • Die Ostergrenze 18. auf den 27. In der julianischen Osterrechnung ist die Ostergrenze 19. der Ostertermin ist also 23. April wird immer um einen Tag auf 18. Der Sonntagsbuchstabe für das Jahr 2008 ist FE. und das ist ein Freitag. und aus obiger Tabelle entnehmen wir. Jahrhundert 13 Tage hinzuzuzählen. also E ab 1.26 16 17 18 19 21 9 29 17 30 *18 7 27 31 *19 8 28 1 21 9 29 2 22 10 30 Zahlen 1 bis 19 bedeuten Tage im Monat April. was den 25. In diesem Fall kommt die Ostergrenze 17. April ergibt. bei seiner Reform: • Die Ostergrenze 19. berechnet nach dem julianischen Kalender. und aus der ersten Tabelle oder der 2. April nicht möglich (s. dass die Ostergrenze auf den 22. April in diesem Meton-Zyklus nicht vor und kann somit „besetzt“ werden. Beispiel: Gregorianische Ostern 2008? Es ist GZ(2008) = 14. April als äusserstem Osterdatum führen würde. und 21. April auf den 17. März. April (da GZ > 11). Folglich ist D der Buchstabe für einen Samstag. sind im 20. wenn gleichzeitig GZ > 11 ist. 21 bis 31 solche im Monat März. Dies ist aber ein Datum im julianischen Kalender! Um das entsprechende Datum im gregorianischen Kalender zu finden. In der obigen Tabelle entspricht jede Spalte jeweils einem bestimmten Meton-Zyklus. Um den neuen Festkalender möglichst nahtlos an den alten anschliessen zu können. der sowohl für den julianischen wie den gregorianischen Kalender gilt. Spalte der zweiten Tabelle entnehmen wir. Ostergrenze gregorianisch = *18. wird die Ostergrenze 18. was theoretisch zum 26. also 17. Osterdatum gregorianisch und julianisch im Jahr 2011? GZ(2011) = 17. Aus der ersten Tabelle entnehmen wir den Zusammenhang zwischen Datum und Tagesbuchstaben. Der 22. Um das zu vermeiden. speziell aber die Osterrechnung – auseinander setzen möchte. Übungen • Erstellen Sie eine Tabelle. Folglich wird Ostern am darauffolgenden Sonntag 24. • Nach wie vielen Jahren ist der Unterschied zwischen 12 synodischen Monaten plus 11 Tagen und einem astronomischen Jahr zu 1 Tag angewachsen? • Nach wie vielen Jahren ist der Unterschied zwischen 1 Meton-Zyklus (= 235 synodische Monate) und 19 Kalenderjahren auf 1 Tag angewachsen? 7 Link: http://www. beträgt im julianischen Kalender 532 Jahre (532 = 19 • 28). 30 (Zyklus der Epakte). Tagesbuchstabe im Jahr. ein Verfahren zu entwickeln. was dem gregorianischen Datum Freitag 22. bis sich Osterdaten wieder wiederholen.27 der 17.html. April entspricht. Erst im Jahre 1800 gelang es dem grossen Mathematiker Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). 1907 in Strassburg von Dr. eines davon werden wir im Kapitel „Kalenderrechnungen“ vorstellen. Ostergrenze und Goldene Zahl. April. Julianisch ist mit GZ = 17 die Ostergrenze der 9. 400 (Zyklus der Schaltregeln bzw. ist also ein Sonntag. das in seiner Gesamtheit ins Internet 7 übertragen worden ist.computus. Dieses Verfahren ist unter dem Namen Gauss’sche Osterformel bekannt. Josef Bach herausgegeben. Wer sich vertieft mit der Komputistik – so nennen die Fachleute die Mathematik der Kalenderrechnung. im gregorianischen Kalender dagegen 5 700 000 Jahre! Diese Zahl entsteht als Produkt der Zahlen 19 (MetonZyklus). und 21. der Sonnengleichung) und 2500 (Zyklus der Mondgleichung).de/menton/index. April. Jahrhundert den Zusammenhang zwischen Goldener Zahl und Sonntagsbuchstabe des Jahres herstellt! • Erstellen Sie für 2009 einen Festkalender! Benutzen Sie für die Bestimmung der beweglichen Feste die bisher erstellten Tabellen: julianische Daten für 2009. Der Osterzyklus. . dh. April gefeiert. sowie den Jahresfestkalender. Später sind weitere Verfahren entwickelt worden. Goldene Zahl und Sonntagsbuchstabe. die den Zusammenhang zwischen den Tagen im Jahr und den Tagesbuchstaben herstellt! Erstellen Sie eine zweite Tabelle für den gregorianischen Kalender. Die orthodoxen Kirchen feiern also 2011 Ostern mit den Westkirchen gemeinsam am 24. die Zeit. die im 20. April hat Tagesbuchstabe B. Es handelt sich um das Werk »Die Osterfest-Berechnung in alter und neuer Zeit«. um das Osterdatum ohne Bezugnahme auf Tabellen zu berechnen. sei auf ein hundertjähriges Werk [!] aufmerksam gemacht. . Bei den übrigen Einheiten gibt es aber keinen Konsens mehr. kennen wohl alle Kalendertypen als Einheit. dh. insbesondere fällt der Jahresbeginn oder ein bestimmtes Fest immer in die gleiche Jahreszeit. seine durchschnittliche Länge ist sogar fast 1 Tag grösser als die durchschnittliche Länge eines Phasenwechsels. sondern passt mit geeigneten Schaltregeln die Jahreslänge möglichst optimal der Umlaufzeit der Erde um die Sonne („astronomisches“ bzw. Neulicht tritt im Mittelmeerraum zwischen 18 Stunden und 42 Stunden nach Neumond ein. Dies auch aus praktischen Überlegungen: da die Sichtbarkeit auch von der Lage eines Ortes auf der Erde abhängt. nicht-christlicher Kulturen an einem von drei Kalender-Grundtypen: • Der Mondkalender benutzt als weitere Kalendereinheit den Monat. dass gemeinsame (religiöse) Feste nicht am gleichen Tag gefeiert werden. • Der Sonnenkalender nimmt keine Rücksicht auf die Mondphasen. dass der Zusammenhang zwischen Monatsbeginn und Neulicht erhalten bleibt. Aktivität und Ruhe.6 Andere Kulturen Den Tag. Bestimmte Kalenderdaten bleiben bezogen auf die Jahreszeiten fest. was zur Konsequenz hätte. tropisches Jahr) an. Die durchschnittliche Monatslänge beträgt rund 29½ Tage. Mit der einzigen Ausnahme des Maya-Kalenders orientieren sich jedoch die bekannten Kalendersysteme vergangener und gegenwärtiger. wird jener theoretisch berechnete Zeitpunkt gewählt. es folgen sich Monate von 29 und von 30 Tagen. Ein neuer Monat beginnt mit dem Neulicht. die auffällige Abfolge von Hell und Dunkel.28 • Bestimmen Sie das Osterdatum für 1981 – was stellen Sie fest? Nachweise: 1. zu dem die Mondsichel sichtbar sein müsste. der sich nach den Mondphasen richtet. ja. Der Monat als Kalendereinheit deckt sich nicht mehr mit den Mondphasen. Das reine Mondjahr umfasst 12 Monate und hat eine Länge von 354 Tagen. Der Jahresbeginn durchläuft in einem Drittel eines Jahrhunderts rückwärts sämtliche Jahreszeiten (nebst dem Jahresbeginn auch alle anderen Kalenderdaten). also nicht zum gleichen Zeitpunkt gegeben ist. Da das Wetter oft keine Sicht auf die Mondsichel zulässt. ist also im Schnitt 11 Tage kürzer als ein astronomisches Jahr. Schaltregeln sorgen dafür. der erstmaligen Sichtbarkeit der schmalen Mondsichel am Abendhimmel nach dem Neumond. könnte der neue Monat an verschiedenen Orten an verschiedenen Tagen beginnen. im gregorianischen Kalender verfeinert und verbessert. In einem Zyklus von 30 Jahren wird elf mal ein Schalttag eingeschoben. 26. Die islamische Epoche ist die Hidschra Mohammeds nach Medina. Ein Jahr hat – abgesehen von Abweichungen durch Einfügen von Schalttagen – entweder 354 oder 384 Tage. Zwölf synodische Monate dauern 12 • 29.0004 Tage. Abgesehen von dieser Schwingung bleiben die Daten von Festtagen in einer bestimmten Jahreszeit. bei dem der letzte Monat im islamischen Jahr gelegentlich einen zusätzlichen Schalttag erhält. Die Jahreslänge ist also abwechselnd 354 bzw. aber die Verschiebungen sind minim und gleichen sich im Laufe der Zeit aus. Bekannt ist der 9. So wird denn auch ein schematischer Kalender gebraucht... der Fastenmonat Ramadan. Diese Festlegung ist aber ortsabhängig und daher in einer vernetzten Welt wenig praktisch. der Sabbat (wie im jüdischen Kalender).. wörtlich der „Tag der Zusammenkunft“. Die Differenz beträgt nur 0.53059 Tage = 354. 355 Tage. Monat im islamischen Jahr. der 1...29 • Der Lunisolarkalender verbindet beide Kalendertypen: der Monat hat eine Länge von abwechselnd 29 und 30 Tagen. Die islamische Woche beginnt mit dem Sonntag und endet mit dem Samstag. Juli 622 (julianischer Kalender) stattfand. • Im Islam gilt ein strenger Mondkalender. 13. und zwar im 2.. haben die drei grossen monotheistischen Religionen diese drei Grundtypen realisiert: • Im Christentum gilt der Sonnenkalender. 7. was sich nach knapp 2500 Jahren zu einem Tag aufsummiert hat. sein Beginn fällt auf Neulicht. Der islamische Feiertag ist der Freitag. Wie es der Zufall will. die durchschnittliche Jahreslänge beträgt 10 631 Tage / 30 = 354. Mu- . 5. Die Tage von Sonntag bis Donnerstag werden einfach von 1 bis 5 durchgezählt. 16. Ein neuer Tag beginnt im islamischen Kalender mit dem Sonnenuntergang. 18. Dieser Kalender ist ausführlich in einem eigenen Kapitel beschrieben. 24. 10. Nach der reinen Lehre beginnt ein neuer Monat mit der Sichtung des Neulichtes. übernommen vom julianischen Kalender des römischen Kaiserreiches. Jahr. Der erste Monat im islamischen Jahr ist der Muharram. das einzelne Jahr ist nicht genau auf die Jahreszeiten abgestimmt. Der Jahresbeginn schwingt um eine mittlere Lage.. die am 16. werden von Zeit zu Zeit ganze Schaltmonate eingeschoben.. Um nun diesen Kalender im Schnitt an den Sonnenlauf anzupassen..36667 Tage. 21. Dieser 1.36708 Tage. Muharram entspricht also unserem Neujahr. Eigene Namen haben nur der Freitag und der Samstag. und 29. März 2001. Ramadan 22. Islamischer Kalender 2000 .2002 27.09. WT ist der Wochentag des 1.01. Die folgende Tabelle gibt das Datum des 1.2006 13.2011 20.07. Zum anderen richten sich die Arbeiten in einer bäuerlichen Gesellschaft nicht nach dem Mond.03.2001 06.2005 24. am Abend des 25. Um genähert islamische Jahrzahlen H in christliche Jahrzahlen C oder umgekehrt umzurechnen. Muharram) 1422 H.11.2005 31. Islamischer und christlicher Jahresanfang stehen folglich in keinem festen Verhältnis zueinander.02. Muharram bzw.2006 20.2012 WT Mi Sa Mi Mo Fr Di So Do Di Sa Mi Mo Fr . Juli. also Neujahr (1.2003 15.12.2008 29.2000 26. S: Schaltjahr) und seine Stellung innerhalb des 30-jährigen Schaltzyklus’ („Rest(30)“) im zyklischen Kalender. Beachten Sie.08.2007 02.08.11. Wenn eine Gesellschaft noch die Abgabe des Zehnten in Naturalien kennt. Muharram (islamisches Neujahr) sowie des 1.12.09.2010 27.2004 10. ferner die Länge und den Typ des islamischen Jahres (G: Gemeinjahr. Ramadan.10.2008 22.09.2009 08.04. dass der islamische Tag mit Einbruch der Dämmerung des Vorabends beginnt.2007 10.2004 04.2001 15.2032 Jahr Rest(30) Dauer 1421 1422 1423 1424 1425 1426 1427 1428 1429 1430 1431 1432 1433 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 354 354 355 354 354 355 354 355 354 354 355 354 354 Typ G G S</font> G G S G S G G S G G 1. was sich besonders beim Fastenmonat Ramadan negativ bemerkbar macht.2003 22.01.2009 11.2002 05. Muharram 06. sondern nach den Jahreszeiten (Sonne). kann man folgende Formeln verwenden: C ≈ H· 32 +622.30 harram des Jahres 1 begann mit dem Sonnenuntergang am 15.10. 33 H ≈ (C −622)· 33 32 Der islamische Kalender hat im wesentlichen zwei Nachteile: Zum einen durchlaufen sämtliche Feste wie bei jedem Mondkalender die Jahreszeiten. Januar 2008 begann in dieser Zählweise das Jahr 1429. dann richtet sich die Ernte und damit auch der Zinstag nach der Sonne und nicht nach dem Mond – eine Fiskalperiode in diesem Kalender festzulegen ist sehr schwierig.08.01.10.2000 17. Ramadan.02.11.03.12. Am Abend des 9.2008 18.11. des 1.03.2010 01.2011 WT Do Mo Fr Mi So Do Di Sa Do Mo Fr Mi So 1. 2014 18.05.2028 16.01.06.09.05.2014 15. Der Ausgleich mit dem Sonnenjahr folgt dem Meton-Zyklus und wiederholt sich demnach alle 19 Jahre. vor Frühlingsanfang.10.08.03. heute wird er berechnet und fällt auf den Neumond. der etwa von Mitte März bis Mitte April dauert.2027 25.03..06.2018 06.10.06. Chr. Gemeinjahre können 353 (mangelhaftes Gemeinjahr).31 1434 1435 1436 1437 1438 1439 1440 1441 1442 1443 1444 1445 1446 1447 1448 1449 1450 1451 1452 24 25 26 27 28 29 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 355 354 355 354 354 355 354 354 355 354 354 355 354 355 354 354 355 354 354 S G S G G S G G S G G S G S G G S G G 15.2017 12.2027 28.01.06.02. (julianischer Kalender). Schaltjahre können 383 Tage (mangelhaftes Schaltjahr).08.2026 08.2021 30.07.04. und zwar.07.2025 17.. 384 (reguläres Schaltjahr) oder 385 Tage (überzähliges Schaltjahr) umfassen.2020 10.01. Da diese Festlegung unpraktisch war..2015 07.07..2030 Di So Do Di Sa Mi Mo Fr Di So Do Mo Sa Mi Mo Fr Di So Do • Der jüdische Kalender ist ein Lunisolarkalender.2030 26.2023 11.12.2022 19.2013 29. Heute beginnt der neue Tag einheitlich abends um 18 h nach unserer Zeit.02.05.04.2020 13. wurde sie ersetzt.2024 01.2029 04. Ursprünglich begann ein neuer Monat mit dem Neulicht.05.2026 06.2016 27. Der jüdische Feiertag ist der Sabbat.2015 03. Schalttage sorgen für den Angleich des Monats an den Mondlauf und die Einhaltung verschiedener religiöser Vorschriften. Jeweils im 3.2016 22. Dies führt dazu. was gleichbedeutend ist mit einer Nummerierung von 1 bis 6. Jahr eines Meton-Zyklus wird ein voller Monat eingeschaltet. wenn die ersten Sterne sichtbar wurden.2022 23.2018 01.2013 25. die nach den Chroniken am 7.11.2028 15. Die Einschaltung erfolgt nach dem zwölften Monat.05. der unserem Samstag entspricht.2023 08.03. 11. Ein neuer Tag begann im jüdischen Kalender ursprünglich mit der Abenddämmerung. dass das jüdische Jahr insgesamt 6 verschiedene Längen haben kann. dh.2012 05.04. 8. .2021 03.10. erfolgte.11. 354 (reguläres Gemeinjahr) oder 355 Tage (überzähliges Gemeinjahr) umfassen. Oktober 3761 v. Die jüdische Woche beginnt mit dem Sonntag und endet mit dem Samstag. Die Zählung der Monate beginnt mit dem Monat Nisan.2030 Do Di Sa Do Mo Fr Mi So Do Di Sa Mi Mo Fr Mi So Do Di Sa 09.06.2024 27.2025 18.06. 14. und 19.07. 6..2019 24.2017 16.2029 06.2019 20.09.09. Die Tage von Sonntag bis Freitag werden mit den ersten sechs Zeichen des hebräischen Alphabets bezeichnet.05. Die jüdische Epoche ist die Erschaffung der Welt. 17. r: regulär. entspricht dies einem Datum im September oder Oktober 1927. ü: überzählig) sowie der Nummer des Jahres im 19-jährigen Meton-Zyklus. den Osterdaten nach dem gregorianischen und nach dem orthodoxen (julianischen) Kalender. Da der Jahresbeginn der 1. Am 30. WT Passah WT jüd. Tischri (Rosch haSchanah. nämlich um 23:11:20 Uhr unserer Zeit. in der Reihe der jüdischen Monate. Schliesslich gilt es nochmals festzuhalten. den jüdischen Jahrzahlen. Zum Abschluss dieser Ausführungen über den jüdischen Kalender folgt eine Tabelle mit den Daten des 1. Tag des 7. Monats ist. der 7. Tischri. Rosch haSchanah wird genau 163 Tage nach Passah gefeiert. In der Spalte WT finden sich die Wochentage des Rosch haSchanahbzw. also der 1. was noch in den Herbst des christlichen Vorjahres fällt. Um jüdische Jahrzahlen S in christliche Jahrzahlen C umzurechnen.) 8 Die Schöpfung selber fand allerdings erst ein paar Stunden nach „Tagesbeginn“ statt (wodurch dieser eine rein theoretische Grösse wird). Passah des Jahres 5761 am 7. des Passahfestes. Monat liegt. September 2008 beginnt das Jahr 5769. der Länge und dem Typ des Jahres (G: Gemeinjahr. Rosch haSchanah. der Feiertag Rosch haSchanah. also z. kann man folgende Formel verwenden: C = S + 240 − 4000 = S − 3760 Falls das jüdische Datum im 7.2020 greg. Beispiel: In welchem Jahr unserer Zeitrechnung begann das jüdische Jahr 5688? Man berechnet zunächst C = 1928. Jahr Tischri Jahr Länge Typ Nr. bleibt aber immer in der gleichen Jahreszeit. . S: Schaltjahr.32 wobei dieser Tag wie alle jüdischen Tage am Vorabend um 18 h begonnen hat8 Das jüdische Neujahr. bis 10. Tag des Monats Tischri. Dieser Feiertag schwankt von einem Datum anfangs September bis zu einem solchen anfangs Oktober. denn dann handelt es sich um ein Datum am Anfang des jüdischen Jahres. so ist 1 vom berechneten Wert für C zu subtrahieren. April 2001 um 18 h. also das jüdische Neujahrsfest). 1. m: mangelhaft. Ostern (gregor. Passah und Ostern 2000 . dass die jüdischen Tage um 18 h des Vorabends beginnen. wobei der Tag selber wie üblich am Vorabend um 18 h beginnt. ist der 1. Passahfestes.B.) Ostern (orthod. 05.08 09.09.05.07 23.09.09. das sog.17 08.04.04.05 23. längere Perioden.03.12 05.15 23.03.04.04.06 08.11 17. fiel der kalendarische Jahresanfang wieder mit dem Aufgang des Sirius zusammen.01 28.10.09 04.04 27.01 05.04.12 26.17 01.18 28.15 03.18 30. 9 Man .16 21. Eine erste Periode von 260 Tagen scheint keinerlei Bezug zu irgendwelchen astronomischen Phänomenennt dies den heliakischen Aufgang.09.14 04.04.07 27.04.04.04.21 Auf zwei Kalendersysteme soll noch eingegangen werden: • Die alten Ägypter benutzten einerseits einen Sonnenkalender von fix 365 Tagen Länge. wenn der Stern Sirius (Hauptstern im Sternbild Grosser Hund) in der Morgendämmerung kurz vor der Sonne über dem Osthorizont aufging9 .09.13 20.04.15 27.14 05.06 08.04.04.13 25.04.08 19. dass er ihn als Basis für seine Kalenderreform nahm.02 20.05.04. So etablierte sich ein zweites „Jahr“.19 09.09.16 11.04.03.03.12 05.05 13.09 30.15 01.05.21 So Do Do Di So Do Di So Do Di Di Sa Di Di Sa Sa Di Sa Sa Do So 5761 5762 5763 5764 5765 5766 5767 5768 5769 5770 5771 5772 5773 5774 5775 5776 5777 5778 5779 5780 5781 353 354 385 355 383 354 355 383 354 355 385 354 353 385 354 385 353 354 385 355 353 mG rG üS üG mS rG üG mS rG üG üS rG mG üS rG üS mG rG üS üG mG 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 15.08 12.04.19 19.03.09.04. Sothisjahr.04.04 01.14 12.04.17 31.09. dass die Nilüberschwemmungen immer dann eintraten.11 07. sein für die Landwirtschaft so bedeutsamer Aufgang in der Morgendämmerung fand ab dem 20.20 04. andererseits drei verschiedene.04.10 24.04.09.09.17 10.04.04.04.04.04. Zwar war diese Verschiebung im Laufe eines Menschenlebens noch kaum spürbar.04 04.03 16.01 31.02 27.09.16 16.09.20 28. Nach 1460 Jahren. dennoch unbrauchbar.00 18.04.19 19.09.04.10 19.03.09.09.06 13.04.04.09 04.03 06.05 16.20 Sa Di Sa Sa Do Di Sa Do Di Sa Do Do Mo Do Do Mo Mo Do Mo Mo Sa 08.04.04.04.04.02 17.04.04.21 15.18 21.10 24.03. • Der Kalender der Maya-Indianer kannte einerseits den Tag als Einheit.05.02 27.04.03 11. aber für die ägyptischen Bauern.04 24.04. Juli statt.19 12.04.07 30.01 07.12 31.08 19.04.04. so dass der Jahresanfang in 1460 Jahren alle Jahreszeiten durchlief.09.13 15.05 23. Sothisperiode.03 11.04.09. Es wurde nämlich beobachtet. der sog. die vollkommen von den jährlich zur gleichen Jahreszeit wiederkehrenden Nilüberschwemmungen abhängig waren.06 03.33 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 30. Caesar war von diesem Kalender so beeindruckt.10.03.10 29.14 14.16 16.13 20.20 02.07 20. Sirius hiess bei den Ägyptern Sothis. unterteilt in 12 Monate zu fix 30 Tagen Länge und 5 am Jahresende angehängten Schalttagen.09 09.03.11 15.04. Die in diese Zeit fallenden Hundstage haben von diesem Ereignis ihren Namen.04.04.11 08.03. Dieses Jahr war fast ¼ Tag zu kurz.09.04.04.18 20.04.09. 1 Berechnungen Vorbemerkungen Sie können für die Umsetzung der nachfolgend beschriebenen Algorithmen mit Papier und Bleistift. sondern nur einen religiös-mathematischen Bezug darzustellen.34 nen zu haben. Java. verwendeten sie eine fortlaufende Tageszählung (analog dem Julianischen Datum) mit einer Periode von 1 872 000 Tagen. welchem Datum in unserem Kalender dies entspricht.7. wobei aber nicht eindeutig klar ist. (gregorianischer Kalender) sein10 . sondern ein modifiziertes 20-er System. Um aber ein Datum eindeutig festlegen zu können. Was Sie bevorzugen hängt schliesslich auch davon ab. was rund 5125 Jahren entspricht. Es könnte der 13.08.. Pascal. was Sie mit den Ergebnissen machen wollen: um für die kommenden Jahre einen eigenen Kalender mit allen Festdaten berechnen zu können. Nachweise: 1. Die Zählung beginnt „am Anfang der Welt“.3114 v. mit SoftwareEntwicklungswerkzeugen (Programmierumgebung für C. Chr. Basic. Es gibt in diesem Kapitel zwei zentrale Algorithmen. mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie OOo/StarOffice Calc oder MS Excel. massgeschneiderte Software selbst zu entwickeln. Eine zweite Periode von 365 Tagen entspricht dem Sonnenjahr.asp#Maya . In der Schreibweise werden wir uns in der Regel an die Bezeichnungen einer Tabellenkalkulation anlehnen.7 1.astronomie. Für ihre Zählungen benutzten die Maya nicht das 10-er. dann lohnt sich vielleicht der Aufwand.. .at/faq/doomsday. genügt ein Taschenrechner oder eine Tabellenkalkulation. Beachten Sie im Kapitel „Numerische Mathematik“ die Hinweise zur Genauigkeit und zum Runden. Wenn Sie aber für eigene. die Berechnung des Osterdatums mittels der Osterformel auf der anderen Seite. mit einem Taschenrechner. 10 Quelle: http://www.) oder mit exotischen Werkzeugen arbeiten. alles Andere lässt sich praktisch ausnahmslos darauf zurückführen: die Algorithmen zur Umrechnung von Kalenderdaten in Julianische Daten und zurück auf der einen Seite. anspruchsvolle Beobachtungen Berechnungen anstellen und die berechneten Daten zusammen mit den beobachteten in einer Datenbank erfassen wollen. dass der Algorithmus in Butcher’s Ecclesiastical Calendar von 1876 erscheint. also im gregorianischen Kalender). dass der Autor anonym sei. ISBN 3-335-00318-7 11 Astronomische . einen irischen Bischof der anglikanischen Kirche als Autor. Gauss war der erste und sicherlich der bekannteste. Ihr Autor ist etwas geheimnisvoll: J. für das Ostern berechnet werden soll. In OOo Calc heisst diese Funktion =OSTERSONNTAG(JJJJ). ohne eine Ausnahmeregelung zu bemühen. Wer das Osterdatum selber berechnen will oder muss. JJJJ > 1582. Leipzig/Berlin/Heidelberg. dass die Tabellenkalkulationsprogramme heute eine Funktion implementiert haben. der eine Osterformel entwickelt hat. Meeus zitiert ihn als Spencer Jones11 . die es direkt gestattet. wo der Algorithmus 1876 erstmals abgedruckt wird.7. Korrekterweise liefert sie für JJJJ < 1583 – also für Daten im julianischen Kalender – die Fehlermeldung #WERT!. Jean Meeus. nicht aber der einzige. Wir geben hier eine andere Formel wieder. Andere nennen Samuel Butcher.2 Osterdatum Es sei vorausgeschickt. Der eigentliche Autor scheint aber ein anonymer Korrespondent der Zeitschrift Nature zu sein. ebenso im Buch General Astronomy von Jones aus dem Jahre 1922. Wie dem auch sei – der Algorithmus ist von beeindruckender Eleganz und berechnet im gregorianischen Kalender das korrekte Osterdatum. Verlag Johann Ambrosius Barth. das Osterdatum für ein bestimmtes Jahr im gregorianischen Kalender zu berechnen. Wieder andere sagen. wobei JJJJ die vierziffrige Jahrzahl desjenigen Jahres ist. Osterformel zurück. dann gilt (als Anwendung in den beiden hintersten Spalten gleich die Rechnungen für JJJJ = 1981): Dividiere durch Quotient Rest Q Rest ——————————————————————— JJJJ 19 — a — 5 JJJJ 100 b c 19 81 b 4 d e 4 3 b+8 25 f — 1 — b–f+1 3 g — 6 — Algorithmen. greift auf eine sog. ebenso für Jahrzahlen ≥ 10 000. Tatsache scheint zu sein.35 1. Wenn JJJJ die Jahrzahl ist (JJJJ ist eine ganze Zahl. 1992. 3 Julianisches Datum Das Julianische Datum entfaltet seine Mächtigkeit erst mit dem folgenden Algorithmus. m. 14. a + 1 liefert im übrigen die Goldene Zahl des Jahres JJJJ. so lasse man MM und JJJJ unverändert.: handelt es sich um ein Datum im Januar oder Februar. 2) Im gregorianischen Kalender berechne man . ersetze man JJJJ durch JJJJ – 1 und MM durch MM + 12. 1. April statt.dd – wo DD. Wir betrachten zunächst den Algorithmus. ist MM > 2.7. Wenn Sie den Algorithmus selber programmieren. mit dem man ein Kalenderdatum in ein Julianisches Datum und ein Julianisches Datum in ein Kalenderdatum verwandeln kann. folglich: Ostern fand 1981 am 19. so setze man es als Datum im 13. müssen Sie sicherstellen. Der hier vorgestellte Algorithmus berechnet das Datum richtig.dd den Tag mit allfälligen Tagesbruchteilen bezeichnet – in das entsprechende Julianische Datum JD verwandelt werden kann: 1) Falls MM = 1 oder 2 ist. Dort war es eines der Ausnahmedaten. a.DD. dass die Bedingungen JJJJ > 1582 und JJJJ eine ganze Zahl eingehalten werden – andernfalls entstehen unsinnige Resultate. W.MM. Das Osterdatum 1981 haben wir schon im Kapitel „Festkalender“ als Übung berechnet. es braucht keine Ausnahmeregelung. 4: April) und q + 1 der Tag des Osterfestes. Monat des Vorjahres.g + 15 30 — h — 29 c 4 i k 20 1 32 + 2e + 2i – h – k 7 — m — 6 a + 11h + 22m 451 n — 1 — h + m – 7n + 114 31 p q 4 18 Es ist p der Monat (3: März. bzw.36 19a + b – d . wie ein Kalenderdatum der Form JJJJ. Weil MM = 2. Es ist JJJJ = –8. März 2008. Daraus folgt JD = 1 718 185. D und E gemäss den Vorschriften: B = A + 1524 . Es folgt der umgekehrte Algorithmus. folglich ist B = 0. dem Zeitpunkt der Umstellung auf Sommerzeit.5. N ist der ganzzahlige Teil des JD1.541667. MM = 3. 100 B = 2 − A + Ganzzahl( A ) 4 Im julianischen Kalender (dh. DD. Es ist JJJJ = 2008.DD vor 1582.041667 (1 h UT entspricht 1 /24 eines Tages).5 zum JD.10. B = –13 und JD = 2 454 555. dann gilt: 1) Addieren Sie 0.MM.6001 · (M + 1)) + DD. also JD1 = JD + 0. bei dem aus dem Julianischen Datum das Kalenderdatum berechnet wird. Damit ist A = 20. F der Bruchteil nach dem Dezimalpunkt 3) Wenn N < 2 299 161. Gegeben ist also das Julianische Datum JD. Für die Jahre zwischen 1900 und 2099 ist B = –13. MM = 2 und DD. dann ist A = N.dd = 20. Chr. JJJJ.dd + B − 1524. 3) Das gesuchte Julianische Datum JD ist dann JD = Ganzzahl(365.5 2) N = Ganzzahl(JD1) und F = JD1 – N . Beispiel: Berechnen Sie das Julianische Datum des 30.25 ) 36524.25 A = N + 1 + α − Ganzzahl( α ) 4 4) Man berechne die Grössen B.dd = 30.5 B ist die Korrektur zwischen julianischem und gregorianischem Kalender (auch als Sonnengleichung bezeichnet).25 · (JJJJ + 4716)) + Ganzzahl(30. Es handelt sich um ein Datum im julianischen Kalender. Berechnen Sie das Julianische Datum des 20. sonst berechne man α = Ganzzahl( N−1867216. ist JJJJ = –9 und MM = 14 zu setzen.15) setze man B = 0. Februar 9 v. C. 2 h MEZ ( = 1 h UT).37 A = Ganzzahl( JJJJ ). Weltkrieg! .6001 · E) + F E −1 wenn E − 13 wenn C − 4716 C − 4715 E < 14 E ≥ 14 MM > 2 MM = {1. D = 2 453 749. Okt.1875.1 ) 365. 1582 und für JD = 2 299 160. Überprüfen Sie. Juli 2002 um 04½ h UT frühmorgens. MM = 7. also der 8.dd = 8. oder kurz „Jahrtag“: die Tage eines Jahres werden mit Beginn am 1.6875? Es ist JD1 = 2 452 464. Der Algorithmus erfasst den Sprung korrekt! Mit diesen beiden Algorithmen ist man in der Lage. das Datum zu bestimmen. so ist die gesuchte Zahl die Differenz zwischen den beiden Julianischen Daten. alpha = 16. Ein Spezialfall ist schliesslich der „Tag des Jahres“. also den Kalendersprung der gregorianischen Kalenderreform korrekt wiedergibt. ob Ihre Implementation für JD = 2 299 159.25 · C) B−D E = Ganzzahl( 30. E = 8.25 D = Ganzzahl(365. Beispiele: • Wie viele Tage liegen zwischen dem 1.38 C = Ganzzahl( B−122. Okt. Also so lange dauerte der 2. JJJJ = 2002. Wenn das erste Datum der 0. 1582 liefert. C = 6718.1875.6001 ) 5) Man findet dann den Tag DD. Mai 1945 (B)? Es ist JD(A)= 2 429 507. Januar bis 365 bzw. „Tag im Jahr“.5 das Datum 4. JD(B) = 2 431 583.dd. das eine Anzahl Tage vor oder nach einem gegebenen Kalenderdatum liegt.1875. auch sämtliche „Abstandsfragen“ zu lösen: der Abstand in Tagen zwischen zwei gegebenen Daten entspricht der Differenz ihrer Julianischen Daten.5.5 und JD(B) – JD(A) = 2076 Tage. Dann folgt: DD. September 1939 (A) und dem 8. Ebenso löst man die Frage mit den Julianischen Daten. 2} MM = JJJJ = wenn wenn Beispiel: Welchem Kalenderdatum entspricht JD = 2 452 463. Januar des aktuellen Jahres = 31.dd = B − D − Ganzzahl(30. F = 0. A = 2 452 477. N = 2 452 464. B = 2 454 001. Dezember des Vorjahres ist. wenn es darum geht. den Monat MM und das Jahr JJJJ mit folgenden Rechenvorschriften: DD.5 das Datum 15. 366 durchgezählt. 7. • Welcher Tag des Jahres ist der 8. dessen Wochentag man berechnen will 2) Man addiere 1.5.5.5) 3) Man dividiere JD1 durch 7 und bestimme den Divisionsrest 4) Der Divisionsrest bestimmt den Wochentag: bei 1 ist es ein Montag.1.5 (JD um 0 h UT endet immer auf .7) = 4. eignen sich die Julianischen Daten ausgezeichnet. dann ist der Unterschied zwischen 0. um daraus den Wochentag eines bestimmten Datums zu ermitteln: bei der Division durch 7 liefern die Julianischen Daten gleicher Wochentage den gleichen Rest. . Juli a) in einem Schaltjahr.. 10 000 Tage feiern? Es ist JD(A) = 2 434 268. JD(A) = 2 454 465.7.2008 = 31.5. also war es ein Donnerstag. und bis zum Jahresende verbleiben 365 Tage – 189 Tage = 176 Tage. bei 4 ein Donnerstag.5 = 2 445 356. bei 3 ein Mittwoch. JD1 = JD + 1. Januar 4713 v.4 Wochentage Da die Folge der Wochentage ebensowenig wie die Zählung der Julianischen Tage bei der Kalenderreform unterbrochen wurde. also im Alter von knapp 27½ Jahren.39 • An welchem Tag (B) kann eine Person. da sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 7 unterscheiden.5 = 189.2009) – JD(31. Man muss jetzt nur noch wissen. JD(B) = JD(A) + 10 000 = 2 444 268.5. Chr.2007 und 8. b) in einem Gemeinjahr? a) Nehmen wir als typisches Schaltjahr 2008. JD(B) – JD(A) = 190. Januar 1980 entspricht. September 1952 (A) geboren wurde. bis zum Jahresende verbleiben 366 Tage – 190 Tage = 176 Tage. JD(B) = 2 454 655. dass der Starttag der julianischen Zählung.5 zum Julianischen Datum JD. ein Montag war.2008) = 2 455 020. der 1. die am 13. Rest(2 445 356. wodurch eine ganze Zahl entsteht: JD1 = JD + 1. b) Nehmen wir als typisches Gemeinjahr 2009.7. bei 2 ein Dienstag. Das führt zu folgendem Algorithmus für die Berechnung des Wochentags: 1) Man bestimme das Julianische Datum JD für 0 h UT des Tages.5 – 2 454 831.2008 zu ermitteln. Januar 1983? Es ist JD = 2 445 354.5. bei 5 ein Freitag.12. dann ist JD(8. 1. bei 6 ein Samstag und bei 0 (7) ein Sonntag Beispiel: Welchem Wochentag entspricht das Datum 20.12. was dem Kalenderdatum 30. also Weihnacht selber ein Sonntag.6 Kalenderwoche Zur Berechnung der Kalenderwoche nach ISO 8601 gehen Sie wie folgt vor: 1) Man bestimme den Wochentag WT1 des 1. die an zwei Beispielen erläutert werden: Muttertag und Adventssonntage. können alle weiteren beweglichen Festtage berechnet werden. dieser hat also das Tagesdatum D = 1 + (7 – WT) = 8 – WT. also der 1. und ist entweder Neujahr selber (WT = 1) oder ein Datum . denn sie liegen eine feste Anzahl Tage vor oder nach Ostern. 14 und 21 Tage vor dem 4.7.. Für die Berechnung der beweglichen Festtage startet man mit der Bestimmung des Osterdatums mittels der Osterformel. Bei den halbfixen Festtagen sind folgende Überlegungen nötig. 3) Der 3.1.40 1. ist WT1 = 0. und 1.7.). Mai an bis zum ersten Sonntag im Mai verstreichen müssen. den Wochentag zu bestimmen. Mi oder Do. 1) Man bestimme den Wochentag WT von Weihnacht (25. Mai selber ein Sonntag. dann ist der Montag der ersten Kalenderwoche des Jahres (WT1 – 1) Tage vor dem 1. Advent 1. die vom 1. Neujahr also ein Mo. ist WT = 0. (und letzte) Advent ist der Sonntag unmittelbar vor Weihnacht. dann setze man WT1 = 7 2) Ist 1 ≤ WT1 ≤ 4. 1) Man bestimme den Wochentag WT des 1. Di. Advent liegen 7. ist WT = 0.12. Eine Woche später. dann setze man WT = 7 2) WT gibt an. also am Tag D + 7 = 15 – WT ist Muttertag Für die Adventssonntage sind die folgenden Überlegungen relevant. Januars des Jahres. Mai. also Neujahr ein Sonntag. 2. Advent 4) Der Totensonntag liegt eine Woche vor dem 1. Advent stattfindet. Dazu verwendet man das eben vorgestellte Verfahren. so setze man WT = 7 2) 7 – WT gibt die Anzahl Tage.5 Festkalender Bei den fixen Festtagen geht es darum. sein Tagesdatum ist 25 – WT. Ist dieses Datum bekannt. wieviele Tage vor Weihnacht der 4. der 4. Zur Erinnerung: Muttertag ist der zweite Sonntag im Mai. Neujahr also ein Fr. wir haben Fall 2): der Montag der ersten Kalenderwoche liegt WT1 – 1 = 2 Tage vor dem 1. dann ist KW = 52 oder KW = 53. der Montag der ersten Kalenderwoche ist der [1 + (8 – 5)]. Januar. In der Kombination dieser Ämter erreichten sie grossen .1. wir haben Fall 4): es ist KW = 53. dann ist KW = Ganzzahl( JD−JD1 ) + 1 7 Beispiele: • In welche Kalenderwoche fiel der 24. Januar 2010.1. somit KW = 21 – der 24. • In welche Kalenderwoche fällt der 2. Mai 1986? Es ist WT1 = Wochentag(1. Januar 2010? Es ist WT1 = 5. und der Montag der ersten Kalenderwoche ist (8 – WT1) Tage nach dem 1. KW = 53 ist nur möglich.1. sondern Grundlage für Religion und Kalenderwesen.5. es ist JD = 2 446 574.12.5. also der 4.8 1. wenn WT1 = 5.. dann gehören die ersten (8 – WT1) Tage des Januar noch zur letzten Kalenderwoche des vorangehenden Jahres. Nachweis: 1.41 im Dezember des vorangehenden Jahres. sein Julianisches Datum ist JD1 3) Ist WT1 > 4.5.1985 und JD1 = 2 446 429.1 Historische Anmerkungen Altertum Die Beschäftigung mit Astronomie und die Berechnung astronomischer Ereignisse war lange Zeit kein Selbstzweck.8. sein Julianisches Datum ist JD1 4) Ist WT1 > 4 und das Datum vor dem Montag der ersten Kalenderwoche. oder wenn WT1 = 6 und das Vorjahr war ein Schaltjahr (es handelt sich bei dieser Ausnahmeregelung im Maximum um die ersten drei Tage im Jahr) 5) Für alle anderen Fälle ausser den in 4) erwähnten geht man wie folgt vor: wenn JD das Julianische Datum der gesuchten Angabe ist. In alten Kulturen waren die Priester oft Astronomen und damit auch die Kalendermacher.1986) = 3 (also ein Mittwoch).1986. ist also der 30. die 53 Kalenderwochen haben). also der zweitletzte Tag der KW 21. Sa oder So. da WT1 = 5 ist (tatsächlich gehört 2009 zu jenen Jahren.1986 war übrigens ein Samstag. 5 Tage / 4 = 7. Chr. Die Astrologie. dann ist diese Erklärung wenig überzeugend: bereits die Mesopotamier kannten den Ausgleich von 29 und 30 Tagen. sowie die Schaltung ganzer Monate. Diese Feststellungen lassen den Schluss zu. die Anpassungen zum voraus zu berechnen.42 gesellschaftlich-politischen Einfluss. diese Einteilung habe mit den Mondphasen zu tun: jeweils von Neumond bis Erstes Viertel.und Sonnenjahr anzugleichen. wo die Abweichungen sehr viel geringer waren. und wieder bis Neumond sind es 29. um sie dem Mondlauf anzupassen. So sollen sie z.375 Tage. Dazu gehört u. die nur sehr grob 7 Tage dauern. domenica lunedì martedì franz. Sie stammen zwar aus römischer Zeit und sind im Deutschen zusätzlich germanisiert.B.4 Sekunden entspricht! Die Einteilung des Tierkreises in die zwölf bekannten Sternbilder geht ebenfalls auf sie zurück. Später waren sie sogar in der Lage.a. aufgrund von Beobachtungen. dass bei der Wocheneinteilung je Schalttage eingeführt worden wären. von da zu den Römern und schliesslich zu uns überliefert worden. wurde in Mesopotamien geboren. bis Letztes Viertel. dies Solis dies Lunae dies Mar(Dominitis ca) ital. die 12(24). dimanche lundi mardi Mittwoch dies Mercurii mercoledì mercredi Donnerstag dies Iovis Freitag dies Veneris venerdì vendredi Samstag dies Saturni sabato samedi giovedì jeudi . sind aber über den Umweg über die Juden oder Griechen. mit welcher Genauigkeit sie den dem kalendarischen Monat zugrunde liegenden synodischen Monat gekannt haben. Viele Errungenschaften des Kalenders gehen auf die Mesopotamier zurück. Kurz: wo es ihnen darauf ankam.530589 d. denn die Ereignisse am Himmel beeinflussten sowohl das Leben des Einzelnen als auch das Schicksal der Gemeinschaft. um die Monatslänge den Mondphasen anzupassen.530594 d angegeben haben – wir rechnen heute mit dem Wert 29. was einem Unterschied von etwa 0. Bedenkt man allerdings.sowie die 60(3600)-Einteilung und die Zusammenfassung von 7 Tagen zu einer Woche. Anfänglich geschahen diese Anpassungen pragmatisch. Immer wieder kann man lesen. dass nicht die periodisch wiederkehrenden Mondphasen. Sie nahmen Anpassungen vor. konnten sie sehr wohl eine Anpassung ihrer Kalendervorschriften an die himmlischen Gegebenheiten vornehmen. am Ursprung der Wocheneinteilung liegen. um Mond. im 4. die Länge des synodischen Monats mit 29. die das Geschick auf der Erde mit den Ereignissen am Himmel in Verbindung brachte. dann bis Vollmond. Durch lange Beobachtungsreihen erreichten die mesopotamischen Astronomen eine auch heute noch überraschend genaue Kenntnis verschiedener Perioden. Eine wahrscheinlichere Lösung zeigen die Namen der Wochentage. Es ist aber nicht bekannt. Jahrhundert v. aber das zugrunde liegende Bezeichnungssystem ist älter und stammt aus Mesopotamien: Wochentagsbezeichnungen in verschiedenen Sprachen Sprache Sonntag Montag Dienstag lat. Merkur und Wotan (nur engl. Für den Sonntag hat sich bereits in Rom unter dem Einfluss der Christen die Bezeichnung dies Dominica („Tag des Herrn“) durchgesetzt. weil er zeigt. die gleichzeitig Gottheiten waren. Jupiter und Donar/Thor sowie Venus und Freya/Frigga.43 engl. dass lange Zeit die Woche mit dem Sonntag begann13 – nur dann ist der Mittwoch die Mitte der Woche. dt. geozentrischen Weltbild bekannten Wandelsterne („Planeten“). Bei der Übernahme ins Deutsche bzw. islam. Englische wurden gewisse Gleichsetzungen von römischen mit germanischen Gottheiten vorgenommen: Mars und T(h)iu/Tyr/Ziu12 wurden gleichgesetzt. Für den Samstag hat sich in den meisten Sprachen die jüdische Bezeichnung Sab(b)at durchgesetzt.). die (heidnischen) Germanen blieben beim Tag der Sonne. Interessant ist der deutsche Mittwoch. 12 Man 13 Die beachte: Zischtig im Alemannischen USA beginnen ihre Woche noch heute am Sonntag. hebr. . auch Samstag und samedi sind davon abgeleitet. sunday Sonntag (Tag) 1 (Tag) 1 monday Montag (Tag) 2 (Tag) 2 tuesday Dienstag (Tag) 3 (Tag) 3 wednesday Mittwoch (Tag) 4 (Tag) 4 thursday Donnerstag (Tag) 5 (Tag) 5 friday Freitag (Tag) 6 Tag der Versammlung saturday Samstag Sabbat Sabat Die lateinischen Bezeichnungen zeigen den Ursprung: es sind die Namen der 7 im antiken. Stunde von Jupiter. von Luna. Dann begann es wieder von vorne mit der Regentschaft: die 8. von Sol. die 2. die 5. wobei der Reihe nach von aussen nach innen verfahren wurde: die 1.. und 23. 16. ..44 Abbildung 5: Die 7 Planetengötter ergeben als Herrscher über die erste Tagesstunde die Tagesnamen Die Reihenfolge der Wochentage lässt sich wie folgt erklären: in alter Zeit war jeder Tagesstunde eine der 7 Planetengottheiten als „Stundenherrscherin“ zugeordnet. Stunde des 1. die 3. Tages wurde von Saturn beherrscht14 . die 4. die 6. die 9. Tages wurden von Saturn beherrscht. von Merkur. und die 7. Stunde 14 Wir benutzen der Einfachheit halber die lateinischen Namen. Stunde von Mars. 15. von Venus. Stunde des 1. und 22. Danach beginnt die Reihenfolge von vorne. Das erklärt die ungewöhnliche Reihenfolge der Tagesnamen. Daran erinnern noch heute die Monatsnamen Quintilis (der fünfte). andere postulieren einen Bezug zur griechischen Göttin Aphrodite. lehnte dieser mit der Frage ab: „Was ist dann mit dem dreizehnten Caesar?“ Ursprünglich wurden die Monate im römischen Kalender ab dem März gezählt. der in Gemeinjahren 29 Tage und in Schaltjahren 30 Tage umfasste. und gleichzeitig musste in den folgenden Monaten die Reihenfolge von 30 und 31 Tagen umgestellt werden. Der Februar leitet sich ab vom lateinischen Verb februare (= reinigen). Stunde begann die Regentschaft von Sol. die die erste Stunde regiert. September (der siebte). Später wurde der siebte Monat – bisher Quintilis geheissen – zu Ehren Caesars in Iulius (Juli) umbenannt. Nach diesem Schema findet man die Reihenfolge Saturn – Sol – Luna – Mars – Merkur – Jupiter – Venus für diejenige Gottheit. ist gleichzeitig die Tagesregentin und leiht ihm so ihren Namen. Oktober (der achte). die jeweils die erste Stunde eines Tages regiert. Chr. später ab dem siebten Monat wurden sie einfach durchgezählt bis Zehn. In der grafischen Darstellung ergibt sich ein siebenzackiger Stern. Caesar führte abwechselnd Monatslängen von 30 und 31 Tagen ein. Eine Ausnahme bildete der Februar.. umbenannt werden sollte. Sextilis (der sechste). da am 1. Die Verlegung des Jahresanfangs auf den Anfang des Monats Januar geschah bereits im Jahr 153 v. Sonst wären plötzlich drei Monate zu 31 Tagen unmittelbar aufeinander gefolgt. wobei der benötigte Tag dem Februar weggenommen wurde. aber auch. usw. auch ihre Länge wurde im wesentlichen beibehalten.und Wachstumsgott Iupiter Maius. Die Herkunft von April ist nicht eindeutig geklärt: es könnte sich vom Verb aperire = öffnen (der Knospen) ableiten. Juni zur Göttermutter Juno. Zu Ehren von Kaiser Augustus wurde der achte Monat (bis dato Sextilis geheissen) in August umbenannt.45 von Jupiter. warum die Abfolge der Wochentage soweit überblickbar nie unterbrochen wurde. dem Nachfolger von Augustus. Im Gegensatz zu den Wochentagsnamen haben sich die römischen Monatsnamen gehalten. Die übrigen Monatsnamen haben einen Bezug zu Göttern oder speziellen Handlungen: Januar zum doppelgesichtigen Gott Janus. gleichzeitig aber auch der nächste Tag. Seither hat der Februar in Gemeinjahren nur noch 28 Tage und in Schaltjahren 29 Tage. November (der neunte) und Dezember (der zehnte): ab dem fünften. da er in diesem Monat geboren wurde. Die Gottheit. Mai zum Frühlings. . März zum Kriegsgott Mars. Als der September nach Kaiser Tiberius. der Name bezieht sich auf ein römisches Reinigungsfest. Mit der 25. Gleichzeitig wurde er auf 31 Tage verlängert. Januar die römischen Konsuln ihr Amt antraten. Daten in dieser Zeit müssen immer genau überprüft werden. der Arzt und Astronom Aloisius Lilius (1510? – 1576) und der Jesuit und Mathematiker Christoph Clavius (1537 oder 1538 – 1612) Einsitz hatten. einen anderen als den gregorianischen . 1.3 Neuere Entwicklungen In der Zeit der französischen Revolution gab es mit dem Revolutionskalender den bisher letzten. weil damit der Heiligenkalender am wenigsten gestört wurde. dh. Portugal. März stattfinden. nebeneinander existierender Kalender waren eher mühsam: grenzüberschreitende Dokumente mussten mit zwei Daten versehen werden. zum vorgesehenen Zeitpunkt Oktober 1582 um. die der Papst in der Bulle Inter gravissimas am 24. nach welchem Kalender ihre Angabe erfolgt. Regiomontanus (1436 – 1476) und Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543). Nur die Länder Spanien. ernsthaften Versuch. wer denn sonst die Autorität für eine solche Aufgabe hätte haben können. Die evangelischen Länder folgten erst 1700 oder 1701. Heute ist dieser Kalender aber kaum mehr angefeindet. sondern am 19. Clavius setzte sie mathematisch um. Jedoch kurz nach der Reformation. England 1752 und Schweden 1753. Februar 1582 dekretiert hatte. unterwegs.2 Gregorianische Reform Verschiedentlich sind bereits im 15. war im Jahr 1949 China. in der u. März. Obschon Lilius mitten in der Reformarbeit verstarb.a. kam zum falschen Zeitpunkt oder von der falschen Stelle.46 1. am 13. u. Das letzte Land. oder 20. Polen und teilweise Italien setzten die Reform. obschon unvorstellbar ist. Die Silvesterkläuse in Appenzell sind noch heute nach dem julianischen Kalender. Die Reformvorschläge stammten im wesentlichen von Lilius.a. Diesen Zeitpunkt wählte der Papst übrigens. Die meisten katholischen Länder folgten im Laufe von 1583 oder 1584. Die Kalenderreform von Papst Gregor XIII. durch Nikolaus von Kues (1401 – 1464). Papst Gregor XIII. Januar. Jahrhundert Vorschläge für eine Reform des julianischen Kalenders gemacht worden. konnte Clavius die Reformarbeit zu Ende führen. da im einen oder anderen Teil fast immer ein Feiertag gefeiert wurde. waren die evangelischen Länder nicht bereit. In einem Punkt hat die Reform ihr Ziel nicht ganz erreicht: in den kommenden Jahren wird der astronomisch präzise Frühlingsbeginn mehrheitlich nicht wie von der Reform angestrebt am 21. Doch die Jahrzehnte zweier unterschiedlicher. sich der Reform aus Rom zu unterwerfen. mitten in der einsetzenden Gegenreformation. der Handel war stark behindert. Diese Vorschläge wurden aber abgelehnt.8. das den gregorianischen Kalender einführte.8. setzte eine Reformkommission ein. Dezember nach julianischem Kalender) gefeiert. So begann die sowjetische Oktoberrevolution in Petrograd nach julianischem Kalender am 25. März der Kalender wie bei der gregorianischen Reform der astronomischen Wirklichkeit angepasst • die Schaltregel besteht wie im gregorianischen Kalender aus zwei Teilen: • ist die Jahrzahl ohne Rest durch 4 teilbar. der als neo-julianisch bezeichnet wird. dann sind sie doch Schaltjahre . es sei denn. März auf den 23. doch 1940 kehrte die Sowjetunion zum gregorianischen Kalender zurück. ohne die Modifikationen der gregorianischen Reform) berechnet wird (vgl. Darum weichen orthodoxe und westliche Ostern im allgemeinen voneinander ab. Januar (= 25. Wichtig ist auch. blieb die russisch-orthodoxe Kirche bis zum heutigen Tag beim julianischen Kalender. Die griechisch-orthodoxe Kirche übernahm 1924 einen eigenen. Die Diskussionen wurden durch den Ausbruch des 1.47 Kalender zu etablieren. Lenin führte 1918 den gregorianischen Kalender ein. Während also die sowjetische Zivilgesellschaft den gregorianischen Kalender übernahm. So sind denn zwischen den gregorianischen Daten von Kirchenfesten in der Westkirche und den entsprechenden Daten der russisch-orthodoxen Festen die 13 Tage Differenz (20. Jahrhunderts setzte eine intensive Diskussion ein. November gefeiert. nach gregorianischem Kalender aber am 7. Weltkrieges unterbrochen. Das orthodoxe Weihnachtsfest wird beispielsweise in Russland am 7. Seine wesentlichen Elemente: • im Jahr 1924 wurde durch einen Sprung vom 9. das Kapitel „Festkalender“). Doch bereits 1806 kehrte das napoleonische Frankreich wieder zum gregorianischen Kalender zurück. vom serbischen Astronomen und Mathematiker Milutin Milankovi´ (1879 – 1958) entwickelten c Kalender. bei der Division durch 900 ergibt sich der Rest 200 oder 600. November 1917. Die orthodoxen Länder – allen voran die slawischen Länder – blieben beim julianischen Kalender. Jahrhundert) zwischen den beiden Kalendern zu beachten. dass das Osterfest im julianischen Kalender nach den Regeln des Konzils zu Nicäa und den Präzisierungen von Dionysius Exiguus (dh. ob diese Länder auch zum gregorianischen Kalender wechseln sollten. Oktober 1917./21. dann ist es ein Schaltjahr (Regel analog der gregorianischen Reform) • Säkularjahre sind keine Schaltjahre. Ende des 19. aber kein Säkularjahr. Während der Regierungszeit von Stalin wurde von 1929 bis 1940 ein sowjetischer Revolutionskalender eingeführt. Von da an wurden bis zu ihrem Ende die Feiern zur sowjetischen Oktoberrevolution am 7. andererseits die Regel zur Bestimmung des Osterdatums. Nachweise: . diesen Umstand zu akzeptieren. dass eine Einigung in den divergierenden Punkten erreicht werden könnte. Die Abweichung zum tropischen Jahr beträgt nur noch 0. was sich erst nach etwas mehr als 31 000 Jahren zu einem Tag aufsummieren wird. zweiter Sonntag im April. 2900 nur im neo-julianischen Kalender. Vorläufig ist nicht abzusehen. Bis ins Jahr 2799 stimmen der neo-julianische und der gregorianische Kalender überein: 2000 und 2400 sind in beiden Kalendern Schaltjahre. Bei dieser Regel könnte nicht mehr ausgeschlossen werden. zu provozieren.000032 Tage.48 Dieser Kalender umfasst in der Zeit von 900 Jahren 900 • 365 + 225 – 9 + 2 Tage = 328 718 Tage. um den östlichen und den westlichen Kalender einander anzugleichen. oder ein halbfixes Datum. dass Ostern und Passah gelegentlich am gleichen Tag gefeiert wird. Nicht alle Kirchenvertreter sind bereit.24222 Tage ergibt. wird aber auch in der griechisch-orthodoxen Kirche Ostern nach dem julianischen Kalender bestimmt. Diskussionsthemen sind einerseits die Schaltregeln. was eine durchschnittliche Länge von 365. z.B. Immer wieder werden Gespräche geführt. dem Osterfest. Um keine Diskrepanz zwischen griechischer und russischer Kirche beim höchsten Fest der orthodoxen Kirchen. 2800 nur im gregorianischen. Bei letzterem sind – damit nicht eine der Religionsgemeinschaften nachgeben muss – im wesentlichen zwei Vorschläge im Gespräch: Festlegung des Osterdatums nach den astronomischen Ereignissen (was allerdings in den meisten Fällen ein Osterdatum nach gregorianischem Kalender bedeuten würde). und Sonnenuntergang können wir beobachten. Dabei stellen wir fest: • Die Auf.B. • Auch die Kulminationszeiten der Sonne sind nicht konstant: eine einfache Sonnenuhr kann gegenüber einer gleichmässig laufenden Uhr bis zu 16 Minuten vorgehen (Anfang November) bzw. Sonnenhöchststand am Mittag. So erfolgt z. bis zu 14 Minuten nachgehen (Mitte Februar). Der späteste Sonnenaufgang tritt in Zürich und Berlin um 8:15 h ein. können wir ihren Höchststand mit einem Gnomon1 oder einer Sonnenuhr ermitteln. in Berlin um 15:50 h statt. Benutzen wir also die Sonne am Himmel als Uhrzeiger – was wir tun. Die Zeiten und ihre Veränderung sind auch von der geografischen Breite des Beobachters abhängig.1 Sonnenzeit Ein Tag ist das Zeitmass. Sonnenauf. um den Sonnenlauf zu erfassen: Sonnenaufgang am Morgen. dann definieren wir die 1 Schattenstab bzw. Schattenzeiger 49 . 21:30 h statt. Sonnenuntergang am Abend und Sonnentiefststand unter dem Horizont um Mitternacht. der früheste Sonnenuntergang schliesslich findet in Zürich um 16:30 h. Der späteste Sonnenuntergang findet in Zürich und in Berlin um ca. in Berlin (52° 30’ N) um 4:45 h.Kapitel 2 Zeit 2. 5:30 h.und Untergangszeiten verändern sich im Laufe der Jahreszeiten. Sofern die Sonne am Himmel sichtbar ist. wenn wir eine einfache Sonnenuhr für die Zeitmessung benutzen –. der früheste Sonnenaufgang in Zürich (47° 30’ N) um ca. die unregelmässige Anzeige einer einfachen Sonnenuhr auffällt. die im Perihel2 zusammen mit der wahren Sonne startet. Wahre und fiktive Sonne erreichen auch gleichzeitig das Aphel3 . Ihre jährliche Bewegung am Erdhimmel unterscheidet sich in zwei Punkten von der Bewegung der wahren Sonne: • Sie verläuft gleichmässig. so dass sich die Höhe der kulminierenden Sonne im Laufe eines Jahres nicht ändert Die Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Kulminationen der mittleren Sonne bezeichnen wir als einen mittleren Sonnentag. Im bürgerlichen Alttag brauchen wir ein gleichmässig ablaufendes Zeitmass. • Sie verläuft entlang dem Himmelsäquator. so erhalten wir die mittlere Sonnenzeit. Diese Uhren messen eine gleichmässig ablaufende Zeit und erreichen eine Genauigkeit. Erde und Sonne am weitesten voneinander entfernt sind. so erhalten wir die wahre Sonnenzeit. Übungen • Um welchen Winkel dreht sich die Erde im Laufe eines mittleren Sonnentages? • Um wie viele Minuten pro Tag verändert sich die tägliche Sonnenscheindauer in Zürich bzw. zeitweise ist sie langsamer. . Unterteilen wir die Zeitdauer eines mittleren Sonnentages in 24 Stunden. Unterteilen wir die Zeitdauer eines wahren Sonnentags in 24 Stunden. Sie liegt der bürgerlichen Zeitrechnung im Alltag zugrunde. denn sie hat einen gewichtigen Nachteil: eine wahre Sonnenstunde ist nicht immer gleich lang. elektrischen oder elektronischen Uhren zu messen. die Zeit mit mechanischen. Sie wird im bürgerlichen Alltag nicht (mehr) benutzt. dass der unregelmässige Gang der wahren Sonne bzw. ohne Schwankungen. in Berlin? Treffen Sie für die Rechnung vereinfachende Annahmen! Nachweise: 2 Wenn 3 Wenn Sonne und Erde den kleinsten Abstand voneinander haben. Dazu denken wir uns eine fiktive Sonne. Wir sind uns im Alltag gewohnt. und erreicht nach Ablauf eines tropischen Jahres zusammen mit der wahren Sonne wieder das Perihel. zeitweise ist sie schneller als die der wahren Sonne.50 Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Sonnenhöchstständen als einen wahren Sonnentag. um wieviel eine einfache Sonnenuhr gegenüber einer gewöhnlichen Uhr vorgeht. so gibt sie an.51 2. November +16 min 25 25. Dezemsec ber Die Angaben sind als Richtgrössen zu nehmen.2 Zeitgleichung Im vorangehenden Kapitel haben wir von der wahren Sonnenzeit WOZ und der mittleren Sonnenzeit MOZ geschrieben. Mai +3 min 41 13. Grundsätzlich setzen sich die Werte der Zeitgleichung aus zwei Effekten zusammen: • Zum einen befolgt die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne das zweite Keplersche Gesetz. Die Differenz der beiden Zeitangaben heisst Zeitgleichung ZGL4 : ZGL = WOZ − MOZ Ist der Wert der Zeitgleichung positiv. Februar –14 min 15 15. ändert also im Laufe eines Jahres ihre Kulminationshöhe nicht. . denn sie können sich von Jahr zu Jahr etwas ändern. September sec 3. Sie hat zwei Maxima und zwei Minima sowie vier Nullstellen. Dagegen hat die wahre Sonne im Sommer eine deutlich grössere Kulminationshöhe als im Winter. die Bewegung der wahren Sonne ist das Abbild dieser Erdbewegung. April sec 14. Juli –6 min 30 1. vier Mal im Jahr zeigt also auch eine einfache Sonnenuhr die mittlere Sonnenzeit: Wichtige Punkte der Zeitgleichung Absolute Extremwerte Relative Extremwerte Nullstellen 11. Demgegenüber bewegt sich die mittlere Sonne mit konstanter Geschwindigkeit am Erdhimmel. Juni sec 26. ist also in Perihelnähe schneller als in Aphelnähe. • Die mittlere Sonne bewegt sich auf dem Himmelsäquator. Während sich also die mittlere Sonne unter den Hintergrundsternen von einem Tag zum nächsten nur um knapp 1° von Westen nach Osten verschiebt 4 Früher war die Zeitgleichung gerade mit umgekehrtem Vorzeichen definiert. Juni und 21. Januar. Juli. vier Mal im Jahr ist er Null: zu den Zeiten der Äquinoktien (21. Der erste Effekt hat eine Periode von einem Jahr. Denn wir erinnern uns: wahre und fiktive Sonne starten gleichzeitig im Perihel und erreichen gleichzeitig das Aphel. Der Periheldurchgang ist aber um den 3. so erhalten wir die bekannte Darstellung für den grafischen Verlauf der Zeitgleichung im Laufe eines Jahres. Addieren wir den Geschwindigkeitsund den Bewegungseffekt. kommt bei der wahren Sonne noch eine Nord-Süd-Verschiebung dazu. Abbildung 6: Beispiel einer einfachen Sonnenuhr mit geradem Gnomon und geraden Stundenlinien auf dem Zifferblatt . März und 23. September) und zu den Zeiten der Solstitien (21.52 (Betrachtung im Kulminationspunkt). zwei Mal im Jahr ist er Null: anfangs Januar und anfangs Juli. der Apheldurchgang um den 5. Der zweite Effekt hat eine Periode von einem halben Jahr. Für die Zeitgleichung ist aber nur die West-Ost-Verschiebung massgebend. Dezember). 53 Abbildung 7: Ein Analemma mit den wichtigsten Daten. . 54 Abbildung 8: Sonnenuhr mit Analemma an der Kirche von Ettiswil. . Dazu geht man von folgender Überlegung aus: trägt man in einem rechtwinkligen x-y-Koordinatensystem in Richtung der Abszisse. und man muss diese Zeit mit dem für den jeweiligen Tag gültigen Wert der Zeitgleichung korrigieren. also der y-Achse. dann beinhaltet eine solche Sonnenuhr gleich die Korrektur mit der Zeitgleichung und zeigt nicht mehr WOZ. Analemma. die Deklination der wahren Sonne. Die Bahn der Erde ist über lange Zeit nicht unveränderlich. Der Himmelsäquator als Projektion des Erdäquators an die Himmelskugel ist auch nicht unveränderlich. Setzt man die Bilder danach mit einem Bildbearbeitungsprogramm zu einem einzigen Kompositbild zusammen. sondern die gleichmässig ablaufende MOZ. um MOZ zu bekommen. So bleibt zwar über eine Zeit von rund 7000 Jahren die grundsätzliche Form der Zeitgleichungskurve mit zwei Gipfeln im Mai kann man statt des Gnomons auch die Stundenlinien auf dem Zifferblatt entsprechend gestalten. dann handelt es sich um die WOZ. die einen einfachen. 5 Alternativ . Das Maiextremum ist dagegen in den letzten 5000 Jahren laufend kleiner geworden. und in rund 2000 Jahren wird es grösser sein als das dannzumalige Februarextremum. Wird der Gnomon oder werden die Stundenlinien des Zifferblattes als Analemma gestaltet. also der x-Achse. und in den nächsten 2000 Jahren wird es noch weiter anwachsen. so formen die Sonnenbilder ein Analemma. geraden Stab als Gnomon verwendet. Dagegen wird das Juliextremum immer grösser. Wer die nötige Geduld und die Fähigkeiten im Umgang mit einem Bildbearbeitungsprogramm besitzt. und die gerade. meist radial vom Fusspunkt des Gnomon nach aussen verlaufende Linien als Stundenmarkierungen verwendet. Dazu wird über ein Jahr immer wieder zur exakt gleichen Zeit die Sonne fotografiert. die Werte der Zeitgleichung ab. Es ist jedoch möglich. dass er gleich die Korrektur um die Zeitgleichung enthält. sondern unterliegt der Präzession. Anders das Novemberextremum: vor 5000 Jahren war es noch kleiner als das Maiextremum. und in Richtung der Ordinaten. das sog.55 Mehrfach wurde bisher eine „einfache Sonnenuhr“ erwähnt. Damit verändert sich aber auch die Zeitgleichung: beispielsweise war das Februarextremum vor 5000 Jahren deutlich tiefer und nimmt seither laufend ab. dass sich die Bewegung von wahrer und mittlerer Sonne im Laufe der Zeit langsam ändern. das zudem an den richtigen Stellen mit den zugehörigen Daten versehen ist. den Gnomon5 so zu konstruieren. kann ein Analemma fotografieren. und diese Abnahme wird sich auch in den nächsten 2000 Jahren noch weiter fortsetzen. so erhält man eine leicht zerdrückte 8 als Grafik. insbesondere verändern sich die Lage des Perihels und die Bahnexzentrizität. Damit meinen wir eine Sonnenuhr. All die Störungen haben zur Folge. wobei der Unterschied zwischen den beiden noch nicht sehr gross sein wird. Pro Monat sollten mindestens ein bis zwei Bilder aufgenommen werden. Liest man von einer solchen Sonnenuhr die Uhrzeit ab. Dies beeinflusst die Bewegung der wahren Sonne am Erdhimmel. welcher relativer Extremwert) ändern sich in dieser Zeit merklich. . Aber die Details (Höhe der Gipfel und Tiefe der Täler.56 und November sowie zwei Tälern im Februar und Juli erhalten. welcher Wert ist absoluter. 57 Abbildung 9: Fotografie eines Sonnen-Analemmas mit dem Tempel des olympischen Zeus in Athen. Der Autor Anthony Ayiomamitis hat eine Reihe weiterer solcher Fotos gemacht6 . März 2003 und dem 24. . Die Foto wird hier mit ausdrücklicher Zustimmung von Anthony Ayiomamitis verwendet. Die Aufnahmen entstanden jeweils um 12 h im Zeitraum zwischen dem 30. März 2004. folgern wir: 15° entspricht 1 Stunde 15’ entspricht 1 Minute 1° entspricht 4 Minuten 1’ entspricht 4 Sekunden 1° Längenunterschied entspricht am Äquator einer Strecke von rund 111 km. so lässt sich die Ortszeit OZ(B) von B berechnen. W. Längengrade werden nach Vereinbarung nach Ost und nach West von einem Referenzmeridian aus je bis 180° gezählt. Dazu müssen wir einerseits in Betracht ziehen. Wofür steht das O als Abkürzung? Wir haben einen Punkt noch nicht weiter beachtet: sowohl die mittlere wie auch die wahre Sonnenzeit sind über lokale Ereignisse definiert.3 Ortszeit Bei der Besprechung der Zeitgleichung im letzten Kapitel haben wir von WOZ und MOZ gesprochen. nämlich die Kulmination der jeweiligen Sonne. so besteht zwischen den Ereignissen an den beiden Orten ein Zeitunterschied. desto kleiner wird diese Distanz. die im . es handelt sich also um Ortszeiten. dass einem Längenunterschied von 360° ein Zeitunterschied von 24 h entspricht. 15° dementsprechend rund 1670 km. wann der früheste Sonnenuntergang? Was haben diese Zeiten mit der Zeitgleichung zu tun? Nachweis: 2. In mittlerer geografischer Breite φ = 45° sind es noch knapp 79 km bzw. der umso grösser ist. je grösser der Längenunterschied ist. dass die Erde von Ost nach West rotiert. der durch die alte Sternwarte von Greenwich bei London verläuft. Dabei sind zwei Schreibweisen möglich: entweder durch Angabe der Zählrichtung E bzw. oder – für Rechnungen die geeignetere Form – so.58 Übungen • Was bedeutet die Feststellung: „Die Zeitgleichung hat am 3. Kennen wir die Ortszeit OZ(A) an einem Ort A mit der geografischen Länge λA und die Längendifferenz ∆λ = λB − λA zu einem Ort B mit geografischer Länge λB . 1180 km. dh. Für Orte auf dem gleichen geografischen Längengrad tritt dieses Ereignis zwar gleichzeitig ein. Als Referenzmeridian gilt seit 1883 derjenige Meridian. Aus der Tatsache. Wenn sich aber zwei Orte in ihrer geografischen Länge unterscheiden. November den Wert 16 min 25 s“ für die Zeitangabe einer einfachen Sonnenuhr? • Schauen Sie in einem astronomischen Jahrbuch oder in einem Kalender nach: wann war 2007 der späteste Sonnenaufgang. in Orten. Je näher man den Polen kommt. dass Längen nach Ost positiv und solche nach West negativ genommen werden. 7 Mathematisch . MOZ 15 ist also 12 h 12 min. positiv bedeutet: Rotation im Gegenuhrzeigersinn. Besonders für die Seefahrt war dies von entscheidender Bedeutung8 . Daraus findet man für den unbekannten Ort MOZ = 12 h – ZGL. in Los Angeles. Beispiel: In Greenwich sei MOZ = 6 h (morgens). mussten einerseits Uhren gebaut werden. ist die Zeit fortgeschrittener als im Westen. die bei Planeten angewendet wird. Dort werden Längen nach Osten negativ. um die geografische Länge in unbekanntem Gelände bestimmen zu können. also WOZ = 12 h. der Astronomical Almanach. 8 Folgerichtig wurde denn auch das wichtigste Jahrbuch der professionellen Astronomie. wenn wir die Ortszeit von Greenwich kennen. der auf der Mitte der Planetenscheibe zu sehen ist. wenn wir „von oben“ auf den Nordpol blicken. kulminiert die Sonne früher bzw. Die umgekehrte Rotationsrichtung ist mathematisch negativ. An einem unbekannten Ort musste nun der Kulminationszeitpunkt der Sonne bestimmt werden. solche nach Westen positiv gezählt. dass die Länge des Ortes. Die Formel gilt sowohl für die wahre wie für die mittlere Ortszeit – einzige Bedingung: auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens muss die gleiche Zeit verwendet werden. dann ist λA = 0◦ . MOZ ist 15 also 22 h 07 min am Abend des Vortages. wie der Längenunterschied in einen Zeitunterschied umgewandelt werden muss.59 Osten gelegen sind. Dies ist der wahre Mittag. Bevor sie aber praktisch genutzt werden konnte. die längere Zeit zuverlässig die Zeit anzeigen. wenn λK = 93◦ 0 E = +93◦ 0 . Die Vorzeichenkonvention der Längengrade ist leider nicht konsistent zu der Definition. Beim Auslaufen aus einem Hafen mit bekannter geografischer Länge λB wurde die Uhr auf MOZ von Greenwich gestellt. andererseits mussten Tabellen der Zeitgleichung verfügbar sein. wenn λA = 118◦ 15 W = −118◦ 15 ? Für Krasnojarsk ist λK = 6. infolge der Rotation wächst. und wir erhalten die Ortszeit an einem beliebigen Ort auf der Welt. Wie gross ist die MOZ in Krasnojarsk (Sibirien). Dann gilt: OZ(B) = OZ(A) + λB − λA 15 Ist insbesondere der Ort A Greenwich. bzw. Dies hat den Vorteil. Längendifferenz in Grad und Zeit.8833h = −7h53min. Die obige Gleichung war in der Zeit vor der Verfügbarkeit von Navigationssatelliten wie diejenigen des GPS die entscheidende Beziehung. Für Los Angeles ist λA = −7. vom Her Majesty’s Nautical Almanach Office (GB) und vom US Nautical Almanach Office herausgegeben.2h = 6h12min. wenn der Planet wie die Erde im mathematisch positiven Sinne rotiert7 . Andererseits sehen wir aus der obenstehenden Beziehung zwischen Länge bzw. ihrer historischen Entwicklung findet sich hier: http://www. 11 Englisch „Daylight Saving Time“ DST 12 Regelung der EU und der Schweiz seit 1996. liegen aber in der UT-Zeitzone.html 10 Frankreich. die sogenannten Zeitzonen. Im Osten schliesst die Zone der Mitteleuropäischen Zeit MEZ an. die Benelux-Staaten und Spanien haben aus politischen Gründen ME(S)Z. Als erste Zone wurde diejenige mit Zonenmitte 0° und den Rändern ±7½° festgelegt. In Europa.60 Auf der Uhr liest man die Zeit MOZ für Greenwich ab. die gegenüber UT um 1 h vorgeht: 13 h MEZ entspricht 12 h UT. Aus praktischen Gründen werden die Grenzen der Zeitzonen den politischen Grenzen angepasst. Da die Zonenmitte der Meridian von Greenwich ist. wurde sie lange Zeit als Greenwich Mean Time GMT referenziert. 9 Eine .org/˜sla/leapsecs/timescales. und zwar die mittlere Ortszeit MOZ der Zonenmitte. Jeder Ort in dieser Zone hat nun per Definition die gleiche bürgerliche Zeit. Im Alltag ist allerdings die Ortszeit unpraktisch. damit nicht innerhalb eines Landes verschiedene Zeitzonen gelten10 . Abbildung 10: Weltkarte mit den Zeitzonen umfangreiche Darstellung der verschiedenen Zeitdefinitionen inkl. Seit Mitte des letzten Jahrhunderts ist statt dessen der Begriff Universal Time UT bzw. die Schweiz müsste bei strenger Auslegung zwei Zeitzonen angehören: die Zonengrenze 7½° verläuft zwischen Biel (7° 15’) und Solothurn (7° 32’). teilweise auch in anderen Ländern gilt im Sommer die Sommerzeit11 .ucolick. Dabei werden die Uhren zwischen 2 h des letzten Märzsonntags und des letzten Oktobersonntags12 um 1 Stunde vorgestellt. und unter Verwendung obiger Gleichung findet man die geografische Länge des unbekannten Ortes. um das Sonnenlicht besser nutzen zu können. Weltzeit WZ im Gebrauch9 . Man hat darum die Erde in 24 Streifen zu 15° Länge eingeteilt. Sie wird gelegentlich als Local Sidereal Time LST bezeichnet. Dies bedeutet. überstreicht also am Erdhimmel einen Winkel von 360°. Da der Frühlingspunkt nicht wirklich fix ist.091 = bzw. unterscheiden wir wie bei der Sonnenzeit zwischen der mittleren Sternzeit (die Definition bezieht sich auf den mittleren Frühlingspunkt) und der scheinbaren13 13 Im Englischen spricht man von der Apparent Sidereal Time. λ = 8° 33’ W) den wahren Mittag anzeigt? Rechnen Sie konkret für die Daten 11. λ = 21° 11’E) liegen praktisch auf gleicher geografischer Breite φ. Er definiert ein neues Zeitmaß: in der Zeit von 23 h 56 min 4. Die scheinbare Bewegung Sonne am Erdhimmel ist nicht nur das Abbild dieser Rotation. λ = 8° 33’ W) und Priština im Kosovo (φ = 42° 40’ N. sondern eine Kombination aus der Rotation der Erde und aus der Umlaufbewegung der Erde um die Sonne. wenn der Frühlingspunkt im Meridian kulminiert. Bedeutet dies auch.091 s mittlerer Sonnenzeit dreht sich der Frühlingspunkt einmal um die Erde. Februar. Üblicherweise nimmt man dafür den Frühlingspunkt. Damit ist auch die Sternzeit ein lokales Zeitmass.091 86 400 86 400 86 164. so müssen wir die Bewegung eines Fixpunktes am Sternenhimmel beobachten.und Sternzeit beträgt demnach: 86 164. 13. dass sie an beiden Orten zur gleichen Zeit auf. • Santiago de Compostela in Nordwest-Spanien (φ = 42° 53’ N. Mai.4 Sternzeit Die Erde rotiert um ihre eigene Achse. = 1. Wollen wir die Rotation allein erfassen. λ = 22° 35’ E). Juli. dass die Sonne in beiden Orten den gleichen Bogen beschreibt.und untergeht? Nachweise: 2. b) Santiago de Compostela (Spanien.61 Übungen • Welche Zeit zeigt eine Funkuhr. . Das Verhältnis von Sonnen. wenn eine einfache Sonnenuhr in a) Lublin (Polen. 14. Juni und 26. Dies entspricht einem vollen Sterntag (tropischer Tag) zu 24 Sternstunden. 997 2696 Es ist per Definition 0 h Sternzeit. 002 7379 0. Benötigt man die Sternzeit nicht für 0 h UT. man multipliziere also diese Zeit mit dem Faktor und addiere das Produkt zum bisherigen Ergebnis.0027379 mal schneller als eine Sonnenzeituhr (bürgerliche Uhr) läuft.B. Wie bei der Sonnenzeit gilt auch bei der Sternzeit der Meridian von Greenwich als Referenz: je nachdem sprechen wir von der Greenwich Mean Sidereal Time GMST bzw. hat aber eine ganz andere physikalische Erklärung: für die mittlere Sternzeit werden in der Position des Frühlingspunktes die Effekte der Nutation herausgemittelt. dann rechnet man diese Zeit in UT-Zeit um. beachte man. berechnen und anzeigen lassen14 . Um jetzt die Sternzeit zum Zeitpunkt dieser UT-Zeit zu bekommen. Es existieren ebenfalls Rechenvorschriften. dass eine Sternzeituhr 1.mil/sidereal.mil/ 14 Die . Auf entsprechenden Seiten im Internet kann man direkt die aktuelle Sternzeit (bezogen auf die Serverzeit). um es z. Der Unterschied entspricht der Zeitgleichung („equation of time“) bei der Sonnenzeit und wird als Gleichung des Äquinoktiums („equation of equinox“) oder Nutation in Rektaszension bezeichnet. fährt man wie folgt weiter: GAST0 = GMST0 + EE Um die lokale Sternzeit um 0 h UT an einem Ort mit geografischer Länge λ zu erhalten. oft sogar nach Wunsch für beliebige Orte.usno. Astronomen benötigen die lokale Sternzeit. von der Greenwich Apparent Sidereal Time GAST. Sind diese beiden Ausdrücke bekannt.navy. sondern für eine beliebige Zeit.62 Sternzeit (die Definition bezieht sich auf den wahren oder momentanen Frühlingspunkt). dann hat man die lokale Sternzeit: bekannteste Internetseite mit einem solchen Online-Dienst ist jene des US Naval Office: http://tycho. mit einem Teleskop anfahren und danach beobachten oder fotografieren zu können. Einer der beiden Werte wird häufig für 0 h UT in Tabellenwerken publiziert.usno.navy. um GMST um 0 h UT zu einem beliebigen Datum berechnen zu können. wenn sie die exakte Position eines Objektes am lokalen Himmel bestimmen wollen.html. um die Gleichung des Äquinoktiums EE berechnen zu können. dass einem Winkel von 360° eine Zeit von 24 (Stern-)Stunden entspricht. rechne man: AST0 = GAST0 + λ 15◦ Denn wie bei der Sonnenzeit gilt auch bei der Sternzeit. Eingang: http://tycho. Wir werden diese Rechenvorschriften in späteren Kapiteln kennen lernen. Die Berechnungen basieren auf folgendem Vorgehen: es gibt eine Rechenvorschrift. 9½ h und 10 h Zeitdifferenz zu UT. CST und EST mit 8 h. • Wie groß ist die mittlere lokale Sternzeit im Anglo-Australian Observatory nördlich von Sydney in den Siding Spring Mountains (Australien. Central Standard Time (CST) und Eastern Standard Time (EST). 1351 s. AST0 = 19 h 22 m 46. dann beginnt sie wieder bei 0 h.5 Atomzeit Ursprünglich war eine Sekunde definiert als der 86 400-te Teil eines mittleren Sonnentages. 0◦ ) um 21 h 42 min Zonenzeit. Dezember 1995. denn die Sternzeit erhöht sich wie jede andere Zeit nur bis 24 h. Zeitzonen für die Sternzeit festzulegen. 002 7379 · t Wie gross ist AST in Krasnojarsk (λ = +93. Januar 1983. eine der 6 US-amerikanischen Zeitzonen. Im südlichen Sommer (von Oktober bis März) gilt Sommerzeit (DST). entfällt die Notwendigkeit. WST. Benutzen Sie wieder den Algorithmus im Kapitel Zeitrechnungen. Krasnojarsk ist UT um 7 Stunden voraus (im Sommer 8 Stunden. 16 Australien umfasst 3 Zeitzonen.2317 s ist? Es ist GAST0 = 13 h 10 m 46.0248 s bzw. ist aber der Tag kein kon= Hawaii Standard Time. also ist AST = 34 h 07 m 11. Übungen • Wie groß ist die mittlere lokale Sternzeit im Mauna Kea-Observatorium auf Hawaii (19° 45’ 32” N Breite. Die übrigen sind: Yukon Time. 03 h 12 m 38 s HST15 . wenn GMST0 = 13 h 10 m 46. Wie schon mehrmals festgestellt wurde. 3668 s und EE = –0. Pacific Standard Time (PST). Benutzen Sie zur Berechnung der GMST0 den Algorithmus im Kapitel Zeitrechnungen. 04 h 37 m 55 s EST DST16 . 10 h 7 m 11. Nachweise: 2. Die Uhrzeit entspricht also 14. –31° 16’ 37” Breite. Mountain Standard Time (MST). 15 HST . 1351 s. da Russland auch die Sommerzeit kennt). 149° 03’ 58” E Länge) zum Zeitpunkt 16. Alle Rechnungen mit Sternzeit meinen immer die Lokalzeit. 155° 27’ 23” W Länge) zum Zeitpunkt 20.63 AST Beispiel: = AST0 + 1.0248 s. Da die Sternzeit ausschließlich für lokale astronomische Beobachtungen und nicht als bürgerliches Zeitmaß gebraucht wird.7h UT. 64 stantes Mass: Zum einen nimmt die Rotationsdauer der Erde kontinuierlich ab. dann ist T = JD − JD0 36 525 17 Die Rechnungen gehen auf den amerikanischen Astronomen Simon Newcomb (1835 – 1909) zurück. heisst diese völlig gleichförmig verlaufende Zeit die Ephemeridenzeit. das am 0. dass Ephemeridenzeit und UT etwa übereinstimmten. Wenn man also über eine Theorie verfügt. des tropischen Jahres. Ephemeridensekunde zu definieren: Eine Ephemeridensekunde ist der 31 556 925. . JD das Julianische Datum eines beliebigen Zeitpunktes. Sie diente auch während einer gewissen Zeit dazu. Die Zeit.04” bzw. Der Zeitpunkt wurde so gewählt.2 s beschreiben. die Sekunde als sog. sind aber grundsätzlich unverändert. die Sonnenposition lässt sich bezogen auf den scheinbaren Frühlingspunkt durch den Winkel18 279° 41’ 48. um diese Positionen hinreichend genau zu bestimmen. Beachten Sie aber die Formulierung genau. In dieser Definition steckt implizit eine Geschwindigkeit. dass die Länge noch einen quadratischen Term enthält. die wir später kennen lernen werden. die es gestattet. Dies äussert sich darin. Januar 1900 12 h ET befindet sich die Erde in der Nähe des Perihels. sondern nimmt im Laufe der Zeit zu. Zusammengefasst: ist JD0 = 2 415 020. 18 h 38 m 47. dann kann man diese Zeit feststellen. Als Grundlage für die Positionsbestimmung von Himmelskörpern genügt ein solches Zeitmass den Ansprüchen der Astronomen nicht. ) begann“. beziehen sich nicht mehr auf 1900 und berücksichtigen die Fortschritte der Beobachtungstechnik. zum anderen ist sie mit unregelmässigen Schwankungen behaftet. und zwar im folgenden Sinne17 : zum Zeitpunkt 0. Da man statt von Positionen von den Ephemeriden der Himmelskörper spricht.25 Tagen Länge gegenüber dem tropischen Jahr etwas zu lang ist. dass das julianische Jahr mit 365.9747-te Teil des tropischen Jahres am 0. die in der Himmelsmechanik den Bewegungsgesetzen von Planeten und Monden zugrunde liegt. Tatsächlich ist aber die Längenänderung nicht konstant.0 das Julianische Datum von 0. Es heisst nicht: „. Januar 1900 (. . Januar 1900 12 h UT. . 18 Dieser Winkel heisst „mittlere ekliptikale Länge der Sonne“. Wäre die Sonnenbahn konstant und der Frühlingspunkt fix. und wenn man über Beobachtungsinstrumente verfügt. . läuft per Definition völlig gleichmässig ab. . die Position dieser Himmelskörper mit genügender Genauigkeit zu berechnen.768 925° zunehmen – der Überschuss zu 36 000° berücksichtigt. dann würde dieser Winkel in einem julianischen Jahrhundert zu 36 525 Tagen um 36 000. Die modernen Werte. Januar 1900 um 12 h Ephemeridenzeit. nicht mehr vernachlässigen. Der Unterschied ist gering. die dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes des Atoms Caesium 133 entspricht Atomuhren auf der ganzen Welt realisieren eine solche Sekunde. Temps Atomique International. dasjenige der Erde den Gang von Uhren. Jahrhunderts die Effekte.242 199 Tagen oder 31 556 925.768 925◦ ·T + 0. dann wird er das Ziel eher erreichen. Mitte des de dann her dient 20. andererseits gibt es nach dieser Theorie keine Zeit. Eine Analogie aus dem Alltag soll noch einmal den Unterschied verdeutlichen: wenn ein Radfahrer mit der Geschwindigkeit 20 km/h 30 km vom Ziel entfernt startet. Mit der Steigerung der Messgenauigkeit liessen sich in der zweiten Hälfte des 20. aber messbar. Damit dauert das tropische Jahr 1900 nur 31 556 925. Seitatomphysikalischer Vorgang als Definitionsbasis: Die Sekunde ist die Dauer von 9 192 631 770 Perioden der Strahlung.000 3025◦ ·T 2 ˙ L = 36 000. die infolge der Einstein’schen Relativitätstheorie auftreten. von ein Jahrhunderts wurde die Definition der Sekunastronomischen Beobachtungen losgelöst.768 925° pro julianischem Jahrhundert (36 525 Tage) bzw. Dann gilt (L bezeichnet die Geschwindigkeit.022” gestiegen. mit der sich L in einem julianischen Jahrhundert ändert): L = 279. . die wir heute realisieren können.000 605◦ · T Zum Zeitpunkt T = 0 betrug die Geschwindigkeit 36 000.9721 sec.65 ˙ die Anzahl der seit JD0 verstrichenen julianischen Jahrhunderte.768 925◦ + 0. stetig verlaufende Zeitskala. die unabhängig vom gewählten Koordinatensystem ist: es 19 Von franz.696 678◦ + 36 000. Diese Zeit hätte die Sonne tatsächlich auch für einen Umlauf von 360° benötigt. 360° in 365. wenn in der Formel für die Länge der quadratische Term und in der Formel für die Längenänderung der lineare Term in T fehlen würden.9747 sec. Tatsächlich ist die Geschwindigkeit nach einem Jahr um 0. dann erreicht er dieses Ziel nach 1½ Stunden. Einerseits beeinflusst ein Gravitationsfeld wie z. Wenn aber die ganze Strecke bis zum Ziel ein leichtes Gefälle aufweist und er darum immer schneller wird.000 0061° oder 0. sofern er immer mit der gleichen Geschwindigkeit fährt. Sie ist die genaueste. Die aus all diesen Uhren gemittelte Zeit ist die internationale Atomzeit TAI19 .B. auf die wir aus Gründen der Vereinfachung nicht eingegangen sind) mit der Veränderung ihrer Definition im Laufe der Geschichte finden Sie hier. oder diejenige der Atomsekunde? Begründen Sie Ihre Antwort! Nachweise: 2. dh. TT20 . . Die hier vorgestellten Zeitskalen lassen sich in vier Kategorien einteilen: • Bürgerliche oder Alltagszeit • Erdrotationsabhängige Zeitskalen: Sonnenzeit und Sternzeit • beide Zeitskalen unterscheiden wahre und mittlere Zeit • die Sonnenzeit wird weiterunterteilt in lokale bzw. Eine präzise Übersicht über alle Zeitskalen (auch diejenigen. die erste ist die baryzentrische dynamische Zeit TDB.66 spielt eine Rolle. die zweite ist die terrestrische (dynamische) Zeit TDT bzw. die technische Realisierung eines gleichmässig ablaufenden Zeitmasses Am Schluss müssen alle Rechnungen und Beobachtungen in bürgerlicher Zeit vorliegen (mögliche Ausnahme: historische Berechnungen). Übung • Welche Sekundendefinition ist genauer: diejenige der Ephemeridensekunde. dh. die Sternzeit wird immer lokal behandelt • Dynamische. Terrestrial Time. durch Bewegungsgesetze definierte Zeitskalen: Ephemeridenzeit. Welche verwenden wir als Amateure in der Arbeit mit unserem Hobby? Vor allem aber: wenn wir mehrere Skalen brauchen. Solche Zeitskalen werden Dynamische Zeit genannt. das fest mit dem Schwerpunkt des Sonnensystems oder fest mit dem Erdmittelpunkt verbunden ist. wie rechnen wir die verschiedenen Skalen ineinander um? Hilfe soll die folgende Übersicht geben. ob wir die Bewegung der Körper im Sonnensystem in einem Koordinatensystem beschreiben. Beobachtungsproto20 Barycentric Dynamical Time und Terrestrial Dynamical Time bzw. baryzentrische und terrestrische dynamische Zeit • Atomzeit.6 Richtige Zeit Wir haben eine Reihe von Zeitskalen und -definitionen kennengelernt. Zonenzeit. Seit 1820 ist ein astronomischer Tag also auf etwa 86 400. So wird denn folgendes Prozedere verfolgt: Nach wie vor wird der Sonnenlauf als Folge der Erdrotation verfolgt. achtete man bei der neuen Definition sorgfältig darauf. dass die Länge sich nicht änderte. dann sind Massnahmen notwendig. TDT. ob es sich um Ephemeridenzeit. und 19. 1967 durch die Atomsekunde abgelöst wurde. Ein zweites Mass. Was uns jetzt noch fehlt. geht auf das Ende des 19.002 Sekunden zur bürgerlichen Definition wächst nach rund 500 Tagen auf 1 Sekunde an. Doch zuvor müssen wir nochmal ausführlicher UT und seine Einheiten analysieren. Die Atomzeit ist zur Zeit die technisch beste Realisierung einer dynamischen Zeit. wenn man die Newcomb’sche Sekunde zugrunde legt.67 kolle und Vorhersagen für sehenswerte Himmelsereignisse stützen sich auf diese Zeitskala. die aus dieser Theorie abgeleitet wurde. wie lang eine Sekunde ist. Sie ist direkt mit der mittleren Sonnenzeit als Zonenzeit verknüpft. dass 1984 bei der Ablösung der Ephemeridenzeit durch TDT und 1991 bei der Ablösung von TDT durch TT in den astronomischen Jahrbüchern die jeweils neue Skala die alte möglichst nahtlos fortsetzt. Aber die Erdrotation wird im Laufe der Zeit immer langsamer. Hier stellen wir ausführlich dar. Als die Ephemeridensekunde. Für den Amateurastronomen ist es unerheblich. Wir benutzen darum im folgenden die drei Ausdrücke Ephemeridenzeit. Infolge der Erdrotation verändert sich dieses Mass unregelmässig. dann benötigen wir die dynamische Zeit. wie UT (bürgerliche Zeit) und dynamische Zeit TT ineinander umgerechnet werden können. als Simon Newcomb seine Sonnentheorie entwickelte. Die beobachteten Phänomene selber sind häufig lokal. und daraus ein UT1 genanntes Zeitmass abgeleitet. Für den Datenaustausch benutzt man unter Astronomen meist UT.002 Sekunden Länge angewachsen. sind die Zusammenhänge der Zeitskalen untereinander. Die Differenz von 0. Zur Bestimmung der lokalen Position benötigt man in der Regel die lokale Sternzeit – wir werden im Kapitel „Positionsastronomie“ den Zusammenhang aufzeigen. Es wurde sowieso darauf geachtet. TDB oder TT handelt. Er stützte sich auf ältere Beobachtungen aus dem 18. dynamische Zeit und TT synonym. Soll die Koppelung der Alltagsgrösse UT-Tag an den zugrunde liegenden astronomischen Sonnenlauf bestehen bleiben. Ein Tag wird aber pro Jahrhundert durchschnittlich 1. Jahrhunderts zurück. Jahrhundert. UTC (C für coordinated) schafft die Verbindung zwischen UT1 und der Atomzeit TAI: wie die TAI verläuft sie gleichmässig. Die Einheit der Zeit UT ist der Tag zu 86 400 Sekunden.4 msec länger. Die Definition. mit einer langfristigen Tendenz. Wenn wir die Position von Himmelskörpern des Sonnensystems mit den klassischen Gesetzen der Physik berechnen (Ephemeridenrechnung). so dass der von ihm benutzte Mittelwert etwa der Situation im Jahr 1820 entsprach. dass die Tageslänge zunimmt. aber . Gegenwärtig (Juni 2008) beträgt dAT = 33 Sekunden und UT1 – UTC wies am 20. Mit anderen Worten: TT und TAI laufen synchron. Setzen wir dUT = UT 1 − UTC .9 Sekunden übersteigt.UTC von 1973 bis 2005 Darin ist dAT die Summe aller bis zum betrachteten Zeitpunkt eingefügten Schaltsekunden.68 immer dann. wenn der Unterschied zwischen UT1 und UTC 0.437 91 s auf. Damit gilt: TAI = UTC + dAT Abbildung 11: Die Differenz UT1 . haben aber nicht den gleichen Ursprung.184s miteinander verbunden. wird in UTC eine Schaltsekunde eingefügt. Juni 2008 den Wert –0. TAI und TT sind über die feste Beziehung TT = TAI + 32. gilt mit dAT = 33 s vereinfacht: UT = T T − 65. dann gilt: UT = = = ET − ∆T = T T − ∆T UTC + dUT = TAI − dAT + dUT T T − 32.69 ∆T = T T − UT 1 = ET − UT 1 wo ET die in früheren Werken benutzte Ephemeridenzeit ist.184s + dUT = T T − ∆T Abbildung 12: Die Differenz TT .184s − dAT + dUT Bis zum nächsten Mal eine Schaltsekunde eingefügt wird.UT als Funktion der Zeit zwischen 1650 und 2000 . welche Grössen Sie abrufen wollen. wenn es um Beobachtungen geht. 1872 aber –0. . die Bewegungen verändern sich im Laufe der Zeit. In älteren Jahrbüchern wurde ausschliesslich ∆T publiziert. Übungen • Gelegentlich kann man das Argument hören: wenn man alle ein bis zwei Jahre eine ganze Schaltsekunde einfügen muss.82 s aufwies? Was bedeutet ein positiver. es handelt sich um die aktuell gültige julianische Epoche (daher das J). und vereinfacht statt UT1 nur noch UT steht. dUT = –0. also ist ∆T = 32.0 TDB. und die Bezugspunkte sind nicht fix. Dabei ist die zugrunde liegende Zeitskala (dynamische Zeit oder UT) zu präzisieren. was ein negativer Wert von ∆T (zwischen 1871 und 1902)? 2. 12:00 h TDB bzw. Naval Office. Juni 2008? Es ist: dAT = 33 s. auf welchen Zeitpunkt sich diese Rechnungen beziehen.437 91 s.04 s. wenn ∆T 1870 den Wert +1. aktuelle Epoche: ist angesagt. Beispiel: Wie gross ist der Unterschied zwischen TT und UT am 20. S.7 Standardepoche Alle Angaben in der Astronomie sind zeitabhängig. • Standardepoche J2000: entspricht dem Zeitpunkt 1. die vielen Sternkatalogen und Himmelsatlanten zugrunde liegt. immer auch anzugeben. Bei genauen Rechnungen ist es also wichtig.621 91s ≈ 65. Die Zeitskalen sind teilweise zeitabhängig.816 h UTC bzw. Da aber die Änderung der Erdrotation unregelmässig erfolgt. um die Vergleichbarkeit zu erhöhen: • Epoche des Datums. Januar 2000 um 11:58:55. JD 2 451 545.437 91s) = 65.184s + 33s − (−0. sondern ebenfalls zeitlich veränderlich. wobei Sie die Wahl haben. dann ist doch die Erde in wenigen Jahrhunderten bis zum Stillstand abgebremst. sind solche Prognosen mit einigen Unsicherheiten behaftet. Heute holen Sie sich die Informationen vom Server des U.622s. Das USNO publiziert auch eine Prognose für eine gewisse Zeit in die Zukunft. Was ist an dieser Argumentation falsch? • Was bedeutet das.70 wo ∆T als Abkürzung für die Summe aller Korrekturen steht. Dabei haben sich einige Standardepochen durchgesetzt. So verwenden wir das Symbol JDE oder JD(ET). JD(TDT) bzw. dann muss man dies ausdrücklich kennzeichnen.423.B. schreiben: J2000 = JD0 = 2 451 545. Dezember 1949 22:09 h UT bzw. Wir haben festgehalten. Konkret bedeutet B1950 den Zeitpunkt 31. werden wir im Kapitel über die Sphärische Astronomie besprechen. wenn die Zeitangabe in Ephemeridenzeit erfolgt. Übungen • Wann war die Epoche J1950 bzw. die im einen System zur ersten Standardepoche bekannt sind. Für die Vergleichbarkeit der Angaben ist es wichtig. . B2000? Wann wird die Epoche J2050 sein? • Wie gross ist der zeitliche Unterschied zwischen B1950 und J2000 in Tagen? Nachweis: 21 Da wir die sehr kleinen relativistischen Effekte vernachlässigen. Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht. Dies entspricht dem Zeitpunkt. dass im ersten Fall zwischen zwei Epochen eine ganze Anzahl tropischer Jahre zu 365. 1984 hat die Internationale Astronomische Union IAU das System gewechselt und von Besselschen Epochen auf julianische Epochen umgestellt.25 Tagen liegt. ist diese Verwechslungsgefahr in unseren Rechenbeispielen praktisch nie gegeben. Der Unterschied zwischen der Besselschen und der julianischen Epoche besteht darin.2422 Tagen. wenn die Notation klar ist. was um den 1. So kann man. in ein System zu einer zweiten Standardepoche umrechnet. TDT oder TDB. Mit JD(TT). wenn die mittlere Sonne die Rektaszension 280° oder 18 h 40 m aufweist. Januar eines Jahres der Fall ist.71 • Standardepoche B1950: in älteren Katalogen und Atlanten wird die Besselsche Epoche 1950 (daher das B) verwendet. wie z. Oft wird die verwendete Zeitskala auch an das julianische Datum angehängt. Das julianische Datum der Standardepoche selber wird oft mit JD0 abgekürzt. JD 2 433 282. oben bei der julianischen Standardepoche J2000.0. im zweiten Fall eine ganze Anzahl julianischer Jahre zu 365. dass sich das Julianische Datum immer auf eine Zeitangabe in UT bezieht. Benötigt man ausnahmsweise einmal doch ein Julianisches Datum mit einer anderen Zeitskala als Referenz. dass man sich auch hier auf einen Standard abstützt. JD(TDB) bezeichnen wir ein Julianisches Datum in einer der drei Zeitskalen TT. Wie man Koordinaten. verwenden wir auch für die Zeitangabe in einer der drei dynamischen Zeitskalen die Abkürzung JDE21 . 5 enden – andernfalls wird das Resultat falsch.208 657 9924h errechnet.8 2.8. auf denen wir dann aufbauen können.000 0062 · T 3 JD muss also auf .24) zu normieren – wie jede andere Zeitangabe springt sie nach 24 h auf 0 h zurück.812 866 · T + 0s .8. . Bei den Rechnungen gilt es.72 2. Dezember 2007 um 0 h UT? Es ist JD = 2 454 459. sorgfältig auf die verwendeten Einheiten zu achten – insbesondere wenn sie unüblicherweise gemischt sind. Diese Algorithmen werden hier nicht noch einmal wiederholen.093 104 · T 2 − 0s . indem entweder alles in Sekunden oder in Stunden verwandelt wird. So bleiben zwei Vorschriften für dieses Kapitel übrig: die Berechnung der Sternzeit und die Berechnung des Unterschieds Ephemeridenzeit minus Weltzeit. Ausser als Zwischenergebnisse machen Zeitwerte > 24 h daher keinen Sinn.1 Zeitrechnungen Vorbemerkung Verschiedene einfache Rechenvorschriften wurden bereits in den einzelnen Kapiteln angegeben. JD − 2 451 545. Zum Schluss ist der Wert auf das Intervall [0. während die übrigen Terme in Sekunden gegeben sind! Vor der Addition sind die Einheiten anzupassen. Beispiel: Welchen Wert hatte die mittlere Sternzeit in Greenwich am 25. woraus man θ0 = 198.0 36 525 2) Man berechne 3) Die mittlere Sternzeit um 0 h UT in Greenwich ist dann θ0 = 6h 41m 50s . bis wir weitere Grundlagen gelegt haben. Beachten Sie ebenfalls.17 s als gesuchte Lösung ergibt.548 41 + 8 640 184s . dass der konstante Term im sexagesimalen Zeitsystem gegeben ist. Andererseits müssen wir die Vorschrift für die Berechnung der Zeitgleichung verschieben.24) reduziert 6 h 12 m 31.2 Sternzeit Die Sternzeit um 0 h UT in Greenwich kann wie folgt berechnet werden: 1) Man berechne das Julianische Datum um 0 h UT des Datums.5 und somit T = +0. 2. was auf [0.079 794 6612. negativ nach Westen).17 s. Beispiel: Welchen Wert hatte die mittlere Sternzeit in Greenwich am 25.30 s. Vorläufig entnehmen wir sie einem Tabellenwerk. In den 20 Stunden Sonnenzeit vergehen 20. 2) Zum Ergebnis addiere man ∆ψ·cos ε 15 . dass die Sternzeit um so viel schneller abläuft als die Sonnenzeit. Der Faktor 1. Dezember 2007 um 20 h UT? Im vorigen Beispiel haben wir für 0 h UT gefunden: θ0 = 6 h 12 m 31.24) θ = 2 h 15 m 48.002 737 909 35. sondern die scheinbare („apparent“) Sternzeit.054 758 1870 Stunden Sternzeit. Dezember 2007 um 20 h UT (entspricht 21 MEZ in Berlin)? Im vorigen Beispiel haben wir für 20 h UT in Greenwich gefunden: θ = 2 h 15 m 48. dass der Quotient für einen im Osten gelegenen Ort positiv. 2) Zum Resultat addiere man λ 15 Stunden. ε ist die Schiefe der Ekliptik. der Korrekturterm ist die Gleichung des Äquinoktiums. Wenn der Term ∆ψ (die sog. dann geht man wie folgt vor: 1) Man berechne die mittlere Sternzeit nach den vorstehenden Vorschriften. wie man diese Grössen berechnet. dann ist die Korrektur in Zeitsekunden. Nutation in Länge) in Bogensekunden gegeben ist. dann geht man wie folgt vor: 1) Man berechne die Sternzeit für Greenwich. sondern um t h UT so geht man wie folgt vor: 1)Berechnen Sie nach der vorstehenden Methode die mittlere Sternzeit um 0 h UT zum gewünschten 2)Addieren Sie zum Ergebnis von 1) das Produkt t · 1. für einen im Westen gelegenen Ort dagegen negativ wird. h UT. 24) zu normieren.5° Längendifferenz entsprechen 0. Man beachte.30 s. sondern für einen Ort der geografischen Länge λ° (positiv gezählt nach Osten. Beispiel: .900 h Sternzeit. Wir werden erst später die Rechenvorschrift angeben.30 s. Benötigt man nicht die mittlere. Die 13. Somit ist nach Reduktion auf [0. Beispiel: Welchen Wert hatte die mittlere Sternzeit in Berlin (λ = +13.5°) am 25. Datum.73 Soll die Sternzeit nicht um 0 in Greenwich berechnet werden. somit ist in Berlin θ = 3 h 09 m 48. Das Resultat ist zum Schluss wieder auf [0. Soll die mittlere Sternzeit nicht für Greenwich.002 737 909 35 berücksichtigt. Jean Meeus.8 s. die scheinbare Sternzeit ist also θ = 3 h 09 m 48. ) extrapolieren.534 s. Diese Daten werden ebenso wie kurzfristige Prognosen laufend publiziert.0 bis 1984.5 unter historisches ∆T.8. die Angabe zu den Schaltsekunden hier: Schaltsekunden. 2000 ∆T = +67 Sekunden und 2010 ∆T = +80 Sekunden.“ So gibt er folgende Werte: für 1993 ∆T = +60 Sekunden. den Wert für ein halbes oder ein ganzes Jahr konstant anzunehmen. Wer historische Werte benötigt.3 Zeitskalen Die langfristige Abbremsung der Erdrotation und ihre kurzfristigen Schwankungen laufen unregelmässig ab. Zwei Seiten vorher gibt er Prognosen und schreibt dazu: „Für Epochen in der nahen Zukunft kann man die Werte (.9 s. Aus einem Jahrbuch entnehmen wir ∆ψ = 8.0 ∆T = +59. Mit anderen Worten: ∆T hat weniger zugenommen. findet dUT = UT1 – UTC für das aktuelle Datum und eine Prognose über 1 Jahr hier: dUT . Algorithmen. Alle Links beziehen sich auf Publikationen des International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS) Prediction Center.83 s. . 1992. als man zu Ende der 80-er Jahre aufgrund der früheren Entwicklungen erwarten durfte.92 ∆T = +64. Wer lieber mit den Bestandteilen rechnet. für 2000. Wie kritisch aber solche Prognosen sein können. 2. zeigt folgendes Beispiel: Jean Meeus22 veröffentlicht in seinem ausgezeichneten Buch über Astronomische Algorithmen auf Seite 86 eine Tabelle mit den Werten von ∆T für den Zeitraum von 1620 bis 1992 in Zeitabständen von 2 Jahren.30 s. Für die Zwecke der Amateurastronomie genügt es meist. findet diese jeweils für den Jahresanfang und die Jahresmitte von 1657.74 Welchen Wert hatte die scheinbare Sternzeit in Berlin am 25. Verlag Johann Ambrosius Barth. für 2000. Leipzig/Berlin/ Heidelberg. In Tat und Wahrheit gilt für 1993.92 ∆T = +59.1973 findet man hier: aktuelles ∆T.9 s.75 lautet die aktuelle Prognose ∆T = +66. für 2010. Dezember 2007 um 20 h UT (entspricht 21 MEZ in Berlin)? Im vorigen Beispiel haben wir für die mittlere Sternzeit in Berlin zu diesem Zeitpunkt gefunden: θ = 3 h 09 m 48.1s. eines jeden Monats ab dem 1. Somit beträgt die Korrektur durch die Gleichung des Äquinoktiums 0. findet sie hier: prognostiziertes ∆T (aktuell bis 2017).S.1 s.0 ∆T = +63. für 1993. Wer schliesslich Prognosen benötigt. Die Werte von ∆T für den 1. . Für die meisten Amateuranwendungen dürfte dies genügen. ISBN 3-335-00318-7 22 Astronomische .73” und ε = 23° 26’ 25”. einer Abteilung des U.02. Die Unterschiede zwischen den gleichmässig ablaufenden Zeiten und den an die Erdrotation gebundenen Zeiten können daher nur durch Beobachtung und erst im Nachhinein festgestellt werden. und zwar für Jahre von -390 bis +948: ∆T = 1360 + 320 · m + 44.O. der Anfänger braucht Zeit. die mehr oder weniger brauchbare Resultate liefern. zitiert nach [Meeus. bis er weiss. Dezimalbruchteil). Morrison and F. m = J − 1800 100 .0 verflossener Jahrhunderte. Für die Zeit vor 1600 liegen von Stephenson und Morrison bzw. das man hier findet: IERS Prediction Center. 2) Berechnen Sie n = J−2000.0 .3 · m2 (Ia) V. 23 L. die mit der nötigen Sorgfalt behandelt werden müssen. a. eine Schätzung für die Grösse von ∆T zu rechnen. bzw.a. wenn die Formel nur für einen eingeschränkten Zeitraum gilt und versucht wird. Sun and Planetary System. und JD das zugehörige Julianische Datum. die Anzahl seit J2000. Stephenson. Es soll aber nochmals darauf aufmerksam gemacht werden: wegen des unregelmässigen Charakters der Änderungen in den Erdrotationsparametern handelt es sich bei den berechneten Werten um Schätzungen oder Näherungen. Dies gilt besonders dann. Ist ein Wert von ∆T für ein Jahr J gefragt.00325 · (J − 1810)2 ∆T = 102. so kann ein genäherter Wert wie folgt berechnet werden: 1) Es sei J die Jahrzahl (inkl. Im folgenden werden einige Formeln angegeben. R. für die eine Schätzung berechnet werden soll.0 100 . ausserhalb dieses Zeitraums Werte zu berechnen.3 + 123.5 · n2 (JD − 2 382 148)2 41 048 480 ∆T = −15 + Diese drei Formeln gehen auf Morrison und Stephenson23 zurück. 100 die Anzahl seit J2000. die Anzahl seit 1800 verflossener Jahrhunderte. 1992]. 96 (1982) 73. .5 · n + 32. 2) Diese Formeln liefern eine Schätzung für ∆T zu verschiedenen Zeiten. Es kann trotzdem wünschbar sein. Die Fülle der hier gebotenen Informationen ist aber erschlagend. Stephenson und Houlden weitere Näherungsformeln vor: 1) Berechnen Sie n = J − 2000. für das der IRES keine Daten liefert. Dafür gibt es eine Reihe von Formeln. welche Information für ihn die richtige ist. 3) Diese Formeln liefern gleichwertige Schätzungen für ∆T: ∆T = −15 + 0.75 Naval Office.0 verflossener Jahrhunderte. Hier ist im weiteren ein Online-Rechner24 für verschiedene Näherungen von ∆T zu finden. dass im Gültigkeitsbereich der Formeln sowohl m < 0 als auch n < 0 gilt. Beachten Sie. Das IERS publiziert schliesslich für seine Prognosen von dUT gleich auch noch eine Formel.5 · n2 (IIa) +948 bis +1600: ∆T = 50.6 + 573.76 +948 bis +1600: ∆T = 25.UT als Funktion der Zeit zwischen 1973 und 2008 24 Link: Online-Rechner .5 · m2 (Ib) bzw.5 · n + 22.6 + 67. vor +948: ∆T = 2715.36 · n + 46.5 · n2 (IIb) ∆T ergibt in allen Fällen einen Wert in Sekunden. wie der Ausdruck weiter extrapoliert werden kann. Beispiel: Abbildung 13: Die Differenz TT . folglich ist ∆T für 1582. Übrigens: der nächstgelegene Wert der historischen Reihe des USNO stammt aus dem Jahr 1657 und beträgt 44 Sekunden mit einem geschätzten Fehler von 12 Sekunden. Es zeigt sich aber auch. 11 030 s – alle Schätzformeln liefern in diesem Fall ein Ergebnis in der Grössenordnung von 3 Stunden (entspricht 10 800 s). Version) –219 Sekunden.5.0016 s/Jhdt. 277 im Jahr und JD 2 299 159. Ein weiterer Hinweis kann der nebenstehenden Grafik entnommen werden: sie zeigt den Verlauf von ∆T von 1973 bis 2008. Die Rechnungen liefern der Reihe nach 11 140 s. 295 Sekunden – die Spannweite ist also sehr gross. 10 750 s. dass sich der Anstieg seit 1998 deutlich abgeflacht hat.77 Wie gross war ∆T zum Zeitpunkt der Kalenderreform von Papst Gregor? Der 4.5). Wiederholen wir die Rechnungen noch für den Tag der Ermordung Caesars. 10 410 s. Thielen (1. dass zwischen 1973 und 1985 und wieder zwischen 1990 und etwa 1998 ein steiler Anstieg von ∆T erfolgt ist. Version) 276 Sekunden. das Resultat genauer angeben zu wollen. regelmässige Änderung von 0. 10 510 s. Es hat keinen Sinn. –43. den 15. Oktober 1582 ist Tag Nr. 9 920 s. März –43 (”Iden des März”) bzw.203 (JD 1 705 425. unterbrochen von einem leicht weniger steilen Anstieg zwischen 1985 und 1990. Thiele (2. Hempe und Molt 97 Sekunden. Extrapolationen sehr stark. 11 490 s. wie vorsichtig man solche Schätzungen behandeln muss.759 gesucht. Nachweise: . 11 140 s. Die Ergebnisse zeigen. Die drei Formeln der ersten Box liefern 153 Sekunden. Newcomb Ahnert 307 Sekunden. Solche unregelmässigen Verläufe beeinflussen die Prognosen bzw. Mit dem Online-Rechner finden wir: Reingold-Dershowitz 153 Sekunden. die Formel (Ib) 120 Sekunden und die Formel (IIb) 161 Sekunden. Deutlich zu erkennen ist. 10 340 s. 78 . um zwei Beispiele zu nennen. dass die Zahlenwerte rasch unvorstellbar gross werden. Für unser Thema Berechnungen sind die folgenden Fragen von Interesse: 79 . die in den obersten Schichten der Atmosphäre Leuchterscheinungen hervorrufen. die im schlimmsten Fall sogar mit der Erde kollidieren können. • Die erdnahen Objekte (Near Earth Objects NEO) oder präziser die erdnahen Asteroiden NEA.B. • Künstliche Satelliten. wo die Werte noch vorstellbare Grössenordnungen haben. die die Erde umkreisen. In diesem Teil des Weltalls interessieren vor allem die folgenden Objekte: • Meteore und Feuerkugeln. Die „astronomischen Werte“ sind ein stehender Begriff unserer Sprache.Kapitel 3 Astronomische Distanzen 3. • Nicht zu vergessen: unser Mond bewegt sich in diesem Bereich.1 Erdnaher Raum Distanzbestimmungen gehören in der Astronomie zu den schwierigen Aufgaben. Es ist auch bezeichnend. Der erdnahe Raum ist ein Bereich. 10 Million Kilometer Abstand von der Erde ausgehen. Als zweite Erschwernis kommt hinzu. verwenden wir in diesem Bereich des Kosmos die aus dem Alltag bekannten Längeneinheiten. die internationale Raumstation ISS oder die GPS-Satelliten. wie z. Wo dieser erdnahe Raum beginnt und wo er endet ist eine Definitionsfrage. Wir wollen recht pragmatisch von bis ca. dass man von „Bestimmung“ und nicht von „Messung“ spricht. Wie schon diese Festlegung zeigt. und beträgt der Erdradius R⊕ ≈ 6378 km. sondern auf der Erdoberfläche sitzt („topozentrische Position“) und somit ein Richtungsunterschied zu einem (fiktiven) Beobachter im Erdzentrum besteht. auf die wir im folgenden Kapitel eingehen werden • Bahnbestimmungen – ein Thema für die Himmelsmechanik im übernächsten Kapitel • Bestimmung der täglichen Parallaxe Abbildung 14: Äquatorial-Horizontalparallaxe π bzw. Diesen Unterschied nennt man die tägliche Parallaxe. tägliche Parallaxe p eines Objektes O in geozentrischer Distanz ∆ Mit dem Begriff tägliche Parallaxe bezeichnen wir folgendes Phänomen: auf die Erde bezogene Angaben verwenden den Erdmittelpunkt als Referenz („geozentrische Position“).80 • Höhenbestimmungen – dazu benötigt man Methoden der Sphärischen Astronomie. Gerade für Objekte im erdnahen Raum kann aber auch bei nicht sehr genauen Rechnungen nicht vernachlässigt werden. dann berechnet sich der Parallaxenwinkel π wie folgt: sin π = R⊕ ∆ ≈ 6378 km ∆ . dass der Beobachter nicht im Erdmittelpunkt. Hat der betrachtete Himmelskörper vom Erdmittelpunkt den geozentrischen Abstand ∆ (in km). ∆ D = 2·s . wenn im nächsten Kapitel die Koordinatensysteme behandelt werden. Beobachter und Himmelskörper zueinander stehen.B. oder wenn er im Zenit steht? = R . Durchmesser hat der Mond (R = 1738 km) in mittlerer. den scheinbaren Durchmesser eines Objektes am Erdhimmel. für einen Astronauten)? • Welchen scheinbaren Radius bzw. dass der Beobachter keine parallaktische Verschiebung des Himmelskörpers feststellen kann? Wie müssen sie zueinander stehen. s der scheinbare Radius bzw. der sich an der Grenze des von uns als „erdnahen Raum“ bezeichneten Gebietes bewegt? • Wie müssen Erde. Wie gross die wirkliche Parallaxe p ist werden Sie sehen. Die Entfernung bestimmt zusammen mit dem wahren Radius auch den scheinbaren Radius bzw.81 Dies ist die grösstmögliche Verschiebung eines Himmelskörpers vor dem Sternenhintergrund. D der scheinbare Durchmesser des Himmelskörpers am Erdhimmel (beide in ° oder ’). Sie wird auch als Äquatorial-Horizontalparallaxe bezeichnet. so lautet der Zusammenhang: sin s Übungen • Wie gross ist die Horizontalparallaxe des Mondes in seiner durchschnittlichen Entfernung von 384 400 km. damit gerade die Horizontalparallaxe (also die grösstmögliche parallaktische Verschiebung) beobachtet werden kann? • Nehmen Sie das Beispiel Mond: welche anschauliche Bedeutung hat die auf der Erde gemessene Horizontalparallaxe für einen Beobachter auf dem Mond (z. erdnaher und erdferner Position? • In welcher Position ist der scheinbare Durchmesser des Mondes grösser: wenn er am Horizont steht. Wenn wiederum ∆ der geozentrische Abstand des Himmelskörpers und R sein Radius ist (beide in km). in seiner Perigäumstellung von 356 400 km und in der Apogäumstellung von 406 700 km? • Wie gross ist die Horizontalparallaxe eines Himmelskörpers. 0014 ⇒ d 3. Mit der Angabe 5. Man konzentrierte sich darum auf die Messung des Abstandes Erde – Venus. Weil aber die Sonne alle Sterne überstrahlt. Will man mit der Triangulation die Distanz Erde – Sonne auf 1 km genau bestimmen. Dies aus zwei Gründen: • Die Zahlenwerte sind „handlicher“.20 AE oder 778 Millionen km (gerundete Werte). So wie man im Alltag grosse Strecken auch nicht in mm angibt.5” nur eine Genauigkeit von etwa 360 km. die Distanzen im Sonnensystem in AE anzugeben. dass diese Bahn gut 5-mal grösser ist als die Erdbahn – man hat eine Ahnung von den relativen Grössenordnungen.B. doch weitaus häufiger wird mit der Astronomischen Einheit AE gerechnet. so zieht man es vor. weil die Zahlenwerte gross und damit unvorstellbar werden.20 AE weiss man. wir können uns darunter nichts mehr vorstellen. • Bis gegen 1900 war es ausserordentlich schwierig. Beispiel: Die grosse Bahnhalbachse der Jupiterbahn beträgt 5. die exakten Abmessungen der Bahnen im Sonnensystem (und damit die relevanten Distanzen) mit einer genügenden Genauigkeit zu bestimmen. Jahrhundert kannte man keinen anderen Körper im Sonnenystem. Die Horizontalparallaxe der Sonne beträgt π = 0.83 · 10−7 ◦ Umgekehrt erzielt man mit einer Messgenauigkeit von z.00244° = 8. im Sonnensystem Distanzen messen zu können. 0. der der Erde näher kam: bei einem Transit vor der Sonnenscheibe . benötigt man eine Genauigkeit der Winkelmessung von sin d = 1 km 1 AE = = 1 km 149 597 871 km = 0. denn im 19. lässt sich diese Verschiebung vor dem Sternenhintergrund nur über indirekte Methoden bestimmen. Die Angabe 778 Millionen km ist eine rein rechnerische Grösse. Um dieses Argument zu verstehen.82 3.2 Sonnensystem Im Sonnensystem werden die Distanzen zwar gelegentlich noch in Kilometern angegeben. Jahrhundert war die Triangulation – also eigentlich die Messung der Parallaxe eines Himmelskörpers – die einzige Möglichkeit. überlege man: bis weit ins 20.794”. Dies wurde möglich. sondern über die Sonnenparallaxe π wie folgt: aus sin πO = R⊕ ∆ und sin π = R⊕ 1 AE folgt: R⊕ = sin πO · ∆ = sin π · 1 AE ⇒ sin πO = sin π ∆ Da wir es im Sonnensystem immer mit sehr kleinen Parallaxenwinkeln zu tun haben. 42 Millionen km. wie sie meistens verwendet wird (∆ in AE): = 8. der der Erde regelmässig bis 20 Millionen km (entspricht einer Horizontalparallaxe von 0.B.0087° oder 31. Dabei wird selten die Parallaxe direkt nach den Formeln des voranstehenden Kapitels berechnet. Der heute gültige Wert für die AE hat eine Genauigkeit von ca. In der 2 Hälfte des 20. 1 km. als 1898 der Asteroid Eros entdeckt wurde. Das ergibt eine Horizontalparallaxe von 0. Dies führt zur Beziehung für die Parallaxe πO (in Bogensekunden) eines Objektes im Sonnensystem. Jahrhunderts trat an die Stelle der Triangulation zunehmend die direkte Messung der Laufzeit von Radarstrahlen.794 ∆ πO . andererseits die scheinbare Grösse des Objektes. die für die Raumfahrt unerlässlich ist. die ausgemessen werden mussten und damit zu grösseren Parallaxen führten.83 beträgt ihr Abstand zur Erde „nur“ ca. die der Erde noch näher kommen. dürfen wir von der für solche Winkel gültigen Beziehung sin π ≈ π (Winkel im Bogenmass!) Gebrauch machen. Später wurden weitere Asteroiden entdeckt.0183° = 65.8” – also mehr als 1’) nahe kommt. Damit erreichte man erst jene Genauigkeit der Distanzbestimmung. waren entscheidend für die Verbesserung der Genauigkeit: ein feines Lichtpünktchen eines kleinen Asteroiden kann genauer lokalisiert werden als das verhältnismässig grosse Scheibchen eines Planeten wie Venus. Einerseits die kürzeren Distanzen. die von Venus reflektiert werden. aber man hätte sich eine noch genauere Bestimmung der AE gewünscht. Für die Belange der Astronomen war das zwar die beste Möglichkeit. genaue Ephemeriden) grundsätzlich auch für die Objekte des Sonnensystems zu berücksichtigen. dessen Position vor dem Sternenhintergrund bestimmt werden musste. teilweise bis in den erdnahen Raum (Definition gemäss vorangehendem Kapitel). Die Parallaxe ist bei exakten Rechnungen (z.3”. Damit wird folgender Effekt bezeichnet: weil sich das Licht nicht unendlich schnell.005 775 5183 · ∆ [d] Man erkennt daraus: ist ∆ = 1 AE – entspricht die Entfernung also gerade etwa dem mittleren Abstand der Sonne zur Erde –. Da man τ und ∆ zum voraus nicht kennt. Bei genauen Ephemeridenberechnungen von Himmelskörpern des Sonnensystems sind die Positionen für einen Zeitpunkt zu berechnen.004 784 837 · ∆ [s] = 0. Zu diesem Zeitpunkt wurde das Licht ausgesendet. sondern mit einer zwar sehr grossen.84 Ein zweiter Effekt kann im Sonnensystem nicht mehr vernachlässigt werden: die Lichtzeit.005776 d bzw. Die Lichtzeit τ ist diejenige Zeit. ist diese Aufgabe nur iterativ zu lösen: zunächst berechnet man die Position zum Zeitpunkt t und gewinnt eine erste Schätzung ∆1 und damit auch τ1 . dann ist τ = 499 s bzw. . Es gilt τ = 149 597 871 km/AE · ∆ ∆ = c 299 792. So lange braucht das Licht von der Sonne zur Erde. 0. das den Beobachter zum Zeitpunkt t erreicht. wo er zum Beobachtungszeitpunkt t steht. Nun wiederholt man die Rechnung für den Zeitpunkt t – τ1 und prüft. die das Licht bei einer Geschwindigkeit von c = 299 792 458 m/s (knapp 300 000 km/s) benötigt. sehen wir einen Himmelskörper nie dort.458 km/s = 499. wo er zum Zeitpunkt t – τ gestanden hat. ob ∆2 (der neu errechnete Abstand) sich so sehr verändert hat. um die Strecke ∆ vom Himmelskörper bis zur Erde zurück zu legen. sondern dort. aber endlichen Geschwindigkeit ausbreitet. In diesem Fall muss die Rechnung nochmal für den neuen Zeitpunkt t – τ2 wiederholt werden. der τ Tage vor dem Beobachtungszeitpunkt liegt. 8 m 19 s. dass ein wesentlich anderer Wert für τ2 resultiert. so muss das Licht eine kürzere Strecke durchlaufen. Der Sachverhalt: . und der diesen Zusammenhang nutzte. als wenn die Erde ein F oder K steht. D Schattenaustritt Abstand – und damit eigentlich die Parallaxe – und Lichtzeit sind miteinander verknüpft. um zum ersten Mal den Wert der Lichtgeschwindigkeit zu bestimmen . der dies feststellte. Im 17. Jahrhundert war es der dänische Astronom Ole Roemer (1644 – 1710).85 Abbildung 15: Stellung von Sonne (A). C Schatteneintritt. Erde (E) und Jupiter (B) zueinander. Steht die Erde in den Positionen G oder L. • In welcher Stellung stehen Jupiter und Erde zueinander. und in welcher Stellung stehen Erde und Jupiter zu diesem Zeitpunkt? Können Schatteneintritt (Verfinsterung von Io) und Schattenaustritt beim gleichen Umlauf beobachtet werden? Nehmen Sie zur Vereinfachung für alle drei . • Welchen scheinbaren Durchmesser hat das Venusscheibchen in der erdnächsten Stellung des Planeten? Welchen scheinbaren Durchmesser errechnen Sie für Eros? Die Daten: Venus DV = 12 100 km. Damit gelang es zum ersten Mal. zu ermöglichen. ∆V = 42 Mio km. wenn die Verfinsterungen am meisten verfrüht sind. ob das Licht eine endliche oder eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit habe. bei den Planetenbahnen handle es sich um Kreisbahnen mit der Sonne im Mittelpunkt. der Schattenaustritt kann recht genau beobachtet werden.86 Im 17. 13 × 13 × 33 km). der den Planeten in nicht ganz 2 Tagen einmal umrundet. diese Ereignisse als Marken zur Eichung von Uhren zu verwenden. Jahrhundert verfügte man noch nicht über genügend genau gehende Uhren. vor allem der geografischen Länge. De2 = 33 km (Eros hat eine längliche Gestalt von ca. die Lichtgeschwindigkeit zu messen. 1850 waren die Messmethoden so weit verfeinert. Übungen: • Berechnen Sie die Horizontalparallaxe der Planeten Merkur bis Pluto für den erdnächsten bzw. Er interpretierte sie darum als Lichtzeit. bei den Planetenbahnen handle es sich um Kreisbahnen mit der Sonne im Mittelpunkt. Bereits Galilei hatte vorgeschlagen. Der Schatteneintritt bzw. 1676 stellte Ole Roemer fest. Eros: De1 = 13 km. Bis zu diesem Zeitpunkt war nicht klar. dass sie (aus heutiger Sicht) gute Resultate lieferten. Dabei tritt er regelmässig in den Planetenschatten. Runden Sie das Ergebnis! • Berechnen Sie die Lichtzeit für die Planeten Merkur bis Pluto jeweils in der erdnächsten und in der erdfernsten Stellung. Erst 1834 wurde zum ersten Mal die Lichtgeschwindigkeit auf der Erde gemessen. erdfernsten Punkt der Bahn. in welcher Stellung sind sie am meisten verspätet? Wieviel macht der Effekt gegenüber einer mittleren Zeit aus. dass die Abweichungen mit den relativen Stellungen von Erde und Jupiter zusammenhingen. mal verspätet. Doch bald stellte man systematische Abweichungen von den vorausberechneten und in Tabellen veröffentlichten Zeiten fest: mal trat das Ereignis verfrüht ein. an der man immer wieder die eigenen ungenau gehenden Uhren eichen kann: den Jupitermond Io. Doch – so glaubte man – die Natur stellt eine Zeitmarke zur Verfügung. ab ca. Nehmen Sie wieder vereinfachend an. Nehmen Sie zur Vereinfachung an. ∆e = 20 Mio km. um über weite Strecken beispielsweise auf hoher See eine genaue Bestimmung der eigenen Position. 4 bis 2. Bei Objekten. aus der der Radius der Erdbahn (1 AE) unter einem Winkel von 1” gesehen werden könnte. Oort’schen Wolke gebildet. Diese Grenze liegt bei ca. befindet sich in einer Entfernung von 2. würden wir ihn an dem Ort und in dem Zustand sehen. Die Oort’sche Wolke hat ihre äussere Grenze also bei rund 1. aus der die langperiodischen Kometen stammen. der Andromedanebel M31. Io rI = 422 000 km. Unsere eigene Galaxis hat einen Durchmesser von rund 100 000 Lichtjahren. das Sonnensystem befindet sich zwischen 25 000 und knapp 30 000 Lichtjahre vom galaktischen Zentrum entfernt. Für diesen Bereich sind darum neue Distanzeinheiten gesucht. Oder anders ausgedrückt: ein (hypothetisches) Objekt in dieser Entfernung hätte bezogen auf die Erdbahn eine Parallaxe von 1” (jährliche Parallaxe).3 Kosmos Die äussere Grenze des Sonnensystems wird von der sog. wo und wie er vor 1½ Jahren war. die noch weiter entfernt sind. ist dies nicht mehr der Fall ist.5 Lichtjahren. Es gilt: ◦ sin π = sin 1 3600 = 149 597 871 km d . Es ist jene Strecke.20 AE. Der Ausdruck „äussere Grenze“ besagt. je weiter entfernt ein Objekt ist. und noch weiter draussen liegt der intergalaktische Raum. Astronomen ziehen als Entfernungsmass das Parsec – abgekürzt pc – vor: es ist jene Distanz. In Kilometern ausgedrückt sind das 9.87 Bahnen Kreisform an: Erde rE = 1 AE. Es fehlt eben die Möglichkeit. ein Messband auszulegen.9 Millionen Lichtjahren. die das Licht mit einer Geschwindigkeit von knapp 300 000 km/s in einem Jahr zurücklegt. Jupiter rJ = 5. In diesem Bereich führen Distanzangaben in der Einheit AE schnell zu grossen Zahlenwerten. 100 000 AE. Die nächste grosse Galaxie. dass die Sonne diese Objekte durch ihre Anziehungskraft noch an sich zu binden vermag. 3.460 54 • 1012 km oder 63 200 AE. Ausserhalb beginnt der interstellare Raum unserer Galaxis. An diesen Angaben sehen wir ein Grundproblem der Distanzbestimmung im Kosmos: die Distanzen sind mit grossen Unsicherheiten behaftet – umso grösser. Viele Amateure benutzen in diesem Bereich das Lichtjahr – abgekürzt LJ oder ly – als Entfernungsmass. Anders gesagt: wenn wir einen Kometen in der Oort’schen Wolke beobachten könnten. Es handelt sich dabei um die Bewegung um das Zentrum der Galaxis. so ist er doch messbar und damit Grundlage der Entfernungsbestimmung. Der nächste Fixstern Proxima Centauri ist vom Sonnensystem 4.261 56 Lichtjahren. ausserhalb in Mpc = 1 000 000 pc. nur bewegen sie sich sehr langsam vor dem Hintergrund der Himmelskugel. wie schnell sich der Stern von uns wegbewegt oder auf uns zubewegt. Dies ist allerdings nur mit den nächsten Fixsternen möglich. In unserer Galaxis werden die Distanzen in kpc = 1000 pc gemessen.857 · 1012 km Ein Parsec ist das Äquivalent von 206 260 AE oder 3. Die Bewegung eines jeden Sterns kann in zwei Komponenten zerlegt werden: die eine Komponente zeigt in Richtung der Verbindungsstrecke Sonnensystem – Stern und gibt an. Es ist sozusagen das Pendant der Planetenschleifen im Sonnensystem.295 pc entfernt. Als Folge beschreiben die nächsten Sterne eine kleine Ellipse an der unendlich weit entfernten Himmelskugel. beim Stern 61 Cyg (im Sternbild Schwan) die Parallaxe zu messen – 0. Der Zusammenhang zwischen der jährlichen Parallaxe π eines Fixsterns und seiner Entfernung ∆ in pc ist einfach: wegen sin π ≈ π für kleine Winkel π (was für Fixsternparallaxen immer erfüllt ist) gilt: ≈ 1 ∆ π Die jährliche Parallaxe ist das Abbild der Bewegung der Erde um die Sonne. Die Fixsternparallaxen sind zu unterscheiden von ihrer Eigenbewegung. wenn sich der Stern von uns entfernt („Rotverschiebung“) bzw. So klein dieser Wert ist. Es handelt sich um einen roten Zwergstern der scheinbaren Helligkeit 11.05m . zu kürzeren Wellenlängen. Darunter ist folgendes zu verstehen: trotz ihres Namens sind Fixsterne nicht wirklich fix. denn sie bewirkt eine geschwindigkeitsabhängige Verschiebung der Spektrallinien zu grösseren Wellenlängen. dass die jährliche Parallaxe von Proxima Centauri 0. wenn er .88 ⇒ d = 30.772” beträgt. Vermutlich gehört er zum Mehrfachsystem α Cen im Sternbild des Zentauren.22 ly oder 1. 1838 gelang es erstmals dem deutschen Astronomen Friedrich Wilhelm Bessel.3” war das Ergebnis. Diese Komponente kann direkt aus dem Spektrum abgeleitet werden. Die Distanz besagt umgekehrt. Im übrigen sind weder α Cen noch Proxima Centauri von Mitteleuropa aus sichtbar. Unser Sonnensystem braucht für einen Umlauf bei einer Geschwindigkeit von 250 km/s mehr als 210 Millionen Jahre. Für genaue Rechnungen sind sie aber selbst für kurze Zeitabstände zu berücksichtigen.34” pro Jahr verschiebt er sich so schnell wie kein anderer vor der Himmelskugel.. Mit 10. Der Stern mit der grössten Eigenbewegung. Jedoch sind diese Beträge so klein. ist Barnards Pfeilstern. Als viertnächster Stern finden wir ihn in einer Entfernung von 1.5m im Sternbild Ophiuchus (Schlangenträger). in welcher Richtung und mit welchem Betrag sich die Position des Sterns an der Himmelskugel verändert. die schon dem blossen Auge auffallen. wenn Sternpositionen eines Katalogs von der einen Standardepoche auf eine andere umgerechnet werden sollen.98 ly).B.84 pc (5.89 sich uns nähert. dass sich erst im Laufe von Jahrtausenden Veränderungen am Himmel ergeben. . die bis heute gemessen wurde. Es handelt sich um einen roten Zwerg der scheinbaren Helligkeit 9. Die zweite Komponente steht senkrecht dazu und gibt an. Dies gilt z. denn die Ursache ist die Bewegung der Erde um die Sonne (jährliche Aberration) bzw. stark überzeichnete Darstellung der Aberration: wenn das Licht bei (1) auf das Objektiv trifft. damit das Licht bei (2) das Okular verlässt.90 Abbildung 16: Schematische. Noch einen anderen Hintergrund hat die Aberration. Die Erklärung des Effektes (s. muss das Fernrohr im Verhältnis v/c geneigt werden. die Rotation der Erde (tägliche Aberration). nebenstehende Grafik): trifft das einfallende Licht eines entfernten Sternes auf die Öffnung eines . In der Praxis kann sie aber vernachlässigt werden.“ In einem im Internet zugänglichen Lehrtext der Uni Freiburg1 steht: „Die Bewegung der Erde um die Sonne ruft eine jährliche Aberration der Sterne im geozentrischen System hervor ähnlich der jährlichen Parallaxe. muss das Fernrohr leicht in Bewegungsrichtung geneigt werden. allerdings mit einer Phasenverschiebung um 90°.5” (jährliche Aberration) bzw. der aber eigentlich die Parallaxe messen wollte.495 52”. Die Aberrationskonstante für die jährliche Aberration – dh. deren grosse Halbachse 20. während das Licht durch den Fernrohrtubus läuft.de/˜ovdluhe/Vorlesungen/GEG_02/GEG_02_1.kis. Sie rührt von der Relativbewegung des Sonnensystems gegenüber seiner Umgebung her. so dass dieser Effekt in der Regel vernachlässigt werden kann.5” der jährlichen Aberration auflösen: wäre sie dann auch von blossem Auge festzustellen. Die Konstante für die tägliche Aberration beträgt nur 0.uni-freiburg.“ Was meinen die beiden fett hervorgehobenen Textteile? • Angenommen. Als Folge der Aberration beschreiben alle Sterne (unabhängig von ihrer Entfernung) eine Ellipse auf der unendlich weit entfernten Himmelskugel.32”. oder ist es nur ein Teleskop-Phänomen? Nachweis: 1 http://www3.32” (tägliche Aberration) misst. 0.htm . das menschliche Auge könnte die 20. die scheinbaren Ortsveränderungen – welche quer zu seiner Erwartung verliefen – richtig zu deuten. Der Effekt wurde 1725 vom englischen Astronomen James Bradley entdeckt. Theoretisch gibt es noch die nichtperiodische säkulare Aberration. der maximale Winkel. Damit es auch wirklich in der Tubusachse bleibt und das Okular erreicht.91 Teleskops. Übungen • Wie gross ist die jährliche Parallaxe für den äussersten Planeten Neptun? Wie gross für Pluto? • Wie gross ist die Geschwindigkeit von Barnards Pfeilstern in tangentialer Richtung in km/s? • Verifizieren Sie die Konstante der täglichen Aberration! • Im Wikipedia-Artikel über die Aberration steht über Bradleys Entdeckung: „Bradley war jedoch imstande. um den man das Teleskop neigen muss – beträgt 20. so bewegt sich das Instrument weiter. 4. GPS: Global Positioning System 2 . Gewöhnlich wird von der Höhe über Meer (ü.1 Erdglobus Die Erde als Kugel Für einfache. Das Verhältnis f = a−b a = 1 : 298. Die Zahlenwerte beziehen sich auf das Erd-Ellipsoid WGS 84. Die beiden in der Äquatorebene gelegenen Achsen des Rotationsellipsoids sind gleich gross und gleich dem Äquatorradius der Erde a = 6378.M. nach Westen negativ) und die (geografische) Breite φ. Jeder Ort auf der Erdoberfläche lässt sich durch die Angabe von drei Koordinatenwerten eindeutig bestimmen: die (geografische) Länge λ. vom Meridian durch Greenwich als Nulllinie (0°) nach Osten und nach Westen je bis 180° gezählt (oft nach Osten positiv. Die numerische Exzentrizität ε eines Erdmeridians ist gegeben durch Die Zahlenwerte entstammen der Publikation »Department of Defense World Geodetic System 1984«.752 314 km.4 3. wenig genaue Rechnungen kann man die Erde als eine Kugel betrachten. wenn eine Ellipse mit grosser Halbachse a und kleiner Halbachse b um letztere als Drehachse rotiert. den GPS-Koordinaten zugrunde liegt3 .137 000 km2 . muss die Abweichung der Erdoberfläche von der Kugelgestalt berücksichtigt werden. Die dritte. Als dritte Koordinate kommt die Höhe über der Kugeloberfläche hinzu.) oder über Normalnull gesprochen.a. Technical Report NIMA TR8350. M.257 223 563 heisst Abplattung. 3 January 2000 3 WGS 84: World Geodetic System 1984.2 Die Erde als Rotationsellipsoid Steigen die Ansprüche an die Genauigkeit. ein Schnitt senkrecht zur Achse einen Kreis als Schnittfläche. nach Süden bis zum Südpol negativ bis –90° gezählt. Ein Rotationsellipsoid als Drehkörper entsteht.2. In den allermeisten genügt es für die Ansprüche von Amateuren. Sie ist gleich dem Polradius der Erde b = 6356. die Erde als Rotationsellipsoid zu betrachten.92 3. 3.: ein Querschnitt durch die beiden Pole ergibt eine Ellipse. nach Norden bis zum Nordpol positiv bis +90°. National Imagery and Mapping Agency.4. zu den Polen weisende Achse ist dagegen verkürzt. das zB.W. Für die Festlegung der geografischen Breite φ gehen wir von folgender Betrachtung aus. Wie im Falle der Kugel werden die geografischen Koordinaten definiert: die geografische Länge λ ist der Winkel zwischen der Richtung zum Meridian NGA2 S durch den Referenzort Greenwich G und zum Meridian NPA3 S durch den betrachteten Ort P.081 819 190 843 und 1 − ε2 = (1 − f )2 .93 ε = b 1− a 2 = 2f − f2 = 0. Die Vorzeichenkonventionen sind die gleichen wie auf der Kugel. PN’ verläuft . Abbildung 17: Die Erde als Rotationsellipsoid und die Definition der Koordinaten Zur Illustration dient die nebenstehende Grafik. nPs ist die Horizontebene eines Beobachters im Punkt P auf der Erdoberfläche. Z seine Zenitrichtung. gemessen in der Äquatorebene mit dem Erdmittelpunkt als Scheitel. Über die Hilfsgrösse u berechnen wir diese Ausdrücke mit folgenden Formeln: tan u = b · tan φ a = (1 − f ) · tan φ ρ·sin φ = b H ·sin u + ·sin φ a a = cos u + = (1− f )·sin u + H ·sin φ a ρ · cos φ H · cos φ a Entsprechend dem Vorzeichen von φ bzw. A3 QP oder. Verlängert man ZP ins Erdinnere. Kennen wir von einem Punkt auf dem Ellipsoid die geografische Breite φ. φ’ ist ρ • sin φ’ > 0 auf der nördlichen Hemisphäre und ρ • sin φ’ < 0 auf der südlichen Hemisphäre.73 · sin(2φ) − 1. und zwar in Einheiten des Äquatorradius a. so lässt sich die Differenz φ – φ’ mittels der folgenden Formel berechnen: φ−φ = 692. ρ • cos φ’ > 0 gilt für alle Breiten. Wird die Breite φ’ dagegen vom Erdmittelpunkt aus gemessen (sog. Nur am Äquator und an den Polen stimmen die beiden Werte überein. so resultiert ein etwas kleinerer Wert. gemessen auf der Geraden PZ. so trifft die Verlängerung in der Regel nicht den Erdmittelpunkt M. Für einen Ort auf der Oberfläche des Ellipsoids gilt: b2 · tan φ a2 (1 − f )2 · tan φ tan φ = = Die Strecke ρ = MP ist der Abstand des Punktes P vom Erdmittelpunkt M. Berechnen wir tägliche Parallaxen. Als dritte Grösse kommt noch die Höhe H über dem Ellipsoid hinzu. was das gleiche ist.94 parallel zur Erdachse und weist zum Himmelsnordpol. sondern schneidet den Äquatordurchmesser bei Q. dann benötigen wir die Grössen ρ • sin φ’ und ρ • cos φ’. Im allgemeinen befindet sich der Beobachter in der Höhe H über dem Ellipsoid. nPN’ ist die geografische Breite. ρ ist der Abstand des Beobachters in P vom Erdmittelpunkt.16 · sin(4φ) . Die Strecke MQ kann bis zu 20 km betragen. geozentrische Breite). Finsternisse oder Bedeckungen. 100 s entspricht).. wo die Krümmung wie . Für einen Ort auf der Oberfläche des Rotationsellipsoids kann die Entfernung ρ mit folgender Formel berechnet werden: ρ = 0. Eine Ausnahme bilden nur die beiden Pole. dass die Krümmung in jedem Punkt der Oberfläche in alle Richtungen gleich gross ist. 44◦ 54 13.64 Damit finden wir φ0 − φ0 = 11 32. dann hat diese Differenz ihren grössten Wert. die geozentrische Breite mit φ’0 . in welche Richtung wir sie untersuchen.001 6764·cos(2φ) − 0.998 3271 + 0. denn die Rotationsdauer nimmt ja ab und ist gleichzeitig noch unregelmässigen Schwankungen unterworfen.996 647. φ 45◦ 05 46. Anders das Rotationsellipsoid. Ein Breitenkreis in der Breite φ hat den Radius Rb : Rb = a · cos φ 1 − ε2 · sin2 φ Eine Kugel ist dadurch charakterisiert.0 diesen Wert (was einer siderischen Tageslänge von 86 164...36 tan φ0 = b2 · tan φ0 a2 ⇒ φ0 = b2 a · a2 b = = b a = 0. Bezeichnen wir in diesem Fall die zugehörige geographische Breite mit φ0 bzw. Da hängt die Krümmung in einem Punkt P davon ab. den wir auch mit der voran stehenden allgemeinen Formel für die Differenz finden. den gleichen Wert. Genauer gesagt müsste man sagen: ω hatte zum Zeitpunkt 2000.292 115 07 • 10–5 rad/sec.000 0035·cos(4φ) Die Winkelgeschwindigkeit der Erde bei ihrer Drehung um die eigene Drehachse beträgt ω = 7.003 364. so gilt: a · tan u b ⇒ a · tan 45◦ b = a b tan φ0 = = = = 1.72 .95 Wenn die Hilfsgrösse |u| = 45° erreicht.. 96 bei einer Kugel in alle Richtungen gleich bleibt. ZG ] berechnen. geozentrische kartesische Koordinaten [XG . für φ ≈ 55° wird RM = a. meist sogar grösser. • RQ ist nie kleiner als RM . Sonst kann man wie bei jeder gekrümmten Fläche nach den beiden Hauptkrümmungsrichtungen in einem beliebigen Punkt P auf der Oberfläche fragen. Für einen Punkt in der Höhe H über dem Rotationsellipsoid der Erde kann man dreidimensionale. der durch die beiden Pole und P läuft. • Für φ ≈ 35° wird RM = b. dass am Pol die Krümmung in alle Richtungen gleich gross ist. . Jeder Punkt mit Ausnahme der Pole weist zwei solche Richtungen auf: die eine Richtung ist gegeben durch den Meridian. und die andere ist senkrecht zum Meridian durch den Punkt P. 1−ε in Übereinstimmung mit der Aussage. Die beiden zueinander im rechten Winkel stehenden Krümmungskreise haben die Radien N = RQ (Querkrümmung) und M = RM (Meridiankrümmung): N = RQ = a 1 − ε2 · sin2 φ M = RM = a · (1 − ε2 ) (1 − ε2 · sin2 φ)3 Man erkennt folgende Gesetzmässigkeiten: • Für φ = 0° (also am Äquator) erreichen die beiden Krümmungsradien ihren kleinsten Wert mit RQ = a und RM = a • (1 – ε2 ). Nur an den Polen sind die beiden Werte gleich. nämlich RQ = RM = √ a 2 . wenn die geografischen Koordinaten λ und φ sowie die Höhe H über dem Rotationsellipsoid bekannt sind: XG YG ZG = = = (RQ + H) · cos φ · cos λ (RQ + H) · cos φ · sin λ (RQ · (1 − ε2 ) + H) · sin φ worin RQ der oben bestimmte Radius der Querkrümmung ist. am Pol haben die beiden Krümmungsradien ihren grössten Wert. YG . dann stellt der sphärische Cosinussatz hohe Ansprüche an die Genauigkeit der Funktion arccos.4. die immerhin ein besseres Ergebnis als die Kugelnäherung liefern. H1 und H2 : φA + φB . kann man die Erde als Kugel behandeln und den Abstand zweier Punkte mit den Verfahren der Sphärischen Trigonometrie bestimmen: hat der erste Ort A die Koordinaten (λA . C. S. φA ) und der zweite Ort B die Koordinaten (λB . ω. 2 λA − λB 2 F = G = L = sin2 G · cos2 L + cos2 F · sin2 L cos2 G · cos2 L + sin2 F · sin2 L S . D. Es gibt jedoch Näherungslösungen. φB ) gegeben. φA ) und der Ort B mit den Koordinaten (λB . so liefert der sphärische Cosinussatz für den Winkel ψ zwischen den beiden Orten cos ψ = sin φA · sin φB + cos φA · cos φB · cos(λA − λB ) Mit dem Erdradius R⊕ = 6371 km erhalten wir daraus für die Distanz s zwischen A und B: s = R⊕ πψ 180 Wenn ψ sehr klein wird.97 3.3 Abstand zweier Punkte auf der Erdoberfläche Für Näherungsrechnungen oder Rechnungen. R. C ω = ω im Bogenmass . L. das ein Resultat mit einer Genauigkeit in der Grössenordnung von f2 ergibt: Wiederum seien der Ort A mit den Koordinaten (λA . Eines davon ist das Verfahren von Andoyer. um die Länge einer Kurve von A nach B zu berechnen. φB ). G. und liegen beide Orte auf der Kugeloberfläche. 2 S C = = φA − φB . Dann berechne man die Hilfsgrössen F. die keine hohen Genauigkeitsansprüche stellen. Auf dem Ellipsoid mit grosser Halbachse a und Abplattung f gibt es keine geschlossene Formel. Am Äquator finden wir dafür den Wert 110. in 45° Breite (z. Für den Abstand zweier Meridiane. 2C 3R + 1 2S R = D = 2ωa .69 km.98 √ SC ω 3R − 1 .32 km.B. Dieser Abstand ist abhängig von der geografischen Breite. 1° –. dann können wir ihren Abstand als Bogenlänge auf dem Krümmungskreis berechnen. Mitteleuropa) 78. .52 km. in 45° Breite 111.13 km und in 66 2 ° Breite 111. die genau 1° auseinander liegen. finden wir am Äquator den Wert 111.85 km und 2 in 66 3 ° Breite (mittleres Norwegen. Der Abstand zwischen dem 89. Der Abstand zweier Breitenkreise wird längs eines von ihnen geschnittenen Meridians gemessen und ist nach dem eingangs Gesagten nicht mehr direkt berechenbar. Im Gegensatz zur Kugel wird dieser Abstand damit auf dem Ellipsoid ebenfalls breitenabhängig: er ist in geringen Breiten (Tropen) etwas kleiner als in hohen Breiten.22 km. Breitenkreis 3 und dem Pol ist dann 111.57 km. Liegen die beiden Breitenkreise aber nur sehr wenig auseinander – z. nördliches Schweden) noch 44.B. H1 = H2 = Mit diesen Hilfsgrössen berechnet sich der gesuchte Abstand s zu: s = D · (1 + f H1 sin2 F cos2 G − f H2 cos2 F sin2 G) Der Abstand zweier Meridiane ist gleich der Länge des von ihnen ausgeschnittenen Breitenkreisbogens. In den Alpen ist dieser Effekt am grössten und kann im Maximum bis zu 1’ = 60” erreichen. im Mittel etwa die Hälfte davon. Damit nicht zu verwechseln ist die Tatsache. dass der Nordpol nicht ein fester Punkt ist. Polbewegung. dass an dieser Stelle der wahre Erdkörper – das sog. Eine solche Lotabweichung ist ein Hinweis darauf. Ebenfalls beachtet werden muss. die ein Lot anzeigt.99 Abbildung 18: Der von der instantanen Rotationsachse der Erde in den Jahren 2001 bis 2005 am Nordpol zurückgelegte Weg 3. Die Werte werden regelmässig in den Bulletins des IERS publiziert. die sog. sondern im Laufe der Zeit eine Torkelbewegung um eine mittlere Lage ausführt.4 Steigerung der Genauigkeit Für sehr genaue Rechnungen müssen weitere Effekte berücksichtigt werden: Die Richtung der Normalen auf die Horizontebene zum Zenit muss nicht mit der Richtung übereinstimmen.4. dass geografischer . Geoid – von einem Rotationsellipsoid abweicht. Die Höhenangaben in den einzelnen Ländern (z. Wie heikel diese Geschichte mit den Höhenangaben ist. am „höheren“ Ort ist das Schwerefeld stärker und „suggeriert“ dem Wasser so eine tiefere Lage. östlich von Samnaun) und 53 m im Südwesten (Genf). dass das Wasser von einem Ort mit etwas geringerem Abstand von der Oberfläche des Rotationsellipsoids zu einem Punkt mit etwas grösserem Abstand fliesst – vorausgesetzt. dass bei Höhenangaben immer genau angegeben werden muss. so wäre dies die (mittlere) Oberfläche der Meere. Zudem legen die Länder nicht immer den gleichen Referenzkörper zugrunde. Dazwischen nimmt sie regelmässig zu. was man als Nulllage wählt. am Nordufer des Rhein gelegen. passen sich die Oberflächen der Gewässer dem lokalen Schwerefeld an. Das GPS-System gibt die Höhe über dem Rotationsellipsoid an. Wenn die Erde zudem einen vollkommen homogenen Aufbau hätte. von dem aus sie die Höhe messen. Die wichtigste Konsequenz ist aber die.5 Höhe über Meer Die Höhe korrekt zu definieren ist eine schwierige Aufgabe.4. Wichtig ist. Da dies nicht der Fall ist. Da kann es schon mal vorkommen. Genauer: die Differenz beträgt 46 m im Nordosten der Schweiz (Bodenseeregion. Dieser als Missweisung oder (magnetische) Deklination bezeichnete Richtungsunterschied ist auf genauen Karten angegeben.100 und magnetischer Pol nicht miteinander übereinstimmen und eine Kompassnadel daher nicht genau nach geografisch Nord weist. Auffällig werden solche Unterschiede vor allem in Grenznähe. erfuhren schweizerische und deutsche Ingenieure 2002/2003: zwischen dem deutschen Städtchen Laufenburg. Um so viel sind WGS84-Koordinaten in der Schweiz höher als LV-Koordinaten. Im Idealfall würde Normalnull der Oberfläche des Rotationsellipsoids entsprechen. und dem schweizerischen Städtchen gleichen Namens am Südufer des Flusses sollte eine neue Brücke über den Fluss gebaut werden. dass die Referenzsysteme . die sich auf das WGS84-Ellipsoid beziehen. eine Differenz von 45 bis 50 m entsteht. dass zwischen den Höhenangaben auf der Basis der Nivellierung mit Bezug auf den Repère Pierre de Niton und den Höhenangaben.B. wo sich Karten mit ihren Angaben der verschiedenen Höhen zweier Länder überlappen können. 3. Dies kann zu merklichen Abweichungen in der Höhenangabe der verschiedenen Länder führen. Zwar war den beteiligten Ingenieuren klar. Deutschland an den Pegel von Amsterdam und Österreich an jenen von Triest. und Höhenangaben wären eindeutig. für Karten und Vermessungen) beziehen sich auf den Pegelstand an einem ausgewählten Ort: die Schweiz bindet ihren Referenzpunkt – den Repère Pierre du Niton im Hafenbecken von Genf – an den Pegel von Marseille. Berechnen Sie den Abstand der beiden Teleskope nach der einfachen Methode auf einer Kugeloberfläche bzw. die ein recht genaues Bild des Geländes vermitteln – sind Detailkarten. • Das Gemini North Teleskop auf Mauna Kea (Hawaii) hat die Koordinaten λ = –155° 28’ 08. die eine grossflächige Orientierung in einem Gebiet ermöglichen.8 m Teleskop im Lowell Observatory in Flagstaff (AZ) hat die Koordinaten λ = –111° 32’ 09.781°) den Wert RM = a. Übungen • Das 1.3”.6”.6”. auf der geografischen Breite von ungefähr 55° (genauer: 54. Zeitungsartikel in der Süddeutschen Zeitung. • Zeigen Sie: auf der geografischen Breite von ungefähr 35° (genauer: 35. Massstäbliche Darstellungen grösser als etwa 1 : 10 000 oder 1 : 5 000 werden Pläne genannt 4 Zeitungsartikel im Weser Kurier in Bremen. dass die Brücke 54 cm zu tief über den Rhein wächst.310°)√ erreicht der Radius der Meridiankrümmung den Wert RM = b = a · 1 − ε2 .7”. H = 2206 m. um den Rechenfehler wieder auszugleichen4 . φ = +35° 05’ 48. φ = +19° 49’ 25.7”. H = 2722 m (beide Datensätze im WGS 84). Nur wurde der Unterschied in die falsche „Richtung“ korrigiert: statt den Unterschied auszugleichen. Y und Z.5 Karten Karten gibt es heute von fast allen Regionen in ganz verschiedenen Massstäben. das Gemini South Teleskop in Cerro Pachon (Chile) hat die Koordinaten λ = –70° 44’ 12.101 von Deutschland und der Schweiz bezüglich Höhenmessung nicht übereinstimmen – immerhin macht die Differenz rund 27 cm aus. früher oft auch als Messtischblätter bezeichnet. ρ. wurde er verdoppelt. . Zwischen 1 : 100 000 und 1 : 50 000 sind es Umgebungskarten. Nachweise: 3. nach dem Verfahren von Andoyer. Länderkarten oder geografische Karten. H = 4213 m. φ und φ’ sowie die räumlichen kartesischen Koordinaten X. Zwischen 1 : 1 000 000 (oder noch kleiner) und 1 : 100 000 sind es Übersichtskarten.1”. und so wurde auf deutscher Seite die Zufahrt rund einen halben Meter tiefer gelegt. und Karten mit einem Massstab grösser als 1 : 50 000 – insbesondere die bei Berggängern in der Schweiz so beliebten Karten von swisstopo im Massstab 1 : 25 000. φ = –30° 14’ 26. Im letzten Moment wurde entdeckt. Berechnen Sie für diesen Beobachtungsort ρ • sin φ’ und ρ • cos φ’. Oft findet man solche Karten auch im Internet. dann ist er in Wirklichkeit 750 000 mm = 750 m breit. für ein ortsfestes Teleskop mit der Ambition der Deep-Sky-Fotografie muss es schon genauer sein. • Der zweite Grund hat damit zu tun.2 mm messen. auf dem die Karte gedruckt wird. Projiziert und mit dem Gitternetz dargestellt werden nämlich ganz andere Koordinaten: LV95+ Koordinaten im Falle der Schweiz. noch angehen. Der Massstab gibt an. Trotz des Detailreichtums sollte man auch nicht aus einer 25 000-er Karte geografische Koordinaten für astronomische Zwecke herauslesen. Dafür besorgt man sich einen Plan des Quartiers im Massstab 1 : 5 000. was direkt den Gesamtmassstab verändert. die GIS-Fachstelle des Kantons Zug (Schweiz): http://www. Gauss-KrügerKoordinaten im Falle Deutschlands und Österreichs. Katasterpläne). Andererseits bricht das Papier durch häufigen Gebrauch entlang den Faltlinien. Dies aus drei Gründen: • Damit die Karte noch lesbar bleibt. die in der Karte gemessen wird. • Der dritte Grund besteht darin. dass die für astronomische Zwecke benötigten geografischen Koordinaten nur sehr ungenau abgelesen werden können. in der Wirklichkeit grösser ist. wie sie eine Detailkarte bietet. verändert: einerseits schrumpft das ganze Blatt (oder dehnt sich aus). wobei die Angebote aber kostenpflichtig sind5 als typisches Beispiel ZUGIS. Selbst wenn man sehr genau misst. Die Umrechnung dieser Kartenkoordinaten in geografische Koordinaten ist zwar möglich. können Signaturen nicht kleiner als 1 mm gross gedruckt werden. so dass die Abstände über die Faltlinien hinweg wiederum unkontrolliert verändert werden. 1 : 2 500 oder 1 : 1 000 beim Vermessungsamt oder bei der zuständigen GIS-Fachstelle. Für ein mobiles Teleskop zum „Spazierensehen“ am Nachthimmel mag die Genauigkeit.zugis. was einem Fehler von mindestens 5 m in der Realität entspricht. kann man zudem mit den üblichen Instrumenten nicht genauer als 0. unabhängig von ihrer wahren Grösse. dass sich das Papier. Das entspricht in Wirklichkeit einer Ausdehnung von 25 m.ch/ 5 Hier .B. aber keinesfalls trivial. um wieviel mal eine Strecke. Beispiel: Hat ein Fluss auf einer Karte im Massstab 1 : 250 000 eine Breite von 3 mm.102 (z. 314 m 1 / 298. 6 Im Vorgängersystem LV03 war es die alte Sternwarte in der Länggasse in der Stadt Bern.963 m Abplattung f 1 / 299. Dadurch lag der Nullpunkt dieses Systems in der Nähe von Bordeaux. Damit bezeichnet man jenen Punkt. Doch damit sind die Gemeinsamkeiten erschöpft. das die gesamte Erde annähert: Vergleich Bessel1841. dass das Zentrum der Kartenprojektion im ideellen Meridianzentrum der alten Sternwarte Bern die ellipsoidische Länge λ = 7°26’22. Bis ins Jahr 2016 soll die Umstellung von LV03 auf LV95 erfolgt sein.und WGS84-Ellipsoid Parameter Bessel-Ellipsoid 1841 grosse Halbachse a 6 377 397.66” erhält. das für Europa eine besonders gute Anpassung liefert. Die ellipsoidischen Koordinaten des Fundamentalpunktes sind derart festgelegt. Swisstopo bietet auf ihrer Homepage einen Online-Rechner an. mit dessen Hilfe man einzelne LV03. Der Nullpunkt wird also 2 000 000 m weiter westlich und 1 000 000 m weiter südlich verlegt. mit dessen Hilfe man ganze Datendateien in die unterschiedlichsten Referenzsysteme transformieren kann.05.50” und die ellipsoidische Breite φ = 46°57’08. 3: c.361 m. Im Falle der Schweiz ist es der Fundamentalpunkt der Geostation Zimmerwald6 .155 m kleine Halbachse b 6 356 078. in dem die Höhe des Ellipsoids mit dem Erdkörper übereinstimmt.152 812 85 WGS84-Ellipsoid 6 378 137.257 223 563 Ebenfalls allen drei Koordinatensystemen gemeinsam ist. der also letztlich für die Höhenangabe relevant ist.und WGS84-Daten ineinander umwandeln kann (NAVREF).0 m 6 356 752.000 m (Hochwert).00 m (Hochwert). Insbesondere wählen die drei Länder unterschiedliche Fundamentalpunkte. Daneben wird ein Onlineprogramm namens REFRAME angeboten. Es unterscheidet sich aber vom WGS84-Ellipsoid. dass es sich um Abstände von einem festen Punkt handelt. Dazu steht in der Verordnung von swisstopo über Geoinformation vom 26. In allen drei Ländern wird der Erdkörper durch das Bessel-Ellipsoid von 1841 angenähert. Im alten System LV03 hatte die alte Sternwarte als Fundamentalpunkt die Koordinaten y = 600 000.000 m (Rechtswert) und x = 1 200 000. Die Position eines Ortes wird vom Ellipsoid auf eine Kugel und von da auf einen schiefachsigen Zylinder projiziert und dann in die Ebene abgewickelt.00 m (Rechtswert) und x = 200 000. Die ellipsoidische Höhe des Fundamentalpunktes beträgt h = 897. . Der Fundamentalpunkt liegt in der Geostation Zimmerwald (BE). Im neuen System LV95 bleibt die alte Sternwarte das Projektionszentrum und erhält neu die Koordinaten y = 2 600 000.2008 im Art.103 Es soll kurz auf die Koordinaten der Landeskarten eingegangen werden. 31° und 34°. 13° 20’ (M31) und 16° 20’ (M34)7 . gemessen auf dem Mittelmeridian. sondern die drei Meridiane 10° 20’ (M28). entspricht dies 27° 10’ bzw. wählt man als Mittelmeridian nicht ganzzahlige Vielfache von 3°. 7 Auf . Die zweite Achse weist entlang des Mittelmeridians nach Norden und hat ihren Ursprung auf dem Äquator: der Hochwert gibt den Abstand eines Punktes vom Äquator in Meter. Um die Erde wird ein Zylinder umbeschrieben. Die Umrechnung auf geografische Koordinaten liefert λ = +8° 55’ 14” und φ = +50° 07’ 28”. usw. 34° 50’ östlich von El Hierro bzw. wird wie folgt vorgegangen: die Erde wird in N-S-orientierte Streifen von 3° Längenunterschied aufgeteilt. Der Nullpunkt für den Rechtswert liegt nicht einheitlich für alle Streifen 500 km westlich des Mittelmeridians. Als rechtwinklige. für M31 450 km und für M34 750 km westlich des Mittelmeridians. In Österreich wird ein modifiziertes Gauss-Krüger-System benützt. 5686 m westlich des Mittelmeridians. Auch für die Gauss-Krüger-Koordinaten werden im Internet Programme und Online-Dienste für die Umrechnung angeboten: das Programm GEOTRANS der National Geospatial-Intelligence Agency. hat die Länge –17° 40’ (bezogen auf Greenwich). N Beispiel: Rechtswert 3 494 314. Dadurch überlappen sich zwei benachbarte Streifen auf einer Breite von 20’. in Deutschland nicht λM ± 1½°.104 Beim System der Gauss-Krüger-Koordinaten. λ2 = 6° ± 1½° entspricht Streifen 2. Um nicht vier Meridianstreifen benutzen zu müssen. Allgemein entspricht dem Streifen. λ3 = 9° ± 1½° entspricht Streifen 3. und 5554 km nördlich des Äquators.B. wobei jeder Streifen durch den in seiner Mitte verlaufenden Meridian charakterisiert wird: λ1 = 3° ± 1½° entspricht dem Streifen mit der Nummer 1. die Kanareninsel El Hierro. dessen Durchmesser dem Erddurchmesser entspricht. Eine Übersicht über Online-und Download-Transformationsrechner findet sich ebenfalls. das Online-Umrechnungsprogramm der Uni Karlsruhe und das Programm HAMQTH. diese Längen kommt man wie folgt: der westlichste Punkt Europas. so wird z. Auf diesen Zylinder werden die Meridianstreifen projiziert und dann abgewickelt. wobei man zur Vermeidung negativer Werte noch 500 000 m dazu addiert und zur eindeutigen Identifizierung die Streifennummer voran stellt. sondern für M28 150 km. von +9°30’ bis +17° 10’ (bezogen auf Greenwich) erstreckt. kartesische Koordinaten gibt man einerseits die Entfernung eines Punktes vom Mittelmeridian in Meter. dessen Mittelmeridian die Länge λk = k • 3° hat (k ∈ ) die Streifennummer k = λM /3°. Dieser horizontal gemessene Wert heisst der Rechtswert. Da sich Österreich ca. Üblicherweise überlappen sich die Streifen etwas. in den auf El Hierro bezogenen Meridianstreifen von 28°. die in Deutschland gebräuchlich sind. 2 sondern λM ± 1 3 ° gewählt. dessen Mittelmeridian 9°E entspricht. Hochwert 5 554 129 (ein Punkt in Hanau) bedeutet: im dritten Gauss-Krüger-Streifen. φ die geografische Breite. Wandeln Sie die LV03-Koordinaten anschliessend mittels NAVREF in WGS84-Koordinaten um. Übungen • Bestimmen Sie die Koordinaten (Rechtswert. Alle anderen Meridiane im Streifen sind aber keine parallelen Geraden mehr. je weiter nördlich gemessen wird. Hochwert) im (alten) Koordinatensystem LV03 der Schweiz folgender vier Punkte: Höchi Flue oberhalb Egerkingen (im Solothurner Jura). wie sie durch das Koordinatengitter suggeriert wird und für den Mittelmeridian auch richtig ist. y’ der Abstand vom Mittelmeridian und R⊕ der Erdradius bedeuten. Mönch und Jungfrau. b) mit der Näherung der Kugelform für die Erde und den WGS84-Koordinaten. fällt also mit der zentralen Gitterlinie zusammen. Der Mittelmeridian wird als vertikale Gerade in Nord-Süd-Richtung abgebildet. also der Nordrichtung. sondern 5000 km nördlich davon. Eiger. Welche Feststellungen können Sie treffen? Nachweise: . Ein Näherungswert dafür kann wie folgt berechnet werden: = ∆λ · sin φ = y · tan φ R⊕ χ worin ∆λ der Längenunterschied. Alle hier vorgestellten Kartenprojektionen haben ein gemeinsames Problem: das Gitter ist rechtwinklig kartesisch. denn der Abstand zwischen zwei Meridianen ist umso kleiner. wenn wir im Streifen nach Norden wandern. Benutzen Sie dazu die von map-plus online zur Verfügung gestellte skalierbare Schweizerkarte. c) mit der Näherungslösung von Andoyer für das WGS84-Ellipsoid (vgl. Die anderen Meridiane konvergieren also zum Mittelmeridian. • Berechnen Sie die Entfernung Höchi Flue – Jungfrau und Eiger – Mönch mit den voranstehenden Daten auf drei verschiedene Arten: a) mit den LV03-Koordinaten als Problem der ebenen Geometrie. Sie auch das voranstehende Kapitel). und der wirklichen oder geografischen Nordrichtung als Meridiankonvergenz χ (ein Winkel).105 Der Nullpunkt für den Hochwert liegt nicht auf dem Äquator. Wir bezeichnen den Richtungsunterschied zwischen „Gitternord“. die Gipfel des „Dreigestirns“ im Berner Oberland. 106 . Im Laufe eines Sterntages vollziehen sie einen vollen Umlauf. Die Rotation der Erde um ihre eigene Achse nehmen wir topozentrisch als scheinbare tägliche Drehbewegung aller Himmelskörper auf der Himmelskugel wahr. Beide Bewegungen definieren am Himmel ausgezeichnete Punkte und (Gross)Kreise: projizieren wir den Erdäquator an die Himmelskugel.bzw. Dabei beschreiben die Himmelskörper parallele Bahnen. dh. Positionsastronomie 4. Planeten. Der Himmelsäquator schneidet den Horizont eines Beobachters im West.1 Orientierung Wir projizieren alle Himmelskörper – Sonne. Kometen. wenn wir von oben auf den Erdnordpol blicken. Monde. der Erdmittelpunkt (geozentrisch). Projizieren wir die beiden Erdpole 107 . der Sonnenmittelpunkt (heliozentrisch) oder der Schwerpunkt eines Systems (baryzentrisch. Dabei handelt es sich um eine Kugel mit unendlichem Radius. Sterne. im Ostpunkt. Nebel und Galaxien – auf die Himmelskugel. von West nach Ost. deren Zentrum entweder der Beobachter auf der Erde (topozentrisch). Als Folge davon gehen für einen irdischen Beobachter alle Himmelskörper im Osten auf und im Westen unter. Die Erdrotation erfolgt im mathematisch positiven Sinne (= Gegenuhrzeigersinn). meist des Systems Erde – Mond oder des Sonnensystems) sein kann. Die Umlaufbewegung der Erde um die Sonne findet ihr Abbild als scheinbarer jährlicher Lauf der Sonne um die Erde entlang den Sternbildern der zwölf Tierkreiszeichen („Zodiak“).Kapitel 4 Sphärische Astronomie. so erhalten wir als Grosskreis den Himmelsäquator. dass der Beobachter meist einen erhöhten Stand hat. Übungen • Beschreiben Sie die Bahn. geozentrisch bzw. Äquator und Pole werden üblicherweise topozentrisch oder geozentrisch bzw. Darunter verstehen wir den Öffnungswinkel desjenigen Kegels. Als drittes Orientierungssystem haben wir das topozentrische System des Beobachters: der mathematische Horizont ist jener ideale Grosskreis.B. b) am Nordpol. den die Sehstrahlen vom Auge des Beobachters zum Objekt bilden. In unmittelbarer Nähe des Himmels-Nordpols befindet sich der Polarstern.B auf Deck eines Schiffes. Ekliptik und Ekliptikpole werden üblicherweise heliozentrisch. Dabei liegt die Kegelspitze im Auge des Beobachters. Kimmtiefe unter dem mathematischen Horizont.108 an die Himmelskugel. z. die die Sonne oder der Mond im Laufe eines Tages a) am Äquator. Allerdings ist hier zu beachten. Im rechten Winkel dazu befindet sich im Sternbild Drache der nördliche Ekliptikpol bzw. Im rechten Winkel zur Horizontlinie liegt direkt über dem Scheitel des Beobachters der Zenitpunkt oder kurz der Zenit. Dann liegt der wahre Horizont um die sog.2 Horizont Im folgenden werden wir explizit oder implizit immer wieder vom Sehwinkel eines Objektes sprechen. baryzentrisch im System Erde – Mond und topozentrisch verwendet. Beispiel: . so erhalten wir den Himmels-Nordpol bzw. Die scheinbare jährliche Bahn der Sonne definiert den Grosskreis der Ekliptik. Mitteleuropa) an der Himmelskugel vollführt! • Beschreiben Sie die Bahn. Am ehesten realisiert sich ein mathematischer Horizont auf dem ruhigen Meer. die ein Stern im Laufe eines Tages a) am Äquator. c) in mittleren geografischen Breiten (z. Mitteleuropa) an der Himmelskugel vollführt! • Durch welche Sternbilder verläuft die Ekliptik? 4. c) in mittleren geografischen Breiten (z. den HimmelsSüdpol. im Sternbild Schwertfisch der südliche Ekliptikpol. direkt unter seinen Füssen der Nadir. baryzentrisch im System Erde – Mond verwendet.B. der bei Fehlen sämtlicher Erhebungen und Senken die Sicht auf die Himmelskugel begrenzen würde. Wie ihr irdisches Gegenstück nehmen sie an der täglichen Drehung nicht teil. b) am Nordpol. 29°.8 m hoch. Der Baumteil oberhalb seiner Augen ist 2. was bei einer Entfernung von 10 m einem Sehwinkel von arctan 0. dessen Augen sich in 1.5 m hohen Apfelbaum in 10 m Entfernung. Befindet er sich im Punkt B1 in der Höhe H über dem Niveau des Erdkörpers – beispielsweise auf einem Gebäude. so bildet die Tangentialebene nBs an den Erdkörper seinen mathematischen Horizont.17 = 9. betrachtet einen 4.7 m über dem Erdboden befinden. Abbildung 19: Bestimmung der Kimmtiefe für einen erhöhten BeobachterStandort Betrachten Sie die nebenstehende Figur.65°. Befindet sich ein Beobachter im Punkt B direkt auf der Erdoberfläche. dass die tägliche Parallaxe insgesamt vernachlässigt werden kann.28 = 15.109 Ein Beobachter. so wird seine Horizontebene vom Erdmittelpunkt parallel weg verschoben auf die Ebene n1 B1 s1 . auf einem Berg oder in einem Flugzeug –. Sterne und Galaxien sind so weit entfernt. Durch den erhöhten Standpunkt kann der Beobachter . Mit anderen Worten: der Winkel zwischen Zenit Z und mathematischem Horizont beträgt immer 90°.64° entspricht. Insgesamt entspricht dies folglich einem Sehwinkel von 25. Der untere Teil entspricht einem Sehwinkel von arctan 0. Bei Objekten des erdnahen Raums oder des Sonnensystems macht sich die Parallelverschiebung in einem zusätzlichen Beitrag in der täglichen Parallaxe bemerkbar. der sog. von u = κ ·U 360◦ = π·κ · R⊕ 180◦ Wird der wahre Horizont als Grenzlinie zwischen Erde und Himmel von Erhebungen (Gebäude. die Kamine.110 aber sozusagen unter seinen mathematischen Horizont blicken. . das Deck und erst zum Schluss den Rumpf. um den in diesem Fall der wahre Horizont tiefer liegt als der mathematische. Für den vereinfachten Fall der Kugelgestalt der Erde lässt sich die Kimmtiefe sehr leicht berechnen (M ist der Erdmittelpunkt): cos κ = R⊕ R⊕ + H Auf der kugelförmigen Erde entspricht dies einer Entfernung u. eine Ellipse (Erde als Ellipsoid) auf der Erdoberfläche. Der Winkel. die Aufbauten. Oder anders formuliert: bei einem erhöhten Standort bildet die wahre Horizontlinie einen Kreis (Erde als Kugel) bzw.oder Antennenspitzen. und die Sehlinien vom Horizont zum Beobachter bilden einen Kegel. so sind zwei Effekte zu beachten: • Je weiter entfernt vom Beobachter sich die Erhebung befindet. desto stärker ist ihr Fusspunkt infolge der Erdkrümmung bezogen auf die Horizontebene des Beobachters „abgesunken“. Dieser Effekt ist seit dem Altertum bekannt und wird immer wieder als Beweis für die Kugelgestalt der Erde angeführt: von einem sich nähernden Schiff sieht man zuerst die Mast. heisst Kimmtiefe κ. dessen Spitze in seinem Auge ruht. Hügel oder Berge) gebildet. dann eine allfällige Takelage. Kimmentfernung. ragt sie am wenigsten weit in den Himmel hinauf. dessen Koordinaten Sie im Kapitel „Geografische Karten“ schon bestimmt haben. Dies hat in erster Linie mit dem Sehwinkel allgemein und mit dem Absinken des Fusspunktes zu tun.111 Abbildung 20: Welcher der vier Gipfel ist der höchste? Die nebenstehende Foto zeigt den Effekt am Beispiel einer Bergfoto. . LV03-Koordinaten RW = 676 572. Der höchste der vier abgebildeten Gipfel ist mit 4158 m (LV03) die Jungfrau. Umgekehrt ist der Pilatus mit nur 28½ km Distanz der nächste und macht darum den Eindruck. Da sie mit rund 82½ km aber die grösste Entfernung vom Standort des Fotografen aufweist. der höchste Gipfel zu sein. H = 430 m) gemacht und zeigt den Pilatus bei Luzern (LV03-Koordinaten RW = 662 200. Die Aufnahme wurde in Cham (CH.7 m) sowie das „Dreigestirn“ Eiger. Mönch und Jungfrau. In Wirklichkeit hat aber der Pilatus von allen vier Gipfeln die geringste Höhe. HW = 228 011. HW = 203 450. h = 2118. des Kimmpunktes) K. der sich im Winkelmass einfach berechnen lässt: τ = t rad R⊕ . Dadurch erscheint sie für den Beobachter nach „hinten“ gekippt und deshalb verkürzt.112 • Jede Erhebung steht senkrecht auf ihrer Horizontebene. zuerst das „Absinken“ des Fusspunktes. der Fusspunkt E der Erhebung befinde sich jenseits der Kimmlinie (bzw. Abbildung 21: Zur Berechnung der wahren Horizontlinie Die beiden Effekte sollen nun berechnet werden. Für den Beobachter ist der Sehwinkel senkrecht zum Sehstrahl massgebend. d der Abstand zwischen E und dem Fusspunkt B des Beobachters. Wir nehmen einmal an. Betrachten Sie dazu die nebenstehende Grafik. so gilt: d = u+t ⇔ t = d −u Zum Bogenstück t gehört im Erdmittelpunkt der Winkel τ. Ist t der auf der Erdoberfläche gemessene Abstand zwischen dem Fusspunkt E der Erhebung und dem Kimmpunkt K. 43“ / 4157 m) und von der Jungfrau (7° 57’ 45. dann wird t < 0 und damit auch τ < 0.97“ / 4020 m). zu KE4 = R⊕ (1 − cos τ) Man erkennt nun: liegt E zwischen B und K.113 Damit findet man den Anteil E5 E3 = KE4 . Darüber hinaus ragt der Teil h = h − KE4 .24“ / 4208 m) berechnet.32“ /47° 20’ 9. Dann finden wir für υ: tan υ = KE4 E2 B1 = R⊕ (1 + cos τ) R⊕ (tan τ + tan κ) = 1 + cos τ tan τ + tan κ Die Verkürzung durch die bezüglich der Sehlinie B1 KE5 gekippte Stellung der Erhebung ist leicht zu berechnen: es ist EE1 = h die wahre Höhe der Erhebung und (EE1 E3 ). um den der Fusspunkt unter der Kimmlinie liegt. . Die Höhe h´´ entspricht für den Beobachter einem Sehwinkel ω. Um den Sehwinkel (EB1 E2 ) = υ ≈ (E3 BE2 ). ändert sich nichts am Resultat.41“ / 46° 33’ 30. Da aber cos x = cos(–x) ist.58“ / 46° 34’ 38. für die wir finden: h = h · cos τ Davon liegt – wie weiter oben berechnet – KE4 = R⊕ · (1 − cos τ) unter der Sehlinie. berechnen zu können. setzen wir die Abstände EB1 ≈ E2 B1 = R⊕ (tan κ + tan τ) einander gleich. um den der Fusspunkt der Erhebung aus Sicht des Beobachters unter der Sehlinie zum Kimmpunkt liegt.09“ / 1014 m).38“ / 46° 32’ 12. Die gesuchte Höhe ist E1 E3 = h . 3 die Koordinaten der Höchi Flue ob Egerkingen (Jurahöhe. vom Eiger (8° 0’ 19. vom Mönch (7° 59’ 50. der sich wie folgt berechnen lässt (wir machen die gleiche Vereinfachung wie bei der Berechnung von υ): tan ω = h E2 B1 = h · cos τ − R⊕ (1 − cos τ) R⊕ (tan τ + tan κ) Die reale Horizontlinie liegt also für den in B1 stehenden Beobachter um den Winkel |κ – ω| unter (ω < κ) bzw. 7° 47’ 33. Übungen • Sie haben im Kap. Er bildet die reale Horizontlinie des Beobachters in B1 . über (ω > κ) dem mathematischen Horizont. den Ursprung des Koordinatensystems. Die drei Richtungsvektoren können ein rechts.8 km [zum Mönch] und 88. 87. c) den Wert. r2 . dem Winkel φ zwischen der Richtung von e3 und dem Vektor r. Die Länge des Vektors – seinen Betrag – bezeichnen wir mit r = |r|. Ob die Achsen nummeriert werden oder mit den Indizes x. ist eine praktische Forderung. den tatsächlichen Sehwinkel der drei Berge. Sie sind positiv. y oder z charakterisiert werden. Z heissen die Komponenten des Vektors r. d) die Verkürzung der Höhe infolge des „Kippens“ der drei Berge.114 Von der Jurahöhe aus können Sie das Dreigestirn Eiger.Y. die von den Einheitsvektoren e1 . den Ursprung des Koordinatensystems.777 · In H. e2 . e2 . dass Sie dort oben stehen: a) den Sehwinkel der drei Berge. spielt keine Rolle. • √ der Navigation gibt man für die Kimmtiefe κ die Näherung κ ≈ 1.3 Räumliche Koordinatensysteme Im Raum können wir auf zwei verschiedene Arten Koordinatensysteme einführen: • Räumliche kartesische Koordinaten.8 km [zur Jungfrau]). die aber mathematisch nicht zwingend wäre. Leiten Sie diese Formel her! 4.9 km [zum Eiger]. r3 bzw. e2 aufgespannt wird. falls die Erde flach wäre. dem Winkel λ zwischen der Richtung von e1 und der Projektion von r auf die Ebene. und drei zueinander senkrecht stehende Richtungen e1 . e) die effektive Lage des wahren Horizonts. Die Grössen r1 . Berechnen Sie für den Fall. Wahlweise – und in der . wenn sie in die gleiche Richtung weisen wie die Einheitsvektoren ei . Dass die drei Richtungsvektoren senkrecht zueinander stehen und Länge 1 haben. indem wir einen festen Punkt O. Wir zerlegen den Richtungsvektor vom Ursprung O zu einem Punkt P in seine Komponenten in Richtung der drei Koordinatenachsen und schreiben: − → OP = r = r1 e1 + r2 e2 + r3 e3 = Xex + Y ey + Zez = [X. um den der Fusspunkt der drei Berge infolge der Erdkrümmung „absinkt“ (die Entfernungen messen 85. Mönch und Jungfrau schön sehen. sonst negativ. Wir beschreiben die Lage eines Punktes P im Raum mittels dreier Grössen: dem Abstand r vom − → Ursprung O des Koordinatensystems mit r = |r| = OP . indem wir einen festen Punkt O.oder ein linkshändiges System definieren. • Räumliche Polarkoordinaten oder Kugelkoordinaten. e3 wählen. e3 wählen. Y. dh. X. und drei zueinander senkrecht stehende Richtungen e1 . Z]. b) die Kimmtiefe und die Kimmentfernung für den Standort Höchi Flue. Die x-Achse weist zum Frühlingspunkt. Beispiele: Rechtwinklige Raumkoordinaten sind vor allem in der Himmelsmechanik sehr gebräuchlich. 0 ≤ λ < 360° (bzw. Sie gelingt mit den Mitteln der Trigonometrie. 0 ≤ λ < 2π im Bogenmass) oder –180° < λ ≤ +180° mit positiver Zählung in mathematisch positiver Richtung von e1 aus. Kugelkoordinaten sind in der Astronomie bzw. dann handelt es sich um ein linkshändiges System. die besprochen wurden. Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand so abgespreizt. rechtwinklige Ekliptikkoordinaten). Es gilt: r ≥ 0 (r = 0 nur für den Ursprung. dass sie jeweils gegeneinander einen rechten Winkel bilden. räumliche Koordinaten angegeben werden. 2. die y-Achse rechtwinklig dazu zum Sommerpunkt. dass gelegentlich für einen Punkt auf der Erde auch rechtwinklige. dann muss der Mittelfinger in Richtung von e3 zeigen. in diesem Fall sind λ und φ nicht definiert). −90◦ ≤ ϕ ≤ +90◦ . 3) ist nicht schwierig. sind dafür ein Beispiel. die z-Achse zum nördlichen Ekliptikpol (heliozentrische. Die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten mit gemeinsamem Ursprung und Einheitsvektoren ei (i = 1. Bei der Behandlung des Erdkörpers als Rotationsellipsoid wurde darauf hingewiesen. Unter einem rechtshändigen System ist folgendes gemeint: werden Daumen. In der Regel steht die Sonne im Koordinatenursprung. Geografie sehr verbreitet. Die geografische Länge und Breite. Räumliche Polarkoordinaten bzw. In einem rechtshändigen System ergibt dies: ˜ X = r · cos λ · sin ϕ = r · cos λ · cos ϕ ˜ Y = r · sin λ · sin ϕ = r · sin λ · cos ϕ ˜ Z = r · cos ϕ = r · sin ϕ . den Zeigefinger in Richtung von e2 zeigen. negativer Zählung in negativer Richtung: 0 ≤ φ ≤ 180° ˜ bzw. Dazu wird der Vektor r auf die drei Achsen projiziert. Zeigt er in die entgegen gesetzte Richtung.115 ˜ Astronomie verbreitet – kann man statt φ auch den Winkel ϕ = 90◦ − ϕ angeben. und lässt man dann den Daumen in die Richtung des Einheitsvektors e1 . ist eine Orientierung mittels rechtwinkliger kartesischer Raumkoordinaten oder mittels Kugelkoordinaten möglich. die Y-Achse im rechten Winkel dazu in Richtung des Sommerpunktes. Der Ursprung liegt entweder in der Sonne bzw. ekliptikalen. um den geozentrischen Abstand ∆ vom Erdmittelpunkt oder vom Schwerpunkt des Systems Erde – Mond.116 Die umgekehrte Transformation gelingt ebenso einfach (benutzt man statt des ˜ Winkels φ den Winkel ϕ. die ekliptikale Breite β (entspricht ϕ) und die Entfernung ∆ von der Erde! 4.632 4494. Berechnen Sie daraus die geozentrische ekliptikale Länge ˜ λ. und die Z-Achse zum nördlichen Ekliptikpol. dann muss in der letzten Gleichung die Funktion arccos durch die Funktion arcsin ersetzt werden): r = X 2 +Y 2 + Z 2 Y X λ = arctan Z ϕ = arccos √ X 2 +Y 2 + Z 2 Übung • Die Sonne habe zu einem bestimmten Zeitpunkt die geozentrischen. Z]. Y = +0.000 0007. um die vom Frühlingspunkt aus gemessene ekliptikale Länge l (heliozentrisch) bzw. Die X-Achse zeigt in Richtung auf den Frühlingspunkt . Die daraus resultierenden Orientierungssysteme der Astronomie sollen nun kurz vorgestellt werden. genauer im Schwerpunkt des Sonnensystems (der praktisch mit dem Sonnenzentrum zusammenfällt: heliozentrische Koordinaten) oder im Erdmittelpunkt (geozentrische Koordinaten).4 Astronomische Koordinatensysteme Wie dargelegt wurde. Dabei handelt es sich um das System der kartesischen Ekliptikkoordinaten [X. so handelt es sich den heliozentrischen Abstand r des Objektes vom Sonnenmittelpunkt bzw. Kommen stattdessen ekliptikale Kugelkoordinaten zum Einsatz. Y. λ (geozentrisch). Z = –0. Räumliche kartesische Koordinaten werden in der Praxis nur für Bewegungen im Sonnensystem gebraucht. kartesischen Koordinaten X = +0. um die von der Ekliptik aus gemessene ekliptikale Breite b (heliozentrisch) bzw. β (geozentrisch) – positiv in .783 7432. Hat ein Körper den Stundenwinkel τ = 0h . die vom Himmelsäquator aus gemessen wird. die zweite Achse im rechten Winkel dazu in Richtung eines Punktes im Sternbild Orion. Ist 1 RA ist die Abkürzung für den englischen Ausdruck Right Ascension . Diese wird durch die beiden Winkel α (bzw. der durch den Himmelsnordpol und das Objekt geht. wo der Himmelsäquator den Meridian des Beobachters schneidet. Ist der Körper die wahre (bzw. Die eine Richtungskoordinate ist wie im rotierenden Äquatorsystem die Deklination δ. Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich hier um ein linkshändiges System. die Regel). mittleren) Mittag. für alle übrigen Objekte interessiert in der Regel nur die Richtung. Die zweite Achse zeigt im rechten Winkel dazu auf den Westpunkt am Horizont. also dem Grosskreis vom Südpunkt über den Zenit und den Himmelsnordpol zum Nordpunkt. 15’ = 1m . so sagt man. Das bewegliche oder rotierende Äquatorsystem ist wie folgt definiert: der Ursprung ruht im Erdmittelpunkt. δ ist die Deklination und wird vom Himmelsäquator ˆ ˆ aus gemessen. dann handelt es sich um die topozentrische Entfernung ∆’. Das feste Äquatorsystem ist auf den Beobachter bezogen: der Ursprung liegt im Erdmittelpunkt (selten) oder im Ort. Im folgenden beschränken wir uns auf die Beschreibung der Situation auf der Nordhalbkugel der Erde. Die zweite Richtungskoordinate ist der Stundenwinkel τ. Es ist der Winkel zwischen dem Meridian. also in südlicher Richtung. gemessen auf dem Himmelsäquator vom Meridian aus westwärts. Der Stundenwinkel spiegelt direkt die scheinbare tägliche Bewegung der Himmelskörper als Folge der täglichen Rotation wieder. sondern in Stunden angegeben. 15° = 1h . positiv in Richtung zum Himmelsnordpol. und die dritte auf den Himmelsnordpol. Wie die Rektaszension wird der Stundenwinkel üblicherweise in Zeiteinheiten angegeben. Für Objekte im Sonnensystem ist der Abstand die geozentrische Entfernung ∆ vom Ursprung. er kulminiere im oberen Kulminationspunkt auf dem Meridian. 1’ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4s . in dem sich der Beobachter befindet (Topozentrum. negativ in Richtung zum Himmelssüdpol. negativ in Richtung des südlichen Ekliptikpols. RA1 ) und δ bestimmt: α ist die Rektaszension. Wenn der Abstand interessiert. mittlere) Sonne. und jenem Grosskreis. so entspricht dies dem wahren (bzw. Die erste Achse zeigt in Richtung auf den Frühlingspunkt . Als Besonderheit wird die Rektaszension in der Regel nicht in Grad.117 Richtung des nördlichen Ekliptikpols. 1° = 4m . wird auf dem Himmelsäquator vom Frühlingspunkt aus gemessen als Winkel zwischen dem Grosskreis durch den Frühlingspunkt und den Himmelsnordpol und dem Grosskreis durch das Objekt und den Himmelsnordpol. Dabei gilt: 360° = 24h . die dritte Achse zum Himmelsnordpol. Die erste Achse zeigt zu jenem Punkt am Himmelsgewölbe. 15” = 1s und 1” = 1 /15s . östlich der Gürtelsterne. und die dritte Achse senkrecht nach oben zum Zenit. Die dritte Achse zeigt zum galaktischen Nordpol. so sagt man.4m . haben sowohl für die obere wie für die untere wie für die obere Konjunktion A = 0°. Auch das Horizontsystem ist ein linkshändiges System. Normalerweise werden nur die beiden Richtungskoordinaten betrachtet: die Höhe h wird vom Horizont aus gemessen. δ = +27. die sog. bei z > 90° befindet sich ein Objekt unterhalb des mathematischen Horizonts. gibt man stattdessen oft den vom Zenit aus gemessenen Winkel z = 90° – h an. Die erste Achse zeigt in Richtung zum Zentrum der Milchstrasse mit den äquatorealen Koordinaten α = 17h 42. z = 90° definiert den mathematischen Horizont. negativ in Richtung des Nadir. positiv in Richtung des Zenits. Die erste Achse zeigt zum Südpunkt am Horizont.0. Als zweite Richtungskoordinate wird das Azimut A angegeben. Die beiden Richtungskoordinaten des galaktischen Koordinatensystems sind die galaktische Länge l (0° ≤ l < 360°). haben sowohl für die obere wie für die untere Kulmination A = 180°. der Körper kulminiere im unteren Kulminationspunkt auf dem Meridian. das für galaktische Objekte direkt die galaktischen Koordinaten 2 In der Navigation und in der Meteorologie wird das Azimut oft von Norden aus gemessen. . die zwischen dem Zenit und dem Himmelsnordpol durch die obere Konjunktion gehen. Die angegebenen Koordinaten beziehen sich auf die Epoche B1950. und die galaktische Breite b vom galaktischen Äquator aus positiv in Richtung zum galaktischen Nordpol. Im Horizontsystem liegt der Ursprung beim Beobachter. δ = –28. Im Internet kann ein Programm heruntergeladen werden. Die obere Kulmination erfolgt im allgemeinen bei A = 0°. gemessen von der ersten Achse aus entlang des galaktischen Äquators. Die zweite Achse zeigt im rechten Winkel dazu in die Gegend zum Sternbild Schwan. gemessen auf dem Horizont von Süd über West. die untere bei A = 180°. Es handelt sich hierbei um den Winkel zwischen dem Meridian und dem Grosskreis durch das Objekt und den Zenit. Wegen der praktischen Schwierigkeit. negativ zum galaktischen Südpol (–90° ≤ b ≤ +90°).40° im Sternbild Haar der Berenike (Coma Berenices) gelegen. die Drehung erfolgt entlang dem galaktischen Äquator. Es wurde erst 1958 von der IAU festgelegt. Dieser Punkt liegt im Sternbild Schütze nahe der Radioquelle Sagittarius A. die zwischen dem Nadir und dem Himmelssüdpol durch die untere Konjunktion gehen. Sein Zentrum liegt im Sonnenmittelpunkt. mit den Koordinaten α = 12h 49m . Nord nach Ost2 .118 τ = 12h . Sterne. die Lage des (mathematischen) Horizonts genau bestimmen zu können. Gelegentlich wird auch das galaktische Koordinatensystem benutzt.92°. Im Laufe eines Tages wächst der Stundenwinkel abgesehen von der Eigenbewegung des Körpers um 24h . die zweite Achse im rechten Winkel dazu zum Westpunkt am Horizont. Sterne. Zenitdistanz. z < 90° sein. Horizontsystem und ruhendes Äquatorsystem werden für die Beobachtung benutzt. Ein Grosskreis auf einer Kugel ist ein beliebiger Kreis. Wer tiefere Einsichten in das Thema wünscht. M. Listen und Karten benutzt. Für die Sichtbarkeit oder ein azimutal montiertes Fernrohr (Typ Dobson!) werden Azimut und Höhe bzw. Grosskreise sind auf der Kugeloberfläche 3 ISBN 978-0521291804 . dessen Mittelpunkt mit dem Kugelmittelpunkt zusammenfällt. e) 321° 11’ 55”. d) 12h 45m . von denen wir im folgenden Gebrauch machen wollen. Nachweis: 4. Das englischsprachige Tool kann hier gefunden werden.5 Sphärische Trigonometrie Hier sollen die wichtigsten Beziehungen der sphärischen Trigonometrie. zusammengestellt werden. g) 9h 44m 12. Das kürzere Stück stellt die kürzeste Verbindung zwischen P und S dar. so gibt es einen eindeutig bestimmten Grosskreis durch diese Punkte.57”. Das Ekliptiksystem wird in erster Linie bei himmelsmechanischen Problemen im Sonnensystem eingesetzt. Insbesondere muss für die Sichtbarkeit h > 0° bzw. f) 9° 49’ 22.119 und damit die Lage in der Milchstrasse direkt visualisiert. d) 20° 22’. muss sich ein spezialisiertes Werk anschauen. in rad (Bogenmass) um: a) 18h . Der Klassiker für Astronomen ist immer noch W. Sind auf der Kugeloberfläche zwei beliebige Punkte P und S gegeben. c) 90° 45’. wie sich Formeln der sphärischen Trigonometrie herleiten lassen. die in der Regel ungleich lange sind. b) 3h . Für ein parallaktisch montiertes Fernrohr benötigt man den Stundenwinkel und die Deklination. c) 5h 30m . da sie dem Beobachter unmittelbar eine Information über den Ort und damit die Sichtbarkeit eines Objektes an seiner Himmelskugel liefern. Zenitdistanz benötigt. Übungen • Wandeln Sie die folgenden Rektaszensionswerte von Stunden in Grad bzw.56s . An einem Beispiel soll exemplarisch gezeigt werden. e) 7h 20m . b) 60°. Smarts Textbook on Spherical Astronomy3 . • Wandeln Sie die folgenden Winkelwerte in Rektaszension mit Zeiteinheiten um: a) 270°. Die beiden Punkte P und S teilen die Kreislinie in zwei Stücke. Bewegliches Äquatorsystem und galaktisches System werden für Kataloge. f) 21h 12m 27s . nämlich die Parallele h zu g durch T. und ein Punkt T ausserhalb dieser Geraden liegt. Ein grosser Unterschied besteht allerdings zwischen Geraden und Grosskreisen. Wenn durch die Punkte P und S ein Grosskreis g definiert wird. . die die erste Gerade g nicht schneidet. Sie haben paarweise je zwei Schnittpunkte: Ekliptik und Himmelsäquator schneiden sich im Frühlingspunkt &#xF05E. die keine eigenen Namen haben. dann besteht zwischen A und a der Zusammenhang: a = A rad R . Himmelsäquator und Horizont sind verschiedene Grosskreise auf der Himmelskugel. Ekliptik und Horizont schneiden sich in zwei Punkten. Beispiele: Ekliptik.und im Westpunkt. dann schneidet jeder Grosskreis h durch T den Grosskreis g in zwei Punkten. so gibt es eine zweite Gerade h durch T. Jedes Bogenstück ST kann wahlweise durch seine Länge A oder durch den Win− → − − → kela beschrieben werden.120 das. Himmelsäquator und Horizont schneiden sich im Ost. den die Vektoren MS und MT vom Kugelmittelpunkt M zu den Punkten S und T bilden. Wenn R der Kugelradius ist und a im Bogenmass gemessen wird. Auf der Kugeloberfläche ist die Situation anders. und T ein Punkt auf der Kugeloberfläche. Wenn in der Ebene zwei Punkte P und S eine Gerade g definieren. und im Herbstpunkt &#xF064. aber nicht auf dem Grosskreis g ist. was Geraden in der Ebene: die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. b). γ = (a.121 Abbildung 22: Kugeldreieck. dann ist die Angabe des Winkels a die Möglichkeit. wobei allerdings nur drei unabhängig sind . c ausdrücken. Dazu kommen die drei Innenwinkel des sphärischen Dreiecks α = (b. PT und ST. β = (a. Details findet man im Text Wenn wie im Falle der Himmelskugel der Radius belanglos ist. C = PS durch drei Winkel a. das Bogenstück zu charakterisieren. c). Die drei Punkte definieren damit ein sphärisches Dreieck Nach den Feststellungen des vorangehenden Absatzes lassen sich die drei Seiten A = ST . so lassen sich immer zwei Punkte mit einem Stück eines Grosskreises verbinden: PS. Wie in der Ebene wird auch auf der Kugeloberfläche ein Dreieck durch sechs Stücke (drei Seiten und drei Winkel) beschrieben. Sind auf einer Kugel drei Punkte P. B = PT . c). b. S und T gegeben. Dort gilt mit der ebenen Trigonometrie (wir erinnern uns der selten gebrauchten Funktion Secans. ebenes Dreieck. M. P. bis in U die Tangentialebene geschnitten wird. M. Legen wir im Punkt P die Tangentialebene an die Kugel und verlängern MS. PU ist dann Tangente an den Grosskreis durch P und S.122 und die anderen drei sich daraus berechnen lassen. M) = 90◦ . T ). c = (P. Grosskreisbogen) b und c im Punkt P. die ganz einfach den Kehrwert des Cosinus darstellt): MP cos c MP cos b PU = MP · tan c . Das Dreieck MPU ist ein gewöhnliches. denn bei jedem Kreis bilden Tangente und Radius zum Berührungspunkt einen rechten Winkel. Andererseits ist wie oben schon festgestellt (P. Beim ebenen Dreieck ergibt die Summe der Innenwinkel α + β + γ = 180° = π rad. Beim sphärischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme aber immer grösser als 180° bzw. M. Es ist dann: a = (S. M. MV = MP · sec b = Im ebenen Dreieck PUV gilt der Cosinussatz der ebenen Trigonometrie: UV 2 = PU 2 + PV 2 − 2PU · PV · cos α = MP2 tan2 b + tan2 c − 2 tan b · tan c · cos α Mit dem ebenen Dreieck MUV finden wir unter nochmaliger Anwendung des Cosinussatzes: UV 2 = MU 2 + MV 2 − 2MU · MV · cos a = MP2 sec2 b + sec2 c − 2 sec b · sec c · cos a . S). MU = MP · sec c = PV = MP · tan b . π. S) = c. S. Auf einer Kugel seien die drei Punkte P. die ein sphärisches Dreieck definieren. b = (P. Ferner bezeichnet man wie in der Ebene s = a + b + c als den Umfang des sphärischen Dreiecks. T gegeben. T ). wo M den Kugelmittelpunkt bezeichnet. Analog findet man den Punkt V in der Tangentialebene mit PV als Tangente an den Grosskreis durch P und T. Es ist (U. der Seite a gegenüber) per Definition der Winkel zwischen den Tangenten an die Dreieckseiten (dh. jedoch kleiner als 540° bzw. 3π. Nun ist der Innenwinkel α im sphärischen Dreieck PST (in der Ecke P. Man bezeichnet ε = α + β + γ − 180◦ als den (sphärischen) Exzess. α. c. dann erhalten wir: cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α Dies ist eine der wesentlichen Beziehung der sphärischen Trigonometrie. Durch zyklische Vertauschung von a. sondern zur Kenntnis nehmen. b. die als Seiten-Cosinussatz bekannt sind: cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α cos b = cos a · cos c + sin a · sin c · cos β (I) cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos γ Wie eingangs erwähnt wollen wir die weiteren Sätze nicht mehr beweisen. auch bekannt als „Vier-Elemente-Formeln“: cos a · cos γ = sin a · cot b − sin γ · cot β cos b · cos α = sin b · cot c − sin α · cot γ (IV) cos c · cos β = sin c · cot a − sin β · cot α Zum Abschluss folgen Delambre’s Gleichungen (V) und daraus abgeleitet die γ c Neperschen Gleichungen (VI): sin 2 · sin α−β = cos 2 · sin a−b 2 2 sin c 2 · cos α−β 2 = sin γ 2 · sin a+b 2 (V) cos c 2 · sin α+β 2 = cos γ 2 · cos a−b 2 cos tan c 2 · cos α+β 2 α+β 2 = = sin γ 2 · cos α−β 2 a+b 2 a+b 2 · cos cos · tan c 2 . β und γ erhalten wir ein Set von drei Gleichungen. Als nächstes folgt der sphärische Sinussatz: sin α = sin a sin β sin b = sin γ sin c (II) sin a · cos β = cos b · sin c − sin b · cos c · cos α Als dritter folgt der Sinus-Cosinussatz: sin b · cos γ = cos c · sin a − sin c · cos a · cos β (III) sin c · cos α = cos a · sin b − sin a · cos b · cos γ Als vierter folgt der Kotangenssatz.123 Setzen wir die rechten Seiten der beiden Gleichungen einander gleich und benutzen die aus der ebenen Trigonometrie bekannte Identität sec2 b = 1 + tan2 b (analog für c). • Welche geografische Breite und welche geografische Länge hat der nördlichste Punkt der Flugbahn auf dem Weg von Frankfurt M. um Koordinaten. die Erde habe eine Kugelgestalt. +50° 02’ N) nach Los Angeles (–118° 24’ W.124 tan a−b 2 · sin α+β 2 = sin α−β 2 · tan (VI) c 2 tan α+β 2 · cos a+b 2 = cos a−b 2 · cot γ 2 tan α−β 2 · sin a+b 2 = sin a−b 2 · cot γ 2 Übungen • Ein Interkontinentalflug führt von Frankfurt M. Die Flugzeit von Frankfurt M. die in einem bestimmten Koordinatensystem gegeben sind. also auf einem Grosskreisbogen. Wie lange ist die Flugstrecke. (+8° 33’ E. . nach LA International beträgt rund 10 Stunden. nach LA International? Welchen Winkel zur Nordrichtung muss der Pilot beim Starten steuern? Unter welchem Winkel fliegt er LA International an? Nehmen Sie für beide Aufgaben an. +33° 57’ N).6 4. Nachweis: 4. in ein anderes System umzurechnen. Der Pilot fliegt auf der kürzesten Bahn. Im folgenden soll diese Umrechnung am Beispiel der Umwandlung vom Horizontsystem ins feste Äquatorsystem exemplarisch durchgeführt werden. Die Herleitung überlassen wir Ihnen als geneigtem Leser.6. und welche mittlere Geschwindigkeit hat das Flugzeug demnach? Rechnen Sie mit einer mittleren Flughöhe von 10 km.1 Koordinatentransformationen Horizontsystem und festes Äquatorsystem Mit den sechs im letzten Kapitel vorgestellten Formelgruppen haben wir das nötige Rüstzeug. Für die übrigen Umrechnungen geben wir nur noch das Ergebnis an. [A. dann gilt im sphärischen Dreieck ZNO: ZN = 90° – φ. Zwei Winkel hängen mit Koordinaten zusammen: (OZN) = 180◦ −A. ZO = z = 90° – h. Wir wenden auf dieses Dreieck den Seiten-Cosinussatz an und erhalten: cos z = cos(90◦ −ϕ)·cos(90◦ −δ) + sin(90◦ −ϕ)·sin(90◦ −δ)·cos τ . NO = 90° – δ für die drei Seiten. ein sphärisches Dreieck. h] bzw. [A. (ZNO) = τ. δ] die festen Äquatorkoordinaten Stundenwinkel und Deklination des Objektes. Sind [τ. dessen Koordinaten vom einen ins andere System umgerechnet werden sollen. φ die geografische Breite des Beobachters. z] die Horizontkoordinaten Azimut und Höhe bzw.125 Abbildung 23: Das im Text beschriebene Poldreieck zur Umrechnung der Koordinatensysteme Die beiden Pole von Horizontsystem (Zenit Z) und festem Äquatorsystem (Himmelsnordpol N) bilden zusammen mit dem Objekt O. Zenitdistanz. lässt sich mit dieser Gleichung die Zenitdistanz oder die Höhe berechnen. Damit finden wir: cos z = sin h = sin ϕ · sin δ + cos ϕ · cos δ · cos τ Sind die Koordinaten [τ. mit deren Hilfe wir bei Kenntnis der Koordinaten im festen Äquatorsystem und der geografischen Breite das Azimut berechnen können: tan A Beispiel: Welche Koordinaten hat der Himmelsnordpol im Horizontsystem. Betrachten wir jeweils Zähler Z und Nenner N separat.126 Aus der ebenen Trigonometrie ist bekannt. denn tan 90◦ = ∞. dass sin(90° – x) = cos x und cos(90° – x) = sin x. z = 90° – φ finden. wenn er im festen Äquatorsystem die Koordinaten δ = 90° und τ = 0° hat? Der Stundenwinkel ist willkürlich. Für das Azimut erhalten 0 wir tan A = −∞ . und dass der Cotangens eines Winkels der Kehrwert des Tangens von eben diesem Winkel ist. 0° ≤A ≤ 90° = sin τ sin ϕ · cos τ − cos ϕ · tan δ . Wir erkennen nun auch den Vorteil. dass wir zur Bestimmung des Azimuts eine Formel mit dem Tangens gewählt haben. so finden wir cos z = sin h = sin φ. Damit finden wir: sin ϕ · cos τ = cos ϕ · tan δ + sin τ tan A Lösen wir nach tan A auf. in welchem Quadranten der Winkel liegt: • Z > 0. Zur Berechnung des Azimutes wenden wir den Cotangenssatz auf das Dreieck ZNO an: cos(90◦ −ϕ)·cos τ = sin(90◦ −ϕ)·cot(90◦ −δ) − sin τ·cot(180◦ −A) Aus der ebenen Trigonometrie ist weiterhin bekannt. so erhalten wir eine Gleichung. woraus wir h = φ bzw. denn eigentlich ist er unbestimmt. N > 0 : A liegt im ersten Quadranten. Daraus finden wir A = 180°. können wir eindeutig festlegen. dass cot(90° – x) = tan x und cot(180° – x) = –cot x. dh. Setzen wir ein. δ] im festen Äquatorsystem und die geografische Breite φ bekannt. 127 • Z > 0. Mit analogen Überlegungen wie oben finden wir: τ = 0° = 0h . N < 0 :A liegt im dritten Quadranten. N > 0 : A liegt im vierten Quadranten. 270° < A < 360° Für die umgekehrte Transformation wählen wir wieder den Seiten-Cosinussatz und den Cotangenssatz. z = 0°. N < 0 :A liegt im zweiten Quadranten. A = 0° – wiederum willkürlich festgelegt). jetzt aber mit einer anderen Kombination der Bestimmungsstücke: cos(90◦ −δ) womit wir sofort finden: = cos z·cos(90◦ −ϕ) + sin z·sin(90◦ −ϕ)·cos(180◦ −A) sin δ = cos z·sin ϕ − sin z·cos ϕ·cos A = sin h·sin ϕ − cos h·cos ϕ·cos A Für den Stundenwinkel finden wir mit dem Cotangenssatz: cos(90◦ −ϕ)·cos(180◦ −A) woraus wir ableiten: tan τ Beispiel: = = sin(90◦ −ϕ)·cot z − sin(180◦ −A)·cot τ sin A cos A · sin ϕ + tan h · cos ϕ Welche Koordinaten hat der Zenit (h = 90° bzw. dh. Wir finden sin δ = sin φ. 90° < A ≤ 180° • Z < 0. Zusammengefasst: zontsystem und Für dem die Umrechnung zwischen dem Horifesten Äquatorsystem gelten die Formeln: Umwandlung von Äquatorkoordinaten in Horizontkoordinaten: cos z = sin h = sin ϕ · sin δ + cos ϕ · cos δ · cos τ tan A = sin τ sin ϕ·cos τ − cos ϕ·tan δ . dh. 180° < A ≤ 270° • Z < 0. dh. also δ = φ. 6.2 Festes Äquatorsystem und rotierendes Äquatorsystem Dies ist eine einfache Umwandlung. Der um 12 Stunden (180°) erhöhte Stundenwinkel der Sonne ist gleich der Ortszeit. Die wichtigsten Aussagen in diesem Zusammenhang: Der Stundenwinkel τ des Frühlingspunktes ist gleich der lokalen Sternzeit θ.128 Umwandlung von Horizontkoordinaten in Äquatorkoordinaten: sin δ = cos z · sin ϕ − sin z · cos ϕ · cos A sin A cos A·sin ϕ + tan h·cos ϕ = sin h · sin ϕ − cos h · cos ϕ · cos A tan τ = 4. aber eine wichtige: über diese Umwandlung werden astronomische Koordinaten mit den Zeitsystemen verknüpft. dann ist es mittlere Ortszeit MOZ. Abbildung 24: Die Grafik illustriert den Zusammenhang zwischen festem und rotierendem Äquatorsystem sowie der Sternzeit Handelt es sich um die mittlere Sonne. Handelt es sich um die wahre Sonne. dann ist es die wahre Ortszeit WOZ: MOZ = τm + 12h . 3 Rotierendes Äquatorsystem und Ekliptiksystem Nicht selten muss man zuerst rechtwinklige Ekliptikkoordinaten in polare Eklip√ X 2 +Y 2 + Z 2 tikkoordinaten umwandeln: r = λ = arctan Y X β = arcsin √ Z X 2 +Y 2 +Z 2 Dann gilt für die Umwandlung der beiden Koordinatensysteme (den Beweis mit Hilfe des Poldreiecks analog der Umwandlung vom Horizontsystem ins feste Äquatorsystem überlassen wir wie angekündigt Ihnen als Leser): Umwandlung von Äquatorkoordinaten in Ekliptikkoordinaten: sin β = sin δ · cos ε − cos δ · sin ε · sin α sin α·cos ε + tan δ·sin ε cos α tan λ = Umwandlung von Ekliptikkoordinaten in Äquatorkoordinaten: .6. dass es sich beim geografischen und dem rotierenden Äquatorsystem um rechtshändige Systeme handelt. τ = θ − α = θ0 + λ − α mit θ der Ortssternzeit und θ0 der Sternzeit in Greenwich.129 WOZ = τw + 12h Handelt es sich um den mittleren Frühlingspunkt. Damit ist auch der Begriff „Gleichung des Äquinoktiums“ für die Differenz zwischen den beiden verständlicher. dann ist es die scheinbare Sternzeit. handelt es sich beim Frühlingspunkt doch um den Punkt. λ der geografischen Länge. scheinbaren) Frühlingspunkt. Beachten Sie aber. positiv nach Osten. negativ nach Westen. beim festen Äquatorsystem aber um ein linkshändiges System. Handelt es sich um den wahren (bzw. 4. Zusammengefasst gilt für die Beziehung zwischen α und τ (δ ist ohnehin in beiden Systemen gleich). dann ist es die mittlere Sternzeit. Die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Systemen wird in der nebenstehenden Figur illustriert. in dem die Sonne sich zum Zeitpunkt der Frühlings-Tag-und-Nachtgleiche aufhält. α und δ auf die Standardepoche J2000.0 ins galaktische System: sin δ · sin 27.130 sin δ = sin β · cos ε + cos β · sin ε · sin λ sin λ·cos ε − tan β·sin ε cos λ tan α = ε ist die Schiefe der Ekliptik. dann müssen es auch λ.25◦ −α)·sin 27.0 sin b · sin 27. Die mittlere Schiefe der Ekliptik hat für die Standardepoche J2000.25◦ + y XXV GA 2006 . also der Winkel zwischen der Ekliptik und dem Himmelsäquator.4◦ · cos(192.0 den Wert ε = 23° 26’ 21. Werden jedoch scheinbare Koordinaten verwendet.4 Rotierendes Äquatorsystem und galaktisches System Die Koordinaten des galaktischen Pols und des Ursprungs der Längenzählung wurde von der IAU per Definition festgelegt. müssen sie auf die Standardepoche B1950. Bevor Äquatorkoordinaten ins galaktische System umgewandelt werden können. β und ε sein.4◦ sin δ = tan y = α 4 IAU = 12.0 zur Verfügung und müssen nach Bedarf in die gewünschte Standardepoche umgewandelt werden.25◦ −α) cos(192.4◦ − tan b·cos 27. Umwandlung vom rotierenden Äquatorsystem zur Standardepoche B1950. Die Standardepochen sowie der Typ der Koordinaten muss jeweils übereinstimmen: sind z.4◦ + cos δ · cos 27. nicht ungefähre Werte.25° und δ1950 = +27 24’ des galaktischen Nordpols sind also genaue.4◦ − tan δ·cos 27.4◦ sin b = tan x = l = 303◦ − x Umwandlung vom galaktischen System ins rotierende Äquatorsystem zur Standardepoche B1950. Umgekehrt stehen Koordinaten nach der Umwandlung vom galaktischen System ins Äquatorsystem in der Standardepoche B1950. die Koordinaten α1950 = 12h 49m = 192.25◦ − α) sin(192.B.406”4 .0 bezogen.6. dann ist auch die wahre Schiefe der Ekliptik für die Umwandlung zu benutzen.4◦ + cos b · cos 27.0 umgewandelt werden. 4.4◦ · cos(l − 123◦ ) sin(l−123◦ ) cos(l−123◦ )·sin 27. z = 72° 9’ 25”.1s = 312.364583.11337° = 316° 6’ 48” .84295° = 17° 50’ 35”.88663°. HD 116658.52”.638754°. somit JD = 2454196. A = 310° 21’ 21” Umwandlung vom rotierenden Äquatorsystem ins Ekliptiksystem ergibt: β = –2. δ1950 = –10° 54’ 3. Berechnen Sie die mittleren Koordinaten dieses Sterns in den übrigen Koordinatensystemen für den Ort Wildspitz (LV03-Koordinaten 686490/215460/1580) am 5. Für die geografischen Koordinaten finden wir λ = 8° 34’ 39.601s = 201.36”). Lösung: Es ist UT = 22:45h – 2h = 20.84147° = 203° 50’ 29” Spica hat eine so geringe ekliptikale Breite. δ2000 = –11° 9’ 40. um die Umwandlungen vornehmen zu können: Umwandlung vom rotierenden ins feste Äquatorsystem ergibt: δ = –11° 9’ 40. x = 346.6.05375° = –2° 4’ 47”. l = 316. τ = 20.82003h = 20h 49m 12. SAO 157923 hat die Koordinaten α2000 = 13h 25m 11. Lassen Sie die Eigenbewegung (noch) unberücksichtigt. α Vir. April 2007 um 22:45 h MESZ.64” (α1950 = 13h 22m 33.301s = 200.30042° Umwandlung vom festen Äquatorsystem ins Horizontsystem ergibt: h = 17. Aus einem Jahrbuch entnehmen wir für die Schiefe der Ekliptik ε = 23° 26’ 27.75h . φ = +47° 5’ 4.2”.298338°.64. dass sie immer wieder vom Mond und gelegentlich – wenn auch sehr selten – auch von Planeten bedeckt wird. Damit sind alle Parameter bereit.131 4.5 Ein Beispiel Der Hauptstern des Sternbildes Jungfrau ist Spica.7s . λ = 203. Umwandlung vom rotierenden Äquatorsystem in das galaktische System ergibt: b = 50.4”.84483° = 50° 50’ 41”. Mit diesen Daten finden wir für die mittlere Ortssternzeit zum Zeitpunkt 22:45h MEZ θ = 10h 14m 23. H = 1628 m. wenn man den Massstab ändert. die Grössen geografische Breite φ. dh. einer Drehung (Rotation). erhält cos I den kleinstmöglichen Wert.6.B. Daraus folgt für Orte auf der Nordhalbkugel Imax Imin = = 90◦ − φ + ε 90◦ − φ − ε Verwechseln Sie I nicht mit dem Winkel. unter die Sonne oder ein anderer Himmelskörper über den Horizont steigt. Falls θ = 3π/2 ist. Dies ist gleich dem Winkel. der sich wie folgt berechnen lässt: cos I = cos ε · sin φ − sin ε · cos φ · sin θ Im Laufe eines Tages variiert θ zwischen 0 und 24h bzw.7 Allgemeines zu Koordinatentransformationen Koordinatentransformation können im allgemeinen Fall aus einer Verschiebung des Ursprungs (Translation). Scherungen – dh.132 4.6. z. I wird benötigt. einer Skalierung oder einer Scherung bestehen. 4. lokale Sternzeit θ und Schiefe der Ekliptik ε sind bekannt. Neuskalierungen passieren immer dann. um wieviel ein Objekt auf der Ekliptik am folgenden Tag später auf. wenn man abschätzen will.oder untergeht. erhält cos I den grösstmöglichen Wert. Falls θ = +π/2 ist. An einem gegebenen Ort und zu gegebener Zeit. Überführung in ein Koordinatensystem mit nicht mehr rechtwinkligen Achsen – spielen in der klassischen Physik – die für Amateure relevant ist – praktisch keine Rolle. 0 und 2π. haben diese beiden Punkte die ekliptikale Länge λ tan λ = − cos θ sin θ · cos ε + tan φ · sin ε Die beiden Grosskreise schliessen am Horizont den Winkel I ein. von AE auf km oder ly bzw.6 Die Ekliptik am Horizont Zwischen der Ekliptik und dem Horizont gibt es wie immer zwischen zwei Grosskreisen zwei Schnittpunkte. den der entsprechende Deklinationskreis – ein Breitenkreis – mit dem Horizont bildet. . Z0 −az ] . Wie lauten die geozentrischen ekliptikalen kartesischen Koordinaten des Mars? Mit der aktuellen Schiefe der Ekliptik ε = 23° 26’ 36. ZM = r • sin β = –0. Z]). Zur Kontrolle: r ist tatsächlich 1. Y = +0. die eine Rolle spielen: • Eine Translation muss immer dann erfolgen.Y0 . dann gilt die Beziehung → − r0 Beispiel: Zu einem bestimmten Zeitpunkt hat Mars die heliozentrischen ekliptikalen Koordinaten λ = 271° 09’ 19. ay .146” sollen anschliessend noch die geozentrischen Koordinaten im rotierenden Äquatorsystem berechnet werden. so wird das eine System ins andere überführt. Das heliozentrische System ist das erste.452 4326 (berechnet aus [X. und hat der Ursprung des zweiten Koordinatensystems im ersten den Ortsvektor a = [ax . • Eine Rotation spielt in fast allen besprochenen Koordinatentransformationen eine Rolle: Horizontsystem und festes Äquatorsystem haben als gemeinsame Achse jene Achse. der Fall beim Wechsel von geozentrischen ekliptikalen Koordinaten zu heliozentrischen ekliptikalen Koordinaten oder beim Wechsel vom geozentrischen (bzw.5”. das geozentrische das zweite System. Es ist XM = r • cos λ • cos β = +0. Y.und rotierendem Äquatorsystem ist es eine Drehung um den Winkel ε um die gemeinsame erste Achse.B.133 pc. in einem zweiten Koordinatensystem dagegen r0 = [X0 .000 0007. Bei Ekliptik.783 7432. Zuerst berechnen wir aus den heliozentrischen Polarkoordinaten des Mars seine rechtwinkligen heliozentrischen Koordinaten.Y0 −ay . az ].5”. Z0 ].451 8025. Gegeben ist in = →−a − r0 = [X0 −ax . wenn der Ursprung von altem und neuem Koordinatensystem nicht übereinstimmen.452 4326 AE. Z0 ]. baryzentrischen) festen Äquatorsystem zum topozentrischen festen Äquatorsystem. zum gleichen Zeitpunkt hat die Sonne die geozentrischen Koordinaten X = +0. Translationen lassen sich besonders einfach mit Hilfe von Vektoren beschrei− ben. Dies ist z. r = 1. In der Praxis des Amateurs sind es vor allem die Translation und die Rotation.Y0 . Z = –0. die vom Beobachter zum Westpunkt am Horizont weist. Werden die erste und dritte Achse um den Winkel 90° – φ um die gemeinsame Achse gedreht. Hat ein Objekt in einem ersten Koordinatensystem den Ortsvektor → = r0 → − [X0 . YM = r • sin λ • cos β = –1. die zum Frühlingspunkt weist.632 4494.029 2808. β = –1° 13’ 49.031 1883. Ausgangspunkt sind jeweils geozentrische Koordinaten. ρ•cos φ’ die Ausdrücke.031 1891 Wie weiter oben ausgeführt.03”. dass die ÄquatorialHorizontalparallaxe eines Objektes O im Sonnensystem wie folgt berechnet werden kann: = arcsin sin 8.794 ∆ ≈ 8. ekliptikalen und Horizontkoordinaten bemerkbar. um topozentrische Koordinaten zu bekommen. Im folgenden werden Formeln gegeben. Im folgenden bezeichnet π die Äquatorial-Horizontalparallaxe des betrachteten Himmelskörpers. und ρ•sin φ’ bzw. die an den geozentrischen Werten angebracht werden müssen. Mit dem gegebenen Wert der Schiefe der Ekliptik findet man für die Rektaszension α = 21h 10m 52s .134 diesem Fall mit den geozentrischen Sonnenkoordinaten also nicht a.28”. lassen sich daraus die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten berechnen: ekliptikale Länge λ’ = 314° 46’ 40.794 ∆ πO • Sind α und δ die geozentrische Rektaszension bzw.813 0240 YM = YM + Y = −0. die das Geoid beschreiben. für die Deklination δ = –17° 53’ 01”.819 3530 ZM = ZM + Z = −0. ekliptikale Breite β’ = –1° 32’ 52. Nachweis: 4. dann gilt: . gesucht sind die Korrekturen.154 6948. Im weiteren ergibt sich für den geozentrischen Abstand des Mars ∆ = 1.7 Parallaxe Die tägliche Parallaxe eines Himmelskörpers macht sich in Änderungen der äquatorialen. sondern −a. τ der geozentrische Stundenwinkel. Dann ist mit den gegebenen Grössen: XM = XM + X = +0. Deklination. um diese Änderungen zu berechnen. Erinnern Sie sich daran. Will man die Korrektur in Rektaszension stattdessen in Zeitsekunden wissen. Ist die Horizontalparallaxe in Bogensekunden gegeben. Für Himmelskörper im Sonnensystem kann man auch mit den folgenden Näherungsformeln rechnen. kann man direkt den topozentrischen Stundenwinkel τ’ und die Deklination δ’ berechnen. dann sind es auch die Korrekturen ∆α bzw. Die topozentrische Deklination δ’ kann man direkt berechnen. Dies gilt ganz speziell für die Berechnung der täglichen Parallaxe des Mondes. zuerst ihre Änderung ∆δ zu berechnen: tan δ = (sin δ − ρ · sin φ · sin π) · cos ∆α cos δ − ρ · cos φ · sin π · cos τ • Statt die Koordinaten im rotierenden Äquatorsystem zu berechnen. Dazu ermittelt man zuerst vier Hilfsgrössen: A B = C q = cos δ · sin τ cos δ · cos τ − ρ · cos φ · sin π = sin δ − ρ · sin φ · sin π = A2 + B2 +C2 Mit diesen Hilfsgrössen berechnet man direkt den topozentrischen Stundenwinkel und die Deklination: tan τ = A . so ist das Ergebnis noch durch 15 zu dividieren: = −π · ρ · cos φ · sin τ cos δ ∆α . Es ist im Gegensatz zur Rektaszension nicht notwendig. B sin δ = C q • Die bisher angegebenen Formeln sind streng gültig und daher zwingend für Objekte im erdnahen Raum anzuwenden. ∆δ.135 tan ∆α = −ρ · cos φ · sin π · sin τ cos δ − ρ · cos φ · sin π · cos τ Es ist dann α’ = α + ∆α die topozentrische Rektaszension. Hätte die Erde eine exakte Kugelform. Ist keine hohe Genauigkeit gefordert.B. die Korrektur an den ekliptikalen oder äquatorialen Koordinaten anzubringen und anschliessend in die Horizontkoordinaten zu transformieren. C und S ein und berechnet dann damit direkt die topozentrische ekliptikale Länge λ’. Zuerst führt man die drei Hilfsgrössen N. da sie immer sehr klein ist. ekliptikalen Koordinaten anzubringen. die topozentrische ekliptikale Breite β’ sowie den topozentrischen scheinbaren Radius s’ des Objektes: C N = = ρ · cos φ . so gilt genähert: sin p Übungen = ρ·sin π·cos h ⇒ p = ρ·π·cos h . Benötigt man eine hohe Genauigkeit (z. S = ρ · sin φ cos λ · cos β −C · sin π · cos θ tan λ = sin λ · cos β − sin π(S · sin ε + C · cos ε · sin θ) N cos λ (sin β − sin π(S · cos ε −C · sin ε · sin θ)) N sin s = tan β = cos λ · cos β · sin s N • Die Parallaxe kann auch direkt an den Horizontkoordinaten angebracht werden. Bezeichnet ρ den Abstand des Beobachters vom Erdmittelpunkt in Einheiten des Erdradius R⊕ (meist genügt ρ = 1). beim Mond). dann ist zu empfehlen.136 ∆δ = −π(ρ · sin φ · cos δ − ρ · cos φ · sin δ · cos τ) • Um die Parallaxe an den geozentrischen. Die Höhe h wird durch die Parallaxe verkleinert. dann wäre sie streng Null. benutzt man die folgenden Formeln. dann kann man wie folgt vorgehen: die Parallaxenkorrektur im Azimut kann man weglassen. 1s . Durch diesen Punkt legt man eine eindeutige Richtung fest. um sich zu orientieren.137 • Für die Beobachtung einer Sternbedeckung durch den Mond wählt man einen Beobachtungsplatz im Erzgebirge südöstlich von Chemnitz.8 Positionswinkel In der Doppelsternastronomie. wird von Norden über Osten und Süden nach Westen gemessen (also im Gegenuhrzeigersinn) und kann Werte zwischen 0 und 360° annehmen. den der Abstandsvektor mit der festgelegten Nullrichtung bildet. Doch dieses Mal soll der Mars beobachtet werden. dem mittleren Stern der Deichsel im Grossen Wa- . Rechnen Sie mit allen drei vorgestellten Algorithmen und vergleichen Sie die Resultate. Dieser Winkel heisst Positionswinkel. 4.9”. In solchen Fällen wählt man für eine Ortsbestimmung einen anderen Weg: Zunächst bestimmt man einen eindeutigen Punkt. Seine geozentrischen Ephemeriden sind α = 4h 48m 06. oder allgemein ein heller Referenzstern. Kometen und Meteore. Er hat die Koordinaten λ = +50° 35’ 01” E. • Gleicher Beobachtungsstandort wie in der vorherigen Aufgabe. Die Position eines Phänomens wird nun durch zwei Grössen angegeben: die Länge des Abstandsvektors vom Zentrum zu diesem Punkt. Rechnen Sie mit allen drei vorgestellten Algorithmen und vergleichen Sie die Resultate. nicht auf dem Objekt) gewählt. τ = 4h 45m 30s = 71. der als Zentrum dient. H = 764 m.oder Mondscheibe sein. und dem Winkel. δ = 24°11’01”.6250000°. das „Reiterlein“ ist ein Stern der Helligkeit 4m und bildet mit Mizar (ζ UMa oder 79 UM). Zum Zeitpunkt der Beobachtung hat der Mond die geozentrischen Ephemeriden α = 23h 30m 21. Sein scheinbarer Halbmesser beträgt zu diesem Zeitpunkt s = 16’ 14”. für die Beobachtung und Vermessung von Planetenphänomen oder bei der Angabe der Bewegungsrichtung von Asteroiden. Berechnen Sie daraus die topozentrischen Marsephemeriden für den Zeitpunkt der Beobachtung. der Stundenwinkel τ = 19h 30m 30s = 292. Berechnen Sie daraus die topozentrischen Mondephemeriden für den Zeitpunkt der Beobachtung. φ = +13° 12’ 44” N. bei Doppelsternen die hellere der beiden Komponenten.3750000° und seine Horizontalparallaxe betrug zum Zeitpunkt der Beobachtung π = 5. meist in Bogensekunden oder Bogenminuten angegeben.1s . δ = –4° 48’ 33”. In der Regel wird die Richtung nach Norden (am Himmel des Beobachters. Beispiel: Alcor (80 UMa). Dies kann die Mitte der Planeten. sind die bisher betrachteten Koordinatensysteme nicht sehr nützlich. wo δ der Mittelwert von δ1 und δ2 beträgt. dann lässt sich der Positionswinkel P über folgende Beziehung berechnen: tan P = sin(α1 − α2 ) tan δ1 · cos δ2 − sin δ2 · cos(α1 − α2 ) Der Abstand der beiden Objekte voneinander lässt sich wie folgt berechnen: cos ψ = sin δ1 · sin δ2 + cos δ1 · cos δ2 · cos(α1 − α2 ) Wenn allerdings der Abstand ψ allzu klein wird. Positionswinkel 71°.138 gen. δ2 ]. dessen Katheten (δ2 – δ1 ) und (α2 – α1 )•cos δ betragen. Sein Begleiter Mizar B mit der Helligkeit 3. Mizar ist selber ein echter Doppelstern. ist umstritten. die Lage der Hörner des zu. dann ist es besser. dass die Meridiane gegen den Pol hin zusammen laufen. Haben die beiden Objekte die äquatorialen Koordinaten [α1 .8’ (708.3” vom Hauptstern entfernt beim Positionswinkel 153°. ein Doppelsternsystem. [α2 . Während Mizar und Alcor von blossem Auge als zwei Sterne unterschieden werden können. Ob sie „nur“ ein optisches oder ein physisches Doppelsternsystem bilden.oder abnehmenden Mondes oder die Position eines Sonnenflecks auf der Sonnenscheibe durch den Positionswinkel bestimmt. die Aufgabe mit Mitteln der ebenen Geometrie zu lösen: der Abstand ist dann die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. also ihr Abstand – gemessen auf einem Breitenkreis – immer kleiner wird. Mit dem Korrekturfaktor cos δ wird berücksichtigt.9m befindet sich 14. Im Falle des Sonnenflecks oder eines Details auf einem Planetenscheibchen kommt noch der Abstand vom Zentrum der Scheibe hinzu.2m ) hat Alcor folgende Koordinaten: Abstand 11. Positionswinkel und Abstand berechnen sich dann zu: tan P = = (α2 − α1 ) · cos δ δ2 − δ1 ψ Übungen ((α2 − α1 ) · cos δ)2 + (δ2 − δ1 )2 .5”). δ1 ] bzw. Ebenso wird die Mitte des beleuchteten Teils eines Planetenscheibchens. ist die Auflösung von Mizar A und B eine Aufgabe für Teleskope. Bezüglich des helleren Hauptsterns Mizar (Helligkeit 2. 713s . Jedenfalls sind in den meisten Fällen die Originalkataloge in einem Binärformat gespeichert und müssen zuerst durch ein spezielles Leseprogramm „extrahiert“ werden. Skizzieren Sie den Anblick sowie die ungefähre Bahn des Sonnenflecks infolge der Sonnenrotation im umkehrenden Fernrohr. Jedoch sind die verfügbaren Beispielprogramme in der Regel in Fortran geschrieben. Die Dateien sind auf Universitäts-.206s . Skizzieren Sie die Situation.5s .oder NASA-Servern gelagert und wurden auch in diesem Umfeld erstellt. Bei älteren Katalogen können aber durchaus noch ältere Standardepochen – meist B1950. Die dafür vorgesehenen Korrekturen in Präzession und Nutation werden in einem späteren Kapitel behandelt. α2 = 13h 25m 13. der beleuchtet ist.75m ) α2 = 14h 50m 52.0 – angewendet werden. Für gewisse Kataloge sind mittlerweilen Versionen im PC-Format verfügbar. Wer sich den einen oder anderen Katalog herunter laden will. In diesem Fall sind die Sternpositionen zwingend zu korrigieren.9 Kataloge Es gibt viele Sternkataloge. α2 Librae Zuben Elgenubi (HD 130 841. 2.32“.5s . 4. δ2 = –16° 02’ 30. sollte darum folgende Punkte beachten: das Format der Dateien entspricht nicht in jedem Fall dem bei PC gewohnten Format.4 = 40%. Neuere Kataloge oder neue Versionen älterer Kataloge verwenden in der Regel die Standardepoche J2000. aber das ist nicht immer der Fall. diese Standardepoche zu verwenden. die Mitte des beleuchteten Mondrandes 205°.und Infodateien sorgfältig lesen. die meisten findet man auch im Internet. Instituts. Die Rotationsachse der Sonne habe den Positionswinkel +15°. beträgt 0. δ2 = 54° 59’ 17“ (Alcor). Sie sollten die ReadMe. 5.0. damit für Amateure nur in den seltensten Fällen direkt nutzbar. • Berechnen Sie den Abstand und den Positionswinkel für den Doppelstern α1 Librae (HD 130 819. denn seit 1984 empfiehlt die IAU. . Um was für eine Mondphase handelt es sich? • Ein Sonnenfleck habe Positionswinkel 240° und Abstand 10’ 42” vom Sonnenzentrum. Der Bruchteil des Monddurchmessers. Kataloge und Sternkarten beziehen sich immer auf eine Standardepoche.42“ • Die Verbindungslinie der „Hörner“ des Mondes hat den Positionswinkel 115°. δ1 = –15° 59’ 50.139 • Berechnen und verifizieren Sie Abstand und Positionswinkel für Mizar und Alcor mit beiden vorgestellten Verfahren: α1 = 13h 23m 55. δ1 = 54° 55’ 31“ (Mizar).3m ) α1 = 14h 50m 41. B. dem Vorgänger des BSC. Washington D.140 Die Kataloge enthalten in der Regel auch eine Angabe über die Eigenbewegung eines Sterns. SAO Star Catalogue (Smithsonian Astrophysical Observatory. zu dem man die Sternposition benötigt. ∆δ = µδ · (t − t0 ) Klären Sie sorgfältig ab. dann berechnen sich die Korrekturen ∆α bzw. Abkürzung der Nummer: HR nnnn. Für die Zwecke des (rechnenden) Amateurs sind die folgenden Kataloge von Bedeutung: BS/BSC/YBS Bright Star Catalogue (Yale University Observatory). wenn der Unterschied zwischen t0 und t nicht mehr als einige Jahrzehnte umfasst. 1984). Alcor 80 UMa HR 5062 SAO 28 51 µα = 0. C. per year) angegeben. die Eigenbewegung sowohl in Rektaszension wie auch in Deklination in arcsec/y. dass infolge der Präzession die Komponenten sich im Laufe der Zeit ändern. Kann man diesen Effekt aber vernachlässigen. Ist t0 die Epoche des Katalogs und t der Zeitpunkt. Rektaszension und Deklination zu den Epochen B1900. Die Unsicherheit wird oft in Millibogensekunden pro Jahr (mas/a oder mas/y: milli-arcseconds per annum bzw. Diese erfolgt auf einem Grosskreis an der Himmelskugel.0 und J2000. Rektaszension . Aus praktischen Gründen wird sie in Katalogen aber in eine Eigenbewegungskomponente µα in Richtung der Rektaszension und in eine Komponente µδ in Richtung der Deklination aufgespalten.5m und liefert für sie eine Fülle von Basisinformationen.122 arcsec/y. in Deklination in Bogensekunden pro Jahr auf. also Bogensekunden pro Jahr. enthält alle 9096 Sterne heller als 6.02 arcsec/y. enthält 258 996 Sterne heller als 9m (ziemlich komplett). ∆δ infolge der Eigenbewegung zwischen t>0 und t wie folgt: ∆α = µα · (t − t0 ) .0. Die zugehörigen Formeln werden im Kapitel über Präzession vorgestellt. Der SAO-Katalog dagegen führt die Eigenbewegung in Rektaszension in Zeitsekunden pro Jahr. 5th revised edition (1991). in welchen Einheiten µα bzw. Andernfalls muss man berücksichtigen.016 arcsec/y. steht für Harvard Revised Photometry Catalogue. Beispiel: BSC Bright Star Catalogue. Der Bright Star Catalogue führt z. Mizar ζ (79) UMa HR 5054 SAO 28 737 µα = 0. µδ = –0.0 sowie die Eigenbewegungskomponenten in den beiden Koordinatenrichtungen zur Standardepoche J2000.. µδ = –0.118 arcsec/y. so kann man die Eigenbewegung in den beiden Komponenten als konstant ansehen. µδ im Katalog geführt werden. inkl. HDNummern werden gerne zitiert. Herausgegeben von der Universität Bonn. Ihre Positionen sind besonders genau vermessen und legen ein Fundamentalsystem für Koordinatenangaben fest. Auf ihn geht der Brauch zurück.0 sowie die Eigenbewegungskomponenten in den beiden Koordinatenrichtungen zur Standardepoche J2000. ergänzt um die südliche Durchmusterung (weitere 133 659 Sterne) für alle von Bonn aus gerade noch sichtbaren Sterne. FK5 (Fundamentalkatalog 5) listet in Part I 1535 Sterne auf. BD Bonner Durchmusterung führt 325 037 Sterne bis zur Helligkeit 9. insgesamt also 4652 Sterne. der 878 besonders genaue Sternörter und 3272 Ergänzungen. . Beide Kennzeichnungssysteme sind bis heute im Gebrauch. darunter die Messier-Objekte. also zuerst die Deklination und dann eine fortlaufende Nummer. der bekannte Katalog von 110 nichtstellaren Objekten. Katalognummern haben folgende Gestalt: BD+55 1598 (Mizar). HD Henry Draper Catalogue. wenn ein griechischer Buchstabe (System Bayer) oder eine Sternbild-Nummer (System Flamsteed) fehlen. BD–8 1063 (Rigel β Ori). in Part II weitere 3117 Sterne. den 1603 der deutsche Jurist und Astronom Johann Bayer (1572 – 1625) veröffentlichte. 580 000 Sterne) und die Cape (Town) Photographic Durchmusterung CPD (450 000 Sterne) ergänzt. Beide Kataloge werden vom ARI Astronomischen Rechen-Institut in Heidelberg herausgegeben. Gegenwärtig wird der FK5 durch den FK6 ersetzt. Die Bonner Durchmusterung wurde durch die Córdoba Durchmusterung CD (Córdoba in Argentinien. den 1712 der englische Astronom John Flamsteed (1646 – 1719) veröffentlichte. der Nachfolger des NGC und der beiden Ergänzungen IC I und IC II (Index Catalogue). insgesamt also 4150 Sterne umfasst.5m . Als zweiter sei der Sternkatalog Historia coelestis Britannica (2800 Sterne) erwähnt. die gleichmässig über den ganzen Himmel verteilt sind. Von den historischen Sternkatalogen sei der Sternkatalog Uranometria erwähnt.141 und Deklination zur Epoche J2000. (R)NGC (Revised New General Catalgue of Nebulae and Clusters of Stars).0. um auch den südlichen Himmel abzudecken. Sterne innerhalb eines Sternbildes mit griechischen Buchstaben zu bezeichnen. ursprünglich am Harvard College Observatory erstellt. Zwei Ergänzungen („Extensions“) erweiterten den Katalog auf insgesamt 359 083 Sterne. Messier Catalogue. BD+55 1603 (Alcor). enthält 7840 Objekte. listete 225 300 Sterne bis etwa zur Helligkeit 9m auf. Abweichend von Bayer verwendete er zur Identifikation von Sternen in einem Sternbild Nummern. vom Himmelsnordpol bis zur Deklination –2°. den Charles Messier (1730 – 1817) von 1771 bis 1784 veröffentlichte. Übungen • Der Doppelstern 61 Cyg gehört zu den Sternen mit einer grossen Eigenbewegung.3s und δ = 27° 57’ 35” bzw. zur Epoche B1900 dagegen α = 21h 02m 24.002”/a lauten die Werte für die Epoche J2000 des BSC. wonach man suchen muss. Wenn seine Koordinaten zur Epoche J2000 α = 21h 06m 54. dass der Himmelspol die Höhe über Horizont h = φ bzw. Heute kann man die Aufgabe noch etwas verfeinern: aus astronomischen Beobachtungen sollen die geografischen Koordinaten Länge λ und Breite φ berechnet werden.10 Positionsbestimmung Die Grundaufgabe der Positionsbestimmung ist so alt wie die Entdeckerlust des Menschen oder die Seefahrt auf dem Meer: durch Beobachtung von Himmelskörpern (Sonne. Beim ersten Verfahren werden Länge und Breite aus separaten Beobachtungen voneinander unabhängig bestimmt. Im Bright Star Catalog BSC wird seine Eigenbewegung bezogen auf die Epoche J2000 mit µα = 4. Wenn die Koordinaten zur Epoche J2000 α = 19h 30m 43.203”/a angegeben. ist die Bestimmung seiner Höhe oder Zenitdistanz nicht so einfach. sind das CDS Centre de Données Astronomiques de Strasbourg und das ADC Astronomical Data Center (NASA).142 Die beiden wichtigsten Server. Mond. Da direkt am Himmelspol kein markantes Himmelsobjekt steht.6s und δ = 38° 44’ 45” betragen. zur Epoche B1900 α = 19h 26m 41. wenn man weiss. Spezielle Kataloge werden auch von anderen Servern zur Verfügung gestellt – eine gezielte Suche mit einer Suchmaschine führt meist relativ schnell zum Erfolg. Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Vorgehensweisen.3s und δ = 27° 44’ 58” betragen: wie gross ist hier der Anteil der Eigenbewegung an der Veränderung? 4.8s und δ = 38° 15’ 10”: wie viel vom Unterschied ist auf die Eigenbewegung zurückzuführen? • Albireo oder β1 Cyg gehört zu den Sternen mit kleiner Eigenbewegung: µα = +0. die im Internet astronomische Daten – wozu gerade die verschiedenen Sternkataloge gehören – zur Verfügung stellen. Einfacher ist es . Zunächst das erste Verfahren: die Bestimmung der geografischen Breite beruht darauf. die Zenitdistanz z = 90° – φ hat.002”/a und µδ = –0. Sterne) soll in einer unbekannten Umgebung die eigene Position bestimmt werden.136”/a und µδ = 3. Beim zweiten Verfahren werden beide Grössen aus den gleichen Messungen ermittelt. t die Uhrzeit (in UT) der Beobachtung. dann ist die Aufgabe gelöst. Kapitel Koordinatentransformationen). t2 und t3 und misst deren zugehörige Höhen h1 . Hat man einen markanten Stern mit bekannten Koordinaten im rotierenden Äquatorsystem. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Oft ist klar. Wird dagegen von einem hellen. das nur ab und zu erfüllt ist. 2. Es ist dann: sin hi = sin δ·sin φ + cos δ·cos φ·cos τi (i = 1. Um ganz sicher zu gehen und die Rechnung zu vereinfachen. muss seine Deklination δ = φ betragen (s. Sie beschreibt je einen Kreis auf der Erdoberfläche. so erhalten wir: sin h1 − sin h2 = cos δ · cos φ · (cos τ1 − cos τ2 ) sin h2 − sin h3 = cos δ · cos φ · (cos τ2 − cos τ3 ) .002 737 909 35 das Verhältnis von Stern. h2 und h3 . 3) wobei τi (i = 1. 3) auf die vorstehende Weise definiert ist. eigene Standort ist. wählt man aber besser drei Zeitpunkte t1 . und wenn w = 1. 2. wenn θ0 die Sternzeit um 0h in Greenwich ist.zu Sonnenzeit bezeichnet: τ = θ−α = θ0 + w · t + λ − α = 0 Diese Gleichung kann man nach λ auflösen.143 über die Beobachtung von Sternen im Zenit: damit ein Stern im Zenit kulminiert. Es gilt dann. Subtrahieren wir die zweite von der ersten und die dritte von der zweiten Gleichung. ist sein Stundenwinkel 0. vermag die Lösung in der Praxis nicht zu überzeugen. leicht identifizierbare Himmelskörper müssen sich an einem bestimmten Punkt des Himmels aufhalten – ein Erfordernis. von denen einer der gesuchte. leicht identifizierbaren Stern mit bekannter Rektaszension und Deklination die Höhen h1 und h2 zu zwei verschiedenen Zeiten t1 und t2 (UT) bestimmt. um welchen der beiden Schnittpunkte es sich beim eigenen Standort handelt. so erhalten wir für jede Höhe eine Gleichung für die Breite als Funktion der Länge. Analoges Vorgehen bei der Bestimmung der Länge: wenn ein Stern mit bekannter Rektaszension kulminiert. Helle und damit auffällige. Obschon damit die Grundaufgabe gelöst ist. dann fallen δ und φ völlig aus den Gleichungen heraus. Verwenden wir auf der rechten Seite das Additionstheorem für den Cosinus: cos(T1 + λ) − cos(T2 + λ) = cos T1 · cos λ − sin T1 · sin λ − cos T2 · cos λ + sin T2 · sin λ und analog für die Differenz im Nenner. Dazu führen wir drei Hilfsgrössenpaare mi und Mi (i = 1. die die folgenden Bedingungen erfüllen: mi · sin Mi mi · cos Mi Daraus wird: tan Mi = tan δ cos(Ti + λ) = = sin δ cos δ · cos(Ti + λ) . mit T = θ0 + w · t − α Damit erhalten wir: sin h1 − sin h2 sin h2 − sin h3 = H = cos(T1 + λ) − cos(T2 + λ) cos(T2 + λ) − cos(T3 + λ) wo H als Abkürzung für den Quotienten der Sinusdifferenzen eingeführt wurde.2.144 Dividieren wir die erste Gleichung durch die zweite.3) ein. Für die weitere Bearbeitung setzen wir: τ = T + λ. Danach lässt sich die Breite φ aus der ursprünglichen Gleichung bestimmen. Durch Termumformungen erhalten wir daraus: tan λ = (cos T1 − cos T2 ) − H · (cos T2 − cos T3 ) (sin T1 − sin T2 ) − H · (sin T2 − sin T3 ) Damit ist die geografische Länge bekannt. Je nach Software muss für die Berechnung der Winkelfunktionen von Grad ins Bogenmass umgerechnet werden. Im allgemeinen wird man drei verschiedene Werte erhalten. ist das ein Hinweis auf einen Fehler in der Rechenprozedur. die Koordinaten eines mobilen Beobachtungsstandortes zu ermitteln. Eine Fehlerquelle könnte sein. dass für die Winkelfunktionen nicht die richtige Einheit gewählt wurde: Sternzeit und Rektaszension sind in Zeiteinheiten gegeben. Sie sollten im Rahmen der Beobachtungsgenauigkeit übereinstimmen. Es empfiehlt sich. Tun sie das nicht. Die vorgestellte Prozedur eignet sich gut für eine astronomische Ortsbestimmung.145 mi = sin δ sin Mi Eingesetzt in den Ausgangsgleichungen erhalten wir: sin hi = mi · sin Mi · sin φ + mi · cos Mi cos φ = mi · (cos Mi · cos φ + sin Mi · sin φ) = mi · cos(φ − Mi ) cos(φ−Mi ) = sin hi mi ⇔ φ = arccos sin hi mi + Mi Während zur Bestimmung der Länge alle drei Beobachtungswerte nötig sind. dennoch für alle drei Messungen die Breite zu berechnen. Sie eignet sich aber nicht für die Navigation auf dem Wasser: in der Zwischenzeit zwischen den einzelnen Messungen verändert das Boot infolge seiner Fahrt die Koordinaten! . die übrigen Winkel in Grad. genügt für die Bestimmung der Breite grundsätzlich ein einzelner. wenn es etwa darum geht. 146 . musste eine kompliziert zusammengesetzte Bewegung postuliert werden.1 Von geozentrisch zu heliozentrisch Im zweiten Jahrhundert nach Christus formulierte der griechische Gelehrte Claudius Ptolemaeus (um 100 n.Kapitel 5 Himmelsmechanik 5. später wohl wegen seines Umfangs »Hè megistè syntaxis« (Grösste bzw. Mars. die Planeten Merkur. In der Schöpfung wurden alle Himmelskörper geschaffen. Venus. Wie viele andere Werke der griechischen Antike wurde sie in Europa zuerst in der arabischen Übersetzung be- 147 .Chr. – um 175 n. sehr grosse Zusammenstellung). Da nun aber die Bewegung der Planeten am Erdhimmel offensichtlich nicht gleichförmig erfolgt. ist für die Gelehrten nur die göttliche. die komplizierten Bewegungen der Planetenschleifen zu erklären. Danach umkreist der Planet nicht direkt die Erde. Da diese Körper zum Himmel und damit zum göttlichen Bereich gehören. Mit dieser Epizykeltheorie gelang es den Astronomen. Aus dem gleichen Grund darf es in diesem Bereich auch keine Veränderungen geben. Sie werden ewig und unveränderlich bleiben. Das gesamte Wissen über Mathematik und Astronomie seiner Zeit legte Ptolemaeus in einem 13-bändigen Werk nieder. Der Mittelpunkt einer weiteren Kreisbahn – des sog. kreist auf einer exzentrischen Kreisbahn um die Erde. ihre Bahnen sind keinerlei Veränderungen unterworfen. nämlich die Kreisbewegung.Chr. Sonne. Dieses Werk hiess ursprünglich »Hè mathematikè syntaxis« (Mathematische Zusammenstellung). Jupiter und Saturn sowie die Fixsterne umkreisen die Erde. Mond. Epizykels –.) das geozentrische Weltbild: die Erde steht im Zentrum des Weltalls. auf dem sich der Planet bewegt. weil perfekte Form einer Bewegung möglich. 148 kannt1 So wird das Werk denn heute meist unter seinem arabisierten Titel »Almagest« zitiert2 . Im mathematischen Teil wurden Anleitungen zur Berechnung von Planetenpositionen vorgestellt. Ergänzend dazu publizierte Ptolemaeus die sog. »Handlichen Tafeln« (»Procheiroi kanones«), die die Berechnungen von Planetenpositionen vereinfachten. Bis ins 17. Jahrhundert galt Ptolemaeus’ Werk als Standard der Wissenschaft3 . An der Wende vom 15. zum 16. Jahrhundert griff Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) eine bereits vom griechischen Gelehrten Aristarchos von Samos (um 310 v.Chr. – um 230 v.Chr.) formulierte Idee wieder auf, nämlich dass die Sonne im Zentrum des Weltalls steht und alle Himmelskörper, die Erde eingeschlossen, um sie kreisen. Dieses heliozentrische Weltbild hatte den Vorteil, dass es wesentlich einfachere Rechnungen ermöglichte, aber sowohl der „gesunde Menschenverstand“ wie auch die Bibel und damit die mächtige Kirche widersprachen dieser Theorie. Sein Werk »De revolutionibus Orbium Coelestium« (etwa »Über die Umläufe der Himmelssphären«) veröffentlichte er im Todesjahr. Seine Berechnungen basierten auf neueren Ausgangsdaten, darum waren sie genauer als diejenigen von Ptolemaeus, aber nicht aufgrund der Theorie: Kopernikus blieb insofern dem aristotelisch-kirchlichen Denken verhaftet, als er Kreisbewegungen annahm. Ein Herausgeber hatte zudem vorsorglicherweise im Vorwort eingefügt, dass es nicht um die Darstellung der Realität gehe, sondern um ein vereinfachtes Rechenverfahren. griechische Fassung wurde erst im 12. Jahrhundert bekannt; fast gleichzeitig wurden die arabische und die griechische Version dann ins Lateinische übersetzt, also in die in Europa gebräuchliche Sprache der Gelehrten. 2 Durch Voranstellen des arabischen Artikels Al vor das Adjektiv Megiste wurde Al Megiste, meist als al-Majisti transkribiert, was schliesslich zu Almagest wurde. 3 Eine Würdigung von Ptolemaeus’ Werk findet sich in einer Webpublikation der Universität Bern. 1 Eine 149 Abbildung 25: Tycho Brahe (Mitte) beim Beobachten an seinem grossen Mauerquadranten 150 Der dänische Adlige und Astronom Tycho Brahe (1546 – 1601) war ein aussergewöhnlicher Mensch – ein Typ Gelehrter, der erst in der kommenden Zeit der aufblühenden Naturwissenschaften zur Regel wurde: nicht theoretische Überlegungen, sondern sorgfältige Beobachtungen und unvoreingenommene Interpretation der Resultate bestimmten sein Handeln. Zwei Ereignisse zeigten ihm, dass mit der alten Theorie nicht alles seine Richtigkeit haben konnte: Im November des Jahres 1572 entdeckte er im Sternbild Kassiopeia einen Stern, der dort nicht hingehörte. Obschon er so hell war wie die Venus, konnte es kein Planet sein. Nach rund einem Jahr verschwand er wieder. Etwas Ungeheures war geschehen: in der Welt der Fixsterne, die als unveränderlich seit der Schöpfung angesehen worden war, war ein neuer Stern entstanden und wieder verschwunden4 . Die einzigen vergänglichen Objekte am Himmel, die Kometen, waren nach damaliger Lehrmeinung Bestandteil des Raums zwischen Erde und Mond, einige hielten sie gar für atmosphärische Erscheinungen. Doch Tycho Brahe konnte beim grossen Kometen von 1577 keine Parallaxe beobachten, was nur die Feststellung zuliess, dass zumindest dieser Komet sich „weit draussen“ im Weltall aufhielt. Wenn schon diese beiden Lehrsätze nicht stimmten, war dann vielleicht das ganze ptolemäische Weltbild falsch? Tycho Brahe baute dank der Unterstützung des dänischen Königs Friedrich II. auf einer Öresundinsel zwei Sternwarten, Uranienborg und Stjerneborg, wo ihm die genausten Beobachtungsinstrumente der damaligen Zeit zur Verfügung standen5 . Rund 21 Jahre lang sammelte er mit Studenten Beobachtungen über die Positionen von Sternen und Planeten, namentlich des Mars. Das Ziel bestand darin, auf der Basis der genauesten zur Verfügung stehenden Beobachtungsdaten eine Entscheidung über das „richtige“ Weltbild zu fällen. Er erreichte bei seinen Beobachtungen eine für damalige Verhältnisse unvorstellbare Genauigkeit von 2 Bogenminuten6 . wissen wir, dass die sog. Supernova 1572 das Endstadium eines Sterns markierte. Bereits 1604 erschien im Sternbild Schlangenträger (Ophiuchus) eine weitere Supernova, die ausführlich von Kepler beschrieben wurde. 5 Das Fernrohr wurde vom deutsch-niederländischen Brillenmacher Hans Lipper[s]hey (um 1570 – 1619) erst 1608, also nach Tycho’s Tod, erfunden. 6 Ein weiterer Hinweis auf die Genauigkeit seiner Beobachtungen: allein mit Hilfe von Visierung gelang es ihm, die Länge des Jahres zu 365d 5h 48m 45s zu bestimmen – wir geben heute dafür bezogen auf die Standardepoche J2000 365d 5h 48m 45.261s an! 4 Heute 151 Abbildung 26: Portraitzeichnung Keplers Nachdem sein Förderer Friedrich II. gestorben war, siedelte er nach Prag über, um dem deutschen Kaiser Rudolf II. als Hofmathematiker und Astrologe zu dienen. Gleichzeitig plante er, seine Beobachtungen auszuwerten und die Frage der Weltsysteme zu klären. Im Auftrag des Kaisers sollte er auch neue Tafeln berechnen, verkürzt vielfach als »Weltharmonik« zitiert). aber hauptsächlich darum. nachdem die Annahme einer Kreisbahn immer einen Restfehler geliefert hatte. Diese publizierte er ihm Jahre 1609 im Buch »Astronomia nova« (Neue Astronomie). auf der Basis seiner genauen Beobachtung bessere Tabellen berechnen zu können. die Beobachtungsdaten richtig zu deuten. was im gregorianischen Kalender dem 4. Die preussischen oder prutenischen Tafeln aus dem Jahr 15517 fussten auf der kopernikanischen Theorie. Sie erreichten eine bis dahin ungekannte Genauigkeit und dienten fast hundert Jahre später Isaac Newton (1642 – 1727)8 bei der Herleitung des Gravitationsgesetzes. . 8 In England galt bei Newtons Geburt noch der julianische Kalender. darum war sein Geburtsdatum der 25. Januar 1643 entsprach. die wahre Gestalt der Planetenbahnen zu bestimmen. die Alfonsinischen Tafeln aus dem 13. Sein umfangreiches Beobachtungsmaterial hinterliess er Kepler. weil die Ausgangsdaten aktueller waren. Er veröffentlichte es im 1619 erschienenen Buch »Harmonices Mundi libri V« (wörtlich »Fünf Bücher zur Harmonik der Welt«. Bevor sie sich jedoch an die Arbeit machen konnten. was ihn zu den ersten beiden nach ihm benannten Gesetzen führte. basierten noch auf der ptolemäischen Idee. Sie waren zwar genauer als die alfonsinischen. die Marsbahn zu verstehen. Dazu holte er auch Johannes Kepler (1571 – 1630) nach Prag. Noch immer zeigten die Tabellen aber erhebliche Abweichungen zur Realität – bis zu 5° konnte die Differenz zwischen berechneter und beobachteter Planetenposition betragen. Jahrhundert. was dann den Schlüssel für alle Planetenbahnen lieferte. Ihm gelang es. Sein drittes Gesetz fand er erst zehn Jahre später. Die darauf basierenden Rudolfinischen Tafeln zur erleichterten Berechnung von Planetenpositionen erschienen erst 1627. der grösser war als die Ungenauigkeit in Tychos Beobachtungsdaten. Deren Vorvorgänger.152 um bequem die Planetenpositionen vorhersagen zu können. Dabei konzentrierte er sich darauf. Schliesslich gelang es ihm. Dezember 1642 [alten Stils]. starb Tycho Brahe. 7 Diese Tafeln dienten den Wissenschaftern als Grundlage für die gregorianische Kalenderreform von 1582. Tycho Brahe hoffte. der auch sein Nachfolger als kaiserlicher Hofmathematiker und Astrologe wurde. 153 Abbildung 27: Portrait Galileis Trotz dieser Erfolge stiess das kopernikanische Weltbild zunächst auf wenig Gegenliebe. Vor allem die Kirchen – katholische und protestantische – verurteilte die neue Lehre im besten Fall als Geistesverwirrung, im schlechtesten Fall als Ketzerei und Gotteslästerung. Galileo Galilei (1564 – 1642) wurde wegen der Ver- 154 breitung der kopernikanischen Lehre 1633 gar von der Inquisition zum Widerruf gezwungen und zu lebenslangem Hausarrest verurteilt. Dieses Urteil wurde erst 1992 von Papst Johannes Paul II. aufgehoben und Galilei formell rehabilitiert. Bis zur Entdeckung der Aberration von Fixsternen durch James Bradley im 18. Jahrhundert gab es allerdings kein Phänomen, das nicht auch durch eine andere als die kopernikanisch-keplersche Theorie erklärt werden konnte. Warum dieses lange Kapitel über ein historisches Thema in einem Buch über astronomische Berechnungen? Weil es uns gerade für Berechnungen einige wichtige Einsichten vermittelt: • Rechnungen und theoretische Herleitungen sind wichtig – ihr Prüfstein ist aber die Übereinstimmung von Rechnung und Beobachtung. Der erste, der dies mit grosser Konsequenz umsetzte, war Tycho Brahe. • Mit dem Fortschreiten der Messgenauigkeit müssen sich auch die mathematischen Modelle entwickeln. Dadurch werden die früheren Berechnungen in der Regel nicht einfach falsch, aber ihr Anwendungsbereich wird stark eingeschränkt. In diesem Buch machen wir davon immer wieder Gebrauch, wenn wir etwa formulieren: „. . . für die Belange des Amateurastronomen genügen . . . “. • Trotz der so genannten kopernikanischen Revolution ist vor allem die Alltagssprache, teilweise aber auch die wissenschaftliche Sprache noch stark vom geozentrischen Weltbild durchsetzt: wir sprechen davon, dass „Himmelskörper im Osten auf- und im Westen untergehen“, dass sie „im Meridian kulminieren“. Oder dass die Planeten „Schleifen vor den Hintergrundsternen beschreiben“. Angesichts solcher Sprachrelikte, die mit entsprechenden Bildern verknüpft und tief in uns verwurzelt sind, sollten wir nicht allzu überheblich auf Kopernikus’, Keplers und Galileis Zeitgenossen herabschauen, die in den neuen Lehren eine Beleidigung des gesunden Menschenverstandes sahen. Übungen • Setzen Sie sich im Internet über die Funktionsweise von Jakobsstab, Quadrant, Sextant, Astrolabium und Armillarsphäre in Kenntnis. Schauen Sie, wie man mit Hilfe eines Nonius die Ablesegenauigkeit verbessern kann. • Tycho Brahe erreichte eine Genauigkeit von 2’, so steht im voranstehenden Text. Um diese Genauigkeit noch besser zu würdigen führen Sie folgende Rechnung aus: nehmen Sie an, die Skalenstriche auf einem Quadranten hätten einen Abstand von 1 mm. Dies soll Wertabständen von 1° / 20’ / 10’ / 2’ 155 entsprechen. Welchen Radius müsste der Quadrant in diesen Fällen jeweils aufweisen? Nachweise: 5.2 Keplergesetze Tycho Brahe war der praktisch begabte Beobachter. Als es darum ging, das Datenmaterial mit fundierten mathematischen Kenntnissen auszuwerten, benötigte er Hilfe. Das war einer der Gründe, warum er Johannes Kepler nach Prag einlud. Nach Tychos Tod brauchte Kepler mehrere Jahre, bis er schliesslich anhand der Marsdaten die Zusammenhänge fand. Das Resultat wird heute als die drei Keplergesetze zitiert: 1. Keplergesetz: Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Keplergesetz: Der von der Sonne zum Planeten gezogene Vektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Keplergesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer grossen Bahnhalbachsen: T12 : T22 ⇔ = a3 : a3 1 2 = T22 : a3 2 = konst T12 : a3 1 Die Bedeutung der drei Gesetze: • Das erste Keplergesetz klärt die Frage der Bahnform. Dabei bricht es mit zwei Lehrmeinungen des Ptolemaeus: das keplersche Weltbild ist heliozentrisch, und es bricht mit der Tradition, dass himmlische Bewegungen „perfekt“ im theologischen Sinne, also kreisförmig sein müssen. Faktisch ist aber die Abweichung der Bahnform vom Kreis bei den grossen Planeten gering, hingegen ist die „Verschiebung“ der Sonne aus dem Mittelpunkt der Bahn deutlich. In der ersten Näherung kann man die Planetenbahnen als exzentrische Kreise beschreiben9 . 9 Das gilt aber nicht für die Mehrzahl der Kometen und Asteroiden. 156 Beispiel: Bei der Erde beträgt der Unterschied zwischen grosser und kleiner Halbachse nur knapp 21 000 km, aber die Sonne ist um rund 2.5 Millionen km aus dem Zentrum der Bahn verschoben. Die Erde hat im Perihel, dem sonnennächsten Punkt ihrer Bahn – den sie anfangs Januar erreicht – einen Abstand von rund 147.1 Millionen km zur Sonne. Im Aphel, dem sonnenfernsten Punkt ihrer Bahn – den sie anfangs Juli erreicht – hat die Erde einen Abstand von rund 152.1 Millionen km zur Sonne10 . • Das zweite Keplergesetz klärt die Art der Bewegung: in Perihelnähe bewegt sich ein Planet schneller als in Aphelnähe. Auf die Erde übertragen bedeutet dies: das Winterhalbjahr der Nordhalbkugel, das vom 23. September bis 21. März dauert, ist kürzer als das Sommerhalbjahr. Der Unterschied macht rund 7 Tage aus. • Das dritte Keplergesetz kann in seiner Bedeutung nicht hoch genug eingeschätzt werden. Die Umlaufzeiten können verhältnismässig leicht bestimmt werden. Die Abstände sind hingegen nur mit grossem Aufwand zu bestimmen. Das dritte Keplergesetz bietet nun aber die Möglichkeit, wenigstens das Verhältnis der Bahnhalbachsen allein aus den Umlaufzeiten zu berechnen. Dazu setzt man die grosse Bahnhalbachse der Erdbahn zu a = 1 AE. Vor diesem Hintergrund erklären sich die grossen Anstrengungen, eine Distanz im Sonnensystem durch Triangulation möglichst genau zu bestimmen. Dadurch wird dann der absolute Massstab im Sonnensystem festgelegt. Nach der Erfindung des Fernrohrs durch Hans Lipper[s]hey (um 1570 – 1619) und seine Verbesserung durch Galilei und Kepler wurden nach und nach bei verschiedenen Planeten Mondsysteme entdeckt. Die Beobachtungen zeigten, dass die drei Keplergesetze auch für deren Bewegung gelten. Anstelle von „Sonne“ steht einfach „der umlaufene Planet“. Ausserdem hat die Konstante des 3. Keplergesetzes für jeden Planeten mit seinem Mondsystem einen anderen Wert. Übungen • Welchen Wert hat die Konstante des dritten Keplergesetzes für das Sonnensystem? Überprüfen Sie den Wert anhand der Daten für Merkur, Venus, Erde und Mars aus dem Anhang. Abstand Erde – Sonne kann offensichtlich nicht die Ursache der Jahreszeiten sein, wenn ihr Abstand zur Sonne dann am kleinsten ist, wenn auf der Nordhalbkugel die kälteste Jahreszeit herrscht. 10 Der Im einfachsten Fall bedeutet dies: wenn ein x-y-Koordinatensystem durch den Mittelpunkt des Kreises gelegt wird. 5. Eine Ellipse kann aber noch anders definiert werden (zweite Definition): Eine Ellipse ist das affine Bild eines Kreises.oder Bleistiftspitze eine Ellipse. Wie gross ist die grosse Halbachse ihrer Umlaufbahn? • Zeigen Sie.8 AU einen Planeten voraus – welche Umlaufzeit müsste dieser Planet haben? Welcher Himmelskörper erfüllt die Bedingungen? • Der Zwergplanet Eris aus der Gruppe der Plutoiden hat eine Umlaufzeit von 556. Welchen Wert hat die Konstante? • Welchen Abstand hat ein geostationärer Satellit vom Erdzentrum? Nachweise: 5. Die sog.97 a um die Sonne. Gärtner konstruieren auf diese Weise ein elliptisches Gartenbeet. Wir tragen darum in diesem Kapitel einiges über die Geometrie von Ellipsen zusammen. Gärtnerkonstruktion nutzt direkt diese Definition: man schlägt in den beiden Brennpunkten je einen Pflock ein (auf Papier: man steckt eine Nadel ein) und legt darum herum eine geschlossene Schnur (oder einen Faden) der Länge F1 F2 + 2a.1 Definition Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P. von daher hat die Konstruktion ihren Namen. Jahrhundert im Abstand von rund 2. für die Erste Definition: F1 P + F2 P = die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist: konst = 2a Die beiden Punkte F1 und F2 heissen die Brennpunkte der Ellipse. so beschreibt die Pflock.157 • Die Titius-Bode’sche Reihe sagte im 18.3 Ellipsengeometrie Für das weitere Vorgehen benötigen wir immer wieder Eigenschaften der Ellipse. so werden die Werte der x-Koordinaten un- . Spannt man die Schnur mit einem weiteren Pflock (oder mit einem Bleistift) und fährt bei immer gestreckter Schnur rund herum. dass für die vier Galileischen Monde des Jupiters das dritte Keplergesetz erfüllt ist.3. Für die konstruktive Darstellung einer Ellipse am Bildschirm eines PC ist diese Definition geeigneter als die Gärtnerkonstruktion. und die Gerade S1 S2 heisst die Hauptachse. Dann gilt: . Die Strecke MS3 = MS4 = b heisst kleine Halbachse. Die in der ersten Definition auftretende Konstante 2a ist tatsächlich das Doppelte der grossen Halbachse a. während die Werte der y-Koordinaten in einem konstanten Verhältnis 1 – f gestaucht oder gestreckt werden. die von M den kleinsten Abstand haben. die vom Mittelpunkt M den grössten Abstand haben. Dazu betrachten wir den Fall. dass P = S1 ist. um wieviel ein Brennpunkt aus der Mitte der Ellipse verschoben ist. heissen die beiden Hauptscheitel der Ellipse. die Nebenscheitel der Ellipse. Analog heissen die beiden Punkte S3 und S4 .158 verändert belassen. 5.3. Sie misst. Die Strecke MS1 = MS2 = a heisst grosse Halbachse. Die Strecke MF1 = MF2 = e heisst lineare Exzentrizität.2 Bezeichnungen Abbildung 28: Verhältnisse an einer Ellipse Die zwei Punkte S1 und S2 . und die Gerade S3 S4 heisst die Nebenachse. durch einen Brennpunkt gezogen.159 F1 S1 + F2 S1 = (a − e) + (a + e) = 2a Zwischen gosser und kleiner Halbachse und linearer Exzentrizität gilt aufgrund des Satzes von Pythagoras die Beziehung: a2 = b2 + e2 ⇔ b = a2 − e2 Die Länge einer halben Sehne. reserviert man in der Himmelsmechanik das Symbol e für die numerische Exzentrizität der Bahnen von Himmelskörpern. In der Himmelsmechanik ist das Symbol ε für die Schiefe der Ekliptik reserviert. Ferner definiert man die numerische Exzentrizität ε11 einer Ellipse als √ a2 − b2 a ε = e a = = 1− b a 2 Damit gilt für den Parameter p: a · (1 − ε2 ) b2 a p = = Der Stauchungsfaktor 1 – f der affinen Abbildung hängt wie folgt mit den definierten Grössen zusammen: √ a2 − e2 a f = a2 · (1 − ε2 ) a 1− f = b a = ⇔ = a−b a = 1 − ε2 Daraus findet man sofort die folgenden Beziehungen. senkrecht zur Hauptachse heisst Parameter p der Ellipse. . Da man die lineare Exzentrizität als eigenständige Grösse praktisch nie braucht. die schon im Kapitel über „Koordinaten auf der Erde“ angegeben wurden (wo f „Abplattung“ hiess): (1 − f )2 11 Die = 1 − ε2 ⇔ ε = f − f2 Symbole e für die lineare und ε für die numerische Exzentrizität sind in der Geometrie üblich. 3 Eigenschaften einer Ellipse Abbildung 29: Brennstrahlen. so halbiert diese gerade den Winkel 2ψ. . Der Fall ε = 0 ist der Spezialfall des Kreises.160 5. In der Akustik bedeutet dies: Schallwellen. die von einem Brennpunkt ausgehen. Dann bilden die beiden Brennlinien F1 P und F2 P in P den Winkel 2ψ. kann man eine Ebene finden.3. Bestimmen wir in P die Tangente an die Ellipse und errichten darauf die Normale. Die Strecke von einem Brennpunkt zu einem beliebigen Punkt P auf der Ellipse heisst Brennlinie. dh. die von F1 ausgehen und an einem elliptischen Gewölbe reflektiert werden. Da für jede Ellipse MF1 = MF2 = e < a gilt. Betrachten wir einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse. werden nach F2 gebündelt. so dass die Ellipse vollständig in dieser Ebene liegt. folgt mit der Definition der numerischen Exzentrizität ε sofort: 0 ≤ ε < 1. werden in den zweiten Brennpunkt reflektiert Die Ellipse ist eine ebene Figur. Dies ist das Prinzip des „Flüstergewölbes“. selbst wenn die Ellipse im Raum steht. dh. e. so hat eine Ellipse in kartesischen Koordinaten folgende Darstellung (t ist ein Winkelparameter im Bogenmass): x2 y2 + 2 a2 b = 1 ⇔ x y = a · cos(t) b · sin(t) (0 ≤ t < 2π) In Polarkoordinaten hängt es davon ab. Um wieviel kürzer ist dann die kleine Halbachse als die grosse Halbachse? • Kennt man von einer Ellipse die grosse Halbachse a und die numerische Exzentrizität ε.75. Aphelstellung? Wie berechnen Sie die Periheldistanz q bzw.bzw. Rechnen Sie nach! = πab = πa2 1 − ε2 . die Achse zeigt in beiden Fällen nach rechts zum Scheitel S1 : r = b 1 − ε2 · cos2 (ϕ) bzw. ob der Ursprung im Mittelpunkt M (erste Formel) bzw. • Wo befindet sich die Erde (oder ein beliebiger anderer Himmelskörper) in Perihel. alle übrigen Stücke lassen sich damit berechnen. im Falle der Erdbahn sei die Sonne rund 2.3. so ist ihre Form eindeutig bestimmt.5 Millionen km aus der Mitte verschoben. im rechten Brennpunkt F1 (zweite Formel) liegt. und zeigt die positive x-Achse in Richtung zum Hauptscheitel S1 .4 Analytische Darstellung einer Ellipse Liegt der Ursprung eines x-y-Koordinatensystems im Mittelpunkt M einer Ellipse. Berechnen Sie mit den Daten aus dem Anhang für die Marsbahn die Parameter b. 1 – f und p. r = p 1 + ε · cos(v) Der Flächeninhalt A einer Ellipse berechnet sich nach der Formel: A Übungen • Konstruieren Sie am PC eine Ellipse als affines Bild eines Kreises! Wählen Sie als Stauchungsfaktor 1 – f = 0. die Apheldistanz Q? • Im vorangehenden Kapitel wurde behauptet. f bzw. die Abweichung vom Kreis betrage aber nur 21 000 km.161 5. p. Berechnen Sie für diese Bahn b. Doch ist es nicht so einfach. Der Abstand r berechnet sich nach dem voranstehenden Kapitel mit einer der folgenden Formeln12 : r = p 1 + e · cos(v) = a · (1 − e2 ) 1 + e · cos(v) = q · (1 + e) 1 + e · cos(v) Wenn es gelingt. e.967.834 AE. q und Q. Der Winkel v heisst wahre Anomalie.162 • Auch der Halleysche Komet beschreibt eine Ellipsenbahn. dies konkret in eine Rechnung umzusetzen. f.4 Keplergleichung Die Position eines Planeten P bezüglich der Sonne S auf seiner Bahnellipse NPC wird durch den Abstand r und den Winkel v bezogen auf die Perihelrichtung SN beschrieben. Man behilft sich wie folgt mit einer Hilfskonstruktion: 12 Beachten Sie die Anmerkung zu den Symbolen e und ε im vorangehenden Kapitel. ε = 0. Für ihn gelten die Daten a = 17. . dann ist die Aufgabe der Positionsbestimmung für die Planeten gelöst. Prinzipiell liegt der Schlüssel zur Lösung im zweiten Keplergesetz. die wahre Anomalie v als Funktion der Zeit zu bestimmen. Deutung? Nachweis: 5. 163 Abbildung 30: Zur Herleitung der Keplergleichung In der nebenstehenden Abbildung bezeichnet S die Lage der Sonne im einen Brennpunkt der Bahnellipse NPC (blau). Man konstruiert nun einen Hilfskreis NHGD mit Zentrum Z und Radius a. Auf diesem Kreis läuft ein virtueller Planet gleichmässig. v die wahre Anomalie zum Zeitpunkt t. Wie man leicht überlegt. erreichen sie es nach der Umlaufzeit T auch wieder gleichzeitig. ZN = a ist die grosse und ZC = b ist die kleine Halbachse der Bahnellipse. SN = q ist die Periheldistanz. seine Umlaufzeit ist gleich gross wie diejenige des Planeten. N ist die Lage des Perihels. Wenn beide Körper gleichzeitig im Perihel N starten. Zwischen Perihel und Aphel eilt der Planet P dem Hilfskörper H voraus. gehen beide Körper auch gleichzeitig durch das Aphel. P den Ort des Planeten auf seiner Bahn zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Position des Planeten P wird durch die wahre Anoma- . zwischen Aphel und Perihel eilt der Hilfskörper H dem Planeten voraus. so erhält man die Position G. Wegen der gleichförmigen Bewegung von H gilt für M im Bogenmass: M = 2π · t − t0 T t0 bezeichnet den Zeitpunkt des Periheldurchganges. Seine Lage wird bezüglich des Zentrums Z durch die exzentrische Anomalie E beschrieben. analog für AGZN : AHZN = M πa · 2π 2 = a2 ·M 2 ⇔ AGZN Die Fläche AGZN zerlegen wir: = a2 ·E 2 . diejenige des Hilfskörpers H durch die mittlere Anomalie M. Wegen der Affinität gilt PB GB b a = Dieses Verhältnis weisen auch die Teilflächen PSN bzw. Die Ellipsenfläche AEll verhält sich zur Kreisfläche AK wie folgt AEll AK = πab πa2 = b a Wird die Position von P parallel zur Nebenachse auf den Hilfskreis projiziert. GSN auf: APSN AGSN = b a ⇔ AGSN = a · APSN b Das projizierte Hilfsobjekt G und das mittlere Hilfsobjekt H überstreichen nach Konstruktion in gleichen Zeiträumen die gleichen Flächen: AGSN = AHZN Für die Fläche AHZN (sie ist der Teil an der gesamten Kreisfläche.164 lie v beschrieben. der proportional zu M ist) gilt. • Als Vorbereitung auf weitere Übungen in den folgenden Kapiteln sei diese Übung gedacht: im einfachsten kopernikanischen Modell laufen die Planeten auf Kreisbahnen gleichförmig um die Sonne. das seinen Ursprung im Zentrum des Kreises hat. Achtung: in der Herleitung haben wir vorausgesetzt. Der Merkur braucht für einen Umlauf um die Sonne rund 88 Tage. q. Berechnen Sie die Position des Planeten in Abständen von 11 Tagen unter dieser vereinfachten kopernikanischen Annahme. Berechnen Sie daraus (sozusagen „rückwärts“) alle weiteren Elemente der Abbildung: e. Im nächsten Kapitel werden wir auf Lösungsverfahren eingehen. ihre Lösung also alles Andere als einfach. Ist M bekannt.5cm .387 AE. dass wir die Keplergleichung unmittelbar aus dem zweiten Keplergesetz und den Eigenschaften von Ellipsen hergeleitet haben. Übungen • Die obenstehende Grafik wurde mit folgenden Daten gezeichnet: a = 17 cm. findet man damit die wahre Anomalie v über folgende Beziehung: v 2 1+e E · tan 1−e 2 tan = Die Keplergleichung ist eine transzendente Gleichung. v. yG . AHZN und AGZN . E. yP .165 AGZN = AGZS + AGSN AGZS ist eine Dreiecksfläche und berechnet sich zu ½ mal Grundlinie mal Höhe. Nachweis: . Berechnen Sie die Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. M und die Flächeninhalte APSN . Damit finden wir: a2 ·E 2 Und daraus schliesslich: E = = a·e a2 · a · sin E + ·M 2 2 M + e · sin E Diese Gleichung nennt man die Keplergleichung. Seine grosse Bahnhalbachse misst a = 0. dass die Winkel im Bogenmass gegeben sind. SN . b = 9. Ist E berechnet. Zu beachten ist. ZB = 6. so lässt sich mit der Keplergleichung E berechnen.5 cm. Man berechnet dann schrittweise: E0 = M E1 = M + e · sin(E0 ) . bei dem schrittweise aus berechneten Werten neue Werte solange berechnet werden. .. .. .166 5. . . In allen anderen Fällen muss die Keplergleichung durch ein numerisches Verfahren genähert gelöst werden. . dann ist E = M. und daraus folgt v = E.5 Lösungsverfahren Wie wir festgehalten haben ist die Keplergleichung eine transzendente Gleichung. Das erste Verfahren beginnt mit E0 = M als Startwert. sondern nur numerische Lösungen für konkrete Werte. –1. Die Untervarianten unterscheiden sich gelegentlich auch durch die Wahl des Startwertes. 1. . –2. . |E3 − E2 | = ∆3 . |E2 − E1 | = ∆2 E3 = M + e · sin(E2 ) . wo M ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. denn sin(k•π) = 0. |E1 − E0 | = ∆1 E2 = M + e · sin(E1 ) ..M) gibt. dass es abgesehen von trivialen Fällen keine analytische Lösung in der Form E = f(e. Anschaulich bedeutet dies.. Dies bedeutet. Die trivialen Ausnahmen betreffen die Fälle. 0. Dabei stehen im Prinzip zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren mit Untervarianten zur Auswahl: • Iterationsverfahren • Reihenentwicklungen Wir beschränken uns im folgenden auf die erste Variante. ). bis sich zwei aufeinander folgende Werte um weniger als eine vorgegebene Schranke unterscheiden. dass sowohl der wahre als auch der auf den Hilfskreis projizierte und der mittlere Planet gleichzeitig durch Perihel und Aphel gehen. Als Iterationsverfahren bezeichnet man ein Verfahren. Ist nämlichM = k•π (k = . 2. B. 1 − e · cos(E1 ) .. dann wird die Iteration abgebrochen. ist das Konvergenzverhalten sehr langsam. 15 Für Mathematiker sei angemerkt. bis es erreicht wird.. einen komplizierteren Ausdruck für die nächste Näherung zu berechnen. 1 − e · cos(E0 ) M + e · sin(E1 ) − E1 . Es kann dann schneller sein. Für kleine numerische Exzentrizitäten e konvergiert14 das vorgestellte Verfahren recht gut.B. Wird die Schranke kleiner gewählt. |E1 − E0 | = ∆1 E2 = E1 + |E2 − E1 | = ∆2 faktisch eine Genauigkeit von besser als 0. wenn die Differenz 4 • 10–6 oder sogar 1 • 10–6 13 unterschreitet.848 • 10–6 genau bestimmen. Solange nur ein einzelner Wert berechnet werden soll. |En+1 − En | = ∆n+1 Die Iteration wird abgebrochen. 14 Konvergenz 13 Was . ist das bei der Rechenleistung der heutigen Computer kein Problem.2” bedeuten würde. Will man z. dann kommen ordentlich viele Rechnungen zusammen und können einen schwächeren PC schon ganz schön fordern. die grösser als 0.167 En+1 = M + e · sin(En ) . differenzierbarer Funktionen handelt. Ein solches Verfahren addiert zu einem Näherungswert En einen Korrekturterm. der mit M. benötigt aber mehr Schritte. bis die Differenz zweier aufeinander folgender Werte – also eigentlich der Korrekturterm – eine vorgegebene Schranke unterschreitet... Ab Werten von e. dass es sich hierbei um das Newtonsche Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen transzendenter. Das Verfahren wird wiederum so lange wiederholt. bis sie schliesslich die vorgegebene Schranke unterschreiten. bedeutet in diesem Zusammenhang: ab einem bestimmten Wert m werden die Differenzen ∆m immer kleiner. dafür deutlich weniger Iterationsschleifen zu durchlaufen. e und En errechnet wird. wenn die Differenz ∆n+1 kleiner als eine vorgegebene Schranke ist. Sollen aber z. E auf 1” = 1/3600° = 4. .5 sind. dann wird das Resultat genauer.4 oder 0. Ephemeriden für 50 oder 100 Asteroiden für ein ganzes Jahr im Tagesabstand berechnet werden. Man berechnet darum schrittweise15 E0 = M E1 = E0 + M + e · sin(E0 ) − E0 . Wir erhalten dann die Reihe: E0 = 0. bis die Schranke unterschritten wird.967 ist die numerische Exzentrizität für die Bahn des Halley’schen Kometen. 1 − e · cos(En ) |En+1 − En | = ∆n+1 Wir lösen zunächst die Keplergleichung nach der ersten Methode für M = 15° = 0.175 0821 16 e 17 e = 0.000 0000 Die Tabellenkalkulation OOo Calc zeigt an. wird sie um den Faktor 10 vergrössert.093416 mit der Schranke 0.285 9731 ∆1 = 0. dass mit der siebten Iteration die Genauigkeitsschranke unterschritten wird.288 3414 ∆3 = 0.024 1737 E2 = 0.910 7011 ∆3 = 0.521 844° und v = 18. wie gross M ist.000 0001 E7 = 0.261 7994 und e = 0.735 6190 ∆2 = 0. sind es 6 Iterationsschritte.0934 ist die numerische Exzentrizität der Marsbahn. bis die Schranke 0.261 7994 E1 = 0. .96717 .000 0174 E5 = 0.288 3606 ∆6 = 0.168 En+1 Beispiele: = En + M + e · sin(En ) − En . nahezu unabhängig davon.223 5416 E3 = 0. dann ist E = 16. Es sind dann 21 Iterationsschritte notwendig.250 2780 E2 = 0. = 0. Bei gleicher Exzentrizität sind es immer etwa 7 Iterationsschritte.118 566° (e = 0.002 1736 E3 = 0.288 3606 ∆7 = 0.288 1467 ∆2 = 0.288 3604 ∆5 = 0.0934).000 1947 E4 = 0.000 0001.512 0774 ∆1 = 0. Betrachten wir nun aber M = 15° und e = 0.288 3589 ∆4 = 0. sind es 8 Iterationsschritte.000 0016 E6 = 0.261 7994 E1 = 0. Wird die Schranke um den Faktor 10 verkleinert.000 0001 unterschritten wird: E0 = 0. Damit haben wir das Resultat gefunden: Wenn M = 15°. 025 6654 ∆4 = 0.097 2202 ∆2 = 0. Beispiel: Nehmen wir nochmals e = 0.384 9827 ∆1 = 2.097 2202 ∆3 = 0.967 wird aber die Schranke erst nach der Iteration mit der Nummer 396 unterschritten. rad = 136.097 2533 ∆1 = 042 9271 E2 = 3. Das Ergebnis ist E = 177.088 6419 ∆5 = 0. . .457 649° und daraus v = 179.000 0000 Das zweite Verfahren konvergiert also sehr schnell zur Lösung E = 177.169 E4 = 1. Zum anderen kann ein neues Problem auftreten: statt stetig zum Lösungswert zu konvergieren.054 3262 E1 = 3. Iterationsschritt erreicht.443 5943 .258 779° mit dem 8. so wird die Schranke bereits nach dem 3. Dann wird das Ergebnis E = 42.967. Es hat allerdings zwei Nachteile und sollte darum nicht einfach bedenkenlos eingesetzt werden: zum einen ist es mit zwei zu berechnenden Winkelfunktionen und einem Bruch für den Computer deutlich aufwendiger als das erste Verfahren. Bei M = 175° und e = 0. Dies ist speziell bei Exzentrizitäten ganz nahe bei 1 der Fall. aber M = 5°.670 648°.425 6490 ∆2 = 0.360 217° und daraus v = 157.384.114 9643 E5 = 1.670 647°.959 3337 E3 = 0.087 2665 E1 = 2.457 645° und daraus v = 179.062 9764 E6 = . können die Werte anfänglich oszillieren. .169 691°.649 441° (!): E0 = 0.000 0330 E3 = 3.982 0547 ∆3 = 0.297 7162 E2 = 1. Iterationsschritt erreicht: E0 = 3. Iterationsschritt findet man als Resultat: E = 65. Dies ist bei Exzentrizitäten nahe 1 der Fall. wenn das erste Verfahren zu einer sehr grossen Anzahl Iterationsschritte führt. . Der erste Iterationsschritt liefert allerdings einen völlig unsinnigen Wert von E1 = 2. Setzen wir dafür aber das zweite Iterationsverfahren ein. Nach dem 21. Es kann damit seine Vorteile erst dann ausspielen. 652 6.963° -5’996.955° -87.196 5.049 1.464 228.664 -36.458 267.816 -1.698 36.869° 275.967 26.600 0.437 42.562° -11..720 6.000° 832.652 0.737 5622 ∆6 = 0.909 18.682 0.345 0.419 -0.501 186.536 4.283 49.813 42.951 -104.570 108.737 5548 ∆8 = 0.789 123.586 -12.445° 56.118 34.069 36.450 -2.842° 71.207 0.432° 105.414 9.434° 2’432.000 0000 Dieses Verhalten wird besonders deutlich bei grossen Werten für e: Beispiel: Wählen wir e = 0.529 -0.786 3955 ∆4 = 0.000 0073 E8 = 0.662 130.848 -0.125 -101.247 0.943° -3.767 -0.518° .350° 7’099.611° -48.195 6591 E5 = 0.647° 4’859.313° -43.411° -737.624 84. Ausnahmsweise sind auch die Zwischenwerte in Grad umgerechnet: E0 = E1 = E2 = E3 = E4 = E5 = E6 = E7 = E8 = E9 = E10 = E11 = E12 = E13 = E14 = E15 = E16 = E17 = E18 = E19 = E20 = E21 = E22 = E23 = E24 = E25 = 0.227° -150.147 110. dann finden wir das Resultat nach Iterationsschritt 29 – aber sehen Sie sich die ersten Iterationswerte an. ∆1 = ∆2 = ∆3 = ∆4 = ∆5 = ∆6 = ∆7 = ∆8 = ∆9 = ∆10 = ∆11 = ∆12 = ∆13 = ∆14 = ∆15 = ∆16 = ∆17 = ∆18 = ∆19 = ∆20 = ∆21 = ∆22 = ∆23 = ∆24 = ∆25 = .536° 14’598..381 13.999 und M = 7°.297° -5’822.002 5263 E7 = 0.615 68.261 .170 E4 = 0.046 3071 E6 = 0.626 -1.444 -210..740 0885 ∆5 = 0.847 1.881 105.076 1.122 14.786° -12’039.201 0.225° 340.442° 1’056.498° 778.872 254. 14.363 45.986 7..451° -81.737 5548 ∆7 = 0.961° 2’065.812° -2’084. 912 0.272° 52.270° ∆26 = ∆27 = ∆28 = ∆29 = 0.und Aphelposition gemeinsam haben. Keplergesetzes etwas besser zu verstehen. Mit einer einfachen Massnahme kann man das Konvergenzverhalten stark beeinflussen: man wählt als Startwert fix E0 = π. den wir zur Herleitung der Keplergleichung gezeichnet haben.171 E26 = E27 = E28 = E29 = 0. Berechnen Sie wiederum die x-y-Koordinaten für ein System mit dem Ursprung in der Sonne. Zum Schluss sei angemerkt.558° 52.und Ellipsenbahn Perihel.917 0. Iterationsschritt das Ergebnis erreicht. dass die Ergebnisse stark von der eingesetzten Softund Hardware abhängen. dass der Nenner nahezu Null werden kann. Es ist ohne weiteres möglich.2056. Ein guter Rat: testen Sie die Implementation des Algorithmus sorgfältig. Der zu berechnende Winkel entspricht M. Merkur läuft auf einer elliptischen Bahn mit a = 0. Die Bahn des Halley’schen Kometen hat eine grosse Halbachse von a = 17. • Um die Bedeutung des 2. mit wievielen Stellen das Programm intern rechnet.000 0.387 AE und e = 0. Nachweise: .270° 52.069 0. In diesem Kapitel sollen Sie nun die Merkurpositionen unter zwei anderen Bedingungen rechnen: 1. Merkur läuft gleichmässig auf einer exzentrischen Kreisbahn. dass Sie mit Ihrer Software auf Ihrem Rechner andere Zwischenergebnisse erhalten – das Schlussresultat sollte davon allerdings unbeeinflusst bleiben.912 52.912 0. wenn M = 0° / 45° / 90° / 120° / 150° / 170° / 175° / 179° misst. besonders davon. Der Kreis entspricht dem Hilfskreis.005 0. Für diese Aufgabe müssen Sie die Keplergleichung lösen und die wahre Anomalie v berechnen. Dann ist bereits nach dem 7. berechnen Sie die wahre Anomalie v und den Abstand r von der Sonne für den Halley’schen Kometen. Vergleichen Sie die Lösungen der drei Aufgaben. und es gibt keine oszillierenden Werte. wobei Kreis. 2.967.834 AE und eine numerische Exzentrizität von e = 0.000 Das Verhalten hängt damit zusammen. bevor Sie Ihre Software produktiv einsetzen! Übungen • Im voran stehenden Kapitel haben Sie die Merkurpositionen für eine heliozentrische Kreisbahn berechnet. 172 5.6 5.6.1 Bahnelemente Bahnelemente Die Ebene, in der die Erdbahnellipse liegt, ist die Ekliptik. Die Ebenen, in denen die Bahnellipsen der übrigen Himmelskörper liegen, sind nicht mit der Ekliptik identisch. Um die Ebene einer Objektbahn im Raum bezogen auf die Ebene der Ekliptik, dann die Lage der Bahnellipse in der Ebene, und die Position des Himmelskörpers auf der Bahn in Abhängigkeit der Zeit beschreiben zu können, benötigen wir die Bahnelemente: Abbildung 31: Die Bahnelemente 173 • Die große Halbachse a der Bahn beschreibt die Größe der Bahn; sie wird in der Regel in AE, seltener in km angegeben. Bei Kometen wird stattdessen in der Regel die Periheldistanz q angegeben. • Die numerische Exzentrizität e der Bahn ist ihr Formparameter und gibt an, wie sehr die Bahn von der Kreisform abweicht; sie ist bei geschlossenen Bahnen eine reine Zahl im Bereich 0 ≤ e < 1 und bei offenen Bahnen, also Objekten, welche einmalig auftauchen, ≥ 1 . • Die Neigung i der Bahnebene gibt den Winkel zwischen der Bahnebene und der Ekliptik; sie wird in den üblichen Winkelmaßen gemessen. Ist 0 ≤ i ≤ 90° (π/2), dann ist der Himmelskörper rechtläufig, dh. seine Bewegung erfolgt im Gegenuhrzeigersinn, wenn man vom Nordpol der Ekliptik auf die Bahnebene blickt. Ist dagegen 90° < i ≤ 180°, dann ist der Himmelskörper rückläufig und läuft – verglichen mit der Norm der Mehrheit der Planeten und übrigen Körper im Sonnensystem – in der „verkehrten“ Richtung um die Sonne. • Die Länge des aufsteigenden Knotens Ω, gemessen in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt im Gegenuhrzeigersinn. Wenn der Himmelskörper auf seiner Bahn läuft, befindet er sich oberhalb oder unterhalb der Ekliptikebene. Der Punkt in der Ekliptikebene, wo der Planet von negativen zu positiven Werten der Ekliptikbreite wechselt, heisst aufsteigender Knoten . Da, wo der Planet von positiven zu negativen Werten der Ekliptikbreite wechselt, befindet sich der absteigende Knoten . Die in der Ekliptikebene gelegene Gerade, die aufsteigenden und absteigenden Knoten miteinander verbindet, heisst Knotenlinie. Die Länge des aufsteigenden Knotens legt die Lage der Bahnebene im Raum fest. • Das Perihelargument ω, gemessen in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zum Perihel. Gelegentlich wird der Winkel angegeben, der in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt bis zum aufsteigenden Knoten, dann in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zum Perihel gemessen und der als Länge des Perihels ω bezeichnet wird. Es gilt also: ω = Ω + ω. Dabei wird Ω in der Ekliptikebene, ω aber in der Bahnebene des Himmelskörpers gemessen. Dieser Winkel bestimmt die Lage der Ellipse in ihrer Ebene. • Die mittlere Länge L des Himmelskörpers, gemessen in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt bis zum aufsteigenden Knoten, dann in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zur mittleren Position des Planeten, also L = Ω + ω + M = ω + M. Statt der mittleren Länge kann auch direkt die mittlere Anomalie M für einen be- 174 stimmten Zeitpunkt gegeben sein. Bei Kometen wird stattdessen die Epoche des Periheldurchgangs T0 angegeben. Damit ist die Position des Himmelskörpers auf seiner Bahn zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt. • Die mittlere tägliche Bewegung n in Grad pro Tag, wodurch die Bewegung in der Bahn festgelegt ist. Ist n nicht gegeben – was z.B. bei Kometendaten die Regel ist – dann kann die Größe über das dritte Keplergesetz berechnet werden: n = 0.985 607 6686 √ a· a 5.6.2 Mittlere und oskulierende Bahnelemente Wie wir noch sehen werden, sind Planetenbahnen nicht fix. Dies bedeutet, dass die Bahnelemente nicht konstant sind (bzw. im Falle von L oder M gleichmässig zunehmen), sondern sich im Laufe der Zeit verändern. Es gibt zwei Varianten, wie unter diesen Umständen Bahnelemente publiziert werden: • Für die großen Planeten werden sog. mittlere Bahnelemente publiziert, die sich entweder auf die aktuelle Ekliptik oder aber auf die Ekliptik einer bestimmten Epoche (aktuell in der Regel J2000.0) beziehen. Damit wird eine mittlere Planetenbahn beschrieben. Die so berechneten mittleren Positionen weichen also von den wahren Positionen ab, sind aber genauer, als wenn man mit unveränderlichen Werten rechnet. Die mittleren Bahnelemente der großen Planeten haben nach P. Bretagnon18 die Gestalt eines Polynoms in T, wobei T die verflossene Zeit seit der Standardepoche J2000.0 darstellt, gemessen in julianischen Jahrhunderten: T = JDE − JD0 36 525 a0 + a1 · T + a2 · T 2 + a3 · T 3 • Für Asteroiden und Kometen werden oskulierende Elemente bevorzugt19 . Unter einer oskulierenden Bahn versteht man eine Bahn, die eine ungestörte Ellipsenbahn darstellt und die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt (ihrer 18 P. Bretagnon „Théorie du mouvement de l’ensemble des planètes. Solutions VSOP82“. Astro- nomy and Astrophysics 214 (1982) 19 Das britisch-amerikanische Jahrbuch liefert für die großen Planeten jährlich oskulierende Elemente im Abstand von 40 Tagen. 175 Epoche) möglichst genau an die wahre Bahn anschmiegt. Die oskulierende Bahn wird durch die oskulierenden Elemente beschrieben. In der Nähe der Epoche sind die Positionen, die mit oskulierenden Elementen beschrieben werden, sehr genau. Doch je weiter entfernt der Zeitpunkt ist, desto ungenauer wird die berechnete Position. Beispiele: Oskulierende Bahnelemente für einen Kometen bzw. einen Asteroiden. Komet 14P/Wolf; Periheldurchgang 2009-02-27.2056 (TT); Periheldistanz q = 2.724147 AU; Exzentrizität e = 0.358104; Perihelargument ω = 158.9747° (J2000.0); Knotenlänge Ω = 202.1223° (J2000.0); Neigung i = 27.9413° (J2000.0); Epoche 2008-11-30; (. . . ) Asteroid (433) Eros; (. . . ); Epoche 2008-11-30; mittlere Anomalie M = 79.89021°; Perihelargument ω = 178.66683°; Knotenlänge Ω = 304.37577°; Neigung i = 10.83090°; Exzentrizität e = 0.2229127; mittlere tägliche Bewegung n = 0.55981629°/day; große Halbachse a = 1.4580498 AE; (. . . ) 5.6.3 Berechnung von Koordinaten Sind nach den beschriebenen Verfahren die Bahnelemente und durch das Lösen der Keplergleichung die wahre Anomalie v bekannt, kann die Position des Körpers im heliozentrischen Ekliptiksystem berechnet werden. Dazu werden zunächst die rechtwinkligen planetenbezogenen Koordinaten berechnet: in diesem System zeigt die x”-Achse von der Sonne zum aufsteigenden Knoten , die Komponente in Richtung dieser Achse beträgt x = r · cos(ω + v) . Die y”-Achse liegt in der Bahnebene und steht im rechten Winkel zur x”-Achse in der Richtung zunehmender v-Werte. Die Komponente in Richtung dieser Achse hat den Wert y = r · sin(ω + v) . Die z”-Achse steht senkrecht auf der x”- und der y”-Achse, und zwar so, dass die drei Achsen ein rechtshändiges System bilden. Da die Ellipse eine ebene Figur ist, gilt für die dritte Koordinate der Planetenposition z” = 0. Durch zwei aufeinander folgende Koordinatentransformationen werden die x”y”-z”-Koordinaten in die heliozentrischen ekliptikalen x-y-z-Koordinaten übergeführt: zuerst wird das Koordinatensystem um den Winkel –i um die x”-Achse gedreht, so dass die y”-Achse in die in der Ekliptikebene liegende y’-Achse gedreht wird, und die z”-Achse zur z-Achse wird. Das so entstandene x’-y’-z’-System wird um den Winkel –Ω um die z’-Achse (identisch mit der z-Achse) gedreht, womit die x’-Achse auf die x-Achse und die y’-Achse auf die y-Achse zu liegen kommt: wir haben die Transformation ins gewünschte Koordinatensystem 176 erreicht. Das Ergebnis dieser Transformation wird durch folgende Gleichungen beschrieben: x y z = = = r ·(cos u cos Ω − sin u cos i sin Ω) r ·(cos u sin Ω − sin u cos i cos Ω) r · (sin u sin i) = = = r cos v·Px + r sin v·Qx r cos v·Py + r sin v·Qy r cos v · Pz + r sin v · Qz In diesem Gleichungssystem bedeuten u = ω + v die Länge des Planeten von der x”-Achse aus gemessen; ferner haben wir die Abkürzung P = (Px , Py , Pz ) bzw. Q = (Qx , Qy , Qz ) benutzt, wobei gilt: Px Py = = + cos ω cos Ω − sin ω cos i sin Ω + cos ω sin Ω + sin ω cos i cos Ω Pz Qx Qy = = = + sin ω sin i − sin ω cos Ω − cos ω cos i sin Ω − sin ω sin Ω + cos ω cos i cos Ω Qz = + cos ω sin i P und Q sind zwei Vektoren, wobei P in der Bahnebene in Richtung des Perihels zeigt, und Q dazu senkrecht steht. Zu Ehren des großen deutschen Mathematikers werden sie Gauss’sche Vektoren genannt. Sie haben den großen Vorteil, nur von den drei Bahnelementen Ω, ω und i abhängig zu sein. Wenn man mittels oskulierender Elemente Ephemeriden für Asteroiden oder Kometen berechnet, bleiben die Gauss’schen Vektoren konstant – sie müssen also nur einmal berechnet werden. Sind die heliozentrischen, ekliptikalen Koordinaten x, y, z berechnet, können daraus die heliozentrischen Ekliptikkoordinaten r, l und b berechnet werden, oder wenn die Koordinaten X , Y und Z der Sonne bekannt sind, können daraus geozentrische Ekliptikkoordinaten ∆, λ und β berechnet werden und bei bekannter Schiefe der Ekliptik ε schliesslich die Äquatorkoordinaten α und δ. 177 5.6.4 Beispielrechnung Der Asteroid 4 Vesta steht am 1.11.2008 in Opposition zur Sonne. Wir berechnen für den 30.10.2008 ihre Position nach der vorgestellten Methode. Auf dem Server der russischen Akademie der Wissenschaften (Institut für angewandte Astronomie) findet man die Bahnelemente von nahezu 200 000 Asteroiden20 . Für 4Vesta lauten die benötigten Daten: Name = 4 Vesta; H = 3.20; G = 0.32; Epoch = 2008 10 11; JD = 2454750.5; Mean.anm. M = 131.28843°; Perihel. ω = 149.84691°; Node Ω = 103.91448°; Incl. i = 7.13521°; Eccentr. e = 0.0890999; Mean mot. n = 0.27165141°/day; Semim.axis a = 2.3611744 AE; (. . . ) H und G sind Parameter zur Bestimmung der Helligkeit, auf die wir später eintreten werden. Die weggelassenen Daten geben Hinweise auf die Genauigkeit der Elemente und die Quellen. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Rechnungen: Größe Erde (bzw. Sonne) Datum 0 : T0 = Datum 1 : T1 = M0 = a= e= i= Ω= ω= L0 = n= d = T1 - T0 M = M0 + d • n E(M) = v= xhelio = 20 Link: Asteroid 11.10.2008 2 454 750.50 30.10.2008 2 454 769.50 131.2884300 11.10.2008 2 454 750.50 30.10.2008 2 454 769.50 2.2914154 2.3611744 0.0890999 0.1245329 1.8136498 2.6153220 – 0.0047412 19.0000000 2.3814984 2.4390699 2.4948410 2.0042555 21.10.2008 2 454 760.50 30.10.2008 2 454 769.50 286.6739000 0.0000000 – 103.1390000 29.8129000 0.9856190 9.0000000 295.5444710 294.6735845 293.7996024 21.10.2008 2 454 760.50 30.10.2008 2 454 769.50 5.0034034 0.9999930 0.0167270 0.0000000 – 1.8001151 0.5203333 0.0172023 9.0000000 5.1582241 5.1430243 5.1277704 0.7936933 7.1352100 103.9144800 149.8469100 – 0.2716514 19.0000000 136.4498068 139.7484091 142.9438618 http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/enguemp.htm 178 yhelio = zhelio = r= l= b= xgeo = ygeo = zgeo = ∆= λ= β= ε(30.10.08) = ∆= α= δ= 0.5967584 0.0000000 0.9930104 0.6447002 0.0000000 –0.7936933 –0.5967584 0.0000000 0.9930104 3.7862929 0.0000000 0.4091043 1.5029109 –0.2887734 2.5217398 0.6434115 –0.1147653 1.2105622 0.9061525 –0.2887734 1.5394685 0.6425651 –0.1886977 0.4091043 36.9386024 0.0000000 (der Sonne:) 36.8647607 –6.5755679 216.9386024 0.0000000 23.4399500 36.8162696 –10.8115839 23.4399500 14.3066017 –13.8307163 0.9930104 3.7454596 –0.2413915 2.5342151 3.5570874 1.5394685 0.6634560 0.0620829 In der ersten Spalte für jeden Himmelskörper stehen die Winkelgrößen in Grad, in der zweiten Spalte die gleichen Größen im Bogenmaß. Erstens sind gewisse Gleichungen wie z.B. die Keplergleichung ausdrücklich im Bogenmaß formuliert, zweitens verwenden viele Software-Pakete im Zusammenhang mit den Winkelfunktionen ausschliesslich das Bogenmaß. Doch ist das Gradmaß für die meisten Menschen anschaulicher. T0 bzw. Datum 0 ist das Datum der Epoche, für die die Bahnelemente gegeben sind. T1 bzw. Datum 1 ist das Datum, für das gerechnet wird. In den folgenden Zeilen stehen die Bahnelemente. Da die Erdbahnebene gleich der Ekliptik ist, ist i = 0, Ω ist undefiniert, und ω ist die von der Achse zum Frühlingspunkt aus gemessene Länge des Perihels. Für die Erde ist nicht die mittlere Anomalie M0 zur Epoche T0 angegeben, sondern die mittlere Länge L0 = ω + M0 . Die mittlere Anomalie muss also zuerst berechnet werden. In den folgenden fünf Zeilen sind die Daten und Lösungswerte der Keplergleichung. Daraus berechnet man die heliozentrischen kartesischen Koordinaten xhelio = (xhelio , yhelio , zhelio ). Für den Asteroiden benutzt man dazu die Gauß’schen Vektoren P = (Px , Py , Pz ) = (–0.2758623, –0.9591700, 0.0623928) und Q = (Qx , Qy , Qz ) = (0.9536057, 10.9 • Gerundet lauten die Koordinaten: α = 14h 18. Das genaue Datum der Opposition ist 2008–11–1. die Epoche der oskulierenden Bahnelemente und der Zeitpunkt . δA = 3° 33’. • Bei den Berechnungen haben wir nicht berücksichtigt: Unterschied UT zu TT.3m .939°. Für die Erde können die Gauß’schen Vektoren nicht berechnet werden. dass die heliozentrische ekliptikale Länge für die Erde und den Asteroiden fast gleich ist (l⊕ = 36. αA = 2h 32. die Lichtzeit. berechnen sich für die Erde die drei Koordinaten wie folgt (die Erdbahnebene ist die Ekliptik. Daraus werden die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten (∆. δ). darum ist die z-Komponente Null): x = r ·cos(v+ω) . β) berechnet. unsere Koordinaten sind zur aktuellen Epoche gerechnet. lA = 36.10. αA = 2h 32.2812484. δ = –13° 50’. und mit der Schiefe der Ekliptik ε zur Epoche 30. und die wahre Länge der Erde bezüglich dieser Achse ω + v beträgt. Dabei gilt: xgeo = –xhelio⊕ . da Ω nicht bestimmt ist.0 berechnet (damit sie sich problemlos in eine Sternkarte eintragen lassen). Der Abstand r zur Sonne wird für beide Himmelskörper nach der Formel a · (1 − e2 ) 1 + e · cos v r = berechnet. δA = 3° 35’. z = 0 Daraus werden die heliozentrischen ekliptikalen Koordinaten (r. λ. dass der Asteroid am Erdhimmel nahe der Oppositionsstellung zur Sonne steht. wie im Kapitel „Koordinatentransformation“ beschrieben. aus dem Jahrbuch der Sternenhimmel wurden für den 30.4m . δ = –13° 49’.865°) zeigt. Epochenunterschiede: die Vestakoordinaten im Jahrbuch sind für die Epoche J2000. Für den Asteroiden gehen wir vor. • Die Tatsache.08 schließlich die rotierenden Äquatorkoordinaten (α. Zur Interpretation der Ergebnisse folgende Bemerkungen: • Alle Zwischenergebnisse wurden immer mit voller Stellenzahl weiterverwendet – das Endergebnis soll aber vernünftig gerundet werden. b) berechnet. Als nächstes werden für die Sonne und den Asteroiden die geozentrischen ekliptikalen kartesischen Koordinaten berechnet.1m .1074038). –0. Aber da die heliozentrische x-Achse zum Frühlingspunkt zeigt.2008 durch lineare Interpolation folgende Werte für die Koordinaten gefunden: α = 14h 18.4m . l. y = r ·sin(v+ω) .179 –0. Berücksichtigen Sie in einem zweiten Durchgang den Effekt der Lichtzeit. Zudem sind einzelne Bahnelemente mit einer vergleichsweise geringen Genauigkeit angegeben. Das Ziel ist es aber. Übungen: • Wiederholen Sie die Rechnung für die Vesta zum genauen Oppositionszeitpunkt 2008–11–01. Berechnen Sie für diesen Zeitpunkt mittels der oskulierenden Bahnelemente nach vorstehendem Muster eine Ephemeride für den Planeten und bestätigen Sie so die Aussage. noch genauere Ergebnisse zu rechnen. • Mars soll nach dem Jahrbuch der »Sternenhimmel 2008« am 5. Welche Verbesserung bringt das für die Ephemeride? Nachweise: . Dezember 2008 um 23:04h in Konjunktion zur Sonne stehen.180 der berechneten Ephemeriden sind nicht identisch.9. Angesichts dieser nicht berücksichtigten Effekte dürfen die Resultate bereits als sehr befriedigend bezeichnet werden. 181 . 182 5.7 Newtonsche Mechanik Abbildung 32: Isaac Newton . tdie Zeit („time“). Ergänzend zu den Bewegungsgesetzen formulierte er das Gravitationsgesetz als Anziehung zwischen beliebigen Körpern. In den meisten Fällen stimmt das auch.] – 1727[greg. Newtons Ansatz hat sich aber bewährt. In seinem 1687 erstmals veröffentlichten Hauptwerk »Philosophiae Naturalis Principia Mathematica« (Mathematische Grundlagen der Naturwissenschaften) formulierte er vier Gesetze. dass die Bewegungen im Weltall den gleichen Gesetzen folgen sollten wie die Bewegungen auf der Erde. 22 Streng genommen gilt dieses Gesetz nur für beliebig kleine Zeiteinheiten ∆t. adie Beschleunigung („acceleration“). spielt keine Rolle. Es war jedoch dem Engländer Sir Isaac Newton (1642[jul. oder für den die einwirkenden Kräfte sich aufheben. vdie Geschwindigkeit („velocity“). dass die Masse des bewegten Körpers unveränderlich sei. Dabei haben wir vorausgesetzt. Damals war es ein revolutionärer Gedanke. mdie Masse des bewegten Körpers. Die durch die Kraft F hervorgerufene Änderung der Bewegungsgrösse p ist zu dieser proportional.183 Bereits Kepler hatte vermutet. 21 Ob . auf den keine Kraft einwirkt. eine geschlossene Theorie der Mechanik zu entwickeln. oder wie der Mathematiker sagt: im Grenzfall. und beide Vektoren haben die gleiche Richtung. Mathematisch21 : → − F ≡ F = = m· ∆v ∆t ∆p ∆t = = m·a ∆(m · v) ∆t In dieser Gleichung bedeuten: F die Kraft („Force“). p = m•’vdie Bewegungsgrösse oder der Impuls. Zwei bekannte Ausnahmen sind die Raketen und die Kometen. dass ∆t gegen Null strebt. Vektoren mit fett gedruckten Formelsymbolen oder mit einem Pfeil über dem Formelsymbol dargestellt werden. sofern wir im Rahmen der klassischen Physik bleiben. die für alle Bewegungen auf der Erde und im Weltall gelten. wodurch sich ihre Gesamtmasse ändert. ∆ steht als Symbol für die Änderung der dahinter stehenden Grösse22 . die beide Masse ausstossen.]) vorbehalten. Erstes Gesetz oder Trägheitsprinzip: Ein Körper. die auch die Planetenbewegungen umfassten. Zweites Gesetz oder Aktionsprinzip: Ursache für die Bewegungsänderung eines Körpers ist eine Kraft. verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinig-gleichförmigen Bewegung. dass eine von der Sonne auf die Planeten ausgeübte Kraft für deren Bewegung verantwortlich und so letztlich Ursache der von ihm gefundenen Gesetzmässigkeiten sei. Viertes Gesetz oder Superpositionsprinzip: Abbildung 33: Vektoraddition in der Ebene . Die beiden Kräfte sind gleich gross. aber entgegen gesetzt gerichtet. und wirken auf verschiedene Körper.184 Drittes Gesetz oder Reaktionsprinzip: Kräfte treten immer in Paaren auf: übt ein erster Körper auf einen zweiten Körper die Kraft F12 aus. Die offensichtlichste Bestätigung dieses Gesetzes sieht man beim Zusammenstoss zweier Billardkugeln oder am Rückstoss eines feuernden Geschützes. so übt der zweite auf den ersten die Kraft F21 = –F12 aus. k2 ist eine Konstante des Sonnensystems. Gravitationskonstante: G = 6.185 Wirken auf einen Körper n verschiedene Einzelkräfte F1 . + Fn . Ihr Betrag berechnet sich nach der Formel: F = G· m1 · m2 r2 G ist die sog. F2 . dass sich Kräfte gegenseitig nicht beeinflussen. . Im Sonnensystem ist m1 = M (Einheit für die Massenbestimmung im Sonnensystem ist die Sonnenmasse). und m2 als Masse des Planeten kann als Bruchteil µ der Sonnenmasse geschrieben werden: m2 = µ • M . k2 heisst Gauss’sche Gravitationskonstante. Damit erhält das Gravitationsgesetz für Körper im Sonnensystem folgende Gestalt: F = G· 1. Man bezeichnet dieses Gesetz auch etwa als Prinzip der ungestörten Überlagerung: es besagt.496 · 1011 )3 ρ = k2 · µ ρ2 Diese Fassung hat den Vorteil. F3 . sondern dass sie (vektoriell!) zu einer Gesamtkraft addiert werden.6 • 109 m) geschrieben werden: r = ρ • A.9984 · 1030 · 86 4002 1 · µ · 2 (1. der astronomischen Einheit und der Gravitationskonstanten zu sein. . . Dabei wirkt die Kraft in der Richtung der Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte. so addieren sie sich in ihrer Wirkung vektoriell zu einer Gesamtkraft F = F1 + F2 + F3 + . Die Konstante k bzw. . Fn . Das Gravitationsgesetz: Zwei Körper mit den Massen m1 und m2 im Abstand r üben aufeinander eine anziehende Kraft aus.674 · 10−11 m3 kg−1 s−2 Gauss hat das Gravitationsgesetz für die Himmelsmechanik in anderen Einheiten formuliert. Für die Zeit benutzte er die Zeiteinheit Sonnentag zu 86 400 s. . unabhängig von den konkreten Werten der Sonnenmasse. .017 202 098 95 AE 2 M 3 −1 2 Day−1 . Der Abstand r kann als Vielfaches ρ der Einheitsdistanz A (1 AE = 149. Mehr noch: die Konstante k bzw. Es gilt: k = 0. die ihren Massen direkt und dem Quadrat ihres Abstandes indirekt proportional ist. Heute wird die Gauss’sche Gravitationskonstante benutzt. als wäre seine ganze Masse im Schwerpunkt konzentriert. Ein Körper der Masse m.186 Da man in der Regel nicht am Absolutwert der Kraft interessiert ist. sondern an der Wirkung. der auf einer Kreisbahn vom Radius r ein Zentrum mit konstanter Geschwindigkeit v umrundet. vollführt er die mittlere Bewegung pro Zeiteinheit n (gemessen im Bogenmass). dann berechnet sich diese Zentralkraft nach der Formel Fz = m· v2 r = m· 4π2 ·r T2 = m · n2 · r . der Erde auf einen ausserhalb befindlichen Körper wirkt so. Dazu ist nach den ersten beiden Gesetzen eine Kraft nötig. Benötigt der Körper für einen vollen Umlauf die Zeit T. ist diese Einheitenumrechnung nicht nachteilig. dh. vollführt eine beschleunigte Bewegung: die Bewegungsrichtung muss dauernd geändert werden.B. um den Wert der astronomischen Einheit zu definieren – die Definition hat sich also in der Zwischenzeit von ihrem direkten Zusammenhang mit der Erdbahn gelöst. Üblicherweise macht man noch folgende Vereinfachungen: die Gravitationskraft eines ausgedehnten Körpers wie z. die mit dem Impuls dauernd einen rechten Winkel bilden muss (sonst würde sie auch den Betrag der Geschwindigkeit ändern). Dies ist die Idee des sogenannten Massenpunktes. aber die Richtungen sich unterscheiden. aber die Richtungen sind verschieden. die von den Geschwindigkeitsvektoren aufgespannt werden: . Lassen wir nun die Zeit ∆t immer kürzer werden. so dass ihre Anfangspunkte in Z zu liegen kommen. Offensichtlich gilt auch bei diesen Vektoren. dh. Die Geschwindigkeit in den drei Punkten sei v1 . gleich sind. P2 . aus dem Sektor wird ein schmales Dreieck. so wird der Winkel α immer kleiner und die Bogenstücke zwischen den Punkten immer kürzer. v2 . v3 . die Längen. Das zwischen zwei Punkten liegende Bogenstück hat die Länge v • ∆t. „Gleichmässige Kreisbewegung“ heisst: die Beträge der drei Vektoren – geometrisch ihre Länge – sind gleich. Wir verschieben die drei Vektoren parallel. wird aus dem Bogenstück eine gerade Strecke. und tragen die Geschwindigkeitsänderungen ∆v1 = v2 – v1 und ∆v2 ein. dass die Beträge. P3 eines gleichmässig auf einem Kreis mit Radius r umlaufenden Körpers. Der zeitliche Abstand zwischen den Positionen betrage ∆t. dass bei der gleichmässigen Kreisbewegung offensichtlich gelten muss: ∆v ∆t v2 r = Betrachten wir die Positionen P1 .187 Abbildung 34: Illustration zur nebenstehenden Ableitung der Formel für die Zentralkraft Zur Herleitung dieser Formel: der Vergleich mit dem Aktionsprinzip zeigt. Diese Dreiecke sind ähnlich zu den Dreiecken. Ist α genügend klein. Welche Kraft ist nötig. Welche mittlere Kraft muss der Motor dafür entwickeln? • Ein Mensch steht am Äquator auf Meereshöhe an der Oberfläche der Erde. Welche Zentralkraft ist nötig. entstehen die beiden anderen Fassungen: v Übungen: • Ein Auto von 750 kg Masse soll in 10 s von 0 auf 30 m/s (entspricht 108 km/h) beschleunigt werden. die Erde umrunde die Sonne auf einer Kreisbahn vom Radius 150 Millionen km. • Ein Auto von 600 kg soll eine Kurve von 50 m | 100 m | 200 m Radius mit der Geschwindigkeit 10 m/s | 15 m/s | 20 m/s | 30 m/s durchfahren. die diese Kurvenfahrten ermöglicht? • Nehmen Sie zur Vereinfachung an. ihn bei der täglichen Rotation der Erde um ihre eigene Achse auf der Erdoberfläche zu halten? • Zwei Menschen von je 75 kg stehen sich im Abstand 1 m gegenüber (Schwerpunkt zu Schwerpunkt). Mit welcher Kraft ziehen sie sich an? • Ein Mensch von 80 kg Masse steht am Erdäquator bzw. am Pol auf Meereshöhe an der Erdoberfläche. damit die Erde auf dieser Bahn bleibt? • Berechnen Sie die Gravitationskraft.188 r : ∆t · v = v : ∆v ⇔ ∆v ∆t v2 · ∆t v2 r = r · ∆v ⇔ = Setzen wir in diese Gleichung die folgenden Beziehungen ein. Nachweise: = 2πr T = n·r . Mit welcher Kraft wird er von der Erde in den beiden Fällen angezogen? Betrachten Sie beide beteiligten Körper als Massenpunkte. Berechnen Sie die in diesen Fällen nötige Zentralkraft! Um welche Kraft handelt es sich. und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung zur voranstehenden Übung. die die Sonne auf die Erde ausübt. die einen Erdradius Abstand voneinander haben. Zweikörperproblem Wir betrachten die Bewegung eines einzelnen Planeten unter dem Einfluss der Gravitationsanziehung durch die Sonne. r2 (Planet) um O laufen. Die Zentralkraft. die vom Planeten ausgeübt wird: Fz = mS · 4π2 · r1 T2 = G· mS · mP r2 = FG . wenn beide Körper gemeinsam einen Punkt O umrunden. dass beide Körper auf einer Kreisbahn mit Radius r1 (Sonne) bzw. Eine erste Feststellung betrifft die Sonne: sie kann entgegen dem 1. dann zieht wegen dem Reaktionsprinzip der Planet die Sonne mit der genau gleich grossen. Das System kann nur dann stabil sein. aber entgegen gesetzt gerichteten Kraft FPS = –FSP an. Wenn die Sonne S den Planeten P mit der Gravitationskraft FSP anzieht.8 Zweikörperproblem Abbildung 35: Situation beim sog. die zB. ist die Gravitationskraft. Um seine Lage zu berechnen. die Sonne auf ihrer Bahn hält. Ihr Abstand voneinander beträgt r = r1 + r2 . dann würde sie auf den Planeten zu beschleunigt und irgend wann würden die beiden Himmelskörper kollidieren. Wäre die Sonne bewegungslos. nehmen wir zur Vereinfachung an.189 5. Keplergesetz nicht unbewegt im Zentrum des Sonnensystems sitzen. : O teilt die Strecke r im umgekehrten Verhältnis der Massen von Sonne und Planet – dies ist gerade die Definition des Schwerpunktes.W.190 Analog hält die Gravitationskraft der Sonne als Zentralkraft den Planeten auf seiner Bahn: mP · 4π2 · r2 T2 G· mP · mS r2 = Dabei haben wir unterstellt. dass die beiden Umlaufzeiten gleich sind – andernfalls könnte O kein Fixpunkt sein. Wenden wir diese Erkenntnis nochmals auf die Kreisbewegung des Planeten an.a. Selbst beim massereichen Jupiter liegt der Schwerpunkt des Paares Sonne – Jupiter knapp oberhalb der Sonnenoberfläche. der grossen Halbachse a im allgemeinen Fall) zum Quadrat der Umlaufzeit T ist proportional zur Summe der beiden Massen. Dividieren wir nun die beiden Gleichungen durcheinander. so erhalten wir: mS · r1 = mP · r2 ⇔ r1 : r2 = mP : mS M. Es ist also: mP ·r mP + mS mS mP + mS r1 = . Die Zeichnung übertreibt also. r2 = Wegen der dominierenden Masse der Sonne ist der Radius r1 immer sehr viel kleiner als r2 . so erhält man: Fz = mP · mS 4π2 · ·r T 2 mS + mP = G· mS · mP r2 = FG Kürzen wir und formulieren entsprechend um. so erhalten wir: r3 T2 G · (mS + mP ) 4π2 = Dies ist die präzisere Fassung des dritten Keplergesetzes: das Verhältnis von dritter Potenz des Bahnradius r (bzw. . Die Gravitationskraft ruft eine ebene Bewegung hervor. dh. in der die Bewegung abläuft. Parabel oder Hyperbel. andererseits die Gravitationskräfte zwischen Sonne und Planet. In dieser Ebene liegen einerseits die Geschwindigkeitsvektoren tangential zur Bahn (gilt auch für nicht kreisförmige Bahnen). ein Körper auf einer solchen Bahn bleibt im Sonnensystem.191 Wiederum gilt: wegen der dominierenden Sonnenmasse konnte der Unterschied zu Keplers Zeit noch gar nicht bemerkt werden. Die Geraden S1 P1 und S2 P2 haben O als Schnittpunkt. Sie definieren eine Ebene. Parabelund Hyperbelbahnen findet man unter den nicht periodischen Kometen und gewissen Meteoriden. Ellipse. bleibt immer die gleiche. also Kreis. Dann können die Kräfte nach dem Aktionsprinzip die Geschwindigkeitsvektoren nur so verändern. dann verschwindet er für immer in den Tiefen des Weltalls.W.: die Ebene. Mit etwas mehr mathematischem Aufwand als wir hier treiben wollen konnte Newton zeigen.a. Die ersten beiden Bahnformen sind geschlossen. dass sie in der Ebene bleiben – m. Die letzten beiden sind offene Bahnformen. dass unter dem Einfluss der Gravitationskraft allgemein Kegelschnitte als Bahnformen resultieren können. Abbildung 36: Zur Herleitung des Flächensatzes . ein Körper auf einer solchen Bahn stattet der Sonne einen einmaligen Besuch ab. Damit ist der geforderte Beweis erbracht. folglich haben die beiden Dreiecke ebenfalls den gleichen Flächeninhalt. Hier konnte Newton zeigen. Der Flächensatz gilt für jede solche Bewegung. Folglich haben nach der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts die beiden Dreiecksflächen gleichen Inhalt. Diese Kräfte sind sehr viel kleiner als die Anziehungskraft der Sonne.192 Bleibt als Letztes die Frage nach der Gültigkeit des zweiten Keplergesetzes oder des sog. Der Beweis sei mit Hilfe der nebenstehenden Figur geführt: P1 . 5. Aber auch die Dreiecke MP2 Q und MP2 P3 haben den gleichen Flächeninhalt: sie haben mit MP2 eine gemeinsame Basis. Unter Einfluss der Gravitationskraft fällt er in dieser Zeit um s’2 auf das Zentrum. P2 und P3 sind drei Punkte der Bahn. Stünde er umgekehrt in P1 still. So gelangt er in der Zeit t von P1 nach P2 . In Wirklichkeit vollführt er nach dem Unabhängigkeitsprinzip eine Bewegung. wie weiter oben gezeigt. Dabei haben wir ausser Betracht gelassen. Als Zwischenschritt zeigen wir. Ihre Höhen sind gleich. so würde der Körper sich nach dem Trägheitssatz geradlinig-gleichförmig weiter bewegen und in der Zeit t die Strecke s0 zurücklegen. aber sie verschwinden nicht. den Flächensatz erfüllt. da sie in M eine gemeinsame Ecke haben. dass jede Bewegung. P3 liegt nach Konstruktion auf einer Parallelen zur Basis. . die dritte Ecke Q bzw. Zu zeigen ist nun: der Flächeninhalt des Dreiecks MP1 P2 ist gleich gross wie der Flächeninhalt des Dreiecks MP2 P3 . wobei die Zeit t für die Bewegung von P1 nach P2 gleich lang ist wie die Zeit t von P2 nach P3 . die durch eine Zentralkraft hervorgerufen wird. dass auf diese beiden Körper weitere Kräfte wirken: die übrigen Planeten und Körper des Sonnensystems üben ebenfalls eine Anziehungskraft aus. Würde im Punkt P1 keine Kraft wirken. Flächensatzes im Rahmen der Newtonschen Gravitation. Hier nochmals die gleichen Überlegungen: nach Trägheitssatz würde er sich in der Zeit t um die Strecke s1 weiter bewegen und nach Q gelangen. die durch die vektorielle Addition beschrieben wird: s1 = s0 + s’1 .9 n-Körperproblem Im Kapitel „Zweikörperproblem“ haben wir die Bewegung von Sonne und Planet unter der gegenseitigen Schwerkraftanziehung behandelt. Wie eingangs erwähnt machten wir nur von der Tatsache Gebrauch. dass MP1 P2 und MP2 Q den gleichen Flächeninhalt haben: die Basis s1 beider Dreiecke liegt auf der gleichen Geraden und sie haben die gleiche Länge. dass die wirkende Kraft stets auf ein festes Zentrum zeigt – im Zweikörperproblem ist dies der Schwerpunkt. und in Wirklichkeit bewegt er sich um die Strecke s2 und gelangt zum Punkt P3 . so würde er nach dem Aktionsprinzip durch die Gravitationskraft auf das Zentrum M zu beschleunigt und in der Zeit t die Strecke s’1 zurücklegen. 93 • 10–03 – –09 2. In der zweiten Spalte die Distanzen in der Einheit m – für die Sonne zur Erde. der allgemein lösbar ist. nennt man in der Himmelsmechanik das n-Körperproblem. Letztere ist für die elliptische Bewegung der Erde verantwortlich.14 • 1010 7. In der dritten Spalte die kürzeste Entfernung Planet – Erde. die am Ort der Erde hervorgerufen wird: F = m·a = G· m·M r2 ⇔ a = G·M r2 In der letzten Spalte ist die relative Grösse der Fallbeschleunigung bezogen auf den von der Sonne verursachten Wert.35 • 1012 Beschleunigung 5. für alle übrigen die mittlere Entfernung zur Sonne.29 • 1011 1.87 • 1012 4. In der ersten Spalte der folgenden Tabelle stehen die jeweiligen Himmelskörper.61 • 10 6. dann ist .17 (4) –07 3. HimmelskörperDistanz Sonne 1.97 • 10–09 1.28 • 1012 2.17 • 1010 4. Man sieht: der Jupiter hat den grössten Einfluss.40 (1) –08 2. dazu in Klammern der Rang gegeben.89 • 10 3.88 (3) 7.84 • 1010 6.193 Beispiel: Wir vergleichen die durch die Planeten am Ort der Erde hervorgerufene Beschleunigung mit derjenigen der Sonne. Wir nehmen an.79 • 1010 Venus Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun 1.08 • 1011 2.28 • 1011 7.43 • 1012 2.32 (6) –10 3. In der vierten Spalte die Beschleunigung in m/s2 .496 • 1011 Merkur 5.19 (2) 6.41 (5) –07 1. Ist n ≥ 3.21 • 10 5.72 • 1012 4.07 (7) • 10–07 • 10–05 • 10–06 • 10–05 • 10–06 • 10–07 • 10–08 Die Aufgabe.62 • 10 4.78 • 1011 1. Das Zweikörperproblem ist ein Spezialfall und gleichzeitig der einzige Fall.81 • 10–10 1. diejenigen Bahnen zu berechnen.30 • 10 3. aber die von ihm verursachte Beschleunigung beträgt nur 0.0054% der von der Sonne verursachten Beschleunigung. dass die Planeten in der erdnächsten Position stehen. die n Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Gravitationsanziehung beschreiben.50 • 1012 – 9. Die bekannteste Ephemeride. 25 Pierre Bretagnon: Théorie du mouvement de l’ensemble des planètes. doch sind einige hundert Terme. Allein die Datei für die heliozentrische Länge und Breite sowie den Abstand des Planeten zur Sonne enthält für den Saturn mehr als 5 500 Summanden! Nachweis: 5. zu einem bestimmten Zeitpunkt T0 durch genaueste Beobachtung die heliozentrischen kartesischen Ekliptikkoordinaten x. Sie gibt Ephemeriden für die Zeit von 1600 bis 2200. 278–288 . z) berechnet. Für den Amateur von Interesse dürfte sein. keineswegs die Ausnahme.10 Planeten VSOP87 1982 veröffentlichte Pierre Bretagnon (1943 – 2002)24 die Theorie VSOP8225 : eine Reihenentwicklung für die Bahnelemente der acht grossen Planeten Merkur 23 Variations 24 Bretagnon Séculaires des Orbites Planétaires. Solution VSOP82. Im allgemeinen aber ist das Problem nur numerisch lösbar. S.V.194 das Problem analytisch nur lösbar. vz ) = x = (x. vy und vz . Bei der Reihenentwicklung geht es darum. In: Astronomy and Astrophysics 114 (1982). y. die numerisch integriert wird. Der bekannteste Vertreter einer solchen Lösung ist die von Bretagnon entwickelte Theorie VSOP8723 . In der Praxis muss die Reihe zwar nach einer endlichen Zahl Gliedern abgebrochen werden. die wir im nächsten Kapitel vorstellen wollen. o. war Mitarbeiter des Service de Mécanique Céleste im Bureau des Longitudes in Paris. z) und die Geschwindigkeit v = (vx . z und die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten vx . Ausgehend von diesen Daten werden nun schrittweise neue Werte für die Position x = (x. ist die vom Jet Propulsion Laboratory JPL in Pasadena (CA) zur Verfügung gestellte Ephemeride DExxx (aktuellste Nummer DE405/406). die zu berechnen sind. Dafür stehen zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren zur Verfügung: • Numerische Integration • Reihenentwicklungen Numerische Integration heisst in diesem Zusammenhang: man kennt z. y. wenn einschränkende Bedingungen festgelegt werden. eine Lösung in der Form einer unendlichen Reihe zu finden. das wir im vorangehenden Kapitel für den Beweis des Flächensatzes verwendet haben.B. y.. vy . wobei das Vorgehen ähnlich demjenigen ˙ ˙ ˙ ˙ ist. aus den Grunddaten auf dem Server der NASA mit dem Programm HORIZONS gezielt einzelne Ephemeriden berechnen zu lassen. die „jüngste“ solche Theorie ist die VSOP2000. 1992. Zu Beginn der 90-er Jahre veröffentlichte J. Sie behob zwar den zweiten Nachteil.. Gastineau. aber auch sie war anfänglich nur auf Magnetband verfügbar. .V.imcce. Es wäre darum wichtig gewesen zu wissen.L. Bretagnon. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 80 (2001). Sie waren ausschliesslich auf Magnetband erhältlich. Sind diese Grössen berechnet. Manche. J. die eine vernünftige. Für die Belange des rechnenden Amateurs genügt aber die Genauigkeit der VSOP87Theorie in den allermeisten Fällen. In: Astronomy and Astrophysics 202 (1988). 309–315 27 Astronomische Algorithmen. Heute sind die vollständigen Daten im Internet verfügbar und können heruntergeladen werden28 . Simon.195 bis Neptun. wenn man sich mit einer kleineren als der maximal möglichen Genauigkeit begnügen möchte (um Speicherplatz und Rechenzeit zu sparen). J. Meeus in seinem Buch »Astronomische Algorithmen«27 zum ersten Mal einen Teil der Koeffizienten. Laskar. Bretagnon. ISBN 3-335-00318-7 28 Eine von verschiedenen Quellen ist der ftp-Server des IMCCE Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides in Paris: ftp://ftp. p. k = e • cos ϖ. G. Analytical Planetary Solution VSOP2000. M. Verlag Johann Ambrosius Barth. A. H. S. Moisson and P. so findet man daraus leicht die klassischen Bahnelemente. Francou: Planetary theories in rectangular and spherical variables. L (mittlere Länge des Planeten). sondern die sechs Grössen a (grosse Halbachse). Es waren schlicht zu viele Daten. aber eingeschränkte Genauigkeit der Rechnungen ermöglichten. 4-7 October 2004. p = sin(½ i ) • sin Ω und q = sin(½ i ) • cos Ω. Sechs Jahre später liessen Pierre Bretagnon und Gérard Francou die verbesserte Theorie VSOP8726 folgen. so dass sie von da an auch für Amateure zugänglich waren – zumindest für Rechnungen. bis zu welchem Reihenglied man rechnen soll. Held at the Observatoire de Paris-Meudon. aber die eigentlichen Daten – die Koeffizienten und Argumente der Reihenentwicklung – konnten nicht publiziert werden. Jean Meeus. • Die Speicherkapazität und die Rechengeschwindigkeit der damaligen PC’s und Kleincomputer liess (aus heutiger Sicht!) sehr zu wünschen übrig. die aber im Gegensatz zur VSOP87-Theorie nicht über das Internet zugänglich sind. Genau genommen waren es nicht die klassischen Bahnelemente. In der Zwischenzeit sind Weiterentwicklungen der VSOP-Theorie publiziert worden29 . h = e • sin ϖ. Fienga. IMCCE Planetary Ephemerides: Present and Future. Proceedings of the Gaia Symposium ”The Three-Dimensional Universe with Gaia” (ESA SP-576). Die Theorie wies allerdings aus Sicht der Amateure zwei grosse Nachteile auf: • Die Theorie war im zitierten Artikel in »Astronomy and Astrophysics« zwar beschrieben. Leipzig/Berlin/ Heidelberg.fr/pub/ephem/planets/vsop87/ 29 X. VSOP87 solutions. o. 205 – 213. 26 P. b) zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000. l. Y. VEN[us]. Y. MAR[s]. Z) zu Äquinoktium und Ekliptik des Datums • Acht Dateien mit Namen VSOP87D.196 Die Theorie besteht für jeden der acht Planeten aus sechs Dateien. wobei für die Erde teilweise die Erde selber. b) zu Äquinoktium und Ekliptik des Datums • Neun Dateien mit Namen VSOP87E.xxx (xxx: MER[cury]. Z) zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000.xxx (nur für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer sphärischer Koordinaten (r.xxx (zusätzlich zu den acht bereits erwähnten Abkürzungen kommt noch EAR[th] für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer kartesischer Koordinaten (X. l.xxx (nur für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer sphärischer Koordinaten (r.0 (Schwerpunkt des Sonnensystems) Jede dieser Dateien ist gleich aufgebaut: da es sich um eine Reihenentwicklung für die Lösung handelt.0 • Acht Dateien mit Namen VSOP87B.xxx (für die Erde und zusätzlich für die Sonne) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung baryzentrischer kartesischer Koordinaten (X. URA[nus] und NEP[tun]) enthalten die Bahnelemente zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000. teilweise das Baryzentrum des Erd-Mond-Systems genommen wurde: • Acht Dateien mit Namen VSOP87. JUP[iter]. E[arth-]M[oon-]B[arycenter]. • Neun Dateien mit Namen VSOP87A. Z) zu Äquinoktium und Ekliptik der Standardepoche J2000.0 • Acht Dateien mit Namen VSOP87C. SAT[urn]. Y.0 – sie stellen die eigentliche VSOP87-Theorie und in dieser Form eine Verbesserung der VSOP82-Theorie dar. haben alle Glieder der Entwicklung entweder die Form τα · (S · sin φ + K · cos φ) oder τα · A · cos(B +C · τ) In diesen Formeln bedeuten: .xxx (nur für die Erde) enthalten die Koeffizienten zur Berechnung heliozentrischer kartesischer Koordinaten (X. a.75347045953 + 6283. 2.40260884240 + 26087.a. L11 = L und L12 = Lm für den Mond..20347611291 + 3340.0758499914·τ Erde L4 = 6. ist JDE das julianische Datum in Ephemeridenzeit für den Zeitpunkt. φ hat also die Form a1 ·L1 + a2 ·L2 + .O.2855462110·τ Venus L3 = 1. dann ist also τ = JDE − JD0 365 250 = JDE − 2 451 545. zur Erinnerung: τ0 =1 • S. + a8 ·L8 + a9 ·D + a10 ·F + a11 ·L + a12 ·Lm Die mittleren Längen und die Delaunay-Argumente sind Winkel im Bogenmass und werden mit den folgenden Formeln berechnet30 : L1 = 4. zu dem eine VSOP-Grösse berechnet werden soll.0 365 250 • Der Exponent α ist eine ganze Zahl aus [0.6124266998·τ Mars L5 30 Nach = 0.59954649739 + 529. ganzzahligen Vielfachen ai der mittleren Längen der acht Planeten und der Delaunay-Argumente L9 = D. 3.9031415742·τ Merkur L2 = 3. L10 = F.0.197 • τ die Anzahl julianischer Jahrtausende bezogen auf die Epoche J2000.17614669689 + 10213. 5]. 1.0. . JD0 = 2 451 545.. Francou. A. 4. B und C sind die Koeffizienten der VSOP-Theorie • φ ist die Summe aus bestimmten.6909650946·τ Jupiter Bretagnon. K. 48129387159 + 74. wissenschaftlichen Kreisen ist die Programmiersprache FORTRAN weit verbreitet. Es betrifft den Planeten Venus: „VENUS“.31188628676 + 38.19846674103 + 77713. Insgesamt gibt es 367 Terme: „367 TERMS“.198 L6 = 0.2990954380·τ Saturn L7 = 5.6615813083·τ Mond F L11 = 2.7815985673·τ Uranus L8 = 5. 31 In .0911355954·τ Mond Lm Der Aufbau der Dateien VSOP87y.35555589827 + 83286. In dieser Sprache wird eine Potenz durch den Operator „**“ dargestellt. B (ekliptikale Breite) und R (Abstand von der Sonne): „VARIABLE 1 (LBR)“.1330356378·τ Neptun L9 = 5. Die Terme sind mit τ0 = 1 zu multiplizieren: „*T**0“31 .62790523337 + 84334.xxx werde am Beispiel VSOP87D.7714681205·τ Mond D L10 = 1. Es folgen Reihenglieder für die erste der drei Variablen L (ekliptikale Länge).VEN erläutert: • Die erste Zeile der Datei lautet: VSOP87 VERSION D4 VENUS VARIABLE 1 (LBR) *T**0 367 TERMS HELIOCENTRIC DYNAMICAL ECLIPTIC AND EQUINOX OF THE DATE Zu lesen: Es handelt sich um eine VSOP87-Datei: „VSOP87“.81034454697 + 83997. Zur Präzisierung: es handelt sich um „HELIOCENTRIC DYNAMICAL ECLIPTIC AND EQUINOX OF THE DATE“. und zwar um die Version D oder gleichbedeutend um die Nummer 4: „D4“.87401675650 + 213.9142695536·τ Mond L L12 = 3. 00000000017 2. • Eine einzelne Zeile hat folgende Gestalt (zur Illustration willkürlich herausgegriffen: Zeilen 11 und 12 aus dem Block 4223): 4223 11 0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. wiederum gegliedert für B0 (210 Terme). R4 und R5 . L5 ergeben. A. wiederum aufgespalten in Blöcke für R0 . Danach folgen die Koeffizienten S.00000000007 0. K. B1 (133 Terme). B und C in dieser Reihenfolge.73381232260 Die Blocknummer 4223 bedeutet: Version 4 (D) von Planet 2 („VENUS“) der Variablen 2 („B“) des dritten Teilsummanden („B3“). • Die letzten beiden Überschriftszeilen stehen über Abschnitten von je 5 Termen. Danach folgen die Nummern der Zeile.33056892256 10404.00000000017 4223 12 0 2 0 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 0. R3 . die addiert L2 ergeben und die mit τ2 zu multiplizieren sind. die L4 bzw. Der Unterschied besteht in zwei Positionen: „*T**1“ bedeutet. τ5 zu multiplizieren sind. B2 (59 Terme). • Eine weitere Zeile ähnlich der ersten leitet den zweiten Block ein. • Sind alle diese Rechnungen durchgeführt. und die mit τ4 bzw. R2 . • Am Schluss der Datei folgen die Terme für die Berechnung von R. gleichzeitig die Nummer der Teilsummanden.05293621864 2352.86615377180 -0.00000000003 0. Zeile 11 ist also wie folgt zu lesen (alle Koeffizienten ai ausser a2 = 1 und a3 = –2 sind Null): . B4 (5 Terme) und schliesslich B5 (4 Terme) – jeder Block eingeleitet mit einer Überschriftenzeile wie oben erläutert. bezogen auf Ekliptik und Äquinoktium des Datums: L = L0 + L1 · τ + L2 · τ2 + L3 · τ3 + L4 · τ4 + L5 · τ5 • Nach den Koeffizienten für L folgen die Terme für B. R1 . dass die Summe am Schluss mit τ1 zu multiplizieren ist. dann findet man die ekliptikale Länge der Venus. • Die nächste Überschriftszeile leitet den Abschnitt für jene 9 Terme ein. die addiert L3 ergeben und die mit τ3 zu multiplizieren sind. B3 (15 Terme). Dann folgen die 12 Koeffizienten ai zur Berechnung von φ – in der Regel sind die meisten von ihnen Null. gleichbedeutend mit dem Exponenten von τ. • Danach folgt die Überschriftszeile für jene 70 Terme. Und es sind „nur“ noch 215 Terme zur Berechnung von L1 nötig.00000000011 -0.00000000009 4.199 • Danach folgen zeilenweise die 367 Koeffizienten zur Berechnung von L0 . 00000000017·sin(L2 −2L3 ) − 0. und dann alle Terme nach diesem Verfahren berechnen. ob man die erste Fassung (1. Zeile: Summand) oder die zweite Fassung (3. Im weiteren ist darauf zu achten. Zeile: Argument. Nachweise: 5. die Keplergleichung zu lösen. während wir für Beobachtungen in der Regel den Beobachtungsort auf der Erdoberfläche benötigen (Topozentrum). In diesem Fall ist es nicht nötig. Die Berechnung erfordert einigen Aufwand: allein zur Berechnung von B der Venus sind insgesamt 426 Summanden zu berechnen.200 φ = 1 · L2 + (−2) · L3 = L2 − 2 · L3 0. für welches Äquinoktium die Koordinatensysteme festgelegt sind – sie müssen darin übereinstimmen. 2. so ist die Position der Sonne im erdbezogenen Koordinatensystem durch r ES = –r SE gegeben.00000000017·cos(2. Durch eine Näherungsformel kann sie direkt berechnet werden (auf der Basis einer Reihenentwicklung): . In einem späteren Kapitel werden wir zeigen.11 Sonne Die VSOP87-Theorie gibt – mit Ausnahme der Serie E – keine Entwicklung für die Koordinaten der Sonne bezogen auf ein Koordinatensystem. r SE wird in der Regel entweder auf den Schwerpunkt des Erd-Mond-Systems (Baryzentrum) oder aber auf den Erdmittelpunkt (Geozentrum) bezogen. wie auf diese Weise Sonnenephemeriden berechnet werden können.00000000003·cos(L2 −2L3 ) 0. Die Erdbahn – und damit nach dem eben Gesagten auch die scheinbare Sonnenbahn – ist durch eine kleine Exzentrizität gekennzeichnet: e beträgt nur 0.86615377180·τ) Man muss sich vorgängig entscheiden. welches Koordinatensystem gemeint ist. um die wahre Anomalie v bestimmen zu können. Zeile) wählt. das fest mit der Erde verbunden ist.0167.05293621864+2352. Dies ist auch nicht nötig: ist für einen bestimmten Zeitpunkt t der Positionsvektor r SE von der Sonne zur Erde bekannt. Allerdings ist sorgfältig darauf zu achten. Für den Bahnradius r existiert ebenfalls eine Reihenentwicklung: r a = − − − e2 3 5 5 − e − e3 + e 2 8 192 e4 e2 − cos(2M) 2 3 3 3 45 5 e − e cos(3M) 8 128 125 5 e4 cos(4M) − e cos(5M) 3 384 1 + cos M Ist die Länge des Perigäums der Sonnenbahn in der Ekliptik bekannt. das Ergebnis ist im Bogenmass. Die Grösse C gibt an.12 Zeitgleichung Bereits im Kapitel 2. um diese Grösse präzise zu definieren: Die wahre Sonnenzeit wird durch die Position der wahren Sonne S am Erdhimmel bestimmt. Ihre Position kann durch verschiedene Grössen dargestellt werden: im rotierenden geozentrischen .201 v−M ≡ C = + + + e3 5 5 + e · sin M 4 96 5 2 11 4 e − e · sin(2M) 4 24 13 3 43 5 e − e · sin(3M) 12 64 1097 5 103 4 e · sin(4M) + e · sin(5M) 96 960 2e − Diese Gleichung für die Grösse C ist bekannt unter dem Namen Mittelpunktsgleichung. lassen sich damit zumindest genäherte Sonnenpositionen berechnen.2 haben wir von der Zeitgleichung gesprochen. der die Sonne auf einer Kreisbahn gleichmässig umläuft. 5. Sie bewegt sich unregelmässig auf der Ekliptik. Jetzt sind die Grundlagen gelegt. wieviel ein Planet auf einer Keplerbahn einem fiktiven Himmelskörper vorauseilt oder hinterher rennt. 6 den Zusammenhang zwischen dem Stundenwinkel τJ und der wahren Ortszeit WOZ hergestellt: WOZ = τ + 12h . Über die lokale Sternzeit θ sind die Koordinaten beiden Systeme miteinander verbunden: τ = θ−α Andererseits haben wir bereits in Kap.202 Äquatorsystem dienen Rektaszension αJ = ( S) und Deklination δJ = (SF) zur Positionsfestlegung. im festen geozentrischen Äquatorsystem Stundenwinkel τJ und Deklination δJ . 4. . mit λJ der Länge der Sonne in der Ekliptik und ϖ = ( P) der Länge des Perigäums.203 Abbildung 37: Wahre und mittlere Sonne auf Ekliptik und Äquator Eine andere Möglichkeit. die Position der wahren Sonne zu bestimmen. ist die entlang der Ekliptik vom Perigäum aus gemessene wahre Anomalie v = (PS) = λJ + ϖ. startet. τII = θ − αII Damit finden wir für die Zeitgleichung: ZGL und daraus = WOZ − MOZ = τ − τII = αII − α ZGL = αII − α = λI − α = Wegen (λI − λ ) + (λ − α ) λI − λ = (λI + ω) − (λ + ω) = M−v = −C . gilt: ( I) = ( II) bzw. um ein gleichmässig ablaufendes Zeitmass festzulegen.und Herbstpunkt treffen sich die beiden Hilfssonnen. und mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die erste Hilfssonne auf dem Äquator umläuft. dem Frühlingspunkt .204 Um die mittlere Ortszeit MOZ zu definieren. ekliptikale Länge λI = ( I) gemessen. Da die Ekliptik gegen den Äquator um den Winkel ε – die Schiefe der Ekliptik – geneigt ist. λI = αII . dass sie nach einem Jahr zusammen mit der wahren Sonne wiederum das Perigäum erreicht. Ihre Position wird am besten durch die vom Frühlingspunkt aus gemessene Rektaszension αII = ( II) beschrieben. Wir definieren darum eine zweite fiktive Hilfssonne (II). Ihre Position auf der Ekliptik wird durch die mittlere Anomalie M = (PI) auf der Ekliptik vom Perigäum aus oder ihre geozentrische. benötigen wir zwei Hilfssonnen: die erste (I) startet zeitgleich mit der wahren Sonne S im Perigäum (P) und läuft gleichmässig auf der Ekliptik so. Jeweils im Frühlings. die zeitgleich mit der ersten im Schnittpunkt von Ekliptik und Äquator. und zwar über die Beziehung: MOZ = τII + 12h . die das gleichmässig ablaufende Zeitmass MOZ definiert. Die zweite Hilfssonne ist nun diejenige. Weil beide Hilfssonnen die gleiche Winkelgeschwindigkeit haben. taugt die eben definierte Hilfssonne noch nicht. denn es ist: e ≈ 1 /60 und ε ≈ 23. Der erste Term. sondern verändert sich. Herbstund Winterbeginn. also tan (ε/2) ≈ 1 /5 . Für die Berechnung ist die Form (A) der Zeitgleichung noch ungünstig.5°. der von der Reduktion auf den Äquator stammt. bleibt die Zeitgleichung nicht konstant. auch weiter unten) über lange Zeit nicht konstant sind. nach einem Vierteljahr. Dieser Term hat eine Periode von einem halben Jahr. Der Term λJ – αJ berücksichtigt den Unterschied der Bewegung auf der Ekliptik und dem Äquator und heisst darum Reduktion auf den Äquator. was beim Durchgang durch den Frühlingspunkt. Im rechtwinkligen sphärischen Dreieck FS gilt die Beziehung tan α = cos ε · tan λ Diese Gleichung kann ähnlich wie die Mittelpunktsgleichung in eine Reihe entwickelt werden: λ −α = ε · sin(2λ ) 2 1 ε − tan4 · sin(4λ ) 2 2 1 6ε · sin(6λ ) + tan 3 2 tan2 ··· ZGL = Zu einem ersten Zwischenresultat zusammengefasst ergibt sich damit −2e sin M − 5 2 4 e sin(2M) + ε tan2 2 · sin(2λ ) − 1 2 ε tan4 2 · sin(4λ ) (A) wobei alle Terme ab e3 bzw. Die Terme der Gleichung sind im Bogenmass.205 entspricht der erste Teil der Zeitgleichung gerade dem negativen Wert der Mittelpunktsgleichung: damit wird also derjenige Teil der Zeitgleichung dargestellt. Dies ist gerechtfertigt. der auf die ungleichförmige Keplerbewegung zurückzuführen ist. Dieser Term hat eine Periode von einem Jahr. 2λ = π ist. Weil die in der Gleichung vorkommenden Parameter e. tan (ε/2)•sin(2λ ). der von der Mittelpunktsgleichung stammt. Sommer-. Für die Interpretation der Zeitgleichung ist diese Form sehr günstig: die beiden 2 dominanten Terme sind –2e•sin(M) bzw. tan6 (ε/2) weggelassen wurden. hat den Wert Null. hat den Wert Null. was im Perihel und im Aphel der Fall ist. also etwa zu den Zeiten von Frühlings-. Wir formen sie deshalb noch weiter um: einerseits ist . falls 2λ = 0 bzw. ε und ϖ (s. nach einem Halbjahr und nach drei Vierteljahren der Fall ist. Der zweite Term. falls M = 0 oder M = π ist. weshalb 2 wir den Term mit e weglassen können: sin(2λ ) = = sin(λI + 4e sin(M)) sin(2λI ) · cos(4e sin M) + cos(2λI ) · sin(4e sin M) was wir vereinfachen können: sin(2λ ) Analog findet man: ≈ sin(2λI ) + 4e sin M · cos(2λI ) sin(4λ ) ≈ sin(4λI ) Aus der Zeitgleichung in der Form (A) wird damit die Zwischenform: ZGL = 5 2 ε e · sin(2M) + tan2 sin(2λI ) 4 2 ε 1 4ε + 4e tan2 · sin M · cos(2λI ) − tan · sin(4λI ) 2 2 2 − 2e sin M − M und λI hängen zusammen: M = (Pϒ) + λII = 360◦ − ω + λI .206 C Folglich = v−M = λ − λI λ = λI + C = 5 λI + 2e sin M + e2 sin(2M) 4 In der Gleichung (A) kommt diese Grösse als Argument des Sinus vor. t ein beliebiger Zeitpunkt im Laufe des Jahres 2000. –428.4 · sin(3λI ) + 19.4 s. –2. also JD0 = 2451545.6 · cos λI + 596. betragen die Werte der Parameter: e = 0.1 · sin(2λI ) − 2. 596.1 s.3 · sin λI − 428. ersetzen wir M durch λI – ϖ.3 s. also λ0 = 280.3 s. Nachweis: 32 umwandeln vom Bogenmass in Grad und dann in Stunden und schliesslich in Sekunden! . und λ0 die mittlere Länge der Sonne zum Zeitpunkt der Epoche. 4. 19.448”.207 Da M nur als Argument von Winkelfunktionen vorkommt.7 s.0. Mit Hilfe der goniometrischen Formeln für sin(x + y). ϖ = 282.1 · cos(2λI ) + 4.3 · cos(3λI ) − 12. Damit erhält man für die Koeffizienten in den eckigen Klammern die Werte32 –107. Damit erhält die Zeitgleichung für diesen Zeitpunkt die Gestalt (Koeffizienten in Zeitsekunden!) ZGL = − 107. ε = 23° 26’ 21.7 · sin(4λI ) (B2) Die mittlere Länge λI lässt sich dabei sehr einfach berechnen: λI = n · (t − t0 ) + λ0 Dabei ist n die mittlere tägliche Bewegung der Sonne am Erdhimmel.6 s. –12. cos(x + y) und sin x + sin y erhalten wir schliesslich: ZGL = − [2e cos ω + 2e tan2 ε ε · cos ω] · sin λI + [−2e sin ω + 2e tan2 · sin ω] · cos λI 2 2 ε 5 5 + [tan2 − e2 cos(2ω)] · sin(2λI ) + [ e2 sin(2ω)] · cos(2λI ) 2 4 4 ε ε + [2e tan2 · cos ω] · sin(3λI ) + [−2e tan2 · sin ω] · cos(3λI ) 2 2 ε 1 + [− · tan4 ] · sin(4λI ) 2 2 (B1) Für die Epoche J2000.0167086. t0 der Startzeitpunkt.46646°.937348°.1 s. also die Epoche J2000. 208 . • Ein Monat hat die durchschnittliche Länge 365 Tage : 12 = 30.1 Kalender Definitionen • Ein Tag umfasst 24 Stunden oder 24 • 60 Minuten = 1440 Minuten oder 24 • 3600 Sekunden = 86 400 Sekunden. 365 • 86 400 Sekunden = 31 536 000 Sekunden.41667 Tage. Es verbleiben (365 – 20 – 10 – 104) Tage = 231 Tage für die Arbeit. 2 • 52 Tage = 104 Tage wegen Wochenenden weg. Bei einer täglichen Arbeitszeit von 8 Stunden entspricht dies einer jährlichen Sollarbeitszeit von 1848 Stunden (Lösungsansatz von heuler06). 2 • 5 Tage = 10 Tage wegen Feiertagen. welche Bedingungen für ein 53-Wochen-Jahr überhaupt erfüllt sein müssen. ein Schaltjahr zu 366 Tagen umfasst 52 Sieben-Tage-Sequenzen plus 2 Resttage.Kapitel 6 Lösungen zu den Übungen 6. was einer Sollarbeitszeit von 46 • 40 Stunden = 1840 Stunden entspricht. 4 • 5 Tage = 20 Tage fallen wegen Ferien. nach einem Schaltjahr 209 . 365 • 1440 Minuten = 525 600 Minuten bzw. Ein Kalenderjahr umfasst 365 Tage bzw.1 6. danach prüfen wir. Darum fällt nach einem Gemeinjahr der Neujahrtag auf den nächsten Wochentag. Alternative Lösung: ein Jahr hat 365 Tage. welches der kürzeste Abstand zwischen zwei solchen Jahren ist.1. Ein Gemeinjahr zu 365 Tagen umfasst 52 Sieben-Tage-Sequenzen plus 1 Resttag. • Zuerst überprüfen wir. 46 Arbeitswochen übrig. • Nach Abzug von Ferien und Feiertagsausfällen bleiben ca. 5.5 525. Jan.5 586. Dann ist bereits 5 Jahre später wieder ein 53-Wochen-Jahr fällig.5 862.5 • Für die Lösung dieser Aufgabe gibt es viele Wege. Folglich entspricht dem letzten. Januar auf einen Donnerstag fällt. 0. Es braucht dazwischen 6 Jahre. Dieser Fall tritt ein.5 2009 2 2 2 2 2 454 454 454 454 454 831. 2008 2 2 2 2 2 454 454 454 454 454 465.5 + 24 855 = 2 465 442.5 2 455 043. von dem Sie erst im Kapitel „Kalenderrechnungen“ die Rechenvorschriften kennen lernen: wie man aus einem gegebenen Kalenderdatum das Julianische Datum berechnet und umgekehrt. folgenden Jahr borgen (Gemeinjahr) bzw. Der einfachste Weg ist zugleich derjenige. was 3 h 14 Minuten 7 Sekunden entspricht. B.5 2 455 104.5 0. Dez. Januar fällt in einem Schaltjahr auf den Donnerstag. Damit ein Jahr 53 Wochen haben kann.210 auf den übernächsten Wochentag.5 0.5 951. Es ist also nicht möglich. Mit der Addition der nächsten Sekunde läuft der Zähler über und der „Unix-Crash“ findet statt („Jahr-2038-Problem“). 2 454 678. Zum Kalenderdatum 1. 0.5 0. 0.5 2 455 012. korrekt darstellbaren Datum JD = 2 440 587.5 921. dass die Bedingungen in zwei aufeinander folgenden Jahren erfüllt sind. 0.5 2 454 982. Januar auf einen Mittwoch oder Donnerstag fällt. Neujahr 2007 auf einen Montag.5 0. 2 454 770. Nach 2 147 583 647 Sekunden sind 24 855 Tage vergangen.5 0. Rest 11 647 Sekunden.5 890. 2 454 709. der 1. Juli 2 454 647. FeMärz April Mai br. So fiel z. Juni 2 454 617.5 um 3:14:07 h UT bzw.5 496.1. und der Neujahrtag 2009 auf einen Donnerstag. 2 454 800. 6. Aug. Okt.5 2 455 074. Beispiel: 2004/2009. 19.5 0. wenn in einem Schaltjahr der 1.5 2 455 135. es sei denn.5 0.2 Julianisches Datum • Die folgende Tabelle gibt die gewünschten Daten Julianische Daten für die Jahre 2008 und 2009 Jahr 0. 2 oder 3 vom vorangehenden und 3 oder 2 vom nachfolgenden (Schaltjahr). Sept.5 2 455 165. Nov. Januar 2038 3:14:07 h UT. Januar 1970 0 h UT bestimmen wir JD 2 440 587. 2 454 739. bzw. der Neujahrtag 2008 auf einen Dienstag.5 556. muss es sich in der ersten und letzten Woche je 3 Tage vom vorangehenden bzw. . wenn in einem Gemeinjahr der 1. greg. Kal.2 Tage aufsummiert. Kal. –64 JA JA 100 v.2 = 1282 Jahre vor Gregors Reform statt. dh. und wir setzen die Regel.7 oder knapp 13 Tage aufsummiert. Damals wurde die Osterregel festgelegt. Dann gilt für die Frage nach einem Schaltjahr: Jahr jul. ob ein Jahr Schaltjahr ist oder nicht. März oder 10 Tage später als im Mittelalter fand das Frühlingsäquinoktium 10 • 128. Jahrhundert. Dionysius hat 200 Jahre später die Unsicherheiten dieser Regel beseitigt und als Frühlingsanfang fest den 21. • Für die Jahre nach der Zeitenwende lässt sich über die Teilbarkeit durch 4 entscheiden. JA JA JA JA 1 v. Dieser Unterschied summiert sich nach 128. Kal.1. Chr. Zwischen Caesars und Gregors Kalenderreform liegen 1627 Jahre. Chr. Schlussfolgerung: im Jahre 325 fand das Konzil zu Nicäa statt. 2000 JA JA 1968 JA JA 1914 nein nein 1900 JA nein 1812 JA JA 1456 JA JA 900 JA nein Jahr 800 4 jul. –400 JA JA 701 v. Chr. Chr. im Jahre 300 bzw. ohne zu prüfen.3 Julianischer und gregorianischer Kalender • Der Unterschied zwischen julianischem und astronomischem Jahr beträgt 0. das Frühlingsäquinoktium fand zu Dionysius’ Zeiten am 19. Zu Caesars Zeiten fand also das Frühlingsäquinoktium am 24.2 = 12. –4712 JA JA 6. da es im Mittelalter auf den 11. März bestimmt. –700 JA nein 4713 v. Für die Jahre vor der Zeitenwende treffen wir zwei Abmachungen: wir verwenden die Schreibweise nach ISO 8601. Zwischen Dionysius’ Festlegung und Gregors Reform liegen 1057 Jahre. März statt. Chr.1. –43 nein nein 65 v. März statt. In dieser Zeit hat sich der Fehler auf 8. im 4.2 Jahren zu einem Tag.211 6. über die Zeitenwende hinaus rückwärts fort.0078 Tage. dass alle 4 Jahre ein Schaltjahr ist. Chr. Kal.8 Tage oder knapp 2 Tage. –99 nein nein 401 v. greg. 0 JA JA 44 v. Chr. dh. März zurück gefallen war.4 Astronomische Grundlagen • Die Ergebnisse finden Sie in der folgenden Tabelle: . In dieser Zeit hat sich der Fehler auf 1627 : 128. Am 21. ob diese Festlegung mit der astronomischen Realität übereinstimmt: die Differenz betrug zu seiner Zeit schon 1. 55°/h. berechnet zu t · 360 und dem in S ◦ dieser Zeit auf der Bahn um die Erde überstrichenen Winkel von t · 360 . J ◦ ◦ ◦ als Formel: t · 360 = t · 360 + t · 360 .32166 d – in beiden Fällen bestätigt sich also der Zusammenhang zwischen den drei Zahlenwerten. und so findet man: T = 27. eines siderischen Jahres wächst der Winkel von 0° auf 360°.04°/h. sein Aufoder Untergang verspätet sich im Mittel also um etwas weniger als 1 h (15° würde genau 1 h entsprechen). folglich gilt für den Mond: 360° / 27. woraus wir durch Kürzen erhalT S J 1 1 S·J ten: T = 1 + S . Überschlagsmässig bedeutet dies: der Mond bewegt sich im Laufe eines Tages um etwas weniger als 15° unter den Sternen weiter. Konsequenz: es genügt. Dann gilt: während t Tagen wächst der von der Erde überstrichene Rotationswin◦ kel um t · 360 . In 1 h bewegt sich der Mond unter den Sternen um etwas mehr als seinen eigenen Durchmesser (entspricht etwa ½°) weiter.091 sec 05 sec anomalistisch – 27 d 13 h 18 min 33 sec drakonitisch – 27 d 05 h 05 min 36 sec Erdumlauf 365 d 06 min 10 sec 365 d 05 min 46 sec 365 d 05 min 46 sec 365 d 06 min 53 sec – h 09 h 48 h 48 h 13 • Im Laufe eines Jahres erhöht sich dieser Winkel auf total 360°. der dritte kann errechnet werden. Auflösen nach T ergibt: T = J+S . folglich beträgt der Winkel pro Tag 360° / 365.000 sec 03 sec tropisch 23 h 56 min 27 d 07 h 43 min 4. .099 sec 11 sec synodisch 24 h 00 min 29 d 12 h 44 min 0.1 sec (Vorsicht mit den Einheiten!).99727 d = 23 h 56 min 4. die synodische Rotationsperiode mit S.256366 d = 0. zwei davon in der Natur zu beobachten. • Bezeichnen wir die siderische Rotationsperiode der Erde mit T. Mond und Sonne Typ Erdrotation Mondumlauf siderisch 23 h 56 min 27 d 07 h 43 min 4. Mit S und J eingesetzt J ergibt sich T = 0.986°/d = 0. Die gleichen Überlegungen gelten für den Mond. und für die Sonne: 360° / 365.242199 d = 0.2°/d = 0. • Im Laufe eines siderischen Monats bzw.212 Die verschiedenen Perioden von Erde. Dieser Winkel setzt sich zusammen aus einer Drehung T ◦ relativ zur Sonne (synodische Rotation).32166 d = 13. und die siderische Erdumlaufszeit mit J.986°/d ≈ 1°/d (etwas weniger als 2 Sonnendurchmesser). Für das Jahr 1900 ist z. 1902 und 1903). November. Januar hat nur der 1. August. nach 4 • 7 = 28 Jahren wiederholt sich die Abfol- . Da 2000 ein Schaltjahr ist. Dies bedeutet: die ersten 4 Jahre des 20. März und 1. und den gleichen Wochentag wie der 7. und alle weiteren Tagesbuchstaben rücken um 1 Buchstaben im Alphabet weiter. November. Februar. September und 1. müssen wir mit einem Jahr mit bekannter Goldener Zahl und bekanntem Sonntagsbuchstaben beginnen können. Mai. Januar und der 1. Tb = C für 1. In einem Schaltjahr erhält der 29. Januar haben der 1. Mai.B. Januar hat nur der 1. Januar haben der 1. Um den Sonntagsbuchstaben der Goldenen Zahl zuordnen zu können. der 1. Im gregorianischen Kalender ist 1900 kein Schaltjahr. September und der 1. Juli. Januar. Tb = D für 1. der Sonntagsbuchstabe war also G. Oktober den gleichen Wochentag. Januar hat nur der 1. März und der 1. August. den gleichen Wochentag wie der 6. April und der 1. Januar war ein Montag.5 Festkalender • Zunächst die erste Tabelle mit den Tagesbuchstaben: Tagesbuchstaben im Jahr 1 2 3 4 5 6 J A B C D E F F D E F G A B M D E F G A B A G A B C D E M B C D E F G J E F G A B C J G A B C D E A C D E F G A S F G A B C D O A B C D E F N D E F G A B D F G A B C D 7 G C C F A D F B E G C E 8 A D D G B E G C F A D F 9 B E E A C F A D G B E G 10 C F F B D G B E A C F A 11 D G G C E A C F B D G B 12 E A A D F B D G C E A C 13 F B B E G C E A D F B D 14 G C C F A D F B E G C E 15 A D D G B E G C F A D F 16 B E E A C F A D G B E G 17 C F F B D G B E A C F A 18 D G G C E A C F B D G B 19 E A A D F B D G C E A C 20 F B B E G C E A D F B D 21 G C C F A D F B E G C E 22 A D D G B E G C F A D F 23 B E E A C F A D G B E G 24 C F F B D G B E A C F A 25 D G G C E A C F B D G B 26 E A A D F B D G C E A C 27 F B B E G C E A D F B D 28 G C C F A D F B E G C E 29 30 31 A B C D G B E G C F A D F E A C F A D G B E G F D B E C A Feststellung: in einem Gemeinjahr haben der 1. Tb = F für 1. Tb = G für 1. den gleichen Wochentag wie der 2. Dezember. Tb = E für 1. GZ(1900) = 1 und der 1. erst ab 1904 folgt die regelmässige Abfolge von 3 Gemeinjahren und 1 Schaltjahr. Jahrhunderts sind Gemeinjahre (1900.und Schaltjahren bis 2099 ununterbrochen. Juli. 2100 aber nicht. Der Schaltzyklus hat in dieser Zeit eine Periode von 4 Jahren. Oktober. den gleichen Wochentag wie der 5.213 6. der 1. März folglich den Tagesbuchstaben E. Juni.1. ist der regelmässige Rhythmus von Gemein. Januar haben der 1. der Wochenrhythmus umfasst 7 Tage. Folglich gilt: Tb = A für 1. den gleichen Wochentag wie der 4. den gleichen Wochentag wie der 3. Februar und 1. Juni. Tb = B für 1. Dezember. April und 1. Februar den Tagesbuchstaben D. 1901. 1. 28) – – – – – – 1931 1959 1987 2015 2043 2071 0 CB 5 14 4 13 3 12 1 A 6 15 5 14 4 13 2 G 7 16 6 15 5 14 3 F 8 17 7 16 6 15 4 ED 9 18 8 17 7 16 5 C 10 19 9 18 8 17 6 B 11 1 10 19 9 18 7 A 12 2 11 1 10 19 8 GF 13 3 12 2 11 1 9 E 14 4 13 3 12 2 10 D 15 5 14 4 13 3 11 C 16 6 15 5 14 4 12 AB 17 7 16 6 15 5 13 G 18 8 17 7 16 6 14 F 19 9 18 8 17 7 15 E 1 10 19 9 18 8 16 DC 2 11 1 10 19 9 17 B 3 12 2 11 1 10 18 A 4 13 3 12 2 11 19 G 5 14 4 13 3 12 20 FE 6 15 5 14 4 13 21 D 7 16 6 15 5 14 22 C 8 17 7 16 6 15 23 B 9 18 8 17 7 16 24 AG 10 19 9 18 8 17 25 F 11 1 10 19 9 18 26 E 12 2 11 1 10 19 27 D 13 3 12 2 11 1 2072 – 2099 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Die Tabelle wird wie folgt benutzt: man berechnet für das Jahr Rest(Jahr.214 ge der Tagesbuchstaben. Sonntagsbuchstabe und Goldene Zahl (1904 -2099) Rest Sb 1904 1932 1960 1988 2016 2044 (Jahr.28) = 16 und . So ist z. Somit lässt sich folgende Tabelle für das 20. und 21. das ohne Rest durch 28 geteilt werden kann.28) und die Goldene Zahl. Ein solcher 28-jähriger Zyklus beginnt mit dem Jahr 1904. für 2004 Rest(2004. Jahrhundert erstellen: 28-Jahr-Zyklus.B. In der zugehörigen Spalte sucht man die beiden Zahlen und kann dann in der zweiten Spalte den Sonntagsbuchstaben ablesen. und Bettag Mi 18. April (zufällig gleichzeitig Ostergrenze).5. Ostermontag 13. Mariä Himmelfahrt Sa 15. Nationalfeiertag Österreich Mo 26. Buss. dem Sonntagsbuchstaben für 2009.28) = 21. was 0.215 GZ(2004) = 10. die letzte Woche vom 28. hat der 19. für die Weiberfasnacht JD = 2 454 933. Januar Februar: Valentinstag Sa 14. Pfingstsonntag 31. Tagesbuchstabe B. Berchtoldstag Fr 2. Es ist JD = 2 454 933. 4. Silvester Do 31. Januar 2010. Mai Juni: Pfingstmontag 1. dass der 1. Februar. Dezember. 3. Dreikönigstag Di 6. Advent So 13. Januar 2009. Mai. Fronleichnam Do 11. April Mai: Tag der Arbeit Fr 1. April. Mariä Empfängnis Di 8. Januar. 1. Ostern findet 2009 also am 12. Ostersonntag 12. Dezember. So erhalten Sie schliesslich folgenden Jahresfestkalender für 2009: Januar: Neujahr Do 1. Advent/Nikolaustag So 6. Buss. Die Ostergrenze ist der 10. Juni. ist also tatsächlich ein Donnerstag. November. Weisser Sonntag 19. was dem bürgerlichen Datum 19. Die Goldene Zahl dient eigentlich nur noch der Kontrolle. Februar entspricht). Mai. Januar. April. Dezember 2008 bis 4. August. Muttertag So 10. Mit der ersten Tabelle der voranstehenden Aufgabe folgt damit. Dezember. Dezember. September Oktober: Tag der deutschen Einheit (Nationalfeiertag Deutschland) Sa 3. Rosenmontag 23. Februar.5 – 52 = 2 454 881. Dezember. Dezember 2009 bis 3. Februar April: Palmsonntag 5. Weihnacht Fr 25. Advent So 29. November Dezember: 2. Folglich hat das Jahr 2009 53 Kalenderwochen. Stephanstag Sa 26. November. Dezember . Die erste dauert vom 29. Dezember.und Bettag So 20.5. • Es ist GZ(2009) = 15 und Rest(2009.5. Es ist dies der 10. August September: Eidgenössischer Dank-. Aschermittwoch 25. Mai. April. Februar. Januar ein Donnerstag ist. April statt. April. Schmutziger Donnerstag/Weiberfasnacht Do 19. Februar den Tb A wie der 1. Oktober November: Allerheiligen So 1. Für Muttertag suchen Sie in der Tabelle mit den Tagesbuchstaben den zweiten Tag im Monat Mai mit Tb = D. folglich ein Freitag. Karfreitag 10. Totensonntag 22. November. Auffahrt/Christi Himmelfahrt Do 21. folglich ist Sb(2004) = DC. Heiligabend Do 24. Advent So 20. folglich mit voranstehender Tabelle Sb(2009) = D. Juni August: Nationalfeiertag Schweiz Sa 1. Februar entspricht (19 Tage nach JD 2 454 862. folglich ist dies der Muttertag 2009. Dezember. Januar. somit z. Wie wir der Tabelle mit den Tagesbuchstaben entnehmen. Oktober.B. Mai. am längsten Tag 16 h.53059 Tage = 6939. knapp 1° mehr als der volle Winkel von 360°. April ein Samstag. was auf den 18. April gefeiert werden müssen.68865 Tage. Tageslängenänderung also 7 h 45 m. Dann sind es in einem mittleren Sonnentag zu 86 400 Sekunden x°.986° bzw. summiert sich nach 16. dh. April um 8:59 MEZ ein – die kirchliche Rechnung wäre ohne die Ausnahmeregelungen nicht falsch! 6. plus 11 Tage ergibt 365.050 h/d = 3 m/d.043 h/d = 2. Astronomische Grundlagen) zu 86 164. Kalender. April zurück datiert wird.2. 8 Tage in 2500 Jahren.36708 Tage.36708 Tage. 8 • 310 Jahre = 2480 Jahre.12488 Tage.1 Zeit Wahre und mittlere Ortszeit • In einem siderischen Tag (s. • Es ist GZ(1981) = 6. dh. was sich nach 8 Jahren zu 1 Tag summiert. am längsten dagegen 16 h 45 m. folglich durchschnittlich 0. Für Zürich lauten die gleichen Werte: Sonnenscheindauer am kürzesten Tag 8 h 15 m. wobei gilt: x : 360 = 86 400 : 86 164.099.25 Tage = 6939. also um 360°. die Differenz beträgt 0. 19 • 365.242199 Tage.6 m/d. April gefeiert. Die Tageslänge verändert sich in Berlin also im Laufe eines halben Jahres um 9 h 10 m. folglich ist der 18. • 235 • 29. April. Kap.2 6.099 Sekunden dreht sich die Erde per Definition einmal um sich selbst. Dabei haben wir ein halbes Jahr zu rund 182 Tagen angesetzt und eine gleichmässige Änderung der Tageslänge unterstellt. die Ostergrenze ist der 19.75 Tage.216 • 12 synodische Monate sind 354.1667 h : 182 d = 0. • In Berlin scheint die Sonne am kürzesten Tag während 7 h 35 m. Der Sonntagsbuchstabe des Jahres 1981 ist D.3 Zyklen oder rund 310 Jahren zu einer Differenz von 1 Tag – erinnern Sie sich an die Mondgleichung: 7 mal nach 300 Jahren und 1 mal nach 400 Jahren wird je 1 Tag korrigiert. Der astronomische Ostervollmond trat 1981 tatsächlich am 19. 1 astronomisches Jahr hat durchschnittlich 365.06135 Tage. oder aufgelöst x = 360. Differenz: 0. Ohne die Ausnahmeregelungen hätte 1981 Ostern am 26. . Ostern wurde also am 19. durchschnittlich um 9. Längengrad).).06. oder anders gesagt: die Sonnenuhr zeigt ca. Verschiebung des Mittagszeitpunktes ist auch in dieser Jahreszeit für einige Tage stärker als die Änderung der Tagesbogenlänge der Sonne.217 6. Der kürzeste Tag dagegen fiel auf den 22.2007 (Berlin) bzw. somit 11 h 43 m 55 s (11.05. verschieben sich auch Auf. Bezogen auf den Zentralmeridian der MEZ-Zone geht eine Sonnenuhr in Lublin also um (15° – 22° 35’) / 15 = –7. 11.2007.12. Der Bogen. wenn in Lublin die Sonnenuhr WOZ = 12 h zeigt.12.2.B.2 Zeitgleichung • Da ZGL = WOZ – MOZ ist. 26.2007. also die wahre Ortszeit eines Ortes mit λ = +15° (z.2.3 Ortszeit und Zonenzeit • Lublin und Santiago de Compostela haben beide ME(S)Z als Zonenzeit.2007 (Berlin) bzw. Analog im Juni.5833°/15 = –0. 16. nämlich etwa 6 Minuten zwischen Mitte und Ende Dezember. in Santiago um 1. wo sich die Zeitgleichung zwischen Monatsmitte und Monatsende um etwa 4 Minuten ändert. Analog im Sommer: frühester Sonnenaufgang am 18.57 h = 1 h 34 m 12 s nach.2007 (Zürich). MESZ!).06.02. in Zürich gar erst am 1.2007 (Zürich) statt.2007 (Berlin) bzw. 6. spätester Sonnenuntergang am 25.06.und Untergangszeitpunkt.).. wogegen der längste Tag auf den 21. 12 h 25 m 59 s (14. Wenn sich der Mittag verschiebt.07. Görlitz an der deutsch-polnischen Grenze: die Grenze verläuft teilweise genau auf dem 15.2007 fiel. 1 /4 h früher Mittag (12 h) als die Armbanduhr.2008. Der früheste Sonnenuntergang dagegen fand am 13. und zwar ist die wahre Sonne wieder verspätet gegenüber der mittleren. Somit ist Zonenzeit 11 h 29 m 40 s. Der Aufgang findet also gleich viel vor Mittag statt wie der Untergang nach Mittag. dass die WOZ der MOZ vorauseilt.12. ist gleich gross wie der zwischen Höchststand und Untergang. In Berlin war der späteste Sonnenaufgang am 30.06. 12 h 29 m 40 s (13. Diese Verspätung bzw.2007 (Zürich).06.06. In Santiago: 13 h 48 m 27 .12. 12 h 36 m 10 s (26. der die Daten für Zürich und Berlin liefert.5056 h = –30 m 20 s vor. den die Sonne am Himmel zwischen Aufgang und Höchststand (wahrer Mittag.01.). • Wir benutzen den Sternenhimmel 2007. bedeutet ZGL = +16 m 25 s. Dieses Phänomen hängt mit der Zeitgleichung zusammen: im Dezember und Januar verspätet sich die wahre Sonne sehr stark gegenüber der mittleren Sonne. WOZ = 12 h) beschreibt. Damit finden wir für θ0 = –400.2. 17 h 37 m 55 s UT am Vortag. • Die beiden Orte haben einen Längenunterschied von 21° 11’ – (–8° 33’) = 29° 44’ oder in Zeiteinheiten ausgedrückt 1 h 58 m 56 s. Die Lösungen sind also im Rahmen der Rechengenauigkeit gleich. 14 h 30 m 31 s (14.5 und daraus finden wir T = –0. Die geografische Länge entspricht +9.05.)..2 s ergibt (MST: Mean Sidereal Time. Damit finden wir für θ0 = –90. nach Normierung auf das Intervall [0.09 s. 6. in Santiago de Compostela dagegen um 13 h 34 m 12 s MEZ.218 s (11. Wichtig für diese Argumentation ist. EST DST ist gegenüber UT um 11 h voraus. θ0 = 5 h 32 m 43. dann verwendet die Definition der Ephemeridensekunde 12 Ziffern. mittlere Sternzeit). was in Greenwich θ = 21 h 10 m 02.9377. Das gleiche passiert auch mit dem Sonnenaufgang und dem Sonnenuntergang: beide finden in Priština um knapp 2 Stunden früher statt als in Santiago de Compostela. Ephemeridenzeit und Dynamische Zeit • Betrachten wir nur die Schreibweise.5.36. so dass MST = 9 h 09 m 48.12. kulminiert die Sonne in Priština um 11 h 35 m 16 s MEZ. also um eben diese 1 h 58 m 56 s versetzt.76 s ergibt. Die geografische Länge entspricht einem Zeitintervall –10.07.24) θ0 = 7 h 55 m 14. h.1995 0 h UT entspricht JD 2 450 067. es ist also –6 h 22 m 05 s UT bzw.. .).2. Wenn ZGL = 0.5.12.1983 0 h UT entspricht JD = 2 445 354. es ist also UT = 13 h 12 m 38 s. dass beide Orte auf gleicher geografischer Breite liegen und der Tagbogen der Sonne somit an beiden Orten gleich lang ist.99 s. 14 h 34 m 12 s (13. 6..01.23 s. die der Atomsekunde „nur“ 10 Ziffern. T = –0. so dass sich MST = 10 h 48 m 13. Wenn wir mit dem Vortag rechnen. woraus T = –0. UT ist gegenüber HST 10 Stunden voraus. θ0 = 5 h 36 m 39.. um 17 h 35 m 55 s dann θ = 23 h 13 m 32.079 292 765 h bzw.09 s. • Das Datum 16.55 s.23 s (dies Mal ist mit der Uhrzeit vom Vortag zu rechnen!).040 451 745.169 486 653. so finden wir: JD 2 450 066.040 479 124. Daraus findet man MST = 9 h 09 m 48.06. h. fahren wir mit der negativen Uhrzeit weiter und finden: θ = 23 h 13 m 32.5 Atomzeit. Da wir aber die Sternzeit um 0 h UT für den 16.1995 berechnet haben.) und 14 h 40 m 42 s (26.44 s.388 890 979 h bzw..4 Sternzeit • Das Datum 20.02. MESZ!). dann ist TT < UT. Der zweite Fahrer habe eine Geschwindigkeit. die um 50 cm/h geringer sei als diejenige des ersten. wenn die Erde in Zukunft nicht mehr weiter abgebremst würde.15 h – obschon er also pro Runde nur etwas mehr als 1/10 Sekunde verliert.1 ns). mit Frequenzmessungen eine Genauigkeit in der Zeitmessung von 10–14 Sekunden zu erzielen1 (0.1 ms oder 100 µs). sondern 24:01:48. Er benötigt für eine Runde 1. dann ist TT > UT.95 km/h. ob die Null an letzter Stelle genau ist oder gerundet (1 bzw. Birgit Bender.11 Minuten. 1872 hinkte sie fast 1 s hinzur Messung der Lichtgeschwindigkeit und Aspekte zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.5 = 960 Runden. Der eine Fahrer fährt die Strecke mit 40 km/h und benötigt also für eine Runde 1:30 Minuten. der nicht beachtet wird: wenn die Winkelgeschwindigkeit ω um ein weniges abnimmt.5019 Minuten oder 1:30. Das wäre selbst dann der Fall. Die Atomsekunde dagegen deutet eine Genauigkeit von 10–9 oder 10–10 Sekunden an. bis sie eine Sekunde erreichen. Juli 1995 1 Methoden .um einen Winkel von 360° zu überstreichen – gemäss t = 360◦ .2. dann benötigt die Erde entsprechend ein weniges länger. Dies geschieht jeden Tag. die dynamische Zeit ist UT voraus. also 0. 39. wenn er die gleiche Strecke zurück gelegt hat wie der erste. • Ist ∆T > 0.6 Welche Zeit ist die richtige? • Es ist der Unterschied zwischen Winkelgeschwindigkeit und Winkel selber (analog Geschwindigkeit und Strecke). Genauso ist es mit der Erde: die 2 ms Verlängerung pro Tag summieren sich nach rund 500 Tagen zu 1 Sekunde. Staatsexamensarbeit an der Universität Koblenz-Landau. hat er dafür nicht wie dieser 24 Stunden gebraucht.01 ps oder 10 fs).219 Die Ephemeridensekunde deutet aber durch die Schreibweise eine Genauigkeit in der Grössenordnung 10–4 Sekunden an (4. Denn ungefähr so lange dauert eine einzelne Schwingung. Nach 960 Runden. 1870 ging die dynamische Zeit UT noch um gut 1 s voraus. ist ∆T < 0. In einem Tag dreht er somit 1440 : 1. summiert sich dieser Verlust im Laufe von 24 Stunden auf fast 2 Minuten. Tatsächlich sind wir heute in der Lage. 6. dh. und so summieren sich ω die Überschüsse. 0. je nachdem. Stelle nach dem Dezimalkomma: 0.11 Sekunden mehr als der erste. Als Analogie folgender Vergleich: auf einer Rundstrecke von 1 km Länge fahren zwei Radfahrer ein Rennen. die dynamische Zeit ist hinter UT. 899° = 53.576 Tage. J2000 ist 1 m 4. Dezember 1949 23 h 59 m 30.000 743 Tage vor 12 h UT. 6. sind die Unterschiede der Abstände der verschiedenen Epochen zueinander gering. folglich ist B2000 = B1950 + 50 • 365.0’ bzw.220 terher.25 Tagen. 1950 betrug ∆T = 29.533. entspricht 1.000 743) – 2 433 282.951° = 57.9’ • Für einen solchen Körper ist ∆ = 10 000 000 km. π = 0.242 199 = 2 433 282. Januar 2000 0 h 47 m 27 s UT entspricht.85 s. Nachweis: 6. Es handelt sich also um den Raumbereich.2 s bzw. Analog ist J2050 = 2 469 807. Zwischen 1871 und 1902 eilte UT voraus.3. Horizontalparallaxe • π = 0. entspricht also voraussichtlich dem Datum 31.3 6. Trotz dieser Begründung ist aber die Festlegung der Grenze willkürlich.5’ bzw. Das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges liegt unter optimalen Bedingungen bei 1’. . Dezember 2049 23 h 57 m 08 s.0 TDB – 18 262. Dennoch können wir uns unter den hier auftretenden Distanzen noch etwas vorstellen: 200 000 km bis 300 000 km entspricht der normalen Fahrleistung eines PKW. 1. 0.423 = 18 262. Damit ist die Zeitdifferenz (2 451 545. Somit ist J1950 = J2000 – 50 • 365.1 Distanzen Der erdnahe Raum. Januar 1950 0 h TDB.5 TDB.25 = 2 451 545.15 s.5 bzw.5 = 2 433 282. was dem Datum 1.2.423 + 18 262. 1 000 000 km diejenige eines Linienbusses im öffentlichen Verkehr. • Beide Epochen müssen auf die gleiche Zeitskala bezogen sein.0 – 0.π = 1. also π = 2’ 12”.7 Standardepoche • Laut Festlegung der IAU (International Astronomical Union) unterscheiden sich julianische Epochen um ein ganzzahliges Vielfaches eines julianischen Jahres zu 365.025° = 1° 1. folglich 31. Wie man sieht.110 = 2 451 544. Januar 2050 0 h TDB mit ∆T ≈ 172 s. wo theoretisch eine Parallaxe noch von blossem Auge festgestellt werden kann. Analog liegen zwischen zwei Bessel-Epochen eine ganze Anzahl tropischer Jahre zu 365.242 199 Tagen. sonst war immer TT die vorauseilende Zeit. Es ist dann in der mittleren Mondentfernung ∆´ = ∆ – 6378 km zu setzen. geht also gerade auf (im Osten) oder unter (im Westen).221 • Keine parallaktische Verschiebung: Erdmittelpunkt.723 4 879 12 103. das Doppelte der Horizontalparallaxe also den Durchmesser. Mit diesem Ansatz.970 0.263° = 15’ 48.582 120 536 2.527° = 31’ 36. • Wenn es sich um Kreisbahnen handelt. der erdfernsten Distanz die Summe der Radien. • Die Horizontalparallaxe stellt den scheinbaren Radius der Erde am Mondhimmel dar.28 km erhalten wir: Planet a D π1 π2 AE km ” ” Merkur Venus 0.430 Sonne — 1 391 400 8.387 0. D 1 = 0. Beobachter und Himmelsobjekt stehen auf einer Linie.201 51 118 0. weil der Beobachter ihm um ca. D 2 = 0.570 Pluto 39.559° = 33’ 31.840 Saturn 9.500 12. Der Mondradius ist also im Zenit ca.259° = 15’ 32.050 1.700 63.047 49 528 0.7”.245° = 14’ 41. was s 1 = 0. . D 3 = 0.680 10.9”.482 2 390 0. 6.210 Mars 1.518° = 31’ 5. π2 die Horizontalparallaxe bei maximaler Entfernung.5” bzw.2”.794 — Mond 384’400 3 476 3 422.600 — Es bezeichnen: a die grosse Bahnhalbachse (= mittlere Entfernung).6 28. π1 die Horizontalparallaxe bei minimaler Entfernung.660 Uranus 19. das Objekt befindet sich im Zenit des Beobachters. dass in der Aufgabenstellung keine konkreten Daten gegeben sind. dem Wert für 1 AE und dem Erddurchmesser von 12756.2 Das Sonnensystem.6” bzw.460 0.870 Neptun 30.490° = 29’ 22.7”.610 0.524 6 794 33. Der subjektive Eindruck ist allerdings ein anderer: der (Voll-)Mond scheint am Horizont grösser als im Zenit zu sein.570 6.3” bzw. ist der scheinbare Durchmesser grösser als wenn er am Horizont steht. Horizontalparallaxe: das Objekt befindet sich am Horizont des Beobachters (daher der Name).203 142 984 4.970 Jupiter 5.279° = 16’ 45.180 2. D 1 = 0. s 3 = 0. dann entspricht der erdnächsten Distanz die Differenz. 15” grösser als am Horizont. • Wenn der Mond im Zenit steht. Lichtzeit Zur Lösung verwenden wir im Fall. einen Erdradius näher ist. s 2 = 0. D der Durchmesser. • s 1 = 0. Daten aus der Tabelle im Anhang.9” bzw.3. Dabei handelt es sich jedoch um eine optische Täuschung. Zeile: maximaler Abstand): Merkur 305. also 499 s.222 • Wir finden für die Venus: sV = 29. 0. • Es ist k’ = v/c = 1.84 692. • Die Parallaxe ist dann am grössten. wenn also die Erde in H steht.79 Mars 261. Die beiden Effekte sind auf der Umlaufbahn der Erde um 90° „verschoben“.3. Die Aberration ist dann am grössten.013e–5 rad/a.34”/a = 0. wenn Stern – Erde – Sonne in gerader Linie stehen. der maximal 1/100 des Venusscheibchens misst. Am meisten verspätet sind sie in der Konjunktionsstellung (Erde in E).013e–5 rad/a • 1.91° bzw.17 Venus 138. • Mit den Vorgaben erhalten wir für die Lichtzeit in Sekunden (1. Mit sinπ = 1AE .889e–5° = 0.1” – das „Erosscheibchen“ hat einen Durchmesser.45°. obwohl Venus zweimal so weit entfernt ist wie Eros. Der Laufzeitunterschied entspricht gerade der Lichtzeit für die AE.49 Jupiter 2 097 3 095 Saturn 4 282 5 280 Uranus 9 082 10 080 Neptun 14 495 15 493 Pluto 19 203 20 201 Sonne 499. Zeile: minimaler Abstand. Dies ist umgekehrt der grösste Winkel. .3” bzw.28 − • Am meisten verfrüht sind sie in der Oppositionsstellung (Sonne – Erde – Jupiter auf gerader Linie). wenn Sonne – Erde – Jupiter einen rechten Winkel bilden. 2. wenn Stern – Sonne – Erde einen rechten Winkel bilden.551e–6 rad = 8.482 AE). 6.047 AE) und Pluto (39.84 pc = 9.22e–5 pc/a = 19. wenn Stern – Sonne – Erde einen rechten Winkel bilden und am kleinsten.2 km/s.22 859.00 − Mond 1. wenn Stern – Erde – Sonne in gerader Linie stehen. finden wir: π = 1.03 AE/a = 90. Mittlere Zeit dann.0028722°/a = 5.48 1259. und dann am kleinsten. um den sich für einen hypothetischen Beobachter auf diesen Planeten die Erde von der Sonne entfernen kann („Elongation“). Und dies. Aberration • Aus der Tabelle entnehmen wir die Werte für die Entfernung von Neptun (30. • Die Eigenbewegung beträgt µ = 10.465 km/s als der Rotationsgeschwindigkeit eines Ortes am Erdäquator. Die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ist damit v = µ•∆ = 5.32” mit v = 0. wo a die grosse a Halbachse der Planetenbahn in AE ist. π = 1.7” und für Eros se = 0.3 In den Weiten des Kosmos. 223 • Der Effekt hat nichts mit dem Fernrohr. sondern mit der Bewegung des Beobachters senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Sternenlichts zu tun: ja. . der Effekt tritt auch bei der Beobachtung von blossem Auge auf. 224 . 860 − 29. Nachweis: Nostalgiegründen können wir den Schritt der IAU.2488 − 0.35 • 1022 Daten über die Planeten.90 • 1027 − 5. Bahnhalb.0549 Masse kg 3.0167 0.99 • 1030 7.3871 4’879 Venus 0.2056 0.5240 6’794 Jupiter 5.69 • 1026 − 8.0484 − 0. den Pluto aus der Reihe der Planeten zu verbannen und zum Plutoiden zu degradieren.7230 12’104 Erde 149’597’871 12’756.0472 0. polar − 108’728 Uranus 19.Durchmesser achse AE / km km Merkur 0.42 • 1023 1.0068 0.256 686.68 • 1025 1.322 Exzentrizität − 0.0113 0.25 • 1022 1.011 164. noch nicht vollziehen – obschon die Begründung der IAU nachvollzogen werden kann.4820 2’390 Sonne − 1’391’400 Mond 384’400 3’476 ”Exzentrizität” ist die numerische Exzentrizität der Bahnellipse.5820 120’536 Sat.680 − 27.2010 51’118 Neptun 30.87 • 1024 5. polar − 133’708 Saturn 9.980 11.0470 49’528 Pluto1 39. 1 Aus 225 .2030 142’984 Jup.457 − 84.969 224.97 • 1024 6.0934 0.790 247.701 365.Kapitel 7 Anhang 7. die Sonne und den Mond Planet Gr.3 Mars 1.0542 − 0.1 Daten Umlaufzeit d/a 87.30 • 1023 4.02 • 1026 1. April. Passah am Abend des 15. Der Winter (2007-12-22. Am 10. der Sommer (2008-0621.5 2’454’471. Das Jahr 2008 ist also eines jener Jahre.5 2’454’466. die Kalenderwoche (KW).B. das Winterhalbjahr von September 2008 bis März 2009 dagegen eine solche von 178. am Abend des 9. Kap.2008) beginnt das Jahr 1429 nach der Hedschra Mohammeds.5 2’454’500. Muharram und 1.2008 (bzw.12.30 bis 2008-03-20. Daten des Festkalenders 2008 M T KW 1 0 1 1 1 1 2 1 1 6 1 1 10 2 1 31 5 2 0 2 4 6 2 6 6 2 14 7 3 0 3 16 11 3 20.08 bis 2008-09-22. in das zwei islamische Neujahre fallen.5 2’454’496.5 2’454’475. der Herbst (2008-09-22.1 Archiv der Kalender Kalender 2008 Der Kalender gibt die Daten der Feste im Jahr 2008. Sonntagsbuchstabe: FE. die Tagesnummer (T-Nr) im Jahr. Römer-Indiktion: 1.01.2 7.74) dauert 93. Insgesamt hat das Sommerhalbjahr von März bis September eine Länge von 186.54) dauert 89.226 7.74 bis 200812-21. Das julianische Datum).5 2’454’467.46 Tage. Für die kirchlichen Feste gelten die Grössen: Goldene Zahl: 14.2009 das Jahr 1430. Die islamischen Feiertage 1. am 29.66 Tage. Speziell für das Jahr 2008 gilt: Das Jahr ist ein Schaltjahr.08) dauert 92.28) dauert 88.99 Tage. MESZ.80 Tage. Muharram (Isl.5 2’454’545.80 Tage. Ebenso sind zur vereinfachten Rechnung mit dem julianischen Datum die Daten für den 0. Neujahr). Epakte: 22.2.5 2’454’502.28 bis 2008-06-21.5 2’454’496. Ramadan sowie die jüdischen Festtage Passah und Rosch haSchanah beginnen jeweils wie alle Tage in beiden Kalendern am Vorabend des angegebenen Datums. Kalender. Dies ist möglich.Datum 2’454’465. eines jeden Monats eingefügt und durch eine hellblaue Färbung hervorgehoben (s. den Wochentag (T).79 Tagen. Das Winterhalbjahr ist also um knapp 8 Tage kürzer als das Sommerhalbjahr.7836 Bezeichnung Neujahr Berchtoldstag Dreikönigstag 1.5 2’454’510. weil das islamische Jahr mit 354 (355) 11 Tage kürzer ist als ein christliches Jahr. das julianische Datum und die Bezeichnung.5 2’454’541. Jahr: 1429 Weiberfasnacht Güdismontag Aschermittwoch Valentinstag Palmsonntag Frühlingsanfang (Uhrzeit: 6h 48.4m ) . und zwar jeweils den Monat (M) und den Tag (T). also z.5 2’454’525.01. der Frühling (2008-03-20. Die angegebenen Uhrzeiten für den Beginn der Jahreszeiten sind in MEZ bzw.28 12 WT Di Mi So Do Do Mo Mi Do So Do T-Nr 1 2 6 10 31 35 37 45 76 80 jul. 6m ) Rosch haSchanah.5 2’454’730.5 2’454’808.5 2’454’800.5 2’454’548.5 2’454’587. die Kalenderwoche (KW).12 0 1 23 30 0 6 7 8 14 21 21. Advent Nikolaus 2.5 2’454’826.5 2’454’576.5 2’454’806.5 2’454’821.6250 2’454’770. Advent Mariä Empfängnis 3.5 2’454’822.5 2’454’771.5833 2’454’556. Neujahr). Advent Winteranfang (Uhrzeit: 13h 03.5 2’454’732. Ramadan (Beginn Fastenmonat) Eidg.74 30 0 26.5 2’454’831.5 2’454’814.und Bettag Herbstanfang (Uhrzeit: 17h 44.5 2’454’638. Buss.5 2’454’583.5 2’454’617.5830 2’454’647.08 0 20 27 0 1 1 11 11 12 22 0 21.5 2’454’555.5 2’454’793. Muharram (Isl. Ebenso sind zur vereinfachten Rechnung mit dem julianischen Datum die Daten für den 0.227 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 7 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 1 21 23 24 30.5 Karfreitag Ostersonntag Ostermontag Beginn Sommerzeit Passah Orthodoxes Osterfest Auffahrt Arbeitertag Muttertag Pfingstsonntag Pfingstmontag Fronleichnam Sommeranfang (Uhrzeit: 1h 59.5 2’454’693. und zwar jeweils den Monat (M) und den Tag (T).5 2’454’709.5 2’454’679.5 2’454’825.5 2’454’549.5 2’454’765.2393 2’454’739. die Tagesnummer (T-Nr) im Jahr.08 0 0 1 15 0 2 21 22.5 2’454’586. Jahr: 5769 Ende Sommerzeit Allerheiligen Totensonntag 1.4m ) Bundesfeier CH Mariä Himmelfahrt 1.5 2’454’831.5 2’454’608. Advent 4.5 2’454’739. Dank-. den Wochentag (T).54 24 25 26 29 31 0 12 12 13 13 16 17 18 18 19 19 20 21 25 31 33 36 38 39 40 43 44 47 48 49 49 50 50 51 51 52 52 52 1 1 - Fr So Mo So So So Do Do So So Mo Do Sa Fr Fr Di So Mo Di So Sa So So Sa So Mo So So So Mi Do Fr Mo Mi - 81 83 84 90 111 118 122 122 132 132 133 143 173 214 228 246 265 266 274 300 306 328 335 341 342 343 349 356 356 359 360 361 364 366 - 2’454’546.5 2’454’678. Jahr: 1430 Silvester Start für 2009 7.5 2’454’598.5 2’454’807.0443 2’454’824.2.8m ) Heiligabend Weihnacht Stephanstag 1.5 2’454’711.5 2’454’597.5 2’454’800. das julianische Datum und die Bezeichnung.5 2’454’587. ei- .5 2’454’597.2 Kalender 2009 Der Kalender gibt die Daten der Feste im Jahr 2009.5 2’454’829. Für die kirchlichen Feste gelten die Grössen: Goldene Zahl: 15.32) dauert 92.5 2’454’961. Römer-Indiktion: 2.5 2’454’890. Am 29.79 Tage.5 2’454’931.5 2’454’862.Datum 2’454’829. Das Winterhalbjahr ist also um knapp 8 Tage kürzer als das Sommerhalbjahr.5 2’454’933. Jahr: 1430 Neujahr Berchtoldstag Dreikönigstag Valentinstag Weiberfasnacht Güdismontag Aschermittwoch Frühlingsanfang (Uhrzeit: 12h 44.5 2’454’952.5 2’454’930.2008 (bzw.B.54 bis 2009-03-20.0m ) Beginn Sommerzeit Palmsonntag Passah Karfreitag Ostersonntag Ostermontag Orthodoxes Osterfest Arbeitertag Muttertag Auffahrt Pfingstsonntag Pfingstmontag Fronleichnam . Insgesamt hat das Sommerhalbjahr von März bis September eine Länge von 186. am Abend des 28.5 2’454’885. Speziell für das Jahr 2009 gilt: Das Jahr ist kein Schaltjahr.12.97 bis 200912-21.5 Bezeichnung 1.65 Tage.5 2’454’832. Daten des Festkalenders 2009 M T KW 12 29 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 6 2 2 0 2 14 7 2 19 8 2 23 9 2 25 9 3 0 3 20. MESZ.5833 2’454’921. Der Winter (2008-12-21.0306 2’454’919.5 2’454’982.12. Die angegebenen Uhrzeiten für den Beginn der Jahreszeiten sind in MEZ bzw. Die islamischen Feiertage 1.5 2’454’934. der Frühling (2009-03-20. Muharram (Isl.5 2’454’887. das Winterhalbjahr von September 2009 bis März 2010 dagegen eine solche von 178.5 2’454’876.5 2’454’881. Neujahr).228 nes jeden Monats eingefügt und durch eine hellblaue Färbung hervorgehoben (s. Muharram und 1. Dieses ist ein Schaltjahr.5 2’454’951.2009 das Jahr 1431.5 2’454’983. Passah am Abend des 8.5 2’454’926. Ramadan sowie die jüdischen Festtage Passah und Rosch haSchanah beginnen jeweils wie alle Tage in beiden Kalendern am Vorabend des angegebenen Datums. April. der Sommer (2009-0621.5 2’454’972. der Herbst (2009-09-22.97) dauert 93. am 18.32 bis 2009-09-22. Sonntagsbuchstabe: D.99 Tage.78) dauert 89.5 2’454’993. Das julianische Datum).53 bis 2009-06-21.5 2’454’833.44 Tage. Epakte: 3.2008) beginnt das Jahr 1430 nach der Hedschra Mohammeds.5 2’454’911.5 2’454’982. also z. Kalender.80 Tagen. Kap.5 2’454’940.53) dauert 88.12.08 13 4 0 4 5 14 4 9 15 4 10 15 4 12 15 4 13 16 4 19 16 5 0 5 1 18 5 10 19 5 21 21 5 31 22 6 0 6 1 23 6 11 24 WT Mo Do Fr Di Sa Do Mo Mi Fr So So Do Fr So Mo So Fr So Do So Mo Do T-Nr 364 1 2 6 45 50 54 56 79 88 95 99 100 102 103 109 121 130 141 151 152 162 jul.81 Tage.53 12 3 29.5 2’454’837.5 2’454’831. Kap.56 bis 2010-09-23.80 Tagen.5 2’455’043.5 2’455’185. Advent Nikolaus Mariä Empfängnis 3.5 2’455’136.5 2’455’196.8233 2’455’012. Advent 2. Das julianische Datum). der Frühling (2010-03-20. Ebenso sind zur vereinfachten Rechnung mit dem julianischen Datum die Daten für den 0.8m ) Heiligabend Weihnacht Stephanstag Silvester Start für 2010 7. Epakte: 14.5 2’455’178. die Kalenderwoche (KW). Dank-.229 6 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 1 21. Buss.2. das Winterhalbjahr von September 2010 bis März 2011 dagegen eine solche von 178.5 2’455’093.5 2’455’191.5 Sommeranfang (Uhrzeit: 7h 45. die Tagesnummer (T-Nr) im Jahr.12 0 1 22 29 0 6 6 8 13 18 20 21. den Wochentag (T). Muharram (Isl.78 bis 2010-03-20.5 2’455’058. Für die kirchlichen Feste gelten die Grössen: Goldene Zahl: 16.81 Tage.5 2’455’183.78 24 25 26 31 0 25 31 33 34 38 38 39 43 44 47 48 49 49 50 50 51 51 52 52 52 52 53 - So Sa Sa Sa Sa So Di So So So So So So Di So Fr So Mo Do Fr Sa Do - 172 213 227 234 262 263 265 298 305 326 333 340 340 342 347 352 354 355 358 359 360 365 - 2’455’003.5 2’455’074. der Sommer (2010-0621.5 2’455’165.99 Tage.5 2’455’171.44 Tage.5 2’455’157. Kalender. Neujahr).4713 2’455’104.5 2’455’196. Insgesamt hat das Sommerhalbjahr von März bis September eine Länge von 186. Jahr: 5770 Eidg.65 Tage. Speziell für das Jahr 2010 gilt: Das Jahr ist kein Schaltjahr.21) dauert 93.6250 2’455’135. das julianische Datum und die Bezeichnung.21 bis 201012-22.5 2’455’190.2825 2’455’189.5 2’455’173.5 2’455’129.77) dauert 88.5 2’455’065.56) dauert 92.77 bis 2010-06-21.7m ) Ende Sommerzeit Allerheiligen Totensonntag 1. Advent 1.5 2’455’164.5 2’455’097. der Herbst (2010-09-23.5 2’455’094. Jahr: 1431 4. Sonntagsbuchstabe: C. eines jeden Monats eingefügt und durch eine hellblaue Färbung hervorgehoben (s.32 0 0 1 15 22 0 19 20 22. Römer-Indiktion: 3. Ramadan (Beginn Fastenmonat) Rosch haSchanah. Der Winter (2009-12-21. und zwar jeweils den Monat (M) und den Tag (T).6m ) Bundesfeier CH Mariä Himmelfahrt 1. Advent Winteranfang (Uhrzeit: 18h 46.und Bettag Herbstanfang (Uhrzeit: 23h 18.5 2’455’187.79 Tage.5 2’455’171.3 Kalender 2010 Der Kalender gibt die Daten der Feste im Jahr 2010.5 2’455’044. Das Winterhalbjahr ist also .97 0 25.03) dauert 89. Muharram (Islam.5 2’455’244.230 um knapp 8 Tage kürzer als das Sommerhalbjahr.5 2’455’276. Uhrzeit: 13h 28.12.5 2’455’238.B. Jahr: 1431 Neujahr Berchtoldstag Dreikönigstag Weiberfasnacht Valentinstag Güdismontag Aschermittwoch Frühlingsanfang. Jahr: 5771 Eidg.21 0 31.und Bettag Herbstanfang.5 2’455’198.5 2’455’316.5 2’455’347.58333 2’455’285. Advent .2009) beginnt das Jahr 1431 nach der Hedschra Mohammeds. Muharram und 1.5 2’455’242.5 2’455’196. also z.5 2’455’290.08 30 0 2 4 4 5 0 1 9 13 23 24 0 3 21.5 2’455’288.5 2’455’286.5m Bundesfeier CH 1. am Abend des 17.56 0 0 1 11 15 0 9 19 23.13 0 1 21 28 53 53 1 6 6 7 7 11 12 12 13 13 13 13 14 17 18 19 20 21 22 25 30 32 32 36 37 38 43 44 46 47 WT Fr Fr Sa Mi Do So Mo Mi Sa So So Di Fr So So Mo Sa So Do So Mo Do Mo So Mi So Do So Do So Mo So So T-Nr 352 1 2 6 42 45 46 48 79 87 87 89 92 94 94 95 121 129 133 143 144 154 172 213 223 227 252 262 266 304 305 325 332 jul.5 2’455’423. Passah am Abend des 29.2010 das Jahr 1432.5 2’455’329.5 2’455’409.2009 (bzw.12. Dieses ist kein Schaltjahr.5 2’455’339. Buss.5 2’455’462. Die islamischen Feiertage 1.5 2’455’317. Jahr: 1431 Mariä Himmelfahrt Rosch haSchanah.5 2’455’227.5 2’455’500.0m Palmsonntag Beginn Sommerzeit Passah Karfreitag Ostersonntag Orthodoxes Osterfest Ostermontag Arbeitertag Muttertag Auffahrt Pfingstsonntag Pfingstmontag Fronleichnam Sommeranfang.5 2’455’350.4m Ende Sommerzeit Allerheiligen Totensonntag 1. Uhrzeit: 05h 09.5 Bezeichnung 1.5 2’455’521.5 2’455’501.12.5 2’455’340.27222 2’455’283.5 2’455’458.06146 2’455’377. Am 18. Neujahr).Datum 2’455’183.5 2’455’290.5 2’455’241.5 2’455’202.71487 2’455’469.77 28 28.5 2’455’448.5 2’455’528.5 2’455’255.5 2’455’419. Daten des Festkalenders 2010 M T KW 12 18 51 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 11 11 11 11 0 1 2 6 0 11 14 15 17 0 20.5 2’455’291. MESZ.5 2’455’197.5 2’455’408. März. Ramadan (Beginn Fastenmonat). Ramadan sowie die jüdischen Festtage Passah und Rosch haSchanah beginnen jeweils wie alle Tage in beiden Kalendern am Vorabend des angegebenen Datums. am 8.62500 2’455’500.5 2’455’283.5 2’455’369.5 2’455’439. Dank-.5 2’455’325. Uhrzeit: 18h 32. Die angegebenen Uhrzeiten für den Beginn der Jahreszeiten sind in MEZ bzw. Uhrzeit: 00h 38.5 2’455’535. Jahr: 1432 2’455’542. Muharram (Islam.5 Silvester 2’455’561.5m 2’455’554.5 3. Advent Nikolaus Mariä Empfängnis 1. Advent 2’455’549.03 24 25 26 31 0 48 49 49 49 49 50 51 51 51 51 52 - So Mo Mi Mi So So Mi Fr Sa So Fr - 339 340 342 342 346 353 356 358 359 360 365 - 2’455’530.5 2’455’536.5 Start für 2011 .5 2’455’538.5 Stephanstag 2’455’561.5 2’455’538. Advent 2’455’552.231 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 1 0 5 6 8 8 12 19 22.52671 Winteranfang.5 Heiligabend 2’455’555. Neujahr).5 Weihnacht 2’455’556.5 2.5 4. 232 . Kapitel 8 Autoren Edits User 404 Mathematicus 88 Dirk Huenniger 9 Heuler06 233 . 234 . ethical or political position regarding them. a Secondary Section may not explain any mathematics. plus such following pages as are needed to hold. Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup. while not being considered responsible for modifications made by others. An image format is not Transparent if used for any substantial amount of text. the material this License requires to appear in the title page. SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available. Opaque formats include proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors. 1. We have designed this License in order to use it for manuals for free software. has been arranged to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. and standard-conforming simple HTML. (Thus. The “Invariant Sections“ are certain Secondary Sections whose titles are designated. in any medium. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup. Any member of the public is a licensee. 235 . “Title Page“ means the text near the most prominent appearance of the work’s title. and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. PostScript or PDF designed for human modification. Texinfo input format. refers to any such manual or work. it can be used for any textual work. Kapitel 9 GNU Free Documentation License 0. It complements the GNU General Public License.or whether it is published as a printed book. or of legal. either copied verbatim. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. A copy that is not “Transparent“ is called “Opaque“. and the machine-generated HTML. A Front-Cover Text may be at most 5 words. textbook. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none. Secondarily. A “Secondary Section“ is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document’s overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. either commercially or noncommercially. and is addressed as “you“. The Document may contain zero Invariant Sections. in the notice that says that the Document is released under this License. which is a copyleft license designed for free software. commercial. or absence of markup. as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts. as being those of Invariant Sections. PostScript or PDF produced by some word processors for output purposes only. this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work. SGML or XML using a publicly available DTD. to use that work under the conditions stated herein. or other functional and useful document “free“ in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it. regardless of subject matter This License applies to any manual or other work. The “Document“. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual. because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. for a printed book.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters. This License is a kind of “copyleft“. with or without modifying it. LaTeX input format. XCF and JPG. and a Back-Cover Text may be at most 25 words. that is suitable for revising the document straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor. APPLICABILITY AND DEFINITIONS The “Cover Texts“ are certain short passages of text that are listed. unlimited in duration. legibly. You accept the license if you copy. For works in formats which do not have any title page as such. the title page itself. Such a notice grants a world-wide. represented in a format whose specification is available to the general public. Examples of transparent image formats include PNG. in the notice that says that the Document is released under this License. modify or distribute the work in a way requiring permission under copyright law. A “Transparent“ copy of the Document means a machine-readable copy. or with modifications and/or translated into another language. The “Title Page“ means. below. that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. But this License is not limited to software manuals. royalty-free license. A “Modified Version“ of the Document means any work containing the Document or a portion of it. philosophical. If a section does not fit the above definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. if the Document is in part a textbook of mathematics. preceding the beginning of the body of the text. which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. you must take reasonably prudent steps. together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors. provided that this License. unless they release you from this requirement. Preserve its Title. in the form shown in the Addendum below. or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document. the copyright notices. either commercially or noncommercially. if it has fewer than five). and Back-Cover Texts on the back cover. 4. “Dedications“. Use in the Title Page (and on the covers. that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above. (Here XYZ stands for a specific section name mentioned below. you must enclose the copies in covers that carry. 2. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version. The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. • E. Include an unaltered copy of this License. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. In addition. as authors. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly.) To “Preserve the Title“ of such a section when you modify the Document means that it remains a section “Entitled XYZ“ according to this definition. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License. but not required. You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. you may accept compensation in exchange for copies. all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover. and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies. if any) a title distinct from that of the Document. • D. be listed in the History section of the Document). You may also lend copies. thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. as the publisher. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium. and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. Include. year. or “History“. • B.236 A section “Entitled XYZ“ means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. such as “Acknowledgements“. “Endorsements“. and add to it an item stating at least the title. you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy. to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. Preserve all the copyright notices of the Document. as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions. one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version. you must do these things in the Modified Version: • A. It is requested. 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If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. with the Modified Version filling the role of the Document. and from those of previous versions (which should. new authors. 3. when you begin distribution of Opaque copies in quantity. you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover. • G. • Preserve the section Entitled “History“. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document’s license notice. a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100. and the Document’s license notice requires Cover Texts. • C. • H. to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. provided that you release the Modified Version under precisely this License. free of added material. You may add other material on the covers in addition. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text. and any sections Entitled “Dedications“. create one stating the title. and a passage of up to 25 words as a BackCover Text. you may not add another. 5. likewise combine any sections Entitled “Acknowledgements“. or else a unique number. • N. You must delete all sections Entitled “Endorsements. then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. on explicit permission from the previous publisher that added the old one. and publisher of the Document as given on its Title Page. You may extract a single document from such a collection. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS . in parentheses. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. 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Preserve all the Invariant Sections of the Document. forming one section Entitled “History“. to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. but you may replace the old one. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License.“ 6. add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version’s license notice. For any section Entitled “Acknowledgements“ or “Dedications“. is called an “aggregate“ if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation’s users beyond what the individual works permit. provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. • J. given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document. 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