Astronomia e Astrofísica

Astronomia e Astrof´ ısicaKepler de Souza Oliveira Filho (S.O. Kepler) Maria de F´ atima Oliveira Saraiva Departamento de Astronomia - Instituto de F´ ısica Universidade Federal do Rio Grande do Sul Porto Alegre, 10 de dezembro de 2012. ii Conte´ udo Pref´ acio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi 1 2 6 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 16 17 19 20 21 22 22 22 22 25 25 25 26 26 28 30 30 1 Astronomia antiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Os astrˆ onomos da Gr´ ecia antiga . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Constela¸ c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A esfera celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Coordenadas geogr´ aficas . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Coordenadas astronˆ omicas . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 O sistema horizontal . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 O sistema equatorial celeste . . . . . . . . 3.2.3 O sistema equatorial local . . . . . . . . . . 3.2.4 Tempo sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Movimento diurno dos astros . . . . . . . . . . . . 4.1 Fenˆ omenos do movimento diurno . . . . . . . . . . 4.1.1 Nascer e ocaso de um astro . . . . . . . . . 4.1.2 Passagem meridiana de um astro . . . . . 4.1.3 Estrelas circumpolares . . . . . . . . . . . 5 Trigonometria esf´ erica . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Defini¸ c˜ oes b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Triˆ angulos esf´ ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Propriedades dos triˆ angulos esf´ ericos . . . . 5.2.2 Solu¸ c˜ ao de triˆ angulos esf´ ericos . . . . . . . 5.3 O triˆ angulo de posi¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Algumas aplica¸ c˜ oes: . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ 5.4.1 Angulo hor´ ario no ocaso . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Determinar a separa¸ c˜ ao angular entre duas estrelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 33 33 33 35 35 36 41 42 42 44 46 49 50 51 52 52 53 54 54 56 59 63 63 64 65 66 66 68 69 73 73 74 74 78 6 Medida do tempo . . . . . . 6.1 Tempo sideral . . . . . . . 6.2 Tempo solar . . . . . . . . 6.2.1 Fusos hor´ arios . . 6.2.2 Equa¸ c˜ ao do tempo 6.3 Calend´ ario . . . . . . . . . 7 Movimento anual do Sol . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Esta¸ c˜ oes do ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Posi¸ c˜ oes caracter´ ısticas do Sol . . . . . . . . 7.1.2 Esta¸ c˜ oes em diferentes latitudes . . . . . . 7.2 Insola¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Movimentos da Lua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Fases da lua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Lua C ou D? . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Mˆ es lunar e mˆ es sideral . . . . . . . . . . . 8.1.3 Dia lunar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Rota¸ c˜ ao da lua . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Eclipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Geometria da sombra . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Eclipses do Sol e da Lua . . . . . . . . . . . 8.3 Exemplos de c´ alculos de eclipses . . . . . . . . . . 9 Movimento dos planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 O modelo geocˆ entrico de Ptolomeu . . . . . . . . . . . 9.2 Cop´ ernico e o modelo heliocˆ entrico . . . . . . . . . . . 9.2.1 Classifica¸ c˜ ao dos planetas pela distˆ ancia ao Sol 9.2.2 Configura¸ c˜ oes planet´ arias . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Per´ ıodo sin´ odico e sideral dos planetas . . . . . 9.3 Exemplos de per´ ıodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Distˆ ancias dentro do Sistema Solar . . . . . . . 10 As leis de Kepler . . . . . . . . . . 10.1 Tycho . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Kepler . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Propriedades das elipses 10.2.2 As trˆ es leis . . . . . . . iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11 Newton . . . . . . . . . . . . . 11.1 Gravita¸ c˜ ao universal . . . . 11.2 Deriva¸ c˜ ao da “constante” K 11.3 Determina¸ c˜ ao de massas . . . 83 . . 86 . . 87 . . 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 96 97 98 98 102 103 104 106 106 107 107 12 Leis de Kepler generalizadas . . . . . . . . . . . . . 12.1 Equa¸ c˜ ao do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Conserva¸ c˜ ao da energia total do sistema . . . . . . 12.3 Conserva¸ c˜ ao do momentum angular . . . . . . . . . 12.4 Primeira lei de Kepler: Lei das ´ orbitas . . . . . . . 12.5 Segunda lei de Kepler: Lei das ´ areas . . . . . . . . 12.6 Terceira lei de Kepler: Lei harmˆ onica . . . . . . . . 12.7 A equa¸ c˜ ao da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.1 Velocidade circular . . . . . . . . . . . . . . 12.7.2 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . 12.7.3 Problema de muitos corpos . . . . . . . . . 12.7.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 For¸ cas gravitacionais diferenciais . . . . . . . . . . 13.1 Dedu¸ c˜ ao da for¸ ca diferencial . . . . . . . . . . . . . 13.2 Mar´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Express˜ ao da for¸ ca de mar´ e . . . . . . . . . 13.2.2 Mar´ e da Lua e do Sol . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Rota¸ c˜ ao sincronizada . . . . . . . . . . . . . 13.2.4 Limite de Roche . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Precess˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 O Sol e os planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Origem do sistema solar . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Planetologia comparada . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Caracter´ ısticas gerais dos planetas . . . . . 14.2.2 Propriedades fundamentais dos planetas . . 14.2.3 Estrutura Interna: . . . . . . . . . . . . . . 14.2.4 Superf´ ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.5 Atmosferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.6 Efeito estufa . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . 111 . 112 . 113 . 114 . 116 . 116 . 119 . 122 129 . 130 . 132 . 132 . 133 . 134 . 136 . 138 . 140 15 Corpos menores do Sistema Solar 15.1 Aster´ oides . . . . . . . . . . . . 15.2 Objetos do Cintur˜ ao de Kuiper 15.3 Meteoros . . . . . . . . . . . . . 15.4 Impactos na Terra . . . . . . . 15.5 Sat´ elites . . . . . . . . . . . . . 15.6 An´ eis . . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Cometas . . . . . . . . . . . . . 15.7.1 Origem dos Cometas . . 15.8 Planeta X . . . . . . . . . . . . 15.9 Chuva de meteoros . . . . . . . 15.10 Luz zodiacal . . . . . . . . . . . 16 O Sol - a nossa estrela 16.1 Estrutura do Sol . . 16.1.1 A fotosfera . 16.1.2 A cromosfera 16.1.3 A Coroa . . . 16.2 A energia do Sol . . 17 Vida 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . 143 . 144 . 145 . 146 . 148 . 149 . 150 . 151 . 152 . 152 . 152 153 . 154 . 155 . 157 . 159 . 161 . . . . . . . . . . . . 163 163 165 165 166 167 171 174 174 174 175 175 176 177 . . . . . . . . . . . . . Vida na Terra . . . . . . Vida no Sistema Solar . Vida na gal´ axia . . . . . OVNIs . . . . . . . . . . Planetas fora do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solar 18 Determina¸ c˜ ao de distˆ ancias . . . . . . . . . . . . . 18.1 Paralaxe geocˆ entrica e heliocˆ entrica . . . . . . . . . 18.1.1 Paralaxe geocˆ entrica . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 Paralaxe heliocˆ entrica . . . . . . . . . . . . 18.2 Unidades de distˆ ancias astronˆ omicas . . . . . . . . 18.2.1 A unidade astronˆ omica . . . . . . . . . . . 18.2.2 O ano-luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 O parsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Estrelas bin´ arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1 Hist´ orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Tipos de sistemas bin´ arios . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Massas de sistemas bin´ arios visuais . . . . . . . . . vi . 181 . . 181 . . 182 . . 183 19.4 Massas de bin´ arias espectrosc´ opicas . . . . . . . . . . . . . . 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 . 188 . 188 . 188 . 190 . 191 . 192 . 194 . 195 . 195 . 196 . 196 . 199 . 201 . 201 . 204 . 205 209 . 209 . 211 . 212 . 213 . 213 . 216 . 220 . 223 . 224 . 225 . 226 . 227 . 228 . . . . 231 232 233 238 238 20 Fotometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 Grandezas t´ ıpicas do campo de radia¸ c˜ ao . . . . . . ˆ 20.2 Angulo s´ olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Intensidade espec´ ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5.1 Sistemas de magnitudes . . . . . . . . . . . 20.5.2 ´ Indices de cor . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5.3 Magnitude absoluta . . . . . . . . . . . . . 20.5.4 Magnitude bolom´ etrica . . . . . . . . . . . 20.5.5 Sistema de Str¨ omgren . . . . . . . . . . . . 20.5.6 Extin¸ c˜ ao atmosf´ erica . . . . . . . . . . . . . 20.5.7 Extin¸ c˜ ao interestelar e Excesso de cor . . . 20.6 Teoria da Radia¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.6.1 O corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . 20.6.2 Lei de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.6.3 Lei de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . 21 Espectroscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Hist´ orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Varia¸ c˜ ao do espectro cont´ ınuo com a temperatura 21.3 A origem das linhas espectrais: ´ atomos e luz . . . . . . . . 21.3.1 Quantiza¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 N´ ıveis de energia do hidrogˆ enio . . . . . . . . . . . 21.4 Classifica¸ c˜ ao Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.1 A seq¨ uˆ encia espectral e a temperatura das estrelas 21.5 Classifica¸ c˜ ao de luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Velocidade radial e efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Perfil da linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8 Lei de Boltzmann - Equa¸ c˜ ao de Excita¸ c˜ ao . . . . . . . . . 21.9 Lei de Saha - Equa¸ c˜ ao de Ioniza¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . 22 Estrelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 O Diagrama HR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 C´ umulos e Aglomerados Estelares . . . . . . . . . . 22.3 Distˆ ancias espectrosc´ opicas . . . . . . . . . . . . . 22.4 A rela¸ c˜ ao massa-luminosidade . . . . . . . . . . . . vii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.1 As estrelas mais luminosas . . . . 22.5.2 As estrelas de baixa luminosidade 22.5.3 As an˜ as brancas . . . . . . . . . . 22.6 A fonte de energia das estrelas . . . . . . . 22.7 Fus˜ ao termonuclear . . . . . . . . . . . . . 22.8 Tempo de vida das estrelas . . . . . . . . 22.9 Escalas de tempo evolutivo . . . . . . . . 22.9.1 Tempo nuclear . . . . . . . . . . . 22.9.2 Tempo t´ ermico . . . . . . . . . . . 22.9.3 Tempo dinˆ amico . . . . . . . . . . 22.10 O Problema do neutrino solar . . . . . . . 22.11 Energia nuclear de liga¸ c˜ ao . . . . . . . . . 22.12 Massas Nucleares . . . . . . . . . . . . . . 22.13 Evolu¸ c˜ ao final das estrelas . . . . . . . . . 22.14 Estrelas Vari´ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 239 240 241 242 246 249 250 250 251 252 252 256 258 260 270 277 277 281 283 285 286 291 294 295 295 295 296 297 297 298 300 303 307 311 321 322 325 23 Interiores estelares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Press˜ ao mecˆ anica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1 G´ as n˜ ao-degenerado . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 G´ as de f´ otons . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.3 Degenerescˆ encia dos el´ etrons . . . . . . . . 23.2.4 Degenerescˆ encia parcial . . . . . . . . . . . 23.3 Energia de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.1 T=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.2 G´ as n˜ ao-degenerado, ionizado . . . . . . . . 23.3.3 Degenerescˆ encia fraca . . . . . . . . . . . . 23.3.4 Altamente degenerado e ultra-relativ´ ıstico . 23.4 G´ as, T=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5 G´ as n˜ ao-degenerado, ionizado . . . . . . . . . . . . 23.6 G´ as fracamente degenerado . . . . . . . . . . . . . 23.7 G´ as altamente degenerado, ultra-relativ´ ıstico . . . 23.8 Equil´ ıbrio hidrost´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . 23.9 Reserva de energia de uma estrela . . . . . . . . . . 23.9.1 Algumas rela¸ c˜ oes termodinˆ amicas . . . . . 23.9.2 Energia nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . 23.9.3 Ciclo pr´ oton-pr´ oton . . . . . . . . . . . . . 23.9.4 Ciclo CNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.9.5 Triplo–α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.9.6 Queima do carbono . . . . . . . . . . . . . . . . 23.10 Condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio t´ ermico . . . . . . . . . . . . . . 23.11 O Transporte de energia radiativo . . . . . . . . . . . . . 23.12 A Equa¸ c˜ ao de transporte radiativo . . . . . . . . . . . . 23.13 Equil´ ıbrio radiativo no interior estelar . . . . . . . . . . 23.14 Ordem de grandeza da luminosidade . . . . . . . . . . . 23.15 A rela¸ c˜ ao massa-luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . 23.16 Estabilidade do equil´ ıbrio t´ ermico . . . . . . . . . . . . . 23.17 Transporte de energia por convec¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . 23.17.1 Condi¸ c˜ ao de estabilidade do equil´ ıbrio radiativo . 23.17.2 Equil´ ıbrio convectivo . . . . . . . . . . . . . . . . 23.17.3 Transporte de energia por convec¸ c˜ ao . . . . . . . 23.17.4 Aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica . . . . . . . . . . . . . . 23.17.5 Caracter´ ısticas da convec¸ c˜ ao no interior estelar . 23.17.6 Overshooting e semiconvec¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . 23.18 Abundˆ ancia dos elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.18.1 Varia¸ c˜ ao da composi¸ c˜ ao com o tempo . . . . . . 23.18.2 Difus˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.18.3 Regi˜ oes convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.19 Opacidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.19.1 Transi¸ c˜ oes ligado-livre . . . . . . . . . . . . . . . 23.19.2 Transi¸ c˜ oes livre-livre . . . . . . . . . . . . . . . . 23.19.3 Coeficiente de absor¸ c˜ ao monocrom´ atica . . . . . 23.19.4 Espalhamento Thomson . . . . . . . . . . . . . . 23.19.5 Coeficiente total . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.19.6 ´ Ion negativo de hidrogˆ enio . . . . . . . . . . . . . 23.20 Gera¸ c˜ ao de Energia Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . 23.20.1 Se¸ c˜ ao de choque e taxa de rea¸ c˜ ao . . . . . . . . . 23.20.2 Rea¸ c˜ oes n˜ ao-ressonantes . . . . . . . . . . . . . . 23.20.3 Rea¸ c˜ oes ressonantes . . . . . . . . . . . . . . . . 23.20.4 Escudamento eletrˆ onico . . . . . . . . . . . . . . 23.20.5 S´ ıntese de elementos pesados . . . . . . . . . . . 23.21 Emiss˜ ao de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.22 Pol´ ıtropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.22.1 Aplica¸ c˜ oes para an˜ as brancas . . . . . . . . . . . 23.23 Limite de Eddington . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.24 Modelos de evolu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.25 Condi¸ c˜ oes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 328 330 333 334 336 343 343 344 345 345 350 352 355 356 358 360 362 363 367 367 370 372 374 375 377 380 387 387 389 392 396 398 399 413 417 418 420 421 23.25.1 Atmosferas estelares . . . . . . . . . . . . . 23.25.2 Envelope radiativo . . . . . . . . . . . . . . 23.25.3 Estrelas completamente convectivas . . . . 23.26 Resultado dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . 23.27 An˜ as brancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.27.1 Propriedades de an˜ as brancas n˜ ao-bin´ arias 23.27.2 Evolu¸ c˜ ao das an˜ as brancas . . . . . . . . . 23.27.3 Evolu¸ c˜ ao T´ ermica das An˜ as Brancas . . . . 23.27.4 Cristaliza¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.27.5 Fun¸ c˜ ao luminosidade . . . . . . . . . . . . . 23.28 Novas e supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.29 Equil´ ıbrio hidrost´ atico na Relatividade Geral . . . 23.29.1 Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.29.2 Avermelhamento Gravitacional . . . . . . . 23.29.3 Tensores Covariantes e Contravariantes . . 23.29.4 Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . . . . . . 23.30 Forma¸ c˜ ao estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.31 Estrelas bin´ arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.31.1 Bin´ arias Pr´ oximas . . . . . . . . . . . . . . 23.31.2 Discos de Acres¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . 23.31.3 Envelope Comum . . . . . . . . . . . . . . . 23.32 Pulsa¸ c˜ oes Radiais Adiab´ aticas . . . . . . . . . . . . 23.32.1 A Equa¸ c˜ ao de Onda Adiab´ atica e Linear . . 23.32.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . 23.33 Pulsa¸ c˜ oes n˜ ao-radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.33.1 Aproxima¸ c˜ ao N˜ ao Adiab´ atica . . . . . . . . 23.33.2 Heliosismologia . . . . . . . . . . . . . . . . 23.33.3 Pulsa¸ c˜ oes das An˜ as Brancas . . . . . . . . . 23.34 Efeitos n˜ ao lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.35 Pulsa¸ c˜ oes das ZZ Cetis . . . . . . . . . . . . . . . . 23.36 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 426 426 433 458 458 463 467 472 479 483 492 498 499 500 501 509 522 523 526 526 531 537 538 539 546 549 549 551 554 561 563 24 A escala do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nossa gal´ axia: a Via L´ actea . . . . . . . . . . . . . 25.1 Sistema de coordenadas gal´ acticas . . . . . . . . . 25.2 Distˆ ancias dentro da Gal´ axia . . . . . . . . . . . . 25.2.1 Per´ ıodo-Luminosidade . . . . . . . . . . . . 25.3 Forma e tamanho da Via L´ actea . . . . . . . . . . 25.4 O movimento das estrelas na Gal´ axia . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 . 569 . 570 . 570 . 571 . 573 25.5 25.6 25.7 25.8 25.9 25.4.1 Componentes dos movimentos estelares . . . . . . . 573 25.4.2 O sistema local de repouso (SLR) . . . . . . . . . . 574 A rota¸ c˜ ao e a massa da Gal´ axia . . . . . . . . . . . . . . . . 575 25.5.1 Massa da Gal´ axia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 25.5.2 A curva de rota¸ c˜ ao da Gal´ axia . . . . . . . . . . . . 576 25.5.3 Determina¸ c˜ ao da velocidade e distˆ ancia galactocˆ entrica do Sol - F´ ormulas de Oort . . . . . . . . . . . . . . . 579 Meio interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 25.6.1 G´ as interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 25.6.2 A poeira interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 25.6.3 Mol´ eculas interestelares . . . . . . . . . . . . . . . . 585 Popula¸ c˜ oes estelares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 Estrutura espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 O Centro da Gal´ axia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 26 Gal´ axias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 26.1 A descoberta das gal´ axias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 26.2 Classifica¸ c˜ ao morfol´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 26.2.1 Espirais (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 26.2.2 El´ ıpticas (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 26.2.3 Irregulares (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 26.3 Massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 26.3.1 Determina¸ c˜ ao de massa em gal´ axias el´ ıpticas . . . . 596 26.3.2 Determina¸ c˜ ao de massa em gal´ axias espirais . . . . . 597 26.4 Luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 26.5 Brilho superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 26.5.1 Distribui¸ c˜ ao de brilho superficial . . . . . . . . . . . 599 26.5.2 El´ ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 26.5.3 Espirais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 26.6 A rela¸ c˜ ao entre a luminosidade e a velocidade para gal´ axias el´ ıpticas e espirais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 26.7 A forma¸ c˜ ao e evolu¸ c˜ ao das gal´ axias . . . . . . . . . . . . . . 602 26.8 Aglomerados de gal´ axias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 26.8.1 O Grupo Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 26.8.2 Outros aglomerados de gal´ axias . . . . . . . . . . . . 605 26.9 Superaglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 26.10 Colis˜ oes entre gal´ axias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 26.10.1 Fus˜ ao de gal´ axias e canibalismo gal´ atico . . . . . . . 609 26.11 Gal´ axias ativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 xi 26.11.1 Quasares . . . . . . . . . . . . 26.11.2 Movimentos superluminais . . 26.11.3 Radio-gal´ axias . . . . . . . . . 26.11.4 Gal´ axias Seyfert . . . . . . . . 26.11.5 Objetos BL Lacertae (BL Lac) 26.12 A lei de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 613 616 617 617 618 27 Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1 O Paradoxo de Olbers: a escurid˜ ao da noite . . . . 27.2 Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2.1 Lentes Gravitacionais . . . . . . . . . . . . 27.3 Expans˜ ao do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4 Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5 A quest˜ ao da mat´ eria escura . . . . . . . . . . . . . 27.6 A idade do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.7 COBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.8 Viagem no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.9 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.10 Superstrings - Cordas C´ osmicas . . . . . . . . . . . 27.11 Cosmologia newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . 27.11.1 Densidade cr´ ıtica . . . . . . . . . . . . . . . 27.11.2 Idade do Universo . . . . . . . . . . . . . . 27.11.3 Parˆ ametro de densidade . . . . . . . . . . . 27.11.4 Parˆ ametro de desacelera¸ c˜ ao . . . . . . . . . 27.11.5 Big Bang quente . . . . . . . . . . . . . . . 27.11.6 Avermelhamento gravitacional . . . . . . . 27.11.7 Massa de Planck . . . . . . . . . . . . . . . 27.12 Cosmologia Relativ´ ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 27.12.1 Espa¸ co-tempo de Minkowski . . . . . . . . 27.12.2 Coordenadas gaussianas . . . . . . . . . . . 27.12.3 Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . 27.12.4 Levantando e baixando ´ ındices . . . . . . . 27.12.5 Cosmologia na Relatividade Geral . . . . . 27.12.6 Evolu¸ c˜ ao T´ ermica ap´ os o Big Bang . . . . . 27.12.7 M´ etrica de Robertson-Walker . . . . . . . . 27.13 Recombina¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 621 . 621 . 623 . 625 . 627 . 631 . 633 . 637 . 639 . 645 . 646 . 647 . 657 . 657 . 658 . 659 . 665 . 666 . 667 . 667 . 668 . 668 . 669 . 671 . 674 . 674 . 677 . 680 . 683 28 Telesc´ opios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1 Refrator ou refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Radiotelesc´ opio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3 Comprando um telesc´ opio . . . . . . . . . . . . . . 28.3.1 Caracter´ ısticas ´ oticas dos telesc´ opios . . . . 28.3.2 Bin´ oculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4 M´ ınimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.5 M´ ınimos quadrados lineares . . . . . . . . . . . . . 28.6 M´ ınimos quadrados n˜ ao lineares . . . . . . . . . . . 28.7 Formula¸ c˜ ao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.8 Determina¸ c˜ ao das incertezas . . . . . . . . . . . . . 28.9 Matrix Covarian¸ ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 28.10 χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.11 Estimativa Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.11.1 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.12 Determina¸ c˜ ao das incertezas . . . . . . . . . . . . . A Biografias . . . . . . . . . . A.1 Nicolau Cop´ ernico . . . A.2 Tycho Brahe . . . . . . A.3 Johannes Kepler . . . . A.4 Galileo Galilei . . . . . . A.5 Christiaan Huygens . . . A.6 Isaac Newton . . . . . . A.7 Gian Domenico Cassini . A.8 Edmond Halley . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 . 688 . 692 . 694 . 697 . 698 . 701 . 705 . 705 . 707 . 709 . 710 . 710 . 712 . 713 . 716 719 . 719 . 722 . 725 . 731 . 736 . 738 . 742 . 743 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii xiv Lista de Figuras 1.1 1.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 8.1 9.1 9.2 Reprodu¸ c˜ ao do Almagesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Mapa do c´ eu na ´ area da constela¸ c˜ ao do Orion. . . . . . . . . Oˆ angulo entre o horizonte e o p´ olo ´ e a latitude do local. . . Sistema de coordenadas equatorial. . . . . . . . . . . . . . . . ´ Hora sideral e o ponto γ de Aries. . . . . . . . . . . . . . . . Movimento dos astros em diferentes latitudes. . . . . . . . . . Calotas circumpolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de uma sombra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimento retr´ ogrado dos planetas. . . . . . . . . . . . . . . Per´ ıodo sin´ odico e sideral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 17 18 19 21 23 54 65 67 79 80 10.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Fases de Vˆ enus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Componentes de uma cˆ onica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 12.2 Trajet´ oria em coordenadas esf´ ericas. . . . . . . . . . . . . . . 103 13.1 A mar´ e alta segue a posi¸ c˜ ao da Lua. . . . . . . . . . . . . . . 114 13.2 Precess˜ ao da Terra e de um pi˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.3 Precess˜ ao do p´ olo norte celeste. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 15.1 Meteor Crater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 15.2 Chicxulub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 15.3 An´ eis de Saturno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 16.1 Foto do Sol . . . . . . . . . 16.2 Foto do Sol na linha de 584 16.3 Manchas Solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ˚ A do h´ elio (He I) . . . . . . . . . 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 xv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. . . . .2 21. . . . .4 Sec¸ c˜ ao de choque dos neutrinos . . . .5 16. .1 Press˜ ao .6 Esquema de evolu¸ c˜ ao estelar . . . . . . . . . . . . . 23. . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . .cintur˜ ao de Van Allen. . . . . . . . 22. . N´ ıveis de energia do hidrogˆ enio . . . . . . . 214 215 219 223 235 236 237 242 257 265 266 267 268 269 275 281 286 294 323 324 326 327 334 346 352 375 379 380 382 384 385 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Distribui¸ c˜ ao de temperatura e densidade na atmosfera Eclipse do Sol . .10 Diagrama HR te´ orico at´ e an˜ a-branca . . . . 23. . . . . . . . .5 Espectro de neutrinos solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . .7 Nebulosa Planet´ aria . . . . . . . . . . . . .9 Deslocamento por convec¸ c˜ ao. . . . 158 . . . . 23. . . 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. . . 22. Espectros com Fun¸ c˜ ao de Planck . . . 23. . . . . . . . . . . .2 Diagrama HR dos aglomerados . . .10 Convec¸ c˜ ao . . 23. . . . . . .3 Distribui¸ c˜ ao de estrelas por tipo . . 22. . . . . . . . . . . . 23. . . . . .9 Diagrama HR te´ orico para 5 M . . . . . 23. . . . . . . 23. . . 160 20. . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. . .6 16. . . . . . . . . . . . . . . . 197 21. .14 Opacidade conductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Espectros por classe espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Distribui¸ c˜ ao de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi . . . . . . .3 21. . Magnetosfera da Terra .7 Abundˆ ancias com Triplo-α . . . . . . . . . . . . .12 Rela¸ c˜ ao entre as opacidades . . . .1 Diagrama HR do HIPPARCOS . . . . . . . 23. . Intensidade das Linhas Espectrais . . . . . . . . . . .1 21. . Flares Solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4 S´ ırius A e B .6 Abundˆ ancias com CNO . . . . . .4 16. . . . . . . . . .16. . . .8 Simula¸ c˜ ao de Supernova .11 Estrelas Vari´ aveis. 157 . . . . 23. . . . . .11 Coeficiente de absor¸ c˜ ao monocrom´ atico. . .8 Intensidade e ˆ angulo s´ olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. . . .5 Energia de liga¸ c˜ ao dos ´ atomos .13 Regi˜ oes de dom´ ınio dos diferentes tipos de absor¸ c˜ ao. . . . . . . . . . . . . do Sol. . . .3 Diagrama ρ − T . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Opacidade de Rosseland . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Opacidade Total. . . . . . . . . . 22.1 Sistema de Str¨ omgren . 22. . . . . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . 23. . . . .50 Luminosidade em neutrinos . . . . . . . . . . . . 23. . 23.25 Axions . . . . . . .24 Varia¸ c˜ ao na produ¸ c˜ ao de neutrinos . . 23.37 Taxas de perda de massa para estrelas massivas. . . . . . . . . . . . 23.23 Refrigera¸ c˜ ao por neutrinos . . .28 Seq¨ uˆ encia principal e zona completamente convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Efeito da separa¸ c˜ ao de fase na idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.18 Taxa de rea¸ c˜ ao nuclear para p + p e 3He4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Is´ ocronas te´ oricas. . ´ 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . 23. .31 Evolu¸ c˜ ao de Pop. ´ 23. . . 23. . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Evolu¸ c˜ ao das DAs e N˜ ao DAs. . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Emiss˜ ao de neutrinos .30 Evolu¸ c˜ ao a partir da seq¨ uˆ encia principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Abundˆ ancias Solares . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 23. . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . 393 395 397 399 401 402 403 404 409 410 411 430 431 436 437 438 439 440 441 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 465 466 472 474 475 476 477 481 . . . . . . . . . . . 23. . . . . ´ 23. .19 Taxa de rea¸ c˜ ao nuclear para C 12 + p e C 12 + α .53 Efeito da separa¸ c˜ ao de fase no esfriamento . . . . . .23. . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . 23. .29 Seq¨ uˆ encia principal com diferentes composi¸ c˜ oes qu´ ımicas 23. . . . . . 23. . . . . . . . . . xvii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Emiss˜ ao de Axions e Neutrinos . . .49 Born Again . . . . . . . . . . .41 Diagrama H-R de 4 a 9 M . . .45 Zonas de Convec¸ c˜ ao . . 23. .52 Transi¸ c˜ ao de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . .42 Varia¸ c˜ ao do raio das estrelas com o tempo . . . . . 23. . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 Evolu¸ c˜ ao da estrutura interna e 5 M . . . . . . . .51 Temperatura de Cristaliza¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. . . . .47 Diagrama HR te´ orico para diversas massas . . . 23. 23.36 Evolu¸ c˜ ao de 25 M . . 23. 23. . . . . . . . . . . . . . 23. . . . . .5 Ganos . . . massa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Diagrama HR te´ orico incluindo nebulosa planet´ aria .3 M . . .44 Icko Iben Jr. . . .55 Fun¸ c˜ ao luminosidade das an˜ as brancas . . . . . . .43 Massa da an˜ a-branca vs. . . . . 23. . . . . . . . . . .40 Evolu¸ c˜ ao da estrutura interna e 1. . .21 M´ ario Schenberg . .32 Modelos Evolucion´ arios . .33 Densidade e temperaturas centrais . . . . . . . 23. . . . . .26 Emiss˜ ao de Axions . . . .38 Seq¨ uˆ encias evolucion´ arias com perda de massa . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . .35 Is´ ocrona de 12. . 23.17 Fatores dominantes na taxa de rea¸ c˜ ao nuclear. . . . . . . . . . 569 25. . . .68 Equipotenciais de um Sistema Bin´ ario 23. . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . .66 Espectro de uma protoestrela . 23. . . . . . . . A figura da direita ilustra as coordenadas latitude gal´ actica (b) e longitude gal´ actica (l). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .579 25. . . . . 23. . . . . . .61 An´ eis em volta da SN1987A . . . . . . . . . . . . . . . .71 Cen´ arios para evolu¸ c˜ ao de bin´ arias . . . . . . . . .59 L´ obulo de Roche . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . .67 Evolu¸ c˜ ao de Proto-estrelas . . . . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . .72 Cen´ ario para SNIa .3 A gal´ axia NGC 2997 como uma representa¸ c˜ ao da Via L´ actea. . . . . . . . 580 25. . . . . . .7 Varia¸ c˜ ao da velocidade radial e do movimento pr´ oprio com a longitude gal´ actica. . . . . .23. . . . . . . . . . . 23. 23. . . . . . . . . . . . . A Grande Nuvem de Magalh˜ aes . . . . . . . . . . . .5 Velocidades estelares a diferentes distˆ ancias do centro gal´ actico. . . . . . . .64 Esquema de forma¸ c˜ ao estelar . . . . . A gal´ axia el´ ıptica gigante M87. . 23. . . . . . de uma estrela ao norte do plano gal´ actico. . . . . . . . . 482 483 484 485 485 486 501 517 518 519 520 521 524 525 528 529 530 25. . .2 26. . . . . . . . . . . . . . . . A regi˜ ao central da Gal´ axia ´ e a parte mais alargada que aparece no canto inferior esquerdo da foto. . . . 591 592 594 595 . . . . . 23. . . . . .63 Forma¸ c˜ ao Estelar . . . .65 Discos Proto-Estelares . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 25. . . . . . . .60 Disco de Acres¸ c˜ ao . . . . . . . 23. .2 A figura da esquerda ilustra a inclina¸ c˜ ao de 63◦ o do plano gal´ actico em rela¸ c˜ ao ao equador celeste e a a localiza¸ c˜ ao do centro gal´ actico (CG) no hemisf´ erio sul da esfera celeste. . . respectivamente. . . . . . .4 Componentes dos movimentos estelares . .1 26. . . . . . . . . . . . . . 568 25. PCN e PGN significam polo celeste norte e polo gal´ actico norte. . . . . . . . . . . 23. . . . . . . . . . . . . .3 26. . . . . . . . . . . . . . . . . xviii . . . . . . . . . 23. . 581 26. . . . . . . .62 Estrutura de uma estrela de nˆ eutrons 23. . . . . . .69 Equipotenciais para massas diferentes 23. . . . . . . .58 Emiss˜ ao de neutrinos . . . . . . . .1 Via L´ actea no c´ eu do hemisf´ erio sul. . . . . . . . . . . . 572 25. . . . . . . . . .4 Classifica¸ c˜ ao de gal´ axias de Hubble Espirais Barradas . . . . . . . . . . . . . . . .57 Nova Cygni 1992 . . . . .70 Envelope Comum . . . . . . . . . .56 An˜ as Brancas no Halo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Velocidade do Sol e de uma estrela em uma ´ orbita interna pr´ oxima ao Sol. . . . . . . . . . .15 Espectro de um quasar com z=5 . . . . . . . . .7 Perfil de brilho superficial (em magnitudes/segarc2 ). . . . . . . . . . . 26. . . . 627 Alexander Friedmann e Georges Lemaˆ ıtre .7 27. . . . . . . . . . . dominante na parte interna. . . . . . . . .14 Espectro de 3C 273 . 626 Distribui¸ c˜ ao em grande escala . . . . . . . . . . . 26. . .6 27. . . . . . . . . . . . . e uma fun¸ c˜ ao exponencial (linha pontilhada).16 Imagem ´ otica e r´ adio de 3C219 . . . . . . . . . . . . . . . . .9 O aglomerado de gal´ axias de Hydra. . . . 26. . . . . .1 27. . . . . . 688 28. 26. . .9 597 600 601 605 606 608 611 611 612 613 614 615 616 619 Cruz de Einstein . . . . . . . . . . 27. 26. .12 Modelo de quasar . . . . . . . . . . . .8 aglomerado de gal´ axias Abell 2218 . . . . . . . . . . . . . . 690 xix . . . . . . 26. . . . . . . . . . . . . . . . para uma gal´ axia espiral. . . .18 Lei de Hubble: a velocidade ´ e proporcional ` a distˆ ancia. .4 27. . . . 26. . . . . 26. . . . .6 Perfil de brilho superficial de uma gal´ axia el´ ıptica.17 Geometria de um movimento aparentemente superluminal. . . . . . . . .5 27. . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Estrutura em grande escala . . . O perfil observado (linha cont´ ınua) ´ e 1 /n descrito pela soma de uma fun¸ c˜ ao r (linha tracejada). . . . . 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 Deslocamento do Per´ elio de Merc´ urio .26. . . . 26. . . . . . . .2 Sextante de Hadley . . . 26. . . . . . 655 Decomposi¸ c˜ ao em esf´ ericos harmˆ onicos das flutua¸ c˜ oes . . . . . .1 Teodolito de Leonard Digges . . . .8 27. 26. . . .5 Curva de rota¸ c˜ ao para a gal´ axia espiral NGC3198. . . . . . . . .11 Quasar 3C 279 . . 656 28. . . . . . que domina na parte externa. . . . . . . . . 628 Compara¸ c˜ ao das medidas do COBE com Modelo Inflacion´ ario 635 Abundˆ ancias no Big-Bang . . . . . . . . .13 Gal´ axias onde ocorrem quasares . . 26. . . . . . . . . . . . . . . . .2 27. . . . . . . . . . 641 Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) . 640 Experimento FIRAS do sat´ elite COBE . . . . . . . .3 27. . . . . . . . xx . Pref´ acio O estudo da astronomia tem fascinado as pessoas desde os tempos mais remotos. A raz˜ ao se torna evidente quando contemplamos o c´ eu em uma noite limpa e escura. Depois que o Sol – nossa fonte de energia – se p˜ oe, as belezas do c´ eu noturno surgem em todo o seu esplendor. A Lua se torna o objeto celeste mais importante, continuamente mudando de fase. As estrelas aparecem como uma mir´ ıade de pontos brilhantes, entre as quais os planetas se destacam por seu brilho e movimento entre as estrelas, lento mas claramente percebido. E a curiosidade para saber o que h´ a al´ em do que podemos enxergar ´ e inevit´ avel. Por que estudar Astronomia? Nosso objetivo ´ e utilizar o Universo como laborat´ orio, deduzindo de sua observa¸ c˜ ao as leis f´ ısicas que poder˜ ao ser utilizadas em coisas muito pr´ aticas, desde prever as mar´ es e estudar a queda de aster´ oides sobre nossas cabe¸ cas, os efeitos do Sol sobre as redes de energia e comunica¸ c˜ ao, at´ e como funcionam os reatores nucleares, analisar o aquecimento da atmosfera por efeito estufa causado pela polui¸ c˜ ao, necess´ arios para a sobrevivˆ encia e desenvolvimento da ra¸ ca humana. Este texto foi escrito com a inten¸ c˜ ao de contribuir para a produ¸ c˜ ao de textos de astronomia em portuguˆ es. Ele deve ser acess´ ıvel a pessoas sem qualquer conhecimento pr´ evio de astronomia e com pouco conhecimento de matem´ atica. Embora alguns cap´ ıtulos incluam deriva¸ c˜ oes matem´ aticas, a n˜ ao-compreens˜ ao desses c´ alculos n˜ ao compromete a id´ eia geral do texto. O texto tamb´ em pode ser usado em cursos introdut´ orios de astronomia em n´ ıvel de gradua¸ c˜ ao universit´ aria, como est´ a sendo utilizado na UFRGS para cursos de astrof´ ısica, f´ ısica, engenharia e geografia. Esta terceira edi¸ c˜ ao, de 2011, foi atualizada para incorporar conhecimentos recentes que a cada dia v˜ ao sendo adicionados ao nosso entendimento do Universo, que aumenta a um ritmo cada vez mais intenso ` a medida que a tecnologia nos permite testemunhar eventos como explos˜ oes de supernovas, explos˜ oes de raios gama, descoberta de novos planetas extrassolares e xxi aster´ oides. O texto atualizado, incluindo anima¸ c˜ oes e algumas simula¸ c˜ oes, ´ e mantido na internet, no endere¸ co: http://astro.if.ufrgs.br/ xxii Constantes • G = 6, 673 × 10−11 m3 kg−1 s−2 = 6, 673 × 10−8 dina cm2 /g2 • Massa da Terra: M⊕ = 5, 973332 × 1024 kg • Raio da Terra: R⊕ = 6 378,1366 Km • Massa do Sol: M = 1, 9887973 × 1030 kg • Raio do Sol: R = 696 000 Km • Luminosidade do Sol: L = 3, 83 × 1033 ergs/s = 3, 83 × 1026 watts • Massa da Lua = 7, 3474271 × 1022 kg • Raio da Lua = 1738 Km • Per´ ıodo orbital da Terra = 365,2564 dias • Idade da Terra = 4,55 bilh˜ oes de anos • Obliq¨ uidade da ecl´ ıptica: ε = 23◦ 26 21, 412” • Per´ ıodo orbital da Lua = 27,32166 dias • Distˆ ancia Terra-Lua: = 384 000 Km • Distˆ ancia Terra-Sol: 1 UA = 149 597 870 691 m • Massa do pr´ oton: mp = 1, 67265 × 10−27 kg • Massa do nˆ eutron: mn = 1, 67492 × 10−27 kg • Unidade de massa atˆ omica: muma = 1, 660538921(73) × 10−27 kg • Massa do el´ etron: me = 9, 1095 × 10−31 kg • N´ umero de Avogadro: NA = 6, 022 × 1023 mol−1 • Constante de Boltzmann: k = 1, 381×10−23 J/K = 1, 381×10−16 ergs/K • Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5, 67 × 10−8 J m−2 s−1 K−4 = 5, 67 × 10−5 ergs cm−2 s−1 K−4 • Constante de densidade de radia¸ c˜ ao: a = xxiii 4σ c = 7, 565×10−15 erg cm−3 K−4 • Constante de Planck: h = 6, 626 × 10−27 ergs s = 6, 626 × 10−34 J s • Velocidade da luz: c = 299 792,458 km/s • Parsec: pc = 3, 086 × 1016 m • Ano-luz = 9, 461 × 1015 m • ˚ Angstron: ˚ A =10−8 cm = 10−10 m • Velocidade do som no ar = 331 m/s • Momentum magn´ etico do nˆ eutron = −9, 66236 × 10−27 JT −1 • Momentum magn´ etico do pr´ oton = 14, 106067 × 10−27 JT −1 • Momentum magn´ etico do el´ etron = −9284, 76 × 10−27 JT −1 xxiv Cap´ ıtulo 1 Astronomia antiga As especula¸ c˜ oes sobre a natureza do Universo devem remontar aos tempos pr´ e-hist´ oricos, por isso a astronomia ´ e frequentemente considerada a mais antiga das ciˆ encias. Os registros astronˆ omicos mais antigos datam de aproximadamente 3000 a.C. e se devem aos chineses, babilˆ onios, ass´ ırios e eg´ ıpcios. Naquela ´ epoca, os astros eram estudados com objetivos pr´ aticos, como medir a passagem do tempo (fazer calend´ arios) para prever a melhor ´ epoca para o plantio e a colheita, ou com objetivos mais relacionados ` a astrologia, como fazer previs˜ oes do futuro, j´ a que, n˜ ao tendo qualquer conhecimento das leis da natureza (f´ ısica), acreditavam que os deuses do c´ eu tinham o poder da colheita, da chuva e mesmo da vida. V´ arios s´ eculos antes de Cristo, os chineses sabiam a dura¸ c˜ ao do ano e usavam um calend´ ario de 365 dias. Deixaram registros de anota¸ c˜ oes precisas de cometas, meteoros e meteoritos desde 700 a.C. Mais tarde, tamb´ em observaram as estrelas que agora chamamos de novas. Os babilˆ onios, ass´ ırios e eg´ ıpcios tamb´ em sabiam a dura¸ c˜ ao do ano desde ´ epocas pr´ e-crist˜ as. Em outras partes do mundo, evidˆ encias de conhecimentos astronˆ omicos muito antigos foram deixadas na forma de monumentos, como o de Stonehenge, na Inglaterra, que data de 3000 a 1500 a.C. Nessa estrutura, algumas pedras est˜ ao alinhadas com o nascer e o pˆ or do Sol no in´ ıcio do ver˜ ao e do inverno. Os maias, na Am´ erica Central, tamb´ em tinham conhecimentos de calend´ ario e de fenˆ omenos celestes, e os polin´ esios aprenderam a navegar por meio de observa¸ c˜ oes celestes. H´ a milhares de anos os astrˆ onomos sabem que o Sol muda sua posi¸ c˜ ao ◦ no c´ eu ao longo do ano, se movendo cerca de 1 para leste por dia. O tempo para o Sol completar uma volta em rela¸ c˜ ao ` as estrelas define um ano. O caminho aparente do Sol no c´ eu durante o ano define a Ecl´ ıptica (porque 1 os eclipses ocorrem somente quando a Lua est´ a pr´ oxima da ecl´ ıptica). Como a Lua e os planetas percorrem o c´ eu em uma regi˜ ao de 18 graus centrada na ecl´ ıptica, essa regi˜ ao ´ e definida como o Zod´ ıaco, dividida em 12 constela¸ c˜ oes com formas de animais (atualmente as constela¸ c˜ oes do Zod´ ıaco 1 s˜ ao treze ). O ´ apice da ciˆ encia antiga se deu na Gr´ ecia, de 600 a.C. a 200 d.C., em n´ ıveis s´ o ultrapassados no s´ eculo XVI. Com o conhecimento herdado das culturas mais antigas, os gregos deram um enorme avan¸ co ` a Astronomia por acreditarem ser poss´ ıvel compreender e descrever matematicamente os fenˆ omenos do mundo natural. De seu esfor¸ co em conhecer a natureza do Cosmos, surgiram os primeiros conceitos de Esfera Celeste, uma esfera rotativa de material cristalino, incrustrada de estrelas, tendo a Terra no centro. A imobilidade da Terra n˜ ao foi totalmente unˆ anime entre os astrˆ onomos gregos, mas os poucos modelos alternativos com a Terra em rota¸ c˜ ao ou mesmo girando em torno do Sol tiveram pouca aceita¸ c˜ ao e foram logo esquecidos. Foi uma vers˜ ao aprimorada do modelo geocˆ entrico proposto no in´ ıcio da civiliza¸ c˜ ao grega que prevaleceu tanto no oriente quanto no ocidente durante todo o per´ ıodo medieval. 1.1 Os astrˆ onomos da Gr´ ecia antiga Tales de Mileto (∼624 - 546 a.C.) introduziu na Gr´ ecia os fundamentos da geometria e da astronomia, trazidos do Egito. Pensava que a Terra era um disco plano em uma vasta extens˜ ao de ´ agua. Juntamente com seu disc´ ıpulo Anaximandro, (∼610 - 546 a.C), tamb´ em de Mileto, foi dos primeiros a propor modelos celestes baseados no movimento dos corpos celestes e n˜ ao em manifesta¸ c˜ oes dos deuses. Anaximandro descobriu a obliq¨ uidade da ecl´ ıptica (inclina¸ c˜ ao do plano do equador da Terra em reala¸ c˜ ao ` a trajet´ oria anual aparente do Sol no c´ eu). Pit´ agoras de Samos (∼572 - 497 a.C.) acreditava na esfericidade da Terra, da Lua e de outros corpos celestes. Achava que os planetas, o Sol, e a Lua eram transportados por esferas separadas da que carregava as estrelas. Enfatizou a importˆ ancia da matem´ atica na descri¸ c˜ ao dos modelos cosmol´ ogicos que pudessem ser comparados com os movimentos observados ´ Devido ` a precess˜ ao dos equin´ ocios, o Sol atualmente cruza Aries de 19 de abril a 13 de maio, Touro de 14 de maio a 19 de junho, Gˆ emeos de 20 de junho a 20 de julho, Cˆ ancer de 21 de julho a 9 de agosto, Le˜ ao de 10 de agosto a 15 de setembro, Virgem de 16 de setembro a 30 de outubro, Libra de 31 de outubro a 22 de novembro, Escorpi˜ ao de 23 de novembro a 29 de novembro, Ofi´ uco de 30 de novembro a 17 de dezembro, Sagit´ ario de 18 de dezembro a 18 de janeiro, Capric´ ornio de 19 de janeiro a 15 de fevereiro, Aqu´ ario de 16 de fevereiro a 11 de mar¸ co e Peixes de 12 de mar¸ co a 18 de abril. 1 2 dos corpos celestes, em cuja regularidade via uma ”harmonia c´ osmica”. Os pitag´ oricos (seguidores de Pit´ agoras) foram os primeiros a chamar os universo de “cosmos”, palavra que implicava ordem racional, simetria e beleza. Filolaus de Cretona (∼470-390 a.C.) introduziu a id´ eia do movimento da Terra: ele imaginava que a Terra girava em torno de seu pr´ oprio eixo e, juntamente com o Sol, a Lua e os planetas, girava em torno de um ”fogo central”que seria o centro do universo e fonte de toda a luz e energia. Eud´ oxio de Cnidos (408-344 a.C) foi o primeiro a propor que a dura¸ c˜ ao do ano era de 365 dias e 6 horas. Explicou os movimentos observados do Sol, da Lua e dos planetas atrav´ es de um complexo e engenhoso sistema de 27 esferas concˆ entricas que se moviam a diferentes velocidades em torno da Terra, fixa no centro. Arist´ oteles de Estagira (384-322 a.C.) coletou e sistematizou o conhecimento astronˆ omico de seu tempo, procurando explica¸ c˜ oes racionais para todos os fenˆ onomenos naturais. Explicou que as fases da Lua2 dependem de quanto da parte da face da Lua iluminada pelo Sol est´ a voltada para a Terra. Explicou, tamb´ em, os eclipses: um eclipse do Sol ocorre quando a Lua passa entre a Terra e o Sol; um eclipse da Lua ocorre quando a Lua entra na sombra da Terra. Arist´ oteles argumentou a favor da esfericidade da Terra, j´ a que a sombra da Terra na Lua durante um eclipse lunar ´ e sempre arredondada. Rejeitou o movimento da Terra como alternativa ao movimento das estrelas argumentando que, se a Terra estivesse em movimento, os corpos cairiam para tr´ as ao serem largados, e as estrelas deveriam apresentar movimentos aparentes entre si devido ` a paralaxe 3 , o que n˜ ao era observado. Afirmava que o Universo ´ e esf´ erico e finito. Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi o primeiro a propor um modelo heliocˆ entrico consistente para o sistema solar, antecipando Cop´ ernico em quase 2000 anos. Arranjou os planetas na ordem de distˆ ancia ao Sol que ´ e aceita hoje. Desenvolveu um m´ etodo para determinar as distˆ ancias relativas do Sol e da Lua ` a Terra que o aproxima dos astrˆ onomos modernos na solu¸ c˜ ao de problemas astronˆ omicos. Tamb´ em mediu os tamanhos relativos da Terra, do Sol e da Lua, e mesmo achando valores muito muito abaixo dos atuais para o tambanho do Sol em rela¸ c˜ ao ` a Lua (apenas 30 vezes maior), concluiu que o Sol n˜ ao poderia estar orbitando a Terra porque um corpo t˜ ao grande 2 Anax´ agoras de Clazomenae (∼499-428 a.C.) j´ a afirmava que a Lua refletia a luz do Sol e come¸ cou a estudar as causas dos eclipses. 3 tal movimento das estrelas de fato existe, mas ´ e muito pequeno para ser observado a olho nu devido ` a enorme distˆ ancia das etrelas. A primeira paralaxe estelar foi medida no s´ eculo 19, por Friedrich Bessel, para a estrela 61 Cygni. O valor encontrado por ele foi 0,3 , implicando uma distˆ ancia de 10,3 anos-luz. 3 como o Sol n˜ ao poderia girar em torno de um corpo t˜ ao pequeno como a Terra. Erat´ ostenes de Cirˆ enia (276-194 a.C.), bibliotec´ ario e diretor da Biblioteca Alexandrina de 240 a.C. a 194 a.C., foi o primeiro a medir o diˆ ametro da Terra. Ele notou que, na cidade eg´ ıpcia de Siena (atualmente chamada de Aswˆ an), no primeiro dia do ver˜ ao, ao meio-dia, a luz solar atingia o fundo de um grande po¸ co, ou seja, o Sol estava incidindo perpendicularmente ` a Terra em Siena. J´ a em Alexandria, situada ao norte de Siena, isso n˜ ao ocorria; medindo o tamanho da sombra de um bast˜ ao na vertical, Erat´ ostenes observou que em Alexandria, no mesmo dia e hora, o Sol estava aproximadamente sete graus mais ao sul. A distˆ ancia entre Alexandria e Siena era conhecida como de 5 000 est´ adios. Um est´ adio era uma unidade de distˆ ancia usada na Gr´ ecia antiga. A distˆ ancia de 5 000 est´ adios equivalia ` a distˆ ancia de cinq¨ uenta dias de viagem de camelo, que viaja a 16 km/dia. Como 7 graus corresponde a 1/50 de um c´ ırculo (360 graus), Alexandria deveria estar a 1/50 da circunferˆ encia da Terra ao norte de Siena, e a circunferˆ encia da Terra deveria ser 50x5 000 est´ adios. Infelizmente, n˜ ao ´ e poss´ ıvel se ter certeza do valor do est´ adio usado por Erat´ ostenes, j´ a que os gregos usavam diferentes tipos de est´ adios. Se ele utilizou um est´ adio equivalente a 1/6 km, o valor est´ a a 1% do valor correto de 40 000 km. O diˆ ametro da Terra ´ e obtido dividindo-se a circunferˆ encia por π . Hiparco de Nic´ eia (160 - 125 a.C.), considerado o maior astrˆ onomo da era pr´ e-crist˜ a, construiu um observat´ orio na ilha de Rodes, onde fez observa¸ c˜ oes durante o per´ ıodo de 160 a 127 a.C. Como resultado, ele compilou um cat´ alogo com a posi¸ c˜ ao no c´ eu e a magnitude de 850 estrelas. A magnitude, que especificava o brilho da estrela, era dividida em seis categorias, de 1 a 6, sendo 1 a mais brilhante, e 6 a mais fraca vis´ ıvel a olho nu. Hiparco deduziu corretamente a dire¸ c˜ ao dos p´ olos celestes, e at´ e mesmo a precess˜ ao, que ´ e a varia¸ c˜ ao da dire¸ c˜ ao do eixo de rota¸ c˜ ao da Terra devido ` a influˆ encia gravitacional da Lua e do Sol, que leva 26 000 anos para completar um ciclo.4 Para deduzir a precess˜ ao, ele comparou as posi¸ c˜ oes de v´ arias estrelas com aquelas catalogadas por Timocharis de Alexandria e Aristyllus de Alexandria 150 anos antes (cerca de 283 a.C. a 260 a.C.). Estes eram membros da Escola Alexandrina do s´ eculo III a.C. e foram os primeiros a medir as distˆ ancias das estrelas de pontos fixos no c´ eu (coordenadas ecl´ ıpticas). Foram, tamb´ em, dos primeiros a trabalhar na Biblioteca de Alexandria, que se Paul Schnabel, no Zeitschrift f¨ ur Assyriologie, N.S., v.3, p. 1-60 (1926), afirma que a precess˜ ao j´ a havia sido medida pelo astrˆ onomo babilˆ onio Cidenas (Kidinnu), em 343 a.C.. Cidenas tamb´ em mediu o per´ ıodo sin´ odico da Lua, de 29,5 dias. 4 4 Figura 1.1: Reprodu¸ c˜ ao de parte do Almagesto, de Claudius Ptolomaeus, escrito entre 127 e 151 d.C.. O termo almagesto ´ e uma corruptela do ´ arabe Al Majisti; em grego, o livro ficou conhecido como a Mathematike syntaxis (Compila¸ c˜ ao matem´ atica) ou He Megiste Syntaxis (A maior cole¸ c˜ ao).6 chamava Museu, fundada pelo rei do Egito, Ptol´ em´ ee Sˆ oter Ier, em 305 a.C.. Hiparco tamb´ em deduziu o valor correto de 8/3 para a raz˜ ao entre o tamanho da sombra da Terra e o tamanho da Lua e tamb´ em que a Lua estava a 59 vezes o raio da Terra de distˆ ancia; o valor correto ´ e 60. Ele determinou a dura¸ c˜ ao do ano com uma margem de erro de 6 minutos. Ptolomeu (85 d.C. - 165 d.C.) (Claudius Ptolemaeus) foi o u ´ltimo astrˆ onomo importante da antiguidade. N˜ ao se sabe se ele era eg´ ıpcio ou romano. Ele compilou uma s´ erie de treze volumes sobre astronomia, conhecida como o Almagesto, que ´ e a maior fonte de conhecimento sobre a astronomia na Gr´ ecia.7 A contribui¸ c˜ ao mais importante de Ptolomeu foi uma representa¸ c˜ ao geom´ etrica do sistema solar, com c´ ırculos, epiciclos e equantes, que permitia predizer o movimento dos planetas com consider´ avel precis˜ ao, e que foi usado at´ e o Renascimento, no s´ eculo XVI. Apesar da destrui¸ ca ˜o da biblioteca de Alexandria, uma c´ opia do Almagesto foi encontrada no Iran em 765 d.C. e traduzida para o ´ arabe. O espanhol Gerard de Cremona (1114-1187 d.C.) traduziu para o latim uma c´ opia do Almagesto deixada pelos ´ arabes em Toledo, na Espanha. 7 5 1.2 Constela¸ c˜ oes Constela¸ c˜ oes s˜ ao agrupamentos aparentes de estrelas, os quais os astrˆ onomos da antiguidade imaginaram formar figuras de pessoas, animais ou objetos que estivessem relacionados com sua cultura. Numa noite escura, pode-se ver entre 1000 e 1500 estrelas, sendo que cada estrela pertence a alguma constela¸ c˜ ao. As constela¸ c˜ oes nos ajudam a separar o c´ eu em por¸ c˜ oes menores, mas identific´ a-las no c´ eu ´ e uma tarefa em geral bastante dif´ ıcil. ´ Uma constela¸ c˜ ao f´ acil de enxergar ´ e Orion, mostrada na figura (1.2) como ´ e vista no Hemisf´ erio Sul. Para identific´ a-la devemos localizar trˆ es estrelas pr´ oximas entre si, de mesmo brilho e alinhadas. Elas s˜ ao chamadas ´ Trˆ es Marias e formam o cintur˜ ao da constela¸ c˜ ao de Orion, o ca¸ cador. A constela¸ c˜ ao tem a forma de um quadril´ atero com as Trˆ es Marias no centro. O v´ ertice nordeste do quadril´ atero ´ e formado pela estrela avermelhada Betelgeuse, que marca o ombro direito do ca¸ cador. O v´ ertice sudoeste do quadril´ atero ´ e formado pela estrela azulada Rigel, que marca o p´ e esquerdo ´ de Orion. Estas s˜ ao as estrelas mais brilhantes da constela¸ c˜ ao. Como vemos, ´ ´ no Hemisf´ erio Sul Orion aparece de ponta cabe¸ ca. Segundo a lenda, Orion estava acompanhado de dois c˜ aes de ca¸ ca, representadas pelas constela¸ c˜ oes do C˜ ao Maior e do C˜ ao Menor. A estrela mais brilhante do C˜ ao Maior, S´ ırius, ´ e tamb´ em a estrela mais brilhante do c´ eu e ´ e facilmente identific´ avel a sudeste das Trˆ es Marias. Procyon ´ e a estrela mais brilhante do C˜ ao Menor e aparece a leste das Trˆ es Marias. Betelgeuse, S´ ırius e Procyon formam um grande triˆ angulo de estrelas de brilhos semelhantes, como se pode ver no diagrama. As estrelas de brilhos diferentes s˜ ao representadas por c´ ırculos de tamanhos diferentes. As constela¸ c˜ oes surgiram na antiguidade para ajudar a identificar as esta¸ c˜ oes do ano. Por exemplo, a constela¸ c˜ ao do Escorpi˜ ao ´ e t´ ıpica do inverno do Hemisf´ erio Sul, j´ a que em junho ela ´ e vis´ ıvel a noite toda. J´ a ´ Orion ´ e vis´ ıvel a noite toda em dezembro, e, portanto, t´ ıpica do ver˜ ao do Hemisf´ erio Sul. Alguns historiadores suspeitam que muitos dos mitos associados ` as constela¸ c˜ oes foram inventados para ajudar os agricultores a lembrar quando deveriam plantar e colher. As constela¸ c˜ oes mudam com o tempo e, em 1929, a Uni˜ ao Astronˆ omica Internacional adotou 88 constela¸ c˜ oes oficiais, de modo que cada estrela do c´ eu faz parte de uma constela¸ c˜ ao. A seguir, mostramos a lista alfab´ etica das constela¸ c˜ oes, em latim e portuguˆ es. Essas constela¸ c˜ oes foram definidas por: Claudius Ptolomaeus, no Almagesto em cerca de 150 d.C.; Johann Bayer (1572-1625), astrˆ onomo alem˜ ao, no Uranometria em 1603; Johannes Hevelius (1611-1689), astrˆ onomo alem˜ ao-polonˆ es, 6 ´ Figura 1.2: Mapa do c´ eu na ´ area da constela¸ c˜ ao do Orion. 7 e Nicolas Louis de Lacaille (1713-1762), astrˆ onomo francˆ es, nos Mem´ orias e 8 Coelum Australe Stelliferum em 1752 e 1763. Lacaille observou 9766 estrelas austrais em 1751-52, no Cabo da Boa Esperan¸ ca e deu nome ` as constela¸ co ˜es: Antlia, Caelum, Circinus, Fornax, Horologium, Mensa, Microscopium, Norma, Octans, Pictor, Pyxis, Reticulum, Sculptor e Telescopium, e renomeou Musca. 8 8 Andromeda Antlia Apus Aquarius Aquila Ara Aries Auriga Bo¨ otes Caelum Camelopardalis Cancer Canes Venatici Canis Major Canis Minor Capricornus Carina Cassiopeia Centaurus Cepheus Cetus Chamaeleon Circinus Columba Coma Berenices Corona Austrina Corona Borealis Corvus Crater Crux Cygnus Delphinus Dorado Draco Equuleus Eridanus Fornax Gemini Grus Hercules Horologium Hydra Hydrus Indus Andrˆ omeda (mit.) Bomba de Ar Ave do Para´ ıso Aqu´ ario ´ Aguia Altar ´ Aries (Carneiro) Cocheiro Pastor Buril de Escultor Girafa Cˆ ancer (Caranguejo) C˜ aes de Ca¸ ca C˜ ao Maior C˜ ao Menor Capric´ ornio (Cabra) Quilha (do Navio) Cassiop´ eia (mit.) Centauro Cefeu ( mit.) Baleia Camale˜ ao Compasso Pomba Cabeleira Coroa Austral Coroa Boreal Corvo Ta¸ ca Cruzeiro do Sul Cisne Delfim Dourado (Peixe) Drag˜ ao Cabe¸ ca de Cavalo Eridano Forno Gˆ emeos Grou H´ ercules Rel´ ogio Cobra Fˆ emea Cobra macho ´ Indio Lacerta Leo Leo Minor Lepus Libra Lupus Lynx Lyra Mensa Microscopium Monoceros Musca Normai Octans Ophiuchus Orion Pavo Pegasus Perseus Phoenix Pictor Pisces Piscis Austrinus Puppis Pyxis Reticulum Sagitta Sagittarius Scorpius Sculptor Scutum Serpens Sextans Taurus Telescopium Triangulum Triangulum Australe Tucana Ursa Major Ursa Minor Vela Virgo Volans Vulpecula Lagarto Le˜ ao Le˜ ao Menor Lebre Libra (Balan¸ ca) Lobo Lince Lira Montanha da Mesa Microsc´ opio Unic´ ornio Mosca R´ egua Octante Ca¸ cador de Serpentes ´ Orion (Ca¸ cador) Pav˜ ao P´ egaso (Cavalo Alado) Perseu (mit.) Fˆ enix Cavalete do Pintor Peixes Peixe Austral Popa (do Navio) B´ ussola Ret´ ıculo Flecha Sagit´ ario Escorpi˜ ao Escultor Escudo Serpente Sextante Touro Telesc´ opio Triˆ angulo Triˆ angulo Austral Tucano Ursa Maior Ursa Menor Vela (do Navio) Virgem Peixe Voador Raposa 9 10 Cap´ ıtulo 2 A esfera celeste Observando o c´ eu em uma noite estrelada, num lugar de horizontes amplos, ´ e comum termos a impress˜ ao de estar no meio de uma grande esfera incrustrada de estrelas. Essa impress˜ ao inspirou, nos antigos gregos, a id´ eia da esfera celeste. Com o passar das horas, os astros se movem no c´ eu, nascendo a leste e se pondo a oeste. Isso causa a impress˜ ao de que a esfera celeste est´ a girando de leste para oeste, em torno de um eixo imagin´ ario, que intercepta a esfera em dois pontos fixos, os p´ olos celestes. Na verdade, esse movimento, chamado movimento diurno dos astros, ´ e um reflexo do movimento de rota¸ c˜ ao da Terra, que se faz de oeste para leste. O eixo de rota¸ c˜ ao da esfera celeste ´ e o prolongamento do eixo de rota¸ c˜ ao da Terra, e os p´ olos celestes s˜ ao as proje¸ c˜ oes, no c´ eu, dos p´ olos terrestres. Embora o Sol, a Lua, e a maioria dos astros, aqui na nossa latitude ( 30◦ S para Porto Alegre) tenham nascer e ocaso, existem astros que nunca nascem nem se p˜ oem, permanecendo sempre acima do horizonte. Se pud´ essemos observ´ a-los durante 24 horas, os ver´ ıamos descrevendo uma circunferˆ encia completa no c´ eu, no sentido hor´ ario. Esses astros s˜ ao chamados circumpolares. O centro da circunferˆ encia descrita por eles coincide com o p´ olo celeste sul. Para os habitantes do Hemisf´ erio Norte, as estrelas circumpolares descrevem uma circunferˆ encia em torno do p´ olo celeste norte, no sentido anti-hor´ ario. Mas as estrelas que s˜ ao circumpolares l´ a n˜ ao s˜ ao as mesmas estrelas que s˜ ao circumpolares aqui, pois o fato de uma estrela ser circumpolar – ou n˜ ao – depende da latitude do lugar de observa¸ c˜ ao. 11 Z PS Mo da vime esf nto era ap cel are est nte e Calota das estrelas circumpolares E 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 S N 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 Horizonte W Equ ado r Os antigos gregos definiram alguns planos e pontos na esfera celeste, que s˜ ao u ´teis para a determina¸ c˜ ao da posi¸ c˜ ao dos astros no c´ eu. S˜ ao eles: Horizonte: ´ e o plano tangente ` a Terra e perpendicular ` a vertical do lugar em que se encontra o observador. A vertical do lugar ´ e definida por um fio a prumo. Como o raio da da Terra ´ e pequeno frente ao raio da esfera celeste, considera-se que o plano do horizonte intercepta a esfera celeste em um c´ ırculo m´ aximo, ou seja, passa pelo centro. Zˆ enite: ´ e o ponto no qual a vertical do lugar intercepta a esfera celeste, acima do observador. Nadir: ´ e o ponto diametralmente oposto ao Zˆ enite. Equador celeste: ´ e o c´ ırculo m´ aximo em que o prolongamento do Equador da Terra intercepta a esfera celeste. 12 P´ olo Celeste Norte: ´ e o ponto em que o prolongamento do eixo de rota¸ c˜ ao da Terra intercepta a esfera celeste, no Hemisf´ erio Norte. PS Meridiano Local Zênite Círculos verticais Z Círculos de altura Equ ador Sul Horizonte Norte Horizonte Nadir PN N Meridianos Paralelos PN ador Equ PS P´ olo Celeste Sul: ´ e o ponto em que o prolongamento do eixo de rota¸ c˜ ao da Terra intercepta a esfera celeste, no Hemisf´ erio Sul. C´ ırculo vertical: ´ e qualquer semic´ ırculo m´ aximo da esfera celeste que cont´ em a vertical do lugar. Os c´ ırculos verticais come¸ cam no Zˆ enite e terminam no Nadir. Ponto Geogr´ afico Norte (ou Ponto Cardeal Norte): ´ e o ponto da esfera celeste em que o c´ ırculo vertical que passa pelo P´ olo Celeste Norte intercepta o Horizonte. Ponto Geogr´ afico Sul: ´ e o ponto em que o c´ ırculo vertical que passa pelo P´ olo Celeste Sul intercepta o Horizonte. A linha sobre o Horizonte 13 que liga os pontos cardeais Norte e Sul chama-se linha Norte-Sul, ou linha meridiana. A linha Leste-Oeste ´ e obtida tra¸ cando-se, sobre o Horizonte, a perpendicular ` a linha Norte-Sul. C´ ırculos de altura: s˜ ao c´ ırculos da esfera celeste paralelos ao Horizonte. S˜ ao tamb´ em chamados almucˆ antaras, ou paralelos de altura. C´ ırculos hor´ arios ou meridianos: s˜ ao semic´ ırculos da esfera celeste que contˆ em os dois p´ olos celestes. S˜ ao tamb´ em chamados meridianos. O meridiano que passa tamb´ em pelo Zˆ enite se chama Meridiano Local. Paralelos: s˜ ao c´ ırculos da esfera celeste paralelos ao equador celeste. S˜ ao tamb´ em chamados c´ ırculos diurnos. E qual ´ e a velocidade angular aparente diariamente do Sol? Como um dia ´ e definido como uma volta completa do Sol, isto ´ e, o Sol percorre 360◦ em 24 horas, a velocidade aparente ´ e de vaparente = 360◦ = 15◦ /h 24 h 14 Cap´ ıtulo 3 Sistemas de coordenadas astronˆ omicas Para determinar a posi¸ c˜ ao de um astro no c´ eu, precisamos definir um sistema de coordenadas. Nesse sistema, vamos utilizar apenas coordenadas angulares, sem nos preocuparmos com as distˆ ancias dos astros. Para definirmos uma posi¸ c˜ ao sobre uma esfera precisamos definir um eixo e um plano perpendicular a este eixo. A posi¸ c˜ ao do astro ser´ a determinada atrav´ es de dois ˆ angulos de posi¸ c˜ ao, um medido sobre um plano fundamental, e o outro medido perpendicularmente a ele. Antes de entrarmos nos sistemas de coordenadas astronˆ omicas, conv´ em recordar o sistema de coordenadas geogr´ aficas, usadas para medir posi¸ c˜ oes sobre a superf´ ıcie da Terra. 3.1 Coordenadas geogr´ aficas Longitude geogr´ afica (λ): ´ eoˆ angulo medido ao longo do Equador da Terra, tendo origem em um meridiano de referˆ encia (o Meridiano de Greenwich) e extremidade no meridiano do lugar. Varia de 0◦ a 180◦ para leste ou oeste de Greenwich. Usualmente, atribui-se o sinal positivo ` as longitudes a leste e o sinal negativo ` as longitudes a oeste. Tamb´ em costuma-se representar a longitude de um lugar como a diferen¸ ca entre a hora do lugar e a hora de Greenwich e, nesse caso, as longitudes a oeste de Greenwich variam de 0h a -12h e as longitudes a leste de Greenwich variam de 0h a +12h. Portanto, −180◦ (Oste) ≤ λ ≤ +180◦ (Leste) 15 ou −12h(O) ≤ λ ≤ +12h(E) Latitude geogr´ afica (φ): ˆ angulo medido ao longo do meridiano do lugar, com origem no equador e extremidade no lugar. Varia entre -90◦ e +90◦ . O sinal negativo indica latitudes do Hemisf´ erio Sul e o sinal positivo Hemisf´ erio Norte. −90◦ ≤ φ ≤ +90◦ 3.2 3.2.1 Coordenadas astronˆ omicas O sistema horizontal Esse sistema utiliza como plano fundamental o Horizonte celeste. As coordenadas horizontais s˜ ao azimute e altura. Azimute (A): ´ e o ˆ angulo medido sobre o horizonte, no sentido hor´ ario (NLSO), com origem no Norte e fim no c´ ırculo vertical do astro. O azimute varia entre 0◦ e 360◦ . 0◦ ≤ A ≤ 360◦ Altura (h): ´ e o ˆ angulo medido sobre o c´ ırculo vertical do astro, com origem no horizonte e fim no astro. A altura varia entre -90◦ e +90◦ . O complemento da altura se chama distˆ ancia zenital (z). Assim, a distˆ ancia zenital ´ eoˆ angulo medido sobre o c´ ırculo vertical do astro, com origem no zˆ enite e fim no astro. A distˆ ancia zenital varia entre 0◦ e 180◦ . (h + z = 90◦ ) −90◦ ≤ h ≤ +90◦ 0◦ ≤ z ≤ 180◦ Defini¸ c˜ ao astronˆ omica de latitude: A latitude de um lugar ´ e igual ` a altura do p´ olo elevado. O sistema horizontal ´ e um sistema local, no sentido de que ´ e fixo na Terra. As coordenadas azimute e altura (ou azimute e distˆ ancia zenital) dependem do lugar e do instante da observa¸ c˜ ao e n˜ ao s˜ ao caracter´ ısticas do astro. 16 3.2.2 O sistema equatorial celeste Esse sistema utiliza como plano fundamental o Equador celeste. Suas coordenadas s˜ ao a ascens˜ ao reta e a declina¸ c˜ ao. Ascens˜ ao reta (α) ou (AR): ˆ angulo medido sobre o equador, com origem ´ no meridiano que passa pelo ponto Aries e fim no meridiano do astro. A ascens˜ ao reta varia entre 0h e 24h (ou entre 0◦ e 360◦ ), aumentando para leste. 0h ≤ α ≤ +24h ´ O Ponto Aries, tamb´ em chamado ponto Gama (γ ), ou Ponto Vernal, ´ e um ponto do Equador, ocupado pelo Sol quando passa do hemisf´ erio sul celeste para o hemisf´ erio norte celeste, definindo o equin´ ocio de primavera do hemisf´ erio norte (mais ou menos em 22 de mar¸ co), Isto ´ e, numa das duas intersec¸ c˜ oes do equador celeste com a ecl´ ıptica. Pólo Sul Zênite Equador La t Horizonte Nadir Pólo Norte Figura 3.1: O ˆ angulo entre o horizonte e o p´ olo ´ e a latitude do local. 17 Declina¸ c˜ ao (δ ): ˆ angulo medido sobre o meridiano do astro, com origem no equador e extremidade no astro. A declina¸ c˜ ao varia entre -90◦ e ◦ +90 . O complemento da declina¸ c˜ ao se chama distˆ ancia polar (∆). (δ + ∆ = 90◦ ). −90◦ ≤ δ ≤ +90◦ 0◦ ≤ ∆ ≤ 180◦ Figura 3.2: Sistema de coordenadas equatorial. Pólo Sul Eclíptica * Dec α Ponto de Áries Equador Pólo Norte O sistema equatorial celeste ´ e fixo na esfera celeste e, portanto, suas coordenadas n˜ ao dependem do lugar e instante de observa¸ c˜ ao. A ascens˜ ao reta e a declina¸ c˜ ao de um astro permanecem praticamente constantes por longos per´ ıodos de tempo. 18 ´ Figura 3.3: Hora sideral e o ponto γ de Aries. 3.2.3 O sistema equatorial local Nesse sistema, o plano fundamental continua sendo o Equador, mas a coordenada medida ao longo do Equador n˜ ao ´ e mais a ascens˜ ao reta, mas sim uma coordenada n˜ ao constante chamada ˆ angulo hor´ ario. A outra coordenada continua sendo a declina¸ c˜ ao. ˆ Angulo hor´ ario (H ): ˆ angulo medido sobre o Equador, com origem no meridiano local e extremidade no meridiano do astro. Varia entre -12h e +12h. O sinal negativo indica que o astro est´ a a leste do meridiano, e o sinal positivo indica que ele est´ a a oeste do meridiano. −12h ≤ H ≤ +12h 19 3.2.4 Tempo sideral O sistema equatorial celeste e sistema equatorial local, juntos, definem o conceito de tempo sideral. O tempo sideral, assim como o tempo solar, ´ e uma medida do tempo, e aumenta ao longo do dia. ´ Hora sideral (HS ): ˆ angulo hor´ ario do ponto Aries. Pode ser medida a partir de qualquer estrela, pela rela¸ c˜ ao: HS = H + α Meridiano Local H ∗ γ α ∗ HS * Equador 20 Cap´ ıtulo 4 Movimento diurno dos astros O movimento diurno dos astros, de leste para oeste, ´ e um reflexo do movimento de rota¸ c˜ ao da Terra, de oeste para leste. Ao longo do dia, todos os astros descrevem no c´ eu arcos paralelos ao Equador. A orienta¸ c˜ ao desses arcos em rela¸ c˜ ao ao horizonte depende da latitude do lugar. latitude = φ Z latitude = 0 Z latitude = 90 Z=P o PS L L N O φ O L L S S N Figura 4.1: Movimento dos astros em diferentes latitudes. 1. Nos p´ olos (φ = ± 90◦ ): todas as estrelas do mesmo hemisf´ erio do observador permanecem 24 h acima do horizonte (n˜ ao tˆ em nascer nem ocaso) e descrevem no c´ eu c´ ırculos paralelos ao horizonte. As estrelas do hemisf´ erio oposto nunca podem ser vistas. 2. No equador (φ = 0◦ ): todas as estrelas nascem e se po˜ em, permanecendo 12h acima do horizonte e 12h abaixo dele. A trajet´ oria das 21 estrelas s˜ ao arcos perpendiculares ao horizonte. Todas as estrelas do c´ eu (dos dois hemisf´ erios) podem ser vistas ao longo do ano. 3. Em um lugar de latitude intermedi´ aria: algumas estrelas tˆ em nascer e ocaso, outras permanecem 24h acima do horizonte, outras permanecem 24h abaixo do horizonte. As estrelas vis´ ıveis descrevem no c´ eu arcos com uma certa inclina¸ c˜ ao em rela¸ c˜ ao ao horizonte, a qual depende da latitude do lugar. 4.1 4.1.1 Fenˆ omenos do movimento diurno Nascer e ocaso de um astro O nascer e o ocaso de um astro s˜ ao os instantes em que ele aparece e desaparece no horizonte, respectivamente. Nesses instantes, por defini¸ c˜ ao, a ◦ altura do astro ´ e zero, e sua distˆ ancia zenital ´ e 90 . 4.1.2 Passagem meridiana de um astro Chama-se passagem meridiana ao instante em que o astro cruza o meridiano local. Durante o seu movimento diurno, o astro realiza duas passagens meridianas, ou duas culmina¸ c˜ oes: a culmina¸ c˜ ao superior, ou passagem meridiana superior, ou ainda m´ axima altura (porque, nesse instante, a altura do astro atinge o maior valor), e a passagem meridiana inferior, ou culmina¸ c˜ ao inferior. No instante da passagem meridiana superior, cumpre-se a seguinte rela¸ c˜ ao entre z , δ e φ : z = ±(δ − φ) onde o sinal + vale se a culmina¸ c˜ ao ´ e feita ao norte do zˆ enite e o sinal − se a culmina¸ c˜ ao ´ e feita ao sul do zˆ enite. 4.1.3 Estrelas circumpolares Estrelas circumpolares s˜ ao aquelas que n˜ ao tˆ em nascer nem ocaso, descrevendo todo seu c´ ırculo diurno acima do horizonte. Portanto, as estrelas circumpolares fazem as duas passagens meridianas acima do horizonte. Para uma certa estrela com declina¸ c˜ ao δ ser circumpolar em um lugar de latitude φ deve se cumprir a rela¸ c˜ ao: |δ | ≥ 90◦ − |φ| com δ e φ de mesmo sinal. Se tal rela¸ c˜ ao se cumpre, mas δ e φ tˆ em sinais contr´ arios, a estrela ´ e circumpolar num lugar de latitude −φ. 22 Z Estrelas sempre visíveis P Horizonte Estrelas nunca visíveis d ua Eq φ Figura 4. 23 90 −φ or .2: Calotas circumpolares. 24 . fundamentalmente. E c˜ oes em termos das posi¸ c˜ oes sobre a superf´ ıcie de uma esfera – a esfera celeste. que ´ e totalmente arbitr´ ario. A medida de um arco esf´ erico. Dessa forma. ou seja. n˜ ao entra nas equa¸ c˜ oes.2 Triˆ angulos esf´ ericos Um triˆ angulo esf´ erico n˜ ao ´ e qualquer figura de trˆ es lados sobre a esfera. ele a dividir´ a em dois hemisf´ erios idˆ enticos. ´ e igual ao ˆ angulo que ele subentende no centro da circunferˆ encia. sem se preocupar com sua ´ conveniente expressar essas dire¸ distˆ ancia. Quando dois c´ ırculos m´ aximos se interceptam em um ponto. por sua vez. Denota25 . Essas posi¸ c˜ oes s˜ ao medidas unicamente em ˆ angulos.Cap´ ıtulo 5 Trigonometria esf´ erica A astronomia esf´ erica. arcos esf´ ericos. formam entre si um ˆ angulo esf´ erico. ou c´ ırculo m´ aximo. Qualquer plano que corta a esfera sem passar pelo seu centro a intercepta em um c´ ırculo menor ou pequeno. seus lados devem ser arcos de grandes c´ ırculos. o raio da esfera. A medida de um ˆ angulo esf´ erico ´ e igual a medida do ˆ angulo plano entre as tangentes dos dois arcos que o formam. 5. ` as dire¸ c˜ oes nas quais os astros s˜ ao vistos. Um ˆ angulo esf´ erico tamb´ em ´ e medido pelo arco esf´ erico correspondente.1 Defini¸ co ˜es b´ asicas Se um plano passa pelo centro de uma esfera. que ´ e o arco de um c´ ırculo m´ aximo contido entre os dois lados do ˆ angulo ◦ esf´ erico e distantes 90 de seu v´ ertice. diz respeito. ou astronomia de posi¸ c˜ ao. 5. ao longo de um grande c´ ırculo. B.2. n˜ ao ´ e suficiente conhecer dois ˆ angulos ´ sempre necess´ para resolver o triˆ angulo. 4. 5. 3. e os seus lados por letras min´ usculas (a. dependendo do triˆ angulo.2. 2.b. A soma de dois lados do triˆ angulo ´ e sempre maior do que o terceiro lado. Cada um dos lados do triˆ angulo ´ e menor do que 180 graus e isso se aplica tamb´ em aos ˆ angulos. A soma dos lados de um triˆ angulos esf´ erico ´ e maior do que zero e menor do que 180 graus. A soma dos ˆ angulos de um triˆ angulo esf´ erico ´ e sempre maior que 180 graus e menor do que 540 graus e n˜ ao ´ e constante. e a diferen¸ ca ´ e sempre menor. De fato.1 Propriedades dos triˆ angulos esf´ ericos 1. 5.c).2 Solu¸ c˜ ao de triˆ angulos esf´ ericos Ao contr´ ario da trigonometria plana.C). b C A c a B 5.mos os ˆ angulos de um triˆ angulo esf´ erico por letras mai´ usculas (A. Os lados maiores est˜ ao opostos aos ˆ angulos maiores no triˆ angulo. o excesso a 180 graus ´ e diretamente proporcional ` a´ area do triˆ angulo. E ario conhecer no m´ ınimo trˆ es 26 . aos grandes c´ ırculos AB e AC. chamando os lados BC de a. b ´ e medido pelo ˆ angulo AOC e c pelo ˆ angulo AOB. AD est´ a no plano do grande c´ ırculo AB. e AE a tangente em A do grande c´ ırculo AC. Logo. Seja ABC um triˆ angulo esf´ erico como na figura. em A. E OC interceptar´ a a tangente AE em E.elementos: ou trˆ es ˆ angulos. extendendo a reta OB. que chamamos de c. Portanto. Por constru¸ c˜ ao. Similarmente. O ˆ angulo esf´ erico BAC ´ e definido como o ˆ angulo entre as tangentes. No triˆ angulo plano OAD. ou um ˆ angulo e dois lados. O lado a mede o ˆ angulo BOC subentendido no centro da esfera O pelo arco de grande c´ ırculo BC. CA de b e AB de c. ou dois lados e um ˆ angulo. a reta OA ´ e perpendicular a AD e AE. Seja AD a tangente em A do grande c´ ırculo AB. Neste caso. o ˆ angulo OAD ´ e 90o e o ˆ angulo AOD ´ e idˆ entico ao ˆ angulo AOB. Portanto AD = OA tan c OD = OA sec c Do triˆ angulo plano OAE podemos deduzir AE = OA tan b OE = OA sec b E do triˆ angulo plano DAE temos DE 2 = AD2 + AE 2 − 2AD · AE cos DAE ou DE 2 = OA2 [tan2 c + tan2 b − 2 tan b tan c cos A] Do triˆ angulo plano DOE DE 2 = OD2 + OE 2 − 2OD · OE cos DOE Como DOE=BOC=a. DE 2 = OA2 [sec2 c + sec2 b − 2 sec b sec c cos a] das quais obtemos sec2 c + sec2 b − 2 sec b sec c cos a = tan2 c + tan2 b − 2 tan b tan c cos A 27 . BAC=DAE e chamamos de A. ela interceptar´ a a tangente AD no ponto D. ou trˆ es lados. o astro e o zˆ enite.3 O triˆ angulo de posi¸ c˜ ao Denomina-se triˆ angulo de posi¸ c˜ ao o triˆ angulo esf´ erico situado na esfera celeste cujos v´ ertices s˜ ao o p´ olo elevado.Como sec2 c = 1 + tan2 c sec2 b = 1 + tan2 b obtemos cos a = cos b cos c + senb senc cos A As f´ ormulas principais para a solu¸ c˜ ao dos triˆ angulos esf´ ericos s˜ ao: F´ ormula dos cossenos: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A F´ ormula dos senos: sen a sen b sen c = = sen A sen B sen C 5.|φ| • arco entre o zˆ enite e astro = z 28 . Os lados e ˆ angulos do triˆ angulo de posi¸ c˜ ao s˜ ao: • arco entre o zˆ enite e o p´ olo = 90◦ . Rela¸ c˜ oes entre distˆ ancia zenital (z). Tamb´ em permite fazer as transforma¸ c˜ oes de um sistema de coordenadas para outro.|δ | • a ˆngulo com v´ ertice no zˆ enite = A (no Hemisf´ erio Norte) ou A .180◦ (no Hemisf´ erio Sul) • ˆ angulo com v´ ertice no p´ olo = H • ˆ angulo com v´ ertice na estrela O triˆ angulo de posi¸ c˜ ao ´ e usado para derivar as coordenadas do astro quando conhecida a posi¸ c˜ ao geogr´ afica do lugar. ou determinar as coordenadas geogr´ aficas do lugar quando conhecidas as coordenadas do astro. azimute (A).• arco entre o p´ olo e o astro = 90◦ . ˆ angulo hor´ ario (H). cos z = cos(90◦ − φ)cos(90◦ − δ ) + sen (90◦ − φ) sen (90◦ − δ ) cos H Donde: cos z = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos H e: cos H = cos z sec φ sec δ − tan φ tan δ 2. cos(90◦ − δ ) = cos(90◦ − φ) cos z + sen (90◦ − φ) sen z cos A De modo que: sen δ = sen φ cos z + cos φsenz cos A e cos A = sen δ csc z sec φ − tan φ cot z 29 . e declina¸ c˜ ao (δ ) Pela f´ ormula dos cossenos. podemos tirar duas rela¸ c˜ oes b´ asicas entre os sistemas de coordenadas: 1. como assumido na f´ ormula anterior. A = 117◦ (243◦ ). 46 Logo.4. para qualquer astro. αB e δB as suas coordenadas. e 10 h e 10 min em 21 de junho. A separa¸ c˜ ao angular entre duas estrelas ´ e a distˆ ancia medida ao longo do c´ ırculo m´ aximo passando pelas duas estrelas.4 5. o tempo de permanˆ encia acima do horizonte ser´ a duas vezes o ˆ angulo hor´ ario desse astro no momento do nascer ou ocaso.4. 5.5. 30 . e sejam αA . Sol acima do horizonte Quanto tempo o Sol permanece acima do horizonte. o Sol estar´ a acima do horizonte aproximadamente 14 h e 10 min em 21 de dezembro. em Porto Alegre (φ = −30◦ ). o que significa entre o leste (A = 90◦ ) e o sul (A = 180◦ ). Especificamente em Porto Alegre. em um local de latitude φ. quanto tempo o Sol permanece acima do horizonte em um certo local e em certa data do ano. Sejam A e B as duas estrelas.2 Determinar a separa¸ c˜ ao angular entre duas estrelas. no dia do solst´ ıcio de ver˜ ao no HS (δ = −23◦ 27 ). e n˜ ao o centro do disco solar. δA .1 Algumas aplica¸ c˜ oes: ˆ Angulo hor´ ario no ocaso Determinar o ˆ angulo hor´ ario no ocaso (z = 90◦ ) para uma estrela de declina¸ c˜ ao δ . pois. O azimute do astro no nascer (ou ocaso) tamb´ em pode ser deduzido da figura: cos A = sen δ sec φ cos A = sen (−23◦ 27 ) sec(30◦ ) = −0. cos ZF = cos P Z cos P F + sen P Z sen P F cos ZP F ou cos 90◦ = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos H ou seja: cos H = − tan φ tan δ Com essa f´ ormula podemos calcular. Note que a diferen¸ ca de 10 minutos ´ e devido ` a defini¸ c˜ ao de que o dia come¸ ca com a borda superior do Sol no horizonte e termina com a borda superior do Sol no horizonte. por exemplo. Podemos construir um triˆ angulo esf´ erico em que um dos lados seja a separa¸ c˜ ao angular entre elas e os outros dois lados sejam as suas distˆ ancias polares. os arcos ao longo dos meridianos das estrelas desde o p´ olo (P ) at´ e as estrelas. ou seja. Pela f´ ormula dos cossenos temos: αΑ−αΒ Β Α δΑ δΒ cosAB = cosP A cosP B + sen P A sen P B cosAP B Onde: AB = distˆ ancia polar entre A e B P A = distˆ ancia polar de A = 90◦ − δA P B = distˆ ancia polar de B = 90◦ − δB AP B = ˆ angulo entre o meridiano de A e o meridiano de B = αA − αB E portanto: cos P A = sen δA cos P B = sen δB sen P A = cos δA sen P B = cos δB 31 . e aplicando a equa¸ c˜ ao acima. 65◦ ) Portanto: cos D = 0. 11◦ ) cos (−63. 11◦ αGacrux = 12h 31m 11s = 187. medido pelo eixo maior da Cruz? O eixo maior da Cruz ´ e formado pelas estrelas Gacrux (α = 12h 31m 11s. 80◦ δAcrux = −63◦ 06 = −63. 10◦ αAcrux = 12h 26m 37s = 186. 11◦ ) sen (−63. temos: cos D = senδGacrux senδAcrux + cos δGacrux cos δAcrux cos(αGacrux − αAcrux ) δGacrux = −57◦ 07 = −57. 80◦ − 186.cos AP B = cos (αA − αB ) E finalmente: cos AB = senδA senδB + cos δA cos δB cos(αA − αB ) Exemplo: Qual o tamanho da constela¸ c˜ ao do Cruzeiro do Sul. 10◦ ) cos(187. 9945 ⇒ D = 6◦ 32 . δ = −63◦ 06 ) Chamando D o tamanho do eixo maior da Cruz. 10◦ )+ + cos (−57. 65◦ Substituindo esses valores na equa¸ c˜ ao temos: cos D = sen (−57. ◦ δ = −57 07 ) e Acrux (α = 12h 26m 37s. Hora solar: ´ eoˆ angulo hor´ ario do Sol. Dia sideral: ´ e o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens sucessivas do ponto Vernal pelo meridiano do lugar. temos o tempo solar (toma como referˆ encia o Sol). de aproximadamente 1 (∼ 4 ) por dia. a hora sideral pode ser medida a partir de qualquer estrela. e o tempo sideral (toma como referˆ encia o ponto Vernal). que provoca a rota¸ c˜ ao aparente da esfera celeste.Cap´ ıtulo 6 Medida do tempo A medida do tempo se baseia no movimento de rota¸ c˜ ao da Terra. Essa diferen¸ ca ´ e devida ao movimento de transla¸ c˜ ao da ◦ m Terra em torno do Sol. Hora sideral: ´ eoˆ angulo hor´ ario do ponto Vernal. Dia solar: ´ e o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens sucessivas do Sol pelo meridiano do lugar.2 Tempo solar O tempo solar ´ e baseado no movimento aparente do Sol.1 Tempo sideral O tempo sideral ´ e baseado no movimento aparente do ponto Vernal. Como vimos no cap´ ıtulo anterior. 6. 33 . O dia solar ´ e 3m 56s mais longo do que o dia sideral. Dependendo do objeto que tomamos como referˆ encia para medir a rota¸ c˜ ao da Terra. 6. o que acarretaria in´ umeros problemas de ordem pr´ atica. Tempo civil (Tc): usa como origem do dia o instante em que o sol m´ edio passa pelo meridiano inferior do lugar. 34 . com velocidade angular constante. Tempo solar verdadeiro: ´ eoˆ angulo hor´ ario do centro do Sol. Mas o movimento do Sol na ecl´ ıptica ´ e anualmente peri´ odico.1 o = 1 o Para estrela distante Como o Sol n˜ ao ´ e um ponto. Tempo universal (TU): ´ e o tempo civil de Greenwich. A raz˜ ao do tempo civil ´ e n˜ ao mudar a data durante as horas de maior atividade da humanidade nos ramos financeiros. que define um tempo solar m´ edio. de modo que os dias solares m´ edios s˜ ao iguais entre si (ao passo que os dias solares verdadeiros n˜ ao s˜ ao iguais entre si porque o movimento do Sol na ecl´ ıptica n˜ ao tem velocidade angular constante). ao longo do ano. Os diferentes tipos de tempos solares (ou horas solares). assim o ano solar m´ edio ´ e igual ao ano solar verdadeiro. est˜ ao definidas a seguir. que se move ao longo do Equador celeste (ao passo que o sol verdadeiro se move ao longo da ecl´ ıptica). o ˆ angulo hor´ ario do Sol se refere ao centro do Sol. mas um disco. E como o Sol n˜ ao tem um movimento uniforme. fica dif´ ıcil medir o tempo usando exatamente o Sol como padr˜ ao. comerciais e industriais. Da´ ı surgiu a defini¸ c˜ ao de um sol “m´ edio”. Tempo solar m´ edio: ´ e o ˆ angulo hor´ ario do centro do sol m´ edio. O sol m´ edio ´ e um sol fict´ ıcio. Fuso zero ´ e aquele cujo meridiano central passa por Greenwich. Todos os lugares de um determinado fuso tˆ em a hora do meridiano central do fuso. onde ´ e a longitude ecl´ ıptica do Sol e ¯ a longitude do sol m´ edio. Cada fuso compreende 15◦ (= 1 h). 6. o primeiro chamado de redu¸ c˜ ao ao equador. Ela pode ser expressa como: E=( −α )−( − ¯ ). leva em conta que o Sol real se move na ecl´ ıptica enquanto o sol m´ edio. se move no equador.2 Equa¸ c˜ ao do tempo A equa¸ c˜ ao do tempo ´ e definida como o ˆ angulo hor´ ario do Sol. Mato Grosso do Norte. a Fran¸ ca tinha a hora do meridiano que passava por Paris. Goi´ as.04. Os fusos variam de 0h a +12h para leste de Greenwich e de 0h a -12h para oeste de Greenwich. e o segundo de equa¸ c˜ ao do centro. Para evitar isso. A equa¸ c˜ ao do tempo pode ser expressa em uma s´ erie. Tocantins e Par´ a • -4h: Amazonas. menos o ˆ angulo hor´ ario do sol m´ edio.2008): • -2h: arquip´ elago de Fernando de Noronha • -3h: estados do litoral. o que n˜ ao era pr´ atico. Minas. adotou-se o convˆ enio internacional dos fusos hor´ arios. Como as diferen¸ cas de longitudes entre os meridianos escolhidos n˜ ao eram horas e minutos exatos. a Inglaterra tinha a hora do meridiano que passava por Greenwich. porque tˆ em meridianos diferentes.6. fict´ ıcio. lugares de longitudes diferentes tˆ em horas diferentes. Inicialmente. as mudan¸ cas de horas de um pa´ ıs para outro implicavam c´ alculos incˆ omodos.1 Fusos hor´ arios De acordo com a defini¸ c˜ ao de tempo civil. que leva em conta a elipticidade da ´ orbita. Essa equa¸ c˜ ao divide o problema em dois termos. Hora legal: ´ e a hora civil do meridiano central do fuso. cada na¸ c˜ ao tinha a sua hora. Por exemplo.2. Fusos no Brasil: o Brasil abrange trˆ es fusos (Lei 11 662 de 24. envolvendo somente a longitude do sol m´ edio: 35 .2. que era a hora do seu meridiano principal. Mato Grosso do Sul e Acre. ou 365d 6h 9m 10s.E = −103. Os eg´ ıpcios. Essa efem´ eride ´ e o instante da passagem do Sol pelo meridiano da efem´ eride. Seu comprimento ´ e 365.25 dias. orientado pelo astrˆ onomo alexandrino Sos´ ıgenes. Nosso calend´ ario atual est´ a baseado no antigo calend´ ario romano.s 0 cos 2 ¯ + + 19.s 3 sen2 s ¯ ¯ − 2.. pois o ano (dura¸ c˜ ao da revolu¸ c˜ ao aparente do Sol em torno da Terra) n˜ ao ´ e um m´ ultiplo exato da dura¸ c˜ ao do dia ou da dura¸ c˜ ao do mˆ es. e ´ e 12 h menos a equa¸ c˜ ao do tempo naquele instante. J´ ulio C´ esar (102-44 a.. a cada trˆ es anos era introduzido um mˆ es a mais para completar os aproximadamente trˆ es anos solares.s 6 cos s ¯ ¯ + 596.s 9 sen + 4. Mas ainda havia um lento deslocamento que somava um dia a cada quatro anos. Como o per´ ıodo sin´ odico da Lua ´ e de 29. quando o desvio na posi¸ c˜ ao do Sol se tornou not´ avel. Ano tropical: ´ e o per´ ıodo de revolu¸ c˜ ao da Terra em torno do Sol com rela¸ c˜ ao ao Equin´ ocio Vernal. 7 cos 4 .5 dias. Ent˜ ao. Ent˜ ao os eg´ ıpcios deduziram que a dura¸ c˜ ao do ano era de 365. ou 365d 5h 48m 46s. ´ E importante distinguir dois tipos de anos: Ano sideral: ´ e o per´ ıodo de revolu¸ c˜ ao da Terra em torno do Sol com rela¸ c˜ ao ` as estrelas. utilizaram inicialmente um ano de 360 dias come¸ cando com a enchente anual do Nilo.2564 dias solares m´ edios.2422 dias solares m´ edios. A maneira de introduzir o 13◦ mˆ es se tornou muito irregular.3 Calend´ ario Desde a Antiguidade foram encontradas dificuldades para a cria¸ c˜ ao de um calend´ ario. 6. um mˆ es tinha 29 dias e o outro 30 dias. com rela¸ c˜ ao ao in´ ıcio da esta¸ c˜ oes. de forma que no ano 46 a. cinco dias foram adicionados. cujos trabalhos no calend´ ario remontam a quatro milˆ enios antes de Cristo. que era lunar. Devido ao movimento de precess˜ ao da Terra. o ano tropical ´ e levemente menor do que o ano sideral. o que totalizava 354 dias. 3 cos 3 − 12.C. introduzindo 36 . reformou o calend´ ario.). 3 sen3 s ¯ ¯ − 429.C. Seu comprimento ´ e de 365.. A quantidade tabulada no Astronomical Ephemeris n˜ ao ´ e diretamente E. mas a efem´ eride do Sol no trˆ ansito. Mais tarde. O calend´ ario se baseia no ano tropical. isto ´ e. para regular a data da P´ ascoa. 25 − 0. O ano do calend´ ario gregoriano tem 365. 2. ent˜ ao. uma festa comemorativa feita a Deus em agradecimento ` a liberta¸ c˜ ao do povo de Israel escravizado por Farao. 37 . 2422 = 365 + 0. que ocorre 163 dias antes do in´ ıcio do ano judaico.2422 dias solares m´ edios. As reformas feitas foram: 1. 01 + 0. para recolocar o Equin´ ocio Vernal em 21 de mar¸ co. Rei do Egito. Assim. foi deduzido que o ano era mais curto do que 365. sendo que nesse ano j´ a completava dez dias. Assim. sob orienta¸ c˜ ao do astrˆ onomo jesu´ ıta alem˜ ao Christophorus Clavius (Cristoph Klau 1538-1612). foi institu´ ıda na epoca de Mois´ es.C. instituindo o calend´ ario gregoriano. 2425 − 0.o calend´ ario juliano. introduziu a regra de que anos m´ ultiplos de 100 n˜ ao s˜ ao bissextos. Em 325 d. o Equin´ ocio Vernal j´ a estava ocorrendo em 11 de mar¸ co. O ano juliano vigorou por 1600 anos. fixado em 21 de mar¸ co.. e Alyosius Lilius (Luigi Lilio 1510-1576).2425 dias solares m´ edios. Assim: 1 ano tropical = 365. Da´ ı. ao passo que o ano tropical tem aproximadamente 365. a menos que sejam tamb´ em m´ ultiplos de 400. O papa.25 dias (hoje sabemos que tem 365. Esta data n˜ ao ´ e a mesma da P´ ascoa Juliana e Gregoriana.242199 dias). Em 1582. o ano juliano tem em m´ edia 365. A data da P´ ascoa A p´ ascoa judaica (Pesach). durante o papado de Greg´ orio XIII (1571-1630). introduziu nova reforma no calend´ ario. antecipando muito a data da P´ ascoa. 0003 = 365. Essa diferen¸ ca atingia um dia a cada 128 anos. 2422 = 365 + 1/4 − 1/100 + 1/400 − 1/3300 ou 365. tirou 10 dias do ano de 1582. o conc´ ılio de Nic´ eia fixou a data da P´ ascoa como sendo o primeiro domingo depois da Lua Cheia que ocorre em ou ap´ os o Equin´ ocio Vernal. 0003. o dia seguinte a 4/10/1582 passou a ter a data de 15/10/1582. 0025 − 0.25 dias.0003 dias corresponde a 26 segundos (1 dia a cada 3300 anos). A diferen¸ ca de 0. no qual a cada trˆ es anos de 365 dias seguia outro de 366 dias (ano bissexto). seguindo o conc´ ılio de Nic´ eia de 325 d.O dia da P´ ascoa crist˜ a. portanto. a Ter¸ ca-Feira de carnaval ocorre 47 dias antes da P´ ascoa. c = a/100 n = a − 19 × (a/19) k = (c − 17)/25 i = c − c/4 − (c − k )/3 + 19 × n + 15 i = i − 30 × (i/30) 38 . m para mˆ es. e. que marca a ressurrei¸ c˜ ao de Cristo. Usa-se a para ano. de acordo com o decreto papal de 1582. e d para dia. a data da lua cheia n˜ ao ´ e a real. com os res´ ıduos das divis˜ oes ignorados. mas a definida nas Tabelas Eclesi´ asticas.C. A Quarta-Feira de Cinzas ocorre 46 dias antes da P´ ascoa. Data da P´ ascoa durante a d´ ecada de 2010: • 4 de abril de 2010 • 24 de abril de 2011 • 8 de abril de 2012 • 31 de mar¸ co de 2013 • 20 de abril de 2014 • 5 de abril de 2015 • 27 de mar¸ co de 2016 • 16 de abril de 2017 • 1o de abril de 2018 • 21 de abril de 2019 • 12 de abril de 2020 Para calcular a data da P´ ascoa para qualquer ano no calend´ ario Gregoriano (o calend´ ario civil no Brasil). ´ e o primeiro domingo depois da lua cheia que ocorre no dia – ou depois de – 21 mar¸ co. com todas as vari´ aveis inteiras.. usa-se a seguinte f´ ormula. Entretanto. Essa facilidade vem do fato de que n˜ ao existem meses e anos na data juliana.. 39 . Somente em 550 d. os matem´ aticos hindus deram uma representa¸ c˜ ao num´ erica ao n´ umero zero. Da´ ı o nome bissexto.i = i − (i/28) × (1 − (i/28) × (29/(i + 1)) × ((21 − n)/11)) j = a + a/4 + i + 2 − c + c/4 j = j − 7 × (j/7) l =i−j m = 3 + (l + 40)/44 d = l + 28 − 31 × (m/4) Esse algoritmo ´ e de J.-M.K. e era chamado ante diem bis sextum Kalendas Martias ou simplesmente bissextum. ed. Seidelmann (1992). Em 46 a. S´ eculo XXI O s´ eculo XXI (terceiro milˆ enio) come¸ cou no dia 01/01/2001. ela consta apenas do n´ umero de dias solares m´ edios decorridos desde o in´ ıcio da era juliana.C.Oudin (1940) e impresso no Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. o primeiro dia do mˆ es se chamava calendas. J´ ulio C´ esar mandou que o sexto dia antes das calendas de mar¸ co deveria ser repetido uma vez em cada quatro anos.origem da palavra No antigo calend´ ario romano.C. o s´ eculo I come¸ cou no ano 1. Ano bissexto .. e. P. porque n˜ ao houve ano zero. portanto. O dia juliano muda sempre ` as 12 h TU. uma segunda-feira de uma ano bissexto. em 1 de janeiro de 4713 a. e cada dia do mˆ es anterior se contava retroativamente. Data juliana A data juliana foi proposta por Josephus Justus Scaliger (Joseph Juste Scaliger 1540-1609) em 1583.C. e ´ e utilizada principalmente pelos astrˆ onomos como uma maneira de calcular facilmente o intervalo de tempo decorrido entre diferentes eventos astronˆ omicos. a dura¸ c˜ ao de uma era seria de (26000 anos)/12. as constela¸ c˜ oes n˜ ao tˆ em o mesmo tamanho. Assim. publicadas em 1930 em um trabalho intitulado Delimitation Scientifique des Constellations. na perspectiva astronˆ omica. no c´ eu. devido ao movimento de precess˜ ao do eixo de rota¸ c˜ ao da Terra. Na verdade ´ e a posi¸ c˜ ao da Terra em sua ´ orbita. a Uni˜ ao Astronˆ omica Internacional definiu as bordas das 88 constela¸ c˜ oes oficiais. no dia do Equin´ ocio Vernal (equin´ ocio de mar¸ co). A posi¸ c˜ ao do Sol entre as estrelas. ´ e definida como o per´ ıodo. em que o Sol. que muda. a era de Peixes come¸ cou quando o Equin´ ocio Vernal passou a acontecer com o Sol na constela¸ c˜ ao de Peixes.C. parece mudar.Era Uma era zodiacal. e fossem em n´ umero de 12. no dia do Equin´ ocio Vernal. No entanto. e as constela¸ c˜ oes zodiacais atualmente s˜ ao 13. em anos. 40 . e a era de Aqu´ ario come¸ car´ a quando o Sol estiver na constela¸ c˜ ao de Aqu´ ario nesse dia. no dia do Equin´ ocio Vernal. Se todas as constela¸ c˜ oes zodiacais tivessem o mesmo tamanho. com o passar dos s´ eculos. Em 1929. nasce em uma determinada constela¸ c˜ ao do zod´ ıaco. A borda estabelecida entre Peixes e Aqu´ ario coloca o in´ ıcio da era de Aqu´ ario em 2600 d. como a era de Aqu´ ario. A ´ area de uma constela¸ c˜ ao ´ e definida por uma borda imagin´ aria que a separa. ou aproximadamente 2200 anos. das outras constela¸ c˜ oes. A Ecl´ ıptica ´ e um c´ ırculo m´ aximo que tem uma inclina¸ c˜ ao de 23◦ 27 em rela¸ c˜ ao ao Equador Celeste. o Sol aparentemente se move entre as estrelas.Cap´ ıtulo 7 Movimento anual do Sol Devido ao movimento de transla¸ c˜ ao da Terra em torno do Sol. Zênite Polo Sul Celeste Junho 00 11 00 11 00 11 00 11 φ Setembro Eclíptica Março Dezembro Equador 41 . descrevendo uma trajet´ oria na esfera celeste chamada Ecl´ ıptica. ´ essa inclina¸ E c˜ ao que causa as esta¸ c˜ oes do ano. ao longo do ano. Ao longo de um dia.7.5 23 . Posi¸ c˜ oes caracter´ ısticas do Sol Durante o ano. a sombra ´ e m´ axima no nascer e no ocaso do Sol.V. forma uma sombra cujo tamanho depende da hora do dia e da ´ epoca do ano. Durante o dia. o Sol ocupa quatro posi¸ c˜ oes caracter´ ısticas na Ecl´ ıptica: • ≈ 21 Mar¸ co: Sol cruza o Equador. A dire¸ c˜ ao da sombra ao meio-dia real local nos d´ a a dire¸ c˜ ao NorteSul.5 S. a haste. S. e ´ e m´ ınima ao meio-dia. a sombra ´ e m´ axima no Solst´ ıcio de Inverno. Ao longo de um ano (` a mesma hora do dia). Foi observando a varia¸ c˜ ao do tamanho da sombra do gnˆ omon ao longo do ano que os antigos determinaram o comprimento do ano das esta¸ c˜ oes.I.1 Eq. Um gnˆ omon nada mais ´ e do que uma haste vertical fincada ao solo. ao ser iluminada pelo Sol. ou ano tropical.1. 7. Z o S S o 23 .1 Esta¸ c˜ oes do ano Uma observa¸ c˜ ao simples que permite “ver” o movimento do Sol durante o ano ´ e atrav´ es do gnˆ omon. e m´ ınima no Solst´ ıcio de Ver˜ ao. A bissectriz marca o tamanho da sombra nos equin´ ocios. indo do Hemisf´ erio Sul para o Hemisf´ erio Norte: α = 0h δ = 0◦ 42 . 43 .o dia e a noite duram 12 h em toda a Terra. Equin´ ocio de Primavera no HS.5◦ (N) o dia mais curto do ano no HS. Sol sempre abaixo do horizonte. 24 h de crep´ usculo. Equin´ ocio de Outono no HN. Sol sempre acima do horizonte. no p´ olo S. nos p´ olos. nos p´ olos. incidindo diretamente na regi˜ ao do Tr´ opico de Cˆ ancer na Terra: α = 6h δ = +23. no p´ olo N. • ≈ 22 Junho: Sol est´ a na m´ axima declina¸ c˜ ao norte. dia em Porto Alegre dura 10h 10m . Solst´ ıcio (lat: sol+sticium=parado) de Inverno no HS. Equin´ ocio de Primavera no HN. • ≈ 23 Setembro: Sol cruza o equador. indo do Hemisf´ erio Norte para o Hemisf´ erio Sul: α = 12h δ = 0◦ o dia e a noite duram 12 h em toda a Terra. Solst´ ıcio de Ver˜ ao no HN. 24 h de crep´ usculo. Equin´ ocio (lat: equi=igual+nox=noite) de Outono no HS. dia mais longo do ano no HN. Sol sempre acima do horizonte. sendo que a Terra est´ a mais 44 . a distˆ ancia da Terra ao Sol varia somente 3%. Solst´ ıcio de Ver˜ ao no HS.5◦ (S) o dia mais longo do ano no HS. no p´ olo N. e n˜ ao um c´ ırculo. no p´ olo S. dia mais curto do ano no HN.2 Esta¸ c˜ oes em diferentes latitudes Embora a ´ orbita da Terra em torno do Sol seja uma elipse. Sol sempre abaixo do horizonte.1. dia em Porto Alegre dura 14h 10m . 7. Solst´ ıcio de Inverno no HN.N Sol em 23 Set Sol em 22 Jun Ecliptica Equador Celeste Sol em 21 Mar Sol em 22 Dez S • ≈ 22 Dezembro: Sol est´ a na m´ axima declina¸ c˜ ao sul incidindo diretamente na regi˜ ao do Tr´ opico de Capric´ ornio na Terra: α = 18h δ = −23. aquecendo mais um hemisf´ erio ou outro. as esta¸ A c˜ oes ficam mais acentuadas. a altura do Sol ao meio-dia no Equador n˜ ao muda muito ao longo do ano. primavera ou outono. os raios solares incidem mais diretamente em um hemisf´ erio ou em outro. 22 Dez N N E 23 o 21 Mar Equador Celeste Sol S Sol Equador Celeste N N 23 Sol o 23 Set E S 22 Jun No Equador. Esse ˆ angulo. ` a medida que a Terra orbita em torno do Sol. ` medida que se afasta do Equador. proporcionando mais horas com luz durante o dia a um hemisf´ erio ou a outro. ´ e de 23◦ 27 . a causa das esta¸ c˜ oes ´ e a inclina¸ c˜ ao do eixo de rota¸ c˜ ao da Terra com rela¸ c˜ ao ` a sua ´ orbita. ver˜ ao. e. portanto. Portanto. em ∼ 23 Set o Sol cruza o meridiano 23◦ 27 ao sul do Zˆ enite. Como j´ a vimos no in´ ıcio deste cap´ ıtulo. e por isso n˜ ao existe muita diferen¸ ca entre inverno. no resto do ano. todas as esta¸ c˜ oes s˜ ao muito parecidas: todos os dias do ano o Sol fica 12 horas acima do horizonte e 12 horas abaixo do horizonte. Devido a essa inclina¸ c˜ ao. chamado de obliq¨ uidade da ecl´ ıptica. e ´ e inverno l´ a. e as diferen¸ cas tornam-se m´ aximas nos p´ olos.pr´ oxima do Sol em janeiro. Mas ´ e f´ acil lembrar que o Hemisf´ erio Norte da Terra tamb´ em est´ a mais pr´ oximo do Sol em janeiro. Au ´nica diferen¸ ca ´ e a altura do Sol: em ∼ 21 Jun o Sol cruza o meridiano 23◦ 27 ao norte do Zˆ enite. e. ele cruza o meridiano entre esses dois pontos. 45 . Chamando Ez a energia m´ edia que chega perpendiculamente ` a superf´ ıcie da Terra. por unidade de ´ area e por unidade de tempo. e vale 1367 W/m2 .2 Insola¸ c˜ ao A quantidade de energia solar que chega. a atmosfera reflete 39% da radia¸ c˜ ao. ` a distˆ ancia m´ edia Terra-Sol.7. o que leva a uma varia¸ c˜ ao na insola¸ c˜ ao. Devido ` a rota¸ c˜ ao da Terra. ´ e aproximadamente 1/4 da constante solar. com a hora do dia e com a ´ epoca do ano. se chama constante solar. por unidade de tempo e por unidade de ´ area. 61 × Se definirmos insola¸ c˜ ao solar como a quantidade de energia solar que atinge uma unidade de ´ area da Terra. a mesma energia ´ e espalhada por uma ´ area A sen θ A = vemos que devido ` a varia¸ c˜ ao da altura m´ axima do Sol para um lugar (devido ` a inclina¸ c˜ ao da ´ orbita). Al´ em disso. Em geral estamos interessados em conhecer a a quantidade de energia por unidade de ´ area e por unidade de tempo que chega em um determinado lugar da superf´ ıcie da Terra. a energia m´ edia incidente no topo da atmosfera. temos que 1 × 1367 W/m2 = 208 W/m2 = 750 kW − h/m2 4 Ez = 0. Esse valor da constante solar ´ e medido por sat´ elites logo acima da atmosfera terrestre. quando o Sol est´ a a uma altura θ em rela¸ c˜ ao ao horizonte. por unidade de tempo e por unidade de ´ area. A insola¸ c˜ ao varia de acordo com o lugar. 46 . que chamamos insola¸ c˜ ao do lugar. acontece uma varia¸ c˜ ao da ´ area iluminada na superf´ ıcie da Terra. a uma superf´ ıcie perpendicular aos raios solares. Ez A I= e considerando que. de forma que apenas 61% ´ e usada no aquecimento da Terra. 5 decl. A varia¸ c˜ ao da insola¸ c˜ ao solar devido ` a varia¸ ca ˜o de 3% da distˆ ancia TerraSol entre o af´ elio e o peri´ elio ´ e. por enquanto.23. 66 sen θI 0. a altura m´ axima do Sol no ◦ Solst´ ıcio de Ver˜ ao (≈ 21 Dez) ´ e θV = 83. j´ a que o Sol est´ a a (30◦ lat ◦ ◦ . Desconsiderando. 94. a insola¸ c˜ ao solar ´ e 6% maior do que em junho (af´ elio). 5◦ do zˆ enite.) 6. o que tornaria as esta¸ c˜ oes mais rigorosas no Hemisf´ erio Sul do que 47 . a varia¸ c˜ ao da insola¸ c˜ ao solar devido ` a varia¸ c˜ ao da distˆ ancia da Terra ao Sol. cuja latitude ´ e 30◦ .Para Porto Alegre. 972 = 0. j´ a que o Sol est´ a a (30◦ lat + 23. 5◦ . 99 sen θV = = 1. o efeito da varia¸ c˜ ao da distˆ ancia entre a Terra e o Sol pode ser calculado levando em conta que a energia do Sol por unidade de ´ area que alcan¸ ca a Terra ´ e dada por: Ez = E 2 . temos: IV = II Ez AV Ez AI = 0. considerando a energia do Sol no Zˆ enite (Ez ) constante. portanto: Iaf´ elio = 0. Ao meio-dia. Em compara¸ c˜ ao. 59 isto ´ e.5◦ decl.) 53. no Solst´ ıcio de Inverno (≈ 21 Jun). 4πD⊗ onde D⊗ ´ e a distˆ ancia da Terra do Sol no momento. 5 do zˆ enite ao meio-dia. a insola¸ c˜ ao em Porto Alegre ´ e 66% maior no ver˜ ao do que no inverno. isto ´ e. em janeiro (peri´ elio). a altura m´ axima do Sol ´ e θI = 36. 5 . Iperi´ elio isto ´ e. que ´ e de 14h 10m no Solst´ ıcio de Ver˜ ao e 10h 10m no Solst´ ıcio de Inverno. em Porto Alegre. a dura¸ c˜ ao do dia. contribui nas esta¸ c˜ oes do ano. 48 .no Norte. Este pequeno efeito ´ e contrabalan¸ cado pela maior propor¸ c˜ ao de agua no Hemisf´ ´ erio Sul. Al´ em da insola¸ c˜ ao. que as torna mais amenas. com um valor m´ edio de 384 000 km. O valor atual de sua distˆ ancia foi obtido por laser. se obt´ em que sua distˆ ancia varia de 356 800 km a 406 400 km. A excentricidade da 49 . Medindo o tempo de ida e vinda de um feixe de laser disparado da Terra na dire¸ c˜ ao da Lua. utilizando um espelho colocado na Lua pelos astronautas.Cap´ ıtulo 8 Movimentos da Lua A Lua ´ e o corpo celeste mais pr´ oximo da Terra. a transla¸ c˜ ao em torno da Terra e a revolu¸ c˜ ao em torno do Sol junto com a Terra.5 . Portanto. O ciclo completo dura aproximadamente 29. Acredita-se que o grego Anax´ agoras (± 430 a. j´ a conhecia sua causa. Esse fenˆ omeno ´ e bem compreendido desde a Antiguidade. A Lua tem trˆ es movimentos principais: a rota¸ c˜ ao em torno de seu pr´ oprio eixo.orbita da Lua ´ ´ e de 0. o seu plano orbital tem uma inclina¸ c˜ ao o de menos do que 1 .1 Fases da lua ` medida que a Lua viaja ao redor da Terra ao longo do mˆ A es. durante o qual sua forma parece variar gradualmente. Em rela¸ c˜ ao ao equador da Lua. O diˆ ametro aparente m´ edio da Lua ´ e de 31’ 5”(0. em rela¸ c˜ ao ao equador da Terra.5. o plano orbital n˜ ao ´ e fixo. O plano orbital da Lua tem uma inclina¸ c˜ ao de 5o 9 em rela¸ c˜ ao ` a ecl´ ıptica. Por essa raz˜ ao os astrˆ onomos definem a fase da Lua em termos de n´ umero de dias decorridos desde a Lua Nova (de 0 a 29. ela ´ e o que se move mais rapidamente em rela¸ c˜ ao a n´ os. mas a por¸ c˜ ao que vemos iluminada da Lua. 50 . Lua Cheia e Quarto-Minguante recebem nomes. que ´ e a sua fase.518o ). Quarto-Crescente. como meteoros. com excep¸ c˜ ao de corpos passageiros. a ´ orbita da Lua tem uma inclina¸ c˜ ao que o o o o o o varia de 18.6 anos. e Arist´ oteles (384 .) registrou a explica¸ c˜ ao correta do fenˆ omeno: as fases da Lua resultam do fato de que ela n˜ ao ´ e um corpo luminoso. Sabendo que a distˆ ancia m´ edia da Lua ´ e de 384 000 km. e sim um corpo iluminado pela luz do Sol. 8. A fase da lua representa o quanto dessa face iluminada est´ a voltada tamb´ em para a Terra.5) e em termos de fra¸ c˜ ao iluminada da face vis´ ıvel (0% a 100%). movendo-se de maneira tal que seu eixo descreve um c´ ırculo completo em torno do eixo da ecl´ ıptica num per´ ıodo de 18.15 ) a 28.7 (23.5 + 5.C. Tradicionalmente epenas as quatro fases mais caracter´ ısticas do ciclo . Durante metado do ciclo essa por¸ c˜ ao est´ a aumentando (lua crescente) e durante a outra metade ela est´ a diminuindo (lua minguante). Apesar desse ˆ angulo permanecer aproximadamente constante.518). ela passa por um ciclo de fases.322 a.15 ).4 (23.0549. o mesmo tamanho do diˆ ametro aparente do Sol. Sendo a Lua o corpo celeste mais pr´ oximo. A face iluminada da Lua ´ e aquela que est´ a voltada para o Sol.5 dias.C. varia de dia para dia.Lua Nova.). A sua massa ´ e de 1/81 da massa da Terra. se deduz que seu diˆ ametro ´ e de 3476 km (D=384 000 km × sen 0. a Lua vai ficando cada vez mais a leste do Sol. aproximadamente uma semana depois temos o Quarto-Crescente. Lua Quarto-Minguante A Lua est´ a aproximadamente 90◦ a oeste do Sol.´ quando a face vis´ Lua Nova: E ıvel da Lua n˜ ao recebe luz do Sol. nasce quando o Sol se p˜ oe e se p˜ oe no nascer do Sol. Ap´ os esse dia. a Lua est´ a no c´ eu durante o dia. Isso gera. at´ e que.1 Lua C ou D? ´ comum. at´ e que atinge a fase Cheia. e portanto o lado oeste da face vis´ ıvel vai ficando crescentemente mais iluminado. no hemif´ E erio sul. Durante os dias subsequentes. 8.1. Lua e Sol. o que n˜ ao ´ e verdade. representarmos a fase quarto-crescente por um disco com a metade esquerda iluminada (lembrando a letra C) e a fase quarto-minguante por um disco com a metade direita iluminada (lembrando a letra D). A Lua nasce aproximadamente ` a meia-noite e se p˜ oe aproximadamente ao meiodia. Lua Cheia 100% da face vis´ ıvel est´ a iluminada. Nessa fase. at´ e atingir o dia 0 do novo ciclo. a id´ eia de que o lado iluminado da Lua muda de um hemisf´ erio para o outro. nascendo e se pondo aproximadamente junto com o Sol. vistos da Terra. que a ilumina pelo lado leste. Nos dias subsequentes a Lua continua a minguar. No hemisf´ erio norte se faz o contr´ ario. a fase quarto-crescente ´ e representada por uma figura lembrando a letra D e a fase quarto-minguante por uma figura lembrando a letra C. a fra¸ c˜ ao iluminada da face vis´ ıvel continua a crescer pelo lado oeste. ´ quando toda a metade oeste da face voltada Lua Quarto-Crescente: E para a Terra est´ a iluminada. ou 12h. separados de aproximadamente 180◦ . a fra¸ c˜ ao iluminada j´ a se reduziu a 50%. e temos o Quarto-Minguante. est˜ ao se◦ parados de aproximadamente 90 . 51 . A Lua nasce aproximadamente ao meio-dia e se p˜ oe aproximadamente ` a meia-noite. pois a Lua continua a leste do Sol. e vemos iluminada a metade leste de sua face vis´ ıvel. est˜ ao em dire¸ c˜ oes opostas. Nos dias subsequentes a por¸ c˜ ao da face iluminada passa a ficar cada vez menor ` a medida que a Lua fica cada vez mais a oeste do Sol. A Lua est´ a no c´ eu durante toda a noite. pois os dois astros est˜ ao na mesma dire¸ c˜ ao. Lua e Sol. Aproximadamente 7 dias depois. em muitas pessoas. com 50% da face iluminada. vistos da Terra. Devido a isso. ou luna¸ c˜ ao.1. a Terra e a Lua n˜ ao s˜ ao esf´ ericas e as mar´ es provocam fric¸ ca ˜o dentro da Terra e da Lua.1. a Lua ter´ a uma forma lembrando um C durante a primeira semana do ciclo lunar.3 Dia lunar A Lua se move 360◦ /27. em rela¸ c˜ ao a uma estrela. Isso independe de o observador estar no hemisf´ erio norte ou sul da Terra.32166 dias1 (mˆ es sideral). 8.Na fase crescente o lado iluminado da Lua ´ e sempre o seu lado voltado para o oeste. o observador. Para um observador que vˆ e a Lua estando voltado para o sul as formas aparentex da Lua nas fases crescentes e minguantes ficam invertidas. O per´ ıodo sideral varia at´ e 7 horas. ou mˆ es sideral ´ e o tempo necess´ ario para a Lua completar uma volta em torno da Terra. Nesse caso. precisando de mais de cem termos para ser calculada com precis˜ ao. portanto. Sua dura¸ c˜ ao ´ e de 27d 7h 43m 11s. a Lua sempre cruza o meridiano local ao norte do zˆ enite. Como o sistema Terra—Lua sofre influˆ encia gravitacional do Sol e dos planetas. Portanto. completada em 27. em rela¸ c˜ ao ao Sol. por dia. para vˆ e-la quando ela est´ a mais alta no c´ eu . O per´ ıodo sideral da Lua. O dia lunar.25 dias mais curto do que o mˆ es sin´ odico.5 dias). para leste. 1 52 . ao passo que emt todos os lugares do hemisf´ erio norte com latitudes acima de 29o a Lua sempre cruza o meridiano ao sul do zˆ enite. Se a Lua est´ a ao norte do zˆ enite. Consequentemente. e na fase minguante o lado iluminado ´ e o lado voltado para o leste. 8. 3d ≈ 13◦ para leste. a cada dia a Lua cruza o meridiano local ≈ 50 min mais tarde do que no dia anterior. em rela¸ c˜ ao ` as estrelas. refletindo a transla¸ c˜ ao da Terra em torno do Sol. o hemisf´ erio oeste da Lua estar´ a ` a sua esquerda. e o hemisf´ erio leste ` a sua direita. e forma lembrando um D na u ´ltima semana. Esse movimento ´ e um reflexo da transla¸ c˜ ao da Lua em torno da Terra. pois para todos os lugares hemisf´ erio sul com latitude mais ao sul do que 29o . completada em 365.2 Mˆ es lunar e mˆ es sideral O intervalo de tempo entre duas fases iguais consecutivas ´ e de 29d 12h 44m 2. Essa ´ e a dura¸ c˜ ao do mˆ es sin´ odico. tem aproximadamente 24h 50m (24h 48m). O que muda ´ e a orienta¸ c˜ ao da Lua em rela¸ c˜ ao ao observador. sendo portanto ≈ 2.9s ( 29. a ´ orbita da Lua n˜ ao ´ e regular. a Lua se move ≈ 12◦ por dia. O Sol tamb´ em se move ≈ 1◦ por dia para leste.2564 dias (ano sideral). ou per´ ıodo sin´ odico da Lua. se volta para a dire¸ c˜ ao norte. Note tamb´ em que como a Lua mant´ em a mesma face voltada para a Terra.1. Devido ` a rota¸ c˜ ao sincronizada da Lua. um astronauta na Lua n˜ ao vˆ e a Terra nascer ou se pˆ or.8. Rotação sincronizada da Lua Se não houvesse rotação Com rotação sincronizada ´ muito improv´ E avel que essa sincroniza¸ c˜ ao seja casual. As deforma¸ c˜ oes tipo bojos causadas na superf´ ıcie da Lua pelas mar´ es teriam freado a sua rota¸ c˜ ao at´ e ela ficar com o bojo sempre voltado para a Terra. nunca ver´ a a Terra. Acredita-se que ela tenha acontecido como resultado das grandes for¸ cas de mar´ e exercidas pela Terra na Lua no tempo em que a Lua era jovem e mais el´ astica. Essa perda de rota¸ c˜ ao teria em consequˆ encia provocado o afastamento maior entre Lua e Terra (para conservar o momentum angular). Atualmente a Lua continua afastando-se da Terra. ela mant´ em sempre a mesma face voltada para a Terra. a uma taxa de 4 cm/ano. a Lua tem rota¸ c˜ ao sincronizada com a transla¸ c˜ ao. e portanto com per´ ıodo de rota¸ c˜ ao igual ao de transla¸ c˜ ao. Isso indica que o seu per´ ıodo de transla¸ c˜ ao ´ e igual ao per´ ıodo de rota¸ c˜ ao em torno de seu pr´ oprio eixo. a Terra estar´ a sempre vis´ ıvel. completando seu ciclo de A fases. a face da Lua que n˜ ao podemos ver chama-se face oculta. Se ele est´ a na face voltada para a Terra. 53 . Se ele estiver na face oculta da Lua. que s´ o pode ser fotograda pelos astronautas em ´ orbita da Lua.4 Rota¸ c˜ ao da lua ` medida que a Lua orbita em torno da Terra. Portanto. Quando a Terra ´ e atingida pela sombra da Lua. acontece um eclipse lunar.A B C D Penumbra Umbra B A D Sol C Figura 8. 54 .1: Elementos de uma sombra. 8.2 Eclipses Um eclipse acontece sempre que um corpo entra na sombra de outro.1 Geometria da sombra Quando um corpo extenso (n˜ ao pontual) ´ e iluminado por outro corpo extenso definem-se duas regi˜ oes de sombra: umbra: regi˜ ao da sombra que n˜ ao recebe luz de nenhum ponto da fonte. quando a Lua entra na sombra da Terra. acontece um eclipse solar.2. 8. Assim. Sendo: 55 .penumbra: regi˜ ao da sombra que recebe luz de alguns pontos da fonte. C´ alculo do tamanho da sombra Consideremos um corpo luminoso de raio R a uma distˆ ancia d de uma esfera opaca de raio R . Como a sombra ´ e cˆ onica. a altura do cone de sombra • d = distˆ ancia da fonte ` a esfera opaca • R = raio da fonte • R = raio da esfera opaca Por semelhan¸ ca de triˆ angulos temos que: R R = L L+d E portanto a altura do cone de sombra (L) ´ e: L= C´ alculo do raio da sombra R d R−R R d R’ l r (l) C L A seguir vamos determinar o tamanho da sombra a uma certa distˆ ancia l da esfera opaca. isto ´ e. R R’ d L C Sendo: • L = comprimento da sombra. Atr´ as do corpo opaco se formar´ a um cone de sombra cuja altura queremos determinar. sua forma em qualquer ponto ´ e circular. e aparece a coroa solar.2. um fenˆ omeno conhecido como “anel de diamante”. composta de gases rarefeitos que se estendem por ´ extremamente perigoso olhar o Sol diretamente. as u ´nicas partes vis´ ıveis do Sol s˜ ao aquelas que brilham atrav´ es de pequenos vales na borda irregular da Lua. e ocorrer´ a um eclipse anular. Em uma regi˜ ao de aproximadamente 3000 km de cada lado do caminho do eclipse. Caso contr´ ario. chamada de caminho do eclipse. Durante a totalidade. 56 . de no m´ aximo 270 km de largura. Mesmo milh˜ oes de km. sem apresentar qualquer dor! Durante um eclipse solar. Ap´ os a fase de “anel de diamante” (j´ a descrito por Edmund Halley no eclipse de 3 de maio de 1715). ser´ a parcial. Se o disco inteiro do Sol estiver atr´ as da Lua.• r(l) = raio da sombra ` a distˆ ancia l da esfera opaca • L = comprimento da sombra • R = raio da esfera opaca Novamente por semelhan¸ ca de triˆ angulos temos que: r(l) R = L−l L E o raio da sombra ` a distˆ ancia l da esfera opaca ´ e: r(l) = R L−l L 8. Portanto um eclipse solar total s´ o´ e vis´ ıvel. O eclipse solar total come¸ ca quando o disco da Lua alcan¸ ca a borda do disco do Sol. e aproximadamente uma hora depois o Sol fica completamente atr´ as da Lua.2 Eclipses do Sol e da Lua Os eclipses do Sol e da Lua s˜ ao os eventos mais espetaculares do c´ eu. o disco do Sol fica completamente coberto pela Lua. se o clima permitir. o c´ eu se torna escuro o suficiente para que se possa observar os planetas e as estrelas mais brilhantes. de forma que a sombra da Lua atinge a Terra. o eclipse ser´ a total. o diˆ ametro da Lua ser´ a menor que o do Sol. ocorre um eclipse parcial. a umbra da Lua na Terra tem no m´ aximo 270 km de largura. Um eclipse solar ocorre quando a Lua est´ a entre a Terra e o Sol. Nos u ´ltimos instantes antes da totalidade. E uma pequena exposi¸ c˜ ao danifica permanentemente o olho. Se a Lua estiver pr´ oxima de seu apogeu. em uma estreita faixa sobre a Terra. a atmosfera externa do Sol. 270 km = 7.3. 9 min 34 km/min Na realidade. Esse tempo ´ e igual ao tamanho da umbra dividido pela velocidade com que ela anda. a Lua ressurge inteira. Um eclipse total ´ e sempre acompanhado das fases penumbral e parcial. Se a Lua passa somente na penumbra. A dura¸ c˜ ao da totalidade do eclipse. 57 . grosseiramente. se somente parte dela passa pela umbra. o eclipse ´ e parcial. a totalidade de um eclipse dura no m´ aximo 7 1/2 minutos. em rela¸ c˜ ao ao Sol. 56 km/min − 28 km/min = 28 km/min. Isso acontece porque parte da luz solar ´ e refractada na atmosfera da Terra e atinge a Lua. em um certo ponto da Terra. Um eclipse lunar acontece quando a Lua entra na sombra da Terra. Por´ em essa luz est´ a quase totalmente desprovida dos raios azuis. mostram que a velocidade da Lua em rela¸ c˜ ao a um certo ponto da Terra ´ e de pelo menos 34 km/min para leste. O valor da velocidade da sombra ´ e. ou seja. e o resto passa pela penumbra. a Lua se move aproximadamente 12◦ por dia. Se ela fica inteiramente imersa na umbra da Terra o eclipse ´ e total. para leste. a velocidade da sombra da Lua na Terra tem o mesmo sentido do movimento (real) da Lua. C´ alculos mais precisos.Como vimos na se¸ c˜ ao 8. o que implica numa velocidade de: 12◦ /dia × 2π × 384 000 km 360◦ 80 400 km/dia 56 km/min A velocidade de um ponto da superf´ ıcie da Terra devido ` a rota¸ c˜ ao para leste da Terra ´ e. Durante a fase total.1. o eclipse ´ e penumbral. 2πR⊕ 2π × 6 370 km = = 1667 km/h 1 dia 24 h 28 km/min Como a velocidade da Lua no c´ eu ´ e maior do que a velocidade de rota¸ c˜ ao da Terra. levando-se em conta o ˆ angulo entre os dois movimentos. para leste. com uma luminosidade tˆ enue e avermelhada. ser´ a o tempo desde o instante em que a borda leste da umbra da Lua toca esse ponto at´ e o instante em que a borda oeste da Lua o toca. Um eclipse penumbral n˜ ao ´ e f´ acil de ver diretamente com o olho. aproximadamente. pois o brilho da Lua permanece quase o mesmo. que sofreram forte espalhamento e absor¸ c˜ ao na espessa camada atmosf´ erica atravessada. Os pontos de interse¸ c˜ oes entre as duas ´ orbitas se chamam nodos. o plano orbital da Lua n˜ ao coincide com o plano da ecl´ ıptica. ´ e 3. Esses valores variam um pouco porque dependem das distˆ ancias relativas entre Sol. Devido a isso. mas a fase de totalidade nunca dura mais do que 100 min.Sol ` distˆ A ancia da Lua. que s´ o´ e vis´ ıvel em uma pequena regi˜ ao da Terra. a umbra da Terra tem um diˆ ametro de 9 200 km em m´ edia. cobrindo 2. incluindo as fases de parcialidade. ou seja.6 diˆ ametros da lua. 384 000 km. Temporadas dos eclipses Se o plano orbital da Lua coincidisse com o plano da ecl´ ıptica. A dura¸ c˜ ao m´ axima de um eclipse lunar. a lua pode levar at´ e 150 min para atravessar a umbra. de um dado local na Terra. os eclipses da Lua s˜ ao vistos com maior frequˆ encia que eclipses do Sol. Para ocorrer um eclipse.8 hr. al´ em 58 . No entanto. por todo o hemisf´ erio da Terra onde ´ e noite. Terra e Lua em cada eclipse. ◦ mas sim est´ a inclinado 5 em rela¸ c˜ ao em rela¸ c˜ ao a este. Em contraste com um eclipse do Sol. aconteceria um eclipse solar a cada Lua nova e um eclipse lunar a cada Lua cheia. Como a velocidade orbital da Lua ´ e de 3 682 km/h. a Lua. um eclipse da Lua ´ e vis´ ıvel por todos que possam ver a Lua. e a linha que une os dois nodos se chama linha dos nodos. ocorre um eclipse. precisa estar no plano da ecl´ ıptica. Um eclipse em um ciclo acontece aproximadamente 8 horas mais tarde e 120◦ de longitude mais a oeste do que no ciclo anterior. Em um ano. e tem dura¸ c˜ ao de 18 anos e 11 dias. se ocorrerem trˆ es ser˜ ao dois solares e um lunar. Saros A dire¸ c˜ ao da linha dos nodos n˜ ao ´ e constante. dependendo dos tamanhos aparentes e velocidades aparentes do Sol e da Lua. considerando-se: • distˆ ancia Terra-Sol: 149 600 000 km • raio da Terra: 6370 km • raio do Sol: 696 000 km 59 . A distˆ ancia angular da Lua ao nodo precisa ser menor que 4. e a sequˆ encia de eclipses solares e lunares se repete. Como o sistema Terra-Lua orbita o Sol. acontecem no m´ ınimo dois eclipses. No caso de ocorrer somente um eclipse ser´ a um eclipse solar.3 Exemplos de c´ alculos de eclipses 1. Sol. Como a ´ orbita da Lua gradualmente gira sobre seu eixo.6 anos de regress˜ ao dos nodos. Quando a Lua passar pelo nodo durante a temporada de eclipses. quando os eclipses podem ocorrer. 8. Lua e Terra retornam ` as mesmas posi¸ c˜ oes relativas.32 dias. ocorrem de um a trˆ es eclipses.3◦ para um eclipse solar total. Em cada temporada. Estas s˜ ao as temporadas dos eclipses. com um per´ ıodo de 18.de estar na fase Nova ou Cheia. o que estende a temporada de eclipses para 31 a 38 dias. e n˜ ao exatamente a cada meio ano. e menor que 10. precisa estar em um dos nodos ou pr´ oxima a ele. Nesse per´ ıodo de tempo. O per´ ıodo de tempo que a linha dos nodos leva pra dar uma volta completa chama-se Saros. sendo cinco solares e 2 lunares ou quatro solares e trˆ es lunares. ou seja. as temporadas ocorrem a cada 173 dias. ou 6585. mas se desloca devido a efeitos gravitacionais provocados pelo Sol.6◦ para um eclipse lunar total. aproximadamente duas vezes por ano a linha dos nodos est´ a alinhada com o Sol e a Terra. e no m´ aximo sete eclipses. mas n˜ ao na mesma hora e no mesmo lugar. sendo os dois solares. que variam porque as ´ orbitas da Terra e da Lua s˜ ao el´ ıpticas. Calcular o comprimento m´ edio da sombra da Terra. As temporadas dos eclipses s˜ ao separadas por 173 dias [(1 ano-20 dias)/2]. de modo que pelo menos um eclipse ocorre a cada 173 dias. devido principalmente ` a fric¸ ca ˜o causada pelas mar´ es.1: Eclipses do Sol 2010-2020 Data 15 Jan 11 Jul 4 Jan 1 Jun 1 Jul 25 Nov 20 Mai 13 Nov 10 Mai 3 Nov 29 Abr 23 Out 20 Mar 13 Set 9 Mar 1 Set 26 Fev 21 Ago 15 Fev 13 Jul 11 Ago 6 Jan 2 Jul 26 Dez 21 Jun 14 Dez 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2012 2012 2013 2013 2014 2014 2015 2015 2016 2016 2017 2017 2018 2018 2018 2019 2019 2019 2020 2020 Tempo Dinˆ amico (centro) 07:07:39 19:34:38 08:51:42 21:17:18 08:39:30 06:21:24 23:53:54 22:12:55 00:26:20 12:47:36 06:04:33 21:45:39 09:46:47 06:55:19 01:58:19 09:08:02 14:54:33 18:26:40 20:52:33 03:02:16 09:47:28 01:42:38 19:24:07 05:18:53 06:41:15 16:14:39 Latitude (centro) 2N 20 S 65 N 68 N 65 S 69 S 49 N 40 S 2N 3N 71 S 71 N 64 N 72 S 10 N 11 S 35 S 37 N 71 S 68 S 70 N 67 N 17 S 1N 31 N 40 S Longitude (centro) 69 E 122 O 21 E 47 E 29 E 82 O 176 E 161 O 175 E 12 O 131 E 97 O 7O 2O 149 E 38 E 31 O 88 O 1E 127 E 174 E 154 E 109 O 102 E 80 E 68 O Tipo de Eclipse Anular do Sol Total do Sol Parcial do Sol Parcial do Sol Penumbral do Sol Parcial do Sol Anular do Sol Total do Sol Anular do Sol Total do Sol Anular do Sol Parcial do Sol Total do Sol Parcial do Sol Total do Sol Anular do Sol Anular do Sol Total do Sol Parcial do Sol Parcial do Sol Parcial do Sol Parcial do Sol Total do Sol Anular do Sol Anular do Sol Total do Sol A diferen¸ ca entre o Tempo Dinˆ amico e o Tempo Universal.Tabela 8. aumenta de 67s em 2010 para 74s em 2020. 60 . Tabela 8.2: Eclipses da Lua Data Tempo Dinˆ amico (centro) 26 Jun 2010 11:39:34 21 Dez 2010 08:18:04 15 Jun 2011 20:13:43 10 Dez 2011 14:32:56 04 Jun 2012 11:04:20 28 Nov 2012 14:34:07 25 Abr 2013 20:08:38 25 Mai 2013 04:11:06 18 Out 2013 23:51:25 15 Abr 2014 07:46:48 08 Out 2014 10:55:44 04 Abr 2015 12:01:24 28 Set 2015 02:48:17 23 Mar 2016 11:48:21 16 Set 2016 18:55:27 11 Fev 2017 00:45:03 07 Ago 2017 18:21:38 31 Jan 2018 13:31:00 27 Jul 2018 20:22:54 21 Jan 2019 05:13:27 16 Jul 2019 21:31:55 10 Jan 2020 19:11:11 05 Jun 2020 19:26:14 05 Jul 2020 04:31:12 30 Nov 2020 09:44:01 2010-2020 Tipo de Eclipse Parcial da Lua Total da Lua Total da Lua Total da Lua Parcial da Lua Penumbral da Lua Parcial da Lua Penumbral da Lua Penumbral da Lua Total da Lua Total da Lua Total da Lua Total da Lua Penumbral da Lua Penumbral da Lua Penumbral da Lua Parcial da Lua Total da Lua Total da Lua Total da Lua Parcial da Lua Penumbral da Lua Penumbral da Lua Penumbral da Lua Penumbral da Lua 61 . um eclipse total da Lua dura cerca de 1h 40m e um eclipse parcial da Lua dura cerca de 6 h. R = 109r o raio do Sol. A penumbra tem 16 000 km e como a velocidade da Lua na sua ´ orbita ´ e de 3400 km/hr. 726r = 2. 6 r/3. 726r h 219.Como comprimento da sombra = Obtemos: comprimento da sombra = ou comprimento da sombra = 1 381 800km 2. Seja r o raio da Terra. 62 . 26r R−r 109r − r 149 600 000km × 6370km 696 000km − 6370km distˆ ancia da fonte × raio da esfera raio da fonte − raio da esfera b) Qual ´ e o raio deste cone a uma distˆ ancia de l = 60r por onde passa a Lua? Como r (l ) r = h−l h r r r(l) = (h − l) = (219. a umbra da Terra tem 9200 km. 26r c) Sendo rL = r/3. 26r − 60r) = 0. L = 23680r a distˆ ancia entre o Sol e a Terra. 6 Isto ´ e. • a) Qual ´ e o comprimento do cone de sombra formado? h= L×r 23680r2 = = 219. 6 o raio da Lua. na distˆ ancia da Lua. quantos diˆ ametros lunares cabem nessa regi˜ ao da sombra? r(l)/rL = 0. e ´ e simples de explicar quando sabemos que a Terra est´ a em movimento. at´ e que fica mais lento e o planeta reverte novamente sua dire¸ c˜ ao. Esse movimento se faz. de forma que eles parecem se mover. 9.C. retomando o movimento normal. ou seja. de oeste para leste (n˜ ao confundir com o movimento diurno.). passando a ser de leste para oeste.165 d. A Terra fica numa posi¸ c˜ ao um pouco afastada do centro do deferente (portanto. geralmente. quem construiu o modelo geocˆ entrico mais completo e eficiente. Ptolomeu explicou o movimento dos planetas atrav´ es de uma combina¸ c˜ ao de c´ ırculos: o planeta se move ao longo de um pequeno c´ ırculo chamado epiciclo. ao longo do ano.Cap´ ıtulo 9 Movimento dos planetas Os planetas est˜ ao muito mais pr´ oximos de n´ os do que as estrelas. entre as estrelas de fundo. num sistema geocˆ entrico. o modelo de Ptolomeu n˜ ao diferia do modelo 63 .C. pois foi Claudius Ptolemaeus (85 d. o deferente ´ e um c´ ırculo excˆ entrico em rela¸ c˜ ao ` a Terra).1 O modelo geocˆ entrico de Ptolomeu Apesar disso. o u ´ltimo dos grandes astrˆ onomos gregos. mas fica muito dif´ ıcil de descrever num sistema em que a Terra esteja parada e seja o centro do movimento dos outros astros. Esse movimento retr´ ogrado pode durar v´ arios meses (dependendo do planeta). O sistema geocˆ entrico tamb´ em ´ e conhecido como sistema ptolemaico. cujo centro se move em um c´ ırculo maior chamado deferente. mas em certas ´ epocas o movimento muda. que ´ e sempre de leste para oeste!). O movimento observado de cada planeta ´ e uma combina¸ c˜ ao do movimento do planeta em torno do Sol com o movimento da Terra em torno do Sol. At´ e aqui. o geocentrismo foi uma id´ eia dominante na astronomia durante toda a Antiguidade e Idade M´ edia. esse modelo continuou sendo usado sem mudan¸ ca substancial por cerca de 1300 anos. 64 . As realiza¸ c˜ oes mais importantes de Cop´ ernico foram: • introduziu o conceito de que a Terra ´ e apenas um dos seis planetas (ent˜ ao conhecidos) girando em torno do Sol. e que tinha o objetivo de dar conta do movimento n˜ ao uniforme dos planetas.C.publicado no ano de sua morte.usado por Hiparco aproximadamente 250 anos antes. 9.). nesse ponto. A novidade introduzida por Ptolomeu foi o equante. Por essa raz˜ ao. ele leu sobre a hip´ otese heliocˆ entrica proposta (e n˜ ao aceita) por Aristarco de Samos (310-230 a. Epiciclo Terra Planeta x. que ´ e um ponto ao lado do centro do deferente oposto em rela¸ c˜ ao ` a Terra. Equante Centro do Deferente Deferente O objetivo de Ptolomeu era o de produzir um modelo que permitisse prever a posi¸ c˜ ao dos planetas de forma correta e. Estudando na It´ alia. e achou que o Sol no centro do Universo era muito mais razo´ avel do que a Terra. Cop´ ernico (1473-1543) foi um astrˆ onomo polonˆ es com grande inclina¸ c˜ ao para a matem´ atica. ele foi razoavelmente bem-sucedido.De Revolutionibus. Nicolau Cop´ ernico representou o Renascimento na astronomia. Cop´ ernico registrou suas id´ eias num livro . em rela¸ c˜ ao ao qual o centro do epiciclo se move a uma taxa uniforme. a Renascen¸ ca estava sacudindo as cinzas do obscurantismo da Idade M´ edia e trazendo novo fˆ olego a todas as ´ areas do conhecimento humano.2 Cop´ ernico e o modelo heliocˆ entrico No in´ ıcio do s´ eculo XVI. e 48◦ . alcan¸ cando o m´ aximo afastamento angular em rela¸ c˜ ao ao Sol de 28◦ . maior ´ e sua velocidade orbital. J´ upiter.Figura 9. • deduziu que quanto mais perto do Sol est´ a o planeta.2)]. Terra. Saturno (Urano. 9. em termos da distˆ ancia Terra-Sol. o movimento retr´ ogrado dos planetas foi facilmente explicado sem necessidade de epiciclos [ver figura (9. no caso de Vˆ enus. no caso de Merc´ urio. logo ap´ os o pˆ or-do-sol (astro vespertino). para obter posi¸ c˜ oes razo´ aveis. Conv´ em notar que Cop´ ernico manteve a id´ eia de que as ´ orbitas dos planetas eram circulares e. 65 . mas n˜ ao usou equantes. Netuno e Plut˜ ao). • determinou as distˆ ancias dos planetas ao Sol.1 Classifica¸ c˜ ao dos planetas pela distˆ ancia ao Sol Planetas inferiores: Merc´ urio e Vˆ enus. logo antes do nascer do Sol (astro matutino). Os dois planetas est˜ ´ ao sempre muito pr´ oximos do Sol. Dessa forma. Vˆ enus. Tˆ em ´ orbitas menores do que a orbita da Terra. teve de manter pequenos epiciclos. ou ao amanhecer. Marte.1: Movimento retr´ ogrado dos planetas. eles s´ o s˜ ao vis´ ıveis ao anoitecer. Por essa raz˜ ao.2. • colocou os planetas em ordem de distˆ ancia ao Sol: Merc´ urio. O planeta est´ a no c´ eu durante toda a noite.2. e vale 28 no caso de Merc´ urio. o planeta est´ a a oeste do Sol (nasce e se p˜ oe antes do Sol) e. E ıodo de revolu¸ c˜ ao aparente do planeta. Na m´ axima elonga¸ c˜ ao oriental. e mais longe da Terra do que o Sol. • m´ axima elonga¸ c˜ ao: a distˆ ancia angular entre o planeta e o Sol ´ e ◦ ◦ m´ axima.Planetas superiores: Marte. Saturno. J´ upiter. Na m´ axima elonga¸ c˜ ao ocidental. • oposi¸ c˜ ao: o planeta est´ a na dire¸ c˜ ao oposta ao Sol (e = 180◦ ). Configura¸ c˜ oes de um planeta superior • conjun¸ c˜ ao: o planeta est´ a na mesma dire¸ c˜ ao do Sol (e = 0). em rela¸ c˜ ao ` a Terra. conv´ em antes definir elonga¸ c˜ ao: elonga¸ c˜ ao (e): distˆ ancia angular do planeta ao Sol. no lado oeste. e 48 no caso de Vˆ enus. • conjun¸ c˜ ao superior: o planeta est´ a na mesma dire¸ c˜ ao do Sol (e = 0). e mais longe da Terra do que o Sol. o planeta est´ a a leste do Sol (nasce e se p˜ oe depois do Sol) e ´ e vis´ ıvel ao anoitecer. vista da Terra. 66 . podendo ser observados no meio da noite. 9.2. Netuno e Plut˜ ao. • quadratura (e = 90◦ ): O planeta est´ a 6h a leste do Sol (quadratura oriental) ou a oeste do Sol (quadratura ocidental).2 Configura¸ c˜ oes planet´ arias Para definir as configura¸ c˜ oes dos planetas. portanto. vistas da terra. no lado leste. Urano.3 Per´ ıodo sin´ odico e sideral dos planetas Per´ ıodo sin´ odico (S): ´ e o intervalo de tempo decorrido entre duas con´ o per´ figura¸ c˜ oes iguais consecutivas. que s˜ ao as posi¸ c˜ oes caracter´ ısticas dos planetas em suas ´ orbitas. Podem estar a qualquer distˆ ancia angular do Sol. ´ e vis´ ıvel ao amanhecer. Tˆ em ´ orbitas maiores do que a da Terra. Configura¸ c˜ oes de um planeta inferior • conjun¸ c˜ ao inferior: o planeta est´ a na mesma dire¸ c˜ ao do Sol (e = 0) e mais pr´ oximo da Terra do que o Sol. 9. em rela¸ c˜ ao a uma estrela fixa.3. 67 . nesse ponto. A n˜ ao alcan¸ ca o planeta B at´ e os dois estarem na posi¸ c˜ ao (3). O planeta A est´ a em conjun¸ c˜ ao inferior visto de B . S ´ e o per´ ıodo sin´ odico. Per´ ıodo sideral (P): ´ e o per´ ıodo real de transla¸ c˜ ao do planeta em torno do Sol. Na posi¸ c˜ ao (1).2. o planeta B moveu para a posi¸ c˜ ao (2). e ter´ a decorrido um per´ ıodo sin´ odico para A e B . vamos chamar de Pi o per´ ıodo sideral do planeta interior. Para achar a rela¸ c˜ ao entre o per´ ıodo sin´ odico e o per´ ıodo sideral. por estar numa ´ orbita mais interna. e o planeta B est´ a em oposi¸ c˜ ao visto de A. como na figura 9. Rela¸ c˜ ao entre os dois per´ ıodos Considere dois planetas. o planeta A ter´ a ganho uma volta completa (360◦ ) em rela¸ c˜ ao a B . Quando A completou uma revolu¸ c˜ ao em torno do Sol. o planeta A passa entre os planeta B e o Sol. Mas. e retornou ` a posi¸ c˜ ao (1).1 B1 A1 A 2 A3 B3 B2 3 2 Figura 9.2: Per´ ıodo sin´ odico e sideral. quando as posi¸ c˜ oes de A e B em rela¸ c˜ ao ao Sol voltam a ser as mesmas que na situa¸ c˜ ao (1). O planeta A move-se mais r´ apido do que o planeta B . que ´ e o mesmo para os dois. A e B . De fato. e de Pe o per´ ıodo sideral do planeta exterior. e=Terra e Pe = 365. ◦ 360◦ Ap´ os um dia.25 (dias/ano) = 2. j´ a que em S dias esse ganho ser´ a igual a 360 S 360◦ = S que ´ e o mesmo que: 1 = S 1 1 − Pi Pe 360◦ 360◦ − Pi Pe ◦ 9.O planeta interior. j´ a que o per´ ıodo entre duas elonga¸ c˜ oes m´ aximas a leste ´ e o per´ ıodo sin´ odico S. Sabendo-se que Marte leva 780 dias para nascer quando o Sol se p˜ oe duas vezes seguidas.25 dias. Por defini¸ c˜ ao de per´ ıodo sin´ odico. i=Terra e Pi =1 ano. 2. Sabendo-se que Vˆ enus leva 583. i=Vˆ enus e S=583.87 anos = 687 dias. 1 1 1 = − Pe Pi S obt´ em-se Pe =1.93 dias. e=Marte e S =780 d / 365.93 dias para aparecer em elonga¸ c˜ ao m´ axima a leste duas vezes seguidas (se p˜ oe 3 horas depois do Sol). Calculado-se obt´ em-se Pi = 224. o planeta interior ter´ a ganho um ˆ angulo de 360 Pi − Pe em rela¸ c˜ ao ao planeta exterior. Ou seja: igual a 360 . que se move a Pe por dia. viaja mais r´ 360◦ planeta exterior. 68 1 1 1 = + Pi Pe S Calculado-se . neste caso.7 dias.14 anos. qual ´ e o per´ ıodo sideral (orbital) de Marte? Usamos a f´ ormula 1 1 1 = − S Pi Pe identificando que. esse ganho ´ e ◦ ◦ . j´ a que o per´ ıodo entre duas oposi¸ c˜ oes ´ e o per´ ıodo sin´ odico S. qual seu per´ ıodo sideral (orbital)? Usamos a f´ ormula 1 1 1 = − S Pi Pe identificando que.3 Exemplos de per´ ıodos 1. movendo-se 360 apido do que o Pi por dia. neste caso. 69 . Distˆ ancias dos planetas inferiores p T e max S Quando o planeta inferior est´ a em m´ axima elonga¸ c˜ ao (eM ). em unidades astronˆ omicas (UA).46 UA. e a distˆ ancia de 0.1 Distˆ ancias dentro do Sistema Solar Cop´ ernico determinou as distˆ ancias dentro do sistema solar em termos da distˆ ancia Terra-Sol. a elonga¸ c˜ ao m´ axima varia de 23◦ a 28◦ . cuja ´ orbita tem alta excentricidade. ser´ a de 90◦ . na posi¸ c˜ ao do planeta. ou seja.9.3. o ˆ angulo entre Terra e Sol. nessa situa¸ c˜ ao Sol. Ent˜ ao. e a distˆ ancia do planeta ao Sol ser´ a: distˆ ancia(planeta−Sol) distˆ ancia(Terra−Sol) sen eM = Portanto: distˆ ancia(planeta−Sol) = sen eM × 1 UA No caso de Merc´ urio.39 a 0. Terra e planeta formam um triˆ angulo retˆ angulo. Como o per´ ıodo sideral de Marte ´ e de 687 dias. a distˆ ancia entre Marte e Sol ´ e: 1 UA = 1. 52 UA cos 49◦ distˆ ancia(Sol−M arte) = A tabela a seguir mostra uma compara¸ c˜ ao entre os valores das distˆ ancias dos planetas ao Sol.5 = 49 . e os valores atuais. Nesse per´ ıodo de 106 dias.5◦ ◦ ◦ 55. pois se em 365 dias ela percorre 360◦ . Agora.5◦ .Distˆ ancias dos planetas superiores P E S . a Terra percorre uma distˆ ancia angular de 104.5◦ (106/687 × 360◦ ). visto do Sol. o ˆ angulo entre o Sol e o planeta. Terra e Marte na quadratura (SE’P’ na figura). ent˜ ao a distˆ ancia angular percorrida por Marte nesse mesmo per´ ıodo de 106 dias ser´ a 55. P’ E’ Observando Marte. e o ˆ angulo entre Terra e Marte. considerando o triˆ angulo formado pelo Sol. 70 . determinadas por Cop´ ernico. ´ e de 104. em unidades astronˆ omicas. ´ e de 90 . Cop´ ernico viu que o intervalo de tempo decorrido entre uma oposi¸ c˜ ao e uma quadratura ´ e de 106 dias. Ent˜ ao. visto da ◦ Terra. em 106 dias ela percorre 106/365 × 360◦ . n=2 para Marte. Uma rela¸ c˜ ao emp´ ırica para a distˆ ancia m´ edia dos planetas em torno do Sol foi proposta em 1770 por Johann Elert Bode (1747-1826) e Johann Daniel Titius (1729-1796) a= 2n × 3 + 4 10 com n = −∞ para Merc´ urio. Esta rela¸ c˜ ao indica que deve haver algum tipo de resonˆ ancia mecˆ anica no disco protoplanet´ ario que deu origem ao Sistema Solar.554 Apesar do grande sucesso de Cop´ ernico em determinar as distˆ ancias dos planetas ao Sol. as posi¸ c˜ oes previstas para os planetas nesse sistema n˜ ao eram melhores do que as posi¸ c˜ oes previstas no sistema de Ptolomeu.387 0. Netuno n˜ ao fita. e n=7 para Plut˜ ao.72 1 1. n=1 para a Terra.Planeta Merc´ urio Vˆ enus Terra Marte J´ upiter Saturno Cop´ ernico 0. n=5 para Saturno. 71 . n=3 para o cintur˜ ao de aster´ oides.22 9. e na simplicidade da explica¸ c˜ ao do movimento observado dos planetas no seu sistema.38 0.17 Moderno 0. n=4 para J´ upiter. n=0 para Vˆ enus.52 5.202 9.523 5. n=6 para Urano.723 1 1. 72 . nasceu o dinamarquˆ es Tycho Brahe (1546-1601). em 1597. seu sucessor se desentendeu com Tycho e retirou seus privil´ egios. Tycho. Assim.1 Tycho Trˆ es anos ap´ os a morte de Cop´ ernico. o movimento retr´ ogrado dos planetas). entretanto. Frederic II (1534-1588). Tycho contratou para ajud´ a-lo na an´ alise dos dados sobre os planetas. colhidos durante 20 anos. Em 1600 (um ano antes de sua morte). 73 . um jovem e h´ abil matem´ atico alem˜ ao chamado Johannes Kepler. com uma precis˜ ao em muitos casos melhor do que 1 minuto de arco (1/30 do diˆ ametro do Sol). em Praga. por´ em Cop´ ernico n˜ ao conseguiu prever as posi¸ c˜ oes dos planetas de forma precisa. o u ´ltimo grande astrˆ onomo observacional antes da inven¸ c˜ ao do telesc´ opio. Usando instrumentos fabricados por ele mesmo. O excelente trabalho de Tycho como observador lhe propiciou o patroc´ ınio do rei da Dinamarca. e assim Tycho pˆ ode construir seu pr´ oprio observat´ orio. nem conseguiu provar que a Terra estava em movimento. 10.Cap´ ıtulo 10 As leis de Kepler A Teoria Heliocˆ entrica conseguiu dar explica¸ c˜ oes mais simples e naturais para os fenˆ omenos observados (por exemplo. mas foram suas observa¸ c˜ oes dos planetas que levaram ` as leis de Kepler do movimento planet´ ario. Tycho Brahe n˜ ao acreditava na hip´ otese heliocˆ entrica de Cop´ ernico. Tycho fez extensas observa¸ c˜ oes das posi¸ c˜ oes de planetas e estrelas. foi trabalhar como astrˆ onomo da corte para o imperador da Boˆ emia. na ilha b´ altica de Hveen. for¸ cado a deixar a Dinamarca. Ap´ os a morte do rei. mas. Em 1594. Kepler. com a integridade que lhe era peculiar. Na Universidade. P um ponto sobre a elipse. por press˜ oes da Igreja Cat´ olica com a Contra-Reforma. ao tentar ajust´ a-la com um c´ ırculo. que era protestante. Sendo F e F os focos. a soma das distˆ ancias desse ponto aos dois focos ´ e constante. a cujo estudo se dedicou pelos vinte anos seguintes. conseguiu tra¸ car a ´ orbita da Terra. ent˜ ao. Mas sabendo que as observa¸ c˜ oes de Tycho n˜ ao poderiam ter um erro desse tamanho (apesar disso significar um erro de apenas 1/4 do tamanho do Sol). assim. e rapidamente descobriu que uma elipse ajustava muito bem os dados. descartou essa possibilidade. Kepler conseguiu determinar as diferentes posi¸ c˜ oes da Terra ap´ os cada per´ ıodo sideral de Marte e. 10.2. mas.1 Propriedades das elipses • Em qualquer ponto da curva. O planeta para o qual havia o maior n´ umero de dados era Marte.2 Kepler Johannes Kepler (1571-1630) estudou inicialmente para seguir carreira teol´ ogica. Kepler conseguiu tamb´ em determinar a ´ orbita de Marte.10. Ficou assim explicada tamb´ em a trajet´ oria quase circular da Terra. com o Sol um pouco afastado do centro. e a o seu semi-eixo maior. leu sobre os princ´ ıpios de Cop´ ernico e logo se tornou um entusi´ astico defensor do heliocentrismo. conseguiu um posto de professor de matem´ atica e astronomia em uma escola secund´ aria em Graz. Finalmente. isto ´ e. n˜ ao teve sucesso. foi expulso da cidade. Kepler. poucos anos depois. com o Sol afastado do centro. em certo ponto. Kepler “herdou” seu posto e seus dados. ´ na Austria. encontrou uma ´ orbita circular que concordava com as observa¸ c˜ oes com um erro de 8 minutos de arco. Ele continuou insistindo nessa tentativa por v´ arios anos e. para Praga trabalhar com Tycho Brahe. ent˜ ao: F P + F P = constante = 2a 74 . Quando Tycho morreu. A posi¸ c˜ ao do Sol coincidia com um dos focos da elipse. Verificou que essa ´ orbita era muito bem ajustada por um c´ ırculo excˆ entrico. e foi. passou ` a tentativa de representar a ´ orbita de Marte com uma oval. e o ponto mais distante ´ e chamado af´ elio.y a a b F c = ae F´ x a • Quanto maior a distˆ ancia entre os dois focos. com a = b + c . 75 . A distˆ ancia do peri´ elio ao foco (Rp ) ´ e: Rp = a − c = a − a · e = a(1 − e) e a distˆ ancia do af´ elio ao foco (Ra ) ´ e: Ra = a + c = a + a · e = a(1 + e) • Equa¸ c˜ ao da elipse em coordenadas polares Uma elipse ´ e por defini¸ c˜ ao um conjunto de pontos eq¨ uidistantes de dois focos separados por 2ae. a excentricidade ´ e definida por. e b o semi-eixo menor. o ponto da ´ orbita mais pr´ oximo do Sol ´ e chamado peri´ elio. e= c = a a2 − b2 a2 j´ a que quando o ponto est´ a exatamente sobre b temos um triˆ angulo 2 2 2 retˆ angulo. • Se imaginamos que um dos focos da ´ orbita do planeta ´ e ocupado pelo Sol. Sendo c a distˆ ancia do centro a cada foco. a o semi-eixo maior. maior ´ e a excentricidade (e) da elipse. onde a ´ e o semi-eixo maior e e a excentricidade. onde θ ´ e chamado de anomalia verdadeira. 76 . a2 (1 − e2 ) = ar(1 + e cos θ).y) r1 ae F c r θ 2b F´ x 2a Seja um ponto P(r. a(1 − e2 ) . (1 + e cos θ) (a) (b) r2 = (x − ae)2 + y 2 .y) sobre a elipse. r + r1 ≡ 2a.θ) ou P(x. 4a2 + r2 − 4ar = r2 + 4a2 e2 + 4rae cos θ. (2a − r)2 = r2 + 4a2 e2 + 4rae cos θ. e finalmente: r= ´ • Area da elipse Em coordenadas cartesianas: 2 r1 = (x + ae)2 + y 2 . Por defini¸ c˜ ao de elipse. Pela lei dos cossenos: 2 r1 = r2 + (2ae)2 + 2r (2ae) cos θ.y P(x. ou seja: r1 = 2a − r. Subtraindo-se (a) . y b 2 . temos a equa¸ c˜ ao de uma elipse em coordenadas cartesianas: x a ou x=a 1− A´ area da elipse ´ e dada por: b x 2 + y b 2 = 1. Substituindo-se y = b senz .θ) em θ = 90o . 77 . logo 1 − sen2 z = cos2 z . A=4 0 a 1− y b 2 dy. (c) Levando-se em conta que o semi-eixo menor ´ e dado por b2 = a2 (1 − e2 ). o que pode ser facilmente derivado pelo teorema de Pit´ agoras colocando-se o ponto P(r.(b) e usando r = 2a − r1 . como sen2 z + cos2 z = 1. A = πab. π/2 A = 4ab 0 1 − (senz )2 cos z dz e. temos: r1 = a + ex. e dy = b cos z dz. Como π/2 0 cos2 z dz = π/4. e substituindo-se (c) em (a). resulta: π/2 A = 4ab 0 cos2 z dz. A=4 0 b dy o dx. 2.000 1.387 0. Sendo P o per´ ıodo sideral do planeta.537 140. portanto.058 0. Lei harmˆ onica (1618): o quadrado do per´ ıodo orbital dos planetas ´ e diretamente proporcional ao cubo de sua distˆ ancia m´ edia ao Sol.534 Per´ ıodo (anos) 0.203 9. Essa lei estabelece que planetas com ´ orbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e.058 0.378 1. com o Sol em um dos focos.8 867.537 140. essa lei estabelece que a velocidade areal ´ e constante. a distˆ ancia do Sol ao planeta varia ao longo de sua ´ orbita. O significado f´ ısico dessa lei ´ e que a velocidade orbital n˜ ao ´ e uniforme. e K uma constante. mais devagar ele se move.000 1.10.615 1. mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta est´ a do Sol. Como conseq¨ uˆ encia da ´ orbita ser el´ ıptica. 3. podemos expressar a 3a lei como: P 2 = Ka3 Se medimos P em anos (o per´ ıodo sideral da Terra). Lei das ´ orbitas el´ ıpticas (1609): a ´ orbita de cada planeta ´ e uma elipse. isso implica que a for¸ ca entre o Sol e o planeta decresce com a distˆ ancia ao Sol. Planeta Merc´ urio Vˆ enus Terra Marte J´ upiter Saturno Semi-eixo Maior (UA) 0.378 1.881 11.456 a3 0.2.7 78 .9 P2 0. e podemos escrever a 3a lei como: P 2 = a3 A tabela a seguir mostra como fica a 3a Lei de Kepler para os planetas vis´ ıveis a olho nu.000 3.723 1.524 5. e a em unidades astronˆ omicas (a distˆ ancia m´ edia da Terra ao Sol). Lei da ´ areas (1609): a reta unindo o planeta ao Sol varre ´ areas iguais em tempos iguais.862 29.000 3.2 As trˆ es leis 1.7 867. ent˜ ao K = 1.241 0. a o semi-eixo maior da ´ orbita. Dizendo de outra maneira. que ´ e igual ` a distˆ ancia m´ edia do planeta ao Sol. Figura 10. Seus experimentos em mecˆ anica estabeleceram os conceitos de in´ ercia e de que a acelera¸ c˜ ao de corpos em queda livre n˜ ao depende de seu peso.1642). est´ a marcada por um pequeno c´ ırculo. A posi¸ c˜ ao do Sol. No entanto. na forma correta. no foco. n˜ ao cabe a Galileo o cr´ edito da inven¸ c˜ ao do telesc´ opio. Galileo come¸ cou suas observa¸ c˜ oes telesc´ opicas em 1610. 10.1: Embora as ´ orbitas dos planetas sejam elipses. as elipticidades s˜ ao t˜ ao pequenas que elas se parecem com c´ ırculos. usando um telesc´ opio constru´ ıdo por ele mesmo. Galileo foi o pai da moderna f´ ısica experimental e da astronomia telesc´ opica. pois o primeiro telesc´ opio foi patenteado pelo 79 . Nesta figura mostramos a elipse que descreve a ´ orbita da Terra em torno do Sol.3 Galileo Uma grande contribui¸ c˜ ao ao Modelo Heliocˆ entrico foi dado pelo italiano Galileo Galilei (1564 . que foram mais tarde incorporados ` as leis do movimento de Newton. no seu Siderius Nuncius. • descobriu que J´ upiter tinha quatro sat´ elites. Em seguida. e como Vˆ enus est´ a sempre pr´ oximo do Sol. publicou primeiro. ou luas. como: • descobriu que a Via L´ actea era constitu´ ıda por uma infinidade de estrelas. ele nunca poderia ter toda sua face iluminada voltada para n´ os e. Vˆ enus est´ a sempre mais pr´ oximo da Terra do que o Sol. Galileo soube dessa descoberta em 1609. Essa descoberta de Galileo foi particularmente importante porque mostrou que podia haver centros de movimento que. tamb´ em estavam em movimento e. fez v´ arias descobertas importantes. apontando o telesc´ opio para o c´ eu. • descobriu que Vˆ enus passa por um ciclo de fases. Europa. ele construiu outros instrumentos. em mar¸ co de 1610. Galileo. sem ter visto o telesc´ opio de Lippershey. o fato da Lua girar em torno da Terra n˜ ao implicava que a Terra estivesse parada. 1 80 . de Johannes Kepler. Ganimedes e Calisto . descobrindo-os independentemente em 7 e 13 de janeiro de 1610. assim como a Lua. portanto.2: Fases de Vˆ enus. Desde ent˜ ao. portanto. da mitologia. mais 35 sat´ elites foram descobertos em J´ upiter. por sua vez. em 1609. orbitando em torno dele. mas Galileo. e. construiu o seu pr´ oprio.holandˆ es Hans Lippershey. Essa descoberta tamb´ em foi fundamental porque. Esses sat´ elites s˜ ao chamados 1 “galileanos”. e o melhor tinha aumento de 30 vezes. seguindo sugest˜ ao. ^ Geocentrico ^ Heliocentrico Venus Venus Sol Terra Sol Terra Figura 10. deveria sempre aparecer O astrˆ onomo alem˜ ao Simon Marius (Mayr) (1573-1624) afirma ter descoberto os sat´ elites algumas semanas antes de Galileo. Os nomes dos sat´ elites foram dados por Marius em 1614. no sistema ptolemaico. e s˜ ao: Io. com per´ ıodo entre 2 e 17 dias. com aumento de 3 vezes. Galileo foi redimido em 1992. do ´ Indice de Livros Proibidos. assim como a Terra. As descobertas de Galileo proporcionaram grande quantidade de evidˆ encias em suporte ao sistema heliocˆ entrico. e n˜ ao revolve em torno da Terra. Somente em setembro de 1822. e pode ser tamb´ em um corpo celeste. Galileo concluiu que ele viaja ao redor do Sol. e que o Sol tamb´ em n˜ ao tem a superf´ ıcie lisa. passando ` as vezes pela frente dele e outras vezes por tr´ as dele. ele foi chamado a depor ante a Inquisi¸ c˜ ao Romana. quando a comiss˜ ao constitu´ ıda pelo Papa Jo˜ ao Paulo II [Karol Joseph Wojtyla (1920-2005)] reconheceu o erro do Vaticano. mas apresenta marcas. sob acusa¸ ca ˜o de heresia. o Santo Of´ ıcio decidiu retirar as suas obras. assim como as de Cop´ ernico e de Kepler. 81 . Portanto a Terra n˜ ao ´ e diferente dos outros corpos. Ao ver que Vˆ enus muitas vezes aparece em fase quase totalmente cheia. e as manchas do Sol. e obrigado a se retratar. provou que os corpos celestes n˜ ao s˜ ao esferas perfeitas. • descobriu a superf´ ıcie em relevo da Lua. Por causa disso. mas sim tˆ em irregularidades. Ao ver que a Lua tem cavidades e eleva¸ c˜ oes assim como a Terra.como nova ou crescente. 82 . um objeto em repouso permanece em repouso. A descri¸ c˜ ao est´ a contida nas suas 3 leis. que “um corpo que se move. ele continuar´ a em movimento. atrav´ es de experimentos. A for¸ ca l´ ıquida aplicada a um objeto 83 . continuar´ a em movimento a menos que uma for¸ ca seja aplicada e que o force a parar. Primeira Lei: In´ ercia. Galileo Galilei (1564–1642) descobriu. relaciona a mudan¸ ca de velocidade do objeto com a for¸ ca aplicada sobre ele.Cap´ ıtulo 11 Newton Estudando o movimento dos corpos. Sessenta anos depois.” Galileo argumentou que o movimento ´ e t˜ ao natural quanto o repouso. elaborada a partir de Galileo: em ausˆ encia de for¸ cas externas. que ´ e a sua propriedade que resiste ` a mudan¸ ca. que descobriu os sat´ elites de J´ upiter. chama-se in´ ercia. A medida da in´ ercia de um corpo ´ e seu momentum. um corpo que est´ a em repouso permanece em repouso. isto ´ e. e um objeto em movimento permanece em movimento. comunicou seus dados a Kepler. a menos que seja submetido a uma for¸ ca que o fa¸ ca mover-se. ficando em movimento retil´ ıneo e com velocidade constante. Newton definiu o momentum de um objeto como sendo proporcional ` a sua velocidade. a menos que seja submetido a uma for¸ ca que o fa¸ ca parar. Essa propriedade do corpo que resiste ` a mudan¸ ca. A constante de proporcionalidade. Lei. Se um objeto j´ a est´ a se movimentando. por´ em com a um valor da constante K diferente na 3 . Galileo. que verificou que eles obedeciam ` as Trˆ es Leis de Kepler. o inglˆ es Isaac Newton (1643-1727) foi quem deu uma explica¸ c˜ ao completa ao movimento e ` a forma como as for¸ cas atuam. ´ e a sua massa: p = mv = constante se F = 0 Segunda Lei: Lei da For¸ ca. com velocidade v1 na dire¸ c˜ ao DE. D v1 E G v1 v2 O t v. (mas publicado apenas em 1687. ele continuar´ a em movimento na dire¸ c˜ ao DE. lei de Newton. no Principia). de mesmo m´ odulo v. A acelera¸ c˜ ao ´ e na mesma dire¸ c˜ ao da for¸ ca. e est´ a com velocidade v2 . mas em outra dire¸ c˜ ao. e percorreu a distˆ ancia v × ∆t. que produz uma acelera¸ c˜ ao que for¸ ca a velocidade do planeta a mudar de dire¸ c˜ ao continuamente. Como foi que Newton descobriu a Lei da Gravita¸ c˜ ao Universal? Considerando o movimento da Lua em torno da Terra e as leis de Kepler. a part´ ıcula est´ a em G. em 1665. em 1673. se o objeto exerce uma for¸ ca sobre outro objeto. Pela 1a. Newton pˆ ode explicar o movimento dos planetas em torno do Sol. esse outro exerce uma for¸ ca igual e contr´ aria. Consideremos uma part´ ıcula que se move em um c´ ırculo. Ap´ os ∆t.´ e igual ` a massa do objeto vezes a acelera¸ c˜ ao causada ao corpo por essa for¸ ca. e independentemente Newton. F =m×a=m× dp dv = dt dt Terceira Lei: A¸ c˜ ao e Rea¸ c˜ ao. estabelece que. assumindo a hip´ otese de uma for¸ ca dirigida ao Sol. 84 dv . descreveram a acelera¸ c˜ ao centr´ ıpeta. No instante t a part´ ıcula est´ a em D.d r Acelera¸ c˜ ao em ´ orbitas circulares: o holandˆ es Christiaan Huygens (1629–1695). se n˜ ao existe uma for¸ ca agindo sobre o corpo. a acelera¸ c˜ ao: a= v2 ∆v = ∆t r Se a part´ ıcula tem massa m. θ tamb´ em ´ eoˆ angulo entre v1 e v2 : v ∆t ∆v θ= = r v e. and having found out how to estimate the force with which [a] globe revolving within a sphere presses the surface of the sphere. Christiaan Huygens (1629–1695). publicou o Oscillatorium Horologium. 1656 e Sistema Saturnia. e ´ e um exemplo da aplica¸ c˜ ao do c´ alculo diferencial. and found them answer pretty nearly. a dedu¸ c˜ ao ´ e v´ alida se ∆v e ∆t s˜ ao extremamente pequenos. no livro Dioptrice. era composto de uma lente convexa e uma lenta cˆ oncava. na verdade.” Em 1668. 1659). como se usa atualmente. o sat´ elite Titan de Saturno. usado atualmente em todos os observat´ orios profissionais. Newton construiu um telesc´ opio refletor. e que as “orelhas” de Saturno descobertas em 1610 eram. portanto. constru´ ıdo em 1609. 85 . Newton. A descoberta de Newton do efeito de um prisma separando um feixe de luz branca ´ e a base da espectroscopia. Em 1656. a for¸ ca central necess´ aria para produzir a acelera¸ c˜ ao ´ e: F =m v2 r Claramente. no qual explicou o movimento do pˆ endulo e descreveu a for¸ ca centr´ ıpeta. explicou que seria melhor construir um telesc´ opio com duas lentes convexas. an´ eis (De Saturni Luna Observatio Nova. Kepler. que foi desenvolvido pela primeira vez por Newton. publicado em 1611. como nos telesc´ opios refratores de Galileo e Kepler. Em 1673. com um espelho curvo ao inv´ es de uma lente. em 1655. inventou o rel´ ogio de pˆ endulo e o patenteou no ano seguinte. descreve como utilizou as Leis de Kepler para derivar a gravita¸ c˜ ao universal. como citado no pref´ acio do cat´ alogo dos Portsmouth Papers. I began to think of gravity extending to the orb of the Moon. descobriu. que tamb´ em constru´ ıa seus telesc´ opios. from Kepler’s Rule of the periodical times being in a sesquialterate proportion of their distances from the centers of their orbs I deduced that the forces which keep the Planets in their orbs must [be] reciprocally as the squares of their distances from the centers about which they revolve: and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her orb with the force of gravity as the surface of the earth.Seja θ o ˆ angulo entre o ponto D e o ponto G. Um pouco de hist´ oria Em sua pr´ oprias palavras. O telesc´ opio de Galileo. “In the year 1665. Lei de Kepler. uma ´ orbita circular. onde a constante K depende das unidades de P e r. que: F = GM m r2 onde G ´ e uma constante de proporcionalidade. nesse instante. a Terra exerce uma atra¸ c˜ ao sobre os objetos que est˜ ao sobre sua superf´ ıcie. que v2 = 1 4π 2 r2 4π 2 =⇒ v 2 ∝ . = 3 Kr Kr r 2πr 2πr =⇒ v = v P Seja m a massa do planeta e M a massa do Sol. ´ e dada por: F =m v2 . que mais tarde ser´ a generalizada para qualquer tipo de ´ orbita.11. lei de Newton. O mesmo acontece com o Sol e os planetas. Tanto o Sol quanto o planeta que se move em torno dele experimentam a mesma for¸ ca. Newton levantou a hip´ otese da existˆ encia de uma for¸ ca de atra¸ c˜ ao universal entre os corpos em qualquer parte do Universo. ent˜ ao. Newton se deu conta de que essa for¸ ca se estendia at´ e a Lua e produzia a acelera¸ c˜ ao centr´ ıpeta necess´ aria para manter a Lua em ´ orbita. P 2 = Kr3 . Ent˜ ao. ent˜ ao. o per´ ıodo P do planeta ´ e dado por: P = Pela 3a . Temos. r Assumindo. r2 e. o planeta exerce uma for¸ ca igual e contr´ aria sobre o Sol. de acordo com a 3a . A express˜ ao da for¸ ca centr´ ıpeta exercida pelo Sol no planeta pode. A for¸ ca centr´ ıpeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa m. r Newton deduziu. A for¸ ca centr´ ıpeta exercida pelo planeta sobre o Sol.1 Gravita¸ c˜ ao universal Obviamente. ser escrita como: F ∝ m . que se move com velocidade v a uma distˆ ancia r do Sol. de massa M ´ e dada por: M F ∝ 2. mas o Sol 86 . ent˜ ao. 11. F1 = F2 = FG = e 2 Gm1 m2 m1 v1 4π 2 m1 r1 = = (r1 + r2 )2 r1 P2 2 m1 v1 r1 2 m2 v2 r2 Gm1 m2 (r1 + r2 )2 2 2πr1 4π 2 r1 2 =⇒ v1 = P P2 2 Gm1 m2 m2 v2 4π 2 m2 r2 = = (r1 + r2 )2 r2 P2 Eliminando-se m1 na primeira e m2 na segunda e somando-se. para que a atra¸ c˜ ao universal seja correta.2 Deriva¸ c˜ ao da “constante” K Suponha dois corpos de massas m1 e m2 . A atra¸ c˜ ao gravitacional ´ e dada por: FG = e as for¸ cas centr´ ıpetas por: F1 = e F2 = Como: v1 = e o mesmo para m2 . respectivamente. (r1 + r2 )2 P2 87 . A constante de proporcionalidade G depende das unidades das massas e da distˆ ancia. e essa for¸ ca deve ser proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado de suas distˆ ancias. em ´ orbita circular em torno do centro de massa comum. deve existir uma for¸ ca atrativa entre pares de objetos em qualquer regi˜ ao do universo. com velocidades v1 e v2 . Newton. ent˜ ao. cuja distˆ ancia a cada um ´ e r1 e r2 .permanece aproximadamente no centro do sistema solar porque a massa do Sol ´ e aproximadamente mil vezes maior que a massa de todos os planetas somados. concluiu que. obtemos: G(m1 + m2 ) 4π 2 (r1 + r2 ) = . Mas. e temos ent˜ ao: 88 .1) . podemos escrever: M1 K1 = M2 K2 = . independente do planeta. Para estabelecermos a 3 a igualdade temos que introduzir a massa: (M + mp ) P2 a3 = (MJ + ms ) P2 a3 = constante J ou. e represen2 tando a raz˜ ao P pela letra K. considerando as massas dos planetas desprez´ aveis frente ` a massa do Sol.. definida como a raz˜ ao P a3 realmente se (m1 + m2 ) permanece constante.ou: P2 = 4π 2 (r1 + r2 )3 G(m1 + m2 ) Comparando essa express˜ ao com a forma original da 3a lei de Kepler: P 2 = Ka3 vemos que K= 4π 2 G(m1 + m2 ) 2 (11. temos: a3 M K = MJ KJ = constante Generalizando para quaisquer sistemas. Por exemplo. que portanto podemos considerar constante entre elas. n˜ ao percebeu a dependˆ encia com a massa. todos os sat´ elites de a3 P2 J´ upiter tˆ em praticamente a mesma raz˜ ao a3 = KJ .1 sabemos que o valor dessa constante ´ e 4G .. mas essa constante ´ e diferente da raz˜ ao P2 = K comum aos planetas do sistema solar. Isso ´ e o que acontece no caso dos planetas do sistema solar: como todos tˆ em massa muito menor do que a massa do Sol. s´ o´ e constante Isso nos diz que a “constante” K. = Mn Kn = constante onde Kn ´ e a raz˜ ao entre o quadrado do per´ ıodo e o cubo do semi-eixo maior da ´ orbita para os corpos do sistema de massa Mn . ao formular sua 3a lei. a soma da massa do Sol com a massa do planeta ´ e sempre aproximadamente a mesma. π2 Pela equa¸ c˜ ao 11.. se considerarmos sistemas onde os corpos principais s˜ ao diferentes. 2 ent˜ ao as raz˜ oes P ser˜ a o diferentes. e as massas dos sat´ elites desprez´ aveis frente ` a massa de J´ upiter. Por essa raz˜ ao Kepler. 673 × 10−11 N m2 /kg2 .3 Determina¸ c˜ ao de massas A terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton pode se escrita como: (M + m) = 4π 2 a3 G P2 (11.2) 11. G = 6.3) que nada mais ´ e do que a u ´ltima parte da equa¸ c˜ ao 11. em se tratando de sistemas nos quais o corpo maior ´ e uma estrela. Mas.. ou massas solares (massa do Sol = M ). 89 . ´ e mais conveniente expressar sua massa em unidades de massas da Terra (massa da Terra = M⊕ ). seu per´ ıodo em meses siderais e suas distˆ ancias relativas em termos da distˆ ancia entre Terra e Lua. Nesses casos. Em sistemas em que o corpo maior ´ e um planeta. muitas vezes ´ e mais conveniente adotar outras unidades que n˜ ao as do sistema internacional. costuma-se determinar suas massas em unidades de massa do Sol. seus per´ ıodos em anos e suas distˆ ancias entre si em unidades astronˆ omicas.. 67 × 10−11 m3 /(kg s2 ) e foi medida em laborat´ orio pelo f´ ısico inglˆ es Henry Cavendish (1731-1810) em 1798. Por exemplo. e a terceira lei de Kepler fica: M +m= a3 P2 a qual ´ e especialmente u ´til para a determina¸ c˜ ao de massas de corpos astronˆ omicos. em astronomia. = (M + m)n Kn = (11. muitos sistemas bin´ arios de estrelas. Em ambos os sistemas o valor de G ´ e 4π 2 . ou G = 6. onde foi substitu´ ıdo 2 K por P .. por exemplo. se se observa o per´ ıodo orbital e a distˆ ancia de um sat´ elite a seu planeta.. como.4 π2 G Existem casos de sistemas gravitacionais em que n˜ ao podemos desprezar a massa de nenhum corpo frente ` a do outro. a3 No sistema internacional de unidades. ´ e mais correto escrever: M1 K1 = M2 K2 = .2... pode-se calcular a massa combinada do planeta e do sat´ elite. Por exemplo. = Mn Kn = 4 π2 G (M + m)1 K1 = (M + m)2 K2 = . Da mesma forma. (a) Uma maneira de resolver o problema ´ e compararando os parˆ ametros da ´ orbita de Deimos em torno de Marte com os parˆ ametros da ´ orbita da Lua em torno da Terra. 262 dias aL = 384 000 km 90 PL PD 2 aD aL 3 . Exemplo 1: Deimos. Qual a massa de Marte? Podemos resolver este problema de diversas maneiras. Ent˜ ao: (PL )2 /(aL )3 MM a = = M⊕ (PD )2 /(aD )3 Sabendo que: PL = 27. tem per´ ıodo sideral de 1. observando-se o tamanho da ´ orbita de uma estrela dupla. Desprezando a massa de Deimos e da Lua frente ` as massas de seus respectivos planetas. 32 dias PD = 1. Aqui vamos mostrar algumas delas.262 dias e uma distˆ ancia m´ edia ao centro de Marte de 23500 km. Calculando a massa de Marte diretamente em massas terrestres. pode-se deduzir as massas das estrelas no sistema bin´ ario. De fato. Deimos = D. sem introduzir o valor da constante. a massa calculada (m + M ) ´ e essencialmente a massa do planeta (M ). Como a massa do sat´ elite ´ e muito pequena comparada com a massa do planeta. e o seu per´ ıodo orbital. Terra = ⊕ e Lua = L). podemos escrever: MM a KM a = M⊕ K⊕ sendo KM a = (PD )2 /(aD )3 e K⊕ = (PL )2 /(aL )3 . o menor dos 2 sat´ elites de Marte. (Vamos usar a nota¸ c˜ ao: Marte = Ma. 1.em massas solares ou massas terrestres. pode-se usar a terceira lei de Kepler na forma revisada por Newton para estimar a massa de nossa Gal´ axia e de outras gal´ axias. Calculando diretamente a massa de Marte em massas solares (M ).3). 1 × 10−2 dTL G = 4π 2 (dTL )3 /(M⊕ meses2 ) =⇒ Temos: MM a = 6. 262/27. 62 × 10−2 )2 M⊕ =⇒ MM a = 0. 1 × 10−2 3 4π 2 = 1 (M⊕ meses2 )/(dTL )3 G (4. 32 dias 1. e os per´ ıodos em termos do per´ ıodo da Lua. as massas em massas terrestres. massa terrestre (M⊕ ). 1 M⊕ 2. usando o sistema de unidades [distˆ ancia T-L (dTL ). ou seja. escrevendo as distˆ ancias em termos da distˆ ancia Terra-Lua. 32) meses = 4.aD = 23 500 km Temos: MM a = M⊕ 27. mˆ es sideral (mes)]: MM a + mD MM a 4π 2 (aD )3 = G (PD )2 Fazendo as transforma¸ c˜ oes de unidades: PD = (1. 1 M⊕ (b) Podemos chegar ao mesmo resultado usando a express˜ ao formal da 3a lei de Kepler (equa¸ c˜ ao 11. 1 MM a = 0. 62 × 10−2 meses aD = (23500/384000) dTL = 6. (a) Compararando o movimento de Deimos em torno de Marte com o movimento da Terra em torno do Sol: MM a KM a = M K onde K = (P⊕ )2 /(a⊕ )3 e KM a = (PD )2 /(aD )3 Ent˜ ao: MM a (P⊕ )2 /(a⊕ )3 = = M (PD )2 /(aD )3 91 P⊕ PD 2 aD a⊕ 3 . 262 dias 2 3 23500 km 384000 km = 0. 262 dias = 1. M . kg. 25) anos = 3. 09 × 105 s aD = 23 500 km = 2. 35 × 105 m G = 6. 35 × 104 /1. 25 dias 1. 5 × 108 km = 3. 67 × 10−11 m3 /(kg s2 ) 92 . 2 × 10−7 M (3. 35 × 104 km Temos: MM a = M 365. 262 dias a⊕ = 1. ou seja. s] MM a + mD MM a = 4π 2 (aD )3 G (PD )2 Escrevendo todos os dados em unidades do sistema internacional: PD = 1. 25 dias PD = 1. 2 × 10−7 M (b) Usando a equa¸ c˜ ao 11. 57 × 10−4 ) M =⇒ MM a = 3. 2 × 10−7 MM a = 3. 57 × 10−4 UA G = 4π 2 UA3 /(M ano2 ) =⇒ 4π 2 /G = 1 (M ano2 )/UA3 Temos: MM a = (1. 262/365. 5 × 108 ) UA = 1. Calculando diretamente a massa de Marte em quilogramas. 46 × 10−3 )2 3 3.Sabendo que: P⊕ = 365. 46 × 10−3 anos aD = (2. 5 × 108 km aD = 2. ano] 4π 2 aD 3 MM a + mD MM a = G PD 2 Fazendo a transforma¸ c˜ ao de unidades: PD = (1. 35 × 104 km 1. usando os sistema internacional [m. 262 dias 2 3 2.3 e adotando o sistema de unidades [UA. 67 × 10−11 m3 (1. 001 = 0. Qual o per´ ıodo de revolu¸ c˜ ao das estrelas? 2M = (0. 09 × 105 s)2 MM a = 6. 022 anos 2 93 . 35 × 105 m) 6. 1U A)3 =⇒ P = P2 0.Temos: MM a = 4π 2 kg s2 (2. 4 × 1023 kg 3 Exemplo 2: Duas estrelas idˆ enticas ao Sol giram uma em torno da outra a uma distˆ ancia de 0.1 UA. 94 . derivada por Newton ´ e dada por: F = −G Mm r r2 r z’ z m rm r y y’ rM M x x’ 95 . separadas por r. que relaciona a for¸ ca entre duas massas M e m.Cap´ ıtulo 12 Leis de Kepler generalizadas A lei da gravita¸ c˜ ao universal. Apli¨). Essas equa¸ c˜ oes podem ser escritas como: ¨m = − GM r.1 Equa¸ c˜ ao do movimento dr ˙ ≡v≡r dt d2 r ¨ ≡a≡r dt2 Vamos utilizar a nomenclatura: Na verdade. r r3 ¨M = Gm r. r r3 Subtraindo-se essas duas equa¸ c˜ oes: ¨ = − G(M + m) r. r3 . ¨M = G Mr onde r = rm − rM . mr r3 e pela lei da a¸ c˜ ao e rea¸ c˜ ao. x ˙≡ dx dt Da lei da gravita¸ c˜ ao de Newton se pode derivar as leis de Kepler.12. podemos escrever: ¨ + µ r = 0. r r3 96 (1) Mm r. cando-se a lei da gravita¸ c˜ ao e a segunda lei do movimento (F = m · r temos: ¨m = −G M m r. qualquer que seja a vari´ avel x. r r3 Definindo-se µ = G(m + M ). e rm e rM s˜ ao os vetores posi¸ c˜ ao de m e M com rela¸ c˜ ao a um sistema inercial. poderemos calcular sua posi¸ c˜ ao e velocidade em qualquer outro tempo. se soubermos a posi¸ c˜ ao tridimensional e a velocidade de um planeta num certo tempo. Como a equa¸ c˜ ao ´ e diferencial vetorial de segunda ordem. etc). cometa. imediatamente.2 Conserva¸ c˜ ao da energia total do sistema ˙ temos: Multiplicando-se a equa¸ c˜ ao (1) escalarmente por r ˙·r ¨+ µ r · r ˙ = 0. dt 2 r de onde se conclui. e ainda que: d dt e ent˜ ao: v2 2 = v v. 2 r que ´ e a equa¸ c˜ ao de energia do sistema ( = energia por unidade de massa). isto ´ e. A solu¸ c˜ ao dessa equa¸ c˜ ao nos d´ aa´ orbita relativa dos corpos (planeta. sat´ elite. Por exemplo. ˙ d µ µrr ˙ µr ˙r =− 2 =− 3 . que: 1 2 µ v − = = constante. 12. Nossa solu¸ c˜ ao envolve demonstrar que a conserva¸ c˜ ao da energia e do momentum angular s˜ ao conseq¨ uˆ encias das leis de Newton. precisamos de seis constantes para obter a solu¸ c˜ ao. dt r r r r d 1 2 µ v − = 0. 97 . r r3 ˙ev ˙ =r ¨. temos: Como v = r ˙ + µr·r ˙ = 0. a solu¸ c˜ ao descreve como o raio vetor r varia com o tempo. (2) 2 r 1 2 G(m + M ) v − = = constante. mas sua solu¸ c˜ ao n˜ ao ´ e simples. envolve segunda derivada de vetores.Essa ´ e a equa¸ c˜ ao diferencial vetorial do movimento relativo de dois corpos. Em princ´ ıpio. v·v r3 Seja α o ˆ angulo entre o raio vetor e a velocidade: ˙ = r v cos α r·r ˙·r ¨= vv r ˙ cos(−α) Tendo em vista que cos(−α) = cos α. ent˜ ao: µ µ µ ˙ )r = µ v − µ (r · r ˙ ) r. (r × r dt ou o termo entre parˆ enteses deve ser uma constante. que vamos chamar de momentum angular.3 Conserva¸ c˜ ao do momentum angular Multiplicando-se vetorialmente a equa¸ c˜ ao de movimento (1) por r pela esquerda. r3 r Como (a × b) × c = (a · c)b − a(b · c). temos ¨ = 0. ´ e sempre perpendicular ao movimento. A parte da direita de (4) pode ser escrita como: µ µ (h × r) = 3 (r × v ) × r. h ´ e o momentum angular por unidade de massa. temos: ¨ + µ r × r = 0. a equa¸ Como r c˜ ao acima implica d ˙ ) = 0. r×r r3 Como r × r ≡ 0. (r × v ) × r = 3 v r2 − 3 (r · r 3 r r r r r3 98 .4 Primeira lei de Kepler: Lei das ´ orbitas ¨ × h = µ (h × r) r r3 Multiplicando-se vetorialmente a equa¸ c˜ ao (1) por h: (4) j´ a levando-se em conta que: a × b = −b × a. por sua defini¸ c˜ ao (3). Note que h. r×r Mas d ˙) = r ˙×r ˙ + r × r. ¨ (r × r dt ˙×r ˙ ≡ 0. o vetor momentum angular.12. (r × r (3) Essa ´ e a lei da conserva¸ c˜ ao do momentum angular. 12. h: ˙ ) = h = constante. r×h =µ dt dt r ou seja. At´ e agora. µ d h×r =µ 3 r dt O lado esquerdo da equa¸ c˜ ao (4) pode ser escrito como: ¨× h = d r ˙×h . r dt d ˙ ˙ ¨× h + r ˙×h r×h =r dt ˙ e como h ´ e constante. r r onde β ´ e um vetor constante. e um escalar constante. como veremos a seguir. junto com r. r·r r Como a × b · c = a · b × c. A equa¸ c˜ ao (4) pode. Multiplicando-se escalarmente por r. h = 0. Como h ´ e perpendicular ao plano da ´ orbita. elas n˜ ao s˜ ao todas independentes. de modo que β tamb´ em. . h e β . como β est´ a no plano da ´ orbita. e h em um plano perpendicular a este. e r × r h2 = µ r + β r cos γ 99 j´ a que: . Entretanto.Como µ ent˜ ao: d dt r r = µ µ ˙ r. β est´ a na dire¸ c˜ ao do pericentro. ˙ × h est´ r a no plano da ´ orbita. ser escrita como: d ˙ d r . integrando-se sobre t: ˙ × h = µ r + β. de modo que j´ a temos sete integrais. encontramos dois vetores constantes. ˙ · h = µ r2 + β r cos γ. Por exemplo. β · h = 0. temos: ˙ × h = µ r · r + β · r. r×r r ˙ = h. v− 3 r·r r r r r . Na verdade. temos: onde γ ´ eoˆ angulo entre r e β . portanto. 190 a.c. e ´ e a excentricidade e θ ´ eoˆ angulo entre o foco e o vetor posi¸ c˜ ao r. e a ´ orbita ´ e uma elipse. para β/µ < 1 o movimento ´ e finito. 100 . isto ´ e. 262 a.) em 200 a. Essa ´ e a equa¸ c˜ ao de uma cˆ onica com foco na origem: p r= 1 + e cos θ onde p ´ e chamado de semi-lactus rectum..C.C.C. Somente Figura 12. provando que β aponta na dire¸ c˜ ao do pericentro. na dire¸ c˜ ao de β . Note que r ´ e m´ ınimo quando γ = 0. finalmente: r= 1+ β cos γ µ h2 µ β µ cos γ que ´ e a equa¸ c˜ ao da trajet´ oria.ou h2 = r µ 1 + e.1: Componentes de uma cˆ onica. As cˆ onicas foram estudadas pelo matem´ atico grego Apolˆ onio de Perga (c. mas as vezes dos cometas e aster´ oides. e θ = γ ´ eoˆ angulo entre o ponto da elipse mais pr´ oximo do foco (pericentro) e o vetor posi¸ c˜ ao r. µ β 2 = v 2 h2 + µ2 − 2 h2 . r e 2 2 2 Como e = β µ . pela defini¸ c˜ ao do momentum angular h: ˙ × h| = |r ˙ ||h| → ((r ˙ × h) · (r |r ˙ × h) = v 2 h2 . Da equa¸ c˜ ao que introduziu β temos: e= ˙ × h − µ r. β=r r ˙ × h) · (r ˙ × h) + µ2 r · r − 2(r ˙ × h) · µ r. o que n˜ ao ´ e o caso dos planetas. Se e = 1 o corpo se move em uma par´ abola.Lembrando que µ = G(m + M ). isto ´ e. β = µ e . . µ β . como diz a primeira lei de Kepler. µ p´ e o semi-lactus rectum. o movimento ´ e infinito. Se e = β/µ ≥ 1. de modo que: Mas [r ˙ × h · r ] = −[ h × r ˙ · r] = [h · r ˙ × r ]. n˜ ao se repete. e comparando com a equa¸ c˜ ao da elipse r= a(1 − e2 ) 1 + e cos θ vemos que a equa¸ c˜ ao da trajet´ oria descreve uma elipse com: h2 ≡ p = a(1 − e2 ). e como r ˙ × r = h. β 2 = (r 2 r r Como r ˙´ e perpendicular a h. logo: µ µ2 e2 − µ2 = v 2 h2 − 2 h2 = 2h2 r 101 v2 µ − 2 r = 2h2 . Essa ´ e a demonstra¸ c˜ ao de que a ´ orbita ´ e el´ ıptica. r µ β 2 = v 2 h2 + µ2 − 2 [r ˙ × h · r ]. e se e > 1 em uma hip´ erbole. e ´ e a excentricidade da elipse. ou seja: µ2 2 (e − 1) 2h2 Dessa forma. Resumindo.5 Segunda lei de Kepler: Lei das ´ areas A partir da conserva¸ c˜ ao do momentum angular (3). onde e ˆΦ ´ e o vetor unit´ ario na dire¸ c˜ ao de Φ e e ˆr o vetor unit´ ario na dire¸ c˜ ao de r. sua trajet´ oria ser´ a circular ou el´ ıptica. par´ abola ou hip´ erbole. a lei das ´ orbitas el´ ıpticas dos planetas ´ e uma conseq¨ uˆ encia do tipo de for¸ ca que atua entre os planetas e o Sol. como ´ e o caso de alguns cometas e aster´ oides. elipse. fica provado que a excentricidade depende da energia do sistema. δt 2 δt 102 . Um c´ ırculo pode ser pensado como uma elipse com e = 0 e a = b. O elemento de ´ area nesse intervalo de tempo ´ e: δA = ou r · rδ Φ . v = dr/dt = r dΦ/dt e ˆΦ + dr/dte ˆr . segue que ˙ = constante h = r2 Φ Sejam P1 e P2 duas posi¸ c˜ oes sucessivas do corpo num intervalo δt. e escrevendo em coordenadas polares. µ2 (e2 − 1) = 2h2 → = 12. Newton mostrou que as u ´nicas ´ orbitas poss´ ıveis para um corpo interagindo gravitacionalmente com outro s˜ ao as sec¸ c˜ oes cˆ onicas: c´ ırculo. h = r × v. se o movimento n˜ ao for peri´ odico. como os planetas. 2 δA r2 δ Φ = . a trajet´ oria ser´ a parab´ olica ou hiperb´ olica. e ˆΦ ) |r × v | = h = r · r dt Como e ˆr e e ˆΦ s˜ ao perpendiculares entre si. O fator decisivo sobre o tipo de ´ orbita ´ e a energia do sistema. Logo dΦ · sen(ˆ er . Se o corpo tiver movimento peri´ odico. Uma par´ abola pode ser pensada como uma elipse com e = 1 e a = ∞. Uma hip´ erbole pode ser pensada como uma elipse com e > 1 e a < 0. A lei das ´ areas de Kepler ´ e.2: Trajet´ oria em coordenadas esf´ ericas. ˙ dA r2 Φ h = = . 12. . portanto. um conseq¨ uˆ encia direta da lei de conserva¸ c˜ ao do momentum angular. que ´ e a lei das ´ areas. dA/dt ´ e uma constante. onde A ´ ea´ area. a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor. Para δt → 0. e b = a 1 − e2 103 1 2 . dt 2 2 (5) Como a conserva¸ c˜ ao do momentum angular (3) prova que h ´ e uma constante.P2 φ rd P 1 dφ r φ Figura 12.6 Terceira lei de Kepler: Lei harmˆ onica Duas rela¸ c˜ oes das elipses s˜ ao: A = πab. 12.a lei de Kepler. No peri´ elio: rp = a(1 − e). generalizada por Newton.7 A equa¸ c˜ ao da energia Podemos derivar a equa¸ c˜ ao da energia calculando-se o valor do momentum angular e da energia no peri´ elio. da soma das massas dos corpos. essa soma ´ e praticamente igual ` a massa do Sol e. No caso dos planetas do sistema solar. Essa ´ e a terceira lei de Kepler. temos: dA = Integrando-se sobre um per´ ıodo. πab = h P. j´ a que s˜ ao constantes. (5). que orbitam o Sol. 104 . e a defini¸ c˜ ao do semi-lactus rectum. b=a 1−e Elevando-se (6) ao quadrado: h2 2 a P π 2 a2 h2 = µ 4 ou P2 = 4π 2 a3 µ 2 1 2 = (pa) = 1 2 ah2 µ 1 2 . 2 (6) h dt. portanto. na forma derivada por Newton ´ e usada para determinar massas de corpos astronˆ omicos. 2 Substituindo-se b acima. P.Da lei das ´ areas.2. A “constante” de Kepler depende. vimos como a 3. Na sec¸ c˜ ao 11. aproximadamente constante. P2 = 4π 2 a3 G(m + M ) (7) Dessa forma fica demonstrado que as tres leis de Kepler podem ser deduzidas das leis de Newton. portanto. temos: = 1 µ a(1 − e2 ) µ (1 + e) −µ = −1 .h = rp vp . temos h2 = µ p = µ a(1 − e2 ) Substituindo-se h e rp em . 2a (1 − e) 2a (1 − e) =− µ 2a (8) que ´ e v´ alido para qualquer ´ orbita cˆ onica e mostra que o semi-eixo maior da ´ orbita s´ o depende da energia do sistema. a(1 − e) 2a(1 − e) a(1 − e) 2 pois (1 − e)(1 + e) = 1 − e2 . p= h2 h2 /µ = a(1 − e2 ) ⇒ a = µ (1 − e2 ) elipse par´ abola hip´ erbole. Para a energia (2). Como a energia ´ e definida por (8). j´ a que r e v s˜ ao perpendiculares entre si. =− µ2 (1 − e2 ) µ =− 2a 2h2 Escrevendo a excentricidade em termos da energia: − 2h2 2h2 = 1 − e2 ⇒ e2 = 1 + 2 2 µ µ 105 . <0⇒a>0 =0⇒a=∞ >0⇒a<0 Da defini¸ c˜ ao de semi-lactus rectum p. 2rp Por outro lado. da defini¸ c˜ ao do semi-lactus rectum. = µ (1 + e − 2) µ (1 − e) =− . temos: = v2 µ h2 µ 1 − = 2− = 2 r 2rp rp rp h2 −µ . 2r r 2r 2r 12.2 Velocidade de escape Da equa¸ c˜ ao de velocidade se pode deduzir facilmente a velocidade de escape do sistema. 12. aquela com a qual o corpo chega com velocidade zero no infinito (v = 0 em r = ∞). por defini¸ c˜ ao. Essa velocidade ´ e. vemos que a energia total ´ e negativa. se: 1+ 2h2 .1 Velocidade circular Na ´ orbita circular a ≡ r. Assim.7. j´ a que = 0.7. o que representa um ´ orbita parab´ olica. uma ´ orbita parab´ olica pode ser considerada uma ´ orbita el´ ıptica com e = 1 e a = ∞. = 2 vesc µ − = 0 ⇒ vesc = 2 r 2µ = r 106 2G(M + m) √ = 2vcirc r . que representa a velocidade m´ ınima para que o corpo escape da atra¸ c˜ ao gravitacional do sistema. vemos que =− logo v= µ 2 1 − r a µ v2 µ = − . Nesse caso. µ2 elipse par´ abola hip´ erbole. j´ a que: = µ µ µ G(M + m) − =− =− < 0.e= Logo. e substituindo na equa¸ c˜ ao da velocidade temos: vcirc = µ 2 1 − r r = µ r Para um ´ orbita circular. <0⇒e<1 =0⇒e=1 >0⇒e>1 Das equa¸ c˜ oes (2) e (8). 2a 2 r que ´ e a equa¸ c˜ ao da velocidade do sistema. 1 O momento de quadrupolo da Terra e da Lua causam perturba¸ co ˜es tanto perpendiculares ao plano da ´ orbita quanto radiais. a energia total ´ e positiva. e a velocidade chama-se velocidade de escape. r 2) o semi-eixo do planet´ oide 1982RA ´ e de 1. Halley. os planetas interferem entre si. portanto.7. 12. mesmo para s´ o dois corpos macrosc´ opicos. pois nem a Terra nem a Lua s˜ ao esferas perfeitas e. r 2GM = 40 km/s. at´ e aqui. logo: = 2 µ vesc − = 0 → vesc = 2 r 2µ = r 2G(m + M ) .7. a solu¸ c˜ ao de dois corpos n˜ ao ´ e exata. seu efeito pode ser calculado pelo m´ etodo das pertuba¸ c˜ oes.2 vezes mais distante do que o Sol.17 UA. Ainda assim. Para a ´ orbita da Terra em torno do Sol. perturbando a ´ orbita dos outros. 12. vesc . pois a ´ orbita n˜ ao pode ser resolvida analiticamente. suas ´ orbitas n˜ ao se desviam muito das cˆ onicas. a energia cin´ etica ´ e t˜ ao grande que a part´ ıcula pode escapar do sistema e se afastar dele. A par´ abola ´ e o caso-limite entre a ´ orbita fechada (elipse) e a hip´ erbole. verificou que v´ arios cometas tˆ em ´ orbita parab´ olica. Qual foi sua velocidade em 8 de outubro de 1982.3 Problema de muitos corpos Assumimos. como a massa do Sol ´ e 1047 vezes maior que a massa de J´ upiter e J´ upiter est´ a 5.4 Exemplos 1) O Cometa Austin (1982g) se move em uma ´ orbita parab´ olica. Mais ainda. Na realidade. 107 . quando estava a 1.568UA e sua distˆ ancia ao Sol em 8 de outubro de 1982 era de 1.1 UA do Sol? Como a ´ orbita ´ e parab´ olica. que a ´ orbita ´ e um problema de dois corpos. devido ` as mar´ es. Al´ em disso. n˜ ao se comportam como massas pontuais. Qual era sua velocidade? vesc = =− µ v2 µ µ → = − =− →v= 2a 2 r 2a µ 2 1 − r a = 31 km/s. = 0.Para um ´ orbita hiperb´ olica. a for¸ ca gravitacional de J´ upiter sobre a Terra ´ e 28 000 vezes menor que a do Sol e. a Terra e a Lua n˜ ao s˜ ao sequer r´ ıgidas1 . com a Terra e a Lua. s´ o que os elementos da ´ orbita variam com o tempo e precisam ser calculados por aproxima¸ c˜ oes sucessivas. usando o m´ etodo de Newton. portanto. lan¸ cado pela Uni˜ ao Sovi´ etica em 1957. v= µ r a mas para uma ´ orbita circular r=a. Desses. G(MT + mC ) 108 GMT = 7. cerca de 8000 fragmentos maiores s˜ ao monitorados aqui da Terra. Como o raio da Terra ´ e RT = 6370 km. mais de 3800 foguetes e 4600 sat´ elites artificiais foram lan¸ cados da Terra. r . que n˜ ao podem ser detectados por radares aqui na Terra. Usando a Terceira Lei de Kepler. porque podem causar s´ erios danos ` as naves e sat´ elites. permanece posicionado sobre um mesmo local da Terra. dando origem a mais de 100 000 fragmentos. 5 km/s. ms 4π 2 a3 G(MT + ms ) MT . 98 × 1024 kg. ent˜ ao a altura ser´ a a − RT = 42 172 km . isto ´ e. temos: 1 3 P 2 GMT a= 4π 2 = 42172 km. P2 = com MT = 5. G = 6. ent˜ ao seu per´ ıodo orbital tem que ser igual a um dia sideral = 23h 56m = 86 160 segundos. tripulados ou n˜ ao. 4) Qual ´ e a velocidade de um sat´ elite em ´ orbita circular a 300 km de altura sobre a Terra? 2 1 − . Esses fragmentos constituem o lixo espacial. 67 × 10−11 N · m2 /kg2 . de modo que: vcirc = Como r= 300 km + RT = 6670 km: vcirc = Qual ´ e o per´ ıodo orbital? P2 = 4π 2 a3 = 90 min. o Sputnick. r µ . Muitos explodiram.Sat´ elites artificiais Desde o primeiro sat´ elite artificial. 3) Qual ´ e a altura de um sat´ elite geoestacion´ ario? Se o sat´ elite ´ e geoestacion´ ario. menores que 10 cm.6370 km = 35 800 km. mais de 500 est˜ ao em funcionamento. portanto.52 UA 1 UA O semi-eixo maior a da ´ orbita do nave ´ e rP + rA = 1. Qual a velocidade de lan¸ camento? v= µ 2 1 − . v= 1 ano s´ o precisamos lan¸ car a nave com 3 km/s. Considerando-se que a Terra orbita o Sol com velocidade de: 2π · 1UA = 30 km/s. 109 . qual ´ e o tempo de viagem? 1. na mesma dire¸ c˜ ao da ´ orbita da Terra. Logo v= 33 km/s. 2 Proposta pelo engenheiro alem˜ ao Walter Hohmann (1880-1945) em 1925. 26 UA a= 2 e. ´ e aquela que tem uma distˆ ancia no peri´ elio de 1UA (a da ´ orbita da Terra) e uma distˆ ancia de af´ elio de 1. de 8.5) Considerando que a ´ orbita de menor energia para lan¸ camento de uma 2 nave a Marte. conhecida como transferˆ encia de Hohmann . r a e r=1 UA. Note que o lan¸ camento da nave tem de ser bem programado para que Marte esteja na posi¸ c˜ ao da ´ orbita que a nave chegar´ a. 41 anos G(M + mn ) O tempo de viagem ser´ a metade do per´ ıodo orbital. seu per´ ıodo ´ e: P2 = 4π 2 a3 −→ P = 1. portanto.5 meses.52 UA (a da ´ orbita de Marte). 110 . j´ a que nem a luz escapa dele. e nada pode ter velocidade maior do que a velocidade da luz. se uma estrela tivesse massa suficiente.6) Qual ´ e o semi-eixo maior da ´ orbita de um sat´ elite lan¸ cado a 300 km de altura com uma velocidade de 10 km/s? v= µ 2 1 − r a eliminado a. obtemos a = 3. o tamanho da regi˜ ao. 67 · 10−11 N m2 kg−2 · 5. 17 RT . e o raio ´ e chamado de Raio de Schwarzschild. da qual nada escapa. ou raio do horizonte de eventos: RSchw = RSchw = 2GM c2 2GM = 3 km c2 Embora o termo buraco negro s´ o tenha sido introduzido em 1967 por John Archibald Wheeler (1911-2008). 2 km/s 6 370 000 m Buraco Negro 8) Qual ´ e o raio de um buraco negro com a massa igual ` a massa do Sol? Um buraco negro tem velocidade de escape igual a c. em volta da singularidade. isto ´ e. Ent˜ ao. 7) Qual ´ e a velocidade necess´ aria para um sat´ elite artificial escapar o campo gravitacional da Terra? Como a massa do sat´ elite pode ser desprezada em rela¸ c˜ ao ` a massa da Terra: ⊗ vesc = 2GM⊗ = R⊗ 2 · 6. 95 · 1024 kg = 11. vesc = 2GM R = c. Karl Schwarzschild (1873-1916). a velocidade da luz. a for¸ ca gravitacional impediria a luz de escapar. em 1916 resolveu as equa¸ c˜ oes da Relatividade Geral de Albert Einstein (18791955) e derivou corretamente o raio do horizonte de eventos. em 1783 o inglˆ es John Michell (17241793) j´ a tinha proposto que. os corpos na maioria das vezes n˜ ao s˜ ao perfeitamente esf´ ericos. A principal contribui¸ c˜ ao ` a n˜ ao-esfericidade em planetas ´ e a sua rota¸ ca ˜o. Na natureza. M F 1 F2 m1 m2 F-F 2 1 m2 M F-F 1 2 m1 A for¸ ca diferencial ∆F = F1 − F2 tende a separar as duas part´ ıculas m1 e m2 pois. em rela¸ c˜ ao ao centro de massa. A for¸ ca total exercida sobre uma part´ ıcula ser´ a: Ftotal = Fcentro de massa + dF A for¸ ca gravitacional diferencial ´ e a diferen¸ ca entre as for¸ cas gravitacionais exercidas em duas part´ ıculas vizinhas por um terceiro corpo. mais distante.Cap´ ıtulo 13 For¸ cas gravitacionais diferenciais Corpos com simetria esf´ erica agem. Outra contribui¸ c˜ ao ´ e proporcionada pelas for¸ cas gravitacionais diferenciais que corpos vizinhos exercem uns nos outros. gravitacionalmente. como massas pontuais. no entanto. as duas se afastam. A figura a seguir ilustra a for¸ ca diferencial entre as part´ ıculas m1 e m2 devido ` a atra¸ c˜ ao gravitacional do corpo M . Se as duas 111 . para as quais as influˆ encias gravitacionais s˜ ao facilmente calculadas. Essas for¸ cas diferenciais resultam em fenˆ omenos como mar´ es e precess˜ ao. part´ ıculas s˜ ao parte do mesmo corpo. O valor de ∆F ser´ a: ∆F = F1 − F2 Sendo: F1 = e F2 = Temos que: F1 − F2 = GM m1 m2 2 − r2 (r − R) r2 − (r − R)2 r2 (r − R)2 GM m1 (r − R)2 GM m2 r2 Fazendo m1 = m2 = m. 2r − R for¸ ca diferencial fica: 2r. e 1 − 2R r + R2 r2 1. a for¸ ca diferencial tende a along´ a-lo ou mesmo rompˆ e-lo. a express˜ ao da 2GM m R r3 Podemos chegar a esse mesmo resultado derivando a Lei de Gravita¸ c˜ ao Universal: GM m F =− r2 Ent˜ ao: 2GM m dF = dr r3 ∆F = 112 . Chamemos de R a distˆ ancia entre as duas part´ ıculas.1 Dedu¸ c˜ ao da for¸ ca diferencial Considere as duas part´ ıculas da figura anterior. 13. e de r a distˆ ancia de M ` a part´ ıcula m2 . Portanto. podemos escrever: F1 − F2 = GM m = GM m 2rR − R2 r4 − 2Rr3 + r2 R2   2r − R  = GM mR  2 R r4 1 − 2r +R r2 Para r >> R. r3 ´ basicamente. e a atra¸ c˜ ao gravitacional sentida no lado da Terra que est´ a mais distante da Lua ´ e menor do que a sentida no centro da Terra. Como a Terra n˜ ao ´ e completamente coberta de ´ agua. na Terra.2 Mar´ es As mar´ es. que ´ e a dura¸ c˜ ao do dia lunar. em menor escala. por exemplo. A id´ eia b´ asica da mar´ e provocada pela Lua. Se a Terra fosse totalmente coberta de ´ agua. e o outro lado est´ a sendo puxado na dire¸ c˜ ao contr´ aria. Dali a mais seis horas. um certo ponto da Terra estar´ a embaixo da Lua e ter´ a mar´ e alta. Essa ´ e a express˜ ao da for¸ ca diferencial dF na dire¸ c˜ ao de dr. um lado est´ a sendo puxado na dire¸ c˜ ao da Lua. ´ e que a atra¸ c˜ ao gravitacional sentida por cada ponto da Terra devido ` a Lua depende da distˆ ancia do ponto ` a Lua. as mar´ es chegam a atingir 10 m de altura. Seis horas mais tarde. o bojo de ´ agua continua sempre apontando aproximadamente na dire¸ c˜ ao da Lua. as mar´ es acontecem duas vezes a cada 24h 50min. Portanto. a atra¸ c˜ ao gravitacional sentida no lado da Terra que est´ a mais pr´ oximo da Lua ´ e maior do que a sentida no centro da Terra. a rota¸ c˜ ao da Terra ter´ a levado esse ponto a 90◦ da Lua e ele ter´ a mar´ e baixa. 113 . o mesmo ponto estar´ a a 180◦ da Lua e ter´ a mar´ e alta novamente. portanto.e dF = 2GM m dr. E. Portanto. Isso nos diz. ela se “empilha” nos dois lados da Terra. que dr ´ e a separa¸ c˜ ao entre os pontos para os quais se calcula a for¸ ca diferencial. em rela¸ c˜ ao ao centro da Terra. Como a ´ agua flui muito facilmente. a m´ axima altura da mar´ e seria 1 m. v´ arios aspectos resultantes da distribui¸ c˜ ao das massas continentais contribuem para que a altura e a hora da mar´ e variem de lugar a outro. com a diferen¸ ca de que aqui temos dr onde l´ a temos R. que fica com um bojo de ´ agua na dire¸ c˜ ao da Lua e outro na dire¸ c˜ ao contr´ aria. Enquanto a Terra gira no seu movimento di´ ario. Em algumas ba´ ıas e estu´ arios. da atra¸ c˜ ao gravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra. Em um certo momento. a mesma express˜ ao derivada anteriormente. 13. constituem um fenˆ omeno resultante da atra¸ c˜ ao gravitacional exercida pela Lua sobre a Terra e. Portanto. sentida por uma part´ ıcula em um ponto P na superf´ ıcie da Terra. Seja d a distˆ ancia centro a centro entre Terra e Lua.1: A mar´ e alta segue a posi¸ c˜ ao da Lua. situado a uma distˆ ancia r da Lua.1 Express˜ ao da for¸ ca de mar´ e Considere a atra¸ c˜ ao gravitacional FP .Figura 13. e R o raio da Terra. Terra r R r Lua d A for¸ ca diferencial ∆F no ponto P em rela¸ c˜ ao ao centro da Terra ´ e: ∆F = FP − FC 114 .2. 13. a m´ axima acelera¸ ca ˜o de mar´ e na Terra.1). M ´ e a massa do corpo que provoca a mar´ e (a Lua no nosso exemplo). que ´ e a causadora da varia¸ c˜ ao na for¸ ca gravitacional para diferentes pontos da Terra. localizado a uma distˆ ancia d. que ∆F = FP − FC O valor de ∆F j´ a foi derivado na se¸ c˜ ao (13. ou d na figura acima). e ∆r ´ e a varia¸ c˜ ao nessa distˆ ancia. m ´ e a massa da part´ ıcula teste. se pode dizer. r ´ e a distˆ ancia entre M e m. devido ` a Lua. o ˆ angulo θ ´ e muito pequeno e a dire¸ c˜ ao da for¸ ca FP ´ e quase paralela ` a dire¸ c˜ ao da for¸ ca FC . provocada por um corpo de massa M . a for¸ ca de mar´ e em um corpo de raio R. A componente vertical ∆F ∝ 115 . ´ e M ∆F = 2G 3 R m d Portanto. na dire¸ c˜ ao da linha que une os centros da Terra e da Lua. e. ´ e: M R d3 A for¸ ca ∆F pode ser decomposta em uma componente vertical ` a superf´ ıcie da Terra e uma componente horizontal. a varia¸ c˜ ao em r entre os pontos P e C ´ e R cos φ. (em m´ edia. e vale ∆F = 2GM m ∆r r3 Nessa express˜ ao.Como r ´ e muito maior do que R. conseq¨ uentemente. A diferen¸ ca de distˆ ancia entre esses pontos e o centro da Terra ´ e o pr´ oprio raio da Terra. Considerando que a for¸ ca gravitacional m´ edia da Lua sobre a Terra est´ a aplicada no centro da Terra. No caso da figura acima. R. ficando aproximadamente como na figura abaixo: M F 1 m1 M F-F 1 CM F CM F 2 m2 F-F 2 CM m2 m1 Portanto. sem muita perda de precis˜ ao. a distˆ ancia Terra-Lua. a varia¸ c˜ ao m´ axima nessa for¸ ca acontece para os pontos que est˜ ao sobre a superf´ ıcie da Terra. 46 Em conclus˜ ao. Na Lua Quarto-Crescente ou Minguante os efeitos da mar´ e s˜ ao atenuados. as duas for¸ cas se somam e produzem as mar´ es cheias mais altas e mar´ es baixas mais baixas. a rota¸ c˜ ao sincronizada da Lua e a evolu¸ c˜ ao do sistema Terra-Lua A for¸ ca de mar´ e causada em uma part´ ıcula na Lua. Mas os efeitos das duas mar´ es se combinam vetorialmente. com aquela devido ao obstetra: m dFobstetra = obstetra dFL ML dL dobstetra 3 = 70 kg 7. ´ e a componente horizontal que provoca a mar´ e propriamente dita.2. Vamos comparar as mar´ es produzidas pelo Sol e pela Lua em uma part´ ıcula de massa m na superf´ ıcie da Terra. 35 × 1022 kg 384 000 km 149 600 000 km 3 = 0. embora a massa do Sol seja muito maior do que a da Lua. Na Lua Nova ou Lua Cheia.3 As mar´ es. 35 × 1022 kg 384 000 000 m 1m 3 dFobstetra ≈ 100 000 dFL 13.2 Compara¸ c˜ ao das mar´ es produzidas na Terra pela Lua e pelo Sol Como vemos na equa¸ c˜ ao anterior. pela Terra. 13. ´ e dada por: dF(T →L) = 2GMTerra mpart´ ıcula d3 L− T 116 RLua . a for¸ ca de mar´ e´ e diretamente proporcional a massa do corpo que provoca a mar´ ` e e inversamente proporcional ao cubo da distˆ ancia entre o corpo que provoca a mar´ e e o que sofre a mar´ e. dF M = dFL ML dL d 3 = 2 × 1030 kg 7. por ele estar tamb´ em muito mais distante a mar´ e provocada pelo Sol tem menos da metade do efeito da provocada pela Lua.2.provoca apenas uma leve varia¸ c˜ ao do peso das massas localizadas no ponto onde estamos calculando a for¸ ca de mar´ e. de forma que a intensidade da mar´ e resultante depende da elonga¸ c˜ ao da Lua. Vamos comparar as mar´ es produzidas pela Lua em um bebe de massa m na superf´ ıcie da Terra. 98 × 1030 Kg 5.e a for¸ ca de mar´ e causada em uma part´ ıcula na Terra. ´ e dada por: dF(L→T ) = 2GMLua mpart´ ıcula d3 L−T RTerra dF(T →L) = j´ a que MTerra RLua dF MLua RTerra (L→T ) 20dF(L→T ) RLua = raio da Lua = RTerra = raio da Terra = R = raio do Sol = dL−T = distˆ ancia Lua–Terra = dS −T = distˆ ancia Sol–Terra = M = massa do Sol = MTerra = massa da Terra = MLua = massa da Lua = 1738 Km 6 370 Km 696 000 Km 384 000 Km 149 600 000 Km 1. 35 × 1022 Kg Ou seja. 9 luas de Urano. aproximadamente. Phobos e Deimos. os dois sat´ elites de Marte. cinco luas de J´ upiter (incluindo os quatro sat´ elites galileanos). No caso do sistema Plut˜ ao-Caronte. Na ´ orbita circular e sincronizada n˜ ao existe movimento relativo. Ao girar. a Lua foi perdendo energia de rota¸ c˜ ao at´ e ficar com a rota¸ c˜ ao sincronizada. A distor¸ c˜ ao ainda ocorre. No estado atual de evolu¸ c˜ ao do sistema Terra-Lua. Acredita-se que. que ficam sempre apontados para a Lua. N˜ ao ´ e s´ o a Lua que tem rota¸ c˜ ao sincronizada. que por sua vez tendia a frear a rota¸ c˜ ao. Devido a esse atrito. ou seja. todos tˆ em rota¸ c˜ ao sincronizada com transla¸ c˜ ao. estado em que o per´ ıodo sideral ´ e exatamente igual ao per´ ıodo de revolu¸ c˜ ao. 20 vezes a for¸ ca de mar´ e na Terra provocada pela Lua. mas h´ a equil´ ıbrio que n˜ ao envolve qualquer movimento relativo por qualquer parte da mat´ eria. havia um movimento relativo entre as diferentes partes da Lua. a lua Trit˜ ao de Netuno. O atrito gerado faz com que a rota¸ c˜ ao da Terra diminua. 97 × 1024 Kg 7. no passado. a for¸ ca de mar´ e na Lua provocada pela Terra ´ e. Assim. aumentando o dia em 0. os per´ ıodos de rota¸ c˜ ao e transla¸ c˜ ao de Plut˜ ao e Caronte s˜ ao iguais. pela Lua. a Terra ainda tem de girar sob os bojos de mar´ e. a sincroniza¸ c˜ ao ´ e total. o qual gerava atrito. o per´ ıodo de rota¸ c˜ ao da Lua era menor do que o seu per´ ıodo de transla¸ c˜ ao em torno da Terra.002 segundos por s´ eculo. que sempre ficavam alinhados na dire¸ c˜ ao da Terra. ela tentava arrastar consigo os bojos de mar´ e. 117 . movendo-se para mais longe da Terra. Vamos ver porque isso acontece: o momentum angular de transla¸ c˜ ao da 118 . ent˜ ao a Lua tem de aumentar seu momentum angular orbital.~ Nao-Sincronizado Sincronizado Se o momentum angular de rota¸ c˜ ao da Terra diminui por fric¸ c˜ ao. Em 1850.4 Limite de Roche Uma conseq¨ uˆ encia das for¸ cas de mar´ e´ e que um sat´ elite em geral n˜ ao pode chegar muito perto de seu planeta sem se romper. aumenta o momentum angular orbital. de densidade m´ edia ρm . mantido apenas por sua autogravidade. o astrˆ onomo e matem´ atico francˆ es Edouard Roche (1820-1883) demonstrou que. onde r ´ e o raio da ´ orbita e v a velocidade 2 3 orbital. permitindo que os cientistas contem os n´ umeros de bandas em um ciclo mensal em f´ osseis de idades diferentes. Se o planeta e o sat´ elite tiverem densidades iguais. a distˆ ancia m´ ınima do planeta em que o sat´ elite pode orbitar estavelmente ´ e d = 2. 13. k 1/2 2π 2π r · r−1/2 = m 1/2 r1/2 . o dia devia ser mais curto. orbitando em torno de um planeta de densidade m´ edia ρM e raio R. 44 ρM ρm 1/3 R. Como v = 2πr/P e o per´ ıodo P = kr . aumentando o raio da ´ orbita r. e as mar´ es eram muito mais intensas.44 vezes o raio do planeta. estudos paleontol´ ogicos indicam que 100 milh˜ oes anos atr´ as o ano tinha 400 dias. portanto. ent˜ ao: v= =m 2πr k 1/2 r3/2 = 2π −1/2 r . que ser´ a igual a aproximadamente 35 dias atuais! No passado. a Terra devia girar mais r´ apido e. 1 / 2 k k ou seja. A evidˆ encia vem de certas criaturas marinhas cujas conchas tˆ em bandas de crescimento di´ arios e mensais. 119 . compensando a redu¸ c˜ ao do momentum angular de rota¸ c˜ ao (spin). o dia 21 horas. − − → total = − − − − − → rota¸ c˜ ao Terra + − − − − − → rota¸ c˜ ao Lua + − − − − − − − − → transla¸ c˜ ao Terra−Lua No futuro distante.2.Lua ´ e dado por = m · r × v . para um sat´ elite fluido. a sincroniza¸ c˜ ao da ´ orbita da Terra com a Lua implicar´ a que o dia e o mˆ es ter˜ ao a mesma dura¸ c˜ ao. De fato. O limite de Roche ´ e a distˆ ancia m´ ınima do centro do planeta que um sat´ elite fluido pode chegar sem se tornar inst´ avel frente a rompimento por mar´ e. o limite de Roche ´ e 2. pois a Lua estava mais pr´ oxima. Uma deriva¸ c˜ ao simples do limite se obt´ em considerando duas part´ ıculas de massas m iguais.44. 8/3π (dr/2)3 1/3 R = 2. Aggarwald e Vern R. 51 ρM ρm 1/3 R. A for¸ ca gravitacional entre as part´ ıculas ´ e dada por: FG = Gmm (dr)2 e a for¸ ca de mar´ e de um corpo de massa M. e a uma distˆ ancia d. com diˆ ametros maiores do que 40 km. a for¸ ca gravitacional entre elas tem de balan¸ car a for¸ ca de mar´ e. rochosos ou gelados. Oberbeck estudaram o caso de ruptura por mar´ e de corpos esferoidais s´ olidos. 4/3πR3 2m .51 em vez de 2. a distˆ ancia m´ ınima que eles podem chegar de seu planeta sem quebrar ´ e: d = 1. logo Gmm 2GM m dr = 2 (dr) d3 e d = (2M/m)1/3 dr. separadas somente por uma distˆ ancia dr. 2. isto ´ e. sem tens˜ oes intr´ ınsecas.ß Seja ρM = e ρm = d = (16)1/3 ρM ρm M . O valor da constante num´ erica. sobre elas ser´ a: 2GM m dr FM = d3 Para as duas part´ ıculas permanecerem juntas. e se tocando. para sat´ elites desse tipo. os sat´ elites 120 . O limite de estabilidade de Roche se aplica somente a sat´ elites fluidos. 38 ρM ρm 1/3 R Para corpos externos que se aproximam do planeta a distˆ ancia que eles podem chegar ´ e ainda um pouquinho menor. mantidos coesos por for¸ cas de tens˜ ao intr´ ınsecas de seu material. Hans R. ´ e porque n˜ ao levamos em conta que as part´ ıculas formam um fluido. Naturalmente. Em 1974. Encontraram que. e essa ´ e uma prov´ avel explica¸ c˜ ao para o fato dessas part´ ıculas nunca terem se jun´ poss´ tado para formar um sat´ elite. os limites reais de aproxima¸ c˜ ao m´ ınima para os corpos serem est´ aveis frente a for¸ cas de mar´ e dependem do tamanho e tens˜ ao interna dos corpos. 38 R ρm considerando que: • MTerra = 5. os an´ eis de Saturno est˜ ao dentro do limite de Roche de Saturno.ou corpos impactantes podem ser quebrados por outras causas. ` a medida que aumenta o tamanho da part´ ıcula. E ıvel que os an´ eis de Saturno sejam resultado de um sat´ elite ou cometa que se aproximou demais do planeta e se quebrou devido ` as for¸ cas de mar´ e. 38 5514 kg/m3 3342 kg/m3 121 MTerra 4 3 3 πRTerra MLua 4 3 3 πRLua = 5514 kg/m3 = 3342 kg/m3 1 3 6370 km = 7527 km . Por exemplo. o que significa que as pequenas part´ ıculas que formam o anel tˆ em for¸ cas coesivas maiores do que as for¸ cas de mar´ e. suas for¸ cas coesivas ficam menos importantes comparadas com as for¸ cas de mar´ e. Entretanto. Sat´ elites s´ olidos podem chegar mais perto do planeta do que sat´ elites fluidos porque as for¸ cas de tens˜ ao interna das rochas que o constituem o mantˆ em est´ avel. Quest˜ ao: Qual a menor distˆ ancia que a Lua pode chegar da Terra sem se romper? Usamos ρM 1/3 d = 1. dependendo da densidade da atmosfera do planeta. como por tens˜ oes aerodinˆ amicas. Corpos menores do que 40 km podem chegar ainda mais perto do planeta sem quebrar por for¸ cas de mar´ e desde que eles sejam pequenos e duros o suficiente. Enfim. 35 × 1022 Kg • RLua = 1738 Km Obtemos: ρTerra = ρLua = Portanto d = 1. 97 × 1024 Kg • RTerra = 6 370 Km • MLua = 7. tem a mesma dire¸ c˜ ao de N . o seu peso gera um torque N = r × mg. Portanto. as for¸ cas diferenciais (que ficam mais importantes nos dois bojos da Terra) tendem n˜ ao apenas a achat´ a-la ainda mais. mas achatada nos p´ olos e bojuda no equador. que por sua vez est´ a inclinado 5◦ 8’ em rela¸ c˜ ao ao plano da ´ orbita da Lua. ´ e o movimento de precess˜ ao da Terra. o plano do bojo equatorial.13. Seu diˆ ametro equatorial ´ e cerca de 40 km maior do que o diˆ ametro polar.3 Precess˜ ao Um outro efeito das for¸ cas diferenciais do Sol e da Lua na Terra. mas apenas sua dire¸ c˜ ao. Portanto. mas como esse torque ´ e perpendicular ao momentum angular de rota¸ c˜ ao da Terra. onde r ´ e o vetor posi¸ c˜ ao do centro de massa do pi˜ ao em rela¸ c˜ ao ao ponto de contacto com o solo. No caso da Terra. al´ em das mar´ es. seu valor ´ e N = mgr. Al´ em disso. fazendo-o precessionar em torno do eixo perpendicular ao solo. Por causa disso. o eixo da Terra n˜ ao se alinha com o eixo da ecl´ ıptica. o plano do equador terrestre e. as for¸ cas diferenciais gravitacionais da Lua e do Sol produzem um torque que tende a alinhar o eixo de rota¸ c˜ ao da Terra com o eixo da ecl´ ıptica. e perpendicular ao momentum angular de rota¸ c˜ ao do pi˜ ao. o torque n˜ ao altera o m´ odulo de L. mas precessiona em torno dele. e mg ´ e a for¸ ca peso. portanto. mas tamb´ em tendem a “endireitar” o seu eixo. Essa varia¸ c˜ ao ´ e expressa por dL = N dt ou seja. perpendicular ` a for¸ ca peso. No caso do pi˜ ao. seu efeito ´ e mudar a dire¸ c˜ ao do eixo de rota¸ c˜ ao. O que causa a precess˜ ao? A Terra n˜ ao ´ e perfeitamente esf´ erica. o torque N ´ e paralelo ao solo. sem alterar sua inclina¸ c˜ ao. Em m´ odulo. alinhando-o com o eixo da ecl´ ıptica (veja a figura a seguir). Como L e N s˜ ao perpendiculares. Como o torque ´ e dado por: dL . da mesma forma que um pi˜ ao posto a girar precessiona em torno do eixo vertical ao solo. est´ a inclinado cerca de 23◦ 26’ em rela¸ c˜ ao ao plano da ecl´ ıptica. N= dt o seu efeito ´ e variar o momentum angular do pi˜ ao. Como a Terra est´ a girando. os p´ olos celestes n˜ ao ocupam uma posi¸ c˜ ao 122 . 5o S L dL L L + dL mg N Figura 13. 123 .N 23.2: Precess˜ ao da Terra e de um pi˜ ao. mas isso n˜ ao ser´ a sempre assim. na constela¸ c˜ ao da Ursa Menor. descrevendo uma circunferˆ encia em torno dele com raio de 23◦ 26’ 21.290966 por ano). o P´ olo Celeste Norte est´ a nas proximidades da estrela Polar. no ano 129 a.320124 .418”. Apesar de o movimento de precess˜ ao ser t˜ ao lento (ape- Figura 13. Daqui a cerca de 13 000 anos ele estar´ a nas proximidades da estrela Vega. ele foi percebido j´ a pelo astrˆ onomo grego Hiparco.. Atualmente.3: Precess˜ ao do p´ olo norte celeste.C. ao comparar suas observa¸ c˜ oes da posi¸ c˜ ao da estrela Spica (α Virginis) com observa¸ c˜ oes feitas por Timocharis de Alexandria (c. O tempo necess´ ario para descrever uma volta completa ´ e 25 770 anos.fixa no c´ eu: cada p´ olo celeste se move lentamente em torno do respectivo p´ olo da ecl´ ıptica. nas 50. na constela¸ c˜ ao de Lira. que ´ e medido em rela¸ c˜ ao aos equin´ ocios.c. Por causa disso.C.C. O movimento de precess˜ ao da Terra ´ e conhecido como precess˜ ao dos equin´ ocios.260 a. porque. medido em rela¸ c˜ ao ` as estrelas. ´ e 20 min mais curto do que o ano sideral. mas Hiparco media somente 174◦ .) em 273 a.5◦ em rela¸ c˜ ao ao eixo da ecl´ ıptica enquanto precessiona em 125 . o ano tropical. Timocharis tinha medido que Spica estava a 172◦ do ponto vernal. os equin´ ocios se deslocam ao longo da ecl´ ıptica no sentido de ir ao encontro do Sol (retr´ ogrado em rela¸ c˜ ao ao movimento da Terra em torno do Sol). uma vez que o eixo da Terra mant´ em sua inclina¸ c˜ ao de 23. devido a ele. A precess˜ ao n˜ ao tem nenhum efeito importante sobre as esta¸ c˜ oes. Ele concluiu que o ponto vernal havia se movido 2 graus em 144 anos. O Sol leva 20 min para se mover 50 na ecl´ ıptica (na verdade a Terra leva 20 min para se mover 50 na sua ´ orbita). Daqui a cerca de 13 000 anos ser´ a o oposto. Sol e outros planetas. Devido a isso. Por exemplo. Por ´ exemplo. atualmente ´ e ver˜ ao no hemisf´ erio sul quando a Terra est´ a no peri´ elio. atualmente Orion ´ e uma constela¸ c˜ ao caracter´ ıstica de dezembro. e inverno no hemisf´ erio sul quando a Terra est´ a no af´ elio. e poss´ ıvelmente as esta¸ c˜ oes ficar˜ ao mais acentuadas no hemisf´ erio norte e mais atenuadas no hemisf´ erio sul. A u ´nica coisa que muda ´ e o ponto da ´ orbita em que a Terra se encontra quando acontece uma determinada esta¸ c˜ ao. devem corrigir as coordenadas tabeladas da estrela que v˜ ao observar pelo efeito de precess˜ ao acumulado desde a data em que as coordenadas foram registradas at´ e a data da observa¸ c˜ ao. A conseq¨ uˆ encia mais importante da precess˜ ao ´ e a varia¸ c˜ ao da ascens˜ ao reta e da declina¸ c˜ ao das estrelas. estrutura e propriedades da 126 . Como o ano do nosso calend´ ario ´ e baseado nos equin´ ocios. Por isso os astrˆ onomos. Daqui a cerca de 13 000 anos a situa¸ c˜ ao se reverter´ a. a primavera continua iniciando em setembro no Hemisf´ erio Sul. ao apontarem seus telesc´ opios para o c´ eu. devido ao torque causado pela Lua. al´ em dos deslocamentos de mat´ eria em diferentes partes do planeta: elasticidade do manto. Por completeza. Tamb´ em a intensidade das esta¸ c˜ oes pode ser alterada. comparadas com as atuais.torno dele. e em mar¸ co no Hemisf´ erio Norte. e o Escorpi˜ ao ´ e uma constela¸ c˜ ao caracter´ ıstica de junho. achatamento da Terra. mudam as estrelas vis´ ıveis durante a noite nessa determinada esta¸ c˜ ao. 127 . A principal contribui¸ c˜ ao da nuta¸ c˜ ao tem uma amplitude de ∆ = 9. variabilidade dos oceanos e da atmosfera. 418 − 0. As for¸ cas diferenciais do Sol e da Lua sobre a Terra s˜ ao mais complexas do que nossa aproxima¸ c˜ ao pois os trˆ es corpos n˜ ao s˜ ao esf´ ericos.613 anos. 0000059”t2 + 0.57”com per´ ıodo de 182. 2025” e per´ ıodo de 18.46815 ”/ano.62 dias. como 0. tamb´ em est˜ ao presentes. causada principalmente por pequenas varia¸ c˜ oes na inclina¸ c˜ ao da ´ orbita da Lua e pelo deslocamento dos n´ odos da ´ orbita. 00001813”t3 com t ≡ (ano − 2000). ou = 23◦ 26 21. 46815”t − 0. mas contribui¸ c˜ oes menores. reologia do n´ ucleo.borda entre n´ ucleo e manto. Existe ainda a pequena contribui¸ cao das for¸ cas diferenciais causada pelos planetas sobre a Terra. a inclina¸ c˜ ao (obliq¨ uidade) do eixo da Terra em rela¸ c˜ ao ao eixo da ecl´ ıptica est´ a decrescendo 0. A pr´ oxima corre¸ c˜ ao ao movimento chama-se nuta¸ c˜ ao e trata-se da componente n˜ ao circular (bamboleio) do movimento do p´ olo da Terra em torno do p´ olo da ecl´ ıptica. 128 . 129 .Cap´ ıtulo 14 O Sol e os planetas Nosso sistema solar est´ a composto pela nossa estrela. o Sol. planetas an˜ oes e pelos cometas. pelos aster´ oides. pelos oito planetas com suas luas e an´ eis. a nebulosa solar.01% (?) Sat´ elites e an´ eis 0. a for¸ ca gravitacional da nuvem atuando em ` si mesma acelerou o colapso. e quase todos os planetas giram em torno de seu pr´ oprio eixo no mesmo sentido da transla¸ c˜ ao em torno do Sol.O corpo dominante do sistema ´ e o Sol. em seu livro Exposition du Syst´ eme du Monde.000 05% Aster´ oides 0. com o passar do tempo. e tamb´ em giram em torno de si mesmos na mesma dire¸ c˜ ao (com exce¸ c˜ ao de Vˆ enus). 130 . Todos os planetas giram em torno do Sol aproximadamente no mesmo plano e no mesmo sentido. Uma vez que a contra¸ c˜ ao iniciou.85% J´ upiter 0. que desenvolveu a teoria das probabilidades. A medida que a nuvem colapsava. e em 1796 desenvolvida pelo matem´ atico francˆ es Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). a massa de g´ as rotante assumiria uma forma discoidal.000 000 1% (?) 14.1: Massa no Sistema Solar Componente Massa Sol 99. com uma concentra¸ c˜ ao central que deu origem ao Sol. sugerida em 1755 pelo fil´ osofo alem˜ ao Immanuel Kant (1724-1804). giram em torno do Sol na mesma dire¸ c˜ ao.10% Demais planetas 0.04% Cometas 0. Essa hip´ otese sugeria que uma grande nuvem rotante de g´ as interestelar. Laplace. a rota¸ c˜ ao da nuvem aumentava por conserva¸ c˜ ao do momentum angular e. Tabela 14.000 000 2% Meteor´ oides e poeira 0. Os planetas teriam se formado a partir do material no disco.1 Origem do sistema solar A hip´ otese moderna para a origem do sistema solar ´ e baseada na hip´ otese nebular. colapsou para dar origem ao Sol e aos planetas. como pode ser visto na tabela a seguir. s´ o poderiam ter se formado de uma mesma grande nuvem de part´ ıculas em rota¸ c˜ ao. calculou que como todos os planetas est˜ ao no mesmo plano. 0023% Percentagem em n´ umero de part´ ıculas 91.0058% 0.9592% 0.0653% 0.2% 8.043% H He O C Ne Fe N Si Mg S Ne Mg Ar Fe Mg Ca Al Ni C He Si Na Fe Si H 1 2 8 6 10 26 7 14 12 16 12 12 18 26 12 20 13 28 6 2 14 11 26 14 1 1 4 16 12 20 56 14 28 24 32 24 26 36 54 25 40 27 58 13 3 29 23 57 30 2 As observa¸ c˜ oes modernas indicam que muitas nuvens de g´ as interestelar est˜ ao no processo de colapsar em estrelas.3032% 0.0028% 0.0049% 0.0034% 0.0060% 0.0208% 0.0035% 0.Tabela 14.078% 0.0072% 0.0069% 0.0079% 0. Ap´ os 131 .1548% 0.52% 0.0033% 0.0024% 0.0396% 0. A contribui¸ c˜ ao moderna ` a hip´ otese nebular diz respeito principalmente a como os planetas se formaram a partir do g´ as no disco e foi desenvolvida em 1945 pelo f´ ısico alem˜ ao Carl Friedrich Freiherr von Weiz¨ acker (1912-2007).2: Composi¸ c˜ ao Qu´ ımica da Atmosfera do Sol Elemento Z A Percentagem em massa 70.1105% 0.7% 0.0077% 0.0037% 0.57 % 27. e os argumentos f´ ısicos que predizem o achatamento e o aumento da taxa de spin est˜ ao corretos.0513% 0.1169% 0. manteve sua temperatura. n˜ ao se enquadra em nenhuma das categorias. Plut˜ ao fica mais pr´ oximo do Sol do que Netuno. Urano e Netuno. a seguir. e mesmo os materiais vol´ ateis tinham condi¸ c˜ oes de se condensar. como entre 1979 e 11 de fevereiro de 1999. Os jovianos compreendem os quatro planetas mais distantes: J´ upiter. que s˜ ao do tipo de J´ upiter. onde apenas os silicatos estavam presentes. onde o material condensado da nebulosa continha silicatos e gelos. dando origem aos planetas terrestres. Na parte externa do sistema solar. os n´ ucleos planet´ arios n˜ ao puderam crescer muito. Deram origem. cresceram por acre¸ c˜ ao de material para dar origem a objetos maiores. e foi reclassificado em 2006 ´ como um dos planetas an˜ oes conhecidos. apenas o proto-sol. descoberto em 1930 por Clyde William Tombaugh (1906-1997). O resfriamento acarretou a condensa¸ c˜ ao r´ apida do material. ela come¸ cou a esfriar. o que deu origem aos planetesimais.2 14. no centro. Os planetas terrestres compreendem os quatro planetas mais pr´ oximos do Sol: Merc´ urio. durante vinte anos do per´ ıodo de Plut˜ ao.1 Planetologia comparada Caracter´ ısticas gerais dos planetas Existem dois tipos b´ asicos de planetas. como Eris. ficando t˜ ao grandes a ponto de poderem atrair o g´ as a seu redor e ent˜ ao cresceram mais ainda por acre¸ c˜ ao de grande quantidade de hidrogˆ enio e h´ elio da nebulosa solar. assim. Plut˜ ao. de 248 anos. cuja composi¸ c˜ ao dependia da distˆ ancia ao Sol: regi˜ oes mais externas tinham temperaturas mais baixas. esses n´ ucleos cresceram at´ e atingir massas da ordem de dez vezes a massa da Terra. As caracter´ ısticas fundamentais de cada tipo est˜ ao resumidas na tabela 14. Terra e Marte.2. agregados de material com tamanhos da ordem de quilˆ ometros de diˆ ametro. aos planetas jovianos. os terrestres. 14. Ceres e Caronte. Saturno. as substˆ ancias vol´ ateis foram perdidas.o colapso da nuvem.3: 132 . em torno do Sol. e os jovianos. Vˆ enus. Urano foi descoberto em 1781 por William Herschel (1738-1822) e Netuno em 1846 por previs˜ ao de Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811-1877) e John Couch Adams (1819-1892). que s˜ ao do tipo da Terra. Na parte interna. os n´ ucleos planet´ arios. nas regi˜ oes mais internas e quentes. Os planetesimais. ao passo que. a outra se aproxima. Por exemplo. quando o planeta est´ a girando. Ni. detectada diretamente a partir da observa¸ c˜ ao de aspectos de sua superf´ ıcie. ainda. por medidas da taxa de rota¸ c˜ ao do campo magn´ etico do planeta. Outras propriedades importantes dos planetas s˜ ao: Rota¸ c˜ ao: todos os planetas apresentam rota¸ c˜ ao. as ondas refletidas na borda que se aproxima apresentam deslocamento Doppler para comprimentos e onda menores. ´ oxidos. H2 O. quando se conhece a distˆ ancia. valores de 5000 a 6000 correspondem a minerais ricos em ferro. por medidas de radar.3: Caracter´ ısticas dos tipos de planetas 14. 133 . Fe poucos ou nenhum n. NH3 muitos Tabela 14. ou por medidas de efeito Doppler de ondas de radar enviadas a ele. ou em outros planetas.◦ de sat´ elites Jovianos grande (≥ 14M⊕ ) grande pequena grande elementos leves H. Raio: medido diretamente do tamanho angular.2. Distˆ ancia ao Sol: ´ e determinada a partir da paralaxe geocˆ entrica do planeta. aplicando as leis de Kepler e Newton. uma densidade de 1000 kg/m3 ´ e t´ ıpica de materiais congelados. CO2 . as duas bordas tˆ em velocidades radiais com sentidos opostos: uma se afasta do observador. valores de 2800 a 3900 s˜ ao t´ ıpicos de rochas vulcˆ anicas e meteoritos rochosos. O efeito Doppler aparece porque. CH4 . mais modernamente. ou. He.massa tamanho densidade distˆ ancia ao Sol composi¸ c˜ ao qu´ ımica Terrestres pequena (≤ M⊕ ) pequeno grande pequena rochas e metais pesados silicatos.2 Propriedades fundamentais dos planetas Massa: determinada medindo a influˆ encia gravitacional do planeta em um sat´ elite natural ou em uma nave espacial. e valores em torno de 7900 s˜ ao t´ ıpicos de meteoritos ferrosos. Composi¸ c˜ ao qu´ ımica: pode ser estimada a partir da densidade m´ edia do planeta. e. ent˜ ao. ou. a press˜ ao aumenta pr´ oximo ao centro do planeta. seu albedo ´ e 1.e as ondas refletidas na borda que se afasta apresentam deslocamento para comprimentos de onda maiores. suas temperaturas dependem basicamente de sua distˆ ancia ao Sol.3 Estrutura Interna: A estrutura interna de um planeta depende de como certos parˆ ametros f´ ısicos. Em geral. A 134 . Existe uma rela¸ c˜ ao simples entre a temperatura caracter´ ıstica. que n˜ ao refletem ondas de radar. como composi¸ c˜ ao qu´ ımica. e a temperatura tamb´ em aumenta como conseq¨ uˆ encia do aumento da press˜ ao e do calor liberado no centro por decaimento de elementos radiativos. ´ e absorvida e re-emitida em forma da radia¸ c˜ ao infravermelha. 14. Assim. variam com o raio. ou temperatura efetiva de um planeta. e sua distˆ ancia ao Sol (a): Tef ∝ 1/a Assim. Temperatura: como os planetas obtˆ em a maior parte de sua energia da luz solar. seu albedo ´ e 0. sabendo a temperatura efetiva da Terra (260 K. A= energia espalhada em todas as dire¸ c˜ oes energia solar incidente O resto da energia (1-A). se ele absorve toda a luz. e cujos aspectos observ´ aveis dizem respeito a ventos na sua atmosfera. Refletividade: parte da energia solar incidente sobre o planeta ´ e refletida. se um objeto reflete toda a luz que incide nele. A fra¸ c˜ ao da energia solar total incidente que ´ e refletida chama-se albedo (A).2. podemos estimar a temperatura efetiva dos outros planetas simplesmente dividindo 260 pela raiz quadrada de sua distˆ ancia ao Sol em unidades astronˆ omicas. e parte ´ e absorvida. temperatura e densidade. A medida da rota¸ c˜ ao atrav´ es do campo magn´ etico ´ e usada no caso dos planetas jovianos. na ausˆ encia de atmosfera). A estrutura interna dos planetas jovianos. resulta que a press˜ ao central ´ e: 4π GR2 ρ2 Pc = 3 A press˜ ao a uma distˆ ancia r do centro do planeta fica: 2π Gρ2 R2 − r2 3 que em unidades do sistema internacional ´ e: Pr = Pr = 1. que n˜ ao tˆ em uma superf´ ıcie s´ olida. n˜ ao pode ser observada atrav´ es de ondas s´ ısmicas. os planetas terrestres tˆ em uma atmosfera gasosa. por exemplo. pode ser obtida da equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico. Outra maneira de conhecer o interior dos planetas jovianos.composi¸ c˜ ao qu´ ımica usualmente ´ e diferenciada de acordo com a distˆ ancia ao centro. 4 × 10−10 ρ2 R2 − r2 N m2 kg−2 De um modo geral. portanto. ´ e atrav´ es de modelos usando formalismo hidrost´ atico. ou dP GMr ρ =− 2 dr r onde ρ ´ e a densidade e Mr ´ e a massa interna ao raio r. obedece ` a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico. At´ e o momento. somente a estrutura da Terra e da Lua foram investigadas usando essa t´ ecnica. Uma alternativa ´ e mapear o campo gravitacional estudando a ´ orbita de uma sonda espacial quando ela passa pelo planeta. e estruturada em camadas. Essas ondas podem ser produzidas por terremotos naturais ou por impactos artificiais e se propagam em materiais s´ olidos como rochas. supondo que a densidade ´ e aproximadamente constante e igual ` a densidade m´ edia do planeta. o que mostrou claramente a existˆ encia de um n´ ucleo met´ alico na Terra e a ausˆ encia de n´ ucleo met´ alico na Lua. Uma maneira de conhecer a estrutura interna de um planeta ´ e medir a transmiss˜ ao de ondas s´ ısmicas atrav´ es dele. isto ´ e. A press˜ ao central do planeta. se o planeta n˜ ao est´ a nem se expandindo nem se contraindo. Integrando essa express˜ ao desde a superf´ ıcie at´ e o centro. em cada ponto. que s˜ ao gasosos. como se faz no caso de estrelas. o peso das camadas superiores ´ e balanceado pela for¸ ca de press˜ ao das camadas inferiores. uma superf´ ıcie s´ olida bem definida e um interior na maior parte s´ olido (embora 135 . Essa equa¸ c˜ ao leva em conta que. O sinal menos indica que a press˜ ao aumenta ` a medida que o raio diminui. ´ e uma t´ ecnica que pode ser aplicada a todos os planetas terrestres. eros˜ ao e crateramento.Ni sól. principalmente. & Jack J. Protostars and Planets IV. compreendendo vulcanismo e atividade tectˆ onica. 1081 ). As superf´ ıcies da Lua e de Merc´ urio s˜ ao parecidas.78 H molecular líquido H liquido atômico H líquido metalico 0. entre 0 e 10 massas terrestres.19 As observa¸ c˜ oes da espa¸ conave Galileo impuseram limites ` as massas dos n´ ucleos de J´ upiter. Lissauer 2000. Tristan Guillot. e de Saturno. As estruturas internas dos planetas jovianos e terrestres podem ser esquematizadas nas figuras a seguir.99 0. entre 6 e 17 massas terrestres (G¨ unther Wuchterl. se o planeta n˜ ao tem atmosfera espessa. com grande n´ umero de crateras e grandes regi˜ oes baixas e planas. 0.2 Fe. Marte apresenta uma superf´ ıcie com montanhas. nenhuma superf´ ıcie s´ olida. e um interior l´ ıquido na maior parte. Os principais processos que determinam altera¸ c˜ oes na crosta posteriormente ` a sua forma¸ c˜ ao e que.4 Superf´ ıcies As superf´ ıcies planet´ arias podem ser conhecidas de forma preliminar a partir do albedo. Atividade geol´ ogica A atividade geol´ ogica.54 Nucleo Exterior Fe líquido Núcleo Interior Fe.99 0. Os planetas jovianos tˆ em uma atmosfera gasosa.? Planetas Terrestres 1 Crosta Manto Superior Manto Inferior Silicatos 0. o albedo n˜ ao se refere a superf´ ` ıcie. s˜ ao: atividade geol´ ogica. determinam o rejuvenescimento da crosta. Planetas Gigantes 1 H e He molecular gasoso 0. portanto. Em planetas com atmosfera espessa.a Terra tenha um n´ ucleo externo l´ ıquido). vales e canais. 14. A atividade geol´ ogica 136 . como os planetas jovianos e Vˆ enus.Si liq. A superf´ ıcie de Vˆ enus n˜ ao ´ e vis´ ıvel devido ` as densas nuvens de ´ acido sulf´ urico que cobrem o planeta. de terrenos baixos e relativamente planos.2. mas tamb´ em apresenta planaltos e montanhas. depende da quantidade de calor interno no planeta. mas estudos em r´ adio revelam que essa superf´ ıcie ´ e composta. atualmente. mas n˜ ao h´ a evidˆ encia de tectonismo de placas. houve um grande vazamento de lava na superf´ ıcie. assim como a eros˜ ao. tamb´ em apresentam sinais de atividade catastr´ ofica recente. Vˆ enus e Marte. sendo mais delgada (60 km) no lado voltado para a Terra e mais espessa (150 km) no lado oposto. em geral. Na Terra. formando os mares lunares (regi˜ oes escuras. as crateras de impacto s˜ ao dominantes. As recentes 137 . Na Terra. o que est´ a de acordo com o fato de Vˆ enus ser maior do que Marte. o sat´ elite de J´ upiter mais pr´ oximo do planeta. ´ e menos ativo do que a Terra. Mas o planeta em que a eros˜ ao ´ e mais importante ´ e Marte. Na Terra. a maioria das crateras existentes s˜ ao de origem vulcˆ anica. devido ` as frequentes tempestades de poeira que assolam sua superf´ ıcie. h´ a cerca de 4 ou 3 bilh˜ oes de anos atr´ as. As crateras vulcˆ anicas s˜ ao. Elas podem ter origem vulcˆ anica ou de impacto. Ariel e Titˆ ania. O n´ umero de mares ´ e maior no lado em que a crosta ´ e delgada. Merc´ urio e Marte. existem grandes vulc˜ oes. Isso indica que Vˆ enus teria retido mais do seu calor residual do que Marte. que posteriormente se solidificou. uma vez que a atividade interna da Terra. comparados com milh˜ oes na Terra). Mas na Lua. como ´ e evidenciado pela existˆ encia de rochas sedimentares. aparentemente baixa e planas que contˆ em muitas crateras). sat´ elites de Urano. menores e mais fundas do que as de impacto. Em Marte.´ e decrescente para Terra. N˜ ao existe eros˜ ao em Merc´ urio nem na Lua. mas parece ter mais atividade geol´ ogica persistente do que Marte. Vˆ enus. Eros˜ ao A eros˜ ao pode ser resultado da a¸ c˜ ao da atmosfera ou da hidrosfera. Tamb´ em acontece atividade geol´ ogica em Io. Crateramento As crateras aparecem em todos os planetas terrestres e em quase todos os sat´ elites do Sistema Solar. mas na ´ epoca em que a Lua era jovem. Io apresenta um alto n´ ıvel de atividade vulcˆ anica. acontecem poucos sismos por anos (milhares. Na Lua. alguns deles podem ser ativos. apagaram grande parte dos efeitos de impactos ocorridos na ´ epoca em que muitos corpos residuais do processo de forma¸ c˜ ao povoavam o Sistema Solar. existe eros˜ ao. aparentemente. tanto a presen¸ ca de vulc˜ oes ativos quanto o movimento das placas tectˆ onicas contribuem para o renovamento da crosta. A Lua tem crosta assim´ etrica. A identifica¸ c˜ ao dessas linhas escuras permite identificar os gases que as produziram. em um dado planeta. O n´ umero de crateras de impacto numa superf´ ıcie nos permite estimar sua idade. com raio de 1 km e densidade de 1 g/cm3 . assim como a press˜ ao e a temperatura da atmosfera.5 Atmosferas A composi¸ c˜ ao da atmosfera dos planetas pode ser conhecida pela an´ alise espectral da luz solar que eles refletem. a energia liberada seria equivalente ` a de 3 milh˜ oes de bombas atˆ omicas! O tamanho da cratera gerada ´ e proporcional ` a potˆ encia 1/3 da energia do impacto. A velocidade de colis˜ ao ´ e.observa¸ c˜ oes com radar da superf´ ıcie de Vˆ enus mostraram que esse planeta tamb´ em tem crateras. no m´ ınimo. tem diˆ ametro de 200 km. C´ alculos atuais mostram que impactos grandes como esse. anteriormente. sabendo que um impacto com energia de 1 Mton TNT abre uma cratera de 1 km de diˆ ametro. 5 × 1027 erg = 6. igual ` a velocidade de escape do corpo que est´ a sendo colidido (11 km/s para a Terra. Como essa luz solar refletida atravessou parte da atmosfera do planeta. e acredita-se que o aster´ oide que a provocou tinha um diˆ ametro de. no M´ exico. 2 × 10 erg/g). a energia cin´ etica ( 2 mv ) do corpo impactante ´ e transformada em calor e em uma onda de choque que se propaga pelo corpo impactado.2. A cratera de Chicxulub. supostamente gerada no impacto que causou a extin¸ c˜ ao dos dinossauros. 1 2 No impacto. h´ a 65 milh˜ oes de anos. 0 × 107 Kton TNT (a energia associada ao TNT ´ e 10 4. na Terra. e 2. Assim. para um aster´ oide t´ ıpico. mas ainda n˜ ao se sabe ao certo sua principal origem. ocorrem numa taxa de 1 a cada 30 milh˜ oes de anos. logo no impacto mencionado. o espectro apresenta certas linhas escuras que n˜ ao aparecem no espectro solar. 138 . 10 km. Assim. a energia associada a uma bomba atˆ omica ´ e de 20 Kton TNT. num impacto como o acima descrito a cratera aberta teria um diˆ ametro de 80 km. A energia liberada nessa explos˜ ao foi equivalente a 5 bilh˜ oes de bombas nucleares do tamanho da bomba de Hiroshima. sua energia cin´ etica ao colidir com a Terra ser´ a (no m´ ınimo) Ec = 2. 14. pois o n´ umero de crateras ´ e proporcional ao tempo decorrido desde que a superf´ ıcie foi exposta. e as mol´ eculas do g´ as na atmosfera absorvem certos comprimentos de onda. Portanto. o terreno com maior n´ umero de crateras de impacto ser´ a sempre o mais antigo. Para ter uma id´ eia do que isso representa.4 km/s para a Lua). no m´ ınimo. mol´ eculas do g´ as e v sua velocidade m´ com valor de 1. a velocidade m´ edia de suas mol´ eculas deve ser menor do que 1/6 da velocidade de escape do planeta: 1 1 v ≤ vescape = 6 6 2GM/r Por exemplo. m ´ e a massa das las ´ e1 2 2 edia. J´ a os planetas massivos tˆ em um tipo de atmosfera totalmente diferente. mas formada ao longo do tempo geol´ ogico a partir de gases escapados de seu interior. O impacto com cometas tamb´ em contribui com alguns componentes dessa atmosfera secund´ aria. ´ e de 0. para um g´ as ideal. A uma mesma temperatura. depende da temperatura do g´ as e da massa molecular do g´ as. Como a velocidade de escape da Terra ´ e 11 km/s. a velocidade m´ edia ´ e v= 3kT m A velocidade das mol´ eculas. a energia cin´ etica m´ edia de suas mol´ ecu2 = 3 kT . e a velocidade m´ edia das mol´ eculas do hidrogˆ enio. especialmente hidrogˆ enio e h´ elio. que ´ e mais do que 6 vezes maior do que a velocidade m´ edia das mol´ eculas de oxigˆ enio. Evidentemente. mas n˜ ao o hidrogˆ enio. dominada pelos gases mais leves e mais comuns. mas ´ e menos do que 6 vezes maior do que a velocidade m´ edia das mol´ eculas do hidrogˆ enio. C´ alculos de mecˆ anica estat´ ıstica mostram que. quanto mais pesado o g´ as. a uma temperatura de 293 K (temperatura t´ ıpica na superf´ ıcie da Terra). esses planetas foram capazes de reter o g´ as presente no sistema solar na ´ epoca de sua forma¸ c˜ ao. na mesma temperatura ´ e de 2 km/s. 38 × 10−23 Joule/K. portanto. para um planeta reter um certo g´ as por bilh˜ oes de anos.Os gases presentes na atmosfera de um planeta depende dos constituintes qu´ ımicos de que o planeta se formou e da massa do planeta. Reten¸ c˜ ao de atmosferas A reten¸ c˜ ao de atmosferas ´ e um compromisso entre a energia cin´ etica (ou temperatura) das mol´ eculas do g´ as e a velocidade de escape do planeta (ou de sua massa). onde T ´ mv e a temperatura absoluta do g´ a s. Portanto. menor a velocidade m´ edia de suas mol´ eculas. Sabe-se que. a atmosfera da Terra ret´ em o oxigˆ enio. e k ´ e a constante de Boltzmann.5 km/s. a velocidade m´ edia das mol´ eculas do oxigˆ enio. Os planetas terrestres se formaram sem atmosferas extensas e sua atmosfera atual n˜ ao ´ e primitiva. 139 . 2. o chamado efeito estufa. Como esse g´ as ´ e opaco ` a radia¸ c˜ ao infravermelha. at´ e que eventualmente s˜ ao ejetadas para a superf´ ıcie nas explos˜ oes vulcˆ anicas. a quantidade de di´ oxido de carbono foi reduzida como conseq¨ uˆ encia da existˆ encia de vida. Na Terra. provavelmente ter´ ıamos uma atmosfera mais massiva e dominada por CO2 . Mas os organismos vivos rapidamente os reciclam novamente. tem uma temperatura superficial mais alta do que a de Merc´ urio. embora esteja muito mais distante do Sol do que este. que.3 Terra 11. na realidade. O efeito estufa ´ e maior para Vˆ enus. Na ausˆ encia de vida. Os organismos vivos contribuem para a diminui¸ c˜ ao desse g´ as na atmosfera de duas maneiras: uma ´ e que as criaturas marinhas usam os carbonatos como principal constituinte de suas conchas e carapa¸ cas protetoras. O petr´ oleo n˜ ao ´ e mais necessariamente considerado um combust´ ıvel f´ ossil (biogˆ enico).Tabela 14. Em conseq¨ uˆ encia. o di´ oxido de carbono na atmosfera impede que essa radia¸ c˜ ao escape para fora.0 J´ upiter 61 Saturno 37 Urano 22 Netuno 25 14. o carv˜ ao.2 Lua 2. A outra maneira como a vida remove o CO2 ´ e pela produ¸ c˜ ao de dep´ ositos de combust´ ıveis f´ osseis. Isso acontece por causa da grande quantidade de CO2 na atmosfera de Vˆ enus. quando a superf´ ıcie do planeta absorve a luz solar e re-irradia parte dele como calor (radia¸ c˜ ao infravermelha). a superf´ ıcie aquece. pois pode ser um hidrocarboneto primordial (abiogˆ enico) ao qual produtos biol´ ogicos foram adicionados.6 Efeito estufa A maioria dos planetas que tˆ em atmosferas experimenta alguma eleva¸ c˜ ao da temperatura de sua superf´ ıcie devido ao efeito de acobertamento pela atmosfera.4: Velocidade de Escape dos Planetas Planeta Velocidade (km/s) Merc´ urio 4. essas cascas afundam e se petrificam.4 Marte 5. Quando elas morrem.2 Vˆ enus 10. 140 . Mesmo apesar de existir em pequena quantidade. 141 . o CO2 presente na atmosfera da Terra ainda ´ e o principal fator da produ¸ c˜ ao do efeito estufa na Terra. mas no u ´ltimos 10 anos subiu acima de 350 partes por milh˜ ao e vem crescendo cerca de 1. e mudan¸ cas na temperatura da ´ agua nos oceanos causam varia¸ c˜ oes clim´ aticas. como o El Ni˜ no. Nos u ´ltimos 200 000 anos a quantidade de CO2 no ar esteve abaixo de 300 partes por milh˜ ao. embora o vapor d’´ agua e os CFCs tamb´ em contribuam. Os oceanos distribuem o calor do Sol atrav´ es de suas correntes mar´ ıtimas.5 partes por milh˜ ao ao ano. Estimase que a temperatura m´ edia da Terra est´ a atualmente 1◦ C mais alta do que estava h´ a um s´ eculo atr´ as. 9x1024 0.2 149.8a 19h 6m 30◦ 1.21 Componentes da Atmosfera Gravidade Superficial (gT erra ) No.6 227.9 0. 3◦ 2.9 0.44 5909.25 0 -43(n) 470(s) 96%CO2 3.046 84.99 -218(s) CH4 N.5% N 12756.0 0.3 0.4 0.0068 0. 2◦ 142 78%N2 21% O2 1 1 11.97d 58.0 0.093 0.9 1.6 0. 7x1025 14.6 2867.18 30.03 -210(n) 83%H 15% He 1.055 5.7 0.52 0. 1◦ 7◦ 3.2 95%CO2 3% N 0. 7x1026 95.18 13 24 2306 1. 3x1023 0. 5◦ 224. 9x1027 317.1 -180(n) 97%H 3% He 1.203 9.0d 177◦ 365. 0x1026 17.539 19.06 4488.98d 24h37m 25◦ 11. de Sat´ elites Conhecidos Velocidade de Escape (km/s) .0167 0.3 10.010 164.64 61 60 12100 4.He.Merc´ urio 0.206 87.11 3 1. 3x1022 0.CO ? 0.4 51108 8.38 2 5.7d -243.387 57.46a 10h12m 26◦ 44 0.7 0.3 0.005 -23(s) 142984 1.17 27 21 49538 1.056 0.2 0.6 1.2 1. 4x1023 0.815 5.4 0 0.107 3.248 247.O 2. 8◦ Vˆ enus Terra Marte J´ upiter Saturno Urano Netuno Plut˜ ao 39. 8◦ 108. 0x1024 1 5.4 1423.02 -220(n) 74%H 25% He 1.26d 23h56m 23◦ 27 686. 9◦ 1.41 0 407(s)dia -183(s)noite tra¸ cos de Na.002 1.34 6.6d 0.88 Distˆ ancia m´ edia ao Sol (UA) Distˆ ancia m´ edia ao Sol (106 km) Excentricidade da ´ Orbita Per´ ıodo de Revolu¸ ca ˜o Per´ ıodo de Rota¸ c˜ ao Inclina¸ ca ˜o do Eixo ´ Inclina¸ ca ˜o da Orbita ` a Ecl´ ıptica Diˆ ametro Equatorial (km) Massa (kg) Massa (MT erra ) Densidade (g/cm3 ) Achatamento Temperatura (C) 4878 3.04a -17h54m 98◦ 0.H.048 0.94 778. 4◦ 0◦ 1.86a 9h48m 3◦ 05 29.15 33 35.37 0 4.06 -150(n) 90%H 10% He 120536 5.7a 6d 9h 120◦ 17.003 22(s) 6786 6.723 1 1.524 5. sejam do cintur˜ ao principal. A forma achatada do cintur˜ ao de Kuiper indica que os objetos que o forma s˜ ao remanescentes dos planetesimais formados no disco da nebulosa solar. Todos os aster´ oides. Esses objetos formam o chamado Cintur˜ ao de Kuiper. um cintur˜ ao de restos gelados que est´ a no plano do sistema solar e se estende desde ap´ os a ´ orbita de Netuno at´ e 150 UA do Sol. descoberto em 1802. pelo italiano Giuseppe Piazzi (1746-1826). cerca de 30 tˆ em diˆ ametros maiores do que 200m. em 1801.1 Aster´ oides Aster´ oides s˜ ao um grupo numeroso de pequenos corpos (planetas menores) que orbitam o Sol. a uma distˆ ancia da ordem de 2. A partir de 1992 foram descobertos v´ arios aster´ oides situados al´ em da ´ orbita de Netuno.8 unidades astronˆ omicas (UA) do Sol. chamados objetos transnetunianos. Ceres tem 1000 km de diˆ ametro e massa de um cent´ esimo da massa da Lua. Devem existir no m´ ınimo 70000 com diˆ ametros maiores do que 100 km no 143 . s˜ ao menores do que a Lua. A maior parte dos aster´ oides conhecidos tˆ em ´ orbitas situadas entre as ´ orbitas de Marte e J´ upiter. que foi tamb´ em o primeiro aster´ oide a ser descoberto. existem mais de 12000 aster´ oides catalogados. O maior objeto do Cintur˜ ao de Aster´ oides ´ e Ceres. mas devem existir acima de 100 mil com mais de 1 km de diˆ ametro. Essa regi˜ ao ´ e conhecida como o Cintur˜ ao de Aster´ oides. por Heinrich Wilhelm Matt¨ aus Olbers (1758-1840) e Juno. descoberto em 1804 por Karl Ludwig Harding ((1765-1834). sejam do cintur˜ ao de Kuiper. Outros aster´ oides grandes dessa regi˜ ao s˜ ao Palas. Atualmente.Cap´ ıtulo 15 Corpos menores do Sistema Solar 15. no Hawai’i. 5 M⊗ ) do que anteriomente se pensava. Em fevereiro de 2004 foi descoberto o Sedna. os primeiros habitantes da bacia de Los Angeles. O aster´ oide Eris varia de distˆ ancia ao Sol entre 38 UA e 98 UA (a=67. Pela ´ orbita de Dysnomia se mede que Eris ´ e 27% mais massivo que 144 . Luu em 1992. Seu sat´ elite recebeu o nome Dysnomia. e uma excentricidade que o leva de uma distˆ ancia m´ ınima do Sol de 35 UA a uma distˆ ancia m´ axima de 136 UA. com raio entre 550 e 900 km. P=557. fotografado pela primeira vez por Michael E. foram descobertos mais de 600 aster´ oides candidatos a a pertencerem ao Cintur˜ ao de Kuiper. comparado com 2288 km de Plut˜ ao.2 Objetos do Cintur˜ ao de Kuiper Este cintur˜ ao foi predito pelos c´ alculos dos astrˆ onomos Kenneth Essex Edgeworth (1880-1972) em 1949 e e Gerard Peter Kuiper (1905-1973) em 1951.cintur˜ ao de Kuiper. que passou a ser considerado o maior aster´ oide do sistema solar. que resultaram em um diˆ ametro de 2398 ± 97 km. Keck Observatory. um aster´ Eris oide do cintur˜ ao de Kuiper (aster´ oide transnetuniano). Trujillo (1973-) e David Lincoln Rabinowitz (1960-). ambos com 450 km de raio.73 UA. por exemplo. com raio de 316 km. provavelmente foi deslocado de sua ´ orbita por Netuno. Em 2002 foi descoberto o objeto transnetuniano 2002LM60. 15. Desde a primeira descoberta de um aster´ oide transnetuniano por David C. ´ e maior do que Plut˜ ao. ´ (2003 UB313). Chadwick A. 1996TL66 e 2002AW197 n˜ ao s˜ ao objetos transnetunianos cl´ assicos. com 1250 km de diˆ ametro. conforme as medidas feitas com o Telesc´ opio Espacial Hubble em 9 e 10 de dezembro de 2005. O planeta an˜ ao 2003 UB313 recebeu em 13 de setembro e 2006 o ´ nome oficial de Eris. O aster´ oide 2003 UB313 tem um sat´ elite. Brown (1965-). descoberto em 2005 por Michael E. 1966TL66. a deusa da disc´ ordia na mitologia grega. Sua descoberta sugere que o Cintur˜ ao de Kuiper se estende al´ em de 50 UA.M. Brown com um dos telesc´ opios de 10 m do W.44 anos). Ixion. Jewitt & Jane X. “for¸ ca de cria¸ c˜ ao” na l´ ıngua da tripo Tongva. pois sua ´ orbita vai muito al´ em da m´ edia do cintur˜ ao de Kuiper. e 1996TL66. e tem um plano de ´ orbita bem inclinado em rela¸ c˜ ao ao dos planetas (44o ). a uma distˆ ancia de 13 bilh˜ oes de km. a maioria com cerca de 100 km de diˆ ametro. tem ´ orbita com semi-eixo maior de 85 UA (o semi-eixo maior da ´ orbita de Plut˜ ao ´ e 39 UA). e pode conter muito mais massa ( 0. que na mitologia ´ e o esp´ ırito demon´ ıaco da falta de lei. com 530 km de raio. S/2005 (2003 UB313) 1. Entre os maiores est˜ ao Varuna e 2002 AW197. maior do que Ceres. Esse aster´ oide foi batizado de Quaoar. descoberto que ele possui um sat´ elite. Na Terra.5 km de diˆ ametro. ent˜ ao. O Cintur˜ ao de Aster´ oides principal cont´ em aster´ oides com semi-eixo maior de 2. Do estudo dos meteoritos se pode aprender muito sobre o tipo de material a partir do qual se formaram os planetas interiores. Um tipo de meteoritos rochosos s˜ ao os condritos carbon´ aceos. e os met´ alico-rochosos. mais de 90% de todos os aster´ oides est˜ ao nesse Cintur˜ ao. Existem 3 tipos de meteoritos: os met´ alicos. que se aproximam da Terra. 15. Ao penetrar na atmosfera da Terra geram calor por atrito com a atmosfera.2 a 3.5 bilh˜ oes de anos. Dactyl. 145 . O aster´ oide Ida. de 1. os rochosos. que significa fenˆ omeno no c´ eu. e n˜ ao parecem ter sofrido altera¸ c˜ ao desde a ´ epoca de sua forma¸ c˜ ao. Meteoritos s˜ ao meteoros que atravessam a atmosfera da Terra sem serem completamente vaporizados. a 100 km de distˆ ancia. caindo ao solo. Os grandes aster´ oides tˆ em densidade da ordem de 2.3 a 6 anos. Existem aproximadamente 50 aster´ oides com diˆ ametro maior de 20 km. Os met´ alicos s˜ ao compostos principalmente de ferro e n´ ıquel. Dois a trˆ es novos s˜ ao descobertos por ano e suas ´ orbitas s˜ ao muitas vezes inst´ aveis. foi fotografado em 1993 pela sonda Galileo.3 UA. uma vez que s˜ ao fragmentos primitivos do sistema solar. compreendendo 90% de todos meteoritos conhecidos. correspondendo a per´ ıodos orbitais de 3. deixando um rastro brilhante facilmente vis´ ıvel a olho nu. que se chocam com a Terra. que representam o tipo mais antigo de meteoritos.Plut˜ ao. O termo vem do grego meteoron. Mais de 9000 aster´ oides tˆ em ´ orbitas bem determinadas. colidindo com uma taxa de aproximadamente 1 a cada 1 milh˜ ao de anos.3 Meteoros Meteoros s˜ ao pequenos aster´ oides. com 50 km de diˆ ametro. caem aproximadamente 25 milh˜ oes por dia.5 g/cm3 . Provavelmente. Eles orbitam o Sol aproximadamente na mesma dire¸ c˜ ao dos planetas (de oeste para leste) e a maioria no mesmo plano. e foi. com aproximadamente 4. Os rochosos s˜ ao os mais abundantes. chamados meteor´ oides. a grande maioria com algumas microgramas. Em 30 de junho de 1908. cientistas da NASA revelaram evidˆ encias indiretas de poss´ ıveis f´ osseis microsc´ opicos que poderiam ter se desenvolvido em Marte 3. ´ e um dos 30 meteoritos j´ a coletados na Terra. Em outubro de 1996. de fato. na cadeia de montanhas Sikhote-Alin. espontaneamente. 15. causado por um aster´ oide de ferro-n´ ıquel de aproximadamente 100 toneladas que se rompeu no 146 . de 1. muito similar ` a composi¸ c˜ ao dos meteoritos como o ALH84001. indicando que poderia ter havido vida em Marte no passado remoto. na Ant´ artica. e matando muitos animais. que. derrubando milhares de km2 de ´ arvores. perto de Vladivostok. novamente uma evidˆ encia circunstancial.Em agosto de 1996. coletado em 1984. portanto. Ele mostra tra¸ cos de hidrocarbonetos polic´ ıclicos arom´ aticos e dep´ ositos minerais parecidos com os causados por nanobact´ erias na Terra e. da miss˜ ao Mars Pathfinder de julho a setembro de 1997. Esse meteorito. tamb´ em na Sib´ eria. comprovou que a composi¸ c˜ ao qu´ ımica das rochas marcianas ´ e. A sonda Sojourner.5 bilh˜ oes de anos atr´ as. foi arrancado de Marte 16 milh˜ oes de anos atr´ as. Essa ´ e a primeira evidˆ encia da poss´ ıvel existˆ encia de vida fora da Terra e levanta a quest˜ ao de se a vida come¸ cou em outros pontos do Universo al´ em da Terra. na Sib´ eria. um aster´ oide ou cometa de aproximadamente 100 mil toneladas explodiu na atmosfera perto do Rio Tunguska. e caiu na Ant´ artica 13 mil anos atr´ as. O impacto. na regi˜ ao chamada Allan Hills. ALH84001 cristalizou-se no magma de Marte 4.9 kg.4 Impactos na Terra Duas vezes no s´ eculo XX grandes objetos colidiram com a Terra. para a qual vida ´ e somente uma das poss´ ıveis interpreta¸ c˜ oes. cientistas ingleses descobriram tra¸ cos de carbono orgˆ anico em outro meteorito marciano.6 bilh˜ oes de anos atr´ as no meteorito marciano ALH84001. ETA79001. Sua denomina¸ c˜ ao vem do fato de ter sido o meteorito n´ umero 001. se acredita. foram arrancados de Marte por colis˜ oes de aster´ oides. O segundo impacto ocorreu em 12 de fevereiro de 1947. no fundo do Mar do Norte na costa da Inglaterra. ´ e consistente com um impacto de um aster´ oide ou cometa de mais de 10 km de diˆ ametro. foi visto por centenas de pessoas e deixou mais de 106 crateras. ge´ ologo americano. de 24 km de largura na Ucrˆ ania e a cratera Silverpit. que notaram que a extin¸ c˜ ao se deu por altera¸ c˜ oes clim´ aticas que atingiram toda a Terra. com tamanhos de at´ e 28 m de diˆ ametro. j´ a que parte est´ a sob o oceano. A extin¸ c˜ ao dos dinossauros. similar ` a platina) em v´ arias partes do globo nesta ´ epoca. A imagem mostra as varia¸ c˜ oes gravim´ etricas do local.2 km de diˆ ametro e 50 mil anos. O impacto liberou uma energia equivalente a 5 bilh˜ oes de bombas atˆ omicas como a usada sobre Hiroshima em 1945. vertebrados e invertebrados que ocorreu h´ a 65 milh˜ oes de anos (transi¸ c˜ ao do per´ ıodo Cret´ aceo para o Terci´ ario) tem origem num grande impacto ´ e do f´ ısico americano Luis Walter Alvarez (1911-1988). que abriu uma cratera de 200 km de diˆ ametro perto de Chicxulub. como a cratera Boltysh. na pen´ ınsula de Yucatan. com 19 km de largura. Mais de 28 toneladas em 9000 meteoritos met´ alicos foram recuperados. que tem 1. com um esfriamento na superf´ ıcie e pela existˆ encia de uma fina camada de barro com uma alta taxa de ir´ ıdio (um metal raro. Com a queda da fotoss´ ıntese. que demonstrou que a cratera era devido ao impacto de um meteorito].1: Foto da Meteor Crater. e seu filho Walter Alvarez (1940-). as plantas 147 . consistente com uma grande nuvem de p´ o que se espalhou por todo o planeta. no M´ exico. no Arizona. Outras crateras com a mesma idade tˆ em sido descobertas. ar.Figura 15. 65 milh˜ oes de anos atr´ as. A proposta de que a grande extin¸ c˜ ao de organismos terrestres e marinhos. ganhador do prˆ emio Nobel em 1968 por seus estudos de part´ ıculas sub-atˆ omicas. ou Cratera Barringer [Daniel Moreau Barringer (1860-1929). cobrindo a luz do Sol. O maior peda¸ co pesa 1745 kg. Aster´ oides s˜ ao mais ricos em ir´ ıdio do que a crosta da Terra. que tem 2350 km 148 . um dos quatro sat´ elites galileanos de J´ upiter. a Terra ´ e atingida por corpos interplanet´ arios. 15. Note que a Lua. que tem 2439 km de raio. a cada dia.2: Medidas gravim´ etricas de Chicxulub. um grande impacto ocorre na Terra. Um evento similar poderia ser uma grande explos˜ ao vulcˆ anica. com 2575 km de raio. Ambos s˜ ao maiores do que o planeta Merc´ urio. rica em compostos de carbono e metano. com 3475 km de diˆ ametro.5 Sat´ elites Em geral. a maioria deles microsc´ opicos.Figura 15. Titan apresenta a not´ avel caracter´ ıstica de possuir uma atmosfera densa. O maior sat´ elite do sistema solar ´ e Ganimedes. O segundo ´ e Titan. morreriam e os dinossauros morreriam por falta de alimentos. e a cada aproximadamente 30 milh˜ oes de anos. com uma massa acumulada de 10 000 toneladas. ´ e maior do que Plut˜ ao. Esse n˜ ao ´ e um evento u ´nico. o n´ umero de sat´ elites de um planeta est´ a associado ` a sua massa. de Saturno. com raio de 2631 km. mas isto n˜ ao explicaria a deposi¸ c˜ ao de ir´ ıdio. nem a existˆ encia da cratera de Chicxulub. de longe.3: An´ eis de Saturno. 149 . 15. Eles s˜ ao constitu´ ıdos. Saturno ´ e. Os quatro planetas jovianos apresentam um sistema de an´ eis. o que possui an´ eis mais espetaculares. Nos quatro planetas. principalmente. os an´ eis est˜ ao dentro do limite de Roche. e devem ter se formado pela quebra de um sat´ elite ou a partir de material que nunca se aglomerou para formar um sat´ elite.6 An´ eis Figura 15. constitu´ ıdos por bilh˜ oes de pequenas part´ ıculas orbitando muito pr´ oximo de seu planeta. A maioria dos sat´ elites revolve em torno do respectivo planeta no sentido de oeste para leste e a maioria tem ´ orbita aproximadamente no plano equatorial de seu planeta.de diˆ ametro. estreita e azulada. como uma bola de gelo sujo. a n˜ ao ser quando se aproximam do Sol. mas frequentemente apresenta as duas. Eles s˜ ao muito pequenos e fracos para serem vistos mesmo com um telesc´ opio. Essa cauda sempre aponta na dire¸ c˜ ao oposta ` a do Sol e pode estender-se at´ e 1 UA de comprimento. A uma grande nuvem de g´ as e poeira ao redor do cometa. A press˜ ao de radia¸ c˜ ao do Sol empurra as part´ ıculas de g´ as e a poeira da coma formando a cauda. + principalmente CO+ . dando ` a cauda a forma curva caracter´ ıstica. eles desenvolvem caudas brilhantes que algumas vezes podem ser vistas mesmo a olho nu. A cauda amarelada ´ e constitu´ ıda de gr˜ aos de poeira empurrados pela press˜ ao de radia¸ c˜ ao do Sol. Os cometas s˜ ao feitos de uma mistura de gelo e poeira. Algumas vezes. As part´ ıculas de poeira seguem ´ orbitas keplerianas. Existem dois tipos de cauda: a cauda de Tipo I ´ e reta. Essa cauda ´ e um efeito de perspectiva. quanto mais distante do Sol mais devagar elas andam. a cauda de Tipo II ´ e curva. causado por part´ ıculas grandes (0. portanto as mas distantes v˜ ao ficando para tr´ as em rela¸ c˜ ao ` as mais pr´ oximas. ejetadas do n´ ucleo. emitindo 2 2 luz azul (a emiss˜ ao do mon´ oxido de carbono ionizado fica em λ = 4200 ˚ A). Nessas ocasi˜ oes. ´ e observada tamb´ em uma anticauda. Um cometa pode apresentar apenas uma das caudas. permanecendo na ´ orbita. e CO . James Clerk Maxwell (1831-1879) demonstrou que os an´ eis s´ o poderiam permanecer em orbitas est´ ´ aveis se fossem constitu´ ıdos de pequenas part´ ıculas. Suas ´ orbitas s˜ ao elipses muito alongadas. segundo o proposto em 1950 por Fred Lawrence Whipple (1906` medida que se aproximam do Sol.1 a 1 mm de diˆ ametro). N+ . 150 .7 Cometas Os cometas constituem outro conjunto de pequenos corpos orbitando o Sistema Solar. larga e amarelada. chamada coma. o vento Solar. Esses gases ionizados seguem as part´ ıculoas ionizadas expelidas pelo Sol. s˜ ao feitos de part´ ıculas escuras. A cauda azulada ´ e constitu´ ıda de gases ionizados pela radia¸ c˜ ao ultravioleta do Sol. Netuno e J´ upiter (nessa ordem de massa constituinte). que n˜ ao s˜ ao arrastadas pela press˜ ao de radia¸ c˜ ao do Sol. parte do gelo sublima. sendo invis´ ıveis da Terra. J´ a em 1857.por pequenas part´ ıculas de gelo. uma cauda na dire¸ c˜ ao do Sol. formando 2004). 15. A parte s´ olida e gelada no interior ´ e o n´ ucleo. que brilham porque refletem a luz solar. que brilham por fluorescˆ encia. isto ´ e. J´ a os an´ eis de Urano. que refletem muito bem a luz. e portanto peri´ odico. No in´ ıcio de 1997. que se deu pelo colapso de uma nuvem molecular gigante. colidiu com J´ upiter. Concluindo. se um corpo pequeno apresenta uma atmosfera vol´ atil vis´ ıvel. a estrela GL710. o cometa Shoemaker-Levy 9. 15. chama-se aster´ oide. e que tinha se fragmentado em mais de 21 peda¸ cos. astrˆ onomo britˆ anico amigo de Isaac Newton foi o primeiro a mostrar que os cometas vistos em 1531. que ´ e. densidade pr´ oxima a 1. Eugene Merle Shoemaker (1928-1997) e David H. Se n˜ ao. 1607 e 1682 eram. Eventualmente. chama-se cometa. presumivelmente sobras da forma¸ c˜ ao do sistema solar. e massa de 6 × 1014 kg. na verdade. fazendo com que ele fosse lan¸ cado para as partes mais internas do sistema solar. que chegou a 1000 km do n´ ucleo do cometa. os maiores de at´ e 1 km. Esses corpos formariam uma vasta nuvem circundando o Sistema Solar. explodindo nas nuvens de amˆ onia da atmosfera de J´ upiter. Em julho de 1994.1 Origem dos Cometas Acredita-se que os cometas s˜ ao corpos primitivos. Edmond Halley (1656-1742).0 g/cm3 . desde ent˜ ao.7. 151 . o Cometa Hale–Bopp esteve vis´ ıvel a olho nu em praticamente todo o mundo. Haveria aproximadamente 100 bilh˜ oes de n´ ucleos comet´ arios nessa nuvem. o mesmo cometa. descoberto por Carolyn Jean Spellmann Shoemaker (1929-). Por exemplo. a intera¸ c˜ ao gravitacional com uma estrela pr´ oxima perturbaria a ´ orbita de algum cometa.O n´ ucleo irregular do Cometa Halley foi fotografado pela nave europ´ eia Giotto. Levy (1948-) em 24 de mar¸ co de 1993. chamado de Cometa Halley. em ´ orbitas com af´ elios a uma distˆ ancia de aproximadamente 50 000 UA do Sol: a “Nuvem de Oort”. da constela¸ c˜ ao do Sagit´ ario. inclusive todo o Brasil. que tem 13 por 8 km. Nenhum outro planeta do tamanho de Plut˜ ao foi encontrado. muitas vezes chamado Planeta X. Pr´ oxima Centauri e a estrela de Barnard [Edward Emerson Barnard (1857-1923)]. muitos astrˆ onomos procuraram evidˆ encias dinˆ amicas ou fotogr´ aficas da existˆ encia de um 10◦ planeta. com diˆ ametros da ordem de algumas centenas de quilˆ ometros. atualmente defendida por muitos astrˆ onomos.8 Planeta X Desde a descoberta de Plut˜ ao por Clyde William Tombaugh (1906-1997). 15. chegando a 1. que no c´ eu fica na regi˜ ao do Zod´ ıaco. s˜ ao S´ ırius.1 anos-luz de distˆ ancia do Sol. e uma chuva de meteoros ocorre. 15. em lugares suficientemente escuros. A raz˜ ao dessa procura ´ e que a massa de Plut˜ ao parece muito pequena para dar conta de todas as irregularidades observadas no movimento de Netuno. de que a regi˜ ao externa do sistema solar ´ e povoada por milhares de corpos gelados do tipo de Plut˜ ao. ele perde. na forma de part´ ıculas que ficam orbitando em torno do Sol na mesma ´ orbita do cometa. ela encontra essa “nuvem” de part´ ıculas. ele n˜ ao sobrevive a mais do que 1000 passagens peri´ elicas antes de perder todos os seus elementos vol´ ateis.que se encontra hoje a 63 anos-luz do Sol. 152 . Essas descobertas sugeriram a id´ eia. parte de seus componentes s´ olidos. junto com seus componentes vol´ ateis. mas foram descobertos muitos objetos menores. em 1930. existe grande concentra¸ c˜ ao de poeira comet´ aria. nos pr´ oximos bilh˜ oes de anos. que formam o cintur˜ ao de Kuiper.10 Luz zodiacal No plano do Sistema Solar. Cada vez que a Terra cruza a ´ orbita de um cometa. Uma vez que o cometa ´ e desviado para o interior do sistema solar. 15. vai passar dentro da nuvem de Oort daqui a aproximadamente 6 bilh˜ oes de anos.9 Chuva de meteoros Cada vez que um cometa passa perto do Sol. A reflex˜ ao da luz solar nessa poeira chama-se luz zodiacal e pode ser vista algumas horas ap´ os o pˆ or-dosol ou antes de seu nascer. que foi o que j´ a havia motivado as pesquisas que levaram ` a descoberta de Plut˜ ao. Outras estrelas que perturbar˜ ao a Nuvem de Oort. Suas principais caracter´ ısticas s˜ ao: 153 . Apesar de parecer t˜ ao grande e brilhante (seu brilho aparente ´ e 200 bilh˜ oes de vezes maior do que o de S´ ırius. ´ e a estrela mais pr´ oxima de n´ os.Cap´ ıtulo 16 O Sol . obtida pelo National Solar Observatory. Os filamentos escuros s˜ ao proeminˆ encias. nossa fonte de luz e de vida. Figura 16. O estudo do Sol serve de base para o conhecimento das outras estrelas. na verdade o Sol ´ e uma estrela bastante comum. ´ e uma enorme esfera de g´ as incandescente. a estrela mais brilhante do c´ eu noturno). em cujo n´ ucleo acontece a gera¸ c˜ ao de energia atrav´ es de rea¸ c˜ oes termo-nucleares.1: Foto do Sol na linha Hα do hidrogˆ enio.a nossa estrela O Sol. e a que melhor conhecemos. EUA. que de t˜ ao distantes aparecem para n´ os como meros pontos de luz. Basicamente. permite determinar a press˜ ao e a temperatura no centro do Sol.1 Estrutura do Sol O modelo representado na figura mostra as principais regi˜ oes do Sol. O tamanho do Sol ´ e obtido a partir de seu tamanho angular e da sua distˆ ancia. A massa do Sol pode ser medida a partir do movimento orbital da Terra (ou de qualquer outro planeta) usando a terceira lei de Kepler. 496 × 108 km L = 3.79 G2 V B − V = 0. 9 × 1033 ergs/s Tef = 5785 K Tc = 1. com cerca de 330 km de espessura e temperatura de 5785 K. ´ e medida por ondas de radar direcionadas a um planeta em uma posi¸ c˜ ao favor´ avel de sua ´ orbita (por exemplo Vˆ enus.7% Oxigˆ enio = 0.2 % H´ elio = 8. 154 . Outras caracter´ ısticas s˜ ao determinadas a partir de modelos. chamada Unidade Astronˆ omica. descrita no cap´ ıtulo Evolu¸ c˜ ao Estelar. a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico.989 ×1030 kg R = 6.62 U − B = 0.10 Composi¸ c˜ ao qu´ ımica principal Hidrogˆ enio = 91. Por exemplo. Massa Raio Densidade m´ edia Densidade central Distˆ ancia Luminosidade Temperatura efetiva Temperatura central Magnitude absoluta bolom´ etrica Magnitude absoluta visual Tipo espectral e classe de luminosidade ´ Indices de cor 16. Sabendo ent˜ ao sua massa e seu raio temos a densidade m´ edia do Sol.5 × 107 K Mbol = 4. quando Terra e Vˆ enus est˜ ao do mesmo lado do Sol e alinhados com ele).72 MV = 4. supondo que elas tˆ em que ser extremamente altas para suportar o peso das camadas mais externas. a distˆ ancia do Sol. Por exemplo.M = 1.6 ×105 kg m−3 1 UA = 1. Pela densidade m´ edia podemos inferir sua composi¸ c˜ ao qu´ ımica m´ edia.960 ×108 m ρ = 1409 kg m−3 ρc = 1. A fotosfera.078 % Carbono = 0.049 % Per´ ıodo rotacional no equador 25 d na latitude 60◦ 29 d Algumas das caracter´ ısticas listadas acima s˜ ao obtidas mais ou menos diretamente. As regi˜ oes escuras entre os grˆ anulos s˜ ao regi˜ oes onde o g´ as mais frio e mais denso escorrem para baixo.Coroa Cromosfera Zona Convectiva Fotosfera Zona Radiativa 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Núcleo 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Proeminência ´ e a camada vis´ ıvel do Sol. Abaixo dessa camada est´ a a zona radiativa.1. por rea¸ c˜ oes termo-nucleares. em que a temperatura 155 . Estende-se por 10 mil km acima da fotosfera e a temperatura cresce da base para o topo. tamb´ em vis´ ıvel durante os eclipses totais. Os grˆ anulos tˆ em em torno de 1500 km de diˆ ametro. A maior parte do espectro vis´ ıvel do Sol tem origem em uma camada com cerca de 1000 km de extens˜ ao. Eles marcam os topos das colunas convectivas de g´ as quente.1 A fotosfera A fotosfera do Sol tem a aparˆ encia da superf´ ıcie de um l´ ıquido em ebuli¸ c˜ ao. A cromosfera ´ e a camada da atmosfera solar logo acima da fotosfera. Este fenˆ omeno ´ e chamado de granula¸ c˜ ao fotosf´ erica. onde a energia flui por radia¸ c˜ ao. O n´ ucleo. 16. Ela tem cor avermelhada e ´ e vis´ ıvel durante os eclipses solares. logo antes e ap´ os a totalidade. logo abaixo da fotosfera. Logo abaixo da fotosfera se localiza a zona convectiva. tendo um valor m´ edio de 15 mil K. e duram cerca de 10 min cada. com temperatura de cerca de 10 milh˜ oes de graus Kelvin. Ainda acima da cromosfera se encontra a coroa. ´ e a regi˜ ao onde a energia ´ e produzida. se estendendo por cerca de 15% do raio solar. cheia de bolhas. A coroa se estende por cerca de dois raios solares. ou grˆ anulos. que se forma na zona convectiva. 8 m/s2 (Jorge E. A gravidade superficial do Sol ´ e de g = 2. parte 156 . mostrando algumas manchas solares varia de cerca de 9000 K a 4000 K. 605). Astrophysical Journal. 1973. O fenˆ omeno fotosf´ erico mais not´ avel ´ e o das manchas solares. As manchas foram registradas na China j´ a no ano 28 a. Avrett & Rudolf Loeser. sendo observadas (por proje¸ c˜ ao da imagem do Sol) por Galileo e Thomas Harriot (1560-1621) j´ a em 1610. obtida pelo sat´ elite SOHO (The Solar and Heliospheric Observatory). Eugene H. embora olhar diretamente para o Sol s´ o n˜ ao ´ e perigoso quando ele est´ a no horizonte..3: Foto do Sol em luz branca.2: Foto do Sol na linha de 584 ˚ A do h´ elio (He I). S˜ ao constitu´ ıdas de duas partes: a umbra. Vernazza. regi˜ oes irregulares que aparecem mais escuras do que a fotosfera circundante e que muitas vezes podem ser observadas mesmo a olho nu. da ESA/NASA Figura 16.Figura 16.C. 184. mas seu estudo cient´ ıfico come¸ cou com o uso do telesc´ opio. e por Johannes (1587-1616) e David Fabricius (1564-1617) e por Christoph Scheiner (1575-1650) em 1611. 738 × 104 cm/s2 =273. feito de linhas brilhantes. As manchas solares seguem um ciclo de 11 anos em que o n´ umero de manchas varia entre m´ aximos e m´ ınimos. descoberto em 1843 pelo astrˆ onomo amador alem˜ ao Samuel Heinrich Schwabe (1789-1875) . Esse espectro ´ e o da fotosfera. no entanto. quando a Lua esconde o disco da fotosfera. durante um eclipse. regi˜ ao um pouco mais clara e com estrutura radial em torno da umbra. As manchas solares tendem a se formar em grupos. olhando a borda do Sol com um espectrosc´ opio. temos a oportunidade de ver por alguns instantes o espectro da cromosfera. que o Sol tem um espectro cont´ ınuo com linhas escuras (de absor¸ c˜ ao). Veremos. No entanto. e est˜ ao associadas a intensos campos magn´ eticos no Sol. com temperaturas em torno de 3800 K.1.2 A cromosfera A cromosfera do Sol normalmente n˜ ao ´ e vis´ ıvel.4: Distribui¸ c˜ ao de temperatura e densidade na atmosfera do Sol. e a penumbra.Figura 16. durante os eclipses. porque sua radia¸ c˜ ao ´ e muito mais fraca do que a da fotosfera. Ela pode ser observada. central mais escura. que mostram que a cromosfera ´ e constitu´ ıda de gases quentes que emitem luz 157 . 16. no cap´ ıtulo de espectroscopia. por isso n˜ ao as vemos no espectro solar normal. jatos de g´ as que se elevam a at´ e 10 mil km acima da borda da cromosfera. Essas linhas s˜ ao dif´ ıceis de serem observadas contra a luz brilhante da fotosfera. e permite ver que a cromosfera tem uma aparˆ encia ondulada devido a presen¸ ` ca de estruturas chamadas esp´ ıculas.5: Foto do eclipse total de 4 de novembro de 1994. Atualmente se pensa que a fonte de energia s˜ ao campos magn´ eticos vari´ aveis formados na fotosfera e transportados para a coroa por correntes el´ etricas. na forma de linhas de emiss˜ ao. Uma das linhas cromosf´ ericas de emiss˜ ao mais brilhantes ´ e a linha de Balmer Hα. Esse aquecimento da cromosfera deve ter uma fonte de energia que n˜ ao s˜ ao os f´ otons produzidos no interior do Sol. e n˜ ao mais quente. As esp´ ıculas. obtida pelos autores em Santa Catarina. pois se a energia fosse gerada por f´ otons a cromosfera deveria ser mais fria do que fotosfera. aparecem como labaredas brilhantes. observadas contra o disco do Sol. deixando parte de sua energia na cromosfera. no comprimento de onda 6563 ˚ A. que no espectro solar normal aparece em absor¸ c˜ ao. nas bordas. A temperatura na cromosfera varia de 4300 K na base a mais de 40 000 K a 2500 km de altura. Uma fotografia do Sol tirada com filtro Hα deixa passar a luz da cromosfera. mostrando a cromosfera. por isso a cromosfera tem cor avermelhada. A linha Hα est´ a no vermelho. 158 . Brasil. e duram poucos minutos.Figura 16. aparecem como filamentos escuros. formando o cintur˜ ao de Van Allen. n´ ıquel.3 A Coroa A cromosfera gradualmente se funde na coroa. descoberto pelo f´ ısico americano James Alfred 159 .1. A coroa deve ter uma temperatura em torno de 1 milh˜ ao de graus Kelvin. Da coroa emana o vento solar. Os p´ olos solares apresentam pouca super-granula¸ c˜ ao. e n˜ ao por algum elemento estranho. A coroa tamb´ em ´ e melhor observada durante eclipses. pois apesar de ter um brilho equivalente ao da lua cheia. Este cintur˜ ao. pois ´ e necess´ aria muita energia para arrancar muitos el´ etrons de um ´ atomo. na magnetosfera terrestre. O vento solar que atinge a Terra (aproximadamente 7 pr´ otons/cm3 viajando a cerca de 400 km/s) ´ e capturado pelo campo magn´ etico da Terra. a camada mais externa e mais rarefeita da atmosfera do Sol. e um tom mais escuro do que o centro do disco. O espectro da coroa mostra linhas muito brilhantes que. A eleva¸ c˜ ao da temperatura na coroa deve ter origem no mesmo processo f´ ısico que aquece a cromosfera: transporte de energia por correntes el´ etricas induzidas por campos magn´ eticos vari´ aveis. como anteriormente foi pensado. com um dos mais espectacular flares solares j´ a gravados. neˆ onio e c´ alcio altamente ionizados.6: Foto do Sol obtida pela esta¸ c˜ ao espacial Skylab da NASA em 19 de dezembro de 1973. Atualmente sabemos que elas s˜ ao produzidas por ´ atomos de ferro.Figura 16. O fato de existirem esses elementos v´ arias vezes ionizados na coroa implica que sua temperatura deve ser muito alta. A proeminˆ encia abrange mais de 588 000 km. 16. n˜ ao eram conhecidas. ela fica obscurecida quando a fotosfera ´ e vis´ ıvel. um fluxo cont´ ınuo de part´ ıculas emitidas da coroa que acarretam uma perda de massa por parte do sol em torno de 10−13 M por ano. at´ e 1940. Normalmente as part´ ıculas carregadas s˜ ao desviadas pelo campo magn´ etico da Terra para o Cintur˜ ao de Van Allen. de acordo com as medi¸ c˜ oes de campo magn´ etico pelos sat´ elites Magsat em 1980 e Oersted em 2000. que faz com que part´ ıculas carregadas tamb´ em cheguem ao solo na regi˜ ao conhecida como Anomalia Geomagn´ etica do Atlˆ antico Sul. tanto no hemisf´ erio norte quanto no hemisf´ erio sul. A Anomalia Geomagn´ etica do Atlˆ antico Sul ´ e uma mancha de fluxo invertido.cintur˜ ao de Van Allen. Entretanto o campo magn´ etico terrestre n˜ ao ´ e um simples dipolo e existe uma depress˜ ao no campo. Algumas regi˜ oes da prov´ ıncia ficaram at´ e duas semanas sem luz el´ etrica. tamb´ em associada com a ejec¸ c˜ ao de uma nuvem de plasma solar. Existem outras manchas menores. Al´ em das part´ ıculas do vento solar. Estas revers˜ oes de fluxo s˜ ao similares 160 . s´ o permite que as part´ ıculas carregadas entrem na atmosfera da Terra pelos p´ olos. Figura 16. uma mancha com fluxo magn´ etico direcionado para dentro dentro do hemisf´ erio de fluxo direcionado para fora. sofreu uma grande sobrecarga el´ etrica que causou v´ arios danos aos equipamentos. fenˆ omenos luminosos de excita¸ c˜ ao e des-excita¸ c˜ ao dos ´ atomos de oxigˆ enio. causando as auroras. Uma eje¸ c˜ ao coronal de massa tamb´ em pode causar grandes ondas nas camadas externas do Sol. existem grandes eje¸ c˜ oes de massa associadas ` as proeminˆ encias. que podem estar relacionadas com o aquecimento da coroa. o sat´ elite de comunica¸ c˜ oes E2 teve alguns circuitos queimados por uma sobrecarga est´ atica.Van Allen (1914-2006) em 1958.7: Magnetosfera da Terra . O u ´ltimo m´ aximo do ciclo de 11 anos ocorreu em 1989. e somente chegam ` a Terra pr´ oximas aos p´ olos. O m´ aximo do ciclo solar atual ocorreu em 15 de fevereiro de 2001. no Atlˆ antico Sul. no Canad´ a. quando o campo magn´ etico solar reverteu de polaridade. isto ´ e. a rede el´ etrica na prov´ ıncia de Quebec. e logo ap´ os uma grande proeminˆ encia solar. Em 1994. que quando atingem a Terra causam danos ` as redes el´ etricas e aos sat´ elites. 2 A energia do Sol T˜ ao logo foi conhecida a distˆ ancia do Sol. cristalizado e que libera calor latente na cristaliza¸ c˜ ao das camadas externas e de separa¸ c˜ ao de elementos menos densos. Desde o in´ ıcio da d´ ecada de 1990 tem-se detectado um buraco na camada de ozˆ onio sobre a Ant´ artica. como sultefo de ferro e ´ oxido de ferro.` as que causam as manchas solares: o fluxo de material l´ ıquido e ionizado no n´ ucleo da Terra ´ e convectivo. causam a revers˜ ao do campo magn´ etico da Terra. Estas manchas mudam de tamanho com o tempo e.3% durante o ciclo solar de 11 anos. de bilh˜ oes de toneladas. 16. em 1673. A u ´ltima revers˜ ao ocorreu h´ a 780 mil anos. ou seja. que faz com que o equador solar complete uma volta em 25 dias. que ´ e a potˆ encia que ele produz. l´ ıquido (2900 km a 5100 km de profundidade). Os campos magn´ eticos do Sol se enrolam devido ao movimento turbulento de convec¸ c˜ ao mas tamb´ em devido ` a rota¸ c˜ ao diferencial. UV-B and UV-C. foi poss´ ıvel determinar a sua luminosidade. As eje¸ c˜ oes coronais de massas s˜ ao bolhas de g´ as quente (plasma). turbulento e distorcido tamb´ em por rota¸ c˜ ao diferencial do n´ ucleo externo. enquanto que as regi˜ oes pr´ oximas aos p´ olos completam uma volta em 36 dias. a potˆ encia de 14 lˆ ampadas de 100 watts. A redu¸ c˜ ao na camada de ozˆ onio pode levar ao aparecimento de cˆ ancer de pele e cataratas nos seres vivos. ou 4 × 1033 ergs/s. por Jean Richer (16301696) e Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) que determinaram a paralaxe de Marte e com esta estimaram a unidade astronˆ omica como 140 milh˜ oes de km. sobre o n´ ucleo s´ olido interno. aquecidas pelos campos magn´ eticos do Sol. As medidas mostram que cada metro quadrado na Terra recebe do sol uma potˆ encia (energia/segundo) de 1400 watts [James Watt (1736-1819)]. O valor mais preciso da constante solar ´ e 1367. O UV-B. O ozˆ onio (O3 ) atmosf´ erico. protegem os seres na superf´ ıcie das componentes mais danosas (energ´ eticas) da radia¸ c˜ ao solar. A radia¸ c˜ ao ultravioleta tem comprimentos de onda menores do que a radia¸ c˜ ao vis´ ıvel e ´ e normalmente dividida em trˆ es faixas: UV-A. quando aumentam at´ e dominar o hemisf´ erio. Mas processos qu´ ımicos na atmosfera podem romper as mol´ eculas de ozˆ onio. 161 . e varia 0. al´ em do pr´ oprio oxigˆ enio molecular (O2 ) e nitrogˆ enio. A desconex˜ ao do campo magn´ etico solar pode ocorrer em alguns minutos e tem uma energia equivalente a milhares de bombas atˆ omicas. Por essa potˆ encia recebida na Terra. determina-se a luminosidade do Sol em 4 × 1026 watts. com comprimentos de onda entre 2900 e 3200 ˚ A´ e a faixa mais perigosa que alcan¸ ca a superf´ ıcie da Terra.5 W/m2 . com libera¸ c˜ ao de energia. Com a perda de massa que levar´ a a transforma¸ c˜ ao do Sol em uma an˜ a branca. Em 1937 Hans Albrecht Bethe (1906-2005) propˆ os a fonte hoje aceita para a energia do Sol: as rea¸ c˜ oes termo-nucleares. afastando a Terra do Sol at´ e aproximadamente a ´ orbita de Marte. mas exposta a uma temperatura de cerca de 1600 K (1327 C). Gradualmente.1 bilh˜ ao de anos o brilho do Sol aumentar´ a em cerca de 10%. fonte de energia proposta pelo f´ ısico alem˜ ao Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) em 1854. ocorrer´ a perda de massa gradual do Sol. e evidˆ encias geol´ ogicas indicam que o Sol tem uma idade de bilh˜ oes de anos.85 UA. pois a energia gravitacional poderia suprir a luminosidade do Sol por 20 milh˜ oes de anos. aumentando o vapor de ´ agua na atmosfera. que causar´ a a eleva¸ c˜ ao da temperatura aqui na Terra. Tampouco o colapso gravitacional. e o calor ser´ a t˜ ao forte que os oceanos secar˜ ao completamente. Segundo os modelos de evolu¸ c˜ ao estelar. pois a energia dessa forma poderia manter o Sol brilhando por apenas 10 mil anos. Embora o Sol se torne uma gigante vermelha ap´ os terminar o hidrogˆ enio no n´ ucleo. exacerbando o efeito estufa. O problema ´ e que o vapor de ´ agua causa o efeito estufa. ou mais de 10 milh˜ oes de vezes a produ¸ c˜ ao anual de petr´ oleo da Terra. ` a medida que diminui a quantidade de hidrogˆ enio. na qual quatro pr´ otons s˜ ao fundidos em um n´ ucleo de h´ elio. o brilho do Sol j´ a ser´ a cerca de 40% maior do que o atual. aumenta a quantidade de h´ elio no n´ ucleo. a Terra dever´ a ficar a aproximadamente 1.Essa quantidade de energia ´ e equivalente ` a queima de 2 × 1020 gal˜ oes de gasolina por minuto. 162 . resultou eficiente.5 bilh˜ oes de anos. O Sol tem hidrogˆ enio suficiente para alimentar essas rea¸ c˜ oes por bilh˜ oes de anos. daqui a cerca de 1. Veja mais sobre este assunto no (Cap.22) na p´ agina 231. J´ a no s´ eculo XIX os astrˆ onomos sabiam que essa energia n˜ ao poderia ser gerada por combust˜ ao. Daqui a 3. portanto. datando de 3. e apenas 200 a 400 milh˜ oes de anos ap´ os a crosta ter se resfriado. com a poss´ ıvel detec¸ c˜ ao de f´ osseis microsc´ opicos em Marte. sofrem muta¸ c˜ oes.1 Vida na Terra Segundo a paleontologia.Cap´ ıtulo 17 Origem da vida e vida extraterrestre Somos n´ os as u ´nicas criaturas no Universo que pensam sobre sua origem e evolu¸ c˜ ao. J´ a a vida inteligente requer mais de uma centena de bilh˜ oes de c´ elulas. e da existˆ encia de ´ agua em forma de oceanos. a evolu¸ c˜ ao molecular j´ a havia dado origem ` a vida. as formas de vida sofreram 163 . Desde ent˜ ao. sob uma manta congelada. 17. na lua Europa de J´ upiter. ou existiriam outras formas de vida inteligente entre as estrelas? A origem da vida e a existˆ encia de vida extraterrestre vˆ em sendo focalizadas nos notici´ arios com grande intensidade desde os anos 1950. e reproduzem as muta¸ c˜ oes. A regra fundamental ´ e a de que os seres vivos s˜ ao organismos que se reproduzem. Qual ´ e a origem da vida? O que diferencia seres vivos de simples mat´ eria orgˆ anica? No contexto de evolu¸ c˜ ao c´ osmica. requer um longo tempo de sele¸ c˜ ao natural cumulativa.8 bilh˜ oes de anos. Portanto. cerca de 1 bilh˜ ao de anos ap´ os a forma¸ c˜ ao da Terra. regida pelas leis f´ ısicas. a vida resulta de uma seq¨ uˆ encia natural de evolu¸ c˜ ao qu´ ımica e biol´ ogica da mat´ eria pr´ e-existente. f´ osseis microsc´ opicos de bact´ eria e algas. passam por sele¸ c˜ ao cumulativa. diferenciadas em um organismo altamente complexo e. mas de forma crescente nos u ´ltimos anos. s˜ ao as evidˆ encias de vida mais remota na Terra. isto ´ e. com metano (CH4 ). nessa atmosfera redutora. pois nela faltam os elementos leves e vol´ ateis (H e He). levou 3. Urey (1893-1981). Apesar da ejec¸ c˜ ao de H2 O. Mais tarde. Embora nenhuma evidˆ encia concreta de vida tenha at´ e agora sido encontrada fora da Terra. que poderia destruir mol´ eculas orgˆ anicas.8 bilh˜ oes de anos. a base das prote´ ınas. No experimento de Miller-Urey. ainda. providos por relˆ ampagos e pelo pr´ oprio Sol. A atmosfera primitiva resultou do degasamento do interior quente. a camada de ozˆ onio que bloqueia a radia¸ c˜ ao ultravioleta. que ao ser aquecido for¸ ca vapor de ´ agua a circular pelo aparato. Outro frasco cont´ em a ”atmosfera”. que se formaram. os elementos leves (H e He) secund´ arios foram perdidos pelo proto-planeta porque sua massa pequena e temperatura elevada n˜ ao permitiram a reten¸ c˜ ao da atmosfera. e a observa¸ c˜ ao de mol´ eculas orgˆ anicas no meio interestelar corroboram a id´ eia de que os compostos orgˆ anicos podem ser sintetizados naturalmente. Por exemplo. entretanto. um frasco cont´ em o ”oceano”de ´ agua. A evolu¸ c˜ ao do Homo Sapiens. A Terra n˜ ao se formou com a mesma composi¸ c˜ ao do Sol. com o fim da u ´ltima idade do gelo. HS2 . amˆ onia 164 . ´ e poss´ ıvel transformar 2% do carbono em amino´ acidos. a lua Europa pode conter vida.muitas muta¸ c˜ oes e a evolu¸ c˜ ao darwiniana selecionou as formas de vida mais adaptadas ` as condi¸ c˜ oes clim´ aticas da Terra. demonstrou que. CO2 . sob a a¸ c˜ ao de descargas el´ etricas. possivelmente. CH4 e NH3 na atmosfera. sem a atua¸ c˜ ao de seres vivos. pois re´ une os elementos fundamentais: calor. que tˆ ´ em propriedade el´ etrica de se combinar em longas cadeias. por ades˜ ao molecular catalisada por gr˜ aos de silicato da poeira interestelar. que mudaram com o tempo. pois sua existˆ encia data de 300 000 anos atr´ as. esta n˜ ao possu´ ıa oxigˆ enio livre como hoje. O experimento bioqu´ ımico em laborat´ orio de Miller-Urey. Os compostos orgˆ anicos s˜ ao simplesmente mol´ eculas com o atomo de carbono. ´ agua e material orgˆ anico procedente de cometas e meteoritos. por sua alta complexidade. sendo alimentada atrav´ es da intensa atividade vulcˆ anica que perdurou por cerca de 100 milh˜ oes de anos ap´ os sua forma¸ c˜ ao. A an´ alise de meteoritos do tipo condrito carbon´ aceo. na Terra. A forma¸ c˜ ao de mol´ eculas complexas requeria energia de radia¸ c˜ ao com comprimentos de onda menores que 2200 ˚ A. e a civiliza¸ c˜ ao somente 10 000 anos. j´ a que n˜ ao havia. os elementos b´ asicos para seu desenvolvimento foram detectados no meio extraterrestre. O Homo Sapiens Sapiens s´ o tem 125 000 anos. realizado em 1953 por Stanley Lloyd Miller (1930-2007) e Harold C. V´ arios meteoritos apresentam amino´ acidos de origem extraterrestre. incapazes de se condensar na regi˜ ao demasiadamente quente da nebulosa solar onde a Terra se formou. 3 Vida na gal´ axia A inteligˆ encia. conseguiu produzir adenina. mostrando que eles podem se formar no espa¸ co. e ainda n˜ ao se conseguiu identificar DNA nelas. onde h´ a´ agua em certa abundˆ ancia. determinou como 140 nm o tamanho m´ ınimo para seres vivos. e a press˜ ao atmosf´ erica na superf´ ıcie ´ e 150 vezes menor do que na Terra. ou contamina¸ c˜ ao ocorrida na pr´ opria Terra. tˆ em diˆ ametro entre 30 e 150 nm. O meteorito ALH84001. Os seres inteligentes produzem manifesta¸ c˜ oes artificiais. uma das quatro bases do ARN (RNA) e ADN (DNA). Embora a atmosfera da Terra possa n˜ ao ter sido redutora no in´ ıcio. e menor que muitos v´ ırus. Em 1959. como as ondas eletromagn´ eticas moduladas em amplitude (AM) ou freq¨ uˆ encia (FM) produzidas pelos terr´ aqueos para transmitir informa¸ c˜ ao (sinais com estrutura l´ ogica). resultado da evolu¸ c˜ ao e sele¸ c˜ ao natural.2 Vida no Sistema Solar A existˆ encia de vida inteligente pode ser descartada em todos os demais planetas do Sistema Solar. A bact´ eria de menor tamanho reconhecida na Terra ´ e a Mycoplasma genitalium.(NH3 ). 17. At´ e hoje. 15% do carbono do metano original combinaram-se em compostos orgˆ anicos. Quando uma descarca el´ etrica (raio) passa pelos gases. Juan Or´ o. hidrogˆ enio (H2 ) e o vapor de ´ agua circulando. na Universidade de Houston. As poss´ ıveis nanobact´ erias. Acreditando que poss´ ıveis seres extraterrestres inteligentes se manifestem de maneira similar. ´ e um desdobramento da vida na Terra. O tamanho extremamente pequeno das nanobact´ erias limita muito a investiga¸ ca ˜o cientifica. Em Marte. alanina. v´ arios amino´ acidos j´ a foram detectados em meteoritos. da Universidade de Rochester. entre outros). encontradas tamb´ em dentro de seres humanos. eles interagem. 1 165 . cerca de um mil´ esimo da largura de um fio de cabelo. desde 1960 se usam radiotelesc´ opios para tentar captar sinais deles. compostos orgˆ anicos simples. do inglˆ es Search for ExtraTerrestrial Intelligence. atualmente em forma de vapor ou s´ olido. que n˜ ao se reproduzem sozinhos. gerando amino ´ acidos (glicina. com 300 nm. proveniente de Marte. interesse sobre o que est´ a acontecendo no Universo. mas somente com atrav´ es de um ser vivo. para ter DNA e prote´ ınas em funcionamento. O microbi´ ologo Jack Maniloff. ´ acidos asp´ artico e glutˆ amico. ou Busca de Inteligˆ encia Extraterrestre. Essa busca leva a sigla SETI. 17. a partir de HCN e amˆ onia em uma solu¸ c˜ ao aquosa. mostra dep´ ositos minerais que ainda est˜ ao em disputa cient´ ıfica se s˜ ao restos de nanobact´ erias1 . a morfologia da superf´ ıcie indica que houve ´ agua l´ ıquida no passado. Devido ` as distˆ ancias enormes e gastos energ´ eticos envolvidos. pois assume um motor perfeito. que est´ a a 4. O Dr. portanto. duas Pioneers e duas Voyagers.4 anos-luz da Terra. Bernard M. levaria 168 000 anos para chegar ` a estrela mais pr´ oxima. equivalente a toda a energia el´ etrica produzida hoje em todo o mundo. nenhum OVNI jamais deixou evidˆ encia f´ ısica que pudesse ser estudada em laborat´ orios para demonstrar sua origem de fora da Terra. ou UFOs (Unidentified Flying Objects) s˜ ao espa¸ conaves de civiliza¸ c˜ oes extraterrestres. resultam ser fenˆ omenos naturais. 17. De fato.n˜ ao houve nenhuma detec¸ c˜ ao. A espa¸ conave mais veloz que a esp´ ecie humana j´ a construiu at´ e agora levaria 80 mil anos para chegar ` a estrela mais pr´ oxima. nem de quem est´ a fazendo a viagem. que n˜ ao s˜ ao percept´ ıveis a distˆ ancias interestelares. mas essa busca se baseia em emiss˜ oes moduladas de r´ adio. diretor de pesquisa e vice-presidente da Hewlett-Packard Corporation e co-diretor do projeto de procura de vida extra-terrestre Cyclops da NASA. O importante sobre esse c´ alculo ´ e que ele n˜ ao depende da tecnologia atual (eficiˆ encia de convers˜ ao de energia entre 10 e 40%). inclusive nuclear. como bal˜ oes.4 OVNIs Devido ` as grandes distˆ ancias interestelares. Quatro espa¸ conaves da Terra. O ˆ onibus espacial da NASA viaja a aproximadamente 28 000 km/hr e. depois 166 . ainda assim. a partir de todas as fontes. mesmo com um motor perfeito. levaria 6 anos s´ o para chegar l´ a. ou avi˜ oes militares classificados. mas somente das leis de conserva¸ c˜ ao de energia. 6 × 1016 MWatts. meteoros. Oliver (1916-1995). que converte 100% do combust´ ıvel em energia (nenhuma tecnologia futura pode ser melhor que isto). Essa ´ e a principal raz˜ ao por que os astrˆ onomos s˜ ao t˜ ao c´ eticos sobre as not´ ıcias que os OVNIs (Objetos Voadores N˜ ao-identificados). quando estudados. ´ e muito improv´ avel que as dezenas de OVNIs noticiados a cada ano pudessem ser visitantes de outras estrelas t˜ ao fascinados com a Terra que estariam dispostos a gastar quantidades fant´ asticas de tempo e energia para chegar aqui. calculou que para uma espa¸ conave viajar at´ e essa estrela mais pr´ oxima a 70% da velocidade da luz. Hoje em dia. durante 100 mil anos. e ` a limita¸ c˜ ao da velocidade a velocidades menores que a velocidade da luz pela relatividade de Einstein. que produzimos aqui na Terra somente nos u ´ltimos 60 anos. a transmiss˜ ao de dados por ondas eletromagn´ eticas est´ a sendo superada por transporte de informa¸ c˜ ao por fibras ´ oticas. seriam necess´ arios 2. planetas brilhantes. e. n˜ ao ´ e poss´ ıvel viajar at´ e outras estrelas e seus poss´ ıveis planetas. A maioria dos OVNIs. fc ´ ea fra¸ c˜ ao prov´ avel de planetas que abriga vida inteligente e que desenvolveram ˙ ´ civiliza¸ c˜ oes tecnol´ ogicas com comunica¸ c˜ ao eletromagn´ etica. A estimativa do n´ umero N de civiliza¸ c˜ oes na nossa Gal´ axia pode ser discutida com o aux´ ılio da equa¸ ca ˜o de Drake. proposta em 1961 por Frank Donald Drake (1930-). a ´ orbita do planeta em torno da estrela produz o movimento da estrela em torno do centro de massa. onde situa-se a Nuvem de Oort. Essas quatro naves levam placas pictoriais e mensagens de ´ audio e v´ ıdeo sobre a Terra. 17. por exemplo. com trˆ es planetas gigantes. fv ´ e a fra¸ c˜ ao prov´ avel de planetas que abrigam vida. N e a taxa de forma¸ c˜ ao de estrelas na Gal´ axia. est˜ ao deixando esse sistema planet´ ario. est´ a reduzindo este limite de detec¸ c˜ ao. em Green Bank. Desde 2004 j´ a foi poss´ ıvel obter imagens de planetas extrassolares diretamente. ent˜ ao astrˆ onomo no National Radio Astronomy Observatory.4). orbitando a estrela HR 8799. requerem precis˜ ao maior do que a ating´ ıvel pelas observa¸ c˜ oes atuais.de completarem sua explora¸ c˜ ao do sistema planet´ ario. 484 destes atrav´ es da evidˆ encias gravitacionais pelo deslocamento Doppler nas linhas espectrais das estrelas. fi ´ e a fra¸ c˜ ao prov´ avel de planetas que abrigam vida e desenvolveram formas de vida inteligente. ofusca-os em geral. e atual presidente do SETI Institute: ˙ Tt . e Tt ´ e o tempo prov´ avel de dura¸ c˜ ao de 167 . embora as estrelas em volta das quais os planetas orbitam sejam muito mais brilhantes que os planetas e. como a Terra. Estados Unidos. Como s´ o determinamos a massa do planeta e a distˆ ancia do planeta ` a estrela. em sua velocidade atual. lan¸ cado em 2009. porque tˆ em atmosferas imensas e de alt´ ıssima press˜ ao sobre pequenos n´ ucleos rochosos. Entretanto. portanto. elas levar˜ ao milh˜ oes de anos para atingir os confins do Sistema Solar. Detectar planetas pequenos. que n˜ ao podem conter vida como a conhecemos. mas. mas o sat´ elite Kepler. Em 2009 foi poss´ ıvel obter a primeira imagem de um sistema planet´ ario. N = fp fv fi fc N onde fp ´ e a fra¸ c˜ ao prov´ avel de estrelas que tˆ em planetas (menor que 0. levar˜ ao muitos milh˜ oes de anos para chegar perto de qualquer estrela. n˜ ao podemos ainda detectar nenhum sinal de vida. e em casos raros a temperatura e o raio do planeta.5 Planetas fora do Sistema Solar Desde 1992 at´ e janeiro de 2011 foram detectados 519 planetas extrassolares. tipo J´ upiter. Todos os m´ etodos detectam mais facilmente os grandes planetas. ˙ Tt . a dura¸ c˜ ao da civiliza¸ c˜ ao tecnol´ ogica n˜ ao poder´ a ser menor que 12 mil anos. Podemos fazer um c´ alculo otimista. Como nossa gal´ axia tem aproximadamente 100 000 anos-luz de diˆ ametro por 1000 anos-luz de espessura. Usando N eculo. assumindo fv fi fc = 1. 100 mil anos-luz de diˆ ametro e 100 anos-luz de espessura. e Tt de um s´ nol´ ogica. no momento. j´ a que nossa gal´ axia tem. o valor de N pode cair por um fator de um milh˜ ao. Num c´ alculo pessimista. A u ´nica vari´ avel razoavelmente bem conhecida ˙ ´ e N . que o n´ umero de planetas com vida inteligente seria dado pelo n´ umero de novas estrelas com planetas vezes a dura¸ c˜ ao de uma civiliza¸ c˜ ao tec˙ =3/ano. fp = 0. A equa¸ c˜ ao de Drake pode ser usada para estimar a distˆ ancia de uma estrela com civiliza¸ c˜ ao tecnol´ ogica. a civiliza¸ c˜ ao interlocutora ter´ a desaparecido antes de receber a resposta. J´ a que n˜ ao podemos viajar at´ e as estrelas. que ´ e simplesmente o n´ umero de estrelas na nossa gal´ axia dividido pela idade da gal´ axia.uma civiliza¸ c˜ ao tecnol´ ogica. Caso contr´ ario. mas para estas o problema de distˆ ancia ´ e muito maior. N˜ ao h´ a. para se estabelecer uma comunica¸ c˜ ao por r´ adio de ida e volta. Naturalmente. aproximadamente. Conclui-se que. nenhum crit´ erio seguro que permita decidir por uma posi¸ c˜ ao otimista ou pessimista. assumindo que est˜ ao distribu´ ıdas pela nossa Gal´ axia. Nesse caso. obtemos dC 1 700 anos-luz. chega-se a N=120. N = fp N isto ´ e. mesmo na hip´ otese otimista. o volume total da gal´ axia ´ e da ordem de VG = π × 50 0002 × 1000 anos − luz3 e a distˆ ancia m´ edia entre estas “civiliza¸ c˜ oes” (dC ) VC dC = 4π onde VC = 1 3 VG N Se N=120. supondo que a vida como a nossa pulula na Gal´ axia. qual seria a maneira de detectar sinal de vida em um planeta? Considerando que a ´ agua ´ e um solvente 168 . ela deveria durar no m´ ınimo 300 mil anos. Podemos estimar a distˆ ancia m´ edia entre estas “civiliza¸ c˜ oes”. para haver uma u ´nica civiliza¸ c˜ ao tecnol´ ogica na gal´ axia al´ em da nossa. existem mais de 100 bilh˜ oes de outras gal´ axias al´ em da nossa. 4. que consomem ´ agua. Por exemplo. E outras como as Sulfolobus acidocaldarius. e eliminam oxigˆ enio. Outros dois indicadores s˜ ao a detec¸ c˜ ao de oxigˆ enio e de di´ oxido de carbono. Derek Lovley e Kazem Kashefi. em temperaturas muito elevadas (acima de 100C). Portanto. mas somente 1 bilh˜ ao para a vida microsc´ opica iniciar. ambos da Universidade de Massachusetts. como o Methanopyrus kandleri. Entretanto. at´ e micr´ obios super-resistentes. O nome cient´ ıfico do micr´ obio ainda n˜ ao foi definido. Oxigˆ enio ´ e um elemento que rapidamente se combina com outros elementos. como ferro. e sobrevieu n˜ ao s´ o a viagem de ida e volta. Mas essas evidˆ encias n˜ ao ser˜ ao indica¸ c˜ oes de vida inteligente. a 3. acid´ ofilos. mas 169 . O di´ oxido de carbono (CO2 ) ´ e um produto de vida animal na Terra. que vivem no interior de vulc˜ oes submarinos. Contamina¸ c˜ ao: a dificuldade de procurar vida extra-terrestre atrav´ es de experimentos ´ e a possibilidade de contamina¸ ca ˜o do experimento por vida aqui da Terra. calor adequado. recentemente se encontrou a bact´ eria Polaromonas vacuolata. Essas bact´ erias se alimentam de gases. que vivem em fontes de ´ acido sulf´ urico. como o metano. consideramos que ´ agua l´ ıquida na superf´ ıcie. formas de vida primitiva muito diferentes existem. esses microrganismos usam ferro para produzir energia. hidrogˆ enio e oxigˆ enio s˜ ao abundantes em toda a Gal´ axia. O micr´ obio Pyrolobus fumarii era a forma de vida mais resistente ` as altas temperaturas at´ e 2003. que se acreditava completamente est´ ereis pela completa falta de nutrientes. e. portanto. microorganismos que vivem dentro de rochas de granito. Quando miss˜ ao Apolo 12 trouxe de volta uma cˆ amara Surveyor 3 enviada anteriormente. e de formas improv´ aveis. de modo que ´ e dif´ ıcil acumular oxigˆ enio na atmosfera de um planeta. enxofre e manganˆ es. aqui na Terra. ´ e um bom indicador da possibilidade de vida. que vive quilˆ ometros abaixo da superf´ ıcie. evoluir em lugares imprevis´ ıveis. nitrogˆ enio e di´ oxido de carbono como nutrientes. a vida pode tomar formas inesperadas. nos p´ olos.5 bilh˜ oes de anos para a vida inteligente evoluir. sob temperaturas dezenas ´ de graus abaixo de zero. sem um mecanismo de constante gera¸ c˜ ao. Um mecanismo de gera¸ c˜ ao de oxigˆ enio ocorre atrav´ es de plantas.5 km de profundidade. j´ a que na Terra foram necess´ arios 4. encontrou-se uma colˆ onia da bact´ eria Streptococcus mitis. aqui na Terra. e outros elementos qu´ ımicos. bact´ erias em uma mina de ouro da Africa do Sul. Estados Unidos. Segundo Lovley. que tinha contaminado a espuma de isolamento da cˆ amara antes de ser enviada ` a Lua. e que seus dois constituintes.ideal para as rea¸ c˜ oes qu´ ımicas complexas que levam ` a vida. Os cientistas haviam registrado exemplares desses organismos vivendo a 113 graus Celsius. identificaram uma arqueobact´ eria (a forma mais primitiva de vida que se conhece) a 121 graus Celsius. os chamados extrem´ ofilos. os trˆ es anos que esteve l´ a no solo na Lua. Esta bact´ eria ´ e comum e inofensiva e vive no nariz. boca e garganta dos humanos. 170 . Cap´ ıtulo 18 Determina¸ c˜ ao de distˆ ancias O m´ etodo mais comum para se medir distˆ ancias grandes. Na figura a seguir. ´ e a triangula¸ c˜ ao. que s˜ ao as dire¸ c˜ oes do objeto (a ´ arvore) vistas de cada extremidade da linha base. Logo: AB DE = BC EC 171 . AB e AC s˜ ao os lados. constru´ ımos os triˆ angulos semelhantes ABC e DEC . a pontos inacess´ ıveis. est´ a esquematizada. a maneira de medir a distˆ ancia de uma ´ arvore localizada do outro lado de um rio. como exemplo. sem atravess´ a-lo: A d D C E B Tomando a ´ arvore como um dos v´ ertices. BC ´ e a linha de base do triˆ angulo grande. 2D ´ a e a linha de base do triˆ angulo. Para ˆ angulos pequenos. Pela trigonometria. Em astronomia. ´ e diferente da dire¸ c˜ ao da arvore vista de C . Vemos que a dire¸ c˜ ao da ´ arvore. no entanto. pode-se calcular o lado AB e. conhecer a distˆ ancia da ´ arvore. ent˜ ao. e D tamb´ em ´ e conhecido. DE e EC . costuma-se definir a paralaxe como a metade do deslocamento angular total medido. a tangente do ˆ angulo ´ e aproximadamente igual ao pr´ oprio ˆ angulo medido em radianos. vista de B . O 2p A1 A2 d 2D Suponha que o ponto O seja o objeto cuja distˆ ancia se quer medir (a ´rvore da figura anterior). Ent˜ ao. podemos medir 2 a distˆ ancia d. tomado como referˆ encia (pode ser uma montanha no horizonte. 172 . tan p ≈ p(rad). no exemplo anterior). sabemos que tan p = D d A2 Como p ´ e conhecido p = A1 + . e os ˆ angulos A1 e A2 s˜ ao os ˆ angulos entre a dire¸ c˜ ao do objeto visto de cada extremidade da linha de base e a dire¸ c˜ ao de um objeto muito mais distante. como est´ a ilustrado na figura a seguir.Como se pode medir BC . se p ≤ 4◦ . Esse deslocamento aparente na dire¸ ´ c˜ ao do objeto observado devido ` a mudan¸ ca de posi¸ c˜ ao do observador chama-se paralaxe. dividido pelo raio. em graus. o arco de circunferˆ encia a corresponde ao ˆ angulo α. diagonal B e ˆ angulo θ entre D e B. em radianos. vemos que o valor. Transforma¸ c˜ ao de graus em radianos: em radianos. d ter´ a a mesma unidade de D. desses 360◦ ´ e 2πr r = 2π . o valor de α em radianos ´ e a α(rad) = r r α a Uma circunferˆ encia de raio R tem per´ ımetro de 2πr e abrange um ˆ angulo de 360◦ . o valor de um ˆ angulo ´ e igual ao arco que ele encerra. de 1 radiano.Ent˜ ao: d= D p(rad) Como p ´ e medido em radianos. ser´ a: 1 rad = 360◦ = 57. 29◦ 2π α(radianos) = α(graus) π 180o −→ α (graus) = α (radianos) 180o π 173 . O valor. para um triˆ angulo de base D. Na figura a seguir. altura d. temos tan p = D/d −→ d = D/ tan p D/p (rad) para ˆ angulos menores que 4 graus. Recapitulando. Logo. temos B cos θ = D −→ B = D/ cos θ B senθ = d −→ d = D senθ/ cos θ = D tan θ Como na paralaxe medimos o ˆ angulo p entre B e d. Usando a f´ ormula anterior. quando a Terra est´ a do outro lado do Sol. Mas. os astrˆ onomos mediam a distˆ ancia da Lua e de alguns planetas usando o diˆ ametro da Terra como linha de base. 18. Essa paralaxe ´ e chamada paralaxe geocˆ entrica e ´ e expressa por: p(rad) = RTerra RTerra −→ d = d p(rad) para p sendo a paralaxe geocˆ entrica.2 Paralaxe heliocˆ entrica Sol t=3 meses p r=1UA d t=0 A paralaxe heliocˆ entrica ´ e usada para medir a distˆ ancia das estrelas mais ` medida que a Terra gira em torno do Sol. A posi¸ c˜ ao da Lua em rela¸ c˜ ao ` as estrelas distantes ´ e medida duas vezes. podemos medir a pr´ oximas. antes da inven¸ c˜ ao do radar. a determina¸ c˜ ao de distˆ ancias de planetas ´ e feita por radar e n˜ ao mais por triangula¸ c˜ ao. Para se medir a distˆ ancia de estrelas pr´ oximas.1 Paralaxe geocˆ entrica e heliocˆ entrica O mesmo m´ etodo de triangula¸ c˜ ao ´ e usado para medir as distˆ ancias de objetos astronˆ omicos. como esses objetos est˜ ao muito distantes. pode-se usar o diˆ ametro da Terra como linha de base. que ´ e expressa por: p(rad) = raio da ´ orbita da Terra 1 UA −→ d = d p(rad) 174 . ´ e necess´ ario escolher uma linha de base muito grande. em lados opostos da Terra e a paralaxe corresponde ` a metade da varia¸ c˜ ao total na dire¸ c˜ ao observada dos dois lados opostos da Terra.1. por exemplo.1. 18. A metade do desvio total na posi¸ c˜ ao da estrela corresponde ` a paralaxe heliocˆ entrica. mas. e tornamos a fazer a medida seis meses mais tarde.1 Paralaxe geocˆ entrica Atualmente. A dire¸ c˜ ao de uma estrela em rela¸ c˜ ao ` as estrelas de fundo quando a Terra est´ a de um lado do Sol.18. usa-se o diˆ ametro da ´ orbita da Terra como linha de base. Para medir a distˆ ancia da Lua ou dos planetas mais pr´ oximos. seu eco ficaria perdido no meio de todos os sinais de r´ adio que o Sol emite. na Guiana Francesa.1 Unidades de distˆ ancias astronˆ omicas A unidade astronˆ omica A unidade mais adequada para medir distˆ ancias dentro do sistema solar ´ ea unidade astronˆ omica (UA).52 UA. Considerando que Marte est´ a a 1. Atualmente. sendo encontrado que sua distˆ ancia ` a Terra ´ e 77 790 890 km. quando esse planeta est´ a em oposi¸ c˜ ao.52 UA. pois se um sinal de r´ adio fosse emitido diretamente ao Sol. Com as observa¸ c˜ oes sumultˆ aneas de Jean Richer (1630-1696) em Cayenne. Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) estimou a paralaxe em 18”. ´ e dada por: 1 d(UA) = p(rad) 175 . a determina¸ c˜ ao n˜ ao pode ser feita diretamente. A resolu¸ c˜ ao do olho humano ´ e da ordem de 4’. A distˆ ancia m´ edia de Marte ao Sol ´ e determinada pela terceira lei de Kepler como sendo de 1. A f´ ormula da resolu¸ c˜ ao ´ e sen θ = 1.2. A distˆ ancia entre Terra e Marte.59787069 milh˜ oes de km. Portanto.22 ´ e a primeira raiz da fun¸ c˜ ao de Bessel para uma forma esf´ erica. Em 1 de outubro de 1672 o planeta Marte estava muito pr´ oximo da estrela brilhante φ Aquarii e pr´ oximo do perigeu. 496 × 108 km 0. se usa uma medida indireta. Por exemplo: suponha que um sinal de radar ´ e enviado a Marte. a t´ ecnica mais acurada para determinar o comprimento da unidade astronˆ omica ´ e medida por radar. conforme determinado por Cop´ ernico. estimou a unidade astronˆ omica como sendo 140 milh˜ oes de km.para p sendo a paralaxe heliocˆ entrica. No entanto. para Marte em oposi¸ c˜ ao. Ent˜ ao: 1U A = 77 790 890 km = 1.2 18. 52 A distˆ ancia de qualquer objeto. calculada em unidades astronˆ omicas. 22λ/D onde D ´ e o diaˆ ametro da lente (ou olho ou espelho) e o fator 1. O valor atual ´ e de 149.52 UA do Sol. 18. que ´ e a distˆ ancia m´ edia da Terra ao Sol. ´ e portanto 0. Jean Picard (16201682) e Olaus Roemer (1644-1710) em Paris. T2 T3 T1 Jupiter T4 T0 Io T5 T6 T7 O intervalo de tempo entre os sucessivos eclipses ´ e o per´ ıodo de revolu¸ c˜ ao do sat´ elite. medindo o intervalo entre sucessivos eclipse da lua Io. Lei de Kepler. Essa distˆ ancia equivale a: 1 AL = velocidade da luz × 1 ano = 2.769138 d).1710). que pode ser calculado pela 3a. do tempo que a luz levava para atravessar a diferen¸ ca da distˆ ancia entre o sat´ elite e a Terra. O atraso total quando a Terra ia de T0 para T4 era de 1000 segundos. Roemer atribuiu o efeito ao tempo que a luz levava para ir de um ponto da ´ orbita da Terra ao outro.2. Como a luz tem velocidade finita. 46 × 1012 km. pelo astrˆ onomo dinamarquˆ es Olaus Roemer (1644 . de J´ upiter (P=1. Determina¸ c˜ ao da velocidade da luz A determina¸ c˜ ao da velocidade da luz foi feita pela primeira vez em 1675. 1 AL = 9. vamos considerar que tT0 ´ e a hora em que ocorre o eclipse quando a terra est´ a na posi¸ c˜ ao T0 . Roemer verificou que os eclipses ficavam atrasados quando J´ upiter estava mais distante da Terra e adiantados quando J´ upiter estava mais pr´ oximo da Terra.2 O ano-luz O ano-luz (AL) ´ e a distˆ ancia percorrida pela luz em um ano. o eclipse s´ o ser´ a visto na Terra num tempo posterior. dado por: tT0 = tT0 + d(T −J )T0 c .18. 176 . Para ficar mais claro. 9979 × 105 km/s × 3. 1557 × 107 s. para diferentes pontos da ´ orbita da Terra. isto ´ e. ou. ele daria sete voltas completas em torno do equador da Terra em 1 segundo. ent˜ ao a velocidade da luz ´ e: c= 299 795 786 km = 299 795. o intervalo de tempo observado entre os eclipses. Mas na Terra. (tT4 − tT0 ). o eclipse s´ o ser´ a observado a uma hora: tT4 = tT4 + d(T −J )T4 c . ent˜ ao: c= d(T −J )T4 − d(T −J )T0 1000s = diˆ ametro da ´ orbita da Terra . e d(T −J )T0 ´ e a distˆ ancia entre a Terra e J´ upiter na posi¸ c˜ ao T0 . que um observador nesse objeto veria o raio da ´ orbita da Terra com um tamanho angular de 1 . Logo. em outras palavras. Ap´ os um tempo (T4 − T0 ). Como a melhor estimativa para o eixo maior da ´ orbita da Terra naquela ´ epoca era 241 500 000 km. a Terra estar´ a na posi¸ c˜ ao T4 .onde c ´ e a velocidade da luz. ´ e maior do que o intervalo de tempo real entre os eclipses. A diferen¸ ca vai ser: (tT4 − tT0 ) − (tT4 − tT0 ) = Se essa diferen¸ ca ´ e de 1000 s. e vamos chamar de tT4 a hora prevista para acontecer o eclipse. (tT4 − tT0 ). Roemer deduziu a velocidade da luz como sendo c 241 500 000 km = 241 500 km/s 1000 s Hoje sabemos que o eixo maior da ´ orbita da Terra ´ e 299 795 786 km. 18. 177 . ´ e a distˆ ancia de um objeto que apresenta paralaxe heliocˆ entrica de 1 . 1000s d(T −J )T4 − d(T −J )T0 c .3 O parsec Um parsec ´ e a distˆ ancia de um objeto tal.2. 796 km/s 1000 s 300 000 km/s Se um avi˜ ao pudesse viajar ` a velocidade da luz. mesmo para a estrela mais pr´ oxima. Logo. Resumindo as trˆ es unidades.3 AL. portanto. sua distˆ ancia ser´ a: d(UA) = 206265 1 = p(rad) p( ) 1 p( ) 3. ent˜ ao a paralaxe ser´ a1 . 848 × 10−6 A distˆ ancia de um objeto.1 UA p = 1" d = 1 pc A distˆ ancia de qualquer objeto. a paralaxe ´ e menor do que 1 (na verdade ´ e 0. vale: 1 = Logo: 1 pc = 1◦ 3600 2π rad 360◦ = 4. est´ a a uma distˆ ancia de 4. expresso em radianos. 178 . que ´ e maior do que 1 pc. expressa em parsecs. 848 × 10−6 rad 1 UA = 206 265 U A 4. ´ e igual a 206 265 UA. para uma estrela com paralaxe heliocˆ entrica qualquer.26 AL. ´ e dada por: d(pc) = 1 p( ) Um parsec. Pr´ oxima Centauri. em unidades astronˆ omicas. Oˆ angulo de 1 . corresponde a: d(UA) = 1 p(rad) Se a distˆ ancia for 1 parsec. e ´ e igual a 3. 26 p( ) d(pc) = d(anos − luz) = A estrela mais pr´ oxima da Terra.76 ). 05 . a maior distˆ ancia de estrelas que se podia medir com precis˜ ao melhor do que 10% era 20 pc. que ´ e de 1. O uso de CCDs e telesc´ opios dedicados baixou a incerteza das observa¸ c˜ oes feitas em solo para at´ e 1 milisegundo de arco. que corresponde a paralaxes ≥ 0.At´ e h´ a poucos anos.7 segundos de arco na borda do Sol e 4 milisegundos de arco a 90◦ do Sol. constru´ ıdo para medir com alta precis˜ ao a posi¸ c˜ ao e paralaxe de 120 000 estrelas de nossa ´ importante notar que 1 milisegundo de arco ´ gal´ axia. 179 . foi necess´ ario fazer a correc¸ c˜ ao pelo efeito relativ´ ıstico do desvio da luz pelo Sol. similar ` a incerteza das observa¸ c˜ oes com o sat´ elite Hipparcos (HIgh-Precison PARallax COllecting Satellite). Para atingir essa precis˜ ao. E e o tamanho angular de uma pessoa na Lua vista da Terra. com os telesc´ opios de solo dispon´ ıveis na Terra. 180 . mais de 50% das estrelas no c´ eu pertencem a sistemas com dois ou mais membros. usando uma medida feita em 1759 por James Bradley (1693–1792). isto ´ e. professor de Harvard. mas a distˆ ancias diferentes da Terra. que normalmente ´ e de 2a magnitude. em que duas estrelas est˜ ao pr´ oximas no c´ eu. Trata-se de uma bin´ aria eclipsante. Herschel foi o primeiro a estabelecer que se tratavam de corpos interagindo gravitacionalmente.Cap´ ıtulo 19 Estrelas bin´ arias ´ importante diferenciar estrelas bin´ E arias reais das estrelas duplas aparentes.Felix Savary (1797–1841) mostrou que ξ Ursae Majoris tinha uma ´ orbita el´ ıptica. 19. de bin´ arias f´ ısicas. existem muitos pares de estrelas em que ambas as estrelas est˜ ao ` a mesma distˆ ancia da Terra e formam um sistema f´ ısico. Na verdade. com um per´ ıodo de 2d20h49m. ou bin´ arias aparentes.John Goodricke (1764–1786) viu a estrela Algol (β Persei).Edward Charles Pickering (1846–1919). por algumas horas. • 1804 . 181 . terceiro astrˆ onomo real da Inglaterra.1 Hist´ orico • 1783 . Entretanto. e parecem duplas somente por efeito de proje¸ c˜ ao. diminuir para 1/3 do seu brilho. • 1889 .William Herschel (1738–1822) descobriu uma companheira fraca da estrela Castor (α Geminorum) e mediu o per´ ıodo do sistema como sendo de 342 anos. • 1827 . com um per´ ıodo de 60 anos. Geminiano Montanari (1632–1687) j´ a tinha notado alguma variabilidade em 1669. descobriu as bin´ arias espectrosc´ opicas. A an˜ a branca companheira de S´ ırius ´ e chamada S´ ırius B. com um per´ ıodo de 175. A primeira medida de velocidade radial foi feita visualmente pelo astrˆ onomo americano James E. CM CM CM azul vermelho azul vermelho azul vermelho • bin´ arias espectrosc´ opicas: quando a natureza bin´ aria da estrela ´ e conhecida pela varia¸ c˜ ao de sua velocidade radial1 . quando Alvan Graham Clark Jr. mas ´ e detectado pelas ondula¸ c˜ oes no movimento da companheira mais brilhante. Keeler (1857 1900) em 1890-1891. 19. com a estrela Mizar A (ζ Ursae) apresentando linhas duplas que variavam com um per´ ıodo de 104 dias.6 dias. Em 1908 Mizar B foi tamb´ em detectada como uma bin´ aria espectrosc´ opica. uma an˜ a branca. mas as primeiras medidas confi´ aveis foram obtidas entre 1888 e 1892 pelos alem˜ aes Hermann Carl Vogel (1841-1907) e Julius Scheiner (1858-1913). A separa¸ c˜ ao usual ´ e de dezenas a centenas de unidades astronˆ omicas. utilizando um espectrosc´ opio com rede de dispers˜ ao no telesc´ opio de 1m do Observat´ orio Lick. Existem quatro tipos: • bin´ arias visuais: ´ e um par de estrelas associadas gravitacionalmente que podem ser observadas ao telesc´ opio como duas estrelas.2 Tipos de sistemas bin´ arios As estrelas bin´ arias s˜ ao classificadas de acordo com a maneira pela qual foram descobertas. com o desenvolvimento do espectro fotogr´ afico. Exemplo: S´ ırius era bin´ aria astrom´ etrica at´ e 31 de janeiro de 1862. pela primeira vez. medida atrav´ es das 1 A velocidade radial ´ e medida atrav´ es do efeito Doppler. por Edwin Brant Frost (1866-1935) e Friedrich Wilhelm Hans Ludendorff (1873-1941). (1832-1897) detectou sua companheira fraca. com o 80 cm de Postdam. 182 . • bin´ arias astrom´ etricas: quando um dos membros do sistema ´ e muito fraco para ser observado. O movimento observado mostra a ´ orbita relativa aparente. Na ´ orbita aparente. assim. o per´ ıodo curto. de forma que as estrelas eclipsam uma a outra.3 Massas de sistemas bin´ arios visuais Em um sistema bin´ ario. Os parˆ ametros observados s˜ ao a separa¸ c˜ ao aparente e o per´ ıodo. cada estrela descreve um movimento ondular em torno do centro de massa. • bin´ arias eclipsantes: quando a ´ orbita do sistema est´ a de perfil para n´ os. Os focos das ´ orbitas aparentes n˜ ao coincidem com os focos das ´ orbitas verdadeiras e. a estrela mais brilhante (chamada prim´ aria) vai aparecer fora do foco da ´ orbita aparente. uma vez que esta. Essa. que variam em comprimento de onda com ´ mais f´ o tempo. A´ orbita relativa observada em geral n˜ ao coincide com a ´ orbita relativa verdadeira. A estrela mais massiva fica no foco da ´ orbita relativa verdadeira. tamb´ em. A ´ orbita relativa tem a mesma forma das ´ orbitas individuais. ´ e mais simples observar apenas uma delas (normalmente a mais fraca) em torno da mais brilhante. E acil detect´ a-las se a velocidade orbital for grande e. portanto. ou: sen α = a(U A) = α( ) × r(pc) 183 . A separa¸ c˜ ao m´ edia ´ e da ordem de 1 UA. e o tamanho ´ e igual ` a soma dos tamanhos das ´ orbitas individuais.linhas espectrais da estrela. Seja: • α = tamanho angular do semi-eixo maior da ´ orbita relativa verdadeira. as observa¸ c˜ oes s˜ ao suficientes para que as ´ orbitas relativas possam ser determinadas com precis˜ ao. 19. Em vez de observar o movimento seguido pelas duas estrelas. portanto. em geral. ´ e a forma que planetas em torno de estrela tˆ em sido detectados nos u ´ltimos anos. Somente para aqueles sistemas com per´ ıodos menores que poucas centenas de anos. determinar os parˆ ametros da ´ orbita verdadeira. a distˆ ancia da estrela ao foco permite saber a inclina¸ c˜ ao da ´ orbita verdadeira em rela¸ ca ˜o ao plano do c´ eu e. n˜ ao est´ a no plano do c´ eu. • r = distˆ ancia do sistema ao Sol. O semi-eixo maior a ser´ a: a −→ a = r sen α r com a e r na mesma unidade. ´ e necess´ ario investigar o movimento individual de cada estrela para saber a distˆ ancia de cada uma ao centro de massa. (M1 + M2 ) = (r × α)3 P2 Para conhecer a massa de cada estrela. O per´ ıodo orbital do sistema ´ e de 50 anos. A soma das massas das duas estrelas ´ e dada pela 3a. e existem 206 265 segundos de arco em um radiano. A distˆ ancia do Sol a S´ ırius ´ e de 2. 5 × 2. a) Qual ´ e a massa do sistema? (MA + MB )502 = (7.j´ a que sen α α.67 pc (1 pc = 206 265 UA).5”. para ˆ angulos pequenos e α em radianos. a2 M1 = M2 a1 CM M a 1 1 M2 a 2 Exemplo: S´ ırius A e S´ ırius B formam um sistema bin´ ario cuja ´ orbita relativa verdadeira tem semi-eixo maior de 7.1) Para massas em massas solares e per´ ıodos em anos. 67 pc)3 184 . Lei de Kepler: (M1 + M2 ) = 4π 2 (r × α)3 G P2 (19. 048 anos). lei de Kepler: M1 + M2 (a/UA)3 = . e tal que v1 = 75 km/s. 13M .5 dias (=0. M (P/ano)2 Exemplo: seja um sistema bin´ ario de per´ ıodo 17. 19. descoberto pelo f´ ısico e matem´ atico austr´ ıaco Christian Doppler (1803-1853). Se a velocidade for muito menor que a velocidade da luz e considerando v como a componente de velocidade na dire¸ c˜ ao do observador: v ∆λ = λ c Seja a1 a separa¸ c˜ ao da componente 1 ao centro de massa e seja v1 sua velocidade orbital. 2500 b) Se a distˆ ancia de S´ ırius B ao centro de massa for o dobro da distˆ ancia de S´ ırius A ao centro de massa. Pela 3a. Ent˜ ao.8030. qual ´ e a massa e cada estrela? (MA + MB ) = MA rB = =2 MB rA (MA + MB ) = 2MB + MB = 3. MB = 1. 2M . e v2 = 25 km/s. 2πa1 = v1 P e 2πa2 = v2 P e por defini¸ c˜ ao de centro de massa M1 a1 = M2 a2 . a2 M1 v2 Seja M a massa do Sol. 07M −→ MA = 2. M1 v2 25 185 . 03 = 3 . de modo que: M2 v1 a1 = = . 2M . o comprimento de onda de uma fonte que est´ a se movimentando com velocidade v ´ e deslocado por: ∆λ v = cos θ λ c 1 1− v2 c2 1/2 onde θ ´ eoˆ angulo entre o vetor velocidade e a linha de visada.4 Massas de bin´ arias espectrosc´ opicas Pelo efeito Doppler. Qual ´ e a massa de cada estrela? M2 v1 75 = = = 3 −→ M2 = 3M1 . 44M . a massa real ser´ a maior ou igual ` a massa medida. amed = a sen i. M2 = 1. 78M . 5dias = 24 000 000 km = 0. 33M . o que medimos ´ e o limite inferior das massas. 2π a3 0. de fato. 0482 (M1 + M2 ) = Mas como: M2 = 3M1 −→ 4M1 = (M1 + M2 ). M1 = 0. pois v1 med = v sen i. portanto. med = Mas.v1 + v2 = 100 km/s → (a1 + a2 ) = (a1 + a2 ) = (v1 + v2 )P 2π 100 km/s × 17. v2 2 1 2 1 2 (a1 + a2 )3 1 (M1 + M2 )real = = 3i (M1 + M2 )med sen (a1 + a2 )3 med Como o seno de qualquer ˆ angulo ´ e sempre menor ou igual a 1. 16 UA. P2 0. 163 = = 1. amed = a sen i e. temos: v1 sen i. 186 . no come¸ co do s´ eculo XVII. introduziremos alguns conceitos para a caracteriza¸ c˜ ao dessa radia¸ c˜ ao. Como a maioria das observa¸ c˜ oes utiliza radia¸ c˜ ao eletromagn´ etica e podemos obter informa¸ c˜ oes sobre a natureza f´ ısica da fonte estudando a distribui¸ c˜ ao de energia desta radia¸ c˜ ao. λ= c ν ν= c λ c = λν • λ ≡ comprimento de onda • ν ≡ freq¨ uˆ encia • c 300 000 km/s ≡ velocidade da luz 187 . durante as u ´ltimas d´ ecadas. muitos tipos de detectores eletrˆ onicos s˜ ao usados para estudar a radia¸ c˜ ao electromagn´ etica do espa¸ co. desde a radia¸ c˜ ao gama at´ e as ondas de r´ adio s˜ ao atualmente usadas para observa¸ c˜ oes astronˆ omicas. At´ e o fim da Idade M´ edia. o meio mais importante de observa¸ c˜ ao astronˆ omica era o olho humano. e as observa¸ c˜ oes astronˆ omicas de Galileo. bal˜ oes e espa¸ conaves poderem ser feitas fora da atmosfera. A fotografia astronˆ omica iniciou no fim do s´ eculo XIX e. ajudado por v´ arios aparatos mecˆ anicos para medir a posi¸ c˜ ao dos corpos celestes. Apesar de observa¸ c˜ oes com sat´ elites. a grande maioria das observa¸ c˜ oes ´ e obtida da superf´ ıcie da Terra. Todo o espectro electromagn´ etico.Cap´ ıtulo 20 Fotometria Fotometria ´ e a medida da luz proveniente de um objeto. Depois veio a inven¸ c˜ ao do telesc´ opio. 20.3 Intensidade espec´ ıfica Quando a luz ´ e emitida de uma fonte isotr´ opica em um meio homogˆ eneo. e cujo raio vai aumentando ` a medida que a luz 188 . e vale 2π radianos. composta de dire¸ c˜ oes. definido como a raz˜ ao entre o arco e o raio do c´ ırculo.2 ˆ Angulo s´ olido Assim como podemos entender um ˆ angulo plano como um setor de um c´ ırculo. podemos entender um ˆ angulo s´ olido como um ”setor”de uma esfera. 20.1 Grandezas t´ ıpicas do campo de radia¸ c˜ ao A grandeza mais caracter´ ıstica de um campo de radia¸ c˜ ao ´ e uma constante chamada intensidade espec´ ıfica monocrom´ atica Para melhor entende-la. O maior ˆ angulo plano ´ e aquele que subtende toda circunferˆ encia do c´ ırculo. em todas as ´ como se a fonte estivesse no centro de uma esfera. o maior ˆ angulo s´ olido subtende toda a ´ area superficial da esfera.20. E 4π ˆ angulos s´ olidos unit´ arios. (que n˜ ao depende da dire¸ c˜ ao) ela se expande esf´ ericamente. e vale 4π esferorradianos. definido pela raz˜ ao entre o elemento de ´ area na superf´ ıcie da esfera e o seu raio ao quadrado: r a r ω A α α= a r ω= A r2 A unidade de ˆ angulo s´ olido (dω = sen θdθdφ) ´ e o esferorradiano (sr). vamos antes revisar o conceito de ˆ angulo s´ olido. ´ e chamada intensidade espec´ ıfica: dE dt dA dω Se consideramos apenas a energia emitida em um intervalo de comprimentos de onda [ν. Nesse caso. por defini¸ c˜ ao: Iν |dν | = Iλ |dλ|. definir a intensidade espec´ ıfica monocrom´ atica por intervalo de comprimento de onda. a energia que atravessa a unidade de ´ area n˜ ao ´ e a mesma em todas as dire¸ c˜ oes. (Por exemplo. tamb´ em. mas vai depender do ˆ angulo (θ) entre a dire¸ c˜ ao considerada e a normal ´ a´ area. ou seja: Iν ⊥ = Iν = dE cos θ dt dA dω dν (20.se propaga. (20. se observamos a fonte atrav´ es de um orif´ ıcio em uma placa opaca colocada na frente dela). (20. por unidade de tempo e por unidade de ˆ angulo s´ olido. chamamos a intensidade espec´ ıfica de intensidade espec´ ıfica monocrom´ atica: I⊥ = dE dt dA dω dν Num caso mais geral a energia n˜ ao se propaga isotr´ opicamente. notando que. ou erg cm−2 s−1 sr−1 Hz−1 no sistema cgs. A energia que atravessa a unidade de ´ area da fonte. Podemos.1) S I dω θ P dA Geralmente. a intensidade espec´ ıfica ´ e medida em J m−2 s−1 sr−1 Hz−1 no sistema MKS. ν + dν ].2) A intensidade espec´ ıfica integrada em todo o espectro de freq¨ uˆ encias ´ e dada por: ∞ ∞ I= o Iν dν = 189 o Iλ dλ.3) . 6) onde L ´ e a luminosidade intr´ ınseca. que ´ e o que se mede realmente.5) O fluxo. 20. dFν = dE cos θ = Iν ⊥ cos θdω dAdtdν (20. e ´ e expresso em erg cm−2 s−1 . o fluxo em uma certa freq¨ uˆ encia. ´ e a quantidade l´ ıquida de energia radiante cruzando a unidade de ´ area.4 Fluxo O fluxo (F) ´ e a energia por unidade de ´ area e por unidade de tempo que chega ao detector. por unidade de tempo. ou em watt m−2 .7) 190 . de forma que o fluxo que chega na Terra ´ e muito menor do que o fluxo na superf´ ıcie do astro. o fluxo na sua superf´ ıcie ser´ a: F (R) = L 4πR2 (20. significa potˆ encia atrav´ es de uma superf´ ıcie.A intensidade espec´ ıfica n˜ ao varia com a distˆ ancia da fonte. que ´ e a energia total emitida por unidade de tempo em todas as dire¸ c˜ oes. O fluxo a uma distˆ ancia r da estrela ser´ a: F (r ) = L 4πr2 (20. e por intervalo de freq¨ uˆ encia. Ao contr´ ario da intensidade espec´ ıfica. em um dado ponto e em uma dada dire¸ c˜ ao. O fluxo integrado no espectro de freq¨ uˆ encias ser´ a: ∞ ∞ F = o Fν dν = o Fλ dλ. Para uma estrela esf´ erica de raio R. o fluxo de radia¸ c˜ ao cai com o quadrado da distˆ ancia (r). estando dilu´ ıdo por um fator de r12 . Formalmente.4) que integrando nos d´ a o fluxo em uma freq¨ uˆ encia (ν ) 2π Fν = Iν dω = π 2 0 0 Iν ⊥ cos θsen θdθdφ (20. Outra grandeza de grande interesse ´ e o fluxo. pois a quantidade de energia dentro do ˆ angulo s´ olido permanece sempre a mesma. portanto. ou seja. Ω diminui. Em 1856. 12) que o sistema. e o 191 . que por defini¸ c˜ ao ´ e dada por: m = −2. o brilho superficial. na Terra. 5 log F + const. o fluxo do Sol.Nesse caso. A Ω d 20. (20. integrado sobre todas as freq¨ uˆ encias. que est´ a 5 vˆ ezes mais distante.C. pois o tamanho angular do Sol em J´ upiter ´ e 25 vˆ ezes menor do que na Terra. Norman Robert Pogson (1829-1891) propos (Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. baseado na percep¸ c˜ ao de brilho do olho humano. ´ e logar´ ıtmico. E acil imaginar que. compensando o decaimento do fluxo. A figura abaixo mostra um objeto extenso com unidade de ´ area A que. Mas o fluxo por unidade de ´ area (brilho superficial) do Sol ´ e o mesmo na Terra e em J´ upiter. atribuindo magnitude 1 ` a mais brilhante e 6 ` as mais fracas. quando d aumenta. F (r) ´ e o fluxo integrado sobre toda a superf´ ıcie da estrela. o grego Hiparco (160-125 a. Para objetos extensos (os que n˜ ao tˆ em aparˆ encia estelar). tem tamanho angular Ω. Por exemplo. Assim como a intensidade espec´ ıfica. podemos definir.5 Magnitudes O brilho aparente de um astro ´ e o fluxo medido na Terra e.) dividiu as estrelas vis´ ıveis a olho nu de acordo com seu brilho aparente. ´ e expresso em termos da magnitude aparente m. e a luminosidade da estrela L pode ser obtida diretamente multiplicando o fluxo dela proveniente pela ´ area sobre a qual o fluxo se distribui. o brilho superficial n˜ ao depende da distˆ ancia. pois tanto o fluxo como a ´ area angular do objeto diminuem com o quadrado da distˆ ancia entre o objeto e o observador. normalmente. ainda. ´ e 25 vˆ ezes maior do que o fluxo do Sol em J´ upiter. ´ f´ a uma distˆ ancia d. que ´ e o fluxo por unidade de ´ area angular do objeto. p.8) Por que o brilho de um astro ´ e medido em magnitudes? H´ a 2000 anos atr´ as. 17. 4. Um telesc´ opio com 7 cm de diˆ ametro.69 × 109 ergcm−2 s−1 ˚ A−1 que corresponde a cerca de 1000 f´ otons − 2 − 1 − 1 cm s ˚ A . 5 log F2 F1 (20. desenvolvido por Harold Lester Johnson (1921-1980) e William Wilson Morgan (1906-1994) em 192 . m(Lua cheia)=-12. m(Sol)=-26. tem uma ´ area (70 2 mm/7 mm) =100 vezes maior e portanto capta 100 vezes mais f´ otons. Um sistema muito usado ´ e o sistema UBV.5. normalizada. Desta maneira este telesc´ opio de 7 cm de abertura permite observar 5 magnitudes mais fracas do que o olho humano. m(Urano)=5. m(Saturno) = 0. As magnitudes dos planetas. O n´ umero de f´ otons detectado no filtro V ´ e de cerca de 106 f´ otons cm−2 s−1 . 2. 5 como na defini¸ c˜ ao anterior. Normalmente.10) 0 0 onde F (λo ) ´ e o fluxo no comprimento de onda efetivo do filtro. ou seja. m(Vˆ enus) = -4.0 . at´ e magnitude 6+5=11. 20. tem aproximadamente 7 mm. m(Marte)= -2. de modo que: m1 − m2 = K log F1 −→ 1 − 6 = K log F2 F1 F2 −5 = K log(100) −→ K = −2.1 Sistemas de magnitudes Quando medimos uma estrela. (20. 20.9) Mais precisamente.8.fluxo correspondente a uma estrela de primeira magnitude (m=1) era 100 vezes mais brilhante que uma estrela de magnitude 6. o fluxo obtido depende da sensibilidade espectral do equipamento.6.8) define o ponto zero da escala.7. temos: ∞ ∞ Fobs = Φ(λ)F (λ)dλ F (λo ) Φ(λ)dλ.5.74. utiliza-se a magnitude aparente da estrela Vega como m ≡ 0. Logo: m2 − m1 = −2.9. Para compara¸ c˜ ao m(S´ ırius)=-1. Se chamamos de Φ(λ) a eficiˆ encia espectral do equipamento.) na defini¸ c˜ ao de magnitude (eq.). Uma estrela de magnitude visual V = 0 tem um fluxo observado de Fλ = 3. no brilho m´ edio.8 e m(Plut˜ ao)=15. 5125 = 100. Um sistema de magnitudes ´ e definido por seu Φ(λ) e por sua constante (const. quando adaptada ao escuro. m(Netuno)=7. s˜ ao: m(Merc´ urio) = -1. ou seja.46. A constante (const. m(J´ upiter) = -2. do conjunto telesc´ opio + filtro + detector. A pupila do olho humano. 5 log FV + const. com Teff =9500 K.) do sistema. Vega ´ e a estrela Alfa Lyrae. fλ (U ) = 4. e Fobs = obtemos: mV = −2. a uma distˆ ancia de d=25 anos-luz. Assim. estrela mais brilhante no c´ eu. 97 ΦU F (λ)dλ − 13.11) Para determinar a constante (const. a magnitude aparente na banda V. 74 ΦB F (λ)dλ − 12. 20 × 10−12 W cm−2 µm−1 e fλ (B ) = 3. estrelas que tˆ em magnitudes bem determinadas. usamos estrelas padr˜ oes. 5 log 0 ∞ 0 ∞ 0 0 ∞ ∞ Φ(λ)F (λ)dλ ΦV F (λ)dλ − 13. (20. fλ (B ) = 7. 35 × 10−12 W cm−2 µm−1 . e V de visual (amarelo). por exemplo. a 5a. Como V = −2. 0. que define magnitudes em trˆ es bandas espectrais: U de ultravioleta. 5 log FV + const. 87 193 . Essas magnitudes tˆ em seus comprimentos de onda efetivos em 3600 ˚ A. 4200 ˚ A e 5500 ˚ A. 5 log mB = −2. 92 × 10−12 W cm−2 µm−1 . ´ e: V = −2. 5 log mU = −2. ou seja. log g = 4. B de blue (azul).1951. ou equivalentemente.0 22. 631×10−9 ergs cm−2 s−1 ˚ A−1 = 3.0 13.4 22.0 13.2 22. Ou seja fλ (V = 0) = 3.9 21.5.7 20. 4mV − 8. e assim por diante.7 12.5 Lua Cheia 19. subtraindo a magnitude B da magnitude U temos o ´ ındice de cor U − B .7 22. e ainda log Fλ (V ) = −0.2 23. por segundo de arco ao quadrado Cor U B V R I J H K Comprimento de onda 3700˚ A 4400˚ A 5500˚ A 6400˚ A 8000˚ A 1. 85 − 2 log (R/R ) onde Fλ (V ) ´ e o fluxo em ergs cm−2 s−1 ˚ A−1 na fotosfera da estrela em 5500˚ A. os ´ ındices de cor s˜ ao importantes para determinar a temperatura das estrelas.7 21. 4mV − 8.5 20.2µm 1.8 20. Por exemplo. Os ´ ındice de cor tˆ em valores t´ ıpicos de d´ ecimos ou cent´ esimos de magnitudes.2 15.e log fλ (V ) = −0.2µm Do espa¸ co 23.3 Lua Nova 22. subtraindo a magnitude V da magnitude B temos o ´ ındice de cor B − V .9 19.7 19. 43 onde fλ (V ) ´ e o fluxo em ergs cm−2 s−1 ˚ A−1 fora da atmosfera em 5500˚ A.2 ´ Indices de cor Em qualquer sistema de magnitudes multicor define-se os ´ ındices de cor como a raz˜ ao entre os fluxos em duas bandas diferentes.6µm 2. 194 .2 20. como a diferen¸ ca entre duas magnitudes do sistema.1: Magnitude do c´ eu. 631×10−8 Watts m−2 µm−1 ou fν (V = 0) = 3631 Janskys = 3631 × 10−26 W m−2 Hz−1 Tabela 20.9 19.7 12.4 19.9 15. Como veremos adiante. M = −2. com m=0? Para podermos comparar os brilhos intr´ ınsecos de duas estrelas.42. A diferen¸ ca entre a magnitude aparente e a absoluta ´ e dada por: m − M = −2. teoricamente poder´ ıamos obter o fluxo em todo o intervalo espectral.15) 20. precisamos usar uma medida de brilho que independa da distˆ ancia.4 Magnitude bolom´ etrica Se tiv´ essemos um equipamento que tivesse 100% de sensibilidade em todos os comprimentos de onda.20. Por exemplo.13) F (10 pc) (20. intrinsicamente mais brilhante do que Vega. 5 log[F (10 pc)] = −2. definimos como magnitude absoluta (M) a magnitude te´ orica que a estrela teria se estivesse a 10 parsecs de n´ os.12) F (R)4πR2 4πr2 F (R)4πR2 4π (10 pc)2 = (10 pc)2 100 pc2 = r2 r2 (20. 5 log[F (r)] + 2. com m=-1. A magnitude correspondente ao fluxo em todos os comprimentos de onda ´ e a magnitude bolom´ etrica mbol . m−M +5 r(pc) = 10 5 100 pc2 r2 (20. m − M = −2.5. r. ou seja. 5 log ou m − M = 5 log r − 5 (20. que depende de sua distˆ ancia. L = 4πR2 0 ∞ Fν dν = 4πR2 Fbol 195 . 5 log[F (10 pc)] + const. tem que ser medida em parsecs. Nesta f´ ormula a distˆ ancia da estrela. ser´ a S´ ırius.14) onde R ´ e o raio da estrela. Logo. Para isso.5.3 Magnitude absoluta A magnitude aparente de uma estrela mede seu brilho aparente. 5 log Como F (r) = F (10 pc) F (r) (20.16) o chamado m´ odulo de distˆ ancia. de modo que n˜ ao podemos medir ultravioleta do solo. ela absorve fortemente no ultravioleta (1000 A a 3500 A) e em v´ arias bandas do infravermelho (1 µm a 1 mm). 4. a magnitude bolom´ etrica absoluta de uma estrela qualquer ´ e dada por Mbol = 4. que por defini¸ c˜ ao tem valores pr´ oximos a zero para estrelas parecidas com o Sol. cujas magnitudes s˜ ao chamadas: u. existem v´ arios componentes que difundem a luz em todas as dire¸ c˜ oes (mol´ eculas. no Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society. ´ e a corre¸ c˜ ao bolom´ etrica. causando uma extin¸ c˜ ao cont´ ınua. 8.18) mas precisamos levar em conta o efeito da atmosfera da Terra e do material interestelar. e infravermelho somente acima de 2000 m de altura. em todos os comprimentos de onda. b e y.pois ∞ 0 V− ∞ Fν dν = 0 Fν dν + FV + V+ Fν dν Na pr´ atica. 72 − 2. centrados em 3500. 20.B.17) onde C. consistindo de filtros com largura entre 180 e 300˚ A. 20. 5 log L L (20. (20. 4670 e 5470˚ A. 4110.5 Sistema de Str¨ omgren Um dos sistemas de banda intermedi´ aria mais usado ´ e o definido em 1963 pelo dinamarquˆ es Bengt Georg Daniel Str¨ omgren (1908-1987). ´ e dif´ ıcil medir a magnitude bolom´ etrica porque a atmosfera impede a passagem de certos intervalos espectrais. de forma que se determina essa magnitude a partir da magnitude visual (mV ≡ V ) como: mbol = mV − C. 72.B. v.5. part´ ıculas s´ olidas de poeira e fuma¸ ca). Como a magnitude bolom´ etrica absoluta do Sol ´ e Mbol = 4.5.6 Extin¸ c˜ ao atmosf´ erica Embora a atmosfera seja praticamente transparente na faixa vis´ ıvel (3500 ˚ A ˚ ˚ ˚ a 6500 A). E 196 . A extin¸ c˜ ao ´ e tanto ´ por maior quanto maior for a quantidade de ar atravessada pela luz. e valores maiores para estrelas mais quentes ou mais frias do que o Sol. Na atmosfera. dF = −F · k · ds ⇒ dF = −k · ds F Io Z C x dx z ds x+dx I 197 .1: Curvas de transmiss˜ ao dos filtros de Str¨ omgren. A atmosfera da Terra afeta as medidas. usualmente medido em cm . processos esses que s˜ ao descritos − 1 por um coeficiente de absor¸ c˜ ao k . de forma que as magnitudes observadas devem ser ajustadas aos valores que ter´ ıamos se as observa¸ c˜ oes fossem feitas fora da atmosfera. O efeito da atmosfera ´ e o de absorver e espalhar a radia¸ c˜ ao em outras dire¸ c˜ oes.Figura 20. esse motivo que podemos olhar diretamente para o Sol quando ele est´ a no horizonte. dF = F (x + dx) − F (x) = −kF (x)ds Para distˆ ancias zenitais pequenas. Temos.19) ln Em magnitudes. onde z ´ e a distˆ ancia zenital. 5 log e) τo sec z = mo + K · X m = mo + 1. Como sec 45o = 1. A diferen¸ ca (m − mo ) ´ e a extin¸ c˜ ao atmosf´ erica em magnitudes e ´ e determinada atrav´ es de estrelas padr˜ oes para as quais mo ´ e conhecido. 086 τo sec z = mo + 1. podemos aproximar a atmosfera por uma camada plana de espessura constante e. sendo mais correto escrever m(λ) = mo (λ) + K (λ) · X 198 . e X = sec z ´ e a massa de ar. essa equa¸ c˜ ao fica: m = −2.F (x + dx) = F (x) − kF (x)ds. 46. onde τo = kH ´ e a espessura ´ otica na dire¸ c˜ ao do zˆ enite. 52 Fo . 086 τ = mo + K · X (20. A constante K ´ e caracter´ ıstica do meio e depende do comprimento de onda. 41 e usando um coeficiente kH = 0. t´ ıpico de observa¸ c˜ oes ´ oticas. a espessura ´ otica expressa em fun¸ c˜ ao da distˆ ancia zenital z e. a atmosfera terrestre absorve 48% da luz da estrela ao observarmos a 45o do zˆ enite. obtemos F = 0. 086τo ´ e o coeficiente de extin¸ c˜ ao. ent˜ ao. podemos escrever dx = ds cos z → ds = sec zdx. 5 log Fo + (2. Fo O termo k sec z H ´ e a espessura ´ otica τ . ela pode ser expressa por τ = τo sec z . supondo que a camada atmosf´ erica ´ e formada por camadas plano-paralelas.20) e onde K = 1. assim. Ent˜ ao: F Fo dF = −k sec z F H dx o F = −k sec zH −→ F = Fo e−k sec z H . e o fluxo ser´ a: F = Fo e−τ = Fo e−τo sec z (20. dF = −k sec z dx F Sendo H a altura da atmosfera. Um exemplo de aplica¸ c˜ ao deste conceito ´ e considerarmos uma estrela observada a uma distˆ ancia zenital de 45o . Fo o fluxo no topo da atmosfera e F o que chega ao observador. ou seja. 199 . a extin¸ c˜ ao torna as estrelas mais avermelhadas. 14. indicando que os comprimentos de onda menores s˜ ao mais absorvidos e espalhados do que os maiores.Para o sistema UBV. Michael J. 20 mag em V. Portanto. 35 mag em B e 0. os coeficientes de extin¸ c˜ ao decrescem de U para V. vemos o que a extin¸ c˜ ao atmosf´ erica neste caso equivale a 0. ´ e necess´ ario levar em conta tamb´ em a extin¸ c˜ ao interestelar. devido ` a poeira interestelar concentrada principalmente no plano da Gal´ axia e que tamb´ em extingue e avermelha a luz das estrelas. V0 = V − AV . apresenta a varia¸ c˜ ao da extin¸ c˜ ao com o comprimento de onda. a magnitude visual absoluta ser´ a: MV = V − AV − 5 log d(pc) + 5 onde AV ´ e a extin¸ c˜ ao interestelar no visual. 73. Essa extin¸ c˜ ao foi descoberta por Robert Julius Trumpler (1886-1956). em magnitudes. Seaton. 25 e K (V ) 0.7 Extin¸ c˜ ao interestelar e Excesso de cor Al´ em da extin¸ c˜ ao atmosf´ erica. 68 mag em U. 14 sec 45o = 0. por exemplo. 48 sec 45 = 0. a magnitude visual absoluta MV de uma estrela de magnitude aparente V0 (j´ a corrigida por extin¸ c˜ ao atmosf´ erica). 0. e para locais situados acima de 2000 m de altitude. em seu artigo de 1979 no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Como vemos. 187. No nosso exemplo de observarmos uma estrela a 45o do zˆ enite. 5 log F (λ1 ) F0 (λ1 ) − log F0 (λ2 ) F (λ2 ) onde F0 ´ e o fluxo real e F o fluxo observado. 25 sec 45o = 0. K (B ) 0.5. Aλ1 − Aλ2 = 2. 20. A extin¸ c˜ ao interestelar em magnitudes ´ e representada pela letra A com um subscrito indicando a banda espectral a que se refere. a extin¸ c˜ ao interestelar na banda B ´ e AB e na banda V ´ e AV . localizada a uma distˆ ancia d seria: MV = V0 − 5 log d(pc) + 5 Considerando que a magnitude aparente V est´ a afetada por avermelhamento interestelar. e ´ e da ordem de 1 magnitude por kiloparsec. 48. os valores dos coeficientes m´ edios de extin¸ c˜ ao s˜ ao: K (U ) 0. em 1930. e portanto a luz azul ´ e mais extinguida do que a vermelha. Se n˜ ao existisse extin¸ c˜ ao interestelar. (U-B) e (B-V). assumimos que ela sofreu avermelhamento interestelar e movemos a medida para cima ao longo da diagonal de inclina¸ c˜ ao conhecida EU −B = 0. ´ e muito u ´til para determinar a temperatura da estrela. O deslocamento de a at´ ea. Se a estrela a ´ e encontrada fora dessa curva. por isso. o ´ ındice de cor n˜ ao depende da distˆ ancia e. devido ` a poeira interestelar na dire¸ c˜ ao da estrela. existe uma distor¸ c˜ ao nos valores observados dos ´ ındices em rela¸ c˜ ao aos valores reais. Na pr´ atica. poder´ ıamos obter a temperatura de uma estrela medindo o fluxo em dois comprimentos de onda diferentes. as cores (B-V) e (U-B) das estrelas se encontram em um curva ondulada. j´ a que ´ e maior a redu¸ c˜ ao para comprimentos de onda menores.´ e o excesso de cor. isto ´ e. mas podemos remover as distor¸ c˜ oes medindo dois ´ ındices. Na ausˆ encia de avermelhamento interestelar. como U e B. podemos corrigir por avermelhamento interestelar. A raz˜ ao dos fluxos (diferen¸ ca de magnitudes) ´ e uma fun¸ c˜ ao somente de temperatura. Vemos assim que. que reduz U. embora a magnitude aparente uma estrela dependa de sua distˆ ancia. ´ e o excesso de cor. Conseq¨ uentemente. a magnitude azul absoluta ser´ a: MB = B − AB − 5 log d(pc) + 5 e o´ ındice de cor da estrela ´ e: MB − MV = (B − V ) − (AB − AV ) ou (B − V )0 = (B − V ) − EB −V onde (B − V )0 = MB − MV ´ e o´ ındice de cor intr´ ınseco e EB −V = (AB − AV ). B e V diferencialmente. j´ a que a distˆ ancia se anula. Em princ´ ıpio. 200 . ou B e V. precisamos de dois ´ ındices de cor.Similarmente. 72 EB −V at´ e que esteja sobre a curva. em princ´ ıpio.0.6. ´ e de R=(2.6 20. e sua temperatura variaria.99 ± 0. O valor mais prov´ avel.27). ´ e negro.1 Teoria da Radia¸ c˜ ao O corpo negro Em 1859-60. tamb´ A corre¸ c˜ ao ao fluxo observado em V. portanto.0 e 5. Fitzpatrick & Derck Massa (2007. Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887). Portanto. Um corpo com essa propriedade. 5 log FV − AV − 5 log d(pc) + 5 O valor de R est´ a entre 3. ´ e tamb´ em 201 . sem refletir nada da radia¸ c˜ ao. um corpo negro. de Heidelberg. devido ` a varia¸ c˜ ao no tamanho e composi¸ c˜ ao qu´ ımica dos gr˜ aos de poeira.obs . dependendo da dire¸ c˜ ao na Gal´ axia. definiu um corpo negro como um objeto que absorve toda a luz que incide sobre ele. ele deve irradiar energia na mesma taxa em que a absorve. Para tal corpo estar em equil´ ıbrio termodinˆ amico. 320). n˜ ao pode ser visto e. 5 log FV − AV − CV onde CV ´ e a constante do sistema e a magnitude absoluta visual ser´ a: obs MV = −2. al´ em de ser um absorsor perfeito. j´ a que a poeira interestelar produz uma raz˜ ao constante de fluxos: AV = R · EB −V ou seja: obs V = −2. Astrophysical Journal. FV em pode ser obtida do avermelhamento. fora das regi˜ oes de grande extin¸ c˜ ao. de acordo com Edward L. 20. do contr´ ario ele esquentaria ou esfriaria. 663. onde passou a catedr´ atico em 1892. de baixas e altas temperaturas. Em 1900. ou f´ otons. Pringsheim. Heinrich Leopold Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum (1857-1927). quando aposentou-se e passou a dar palestras sobre ciˆ encia e religi˜ ao. por´ em com valor distinto da constante. por unidade de tempo. instituto de metrologia alem˜ ao. por unidade de ´ area. a temperatura dos corpos pode ser medida com a mesma f´ ormula. Permanceu no cargo at´ e seus 70 anos. descobriu empiricamente a chamada Lei de Wien: hνmax = 2. tamb´ em do PTR. mas simplesmente n˜ ao funcionava para baixas freq¨ uˆ encias. ´ e opaco. e por unidade de ˆ angulo s´ olido) de um corpo que tem uma temperatura uniforme T que est´ a em equil´ ıbrio termodinˆ amico com seu pr´ oprio campo de radia¸ c˜ ao. tem a mesma forma da radia¸ c˜ ao de um corpo negro. com paredes internas ` a mesma temperatura. como demonstrado a seguir. postulou que a energia eletromagn´ etica s´ o pode se propagar em quanta discretos. ´ e chamada Iλ ≡ Bλ (T ) e ´ e dada pela Lei de Planck: Bλ (T )dλ = − 1 cE dnb (p). dessa forma. o alem˜ ao Wilhelm Wien (1864-1928). do Physikalisch-Technische Reichsanstalt (PTR). no norte da Alemanha. Em 1899. isto ´ e. 4π Max Karl Ernest Ludwig Planck nasceu em 23 de abril de 1858 na cidade de Kiel. mediram a forma do espectro e observaram que a forma derivada classicamente por Wien era v´ alida para altas freq¨ uˆ encias. mas poderia ser constru´ ıdo. Com essa quantiza¸ c˜ ao da energia. ele pode deduzir teoricamente a intensidade de um campo de radia¸ c˜ ao. Cursou a Universidade de Munique e depois foi para Berlin estudar com Hermann von Helmoltz (1821-1894) e Gustav Kirchhoff (1824-1887). Samuel Pierpont Langley (1834-1906) usou seu espectro-bolˆ ometro para medir a distribui¸ c˜ ao de radia¸ c˜ ao para diversas fontes de calor. cada um com energia E = hν . Morreu em 4 de outubro de 1947. Lummer e Ernst Pringsheim (1859-1917) descobriram que corpos n˜ ao negros tamb´ em obedecem ` a lei do deslocamento de Wien. A intensidade espec´ ıfica monocrom´ atica (energia por unidade de comprimento de onda. Em 1895. Em 1885 tornou-se professor na Universidade de Kiel e quatro anos mais tarde na Universidade de Berlin. o f´ ısico alem˜ ao Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) da Universidade de Berlim 1 . os alem˜ aes Wien e Otto Richard Lummer (1860-1925) propuseram que um corpo negro n˜ ao existe na natureza. Lummer. Obteve seu doutorado em Munique em 1879. Em 1886.um emissor perfeito. Em 1893. com uma tese sobre o segundo princ´ ıpio da termodinˆ amica. 202 . 821 k T. demonstrando que a radia¸ c˜ ao emergente de um pequeno buraco em um corpo oco. 1)]: (2s + 1) 4πp2 dp dnb (p) = . e dnb (p) ´ e o n´ umero de f´ otons com momentum p. c ´ e a velocidade da luz.Lei de Planck T=10 000K 30 20 T=9000K 10 T=7000K T=5500K 0 2000 4000 6000 8000 onde E ´ e a energia da part´ ıcula. 203 . e o termo h−3 ´ e necess´ ario devido ao princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg. associado ` a energia E . proposto em 1927 por Werner Karl Heisenberg (1901-1976).1)]. que define o menor tamanho poss´ ıvel da c´ elula para o produto do volume de espa¸ co e de momentum. que depende da densidade de part´ ıculas (n´ umero de part´ ıculas por unidade de volume. exp[(E − µ)/kT ] − 1 h3 sendo µ o potencial qu´ ımico [se¸ c˜ ao (23. O termo (2s + 1) representa o n´ umero de part´ ıculas (estados independentes) poss´ ıveis com mesma energia E . e ´ e dado pela distribui¸ c˜ ao de momentum p de Bose-Einstein de um g´ as de b´ osons de spin s [veja se¸ c˜ ao (23. N ) e ´ e obtido integrando-se: ∞ N= 0 n(p)dp.9. n˜ ao depende da dire¸ c˜ ao de emiss˜ ao e n˜ ao ´ e polarizada. Para escrever a lei de Planck em termos de freq¨ uˆ encia. Com esses valores se pode obter: Bλ (T ) = 2hc2 1 λ5 ehc/λkT − 1 (20. 38 × 10−23 J K−1 . λ = c/ν e µ = 0. precisamos utilizar a equa¸ c˜ ao (20. a intensidade espec´ ıfica ser´ a dada por: Iν = µ2 ν Bν (T ) 20. em unidades do sistema internacional: h = constante de Planck = 6.Para um f´ oton. e Bν tem unidades de W m−2 Hz−1 sr−1 . Esta radia¸ c˜ ao. ou radia¸ c˜ ao t´ ermica. 63 × 10−34 Js. propagando-se em um meio com ´ ındice de refra¸ c˜ ao (real) µν . Qualquer corpo em equil´ ıbrio termodinˆ amico emitir´ a f´ otons com uma distribui¸ c˜ ao de comprimentos de onda dada pela Lei de Planck. chamada de radia¸ c˜ ao de corpo negro. que ´ e um b´ oson de massa zero e spin 1. e k = 1. e dν c =− 2 dλ λ obtendo Bν = Bλ ou Bν (T ) = 2hν 3 1 2 hν/kT c e −1 (20.2). p = hν/c.22) λ2 c onde. Para o caso mais geral de radia¸ c˜ ao. c = velocidade da luz = 3 × 108 m s−1 . Essa intensidade espec´ ıfica n˜ ao depende de qualquer propriedade do corpo a n˜ ao ser sua temperatura. E = hν . O m´ aximo (e o m´ ınimo) de 204 .2 Lei de Wien Como podemos ver da figura com a Lei de Planck. 38 × 10−16 ergs/K ´ e a constante de Boltzmann.6. a freq¨ uˆ encia em que a intensidade ´ e m´ axima varia com a temperatura. k = constante de Boltzmann = 1.21) onde h ´ e a constante de Planck. 3 Lei de Stefan-Boltzmann Em 1884. descobriram empiricamente que o fluxo (energia por unidade de ´ area. hc hc/λkT e 2hc2 2 dBλ (T ) 10hc2 = − 6 hc/λkT + 5 λ kT 2 =0 dλ λ λ e −1 ehc/λkT − 1 logo hc ehc/λkT =5 λkT ehc/λkT − 1 hc Fazendo-se a substitui¸ c˜ ao de vari´ aveis x ≡ λkT . Essa lei pode ser demonstrada considerando que: ∞ 2h ∞ ν 3 dν B (T ) ≡ Bν dν = 2 hν c 0 e kT 0 −1 205 5. o tamb´ em austr´ ıaco Ludwig Boltzmann (1844-1906). se explica porque quando se aquece uma barra de ferro. encontrada empiricamente por Wilhelm Wien. o matem´ atico austr´ ıaco Josef Stefan (1835-1893) e seu aluno na ´ epoca.qualquer fun¸ c˜ ao ´ e dado para o ponto em que a derivada ´ e nula. 67 × 10−5 ergs cm−2 K−4 s−1 . 20. obtendo-se: λmax T = 0. 0028978 K m = 28978000 K ˚ A e o m´ aximo de Bν (T ) ocorre em hνmax = 2. Dessa maneira. obt´ em-se uma equa¸ c˜ ao transcendental: 1 e−x + x − 1 = 0 5 que pode ser resolvida numericamente. ` a medida que T aumenta. Derivando a Lei de Planck Bλ (T ) e igualando a derivada a zero. 821 k T 5383 × 5383 K ˚ A (20. por unidade de tempo) de um corpo negro de temperatura T ´ e dado por: π/2 ∞ F = 2π 0 cos θ senθ dθ 0 Bν (T )dν = σT 4 onde σ = = 5. 67 × 10−8 W m−2 K−4 ´ e a constante de Stefan-Boltzmann. mostra que.6. νmax aumenta. ou λmax diminui. Essa rela¸ c˜ ao.24) Note que λmax n˜ ao ´ e igual a c/νmax pois Bλ n˜ ao ´ e igual a Bν . ela torna-se primeiro vermelha e depois esverdeada e azulada.23) (20. a 33 energia total emitida pelo Sol ´ e L = 3. 2 Escrevemos para o fluxo na fotosfera da estrela: 4 F ≡ σTef (20. a luminosidade ´ e obtida multiplicando-se o fluxo pela ´ area da fotosfera 4πR2 : 4 L = 4πR2 σTef (20. a temperatura de um corpo negro que emite a mesma quantidade de energia por unidade de ´ area 3 e por unidade de tempo que a estrela. de onde prov´ em a radia¸ c˜ ao. pois as camadas que a comp˜ oem n˜ ao est˜ ao todas ` a mesma temperatura. Pode-se ainda definir a temperatura de cor.e definindo-se α ≡ hν kT . sendo tanto mais quentes quanto mais pr´ oximas est˜ ao do n´ ucleo. 2 206 . para uma estrela esf´ erica de raio R. portanto. sendo que 1 Joule Nas estrelas n˜ ao acontece o equil´ ıbrio termodinˆ amico propriamente dito.26) A temperatura efetiva de uma estrela ´ e. Mas o transporte dessa energia para as camadas superiores se d´ a sem altera¸ ca ˜o significativa da distribui¸ ca ˜o de temperatura das camadas intermedi´ arias. pois depende do m´ etodo que estamos usando para medi-la. ´ e ligeiramente diferente da sua temperatura medida pela lei de Stefan-Boltzmann (a partir da luminosidade e do raio). determinada a partir da raz˜ ao de fluxos em dois comprimentos de onda diferentes. onde a energia ´ e gerada. pois suas camadas externas. Isso denomina-se equil´ ıbrio termodinˆ amico local. Assim. 3 A defini¸ c˜ ao de temperatura de um objeto astronˆ omico n˜ ao ´ eu ´nica. n˜ ao est˜ ao exatamente em equil´ ıbrio t´ ermico. Portanto. Exemplo: energia do Sol na Terra: a luminosidade do Sol. B (T ) = = = 2h c2 2h c2 2h c2 kT h kT h kT h 4 0 4 ∞ α3 dα eα (1 − e−α ) 1 (n + 1)4 ∞ 6 n=0 4 π4 15 = σ 4 T π Uma estrela n˜ ao ´ e um corpo negro. enquanto a primeira ´ e chamada temperatura de brilho. Esta u ´ltima ´ e a temperatura efetiva. de forma que cada camada permanece em equil´ ıbrio termodinˆ amico com ela mesma. isto ´ e. a temperatura de uma estrela medida pela lei de Wien (a partir da intensidade em um comprimento de onda). Essas temperaturas n˜ ao s˜ ao iguais porque os corpos astronˆ omicos n˜ ao s˜ ao corpos negros perfeitos. 9 × 10 ergs/s.25) definindo um parˆ ametro chamado temperatura efetiva Tef . segue da equa¸ c˜ ao (20. 0o C=273 K. Logo: 4 ¯ σT⊕ = 0. o fluxo m´ edio incidente ´ e obtido dividindo a 2. Portanto. A energia absorvida aquece a Terra. A energia que atinge a Terra por unidade de ´ area e de tempo. ´ e dada por: 2 2 P = πR⊕ F⊕ = πR⊕ L 4πr2 Devido ` a rota¸ c˜ ao da Terra. a temperatura da Terra ´ e de 290 K. por defini¸ c˜ ao de fluxo. 207 . Como o raio do Sol ´ e de R = 700 000 km. A escala de temperatura que usamos quotidianamente ´ e a Celsius [Anders Celsius (1701-1744)]. devido ao efeito estufa do g´ as carbˆ onico (CO2 ) e da ´ agua. 61F ⊕ o que resulta em uma temperatura para a Terra de T⊕ = 249 K. de 273 K. Portanto. de 1 unidade astronˆ omica (UA) = 150 milh˜ oes de km. refletindo os outros 39%. ´ e de: L F⊕ = 4πr2 onde r ´ e a distˆ ancia do Sol ` a Terra. A rela¸ c˜ ao entre os dois sistema ´ e: T(C)=T(K)-273. ou seja.26) que a temperatura efetiva do Sol ´ e Tef = 5400 K. R⊕ = 6400 km. comumente chamada de escala cent´ ıgrada. o efeito estufa mant´ em a ´ agua na superf´ ıcie da Terra acima do ponto de congelamento. onde R⊕ ´ e o raio da Terra. 4πR⊕ ¯ F ⊕ = P L = = 3. 5 × 105 ergs s−1 cm−2 2 16πr2 4πR⊕ A Terra absorve 61% da luz incidente. que irradia como um corpo negro a uma taxa σT 4 por unidade de ´ area. De fato. a potˆ encia luminosa interceptada pela Terra.= 107 ergs. potˆ encia interceptada na Terra pela ´ area total da Terra. que tem uma 2 sec¸ c˜ ao reta πR⊕ . 208 . formando um espectro como o arco-´ ıris. densidades e composi¸ c˜ oes. At´ e 1820. Quase toda informa¸ c˜ ao sobre as propriedades f´ ısicas das estrelas s˜ ao obtidas direta ou indiretamente de seus espectros. e depois por um prisma.1 Hist´ orico Isaac Newton demonstrou. A seq¨ uˆ encia de cores formada ´ e chamada espectro. 21. principalmente suas temperaturas. Essas linhas s˜ ao imagens da fenda do espectr´ ografo em diferentes comprimentos de onda. em 1665-66. que aparecem quando a luz passa atrav´ es de um prisma ou de uma rede de difra¸ c˜ ao. como a luz do Sol.Cap´ ıtulo 21 Espectroscopia Espectroscopia ´ e o estudo da luz atrav´ es de suas cores componentes. que a luz branca. passando a luz solar por uma fenda. o fabricante de instrumentos de vidro alem˜ ao Joseph von 209 . apareciam algumas linhas escuras no espectro. William Hyde Wollaston (1766-1828) observou que. ao passar por um prisma se decomp˜ oe em luz de diferentes cores. que ele interpretou como o limite das cores. Em 1802. Zi. descobriu linhas de Mg. Na2 CO3 ) que comp˜ oem o vidro (basicamente SiO4 ) fazem que os prismas fabricados desloquem o comprimento de onda em diferentes ˆ angulos. ent˜ ao. Ba. Capella. A luz do s´ olido que passava pela chama apresentava as mesmas linhas escuras do Sol. Para isso. o neˆ onio tinha linhas no vermelho (por isso. o qu´ ımico alem˜ ao Robert Wilhelm Bunsen (1811-1899) inventou o bico de g´ as (bico de Bunsen). e n˜ ao da chama. 210 . come¸ cando com A no vermelho. Fraunhofer usava as linhas do espectro solar para determinar as propriedades dos vidros. que eram os de melhor qualidade fabricados naquela ´ epoca. as cores emitidas eram as da substˆ ancia. esperando que as linhas do s´ odio preenchessem as linhas escuras do Sol. cuja vantagem era a de ter chama incolor. Castor. Essas camadas mais frias produziam as linhas escuras do Sol. Kirchhoff queria confirmar que as linhas escuras D descobertas por Fraunhofer eram linhas de s´ odio. Quando um elemento qu´ ımico era colocado sobre a chama. Eles descobriram que cada elemento gerava uma s´ erie de linhas diferentes. na posi¸ c˜ ao das linhas do s´ odio. para as linhas mais fortes e min´ usculas para as mais fracas. que levam seu nome. e Ni no Sol. Ca. envolto por um g´ as mais frio. ele passou a luz do Sol atrav´ es de uma chama de s´ odio. um cartaz de neon ´ e vermelho). Em 1856. Eles colocaram um prisma na frente de um conjunto de lentes e passaram a identificar as linhas com os elementos qu´ ımicos. de Munique. Ele. e o merc´ urio tinha linhas no amarelo e no verde. Como pequenas varia¸ c˜ oes na quantidade e mistura de quartzo (SiO2 ).Fraunhofer (Fraunhofer) (1787-1826). Kirchhoff sugeriu que as cores seriam melhor distinguidas se passadas atrav´ es de um prisma. concluiu que o Sol era um g´ as ou s´ olido quente. Bunsen tinha um colaborador mais jovem. ent˜ ao. cal (CaO) e soda (carbonato de s´ odio.. Cr. Em 1856. Por exemplo. j´ a havia contado 574 linhas escuras no espectro solar. Betelgeuse e Procyon. C . o f´ ısico Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887). substituiu o Sol por um s´ olido quente. de Heidelberg. mais escuras. Ele. Pollux. Para 324 destas linhas. B.. Kirchhoff j´ a havia formulado as leis que governam as voltagens e correntes em circuitos el´ etricos. Fraunhofer deu o nome de letras mai´ usculas: A. chamadas depois de linhas de Fraunhofer. as linhas D ficavam mais fortes. em 1845. Fraunhofer tamb´ em observou linhas nos espectros das estrelas S´ ırius. Na verdade Fraunhofer utilizava as linhas do espectro solar para calibrar seus instrumentos (vidros e prismas). enquanto as linhas de Fraunhofer eram escuras. Os gases quentes observados por Kirchhoff e Bunsen n˜ ao emitiam um espectro cont´ ınuo. Para sua surpresa. o s´ odio tinha linhas no amarelo. Essas linhas eram todas brilhantes. Co. Comparando o espectro. Linha A B C D1 D2 D3 E b1 F G H K λ (˚ A) 7594 6867 6563 5896 5890 5876 5270 5184 4861 4308 3968 3934 Elemento oxigˆ enio oxigˆ enio hidrogˆ enio.2 Leis de Kirchhoff 1. Espectro de emiss˜ ao: um g´ as transparente (isto ´ e. somente o contraste de menos luz. uma lˆ ampada fluorescente. j´ a que tˆ em velocidades diferentes e os comprimentos de onda se deslocam pelo efeito Doppler. Hβ ferro (e c´ alcio) c´ alcio c´ alcio De suas experiˆ encias. Por exemplo. O n´ umero e a cor (posi¸ c˜ ao) dessas linhas depende dos elementos qu´ ımicos presentes no g´ as. portanto. l´ ıquido ou gasoso. Por exemplo. s´ olido. o g´ as frio causa a presen¸ ca de linhas escuras (absor¸ c˜ ao). o filamento de uma lˆ ampada incandescente (s´ olido). 2. pouco denso). produz um espectro de linhas brilhantes (de emiss˜ ao). O g´ as mais frio absorve mais radia¸ c˜ ao do que emite e. O problema ´ e complexo pois 211 . o sol e sua atmosfera. 3. gera linhas escuras. Hα s´ odio s´ odio h´ elio ferro e c´ alcio magn´ esio hidrogˆ enio. para determinar a composi¸ c˜ ao de uma mistura de elementos. muitos ´ atomos comprimidos juntos num material emitem radia¸ c˜ ao em uma banda de linhas. emite um espectro cont´ ınuo. Por exemplo. Espectro cont´ ınuo: um corpo opaco quente. Espectro de absor¸ c˜ ao: se um espectro cont´ ınuo passar por um g´ as a temperatura mais baixa. Embora um ´ atomo isolado s´ o emita em deferminados comprimentos de onda. a lava de um vulc˜ ao (l´ ıquido). ´ importante notar que as linhas escuras n˜ E ao significam ausˆ encia de luz. uma estrela (g´ as denso). Kirchhoff formulou as trˆ es leis emp´ ıricas da espectroscopia. 21. O n´ umero e a posi¸ c˜ ao dessas linhas depende dos elementos qu´ ımicos presentes no g´ as. λmax T = 28 978 000 K ˚ A ou λmax = 2897. aumentando a precis˜ ao de medida do comprimento de onda. o astrˆ onomo francˆ es Pierre-Jules-C´ esar Jansse (1824-1907) tamb´ em identificou essa linha no mesmo ano. e logo depois com Lewis M. Se n˜ ao estiver em equil´ ıbrio. isto ´ e. Em 1868. Se estiver em equil´ ıbrio. 0028978 K m Como 1 ˚ A=10−10 m. causando um decr´ escimo de fluxo na dire¸ c˜ ao da fonte. o astrˆ onomo sueco Anders Jonas ˚ Angstr¨ om (1814-1874). Somente 27 anos mais tarde o elemento h´ elio foi descoberto na Terra. sabemos que o h´ elio ´ e o segundo elemento mais abundante no Universo. em Roma.2.1 Varia¸ c˜ ao do espectro cont´ ınuo com a temperatura A curva de distribui¸ c˜ ao de energia de um espectro cont´ ınuo tem forma similar ` a de um corpo negro. Como vimos. ´ e dada pela lei de Wien: λmax T = 0. pelo qu´ ımico inglˆ es Sir William Ramsay (1852-1916) quando o espectro de um min´ erio de urˆ anio contendo h´ elio produziu uma linha na posi¸ c˜ ao exata daquela encontrada por Lockyer no espectro do Sol. Rutherfund (1816-1892) em Nova Iorque. A identifica¸ c˜ ao do elemento hidrogˆ enio j´ a havia sido feita em 1766 pelo f´ ısico e qu´ ımico inglˆ es Henry Cavendish (1731-1810). Hoje em dia. quanto maior a temperatura. ou seja. O primeiro ´ e o hidrogˆ enio. Sol. o g´ as aquece. identificou as linhas de hidrogˆ enio no Sol. 21. nem aquecendo nem esfriando. Independentemente. segue aproximadamente a lei de Planck. A observa¸ c˜ ao dos espectros estelares tomou impulso em 1860 com Giovanni Battista Donati (1826-1873) em Floren¸ ca. o astrˆ onomo inglˆ es Sir Joseph Norman Lockyer (1836-1920) descobriu uma linha inexplicada no espectro do Sol. 8 K µm T 212 . George Biddel Airy (1801-1891) em Greenwich. a rela¸ c˜ ao entre o comprimento de onda em que ocorre o pico da intensidade (λmax ). Em 1862. h´ elio. maior a intensidade da radia¸ c˜ ao e menor o comprimento de onda em que ocorre e pico da intensidade. Portanto. um g´ as absorve a radia¸ c˜ ao vinda em sua dire¸ c˜ ao e a re-emite em todas as dire¸ c˜ oes. e Angelo Secchi (1818-1878). William Huggins (1824-1910) em Londres. que foi identificada com um novo elemento qu´ ımico.depende de se o g´ as est´ a em equil´ ıbrio ou n˜ ao. do grego helios. 3. pois eles cairiam em dire¸ c˜ ao ao n´ ucleo devido ` a atra¸ c˜ ao coulombiana. (21. que quando os ´ atomos emitem radia¸ c˜ ao. o cientista alem˜ ao Max Planck (1858-1947) desenvolveu o modelo da quantiza¸ c˜ ao da luz. emitindo radia¸ c˜ ao em todos os comprimentos de onda e tornando os ´ atomos inst´ aveis.1 Quantiza¸ c˜ ao Os experimentos de Ernest Rutherford (1871-1937) em 1909. tem uma energia E dada por: hc E = hν = . Esse modelo atˆ omico n˜ ao era satisfat´ orio. isso n˜ ao resolvia o problema da estabilidade do n´ ucleo. que ele denominou quanta.3 A origem das linhas espectrais: ´ atomos e luz No in´ ıcio do s´ eculo XX. 63 × 10−34 J s. No entanto. 21. pois os ´ atomos obviamente s˜ ao est´ aveis. em 1905. com carga el´ etrica negativa. Esses el´ etrons n˜ ao poderiam estar parados. espec´ ıficos de cada elemento.21.1) λ onde h ´ e a constante de Planck. resultando que 1 em cada 20 000 part´ ıculas incidentes eram refletidas na mesma dire¸ c˜ ao de incidˆ encia. os cientistas come¸ caram a estabelecer as bases para a compreens˜ ao da forma¸ c˜ ao dos espectros ` a medida que eles come¸ caram a aprender mais sobre a estrutura dos ´ atomos e a natureza da luz. ou f´ oton. estudando o efeito fotoel´ etrico. eles o fazem somente em certos comprimentos de onda. demonstraram que os ´ atomos s˜ ao compostos de um pequeno n´ ucleo. h = 6. 213 . e n˜ ao em todos os comprimentos de onda. pois cargas el´ etricas aceleradas emitem energia. Albert Einstein. Em 1900. usou a id´ eia da quantiza¸ c˜ ao e assumiu que cada quantum de luz. ent˜ ao Rutherford propˆ os que os el´ etrons estariam girando em torno do n´ ucleo em ´ orbitas circulares. com carga el´ etrica positiva. e a perda de energia faria os el´ etrons espiralarem rapidamente em dire¸ c˜ ao ao n´ ucleo. segundo o qual a mat´ eria emite luz em pacotes de energia. rodeado por uma nuvem de el´ etrons. bombardeando folhas de ouro com part´ ıculas alfa (´ ıons de h´ elio). auxiliado por Hans Geiger (1882-1945) e Ernest Marsden (1889-1970). atrav´ es dos estudos dos espectros de emiss˜ ao. al´ em do mais era conhecido. Isso gerou a suspeita de que as leis da mecˆ anica cl´ assica n˜ ao se aplicavam totalmente a corpos microsc´ opicos como os ´ atomos e propiciou o surgimento da mecˆ anica quˆ antica. edu/spectra. 214 .uoregon.html.1: Espectros das estrelas por classe espectral.Figura 21. publicados por David Silva no http://zebu. 0 0.6 A8V Tef=10000K F6-F7V Tef=6700K G1-G2V Tef=6200K Fλ 0.8 λ (µm) 1. graficados junto com uma fun¸ c˜ ao de Planck.6 Fλ 0.1.8 0.3 1.4 0.8 Figura 21.2 0. com temperatura Tef indicada.8 0.8 λ (µm) 1.2 0. 215 .3 1.4 0.2 0.8 O5V Tef=42000K B3-B4V Tef=28000K A1-A3V Tef=12300K 0.0 0.6 G9-K0V Tef=5400K K5V Tef=4400K M4V Tef=2600K Fλ 0.3 0.0 0.3 1.8 0.3 0.4 0.3 0.8 0.8 λ (µm) 1.0 0.2: Espectros das estrelas por classe espectral. 216 h λe . No modelo antigo.. Estando nessas ´ orbitas. os el´ etrons n˜ ao emitem radia¸ c˜ ao. ´ e dado por: h E p= = (21. com momentum angular me vr = n h 2π onde me ´ e a massa do el´ etron. os el´ etrons somente poderiam ocupar orbitas bem definidas em torno do n´ ´ ucleo: aquelas que tˆ em momentum angular m´ ultiplo de h/2π . 300 000 km/s. o que mais tarde foi melhor entendido com a formula¸ c˜ ao da mecˆ anica quˆ antica por Erwin Schr¨ odinger (1887-1961).2 N´ ıveis de energia do hidrogˆ enio O f´ ısico dinamarquˆ es Niels Henrik David Bohr (1885-1962). Louis Victor.).2. Considere o ´ atomo de hidrogˆ enio.3. ve sua velocidade. em 1913.3) o que nos diz que o tamanho da ´ orbita do el´ etron deve conter um n´ umero inteiro de comprimentos de onda. o el´ etron orbita o n´ ucleo em ´ orbitas circulares. r o raio da ´ orbita. Pr´ ıncipe de Broglie (1892-1987). h a constante de Planck e n um n´ umero inteiro ( n=1. propˆ os uma modifica¸ c˜ ao ao modelo atˆ omico de Rutherford. Como o momentum linear do el´ etron.. em sua tese de doutorado em 1924. ´ e me v = o momentum angular ser´ a: h h r=n λe 2π ou 2πr = nλe (21. de acordo com de Broglie.ec´ e a velocidade da luz. 21. aplicando a id´ eia da quantiza¸ c˜ ao. consistindo apenas de um pr´ oton e de um el´ etron..2) λ c de Broglie tamb´ em propˆ os que os el´ etrons de um ´ atomo s´ o podem ocupar n´ ıveis quantizados. ou qualquer part´ ıcula. No modelo de Bohr. os el´ etrons podiam orbitar o n´ ucleo a qualquer distˆ ancia. No modelo de Bohr. mostrou que o momentum de cada f´ oton. a for¸ ca el´ etrica entre o pr´ oton nuclear e o el´ etron ´ e dada por: FC = Ke2 . r2 No sistema cgs. K = 9 × 109 N m2 C−2 .4). temos: 2πr = nλe = r=n Elevando-se ao quadrado. r2 = onde: nh = nh pe h 2π r me Ke2 1/2 1/2 r me Ke2 n2 ¯ h2 r me Ke2 h 2π Dividindo por r. chegamos ao raio de Bohr: h= ¯ r= n2 ¯ h2 me Ke2 217 .5) Substituindo (21. 6 × 10−19 C. o momentum de cada el´ etron ´ e dado por: pe = h h −→ λe = λe pe (21. e a carga do el´ etron ´ e e = 1. Pela lei de Coulomb [Charles Coulomb (1736-1806)].3).4) Pela equa¸ c˜ ao de de Broglie. No sistema MKS. 8 × 10−10 unidades eletrost´ aticas. a constante K=1 e a carga do el´ etron ´ e e = 4. A for¸ ca centr´ ıpeta sobre o el´ etron ´ e dada por: me v 2 Fc = . r e precisa ser contrabalan¸ cada pela for¸ ca de Coulomb.A energia de cada ´ orbita pode ser calculada considerando as for¸ cas entre o el´ etron e o n´ ucleo. e (21.5) na (21.4) na (21. Portanto: Fc = FC −→ ou seja: pe = me v = me Ke2 r 1/2 Ke2 me v 2 −→ v = = r2 r Ke2 me r 1/2 (21. j´ a que n=1. quando um ´ atomo passa de um n´ ıvel de energia maior. um ´ atomo de hidrogˆ enio s´ o pode emitir f´ otons com energia: Ef o ´ton = hν = hν = E (n1 ) − E (n2 ) = 13. que 218 . em termos de comprimento de onda: 1 13. assumindo-se que as ´ orbitas s˜ ao quantizadas. obt´ em-se que os n´ ıveis de energia s˜ ao quantizados. ´ e preciso usar a mecˆ anica quˆ antica completa. deduz-se que os n´ ıveis de energia do hidrogˆ enio s˜ ao quantizados. h´ a emiss˜ ao de um f´ oton com energia: Ef o ´ton = E (n1 ) − E (n2 ) e hc (21. e. as linhas En → E2 . 1 eV = 1. 6 eV = λ hc 1 1 − 2 n2 n 1 2 = 1 912 ˚ A 1 1 − 2 n2 n 1 2 (21. Note que essa teoria s´ o d´ a resultados corretos para o hidrogˆ enio. 602 × 10−12 ergs Dessa maneira. por isso. n1 para outro de energia menor. 6 eV ou.7) λ de modo que para satisfazer a quantiza¸ ca ˜o dos estados. isso ´ e..3.Como a energia total ´ e dada por: 1 Ke2 Ke2 Ke2 me Ke2 E = me v 2 − =− =− 2 r 2r 2n2 ¯ h2 e como 1 eV=1.6) Um el´ etron-volt (eV) ´ e a energia adquirida por um el´ etron ao ser acelerado atrav´ es de uma diferen¸ ca de potencial de 1 Volt. Por conserva¸ c˜ ao de energia. 6 × 10−19 J: E=− 13. s´ o assume n´ umeros inteiros..8) Essa equa¸ c˜ ao foi derivada experimentalmente para n1 = 2 por Johann Jakob Balmer (1825-1898) em 1885. 6 eV m e K 2 e4 2. 18 × 10−11 ergs =− = − 2 2 2 n n2 2n ¯ h (21. 602 × 10−19 J 1 eV = 1.9) 1 1 − 2 2 n1 n2 (21.. Para outros ´ atomos.2. n2 . ainda. As principais linhas do hidrogˆ enio s˜ ao: Ly α 1216 ˚ A Hβ 4861 ˚ A H9 3835 ˚ A Ly β 1026 ˚ A Hγ 4340 ˚ A H10 3798 ˚ A Ly γ 973 ˚ A Hδ 4102 ˚ A H11 3771 ˚ A 219 Ly ∞ 912 ˚ A H7 3970 ˚ A H12 3750 ˚ A Hα 6563 ˚ A H8 3889 ˚ A H ∞ 3646 ˚ A . em emiss˜ ao ou absor¸ c˜ ao. assim como s´ o podem absorver f´ otons dessas energias para o processo inverso. levar em conta o princ´ ıpio da exclus˜ ao de Pauli [Wolfgang Pauli (1900-1958)]. s˜ ao chamadas de linhas de Balmer. Al´ em das linhas discretas. e vice-versa (ioniza¸ c˜ ao e recombina¸ c˜ ao). part´ ıculas com spin inteiro. um ´ atomo de hidrogˆ enio s´ o pode emitir f´ otons com certas energias para que seus el´ etrons passem de um n´ ıvel n1 para um n´ ıvel n2 . Dessa maneira. est˜ ao na parte vis´ ıvel do espectro. um ´ atomo de hidrogˆ enio tamb´ em ´ e capaz de espalhar radia¸ c˜ ao e fazer a transi¸ c˜ ao de um n´ ıvel n para o cont´ ınuo (n = ∞). Os b´ osons.6 eV E5 =13. constitui evidˆ encia da presen¸ ca do hidrogˆ enio.19 eV o Lyγ Ly β Lyα 912A E 1 =0 eV Figura 21. a detec¸ c˜ ao de uma linha espectral com esse comprimento de onda. n˜ ao obedecem ao princ´ ıpio da exclus˜ ao de Pauli.3: N´ ıveis de energia do hidrogˆ enio. Note que o ponto zero da energia ´ e arbitr´ ario e pode ser definido tanto para n=1 quanto para n = ∞.04 eV E 4 =12. Para ´ atomos com mais de um el´ etron. ´ e preciso. part´ ıculas com spin meio-inteiro. com o mesmo spin. Portanto. se o f´ oton tiver comprimento de ˚ onda menor que 912 A. pois os el´ etrons s˜ ao f´ ermions. A s´ erie En → E1 ´ e chamada de s´ erie de Lyman [Theodore Lyman (1874-1954)].E =13. e est´ a no ultravioleta. como os f´ otons.73 eV Pα E 3 =12.07 eV Hα Hβ E 2 =10. e n˜ ao podem ocupar o mesmo estado quˆ antico. Se os ´ atomos emitem em linhas espectrais. Do CII (carbono uma vez ionizado). Quando um agregado de ´ atomos interage fortemente. levando em conta a existˆ encia. Outras transi¸ c˜ oes s˜ ao matematicamente poss´ ıveis. que 220 . ou g´ as opaco. em 1927. como em um s´ olido. investiga¸ c˜ oes mais completas dos espectros das estrelas foram feitas por Sir William Huggins (1824-1910) e pelo jesu´ ıta Irm˜ ao Angelo Secchi (1818-1878). 4267 ˚ A. e do CaII 3934 A e 3968 A. Do OI (oxigˆ enio ˚ ˚ ˚ neutro). de superposi¸ c˜ ao espacial das fun¸ c˜ oes de onda dos n´ ıveis envolvidos nas transi¸ c˜ oes. nas condi¸ c˜ oes terrestres. do observat´ orio do Vaticano. Como no meio interestelar os ´ atomos est˜ ao muito mais distantes entre si do que na Terra.As principais linhas do HeI no ´ otico s˜ ao: 3189 4143 6678 ˚ A ˚ A ˚ A 3635 4388 7065 ˚ A ˚ A ˚ A 3706 ˚ A 4471 ˚ A 7281 ˚ A 3820 ˚ A 4713 ˚ A 3889 ˚ A 4922 ˚ A 3965 ˚ A 5016 ˚ A 4026 ˚ A 5048 ˚ A 4120 ˚ A 5876 ˚ A As linhas do HeII no ´ otico s˜ ao 4686 ˚ A.4 Classifica¸ c˜ ao Espectral Embora Fraunhofer. todas as linhas s˜ ao t˜ ao alargadas que produzem um cont´ ınuo t´ ermico. em 1823. Duas linhas t´ ıpicas do CI (carbono neutro) s˜ ao 4771 ˚ A e 5041 ˚ A. 5412 ˚ A. Essas linhas foram explicadas. antes que um ´ atomo possa irradiar por uma transi¸ c˜ ao proibida. j´ a que os ´ atomos tˆ em velocidades diferentes e os comprimentos de onda se deslocam pelo efeito Doppler. 4368 A. tivesse observado que as estrelas tinham espectros de linhas escuras como o Sol. Ira Sprague Bowen (1898-1973). As transi¸ c˜ oes permitidas representam as transi¸ c˜ oes que conservam o momentum angular total do sistema. as colis˜ oes s˜ ao muito raras e. uma colis˜ ao com outro ´ atomo ou mol´ ecula ir´ a ocorrer e des-excitar o ´ atomo colisionalmente. ou n˜ ao. as transi¸ c˜ oes proibidas s˜ ao importantes em nuvens de g´ as e no meio interestelar. 21. portanto. 4859 ˚ A e 4541 ˚ A. as linhas espectrais s˜ ao alargadas. Do CIII (carbono duas vezes ionizado). e as da s´ erie de Pickering [Edward Charles Pickering (1846-1919)] que coincidem em baixa resolu¸ c˜ ao com as do hidrogˆ enio: 6560 ˚ A. 4647 ˚ A. l´ ıquido. pelo astrof´ ısico e professor de f´ ısica no Caltech. Existem regras de sele¸ c˜ ao que prevˆ eem as transi¸ c˜ oes mais esperadas entre dois n´ ıveis de energia. mas s˜ ao consideradas proibidas porque. de onde vem o espectro cont´ ınuo? Quando ´ atomos interagem com outros. Em 1864. Henry Draper (1837-1882). e ultravioleta forte. em 1822. nos Estados Unidos. Associou-se a Louis-Jacques-Mand´ e Daguerre em 1829. como linhas proibidas do O II. publicadas no Henry Draper Catalogue. concluiu que as nebulosas apresentavam linhas brilhantes (de emiss˜ ao). por Williamina Fleming (1857-1911). por isso. C e assim por diante. da estrela Vega. e poucos meses depois o inglˆ es John William Draper (1811-1882). o francˆ es Edmond Becquerel (1820-1891). obteve a primeira foto de um espectro. e linhas do HI A fotografia n˜ ao foi inventada por uma s´ o pessoa. no in´ ıcio do s´ eculo XX. pela parceria Joseph-Nic´ ephore Ni´ epce (1765-1833) e Louis-Jacques-Mand´ e Daguerre (1787-1851)1 . as estrelas s˜ ao classificadas em fun¸ c˜ ao decrescente da temperatura. A t´ ecnica fotogr´ afica s´ o foi lan¸ cada em 1839.estrelas azuis. os espectros eram obtidos visualmente. A classifica¸ c˜ ao espectral usada atualmente foi desenvolvida no observat´ orio de Harvard. obtidas na esta¸ c˜ ao montada no Peru. O III. Somente em 1872. e. sobrinha de Henry Draper. em mem´ oria de seu marido. fotografaram o espectro do Sol. s´ o alguns se pareciam com o do Sol. Annie Cannon notou que as estrelas iam de azuis-esbranqui¸ cadas a avermelhadas e classificou seus espectros de acordo com as linhas de hidrogˆ enio. e N II. lan¸ caram o processo fotogr´ afico (daguerre´ otipo). Note-se que. at´ e esta ´ epoca. J´ a em 1842. B a seguinte. Atualmente. Huggins obteve o primeiro espectro de uma nebulosa. a fotografia ainda n˜ ao era poss´ ıvel. Parte do trabalho foi financiado pela esposa de Henry Draper.notaram que os espectros estelares n˜ ao eram todos iguais. apresentam linhas de HeII (h´ elio uma vez ionizado). pois a cˆ amara obscura j´ a existia h´ a quatro s´ eculos quando. e depois de observar mais 70 at´ e 1868. reconheceu que eram necess´ arios muitos espectros para desenvolver uma classifica¸ c˜ ao e come¸ cou a colectar espectros em fotografias. inicialmente. Em 1863. em 1839. Anna Palmer Draper (1839-1914). 1 221 . diretor do observat´ orio do Col´ egio de Harvard. o lit´ ografo Joseph-Nic´ ephore Ni´ epce conseguiu fixar uma imagem sobre uma placa met´ alica. com Tef 20 000 a 40 000 K. Secchi fez a primeira classifica¸ c˜ ao dos espectros das estrelas. de acordo com as linhas escuras. A classifica¸ c˜ ao dos espectros foi feita. Edward Charles Pickering (1846-1919). seguida de Antonia Caetana de Paiva Pereira Maury (18861952). uma do hidrogˆ enio e outras duas que s´ o foram identificados muitos anos mais tarde. como segue: • O . e inclu´ ıa observa¸ c˜ oes no Hemisf´ erio Sul. filho de John William Draper. sendo A a classe com linhas mais fortes. e principalmente por Annie Jump Cannon (1863-1941) que classificou 225 000 estrelas at´ e magnitude 9 entre 1918 e 1924. com Tef 3 000 K. e o mneumˆ onico se tornou: Oh! Be A Fine Girl. As linhas do CaII ficam fortes. Cont´ ınuo azul fraco. Essas trˆ es classes. com Tef Exemplos: S´ ırius e Vega 9 000 K. Cada tipo espectral se subdivide em 10 classes. com linhas met´ alicas dominantes.estrelas brancas. Exemplos: Canopus e Procyon • G . LaO e TiO. com linhas de HeI e as linhas do HI vis´ ıveis. Kiss Me Lovingly Tonight. YO. com bandas moleculares (TiO) muito fortes. 222 . com bandas de ZrO. As linhas do HI ficam mais fracas. Kiss Me Right Now! Smack!. a classifica¸ c˜ ao se estende para tipos R. mas ainda s˜ ao bem vis´ ıveis. com linhas de metais. e S. A frase mnemˆ onica se estende para: Oh! Be A Fine Girl. A linha dominante ´ e CaI 4226 ˚ A. com temperaturas abaixo de 1400K (quando se forma o metano). Para estrelas muito frias. e adicionou-se as classes L. CaII (H e K) dominantes. N.estrelas alaranjadas. Exemplos: Sol e Capela • K . dentro da classe. com Tef 15 000 K.estrelas branco-amareladas. tˆ em basicamente a mesma temperatura que as estrelas da classe M.fracas. Kiss Me!. com linhas de HI muito fortes. com Tef 5 500 K. Nos anos 1990 foram descobertas estrelas mais frias que as M9.estrelas vermelhas. A banda G ´ e muito forte. com Tef 4 000 K. RNS. com fortes linhas de metais e HI fraco. com Tef 7 000 K. como alguns tipos de supergigantes Miras. com temperaturas entre 2200K e 1400K e T. Exemplos: Betelgeuse e Antares Uma frase para lembrar a ordem de temperaturas ´ e: Oh! Be A Fine Girl. Exemplos: Aldebar˜ a e Arcturus • M . mas se diferenciam pelas linhas. com bandas Swan do carbono molecular C2 . Esta classifica¸ c˜ ao n˜ ao se tornou padr˜ ao.estrelas amarelas. com fortes bandas de CN e CO em vez de TiO. e 9 a mais fria. sendo 0 a mais quente. Exemplo: Mintaka • B . Exemplos: Rigel e Spica • A . como o Sol.estrelas branco-azuladas. • F . 1 A seq¨ uˆ encia espectral e a temperatura das estrelas Cada linha escura no espectro de uma estrela est´ a associada ` a presen¸ ca de um elemento qu´ ımico na atmosfera da estrela. Ent˜ ao. 86 eV). embora fortes em algumas estrelas. s˜ ao fracas em outras. Como isso se explica? Na verdade. e poucas colis˜ oes podem acontecer que sejam energ´ eticas o suficiente para excitar o hidrogˆ enio. mais do que a composi¸ c˜ ao qu´ ımica. como a do Sol por exemplo.4. para temperaturas muito mais baixas. para uma estrela ter linhas de Balmer intensas. Isso pode nos levar a pensar que as estrelas com linhas espectrais diferentes tˆ em composi¸ c˜ ao qu´ ımica diferente. ´ e a temperatura que determina o espectro das estrelas. o hidrogˆ enio est´ a no estado fundamental. Consideremos uma linha de Balmer do hidrogˆ enio. o hidrogˆ enio ´ e de longe o elemento qu´ ımico mais abundante nas estrelas. e ainda assim as linhas do hidrogˆ enio. todos os outros elementos juntos contribuem entre 1% e 2% da composi¸ c˜ ao e s˜ ao chamados de metais.4: Intensidade das linhas espectrais em fun¸ c˜ ao da temperatura. Isso acontece em estrelas com temperatura em torno de 10 000 K (kT = 0. transi¸ c˜ oes de n´ ıvel para baixo (n2 = 2) resultam em emiss˜ ao. o hidrogˆ enio est´ a quase todo 223 . No entanto. Essas linhas se originam em transi¸ c˜ oes entre o segundo n´ ıvel de energia do hidrogˆ enio e qualquer outro n´ ıvel acima dele: transi¸ c˜ oes de n´ ıvel para cima (n2 > 2) resultam em absor¸ ca ˜o. atualmente se sabe que a composi¸ c˜ ao qu´ ımica das estrelas em geral ´ e praticamente a mesma: aproximadamente 90% hidrogˆ enio e aproximadamente 10 % h´ elio. 21.Figura 21. ou tipo espectral. J´ a em estrelas com temperaturas muito mais altas. ela precisa ter muitos ´ atomos de hidrogˆ enio excitados ao n´ ıvel n=2. Portanto. Exemplo: Betelgeuse (M2Iab) • II . Como a acelera¸ c˜ ao gravitacional ´ e dada por g : GM g= 2 . William Wilson Morgan (1906-1994). maior o n´ umero de colis˜ oes entre as part´ ıculas na atmosfera da estrela. R ela ´ e muito maior para uma an˜ a do que para uma gigante. As colis˜ oes perturbam os 224 .log g 4. Philip Childs Keenan (1908-2000) e Edith M. Considerando que a luminosidade de uma estrela ´ e dada por 4 L = 4πR2 σTef vemos que a luminosidade de uma estrela com maior raio ´ e maior.an˜ as (seq¨ uˆ encia principal). Exemplo: Antares (MII) . Exemplo: S´ ırius (A1V) .subgigantes. Assim.5 Classifica¸ c˜ ao de luminosidade A classifica¸ c˜ ao espectral de Harvard s´ o leva em conta a temperatura das estrelas. e novamente existem muito poucos atomos excitados. As massas das gigantes e an˜ as da seq¨ uˆ encia principal s˜ ao similares.4 3 0 A classe de luminosidade de uma estrela tamb´ em ´ e conhecida pelo seu espectro. maior a press˜ ao e. do Observat´ orio de Yerkes. para a mesma temperatura. Kellman (1911-2007). Exemplo: α Crucis (B1IV) • V .gigantes.log g • III .log g • Ib .gigantes luminosas.supergigantes super-luminosas. Quanto maior a gravidade superficial. portanto.supergigantes. apesar de o hidrogˆ enio existir abundantemente em todas. Exemplo: Rigel (B8Ia) . mas o raio das gigantes ´ e muito maior. as linhas de Balmer ficam fracas em estrelas muito ´ quentes ou muito frias. 21. que ´ e diretamente relacionada ` a luminosidade. introduziram as seis diferentes classes de luminosidade. baseados nas larguras de linhas espectrais que s˜ ao sens´ ıveis ` a gravidade superficial: • Ia . Isso ´ e poss´ ıvel porque a largura das linhas espectrais depende fortemente da gravidade superficial. Em 1943. devido ` as freq¨ uentes colis˜ oes.ionizado. Exemplo: Aldebar˜ a (K5III) • IV . 00 0.00 -10. 749.16 0.2 1.9 0.15 -1. as sd (sub-dwarf ) sub-an˜ as e as D degeneradas.07 0. o comprimento 225 . Andrew J. O efeito disso ´ e que a linha de absor¸ c˜ ao fica alargada.8 15 500 -1.40 0.13 0. no Publications of the Astronomical Society of the Pacific. utilizando o efeito Doppler.80 -6.0 28 000 -2.55 -0.58 0. pp. Em conseq¨ uˆ encia.B.6 Velocidade radial e efeito Doppler Um outro uso da espectroscopia ´ e a deriva¸ c˜ ao da velocidade radial.8 2800 -2.10 0.1 8500 -0.50 -2.3 5520 -0.9 2.19 5.35 -0.10 1.6 6580 0. para um corpo luminoso se aproximando (ou se afastando) do observador.18 1.19 0.65 0.03 4.06 -0.1: (U − B )0 -1. para luminosidades menores que as da seq¨ uˆ encia principal.45 1.05 0.25 1.07 5.42 0. mais alargada ser´ a a linha.63 Massa (M ) 120 17 6 2. Tabela 21.20 Seq¨ uˆ encia Principal Tef C. isto ´ e.n´ ıveis de energia dos ´ atomos.89 1.27 0. quanto menor a estrela.30 9.47 1.15 Atualmente usamos mais duas classes de luminosidades.7 7400 -0. e vice-versa.19 7.8 Tipo O5 B0 B5 A0 A5 F0 F5 G0 G5 K0 K5 M0 M5 (B − V )0 -0.70 0. MBol 40 000 -4. ou an˜ as brancas.6 9900 -0. para uma mesma temperatura.7 3480 -1.4 6030 -0. Christian Doppler (1803-1853) deduziu que.02 0. os ´ atomos perturbados podem absorver f´ otons de energia e comprimento de onda levemente maior ou menor do que os que os f´ otons absorvidos nas transi¸ c˜ oes entre n´ ıveis n˜ ao perturbados.03 0.31 -0.1 0.5 0.8 0.06 2. Volume 110.6 1.00 3.12 1. Em 1842. Pickles (1953-) publicou em 1998 um cat´ alogo de fluxos esperados para os diversos tipos de estrelas.60 6. Portanto. 863-878. desde 1150˚ A at´ e 25 000˚ A.18 1. a velocidade do objeto na linha de visada.8 4130 -0.0 4900 -0. fazendo com que eles fiquem mais pr´ oximos ou mais afastados entre si do que o normal. 21. foram observadas varia¸ c˜ oes nessa velocidade (veja se¸ c˜ ao 19.7 Perfil da linha O perfil de uma linha representa a varia¸ c˜ ao da densidade de fluxo (intensidade) com o comprimento de onda. devido a que. A linha espectral resultante de todas as part´ ıculas ficar´ a alargada. o que perturba os n´ ıveis de energia dos ´ atomos. Finalmente. tornando-os menos definidos. Se a velocidade for muito menor que a velocidade da luz. Sir William Huggins deduziu a velocidade radial de S´ ırius observando a pequena diferen¸ ca no comprimento de onda da linha F (Hβ ) do hidrogˆ enio. 21. os n´ ıveis de energia dos ´ atomos n˜ ao s˜ ao exatamente definidos. Outro ´ e o efeito Doppler: como as part´ ıculas na atmosfera da estrela est˜ ao se movendo em dire¸ c˜ oes aleat´ orias.2). Um deles ´ e o alargamento colisional. mas sim ter´ a a largura correspondente ` a incerteza no n´ ıvel de energia onde ela foi gerada. o perfil observado tamb´ em ´ e alargado pelo instrumento de observa¸ c˜ ao. 226 . surgem v´ arios efeitos que contribuem para o alargamento da linha. densidade ρ e velocidade das part´ ıculas v . Dependendo dessas propriedades. e considerando vr como a componente de velocidade na dire¸ c˜ ao do observador: ∆λ vr = λ c Em 1868. e veremos sua linha espectral deslocada para o vermelho. Mais tarde. Existe tamb´ em um alargamento natural da linha. e veremos sua linha espectral fique deslocada para o azul. algumas estar˜ ao se aproximando de n´ os. gerado pelas colis˜ oes entre as part´ ıculas. onde θ ´ eoˆ angulo entre o vetor velocidade e a linha de visada. fazendo com que f´ otons de energias levemente diferentes contribuam para a forma¸ c˜ ao da mesma linha. a forma de uma linha espectral ´ e chamada de perfil da linha. O comprimento de onda de uma fonte que est´ a se movimentando com velocidade v em rela¸ c˜ ao ao observador ´ e deslocado por: ∆λ v = cos θ λ c 1 1− v2 c2 . A forma verdadeira da linha reflete as propriedades da atmosfera da estrela: temperatura T. que consequentemente n˜ ao ter´ a um u ´nico comprimento de onda. press˜ ao P.de onda da luz diminui (ou aumenta) em rela¸ c˜ ao ` aquele observado em laborat´ orio. pelo princ´ ıpio da incerteza. e outras estar˜ ao se afastando. gravidade superficial g . Como a diferen¸ ca de energia entre os n´ ıveis n=2 e n=1 ´ e de 10. obtemos: 10. 8 × 10−12 10080 K 3. 38 × 10−23 J/K.i+1 = 10. 3 × 10−3 1. Um n´ ıvel com momentum angular J tem gi = 2J+1.i+1 = Ei+1 − Ei ´ e a diferen¸ ca de energia entre os estados final e inicial. o comprimento 227 . gn = 2n2 . 5 × 10−10 6. Por exemplo. 602 × 10−19 J e k = 1. k = 1.i+1 /kT Ni+1 = e Ni gi onde Ei. 2 × 10−5 8. portanto.19 eV. 0 × 10−2 n=2 n=3 n=4 Podemos calcular o comprimento de onda de um f´ oton com energia equivalente a 10. 19 eV e g2 = 8 e g1 = 2. 1 × 10−6 6. 000029 N1 enquanto N2 (T = 20 000 K) = 0.Equa¸ c˜ ao de Excita¸ c˜ ao O austr´ ıaco Ludwig Boltzmann (1844-1906) derivou a rela¸ c˜ ao entre a densidade de ´ atomos com um grau de excita¸ c˜ ao (i + 1) em rela¸ c˜ ao ` a densidade de ´ atomos com um grau de excita¸ c˜ ao i: gi+1 −Ei. 38 × 10−23 J/K. N2 (T = 10 000 K) = 0. 8 × 10−6 20160 K 1. o n´ umero de diferentes estados com a mesma energia Ei .21. T=5040 K 2. temos Ei.8 Lei de Boltzmann . 9 × 10−12 2. Pela Lei de Boltzmann. isto ´ e.19 eV notando que E = hν = hc/λ e. e k ´ e a constante de Boltzmann.19 eV N2 = 4 e− kT N1 lembrando que 1 eV = 1. 0108 N1 Nn N1 372 vezes maior. 1 × 10−2 8. podemos calcular a fra¸ c˜ ao de ´ atomos de hidrogˆ enio no n´ ıvel n=2. em rela¸ c˜ ao ao n=1 para temperaturas de T=10 000 K e 20 000 K. Para o hidrogˆ enio no n´ ıvel n. e gi ´ e o peso estat´ ıstico do n´ ıvel i. Portanto ´ e´ obvio que uma estrela com Tef =20 000 K tem muito mais f´ otons com energia suficiente para excitar o el´ etron do ´ atomo de hidrogˆ enio ao n´ ıvel n=2. me = 9. o n´ umero de ´ atomos num estado n˜ ao muda com o tempo.i+1 Ne = e kT Ni Ui h3 onde Ne ´ e a densidade de el´ etrons (n´ umero de el´ etrons por unidade de volume). A intensidade de uma linha depende diretamente do n´ umero de ´ atomos no estado de energia a partir do qual a transi¸ c˜ ao ocorre. usando a Lei de Wien. 9 ˚ A. em 1921. para um g´ as em equil´ ıbrio termodinˆ amico local. N ´ e o n´ umero de ´ atomos por unidade de volume. obtendo λmax (T = 10 000K) = 2898. Quanto maior for a densidade de el´ etrons. 21. saber que fra¸ c˜ ao de todos os ´ atomos de um elemento est˜ ao naquele estado de energia. k a constante de Boltzmann. o n´ umero de ´ atomos por unidade de volume em um grau de ioniza¸ c˜ ao i+1 em rela¸ c˜ ao ao grau i. explicando a grande diferen¸ ca obtida.˚. Podemos tamb´ de onda equivalente ´ e de 1216 A em calcular o comprimento de onda de emiss˜ ao m´ axima para T=10 000 K. em m´ edia. o que depende da temperatura T . Em uma situa¸ c˜ ao em que o equil´ ıbrio t´ ermico ocorre. se d´ a porque as excita¸ c˜ oes e des-excita¸ c˜ oes ocorrem por radia¸ ca ˜o e por colis˜ ao. Precisamos. 1 × 10−31 kg A dependˆ encia na densidade de el´ etrons. k = 1. Ambos 228 . 38 × 10−23 J/K e me ´ e a massa do el´ etron. ent˜ ao.9 Lei de Saha . Ui ´ e a fun¸ c˜ ao parti¸ c˜ ao: Ui = j gj e− KT Ej sendo Ej a energia acima do n´ ıvel fundamental do estado i.Equa¸ c˜ ao de Ioniza¸ c˜ ao O indiano Megh Nad Saha (1893-1956) utilizou a mecˆ anica estat´ ıstica para derivar. isto ´ e. que localmente tenha uma temperatura constante: Ni+1 Ui+1 2(2πme kT )3/2 − Ei. compensa uma des-excita¸ c˜ ao. 8 ˚ Aenquanto que λmax (T = 20 000K) = 1448. maior ser´ a a probabilidade de uma colis˜ ao. Ne . Cada excita¸ c˜ ao. NHII NHI Pe T=5040 K 1. isto depende tamb´ em da densidade de el´ etrons. 6 × 106 De acordo com Clabon Walter Allen (1904-1987). Combinando-se as equa¸ c˜ oes de Boltzmann e Saha. 0 × 10−8 1.i+1 Ni Ui T Para o hidrogˆ enio.os processos dependem da temperatura do meio. j´ a que a energia m´ edia das part´ ıculas ´ e dada por: 3 1 mv 2 = kT. 5 dina/cm2 5000 ˚ A e Ne = 6. 58 eV e EII. ter temperaturas efetivas nessa faixa. 4 × 102 20160 K 7. Para temperaturas abaixo de 10000K (log T=4. 5 × 10−5 10080 K 5. 229 . Como demonstrado por Edward Arthur Milne (1896-1950). Pe 57. permanecendo uma vez ionizado at´ e 22000K. 48 + log 2 + 2. 5 × 1013 cm−3 . podemos escrever: Ni+1 Ui+1 5040K log Pe = −0. 5 log T − Ei. Estrelas com linhas fortes de CaII e fracas de CaI devem. UI = 2 e UII = 1. EI. na fotosfera do Sol (τ = 1). 4 × 10−9 1. UI = UIII = 1 e UII = 2. 2 × 10−9 Para o h´ elio. 4 × 104 dina/cm2 e Ne = 3. 3rd Ed.II = 24. acima da qual inicia a segunda ioniza¸ c˜ ao. o h´ elio varia de quase todo neutro para quase todo uma vez ionizado. Um valor representativo da fotosfera como um todo ´ e Pe 3. 8 × 1016 cm−3 . podemos calcular o n´ umero de ´ atomos de hidrogˆ enio em um n´ ıvel de excita¸ c˜ ao n em rela¸ c˜ ao ao n´ umero total de H=HI+HII: N2 NI N2 = Ntotal N1 + N2 Ntotal ou N2 N2 /N1 NI N2 /N1 1 = = Ntotal 1 + N2 /N1 NI + NII 1 + N2 /N1 1 + NII /NI n=2 n=3 Nn NH T=5040 K 2. Entre 10 000 K≤ T ≤14 000 K. p. a aplica¸ c˜ ao das leis de Saha e Boltzmann nos permite interpretar os espectros das estrelas.41 eV. 5 × 10−8 20160 K 1.III = 54.. Naturalmente. o c´ alcio deve estar na forma de CaII (uma vez ionizado). Astrophysical Quantities.0) todo o h´ elio est´ a neutro. portanto. ` a Tef 5000 a 7000 K. pela Lei de Saha. 2 2 Usando a lei dos gases ideais Pe = Ne kT . que se completa em 30000K. 9 × 10−12 10080 K 6. Por exemplo. 165. 5 × 10−10 6. 230 . isto ´ e. posteriormente. n˜ ao colapsadas. 9891 × 1030 kg) e as estrelas normais.Cap´ ıtulo 22 Estrelas Estrelas s˜ ao esferas autogravitantes de g´ as ionizado. em elementos mais pesados. temperaturas efetivas entre 2500K e 30 000K. As estrelas tˆ em massas entre 0. da fus˜ ao nuclear de hidrogˆ enio em h´ elio e. cuja fonte de energia ´ e a transmuta¸ c˜ ao de elementos atrav´ es de rea¸ c˜ oes nucleares. 231 .08 e 100 vezes a massa do Sol (MSol = 1. 22.1 O Diagrama HR O Diagrama de Hertzsprung Russell, conhecido como diagrama HR, foi descoberto independentemente pelo dinamarquˆ es Ejnar Hertzsprung (18731967), em 1911, e pelo americano Henry Norris Russell (1877-1957), em 1913, como uma rela¸ c˜ ao existente entre a luminosidade de uma estrela e sua temperatura superficial. Hertzsprung descobriu que estrelas da mesma cor podiam ser divididas entre luminosas, que ele chamou de gigantes, e estrelas de baixa luminosidade, que ele chamou de an˜ as. Dessa forma, o Sol e a estrela Capela tˆ em a mesma classe espectral, isto ´ e, a mesma cor, mas Capela, uma gigante, ´ e cerca de 100 vezes mais luminosa que o Sol. Russel estendeu o estudo de Hertzsprung para as estrelas mais quentes, graficando as 300 estrelas para as quais a paralaxe havia sido medida naquela ´ epoca. Hertzsprung e Russell Tanto a luminosidade (ou magnitude absoluta) como a temperatura superficial de uma estrela, s˜ ao caracter´ ısticas facilmente determin´ aveis para estrelas de distˆ ancias conhecidas: a primeira pode ser encontrada a partir da magnitude aparente, e a segunda a partir de sua cor ou tipo espectral. A figura anterior mostra um diagrama HR para um conjunto de estrelas nas proximidades do Sol. Nesse diagramas, os astrˆ onomos adotam a conven¸ c˜ ao de que a temperatura cresce para a esquerda, e a luminosidade para cima. A primeira coisa que se nota em um diagrama HR ´ e que as estrelas n˜ ao se distribuem igualmente nele, mas se concentram em alguns partes. A maior parte das estrelas est´ a alinhada ao longo de uma estreita faixa na diagonal que vai do extremo superior esquerdo (estrelas quentes e muito luminosas), at´ e o extremo inferior direito (estrelas frias e pouco luminosas). Essa faixa ´ e chamada seq¨ uˆ encia principal. O fator que determina onde uma estrela se localiza na seq¨ uˆ encia principal ´ e a sua massa: estrelas mais massivas s˜ ao mais quentes e mais luminosas. As estrelas da seq¨ uˆ encia principal tˆ em, por defini¸ c˜ ao, classe de luminosidade V, e s˜ ao chamadas de an˜ as. Um n´ umero substancial de estrelas tamb´ em se concentra acima da seq¨ uˆ encia principal, 232 na regi˜ ao superior direita (estrelas frias e luminosas). Essas estrelas s˜ ao chamadas gigantes, e pertencem ` a classe de luminosidade II ou III. Bem no topo do diagrama existem algumas estrelas ainda mais luminosas: s˜ ao chamadas supergigantes, com classe de luminosidade I. Finalmente, algumas estrelas se concentram no canto inferior esquerdo (estrelas quentes e pouco luminosas): s˜ ao chamadas an˜ as brancas. Apesar do nome, essas estrelas na verdade cobrem um intervalo de temperatura e cores que abrange desde as mais quentes, que s˜ ao azuis ou brancas e tˆ em temperatura superficiais de at´ e 170 000 K, at´ e as mais frias, que s˜ ao vermelhas e tˆ em temperaturas superficiais de apenas 3500 K. ´ importante notar que o fato de uma estrela estar “na” ou “fora da” E seq¨ uˆ encia principal n˜ ao se refere ` a sua posi¸ c˜ ao no espa¸ co, mas apenas ` a posi¸ c˜ ao do ponto no diagrama HR que representa sua luminosidade e temperatura. Estima-se que em torno de 80% das estrelas nas vizinhan¸ cas do Sol s˜ ao estrelas da seq¨ uˆ encia principal. Aproximadamente 20% s˜ ao an˜ as brancas e menos do que 1% s˜ ao gigantes, supergigantes ou an˜ as marrons. Ao interpretar o diagrama HR, temos de levar em conta os efeitos de sele¸ c˜ ao: as estrelas intrinsecamente mais brilhantes s˜ ao mais prov´ aveis de aparecer no diagrama, j´ a que podem ser vistas a distˆ ancias maiores. Isso significa que, se fizermos um diagrama HR de uma amostra de estrelas limitada por magnitude aparente, um grande n´ umero de estrelas intrinsecamente brilhantes v˜ ao aparecer. Se fizermos outro diagrama HR, com uma amostra de estrelas limitada pela distˆ ancia ao Sol, o diagrama ser´ a diferente. A aparˆ encia do diagrama HR de estrelas pertencentes a um determinado aglomerado de estrelas depende fortemente da idade do aglomerado e, por isso, esses diagramas s˜ ao importantes para estudos de evolu¸ c˜ ao estelar. 22.2 C´ umulos e Aglomerados Estelares As estrelas de um c´ umulo ou aglomerado estelar formaram-se da mesma nuvem de gas e portanto tˆ em a mesma idade, a mesma composi¸ c˜ ao qu´ ımica e a mesma distˆ ancia. Quanto mais pr´ oximo o aglomerado est´ a da Terra, maior ´ e o seu diˆ ametro aparente (angular). Existem aglomerados abertos, com dezenas a centenas de estrelas, como as Plˆ eiades, tamb´ em chamadas de As Sete Irm˜ as, pois podemos ver sete estrelas a olho nu. As Plˆ eiades, ou M45 e NGC 1432, na constela¸ c˜ ao do Touro, tˆ em magnitude aparente total de 1,20, est˜ ao a 410 anos-luz da Terra, tˆ em um diˆ ametro aparente de 110’, quase 2o , e aproximadamente 20 milh˜ oes de anos. Naturalmente em um campo (´ area) t˜ ao grande, um grande n´ umero 233 Tipo O5V O9V O9I B0V B2V B2I B5V B5I B8V B8I A0V A0I A2V A2I A5V A5I F0V F0I F2V F2I F5V F5I F8V F8I G0V G0I G2V G2I G5V G5III G5I G8V G8III G8I K0V K0III K0I K2V K2III K2I K5V K5III K5I M0V M0III M0I M2V M2III M2I M5V M5III M5I MV -5,7 -4,5 -6,5 -4,0 -2,45 -6,4 -1,2 -6,2 -0,25 -6,2 +0,65 -6,3 +1,3 -6,5 +1,95 -6,6 +2,7 -6,6 +3,6 -6,6 +3,5 -6,6 +4,0 -6,5 +4,4 -6,4 +4,72 -6,3 +5,1 +0,9 -6,2 +5,5 +0,8 -6,1 +5,9 +0,7 -6,0 +6,4 +0,5 -5,9 +7,35 -0,2 -5,8 +8,8 -0,4 -5,6 +9,9 -0,6 -5,6 +12,3 -0,3 -5,6 B-V -0,33 -0,31 -0,27 -0,30 -0,24 -0,17 -0,17 -0,10 -0,11 -0,03 -0,02 -0,01 0,05 0,03 0,15 0,09 0,30 0,17 0,35 0,23 0,44 0,32 0,52 0,56 0,58 0,76 0,63 0,87 0,68 0,86 1,02 0,74 0,94 1,14 0,81 1,00 1,25 0,91 1,16 1,36 1,15 1,50 1,60 1,40 1,56 1,67 1,49 1,60 1,71 1,64 1,63 1,80 U-B V-R -1,19 -0,15 -1,12 -0,15 -1,13 -0,15 -1,08 -0,13 -0,84 -0,10 -0,93 -0,05 -0,58 -0,06 -0,72 0,02 -0,34 -0,02 -0,55 0,02 -0,02 0,02 -0,38 0,03 0,05 0,08 -0,25 0,07 0,10 0,16 -0,08 0,12 0,03 0,30 0,15 0,21 0,00 0,35 0,18 0,26 -0,02 0,40 0,27 0,35 0,02 0,47 0,41 0,45 0,06 0,50 0,52 0,51 0,12 0,53 0,63 0,58 0,20 0,54 0,56 0,69 0,83 0,67 0,30 0,58 0,70 0,70 1,07 0,69 0,45 0,64 0,84 0,77 1,17 0,76 0,64 0,74 1,16 0,84 1,32 0,85 1,08 0,99 1,81 1,20 1,80 1,20 1,22 1,28 1,87 1,23 1,90 1,23 1,18 1,50 1,89 1,34 234 1,34 1,95 1,24 1,80 1,58 2,18 1,60 2,18 R-I -0,32 -0,32 -0,32 -0,29 -0,22 -0,15 -0,16 -0,07 -0,10 0,00 -0,02 0,05 0,01 0,07 0,06 0,13 0,17 0,20 0,20 0,21 0,24 0,23 0,29 0,27 0,31 0,33 0,33 0,40 0,35 0,48 0,44 0,38 0,48 0,46 0,42 0,53 0,48 0,48 0,58 0,55 0,63 0,90 0,90 0,91 0,94 0,94 1,19 1,10 1,10 1,67 1,96 1,96 V-K -0,87 -0,83 -0,66 -0,42 -0,24 0,00 0,14 0,38 0,70 0,82 1,10 1,34 1,41 1,46 1,58 1,80 1,96 2,22 2,85 3,65 4,11 6,17 Tef 42 000 34 000 32 000 30 000 20 900 17 600 15 200 13 600 11 400 11 100 9 790 9 980 9 000 9 380 8 180 8 610 7 300 7 460 7 000 7 030 6 650 6 370 6 250 5 750 5 940 5 190 5 790 5 190 5 560 5 050 4 930 5 310 4 800 4 700 5 150 4 660 4 550 4 830 4 390 4 310 4 410 4 050 3 990 3 840 3 690 3 620 3 520 3 540 3 370 3 170 3 380 2 880 Tabela 22.1: John S. Drilling & Arlo U. Landolt, em Allen’s Astrophysical Quantities, 4th Edition, Editor Arthur N. Cox, 2000, AIP Press, Springer, p. 388, e A.T. Tokunaga, p. 151 Figura 22.1: Diagrama Hertzsprung-Russell para 41453 estrelas observadas pelo sat´ elite HIPPARCOS, com incertezas nas distˆ ancias menores do que 20%, acess´ ıvel em http://astro.estec.esa.nl/Hipparcos/TOUR/tourhrdiagram.html. 235 Figura 22.2: Diagrama HR de diversos aglomerados e c´ umulos estelares. A idade de cada aglomerado ´ e medida calculando-se a idade da estrela que est´ a saindo da seq¨ uˆ encia principal (Turn-Off Point) e est´ a indicada no lado direito da figura. Essa figura foi publicada pelo astrˆ onomo americano Allan Rex Sandage (1926-2010) em 1957. de estrelas naquela dire¸ c˜ ao n˜ ao pertence ao aglomerado. Existem cerca de 160 c´ umulos globulares na nossa Gal´ axia, com centenas de milhares de estrelas, como Omega Centauri. Este c´ umulo, tamb´ em chamado de NGC 5139, est´ a a 17 000 anos-luz na Terra, na constela¸ c˜ ao do Centauro, tem magnitude aparente total de 3,70 e diˆ ametro de 36’, equivalente a 170 anos-luz. Para uma amostra de estrelas limitada por brilho ou por distˆ ancia, a seq¨ uˆ encia principal n˜ ao ´ e uma linha fina, mas uma banda larga, especialmente 236 no extremo vermelho, frio. A largura da seq¨ uˆ encia principal n˜ ao ´ e devida a erros nas medidas das distˆ ancias ` as estrelas, mas sim a varia¸ c˜ oes na composi¸ c˜ ao qu´ ımica de estrelas de mesma massa. Para c´ umulos e aglomerados de estrelas, que nasceram da mesma nuvem de g´ as e, portanto, iniciaram suas vidas com a mesma composi¸ c˜ ao qu´ ımica, a seq¨ uˆ encia principal no diagrama HR ´ e uma linha fina. Figura 22.3: Histograma do n´ umero de estrelas perto do Sol, por tipo. A distribui¸ c˜ ao de estrelas por massa na seq¨ uˆ encia principal chama-se Fun¸ c˜ ao Inicial de Massa, e indica que para cada 300 estrelas de 1 massa solar existe somente uma com 10 massas solares [F IM ∝ (M/M −2,35 ), Edwin E. Salpeter (1925-2008). 1955, Astrophysical Journal, 121, 161]. 237 22.3 Distˆ ancias espectrosc´ opicas Uma das aplica¸ c˜ oes mais importantes do diagrama HR ´ e a determina¸ c˜ ao de distˆ ancias estelares. Suponha, por exemplo, que uma determinada estrela tem um espectro que indica que ela est´ a na seq¨ uˆ encia principal e tem tipo espectral G2. Sua luminosidade, ent˜ ao, pode ser encontrada a partir do diagrama HR e ser´ a em torno de 1L (M = +5). Conhecendo-se sua magnitude aparente, portanto, sua distˆ ancia pode ser conhecida a partir do seu m´ odulo de distˆ ancia: (m − M ) = −5 + 5 log d −→ d = 10(m−M +5)/5 onde (m-M) ´ e o m´ odulo de distˆ ancia, e m = magnitude aparente M = magnitude absoluta d = distˆ ancia em parsecs. Em geral, a classe espectral sozinha n˜ ao ´ e suficiente para se conhecer ´ a luminosidade da estrela de forma u ´nica. E necess´ ario conhecer tamb´ em sua classe de luminosidade. Por exemplo, um estrela de tipo espectral G2 pode ter uma luminosidade de 1 L , se for da seq¨ uˆ encia principal, ou de 10 L (M = 0), se for uma gigante, ou ainda de 100 L (M = -5), se for uma supergigante. Essa maneira de se obter as distˆ ancias das estrelas, a partir do seu tipo espectral e da sua classe de luminosidade, ´ e chamada m´ etodo das paralaxes espectrosc´ opicas. 22.4 A rela¸ c˜ ao massa-luminosidade As massas das estrelas podem ser determinadas no caso de estrelas duplas orbitando uma em torno da outra, aplicando-se a Terceira Lei de Kepler. Essas observa¸ c˜ oes tˆ em mostrado que as massas das estrelas aumentam de baixo para cima ao longo da seq¨ uˆ encia principal. Pode-se, portanto, estabelecer uma rela¸ c˜ ao massa-luminosidade, que por sua vez permite estimar as massas das estrelas baseadas em seu tipo espectral. Para estrelas com massas (M) grandes, maiores do que 3 massas solares, a luminosidade ´ e proporcional ao cubo da massa; j´ a para massas pequenas, menores do que 0,5 massa solar, a luminosidade ´ e proporcional ` a potˆ encia 2,5 da massa, ou seja: M ≥ 3M −→ L ∝ M3 3M ≥ M ≥ 0, 5M −→ L ∝ M4 238 M ≤ 0, 5M −→ L ∝ M2,5 As massas das estrelas variam entre 0,08 e 100 massas solares, ao passo que as luminosidades das estrelas variam entre 10−4 e 10+6 vezes a luminosidade do sol. 22.5 Extremos de luminosidade, raios e densidades A rela¸ c˜ ao entre luminosidade, temperatura e tamanho de uma estrela ´ e dada pela lei de Stefan-Boltzmann, da qual se infere que a luminosidade da estrela ´ e diretamente proporcional ao quadrado de seu raio e ` a quarta potˆ encia de sua temperatura: 4 L = 4πR2 σTef onde σ ´ e a constante de Stefan-Boltzmann, e vale σ = 5, 67051 × 10−5 ergs cm−2 K −4 s−1 . Essa rela¸ c˜ ao torna evidente que tanto o raio quanto a temperatura influenciam na luminosidade da estrela, embora a temperatura seja mais decisiva. As estrelas normais tˆ em temperaturas variando entre 3 000 e 30 000 K aproximadamente (0,5 T e 5 T ), e luminosidades variando entre 10−4 L e 10+6 L . Como a luminosidade depende de T 4 , um fator de apenas 10 em temperatura resulta em um fator de 10 000 em luminosidade, e conseq¨ uentemente a parte substancial das diferen¸ cas de luminosidade entre as estrelas ´ e devida ` as diferen¸ cas de temperatura entre elas. O fator restante de 106 no intervalo de luminosidades deve-se ` as diferen¸ cas em raios estelares. Estimase que os raios das estrelas cobrem um intervalo de valores poss´ ıveis entre 10−2 R e 10+3 R , aproximadamente. No diagrama HR, o raio aumenta do canto inferior esquerdo para o canto superior direito. 22.5.1 As estrelas mais luminosas As estrelas mais massivas que existem s˜ ao estrelas azuis com massas de at´ e 100 massas solares. Suas magnitudes absolutas s˜ ao em torno de -6 a -8, podendo, em alguns casos raros, chegar a -10 10+6 L . Essas estrelas est˜ ao em geral no canto superior esquerdo do diagrama HR e tˆ em tipo espectral O ou B. S˜ ao as estrelas mais luminosas da seq¨ uˆ encia principal. A estrela Rigel ´ e 62 000 vezes mais luminosa que o Sol. 239 Outra categoria de estrelas muito luminosas s˜ ao as gigantes e supergigantes, que est˜ ao no canto superior direito do diagrama HR; Betelgeuse e Antares s˜ ao supergigantes, e Aldebaran e Capela s˜ ao gigantes. Essas estrelas chegam a ser milhares de vezes mais luminosas do que o Sol (no caso das supergigantes) e seus tamanhos s˜ ao muito maiores do que o do Sol. Por exemplo, uma supergigante vermelha t´ ıpica, com temperatura de 3000 K, e 4 luminosidade de 10 L , tem um raio de 400 vezes o raio do Sol. Se o Sol fosse colocado no centro de tal estrela, o raio da estrela alcan¸ caria al´ em da orbita de Marte. ´ Essas supergigantes vermelhas, tendo luminosidades e tamanhos extremamente grandes, tˆ em densidades extremamente pequenas. Por exemplo, uma estrela supergigante como a descrita acima tem um volume que ´ e 64 milh˜ oes de vezes o volume do Sol, e uma massa que ´ e no m´ aximo 50 vezes a massa do Sol. Se assumirmos que sua massa ´ e 10 vezes a massa do Sol, encontramos que sua densidade m´ edia ´ e 10−7 vezes a densidade m´ edia do Sol, ou 1, 4 × 10−7 a densidade da ´ agua. 22.5.2 As estrelas de baixa luminosidade As estrelas mais comuns s˜ ao estrelas vermelhas (frias) e de baixa luminosidade, chamadas de an˜ as vermelhas. No diagrama HR, elas ocupam a extremidade inferior da seq¨ uˆ encia principal. Os objetos de massas e luminosidades ainda menores, chamados de an˜ as marrons, por serem muito fracos, s˜ ao muito dif´ ıceis de serem detectados. O termo an˜ a marrom foi proposto pela astrˆ onoma americana Jill Cornell Tarter (1944-) em 1975. Na verdade, an˜ as marrons s˜ ao proto-estrelas de massa menor que 0,08 massas solares, correspondendo a 73 massas de J´ upiter, que nunca queimar˜ ao o hidrogˆ enio e nunca atingir˜ ao a seq¨ uˆ encia principal. Elas tˆ em massa entre aproximadamente 13 e 73 MJ´ upiter e existem mais de 20 conhecidas. Por exemplo, a an˜ a marrom Gliese 229B [Wilhem Gliese (1915-1993)] tem massa entre 30 e 40 vezes a massa de J´ upiter. As estrelas an˜ as vermelhas s˜ ao muito menores e mais compactas do que o Sol. Uma estrela an˜ a vermelha t´ ıpica, com temperatura de 2700 K e magnitude bolom´ etrica absoluta M = + 13 (5 × 10−4 L ), tem um raio de apenas 1/10 do raio do Sol. Uma estrela desse tipo tem massa pequena, em torno de 1/10 da massa do sol, mas ainda assim sua densidade deve ser em torno de 100 vezes a densidade do Sol. Mas essas n˜ ao s˜ ao as estrelas mais densas que existem. As an˜ as brancas, na margem inferior esquerda do diagrama HR, as estrelas de nˆ eutrons, e os buracos negros, tˆ em densidades muito mais altas. 240 22.5.3 As an˜ as brancas A primeira an˜ a branca conhecida foi a companheira de S´ ırius, Alpha do C˜ ao Maior, a estrela mais brilhante do c´ eu. S´ ırius era bin´ aria astrom´ etrica, descoberta por Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) em 1844, at´ e 31 de janeiro de 1862, quando Alvan Graham Clark Jr. (1832-1897) detectou sua companheira fraca, chamada desde ent˜ ao de S´ ırius B, pela primeira vez. Em 1914, o americano, nascido na S´ ıria, Walter Sydney Adams (1876-1956), estudando o espectro de S´ ırius B, descobriu que sua baixa luminosidade e sua alta temperatura indicavam um raio de 18 000 km, ou seja, somente 2,5 vezes o raio da Terra, apesar de sua massa ser parecida com a massa do Sol (1915, Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 27, 236). 40 Eridani B (40 Eri B) foi descoberta em 1914 por Henry Norris Russell (Popular Astronomy, 22, 275, 7). At´ e 1917, trˆ es estrelas com estas caracter´ ısticas eram conhecidas: S´ ırius B, 40 Eridani B, e van Maanen 2 [Adriaan van Maanen (1884 - 1946)] e foram chamadas de an˜ as brancas. S´ ırius B tem uma massa solar, raio de 5800 km (valor atual) e densidade m´ edia de 2 milh˜ oes de vezes a densidade da ´ agua. Algumas an˜ as brancas 7 tˆ em densidades centrais maiores do que 10 vezes a densidade da ´ agua. Uma colher de ch´ a do material que as constitui pesaria 50 ton! Subrahmanyan Chandrasekhar Em 1939, Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) construiu modelos rigorosos descrevendo a estrutura dessas estrelas, e qual sua maior massa poss´ ıvel, de 1,44 M . A press˜ ao que suporta essas densidades enormes ´ e chamada de press˜ ao de degenerescˆ encia e ´ e oriunda do princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg e do princ´ ıpio da exclus˜ ao de Pauli, que diz que dois el´ etrons de mesmo spin n˜ ao podem ocupar o mesmo n´ ıvel de energia. Portanto, os 241 Figura 22.4: Na foto vemos S´ ırius A e, na ponta da flecha, S´ ırius B (Tef = 24 800 K), 9 magnitudes mais fraca que S´ ırius A e sempre mais pr´ oxima que 11,5 segundos de arco. el´ etrons tˆ em momenta, e energia cin´ etica, t˜ ao altos que contrabalan¸ cam a atra¸ c˜ ao gravitacional. Hoje em dia, cerca de 15 000 an˜ as brancas est˜ ao catalogadas, e Jasonjot Kalirai, Brad M.S. Hansen, Daniel D. Kelson, David B. Reitzel, R. Michael Rich e Harvey B. Richer, 2008, Astrophysical Journal, 676, 594, encontram Mfinal = (0.109 ± 0.007)Minicial + (0.394 ± 0.025)M Em 1938, Julius Robert Oppenheimer (1904-1967), que em 1941 lideraria o Projeto Manhattan para a constru¸ c˜ ao da bomba atˆ omica, e George Michael Volkoff (1914-2000) demonstravam que, teoricamente, as estrelas de nˆ eutrons tamb´ em tinham um massa m´ axima. Estrelas acima dessa massa se condensariam a uma singularidade, um buraco negro. 22.6 A fonte de energia das estrelas A quest˜ ao de por que as estrelas brilham s´ o foi levantada no s´ eculo XIX quando a termodinˆ amica - o estudo de calor e energia - estava se desenvolvendo. Pela primeira vez, as pessoas compreenderam que o calor e a luz emitidos pelo Sol, 400 trilh˜ oes de trilh˜ oes de watts, precisava ter uma fonte. Somente em 1938 os cientistas finalmente descobriram que a fonte dessa energia aparentemente inesgot´ avel era a fus˜ ao nuclear. A primeira lei da termodinˆ amica declara que a energia, incluindo o calor, nunca ´ e criada ou destru´ ıda, simplesmente ´ e transformada de uma forma em outra. Ainda hoje, os cientistas usam esse princ´ ıpio para entender o Universo. A primeira invoca¸ c˜ ao dessa lei veio do alem˜ ao Robert Julius von 242 Mayer (1814-1878), que, em 1840, completou seu curso de medicina e embarcou como cirurgi˜ ao em uma viagem para a ´ Indias Orientais holandesas. Como o tratamento m´ edico naquela ´ epoca envolvia sangramentos, Mayer observou que o sangue dos marinheiros rec´ em-chegados da Europa era mais vermelho do que o daqueles que estavam h´ a longo tempo nos tr´ opicos, indicando que havia mais oxigˆ enio no sangue dos que chegavam. Ele concluiu que menos oxigˆ enio era necess´ ario para manter a temperatura do corpo em clima mais quente, argumentou que a energia qu´ ımica da comida estava se transformando em calor e generalizou para a no¸ c˜ ao de que todas as formas de energia eram mut´ aveis entre si. A palavra energia, do grego energeia, tem como ra´ ızes en (em) e ergon (trabalho). Energia ´ e basicamente a capacidade de um sistema de realizar trabalho. Em 1843, o f´ ısico inglˆ es James Prescott Joule (1818-1889) aprofundou as medidas do americano Benjamin Thompson (1753-1814), Conde de Rumford, da convers˜ ao de energia mecˆ anica e el´ etrica em calor. Em 1847, o f´ ısico alem˜ ao Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) deduziu a f´ ormula da energia potencial gravitacional e demonstrou que, na ausˆ encia de fric¸ c˜ ao, a soma da energia cin´ etica com a energia gravitacional potencial n˜ ao muda com o tempo. Desse modo, no fim da d´ ecada de 1840, a conserva¸ c˜ ao de energia tinha sido enunciada claramente por Mayer, Helmholtz e Joule. No fim do s´ eculo XIX, os astrˆ onomos come¸ caram a se perguntar que forma de energia estava sendo convertida em calor no Sol. Em 1898, Sir Robert Stawell Ball (1840-1913), diretor do observat´ orio de Cambridge, notou que f´ osseis de peixes tinham olhos bem desenvolvidos, uma indica¸ c˜ ao de que o Sol brilhava desde muito antes da humanidade. Ele considerou – e descartou – a hip´ otese de que o Sol ainda estaria esfriando a partir de um aquecimento inicial durante sua forma¸ c˜ ao. N˜ ao, o Sol teria, h´ a muito, esfriado a ponto de n˜ ao mais emitir luz vis´ ıvel. Poderia o Sol ser movido a combust´ ıvel tradicional? Consideremos um peda¸ co de carv˜ ao mineral, o melhor combust´ ıvel conhecido naquela ´ epoca, e assumamos que seja poss´ ıvel misturar todo o oxigˆ enio necess´ ario para conseguir queima completa. Podemos, ent˜ ao, calcular quanto carv˜ ao ´ e necess´ ario por segundo para produzir a energia que o Sol emite por segundo, e quanto tempo uma quantidade de carv˜ ao t˜ ao grande quanto o Sol duraria. A resposta para carv˜ ao mineral, ou petr´ oleo, ou mesmo hidrogˆ enio puro, sempre resulta entre 6 000 a 10 000 anos. Um sol movido a combust´ ıvel normal n˜ ao poderia durar mais do que a hist´ oria humana escrita. O que mais poderia gerar a energia do Sol? Por um tempo, a hip´ otese 243 mais aceita envolvia a gravidade. A melhor hip´ otese era a da contra¸ c˜ ao; essa teoria sugeria que a fonte de energia gravitacional era devida ` a lenta contra¸ c˜ ao do Sol. Foram os c´ alculos dessa teoria que permitiram ao grande f´ ısico te´ orico inglˆ es Lord William Thomson, Bar˜ ao Kelvin (1824-1907), que colocou a termodinˆ amica em sua forma presente, estimar a idade do Sol e iniciar um dos grandes debates cient´ ıficos. Uma estrela que est´ a drenando sua energia gravitacional para emitir sua radia¸ c˜ ao s´ o pode se contrair por um certo tempo. Quando Kelvin calculou os n´ umeros, ele chegou a uma idade entre 20 e 100 milh˜ oes de anos, muito melhor (maior) do que a hip´ otese do combust´ ıvel comum, mas n˜ ao o suficiente para acomodar os dados que ge´ ologos e evolucionistas tinham, de bilh˜ oes de anos. Lord Kelvin Por volta de 1920, a hip´ otese da contra¸ c˜ ao j´ a podia ser testada teoricamente nas estrelas. Em seu trabalho monumental Sobre a Constitui¸ c˜ ao Interna das Estrelas (http://www.bibliomania.com/2/1/67/114/), Arthur Eddington 244 o astrˆ onomo inglˆ es Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) assentou a funda¸ c˜ ao da teoria moderna de estrutura estelar. Ele deu a id´ eia corrente de que uma intensa fonte de energia no n´ ucleo da estrela gera a press˜ ao que contrabalan¸ ca a for¸ ca para dentro da gravidade, estabilizando a estrela por muitos bilh˜ oes de anos. O teste da teoria de contra¸ c˜ ao se deu atrav´ es de estrelas vari´ aveis Cefeidas, que alteram per´ ıodos de aumento de brilho com per´ ıodos de redu¸ c˜ ao de brilho, em escalas de semanas ou meses. A primeira Cefeida foi descoberta, em 1784, pelo astrˆ onomo inglˆ es Edward Pigott (1753-1825). Para essas estrelas, a dura¸ c˜ ao do ciclo depende criticamente do raio da estrela. Baseado na quantidade de radia¸ c˜ ao que a estrela Delta Cefeida estava emitindo, ela deveria ter uma redu¸ c˜ ao do seu per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao em 17 segundos por ano. Como a estrela foi observada desde 1758, Eddington arguiu que essa mudan¸ ca de per´ ıodo seria mensur´ avel e, como n˜ ao existia, a produ¸ c˜ ao de energia n˜ ao podia ser devida ` a contra¸ c˜ ao gravitacional. James Chadwick Eddington j´ a era famoso por ter organizado as expedi¸ c˜ oes de 1919 para testar a Teoria da Relatividade Geral de Albert Einstein (1879-1955), confirmando que a luz se desvia perto da borda do Sol, atrav´ es da observa¸ c˜ ao do desvio durante um eclipse. Descartando a hip´ otese da gravidade, Eddington tinha de propor uma nova teoria. Em 1920, a equa¸ c˜ ao de Einstein E = mc2 , que implica que a massa pode ser convertida em energia, j´ a era conhecida. Um grama de mat´ eria totalmente convertida em energia produz 90 trilh˜ oes de Joules (1 watt = 1 Joule/s e 1 caloria = 4,18 Joule). Mas pouco mais de 10 245 anos tinham se passado desde a descoberta de que o ´ atomo tinha um n´ ucleo, e as u ´nicas part´ ıculas conhecidas eram o pr´ oton e o el´ etron. A descoberta do nˆ eutron ocorreria depois de passados muitos anos. Portanto, qualquer discuss˜ ao do que Eddington chamou de “energia subatˆ omica” envolvia muita especula¸ c˜ ao. Eddington considerou o que hoje chamamos de fus˜ ao nuclear, a convers˜ ao de quatro pr´ otons em um n´ ucleo de h´ elio, mas ele n˜ ao gostava da id´ eia porque isso limitava a vida das estrelas a s´ o alguns bilh˜ oes de anos. Eddington favorecia um processo que, hoje em dia, sabemos que n˜ ao ocorre na natureza, a aniquila¸ c˜ ao de pr´ otons por el´ etrons, que produziria energia suficiente para milhares de bilh˜ oes de anos. Ele propˆ os que a astrof´ ısica permite explorar o interior das estrelas, j´ a que as propriedades da superf´ ıcie eram conseq¨ uˆ encias da estrutura interna. Durante os anos 1920 e 1930, os astrˆ onomos estavam coletando dados sobre todos os tipos de estrelas, e os f´ ısicos nucleares estavam, ent˜ ao, trabalhando na teoria do n´ ucleo atˆ omico. Em 1932, o f´ ısico inglˆ es Sir James Chadwick (1891-1974) descobriu o nˆ eutron, e a id´ eia de um n´ ucleo atˆ omico com pr´ otons e nˆ eutrons nascia. 22.7 Fus˜ ao termonuclear Em mar¸ co de 1938, uma conferˆ encia foi organizada pela Carnegie Institution, de Washington, para unir astrˆ onomos e f´ ısicos. Um dos participantes foi o imigrante alem˜ ao Hans Albrecht Bethe (1906-2005). Logo ap´ os a conferˆ encia, Bethe desenvolveu a teoria de como a fus˜ ao nuclear podia produzir a energia que faz as estrelas brilharem. Essa teoria foi publicada em seu artigo A Produ¸ c˜ ao de Energia nas Estrelas, publicado em 1939, e que lhe valeu o prˆ emio Nobel, instituido por Alfred Nobel (1833-1896), em 1967. Hans Bethe Hans Bethe tomou os melhores dados das rea¸ c˜ oes nucleares existentes e mostrou, em detalhe, como quatro pr´ otons poderiam ser unidos e transformados em um n´ ucleo de h´ elio, liberando a energia que Eddington havia 246 e maior sua energia cin´ etica. porque suas temperaturas centrais s˜ ao baixas. Naquela ´ epoca. e Bethe demonstrou que. al´ em dos resultados de Hans A. O processo que Bethe elaborou em seu artigo. por exemplo. como no interior do Sol. a dependˆ encia ´ e muito menor. suficiente para penetrar a repuls˜ ao coulombiana de n´ ucleos com maior n´ umero de pr´ otons. como o Sol. Bethe e Charles L. envolve uma cadeia complexa de seis rea¸ c˜ oes nucleares em que ´ atomos de carbono e nitrogˆ enio agem como catalisadores para a fus˜ ao nuclear. tornou-se um campo bem desenvolvido. e astrˆ onomos calculam com 247 . Hoje em dia. 248. 54. sabe-se que o ciclo do carbono contribui pouco para a gera¸ c˜ ao de energia para estrelas de baixa massa. Rigel. o c´ alculo de evolu¸ c˜ ao estelar. J´ a para o ciclo pr´ oton-pr´ oton. o ciclo pr´ oton-pr´ oton domina. Critchfield (1910-1994). atrav´ es da uni˜ ao da estrutura estelar com as taxas de rea¸ c˜ oes nucleares. o ciclo do carbono seria o modo dominante de produ¸ c˜ ao de energia. Quanto maior for a temperatura central. C12 + 4H → C12 + He + 2e+ + 2νe + γ Na mesma ´ epoca. A astrof´ ısica demonstrou que as leis f´ ısicas que conhecemos em nossa limitada experiˆ encia na Terra s˜ ao suficientes para estudar completamente o interior das estrelas. mais veloz ser´ a o pr´ oton. para temperaturas da ordem de 10 milh˜ oes de graus K. conhecido atualmente como o Ciclo do Carbono. Desde as descobertas de Bethe. publicados em 1938 no Physical Review. os astrˆ onomos calculavam que a temperatura no interior do Sol fosse de cerca de 19 milh˜ oes de graus Kelvin. mas domina para estrelas mais massivas. tem temperatura central da ordem de 400 milh˜ oes de graus K. com a quarta potˆ encia da temperatura. e a essa temperatura. como explicitado por Bethe no seu artigo. Atualmente. 4H → He4 + 2e+ + 2νe + γ A libera¸ c˜ ao de energia pelo ciclo do carbono ´ e proporcional ` a 20a potˆ encia da temperatura 20 CNO ∝ T . ` aquela temperatura. o f´ ısico alem˜ ao Carl Friedrich Freiherr von Weiz¨ acker (1912-2007) tamb´ em identificou v´ arias das rea¸ c˜ oes de fus˜ ao nuclear que mantˆ em o brilho das estrelas. p−p ∝ T 4.sugerido. o valor aceito para a temperatura do n´ ucleo do Sol ´ e de 15 milh˜ oes de graus Kelvin. Uma bomba de hidrogˆ enio tem uma potˆ encia de 20 milh˜ oes de toneladas de TNT. nenhuma troca de energia interna ser´ a poss´ ıvel. O material ejetado come¸ cou a concentrar-se por algum evento externo. ele recebe energia. A entropia de um sistema isolado s´ o pode aumentar e. Essa energia produzida pelo Sol. representada pela perda da radia¸ c˜ ao. Somente quando a temperatura da parte interna dessa nuvem colapsante alcan¸ car 248 . Esse material passou alguns bilh˜ oes de anos em uma estrela que se tornou uma supergigante e explodiu como supernova. que o Sol converte aproximadamente 600 milh˜ oes de toneladas de hidrogˆ enio em h´ elio por segundo. cloro e ferro que tinham sido sintetizados no n´ ucleo da supergigante. ele n˜ ao nasceu do material primordial (hidrogˆ enio e h´ elio) que preenchia o Universo cerca de 500 000 anos ap´ os o Big Bang. Sabemos. tinha uma potˆ encia de 20 000 toneladas de TNT (trinitrotolueno. as excita¸ c˜ oes por colis˜ oes atˆ omicas e moleculares provocaram a emiss˜ ao de radia¸ c˜ ao. O conceito de entropia est´ a intimamente ligado ao conceito de calor. com 3α ∝ T 40 . ou nitroglicerina). um sistema est´ a. de urˆ anio. 847 × 1033 ergs/s. de L = 3. mas n˜ ao pode ser destru´ ıda. Como o Sol tem 4. Para comparar. com certeza. chamada de Little Boy e que explodiu sobre a cidade de Hiroshima. com o aumento de sua densidade. Quando um sistema recebe entropia (calor). perfeita desordem interna. mantendo a vida aqui na Terra. A entropia ´ e o transportador da energia em processos t´ ermicos.5 bilh˜ oes de anos como uma an˜ a branca. juntamente com cerca de 3% de elementos mais pesados. quando o equil´ ıbrio for alcan¸ cado. j´ a que h´ a aumento da entropia. e a explos˜ ao de estrelas massivas como supernovas. como queima. como carbono. transporte de calor. enxofre. A segunda lei da termodinˆ amica nos ensina que um processo envolvendo fluxo l´ ıquido de radia¸ c˜ ao ´ e irrevers´ ıvel. ejetando hidrogˆ enio e h´ elio no espa¸ co. ap´ os a queima do h´ elio em carbono pela rea¸ c˜ ao triplo-α: 3He4 → C12 . a primeira bomba atˆ omica. mas sim de material j´ a reciclado. Essa perda de energia por radia¸ c˜ ao torna a contra¸ c˜ ao irrevers´ ıvel. fri¸ c˜ ao. oxigˆ enio. antes desta tornar-se uma supernova. for¸ cando o colapso gravitacional.confian¸ ca o fim de uma estrela como nosso Sol daqui a 6. ´ e equivalente a 5 trilh˜ oes de bombas de hidrogˆ enio por segundo.5 bilh˜ oes de anos. O conceito de entropia foi formulado pelo f´ ısico matem´ atico alem˜ ao Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888) e mede qu˜ ao pr´ oximo do equil´ ıbrio – isto ´ e. como a explos˜ ao de outra supernova ou a passagem de uma onda de densidade e. Ela pode ser criada em processos irrevers´ ıveis. 007 × 0. sua luminosidade. e menos tempo ela dura. a transforma¸ c˜ ao de quatro n´ ucleos de hidrogˆ enio (quatro pr´ otons) em um n´ ucleo de h´ elio (part´ ıcula α). 1 × M × c2 249 . A parte mais longa da vida da estrela ´ e quando ela est´ a na seq¨ uˆ encia principal. Isso significa que. Essa massa “desaparecida” ´ e transformada em energia pela equa¸ c˜ ao de Einstein: E = mc2 . 0324 u) −→ 1mα (4. Em estrelas como o Sol. existe uma diferen¸ ca de massa entre a massa que entrou na rea¸ c˜ ao (maior) e a massa que saiu (menor). 0039 u) onde u = unidade de massa atˆ omica = 1. de toda a massa da estrela. 007 = 0. 7% 4. A diferen¸ ca de massa ´ e: ∆m = (4.7% da massa que entra na rea¸ c˜ ao ´ e transformada em energia.8 Tempo de vida das estrelas O tempo de vida de uma estrela ´ e a raz˜ ao entre a energia que ela tem dispon´ ıvel e a taxa com que ela gasta essa energia. as rea¸ c˜ oes mais importantes s˜ ao as que produzem. A massa da estrela contida em seu n´ ucleo ´ e aproximadamente 10% da massa total da estrela. Portanto. gerando energia atrav´ es de fus˜ oes termonucleares. a parte em que ela est´ a na seq¨ uˆ encia principal. mais rapidamente ela gasta sua energia. 66 × 10−27 kg. 0039) u = 0.cerca de 10 milh˜ oes de graus Kelvin. 0324 − 4. ou seja. pois ent˜ ao a energia nuclear ser´ a importante fonte de energia. 0285 u 0. 22. A massa que entra nessa rea¸ c˜ ao ´ e apenas a massa que se encontra no n´ ucleo da estrela. Como a luminosidade da estrela ´ e tanto maior quanto maior ´ e a sua massa 3 (L ∝ M ). resulta que o tempo de vida ´ e controlado pela massa da estrela: quanto mais massiva a estrela. pois apenas no n´ ucleo a estrela atinge temperaturas suficientemente altas para permitir as rea¸ c˜ oes termonucleares. Nessa transforma¸ c˜ ao. como resultado l´ ıquido. apenas 10% contribui para a gera¸ c˜ ao de energia durante a maior parte de sua vida. a energia dispon´ ıvel nessa etapa ´ e: ESP = 0. 0324 u Portanto 0. a contra¸ c˜ ao ser´ a interrompida. 4mp (4. 0285 u = 0. 26 × 1044 J = 3.onde ESP significa energia na seq¨ uˆ encia principal. Nessas rea¸ c˜ oes sucessivas 0. Para calcular a luminosidade. 197 × 1045 J 250 .1 Escalas de tempo evolutivo Tempo nuclear Mesmo depois de sa´ ırem da seq¨ uˆ encia principal as estrelas continuam produzindo energia atrav´ es de rea¸ c˜ oes termonucleares.1% da massa se transforma em energia. carbono em oxigˆ enio. sucessivamente h´ elio em carbono. transformando o hidrogˆ enio em h´ elio nas camadas externas ao n´ ucleo e. 1 × M × c2 = 0. No caso do Sol essa energia vale: ESP = 0.8 % de sua massa total se transforma em energia: EN = 0. 007 × 0.9. 008 × M × c2 = 1. 29 × 1017 s = 1010 anos 3. 22. 9 × 1026 J/s Para uma estrela qualquer. 007 × 0. use a rela¸ c˜ ao massa-luminosidade L ∝ M3 . 99 × 1030 kg × (3 × 108 m/s)2 = 1. etc. at´ e a s´ ıntese do ferro. 1 × 1. 26 × 1044 J O tempo de vida do Sol na seq¨ uˆ encia principal ´ e igual ` a energia nuclear dispon´ ıvel dividida pela luminosidade do Sol na seq¨ uˆ encia principal: tSP = 1. o tempo de vida na seq¨ uˆ encia principal pode ser calculado em termos do tempo de vida do Sol na mesma fase: tSP = ESP /ESP × 1010 anos L/L 1 10 2 10 anos (M/M ) tSP = Exerc´ ıcio: Calcule o tempo de vida na seq¨ uˆ encia principal para uma estrela cuja massa ´ e 100 M . se tiverem massa suficiente para atingir a temperatura necess´ aria.9 22. Podemos estimar a energia total produzida pelo sol atrav´ es de rea¸ c˜ oes termonucleares supondo que 0. quando a energia gravitacional diminui (devido ` a contra¸ c˜ ao). E tN = N = 1011 anos L Entretanto: • a luminosidade fora da seq¨ uˆ encia principal. e que ´ e importante na fase de forma¸ c˜ ao. at´ e 106 vezes.6 M ser˜ ao transformados em C/O. que se aplica a gases perfeitos. quando est˜ ao se contraindo e ainda n˜ ao produzem energia nuclear. quando a estrela torna-se gigante e supergigante ´ e muito maior. a energia total ´ e igual ` a metade da energia potencial gravitacional: 1 EG + ET = EG 2 Portanto.008 da massa inicial. Estes trˆ es fatores levam a Tdepois da SP = 0. • o Sol nunca queimar´ a o carbono e. • no m´ aximo 0. ´ e a energia resultante da contra¸ c˜ ao gravitacional. que a luminosidade na seq¨ uˆ encia principal. portanto. aumenta a energia t´ ermica. Por conserva¸ c˜ ao de energia. n˜ ao chega ao 0. Nessa fase a energia total da estrela ´ e: E = EG + ET onde EG ´ e energia gravitacional e ET ´ e energia t´ ermica. Considerando que a energia potencial gravitacional de uma esfera auto-gravitante de massa M e raio R ´ e da ordem de −GM2 /R. quando a estrela se contrai. ou seja. a energia gerada pela contra¸ c˜ ao que ´ e dispon´ ıvel para ser irradiada ´ e: 1 EG 2 1 GM2 2 R 251 . a outra metade ´ e liberada na forma de radia¸ c˜ ao (luminosidade). supondo que essa luminosidade permane¸ ca constante. Pelo teorema do Virial.2 Tempo t´ ermico Outra fonte de energia que o Sol e as outras estrelas tˆ em.O tempo que essa fonte de energia ´ e capaz de sustentar a luminosidade do Sol. 1TSP . aumenta a energia cin´ etica das part´ ıculas dentro da estrela. 22.9. isto ´ e. apenas metade da energia ´ e usada para aumentar sua temperatura. ´ e chamado tempo nuclear. n˜ ao tˆ em carga el´ etrica e interagem muito fracamente com a mat´ eria .O tempo durante o qual a contra¸ c˜ ao gravitacional poderia sustentar a luminosidade do Sol no seu valor atual ´ e chamado tempo t´ ermico. A id´ eia principal desses experimentos ´ e que algumas rea¸ c˜ oes na cadeia de fus˜ ao produzem part´ ıculas chamadas neutrinos. 9 × 1026 J/s. Neutrinos (νe ).um neutrino pode atravessar anos-luz de chumbo s´ olido sem interagir com um s´ o ´ atomo! Sua se¸ c˜ ao de − 44 2 choque ´ e da ordem de Σ = 10 cm . R = 6. esse tempo dura em torno de 1/2 hora.3 Tempo dinˆ amico ´ o tempo que dura o colapso da estrela se as for¸ E cas de press˜ ao que suportam ´ o tempo de queda-livre o peso das camadas superiores fossem removidas. de modo que seu livre caminho m´ edio no interior do Sol (λ = 1/nΣ.10 O Problema do neutrino solar Desde os anos 1960. 95 × 108 m.9. 252 . teoricamente. e L = 3. para uma estrela de massa M e raio R vale 2 R3 GM td = Para o Sol. temos: tk = 20 × 106 anos 22. 22. tˆ em massa zero. E que. onde n ´ e a densidade m´ edia de mat´ eria no interior do Sol) ´ e equivalente a 109 raios solares. ou tempo de contra¸ c˜ ao de Kelvin (tK ): ET L 1 GM2 /R 2 L tK = Substituindo os valores de G = 6. alguns experimentos levantaram d´ uvidas sobre os c´ alculos de interiores estelares. 99 × 1030 kg. M = 1.67 ×10−11 Nm2 /kg2 . . Francis B. pela descoberta. Frederick Reines & Clyde L. Kruse. Science. mas durante nossa vida inteira somente alguns destes interagir˜ ao com nossos ´ atomos. Jr. 103 (1956)]. A vida m´ edia de um nˆ eutron livre ´ e de aproximadamente 12 minutos. passam pela Terra sem qualquer perturba¸ c˜ ao. Clyde L. 124. finalmente. em 1995. 253 . emitindo um el´ etron. O mais importante ´ e que os neutrinos carregam informa¸ c˜ ao sobre o interior do Sol. Harrison. emitidos de um reator nuclear [”The Neutrino”. para explicar a varia¸ c˜ ao da energia dos el´ etrons emitidos em decaimentos β . Neutrinos produzidos no n´ ucleo do Sol saem ao espa¸ co com muito pouca intera¸ c˜ ao. McGuire. Herald W. Frederick Reines e Clyde Cowan Em 1956. & Austin D.Wolfgang Pauli Os neutrinos foram previstos teoricamente por Wolfgang Pauli (1900-1958). ”Detection of the Free Neutrino: A Confirmation”. Cowan. Cowan Jr (1919-1974). detectados por Frederick Reines (1918-1998) e Clyde L. em 1930. onde a energia est´ a sendo gerada. Ele recebeu o prˆ emio Nobel em 1945. Frederick Reines. atravessam a distˆ ancia entre o Sol e a Terra e. os neutrinos foram. Pauli propˆ os que a diferen¸ ca de energia estava sendo carregada por uma part´ ıcula neutra de dif´ ıcil detec¸ c˜ ao. Nature 178. Reines recebeu o prˆ emio Nobel. 446 (1956). em que um nˆ eutron se transforma espontaneamente em um pr´ oton. o neutrino. Cowan. na maioria dos casos. Milh˜ oes desses neutrinos passam por nosso corpo a todo segundo. do Brookhaven National Laboratories.Raymond Davis e seu experimento Em 1968. quase nenhum neutrino foi detectado. do tamanho de um vag˜ ao de trem. no fundo de uma mina de ouro a 1500m de profundidade na cidade de Lead. na Dakota do Sul. dos 100 bilh˜ oes de neutrinos solares que atravessam a Terra por segundo. Como aproximadamente um quarto dos ´ atomos de cloro est´ a no is´ otopo 37. ele calculou que. como uma melhor taxa de rea¸ c˜ ao nuclear. com vida m´ edia de 35 dias. determinando o fluxo de neutrinos. deveriam ser detectados alguns eventos por dia. ou dos neutrinos.81 MeV e. n˜ ao consegue detectar o neutrino produzido na cadeia principal do ciclo p-p. Davis recebeu o prˆ emio Nobel em 2002 por estes estudos. Outros experimentos de detec¸ c˜ ao de neutrino est˜ ao ou estiveram 254 . bem como testar rigorosamente o experimento. A diferen¸ ca entre o experimento e a teoria passou a ser conhecida como o problema do neutrino solar.42 MeV de energia. (1914-2006) e seus colaboradores. νe + Cl37 → e− + Ar37 Quando o experimento come¸ cou a funcionar. A dificuldade maior do experimento de Davis ´ e que ele s´ o consegue detectar neutrinos com energia maior que 0. pois esse neutrino s´ o tem 0. alguns ocasionalmente interagiriam com um ´ atomo de cloro. Muitos cientistas trabalharam para melhorar as aproxima¸ c˜ oes nos c´ alculos do fluxo de neutrinos que deveriam ser detectadas pelo experimento de Davis. ´ e poss´ ıvel isolar e detectar esses poucos ´ atomos de argˆ onio dos mais de 1030 ´ atomos de cloro no tanque. Como o argˆ onio37 produzido ´ e radiativo. portanto. De acordo com a melhor estimativa te´ orica. dominante no Sol. Raymond Davis Jr. transformando-o em um ´ atomo de argˆ onio. n˜ ao era t˜ ao completa quanto se acreditava. o n´ umero de ´ atomos de argˆ onio no tanque seria medido. decidiram detectar esses neutrinos colocando um tanque com 600 toneladas (378 000 litros) de fluido de limpeza percloroetileno (C2 Cl4 ). Periodicamente. demonstrando que nossa compreens˜ ao do Sol. 236 MeV e. Para que essas mudan¸ cas de identidade ocorram. Canad´ a. νe + Ga31 → e− + Ge32 que detectam neutrinos com energia acima de 0. entre o tempo que os neutrinos s˜ ao gerados e o tempo que eles chegam ` a Terra. parte dos neutrinos sofre rea¸ c˜ oes que mudam sua identidade.05 a 8. com evidˆ encia de oscila¸ c˜ ao de neutrinos que indica que a soma das massas dos 3 tipos de neutrinos est´ a entre 0. da ordem de centenas de vezes menor que a massa do el´ ectron. portanto. Estas massas levam ` a contribui¸ c˜ ao dos neutrinos na massa do Universo entre 0. e existem diversos experimentos em elabora¸ c˜ ao para medi-la. 170 keV para o neutrino do muon e 15. Quando o neutrino do el´ etron colide com o deut´ erio da ´ agua pesada.18 da densidade cr´ ıtica.2 eV para o neutrino do el´ etron. a 2070 metros de profundidade. 99 × 106 cm−2 s−1 . que s´ o detecta neutrinos com energia maior ˇ ˇ que 7. podem detectar os neutrinos de baixa energia produzidos pela cadeia principal do ciclo p-p.4 eV. operando desde novembro de 1999. Essa massa pode ser detectada em laborat´ orio. cada tipo de neutrino precisa ter uma massa diferente de zero e diferentes entre si e isso ´ e predito em algumas teorias de Grande Unifica¸ c˜ ao das for¸ cas (GUT). Kamiokande I e II. passando de neutrino de el´ ectron para neutrino de m´ uon ou neutrino de t´ aon. No Sudbury Neutrino Observatory. tornando-os inacess´ ıveis aos experimentos. 44 ± 0. SAGE (Soviet-American Gallium Experiment) e GALLEX. Esse processo de mudan¸ ca chama-se oscila¸ c˜ ao de neutrinos. com 1000 toneladas de ´ agua pesada e 9456 fotomultiplicadoras. mas at´ e recentemente s´ o se conseguia medir limites superiores (de 2. a chamada PPI. que s´ o medem neutrinos de el´ etrons. 255 . em Ont´ ario. Mas o veredito ainda ´ e o mesmo: estamos detectando um ter¸ co dos neutrinos que dever´ ıamos estar detectando. de 225 000 km/s. A explica¸ c˜ ao para o fenˆ omeno envolve as propriedades dos pr´ oprios neutrinos. e n˜ ao as propriedades do Sol. foi medido um fluxo de neutrinos provenientes da rea¸ c˜ ao envolvendo o Ber´ ılio 8 de 5.5 MeV para o neutrino do taon). e IMB (Irvine-Michigan-Brookhaven). Acreditamos que. ocorre a rea¸ c˜ ao (mediada pela corrente com carga) ˇ D + νe −→ p + p + e− + radia¸ c˜ ao Cerenkov Deveriam ser observados 30 neutrinos por dia.3 MeVs atrav´ es da radia¸ c˜ ao Cerenkov [Pavel Alekseevich Cerenkov (1904-1990)] emitida por el´ etrons acelerados a velocidades superiores ` a da luz na ´ agua.em opera¸ c˜ ao ao redor do mundo. dirigidos por Masatoshi Koshiba (1929-). tamb´ em ganhador do prˆ emio Nobel de 2002. mas somente 10 s˜ ao observados.001 e 0. Shingo Abe e colaboradores publicaram em 2008.11 Energia nuclear de liga¸ c˜ ao A energia total necess´ aria para separar um n´ ucleo em seus pr´ otons e nˆ eutrons pode ser calculada a partir da energia nuclear de liga¸ c˜ ao. 61301 (2002). pode ser encontrado em http://www. o problema do neutrino solar nos revela mais sobre a f´ ısica fundamental do que sobre a astrof´ ısica estelar. Os pesquisadores conclu´ ıram.uci. que a n˜ ao detec¸ c˜ ao dos neutrinos faltantes somente ´ e consistente com a oscila¸ cao de neutrinos. 89. no Physical Review Letters. indiretamente indicando que os neutrinos tˆ em massa. com um total de 1609 neutrinos detectados. O detector de neutrinos KamLAND (Kamioka Liquid-scintillator Anti-Neutrino Detector).99%. ap´ os produzidos e antes de serem detectados. Essa ´ ea quantidade usada para descrever rea¸ c˜ oes nucleares. 256 . na transforma¸ c˜ ao dos neutrinos. j´ a que o n´ umero atˆ omico muda de elemento para elemento e.edu/∼jnb/. mesmo de is´ otopo para is´ otopo. que detectam as min´ ısculas fa´ ıscas de luz produzidas quanto um neutrino interage com o l´ ıquido.. os resultados dos dados de 2002 a 2007.ps.2 eV para o limite superior da massa combinada dos tres tipos de neutrinos e uma contribui¸ c˜ ao m´ axima de 13% para a massa do Universo. O an´ uncio de junho de 1998 da detec¸ c˜ ao da oscila¸ c˜ ao de neutrinos pelo experimento Super-Kamiokande. 07 meV. em unidades de massa atˆ omica.sns. O m´ aximo da curva ocorre para o ferro. publicado no Physical Review Letters.Øystein Elgarøy et al. consiste de uma kilotonelada de l´ ıquido de cintila¸ c˜ ao ultra-puro mantido em um bal˜ ao atmosf´ erico e circundado por 1 879 fotomultiplicadoras. isto ´ e. 221803. Portanto. 100. com ∆m = 8. cujo n´ umero de massa ´ e 56. se n˜ ao houvesse desaparecimento dos neutrinos. 22. e s˜ ao produzidos principalmente pelos 69 reatores nucleares do Jap˜ ao e Cor´ eia. e a energia total depende deste n´ umero. ou seja. a energia de liga¸ c˜ ao por n´ ucleon. Mais detalhes sobre neutrinos solares podem ser encontrados nas p´ aginas do astrof´ ısico americano John Norris Bahcall (1934-2005) em http://www. obteve 2. Os neutrinos detectados tˆ em energia superior a 2. com um n´ ıvel de confian¸ ca de 99. 71 ± 0. no artigo New Upper Limit on the Total Neutrino Mass from the 2 Degree Field Galaxy Redshift Survey. O gr´ afico mostra a energia nuclear de liga¸ c˜ ao total dividida pelo n´ umero de pr´ otons e nˆ eutrons (n´ umero de n´ ucleons).edu/∼superk/. de neutrinos de el´ etrons para neutrinos de m´ uons ou de t´ aons. do total de 2179 eventos previstos dos reatores.6 MeV.ias. O aumento da energia de liga¸ c˜ ao para baixos valores de n´ umero de massa.014 u. formando h´ elio e liberando um nˆ eutron e 17. Na Terra. ao contr´ ario. O C ´ e radiativo. usava o decaimento do tr´ ıtio como m´ etodo de O m´ etodo de data¸ ca ˜o por carbono 14 (C14 ) foi desenvolvido logo ap´ os a segunda 14 guerra mundial. foi produzido em aceleradores em 1932 por Lord Rutherford [Ernest Rutherford (1871-1937)]. formando um u ´nico nuclidio de massa intermedi´ aria.6 KeV de energia. Em outras palavras. nos indica que energia ser´ a liberada se dois nuclidios de baixa massa se combinarem. foi descoberto em 1931 pelo qu´ ımico americano Harold Clayton Urey (18931981).35 anos.Figura 22. e foi caracterizado por Luis Walter Alvarez (1911-1988). uma bomba de hidrogˆ enio funde deut´ erio e tr´ ıtio. decaindo por emiss˜ ao de um el´ etron em He3 e liberando 18. ´ e produzido pelo bombardeamento de nitrogˆ enio 14 por raios c´ osmicos na atmosfera e ´ e absorvido do ar pelas plantas. em vez de um u ´nico nuclidio de alta massa. com massa 3.6 MeV de energia. Esse processo ´ e chamado de fus˜ ao nuclear.m. O radiois´ otopo tr´ ıtio do hidrogˆ enio. O deut´ erio is´ otopo do hidrogˆ enio com um nˆ eutron. Animais comem as 1 257 . energia pode ser liberada pela fiss˜ ao nuclear do nuclidio de alta massa em dois nuclidios de massa intermedi´ aria.a. Sua vida m´ edia ´ e de 12.5: Energia de liga¸ c˜ ao dos ´ atomos A queda da energia de liga¸ c˜ ao por n´ ucleon para n´ umeros de massas maiores que 56 indicam que esses n´ ucleons s˜ ao mais compactados formando dois nuclidios de massa intermedi´ aria. Sir John Douglas Cockroft (1897-1967) e Ernest Orlando Lawrence (1901-1958). Willard Frank Libby (1908-1980). o proponente do m´ etodo de 1 data¸ c˜ ao por carbono-14. Na natureza ele ´ e produzido pela colis˜ ao de raios-c´ osmicos com nˆ eutrons do ar e trazido para a superf´ ıcie da Terra pela chuva. Para descobrir h´ a quanto tempo um organismo morreu. E = mc2 (22. Antes da explos˜ ao da primeira bomba atˆ omica na biosfera da Terra. 24MeV. combinando um pr´ oton (p) e um nˆ eutron (n) produzir´ a um deut´ erio (d). ele para de absorver C14 e a quantidade j´ a existente no organismo come¸ ca a decair em N14 . 66 × 10−27 kg. por defini¸ c˜ ao. a energia liberada na forma¸ c˜ ao do deut´ erio ´ e E = 0. Portanto. 01595u. 01355u) = 0. a diferen¸ ca de massa ´ e dada por: ∆m = (mp + mn ) − md = (1. nos d´ a energia/u = (1. com uma vida m´ edia de 5730 anos. plantas e absorbem o C14 . Se uma material emite 13.1) Por exemplo. 6 × 10−19 J). Como a massa do deut´ erio ´ e md = 2. usando E = mc2 . Uma unidade de massa atˆ omica (UMA=u) ´ e. ent˜ ao.5/2 el´ etrons por minuto por grama. Humanos absorvem o C14 ao comerem plantas e animais. determina-se a quantidade de el´ etrons emitidos por grama do material. Vemos. 00867u) − (2. 01355u. 00240u. 66 × 10−27 kg)(3. correspondendo a 931 MeV/u. correspondendo a 1. 22.24 MeV ´ e a energia total de liga¸ c˜ ao do deut´ erio. com a diferen¸ ca de massa convertida em energia pela rela¸ c˜ ao de Einstein [Albert Einstein (1879-1955)]. Os elementos com massa maior que 56 unidades de massa atˆ omica s˜ ao formados por captura de nˆ eutrons por elementos mais leves e posterior decaimento β inverso nuclear. 2. o organismo deve ter 5730 anos. que os elementos at´ e o grupo do ferro s˜ ao formados por fus˜ ao de elementos mais leves. 00728u + 1.5 emiss˜ oes de el´ etrons por minuto por grama do carbono. 00867u = 2. 00728u + 1. igual a 1/12 da massa do ´ atomo de C 12 . Se adicionarmos a massa do pr´ oton e do nˆ eutron. 00240u × 931MeV/u = 2. Dessa forma.12 Massas Nucleares As massas nucleares podem ser alteradas nas rea¸ c˜ oes nucleares.data¸ c˜ ao da idade dos vinhos: um vinho de 20 anos deve conter somente um ter¸ co da quantidade de tr´ ıtio observada em ´ agua de chuva fresca. 00 × 108 m/s)2 (1eV/1. 258 . Logo. Quando um organismo morre. obtemos mp + mn = 1. Atualmente o C14 emite cerca de 15 el´ etrons por minuto por grama do material. ocorriam aproximadamente 13. em 259 . Ele e sua fam´ ılia partiram de Roma para a cerimˆ omia de entrega do Prˆ emio Nobel ` a Fermi em dezembro de 1938 e nunca retornaram ` a It´ alia. dois is´ otopos de hidrogˆ enio. isto ´ e. Em 1934 o h´ ungaro Leo Szilard (1898-1964) j´ a havia patenteado a id´ eia da rea¸ c˜ ao em cadeia e em 2 de dezembro de 1942 Fermi conseguiu construir uma massa cr´ ıtica de U 235 /U 238 n˜ ao separados (na natureza somente 235 0. criando novos elementos mais pesados. O italiano Enrico Fermi (1901-1954) foi uma das pessoas mais importantes no desenvolvimento te´ orico e experimental da bomba atˆ omica. impondo leis racistas na It´ alia facista. se unem com ´ o oxigˆ enio. Agua pesada ´ e ainda hoje utilizada como moderador em reatores nucleares de urˆ anio natural. e seu aumento pela redu¸ c˜ ao da velocidade dos nˆ eutrons. A ´ agua normal (leve) consiste de dois ´ atomos de hidrogˆ enio e um ´ atomo de oxigˆ enio (H2 O). pelos alem˜ aes Otto Hahn (1879-1968). Fermi havia descoberto que quando ele colocava uma placa de parafina entre a fonte de nˆ eutrons e o urˆ anio. com suas experiˆ encias de bombardeamento de urˆ anio com nˆ eutrons. a mandar uma carta para o presidente americano Franklin Delano Roosevelt (1933-1945) sobre o desenvolvimento pelos alem˜ aes de armas atˆ omicas e pedindo ao presidente que iniciasse um programa americano. O Nobel foi lhe dado por seu estudo de radioatividade artificial. aumentava a radiotividade. era judia.A fiss˜ ao foi descoberta em 10 de dezembro de 1938 e foi descrita em um artigo submetido ao Naturwissenchaften em 22 de dezembro de 1938. como a parafina. ao teste Trinity. Em 1939 Szilar convenceu Albert Einstein (1879-1955). Enrico decidiu aceitar o emprego oferecido pela Columbia University. com quem ele tinha trabalhado em 1919 em Berlin.7% s˜ ao do U que ´ e ativo). Em 1939 os f´ ısicos j´ a sabiam que ´ agua pesada agia como um moderador. Sua esposa. chefiado pelo americano Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e levaria ao desenvolvimento do Los Alamos National Laboratory. isto ´ e. redutor de velocidade dos nˆ eutrons. Laura Fermi. Quando Benito Mussolini (1883-1945) aprovou o Manifesto della Razza em 14 de julho de 1938. nos Estados Unidos. Na experiˆ encia ele utilizou barras de c´ admium como absorsores de nˆ eutrons para regular a experiˆ encia e produziu um crescimento exponencial do n´ umero de nˆ eutrons. usando grafite para reduzir a velocidade dos nˆ eutrons e acelerar a produ¸ c˜ ao de nˆ eutrons secund´ arios. que mais tarde se chamaria Projeto Manhatam. uma rea¸ c˜ ao em cadeia. deut´ erio. Fritz Strassmann (1902-1980) e pela austr´ ıaca Lise Meitner (1878-1968). pois aumentava a chance do nˆ eutron ser absorvido pelo n´ ucleo de urˆ anio. Na ´ agua pesada. New Mexico. na evolu¸ c˜ ao.com/ • http://www. sua evolu¸ c˜ ao depende tanto da massa quanto da separa¸ c˜ ao entre as estrelas.4 MeV corresponde a 1.8 e 10 MSol .6 MSol .html • http://www. de sua massa inicial. 260 . Mais detalhes em • http://www. Se a estrela faz parte de um sistema bin´ ario ou m´ ultiplo.com/szilard.13 Evolu¸ c˜ ao final das estrelas O destino final das estrelas. chefiou o desenvolvimento da bomba de fus˜ ao de hidrogˆ enio.T.dannen. sob protestos de Fermi e Szilard. com a explos˜ ao da primeira bomba atˆ omica em Alamogordo. as estrelas interagir˜ ao.4 Mton T. que utiliza uma bomba de fiss˜ ao como gatilho para iniciar a colis˜ ao do deut´ erio com o tr´ ıtio. de 10. e 60% das estrelas faz.atomicarchive. Quando 2 ´ atomos de hidrogˆ enio se transformam em deut´ erio. que determinar´ a quando.T) e Fat Man. que seriam utilizadas em Hiroshima e Nagasaki em 6 e 9 de agosto de 1945. se a estrela ´ e simples ou se faz parte de um sistema bin´ ario ou m´ ultiplo. ap´ os consumir o hidrogˆ enio no centro a estrela passar´ a pela fase de gigante e depois de supergigante. Se a estrela n˜ ao faz parte de um sistema bin´ ario ou m´ ultiplo. em Eniwetok.time.16 julho 1945. e segundo. a idade do Universo ainda n˜ ao ´ e suficiente para essa estrela ter evolu´ ıdo al´ em da seq¨ uˆ encia principal. depende de duas coisas: primeiro.8 MSol . 6 × 1010 cal/grama igual a 2 milh˜ oes de vezes a energia liberada na combust˜ ao de uma grama de carv˜ ao. 4 MeV este 1. no primeiro passo da fus˜ ao do hidrogˆ enio 2H → D + e− + 1. O h´ ungaro Edward Teller (1908-2003). e raio de cerca de 10 000 km. depois de consumir todo o seu combust´ ıvel nuclear. foi testada em 31 de outubro de 1952.com/time/time100/scientist/profile/fermi.N. A bomba de hidrogˆ enio. ejetar´ a uma nebulosa planet´ aria e terminar´ a sua vida como uma an˜ a branca. Mike. sua evolu¸ c˜ ao depende somente de sua massa inicial. com massa da ordem de 0.N.html 22. Se a estrela iniciar sua vida com massa menor do que 0. e ` a constru¸ c˜ ao das bombas Little Boy (20 ton T. Se a estrela iniciar com massa entre 0. Alguns buracos negros estelares s˜ ao GS2000+25. com aproximadamente 2 000 km de espessura. ´ e a distˆ ancia ao buraco negro dentro da qual nem a luz escapa: RSch = 2GM/c2 . ap´ os a fase de supernova restar´ a um buraco negro.00 com massa entre 3. ela ejetar´ a a maior parte de sua massa ainda na seq¨ uˆ encia principal. a l´ ıngua do Quˆ enia.3 massas solares. que corresponde a aproximadamente 10% da sua massa total.4 MSol .7 M . A distˆ ancia medida por paralaxe ´ e de (1860 ± 120) pc. Quando as estrelas consomem o hidrogˆ enio no n´ ucleo. com massa 7. A vida do Sol na seq¨ uˆ encia principal est´ a estimada em 11 bilh˜ oes de anos. ou raio de Schwarzschild [Karl Schwarzschild (1873-1916)].6 e 13. e ser´ a um pulsar. e depois evoluir´ a como uma estrela de at´ e 100 MSol . descoberta em 1997 com o Telesc´ opio Espacial Hubble. HD226868. Para algumas estrelas massivas. elas saem da seq¨ uˆ encia principal. Esta companheira compacta ´ e muito mais massiva que o maior limite. os modelos de deflagra¸ c˜ ao da explos˜ ao de supernova prevˆ eem dispers˜ ao total da mat´ eria. Os elementos qu´ ımicos gerados por rea¸ c˜ oes nucleares no interior das estrelas e ejetados nas explos˜ oes de supernovas produzem a evolu¸ c˜ ao qu´ ımica do Universo e geram o carbono e outros elementos que mais tarde colapsam. formando planetas terrestres e at´ e seres humanos.Se a estrela iniciar sua vida com massa entre 10 e 25 MSol .1970). com (19 ± 2 massas solares. em 5.128 UA da estrela O.1 M . consiste de uma estrela O. A gera¸ c˜ ao de energia nuclear passa a se dar em uma camada externa a esse n´ ucleo. como a estrela da Pistola. com massa da ordem de 6 MSol . 4 ± 1. massa de cerca de 1.6 dias a 0. Uma estrela de 0. ap´ os a fase de supergigante ela ejetar´ a a maior parte de sua massa em uma explos˜ ao de supernova e terminar´ a sua vida como uma estrela de nˆ eutrons. Se a estrela iniciar sua vida com massa entre 25 e 100 M . Um candidato a buraco negro estelar ´ e a estrela Cygnus X1. com massa acima de 5. de 4. onde a temperatura e a den261 . descoberta pelo sat´ elite de raios-X Uhuru (liberdade em Swahili. e raio de cerca de 20 km.1 massas solares levar´ a 3 trilh˜ oes de anos para sair da seq¨ uˆ encia principal. ela emitir´ a luz direcionada em um cone em volta dos p´ olos magn´ eticos. por press˜ ao de radia¸ c˜ ao. como um farol. Se essa estrela possuir campo magn´ etico forte. invis´ ıvel. e raio do horizonte de cerca de 18 km. orbitando uma massa de (15 ± 1) massas solares.6 M e XTE J1859+226. A0620.12. O raio do horizonte. correpondente a cerca de 50 000 km. onde o sat´ elite foi lan¸ cado em 12. Se a estrela iniciar sua vida com massa acima de 100 MSol . com uma temperatura superficial acima de 1 milh˜ ao de graus K. de uma estrela de nˆ eutrons. iniciar´ a. a luminosidade aumenta e a estrela torna-se mais vermelha. com uma camada externa de h´ elio. A massa do Sol n˜ ao ´ e suficiente para que a temperatura do n´ ucleo alcance um bilh˜ ao de K. transformando h´ elio em carbono no n´ ucleo e hidrogˆ enio em h´ elio em uma fina camada mais externa. necess´ aria para queimar o carbono. ent˜ ao. quando ele chegar a fase de an˜ a branca.5 bilh˜ oes de anos. No centro do Sol. a radia¸ c˜ ao solar atingindo a Terra ser´ a t˜ ao intensa que a temperatura na superf´ ıcie da Terra atingir´ a 700 C. ele se contrai rapidamente. deixando a Terra seca. Mesmo a atmosfera se esvair´ a. Dessa forma. Dessa forma. daqui a 6. descoberta pelo americano Edwin Ernest Salpeter (1925-2008). aproximando-se do ramo das gigantes no diagrama HR. e a luminosidade da estrela aumenta um pouco. como a ´ area superficial aumenta. e a rea¸ c˜ ao triplo-α. O Sol ser´ a. Como a massa do Sol ´ e 340 mil vezes a massa da Terra. o Sol descender´ a. a temperatura atingir´ a 100 milh˜ oes de graus Kelvin.sidade s˜ ao suficientes para manter as rea¸ c˜ oes nucleares. a estrutura final do Sol ser´ a de um pequeno n´ ucleo de carbono. e outra mais externa de hidrogˆ enio. para a regi˜ ao das an˜ as brancas. No diagrama HR. pois os ´ atomos e mol´ eculas estar˜ ao se movendo a velocidades t˜ ao altas que escapar˜ ao da Terra. As camadas externas se reajustam ao aumento de luminosidade expandido-se e. com 262 . os oceanos ferver˜ ao. uma gigante vermelha. ent˜ ao. Como nenhuma energia nuclear ´ e gerada no n´ ucleo nessa fase. Edwin Salpeter Quando o Sol atingir essa fase. combinando trˆ es n´ ucleos de h´ elio (part´ ıculas α) em um n´ ucleo de carbono. sua temperatura diminui. ´ e poss´ ıvel que. na gal´ axia an˜ a sat´ elite de nossa gal´ axia. Tanta energia ´ e liberada em um colapso de supernova que ela brilha com a luminosidade de uma gal´ axia de 200 bilh˜ oes de estrelas. ap´ os o comprimirem at´ e o limite das leis f´ ısicas. 263 . deixando como res´ ıduo. s˜ ao empurradas para fora com velocidades de milhares de quilˆ ometros por segundo. quando a estrela companheira se expandir na fase de gigante ou supergigante. pelos chineses. Depois desse espet´ aculo. concluindo a evolu¸ c˜ ao estelar com a explos˜ ao de uma supernova. como a platina. o n´ ucleo colapsa violentamente em alguns segundos. sem ter outro combust´ ıvel para liberar energia nuclear. ent˜ ao. sobre este n´ ucleo e. As camadas superiores. com 21 g/cm3 . contendo aproximadamente 90% da massa colapsam. S32 . foram observados em outras gal´ axias. .8 M fizer parte de um sistema bin´ ario pr´ oximo. Fe56 . uma estrela de 5 massas solares em 70 milh˜ oes de anos. ele se rompe. ap´ os a forma¸ c˜ ao do n´ ucleo de ferro. a supernova come¸ ca a esmaecer. Ca . Depois da fase de gigantes. A u ´ltima observada a olho nu foi a SN1987A. juntamente com o princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg agir˜ ao como uma for¸ ca repulsiva que contrabalan¸ car´ a a atra¸ c˜ ao da gravidade. Podemos comparar com a densidade dos elementos mais densos na Terra. com temperaturas nucleares de alguns bilh˜ oes de graus Kelvin. passam para supergigantes. sua densidade ser´ a de v´ arias toneladas por cent´ ımetro c´ ubico. . que observaram a explos˜ ao da estrela no centro da nebulosa do Caranguejo. impedindo que a an˜ a branca colapse.6 M ser´ a ejetado ao meio interestelar na forma de Fe. Sc . Neste caso a an˜ a branca explodir´ a como supernova tipo Ia.raio pr´ oximo ao raio da Terra. em poucas centenas de milh˜ oes de anos. produzido durante a explos˜ ao. que chamamos de supernovas. de modo que quando um Fe56 captura um f´ oton. . permitindo que os processos de acr´ escimo de part´ ıculas α produzam sucessivamente O16 . transfira parte de sua massa para a an˜ a branca a tal ponto que a massa da an˜ a branca ultrapasse a massa de Chandrasekhar. A explos˜ ao ocorre porque.C. sem saber que se tratava de um colapso. em vez de liberar energia. Se uma an˜ a branca com massa superior a 0. 35 40 45 Cl . Mg24 . . Si28 . 56 Esse processo termina em Fe porque vimos que a energia de liga¸ c˜ ao do ferro ´ e a mais alta.. sob o peso de sua pr´ opria atra¸ c˜ ao gravitacional. O princ´ ıpio da exclus˜ ao de Pauli. Uma das primeiras ocorrˆ encias de colapsos violentos de estrelas massivas foi registrada em 1054 d. Ti48 . e cerca de 0. Muitos desses colapsos. J´ a estrelas com massas acima de 10 massas solares evoluem muito rapidamente: uma estrela de 30 massas solares sai da seq¨ uˆ encia principal em 5 milh˜ oes de anos. a Grande Nuvem de Magalh˜ aes. Esta ´ e a maior fonte de Fe conhecida. 33728 segundos. A maioria dos astrˆ onomos da ´ epoca acreditava que esses pulsos eram devidos a pulsa¸ c˜ oes radiais de estrelas. O diˆ ametro desse n´ ucleo ´ e de cerca de 10 km e forma uma estrela de nˆ eutrons. que est´ a a 160 mil anos-luz de distˆ ancia. v´ arios detectores aqui na Terra registraram os neutrinos associados ` a explos˜ ao da supernova SN1987A. pois sua vida m´ edia ´ e de so 10 milh˜ oes de anos. vindos da constela¸ c˜ ao de Vulpecula. mas Thomas Gold (1920-2004) calculou que pulsa¸ c˜ oes desse tipo decairiam muito rapidamente e sugeriu que os pulsares eram estrelas de nˆ eutrons em rota¸ c˜ ao. Os nˆ eutrons. Hewish recebeu o prˆ emio Nobel em 1974 pela descoberta dos pulsares. Mesmo a press˜ ao de degenerescˆ encia dos el´ etrons ´ e muito pequena para parar o colapso no est´ agio de uma an˜ a branca. A existˆ encia das estrelas de nˆ eutrons foi proposta em 1932 pelo f´ ısico russo Lev Davidovich Landau (1908-1968). que pode ser observada aqui na Terra. a n˜ ao ser que esteja em uma bin´ aria. tendo o mesmo spin dos el´ etrons. descobriu que certos sinais pulsados de r´ adio chegavam com enorme precis˜ ao a cada 1. A primeira estrela de nˆ eutrons foi detectada em 1967. Os nˆ eutrons formam. Jocelyn Bell Burnell (1943-). 264 . mas sendo 2000 vezes mais massivos.um n´ ucleo extremamente compacto. ent˜ ao. Em fevereiro de 1987. pois sua emiss˜ ao de r´ adio j´ a terminou h´ a muito tempo. como a encontrada no centro da nebulosa do Caranguejo. um g´ as de nˆ eutrons degenerados. uma estrela de nˆ eutrons. que pode parar o colapso da supernova se a massa inicial da estrela na seq¨ uˆ encia principal for menor do que cerca de 25 massas solares. obedecem tamb´ em ao princ´ ıpio da exclus˜ ao de Pauli. O decaimento β inverso que ent˜ ao transforma os pares de el´ etrons e pr´ otons em nˆ eutrons. podem ser comprimidos a distˆ ancias 2000 vezes menores do que os el´ etrons em uma an˜ a branca. Os el´ etrons livres s˜ ao for¸ cados para dentro do n´ ucleons pelas imensas for¸ cas gravitacionais produzidas pelo colapso das camadas externas. Mas a maioria das estrelas de nˆ eutrons n˜ ao s˜ ao pulsares. trabalhando em um experimento proposto por Antony Hewish (1924-). libera uma imensa quantidade de neutrinos. quando a doutoranda da Universidade de Cambridge. do magn´ esio.75 MSol transformam o hidrogˆ enio em h´ elio pelo ciclo pr´ oton-pr´ oton e tˆ em uma camada de convec¸ c˜ ao externa. As estrelas com massa at´ e 1. s˜ ao vari´ aveis quentes (Tef 30 a 60 000 K) com um envolt´ orio de poeira e g´ as ejetado da estrela ˙ pela forte press˜ ao de radia¸ c˜ ao (M 2 a 10 × 10−5 M /ano). e parte em oxigˆ enio.F. Rayet (18391906) por apresentarem linhas de emiss˜ ao no espectro3 . do carbono. Quando essas estrelas transformam o h´ elio nuclear em carbono. Para as estrelas mais massivas. a fase de gigante e supergigante s˜ ao cont´ ıguas.45 MSol .P. Uma nuvem de g´ as se contrai. As estrelas mais massivas queimam o hidrogˆ enio pelo ciclo CNO e tˆ em n´ ucleo convectivo. at´ e transformar o n´ ucleo em ferro. O que resta ser´ a uma estrela de nˆ eutrons ou um buraco negro. mas atmosfera radiativa. n˜ ao em escala. e assim sucessivamente.Sequência Principal Gigante Vermelha Supergigante Vermelha Nebulosa Planetária He->C Anã Branca M <1 0 M So l H->He He C C Nuvem em Contração Proto Estrela Sequência Principal H->He Gigante Vermelha He 8< 0.6: Esquema de evolu¸ c˜ ao estelar. Quando o h´ elio nuclear foi todo transformado em carbono. ela se tornar´ a uma an˜ a marrom. transformando hidrogˆ enio em h´ elio no n´ ucleo.08 MSol e 0. Se sua massa for entre 0. Quando a temperatura no n´ ucleo fica suficientemente alta para iniciar rea¸ c˜ oes nucleares est´ aveis. a proto-estrela torna-se uma estrela da seq¨ uˆ encia principal. As estrelas Wolf-Rayet. Supergigante Vermelha Supernova Estrela de Nêutrons 10< M<25MSol ->Fe He-C-O-Ne-Mg Figura 22. para massas diferentes. sem nenhum evento que marque o in´ ıcio da queima de h´ elio. Se a estrela tiver massa abaixo de 0. uma etapa da evolu¸ c˜ ao de estrelas de alta massa. elas saem do ramo das gigantes e passam para o ramo horizontal.08 MSol . do neˆ onio. do sil´ ıcio. Quando o n´ ucleo chega a ferro. 265 25 <M <1 00 M So l H->He Sequência Principal Estrela Wolf-Rayet Supernova Buraco Negro ? ->Fe He-C-O-Ne-Mg . do oxigˆ enio. n˜ ao h´ a mais como extrair energia atrav´ es de rea¸ c˜ oes de fus˜ ao nuclear. foram descobertas em 1867 pelos franceses Charles J. ela se tornar´ a uma an˜ a branca com n´ ucleo de h´ elio. as estrelas entram no ramo das supergigantes. e a estrela colapsa. formando uma proto-estrela. Wolf (1827-1918) e Georges A. ejetando a maior parte de sua massa como supernova. no ramo gigante assint´ otico.7: Nebulosa Planet´ aria NGC3132. Existem aproximadamente 10 000 nebulosas planet´ arias em nossa gal´ axia.Figura 22. O termo nebulosa planet´ aria foi dado porque algumas se parecem com o planeta Urano. 266 . quando olhadas atrav´ es de um telesc´ opio pequeno. A nebulosidade permanece vis´ ıvel por aproximadamente 10 000 anos ap´ os sua eje¸ c˜ ao pela estrela. fotografada pelo Telesc´ opio Espacial Hubble. j´ a que um n´ ucleo degenerado n˜ ao se expande quando a temperatura aumenta. que se difundem para fora do n´ ucleo em aproximadamente 10 segundos. a deflagra¸ c˜ ao ocorre se a queima do carbono se d´ a quando os el´ etrons do n´ ucleo est˜ ao degenerados. O centro est´ a representado pelo canto inferior esquerdo. durante o qual quase toda a energia gravitacional ´ e convertida em neutrinos. Para estrelas com massas at´ e 7 massas solares. O evento dura somente 1/10 de segundo.8: Simula¸ c˜ ao da deflagra¸ c˜ ao do n´ ucleo de uma supernova. Nos modelos te´ oricos.Figura 22. 267 . os modelos indicam que o in´ ıcio da queima do carbono se d´ a com os el´ etrons degenerados. Ap´ os passar outras centenas de milhares de anos no ponto superior direito desse diagrama. pelo brasileiro M´ ario Schenberg(1914-1990) e pelo indiano Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) e corresponde ao ponto da evolu¸ c˜ ao de uma estrela em que o balan¸ co de press˜ ao no n´ ucleo isot´ ermico n˜ ao pode ser mais alcan¸ cado. 268 .Figura 22.9: Diagrama HR te´ orico mostrando as diversas fases da evolu¸ c˜ ao de uma estrela de 5 massas solares. Quando a estrela atinge o ramo das gigantes. chamado de ramo gigante assint´ otico (AGB). Para uma estrela de cinco massas solares de popula¸ c˜ ao I. a zona de convec¸ c˜ ao superficial atinge a regi˜ ao onde o hidrogˆ enio j´ a foi transformado em h´ elio. (1931-). A estrela sai da seq¨ uˆ encia principal quando 10% de seu hidrogˆ enio total ´ e transformado em h´ elio. onde transforma hidrogˆ enio em h´ elio no seu n´ ucleo. em 1942. Esse ´ e o limite Schenberg-Chandrasekhar. a partir da seq¨ uˆ encia principal (SP). a proto-estrela se contraiu por algumas centenas de milhares de anos. Antes de chegar ` a seq¨ uˆ encia principal. e o n´ ucleo remanescente ser´ a uma estrela an˜ a branca. no extremo esquerdo inferior e. segundo os c´ alculos de Icko Iben Jr. a estrela ejetar´ a uma nebulosa planet´ aria. quanto tempo a estrela leva em cada fase. trazendo material processado (principalmente N14 ) para a atmosfera da estrela. que cont´ em metais. isto ´ e. iniciando a primeira dragagem. e ainda uma terceira ocorre se a estrela tem massa superior a 3 M . Uma segunda dragagem ocorre quando a estrela atinge o ramo gigante assint´ otico. a queima de H se d´ a pelo ciclo CNO. publicado. As varia¸ c˜ oes observadas nessas estrelas permitem. N˜ ao importa se a estrela inicia sua evolu¸ c˜ ao com 1 ou 4 massas solares. o estudo de seus interiores.10: Diagrama HR te´ orico mostrando o caminho evolucion´ ario de uma estrela at´ e a fase de an˜ a branca.Figura 22. pelas t´ ecnicas de sismologia. est˜ ao indicadas as trˆ es faixas de temperatura em que encontramos as an˜ as brancas vari´ aveis (DOV. a an˜ a branca formada ter´ a menos que 1 M . 269 . Na seq¨ uˆ encia de esfriamento das an˜ as brancas. DBV e DAV). 144. de segunda magnitude. No mesmo ano. e o valor atual ´ e de 5d8h53m27. 1958]. (1846-1913) publicou o primeiro cat´ alogo de estrelas vari´ aveis em 1888. Excluindo-se a supernova 1504 na constela¸ c˜ ao do Touro. pr´ oxima da cabe¸ ca de Cefeu. O segundo cat´ alogo continha 260 estrelas e o terceiro 393 estrelas. que foi registrada pelos astrˆ onomos chineses e japoneses mas n˜ ao pelos ocidentais. No Philosophical Transactions. declinou em brilho regularmente at´ e que. O astrˆ onomo americano Seth Carlo Chandler. que o decr´ escimo era de 1 s em 14 anos. que tinham se iniciado em 19 de outubro de 1784: ”A estrela marcada como δ por Bayer.14 Estrelas Vari´ aveis Estrelas vari´ aveis s˜ ao aquelas em que a varia¸ c˜ ao n˜ ao representa apenas as flutua¸ c˜ oes normais de grandes conjuntos de part´ ıculas em movimentos turbulentos. o astrˆ onomo amador inglˆ es John Goodricke (1764-1786) descobriu a variabilidade de brilho da estrela δ Cephei. Ele deu-lhe o nome de “a maravilhosa” (Mira Ceti). 210. e deduziu que a atmosfera da estrela estava aumentando de tamanho e depois reduzindo. Destas. ainda vis´ ıvel como a Nebulosa do Caranguejo. com 225 vari´ aveis. 17. O te´ ologo e astrˆ onomo holandˆ es David Fabricius (1564-1617) notou que a estrela na constela¸ c˜ ao da Baleia (Cetus). enquanto o dinamarquˆ es Ejnar Hertzsprung (18731967) publicou em 1919. e em 1667 Ismael Boulliau (1605-1694) mediu o per´ ıodo como 333 dias. Em 1894 o astrˆ onomo russo Aristarkh Apollonovich Belopolskii (1854-1934) notou deslocamentos nas linhas espectrais de δ Cephei. o primeiro registro de variabilidade estelar ocorreu em 1596. 160 eram peri´ odicas. afirmando que era um evento peri´ odico. publicado em 1896 no Astronomical Journal. no Astronomische Nachrichten.”O per´ ıodo de varia¸ c˜ ao encontrado por Goodricke foi de 5d8h. No Terceiro Cat´ alogo de Estrelas Vari´ aveis. 76. em outubro de 1596. tamb´ em uma vari´ avel Cefeida. 270 . mas apresentam amplitudes mensur´ aveis com um certo grau de regularidade [Paul Ledoux (1914-1988) & Th´ eodore Walraven. mostra varia¸ c˜ oes em sua luminosidade. 16. o inglˆ es Edward Pigott (1753-1825) descobriu η Aql.22. que passou a ser o prot´ otipo da classe de vari´ aveis Cefeidas. desapareceu. e a supernova 1572. que alcan¸ cou magnitude -4. Em 1638 o astrˆ onomo holandˆ es John Phocylides Holwarda (1618-1651) a viu aumentar de brilho novamente. 48-61 (1786).46s. Em 1784. Jr. ele publicou suas observa¸ c˜ oes. primeiro observada por Wolfgang Schuler mas estudada por Tycho Brahe (1546-1601). na constela¸ c˜ ao da Cassiop´ eia. encontrou que o per´ ıodo havia decrescido um segundo em 20 anos. derivou a rela¸ c˜ ao per´ ıodo-luminosidade. 196. g a gravidade superficial.Em 1912. ρ a densidade e G a constante de gravita¸ c˜ ao. sua estrutura permanece em equil´ ıbrio dinˆ amico. 172. e por Hubble em 1923 para a determina¸ c˜ ao da distˆ ancia de Andrˆ omeda. Esta rela¸ c˜ ao foi usada por Hertzprung em 1913 (Astronomische Nachrichten. j´ a que as Cefeidas na Pequena Nuvem de Magalh˜ aes mostravam uma definida rela¸ c˜ ao entre o per´ ıodo e a luminosidade. aplicando o m´ etodo fotogr´ afico ` as Cefeidas nas Nuvens de Magalh˜ aes. em que a estrela mant´ em a forma esf´ erica em todos os tempos. R o raio estelar. a astrˆ onoma americana Henrietta Swan Leavitt (1868-1921). Ele tamb´ em demonstrou que se γ excede o valor de 4/3 dentro de um grande corpo astronˆ omico. ao mostrar que uma estrela homogˆ enea passando por uma pulsa¸ c˜ ao radial adiab´ atica. 201) para a primeira determina¸ c˜ ao da distˆ ancia da Pequena Nuvem. O tipo de movimento das camadas mais simples ´ e o puramente radial. acompanhadas de varia¸ c˜ oes na temperatura superficial. poderiam ser respons´ aveis pelas varia¸ c˜ oes peri´ odicas da luminosidade. a sugest˜ ao que pulsa¸ c˜ oes n˜ ao radiais. publicada no Harvard Circular. mas muda de volume. Uma estimativa simples do per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao pode ser obtida da terceira lei de Kepler aplicada ` as camadas mais externas de uma estrela: P2 = 4π 2 3 R GM lembrando que a densidade ´ e dada por 4 M = πR3 ρ 3 de modo que P2 = P = π 1 3 Gρ 3π Gρ Em 1879 o f´ ısico alem˜ ao Georg Dietrich August Ritter (1826-1908) publicou no Wiedemanns Annalen. 8. Ritter desenvolveu os primeiros elementos da teoria de pulsa¸ c˜ ao. Se γ ´ e maior que 4/3 e 271 . ter´ a uma freq¨ uˆ encia 2 σ π da vibra¸ c˜ ao com σ 2 = (3γ − 4) 4π g = (3γ − 4) Gρ R 3 onde γ ´ e a raz˜ ao dos calores espec´ ıficos. 173. 257 (1909)]. com rela¸ c˜ oes per´ ıodoluminosidade diferentes. 40. 79. Eddington estudou o efeito da zona de convec¸ c˜ ao na mudan¸ ca de fase entre o m´ aximo da luminosidade e da velocidade (Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. e as pobres em metal (tipo II) W Virginis. 231. p. que por sua vez causa a redu¸ c˜ ao da opacidade permitindo que a luz escape. Os artigos de Eddington de 1917 no The Observatory. Philosophical Magazine. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 4. uma discuss˜ ao sobre as estrelas Cefeidas. consideraram oscila¸ c˜ oes em que a estrela mant´ em o volume constante mas mudam de forma. a press˜ ao aumenta mais rapidamente que a gravidade. Eddington mostrou que a forma da curva de luz das Cefeidas. 1863). Elas s˜ ao supergigantes de tipo espectral F. Em seus artigos de 1932. resistindo-a. Lord Kelvin. se o corpo se expande rapidamente. Mais tarde identificou-se dois tipos de Cefeidas. no The Observatory. obtendo uma dependˆ encia com a densidade similar ` aquela obtida por Richer para uma estrela homogˆ enea. Vol. 583. William Thomson (1824-1907). O meteorologista inglˆ es Sir David Brunt (1886-1965) publicou em 1913. que pulsam com per´ ıodos de alguns at´ e 100 dias. o f´ ısico sui¸ co Robert Emden (1863-1940) [em seu livro Gaskugeln (Bolas de G´ as) de 1907] e astrˆ onomo americano Forest Ray Moulton (1872-1952) [Astrophysical Journal. 59. Em 1941. Ainda com γ maior que 4/3. 29. Ele propˆ os que a mudan¸ ca de transparˆ encia na atmosfera causa as pulsa¸ c˜ oes: a atmosfera opaca ret´ em o calor e causa a expans˜ ao. XXIX. a press˜ ao diminui mas a gravidade ainda ´ e capaz de trazer o corpo de volta ao seu estado de equil´ ıbrio. de um esfer´ oide prolato para um oblato. 471 e de 1942. (Philosophical Transactions of the Royal Society of London. On Vibrations of an Atmosphere. esfriando a atmosfera e causando o colapso. 36. Eddington propos que os per´ ıodos de pulsa¸ c˜ ao das Cefeidas requerem que elas sejam muito mais homogˆ eneas do que as estrelas na seq¨ uˆ encia principal. 290 e de 1918 no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. G ou K. 173] estudou as vibra¸ c˜ oes na atmosfera assumida isot´ ermica.92. com o r´ apido aumento e decaimento mais vagaroso est´ a em concordˆ ancia com o esperado pelos termos de segunda ordem nas equa¸ c˜ oes. No segundo artigo. desenvolveram a teoria de pulsa¸ c˜ oes adiab´ aticas em uma estrela gasosa com uma dada distribui¸ c˜ ao de densidades. 177). 101. Em 1890 Lord Rayleigh [John William Strutt (1842-1919). Em 1917 Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) desenvolveu a teoria de oscila¸ c˜ oes radiais. 177. 153. e tˆ em amplitudes 272 . The Observatory. Mais tarde. 64.a densidade do corpo aumenta por uma r´ apida compress˜ ao do material. as ricas em metal (tipo I) δ Cepheids. 132. ent˜ ao. O material. As estrelas vari´ aveis est˜ ao dividas nas seguintes classes: eruptivas. O n´ umero total de estrelas intrinsicamente vari´ aveis catalogadas no Combined General Catalogue of Variable Stars. das quais 31918 s˜ ao da nossa Gal´ axia (Kholopov et al. Em 1960 o astronˆ omo americano John Paul Cox (1926-1984) descobriu que a ioniza¸ c˜ ao parcial do h´ elio era a fonte de opacidade que fazia as Cefeidas pulsarem (Astrophysical Journal. mais de 100 000 novas vari´ aveis. dr = 1 d2 r 2 dt ≡ f R 2 dt2 Logo. em algum lugar da estrela. catacl´ ısmicas (explosivas e novas). pulsantes.1 a 2 magnitudes. 4. As pulsa¸ c˜ oes s˜ ao encontradas em grandes faixas de massa e etapas evolucion´ arias. pode ser estimado calculando a desobediˆ encia ao equil´ ıbrio hidrost´ atico. Assumindo um movimento retil´ ıneo uniformemente acelerado. 594). 1998). para o ponto no meio da estrela de massa M : τdin ≡ dt = 2f R 2 d r/dt2 τdin ≡ 1 (Gρ ¯) 2 1 1 2 ≈ M G 3 R −1 2 273 . deixando uma fra¸ c˜ ao f n˜ ao-balan¸ cada. e fornecem oportunidades para derivar propriedades inacess´ ıveis de outra forma. ´ e de 42897 estrelas. As vari´ aveis pulsantes populam extensas regi˜ oes do diagrama HR. O tempo dinˆ amico.1 Edition. foram descobertas mais 3157 vari´ aveis e. ou tempo de queda livre. a acelera¸ c˜ ao gravitacional n˜ ao ´ e estritamente balan¸ cada pela for¸ ca de press˜ ao. sistemas eclipsantes e fontes de raio-X vari´ aveis. Vamos assumir que.de 0. rotantes. com as medidas dos projetos de microlentes gravitacionais. 1960. sendo mais de 10 000 destas pulsantes. com as medidas realizadas com o sat´ elite Hipparcos. ser´ a acelerado por uma quantia: GMr d2 r =f 2 2 dt r Podemos resolver essa equa¸ c˜ ao para o valor de dt em que a acelera¸ c˜ ao n˜ aobalan¸ cada causa um deslocamento dr = f R. onde R ´ e o raio da estrela. Mais recentemente. qualquer desequil´ ıbrio da condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico causa deslocamentos grandes e r´ apidos. Astron. no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 367. ocorrem nas estrelas de nˆ eutrons. a menos de alguns fatores num´ ericos da ordem de 1. Washburn Observatory Publications. 143) e na Alemanha por Paul Guthnick (1891-1947) e Richard Prager (1884-1945) (Guthnick. no seu artigo de 1988. g (gravidade) e r (toroidais) ´ e utilizada para os modos n˜ ao radiais de pulsa¸ c˜ ao. van Horn. se a crosta tiver cerca de 2 km e a velocidade de cisalhamento for da ordem de 1000 km/s. A nomenclatura de modos p (press˜ ao). C. R. 1930. ´ e igual ao tempo dinˆ amico. Mais explicitamente.. os per´ ıodos variam de 3 s a 1000 dias. & Prager. Hansen. (shear. 25. Para o Sol. Patrick N. O per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao de uma estrela. O astrˆ onomo inglˆ es Thomas George Cowling (1906-1990). J. 101. Hugh M. t (cisalhamento toroidais) e i (interfaciais) nas estrelas de nˆ eutrons. cisalhamento. M. que tˆ em crostas e cisalhamento. 274 . A fotometria fotoel´ etrica foi iniciada na astronomia em 1910. A express˜ ao correta para o per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao ´ e Π= 2π 4 (3Γ1 − 4) 3 πGρ ¯ 1/2 Considerando-se an˜ as brancas com ρ ¯ 106 g/cm3 e supergigantes com − 9 3 ρ ¯ 10 g/cm . Os modos interfaciais est˜ ao concentrados na interface fluido/s´ olido da estrelas de nˆ eutrons. no Astrophysical Journal. Portanto. Os modos s. 725. McDermott. & Carl J. introduziu tamb´ em a nomenclatura de um modo f (fundamental). no seu artigo de 1941.Isto ´ e. O. com per´ ıodo entre os modos p e g . a gravidade ou a for¸ ca de Coriolis. 1915. 325. Os modos de cisalhamento tˆ em per´ ıodos da ordem de 2 ms. j´ a que as pulsa¸ c˜ oes radiais ou n˜ ao radiais de baixa ordem e os processos dinˆ amicos s˜ ao determinados pela energia gravitacional da estrela. dependendo se a for¸ ca restauradora dominante ´ e a press˜ ao. nos Estados Unidos por Joel Stebbins (1878-1966) e Charles M. Nachr. & Huffer. Os modos radiais de pulsa¸ c˜ ao correspondem aos modes p com = 0. part 3. τdin ≈= 103 s = 1 hr 4 As pulsa¸ c˜ oes estelares podem ser consideradas como ondas sonoras com comprimentos de onda da ordem do raio da estrela. uma falta de equil´ ıbrio leva a mudan¸ cas significativas no raio da estrela. Huffer (1894-1981) (Stebbins. 201. Π. propoem a existˆ encia de modos s (cisalhamento esferoidais). em 1969.443) para medidas diretamente no c´ eu. do Bell Labs. e por Hans Rosenberg (1879-1940) (1906. Nova Acta Leopoldina 85. que ´ e maior quanto mais r´ apido for a leitura (2-10 el´ etrons/pixel para 1 Mpixel por segundo). 275 .11: Estrelas Vari´ aveis. e foram utilizados pela primeira vez em astronomia em 1983. 2. Figura 22. Os CCDs (Charge-Coupled Devices) foram inventados por George Smith e Willard Boyle. Por isto ´ e necess´ ario reduzir a expessura dos CCDs e ilumin´ a-los por tr´ as. 224) para medidas de placas fotogr´ aficas. Sterne I. Outro problema ´ e o ru´ ıdo de leitura. Os CCDs normalmente n˜ ao s˜ ao sens´ ıveis abaixo de 4000 ˚ A porque o sil´ ıcio absorve estes f´ otons. 276 . deixando a demonstra¸ c˜ ao para textos especializados.. Os avan¸ cos consider´ aveis em astrof´ ısica estelar nos u ´ltimos 50 anos s´ o foram poss´ ıveis atrav´ es de extensas modelagens computacionais. ´ e o de introduzir estrutura estelar. dependendo da distribui¸ c˜ ao de energia de seus subsistemas. Isso ´ e 277 . mecˆ anica estat´ ıstica.. de modo que podemos.Cap´ ıtulo 23 Interiores estelares Nosso objetivo. aqui simplesmente citaremos os resultados e justificaremos com argumentos qualitativos. podemos colocar r´ otulos de part´ ıcula 1. Dentre essas configura¸ c˜ oes. al´ em de uma breve passagem por mecˆ anica relativ´ ıstica que iremos descrever. usando as equa¸ c˜ oes b´ asicas de mecˆ anica de fluidos. n˜ ao permite a cont´ ınua observa¸ c˜ ao do movimento das part´ ıculas. isto ´ e. existe aquela mais prov´ avel. nuclear e de part´ ıculas. distinguir entre as part´ ıculas. em princ´ ıpio. 23. f´ ısica de plasmas. . part´ ıcula 2. as part´ ıculas se movem em trajet´ orias definidas. porque o Princ´ ıpio da Incerteza de Heisenberg. que rendeu o prˆ emio Nobel em f´ ısica de 1932 ao alem˜ ao Werner Karl Heisenberg (1901-1976).1 Temperatura O conceito f´ ısico de temperatura est´ a associado ao conceito de equil´ ıbrio t´ ermico. sem mudar o comportamento do sistema. mesmo idˆ enticas. Como o assunto envolve resultados de tratamento detalhados de muitos campos da f´ ısica. Um sistema mecˆ anico tem muitas configura¸ c˜ oes poss´ ıveis. neste cap´ ıtulo. Em uma descri¸ c˜ ao quˆ antica isso n˜ ao pode ser feito. termodiˆ amica. sem os detalhes c´ alculos num´ ericos. Em um sistema cl´ assico. em que todos os subsistemas est˜ ao em equil´ ıbrio t´ ermico e que pode ser calculada com as t´ ecnicas da mecˆ anica estat´ ıstica. Se o n´ umero de part´ ıculas com momentum p ´ e definido como n(p). que n˜ ao se anula se todos os n´ umeros quˆ anticos de duas ou mais part´ ıculas forem idˆ enticos. pr´ otons. a configura¸ c˜ ao mais prov´ avel depende da natureza das part´ ıculas do g´ as.3) A energia E nas equa¸ c˜ oes acima ´ e a energia de cada part´ ıcula. nˆ eutrons e m´ esons µ. a superposi¸ c˜ ao dessa fun¸ c˜ ao de onda torna imposs´ ıvel a distin¸ c˜ ao entre as part´ ıculas. As part´ ıculas de Bose. Para um g´ as em equil´ ıbrio. 278 O . tˆ em spin inteiro e. a configura¸ c˜ ao mais prov´ avel correspondendo a esses trˆ es casos pode ser derivada pela mecˆ anica estat´ ıstica como: n(p)dp = n(p)dp = n(p)dp = g (p) dp e(E −µ)/kT + 0 g (p) e(E −µ)/kT g (p) e(E −µ)/kT −1 +1 dp dp estat´ ıstica de Maxwell-Boltzmann (23. e 3) part´ ıculas idˆ enticas e indistingu´ ıveis de spin inteiro. e est˜ ao sujeitas ao Princ´ ıpio da Exclus˜ ao. e o n´ umero de estados poss´ ıveis de momentum p por g (p).1) estat´ ıstica de Fermi-Dirac estat´ ıstica de Bose-Einstein (23. p´ ositrons. el´ etrons. neutrinos. elaborado pelo f´ ısico austr´ ıaco Wolfgang Pauli (1900-1958). e que lhe rendeu o prˆ emio Nobel em 1945: duas part´ ıculas de mesmo spin n˜ ao podem ocupar o mesmo estado quˆ antico. que descreve as part´ ıculas como ondas tridimensionais. em mecˆ anica quˆ antica. 2) part´ ıculas idˆ enticas e indistingu´ ıveis de spin semi-inteiro.equivalente a dizer que. Portanto. em honra ao f´ ısico ´ ıtalo-americano Enrico Fermi (1901-1954). ou b´ osons. em que a fun¸ c˜ ao de onda associada a cada part´ ıcula n˜ ao ´ e pontual e d´ a a probabilidade de se encontrar a part´ ıcula em uma posi¸ c˜ ao. n˜ ao est˜ ao sujeitas ao Princ´ ıpio da Exclus˜ ao. em honra ao f´ ısico indiano Satyendra Nath Bose (1894-1974). porque tˆ em auto-fun¸ c˜ oes sim´ etricas (spin inteiros). em uma descri¸ c˜ ao quˆ antica. por exemplo. embora indistingu´ ıveis. por exemplo f´ otons. as part´ ıculas idˆ enticas s˜ ao indistingu´ ıveis. que para part´ ıculas elementares caem em trˆ es classes: 1) part´ ıculas idˆ enticas mas distingu´ ıveis.2) (23. que s˜ ao as part´ ıculas cl´ assicas. e s˜ ao chamadas de f´ ermions. Part´ ıculas descritas por auto-fun¸ c˜ oes assim´ etricas tˆ em spin semi-inteiro. 4 m´ esons π e part´ ıculas α (He ). 4πp2 dp: 2 g (p)dp = 3 4πp2 dp h O conceito de potencial qu´ ımico foi introduzido pelo f´ ısico-qu´ ımico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903). e o fato de que. Um f´ oton pode ser polarizado no sentido hor´ ario (regra da m˜ ao direita) ou anti-hor´ ario (regra da m˜ ao esquerda). ou fator de degenerescˆ encia. que s˜ ao b´ osons de massa zero. isto ´ e. Na estat´ ıstica de Fermi-Dirac. 2 Os f´ otons tˆ em spin 1. 1 279 .parˆ ametro µ.9. existe uma correspondˆ encia un´ ıvoca entre o n´ umero de estados dos f´ otons e dos el´ etrons. µ ≡ EF (T ). para o qual o vetor p tem magnitude constante p. µ = 0. o potencial qu´ ımico1 . porque o n´ umero de f´ otons n˜ ao ´ e conservado. maior ´ e o n´ umero de f´ otons.4) onde N ´ e a densidade (n´ umero de part´ ıculas por unidade de volume) total e Eg´ e a densidade de energia total do g´ as. de modo que a energia total do g´ as seja conservada. definido como [se¸ c˜ ao (23. Como tanto el´ etrons quanto f´ otons tˆ em solu¸ co ˜es de ondas planas no espa¸ co livre e dois estados de spin ou polariza¸ ca ˜o. g(p) pode ser derivada usando-se o princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg ∆pi ∆xi ≥ h.1)] µ= ∂Eg´ as ∂N s. onde EF ´ e chamada de energia de Fermi e depende fracamente da temperatura. para el´ etrons e para f´ otons2 podem existir dois estados de polariza¸ c˜ ao (spin) e que o volume do espa¸ co de momentum.v ´ e um multiplicador Lagrangiano dependente da densidade de part´ ıculas. e ´ e obtido atrav´ es da normaliza¸ c˜ ao ∞ N= 0 n(p)dp (23. Para um g´ as de f´ otons. derivada por Enrico Fermi e pelo inglˆ es Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984). quanto maior ´ e a temperatura (energia). A densidade de estados livres. Essas f´ ormulas s˜ ao derivaas ´ das considerando-se as v´ arias maneiras de se arranjar um n´ umero fixo de part´ ıculas em estados individuais de energia. ´ e simplesmente o volume da casca esf´ erica. para T=0. mas o spin tem que ser paralelo ` a dire¸ c˜ ao de movimento. EF = h2 8m 3N π 2/3 (23. com valor h = 6. v = p/m. o princ´ ıpio da incerteza ´ e dado por d3 x d3 p = 4πp2 dp 4πr2 dr ≥ h3 . Em termos de volume. e todos os estados com E > EF est˜ ao desocupados. e nossa deriva¸ ca ˜o ´ e para uma dimens˜ ao do volume. v≡ ∂Epart p/m0 = 1 ∂p [1 + (p/m0 c)2 ] 2 onde Epart ´ e a energia da part´ ıcula e m0 ´ e sua massa de repouso. para T = 0. pois representa 2 π o movimento na dire¸ ca ˜o x. A densidade de energia do g´ as.2). isto ´ e.3 Para temperatura zero. Para um g´ as relativ´ ıstico. todos os estados com E ≤ EF est˜ ao ocupados. dada por: ∞ Eg´ as = n(p)E (p)dp. integrado sobre o ˆ angulo s´ olido. ¯ O princ´ ıpio da incerteza normalmente ´ e escrito como ∆p∆x ≥ h = 4h . ent˜ ao. ser´ a. como fun¸ c˜ ao do momentum. e m ´ ea massa da part´ ıcula. 63 × 10−27 ergs s.para f´ otons e el´ etrons.5) onde h ´ e a constante de Planck.6) onde E (p) ´ e a energia de cada part´ ıcula. energia por unidade de volume. Esta rela¸ c˜ ao pode ser derivada da equa¸ c˜ ao (23. em todas as dire¸ co ˜es e. depende de se o g´ as ´ e relativ´ ıstico ou n˜ ao. Para um g´ as n˜ ao-relativ´ ıstico (v c. portanto. v (p) = ∂E/∂p. N= 0 pF 2 8π 4πp2 dp = 3 p3 3 h 3h F 3N π 1 3 logo h pF = 2 e considerando que para temperatura zero podemos usar a rela¸ c˜ ao entre momentum e velocidade n˜ ao relativ´ ıstica p2 h2 1 p2 EF = m F2 = F = 2 m 2m 8m 3N π 2/3 A rela¸ c˜ ao entre a velocidade v e o momentum p. j´ a que. 3 280 . 0 (23. onde c ´ e a velocidade da luz). as part´ ıculas transferem momentum a essa superf´ ıcie. a aproxima¸ c˜ ao ´ e v´ alida quando a energia de intera¸ c˜ ao entre as part´ ıculas ´ e muito menor que sua energia t´ ermica. Quando refletidas em uma superf´ ıcie. Para um g´ as em equil´ ıbrio t´ ermico.23. p)dθdp.1: Press˜ ao: Se¸ c˜ ao cˆ onica na dire¸ c˜ ao θ ` a normal. as part´ ıculas se movem com a mesma probabilidade em todas as dire¸ c˜ oes. Quando uma part´ ıcula de momentum p. por unidade de tempo. Seja F (θ.2 Press˜ ao mecˆ anica Um g´ as perfeito (ideal) ´ e definido como aquele em que n˜ ao h´ a intera¸ c˜ ao entre as part´ ıculas do g´ as. A contribui¸ c˜ ao ` a press˜ ao total (dP ) ´ e dada por: dP = 2p cos θ F (θ. de todas as dire¸ c˜ oes inclinadas com um ˆ angulo θ ` a normal. isto ´ e. 281 . ou absor¸ c˜ ao. o momentum transferido exerce uma for¸ ca na superf´ ıcie. Embora esse crit´ erio nunca seja satisfeito. no intervalo dθ. incidindo com um ˆ angulo θ ` a normal. A for¸ ca m´ edia por unidade de ´ area ´ e cha´ mada de press˜ ao. A reflex˜ ao. a distribui¸ c˜ ao de momentum ´ e isotr´ opica. Pela Segunda Lei de Newton (F=dp/dt). dessas part´ ıculas em uma superf´ ıcie real ou imagin´ aria resulta em transferˆ encia de momentum para essa superf´ ıcie. p dθ θ ^ n θ p Figura 23. ´ e refletida na superf´ ıcie. em uma expans˜ ao infinitesimal. por unidade de ´ area. A fonte microsc´ opica de press˜ ao em um g´ as perfeito ´ e o bombardeamento de part´ ıculas. o momentum transferido ´ e ∆p = 2p cos θ. p)dθdp ´ e o n´ umero de part´ ıculas com momentum p no intervalo dp colidindo com a parede. E a mesma quantidade na express˜ ao: trabalho = P · dV . p)dθdp p θ (23. p) dθ dp. p) ´ e a densidade (n´ umero de part´ ıculas por unidade de volume) no cone referido.de modo que a press˜ ao total P ´ e: π/2 ∞ P = θ=0 p=0 2p cos θ F (θ. onde n(θ. na unidade de tempo. Logo. Para um g´ as isotr´ opico: 2π sen θ dθ n(θ. j´ a que estamos calculando o fluxo por unidade de ´ area e por unidade de tempo. n(p)dp 4π que ´ e a fra¸ c˜ ao do ˆ angulo esf´ erico total definido pelo cone. Ou seja. 2 p=0 cos2 θ sen θ dθ = 0 1 ∞ Como π/2 θ=0 1 x2 dx = . Esse volume ´ e dado por: V = v cos θ dt dA mas para dt e dA unit´ arios. vezes o volume das part´ ıculas que passar˜ ao pela unidade de ´ area. a press˜ ao ´ e dada por: π/2 P = θ =0 1 2p cos θ v cos θ n(p)dp sen θdθ. F (θ. 3 282 . p)dθdp = v cos θ n(θ.7) n v O fluxo de part´ ıculas F (θ. p)dθdp com velocidade v pode ser calculado como o produto da densidade de part´ ıculas com momentum p movendo-se no cone com ˆ angulo θ. p)dθdp = . para um g´ as ideal ´ e dada por: ENR = N 4π (2πmkT ) 3 2 ∞ 0 p2 − p2 2 e 2mkT p dp 2m (23. de acordo com a equa¸ c˜ ao (23. a distribui¸ c˜ ao de momentum em equil´ ıbrio t´ ermico ´ e dada pela Lei de Maxwell [James Clerk Maxwell (1831-1879)]. j´ a que ∞ 0 p2 e−ap dp = 2 1 4a π a (23. e T a temperatura do g´ as.a press˜ ao de um g´ as isotr´ opico ´ e dada por: P = 1 3 ∞ p · v · n(p) dp 0 (23. nem relativ´ ıstico. 23. n(p)dp = N 4πp2 dp p2 exp − 2mkT (2πmkT )3/2 (23.9). e v = p/m. enquanto a forma da distribui¸ c˜ ao n(p) depende do tipo de part´ ıculas e da estat´ ıstica quˆ antica. usando a Lei de Maxwell (23.8) Essa integral precisa ser calculada para diferentes circunstˆ ancias.11) Integrando-se a equa¸ c˜ ao (23. a equa¸ c˜ ao de um g´ as ideal.9) onde m ´ e a massa da part´ ıcula. com E = mv 2 /2.10) para um g´ as n˜ ao-relativ´ ıstico. Note que a normaliza¸ c˜ ao ´ e escolhida de forma que ∞ N= 0 n(p)dp (23. obt´ em-se: P = N kT.6).10).1 G´ as n˜ ao-degenerado Para um g´ as monoatˆ omico perfeito e n˜ ao-degenerado. a normaliza¸ c˜ ao (23.2.8). j´ a que a rela¸ c˜ ao entre o momentum p e a velocidade v depende de considera¸ c˜ oes relativ´ ısticas. k ´ e a constante de Boltzmann.12) 283 . A densidade de energia ENR . 14) Para o g´ as de Boltzmann. excluindo a energia de repouso. 2 Para um g´ as relativ´ ıstico. ´ e dado por: N µ = kT ln g h2 2πmkT 3 2 (23. a energia da part´ ıcula ´ e dada por E pc. portanto. a energia do g´ as ´ e dada por ER Eg´ as = C ∞ 0 pc e− kT p2 dp pc (23.21) 284 .15) onde g = 2J + 1 ´ e o fator estat´ ıstico para part´ ıculas de spin J.10) para obter a constante normaliza¸ c˜ ao C : ∞ N =C 0 e− kT p2 dp pc (23.16) Como 0 ∞ p2 e−ap dp = − 2 a3 (23.19) Como 0 ∞ p3 e−ap dp = − 6 a4 (23. pc mc .19) se reduz a ER Eg´ as = 3N kT (23.Como 0 ∞ p4 e−ap dp = 2 3 8a2 π a (23.18) e.13) obtemos 3 NR Eg´ as = N kT 2 (23.20) a equa¸ c˜ ao (23. o potencial qu´ ımico.17) obtemos N = −C 2(kT )3 N c3 −→ C = − c3 2(kT )3 (23. e usando a equa¸ c˜ ao (23. c λ eles tamb´ em exercem uma press˜ ao. a press˜ ao de radia¸ c˜ ao ´ e maior do que a for¸ ca gravitacional por unidade de ´ area. de modo que. n(p)dp = 8πp2 dp 1 3 E/kT h e −1 (23. usando a distribui¸ c˜ ao de momentum de Bose-Einstein com µ = 0. 565 × 10−15 erg cm−3 K−4 .22) obt´ em-se que a densidade de energia de f´ otons com uma freq¨ uˆ encia ν no intervalo dν . De fato. chamada press˜ ao de radia¸ c˜ ao Prad : Prad = 1 3 ∞ 0 hν 1 · c · n(p)dp = c 3 ∞ hν n(p)dp = 0 1 3 ∞ E n(p)dp ≡ 0 1 u 3 onde u ´ e a densidade de energia (energia por unidade de volume) da radia¸ c˜ ao: Prad = 1 1 u = aT 4 3 3 onde a ´ e a constante de Stefan-Boltzmann: a= 8π 5 k 4 4σ = 7. e o momentum p = hν/c. 285 . e a press˜ ao de radia¸ c˜ ao causa a ejec¸ c˜ ao das camadas externas da estrela. como em estrelas quentes. = 3 3 15c h c O valor da densidade de energia u vem do fato que a energia de cada f´ oton ´ e dada por E = hν . em equil´ ıbrio t´ ermico ´ e dada por: u(ν )dν = e u= o 8πhν 3 dν hν c3 e kT −1 u(ν )dν = aT 4 (23. para estrelas com massa maior que 100M .2 G´ as de f´ otons Para um g´ as de f´ otons. e n(E )dE = n(p)dp.23. como cada f´ oton tem um momentum associado p= hν h = .23) ∞ (23. que sustenta a estrela.2. em que a press˜ ao de radia¸ c˜ ao ´ e compar´ avel com a press˜ ao do g´ as.24) Existem casos. Figura 23. h3 onde definimos o ´ ındice de ocupa¸ c˜ ao para um g´ as de Fermi como: P (p) = exp E − EF kT −1 +1 O fato de P (p) ter valor m´ aximo de um ´ e uma express˜ ao do princ´ ıpio de exclus˜ ao de Pauli. Portanto. A densidade de el´ etrons com momentum |p| = p no intervalo p e p + dp ´ e dada pela equa¸ c˜ ao (23. equivalente a um g´ as totalmente degenerado. no espa¸ co de fase.2): ne (p)dp = 2 4πp2 dpP (p).25) h ´ essa restri¸ E c˜ ao na densidade de el´ etrons no espa¸ co de momentum que cria a press˜ ao de degenerescˆ encia. ´ e 2 [ne (p)]max dp = 3 4πp2 dp (23. todos os n´ ıveis de energia do g´ as est˜ ao ocupados. Se aumentamos continuamente a densidade de el´ etrons. os el´ etrons s˜ ao for¸ cados a um estado de maior momentum e. Para temperatura zero.2: Distribui¸ c˜ ao de energia de Fermi-Dirac para uma temperatura finita (linha pontilhada). 286 . maior press˜ ao.3 Degenerescˆ encia dos el´ etrons Como os el´ etrons s˜ ao part´ ıculas de spin meio-inteiro. simplesmente porque todos estados de momentum mais baixo j´ a est˜ ao ocupados.2. a m´ axima densidade de el´ etrons. Quando P (p) ´ e unit´ ario. um g´ as de el´ etrons obedece ` a estat´ ıstica de Fermi-Dirac. e para temperatura zero (linha cont´ ınua). 23. portanto. nenhuma part´ ıcula tem energia superior ` a energia de Fermi (EF ). todos os n´ ıveis de energia at´ e um valor m´ aximo estar˜ ao ocupados. h3 0. P (p) ser´ a menor do que um para todas as energias. T ) Se EF for um n´ umero grande e negativo. pois todos os estados de energia mais baixa est˜ ao ocupados. Para expressar a velocidade da part´ ıcula em rela¸ c˜ ao ao seu momentum. Como a densidade total ´ e finita. o que n˜ ao ocorre com nenhum de mais alta energia. se p ≤ p0 se p > p0 . Se a energia de Fermi for muito maior do que kT .Para qualquer temperatura e densidade de el´ etrons ne . (23. precisamos distinguir entre um el´ etron relativ´ ıstico ou n˜ ao-relativ´ ıstico. o valor da Energia de Fermi (EF ) ´ e determinado pela integral ∞ ne = 0 ne (p)dp = ne (EF . e a distribui¸ c˜ ao de Fermi-Dirac se reduz a uma distribui¸ c˜ ao Maxwelliana. para uma temperatura constante. A densidade de part´ ıculas total ´ e relacionada com o momentum m´ aximo por ∞ ne = 0 ne (p)dp = 8π 3 p 3h3 0 (23. esse ´ e o estado de m´ ınima energia cin´ etica para um g´ as de el´ etrons. em altas densidades. Conforme a densidade for aumentando. 287 .27) ou escrevendo o momentum m´ aximo em fun¸ c˜ ao da densidade de el´ etrons: 3h3 ne 8π 1 3 p0 = (23. Degenerescˆ encia total Para alt´ ıssimas densidades (ρ 107 g/cm3 nos interiores estelares). e chamamos esse limite de degenerescˆ encia total.28) A energia associada ao momentum m´ aximo ´ e a energia de Fermi. a energia de Fermi se torna primeiro pequena. cruzando zero e chegando a grandes valores positivos. os estados de densidade estar˜ ao ocupados at´ e um certo valor do momentum p0 : ne (p) = 2 4πp2 .26) Naturalmente. a distribui¸ c˜ ao ser´ a uma fun¸ c˜ ao degrau. Mas para os n´ ucleos de planetas gigantes e an˜ as marrons. ent˜ ao ve = p/me para todos os momenta na distribui¸ c˜ ao.nr h2 = 20me 3 π 2 3 3 ne 5 (23. todos com A/Z=2. o que n˜ ao ´ e geralmente o caso.8) ´ e diretamente: Pe. ou Ne. me c2 = 0.29) onde nr significa el´ etrons n˜ ao-relativ´ ısticos. e a integral da press˜ ao (23. a n˜ ao ser que o g´ as contenha uma fra¸ c˜ ao substancial de hidrogˆ enio.nr = 8π p5 15me h3 0 (23. Normalmente µe 2. pois o estado degenerado ´ e atingido no n´ ucleo de estrelas que j´ a queimaram o hidrogˆ enio.181)] Pe. o 288 . 004 × 10 ρ µe dinas/cm2 (23. o n´ umero m´ edio de massas atˆ omicas (A) por el´ etron: 1 = µe e a densidade de el´ etrons ´ e dada por: ne = ρNA µe (23.30) Podemos expressar a densidade de el´ etrons em termos da densidade de massa [veja equa¸ c˜ ao (23. e os n´ ucleos de an˜ as brancas s˜ ao predominantemente compostos de He.nr = 1. demonstramos que a press˜ ao de el´ etrons ´ e determinada pela densidade de el´ etrons: Pe.28). ou seja. O. 51 MeV. Usando a rela¸ c˜ ao entre o momentum total e a densidade de el´ etrons (23.31) onde µe aqui ´ e o peso molecular m´ edio por el´ etron.32) XZ Z AZ onde NA ´ e o n´ umero de Avogadro [Amedeo Avogadro (1776-1856)]. C.nr h2 = 20me 3 π 13 2 3 NA 5 3 5 3 ρ µe 5 3 Pe.Degenerescˆ encia total n˜ ao-relativ´ ıstica Se a energia associada ao momentum p0 for muito menor do que a energia de repouso do el´ etron. o momentum m´ aximo de um g´ as de el´ etrons completamente degenerado aumenta.29) ´ e incorreta e precisamos utilizar a express˜ ao da relatividade p= m0 v [1 − (v/c)2 ] 2 289 1 . onde ρ/µe 106 g/cm3 e T 106 K. ´ e claro que. a inequalidade mostra que o g´ as est´ a completamente n˜ ao-degenerado. Como para um g´ as n˜ ao-degenerado a press˜ ao aumenta linearmente com a densidade. a transi¸ c˜ ao de n˜ ao-degenerado para degenerado n˜ ao ocorre abruptamente. Vemos pela equa¸ c˜ ao (23. Para o interior de uma an˜ a branca. os el´ etrons mais energ´ eticos se tornar˜ ao relativ´ ısticos.31) que a press˜ ao de um g´ as de el´ etrons degenerado aumenta como uma potˆ encia 5/3 da densidade. Em uma densidade. Degenerescˆ encia total relativ´ ıstica Conforme a densidade de el´ etrons aumenta.hidrogˆ enio ´ e dominante. como veremos no decorrer deste cap´ ıtulo. Podemos definir uma linha no plano ρT dividindo a regi˜ ao degenerada da n˜ ao-degenerada. Esse fato tem implica¸ c˜ oes na hist´ oria evolutiva das estrelas. a press˜ ao completamente degenerada supera a press˜ ao n˜ ao-degenerada para densidades maiores do que 3 ρ > 2. calculando-se os valores para os quais as duas f´ ormulas s˜ ao iguais: h2 NA k ρT = µe 20me 3 π 2 3 NA 5 3 ρ µe 5 3 ou seja. Nessas condi¸ c˜ oes. com o aumento de densidade. existe um ponto em que a press˜ ao degenerada ser´ a maior do que o valor dado pela f´ ormula n˜ ao degenerada. e a press˜ ao degenerada domina.31) n˜ ao depende da temperatura e. um aumento da temperatura n˜ ao causa um aumento da press˜ ao e subseq¨ uente expans˜ ao. a inequalidade se satisfaz. desde a queima explosiva do h´ elio at´ e a explos˜ ao de supernova. portanto. que reduziria a temperatura. a substitui¸ c˜ ao de vp = p/m utilizada para derivar a equa¸ c˜ ao (23. Para o interior do Sol. onde ρ/µe 102 g/cm3 e T 107 K. 4 × 10−8 T 2 g/cm3 µe Naturalmente. precisamos utilizar a equa¸ c˜ ao que discutiremos em uma pr´ oxima se¸ c˜ ao. Note que a press˜ ao dada pela equa¸ c˜ ao (23. mas suavemente. Na regi˜ ao de transi¸ c˜ ao. Pe. obtemos ρ = 7. v= p/m0 [1 − (p/m0 c)2 ] 2 1 Podemos estimar a densidade para a qual os el´ etrons tornam-se relativ´ ısticos. resultando em Pe. Inserindo-se a velocidade relativ´ ıstica na integral da press˜ ao (23.33) e.28). calculando-se p0 c 2m0 c2 .r = 5 8πm4 0c 3h3 θ0 p mc senh θ dθ 0 que pode ser integrada. precisamos usar a cinem´ atica relativ´ ıstica.r = 5 8πm4 0c 3h3 senh3 θ0 cosh θ0 3senh 2θ0 3θ0 − + 4 16 8 (23.ou seja. 002 × 1022 f (x) dinas/cm2 3 3h 1 3 (23.r ≡ onde p0 h x= = m0 c m0 c 3 ne 8π 1 5 πm4 0c f (x) = 6. 3 × 106 g/cm3 µe relativ´ ıstico Ou seja. podemos definir um novo parˆ ametro senh θ ≡ de modo que dp = mc cosh θdθ e a integral pode ser escrita como Pe.r = 1 3mh3 0 [1 + (p/m0 c)2 ] 2 Para calcular essa integral. para densidades aproximando-se desse valor.8).34) f (x) = x(2x2 − 3)(x2 + 1) 2 + 3senh−1 x 290 . Usando-se o momentum m´ aximo derivado na equa¸ c˜ ao (23. em termos do momentum de Fermi. obtemos p0 8π p4 dp Pe. assumindo pc m0 c2 e portanto E pc.42) . termos da densidade de massa. ou para o caso geral.28): 1 3 3 hc 4/3 n (23.26). x 1.ur = 8π 4 e ou.38) Utilizando a rela¸ c˜ ao entre o momentum de Fermi p0 e a densidade dada pela equa¸ c˜ ao (23.40) 23. v c: 1 2 Pe. recuperamos a equa¸ c˜ ao (23.ur = 1.35) f (x) → 2x4 − 2x2 + · · · e usando-se somente o primeiro termo da expans˜ ao: Pe. 243 × 10 15 dina/cm2 (23.ur = c 3 4π 3 h p0 0 p3 dp = 2πc 4 p 3h3 0 (23.No limite ultra-relativ´ ıstico. precisamos utilizar a distribui¸ c˜ ao de Fermi-Dirac na equa¸ c˜ ao da press˜ ao (23.ur = 3 8π 1 3 hc 4/3 N 4 A ρ µe 4 3 (23.2.4 Degenerescˆ encia parcial Para a regi˜ ao de transi¸ c˜ ao.8).39) Pe.ur = 3 8π 1 3 hc 4/3 N 4 A ρ µe 4 3 ρ µe 4 3 (23.37) Degenerescˆ encia total ultra-relativ´ ıstica Uma deriva¸ c˜ ao mais simples do limite ultra-relativ´ ıstico pode ser obtido da defini¸ c˜ ao de press˜ ao (23. utilizando (23. como v = ∂E/∂p.36) Pe.8): Pe = 8π 3h3 ∞ 0 p3 vp dp exp [(E − EF ) /kT ] + 1 (23.36): Pe.41) e obter a energia de Fermi EF integrando-se a densidade total: ne = 2 h3 ∞ 0 4πp2 dp exp [(E − EF ) /kT ] + 1 291 (23. (23. de modo que Pe = e ne = 8π 3h3 me 8π h3 ∞ 0 p4 dp exp p2 2me − EF /kT + 1 (23.Para temperaturas menores que 109 K. de modo que podemos nos restringir a velocidades n˜ ao-relativ´ ısticas para a degenerescˆ encia parcial.43) ∞ 0 p2 dp exp p2 2me − EF /kT + 1 (23. isto ´ e. podemos utilizar vp = p/me . Definindo-se duas fun¸ c˜ oes: ∞ F 1 (α) ≡ 2 0 ∞ u 2 du exp(u + α) + 1 u 2 du exp(u + α) + 1 3 1 F 3 (α) ≡ 2 0 podemos escrever Pe = e ne = 3 8πkT (2me kT ) 2 F 3 (α) 3 2 3h 3 4π (2me kT ) 2 F 1 (α) 3 2 h 292 . a degenerescˆ encia total inicia-se antes de os el´ etrons tornarem-se relativ´ ısticos.44) Podemos definir dois parˆ ametros adimensionais α≡− u≡ e escrever 3 8πkT Pe = (2me kT ) 2 3 3h EF kT p2 2me kT ∞ 0 ∞ 0 u 2 du exp(u + α) + 1 1 3 e 3 4π ne = 3 (2me kT ) 2 h u 2 du exp(u + α) + 1 constituindo duas equa¸ c˜ oes param´ etricas para a equa¸ c˜ ao de estado. 502458 4 11.016179 0. 1 Ec = mv 2 2 j´ a que os ´ ıons s˜ ao n˜ ao-relativ´ ısticos — a velocidade dos ´ ıons ´ e muito menor do que a velocidade dos el´ etrons. a 1 para α > 1. pois seu espa¸ co de fase ´ e muito maior que o dos el´ etrons. j´ a que sua massa ´ e cerca de 2000 vezes maior para a mesma energia t´ ermica 3 Et = kT 2 que corresponde ` a energia cin´ etica.90173 15.63888 42.e.290501 0 0.307232 0.768536 0.70797 27. e varia de 8 para α = −20.114588 -1 0.770726 8 52.117200 0.95178 16 279.396375 2 3.016128 regime n˜ ao-degenerado -2 0. Pe = ne kT 2F 3 (α) 2 2 3F 1 (α) (23.1: Valores para as fun¸ c˜ oes de Fermi-Dirac EF 2 −α = kT (α) F 1 (α) 3F3 2 2 -4 0.37885 59.691502 2.774455 1. Portanto: NA k Pg´ as = Pe + µi ρT 293 .751801 5.87300 20 484. Alguns valores das fun¸ c˜ oes de Fermi-Dirac est˜ ao listados na tabela 23.38048 12 125.45) O fator 2F 3 /3F 1 mede o desvio da press˜ ao eletrˆ onica em rela¸ c˜ ao ao g´ as 2 2 n˜ ao-degenerado. Tabela 23.1.81279 completamente degenerado Note que os ´ ıons normalmente s˜ ao n˜ ao-degenerados. finalmente.678094 1 1. Estamos tamb´ em escrevendo a densidade como ne . pois os ´ ıons n˜ ao est˜ ao degenerados. Para compara¸ c˜ ao.3 Energia de Fermi Em nosso tratamento dos f´ ermions. Em uma 294 . levar em conta a contribui¸ c˜ ao da press˜ ao de radia¸ c˜ ao a press˜ ` ao total. estamos escrevendo EF ≡ µ isto ´ e. Ptotal = Pe + NA k ρT + Prad µi (23. onde µi ´ e o peso molecular m´ edio dos ´ ıons 1 = µi XZ nZ AZ Precisamos.Figura 23.3: Diagrama mostrando qual o estado do g´ as para as combina¸ c˜ oes de densidade e temperatura (ρ − T ). a densidade dos el´ etrons. essa contribui¸ c˜ ao passa de 2. estamos identificando o potencial qu´ ımico com a energia de Fermi. ainda. exceto em estrelas de nˆ eutrons. isto ´ e.1% para uma estrela de 5 M para 11% para uma estrela de 15 M .46) 23. O valor da energia de Fermi precisa ser encontrado atrav´ es da integra¸ c˜ ao da distribui¸ c˜ ao de momentum.3.2 G´ as n˜ ao-degenerado.3 Degenerescˆ encia fraca O n´ umero de ocupa¸ c˜ ao P (p) = 1 e(E −EF )/kT P (p) +1 = e(E −EF )/kT 1 1 + e−(E −EF )/kT e−(E −EF )/kT 1 − e−(E −EF )/kT ne = 2(2πmkT )3/2 EF /kT e h3 1− eEF /kT 23/2 2(2πmkT )3/2 EF /kT eEF (T =0)/kT e 1 − h3 23/2 o que leva a 2πmk h2 3/2 EF = −kT ln − kT ln 2T 3/2 /ne − ne 21/2 h2 2πmkT 3/2 295 .3. pois neste caso s˜ ao os nˆ eutrons que est˜ ao degenerados.estrela de nˆ eutrons. mas como vimos. ne deve ser substitu´ ıdo por nn nas equa¸ c˜ oes. no caso geral essa integra¸ c˜ ao n˜ ao ´ e anal´ ıtica. ionizado EF = −kT ln T 3/2 ne 3 − kT ln 2 2πmk h2 − kT ln 2 23. Podemos estimar o valor da energia de Fermi em v´ arias aproxima¸ c˜ oes: 23.3.1 T=0 EF (T = 0) = h2 8m 3ne π 2 3 23. um g´ as fracamente degenerado. EF = −kT ln 2πmk h2 3/2 − kT ln 2T 3/2 ne − ne 21/2 h2 2πmkT (23.23. um g´ as altamente degenerado e ultra-relativ´ ıstico.47) 2.4 Para EF Altamente degenerado e ultra-relativ´ ıstico mc2 : 1 1 = 1 + π2 EF EF (T = 0) kT EF 2 1 3 O nosso objetivo ´ e obter express˜ oes para a Energia de Fermi para os seguintes casos: 1.48) 3. um g´ as a temperatura zero EF = h2 8m 3ne π 2 3 (23. um g´ as n˜ ao-degenerado e ionizado EF = −kT ln T 3/2 ne 3 − kT ln 2 2πmk h2 − kT ln 2 (23.49) 3/2 4.3. 1 1 = 1 + π2 EF EF (T = 0) Recapitulando n(p)dp = n(p)dp = n(p)dp = g (p) e(E −µ)/kT g (p) e(E −µ)/kT g (p) e(E −µ)/kT −1 +1 +0 dp dp dp estat´ ıstica de Maxwell-Boltzmann estat´ ıstica de Fermi-Dirac estat´ ıstica de Bose-Einstein 296 kT EF 2 1/3 (23.50) . dependendo fracamente da temperatura. onde N ´ e a densidade tos.51) fica: ne = Assim.54) A esta temperatura podemos considerar a velocidade n˜ ao relativ´ ıstica (p = mv ) p2 1 p2 h2 3ne 2/3 EF = m F2 = F = (23. T=0 O fator de degenerescˆ encia pode ser obtido usando-se o princ´ ıpio da incerteza Heisenberg e fato de que para el´ etrons e para f´ otons podem existir dois estados de polariza¸ c˜ ao (spin). µ = EF (T ) onde EF ´ e chamada de energia de Fermi.53) (23.52) vale tanto para f´ otons como para el´ etrons. ionizado Para um g´ as n˜ ao degenerado e monoatˆ omico com baixa densidade.51) Na estat´ ıstica de Fermi-Dirac.52) A express˜ ao (23. ´ e simplesmente o volume da casca esf´ erica. 23. pF = h 2 3ne π 1/3 pF 0 8π 2 4πp2 dp = 3 p3 3 h 3h F (23. Todas as part´ ıculas possuem energia E < EF .v tal (n´ umero de part´ ıculas por unidade de volume). Portanto. e que o volume do espa¸ co de momentum. estando os estados cuja energia E > EF desocupados. A express˜ ao 297 .4 G´ as. as express˜ oes para n(P ) cl´ assicas e quˆ anticas devem ser iguais.∂E e da termodinˆ amica sabemos que µ = ∂N . a part´ ıcula mais energ´ etica tem momentum pF e a integral da equa¸ c˜ ao (23. para o qual o vetor p tem magnitude constante p.55) 2 m 2m 8m π 23. sendo normalizado da seguinte forma: ∞ N= 0 n(p)dp (23. 4πp2 dp: g (p)dp = 2 4πp2 dp h3 (23.5 G´ as n˜ ao-degenerado. 60) 23.57) h Igualando as duas express˜ oes acima.58) Simplificando a express˜ ao (23. temos ne = E −µ kT [1 − e− E −µ kT 8π h3 p2 dp e( 298 −µ)/kT +1 .59) Como EF ≡ µ. (23. a densidade de el´ etrons com momentum p entre p e p + dp ´ e dada por ne (p)dp = 2 4πp2 P (p).63) P (p) Por conseq¨ uˆ encia. (23.cl´ assica para n(p) ´ e n(p) = −p2 4πnp2 2mkT e (2πmkT )3/2 (23. podemos obter uma express˜ ao para µ µ = −kT ln T 3/2 n 3 − kT ln 2 2πmk h2 − kT ln 2.6 G´ as fracamente degenerado Um g´ as de el´ etrons ´ e descrito pela estat´ ıstica de Fermi-Dirac. temos e kT µ 4πn 8π = h3 (2πmkT )3/2 (23. P (p) = e E −µ kT +1 e− −1 = 1 e E −µ kT [1 + e− ].56) J´ a a equa¸ c˜ ao corresponde da mecˆ anica quˆ antica (com µ grande e negativo) para n(p) ´ e 8πp2 −p2 n(p) = eµ/kT 3 e 2mkT (23.62) (23. h3 (23.58). ent˜ ao EF = −kT ln T 3/2 n 3 − kT ln 2 2πmk h2 − kT ln 2. E −µ kT ] (23. Assim.61) onde P (p) ´ e definido como ´ ındice de ocupa¸ c˜ ao para um de g´ as de Fermi. obtemos: µ = −kT ln Como EF ≡ µ: EF = −kT ln 2πmk h2 3/2 2πmk h2 3/2 − kT ln 2T 3/2 ne − ne h3 (23. com E mc2 .61) e definindo x = p/ 2mkT .70) 299 .66)   (23. (23.67) 2(2πmkT )3/2 µ = −kT ln  ne h3 Mas ln(1 + x) x.65) µ = kT ln  1− (23.64) onde µ0 ´ e o potencial qu´ ımico de um g´ as n˜ ao-degenerado. Podemos ent˜ ao escrever eµ/kT = ne h3 2(2πmkT )3/2 ne h 3 2(2πmkT )3/2 1− eµ0 /kT 23/2 eµ0 /kT 23/2 −1 (23.63) na eq. (23. obtemos ne (p) = = = 8π (2mkT )3/2 µ/kT e h3 ∞ 0 e−x x2 dx − e2µ/kT 0 2 ∞ e−2x x2 dx 2 √ √ 8π (2mkT )3/2 µ/kT π π 2µ/kT e −e 3 3 / h 2 2 2 2(2πmkT )3/2 µ/kT e h3 1− eµ/kT 23/2 ou. aproximando µ por µ0 dentro do parˆ entesis. ent˜ ao fazendo x = − e 20 3/2  2(2πmkT )3/2 eµ0 /kT µ = −kT ln  1 − ne h3 23/2 −1   (23.√ Utilizando a eq.69) 25/2 (2πm)3/2 (kT )1/2 3/2 − kT ln 2T 3/2 ne ne + 5/2 2 h2 2πmkT kT. (23.68) utilizando a equa¸ c˜ ao (23. (23.58) para o termo em µ0 . ne (p) 2(2πmkT )3/2 µ/kT e h3 1− eµ0 /kT 23/2 (23. dado pela eq. se x eµ0 /kT 1 − 3/2 2 µ /kT 1.55). 77) n n=0 com G0 (0) ≡ Por outro lado. . temos ∞ I = f (∞) mc2 g ( )d − f (mc2 ) mc2 ∞ g ( )d − mc2 mc2 f( ) mc2 g ( )d (23.73) como ∞ I=− mc2 f ( )G( )d (23.72) f ( ) = ( −µ)/kT e +1 Para uma degenerescˆ encia alta df /d = f ( ) tem um m´ aximo em = µ e ´ e pequeno para valores de que s˜ ao ou muito menores ou muito maiores do que = µ.71) onde f ( ) ´ e a probabilidade que um particular estado de momentum esteja ocupado.75) mas f (∞) e G(mc2 ) s˜ ao zero. 2. definir x = ( − µ)/kT e expandir G(x) em s´ erie de Taylor para x = 0.23. (23. Logo. µ I= mc2 f ( )g ( )d (23. (23. 1 .74) Podemos definir G( ) = mc2 g ( )d A eq. ultra-relativ´ ıstico kT Temos que ∞ Neste regime. =µ (23. (23. .73) (23. Integrando a eq.78) ≡ (kT )n g n−1 (µ). (23. Obtemos ∞ xn n G(x) = G (0) (23. Gn (0) = (kT )n dn−1 g ( ) d n−1 µ g ( )d mc2 (23. n = 1. 3. podemos escrever a eq. .73) transforma-se em I = f (∞)G(∞) − f (mc2 )G(mc2 ) − ∞ f( ) mc2 mc2 g ( )d (23.73) por partes.7 G´ as altamente degenerado.76) Podemos.79) 300 . As fun¸ c˜ oes g ( )variam muito menos que f ( ). agora. (23.. =µ ..80) Entretanto. (23. podemos analisar a integral do segundo termo da eq. apenas as derivadas ´ ımpares da fun¸ c˜ ao g ( ) aparecer˜ ao na express˜ ao final para I . a integral do segundo termo da eq.77-23. escrever a eq.83) Assim. onde f (x) = − ex 1 2 = − kT (ex + 1)(e−x + 1) x kT [e + 1] (23. Como µ − mc kT . apenas valores pares de n ter˜ ao importˆ ancia na integral mencionada e. (23.79) na eq.80) se torna 2 kT (−1)m m m=1 0 ∞ xn e−mx dx = 2n! kT ∞ m=1 (−1)m mn n = par (23. (23. f ( )d mc2 1.Utilizando as eq. ent˜ ao podemos escrever (ex +1)( e−x +1) a expans˜ ao binomial 1 e−x = =− (ex + 1)(e−x + 1) (1 + e−x )2 ∞ (−1)m me−mx m=1 (23. Desta forma. obtemos ∞ ∞ I = −G(0) mc2 f ( )d − n=1 (kT )n n−1 g (µ) n ∞ ∞ x=−(µ−mc2 )/kT xn f (x)dx. por conseq¨ uˆ encia. agora. (23.76). 1 como Como x = µ/kT ´ e positivo.73) como µ ∞ I= mc2 g ( )d − 2 (kT )2n n=1 d2n−1 g ( ) d 2n−1 ∞ =µ m=1 (−1)m m2n (23.84) Podemos.82) Podemos notar que f (x) ´ e uma fun¸ c˜ ao par.85) ou ent˜ ao ∞ I = = g( ) e( −µ)/kT dg d 301 + =µ mc2 µ +1 π2 g ( )d + (kT )2 6 mc2 (23. (41) como tendo os limites ∞ e −∞. (23.86) 7π 4 (kT )4 360 d3 g d 3 + .81) pois f ( ) tem o comportamento semelhante ao da fun¸ c˜ ao Delta de Dirac (em um g´ as fortemente degenerado). (23.87) A equa¸ c˜ ao (23. usando as eq. obtemos ne = 8π h3 c3 ∞ mc2 − (mc2 )2 d e( −µ)/kT + 1 2 (23. (23.86-23.94) .92) na eq. (23. a eq.88) 8π 2µ2 − (mc2 )2 h3 c3 µ2 − (mc2 )2 (23.90) nos d´ a kT µ1 (23. (23.91) de modo que µ2 Substituindo a express˜ ao para (mc2 )2 + 2µ1 mc2 µ2 2 (23. (23.90) Para um g´ as n˜ ao relativ´ ıstico de el´ etrons podemos definir o potencial qu´ ımico µ como µ1 = µ − mc2 (µ1 1) (23.93) 32π (mµ1 )3/2 π2 √ ne = 1+ 8 3 2h3 Como µ1 /mc2 1.94) transforma-se em 1 µ1 = 1 π2 1+ µ0 8 1 π2 1+ µ0 8 302 kT µ1 kT µ0 2 2/3 2 2/3 (23.86).89) e considerando apenas os dois primeiros termos do lado direito da eq.Escrevendo uma express˜ ao para a densidade de el´ etrons dada na eq.89) Deste modo.87) implica que g( ) = E sua derivada dg ( ) d 8π h3 c3 = =µ 2 − (mc2 )2 (23.61) 2 2 2 2 2 como fun¸ c˜ ao de com = p c + (mc ) . (23.92) da eq. obtemos ne = = = 8π h3 c3 8π h3 c3 8π h3 c3 ( µ 2 mc2 2 − (mc2 )2 d + + π2 (kT )2 6 2µ2 − (mc2 )2 µ2 − (mc2 )2 2µ2 − (mc2 )2 µ2 − (mc2 )2 − (mc2 )2 )3/2 3 π2 (kT )2 6 (µ2 − (mc2 )2 )3/2 π 2 + (kT )2 3 6 2µ2 − (mc2 )2 µ2 − (mc2 )2 (23. j´ a que uma for¸ ca resultante n˜ ao-nula implicaria movimentos e. Conseq¨ uentemente. podemos assumir simetria esf´ erica.95) kT . µ 1 µ3 = π2 12 kT µ0 2 .55). distor¸ c˜ ao por for¸ cas de mar´ e. luminosidade. para dentro. 303 . e a for¸ ca de press˜ ao. A existˆ encia de algas f´ osseis na Terra com mais de 1 bilh˜ ao de anos.90) se torna kT µ kT µ0 2 1 1 + π2 µ3 0 1 1 + π2 µ3 0 2 . A primeira condi¸ c˜ ao que precisa ser cumprida pelo interior estelar ´ e a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico (mecˆ anico): todas as for¸ cas atuando em qualquer elemento de volume dentro da estrela tˆ em de ser compensadas exatamente. e f´ osseis de at´ e 3.5 bilh˜ oes de anos. 23.onde µ0 = h2 8m 3ne π 2/3 (23. Construiremos um conjunto de condi¸ c˜ oes que precisam ser cumpridas em todas as camadas das estrelas. raio e composi¸ c˜ ao qu´ ımica das camadas externas. (23. pulsa¸ c˜ ao. As u ´nicas for¸ cas que precisamos considerar s˜ ao a for¸ ca gravitacional. s˜ ao evidˆ encia de que a temperatura da Terra n˜ ao pode ter mudado mais que aproximadamente 20◦ C.8 Equil´ ıbrio hidrost´ atico Mesmo para a estrela mais bem estudada s´ o podemos obter 4 parˆ ametros: massa. portanto. Portanto.96) Como µ0 ´ e equivalente ` a EF da express˜ ao (23. mudan¸ cas na estrutura. porque dispomos de mais uma condi¸ c˜ ao: a constˆ ancia das estrelas por longos per´ ıodos de tempo. o interior das estrelas precisa estar em perfeito equil´ ıbrio. Mesmo as estrelas vari´ aveis apresentam estabilidade da estrutura m´ edia por longos tempos. (23. e campos magn´ eticos de larga escala. Como µ0 µ1 = µ0 1 − Para um g´ as ultra-relativ´ ıstico.97) 3 3 2 com µ3 0 ≡ µT =0 = 3ne h c /8π . mc2 e a eq. Ignoraremos perturba¸ c˜ oes como rota¸ c˜ ao. Podemos determinar a estrutura da estrela com esses parˆ ametros. para fora. ent˜ ao (23. a uma distˆ ancia r do centro da estrela. que descreve a probabilidade de que um f´ oton ser´ a ou absorvido ou espalhado. isto ´ e: ρ dsdr GMr .Vamos considerar um elemento de volume cil´ ındrico. monotonicamente decrescente. Se a press˜ ao de radia¸ c˜ ao for importante. e pode ser expressa em termos da densidade como: r Mr = ρ4πr2 dr (23. obtemos a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico: dP GMr = −ρ 2 . que significa a massa em uma esfera de raio r. Expressamos a acelera¸ c˜ ao gravitacional em termos de Mr . da distˆ ancia r ao centro. isto ´ e. dr r Ou caso n˜ ao haja simetria esf´ erica ∇P + ρ∇φ = 0 onde φ ´ e o potencial gravitacional. com seu eixo na dire¸ c˜ ao do centro. Igualando as duas for¸ cas opostas. que ser´ a uma fun¸ c˜ ao. e F ´ e o fluxo de energia transportado 304 . r2 onde ρ ´ e a densidade e G ´ e a constante gravitacional. A for¸ ca de press˜ ao atuando sobre esse elemento.100) onde κ ´ e o coeficiente de absor¸ c˜ ao. a diferen¸ ca entre a for¸ ca de press˜ ao na parede interna e a for¸ ca de press˜ ao na parede externa ´ e dada por: − dP dsdr. ou equa¸ c˜ ao da continuidade. esta equa¸ c˜ ao precisa incluir o momentum transferido pelo campo de radia¸ c˜ ao ` a mat´ eria dP GMr 1 = −ρ 2 + dr r c ∞ (23.99) κ(λ)F (λ)dλ 0 (23. dr onde P ´ e a press˜ ao. com uma se¸ c˜ ao transversal ds e um comprimento dr.98) 0 Essa equa¸ c˜ ao ´ e chamada de equa¸ ca ˜o da massa. A for¸ ca gravitacional atuando sobre o mesmo volume ser´ a dada pela massa do volume vezes a acelera¸ c˜ ao gravitacional. 98) e (23. se usarmos a equa¸ c˜ ao de estado de um g´ as ideal. 39 g cm−3 . Para m. para dP = Pcentro − Psuperf . como demonstraremos depois. e assumirmos Psuperf Pcentro . densidade e massa variam com a distˆ ancia ao centro da estrela. Sozinhas. A equa¸ c˜ ao do g´ as ideal pode ser escrita como P = N kT = k ρT m (23. a gravidade de uma estrela de massa M em um ponto r ´ e dada por: GMr r −2 Mr g (r) = 2 = 2. e m o peso molecular m´ edio. 74 × 104 cm s−2 r M R Dessa estimativa de press˜ ao. que. Mas este termo pode ser simplesmente inclu´ ıdo na press˜ ao total. podemos usar dr = R .s.99). a densidade m´ edia do Sol 3M = 1.por radia¸ c˜ ao por unidade de ´ area.g.. podemos usar a metade da massa do pr´ oton. j´ a que o hidrogˆ enio ´ e o elemento mais abundante. Vamos aplicar a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico (23. a metade da massa do Sol. ´ e v´ alida para a maioria das estrelas.99) s˜ ao as duas primeiras das equa¸ c˜ oes que governam a estrutura estelar. j´ a que N = ρ/m. M = 1. ρ = 4πR 3 para Mr = (1/2)M . As equa¸ c˜ oes (23.g. elas s˜ ao claramente insuficientes para determinar com unicidade como a press˜ ao. Em c. para uma primeira estimativa. para o lado esquerdo da equa¸ c˜ ao (23. Podemos usar. 3 × 1015 dina cm−2 usando unidades c. e para hidrogˆ enio 305 . k a constante de Boltzmann. Al´ em disso. obtemos: Pcentro GM /2 = ρ .99) para um ponto no meio do Sol. 67 × 10−8 dina cm2 g−2 . Usando G = 6. e para r = (1/2)R a metade do raio do Sol.s. podemos imediatamente estimar a temperatura. R R2 /4 Pcentro ≈ 2ρ GM R = 5. R = 696 000 km. 989 × 1033 g. Mas elas permitem obter uma estimativa da ordem de grandeza da press˜ ao e temperatura que vamos encontrar.101) onde T ´ e a temperatura. como o Sol. portanto. 2 dt2 1 2 Logo. mas no interior de estrelas de baixa massa. obtemos: Tcentro ≈ 107 K. em algum lugar da estrela.9 ˚ A. Os gases est˜ ao muito quentes para conter qualquer composto qu´ ımico. N˜ ao precisamos. e podemos desprez´ a-la. um pr´ oton e um el´ etron atuam como duas part´ ıculas com massa m´ edia de meia massa do pr´ oton j´ a que me mp . Antes de assumir estrita obediˆ encia ao equil´ ıbrio hidrost´ atico. principais constituintes. Vamos assumir que. considerar a f´ ısica complexa de s´ olidos e l´ ıquidos. est˜ ao completamente ionizados e aparecer˜ ao como pr´ otons. Aplicando para a press˜ ao central do Sol.ionizado. Com essas estimativas podemos ver o cen´ ario em que temos de trabalhar. O hidrogˆ enio e o h´ elio. Assumindo um movimento retil´ ıneo uniformemente acelerado. encontramos uma temperatura t´ ıpica no interior do Sol de 10 milh˜ oes de graus Kelvin. P = Pg´ as + Prad . ser´ a acelerado por uma quantia: GMr d2 r =f 2 dt2 r Podemos resolver essa equa¸ c˜ ao para o valor de dt em que a acelera¸ c˜ ao n˜ aobalan¸ cada causa um deslocamento dr = f R . isto ´ e. deixando uma fra¸ c˜ ao f n˜ ao-balan¸ cada. precisamos levar em conta a press˜ ao do g´ as e a press˜ ao de radia¸ c˜ ao. ent˜ ao. vamos estimar qual ´ e o custo da desobediˆ encia. o m´ aximo da fun¸ c˜ ao de Planck est´ a em 2. dr = 1 d2 r 2 dt ≡ f R . ainda usando a densidade m´ edia do Sol. e quentes o suficiente para estarem altamente ionizados. O material. Prad Pg´ as . Isto ´ e. el´ etrons. a esta temperatura. e part´ ıculas α. para o ponto no meio do Sol: τdin ≡ dt = 2f R d2 r/dt2 306 ≈ M G 3 R −1 2 . a acelera¸ c˜ ao gravitacional n˜ ao ´ e estritamente balan¸ cada pela for¸ ca de press˜ ao. Para o caso geral. Que tipo de equil´ ıbrio t´ ermico atua no interior de uma estrela? Para responder a essa pergunta. O equil´ ıbrio t´ ermico tamb´ em precisa ser considerado. Como a temperatura na Terra n˜ ao variou. medimos um fluxo de energia saindo das camadas superficiais. a luminosidade do Sol. EG . uma falta de equil´ ıbrio leva a mudan¸ cas significativas no raio da estrela. energia potencial gravitacional. Precisamos considerar trˆ es tipos de energia: energia t´ ermica. qualquer desequil´ ıbrio da condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico causa deslocamentos grandes e r´ apidos. As duas primeiras podem ser representadas por uma simples integral sobre a estrela: R ET = + 0 3k T 2m GMr r ρ4πr2 dr = + 3k T × M ≈ +5 × 1048 ergs. ET . e energia nuclear. EN . monoatˆ omico.102) 2m GMr × M ≈ −4 × 1048 ergs. (23. precisamos primeiro encontrar as fontes de energia que mantˆ em o fluxo atrav´ es da superf´ ıcie (fotosfera). enquanto o termo 307 .τdin ≡ 1 (Gρ ¯) 2 1 1 hr 4 Isto ´ e.9 Reserva de energia de uma estrela Assegurar equil´ ıbrio hidrost´ atico n˜ ao ´ e suficiente para assegurar a estabilidade de uma estrela. por grama de mat´ eria. Esse tempo ´ e chamado de tempo de queda livre. τdin ≈= 103 s = 23. Esse equil´ ıbrio perfeito certamente n˜ ao ocorre no interior de uma estrela. ou tempo dinˆ amico. com alta precis˜ ao. Al´ em disso. tendo sido satisfeita. Portanto. o raio do Sol n˜ ao mudou significativamente durante bilh˜ oes de anos.102) representa a energia t´ ermica de um g´ as ideal. A existˆ encia desse fluxo significa desvio do equil´ ıbrio t´ ermico perfeito. (23. Um equil´ ıbrio t´ ermico perfeito s´ o´ e atingido por um sistema se todas as partes tˆ em a mesma temperatura e n˜ ao existe qualquer fluxo de energia entre suas partes.103) r R EG = − 0 ρ4πr2 dr = − O termo entre parˆ entesis na equa¸ c˜ ao (23. Vimos que a temperatura no interior do Sol ´ e da ordem de 10 milh˜ oes de graus. a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico. enquanto a temperatura nas camadas superficiais ´ e da ordem de 5400 K. N˜ ao ´ e por acidente que as estimativas das duas energias s˜ ao t˜ ao parecidas. obtemos: R 0 vdu. A igualdade segue diretamente da equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico. O primeiro termo ` a direita pode ser desprezado porque. como pode ser visto diferenciando-se a equa¸ c˜ ao (23. os valores obtidos nas equa¸ c˜ oes (23. −EG e usando a equa¸ c˜ ao de estado de um g´ as ideal (23. Identificando o termo da direita com o negativo da energia gravitacional.101) ρ P =m kT : R R 3 kT 3P 4πr2 dr = 2 ρ4πr2 dr = 2ET . a energia 308 .103) representa a energia necess´ aria para mover um grama de mat´ eria de sua posi¸ c˜ ao na estrela at´ e o infinito. pois s˜ ao apenas estimativas de grandeza.105). o raio ´ e nulo e. em honra ao seu proponente. Integrando por partes o termo da esquerda. (23.entre parˆ entesis na equa¸ c˜ ao (23. a press˜ ao ´ e insignificante. na superf´ ıcie. usando os valores anteriores para o Sol.102) e (23. 0 0 2 m obtemos: 2ET = −EG . essa rela¸ c˜ ao tamb´ em ´ e valida para a varia¸ c˜ ao das energias. depois que todas as outras camadas externas da estrela j´ a foram removidas. O valor num´ erico cotado nas equa¸ c˜ oes ´ e uma estimativa da ordem de grandeza das duas energias.99) por 4πr3 e integrando sobre a estrela. obtemos: R dP × 4πr3 = − 0 R 0 ρGMr 4πrdr.103) n˜ ao s˜ ao exatamente m´ ultiplos.104) que ´ e o Teorema do Virial da dinˆ amica cl´ assica. ou virial de Clausius. multiplicando a equa¸ c˜ ao (23. isto ´ e: udv = uv − e usando u = 4πr3 e dv = dP . o alem˜ ao Rudolf Julius Emanuel Clausius (18221888). Logo: R 0 3P 4πr2 dr = 0 R ρ GMr 4πr2 dr r (23. Para uma estrela em contra¸ c˜ ao.105) Naturalmente. no interior. Embora tenhamos derivado a rela¸ c˜ ao entre as energias.   R 4πr3 dP = P 4πr3    − 0 R 0 3P 4πr2 dr. Por quanto tempo essa reserva de energia pode suprir a energia irradiada pela superf´ ıcie? Nossas estimativas num´ ericas para o Sol podem ser usadas para calcular esse tempo. Do virial. 847 × 1033 ergs/s. a energia t´ ermica. foi definida como a energia cin´ etica translacional e n˜ ao inclui a energia dos graus de liberdade internos. L j´ a que L = 3. s´ o s˜ ao estritamente v´ alidas para um g´ as em que o 5 coeficiente adiab´ atico γ = 3 . Dessa forma. vibra¸ c˜ ao ou excita¸ c˜ ao. em honra ao irlandˆ es Lord William Thomson. definida como: d ln P ≡ γd ln ρ e como derivaremos na equa¸ c˜ ao (23. Esse tempo. Exatamente metade desse decr´ escimo de energia ser´ a compensado por um aumento na energia t´ ermica. onde γ≡ cp cv e cp e cv s˜ ao os calores espec´ ıficos a press˜ ao constante e a volume constante. como a equa¸ c˜ ao do g´ as ideal. ET .106) 309 . obtemos: 1 Etotal = ET + EG = EG 2 Essa rela¸ c˜ ao. Portanto. Bar˜ ao Kelvin (1824-1907). como rota¸ c˜ ao. conclu´ ımos que a energia t´ ermica e gravitacional de uma estrela n˜ ao s˜ ao suficientes para suprir a perdas pela superf´ ıcie durante a vida de uma estrela. A outra metade ser´ a perdida por radia¸ c˜ ao pela superf´ ıcie. tK = ET ≈ 1015 s = 3 × 107 anos. de acordo com a rela¸ c˜ ao (23. Para uma equa¸ c˜ ao de estado adiab´ atica geral. Nessa deriva¸ c˜ ao.gravitacional decresce continuamente. mesmo se comparado com o intervalo de tempo desde o aparecimento de algas na Terra.138) na p´ agina 318: part. chamado de tempo de contra¸ c˜ ao de Kelvin.105).105). embora possam ser importantes em fases curtas e cr´ ıticas da evolu¸ c˜ ao estelar. a quantidade de energia pass´ ıvel de perda por radia¸ c˜ ao ´ e somente igual ` a energia t´ ermica. e ao alem˜ ao Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894). O conceito de calor espec´ ıfico foi desenvolvido por Joseph Black (1728-1799). ´ e muito curto. tamb´ em chamado de tempo de Kelvin-Helmholtz. e (23. P = (γ − 1)ρET (23. 2 onde K ´ e a energia cin´ etica total.107): 2K = 3(γ − 1) V part ρET dV = 3(γ − 1)ET ou 3 K = (γ − 1)ET .109) . 3(γ − 1) 310 (23. pode ser escrito como: 2K = −EG Como.107) Como dMr = ρd 2K = 3 M (23. Dessa forma. substituindo-se (23. P = 1 3 n(p)pi · vi d3 p p Portanto. A energia total pode ser escrita como: 3 Etotal = ET + EG 2K + EG = 3(γ − 1) EG = − + EG 3(γ − 1) e. se integramos sobre o volume. para incluir todas as part´ ıculas.108) e o teorema de virial. equa¸ c˜ ao (23.104).podemos calcular a energia cin´ etica total do g´ as K. finalmente: Etotal = 3γ − 4 EG . j´ a que: K≡ i 1 1 2 mi vi = 2 2 pi · vi i Para um g´ as isotr´ opico. vemos que ET = K somente se γ = 5 .106) em (23. 2K = 3 V P dV 4 3 πr 3 P dMr ρ (23. sem que a estrela precise irradiar. se γ = 4 a energia total ´ e nula. Se um corpo a uma temperatura T recebe entropia (S). O conceito de entropia est´ a intimamente ligado ao conceito de calor.Para um g´ as de Fermi completamente relativ´ ıstico. todos os processos s˜ ao balan¸ cados exatamente por processos inversos. nesse caso.110) S ´ e a entropia.9. A primeira lei da termodinˆ amica ´ e normalmente escrita como: dQ = T dS = dET + P dV (23. em equil´ ıbrio termodinˆ amico real n˜ ao irradia.109).112) A unidade de calor ´ e chamada Carnot (Ct). uma estrela dominada pela press˜ ao de radia¸ c˜ ao efetivamente ejeta suas camadas externas. em honra ao f´ ısico francˆ es Sadi Nicolas Lionard Carnot (1796-1832). 1 Ct = 1 Joule/Kelvin ´ e a quantidade de calor necess´ ario para derreter um cent´ ımetro c´ ubico de gelo. Como a energia total ´ e dada por (23.111) ∂E ∂T dT V (23. e tem a entropia m´ axima. Um sistema em equil´ ıbrio termodinˆ amico. toda a varia¸ c˜ ao de energia gravitacional transforma-se em energia interna. isto ´ e. 23. Esse fato ´ e o que limita a massa superior das estrelas. Como γ = 3 tamb´ em para f´ otons. como uma medida da desordem do sistema. em 1865. causando instabilidades. isto ´ e. A ioniza¸ c˜ ao tamb´ em pode fazer γ decrescer abaixo de 4/3 nas regi˜ oes de ioniza¸ c˜ ao. em equil´ ıbrio mecˆ anico e com todas as part´ ıculas representadas pela mesma temperatura. A fun¸ c˜ ao E = ET ´ e chamada de energia interna do sistema. ele absorve energia (E) equivalente ao produto da temperatura pela entropia. est´ a em balan¸ co detalhado. Podemos escrever a equa¸ c˜ ao (23. Esse sistema. pr´ oximo de 100 M . γ = 4 3 e. ∆E = T ∆S 311 . e massa ´ e perdida pela estrela (camadas 3 4 externas ejectadas). ele recebe energia. Quando um sistema recebe entropia (calor).110) tamb´ em como dQ = T dS = ou seja dQ = T dS = ∂E ∂V + P dV + T ∂E ∂V dV + T ∂E ∂T dT + P dV V (23. definida por Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888).1 Algumas rela¸ co ˜es termodinˆ amicas Seja uma varia¸ c˜ ao infinitesimal de calor dQ. a entropia n˜ ao ´ e simplesmente aditiva. 38 × 10−23 J K−1 eW ´ e o volume do espa¸ co de fases associado ao estado macrosc´ opico. para dar sentido ` a irreversibilidade”. A rela¸ c˜ ao entre a entropia macrosc´ opica de Rudolf Clausius e os estados microsc´ opicos de um sistema foi feita pelo f´ ısico austr´ ıaco Ludwig Boltzmann (1844-1906). A quantidade de energia usada na cria¸ c˜ ao de entropia ´ e dita dissipada. como gravitacionais ou eletromagn´ eticas.A entropia (calor) pode ser transportada. o n´ umero de poss´ ıveis estados microsc´ opicos associados a um estado macrosc´ opico (n´ umero de estados com mesma energia e portanto igualmente acess´ ıveis). Um corpo conduzindo calor (entropia) produz mais entropia ao mesmo tempo. A entropia em um ponto pode ser calculada usando-se S = (E + P V − V N µ)/T (23. Para um g´ as de part´ ıculas extremamente relativ´ ısticas. transporte de calor. em expans˜ ao adiab´ atica. A entropia (calor) pode ser produzida mas n˜ ao pode ser destru´ ıda. ela se redistribui para lugares mais frios. portanto. isto ´ e. O f´ ısico brasileiro Constantino Tsallis prop˜ oe uma mecˆ anica estat´ ıstica mais abrangente. o f´ ısico americano Richard Philips Feynman (1918-1988) propˆ os que “´ e preciso adicionar ` as leis f´ ısicas a hip´ otese de que o Universo era mais ordenado.113) usando-se µ como o potencial qu´ ımico sem a massa de repouso (µ = µtotal − mc2 ) e V ≡ 1/ρ. . . como queima. A entropia ´ e o transportador da energia em processos t´ ermicos. armazenada e criada. em um sentido t´ ecnico. 4 . com sua teoria estat´ ıstica de n˜ ao equil´ ıbrio. temos que a energia por unidade de volume ´ e dada por u = aT 4 e S= 4 4aT 3 3ρ O estado inicial do Universo tinha menor entropia e. como f´ otons e neutrinos. Ela pode ser criada em processos irrevers´ ıveis. fri¸ c˜ ao. A entropia aumenta quando o espa¸ co de fases aumenta. no passado do que ´ e atualmente . se assumirmos que seu potencial qu´ ımico ´ e nulo. Nesta teoria. 312 . que leva em conta a impossibilidade de se separar completamente (isolar) sistemas interagentes por for¸ cas de longa alcance. irrevers´ ıvel e n˜ ao sim´ etrica no tempo. Cada estado microsc´ opico de um sistema macrosc´ opico tem uma entropia definida por S = k log W onde k = constante de Boltzmann = 1. mas a integral de dQ depende da maneira em que o processo ´ e executado. isto ´ e. pode ser escrita da forma geral dQ = dσ (x. s˜ ao exatas. 313 . isto ´ e.114) Para um g´ as de el´ etrons degenerado Se NA k (23. Se 0. A energia interna de um sistema E e a entropia s˜ ao fun¸ c˜ oes somente das vari´ aveis do sistema. comparando com a equa¸ c˜ ao (23. para 0.115) Em um n´ ucleo de 56 Ni pr´ oximo do colapso. 022NA k . Xe /A 0. de modo que S 0. 213 × 10−22 T 3 = NA k ρ para temperaturas em K e densidades em g/cm3 . 525NA k e Si 0. ρT S = N 5 kT − µ 2 Xe 2 kT π A EF (23. y )dy Se dQ ´ e exato. 347NA k . esta raz˜ ao NA varia de 1 quando est´ a queimando o hidrogˆ enio e k o h´ elio. 5 × 10 K. y ) = ∂σ ∂σ dx + dy ∂x ∂y ∂σ ∂y (23. y ) = (23. No n´ ucleo de uma estrela Sγ de 25 M .4 durante a queima do carbono. y ) = e se ∂σ ∂x Y (x. Sγ 0. chegando a 0. A entropia de f´ otons por n´ ucleon ´ e dada por Sγ 1.onde ρ ´ e a densidade de mat´ eria. ρ 5 × 109 g cm−3 . y )dx + Y (x. Para um g´ as de Fermi-Dirac n˜ ao relativ´ ıstico e n˜ ao degenerado.01 durante a queima do oxigˆ enio e sil´ ıcio.118) ∂2σ ∂2σ ∂X ∂Y = −→ = (23. A entropia n˜ ao se altera muito durante o colapso. T 9 7. EF 5 MeV.116). Exatid˜ ao A equa¸ c˜ ao (23.117) (23. y ) ´ e exata e sua integral independe do caminho de integra¸ c˜ ao.110) foi escrita da forma dQ = X (x. 93NA k .116) ent˜ ao. podemos identificar X (x.119) ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x a diferencial σ (x. 42. para temperatura constante.N ∂ET ∂V dV + s. ou revers´ ıvel e. Como ∂ET ∂S =T v. Caso geral Mas. ap´ os a diferencia¸ c˜ ao. Da equa¸ c˜ ao (23. no caso geral. sua entropia ´ e m´ axima e.v j´ a que a energia total ET inclui todos os tipos relevantes de energia. se reduz a: ∂E ∂V =T T ∂P ∂T −P V (23.122) que nos d´ a a dependˆ encia da energia interna E com o volume. portanto. inclui rea¸ c˜ oes nucleares.121) V que. com dS = 0.119) obtemos ∂ ∂T 1 T ∂E ∂V +P T = ∂ ∂V 1 T ∂E ∂T (23. no nosso caso. uma mudan¸ ca infinitesimal no sistema tem de ser quase-est´ atica.Rela¸ c˜ ao de reciprocidade Se um sistema est´ a em equil´ ıbrio termodinˆ amico.N ∂ET ∂Ni = µi s. portanto.N i ∂ET ∂Ni dNi s.v onde µ ´ e o potencial qu´ ımico e a primeira lei da termodinˆ amica pode ser escrita como: µi dNi .112) vemos que dS = dQ 1 = T T ∂E ∂V + P dV + T 1 T ∂E ∂T dT V (23.120) Como dS ´ e exata. em que existe altera¸ c˜ ao nos constituintes do g´ as: dET = ∂ET ∂S dS + v. T dS = dET + P dV − i 314 .N ∂ET ∂V = −P s. inclusive a energia latente das rea¸ c˜ oes qu´ ımicas que. usando a rela¸ c˜ ao (23. para os casos n˜ ao-relativ´ ıstico (N. P = e dQ = cv + µ dT − V dP −→ cp ≡ µ ρT −→ ET = cv T dQ dT = cv + p µ . s˜ ao definidos como: cv ≡ dQ dT e v cp ≡ dQ dT p Se o peso molecular m´ edio ´ e representado por µ. a primeira lei da termodinˆ amica (23. s´ o possuem trˆ es graus de liberdade e.A condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio qu´ ımico (e a de equil´ ıbrio termodinˆ amico) requer µi dNi = 0. 314511 J.).) . por unidade de massa. 23.R.) ou cv = 3 315 µ (E.).) ou ET 2 e por unidade de massa: NA part. i Os calores espec´ ıficos a volume constante cv . e a energia t´ ermica. K−1 mol−1 ´ e a constante universal do g´ as por mol. ET = E µ T 3 ET = T (N.R. ≡ NA k = 8.R. NA = 6. com dV = 0 resulta em dQ dT obtemos cv = = V ∂E ∂T −→ cv = V ∂ET ∂T v 3 2µ (N. Se as part´ ıculas s˜ ao consideradas como pontuais.R. ET = kT (N. assumindo equil´ ıbrio qu´ ımico. 314511 × 107 ergs K−1 mol−1 = 8.19): 3 part.R. = 3kT (E. Como. ´ e dada por (eq.) e extremamente relativ´ ıstico (E. cp .R.R. part. e a press˜ ao constante.R.). por part´ ıcula.110). 2µ µ onde µ ´ e o peso molecular m´ edio.) ou ET = 3 T (E. 0221367 × 1023 mole−1 ´ e o n´ umero de Avogadro e a lei do g´ as ideal ´ e expressa como P V = T = µ ρT .14 e 23. R.125) T. (dµ = 0): ∂ρ ∂T =− P ρ χT T χρ (23.) 5 4 (N.) ou γ = 3 3 Uma rela¸ ca ˜o adiab´ atica ´ e definida como: γ= (E.R. cp = e 5 2µ (N.e como cp = cv + /µ.) T P = const.128) P 316 .126) Como. Pelas defini¸ c˜ oes dos expoentes. peso molecular constante.µ ∂ ln P ∂ ln µ (23.123) S Γ2 − 1 ≡ Γ2 ∂ ln T ∂ ln P = S (23.ρ onde µ ´ e o peso molecular. se ρ ´ e constante: ∂E ∂T = ρ ∂E ∂P T ∂P ∂T + ρ ∂E ∂T (23. usando a regra da deriva¸ c˜ ao em cadeia: dE = ∂E ∂P ∂P ∂ρ dρ + T T ∂P ∂T dT + ρ ∂E ∂T dT P (23. −→ γ −1 = const. γ ρ ρ Definindo-se tamb´ em: Γ1 ≡ ∂ ln P ∂ ln ρ (Γ3 − 1) ≡ S ∂ ln T ∂ ln ρ Γ3 − 1 Γ1 (23. e assumindo-se equil´ ıbrio qu´ ımico. isto ´ e.R.127) ou seja.124) e o expoentes na equa¸ c˜ ao de estado: χρ ≡ ∂ ln P ∂ ln ρ χT ≡ T.µ ∂ ln P ∂ ln T χµ ≡ ρ.R.) ou cp = 4 µ (E. a primeira lei pode ser escrita dQ = dE + P d podemos obter cp ≡ dQ dT = P 1 ρ = dE − P dρ ρ2 (23.129) ρ Sabemos que.122) para escrever P ∂ ln E =− (χT − 1) (23. em equil´ ıbrio qu´ ımico.135) .130) ∂E ∂T − P P ρ2 ∂ρ ∂T (23.133) E = cv − T ∂ ln E ∂ ln ρ χT P ρ χT + 2 χρ ρ T χρ Podemos.136) µ ρT P χ2 T ρT χρ (23.134) ∂ ln ρ T ρE e obter a rela¸ c˜ ao geral entre os calores espec´ ıficos: cp − cv = Como para um g´ as ideal P = obtemos que χT = χρ = 1 e cp − cv = 317 µ (23.de onde obtemos: ∂E ∂T = P ∂E ∂T − ρ ∂E ∂P T ∂P ∂T (23. finalmente.131) P podemos usar a equa¸ c˜ ao (23. utilizar a rela¸ c˜ ao de reciprocidade (equa¸ c˜ ao 23.126) para escrever a equa¸ c˜ ao (23.131) como: cp = cv − ∂E ∂P ∂P ∂T + ρ T P ρ χT ρ2 T χρ (23.132) que tamb´ em pode ser escrito como cp = cv − ∂E ∂ρ ∂ρ ∂P T T T ∂P ∂T + ρ P ρ χT ρ2 T χρ (23. E = aT 4 V e PR = 1 3 aT .140) cp χT Γ1 Γ3 − 1 Γ2 =1+ (Γ3 − 1) = = cv χρ χρ χρ Γ2 − 1 d ln P d ln ρ (23.139) (23. Deste modo ∂E = 4aT 3 V cV = ∂T V χρ = − χT = ∂ ln P ∂ ln V ∂ ln P ∂ ln T =0 T =4 V Γ3 − 1 = P V χT 1 = cV T 3 4 3 Γ1 = χρ + χT (Γ3 − 1) = 318 .138) T = (γ − 1)ET ( /µ)T γ−1 ad 4 Para um g´ as de f´ otons ocupando um volume V.137) ∂ET ∂T v obtemos que para composi¸ c˜ ao qu´ ımica constante: ET = cv T = e usando µ obtemos P = (γ − 1)ρET No caso geral γ≡ e como Γ1 ≡ uma expans˜ ao adiab´ atica ter´ a: d ln P = Γ1 d ln ρ (23.γ−1= e como cv = 1 µ cv (23. n= E= e que para um g´ as n˜ ao relativ´ ıstico Epart = α≡− EF kT Definimos e obtivemos para o caso da degenerescˆ encia parcial: Pe = 3 8πkT (2me kT ) 2 F 3 (α) 3 2 3h 3 4π (2me kT ) 2 F 1 (α) 3 2 h ne = Ee = logo 3 4πkT (2me kT ) 2 F 3 (α) 2 h3 3 Ee = Pe 2 Como a press˜ ao do g´ as de el´ etrons degenerados mas n˜ ao relativ´ ısticos ´ e dada por 2 5π 2 kT 2 0 Pe = ne EF 1+ 0 5 12 EF 319 .Γ2 Γ1 = =4 Γ2 − 1 Γ3 − 1 de modo que Γ1 = Γ2 = Γ3 = mas γ= 4 3 cP Γ1 = =∞ cv χρ Lembrando que para um g´ as de f´ ermions temos: P = 8π 3h3 8π 3h3 8π 3h3 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0 p3 vp dp exp [(E − EF ) /kT ] + 1 p2 dp exp [(E − EF ) /kT ] + 1 Epart p2 dp exp [(E − EF ) /kT ] + 1 p2 2m . o calor espec´ ıfico por el´ etron: π 2 k kT 1 dEe = ce = v ne dT V 2 EF 320 . portanto.e a densidade de el´ etrons dada por 32π (mEF ) 2 √ ne = 3 2h3 3 1+ π2 8 kT EF 2 com a energia de Fermi (sem a massa de repouso) dada por 1 1 = 0 EF EF onde 0 EF π2 1+ 8 kT EF 2 3 2 1 0 EF 3ne π π2 1+ 8 2 3 kT 0 EF 2 3 2 = h2 8m ´ e a energia de Fermi ` a temperatura zero. Se o g´ as est´ a degenerado. a energia de Fermi ´ e muito maior do que kT e EF = Desta maneira 3 Ee = EF ne 5 1− π2 12 kT 0 EF 2 0 EF π2 1− 12 kT 0 EF 2 1+ kT 0 EF 5π 2 8 2 kT 0 EF 2 1+ π2 8 Expandindo os termos dependentes em temperatura em termos de 1 obtemos 3 5π 2 Ee = ne EF 1 + 5 8 kT 0 EF 2 kT 0 EF 2 2 3 5π 2 0 ne EF 1+ 5 8 kT 0 EF e obtemos a capacidade t´ ermica dos el´ etrons a volume constante cv = dEe dT = V π 2 ne k 2 T 2 EF para um g´ as degenerado mas n˜ ao relativ´ ıstico e. a transmuta¸ c˜ ao gradual dos elementos por fus˜ ao causa mudan¸ cas significativas na estrutura da estrela. j´ a que a transmuta¸ c˜ ao em h´ elio libera uma diferen¸ ca de massa de sete mil´ esimos. o limite te´ orico d´ a uma boa aproxima¸ c˜ ao da reserva de energia nuclear de uma estrela.cV = 8π 3 m4 c5 3h3 T mc2 kT pF 2 mc pF mc 2 +1 1 2 onde p2 as degenerado e ultra-relativ´ ıstico. Desse modo. A m´ axima diferen¸ ca de massa ocorre na transmuta¸ c˜ ao de hidrogˆ enio em ferro e corresponde a oito mil´ esimos da massa dos n´ ucleons envolvidos no processo. Para o Sol. A temperatura no interior das estrelas ´ e alta o suficiente para manter fus˜ ao nuclear de elementos leves. obtemos: EN = 0. Para o Sol.9. 321 . A energia liberada nesses processos ´ e equivalente ` a diferen¸ ca de massa. mas essa ´ e uma super-estimativa. Eventualmente. Essa aniquila¸ c˜ ao n˜ ao ocorre ` as temperaturas encontradas nas estrelas. Poder-se-ia supor que a energia nuclear total de uma estrela fosse M c2 . 008c2 M ≈ 1052 ergs. que ´ e mais de mil vezes superior ` as energias t´ ermica e gravitacional.2 Energia nuclear Ou ´ltimo tipo de reserva de energia ´ e a nuclear. Ser´ a que a reserva de energia nuclear em uma estrela se aproxima deste m´ aximo te´ orico? Sim. Rea¸ c˜ oes nucleares liberam energia proveniente do equivalente de massa dos n´ ucleos envolvidos. essa reserva de energia pode suprir a perda por radia¸ c˜ ao por um intervalo de tempo de: tN = EN ≈ 3 × 1018 s = 1011 anos. Para um g´ cv = dEe dT = 3π 2 V ne k 2 T EF 23. Portanto. pois essa energia somente seria irradiada se a estrela fosse totalmente aniquilada. Evidˆ encias espectrosc´ opicas indicam que a maioria das estrelas ´ e composta principalmente de hidrogˆ enio. somente precisamos considerar rea¸ c˜ oes nucleares que transmutam um elemento qu´ ımico em outro. como produto final. L suficientemente longo. pouca diferen¸ ca faz se o hidrogˆ enio ´ e transformado em ferro. que ´ e muito menor do que a massa total dos n´ ucleons. o combust´ ıvel mais vantajoso para as estrelas. F = 2mEF . E. 493 MeV) PPI 3 He + 4 He → 7 Be + γ .586 PPIII 7 2 He → 4 He + 2p 3 Q=0.263 MeV.061.3 Ciclo pr´ oton-pr´ oton Para temperaturas da ordem de T 8 × 106 K. Q=0.42 MeV m´ axima). 44 MeV) Q=1.263 MeV. Q=0. corresponde a uma perda por neutrinos de 28%. No Sol. 731 MeV.135 Q=17. correspondendo a uma perda por neutrinos de 4%. al´ em dos dois de 0. com p−p ∝ T 4 . al´ em dos dois de 0. com Q = 19.23.859 Be + e− → 7 Li + νe (0.095 O ciclo PPI tem Q = 26. com neutrinos carregando 7.015%. 263 MeV) Q ≡ ∆mc2 − Eν = 1. 20 MeV.541 MeV. O resultado total desse ciclo transforma 4H → 4 He + 2e+ + 2νe + γ A diferen¸ ca de energia de liga¸ c˜ ao ´ e de ∆m c2 = 26. PPII 7 Q=12. 2 MeV) 8 8 Be →4 He +4 He. As rea¸ c˜ oes se d˜ ao por: p + p → 2 D + e+ + νe (0. com dois neutrinos de energia m´ edia de 0.9. o PPI contribui com 85% da luminosidade.347 7 Li Q=10. com neutrinos de 0. 179 MeV (ou p + e− + p+ → 2 D + νe (1. O ciclo PPIII. 2 MeV.778 8 + p → 4 He + 4 He B → Be + e+ + νe (7.046 com pouca probabilidade) 2D + p → 3 He + γ (Q = 5. Q=1. 67 MeV. enquanto o PPII tem Q = 25.263 MeV cada (0.71%.2 MeV. e+ νe )2 D. a transforma¸ c˜ ao de hidrogˆ enio em h´ elio se d´ a principalmente pelo ciclo p-p.80 MeV. correspondendo a um defeito de massa de 0. 322 . 80 MeV) Be + p → 8 B + γ . A rea¸ c˜ ao mais lenta ´ e 1 H(p. e a energia m´ edia liberada por pr´ oton ´ e de 6. PPII com 15% e PPIII com 0. 3 ± 0. que corresponde a um fluxo aqui na Terra de FT = Nν = 6. 56. de acordo com John Norris Bahcall (1934 .2005). 8 × 1010 neutrinos cm−2 s−1 4π (1UA)2 8000 6000 4000 2000 0 0 10 Energia (MeV) 20 30 Figura 23.Com uma m´ edia de energia por rea¸ c˜ ao de 25 MeV 4 × 10−5 ergs/ciclo. como a do neutrino de 15. 323 . obtemos um total de neutrinos de: L Nν = −→ Nν = 2 × 1038 neutrinos/segundo 25 MeV 2 por queima de hidrogˆ enio. 6) × 10 cm . uma luminosidade solar de L 4 × 1033 ergs/s. 3391. publicado em 1997 no Physical Review C. que leva a uma sec¸ c˜ ao de choque medida − 42 2 de (9.11 MeV sobre um alvo de 12 C . Existem ressonˆ ancias.4: Sec¸ c˜ ao de choque dos neutrinos sobre um alvo de g´ alio. As flechas no topo do gr´ afico indicam a energia detect´ avel nos experimentos em andamento. Por exemplo. considerando-se o n´ umero de part´ ıculas m´ edias no Sol. n . O Problema do neutrino solar 324 . Pinsonneault 1998. como a se¸ c˜ ao de choque do neutrino ´ e da ordem de: σν Eν me c2 2 2 × 10−44 cm2 os neutrinos raramente interagem com a mat´ eria.5: O espectro de energia dos neutrinos produzidos no Sol. O fluxo est´ a dado em contagens por cm2 . O ciclo p-p ´ e respons´ avel por 98% da taxa de gera¸ c˜ ao de energia no modelo padr˜ ao do Sol. o livre caminho m´ edio dos neutrinos 1 = 109 R σ n Figura 23. de acordo com o modelo padr˜ ao de John Norris Bahcall e Marc H.Entretanto. Review of Modern Physics. 233 0. com CNO ∝ T 20 . parte dos neutrinos de el´ etrinos νe emitidos nas rea¸ c˜ oes.814 7. 06 0. est´ a errada. 19) × 1010 m−2 s−1 67 ± 7 SNU 78 ± 6 SNU (2.Experimento Davis (Cloro) ˇ Kamiokande (Cerenkov) SAGE (G´ alio) Gallex Super-Kamiokande Medida 2.5 MeV MeV MeV MeV MeV As observa¸ c˜ oes indicam que a teoria eletrofraca de Glashow. se transforma em neutrinos dos m´ uons νµ e neutrinos de t´ aons µτ . 16 SNU (2. 761 MeV) (Q = 4. 511 MeV) (Q = 7. 944 MeV) (Q = 1. 80 ± 0. isto ´ e. o que s´ o´ e poss´ ıvel se. isto ´ e. 290 MeV) (Q = 1. 12 13 C + p → 13 N + γ C+p→ 14 (Q = 1. Weinberg e Salam. 04) × 1010 m−2 s−1 SNU = 10−36 capturas/alvo/s Medida/ Te´ orico 0. 126 MeV) (Q = 0. com menor probabilidade: 15 N + p → 16 O + γ O+p→ 14 17 (Q = 12. 60 ± 0. 470 ± 0. 710 MeV) 13 + N+γ 14 15 N + p → 15 O + γ 12 (Q = 7. 550 MeV) N→ 13 C + e + νe (0. 33 ± 0. as massas de diferentes tipos de neutrinos sejam diferentes.5 0. 008 Emin 0.4 Ciclo CNO O ciclo CNO domina a queima de hidrogˆ enio para Tc ≥ 18 × 106 K. usando o C e N como catalisadores. 762 MeV) (Q = 1. 23. 42 ± 0. 52 ± 0. 02 MeV ou. pois indicam que h´ a oscila¸ c˜ ao de neutrinos. 601 MeV) (Q = 2. durante sua trajet´ oria do n´ ucleo do Sol at´ e a Terra. al´ em de terem massas.9. 193 MeV) 16 17 F+γ 4 F→ 17 O + e + νe (0.2 M . 54 ± 0. 000 MeV) 15 + N+p→ C + He 4 Q = 25. 06 0. 56 ± 0. 08 0. 965 MeV) O→ 15 N + e + νe (1. para estrelas com massa maior do 1. 94 MeV) 17 + O+p→ N + He 325 . 03 0. que preve que os neutrinos n˜ ao tˆ em massa.233 5. 1613 MeV 12 O 8 Be decai em 2 4 He em um tempo de vida m´ edio de τ = 0. γ ) 16 O. que permite que esta rea¸ c˜ ao ocorra com taxas significativas.6: Evolu¸ c˜ ao das abundˆ ancias com a temperatura do n´ ucleo para uma estrela com massa inicial de aproximadamente 25 M . 067 fentosegundos. pelo processo chamado triplo-α.9. Para temperaturas acima de Tc 108 K.5 Triplo–α A rea¸ c˜ ao triplo-α. s´ o ocorre porque o princ´ ıpio da incerteza permite que uma 326 . 23.65 MeV acima do estado fundamental. com 3α ∝ T 40 : 4 8 He + 4 He Be + He → C + He → 4 4 8 Be 12 C 16 O + γ Q = 92 KeV + γ Q = −278 KeV + γ Q = 7. A produ¸ c˜ ao do oxigˆ enio. 12 C (α. fundindo trˆ es n´ ucleos de h´ elio (part´ ıculas α) em um n´ ucleo de carbono. 7.Figura 23.2008). conforme predito por Sir Fred Hoyle (1915 .2001) e posteriormente observada. por acr´ escimo de part´ ıcula α ao 12 C. foi proposta pelo americano Edwin Ernest Salpeter (1925 . Existe uma ressonˆ ancia no n´ ucleo composto do carbono. ocorre a queima do h´ elio. T8 = T /108 K. γ ) 22 Ne. produzindo os n´ ucleons at´ e o chumbo. Acima de 6 × 108 K temos 18 O (α. quando classicamente seria proibida. seguida do decaimento de 18 F para 18 O. T8 = T /108 K. ocorre em estrelas massivas. γ ) 26 Mg e. mas 14 N (α. A taxa desta rea¸ c˜ ao tem sido muito dif´ ıcil de determinar teoricamente. Para as estrelas de massa entre 1 e 8 M um forte processo s ocorre por intera¸ c˜ ao entre as camadas que queimam hidrogˆ enio e h´ elio. Figura 23. A pr´ oxima rea¸ c˜ ao. com menor probabilidade. 22 Ne (α. produzidos na u ´ltima rea¸ c˜ ao citada. γ ) 20 Ne ´ e lenta para estas temperaturas.7: Evolu¸ c˜ ao das abundˆ ancias com a temperatura do n´ ucleo para uma estrela com massa inicial de aproximadamente 25 M . n) 25 Mg. 16 O (α.ressonˆ ancia com energia um pouco abaixo do limite ocorra. 22 Ne (α. γ ) 18 F ocorre. Durante a queima de h´ elio o processo s (slow) de lenta captura de nˆ eutrons. 327 . O material queimado expande e esfria. 5928 MeV) (Q = 1.9. 2080 MeV) Para 0. Para T9 2 a queima ocorre em escala hidrodinˆ amica. 4531 MeV) P (Q = 7.6 Queima do carbono Para estrelas acima de 10 massas solares. 3795 MeV) 328 → 2p + 30 . 1132 MeV) (Q = −0. 6770 MeV) S → 31 P + e+ + νe Si (Q = 0. interrompendo as rea¸ c˜ oes termonucleares. 9313 MeV) (Q = −0. 2398 MeV) Na + p → α + 20 Ne Na + p → γ + 24 Mg (Q = −2. 6168 MeV) Ne + α → γ + 16 O Ne + α → γ + 24 Mg 20 20 24 Mg + α → γ + 28 Si 12 C +12 C → p + 23 Na (Q = 2. com menor probabilidade: 12 C + 12 C → → → 24 16 16 Mg + γ O + 2α O + Be 8 (Q = 13. 0. Para T=1–2 × 109 K: 16 O + 16 O → 32∗ S → γ + 32 S (Q = 16.23. 8 ≤ T9 ≤ 1. Na explos˜ ao. 5993 MeV) 23 23 12 C + 12 C → n + 23 Mg e. a queima do carbono se d´ a em equil´ ıbrio hidrost´ atico. 5410 MeV) → α + 28 Si → p+ → n+ 31 31 (Q = 9. quando a temperatura central atinge T 5 − 10 × 108 K: 12 C + 12 C → α + 20 Ne (Q = 4. iniciando a queima e acelerando-a. o choque esquenta a mat´ eria ainda n˜ ao queimada. que o processo de queima do sil´ ıcio preferencialmente sintetiza o 56 Ni porque a r´ apida queima n˜ ao permite decaimentos β suficientes para produzir o 56 Fe. Decaimentos β posteriores. γ )48 Cr(α. γ )36 A(α. γ )52 Fe(α. 9. 201. formam o 56 Fe. Cameron (1925-). Canadian Journal of Physics. 2315. no Astrophysical Journal Supplements. 7544 MeV) → p + 27 Al → α+ → n+ 24 27 (Q = 5. γ )44 Ti(α. γ )56 Ni 56 Ni + e− → νe +56∗ Co e 56∗ 56 Ni → e+ + νe + 56∗ Co Co → 56∗ Fe + e+ νe Co → 56 Co + γ 56∗ 56∗ Co + e− → 56∗ Fe + νe e 56∗ Fe → 56 Fe + γ nas Rea¸ c˜ oes Nucleares QNA /A(MeV/nucleon) 5a7 0. 7 × 109 K: 12 C + 16 O → γ + 28 S (Q = 16. 7697 MeV) (Q = −0.902 0.11 0. 329 . 45. Fe e finalmente Fe. γ )32 S(α. com o aumento do n´ umero de nˆ eutrons.4–3. o n´ ucleo dominante passa para o Fe. γ )40 Ca(α.31 Energia Liberada Processo 4 H → 4 He 3α → 12 C 4α → 16 O 2 12 C → 24 Mg 2 20 Ne → 16 O + 24 Mg 2 16 O → 32 S 2 28 Si → 56 Ni William Alfred Fowler (1911-1995) e Sir Fred Hoyle (1915-2001) propuseram em 1964. 1691 MeV) (Q = 6.52 0.606 0. 4230 MeV) Mg Mg Para T ≥ 5 × 109 K: 28 Si(α.Para T=3.W.52 0 a 0. Se os nˆ eutrons s˜ ao 54 56 58 abundantes. enquanto a mat´ eria ainda est´ a quente. O fluxo de nˆ eutrons depende da metalicidade do material. David Arnett (1940-) e Alastair G. A solu¸ c˜ ao da cadeia de rea¸ c˜ oes simultˆ aneas por James Wellington Truran. 1967. demonstra que o 56 Ni ´ e realmente dominante para mat´ eria pouco abundante em nˆ eutrons. para tempos maiores do que o tempo de contra¸ c˜ ao de Kelvin. como a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico? N˜ ao. Um ganho de energia por uma camada e uma perda de energia em outra camada levaria ` a mudan¸ ca na estrutura de temperatura no interior da estrela e. a condi¸ c˜ ao (23.141) garante o balan¸ co de energia para a estrela como um todo. portanto. precisaremos adotar uma descri¸ c˜ ao quˆ antica. Essa condi¸ c˜ ao pode ser expressa como: R L= 0 ερ4πr2 dr. Se torn´ assemos a ligar a gera¸ c˜ ao de energia nuclear em um tempo menor do que o tempo de contra¸ c˜ ao de Kelvin. Por esses per´ ıodos. em rela¸ c˜ ao ao fluxo de energia entrando pela superf´ ıcie interna. n˜ ao ´ e necess´ ario levar em conta os efeitos quˆ anticos da radia¸ c˜ ao. O termo da esquerda dessa equa¸ c˜ ao representa a perda l´ ıquida de energia da camada causada pelo excesso de fluxo deixando a superf´ ıcie externa. tornaria a estrela inst´ avel. O termo da direita representa a energia produzida na camada por processos nucleares. Nosso tratamento da radia¸ c˜ ao pode ser macrosc´ opico. Ser´ a que a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio t´ ermico precisa ser satisfeita minuto a minuto. quando tratarmos da intera¸ c˜ ao da radia¸ c˜ ao com a mat´ eria. densidade e composi¸ c˜ ao.23. ele continuaria a brilhar. alimentando-se de sua energia gravitacional. Entretanto. Se deslig´ assemos a produ¸ c˜ ao de energia nuclear do Sol. por unidade de massa e por unidade de tempo. Consideremos uma camada esf´ erica de raio r e espessura unit´ aria. 330 . isto ´ e.141) onde ε ´ e a energia liberada por processos nucleares. (23. o Sol n˜ ao teria sido afetado seriamente pela interferˆ encia. A produ¸ c˜ ao de energia nuclear ε depende da temperatura.10 Condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio t´ ermico Conclu´ ımos.141) precisa ser satisfeita. A equa¸ c˜ ao (23. as energias gravitacional e t´ ermica agem como um reservat´ orio. O balan¸ co de energia nessa camada pode ser escrito como: dLr = ερ4πr2 .142) dr onde Lr ´ e o fluxo de energia atrav´ es da esfera de raio r. A radia¸ c˜ ao ´ e tratada como um fluido. na se¸ c˜ ao anterior. Entretanto. (23. Mas o mesmo tipo de balan¸ co tem de ser satisfeito em cada camada da estrela. que a perda de energia na superf´ ıcie por radia¸ c˜ ao ´ e compensada pela libera¸ c˜ ao de energia por processos nucleares no interior da estrela. dt 4πr2 ρ dr 331 . O trabalho exercido pela press˜ ao ´ e dado por −P dV . a energia gerada pelas rea¸ c˜ oes nucleares e o trabalho exercido pela press˜ ao. ∇ · F = ρε. ´ e. da evolu¸ c˜ ao estelar em que as mudan¸ cas da estrutura interna s˜ ao t˜ ao r´ apidas que as varia¸ c˜ oes nos dois reservat´ orios menores de energia estelar – t´ ermica e gravitacional – s˜ ao importantes. A equa¸ c˜ ao (23.Uma deriva¸ c˜ ao mais formal usa a defini¸ c˜ ao de fluxo. 2 que precisa ser dividida pela massa da camada. mas cr´ ıticas. por defini¸ c˜ ao. temos: dLr = 4πr2 ρε. por unidade de tempo. que representa a terceira das condi¸ c˜ oes b´ asicas que devem ser obedecidas no interior da estrela. Portanto: d dt 3k T 2m = −P dV 1 dLr +ε− . por uma camada esf´ erica de espessura unit´ aria. O estado estacion´ ario (invariˆ ancia) requer que: F · ds = S V ρεdV. Assumindo simetria esf´ erica. que ´ e o vetor do fluxo de energia total (energia por unidade de ´ area por unidade de tempo). n˜ ao podemos esperar que o fluxo carregue para fora do volume exatamente a energia gerada por segundo por rea¸ c˜ oes nucleares dentro do volume. e ε a energia total gerada perto do ponto r. A perda l´ ıquida de energia. A energia 3k interna por unidade de massa de um g´ as ideal ´ e dada por 2 m T . A energia nuclear liberada por unidade de massa. dr reproduzindo a equa¸ c˜ ao (23. de modo que: ∇·F = 1 d 2 1 d r F = 4πr2 F = ρε. onde o volume espec´ ıfico pode ser substitu´ ıdo pelo seu rec´ ıproco.142) precisa ser modificada para as fases curtas. ε.142). onde ds ´ e o elemento de ´ area. 2 r dr 4πr2 dr Como Lr ≡ 4πr2 F . F . ´ e dLr /dr. Pelo teorema da divergˆ encia.142). por unidade de massa e por unidade de tempo. 4πr ρ para dar a perda por unidade de massa. como expresso pela rela¸ c˜ ao (23. por todas as fontes. Espera-se que a energia perdida pelo fluxo. juntos. determinem a taxa de mudan¸ ca da energia interna do volume. F ´ e somente radial. Nessas fases. a densidade. e dV o elemento de volume. em que as mudan¸ cas s˜ ao t˜ ao lentas que o termo com a derivada temporal na equa¸ c˜ ao (23.143) Essa equa¸ c˜ ao deve ser usada em lugar da equa¸ c˜ ao (23. o fluxo ´ e determinando pelos mecanismos de transporte de energia.143) pode ser ignorado. Fisicamente.101). ρ ρ ρ 3k T 2m =+ P dρ 1 dLr +ε− . convec¸ c˜ ao 332 . podemos escrever: 3 2 d ρ3 2 dt ou dLr 3 2 d = 4πr2 ρ ε − ρ 3 dr 2 dt P ρ3 5 P ρ 5 3 =ε− 1 dLr .Como o volume espec´ ıfico V ´ e dado por: V ≡ 1 1 P −→ dV = − 2 dρ −→ −P dV = + 2 dρ. m m ρ − P dρ 1 dLr =ε− . entretanto. somente consideramos a condi¸ c˜ ao que o fluxo de energia deve obedecer para balan¸ car a produ¸ c˜ ao de energia.142) nas fases normais. ρ2 dt 4πr2 ρ dr 3P 2ρ = = = 3 2 ρ3 2 3d 2 dt 3d 2 dt 1 d 2 ρ 3 dt P ρ P ρ P ρ + P d ρ dt 1 2 3 1 + ρ− 3 P 2 − P dρ . At´ e agora. que podem ser condu¸ c˜ ao (transporte de energia atrav´ es dos corpos).142) durante as fases em que as mudan¸ cas evolucion´ arias s˜ ao r´ apidas. ρ2 dt ρ3 2 1 dρ − 3 ρ5 3 dt ´ e igual ao termo da esquerda. 4πr2 ρ dr (23. Ela ´ e idˆ entica ` a (23. ρ2 dt 4πr2 ρ dr d dt Usando a equa¸ c˜ ao de estado de um g´ as ideal (23. podemos escrever: P = d dt Como 3 2 d ρ3 2 dt P ρ 5 3 k P k ρT −→ T = . entretanto.11 O Transporte de energia radiativo Se o interior estelar fosse isot´ ermico. a densidade m´ edia do Sol como representativa. e n˜ ao existiria um fluxo de radia¸ c˜ ao l´ ıquida em qualquer dire¸ c˜ ao. e mesmo no n´ ucleo de gigantes vermelhas. consideraremos. Se olharmos para fora. comparados com o raio estelar. K . novamente. A condu¸ c˜ ao normalmente ´ e muito lenta e. na dire¸ c˜ ao do centro. Portanto. veremos um fluxo de radia¸ c˜ ao vindo da regi˜ ao abaixo. Vamos representar a opacidade por seu coeficiente de absor¸ c˜ ao por unidade de massa.143). a anisotropia da radia¸ c˜ ao ser´ a grande. Se usarmos. Conseq¨ uentemente. muito efetiva. 23. O coeficiente de absor¸ c˜ ao no interior estelar ´ e da ordem de 1 g−1 cm2 e nunca muito menor. se olharmos. no interior das estrelas. Existem condi¸ c˜ oes especiais.(transporte de energia pelo movimento dos corpos). at´ e regi˜ oes bem mais quentes para dentro e at´ e regi˜ oes bem mais frias para fora. em que o livre caminho m´ edio dos el´ etrons ´ e muito grande. existe um gradiente radial de temperatura. Como o livre caminho m´ edio dos ´ ıons e el´ etrons ´ e t˜ ao pequeno. radia¸ c˜ ao e convec¸ c˜ ao. definido de forma que: Kρd nos d´ a a fra¸ c˜ ao da energia do feixe absorvida atravessando a distˆ ancia d . ou radia¸ c˜ ao (transporte de energia pelo campo eletromagn´ etico). vemos que Kρ ´ e da ordem de um cm−1 e. a condu¸ c˜ ao pode ser desprezada nas estrelas normais. portanto. Se a opacidade for baixa. como o caso de g´ as degenerado. os dois mecanismos de transporte de energia que dominam no interior da maioria das estrelas. Qual o valor desse fluxo? Isso depende da opacidade dos gases. n˜ ao contribui seriamente para o transporte de energia no interior estelar. Nas pr´ oximas se¸ c˜ oes. O fluxo resultante de radia¸ c˜ ao ´ e direcionado para fora. precisamos considerar estes mecanismos em detalhe para determinar o gradiente de temperatura que ir´ a produzir um fluxo que obede¸ ca ` a condi¸ c˜ ao (23. De fato. um pouco mais quente. de um dado ponto. portanto. no interior de estrelas an˜ as brancas e estrelas de nˆ eutrons. e o fluxo l´ ıquido para fora ser´ a grande. veremos radia¸ c˜ ao vinda de uma regi˜ ao um pouco mais fria. e a condu¸ c˜ ao por el´ etrons. uma distˆ ancia da ordem de 1 cm ´ e suficiente para 333 . de qualquer ponto do interior da estrela. veremos. a intensidade de radia¸ c˜ ao seria isotr´ opica.142) ou (23. Para qualquer desses trˆ es mecanismos ´ e o gradiente de temperatura que essencialmente determina o fluxo de energia. em detalhe. R = 7 × 1010 cm. portanto. θ) dw ds. e por unidade de ˆ angulo s´ olido (esferorradiano). Descrevendo o campo de radia¸ c˜ ao por sua intensidade I (r. energia por unidade de ´ area. portanto. ´ e de Tc = 15 × 106 K. O campo de radia¸ c˜ ao. muito longe. dentro de um ˆ angulo s´ olido dw. por unidade de tempo.absorver uma alta fra¸ c˜ ao da intensidade do feixe. N˜ ao veremos. com as perdas radiativas na superf´ ıcie. equivalente ao raio vetor r. S I dω θ P dA Figura 23. θ). em um cilindro com se¸ c˜ ao de choque ds e comprimento d . A diferen¸ ca de temperatura nessa pequena distˆ ancia ser´ a da ordem de um mil´ esimo de um grau. De fato.8: Intensidade e ˆ angulo s´ olido Considere os ganhos e perdas que a radia¸ c˜ ao sofre.12 A Equa¸ c˜ ao de transporte radiativo Vamos derivar a rela¸ c˜ ao entre o fluxo de radia¸ c˜ ao e o gradiente de temperatura. j´ a que a queda de temperatura por todo o raio do Sol. por unidade de tempo. a partir de qualquer ponto do interior da estrela. uma espessura de v´ arios cent´ ımetros ´ e completamente opaca. A intensidade de radia¸ c˜ ao entrando pela base ser´ a: +I (r. 334 . para dentro ou para fora. e r + dr. a uma distˆ ancia r do centro da estrela e em uma dire¸ c˜ ao inclinada de um ˆ angulo θ do raio vetor. 23. ´ e muito aproximadamente isotr´ opico e poder´ ıamos negligenciar essa pequena anisotropia. se o fluxo n˜ ao fosse a u ´nica forma de conectar os processos nucleares no interior. -d θ θ+d θ ds dr θ dl r Na u ´ltima express˜ ao. Seja j a energia total emitida. por unidade de massa. que a soma dos termos seja nula: I (r. para um elemento infinitesimal: I (r + dr. exigimos que os ganhos da radia¸ ca ˜o balancem exatamente as perdas. θ + dθ)dwds − I (r. A emiss˜ ao de toda a mat´ eria no cilindro. isto ´ e. por unidade de tempo. o incremento em r ocorre porque o topo do cilindro est´ a mais longe do centro do que a base. e o incremento em θ ocorre porque a curvatura introduzida pela simetria esf´ erica leva o topo vertical do cilindro a estar inclinado em rela¸ c˜ ao ` a base. θ)dwds − I (r + dr. precisamos incluir a emiss˜ ao dos gases no cilindro. 4π .enquanto a perda correspondente na superf´ ıcie superior ser´ a: −I (r + dr. θ + dθ) dw ds. Finalmente. isotropicamente em todas as dire¸ c˜ oes. ent˜ ao: +j ρ ds d dw . A perda de energia por unidade de tempo por absor¸ c˜ ao sobre o comprimento do cilindro ser´ a de: −I dw ds × Kρd . θ) = 335 ∂I ∂I dr + dθ. θ + dθ) − I (r. ∂r ∂θ dw = 0. na dire¸ c˜ ao contida pelo ˆ angulo s´ olido dw ser´ a. θ)dwdsKρd + jρdsd Como. 4π Se aplicarmos a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio t´ ermico especificamente para o campo de radia¸ c˜ ao. o problema ´ e simplificado pelo fato do campo ser quase isotr´ opico. em todas as dire¸ c˜ oes: F (r) ≡ H (r) = I cos θdw (23. e simplificando dw ds em todos os termos. 23.assumindo ∂I/∂φ = 0. por unidade de tempo. a densidade de energia u(r) ≡ E (r). em um segundo. em uma dire¸ c˜ ao θ. a intensidade ´ e a energia que atravessa a superf´ ıcie. a radia¸ c˜ ao F ocupar´ a 3 um volume c cm . cos θ dθ = − d sen θ . O fluxo ´ e a energia. e a press˜ ao de radia¸ c˜ ao PR (r).13 Equil´ ıbrio radiativo no interior estelar A solu¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao (23. na dire¸ c˜ ao θ. obtemos − ∂I ∂I jρ dr − dθ − IKρd + d =0 ∂r ∂θ 4π Usando as rela¸ c˜ oes geom´ etricas: d = obtemos dθ = − dr . por unidade de ´ area.146) . por unidade de tempo. que precisa ser obedecida a cada ponto da estrela. vamos considerar os trˆ es primeiros momentos da distribui¸ c˜ ao. o fluxo da radia¸ c˜ ao F (r) ≡ H (r).144) ∂I ∂I sen θ 1 cos θ − + IKρ − jρ = 0 ∂r ∂θ r 4π Essa ´ e a equa¸ c˜ ao b´ asica de transporte radiativo. r dr sen θ . Para o interior estelar. por unidade de ´ area. (23.145) A densidade de energia. pode ser derivada notando-se que. ser´ a dada por: u(r) ≡ E (r) = F dAd 1 = c cos θdAd c 336 Idw. se F for a quantidade de energia cruzando a ´ area dA. por unidade de angulo s´ ˆ olido. por unidade de tempo. Em vez de trabalharmos com a intensidade I . Ent˜ ao. a energia por unidade de volume. Por defini¸ c˜ ao. que representa a distribui¸ c˜ ao de radia¸ c˜ ao para cada dire¸ c˜ ao. ou energia por unidade de volume.144) para o campo de radia¸ c˜ ao representa um dos principais problemas na teoria de atmosferas estelares. r cos θ (23. 0 337 . A integral no primeiro termo ´ e igual a cPR (r). O n´ umero de f´ otons ´ e dado pela energia total dividida pela energia de cada f´ oton.144) sobre o elemento de ˆ angulo s´ olido dw. e a do terceiro termo ´ e igual a H (r).147) para dA e dt unit´ arios. ser´ a dada por PR (r) = I cos θdA dw dt hν cos θdA 1 = hν c dA c I cos2 θdw. Integrando (23. obtemos: ∂ ∂r I cos2 θdw− 1 r ∂I sen θ cos θdw+Kρ ∂θ I cos θdw− jρ 4π cos θdw = 0.Sabemos que a energia cruzando a ´ area dA ´ e I cos θdAdw dt.146) e notando que o segundo termo pode ser escrito como: dw ∂I sen θ = ∂θ 2π π dφ 0 0 2 sen θ dθ   π = 2π I sen θ   0 − 2 π 0 ∂I sen θ ∂θ π I sen θ cos θdθ 0 = −2 = −2 = −2H. (23. obtemos: I cos θ(2π sen θ dθ) I cos θdw dH 2 + H + cKρE − jρ = 0.148) Outra rela¸ c˜ ao ´ e obtida multiplicando-se (23. O u ´ltimo termo ´ e nulo.145) e (23. obtemos: ∂ ∂r I cos θdw − 1 r ∂I sen θ dw + Kρ ∂θ Idw − jρ 4π dw = 0.144) por cos θ e integrando sobre dw. pois dw = 2π sen θ dθ. dr r (23. hν . e: π cos θdw = 2π 0   π cos θ sen θ dθ = π sen2 θ    = 0. a press˜ ao transferida para a ´ area normal a dire¸ c˜ ao cos θdA. Como o momentum de cada f´ oton ´ e dado por p = hν/c. Usando-se a defini¸ c˜ ao (23. como a equa¸ c˜ ao (23. fazendo-se uma integra¸ c˜ ao por partes. .144). encontraremos uma rela¸ c˜ ao adicional entre os momentos. E . ∂r ∂θ r 4π ∂ ∂r I0 + In cosn θ cos θ + In cosn θ − 338 In n cosn−1 θsen2 θ + r 1 jρ = 0 4π (23. Representemos o campo de radia¸ c˜ ao em qualquer ponto da estrela por uma s´ erie: ∞ Logo: I = I0 + I1 cos θ + I2 cos2 θ + . . por um conjunto de equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias.149).150) e determinemos a taxa de convergˆ encia dessa s´ erie introduzindo-a na equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. com dv = ∂I ∂θ dθ e 2 u = sen θ cos θ: ∂I ∂I sen θ cos θ 2π sen θ dθ = 2π sen2 θ cos θdθ ∂θ ∂θ  π  π 2 = 2πI sen θ cos θ − I (2 cos2 θsen θ − sen3 θ) 2π dθ  0 π 0 = − 0 I (2 sen θ − 3 sen3 θ) 2π dθ π o = −c 2E (r) + 3 π I sen2 θ sen θ 2π dθ I (1 − cos2 θ)dw π o = −c 2E (r) + 3 o = −c 2E (r) + 3cE (r) − 3 = c E (r) − 3cPR (r) Icos2 θdw Kρ dPR 1 + (3PR − E ) + H = 0.148) e (23. = I0 + n=1 In cosn θ. Para resolver o sistema. (23. H e PR . (23. usando a quase-isotropia do campo de radia¸ c˜ ao no interior estelar.144): ∂I sen θ 1 ∂I cos θ − + KρI − jρ = 0.No segundo termo.151) + KρI0 + Kρ . com as equa¸ co ˜es (23. Essa insuficiˆ encia quase sempre ´ e encontrada quando se substitui uma equa¸ c˜ ao diferencial parcial.149) dr r c Obtivemos somente duas equa¸ c˜ oes com trˆ es fun¸ c˜ oes. portanto. localmente. sem qualquer fluxo resultante.147) para os trˆ es momentos. 339 .150) nas equa¸ c˜ oes (23. nos restringir aos dois primeiros termos da s´ erie (23.∂ ∂r I0 + In cosn θ cos θ + In cosn θ − In n cosn−1 θ(1 − cos2 θ) + r 1 jρ = 0 4π (23. Introduzindo os dois primeiros termos da s´ erie (23. n˜ ao precisamos levar em considera¸ c˜ ao as transi¸ c˜ oes dos elementos. Essa condi¸ c˜ ao ´ e chamada de equil´ ıbrio termodinˆ amico local. e o raio do Sol ´ e R = 7 × 1010 cm.150) converge rapidamente no interior estelar. Portanto. as condi¸ c˜ oes no interior das estrelas podem ser consideradas em equil´ ıbrio termodinˆ amico. a s´ erie (23.145) a (23. porque todas as popula¸ c˜ oes dos n´ ıveis dependem de s´ o um parˆ ametro. Isto ´ e. j´ a que a diferen¸ ca do equil´ ıbrio termodinˆ amico ´ e t˜ ao pequena. Nesse caso.153) ∂In nIn (n + 1)In+1 + − + κρIn+1 = 0 ∂r r r dIn−1 (n − 1)In−1 nIn + − + KρIn = 0 dr r r e obtemos a f´ ormula de recorrˆ encia. obtemos: I = I0 + I1 cos θ. para n > 0: cosn θ Como κρ 1 (n + 1)In+1 dIn nIn + = + κρIn+1 dr r r Aproximando dIn−1 dr In In−1 In−1 R n R obtemos 1 n R Kρ + 10−10 j´ a que Kρ 1 cm−1 .150). Podemos.152) + KρI0 + Kρ Como nossa expans˜ ao vale para qualquer θ. n˜ ao podemos usar somente o primeiro termo porque ter´ ıamos ca´ ıdo novamente na condi¸ c˜ ao de isotropia do campo de radia¸ c˜ ao. a igualdade precisa ser exata para cada potˆ encia de cos θ: KρI0 − cosn θ 1 jρ = 0 4π (23. a temperatura cin´ etica dos el´ etrons. c H= 4π I1 . 3 PR = 4π I0 .   2 0 H = I cos θdw π π = 2πI0 Como 0 sen θ cos θdθ + 2πI1 π cos2 θsen θ dθ.   4 0 3 obtemos: E= 4π I0 .154) obtemos: H= Para a press˜ ao de radia¸ c˜ ao (23.E = = = = j´ a que 1 Idw c π 1 2π I0 dw + I1 cos θ sen θ dθ c c 0 π  4π 2π sen2 θ    I0 + I1   c c 2 0 4π I0 .154) e π 0 4π I1 .147): PR = = Usando (23. π  cos4 θ    cos θ sen θ dθ = − = 0. 0 e 0 π cos2 θ sen θ dθ = − π  cos3 θ  1 1 2   = + = . c π  sen2 θ    = 0. 0 sen θ cos θdθ = 0.   3 3 3 3 0 (23. 3c 340 . 3 1 I cos2 θdw c 2π 2π I0 cos2 θ sen θ dθ + I1 c c cos3 θ sen θ dθ. Primeiro.149). portanto. 4π Planck Bν dν = ∞ σ 4 T . Com a ajuda da equa¸ c˜ ao (23.148) e (23. e ` a quarta potˆ encia da temperatura T do g´ as emitente. ´ e dada por: σ= j = KacT 4 + ε.156) de onde segue que: Agora.155). ´ e proporcional ao coeficiente de absor¸ c˜ ao K . precisamos introduzir uma express˜ ao para a emissividade j . (23. ` a constante de Stefan-Boltzmann a. ε. completam o conjunto de trˆ es equa¸ c˜ oes para os trˆ es momentos. π c·a acT 4 −→ I0 = −→ j = KacT 4 . 4 4π A segunda contribui¸ c˜ ao vem dos processos nucleares e ´ e igual ` a produ¸ c˜ ao de energia nuclear por unidade de massa. pelo fluxo por toda a esfera. ent˜ ao.148) e (23. junto com as rela¸ c˜ oes (23. A emiss˜ ao consiste de duas partes. da ordem de 10−20 . que.142) na equa¸ c˜ ao (23. a primeira contribui¸ c˜ ao vem da emiss˜ ao t´ ermica normal.155) PR = E. A express˜ ao completa para a emissividade.149). Isso porque. H .155) ´ e a rela¸ c˜ ao adicional que. vamos substituir o fluxo por unidade de ´ area. podemos. de acordo com a lei de Kirchhoff. em equil´ ıbrio t´ ermico.157) Finalmente. agora.153): KρI0 = e I0 = Como 0 jρ −→ j = 4πKI0 . O erro relativo nessa rela¸ c˜ ao ser´ a da ordem de I2 /I0 . A equa¸ c˜ ao (23. 3 onde E ´ e a energia do campo de radia¸ c˜ ao por unidade de volume. a luminosidade Lr . com precis˜ ao suficiente.1 (23.148): dH 2 + H + cKρE − jρ = 0 dr r 341 . ` a velocidade da luz c. usando a rela¸ c˜ ao geom´ etrica: Lr = 4πr2 H. podemos usar a rela¸ c˜ ao (23. (23. podemos eliminar ε com a ajuda da condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. simplificar as duas equa¸ c˜ oes diferenciais (23. que anula o segundo termo.H= Como L d −→ 4πr2 dr d dr L 4πr2 L 4πr2 + 2 r L 4πr2 + cKρE − jρ = 0.159) 1 PR = E 3 na equa¸ ca ˜o (23.155) a 4 T 3 (23. cK (23. obtemos: 1 dE Kρ =− H 3 dr c Como.157).155): 1 PR = E 3 obtemos uma forma simples para a press˜ ao de radia¸ c˜ ao: PR = Introduzindo-se (23.158) Substituindo-se (23. da equa¸ c˜ ao (23.142): 2L 4πr3 dL = 4πr2 ρε. 2 4πr dr 4πr3 + cKρE − jρ = 0.149).158) na rela¸ c˜ ao entre a press˜ ao de radia¸ c˜ ao e a densidade de energia (23. eliminando ρ: j−ε cK e usando a rela¸ ca ˜o para a emissividade (23. pela equa¸ c˜ ao (23. = 1 dL 2L − . 1 dL 2L + − 2 4πr dr 4πr3 Como. obtemos: E= E= KacT 4 = aT 4 . dr Obtemos: ρε + cKρE − jρ = 0.158): dE d dT = aT 4 = 4aT 3 dr dr dr 342 . e as rea¸ c˜ oes nucleares. T = 107 K. j´ a obtivemos uma luminosidade da ordem da luminosidade das estrelas. essa temperatura ´ e da ordem de 3 milh˜ oes de graus Kelvin. da mesma maneira que usamos a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico. as diferen¸ cas correspondentes. para as derivadas.156). Usaremos r = (1/2)R .160) Substituindo-se a rela¸ c˜ ao (23. para o rec´ ıproco de Kρ um cent´ ımetro e.161) Essa ´ e a nossa quarta equa¸ c˜ ao b´ asica de equil´ ıbrio. obtemos: L ≈ 6 × 1035 ergs/s.15 A rela¸ c˜ ao massa-luminosidade No mesmo esp´ ırito. Ela fixa o valor do fluxo l´ ıquido de radia¸ c˜ ao como uma fun¸ c˜ ao do gradiente de temperatura e da opacidade dos gases atravessados pela radia¸ c˜ ao. Mas ´ e interessante que. Com essa estimativa grosseira. sem levar em considera¸ c˜ ao qualquer detalhe das equa¸ c˜ oes b´ asicas.obtemos: Hr = − 4ac T 3 dT 3 Kρ dr (23. podemos usar a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo para estimar como a luminosidade de uma estrela depende da sua massa. aplicando a condi¸ c˜ ao (23. Usemos: ρ∝ M R3 343 . 23. 23. Na verdade.14 Ordem de grandeza da luminosidade Podemos usar a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. obtemos finalmente: Lr = −4πr2 4ac T 3 dT 3 Kρ dr (23. conforme nossa estimativa anterior. principalmente porque nossa estimativa da temperatura no meio do Sol est´ a muito alta. Nossa estimativa supera a luminosidade do Sol por um fator de 100.161) para um ponto no meio do Sol.161) para uma estimativa da ordem de grandeza da luminosidade. 23. encontrando: L ∝ R2 M 3 R3 M/R R3 M R L ∝ M3 A dependˆ encia sobre o raio se cancela e obtemos a rela¸ c˜ ao massa-luminosidade te´ orica. Se a press˜ ao interna precisa ser alta o suficiente para esse equil´ ıbrio. Se a energia nuclear gerada ´ e menor do que a perda por 344 . O gradiente de temperatura.99). aproximando as derivadas pelas diferen¸ cas. e o expoente depende da massa da estrela.Substituindo na equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico (23. compensada – ou n˜ ao – pela produ¸ c˜ ao de energia nuclear no interior. da maneira mais simples. agora. de acordo com a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico (23. causar´ a um fluxo resultante de radia¸ c˜ ao.161). de acordo com a equa¸ c˜ ao de estado (23.99) e. para a temperatura: P = ρ M M kT ∝ 3 T −→ T ∝ m R R Podemos. encontramos: P GM M M2 ∝ 2 3 −→ P ∝ 4 R R R R Introduzindo essas duas proporcionalidades na equa¸ c˜ ao de estado de um g´ as ideal (23. As raz˜ oes f´ ısicas podem ser sumarizadas como segue.16 Estabilidade do equil´ ıbrio t´ ermico Nossa u ´ltima estimativa mostra que a luminosidade de uma estrela n˜ ao ´ e determinada por sua taxa de gera¸ c˜ ao de energia por processos nucleares nenhuma estimativa dessas foi usada nas deriva¸ c˜ oes at´ e agora . da temperatura alta no interior para a temperatura baixa na fotosfera. a temperatura precisa ser alta. substituir a dependˆ encia de ρ e T em fun¸ c˜ ao de M e R na condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. de acordo com a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23.101).mas somente pela condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. Esse fluxo est´ a fixado pela condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. causada pelo fluxo de radia¸ c˜ ao. Essa rela¸ c˜ ao ´ e aproximada. seja a perda de energia.161) e assumir que o coeficiente de absor¸ c˜ ao seja uma constante.101).161). obtemos. indicando que a luminosidade cresce com a terceira potˆ encia da massa. A press˜ ao do g´ as precisa contrabalan¸ car a gravidade.161). ent˜ ao. ` a luminosidade da estrela. atrav´ es da contra¸ c˜ ao ou expans˜ ao. Deixemos que o elemento se expanda adiabaticamente (sem perda de calor) at´ e que a press˜ ao dentro do elemento de volume seja igual ` a press˜ ao do meio que o circunda. nenhum movimento de massa por convec¸ c˜ ao persiste. a estrela sofre uma perda de energia total. como discutido na se¸ c˜ ao anterior. isto ´ e. at´ e sua posi¸ c˜ ao inicial. ou se ele continua a se mover para cima. Esse balan¸ co n˜ ao ´ e atingido alterando a luminosidade. Se 345 . mas a taxa de rea¸ c˜ oes nucleares. em uma certa camada de uma certa estrela. A outra metade automaticamente aumenta a energia t´ ermica. a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo esteja satisfeita. e o transporte de energia por convec¸ c˜ ao n˜ ao ocorre. Precisamos. a temperatura interna se elevar´ a e. o equil´ ıbrio radiativo ´ e inst´ avel a perturba¸ c˜ oes. por uma distˆ ancia dr. somente metade da energia gravitacional perdida pode ser liberada como radia¸ c˜ ao na fotosfera. Existem circunstˆ ancias especiais em que a estrela n˜ ao consegue balan¸ car a produ¸ c˜ ao de energia nuclear com a perda por radia¸ c˜ ao atrav´ es de uma contra¸ c˜ ao ou expans˜ ao moderada. e o transporte de energia por convec¸ c˜ ao ´ e uma conseq¨ uˆ encia. 23. De acordo com o teorema do virial (23. portanto. ocorrem movimentos de massa. A u ´nica maneira de compensar essa perda de energia ´ e pela libera¸ c˜ ao de energia gravitacional por contra¸ c˜ ao. portanto. a estrela tem como balan¸ car o ganho de energia por rea¸ c˜ oes nucleares e a perda por radia¸ c˜ ao. Isso ocorre quando a densidade interna ´ e t˜ ao alta que a equa¸ c˜ ao de estado do g´ as ideal (23. em que os el´ etrons est˜ ao degenerados.101) n˜ ao ´ e v´ alida. Soltemos esse elemento para verificar se ele volta para baixo. Durante a contra¸ c˜ ao. conseq¨ uentemente.17 Transporte de energia por convec¸ c˜ ao Assumamos que.17. determinar as condi¸ c˜ oes sob as quais o equil´ ıbrio radiativo ´ e inst´ avel. a taxa de rea¸ c˜ oes nucleares aumentar´ a. Dessa forma. como no n´ ucleo de algumas gigantes e supergigantes vermelhas.radia¸ c˜ ao na fotosfera. Se.105). entretanto. Se esse equil´ ıbrio ´ e est´ avel contra perturba¸ c˜ oes. 23.1 Condi¸ c˜ ao de estabilidade do equil´ ıbrio radiativo Consideremos a seguinte perturba¸ c˜ ao: tomemos um pequeno elemento de volume no interior da estrela. A contra¸ c˜ ao parar´ a quando a energia liberada pelas rea¸ c˜ oes nucleares for igual ` a perda por radia¸ c˜ ao na fotosfera. Desloquemos esse elemento de mat´ eria para cima. a camada est´ a em equil´ ıbrio radiativo est´ avel. temos: ∗ P2 = P2 e ρ∗ 2 = ρ1 ∗ P2 ∗ P1 1 γ onde γ ´ e o coeficiente de expans˜ ao adiab´ atica (dever´ ıamos usar Γ1 no caso geral) cp γ= cv igual ` a raz˜ ao dos calores espec´ ıficos ` a press˜ ao constante e ao volume constante. ele retorna ` a posi¸ c˜ ao inicial. a press˜ ao est´ a novamente em equil´ ıbrio com o meio circundante. e movimentos de convec¸ c˜ ao persistem.9: Deslocamento por convec¸ c˜ ao. de modo que: ∗ ρ∗ 1 = ρ1 e P1 = P1 Depois do deslocamento. e tem valor de 5/3 para um g´ as altamente ionizado.P 1 1 Figura 23. Dessa forma. enquanto o subscrito 2 se refere ` a posi¸ c˜ ao mais alta para a qual o elemento foi elevado. O subscrito 1 se refere ` a posi¸ c˜ ao original. Antes de come¸ carmos a perturba¸ c˜ ao. o equil´ ıbrio radiativo ´ e inst´ avel.P 2 2 dr ρ*. o elemento em considera¸ c˜ ao tem as mesmas propriedades do meio que o cerca. Se ele continua a se mover para cima. P * 1 1 ρ . P * ρ 2 2 ρ . usemos a nomenclatura da figura anterior: as quantidades do interior do elemento s˜ ao designadas por asterisco. Em maior detalhe. enquanto as quantidades do meio n˜ ao-perturbado n˜ ao tˆ em asterisco. mas a densidade interna estar´ a determinada pela expans˜ ao adiab´ atica do elemento. A for¸ ca de press˜ ao exercida sobre o volume ap´ os seu deslocamento n˜ ao ser´ a alterada pela perturba¸ c˜ ao.*. A for¸ ca gravitacional sobre o mesmo ele346 . 101). γ 1 dρ 1 1 dP < ρ dr γ P dr Essa desigualdade ´ e uma forma exata e geral da condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio contra movimentos convectivos em qualquer camada da estrela. e o elemento sofrer´ a uma for¸ ca resultante para baixo. para o caso em que o peso molecular m ´ e constante. Para o caso de uma equa¸ c˜ ao de estado de g´ as ideal (23. foi alterada se a densidade dentro do elemento for diferente da densidade do meio.162) 1 d ln P. entretanto. As quantidades na posi¸ c˜ ao mais alta (subscrito 2) podem ser expressas em termos das quantidades e suas derivadas na posi¸ c˜ ao inicial (subscrito 1). voltando ` a sua posi¸ c˜ ao inicial. Essa condi¸ c˜ ao de estabilidade pode ser transformada em uma forma mais conveniente.mento. Portanto.162) fica: − 1− 1 γ T dP dT >− P dr dr 347 (23.163) . se a densidade interna for maior do que a do meio. Como: 1 ∗ γ P2 ρ2 < ∗ ρ1 P1 No limite de varia¸ c˜ oes infinitesimais: d ln ρ < Logo: ou − 1 dρ 1 1 dP >− ρ dr γ P dr (23. e a camada ser´ a completamente est´ avel. a for¸ ca gravitacional ser´ a maior. essa condi¸ c˜ ao pode ser escrita. como: P = ou k ρT −→ d ln P = d ln m k ρT m = k/m ρdT + T dρ d(ρT ) = kρT /m ρT dT dρ dP − = P T ρ de modo que a rela¸ c˜ ao (23. sob a condi¸ c˜ ao: 1 ∗ γ P2 ∗ ρ2 > ρ2 −→ ρ1 > ρ2 ∗ P1 qualquer perturba¸ c˜ ao ser´ a imediatamente contrabalan¸ cada. Especificamente. A condi¸ c˜ ao (23.163) pode ser escrito como: ∇ − ∇ad > 0 (23. sem considera¸ c˜ oes especiais. j´ a que ele representa o gradiente de temperatura se a press˜ ao e a temperatura seguissem uma rela¸ c˜ ao adiab´ atica.µ ∂ ln P ∂ ln µ T.163) n˜ ao podem ser aplicadas. nesse caso. como normalmente ocorre em estrelas evolu´ ıdas. Um crit´ erio semelhante.162) e (23.ρ chama-se crit´ erio de Ledoux.Como o gradiente de press˜ ao e o gradiente de temperatura s˜ ao sempre negativos. O lado direito da equa¸ c˜ ao cont´ em o verdadeiro gradiente de temperatura na camada. os dois lados da equa¸ c˜ ao contˆ em quantidades positivas. for menor do que o gradiente de temperatura adiab´ atico. d ln T d ln P < d ln T d ln P − ad χµ d ln µ χT d ln P (23. e definindo: d ln P = χρ d ln ρ + χT d ln T + χµ d ln µ onde os expoentes da equa¸ c˜ ao de estado s˜ ao dados por χρ ≡ ∂ ln P ∂ ln ρ χT ≡ T.163) significa dizer que a camada ser´ a est´ avel se o gradiente de temperatura real.165) 348 . levando-se em conta essa possibilidade. Note que essa condi¸ c˜ ao n˜ ao leva em conta a possibilidade de mudan¸ ca de composi¸ c˜ ao entre as duas camadas. pois. O lado esquerdo ´ e normalmente chamado de gradiente de temperatura adiab´ atico. para camadas com composi¸ c˜ ao qu´ ımica diferentes.µ ∂ ln P ∂ ln T χµ ≡ ρ. As condi¸ c˜ oes de estabilidade (23. Nesse caso. ∇≡ d ln T d ln P ∇ad ≡ d ln T d ln P ∇µ ≡ S d ln µ d ln P o crit´ erio de Schwarzschild para que haja convec¸ c˜ ao (23. d ln P Usando a nomenclatura dos deltas.163) ´ e chamada de condi¸ c˜ ao de estabilidade de Schwarzschild. A condi¸ c˜ ao (23. d ln µ > 0. tende a estabilizar a regi˜ ao contra a convec¸ c˜ ao. desenvolvida por Karl Schwarzschild (1873-1916) em 1906. em valor absoluto.164) proposto pelo belga Paul Ledoux (1914-1988). ou crit´ erio de Schwarzschild. um peso molecular µ que aumenta para dentro. Se assumirmos uma equa¸ c˜ ao de g´ as ideal para o g´ as.170) Ao se construir um modelo de estrela. o gradiente de press˜ ao precisa ser computado usando-se a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico (23. isto ´ e. e a press˜ ao total como a soma da press˜ ao de radia¸ c˜ ao mais press˜ ao do g´ as.163) precisa ser verificada em cada camada do modelo.167) (23. e definirmos γg como o coeficiente para o g´ as.166) (23. a condi¸ c˜ ao de estabilidade (23. o coeficiente γ da combina¸ c˜ ao pode ser escrito em termos da raz˜ ao da press˜ ao do g´ as para a press˜ ao total. 4. finalmente Γ2 32 − 24β − 3β 2 = Γ2 − 1 2(4 − 3β ) (23.161).169) Γ3 − 1 = Γ1 = β + (4 − 3β ) (Γ3 − 1) e.99).e o crit´ erio de Ledoux (23. Ptotal ∂ ln T ∂ ln ρ Γ3 − 1 Γ1 S Γ2 − 1 ≡ Γ2 ∂ ln T ∂ ln P = ∇ad = S 2 Para um g´ as ideal Γ1 = Γ2 = Γ3 = γ = 5 3 e ∇ad = 5 = 0. β ≡ Pg /P : γ= cv = 3NA k 2µ 2 3 Γ1 β 8 − 7β β 4 − 3β 8 − 7β (23. e seus valores inseridos na condi¸ c˜ ao 349 . 4 − 3β (Γ3 − 1) ≡ S Pg´ as .164).168) (23. o gradiente de temperatura precisa ser calculado usando-se a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio radiativo (23. levando-se em conta a press˜ ao de radia¸ c˜ ao. e definindo β= pode ser escrito como: ∇ − ∇ad − Como Γ1 ≡ ∂ ln P ∂ ln ρ β ∇µ > 0. P = Ptotal = Pg´ as + PR . pois ´ e muito sens´ ıvel ao estado de ioniza¸ c˜ ao dos constituintes dominantes. Lr L e Mr M . em conseq¨ uˆ encia. Nos n´ ucleos de estrelas. o gradiente adiab´ atico n˜ ao ´ e constante. tˆ em zonas de convec¸ c˜ ao pr´ oximas ` a superf´ ıcie. e o equil´ ıbrio radiativo se aplica. P/T 4 ´ e uma fun¸ c˜ ao que varia suavemente com a posi¸ c˜ ao na estrela.171) Como normalmente. e da raz˜ ao Lr /Mr .163). No n´ ucleo das estrelas. enquanto que a massa aumenta com o raio. Lr /Mr aumenta o suficiente em estrelas com fontes de energia concentradas (estrelas mais massivas). embora n˜ ao sempre. Um elemento perturbado que se desloque para cima ter´ a densidade interna menor do que a do meio circundante. De acordo com a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23.161). Usando-se a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. Entretanto. 23. em dire¸ c˜ ao ao centro. Mas. o gradiente adiab´ atico torna-se muito pequeno. hidrogˆ enio e h´ elio. obtemos: d ln T d ln P = KP Lr 3 16πacG T 4 Mr (23.99). Dessa forma.2 Equil´ ıbrio convectivo Consideremos uma camada em que a condi¸ c˜ ao de estabilidade (23.161). todas as estrelas que n˜ ao s˜ ao quentes o suficiente para que o hidrogˆ enio esteja completamente ionizado na fotosfera. Ele estar´ a submetido a uma for¸ ca resultante para cima e. Se essa condi¸ c˜ ao ´ e satisfeita. Portanto. portanto. Esse problema tem conseq¨ uˆ encias significativas nos modelos estelares. A luminosidade Lr se mant´ em basicamente constante. a camada ´ e est´ avel.(23.163) n˜ ao for satisfeita? Essa ´ e a quest˜ ao que precisamos agora considerar em detalhe.163) n˜ ao ´ e satisfeita. Um valor alto da opacidade implica um valor alto do gradiente de temperatura. e essas estrelas ter˜ ao n´ ucleo convectivo. a opacidade geralmente decresce em dire¸ c˜ ao ao centro e esse efeito dificulta o in´ ıcio da convec¸ c˜ ao. Em uma regi˜ ao de ioniza¸ c˜ ao parcial. e se a condi¸ c˜ ao (23.17. os fluxos de radia¸ c˜ ao s˜ ao consider´ aveis e altas opacidades muitas vezes ocorrem. e uma zona de convec¸ c˜ ao se inicia. o in´ ıcio da convec¸ c˜ ao no n´ ucleo da estrela ´ e determinado pelos valores da opacidade K . para que um dado valor do fluxo seja transportado pela radia¸ c˜ ao. continuar´ aa 350 . inst´ aveis – gradientes de temperatura.162) ou (23. e a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio hidrost´ atico (23. estas duas circunstˆ ancias levam a altos – e. e o fator Lr /Mr n˜ ao mais determina o in´ ıcio da convec¸ c˜ ao. Nas camadas externas. alcance o valor que satisfa¸ ca exatamente a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio t´ ermico (23. reduzindo. de acordo com a equa¸ c˜ ao de estado (23. Esse fluxo de energia adicional tem o seguinte efeito na estrutura de uma camada inst´ avel. Similarmente.101). Nesse est´ agio. a instabilidade do equil´ ıbrio radiativo leva a uma outra condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio. o transporte de energia convectivo. movimentos convectivos iniciam-se na camada. ` a menor perturba¸ c˜ ao. portanto. enquanto a temperatura das camadas mais altas. maior. o elemento carrega um excesso de energia t´ ermica para cima. ascendente e descendente. menor. carrega uma deficiˆ encia de energia t´ ermica para baixo. contribuem para o transporte de energia convectivo para cima. uma temperatura menor. com uma densidade maior e. pois uma redu¸ c˜ ao no excesso do gradiente verdadeiro sobre o gradiente adiab´ atico causa uma redu¸ c˜ ao no excessos e deficiˆ encias de temperatura dos elementos em movimento. ter´ a. A redu¸ c˜ ao no gradiente levar´ aa uma imediata redu¸ c˜ ao no fluxo de radia¸ c˜ ao. devido ` a instabilidade. Dessa forma. pelo momento. o equil´ ıbrio convectivo. pelo princ´ ıpio de Arquimedes [Arquimedes de Siracusa (∼287-212 a. portanto.)]. A redu¸ c˜ ao no gradiente tamb´ em diminuir´ ao fluxo convectivo.C. de acordo com a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. em que movimentos convectivos ocorrem pelas camadas. Agora. Como sua press˜ ao interna foi ajustada pela expans˜ ao para igualar-se com a do meio. um elemento em movimento descendente. o gradiente de temperatura diminui por causa da convec¸ c˜ ao.161). um elemento que se desloque para baixo ser´ a mais pesado do que o meio circundante e continuar´ a a se mover para baixo. em qualquer camada. radia¸ c˜ ao e convec¸ c˜ ao produzem um fluxo de energia que carrega para fora exatamente a quantidade de energia produzida pelas rea¸ c˜ oes nucleares e n˜ ao haver´ a mais mudan¸ ca de temperaturas.102).se mover para cima. com o fluxo radiativo carregando a energia produzida pelos processos nucleares. Dessa forma. aumentar´ a. iniciam-se movimentos convectivos em uma camada inst´ avel. como vimos. sua temperatura precisa ser maior do que a do meio. 351 . uma densidade menor do que a do meio. Portanto. que a camada estava em equil´ ıbrio radiativo prec´ ario. Similarmente. adicionado ao fluxo convectivo. Que conseq¨ uˆ encias t´ ermicas resultar˜ ao desses movimentos? Um elemento que se move para cima. A redu¸ c˜ ao no gradiente de temperatura por convec¸ c˜ ao continuar´ a at´ e que o fluxo radiativo. O fluxo convectivo transportar´ a energia t´ ermica das camadas mais baixas para as mais altas: a temperatura das camadas mais baixas. decrescer´ a. Os dois elementos. Assumamos. agora.17. seu excesso de temperatura ser´ a: dT = 1− 1 γ T dP dT × dr − × dr ≡ ∆∇T × dr P dr dr 1 γ T dP dT − P dr dr (23.10: Detalhe da fotosfera do Sol mostrando as c´ elulas de convec¸ c˜ ao.23. dentro do elemento. Precisamos. e a mudan¸ ca de temperatura real no meio. multiplicarmos pela velocidade do elemento v .172) onde o s´ ımbolo: ∆∇T ≡ 1− (23. precisamos considerar em detalhe o transporte de energia dos elementos em movimento. de acordo com a teoria do comprimento de mistura (mixing length theory). obtemos o excesso de energia t´ ermica por unidade de volume.173) representa o excesso do gradiente de temperatura real – em valor absoluto – sobre o gradiente de temperatura adiab´ atico. derivar uma rela¸ c˜ ao entre o gradiente de temperatura e o fluxo total de energia no estado de equil´ ıbrio convectivo. Se. e Erika B¨ ohm-Vitense (1923-) em 1958. que tˆ em entre 2 000 e 5 000 km de extens˜ ao e duram entre 5 e 10 min. desde o ponto de in´ ıcio do movimento at´ e seu ponto final. ainda. Para isso. baseados no trabalho do alem˜ ao Ludwig Prandtl (1875 -1953) de 1925. O excesso de temperatura de um elemento ascendente sobre o meio circundante ´ e dado pela diferen¸ ca entre a mudan¸ ca de temperatura adiab´ atica. Se multiplicarmos esse excesso de temperatura por cp ρ. obteremos 352 . Se o elemento se deslocou uma distˆ ancia dr. desenvolvida pelos alem˜ aes Ludwig Franz Benedikt Biermann (1907-1986) em 1951.3 Transporte de energia por convec¸ c˜ ao Figura 23. que o elemento se move antes de se dissolver no 353 . pela seguinte f´ ormula. a equa¸ c˜ ao (23. A equa¸ c˜ ao (23. ou livre caminho m´ edio.175) como representativa de todos os elementos de uma camada. a for¸ ca m´ edia ´ e obtida multiplicando-se por 1/2. E etica do elemento. ela vale para elementos ascendentes e descendentes. Introduzimos. ainda. obtemos o trabalho realizado pelo excesso de ´ esse trabalho que produz a energia cin´ for¸ ca sobre o elemento.175) Como os dois lados da equa¸ c˜ ao (23. j´ a que a velocidade v precisa ser determinada. tomarmos v e dr como representando m´ edias apropriadas. (23. ou excesso de for¸ ca para cima. A equa¸ c˜ ao (23. similarmente ao excesso de temperatura. j´ a que uma mudan¸ ca de sinal em dr compensa uma mudan¸ ca em sinal em v . Multiplicando-se esse excesso de for¸ ca m´ edia pela distˆ ancia dr. e v ´ e tomada como a velocidade m´ edia do deslocamento vertical de todos os elementos de uma camada.174) j´ a representa a rela¸ c˜ ao necess´ aria entre o transporte de energia convectivo e o gradiente de temperatura. usando-se a desigualdade (23. γ P dr dr T Se a deficiˆ encia de densidade ´ e multiplicada pela acelera¸ c˜ ao gravitacional. se.175) s˜ ao quadr´ aticos em v e r.174) representa o fluxo m´ edio produzido por movimentos convectivos se dr ´ e tomado como o deslocamento m´ edio (isto ´ e. novamente. em uma forma conveniente.162): dρ = − dρ ρ 1 ρ dP × dr + × dr = ∆∇T × dr. N˜ ao est´ a. podemos tomar a equa¸ c˜ ao (23. pelas seguintes considera¸ c˜ oes dinˆ amicas. obtemos a deficiˆ encia em for¸ ca gravitacional. um comprimento de mistura (mixing length) para representar a distˆ ancia vertical m´ edia. por unidade de tempo: H = ∆∇T dr cp ρ v.174) do fluxo. primeiro. Como essa for¸ ca atua somente ao final do deslocamento. Ela pode ser utilizada para eliminar a velocidade de convec¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao (23. aqui. 2 T r 2 (23. A deficiˆ encia de densidade do elemento ascendente sobre o meio circundante pode ser calculada. De fato. a distˆ ancia vertical a partir da camada em que o elemento tinha a mesma temperatura interna do meio).175) nos d´ a a velocidade de convec¸ c˜ ao em termos do gradiente de temperatura.o fluxo de energia por unidade de ´ area.174) Exatamente a mesma equa¸ c˜ ao vale para o elemento descendente. Portanto: ρ GMr 1 1 2 ρv = ∆∇T × dr 2 dr. Portanto. Definimos = αλp . Deve ficar claro que a teoria do comprimento de mistura representa uma extrema simplifica¸ c˜ ao ao processo f´ ısico real de convec¸ c˜ ao. a distˆ ancia em que a press˜ ao varia por um fator e. Ela envolve uma grande incerteza.meio circundante.174) e (23. para as camadas inst´ aveis em que a densidade decresce de um grande fator. isso seria uma grande super-estimativa do comprimento de mistura. nem mesmo para profundidades diferentes da 354 . denominamos a teoria de ML1. que o comprimento de mistura n˜ ao ´ e o mesmo para tipos de estrelas diferentes. podemos representar a distˆ ancia m´ edia que um elemento se move em um momento arbitr´ ario como: dr = 1 . isto ´ e. Entretanto. definida como: λp ≡ − d ln P dr −1 = P gρ usando-se a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio hidrost´ atico (23. inicia-se um fluxo de mat´ eria quente do fundo para a superf´ ıcie e vice-versa. como no caso em que a regi˜ ao convectiva ocorre perto da superf´ ıcie. elementos (bolhas) frios da camada superior afundam uma distˆ ancia e se dissolvem. tamb´ em. Correspondentemente. onde α ´ e chamado do parˆ ametro do comprimento da mistura. pr´ oximo ` a fervura. Em termos do comprimento de mistura. Esse mesmo efeito ocorre quando fervemos ´ agua em uma panela. λp . usamos esta u ´ltima distˆ ancia. poder´ ıamos igualar o comprimento de mistura ` a profundidade da camada inst´ avel.99).176) representa nossa rela¸ c˜ ao final entre o fluxo de energia convectivo e o gradiente de temperatura. e definindo g como a acelera¸ c˜ ao gravitacional. Um valor mais pr´ oximo da realidade ´ e assumir que o comprimento de mistura seja uma ou duas vezes a escala de varia¸ c˜ ao de press˜ ao. Se maior. Uma varia¸ c˜ ao ´ e usar esta rela¸ c˜ ao somente se αλp for menor ou igual ` a distˆ ancia da posi¸ c˜ ao em quest˜ ao at´ e o limite superior da zona de convec¸ c˜ ao. As observa¸ c˜ oes recentes indicam. da base at´ e a camada superior. Para α = 1.175): H = cp ρ GMr T r2 1 2 (∆∇T ) 2 3 2 4 (23. Ao mesmo tempo. o valor do comprimento de mistura.176) A equa¸ c˜ ao (23. 2 Dessa forma obtemos das equa¸ c˜ oes (23. Experimentos em laborat´ orio indicam que o comprimento de mistura ´ e geralmente compar´ avel ao tamanho linear do volume em que observamos convec¸ c˜ ao. Vamos. Vamos. Esse valor deve ser comparado com o valor do gradiente. podemos escrever: H = Hradiativo + Hconvectivo (23. quando a instabilidade convectiva ocorre logo abaixo da fotosfera de uma estrela – como muitas vezes ´ e o caso – e. usaremos ≈ 1 R. tamanho e luminosidade do Sol calculados pelos modelos sejam iguais ` as observadas. De fato. α = 1. obteremos para o excesso do gradiente de temperatura: ∆∇T ≈ 2 × 10−10 K/cm.4 Aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica para o gradiente de temperatura Para obtermos uma rela¸ c˜ ao completa entre o fluxo total de energia e o gradiente de temperatura.17.176). s˜ ao altamente n˜ ao-locais e n˜ ao-lineares. podemos resolver a equa¸ c˜ ao para o gradiente de temperatura. usar para o fluxo convectivo. seu limite superior. incluindo turbulˆ encia. 10 Veremos que a incerteza nesse valor ´ e de pouca conseq¨ uˆ encia para zonas de convec¸ c˜ ao no n´ ucleo de uma estrela. que ´ e o fluxo total.177) Se introduzirmos na equa¸ c˜ ao (23. a falta de uma boa teoria hidrodinˆ amica de convec¸ c˜ ao ´ e um dos mais s´ erios problemas na compreens˜ ao de modelos de interiores estelares. incertezas significativas nos modelos. portanto. introduz incertezas significativas na estrutura e extens˜ ao das camadas externas de um modelo estelar.mesma estrela. novamente. Isso se d´ a porque as equa¸ c˜ oes hidrodinˆ amicas. que pode ser estimado como: dT Tc ≈ ≈ 3 × 10−4 K/cm dr R 355 . J´ a existem algumas aproxima¸ c˜ oes calculadas.176). pr´ oximo ao n´ ucleo ou pr´ oximo ` a superf´ ıcie.161) e para o fluxo convectivo o valor dado pela equa¸ c˜ ao (23. 23. estimar os valores para um ponto m´ edio no Sol.177) o fluxo radiativo dado pela equa¸ c˜ ao (23. A incerteza em introduz. Para as estimativas abaixo. isto ´ e. Se introduzirmos esses valores na equa¸ c˜ ao (23. entretanto. Para que a idade. A solu¸ c˜ ao ´ e simplificada pela seguinte estimativa de ordem de grandeza. tamb´ em. do francˆ es Joseph Boussinesq (1842-1929). Se as velocidades convectivas se tornarem supersˆ onicas. portanto.178) n˜ ao ´ e uma boa aproxima¸ c˜ ao. 23.17. A velocidade m´ edia do elemento em movimento pode ser calculada da equa¸ c˜ ao de energia cin´ etica (23. onde a densidade e o comprimento de mistura s˜ ao pequenos. precisamos utilizar a equa¸ c˜ ao (23. e a press˜ ao turbulenta menor do que a press˜ ao total. 356 . que o excesso do gradiente verdadeiro sobre o gradiente adiab´ atico ´ e somente um milion´ esimo do gradiente de temperatura verdadeiro. as hip´ oteses b´ asicas da teoria de mistura. que s˜ ao de centenas de km por segundo no interior estelar. com sua incerteza em desconfort´ avel. as velocidades s˜ ao muito baixas comparadas com as velocidades t´ ermicas. portanto. est˜ ao violadas. Dessa forma. em uma zona convectiva.176) explicitamente. A convec¸ c˜ ao ´ e. de acordo com a equa¸ c˜ ao (23. Nesse caso. Essa ´ e realmente uma flutua¸ c˜ ao pequena em compara¸ c˜ ao com a temperatura m´ edia de v´ arios milh˜ oes de graus. os efeitos hidrodinˆ amicos dos movimentos convectivos s˜ ao cerca de oito ordens de magnitude menores do que a press˜ ao do g´ as. Como as velocidades convectivas s˜ ao muito menores que as velocidades t´ ermicas. Para o excesso m´ edio de temperatura. portanto. A aproxima¸ c˜ ao Boussinesq em geral funciona bem em laborat´ orio. por cerca de quatro ordens de magnitude.178) Somente pr´ oximo ` a fotosfera.175): v ≈ 3 × 103 cm/s = 0. ou deficiˆ encia de temperatura dentro de um elemento em movimento em rela¸ c˜ ao ao meio circundante. totalmente permiss´ ıvel ignorar o excesso do gradiente de temperatura e. encontramos: dT = ∆∇T dr ≈ 1◦ K. igualar o gradiente de temperatura ao gradiente adiab´ atico. ´ e. Novamente. Dentro de nossa precis˜ ao. subsˆ onica. a aproxima¸ c˜ ao considerada.173): dT = dr 1− 1 γ T dP P dr (23. podemos estimar o movimentos que ocorrem em uma zona convectiva no interior estelar. 03 km/s.Vemos.5 Caracter´ ısticas da convec¸ c˜ ao no interior estelar Com a ajuda de nossas estimativas num´ ericas anteriores. onde a escala de profundidade ´ e compar´ avel com a escala do experimento. a equa¸ c˜ ao (23. 29. por mistura turbulenta.o que n˜ ao ´ e o caso nas estrelas. A 16 press˜ ao total pode ser calculada como Pc 1. ent˜ ao. do disco da nossa gal´ axia. pode-se obter ∆∇T ≤ 9 × 10−5 K/cm e 200 km. 0. Essa estrela ter´ a uma temperatura central de Tc = 3. 6 × 107 K. e para a gravidade g (Mr = 0. incluindose a press˜ ao de radia¸ c˜ ao. comprovando que existe uma zona de convec¸ c˜ ao central. os movimentos em uma zona de convec¸ c˜ ao s˜ ao turbulentos. e a opacidade ser´ a dominada por espalhamento de el´ etrons. e 30 M .03. e Lrad /Ltotal 0. Para essas condi¸ c˜ oes Γ2 = 1.5% da press˜ ao total. quando as rea¸ c˜ oes nucleares mudam a composi¸ c˜ ao qu´ ımica nas partes mais quentes de uma zona de convec¸ c˜ ao. sendo que a press˜ ao do g´ as contribui com 77. Essa conclus˜ ao ´ e muito importante. Para a convec¸ c˜ ao nas camadas externas do Sol. calcular o tempo de vida m´ edio de um elemento de turbulˆ encia: ≈ 2 × 106 s = 20 dias. a convec¸ c˜ ao transporta 90% do fluxo total. com X=0. Sumarizando. para essas condi¸ c˜ oes. as estrelas com Tef ≤ 8000 K tˆ em zona de convec¸ c˜ ao superficial eficiente. v Esse tempo ´ e longo do ponto de vista de turbulˆ encia. t≈ 4acT 3 3Kρ2 cp 5 × 109 cm2 /s Se assumirmos. Para manter essa luminosidade. a zona de convec¸ c˜ ao deve ser muito bem misturada. obteremos ∆∇T 5 × 10−7 . a estrela ter´ a uma taxa de produ¸ c˜ ao de energia central 5 − 1 − 1 de εc 2 × 10 ergs g s . para simplificar. de modo que dT ∆∇T 1800 K. R. porque justifica nossa hip´ otese intr´ ınseca de que os movimentos convectivos n˜ ao perturbam o equil´ ıbrio hidrost´ atico. em um tempo muito curto. A mistura turbu357 . e ∇rad = 3. 1M ) 1.7 e Z=0. Um exemplo da existˆ encia da zona de convec¸ c˜ ao interior pode ser obtido examinando-se uma estrela de popula¸ c˜ ao I. mas t˜ ao lentos que n˜ ao tˆ em qualquer efeito hidrodinˆ amico. Podemos. isto ´ e. 51 × 1038 ergs/s e raio R = 4. isto ´ e. 1. Os movimentos convectivos s˜ ao altamente eficientes no transporte de energia devido ao alto conte´ udo em energia t´ ermica dos gases no interior estelar. 88 × 10 dina/cm2 . 4 × 104 cm/s2 . como veremos na pr´ oxima se¸ c˜ ao. Podemos calcular. luminosidade total de L = 5. 34 cm2 /g. mas ´ e extremamente curto comparado a escala de tempo de evolu¸ c˜ ao estelar. 6 × 1011 cm. uma densidade central de ρc = 3 g/cm3 . com K 0. Dessa maneira. logo ∇ad = 0. em todas as partes da zona de convec¸ c˜ ao. Na seq¨ uˆ encia principal. Portanto ∇rad > ∇ad . essas mudan¸ cas s˜ ao aparentes. 41. n˜ ao penetrando nas camadas superiores.99). e o gradiente de temperatura da equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23.lenta ´ e t˜ ao r´ apida que as zonas convectivas s˜ ao praticamente homogˆ eneas a todo tempo.17. densidade e temperatura. No topo da zona de convec¸ c˜ ao. overshooting na regi˜ ao est´ avel.163) n˜ ao ´ e satisfeita. pois mistura combust´ ıvel nuclear e pode levar restos de queima nuclear at´ e a superf´ ıcie das estrelas. onde se tornam vis´ ıveis. A equa¸ c˜ ao b´ asica de equil´ ıbrio t´ ermico requer o conhecimento das taxas de produ¸ c˜ ao de energia por rea¸ c˜ oes nucleares para as v´ arias condi¸ c˜ oes de temperatura e densidade. calcule o gradiente de press˜ ao da condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico (23. portanto. Do ponto de vista da constru¸ c˜ ao de modelos estelares. devido ` a existˆ encia de descontinuidades na composi¸ c˜ ao qu´ ımica. supusemos que o elemento convectivo se desloca com uma velocidade v por uma distˆ ancia e ent˜ ao se dissolve no meio.161) ´ e o correto. Use o gradiente dado pela equa¸ c˜ ao (23.161). Os efeitos desse overshooting s˜ ao: misturar a mat´ eria de composi¸ c˜ ao qu´ ımica diferente depois da interface convectiva e transportar algum calor. a convec¸ c˜ ao n˜ ao ocorre e o gradiente de temperatura calculado pela equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. onde o gradiente de temperatura real se torna menor do que o gradiente de temperatura adiab´ atico. como no caso das estrelas Wolf-Rayet. Por exemplo. o overshooting afeta o tempo de vida. podemos extrair a seguinte receita. convec¸ c˜ ao ocorre e o gradiente calculado na equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23. O grande problema ´ e estimar a desacelera¸ c˜ ao do elemento e. Na zona de convec¸ c˜ ao no n´ ucleo de estrelas massivas. portanto. quantificar o overshooting.178). Em cada camada do modelo. a zona de convec¸ c˜ ao se expande com 358 . Precisamos de uma equa¸ c˜ ao de estado para relacionar as trˆ es vari´ aveis. todos os elementos convectivos supostamente param. Derivamos. Essa hip´ otese n˜ ao ´ e real. Introduza esses valores na condi¸ c˜ ao de estabilidade (23.161) n˜ ao pode ser usado. precisamos conhecer a opacidade em fun¸ c˜ ao da temperatura e da densidade. Semiconvec¸ c˜ ao ´ e a mistura de elementos na interface da zona de convec¸ c˜ ao. pois alguns elementos do fluido exceder˜ ao a borda. para uma estrela de 10 M . as condi¸ c˜ oes de equil´ ıbrio necess´ arias para calcular modelos de interiores estelares. A opacidade ´ e um fator decisivo na equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo. Se a condi¸ c˜ ao de estabilidade (23. liberando o calor.6 Overshooting e semiconvec¸ c˜ ao Na nossa deriva¸ c˜ ao de transporte de energia por convec¸ c˜ ao. 23.163). As equa¸ c˜ oes contˆ em rela¸ c˜ oes entre press˜ ao. que s˜ ao est´ aveis. Se a condi¸ c˜ ao ´ e satisfeita. que tem precis˜ ao suficiente. v ´ e a velocidade. em seu artigo de 2002. North-Holland. causando uma descontinuidade na abundˆ ancia do hidrogˆ enio. Na defini¸ c˜ ao do n´ umero de Reynolds. Wolf. No interior estelar. p. conclui que a convec¸ c˜ ao turbulenta gera ondas de gravidade que se propagam na regi˜ ao radiativa. no Progress in Optics XIX (1981. pois a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (equa¸ c˜ ao 23. o movimento de um fluido passa de laminar para turbulento quando seu n´ umero de Reynolds. existe uma pequena regi˜ ao fora da zona de convec¸ c˜ ao que n˜ ao ´ e radiativa. portanto. Canuto. Como a opacidade ´ e dominada por espalhamento de el´ etrons e. p. E. L113-L115. sem parˆ ametros ajust´ aveis. foi desenvolvida por Vittorio M. L0 15 cm e 359 . Seguindo o desenvolvimento de Fran¸ cois Roddier. Nessa regi˜ ao. e que calcula o transporte de energia levando em conta tanto a diferen¸ ca de temperatura das camadas externas quanto a pr´ opria turbulˆ encia. “Semiconvection and Overshooting: Schwarzschild and Ledoux Criteria Revisited”. Canuto. 384. deve ocorrer uma mistura at´ e que os gradientes de composi¸ c˜ ao qu´ ımica n˜ ao sejam descont´ ınuos. ed. discute a necessidade de se incluir estes efeitos. ∇rad tamb´ em. X. Re = v /ν .179) ∇rad = 16πacG T 4 Mr Como ∇ad = Γ2 − 1 Γ2 (23. assim como na atmosfera da Terra. 550. a viscosidade cinem´ atica ´ e da ordem de ν 15 × 10−6 m2 /s. mas tamb´ em n˜ ao ´ e convectiva.19. os movimentos excedem este valor cr´ ıtico amplamente. como veremos na sec¸ c˜ ao (23. “Critical Richardson numbers and gravity waves”.161) nos d´ a: 3 P K Lr (23. Vittorio M. Devido ` a descontinuidade de ∇rad . no Astrophysical Journal. 5 5 No ar.4).o tempo. ∇ad ´ e cont´ ınuo. publicado no Astronomy & Astrophysics. Volume 534. p. Canuto. de modo que o movimento convectivo ´ e extremamente turbulento. 1119-1123.180) e Γ2 quase n˜ ao depende da composi¸ c˜ ao qu´ ımica. excede um valor cr´ ıtico que depende da geometria do fluxo. K = 0. Uma teoria de convec¸ c˜ ao que leva em conta os diversos tamanhos dos elementos de mistura turbulenta. 2(1 + X ) cm2 /g ´ e descont´ ınuo e. pois Γ2 = 5/3 para um g´ as ideal. Essa mistura chama-se de semiconvec¸ c˜ ao. ´ e o comprimento caracter´ ıstico do fluxo e ν ´ e a viscosidade cinem´ atica. Vittorio M. Itzchak Goldman e Italo Mazzitelli em 1996. agindo como uma fonte adicional de energia. em seu artigo de 2000 no Astrophysical Journal. 473. 281). logo E (k )dk ∝ k − 3 −→ E (k ) ∝ k − 3 1 conhecida como a lei de Kolmogorov. e Z a de todos os outros elementos mais pesados. e 0 a escala na qual a dissipa¸ c˜ ao por viscosidade ocorre. Normalmente. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) (Doklady Akademii Nauk S. at´ e que este processo pare quando a energia cin´ etica for dissipada por fric¸ c˜ ao viscosa.18 Abundˆ ancia dos elementos Dada a massa e a idade de uma estrela. a composi¸ c˜ ao ´ e especificada por trˆ es parˆ ametros: X. sua composi¸ c˜ ao qu´ ımica inicial. a energia cin´ etica dos movimentos de larga escala ´ e transferida para movimentos com escalas cada vez menores. 229) propˆ os que em um meio turbulento. As abundˆ ancias s˜ ao definidas em termos de fra¸ c˜ ao de massa: X representa a massa em hidrogˆ enio em uma grama de massa estelar. a energia E (k )dk entre k e k +dk ´ e proporcional a v 2 (k ).Em 1941. Y. X ´ e a abundˆ ancia de hidrogˆ enio. onde L0 ´ origem ` a turbulˆ encia. Kolmogorov assumiu que a velocidade v do movimento ´ e proporcional ` a escala e ` a taxa de produ¸ c˜ ao e dissipa¸ c˜ ao de energia ε0 . Como nas escalas maiores ε0 ∝ v 2 /τ . que s´ o´ e valida longe das bordas L− 0 −1 k e a escala externa. 104 e qualquer 360 .S. A distribui¸ c˜ ao espectral de energia E (k ) ´ e definida de modo que a energia cin´ etica de turbulˆ encia por unidade de massa seja: 2 5 1 2 v = 2 ∞ E (k )dk 0 23. de modo que X +Y +Z =1 v 1 m/s. geralmente a escala da regi˜ ao que d´ a 0 . 3 v ∝ ε0 1 1 3 Em uma an´ alise espectral (de Fourier) da energia cin´ etica em fun¸ c˜ ao de um n´ umero de onda k = π/ .S. Y a de h´ elio. Num estado estacion´ ario. resultando um n´ umero de Reynolds cr´ ıtico da ordem de Recrit escala maior ter´ a movimento turbulento. a dissipa¸ c˜ ao de energia ε0 deve ser igual ` a taxa de produ¸ c˜ ao de energia turbulenta. Z. Seguindo este racioc´ ınio. sua estrutura interna completa ´ e determinada por somente uma outra propriedade b´ asica. 30.R. onde τ ´ e o tempo caracter´ ıstico τ ≡ /v . 2005. Como um exemplo. as linhas de h´ elio no espectro do Sol. enquanto um g´ as de hidrogˆ enio puro tem 1/µ = 1/1. 23 e se o g´ as estiver completamente ionizado 1 0. Elisabeth Vangioni-Flam & Michel Cass´ e.O inverso do peso molecular m´ edio ´ e dado por: 1 = µ Xi Ai i onde Xi ´ e a abundˆ ancia por massa do elemento i. s˜ ao linhas cromosf´ ericas e. 1993. em Origin and Evolution of the Elements. European Astronomical Society Publications Series. 75 0. Martin Asplund & A.165. Se uma fra¸ c˜ ao yi do elemento i.25: 1 0. ou seja µ = 12. Y=0. p. portanto. est´ a ionizada. Um valor comumente usando para a abundˆ ancia de h´ elio ´ e Y=0. que deram origem ao nome do elemento.181) e µ= 1 1 + µi µe −1 Se o g´ as tiver 75% de H. A abundˆ ancia dos outros gases nobres.245. 15.75 e 25% de He. ou seja µ = 1. determinado por Nicolas Grevesse & Arlette Noels. usando modelos tridimensionais e fora de equil´ ıbrio termodinˆ amico local e encontraram Y=0. o peso molecular m´ edio dos el´ etrons. tamb´ em s˜ ao imprecisas. 75 2 × 0. 25 1 = + = µi 1 4 1. e Ai seu peso atˆ omico. eds. em condi¸ c˜ oes f´ ısicas em que a determina¸ c˜ ao da abundˆ ancia ´ e imprecisa. Cambridge University Press. X=0. Nikos Prantzos. o que leva a modelos completamente diferentes e at´ e agora inconsistentes com as observa¸ c˜ oes heliosismol´ ogicas (Sarbani Basu 361 . Jacques Sauval publicaram novas determina¸ c˜ oes da composi¸ c˜ ao solar em 2005. principalmente do Ne. µe ser´ a: µe = i Zi Xi yi Ai −1 (23. 143 Embora a composi¸ c˜ ao qu´ ımica do Sol possa ser obtida do estudo de seu espectro. 25 1 = + = µe 1 4 1. Volume 17. um g´ as de carbono puro tem 1/µ = 1/12. Nicolas Grevesse.21. com Zi pr´ otons. A. no Astrophysical Journal de 2010 (719. Serenelli e Sarbani Basu.. no elemento de massa em considera¸ c˜ ao. A mais recente determina¸ abundˆ ancias solares ´ e Nicolas Grevesse. e os modelos de convec¸ c˜ ao. Na equa¸ c˜ ao de conserva¸ c˜ ao de energia. 0035.182) Xi ≡ ρ   ∂Xi mi  = rik  i=1. representando o n´ umero de rea¸ c˜ oes por unidade de volume e tempo que transformam elementos do tipo l em elementos do tipo m. n´ os usamos a taxa de gera¸ c˜ ao de energia por unidade de massa ε. Astrophysics & Space Science. n˜ ao h´ a troca de mat´ eria entre as camadas da estrela se desprezarmos a difus˜ ao. e outras que o destroem (rik ).2485 e Z=0. um elemento do tipo i pode ser afetado simultaneamente por muitas rea¸ c˜ oes. 328. Em geral. Como mi n i (23. . consistente com a heliosismologia. para encontrar a abundˆ ancia c˜ ao das primordial de Yinicial = 0. Physics Reports. Jacques Sauval & Pat Scott. .q p. 278 ± 0.1 Varia¸ c˜ ao da composi¸ c˜ ao com o tempo Nas regi˜ oes radiativas. A rea¸ c˜ ao p → q em que um elemento do tipo p ´ e transformado em um elemento do tipo q est´ a associada a uma libera¸ c˜ ao de energia epq . 179. I envolvido nas rea¸ c˜ oes.183) rji − ∂t ρ j k para qualquer elemento 1. Essas taxas de rea¸ c˜ oes nos d˜ ao diretamente a varia¸ c˜ ao de ni por segundo. .185) mp 362 . 23. . que normalmente cont´ em contribui¸ c˜ oes de muitas rea¸ c˜ oes diferentes: 1 rpq epq (23. Antia. obtendo X=0. M. Martin Asplund. Aldo M. 217). no artigo Helioseismology and solar abundances.0134. 2008. Y=0. 457.18.184) ε= εpq = ρ p. utilizam a abundˆ ancia superficial do Sol obtida pela sismologia.7380. 865). A freq¨ uˆ encia das rea¸ c˜ oes nucleares ´ e descrita por taxas de rea¸ c˜ ao rlm . 2010. 2485 ± 0. as fra¸ c˜ oes dos elementos qu´ ımicos Xi s´ o podem mudar se as rea¸ c˜ oes nucleares criarem ou destru´ ırem os elementos de tipo i.I (23. 006. Portanto. com uma incerteza na taxa de difus˜ ao de 20%.q Vamos definir a energia gerada quando uma unidade de massa do elemento de tipo p ´ e transformada em um elemento do tipo q : epq qpq ≡ (23.& H. algumas que criam o elemento (rji ). . de Ysuperficial = 0. propondo duas leis. que mais tarde inventaria as lentes de contato.186) ∂t qji qik j k Se representarmos a queima de hidrogˆ enio por uma taxa geral εH . reescrever a varia¸ c˜ ao da composi¸ c˜ ao qu´ ımica (23. a difus˜ ao tende a reduzir as diferen¸ cas. 23. podemos escrever: ∂X εH =− ∂t qH e como Xi = 1 i obtemos ∂Y /∂t = −∂X/∂t. ´ e uma equa¸ c˜ ao de continuidade: ∂c = −∇ · J = ∇ · D∇c ∂t (23.18. por exemplo. Se existem gradientes nas abundˆ ancias dos elementos. na verdade.Podemos. em analogia ao transporte de calor por um gradiente de temperatura: J = −D∇c e a segunda lei de Fick. ent˜ ao. A difus˜ ao se d´ a por movimentos randˆ omicos das part´ ıculas. relacionado o fluxo de part´ ıculas J com o gradiente da concentra¸ c˜ ao c por um coeficiente de difus˜ ao D.187) Em 1905. e que o coeficiente de difus˜ ao D era relacionado com o coeficiente de fric¸ c˜ ao f por: T D= f 363 . onde qH ´ e a energia liberada por unidade de massa quando o hidrogˆ enio ´ e convertido em h´ elio.182) em termos de ε:   εji ∂Xi  εik  = − (23.2 Difus˜ ao Efeitos microsc´ opicos tamb´ em podem mudar a composi¸ c˜ ao qu´ ımica de uma camada no interior da estrela. Albert Einstein demonstrou que as leis de Fick eram v´ alidas. que. A teoria macrosc´ opica da difus˜ ao foi proposta em 1855 pelo fisiologista alem˜ ao Adolf Eugen Fick (1829-1901). Vamos. nesse caso. e em uma equa¸ c˜ ao − correspondente para o fluxo J na dire¸ c˜ ao −z : J± = 1 ∂c c(0) ∓ 6 ∂z 364 v ¯(0) ∓ ∂v ¯ ∂z (23.onde T ´ e a temperatura.188) ´ e: vD = D ∇c + kT ∇ ln T + kP ∇ ln P c (23. Se expandirmos ni e v ¯ em z = 0 na equa¸ c˜ ao (23. pois queremos o fluxo perpendicular ao plano x − y . ambos medidos em z = − .193) . devido ao movimento estat´ ıstico (randˆ omico) das part´ ıculas. comprovando as duas leis de Fick.189) onde S ´ e um comprimento caracter´ ıstico da varia¸ c˜ ao da abundˆ ancia ni correspondente ` a concentra¸ c˜ ao c.192) J + = c(− ) v 6 onde o fator de 1/6 origina da m´ edia sobre cos2 θ. primeiro. Uma generaliza¸ c˜ ao da velocidade de difus˜ ao (equa¸ c˜ ao 23. Em 1952. Assumamos que o gradiente de temperatura ´ e perpendicular ao plano x − y em um sistema cartesiano. obtemos vD = − D ∇c c (23. considerar o efeito de difus˜ ao por concentra¸ c˜ ao e por temperatura. onde vD ´ e a velocidade de difus˜ ao. Escrevendo o fluxo J = cvD . ser´ a determinado pela densidade ni e pela velocidade m´ edia v ¯.191) com os coeficientes kT e kP definidos apropriadamente. o inglˆ es Sydney Chapman (1888-1970) e Thomas George Cowling (1906-1990) detalharam o estudo estat´ ıstico da difus˜ ao. o fluxo de part´ ıculas de um certo tipo na dire¸ c˜ ao +z .188) e no caso de um coeficiente de difus˜ ao D constante: ∂c = D∇2 c ∂t Uma estimativa grosseira do tempo caracter´ ıstico de difus˜ ao ´ e: τD = S2 D (23.190) (23.192). a constante do g´ as. onde ´ e o livre caminho m´ edio das part´ ıculas deste tipo: 1 ¯(− ) (23. para um fluxo dado em − 2 − 1 mol cm s . e concentra¸ c˜ oes c1 e c2 : J1 J2 − (23.195) vD1 − vD2 = c1 c2 Com a equa¸ c˜ ao (23. Se considerarmos uma mistura de hidrogˆ enio e h´ elio.197) T 3 2 1 2 c2 1 µ1 −1 2 + c1 2 µ2 1 −2 (23.e.194). n˜ ao ´ e nulo.198) podemos ver que o coeficiente de difus˜ ao ´ e da ordem de 1 T 2 1 ∗ D v (23. o hidrogˆ enio se difunde na dire¸ c˜ ao de menor temperatura. com fluxos J1 e J2 .194) que.200) 3 3 onde v ∗ e s˜ ao representativos das velocidades estat´ ısticas e livre caminho m´ edio dos componentes. existe um fluxo l´ ıquido J = J+ − J− = − 1 3 ∂c ∂v ¯ v ¯+ c ∂z ∂z (23. podemos obter vD1 − vD2 = − onde 1 D = (c2 1 v ¯1 + c1 2 v ¯2 ) = 3 1 kT = 2 1 (23. ρ 100 g cm− 3). vD = vH − vHe ´ e a velocidade de difus˜ ao.198) √ µ2 − √ 1 c2 µ2 + √ µ1 √ c1 c2 (c2 − c1 ) 2 c1 µ1 (23. Para a regi˜ ao central do Sol (T 107 K. Apesar desse 365 . Se vD > 0.2). podemos substituir os fluxos Ji .199) onde 1 e 2 s˜ ao os livres caminhos m´ edios das duas esp´ ecies.190) ser´ a τD 10 anos. para cima na estrela. 10−8 cm e D 6 cm2 s−1 e para um comprimento caracter´ ıstico de difus˜ ao de S R 1011 cm.196) D c1 c2 ∂c1 ∂ ln T + kT ∂z ∂z (23. portanto. Da equa¸ c˜ ao (23. o tempo 13 caracter´ ıstico de difus˜ ao (equa¸ c˜ ao 23. e com: 1 3 Ei = µi v ¯2 = T 2 2 onde µi ´ e o peso molecular m´ edio. isto ´ e. Consideremos a velocidade de difus˜ ao relativa vD1 − vD2 devido ao movimento de dois tipos diferentes de part´ ıculas (1. em geral. a componente com maior peso molecular m´ edio cai mais rapidamente na dire¸ c˜ ao r do que a componente com menor peso molecular. a idade obtida ´ e de 14 a 16 Ganos. portanto. Chapman e Cowling (1952). no caso de estrelas an˜ as brancas. Vamos. considerar a difus˜ ao por press˜ ao. de modo que o elemento mais pesado se move para baixo do elemento mais leve. mas para as estrelas an˜ as brancas a difus˜ ao leva ` a separa¸ c˜ ao total dos elementos. como o hidrogˆ enio difunde para cima. Assumindo que um material consiste de dois componentes (1.tempo de difus˜ ao ser muito maior do que a idade do Universo e. Para as estrelas da seq¨ uˆ encia principal. Uma considera¸ c˜ ao estat´ ıstica como no caso da difus˜ ao por temperatura mostra que existe difus˜ ao mesmo nas camadas isot´ ermicas. em seu livro The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases. Essa difus˜ ao ocorre mesmo que os elementos inicialmente estivessem totalmente misturados. gases ideais com pesos moleculares µi e press˜ oes Pi . Paula Jofr´ e e Achim Weiss mostram no seu artigo no Astronomy & Astrophysics de 2011. difus˜ ao ser irrelevante no Sol. 533. agora. portanto. 15. que s˜ ao aproximadamente proporcionais a r Pi ∝ exp − (23.2). comprovando ent˜ ao que ´ e necess´ ario levar em conta a difus˜ ao na 366 . que normalmente ´ e chamada de sedimenta¸ c˜ ao ou deposi¸ c˜ ao gravitacional. Neste caso a idade ´ e de 10 a 12 Ganos. a difus˜ ao se d´ a em escalas de tempo de milh˜ oes de anos. com um gradiente de press˜ ao n˜ aonulo. existe menos combust´ ıvel nuclear e a sa´ ıda da sequˆ encia principal ´ e mais r´ apida. Quando levam em conta a difus˜ ao. a separa¸ c˜ ao dos elementos n˜ ao ocorre. que se n˜ ao levam em conta a difus˜ ao nas estrelas do halo na nossa Gal´ axia. tanto |kT | quando |kP | s˜ ao da ordem de um e.202) As densidades das part´ ıculas s˜ ao proporcionais a Pi . podemos definir a escala de altura de press˜ ao dr λPi ≡ − (23. detalham como obter kP . Cambridge University Press. saindo do n´ ucleo. incoerente com a idade do Universo.203) λPi Portanto.201) d ln Pi que com a ajuda da equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico (dPi /dr = −gρ) e da equa¸ c˜ ao de estado de um g´ as ideal (Pi = ρi T /µi ) pode ser escrita como λPi = Pi T = gρi gµi (23. especialmente para as estrelas de baixa metalicidade. em que a zona de convec¸ c˜ ao se estende por quase toda a estrela. que tˆ em envelope convectivo razo e h´ a difus˜ ao por um longo tempo. portanto. mas tamb´ em devido ao movimento das bordas para regi˜ oes de composi¸ c˜ ao distinta. Mas. Existe ainda a levita¸ c˜ ao radiativa. podemos assumir que as regi˜ oes convectivas permanecem homogˆ eneas: ∂Xi =0 ∂r (23. e terras raras nas estrelas Ap. dentro desse intervalo todos ¯ i s˜ X ao constantes.204) Se uma zona convectiva se estende de r1 a r2 .19 Opacidades Para tratar corretamente o transporte de energia por radia¸ c˜ ao. A maior parte da massa de uma estrela est´ a a temperaturas da ordem de (1 − 30) × 106 K. as abundˆ ancias no interior da zona de convec¸ c˜ ao mudam ∂Mr2 ∂Xi ¯ i − ∂Mr1 Xi1 − X ¯i dMr + Xi2 − X ∂t ∂t ∂t Mr1 (23. 23.205) Os valores de Xi1 e Xi2 devem ser tomados do lado de fora da borda que est´ a se movendo. como as bordas da zona de convec¸ c˜ ao podem mudar com o tempo.18. tamb´ em faz com que a metalicidade observada hoje em dia n˜ ao seja a metalicidade primordial.3 Regi˜ oes convectivas As regi˜ oes convectivas tˆ em um alto poder de mistura por movimentos turbulentos. levando os elementos mais pesados para baixo.evolu¸ c˜ ao estelar. A integral descreve a mudan¸ ca devido ` as rea¸ c˜ oes nucleares. 367 . como ocorre no ramo das gigantes e supergigantes. como o ferro. em uma escala de tempo muito maior do que as mudan¸ cas causadas pelas rea¸ c˜ oes nucleares e. precisamos dispor de valores da opacidade para todas as condi¸ c˜ oes de temperatura e densidade no interior estelar e mesmo na sua atmosfera. bem como pode levar novo combust´ ıvel nuclear para a regi˜ ao de rea¸ c˜ oes nucleares. Essas mudan¸ cas podem causar o transporte de cinzas de rea¸ c˜ oes nucleares para a superf´ ıcie da estrela. A difus˜ ao. ¯i 1 ∂X = ∂t Mr1 − Mr2 Mr2 23. que faz que elementos com bandas de absor¸ c˜ ao em comprimentos de onda de alto fluxo sejam carregados para as camadas externas. de acordo com a Lei de Wien λmax T = 0. excita¸ c˜ ao) (b) transi¸ c˜ oes ligado-livre (ioniza¸ c˜ ao) (c) transi¸ c˜ oes livre-livre (bremstrahlung: um el´ etron livre no campo de um ´ ıon pode absorver uma quantidade arbitr´ aria de energia.206) logo Kν = dIν Iν ρds (23. est˜ ao na forma de el´ etrons.9 A. Na nossa defini¸ c˜ ao de opacidade. trˆ es mecanismos geram a opacidade: absor¸ c˜ ao.A essas temperaturas. 368 . definida como s τν ≡ s0 Kν ρds (23. a absor¸ c˜ ao da radia¸ c˜ ao quando atravessa uma unidade de massa em uma coluna de ´ area perpendicular unit´ aria e altura ds ´ e dada por: dIν = −Kν ρIν ds (23. A essas temperaturas todos os elementos est˜ ao ionizados a tal ponto que no m´ aximo alguns el´ etrons permanecem nas camadas mais internas. espalhamento e reflex˜ ao. Vamos listar os v´ arios mecanismos: 1. O hidrogˆ enio e o h´ elio est˜ ao essencialmente ionizados e. pr´ otons e part´ ıculas α. o pico da distribui¸ c˜ ao de Planck varia entre 29 ˚ Ae ˚ 0. absor¸ c˜ ao verdadeira (a) transi¸ c˜ oes ligado-ligado (absor¸ c˜ ao em linhas. No n´ ucleo das estrelas. livres. 29 × 108 ˚ A K.208) representa a distˆ ancia para a qual a intensidade decai de um fator e. e ≡ 1 Kν ρ (23. e aumentar sua energia cin´ etica).209) pode ser interpretado como o livre caminho m´ edio dos f´ otons. mole e duro. a opacidade ´ e a fra¸ c˜ ao absorvida da radia¸ c˜ ao atravessando uma coluna de altura ds.207) isto ´ e. portanto. Esses comprimentos de onda correspondem a raio-X. A profundidade ´ otica. devido ` a dispers˜ ao. a luz em outra dire¸ c˜ ao. reflex˜ ao. porque o el´ etron re-irradia. espalhamento Raman [Chandrasekhara Venkata Raman (1888-1970)] (absor¸ c˜ ao da radia¸ c˜ ao por uma mol´ ecula. Essa aproxima¸ c˜ ao n˜ ao ´ e v´ alida se o plasma for n˜ ao-transmissivo ou na presen¸ ca de campo magn´ etico. tem n´ umeros quˆ anticos rotacionais k e vibracionais v : Ek. No caso geral Kν real (23.210) Kν ≡ µν Na regi˜ ao de baixa temperatura (T ≤ 104 K). John William Strutt (18421919)] (absor¸ c˜ ao da radia¸ c˜ ao por uma mol´ ecula. absor¸ c˜ ao molecular. indo para um estado excitado e subseq¨ uente emiss˜ ao de radia¸ c˜ ao em outra freq¨ uˆ encia. espalhamento Thomson [Sir Joseph John Thomson (1856-1940)] de f´ otons por el´ etrons livres — se o el´ etron n˜ ao adquirir velocidade relativ´ ıstica. absor¸ c˜ ao por ´ ıons negativos. A energia de uma mol´ ecula. 6. chama-se efeito Compton coerente [Arthur Holly Compton (1892-1962)]. atenua o feixe de radia¸ c˜ ao. Essa atenua¸ c˜ ao ´ e normalmente desprez´ ıvel. 5. 3. O termo coerente implica que a reemiss˜ ao ´ e na mesma freq¨ uˆ encia da radia¸ c˜ ao incidente. e assumimos o´ ındice de refra¸ c˜ ao µ = 1. a reemiss˜ ao ´ e incoerente. indo para um estado excitado e subseq¨ uente reemiss˜ ao em qualquer dire¸ c˜ ao). Se os el´ etrons forem relativ´ ısticos. ap´ os absorverem radia¸ c˜ ao. Esse processo.v = E0 + 1 ¯2 h k (k + 1) + h ¯w v + 2I 2 onde I ´ e o momento de in´ ercia e w a freq¨ uˆ encia angular fundamental de vibra¸ c˜ ao. pois a mol´ ecula passa para um outro estado vibracional ou rotacional). embora n˜ ao seja uma absor¸ c˜ ao real. atenua¸ c˜ ao com absor¸ c˜ ao insignificante. outros processos f´ ısicos s˜ ao importantes: 4.2. Por exemplo. 7. al´ em do valor quˆ antico principal E0 . est˜ ao excitados a n´ ıveis i1 e i2 com energia de 369 . foto-excita¸ c˜ ao para estados auto-ionizantes [se dois el´ etrons. ou espalha. espalhamento Rayleigh [Lord Rayleigh. 8. 161) pela sua m´ edia ponderada definida como a opacidade m´ edia de Rosseland. aparecer´ a como energia cin´ etica do el´ etron emitido. processos f´ oton-neutrinos. absor¸ c˜ ao nuclear. 9.n = . h(ν − νi. absor¸ c˜ ao por gr˜ aos de poeira. para um estado de mesma energia total. eles podem fazer uma transi¸ c˜ ao sem emiss˜ ao de radia¸ c˜ ao. para um ´ atomo de um elemento presente no meio.n ). 14. 11. mas com um el´ etron removido (ionizado)]. e a estrutura da estrela n˜ ao. normalmente se substitui a opacidade na equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio radiativo (23. Como os processos de absor¸ c˜ ao dependem da freq¨ uˆ encia. Para alt´ ıssimas temperaturas (T ≥ 109 K): 10. h onde h ´ e a constante de Planck. produ¸ c˜ ao de pares.211) 23. ent˜ ao a absor¸ c˜ ao ocorrer´ a para os f´ otons com freq¨ uˆ encia superior a Ei. de modo que a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio radiativo seja v´ alida para quantidade integradas sobre a freq¨ uˆ encia: 1 KRoss = ∞ 1 ∂Bν 0 Kν ∂T dν ∞ ∂Bν ∂T dν 0 = π 4σT 3 ∞ 0 1 ∂Bν dν Kν ∂T (23. 13.19. a partir do n´ ıvel de energia de n´ umero quˆ antico n. O excesso de energia do f´ oton. Se designarmos En. 12.i como a energia do ´ atomo ou ´ ıon de tipo i. espalhamento f´ oton-f´ oton.n νi.excita¸ c˜ ao Et = Ei1 + Ei2 maior do que a energia de ioniza¸ c˜ ao. Em 1923. pelo norueguˆ es Svein Rosseland (1894-1985) em 1924.1 Transi¸ co ˜es ligado-livre As transi¸ c˜ oes ligado-livres somente ocorrem se a radia¸ c˜ ao tiver freq¨ uˆ encia superior ` aquela necess´ aria para remover o el´ etron da camada em que ele se encontra. espalhamento Compton incoerente (freq¨ uˆ encia diferente) por el´ etrons relativ´ ısticos. o f´ ısico holandˆ es Hendrik Anthony Kramers (1894-1952) derivou a f´ ormula para o 370 . hν −E εF exp kT − kT i. um fator adicional qbf . 229. reduzindo sua carga efetiva. H − 18 2 ˚ Como um exemplo. n) ´ e o fator de Gaunt. 815 × 1029 5 n ν3 (23. e mesmo de outros el´ etrons na mesma camada. Entre as bordas de absor¸ c˜ ao.12˚ e o fator de Gaunt varia de 0.i = . n) Zi4 Sn.i precisa ser introduzido para levar em conta que a c´ elula do espa¸ co de fase correspondente ao estado final (livre) do el´ etron pode j´ a estar ocupada por outro el´ etron. que precisa ser calculado usando-se a mecˆ anica quˆ antica. a0 (912A. leva em conta que a carga real vista pelas part´ ıculas ´ e Zi Sn. gi (ν.797 para 912A A. O fator de Gaunt foi publicado por John Arthur Gaunt (1904-1944). 1) = 6. z2 = ν1 ν − ν1 ˚. i.212) para ν em Hertz. Para o ioniza¸ c˜ ao do hidrogˆ enio a partir do estado fundamental √ ν1 e−4z cot−1 z g1f = 8π 3 ν 1 − e−2πz onde ν1 ´ e a freq¨ uˆ encia de referˆ encia (limite de Lyman). Essa corre¸ c˜ ao ´ e pr´ oxima de um e varia lentamente com a freq¨ uˆ encia.515 para 9. que fora aluno de Ralph Howard Fowler (1889-1944). para v´ arias situa¸ c˜ oes.n + 1 371 . chamado de screening factor. a0 varia aproximadamente como 1/ν 3 . o coeficiente de absor¸ c˜ ao por part´ ıcula ser´ a dado por: a0 (ν.i i cm2 . n) = 64π 4 Zi4 me e10 1 1 4 √ Sn.i .i gi (ν. e representa a corre¸ c˜ ao quˆ antica ` a deriva¸ c˜ ao semi-cl´ assica de Kramers. n) 3 3 ch6 n5 ν 3 4 g (ν. Sn. se for o caso. 1 qbf . Para freq¨ uˆ encias acima da freq¨ uˆ encia de corte.i tamb´ em corrige pela redu¸ c˜ ao da carga nuclear efetiva devido ` a existˆ encia. menor do que Zi . 3 × 10 cm . de el´ etrons em camadas mais internas do que a em considera¸ c˜ ao. Se o g´ as estiver parcialmente degenerado. 29 × 10−15 Hz. j´ a que a freq¨ uˆ encia correspondente a λ = 912 ˚ A´ e ν = 3. por el´ etron na camada n.i . O fator corre¸ c˜ ao Sn. a 0. 163. isto ´ e. = 2. no Philosophical Transactions of the Royal Society. para n=constante. em 1930.coeficiente de absor¸ c˜ ao ligado-livre e livre-livre para transi¸ c˜ oes por raio-X. pois os el´ etrons livres formam uma nuvem entre os ´ ıons. 23. o campo el´ etrico produzido ser´ a radial. movendo-se n˜ ao-relativisticamente. Portanto. Se a carga for acelerada para uma pequena velocidade δv em um δt. ele ´ e acelerado e irradia de acordo com o resultado de Larmor [Sir Joseph Larmor (1857-1942)]. o efeito da degenerescˆ encia ´ e reduzir o coeficiente de absor¸ c˜ ao. podemos substituir o fator de Gaunt acima por gbf .i . passa por um ´ ıon de carga Ze. o fluxo de Poynting [John Henry Poynting (1852-1914)] j= e como |E | = |H |. n)qbf . j= c E×H 4π c 2 E 4π 372 .i ≤ 1. Se um el´ etron de carga e. Se uma carga e est´ a em repouso. Pela Lei de Coulomb. embora trate-se de absor¸ c˜ ao por um el´ etron livre. no sistema c. Er .2 Transi¸ co ˜es livre-livre Um el´ etron livre n˜ ao pode absorver um f´ oton porque a conserva¸ c˜ ao de energia e momentum n˜ ao podem ser satisfeitas simultaneamente durante o processo. o acoplamento eletromagn´ etico entre o ´ ıon e o el´ etron transfere momentum e energia entre eles. a carga dos ´ ıons no meio entra no c´ alculo da absor¸ c˜ ao.i ≡ gi (ν. o campo (for¸ ca) el´ etrico ´ e dado por: e Er = 2 r Substituindo t = r/c. tornando o processo poss´ ıvel.19. Como qbf .ou seja. mas se um ´ ıon estiver na vizinhan¸ ca. obtemos E⊥ = e r2 δv δt rsen θ c2 A energia irradiada por unidade de ´ area (erg/s/cm2 ).g. depois de um tempo t haver´ a um campo el´ etrico perpendicular ao movimento: δvtsen θ E⊥ = Er cδt onde θ ´ eoˆ angulo entre o vetor de acelera¸ c˜ ao e observador.s. O coeficiente de absor¸ c˜ ao livre-livre (free-free) por ´ ıon.214) 3c me vs onde s ´ e o parˆ ametro de impacto da trajet´ oria (distˆ ancia de menor aproxima¸ c˜ ao).213) onde a(t) ´ e a acelera¸ c˜ ao. ´ e momentum. A acelera¸ c˜ ao do el´ etron se d´ a por intera¸ c˜ ao com o ´ ıon. Para as transi¸ c˜ oes livre-livre (desacelera¸ c˜ ao ou bremstrahlung). com a acelera¸ c˜ ao a = δv/δt.i ´ e o fator as transi¸ c˜ oes livre-livre. para conservar o Para hν < kT e maior do que a freq¨ uˆ encia de plasma gf f √ 3 5γ 3 (2kT ) 2 = ln 1 − π 2 2 πe2 νme 373 . p)dne (p) a0 (ν. ´ e dado pela f´ ormula de Kramers: 4πZi2 e6 S 2 g (ν. A energia irradiada tem um m´ aximo para freq¨ uˆ encias angulares de w v/s. em um meio com dne (p) el´ etrons livres por unidade de volume com momenta entre p e p + dp.215) a velocidade correspondente ao momentum p e gff . em rela¸ c˜ ao ao ´ ıon. para absor¸ c˜ ao da radia¸ c˜ ao de freq¨ uˆ encia ν pelos dne el´ etrons livres com momentum no intervalo relevante. que depende do tempo. e a energia irradiada. Para que um el´ etron possa absorver necess´ ario que um ´ ıon esteja na vizinhan¸ ca.i Zi e. a f´ ormula de Kramers pode ser expressa considerando-se um ´ ıon de carga nuclear efetiva Sf. p)dne (p) = √ 3 v (p) f.ou. j= c 4π easen θ rc2 2 A potˆ encia emitida ´ e obtida integrando-se sobre todas as dire¸ c˜ oes dε = dt e como π 0 2π π dφ 0 0 jr2 sen θdθ sen3 θdθ = 4/3.i 3 3hcm2 ν e onde v (p) ´ e Gaunt para um f´ oton. (23. ser´ a dada por: Z 2 e6 π 1 E= 3 2 3 (23. integrada no tempo.i ff . 2 e2 2 dε = a (t) dt 3 c3 (23. i. Sf. para o n´ ucleo do Sol. com ρ a densidade de massa do material.218) 23.i = i ye Zi (23.1 a 1.onde γ = 0. K= a0 N0 A (23.5 entre log T variando de 4 a 8. 130 log T2 ν 3 e varia de 1. ou seja. para λ = 3 912 ˚ A. Nesse caso. 577 ´ e a constante de Euler. Como um exemplo. i o n´ Seja ye umero de el´ etrons livres.217) onde F ≡ 2(2πme kT ) 2 ln(1 + eεF /kT ) h3 ne 3 (23.i (ν )F ne = 3. 692 × 108 cm2 . gf f = 9.i (ν )F ne √ 3 1 3 3hc(2πme ) 2 ν 3 (kT ) 2 2 g Zi2 Sf. ne nH 6 × 1025 cm−3 . ρ 100 g/cm . obt´ em-se: a0 (ν.19. por ´ atomo. 77 1 + 0.3 Coeficiente de absor¸ c˜ ao monocrom´ atica Para obter o coeficiente de absor¸ c˜ ao por unidade de massa K . Para T em Kelvin. com T = 107 K. ν em Hertz. consideremos N/ρ como o n´ umero de part´ ıculas absorventes por unidade de massa. precisamos integrar a equa¸ c˜ ao anterior sobre todos os momenta poss´ ıveis. juntamente com v (p) = p/me . 1 3 2 T ν (23. j´ a que a absor¸ c˜ ao livre-livre s´ o´ e importante para el´ etrons n˜ ao-relativ´ ısticos. i) = 2 g 16π 2 Zi2 e6 Sf.i ¯ff . Utilizando a distribui¸ c˜ ao de momentum de Fermi-Dirac.216) Para obter o coeficiente de absor¸ c˜ ao livre-livre por ´ atomo. F 1 e − 16 2 af f 2 × 10 cm . Logo.5. Se A for a massa atˆ omica do ´ atomo. N NA = ρ A onde NA ´ e o n´ umero de Avogadro.219) 374 .i ¯ff . provenientes de um ´ atomo de carga nuclear Zi e.220) (23. se aff denota o coeficiente de absor¸ c˜ ao atˆ omica por transi¸ c˜ oes livre-livre: N aff Kff = (23. que irradia em todas as dire¸ c˜ oes.223) i ´ i = 2n2 assumindo hidrogˆ onde gn e o peso estat´ ıstico do n´ ıvel n.11: Coeficiente de absor¸ c˜ ao monocrom´ atico. yi : Kbf = e yi pode ser estimado de: yi = i gn exp [− (εF + Ei ) /kT ] N yi abf ρ (23.4 Espalhamento Thomson Quando uma onda eletromagn´ etica passa por um el´ etron.221) ρ Para o caso de transi¸ c˜ oes ligado-livre.3).19. Para uma mistura de elementos. precisamos multiplicar abf pela fra¸ c˜ ao m´ edia de n´ ucleos no n´ ıvel i. (gn enicos). o coeficiente de absor¸ c˜ ao monocrom´ atico tem a forma esquem´ atica da figura (23. isto ´ e. 23.Portanto. o campo el´ etrico faz o el´ etron oscilar. Um el´ etron oscilando representa um dipolo cl´ assico (carga em movimento). Figura 23. o el´ etron 375 .19.222) (23. o coeficiente de absor¸ c˜ ao monocrom´ atico por unidade de massa ´ e σ0 ne e Kν = (23. temos j= c 2 2 E sen (2πνt) 4π 0 (23.224) Nesse caso. O tratamento cl´ assico. ´ e v´ alido para hν me c2 1→λ 0.228) Como a energia incidente por unidade de ´ area ´ e dada por j= (23.230) e a se¸ c˜ ao de choque do espalhamento Thomson ´ e dada por σ0 ≡ = dε/dt j 2 (23. 02 ˚ A (23.226) (23.225) (23.227) dε 2 e4 = E 2 sen2 (2πνt) 3 0 dt 3 m2 ec c E×H 4π (23.232) Para o espalhamento Thomson.espalha parte da energia da onda incidente. perpendicular e de mesma magnitude que o campo el´ etrico E. 6652 × 10−24 cm2 (23.231) 8π e2 3 me c2 = 0.233) ρ 376 . chamado de espalhamento Thomson.229) onde H ´ e o campo magn´ etico. a energia irradiada por um el´ etron com acelera¸ c˜ ao a ´ e dada pela equa¸ c˜ ao de Larmor (23.213): dε 2 e2 2 a = dt 3 c3 Se o campo el´ etrico da radia¸ c˜ ao incidente for representado por E = E0 sen (2πνt) a ser´ a dado por: a=− de modo que eE eE0 =− sen (2πνt) me me (23. a densidade de el´ etrons ´ e dada por Z ne = ρNA (23. pois. isto ´ e. α≡ hν0 me c2 (23. O excesso de probabilidade ´ e 377 .19. pode ser escrito como: a Kν = Kν 1 − e− kT hν e + Kν (23. 1 ρNA (1 + X ) (23.238) 23. a probabilidade de emiss˜ ao de radia¸ c˜ ao nessa freq¨ uˆ encia ser´ a aumentada. precisamos utilizar as f´ ormulas do espalhamento de Compton.236) A Se Ai 2Zi . como tˆ em massa mais alta. Para um g´ as completamente ionizado. e o espalhamento ser´ a incoerente. levandose em conta o espalhamento coerente e a emiss˜ ao induzida.234) onde νo ´ e a freq¨ uˆ encia da radia¸ c˜ ao incidente.235) eθoˆ angulo entre o feixe incidente e a dire¸ c˜ ao do feixe irradiado.239) A emiss˜ ao induzida leva em conta que se uma radia¸ c˜ ao de freq¨ uˆ encia ν = νEi incide sobre um ´ atomo j´ a no estado i.237) ne 2 e o coeficiente de absor¸ c˜ ao por unidade de massa Ke = σ0 ne ρ = 0. o coeficiente total de absor¸ c˜ ao por unidade de massa. a radia¸ c˜ ao emitida pelos el´ etrons ter´ a uma freq¨ uˆ encia ν = ν0 1 − α(1 − cos θ) 1 + α(1 − cos θ) (23. 2004(1 + X ) cm2 /g O espalhamento por ´ ıons ´ e sempre menor do que o por el´ etrons. os ´ ıons respondem menos a oscila¸ c˜ oes impostas: Z 4 m2 σion e = 2 2 σe A mp 3 × 10−7 (23.5 Coeficiente total Finalmente.Se o el´ etron for acelerado para velocidades relativ´ ısticas. como determinado por Einstein em 1917.244) (23. T ) ρ 3. 6[X + Y + B (1 − X − Y )](1 + X )¯ gff F (ρ.i n2 h2 kT n3 2 (2πme kT )3/2 ni n ne h3 (i) e Sn.5 cm /g t T6 onde t ´ e chamado de fator de guilhotina ∞ t≡ 0 W (u)du ¯(u) f 10 (23. 40 × 103 B (1 − X − Y )(1 + X ) g ¯bf ρ 2 3.242) (23. se a abundˆ ancia dos elementos pesados Z = 1−X −Y 378 . em sua deriva¸ c˜ ao da lei de Planck.246) W (u) = 15 u7 e−u 4π 4 (1 − e−u ) (23. o coeficiente de absor¸ c˜ ao ligado-livre domina sobre o coeficiente livrelivre no interior estelar.245) εF 2 (2πme kT ) 2 F (ρ.i = νe Zi a carga efetiva.241) e ci ≡ Xi (1 − X − Y ) 3 (23. Podemos obter f´ ormulas aproximadas para os coeficientes de absor¸ c˜ ao.proporcional ` a intensidade Iν da radia¸ c˜ ao incidente. f (u) uma m´ edia de f (i) (u) sobre todos os elementos relevantes exceto H e He de f (i) (u) ≡ n 4 2π 2 e4 me Zi2 Sn. no caso de ioniza¸ c˜ ao completa: Kff onde B≡ i(Zi >2) 37.243) (23.247) hν ¯ com u ≡ kT .240) ci Zi2 Ai (23. T ) ≡ ln 1 + e kT 3 h T T6 ≡ 6 10 K e Kbf 7.5 T6 cm2 /g (23. Como o coeficiente num´ erico de Kbf ´ e muito maior do que o coeficiente de Kff . 249) (23. B = 5 e t = 10. 01 379 2. obtemos a condi¸ c˜ ao Kbf ≥ Kff (23. 01 isto ´ e. em fun¸ c˜ ao da temperatura e densidade.7 5 Z (1 + X )ρT −3.12: Figura publicada por Chushiro Hayashi (1920-2010).251) . J´ a a condi¸ c˜ ao Ke ≥ Kbf . como o Sol. 27 No.250) K (23. 76 × 1022 (1 + X )ρT −3.248) 7. Se usarmos g ¯ff = g ¯bf = F (ρ. assumindo g ¯ff B/t = 1/2. 6 p. Minoru Nishida and Daiichiro Sugimoto (1962. 40 × 1024 (1 + X )ZρT −3. Progress of Theoretical Physics Vol. T ) = 1.5 ≥ 3. se d´ a com: 1 0. 40 × 1024 ou seja Z = 1 − X − Y ≥ 0. 20(1 + X ) ≥ 7.Figura 23. a opacidade ligado-livre domina sobre a livre-livre para estrelas de Popula¸ c˜ ao I. 1233) ilustrando as regi˜ oes onde cada tipo de opacidade ´ e mais importante.5 2 ou T ≥ 1. for grande o suficiente.5 10 (23. 66 × 107 ρ Z · 100 0. 19. A fun¸ c˜ ao de parti¸ c˜ ao g− = 1 para o ´ ıon negativo e g0 = 2 para o hidrogˆ enio neutro. para densidades ρ 10 − 3 100 g/cm . ´ e necess´ aria a presen¸ ca de hidrogˆ enio neutro e el´ etrons livres. 27 (23. que corresponde a um f´ oton de λ = 16 500 ˚ A.754 eV acima do fundamental. e o alargamento da linha por colis˜ ao. Ca e Al. como Na. Outras componentes que precisam ser levadas em conta s˜ ao as transi¸ c˜ oes ligado-ligado. 01. efeito Doppler (velocidade) e efeito Stark (densidade) [Johannes Stark (1874-1957)]. onde o potencial de ioniza¸ c˜ ao ´ e dado pela energia de liga¸ c˜ ao do segundo el´ etron. 23.Figura 23. O n´ umero de ´ ıons negativos de hidrogˆ enio em equil´ ıbrio ´ e dado pela lei de Saha. 380 . para log ρ = 3. 5 log T − 23. para Z = 0. podendo atrair e ligar-se a outro el´ etron. pois tem um n´ ıvel somente 0.754 n0 Pe = 4 e n− h3 3 5 eV/kT Os el´ etrons s˜ ao provenientes de algum hidrogˆ enio ionizado e de el´ etrons das camadas externas de alguns metais abundantes. Portanto. Para que exista o ´ ıon. A baixas temperaturas o H− ´ ea principal fonte de absor¸ c˜ ao. Logo a lei de Saha pode ser escrita como (2πme ) 2 (kT ) 2 −0. pode formar-se o ´ ıon negativo H− pois um hidrogˆ enio neutro se polariza se houver uma carga el´ etrica pr´ oxima. K.252) Ke Kbf Kff . o espalhamento por el´ etrons domina para T ≥ 107 K.6 ´ Ion negativo de hidrogˆ enio Para temperaturas abaixo de 7000 K. isto ´ e. normais nos interiores estelares.13: Regi˜ oes de dom´ ınio dos diferentes tipos de absor¸ c˜ ao. embora n˜ ao precisas. mas da abundˆ ancia dos metais. uma estimativa da opacidade ´ e KH − ≈ 2.Portanto. Por condu¸ c˜ ao t´ ermica.254) que. as absor¸ c˜ oes moleculares s˜ ao muito importantes. O caso n = 1 e s = 3. e n e s ajustados ` as tabelas de opacidades. (Heidelberg. Freq¨ uentemente se aproxima a opacidade por uma f´ ormula do tipo: K = K0 ρn T −s (23. o fluxo de energia depende do gradiente de temperatura.5. respons´ aveis pela condu¸ c˜ ao. ´ e chamada de opacidade de Kramers. p. prop˜ oe que o coeficiente de difus˜ ao dos el´ etrons. 02)ρ1/2 T 9 cm2 /g (23. Para 3000 ≤ T ≤ 6000 K. isto ´ e. Evry Leon Schatzman (1920-) e Fran¸ coise Praderie no livro The Stars de 1993. K0 fun¸ c˜ ao da composi¸ c˜ ao qu´ ımica. pois foi derivada classicamente para as opacidades livre-livre e ligado-livre pelo f´ ısico holandˆ es Hendrik Anthony Kramers (1894-1952) em 1923. O caso n=1 e s=3. ´ e dado por νc 1 1 (kT ) 2 1 √ 4 3 π e Ni me log( D /a) 5 onde D ´ e o comprimento de Debye [Peter Joseph William Debye (18841966)] e D a = 4 3 πNe 8πNe e2 kT 1 3 1 2 381 .255) onde νc ´ e o coeficiente de condu¸ c˜ ao. o fluxo se d´ a da regi˜ ao mais quente para a mais fria. Hcond = −νc dT dr (23. para um plasma fracamente correlacionado. a opacidade do H− depende n˜ ao somente da temperatura. 5 × 10−31 (Z/0. densidades de 10−10 ≤ ρ ≤ 10−5 g/cm3 .253) Para temperaturas abaixo de 5000 K. servem para estimativas. 5 s´ o ´ e estritamente v´ alido para as transi¸ c˜ oes livre-livre em um g´ as n˜ ao-degenerado basicamente ionizado. 102. v´ alido para absor¸ c˜ ao livre-livre em um g´ as n˜ ao-degenerado em que a maioria dos elementos est´ a completamente ionizado. Springer). substituindo-se K por Ktotal . definindo uma opacidade efetiva total: 1 1 1 = + (23. Embora a condu¸ c˜ ao n˜ ao seja um mecanismo importante de transporte de energia para estrelas na seq¨ uˆ encia principal.259) 4acT 3 . Kc (cm2 /g). o fluxo total Htotal = HR + Hcond (23. definida de modo que: 4ac 3 dT T (23.161). para T = 107 K. 3 νc ρ (23. portanto. e Kc a opacidade conductiva. Podemos modificar a defini¸ c˜ ao de opacidade.257) Hcond = − 3Kc ρ dr ou seja: Kc = e.Figura 23.256) Ktotal KR Kc onde KR ´ e a opacidade radiativa. ela ´ e importante no n´ ucleo 382 .14: Valores da opacidade conductiva.258) pode ser escrito usando-se a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio radiativo (23. θi 0.15479 0.48637 0. somente os el´ etrons pr´ oximos do topo do mar de Fermi podem participar efetivamente no processo de condu¸ c˜ ao.82284 1/3 f (εF /kT ) 0.260) T (23.262) 1 − cos θi T7 = e θi tamb´ em ´ e fun¸ c˜ ao da degenerescˆ encia e precisa ser calculada numericamente. Em 1950. Zi . onde os el´ etrons est˜ ao degenerados. como f (εF /kT ): εF /kT -4 -0. 06(εF /kT )−2 /Zi3 1 Uma estimativa mais simples ´ e Kc ≈ 4 × 10−8 µ2 e 2 Z µi i 383 T ρ 2 cm2 /g (23. e.2 4 8 Zi θi 0.9 2001 Para pequena degenerescˆ encia. O mecanismo mais eficiente de espalhamento dos el´ etrons ´ e atrav´ es da intera¸ c˜ ao coulombiana com os ´ ıons do meio.67 367. 848 1 − 2.de estrelas an˜ as brancas e de algumas supergigantes vermelhas.4369 17. portanto. θi 0. a opacidade conductiva depende da carga dos ´ ıons. obtendo Kcond = 1. Leon Mestel (1927-) calculou o coeficiente condutivo para o caso de el´ etrons n˜ ao-relativ´ ısticos. Como nenhum processo envolvendo colis˜ ao de um el´ etron degenerado pode espalhar o el´ etron para um estado de energia j´ a ocupado.77132 0. 589 e(εF /kT ) 1 3 /Zi3 1 Para grande degenerescˆ encia. εF /kT ≤ −4.263) . εF /kT ≥ +8.261) 107 K O fator ΘI leva em conta os efeitos dos encontros distantes dos el´ etrons e ´ ıons 1 2 2 Θi = ln 1 (23. 158 × 103 onde i Zi Xi Θi /Ai T7 f (εF /kT ) cm2 /g (23. Como Kc Krad . e uma composi¸ c˜ ao de carbono. e n˜ ao por radia¸ c˜ ao. a opacidade radiativa ser´ a dada por espalhamento de el´ etrons Ke 0. µi = 12 e Zi = 6. Como um exemplo de onde a opacidade conductiva ´ e importante.Essa opacidade tamb´ em depende da carga dos ´ ıons. Ktotal ≈ Kc . T ≈ 107 K.263). consideremos o interior de uma an˜ a branca fria.256). com ρ ≈ 106 g/cm3 . com µe = 2. Figura 23. Portanto.15: Opacidade Total. o transporte de energia se dar´ a por condu¸ c˜ ao. pois os el´ etrons s˜ ao acelerados em intera¸ c˜ oes com os ´ ıons. 2 cm2 /g. e a opacidade conductiva (23. Como o carbono estar´ a ionizado. 384 . usando-se equa¸ c˜ ao (23. ser´ a de Kc 5 × 10−5 cm2 /g. Os modelos at´ e o in´ ıcio dos anos 1990 utilizavam as tabelas do astrˆ onomo americano Arthur Nelson Cox (1927-) e James Edward Tabor (1931-1989) do Los Alamos National Laboratory. 281.J. Em 1990. Wilson do Lawrence Livermore National Laboratory.739 e Y=0. para uma mistura de hidrogˆ enio e h´ elio com X=0. 31. de acordo com os c´ alculos de Los Alamos. 271.16: Opacidade de Rosseland KRoss (cm2 /g). Os c´ alculos de opacidades s˜ ao bastante complexos. publicadas em 1976 no Astrophysical Journal Supplement.Figura 23. Carlos A. Iglesias. Rogers e B. para valores de ρ (g/cm3 ) e T (K). Forrest J. 360. as tabelas OPAL 385 . pois dependem da f´ ısica estat´ ıstica e da f´ ısica de part´ ıculas e variam de acordo com a composi¸ c˜ ao qu´ ımica do modelo.240. publicaram no Astrophysical Journal. Ca. Seaton (2005. He. incluindo transi¸ c˜ oes de el´ etrons internos (inner shell). Michael J. a 1. Ar.6 -6 a -0. 1 a 1. Michael J. Seaton e Nigel R.72.N.8.S 0. As Cefeidas cl´ assicas tˆ em log P = 0. Si. mas esse n´ ıvel s´ o pode ser calculado por aproxima¸ c˜ ao n˜ ao-hidrogˆ enica. 464. log L/L = 1. com um arquivo dos dados e programa para calcular a opacidade m´ edia de Rosseland. 362. 76 a 3. Para todos os outros ´ atomos. Badnell (2004.87. e log Tef = 3.04.html). degenerescˆ encia dos el´ etrons. para composi¸ c˜ oes qu´ ımicas diferentes e temperaturas e press˜ oes diferentes.69. log M/M = − . s´ o com estas corre¸ c˜ oes se conseguiu modelar as pulsa¸ c˜ oes das estrelas RR Lyrae e Delta Scuti com precis˜ ao. As Cefeidas de Popula¸ c˜ ao II tˆ em log P = 0. 386 . o H tem um n´ ıvel de energia 0. o c´ alculo tem de − ser por aproxima¸ c˜ ao.fr/topbase/op.5 -3 a 0 -2 a 1 2a3 http://www-phys. em dias. e log Tef = 3. Rogers no Astrophysical Journal.58. Fe e Ni. log M/M = .llnl.gov/V Div/OPAL/. log R/R = 0.44.5 a 5 h Pop. As tabelas OPAL incluem corre¸ c˜ oes de muito corpos.3. 41 a 2. C. difra¸ c˜ ao quˆ antica e acoplamento de plasma.R. Elas foram atualizadas em 1996 por Carlos A. ∈∈. Ne. 95 a 2.Tipo RR Lyrae Cefeidas W Virg Miras δ Scuti Tabela 23. Al.2: Estrelas Vari´ aveis Per´ ıodo Popula¸ c˜ ao Tipo Espectral 1. 943. O. N. Outro projeto que calcula detalhadamente as opacidades chama-se Opacity Project (http://vizier. Mg. Cr. 82 a 3. 4 a 1. II A2–F2 1 a 50 d Pop. 457) apresentam uma compara¸ c˜ ao entre os resultados dos dois projetos. Na. Mn. L1) publica o coeficiente de absor¸ c˜ ao monocrom´ atica para 17 elementos: H. S. Por exemplo. em dias. 354.52. I A5–F5 Mag. Somente a aproxima¸ c˜ ao hidrogˆ enica (duas part´ ıculas) pode ser calculada analiticamente. Absoluta 0. 81 a 4. II F2–G6 100 a 700 d I e II M. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. log R/R = 1.u-strasbg. I F6–K2 2 a 45 d Pop. mostrando que os resultados s˜ ao bastante similares.75 eV acima do n´ ıvel fundamental do hidrogˆ enio neutro.5 a 24 h Pop. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 86 a 1. log L/L = 2. Iglesias e Forrest J. σ . efetivamente combina trˆ es n´ ucleos de h´ elio em um n´ ucleo de 12 C. pode-se escrever: ε = ε0 ρn T m . o processo principal para a convers˜ ao de hidrogˆ enio em h´ elio ´ e o ciclo p-p. e densidades entre 1 e 100 g/cm3 . Para estrelas mais massivas do que o Sol. Ap´ os a transforma¸ c˜ ao de hidrogˆ enio em h´ elio. e a temperaturas acima de 108 K. e para fins did´ aticos. e EbY ´ e energia cin´ etica do centro de massa de b e Y . as taxas de rea¸ c˜ oes nucleares s˜ ao tais que n=1 e m=4 para o ciclo p-p. Nesses casos. o processo dominante ´ e o ciclo CNO. Com a energia liberada por rea¸ c˜ ao.1 Se¸ c˜ ao de choque e taxa de rea¸ c˜ ao O equil´ ıbrio energ´ etico nos d´ a a energia liberada em cada rea¸ c˜ ao nuclear. Entretanto. nitrogˆ enio e oxigˆ enio fazem o papel de catalistas da convers˜ ao. Por exemplo. em alguns intervalos de energia.23. Para isso. Essas rea¸ c˜ oes ocorrem a temperaturas de alguns milh˜ oes de graus. e a se¸ c˜ ao de choque das rea¸ c˜ oes depende da energia. n˜ ao se pode escrever uma simples express˜ ao entre a produ¸ c˜ ao de energia nuclear. precisamos definir a se¸ c˜ ao de choque da rea¸ c˜ ao.265) onde EaX ´ e a energia cin´ etica do centro de massa de a e x. se considerarmos a rea¸ c˜ ao gen´ erica a + X −→ Y + b o princ´ ıpio de conserva¸ c˜ ao de energia demanda a igualidade: EaX + (Ma + MX ) c2 = EbY + (Mb + MY ) c2 (23. 23. m=15 para o ciclo CNO. Eliberada = EbY − EaX = [(Ma + MX ) − (Mb + MY )] c2 . o n´ ucleo se condensa e esquenta. Dessa forma. podemos calcular a energia liberada por unidade de volume por segundo.20. (23. em que o carbono. porque as rea¸ c˜ oes s˜ ao ressonantes com os n´ ıveis de energia do n´ ucleo composto.264) onde n e m s˜ ao expoentes determinados pelo tipo de rea¸ c˜ ao dominante. com a temperatura e a densidade. e com o n´ umero de rea¸ c˜ oes por unidade de volume por segundo.266) (23.20 Gera¸ c˜ ao de Energia Nuclear A gera¸ c˜ ao de energia nuclear ´ e altamente dependente da temperatura do meio. A se¸ c˜ ao de choque ´ e uma 387 . para estrelas com massa inferior ` a massa do Sol. com n=2 e m=40. ε. e n=1. Supondo que o fluxo de part´ ıculas a ´ e dado pela transla¸ c˜ ao uniforme. se a = X ). φ(v )dv representa a probabilidade que a velocidade relativa esteja no intervalo v e v + dv . por unidade de volume ser´ a dada por: raX = Na NX 1 1 + δaX ∞ 0 vσaX (v )φ(v )dv = Na NX σv 1 1 + δaX (23. por par de part´ ıculas.270) . Este u ´ltimo fator leva em conta que n˜ ao devemos contar duplamente as part´ ıculas idˆ enticas. decai em um tempo τi . de part´ ıculas com densidade Na . δaX = 0. dada por r = σ (v )vNa NX 1 1 + δaX (23. Na nossa rea¸ c˜ ao gen´ erica.271) (23.269) Um estado i com uma largura energ´ etica natural Γi . ou seja. Supondo que o n´ ucleo X tem uma densidade NX . ´ area e porque o n´ umero de rea¸ c˜ oes pode ser calculado assumindo-se que o n´ ucleo X tem uma ´ area σ e que uma rea¸ c˜ ao ocorre sempre que uma part´ ıcula a atinge aquela ´ area. definido de modo que ∞ φ(v )dv = 1 0 (23. definido como Γ i τi = ¯ h A probabilidade de decaimento pelo canal i ´ e dada por: Pi = 1/τi τ = τi j (1/τj ) 388 (23. existir´ a um espectro de velocidades φ(v ). A velocidade v ´ e a velocidade relativa entre as part´ ıculas a e X . e a taxa de rea¸ c˜ ao total. Se o g´ as estiver em equil´ ıbrio termodinˆ amico. a se¸ c˜ ao de choque ´ e definida como: σ cm2 = n´ umero de rea¸ c˜ oes/n´ ucleo X/unidade de tempo n´ umero de part´ ıculas incidentes/cm2 /unidade de tempo O nome se¸ c˜ ao de choque adv´ em da unidade. ent˜ ao.267) onde δaX ´ e o delta de Kronecker [Leopold Kronecker (1823-1891)] (δaa = 1. a taxa de rea¸ c˜ ao por unidade de volume ser´ a dado pelo produto σNX e pelo fluxo de part´ ıculas a. A taxa de rea¸ c˜ oes ser´ a.268) Nesse caso. em que um n´ ucleo X ´ e bombardeado por um fluxo uniforme de part´ ıcula a. pelo princ´ ıpio da incerteza. o fluxo ´ e vNa . com velocidade v .medida da probabilidade de ocorrˆ encia da rea¸ c˜ ao. Γa Γb σv ab = σv aX 2 (23. 44 A1 a + AX 1/3 1. tamb´ em chamado de um fermi. 44 × 10−13 A1/3 cm (23. Para temperaturas da ordem de dezenas a centenas de milh˜ oes de graus.274) Γ 23. e corresponde a 10−13 cm. o fator Γa Γb /ΓΓ nos d´ a a probabilidade de reagir a + X .onde  τ ≡ j −1 1 τj (23. As rea¸ c˜ oes ocorrem 389 . de modo que a probabilidade de decaimento pelo canal i pode ser expressa como: Γi Pi = (23.276) onde fm ´ e um fentometro. /3 R = 1. 44 MeV R R(f m) (23. enquanto que a energia cin´ etica entre as part´ ıculas ´ e determinada por uma distribui¸ c˜ ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann correspondente ` a energia t´ ermica kT = 8. resultando em b + Y . a energia m´ edia das part´ ıculas interagentes ´ e muitas ordens de magnitudes menor do que a barreira coulombiana que as separa. dada por V = KZ1 Z2 e2 Z1 Z2 = 1.275) fm (23.20.272) ´ e o tempo de vida m´ edio total do estado com largura natural Γ = j Γj . Para que uma rea¸ c˜ ao nuclear ocorra.2 Rea¸ co ˜es n˜ ao-ressonantes O raio de um n´ ucleo de massa atˆ omica A pode ser representado por R Para uma rea¸ c˜ ao a + X . 62 × 10−8 T keV.273) Γ Portanto. as part´ ıculas precisam vencer a barreira coulombiana [Charles Augustin de Coulomb (1736-1806)] repulsiva entre as part´ ıculas.277) onde K=1 no sistema cgs. 278) onde µ ´ e a massa reduzida das part´ ıculas a e X . a distribui¸ c˜ ao de Maxwell-Boltzmann mostra que o n´ umero de pares de part´ ıculas com energia muito acima de kT decresce rapidamente com a energia.pelo efeito de tunelamento quˆ antico. pois as rea¸ c˜ oes dificilmente podem ocorrer se as part´ ıculas n˜ ao penetrarem essa barreira.280) 1 1 p hv 2 Ecin´ etica = 2 mv = 2 mv m 2r pelo Princ´ ıpio da Incerteza p · r h. µ= ma mX ma + mX (23. (23. As part´ ıculas com maior chance de penetrar a barreira s˜ ao aquelas com a m´ axima energia na distribui¸ c˜ ao de Maxwell-Boltzmann: φ(v )dv = µ 2πkT 3 2 exp − µv 2 2kT 4πv 2 dv (23. Penetra¸ c˜ ao ∝ exp − 2πKZ1 Z2 e2 hv ¯ .281) A intera¸ c˜ ao entre duas part´ ıculas tamb´ em ´ e proporcional ao fator quantum-geom´ etrico πλ2 .279) Entretanto. Hendrik Anthony Kramers (1894-1952) e Marcel Louis Brillouin (1854-1948)]. penetrar sua repuls˜ ao eletrost´ atica ´ e proporcional ao fator Penetra¸ c˜ ao ∝ exp − j´ a que V Ecin´ etica exp − 2KZ1 Z2 e2 hv (23. As se¸ c˜ oes de choque para rea¸ c˜ oes nucleares ser˜ ao proporcionais a esse fator. proposto em 1928 pelo f´ ısico russoamericano George Antonovich Gamow (1904-1968).282) . v´ alido para o caso de energia da barreira muito maior do que a energia m´ edia das part´ ıculas. Esse fator de penetra¸ c˜ ao pode ser obtido pelo m´ etodo WKB [Gregor Wentzel (1898-1978). onde λ ´ e o comprimento de onda de de Broglie: πλ2 = π h p 2 = 390 πh 1 ∝ 2Em E (23. George Gamow foi o primeiro a demonstrar que a probabilidade de duas part´ ıculas de carga Z1 e Z2 . movendo-se com velocidade relativa v . O fator dentro da exponencial chama-se fator de Sommerfeld [Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951)]. 281) quanto (23. E 1 1 (23. 28Z1 Z2 A 2 keV 2 .282) variam rapidamente com a energia. +1 = π s2+1 − s2 = πλ2 (2 + 1) (23. A distribui¸ c˜ ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann pode ser escrita em termos da distribui¸ c˜ ao de energia: E 2 E exp − ψ (E )dE = φ(v )dv = − √ kT π kT e σv = logo σv = 8 µπ 1 2 1 2 dE (kT E ) 2 E kT 1 (23. definimos a se¸ c˜ ao de choque a baixas energias como um produto de trˆ es fatores dependentes da energia: σ (E ) ≡ = onde eA´ e o peso atˆ omico reduzido A≡ A1 A2 . o momentum angular quantizado ´ e sp = ¯ h.284) b = 31. enquanto os outros dois fatores representam dependˆ encias n˜ aonucleares. tanto (23. Com essas motiva¸ c˜ oes. O fator S (E ) ´ e normalmente constante ou fracamente dependente da energia sobre uma faixa limitada de energias. e a se¸ c˜ ao de choque passando de um estado para ( + 1) ´ e dada por σ . A1 + A2 S (E ) 2πKZ1 Z2 e2 exp − E hv ¯ S (E ) −1 exp −bE 2 .285) 8 µπ 1 (kT ) 3 2 ∞ σ (E ) exp − 0 dE (23. O fator S (E ) representa a parte nuclear da probabilidade de ocorrˆ encia da rea¸ c˜ ao.pois. bem conhecidas. para um parˆ ametro de aproxima¸ c˜ ao (distˆ ancia m´ ınima) s.287) 391 .286) 1 (kT ) 3 2 ∞ S (E ) exp − 0 1 E − bE − 2 kT dE (23.283) Em baixa energia. 20. 6 exp 31.288) onde T6 ´ e a temperatura em milh˜ oes de graus Kelvin.3 Rea¸ c˜ oes ressonantes Em 1936. que descreve a parte ressonante da se¸ c˜ ao de choque para estado com largura natural Γ: σ (E ) = Γ 2π (E − Er )2 + (Γ/2)2 que tem a forma de uma lorentziana. 519. e E0 ´ e chamada de energia efetiva para a rea¸ c˜ ao nuclear. enquanto que o fator 1 exp −bE − 2 decresce para baixas energias. refletindo o fato que a penetra¸ c˜ ao da barreira coulombiana favorece as part´ ıculas de alta energia da distribui¸ c˜ ao de Maxwell-Boltzmann. 220 Z1 Z2 AT6 keV. enquanto que a energia t´ ermica ´ e de kT = 0.O fator exp(−E/kT ) decresce para altas energias. 392 . para rea¸ c˜ oes ressonantes. Portanto.288). a fun¸ c˜ ao S (E ) n˜ ao varia pouco com a energia. publicaram no Physical Review. obtendo E0 10 a 30 keV. a f´ ormula de Breit-Wigner para n´ ıvel u ´nico. As rea¸ c˜ oes s˜ ao mais efetivas para uma energia E0 determinada pelo m´ aximo do integrando: d dE ou E0 = bkT 2 2 3 1 E + bE − 2 kT = E =E0 1 −3 1 − bE0 2 = 0 kT 2 2 2 2 = 1. e 1 barn=10−24 cm2 . 49.289) 2J + 1 . 1902-1995). (2J1 + 1) (2J2 + 1) eJ ´ e o momentum angular da ressonˆ ancia e J1 e J2 s˜ ao os spins das part´ ıculas 1 e 2. 28Z1 Z2 A 2 E − 2 2 2 A (E − Er ) + (Γ/2) keV barns (23. o russo Gregory Breit (1899-1981) e o h´ ungaro Eugene Paul Wigner (Jen´ o P´ al Wigner. Pela equa¸ c˜ ao (23. (23. 23. podemos calcular que a energia efetiva para a rea¸ c˜ ao nuclear para part´ ıculas leves e temperaturas de algumas dezenas de milh˜ oes de graus. 086T6 keV. mas tem a forma: S (E ) = onde w= 1 1 wΓ1 (E )Γ2 656. Data Tables.290) 2 p A vida m´ edia de um pr´ oton em rela¸ c˜ ao ` a sua destrui¸ c˜ ao pela rea¸ c˜ ao p+p ´ e dada por np np τp = − = (23. e: σv pp = 6.Figura 23. 40. (1999).phy.ulb. A656.ornl. e a maior incerteza ´ e o tempo de vida m´ edia do nˆ eutron para decaimento β .291) dnp /dt 2rpp 393 . Para o ciclo p-p. 283. A dependˆ encia em energia dessa rea¸ c˜ ao ´ e diretamente dependente da barreira coulombiana entre os dois pr´ otons. 380/T9 cm3 s−1 A taxa de rea¸ c˜ ao ´ e obtida multiplicando-se por n2 p /2.html e foram publicadas principalmente por Georgeanne Robertson Caughlan (1916-1994) e William Alfred Fowler (1911-1995) em 1988.. onde o fator de 1/2 porque n˜ ao podemos contar as part´ ıculas idˆ enticas duas vezes. no Atomic Data Nuc. William Fowler recebeu o prˆ emio Nobel em f´ ısica em 1983. Nuclear Physics. da ordem de 11 min.be/nacre. 1 rpp = n2 σv pp (23. por seus estudos de rea¸ c˜ oes nucleares e a forma¸ c˜ ao dos elementos no Universo. Angulo et al.17: Fatores dominantes na taxa de rea¸ c˜ ao nuclear. 938T9 × exp −3. 09T9 2/3 + 0.htm. 123T9 1/3 1/3 + 1. necess´ ario para calcular-se o processo inverso de decaimento do pr´ oton. 3-187] do NACRE e est´ a dispon´ ıvel em http://pntpm.gov/astrophysics/data/data. e+ νe )2 D ´ e n˜ ao-ressonante. As taxas de rea¸ c˜ oes nucleares est˜ ao dispon´ ıveis na internet no endere¸ co http://www. Uma lista mais moderna foi publicada em 1999 por Carmen Angulo P´ erez (1965) e colaboradores [C. a primeira rea¸ c˜ ao 1 H(1 H. 34 × 10−39 2/3 T9 1 + 0.ac. isto ´ e. para baixas temperaturas o PPI domina e. as cadeias PPII e PPIII contribuem igualmente. A energia t´ ermica liberada pelo ciclo p-p tamb´ em depende da cadeia. decaindo em 9. para altas temperaturas.998/T9 1/3 MeV (23. 380/T9 394 1/3 ergs g−1 s−1 (23.294) . PPII e PPIII. 116 1 + 1. A rea¸ c˜ ao final do PPIII. na queima do h´ elio pelo 8 triplo–α. 412 × 108 (1/X − 1) e−4. 4 × 104 ρX 2 2/3 T9 exp −3. e ´ e ascendente. em processo inverso. O n´ ucleo de Be ´ e extremamente inst´ avel. 7. o PPIII domina. a rea¸ c˜ ao p+p ´ e t˜ ao lenta que efetivamente controla a velocidade com a qual o ciclo pr´ oton-pr´ oton opera.293) Usando somente os primeiros termos. obtemos τp 6 × 109 anos. A quantidade de rea¸ c˜ oes em cada um dos trˆ es ramos do ciclo PP. obtemos como primeira aproxima¸ c˜ ao εef pp = 2.292) e a gera¸ c˜ ao de energia por unidade de massa ´ e dada por: εef pp = rpp Qef ρ (23. que ´ e o decaimento do 8 Be em duas part´ ıculas–α ocorre tamb´ em.Para T6 15. 7 × 10−17 s. e um valor efetivo de Q pode ser estimado levando-se em conta os pesos relativos: Qef = 13. depende da temperatura. PPI. Para temperaturas de T 24 × 106 K. ρ 100 g/cm3 e X 0. 02. εpp ≈ 10εCN O . εααα = 5. 228/T9 1/3 ergs g−1 s−1 (23. O deut´ erio ´ e queimado mesmo em baixa temperatura (T ≥ 6 × 105 K) e. o principal n´ ucleo 14 14 resultante. consideravelmente mais alto do que para a queima do hidrogˆ enio e. portanto. 4. X=0. ser´ a o N. de modo que a contribui¸ c˜ ao do ciclo CNO para a gera¸ c˜ ao de energia total no Sol ´ e de 10%. No ciclo CNO.295) Para uma temperatura central como a solar de T ≈ 15 × 106 K. J´ a para a queima do h´ elio pelo ciclo triplo–α. Mas estrelas um pouco mais massivas do que o Sol tˆ em temperatura central suficientemente mais alta para o ciclo CNO dominar.18: Taxa de rea¸ c˜ ao nuclear para p + p → D + e + ν e e 3He4 → 12 C + γ. portanto. qualquer deut´ erio primordial ´ e queimado j´ a na fase de pr´ eseq¨ uˆ encia principal. 395 . 4027/T9 ) ergs g−1 s−1 3 T9 (23. se a temperatura for alta o suficiente.Figura 23. 4 × 1025 ρXZ 2/3 T9 εCN O ≈ exp −15. εααα ∝ T 40 . O e N.296) Para T ≈ 108 K.7 e Z=0. 1 × 108 ρ2 Y 3 exp (−4. e praticamente todo o N da natureza foi formado dessa maneira. entre C. potencialmente mais explosivo. 0 εc pp (ergs/g/s) 16. 0 × 1014 5.3].4 Escudamento eletrˆ onico A principal modifica¸ c˜ ao que precisamos fazer ` a discuss˜ ao de rea¸ c˜ oes nucleares apresentada at´ e agora ´ e a altera¸ c˜ ao ao potencial de Coulomb entre os reagentes. 23. da raz˜ ao entre carbono e oxigˆ enio.2 85. 0489T9 2 T9 −1/3 −2 × exp −32.7 47.63 c Pg (dina/cm2 ) 7.74 e Y=0. εαC = 2. New York: John Wiley & Sons. 8 × 1016 6. com Tef = 22 600 K e M = 0.24.Tabela 23. causando uma incerteza de uma fator de dois.98 30. Highlights of Modern Physics. assumindo X=0.61 11. 9 × 1016 9. 1 × 1014 2. p. Considere dois reagentes totalmente ionizados e de mesma carga Z. 650 M . na se¸ c˜ ao de choque.95 39.42 16. Travis Scott Metcalfe (1973-) inferiu um valor de S (300keV ) = 290 ± 15 keV barns para a se¸ c˜ ao de choque. ed. Teukolski (1947-). 16 O. 12T9 − (0. M (M ) 1 1. experimental e te´ orica. 286T9 )2 ergs g−1 s−1 A incerteza nessa rea¸ c˜ ao limita nosso conhecimento da composi¸ c˜ ao do n´ ucleo das estrelas an˜ as brancas provenientes de estrelas da seq¨ uˆ encia principal com massa menor do que 8 M . utilizando a asterosismologia de an˜ as brancas pulsantes para restringir a fra¸ c˜ ao de oxigˆ enio XO = 84 ± 3% para a DBV GD358. Podemos definir o raio de Wigner-Seitz a [Eugene Paul Wigner (1902-1995) e 396 . Esse problema ´ e chamado de escudamento eletrˆ onico (electron screening). 8 × 1016 c Prad (dina/cm2 ) 1. Stuart Louis Shapiro (1947-) & Saul A. isto ´ e. 0 × 1014 A pr´ oxima rea¸ c˜ ao importante ´ e a captura de um α pelo 12 C formando um Essa rea¸ c˜ ao se d´ a pr´ oxima a uma ressonˆ ancia.36 εc CNO (ergs/g/s) 0.09 ρc (g/cm3 ) 82. O valor utilizado atualmente para esta rea¸ c˜ ao para as energias estelares ´ e resultado de uma extrapola¸ c˜ ao dos dados experimentais por oito ordens de magnitude. devido ` a presen¸ ca dos el´ etrons no meio.04 463.2 2 Tc (106 K) 14. de acordo com William Alfred Fowler [1986.20.3: Valores centrais de produ¸ c˜ ao de energia termonuclear e press˜ ao. Em 2001. 62 × 1025 Y X12 ρ −2/3 1 + 0.67 21. obtendo S (300keV ) = 240 keV barns. circundado por uma nuvem de el´ etrons. podemos aproximar φ(r) como φ(r) Ze (1 − κd r) r 397 (23. obtemos o valor de rt 10−11 cm. de modo que 4 3 1 πa ≡ 3 ni (23.299) O efeito da exponencial ´ e o de reduzir a barreira de potencial abaixo do seu valor coulombiano KZe/r. Fredrick Seitz (1911-2008)].19: Taxa de rea¸ c˜ ao nuclear para C 12 + p → N 13 + γ e C 12 + α → 16 0 + γ. Como estamos interessados em calcular como esse potencial modificado afeta a barreira de penetrabilidade. ´ e dado por: φ(r) = 4πe2 κd = Z 2 ni + ne kT 1/2 (23. por n´ umero.297) onde ni ´ e a densidade de ´ ıons. a teoria de Debye-H¨ uckel [Peter Josef William Debye (1884-1966) e Erich H¨ uckel (18961980)] nos diz que o potencial eletrost´ atico de um ´ ıon.Figura 23. Portanto. o inverso do raio de Debye. ´ e dado por: Ze −κd r e r onde κd . Se usarmos o valor de E 10 KeV do pico de Gamow. onde E ´ e a energia cin´ etica para separa¸ c˜ ao infinita. Se KZ 2 e2 /a kT . para valores pequenos de r.300) . para um dado valor de r.298) (23. e Z unit´ ario. o valor de r de interesse ´ e da ordem de rt KZ 2 e2 /E . em que o decaimento beta se d´ a antes da captura de um novo nˆ eutron. n˜ ao precisam vencer a barreira coulombiana dos ´ ıons. William Alfred Fowler (1911-1995) e Sir Fred Hoyle (1915-2001). Portanto. mesmo em temperaturas moderadas. substituir σ (E ) por σ (E + U0 ). Por exemplo. Se o n´ ucleo for radioativo. os chamados processos s de slow. com uma unidade maior de massa atˆ omica: (Z. encontramos exp(U0 /kT ) 1. 398 . Pode-se. desprezando os outros ´ ıons.301) Como exp(U0 /kT ) > 1. 23. A) + n −→ (Z. podemos. ele poder´ a capturar um novo nˆ eutron e assim por diante. h´ a acelera¸ c˜ ao na taxa de rea¸ c˜ ao nuclear. 053.20. ou seja σv com escudamento = σv sem escudamento × exp(U0 /kT ) (23. entender a abundˆ ancia relativa dos elementos leves em termos dos est´ agios de queima nuclear. para X=0. Geoffrey Ronald Burbidge (1925-2010). Quando um ´ ıon captura um nˆ eutron. 25. ele se torna um is´ otopo do mesmo elemento. com T6 = 20 e ρ = 100 g/cm3 . portanto.3. em que a nova captura se d´ a antes do decaimento beta.7 e Y=0. Essa nomenclatura foi introduzida em 1957 por Eleanor Margaret Peachey Burbidge (1919-). isto ´ e. A + 1) for est´ avel. obtemos para o ciclo pp no centro do Sol exp(U0 /kT ) = 1. por serem neutros. Essa quest˜ ao distingue entre as duas cadeias principais de capturas de nˆ eutrons. em princ´ ıpio. Uma das rea¸ c˜ oes que produz nˆ eutrons ´ e 13 C(α. Para a rea¸ c˜ ao de pr´ otons com 12 C em uma estrela de popula¸ c˜ ao I. o efeito do escudamento ´ e significativo. A + 1) + γ Se o n´ ucleo (Z. Os elementos mais pesados do que o grupo do ferro s˜ ao formados por exposi¸ c˜ ao de n´ ucleos leves a um fluxo de nˆ eutrons. ele poder´ a capturar um novo nˆ eutron antes ou depois do decaimento beta.5 S´ ıntese de elementos pesados A nucleos´ ıntese dos elementos por sucessivos est´ agios de fus˜ ao termonuclear termina nos elementos do grupo do ferro. Portanto. Os nˆ eutrons. e o processo r de r´ apido. j´ a que a energia de liga¸ c˜ ao por n´ ucleon ´ e m´ axima para esses elementos. n)16 O.de modo que a barreira potencial eletrost´ atica U = KZeφ fica reduzida por 2 2 uma quantia U0 Z e κd devido ` a presen¸ ca da nuvem eletrˆ onica circundante. Nota-se claramente que os elementos com n´ umeros pares de pr´ otons e nˆ eutrons tˆ em maior abundˆ ancia. A emiss˜ ao de neutrinos funciona como uma refrigera¸ c˜ ao. Cambridge. 1982. 1989. no n´ ucleo de estrelas evolu´ ıdas ela pode ser dominante devido a alta densidade. e os abertos de Alastair G. Clayton (1935-) & David N. Donald D.20: Abundˆ ancias solares: os s´ ımbolos fechados s˜ ao de acordo com a compila¸ c˜ ao de Edward Anders (1926-) & Nicholas Grevese. 23. Essays in Nuclear Astrophysics.W. j´ a que os neutrinos interagem muito pouco com a mat´ eria. 197. Cameron (1925-). 53. devido ` a sua baixa se¸ c˜ ao de 399 . Embora a intera¸ c˜ ao fraca seja cerca de 10 mais rara do que a eletromagn´ etica.Figura 23. ed. Geochimica et Cosmochimica Acta. Barnes. 23. Schramm (1945-1997). Charles A.21 Emiss˜ ao de neutrinos Na intera¸ c˜ ao fraca existe um acoplamento el´ etron-neutrino de modo que um par el´ etron-p´ ositron pode decair em um par neutrino-antineutrino pela intera¸ c˜ ao fraca. p. al´ em de poder decair em um par de raios γ pela intera¸ c˜ ao − 20 eletromagn´ etica. Esse processo ´ e chamado de plasma neutrinos. f´ otons em um g´ as denso tˆ em uma massa efetiva. formando pares neutrino-antineutrino. j´ a que no centro de massa do par. Se o g´ as de el´ etrons for degenerado. γ + γ ↔ e− + e+ ↔ νe + νe Esse processo ´ e importante no n´ ucleo de estrelas muito massivas evolu´ ıdas. Os trˆ es processos mais importantes de emiss˜ ao de neutrinos s˜ ao: aniquila¸ c˜ ao de pares el´ etron-p´ ositron. A rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao para um plasmon transverso de n´ umero de onda k em um g´ as n˜ ao-degenerado. A energia dos neutrinos n˜ ao contribui para manter o equil´ ıbrio hidrost´ atico ou equil´ ıbrio t´ ermico. e ´ e dominante na remo¸ c˜ ao de energia t´ ermica de n´ ucleos degenerados de gigantes vermelhas. plasma neutrino e processos de fotoneutrinos. n˜ ao-relativ´ ıstico de densidade eletrˆ onica ne . pares el´ etron-p´ ositron s˜ ao produzidos nos interiores estelares porque a energia da radia¸ c˜ ao ´ e alta o suficiente (kT ≥ 0.choque. 400 . ele n˜ ao pode decair no v´ acuo em um par el´ etron-p´ ositron ou neutrino-antineutrino. σν 2 × 10−44 Eν me c2 2 e. Para temperaturas maiores do que 109 K. 1 MeV). ´ e dada por 2 ¯ 2 w2 = ¯ h h2 wp + k 2 c2 onde a freq¨ uˆ encia de plasma ´ e dada por wp = 4πne e2 me ou seja. conservando tanto o momentum quanto a energia. Entretanto. escapam do meio carregando energia. n´ ucleos de nebulosas planet´ arias e an˜ as brancas quentes. e s˜ ao chamados de plasmons. removendo a energia t´ ermica do g´ as. portanto. a massa efetiva do plasmon ´ e h ¯ wp /c2 . a freq¨ uˆ encia de plasma ´ e dada por: 4πne e2 2 wp = 1+ me ¯ h me c 2 3π 2 ne 2/3 1 −2 Como os plasmons tˆ em massa efetiva. tanto a energia quanto o momentum s˜ ao nulos. eles podem decair em pares. Como um f´ oton tem massa de repouso zero. Gamow & M. Schoenberg. A) → (Z − 1. O c´ alculo da taxa de produ¸ c˜ ao de neutrinos ´ e baseado na teoria eletrofraca de Steven Weinberg (1933-).21: M´ ario Schenberg O processo chamado de fotoneutrino d´ a-se quando um f´ oton energ´ etico interage com um el´ etron. 1941. para uma estrela de nˆ eutrons. Ele consiste de uma captura de el´ etron por um elemento qu´ ımico qualquer (Z. para T = 109 K e log g = 14. A) + e− + νe O neutrino e antineutrino s˜ ao formados sem qualquer altera¸ c˜ ao da composi¸ c˜ ao qu´ ımica. 1264 em 1967. equivalente ao n´ ucleo de uma estrela an˜ a branca pr´ oxima de Tef 13 000 K. Physical Review 59. para Q 1015 ergs cm−3 s−1 . e Abdus Salam (1926-1996). O processo Urca de emiss˜ ao de neutrinos. foi proposto pelo f´ ısico russoamericano George Antonovich Gamow (1904-1968) e pelo f´ ısico brasileiro M´ ario Schenberg (1914-1990) (G. chegando a Q 1018 ergs cm−3 s−1 .A): e− + (Z. A taxa varia de Q 102 ergs cm−3 s−1 . produzindo um par neutrino-antineutrino: γ + e− → e− + νe + νe Esse processo ´ e importante no n´ ucleo degenerado de estrelas quentes. equivalente ao n´ ucleo de uma estrela an˜ a branca quente. em que se perdia de qualquer forma. para T = 109 K e log g = 9. para T = 107 K e log g = 6. em honra ao Casino da Urca.Figura 23. 19. publicada no Physics Review Letter. A) + νe seguida de um decaimento β : (Z − 1. retirando energia do meio. 539). A) −→ (Z. 401 . no Rio. 22: Diagrama temperatura-densidade mostrando as regi˜ oes em que os diversos processos de emiss˜ ao de neutrinos s˜ ao dominantes. Masayuki Nakagawa.Figura 23. Astrophysical Journal.86T9 T9 e se T9 < 1 ρ 4. Tomoo Adachi. 45 × 1015 9 T9 se T9 > 1 ρ foto ν para e ρ em cgs. 9 × 108 3 −11. Alguns valores aproximados para as taxas de produ¸ c˜ ao de neutrinos s˜ ao: pares ν = = 4. 339. = 1 + 2 (µe +ρ ¯)−1 402 . 354. segundo os c´ alculos de Naoki Itoh. Yasuharu Kohyama e Hiroharu Munakata (1989). 103 × 1013 ρ−1 T9 e 8 = 0. onde 1 2 9 −5.23: Refrigera¸ c˜ ao por produ¸ c˜ ao de neutrinos. 252 × 10 ρ para e ρ em cgs. 356 × 1019 ρ−1 λ6 1 + 0. 2T9 )−1 −1 ρ ¯ = 6.93/T9 = 1. plasma ν 3 = 3. e onde 20 −1 7.5 λ 1. 446 × 10−6 ρT9 (1 + 4. 0158γ 2 T9 se γ 1 1 = 5. 976 × 108 T9 (1 + 4.Figura 23. segundo os c´ alculos de Naoki Itoh et al. 2T9 )−1 para e ρ em cgs.5 −γ T9 e se γ ¯ w0 h kT kT λ= me c2 γ= 403 . Em um g´ as n˜ ao-degenerado. O diagrama mostra os contornos para a taxa de perda de energia por unidade de volume e por unidade de tempo pela emiss˜ ao de neutrinos. Pelo teorema de Virial. e em menor grau pelo processo de emiss˜ ao de fotoneutrinos. plasma-neutrinos e bremsstrahlung. em unidades de log Q (ergs − 3 − 1 cm s ). inibe 404 . foto-neutrinos. a remo¸ c˜ ao de energia t´ ermica causa contra¸ c˜ ao do n´ ucleo. No n´ ucleo degenerado de estrelas de massa at´ e cerca de 10 M . Entretanto. o esfriamento pelo processo de plasma neutrinos. a press˜ ao ´ e praticamente independente da temperatura e uma redu¸ c˜ ao da energia t´ ermica causa redu¸ c˜ ao da temperatura. 76 Z2 6 T A 8 para e ρ em cgs. segundo os c´ alculos de Naoki Itoh et al. somando-se todas as perdas de neutrinos por produ¸ c˜ ao de pares.Figura 23. em um g´ as degenerado. quando a densidade aumenta.24: Varia¸ c˜ ao na produ¸ c˜ ao de neutrinos com temperatura e densidade. e w0 ´ e a freq¨ uˆ encia de plasma: 2 w0 = 4πe2 ne me n˜ ao-degenerado ¯ h me c 2 = 4πe2 ne 1+ me 3π 2 ne −2 3 −1 2 degenerado brems ν 0. a temperatura tamb´ em aumenta. resultando em uma supernova. sem massa. publicadas em 1996 no Astrophysical Journal.sophia. Por exemplo.html. inicia-se a queima explosiva do carbono em um n´ ucleo altamente degenerado. As taxas de emiss˜ ao de neutrinos atualmente utilizadas foram calculadas pelo astrof´ ısico japonˆ es Naoki Itoh. Se a massa total for suficiente para que a massa do n´ ucleo atinja o limite da massa m´ axima de uma an˜ a branca. maior do que a lumi8 nosidade dos f´ otons. Estas teorias portanto podem ser renormalizadas. 411–424. mas existem tamb´ em outras propostas de solu¸ c˜ ao.jp/∼n itoh/182. podemos adicionar uma constante sem alterar os valores. isto ´ e. como impor mu = 0 ou assumir que as simetrias P e CP s˜ ao quebradas espontaneamente. A quebra de uma simetria global leva a um b´ oson de Goldstone (Jeffrey Goldstone). para Tc > 5 × 10 K. Para Tc ≤ 6 × 108 K e densidades ρ ≤ 3 × 105 g cm−3 . em geral. com densidades nucleares da ordem de 1 a 2 × 109 g/cm3 . O ´ axion resolve este problema. 405 . 102. e est˜ ao dispon´ ıveis na forma de tabelas ou de sub-rotinas FORTRAN em http://pweb.a eleva¸ c˜ ao da temperatura no n´ ucleo para as temperaturas necess´ arias para o in´ ıcio da queima do carbono. Na mesma p´ agina. um esquilo pode caminhar sobre um fio de alta tens˜ ao porque somente diferen¸ cas de potenciais s˜ ao importantes. mas s˜ ao boas simetrias. Uma simetria global ou r´ ıgida ´ e a mesma em todo o espa¸ co-tempo e geralmente leva a uma quantidade conservada. A falta de viola¸ c˜ ao de P e CP nas intera¸ c˜ oes fortes ´ e conhecida como “o grande problema de CP”. Permitindo que as transforma¸ c˜ oes da simetria variem continuamente de um local no espa¸ co-tempo para outro requer a introdu¸ c˜ ao de novos graus de liberdade “gauge” mediando as for¸ cas. Uma teoria com simetria de gauge pode ser escrita em termos de potenciais em que somente diferen¸ cas de potenciais s˜ ao significativas.ac. est˜ ao referˆ encias para os c´ alculos recentes de condu¸ c˜ ao eletrˆ onica e escudamento eletrˆ onico (electron screening). ´ Axions A existˆ encia do ´ axion foi postulada em 1977 para explicar porque as intera¸ c˜ oes fortes conservam paridade (P) e carga/paridade (CP) apesar das intera¸ c˜ oes fracas violarem estas simetrias. ´ este princ´ E ıpio de transforma¸ c˜ oes de gauge que permitiu a constru¸ c˜ ao do modelo padr˜ ao da for¸ ca forte e eletrofraca entre as part´ ıculas elementares baseados no grupo local gauge SU (3) × SU (2) × U (1). 1 × T8 ergs g−1 s−1 de modo que a luminosidade de neutrinos ´ e. ν 8 1. as transforma¸ c˜ oes dependem da ordem. no fenˆ omeno conhecido como mecanismo de Higgs. que no modelo de Glashow-Weinberg-Salam onde o grupo gauge SU (2) × U (1) se quebra no grupo U(1) do eletromagnetismo. Na teoria padr˜ ao de campos. de Stanford. Peccei e Helen R. no Physical Review Letters. 25. Na quebra de simetria.escalar. isto ´ e. Para comparar. todos sem massa. de curta distˆ ancia. A procura direta do b´ osons 2 de Higgs exclui MH c ≤ 98 GeV. mas a an´ alise da corre¸ c˜ ao radiativa indica MH c2 ≤ 220 GeV.html#1) propostos por Roberto D. a massa da 0 2 16 part´ ıcula H precisa ser mH c ≥ 10 GeV.pdf). todas as part´ ıculas exceto o f´ otons adquirem um estado de polariza¸ c˜ ao adicional e tornam-se massivos. Neste contexto. Esta teoria ´ e n˜ ao-abeliana. no. A for¸ ca forte ´ e carregada pelos oito gl´ uons. as part´ ıculas vetoriais massivas correspondem aos b´ osons W e Z que mediam a for¸ ca fraca. Na quebra de simetrias locais (gauge). 38. com massa zero e spin zero (http://www-lns. em 1977. Quinn (1943-).uva. Mais precisamente. e as trˆ es part´ ıculas − − 0 de campo (b´ osons) W . O pr´ oton deve decair em: p −→ e+ + π 0 com vida m´ edia de Γp = αGUT m2 H m5 p Como a vida m´ edia do pr´ oton observada ´ e Γp ≥ 1032 anos. Os mediadores da for¸ ca eletro-fraca s˜ ao o f´ oton. a massa do quark top ´ e de 175 GeV/c2 . onde N ´ e a anomalia de cor e v ´ e o valor esperado do v´ acuo quando ocorre 406 . Os ´ axions s˜ ao pseudo b´ osons de Yoishiro Nambu (1921-) e Jeffrey Goldstone. vol. sem massa.nl/∼bais/broksym. sem massa.wins. para explicar a simetria que suprime a grande viola¸ c˜ ao CP (carga-paridade) na QCD (cromodinˆ amica quˆ antica). 1440. fA N = v . 62 meV × 1010 GeV fA onde fA ´ e a constante de decaimento dos ´ axions. e a teoria prediz a existˆ encia do b´ oson de Higgs H 0 . Uma aplica¸ c˜ ao especulativa do mecanismo de Higgs ´ e a da Teoria de Grande Unifica¸ c˜ ao(GUT) com um grande grupo gauge (http://soliton. formando um campo massivo vetorial. Os ´ axions tˆ em acoplamentos extremamente fracos com a mat´ eria e radia¸ c˜ ao e massa max c2 = 0. existem seis l´ eptons e seis quarks. o b´ oson de Goldstone conspira com o campo gauge.mit.edu/∼eluc/communications/ask-physicist. cujo campo gera todas as outras part´ ıculas. Um exemplo ´ e a quebra de simetria da for¸ ca eletrofraca. W e Z . Mikhail A. com uma constante de decaimento alta. que. Para temperaturas kT = v o v´ acuo espontaneamente quebra a simetria UP Q (1). que n˜ ao introduz novos quarks mas requer dois dubletes de Higgs e todos os quarks e l´ eptons carregam carga de Peccei-Quinn. a massa do ´ axion e sua constante de decaimento est˜ ao completamente vinculados em termos de um parˆ ametro (tan β ): a raz˜ ao do valor esperado do v´ acuo dos dois campos de Higgs. 166). Vainshtein e V. Arkady I. 423. a massa do ´ axion ´ e proporcional ` a massa do quark 407 . 43. Paul S. Nuclear Physics B. el´ etrons e f´ otons. sendo n˜ ao relativ´ ısticos. O segundo fator vem do fato da massa do ´ axion surgir para temperatura kT = λQCD . Phys Rev Lett. 1981. 199). 103. ´ e um bom candidato a mat´ eria fria escura do Universo. O parˆ ametro v determina a massa e a constante de intera¸ c˜ ao dos ´ axions e ´ e o parˆ ametro livre da teoria. Shifman. Ao exigir conserva¸ c˜ ao de sabor nos trˆ es n´ ıveis. enquanto os quarks comuns e os l´ eptons n˜ ao carregam.a quebra de simetria de Peccei-Quinn. os ´ axions. 260 um artigo “Global String Radiation” prevendo que se a massa dos ´ axions estiver entre 6 e 2500 µeV/c2 . fA 10 GeV.I. 1979. Richard A. n˜ ao observado. estes ´ axions interagem com n´ ucleons. Willy Fischler & Mark Srednicki. 1980. publicaram em 1994 no Nuclear Physics B. de Cambridge. Todos modelos contˆ em pelo menos um b´ oson escalar “singlete” eletrofraco que adquire o valor esperado e quebra a simetria de Peccei-Quinn. o ´ axion 12 invis´ ıvel. e tinha dois dubletes de Higgs como ingredientes m´ ınimos. dois novos modelos com fA 247 GeV foram propostos: KSVZ (Kim-Shifman-Vainshtein-Zakharov) = ´ axion hadrˆ onico (Jihn E. Battye e E. Este b´ oson. Como esta parametriza¸ c˜ ao resultava em um ´ axion com massa de 1.8 MeV. O outro modelo ´ e o DFSZ (Dine-Fischler-Srednicki-Zhitnitskii) = ´ axion GUT (Michael Dine. a escala da quebra de simetria eletrofraca. Physics Letters B. isto ´ e. O modelo original dos ´ axions assumia que fA = 247 GeV. Kim. com somente um dubleto de Higgs. introduz um novo quark pesado (Q) que carrega a carga de Peccei-Quinn. Zakharov.. seriam a massa fria escura (CDM—cold dark mass) do Universo. 104. Como a raz˜ ao entre a densidade de massa dos ´ axions e a densidade cr´ ıtica para Universo plano ´ e dada por: ρax ρcr´ ıtico 6µeV max 7 6 Ωax = = 200MeV λQCD 3 4 75km/(s · Mpc) H0 2 a massa do ´ axion precisa ser maior do que 1 µeV ou ter´ ıamos Ωax ≥ 1. No modelo de Kim. Shellard. 8 meV/c2 . 3 ≤ ma ≤ 13µ eV/c2 (Christian A. 125018). Yamamoto. Experimentos no Lawrence Livermore National Laboratory e na Universidade da Fl´ orida est˜ ao testando massas 1. n˜ ao observado. Hagmann. v = σ 0 . 392. publicado por S. para limitar a massa dos ´ axions para m cos2 β ≤ 8. Chang e Pierre Sikivie. calculam um modelo de an˜ a-branca com os trˆ es per´ ıodos principais de G117-B15A e a taxa de produ¸ c˜ ao de energia por ´ axions para o modelo de DFSZ predita por Masayuki Nakagawa. 6. no. L45. L23. 4. 2001. os ´ axions se acoplam a n´ ucleons atrav´ es da mistura com o p´ ıon neutro. publicadas em 1988 no Astrophysical Journal. S. Leandro G. 63. C´ orsico e colaboradores da Universidad Nacional de La Plata. Na Kyoto University est˜ ao buscando o ´ axion pr´ oximo de ma 10µ eV/c2 (Ikuyo Ogawa. 408 . onde Z = mu uu ¯ / md d d singlete de intera¸ c˜ ao fraca. No modelo DFSZ a massa ´ e max c2 = fπ mπ c2 N Z 1/2 (1 + Z )−1 fA 0. Uma massa menor que 10 meV/c2 leva a um valor esperado da energia do v´ acuo maior que 109 GeV. publicado em 2001 no New Astronomy. 197. na Argentina. em 1991 no Astrophysical Journal. Physical Review D. Omar G. Tokyo. os ´ axions podem ser detectados estimulando-se sua convers˜ ao em f´ otons em um forte campo magn´ etico.O.pesado Q: max √ 2 Z αS fπ = mπ ln 2 1+Z π v m2 Q mu md ¯ . A massa do ´ axions precisa ser menor do que 10 meV ou sua produ¸ c˜ ao numerosa no ramo das estrelas gigantes causaria uma enorme refrigera¸ c˜ ao no n´ ucleo destas estrelas. da Sophia University. maior do que o esperado. 1996. Jordi Isern and Enrique Garc´ ıa-Berro. Tomoo Adashi. Althaus. 62 meV 1010 GeV fA Os ´ axions deste tipo podem causar uma distor¸ c˜ ao na radia¸ c˜ ao do fundo do Universo. sendo σ o escalar de Higgs complexo. Margareta Hernanz e Enrique Garc´ ıa-Berro publicaram um artigo no Astrophysical Journal. poderia ser devido ao esfriamento por ´ axions. C´ orsico. e da Espanha. Physical Review D. O valor de dP/dt publicado em 1991. 1740). Yasuharu Kohyama e Naoki Itoh. Kepler et al. 53. Matsuki e K. 378. Jordi Isern. S. vol. Como o modo principal de decaimento do ´ axion a ´ e a → 2γ . Benvenuto. usando o valor de dP/dt da an˜ a branca G117-B15A. No artigo “The potential of the variable DA white dwarf G117-B15A as a tool for Fundamental Physics” de Alejandro H. Em 1992. No modelo de Kim. 409 . A taxa de perda de energia por ´ axions ´ e sempre menor que a taxa de perda total por neutrinos. Physics Review Letter.25: Previs˜ oes das propriedades dos ´ axions conforme Jihn E. Kim (1998. 1 − 1 para gravidades log g 6 − 8 e fator de cristaliza¸ c˜ ao Γ 180 − 1000. A) → e− + (Z. podemos ter e− + (Z. 55006). 19. Physical Review D. juntamente com os limites observados pelos experimentos de cavidade (decaimento por campo magn´ etico). L = 1. publicada no “A Model of Leptons”. fotoneutrinos. Da mesma forma que na produ¸ c˜ ao de neutrinos. 1264 em 1967 e Abdus Salam (19261996). o c´ alculo da taxa de produ¸ c˜ ao de ´ axions ´ e baseado na teoria eletrofraca de Steven Weinberg (1933-). incluindo produ¸ c˜ ao de pares. 326. 58. 08 × 1023 ρ ergs g−1 s−1 2 Z2 gae T 4 [Ffonons + Frede + Fliquido ] 4π A 7 onde gae ´ e a constante de acoplamento de ´ axions e f´ otons. os F 0. 241. Z e A s˜ ao a carga e a massa atˆ omica dos n´ ucleons. A) + a onde a ´ e um ´ axion. A contribui¸ c˜ ao dos fonons ´ e cerca de 3 vezes menor do que a de rede.Figura 23. desde que a constante de acoplamento gae de Peccei-Quinn seja menor do que 10−27 . apesar de terem constantes de acoplamento um pouco diferentes. do MPIfP.6 M .26: Emiss˜ ao de ´ axions no n´ ucleo de uma an˜ a branca de 0. Kim (1997). ICRR.Axions 0 100000 80000 60000 40000 20000 Figura 23. No artigo de Georg G. para an˜ as brancas com n´ ucleo de carbono 7 e temperaturas nucleares acima de 10 K e densidades acima de 106 g/cm3 . no “2nd International Workshop on Gravitation and Astrophysics”. A rela¸ c˜ ao entre a constante de acoplamento e o valor esperado do v´ acuo no momento da quebra de simetria ´ e 2 gae 4π 2. University of Tokyo. De acordo com Jihn E. Raffelt. plasma neutrinos e bremsstrahlung. 1 × 10 −26 109 GeV v 2 j´ a que gae ≡ me /v . “Cosmic Axion”. os modelos KSVZ e DFSZ tˆ em limites similares. publicado em 2000 “Astrophy410 . onde me ´ e a massa do el´ etron. para fA > 106 GeV. ´ axions e gr´ avitons.27: Emiss˜ ao de ´ axions e neutrinos no n´ ucleo de uma an˜ a branca de 0. 333-334.Axions e Neutrinos 10 neutrino 8 axion 6 4 2 0 100000 80000 60000 40000 20000 Figura 23. onde W ´ e um t´ ıpico b´ oson vetorial. 79. principalmente neutrinos. 276) e Alexander M. 593. predizem a existˆ encia de monopolos magn´ eticos primordiais (M) como solu¸ c˜ oes regulares das equa¸ c˜ oes de campo. ZhETF Pis’ma. sics probes of particle physics” no Physics Reports. Por exemplo. Nuclear Physics B. por transforma¸ c˜ ao de gauge. Polyakov (1974. As observa¸ c˜ oes astrof´ ısicas imp˜ oem os limites mais restritos nas propriedades destas part´ ıculas. ele explica que o plasma quente e denso estelar ´ e uma fonte poderosa de part´ ıculas de baixa massa e fracamente interagentes. 430) mostraram que as teorias de grande unifica¸ c˜ ao (GUT) em que o grupo U(1) do eletromagnetismo ´ e. 20. com massas da ordem de 137 MW . Os monopolos ficariam presos nas estrelas e catalisariam o decaimento de n´ ucleons pelo efeito de Rubakov-Callan de espalhamento de monopolos 411 . um subgrupo de um grupo maior SU(2) ou SU(3). Gerardus ’t Hooft (1946-) (1974.6 M . 135. intera¸ c˜ ao com o campo eletromagn´ etico (a+nucleon −→ γ +nucleon)”. 1982. and flipped-SU(5)” 412 . se sua massa fosse 10 µeV. Mukremin Kilic. Kyu Jung Bae. Astronomical Journal. Darin Kinion. Mukadam & Denis J. Viollier. Ted von Hippel. 777). vol. 16 × 10−10 GeV−1 . Raoul D. 311). Jos´ e Eduardo da Silveira Costa. O. “Measuring the Evolution of the Most Stable Optical Clock G 117-B15A”. usam a fun¸ c˜ ao de luminosidade das an˜ as brancas do Sloan Digital Sky Survey medida por Steven DeGennaro. Atsuko Nitta. Ji-Haeng Huh. Astrophysical Journal. Alejandro C´ orsico e colaboradores estimam o limite m´ aximo de esfriamento por ´ axions consistente com as novas medidas de Kepler Oliveira [S. Sullivan. p. Physical Review D. Detlev Koester & Leandro Althaus (2008. Kepler. 634.por b´ arions (Cutis G. 1) para determinar uma massa de 5 meV para os ´ axions. isto ´ e.O. L109). com 95% de confian¸ ca. Karl van Bibber. 2003. 1311-1318] e limitam a massa massa dos ´ axions a m cos2β ≤ 4 meV. em princ´ ıpio. Richard Bradley. 391. 990]. Donald Earl Winget. 75. PAMELA data. 121301). Seishi Matsuki.02 eV (K. de modo que sua detec¸ c˜ ao requer detectores com ru´ ıdo muito pr´ oximo do ru´ ıdo quˆ antico. detect´ a-los em uma cavidade de microondas permeada por um campo magn´ etico intenso. correspondente a um acoplamento ´ axion-f´ oton gaf ≤ 1. Michael M¨ uck & Pierre Sikivie discutem como o ´ axion ´ e um bom candidato para a mat´ eria escura do Universo e como se pode. mesmo com 1014 axions/cm3 . 682. Enrique Garcia-Berro & Santiago Torres. A n˜ ao detec¸ c˜ ao pelo CERN Axion Solar Telescope limita a massa a 0. Fergal Mullally. John Clarke. 2058. 2005. M + p −→ M + e+ + m´ esons (h´ adrons) A consequente libera¸ c˜ ao de energia ´ e restringida pela propriedades das estrelas an˜ as-brancas e estrelas de nˆ eutrons. Ted von Hippel. 26. Nuclear Physics B. no artigo “White dwarf axions. Edward Nather. Zioutas et al. 1982. Callan Jr. onde eles se convertem em f´ otons quasi-monocrom´ aticos pela intera¸ c˜ ao de Primakoff [Henry Primakoff (1914-1983) 1937. 212. Bumseok Kyae. Kim. 3. Don Earl Winget. R. Valerii Anatol’evitch Rubakov (1955-). No artigo “Microwave cavity searches for dark-matter axions” (Reviews of Modern Physics. 94. Silvia Catalan. Jordi Isern. Leslie J. Physical Review. Jihn E. 2005. B´ arbara Garcia Castanheira. Physical Review Letters. eles produziriam somente 10−23 W. Nuclear Physics B. S. Astrophysical Journal. 203. no artigo “Axions and the white dwarf luminosity function” (2008. Anjum S. 51. Rosenberg. Devido ` a sua baixa intera¸ c˜ ao. Kepler. 307) .22 Pol´ ıtropos Quando discutimos a equa¸ c˜ ao de estado de um g´ as completamente degenerado. Em particular. n˜ ao-relativ´ ıstico. se a press˜ ao em todos os pontos do interior estelar satisfizer a rela¸ c˜ ao P = Kρ(n+1)/n (23. derivando-se em rela¸ c˜ ao a r os dois lados: 1 d r2 dr r2 dP ρ dr = −4πGρ (23. multiplique por r2 e. prop˜ oem um novo modelo de ´ axions eletrof´ ılicos com masss de 0. obtivemos na p´ agina 291 a equa¸ c˜ ao (23. Se Γ2 = 5/3. 23.306) que ´ e a equa¸ c˜ ao de Poisson. 817. Outra situa¸ c˜ ao ´ e para uma estrela completamente convectiva. P = P (ρ).302) que ´ e uma lei de potˆ encia com P ∝ (ρ/µe )5/3 . ent˜ ao. dividindo-se a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico por ρ.(2009.5 meV. 58). As equa¸ c˜ oes de equil´ ıbrio hidrost´ atico e continuidade da massa podem ser reduzidas a uma equa¸ c˜ ao diferencial de segunda ordem. para explicar as medidas. 004 × 10 13 ρ µe 5 3 dina/cm2 (23. obtemos P (r) ∝ T Γ2 /(Γ2 −1) (r) (23.303) d ln P Integrando-se. ent˜ ao a estrutura da estrela depende somente das equa¸ c˜ oes de equil´ ıbrio hidrost´ atico e continuidade da massa. n = 3/2.37): Pe = 1. Como d ln P = dP/P e d ln T ∇= (23. T ∝ P/ρ e portanto P (r) ∝ ρΓ2 (r). Como nesses exemplos. se a press˜ ao puder ser escrita como uma fun¸ c˜ ao da densidade somente. a configura¸ c˜ ao ´ e chamada de um pol´ ıtropo. Se definirmos vari´ aveis adimensionais ρ(r) ≡ ρc θn (r) 413 (23.305) com K e n constantes. Nuclear Physics B.304) Se o g´ as for ideal. com ∇ = ∇ad = Γ2 − 1/Γ2 . Modelos correspondentes ` as solu¸ c˜ oes dessa equa¸ c˜ ao.316) Portanto.310) Essa equa¸ c˜ ao ´ e chamada de equa¸ c˜ ao de Lane-Emden. s˜ ao chamados de pol´ ıtropos de ´ ındice n.312) (23.313) (23. A press˜ ao ser´ a dada por /n 1+n P (r) = Kρ1+1 θ = Pc θ1+n c (23.306) pode ser escrita como 1 d ξ 2 dξ ξ2 dθ dξ = −θn (23. em honra ao f´ ısico americano Jonathan Homer Lane (1819-1880). θ mede a temperatura. para um pol´ ıtropo com equa¸ c˜ ao de estado de g´ as ideal e µ constante.308) onde ρc = ρ(r = 0) ´ e a densidade central e a constante a dada pela equa¸ c˜ ao (n + 1)Kρc a= 4πG (1/n−1) 1 2 (23.e r ≡ aξ (23. que derivou a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio hidrost´ atico em 1869 e ao f´ ısico su´ ı¸ co Robert Emden (1862-1940). o fator de escala radial ´ e dado por a2 = NA k µ 2 (n + 1)Tc2 (n + 1)Kρc = 4πGPc 4πG 414 1/n−1 (23. com P = ent˜ ao P (r) = K T n+1 (r) e T (r) = Tc θ(r) com K = e /n Tc = Kρ1 c ρ NA kT µ (23.309) a equa¸ c˜ ao de Poisson (equa¸ c˜ ao 23. para um certo valor de n.311) Se a equa¸ c˜ ao de estado do material for a de um g´ as ideal.315) NA k µ n+1 K −n −1 NA k µ (23.314) (23. nesse caso. Finalmente.317) . Apesar de ter raio infinito. A solu¸ c˜ ao para n = 0 corresponde a uma esfera de densidade constante. 1 e 5.As condi¸ c˜ oes de contorno ρ(r = 0) = ρc e dP/dr = 0 para r = 0 se traduzem em θ(ξ = 0) = 1 e θ (0) ≡ dθ/dξ = 0. especificando K .310) numericamente do centro at´ e uma distˆ ancia r = R onde P = 0. obtemos para o valor do raio R: (n + 1)Pc R = aξ1 = 4πGρ2 c 1 2 ξ1 (23.321) com ξ1 = π . Nesse caso ξ2 6 (23. A massa contida em uma esfera de raio r pode ser obtida pela equa¸ c˜ ao da continuidade da massa dMr = 4πr2 ρdr Em termos de ξ . mas o raio ´ e ilimitado −1 θ5 (ξ ) = 1 + ξ 2 /3 2 (23. o pol´ ıtropo contˆ em uma quantidade de massa finita. A densidade ´ e dada por ρ = ρc θ e a press˜ ao por P = Pc θ2 . Solu¸ c˜ ao anal´ ıticas existem para n = 0.320) (23.323) ξ 2 θn dξ (23. obtemos Mξ = 4πa3 ρc 415 ξ 0 (23. As solu¸ c˜ oes com n > 5 tamb´ em s˜ ao infinitas em raio. mas cont´ em tamb´ em massa infinita.324) . obtemos o raio R. portanto. est´ a limitado para 0 ≤ n ≤ 5. O intervalo de interesse. Solu¸ c˜ oes num´ ericas precisam ser obtidas para um valor de n geral. O pol´ ıtropo para n=5 tem uma densidade central finita. e θ0 (ξ ) = 1 − com ξ1 = √ 6. n e ρc ou Pc . podemos integrar a equa¸ c˜ ao de LaneEmden (equa¸ c˜ ao 23.322) com ξ1 → ∞. Se chamarmos de ξ1 a vari´ avel radial onde θ(ξ1 ) = 0 para r = R.319) 3 GM 2 8π R 4 Para n=1 a solu¸ ca ˜o θ1 ´ e a fun¸ c˜ ao sinc Pc = θ1 (ξ ) = sen ξ ξ (23.318) Dessa forma. Se o ´ ındice politr´ opico n e a densidade central ρc forem dados. As solu¸ c˜ oes num´ ericas. podemos obter K em fun¸ c˜ ao de M e R: 4π K= n +1 ξ (−θ )n−1 G M 1−1/n R−1+3/n n+1 (23. 952 × 1014 (n + 1)(θ )2 ξ1 M M 2 (23.333) ξ1 Os valores de n que nos interessam s˜ ao n=3/2.325) eliminando o fator ξ 2 e a pr´ opria integral. Uma outra quantidade u ´til ´ e a densidade m´ edia ρc 1 = ρ 3 ξ −θ (23. 293 × 107 µ (n + 1) (−ξθ )ξ1 1 n (23.Pela equa¸ c˜ ao de Lane-Emden (equa¸ c˜ ao 23.329) Se a equa¸ c˜ ao de estado for de um g´ as ideal Tc = = Gµ M 1 (n + 1) (−ξθ )ξ1 NA k R 2. Pe ∝ ρ5/3 . para o caso de um g´ as completamente degenerado mas n˜ ao relativ´ ıstico. pode-se chegar a Pc = = GM 2 1 4 4π (n + 1)(θ )2 ξ1 R 8. obtendo Mξ = 4πa3 ρc −ξ 2 θ ξ (23.327) Com alguma ´ algebra.332) ξ1 Note que se n=3. 416 . A massa total ´ e dada por M = M (ξ1 ) e 1 M=√ 4π n+1 G 3 2 Pc ρ2 c 3/2 −ξ 2 θ ξ1 (23.22). e n = 3 para um g´ as totalmente relativ´ ıstico Pe ∝ ρ4/3 . K depende somente de M . podemos substituir θn por θn = − 1 d ξ 2 dξ ξ2 dθ dξ (23.331) M M Para cada valor de n.330) R R K (23. est˜ ao listadas na Tabela (23.328) R R −4 dina/cm2 (23.310). que tamb´ em ´ e o caso de um g´ as ideal completamente convectivo. nesses casos.326) onde −ξ 2 θ ξ significa calcular −ξ 2 dθ/dξ no ponto ξ . com o valor do coeficiente dado pela tabela (23.335) R R −3 (23. obtemos K = 2.22.Tabela 23.332).302) mostra que 1.4: Resultados para pol´ ıtropos com n=1.22). Como a densidade ´ e. encontramos Pe = 1.8969 -0.338) 417 . 08 × 10−6 M 2 µe 5 14 M M 1 3 R R (23.337) dina/cm2 (23.336) Da equa¸ c˜ ao 23. Al´ em disso. 243 × 1015 ρ µe 4/3 M 4 3 3 πR (23. ρ= vemos que ρ ∝ M2 para o caso n˜ ao relativ´ ıstico. Para o caso completamente relativ´ ıstico.0 6.20330 5. vemos que M ∝ R−3 . por defini¸ c˜ ao.183 23.5 3. 004 × 1013 K= (23.334) 5/3 µe Mas se usarmos a equa¸ c˜ ao (23.04243 54. a compara¸ c˜ ao da rela¸ c˜ ao entre press˜ ao e densidade de um pol´ ıtropo (equa¸ c˜ ao 23.336.991 3. 477 × 10 que nos d´ a a rela¸ c˜ ao massa-raio: M = 2.5 e 3 n ξ1 θ (ξ1 ) ρc / ρ 1.305) com a equa¸ c˜ ao da press˜ ao degenerada n˜ ao-relativ´ ıstica (equa¸ c˜ ao 23.1 Aplica¸ co ˜es para an˜ as brancas Um g´ as completamente degenerado mas n˜ ao-relativ´ ıstico pode ser representado por um pol´ ıtropo de ordem n = 3/2.6538 -0. 23 Limite de Eddington Para estrelas de alt´ ıssima massa.342) como Lr = −4πr2 c dPrad Kρ dr (23. a press˜ ao de radia¸ c˜ ao domina. para qualquer valor de radia¸ c˜ ao acima desse limite.343) em rela¸ c˜ ao a r.345) (23. trata-se de um pol´ ıtropo com n = 3 e a equa¸ c˜ ao (23. 2 µe 2 1. podemos escrever a equa¸ c˜ ao (23.340) 23.Portanto.332). com o valor do coeficiente dado pela tabela (23. Pela equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio hidrost´ atico.339) M (23.342) 418 . derivando a equa¸ c˜ ao (23. Calculemos quando a press˜ ao de radia¸ c˜ ao ´ e igual ` a gravidade local. 456 que ´ e a massa limite de Chandrasekhar. n˜ ao haver´ a equil´ ıbrio hidrost´ atico.22) no d´ a K= ou MChand = 1. substituindo a press˜ ao total pela press˜ ao de radia¸ c˜ ao: − dPrad = gs ρ dr (23. obtemos dPrad 4 dT = aT 3 dr 3 dr ou seja.343) 4ac T 3 dT 3 Kρ dr (23.344) (23. 243 × 1015 µe 4/3 = 3.341) A equa¸ c˜ ao do transporte radiativo ´ e dada por Lr = −4πr2 e a press˜ ao de radia¸ c˜ ao por 1 Prad = aT 4 3 Portanto. causando perda de massa. 841 × 10 14 M M 2 3 (23. 419 1 3. que representa a maior luminosidade que uma estrela de massa M pode ter e ainda estar em equil´ ıbrio hidrost´ atico: 4πcGM LEdd = (23. G. ´ interessante notar que embora as estrelas tipo O sejam intr´ E ınsecamente mais luminosas. O limite derivado acima. 279. em que a opacidade ´ e dada por espalhamento de el´ etrons ´ e cerca de 10 vezes maior do que o observado. Lamers (1941-) & Edward L. 324.347) obtemos L LEdd ou seja L = LEdd para M = 3. 2(1 + X ) cm2 /g e podemos estimar. M. 5 × 104 M 187M Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944). L. no Astrophysical Journal. como mostrado por Henny J. Fitzpatrick em 1988. j´ a propˆ os que as estrelas acima de uma certa massa sofreriam pulsa¸ c˜ oes que as tornariam inst´ aveis.346) chegando-se ao limite de Eddington. se a luminosidade for alguns d´ ecimos da luminosidade de Eddington. 5 × 104 M M 2 .341).348) Na verdade. para X=0. limitando suas massas. 5 × 104 M M (23. obtemos Lr = 4πr2 c c GM gs = 4πr2 K K r2 (23.Substituindo o u ´ltimo termo pela equa¸ c˜ ao (23. a press˜ ao de radia¸ c˜ ao ser´ a t˜ ao intensa que haver´ a perda de massa significativa.7: LEdd L 3. no seu livro ”A Constitui¸ c˜ ao Interna das Estrelas”de 1929. Se dividirmos a rela¸ c˜ ao entre a massa e a luminosidade na seq¨ uˆ encia principal L M 3 L M pela equa¸ c˜ ao (23. como a maior parte da radia¸ c˜ ao ´ e emitida no ultravioleta.347) K Como para altas temperaturas a opacidade K ´ e dominada pelo espalhamento de el´ etrons. pois o vento ´ e dominado pela opacidade das linhas met´ alicas. K = Ke = 0. Para fun¸ c˜ oes real´ ısticas. Raymond Smith Dugan (1878-1940) e John Quincy Stewart (1894-1972). Os modelos mostram que. a opacidade ´ e alta 420 . Existem. existe uma e somente uma solu¸ c˜ ao para as equa¸ c˜ oes b´ asicas de estrutura estelar. que afirma que para dada massa total e composi¸ c˜ ao qu´ ımica. Astronomische Nachrichten 226. calculamos primeiro o modelo em equil´ ıbrio com composi¸ c˜ ao homogˆ enea. a opacidade e a equa¸ c˜ ao de gera¸ c˜ ao de energia. para temperaturas efetivas menores do que 10 000 K. portanto. h´ a uma zona de ioniza¸ c˜ ao parcial do hidrogˆ enio em uma camada mais profunda. que define a seq¨ uˆ encia principal de idade zero. alguma aproxima¸ c˜ ao utilizada n˜ ao ´ e mais v´ alida. dMr = M e dados a massa total (M ) e a composi¸ c˜ ao qu´ ımica. 909-911] propuseram o chamado teorema de Vogt-Russel. por exemplo de equil´ ıbrio t´ ermico. mais do que os cerca de 1051 ergs despejados no meio interestelar por uma supernova tipo II. 301] e Henry Norris Russel (1877-1957) [Henry Norris Russell. Numericamente. p. Em 1926 Heinrich Vogt (1890-1968). dLr /dr e dTr /dr. que afetam os resultados. o vento de uma estrela de 100 massas solares contribui cerca de 2 × 1051 ergs. n˜ ao ´ e poss´ ıvel obter-se solu¸ c˜ oes anal´ ıticas. em seu artigo “A Rela¸ c˜ ao entre a Massa e a Luminosidade das Estrelas” [“Die Beziehung zwischen den Massen und den absoluten Leuchtkr¨ aften der Sterne”. 1927. a equa¸ c˜ ao de estado do g´ as. dMr /dr. de modo que o sistema de equa¸ c˜ oes diferencias acopladas precisa ser resolvido numericamente. quando uma seq¨ uˆ encia evolucion´ aria chega a um ponto onde nenhuma solu¸ c˜ ao em equil´ ıbrio pode ser encontrada. sem qualquer base matem´ atica.as estrelas A7 supergiantes s˜ ao mais luminosas no vis´ ıvel.24 Modelos de evolu¸ c˜ ao Com as quatro equa¸ c˜ oes diferenciais: dPr /dr. 23. e sucessivos estados de equil´ ıbrio. e precisamos relaxar as condi¸ c˜ oes. Astronomy II. Nessa zona de ioniza¸ c˜ ao parcial. al´ em das condi¸ c˜ oes de contorno: M = 0. al´ em da varia¸ ca ˜o da composi¸ c˜ ao qu´ ımica do modelo. em r=R. entretanto. Lr = 0 R 0 em r=0. trˆ es parˆ ametros ajust´ aveis: comprimento de mistura. o hidrogˆ enio estar´ a neutro na atmosfera da estrela e. eficiˆ encia de perda de massa e quantidade de sobreimpulso (overshooting) de convec¸ c˜ ao. Note tamb´ em que durante a seq¨ uˆ encia principal. n˜ ao h´ a convec¸ c˜ ao superficial. portanto. Os modelos reais utilizam uma condi¸ c˜ ao um pouco mais realista. isto ´ e.1 Atmosferas estelares Quando discutimos transporte radiativo. dI j = 0 −→ I = ds K 421 (23. enquanto que as estrelas massivas transformam pelo ciclo CNO. n˜ ao h´ a zona de ioniza¸ c˜ ao parcial e.352) . o in´ ıcio da transforma¸ c˜ ao de h´ elio em carbono se d´ a em um n´ ucleo com el´ etrons degenerados. A fun¸ c˜ ao fonte Sν ´ e definida pela equa¸ c˜ ao Sν ≡ jν Kν (23. usamos as condi¸ c˜ oes de contorno nulas. um forte aumento de luminosidade. As estrelas de baixa massa.85 M se o sobreimpulso (overshooting) for importante]. o que causa uma zona de convec¸ c˜ ao no n´ ucleo.25 Condi¸ co ˜es de contorno Na nossas deriva¸ c˜ oes at´ e o momento.75 M .25 M [ou 1. advinda dos modelos de atmosferas estelares. O limite se d´ a para estrelas de cerca de 1. transformam hidrogˆ enio em h´ elio pelo ciclo pr´ oton-pr´ oton (pp).e dificulta o transporte radiativo de energia. antes que o n´ ucleo possa se reajustar em uma queima quiescente. Outros limites importantes s˜ ao que para massa menor do que 2. 23.25. para as quais Lpp = LCNO .351) Em equil´ ıbrio termodinˆ amico local (ETL). causando um flash de h´ elio. como nosso Sol. a taxa de gera¸ c˜ ao de energia varia com uma alta potˆ encia da temperatura (εCNO ∝ T 18 ). 23. isto ´ e.349) ds onde ds ´ e o elemento de comprimento. A profundidade ´ otica τν foi definida como s τν = Kν ds (23. P (r = R) = 0. gerando um forte gradiente de temperatura na borda superior do n´ ucleo. escrevemos a equa¸ c˜ ao de transporte radiativo: dIν = −Kν Iν + jν (23.350) o de modo que dτν = Kν ds. uma camada de convec¸ c˜ ao superficial. Para as estrelas mais quentes. Desenvolve-se. portanto. Para as estrelas com queima de hidrogˆ enio pelo ciclo CNO. onde T0 ´ e a temperatura na camada onde τ = 0.355) (23.e nenhuma radia¸ c˜ ao ser´ a transportada. o fluxo atrav´ es da superf´ ıcie da estrela. que ´ e a temperatura que a estrela teria se emitisse como um corpo negro.360) 422 . Iν = Bν (T ) e Iν (τν ) = Bν (T0 ) (1 − τν ) + Bν (T )τν (23.354) K 4π π isto ´ e. podemos escrever I= dIν = −Iν + Sν dτν Multiplicando por eτν .353) Mas sabemos que em equil´ ıbrio termodinˆ amico local E = aT 4 .358) Se houver equil´ ıbrio termodinˆ amico local. Iν (τν ) = Iν (0)e−τν + Sν 1 − e−τν = Sν + e−τν [Iν (0) − Sν ] (23. integrado sobre todas as freq¨ uˆ encias ´ e dado por ∞ F = 2π 0 4 cos θIν sen θdθdν ≡ σTef = L 4πR2 (23. em ETL a fun¸ c˜ ao fonte ´ e dada pela fun¸ c˜ ao de Planck Bν . logo j c σ = aT 4 = T 4 = B (T ) (23.359) que ´ e uma expans˜ ao em s´ erie de Taylor e nos d´ a a primeira corre¸ c˜ ao ` a intensidade. Se dividirmos a equa¸ c˜ ao (23. Como E= 1 c Idω = 4π I c (23. Pela defini¸ c˜ ao de temperatura efetiva. Para simplificar. e levando em conta que d (Iν eτν ) dIν = eτν + Iν eτν dτν dτν obtemos d (Iν eτν ) = eτν Sν dτν que podemos integrar. Para τ 1.349) por Kν . estamos.357) Se a fun¸ c˜ ao fonte for independente da profundidade ´ otica. nesse momento. tratando do caso integrado em freq¨ uˆ encia. obtendo Iν (τν ) = Iν (0)eτν + τν 0 (23.356) e−(τν −τν ) Sν (τν )dτν (23. Iν (0) e Sν s˜ ao iguais a Bν (T0 ) e Bν (T ). 361) Se considerarmos uma atmosfera plano-paralela e assumirmos que o coeficiente de absor¸ c˜ ao Kν ´ e independente da freq¨ uˆ encia.369) dτ e sua integral cPr = F τ + constante (23.365) (23.362) onde θ ´ eoˆ angulo entre a normal e a dire¸ c˜ ao considerada.368) Multiplicando-se a equa¸ c˜ ao (23.366) I (θ) cos θdω I (θ) cos2 θdω dF 4πj = cE − (23.Substituindo Iν = Bν (Tef ).370) 423 . Integrando sobre freq¨ uˆ encia. essa equa¸ c˜ ao se reduz a j=K cE 4π (23.367) dτ K Como em uma atmosfera estelar plana o fluxo ´ e constante (define-se uma atmosfera plana justamente para n˜ ao termos a varia¸ c˜ ao de ´ area de uma casca esf´ erica). obtemos ∞ F =π 0 Bν (Tef )dν = ac 4 T 4 ef (23.363) dτ K Integrando-se.363) sobre o ˆ angulo s´ olido dω = 2π sen θsθ. a equa¸ c˜ ao (23.364) (23. podemos escrever a equa¸ c˜ ao de transporte radiativo como: − cos θ dIν (θ) jν = −Iν (θ) + dτ K (23. e lembrando as nossas defini¸ c˜ oes: E= F = e Pr = podemos escrever 1 c 1 c I (θ)dω (23.363) por cos θ e integrando-se sobre o ˆ angulo s´ olido. obtemos dPr c =F (23. dI (θ) j − cos θ = −I + (23. agora. Como cE j = = 4π K ∞ o (23. (23.376) Sabemos que nas condi¸ c˜ oes de equil´ ıbrio termodinˆ amico local e assumindo Kν independente da freq¨ uˆ encia. assumimos que I2 = 0 para τ = 0.366) obtendo: cE 1 = (I1 + I2 ) 4π 2 F 1 = (I1 − I2 ) 4π 4 e (23.371) π <θ<π (23.379) . Logo cE = 2F em τ = 0 e a constante da equa¸ c˜ ao (23. podemos escrever a equa¸ c˜ ao (23. e podemos escrever jν = KBν (T ) onde Bν (T ) ´ e a fun¸ c˜ ao de Planck. o fluxo saindo da estrela ´ e dado por I1 e o fluxo entrando na estrela por I2 .Se assumirmos que I (θ) pode ser aproximado como I = I1 I = I2 0<θ< π 2 (23.375) 3 Tendo em vista que n˜ ao existe entrada de radia¸ c˜ ao pela atmosfera.376) como σT 4 F = (2 + 3τ ) π 4π 424 (23.351) ´ e dada pela fun¸ c˜ ao de Planck.374) 1 Pr = E (23. podemos integrar as equa¸ c˜ oes (23.364).373) (23. a fun¸ c˜ ao fonte (equa¸ c˜ ao 23.372) 2 isto ´ e.365) e (23.378) podemos escrever equa¸ c˜ ao (23.377) Bν (T ) = σT 4 π (23.370) pode ser obtida: 2 cE = 3 · constante = 2F −→ constante = F 3 Portanto.370) como cE = F (2 + 3τ ) (23. substituindo τf = 2/3 obter uma estimativa para a press˜ ao na fotosfera de 2 gs Pf = (23. Note que a temperatura. mesmo onde a profundidade ´ otica ´ e nula. Da nossa defini¸ c˜ ao de temperatura efetiva: 4 L = 4πR2 σTef (23.380) A equa¸ c˜ ao (23. n˜ ao ´ e − 1 / 4 nula. T (τ = 0) = 2 Tef .383) (23. Podemos finalmente estimar a press˜ ao na fotosfera. 425 . j´ a que os f´ otons em diferentes freq¨ uˆ encias podem emergir de diferentes profundidades e T = Tef para uma profundidade ´ otica τ = 2/3. O raio R depende da freq¨ uˆ encia.385) e finalmente.384) 1 dτ K gs τf Kf (23. usando a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico dP = −gs ρ dr e a defini¸ c˜ ao de profundidade ´ otica dτ = −Kρdr para escrever dP gs = dτ K e integrar Pf = gs 0 τf (23.381) demonstrando que a temperatura ´ e igual ` a temperatura efetiva para τ = 2/3. onde r = R e g ≡ gs . isto ´ e.e como o fluxo F ´ e dado por 4 F ≡ σTef (23. Esta ´ e a press˜ ao na fotosfera.382) Note que somente a luminosidade L ´ e diretamente observ´ avel.379) pode ser escrita como: T4 = 4 Tef 2 3 1+ τ 2 (23. na mesma camada com T = Tef .386) 3 Kf onde Kf representa a opacidade na fotosfera. 02 ρ 2 T 9 cm2 /g 1 (23.23.25. ∇ = ∇rad ou seja.2 Envelope radiativo No envelope.386).3 Estrelas completamente convectivas Consideremos uma estrela fria cuja opacidade superficial seja dominada por H− .253) na p´ agina 381. a equa¸ c˜ ao (23.389) (23. dado pela equa¸ c˜ ao (23.25.387) d ln P 16πacG T 4 M Vamos assumir no momento que a press˜ ao de radia¸ c˜ ao seja desprez´ ıvel e que a opacidade pode ser escrita de forma geral como K = K0 ρn T −s . de modo que P (r) > P0 e T (r) > T0 . Se o envelope for radiativo. como a fotosfera.171) na p´ agina 350: d ln T PK L 3 = (23. podemos assumir Lr = L e Mr = M .387) somente cont´ em P e T como vari´ aveis.391) P n dP = 3Kg L Se T0 e P0 representam a temperatura e a press˜ ao em algum ponto exterior do envelope. como vimos na equa¸ c˜ ao (23.390) Com esta substitui¸ c˜ ao.388) µ e podemos expressar o coeficiente de absor¸ c˜ ao ∇≡ K = Kg P n T −n−s onde Kg ≡ K0 µ NA k n (23.391) e obter P n+1 n + 1 16πacGM n+s+4 1 − (T0 /T )n+s+4 = T n + s + 4 3Kg L 1 − (P0 /P )n+1 (23. obtemos a press˜ ao no envelope para uma temperatura T qualquer.392) Desta forma. assumindo P0 = Pf dado pela equa¸ c˜ ao (23.393) 426 . Podemos reescrevˆ ela como 16πacGM n+s+3 T dT (23. isto ´ e. podemos integrar a equa¸ c˜ ao (23. o coeficiente de absor¸ c˜ ao pode ser estimado por KH − ≈ 2. 23. 5 × 10−31 Z 0. a contribui¸ c˜ ao do envelope para a luminosidade e para a massa ´ e desprez´ ıvel. Para um g´ as ideal NA k P = ρT (23. j´ a que estamos assumindo M e L constantes. Em algum ponto ∇(r) tornar-se-a maior do que ∇ad e a camada interior ser´ a convectiva. e sob esta. sobre uma camada radiativa.400) .397) 4 . Vamos escrever a temperatura e a press˜ ao em termos de vari´ aveis adimensionais p= 4π R4 P G M2 427 (23. De acordo com equa¸ c˜ ao (23.398) Como a temperatura cresce com a profundidade. de onde escapa a radia¸ c˜ ao.387): nef = ∇f = = 3K0 L µ 16πacGM NA k Pf Kf 3L 4 16πacGM Tef n n+1 Pf n+s+4 Tef (23. a constante K precisa satisfazer as condi¸ c˜ oes de contorno centrais.A rela¸ c˜ ao entre temperatura e press˜ ao dada pela equa¸ c˜ ao (23. podemos estimar a temperatura para a qual ∇(r) = ∇ad . e portanto a constante K precisa ser a do pol´ ıtropo. ∇f ´ e ∇ calculado na fotosfera. de modo que Na fotosfera. Abaixo da fotosfera. gs = GM/R2 e L = 4πR2 σTef ∇f = 1/8.396) (23. teremos um pol´ ıtropo de ´ ındice 3/2 e P = K T 5/2 (23. sem ioniza¸ c˜ ao. Por exemplo. 4. Pf = 2gs /3Kf . se assumirmos que ∇ad ´ e dado pelo seu valor de g´ as ideal. Para a regi˜ ao interior.394).395) n+1 e o subscrito f significa fotosf´ erico.392) pode ser transformada em uma equa¸ c˜ ao para ∇ em fun¸ c˜ ao da temperatura ∇= onde 1 + 1 + nef Tef T n+s+4 ∇f − 1 1 + nef (23. como no caso do Sol. teremos uma fotosfera. com nef = −4 para a opacidade do H− se reduz a 1 11 Tef ∇(r) = − + 3 24 T (r) −9 2 (23. ∇ad = 0. ∇(r) tamb´ em cresce.394) s+3 (23. isto ´ e.399) como demonstramos na se¸ c˜ ao de pol´ ıtropos. No caso extremo em que a convec¸ c˜ ao continua at´ e o centro da estrela. Dessa maneira. uma zona de convec¸ c˜ ao. a equa¸ c˜ ao (23. 332) Kn=3/2 2. 53/2 5/2 = ξ3/2 −θ3/2 4π 1 2 ξ1 NA k µ 5 2 3 2 1 G M 2 R2 1 3 (23. 11 Tef (23.401) de modo que a equa¸ c˜ ao (23. Podemos. calcular o valor da temperatura e densidade no ponto interior ` a fotosfera. agora.399) se torna p = E0 t 2 com E0 = K 4π µ NA k 5 (23.402) 5 2 G2 M 2 R2 3 1 3 (23.392) na forma P Pf n+1 =1+ 1 1 1 + nef ∇f 428 T Tef n+s+4 −1 (23.403) Como para um pol´ ıtropo representando um g´ as ideal completamente convectivo o ´ ındice politr´ opico ´ e n=3/2 e K ´ e dado pela equa¸ c˜ ao (23. mas somente dos valores superficiais das vari´ aveis politr´ opicas.406) 8 3/2 3/2 ξ1 utilizando os valores da tabela dos pol´ ıtropos. 4.t= NA k R T G µM (23. obtemos 2 Tc = (8/5) 9 Tef ≈ 1. A press˜ ao Pc no topo da camada convectiva ´ e obtida reescrevendo a equa¸ c˜ ao (23. comprovando que a convec¸ c˜ ao inicia logo abaixo da fotosfera.408) . a temperatura no topo da zona de convec¸ c˜ ao ´ e somente 11% maior do que a temperatura efetiva. Utilizando os valores ∇f = 1/8. sendo uma constante: 1 2 −125 5 E0 = ξ θ = 45.394). onde ∇ = ∇ad = 0.407) isto ´ e.404) e substituindo a constante K do pol´ ıtropo (equa¸ c˜ ao 23.405) e conclu´ ımos que E0 n˜ ao depende de nenhum parˆ ametro f´ ısico do modelo. e os expoentes n = 1/2 e s = −9 da opacidade de H− na equa¸ c˜ ao (23. 48 (23.315) Kn=3/2 = NA k µ 5 2 Kn=3/2 −3/2 (23. Tef L/L 2600 1 2569 10 2720 102 2782 103 2846 104 2911 105 2977 106 429 . Podemos. Varia¸ c˜ ao da luminosidade com a temperatura para uma estrela completamente convectiva de massa M = 1 M . Kf = K0 ρn f Tef e a densidade pode ser eliminada usando-se a equa¸ c˜ ao de estado de um g´ as ideal. para n=1/2 e s = −9 da opacidade H− Tef 2600µ 13/51 M M 7 51 L L 1 102 Kelvin (23.411) A constante obtida.5 M M −1 2 2 5/2 na R R −3 2 (23. mas esta rela¸ c˜ ao representa uma s´ erie de linhas quase verticais no diagrama H-R.409) −s Como a press˜ ao fotosf´ erica ´ e dada por 2gs /3Kf . a temperatura ser´ a somente 37% maior.405). substituir Pc = K Tc equa¸ c˜ ao (23. 564 × 10−4 E0 K = µ2. na realidade ´ e pr´ oxima de 4000 K. uma para cada valor de M e com Tef praticamente independente de L para cada valor de M . de 2600 K. obtendo 3. e escrever. Para 10 M . agora.que resulta em Pc = 2 3 Pf . Pf = 2 GM 3 K0 R2 1 n+1 µ NA k n − n+1 n+s n+1 Tef (23.410) 4 para eliminar as dependˆ Podemos utilizar L = 4πR2 σTef encias em R. 28: Seq¨ uˆ encia principal e zona completamente convectiva 430 .6.5 4.0 0.5 Figura 23.0 4.0 4.0 2.0 -4.0 -2.0 3. 431 .0001.29: Seq¨ uˆ encia Principal de Idade Zero para modelos com diferentes composi¸ c˜ oes qu´ ımicas.Figura 23.1 tem Z=0. A seq¨ uˆ encia com Y=0. 5 0.0035 1.08 -3. Os modelos com massa menor do que 1 M tˆ em X=0.650 16.74 e Y=0.20 27 5 2.7 17.28.25 0.03 8900 9.29 31500 32.80 2100 0.26 0.15 0.26 9800 10.12 0.11 0 0.30 775 17.Modelos de Seq¨ uˆ encia Principal de Idade Zero.47 8 2 1.7 17.934 14.76 7800 9.28 1.43 19.30 21.08 24 15 4.01 10−7 0.40 0 0.141 19.75 5.43 57 0.5 0.34 6300 8.23 0 0.0 17.83 0 1 139 0.74 0 0. ρc M L log L Tef R/1010 Tc ρc log Pc qc qe ρ M ρ 6 3 2 3 (K) (cm) (10 K) (g/cm ) (dina/cm ) (g/cm ) 60 5.59 107 17.650 3.13 0 0.70 e Y=0.28 0.77 18200 17.5 17.92 72 1.89 32.96 39.24.17 0 0.67 85.42 82.75 1.054 7.09 47.21 0.48 16.07 0 0.70 48200 70.94 82 1.87 54 1.0 16.04 5600 6.683 20.18 432 .84 0.18 26.89 97 1 -0.05 0 1 16.3 -1. enquanto os outros tˆ em X=0.44 0.05 76.2 0.96 3500 2.2 17.93 16.22 66. usado no c´ alculo de modelos estelares reais. que envolve o c´ alculo de uma s´ erie de derivadas da vari´ avel dependente. T. O mesmo problema acontece nos modelos estelares devido ao grande contraste entre as condi¸ c˜ oes centrais e superficiais. Xi ) e (ρ. podemos calcular a estrutura estelar. com as quatro equa¸ c˜ oes de equil´ ıbrio e as equa¸ c˜ oes da f´ ısica da mat´ eria. Xi ). nas estrelas de alta massa.26 Resultado dos modelos Recapitulando. O m´ etodo usado ´ e integrar a partir do centro e da superf´ ıcie simultaneamente e ver se as solu¸ c˜ oes se ajustam de forma cont´ ınua em algum ponto entre os extremos. de modo que podemos calcular a derivada desta diferen¸ ca. isso corresponde a 17% do raio. onde x ´ e a vari´ avel independente e h´ e chamado de passo. onde xf ´ e o ponto de ajuste. Estas derivadas s˜ ao ent˜ ao utilizadas para encontrar y (x + h). E nem sempre existe uma solu¸ c˜ ao em equil´ ıbrio para certas escolhas de massa total e composi¸ c˜ ao qu´ ımica. Precisamos ent˜ ao minimizar yi (xf ) − yo (xf ). em uma s´ erie de pontos no intervalo come¸ cando em x e terminando em x + h. que deve se anular no ponto de m´ ınimo. Xi ). Uma maneira de resolver o sistema de equa¸ c˜ oes ´ e usando o m´ etodo de integra¸ c˜ ao chamado de Runge—Kutta [Carl David Tolm´ e Runge (1856-1927) e Wilhelm Martin Kutta (1867 . Outro m´ etodo. T. y . Como nossas fun¸ c˜ oes n˜ ao s˜ ao lineares. enquanto a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico depende de r−4 . se integrarmos do centro para fora. As vers˜ oes mais sofisticadas do m´ etodo automaticamente ajustam o valor do passo para manter a precis˜ ao desejada. e a condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo − 4 cont´ em o fator T .35% da massa. leva em conta que.Note que. T. como a id´ eia de balan¸ car amplamente a ponta de um chicote com pequenos movimentos de m˜ ao. P (ρ. ´ e poss´ ıvel que pequenos erros no n´ ucleo sejam amplificados ao chegar na superf´ ıcie. 23. Uma dificuldade ´ e que as condi¸ c˜ oes de contorno est˜ ao separadas: um par se refere ao centro e outro par se refere ` a superf´ ıcie. embora a zona convectiva superficial do modelo com uma massa solar abranja somente 0. al´ em da condi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo ∇ = ∇rad se ∇ad ≥ ∇rad ou convectivo ∇ = ∇ad se ∇ad < ∇rad e as condi¸ c˜ oes de contorno. por exemplo na borda entre o n´ ucleo convectivo e o envelope radiativo. K (ρ. iteramos o c´ alculo at´ e que a diferen¸ ca esteja 433 .1944)]. Esta condi¸ c˜ ao chama-se condi¸ c˜ ao de Courant [Richard Courant (1888-1972)].dentro da precis˜ ao pr´ e-determinada. escolhe-se o limite superior do passo. P. isto ´ e. Este m´ etodo. Como linearizamos as equa¸ c˜ oes assumindo corre¸ c˜ oes pequenas. Hayes e R. Gould 1964. Astrophysical Journal. que choques n˜ ao se desenvolvem. Neste caso precisamos usar outras t´ ecnicas. isto ´ e. as abundˆ ancias mudam vagarosamente e podem ser calculadas como simples diferen¸ cas. Exceto em situa¸ c˜ oes especiais.F. Se o modelo for hidrost´ atico. W. de transformar um problema n˜ ao linear em um linear. Se o sistema est´ a mudando rapidamente. Ent˜ ao calculam-se as novas temperaturas. Raizer no seu livro Physics of Shock Waves and High Temperature Hydrodynamic Phenomena. 1966. No c´ alculo de uma seq¨ uˆ encia evolucion´ aria. a cada intera¸ c˜ ao corre¸ c˜ oes para todas as vari´ aveis em todos os pontos s˜ ao calculados simultaneamente [Louis George Henyey (1910-1970). que tornam o problema mais complexo. como as descritas por Yakov Borisovich Zel’dovich (1914-1987) e Yuri P. podemos empregar um m´ etodo expl´ ıcito de c´ alculo. O maior passo poss´ ıvel tamb´ em depende da estabilidade num´ erica. corrige-se o raio e calculam-se as novas densidades. Nosso c´ alculo para estrelas esf´ ericas consiste ent˜ ao em um sistema de 4 equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias para as 4 vari´ aveis: r. O raio para um tempo qualquer precisa ser calculado simultaneamente com as outras vari´ aveis. Forbes e Nancy L. 434 . Como rea¸ c˜ oes nucleares est˜ ao quase sempre presentes. J. as acelera¸ c˜ oes ser˜ ao nulas. eds. como por exemplo em supernovas. em que o estado de um sistema em um tempo tn+1 = tn + ∆t s´ o depende do conhecimento do estado em tempo tn . No m´ etodo de Henyey. O passo em tempo precisa ser menor do que o tempo em que uma onda sonora leva para atravessar uma camada. T e L. Probstein (New York: Academic Press). as corre¸ c˜ oes necess´ arias s˜ ao grandes e o sistema n˜ ao converge. chama-se de m´ etodo de Newton—Raphson [Isaac Newton (1642-1727) e Joseph Raphson (1648-1715)]. Examinando-se todas as camadas. Se choques se desonvolvem. como um modelo de certa massa evolui com o tempo. ∆t depende de qu˜ ao rapidamente o sistema est´ a mudando no tempo em quest˜ ao.D. ∆t precisa ser pequeno. Naturalmente a escolha do passo de tempo. Desta maneira calculam-se as acelera¸ c˜ oes e as velocidades. existem discontinuidades em densidade. 139. Como as mudan¸ cas no peso molecular m´ edio devido ` a ioniza¸ c˜ ao s˜ ao muito r´ apidas. 306]. se a aproxima¸ c˜ ao inicial ´ e muito diferente da solu¸ c˜ ao. elas s˜ ao incorporadas ` a equa¸ c˜ ao de estado. precisamos incluir a mudan¸ cas nas abundˆ ancias.E. Este m´ etodo assume que os movimentos s˜ ao subsˆ onicos. M/M 9.00 5. 921 − 3.00 2.50 1. Se o n´ ucleo n˜ ao estiver degenerado. 96. 10 × 107 1. algumas vezes maior do que a idade do Universo. 161. 82 × 108 (3-4) 9. a difus˜ ao t´ ermica rapidamente equipara a temperatura do n´ ucleo com aquela da camada onde ocorre a queima do hidrogˆ enio. Em 1942. fitaram os resultados do tempo de vida desde a seq¨ uˆ encia principal at´ e a fase de nebulosa planet´ aria dos modelos com 0. para uma estrela de M 100 M . 17 × 106 1. 46 × 108 435 . 6 ≤ M ≤ 10 M e encontraram log tevol = 9. 14 × 107 6. demonstraram no Astrophysical Journal. no seu artigo publicado em 1989 no Astrophysical Journal. 49 × 108 1. 80 × 109 (2-3) 6.7 M . quando o n´ ucleo isot´ ermico de h´ elio corresponde a 10% da massa inicial de hidrogˆ enio da estrela.25 1. para um modelo de 0. 53 × 105 4. Este ´ e o chamado limite de Schenberg-Chandrasekhar. 65 × 107 8.413) para idade em anos. esquentando e aumentando a produ¸ c˜ ao de energia. 31 × 107 1. Essa rela¸ c˜ ao indica que. 37 × 106 1. 21 × 108 4. e os modelos evolucion´ arios comprovam que o n´ ucleo se contrai rapidamente. 03 × 107 3. Por exemplo. n˜ ao ´ e mais poss´ ıvel manter o equil´ ıbrio hidrost´ atico no n´ ucleo se a press˜ ao ´ e dada por um g´ as ideal. 312. 05 × 108 1.Como L ∝ M 3 . 55 × 107 2. que. 6648 log M M (23. Icko Iben Jr.25 (1-2) 2. tSP 1010 M M −2 anos (23. 05 × 105 2. obtemos um tempo de evolu¸ c˜ ao de 35 Ganos. 05 × 109 (4-5) 1. 70 × 107 3. o brasileiro M´ ario Schenberg (1914-1990) e o indiano Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995). 11 × 104 1. a seq¨ uˆ encia principal dura cerca de 1 000 000 anos. 55 × 109 2. 51 × 106 1. 341.412) para as estrelas acima de 3 M . 48 × 105 7.00 3. 80 × 108 1. 04 × 107 1. e Gregory Laughlin. A regi˜ ao em volta do n´ ucleo se expande rapidamente e a estrela sai da seq¨ uˆ encia principal. 297. 41 × 108 3. 82 × 108 5. 89 × 109 1. 10 × 107 1. 727) mostram que a perda de massa no AGB ´ e muito maior do que nas fases anteriores. 57 × 108 3.30: Evolu¸ c˜ ao a partir da seq¨ uˆ encia principal. 38 × 108 3. 5 M 1. 39 × 109 1.Figura 23. A f´ ormula 436 . 01 × 109 5. 77 × 109 2. 03 × 109 7. 25 M 1. 02 × 108 2. 41 × 109 1. 05 × 108 1. Pontos 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-10 10-12 1. 98 × 108 1. 43 × 108 8. 57 × 108 Os modelos de perda de massa durante os pulsos t´ ermicos de Thomas Bl¨ ocker (1995. 44 × 107 1. 46 × 108 2. 38 × 108 1. 92 × 108 1. Astronomy & Astrophysics. 0 M 3. 69 × 108 1. 46 × 109 1. 45 × 108 1. 74 × 108 1. 1975. ed. de Reimers (Dieter Reimers. G. e L. Kegel.Figura 23. W. Traving. Berlin.: B. Os n´ umeros circundados indicam a quantia pela qual a abundˆ ancia de l´ ıtio superficial foi reduzida. Baschek.31: Evolu¸ c˜ ao a partir da seq¨ uˆ encia principal para modelos de Popula¸ c˜ ao I. p. Springer. ´ e adequada para o 437 . 229) ˙ Reimers = 4 × 10−13 (M /ano) ηR LR M M com 1/3 < ηR < 3. R e M em unidades solares. Problems in Stellar Atmospheres and Envelopes.H. assumindo que nenhuma massa foi perdida e que o u ´nico mecanismo de mistura ´ e a convec¸ c˜ ao. precisa ser inclu´ ıda nos modelos. ramo das gigantes mas n˜ ao para o AGB. at´ e que um flash de He ocorra.Figura 23. Nos modelos de Leo Girardi e Paola Marigo. de queima de H. Sem 438 . A opacidade das mol´ eculas na atmosfera. A terceira dragagem ocorre durante a fase de pulsos t´ ermicos. Durante a fase interpulso. A queima de combust´ ıvel no n´ ucleo ocorre nas regi˜ oes mais escuras das curvas. o He produzido pela camada termonuclear dominante. a fase das estrelas carbonadas dura entre 2 e 3 milh˜ oes de anos. bem como o aumento da perda de massa com a metalicidade. e ´ e onde se formam as estrelas carbonadas e estrelas ricas em ZrO. que est´ a mudando com a dragagem.32: Evolu¸ c˜ ao a partir da seq¨ uˆ encia principal para modelos de 1. 5 e 25 M . onde choques e ventos acelerados pela poeira causam uma acelera¸ c˜ ao da perda de massa durante o AGB. ´ e acumulado na camada de He. que induz a uma zona de convec¸ c˜ ao entre as camadas. 33: Densidade e temperaturas centrais para modelos evolucion´ arios de Icko Iben Jr. Figura 23. A as ´ e degenerado.1 L2. necess´ aria para fi− tar a rela¸ c˜ ao massa inicial — massa final observada. A linha pontilhada εF /kT = 10 indica quando a ` direita da linha o g´ press˜ ao de degenerescˆ encia dos el´ etrons domina. Iben e Renzini fitaram seus modelos te´ oricos a uma rela¸ c˜ ao entre a idade dos c´ umulos e o turnoff point . 028(log Z )2 − 0. 019(log Z )2 + 0.TOP. chega a 10 4 M /ano. 073Y 439 . e ` a esquerda n˜ ao-degenerado. 83 × 10−9 (M /ano) M −2. para o AGB: ˙ = 4. 41Y − 1. 064 log Z + 0. 272 log Z − 1.poeira a perda de massa decresce duas ordens de magnitude. mas n˜ ao levando a uma grande eje¸ c˜ ao instantˆ anea. que ´ e a luminosidade para a qual as estrelas come¸ cam a sair da seq¨ uˆ encia principal: log (LTOP /L ) 0. Bl¨ ocker prop˜ oe. A perda de massa determina o n´ umero de pulsos t´ ermicos e portanto a nucleoss´ ıntese associada aos pulsos. 246 − 0.7 M ˙ Reimers M No topo do AGB a taxa de perda de massa de Bl¨ ocker. caracterizando um super vento. 179 log t9 + 1. a mesma temperatura efetiva e s˜ ao chamadas de supergigantes vermelhas. Essas estrelas pertencem ao Ramo Gigante Assint´ otico (AGB). Aproximadamente 80% da fase da vida de uma estrela em que ocorrem rea¸ c˜ oes nucleares ´ e passada na seq¨ uˆ encia principal. a estrela se desloca rapidamente para o ramo das gigantes. No diagrama H-R. Elas s˜ ao respons´ aveis pela forma¸ c˜ ao da maioria do carbono e dos is´ otopos ricos em nˆ eutrons formados pelo processo lento de captura de nˆ eutrons. s˜ ao pulsantes t´ ermicas e passam por est´ agios de queima termonuclear descontrolada intermitente.34: Is´ ocronas te´ oricas. compar´ avel em tamanho ` as an˜ as brancas menos massivas conhecidas. queimando hidrogˆ enio em 440 . as estrelas brilhantes como Rigel. aproximadamente. As estrelas Betelgeuse. Deneb. na chamada seq¨ uˆ encia principal do h´ elio. As menos brilhantes est˜ ao queimando hidrogˆ enio em uma camada sobre o n´ ucleo compacto. alternam entre queimando hidrogˆ enio e queimando h´ elio em camadas sobre um n´ ucleo de carbono e oxigˆ enio similar ` as an˜ as brancas. Capela e Polux est˜ ao em uma linha aproximadamente paralela ` a seq¨ uˆ encia e est˜ ao queimando h´ elio em seu n´ ucleo.onde t9 ´ e a idade do c´ umulo. Mira. As estrelas como a Mira.25 M a convers˜ ao de hidrogˆ enio em h´ elio se d´ a pelo ciclo CNO. em um n´ ucleo convectivo. Depois de consumir o hidrogˆ enio central. Figura 23. em unidades de 109 anos. Se a estrela tiver massa acima de 1. Antares e Aldebaran tˆ em. em 1971. j´ a que a mesma luminosidade tem que ser gerada em uma camada com menor massa. Esse processo de mistura convectiva de elementos processados termonuclearmente no n´ ucleo convectivo ´ e chamado de primeira dragagem (first dredge-up).Figura 23. Ao se aproximar do ramo das gigantes. correspondem ` a posi¸ c˜ ao na seq¨ uˆ encia principal de idade zero (ZAMS) indicada pelo mesmo car´ acter sem linha. Como a camada ´ e fina. acima de 2.5 Ganos. no Publications of the Astronomical Society of the Pacific. os pontos referidos com um caracter e linha. Para uma estrela de massa intermedi´ aria. uma camada fina sobre o n´ ucleo em r´ apida contra¸ c˜ ao e aquecimento. como D’. como D. Na is´ ocrona.35: Is´ ocrona te´ orica correspondente ` a idade de 12. para modelos com composi¸ c˜ ao inicial Y=0. 83. isto ´ e.29 e Z=0. a temperatura em que ocorre a queima ´ e significativamente maior do que quando houve queima no n´ ucleo. Com a contra¸ c˜ ao do n´ ucleo. 697. a base da regi˜ ao convectiva superficial se estende at´ e as camadas em que o carbono foi convertido em nitrogˆ enio. a abundˆ ancia superficial desses dois elementos come¸ ca a mudar em quantidades detect´ aveis.001. composto essencialmente de h´ elio puro. h´ a expans˜ ao das camadas externas.3 M (ou 441 . publicados por Icko Iben Jr. 8 M se overshooting for significativo). portanto. e o h´ elio come¸ car´ a a ser transformado em carbono no centro. a massa do n´ ucleo central 442 . H´ elio e nitrogˆ enio s˜ ao trazidos para a superf´ ıcie na segunda dragagem. A dura¸ c˜ ao total durante a fase de queima de h´ elio no n´ ucleo ´ e de aproximadamente 25% do tempo de queima do hidrogˆ enio nuclear. A queima de hidrogˆ enio e h´ elio ocorre alternadamente em camadas. s˜ ao trazidos para a superf´ ıcie em uma s´ erie de epis´ odios de terceira dragagem. sintetizando centenas de is´ otopos ricos em nˆ eutrons. A queima de hidrogˆ enio em uma camada fina continua a prover a maior parte da luminosidade da estrela (80%) e. entrando em camadas em que o hidrogˆ enio foi completamente convertido em h´ elio e a maior parte do carbono original convertido em nitrogˆ enio. e a base do envelope convectivo se estende at´ e a interface hidrogˆ enio-h´ elio. A mat´ eria na base do envelope convectivo ´ e aquecida at´ e reiniciar a queima do hidrogˆ enio. Grande parte da libera¸ c˜ ao de energia gravitacional potencial pelas camadas superiores ´ e perdida pela emiss˜ ao de neutrinos. mantendo a temperatura do n´ ucleo pr´ oxima da temperatura da camada onde ocorre a queima de h´ elio. Nessas condi¸ c˜ oes. No diagrama H-R. A estrela. Nos modelos te´ oricos sem perda de massa. Quando a abundˆ ancia do h´ elio central decresce significativamente. revertendo a ascens˜ ao da estrela no ramo das gigantes no diagrama H-R. logo ap´ os o in´ ıcio da segunda dragagem a mat´ eria no n´ ucleo exaurido de h´ elio atinge ρc ≈ 106 g/cm3 e os el´ etrons se tornam degenerados. a condu¸ c˜ ao de calor pelos el´ etrons ajuda a manter a mat´ eria nuclear dentro de um fator de 2 da temperatura m´ edia do n´ ucleo. O n´ ucleo da estrela tem as dimens˜ oes de uma an˜ a branca e ´ e. A libera¸ c˜ ao de energia expande o n´ ucleo e as camadas externas se contraem. T ≈ 2 × 108 K. aumentando a temperatura efetiva de cerca de 4000 K para 8000 K. Para uma estrela de 5 M . ocorre extensa nucleos´ ıntese por captura de nˆ eutrons. uma an˜ a branca quente. a temperatura central atingir´ a 108 K e a densidade central 104 g/cm3 em um n´ ucleo n˜ aodegenerado. a massa da regi˜ ao central exaurida de hidrogˆ enio continua a aumentar. ent˜ ao. o modelo evolui novamente para o ramo das gigantes. O n´ ucleo exaurido de h´ elio se contrai e esquenta enquanto que o envelope rico em hidrogˆ enio se expande e esfria tanto que o hidrogˆ enio para de queimar. o que for¸ ca a base do envelope convectivo a recuar para uma regi˜ ao acima da camada onde ocorre a queima de hidrogˆ enio.acima de 1. e esses is´ otopos. o h´ elio continua a queimar em uma camada externa que se desloca para massas maiores. junto com o carbono. passar´ a uma longa fase de queima de h´ elio em um n´ ucleo convectivo e em crescimento. e a perda de energia pelos processos de plasma e foto-neutrinos se tornam importantes. de fato. 35 d M M pc3 /ano (23. conclu´ ımos que a maior parte das estrelas de massa intermedi´ aria termina de alguma forma sua vida antes da queima explosiva do carbono. o limite de Chandrasekhar. Estrelas reais ejetam seus envelopes ricos em hidrogˆ enio antes que o n´ ucleo comece a queimar o carbono. As supernovas formadas pelas estrelas de massa intermedi´ aria s˜ ao supernovas do tipo II. o carbono come¸ ca a queimar. os modelos indicam que as supernovas tipo Ia s˜ ao formadas por acres¸ c˜ ao de massa em estrelas an˜ as brancas. o n´ ucleo remanescente de um modelo de estrela com massa inicial de 5 M evolui rapidamente para o azul no diagrama H-R. a taxa se torna uma a cada 39 anos. A luminosidade do modelo ´ e. criando uma frente de queima que se desloca na dire¸ c˜ ao da superf´ ıcie. Como por defini¸ c˜ ao uma supernova do tipo Ia n˜ ao tem linhas de hidrogˆ enio. Nesse ponto.414) corresponde a 20 vezes a taxa de forma¸ c˜ ao de supernovas na nossa gal´ axia. Dessa forma. ainda. A estimativa da taxa de forma¸ c˜ ao de nebulosas planet´ arias na nossa gal´ axia ´ e consistente com a estimativa de forma¸ c˜ ao de estrelas de massas baixa e intermedi´ aria. mas com velocidades acima da velocidade de escape. Como a taxa de nascimento de estrelas na nossa gal´ axia ´ e de aproximadamente uma estrela por ano. quando a temperatura efetiva do 443 . o n´ ucleo ´ e completamente desfeito como uma supernova. mas. j´ a que. Na verdade. a taxa de queima de carbono cresce exponencialmente. a temperatura ´ e suficiente para queimar todo o hidrogˆ enio.4 M .4 M . em uma trajet´ oria essencialmente horizontal. o n´ umero de estrelas com massa inicial superior a 1. Se supusermos que as supernovas s´ o ocorrem para massas iniciais acima de 10 M . pois h´ a forte escudamento eletrˆ onico e. de acordo com a fun¸ c˜ ao de massa proposta em 1955 pelo astrˆ onomo americano Edwin Ernest Salpeter (1925-2008) que d´ a a taxa de forma¸ c˜ ao de estrelas por pc3 por ano ψd M M = 2 × 10−12 M M −2. nesse caso. devida ` a queima de hidrogˆ enio em uma camada fina. pr´ oxima da estimativa atual de uma a cada 50 anos na Gal´ axia. esse tipo de supernova n˜ ao ´ e oriundo da evolu¸ c˜ ao de uma estrela de massa intermedi´ aria sem perda de massa significativa. A massa do envelope rico em hidrogˆ enio do modelo ´ e grande o suficiente para que linhas de hidrogˆ enio sejam proeminentes. Ap´ os a eje¸ c˜ ao da maior parte do envelope de hidrogˆ enio. convertendo mat´ eria em elementos do grupo do ferro.de carbono e oxigˆ enio cresce at´ e atingir 1. depois de um curto epis´ odio durante o qual a perda de energia pelo processo Urca balan¸ ca a energia gerada pela queima do carbono. O resultado ´ e uma explos˜ ao de supernova tipo II que forma um remanescente extenso e um n´ ucleo compacto. a queima do hidrogˆ enio fora do n´ ucleo fornece a maior parte da luminosidade. o material ejetado pode ser fotoionizado pela radia¸ c˜ ao do remanescente compacto.6 M e 2. para o azul. Quando a temperatura atinge 1. O n´ ucleo exaurido em h´ elio se transforma em um caro¸ co com a massa de Chandrasekhar com todos os componentes pr´ oximos do grupo do ferro. a quantidade total de hidrogˆ enio acima da camada ´ e t˜ ao pequena que a queima s´ o continua por aproximadamente 300 anos. O precursor da supernova 1987A na Pequena Nuvem de Magalh˜ aes era um estrela azul.3 M . e o modelo continua a evoluir monotonicamente para o vermelho enquanto o h´ elio queima em um n´ ucleo convectivo central. este limite inferior pode ser de at´ e 1. e luminosidade apropriada para um modelo de 20 M .modelo atinge Tef 10 000 K. enquanto o hidrogˆ enio central queima em um n´ ucleo convectivo e. 5 × 109 K. enquanto os el´ etrons ainda n˜ ao s˜ ao degenerados. que subseq¨ uentemente colapsa. com Tef ≈ 10 000 K. mas. o carbono inicia sua combust˜ ao quando o n´ ucleo atinge 6 × 108 K e dura cerca de 300 anos. formando uma estrela de nˆ eutrons ou um buraco negro. O colapso ejeta o manto acima do n´ ucleo por dep´ osito de energia na forma de neutrinos nesse manto. Para modelos de alta massa (∼ 25 M ). a queima do neˆ onio se inicia e dura cerca de um ano. A queima do h´ elio central se inicia antes de o modelo atingir o ramo das gigantes. Logo depois da exaust˜ ao do h´ elio no n´ ucleo a temperatura e densidade s˜ ao suficientes para iniciar a queima do carbono. Nessa fase. Para uma estrela de 25 M . e a energia luminosa ´ e totalmente produzida pelas camadas extra-nucleares queimando h´ elio e hidrogˆ enio. o modelo se desloca para o vermelho. e o sistema ter´ a as caracter´ ısticas de uma nebulosa planet´ aria com uma estrela central quente. e o n´ ucleo se contrai e esquenta. O deslocamento para o vermelho recome¸ ca quando o hidrogˆ enio queima em uma camada. toda a energia gerada no n´ ucleo ´ e perdida pela emiss˜ ao de neutrinos e antineutrinos.1 M . mas uma compara¸ c˜ ao com as observa¸ c˜ oes sugere um limite entre 1. Se n˜ ao houver overshooting. Quando a temperatura efetiva atinge 30 000 K. ap´ os a exaust˜ ao do hidrogˆ enio. A 444 . Com overshooting. Uma das causas ´ e a baixa metalicidade da Nuvem.5 M . novamente. Em seu brilho m´ aximo ela era muito menos brilhante do que a maioria das supernovas do tipo II previamente identificadas. a massa m´ ınima para que uma estrela de popula¸ c˜ ao I queime o h´ elio em um n´ ucleo n˜ ao-degenerado ´ e da ordem de 2. 10 9. Vink. apesar da raz˜ ao dos n´ ucleos leves ser predita corretamente. L. 5 × 109 K e dura somente 4 dias. Depois que o sil´ ıcio come¸ ca a queimar em camada.69 . Hansen. mas no sistema solar a raz˜ ao destes is´ otopos ´ e de 0.43 para o c´ umulo aberto NGC 6791. Nas estrelas massivas a queima de carbono. As mudan¸ cas estruturais causadas pela emiss˜ ao de neutrinos permite que a maior parte das estrelas ejete massa e forme uma estrela de nˆ eutrons e n˜ ao um buraco negro. por ventos acelerados pela radia¸ c˜ ao.queima do oxigˆ enio inicia quando o n´ ucleo atinge 2. ´ e importante distinguir modelos quase-estacion´ arios com massa constante de estrelas reais. 0 × 109 K e dura cerca de 8 meses.034 1. A distribui¸ c˜ ao de massa ´ e Elemento H He C O Ne Mg Si Ca Ni Fe Massa (M ) 12. Pierre Bergeron. Brad M. Lamers.S. oxigˆ enio.415) M L Jorick S. G.62 ˙ = 10−14.040 0. seguida da queima do sil´ ıcio quando o n´ ucleo atinge 3.5 M logo acima do n´ ucleo de ferro. ´ e dominante.177 0. neˆ onio e sil´ ıcio se d´ a quando o esfriamento por neutrinos. j´ a que as estrelas massivas reais perdem massa a taxas consider´ aveis mesmo quando est˜ ao na seq¨ uˆ encia principal.543 1. com cerca de 7 bilh˜ oes de anos e metalicidade Fe/H duas vezes a solar. M. Alexander de Koter e Henny J.97 L M /ano (23. por Jasonjot Kalirai. 574 (2001).033.148 0. em 1986.175 0. A determina¸ c˜ ao de massa m´ edia de an˜ as brancas de 0. pelos Astronomy and Astrophysics. o n´ ucleo se contrai atingindo o colapso hidrodinˆ amico. Logo ap´ os o carbono come¸ ca a queimar em uma camada de cerca de 1.357 0.504 Os modelos de nucleos´ ıntese explosiva predizem quantidades aproxima68 70 damente iguais de Zn e Zn. 445 . 369. Entretanto. Cesare Chiosi (1941-) e Andr´ e Maeder (1942-). no ˙ ∝ z 0. prop˜ oem M seus modelos de perda de massa. portanto inconsistente. pela emiss˜ ao de pares de neutrinos e antineutrinos. fitaram os dados observacionais de perda de massa obtendo: 1. 748) indica que a perda de massa ´ e fortemente dependente da metalicidade. sem oxigˆ enio. Durante a fase de Wolf-Rayet. uma vez que todas as camadas contendo hidrogˆ enio sejam removidas. Richer. e outra inerte. logo acima do n´ ucleo de elementos do grupo de ferro existe uma camada de elementos Si a Ni. 671. com o resultado da combust˜ ao. aquelas que desenvolvem um n´ ucleo com el´ etrons degenerados logo ap´ os sair da seq¨ uˆ encia principal.5 M est´ a o material acima da camada queimando o hidrogˆ enio. R. Para cada elemento existe um par de camadas. Na parte mais externa que 8. Kelson. a taxa de perda de massa ´ e ainda maior do que na fase de seq¨ uˆ encia principal. e acredita-se que as estrelas Wolf-Rayet tipo N evoluem para Wolf-Rayet tipo C. Daniel D. (2007. Essa ´ e a forma pela qual as estrelas Wolf-Rayet tipo N s˜ ao formadas. David B. 446 .5 M internos de um modelo de estrela de 25 M quando o n´ ucleo se converte em ferro. uma onde est´ a a chama. convectiva. onde ocorre a queima do sil´ ıcio. a perda de massa pode ser t˜ ao expressiva que as camadas que passaram por queima de hidrogˆ enio podem ser expostas. Michael Rich e Harvey R. A massa da camada com a chama ´ e cerca de 40 vezes menor do que a massa da camada j´ a queimada. Astrophysical Journal. e que mesmo estrelas com 1 massa solar inicialmente podem gerar an˜ as brancas com n´ ucleo de He.36: Estrutura dos 8.Figura 23. As estrelas de baixa massa s˜ ao. por defini¸ c˜ ao. Reitzel. Portanto. Para estrelas com massa acima de 40–50 M . que se estende quase at´ e a camada de queima de hidrogˆ enio. Os modelos de alta metalicidade se concentram em uma pequena regi˜ ao no ramo das gigantes. A proporcionalidade entre temperatura e press˜ ao. A posi¸ c˜ ao do modelo no diagrama H-R depende. ent˜ ao. Elas tˆ em um ramo gigante mais estendido do que as estrelas de massa intermedi´ aria. como os modelos de massa intermedi´ aria.45 M . mas permanece na camada convectiva. principalmente. Essa energia n˜ ao sai da estrela. permite um novo equil´ ıbrio: o n´ ucleo de h´ elio se expande e esfria. que termina a subida do ramo das gigantes.Figura 23. e o modelo inicia uma fase de queima quiescente de h´ elio. Quando a massa do n´ ucleo de h´ elio atinge cerca de 0. que dura cerca de 108 anos. aproximadamente 3 magnitudes abaixo do topo do ramo gigante.37: Taxas de perda de massa para estrelas massivas. pois o n´ ucleo exaurido de hidrogˆ enio se esfria por condu¸ c˜ ao eletrˆ onica quando os el´ etrons se tornam degenerados. e o in´ ıcio da queima de h´ elio ocorre fora do centro e depois procede para dentro em uma s´ erie de flashes que ocorrem sucessivamente mais pr´ oximos do centro. A luminosidade m´ axima devido a transforma¸ c˜ ao de 3α → 12 C alcan¸ ca L 1011 L . Essa queima descontrolada continua at´ e que a degenerescˆ encia seja levantada. A temperatura sobe at´ e que a degenerescˆ encia desapare¸ ca. aumentando o tempo at´ e o in´ ıcio da queima de h´ elio. A perda de energia por emiss˜ ao de neutrinos no n´ ucleo causa um gradiente negativo de temperatura nas regi˜ oes centrais do n´ ucleo. a queima de h´ elio descontrolada se inicia no n´ ucleo. da metalicidade. 447 . Diferente dos modelos de massa intermedi´ aria.0001 (Pop II extrema) at´ e Z=0. com ou sem perda de massa. 64 para s=3 e Tef (I )/Tef (II ) = 0. 0.02 (Pop I). portanto. de Z=0. obtemos Tef (I )/Tef (II ) = 0.Figura 23. a mesma contribui¸ c˜ ao para a luminosidade pela queima do h´ elio. pois tˆ em aproximadamente a mesma massa nuclear e. a contribui¸ c˜ ao da camada queimando hidrogˆ enio n˜ ao ´ e dominante para a luminosidade. ou seja. Os modelos tˆ em aproximadamente a mesma luminosidade. Ap´ os a exaust˜ ao do h´ elio central. 41 para s=0. 05 M maior do que no in´ ıcio da queima do h´ elio. enquanto que os modelos de baixa metalicidade cobrem uma regi˜ ao extensa de temperaturas efetivas mais azuis do que o ramo das gigantes. o modelo de baixa massa ´ e similar ao modelo de massa intermedi´ aria: um n´ ucleo de 448 . 5 M . Portanto.38: Seq¨ uˆ encias evolucion´ arias para estrelas massivas. Com uma opacidade ∝ ρT . podemos estimar Tef ∝ Z −(s+3)/2 . levando ` a − s designa¸ c˜ ao de ramo horizontal. A massa do n´ ucleo exaurido de hidrogˆ enio no fim do ramo horizontal ´ e tipicamente 0. o n´ ucleo cont´ em oxigˆ enio. As estrelas de baixa metalicidade provavelmente n˜ ao chegam ` a fase de pulsos t´ ermico. C-O com el´ etrons degenerados. Nessa fase.5 M ”.15 M durante 449 .4 M aumentam a massa do n´ ucleo em cerca de 0. mesmo na sua base. Os n´ umeros na parte superior da figura correspondem ` as fases equivalentes da figura na p´ agina 436. comparados com 108 anos no ramo gigante. neˆ onio e magn´ esio.39: Evolu¸ c˜ ao da estrutura interna de uma estrela de 5 M ap´ os a seq¨ uˆ encia principal. mas ainda abaixo de cerca de 10. e as com bolhas indicam convec¸ c˜ ao. a maior parte do envelope de hidrogˆ enio ´ e perdida por vento radiativo.Figura 23. 5 M . 65 M . As regi˜ oes escuras indicam queima nuclear. uma camada extranuclear queimando h´ elio e um envelope rico em hidrogˆ enio em que o hidrogˆ enio n˜ ao queima significativamente. as observa¸ c˜ oes indicam que o AGB termina com massa de cerca de 0. Para massas mais altas. Os modelos ocupam a mesma regi˜ ao do Ramo Gigante Assint´ otico. As estrelas do AGB s˜ ao importantes no enriquecimento da gal´ axia e dominantes na luminosidade integral de sistemas estelares de idades intermedi´ arias e. 0. tornando-se an˜ as brancas com massa igual ` aquela do n´ ucleo no fim do ramo horizontal. antes do in´ ıcio dos pulsos t´ ermicos. dura cerca de 107 anos. ou seja. a fase inicial do AGB. Para estrelas de Popula¸ c˜ ao I. Para os modelos de baixa massa. portanto. ferramentas para o estudo das popula¸ c˜ oes extragal´ aticas. estrelas com massas iniciais de cerca de 1. L145. da the State University of New York. indicando que a estrela estaria na forma de mat´ eria de quarks. Antonella Fruscione. Bradford J. pp. Deron O. 572. Marshall. para qualquer massa (P. Haensel 2001.40: Evolu¸ c˜ ao da estrutura interna de uma estrela de 1. e retornam aproximadamente metade de sua massa inicial para o meio interestelar. Entretanto. Michael Juda. Stony Brook.2 km. The Astrophysical Journal. 380. A mat´ eria perdida durante o AGB ´ e.5-3754 por Jeremy Drake. Walter e James Lattimer. Vinay Kashyap. Astronomy & Astrophysics. enriquecida em carbono e elementos ricos em nˆ eutrons formados pelo processo “s”. muito pequeno para ser consistente com modelos normais de estrelas de nˆ eutrons. A maior parte das equa¸ c˜ oes de estado de estrelas de nˆ eutrons produz um raio maior que 12 km.Figura 23. provavelmente. 2004. A estrela foi originalmente descoberta em 1996 pelo sat´ elite alem˜ ao Roetgen. Stefan Dreizler. a an´ alise de Frederick M. 996-1001) mostram Tef = 1. Herman L. (2002. Issue 2. Peter E. 186).3 M ap´ os a seq¨ uˆ encia principal.2 milh˜ oes Fahrenheit (700 000 Celsius). 576. Fabrizio Nicastro. Journal of Physics G: Nuclear and 450 . A coluna de hidrogˆ enio derivada favorece a medida de paralaxe de 140 pc derivada pelo HST e um raio de impl´ ıcito de R=3. Freeman. Astrophysical Journal. o AGB. Wargelin e Klaus Werner (2002.88. Observa¸ c˜ oes com o observat´ orio Chandra das estrelas RXJ1856. Pease. Prakash & R. Wolk. M. tamb´ em consistente com uma estrela de nˆ eutrons normal. sem linhas.Figura 23. consistente com mat´ eria de nˆ eutrons normal. A. Walter. Ho. Wynn C. G. Burwitz. J. 33. Pons. 451 . Neuh¨ auser. concorda que mat´ eia estranha n˜ ao ´ e necess´ aria. desde a seq¨ uˆ encia principal at´ e a fase de queima nuclear de h´ elio. S. por Frederick M. A an´ alise do espectro. 513. publicada em 2004 no Advances in Space Research. J. 461) de uma imagem do Telesc´ opio Espacial Hubble com a Wide Field and Planetary Camera 2 resulta em d=(117 ± 12) pc e R=15 km. D. A linha pontilhada indica a borda vermelha da faixa de instabilidade das Cefeidas. 71 (2007). 30. James Lattimer. Particle Physics. obt´ em um raio de 14 km. V.41: Diagrama H-R com as seq¨ uˆ encias evolucion´ arias para massas entre 4 e 9 M . Lloyd. 4. no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 380. a 3. e David Helfand (2002. Os detalhes do interior das estrelas de nˆ eutrons ainda n˜ ao s˜ ao bem conhecidos devido a nossa ignorˆ ancia dos detalhes da for¸ ca forte em alt´ ıssimas densidades. As obserca¸ c˜ oes da estrela de nˆ eutrons 3C58. Como o esfriamento ´ e dominado pela emiss˜ ao de neutrinos e dependendo do modelo condensados de p´ ıons ou k´ aons ou 452 . para esta estrela que ´ e a mais jovem estrela de nˆ eutrons conhecida.42: Varia¸ c˜ ao do raio das estrelas com o tempo. 13 × 106 K) do que deveria. devido ` a sua evolu¸ c˜ ao. L45-L49).2 kpc de distˆ ancia por Patrick Slane. pulsar J0205+6449 com per´ ıodo de 65 ms. 571.Figura 23. n˜ ao detectaram raio-X t´ ermico do corpo central. Steven Murray. The Astrophysical Journal. mostrando que ela est´ a muito mais fria (Tef ≤ 1. Ela ´ e supostamente a remanescente da SN1181. 261. Carol Haswell 2002.Figura 23. 53 XTE J1550-564 12 a 15 Lev Titarchuk & C. ASP CS. 169 X9 M81 80 a 150 Daniel Q.6 Cinthia Froning & Edward Lewis Robinson 2002. Cui 2002.5: Buracos negros estelares Massa (MSol ) Publica¸ c˜ ao ≥ 5. nos modelos de Icko Iben Jr. Tabela 23. 1057 XTE J1859+226 7. a energia gravitacional do n´ ucleo vai aumentando. 764 Nome GS2000+25 mat´ eria de quark ´ e formada. 285 A0620-00 3. Bill Welsh. ApJ. no momento da explos˜ ao de uma su453 . Wang 2002. Carol Haswell. mas. Desta maneira a medida da temperatura pode diferenciar os modelos com ou sem forma¸ c˜ ao de mat´ eria ex´ otica. Edward Lewis Robinson (1945-). 261. MNRAS.43: Rela¸ c˜ ao entre a massa inicial da estrela e a composi¸ c˜ ao do n´ ucleo da an˜ a branca resultante. por contra¸ c˜ ao. 332. aumentando drasticamente a emiss˜ ao de neutrinos e esfriando a estrela mais rapidamente. 567. Shrader.R. Durante toda a evolu¸ c˜ ao da estrela. 331. MNRAS. 1 Robert Hynes.66 Zacharias Iannou. Shrader 2002. 4 ± 1. ASP CS.3 a 13. indicando que j´ a perderam uma quantidade significativa de massa durante sua evolu¸ c˜ ao. mas com per´ ıodos mais longos. e s˜ ao chamadas de vari´ aveis RR Lyrae. s˜ ao liberados. o japonˆ es Chusiro Hayashi (1920-2010) demonstrou que uma estrela totalmente convectiva tem a menor temperatura atmosf´ erica poss´ ıvel. Elas s˜ ao usadas como indicadores de distˆ ancia para as gal´ axias. Em uma regi˜ ao do Ramo Horizontal. aproximadamente 0. embora os precursores sejam mais massivos. sendo que somente 1051 ergs correspondem ` a luminosidade perdida atrav´ es de f´ otons. com per´ ıodos de 6 meses 454 . causadas pelas zonas de ioniza¸ c˜ ao parcial do hidrogˆ enio e do h´ elio. Icko Iben continuou esse trabalho e ´ e considerado o maior especialista no assunto. com massas 5 ≤ M ≤ 10 M . modelos com temperaturas mais baixa n˜ ao est˜ ao em equil´ ıbrio hidrost´ atico. pois seu per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao ´ e proporcional ` a sua luminosidade. o precursor dos c´ alculos de modelos de evolu¸ c˜ ao estelar. Em 1961. e s˜ ao chamadas de Cefeidas. as estrelas apresentam varia¸ c˜ oes de luz. tornam-se pulsantes quando ainda est˜ ao queimando He no n´ ucleo. como descoberto em 1912 por Henrietta Swan Leavitt (1868-1921). correspondendo a toda a energia gravitacional acumulada. 1 M c2 1053 ergs. pernova. as estrelas se tornam vari´ aveis tipo Mira. Os modelos hidrodinˆ amicos das varia¸ c˜ oes mostram que essas estrelas tˆ em massa entre 0.Figura 23.44: Foto de Icko Iben Jr. Essa temperatura ´ e chamada de limite de Hayashi e corresponde ao ramo das gigantes.7 M .6 e 0. mas principalmente no ramo das gigantes. que estudou com Martin Schwarzschild (1912-1997). A maior parte da energia ´ e perdida atrav´ es de neutrinos. (1934-). Estrelas mais massivas. J´ a no topo do ramo gigante assint´ otico. da ordem de dias. Para estrelas de massa intermedi´ aria. e luminosidades da ordem de 2500 L .45: Zonas de Convec¸ c˜ ao para estrelas de popula¸ c˜ ao 1. o forte esfriamento por emiss˜ ao de neutrinos faz com que o n´ ucleo nunca atinja a temperatura necess´ aria para a igni¸ c˜ ao do carbono.Figura 23. a dois anos. 455 . calculado pelo americano Icko Iben Jr. As estrelas com massa at´ e cerca de 6 M chegam ao ramo horizontal com um n´ ucleo com. O ramo horizontal ´ e onde as estrelas queimam He no n´ ucleo. a partir do Ramo Horizontal. Os tempos indicados em cada ponto.6 M . 0.6 M . 456 . com Tef = 35 000 K. como vento solar e eje¸ c˜ ao de nebulosa planet´ aria. Posteriormente. perdem suas camadas superiores por perda de massa cont´ ınua. s˜ ao medidos em anos a partir de um ponto. no caminho. e pelo italiano Alvio Renzini. aproximadamente.46: Diagrama HR te´ orico mostrando o caminho evolucion´ ario de uma estrela de 0.Figura 23. positivos e negativos. a massa m´ axima de uma estrela Cefeida ´ e de 12 M . A base de dados desses modelos pode ser encontrada em http://obswww. publicados em 1989. da Universidade de Genebra.Figura 23.ch/∼schaerer/evol/Evol grids. conforme c´ alculos de Andr´ e Maeder (1942-) e Georges Meynet.47: Diagrama HR te´ orico mostrando o caminho evolucion´ ario de estrelas de diferentes massas. Nesses modelos. com um overshooting convectivo moderado.html 457 .unige. As nebulosas planet´ arias s˜ ao um dos canais de forma¸ c˜ ao das an˜ as brancas. As an˜ as brancas tˆ em temperaturas desde 150 000 K at´ e 3700 K e luminosidades correspondentes entre 3 ≥ log L/L ≥ −4. a maior parte da massa dos progenitores foi perdida antes da fase de an˜ a branca. Lee 458 . 40 M tˆ em vida na seq¨ uˆ encia principal maior do que a idade da nossa gal´ axia.A. principalmente dentro de 300 pc. & Z. Chen. a teoria de evolu¸ c˜ ao estelar prediz que a massa m´ ınima para a igni¸ c˜ ao do h´ elio nuclear ´ e de 0. No diagrama de Hertzsprung-Russel. mesmo as an˜ as brancas mais velhas no disco da nossa gal´ axia ainda est˜ ao vis´ ıveis. Althaus. E notar que os n´ ucleos das nebulosas planet´ arias observadas em nossa gal´ axia tamb´ em tˆ em massa centrada em 0. Panei. 162. 45 − 0. Astrophysical Journal Supplement. 23. 779). Bergbusch & P. as an˜ as brancas n˜ ao bin´ arias tˆ em log g ≈ 8.A. Como as an˜ as brancas tˆ em massa abaixo de 1. A teoria de evolu¸ c˜ ao estelar prediz que as estrelas progenitoras de an˜ as brancas com massas at´ e 0. 382. Como as an˜ as brancas esfriam vagarosamente.27. mas existem outros canais evolutivos: estrelas passando para an˜ a branca diretamente do ramo horizontal estendido e tamb´ em estrelas bin´ arias interagentes. 47 M . sugerindo que essas estrelas tˆ em n´ ucleo de h´ elio (D.D. Depois da fase de pr´ e-an˜ as brancas. P. Han. com luminosidades acima de 3 × 10−5 L . e s˜ ao os n´ ucleos degenerados das estrelas de 1 a 10 massas solares.1 Propriedades de an˜ as brancas n˜ ao-bin´ arias A an´ alise das is´ ocronas das seq¨ uˆ encias principais dos c´ umulos abertos que cont´ em an˜ as brancas sugere que as an˜ as brancas — n˜ ao associadas a estrelas bin´ arias — tˆ em progenitores com massas entre 1 e 10 M .A. correspondente a uma ´ importante distribui¸ c˜ ao de massa bastante restrita. aproximadamente 98% de todas as estrelas que j´ a sa´ ıram da seq¨ uˆ encia principal s˜ ao an˜ as brancas. 5. 2006. de modo que as an˜ as brancas com essas massas devem ser oriundas da evolu¸ c˜ ao de sistemas bin´ arios. Da mesma forma. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.27 An˜ as brancas Embora as an˜ as brancas conhecidas estejam todas na vizinhan¸ ca imediata do Sol. centrada em 0. cerca de 8 magnitudes menos brilhantes do que a seq¨ uˆ encia principal. X.4 M . Leandro G. as estrelas an˜ as brancas formam uma seq¨ uˆ encia bem definida. Dowler. 375. 2007. embora exista um fator de sele¸ c˜ ao em favor dos n´ ucleos de nebulosas planet´ arias com essa massa. 6M . VandenBerg. 6 M . J.23. Apesar de suas origens diversas e suas diferentes luminosidades. as an˜ as brancas formam uma classe bastante homogˆ enea. podemos estimar a rela¸ c˜ ao entre a massa e o raio para uma estrela de nˆ eutrons. ou mais acuradamente a massa atˆ omica.30)]: Pe. ou O totalmente ionizados.Anne Willson. o que n˜ ao ´ e o caso abaixo de 1. 114 ou Mnr = 1 4 3 4π 4 h2 Gme mp 5 3 Z A 5 3 M−3 1 h2 NA me G 3 2 NA 1 5 µe R3 onde µe ´ e o peso molecular m´ edio dos el´ etrons. 0485 5 h2 3 ne me na equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico. obtemos um raio de R=6380 km. 38. 6 M varia de cerca de 11 000 km para Tef = 60 000 K. prop˜ oe que. As estrelas de nˆ eutrons tˆ em massa m´ edia de MNS = 1. como as estrelas de baixa metalicidade tˆ em menor perda de massa. 459 . mas n˜ ao-relativ´ ıstico [equa¸ c˜ ao (23. s˜ ao os nˆ eutrons que est˜ ao degenerados: MEN M 5 × 10−15 R R −3 que resulta em um raio de 11 km para uma massa de uma massa solar. Entretanto esta f´ ormula s´ o ´ e valida para material completamente degenerado. portanto. obt´ em-se R = 0. 6 M . 30 M . as estrelas de baixa metalicidade formariam an˜ as brancas de mais alta massa.nr = 0. Se substituirmos µe → 1 e me → mp . seus n´ ucleos crescem at´ e cerca de 1 M antes do envelope decrescer para 0. j´ a que. 36 ± 0. em seu artigo de 2000 no Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 02 M∗ . para 8 600 km para Tef = 4 000 K. quando a estrela sai do ramo assimpt´ otico das supergigantes e. 573. O raio de uma an˜ a branca de 0. Note que o raio diminui para massa maior. e ´ e igual a 2 para He. C. Podemos calcular a rela¸ c˜ ao entre a massa de uma an˜ a branca e seu raio usando a express˜ ao para a press˜ ao de um g´ as totalmente degenerado. Numericamente M/M 10−6 R R −3 2 µe 5 Como a maioria das an˜ as brancas tem massa de 0. nesse caso. e mp ´ e a massa de um pr´ oton.3 massas solares. criando nˆ eutrons e neutrinos. Stoner. que requer ou uma grande diferen¸ ca entre a densidade do n´ ucleo da estrela e as camadas externas (W. C. 4587( µ e m´ axima que uma an˜ a branca pode ter e ainda ser suportada pela press˜ ao de degenerescˆ encia dos el´ trons. o que tamb´ em define um processo de decaimento β inverso. 123 hc mp 4/3 Z A 4 3 (23. 1950. que leva ` as transi¸ c˜ oes de fase. Demonstraram que em altas densidades os decaimentos β inversos tornam-se importantes. 8348 M = 1. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. µe = A/Z ´ e o peso molecular m´ edio (µe = 2 para h´ elio.662) ´ e obtida calculando-se a press˜ ao totalmente degenerada e totalmente relativ´ ıstica (v = c). “The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs”. Quando a densidade do n´ ucleo atinge um certo valor cr´ ıtico. e ´ e igual a 2 para He. Entretanto. 683. os el´ etrons come¸ cam a ser pressionados para dentro dos pr´ otons. p. 4587 µ2 e 2 µe 2 M (23. ou O totalmente ionizados. carbono ou oxigˆ enio). Vol. ultrapassar esta densidade cr´ ıtica.416) e substituindo-se na equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´ atico. uma parte do n´ ucleo estelar ´ e composto de n´ ucleos pesados. Pe = 0. 1931. H. mudando efetivamente o ´ ındice adiab´ atico da estrela. “Upper limits for densities and temperatures in stars”. os desvios de Thomas-Fermi da distribui¸ c˜ ao n˜ ao uniforme das cargas dos el´ etrons e a energia de troca das intera¸ c˜ oes spin-spin.Massa de Chandrasekhar A massa m´ axima de uma an˜ a branca (Subramanian Chandrasekhar. formando nˆ eutrons. obtendo-se: Z A 2 MCh = 0. Ramsey. 2 2 ) M ] ´ e a massa O limite de massa de Chandrasekhar [= 1. n˜ ao ´ e suficiente para causar a instabilidade. 92. e mudando efetivamente o peso molecular m´ edio dos el´ etrons.417) onde µe ´ e o peso molecular m´ edio dos el´ etrons. corre¸ c˜ oes devido ` as intera¸ c˜ oes eletrost´ aticas entre os ´ ıons. 134. 81 e Edmund C. 2 hc Gm2 p 3/2 mp = 5. Monthly 460 . Tetsuo Hamada & Edwin Ernest Salpeter (1924-2008) publicaram no Astrophysical Journal. Astrophysical Journal. Quando as transi¸ c˜ oes de fase se iniciam. 74. A estrutura nuclear dentro do n´ ucleo da an˜ a branca muda. e os el´ etrons tunelam para dentro dos n´ ucleos. 1999. RSch 3 km. Tooper no Astrophysical Journal.04 e Z=0. e 1.9% da massa das estrelas ´ e de He (at´ e cerca de 0. 2008. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1693. Astronomy & Astrophysics. Marcelo Miguel Miller Bertolami. No mesmo artigo eles derivaram a rela¸ c˜ ao emp´ ırica massa-raio das an˜ as brancas. Inicialmente proposto por Samuil Aronovich Kaplan (1921-1978) em 1949 (Zhurnal Eksperimental noi i Teoreticheskoi Fiziki. 387. 466. Xiangcun Meng. A composi¸ c˜ ao qu´ ımica do n´ ucleo das an˜ as brancas. Volker Weideman (1924-2012) 2000. Outra componente que tem efeito sobre a massa m´ axima de uma an˜ a branca ´ e a Relatividade Geral.0001. reduzindo a massa de Chandrasekhar para 98% da massa de Chandrasekhar sem corre¸ c˜ ao relativ´ ıstica: 2 2 RG MCh = 1. “Initialfinal mass relationship for stars of different metallicities”. Astrophysical Journal. A massa m´ axima para uma an˜ a branca com n´ ucleo de magn´ esio era 1. Enrique Garcia-Berro & Ignasi Ribas. Inma Dom´ ınguez. 647.46 e 0. 19. 396 M para carbono. 951 16) e calculado precisamente por Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) e Robert F. Pier Giorgio Prada Moroni & Oscar Straniero 2007. 524 226. Klaus Unglaub. 1043. 363. 139. 2008. reduzindo-o como mostrado explicitamente nos modelos de temperatura zero de Hamada & Salpeter. para temperatura zero.50 M . respectivamente. 308 818. os efeitos relativ´ ısticos s˜ ao muito pequenos. Achim Weiss. Leandro Gabriel Althaus. Astronomy & Astrophysics. Leo Girardi 2000. que comp˜ oe 99. Alessandro Chieffi. 140. este efeito quebra a estabilidade dinˆ amica a densidades mais baixas que aquelas calculadas para os modelos de temperatura zero. 417. Isto leva a uma nova condi¸ c˜ ao sobre a massa m´ axima. Marco Limongi & Oscar Straniero. ´ e mais de mil vezes o raio de Schwarzschild de mesma massa. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 491. 43 M (23. Astronomy & 461 . Jordi Isern. Rab 10 000 km. 444 15). Xuefei Chen & Zhanwen Han. 35M .Notices of the Royal Astronomical Society. 253). para Z=0. Astronomy & Astrophysics. 2008. 110. ρ2 A2 Z1 = > 1.418) µe Note que como raio das an˜ as brancas. 5 ρ1 A1 Z2 ou uma cadeia de decaimentos β inversos entre el´ etrons e n´ ucleos devido ao n´ ucleo tornar-se cada vez mais denso.05 M . C/O (at´ e cerca de 1. Silvia Catalan. 1396 e Subrahmanyan Chandrasekhar no Astrophysical Journal. 62 M • L 870-2: um sistema com duas an˜ as brancas com Porb = 2. ainda. 02 M As massas sismol´ ogicas foram obtidas por Donald Earl Winget (1955-).Astrophysics.50 M . 028 M • 40 Eri B (sistema triplo): M = 0. 5 d e componentes com M = 0. Zhanwen Han. Existem poucas an˜ as brancas com massas medidas por astrometria ou sismologia: • S´ ırius B: M = 1. 319. Christopher A. no ramo horizontal. 61 ± 0. 1 M • Stein 2051B: com massa mais prov´ avel de M = 0. s˜ ao PG1658+441. 2000. 36 ± 0. mas tiveram perda de massa suficientemente alta para truncar sua evolu¸ c˜ ao no in´ ıcio do AGB. 41 e 0. Peter P. Uma raz˜ ao para essa truncagem seria que a camada rica em hidrogˆ enio pr´ oxima ` a superf´ ıcie n˜ ao tivesse massa suficiente para manter igni¸ c˜ ao e reigni¸ c˜ ao de queima de hidrogˆ enio (shell flashes). ou. Tout &amp. massa M = 1. R. 31 ± 0. A composi¸ c˜ ao do n´ ucleo depende da metalicidade das progenitoras e se elas eram bin´ arias (Icko Iben Jr. Eggleton. Kepler de Souza Oliveira Filho (1956-) e seus colaboradores do Whole Earth Telescope. e de O/Ne/Mg (acima de cerca de 1. Astrophysical Journal Supplement Series.05 M ). e GD 50. 2 2 ) M ] Como vimos anteriormente. 053 ± 0. 01 M • PG 2131+066 com massa sismol´ ogica de 0. “Low. & Alexander Tutukov. 02 M e Tef = 30 500 K. As duas estrelas n˜ ao-bin´ arias de mais alta massa. 487. 42 ± 0. 215). 50 ± 0. V´ arias an˜ as brancas s˜ ao encontradas com massas abaixo de 0. fase de Mira e subseq¨ uente fase de nebulosa planet´ aria. 46 ± 0. 07.and intermediate-mass close binary evolution and the initial-final mass relation”. com 462 . 43( µ e ´ e a massa m´ axima que uma estrela an˜ a branca pode ter e ser suportada por press˜ ao degenerada dos el´ etrons. 1985. os modelos de evolu¸ c˜ ao estelar indicam que essas estrelas n˜ ao passaram pela fase luminosa (topo) do ramo gigante assint´ otico (AGB). onde h´ a queima de h´ elio no n´ ucleo. 625). inferidas espectroscopicamente. 05 M • PG 1159-035 com massa sismol´ ogica de 0. a massa de Chandrasekhar [= 1. Edward Nather (1926-). com log g = 9. Steven Daniel Kawaler (1958-). 59 ± 0. 661. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 02 M • Procyon B: M = 0. 58. 2 ± 0. DQs (atmosferas de h´ elio contaminadas com carbono) e DZs (algumas linhas met´ alicas. A maior parte das estrelas an˜ as brancas com massas acima de 0. especialmente Ca). e os 20% restantes tˆ em atmosfera de h´ elio puro (DOs quando quentes. 00 ± 0. ` a acres¸ c˜ ao do meio interestelar.log g = 9. 6 M ). A essas densidades. 23. e DBs quando frias). DABs (linhas fracas de HeI sobre um espectro com linhas de Balmer). 55 M provavelmente passou pela fase de nebulosa planet´ aria. 01 R ) e massivas (M ≈ 0. Os modelos evolucion´ arios indicam que a m´ axima quantidade de h´ elio que sobrevive a fase quente de n´ ucleo de nebulosa planet´ aria ´ e de 10−2 da massa total da estrela e que a m´ axima massa em hidrogˆ enio ´ e de 10−4 da massa da estrela. foi proposta inicialmente por Willem Jacob Luyten (1899-1994) e estendida por Jesse Leonard Greenstein (1909-2002). 35 M . Podemos estimar a extens˜ ao radial do envelope n˜ ao-degenerado estimando o ponto onde a press˜ ao dos el´ etrons ´ e a mesma tanto na equa¸ c˜ ao de gases ideais quanto na equa¸ c˜ ao de gases degenerados n˜ ao-relativ´ ısticos: Para L/L = 10−4 .2 Evolu¸ c˜ ao das an˜ as brancas As an˜ as brancas s˜ ao pequenas (R ≈ 0. 463 . com a contamina¸ c˜ ao de carbono devido ` a dragagem pela zona de convec¸ c˜ ao do h´ elio. DCs (frias. Somente cerca de 2% das an˜ as brancas evolu´ ıram diretamente do ramo horizontal e os 28% restantes vˆ em igualmente do ramo gigante assint´ otico e da evolu¸ c˜ ao de sistemas bin´ arios interagentes. o que indica uma densidade m´ edia de cerca de 106 g/cm3 . mas em geral 30% das an˜ as brancas n˜ ao s˜ ao descendentes das nebulosas planet´ arias. os metais presentes nas DZs se devem. o raio (rtr ) ´ e rtr /R ≈ 2 × 10−2 . com espectro cont´ ınuo). Ambas est˜ ao abaixo do limite de 1. mas nas camadas externas — exceto para as an˜ as brancas mais frias — os el´ etrons ainda atuam como gases ideais. o elemento nuclear mais prov´ avel. Tendo em vista que os metais normalmente se difundem muito rapidamente para baixo nas atmosferas frias das an˜ as brancas. os el´ etrons est˜ ao degenerados no interior. a massa de Chandrasekhar para um n´ ucleo de Mg. de modo que o envelope ´ e realmente fino. 15 e massa M = 1. provavelmente. Em termos de sua composi¸ c˜ ao atmosf´ erica. 07 M . Existe uma pequena quantidade de DBAs (atmosferas de He com tra¸ cos de H).27. as an˜ as brancas se dividem basicamente em duas classes: 80% tˆ em atmosfera com hidrogˆ enio puro (DAs). O sufixo ‘V” no tipo espectral indica que a estrela ´ e vari´ avel em luminosidade. As DQs s˜ ao provavelmente descendentes das DBs. A classifica¸ c˜ ao de D (degenerada) seguida de letra referente ao espectro. Se a estrela ejeta a nebulosa no pico do pulso t´ ermico. O mecanismo de desestabiliza¸ c˜ ao da estrela pelas rea¸ c˜ oes nucleares foi proposto por Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) em 1930. Astrophysical Journal.Tabela 23. n˜ ao acharam qualquer pulsa¸ c˜ ao. o remanescente pode ficar sem nenhum hidrogˆ enio. 464 . o que ´ e mais provavel pois os pulsos s˜ ao muito r´ apidos. A ausˆ encia de pulsa¸ c˜ oes indica que os n´ ucleos de nebulosas planet´ arias n˜ ao ret´ em hidrogˆ enio suficiente para permitir a queima termonuclear. 334. nestes n´ ucleos de nebulosas planet´ arias. pode haver uma pequena queima termonuclear em camadas ou perda de massa. Edward Nather em 1988. em seu livro The Internal Constitution of Stars. o remanescente deveria ter uma camada de hidrogˆ enio de cerca de 10−4 M∗ . sem linhas aparentes DO He II forte: He I ou H podem estar presentes DZ somente linhas met´ alicas: nenhum H ou He DQ linhas de carbono de qualquer tipo Evolu¸ c˜ ao da Composi¸ c˜ ao Qu´ ımica das An˜ as Brancas Os modelos evolucion´ arios dizem que quando a estrela ejeta a nebulosa planet´ aria na base de um pulso t´ ermico.6: Esquema de Classifica¸ c˜ ao Espectral das An˜ as Brancas Tipo Espectral Caracter´ ısticas DA somente linhas de H: nenhum HeI ou metais presente DB somente linhas de HeI: nenhum H ou metais presente DC espectro cont´ ınuo. 220). que deveriam estar excitadas pelo mecanismo de queima termonuclear (Steven Daniel Kawaler. 1988. Durante a evolu¸ c˜ ao da nebulosa planet´ aria. mas a procura de pulsa¸ c˜ oes por Butler Preston Anderson Hine III & R. As DAVs estudadas por sismologia mostram uma camada de H entre 10−4 M∗ e 10−10 M∗ . 465 .48: Evolu¸ c˜ ao das DAs e N˜ ao DAs.Figura 23. e ela retorna ao ramo assimpt´ otico das supergigantes (AGB) momentaneamente. Este flash s´ o deve ocorrer em uma parte pequena (15%) das estrelas. Esta transi¸ c˜ ao torna a fotosfera deficiente em hidrogˆ enio. como observado na PG1159-035. pois estas chegam ao ramo das an˜ as brancas com uma quantidade significativa de h´ elio. 821). carbono e oxigˆ enio. 79. Astrophysical Journal. rica em h´ elio. (1982. proposto por Detlef Sch¨ onberner (1979. 466 .49: Uma das poss´ ıveis origens das an˜ as brancas carentes em hidrogˆ enio ´ e atrav´ es do fenˆ omeno ”Born Again”. Astronomy & Astrophysics. 108) e Icko Iben Jr.Figura 23. em que uma queima explosiva flash final de h´ elio ocorre na estrela central de uma nebulosa planet´ aria quanto esta rec´ em chegou ao ramo das an˜ as brancas. ou renascer. 260. a luminosidade ser´ a 467 . 476. 1996. 313. com a energia produzida pelo movimento t´ ermico dos ´ ıons. No envelope. toda a energia t´ ermica ´ e armazenada pelos ´ ıons e transportada rapidamente pelo interior degenerado por condu¸ c˜ ao de el´ etrons. 765. 675.ulb. que cont´ em praticamente toda a massa da estrela. Astrophysical Journal. Poelarends. Arend J. Vamos. relacionando a escala de tempo de esfriamento com a luminosidade da estrela. ”The Supernova Channel of Super-AGB Stars”.25 M evoluem para an˜ as brancas de carbono-oxigˆ enio (C/O). Depois descreveremos os resultados mais real´ ısticos. se existem.23..0 M . Nessas condi¸ c˜ oes. A melhor determina¸ c˜ ao observacio+3 nal do limite ´ e Mlimite = 82 M (Detlev Koester & Dieter Reimers. Norbert Langer e Alexander Heger. incluindo esfriamento por neutrinos.ac.3 Evolu¸ c˜ ao T´ ermica das An˜ as Brancas Praticamente. agora. 2008. derivar algumas rela¸ c˜ oes simples de esfriamento. como encontrada por Leon Mestel em 1952: tesfriar ∝ L−5/7 Seja E a energia total armazenada pela an˜ a branca. e o n´ ucleo ´ e basicamente isot´ ermico devido ` a alta eficiˆ encia da condu¸ c˜ ao t´ ermica pelos el´ etrons degenerados. Claudio e Icko Iben Jr. Falk Herwig. Lionel Siess. Curvas de esfriamento simples – Mestel Ressaltamos que o calor espec´ ıfico de um g´ as de el´ etrons degenerados ´ e controlado pelos ´ ıons.be/∼siess/starevol. 614). o carbono queimar´ a na fase de ”super-AGB”. 810). formando um n´ ucleo degenerado de oxigˆ enio-neˆ onio (O-Ne) (e. podemos modelar o n´ ucleo como uma simples fonte de calor.893). pois os ´ ıons tˆ em a maior capacidade t´ ermica no n´ ucleo degenerado. 2007. Enrique Garcia-Berro. Para as estrelas com massa entre 7. O limite m´ aximo da massa da progenitora que gera uma an˜ a branca depende da metalicidade e do grau de overshooting (http://www-astro. Astronomy and Astrophysics.25 M e 9.g. Estrelas com massa inicial (na sequˆ encia principal de idade zero) menores que 7. 485. convec¸ c˜ ao e cristaliza¸ c˜ ao. a energia difunde-se gradualmente pelo g´ as n˜ ao-degenerado. Astrophysical Journal. Estrelas mais massivas podem explodir como supernovas por captura de el´ etrons e as estrelas mais massivas que 11 M explodem como as supernovas por colapso de n´ ucleo canˆ onicas. obteremos uma rela¸ c˜ ao do tipo lei de potˆ encia entre a idade e a luminosidade da estrela. Astronomy & Astrophysics. T. 1997. Dessa maneira.. Produ¸ c˜ ao de energia por rea¸ c˜ oes nucleares e por contra¸ ca ˜o gravitacional contribuem muito pouco para a luminosidade da estrela.html.27. mas n˜ ao-relativ´ ısticos. Z ´ e a carga m´ edia dos ´ ıons e A ´ e o n´ umero atˆ omico m´ edio. 394). Para um g´ as (de ´ ıons) ideal. Como o g´ as est´ a altamente degenerado.420) Nessa aproxima¸ c˜ ao. bem como a libera¸ c˜ ao de energia gravitacional residual (∂ρ/∂t = 0).422) 2 me µe H e podemos desprezar ce c˜ ao com o calor espec´ ıfico dos ´ ıons. os el´ etrons n˜ ao contribuem para o reservat´ orio de energia porque part´ ıculas degeneradas j´ a ocupam seu estado de energia mais baixo e. j´ a que a energia gravitacional liberada ´ e completamente absorvida pelos el´ etrons degenerados. a luminosidade da an˜ a branca ´ e diretamente proporcional ` a taxa de decr´ escimo da temperatura da estrela.dada pela raz˜ ao com que essa energia ´ e irradiada: L(t) = − dE (t) dt (23.5)]. 2/3 (3π 2 )2/3 ¯ h2 ρ EF = (23. Essa terminologia foi introduzida pelo reconhecimento que a fonte da energia que ´ e irradiada pela atmosfera da estrela ´ e a energia t´ ermica da estrela (Eth ).9.419) e define a taxa de esfriamento da an˜ a branca. por unidade de massa. ´ e: 3 k π 2 kT Z (23. a contribui¸ c˜ ao eletrˆ onica para o calor espec´ ıfico [se¸ c˜ ao (23. Para um g´ as de el´ etrons degenerados. Se processos nucleares e de emiss˜ ao de neutrinos s˜ ao desprezados.423) 468 . University of Chicago Press. portanto. os pequenos ajustes da densidade interna devido ao esfriamento s˜ ao desprezados.421) ce = V 2 AH 3 EF onde H ´ e a unidade de massa atˆ omica (H = 1. a primeira aproxima¸ c˜ ao ´ e: L(t) = − dEth dTc dTc dt (23. p.1)]. derivada por Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) (1939. Como a maior parte da an˜ a branca ´ e isot´ ermica. kT ´ e muito menor do que a energia de Fermi dos el´ etrons [equa¸ c˜ ao (23. An Introduction to the Study of Stellar Structure. V em compara¸ Fisicamente. cion V = 3 k 2 AH (23. n˜ ao podem esfriar. 66×10−24 g). que s˜ ao for¸ cados para n´ ıveis de energia mais altos. equil´ ıbrio radiativo dr 4ac T 3 4πr2 podemos dividir a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio radiativo pela equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio hidrost´ atico. A alta degenerescˆ encia do n´ ucleo da an˜ a branca produz uma alta eficiˆ encia de condu¸ c˜ ao t´ ermica pelos el´ etrons. Se o envelope est´ a em equil´ ıbrio radiativo.5 levando-se conta as equa¸ c˜ oes b´ asicas: dMr = 4πr2 ρ. equil´ ıbrio hidrost´ atico dr r 3 Kρ Lr dT =− . tornando o n´ ucleo praticamente isot´ ermico. e ε´ e a taxa de gera¸ c˜ ao ou perda de energia por unidade de massa devido a rea¸ c˜ oes nucleares ou emiss˜ ao de neutrinos.426) dP GMr = −ρ 2 . Para calcular Tc .424) O termo T ∂s ∂t representa a troca de calor (perda) por unidade de massa. dr continuidade da massa (23. Como ∂s ∂T ∂P ∂ρ T = cV − ∂t ∂t ∂T ρ ∂t a equa¸ c˜ ao (23. que desprezamos. podemos aproximar Lr L e Mr M no envelope. Usando P = k µH P ρT −→ ρ = µH k T 469 . obtendo: 3 Lr K dT = dP 4ac 4πGMr T 3 Tendo em vista que a base do envelope ocorre a aproximadamente 10−2 M .425) onde Tc ´ e a temperatura do n´ ucleo. precisamos levar em conta a transferˆ encia de energia pelo envelope fino e n˜ ao-degenerado.424) pode ser escrita como: L≈− 3 kM ∂Tc 2 AH ∂t (23. e pudermos utilizar a lei de opacidade de Kramers: K = Ko ρ T −3.A equa¸ c˜ ao b´ asica de evolu¸ c˜ ao estelar para a conserva¸ c˜ ao de energia ´ e: M L= 0 ε−T ∂s ∂t dMr (23. 7 × 10−3 (23.431) L M Ko µ2 107 K e onde µe = A/Z ´ e o peso molecular m´ edio por el´ etron e K0 ´ e o coeficiente da lei de Kramers (23. esta se reduz ` a rela¸ c˜ ao entre a luminosidade e a temperatura: µH 4 κ3 3.426).426) para obter: T 7. Na borda entre o n´ ucleo isot´ ermico degenerado. 5 3 Ko k µ5 e ou 3.427) onde µ ´ e o peso molecular m´ edio no envelope (µ = 1 para hidrogˆ enio e 2 para o h´ elio) e P ´ e a press˜ ao. Podemos.427). resultando em: 1 8.5 dT = L Ko µH 3 P dP 4ac 4πGM k que pode ser integrada usando-se a condi¸ c˜ ao de contorno zero para a superf´ ıcie (P = 0 para T = 0). agora.5 M 4 × 1023 µ Tc L 1.430) 8. 5 4ac k 4πGM 2 (23. 3 × 106 A 12 −1 Ko 4 × 1023 2/7 µ µ2 e −2/7 M M 5/7 L L −5/7 Essa ´ e a lei de esfriamento de Mestel.428) kT µe µH 5/2 (23.5 1 2 3 µH L T = Ko P 8.425) diretamente para obter a rela¸ c˜ ao idade–luminosidade: tanos esfriar 6.5 2 4ac 4πGM L = T (23.podemos usar a lei de opacidade de Kramers (23. As aproxima¸ c˜ oes usadas para derivar a lei de Mestel foram: 470 .429) na equa¸ c˜ ao (23. integrar a equa¸ c˜ ao (23.429) Substituindo a express˜ ao para a press˜ ao dada pela equa¸ c˜ ao (23. a press˜ ao e a temperatura est˜ ao relacionados por Pideal = e obtemos ρ = µe e P = κ− 2 3 k ρT = Pnr = κ µH kT µH 3/2 ρ µe 3/2 5/3 µe κ (23. 471 . Uma f´ ormula aproximada que inclui esses efeitos ´ e: tesfriar = 8. portante quando MH > 10 ∼ • libera¸ c˜ ao de energia gravitacional para as camadas externas. 7. assumir equil´ ıbrio radiativo no envelope.1. assumir que o n´ ucleo ´ e isot´ ermico [T (r) ≡ Tc ]. 1 EF . com n´ ucleos de carbono. Resultados mais precisos podem ser obtidos incluindo-se os seguintes processos. V . • gera¸ c˜ ao de energia nuclear pelo processo pr´ oton-pr´ oton (Lnuclear ). 5. importante para L > 10−1. desprezar contra¸ c˜ ao gravitacional (∂ρ/∂t = 0). Como a energia m´ edia (kT) de uma an˜ a branca com 0. assumir uma lei de opacidade de Kramers no envelope. 6. desprezados na teoria de Mestel: • esfriamento por neutrinos (Lν ). desprezar a capacidade t´ ermica dos el´ etrons cV 4. compar´ avel com a idade das estrelas mais frias da nossa Gal´ axia. A idade das an˜ as brancas menos luminosas observadas (com L = 10−4. • libera¸ c˜ ao de calor latente de cristaliza¸ c˜ ao. 2. im−4 M . Tamb´ em n˜ ao podemos desprezar a contribui¸ c˜ ao eletrˆ onica ao calor espec´ ıfico.5 L . j´ a que os el´ etrons podem contribuir com at´ e 30–50% ao calor espec´ ıfico de estrelas quentes. 4 M ´ e maior do que 0. 3. desprezar fontes e sumidouros de energia (energia nuclear e esfriamento por neutrinos: ε = 0). importante para L < 10−4 L . para T > 2 × 107 K. usar lei do g´ as perfeito para os ´ ıons cion V 3 k 2 AH cion . n˜ ao podemos desprezar o efeito de contra¸ c˜ ao gravitacional residual para massas baixas.5 L ) ´ e cerca de 1010 anos. 8 × 10 6 A 12 −1 M M 5/7 µ 2 −2/7 L L −5/7 anos A dependˆ encia da luminosidade indica que as an˜ as brancas mais quentes — e mais luminosas — esfriam mais r´ apido. 4 neutrinos 2 0 -2 -4 100000 80000 60000 40000 20000 Figura 23. reconheceram independentemente que as intera¸ c˜ oes coulombianas. e Edwin Ernest Salpeter (1924-2008).50: Evolu¸ c˜ ao da luminosidade de uma an˜ a branca de 0. na R´ ussia. nas baixas temperaturas caracter´ ısticas das an˜ as brancas frias. A cristaliza¸ c˜ ao altera drasticamente o esfriamento das an˜ as brancas. tanto de f´ otons quanto de neutrinos. embora de baixa densidade. nos Estados Unidos. As an˜ as brancas mais frias tamb´ em s˜ ao dominadas pela cristaliza¸ c˜ ao do n´ ucleo e poss´ ıvel separa¸ c˜ ao total dos elementos no n´ ucleo. Aleksei Alekseevich Abrikosov (1928-) e David Abramovich Kirzhnits (1926-1998). for¸ cam os ´ ıons a formar um s´ olido cristalino.6 M com o tempo. representado pela Tef . 23. devido ` a libera¸ c˜ ao do calor latente de cristaliza¸ c˜ ao e ` a mudan¸ ca na capacidade t´ ermica ap´ os a cristaliza¸ c˜ ao. e suas camadas externas.27.4 Cristaliza¸ c˜ ao Desde o in´ ıcio dos anos 1960. tamb´ em se tornam degeneradas. O parˆ ametro principal para a cristaliza¸ c˜ ao ´ e Γ. a raz˜ ao entre a energia 472 . (1966-) e Marcos Perez Diaz (1964-) descobriram a an˜ a branca vari´ avel BPM 37093. e outros. Como a cristaliza¸ c˜ ao nas condi¸ c˜ oes de press˜ ao e temperatura do interior das an˜ as brancas n˜ ao pode ser testada em laborat´ orio. 3π r ρ . Se a an˜ a branca ´ e composta de dois elementos qu´ ımicos. L 10−3. Nos modelos evolucion´ arios de Matthew Allan Wood (1961-). por exemplo C e O. com massa de M = (1. dependendo de como for a transi¸ c˜ ao de fase: tipo spindle. De acordo com os c´ alculos em 1978 de Carl John Hansen (1933-2011). e para Tef = 7200 K para um n´ ucleo 6 de O.edu/wood/. 05) M e Tef = 12500 K e. de modo que XC + XO = 1. 275 1/3 kT T /107 K A 1/3 3 j´ a que 4 = AH e o raio m´ edio da esfera contendo um s´ o´ ıon. azeotr´ opica ou eut´ etica. em 1998. ´ e preciso calcul´ a-la. Kepler de Souza Oliveira Filho (1956-) e seus colaboradores Antonio Nemer Kanaan Neto (1966-).8 L ). Ashcroft e Hugh W. A cristaliza¸ c˜ ao da estrela. formando cristais separados de carbono e oxigˆ enio.da intera¸ c˜ ao de Coulomb e a energia t´ ermica: Γ= (Ze)2 / r Z 2 ρ/106 g cm−3 = 2.fit. demonstraram com os colaboradores do Whole Earth Telescope que ela est´ a pelo menos 50% cristalizada. de Shuji Ogata e Setsuo Ichimaru. Nature. isto ´ e. DeWitt (1992). os cristais no interior das an˜ as brancas s˜ ao cristais quˆ anticos. Gilles Chabrier. 360. al´ em de alterar o calor espec´ ıfico dos ´ ıons. onde r ´ eH ´ e a unidade de massa atˆ omica. Odilon Giovannini Jr. Mas os efeitos quˆ anticos s˜ ao importantes. o in´ ıcio da cristaliza¸ c˜ ao para uma an˜ a branca de 0. 05 ± 0. Em 1991. Os n´ ucleos estar˜ ao a temperaturas de 3 × 10 K (carbono) e 5 × 106 K (oxigˆ enio). em 1987. o in´ ıcio da cristaliza¸ c˜ ao ocorre quando Γ ≡ Γm 180 ± 1. Neil W. A perda de energia interna por unidade de massa de cada camada da estrela pode ser escrita como: dLr dE =− − dt dm ν −P dV dt com V = 1/ρ e n u a perda de energia por neutrinos. isto ´ e.6 M ocorre para Tef = 6000 K se o n´ ucleo for de C (tesfriar 2 Gano. 48. calcularam a energia de intera¸ c˜ ao entre os ´ ıons e demonstraram que E0 /kT ≥ 2 ap´ os a transi¸ c˜ ao de fase. ` a deposi¸ c˜ ao do oxigˆ enio para o centro. podemos reescrever esta equa¸ c˜ ao como: − dLr − dm ν = CV dT +T dt ∂P ∂T dV dMs ∂E dXO − ls δ (m − Ms ) + ) dt dt ∂XO dt 473 . que podem ser obtidos de http://astro. pode levar ` a separa¸ c˜ ao de fase. ocorre uma pequena descontinuidade na capacidade t´ ermica dos ´ ıons. 474 .Figura 23. por esfriamento. os efeitos quˆ anticos iˆ onicos s˜ ao importantes ` a direita da linha pontilhada. 12 C. onde ls ´ e o calor espec´ ıfico e δ (m − Ms ) indica que o calor espec´ ıfico ´ e liberado na frente de solidifica¸ c˜ ao. 200. Quando a temperatura efetiva atinge esta curva. 16 O. devido a transi¸ ` c˜ ao de fase. 24 Mg e 56 Fe calculados por Donald Quincy Lamb & Hugh van Horn (1975) Astrophysical Journal. isto ´ e. 306. A curva pontilhada corresponde a divis´ oria entre press˜ ao de um l´ ıquido quˆ antico (abaixo da curva) e de um g´ as ideal (acima da curva).51: Curvas de cristaliza¸ c˜ ao para 4 He. como no caso de CO/22 Ne. 29. 475 . Enrique Garc´ ıa-Berro. 72. 75.Figura 23. 57 para uma an˜ a branca de 0. Os c´ alculos mostram que esta situa¸ c˜ ao ocorre para Z1 /Z2 ≥ 0. Gilles Chabrier. O diagrama mostra que a mistura ´ e azeotr´ opica (mistura com mesma propor¸ c˜ ao dos elementos antes e ap´ os a cristaliza¸ c˜ ao) para 0. existe mistura dos elementos na fase cristalizada. 74 a XO = 0. e eut´ etico (total separa¸ c˜ ao dos elementos) para Z1 /Z2 ≤ 0. se usarmos os limites alto e baixo desta sec¸ c˜ ao de choque. 50 ≤ Z1 /Z2 ≤ 0.52: Diagrama da Transi¸ c˜ ao de Fase calculado por Laurent Segretain. γ )O. como o mostrado em linha pontilhada. e Robert Mochkovitch (1994) Astrophysical Journal. mas com mais oxigˆ enio do que carbono. Portanto a cristaliza¸ c˜ ao deixa uma regi˜ ao s´ olida enriquecida em oxigˆ enio. Margareta Hernanz. em compara¸ c˜ ao com a mistura original de C/O. 434.6 massas solares. como no caso de CO/56 Fe. Se o diagrama for da spindle. podendo variar de XO = 0. como no caso do C/0 → Z1 /Z2 = 0. por exemplo. 72. Jordi Isern. A raz˜ ao exata depende da composi¸ c˜ ao inicial. E a composi¸ c˜ ao inicial depende da se¸ c˜ ao de choque de C (α. A forma do diagrama determina se durante a cristaliza¸ c˜ ao ocorre ou n˜ ao separa¸ c˜ ao entre os elementos. 641. se houver separa¸ c˜ ao de fase e libera¸ c˜ ao do calor latente.Figura 23. 476 .53: Efeito da separa¸ c˜ ao de fase no esfriamento das an˜ as brancas frias. 477 .Figura 23.54: Efeito da separa¸ c˜ ao de fase na idade das an˜ as brancas frias. se houver separa¸ c˜ ao de fase e libera¸ c˜ ao do calor latente. 933 1.6 M log Tc log ρc log R log L/L 8.000 0.1 77.396 0.4936 6.7804 -0.6 211.5020 8.8449 0.9617 -0.5192 8.1 152.8279 6.264 23.7 56.9823 6.670 log Lν /L 1.5265 8.1436 An˜ a Branca com 0.267 23.1631 7.242 23.9477 7.8034 7.9426 -3.5622 6.829 23.5631 8.7430 -4.4448 5.5255 8.000 0.000 1.597 24.8 1110.0 M C/O log Tc log ρc log R log L/L 8.8726 7.2 1806.7458 -3.000 0.845 Ganos 7.5519 5.000 0 0.5263 8.7425 -5.0126 7.7197 6.000 0.5410 8.5 598.022 0.5792 6.3327 -6.9513 -2.7489 -3.9817 -1.7509 -2.5276 7.000 0.5611 8.6585 7.4 9.1 16.540 Ganos 7.270 23.7976 .7627 6.748 0.3225 -10 -10 -10 -10 -10 Mcrist /M∗ 0.667 24.2794 7.4 295.9332 -4.767 Ganos 6.5587 8.9324 -4.908 Ganos 6.000 0.740 Ganos 3.8036 7.3525 7.6244 6.5458 6.9577 7.4 151.660 24.016 0.637 24.2590 9.799 Ganos 9.97 Manos 1.5 460.670 24.54 Manos 368.7603 -1.2646 7.4282 -1.945 0.273 23.1742 6.5832 -6.2575 6.870 Γ 12.9616 5.0568 6.0016 7.8335 6.2366 5.665 24.870 0.5050 9.65 Manos 29.373 Ganos log Pc 22.5246 8.Tef 101274 K 45973 K 23686 K 14849 K 12255 K 10130 K 6627 K 4733 K 3369 K Idade 18 316 anos 2.5569 8.7 669.9557 -2.191 23.5266 8.0392 0.000 Idade 245 000 anos 4.4730 8.2979 -7.1046 -10 -10 -10 -10 Mcrist /M∗ 0.1 4369.9 Γ 3.5632 8.9198 6.1452 6.273 log Lν /L 1.9340 -4.6 478 Tef 103992 K 46281 K 23856 K 12114 K 10012 K 6647 K 4554 K 4044 K 3304 K An˜ a Branca com 1.273 23.5629 8.732 Ganos log Pc 24.8833 6.669 24.6 20.3276 -4.5234 8.12 Manos 146 Manos 538 Manos 1.7529 -2.8369 0.8 70.4167 2.668 24.026 Ganos 1.4889 7.44 Manos 604. Para temperaturas abaixo AH ´ da temperatura de Debye. elas ainda n˜ ao s˜ ao velhas o suficiente para atingir o limite de Debye. a excita¸ c˜ ao de fonons de alta energia torna-se imposs´ ıvel. 5.kT Durante a cristaliza¸ c˜ ao. Kepler de Souza Oliveira 479 . Dahn e David G. O tempo de esfriamento das an˜ as brancas at´ e essas baixas luminosidades e temperaturas ´ e maior do que a idade do disco de nossa gal´ axia. R. 4 AH ´ aumentando o tempo de esfriamento em 30%.27. Van Horn (1938-).5 Fun¸ c˜ ao luminosidade As observa¸ c˜ oes de James W. Quando o modelo atinge log L/L ≈ −5. ´ e definida como 2. o calor espec´ ıfico ´ e proporcional a T 3 . Carl John Hansen (1933-2011). Hugh M. Liebert. Gilles Fontaine (1948-). de modo que o tempo de vida da an˜ a branca aumenta por 2 AH AH uma fator de dois. que para um modelo de an˜ a branca com n´ ucleo rico em oxigˆ enio de 0. Conard C. por Donald Earl Winget (1955-). n˜ ao h´ a mais nenhuma an˜ a branca observada. 74 × 103 ρ1 c ρ Ze onde wp = 4π AH e a freq¨ uˆ encia de plasma. o calor espec´ ıfico come¸ ca a cair. 5. em 1989. em 1987. ou 2 /2 ΘD = 1. levando a um decr´ escimo substancial do tempo de vida neste est´ agio. como o esfriamento de Debye prediz. o calor espec´ ıfico dos ´ ıons cion V aumenta de 3 k k para 3 . Tendo em vista que as an˜ as brancas mais frias observadas tˆ em log L/L ≈ −4. por intervalo de magnitude bolom´ etrica absoluta (n´ umero versus luminosidade) — foi primeiro explicado. o calor latente de fus˜ ao T ∆s ∼ 3 e liberado. finalmente. de modo que mesmo as an˜ as brancas formadas na primeira gera¸ c˜ ao de estrelas ainda est˜ ao vis´ ıveis. mostram que as an˜ as brancas v˜ ao ficando cada vez mais raras quando a temperatura efetiva ´ e menor do que 5000 K e. A temperatura de Debye (ΘD ). 56 M . ΘD /T ∼ 2 quando log L/L ≈ −4. at´ e que o n´ ucleo atinja a temperatura de Debye [Peter Josef William Debye (1884-1966)]. Ao cristalizar. 23. acima do valor calculado pela teoria de Mestel. Francesca D’Antona e Italo Mazzitelli encontraram. T kT 2Z A ≈ 2 × 106 K. em 1988. Monet. O decr´ escimo no n´ umero de an˜ as brancas para baixas luminosidades representa um decr´ escimo na fun¸ c˜ ao luminosidade — a densidade espacial de an˜ as brancas. 240 hwp ¯ ΘD ≡ . quando log L/L < −4. Edward Nather (1926-). e o esfriamento r´ apido se inicia. (1945-). causado pelas absor¸ c˜ oes induzidas por colis˜ oes (CIA). Hansen.Filho (1956-) e Donald Quincy Lamb. Harvey Richer e colaboradores publicadas em 2007 (Astrophysical. Em 1873. o f´ ısico holandˆ es Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) j´ a havia postulado que as intera¸ c˜ oes intermoleculares inclu´ ıam uma componente atrativa. de cerca de 9 Ganos. 135. Jr. 671. Outros valores necess´ arios incluem a taxa de forma¸ c˜ ao estelar (SFR) como fun¸ c˜ ao do tempo. Φ= MU ML LU LL ψ (t) φ(t) dtesfriar dm dL dM. em unidades de pc−3 M− bol ). que depende da massa. da ordem de 10−13 s. Os momentos de dipolos induzidos pela intera¸ c˜ ao causam um rearanjo tempor´ ario das cargas eletrˆ onicas. e mostrou claramente o desvio para o azul (blue hook) das an˜ as brancas mais frias. levando a uma largura natural muito grande pelo princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg. O limite inferior para a massa ´ e o turn-off point da seq¨ uˆ encia principal para a idade do disco (tdisco ). d log(L/L ) dM onde ML e MU . em termos da idade finita da disco local da nossa gal´ axia. obtida integrando-se tSP = tdisco . 101. 649) observou que para o oxigˆ enio a press˜ oes de centenas de atomosferas. e a luminosidade inferior ´ e obtida para uma idade: tmax esfriar [Man˜ a branca (MSP )] = tdisco − tSP (MSP ). 1 A fun¸ c˜ ao luminosidade te´ orica ´ e dada por: (Φ. a fun¸ c˜ ao inicial de massa [IM F ≡ φ(t)].S. novas bandas aparecerem e o coeficiente de absor¸ ca ˜o passa de proporcional ao n´ umero de part´ ıculas do g´ as para proporcional ao quadrado no n´ umero de part´ ıculas. respectivamente. isto ´ e. 380) e 2008 (Astronomical Journal. indicando que as intera¸ c˜ oes ocorriam por pares de mol´ eculas e n˜ ao por mol´ eculas individuais. As observa¸ c˜ oes do c´ umulo globular NGC 6397 por Brad M. mas as absor¸ c˜ oes induzidas por colis˜ ao causam linhas muito difusas devido ` a pequena dura¸ c˜ ao da colis˜ ao. primeiro observadas em 1885 quando Pierre Jules C´ esar Janssen (Comptes Rendus de l’Acad´ emie des sciences de Paris. LL e LU s˜ ao os limites inferiores e superiores das massas e luminosidades das estrelas na seq¨ uˆ encia principal que produzem an˜ as brancas observ´ aveis. 2141) atingiu o fim da sequˆ encia de esfriamento das an˜ as brancas. e produzindo absor¸ c˜ oes ou emiss˜ oes al´ em daquelas das 480 . [SF R ≡ ψ (t)]. a rela¸ c˜ ao massa inicial → massa final (dm/dM ) e naturalmente a taxa de esfriamento das an˜ as brancas. enquanto as for¸ cas de van der Waals duram 10−10 s ou mais. A luminosidade superior ´ e de cerca de 10 L . formando temporariamente uma supermol´ ecula. e os pontos s˜ ao as observa¸ c˜ oes de James W. calculada por Matthew Allan Wood (1961-) para idades do disco da nossa Gal´ axia entre 6 (linha ` a esquerda) e 12 Ganos (linha ` a direita). mol´ eculas n˜ ao interagentes [Collision-induced Absorption in Gases.Figura 23. As caixas. se as an˜ as brancas tˆ em n´ ucleo de oxigˆ enio. 1993. Liebert (1946-). se tˆ em n´ ucleo de carbono. Lothar Frommhold. 481 . γ )0. Conard Dahn e David Monet de 1988. e entre 8. em baixa luminosidade. As curvas que passam pela caixa de mais baixa luminosidade tˆ em idade entre 6. a press˜ ao P precisa ser calculada como P = N kT − N 2 2πkT 0 ∞ exp − V (r) − 1 r2 dr kT onde V (r) ´ e o potencial de intera¸ c˜ ao. A incerteza na composi¸ c˜ ao do n´ ucleo se deve ` a incerteza na taxa de rea¸ c˜ ao nuclear C(α. fun¸ c˜ ao da distˆ ancia internuclear.5 e 11 Ganos.55: Fun¸ c˜ ao luminosidade das an˜ as brancas.5 Ganos. Os modelos de an˜ as brancas tˆ em n´ ucleo de carbono (linha cont´ ınua) e oxigˆ enio (linha pontilhada).5 e 8. Cambridge University Press]. indicam a incerteza nos dados. Neste caso. Pierre Bergeron e Sandy K. Astrophysical Journal. obtida por Libert. A nova distribui¸ c˜ ao. Hansen e colaboradores em 2002.56: Distribui¸ c˜ ao de an˜ as brancas por magnitude aparente no c´ umulo globular M4. Dahn e Monet em 1988. (Astrophysical Journal Letter. L155) apresenta an˜ as brancas ainda mais frias que no disco. (2002. publicada por Brad M. Leggett. obtida com exposi¸ c˜ oes totalizando 8 dias com a Wide Field Planetary Camera II do Telesc´ opio Espacial Hubble por Harvey Richer e colaboradores (2002. o mais pr´ oximo da Terra. 580. 1070) calcularam os espectros de an˜ as brancas frias incluindo os efeitos de 482 . A linha azul mostra a curva equivalente para o disco gal´ atico.Figura 23. 574. a 7000 anos-luz de distˆ ancia.S. Astrophysical Journal Letter. 574. resultando em uma idade entre 12 e 13 bilh˜ oes de anos para as an˜ as brancas e 13 a 14 bilh˜ oes de anos para o Universo. L151). a SN1572 foi observada por Tycho Brahe. atingindo magnitude aparente -4. da NASA. devido ao in´ ıcio de rea¸ c˜ oes termonucleares descontroladas (runaway): as novas e as supernovas. 235). 23. da ESA. mas tamb´ em com He neutro. Dominik Hammer. Uffe Gr˚ ae Jørgensen & Yi Fu (2001.. na constela¸ c˜ ao da Cassiop´ eia. a deficiˆ encia de fluxo infravermelho aparece a temperaturas mais altas em an˜ as brancas ricas em h´ elio do que nas ricas em hidrogˆ enio. Falkesgaard (2000. Como an˜ as brancas ricas em h´ elio frias tendem a ter opacidade menor e portanto press˜ ao atmosf´ erica maior. a SN1604 foi observada por Johannes Kepler. as iniciais SN indicam supernova. na constela¸ c˜ ao do Cisne. 283). e foi mais brilhante que Vˆ enus.C. Algumas estrelas aumentam sua luminosidade rapidamente. Aleksandra Borysow & J.absor¸ c˜ oes induzidas por colis˜ oes de mol´ eculas H2 com outras mol´ eculas de H2 calculados por Aleksandra Borysow.57: Imagem da Nova Cygni 1992 obtida em 1994 com a Faint Object Camera. 361. Existem registros hist´ oricos de supernovas desde 1300 a. na constela¸ c˜ ao 483 . e o n´ umero que segue ´ e o ano da descoberta. que est´ a a 10 430 anos-luz da Terra. explodiu em 19 de fevereiro de 1992.28 Novas e supernovas Figura 23. Astronomy & Astrophysics. Journal of Quantum Spectra and Radiative Transfer. a SN1604 e a SN1987A. Nessa nomenclatura. Nova Cygni 1992. A SN1054 foi observada pelos chineses. 68. calculados por Uffe Gr˚ ae Jørgensen. e a imagem mostra o anel de mat´ eria ejetada na explos˜ ao. a SN1572. acoplada ao Telesc´ opio Espacial Hubble. mas as mais bem conhecidas s˜ ao a da Nebulosa do Caranguejo (SN1054). 175. foi observada por um grande n´ umero de astrˆ onomos profissionais e amadores e foi o resultado da explos˜ ao da supergigante azul Sanduleak −69o 202. ela forma um disco de acres¸ c˜ ao em volta da an˜ a branca. inferiu que a SN1987A expeliu 1 M em oxigˆ enio. 31. Annual Review of Astronomy and Astrophysics. A maior parte dos sistemas em que novas ocorrem tˆ em per´ ıodo orbital pequeno. Nesses sistemas. Como a mat´ eria tem momentum angular. A acres¸ c˜ ao se d´ a devido ` a viscosidade no disco. da Serpente. de menor massa. e finalmente a SN1987A descoberta por Ian Shelton na Grande Nuvem de Magalh˜ aes. Richard McCray 1993. que faz parte da mat´ eria espiralar at´ e a atmosfera da an˜ a branca. A SN1987A foi.Figura 23.58: Espectro de emiss˜ ao de neutrinos 30 segundos ap´ os a explos˜ ao. da 484 . a primeira para a qual os neutrinos emitidos na explos˜ ao foram detectados na Terra. A curva de luz das novas apresenta um r´ apido aumento de brilho. tamb´ em. As novas ocorrem em an˜ as brancas que fazem parte de sistemas bin´ arios em que h´ a transferˆ encia de massa da companheira para a an˜ a branca. atingindo magnitude aparente -3.31) delimita o volume em volta de um objeto dentro do qual a mat´ eria est´ a gravitacionalmente ligada a ele. no modelo de Adam Burrows. ocorre transferˆ encia de massa ´ devido ao preenchimento do l´ obulo de Roche [Edouard Roche (1820-1883)] da estrela de maior raio e. na maior parte das vezes. algumas vezes at´ e de horas. O l´ obulo de Roche (se¸ c˜ ao 23. a primeira vis´ ıvel a olho nu desde 1604. As camadas ejetadas tˆ em − 6 − 4 velocidade de 500 a 2000 km/s e massas de 10 a 10 M . de at´ e 10 anos. Hβ e Hγ em emiss˜ ao. e um decl´ ınio de 3 ou 4 magnitudes em algumas semanas. que forma um disco de acres¸ c˜ ao em volta da estrela que recebe massa. de at´ e 9 magnitudes. Figura 23. Quando uma estrela se expande at´ e esta equipotencial. correspondendo a energias cin´ eticas de 1043 a 1044 ergs. e muitas s˜ ao recorrentes. transfere massa para a companheira. Aproximadamente 50 novas ocorrem.60: Ilustra¸ c˜ ao de um sistema bin´ ario transferindo mat´ eria.59: L´ obulo de Roche de um sistema bin´ ario. de T Coronae Borealis. O primeiro espectro de uma nova foi obtido em 12 de maio de 1868 por William Huggins (1824-1910). A mat´ eria n˜ ao pode cair diretamente na estrela. ordem de 1 dia. por conserva¸ c˜ ao de momentum angular. normalmente t˜ ao fria que n˜ ao consegue manter 485 .Figura 23. A explos˜ ao se d´ a porque a an˜ a branca. seguido de um decl´ ınio mais lento. mostrando as linhas de Hα. em gal´ axias massivas como a Via L´ actea. por ano. tˆ em energia cin´ etica da ordem de 51 9 10 a 10 ergs. As supernovas s˜ ao classificadas em dois tipos principais.61: Imagem da SN1987A obtida no ´ otico (Hα) com a Wide Field Planetary Camera 2 do Telesc´ opio Espacial Hubble em 1994. 1842-1916). A estrela supergigante azul. em condi¸ c˜ oes termicamente inst´ aveis. O material ejetado das supernovas atinge velocidades de 5 000 a 10 000 km/s. atinge densidades e temperaturas suficientes para queimar o hidrogˆ enio acretado. alargadas pela alta velocidade de eje¸ c˜ ao do g´ as. J´ a as supernovas. havia sido observada antes da explos˜ ao. pelo processo CNO.rea¸ c˜ oes termonucleares. de S Andromedae. trˆ es dias antes do espectro obtido pelo h´ ungaro Nicholas von Konkoly (Mikl´ os Konkoly Thege. de aproximadamente 25 M . luminosidades de 10 a 10 L . e as supernovas tipo II. mas que. ocorreu 169 000 anos atr´ as. que n˜ ao apresentam hidrogˆ enio no espectro. j´ a que essa ´ e a distˆ ancia em anos-luz para a Grande Nuvem de Magalh˜ aes. O primeiro espectro de uma supernova foi obtido em 1885 pelo alem˜ ao Hermann Carl Vogel (1841-1907). gal´ axia an˜ a irregular. e suas massas s˜ ao tipicamente de 1050 486 . que explodiu. de acordo com a classifica¸ c˜ ao proposta em 1941 por Rudolph Leo Bernhard Minkowski (1895-1976): as supernovas tipo I. mas ao acumular mat´ eria da companheira na raz˜ ao − 10 − 9 de 10 a 10 M /ano. muito mais raras. mostrando 3 an´ eis em volta do material ejetado na explos˜ ao detectada na Terra em fevereiro de 1987. sat´ elite da Via L´ actea. na verdade. Figura 23. que apresentam linhas de emiss˜ ao ou absor¸ c˜ ao de hidrogˆ enio no espectro. aumento de brilho em poucos dias e decr´ escimo em centenas de dias. A queima se d´ a em uma camada (shell). que preenche seu l´ obulo de Roche por expans˜ ao devido ` a evolu¸ c˜ ao. portanto. A explos˜ ao das supernovas se d´ a por igni¸ c˜ ao explosiva do carbono. e 1 SN Tipo II a cada 30 anos. que s˜ ao associadas com a queima explosiva do carbono. o aquecimento do n´ ucleo n˜ ao causa a expans˜ ao e o subseq¨ uente esfriamento do n´ ucleo. sintetizando 56 Ni e 56 Co. que as SN tipo Ia s˜ ao utilizadas como indicadores de distˆ ancias das gal´ axias. enquanto as tipo I cl´ assicas s˜ ao chamadas de tipo Ia. Embora a emiss˜ ao de neutrinos esfrie o n´ ucleo. como Wolf-Rayet. quando uma estrela an˜ a branca com massa pr´ oxima ` a massa de Chandrasekhar recebe massa da companheira.1 a 10 M . Em gal´ axias espirais massivas. Sua curva de luz ´ e t˜ ao similar de supernova para supernova. a temperatura torna-se alta o suficiente para a queima quase simultˆ anea do oxigˆ enio e do sil´ ıcio. para as estrelas massivas. As supernova de tipo Ia. S˜ ao um pouco menos luminosas do que as tipo I. seu n´ ucleo deve ser rico em carbono. sem linhas de hidrogˆ enio. Se a estrela tornou-se uma an˜ a branca. ocorre aproximadamente 1 SN Tipo I a cada 100 anos. para estrelas de massa intermedi´ aria (cerca de 10 M ). a taxa de rea¸ c˜ ao para a queima do carbono ´ e t˜ ao sens´ ıvel ` a temperatura que a queima de carbono aumenta at´ e uma explos˜ ao descontrolada. algumas SN Tipo I e. ou por colapso gravitacional. a emiss˜ ao de neutrinos no n´ ucleo degenerado remove energia t´ ermica suficiente para inibir a igni¸ c˜ ao do carbono. Como conseq¨ uˆ encia da alta taxa de queima de carbono. Se a an˜ a branca acreta massa de uma bin´ aria companheira a taxas t˜ ao altas para que explos˜ oes como nova n˜ ao ocorram. ou que seu n´ ucleo atinja a massa m´ axima para uma an˜ a branca. Recentemente. at´ e que a perda de massa no ramo das gigantes e ramo assint´ otico seja suficiente para a estrela tornar-se uma an˜ a branca. Para as estrelas de massa pequena e intermedi´ aria. a press˜ ao do g´ as ´ e praticamente independente da temperatura e. As supernovas tipo I ocorrem tanto em gal´ axias espirais quanto em el´ ıpticas. ent˜ ao a igni¸ c˜ ao do carbono ocorrer´ a em um g´ as altamente degenerado (ρ 2 a 4 × 109 g/cm3 . foram descobertas nas vizinhan¸ cas de regi˜ oes HII e em bra¸ cos espirais e receberam a denomina¸ c˜ ao de tipo Ib. que s˜ ao transformados em 56 Fe. T 108 K). A energia liberada pelas rea¸ c˜ oes nucleares ( 2 × 1051 ergs) torna-se maior do que a energia de liga¸ c˜ ao gravitacional do n´ ucleo degenerado ( 3 × 1050 ergs). Nessas condi¸ c˜ oes. As supernovas tipo II ocorrem por implos˜ ao do n´ ucleo em estrelas massivas e s˜ ao observadas somente nos bra¸ cos de gal´ axias espirais e em gal´ axias irregulares. conseq¨ uentemente. As supernovas tipo Ib s˜ ao oriundas da queima explosiva de carbono ou colapso do n´ ucleo em estrelas deficientes em hidrogˆ enio. ocorrem em sistemas bin´ arios. e a estrela ´ e totalmente 487 . e a temperatura central da ordem de 8 × 10 K e. a massa do n´ ucleo ´ e da ordem de 1. por decaimento β inverso. oxigˆ enio e sil´ ıcio homogeneizaram a composi¸ c˜ ao qu´ ımica do n´ ucleo. a press˜ ao ´ e mantida por el´ etrons degenerados e relativ´ ısticos. ocorre uma detona¸ c˜ ao em uma camada acima do n´ ucleo. γ + 56 Fe ↔ 13α + 4n removendo energia t´ ermica do g´ as e. reduzindo a press˜ ao. conseq¨ uentemente. conseq¨ uentemente. o colapso se inicia quando a densidade central ´ e da 9 3 9 ordem de 4 × 10 g/cm . O aprisionamento dos neutrinos no n´ ucleo colapsante ocorre para densidades 11 3 acima de 3 × 10 g/cm e ocorre a termaliza¸ c˜ ao dos neutrinos. Quando o colapso se inicia. principal fonte de press˜ ao do g´ as. Estrelas mais massivas que aproximadamente 10 M . portanto. zonas de convec¸ c˜ ao extensas durante a queima do carbono. chamado de fotodesintegra¸ c˜ ao. 488 . Esse processo. a energia de Fermi dos el´ etrons aumenta. em 1957. tamb´ em. o espalhamento neutrino-el´ etron pode mudar suas energias significativamente. Um subsequente decaimento β n˜ ao ocorre porque. Com a contra¸ c˜ ao do n´ ucleo. portanto. Antes do colapso. j´ a que a energia m´ edia dos el´ etrons ´ e maior do que 1. por William Alfred Fowler (1911-1995) e Sir Fred Hoyle (1915-2001). os n´ ıveis de energia dos el´ etrons est˜ ao ocupados at´ e um valor mais alto de energia. Com o aumento da densidade no n´ ucleo.21). que duram 1 a 2 milisegundos. Com a redu¸ c˜ ao do n´ umero de el´ etrons degenerados. os neutrinos emitidos por captura de el´ etrons escapam da estrela. Durante os primeiros est´ agios do colapso. e os el´ etrons s˜ ao capturados pelos pr´ otons dentro dos n´ ucleos. Uma supernova tipo Ia ocorre quando a massa acrescida de uma bin´ aria pr´ oxima faz com que a massa do n´ ucleo degenerado supere a massa de Chandrasekhar. o oxigˆ enio e o sil´ ıcio – em n´ ucleo n˜ ao-degenerado – e.dispersada no espa¸ co. No n´ ucleo de uma estrela com 15 M . independente da massa total da estrela. Durante as etapas finais do colapso.29 MeV= (mn − mp ) c2 .5 M . Nesse momento. pois a parte central ´ e resfriada pela emiss˜ ao de neutrinos. o colapso se acentua. queimam o carbono. Alguns neutrinos s˜ ao. Com o aumento de densidade do n´ ucleo. emitidos pela aniquila¸ c˜ ao de el´ etrons e p´ ositrons e por rea¸ c˜ oes do tipo Urca (se¸ c˜ ao 23. foi proposto. pois sua energia ´ e maior do que a massa de repouso dos el´ etrons e. seus n´ ucleos s˜ ao formados por elementos do grupo do ferro quando se inicia o colapso gravitacional. na maior densidade. a opacidade dos neutrinos aumenta. a foto-dissocia¸ c˜ ao parcial dos elementos do grupo do ferro se inicia. a escala de tempo de difus˜ ao dos neutrinos ´ e cerca de mil vezes maior do que a escala de tempo √ de colapso ( 1/ Gρ). o excesso de press˜ ao n˜ ao ´ e muito grande e o choque n˜ ao ´ e muito forte. portanto. portanto. a frente de combust˜ ao coincide com a frente de choque e chama-se frente de detona¸ c˜ ao. gerando uma frente de queima subsˆ onica e chama-se deflagra¸ c˜ ao. O ponto cr´ ıtico no c´ alculo da frente de detona¸ c˜ ao ´ e que uma teoria de convec¸ c˜ ao dependente do tempo ´ e necess´ aria. em uma camada extremamente fina. aumentar´ aa temperatura mais lentamente. Em um colapso para estrela de nˆ eutrons. o transporte de energia por convec¸ c˜ ao. 87 × 1018 ergs/g enquanto a queima de carbono e oxigˆ enio libera 5 × 1017 ergs/g (27% de ue ) e. do Si. mas as solu¸ c˜ oes num´ ericas favorecem a deflagra¸ c˜ ao (subsˆ onica). rompendo a estrela. A libera¸ c˜ ao de energia na combust˜ ao degenerada do C ´ e t˜ ao r´ apida que se d´ a instantaneamente. pois n˜ ao ´ e poss´ ıvel chegar a esse estado em equil´ ıbrio hidrost´ atico. Neste caso a energia t´ ermica se transfere n˜ ao por condu¸ c˜ ao ou radia¸ c˜ ao difusiva. chegando a Fe. uma frente de queima que provoca uma onda de choque. Se a compress˜ ao pela onda de choque n˜ ao for suficiente para iniciar a igni¸ c˜ ao. Embora a frente mova-se subsonicamente. a densidade e press˜ ao diminuem. Nesse caso. pois ue = 3Pe E = ρ ρ 1. Uma estrela de M = 15 M fotodesintegra-se com ρ 4 × 109 g/cm3 e Tc 8 × 109 K.A detona¸ c˜ ao se move para dentro e para fora. o n´ ucleo ´ e normalmente destru´ ıdo pela igni¸ c˜ ao do carbono em n´ ucleo degenerado. Se essa compress˜ ao ´ e suficiente para iniciar a queima. podemos estimar a energia liberada como: EG 2 GMc 1 1 − REN RAB 489 . A igni¸ c˜ ao do carbono em n´ ucleo degenerado procede instantaneamente. A existˆ encia de estrelas de nˆ eutrons garante que houve colapso. uma teoria completamente desenvolvida para esse evento. ou condu¸ c˜ ao. Uma estrela de massa intermedi´ aria explode como supernova quando 9 3 8 ρ 3 × 10 g/cm e T 10 K. mas pelo movimento hidrodinˆ amico que causa o aquecimento por compress˜ ao. J´ a uma onda de detona¸ c˜ ao ocorre quando a queima ´ e t˜ ao violenta que o combust´ ıvel queimado se expande t˜ ao rapidamente que impinge uma onda de choque no combust´ ıvel n˜ ao queimado. Ocorre. Uma onda de deflagra¸ c˜ ao ocorre quando o combust´ ıvel ´ e aquecido pela queima violenta na frente de queima. Somente depois da queima total ´ e que a pr´ oxima camada esquenta o suficiente para iniciar a queima. N˜ ao existe. com a queima do O. supersˆ onica. comprimindo-o e aquecendo-o at´ e iniciar a combust˜ ao. ainda. 136 MeV) e deste para o 56 Fe. 38: 191-230).1 M .j´ a que o n´ ucleo que colapsa tem uma massa de 1. retirando do choque sua energia. com vida m´ edia de 77. principalmente do 56 Ni para o 56 Co. este choque perdeu a maior parte de sua velocidade. Niemeyer. Ap´ os percorrer cerca de 1. O envelope acima do n´ ucleo tem uma energia gravitacional da ordem de 2 GMenvelope Eenvelope ≈ RAB Embora a mat´ eria estelar normal seja transparente aos neutrinos. pois os neutrinos produzidos nestas camadas escapam. a parte repulsiva da for¸ ca forte resiste ` a compress˜ ao. Vol. Annual Review of Astronomy and Astrophysics.10 dias (E=2. a n˜ ao esfericidade do colapso. os efeitos da repuls˜ ao nuclear tornam-se evidentes e uma onda de choque come¸ ca a se propagar para fora. o tempo de difus˜ ao 3R2 τdif 5s πλc enquanto o tempo hidrodinˆ amico τhidro 446 s ρ 1 2 2 × 10−5 s Quando o n´ ucleo se aproxima de densidades nucleares e os nucleons se juntam em um enorme n´ ucleo. Nos modelos.12 dias (E=4. 2000. Os modelos precisam incluir a rota¸ c˜ ao. Como o livre caminho m´ edio ´ e dado por 1 λ= Nσ e Eν 2 σν 2 × 10−44 cm2 me c2 obtemos λ 2. com vida m´ edia de 6. uma compreens˜ ao completa dos dois casos ainda n˜ ao foi obtida (Wolfgang Hillebrandt & Jens C.566 MeV). o aquecimento devido ao decaimento radiativo. depois de um milisegundo do colapso. Existem modelos com rebote desta onda de acres¸ c˜ ao. Embora na natureza ocorra tanto a forma¸ c˜ ao de buracos negros por acres¸ c˜ ao ao n´ ucleo quanto eje¸ c˜ ao explosiva de mat´ eria. Como o raio R do n´ ucleo ´ e da ordem de 10 km.4 M e o raio da ordem do da Terra. A energia s´ o pode ser usada 490 . ”Type IA Supernova Explosion Models”. no n´ ucleo de uma estrela em colapso a densidade chega a ρ 4 × 1014 g cm−3 e a energia dos neutrinos ´ e da ordem de Eν 150 MeV. A onde de choque se transforma ent˜ ao em uma onda de acres¸ c˜ ao. 2 cm. depois do decaimento. Nozomu Tominaga. (editores Vanessa Hill. o material estelar sofre aquecimento por choque e nucleos´ ıntese explosiva.1 a 1.3 a 0. e vˆ em do limite superior em massa dos progenitores das SNs tipo II. 7 × 10 ergs. Korn.5 M de 56 Ni. 2005. a gigante do halo HE 0107-5240. Mg. (Norbert Christlieb. Nature. sendo t˜ ao luminosas no pico quanto as SN Ia. Norbert Christlieb. Wako Aoki. Michael S. j´ a que os modelos mais massivos s˜ ao comple491 . a SN1980K. Michelle Mizuno-Wiedner & Silvia Rossi. J´ a as hipernovas. a massa ejetada ´ e da ordem de 1. que s˜ ao majoritariamente explos˜ oes de an˜ as brancas por acr´ escimo. Satoshi Honda. 419. porque provˆ em de um manto maior. Beers. s˜ ao consistentes com modelos de supernovas oriundas de Popula¸ c˜ ao III de 20 a 130 M . Cerca de 0. ejetou somente 2. Patrick Fran¸ cois e Francesca Primas. mas n˜ ao de modelos mais massivos. 2. Bengt Gustafsson. Timothy C. 871). com [Fe/H]=-5. Fujimoto. 4 ± 0. Sean G. 075 M de Ni decairam. p. energia de 1. Kjell Eriksson. Barklem. associadas ` as explos˜ oes 52 de raios-γ GRB 980425 e GRB 030329. Andreas J. mas a massa transformada em elementos α: O. o que prolonga o brilho da supernova. Masayuki Y. Si. 434. em seu artigo de 2005 nos anais do IAU Symposium 228.692 M .2 M . Hideyuki Umeda e Chiaki Kobayashi. concluem que as abundˆ ancias qu´ ımicas observadas nas duas estrelas com menor abundˆ ancia de metais conhecidas. Ken’ichi Nomoto. a mais brilhante desde a inven¸ c˜ ao do telesc´ opio.8 M . Para as SNI. Beers. 1 M . Cora Fechner. Masahide Takada-Hidai. Ca e Ti s˜ ao maiores para as estrelas mais massivas. j´ a que as camadas externas expandem com velocidades de cerca de 5000 km/s (SN tipo II) e 10 000 km/s (SN tipo I). Uma supernova SN II normal libera cerca de 1051 ergs em energia cin´ etica. Elas sintetizam entre 0. A SN1987A. Paul S. Barklem. Bessell.2 e massa 0. Toshitaka Kajino. Timothy C. Ken’ichi Nomoto. Ryan. 2002. Nucleosynthetic signatures of the first stars. Norris. Martin Asplund. a massa de Fe ´ e de cera de 0. independentemente da massa da progenitora. John E. com [F e/H ] = log (NFe /NH) − log (NFe /NH ) = −5. Note que durante o colapso do n´ ucleo da supernova ou hipernova. Ne. Takeo Minezaki. S. como SN1998bw e SN2003dh.3±0.3 M e as massas de 56 Ni variam de cerca de 0. outra SN tipo II. Torgny Karlsson. “From Lithium to Uranium: Elemental Tracers of Early Cosmic Evolution”. 904) e da estrela de seq¨ uˆ encia principal HE1327-2326 (Anna Frebel. Paul S. Nature. 0 × 1051 ergs e a mesma quantidade de 56 Ni. Em compara¸ c˜ ao. 287). Ar. ejetou 51 56 cerca de 15 M e 1. Hiroyasu Ando.075 a 0. Stelios Tsangarides & Yuzuru Yoshii. liberam cerca de 10 ergs. Os modelos precisam tamb´ em incluir a dinˆ amica. Tik ´ e o tensor momentum-energia. para os modelos mais massivos. e. Naoki Yoshida. O tensor de segunda ordem Rik . e κ≡ 8πG c2 ´ e a constante gravitacional de Einstein. produzem uma alta taxa de metais e. Ela necessita da Relatividade Geral. que descreve a forma do espa¸ co-tempo.29 Equil´ ıbrio hidrost´ atico na Relatividade Geral Para campos gravitacionais fortes. essa quantidade de energia precisa escapar para que uma estrela de nˆ eutrons se forme. prop˜ oe que se a reioniza¸ c˜ ao observada pelo Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) foi provocada pelas estrelas de Popula¸ c˜ ao III. resultando em n˜ ao consistentes com a alta fra¸ c˜ ao de C/Fe observadas nas estrelas de metalicidade extremamente baixa. 579. ´ e chamado de tensor Ricci [Georgorio Ricci-Curbastro (1853-1925)]. que explodem por instabilidade de pares (γ ↔ e+ + e− ). gik s˜ ao as componentes do tensor m´ etrico e dependem do sistema de coordenadas usado e da unidade da coordenada temporal. Os modelos mais massivos. Volker Bromm & Lars Hernquist. 1 M c2 1053 (M/M ) ergs. a maior parte dos metais ´ e na forma de ferro.432) onde Rik ´ e o tensor espa¸ co-tempo. como no caso de estrelas de nˆ eutrons e buracos negros. o meio interestelar do Universo foi enriquecido para metalicidades Z > 10−4 > Z j´ a em deslocamento para o vermelho (redshift) z ≥ 15. precisamos utilizar a equa¸ c˜ ao de campo de Einstein 1 κ Rik − gik R = 2 Tik 2 c (23. em 2004 no Astrophysical Journal. 23. 605. A maior parte da energia escapa na forma de neutrinos. que depende da distribui¸ c˜ ao e movimento das massas e do campo eletromagn´ etico. nos d´ a a curvatura escalar do espa¸ co-tempo: R = Rkm g km 492 .tamente desmanchados. Como a energia de liga¸ c˜ ao de uma estrela de nˆ eutrons de massa M ´ e aproximadamente 0. A estrutura das estrelas de nˆ eutrons e buracos negros n˜ ao pode ser tratada com a mecˆ anica newtoniana utilizada at´ e aqui. contra´ ıdo. 435) Para um g´ as. os dois ´ ındices i e k variam de 0 a 3. P ´ e a press˜ ao isotr´ opica. O tensor de segunda ordem de Ricci ´ e fun¸ c˜ ao da geod´ esica: Rij = ∂ Γk ∂ Γk ij l k l ik − − Γk ij Γkl + Γil Γjk ∂xj ∂xk (23. os s´ 1900)]: ∂gjl ∂gkl 1 ij ∂gjk Γi + (23. A equa¸ c˜ ao ´ e escrita de forma tensorial de modo a n˜ ao depender dos detalhes do sistema de coordenadas. o tensor energia-momentum em coordenadas curvil´ ıneas pode ser escrito como: T ik = (ε + P )ui uk − P g ik onde ε = ρc2 . Os ´ ındices repetidos significam soma. Na equa¸ c˜ ao (23. medida no sistema em repouso com a mat´ eria.432). pela conven¸ c˜ ao da soma de Einstein. ui = dxi ds (23. incluindo a energia de repouso.433) atrav´ es dos Γi ımbolos de Christoffel [Elwin Bruno Christoffel (1829kl .tamb´ em chamada de curvatura de Riemann [Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)].434) − kl ≡ g 2 ∂xi ∂xj ∂xl O tensor de Einstein ´ e definido como: 1 Gij ≡ Rij − gij R 2 (23. 0. os dois termos ` a esquerda do sinal de igualdade representam a curvatura do espa¸ co-tempo. 0). j´ a que sempre podemos transformar o sistema de coordenadas para qualquer outro. temos para um g´ as 493 . Como a quadri-velocidade de um fluido medido por um observador em comovimento com o fluido ´ e simplesmente ui = (1.436) ´ e a quadri-velocidade do g´ as e ds o intervalo entre dois pontos xi e xi + dxi . ´ e a densidade de energia da mat´ eria. 0. e o termo ` a direita as for¸ cas que atuam nesse sistema. Na relatividade geral n˜ ao existe sistema de coordenadas absoluto e a u ´nica forma de medir o movimento de um corpo ´ e em rela¸ c˜ ao a outro objeto. na vizinhan¸ ca de um ponto n˜ aosingular arbitr´ ario. isto ´ e. para campos gravitacionais desprez´ ıveis. por constru¸ c˜ ao. Para pequenas regi˜ oes do espa¸ co-tempo. pela lei fundamental de geometria: ∇·T=0 494 . Na relatividade geral. Este tensor causa uma tens˜ ao (E 2 + B 2 )/8π ao longo das linhas de campo. A conserva¸ c˜ ao de energia-momentum ´ e expressa. y. o campo gravitacional ´ e equivalente a uma acelera¸ c˜ ao uniforme. esse postulado ´ e chamado de princ´ ıpio da equivalˆ encia e significa que. Na relatividade especial. o intervalo de tempo pr´ oprio dτ entre dois eventos definidos pelas coordenadas (t + dt. gik = dxi dxk Um postulado da geometria de Riemann ´ e que. x. onde (E 2 + B 2 )/8π ´ e a densidade de energia do campo eletromagn´ etico. z ) ´ e dado pela equa¸ c˜ ao: ds2 = c2 dτ 2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ≡ ηij dxi dxj mas para um campo gravitacional forte. o intervalo invariante de Riemann ds ´ e dado por: ds2 = gij dxi dxj onde gij ´ e um tensor sim´ etrico.ideal: ρc2 0  0 P =  0 0 0 0  0 0 P 0   2 0 ρc  0 0 = 0  0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 P 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 P 0  0 0  0 P T ik O tensor energia-momentum para um campo eletromagn´ etico ´ e dado por T ik = − g ik glm il km F F + Flm F lm 4π 16π onde Flm ´ e o tensor de campo eletromagn´ etico. y + dy. o espa¸ co pode ser considerado plano e as coordenadas Lorentzianas [Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)]. e uma press˜ ao (E 2 + B 2 )/8π perpendicular ` as das linhas de campo. ´ e poss´ ıvel definir um sistema de coordenadas em que o espa¸ co ´ e localmente inercial. z + dz ) e (t. Nesse caso. x + dx. em volta de qualquer ponto n˜ ao-singular. chamado de tensor m´ etrico. pode ser definida em termos do seu tempo pr´ oprio τ e da sua quadri-velocidade u como um extremo: ∇u u = 0. A equa¸ c˜ ao (23.432). A densidade de massa-energia. a distˆ ancia entre dois eventos. (23. se reduz ` a equa¸ ca ˜o de Poisson (23. medida por um observador de quadri-velocidade u ´ e dada por: ε = ρc2 = u · T · u = ui Tij uj A equa¸ c˜ ao tensorial (23. Aplicando o c´ alculo variacional para achar o extremo: d dτ ∂L ∂x ˙i − ∂L =0 ∂xi onde o Lagrangiano L ´ e definido por: L= i ds 2 c dτ 2 = gij x ˙ ix ˙j ex ˙ i = dx dτ . 495 .471). onde dτ 2 = c2 ds2 . com componentes: √ 1 ∂ −gTlk T km ∂gkm √ − =0 −g ∂xk 2 ∂xi com o determinante g = |gik |. no limite de campos gravitacionais fracos e velocidades n˜ ao-relativ´ ısticas.432) pode ser escrita como: 1 Rik − gik R = 2 8πG c4 Tik (23. isto ´ e.438) O movimento de uma part´ ıcula viajando de p1 a p2 no espa¸ co-tempo ´ e o caminho para o qual o tempo pr´ oprio dado por p2 τ= p1 dτ ´ e um extremo.437) A equa¸ c˜ ao da geod´ esica (world line) de uma part´ ıcula.onde ∇· denota a divergˆ encia covariante. isto ´ e. Precisamos modific´ a-la para incluir a curvatura causada pelos efeitos gravitacionais. as trajet´ orias dos f´ otons tˆ em ds = 0 e ds2 f´ otons = 2 2 c dτf´ e o tempo pr´ oprio. escrevendo: ds2 = eν c2 dt2 − eλ dr2 − r2 dθ2 + sen2 θ dφ2 . θ. e Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e George Michael Volkoff (1914-2000) no artigo publicado no mesmo volume. O elemento espacial de distˆ ancia ´ e dado por eλ/2 dr. As componentes covariantes n˜ ao-nulas do tensor m´ etrico. Essa forma foi utilizada por Karl Schwarzschild (1873-1916) em 1916. mas preservando a simetria esf´ erica.441) (23. 374-381.364-373. A equa¸ c˜ ao de campo de Einstein vale para qualquer sistema de coordenadas generalizadas. com x0 = ct s˜ ao: g00 = eν g11 = −eλ g22 = −r2 g33 = −r2 sen2 θ.Na relatividade geral. p. medido no referencial da otons = 0. Por que n˜ ao escolhemos as coordenadas esf´ ericas normais? Porque essas coordenadas n˜ ao incluem a curvatura do espa¸ co. Trata-se de uma m´ etrica est´ atica ∂g ij /∂t = 0 e ortogonal (gtr = gtθ = gtφ = 0). onde τ ´ part´ ıcula. para dados valores do tensor momentum-energia. Sem perda de generalidade. (23.439) onde ν = ν (r) e λ = λ(r) s˜ ao as fun¸ c˜ oes que queremos determinar. 55. a distˆ ancia entre dois eventos ´ e dada de forma gen´ erica por: ds2 = U (r)c2 dt2 − V (r)dr2 − W (r)r2 dθ2 + sen2 θ dφ2 onde U (r). Encontrar a solu¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao de campo de Einstein significa encontrar a geod´ esica que descreve o intervalo entre os eventos. V (r) e W (r) s˜ ao fun¸ c˜ oes de r. podemos escolher as fun¸ c˜ oes U (r) e V (r). p. Em coordenadas esf´ ericas (r.442) . bem como por Richard Chase Tolman (1881-1948) no seu artigo publicado em 1939 no Physical Review. φ). com W (r) ≡ 1.440) (23. e os s´ ımbolos de Christoffel: 1 ∂gii Γi ii = gii 2 ∂xi 1 ∂gjj Γi jj = − gii 2 ∂xi 1 ∂gii ∂gjj Γi + ij = gii 2 ∂xj ∂xi 496 (23. O tensor de Ricci ´ e dado por: R00 = − ν λν (ν )2 ν + − − 2 4 4 r ν λν (ν )2 λ − + − 2 4 4 r 1+ rν rλ − 2 2 e−λ − 1 e(ν −λ) R11 = R22 = R33 = R22 sen2 θ e finalmente a curvatura de Riemann: R = e−ν R00 − e−λ R11 − = e−λ 2 R22 r2 1 1 2 2λ 2ν 2 −ν + λ ν − ν − 2+ − 2 2 r r r 497 + 2 (23.444) r2 .1 ∂gii ∂gii Γi + ji = gii 2 ∂xi ∂xj se reduzem a: Γ1 00 = ν ν −λ e 2 λ 2 (23.443) Γ1 11 = −λ Γ1 22 = −re 2 −λ Γ1 33 = −r sen θe Γ0 10 = ν 2 1 r 3 Γ2 12 = Γ13 = Γ3 23 = cot θ Γ2 33 = −sen θ cos θ Os s´ ımbolos de Christoffel n˜ ao s˜ ao tensores. onde Φ = −GM/r ´ e o potencial gravitacional da mecˆ anica cl´ assica. A distˆ ancia propria nesta m´ etrica pode ser estimada por: ∆s ∆r 1− 2GM 1/2 c2 r 498 . Nesse caso.29. r r r e− λ e 1 dλ/dr − 2 r r dλ =0 dt + 1 = 0. r2 (23.23. o espa¸ co em volta da estrela. a m´ etrica se reduz a: dr2 − r2 sen2 θdφ2 + dθ2 GM 1 − 2c 2r (23.447) Das equa¸ c˜ oes (23. a constante/r da equa¸ c˜ ao (23. onde o tensor momentum-energia Tij ´ e nulo.1 Schwarzschild Karl Schwarzschild estudou.445) + 2 − 2 = 0.449) Para que no limite no caso de campo gravitacional fraco a equa¸ c˜ ao de campo de Einstein se reduza ` a equa¸ c˜ ao de Poisson.445) e (23.446) (23. Com esse valor.449) deve ser identificada com 2Φ/c2 . obtendo: e−λ = eν = 1 + constante r (23. em 1916. pois pode ser removido com uma transforma¸ c˜ ao de coordenadas.446) obtemos: dλ dν + =0 dr dr (23.448) Essa equa¸ c˜ ao indica que podemos colocar λ = −ν . e integrar.450) conhecida como a m´ etrica de Schwarzschild e que tem um horizonte de eventos no raio de Schwarzschild RS ds2 = c2 dτ 2 = c2 1 − 2GM c2 r dt2 − RS = 2GM c2 O raio de Schwarzschild n˜ ao ´ e uma singularidade. a equa¸ c˜ ao de Einstein se reduz a: dν/dr 1 1 e− λ (23. Pela equa¸ c˜ ao (23. veremos que esta barra caber´ a entre 4 e 5 km. o tempo pr´ oprio coincide com t. vemos que o intervalo de tempo da coordenada tempo dt e o intervalo de tempo pr´ oprio est˜ ao relacionados pela equa¸ c˜ ao dτ = 2GM 1− 2 c r 1 2 dt O intervalo de tempo pr´ oprio dτ representa o intervalo de tempo medido em um sistema em repouso na coordenada r.Para a massa do Sol.2 Avermelhamento Gravitacional Utilizando a rela¸ c˜ ao entre o tempo pr´ oprio (τ =tempo no sistema de repouso na coordenada r) e a coordenada temporal t. 7 km Deste modo.450). o raio de Schwarzschild ´ e de 3 km.29. e a distˆ ancia pr´ opria entre r=4 km e r=5 km ´ e ∆s ∆r 1− 2GM 1/2 c2 r = 1 km 1− 3 4. se construirmos uma barra r´ ıgida com comprimento de 1. 23. dτ = 2GM 1− 2 c r 1 2 dt podemos calcular a diferen¸ ca entre a freq¨ uˆ encia emitida em r1 ν1 = 1 dτ1 e a freq¨ uˆ encia recebida em um ponto qualquer r2 ν2 = que ´ e dada por dτ1 ν2 = = ν1 dτ2 1− 1− 2GM c2 r1 2GM c2 r2 1 2 1 2 1 dτ2 499 .5 1/2 = 1. Para um observador estacion´ ario (dr = dθ = dφ = 0) no infinito (r → ∞).7 km em uma esta¸ c˜ ao espacial muito distante desta massa. 635 M R km/s M R Para S´ ırius B. 23. 028)M . se o campo gravitacional for fraco. 053 ± 0. Este avermelhamento gravitacional causa um deslocamento Doppler no centro das linhas espectrais equivalente a vgr GM δλ ≡− =− 2 λ c c R Multiplicando-se e dividindo-se pela massa e pelo raio do Sol. a posi¸ c˜ ao em que a radia¸ c˜ ao foi emitida. com M = (1. isto ´ e.Podemos aproximar esta rela¸ c˜ ao para um ponto r2 ν2 = ν1 2GM 1− 2 c r1 1 2 r1 como e. obt´ em-se vgr = (89 ± 16) km/s. 2 vescape ≡ 2GM r1 1− GM c2 r1 GM c2 r1 − c2 ν2 = ν1 de modo que ν2 e ν1 − ν1 dλ dν =− ν λ GM c2 r1 ´ necess´ E ario identificar r1 = R como o raio da estrela. obtemos: vgr = 0.3 Tensores Covariantes e Contravariantes ∂xi k A ∂xk Uma derivada contravariante ´ e definida como Ai = enquanto que uma derivada covariante ´ e definida como Ai = ∂xk Ak ∂xi 500 .29. 4 Tolman-Oppenheimer-Volkoff Para um g´ as ideal. um tensor contravariante ´ e dado por T kl = ∂xk ∂xl ij T ∂xi ∂xj enquanto que um tensor covariante ´ e dado por Tkl = ∂xi ∂xj Tij ∂xk ∂xl 23.62: Estrutura de uma estrela de nˆ eutrons calculada por David Pines (1980). Portanto.Figura 23. as u ´nicas componentes n˜ ao nulas do tensor energia-momentum (23.436) s˜ ao: T00 = ρc2 T11 = T22 = T33 = P 501 .29. utilizando uma equa¸ c˜ ao de estado de rigidez m´ edia. 458) (23.451) e (23.460) . a trˆ es equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias: κP = e−λ c2 ν 1 + 2 r r − 1 r2 (23.453) como d r e− λ 8πr2 Gρ =1− dr c2 e integr´ a-la.453) κP 1 1 2 ν −λ νλ = e− λ ν + ν + − 2 c 2 2 r 2 κρ = e−λ 1 λ − 2 r r + 1 r2 onde denota derivada em rela¸ c˜ ao a r.453) e (23.A equa¸ c˜ ao (23.459) (23.452) (23. obtemos 2 8πG dP = − 3 + eλ 4 c dr r 2 λ λν ν ν + 3+ 2− + 2 r r r r r (23.456) As equa¸ c˜ oes (23. ent˜ ao.452) obtemos eλ νλ 1 = − ν 2 r 4 4 2 − ν ν +λ 1 + + 2 2r 2r r e−λ ν +λ r (23.437) se reduz.451) (23.454) e (23. resultando em: e−λ = 1 − 2G r 4πr2 ρdr rc2 o 2GMr = 1− rc2 502 (23.451) com rela¸ c˜ ao a r.455) obtemos 1 dP 1 dν P (r) =− ρ(r) + 2 2 c dr 2 dr c Podemos reescrever a equa¸ c˜ ao (23.451) obtemos − 8πG c2 ρ+ P c2 = (23.457) (23.454) Adicionando-se as equa¸ c˜ oes (23. Eliminando-se P das equa¸ c˜ oes (23.456) levam a 8πG dP 1 = eλ ν λ + ν 4 c dr 2r e comparando com a equa¸ c˜ ao (23.455) Diferenciando-se a equa¸ c˜ ao (23. Essa ´ e a massa que um observador distante mede por efeitos gravitacionais. e U a densidade de energia total.463) para dP/dr chegando ` a equa¸ c˜ ao de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para o equil´ ıbrio hidrost´ atico na relatividade geral: GMr dP P =− 2 ρ 1+ 2 dr r ρc 1+ 4πr3 P Mr c2 1− 2GMr rc2 −1 (23. pois cont´ em tamb´ em toda a energia.onde Mr denota a massa gravitacional dentro de r: r Mr = 4πr2 ρdr (23. Note que.464) Essa equa¸ c˜ ao. como. o elemento de volume esf´ erico ´ e dado por eλ/2 4πr2 dr.460) e (23. de modo que a press˜ ao no interior da estrela aumenta mais rapidamente.456) em termos de dν/dr. Podemos agora resolver a equa¸ c˜ ao (23. efeitos orbitais.462) para escrever e− λ − 2 dP 1 1 1 8πGP + − 2 = r dr (ρc2 + P ) r2 r c4 (23.461) 0 de modo que para r = R. derivada em 1939 por Richard Chase Tolman (1881-1948). nessa m´ etrica (23. que ´ e o elemento sobre o qual a equa¸ c˜ ao (23. embora a equa¸ c˜ ao (23. Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e George Michael Volkoff. por exemplo.451) e (23. se reverte ` a forma usual da Equa¸ c˜ ao do Equil´ ıbrio Hidrost´ atico (23.461) tenha a forma usual da equa¸ c˜ ao de continuidade de massa (23.439).462) e finalmente resolver as equa¸ c˜ oes (23. e n˜ ao 4πr2 dr. a massa relacionada com o n´ umero de b´ arions simplesmente. A express˜ ao relativ´ ıstica para o gradiente de press˜ ao dP/eλ/2 dr ´ e maior do que no caso newtoniano (dP/dr). Ela n˜ ao ´ e.461) est´ a integrada. 503 .98). Dessa forma: ρ = ρ0 + U c2 onde ρ0 ´ e a densidade de massa em repouso. a massa gravitacional da estrela. Mr = M .99) para c2 → ∞.463) (23. entretanto. obtendo dν dP 1 = −2 2 dr dr (ρc + P ) e usar as equa¸ c˜ oes (23. 2 dividida por c . Seja y≡ γ≡ P ρ0 8πGρ 2GM = 3 2 3c2 R c Podemos reescrever a equa¸ ca ˜o de equil´ ıbrio hidrost´ atico como dy 1 (1 + y/c2 )(1 + 3y/c2 )r = − γc2 dr 2 1 − γr2 com a condi¸ c˜ ao de contorno y (R) = 0.Seguindo George William Collins II (1937-) The Fundamentals of Stellar Astrophysics. a solu¸ c˜ ao desta equa¸ c˜ ao ´ e y = c2 (1 − γr2 )1/2 − (1 − γR2 )1/2 3(1 − γR2 )1/2 − (1 − γr2 )1/2 que em termo das vari´ aveis f´ ısicas torna-se P (r) = ρ0 c2 [1 − 2GM r2 /(R3 c2 )]1/2 − [1 − 2GM/(Rc2 )]1/2 3[1 − 2GM/(Rc2 )]1/2 − [1 − 2GM r2 /(R3 c2 )]1/2 De modo que a press˜ ao central pode ser obtida para r=0 Pc = ρ0 c2 1 − [1 − 2GM/(Rc2 )]1/2 3[1 − 2GM/(Rc2 )]1/2 − 1 Quando a press˜ ao central aumenta. (New York: Freeman). refletindo o maior efeito da gravidade. um modelo simples ´ e ρ(r) = ρ0 = constante. 1989. de modo que Pc →∞ lim R = 9 2GM 9 = RS 8 c2 8 504 . a estrela reduz o raio. Com zero para a press˜ ao na superf´ ıcie. A equa¸ c˜ ao da continuidade da massa dM (r) = 4πr2 ρ dr torna-se 4πr3 ρ0 3 enquanto a Tolman-Oppenheimer-Volkoff M (r) = 2 2 dP (r) 4πGrρ2 0 [1 + P/(ρ0 c )][1 + 3P/(ρ0 c )] =− 2 2 dr 3[1 − 8πGρ0 r /(3c )] que pode ser integrada. 6. mas Edwin Salpeter (1961. Thomas (1903-1992). podemos escrever a equa¸ c˜ ao de forma param´ etrica como lim t 1 P = K sinh t − 8 sinh + 3t 3 2 ρ = K (sinh t − t) onde K= 5 πµ4 0c 4h3   p ˆ t = 4 log + 1+  µ0 c p ˆ µ0 c 2 1/2    e p ˆ´ e o momentum de Fermi m´ aximo que pode depender fracamente da temperatura. Modifica¸ c˜ oes mais recentes ` a equa¸ c˜ ao de estado mostram um segundo 505 . The calculation of atomic fields. para um g´ as de el’etrons e n´ ucleos atˆ omicos de peso atˆ omico A e carga Z. 3 S nelas a relatividade geral ´ e dominante. 669) mostrou que.onde RS ´ e o raio de Schwarzschild. Se inclu´ ımos a perda de energia por neutrinos devido ao decaimento β inverso. Enrico Fermi (1901-1954). com µo = A/Z . Deste modo. um limite tamb´ em pode ser encontrado restringindo a velocidade do som vs = que nos leva ao limite P ≤c ρ0 4 R = RS 3 Pc →c2 ρ0 Como qualquer equa¸ c˜ ao de estado requer que a densidade decres¸ ca para fora e como a causalidade requer que a velocidade do som seja sempre menor que a velocidade da luz. 23. 1927. o menor raio est´ avel de tal objeto ´ e pouco maior que o raio de Schwarzschild. 134. Astrophysical Journal. podemos concluir que uma estrela sempre ter´ a R≥ 4 R . energia de troca e intera¸ c˜ oes spin-spin dos el´ etrons. A verdadeira equa¸ c˜ ao de estado das estrelas de nˆ eutrons ainda n˜ ao ´ e conhecida. Embora as estrelas de nˆ e utrons tenham raios de cerca de 3 R S. 542-548. incluindo os efeitos Coulombianos da rede de ´ ıons. as corre¸ c˜ oes de Thomas-Fermi para a n˜ ao uniformidade da distribui¸ c˜ ao de el´ etrons [Llewellyn H. 602607. existe um m´ aximo local em cerca de uma massa solar. Rendiconti Accademia Nazionale dei Lincei. Un metodo statistice per la determinazione di alcune proprieta del l’atomo. 1927]. Entretanto. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. o fenˆ omeno de escorrimento de nˆ eutrons (neutron drip) acontece. Nas estrelas de nˆ eutrons. ρnuclear 2. Os neutrinos das rea¸ c˜ oes n → p + e− + ν ¯ e e 506 e− + p → n + ν e . ainda incerta. 14 Acima de 4 × 10 kg m−3 . a repuls˜ ao coulombiana ´ e reduzida e n´ ucleos mais pesados que o 56 Fe s˜ ao formados. a relatividade geral causa o colapso muito antes de toda a estrela tornar-se relativisticamente degenerada. ApJ. Para densidades de 1018 kg m−3 . pr´ otons e nˆ eutrons. Desta maneira pr´ otons s˜ ao convertidos em nˆ eutrons. considerando que a massa m´ edia ´ e de 1. m´ uons e h´ ıperons s˜ ao energeticamente poss´ ıveis. p´ ıons. 4M 4 3 3 πR 7 × 1014 g/cm3 = 7 × 1017 kg/m3 Para densidades at´ e 1014 kg m−3 . formando um denso g´ as de el´ etrons. A coexistˆ encia em equil´ ıbrio de nˆ eutrons. isto ´ e. pr´ otons e el´ etrons em temperatura zero ´ e caracterizada por F (n) = F (p) + F (e) j´ a que o potential qu´ ımico de um g´ as de Fermi a temperatura zero ´ e a energia de Fermi. A equa¸ c˜ ao de estado desta mat´ eria ´ e bem conhecida para densidades abaixo da densidade da mat´ eria nuclear normal. portanto. 3 × 1014 g cm−3 = 2.4 M e raio de 10 km ρEN = 1. os n´ ucleos come¸ cam a se unir. n´ ucleos e el´ etrons coexistem em equil´ ıbrio. formando n´ ucleos ricos em nˆ eutrons. Neste caso. 76 Fe e 78 Ni s˜ ao os n´ ucleos mais est´ aveis. os el´ etrons degenerados tˆ em energia suficiente para induzir o decaimento β inverso. O subsequente decaimento β n˜ ao ´ e poss´ ıvel porque implicaria na emiss˜ ao de um pr´ oton e um el´ etron de menor energia e. de modo que nˆ eutrons livres. 183. Para as estrelas de nˆ eutrons. 941) demontraram que as an˜ as brancas colapsam por efeitos da relatividade geral com 98% da massa de Chandrasekhar.m´ aximo logo acima de duas massas solares e considera¸ c˜ oes de causalidade colocam um m´ aximo absoluto em cerca de 5 massas solares. Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) e Robert F. e acima disto. 3 × 1017 kg m−3 . Para densidades superiores. em um estado j´ a completamente ocupado. colidir com um pr´ oton formando um nˆ eutron. Podemos estimar a densidade m´ edia de uma estrela de nˆ eutrons. A equa¸ c˜ ao de estado depende ent˜ ao fortemente da intera¸ c˜ ao entre os n´ ucleons. Tooper (1964. os quarks tornam-se importantes. o processo URCA torna-se ineficiente. devido ` a degenerescˆ encia. ´ e a principal contribui¸ c˜ ao ` a press˜ ao. com corre¸ c˜ oes substanciais devido ` as for¸ cas nucleares. Ap´ os algo entre 10 a 10 000 anos. podemos calcular o n´ umero relativo de nˆ eutrons e pr´ otons em qualquer densidade. e esfriamento por ¡I¿bremsstrahlung¡/I¿ de pares de neutrinos e mais tarde por emiss˜ ao t´ ermica de f´ otons esfria a estrela e leva a uma temperatura superficial de alguns milh˜ oes de Kelvin. de modo que 3np 8π 1/3 hc + 3np 8π 2/3 h2 − 2mp 3nn 8π 2/3 h2 2mn mn c2 − mp c2 Dado que a diferen¸ ca de massa entre pr´ otons e nˆ eutrons ´ e 1. O processo mais eficiente de forma¸ c˜ ao de neutrinos ´ e o processo URCA (n → p + e + ν e p + e → n + ν ). Por exemplo. Nesse caso.3 MeV/c2 .n˜ ao afetam o potencial qu´ ımico porque escapam. a energia cin´ etica. os el´ etrons. correspondendo a T = EF /k 3 × 1011 K. Mas se o 507 . s˜ ao ultra-relativ´ ısticos F (e) pF (e)c Tendo em vista que a mat´ eria ´ e neutra. pF (n)2 mn c2 + F (n) 2mn F (p) mp c2 + pF (p)2 2mp Entretanto. esfriando a estrela ra9 pidamente para T < 10 K. Para estrelas de nˆ eutron. Como a rela¸ c˜ ao entre o momentum de Fermi e a densidade ´ e dada por pF = 3n 8π 1/3 h e para densidades da ordem da nuclear os pr´ otons e nˆ eutrons s˜ ao n˜ ao relativ´ ısticos. isto ´ e. as densidades s˜ ao compar´ aveis com as da mat´ eria 14 − 3 nuclear ρ 2 × 10 g cm . menos massivos. e Urca modificado (n + n → n + p + e + ν e n + p + e → n + n + ν ). ne np nn /200. Portanto. 1 el´ etron para cada 200 nˆ eutrons. a energia de Fermi ´ e da ordem de EF 30 MeV. A agita¸ c˜ ao t´ ermica ´ e desprez´ ıvel. encontramos nn 10 m . os nˆ eutrons s˜ ao dominantes. ne = np . a uma densidade t´ ıpica de uma estrela de nˆ eutrons de 17 − 3 44 − 3 ρ = 2 × 10 kg m . ou seja. que ´ e proporcial a T 8 . j´ a que a emiss˜ ao de neutrinos no colapso para estrela de nˆ eutrons esfria o n´ ucleo para T 3 × 1011 K em poucos segundos. Kerr (1934-)] fora de um buraco negro em rota¸ c˜ ao. a massa dos h´ ıperons ´ e maior do que do que a energia de Fermi. ´ e energeticamente favor´ avel aos nucleons no topo do mar de Fermi em transformar-se em outros b´ arions. Glendenning. Mesmo no colapso de uma supernova. uma generaliza¸ c˜ ao da m´ etrica de Schwarzschild para 508 . publicado em 1963 no artigo “Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics”. que a estranheza ´ e conservada nesta escala de tempo. 56.n´ ucleo n˜ ao for composto por mat´ eria normal. e a conserva¸ c˜ ao de estranheza pode ser violada. do f´ ısico Norman K. A transforma¸ c˜ ao n˜ ao viola a conserva¸ c˜ ao de estranheza das for¸ cas fortes porque esta conserva¸ c˜ ao se d´ a somente nas escalas de tempo das intera¸ c˜ oes fortes. e quase certamente tˆ em. Journal Mathematical Physics. ou as notas de Edward Lewis Robinson (1945-). estrenheza n˜ ao ´ e conservada em objetos astrof´ ısicos. Nos n´ ucleos atˆ omicos est´ aveis. publicado pela Springer em 1997.as. 1997. demonstrando que o u ´ltimo est´ agio do colapso ´ e um buraco negro. 265. e que a estrela corta qualquer comunica¸ c˜ ao com o exterior. em http://pisces.utexas. 11. Boyer e Richard W. de modo que n˜ ao ´ e energeticamente favor´ avel a transforma¸ c˜ ao em h´ ıperons. Black Holes. o f´ ısico inglˆ es Stephen William Hawking (1942-) demonstra que os efeitos de tunelamento quˆ antico levam ` a evapora¸ c˜ ao de qualquer buraco negro. Em 1974. embora a mat´ eria nuclear normal tenha estranheza l´ ıquida zero. Para um tratamento adequado do assunto. Springer: New York. a escala de tempo ´ e muito longa em compara¸ c˜ ao com a escala da intera¸ c˜ ao fraca. as estrelas de nˆ eutrons podem ter. Desta forma. o esfriamento pode ser mais complicado. que deduz o espa¸ co-tempo de Kerr [Roy P. Por causa da alta densidade de mat´ eria nas estrelas de nˆ eutrons e do fato dos b´ arions obedecer ao princ´ ıpio de Pauli. em coordenadas de Boyer-Lindquist [Robert H. Glendenning. Desta forma. As rea¸ c˜ oes nucleares s˜ ao t˜ ao r´ apidas (τ 10−22 s. 1967]. Lindquist.) A primeira deriva¸ c˜ ao do colapso de uma estrela para o est´ agio de buraco negro foi publicada por Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e Hartland Snyder em 1939. no Physical Review. “Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric”. 237. A escala de tempo da intera¸ c˜ ao fraca ´ e de τfraca 10−10 s. 8. inclusive os estranhos (h´ ıperons) para baixar as energias de Fermi. Compact Stars. no Physics Review Letters. em escalas de tempo suficientemente grandes. veja o livro Compact Stars. n˜ ao das fracas. h´ ıperons e ter estranheza l´ ıquida n˜ ao nula (Norman K.edu/GenRel/. 509 . como a nu´ vem de Orion. ou pela passagem de uma onda de densidade.30 Forma¸ c˜ ao estelar As observa¸ c˜ oes indicam que as estrelas nascem da mat´ eria interestelar. na qual existem muitas estrelas jovens.2 e 2 M .um buraco negro de massa M e momentum angular J : ds2 = c2 dτ 2 = c2 1 − − − onde 2GM r c2 Σ dt2 + 4aGM rsen2 θ c dt dφ − c2 Σ Σ 2 dr − Σdθ2 − ∆ 2GM ra2 sen2 θ r2 + a2 − c2 Σ a≡ sen2 θdφ2 (23. de hidro10 − 30 K. e H e K do C´ alcio. principalmente. consistindo. • campo magn´ etico m´ edio B • raz˜ ao de g´ as ionizado (por raios c´ osmicos) para g´ as neutro ni /n 10−7 . • tamanho R 1017 cm 0. como aquelas teoricamente respons´ aveis pelos bra¸ cos espiras das gal´ axias. e colapsa. As propriedades m´ edias da regi˜ ao central das nuvens moleculares s˜ ao: • densidade m´ edia n gˆ enio molecular. • temperatura m´ edia T 104 cm−3 . dos envolt´ orios das estrelas T Tauri. com sua emiss˜ ao principalmente no infravermelho. dos gl´ obulos de Bok [Bart Jan Bok (1906-1983)]. idades entre 105 6 e 10 anos. provavelmente quando uma nuvem de g´ as se torna gravitacionalmente inst´ avel. A existˆ encia de nuvens moleculares densas. possivelmente pela passagem de uma onda de choque causada pela explos˜ ao de uma supernova nas proximidades.465) J cM 2 ∆ ≡ r − 2GM r/c2 + a2 Σ = r2 + a2 cos2 θ 23. 20 − 30µG. As estrelas T Tauri tˆ em massa entre 0. todos corroboram a id´ eia da rela¸ c˜ ao entre nuvens de g´ as e a forma¸ c˜ ao de estrelas. que s˜ ao estrelas rec´ em-formadas. e linhas de emiss˜ ao em Hα. 05 pc. portanto. S´ erie A. por raz˜ oes de simetria. possivelmente na forma de jatos bipolares. com densidade e temperatura constante em todos os pontos. de hi107 K. 199. precisamos reconhecer que essa afirma¸ c˜ ao ´ e inconsistente. • velocidade angular de rota¸ c˜ ao Ω 10−6 rad/s. enquanto parte da massa ´ e acelerada para as partes externas. ´ e necess´ aria uma contra¸ c˜ ao de um fator 106 em raio. o que causa dois problemas imediatos: 1. 1. enquanto que as propriedades das estrelas. mas a equa¸ c˜ ao de Poisson [Sim´ eon Denis Poisson (1781-1840)]: ∇2 Φ = 4πGρ 510 (23. pois. Entretanto. e mat´ eria ionizada tem de ser expelida por eje¸ c˜ ao magneto-centr´ ıfuga. Primeiro. calculado em 1902 por Sir James Hopwood Jeans (1877-1946). problema do Momentum Angular de Rota¸ c˜ ao: R2 Ω 13 aumenta por 10 e 2.1). calculando o colapso gravitacional ignorando tanto o campo magn´ etico quanto a rota¸ c˜ ao (Philosophical Transactions of the Royal Society. 1G.466) . o disco ´ e truncado no centro pelo campo magn´ etico. como primeiro passo no c´ alculo. principalmente. por exemplo. para que haja a forma¸ c˜ ao de uma estrela a partir da nuvem. s˜ ao: • densidade m´ edia n drogˆ enio ionizado. e 1020 em densidade. • campo magn´ etico m´ edio na atmosfera B • raz˜ ao de g´ as ionizado para g´ as neutro ni /n • tamanho R 1011 cm. o Sol.• velocidade angular de rota¸ c˜ ao Ω 10−14 rad/s. Consideremos um g´ as homogˆ eneo e infinito em repouso. a forma¸ c˜ ao estelar tem de se dar com a forma¸ c˜ ao de um disco de acres¸ c˜ ao. Portanto. exceto na atmosfera. problema do Fluxo Magn´ etico: R2 B 13 10 constante −→ Ω constante −→ B aumenta por e. consistindo. por conserva¸ c˜ ao do campo magn´ etico. vamos derivar o crit´ erio de Jeans. • temperatura m´ edia T 1024 cm−3 . pela conserva¸ c˜ ao do momentum angular. ao mesmo tempo. a viscosidade no disco permite a acres¸ c˜ ao de massa ao centro. o potencial gravitacional Φ tamb´ em deve ser constante. definimos um meio de densidade constante n˜ ao-nula. pois estamos interessados em pequenas perturba¸ c˜ oes em uma esfera isot´ ermica em equil´ ıbrio hidrost´ atico. T = T0 =constante.470 em 23.473) ∂t Esse ´ e um sistema de equa¸ c˜ oes diferenciais lineares e homogˆ eneo.468 e 23.468) (23. e v0 = 0. Para o estado de equil´ ıbrio. Sem perda de generalidade.467. obtemos as seguintes rela¸ c˜ oes em primeira ordem: ∇2 Φ1 = 4πGρ1 ∂v1 2 ρ1 = −∇ Φ1 + vs ∂t ρ0 (23.466. e assumindo que as perturba¸ c˜ oes s˜ ao isot´ ermicas.469. 511 .467) (23. ` a equa¸ c˜ ao hidrodinˆ amica do movimento de Euler [Leonhard Euler (1707-1783)]: ∂v 1 + v · ∇ v = − ∇P − ∇Φ ∂t ρ ` a equa¸ c˜ ao da continuidade ∂ρ + v · ∇ρ + ρ∇ · v = 0 ∂t e. por exemplo x. Substituindo 23. e as condi¸ c˜ oes de contorno no infinito. 23. com coeficientes constantes. podemos considerar perturba¸ c˜ oes que se propagam apenas em uma dada dire¸ c˜ ao.471) (23. que ´ e um estado inicial consistente. assumimos ρ = ρ0 =constante.472) ∂ρ1 + ρ0 ∇ · v1 = 0 (23. o equil´ ıbrio ρ = ρ0 + ρ1 P = P0 + P1 Φ = Φ0 + Φ1 v = v1 (23. ` a equa¸ c˜ ao do g´ as ideal P = µ 2 ρT = vs ρ (23. Mesmo reconhecendo a inconsistˆ encia.469) onde vs ´ e a velocidade do som.466). O g´ as deve obedecer. que a velocidade do som n˜ ao ´ e perturbada. Perturbamos. agora. 23. isto ´ e. O potencial gravitacional de equil´ ıbrio Φ0 pode ser encontrado usando a equa¸ c˜ ao de Poisson ∇2 Φ0 = 4πGρ0 .demandaria que a densidade fosse nula (ρ = 0). finalmente. al´ em da equa¸ c˜ ao de Poisson (23.470) onde as fun¸ c˜ oes com subscrito 1 dependem do espa¸ co o do tempo e j´ a usamos v0 = 0. 512 . portanto.477) Para n´ umeros de onda k suficientemente grandes.477) ´ e positivo. de modo que ∂ = ik ∂x ∂ ∂ = =0 ∂y ∂z ∂ = iw ∂t e definindo v1x = v1 . com a perturba¸ c˜ ao viajando pelo meio com a velocidade do som.474) (23. a rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao: 2 w2 = k 2 vs − 4πGρ0 (23. No limite k → ∞. v1y = v1z = 0. a gravidade n˜ ao ´ e importante. 2. portanto. Lembrando que se A ´ e a matrix a b c d e f g h i A= det(A) = aei − af h − bdi + bf g + cdh − ceg obtemos. a rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao (23.477) resulta em w2 = k 2 vs que corresponde a ondas de som isot´ ermicas. Como a amplitude n˜ ao aumenta. e qualquer compress˜ ao ´ e restaurada pelo aumento de press˜ ao. o equil´ ıbrio ´ e est´ avel em rela¸ c˜ ao a essas perturba¸ c˜ oes de n´ umero de onda grande. o lado direito da rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao (23.475) (23.Podemos.476) 4πGρ1 + k Φ1 = 0 Esse conjunto de equa¸ c˜ oes ter´ a solu¸ ca ˜o n˜ ao-nula se o determinante kvs k w ρ0 kρ0 w 0 0 4πG k 2 2 ´ e nulo. Nesse caso. assumir que existem solu¸ c˜ oes proporcionais a exp[i(kx + wt)]. Nesse caso. e as perturba¸ c˜ oes variam periodicamente no tempo. obtemos: wv1 + 2 kvs ρ1 + k Φ1 = 0 ρ0 kρ0 v1 + wρ1 = 0 2 (23. n˜ ao h´ a colapso da nuvem. e w ´ e real. 481) T 100 K 3 2 = 1. ou seja. Se estimarmos w na equa¸ c˜ ao (23. depois de uma pequena compress˜ ao externa. Para escalas maiores do que o comprimento de Jeans. portanto. o autovalor w ´ Se k 2 < 4πGρ0 /vs e da forma ±iζ . vs de Jeans (23.480) T 2 ρ− 2 5 3 1 (23. e a nuvem colapsa.478) de modo que quando k < kJ −→ λ > λJ as perturba¸ c˜ oes s˜ ao inst´ aveis. que ´ e muito maior do que o termo da press˜ ao (k 2 vs 1 iw (Gρ0 )1/2 . A condi¸ c˜ ao de instabilidade λ > λJ ´ e chamada de crit´ erio de Jeans. 2 = T /µ. e o comprimento Para uma equa¸ c˜ ao de g´ as ideal (23. corresponde uma massa de Jeans MJ MJ MJ ≡ λ3 J ρ0 = π Gµ 3 2 (23.469).477) somente pelo termo da 2 ). ρ = 10−24 g cm−3 e T = 100 K s˜ ao 513 . a gravidade sobrepassa a press˜ ao. Note que µ = 1. obtemos gravidade.478) se torna λJ = Tπ Gµρ0 1 2 (23. Massas maiores do que a massa de Jeans colapsam se comprimidas. um n´ umero de onda caracter´ ıstico 2 kJ ≡ 4πGρ0 2 vs 2π kJ 1 2 ou o chamado comprimento de onda de Jeans λJ ≡ λJ = π Gρ0 vs (23.2 .482) 3 onde escrevemos ρ = ρ0 . correspondendo a uma escala de tempo τdin (Gρ0 )− 2 . e a nuvem colapsa. Definimos. a atra¸ c˜ ao gravitacional ´ e maior do que a press˜ ao do g´ as e a nuvem colapsa. Portanto.479) A esse comprimento de onda de Jeans. onde ζ ´ e real. o tempo de queda livre. 2 × 10 M ρ − 24 10 g cm−3 −1 2 µ− 2(23. existem perturba¸ c˜ oes proporcionais a exp(±ζt) que crescem exponencialmente com o tempo. de modo que n˜ ao h´ a equil´ ıbrio. Primeiro a forma¸ c˜ ao de hidrogˆ enio molecular e depois a emiss˜ ao de radia¸ c˜ ao infravermelha oriunda da colis˜ ao do hidrogˆ enio molecular com ´ atomos de hidrogˆ enio. Como as part´ ıculas de mat´ eria escura n˜ ao emitem radia¸ c˜ ao. de acordo com Martin R. a massa de Jeans aumenta durante um colapso adiab´ atico. estudando o colapso aproximadamente. A menor an˜ a marrom n˜ ao bin´ aria encontrada nas Ple´ ıades tem massa de 0. Richard 514 .05 M . isto ´ e. isto ´ e. elas n˜ ao se condensam e permanecem espalhadas na nuvem primordial. Dessa 5 forma. 483. 1 o tempo de queda livre τ (Gρ)− 2 ´ e da ordem de 108 anos. sem levar em conta os detalhes de como a energia ´ e irradiada durante o colapso. as primeiras nuvens formadoras de estrelas tiveram massa de Jeans quase 1000 vezes maior do que as atuais. MJ ∝ ρ−1/2 . 176. Nas estrelas de popula¸ c˜ ao I e II. Simon T.as condi¸ c˜ oes t´ ıpicas das nuvens interestelares de hidrogˆ enio neutro. e a fragmenta¸ c˜ ao n˜ ao ocorre. isto ´ e. O astrˆ onomo inglˆ es Sir Martin John Rees (1942-) publicou em 1976. Hodgkin. e colapsando mais r´ apido do que a nuvem como um todo. Para densidades da ordem de ρ = 10−24 g cm−3 . Entretanto. portanto. faz com que a temperatura nas partes mais densas caia para 200 a 300K. o artigo Opacity-limited hierarchical fragmentation and the masses of protostars. podem colapsar pela instabilidade de Jeans. at´ e temperaturas de cerca de 10K. com os fragmentos tornando-se inst´ aveis ap´ os o in´ ıcio do colapso da nuvem. se a nuvem irradiar a energia gravitacional do colapso. Γ3 − 1 ≡ ∂ ln T ∂ ln ρ −→ T ∝ ρ2/3 S se Γ3 = γ = 5/3 e a massa de Jeans MJ ∝ T 3/2 ρ−1/2 ∝ ρ1/2 . Cossburn. se o colapso for adiab´ atico.03 M . s´ o ocorre se o colapso for aproximadamente isot´ ermico. uma demonstra¸ c˜ ao de que a fragmenta¸ c˜ ao de nuvens moleculares ocorre at´ e uma massa m´ ınima da ordem de 0. Este ´ e o momento da separa¸ c˜ ao da mat´ eria escura e da mat´ eria comum. MJ 10 M . A fragmenta¸ c˜ ao. p. os gr˜ aos de poeira e mol´ eculas com elementos pesados resfriam as nuvens com eficiˆ encia. Acredita-se que as estrelas se formem por fragmenta¸ c˜ ao da nuvem colapsante. obtemos que somente massas grandes. sem perda de energia. Mas nas estrelas de popula¸ c˜ ao III este resfriamento por mol´ eculas pesadas e poeira n˜ ao ocorre. no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Mas ser´ a que a fragmenta¸ c˜ ao continua at´ e corpos como planetas? Se a nuvem colapsar isotermicamente. Como a massa de Jeans ´ e proporcional ao quadrado da temperatura e inversamente proporcional ` a raiz quadrada da sua press˜ ao. p. quando M5 = 64π 3 σ 2 f 2 T 8 R9 3 G3 (23. isto ´ e. um fragmento de temperatura T n˜ ao pode irradiar mais do que um corpo negro com a mesma temperatura. O tempo caracter´ ıstico de queda livre do fragmento ´ e (Gρ)−1/2 e a energia total a ser irradiada ´ e da ordem da energia gravitacional EG GM 2 /R (ver se¸ c˜ ao 23.483. p. os elementos fr´ ageis D e Li s˜ ao destru´ ıdos. e R por R= 3MJ 4πρ 515 1 3 . 23. 567. Brown Dwarf Mass Function and Density. Gilles Chabrier (2002).482 em 23. Para as estrelas com massa maior do que 13 MJ´ upiter . portanto. Se definirmos f ≤ 1 como o fator que leva em conta que o fragmento irradia menos do que um corpo negro. substituimos 23. II. a taxa de perda de energia do fragmento ´ e dada por: B = 4πf R2 σT 4 onde σ ´ e a constante de Stefan-Boltzmann. 288. publicado em 2002 no Astrophysical Journal. As estrelas com massa inicial abaixo de 0.9). Jameson e David J. Abaixo de 13 MJ´ upiter nenhuma rea¸ c˜ ao nuclear ocorre. onde M e R s˜ ao a massa e o raio do fragmento.F.08 M tornam-se degeneradas antes do in´ ıcio da igni¸ c˜ ao do hidrogˆ enio e.483) Assumindo que a fragmenta¸ c˜ ao termina quando a massa de Jeans ´ e igual a essa massa. estima que a densidade de massa das an˜ as marrons corresponde a aproximadamente 10% da densidade de massa das estrelas na nossa Gal´ axia. nunca queimam o hidrogˆ enio. Pinfield no artigo Discovery of the lowest mass brown dwarf in the Pleiades. publicado em 1997 no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. no artigoThe Galactic Disk Mass Budget. A transi¸ c˜ ao de colapso isot´ ermico para adiab´ atico ocorre quando A B . 304. A quantidade de energia por unidade de tempo a ser irradiada para manter o fragmento com a mesma temperatura ´ e da ordem de A 1 GM 2 (Gρ) 2 = R 3 4π 1 2 G2 M 2 R2 5 3 5 Entretanto. at´ ez 2. no g´ as neutro + + as linhas de C e Fe . obtemos MJ 0. Sem metais a fragmenta¸ c˜ ao n˜ ao ocorre porque o esfriamento ´ e pequeno.485) = 0. que se desexcitam principalmente por emiss˜ ao de f´ otons. 505). Para T 1000 K e f 0. mais r´ apido ele esfria. Nas regi˜ oes HII as linhas de O2+ dominam. Pagel & G. Mas a forma¸ c˜ ao de H2 se d´ a principalmente por cataliza¸ c˜ ao de gr˜ aos de poeira. O esfriamento das nuvens interestelares se d´ a principalmente atrav´ es da excita¸ c˜ ao colisional dos metais para n´ ıveis proibidos. A composi¸ c˜ ao qu´ ımica do g´ as parece ser similar ` a da Via L´ actea para a mesma idade (B.obtendo a massa de Jeans no final da fragmenta¸ c˜ ao: MJ MJ = π9 9 1 4 1 σG3 1 1 1 2 9 4 µ f−2 T 4 1 1 (23. isto ´ e. MJ 4000 → 120 000 M para T = 10 → 100 K Se colapso isot´ ermico (nuvem transparente): MJ ∝ ρ−1/2 −→ ρ ↑ 1000 → MJ ↓ 31 ocorre fragmenta¸ c˜ ao Mas se colapso adiab´ atico (nuvem opaca): MJ ∝ ρ1/2 −→ ρ ↑ 1000 → MJ ↑ 31 n˜ ao ocorre fragmenta¸ c˜ ao 516 . 276. A forma¸ c˜ ao de mol´ eculas torna o g´ as mais denso porque o n´ umero de part´ ıculas ´ e reduzido. produzidos pelas estrelas de Popula¸ c˜ ao I e II e retornados ao meio interestelar por ventos e explos˜ oes. e no g´ as molecular as linhas de H2 . E.35 ´ e basicamente a mesma nas diversas regi˜ oes de nossa Gal´ axia e mesmo nas gal´ axias pr´ oximas. 02 M f − 2 T 4 para T em K e usando µ 1. Estes f´ otons portanto tˆ em n´ ıveis de energia que n˜ ao podem ser absorvidos normalmente. As observa¸ c˜ oes indicam que a Fun¸ c˜ ao Inicial de Massa (IMF) dada pela rela¸ c˜ ao de Salpeter [Edwin Ernest Salpeter (1924-2008)] IM F ≡ N (M) ∝ M−2. Tautvaisien´ e. Quanto mais met´ alico o g´ as. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. a fragmenta¸ c˜ ao termina para fragmentos da ordem da massa solar. 1. 1995. e a energia ´ e perdida da nuvem. ou seja.484) (23. equivalente a 7 Ganos em rela¸ c˜ ao ao tempo atual. 3 M . esta regi˜ ao s´ o pode ser observada no r´ adio e infravermelho.63: Imagem da nebulosa gal´ atica NGC3603. Por 517 . No ´ otico tem um raio de cerca de 5 pc e contˆ em v´ arias regi˜ oes HII. A mol´ ecula de CO ´ e particularmente importante no estudo das nuvens moleculares porque pode ser observada em 6 cm e acredita-se que a raz˜ ao CO/H2 10−4 seja a mesma em todas nuvens moleculares. altamente obscurecida. ´ e provavelmente a nuvem molecular e regi˜ ao de forma¸ c˜ ao estelar mais pr´ oxima. A regi˜ ao de ρ Ophiuchi. obtida com o Telesc´ opio Espacial Hubble. localizada cerca de 200 pc do centro de nossa Gal´ axia e com uma massa estimada em 3–10 milh˜ oes de massas solares. e gl´ obulos de Bok no canto superior direito. Outra nuvem molecular ´ e Sagittarius B-2. mostrando desde estrelas supergigantes e WolfRayet na esquerda. localizado a aproximadamente 150 pc ´ e um exemplo de uma nebulosa escura. A forma¸ c˜ ao estelar ocorre nas nuvens moleculares massivas e densas encontradas pr´ oximas ao plano da nossa Gal´ axia. Como a extin¸ c˜ ao visual ´ e de cerca de 25 magnitudes. O Saco de Carv˜ ao.Figura 23. w ´ e a velocidade relativa entre as part´ ıculas.64: Esquema de forma¸ c˜ ao estelar Se levarmos em conta o campo magn´ etico. a mol´ ecula H2 s´ o foi observada pr´ oximo do Sol. mi +mn (vi − v ) ´ FLorentz = ni e E + vi ×B c − ne e E + 518 ve ×B c = je ×B c . mi mn e o momentum transferido em uma colis˜ ao. Figura 23. enquanto a mol´ ecula de CO foi mapeada por toda a Via L´ actea e mesmo em gal´ axias pr´ oximas. no ultravioleta e no infra-vermelho.dificuldades instrumentais.377) torna-se ρ onde Farrasto = ni n σw ∂v + ρ v · ∇ v = −∇P − ρ∇Φ − Farrasto − FLorentz ∂t mi mn (vi − v ) mi + mn e ni n σw ´ e a taxa de colis˜ oes. a equa¸ c˜ ao de movimento de Euler (2. Richard B. c´ alculos do colapso de uma nuvem originalmente homogˆ enea com uma massa solar. Herbig (1950. Astrophysical Journal. Astrophysical Journal. a nuvem colapsante ´ e oticamente fina (transparente) e aproximadamente isot´ ermica. em 1969. 145.65: Imagens do Telesc´ opio Espacial Hubble de discos protoestrelares detectados pelo IRAS As regi˜ oes de forma¸ c˜ ao estelar tamb´ em apresentam nebulosas caracterizadas por espectro de emiss˜ ao. j´ a que a corrente ´ e a fonte do campo magn´ etico. Dessa forma. je = ni e (vi − ve ) = c ∇×B 4π onde a u ´ltima igualdade ´ e pela Lei de Amp´ ere. a densidade central aumenta rapidamente. enquanto a densidade nas partes externas permanece praticamente constante. chamados de objetos de Herbig-Haro. Larson publicou. 271. e subseq¨ uente aumento na densidade produz aumento adiab´ atico na temperatura.onde podemos desprezar o campo el´ etrico E . A regi˜ ao central se torna opaca quando a densidade central atinge cerca de 10−13 g cm−3 . 115. 111. com T 10 K. Na fase inicial. no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 572). em honra aos descobridores George H. jatos e eje¸ c˜ ao bipolar. a press˜ ao aumenta e o colapso em 519 . Figura 23. Durante o colapso. 11) e Guillermo Haro (1952. 101. e temperatura central Tc 170 K.Figura 23. As camadas externas continuam sendo acretadas ao n´ ucleo. Esse n´ ucleo ´ e chamado de proto-estrela. o hidrogˆ enio. com densidade central de cerca de 10−10 g cm−3 .66: Espectro de uma proto-estrela de acordo com Bruce A. que estava na forma molecu520 . formando um n´ ucleo central em equil´ ıbrio hidrost´ atico. Wilking (1989). Quando a temperatura central atinge cerca de 2000 K. 229 queda livre chega ao fim. Publications of the Astronomical Society of the Pacific. pois requer s´ o 105 K. A maior parte do 3 He ´ e primordial (do Big-Bang). atingindo uma densidade de cerca de 2 × 10−2 g cm−3 e Tc 2 × 104 K. Quando praticamente todo o hidrogˆ enio central est´ a na forma atˆ omica. finalmente. ainda. A pro-estrela torna-se completamente convectiva. o equil´ ıbrio hidrost´ atico n˜ ao ´ e mais mantido. dominada pela contribui¸ c˜ ao da contra¸ c˜ ao. γ ) 3 He durante esta descida. Para um observador externo. 104 a 105 anos. o n´ ucleo torna-se dinamicamente est´ avel novamente. Os caminhos come¸ cam no canto inferior direito. em equil´ ıbrio hidrost´ atico. mas ainda contraindo-se. chegando ` a seq¨ uˆ encia principal com 17 M . A 521 . reduzindo a velocidade com que a estrela desce a trajet´ oria. A linha tracejada indica o limite de Hayashi (Immo Appenzeller e Walther M. chegando ao limite de Hayashi. e a proto-estrela colapsa novamente. A proto-estrela de 60 M ejeta parte do envelope. 1974. o envelope vai se tornando transparente. mas a luminosidade ´ e. a nuvem continua como um objeto infravermelho enquanto o envelope for opaco ` a radia¸ c˜ ao vis´ ıvel. A transforma¸ c˜ ao de deut´ erio 2 D em 3 He ocorre por 2 D (p. at´ e a fotosfera atingir a superf´ ıcie do n´ ucleo em equil´ ıbrio hidrost´ atico. quando a proto-estrela finalmente atinge o equil´ ıbrio t´ ermico e hidrost´ atico. a contra¸ c˜ ao ocorre em escala de tempo t´ ermica. j´ a que a abundˆ ancia de 2 D ´ e muito pequena. fora de equil´ ıbrio t´ ermico. se dissocia e como parte da energia de contra¸ c˜ ao ´ e utilizada na dissocia¸ c˜ ao.67: Diagrama Hertzsprung-Russel com o caminho evolucion´ ario para proto-estrelas de 1 M e 60 M . lar (H2 ). Descendo a trajet´ oria de Hayashi. 423). tornando-se uma estrela vis´ ıvel. Tscharnuter. onde a radia¸ c˜ ao emitida pelas nuvens ´ e no infravermelho e. 30. Com o acr´ escimo de mat´ eria ao n´ ucleo. aproximam-se da seq¨ uˆ encia principal de idade zero (ZAMS).Figura 23. Astronomy & Astrophysics. As rea¸ c˜ oes nucleares iniciam. mostrando que seus modelos de estrelas de 2 M est˜ ao pr´ oximos dos c´ alculos anteriores.31 Estrelas bin´ arias Um grande n´ umero de estrelas est´ a em sistemas bin´ arios e m´ ultiplos. Para distˆ ancias menores. Pinsonneault. 303). Tscharnuter. quando os efeitos dinˆ amicos de acres¸ c˜ ao de massa tornam-se desprez´ ıveis. mas que os modelos de 1 M nunca tornam-se completamente convectivos e s˜ ao aproximadamente 1 milh˜ ao de anos mais velhos que os modelos calculados assumindo equil´ ıbrio hidrost´ atico desde o in´ ıcio.486) representam a for¸ ca centr´ ıfuga e a for¸ ca de Coriolis [Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843)]. o movimento de uma part´ ıcula de massa m ´ e dado pela rela¸ c˜ ao: m dr d2 r = F1 + F2 − mw × (w × r) − 2m w × 2 dt dt (23. Sabatino Sofia. Consideremos duas estrelas de massa M1 e M2 separadas por uma distˆ ancia a orbitando o centro de massa do sistema. 1997. 23. As observa¸ c˜ oes indicam que existe uma grande variedade de condi¸ c˜ oes iniciais na forma¸ c˜ ao de estrelas. G¨ unther Wuchterl & Werner M. 1081. No sistema de referˆ encia em rota¸ ca ˜o com o sistema bin´ ario. Astrophysical Journal. 480. publicaram no Astronomy & Astrophysics. Marc H. r ´ e medido a partir do centro de massa e os dois u ´ltimos termos na equa¸ c˜ ao (23. seus c´ alculos de colapso protoestelar e pr´ e-seq¨ uˆ encia principal.486) onde F1 e F2 s˜ ao as for¸ cas gravitacionais sobre m causadas pelas estrelas de massas M1 e M2 . j´ a que existe uma grande dispers˜ ao nas velocidades de rota¸ c˜ ao das estrelas pr´ e-sequˆ encia principal (Anita Krishnamurthi. suas evolu¸ c˜ oes s˜ ao como as de estrelas n˜ ao bin´ arias. de 2003. existe intera¸ c˜ ao entre as estrelas que afeta sua evolu¸ c˜ ao.acres¸ c˜ ao se d´ a atrav´ es de um disco. e sua evolu¸ c˜ ao depende n˜ ao somente da massa da estrela mas tamb´ em da separa¸ c˜ ao entre elas. 398. A for¸ ca centr´ ıfuga pode ser derivada do potencial centr´ ıfugo Vc : Gm (M1 + M2 ) x2 + y 2 1 Vc = − mw2 x2 + y 2 = − 2 2a3 522 . A origem do sistema em rota¸ c˜ ao ´ e o centro de massa do sistema e w ´ e a velocidade orbital angular do sistema. Se as estrelas est˜ ao separadas mais do que 10 vezes o raio que ter˜ ao quando supergigantes. apontando na dire¸ c˜ ao do eixo z. Sydney Barnes. O ponto Lagrangiano L1 . em alguma fase de sua evolu¸ c˜ ao. Se m est´ a no plano (x. y. ela n˜ ao pode realizar trabalho sobre a massa pontual m. ocorrer´ a transferˆ encia de massa entre as estrelas. ´ e de particular importˆ ancia porque. E= m x 2 e GmM2 GmM1 − − V (x. 0). se a massa total e o momentum angular forem conservados durante a transferˆ encia de massa. localizado no eixo x. − 23. enquanto que as equipotenciais externas ao L´ obulo de Roche envolvem as duas estrelas. A teoria dos pontos lagrangianos foi desenvolvida.0) tem m´ aximos em trˆ es pontos cr´ ıticos que s˜ ao chamados de pontos lagrangianos no eixo x. As equipotenciais pr´ oximas de M1 e M2 s˜ ao quase esf´ ericas em torno das estrelas individuais.y). entre as duas estrelas.1 Bin´ arias Pr´ oximas As estrelas s˜ ao consideradas bin´ arias pr´ oximas quando ocorre transferˆ encia de massa. y. e dois no eixo y . pelo matem´ atico francˆ es Joseph Louis Lagrange (1736-1813). sua energia ´ e dada por 1 ˙2 + y ˙ 2 + V (x. se uma das estrelas se expande suficientemente tal que parte de sua superf´ ıcie atinge o ponto L1 .31.487) J = M1 wx1 + M2 wx2 = (M1 + M2 )2 e resolvermos para a: a= MJ2 MJ2 = 2 (M − M )2 G (M1 M2 )2 GM1 1 (23.y. δa = 2M J 2 3 (M − M )2 GM1 1 −M + 2M1 M − M1 523 δM1 (23. em 1772.489) . Se definirmos J como o momentum angular total em rela¸ c˜ ao ao centro de massa: 1 M1 M2 (Ga) 2 2 2 (23.Como a for¸ ca de Coriolis ´ e perpendicular ` a dire¸ c˜ ao de movimento.488) obtemos. A curva equipotencial e chamada de L´ que inclui o ponto L1 ´ obulo de Roche. 0) = − 1 / 2 1/2 2 2 2 + y2 2 x − x2 + y x − x 1 2 Gm (M1 + M2 ) x2 + y 2 2a3 O potencial V(x. Para uma estimativa da ordem de grandeza.Figura 23. com δM1 + δM2 ≡ 0. • redu¸ c˜ ao da separa¸ c˜ ao entre as componentes. 52 Mtotal Existem quatro maneiras de preencher o L´ obulo de Roche: • crescimento de uma das componentes por evolu¸ c˜ ao. mostrando os 5 pontos lagrangianos: L1 a L5 . transfere massa para a companheira. por emiss˜ ao de vento 524 .68: Equipotenciais de um sistema bin´ ario de massas similares. A equipotencial que passa por L1 chama-se L´ obulo de Roche e. quando uma estrela se expande at´ e essa equipotencial.44 Mi L a Ri 0. Esta equa¸ c˜ ao nos d´ a a rela¸ c˜ ao entre a massa transferida e a mudan¸ ca na separa¸ c˜ ao entre as estrelas. podemos expressar o raio da esfera com o mesmo volume que o L´ obulo de Roche da componente i como: 0. a. Quando se inicia a transferˆ encia de massa. se a doadora j´ a n˜ ao tinha envelope convectivo. o L´ obulo de Roche continua cheio e. A equipotencial que passa por L1 chama-se L´ obulo de Roche [Edouard Roche (1820-1883)]. continua a transferˆ encia de massa at´ e que a raz˜ ao das massas se inverta: M1 /M2 ≈ M2 /M1 . • aumento de raio da receptora de massa por rejei¸ c˜ ao do material acretado ou igni¸ c˜ ao termonuclear na base da camada acretada. magn´ etico ou ondas gravitacionais. portanto. que reduza a separa¸ c˜ ao entre as componentes. como nas estrelas sdO e sdB. 01 M . • colis˜ ao da bin´ aria com outra estrela de um aglomerado denso. Se a doadora j´ a possuia envelope convectivo. 525 .69: Equipotenciais de um sistema bin´ ario com estrelas de massas diferentes. ela continua perdendo massa at´ e que a massa do envelope de hidrogˆ enio MH ≤ 0.Figura 23. mostrando os 5 pontos lagrangianos: L1 a L5 . 23. A fric¸ c˜ ao no disco carrega g´ as para fora. Estes modelos se expandem. enquanto a outra parte est´ a dispon´ ıvel para a estrela ou para a zona de transi¸ c˜ ao. a mat´ eria acretada ganhou uma energia gravitacional GM/Rm por unidade de massa. h´ a transporte de momentum angular permitindo que parte da mat´ eria seja acretada na estrela. Se a borda externa do disco tiver um raio grande comparado com o raio R da estrela que est´ a acretando a mat´ eria. Se a mat´ eria espiralando tem alta densidade. de massa M . Parte da energia ´ e perdida aquecendo o disco. Mas a viscosidade do disco continua a converter ´ energia cin´ etica em calor. a luminosidade do disco ´ e muito maior do que a luminosidade do Sol. Teukolski (1947-) (1983. portanto se deslocando para ´ orbitas mais internas. Note que para taxas de transferˆ encia da ordem de 10−9 massas solares por ano.3 Envelope Comum Os modelos que evolu´ ıram al´ em da base do ramo das gigantes possuem um envelope convectivo. levando o disco a irradiar energia e. as colis˜ oes do g´ as no disco convertem energia cin´ etica em calor. t´ ıpica de sistemas interagentes.31. A outra metade da energia vai para a estrela ou para a camada de transi¸ c˜ ao do disco. ent˜ ao podemos igualar a taxa de aquecimento do disco com a luminosidade do disco. Stuart Louis Shapiro (1947-) & Saul A.23. Se o sistema est´ a taxa de acres¸ ` c˜ ao de massa. aquecem o g´ as. Se o campo magn´ etico for desprez´ ıvel. em resposta a perda 526 . Black Holes.31.2 Discos de Acres¸ c˜ ao O disco de acres¸ c˜ ao se forma porque o g´ as que passa pelo ponto lagrangiano L1 tem momentum angular muito alto para cair sobre a estrela. a luminosidade do disco ser´ a a metade da varia¸ c˜ ao da energia gravitacional: Ldisco ˙M 1 GM 2 R 1034 ˙ M ergs/s 10−9 M /ano para an˜ as brancas (R=10 000 km). e Ldisco ˙M 1 GM 2 R 1037 ˙ M ergs/s 10−9 M /ano para estrelas de nˆ eutrons e buracos negros (R=10 km). entrando em orbita da estrela receptora. que irradia e perde energia. New York: John Wiley & Sons) calcularam a luminosidade do disco. M a em equil´ ıbrio. A taxa com que a energia ´ e liberada deve ser proporcional ˙ . White Dwarfs and Neutron Stars. o hidrogˆ enio queima-se termonuclearmente na camada acretada.de massa. P. Eggleton. quando a camada acretada atinge cerca de 0. em vez de transferˆ encia de massa de uma estrela para a companheira. preenche seu L´ obulo de Roche e. quando recebe massa. aproximadamente. Al´ em disto. A fric¸ c˜ ao entre a mat´ eria do envelope comum e as estrelas imersas no envelope. ricas em carbono e oxigˆ enio. antes de preencher seu L´ obulo de Roche. e a estrela expande-se rapidamente. atingindo propor¸ c˜ oes de uma gigante vermelha. a precursora deveria ter uma massa entre 3. 001 M . deve ter atingindo um raio maior do que o raio no final da seq¨ uˆ encia principal. As estrelas tˆ em massa similares. As estrelas R Coronae Borealis s˜ ao vari´ aveis irregulares. expelida pela prim´ aria. Uma companheira t´ ıpica de uma estrela de massa baixa. cerca de cinco vezes o raio da estrela vermelha. o que faz a an˜ a branca se expandir. a perda de massa do sistema e o espiralamentos das estrelas. consistindo de uma an˜ a branca com uma companheira vermelha aproximadamente 0. e a distˆ ancia entre as estrelas reduzida. preenche a regi˜ ao al´ em dos l´ obulos. A companheira. como a companheira tamb´ em tem somente 0. p. de 4 R . uma em dire¸ c˜ ao ` a outra. formando um envelope comum em expans˜ ao. ambos L´ obulos de Roche s˜ ao preenchidos e a mat´ eria. No caso de uma an˜ a branca com cerca de 0. causa. que perde massa. isto ´ e. 7 M . e com grande forma¸ c˜ ao de gr˜ aos de poeira (gr˜ aos amorfos de carbono) que obscurecem temporariamente a estrela. esse limite corresponde a. Structure and Evolution of Close Binary Systems. 7 M . Com o tempo a poeira sai da linha de visada e a estrela ´ e vis´ ıvel novamente. Para acr´ escimo em estrelas de baixa massa. O envelope comum foi proposto por Bohdan Paczy´ nski (1940-2007). e est˜ ao separadas por aproximadamente 3 R . em seu artigo de 1976. o remanente compacto da prim´ aria e sua companheira est˜ ao em uma ´ orbita mais pr´ oxima. ´ e uma estrela de baixa massa. ed. S˜ ao provavelmente formadas em um flash de h´ elio ou 527 . portanto.75. ocorre a fase de envelope comum. 5 M e. no IAU Symposium 73. Para produzir uma an˜ a branca de 0. ou intermedi´ aria. portanto. Um exemplo deste processo ´ e a bin´ aria V471 Tau. S. a maior parte da massa do sistema foi perdida. M 10−4 a − 2 10 M /ano. Whelan (Dordrecht: Reidel). pr´ oximas de 0. Quando a maior parte da mat´ eria rica em hidrogˆ enio do envelope da estrela doadora passa pelo envelope comum. desde que essa n˜ ao seja muito grande. Mitton e J. a massa acretada tornase quente no disco de acres¸ c˜ ao. ao mesmo tempo. 5 M e 4. e ´ e perdida do sistema.6 magnitudes acima da seq¨ uˆ encia principal. ou uma an˜ a branca. 7 M . 6 M . Para estrelas de massa ˙ intermedi´ aria. R Cor Bor foi descoberta em 1796 por Edward Pigott (1753-1825). com atmosferas deficientes em hidrogˆ enio. Figura 23. mas ocorrem mais frequentemente do que nas novas. Merle F. Mario Livio. Outro grupo de vari´ aveis catacl´ ısmicas n˜ ao magn´ eticas ´ e o das novas an˜ as. 1997. 484. Clayton (1996) “The R Coronae Borealis Stars”. Southwell & Phil A. 59). Charles. Publications of the Astronomical Society of the Pacific. Em geral a doadora ´ e uma estrela de baixa massa e fria. que variam de brilho de 6 a 19 magnitudes. T Pyx. As varia¸ c˜ oes s˜ ao causadas pela queima explosiva do hidrogˆ enio acretado na an˜ a branca. Algumas s˜ ao novas recorrentes e pelo menos uma. propˆ os que as vari´ aveis catacl´ ısmicas eram bin´ arias. Karen A. As primeiras descobertas foram as novas. Walker. apresentou jatos colimados emanando do disco de acres¸ c˜ ao (Tariq Shahbaz. Outro grupo ´ e o das nova-like (parecidas com 528 . Astrophysical Journal. nos anos 1950.70: Esquema da fase de envelope comum. uma an˜ a vermelha. Seus brilhos mudam drasticamente e constantemente. na coalescˆ encia de um sistema bin´ ario de an˜ as brancas [Geoffrey C. possivelmente causadas pela varia¸ c˜ ao na taxa de acres¸ c˜ ao de massa pelo disco. em que a estrela que recebe massa ´ e uma an˜ a branca. As de maior amplitude enfraquecem mais rapido. Suas varia¸ c˜ oes s˜ ao de 2 a 5 magnitudes. A maioria possui discos de acres¸ c˜ ao. O per´ ıodo orbital t´ ıpico ´ e de algumas horas e a separa¸ c˜ ao em geral menor do que o raio do Sol. Os sistemas com jatos s˜ ao conhecidos como microquasares. 225.] Uma classe de bin´ arias interagentes ´ e a das Vari´ aveis Catacl´ ısmicas. 108. em escalas de tempo de meses a anos. 71: Cen´ arios para a evolu¸ c˜ ao de bin´ arias. novas). 76.Figura 23. onde a mat´ eria da secund´ aria est´ a 529 . Os asteriscos indicam an˜ as brancas. Mcr ´ e a massa cr´ ıtica de Chandrasekhar. que n˜ ao sofrem varia¸ c˜ oes extremas (outbursts) e. portanto. A maior parte da luz vis´ ıvel destes sistemas vem do disco de acres¸ c˜ ao. pois o plasma ´ e aquecido ao espiralar no potencial da estrela prim´ aria. Elipses girando no sentido anti-hor´ ario indicam discos de acres¸ c˜ ao. A mancha quente (hot spot). 55. Linhas onduladas indicam transi¸ c˜ oes causadas por emiss˜ ao de ondas gravitacionais. A probabilidade de ocorrˆ encia do produto final na base da figura foi calculada usando-se uma taxa de forma¸ c˜ ao de bin´ arias de 1 por ano. enquanto os c´ ırculos fechados representam os n´ ucleos degenerados das gigantes. ou estrelas de nˆ eutrons. mant´ em o brilho m´ edio. segundo Icko Iben Jr. Os c´ ırculos pequenos abertos indicam estrelas n˜ ao evolu´ ıdas. (1991) Astrophysical Journal Supplement. Figura 23.72: Cen´ ario para a forma¸ c˜ ao de uma supernova tipo Ia. e Alexander V. liberando intensamente em raio-X. impactando o disco. L79. a partir de uma bin´ aria inicialmente com duas estrelas relativamente massivas. As catacl´ ısmicas magn´ eticas tˆ em campos magn´ eticos de milh˜ oes de Gauss. Tutukov (1984) Astrophysical Journal. que evoluem por duas fases de envelope comum em um par de an˜ as brancas com n´ ucleos de C/O. o que impede a forma¸ c˜ ao do disco e afunilam a acres¸ c˜ ao pelos p´ olos das estrelas. e com massa combinada acima do limite de Chandrasekhar. 259. segundo os c´ alculos de Icko Iben Jr. Se o campo ´ e t˜ ao forte que sincroniza 530 . causa aumento do brilho quando passa pela linha de visada. o sistema. faria a luz retornar a ela. Uma classe similar de obtejos ´ e a dos Transientes de Raio-X. determinando a velocidade de 825 p´ es/segundo e em granito s´ olido. em que a receptora ´ e uma estrela de nˆ eutrons ou um buraco negro. 2M vqueda . 007M c2 . 5c para estrelas de nˆ eutrons e buracos negros. ´ e considerado o fundador da sismologia. No mesmo ano o sui¸ co Elie M´ emoires Historiques et Phisiques sur les Tremblemens de Terre. 6 Na Terra. estudando a velocidade das ondas. prim´ arias. Em 1783 o mesmo Michell propˆ os que a gravidade de uma estrela com a massa do Sol. As ondas ”s”. 1665 p´ es/segundo. mas somente 1/3 disto na ´ agua. tˆ em velocidade de 6 km/s na terra e nas rochas. Ilha de Wight. A deriva¸ c˜ ao a seguir ´ e fortemente baseada na de Carl John Hansen (1933-) e Steven Daniel Kawaler (1958-) em seu livro de 1994 ”Stellar Interiors”(New York: Springer-Verlag). Luigi Palmieri (18071896). 531 . enquanto a acres¸ c˜ ao libera a energia cin´ etica. Ele publicou em 1757 The History and Philosophy of Earthquakes. portanto. o que hoje ´ Bertrand (1712-c. Em 1755 Lisboa foi destru´ ıda por um dos maiores terremotos j´ a registrados. de cisalhamento. 6 O ge´ ologo e astrˆ onomo inglˆ es John Michell (1724-1793). da ordem de E = 2 0. secund´ arias. mas maior amplitude e. maior poder de destrui¸ c˜ ao. Porthsmouth. Ocorreram v´ arios terremotos na Inglaterra em 1750: Londres. Existem v´ arias centenas de bin´ arias que emitem raio X devido ` a incidˆ encia de vento da estrela massiva (HMXB = High Mass X-Ray Binaries). Usamos as varia¸ c˜ oes de luminosidade para obter informa¸ c˜ oes dos interiores estelares assim como os ge´ ologos usam os movimentos das crostas terrestres para estudar o interior da Terra na sismologia. 25M c2 As estrelas em sistemas bin´ arios pr´ oximos com estrelas quentes (O ou Be) tamb´ em s˜ ao afetadas pelo vento estelar da estrela massiva e pelo pr´ opio aquecimento das camadas externas pela radia¸ ca ˜o da estrela massiva. gerando vapor e portanto for¸ ca. al´ em de outros materiais e propˆ os o uso da palavra sismologia. tˆ em velocidade de 3 km/s. 23. j´ a que a fus˜ ao de H em He libera E = 0. estudou a passagem das ondas em areia. mas com 1/500 do seu raio. e vqueda vescape 0.32 Pulsa¸ co ˜es Radiais Adiab´ aticas As estrelas intrinsicamente vari´ aveis n˜ ao est˜ ao em equil´ ıbrio hidrost´ atico porque as for¸ cas n˜ ao s˜ ao contrabalanceadas e acelera¸ c˜ oes locais causam o movimento dos fluidos. em que propunha que a causa eram a existˆ encia de grandes ”fogos subterrˆ aneos”que recebiam grande quantidade de ´ agua. Wales e Northamptonshire. professor de Cambridge. chamam-se polares.1790) publicou chamamos de buraco negro. Note que a acres¸ c˜ ao em objetos compactos ´ e mais efetiva do que a fus˜ ao nuclear na libera¸ c˜ ao de energia. as ondas de press˜ ao. resultando em E 0. italiano. de algum modo.491) onde explicitamente introduzimos derivadas parciais para assegurar que derivadas temporais somente aparecem onde for apropriado. e ser˜ ao fun¸ c˜ oes do tempo e da posi¸ c˜ ao. de modo que o sistema ´ e puramente mecˆ anico. campo magn´ etico. etc. Relembramos que o tempo dinˆ amico. O problema. mas mantendo a simetria esf´ erica. o raio e a densidade. A aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica ´ e extremamente u ´til na teoria de estrelas vari´ aveis porque simplifica a an´ alise. podemos descrever a estrutura mecˆ anica somente com as equa¸ c˜ oes de massa e de for¸ ca ∂Mr = 4πr2 ρ (23. a estrela ´ e for¸ cada a sair deste estado de equil´ ıbrio hidrost´ atico inicial. mas produz resultados precisos da resposta dinˆ amica da maioria das estrelas. Por exemplo. entretanto. ao estudo de ondas sonoras em uma caixa. Nesta se¸ c˜ ao trataremos dos movimentos radiais. Imagine que este seja o caso inicial mas. o som de um sino depende muito mais de sua estrutura do que da energia dada por uma batida. ou mesmo para as partes externas da maioria das estrelas. Nesta aproxima¸ c˜ ao. Se a estrela fosse totalmente est´ atica. para 532 . nesta aproxima¸ c˜ ao. Isto n˜ ao ´ e estritamente v´ alido para todas estrelas. se reduz a estudar os modos normais de um sistema equivalente a pˆ endulos e molas. porque n˜ ao nos diz nada sobre a causa real da pulsa¸ c˜ ao das estrelas. ent˜ ao a acelera¸ c˜ ao r ¨ seria sempre nula. assumimos que todos os mecanismos de mudan¸ ca de energia podem ser ignorados. ou tempo de queda livre. Como a transferˆ encia de calor ´ e ignorada na aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica.490) ∂r r ¨ = −4πr2 ∂P ∂Mr − GMr r2 (23. (tdin ) ´ e normalmente pequeno se comparado com o tempo de varia¸ c˜ ao da energia dentro da estrela.A estrutura de uma estrela ´ e fundamentalmente determinada pela mecˆ anica. mas forma a base da ”aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica” no estudo das pulsa¸ c˜ oes estelares. supomos que as perturba¸ c˜ oes do estado est´ atico s˜ ao pequenas da seguinte maneira: as vari´ aveis com subscrito zero no raio (r0 ) ou densidade (ρ0 ) denotam os valores locais das quantidades est´ aticas em um certo ponto de massa Mr . Ainda. ou mais corretamente. todas as part´ ıculas s˜ ao pintadas de vermelho. podemos imaginar. Quando se inicia o movimento. se afastam dos valores est´ aticos neste mesmo ponto. para tornar o sistema trat´ avel. O pre¸ co pago ´ e severo. por exemplo o tempo de Kelvin-Helmoltz (tKH ). em geral. Desta maneira assumimos que a estrela mant´ em a simetria esf´ erica e podemos desprezar os efeitos de rota¸ c˜ ao. porque segue um elemento de massa particular onde. Essa descri¸ c˜ ao ´ e uma descri¸ c˜ ao Lagrangiana do movimento. Os termos restantes do denominador s˜ ao ent˜ ao expandidos em binˆ omios.492) (23. encontramos que o resultado cont´ em a equa¸ c˜ ao de ordem zero ∂Mr 2 = 4πr0 ρ0 ∂r0 que ´ e simplesmente a equa¸ c˜ ao de continuidade de massa da configura¸ c˜ ao n˜ ao perturbada. ρ(t. Podemos descrever o movimento r(t. 533 .493) onde δr e δρ s˜ ao as perturba¸ c˜ oes Lagrangianas de densidade e de raio.disting¨ u´ ı-las de outro elemento de massa. A derivada ∂r0 ´ e ent˜ ao fatorada para fora de modo que o lado esquerdo cont´ em o fator ∂Mr /∂r0 . Quando os dois lados da equa¸ c˜ ao de massa linearizada s˜ ao igualados. Mr )/ρ0 (Mr )] (23. Como esta equa¸ c˜ ao ´ e automaticamente satisfeita. A restri¸ c˜ ao de que as perturba¸ c˜ oes sejam pequenas imp˜ oe |δr/r0 | 1 e |δρ/ρ0 | 1.494) Agora carregamos a derivada no denominador do lado esquerdo e expandimos os produtos no lado direito. Mr ) = r0 (Mr ) [1 + δr(t. Podemos agora linearizar as equa¸ c˜ oes de for¸ ca e de massa substituindo a posi¸ c˜ ao (raio) e densidade deste elemento de massa pelos valores perturbados (3) e (4) e. Este ´ e um resultado t´ ıpico de uma lineariza¸ c˜ ao em torno de um estado de equil´ ıbrio. A primeira opera¸ c˜ ao resulta em um novo denominador (1 + δr/r0 ) ∂r0 + r0 ∂ (δr/r0 ). no resultado. Mr )/r0 (Mr )] . Mr ) = ρ0 (Mr ) [1 + δρ(t. utilizamos a igualdade para subtrair estes termos da equa¸ c˜ ao linearizada. Consideremos a equa¸ c˜ ao de massa ∂Mr = 4π [r0 (1 + δr/r0 )]2 [ρ0 (1 + δρ/ρ0 )] ∂ [r0 (1 + δr/r0 )] (23. resultando em primeira ordem: δr ∂ (δr/r0 ) ∂Mr 1− − r0 ∂r0 r0 ∂r0 O lado direito da equa¸ c˜ ao de massa pode ser expandido em primeira ordem 2 4πr0 ρ0 1 + 2 δr δρ + r0 ρ0 . mantendo somente os termos de primeira ordem em δr/r0 e δρ/ρ0 . Essas duas quantidades s˜ ao usadas para descrever o movimento com o tempo de um determinado elemento de massa. trata-se da equa¸ c˜ ao hom´ ologa entre o raio e a densidade. O lado esquerdo da equa¸ c˜ ao de for¸ ca se torna −ρ0 r0 σ 2 ζ (r0 ) eiσt . Esclarecemos que n˜ ao estamos assumindo que as vari´ aveis f´ ısicas s˜ ao complexas. r0 ) = ζ (r0 ) eiσt r0 (23. pode ser considerado como a forma do deslocamente no instante zero de tempo. as vari´ aveis f´ ısicas s˜ ao a parte real do produto.497) onde a exponencial representa a descri¸ c˜ ao da evolu¸ c˜ ao temporal do deslocamento e ζ (r0 ).495) Note que parte desta equa¸ c˜ ao ´ e familiar porque. introduzimos a componente espacial do deslocamento relativo do fluido. Neste ponto da an´ alise tomamos o caminho tradicional em teoria de perturba¸ c˜ ao e assumimos que todos as perturba¸ c˜ oes prefixadas por δ pode ser decompostas nas componentes de Fourier com o elemento de tempo representado por exponenciais. como δr (t.496) ∂r0 ∂r0 Impl´ ıcito na deriva¸ c˜ ao desta equa¸ c˜ ao est˜ ao as condi¸ c˜ oes r ¨0 = 0 e r ˙0 = 0. j´ a que o estado de equil´ ıbrio ´ e completamente est´ atico.Podemos ent˜ ao rearranjar os termos. por exemplo δr (t. Rela¸ c˜ oes hom´ ologas s˜ ao definidas como rA = RA rB RB e MA (rA ) = MA MB (rB ) MB A equa¸ c˜ ao de for¸ ca ´ e linearizada similarmente ρ0 r0 d2 δr/r0 = ρ0 r0 dt2 ¨ δr r0 =− 4 δr δP + r0 P0 ∂P0 ∂ δP/P0 − P0 (23. encontrando uma rela¸ c˜ ao entre as perturba¸ c˜ oes Lagrangianas que precisa ser satisfeita para que a conserva¸ c˜ ao de massa seja mantida na configura¸ c˜ ao dependente do tempo: δρ ∂ (δr/r0 ) δr = −3 − r0 . se ignorarmos o termo derivativo. como eiσt = cos(iσt) + isen (iσt) e σ pode ser complexa. r0 ) = {ζ (r0 ) eiσt } r0 534 . que depende somente de r0 (isto ´ e. Note que σ e ζ (r0 ) podem ser complexos. ρ0 r0 ∂r0 (23. ζ (r0 ). do elemento de massa). Desta maneira. Deve agora ficar claro que temos duas equa¸ c˜ oes linearizadas. (4) substitu´ ımos as derivadas parciais por derivadas espaciais totais. (5) retiramos todas referˆ encias aos subscritos zero j´ a que todos os termos s˜ ao perturba¸ c˜ oes e quantidades da configura¸ c˜ ao est´ atica. Dentre os v´ arios caminhos que podemos tomar.500) (23. (2) substitu´ ımos todas ocorrˆ encias de δρ por δP usando a condi¸ c˜ ao adiab´ atica. mas trˆ es vari´ aveis: ζ (r0 ) e as partes espaciais das perturba¸ c˜ oes de press˜ ao e de densidade. Para tornar o problema em puramente mecˆ anico. com os valores comuns de eiσt cancelados. tomamos o logar´ ıtmo δ -derivadas para encontrar δρ δP = Γ1 P0 ρ0 (23. O resultado ´ e 1 dζ =− dr r d (δP/P ) d ln P =− dr dr 3ζ + 1 δP Γ1 P σ2 r3 δP ζ+ GMr P (23. A primeira ´ e simples porque exigimos que δr seja zero no centro (r = 0). mas lembrando que dependem somente de r0 . relembrando a rela¸ c˜ ao Lagrangeana entre mudan¸ cas em press˜ ao e mudan¸ cas em densidade Γ1 = ∂ ln P ∂ ln ρ (23.498) ad Como isto ´ e uma abrevia¸ c˜ ao para P ∝ ρΓ1 e δ ´ e o operador Lagrangiano diferencial. (3) rearrangamos as duas equa¸ c˜ oes linearizadas de modo que as derivadas espaciais aparecem no lado esquerdo. escolhemos o seguinte: (1) substitu´ ımos todas as perturba¸ c˜ oes pelas suas componentes espaciais de Fourier. temos tantas vari´ aveis quanto equa¸ c˜ oes. Obtemos portanto um conjunto de equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem acopladas. Para ver como isto ocorre. Isto ocorre porque desprezamos a energ´ etica do problema real e deste modo nossa descri¸ c˜ ao ´ e incompleta.501) 4ζ + onde o fator r3 /GMr aparece como resultado de usarmos a equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio hidrost´ atico para eliminar os termos contendo dP/dr. de for¸ ca e de massa. considere uma part´ ıcula de extens˜ ao infinitesimal exatamente 535 .499) Esta rela¸ c˜ ao toma o lugar de qualquer equa¸ c˜ ao de transporte de energia e calor que normalmente apareceriam e. agora. mas precisamos de condi¸ c˜ oes de contorno. relacionamos δρ e δP na aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica. Agora temos um n´ umero igual de equa¸ c˜ oes diferenciais e de condi¸ c˜ oes de contorno. como no caso das estrelas Miras. esta condi¸ c˜ ao ´ e equivalente a requerer que todas as perturba¸ c˜ oes interiores sejam refletidas na superf´ ıcie (que tamb´ em se move) de volta para o interior. (23. para a perturba¸ c˜ ao relativa na press˜ ao δP/P . Condi¸ c˜ oes de contorno mais complicadas s˜ ao poss´ ıveis — como as para a fotosfera — mas elas n˜ ao adicionam nada de importante ` a nossa discuss˜ ao. de modo que. Esta u ´ltima quantidade vai a zero rapidamente pr´ oximo ` a superf´ ıcie. Isto ´ e completamente arbitr´ ario. assumimos P → 0 quando r → R. Para nossos prop´ ositos ´ e adequado assumir a condi¸ c˜ ao de contorno zero para o modelo est´ atico. Mas todas as equa¸ c˜ oes que derivamos s˜ ao lineares e homogˆ eneas em ζ e δP/P de modo que permanece a quest˜ ao sobre como estas quantidades s˜ ao linearizadas.503) GM P Embora n˜ ao evidente imediatamente. em r = R (23. mas neste caso tamb´ em a aproxima¸ c˜ ao de perturba¸ c˜ oes lineares (pequenas) n˜ ao ´ e v´ alida. N˜ ao existe qualquer lugar que a part´ ıcula pode se mover (δr = 0) sem violar a condi¸ c˜ ao de simetria radial. em r = 0 (23.502) Γ1 P A segunda condi¸ c˜ ao de contorno ´ e aplicada na superf´ ıcie. Isto produz a segunda condi¸ c˜ ao de contorno 1 δP 3ζ + = 0. permanecer finita. precisamos δP σ 2 R3 ζ+ = 0. Para restringir. A primeira coisa a destacar ´ e que o coeficiente do lado direito da equa¸ c˜ ao de for¸ ca linearizada ´ e simplesmente 1 d ln P = dr λP onde λP ´ e a escala de altura da press˜ ao. Esta aproxima¸ c˜ ao n˜ ao ´ e boa quando a pulsa¸ c˜ ao causa perda de massa. A regularidade f´ ısica tamb´ em requer que ζ e dζ/dr sejam finitos no centro. A u ´nica maneira disto ser verdadeiro ´ e se o termo em parˆ entesis no lado direito da equa¸ c˜ ao (11) se anular no centro. em um ponto qualquer da estrela. Especificamente. qualquer rescalonamento ´ e permitido. para qualquer das duas perturba¸ c˜ oes. precisamos escolher uma normaliza¸ c˜ ao n˜ ao nula. Como est˜ ao. isto ´ e.no centro de equil´ ıbrio da estrela. j´ a que a pulsa¸ c˜ ao ´ e refletida para dentro da estrela. r 536 em r = R.504) . mas escolhemos 4ζ + ζ= δr = 1. e a solu¸ c˜ ao pode ser t˜ ao grande ou t˜ ao pequena quanto queiramos. nenhuma energia de pulsa¸ c˜ ao ´ e perdida pela estrela. de fato. Esta ´ e uma equa¸ c˜ ao de onda e ´ e chamada de Equa¸ c˜ ao de Onda Adiab´ atica e Linear ou LAWE (Linear Adiabatic Wave Equation).506) onde ζ ∗ ´ e o conjugado complexo de ζ . Podemos escrever de forma simplificada como L(ζ ) = σ 2 ζ . Esta igualidade implica que o operador de Sturm–Liouville L ´ e Hermitiano [Charles Hermite (1822-1901)] e que as seguintes afirma¸ c˜ oes sobre σ 2 e suas autofun¸ c˜ oes s˜ ao verdadeiras: 1. 23.1 A Equa¸ c˜ ao de Onda Adiab´ atica e Linear Primeiro colapsamos as duas equa¸ c˜ oes diferencias de primeira ordem para ζ e δP/P em uma equa¸ c˜ ao diferencial de segunda ordem em ζ . Existem ent˜ ao duas alternativas. σ 2 — j´ a que somente esta quantidade aparece em nossas equa¸ c˜ oes — ´ e um autovalor e as perturba¸ c˜ oes correspondentes s˜ ao autofun¸ c˜ oes para esse σ 2 particular. De fato. (23. diferenciando (11) e eliminando todas referˆ encias a δP/P e suas derivadas. Note que σ n˜ ao depende da condi¸ c˜ ao de normaliza¸ c˜ ao porque essa u ´ltima somente reescalona as solu¸ c˜ oes. Desta forma σ ou.505) Aqui L ´ e um operador diferencial de segunda ordem e ´ e uma abrevia¸ c˜ ao para a parte central da equa¸ c˜ ao aqui. 1829. A sa´ ıda ´ e reconhecer que a freq¨ uˆ encia (possivelmente complexa) σ n˜ ao foi especificada. ela somente pode tomar alguns valores para os quais as condi¸ c˜ oes de contorno se satisfa¸ cam. mais precisamente. Podemos tamb´ em simbolicamente integrar sobre toda a estrela e mostrar que M 0 ζ ∗ (Lζ ) r2 dMr = M 0 ζ (Lζ )∗ r2 dMr (23. Todos autovalores σ 2 do sistema s˜ ao reais assim como as autofun¸ c˜ oes correspondentes. neste caso. face o 537 . Joseph Liouville (18091882)]. Se σ 2 > 0 ent˜ ao σ ´ e real e a autofun¸ c˜ ao completa ζ (r) eiσt ´ e oscilat´ oria no tempo. ζ ´ e o operado. O resultado ´ e L(ζ ) ≡ − 1 d ρr4 dr Γ1 P r 4 dζ dr − 1 rρ d [(3Γ1 − 4) P ] dr ζ = σ 2 ζ. que permite a expans˜ ao das fun¸ c˜ oes em s´ eries.Vemos que isto coloca uma condi¸ c˜ ao adicional ao problema e. Todas as quantidades em L s˜ ao bem comportadas e L ´ e um operador de Sturm–Liouville [Jacques Charles Fran¸ cois Sturm (1803-1855). usando (11) e (12). excedemos o n´ umero permitido de condi¸ c˜ oes de contorno. M´ emoire sur la r´ esolution des ´ equations num´ eriques. Agora discutimos as propriedades dos autovalores desse problema adiab´ atico. inclu´ ındo a condi¸ c˜ ao de normaliza¸ c˜ ao.32. 4 g/cm3 . O resultado ´ e (3Γ1 − 4) 4πG ρ = σ2. A equa¸ c˜ ao LAWE se reduz a − dP 1 (3Γ1 − 4) ζ = σ 2 ζ.2 Alguns Exemplos Consideremos o caso irreal´ ıstico em que ζ e Γ1 s˜ ao assumidos constantes por toda a estrela. Caso contr´ ario. com 5 massas solares e raio de 1.507) As autofun¸ c˜ oes s˜ ao desta forma ortogonais. Para a estrela Delta Cephei.510) Esta ´ e a rela¸ c˜ ao ”per´ ıodo—densidade m´ edia”. O que temos s˜ ao ondas estacion´ arias de freq¨ uˆ encia σ 2 > 0 de modo que a estrela passa duas vezes pelo estado de equil´ ıbrio durante o per´ ıodo correspondente. (23. com densidade m´ edia de 1.509) Se Γ1 > 4/3. solu¸ c˜ oes dos autovalores σj k ent˜ ao M 0 ∗ ζj ζk r2 dMr = 0 se j = k. se σ > 0. Vamos tratar somente da primeira possibilidade pois estamos interessados em pulsa¸ c˜ oes e n˜ ao em expans˜ oes ou colapsos. Com esta rela¸ c˜ ao. 3 (23.508) No caso de um modelo de densidade constante [ρ(r) = ρ ] substitu´ ımos −(1/ρr) dP/dr por GMr /r3 que se torna 4πG ρ /3. Se ζj e ζk s˜ ao duas autofun¸ c˜ oes. se estiv´ essemos fazendo mecˆ anica quˆ antica.32. 2. rρ dr (23. ent˜ ao σ ´ e puramente imagin´ ario e as perturba¸ c˜ oes crescem ou decaem exponencialmente com o tempo. Existe um valor m´ ınimo para σ 2 que. 5 × 1012 cm = 538 . 3. corresponderia ao estado fundamental. para o Sol. obtemos um per´ ıodo de 2. 2 Deste modo. ent˜ ao σ ´ e a freq¨ uˆ encia angular da oscila¸ c˜ ao com per´ ıodo correspondente Π = 2π/σ . 23. (23.8 horas.fator temporal eiσt . 2 and σ 2 . se σ 2 < 0. ent˜ ao σ ´ e real e o per´ ıodo correspondente ´ e Π= 2π = σ 2π (3Γ1 − 4) ρ 4πG/3 . Neste caso σ ´ e imagin´ ario e o tempo de crescimento por um fator de e para o crescimento e decaimento dos movimentos ´ e τ= 1 = |σ | 1 |3Γ1 − 4| ρ 4πG/3 . . publicadas em 1979 e em 1989. por enquanto. (23. no artigo “Variable Star”. modos-s (de cisalhamento). modos-g (gravitacionais). pois neste caso a energia total ´ e menor que a energia de liga¸ c˜ ao. Esta aproxima¸ c˜ ao ´ e chamada aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica e ´ e u ´til na determina¸ c˜ ao dos per´ ıodos de pulsa¸ c˜ ao. modos-p (de press˜ ao). 23. Fl¨ ugge. S. Para estrelas an˜ as-brancas. Em seu artigo de 1883. as perdas e ganhos de energia. explicando corretamente. Ele derivou que o crescimento da amplitude de ondas planas ´ e proporcional a raiz 539 . modos-r (toroidais). enquanto seu per´ ıodo observado ´ e de 5. . que resulta em uma densidade m´ edia de 7 × 10−4 g/cm3 . em duas edi¸ c˜ oes do livro “Nonradial Oscillations of Stars” (Tokyo: University of Tokyo Press). Se. Γ1 < 4/3 sabemos que encontraremos problemas. e Wasaburo Unno (1926-).511) Este ´ e o tempo de queda livre tdin .37 dias. corrigido por v´ arios fatores.8 hr=4. . que j´ a tinha publicado em 1870 no Treatise on Sound. que s˜ ao necess´ arias para determinar a estabilidade de um dado modo. Lord Rayleigh (1842-1919).21. no Handbuch der Physik [ed. chamados de modos n˜ ao radiais. 4 R . que dependem essencialmente da estrutura mecˆ anica da estrela. pela primeira vez. John Paul Cox (1926-1984) em seu livro “Theory of Stellar Pulsation” (Princeton: Princeton University Press) publicado em 1980.4 dias. publicado em 1958.33 Pulsa¸ co ˜es n˜ ao-radiais Vamos agora descrever movimentos que n˜ ao preservam a simetria radial. por que o c´ eu ´ e azul. O estudo de oscila¸ c˜ oes gravitacionais come¸ cou com o artigo de 1883 pelo f´ ısico inglˆ es John William Strutt. Hiroyasu Ando. Hideyuki Saio (1948-) e Hiromoto Shibahashi. As referˆ encias principais para a teoria de oscila¸ c˜ oes n˜ ao radiais s˜ ao Paul Ledoux (1914-1988) & Th´ eodore Walraven (1916-2008). (Berlin: Springer-Verlag). Yoji Osaki. Tamb´ em n˜ ao descreveremos. obtemos um per´ ıodo de 104. . podemos usar a rela¸ c˜ ao 23.337 para escrever P ∝ 1/M . 51. 353]. Dos tipos poss´ ıveis de modos n˜ ao radiais. ele derivou a rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao para ondas lineares em um fluido incompress´ ıvel com estratifi¸ c˜ ao constante. e em 1871 sua teoria de espalhamento. Vol.e esteja em equil´ ıbrio hidrost´ atico. XXIX. Em 1890 Lord Rayleigh publicou On Vibrations of an Atmosphere. Por exemplo. Assumimos que conhecemos o valor das vari´ aveis f´ ısicas da estrela n˜ ao perturbada em fun¸ c˜ ao de r = |r|.514) onde v = v(r. Para uma estrela que n˜ ao esteja em rota¸ c˜ ao. Quando v = 0 em um modelo em equil´ ıbrio. t).515) onde d/dt ´ e a derivada de Stokes (ou material) d ∂ = +v·∇ dt ∂t (23. as outras vari´ aveis f´ ısicas s˜ ao perturbadas em consonˆ ancia. em fun¸ c˜ ao do tempo. Estas equa¸ c˜ oes produzem uma descri¸ c˜ ao Euleriana do movimento (denotada por ) [Leonhard Euler (1707-1783)] onde nos colocamos em um local particular. a velocidade v ´ e nula em todos os pontos.512) (23. Philosophical Magazine. r. a equa¸ c˜ ao da continuidade e a equa¸ c˜ ao de movimento. t) ´ e a velocidade do fluido e Φ ´ e o potencial gravitacional que est´ a relacionado com o vetor de gravidade local por g = −∇Φ. descritas respectivamente por v e δ v. t) quando a parcela se move para r + ξ (r. O mesmo ocorre para as outras quantidades e suas perturba¸ c˜ oes.quadrada do inverso da densidade m´ edia. t). 4.513) (23. as perturba¸ c˜ oes Eulerianas e Lagrangianas de v. Imaginamos que cada elemento de fluido na estrela seja deslocado de sua posi¸ ca ˜o de equil´ ıbrio em r por uma distˆ ancia vetorial arbitr´ aria e infinitesimal. 540 . a press˜ ao P (r) originalmente associada com a parcela de fluido em r torna-se P (r)+ δP (r. 173. na estrela e vemos o que se passa com v(r. que denotamos por δ . Este tipo de deslocamento — que toma um elemento de fluido identific´ avel e o move a outro lugar — ´ e um deslocamento Lagrangiano. p. s˜ ao as mesmas e s˜ ao dadas por: v = δv = dξ dt (23. etc. ∇2 Φ = 4πGρ ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0 ∂t ρ ∂ + v · ∇ v = −∇P − ρ∇Φ ∂t (23.. t). ρ(r.516) Quando o fluido se desloca. As equa¸ c˜ oes que descrevem o comportamento dinˆ amico do fluido s˜ ao: a equa¸ c˜ ao de Poisson para o potencial gravitacional. ξ (r. t). 517) P ρ N˜ ao podemos usar uma rela¸ c˜ ao similar para as perturba¸ c˜ oes Eulerianas P (r. Esta hip´ otese permite assumir que todas as vari´ aveis 541 . integramos em rela¸ c˜ ao ao tempo e eliminamos a constante de integra¸ c˜ ao exigindo que ρ = 0 quando ξ = 0. Embora tenhamos linearizado as equa¸ c˜ oes. v´ alida em primeira ordem: δρ = ρ + ξ · ∇ρ (23.518) Podemos derivar esta rela¸ c˜ ao usando uma expans˜ ao de Taylor da perturba¸ c˜ ao em torno de r0 . ρ. tornam-se: ρ + ∇ · (ρξ ) = 0 (23. Φ + Φ e v nas equa¸ c˜ oes anteriores. O que resulta ´ e uma equa¸ c˜ ao com somente as quantidades perturbadas como vari´ aveis de primeira ordem. ρ + ρ . Como um exemplo. Similarmente. o conjunto de equa¸ c˜ oes diferenciais parciais que obtivemos ´ e de segunda ordem no tempo e de quarta ordem no espa¸ co. perturbadas. podemos relacionar as varia¸ c˜ oes Eulerianas e Lagrangianas pela rela¸ c˜ ao. a equa¸ c˜ ao de continuidade e a de Poisson. e mantendo somente os termos de primeira ordem.521) ∇2 Φ = 4πGρ (23. porque −∇P − ρ∇Φ = 0 (23. por P + P . Agora vamos substituir P . t) e ρ (r). Φ e v. assumimos que as pulsa¸ c˜ oes s˜ ao peri´ odicas e podem ser analisadas por s´ eries de Fourier [Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)].520) devido ao equil´ ıbrio hidrost´ atico da estrela n˜ ao perturbada.Se o movimento ´ e adiab´ atico. Entretanto. multipicando todos os termos. a equa¸ c˜ ao de for¸ ca torna-se: ρ ∂2ξ = −∇P − ρ∇Φ − ∇P − ρ∇Φ − ρ ∇Φ ∂t2 (23.519) Os dois primeiros termos do lado direito se cancelam. sem dizer de onde vem o fluido. Com o objetivo de reduzir as equa¸ c˜ oes diferenciais parciais em equa¸ c˜ oes diferenciais ordin´ arias. porque estas perturba¸ c˜ oes s˜ ao utilizadas para encontrar as novas press˜ oes e densidades em um dado ponto r. a rela¸ c˜ ao entre δP e δρ ´ e a mesma que no caso radial: δP δρ = Γ1 (23.522) Na equa¸ c˜ ao de continuidade. Desta forma. Os valores de e m para estas fun¸ c˜ oes s˜ ao = 0. [1970. a solu¸ c˜ ao para ξ (r) e P (r)/ρ ´ e: ξ (r. O ´ ındice ´ e chamado de grau harmˆ omico. ϕ) eϕ ∂ 1 ∂ = ξr (r) er + ξt (r) eθ + ξt (r) eϕ Y ∂θ sin θ ∂ϕ onde ξθ (r. 4π ( + m)! onde os P m (cos θ) s˜ ao os polinˆ omios de Legendre associados [Adrien-Marie Legendre (1752-1833)]. e m ´ e um inteiro com |m| ≤ para assegurar solu¸ c˜ oes regulares e de valor u ´nico. Como a base de esf´ ericos harmˆ onicos ´ e completa. . P m (x) = 542 . ϕ) = ξr (r. . 1. podemos modelar a por¸ c˜ ao angular das pulsa¸ c˜ oes atrav´ es de esf´ ericos harmˆ onicos. o n´ umero de nodos entre o centro e a superf´ ıcie da estrela. mas o que queremos aqui ´ e atribuir um u ´nico e m a cada modo de pulsa¸ c˜ ao. ϕ) ∂Y m ∂θ No livro de John David Jackson (1925-) [1975. ϕ) s˜ ao dadas por Y m (θ. podemos representar qualquer distribui¸ c˜ ao angular por uma soma de esf´ ericos harmˆ onicos. 2nd ed. Isto ´ e poss´ ıvel no caso da inexistˆ encia de rota¸ c˜ ao ou de rota¸ c˜ ao lenta. Como a energ´ etica das oscila¸ c˜ oes n˜ ao radiais indica que a amplitude radial ´ e pequena.523) Com esta substitui¸ c˜ ao. Classical Electrodynamics. .. θ. θ. θ. φ). t) = ξ (r) eiσt (23. ϕ) eθ + ξϕ (r. de ordem radial. ϕ) = ξt (r) m (θ. Quantum Mechanics. ϕ) = 2 + 1 ( − m)! m P (cos θ) eimϕ . (New York:Wiley & Sons)] e no livro de Eugene Merzbacher. (um inteiro). (New York: Wiley & Sons)] existe uma discuss˜ ao compacta de esf´ ericos harmˆ onicos. As fun¸ c˜ oes esf´ ericos harmˆ onicos Y m (θ. θ. mas n˜ ao ´ e v´ alido para o caso de rota¸ c˜ ao r´ apida ou da existˆ encia de campos magn´ eticos fortes. separamos a vari´ avel de tempo das vari´ aveis que s˜ ao fun¸ c˜ ao da posi¸ c˜ ao (r. 2 ! dx +m Aqui escrevemos x no lugar de cos θ. m ´ e chamado de n´ umero azimutal e n. 2nd ed. θ..tˆ em uma dependˆ encia temporal proporcional a eiσt . onde σ ´ e a freq¨ uˆ encia angular. assumimos para ξ : ξ (r. ϕ) er + ξθ (r. gerados por +m (−1)m m/2 d 1 − x2 x2 − 1 . θ. Por examplo. No Sol.Antes de continuar. em sua interpreta¸ c˜ ao mais simples. definida em 1910 pelo matem´ atico inglˆ es Sir Horace Lamb (1849-1934). S . N . Carl-Gustaf Rossby (1898-1957) mostrou que os gradientes horizontais do potencial de vorticidade (∇ × v) podem atuar como uma for¸ ca restauradora para perturba¸ c˜ oes ondulat´ orias. A segunda freq¨ uˆ encia ´ e a freq¨ uˆ encia de Lamb. ent˜ ao S −1 ´ eo tempo que leva uma onda sonora para viajar a distˆ ancia λt /2π . Em 1940. ´ e a freq¨ uˆ encia de oscila¸ c˜ ao associada ` a perturba¸ c˜ ao de um elemento de fluido em um meio est´ avel ` a convec¸ c˜ ao (N 2 > 0). Esta freq¨ uˆ encia ´ e normalmente descrita como a freq¨ uˆ encia de Brunt-V¨ ais¨ al¨ a. as ondas de Rossby na fotosfera tˆ em amplitude radial de cerca de 100 metros e deslocamentos horizontais de 45 000 km. ou modos-r. Podemos aprender bastante das solu¸ c˜ oes da equa¸ c˜ ao diferencial ordin´ aria para ξr e ξt realizando uma an´ alise local do sistema. atualmente chamadas de ondas de Rossby. isto ´ e. Definimos tamb´ em o n´ umero de onda transversal. Assumimos que ξr e ξt 543 . e o meteorologista inglˆ es Sir David Brunt (1886-1965). e j´ a foram medidas pelo sat´ elite SOHO. kt . (com unidades de cm−1 ) S2 ( + 1) 2 . Como um exemplo. como: S2 = ( + 1) 2 ( + 1) Γ1 P = vs 2 r ρ r2 (23. A primeira ´ e a freq¨ uˆ encia de Brunt-V¨ ais¨ al¨ a N: N 2 = −Ag = −g d ln ρ 1 d ln P − dr Γ1 dr (23. associada com a flutuabilidade. Na atmosfera da Terra.525) Esta ´ e a freq¨ uˆ encia an´ aloga ` a freq¨ uˆ encia ac´ ustica para ondas n˜ ao radiais. em 1927. O f´ ısico finlandˆ es Vilho (Yrj¨ o) V¨ ais¨ al¨ a (1891-1971) em 1925. derivaram independentemente a f´ ormula para a freq¨ uˆ encia de flutuabilidade (buoyancy) e que corresponde a maior freq¨ uˆ encia de uma oscila¸ c˜ ao gravitacional em uma atmosfera completamente compress´ ıvel. se colocarmos uma rolha em um pote com ´ agua. a rolha oscilar´ a para cima e para baixo com a freq¨ uˆ encia de Brunt-V¨ ais¨ al¨ a. kt = = 2 r2 vs Se relacionamos o comprimento transversal λt = 2π/kt a kt . definimos algumas freq¨ uˆ encias importantes. os deslocamentos radiais s˜ ao da ordem de 5 cm e os horizontais de cerca de 500 km.524) onde g ´ e a acelera¸ c˜ ao gravitacional local. Essas s˜ ao ondas evanescentes. A onda pode viajar em uma combina¸ como K 2 = kr c˜ ao de dire¸ c˜ oes t radiais e transversais. ent˜ ao kr e solu¸ c˜ oes propagando-se sinusoidalmente est˜ ao presentes. Essa equa¸ c˜ ao mostra que: 2 > 0 • 1. e |N 2 | ´ e menor do que S 2 (como ´ e o caso usual) a raiz “grande” da equa¸ c˜ ao (1) ´ e: 2 σp ≈ K2 2 2 2 2 2 S = (kr + kt )vs kt (σ 2 N 2. Para facilitar. Ent˜ ao. e normalmente s˜ ao denominados como “modos-p” na literatura 544 .526) onde. de press˜ ao e gravitacional. 2 Podemos resolver para σ na rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao em dois limites de ondas propagantes. com antes. • 2. 2 + k 2 . se σ2 ´ e muito maior do que tanto N 2 quanto S 2 . assumimos que σ 2 ´ e positivo. Se σ 2 ´ e maior ou menor do que tanto N 2 quanto S 2 . e solu¸ c˜ oes real´ ısticas decaem exponentialmente.tˆ em varia¸ c˜ oes espaciais mais r´ apidas do que as outras vari´ aveis f´ ısicas que 2 aparecem nas equa¸ c˜ oes (por exemplo N ). K .527) Colocamos o subscrito “p” em σ 2 para denotar “press˜ ao” j´ a que somente a velocidade do som est´ a presente nessa express˜ ao. Se mantermos os termos dominantes em kr . S2) (23. assumimos que tanto ξr quanto ξt variam espacialmente como eikr r . K deve ser grande. Para quantificar. onde o n´ umero de onda kr ´ e grande comparado a r. definimos o n´ umero de onda total. Se σ 2 tem um valor intermedi´ ario entre N 2 e S 2 . outras vari´ aveis podem portando ser consideradas constantes dentro de uma regi˜ ao limitada de raio. Em uma an´ alise local. j´ a que kr ´ e real e as ondas s˜ ao senos e cossenos. O determinante dos coeficientes precisa ser nulo para obtermos solu¸ c˜ oes n˜ ao triviais. Quando inserimos esta exponencial complexa nas equa¸ c˜ oes diferencias. obtemos um conjunto homogˆ eneo de equa¸ c˜ oes alg´ ebricas em ξr e ξt . Esses s˜ ao modes de press˜ ao ou ac´ usticos . N 2 e S 2 s˜ ao freq¨ uˆ encias cr´ ıticas para a propaga¸ c˜ ao das ondas. Dessa forma. O conjunto de equa¸ c˜ oes de oscila¸ c˜ oes n˜ ao radiais n˜ ao ´ e do tipo de Sturm–Liouville porque torna-se bilinear em σ 2 devido ` a existˆ encia de duas for¸ cas restauradoras. ent˜ ao kr ´ e imagin´ ario. obtemos a rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao: 2 kr = 2 kt σ2 − N 2 σ2S 2 σ2 − S 2 (23. os modos-p efetivamente amostram a estrutura de temperatura. Se integramos a equa¸ c˜ ao (23. para valores grandes de n. A raiz pequena segue 2 2 2 se σ ´ e muito menor que N e S e ´ e dada por: 2 σg ≈ 2 kt N2 2 + k2 kr t (σ 2 N 2. O n´ umero total de nodos na dire¸ c˜ ao R radial (que chamamos de n) na autofun¸ c˜ ao ´ e dado por n ≈ 2 0 dr/λr onde o R “2” conta os dois nodos por comprimento de onda. Em estrelas como o Sol. para um g´ as ideal. Os modos s˜ ao radiais quando ´ e zero. obtemos a estimativa R σp ≈ nπ 0 dr vs −1 (23. Note que se N ´ e negativo.530) .529) Desta maneira. Sumarizando. enquanto os modos-g s˜ ao os modos de baixa freq¨ uˆ encia. A estimativa correspondente para os per´ ıodos dos modos-g ´ e 2π 2π 2 Πg = ≈n σg [ ( + 1)]1/2 545 R 0 N dr r −1 (23. os modos-p constituem-se nos modos de alta freq¨ uˆ encia do espectro de oscila¸ c˜ oes n˜ ao radiais. as freq¨ uˆ encias dos modos-p s˜ ao igualmente espa¸ cadas. ent˜ ao as autofun¸ c˜ oes correspondentes a cada autovalor σ 2 tˆ em que diferir das outras em aspectos importantes. Seguindo nossa an´ alise local como uma aproxima¸ c˜ ao. Estes modos s˜ ao chamados de modos-g− . Note que o espa¸ camento das freq¨ uˆ encias depende somente da varia¸ c˜ ao da velocidade do som que. Estamos somente interessados no caso em que N 2 > 0. o comprimento devem medir esta diferen¸ ca.de pulsa¸ c˜ ao. S2) (23.528) Esses s˜ ao modos gravitacionais ou “modos-g” e flutua¸ c˜ ao no campo gravi2 tacional ´ e a for¸ ca restauradora. indicando a existˆ encia de convec¸ c˜ ao. que s˜ ao os modos-g+ . depende principalmente da temperatura. ent˜ ao σg ´ e puramente imagin´ ario e a perturba¸ c˜ ao cresce ou decai exponencialmente com o tempo. Logo n ≈ 0 kr dr/π . kr e e um n´ umero de onda. e nesse caso P /P ´ e maior do que ξr /λP . Se cada modo ´ e ortogonal em rela¸ c˜ ao aos outros. e nesse caso P /P ´ e menor do que ξr /λP .527) de modo que a integral de kr aparece sozinha 2 pode ser desprezado e ent˜ ao assumimos que ´ e pequeno de modo que kt (por simplicidade). Como kr ´ de onda correspondente ´ e λr = 2π/kr . Se representarmos por Ω a freq¨ uˆ encia de rota¸ c˜ ao de uma estrela. como as Cefeidas e RR Lyrae. a camada se esfria e portanto as part´ ıculas tˆ em 546 .531) que derivamos na sec¸ c˜ ao de Equil´ ıbrio T´ ermico e onde ε ´ e a taxa de gera¸ c˜ ao de energia termonuclear.l. que faz a camada se expandir. Os mesmos limites em σ 2 em rela¸ c˜ ao a N 2 e S 2 tamb´ em produzem as seguintes estimativas grosseiras para a raz˜ ao das autofun¸ c˜ oes radiais para tangenciais: rkr modos-p ξr ∼ ξt ( + 1)/rkr modos-g Para n´ umeros de ondas radiais grandes (rkr 1) o movimento do fluido para os modos-p s˜ ao principalmente radiais.143): ∂Lr 3 2 ∂ = 4πr2 ρ ε − ρ 3 ∂r 2 ∂t P ρ3 5 (23. 23. e m como: σn.1 Aproxima¸ c˜ ao N˜ ao Adiab´ atica Se retirarmos a aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica.33. Ainda. mas ´ e pr´ oxima de 1. o per´ ıodo aumenta com n. precisamos levar em conta que calor pode ser trocado entre os elementos em movimento por pulsa¸ c˜ ao. Um aumento no n´ umero de part´ ıculas causa um aumento na press˜ ao.m N 2 ( + 1) K 2 r2 1/2 + 1− Cn mΩ ( + 1) onde Cn ´ e uma constante que depende do valor da autofun¸ c˜ ao no interior da estrela. Para as vari´ aveis cl´ assicas. e assumirmos que ela ´ e muito menor do que a freq¨ uˆ encia de pulsa¸ c˜ ao. o que causa a pulsa¸ c˜ ao ´ e a existˆ encia de zonas de ioniza¸ c˜ ao parcial do hidrogˆ enio e do h´ elio. O ponto de partida ´ e a equa¸ c˜ ao de equil´ ıbrio t´ ermico (23. Mas ao se expandir. e ´ e muito sens´ ıvel ao valor de . podemos representar a freq¨ uˆ encia de pulsa¸ c˜ ao de uma oscila¸ c˜ ao de modo-g com ´ ındices n. o que ´ e muito u ´til para a an´ alise das an˜ as brancas pulsantes. em contraste com os modos-p. Uma zona de ioniza¸ c˜ ao parcial ´ e muito opaca. os f´ otons s˜ ao absorvidos causando a ioniza¸ c˜ ao do g´ as. o n´ umero de part´ ıculas aumenta. enquanto que para os modos-g s˜ ao principalmente transversais. Quando um g´ as se ioniza.Aqui o per´ ıodo ´ e igualmente espa¸ cado em n. pois os el´ etrons tornam-se livres. pois assumimos lei dos g´ ases ideais. podemos escrever ∂Lr P ∂ ln P ∂ ln ρ =ε− − Γ1 ∂Mr ρ (Γ3 − 1) ∂t ∂t Podemos substituir o multiplicador do termo da esquerda P cV T = ρ (Γ3 − 1) χT de modo que a equa¸ c˜ ao de energia torna-se ∂ ln ρ χT ∂Lr ∂ ln P = Γ1 + ε− ∂t ∂t cV T ∂Mr (23. o que n˜ ao ´ e o caso de zonas de ioniza¸ c˜ ao parcial.0 + δLr 547 (23.532) Note que o caso adiab´ atico ´ e recuperado se o u ´ltimo termo for sempre nulo. oscilando entre o estado expandido e contra´ ıdo.533) (23.534) . Usando a equa¸ c˜ ao de continuidade de massa e o fato de termos usado (Γ3 − 1) = 5/3 na deriva¸ c˜ ao dessa equa¸ c˜ ao. diminui a n´ umero de part´ ıculas. aumentando a densidade. Quando o g´ as se desioniza.velocidade e energia menores e podem se ligar novamente. a press˜ ao diminui e a camada contrai. formando ´ atomos nˆ eutros. Ao se contrair. Utilizamos agora a igualdade Γ1 χT =1+ (Γ3 − 1) χT χρ e as defini¸ c˜ oes de χT e χρ para chegar em ∂ ln T ∂ ln ρ 1 ∂Lr = (Γ3 − 1) + ε− ∂t ∂t cV T ∂Mr que podemos linearizar colocando T −→ T0 + δT ρ −→ ρ0 + δρ ε −→ ε0 + δε Lr −→ Lr. a camada fica opaca e o processo recome¸ ca. e deixarmos de explicitar o subscrito zero. como usual. obtemos: ∂ (δT /T ) ∂ (δρ/ρ) 1 ∂δLr = (Γ3 − 1) + δε − ∂t ∂t cv T ∂Mr (23.536) onde os deltas se referem somente ` a varia¸ c˜ ao espacial√ das perturba¸ c˜ oes. N˜ ao precisamos incluir as varia¸ c˜ oes de cV e Γ3 porque elas n˜ ao aparecem na express˜ ao final. Este mecanismo de instabilidade chama-se mecanismo κ. As solu¸ c˜ oes portanto automaticamente cont´ em propriedades que crescem exponencialmente (inst´ aveis) ou decaem (est´ aveis).535) Finalmente. Uma estrela vari´ avel intr´ ınseca ´ e aquela em que os efeitos n˜ ao adiab´ aticos levem ao crescimento das perturba¸ c˜ oes. 548 . como ocorre no caso da segunda ioniza¸ c˜ ao do h´ elio. tornando-se inst´ avel ` a pulsa¸ c˜ ao. Note que esta equa¸ c˜ ao contem a unidade imagin´ aria i = −1 e. portanto. se assumimos que as perturba¸ c˜ oes variam com o tempo da forma eiwt . a energia da compress˜ ao ´ e absorvida parcialmente na ioniza¸ c˜ ao e a temperatura n˜ ao aumenta tanto quanto no caso em que a ioniza¸ c˜ ao n˜ ao ocorre. Desta forma a regi˜ ao de ioniza¸ c˜ ao tende a ser um pouco mais fria que a vizinhan¸ ca quando comprimida e o calor flui para a regi˜ ao de ioniza¸ c˜ ao. Se usarmos o equil´ ıbrio t´ ermico e balan¸ co de energia ε0 = ∂Lr. o subscrito zero refere-se ao estado de equil´ ıbrio. quando o segundo el´ etron do h´ elio est´ a sendo removido ou recombinando. para temperaturas pr´ oximas de 40 000 K. tornando-a inst´ avel. j´ a que representamos a opacidade por κ.onde. Na maioria dos casos os mecanismos κ e γ aparecem em conjunto. O mecanismo γ de instabilidade ocorre quando a varia¸ c˜ ao importante ´ e no Γ3 . a energia se acumula nesta camada. Se a opacidade aumenta quando a temperatura aumenta. o problema n˜ ao abiab´ atico resulta em autofun¸ c˜ oes complexas. obtemos a forma final da equa¸ c˜ ao de energia linearizada δε − ∂δLr δT δρ = iwcV T − (Γ3 − 1) ∂Mr T ρ (23. Neste caso.0 ∂Mr e derivadas parciais de T0 e ρ0 em rela¸ c˜ ao ao tempo nulas. e o elemento de massa se aquece em rela¸ c˜ ao ` a sua vizinhan¸ ca. como ocorre em uma regi˜ ao de ioniza¸ c˜ ao parcial. 153. Por examplo. mostraram que as oscila¸ c˜ oes solares com per´ ıodos da ordem de 5 minutos eram oscila¸ c˜ oes n˜ ao-radiais modo-p com entre 200 e 1000. 581). onde σ 2 S 2 . 27. Arlo U. 371) conseguiu resolver as oscila¸ c˜ oes solares em modos discretos. Astrophysical Journal. 474) detectaram os deslocamentos Doppler induzidos nas linhas de absor¸ c˜ ao do Sol. Para o Sol. Robert W. Em 1962. uma an˜ a branca. 993) e independentemente John William Leibacher & Robert F. essa freq¨ uˆ encia ´ e muito pequena no interior onde os el´ etrons est˜ ao degenerados. Simon (Astrophysical Journal.33. com per´ ıodo de 2500 s. utilizando o telesc´ opio de 2. com mais de 130 vari´ aveis conhecidas em 2006. N . 7.3 Pulsa¸ co ˜es das An˜ as Brancas Em 1968. Posteriormente. Robert Benjamin Leighton (1919-1997). mas nenhum modo-g. Somente em 1970 Roger K. 23. 44 R .2 Heliosismologia O Sol ´ e vari´ avel com amplitudes de uma parte em um milh˜ ao. e N ´ e nula para um g´ as completamente degenerado. propagandose para dentro do Sol.1 m do Kitt Peak. 151). Astrophysical Journal Letters. Landolt (1934-) que estuda estrelas padr˜ oes fotom´ etricas. e pertence a classe das DAV ou ZZ Cetis.1 magnitudes (1968. Noyes e George W. Deubner (Astronomy & Astrophysics. que comparados com os modelos te´ oricos calculados por Hiroyasu Ando e Yoji Osaki (1975. Milhares de modos-p do Sol j´ a foram observados. torna-se evanescente quando atinge r 0. Os per´ ıodos dos modos gravitacionais dependem da varia¸ c˜ ao dentro da 2 estrela da freq¨ uˆ encia de Brunt-V¨ ais¨ al¨ a. 162.33. Esse n˜ ao ´ e normalmente o caso no envelope e as freq¨ uˆ encias t´ ıpicas no envelope 549 . os modos-p s˜ ao superficiais enquanto que os modos-g s˜ ao internos. Stein (1972. mas existem caracter´ ısticas espec´ ıficas nas estrelas an˜ as brancas. Esta foi a primeira an˜ a branca vari´ avel descoberta. N˜ ao ´ e poss´ ıvel estimar seu valor facilmente. descobriu acidentalmente que a estrela HL Tau 76. Publications of the Astronomical Society of Japan. Em 1975 Franz L. Um modo-p com n=1 e = 2. Astrophysical Journal.23. 135. 44. observa¸ c˜ oes de disco inteiro do Sol mostraram modos-p com entre 1 e 200. apresentava varia¸ c˜ oes de brilho com um per´ ıodo de 12 minutos e uma amplitude de 0. Ulrich (1970. com per´ ıodo de 5 minutos. Estes deslocamentos s˜ ao interpretados como oscila¸ c˜ oes verticais de grandes regi˜ oes do fluido com velocidades de 1 km/s e tempo de coerˆ encia da ordem de 5 minutos. 191) sugeriram que estes deslocamentos eram oscila¸ c˜ oes globais do Sol. Astronomy & Astrophysics. Das condi¸ c˜ oes de propaga¸ c˜ ao de onda. L65)] O maior sucesso desta an´ alise de excita¸ c˜ aos dos modos gravitacionais em an˜ as brancas foi a predi¸ c˜ ao seguida da descoberta das vari´ aveis DBs por Donald Earl Winget. Robinson. que tˆ em per´ ıodos entre 100 e 1500 s. com uma escolha apropriada da eficiˆ encia convectiva [Paul A. enquanto que os modos-p. o valor da freq¨ uˆ encia de Lamb S ´ e grande no interior mas torna-se muito pequeno no envelope. Edward L. os modos-g oscilam na superf´ ıcie mas s˜ ao exclu´ ıdos do n´ ucleo face ao baixo valor de N 2 no interior. com per´ ıodos de poucos segundos e ainda n˜ ao observados em an˜ as brancas. A causa da instabilidade foi determinada como a mesma que excita as vari´ aveis cl´ assicas: est´ a associada com as zonas de ioniza¸ c˜ ao parcial do hidrogˆ enio e do h´ elio e.s˜ ao de v´ arias dezenas de s−1 . Cox. Este comportamento ´ e oposto daquele para o Sol. Bradley (1962-) & Donald Earl Winget 1994b. Astrophysical Journal. 262. 375). de carbono e oxigˆ enio para os objetos mais quentes [Wojciech Dziembowski & Detlev Koester (1981. S. 16). R. se propagam no interior. Sumner Starfield. Conference on Pulsations in Classical and Cataclysmic Variable Stars. Monique Tassoul. j´ a que a maioria dos c´ alculos n˜ ao leva em conta a intera¸ c˜ ao das pulsa¸ c˜ oes com a convec¸ c˜ ao. enquanto modos com ordens radiais altas s˜ ao formados mais para fora da estrela. Gilles Fontaine et al. Embora entendamos a causa b´ asica da instabilidade pulsacional como resultado da zona de ioniza¸ c˜ ao parcial modulando o tamanho da zona de convec¸ c˜ ao durante um ciclo de pulsa¸ c˜ ao. Astronomy & Astrophysics. Ao contr´ ario. Este foi o primeiro caso da existˆ encia de uma classe de vari´ aveis que foi predita antes de sua descoberta. Os c´ alculos n˜ ao adiab´ aticos que testam a estabilidade dos modos-g s˜ ao muito exitosos para as estrelas DAV e DBV. Pesnell (1982. 102. consistentes com os valores observados para as an˜ as brancas pulsantes. p. os modos-g se propagam no envelope das an˜ as brancas. Hugh van Horn. Edward Nather & Gilles Fontaine (1982. 97. Carl John Hansen & Bradley W. nas an˜ as brancas. Os modos de pulsa¸ c˜ ao com ordens radiais baixas tˆ em amplitude significativa em todo o interior da estrela. Para uma an˜ a branca ser uma DA em 20 000 K e log g = 8. Boulder CO. Desta maneira. Os c´ alculos detalhados produzem valores de per´ ıodos de cerca de 100 s a 1000 s. Gilles Fontaine. 1994]. L11). & Willian D. somente 550 . Arthur N. j´ a que os c´ alculos ajustam razoavelmente bem com as posi¸ c˜ oes observacionais da faixa de instabilidade. Carroll (1982. Astrophysical Journal. possivelmente. 252. 78) e Donald Earl Winget. Hodson. precisamos ainda de muito mais trabalho para entender os detalhes. Noel Dolez & Gerard Vauclair (1981. C. A descri¸ c˜ ao matem´ atica das pulsa¸ c˜ oes necessita de termos em combina¸ c˜ oes lineares de outros esf´ ericos harmˆ onicos. − 6 ou seja.1 g cm−2 ´ e necess´ ario para atingir a profundidade ´ otica de Rosseland 100. uma camada de somente 3 × 10 M de hidrogˆ enio. Uma an˜ a branca no disco velho ou no halo acretar´ a cerca de MH 10−10 M em 4 × 108 anos. • A resposta n˜ ao linear da zona de convec¸ c˜ ao a uma perturba¸ c˜ ao oscilat´ oria que a atravessa. • Ressonˆ ancia entre modos de pulsa¸ c˜ ao. comensur´ aveis. • Excita¸ c˜ ao n˜ ao linear dos modos. Desta forma. V´ arios processos podem gerar harmˆ onicos e combina¸ c˜ oes lineares no espectro de Fourier de uma estrela vari´ avel: • A resposta n˜ ao linear do fluxo emergente a uma varia¸ c˜ ao de tempera2 4 tura. 23. neste caso.0. incomensur´ aveis. o primeiro harmˆ onico de uma oscila¸ c˜ ao de freq¨ uˆ encia f tem freq¨ uˆ encia 2f. que as notas devem ser harmˆ onicas para que o t´ ımpano n˜ ao tenha que se flexionar em duas formas diferentes.) denominou de harmˆ onicas as oscila¸ c˜ oes cujos comprimentos de ondas sejam raz˜ oes entre n´ umeros inteiros. escreveu em seu livro sobre teoria musical Dialogo della musica antica et della moderna. modos de pulsa¸ c˜ ao independentes. Vincenzo Galilei tamb´ em foi o primeiro a demonstrar que para dobrar a freq¨ uˆ encia ´ e necess´ ario quadruplicar a tens˜ ao. Pit´ agoras de Samos (c.34 Efeitos n˜ ao lineares Quando a amplitude de pulsa¸ c˜ ao cresce at´ e atingir propor¸ c˜ oes n˜ ao lineares. A superf´ ıcie da estrela tamb´ em faz com os modos harmˆ onicos. isto ´ e. um modo normal deixa de ser descrito como um esf´ erico harmˆ onico.1520-1591). j´ a que L = 4πR σTef . pai de Galileo Galilei. para uma densidade de hidrogˆ enio m´ edia de 0. 7 551 . de modo que os termos em combina¸ c˜ oes lineares n˜ ao s˜ ao.572-497 a. Vincenzo Galilei (c. tenham maior amplitude7 .01 cm−3 . Em linguagem atual δf δF =2 −→ F ∝ f 2 f F onde f ´ e a freq¨ uˆ encia e F a for¸ ca. Embora a soma seja teoricamente infinita. que governam o comportamento temporal das amplitudes e das fases. Hansen (1997. mas ressaltam que o problema ´ e sempre em relacionar os coeficientes com o problema hidrodinˆ amico e de transferˆ encia de calor que nos interessa. Estas amplitudes. Em primeira ordem. Temos portanto um conjunto acoplado de equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem mas n˜ ao linear. 159) derivaram as equa¸ c˜ oes de amplitude relacionando as intera¸ c˜ oes entre as pulsa¸ c˜ oes multiperi´ odicas n˜ ao radiais. As amplitudes e fases podem ent˜ ao ser relacionadas diretamente com aquelas obtidas pela an´ alise de Fourier das observa¸ c˜ oes. J. que assumimos variar lentamente com o tempo em compara¸ c˜ ao com as pulsa¸ c˜ oes. assumimos que a dinˆ amica essencial do problema possa ser tratada somente com os primeiros termos das s´ eries. temos v´ arias pulsa¸ c˜ oes simultˆ aneas. com amplitudes dependentes do tempo. Os coeficientes de acoplamentos dependem da integral das autofun¸ c˜ oes dos modos sobre o interior da estrela. No caso de pulsa¸ c˜ oes n˜ ao radiais. Astronomy & Astrophysics. Os coeficientes ser˜ ao grandes se as 552 . Marie-Jo Goupil e Carl J. e as vari´ aveis s˜ ao vetoriais.Os dois primeiros processos s˜ ao normalmente chamados de “distor¸ c˜ oes da forma do pulso” e se originam na resposta n˜ ao linear do meio estelar ` as pulsa¸ c˜ oes. uma pulsa¸ c˜ ao real pode ser representada como uma soma de modos normais. 321. Robert Buchler (1942-). e n˜ ao somente duas. No caso de duas pulsa¸ c˜ oes radiais: δR(t) = a2 (t) a1 (t) exp [iφ1 (t)] + exp [iφ2 (t)] 2 2 as equa¸ c˜ oes de amplitude s˜ ao: da1 2 = k0 a1 + {q0 a3 1 } + {T0 a1 a2 } dt da2 2 = k1 a2 + {q1 a3 2 } + {T1 a1 a2 } dt dφ1 2 = w1 + {q0 a2 1 } + {T0 a2 } dt dφ2 2 = w2 + {q1 a2 2 } + {T1 a1 } dt onde as fases φ(t) contˆ em uma parte rapidamente oscilante wt e uma parte que varia lentamente com o tempo. obedecem a equa¸ c˜ oes de amplitude n˜ ao lineares. Edward Nather. Edmund Meistas. “The Everchanging Pulsating White Dwarf GD358”. Denis Sullivan. Kleinman. Aaron Kyle Jones. Rimvydas Janulis. Don Earl Winget. 2003. Matt A. Alex Fabiano Murillo Costa. 639) encontramos termos de combina¸ c˜ ao linear de at´ e quinta e sexta ordem. as transformadas de Fourier das observa¸ c˜ oes com o WET em anos distintos da 553 . Ana Ulla & Paul Bradley. maior possibilidade de ressonˆ ancias. multi-peri´ odica ou ca´ otica. Al´ em das varia¸ c˜ oes de amplitude e fase por acoplamento. Anjum Mukadam. Ahrens. modos normais que tˆ em freq¨ uˆ encias aproximadamente ressonantes podem ser deslocados de modo que as freq¨ uˆ encias observadas s˜ ao exatamente ressonantes. Atsuko Nitta. Darragh O’Donoghue. Fu Jian Ning. Ressonˆ ancias podem causar chaveamento de freq¨ uˆ encias. Shaw. Entretanto. restri¸ c˜ oes de paridade e de momentum angular podem ser usadas para eliminar v´ arios dos poss´ ıveis acoplamentos entre os modos. No caso de pulsa¸ c˜ oes n˜ ao-radiais. A maior parte das estrelas vari´ aveis multi-peri´ odicas observadas apresenta varia¸ c˜ oes de amplitude em longas escalas de tempo. 401.regi˜ oes de alta amplitude das autofun¸ c˜ oes no interior da estrela forem similares. Peter Martinez. Steve Kawaler. Wood. Michel Chevreton. Eric W. portanto. S. Astronomy & Astrophysics. Jos´ e Eduardo Costa. Waldemar Ogloza. Gerard Vauclair. Encarni Romero-Colmenero.J. Jurek Krzesinski. A varia¸ c˜ ao temporal das amplitudes e fases resultantes pode ser peri´ odica. Stefan Dreizler. Estas mudan¸ cas entretanto ocorrem em escalas de tempo seculares. existe um n´ umero maior de freq¨ uˆ encias poss´ ıveis e. como evolu¸ c˜ ao nuclear ou perda de energia t´ ermica pela superf´ ıcie. R. portanto. Estas ressonˆ ancias podem causar o desvio do equi-espa¸ camento em per´ ıodos dos modos gravitacionais assint´ oticos (alto valor da ordem radial n). J. Por exemplo. Jochen Deetjen. assim como nos espa¸ camentos entre os modos observados. Schuh. Klumpe. acompanhados de amplitudes constantes. Nos dados de 2000 do Whole Earth Telescope da DBV pulsante GD358 (Kepler de Souza Oliveira Filho. Sonja L. Travis Metcalfe. Tiri Sullivan. T. isto ´ e. Collins. Nicole Silvestri. ser determinantes nas amplitudes observadas. Staszek Zola. A presen¸ ca de freq¨ uˆ encias que s˜ ao combina¸ c˜ oes lineares das freq¨ uˆ encias normais decorre de corre¸ c˜ oes de mais alta ordem. Scot J. Gonzalez Perez. isto ´ e. Antonio Kanaan. os modos de pulsa¸ c˜ ao sofrem altera¸ c˜ oes por mudan¸ cas evolucion´ arias nas estrelas. Kazuhiro Sekiguchi. Acoplamentos ressonantes podem. Reed Riddle. Ansley E. o espectro de freq¨ uˆ encias ´ e muito mais denso. Jan-Erik Solheim. Jiang Xiaojun. Frank Johannessen. Thorsten Nagel. Jose M. Jesse Larrison. Martha Boyer. Romualdas Kalytis. tinha aproximadamente a mesma amplitude. Podemos especular que com o esfriamento da estrela. menor a temperatura da estrela. Desta maneira ´ e poss´ ıvel ordenar as estrelas por per´ ıodos e amplitudes. O caso mais simples de ressonˆ ancia ocorre quando duas freq¨ uˆ encias inicialmente pr´ oximas de nω1 ≈ mω2 . embora a energia cin´ etica para o 554 . em sua tese de doutorado.DBV GD358 tˆ em amplitudes diferentes.35 Pulsa¸ c˜ oes das ZZ Cetis J. Poucos meses depois a transformada de Fourier voltou ao estado anterior. o primerio bloco de per´ ıodos. apesar da maioria das periodicidades principais estarem presentes em todos os anos. 23. pois sua escala de tempo ´ e maior do que escala de tempo t´ ermica. que n˜ ao ´ e “ressonante” (trapped). ele encontrou que o bloco seguinte de per´ ıodos. com a presen¸ ca de centenas de periodicidades. mas na borda azul este modo ainda n˜ ao est´ a excitado. com n e m inteiros. A ∝ Tef . al´ em de ser pequena −1 aumenta com o esfriamento da estrela. ao chegar ` a borda azul da faixa de instabilidade. e ainda que quanto −1 menor o per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao P . Christopher Clemens. que a amplitude. deve ser o modo ordem radial n ≡ k = 1. com as freq¨ uˆ encias deslocadas exatamente para a igualdade nω1 = mω2 . encontrou que todas as DAVs na borda azul da faixa de instabilidade tˆ em per´ ıodos de pulsa¸ c˜ ao muito pr´ oximos de 220 segundos. P ∝ Tef . sendo compat´ ıvel portanto com a transferˆ encia de toda a energia de pulsa¸ c˜ ao somente para aquele modo. j´ a que o primeiro modo “ressonante” nos modelos te´ oricos est´ a pr´ oximo de k = 3. os dados de agosto de 1996 mostram somente uma periodicida dominante. Finalmente. pr´ oximos de 270 s. Desta maneira ´ e poss´ ıvel que uma freq¨ uˆ encia pr´ oxima da harmˆ onica seja trazida para o valor da harmˆ onica e que as amplitudes resultantes sejam constantes. Entretanto. em vez das 180 periodicidades normalmente detectadas. com P 220 s. A energia (proporcional ` a amplitude ao quadrado) desta periodicidade entretanto ´ e similar ` a soma das energias de todas as pulsa¸ c˜ oes detectadas nos outros anos. = 1. a escala de tempo t´ ermica τterm cV T δM L est´ a se aproximando da escala de tempo dos modos-g. Como a amplitude do primeiro bloco de per´ ıodos ´ e aproximadamente a amplitude do segundo bloco de per´ ıodos. Existe uma solu¸ c˜ ao com amplitudes e fases contantes. o mecanismo de limita¸ c˜ ao de amplitudes deve estar levando ` a satura¸ c˜ ao de energia. Edward Nather. Christopher Clemens. Scot J. 203) e Edward Lewis Robinson. Tendo em vista que leva cerca de 107 anos para a estrela esfriar ∆Tef ≈ 200 K. Albert 555 . Astrophysical Journal. e n˜ ao um mecanismo de limita¸ c˜ ao. Embora a estrela G226-29 tenha amplitude muito pequena. Kleinman. A estrela G185-32 ´ e ainda mais problem´ atica. os primeiros modos excitados na borda azul est˜ ao pr´ oximos de 80 a 110 s. Todd K. e a escala de crescimento das pulsa¸ c˜ oes ´ e de semanas ou meses. Don Earl Winget.modo k = 1. 539. Somente quando a estrela se esfria por mais ∆Tef ≈ 200 K.26 para = 2. E. j´ a que n˜ ao existe energia dispon´ ıvel para excit´ a-los a amplitudes mais altas. ”Mode Identification of Pulsating White Dwarfs using the HST”. ´ e que o modo k = 1. Como os modos “ressonantes” tˆ em a mesma energia do modo n˜ ao ressonante k = 1. para as estrelas mais quentes. 219). j´ a que os dados do HST indicam que a periodicidade em 141 s n˜ ao muda de amplitude significativamente do ultravioleta para o ´ otico e. = 1. Edward Nather (1982. Pawel Moskalik. R. de acordo com os c´ alculos de Wojciech Dziembowski (1977. Kepler de Souza Oliveira Filho. isto ´ e. A. Sansom. 0. a an´ alise das pulsa¸ c˜ oes com o Hubble Space Telescope por Kepler de Souza Oliveira Filho. portanto. Judith Provencal. Christopher Clemens. 27. J. n˜ ao fita nenhum modelo te´ orico (Barbara Garcia Castanheira. como em G226-29. 259. = 1 seja muito alta. O fator de dilui¸ c˜ ao geom´ etrica ´ e da ordem de 0. Detlev Koester. Um modo com = 3 tem um cancelamento geom´ etrico muito maior. a energia no modo ´ e toda energia que est´ a dispon´ ıvel. Belmonte. o per´ ıodo excitado deveria ser pr´ oximo de 100 s. Steven D. Portanto. Da tese de doutorado de Donald Earl Winget em 1981. = 1 excitado. Watson. A.04 para = 3 e 0. pois vemos o disco integrado e as v´ arias regi˜ oes quentes e frias na superf´ ıcie da estrela se cancelam. J. demonstrou que a pulsa¸ c˜ ao com per´ ıodo de 109 s ´ e na verdade um modo com = 1. Jan-Erik Solheim. J. Edward Nather e Xian Jian Jiang (2000. = 1 ´ e excitado. 6 mma. e nenhum outro deveria estar excitado. R. Astrophysical Journal. 379391) em que compararam a amplitude no ´ otico com a amplitude de pulsa¸ c˜ ao no ultravioleta. Kawaler. Acta Astronomica. como campos magn´ eticos ou velocidades maiores do que a velocidade do som.02 para = 4. = 3. Antonio Kanaan. Kepler de Souza Oliveira Filho e R. ent˜ ao n˜ ao ´ e relevante que ´ e mais f´ acil excitar um modo ressonante. com k = 1. a estrela n˜ ao deveria ter o modo k = 1. Edward Lewis Robinson. J. Noel Dolez. Bradley. 519. 323. Antony J. o que n˜ ao ´ eo caso. n˜ ao descritas por harmˆ onicos esf´ ericos. “Observations of the Pulsating White Dwarf G 185-32”. Wood. Gerard Vauclair. mas que as amplitudes dos harmˆ onicos s˜ ao menores do que as amplitudes dos picos combina¸ c˜ oes lineares. S. 259. Achilleos. Fu. N. Elia Leibowitz. 413. Jerzy Krzesi´ nski. Brickhill (1992. mas somente para amplitudes maiores que 5%. Michael Chevreton. Paul A. K. 374. Ashoka. tamb´ em levando em conta que a escala de tempo de convec¸ c˜ ao ´ e da 556 . 783) e Yanqin Wu (2001. Grauer. Chernyshev. V. J. Entretanto J¨ org Ising e Detlev Koester (2001. Serre. Matt A. Marar. B. 116) sugerem que efeitos n˜ ao lineares na atmosfera transformam os modos normais descritos por harmˆ onicos esf´ ericos na base da zona de ioniza¸ c˜ ao parcial em modula¸ c˜ oes complexas. Yanqin Wu e Peter Goldreich (1999. τco – constante t´ ermica da zona convectiva e |2β + γ | – taxa de aprofundamento da zona convectiva com o esfriamento da estrela. M.D. T. se as componentes tˆ em a mesma amplitude. 623). Astronomy & Astrophysics. Tsevi Mazeh. Astronomy & Astrophysics. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. A. Yang. Gabriel Pajdosz. N. Stachek Zola & Jos´ e Eduardo da Silveira Costa. Astrophysical Journal. 2004. 248) levam em conta a intera¸ c˜ ao entre a pulsa¸ c˜ ao e a convec¸ c˜ ao e prop˜ oem que as n˜ ao linearidades causam a presen¸ ca de harmˆ onicos e combina¸ c˜ oes lineares na transformada de Fourier. na superf´ ıcie. B. 529) prop˜ oe uma forma de intera¸ c˜ ao entre as pulsa¸ c˜ oes e a convec¸ c˜ ao. Edmund Mei˘ stas. Benoit Pfeiffer. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. ai = a2i = ai+j = Ai 1 + (ωi τco )2 a2 i |2β + γ |(2ωi τco ) 4 1 + (2ωi τco )2 nij ai aj |2β + γ |(ωi ± ωj )τco 2 2 1 + [(ωi ± ωj )τco ]2 1 2ωi τco 1 (ωi ± ωj )τco φi = Ψi − arctan(ωi τco ) φ2i = 2Ψi + arctan φi+j = (Ψi ± Ψj ) + arctan com Ai – amplitude de uma sinusoidal. N. 0395 para = 4 em luz branca. Ele calcula que a varia¸ c˜ ao de temperatura na superf´ ıcie ´ e n˜ ao sinusoidal e.43 para = 2. na sua tese de doutorado em 1996. portanto. Astrophysical Journal Supplement Series. 389. Pierre Brassard. a energia dispon´ ıvel 557 . “The ZZ Ceti red edge”. a zona de ioniza¸ c˜ ao parcial est´ a se deslocando para dentro da estrela. ou os per´ ıodos teriam que ser diferentes. Kepler de Souza Oliveira Filho e Don Earl Winget. j´ a que o limite de detec¸ c˜ ao alcan¸ cado por ele foi de 5 mma. Ele tamb´ em deduz que a viscosidade turbulenta reduz a pulsa¸ c˜ ao porque n˜ ao permite grandes movimentos horizontais. e as estrelas vari´ aveis na borda vermelha tˆ em em m´ edia uma amplitude 40 vezes maior (Antonio Kanaan. 545) calculam o fluxo emergente a partir de uma varia¸ c˜ ao de temperaturas sinusoidal na base da zona de ioniza¸ c˜ ao parcial. Os efeitos n˜ ao lineares aparecem somente devido ao transporte radiativo de energia. GD385. = 1 ´ e excitado. 0. Eles calculam que o efeito de cancelamento geom´ etrico (soma de zonas quentes e zonas frias sobre o disco vis´ ıvel) ´ e de 0. 96. as amplitudes devem crescer na escala de tempo evolucion´ aria. Astronomy & Astrophysics.0639 para = 3 e 0. Quando a estrela esfria e o modo com k = 1. a convec¸ c˜ ao se ajusta instantaneamente ` a pulsa¸ c˜ ao.ordem de 1 s e. Todos os modos neste bloco de 220 s deveriam ser modos com k = 1. j´ a que. Antonio Kanaan. Na verdade a amplitude dos modos cai pelo menos por um fator de 40. os modos de curto per´ ıodo podem ser somente devido a ressonˆ ancias do modo principal. Entretanto. Como a zona de ioniza¸ c˜ ao parcial ´ e a causa da pulsa¸ c˜ ao (driving zone). a varia¸ c˜ ao de luminosidade tamb´ em n˜ ao ´ e. = 1. mas os per´ ıodos n˜ ao s˜ ao muito dependentes desta massa. os modos de per´ ıodo curto s˜ ao harmˆ onicos. portanto. de modo que aparentemente os modos com menor per´ ıodo permanecem excitados. o modo com menor per´ ıodo desaparece? Tanto L19-2 quanto G117-B15A tˆ em modos excitados tanto pr´ oximos de 100 s quanto pr´ oximos de 220 s. nesta escala de tempo. A concentra¸ c˜ ao de estrelas no primeiro bloco de per´ ıodos tamb´ em indica que elas devem ter a mesma massa. . demonstrou que n˜ ao existem estrelas com baixa amplitude mais frias que a borda vermelha da faixa de instabilidade. j´ a que em G117-B15A. . G185-32. na borda azul da faixa de instabilidade. Um projeto que precisa ser executado ´ e procurar por modos com = 3 e. 896). A massa da camada de hidrogˆ enio tamb´ em deve ser similar. de baixa amplitude. portanto. 2002. Como a energia t´ ermica na zona de convec¸ c˜ ao cresce exponencialmente quando a zona de ioniza¸ c˜ ao parcial vai se aprofundando. Gilles Fontaine e Fran¸ cois Wesemael (1995.. de modo que tˆ em um bloqueio convectivo muito pequeno. Quando ocorre ressonˆ ancia de dois ou mais modos de oscila¸ c˜ ao. enquanto os modos normais apresentam. Nos dados de 1994 de GD358. se τ for a escala de tempo t´ ermica da zona de 558 . 313. para a DAV G29-38. J. portanto. 62 combina¸ c˜ oes lineares foram identificadas por Fran¸ cois Vuille et al. Estas fases s˜ ao compat´ ıveis com distor¸ c˜ oes de forma e est˜ ao em concordˆ ancia com os modelos de Yanqin Wi & Peter Goldreich e de Antony J. Ressonˆ ancia entre modos n˜ ao pode ser o efeito principal nas pulsa¸ c˜ oes das an˜ as brancas porque. Note que a maior intera¸ c˜ ao entre os modos ocorre para modos com valores de ordem radial k e ´ ındice angular similares face a sobreposi¸ c˜ ao das autofun¸ c˜ oes. as combina¸ c˜ oes lineares n˜ ao apresentam velocidades horizontais. pode haver chaveamento de freq¨ uˆ encias exatas ou com uma pequena diferen¸ ca de freq¨ uˆ encia. Nos modelos n˜ ao adiab´ aticos de Brickhill e de Goldreich & Wu de an˜ as brancas. 185) que mostrou tamb´ em que a maior parte das periodicidades com combina¸ c˜ oes lineares tem a mesma fase que os modos normais geradores. Marten Henric van Kerkwijk (1966-). Isto indica que os modos normais e as combina¸ c˜ oes lineares n˜ ao tˆ em a mesma origem f´ ısica e. Brickhill para a resposta n˜ ao linear da zona de convec¸ c˜ ao. isto ´ e. Nestes modelos. 209) obtiveram espectros ´ oticos com resolu¸ c˜ ao temporal usando o telesc´ opio de 10 metros do Keck e demonstraram que. modos com valores intermedi´ arios de k e s˜ ao os que mais s˜ ao excitados. excita¸ c˜ ao n˜ ao linear n˜ ao ´ e a causa das periodicidades em combina¸ c˜ oes lineares. Se escrevermos a freq¨ uˆ encia de uma pulsa¸ c˜ ao como σi = ωi + iγi estamos representando ωi como a parte que oscila com o tempo e γi a taxa de crescimento da pulsa¸ c˜ ao. para os modos-g. Christopher Clemens & Yanqin Wu (2000. porque suas autofun¸ c˜ oes tˆ em um gradiente espacial muito pequeno na base da zona de convec¸ c˜ ao. uma pequena perturba¸ c˜ ao cresce (ou decai) por um fator de e em uma escala de tempo i τcrescimento = 1 γi e a taxa de crescimento ou decaimento se adiciona ` a largura natural do modo de oscila¸ c˜ ao. (2000. o n´ umero de modos poss´ ıveis decresce com o aumento da freq¨ uˆ encia (modos igualmente espa¸ cados em per´ ıodo). 314.para pulsa¸ c˜ ao cresce exponencialmente. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Dynamical instability of gaseous masses approaching the Schwarzschild limit in general relativity. pois este termo vem diretamente da condi¸ c˜ ao de σ2 contorno na superf´ ıcie. δr/r = 1 proposto por Yoji Osaki & Carl Hansen. o termo δr/r = 1 garante que a pulsa¸ c˜ ao cubra a superf´ ıcie da estrela e. obtida em Edward L.021 de modo que cancelamento ( = 1)/cancelamento ( = 2)=2. em uma an˜ a branca DAV.833 0. Robinson. somente pulsa¸ c˜ oes com per´ ıodos P ≤ 2πτ s˜ ao excitadas e. 12. Kepler de Souza Oliveira Filho & R. no artigo Nonradial Oscillations of Cooling White Dwarfs. Cancelamento Geom´ etrico A f´ ormula para a amplitude de uma pulsa¸ c˜ ao modo-g.m (θ. 334). por isso. publicado em 1973 no Astrophysical Journal.583 0. Brickhill 1991. 185.258.258 0. 252. 140. Note que embora para uma DAV a deslocamento radial de uma pulsa¸ c˜ ao seja somente da ordem de um metro.042 -0. O termo ( +1) ´ e constante com .m (Θ0 . 559 . as combina¸ c˜ oes de trˆ es ou mais freq¨ uˆ encias devem ter amplitudes muito menores do que as combina¸ c˜ oes de duas freq¨ uˆ encias.m (r )Y . desenvolveu a teoria de pulsa¸ c˜ oes estelares na relatividade geral. 0) ∂mx ( + 1) I ∂T σ2 iσt onde σ ´ e a freq¨ uˆ encia de pulsa¸ c˜ ao: δζ = ζ0 K 0 1 2 3 4 . portanto. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. pois corresponde ao n´ umero inteiro de comprimentos de onda em 2πr. ´ e: Ax = −660Y . publicados no Physical Review Letters. Edward Nather (1982). o termo ( + 1)/σ 2 ´ e constante com . 114 e Astrophysical Journal.excita¸ c˜ ao (driving) das pulsa¸ c˜ oes. Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) em seus artigos de 1964. o m´ aximo per´ ıodo das pulsa¸ c˜ oes das an˜ as brancas DAVs ´ e da ordem de 1000 segundos (Antony J. 417. porque envolvem coeficientes de mais alta ordem. Nas teorias lineares de ressonˆ ancias. 273. φ)e I 5/6 7/12 31/120 1/24 -1/48 cancelamento 0. Althaus. e j´ a separaram as camadas de He razoavelmente. Benvenuto. j´ a apresenta mode trapping. as camadas de transi¸ c˜ ao j´ a tˆ em gradientes mais fortes. com extensas camadas de convec¸ c˜ ao. portanto. & Aldo M. com Teff 170 000 K a 75 000K e log g = 5. a energia dispon´ ıvel para pulsa¸ c˜ ao ´ e alta. Hugh M. j´ a que a difus˜ ao gravitacional ainda est´ a no in´ ıcio (τdif 106 − 108 anos). van Horn & Carl J. entretanto. Das observa¸ c˜ oes. que amarram os modos de pulsa¸ c˜ ao. somente dezenas de modos de pulsa¸ c˜ ao tˆ em comprimentos de onda efetivos similares ` as cavidades equivalentes descritas pelas zonas de transi¸ c˜ ao. 387. Hansen (1981. 2006). as an˜ as brancas DBVs. Serenelli (2002. As zonas de transi¸ c˜ ao de composi¸ c˜ ao qu´ ımica ocorrem principalmente entre o n´ ucleo de C/O e as ´ interessante notar que mesmo a estrela quente camadas mais externas. e somente os modos com k ≤ 6 s˜ ao excitados e. foi estudado por Don Earl Winget. e os modos de pulsa¸ c˜ ao detectados tˆ em k 30–50. Nas pr´ e-an˜ as brancas. Como as zonas de transi¸ c˜ ao s˜ ao ainda bastante inclinadas. os comprimentos de onda efetivos s˜ ao longos.5. as camadas superiores ainda s˜ ao de composi¸ c˜ ao qu´ ımica homogˆ enea. J´ a para as DAVs. pois estas estrelas rec´ em sa´ ıram do Ramo Assint´ otico das Supergigantes. Por isto muitos modos s˜ ao observados. Para as DBVs. levando os elementos mais pesados para o interior. E PG 1159-035. existem pelo menos trˆ es zonas de transi¸ c˜ ao: C/O. dentro todos os autovalores poss´ ıveis. Como a estrela ´ e bem quente. como detectado por Jos´ e Eduardo da Silveira Costa em sua tese de doutorado (Costa et al. Omar G. com Teff 10 850K a 12 270K tˆ em poucos modos excitados. 7 a 7. Como as pulsa¸ c˜ oes tˆ em k 10–20 face ` a temperatura mais baixa. tˆ em centenas de modos excitados. com Teff 22 000K a 29 000K tˆ em dezenas de modos excitados. pois a difus˜ ao ainda est´ a em curso mas j´ a passou por v´ arias escalas de tempo de difus˜ ao. 245. L33) e Alejandro Hugo C´ orsico. mode trapping. Como a difus˜ ao j´ a separou completamente as camadas de composi¸ c˜ ao qu´ ımica diferentes. Astrophysical Journal. vemos que para as pr´ e-an˜ as brancas DOVs. a energia dispon´ ıvel para pulsa¸ c˜ ao ´ e baixa face ` a reduzida energia t´ ermica dispon´ ıvel nas camadas externas. 560 .Mode Trapping O mecanismo de filtro que seleciona que modos s˜ ao excitados para amplitudes observ´ aveis. e as DAVs. He e H. Astronomy & Astrophysics. 531). Leandro G. Estas transi¸ c˜ oes abruptas tamb´ em explicam o fenˆ omeno de cruzamentos proibidos (avoided crossings). centenas de modos de pulsa¸ c˜ ao tˆ em comprimentos de onda efetivos similares ` as cavidades equivalentes descritas pelas zonas de transi¸ c˜ ao. 1968. 561 .36 Bibliografia Structure and Evolution of the Stars. Stellar Structure and Evolution. McGraw-Hill. Walter J. Martin Schwarzschild (1912-1997). 1998. Compact Stars. 1968. Introdu¸ c˜ ao ` a Estrutura e Evolu¸ c˜ ao Estelar. Rudolf Kippenhahn e Alfred Weigert. Principles of Stellar Structure. Glendenning. 1999. Springer. Clayton. Thomas Giuli. 1996. Carl John Hansen (1933-2011) e Steven Daniel Kawaler (1958-). John Paul Cox (1926-1984) e R. Dover Publications. Norman K. Gordon and Breach Science Publishers.pois os modos n˜ ao conseguem ultrapassar as barreiras das transi¸ c˜ oes at´ e que suas energias sejam altas o suficientes. com per´ ıodos similares aos daquele que correspondem a esta outra cavidade. Supernovae and Nucleosynthesis. 1996. Donald D. Maciel. and Evolution. 1958. Edusp. 23. 1994. 1994. Springer-Verlag. Stellar Interiors: Physical Principles. Advanced Stellar Astrophysics. Princeton University Press. Cambridge University Press. SpringerVerlag Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis. David Arnett (1940-). William Kenneth Rose(1935-). Structure. e a´ ı j´ a tˆ em energia suficiente para chegar at´ e a outra barreira. 562 . porque seu assunto ´ e remoto e n˜ ao-familiar. uma cidade pequena • 105 m = 100 km. cada um 10 vezes maior que o anterior. cabem 10 Terras nesse comprimento. A Terra percorre essa distˆ ancia em 1 h na sua orbita em redor do Sol. apresenta alguma dificuldade para quem toma contato pela primeira vez. procurar uma no¸ c˜ ao da escala do Universo. apesar de exercer um certo fasc´ ınio sobre a maioria das pessoas. gradativamente. Queremos. um estado • 107 m = 10 mil km. partindo de tamanhos familiares e passando. mas a Lua est´ a mais distante. ´ 563 . uma rua • 104 m = 10 km. • 10 m = um edif´ ıcio comum • 102 m = uma quadra de uma cidade • 103 m = 1 km. O simples fato de pensar sobre o Universo exige imaginar distˆ ancias que parecem inimagin´ aveis frente ao tamanho das coisas com que estamos acostumados em nossa vida di´ aria. uma cidade grande • 106 m = 1000 km. a tamanhos maiores. envolvendo id´ eias novas e utilizando uma nomenclatura espec´ ıfica. aqui. o diˆ ametro da Terra (=12 700 km) • 108 m = 100 mil km.Cap´ ıtulo 24 A escala do universo A astronomia. O cintur˜ ao de aster´ oides de Kuiper se estende at´ e 150 UA. est´ a a 4 AL do Sol. • 1013 m = 10 bilh˜ oes de km = 70 UA.4 pc (parsecs) ´ e o tamanho de uma pequena nuvem molecular. • 1017 m = 10 AL = 3. aproximadamente. a Via L´ actea.• 109 m = 1 milh˜ ao de km. ´ e a distˆ ancia percorrida pela Terra em 4 dias na sua ´ orbita em redor do Sol. ainda 3 vezes mais distante. mas ainda ´ e o dom´ ınio do Sol. ´ e quase 1 UA (unidade astronˆ omica) =150 000 000 km. ainda do Sistema Solar. ocupa aproximadamente esta regi˜ ao do espa¸ co. A nuvem de cometas (Nuvem de Oort).2 UA.5 UA. • 1015 m = 1 trilh˜ ao de km. O raio m´ edio da ´ orbita de Plut˜ ao ´ e de 39. A estrela mais pr´ oxima. • 1021 m = 100 mil AL. chamada Pr´ oxima Centauri.3 UA. • 1020 m = 10 000 AL. As Nuvens de Magalh˜ aes. • 1018 m = 100 AL ´ e o tamanho da regi˜ ao central de um aglomerado globular. • 1010 m = 10 milh˜ oes de km. ´ e 1/10 do tamanho da nossa gal´ axia. ultrapassa o raio da ´ orbita de J´ upiter. • 1012 m = 1 bilh˜ ao de km = 7 UA. compar´ avel com o diˆ ametro da ´ orbita da Lua (= 764 000 km). ´ e.3 milh˜ oes de km. que ´ e distˆ ancia entre a Terra e o Sol. ´ e uma parte do disco da nossa gal´ axia. o diˆ ametro do sistema planet´ ario do Sol inteiro. gal´ axias sat´ elites da Via L´ actea est˜ ao a cerca de 150 mil AL. O sistema planet´ ario do Sol ocupa apenas uma pequena por¸ c˜ ao desse espa¸ co. ou de uma regi˜ ao HII grande. que ´ e de 5. E Solar (Nuvem de Oort). 564 . o diˆ ametro do Sol ´ e 1. O Sol est´ a a 30 000 AL do centro da nossa gal´ axia. ´ o limite do Sistema • 1016 m = 10 trilh˜ oes de km = 1 (AL) ano-luz. mas sua m´ axima distˆ ancia atinge 49. • 1019 m = 1000 AL. ´ e o tamanho da nossa gal´ axia. • 1011 m = 100 milh˜ oes de km. • 1014 m = 100 bilh˜ oes de km = 700 UA. ou de uma regi˜ ao HII. • 1022 m = 1 milh˜ ao de AL. • 1026 m = ´ e. o tamanho do nosso Universo. que inclui o Grupo Local. aproximadamente. a gal´ axia de Andrˆ omeda. pois ele se formou h´ a 13 bilh˜ oes de anos atr´ as. aproximadamente. o diˆ ametro do Grupo Local de gal´ axias. como o Superaglomerado de Virgem. 565 . • 1023 m = ´ e o tamanho de um aglomerado de gal´ axias. • 1025 m = distˆ ancia dos quasares observados (z=5 → d 4000 Mpc). a gal´ axia normal mais pr´ oxima da Via L´ actea. est´ a a 2 milh˜ oes de anos-luz. no Big Bang. • 1024 m = ´ e o tamanho de um superaglomerado de gal´ axias. que cont´ em apenas 25 gal´ axias ´ e de 3 milh˜ oes de anos-luz. e 13 bilh˜ oes de anos-luz correspondem a. 1026 m. 566 . A primeira estimativa do tamanho da Via L´ actea foi feita no in´ ıcio do s´ eculo XX. ao apontar seu telesc´ opio para a Via L´ actea. Harlow Shapley (1885-1972). descobriu que esses objetos. descobriu que ela consistia de uma multitude de estrelas. Em 1917. pelo astrˆ onomo holandˆ es Jacobus Kapteyn (1851-1922). e que o diˆ ametro A palavra gal´ axia vem do grego galaktikos. Segundo seu modelo. devido ` a sua aparˆ encia. Assumindo que o centro da distribui¸ c˜ ao dos aglomerados globulares coincide com o centro de nossa Gal´ axia. No modelo de Kapteyn a Via L´ actea tinha uma forma de disco com 18 kpc de diˆ ametro e 3 kpc de espessura. No in´ ıcio do s´ eculo XVII. estavam todos concentrados em uma dire¸ c˜ ao do c´ eu. Sempre que a palavra “gal´ axia” se referir ` a Via L´ actea. estudando a distribui¸ c˜ ao de sistemas esf´ ericos de estrelas chamados aglomerados globulares. No final do s´ eculo XVIII. Chamamos a essa faixa “Via L´ actea”. com o Sol perto do centro. que j´ a era famoso por ter descoberto o planeta Urano. Sua parte mais brilhante fica na dire¸ c˜ ao da constela¸ c˜ ao de Sagit´ ario.1. o Sol ocupava uma posi¸ c˜ ao central na Gal´ axia2 . como pode ser visto na foto da figura 25. longe das luzes artificiais das ´ areas urbanas. sendo melhor observ´ avel no Hemisf´ erio Sul durante as noites de inverno. o astrˆ onomo alem˜ ao William Herschel (1738-1822). dever´ a ser escrita com letra mai´ uscula. que significa “branco leitoso”. ele deduziu que o Sol estava a 16 kpc do centro. Galileo Galilei (1564-1642).Cap´ ıtulo 25 Nossa gal´ axia: a Via L´ actea Em noites l´ ımpidas e sem lua. 2 1 567 . pode-se ver claramente no c´ eu uma faixa nebulosa atravessando o hemisf´ erio celeste de um horizonte a outro. mapeou a Via L´ actea e descobriu tratar-se de um sistema achatado. e que nenhum deles era visto na dire¸ c˜ ao oposta. que lembrava aos povos antigos um caminho esbranqui¸ cado como leite1 . mas hoje sabemos que essa conclus˜ ao estava errada. 568 . A regi˜ ao central da Gal´ axia ´ e a parte mais alargada que aparece no canto inferior esquerdo da foto.Figura 25. 3 Shapley superestimou o tamanho da Gal´ axia por n˜ ao levar em conta a extin¸ c˜ ao da luz pelo meio interestelar. Embora superestimados3 por um fator de 2.1: Via L´ actea no c´ eu do hemisf´ erio sul. esses valores deram uma dimens˜ ao da Gal´ axia muito mais pr´ oxima da realidade do que o modelo de Kapteyn. do disco da Via L´ actea seria 100 kpc. que ´ e o c´ ırculo m´ aximo que cont´ em o centro gal´ actico e as partes ´ inclinado 63◦ em rela¸ mais densas da Via L´ actea. variando de 0◦ a 90◦ para o norte e de 0◦ a −90◦ para o sul. 569 . de uma estrela ao norte do plano gal´ actico. que fica em Sagit´ ario. E c˜ ao ao Equador celeste. variando de 0◦ a 360◦ .1 Sistema de coordenadas gal´ acticas O sistema de coordenadas gal´ acticas tem por plano fundamental o plano gal´ actico. PCN e PGN significam polo celeste norte e polo gal´ actico norte. PCN PGN PGN 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 Equador celeste 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 CG 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 pla n og alá ctic o Sol b l C.G. a partir da dire¸ c˜ ao do centro gal´ actico.2: A figura da esquerda ilustra a inclina¸ c˜ ao de 63◦ o do plano gal´ actico em rela¸ c˜ ao ao equador celeste e a a localiza¸ c˜ ao do centro gal´ actico (CG) no hemisf´ erio sul da esfera celeste. As coordenadas do sistema gal´ actico s˜ ao: • latitude gal´ actica (b): distˆ ancia angular medida perpendicularmente ao plano gal´ actico. respectivamente.25. plano galáctico Figura 25. como mostrado na figura 25. • longitude gal´ actica (l): distˆ ancia angular medida ao longo do plano gal´ actico. no sentido anti-hor´ ario. A figura da direita ilustra as coordenadas latitude gal´ actica (b) e longitude gal´ actica (l).2. e a paralaxe espectrosc´ opica4 . e lna a longitude gal´ actica do nodo ascendente do plano gal´ atico no equador. Elas podem ser reconhecidas facilmente.1 A rela¸ c˜ ao Per´ ıodo-Luminosidade de estrelas vari´ aveis pulsantes As estrelas vari´ aveis pulsantes s˜ ao estrelas cuja luminosidade varia com o tempo. paralaxe heliocˆ entrica. devido a varia¸ c˜ oes no seu tamanho. As estrelas vari´ aveis cumprem o papel de indicadores de distˆ ancia nesta escala. que utiliza as propriedades espectrais das estrelas para determinar sua magnitude absoluta pela sua posi¸ c˜ ao no diagrama HR. • no sistema equatorial celeste: α = 17h 42min. que tem 30 000 pc de ´ diˆ ametro. b = 0. mas ainda insuficiente para cobrir o tamanho de nossa Gal´ axia. 25.As coordenadas do centro gal´ actico s˜ ao: • no sistema gal´ actico: l = 0. 4 570 . O nome continua sendo usado por raz˜ oes hist´ oricas. Esses dois tipos de estrelas ocupam A paralaxe espectrosc´ opica n˜ ao tem nada a ver com o da paralaxe geocˆ entrica ou heliocˆ entrica. δ = -28◦ 55 . 25. usada para detectar distˆ ancias dos planetas externos do nosso sistema solar e de estrelas pr´ oximas. portanto. alcance maior do que o obtido atrav´ es da paralaxe heliocˆ entrica (100 pc). que tenha um alcance maior.2 Distˆ ancias dentro da Gal´ axia Em cap´ ıtulos anteriores. observando a sua varia¸ c˜ ao em luminosidade. Atrav´ es da paralaxe espectrosc´ opica. b = sen−1 cos δ cos δPG cos(α − αPG ) + sen δ sen δPG l = tan−1 sen δ − sen b sen δPG + lna cos δ sen(α − αPG ) cos δPG onde αPG e δPG s˜ ao as coordenadas do polo gal´ atico. incluir um novo m´ etodo de determina¸ c˜ ao de distˆ ancias. E necess´ ario. que s˜ ao paralaxes trigonom´ etricas.2. a n˜ ao ser o fato de que ´ e utilizado para determinar distˆ ancias. j´ a vimos como se determinam distˆ ancias de objetos astronˆ omicos usando t´ ecnicas como radar. no caso de planetas internos e outros objetos pr´ oximos da Terra. que se d´ a de maneira muito regular. Dois tipos de vari´ aveis s˜ ao importantes como indicadores de distˆ ancia: as RR Lyrae e as Cefeidas. podemos medir distˆ ancias de estrelas at´ e aproximadamente 10 000 pc. com varia¸ c˜ oes em magnitude menores do que 1 magnitude. Elas diferem mais em luminosidade do que as RR Lyrae.5 e 1 dia.5 e 0. Seus per´ ıodos de pulsa¸ c˜ ao s˜ ao pequenos. 125 log P − 1. muito comuns em aglomerados globulares.Tabela 25. 25. • RR Lyrae: s˜ ao estrelas evolu´ ıdas com massa entre 0. entre 0. com amplitudes de pulsa¸ c˜ ao entre 0. que podem penetrar 571 . o que permite conhecer sua luminosidade. em dias.5 magnitudes. e distˆ ancias de outras gal´ axias. por terem raios maiores. Tamb´ em pulsam de forma regular. As Cefeidas mais brilhantes tˆ em per´ ıodos maiores. ´ e: Mbol = −3. podendo ter magnitudes absolutas entre -2 e -6. mas apresentam uma rela¸ c˜ ao muito estreita entre o per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao e a luminosidade. 3. 525 As vari´ aveis Cefeidas s˜ ao usadas para determinar distˆ ancias de estrelas long´ ınq¨ uas da nossa Gal´ axia. 6 ± 0. As observa¸ c˜ oes indicam que a rela¸ c˜ ao entre a magnitude bolom´ etrica absoluta Mbol e o per´ ıodo P . uma vez conhecido seu per´ ıodo de pulsa¸ c˜ ao. Todas tˆ em tipo espectral entre B8 e F2 e magnitude absoluta em torno de MV = 0.3 Forma e tamanho da Via L´ actea A forma da Via L´ actea foi determinada atrav´ es de observa¸ c˜ oes em comprimentos de onda longos.1: M´ etodos para estimar distˆ ancias astronˆ omicas Distˆ ancia M´ etodo de alcance 1 UA radar 100 pc paralaxe heliocˆ entrica 10 000 pc paralaxe espectrosc´ opica 4 Mpc estrelas vari´ aveis uma regi˜ ao do diagrama HR chamada faixa de instabilidade. O fato de terem luminosidade conhecida permite que sejam usadas como indicadores de distˆ ancia para aglomerados globulares. • Cefeidas: s˜ ao supergigantes com massa entre 3 e 18 M e tipo espectral entre F e K.3 e 3.7 M . onde as estrelas est˜ ao come¸ cando a queimar He no n´ ucleo. como r´ adio e infravermelho. mas podem apresentar per´ ıodos de pulsa¸ c˜ ao entre 1 e 100 dias. 572 . e comparando-as com outras gal´ axias. Se pud´ essemos ver a Via L´ actea de frente. chamadas bra¸ cos espirais. a uma distˆ ancia de aproximadamente 8500 pc. uma regi˜ ao com cerca de 2 000 pc de raio. Com base nessas observa¸ c˜ oes. uma regi˜ ao esf´ erica formada pelos aglomerados globulares e aparentemente grande quantidade de mat´ eria n˜ ao-luminosa. O disco est´ a embebido no halo. em comprimentos de onda longos. poeira.3: A gal´ axia NGC 2997 como uma representa¸ c˜ ao da Via L´ actea. At´ e h´ a pouco tempo acreditava-se que o bojo tinha forma esf´ erica. constitu´ ıda de estrelas velhas. localizado em um dos bra¸ cos espirais. No centro gal´ actico fica o n´ ucleo.com diˆ ametro de 30 000 pc (100 000 anos-luz) e espessura de 300 pc aproximadamente. indicam que ele tem tem forma de barra. uma complexa regi˜ ao com grande quantidade de g´ as. Da nossa posi¸ c˜ ao. um tipo de gal´ axia na qual a mat´ eria parece estar concentrada em estruturas estreitas e enroladas. que se estende por no m´ ınimo 100 000 pc em torno do centro gal´ actico. a parte da Gal´ axia interna ao Sol ´ e vista de perfil. os astrˆ onomos chegaram ` a conclus˜ ao de que a Via L´ actea ´ e uma gal´ axia espiral. prov´ avelmente ela se pareceria como a gal´ axia NGC 2997. que tem forma circular e achatada. mostrada na figura 25. Os bra¸ cos espirais e a mat´ eria entre os bra¸ cos constituem o disco.Figura 25. junto ao Sol. uma estrutura comumente presente em outras gal´ axias. mas estudos recentes. O Sol. a poeira presente no plano da Gal´ axia.3. tendo portanto a forma de uma faixa luminosa. estrelas e possivelmente um imenso buraco negro confinados em 3 pc de diˆ ametro. O n´ ucleo ´ e envolvido pelo bojo nuclear. orbita o centro da Gal´ axia. Sir Edmond Halley (1656-1742) observou que a posi¸ c˜ ao da estrela Arcturus no c´ eu havia mudado um grau em rela¸ c˜ ao ` a posi¸ c˜ ao medida por Ptolomeu. Estrelas cujo movimento se d´ a ao longo da linha de visada n˜ ao apresentam movimento 573 . E obtida a partir do deslocamento Doppler das linhas espectrais: ∆λ = λ − λ0 Para o caso n˜ ao relativ´ ıstico: ∆λ V cos θ vr = = λ0 c c onde θ ´ eoˆ angulo entre a velocidade V da estrela e a linha de visada entre a estrela e o Sol.4. • velocidade radial [ vr (km/s)]: ´ e a velocidade de aproxima¸ c˜ ao ou afastamento da estrela na dire¸ c˜ ao ´ da linha de visada. foi poss´ ıvel. 25. Desde ent˜ ao. a velocidade na linha de visada.8 pc de distˆ ancia e tem um cent´ esimo da luminosidade intr´ ınseca do Sol. A partir de 1842. descoberta em 1916 por Edward Emerson Barnard (1857-1923). chamado de movimento pr´ oprio. podemos medir a velocidade espacial da estrela em rela¸ c˜ ao ao Sol. A Estrela de Barnard est´ a a 1. Combinando o movimento radial e o movimento tangencial (pr´ oprio). S´ ırius tamb´ em havia mudado.25. meio grau. isto ´ e. ∆λ c vr = λ0 • movimento pr´ oprio [ µ ( ano )]: ´ e o movimento pr´ oprio da estrela no plano da esfera celeste. Combinando-os. os astrˆ onomos tˆ em medido o movimento das estrelas no c´ eu. ou seja.1 Componentes dos movimentos estelares As estrelas tˆ em dois tipos de movimentos que s˜ ao observ´ aveis da nossa posi¸ c˜ ao na Gal´ axia: o movimento pr´ oprio (perpendicularmente ` a linha de visada) e a velocidade radial (movimento ao longo da linha de visada). Esse movimento chega a 10 por ano para a estrela de Barnard. medir a velocidade radial das estrelas. medido em ano .4 O movimento das estrelas na Gal´ axia Em 1718. com a descoberta do efeito Doppler. obt´ em-se o movimento real da estrela. perpendicularmente ` a linha de visada. tamb´ em. e conhecendo a distˆ ancia da estrela. perpendicular ` a linha de visada. apenas velocidade radial.4. temos: vt = µ(rad) pc/ano p(”) onde se usou sen µ µ. que s˜ ao detectados como movimentos peculiares. Por outro lado. apenas movimento pr´ oprio. N˜ ao se deve confundir o movimento pr´ oprio com a paralaxe.2 O sistema local de repouso (SLR) ´ um sistema de referˆ E encia instantaneamente centrado no Sol. que por sua vez ´ e obtida a partir da paralaxe. e ´ e cumulativo ao longo de anos. e ´ e c´ ıclica em um ano.pr´ oprio. as estrelas. apresentam movimentos em rela¸ c˜ ao ao SLR. porque µ ´ e muito pequeno (em geral menor do que 5 × 10−5 rad/ano). estrelas cujo movimento ´ e perpendicular ` a linha de visada n˜ ao apresentam velocidade radial. Como d(pc) = 1 p . Como os movimentos das estrelas individuais s˜ ao diferentes do movimento m´ edio. est˜ ao em repouso em rela¸ c˜ ao ao SLR. 574 . Fazendo as devidas transforma¸ c˜ oes de parsec para km e de ano para segundos temos: vt = 4. ao passo que o movimento pr´ oprio se deve aos movimentos relativos entre a estrela e o Sol. de maneira que as estrelas. que se move em ´ orbita circular em torno do centro gal´ atico. nas proximidades do Sol. 74 • velocidade espacial [ V (km/s)]: ´ e obtida a partir de vt e vr : V 2 = vt 2 + vr 2 µ km/s. deve-se fazer a corre¸ c˜ ao pela paralaxe. Ao se calcular o movimento pr´ oprio. p 25. e ´ e obtido a partir do movimento pr´ oprio e da distˆ ancia da estrela. em m´ edia. com velocidade igual ` a m´ edia das velocidades estelares nas vizinhan¸ cas do Sol. • velocidade tangencial [ vt (km/s)]: ´ e a componente da velocidade V perpendicular ` a linha de visada. pois a paralaxe se deve ao movimento da Terra em torno do Sol. consideradas individualmente. que possam ser considerados estacion´ arios. b = +25◦ . conhecendo a distˆ ancia do Sol ao centro gal´ actico.5 A rota¸ c˜ ao e a massa da Gal´ axia O movimento do Sol em torno do centro da Gal´ axia pode ser determinado observando o movimento aparente de objetos muito distantes. mas tem uma rota¸ c˜ ao diferencial. que fica na constela¸ c˜ ao de H´ ercules e tem coordenadas: l = 53◦ . α = 18h. apresentando um movimento em rela¸ c˜ ao ao SLR de 16. deduziu que a velocidade orbital do Sol ´ e de 220 km/s. As estrela mais pr´ oximas do centro da Gal´ axia se movem mais r´ apido do que o Sol e as estrelas mais distantes se movem mais devagar.4: Componentes dos movimentos estelares O Sol n˜ ao tem uma ´ orbita perfeitamente circular. o “ano gal´ actico”.5 km/s. como a dos planetas em torno do Sol. Jan Heindrik Oort (1900-1992). Da´ ı. 25. Dessa forma foi poss´ ıvel determinar a velocidade orbital do Sol em torno do centro da Via L´ actea.vr V d ha lin ev da isa µ vt Sol Figura 25. numa dire¸ c˜ ao chamada ´ apex. 575 . como aglomerados globulares ou gal´ axias distantes. e o ano gal´ actico tem dura¸ c˜ ao de 250 milh˜ oes de anos. Isso evidencia que o disco da Gal´ axia n˜ ao gira como um corpo r´ ıgido. δ = +30◦ . podemos determinar quanto tempo o Sol leva para dar uma volta completa em torno do centro gal´ actico. o pr´ oprio Sol e vamos assumir que ele est´ a em uma ´ orbita circular em torno do centro gal´ atico com velocidade V0 . Atrav´ es de observa¸ c˜ oes em r´ adio. A for¸ ca centr´ ıpeta do Sol ´ e FC = M V0 2 R0 que ´ e produzida pela atra¸ c˜ ao gravitacional entre o Sol e Gal´ axia. Para conhecer a massa existente al´ em da ´ orbita do Sol. pode ser calculada igualando as duas equa¸ c˜ oes e isolando MG : MG = (2.5. que ´ e a velocidade de rota¸ c˜ ao em fun¸ c˜ ao da distˆ ancia ao centro. assim. 25. 7 × 10−11 m3 /(kg · s2 ) MG = 1. aproximadamente. calculada na equa¸ c˜ ao (25. a Via L´ actea teria. MG . 100 bilh˜ oes de estrelas. os astrˆ onomos mediram o movimento do g´ as no disco. da mesma forma que os planetas giram em torno do Sol. como exemplo. 20 × 105 m/s)2 (2. 6 × 1020 m) V02 R0 = G 6. podemos determinar aproximadamente a massa da Gal´ axia.1 Massa da Gal´ axia O Sol. e determinaram. 576 . as outras estrelas. considerando o Sol como uma estrela de massa t´ ıpica. at´ e distˆ ancias al´ em do limite vis´ ıvel da Gal´ axia. pois estamos considerando apenas a massa interna ` a orbita do Sol.1).25. as nebulosas gasosas. 9 × 1041 kg 1011 M (25. ´ e necess´ ario medir o movimento de estrelas e do g´ as localizados a distˆ ancias maiores do centro Gal´ actico do que o Sol. Tomemos.5.1) Portanto.2 A curva de rota¸ c˜ ao da Gal´ axia A massa da Gal´ axia. ´ e apenas a massa contida dentro da ´ orbita do Sol em torno do centro Gal´ actico. Esse ´ e um limite inferior. gira em torno do centro gal´ actico movido pela atra¸ c˜ ao gravitacional da grande quantidade de estrelas ali concentradas. Observando o movimento de rota¸ c˜ ao de uma estrela na periferia da Gal´ axia. e tudo o que faz parte da Gal´ axia. dada por FG = GM MG R0 2 A distˆ ancia do Sol ao centro gal´ actico e sua velocidade s˜ ao V0 = 220 km/s 20 e R0 = 8500 pc = 2.6 ×10 m. logo a massa da Gal´ axia. desde que saibamos a distˆ ancia dessa estrela ao centro gal´ actico. MG . a curva de rota¸ c˜ ao da Gal´ axia. no m´ ınimo. era de se esperar que. onde os quatro c´ ırculos concˆ entricos representam quatro ´ orbitas estelares no disco da Gal´ axia. corresponde a uma massa de 6 × 1011 M . o que implica que a quantidade de massa continua a crescer. ´ e bloqueada pela poeira que existe em abundˆ ancia no plano gal´ actico. assumidas circulares por simplicidade. A ´ orbita mais externa ´ e ocupada pelo Sol. Assim. Surpreendentemente. Vamos considerar a figura a seguir. a partir desse ponto. A velocidade de rota¸ c˜ ao. Obten¸ c˜ ao da curva de rota¸ c˜ ao A estrutura da Via L´ actea ´ e obtida a partir da distribui¸ c˜ ao da radia¸ c˜ ao r´ adio emitida pelo g´ as interestelar. Pelo contr´ ario. o que s´ o pode ser explicado assumindo que nossa Gal´ axia cont´ em mat´ eria n˜ ao-vis´ ıvel que se estende muito al´ em da mat´ eria vis´ ıvel. Devido ` a rota¸ c˜ ao diferencial. o dobro da massa contida dentro da ´ orbita do Sol. As ondas de r´ adio atravessam a poeira. apenas n˜ ao ´ e vista. a velocidade do Sol (Vo ) ´ e menor do que a velocidade da estrela A. Portanto. Atualmente o termo massa faltante n˜ ao ´ e mais usado. que n˜ ao emite luz). A distˆ ancia de 15 kpc corresponde ao limite da estrutura espiral vis´ ıvel da Gal´ axia (onde “vis´ ıvel”. Esta foi a primeira indica¸ c˜ ao de um problema muito maior. uma vez que a radia¸ c˜ ao vis´ ıvel. que ´ e menor do que a velocidade da estrela C. o movimento das estrelas e do g´ as situados mais distantes deveria ser cada vez mais lento. as velocidades das estrelas em ´ orbitas mais internas s˜ ao maiores do que as das estrelas em ´ orbitas mais externas (movimento kepleriano). ou mat´ eria escura (invis´ ıvel. pois se a maior parte da massa da Gal´ axia estivesse contida at´ e esse raio. pois sabe-se que a massa est´ a l´ a. A distˆ ancia da fonte emissora ´ e obtida pelo m´ etodo do ponto tangencial. que ´ e menor do que a velocidade da estrela B. a curva de rota¸ c˜ ao passasse a decrescer. significa o que pode ser detectado em qualquer comprimento de onda). ou seja. da mesma forma que a velocidade dos planetas diminui ` a medida que aumenta sua distˆ ancia ao Sol. aqui. a curva de rota¸ c˜ ao aumenta ligeiramente para distˆ ancias maiores.Essa curva mostra que a massa contida dentro do raio de 15 kpc – duas vezes a distˆ ancia do Sol ao centro gal´ actico – ´ e de 2 × 1011 M . externa ` a´ orbita do Sol. A natureza da mat´ eria escura constitui um dos pontos mais perplexantes da astronomia moderna. 577 . n˜ ao ´ e isso o que se observa. que se aplica ` as partes mais internas da Gal´ axia em rela¸ c˜ ao ` a´ orbita do Sol. e que constitui. de forma que podem ser detectadas mesmo se suas fontes se encontram no lado oposto do disco. chamado inicialmente de massa faltante (missing mass). dois ter¸ cos da massa total da Gal´ axia. ` a distˆ ancia de 40 kpc. emitida pelas estrelas. a velocidade ´ e em torno de 220 km/s. Se a maioria da massa estivesse contida dentro do raio do Sol. al´ em de ser crucial para a determina¸ c˜ ao da massa da Gal´ axia. A curva de rota¸ c˜ ao assim constru´ ıda. na regi˜ ao interna (r ≤ 1 kpc) a Gal´ axia gira como um corpo r´ ıgido. a curva de rota¸ c˜ ao deixa evidente que a velocidade de rota¸ c˜ ao n˜ ao declina muito nas partes externas da Gal´ axia. e sim a partir de observa¸ c˜ oes do g´ as hidrogˆ enio neutro (HI). de forma que quando a velocidade radial for m´ axima a distˆ ancia galactocˆ entrica ´ e m´ ınima para as estrelas a essa longitude. ´ e dada por R = R0 sen l onde R0 ´ e a distˆ ancia do Sol ao centro gal´ actico. O racioc´ ınio seguido ´ e o mesmo descrito para o caso de estrelas. Apesar das imprecis˜ oes nas distˆ ancias assim determinadas. As velocidades medidas para diferentes distˆ ancias galactocˆ entricas indicam que. relativa ao Sol. estando na regi˜ ao espectral de r´ adio. A velocidade de rota¸ c˜ ao nas partes externas ´ e obtida atrav´ es de associa¸ c˜ oes de estrelas jovens: primeiro determina-se suas distˆ ancias por paralaxe espectrosc´ opica ou fotom´ etrica. uma vez que a radia¸ c˜ ao emitida por esse g´ as. ser´ a V = Vmax − V0 sen l Assumindo que V0 e R0 s˜ ao conhecidos. aumenta ` a medida que diminui a distˆ ancia galactocˆ entrica da estrela. podemos medir a curva V (R)×R. e depois mede-se a velocidade radial pelas linhas de emiss˜ ao do g´ as em torno das estrelas. Nessa situa¸ c˜ ao. pois permite conhecer as distˆ ancias ` as nuvens de g´ as que est˜ ao emitindo a radia¸ c˜ ao. 578 . A velocidade radial da estrela nesse ponto. a velocidade continuaria decaindo sempre. a distˆ ancia da estrela ao centro. chegando ao valor m´ aximo em r∼ 8 kpc. atravessa bem a poeira do disco gal´ actico. temos que R. e a curva de rota¸ c˜ ao teria uma forma kepleriana V ∝ R−1/2 . tamb´ em permite mapear a sua estrutura. a componente radial da velocidade de cada estrela. Na verdade. sempre medindo os pontos de m´ axima velocidade radial ao longo de linhas de visada a diferentes longitudes gal´ acticas. Nas proximidades do Sol. Depois a velocidade decai e em seguida passa a aumentar novamente.Para uma certa longitude gal´ actica l. desde que essas nuvens estejam na parte interna do disco. podendo at´ e mesmo aumentar um pouco. Atualmente tamb´ em est´ a sendo usada a emiss˜ ao de mol´ eculas de ´ oxido de carbono (CO) com esse mesmo objetivo. medida a partir do Sol. as curvas de rota¸ c˜ ao da Gal´ axia n˜ ao s˜ ao obtidas a partir de observa¸ c˜ oes de estrelas. F´ ormulas de Oort A figura 25.6 esquematiza a posi¸ c˜ ao e velocidade do Sol e de outra estrela em uma ´ orbita mais interna.Sol A Vo l B Ro d CG C R Vmax Figura 25.3 Determina¸ c˜ ao da velocidade e distˆ ancia galactocˆ entrica do Sol .5: Velocidades estelares a diferentes distˆ ancias do centro gal´ actico. As ´ orbitas s˜ ao assumidas circulares. Os elementos mostrados s˜ ao: • V = velocidade linear da estrela • V0 = velocidade linear do Sol • R = distˆ ancia da estrela ao centro gal´ actico • R0 = distˆ ancia do Sol ao centro gal´ actico • l = longitude gal´ actica • r = distˆ ancia da estrela ao Sol Sendo a velocidade observada da estrela dada por V − V0 . as componentes radial e tangencial dessa velocidade observada s˜ ao: vr = V cos α − V0 sen l vT = V sen α − V0 cos l 579 .5. 25. o cisalhamento local (varia¸ c˜ ao de velocidade) e a vorticidade local (varia¸ c˜ ao de momentum angular).Figura 25. M. as componentes de velocidade podem ser descritas como: vr = A r sen 2 l vT = A r cos 2 l + B r onde A e B s˜ ao as constantes de Oort. P. H. definidas como: A≡ B≡− 1 V0 dV − 2 R0 dR R0 R0 1 V0 dV + 2 R0 dR =A− V0 R0 As constantes A e B medem. respectivamente. Oja. Donner (Editores) 580 . por exemplo. Poutanen e K. no livro ”Fundamental Astronomy”. pode-se mostrar que. Karttunen.6: Velocidade do Sol e de uma estrela em uma ´ orbita interna pr´ oxima ao Sol. nas proximidades do Sol (r R0 ). onde o gradiente de velocidade angular ´ e pequeno. Usando as rela¸ c˜ oes trigonom´ etricas adequadas5 . Os 5 Uma dedu¸ ca ˜o pormenorizada pode ser vista. Kr¨ oger. J. de H. 5) km s−1 kpc−1 B = −(12. 0055 /ano. T O movimento pr´ oprio µ = vd = A cos 2l + B graficado em fun¸ c˜ ao da longitude gal´ actica ´ e uma fun¸ c˜ ao cosseno com per´ ıodo de 360o . a velocidade angular do Sol: ω0 = 0. para uma distˆ ancia determinada. vemos que subtraindo A e B obtemos A−B = e somando A e B obtemos A+B =− dV dR R0 V0 = ω0 R0 Uma vez que A e B tˆ em valores conhecidos. 581 . obtemos assim o valor de ω0 . Rela¸ c˜ ao entre as constantes de Oort Pelas defini¸ c˜ oes de A e de B. cuja amplitude tem o valor A e o valor m´ edio ´ e igual a B .7: Varia¸ c˜ ao da velocidade radial e do movimento pr´ oprio com a longitude gal´ actica. ´ e uma fun¸ c˜ ao seno o com per´ ıodo de 360 . 5 ± 1. cuja amplitude d´ a o valor da constante A.Figura 25. 0 ± 3) km s−1 kpc−1 O gr´ afico de vr × l. valores de A e B foram determinados a partir de um grande n´ umero de observa¸ c˜ oes. que indicaram: A = (14. o meio interestelar n˜ ao ´ e completamente vazio. distribu´ ıdos na forma de nuvens individuais. 5 kpc. aproximadamente. ´ e V0 220 km/s. A densidade t´ ıpica do meio interestelar ´ e de um ´ atomo de hidrogˆ enio por cent´ ımetro c´ ubico e. ao passo que a poeira agrupa menos de 1% da massa em g´ as. obtemos a distˆ ancia ao centro gal´ actico: V0 8. ´ Nebulosa de Orion 582 . e tamb´ em em um meio difuso. 10% da massa da Via L´ actea. est˜ ao misturados com o g´ as e a poeira. O g´ as interestelar constitui. 25. medida usando como referˆ encia fontes extragal´ acticas. fraco ( 10 µG). Principalmente no disco da Gal´ axia. R0 = ω0 Esse resultado ´ e compat´ ıvel com a distˆ ancia ao centro gal´ actico determinado pela distribui¸ c˜ ao dos aglomerados globulares. o meio interestelar cont´ em g´ as e poeira. Raios c´ osmicos. aproximadamente.6 Meio interestelar Embora a maior parte da massa da nossa Gal´ axia esteja concentrada em estrelas.A velocidade circular do Sol. que s˜ ao part´ ıculas altamente energ´ eticas. e existe ainda um campo magn´ etico gal´ atico. 100 gr˜ aos de poeira por quilˆ ometro c´ ubico. Uma vez conhecidos os valores de V0 e de ω0 . V0 . que se encontra a 1 500 anos-luz da Terra. na maior parte. A existˆ encia dessa linha foi predita. A diferen¸ ca de energia entre esses dois n´ ıveis corresponde a uma freq¨ uˆ encia (E = 6 × 10−6 eV = hν ) de 1420. opostos. que s˜ ao agrupamentos de estrelas nos quais todas tˆ em. O colapso e fragmenta¸ c˜ ao dessas nuvens d˜ ao origem a aglomerados estelares. j´ a que trata-se de uma carga el´ etrica em movimento. podem ser paralelos (mesmo sentido de rota¸ c˜ ao) ou. que em termos de energia ´ e escrito como ∆E ∆t ≤ ¯ h Definindo: vida m´ edia do estado = τ ≡ ∆t. com ainda menor energia. Portanto. em 1944. e observada pelos americanos Harold Ewen e Edward Mills Purcell (1912-1997) em 1951. pois novas gera¸ c˜ oes de estrelas se formam a partir do colapso de nuvens moleculares gigantes. os spins (sentido de rota¸ c˜ ao) do el´ etron e do pr´ oton. perto de estrelas muito quentes e massivas. Apesar de levar em m´ edia 10 milh˜ oes de anos para o ´ atomo de hidrogˆ enio emitir essa linha como o hidrogˆ enio ´ e muito abundante na Gal´ axia. Se existe suficiente hidrogˆ enio ao redor dessas estrelas. que ´ e usada para mapear a distribui¸ c˜ ao desse g´ as e que teve um papel chave na determina¸ c˜ ao da estrutura espiral da Gal´ axia. ou nebulosa de emiss˜ ao. Um exemplo desse tipo de nebulosa ´ ea ´ Nebulosa de Orion. chamada regi˜ ao HII. aproximadamente. aproximadamente. levaria 10 milh˜ oes de anos para metade da amostra decair espontaneamente para o estado de spins anti-paralelos.6 A quantidade de g´ as do meio interestelar diminui continuamente com o tempo. Esse parˆ ametro ´ e conseq¨ uˆ encia direta do princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg. ele ser´ a vis´ ıvel como uma nebulosa gasosa de emiss˜ ao. a transi¸ c˜ ao entre esses dois n´ ıveis de estrutura hiperfina d´ a origem a uma linha de comprimento de onda λ = c/ν = 21. que n˜ ao ´ e luminoso. ` a 6 Se fˆ ossemos observar uma amostra de ´ atomos de hidrogˆ enio no estado fundamental de maior energia (spins do el´ etron e do pr´ oton paralelos). ela ´ e observada em todas as dire¸ c˜ oes do c´ eu.1 G´ as interestelar O g´ as interestelar ´ e constitu´ ıdo. a mesma idade e est˜ ao.25. Mas. teoricamente.6. largura natural do estado = Γ ≡ ∆E/¯ h Resulta: Γ = 3 × 10−15 s−1 −→ τ = 107 anos 583 . por hidrogˆ enio neutro. O hidrogˆ enio neutro (HI) emite uma linha espectral no comprimento de onda de 21 cm. o hidrogˆ enio ´ e ionizado pela radia¸ c˜ ao ultravioleta provinda das estrelas e brilha por fluorescˆ encia. Especificamente. Associado ao spin existe um momento magn´ etico dipolar. brilhante. a vida m´ edia do estado ´ e 10 milh˜ oes de anos. no hidrogˆ enio neutro em seu estado fundamental. 049 cm. pelo dinamarquˆ es Hendrick Christoffel van de Hulst (1918-). ou seja.4 MHz. silicatos e gelo de ´ agua.mesma distˆ ancia de n´ os.5 e 1 massa solar s˜ ao formadas). com tamanhos de 0. s˜ ao suficientemente pequenas para espalharem (desviar a dire¸ c˜ ao.2 A poeira interestelar A poeira interestelar ´ e composta principalmente de grafite. com centenas a milhares de estrelas. a poeira interestelar faz as estrelas parecerem mais vermelhas do que realmente s˜ ao. 4 µm) mais eficientemente do que as de maior comprimento de onda (luz vermelha. A poeira circundando estrelas reflete a luz formando uma nebulosa de reflex˜ ao. ´ e similar ao que ocorre na atmosfera da Terra. enquanto que os aglomerados globulares localizam-se principalmente no halo da Gal´ axia. centenas de estrelas de massa entre 0. Quando um f´ oton ´ e desviado. 7 µm). Para f´ otons no ´ optico. sua dire¸ c˜ ao muda aleatoriamente.6. e chega a 600K em uma Regi˜ ao HII. e as estrelas de baixa massa perdem muito pouco de sua massa em sua evolu¸ c˜ ao. o espalhamento reduz o n´ umero de f´ otons azuis em rela¸ c˜ ao ao n´ umero de f´ otons vermelhos do feixe de luz que vem em nossa dire¸ c˜ ao. Esse efeito. com milhares a centenas de milhares de estrelas. As part´ ıculas de poeira. 25.1 a 1 m´ ıcron. onde as mol´ eculas de oxigˆ enio. Dessa maneira. tornando-o vermelho ao pˆ or-do-sol. chamado avermelhamento interestelar. A poeira tem uma temperatura da ordem de 10 a 20K no meio interestelar. cada nova gera¸ c˜ ao de estrelas aprisiona o g´ as do meio interestelar. Existem aglomerados gal´ acticos. 584 . Os aglomerados abertos encontram-se principalmente no disco da Gal´ axia. λ ≥ 0. em gr˜ aos de v´ arios tamanhos. e aglomerados globulares. λ ≤ 0. de cor azulada. o espalhamento ´ e proporcional ao comprimento de onda na potˆ encia -4: A(λ) Io λ−4 Como resultado. sem absorver) a luz de menor comprimento de onda (luz azul. De fato. de polui¸ c˜ ao e a poeira desviam preferencialmente a luz azul do Sol. O espectro dessas nebulosas ´ eo mesmo da estrela que a ilumina. Como a fun¸ c˜ ao inicial de massa de forma¸ c˜ ao estelar favorece fortemente a forma¸ c˜ ao de estrelas de baixa massa (para cada estrela de massa entre 20 e 30 massas solares. ou abertos. mas muito menores ( 1µm) do que a poeira aqui na Terra. f´ otons azuis s˜ ao desviados cerca de 10 vezes mais eficientemente do que os f´ otons vermelhos. Atualmente.2: Sum´ ario das propriedades das popula¸ c˜ oes estelares Localiza¸ c˜ ao Movimento Idade Abundˆ ancia de elementos pesados Cor Exemplos Popula¸ c˜ ao I disco e bra¸ cos espirais confinado ao plano orbitas quase circulares ´ ≤ 6 × 109 anos 1-2% azul estrelas O. Hidrogˆ enio ıcio dos anos 1970. ricas em metais. desde amˆ onia NH3 . CH + . com cerca de 10 bilh˜ oes de anos. aparentes nos espectros de algumas estrelas. estudando a gal´ axia Andrˆ omeda. notou que podia distinguir claramente as estrelas azuis nos bra¸ cos espirais da gal´ axia. nascido Wilhelm Heinrich Baade e contemporˆ aneo de Edwin Hubble (1889-1953) no observat´ orio de Mount Wilson. com conte´ udo met´ alico (qualquer elemento mais pesado que o He) de cerca de 3%. Tabela 25.7 Popula¸ co ˜es estelares Walter Baade (1893-1960).B aglomerados abertos regi˜ oes HII Popula¸ c˜ ao II bojo e halo se afastando do plano ´ orbitas excˆ entricas ≥ 7 × 109 anos 0. a nucleos´ ıntese do Big Bang s´ o formou 10−13 a 10−16 de carbono. 25. isto ´ e.01% vermelha estrelas RR Lyrae aglomerados globulares nebulosas planet´ arias Estrelas de popula¸ c˜ ao III s˜ ao. junto com mon´ oxido molecular H2 foi descoberto no in´ de carbono CO. at´ e as mais complexas como etanol C2 H5 OH. e propˆ os o termo Popula¸ c˜ ao I para estas estrelas dos bra¸ cos. as primeiras estrelas formadas na gal´ axia. isto ´ e. l´ ıtio e ber´ ılio. al´ em do 585 . Nos modelos homogˆ eneos de Universo. com menos de 1% em metais.3 Mol´ eculas interestelares As primeiras mol´ eculas interestelares foram descobertas em 1937-1938.25. e Popula¸ c˜ ao II para as estrelas vermelhas vis´ ıveis no n´ ucleo da gal´ axia. Muitos outros tipos de mol´ eculas tˆ em sido encontradas desde ent˜ ao. enquanto que a Popula¸ c˜ ao II corresponde a estrelas velhas. e pobres em metais. como o Sol. utilizamos essa nomenclatura mesmo para estrelas da nossa Gal´ axia e sabemos que as estrelas de Popula¸ c˜ ao I s˜ ao estrelas jovens.0.6. e cianogˆ enio CN.1 . mas causadas por absor¸ c˜ ao interestelar. com menos de 5 bilh˜ oes de anos. por defini¸ c˜ ao. na forma de metilidina CH. deut´ erio e h´ elio.hidrogˆ enio. Existem dois tipos b´ asicos de mapeadores: os mapeadores ´ oticos. Nessas gal´ axias. formando os buracos negros supermassivos nos centros das gal´ axias ativas. indicam que nossa Gal´ axia tem quatro bra¸ cos espirais principais. ap´ os consumir seu combust´ ıvel nuclear. O principal tra¸ cador em r´ adio ´ e a linha de 21cm do hidrogˆ enio neutro. essa linha ´ e observada em todas as dire¸ c˜ oes. externam ente. onde a nomenclatura [X ] ≡ log X − log X .8 Estrutura espiral As observa¸ c˜ oes de nossa pr´ opria Gal´ axia podem ser comparadas com observa¸ c˜ oes de outras gal´ axias que tamb´ em tˆ em mat´ eria interestelar. colapsam em buracos negros sem perder massa significativamente. se vˆ e que as nebulosas gasosas geralmente se encontram distribu´ ıdas em uma estrutura espiral. O quarto bra¸ co. de modo que todas as estrelas de Pop. A forma¸ c˜ ao das estrelas de baixa metalicidade ocorre porque as mol´ eculas H2 e HD produzem o esfriamento necess´ ario ` a fragmenta¸ c˜ ao e colapso das primeiras estruturas no Universo. a massa m´ axima das estrelas formadas pode chegar a cerca de 1000 M que. podemos ter alguma id´ eia sobre a localiza¸ c˜ ao dos bra¸ cos espirais usando objetos que sejam mapeadores da estrutura espiral. encontra-se o bra¸ co de Sagit´ ario e. como estrelas OB. atrav´ es de observa¸ c˜ oes com o Telesc´ opio Espacial Hubble em 2002. ent˜ ao. O g´ as colapsa em filamentos. mas ´ e muito dif´ ıcil de detectar por ter sua emiss˜ ao 586 . As observa¸ c˜ oes. mas fica muito dif´ ıcil para n´ os visualiz´ a-la. A descoberta de buracos negros com 4000 M no aglomerado globular M15 e de 20 000 M em G1. que s˜ ao objetos brilhantes. III j´ a tiveram tempo suficiente para evoluir e tornarem-se pouco luminosas. o limite inferior do colapso ´ e maior de 1 M . mas nas nuvens sem metais. Como o hidrogˆ enio neutro existe em grande abundˆ ancia na Gal´ axia. um aglomerado mais massivo. a Nebulosa de Orion. regi˜ oes HII e Cefeidas vari´ aveis. que n˜ ao tem um nome. ´ e coerente com esta hip´ otese. Portanto as estrelas de popula¸ c˜ ao III deveriam ter [Fe/H]<-10. 25. No entanto. Internamente ao bra¸ co de Orion. Esses buracos negros podem passar por mergers sucessivos. O Sol est´ a na borda interna ´ de um bra¸ co pequeno chamado “bra¸ co de Orion”. que bloqueia a luz. e os mapeadores em r´ adio. pois estamos dentro do pr´ oprio disco gal´ actico cercados de poeira interestelar. Parece. que cont´ em. tanto no ´ optico como no r´ adio. razo´ avel supor que nossa Gal´ axia tamb´ em tem uma estrutura espiral. Com baixa metalicidade. entre outros ´ ´ aspectos marcantes. o bra¸ co de Persei. parece estar entre o bra¸ co de Sagit´ ario e o centro gal´ actico. de forma que sempre existem estrelas jovens sobre os bra¸ cos espirais. porque estrelas jovens. A estrutura espiral ´ e suposta como uma varia¸ c˜ ao da densidade do disco em forma de onda. nuvens moleculares e regi˜ oes HII s˜ ao encontradas nos bra¸ cos espirais. com uma velocidade angular fixa em todo o raio. Shu (1943-) nos anos 1960. Apesar do relativo sucesso da teoria das ondas de densidade em explicar a estrutura espiral. Essa teoria explica. 10 bilh˜ oes de anos. nem o que a mant´ em. e a ultrapassam. na parte externa. Entre as poss´ ıveis explica¸ c˜ oes que os astrˆ onomos tˆ em apresentado para a origem da estrutura espiral est˜ ao (a) efeitos gravitacionais das gal´ axias sat´ elites da Via L´ actea. Como o material mais distante do centro tem menor velocidade de rota¸ c˜ ao do que o mais pr´ oximo do centro (movimento kepleriano). desenvolvida por Chia Chiao Lin (1916-) e Frank H. A id´ eia inicial a respeito disso era de que os bra¸ cos espirais seriam bra¸ cos materiais formados pela rota¸ c˜ ao diferencial. Na parte interna do disco. ela ainda ela n˜ ao tem explica¸ c˜ ao certa para a origem da onda de densidade.misturada ` a emiss˜ ao do centro da Gal´ axia. A causa da estrutura espiral ainda n˜ ao est´ a bem definida. a Pequena Nuvem de Magalh˜ aes e a Grande Nuvem de Magalh˜ aes e (b) assimetrias no disco gerados no processo de forma¸ c˜ ao da Gal´ axia. no m´ ınimo. Nesse tempo. ` a medida que o bra¸ co se move. embora n˜ ao sejam sempre as mesmas estrelas. as estrelas e o meio interestelar se movem mais lentamente do que a onda espiral. ele ´ e comprimido fortemente at´ e que a gravidade interna cause o colapso e a forma¸ c˜ ao de estrelas. Acontece que as observa¸ c˜ oes de estrelas velhas indicam que a Via L´ actea deve ter. ap´ os 20 rota¸ c˜ oes. esperar-se-ia que os bra¸ cos espirais estivessem muito mais enrolados do que as observa¸ c˜ oes indicam. uma pequena perturba¸ c˜ ao no disco naturalmente se espalharia em forma espiral. Mas. Ela gira como um corpo s´ olido. 587 . e s˜ ao ultrapassados por ela. novas estrelas v˜ ao se formando pela compress˜ ao do material. Quando o g´ as passa pela onda. o material nas vizinhan¸ cas do Sol j´ a deve ter executado cerca de 20 rota¸ c˜ oes em torno do centro gal´ actico e. Um passo importante no estudo da estrutura espiral foi a teoria de ondas de densidade. Durante os 107 anos que leva para o material passar pelo bra¸ co espiral. de maneira natural. as estrelas e o meio interestelar tˆ em uma velocidade maior do que a da onda. as estrelas mais quentes e massivas j´ a terminaram sua evolu¸ c˜ ao. e as regi˜ oes HII j´ a desapareceram. Observa¸ c˜ oes em r´ adio indicam que no centro da Gal´ axia existe um um anel molecular de 3 kpc de diˆ ametro. que marca o centro. como infravermelho e radio. um milh˜ ao de vezes mais densa do que nas proximidades do Sol. com uma densidade de estrelas de 106 M /pc3 . numa regi˜ ao com alta concentra¸ c˜ ao de material interestelar que impede sua visualiza¸ c˜ ao a olho n´ u ou usando detectores ´ oticos. al´ em do buraco negro central supermassivo. e centenas de an˜ a brancas. A melhor maneira de estudar o bojo central ´ e usando comprimentos de onda mais longos.9 O Centro da Gal´ axia O centro da Gal´ axia fica na dire¸ c˜ ao da constela¸ c˜ ao de Sagit´ ario. O movimento do g´ as e das estrelas no n´ ucleo indica que ali existe um objeto compacto. estrelas de nˆ eutrons e buracos negros.25. existe grande quantidade de g´ as ionizado. que atravessam mais livremente a poeira e o g´ as do disco. 588 . provavelmente um buraco negro com massa de 3 milh˜ oes de massas solares. Estudos no infravermelho indicam a existˆ encia de um grande aglomerado estelar. envolvendo uma fonte brilhante de r´ adio. Observa¸ c˜ oes muito recentes em raio-X confirmam que o n´ ucleo da Gal´ axia ´ e um lugar violento onde. Sagit´ ario A. Mas algumas daquelas nebulosas eram gal´ axias individuais. aos quais denominaram “nebulosas”. Inspirado nessas id´ eias. como a nossa Via L´ actea. ou n˜ ao.1 A descoberta das gal´ axias Por volta do s´ eculo XVIII. O problema maior era que a distˆ ancia at´ e elas n˜ ao era conhecida. portanto. em 1755 Kant publicou seu “Hist´ oria Natural e Teoria do C´ eu”. v´ arios astrˆ onomos j´ a haviam observado. por´ em. aglomerados de estrelas. Wright escreveu um livro chamado “An Original Theory of the Universe’ ’. cascas de g´ as ejetadas por estrelas em est´ agio final de evolu¸ c˜ ao estelar. Algumas haviam sido corretamente identificadas como aglomerados estelares. a maioria pertencendo ` a nossa pr´ opria Gal´ axia: nuvens de g´ as iluminadas por estrelas dentro delas. As primeiras especula¸ c˜ oes a respeito da existˆ encia de outras gal´ axias al´ em da Via L´ actea s˜ ao creditadas ao astrˆ onomo amador inglˆ es Thomas Wright (1711-1786) e ao fil´ osofo alem˜ ao Immanuel Kant (1724-1804). e outras como nebulosas gasosas. n˜ ao era poss´ ıvel saber se pertenciam. ` a nossa Gal´ axia. no qual prop˜ oe. a presen¸ ca de corpos extensos e difusos. cerca de 15 000 nebulosas j´ a haviam sido catalogadas e descritas. permanecia com natureza inexplicada. entre outras id´ eias. A maioria. At´ e o in´ ıcio do s´ eculo passado.Cap´ ıtulo 26 Gal´ axias 26. entre as estrelas. sabemos que diferentes tipos de objetos estavam agrupados sob esse termo. 589 . Hoje. que algumas das nebulosas que vemos no c´ eu s˜ ao sistemas estelares totalmente compar´ aveis ` a nossa Gal´ axia. Em 1750. em que exp˜ oe um modelo para explicar a Via L´ actea como um efeito de estarmos imersos em uma camada de estrelas localmente plana e cogita sobre a existˆ encia de outras “vias l´ acteas”. 5 m) de Mount Wilson. um dos quais era que as novas observadas nas nebulosas espirais deveriam ser similares ` as novas observadas em nossa pr´ opria Gal´ axia. Ele verificou que o brilho dessas estrelas seguia o mesmo padr˜ ao de variabilidade das Cefeidas da nossa Gal´ axia.2 milh˜ oes de anos-luz). e portanto essas nebulosas deveriam estar muito distantes e serem sistemas estelares como a Via L´ actea. Um dos primeiros e mais simples esquemas de classifica¸ c˜ ao de gal´ axias. mas a grande maioria tˆ em formas mais ou menos regulares quando observadas em proje¸ c˜ ao contra o c´ eu e se enquadram em duas classes gerais: espirais e el´ ıpticas. Hubble foi capaz de calcular a distˆ ancia de Andrˆ omeda.2 A discuss˜ ao culminou num famoso debate em abril de 1920. que ´ e usado at´ e hoje. Em 1923.Dois dos maiores protagonistas nessa controv´ ersia foram os norte-americanos Harlow Shapley (1885-1972). obtendo um valor de 1 milh˜ ao de anos-luz (hoje sabemos que essa distˆ ancia ´ e de 2. em que nenhum foi vitorioso. Acreditando nessas medidas. elas deveriam ser pequenas e pr´ oximas. Shapley. Astrophysical Journal. 2 Curtis apresentou v´ arios argumentos. 321). provado que Andrˆ omeda era um sistema estelar independente (1926. Algumas gal´ axias n˜ ao tˆ em forma definida e s˜ ao chamadas irregulares. frente ` a Academia Nacional de Ciˆ encias. foi inventado por Edwin Powell Hubble (1899-1953) Os principais argumentos de Shapley eram suas pr´ oprias medidas do tamanho da Via L´ actea (que estavam suficientemente corretas) e as medidas (equivocadas) do movimento pr´ oprio de estrelas em algumas nebulosas espirais pelo astrˆ onomo holandˆ es Adriaan Van Maanen.2 Classifica¸ c˜ ao morfol´ ogica As gal´ axias diferem bastante entre si. Ficou. Edwin Powell Hubble (1889-1953). do Lick Observatory. foi capaz de identificar estrelas vari´ aveis Cefeidas na “nebulosa” de Andrˆ omeda (M31). e Heber Doust Curtis (1872-1942). que tem 100 mil anos-luz de diˆ ametro. Mas trˆ es anos depois ficou provado que Curtis estava certo. 64. Van Mannen dizia que os movimentos medidos por ele correspondiam a per´ ıodos de rota¸ ca ˜o da ordem de 100 mil anos. do Mount Wilson Observatory. 26. Assumindo que todas elas seguiam a rela¸ c˜ ao conhecida entre per´ ıodo e luminosidade. assim. usando o novo telesc´ opio de 100 polegadas (2. tinha bons argumentos a favor de que as nebulosas espirais eram objetos da nossa Gal´ axia1 e Curtis defendia a id´ eia oposta. Isso situava Andrˆ omeda bem al´ em dos limites da nossa Gal´ axia. 1 590 . e calculado a melhor medida at´ e ent˜ ao para seu tamanho. portanto. Shapley argumentou que se essas nebulosas fossem grandes como a Via L´ actea a velocidade em suas bordas seria maior que a velocidade da luz. que j´ a havia demonstrado a posi¸ c˜ ao do Sol na Via L´ actea. Extra-galactic nebulae. nos Estados Unidos. e bra¸ cos espirais. 80. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. As gal´ axias espirais e lenticulares juntas 591 .Figura 26. 746). um disco. de acordo com o grau de desenvolvimento e enrolamento dos bra¸ cos espirais (a. elas s˜ ao subdivididas nas categorias Sa. de 1936. e com o tamanho do n´ ucleo comparado com o do disco (a. M31 e a nossa pr´ opria Gal´ axia s˜ ao espirais t´ ıpicas. apresentam uma clara estrutura espiral. nos anos 1920.2. baseado no esquema proposto por John Henry Reynolds (1874-1949) em 1920 (Photometric measures of the nuclei of some typical spiral nebulae. Nesse esquema. principalmente quanto ao tamanho do n´ ucleo e ao grau de desenvolvimento dos bra¸ cos espirais. n´ ucleo menor). mas n˜ ao tˆ em tra¸ cos de estrutura espiral. Assim. bra¸ cos pequenos e bem enrolados. quando vistas de frente. disco e halo. 26. c. Elas possuem um n´ ucleo. As gal´ axias espirais apresentam diferen¸ cas entre si. uma gal´ axia Sa ´ e uma espiral com n´ ucleo grande e bra¸ cos espirais pequenos e bem enrolados. bra¸ cos grandes e mais abertos). espirais e espirais barradas.1 Espirais (S) As gal´ axias espirais. Por exemplo. um halo. Hubble classificou essas gal´ axias como S0. Existem algumas gal´ axias que tˆ em n´ ucleo. O esquema de Hubble consiste de trˆ es seq¨ uˆ encias principais de classifica¸ c˜ ao: el´ ıpticas. e aparece no seu livro The Realm of the Nebulae. as gal´ axias irregulares formam uma quarta classe de objetos. Sb e Sc. n´ ucleo maior.1: Esquema de Hubble para a classifica¸ c˜ ao de gal´ axias. c. e elas s˜ ao ` as vezes chamadas lenticulares. a poeira e estrelas jovens. e SBc. Os aglomerados estelares abertos podem ser vistos nos bra¸ cos das espirais mais pr´ oximas e os aglomerados globulares no halo. As gal´ axias espirais tˆ em diˆ ametros que variam de 20 mil anos-luz at´ e mais de 100 mil anos-luz. incluindo as supergigantes luminosas. SBb. Ali tamb´ em est˜ ao presentes as nebulosas gasosas. partem das extremidades da barra.Figura 26. Nossa Gal´ axia e M31 s˜ ao ambas espirais grandes e massivas.2: Exemplos de gal´ axias espirais barradas: M83 e NGC1365. Estima-se que suas massas variam de 10 bilh˜ oes a 10 trilh˜ oes de vezes a massa do Sol. Elas s˜ ao chamadas barradas e. A popula¸ c˜ ao estelar t´ ıpica das gal´ axias espirais est´ a formada por estrelas jovens e velhas. formam o conjunto das gal´ axias discoidais. Normalmente. SBa. Mais ou menos metade de todas as gal´ axias discoidais apresentam uma estrutura em forma de barra atravessando o n´ ucleo. As gal´ axias barradas tamb´ em se subdividem nas categoria SB0. 592 . normalmente. se observa. Nas espirais barradas. o material interestelar. os bra¸ cos. na classifica¸ c˜ ao de Hubble elas s˜ ao identificadas pelas iniciais SB. nos bra¸ cos das gal´ axias espirais. 2. Agora. Muitas irregulares parecem estar sofrendo atividade de forma¸ c˜ ao estelar relativamente intensa. Hubble subdividiu as el´ ıpticas em classes de E0 a E7. s˜ ao raras. As maiores el´ ıpticas tˆ em diˆ ametros de milh˜ oes de anos-luz. que tˆ em massas de at´ e 10 trilh˜ oes de massas solares. embora n˜ ao tenha bra¸ cos espirais.2 El´ ıpticas (E) As gal´ axias el´ ıpticas apresentam forma esf´ erica ou elipsoidal e n˜ ao tˆ em estrutura espiral. est´ a presente o complexo 30 Doradus. observa¸ c˜ oes na linha de 21 cm. As gal´ axias el´ ıpticas variam muito de tamanho. ao passo que as menores tˆ em somente poucos milhares de anos-luz em diˆ ametro. as gal´ axias vizinhas mais pr´ oximas da Via L´ actea. As gal´ axias irregulares tamb´ em lembram as espirais no seu conte´ udo estelar. que revela a distribui¸ c˜ ao do g´ as hidrogˆ enio. que inclui estrelas de popula¸ c˜ ao I e II (jovens e velhas).26.2. mas as el´ ıpticas an˜ as s˜ ao o tipo mais comum de gal´ axias. Tˆ em pouco g´ as. apresentando uma estrutura ca´ otica ou irregular. um 593 . Por´ em nenhuma el´ ıptica jamais vai aparecer t˜ ao achatada quanto uma espiral vista de perfil. n˜ ao na sua verdadeira forma. em 1520. Nela. sua aparˆ encia sendo dominada por estrelas jovens brilhantes e nuvens de g´ as ionizado distribu´ ıdas irregularmente. Imagine-se olhando um prato circular de frente: essa ´ e a aparˆ encia de uma gal´ axia E0. onde a ´ e o diˆ ametro aparente maior da gal´ axia e b o seu diˆ ametro aparente menor. Por exemplo. vis´ ıveis a olho nu no Hemisf´ erio Sul. identificadas pelo navegador portuguˆ es Fern˜ ao de Magalh˜ aes (1480-1521). Note que Hubble baseou sua classifica¸ c˜ ao na aparˆ encia da gal´ axia. de acordo com o seu grau de achatamento. v´ a inclinando o prato de forma que ele pare¸ ca cada vez mais el´ ıptico e menos circular: esse achatamento gradativo representa a seq¨ uˆ encia de E0 a E7. As el´ ıpticas gigantes. j´ a uma E7 tem de ser uma el´ ıptica achatada vista de perfil.3 Irregulares (I) Hubble classificou como gal´ axias irregulares aquelas que eram privadas de qualquer simetria circular ou rotacional. Em contraste. 26. Aparentemente. Os dois exemplos mais conhecidos de gal´ axias irregulares s˜ ao a Grande e a Pequena Nuvens de Magalh˜ aes. ela orbita a Via L´ actea. desde supergigantes at´ e an˜ as. Elas se parecem ao n´ ucleo e halo das gal´ axias espirais. pouca poeira e poucas estrelas jovens. A Grande Nuvem tem uma barra. uma gal´ axia E0 tanto pode ser uma el´ ıptica realmente esf´ erica quanto pode ser uma el´ ıptica mais achatada vista de frente. mostra a existˆ encia de um disco de g´ as similar ao das gal´ axias espirais. O n´ umero n ao lado do E ´ e definido como b n = 10 1 − a . Em gal´ axias el´ ıpticas. Por exemplo.3: A gal´ axia el´ ıptica gigante M87. mas na evolu¸ c˜ ao do pr´ oprio Universo. tamb´ em nas gal´ axias a massa tem um papel crucial. as veloci594 . n˜ ao apenas em sua evolu¸ c˜ ao como sistemas individuais. Aparentemente ´ e o resultado de uma colis˜ ao com a Grande Nuvem. A melhor maneira de medir a massa ´ e a partir das velocidades das estrelas devido ` a atra¸ c˜ ao gravitacional entre elas.3 Massas Assim como a massa de uma estrela ´ e a sua caracter´ ıstica f´ ısica mais importante. que ocorreu h´ a cerca de 200 milh˜ oes de anos.Figura 26. dos maiores e mais luminosos agrupamentos de g´ as e estrelas supergigantes conhecido em qualquer gal´ axia. A Pequena Nuvem ´ e bastante alongada e menos massiva do que a Grande Nuvem. A Supernova 1987A ocorreu perto de 30 Doradus. 26. da quantidade de massa das gal´ axias depende a densidade de mat´ eria vis´ ıvel do Universo. 4: A Grande Nuvem de Magalh˜ aes.30 108 a 1011 velha e jovem AaK bastante bastante azulada no disco amarelada no bojo 1010 anos recentes El´ ıpticas 105 a 1013 1 . uma gal´ axia irregular.1000 106 a 1012 velha GaK muito pouco muito pouca amarelada 1010 anos 1010 anos Irregulares 108 a 1011 1 . Principais caracter´ ısticas dos diferentes tipos de gal´ axias Propriedade Massa (M ) Diˆ ametro (103 parsecs) Luminosidade (L ) Popula¸ c˜ ao estelar Tipo espectral G´ as Poeira Cor Estrelas mais velhas Estrelas mais jovens Espirais 109 a 1012 5 .10 107 a 2 × 109 velha e jovem AaF bastante varia azulada 1010 anos recentes 595 .Figura 26. as estrelas e o g´ as de um lado estar˜ ao se movendo no sentido contr´ ario ao do observador. Observa¸ c˜ oes em 21 cm mostram as linhas com forma parecida ` a da letra M. a soma da energia potencial gravitacional das part´ ıculas com o dobro de sua energia cin´ etica. As gal´ axias espirais tˆ em grande parte das estrelas confinadas ao plano do disco. e o outro com efeito Doppler para o vermelho.dades medidas s˜ ao velocidades m´ edias (V ).3. Essas velocidades randˆ omicas causam efeito Doppler tanto para o azul quanto para o vermelho.1 Determina¸ c˜ ao de massa em gal´ axias el´ ıpticas As massas das gal´ axias el´ ıpticas podem ser determinadas a partir do Teorema do Virial. com dois picos nas extremidades: um pico com efeito Doppler para o azul. pois os movimentos das estrelas nesses sistemas tˆ em componentes de mesma magnitude nas trˆ es dire¸ c˜ oes. ou seja: EG + 2EC = 0 . e ´ e tanto maior quanto maior a velocidade de rota¸ c˜ ao. Podemos considerar uma gal´ axia como um sistema estacion´ ario (pois ela n˜ ao est´ a nem se contraindo nem se expandindo). A energia cin´ etica das estrelas na gal´ axia pode ser escrita como: MV2 2 onde M ´ e a massa total da gal´ axia e V ´ e a velocidade m´ edia das estrelas. 26. alargando as linhas: quanto mais alargada a linha. e todas seguem ´ orbitas bastante el´ ıpticas. com ´ orbitas quase circulares. A energia potencial gravitacional ´ e EC = EG = − G M2 2R 596 . e a luz vinda dele estar´ a deslocada para o azul. segundo o qual num sistema estacion´ ario (cujas propriedades n˜ ao variam no tempo). medida pelo alargamento das linhas espectrais. maior a velocidade m´ edia. causando deslocamento Doppler para o vermelho. ´ e nula. Para uma gal´ axia que ´ e vista com o disco inclinado. onde EG ´ e a energia potencial gravitacional e EC ´ e a energia cin´ etica. cujas part´ ıculas s˜ ao as estrelas. e velocidades que dependem da distˆ ancia ao centro (V (R)). o material do outro lado estar´ a se movendo no sentido de se aproximar. As velocidades de rota¸ c˜ ao em cada ponto s˜ ao obtidas medindo o os deslocamentos Doppler das linhas espectrais. O afastamento entre os dois picos d´ a a largura da linha. assumindo que eles s˜ ao estacion´ arios. Combinando as trˆ es equa¸ c˜ oes anteriores achamos que ıpticas M el´ = 2V 2R G Esse mesmo m´ etodo pode ser usado tamb´ em para calcular as massas de aglomerados de gal´ axias. A energia cin´ etica pode ser calculada pelos alargamentos das linhas espectrais. e a energia potencial gravitacional pela separa¸ c˜ ao m´ edia das gal´ axias do aglomerado.2 Determina¸ c˜ ao de massa em gal´ axias espirais Figura 26. portanto. R. V(R) vs. consideraremos cada gal´ axia como uma part´ ıcula do sistema. tal como foi visto no cap´ ıtulo anterior para o caso da Via L´ actea.5: Curva de rota¸ c˜ ao para a gal´ axia espiral NGC3198.3. Nesse caso. a massa pode ser determinada atrav´ es da curva de rota¸ c˜ ao. Assumindo que a maior parte da massa da gal´ axia est´ a no bojo interno e que. 26.onde R ´ e um raio m´ edio da gal´ axia que pode ser estimado a partir da distribui¸ c˜ ao de luz. nas quais o movimento circular das estrelas no disco ´ e dominante sobre o movimento desordenado das estrelas do bojo. o movimento rotacional das estrelas no disco ´ e determinado 597 . Em gal´ axias espirais. Tipicamente. e se fundem com o brilho do c´ eu. permanecendo constante. e ´ e muito dif´ ıcil de medir com precis˜ ao. de forma que. mas a velocidade de rota¸ c˜ ao do g´ as continua constante. e a magnitude superficial correspondente (mag/segarc2 ) pela letra µ: µ = −2. e se a distˆ ancia da gal´ axia for conhecida pode-se estimar sua magnitude total absoluta. e irregulares tˆ em -12 ≤ MV ≤ -18. na banda V. Geralmente ´ e representado pela letra I. 26.pela massa do bojo. 26. ou uma determinada isofota (curvas de brilho superficial constante). -10 ≤ MV ≤ -22. Em geral se mede o fluxo integrado dentro de uma ´ area estabelecida. podemos determinar essa massa atrav´ es da terceira lei de Kepler. Isso significa que uma grande parte da massa das gal´ axias deve ser n˜ ao-luminosa.4 Luminosidade A luminosidade de uma gal´ axia proporciona informa¸ c˜ oes sobre a quantidade e tipo de estrelas nela presentes. Como as partes externas das gal´ axias s˜ ao muito fracas. A luminosidade total se refere ao fluxo integrado de toda a gal´ axia. 598 . que pode ser um c´ ırculo de determinado raio. maior a massa M (R) interna a ele. a magnitude integrada assim obtida se aproxima bastante da magnitude total. Na Terra. espirais e lenticulares tˆ em -15 ≤ MV ≤ -22. a partir de um certo valor de R a luminosidade n˜ ao aumenta mais. quanto maior o raio R.5 Brilho superficial O brilho superficial ´ e o fluxo por unidade de ´ area que sai da gal´ axia. Chamando M (R) a massa interna ao raio R. Se a isofota for suficientemente fraca. temos que M (R)espirais = R [V (R)]2 G Nas partes externas de muitas espirais V (R) n˜ ao depende mais de R. pois as bordas das gal´ axias n˜ ao s˜ ao bem definidas. o medimos como fluxo por unidade de ˆ angulo s´ olido que chega ao observador.5 log I + constante. como na nossa Gal´ axia. gal´ axias el´ ıpticas tˆ em magnitudes totais absolutas. de maneira que a massa medida pela curva de rota¸ c˜ ao continua crescendo. Os perfis radiais mostram como o brilho superficial varia desde o centro at´ e as bordas. independentemente da distˆ ancia.O brilho superficial tem as mesmas dimens˜ oes de intensidade espec´ ıfica. que cont´ em metade da luminosidade total da gal´ axia. A distribui¸ c˜ ao de brilho superficial d´ a informa¸ c˜ oes importante sobre a estrutura interna da gal´ axia.5. Geralmente ele ´ e medido em uma determinada banda fotom´ etrica (B. 26. R. o bojo e o disco. onde re ´ e o raio efetivo.2 ilustra a varia¸ c˜ ao do brilho superficial ao longo do raio em uma el´ ıptica.2 El´ ıpticas Os perfis de brilho das gal´ axias el´ ıpticas caem rapidamente do centro em dire¸ c˜ ao ` as bordas.5. e n ´ e um n´ umero inteiro geralmente menor que 10. o que ´ e t´ ıpico da distribui¸ c˜ ao esferoidal. o ˆ angulo s´ olido diminui seguindo a mesma lei. e sua forma depende do tipo de gal´ axia. 26.3 Espirais As gal´ axias espirais apresentam duas componente. a lei de S´ ersic se reduz ` a lei R1/4 . V. Em geral a distribui¸ c˜ ao de brilho superficial ´ e bem descrita por uma lei proposta por Jos´ e Luis S´ ersic em 1968: – »“ ” I (r) = Ie 10 −(0.142) r re 1/n −1 . Para n = 4. 26. refletindo a concentra¸ c˜ ao da luz no centro da gal´ axia. Ie ´ e o brilho superficial isofota efetiva.5. com distribui¸ c˜ oes de brilho superficial diferentes.5. de maneira que a raz˜ ao entre eles permanece constante. Os bojos s˜ ao muito parecidos 599 . correspondente ao raio re . etc). A figura 26.33 r re ”1/4 – −1 .1 Distribui¸ c˜ ao de brilho superficial A distribui¸ c˜ ao de brilho superficial mostra como varia o fluxo por unidade de ´ area ao longo da gal´ axia. que havia sido proposta 20 anos antes por Gerard de Vaucouleurs (1918-1995): »“ I (r) = Ie 10 −3. e portanto n˜ ao varia com a distˆ ancia: o fluxo por unidade de ´ area que sai da gal´ axia ´ e igual ao fluxo por unidade de ˆ angulo s´ olido que chega ` a Terra.868 n−0. pois se o fluxo diminui com o inverso do quadrado da distˆ ancia. mais lentamente decai o brilho. onde I0 ´ e o brilho superficial central extrapolado. a fun¸ c˜ ao µ(r) para o disco fica uma reta: µ(r) = I0 e− rs . 600 r r . Expressando o brilho superficial em µ. Quanto maior for a escala de distˆ ancia.Figura 26. e rs ´ e a escala de distˆ ancia. que significa a distˆ ancia entre o centro e o ponto do disco onde o brilho decai por um fator de 1/e.6: Perfil de brilho superficial de uma gal´ axia el´ ıptica. e seus perfis radiais geralmente seguem a lei r1/4 (lei de deV aucouleurs) ou r1/n (lei de S´ ersic). com gal´ axias el´ ıpticas. Os discos geralmente tˆ em um perfil radial exponencial: I (r) = I0 e− rs . que tˆ em µ0 ≤ 23 mag/segarc2 . mas n˜ ao se mant´ em para gal´ axias com baixo brilho superficial. e uma fun¸ c˜ ao exponencial (linha pontilhada). O perfil de brilho das gal´ axias espirais ´ e descrito pela soma da distribui¸ c˜ ao do bojo (r1/n ou r1/4 ) com a do disco (exponencial). para uma gal´ axia espiral.Figura 26. Para a maioria das gal´ axias pr´ oximas.3. que domina na parte externa.7: Perfil de brilho superficial (em magnitudes/segarc2 ). 601 . como ilustra a figura 26.5. O perfil observado (linha cont´ ınua) ´ e descrito pela soma de uma fun¸ c˜ ao r1/n (linha tracejada). e µ0 21. dominante na parte interna. 1 kpc ≤ rs ≤ 10 kpc.7 mag/segarc2 . A constˆ ancia do brilho superficial central ´ e conhecida como “lei de Freeman” (Kenneth Freeman). Mas essa id´ eia teve de ser abandonada pela constata¸ c˜ ao de que as estrelas mais velhas das gal´ axias espirais s˜ ao t˜ ao velhas quanto as estrelas mais velhas das gal´ axias el´ ıpticas. em geral. o fato de as gal´ axia el´ ıpticas terem estrelas. Primeiro. no caso das el´ ıpticas. Por alguma raz˜ ao possivelmente a quantidade de momentum angular induzida na nuvem pela distribui¸ c˜ ao aleat´ oria das condensa¸ co ˜es na radia¸ c˜ ao de fundo do Universo. no caso das espirais. as gal´ axias. Jackson (1949-). Richard Brent Tully (1943-) e J. e usa-se a rela¸ c˜ ao 4 L ∝ v para inferir sua luminosidade. A proporcionalidade entre a luminosidade e a velocidade na quarta potˆ encia ´ e chamada rela¸ c˜ ao de Faber-Jackson.6 A rela¸ c˜ ao entre a luminosidade e a velocidade para gal´ axias el´ ıpticas e espirais Sandra Moore Faber (1944-) e Robert E. seriam espirais e. maiores velocidades de rota¸ c˜ ao.26. e portanto os dois tipos devem ter sido formados ` a mesma ´ epoca. ou seja. em m´ edia. Como a velocidade de rota¸ c˜ ao das espirais pode ser obtida de maneira relativamente f´ acil atrav´ es de observa¸ c˜ oes em 21 cm. Depois mede-se a velocidade de rota¸ c˜ ao da gal´ axia distante atrav´ es da linha em 21 cm. quando jovens. e rela¸ c˜ ao de Tully-Fisher. quando o Universo tinha cerca de 1 bilh˜ ao de anos. significando que s˜ ao mais massivas. a rela¸ c˜ ao de Tully-Fisher pode ser usada para estimar as distˆ ancias de gal´ axias espirais remotas. mais velhas do que as gal´ axias espirais. Richard Fisher encontraram uma rela¸ c˜ ao similar para as espirais: gal´ axias mais luminosas tˆ em. mais tarde. calibra-se a rela¸ c˜ ao usando-se gal´ axias espirais pr´ oximas o suficiente para se medir suas distˆ ancias usando Cefeidas vari´ aveis. A velocidade de rota¸ c˜ ao cresce com a luminosidade na mesma propor¸ c˜ ao L ∝ V 4 encontrada para as el´ ıpticas. 602 .7 A forma¸ c˜ ao e evolu¸ c˜ ao das gal´ axias Qual a causa de existirem diferentes tipos de gal´ axia? Quando os primeiros estudos sobre gal´ axias iniciaram. Comparando-se a luminosidade com a magnitude aparente da gal´ axia obt´ em-se sua distˆ ancia. em 1976. ela tende a ser 16 vezes mais luminosa. levou os astrˆ onomos a pensarem que as diferen¸ cas se deviam ` a evolu¸ c˜ ao. evoluiriam a el´ ıpticas. se uma gal´ axia tem o dobro da velocidade da outra. 26. mostraram que a luminosidade das gal´ axias el´ ıpticas ´ e proporcional ` a velocidade m´ edia (V ) das estrelas elevada na quarta potˆ encia: L∝V4 ou seja. irregulares e com uma taxa muito alta de forma¸ c˜ ao estelar. a taxa de forma¸ c˜ ao estelar era alta. praticamente todo o g´ as foi consumido rapidamente e a gal´ axia resultante ´ e uma el´ ıptica. Nos u ´ltimos 20 anos. a taxa de forma¸ c˜ ao estelar ´ e baixa. Essas observa¸ c˜ oes em geral favorecem o modelo hier´ arquico. e pela quantidade de rota¸ c˜ ao (momentum angular) da nuvem. com g´ as suficiente para manter forma¸ c˜ ao estelar at´ ea´ epoca atual. a forma das gal´ axias seria determinada pela rapidez com que aconteceu a forma¸ c˜ ao estelar (taxa de forma¸ c˜ ao estelar) na nuvem em contra¸ c˜ ao. que n˜ ao existem no Universo atual. os astrˆ onomos constataram que que no passado havia um grande n´ umero de gal´ axias pequenas. No modelo monol´ ıtico. o uso de telesc´ opios modernos. consumindo a maior parte de seu g´ as.as gal´ axias el´ ıpticas formaram todas as suas estrelas em um breve surto. de forma ovalada e com pouco g´ as para dar origem a novas estrelas. quando elas eram muito jovens. Outra observa¸ c˜ ao importante ´ e a de que gal´ axias espirais s˜ ao raras em aglomerados densos de gal´ axias. as pequenas nuvens de g´ as em contra¸ c˜ ao dariam origem preferencialmente a sistemas puramente discoidais. sugerindo que elas se fundiram posteriormente dando origem a gal´ axias maiores. no caso de os encontros e fus˜ oes serem muito freq¨ uentes. enquanto que nas gal´ axias espirais a forma¸ c˜ ao estelar ocorreu de forma mais lenta desde o in´ ıcio. Neste modelo. o o fator determinante para a evolu¸ c˜ ao da gal´ axia ´ e o meio em que ela se encontra. que permitem estudar gal´ axias a grandes distˆ ancias. que evoluiriam a gal´ axias espirais. Observando gal´ axias remotas. Na segunda metade do s´ eculo passado surgiram as duas teorias principais sobre forma¸ c˜ ao e evolu¸ c˜ ao de gal´ axias: o modelo monol´ ıtico prop˜ oe que as gal´ axias se formaram e evolu´ ıram isoladamente pelo colapso de grandes nuvens de g´ as. A gal´ axia resultante ent˜ ao ´ e uma espiral. Em nuvens com alta rota¸ c˜ ao. preservando parte do g´ as e continuando a gera¸ c˜ ao de novas estrelas por bilh˜ oes de anos.refletida na distribui¸ c˜ ao da mat´ eria escura . onde as gal´ axias el´ ıpticas predominam. como conseq¨ uˆ encia da rota¸ c˜ ao da nuvem. tˆ em fornecido v´ arios v´ ınculos observacionais para o estudo da evolu¸ c˜ ao das gal´ axias. parte do g´ as se deposita em um disco. o modelo hier´ arquico prop˜ oe que as gal´ axias se formaram e evoluiram atrav´ es de encontros sucessivos de nuvens menores. ou a el´ ıpticas. Ambas as teorias assumem que as nuvens de g´ as que deram origem ` as galaxias se formaram pela condensa¸ c˜ ao de mat´ eria em certas regi˜ oes do espa¸ co devido ` as flutua¸ c˜ oes de densidade existentes no Universo primordial. No modelo hier´ arquico. se sofressem poucas intera¸ c˜ oes entre si. pois evidenciam 603 . Em nuvens de baixa rota¸ c˜ ao. que ocupa um cal. que a mat´ eria escura deve ser dominante. Entre os demais membros tem apenas uma el´ ıptica.8. nota-se facilmente que as gal´ axias tendem a existir em grupos. que tem 20% da luminosidade da Via L´ actea e 13% da luminosidade de Andrˆ omeda.8 Aglomerados de gal´ axias Olhando-se fotografias do c´ eu. como o grande c´ umulo de Virgem. Jan Hendrik Oort (1900-1992) demonstrou que as gal´ axias n˜ ao est˜ ao distribu´ ıdas aleatoriamente no espa¸ co. como as indica¸ c˜ oes de que todas as estrelas de elipticas em uma dada distˆ ancia (redshift) tˆ em idades similares. e que o meio tem influˆ encia sobre a evolu¸ c˜ ao das gal´ axias. o que seriam melhor explicado pelo colapso monol´ ıtico. Recentemente a detec¸ c˜ ao pela emiss˜ ao de raio-X dos g´ as quente no meio entre as gal´ axias dos c´ umulos indica que um ter¸ co da mat´ eria originalmente chamada de escura ´ e na verdade g´ as quente. s˜ ao insuficientes por um fator de 100 para manter o c´ umulo gravitacionalmente est´ avel. 26. e grande c´ umulos. tamb´ em. em gal´ axias isoladas. como explicitado no cap´ ıtulo de Cosmologia. quanto a hier´ arquica. muito menos uma teoria que possa prever sua evolu¸ c˜ ao futura.1 O Grupo Local O grupo de gal´ axias ao qual a Via L´ actea pertence chama-se Grupo Lo´ um aglomerado pequeno. ou a quantidade de h´ elio e deut´ erio do Universo teria que ser diferente da observada. no momento n˜ ao existe uma teoria que dˆ e conta de todos os aspectos observacionais para explicar como as gal´ axias se formaram e evolu´ ıram at´ e o presente. e v´ arias irregulares e gal´ axias an˜ as. que cont´ em 40 gal´ axias. com cerca de 40 membros. sat´ elite de M31. Provavelmente acontece tanto a forma¸ c˜ ao monol´ ıtica. 604 . existem contradi¸ c˜ oes. e n˜ ao por mergers sucessivos.que as estruturas menores se formaram antes das maiores. Portanto. M33. pois intera¸ c˜ oes e colis˜ oes podem alterar suas morfologias. A terceira gal´ axia mais luminosa do grupo ´ e outra espiral. Oort demonstrou. e aglomerados de gal´ axias. A Via L´ actea e Andrˆ omeda (M31) s˜ ao de longe os dois membros mais massivos. mas concentram-se em grupos. como o Grupo Local. 26. M32. indicando. estando um em cada borda do aglomerado. E volume de 3 milh˜ oes de anos-luz na sua dimens˜ ao maior. que as 2500 gal´ axias do c´ umulo de Virgem. novamente. movendo-se a 750 km/s. que cont´ em 2500 gal´ axias. No entanto. Mas pelo menos dois ter¸ cos da mat´ eria escura n˜ ao pode ser bariˆ onica. apresenta um conjunto variado de tipos de gal´ axias. gal´ axias an˜ as com as Nuvens de Magalh˜ aes s˜ ao mais pr´ oximas 3 605 . As Nuvens de Magalh˜ aes (Grande Nuvem de Magalh˜ aes e Pequena Nuvem de Magalh˜ aes). em Sagit´ ario. o grupo local cont´ em 3 gal´ axias espirais. na dire¸ c˜ ao do centro gal´ actico. obtida com o Telesc´ opio Espacial Hubble. e s´ o n˜ ao foi detectada antes devido a estar numa regi˜ ao de grande extin¸ c˜ ao e ter brilho superficial muito baixo. entre as quais uma localizada a apenas 24 kpc de dist˜ ancia. tamb´ em fazem parte desse grupo. 14 gal´ axias irregulares de diferentes tamanhos.Figura 26. embora tenha poucos membros. 26. No total. mas incluindo todos os tipos de gal´ axias. gal´ axias irregulares sat´ elites da nossa Gal´ axia . relativamente pr´ oximo. Essa ´ e atualmente a gal´ axia mais pr´ oxima. dando uma aparˆ encia bin´ aria ao Grupo Local. 1 el´ ıptica.8: Imagem de lentes gravitacionais no aglomerado de gal´ axias Abell 2218. O aglomerado de Fornax. era at´ e 1994 considerada a gal´ axia mais pr´ oxima3 . A maioria das gal´ axias se encontram orbitando a Via L´ actea ou Andrˆ omeda.8. O Considerando apenas as gal´ axias grandes e luminosas como a Via L´ actea. Em 2004 foram descobertas v´ arias gal´ axias an˜ as na regi˜ ao do Grupo Local. localizada a 150 mil anos-luz (46 kpc) da Via L´ actea. Andrˆ omeda ´ e a mais pr´ oxima. e 21 an˜ as el´ ıpticas.2 Outros aglomerados de gal´ axias Outros aglomerados de gal´ axias variam de grupos pequenos a aglomerados compactos. A Grande Nuvem de Magalh˜ aes. da NASA. 26. o astrˆ onomo francˆ es G´ erard de Vaucouleurs (1918-1995) demonstrou que os aglomerados de gal´ axias tamb´ em 606 . fazendo com que nos movamos na sua dire¸ c˜ ao. registrou a posi¸ c˜ ao de 103 objetos extensos (nebulosas) para n˜ ao confundi-los com cometas. as gal´ axias el´ ıpticas gigantes M84 e M86. 3 × 109 M . os astrˆ onomos se perguntaram se existiam estruturas ainda maiores no Universo. A gal´ axia el´ ıptica gigante M87. que. em 1781. Suas quatro gal´ axias mais brilhantes s˜ ao gal´ axias el´ ıpticas gigantes. A denomina¸ c˜ ao M das gal´ axias vem de Charles Messier (1730-1817). situadas a uma distˆ ancia de 34 milh˜ oes de anos-luz. no centro.9 Superaglomerados Depois de descobrir que as gal´ axias faziam partes de aglomerados – ou c´ umulos – de gal´ axias. um buscador de cometas. Ele tamb´ em cobre 20 milh˜ oes de anos-luz no espa¸ co e ´ e um dos mais espetaculares do c´ eu. est´ a a uma distˆ ancia de 50 milh˜ oes de anos-luz da Terra.Figura 26. com massa de 1. O aglomerado de Virgem ´ e t˜ ao massivo e t˜ ao pr´ oximo que influencia gravitacionalmente o Grupo Local. O aglomerado de Virgem tem. embora a maior parte das gal´ axias membros vis´ ıveis sejam espirais. grande aglomerado de Coma cobre 20 milh˜ oes de anos-luz no espa¸ co (2 graus de diˆ ametro) e cont´ em milhares de membros. Em 1953. tamb´ em do aglomerado.9: O aglomerado de gal´ axias de Hydra. e cont´ em um buraco-negro massivo em seu centro. Geller (1947-) e John Peter Huchra (1948-). Margaret J. Ele tem um diˆ ametro de. observam-se grandes regi˜ oes sem gal´ axias. e o c´ umulo de Virgem. do Observat´ orio Nacional. provavelmente. (2) as for¸ cas de mar´ e sobre um objeto tende a along´ a-lo. 100 milh˜ oes de anos-luz e uma massa de aproximadamente 1015 massas solares. aproximadamente. sem gal´ axias. e tem uma massa da ordem de 2 × 1016 M . do Center for Astrophysics da Universidade de Harvard. contendo o Grupo Local de gal´ axias. mas formam filamentos no espa¸ co. 26. mostrando que as gal´ axias n˜ ao est˜ ao distribu´ ıdas uniformemente. e os brasileiros Luiz Alberto Nicolaci da Costa (1950-) e Paulo S´ ergio de Souza Pellegrini (1949-). Entre esses superaglomerados. Isso significa que. 200 milh˜ oes de anos-luz de altura. Os efeitos de mar´ es entre pares de gal´ axias que casualmente passam perto uma da outra foram estudados pelos irm˜ aos Alar e Juri Toomre. os bojos de mar´ e se formam no lado mais pr´ oximo e no lado mais distante de cada gal´ axia em rela¸ c˜ ao ` a outra. Podemos entender muitos desses casos em termos de efeitos de mar´ e gravitacional.formam superaglomerados. mas somente 15 milh˜ oes de anos-luz de espessura. Um exemplo desses filamentos ´ e a Grande Parede (Great Wall). O superaglomerado mais bem estudado ´ e o Superc´ umulo Local. Entre esses filamentos est˜ ao regi˜ oes. A estrutura lembra um esponja. (3) as gal´ axias perturbadas geralmente giravam antes do encontro de mar´ e e a distribui¸ c˜ ao posterior 4 A distˆ ancia m´ edia entre as estrelas ´ e da ordem de 1 pc=44 × 106 R 607 . tˆ em estudado a distribui¸ c˜ ao de gal´ axias em grande escala. porque fazemos parte dele. Essa estrutura est´ a a uma distˆ ancia m´ edia de 250 milh˜ oes de anos-luz da nossa Gal´ axia. de diˆ ametros de 150 milh˜ oes de anos-luz. as separa¸ c˜ oes entre elas n˜ ao s˜ ao grandes comparadas com seus tamanhos (o espa¸ camento entre as gal´ axias ´ e da ordem de apenas cem vezes o seu tamanho)4 . mas onde foram detectadas nuvens de hidrogˆ enio neutro. Nos cat´ alogos existentes de gal´ axias peculiares h´ a muitos exemplos de pares de gal´ axias com aparˆ encias estranhas que parecem estar interagindo uma com a outra. essas gal´ axias est˜ ao em freq¨ uentes intera¸ c˜ oes umas com as outras.10 Colis˜ oes entre gal´ axias Gal´ axias em aglomerados est˜ ao relativamente pr´ oximas umas das outras. assim. isto ´ e. um concentra¸ c˜ ao de gal´ axias que se estende por cerca de 500 milh˜ oes de anos-luz de comprimento. que assinalaram trˆ es propriedades fundamentais nas intera¸ c˜ oes por mar´ e: (1) a for¸ ca de mar´ e´ e proporcional ao inverso do cubo da separa¸ c˜ ao entre as gal´ axias. Cada ponto nessa figura representa uma das 9325 gal´ axias. onde as duas partes se unem. na dire¸ c˜ ao do p´ olos sul e norte da nossa gal´ axia.Figura 26. 608 . conforme observa¸ c˜ oes de Margaret Geller e John Huchra. as regi˜ oes n˜ ao mapeadas s˜ ao obscurecidas pelo disco da nossa gal´ axia.10: Distribui¸ c˜ ao de gal´ axias no espa¸ co. A Grande Parede ´ e a banda de gal´ axias que se estende de lado a lado quase no meio da parte superior da figura. Nossa gal´ axia est´ a no centro da figura. Os astrˆ onomos tˆ em conseguido calcular modelos de gal´ axias interagentes que simulam a aparˆ encia de diversos pares de gal´ axias com formas estranhas. 26. que tendem a ter velocidades relativamente mais baixas. mas o efeito de mar´ e pode fazer surgirem caudas de mat´ eria. pode se fundir. Numa intera¸ c˜ ao mais fraca. Essas propriedades sugerem que essas gal´ axias se formaram por canibalismo gal´ atico. n´ ucleos m´ ultiplos. as caudas e pontes podem assumir formas esquisitas. O sistema bin´ ario formado recentemente. em um ou ambos os lados das duas gal´ axias. cujos peda¸ cos ser˜ ao ent˜ ao incorporados pela maior. mas tamb´ em se formam caudas de mat´ eria que saem de cada gal´ axia na dire¸ c˜ ao oposta ` a outra. Essas “pontes” de mat´ eria realmente se formam entre as gal´ axias interagentes. Muitas vezes. tˆ em propriedades peculiares. Devido ` a rota¸ c˜ ao das gal´ axias. e. realmente. ´ e de se esperar que uma intera¸ c˜ ao de mar´ e entre duas gal´ axias puxe mat´ eria de uma em dire¸ c˜ ao ` a outra. tais como: halos muito extensos (at´ e 3 milh˜ oes de anos luz em diˆ ametro). Esse processo ´ e especialmente prov´ avel nas colis˜ oes entre os membros mais massivos de um aglomerado de gal´ axias. Observa¸ c˜ oes recentes mostram que gal´ axias el´ ıpticas gigantes. especialmente se levarmos em conta o fato de que os movimentos orbitais das gal´ axias estar˜ ao em um plano que forma um ˆ angulo qualquer com a nossa linha de visada. ambas as gal´ axias sobrevivem. as for¸ cas de mar´ e da gal´ axia maior podem ser t˜ ao fortes a ponto de destruir a estrutura da gal´ axia menor. portanto. no c´ eu. Os c´ alculos mostram que algumas partes das gal´ axias que colidem podem ser ejetadas.de seu material deve. enquanto as massas principais se convertem em sistemas bin´ arios (ou m´ ultiplos) com pequenas ´ orbitas ao redor uma da outra.10. com o passar do tempo. Muitas gal´ axias com aparˆ encias estranhas. e localiza¸ c˜ ao em centros de aglomerados. Como um primeiro resultado. formando uma u ´nica gal´ axia. Astrˆ onomos chamam este processo de canibalismo gal´ atico. conhecidas como gal´ axias cD. refletir a conserva¸ c˜ ao de seu momentum angular. Quando uma gal´ axia muito grande interage com outra muito menor. o encontro entre as gal´ axias n˜ ao ´ e forte o suficiente para resultar em fus˜ ao. O termo fus˜ ao de gal´ axias ´ e usado em referˆ encia ` a intera¸ c˜ ao entre gal´ axias de tamanhos semelhantes. vistas. encontra-se envolto em um envelope de estrelas e possivelmente mat´ eria interestelar.1 Fus˜ ao de gal´ axias e canibalismo gal´ atico Se as gal´ axias colidem com velocidade relativamente baixa. elas podem evitar a disrup¸ c˜ ao por mar´ e. 609 . vari´ aveis. por Edwin Ernest Salpeter (1925-2008) e Yakov Borisovich Zel’dovich (1914-1989). A colis˜ ao pode tamb´ em direcionar grande quantidade de g´ as ao centro da el´ ıptica resultante. cuja fonte n˜ ao s˜ ao as estrelas. por intera¸ c˜ ao. Esse quasar tem magnitude aparente V = 12. emitindo intensa radia¸ c˜ ao enquanto Os quasares s˜ ao os objetos mais luminosos que emitem energia de uma forma est´ avel. durante a explos˜ ao. emitindo mais energia do que centenas de gal´ axias juntas. com espectro n˜ ao t´ ermico.85.11. 26. Simula¸ c˜ oes por computador mostram que sua forma pode ser reproduzida por intera¸ c˜ ao de mar´ e. 26. mas magnitude absoluta estimada de MV = -26. Um resultado recente de simula¸ c˜ oes em computador ´ e a possibilidade de que colis˜ oes possam transformar gal´ axias espirais em el´ ıpticas: a intera¸ c˜ ao pode retirar g´ as. por Maarten Schmidt (1929-). mostram evidˆ encias de intera¸ c˜ oes recentes. Mais provavelmente. as r´ adio-gal´ axias. e recebem diferentes nomes de acordo com sua aparˆ encia e a natureza da radia¸ c˜ ao que emitem. e os objetos mais luminosos do Universo — os quasares5 . azuladas. at´ e um trilh˜ ao de vezes mais do que o Sol. Essas gal´ axias s˜ ao classificadas como gal´ axias ativas. S˜ ao fortes fontes de r´ adio. que proporciona. ou seja. que. Entre elas est˜ ao as gal´ axias Seyfert. estrelas e poeira das duas gal´ axias. No modelo mais aceito.que n˜ ao se enquadram em nenhuma das categorias de Hubble. em 1964. conhecidos como fontes explosivas de raios gama.9. em colis˜ oes. como intensas fontes de r´ adio. transformando-as em uma el´ ıptica. foram descobertos em 1961. com aparˆ encia ´ otica aproximadamente estelar. propiciando a cria¸ c˜ ao de um buraco negro.11 Gal´ axias ativas Existem algumas gal´ axias que emitem uma excepcional quantidade de energia. Acredita-se que todas as gal´ axias ativas tenham um buraco negro central. como foi proposto. o buraco negro central acreta g´ as e estrelas da sua vizinhan¸ ca. e seus espectros apresentam linhas largas com efeito Doppler indicando que eles est˜ ao se afastando a velocidades muito altas. cujo nome vem de Quasi Stellar Radio Sources.1 Quasares Os quasares. as quantidades enormes de energia que elas emitem. isto ´ e. Existem outros objetos. s˜ ao gal´ axias com buracos negros fortemente ativos no centro. de at´ e alguns d´ ecimos da velocidade da luz. O primeiro a ter seu espectro identificado foi 3C 273. 5 610 . s˜ ao ainda mais luminosos do que os quasares. S˜ ao objetos extremamente compactos e luminosos. em 1963. Quando o buraco negro consumir toda mat´ eria circundante. formada 480 milh˜ oes de anos depois do Big Bang. espiralando no disco de acre¸ c˜ ao.6 m de diˆ ametro. a mat´ eria se acelera.43. e parte da mat´ eria ´ e ejetada por conserva¸ c˜ ao de momentum angular. representa o Universo quando este tinha somente 800 milh˜ oes de anos. um disco de acre¸ c˜ ao em volta deste. O recorde em 2011 ´ e da gal´ axia UDFj-39546284. a uma distˆ ancia de 13.Figura 26.75 e magnitude absoluta estimada de MV = −24. ele cessar´ a de emitir. com z=6. uma gal´ axia compacta de estrelas azuis. com um buraco negro no centro. e jatos polares. O mais distante quasar at´ e junho de 2007. 6. O quasar tem magnitude aparente V=17. Figura 26.11: Imagem no ´ otico do quasar 3C 279. obtida com o CanadaFrance-Hawaii Telescope de 3. detectada pelo Telesc´ opio Espacial 611 .2 bilh˜ oes de anos-luz.12: Modelo de um quasar. da NASA. reside em uma gal´ axia espiral normal.4 bilh˜ oes de anos-luz da Terra. com z 10. PG 1212+008.5 bilh˜ oes de anos-luz (canto inferior esquerdo). IRAS04505-2958. se utilizarmos a f´ ormula do deslocamento Doppler n˜ ao v ∆λ relativ´ ıstico. a 1. mostrando que os quasares ocorrem tanto em gal´ axias normais quanto em gal´ axias perturbadas. c = λ . em uma gal´ axia el´ ıptica.13: Imagens obtidas por John Norris Bahcall (1934-2005) e Mike Disney com o Telesc´ opio Espacial Hubble.Figura 26. um quasar λ que tem deslocamento Doppler ∆ λ = 5 indicaria uma velocidade de 5 vezes a velocidade da luz. Por exemplo. precisamos utilizar a f´ o rmula do deslocamento em geral grandes. PG 0052+251 (canto esquerdo superior). Hubble. z ≡ ∆ λ Doppler relativ´ ıstico para calcular sua velocidade. PHL 909. Como os deslocamentos para o vermelho (redshifts) dos quasares s˜ ao λ . no Campo Ultra Profundo. Mas o deslocamento Doppler relativ´ ıstico ´ e dado por: z≡ ∆λ = λ (1 + v/c) −1 (1 − v/c) de modo que a velocidade ´ e dada por: v (1 + z )2 − 1 = c (1 + z )2 + 1 612 . a 1. Q0316-346 e IRAS13218+0552. em v´ arios tipos de gal´ axias em intera¸ c˜ ao. Por exemplo. 11. a linha Hβ est´ a deslocada de 4861 ˚ A para 5630 ˚ A. s˜ ao obtidas diretamente a partir do redshift relativ´ ıstico z.2 Movimentos superluminais O movimento dos jatos em gal´ axias ativas e quasares parece se dar a uma velocidade acima da velocidade da luz e por isto s˜ ao chamados de movimentos superluminais. Por exemplo. aplicando a lei de Hubble (v=H d) na equa¸ c˜ ao acima. resultando = 13 GAL (1 + z )2 − 1 (1 + z )2 + 1 (1 + z )2 − 1 (1 + z )2 + 1 26. que fica: d= Para H = 75 km/s/Mpc. As distˆ ancias dos quasares e das gal´ axias distantes em geral. no sistema de referˆ encia do n´ ucleo. o material est´ a na posi¸ c˜ ao do n´ ucleo. Para um tempo to o material se deslocou em uma dire¸ c˜ ao fazendo um ˆ angulo θ em 613 .14: O espectro do quasar 3C 273 no ´ otico e infravermelho pr´ oximo ´ e dominado pelas linhas do hidrogˆ enio em emiss˜ ao e deslocadas para o vermelho (redshifted) por efeito Doppler. d = 4 Gpc c H (1 + z )2 − 1 c = H (1 + z )2 + 1 = 4 Gpc = 13 GAL. Na verdade trata-se da proje¸ c˜ ao do movimento que vemos a um ˆ angulo θ em rela¸ c˜ ao ` a linha de visada Considere que para t=0.Figura 26. Figura 26. rela¸ c˜ ao ` a linha de visada do n´ ucleo. a velocidade aparente de deslocamento no plano do c´ eu ´ e dada por: t2 = to + vaparente = ∆y vto sen θ = ∆t to 1 − v c cos θ 614 . Logo v ∆t = t2 − t1 = to 1 − cos θ c ou seja. com λ deslocamento para o vermelho (redshift) z = ∆ λ = 5.15: Espectro de um dos quasares mais distantes conhecidos. descoberto pelo Sloan Digital Sky Survey em 1998. No instante t1 temos: t1 = No instante t2 : ro c ro vto cos θ − c c o observador vˆ e o material deslocado no c´ eu uma distˆ ancia ∆y = vto sen θ. O observador vˆ e o material coincidindo com o n´ ucleo para um tempo t1 = r0 /c. Neste caso. 37 c.16: Superposi¸ c˜ ao da imagem ´ otica (em azul) com a imagem em r´ adio (em vermelho) do quasar 3C219. NRAO 1994 ou vaparente = v sen θ 1− v c cos θ Por exemplo. vaparente = 1. Enquanto a gal´ axia tem 100 mil anos-luz de diˆ ametro. 9 e θ = 10◦ . os jatos cobrem 1 milh˜ ao de anosluz. 615 . que est´ a a 500 Mpc.Figura 26. consideremos o caso de v/c = 0. localizados um em cada lado da gal´ axia el´ ıptica. vaparente = 2. observadas em r´ adio.11. Como a trajet´ oria seguida pelas part´ ıculas ´ e helicoidal. com dois l´ obulos emissores em r´ adio. 26. pois como sen θ = 1 − cos2 θ v 1− 1− v2 c2 v2 c2 1 2 1 2 vaparente = v2 =v 1− 2 c −1 2 ou seja. em torno de 1033 a 1038 W.17: Geometria de um movimento aparentemente superluminal. localizada no n´ ucleo da gal´ axia. e a distˆ ancias que chegam a 6 Mpc de seu centro. apresentam uma estrutura dupla. 9. A explica¸ c˜ ao mais plaus´ ıvel para os jatos ´ e a mesma dos quasares: part´ ıculas carregadas se movendo em um campo magn´ etico.3 Radio-gal´ axias S˜ ao gal´ axias que tˆ em uma emiss˜ ao em r´ adio muito intensa. geralmente tˆ em a aparˆ encia de uma gal´ axia el´ ıptica grande.vtosen θ vtocos θ vt o ro θ Figura 26. A velocidade aparente ´ e m´ axima para v/c = cos θ. Observadas no ´ otico. Outra caracter´ ıstica das r´ adio-gal´ axias ´ e a presen¸ ca de um jato de mat´ eria saindo da fonte central. mas. Uma das 616 . para v/c = 0. seu movimento ´ e acelerado e elas irradiam energia. 06 c. 26. tenham sua fonte de energia originada no mesmo processo b´ asico: g´ as sendo sugado por um buraco negro central. por seu brilho poder variar por um fator de 15. tamb´ em chamados blazares. No princ´ ıpio.11. como um buraco negro. luz polarizada. que apresentam um n´ ucleo muito brilhante e compacto. 5751 AGNs (Active Galactic Nuclei. observado em 1929. e um cont´ ınuo n˜ ao-t´ ermico muito intenso no ultravioleta. definidos como objetos mais fracos que magnitude absoluta B = −23) e 608 blazares. Estima-se que aproximadamente 1% de todas as gal´ axias espirais s˜ ao Seyfert. Atualmente a maioria dos astrˆ onomos aceita que as diversas formas de gal´ axias com n´ ucleo ativo.11. na constela¸ c˜ ao do Lagarto. O cat´ alogo de gal´ axias ativas dos franceses Marie-Paule V´ eron-Cetty e Philippe V´ eron. no Hemisf´ erio Sul celeste. cuja estrutura ´ e explicada como devida a movimentos internos muito r´ apidos no n´ ucleo. s˜ ao gal´ axias espirais com n´ ucleos pontuais muito luminosos. publicado em 2001. e acredita-se que eles sejam r´ adio-gal´ axias. e que deu nome ` a classe. em poucos meses. o que leva a concluir que a fonte emissora deve ser compacta. liberando energia potencial na forma de radia¸ c˜ ao.5 Objetos BL Lacertae (BL Lac) Os objetos BL Lacertae. constituem uma outra classe de objetos ex´ oticos. como gal´ axias Seyfert. O primeiro objeto desse tipo. Geralmente. cont´ em 23760 quasares (definidos como objetos mais brilhantes que magnitude absoluta B = −23). Quasars and Active Galactic Nuclei (10th Ed. de elementos pesados altamente ionizados. quasares e blazares.4 Gal´ axias Seyfert As gal´ axias Seyfert. contribuindo com aproximadamente metade da luminosidade total da gal´ axia no ´ otico. Tˆ em como principais caracter´ ısticas a extraordin´ aria variabilidade em curtos per´ ıodos de tempo.1960). Muitos desses objetos s˜ ao tamb´ em fontes de r´ adio. 26. foi confundido com uma estrela. O espectro nuclear apresenta linhas de emiss˜ ao alargadas. orientadas de forma que a linha de visada fica na dire¸ c˜ ao do jato. em 1943. a emiss˜ ao dessas gal´ axias sofre variabilidade em per´ ıodos relativamente curtos. descobertas por Carl Keenan Seyfert (1911 .radio-gal´ axias mais brilhantes ´ e Centauro A. 617 . e um espectro n˜ aot´ ermico sem linhas de emiss˜ ao ou absor¸ c˜ ao.). localizada na constela¸ c˜ ao do Centauro. foi BL Lacertae. em torno de 1036 a 1038 W. descobriu que as linhas espectrais da gal´ axia Andrˆ omeda (M31) mostravam um enorme deslocamento para o azul. observando o brilho aparente e os per´ ıodos de pulsa¸ c˜ ao de estrelas Cefeidas nessas gal´ axias. maior era o deslocamento para o vermelho de seu espectro. quanto mais fraca a gal´ axia.Compara¸ c˜ ao entre diferentes tipos de gal´ axias ativas Propriedade Espectro cont´ ınuo Linhas de emiss˜ ao Forma no ´ otico Forma em r´ adio Radio-gal´ axias n˜ ao-estelar largas e estreitas el´ ıptica jatos e l´ obulos Gal´ axias Seyfert n˜ ao-estelar largas e estreitas espiral emiss˜ ao fraca Objetos BL Lac n˜ ao-estelar nenhuma ou fracas incerta emiss˜ ao fraca Quasares n˜ ao-estelar largas e estreitas estelar jatos e l´ obulos As maiores d´ uvidas sobre as gal´ axias concentram-se em como elas se formaram.12 A lei de Hubble Em 1912. As implica¸ c˜ oes mais importantes do trabalho de Slipher ficaram mais claras durante os anos 20. das 41 gal´ axias que ele estudou. a maioria apresentava deslocamento espectral para o vermelho. a uma velocidade de 300 km/s. usando o telesc´ opio de 2. Hubble e Humason verificaram que as gal´ axias mais distantes estavam se afastando com velocidades maiores. demonstrando que. o astrˆ onomo americano Vesto Melvin Slipher (1875-1969). Quando compararam as distˆ ancias das gal´ axias com as suas velocidades de afastamento. Slipher notou que. A 618 . Slipher iniciou. indicando que as gal´ axias estavam se afastando de n´ os. determinadas a partir dos desvios para o vermelho de suas linhas espectrais. ent˜ ao. do Observat´ orio Lowell. um trabalho sistem´ atico que levou duas d´ ecadas.50 m de Monte Wilson. fotografaram os espectros de v´ arias gal´ axias. Plotando os dados em um gr´ afico de velocidade em fun¸ c˜ ao da distˆ ancia. 26. qual ´ e a composi¸ c˜ ao de sua massa escura – que pode corresponder a 90% de sua massa total. quando Edwin Hubble conseguiu estimar as distˆ ancias de Andrˆ omeda e outras gal´ axias. Em 1929. e porque algumas gal´ axias parecem conter um buraco negro central que libera uma quantidade colossal de energia. Hubble e seu colaborador. indicando que essa gal´ axia estava se aproximando do Sol. Hubble publicou sua descoberta. Hubble encontrou que os pontos se distribu´ ıam ao longo de uma linha reta. Milton Humason. 168) que agora ´ e conhecida como Lei de Hubble. em seu artigo de 1927. Veremos as implica¸ c˜ oes cosmol´ ogicas da lei de Hubble no pr´ oximo cap´ ıtulo. 15. publicado no Annales de la Soci´ et´ e scientifique de Bruxelles. e que pode ser representada pela f´ ormula v = H0 d sendo: • v = velocidade de recess˜ ao da gal´ axia. • d = distˆ ancia da gal´ axia. 49. 47.18: Lei de Hubble: a velocidade ´ e proporcional ` a distˆ ancia. 619 . Un univers homog` ene de masse constante et de rayon croissant. • H0 = constante de Hubble. rendant compte de la vitesse radiale des n´ ebuleuses extra-galactiques.Figura 26. ´ Georges-Henri Edouard Lemaˆ ıtre (1894-1966). j´ a tinha chegado ` a mesma conclus˜ ao. relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae (Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. S` erie A. 620 . o homem teve.1 O Paradoxo de Olbers: a escurid˜ ao da noite 621 . insignificante. o Grupo Local. localizada quase na extremidade de uma gal´ axia normal. localizado na periferia de um grande aglomerado de gal´ axias. a Via L´ actea. Nossa localiza¸ c˜ ao no Universo ´ e. aos poucos. portanto. ´ e pequeno em compara¸ c˜ ao aos grandes aglomerados de gal´ axias que podemos observar em outras partes do Universo. reconheceu que vivemos num planeta nada excepcional. 27.Cap´ ıtulo 27 Cosmologia: O Universo como um todo Apesar de fortes restri¸ c˜ oes interiores. Essa gal´ axia faz parte de um grupo de gal´ axias. o aglomerado de Virgem. no come¸ co do s´ eculo XX. que gira em torno de uma estrela comum. de abandonar a no¸ c˜ ao de que tinha qualquer posi¸ c˜ ao central no Universo e. o Sol. Mesmo esse aglomerado. a Terra. mas quanto mais longe olhamos. A quest˜ ao foi retomada por Edmond Halley (1656-1742) no s´ eculo XVIII e pelo m´ edico e astrˆ onomo Heinrich Wilhelm Matt¨ aus Olbers (1758-1840) em 1826. sua linha de visada sempre interceptar´ a uma estrela. quando passou a ser conhecida como paradoxo de Olbers. tenha dado tanto o que pensar durante tanto tempo. nessa ´ epoca. parece t˜ ao compreens´ ıvel para qualquer pessoa. ` a primeira vista. sobre o qual ningu´ ` em. E estranho que esse fato. vˆ e um n´ umero de estrelas que cresce com o quadrado da distˆ ancia. ` a medida que ele olha mais longe. Uma analogia simples de fazer ´ e com uma floresta de ´ arvores. e Vesta. que. em 1610. Kepler rejeitava veementemente a id´ eia de um universo infinito recoberto de estrelas. como que encerrado por uma parede c´ osmica escura. Como resultado. principalmente depois da comprova¸ c˜ ao por Galileu Galilei de que a Via L´ actea era composta de uma mir´ ıade de estrelas e usou o fato de que o c´ eu ´ e escuro ` a noite como argumento para provar que o Universo era finito. Se estamos no meio da floresta. Para um observador em qualquer lugar. colocar´ a qualquer d´ uvida e que. mais diminui o espa¸ camento entre as ´ arvores de 622 . Olbers j´ a havia descoberto os dois aster´ oides (planetas menores) Palas. a nosso redor vemos as ´ arvores bem espa¸ cadas entre si. em 1807. em 1802. a primeira pessoa que reconheceu as implica¸ c˜ oes cosmol´ ogicas da escurid˜ ao noturna foi Johannes Kepler (1571-1630). em s˜ a consciˆ encia. estava ganhando v´ arios adeptos.Uma das constata¸ c˜ oes mais simples que podemos fazer ´ e que o c´ eu ´ e escuro ´ a noite. Aparentemente. seja l´ a qual for a dire¸ c˜ ao em que ele olhe. O problema ´ e o seguinte: suponha que as estrelas estejam distribu´ ıdas de maneira uniforme em um espa¸ co infinito. o volume de uma esfera com centro nele aumentar´ a com o quadrado do raio dessa esfera (dV = 4πR2 dr). Portanto. Como o universo tem uma idade finita. Por quˆ e? Algumas propostas de solu¸ c˜ ao: 1. 2. 6 × 1015 anos-luz. Essa teoria propunha que a velocidade da luz no v´ acuo ´ e constante. Foi a solu¸ c˜ ao proposta por Olbers. Essa ´ e a solu¸ c˜ ao atualmente aceita para o paradoxo. o universo n˜ ao existiu por todo o sempre. portanto. Albert Einstein (1879-1955) havia proposto a teoria da relatividade especial. Usando-se a separa¸ c˜ ao m´ edia entre as estrelas de 1 parsec. pois estaria completamente coberto delas. na solu¸ c˜ ao. 3. Mas. a poeira interestelar absorve a luz das estrelas. portanto. mas os c´ alculos mostram que a degrada¸ c˜ ao da energia pela expans˜ ao do universo n˜ ao ´ e suficiente para resolver o paradoxo. Portanto. obviamente. A teoria ´ e especial somente 623 . o c´ eu em m´ edia deveria ser t˜ ao brilhante quanto a superf´ ıcie de uma estrela m´ edia. O desvio para o vermelho ajuda na solu¸ c˜ ao. ` a medida que fosse absorvendo radia¸ c˜ ao. que massa e energia s˜ ao equivalentes.7 bilh˜ oes de anos. sua idade finita ´ e a principal explica¸ c˜ ao ao Paradoxo de Olbers. 27.2 Relatividade Geral Em 1905. por ser finito no tempo. o universo que enxergamos ´ e limitado no espa¸ co. a poeira entraria em equil´ ıbrio t´ ermico com as estrelas e passaria a brilhar tanto quanto elas. Como o brilho das estrelas cai com o quadrado da distˆ ancia. e a luz tem uma velocidade finita. n˜ ao ´ e isso que vemos e. portanto.forma que no limite da nossa linha de visada as ´ arvores est˜ ao todas juntas e nada podemos ver al´ em delas. de forma que a luz de objetos muito distantes chega muito desviada para o vermelho e. N˜ ao ajuda. pois o desvio ´ e proporcional ao raio do Universo. equivalente a 6. A escurid˜ ao da noite ´ e uma prova de que o universo teve um in´ ıcio. o racioc´ ınio est´ a errado. enquanto o n´ umero de estrelas aumenta com o quadrado da distˆ ancia. muito fraca. e que nenhuma informa¸ c˜ ao ou mat´ eria pode se mover mais r´ apido do que a luz. Como o Universo s´ o tem 13. Com o passar do tempo. independente da velocidade da fonte. que a massa depende da velocidade. a expans˜ ao do universo degrada a energia. obt´ em-se que o c´ eu seria t˜ ao luminoso quanto a superf´ ıcie do Sol se o Universo tivesse um raio de 2 × 1015 parsecs. a luz das estrelas mais distantes ainda n˜ ao teve tempo de chegar at´ e n´ os. que h´ a dilata¸ c˜ ao do tempo durante movimento em alta velocidade. mas tem um problema. O holandˆ es Willem de Sitter (1872-1934) demonstrou em 1917 que a constante cosmol´ ogica permite um Universo em expans˜ ao mesmo se ele n˜ ao contiver qualquer mat´ eria e. Einstein modificou suas equa¸ c˜ oes. e isotr´ opica. descrevendo a gravita¸ c˜ ao como a a¸ c˜ ao das massas nas propriedades do espa¸ co e do tempo. A hip´ otese que o Universo seja homogˆ eneo e isotr´ opico ´ e chamada de Princ´ ıpio Cosmol´ ogico. como o Universo. introduzindo a famosa constante cosmol´ ogica. mesma dificuldade encontrada com a teoria de Newton. Embora a teoria de relatividade geral.)]. Trata-se. A teoria da relatividade geral ´ e universal no sentido de ser v´ alida mesmo nos casos em que os campos gravitacionais n˜ ao s˜ ao desprez´ ıveis. mas em larga escala os elementos de volume s˜ ao homogˆ eneos. em 1917.C. Um ano depois de propor a relatividade geral. portanto. Enquanto na teoria de Newton o espa¸ co ´ e r´ ıgido. tem a mesma forma de qualquer ponto do espa¸ co. na verdade. ela resulta bastante diferente.porque estava restrita ao caso em que os campos gravitacionais s˜ ao pequenos. Einstein publicou seu artigo hist´ orico sobre cosmologia. na relatividade geral o espa¸ co-tempo ´ e distorcido pela presen¸ ca da mat´ eria que ele cont´ em. que afetam. A constante cosmol´ ogica age como uma for¸ ca repulsiva que previne o colapso do Universo pela atra¸ c˜ ao gravitacional. para obter um Universo est´ atico. gal´ axias e aglomerados de gal´ axias. isto ´ e. naquela ´ epoca. Considera¸ c˜ oes Cosmol´ ogicas sobre a Teoria da Relatividade. descrito pela geometria Euclidiana [Euclides de Alexandria (c. da teoria da gravidade. nenhuma raz˜ ao para supor que o Universo estivesse se expandindo ou contraindo. o movimento dos corpos e outras propriedades f´ ısicas. por sua vez. isto ´ e. A solu¸ c˜ ao de Einstein ´ e homogˆ enea. ou desprez´ ıveis. As observa¸ c˜ oes mostram que o Universo ´ e homogˆ eneo em escalas de 10 a 100 milh˜ oes de anos-luz e maiores. j´ a que ele n˜ ao tinha. ela ´ e tamb´ em chamada de energia do v´ acuo. 624 . o modelo ´ e o mesmo em qualquer dire¸ c˜ ao. Como as equa¸ c˜ oes da Relatividade Geral n˜ ao levavam diretamente a um Universo est´ atico de raio finito. em grandes dimens˜ oes e grandes massas.365-300 a. proposta por Einstein em 1916. podemos ver estrelas. Para escalas menores. construindo um modelo esf´ erico do Universo. s´ o difira da teoria da gravita¸ c˜ ao de Isaac Newton (16431726) em poucas partes em um milh˜ ao na Terra. 27. quando as estrelas est˜ ao vis´ ıveis pelo curto espa¸ co de tempo do eclipse. como predito por Einstein. a Sobral. 30”. na Africa.1 Lentes Gravitacionais A previs˜ ao da relatividade geral de que um raio de luz ´ e desviado ao passar por um corpo massivo foi confirmada. para medir a posi¸ c˜ ao das estrelas durante o eclipse total do Sol de 29 de maio de 1919. Eddington verificou que as estrelas pareciam mais distantes umas das outras durante o eclipse. por uma expedi¸ c˜ ao dupla chefiada pelo astrˆ onomo inglˆ es Sir Arthur Stanley Eddington (1882´ 1944). durante um eclipse. 30” e 1. Isso implica que os raios de luz dessas estrelas foram desviados pelo campo gravitacional do Sol.7 segundos de arco . e ` a ilha de Pr´ ıncipe. ∆ a uma distˆ ancia de ∆ raios do Sol do centro do Sol. de 43”por s´ eculo. quando elas eram vis´ ıveis ` a noite. e comparando com medidas das mesmas estrelas obtidas 2 meses depois. podemos enxergar e medir as estrelas pr´ oximas ao disco do Sol. j´ a detectado pelo francˆ es Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811-1877) em 1859.2. em 1919. Medindo a distˆ ancia entre as estrelas ` a esquerda do Sol e as estrelas ` a direita do Sol durante o eclipse. O desvio previsto era de 1. Outra comprova¸ c˜ ao importante da Teoria da Relatividade Geral foi a observa¸ c˜ ao do deslocamento do peri´ elio do planeta Merc´ urio. 61” ± 0. confirmando a teoria. 98” ± 0. que θ − θ0 = 625 . As duas expedi¸ c˜ oes obtiveram 1. A u ´nica raz˜ ao de realizar essas medidas durante um eclipse ´ e que. no Cear´ a. A expedi¸ c˜ ao ao Brasil foi coordenada pelo inglˆ es Andrew Claude de la Cherois Crommelin (1865-1939) e retornou com 7 fotografias de boa qualidade. instalada no Telesc´ opio Espacial Hubble. na teoria de Einstein a energia cin´ etica do movimento dos planetas tamb´ em contribui. aproximadamente.6”por s´ eculo.Figura 27. mas ´ e perfeitamente descrito pela teoria da relatividade. O n´ umero de imagens produzidas depende da distribui¸ c˜ ao de massa da gal´ axia. ´ e a da medida da taxa de 626 . a lente gravitacional G2237+0305. n˜ ao pode ser explicado pela teoria Newtoniana.2: Representa¸ c˜ ao do deslocamento do peri´ elio de Merc´ urio com o tempo. mas de 8. exatamente como predito pela Teoria da Relatividade Geral. Figura 27. O peri´ elio de Vˆ enus tamb´ em se desloca. Mas a observa¸ c˜ ao mais crucial. e dos detalhes do alinhamento. O quasar est´ a a. da NASA. e o da Terra de 3. da European Space Agency. A luz de um quasar distante forma quatro imagens ao passar pelo campo gravitacional de uma gal´ axia entre o quasar e a Terra. fotografada com a Faint Object Camera. Enquanto na teoria de Newton somente a massa contribui para a gravidade. enquanto que a gal´ axia est´ a a 400 milh˜ oes de anos-luz. O espa¸ co-tempo ´ e perturbado pela presen¸ ca da massa do Sol.1: Imagem do Cruz de Einstein. ainda. ambos j´ a medidos. 8 bilh˜ oes de anos-luz de n´ os.8”por s´ eculo. (1941-) em 1974. como um pulsar bin´ ario pr´ oximo.Figura 27. utilizando a antena de 305 m de diˆ ametro do r´ adio-telesc´ opio de Arecibo.3: Distribui¸ c˜ ao de gal´ axias em grande escala. da mesma maneira que cargas el´ etricas aceleradas produzem ondas eletromagn´ eticas. mas por fatores da ordem de 10−21 . O per´ ıodo orbital ´ e de 7. na Calif´ ornia. A taxa de redu¸ c˜ ao do per´ ıodo orbital. 0004) milion´ esimos de segundos por ano.3 Expans˜ ao do Universo Em 1923. Essa descoberta lhes valeu o prˆ emio Nobel de f´ ısica de 1993. e foto de Edwin Hubble redu¸ c˜ ao do per´ ıodo orbital do pulsar bin´ ario PSR 1913+16 — duas estrelas de nˆ eutrons — descoberto por Russell Alan Hulse (1950-) e Joseph Hooton Taylor Jr. 8 ± 0. muito mais distante que o tamanho de nossa gal´ axia. o astrˆ onomo americano Edwin Powell Hubble (1889-1953). previstas pela teoria de Einstein. demonstrando conclusivamente que nossa gal´ axia n˜ ao ´ eau ´nica no Universo.75 horas. concorda com precis˜ ao melhor do que 1% com o c´ alculo de perda de energia devido ` a 1 emiss˜ ao de ondas gravitacionais. As ondas gravitacionais s˜ ao perturba¸ co ˜es na curvatura do espa¸ co-tempo e se propagam ` a velocidade da luz. conseguiu enxergar e medir as estrelas individuais na gal´ axia de Andrˆ omeda. e o per´ ıodo de rota¸ c˜ ao do pulsar de 59 milissegundos. altera as distˆ ancias. A Teoria da Relatividade Geral prediz que massas aceleradas emitem ondas gravitacionais.5 m de diˆ ametro do Monte Wilson. 1 627 . Um onda gravitacional proveniente de uma fonte intensa. de (75. usando o rec´ em-instalado telesc´ opio de 2. 27. j´ a predita pelo russo Alexander Alexandrovitch Friedmann (1888-1925) em dois artigos publicados no Zeitschrift f¨ ur Physik em 1922 e 1924. maior sua velocidade de afastamento. junto com Humason. isto ´ e. com contra¸ co ˜es. observando o deslocamento para o vermelho nas linhas espectrais das gal´ axias observadas por Milton La Salle Humason (1891-1972) e medindo. suas distˆ ancias. No modelo Quasi Estacion´ ario. estendeu seus resultados por um fator de 18 em distˆ ancia. e pelo belga ´ Georges-Henri Edouard Lemaˆ ıtre (1894-1966) em 1927. isto ´ e. a massa seria eternamente criada em buracos 2 628 .Figura 27. quanto mais distante a gal´ axia. que as gal´ axias estavam se afastando de n´ os. em um Universo eterno e infinito. no Proceedings of the National Academy of Science e. com velocidades proporcionais ` as suas distˆ ancias. Apesar da descoberta da expans˜ ao do Universo. no Annales de la Soci´ et´ e Scientifique de Bruxelles. ele pr´ oprio. Hubble publicou seus resultados para 24 gal´ axias em 1929. Hubble demonstrou. que o Universo era Fred Hoyle (1915-2001). dois anos mais tarde. alternando expans˜ oes que duram cerca de 40 bilh˜ oes de anos. muitos pesquisadores acreditavam na Teoria do Estado Estacion´ ario 2 .4: Alexander Friedmann e Georges Lemaˆ ıtre Em 1929. Geoffrey Burbidge (1925-2010) e Jayant Vishnu Narlikar (1938-) propuseram em 1993 a Teoria do Estado Quasi Estacion´ ario. Isso constituiu a primeira evidˆ encia para a expans˜ ao do Universo. Universo plano na forma mais simples. Essa teoria foi proposta por Sir Herman Bondi (19192005). separando a for¸ ca gravitacional das outras for¸ cas no tempo de Planck. 396). que o Big Bang ocorreu por uma flutua¸ c˜ ao quˆ antica do v´ acuo. Tryon propˆ os.3 J´ a em rela¸ c˜ ao ao destino do Universo. ent˜ ao pelo princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg ∆t ≥ ¯ h/∆E pode ser muito grande. Nos u ´ltimos anos se tem usado o termo quintessˆ encia para descrever a mat´ eria (energia) dominante no Universo. A mini-cria¸ ca ˜o causa uma expans˜ ao G do Universo. ou Grande Expans˜ ao. a quinta-essˆ encia. do Los Alamos National Laboratory. devido a flutua¸ co ˜es quˆ anticas do v´ acuo. em 1958. com produ¸ c˜ ao cont´ ınua de mat´ eria para contrabalan¸ car a expans˜ ao observada. reservat´ orio de energia negativa. quando se iniciou a expans˜ ao. Fred Hoyle sugeriu. tamb´ em da Philips. em 1973 (Nature. o valor do campo se reduz. ou 2) a expans˜ ao parar´ a e haver´ a novo colapso ao estado denso (Big Crunch). permitindo que o Universo alcance sua idade atual. mas mais precisamente em 1997. isto ´ e. propuseram a existˆ encia de uma for¸ ca (energia) no v´ acuo. da University of California em Riverside. Essa for¸ ca foi primeiro medida por Marcus Spaarnay. Propˆ os tamb´ em que a mat´ eria celeste era composta por um tipo de mat´ eria especial. que reduz o valor m´ edio do campo de cria¸ ca ˜o. ´ e de 100 mil´ esimos de trilion´ esimos q ch brancos com massa de Planck = 1019 b´ arions. tornando-se dif´ ıcil uma nova mini-cria¸ ca ˜o. Edward P. o Universo continuar´ a se expandindo para sempre. O Universo colapsar´ a novamente somente se a atra¸ c˜ ao gravitacional da mat´ eria (e energia) contida nele for grande o suficiente para parar a expans˜ ao. o nome “Big Bang”. Como a mat´ eria e energia escura4 do Universo pode chegar a 96% da energia total. faz o Universo se expandir exponencialmente. mantendo a densidade m´ edia constante. h´ a duas possibilidades: 1) o Universo se expandir´ a para sempre. da massa por unidade de volume. para o evento de in´ ıcio do Universo.) propˆ os que a mat´ eria na Terra era composta por quatro elementos b´ asicos: terra. Mas por que a flutua¸ ca ˜o. A gravidade ent˜ ao supera a expans˜ ao e o Universo se contrai. Thomas Gold (1920-2004) e Sir Fred Hoyle (1915-2001). Podemos expressar a massa em termos da densidade. por Steve K. Lamoreaux.C. A densidade cr´ ıtica. fogo e ´ agua. Ap´ os a expans˜ ao. 246. que interromperia a expans˜ ao. os f´ ısicos holandˆ eses Hendrik Brugt Gerhard Casimir (1909-2000) e Dirk Polder (1919-2001) do Philips Research Laboratories. isto ´ e. ar. isto ´ e. seja ela mat´ eria escura ou energia do v´ acuo (constante cosmol´ ogica). ou quintessˆ encia. e seu colaborador Anushree Roy. 4 Arist´ oteles de Estagira (384-322 a. aumentando o campo at´ e que nova cria¸ ca ˜o ocorra. 629 . que ´ e um buraco negro por conter toda a massa do Universo em um raio muito pequeno. aparentemente o Universo est´ a se expandindo com velocidade maior do que a velocidade de escape.similar em todas as dire¸ c˜ oes e imut´ avel no tempo. Em 1950. n˜ ao colapsa? Porque a libera¸ ca ˜o de energia do calor latente da transi¸ ca ˜o de fase do Teoria da Grande Unifica¸ ca ˜o. Em 1948. 3 Se a energia total do Universo for nula. e por Umar Mohideen. pejorativamente. 5 ρobservada em mat´ eria luminosa 10−31 g/cm3 10−28 kg/m3 Arno Penzias e Robert Wilson com sua antena corneta de Holmdel. que d´ a 4 × 109 kpc3 . dez milh˜ oes de vezes menor do que o melhor v´ acuo que pode ser obtido em um laborat´ orio na Terra. superestimada porque a distˆ ancia dos c´ umulos de gal´ axias ´ e muito maior do que a distˆ ancia entre as gal´ axias. Robert Henry Dicke (1916-1997). cerca de 6 × 109 M cada. que receberam o prˆ emio Nobel em 1978. as duas maiores gal´ axias do Grupo tˆ em cerca de 2 × 1011 M cada. publicaram seus resultados do excesso de emiss˜ ao observado no Astrophysical Journal em 1965 e. a massa total do aglomerado ´ e 6 × 1012 M . e David T. com a qual descobriram o excesso de energia devido ` a radia¸ c˜ ao c´ osmica do fundo do Universo. as outras 38 gal´ axias an˜ as tˆ em massa similar ` a da Grande Nuvem de Magalh˜ aes. Em 1964. no mesmo volume. do Bell Laboratories. Wilkinson (1935-2002). Philip James Edward Peebles (1935-). Penzias e Wilson. ainda. utilizando o amplificador maser de baix´ ıssimo ru´ ıdo que haviam desenvolvido no Bell Labs. ρcr´ ıtica 10−29 g/cm3 = 10−26 kg/m3 Essa densidade cr´ ıtica corresponde a 5 ´ atomos de hidrogˆ enio por metro c´ ubico. A densidade de mat´ eria luminosa no Grupo Local pode ser estimada considerando que a Via L´ actea e Andrˆ omeda. A mat´ eria vis´ ıvel do Universo ´ e. 5 630 . refor¸ cou a teoria do Big Bang. 100 vezes menor. O volume total do ´ e o de uma esfera de 1000 kpc de raio. Peter G.de trilion´ esimos de um grama por cent´ ımetro c´ ubico. ou seja ρlum 150 M /kpc3 −26 3 1 × 10 kg/m . Roll. a descoberta acidental da radia¸ c˜ ao de microondas do fundo do Universo pelos radioastrˆ onomos Arno Allan Penzias (1933-) e Robert Woodrow Wilson (1936-). em m´ edia. se as gal´ axias est˜ ao se afastando umas das outras. 10 a 15 bilh˜ oes de anos atr´ as.que estavam construindo uma antena para procurar por essa emiss˜ ao. 5K. h´ a 13. muito quente. O Big Bang. engenheiro civil e cosm´ ologo belga Georges-Henri Edouard Lemaˆ ıtre (1894-1966) foi. A radia¸ c˜ ao do fundo do Universo ´ e o sinal eletromagn´ etico proveniente das regi˜ oes mais distantes do Universo (a cerca de 13. provavelmente. Esse seria o in´ ıcio do Universo observ´ avel. associados de George Antonovich Gamow (1904-1968). quando ele ficou transparente. crescendo com fermento no forno. que se expandiu no Big Bang. em 1948. uma singularidade espa¸ co-tempo. como num bolo com passas. na Nature. 774. o primeiro a propor um modelo 631 .7 bilh˜ oes de anos-luz). ela havia sido predita. como a radia¸ c˜ ao remanescente do estado quente em que o Universo se encontrava quando se formou (na verdade.7 bilh˜ oes de anos). pelos americanos Ralph Asher Alpher (1921-2007) e Robert Herman (1922-1997). deveriam estar todas num mesmo ponto.4 Big Bang A teoria do Big Bang leva em conta que. no passado. 162. num passado remoto. em 1948. criou n˜ ao somente a mat´ eria e a radia¸ c˜ ao. 27. o espa¸ co entre eles simplesmente aumenta. ou Grande Expans˜ ao. elas deveriam estar cada vez mais pr´ oximas e. que s˜ ao mantidos coesos pela gravidade. Ralph Alpher e Robert Herman publicaram a previs˜ ao da radia¸ c˜ ao do fundo do Universo. publicaram a interpreta¸ c˜ ao do excesso como a detec¸ c˜ ao da radia¸ c˜ ao remanescente do Big Bang. 300 000 anos ap´ os o in´ ıcio. como observado por Edwin Hubble em 1929. A expans˜ ao do Universo n˜ ao influi no tamanho das gal´ axias e c´ umulos de gal´ axias. mas tamb´ em o pr´ oprio espa¸ co e o tempo. ´ O padre. os modelos se dividem em trˆ es classes. o Universo ´ e euclidiano. mas em trˆ es dimens˜ oes. Se a constante cosmol´ ogica ´ e nula. As solu¸ c˜ oes poss´ ıveis das equa¸ c˜ oes da relatividade geral incluem expans˜ ao eterna ou com recolapso. chegando a zero no infinito. Se a densidade for muito baixa. O sat´ elite WMAP (Microwave Anisotropy Probe) foi lan¸ cado em 30 de junho de 2001 e. mas as observa¸ c˜ oes recentes come¸ cam a testar estas hip´ oteses. Com estes resultados. o matem´ atico e meteorologista russo Alexander Alexandrovitch Friedmann (1888-1925) j´ a tinha descoberto toda uma fam´ ılia de solu¸ c˜ oes das equa¸ c˜ oes da Teoria da Relatividade Geral. se uma nave viajasse por um tempo extremamente longo em linha reta. Independentemente de Lemaˆ ıtre.8% do c´ eu. Nesse caso. se expande para sempre. A radia¸ c˜ ao do fundo do Universo mostra as condi¸ c˜ oes do Universo 300 mil anos ap´ os o Big Bang. Ele imaginou que toda a mat´ eria estivesse concentrada no que ele chamou de ´ atomo primordial e que esse ´ atomo se partiu em incont´ aveis peda¸ cos.espec´ ıfico para o Big Bang. O Universo. mas a velocidade das gal´ axias ser´ a cada vez menor. mas ele inspirou os modelos modernos. formadas nos trˆ es primeiros minutos do Universo.2 Ganos. Aproximadamente 300 mil anos depois do Big Bang. como discutiremos. Em abril de 2001. de modo que. Qual desses modelos representa o Universo real continua como um dos cernes da cosmologia moderna. o Universo ´ e aberto e continuar´ a se expandindo para sempre. com resolu¸ c˜ ao de 0. Se a densidade de mat´ eria for alta suficiente para reverter a expans˜ ao. como a superf´ ıcie de uma esfera. nesse caso. cada um se fragmentando cada vez mais. e eles s˜ ao chamados os pais da Cosmologia. Sabemos que esse modelo n˜ ao pode ser correto. voltaria ao mesmo ponto. pois n˜ ao obedece ` as leis da relatividade e estrutura da mat´ eria (quˆ antica). chamado de Universo plano. suficiente para que os pr´ otons e as part´ ıculas-α. O terceiro caso. que a energia total est´ a entre 0. numa enorme fiss˜ ao nuclear. ´ e o limite entre o Universo aberto e o fechado. o Universo ´ e fechado. 3o (comparados com 7o do COBE) que mediram 1. a temperatura do Universo caiu para cerca de 3000 K.52 e 0. a idade do Universo est´ a entre 14 e 16. fez uma medida muito mais detalhada de todo o c´ eu. A fam´ ılia de solu¸ c˜ oes para a relatividade geral encontrada por Friedmann e Lemaˆ ıtre descreve um Universo em expans˜ ao. em 1927. quando o Universo era dominado por radia¸ c˜ ao. e conclu´ ıram que a mat´ eria bariˆ onica s´ o representa 3% da energia total. 21o e uma sensibilidade de 20 micro Kelvins.68 da energia cr´ ıtica.03 da energia cr´ ıtica e que a energia de repuls˜ ao est´ a entre 0.98 e 1. com uma resolu¸ c˜ ao de 0. o projeto Boomerang publicou nova analise dos dados de microondas por bal˜ ao. come¸ cassem a capturar 632 . at´ e formar os ´ atomos presentes no Universo. postulada pela primeira vez por Fritz Zwicky (1898-1974) e Walter Baade (1893-1960) em 1937 (Astrophysical Journal. ou fase de desacoplamento. ap´ os o Big Bang. Suas id´ eias est˜ ao corretas. chamada mat´ eria luminosa. Zwicky. um astrˆ onomo su´ ı¸ co tra633 . Os elementos mais pesados foram produzidos. exceto que as condi¸ c˜ oes iniciais do Universo n˜ ao eram apropriadas para fundir o carbono e elementos mais pesados. o f´ ısico russo-americano George Gamow. Ele publicou os resultados em 1948. 86. com Ralph Alpher [e Hans Bethe (1906-2005)]. Em 1940. 217). formando somente H e He em abundˆ ancia significativa. sugeriu um modelo com in´ ıcio oposto ao de Lemaˆ ıtre: fus˜ ao nuclear. maiores que as explic´ aveis atrav´ es da mat´ eria observada. 27. por fus˜ ao. e formar ´ atomos de hidrogˆ enio e h´ elio neutros. mais tarde. no interior das estrelas.el´ etrons. que fora estudante de Friedmann antes da morte deste aos 37 anos. Peebles chamou essa fase de recombina¸ c˜ ao. Esse modelo iniciou com part´ ıculas fundamentais que se aglomeraram em elementos mais pesados. passando para Universo dominado por mat´ eria. Essa ´ e a mat´ eria extra necess´ aria para explicar as curvas de rota¸ c˜ ao das gal´ axias e as velocidades observadas das gal´ axias em aglomerados.5 A quest˜ ao da mat´ eria escura Outro ´ ıtem importante na cosmologia ´ e a chamada mat´ eria escura. a teoria ´ e idˆ entica ao Big Bang padr˜ ao. O modelo inflacion´ ario prevˆ e. no Modelo Padr˜ ao das for¸ cas nucleares e o Large Hadron Collider. da massa em estrelas e g´ as pertencentes ` as gal´ axias. o que ´ e inconsistente com a uniformidade da radia¸ c˜ ao do fundo do Universo. e pelo americano Paul J. Depois de 10−36 s. isto ´ e. Outra interpreta¸ c˜ ao da mesma transi¸ c˜ ao de fase ´ e que a libera¸ c˜ ao do calor latente ´ e que faz o Universo se expandir inflacionariamente. um estado metaest´ avel do campo de energia que. A teoria inflacion´ aria prevˆ e que a mat´ eria escura n˜ ao pode ser totalmente bariˆ onica. tendo press˜ ao negativa. que o Universo cont´ em cem vezes mais mat´ eria ou energia escura que a mat´ eria que brilha nas estrelas e. e modificado em 1981 pelo russo Andrei Dmitrvitch Linde (1948-). que o Universo ´ e plano. calculou que a massa do aglomerado deveria ser. pelo menos. dez vezes maior do que a massa da mat´ eria vis´ ıvel no aglomerado. O b´ oson de Higgs ´ e a part´ ıcula que d´ a massa a todas as outras part´ ıculas. em 1979. isto ´ e. part´ ıculas com velocidade muito menor do que a velocidade da luz (neutrinos devem ter velocidade pr´ oxima a da luz). Quando publicada. do Massachussets Institute of Technology (MIT). ´ e consistente com algumas das formas das Teorias da Grande Unifica¸ c˜ ao (GUT) das for¸ cas forte e eletrofraca. pelas velocidades de rota¸ c˜ ao das gal´ axias. portanto. − 37 correspondente a 10 s pelo princ´ ıpio da incerteza. nos novos modelos inflacion´ arios de Linde e Steinhardt nosso Universo ´ e apenas uma bolha de um poss´ ıvel megauniverso de bolhas. ainda. Em 1980 Vera Cooper Rubin (1928-) determinou. Enquanto no modelo inicial de Guth nosso Universo seria composto de muitas bolhas que se expandem exponencialmente. como o do Universo Inflacion´ ario. mas o valor moderno da energia de Higgs [Peter Ware Higgs (1929-)] ´ e de 1016 GeV. Essa quebra de simetria. Este modelo explicaria as grandes paredes e buracos observados na estrutura de grande 634 . 238. 808). mas ´ e consistente com mat´ eria escura fria. ´ e causada por um falso v´ acuo. Steinhardt (1952-). expandindo o Universo um fator de 1075 . nos Estados Unidos. Esse modelo de Universo. a transi¸ c˜ ao de fase (superesfriamento) era prevista ter ocorrido em 10−35 s. A mat´ eria escura tem implica¸ c˜ oes importantes nos modelos de Big Bang. que prevˆ eem uma quebra de simetria espontˆ anea 10−37 s depois do Big Bang. ou transi¸ c˜ ao de fase. do CERN. faz a gravita¸ c˜ ao agir repulsivamente. observando que as velocidades das gal´ axias em aglomerados eram muito maiores do que deveriam ser. que a mat´ eria escura tamb´ em est´ a presente em gal´ axias individuais (Astrophysical Journal.balhando nos Estados Unidos. encontrou fortes evidˆ encias da existˆ encia de uma part´ ıcula deste tipo. proposto em 1979 por Alan Harvey Guth (1947-). tamb´ em prediz que os pr´ otons deveriam decair em 1030 anos. ´ e um dos maiores sucessos da teoria inflacion´ aria. com as previs˜ oes do modelo inflacion´ ario. separadas por um certo ˆ angulo. 635 . e calcularam o quadrado desta diferen¸ ca: (T1 − T2 )2 . as regi˜ oes no espa¸ co estavam mais distantes do que a distˆ ancia que a luz poderia ter atravessado desde o Big Bang. Os observadores do COBE mediram a diferen¸ ca de temperatura entre duas regi˜ oes do c´ eu. Mas a forma. j´ a que os modelos tradicionais do Big-Bang n˜ ao tˆ em qualquer forma de calcular esse espectro.5: Compara¸ c˜ ao das medidas de flutua¸ c˜ ao na temperatura da radia¸ c˜ ao do fundo do Universo obtidas pelo sat´ elite COBE.Figura 27. Calculando-se a m´ edia dessa quantidade para diferentes pares de dire¸ c˜ oes. a mesma Teoria de Grande Unifica¸ c˜ ao. medida em microkelvins (10−6 ) K. invariante de escala. e que n˜ ao est˜ ao casualmente conectadas atualmente. de modo que a magnitude foi ajustada aos dados. que tem aproximadamente o mesmo valor para pequenas separa¸ c˜ oes e grandes separa¸ c˜ oes. mas n˜ ao sua magnitude. de modo que as teorias mais simples da GUT j´ a foram eliminadas. o que n˜ ao ´ e observado (τobs > 1033 anos). Entretanto. mais o seriam antes da expans˜ ao inflacion´ aria. que prediz o Universo inflacion´ ario. escala do Universo. Diz-se que duas regi˜ oes n˜ ao est˜ ao casualmente conectadas se. isto ´ e. quando a radia¸ c˜ ao foi emitida por elas. obt´ em-se uma medida estatisticamente significativa. Os modelos inflacion´ arios podem calcular a forma desse espectro. as “part´ ıculas” fundamentais s˜ ao cordas que vibram. ela poderia se constituir de part´ ıculas normais (b´ arions). A mais promissora teoria no momento ´ e a de supercordas (superstrings). o Universo com 10 dimens˜ oes ´ e inst´ avel e a energia liberada no colapso das 6 dimens˜ oes ´ e que provoca o Big Bang. A mat´ eria escura deve ser composta de part´ ıculas ex´ oticas ainda n˜ ao detectadas na Terra. As observa¸ c˜ oes de microlentes gravitacionais na nossa Gal´ axia indicam que somente cerca de 2% da mat´ eria est´ a na forma de estrelas colapsadas. De acordo com essa teoria. detectamos que a massa ´ e muito maior que a massa vis´ ıvel em estrelas e g´ as. planetas e seres humanos. Como o espa¸ co-tempo tem 4 dimens˜ oes. portanto. portanto. Quando aplicamos a lei da gravita¸ c˜ ao a esses movimentos. A detec¸ c˜ ao da existˆ encia de mat´ eria escura vem do estudo do movimento: movimento de estrelas individuais em gal´ axias. sen˜ ao dever´ ıamos detect´ a-los. n˜ ao condensados em estrelas. sem participar da forma¸ c˜ ao de estrelas. e o movimento de gal´ axias em aglomerados de gal´ axias. por´ em. somente podemos detect´ a-la atrav´ es da for¸ ca gravitacional que ela exerce sobre os objetos. an˜ as marrons (objetos degenerados. cerca de 1020 . e planetas (que n˜ ao geram sua pr´ opria luz). A mat´ eria escura n˜ ao emite radia¸ c˜ ao electromagn´ etica e. n˜ aoobserv´ aveis. pr´ otons e nˆ eutrons. e vibra em um espa¸ co com 10 dimens˜ oes. ainda s˜ ao consistentes com o tempo de decaimento observado do pr´ oton. Cada corda ´ e extremamente pequena. poeira ou g´ as. ou monopolos magn´ eticos.Teorias de grande unifica¸ c˜ ao que permitem a quebra de simetria que formou a assimetria de mat´ eria-antimat´ eria antes de 10−32 segundos. 636 . O que ´ e essa mat´ eria escura? Se sua quantidade for de 5 a 10 vezes maior do que a de mat´ eria luminosa. A Teoria de Tudo precisa combinar a teoria de relatividade geral (gravita¸ c˜ ao) com a teoria quˆ antica. mas de massa inferior a estrelas e maiores que J´ upiter). essas part´ ıculas podem compor mais de 90% da massa do Universo. como ´ axions. Poderia. Se existirem. ser composta de buracos negros (objetos colapsados gravitacionalmente). proposta originalmente pelo f´ ısico inglˆ es Thomas Walter Bannerman Kibble (1933-). ou 100 bilh˜ oes de bilh˜ oes de vezes menor do que um pr´ oton. as outras 6 dimens˜ oes seriam colapsadas e. As ressonˆ ancias nestas cordas criam as part´ ıculas diferentes. Essa teoria ainda precisa ser testada. Na teoria. o Universo est´ a acelerando e sua idade ´ e maior do que H −1 . ainda 70 vezes mais quente que o interior do Sol. a temperatura do Universo era de T = 1011 K. 05 × 10−34 J s). v . a idade seria t ≥ 3 14 bilh˜ oes de anos. 086 × 1019 km).27. o que implica que. levaram para chegar aonde est˜ ao.6 A idade do Universo Qual ´ e a idade do Universo? A mat´ eria total do Universo gera atra¸ c˜ ao gravitacional. Assumindo-se que a constante cosmol´ ogica (Λ) ´ e nula. as estrelas dos c´ umulos globulares e as an˜ as brancas. movendo-se ` a mesma velocidade de hoje. pelo princ´ ıpio da incerteza: ∆E × ∆t ≥ ¯ h (¯ h = 1. e v = d/t0 . Depois de 0. como indicam as observa¸ c˜ oes das supernovas mais distantes desde 1998. o chamado tempo de Planck [Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947)]. isto ´ e. estimar a idade m´ axima do Universo. a temperatura tem de ser maior que 1014 K (t ≤ 1 milissegundo). Como a lei de Hubble. A ´ epoca at´ e uma idade de um milissegundo ´ e chamada de era hadrˆ onica. Depois de 300 000 anos. d. Para gerar pr´ otons. est´ a medido entre 57 e 78 km/(s Mpc). entre 9 e causada pela atra¸ c˜ ao gravitacional. a colis˜ ao de 2 f´ otons pode gerar um par el´ etron-p´ ositron. Note que. a temperatura se reduzira a meros 3 000 K. o raio do horizonte do Universo 637 . pela relatividade geral). para tempo menor que 10−44 s (T 1032 K). que relaciona a velocidade de expans˜ ao da gal´ axia. em que objetos atraem outros objetos (inclusive a luz. Mas se a constante cosmol´ gica n˜ ao for nula. por convers˜ ao de energia em massa (E = mc2 ). no passado. ´ e dada por v = H × d. A uma temperatura de T ≥ 6 × 109 K (t ≤ 1s). ainda consistente com essa idade. o valor da constante de Hubble. que a energia do v´ acuo (repuls˜ ao) ´ e nula. resultando em t0 ≤ 12 a 17 bilh˜ oes de anos (1 Mpc = mega parsec = 3. n˜ ao reduziu a velocidade de expans˜ ao significativamente. A idade do Universo pode ser calculada no limite superior. essa atra¸ c˜ ao deve diminuir a expans˜ ao. com a distˆ ancia a esta. ent˜ ao. Atualmente. calculando o tempo que as gal´ axias distantes. a temperatura j´ a tinha baixado a um bilh˜ ao de graus Kelvin. calculando-se a idade das estrelas mais velhas conhecidas. Qual ´ e a evolu¸ c˜ ao qu´ ımica do Universo? O Universo se esfria enquanto se expande. ou seja. pois podia formar h´ adrons (pr´ otons e nˆ eutrons). as teorias f´ ısicas conhecidas n˜ ao se aplicam mais. Podemos. H . Depois de 3 minutos. portanto. No tempo de Planck. obt´ em-se entre 12 e 14 bilh˜ oes de anos. Levando-se em conta a poss´ ıvel desacelera¸ c˜ ao 2 t0 . a expans˜ ao era mais r´ apida. ent˜ ao t0 = H −1 . t0 . Por outro lado. levou mais tempo para chegar ao presente. pois ele estava se expandindo mais lentamente no passado e. portanto. assumindo que a quantidade de mat´ eria ´ e pequena e que.01 s do Big Bang. Era poss´ ıvel obter-se a percentagem observada de deut´ erio. O raio do horizonte ´ e derivado usando-se a relatividade geral. com temperaturas colossais e alt´ ıssima densidade. T 1010 K. Quando uma estrela se forma por colapso de uma nuvem de g´ as interestelar.(raio vis´ ıvel) era RU 10−33 cm. Somente se forem massivos. supostamente sem massa. como a maior parte do h´ elio. enquanto que o raio do Universo que cont´ em toda a energia ´ e derivado usando-se a mecˆ anica quˆ antica (princ´ ıpio da incerteza de Heisenberg [Werner Karl Heisenberg (1901-1976)]). Gamow calculou a quantidade de deut´ erio (p+n) que se formaria nesse caso. Se essa mat´ eria n˜ ao estivesse banhada por uma radia¸ c˜ ao de certa intensidade. ´ e um f´ ossil do Big Bang. n˜ ao podem ser observados. A teoria do Big Bang prevˆ e que houve um pequeno excesso de mat´ eria sobre antimat´ eria (1 parte em 100 milh˜ oes). (T 2 K). Tal radia¸ c˜ ao foi detectada. porque a maior parte se converte em h´ elio. formar-se-ia muito mais deut´ erio do que o observado. o Universo estava em r´ apida expans˜ ao. As teorias f´ ısicas se aplicam para tempos maiores que o tempo de Planck. Portanto o deut´ erio. No modelo padr˜ ao do Big Bang. Esses neutrinos. poderemos observ´ a-los por seus efeitos gravitacionais. quando o Universo tinha 1 s. logo ap´ os o tempo de Planck. como massa escura. a energia em que as teorias 638 . O raio do Universo que cont´ em toda a energia que se transformou na mat´ eria hoje observada era menor que um cent´ esimo de cent´ ımetro. em 1948. Quando o Universo est´ a esfriando. no sistema solar e mesmo nos espectros de quasares. o deut´ erio n˜ ao pode ser formado nas estrelas. sua temperatura era da ordem de T 1029 K. ou toda a massa seria aniquilada. quanto maior o n´ umero de ´ atomos em um volume no espa¸ co (densidade). qualquer deut´ erio nesta nuvem ´ e destru´ ıdo (convertido em h´ elio) mesmo antes da estrela se tornar quente o suficiente para iniciar a fus˜ ao do hidrogˆ enio. Como a sec¸ c˜ ao de choque dos neutrinos ´ e extremamente pequena. rel´ ıquias da ´ epoca dominada por intera¸ c˜ oes fracas. muito maior do que poderia ser formado no interior das estrelas. n˜ ao interagiam mais com a mat´ eria e evolu´ ıram desacopladamente. Gamow. Quando o Universo tinha t = 10−39 s. previu que restos desta radia¸ c˜ ao deveriam ainda estar banhando todos os corpos celestes. pois seu n´ ucleo cont´ em um pr´ oton e um nˆ eutron. os neutrinos. uma situa¸ c˜ ao lembrando muito uma explos˜ ao. em 1964. A essa temperatura. por terem muito baixa energia. O deut´ erio ´ e um hidrogˆ enio pesado. e essas duas teorias n˜ ao s˜ ao compat´ ıveis entre si. menor a quantidade de deut´ erio que sobrevive. como a radia¸ c˜ ao do fundo do Universo. Embora observado no g´ as interestelar. a energia m´ edia por part´ ıcula ´ e da ordem de 1016 GeV (1 GeV = 1 bilh˜ ao de el´ etron volts). Como n˜ ao existem. na chamada ´ epoca da recombina¸ c˜ ao. operando na faixa de microondas. Portanto. aproximadamente. somente 10% da massa de hidrogˆ enio inicial pode ter sido convertida em h´ elio. viajando a uma velocidade de 2 milion´ esimos abaixo da velocidade da luz ´ e o que detectamos como radia¸ c˜ ao do fundo do Universo a aproximadamente 3 K.2%) a favor da mat´ eria. 27.6 Pr´ otons e nˆ eutrons come¸ cam a ficar ligados em n´ ucleos quando o Universo m s tinha 3 46 .de Grande Unifica¸ c˜ ao prevˆ eem efeitos importantes. dar origem a esse pequeno excesso de mat´ eria sobre a antimat´ eria. Cronin e Fitch receberam o prˆ emio Nobel em 1980 pela descoberta. o b´ oson de Higgs. T 3000 K. experimentalmente. Estas part´ ıculas s˜ ao inst´ aveis mas de longa vida. formando ´ atomos neutros. estrelas. demonstrando.7 COBE Em 18 de Novembro de 1989. Nesse modelo. James H. Essa radia¸ c˜ ao de 3 000 K. por fus˜ ao nuclear no centro das estrelas. e h´ elio (2p+2n). James Watson Cronin (1931-). ent˜ ao. 639 . em rela¸ c˜ ao ` a antimat´ eria produzida. a partir de ent˜ ao. pr´ oximo do observado. at´ e uma idade de 4 minutos. T 900 milh˜ oes K. teoricamente. O h´ elio formado ´ e de. a NASA lan¸ cou um sat´ elite chamado Cosmic Background Explorer (COBE). o sat´ elite pode enxergar diretamente a luz que o Universo emitiu quando passou de opaco para transparente. existe uma pequena diferen¸ ca (0. ap´ os 4 minutos. os el´ etrons combinam com os n´ ucleos. a mat´ eria e a radia¸ c˜ ao evoluem independentemente. Depois de 300 000 anos. Somente milh˜ oes de anos depois as estrelas e as gal´ axias come¸ cam a se formar. predito por Peter Ware Higgs (1929-) em 1964. e a possibilidade da forma¸ c˜ ao de part´ ıculas super-massivas. a grande parte dos 25% de h´ elio observados no g´ as interestelar e na atmosfera das estrelas foram formados no Big Bang. ou m´ eson K. e podem. Em 1964. o Universo passa de opaco para transparente e. Christenson. que existe assimetria mat´ eria-antimat´ eria no Universo. para analisar detalhadamente a radia¸ c˜ ao do fundo do Universo. mais el´ etrons livres para espalhar os f´ otons. como a viola¸ c˜ ao da conserva¸ c˜ ao de n´ umero bariˆ onico. a temperatura j´ a´ e muito fria para forma¸ c˜ ao de outros n´ ucleos mais pesados. gal´ axias e nuvens de g´ as emitem muito pouco em microondas. 25% em massa. Val Logsdon Fitch (1923-) e Ren´ e Turlay (1932-2002)conseguiram observar que no decaimento da part´ ıcula neutra kaon. Como planetas. Desde a forma¸ c˜ ao das estrelas mais velhas. cerca de 300 6 Chen Ning Yang (1922-) e Tsung-Dao Lee (1926-) receberam o prˆ emio Nobel em 1957 por suas investiga¸ co ˜es da paridade. A maior parte desse h´ elio ainda est´ a no interior das estrelas. formando deut´ erio (p+n). 01 K. As abundˆ ancias de deut´ erio e h´ elio-3 decrescem quando aumenta a densidade porque esses n´ ucleons s˜ ao formados por uma seq¨ uˆ encia de rea¸ c˜ oes incompleta. J´ a o l´ ıtio-7 ´ e produzido por v´ arias rea¸ c˜ oes e. mais freq¨ uentemente eles colidem e mais h´ elio-4 ´ e produzido. o deut´ erio e o h´ elio-3 se transformam em h´ elio-4. mas seria distorcido para o azul. portanto. no modelo padr˜ ao de Big Bang. h´ elio e l´ ıtio. Se o n´ umero de pr´ otons e nˆ eutrons for alto. deut´ erio. Dado tempo suficiente. A nucleoss´ ıntese no Big Bang s´ o formou os elementos leves: hidrogˆ enio. se ajustam perfeitamente a um corpo negro com temperatura de 2. pelo decaimento das 640 . em termos da densidade cr´ ıtica (densidade necess´ aria para parar a expans˜ ao do Universo). Os dados obtidos pelo COBE. mil anos depois do Big Bang. visto com um desvio para o vermelho correspondente. pois a expans˜ ao do Universo estica o comprimento de onda pelo mesmo fator que o Universo se expande entre a emiss˜ ao e a observa¸ c˜ ao.726 K.6: Essa figura mostra como a abundˆ ancias dos elementos formados depende da densidade de pr´ otons e nˆ eutrons. Essa ´ e a temperatura predita para a radia¸ c˜ ao do g´ as quente de quando o Universo se formou. Se o Big Bang tivesse sido ca´ otico. com uma incerteza menor que 0.Figura 27. mostrados na figura (27. no interior das estrelas. depende da densidade de forma mais complexa. o espectro observado n˜ ao seria perfeitamente o de um corpo negro. por exemplo.6) e divulgados por John Cromwell Mather (1946-). Todos os elementos qu´ ımicos mais pesados foram produzidos mais tarde. cientista coordenador do projeto COBE. bolhas. em m´ edia. distribu´ ıdas em grupos. Cada metro c´ ubico do Universo cont´ em.7: Resultados do experimento FIRAS do sat´ elite COBE. divulgado em abril de 1992 por George Fitzgerald Smoot III (1945-). Nos modelos de forma¸ c˜ ao de gal´ axias.Figura 27. da Universidade da Calif´ ornia em Berkeley. mostrando que a radia¸ c˜ ao do fundo do Universo segue mesmo a lei da radia¸ c˜ ao de Planck. estruturas ca´ oticas.1 ´ atomos. paredes e vazios. essas flutua¸ c˜ oes s˜ ao necess´ arias para permitir que a mat´ eria formada posteriormente se aglomerasse gravitacionalmente para formar estrelas e gal´ axias. 400 milh˜ oes de f´ otons e somente 0. Em outro experimento do sat´ elite COBE. tamb´ em foram detectadas pequen´ ıssimas varia¸ c˜ oes da temperatura nessa radia¸ c˜ ao (seis partes por milh˜ ao). como 641 . sem que houvessem varia¸ c˜ oes de temperatura na radia¸ c˜ ao do fundo do Universo. Esse g´ as ´ e depois concentrado em outras estrelas. A detec¸ c˜ ao dessas flutua¸ c˜ oes at´ e ent˜ ao era o principal ponto faltante na consistˆ encia da teoria do Big Bang e da forma¸ c˜ ao e evolu¸ c˜ ao do Universo. As flutua¸ c˜ oes de densidade observadas pelo COBE poderiam ser oriundas de cordas c´ osmicas geradas nas transi¸ c˜ oes de fase. da Terra e de n´ os mesmos. possivelmente. No modelo padr˜ ao. e em planetas e. evoluem e morrem. Com o esfriamento do Universo. como gal´ axias. eventualmente a mat´ eria se condensa em gal´ axias. e espalhados no meio interestelar por explos˜ oes de supernovas. como carbono. em alguns desses planetas! O Universo tornou-se transparente quando a temperatura caiu para 642 . Isso porque a radia¸ c˜ ao e a mat´ eria estiveram em equil´ ıbrio t´ ermico no Universo primordial e ent˜ ao qualquer irregularidade na distribui¸ c˜ ao inicial de mat´ eria seria refletida na distribui¸ c˜ ao angular desta radia¸ c˜ ao. ou poderiam ser simples flutua¸ c˜ oes normais de uma distribui¸ c˜ ao gaussiana de densidade. estrelas. Seria praticamente imposs´ ıvel haver a forma¸ c˜ ao das estruturas observadas.observamos. as estruturas do Universo s˜ ao formadas a partir da amplifica¸ c˜ ao gravitacional de pequenas perturba¸ c˜ oes na distribui¸ c˜ ao de massa inicial. oxigˆ enio. sil´ ıcio e ferro v˜ ao gradualmente sendo sintetizados nas estrelas. planetas e portanto. em corpos de seres humanos. e elementos mais pesados. estrelas se formam. gal´ axias e c´ umulos de gal´ axias. mas n˜ ao existe evidˆ encia observacional de que a densidade total seja igual ` a densidade cr´ ıtica. ´ e dada por: E= 1 GM m mv 2 − 2 R 7 Usando-se a Lei de Hubble v = H R e escrevendo a massa M em fun¸ ca ˜o da densidade de massa: 4 M = πR3 ρ 3 podemos derivar a equa¸ ca ˜o de Friedmann: H2 = 8 2E πGρ − 3 mR2 643 . portanto. e H ∝ 1/R para energia total n˜ ao nula 7 . a densidade cr´ ıtica diminui por um fator de 4. Suponha que em um certo momento do Universo a densidade de mat´ eria seja 0. deslocando-se com velocidade v em um campo gravitacional dado por uma massa M . Entretanto. Este evento chama-se ´ epoca da recombina¸ c˜ ao. Esta raz˜ ao tamb´ em ´ e a raz˜ ao entre a temperatura m´ edia da radia¸ c˜ ao do fundo do Universo (Cosmic Microwave Background) e a temperatura das flutua¸ c˜ oes que deram origem ` as estrelas. a uma distˆ ancia R. A energia gravitacional das estrelas. e z= Tinicial 3000 K Ratual = = Tatual 3K Rinicial onde R ´ e o raio do Universo. a dinˆ amica destes objetos ´ e n˜ ao relativ´ ıstica.2 da densidade cr´ ıtica. j´ a que representam o avermelhamento gravitacional (redu¸ c˜ ao de energia) necess´ ario para os f´ otons escapem do campo gravitacional. ou superf´ ıcie de u ´ltimo espalhamento. Quando o Universo se expande por um fator de 2. A abundˆ ancia observada de deut´ erio. pois depende de H 2 . Portanto sabemos que a densidade de mat´ eria atualmente ´ e pr´ oxima da densidade cr´ ıtica.5 da densidade cr´ ıtica. Entretanto o movimento das gal´ axias em c´ umulos de gal´ axias requer que a densidade total seja pelo menos 0. corresponde a 10 e. pois depende A energia total E de uma gal´ axia de massa m.1 da densidade cr´ ıtica. gal´ axias e c´ umulos de gal´ axias. Ela ocorre em deslocamento para o vermelho (redshift) z=1000 j´ a que a temperatura da radia¸ c˜ ao atualmente ´ e de 3 K. di2 − 5 vidida por mc .T=3000 K e os el´ etrons se combinaram com os pr´ otons. Grande parte da mat´ eria escura precisa ser ex´ otica. e tamb´ em a de h´ elio. indicam que a densidade bariˆ onica (de mat´ eria normal) n˜ ao pode ser maior do que 0. temos o problema da planicidade. mas a densidade de mat´ eria diminui por um fator de 8. formando ´ atomos de hidrogˆ enio e h´ elio. a energia de repouso. e para o tempo de Planck. para o caso geral de energia E. C. Como o Universo se expandiu por um fator de 1000 desde que sua temperatura era de 3000 K.. levando ` a suspeita de que a densidade deve ser exatamente igual ` a densidade cr´ ıtica. Pasquier. Lett. Neste caso a densidade cr´ ıtica tamb´ em depende de R−3 . o primeiro termo domina sobre o termo de curvatura.de ρ ∝ R−3 . Por exemplo. a igualdade ´ e de uma parte em 1058 . Logo Ω≡ ρ ρcr´ ıtica diminui de 0. Portanto nosso Universo iniciou com a energia cin´ etica muito pr´ oximo da energia gravitacional. De outra maneira seria apenas uma mera coincidˆ encia que n´ os estejamos observando justamente quando a diferen¸ ca da planicidade come¸ ca a ser significativa. A constante cosmol´ ogica pode ser escrita como uma densidade de energia. contribuiria somente para a acelera¸ c˜ ao do universo e n˜ ao teria efeitos dinˆ amicos sobre as estruturas em pequena escala. 1). 69. 2001. ela teria duas fases: uma. Moschella e V.25 quando o Universo se expande por um fator de 2. Ela ´ e conhecida como quartessˆ encia. ρ ∝ R−3 e o primeiro termo decresce mais rapidamente que o segundo termo (termo de curvatura). a igualdade ´ e de uma parte em 1015 . 265 e Bento M. Se a densidade ´ e igual ` a densidade cr´ ıtica. homogeneamente distribu´ ıda. a ´ epoca da recombina¸ c˜ ao (captura dos el´ etrons formando atomos). Physical Review D. diferente do que as medidas indicam. com press˜ ao nula. 644 . 2002. ´ epoca do in´ ıcio das rea¸ c˜ oes nucleares. que torna-se nulo. Review of Modern Physics. 66. 043507). segundo a F´ ısica de Part´ ıculas Elementares conhecida. U. aglomerada em halos. 10−43 segundos.A. B 511. Bertolami O. Sen A. com press˜ ao negativa. como assumimos acima. o fato da densidade atual ser pr´ ´ oxima da densidade cr´ ıtica indica que era igual a 1 mais pr´ oximo do que uma parte em 1000 naquela ´ epoca. Phys. que ´ e um Universo plano.. Ω ≡ 1. outra. Para mat´ eria n˜ ao relativ´ ıstica. contribuiria positivamente para o crescimento das estruturas observadas. Kamenshchik. que eventualmente domina. como no modelo do G´ as de Chaplygin (A. deveria ser v´ arias dezenas de ordens de magnitude maior do que a da densidade de energia cr´ ıtica (Steven Weinberg 1989.5 para 0. Se a mat´ eria escura e energia escura podem ser unificadas num s´ o modelo. ρΛ = Λ 8πG A escala natural de densidade de energia. isto ´ e. quando o Universo tinha 1 segundo. e muito mais pr´ oximo de 1 ainda para ´ epocas anteriores. 645 . o matem´ atico Kurt G¨ odel (1906-1978). o matem´ atico Roy Patrick Kerr (1934-). encontrou uma solu¸ c˜ ao para as equa¸ c˜ oes da relatividade geral que permitem a viagem no tempo. Einstein concluiu que.8 Viagem no tempo Na Teoria da Relatividade Geral de Einstein. Essas pontes unem regi˜ oes do espa¸ co-tempo distantes. chegasse ao mesmo ponto no espa¸ co. Em 1963. se esta viaja pelo espa¸ co-tempo normal. Rel´ ogios espalhados pelo Universo se movem com velocidades diferentes. escreveu um artigo sobre ”geometrodinˆ amica”mostrando que as pontes de Einstein-Rosen poderiam ligar n˜ ao somente universos paralelos. a solu¸ c˜ ao de G¨ odel n˜ ao se aplicava. mas atr´ as no tempo. Em 1955 o f´ ısico americano John Archibald Wheeler (1911-2008). Essa solu¸ c˜ ao mostrava que o tempo poderia ser distorcido por rota¸ c˜ ao do Universo. mas regi˜ oes do mesmo Universo. o tempo se acelera e desacelera quando passa por corpos massivos. como estrelas e gal´ axias. da Nova Zelˆ andia. como Einstein. gerando redemoinhos que permitiam que algu´ em. Em 1935. Antes da morte de Einstein. formando um t´ unel no espa¸ co-tempo. Um segundo na Terra n˜ ao ´ e um segundo em Marte. como o Universo n˜ ao est´ a em rota¸ c˜ ao.27. pode-se mover mais r´ apido do que a luz. originalmente chamadas de pontes de Einstein-Rosen. trabalhando na Universidade de Princeton. mas agora chamadas de redemoinhos (wormholes .buracos de minhoca). Einstein e Nathan Rosen (1909-1995) deduziram que as solu¸ c˜ oes das equa¸ c˜ oes da relatividade geral permitiam a existˆ encia de pontes. Viajando pela ponte. movendo-se na dire¸ c˜ ao da rota¸ c˜ ao. que cunhou o termo buraco negro. Os trˆ es receberam o prˆ emio Nobel de f´ ısica. Embora a teoria original propusesse somente trˆ es quarks. Esse anel ´ e um wormhole que conecta n˜ ao somente regi˜ oes do espa¸ co. e os f´ ısicos te´ oricos est˜ ao convencidos que a teoria levar´ a ao confinamento. O nome foi proposto a partir da frase do escritor irlandˆ es James Joyce (1882-1941). e os outros dois -1/3. Seria preciso usar-se a energia nuclear de uma estrela. Eles interagem pela troca de gl´ uons. Three quarks for Muster Mark. Jerome Isaac Friedman (1930-). os quarks dentro do pr´ oton est˜ ao fortemente ligados uns aos outros. e Richard E. Taylor (1929-) notaram que o espalhamento de el´ etrons por pr´ otons e nˆ eutrons indicava que estes eram compostos por part´ ıculas menores. Entre 1967 e 1973. usando o Acelerador Linear de Stanford. o buraco negro n˜ ao colapsa para um ponto. o americano Murray Gell-Mann (1929-). mas em um anel de nˆ eutrons em rota¸ c˜ ao. strange. 27. que tem a propriedade da liberdade assint´ otica. Efeitos quˆ anticos tamb´ em podem acumular-se e destruir o redemoinho.encontrou uma solu¸ c˜ ao das equa¸ c˜ oes de Einstein para um buraco negro em rota¸ c˜ ao. Na proposta. top e bottom. embora poss´ ıvel. ou antimat´ eria. charm. a intera¸ c˜ ao entre as part´ ıculas diminui com o aumento de energia. Nesse anel. com cargas consistentes com a teoria dos quarks. chamadas de quarks por Gell-Mann. como previsto pelas equa¸ c˜ oes para um buraco negro n˜ ao rotante. down. e George Zweig (1937-) independentemente sugeriram que a complexidade da intera¸ c˜ ao forte poderia ser explicada assumindo-se que os mais de cem b´ arions e m´ esons conhecidos. se acreta massa. a for¸ ca centr´ ıfuga previne o colapso gravitacional. inclusive os pr´ otons e nˆ eutrons. um quark tinha carga el´ etrica 2/3 da carga do pr´ oton. os quarks. s˜ ao em n´ umero total de 6: up. que diz que os quarks n˜ ao podem existir independente646 . na p´ agina 383 do romance Finnegans Wake. Kendall (1926-). que comp˜ oem os h´ adrons. A QCD ´ e uma teoria de gauge. uma viagem no tempo n˜ ao ´ e pratic´ avel. O segundo problema ´ e de estabilidade. Como o pr´ oton tem baixa energia. Portanto. dentro da teoria da intera¸ c˜ ao forte chamada de Cromodinˆ amica Quˆ antica (QCD). mas tamb´ em regi˜ oes do tempo. Henri W. pela descoberta. e poderia ser usado como m´ aquina do tempo.9 Quarks Em 1964. Nesta solu¸ c˜ ao. um buraco negro em rota¸ c˜ ao pode ser inst´ avel. do CALTECH. em 1990. A maior dificuldade ´ e a energia: uma m´ aquina do tempo necessita de uma quantidade fabulosa de energia. ou singularidade. isto ´ e. eram compostos de trˆ es part´ ıculas fundamentais. composto por um quark e um antiquark charm. Em 1977. ou seja. o top. mas se movendo na dire¸ c˜ ao oposta em rela¸ c˜ ao ao campo magn´ etico e. foi descoberto. Lederman (1922-) descobriu o upsilon (υ ). 27.10 Superstrings . ¯ com 175 GeV. O quark charm.Cordas C´ osmicas A teoria de cordas descreve as part´ ıculas elementares como modos de vibra¸ c˜ ao de cordas uni-dimensionais fechadas (loops). com a descoberta da part´ ıcula J/ψ . e em 1995 dois grupos do Fermilab descobriram o sexto e u ´ltimo quark. 647 . Bjorken e Sheldon Lee Glashow (1932-) em 1964. O t´ aon (τ ) foi descoberto em 1975 por Martin Lewis Perl (1927-). de Harvard. com carga positiva. Os l´ eptons s˜ ao o el´ etron. pois est˜ ao confinados pela intera¸ c˜ ao forte. que ´ e um charmˆ onio. independentemente por Samuel Chao Chung Ting (1936-) e Burton Richer (1931-). de CALTECH Carl David Anderson (1905-1991). nas suas experiˆ encias com raios cat´ odicos.mente. o m´ uon e o t´ aon (τ ).46 GeV. O decaimento da part´ ıcula Z 0 . Em 1976 Ting e Richer receberam o prˆ emio Nobel pela descoberta. demonstra que n˜ ao pode haver outro tipo de neutrino al´ em dos trˆ es observados e.784 GeV. pelo americano Seth Henry Neddermeyer (1907-1988). O el´ etron foi descoberto pelo inglˆ es Sir Joseph John Thomson em 1895. foi descoberto. predito por James D. antipart´ ıcula do el´ etron. interpretado como o estado ligado do quinto quark. por Carl David Anderson (1905-1991) em 1932. O pr´ oton foi descoberto pelo f´ ısico alem˜ ao Eugen Goldstein (18501930) em 1908. quando ele analisava os raios c´ osmicos e descobriu em uma das placas fotogr´ aficas uma part´ ıcula parecida com um el´ etron. 3500 vezes mais massivo que o el´ etron. para que n˜ ao haja infinidades. e ´ e 207 vezes mais massivo que o el´ etron. os h´ adrons devem ter pares com os l´ eptons. isto ´ e. com 9. O p´ ositron. n˜ ao deve haver outro tipo de quark. depois de suas experiˆ encias em 1918 demonstrando que os n´ ucleos de nitrogˆ enio se desintegravam quando bombardeados com part´ ıculas α. Jabez Curry Street (1906-1989) e Edward C. bottom. O m´ uon foi descoberto em 1937. primeiro. com 3. A teoria de gauge prevˆ e que. portanto.105 GeV. Leon M. do grego protos. Stevenson. e a meia vida do nˆ eutron. portanto. medindo o estado quark-antiquark tt. Os outros trˆ es l´ eptons s˜ ao os neutrinos correspondentes. pela paridade dos l´ eptons e h´ adrons. em 1974. νµ e ντ . com 1. νe . bem como a abundˆ ancia c´ osmica do h´ elio. mas o nome foi dado por Ernest Rutherford (1871-1937). propriedades n˜ ao aceit´ aveis pela Mecˆ anica Quˆ antica. formando uma Teoria de Tudo. Em 1926 o matem´ atico sueco Oskar Klein (1894-1977) propˆ os que o tecido do nosso Universo poderia ter dimens˜ oes estendidas e enroladas (dobradas sobre si mesmo).Desde os anos 1930. Adicionando uma dimens˜ ao extra ` a Teoria da Relatividade Geral de Albert Einstein. dando in´ ıcio ` a popular 5a dimens˜ ao. Portanto desde o in´ ıcio do s´ eculo XX. Kaluza mostrou que as equa¸ c˜ oes extra eram similares ` as de James Clerk Maxwell (1831-1879). Theodor Kaluza Em 1919. o matem´ atico alem˜ ao-polonˆ es Theodor Franz Edward Kaluza (1885-1945) propˆ os que o Universo poderia ter mais do que 4 dimens˜ oes. quando foram propostas a teoria da Relatividade Geral e a Mecˆ anica Quˆ antica. ficou claro que as duas teorias n˜ ao eram compat´ ıveis entre si. j´ a que a gravita¸ c˜ ao descrita pela teoria da Relatividade Geral ´ e determin´ ıstica e cont´ ınua. mas mais tarde a 648 . unificando a teoria gravitacional de Einstein com a teoria do eletromagnetismo de Maxwell. busca-se uma nova teoria que unifique estas teorias. Em 1968 Gabriele Veneziano. o japonˆ es Yoichiro Nambu (1921-). descobriu que as fun¸ c˜ oes β de Leonhard Euler (1707-1783) descreviam v´ arias propriedades da intera¸ c˜ ao forte. a raz˜ ao entre a massa e a cargo do el´ ectron. da Universidade de Chicago. entraram em conflito com os dados experimentais. do Niels Bohr Institute e 649 . isto ´ e. atualmente no CERN. Yoichiro Nambu Holger Nielsen o dinamarquˆ es Holger Bech Nielsen. Em 1970. demonstrando que um espa¸ co com cinco dimens˜ oes n˜ ao satisfaz ` as observa¸ c˜ oes.constante de acoplamento entre as teorias. o quantum da gravita¸ c˜ ao. Em 1974. John H. demonstrando que a teoria de cordas descrevia n˜ ao somente a intera¸ c˜ ao forte. sem introduzir infinitos. da Universidade de Stanford. do Caltech e Jo¨ el Scherk (-1980). mostraram que as part´ ıculas mensageiras de spin 2 existentes na teoria de cordas tinhas as propriedades do gr´ aviton . propuseram que cordas unidimensionais em vibra¸ c˜ ao podiam ser descritas pelas fun¸ c˜ oes β de Euler. dando in´ ıcio ` a teoria de cordas. mas tamb´ em a for¸ ca gravitacional. 650 .Leonard Susskind Leonard Susskind. Schwarz (1941-). da Ecole Normale Superior. mas t˜ ao enroladas que n˜ ao podem ser detectadas diretamente. 651 . Nesta teoria. d˜ ao origem a diferentes massas e diferentes cargas de for¸ ca. com comprimento de Planck (10−33 cm). padr˜ oes vibracionais distintos de uma mesma corda fundamental (um loop). Ela leva a um espectro de excita¸ c˜ ao com um n´ umero idˆ entico de f´ ermions e b´ osons. pois mostrava que as anomalias anteriores se cancelavam. com um total de 10 dimens˜ oes. do Queen Mary College. Schwarz.A teoria das cordas c´ osmicas — superstrings — na forma atual. e portanto n˜ ao podem ser detectadas. Cada ponto do espa¸ co tem estas dimens˜ oes extras. em Londres. Green. Para que as anomalias sejam canceladas. e resolvendo o conflito quˆ antico da teoria de cordas. As outras dimens˜ oes est˜ ao enroladas sobre si mesmo. com distˆ ancias menores que o comprimento de Planck. foi proposta em 1984 por Michael B. Se as dimens˜ oes extras s˜ ao associadas a espa¸ cos compactados — para cada ponto do espa¸ co-tempo quadridimensional — seu tamanho reduzido ´ e compat´ ıvel com as observa¸ c˜ oes. unificando a teoria de cordas com a supersimetria. a teoria requer a existˆ encia de 9 dimens˜ oes espaciais e uma dimens˜ ao temporal. e por John H. Se uma das dimens˜ oes enroladas ´ e de fato uma outra dimens˜ ao temporal. Hull e Paul K. uma viagem no tempo pode ser poss´ ıvel. Michael James Duff (1949-). calculam que a teoria precisa de 11 dimens˜ oes. da Texas A&M University. ambos da Universidade de Cambridge. Chris M. e n˜ ao somente 10. e n˜ ao somente espacial. as dimens˜ oes extras se compactaram 10−43 segundos ap´ os a forma¸ c˜ ao do Universo atual. 652 . Townsend.Na teoria atual. mas em formas de Calabi-Yau. da Universidade do Texas em Austin. e do americano Edward Witten (1951-). Gary T. de acordo com o inglˆ es-americano Philip Candelas (1951-). da Universidade da Calif´ ornia Santa Barbara. de Harvard. Horowitz. e do chinˆ es Shing-Tung Yau (1949-). de Eugenio Calabi. de Princeton. 653 . da Universidade de Harvard.Shing-Tung Yau As dimens˜ oes extras n˜ ao est˜ ao enroladas de maneira aleat´ oria. da Universidade da Pennsylvania. Andrew Strominger. 654 . 78 ± 0. Hinshaw (1961-). 11) bilh˜ oes de anos (o primeiro pico no espectro de distribui¸ c˜ ao angular. A reioniza¸ c˜ ao pode ser detectada pela polariza¸ c˜ ao causada pelo espalhamento dos f´ otons da radia¸ c˜ ao de fundo pelos el´ etrons livres ionizados pela forma¸ c˜ ao estelar. 15)% de energia escura (constante cosmol´ ogica) ou quintessencia (energia com press˜ ao negativa). divulgado por Charles L. 13)% de mat´ eria escura e (72.8: Mapa do c´ eu obtido pelo sat´ elite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) da NASA. 655 . completando a massa cr´ ıtica prevista pelo modelo inflacion´ ario ρ = 1. 8o ± 0. 61 ± 0. com resolu¸ c˜ ao angular de 0. (23. ou eles teriam dificultado a aglomera¸ c˜ ao do g´ as. Bennett (1956-) e colaboradores em 2003. lan¸ cado em 2001. analisados por Gary F. e colaboradores. 2) depois do Big Bang o que indica que os neutrinos n˜ ao dominam a evolu¸ c˜ ao da estrutura. ´ e proporcional ` a distˆ ancia ` a superf´ ıcie de desacoplamento). As observa¸ c˜ oes indicam ainda que as (Ω = observado ρ cr´ ıtico primeiras estrelas se formaram (377 ± 3) milh˜ oes de anos (dada pela detec¸ c˜ ao de reioniza¸ c˜ ao em z = 10. do que a m´ edia) e as azuis mais frias (−200 µK). As regi˜ oes vermelhas s˜ ao mais quentes (200 µK. 22o em 93 GHz. 2 ± 0. 022 ± 0. 15)% da energia total (a amplitude do pico ac´ ustico ´ e proporcional ` a densidade bariˆ onica). retardando o nascimento das primeiras estrelas. indicam que a idade do Universo ´ e de (13. que a mat´ eria normal corresponde a (4. 043). David Nathaniel Spergel (1961-). 4 ± 1. em 263. Os resultados ap´ os sete anos de dados. 2 ± 0. 2008 e 2010.Figura 27. 1o . A separa¸ c˜ ao angular ´ e dada por 180o θ= . as flutua¸ c˜ oes devem ser m´ aximas em escalas de 1o ( 220). Se o Universo ´ e plano. 5 .Figura 27.9: Decomposi¸ c˜ ao em esf´ ericos harmˆ onicos das flutua¸ c˜ oes observadas pelo WMAP. as flutua¸ c˜ oes devem ser m´ aximas o em escalas de 0. Se o Universo ´ e fechado. Se o Universo ´ e aberto. as flutua¸ c˜ oes devem ser m´ aximas em escalas maiores que 1o . 656 . A energia total do sistema. o Universo ser´ a aberto ou fechado.   > 0.11.27.   < 0. obtemos ρc 1. E = 0. que ´ e uma constante do sistema. 27. e M = ρc 4π 3 r 3 onde ρc ´ e a densidade cr´ ıtica. Universo aberto. 1 × 10−29 g/cm3 657 2 3H0 8πG . a uma distˆ ancia r de um sistema de coordenadas qualquer.11 Cosmologia newtoniana Embora precisemos da Teoria da Relatividade Geral para deduzir a expans˜ ao do Universo. Universo fechado. Universo plano.1 Densidade cr´ ıtica Consideremos uma gal´ axia de massa m movendo-se com velocidade v . obtemos: 1 2 2 4Gπ H mr − ρc mr2 = 0 2 0 3 ρc = Usando H0 = 75 km/s/Mpc. isto ´ e. a teoria de Newton produz os mesmos resultados para a densidade cr´ ıtica e a idade do Universo e vamos us´ a-la para derivar essas rela¸ c˜ oes. na ausˆ encia de cargas el´ etricas. em um sistema de massa total M contida no volume de raio r. a densidade necess´ aria para parar a expans˜ ao do Universo. E = 0. Usando a lei de Hubble: v = H0 r onde H0 ´ e a constante de Hubble no presente. 1 × 10−26 kg/m3 = 1. ´ e a soma da energia cin´ etica com a energia potencial gravitacional: GM m 1 = constante E = mv 2 − 2 r Dependendo do valor da energia total do Universo. e usando r=0 para t=0. como na lei de Hubble.11. A velocidade de recess˜ ao entre os dois pontos pode ser obtida derivandose (27.3) (27. identificamos H (t) = a(t)−1 da/dt = a ˙ (t) a(t) (27. escrevendo v = dr/dt na equa¸ c˜ ao da energia total: 1 m 2 ou dr dt 2 dr GM m = −→ = r dt r 2 dr = (2GM ) 2 dt 1 1 2GM r 1 2 (27. que − 31 3 ´ e da ordem de 10 g/cm .5) Como a lei de Hubble pode ser escrita como: dr = H0 r dt para t = t0 658 . derivar a idade do Universo para o caso do Universo plano (E=0).4) Integrando-se os dois lados. ou seja.2) dr da 1 da = r0 = r(t) dt dt a dt 27. (27. tamb´ em. Vamos escrever a distˆ ancia entre dois pontos quaisquer no espa¸ co como: r(t) = a(t) r0 .1) onde a(t) ´ e um fator de escala crescente com o tempo para um Universo em expans˜ ao e r0 ´ e a distˆ ancia entre os dois pontos no instante t0 em que a0 = a(t0 ) = 1.1) no tempo: v (t) = Se escrevermos: v (t) = H (t) r(t). cerca de 100 vezes menor do que a densidade cr´ ıtica.2 Idade do Universo Podemos. obtemos: 1 2 3 r 2 = (2GM ) 2 t 3 (27.que pode ser comparado com a densidade de mat´ eria vis´ ıvel observada. 7) Note que. (27. nos d´ a: 2 = H0 t0 3 2 −1 t0 = H0 . no caso em que apenas a gravidade atua no Universo. ou seja. ser´ a: 1 E= m 2 dr dt 2 − GM m r (27. sabemos que o sinal de ε determina se as part´ ıculas poder˜ ao se afastar indefinidamente umas das outras – ou n˜ ao: E > 0 → expans˜ ao indefinida: Universo aberto. assumindo-se Λ = 0. E = constante.3 Parˆ ametro de densidade Consideremos.11.8) M= 3 podemos reescrever a equa¸ c˜ ao (27.podemos usar a equa¸ c˜ ao (27. Consideraremos uma part´ ıcula na superf´ ıcie da esfera de raio r(t): Em um dado instante. a part´ ıcula sofrer´ a uma acelera¸ c˜ ao gravitacional dada por: d2 r GM =− 2 (27. E . A energia mecˆ anica da part´ ıcula.4) para escrever o termo (2GM ) 2 em fun¸ c˜ ao da constante de Hubble: dr = H0 r = dt 2GM r 1 2 1 −→ (2GM ) 2 = H0 r 2 1 3 que. a for¸ ca gravitacional resultante sobre uma part´ ıcula pertencente a um Universo de massa M .9) . E < 0 → expans˜ ao contida: Universo fechado.7) como: 2E = m dr dt 2 −m 659 8πGr2 ρ(t) 3 (27. homogˆ eneo e isotr´ opico.5). tender´ a a reduzir a expans˜ ao do Universo. 3 para E=0 27. Omitiremos a coordenada t para r(t) e H(t) na deriva¸ c˜ ao a seguir. em expans˜ ao.6) 2 dt r Essa acelera¸ c˜ ao ´ e de frenagem. Nesse caso. substituindo na equa¸ c˜ ao (27. agora. Como a massa M ´ e dada por 4πr3 ρ(t). Seja agora a densidade cr´ ıtica. E = 0): ρc (t) = 3H 2 8πG (27. temos: 2E H 2 ρ(t) 2 = H − = H 2 [1 − Ω(t)] mr2 ρc (t) onde Ω(t) = ρ(t) ρc (t) (27. Como r2 e H 2 s˜ ao sempre positivos.11) ´ e chamado parˆ ametro de densidade. E > 0: Universo aberto. E = 0: Universo plano. Vamos escrever a energia E em termos das propriedades no presente. definida como aquela para a qual a gravidade est´ a no limite de conter a expans˜ ao (ou seja. Ω(t) = 1 → ρ(t) = ρc (t). usando-se a lei de Hubble: E = 1 m 2 dr 2 GM m 1 4π 2 2 2 = mH0 r0 − Gm ro ρ0 − dt r 2 3 2 H0 4πG 2 − ρ0 r0 2 3 Ω0 = obtemos: 1 E= m 2 dr dt 2 = m Substituindo 8πGρ0 ρ0 = 2 ρc 3H0 2 H0 1 2 2 − Ω 0 H0 r0 2 2 − GM m =m r Escrevendo-se a massa M em termos da densidade atual: 3 r ˙ 2 2G 4π r0 2 − 2 2 ρ0 = H0 [1 − Ω0 ] r 3 r0 r0 ou r0 r ˙2 2 2 − H0 Ω0 = H0 [1 − Ω0 ] 2 r r0 660 (27. E < 0: Universo fechado. Ω(t) < 1 → ρ(t) < ρc (t). os sinais de E e Ω(t) est˜ ao anticorrelacionados: Ω(t) > 1 → ρ(t) > ρc (t).12) .10) Inserindo ρc (t) na equa¸ c˜ ao (27.9). ρc . a substitui¸ c˜ ao 2 2 ´ e ξ = senh (η/2). Para o caso do denominador 1 + ξ .Definindo-se dois parˆ ametros de escala: t≡ τ∗ H0 r r0 D∗ ≡ podemos escrever a equa¸ c˜ ao (27. vamos reescalar mais uma vez. definindo: ξ≡ e τ≡ |1 − Ω0 | D∗ Ω0 |1 − Ω0 |3/2 τ∗ Ω0 2 para transformar a equa¸ c˜ ao (27.11. isto ´ e. para o caso do denominador 1 − ξ . pode ser encontrada fazendo-se a substitui¸ c˜ ao ξ = sen (η/2). e -1 se Ω0 > 1. A solu¸ c˜ ao.12) como: dD∗ dτ∗ 2 − Ω0 = 1 − Ω0 D∗ (27.15) 661 . Universo aberto.14) onde o lado direito ´ e +1 se Ω0 < 1. A solu¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao (27. Para Ω = 1. pois obtemos a identidade trigonom´ etrica sen2 (η/2) = (1 − cos η )/2. em que o Universo ´ e fechado 2 e ξ ≤ 1. em que o Universo ´ e aberto e ξ > 1.2 n´ os resolvemos o caso de Ω = 0.13) Na se¸ c˜ ao 27. Por defini¸ c˜ ao: senh η ≡ eη − e−η 2 (27.13) em: dξ dτ − 1 = ±1 ξ (27. pois obtemos a identidade trigonom´ etrica senh (η/2) = (cosh η − 1)/2. Universo fechado.14) pode ser obtida de: ξ τ= 0 ξ 1±ξ 1/2 dξ assumindo ξ = 0 para τ = 0. isto ´ e. (27. τ = 2 (senh η − η ). 1 ξ=2 (1 − cos η ).e eη + e− η 2 Portanto.18) 3 1 −1 t = H0 Ω0 (Ω0 − 1)− 2 (η − sen η ) 2 e r Ω0 1 − cos η = r0 Ω0 − 1 2 662 . a solu¸ ca ˜o de forma param´ etrica ´ e: cosh η ≡ Universo fechado 1 τ = (η − sen η ). 2 1 Universo aberto ξ = 1 2 (cosh η − 1). vamos definir a vari´ avel b: b= escrevemos Fechado τ∗ = Ω0 −1 2 0 Ω0 − 1 >0 Ω0 D∗ x dx 1 − bx 1 − cos η 2 bx = sen2 (η/2) = logo bdx = sen (η/2) cos(η/2)dη e Fechado τ∗ = Ω0 2 b− 2 −1 3 sen2 (η/2)dη 1 − cos η dη 2 = Ω0 2 b− 2 −1 3 −1 3 = = ou seja Ω0 2 b− 2 (η − sen η ) 2 3 1 Ω0 (Ω0 − 1)− 2 (η − sen η ) 2 (27.17) (27.16) Substituindo as defini¸ c˜ oes de τ e τ∗ . obtemos: Para Ω0 > 1: Para simplificar as equa¸ c˜ oes. para Ω0 > 1 Ω0 Para Ω0 → ∞. com cos η0 → 1 e η0 cos η0 ou − e t0 = Como η0 − sen η0 η0 − η0 − t0 → e. como Ω0 → +1 2 η0 2 1− 2 η0 2 = −1 2 Ω0 2 − 2 −→ η0 Ω0 2 Ω0 − 1 Ω0 1/2 3 1 Ω0 (Ω0 − 1)− 2 (η0 − sen η0 ) 2H0 3 η0 6 3 η0 4 = 6 3 Ω0 − 1 Ω0 3/2 1 2 −2 Ω0 3H0 2 −1 t0 → H0 3 Para Ω < 1: Aberto τ∗ = Ω0 1 −2 D∗ 0 x dx. finalmente.Para t = t0 . r = r0 : cos η0 = 2 − Ω0 . com cos η0 → −1 e η0 → π : t0 → 1 −1 Ω 2π → 0 2H0 0 1: Para Ω0 → +1. 1 + ax a= 1 − Ω0 >0 Ω0 ax = senh (η/2) = logo Aberto τ∗ = Ω0 2 a− 2 −1 3 cosh η − 1 2 senh2 (η/2)dη = 3 1 −1 Ω0 2 a− 2 (senh η − η ) 2 663 . 15 e 27.3 1 −1 t = H0 Ω0 (1 − Ω0 ) 2 (senh η − η ) 2 (27. r = r0 : logo Para Ω0 → 1. cosh η0 → 1 e η0 → 0: cosh η0 logo η0 e senh η0 − η0 → η0 + e t0 → 2 1 − Ω0 Ω0 1/2 1+ 2 η0 2 2 −1 Ω0 3 η0 − η0 6 3 η0 4 = 6 3 1 − Ω0 Ω0 3/2 2 −1 2 −1 Ω0 2 → H0 3H0 3 eη 0 2 2 − Ω0 Ω0 e para Ω0 → 0.16): senh η0 logo t0 → eη 0 −→ senh η0 − η0 2 senh η0 = 2 − Ω0 Ω0 Ω0 1 1 2 − Ω0 senh η0 = 3 / 2 2H0 (1 − Ω0 ) 2H0 (1 − Ω0 )3/2 664 .19) e 1 − Ω0 Ω0 r cosh η − 1 = r0 2 ou r Ω0 cosh η − 1 = r0 1 − Ω0 2 1 − Ω0 cosh η0 − 1 = Ω0 2 cosh η0 = 2 − Ω0 Ω0 e para t = t0 . cosh η0 → ∞ e η0 → ∞: cosh η0 e pelas defini¸ c˜ oes das fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas hiperb´ olicas (27. e para Ω0 → 0, Ou seja, os limites s˜ ao: −1 t0 → H0 2 −1 Ω0 → 1 Universo marginalmente fechado t0 = H0 ; 3 Ω0 → ∞ Universo completamente fechado t0 = 0; Ω0 → 0 Universo completamente aberto −1 t0 = H0 . Desse modo, a rela¸ c˜ ao entre a idade do Universo e a constante de Hubble no presente, torna-se: 2 −1 −1 H ≤ t0 ≤ H0 , 3 0 2 −1 , 0 < t 0 < H0 3 Universo aberto, Universo fechado. 27.11.4 Parˆ ametro de desacelera¸ c˜ ao Um outro parˆ ametro importante, que auxilia o entendimento do processo de expans˜ ao ´ e o parˆ ametro de desacelera¸ c˜ ao, q (t): q (t) ≡ − 1 1 d2 r r H 2 dt2 (27.20) que descreve a mudan¸ ca na taxa de expans˜ ao. Usando as equa¸ c˜ oes (27.4), (27.8) e (27.10) obtemos: q (t) = GM 4πGρc (t)Ω(t) Ω(t) = = r3 H 2 3H 2 2 (27.21) Logo, o valor de q , assim como o de Ω determinam o futuro da expans˜ ao do Universo. Note que H , Ω e q s˜ ao fun¸ c˜ oes do tempo. Mas o fato de ε ser constante, juntamente com as equa¸ c˜ oes (27.11) e (27.21), garante que se Ω(t) > 1 (ou analogamente q (t) > 0.5) em um dado instante, essa condi¸ c˜ ao continua satisfeita ao longo do tempo, ainda que o valor do parˆ ametro varie. A determina¸ c˜ ao do parˆ ametro de densidade (ou do parˆ ametro de desacelera¸ c˜ ao) do Universo em seu est´ agio atual cont´ em informa¸ c˜ ao sobre o desenlace da competi¸ c˜ ao entre a expans˜ ao do Universo e a gravita¸ c˜ ao que tende a contˆ e-la. 665 27.11.5 Big Bang quente Levando-se em conta que a densidade de energia de um campo de radia¸ c˜ ao ´ e dada por: 4 εrad = aTrad a densidade de massa equivalente (E = mc2 ) ´ e dada por: ρrad = 4 aTrad c2 Para compara¸ c˜ ao, se assumirmos Trad = 3 K, obtemos ρrad Usando-se a lei de Wien [Wilhelm Wien (1864-1928)], λmax Tmax = constante, 6×10−34 g/cm3 e usando-se a rela¸ c˜ ao de desvio para o vermelho devido ` a expans˜ ao do Universo: λmax ∝ r(t), onde r(t) ´ e a escala do Universo, representada pela distˆ ancia m´ edia entre as gal´ axias, obtemos: Tmax ∝ r(t)−1 ou seja, a densidade de radia¸ c˜ ao ρrad ∝ r(t)−4 enquanto que a densidade de mat´ eria ´ e inversamente proporcional ao volume do Universo: ρmat ∝ r(t)−3 Desse modo, obtemos que ρrad ∝ r(t)−1 ρmat indicando que, quando o Universo era muito mais jovem, para 1+z ≡ λobservado r0 = = 103 −→ ρrad = ρmat , λemitido r isto ´ e, quando o Universo era muito jovem (z ≥ 1) ele era dominado pela radia¸ c˜ ao. Nessa defini¸ c˜ ao, z ´ e chamado de deslocamento para o vermelho, redshift, devido ao efeito Doppler. 666 27.11.6 Avermelhamento gravitacional Em 1907, Albert Einstein (Jahrb. Radioakt.u. Elektronik 4, 411) demonstrou que, empregando a conserva¸ c˜ ao da energia e mesmo a f´ ısica newtoniana, o campo gravitacional age sobre os f´ otons. Consideremos um f´ oton emitido no campo gravitacional da Terra, a uma altura a2 , com freq¨ uˆ encia ν (a2 ), para baixo. Como a energia do f´ oton ´ e E (a2 ) = hν (a2 ), sua massa equivalente ´ e m = E/c2 . Assumamos por simplicidade que o campo gravitacional da Terra ´ e constante, dado pela acelera¸ c˜ ao g = GM/R. Ap´ os descer uma distˆ ancia a at´ e a1 , a energia potencial do f´ oton ter´ a aumentado de mga. Sua energia total ser´ a E (a1 ) = hν (a2 ) + Logo hν (a2 ) ga = hν (a1 ) c2 ga c2 e portanto um f´ oton muda de energia, e conseq¨ uentemente de comprimento de onda em um campo gravitacional. Este avermelhamento foi comprovado em 1960 por Robert V. Pound e Glen A. Rebka, demonstrando que um um feixe de raios γ mudava de energia em 2 partes em 1015 ao mover-se os 20 metros da torre do Laborat´ orio Jefferson, em Harvard. Em 1964, utilizando a absor¸ c˜ ao resonante do raio γ de 14,4 Kev pelo 57 Fe, Robert V. Pound e J.L. Snider reduziram a incerteza para menos de 1%, conforme publicaram no Physical Review B, (1965) 140, 788. ν (a1 ) = ν (a2 ) 1 + 27.11.7 Massa de Planck GM 2 r A energia gravitacional ´ e dada por: EG desprezando-se o fator de integra¸ c˜ ao, da ordem de 3/5 para distribui¸ c˜ oes esf´ ericas. Assumindo que a massa seja constante, podemos escrever em primeira ordem: GM 2 ∆E = ∆r O princ´ ıpio da incerteza pode ser escrito como ∆r × ∆p ≥ h 667 (27.22) Note que usamos h e n˜ ao h ¯ porque estamos usando r e p em m´ odulo, e n˜ ao somente em uma dire¸ c˜ ao. Mas ∆E = c∆p Logo ∆E ≥ = e podemos escrever: GM 2 ≥ hc Definimos a massa de Planck como: MPlanck ≡ Nosso valor difere do valor na literatura MPlanck = ¯c h G hc G hc ∆r GM 2 ∆r devido ao uso de h e n˜ ao h ¯ na equa¸ c˜ ao 27.22 27.12 27.12.1 Cosmologia Relativ´ ıstica Espa¸ co-tempo de Minkowski Um ponto no espa¸ co-tempo pode ser caracterizado por um evento, que aconteceu em um lugar do espa¸ co, em um certo momento. Podemos caracterizar o espa¸ co-tempo, e as transforma¸ c˜ oes de Lorentz, propostas pelo f´ ısico holandˆ es Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), em 1904, e utilizadas por Einstein na Teoria da Relatividade Especial em 1905: x = x − vt 1− t = t− v2 c2 v x c2 v2 c2 1− 668 introduzindo a coordenada imagin´ aria −ict no lugar da coordenada temporal t. Dessa maneira, para um espa¸ co cartesiano [Ren´ e Descartes (1596-1650), em latim Renatus Cartesius], temos: x1 = x x2 = y x3 = z x4 = −ict Com essas defini¸ c˜ oes, podemos transformar de um sistema de coordenadas para outro mantendo a rela¸ c˜ ao: 2 3 2 2 2 2 2 x2 1 + x2 + x3 + x4 = x1 + x2 + x3 + x4 Um sistema de coordenadas descrito pelas coordenadas (x1 , x2 , x3 , x4 ) anteriores ´ e chamado de um sistema de Minkowski, pois foi proposto pelo matem´ atico russo Hermann Minkowski (1864-1909). Esse sistema ´ e um espa¸ co euclidiano de quatro dimens˜ oes, e a transforma¸ c˜ ao de Lorentz corresponde a uma rota¸ c˜ ao nesse espa¸ co quadridimensional. 27.12.2 Coordenadas gaussianas u=1 u=2 v=3 v=1 v=2 Em um sistema de coordenadas euclidiano, a unidade de distˆ ancia n˜ ao varia com a posi¸ c˜ ao. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) propˆ os um sistema de coordenadas geral, n˜ ao-euclidiano; imaginemos um sistema de coordenadas de curvas arbitr´ arias, n˜ ao-justapostas, em uma superf´ ıcie qualquer. Em uma dire¸ c˜ ao designemos as curvas por u, designando-as u = 1, u = 2, . . . . Entre as curvas u = 1 e u = 2 podemos imaginar um n´ umero infinito de curvas, correspondendo aos n´ umeros naturais entre 1 e 2. As curvas n˜ ao 669 se intersectam e somente uma curva passa por cada ponto da superf´ ıcie, de modo que um valor perfeitamente definido de u pode ser estabelecido para cada ponto. Podemos estabelecer um sistema v de coordenadas sobre a superf´ ıcie, de modo que um valor de u e v possam ser estabelecidos para cada ponto da superf´ ıcie. Chamamos esses pontos de coordenadas gaussianas da superf´ ıcie. Dois pontos pr´ oximos ter˜ ao coordenadas P e P , com coordenadas: P : u, v P : u + du, v + dv, onde du e dv s˜ ao pequenos. A distˆ ancia entre esses pontos ds ser´ a dada por: ds2 = g11 du2 + 2g12 du dv + g22 dv 2 onde g11 , g12 e g22 dependem de u e v , e representam a varia¸ c˜ ao da unidade de distˆ ancia em rela¸ c˜ ao a elas. Somente para o caso especial em que a superf´ ıcie seja euclidiana e as coordenadas cartesianas, isto ´ e, independentes, podemos escrever: ds2 = du2 + dv 2 Podemos generalizar as coordenadas de Gauss para um cont´ ınuo de trˆ es ou mais dimens˜ oes. Para um cont´ ınuo de quatro dimens˜ oes, como o espa¸ co de Minkowski, podemos escrever que dois pontos adjacentes est˜ ao separados por uma distˆ ancia: 2 ds2 = g11 dx2 1 + 2g12 dx1 dx2 + · · · + g44 dx4 onde os valores de gik variam com a posi¸ c˜ ao. ds2 = gik dxi dxk onde est´ a impl´ ıcita a soma sobre todos os valores de i e k . Por exemplo, para um sistema de coordenadas esf´ ericas no espa¸ co plano: ds2 = d(ct)2 − dr2 − r2 dθ2 − r2 sen2 θ dφ2 enquanto, em coordenadas cil´ ındricas: ds2 = d(ct)2 − dr2 − r2 dφ2 − dz 2 670 27.12.3 Relatividade Geral Na Relatividade Geral, a velocidade da luz n˜ ao ´ e mais mantida constante, mas depende do sistema de coordenadas quando um campo gravitacional est´ a presente. A id´ eia fundamental da relatividade geral ´ e que todos sistemas de coordenadas gaussianos s˜ ao equivalentes para a formula¸ c˜ ao das leis gerais da natureza, de modo que as equa¸ c˜ oes n˜ ao devem mudar de forma ao serem submetidas a substitui¸ c˜ oes arbitr´ arias das vari´ aveis gaussianas. As transforma¸ c˜ oes de Lorentz n˜ ao satisfazem essa condi¸ c˜ ao. A equa¸ c˜ ao de campo de Einstein [Albert Einstein, Sitzungsberichte der Preuβ ische Akademie der Wissenschaften (Berlin), 844 (1915)] modificada para incluir a constante cosmol´ ogica Λ [Albert Einstein, Sitzungsberichte der Preuβ ische Akademie der Wissenschaften (Berlin), 142 (1917)], pode ser escrita como: 1 κ Rik − gik R − Λgik = 2 Tik (27.23) 2 c onde Rik ´ e o tensor espa¸ co-tempo, gik s˜ ao as componentes do tensor m´ etrico e dependem do sistema de coordenadas usado e da unidade da coordenada temporal, Tik ´ e o tensor momentum-energia, que depende da distribui¸ c˜ ao e movimento das massas e do campo eletromagn´ etico, Λ ´ e a constante cosmol´ ogica, que pode ser nula, e κ≡ 8πG c2 ´ e a constante gravitacional de Einstein. Na equa¸ c˜ ao (27.23), onde os dois ik ik ´ ındices i e k variam de 0 a 3 e R = g > R ´ e o tra¸ co, necess´ ario para que o divergente covariante do lado esquerdo seja nulo, j´ a que a divergˆ encia covariante do tensor energia-momentum ´ e nula pela conserva¸ c˜ ao de energiamomentum no limite da relatividade especial. Os dois primeiros termos ` a esquerda do sinal de igualdade representam a curvatura do espa¸ co-tempo, o termo ` a direita as for¸ cas que atuam neste sistema e o terceiro termo ` a esquerda, da constante cosmol´ ogica Λ, representa a energia do v´ acuo, que, normalmente, ´ e assumida nula. Tendo em vista que corpos massivos curvam o espa¸ co e as estrelas e gal´ axias est˜ ao em movimento, a curvatura do espa¸ co est´ a sempre em muta¸ c˜ ao e, portanto, n˜ ao existe um sistema de referˆ encia est´ avel em que todos os eventos podem ser descritos. Para pequenas regi˜ oes do espa¸ co-tempo, o espa¸ co pode ser considerado plano e as coordenadas lorentzianas. Nesse caso, gik = dxi dxk 671 Para um g´ as, o tensor energia-momentum em coordenadas curvil´ ıneas pode ser escrito como: T ik = (ε + P )ui uk − P g ik onde ε = ρc2 ´ e a densidade de energia da mat´ eria, incluindo a energia de repouso, medida no sistema em repouso com a mat´ eria, P ´ e a press˜ ao isotr´ opica, e ui = dxi ds (27.24) ´ e a quadrivelocidade do g´ as. Por constru¸ c˜ ao, o tensor energia-momentum tem divergente covariante nulo. Esta ´ e uma lei fundamental de geometria: ∇·T=0 Na relatividade especial, esse fato leva ` a conserva¸ c˜ ao de energia e momentum, mas na relatividade geral esta condi¸ c˜ ao somente assegura que a mat´ eria e os campos gravitacionais (curvatura do espa¸ co) trocam energia. A equa¸ c˜ ao (27.23) pode ser escrita como: 1 Rik − gik R = Λgik + 2 8πG c4 Tik (27.25) Embora simples em aparˆ encia, a equa¸ c˜ ao de campo de Einstein ´ e extremamente complexa pelo car´ acter n˜ ao-linear com que o espa¸ co e a mat´ eria atuam um sobre o outro. A equa¸ c˜ ao da geod´ esica (world line) de uma part´ ıcula pode ser definida em termos do seu tempo pr´ oprio τ e da sua quadrivelocidade u como: ∇u u = 0 Escolhendo-se um sistema de coordenadas tal que: ui = dxi dτ (27.26) podemos escrever os componentes da equa¸ c˜ ao (27.26) como: 0= D(dxi )/dτ d(dxi )/dτ dxk dxl = + Γi =0 kl dτ dτ dτ dτ 672 (27.27) onde Γi ao os s´ ımbolos de Christoffel [Elwin Bruno Christoffel (1829-1900)], kl s˜ se as coordenadas formam uma base: 1 ij Γi kl = g 2 ∂gjk ∂gjl ∂gkl + − l ∂xi ∂xj ∂x Note que, na equa¸ c˜ ao (27.27), as componentes da “derivada” (D/dτ ) precisam ser corrigidas pelos termos proporcionais aos s´ ımbolos de Christoffel porque as coordenadas generalizadas de Gauss podem variar rapidamente, levando a mudan¸ cas nas componentes de um vetor mesmo que o vetor n˜ ao varie. Ou seja, a equa¸ c˜ ao em coordenadas curvil´ ıneas que define a linha geod´ esica (linha que seguir´ a uma part´ ıcula livre) conectando dois pontos no espa¸ co-tempo ´ e dada por: l k d2 xi i dx dx =0 + Γ kl dτ 2 dτ dτ que pode ser resolvida especificando-se os valores iniciais de xi e dxi /dτ para τ = τ0 . Para descrever completamente um espa¸ co-tempo curvo, o matem´ atico alem˜ ao Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que obteve seu doutorado sob a supervis˜ ao de Gauss, demonstrou que ´ e preciso de um tensor de ordem 4: ∂ Γi ∂ Γi n i n i kl km − + Γi Rklm = nl Γkm − Γnm Γkl ∂xm ∂xl chamado de tensor de curvatura de Riemann. Com esse tensor de quarta ordem, podemos construir um tensor de segunda ordem por contra¸ c˜ ao: i l i Rkm = Rklm gi = Rkim onde ´ ındices repetidos significam soma, pela conven¸ c˜ ao da soma de Einstein. Esse tensor de segunda ordem ´ e chamado de tensor Ricci [Georgorio Ricci-Curbastro (1853-1925)], que, contra´ ıdo, nos d´ a a curvatura escalar do espa¸ co-tempo: R = Rkm g km A densidade de massa-energia, medida por um observador de quadrivelocidade u ´ e dada por: ε = ρc2 = u · T · u = ui Tij uj 673 27.12.4 Levantando e baixando ´ ındices Da mesma forma que os componentes de um vetor mudam quando mudamos a base do espa¸ co vetorial, os componentes de um tensor tamb´ em mudam sob transforma¸ c˜ oes de base. Os ´ ındices de um tensor, superiores (contravariante) ou inferiores (covariantes) descrevem como ele se transforma com uma mudan¸ ca de base. Se um ´ ındice de um tensor se transforma como um vetor com o inverso da transforma¸ c˜ ao de base (por exemplo, a posi¸ c˜ ao e a velocidade variam de forma oposta ao da nova base) ele ´ e dito contravariante e ´ e denotado com um ´ ındice superior. Um ´ ındice que se transforma com a transforma¸ c˜ ao pr´ opria base ´ e chamado covariante e ´ e indicado com um ´ ındice inferior. Nas equa¸ c˜ oes anteriores, algumas vezes aparece a componente covariante de Lorentz xi e, outras vezes, a componente contravariante xi . A rela¸ c˜ ao entre elas ´ e: xi = g ij xj sendo que i g ij gjk = δk e g ij = gij 27.12.5 Cosmologia na Relatividade Geral A observa¸ c˜ ao de que o Universo ´ e homogˆ eneo e isotr´ opico, e que est´ a em expans˜ ao segundo a lei de Hubble, produz condi¸ c˜ oes suficientes para que a Teoria da Relatividade Geral prediga concretamente a topologia e a evolu¸ c˜ ao do Universo. Para um sistema isotr´ opico e homogˆ eneo, podemos escrever as coordenadas em um sistema esf´ erico e considerar somente a coordenada radial, que chamaremos de r, distˆ ancia m´ edia entre as gal´ axias, e a coordenada temporal, t. Pode-se demonstrar que a componente i=0, k=0 ou i=t, k=t do tensor de Einstein Gij : 1 Gik ≡ Rik − gik R 2 ´ e dada por: 1 12 23 31 G00 ≡ R00 − g00 R = − R12 + R23 + R31 2 674 A condi¸ c˜ ao de homogeneidade implica que a m´ etrica deve ser homogˆ enea. Para uma esfera de raio r, em trˆ es dimens˜ oes, uma geod´ esica ´ e dada por: ds2 = r2 dθ2 + sen2 θ dφ2 Para uma m´ etrica de Friedmann [Aleksandr Aleksandrovich Friedmann (18881925)], onde para cada valor de t o espa¸ co-tempo representa um hiperesfera quadridimensional de circunferˆ encia pr´ opria C , e o locus r sen χ = constante define esferas de ´ area A, temos: ds2 = c2 dt2 − r(t) dχ2 + sen2 χ dθ2 + sen2 θ dφ2 A circunferˆ encia pr´ opria (C ) ´ e dada por: 2π C≡ 0 r(t)dφ = 2πr(t) a´ area da superf´ ıcie (A): π 2π A≡ 0 r(t)dθ 0 r(t) sen θ dφ = 4πr2 (t) e o volume (V ) da quadriesfera: π π 2π V ≡ 0 r(t)dχ 0 r(t) sen χ dθ 0 r(t) sen χ sen θ dφ = 2πr3 (t) 1 ˙2 R00 − g00 R = 3r−2 c2 + r 2 A equa¸ ca ˜o (27.25), com Λ = 0, se reduz a: r ˙ 2 8πG c2 − ρ=− 2 2 r 3 r j´ a que, pela equa¸ c˜ ao (27.24): T00 = ρc2 + P u0 u0 − P g00 = ρc2 Como o volume total desse Universo fechado ´ e 2πr3 , identificando M como a massa total em pr´ otons, nˆ eutrons, el´ etrons, etc., ρm = M 2πr3 (27.28) Nesse caso, 675 e a equa¸ c˜ ao (27.28) pode ser escrita como: 1 2 dr dt 2 − 2 GM 1 = − c2 3 πr 2 (27.29) Fazendo a mudan¸ ca para vari´ aveis adimensionais ξ= τ= 3πc2 r 4GM 3πc3 t 4GM a equa¸ ca ˜o (27.29) pode ser reescrita como: dξ dτ 2 − 1 = −1 ξ que n´ os j´ a resolvemos com a solu¸ c˜ ao da equa¸ c˜ ao (27.14) para o caso do Universo fechado. A densidade total ´ e dada por: ρ = ρmat,0 3 4 r0 r0 + ρ rad,0 4 r3 r Quando o Universo est´ a dominado por mat´ eria, r= rmax (1 − cos η ) 2 rmax (η − sen η ) t= 2c rmax = e como: H −1 ≡ H −1 = 8π 3 r ρmat,0 3c2 0 onde a a2 = da/dt da/dη rmax (1 − cos η )2 2 sen η Quando o Universo era dominado pela radia¸ c˜ ao: r = r∗ sen η t= r∗ (1 − cos η ) c 676 onde r∗ = e H −1 = r∗ 8π 4 r ρrad,0 3c2 0 sen2 η cos η 1/2 Podemos expandir a equa¸ c˜ ao (27.28) para r pequeno em: rr ˙= 8πGρrad,0 3 2 r0 e integrar, assumindo r = 0 para t = 0, r2 = 2 ou seja, r ∝ t1/2 , para ρ ρrad 8πGρrad,0 3 1/2 2 r0 t 27.12.6 Evolu¸ c˜ ao T´ ermica ap´ os o Big Bang Consideremos a conserva¸ c˜ ao de energia para um volume V; a primeira lei da termodinˆ amica pode ser escrita como: dE + P dV = 0 onde P ´ e a press˜ ao e E ´ e a densidade de mat´ eria–energia no volume V , E = ρc2 . Considerando V ∝ r3 (t), dV dE +P =0 dt dt ou seja, d dr3 ρc2 r3 + P =0 dt dt c2 r3 ρ ˙ + 3ρc2 r2 r ˙ + 3P r 2 r ˙=0 ρ ˙ = −3 ρ + P c2 P c2 r ˙ r de modo que Identificando r/r ˙ como a constante de Hubble, obtemos ρ ˙ = −3 ρ + 677 H Se assumirmos um Universo dominado por mat´ eria mas que as part´ ıculas de mat´ eria n˜ ao interagem entre si, P = 0, ρ ˙ = −3ρH Para uma geometria plana e constante cosmol´ ogica Λ = 0, j´ a deduzimos que a constante de Hubble ser´ a dada por H= de modo que ρ ˙ = −3ρ ou seja 8πG ρ 3 8πG ρ 3 1 2 1 2 √ 3 ρ− 2 ρ ˙ = − 24πG que pode ser integrado em rela¸ c˜ ao ao tempo √ 1 2ρ− 2 = 24πG t ou seja, ρ = 6πGt2 −1 para um Universo dominado por mat´ eria mas com press˜ ao nula. Para um Universo dominado por radia¸ c˜ ao, 1 1 P = u = ρc2 3 3 a equa¸ c˜ ao 27.12.6 se transforma em 1 ρ ˙ = −3 ρ − ρ H = −4Hρ = −4 3 de modo que 128πG 3 que pode ser integrado em rela¸ ca ˜o ao tempo ρ− 2 ρ ˙=− 3 8πGρ 3 1 2 ρ 2ρ− 2 = 1 128πG t 3 678 3 32πGt2 No in´ ıcio do Universo ele era dominado pela radia¸ c˜ ao e esta radia¸ c˜ ao era t´ ermica, de modo que, independente de se o Universo ´ e fechado ou aberto, a densidade de massa das part´ ıculas relativ´ ısticas (f´ otons, neutrinos, gr´ avitons, . . . ) seguia a rela¸ c˜ ao: ρrad = ρrel = 3 32πGt2 ou seja, Se os f´ otons fossem os u ´nicos componentes relativ´ ısticos de massa–energia presentes, poder´ ıamos escrever ρrel = ρrad = aT 4 c2 onde a ´ e a constante de densidade de radia¸ c˜ ao de Stefan-Boltzmann, j´ a que a densidade de energia para um corpo negro de temperatura T ´ e dada por u = aT 4 , e como E = mc2 , ρrad = u/c2 . A densidade atual de energia em forma de radia¸ c˜ ao ´ e diretamente obtida usando-se a temperatura da radia¸ c˜ ao c´ osmica do fundo do Universo, atualmente 2,73 K, obtendo-se ρrad,atual = 4, 5 × 10−31 kg/m3 . Esta densidade ´ e muito menor que a densidade de mat´ eria luminosa, ρlum,atual 10−29 kg/m3 , de modo que vivemos em um Universo dominado pela mat´ eria. Entretanto, a altas temperaturas, a produ¸ c˜ ao de pares de part´ ıculas–antipart´ ıculas ocorre. Se escrevermos ent˜ ao que ρrel = qρrad = q aT 4 c2 onde q ´ e um n´ umero inteiro maior do que um dependente da temperatura, j´ a que a produ¸ c˜ ao de pares depende da temperatura, podemos escrever T = 1 q 1/4 3c2 32πGa 1/4 t− 2 1 Esta equa¸ c˜ ao nos diz que T = 1012 K(kT = 86, 25 MeV) para t=10−4 s e T = 1010 K (kT = 862, 5 keV) para t=1 s e T = 7 × 108 K (kT = 64 keV) para t=180 s. Comparando com a energia de repouso (E = mc2 ) do pr´ oton, − 4 de 931 MeV, e do eletron, de 511 keV, vemos que para t≤ 10 s, a cria¸ c˜ ao e destrui¸ c˜ ao de pares de b´ arions–antib´ arions est´ a em equil´ ıbrio termodinˆ amico com a radia¸ c˜ ao ambiente. 679 Portanto.30) em um intervalo Logo os f´ otons sempre atravessam uma distˆ ancia pr´ opria de tempo pr´ oprio (t − t0 ) ` a velocidade da luz c. plano. o f´ oton atravessa uma esfera de area 4πr2 (t)a2 (t) em um tempo t.12. = c(t − t0 ). θ.7 M´ etrica de Robertson-Walker O f´ ısico-matem´ atico americano Howard Percy Robertson (1894-1979) e o matem´ atico inglˆ es Arthur Geoffrey Walker (1909-). Para a m´ etrica de Robertson-Walker. mas essa ´ ´ area n˜ ao ´ e igual a 4π 2 . para um Universo de Einstein-de Sitter. φ) =constante. Essa m´ etrica pode ser convertida para a forma de Friedmann. que a m´ etrica mais geral que satisfaz a condi¸ c˜ ao de homogeneidade e isotropia para a geometria do espa¸ co-tempo ´ e a chamada m´ etrica de Robertson-Walker: ds2 = c2 dt2 − a2 (t) dr2 + r2 dθ2 + sen2 θ dφ2 1 − Kr2 . em 1935 e 1936. com um fator de renormaliza¸ c˜ ao. podemos identificar a constante de Hubble como: H (t) = a ˙ (t) a(t) A trajet´ oria de uma gal´ axia que se move junto com a expans˜ ao do Universo ´ e dada por (r. isto ´ e. Por exemplo.27. Ap´ os ser emitido por uma fonte isotr´ opica.3). K=0 e t 2/3 a(t) = a0 t0 680 . pois depende do valor de k e de a(t). a componente (00) da equa¸ c˜ ao de campo de Einstein se reduz a: a ˙ 2 8πG c2 ρ = − K − a2 3 a2 Como na equa¸ c˜ ao (27. a distˆ ancia que um f´ oton percorre afastando-se radialmente (θ e φ mantidos constantes) de uma fonte ´ e governada pela equa¸ c˜ ao diferencial: a2 (t) (dr/dt)2 = 1 − Kr2 d dt 2 = c2 (27. demonstraram. enquanto que a trajet´ oria de um f´ oton satisfaz ds2 = c2 dt2 − d 2 = 0. A evolu¸ c˜ ao da m´ etrica neste caso logo se aproxima de a(t) = a0 exp Λ (t − t0 ) 3 Enquanto a luz viaja da fonte ao observador. 681 . constante e n˜ ao nula ρΛ ≡ Λ/8πG. Se atualmente Λ contribui com 70% da densidade de energia total em um universo plano (K=0). ΩM . A distˆ ancia que o f´ oton atravessou desse que foi emitido ´ e dada por: (z ) = c(te − t0 ) = 1 2c 1 − (1 + z )− 2 3H0 e. Como r(z ) = a0 r(t0 ). o desvio para o vermelho z na recep¸ c˜ ao ser´ a dado por: t0 2/3 a0 1+z ≡ = a(t) te A equa¸ c˜ ao (27. o Universo se torna dominado por uma densidade de energia do v´ acuo positiva. r(z ) = 1 2c 1 − (1 + z )− 2 H0 −1 j´ a que para o Universo plano t0 = (2/3)H0 .30). r(z ) ´ e a distˆ ancia no presente da fonte. portanto. da raz˜ ao da densidade de mat´ eria para a densidade cr´ ıtica. Podemos expressar a idade em fun¸ c˜ ao do deslocamento para o vermelho z = a0 /a(t). se reduz a: dr c = dt a(t) de modo que r(t0 ) = 3c t0 1 − a0 te t0 1/3 onde 4πa2 (t)r2 (t0 ) ´ e a ´ area da esfera centrada na fonte e passando pelo tempo presente. para K = 0. ent˜ ao o universo se tornar´ a dominado por Λ em cerca de metade da idade atual. seu comprimento de onda se expande por um fator proporcional ao aumento de a(t).Se o f´ oton for emitido num tempo te . Se a constante cosmol´ ogica n˜ ao for nula. Tendo em vista que Universo plano ´ e euclidiano. uma fonte com alto valor de z est´ a mais longe do que a distˆ ancia atravessada pela luz. ΩΛ . ΩM + ΩΛ = 1 e a integral resulta em t(z ) = 2 √ ln 3H0 ΩΛ ΩΛ (1 + z )−3 + 1 − ΩΛ ΩΛ (1 + z )−3 + 1 1 − ΩΛ No limite ΩΛ → 0. A radia¸ c˜ ao do fundo do Universo ´ e normalmente decomposta em esf´ ericos harmˆ onicos ∆T = a . wrad = 1/3 e wΛ = −1. φ) T . como t(z ) = −1 H0 (1+z )−1 0 dx 1 − ΩM + ΩM x−1 + ΩΛ (x2 − 1) Se o universo for plano.m e o momentum de multipolo ´ e dado por C =< |a2.m (θ.m | > relacionado ` a separa¸ c˜ ao angular θ= 180o 682 .ν = 0 implica que a densidade ser´ a expressa como ρi ∝ a−ni = a−3(1+wi ) e o parametro de desacelera¸ c˜ ao q=− e a ¨a = a ˙2 ni − 2 Ωi 2 i 1 q = ΩM − ΩΛ 2 para um universo dominado por mat´ eria e constante cosmol´ ogica.m Y . j´ a que wM = 0. recuperamos a rela¸ c˜ ao entre a idade e o deslocamento para o vermelho de um universo plano normal: t(z ) = 2 3H0 (1 + z )3/2 Definindo a press˜ ao de cada componente como Pi = wi ρi . ∇µ T µ.e da raz˜ ao da densidade de energia do v´ acuo para a densidade cr´ ıtica. 13 Recombina¸ c˜ ao Intuitivamente. part´ ıculas que obedecem ` a distribui¸ c˜ ao de momentum de Fermi-Dirac. a energia de ioniza¸ c˜ ao do hidrogˆ enio. isto ´ e.31) H +γ j´ a que o potencial qu´ ımico dos f´ otons ´ e nulo. ´ e um pouco problem´ atico. formando o hidrogˆ enio neutro. Nessa equa¸ c˜ ao. Na verdade. ac´ ustico 220 Ω− 2 1 27. g ´ e o fator de degenerescˆ encia. na ´ epoca da recombina¸ c˜ ao. usado por James Peebles. ´ e diretamente proporcional ao valor de H . p representa o pr´ oton. Consideremos a rea¸ c˜ ao e− + p + Em equil´ ıbrio qu´ ımico. os el´ etrons e pr´ otons estavam se combinando pela primeira vez. porque o espa¸ co de fase dos el´ etrons livres ´ e muito maior do que o espa¸ co de fase dos el´ etrons ligados. Podemos definir zrec como o desvio para o vermelho (redshift) para o qual os el´ etrons e pr´ otons recombinam. O termo recombina¸ c˜ ao. pois nessa ´ epoca da evolu¸ c˜ ao do Universo. o sinal mais se aplica aos f´ ermions. em 1950.6 eV. como os pr´ otons e os el´ etrons. temos: µe + µp = µH + µγ = mH (27.6 eV. como veremos a seguir. A equa¸ c˜ ao de Saha [Megh Nad Saha (1893-1956)] ´ e obtida combinando-se essa express˜ ao com a fun¸ c˜ ao distribui¸ c˜ ao para as esp´ ecies em quest˜ ao: n(p) = g exp h3 E (p) − µ kT −1 ±1 onde p ´ e o momentum. um aumento na potˆ encia devido −1 a oscila¸ c˜ oes ac´ usticas. espera-se que quando a energia m´ edia de um f´ oton da radia¸ c˜ ao do fundo do Universo cai abaixo de 13.O valor de do primeiro “pico Doppler”. a temperatura de recombina¸ c˜ ao ´ e da ordem de 5 vezes menor do que a correspondente a 13. o que faz com que os el´ etrons permane¸ cam livres por mais tempo. a maior parte do hidrogˆ enio torna-se-se neutra. recombina¸ c˜ ao pois ´ e a escala angular subentendida pelo raio de Hubble quando os f´ otons da radia¸ c˜ ao de fundo se originaram. e o sinal menos ´ e para os 683 . obtemos: µ = kT ln n gnQ + mc2 (27. obtemos uma equa¸ c˜ ao transcendental para x em termos do 684 .32) onde a densidade quˆ antica nQ ´ e definida como: nQ = 2πmkT h2 3/2 .33) ´ e a energia de liga¸ c˜ ao do hidrogˆ enio. ∆E = 13. a densidade de part´ ıculas pode ser escrita como a distribui¸ c˜ ao de Boltzmann: ∞ n= 0 n(p) d3 p = 4πg h3 ∞ 0 p2 e− 2mkT e p2 µ−mc2 kT dp Integrando. como os f´ otons. voltamos a usar p para representar um pr´ oton. Como estamos interessados em energias pr´ oximas a 13. e n˜ ao o momentum. obtemos: kT ln ne ge nQe + ln np gp nQp − ln nH gH nQH = (mH − mp − me ) c2 (27.b´ osons. isto ´ e. Assumindo mp ≈ mH nos valores de nQ . (mc2 − µ) kT . Colocando-se o valor do potencial qu´ ımico (27. onde a densidade total n = ne + np + nH .6 eV. part´ ıculas que obedecem ` a distribui¸ c˜ ao de Bose-Einstein. Os fatores de degenerescˆ encia s˜ ao ge = gp = 2 e gH = 4.33) Nessa equa¸ c˜ ao. A fun¸ c˜ ao distribui¸ ca ˜o ´ e definida de forma que n(p)d3 x d3 p ´ e o n´ umero de part´ ıculas no elemento de volume d3 x d3 p do espa¸ co de fase. E (p) = mc2 + p2 2m Assumindo que as densidades eram n˜ ao-degeneradas. obtemos a equa¸ c˜ ao de Saha para a rea¸ c˜ ao: np ne = nH 2πme kT h2 3/2 e− kT ∆E Definindo a fra¸ c˜ ao de ioniza¸ c˜ ao x por ne = np = xn. O termo da direita da equa¸ c˜ ao (27.31).32) na equa¸ c˜ ao do equil´ ıbrio qu´ ımico (27. os el´ etrons e os pr´ otons s˜ ao n˜ ao-relativ´ ısticos. 6 eV. j´ a que eles viajam grandes distˆ ancias sem interagir com a mat´ eria. muito menor do que 13. Podemos utilizar uma massa m´ edia de b´ arions um pouco mais precisa. 25 × 4mp = 1. A temperatura. de modo que: mb 0. pois quase a totalidade dos 25% restantes de massa em b´ arions est´ a na forma de ´ atomos de h´ elio. como vimos.6 eV. ent˜ ao. uma vez que quando os el´ etrons e pr´ otons combinam-se. o Universo se torna muito menos opaco. 75mH + 0. mas. 685 . correspondentes aos n´ ıveis de excita¸ c˜ ao. ent˜ ao. obtemos zrec ≈ 1360. muito grande. n0 ρ0 . que a radia¸ c˜ ao est´ a desacoplada da mat´ eria. 75mp Logo ap´ os a recombina¸ c˜ ao temos a ´ epoca do desacoplamento da radia¸ c˜ ao com a mat´ eria. Os el´ etrons ligados s´ o s˜ ao capazes de interagir com os f´ otons com energia discretas. a energia m´ edia dos el´ etrons ´ e muito menor do que esta energia. 726 K (1+z ) e n = n0 (1+z )3 . O livre caminho m´ edio dos f´ otons torna-se. 25mHe 0. 75mp + 0.desvio para o vermelho z substituindo-se T = 2. O desvio para o vermelho para a ´ epoca de recombina¸ c˜ ao x = 1/2 pode ser obtido usando o valor da densidade de part´ ıculas no presente. era de T = T0 (1 + z ) ≈ 3700 K −→ kT ≈ 3 eV. nessa ´ epoca. mH j´ a que o hidrogˆ enio comp˜ oe aproximadamente 75% da massa bariˆ onica do Universo. Dizemos. ou com energias maiores do que a energia de ioniza¸ c˜ ao. 686 . Digges tamb´ em descreveu um sistema com uma lente de longa distˆ ancia focal e outra de curta distˆ ancia focal em 1550. os ´ arabes instalaram observat´ orios em Bagd´ a. Quando conquistaram a Espanha. usando um telesc´ opio constru´ ıdo por ele mesmo. Lentes rudimentares escavadas na ilha de Creta datam de 2000 a. Lentes e ´ oculos j´ a eram usados desde cerca de 1350. os ´ arabes estabeleceram observat´ orios nesses novos centros. astrol´ abios e esferas armilares. Cairo. Em 1571 foi publicado o livro do matem´ atico inglˆ es Leonard Digges (∼1520-1559) Geometricall Practise. name Pantometria. descrevendo o teodolito.C. no s´ eculo XI. Galileo come¸ cou suas observa¸ c˜ oes telesc´ opicas em 1610. de modo que a astronomia passou para a Europa sem interrup¸ c˜ ao. No entanto. idealizados por Ptolomeu. que pode ser interpretado como um precursor do telesc´ opio. Damasco e outros centros importantes e constru´ ıram quadrantes e torqueti. n˜ ao cabe a Galileo o cr´ edito da inven¸ c˜ ao do telesc´ opio. em 687 . assim como ampulhetas.Cap´ ıtulo 28 Telesc´ opios No s´ eculo VII. em 1608.1: Teodolito de Leonard Digges. construiu o seu pr´ oprio. A maioria dos historiadores aceita que o primeiro telesc´ opio foi constru´ ıdo pelo holandˆ es Hans Lippershey (1570-1619). Holanda. ele construiu outros instrumentos. o bispo e matem´ atico alem˜ ao Nicol´ as de Cusa (1401-1464) inventou o mon´ oculo com lente convexa. em 1610.1 Refrator ou refletor O telesc´ opio de Galileo. na cidade de Middlesburg. o melhor deles. como se usa atualmente. e em 1590 o holandˆ es Zacharias Janssen inventou o microsc´ opio.Figura 28. Em seguida. em Zeeland. Galileo Galilei (15691642) soube desse instrumento em 1609 e. sem ter visto o telesc´ opio de Lippershey. com 30 vezes de aumento. explicou que seria melhor construir um telesc´ opio com duas lentes convexas. que permite medidas angulares precisas. 1451. era composto de uma lente convexa e uma lenta cˆ oncava. 688 . a partir de um ponto de referˆ encia. 28. constru´ ıdo em 1609-1610. com aumento de 3 vezes. no seu livro Dioptrice publicado em 1611. Em 1668. Johannes Kepler (1571-1630). espelho). com um espelho curvo (parabol´ oide ou hiperbol´ oide) em vez de uma lente. usado atualmente em todos os observat´ orios profissionais. a 45◦ . Ele. aberra¸ c˜ ao ∝ F D2 onde F ´ e a distˆ ancia focal e D o diˆ ametro da objetiva. O telesc´ opio de Newton 689 Olho 00 11 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 Es pe o lh .Isaac Newton (1643-1727) construiu um telesc´ opio refletor (cat´ optrico. Newton concluiu. Olho Espelho Foco Primário 11 00 00 11 00 11 00 Ocular 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 Lente Refletor Refrator Newton argumentou que a luz branca era na verdade uma mistura de diferentes tipos de raios que eram refratados em ˆ angulos ligeiramente diferentes. Newton colocou um espelho plano no tubo. ent˜ ao. refletindo a imagem para uma ocular colocada no lado. com 15 cm de comprimento. usada nos telesc´ opios refratores (di´ optrico) de Galileo e Kepler. que telesc´ opios usando lentes refratoras sofreriam sempre de aberra¸ c˜ ao crom´ atica. do grego k´ atoptron. erroneamente. e que cada tipo de raio diferente produz uma cor espectral diferente. A ocular ´ e uma lente magnificadora colocada no foco do telesc´ opio e usada para olhar a imagem. propˆ os e construiu um telesc´ opio refletor. como um espelho. em 1897. e a escala graduada mede o ˆ angulo de altura. permitindo grande escala de imagem. A maior lente que se pode construir tem aproximadamente 1 metro de diˆ ametro. independentemente. aumentando a distˆ ancia focal. embora o matem´ atico inglˆ es Chester Moor Hall (17031771) j´ a tivesse.Figura 28. A maioria dos telesc´ opios modernos tem foco Cassegrain. pesa meia tonelada. o inglˆ es John Hadley (1682-1744) inventou o sextante que olha o horizonte e uma estrela simultaneamente atrav´ es de uma pequena luneta. constru´ ıdo o primeiro telesc´ opio com lentes acrom´ aticas em 1733. propˆ os. Os espelhos esf´ ericos constru´ ıdos naquela ´ epoca produziam imagens imperfeitas. Em 1757. para medir sua altura. que combina duas lentes de vidros diferentes para focar luz com diferentes comprimentos de onda no mesmo ponto focal. com aberra¸ c˜ ao esf´ erica. mas espelhos curvos n˜ ao podiam ser feitos naquela ´ epoca. Em 1731. tamb´ em referido como Jacques Cassegrain. Guillaume Cassegrain (1625-1712). 690 . age como uma telefoto. A distˆ ancia entre o espelho secund´ ario e o prim´ ario. j´ a que n˜ ao pode ser apoiada por tr´ as. O observador vˆ e a imagem do horizonte e da estrela simultaneamente. e deforma-se devido ao seu pr´ oprio peso. em Chicago. como no desenho do c´ ırculo superior esquerdo. o imigrante francˆ es na Inglaterra John Dolland (1706-1761) patenteou a lente acrom´ atica. o uso de um espelho convexo secund´ ario para convergir a luz para um buraco no centro do espelho principal. Alvan Clark (18041887) completou a constru¸ c˜ ao do telesc´ opio refrator de 40 polegadas de Yerkes. em 1672. gerava imagens nove vezes maior do que um refrator quatro vezes mais longo.2: O sextante de Hadley. no Hava´ ı. permitindo maior campo e maior contraste. Os telesc´ opios modernos tˆ em focos Ritchey-Chr´ etien. existem atualmente dois telesc´ opios Keck idˆ enticos. Na verdade. Com ´ otica ativa. o maior telesc´ opio ´ e o Keck. propostos por George Ritchey (1864-1945) e Henri Chr´ etien (1879-1956). desenvolvido pelo russo Dmitri Maksutov (1896-1964). com um espelho prim´ ario de 200 polegadas (5 metros) de diˆ ametro. 691 . todos com 8. Seus espelhos. Para grandes campos. s˜ ao formados por mosaicos de espelhos menores. Na verdade. Em 1948. nesse sistema.3 segundos de arco. mas tˆ em placa de corre¸ c˜ ao curvada. Keck I Os maiores telesc´ opios de espelhos u ´nicos (monol´ ıticos) s˜ ao o VLT do European Southern Observatory. de Monte Palomar. de modo que dobrando o seu tamanho.2 metros de diˆ ametro de espelho principal. o Keck I e o Keck II. portanto. que modifica rapidamente a forma dos espelhos para compensar a varia¸ c˜ ao causada pela atmosfera da Terra. Os Maksutovs s˜ ao muito parecidos com os Schmidts. com 10 metros de diˆ ametro.A sensibilidade de um telesc´ opio aumenta com o tamanho da ´ area coletora e. com o quadrado do diˆ ametro. esse limite est´ a decrescendo para aproximadamente 0. desenvolvido em 1934 pelo estoniano Bernhardt Voldemar Schmidt (1879-1935). ou Maksutov. no Chile. o Gemini Norte e o Subaru. Desde 1993. foi inaugurado o telesc´ opio Hale. os telesc´ opios mais utilizados s˜ ao os catadri´ opticos (espelho mais lente corretora) do tipo Schmidt-Cassegrain. tanto o prim´ ario quanto o secund´ ario s˜ ao hiperbol´ oides. no Hava´ ı. que permite a corre¸ c˜ ao da imagem para um campo maior. na Calif´ ornia. Este foi o maior telesc´ opio do mundo por trˆ es d´ ecadas. Os telesc´ opios na Terra podem enxergar objetos da ordem de 1 segundo de arco ou maiores (1 segundo de arco corresponde a uma moeda de 25 centavos a 50 km de distˆ ancia!). de 10 metros cada. onde o pequeno espelho secund´ ario do Cassegrain ´ e substitu´ ıdo por outro de forma mais complexa. podemos detectar objetos quatro vezes mais fracos. Somente em 1906 ele conseguiu transmitir a voz humana.2 Radiotelesc´ opio Em 1899. uma transmiss˜ ao que atravessou o Atlˆ antico. ainda. Essa configura¸ c˜ ao foi desenvolvida. em 1901. escala de campo). O padre brasileiro Roberto Landell de Moura 692 Espelho Esférico Superfície da Imagem . o r´ adio. um foco Coud´ e (cotovelo. Para montagem alto-azimutal. em 1880. 28. em que um conjunto de espelhos leva a luz para uma posi¸ c˜ ao de grande distˆ ancia focal e. de grande aumento (magnifica¸ c˜ ao. e fez uma transmiss˜ ao sobre o Canal da Mancha. portanto. Normalmente. no Observatoire de Paris por Maurice Loewy (18331907). os espelhos direcionam a luz atrav´ es de um furo no eixo polar do telesc´ opio. o engenheiro el´ etrico italiano Guglielmo Marchese Marconi (18741937) desenvolveu um sistema de transmiss˜ ao de ondas pelo ar para longas distˆ ancias. a luz pode ser direcionada ao longo do eixo de altura para um dos dois focos Nasmyth [James Nasmyth (1808-1890)] na lateral do telesc´ opio.Lente Corretora Catadrióptico: Schmidt ou Maksutov Muitos observat´ orios tˆ em. enviando sinais de c´ odigo Morse. que separa a Fran¸ ca da Inglaterra e. em francˆ es) em seus telesc´ opios equatoriais. 693 . a radioastronomia se extende desde freq¨ uˆ encias de poucos megahertz (λ 100 m) at´ e 300 GHz (λ 1 mm).5 m. Porto Rico. entre um avi˜ ao e a base. e nos Estados Unidos. 6 m) e descobriu uma emiss˜ ao de origem desconhecida. e. o desenvolvimento das transmiss˜ oes de r´ adio se acentuou. dos Laborat´ orios Bell. em 1904. Em 1963. realizou as primeiras observa¸ c˜ oes de emiss˜ ao de r´ adio do cosmos. um conjunto de radiotelesc´ opios em Socorro. em Arecibo. em 1901. em 1893. para permitir a comunica¸ c˜ ao entre diferentes unidades de um ex´ ercito. Grote Reber (1911-) iniciou observa¸ c˜ oes sistem´ aticas com uma antena parabol´ oide de 9. posteriormente. Novo M´ exico. e entre dois avi˜ oes. Ele estava fazendo observa¸ c˜ oes na freq¨ uˆ encia de 20. Somente mais tarde demonstrou-se que a fonte dessa radia¸ c˜ ao estava no centro da Via L´ actea. que variava com um per´ ıodo de 24 horas. entrou em opera¸ c˜ ao o VLA (Verry Large Array). mostrado na figura a seguir. o americano Karl Guthe Jansky (1905-1950). Hoje em dia. No fim dos anos 1930. entrou em opera¸ c˜ ao o maior radiotelesc´ opio at´ e hoje.5 MHz (λ = 14. Em 1980.(1861-1928) j´ a havia transmitido a voz humana. quando estudava as perturba¸ c˜ oes causadas pelas tempestades nas ondas de r´ adio. com 300 metros de diˆ ametro. e obtido a patente do transmissor e receptor no Brasil. Durante a Primeira Guerra Mundial. Em 1932. ´ e muito f´ acil de montar e usar. que custou mais de 1. quando sua ´ otica foi corrigida. um telesc´ opio de 2.nasa. Os telesc´ opios pequenos. A vista por telesc´ opios pequenos ´ e geralmente um grande desapontamento. E preciso aprender antes a usar cartas celestes e a localizar as constela¸ c˜ oes no c´ eu a olho nu.5 metros de diˆ ametro em orbita da Terra. e um telesc´ opio desse tipo custa da ordem de 400 d´ olares. que s˜ ao pequenos.5 bilh˜ ´ ao de d´ olares.jpl. no c´ eu imenso. apresentam imagens acinzentadas. desde 1993.html. custando centenas de milh˜ oes de d´ olares. Os planos para a constru¸ c˜ ao de um telesc´ opio como esse podem ser acessados em http://tie. nos Estados Unidos.28. vem produzindo imagens espetaculares desde planetas do sistema solar at´ e as gal´ axias mais long´ ınquas at´ e hoje observadas. Esse telesc´ opio. Outra grande dificuldade de usar um telesc´ opio ´ e a de encontrar ´ os objetos celestes. por receberem pouca luz. e que. sentem vontade de comprar um telesc´ opio para ver esses objetos. n˜ ao existem fabricantes de porte no Brasil. 694 . com dif´ ıcil distin¸ c˜ ao de cores. Os impostos de importa¸ c˜ ao e o transporte elevam o custo em mais de 60%. vendo as belas imagens astronˆ omicas publicadas nas revistas e apresentadas na TV. O melhor telesc´ opio para um iniciante ´ e um Newtoniano com montagem Dobsoniana. com 6 polegadas (15 cm) de diˆ ametro.3 Comprando um telesc´ opio Muitas pessoas. As fotos publicadas s˜ ao obtidas com telesc´ opios de at´ e 10 metros de diˆ ametro. por ser alto-azimutal. exceto para os planetas mais brilhantes.gov/tie/dobson/index. ou pelo telesc´ opio espacial Hubble. em honra ao astrˆ onomo amador americano nascido na China John Lowry Dobson (1915-). Infelizmente. 2 metros de comprimento. pode ser um Maksutov-Cassegrain ou um Schmidt-Cassegrain de 8 a 12 cm de diˆ ametro. pois isso causa les˜ ao irrevers´ ıvel na retina do olho.Uma das dificuldades dos telesc´ opios em geral ´ e seu tamanho. tornando a observa¸ c˜ ao segura. O termo apocrom´ atico indica que as lentes s˜ ao feitas de vidros especiais que eliminam as franjas coloridas. e um telesc´ opio maior tem problema de locomo¸ c˜ ao. mencionado anteriormente. j´ a ocupa boa parte do assento de um carro. e embora seja leve. mas o mais indicado ´ e sempre a observa¸ c˜ ao da proje¸ c˜ ao da imagem do Sol. exceto para olhar a Lua. 695 . permitindo que cores diferentes sejam focadas no mesmo ponto. n˜ ao s˜ ao adequados para olhar objetos na ´ Terra. Um telesc´ opio de menor tamanho f´ ısico. mas que permite um aumento suficiente para observar os an´ eis de Saturno. nos Estados Unidos. em volta dos objetos brilhantes. Note que os Newtonianos invertem a imagem e. um telesc´ opio amador precisa ser m´ ovel. E important´ ıssimo ressaltar que n˜ ao se deve observar o Sol atrav´ es de nenhum telesc´ opio ou bin´ oculo. sem qualquer dor! Existem filtros solares especiais. artificiais. com trip´ e. portanto. Um telesc´ opio muito pequeno (abaixo de 6 cm de diˆ ametro) tem muito pouca utilidade na astronomia. ou um refletor Newtoniano apocrom´ atico (acrom´ atico) de 10 cm ou maior. que reduzem a luz do Sol em milh˜ oes de vezes. Mesmo um Dobsoniano de 6 polegadas. mas todos esses custam acima de 600 d´ olares. para que se possa transport´ a-lo para um local escuro adequado. mede 1. menor o tempo em que um astro permanecer´ a no campo. portanto. que precisa ser alto o suficiente para uma vis˜ ao confort´ avel e bastante r´ ıgido para n˜ ao vibrar. Note que. Note que todas as lentes devem ser revestidas (coated) com filmes que 696 . tem um campo de 40◦ a 50◦ . Um item fundamental em qualquer telesc´ opio ´ e o trip´ e. devido ` a rota¸ c˜ ao da Terra. e montado com seis pontos de apoio. mais luminoso. al´ em do movimento pr´ oprio de cometas. menor a parte do c´ eu que est´ a vis´ ıvel ao mesmo tempo na ocular e. e os Dobsonianos n˜ ao s˜ ao adequados. o sistema deve conter um telesc´ opio buscador 6x30. Quanto maior for o telesc´ opio. um refrator apocrom´ atico produz uma imagem mais n´ ıtida do que um refletor de mesmo tamanho. a recentragem ter´ a que ser feita em dois eixos. e com adaptadores para a cˆ amara. nesse caso. Para telesc´ opios pequenos. nos Estados Unidos. com lente Kellner [Carl Kellner (1826-1855)] (K). Para utilizar o telesc´ opio para fotografia ´ e necess´ ario que este seja motorizado. Se a montagem for alto-azimutal. a corre¸ c˜ ao ´ e s´ o em um eixo. manualmente ou por movimento motorizado. mas. com montagem r´ ıgida suficiente para evitar vibra¸ c˜ ao. Para compensar esrste movimento. menor ser´ a o campo de vis˜ ao. e as Nagler [Albert Nagler (1935-)]. ser´ a acima de 2500 d´ olares. pelo mesmo pre¸ co que um refrator menor. normalmente. Para um aumento razo´ avel. Uma ocular Kellner combina uma lente acrom´ atica com uma lente simples. portanto. com seis ou sete componentes. enquanto um telesc´ opio refletor usa um espelho prim´ ario. utilizando dois controles diferentes. Uma Pl¨ ossl usa duas lentes acrom´ aticas e tem um campo um pouco maior. e. Se a montagem for equatorial. e normalmente se obt´ em um refletor maior e. sat´ elites e planetas. Mais recentes s˜ ao as Erfle [Heinrich Valentin Erfle (1884-1923)]. O custo de um telesc´ opio motorizado. al´ em do telesc´ opio em si. o alinhamento do telesc´ opio com o p´ olo antes da observa¸ c˜ ao ´ e mais dif´ ıcil. o que causaria movimento da imagem. para permitir longas exposi¸ c˜ oes. Mas o custo de um refletor ´ e menor. os astros saem do campo em poucos minutos.Um telesc´ opio refrator usa um par de lentes para produzir a imagem. 6 vezes de aumento e 30 mm de diˆ ametro. e campo de at´ e 85◦ . ´ e preciso recentrar o objeto. e 60◦ a 70◦ de campo. com oito ou mais elementos. isto ´ e. acrom´ atica modificada (MA) ou Pl¨ ossl [Georg Simon Pl¨ ossl (1794-1868)]. Note tamb´ em que os astros se movem no c´ eu. isto ´ e. O aumento n˜ ao ´ e uma propriedade do telesc´ opio. produzir´ a uma imagem total de 2 mm. a ocular ´ e um conjunto de lentes. que precisa ser entre 6 e 10 mil´ ımetros. produzindo 697 . Na verdade. geralmente. Por exemplo: um telesc´ opio de 10 cm de diˆ ametro e raz˜ ao focal f/9. tem distˆ ancia focal de 90 cm. mas da ocular. O melhor aumento para um telesc´ opio ou bin´ oculo ´ e aquela que produz uma imagem de diˆ ametro da ordem de 5 mm. O tamanho dessa imagem (pupila de sa´ ıda) ´ e dada dividindo-se a abertura do telesc´ opio (lente de entrada no caso de refrator ou bin´ oculo. e espelho prim´ ario no caso de refletor) pelo aumento. de forma a poder alterar o aumento do telesc´ opio. de 5 = 18 vezes. a lente colocada na extremidade junto ao olho. O aumento do telesc´ opio ´ e igual ` a distˆ ancia focal da objetiva dividida pela distˆ ancia focal da ocular.1 Caracter´ ısticas ´ oticas dos telesc´ opios Os telesc´ opios s˜ ao caracterizados. minimizando a reflex˜ ao. Uma lente normal reflete cerca de 5% da luz incidente por superf´ ıcie. onde o n´ umero n indica a raz˜ ao entre a distˆ ancia focal e o diˆ ametro da objetiva.reduzam a reflex˜ ao. Outro fator importante em uma ocular ´ e a distˆ ancia entre a superf´ ıcie da u ´ltima lente e o foco (imagem da ocular). utilizar´ a uma ´ area maior da retina para a imagem.3. usando oculares com diferentes distˆ ancias focais. ou seja aumento = distˆ ancia focal da objetiva distˆ ancia focal da ocular Normalmente. No telesc´ opio do exemplo acima. para uma vis˜ ao confort´ avel. a sua luminosidade e o seu aumento. que ´ e o tamanho m´ edio da pupila de uma pessoa normal. Di´ oxido de sil´ ıcio e fluoreto de l´ ıtio s˜ ao dois materiais usados para revestir as lentes. Essas especififica¸ c˜ oes nos permitem avaliar o poder de captar luz do telesc´ opio. chamada de eye relief. se trocarmos a ocular por outra de 2 cm de distˆ o aumento passa a ser de 45 vezes. pelo diˆ ametro da objetiva (o espelho ou a lente principal) e por sua raz˜ ao focal (f/n). produzir´ a uma imagem de 5 mm e. portanto. um telesc´ opio de 10 cm (100 mm) de diˆ ametro. se a ocular tem distˆ ancia focal de 5 cm. seu aumento ser´ a 90 ancia focal. ap´ os a adapta¸ c˜ ao ao escuro. de modo que um sistema contendo digamos 5 lentes n˜ ao revestidas perde cerca de 40% da luz incidente s´ o por reflex˜ ao. 28. a ocular pode ser trocada. Com um aumento de 20X. Por exemplo. com uma ocular com 50X de aumento. e o uso muito mais geral. e o aumento deve ser adequado para produzir uma imagem mais pr´ oxima de 5 mm poss´ ıvel. O poder de captar luz do telesc´ opio depende apenas do tamanho da ´ area coletora. discretos. o que indica que uma imagem de 1 mm ´ e produzida por um telesc´ opio ou bin´ oculo de 20 mm de diˆ ametro. menor ´ e a distˆ ancia focal da objetiva. como os de teatro. mas maior ser´ a a luminosidade.2 Bin´ oculos Uma alternativa recomendada ´ e o uso de bin´ oculos. mas os bin´ oculos mais adequados para a astronomia seguem as regras de quanto maior a abertura. permitem a observa¸ c˜ ao de astros inacess´ ıveis a olho nu. Mesmo pequenos bin´ oculos. 28. permitindo enxergar objetos 400 vezes mais fracos do que se pode ver a olho nu. a luz estar´ a caindo fora do olho e. para uma pessoa com dilata¸ c˜ ao m´ axima da pupila de 5 mm.3. O bin´ oculo permite observar milhares de objetos celestes que n˜ ao podem ser vistos a olho nu. ´ e poss´ ıvel enxergar objetos mais fracos.uma imagem melhor. sendo proporcional ao quadrado do diˆ ametro da objetiva. portanto. O pre¸ co ´ e muito mais acess´ ıvel. se a imagem for maior do que 5 mm. O telesc´ opio do exemplo acima. al´ em de ser totalmente transport´ avel. e menor ser´ a o aumento. de cerca de 100 d´ olares. O aumento de 20X ´ e a m´ ınima necess´ aria para distinguir os an´ eis de Saturno. j´ a que o aumento reduz o brilho superficial do campo inteiro. Quanto menor o n. mais luminoso. comparado com a pupila humana. passando de baixo para alto aumento. espalhando a luz por uma ´ area maior. Se o c´ eu n˜ ao estiver completamente escuro. n˜ ao ser´ a detectada. A luminosidade do telesc´ opio ´ e especificada pela sua raz˜ ao focal. 698 . Note que. tem diˆ ametro 20 vezes maior e capta 202 = 400 vezes mais luz. o que reduz o brilho do c´ eu sem afetar o brilho total dos objetos menores. para bin´ oculos sem apoio. A maior dificuldade para o uso de bin´ oculos na Astronomia se deve ` a instabilidade das m˜ aos. n˜ ao segue um disco de difra¸ c˜ ao (de Airy). O primeiro n´ umero indica o aumento. 22 λ −→ θ D 1. que faz a imagem mover-se constantemente. Note que um bin´ oculo t´ ıpico com 10X abrange um campo de cerca de 5◦ . pelo menos. 8x50 e 10x50. marcados no corpo do bin´ oculo. isto ´ e. apoiar os bra¸ cos nos bra¸ cos de uma cadeira. recomenda-se o uso de trip´ es com adaptadores para bin´ oculos. obt´ em-se o tamanho da imagem de sa´ ıda. A imagem produzida por um telesc´ opio em geral n˜ ao ´ e ideal. que espalha a luz de um objeto puntual em um disco de Airy (o disco no limite de difra¸ c˜ ao. ou. e o segundo o tamanho da lente de entrada. devido ` a turbulˆ encia atmosf´ erica. em mil´ ımetros. Sir George Biddell Airy (1801-1892)]. senθ = 1. O limite de difra¸ c˜ ao te´ orico de um telesc´ opio ´ e uma fun¸ c˜ ao inversa do tamanho do espelho prim´ ario. ou em uma base qualquer. devido ao efeito da difra¸ c˜ ao de Fraunhofer. quase metade da ´ area de um bin´ oculo similar com aumento de 7X. 699 . Dividindo-se o segundo pelo primeiro. Essa dificuldade limita o aumento m´ aximo em 10X. Os mais adequados para a astronomia s˜ ao os 7x42.Os bin´ oculos s˜ ao especificados por dois n´ umeros. Para minimizar esse efeito. 22 λ D Dois objetos mais pr´ oximos que este disco parecem um s´ o objeto. a imagem ´ e circular. PSF) ´ e a fun¸ c˜ ao que descreve a distribui¸ c˜ ao de luz produzida por uma imagem puntual. e sua largura mede a resolu¸ c˜ ao real da imagem. ∆. O m´ aximo central ´ e conhecido como o disco de Airy. Para uma abertura circular.degradando a resolu¸ c˜ ao. A luz uma fonte puntual passando atrav´ es de uma fenda gera uma s´ erie de franjas de interferˆ encia. A diferen¸ ca no caminho. πD2 2J1 (πD|r|/λ) P (r ) = 4λ2 πD|r|/λ) 2 onde P (r) ´ e a intensidade no ponto r. entre os raios difratados ´ e dada por ∆ = (r − ρ cos φ)sen θ e a diferen¸ ca de fase 2π 2π ∆ = (r − ρ cos φ)sen θ λ λ onde o elemento de ´ area ´ e dA = ρdφdρ de modo que a contribui¸ c˜ ao para o vetor el´ etrico da radia¸ c˜ ao no plano da imagem pela ´ area elementar para um ˆ angulo θ em rela¸ c˜ ao ` a normal ´ e proporcional a sen [ωt + 2πλ(r − ρ cos φ)sen θ]ρdφdρ onde ω/2π ´ e a freq¨ uˆ encia da radia¸ c˜ ao. φ). d ´ e a largura da fenda. I0 ´ ea intensidade da fonte na normal e Iθ a intensidade em um ˆ angulo θ. com c´ ırculos concˆ entricos claros e escuros. e o resultado final ´ e obtido integrandose sobre a abertura 2π 0 0 r sen ωt + 2πrsen θ λ 700 − 2πρ cos φ)sen θ ρdρdφ λ . λ o comprimento de onda e D o diˆ ametro do telesc´ opio. Como o padr˜ ao de difra¸ c˜ ao ´ e a transformada de Fourier da forma da fenda. J1 ´ e a fun¸ c˜ ao de Bessel de primeira ordem. A Fun¸ c˜ ao de Espalhamento Puntual (Point Spread Function. Considerando uma abertura de raio r iluminado por um feixe normal ao seu plano. a intensidade em um ponto da imagem ´ e dada por 2 sen2 (πdsen π/λ) Iθ = I0 (πdsen π/λ) onde θ ´ eoˆ angulo normal a apartir da fenda. em coordenadas cil´ ındricas θ. demonstrando que a melhor maneira de determinar um parˆ ametro desconhecido de uma equa¸ c˜ ao de condi¸ c˜ oes ´ e minimizando a soma dos quadrados dos res´ ıduos. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou um artigo no Werke. mais tarde chamado de M´ ınimos Quadrados por AdrienMarie Legendre (1752-1833). a intensidade da imagem I (θ) ´ e dada por 2πrsen θ I (θ) ∝ sen ωt + λ ∝ 2π 0 0 r ρ cos π 2 r4 [J1 (2m)]2 m2 2πρ cos φ)sen θ dρdφ λ 2 28. 1-93. Um programa de m´ ınimos quadrados sempre come¸ ca com a minimiza¸ c˜ ao da soma: N S≡ i=1 o (yi − yi )2 (28.4 M´ ınimos Quadrados Em 1809.= sen ωt + − cos ωt + 2πrsen θ λ 2πrsen θ λ 2π 0 2π 0 0 0 r ρ cos r 2πρ cos φ)sen θ dρdφ λ 2πρ cos φ)sen θ dρdφ λ ρsen A segunda integral no lado direito ´ e nula. a generaliza¸ c˜ ao a problemas com v´ arios parˆ ametros desconhecidos. Desta forma. Pierre-Simon Laplace (17491827) apresenta no memoir da Academia de Paris.1) 701 . 4. como pode ser visto substituindo s= de modo que cos ωt + 2πrsen θ λ r 2π 0 0 s=2πρsen θ/λ r 2πρ cos φsen θ λ 2πρ cos φ)sen θ dρdφ λ −sen s dsdφ [(4π 2 ρ2 sen2 θ/λ2 ) − s2 ]1/2 ρsen = cos ωt + 2πrsen θ λ ρ 0 s=2πρsen θ/λ =0 j´ a que os limites inferiores e superiores da integra¸ c˜ ao em rela¸ c˜ ao a s s˜ ao idˆ enticos. Em abril de 1810. m´ ınimos quadrados implica em minimizar os quadrados dos res´ ıduos.76%. E ıduos diretamente. A probabilidade de observar este conjunto ´ e dada por P (y1 . a probabilidade de se encontrar uma medida entre −σ e +σ ´ e de 68. a probabilidade de se encontrar uma medida entre −3σ e +3σ ´ e de 99. yN ) = 1 1 1 1 √ exp − 2 (y1 − y √ exp − 2 (y2 − y ¯)2 ¯)2 2σ 2σ σ 2π σ 2π 1 1 √ exp − 2 (yN − y . Suponhamos que medimos o valor de y v´ arias vezes.. y3 . y2 . ¯)2 2 σ σ 2π 1 √ σ 2π N .. . = exp − 702 1 2σ 2 N (yi − y ¯)2 i=1 . 5σ e +1.4%.onde chamamos de o yi = valores observados de y yi = valores calculados de y ou seja. Suponhamos que temos um conjunto de dados y com uma distribui¸ c˜ ao normal: 1 1 ¯)2 P (y ) = √ exp − 2 (y − y 2 σ σ 2π onde P (y ) = probabilidade de obter o valor y y = quantidade a ser observada y ¯ = valor m´ edio de y σ = desvio padr˜ ao de y Por exemplo. a probabilidade de se encontrar uma medida entre −2σ e +2σ ´ e de 95. a probabilidade de se encontrar uma medida entre −1.6%. . 5σ ´ e de 86.. enquanto que com o quadrado minimizamos os m´ odulos das diferen¸ cas. a probabilidade de se encontrar uma medida entre −2. obtendo uma s´ erie de valores {yi }.3%. Por que este crit´ erio ´ e considerado um bom crit´ erio e n˜ ao simplismente minimizar os res´ ıduos ou o cubo dos res´ ıduos? A resposta formal ´ e que os m´ ınimos quadrados s˜ ao corretos se os res´ ıduos tiverem uma distribui¸ c˜ ao ´ simples notar que se minimizarmos os res´ gaussiana (normal). 5σ ´ e de 98.74%. . um grande res´ ıduo negativo pode ser anulado por um grande res´ ıduo positivo. .. 5σ e +2. ou seja. obtemos d dy ¯ ou na nossa nota¸ c˜ ao N N (yi − y ¯)2 = 0 i=1 S= i=1 (yi − y ¯)2 dS =0 dy ¯ Continuando com a deriva¸ c˜ ao. O melhor valor ser´ a aquele que maximiza a probabilidade de obter os valores observados {yi }.Queremos agora saber qual ´ e o melhor valor de y ¯. y2 . y3 . . yN )] = 0 dy ¯ Ou seja d dy ¯ 1 √ σ 2π N 1 √ σ 2π 1 exp − 2 2σ N exp − N 1 2σ 2 2 N (yi − y ¯)2 i=1 =0 (yi − y ¯) i=1 d 1 − 2 dy ¯ 2σ N (yi − y ¯)2 = 0 i=1 Como o termo exp[. . o valor m´ edio. . .] n˜ ao pode ser nulo. . obtemos: 0 = = i=1 N d dy ¯ N N (yi − y ¯)2 i=1 −2 (yi − y ¯) N = i=1 yi − i=1 N y ¯ Ny ¯= i=1 yi 703 . . o melhor valor de y ¯´ e obtido colocando a derivada da probabilidade como nula: d [P (y1 . por exemplo: yi = a + b x i de modo que N S= i=1 2 o (yi − a − b xo i) Minimizando S em rela¸ c˜ ao a a e b. vamos definir os colchetes: N xi ≡ [x] i=1 N 1 = N ≡ [1] i=1 704 . O pr´ oximo passo ´ e simplesmente reconhecer que y pode ser uma fun¸ c˜ ao. obtemos: dS = da dS = db ou N o yi i=1 N o xo i yi i=1 N N o −2 (yi − a − b xo i) = 0 i=1 N o o −2xo i (yi − a − b xi ) = 0 i=1 N − Na − b i=1 xo i =0 N −a i=1 xo i −b i=1 2 (xo i) = 0 Em nota¸ c˜ ao matricial N N o i=1 xi N o i=1 xi N o 2 i=1 (xi ) a b = N o i=1 yi N o o i=1 xi yi Para simplificar a nota¸ c˜ ao.1 y ¯= N N yi i=1 que ´ e a m´ edia simples. como quer´ ıamos. pois podemos resolver as equa¸ c˜ oes para a e b exatamente. nossa equa¸ c˜ ao matricial se escreve como: [1] [x] [x] [x2 ] a b = [y ] [xy ] Estas equa¸ c˜ oes s˜ ao chamadas de equa¸ c˜ oes normais. qual ´ e o melhor valor de α em y = exp(−αx) Pela nossa defini¸ c˜ ao de S : N S= i=1 o [yi − exp (−αxi )]2 e quando minimizamos S: 0= ou seja N N o yi xi exp (−αxi ) − i=1 i=1 dS = dα N o 2 [ yi − exp (−αxi )] [− exp (−αxi )] (−xi ) i=1 0= xi exp (−2αxi ) Que podemos escrever. na nota¸ c˜ ao de colchetes. 28.6 M´ ınimos quadrados n˜ ao lineares Muitos problemas interessantes n˜ ao podem ser resolvidos linearmente. como: 0 = [xy exp (−αx)] − [x exp (−2αx)] 705 . e podem ser resolvidas com a matriz inversa: a b = [1] [x] [x] [x2 ] −1 [y ] [xy ] 28.5 M´ ınimos quadrados lineares Os m´ ınimos quadrados s˜ ao lineares quando podemos resolver as equa¸ c˜ oes normais usando ´ algebra linear. Por exemplo. O exemplo dado acima ´ e um m´ ınimo quadrado linear.desta forma. A id´ eia. na nota¸ c˜ ao dos colchetes: 0 = yo dy dy − y0 − dα dα 706 dy dα 2 ∆α .i dy dα α0 − dy dα α0 ∆α ou. a t´ ecnica que se utiliza quando chamamos de m´ ınimos quadrados n˜ ao lineares.Esta equa¸ c˜ ao n˜ ao pode ser resolvida usando-se ´ algebra linear. Precisamos utilizar t´ ecnicas diferentes. ´ e: y = exp(−αx) Escolhemos um valor inicial de α. A t´ ecnica mais empregada e. e definimos: α = α0 + ∆ α Definindo y0 = exp(−α0 x) Em primeira ordem. linear: y = y0 + dy dα α0 ∆α y = exp (−α0 x) − x exp (−α0 x) ∆α Agora y ´ e linear em ∆α e podemos usar os m´ ınimos quadrados lineares para encontrar a corre¸ c˜ ao ∆α: N S≡ i=1 o (yi − yi )2 que se torna N S≡ i=1 o yi − y0. chamado α0 . aplicada ao problema acima.i − dy dα 2 α0 ∆α que minimizando 0= dS = d (∆α) N o yi i=1 N −2 i=1 dy dα α0 o yi − y0. de fato. isto ´ e.i − dy dα α0 2 ∆α 0= dy dα α0 − y0. ´ e a lineariza¸ c˜ ao do problema. 28.0 .Que podemos resolver para ∆α: ∆α = dy dy y o dα − y0 dα dy dα 2 e finalmente obter o valor revisado de α: α = α0 + ∆α Note entretanto que o valor revisado de α n˜ ao ´ e o melhor valor de α.0 + ∆a1 a2 = a2. . ak ) Se a fun¸ c˜ ao y for uma fun¸ c˜ ao de k parˆ ametros que queremos ajustar: colocamos a1 = a1. a1. . isto ´ e. a1 . Ent˜ ao podemos linearizar yi = y (xi . .0 ∆a2 + · · · ∆ak notando que as derivadas s˜ ao calculadas para todos an = an. a2 . mas somente uma melhor aproxima¸ c˜ ao do que α0 .0 ) e dyi daj ∆aj = dyi daj ∆aj a0 an =an. utilizar este valor revisado de α como um novo α0 e obter um novo valor revisado.0 . . ak.0 + ∆ak com a hip´ otese de que ∆ai ai.0 . a1. a2.0 dy da1 an =an. . .0 707 . .0 .0 = y (xi . Isto ocorre porque ∆α ´ e a solu¸ c˜ ao do problema linearizado e n˜ ao do problema real. ak = ak. .0 . Chamando yi. a2. .0 . Portanto. .0 ∆a1 + dy da2 an =an. . precisamos iterar. .7 Formula¸ c˜ ao Geral yi = y (xi .0 ) + +··· + dy dak an =an. ak. .0 + ∆a2 . .   ∆ak dy o (y − y0 ) da k    dy (y o − y0 ) da 1         Esta equa¸ c˜ ao matricial pode agora ser revolvida por ´ algebra matricial para encontrar as corre¸ c˜ oes ∆am .0 + j =1 dyi daj a0 ∆aj onde o subscrito i significa calculado no ponto xi . . em nota¸ c˜ ao matricial         dy da1 dy da2 dy da1 dy da1 dy da1 dy da2 dy da2 dy da2 ··· ··· . .  .0 − k j =1 2 dyi daj a0 S≡ i=1 ∆aj  que minimizando com respeito a ∆am : dS = 0= d (∆am ) N N i=1  o 2 yi − yi. 708 .  =  .   . dy da1 dy da2 . .podemos escrever k yi = yi. . . Podemos agora calcular S : N S≡ i=1 N o (yi − yi )2  o yi − yi. dy dak dy dak  dy dy dak da1 dy dy dak da2 ··· dy dy dak dak   ∆a1  o  dy  (y − y0 ) da  ∆a2  2   .0 − k j =1 k a0  dyi daj a0 ∆aj  − dyi dam a0 0= i=1 o (yi − yi. .0 ) dyi dam − j =1 dyi daj N a0 ∆aj i=1 dyi dam a0 que na nota¸ c˜ ao dos colchetes pode ser escrita como: dy 0 = (y − y0 ) − dam o k j =1 dy dy ∆aj dam daj Ou. .  . .  . dy da1 dy da2 .   ak dy o (y − y0 ) da k          28. Podemos expandir por s´ erie de Taylor [Brook Taylor (1685-1731).Para o problema linear.         dy da1 dy da2 dy da1 dy da1 dy da1 dy da2 dy da2 dy da2 ··· ··· . y ). Methodus incrementorum directa et inversa (1715)]: ∆z = de onde obtemos: 2 σz ≡ (∆z )2 dz dz ∆x + ∆y dx dy = = dz dz ∆x + ∆y dx dy dz dx 2 2 (∆x)2 + 2 dz dz ∆x∆y + dx dy dz dy 2 (∆y )2 Se as vari´ aveis x e y s˜ ao separ´ aveis. . .  =   . .   . z = z (x. . a significa a m´ edia e onde ∆z = zcalculado − zobservado Agora suponhamos que z seja uma fun¸ c˜ ao de duas vari´ aveis x e y . . podemos reduzir a equa¸ c˜ ao acima a 2 σz = dz dx 2 (∆x)2 + 2 dz dz ∆x∆y + dx dy dz dy 2 (∆y )2 e. dy dak dy dak dy dy dak da1 dy dy dak da2 ··· dy dy dak dak  dy   (y o − y0 ) da 1   a1    o dy  a2   (y − y0 ) da2  . . . por defini¸ c˜ ao: 2 σx ≡ (∆x)2 709 .  .8 Determina¸ c˜ ao das incertezas A maneira correta de determinar as incertezas nos parˆ ametros ´ e calculando a varian¸ ca de um parˆ ametro qualquer z : 2 σz ≡ (∆z )2 onde o quadrado ´ e necess´ ario pelas mesmas considera¸ c˜ oes do valor de S . . obtendo a matriz covarian¸ ca.10 χ2 Mas o que fazemos se a fun¸ c˜ ao a ser fitada n˜ ao ´ e anal´ ıtica. 28. Robinson e R. como por exemplo. se a equa¸ c˜ ao normal matricial ´ e escrita como MA = Y de modo que a solu¸ c˜ ao ´ e dada por A = M−1 Y onde M−1 ´ e a matriz inversa da matrix M.2 σy ≡ (∆y )2 2 σxy ≡ ∆x∆y de modo que 2 σz = dz dx 2 2 σx dz dz 2 +2 σ + dx dy xy dz dy 2 2 σy E como obtemos σx . um espectro resultante de um modelo de atmosferas? Er-Ho Zhang. Edward Nather (1986. Astrophysical Journal. por σ 2 . onde σ2 = 28. 740) 710 .9 Matrix Covarian¸ ca 2 2 σx σxy 2 2 σxy σy Definimos a matriz covarian¸ ca como COV = De modo que. Edward L. 305. vemos que a matriz covarian¸ ca ´ e dada por COV(A) = σ 2 M−1 N (y o − yi )2 S = i=1 i N −k N −k Desta maneira ´ e muito f´ acil calcular as incertezas nos parˆ ametros. σy e σxy ? Definindo a matriz covarian¸ ca. pois somente precisamos multiplar a matriz inversa que usamos para obter os valores dos parˆ ametros. . Pela propaga¸ 2 σi = σii = 1 2 2 2 σi = (σi + 2σij + σj ) 2 711 .. . xk . portanto. enquanto que a mudan¸ ca de outros parˆ ametros gera pequenas diferen¸ cas e. mantendo todos os outros parˆ ametros cons˜ tantes. . ainda. obteremos um novo valor de S ˜=S ˜0 + d2 /σii S i e. onde a mudan¸ ca de alguns pode gerar mudan¸ cas significativas. . o espectro.. que os parˆ ametros n˜ ao s˜ ao independentes.1). definindo incertezas o medidos pelos valores xo .demonstraram que no caso medirmos v´ arios parˆ ametros simultaneamente. portanto. se S e o valor m´ ınimo de S parˆ ametro i por um delta di . . com di = dj = d = di / 2. d2 i (28. k) = 1 1 exp − k/ 2 2 (2π ) σ1 · · · σk 2 1 2 σ1 + ··· + 2 k 2 σk e. 1 k f ( 1 .. . . obtemos ˜= S N i (Iio − Ii )2 W2 ˜0 ´ ˜. Se medimos os valores Iio . por exemplo. se assumirmos que a distribui¸ c˜ ao de erros ´ e normal e que todas as varian¸ cas s˜ ao iguais (σ1 = σ2 = · · · = σk = W ). .2) ˜ ˜0 S−S Podemos encontrar o termo de correla¸ c˜ ao usando uma transforma¸ c˜ ao de vari´ aveis √ di = (di + dj )/ 2 √ dj = (di − dj )/ 2 √ c˜ ao de erros. xk sejam o . e calculamos Ii com os parˆ ametros x1 . . est˜ ao correlacionados. maximizarmos a probabilidade ´ e equivalente a minimizarmos ˜≡ χ2 ≡ S 2 1 2 σ1 + ··· + 2 k 2 σk ˜ tem normaliza¸ Note que o valor de S c˜ ao diferente da de S definido na equa¸ c˜ ao (28. isto ´ e. e se mudarmos o valor do de modo que. . x i = xi − xi . . precisamos maximizar a probabilidade (likelihood) de que os parˆ ametros x1 . . . reduzindo o n´ umero de graus de liberdade. os outliers. para obter S ametro ˜ xi para o valor que minimizou S mais um delta. e algumas vezes se usa um χ2 reduzido para que sua m´ edia seja 1: k 2 1 2 1 i χ2 ≡ χ = red 2 k k σi i 28. Para se reduzir a influˆ encia destes res´ ıduos muito grandes. e minimizando ˜ com este valor de xi fixo. fixando o valor do parˆ com todos os parˆ ametros livres. e o +1 ´ e porque um dos parˆ ametros foi mantido fixo. e repetir o processo para os outros parˆ ametros. Com a equa¸ novamente S c˜ ao (28. pode-se minimizar fun¸ c˜ oes que n˜ ao crescem 2 t˜ ao rapidamente quanto S . como por exemplo. devemos usar: 2 σi = σii = ˜ d2 S ˜−S ˜0 n−k+1S (28. 712 S 2 se |S | ≤ c c2 se |S | > c . A distribui¸ c˜ ao de probabilidades χ2 para k graus de liberdade ´ e dada por 1 (χ2 )(k−2)/2 exp − χ2 fk (χ2 ) = k/2 2 2 (k/2 − 1)! O valor m´ edio de χ2 ´ e k.3) ˜ Portanto podemos obter a incerteza em cada parˆ ametro minimizando S ˜0 .4) onde n ´ e o n´ umero de pontos. digamos 5%.11 Estimativa Robusta O grande problema do m´ etodo de m´ ınimos quadrados ´ e a grande influˆ encia de pontos com res´ ıduo muito grande. definida como: f (S ) = onde c ´ e uma constante. Se a normaliza¸ c˜ ao n˜ ao for unit´ aria. mimizando a fun¸ c˜ ao discrepˆ ancia.de modo que 1 2 d2 1 2 2 2 2 σij = σi − (σi + σj )= − (σi + σj ) ˜ ˜ 2 S − S0 2 (28. obtendo um novo S ˜. k o n´ umero de parˆ ametros fitados.2) podemos ent˜ ao estimar o valor de sua incerteza. (x−xo )2 1 P (x − xo ) = √ e− 2σ2 2πσ 2 Se a distribui¸ c˜ ao ´ e discreta. Esta probabilidade ´ e dada pela distribui¸ c˜ ao binominal b(k . ´ e definida como 1 2 1 P (x) = √ e− 2 x 2π e sua integral ´ e a distribui¸ c˜ ao normal 1 f (x) = √ 2π Com esta defini¸ c˜ ao +∞ x −∞ e− 2 y dy 1 2 P (x)dx = 1 −∞ Se tivermos uma distribui¸ c˜ ao centrada em xo . centrada em x=0 e com largura em 1/e em x=1 e x=-1.28. p) = n k n−k p q k 1 P √ npq k − np √ npq Para duas vari´ aveis correlacionadas.11. com N valores: N P (xi ) ≡ 1 i=0 de modo que precisamos normalizar nossas probabilidades P (x − xo ) = (x−xo )2 1 − 2σ 2 √ e N 2 P ( x ) 2 πσ i i=0 1 Chamemos de b(k. e q=1-p a probabilidade intr´ ınseca de insucesso. resulte em k sucessos e n-k insucessos. n. x2 ) = 1 2πσ1 σ2 (1 − 713 ρ2 ) exp − z 2(1 − ρ2 ) . x1 medida a partir de µ1 e x2 medida a partir de µ2 : P (x1 .p) a probabilidade que n tentativas com probabilidade intr´ ınseca de sucesso p.1 Probabilidade A fun¸ c˜ ao normal.n. e de largura σ 2 . que ´ e o valor mais prov´ avel da distribui¸ c˜ ao d p(x) dx =0 modo Definindo a m´ edia de um conjunto de medidas. obtemos 2 σx ¯ = 1 N2 N N σij i=1 j =1 Se as medidas i e j n˜ ao s˜ ao correlacionadas. Se medirmos nossas m´ edias x ¯ v´ arias vezes. 2 σx ¯ = 1 2 σ N x 714 .2 ρ = cor(x1 . podemos calcular a varian¸ ca da m´ edia: (¯ xk − x ¯)2 2 σx = ¯ N Substituindo a defini¸ c˜ ao da m´ edia x ¯k .onde z= (x1 − µ1 )2 (x1 − µ1 )(x2 − µ2 ) (x2 − µ2 )2 − 2 ρ + 2 2 σ1 σ2 σ1 σ2 σ1. x ¯: x ¯= xi N Como nossas medidas s˜ ao finitas. e o modo. x2 ) = σ1 σ2 Varian¸ ca da m´ edia Definimos como p(x) a probabilidade de um evento ocorrer entre x e x + dx: p(x)dx = 1 a m´ edia mu: µ= a varian¸ ca σ 2 : σ2 = (x − µ)2 p(x)dx xp(x)dx o desvio padr˜ ao σ . a m´ edia x ¯ n˜ ao ´ e idˆ entica ` a m´ edia µ. podemos minimizar a incerteza total na m´ edia x ¯= i ai xi e demonstrar que o multiplicador ai ai = 2 1/σi 2 i (1/σi ) ´ e aquele que produz a menor incerteza na m´ edia. 715 . σij = σx ij N S = i=1 2 σx 2 2 1 − σx + 2 N N N 2 σx j = i=1 2 σx − 1 2 σ N x ou seja 2 σx = 1 σ2 N −1 x Se tivermos um conjunto de medidas independentes xi .e a varian¸ ca do conjunto: 2 σx = (xi − x ¯)2 N −1 N j´ a que N S= i=1 (xi − x ¯)2 = i=1 N xi − 1 N N 1 N N xj j =1 2 2 S= i=1 N (xi − µ) − N (xj − µ) j =1 S= i=1 (xi − µ)2 − 2 N (xi − µ)(xj − µ) + j =1 1 N2 (xj − µ)(xk − µ) j k Calculando o valor m´ edio: N S = i=1 (xi −µ)2 − 2 N N (xi −µ)(xj −µ) + j =1 1 N2 (xj −µ)(xk −µ) j k 2∂ . Assumindo que as amostras s˜ ao n˜ ao correlacionadas. cada qual com sua incerteza σi . Statistical theory & methodology in science and engineering. 1960. n − 3) onde a distribui¸ c˜ ao F ´ e dada por F (a. K. a redu¸ c˜ ao no S ≡ χ2 ≡ σ 2 ´ e suficiente para que o termo quadr´ atico seja significativo. a significa a m´ edia e onde ∆z = zcalculado − zobservado Agora suponhamos que z seja uma fun¸ c˜ ao de duas vari´ aveis x e y . z = z (x. quando passamos de uma fitagem de uma reta para uma fitagem de uma par´ abola.A. Methodus incrementorum directa et inversa (1715)]: ∆z = dz dz ∆x + ∆y dx dy 716 . b) = χ2 (a)/a χ2 (b)/b [Brownlee. Wiley] 28. y ).Portanto. definimos os pesos wi = que nos levam a x ¯= 1 2 σi i xi wi i wi Para sabermos se.12 Determina¸ c˜ ao das incertezas A maneira correta de determinar as incertezas nos parˆ ametros ´ e calculando a varian¸ ca de um parˆ ametro qualquer z : 2 σz ≡ (∆z )2 onde o quadrado ´ e necess´ ario para que grandes incertezas negativas n˜ ao se anulem com grandes incertezas positivas. Podemos expandir por s´ erie de Taylor [Brook Taylor (1685-1731). podemos definir um parˆ ametro λ= 2 2 σreta − σparab 2 σparab (N − 3) e determinar o n´ ıvel de confiabilidade que podemos descartar a hip´ otese do termo quadr´ atico ser nulo por λ = Fp (1. em el´ etrons) NR ru´ ıdo de leitura por pixel (em el´ etrons) G Ganho do detector (n´ umero de el´ etrons/ADU) σf σ da contagem fracional perdida na discretiza¸ c˜ ao por pixel (em ADU) Desta forma. R. 717 . da equa¸ c˜ ao do CCD. que descreve as contribui¸ c˜ oes dos diversos tipos de ru´ ıdo nas medidas.de onde obtemos: 2 σz ≡ (∆z )2 = = dz dz ∆x + ∆y dx dy dz dx 2 2 (∆x)2 + 2 dz dz ∆x∆y + dx dy dz dy 2 (∆y )2 Se as vari´ aveis x e y s˜ ao separ´ aveis. por defini¸ c˜ ao: 2 σx ≡ (∆x)2 2 σy ≡ (∆y )2 2 σxy ≡ ∆x∆y de modo que 2 σz = dz dx 2 2 σx dz dz 2 σ + +2 dx dy xy dz dy 2 2 σy Por exemplo. o ru´ ıdo estat´ ıstico (Poissoniano) da √ medida ser´ a dado por R = N∗ . Mas em um CCD temos outras fontes de ru´ ıdo: npix 2 + G2 σ 2 ) R = N∗ + npix (1 + )(NB + ND + NR f nB N∗ n´ umero total de contagens coletadas do objeto (em el´ etrons) npix n´ umero de pixels considerados nB n´ umero de pixeis de fundo (c´ eu) NB n´ umero total de contagens por pixel de fundo (c´ eu. podemos reduzir a equa¸ c˜ ao acima a 2 σz = dz dx 2 (∆x)2 + 2 dz dz ∆x∆y + dx dy dz dy 2 (∆y )2 e. a incerteza na medida do n´ umero de el´ etrons ´ e dada pelo seu ru´ ıdo. em el´ etrons) onde ND n´ umero total de contagens por pixel de corrente de escuro (t´ ermicos. supondo que tenhamos N∗ fotoel´ etrons (contagens) detectados de um objeto. que pode ser o n´ umero de f´ otons detectados por onde Fλ ´ unidade de tempo por unidade de ´ area. representado pelo seu comprimento de onda efetivo. 5 log Fλ + Cλ e o fluxo medido. b)(mλ − mλ1 ) + 2σ (mλ . ou a energia correspondente. como d log dx = x ln 10 σ (mo λ ) = −2. x)(mo λ − mλ1 )kλ + 2σ (kλ . x)kλ + 2σ (a. kλ )x o o o o +2σ (mo λ . b)(mλ − mλ1 ) + 2σ (a. kλ )x + 2σ (a. Os coeficientes cruzados s˜ ao calculados pela matriz de covarian¸ ca. 718 . temos outras incertezas: mo λ = −2. mλ − mλ1 )b + 2σ (mλ . a) + 2σ (mλ . mo λ − mλ1 )b(mλ − mλ1 ) + 2σ (b. x)kλ x o o o o o +2σ (a. kλ )(mλ − mλ1 ) onde σ (x) ´ e a varia¸ c˜ ao da massa de ar durante a exposi¸ c˜ ao. e σ (Fλ ) = R. mλ − mλ1 )b o +2σ (b. x 1 Neste caso. 5 1 σ (Fλ ) Fλ ln 10 Mas ainda temos que transformar as magnitudes para um sistema padr˜ ao: o o mλ = mo λ + a + b(mλ − mλ1 ) + kλ x de modo que 2 2 2 o o 2 2 o o 2 2 2 2 2 σ 2 (mλ ) = σ (mo λ ) + σ (a) + σ (b) (mλ − mλ1 ) + b σ (mλ − mλ1 ) + σ (kλ ) x + kλ σ (x) o o o o o o o +2σ (mo λ . e Cλ a constante do ponto zero daquela magnitude (correspondente ao fluxo de uma estrela de magnitude zero). x)kλ + 2σ (b.Mas quando convertemos estas contagens em magnitudes observadas em um certo filtro. 1398-c.Apˆ endice A Biografias A. devido em parte aos estudiosos que foram para o Ocidente ap´ os a captura de Constantinopla pelos turcos. Na Astronomia.1 Nicolau Cop´ ernico A inven¸ c˜ ao da imprensa de tipos m´ oveis (no ocidente) por Johann Gutenberg (c.1468) em 1451. o Renascimento teve seu principal agente em Nicolau 719 . em 1543. foram fatores que impulsionaram a grande revolu¸ c˜ ao nas diversas ´ areas do conhecimento. conhecida com Renascimento ou Renascen¸ ca. a motiva¸ c˜ ao para a leitura dos autores gregos. e a descoberta da Am´ erica em 1492. foi estudar no Collegium Maius. Foi. Em 1533. quando retornou ` a Polˆ onia. provavelmente. Niklas Koppernigk. seus maiores interesses eram Astronomia e Matem´ atica. mais conhecido como Rheticus. P´ adua e Ferrara. no qual Cop´ ernico apresentava o sistema heliocˆ entrico como uma hip´ otese. Depois da morte de seu pai. Georg Joachim (1514-1574). por trˆ es anos. o Papa Clemente VII solicitou a exposi¸ c˜ ao da teoria em Roma. para assumir as fun¸ c˜ oes de cˆ onego em Frauenburgo. mas realmente como acompanhante.Cop´ ernico. Quando retornou a Frauenburgo. circulava entre os astrˆ onomos um manuscrito Nic. Nas universidades de Bolonha. onde estudou Medicina. em que foi transformada a Academia de Crac´ ovia. e foi destinado pelo tio para a carreira eclesi´ astica desde cedo. Copernici de Hypothesibus Motuum Coelestium a se Constitutis Commentariolus (Pequenos coment´ arios de Nicolau Cop´ ernico em torno de suas hip´ oteses sobre os movimentos celestes). na Pomerˆ ania. chegou em Frauenburgo um jovem astrˆ onomo. Em 1529. Matem´ atica e Astronomia. Medicina. em 9 de mar¸ co de 1497. utilizou instrumentos de medida astronˆ omicos que antecederam o telesc´ opio. mais tarde nomeado Bispo de Ermland. por ser origin´ ario de Rhaetia. o Grande. estudou Direito. que s´ o seria inventado mais de cem anos depois. em 1434. que Cop´ ernico elaborou suas id´ eias astronˆ omicas e escreveu os primeiros rascunhos de seu livro. Astronomia e Matem´ atica. Em 1491. que fosse nitidamente superior ao sistema de Ptolomeu. nesses calmos dias em Heilsberg. ap´ os a morte de seu tio. Em Bolonha. ou Mikolaj Kopernik. primeiro. Tendo 720 . ficou sob tutela de seu tio. com interrup¸ c˜ ao em 1501. rumou para a It´ alia. e foi nomeado professor de matem´ atica na Universidade de Wittenberg. fundada em 1364 pelo rei Kasimir. polonˆ es nascido em 19 de fevereiro de 1473. em Toru˜ n. No Collegium Maius. O Collegium Maius faz parte da Universidade Jagielonia (Uniwersytet Jagiellonski). viveu em Frauenburgo e suas observa¸ c˜ oes eram feitas com instrumentos constru´ ıdos por ele pr´ oprio. Desde 1512. mas cujo maior patrono foi o Rei Wladyslaw Jagiello. cujo nome foi dado desde sua morte. Lucas Watzelrode. quase imediatamente obteve licen¸ ca para se juntar ao seu tio em Heilsberg. com quem fez a observa¸ c˜ ao da oculta¸ c˜ ao de Aldebar˜ a. Embora estivesse na It´ alia para estudar Medicina e Direito. associou-se a Domenico Novarra (1454-1504). Ele estudou Astronomia com Johannes Sch¨ oner (1477-1547) em N¨ urnberg. e em 1536 o Cardeal Sch¨ onberg pediu sua publica¸ c˜ ao. em 1483. mas tamb´ em dedicou-se ao estudo do grego. mas Cop´ ernico achava que deveria. Em 1539. ` as margens do rio V´ ıstula. Em 1496. oficialmente como seu conselheiro m´ edico. onde permaneceu nove anos. elaborar uma teoria completa. Rheticus enviou para publica¸ c˜ ao o livro completo de Cop´ ernico. com as observa¸ c˜ oes telesc´ opicas de Galileo das fases de Vˆ enus e dos sat´ elites de J´ upiter. e atualmente est´ a na biblioteca do Collegium Maius. anˆ onimo. em que insistia sobre o car´ acter hipot´ etico do novo sistema e tamb´ em modificando o nome para De Revolutionibus Orbium Coelestium (As Revolu¸ c˜ oes do Orbe Celeste). cujo primeiro exemplar chegou ` as m˜ aos de Cop´ ernico em leito de morte.C. estudando o manuscrito de Cop´ ernico. de Andreas Osiander (1498-1552). Em 1540. que Cop´ ernico j´ a tinha lido. pelo menos t˜ ao precisamente como qualquer vers˜ ao do sistema de Ptolomeu e. e sua visita se estendeu por dois anos. O manuscrito original do livro. mais simples. reservada como um museu em honra a Cop´ ernico. em 1543. como j´ a haviam afirmado Pythagoras (∼569-475 a. foi a primeira forma acess´ ıvel das id´ eias de Cop´ ernico. No livro.). Mas Cop´ ernico desenvolveu a id´ eia matematicamente. Cop´ ernico declarava que a Terra cumpria “uma revolu¸ c˜ ao em torno do Sol. De Revolutionibus. construindo um sistema capaz de prever as posi¸ c˜ oes dos planetas. fora substitu´ ıdo por outro. decidiu visit´ a-lo. como qualquer outro planeta”. Esse sistema s´ o pˆ ode refutar o de Ptolomeu. n˜ ao teve consciˆ encia de que o seu pref´ acio. em muitos aspectos. permaneceu com o autor at´ e sua morte. um pastor Luterano interessado em Astronomia. junto com os instrumentos por ele utilizados. Escreveu com este uma Primeira Narrativa (Prima Narratio) expondo as id´ eias na forma de uma carta ao seu mestre Sch¨ oner. usando deferentes e epiciclos.ouvido de Cop´ ernico e suas teses.) e Aristarchus de Samus (310-230 a. Provavelmente. em 24 de maio de 1543. 721 . De Revolutionibus (As Revolu¸ c˜ oes). Essa carta.C. dedicado ao Papa Paulo III. publicada em 1540. ap´ os resgatar o rei Frederick II (1534-1588) de afogamento. que era vice-almirante.. que inclu´ ıam as posi¸ co ˜es dos planetas no sistema geocˆ entrico. Jorgen. Por´ em n˜ ao cumpriu sua promessa. Mas ele estava obcecado com a Astronomia. imperador do Sacro Imp´ erio Romano. Rei de Castela (Espanha). na Alemanha. publicado por Cl´ audio Ptolomeu em 150 d. convocou 50 astrˆ onomos para revisar as tabelas astronˆ omicas calculadas por Ptolomeu. quando este caiu de uma ponte ao retornar de uma batalha naval com os suecos. fato que o pai do rapaz acabou aceitando. ocorreu um eclipse parcial do Sol. J´ upiter passou muito perto de Saturno. Em 17 de agosto de 1563. no ano seguinte. Tycho descobriu que as Tabelas Alfonsinas1 erraram por um mˆ es ao predizer o evento. Tycho ficou muito impressionado que os homens soubessem o movimento dos astros com exatid˜ ao para poder prever suas posi¸ c˜ oes.A. para continuar seus estudos de Direito. 1 722 . Nessa ´ epoca. foi proclamado rei e. de pneumonia. Com 13 anos. o S´ abio.C. Tycho foi estudar Direito e Filosofia na Universidade de Copenhague. Aos 16 anos. em 1256. devido ` a fortuna que o filho herdaria. que. seu tio o enviou a Leipzig. que havia sido predito com exatid˜ ao. Ele decidiu que melhores Em 1252. Seu tio morreu depois. e as tabelas de Cop´ ernico erraram por v´ arios dias. Jorgen seq¨ uestrou o jovem Tycho. no Almagesto. de uma fam´ ılia nobre da Dinamarca. Ap´ os o nascimento de um irm˜ ao mais novo. comprou livros e instrumentos e passava a noite observando as estrelas. Antes de seu nascimento. o pai havia prometido que o daria a um tio. primeiro filho de Otto Brahe e Beatte Bille. Os resultados foram publicados como as Tabelas Alfonsinas. Afonso X.2 Tycho Brahe Tycho Brahe nasceu em 14 de dezembro de 1546. em Uraniburg. A Dinamarca pagaria a constru¸ c˜ ao de um observat´ orio. e um observador e um marcador de tempo trabalhavam juntos. Tamb´ em foi o primeiro a instituir observa¸ c˜ oes di´ arias. em 1573. Tycho j´ a era famoso em toda a Europa. ent˜ ao. se tornariam seus s´ uditos. Com seus assistentes. ao mesmo tempo. mais brilhante que Vˆ enus. mais perto do que a Lua. baseadas no escorrimento da ´ agua. Tycho conseguiu reduzir a imprecis˜ ao das medidas. V´ arios rel´ ogios (clepsidras. O castelo foi batisado em honra de Urˆ ania. incorporado pelos crist˜ aos. que o “c´ eu” n˜ ao era imut´ avel.6 metros.). ampulhetas de areia. com uma escala calibrada em minutos de arco. e. Tycho. e v´ arios instrumentos. Foi o primeiro astrˆ onomo a calibrar e conferir a precis˜ ao de seus instrumentos periodicamente e corrigir as observa¸ c˜ oes por refra¸ c˜ ao atmosf´ erica. e o Rei Frederick II. para medir as observa¸ c˜ oes o mais precisamente poss´ ıvel. onde mudan¸ cas podiam ocorrer. Em 1588. construiu seu castelo dos c´ eus. concebidas na tradi¸ c˜ ao greco-crist˜ a. em Copenhague. um evento raro.C. Tycho notou uma nova estrela na constela¸ c˜ ao de Cassiop´ eia. chamada Hveen. para um minuto de arco. ou se estava no c´ eu. Em 1575. perto do castelo de Hamlet em Elsinore. de que a esfera celeste era imut´ avel. A grande pergunta era se essa estrela estava na alta atmosfera da Terra. ofereceu-lhe uma ilha inteira. A estrela era t˜ ao brilhante que podia ser vista ` a luz do dia. Era o que hoje em dia se chama de uma supernova. Em 1572. e demonstrou que a estrela se movia menos do que a Lua e os planetas em rela¸ c˜ ao ` as outras estrelas e. e os habitantes da ilha. cerca de 40 fam´ ılias. a musa da Astronomia. n˜ ao eram entes 723 . e as “esferas cristalinas”. de 10 minutos de arco desde o tempo de Ptolomeu. portanto. Em 11 de novembro. estava na esfera das estrelas. e durou 18 meses. velas graduadas ou semelhantes) eram usados. e que ele as realizaria. muito mais preciso do que qualquer outro j´ a constru´ ıdo at´ e ent˜ ao.tabelas poderiam ser calculadas ap´ os observa¸ c˜ oes exatas e sistem´ aticas das posi¸ c˜ oes dos planetas por um longo per´ ıodo de tempo. que seu tio havia salvo. demonstrando que o cometa se movia entre as esferas dos planetas. sobre suas observa¸ c˜ oes do cometa que apareceu em 1577. publicou Mundi Aetherei Recentioribus Phaenomenis (Sobre o novo fenˆ omeno no mundo et´ ereo). Uraniburg. contradizendo o dogma do grego Arist´ oteles (384-322 a. outro evento importante aconteceu. descobrindo assim anomalias nas ´ orbitas at´ e ent˜ ao desconhecidas. Publicou suas observa¸ c˜ oes no De Nova et Nullius Aevi Memoria Prius Visa Stella (Sobre a nova e previamente nunca vista estrela). Tycho tinha rec´ em-terminado a constru¸ c˜ ao de um sextante com bra¸ cos de 1. e n˜ ao somente quando os astros estavam em configura¸ c˜ oes especiais. portanto. contratou Johannes Kepler para ajud´ a-lo. e com a alta corte de justi¸ ca. em Praga. O Sol e a Lua. em 1597. Est´ a enterrado na Igreja Tyn. 724 . Em 1600. giravam em torno da Terra.f´ ısicos. como propunha a Igreja. e faleceu em 24 de outubro de 1601. Em 1598. e pˆ ode continuar suas observa¸ c˜ oes. em Wandsbeck. Ainda em 1588. Tycho deixou a Dinamarca com todos seus equipamentos. em seu modelo. em que todos os planetas giravam em torno do Sol. Seu modelo foi aceito por longo tempo. com exce¸ c˜ ao da Terra. Em 1599. Christian IV. pois n˜ ao era refutado pelas fases de Vˆ enus e mantinha a Terra parada. Tycho propˆ os seu pr´ oprio modelo. Seus rendimentos foram drasticamente reduzidos e. ele chegou em Praga. onde o Imperador Rudolph II o nomeou matem´ atico imperial. publicou Astronomiae Instauratae Mechanica (Instrumentos para a Astronomia restaurada). o rei faleceu e Tycho foi desatencioso com o novo rei. onde estudava teologia no semin´ ario Stift. regi˜ ao da Swabia. que incluia grego. matem´ atica e astronomia com Michael Maestlin (1550-1631). Iniciou. ent˜ ao. foi aprovado no mestrado. Kepler passou o exame de admiss˜ ao (bacharelado) da Universidade de T¨ ubingen. mas s´ o iniciou seus estudos l´ a em 17 de setembro de 1589. Por ter corpo fr´ agil e pelas poucas condi¸ c˜ oes financeiras da fam´ ılia. numa cidade cat´ olica. os estudos de teologia. Sebald Kepler. Em 10 de agosto de 1591. embora seu 725 . que naquela ´ epoca pertencia ao Sacro Imp´ erio Romano. foi enviado ao semin´ ario para seus estudos. hebreu. astronomia e f´ ısica. um soldado. aprendendo com este sobre Cop´ ernico. Essa era a ´ epoca da Renascen¸ ca e da Reforma Protestante. estudando grego com Martin Crusius (1526-1607). apesar de ser protestante (Luterano). Era filho de Heinrich Kepler. cujo sobrenome de solteira era Guldenmann.3 Johannes Kepler Johannes Kepler nasceu em 27 de dezembro de 1571. Em setembro de 1588. completando os dois anos de estudos em Artes. em uma cidade chamada Weil der Stadt. era prefeito da cidade.A. Seu avˆ o paterno. no sul da atual Alemanha. e de sua esposa Katharina. Um exemplar enviado a Galileo.mestre defendesse o modelo geocˆ entrico do Almagesto de Ptolomeu. Kepler foi autorizado a retornar a cidade como matem´ atico do distrito. Em junho de 1599. Kepler enviou um exemplar para Tycho Brahe. pr´ ıncipe Ferdinando de Habsburgo. al´ em de ensinar matem´ atica. Kepler. magnitudinis. que o imperador tinha colocado ` a disposi¸ c˜ ao de Tycho. Kepler foi convidado a ensinar matem´ atica ´ no semin´ ario protestante (Stiftsschule) de Graz. e ordenou que todos os professores e padres deixassem a cidade imediatamente. quando foi expulso definitivamente da cidade por recusar-se a se converter ao catolicismo. Esse modelo matem´ atico poderia prever os tamanhos relativos das ´ orbitas. tamb´ em inclu´ ıa a posi¸ c˜ ao de matem´ atico e calendarista do distrito. mas que acreditava na teoria de Cop´ ernico. fechou o col´ egio e a igreja protestante em Graz. Note que. Aquele bem preparado supera qualquer situa¸ c˜ ao celeste desfavor´ avel. motuumque periodicorum genuinis et propiis. cujo t´ ıtulo abreviado ´ e Mysterium Cosmographicum (Mist´ erios do Universo). defendia o heliocentrismo de Cop´ ernico e propunha que o tamanho de cada ´ orbita planet´ aria ´ e estabelecido por um s´ olido geom´ etrico (poliedro) circunscrito ` a´ orbita anterior. o arquiduque da Austria. Prodromus dissertationum cosmographicarum continens mysterium cosmographicum de admirabili proportione orbium celestium deque causis coelorum numeri. dizendo. naquela ´ epoca. oito anos mais velho que Kepler. No in´ ıcio de 1597. Antes de completar seus estudos. disfar¸ cados como progn´ osticos. ent˜ ao com 28 anos. Kepler fazia os calend´ arios porque era sua obriga¸ c˜ ao. mas tinhas s´ erias restri¸ c˜ oes ` a sua veracidade. Kepler sabia que somente com os dados de 726 .. onde chegou em 11 de abril de 1594. Seu trabalho.” E mais. Nesse livro. contratou Tycho Brahe como matem´ atico da corte em Praga. que respondeu que existiam diferen¸ cas entre as previs˜ oes do modelo e suas medidas. Em janeiro de 1600. por exemplo: “Os c´ eus n˜ ao podem causar muitos danos ao mais forte de dois inimigos. na Austria. Kepler usava os calend´ arios para instigar cuidados. dizendo a melhor data para plantar e colher. fez este enviar uma pequena carta a Kepler agradecendo e dizendo que ainda n˜ ao havia lido. para prevenir doen¸ cas.. demonstratum per quinque regularia corpora geometrica. onde permaneceu at´ e agosto de 1600. da Boˆ emia. o calendarista deveria prever o clima. que se conectava com a astronomia. Kepler publica seu primeiro livro. visitou-o no castelo de Benatky. l´ ıder da Contra-Reforma Cat´ olica. prever guerras e epidemias e mesmo eventos pol´ ıticos. nem ajudar o mais fraco. ´ Em setembro de 1598. o imperador Rudolph II. por Friedrich Wilhelm Bessel (17841846). Brahe morreu. que o contratou como assistente de Brahe. Os pontos deveriam ser observados em oposi¸ c˜ ao. Cop´ ernico assumia uma distˆ ancia enorme para as estrelas. procurando medir a paralaxe. em 24 de outubro de 1601. mas seus instrumentos eram muito rudes. qualquer conjunto de 3 observa¸ c˜ oes deveria resultar na mesma ´ orbita. Em setembro de 1601. medir a paralaxe das estrelas com o movimento da Terra. Dois dias depois. ` as quais Kepler depois adicionou as de 1602 e 1604. Tycho o apresentou ao imperador. Kepler come¸ cou imediatamente a trabalhar no c´ alculo da ´ orbita de Marte ´ e. Mesmo introduzindo um equante. Tycho n˜ ao acreditava no modelo de Cop´ ernico por motivos teol´ ogicos. A paralaxe das estrelas s´ o foi medida em 1838. n˜ ao aceitando os dogmas incondicionalmente. Em 1605. sucedendo Brahe na tarefa de calcular as Tabelas Rudolfinas. o imperador nomeou Kepler como matem´ atico imperial. no qual explicou a forma¸ c˜ ao da imagem no olho humano. com o Sol em um dos focos. bastariam 3 observa¸ c˜ oes. enquanto a precis˜ ao das observa¸ c˜ oes de Tycho eram da ordem de 1’.Tycho Brahe poderia resolver as diferen¸ cas entre os modelos e as observa¸ c˜ oes. Kepler n˜ ao conseguia ajustar as observa¸ c˜ oes com erro menor que 8’. Como Marte ´ e o planeta externo com maior excentricidade. quibur Astronomiae Pars Optica traditur). sem sucesso. pois 3 pontos definem um c´ ırculo. Em 1604 Kepler completou o Astronomiae pars Optica (Ad Vitellionen Paralipomena. pois n˜ ao se observava paralaxe. descobriu uma apro727 . Tycho tinha observado 10 oposi¸ c˜ oes de Marte entre 1580 e 1600. e sua vista muito fraca. come¸ cou a trabalhar para Tycho Brahe em Praga. com a previs˜ ao das posi¸ c˜ oes dos planetas. Se a ´ orbita fosse circular. considerado o livro fundamental da ´ optica. e Tycho j´ a havia instalado seus instrumentos. um c´ ırculo n˜ ao se ajustava ` as observa¸ c˜ oes. Em 19 de outubro de 1600. pois os trˆ es corpos est˜ ao alinhados. e tamb´ em por suas tendˆ encias Calvinistas. descobriu a Lei das Areas. abandonado por seus antigos mestres por suas convic¸ c˜ oes na teoria heliocˆ entrica de Cop´ ernico. Kepler j´ a tinha observado eclipses e mesmo as estrelas. Kepler retornou a Praga depois de uma visita a Graz para acertar a heran¸ ca de seu sogro. explicou como funciona uma cˆ amara obscura. pela primeira vez. dos conhecidos naquela ´ epoca. Kepler descobriu que a ´ orbita era el´ ıptica. mas tamb´ em porque tentou. mas n˜ ao conseguiu ajustar a forma da ´ orbita. em 1602. Estes resultados foram publicados no Astronomia Nova. Kepler. j´ a que em oposi¸ c˜ ao ´ e irrelevante se ´ e a Terra ou o Sol que se movem. Logo depois. em 1609. Naturalmente. que haviam sido trazidos de Hveen. correspondente ao ano 46 do calend´ ario Juliano. e escreveu um longa carta em suporte. publicando Narratio de Observatis Quatuor Jovis Satellitibus (Narra¸ c˜ ao das observa¸ c˜ oes dos quatro sat´ elites de J´ upiter). Kepler leu o livro com as descobertas de Galileo usando o telesc´ opio. ampliado. com a morte do Imperador Rudolph II. Ernst de Cologne. que havia abdicado em 23 de maio de 1611. cujas descobertas eram negadas por muitos. embora invertidos. que estavam pr´ oximos. Em agosto de 1610. quo aeternus Dei Filius humanam naturam in Utero benedictae Virginis Mariae assumpsit (Sobre o verdadeiro ano em que o Filho de Deus assumiu a natureza humana no u ´tero da Sagrada Virgem Maria). dois anos depois.. A estrela competia com J´ upiter em brilho. Em 1612. Kepler demonstrou que o calend´ ario Crist˜ ao estava em erro por cinco anos. o telesc´ opio de Galileo. Nesse trabalho. Os dois trabalhos foram republicados em Floren¸ ca. L´ a. o abade Dionysius Exiguus assumiu que Cristo nascera no ano 754 da cidade de Roma. publicou um tratado. a cor. publicada como Dissertatio cum Nuncio Sidereo (Conversa com o mensageiro sideral). v´ arios historiadores afirmavam que o rei Herodes. e como duas lentes convexas podem tornar objetos maiores e distintos..C. tamb´ em. em 1613 e. em latim em 1614: De vero Anno. Esses estudos foram publicados no Dioptrice. junto a Saturno. em conjun¸ c˜ ao. Entretanto. descrevendo o decaimento gradual de luminosidade. uma conclus˜ ao atualmente aceita. que faleceu depois do nascimento de Cristo. publicou o primeiro trabalho sobre a cronologia e o ano do nascimento de Jesus. Kepler imediatamente publicou um pequeno trabalho sobre ela. mas. Kepler aceitou a posi¸ c˜ ao de matem´ atico e professor do col´ egio distrital em Linz. inclusive a magnifica¸ c˜ ao e a redu¸ c˜ ao da imagem. pois Jesus tinha nascido em 4 a.xima¸ c˜ ao para a lei da refra¸ c˜ ao. em alem˜ ao. que ´ e o princ´ ıpio do telesc´ opio astronˆ omico.C. ele usou um telesc´ opio dado por Galileo ao duque da Bav´ aria. definindo-o como o ano um da era crist˜ a. em 1611. estudou o tamanho dos objetos celestes e os eclipses. em 532 d. Esses tratados deram grande suporte a Galileo. Em 17 de outubro de 1604. para observar os sat´ elites de J´ upiter. morreu no ano 42 do calend´ ario 728 . Kepler tamb´ em estudou as leis que governam a passagem da luz por lentes e sistemas de lentes. Estudou. e considera¸ c˜ oes sobre a distˆ ancia que a colocava junto com as outras estrelas. J´ upiter e Marte. Em 1610. com uma lente convergente como objectiva e uma lente divergente como ocular. Kepler observou a nova estrela (supernova) na constela¸ c˜ ao de Ophiucus. O argumento ´ e que. mas Cop´ ernico e Tycho Brahe. pois a Contra-Reforma ´ Cat´ olica aumentava a press˜ ao sobre os protestantes na Alta Austria. est´ a escrito: “Deus colocou a Terra em suas funda¸ c˜ oes. A primeira parte do Epitome. a oficina de impress˜ ao foi queimada e. Como Kepler era oficial da corte. Essas tabelas inclu´ ıam a posi¸ c˜ ao dos planetas e c´ alculos de eclipses. trazendo a aceita¸ c˜ ao ao sistema heliocˆ entrico. juntou-se ` a sua fam´ ılia em Regensburg. O ano de 1618 marcou o in´ ıcio da Guerra dos Trinta Anos. Apesar do nome de Kepler estar ligado ` a Astrologia. tudo o que eu pude trazer ` a luz estaria enterrado na escurid˜ ao. que devastou a regi˜ ao da ´ Alemanha e Austria. Kepler publicou Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo). para imprimir as Tabulae Rudolphinae. enquanto ele mudou-se para Ulm.” Kepler. Kepler estava imprimindo as Tabulae Rudolphinae baseadas nas observa¸ c˜ oes de Tycho Brahe e calculadas de acordo com suas ´ orbitas el´ ıpticas. O processo se estendeu at´ e 1620. foi colocada no ´ ındex de livros proibidos pela Igreja Cat´ olica em 10 de maio de 1619. Quando uma rebeli˜ ao ocorreu e Linz foi tomada. Sua fam´ ılia ficou em Regensburg. mas mudou-se 729 . ele diz: “Meus corpos celestes n˜ ao eram o nascimento de Merc´ urio na s´ etima casa em quadratura com Marte. A proibi¸ c˜ ao por parte da Igreja Cat´ olica ` as obras sobre o modelo heliocˆ entrico come¸ cou pelo fato de Galileo ter escrito seu livro Siderius Nuncius (Mensagem celeste). Em 1615-16. Desse modo. para que nunca se mova”. em que derivava que as distˆ ancias heliocˆ entricas dos planetas e seus per´ ıodos est˜ ao relacionados pela Terceira Lei. Kepler e sua fam´ ılia deixaram Linz em 1626. em 1610. 5 anos antes do que Dionysius assumira. que diz que o quadrado do per´ ıodo ´ e proporcional ao cubo da distˆ ancia m´ edia do planeta ao Sol. A posi¸ c˜ ao de Kepler piorava. Essas tabelas provaram-se precisas por um longo tempo. que se tornou a introdu¸ c˜ ao mais importante ` a astronomia heliocˆ entrica e um livro-texto de grande uso. publicada em 1617. e ele defendeu sua m˜ ae num processo em que ela era acusada de bruxarias. Nesse per´ ıodo. ent˜ ao. despertando o interesse do povo. finalmente publicadas em 1627. Kepler publicou os 7 volumes do Epitome Astronomiae Copernicanae (Compˆ endio da Astronomia copernicana). Em 1619. A raz˜ ao da proibi¸ c˜ ao era que no Salmo 104:5 do Antigo Testamento da B´ ıblia. com ela. ele estava isento do decreto que bania todos os protestantes da prov´ ıncia. houve uma ca¸ ca ` as bruxas em sua regi˜ ao nativa. sem sua observa¸ c˜ oes. muito da edi¸ c˜ ao j´ a impressa. Essa lei foi descoberta por Kepler em 15 de maio de 1618. da qual Linz era a capital.juliano. Entre 1617 e 1621. o nascimento ocorrera em 41 do calend´ ario juliano. quando ela foi liberada. entre os Reformistas Protestantes e a Contra-Reforma Cat´ olica. Alemanha.para Sagan em julho de 1628. Em uma viagem. 730 . onde faleceu em 15 de novembro de 1630. foi acometido de uma doen¸ ca aguda em Regensburg. como matem´ atico do imperador e do duque de Friedland. Em 1597. Galileo tornou-se professor de matem´ atica na Universidade de P´ adua. Escreveu o Trattato di mechaniche.A. em 1634. Em 1592. em 1593. e propˆ os teorias dinˆ amicas que s´ o poderiam ser observadas em condi¸ c˜ oes ideais. onde permaneceu por 18 anos. Em 1586. observou a supernova de Kepler. e que. inventou um setor geom´ etrico. em Pisa. mudan¸ cas 731 . e escreveu um trabalho La bilancetta.1591). que s´ o foi impresso na tradu¸ c˜ ao para o latim do padre Marino Mersenne. patenteada no ano seguinte. da qual depois foi professor de matem´ atica entre 1589 e 1592. e Giulia Ammannati de Pescia. inventando. filho de Vincenzo Galilei (1525 . mostrando que a impossibilidade de medir-se a paralaxe indica que a estrela est´ a al´ em da Lua. usado especialmente para medir ˆ angulos. em Paris. apresentando em 1605 trˆ es palestras p´ ublicas sobre o evento. De setembro de 1581 a 1585 estudou medicina na Universidade de Pisa.4 Galileo Galilei Galileo Galilei (em portuguˆ es Galileu Galilei) nasceu em 15 de fevereiro de 1564. explicou que o per´ ıodo de um pˆ endulo n˜ ao depende de sua amplitude. portanto. uma m´ aquina para elevar ´ agua. Nessa ´ epoca. um m´ usico alaudista conhecido por seus estudos sobre teoria da m´ usica. Em 1604. instrumento matem´ atico com v´ arias escalas. uma bomba movimentada por cavalos. inventou a balan¸ ca hidrost´ atica para a determina¸ c˜ ao do peso espec´ ıfico dos corpos. o “compasso geom´ etricomilitar”. que s´ o foi publicado ap´ os sua morte. publicada em Praga. Galileo foi nomeado Primeiro Matem´ atico da Universidade de Pisa.C. mesmo sem nunca ter visto o aparelho. Essa conferˆ encia foi intitulada Nuncius sidereus Collegii Romani. de que um corpo flutua pela diferen¸ ca do peso espec´ ıfico do corpo e da ´ agua. Em 19 de abril.). Retornando a Floren¸ ca. Galileo considera esse evento uma prova da teoria heliocˆ entrica de Cop´ ernico. Em maio de 1609. Le operazioni del compasso geometrico militare. construiu sua primeira luneta em junho. a qual se alinhou o Cardeal Maffeo Barberini (1568-1644) (o futuro Papa Ur` 732 . em maio de 1611. Nessas palestras. publica um pequeno trabalho. na presen¸ ca de Galileo. tornando falso o sistema geocˆ entrico de Ptolomeu e provando que Vˆ enus orbita o Sol. em suporte ` as suas descobertas. em maio. em latim. construiu v´ arios outros. 212 a. Kepler e os matem´ aticos do Col´ egio Romano eram reconhecidos como as autoridades cient´ ıficas da ´ epoca. 287-ca. Kepler envia-lhe uma carta. A confirma¸ c˜ ao oficial das descobertas galileanas foi dada pelos poderosos padres jesu´ ıtas do Col´ egio Romano. para permitir que sua posi¸ c˜ ao fosse registrada com exatid˜ ao. Galileo participou de reuni˜ oes no pal´ acio do gr˜ ao-duque C´ osimo II. O suporte de Kepler foi importante porque publica¸ c˜ oes de Martin Horky. e inventa o termosc´ opio. descobre os sat´ elites de J´ upiter. em Floren¸ ca. Essa descoberta prova que. Galileo se deu conta da necessidade de fixar a luneta. publicando. Em 8 de abril de 1610. depois. que observaram os sat´ elites de J´ upiter por dois meses. J´ a em julho. descobrindo que esta tem montanhas. existem corpos celestes que circundam outro corpo que n˜ ao a Terra.ocorrem no c´ eu. Johannes Kepler recebe uma c´ opia do livro. em uma conferˆ encia solene realizada no Col´ egio. At´ e dezembro. Ainda em dezembro. como se chamaria mais tarde. com um pedido de Galileo por sua opini˜ ao. Galileo expˆ os e defendeu a tese de Arquimedes (Archimedes de Siracusa. ele ouviu falar de um instrumento de olhar ` a distˆ ancia que o holandˆ es Hans Lippershey havia constru´ ıdo e. ca. com um aumento de 3 vezes. e apresentada pelo padre Odo van Maelcote. Galileo verificou que Vˆ enus apresenta fases como a Lua. em que se discutia sobre o fenˆ omeno da flutua¸ c˜ ao e suas poss´ ıveis explica¸ c˜ oes. um termˆ ometro primitivo. De 7 a 15 de janeiro de 1610. e fez uma s´ erie de observa¸ c˜ oes da Lua. e Fil´ osofo e Matem´ atico do gr˜ ao-duque da Toscana. Em 1606. em 12 de mar¸ co de 1610 o Siderius Nuncius (Mensagem celeste) com as descobertas do mesmo ano. e Francesco Sizi duvidavam das observa¸ c˜ oes de Galileo. de Medici (1590-1621). o mais potente com 30X. contrariamente ` a teoria de Arist´ oteles. ou telesc´ opio. como “Conversa¸ c˜ oes com o Mensageiro Celeste” e. Lodovico delle Colombe. ap´ os um longo processo e o exame do livro de Galileo sobre as manchas solares. comprese in tre lettere scritte all’ilustrissimo Signor Marco Velseri Linceo. amigo e patrono de Galileo. Outros. Em agosto de 1623. dove ne i congressi di quattro giornate si discorre sopra i due massimi sistemi del mondo. Em abril de 1630. Galileo teve seis audiˆ encias com o papa. desde que fosse tratada como uma hip´ otese matem´ atica. al´ em de referˆ encias similares no livro de Joshua. a Congrega¸ c˜ ao do ´ Indice ´ colocou o Des Revolutionibus de Cop´ ernico no Indice de livros proibidos pela Igreja Cat´ olica. Galileo havia juntado assim grande quantidade de evidˆ encias em favor da teoria heliocˆ entrica e escrevia em italiano para difundir ao p´ ublico a teoria de Cop´ ernico. com a inten¸ c˜ ao de difundir seu uso para medir-se longitudes no mar. defendiam a tese de Arist´ oteles. de Galileo. ent˜ ao.bano VIII). e o enviou ao Vaticano para libera¸ c˜ ao para publica¸ c˜ ao. proibindo-o de difundir as id´ eias heliocˆ entricas. para que n˜ ao se mova por todo o sempre”. Cosimo II Gran Duca di Toscana (Hist´ oria sobre as manchas solares). Em sua introdu¸ c˜ ao. est´ a escrito: “Deus colocou a Terra em suas funda¸ c˜ oes. que o liberou a escrever sobre a teoria de Cop´ ernico. A raz˜ ao da proibi¸ c˜ ao ´ e porque no Salmo 104:5 da B´ ıblia. Consigliero di Sua Maest` a Cesarea. foi eleito papa e assumiu com o nome de Urbano VIII. por ser pouco pr´ atico. C´ osimo II propˆ os que os debatentes registrassem seus argumentos. argumentando que a existˆ encia das manchas demonstrava a rota¸ c˜ ao do Sol. que tende a subir. Filosofo e Matematico primario del Serenissimo D. que. de que um corpo flutua porque dentro dele h´ a o elemento a´ ereo. lhe d´ a uma advertˆ encia. publicado em 1612. Em 5 de mar¸ co de 1616. Isso chamou a aten¸ c˜ ao da Inquisi¸ c˜ ao. a medir os per´ ıodos dos sat´ elites de J´ upiter. na qual o Cardeal Roberto Bellarmino (1542-1621) lˆ e a senten¸ ca do Santo Of´ ıcio de 19 de fevereiro de 1616. dal Signor Galileo Galilei. Duumviro d’Augusta. Galileo se dedicou. Em 1613 a Academia del Lincei publica Istoria e dimonstrazione intorno alle macchie solari e loro accidenti. Nobil fiorentino. chamado por ele de occhialini. e Galileo escreveu Discorso intorno alle cose che stanno in su l’acqua o che in quella si muovono. e s´ o raramente em terra. junto com todos livros que defendem a teoria heliocˆ entrica. Em abril de 1624. mas o m´ etodo nunca foi usado no mar. Galileo terminou seu Dialogo di Galileo Galilei Linceo. tolemaico e copernicano (Di´ alogo dos dois mundos). havia referˆ encia aos sat´ elites de J´ upiter e ` as manchas solares. Recebendo autoriza¸ c˜ ao para 733 . o cardeal Maffeo Barberini. Galileo inventou o microsc´ opio em 1624. como o Cardeal Federico Gonzaga. e mostra como o sistema de Cop´ ernico explica os fenˆ omenos celestes. acelerado e uniformemente acelerado. principalmente as fases de Vˆ enus.C. Notas: O Sacro Imp´ erio Romano. attinenti alla meccanica e I movimenti locali (Discurso das duas novas ciˆ encias.public´ a-lo em Floren¸ ca. Apesar de praticamente cego. em que os planetas giram em torno do Sol. ` a revolu¸ c˜ ao copernicana. e sentenciando seu autor ao c´ arcere. como epiciclos. em Roma. que refuta o sistema de Ptolomeu. e nunca se refere ` as leis de ´ escrito n˜ Kepler. renega suas conclus˜ oes de que a Terra n˜ ao ´ e o centro do Universo e im´ ovel. O papa. iniciou em 962 d. Frederico V de Habsburgo. n˜ ao tem apenas o car´ acter estritamente cient´ ıfico. que exigiu a presen¸ ca de Galileo em Roma. e trata das oscila¸ c˜ oes pendulares e suas leis. e foi enterrado na Igreja da Santa Cruz. em Arcetri. mas tamb´ em o de uma obra pedag´ ogico-filos´ ofica. e da forma parab´ olica das trajet´ orias percorridas pelos proj´ eteis. para ser julgado por heresia. contrabandeado para a Holanda. em Floren¸ ca. Mecˆ anica e Dinˆ amica). por parte da igreja Cat´ olica. e em 1992 a comiss˜ ao papal reconheceu o erro do Vaticano o que eliminou os u ´ltimos vest´ ıgios de resistˆ encia. aos setenta anos. mas em italiano. E ao em latim. do movimento uniforme. mas este gira em torno da Terra. Galileo foi intimado a Roma. completa o Discorsi e dimonstrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. em uma cerimˆ omia formal no convento dos padres dominicanos de Santa Maria de Minerva. Galileo. com a coroa¸ c˜ ao do sax˜ ao Oto I pelo Papa Jo˜ ao XII. lida a senten¸ ca proibindo o Di´ alogo. O livro n˜ ao desenvolve detalhes matem´ aticos do sistema. perto de Floren¸ ca. No Di´ alogo. Galileo defende o movimento di´ ario e anual da Terra. da coes˜ ao dos s´ olidos. enviou o caso para a Inquisi¸ c˜ ao. em 1638. Apenas em 1822 foram retiradas do ´ Indice de livros proibidos as obras de Cop´ ernico. Apesar de ter sido publicado com as autoriza¸ c˜ oes eclesi´ asticas prescritas. eregido como uma tentativa de reconstruir o Imp´ erio Romano do Ocidente que decaiu entre o s´ eculo V e VII. o sistema de compromisso aceito pelos jesu´ ıtas. que enfrentava grande oposi¸ c˜ ao pol´ ıtica na ´ epoca.. eleito Imperador do Sacro Imp´ erio 734 . O livro foi publicado em Leiden. Note que Galileo n˜ ao incluiu o sistema de Tycho Brahe. A senten¸ ca ao ex´ ılio foi depois convertida a aprisionamento em sua residˆ encia. Em 1979. o livro saiu da tipografia Tre Pesci (Trˆ es Peixes) em 21 de fevereiro de 1632. pois Galileo havia sido tamb´ em proibido de contato p´ ublico e de publicar novos livros. Kepler e Galileo. Em 22 de junho de 1633. o Papa Jo˜ ao Paulo II ordenou um reexame do processo contra Galileo. Faleceu em 8 de janeiro de 1642 em Arcetri. julgado e condenado por heresia em 1633. onde permaneceu at´ e sua morte. Em 31 de outubro de 1517. o padre agostinho Martinho Lutero (14831546) afixa na porta do castelo eleitoral de Wittenberg as 95 proposi¸ c˜ oes que condena o mercantilismo das indulgˆ encias. que. logo ap´ os. ao passo que os luteranos devem tolerar o catolicismo em seus Estados. funciona regularmente a Congrega¸ c˜ ao do ´ Indice. O imp´ erio durou at´ e 1806. reinou de 1440 a 1493. de 15 de junho de 1520. A bula Exsurge Domine. Em 1559. da Sociedade de Jesus. do Papa Le˜ ao X. fundado por Santo Ign´ acio de Loiola em 1551. e a bula Decet Romanum Pontificiem. sob o Papa Pio V. depois de 1565. aparece o primeiro ´ Indice dos Livros Proibidos e. em 1567. O Papa Greg´ orio XIII. de 3 de janeiro de 1521. Por proposta de Ferdinando I. condena 41 das proposi¸ c˜ oes. Os luteranos protestam com veemˆ encia. mandou construir.Romano como Frederico III. 735 . traduz o Novo Testamento para o alem˜ ao. a Dieta de Spira (1529) d´ a aos pr´ ıncipes cat´ olicos o direito de n˜ ao permitir os luteranos em seus dom´ ınios. inspirador do calend´ ario Gregoriano. excomunga Lutero. voltadas para o lucro material da Igreja. um grande pr´ edio especificamente para os Col´ egios Romanos. datando da´ ı o nome de “protestantes” como ser˜ ao conhecidas. publicado ap´ os sua morte como o Cosmotheoros (1698). com aux´ ılio real. Em 1654. patenteados por ele. Viveu por longos per´ ıodos em Paris. Foi o primeiro a usar rel´ ogios de pˆ endulos. o per´ ıodo T de√ um pˆ endulo n˜ ao depende da amplitude. estabelecendo. em Breda. No final de sua vida. Huygens dizia ter a mesma opini˜ ao dos grandes fil´ osofos de sua ´ epoca. descobriu uma nova maneira de polir lentes. na mesma cidade. e faleceu em 8 de julho de 1695. nesse e o comprimento do pˆ endulo. Formulou uma teoria ondulat´ oria da luz. estimulado pela descoberta de Galileo de que para pequenas oscila¸ c˜ oes. nasceu em 14 de abril de 1629 em The Hague. a conserva¸ c˜ ao do momentum linear. onde ´ gravidade. e seu sat´ elite Titan. descobriu a forma dos an´ eis de Saturno. Nesse livro. Com eles. T = 2π /g . Estudou Direito e Matem´ atica na Universidade de Leiden de 1645 a 1647. e g a acelera¸ c˜ ao da caso. Huygens explica as fases e as mudan¸ cas de forma do anel. Holanda. nesse caso. em 1656. e de 1647 a 1649 no Col´ egio Orange. que consideravam o Sol da mesma natureza das 736 . tendo feito alguns dos melhores telesc´ opios da ´ epoca.5 Christiaan Huygens Christiaan Huygens.A. compˆ os um dos primeiros trabalhos propondo a possibilidade de vida extraterrestre. mas supondo ondas longitudinais. Em seu Systema Saturnium (1659). Descobriu que. Investigou as leis da colis˜ ao. colaborando na Academia Real de Ciˆ encias. a estrela mais brilhante do c´ eu e que. usando a diferen¸ ca entre a luz de ambas que chega ` a Terra. por isso.7 pc). at´ e que parecesse com S´ ırius. A maior fonte de erro na medida de Huygens foi assumir que S´ ırius tem o mesmo brilho que o Sol. de 2. 737 . deixando-a passar sucessivamente atrav´ es de dois pequenos orif´ ıcios. Tendo falhado ao tentar medir a paralaxe. Bloqueou a luz do Sol. e concluiu que S´ ırius estaria 27 664 vezes mais distante que o Sol (valor 26 vezes menor que o real. ele supˆ os a mais pr´ oxima. procurou medir a distˆ ancia relativa entre o Sol e S´ ırius.estrelas fixas. morreu antes de seu nascimento. Lincolnshire. de 1643 at´ e sua gradua¸ c˜ ao em 1669. mas seu pai. com pouco interesse pela matem´ atica. mas que s´ o foi adotada na Inglaterra em 1752. O terceiro per´ ıodo viu Newton como um funcion´ ario do governo bem pago em Londres. que adotamos hoje. Embora tenha nascido no dia de Natal de 1642. Cambridge. a data dada aqui ´ e no calend´ ario gregoriano.6 Isaac Newton A vida de Newton pode ser dividida em trˆ es per´ ıodos. mas atuante como presidente da Sociedade Real. e n˜ ao por sua m˜ ae Hannah Ayscough (-1679). Um tio o enviou para o Trinity College. O primeiro. tamb´ em chamado Isaac Newton (1606-1642). de 1669 a 1687. Ele foi criado por sua av´ o. 738 . O segundo. sua juventude. Isaac Newton nasceu em 4 de janeiro de 1643 (quase um ano depois da morte de Galileo) em Woolsthorpe.A. Newton veio de uma fam´ ılia de agricultores. Inglaterra. foi o per´ ıodo altamente produtivo em que ele era professor Lucasiano em Cambridge. em Junho de 1661. O talento de Newton emergiu com a chegada de Isaac Barrow (1630-1677). em 1558. 1646-1716). em 1736. Com a sa´ ıda de Barrow da cadeira Lucasiana em 1669. O “m´ etodo dos fluxions”. Descartes (Ren´ e Descartes. e a ´ optica de Kepler o atra´ ıram. Ele havia conclu´ ıdo durante os dois anos de peste que a luz branca n˜ ao ´ e um entidade simples. Em Cambridge. ele lan¸ cou a base do c´ alculo diferencial e integral. a peste vitimou mais 70 000 pessoas. em que Newton havia feito progresso em um m´ etodo geral de calcular a ´ area delimitada por uma curva. 1592-1655). Seu livro De Methodis Serierum et Fluxionum foi escrito em 1671. por seus trabalhos em c´ alculo integral. estudou a filosofia de Arist´ oteles (384a. ´ optica. foi nomeado para sua posi¸ c˜ ao. e ele retornou a Lincolnshire. por Giambattista della Porta. iniciou a revolu¸ c˜ ao da matem´ atica. A aberra¸ c˜ ao crom´ atica (an´ eis coloridos em volta da imagem) de uma lente de telesc´ opio convenceu Newton do contr´ ario. Quando ele passava um feixe de luz solar por um prisma de vidro. conforme De Refracione. Gassendi (Pierre Gassendi. f´ ısica e astronomia. e que cada tipo de raio diferente produz uma cor espectral diferente.O objectivo inicial de Newton em Cambridge era o direito. um espectro de cores se formava. S´ o em Londres. para a cadeira Lucasiana de matem´ atica em Cambridge. Newton. Descartes e Wallis (John Wallis. publicado em N´ apoles. O primeiro trabalho de Newton como professor Lucasiano foi em ´ optica. 1616-1703). a mecˆ anica da astronomia de Cop´ ernico e Galileo. ao passar a luz azul por um segundo prisma. uma mistura de diferentes tipos de raios que eram refractados em ˆ angulos ligeiramente diferentes. estava baseado na descoberta crucial de que a integra¸ c˜ ao de uma fun¸ c˜ ao ´ e meramente o procedimento inverso da diferencia¸ c˜ ao. Embora o fato de que a luz solar produz v´ arias cores ao passar por um prisma fosse conhecido. Newton. a nova ´ algebra e geometria anal´ ıtica de Vi` ete (Fran¸ cois Vi` ete. Durante sua estada em casa. mas s´ o foi publicado quando John Colson o traduziu para o inglˆ es. na verdade. como acreditavam todos desde Arist´ oteles. Newton concluiu. 1596-1650). por indica¸ c˜ ao do anterior. 1627-1691). muitos anos antes de sua descoberta independente por Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz. vigorava a concep¸ c˜ ao de Arist´ oteles de que as cores apareciam por modifica¸ c˜ ao da luz. mas. como ele o chamava. erroneamente.C.C. e Boyle (Robert Boyle. Newton argumentou que a luz branca era. 1540-1603). sua cor n˜ ao mudava. com apenas 27 anos. em um per´ ıodo de menos de dois anos. que ainda n˜ ao tinha completado 25 anos. Seu gˆ enio cient´ ıfico despertou quando uma epidemia de peste fechou a Universidade no ver˜ ao de 1665. L´ a.). que telesc´ opios usando lentes refratoras so739 .-322a. Newton publicou seu primeiro trabalho cient´ ıfico sobre luz e cor. com 15 cm de comprimento. Seu livro Opticks s´ o foi publicado em 1704. ap´ os doar um telesc´ opio refletor. Os resultados eram aplicados 740 . Halley decidiu persuadir Newton a escrever um trabalho completo sobre sua nova f´ ısica e sua aplica¸ c˜ ao ` a Astronomia. ent˜ ao. Seu trabalho mais importante foi em mecˆ anica celeste. Newton tinha vers˜ oes preliminares de suas trˆ es leis do movimento. mas tamb´ em com aplica¸ c˜ oes a colis˜ oes. Em 1666. Newton foi eleito membro da Sociedade Real em 1672. propˆ os e construiu um telesc´ opio refletor. Newton analisou o movimento dos corpos em meios resistentes e n˜ aoresistentes sob a a¸ c˜ ao de for¸ cas centr´ ıpetas. Com sua lei para a for¸ ca centr´ ıpeta e a terceira Lei de Kepler. proj´ eteis. A id´ eia genial de Newton. que culminou com a Teoria da Gravita¸ c˜ ao Universal. Ele descobriu a lei da for¸ ca centr´ ıpeta sobre um corpo em ´ orbita circular. Newton deduziu a lei da atra¸ c˜ ao gravitacional. em 1666. como ´ e conhecido. Ainda em 1672. refletindo a imagem para uma ocular colocada no lado. Em agosto de 1684. Em 1687. Em menos de 2 anos. O Principia ´ e reconhecido como o mais importante livro cient´ ıfico j´ a escrito. O telesc´ opio de Newton gerava imagens nove vezes maior do que um refractor quatro vezes mais longo. com suas leis gerais. no Philosophical Transactions of the Royal Society. Newton tinha escrito os dois primeiros volumes do Principia. Os espelhos esf´ ericos constru´ ıdos naquela ´ epoca produziam imagens imperfeitas. Newton colocou um espelho plano no tubo. Ap´ os recebˆ e-la. e Newton afirmou que j´ a havia resolvido o problema muitos anos antes. mas n˜ ao encontrou a demonstra¸ c˜ ao no momento. o pˆ endulo. ´ Em 1679. Newton provou que a Lei das Areas de Kepler ´ e uma conseq¨ uˆ encia da for¸ ca centr´ ıpeta. ´ e publicado o Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia. com aberra¸ c˜ ao esf´ erica. hidrost´ atica e propaga¸ c˜ ao de ondas. foi imaginar que a for¸ ca centr´ ıpeta na Lua era proporcionada pela atra¸ c˜ ao gravitacional da Terra. tratando da teoria da luz e cor e com (i) investiga¸ c˜ oes da cor em pel´ ıculas finas (ii) an´ eis de interferˆ encia de Newton e (iii) difra¸ c˜ ao da luz. Newton aplicou suas leis ao movimento dos corpos celestes. a 45o . Edmond Halley (1656-1742) visitou Newton para perguntar-lhe sobre as ´ orbitas planet´ arias. Ele. para um corpo sob uma for¸ ca central em que a dependˆ encia radial varia com o inverso do quadrado da distˆ ancia ao centro. fric¸ c˜ ao do ar. Somente depois. no terceiro volume.freriam sempre de aberra¸ c˜ ao crom´ atica. e tamb´ em que a ´ orbita ´ e uma elipse. e queda livre perto da Terra. as mar´ es e suas varia¸ c˜ oes. em 1693. Depois de sofrer um colapso nervoso. Newton abandonou a pesquisa para uma posi¸ c˜ ao no governo em Londres. Foi agraciado com o t´ ıtulo de cavalheiro (Sir). em Londres. e foi reeleito a cada ano at´ e sua morte. em 1708. Morreu em 31 de mar¸ co de 1727. tornando-se guardi˜ ao da Casa da Moeda Real (1696) e mestre (1699). a precess˜ ao do eixo da Terra e o movimento da Lua perturbado pela gravidade do Sol. Newton j´ a explicava que o movimento de trˆ es corpos sob uma for¸ ca central s´ o pode ser resolvido por aproxima¸ c˜ ao. que o movimento das mar´ es introduz perturba¸ c˜ oes no c´ alculo das ´ orbitas. nem ao menos esf´ ericos. Inglaterra. 741 . Em 1703. foi eleito presidente da Sociedade Real.a corpos em ´ orbita. pela Rainha Anne. as quais precisam ser calculadas por aproxima¸ c˜ oes. que a Lei da Gravita¸ c˜ ao Universal trata os corpos como pontos. o primeiro cientista a receber essa honra. e que os planetas n˜ ao s˜ ao pontos. Newton explicou uma ampla gama de fenˆ omenos at´ e ent˜ ao n˜ ao-correlatos: a ´ orbita excˆ entrica dos cometas. Ele tamb´ em demonstrou que os planetas s˜ ao atra´ ıdos pelo Sol pela Lei da Gravita¸ c˜ ao Universal e generalizou que todos os corpos celestes atraem-se mutuamente. onde tornou-se o diretor do Observatoire de Paris. mantiveram-se na Fran¸ ca. e cidad˜ ao francˆ es. Cassini observou o c´ eu no Observat´ orio Panzano e. Foi convidado por Luis XIV para ir para Paris em 1669. Iapetus (1671). em Paris. Descobriu quatro sat´ elites de Saturno.7 Gian Domenico Cassini Gian (Giovanni) Domenico Cassini nasceu em 8 de junho de 1625. conhecida como a separa¸ c˜ ao Cassini. Seus descendentes.A. Rep´ ublica de Gˆ enova. e faleceu em 14 de setembro de 1712. 742 . Rhea (1672). atual It´ alia. nunca retornando ` a It´ alia. em 1650. Fran¸ ca. Estudou no col´ egio jesu´ ıta em Gˆ enova. em Perinaldo. De 1648 a 1669. a divis˜ ao dos an´ eis de Saturno. tamb´ em astrˆ onomos. e no semin´ ario de San Fructuoso. produziu um grande mapa da Lua e refinou as tabelas dos sat´ elites de J´ upiter. tornou-se professor de astronomia na Universidade de Bologna. Tethys e Dione (1684). o primeiro astrˆ onomo real inglˆ es. conectando suas observa¸ c˜ oes comas estrelas do hemisf´ erio norte catalogadas por Giovanni Domenico Cassini (1646-1719) em Paris. em Greenwich. no Atlˆ antico. um rico mercador de sab˜ ao e sal. bem como em muitas enciclop´ edias. Nesta estada ele observou as “duas nebulosas” pr´ oximas da Via L´ actea.A. em Haggerston. financiado por seu pai. publicou seu cat´ alogo de 341 estrelas austrais (Catalogus Stellarum Astralium. 1679). tamb´ em chamado Edmond Halley. as Nuvens de Magalh˜ aes. Inglaterra. Realizou seus exames em Oxford e. consta Edmund Halley. e Robert Hooke (1635-1703) na Inglaterra. em 29 de julho de 1680. chefe do Departamento de F´ ısica da Universidade de Cambridge. de Alan Cook. passando 2 anos na ilha de Santa ´ Helena. Johannes Hevelius (H¨ ofelcke) (1611-1687) em Danzig e John Flamesteed (166-1719). foi eleito para a Royal Society. Inglaterra e faleceu em 14 de janeiro de 1742. 2 743 . Qual seria sua ´ orbita? No pref´ acio do Principia de Newton. mas as referˆ encias atuais s˜ ao para Edmond Halley. Hevelius em Danzig. como o livro Edmond Halley. Interrompeu seus estudos em Oxford. Retornando ` a Inglaterra em 1678. Shoreditch. para catalogar 350 estrelas no Hemisf´ erio Sul e observar o trˆ ansito de Merc´ urio pelo disco solar.8 Edmond Halley Edmond Halley2 nasceu em (29 out 1656 no calend´ ario juliano) 8 de novembro de 1656. 1200 milhas a oeste da Africa (lat=-16 graus). Huygens na Holanda. 1998. em 1676. O cometa brilhante que apareceu em 1664 foi observado por Adrien Auzout (1622-1691) no Observat` oire de Paris. A primeira descri¸ c˜ ao do ciclo de evapora¸ c˜ ao. Iniciou um programa sistem´ atico para a determina¸ c˜ ao precisa da distˆ ancia da Terra ao Sol usando o trˆ ansito de Merc´ urio pelo disco solar. Newton disse que j´ a o havia resolvido o problema muitos anos antes. usou o primeiro instrumento de trˆ ansito e estabeleceu um m´ etodo para determinar a longitude no mar usando observa¸ c˜ oes lunares. Halley foi nomeado professor Savilian de geometria em Oxford em 1704. foi o sucessor de John Flamsteed (1646-1719) como astrˆ onomo real. Kepler dizia que era em linha reta. Halley tamb´ em cuidou da discuss˜ ao com o impressor. No terceiro volume. Halley foi quem descobriu o c´ umulo globular em H´ ercules e. tinha uma orbita claramente curva. Halley observou um cometa brilhante em novembro de 1681 em Londres e especulou sobre o problema da gravita¸ c˜ ao em rela¸ c˜ ao aos cometas. da verifica¸ c˜ ao dos diagramas e dos c´ alculos. e que os cometas de 1618 e 1664 poderiam ser o mesmo cometa. o francˆ es Pierre Petit. incluindo o efeito dos grandes planetas J´ upiter e Saturno nas ´ orbitas el´ ıpticas e encontrou que o cometa de 1682.Tycho Brahe tinha suporte circular. em 1680. precipita¸ c˜ ao. Hevelius propˆ os que fosse el´ ıptica. Foi gra¸ cas ao esfor¸ co de Halley que o Principia foi publicado. em agosto de 1684 ele o propˆ os a Newton. em seu Disserta¸ c˜ ao sobre a natureza dos cometas propˆ os pela primeira vez que suas ´ orbitas fossem fechadas. Em 1665. e evapora¸ c˜ ao ´ e sua. em 1718. tinha um per´ ıodo de 67 anos e tinha sido observado em 1531 e 1607. 744 . Em 1695 Halley computa a ´ orbita dos cometas usando a teoria de Newton. apesar de problemas judiciais com a heran¸ ca de seu pai e de que Newton era rico. inclusive de cometas. prevendo que o cometa deveria reaparecer em 1758. Sem conseguir resolver o problema. da corre¸ c˜ ao das provas. que mais tarde levaria o nome de Halley. com curvatura devida ` a´ orbita da Terra. das mar´ es e correntes e fez avan¸ cos na compreens˜ ao de fenˆ omenos meteorol´ ogicos. como de fato foi observado. Em 1720. Halley chegou a custear a impress˜ ao do mesmo. No Greenwich Observatory. Um cometa na constela¸ c˜ ao de Virgem. Newton aplicou suas leis ao movimento dos corpos celestes. Produziu um estudo intensivo do magnetismo terrestre. Em 1705 ele publicou o Synopsis of the Astronomy of Comets. detectou o movimento pr´ oprio das estrelas (movimento intr´ ınseco das estrelas no plano do c´ eu). Newton tinha escrito os dois ´ primeiros volumes do Principia. Em menos de 2 anos. forma¸ c˜ ao de nuvens. e que todos os movimentos no sistema solar poderiam ser explicados pela lei da gravita¸ c˜ ao. DREYER. III Quantum and Statistical Physics. Astronomy Today. MORRISON. Albert. 9.L. Philadelphia: Saunders College Publishing. New York: Dover. CHAISSON. A History of Physics. Conceitos de Astronomia. New York: Dover. Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis. 10. WOLFF. ALONSO. New York: Dover. 7. BOCZKO. Upper Saddle River: Prentice Hall. New York: McGraw-Hill. Kepler. Relativity: The Special and the General Theory. 1999. A Short History of Astronomy. 6. David. New York: Bonanza Books. Edward J. New York: Dover. 1968. CASPAR. 1991. Roberto. 5.Bibliografia 1. Marcelo. 2. 1993. George Ogden (1927-1983).E. 11. Thomas. 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San Francisco: W. Michael. SHAWL. Discovering Astronomy. MISNER. Jefferson Hane. SMART. SHU.. 334 Abundˆ ancia dos Elementos. 538. 241. 181 ALH84001. 479 pulsa¸ c˜ oes.´ Indice 21 cm. 581 aglomerados de gal´ axias. 645 Ando Hiroyasu. 164 amˆ onia. 472 fun¸ c˜ ao luminosidade. 548 Andrˆ omeda. 629 Althaus Leandro. 17 . 257 amino´ acidos. 730 ascens˜ ao reta. 531 Arecibo. 638 Adams Walter. 636. 50 Anderson Carl. 241 adiab´ atica. 240 748 an˜ as brancas. 603 aglomerados globulares. 581 Airy George. 165 Almagesto. 411 ´ an˜ a marrom. 125 ano-luz. 329. 16 Alvarez Luis. 212 angulo hor´ ˆ ario. 3 Arnett David. 360 abundˆ ancias. 408 altura. 548 Anax´ agoras. 64 Arist´ oteles. 545 aproxima¸ c˜ ao adiab´ atica. 176 antimat´ eria. 737 absor¸ c˜ ao. 588 an´ eis. 188 ano sideral. 149 ˚ Angstr¨ om Anders. 581 aberra¸ c˜ ao. 637 aproxima¸ c˜ ao n˜ ao adiab´ atica. 625 Aristarco. 3. 531 Aggarwald Hans. 635 cristaliza¸ c˜ ao. 212 Algol. 120 aglomerados. 36 ano tropical. 582 an˜ a branca axions. 19 angulo s´ ˆ olido. 36 tropical. 560 Arquimedes. 5 Alpher Ralph. 264 Bell Labs. 615 Bode Johann. 731 Bennett Charles. 278 Bowen Ira. 256 Ball Robert. 246. 508 gl´ obulos. 473 . 627 Born Again. 309 blazares. 352 Bohr Niels. 182 bissexto. 181 astrom´ etricas. 241. 466 Bose Satyendra. 628 Bellarmino Roberto. 182 visuais. 218 Johann. 143 1996TL66. 278 Bose-Einstein. 653 Benvenuto Omar. 278 b´ osons. 725 Bethe 749 Hans. 408 Bessel Friedrich. 162. 724 atmosferas reten¸ c˜ ao. 508 Boltzmann. 537 avermelhamento gravitacional. 629 Big Crunch.aster´ oides. 203. 631 Biermann Ludwig. 221 Bell Jocelyn. 352 Big Bang. 243 Balmer. 16 Baade. 71 B¨ ohm-Vitense Erica. 731 Barnard Edward. 205. 163 Bahcall John. 312 bomba atˆ omica. 152 Bayer Johann. 39 Bjorken James. 6 Becquerel Edmond. 665 ´ axions. 218 Barberini Maffeo. 182 eclipsantes. 227 Ludwig. 139 auroras. 183 espectrosc´ opicas. 627. 615 Black Joseph. 248 Bondi Herman. 216 Bok Bart. 645 BL Lacertae. 583 bact´ erias. 160 autofun¸ c˜ oes. 627 bin´ arias. 405 azimute. 220 BPM 37093. 144 astrologia. 689 Christenson James. 493. 157 cintur˜ ao de Van Allen. 161. 191 Brillouin Marcel. 275 Cefeidas. 221 classifica¸ c˜ ao de luminosidade. 255 Chadwick James. 390 Brunt David. 166 Clarck Alvan. 364 Chr´ etien Henri. 247 ciclos solares. 392 brilho superficial. 670 ciclo do carbono. 272. 36 calend´ ario Gregoriano. 542 Bunsen Robert. 221 carbono. 311 Clavius Christoph. 542 Brunt-V¨ ais¨ al¨ a. 224 classifica¸ c˜ ao espectral. 670 s´ ımbolos. 181 Paul. 37 COBE. 200 calend´ ario. 11. 175 Caughlan Georgeanne. 435 Chapman Sydney. 454. 160 c´ ırculo vertical. 493. 245. 212 750 CCD. 257 . 182 Clark Alvan. 37 calend´ ario Romano. 740 Giovanni. 246 Chandrasekhar. 13 circumpolares. 558 Subrahmanyan. 637 Christoffel Elwin. 688 Cassini. 584 Bradley James.bra¸ cos espirais. 210 buraco negro. 220 Clausius Rudolf. 110. 720 Breit Gregory. 248. 454 ˇ Cerenkov Pavel. 308. 393 Cavendish Henry. 398 Margaret. 546. 604 Burbidge Geoffrey. 588 Rela¸ c˜ ao P-L. 261. 392 Breit-Wigner f´ ormula. 637 Cockroft John. 22 civiliza¸ c˜ oes extra-terrestres. 39 Cameron Alastair. 329 Cannon Annie. 549 Brahe Tycho. 241. 247 ciclo pr´ oton-pr´ oton. 241 classes espectrais. 398 (B-V). 164 Cassegrain Guillaume. 348 de Schwarzschild. 549 Davis . 66 conjun¸ c˜ ao. 348 Crommelin Andrew. 151 Shoemaker-Levy 9. 333 coordenadas. 671 Cowan Clyde. 155. 217. 166 constante cosmol´ ogica (Λ). 164 composi¸ c˜ ao qu´ ımica. 385 John. 151 cometas. 155. 247 crit´ erio de Ledoux. 381 configura¸ c˜ oes. 157 Cronin James. 39 data¸ c˜ ao. 221 Dahn Conard. 145 condu¸ c˜ ao. 164 Compton Arthur.Collegium Maius. 637 Crusius Martin. 151 Halley. 151 Nuvem de Oort. 686 Daguerre Louis. 253 Cowling Thomas. 623 cromosfera. 389 lei de. 66 oposi¸ c˜ ao. 479 data juliana. 66 quadratura. 64 Coriolis Gaspard. 332 conduc¸ c˜ ao. 369 condi¸ c˜ ao de estabilidade de Ledoux. 667 Cop´ ernico. 66 conserva¸ c˜ ao de energia. 472 Critchfield Charles. 588 Cusa Nicol´ as. 257 DAV. 669 Constela¸ c˜ oes. 204 C´ orsico Alejandro. 150 Hale–Bopp. 137 cristaliza¸ c˜ ao. 348 condritos. 348 de Schwarzschild. 619 751 Coulomb Charles. 718 Coma. 604 cometa. 405 crateras. 217 covariante. 408 cosmologia. 6 contravariante. 159 corpo negro. 521 coroa. 538 CP. 671 convec¸ c˜ ao. 717 Nicolau. 723 c´ umulos de gal´ axias. 210 compostos orgˆ anicos. 364 Cox Arthur. 155. 602 Curtis Heber. 66 conjun¸ c˜ ao. 15 coordenadas gaussianas. 243 de Fermi. 281. 685 Dirac Paul. 363 Digges Leonard. 688 Donati Giovanni. 221 Dziembowski Wojciech. 185. 63 densidade cr´ ıtica. 627. 548 deut´ erio. 213 Einstein. 74 elonga¸ c˜ ao. 246. 243. 492. 549 752 Dolland John. 397. 60 ecl´ ıptica. 628 difus˜ ao. 41 Eddington Arthur. 549 de Broglie Louis. 258 Diagrama HR. 492. 200 eclipses. 667 desvio para o vermelho. 419. 185 Christian. 245. 549 EB −V . 203 Dolez Noel. 54 tabelas. 279 part´ ıculas. 633 declina¸ c˜ ao. 629 Deubner Franz. 473 Dicke Robert. g(p). 279 desacoplamento mat´ eria-radia¸ c˜ ao. 231 Diaz Marcos. 604 Debye Peter. 414 emiss˜ ao. 213. 257. 225 Drake. 216 de Sitter Willem. 256 efetiva de rea¸ c˜ ao nuclear. 279 distribui¸ c˜ ao de Bose-Einstein. 66 Emden. 258 Albert. 645 elipses. 245. 392 gravitacional. 335 emissividade. 621 constante gravitacional.Raymond. 212 Doppler. 669 el´ etron. 225 efeito estufa. 655 de estados livres. 221 John. 479 decaimento do pr´ oton. 243 t´ ermica. 140 efeito fotoel´ etrico. 669 equa¸ c˜ ao de campo. 254 DBV. 638 cr´ ıtica. 272. 622 de Vaucouleurs G´ erard. 683 Descartes Ren´ e. 17 deferente. 279 de liga¸ c˜ ao. 335 energia. 307 . 167 Draper Henry. 387 potencial. 307 nuclear. 464 Efeito Doppler. 344 equil´ ıbrio t´ ermico. 582 extin¸ c˜ ao atmosf´ erica. 531 estrutura hiperfina. 536 equa¸ c˜ ao do tempo. 137 esfera celeste. 166 extrem´ ofilos. 278 Fermilab. 254 experimento de Miller-Urey. 278 estrela da Pistola. 196 extra-terrestres. 510. 42 estat´ ıstica Bose-Einstein. 257 Fitch Val. 167 Equa¸ c˜ ao de Excita¸ c˜ ao. 278 Feynman Richard. 541 espa¸ conaves. 582 espalhamento Thomson. 311 epiciclo. 330. 539 Europa ´ agua. 637 . 64 equil´ ıbrio convectivo. 221 Espectroscopia. 144 eros˜ ao. 132. 63 equa¸ c˜ ao de Drake. 581 Eud´ oxio. 653 entropia. 40 Erat´ ostenes. 169 Fabricius David. 278 Fermi-Dirac. 350 hidrost´ atico. 3 Euler Leonhard. 11 esf´ ericos harmˆ onicos. 156 Johannes. 166 espalhamento. 375 espectros classifica¸ c˜ ao. 281 era. 539 Euleriana. 35 Equador celeste. 231 753 vari´ aveis. 261 estrela de nˆ eutrons.energia escura. 261 estrelas. 164 extin¸ c˜ ao interestelar. 200 excita¸ c˜ ao. 228 equa¸ c˜ ao de onda. 278 Maxwell-Boltzmann. 581 excesso de cor. 40 de Aqu´ ario. 227 Equa¸ c˜ ao de Ioniza¸ c˜ ao. 248. 312 Fick Adolf. 371 fator de guilhotina. 646 f´ ermions. 156 fator de Gaunt. 4 Erfle Heinrich. 363 leis. 12 equante. 169 Ewen Harold. 164 evolu¸ c˜ ao da vida. 277. 209 esta¸ c˜ oes. 3 fiss˜ ao. 135. 694 ´ Eris. 278 Fermi-Dirac. 378 Fermi Enrico. 363 Filolaus. 228 experimento de Davis. 343 t´ ermico. 303 radiativo. 371 Gauss Carl. 246 fusos. 240 gl´ uons. 603 f´ osseis. 645 Friedmann Aleksandr. 443 fun¸ c˜ ao inicial de massa.Fleming Williamina. 588 colis˜ oes. 670 gigantes. 494. 243 Friedman Jerome. 262 Giovannini Odilon. 114 diferenciais. 549 for¸ ca forte. 329. 406 for¸ cas de mar´ e. 573 gal´ axias. 187 f´ oton. 154. 221 Fontaine Gilles. 581 fun¸ c˜ ao luminosidade. 603 barradas. 488 Fraunhofer Joseph. 573 754 rota¸ c˜ ao. 645 Glendenning Norman. 686 Gamow George. 626 fun¸ c˜ ao de massa. 257 fus˜ ao nuclear. 479 fus˜ ao. 729 Galilei. 111 Fornax. 541 Fowler Ralph. 285 g´ as ideal. 408 g´ as. 605 geod´ esica. 34 γ . 644 Geller Margaret. 580 relativ´ ıstico. 547 densidade de estados livres. 473 Glashow Sheldon. 213 fotosfera. 279 Gal´ axias Seyfert. 163 fotografia. 672 Alexander. 667 Gell-Mann Murray. 631 Garc´ ıa-Berro Enrique. 615 Gal´ axia massa. 398. 629. 155 Fourier Jean. 406 G¨ odel . 589 classifica¸ c˜ ao. 401. 221 Fotometria. 371 William. 588 irregulares. 79. 280 g´ as de f´ otons. 587 aglomerados. 550 Galileo. 156. 508 Gliese Wilhem. 281 Gaunt. 210 fric¸ c˜ ao. 591 Galilei Vincenzo. 393. 479. 605 el´ ıpticas. 232 Hevelius Johannes. 463 Greenwich. 565 William. 156 755 Harvard. 741 Hamada. 270 gradiente de temperatura adiab´ atico. 632. 531 Harriot Thomas. 255. 460 Hansen Carl. 636 Hine Butler. 155 Greenstein Jesse. 255 granula¸ c˜ ao. 548 Helmholtz. 632 H − . 8 Hewish Antony. 212 heliosismologia. 454 limite de. 203. 548 Holwarda John. 688 Hahn Otto. 636 h´ elio descoberta. 181. 643 Gold Thomas. 570 cometa. 132. 408 Herschel. 507 Hayashi Chusiro. 191 Hipparcos. 264 Higgs b´ oson. 221 Hawking Stephen. 533 . 270 homologia. 454 Heisenberg Werner. 4. 537 Hernanz Margareta. 405 Jeffrey. 162 Hermann. 627 Goldstein Eugen. 464 Hiparco. 181 Hertzsprung Ejnar. 243. 518 Herman Robert. 348 Grande Unifica¸ c˜ ao. 632 Gutenberg. 717 Guth Alan. 273 HL Tau 76. 636 Peter. 645 Goldstone b´ oson. 717 Johann. 411.Kurt. 602 guilhotina. 688 Halley. 406 Goodricke John. 277. 259 Hall Chester. 406. 380 Hadley John. 309 Herbig-Haro. 479. 629 Hermite Charles. 151. 151 Edmond. 15 Grupo Local. 378 GUT. 588. 43 ioniza¸ c˜ ao. 691 Jansse Pierre. 589 Edwin. 510 Johnson Harold. 626 Huygens. 326. 110 Hoyle Fred. 587 kaon. 385 IMF. 485 Hulse Russell.Hooft Gerardus. 268. 188 interiores estelares. 473 Kant. 192 Joule James. 453. 637 Kawaler Steven. 488. 277 inverno. 309 Kelvin-Helmholtz tempo. 625 Huchra John. 656 Iglesias Carlos. 397 Huggins William. 686 Jeans comprimento de onda. 220. 169 idade do universo. 194. 531 Kendall . 515 ´ Indice. 12 horizonte de eventos. 443. 408 isotr´ opica. 200 Insola¸ c˜ ao. 411 horizonte. 462. 464. 541 Jansky Karl. 243 Joyce James. 281 756 Jackson John. 512 James. 224 Kellman Edith. 604 Iben Icko. 645 κ. 244 William. 625 Humason Milton. 46 intensidade. 605 H¨ uckel Erich. 587 Immanuel. 309 Kelvin-Helmoltz tempo. 627 Hubble classifica¸ c˜ ao. 130. 435. 531 Keenan Philip. 224 Kellner Carl. 398. 212 Janssen Zacharias. 589. 734 Hydra. 466 idade da Terra. 512 crit´ erio. 547 Kanaan Antonio. 228 Isern Jordi. 733 ´ ındice de cor. 694 Kelvin. 542 Landau Lev. 144 Gerard. 723 Johannes. 634 Kim ´ axions. 538 Legendre Adrien. 264 Landolt 757 Arlo. 372 Larson Richard. 414 Langley Samuel. 686 S. 454 Lederman Leon. 542 Lei de Boltzmann. 435 Le Verrier. 558. 473. 381. 646 Ledoux. 360 Konkoly Nicholas. 480 Horace. 271. 414 Lane-Emden equa¸ c˜ ao. 522 Lagrangiana descri¸ c˜ ao. 412. 370. 518 latitude. 227 Lei de Maxwell. 552. 462. 73 Newton. 486 Kramers Hendrik.Henri. 407 Jihn.O. 541 Lacaille Nicolas. 532 Lamb Donald. 548 Leighton Robert. 348 Paul. 205 Lei de Wien. 130 Larmor Joseph.. 548 Lane. 645 Kepler. 202 Laplace Pierre. 210 Koester Detlev. 548 leis Kepler. 204 Leibacher John. 228 Lei de Stefan-Boltzmann. 410 Kirchhoff Gustav. 283 Lei de Planck. 74. 144 Kurlbaum Ferdinand. 16 Laughlin Gregory. 202 . 204 Lei de Saha. 644 Kibble Thomas. 549 Kolmogorov Andrei. 480 Kerr Roy. 8 Lagrange Joseph. 202 m´ aximo. 132 Urbain. 390 Kuiper cintur˜ ao. 83 . 623 Leavitt Henrietta. 730 Lutero Martinho. 626 lente acrom´ atica. 479. 156 MAP. 445. 219 de Lyman. 190 Lummer Otto. 257 Liebert James. 15 Lorentz Hendrik. 632 lineariza¸ c˜ ao. 191 Maksutov Dmitri. 573 massa-luminosidade rela¸ c˜ ao. 536 Lippershey. 481 Limite de Roche. 202 luneta. 457 Maestlin Michael. 344 massas. 522 Lockyer Joseph. 723 bolom´ etrica. 278 Mayer Julius. 212 Loewy Maurice. 211 Lemaˆ ıtre Georges. 219 espectrais. 209 proibidas. 243 . 150 Maxwell-Boltzmann. 50 movimentos. 463 Lyman. 49 luminosidade.Leis de Kirchhoff. 653 Marconi. 688 convexa. 50 758 fases. 80. 690 mar´ es. 689 manchas solares. 623 leptons l´ eptons. 686 lentes gravitacionais. 631. 532 linhas de Balmer. 730 Hans. 666 transforma¸ c˜ oes. 220 Liouville Joseph. 645 Libby Willard. 116 massa de ar (µ). 111. 637 Maxwell James. 113. 634 Mather John. 585 Linde Andrei. 666 Lua diˆ ametro. 206 defini¸ c˜ ao. 733 Luyten Willem. 219 M87. 198 Massa da Gal´ axia. 195 Magnitudes aparentes. 602. 183 mat´ eria escura. 219 Theodore. 690 longitude. 604 Maeder Andr´ e. 119 Lin Chia. 686 L´ obulo de Roche. 383. 605 Ni´ epce Joseph. 406 Nasmyth James. 632 modos g. 164 Milne Edward. 467 meteoritos. 587 Neddermeyer Seth. 548 r. 246 Newton. 543 s. 479 ´ Nebulosa de Orion. 582 momentum transferˆ encia. 667 Rudolph. 580 nebulosa solar. 541 mˆ es lunar. 690 Nather R. 483 Noyes Robert. 224 movimento pr´ oprio. 252. 538. 544. 736 Isaac. 216 Nobel Alfred. 64 inflacion´ ario. 259 Merzbacher Eugene. 462. 192. 52 Messier Charles. 666 Hermann. 181 Morgan William. 645 neutrinos. 538. Edward. 486 Mira. 694 Nambu Yoishiro. 570 nadir. 636 nˆ eutron. 12 Nagler Albert. 538. 530 microondas. 229 Minkowski espa¸ co-tempo. 145 m´ etrica Robertson-Walker. 221 n´ ıveis de energia. 677 Michell John. 548 . 238 759 mol´ eculas interestelares. 281 Monet David. 130 nebulosas. 270. 628 Miller Stanley. 145. 479 Montanari Geminiano. 687 Nicolaci da Costa Luiz. 246 nodos. 454 missing mass. 277 Meitner Lise. 604 Mestel Leon. 464. 538 m´ odulo de distˆ ancia. 63 heliocˆ entrico. 575 modelo geocˆ entrico. 58 novas. 164 meteoros. 52 sideral. 410.mecˆ anica quˆ antica. 544 p. 110. 66 Oppenheimer Robert. 120 Olbers Heinrich. 635 . 175 Pickering Edward. 496. 580 Nuvens de Magalh˜ aes. 221 Pigott Edward. 646 Picard Jean. 507 ordem. 538. 581 Oberbeck Vern. 151 Jan. 585 Oort. 547 opacidades OPAL. 620 Oliveira Kepler. 181. 663 paridade. 253. 628 Pellegrini Paulo. 166 Pit´ agoras. 242.Nuvem de Oort. 202 Max. 164 paleontologia. 177 P´ ascoa. 166 ozˆ onio. 245 Pionner. 479 Oliver. 605 penumbra. 405 parsec. 66 Perl Martin. 412. 42 overshooting. 2. 385 oposi¸ c˜ ao. 213. 541 ´ Orion. 219. 635 tempo. 66 sin´ odico. 548 Osiander Andreas. 462. 165 Osaki Yoji. 151 nuvens. 14 parˆ ametro de densidade. 628 Perfil da linha. 143 Paradoxo de Olbers. 333. 550 Planck constante. 163 Pallas. 358 OVNIs. 157 Penzias Arno. 602 opacidade. 657 parˆ ametro de desacelera¸ c˜ ao. 503. 719 outono. 592 nuvens moleculares. 166 ondas de densidade. 6 ´ Orion Nebulosa. 620 paralaxe. 725 760 espectrosc´ opica. 37 Pauli Wolfgang. 635 lei. 473. 238 paralelos. 226 per´ ıodo sideral. 174. 278 Peccei Roberto. 580 Or´ o Juan. 202. 406 Peebles James. 494 Princ´ ıpio Cosmol´ ogico. 694 Plut˜ ao. 580 Pogson Norman. 17 popula¸ c˜ ao. 254 profundidade ´ otica(τ ). 406 Ptolomeu. 139 superf´ ıcies. 738 princ´ ıpio da equivalˆ encia. 531 Quinn Helen. 644 quasares. 65 interiores. 581 QCD. 133 eros˜ ao. 11 Polyakov Alexander. 137 exteriores. 135 estrutura interna. 138 caracter´ ısticas. 198 proto-estrela. 136 planetas fora do Sistema Solar. 538 pulsar. 132 pr´ oton. 133 reten¸ c˜ ao de atmosfera. 493. 530 pulsa¸ c˜ oes n˜ ao radiais. 622 princ´ ıpio da exclus˜ ao. 136 atmosferas. 530 radial. 277. 213 quarks. 635 Pringsheim Ernst. 191 Poisson Sim´ eon. 132 poeira. 133 temperatura.planeta equil´ ıbrio hidrost´ atico. 583 p´ ositron. 134 rora¸ c˜ ao. 411 ´ Ponto Aries. 122 press˜ ao. 281 de radia¸ c˜ ao. 352 761 precess˜ ao. 132 crateras. 510 pol´ ıtropos. 645 quadrivelocidade. 63 atividade geol´ ogica. 645 potencial qu´ ımico. 314 Pound Robert. 406 . 43 Principia. 670 quˆ antica. 625 Purcell Edward. 133 raio. 278 princ´ ıpio da incerteza. 65 massas. 63. 279. 285 g´ as isotr´ opico. 40. 665 Prandtl Ludwig. 279. 167 Pl¨ ossl Georg. 134 planetas. 137 distˆ ancia. 64 Claudius. 413 p´ olos celestes. 240 proto-sol. 4 precess˜ ao. 608 queda livre. 202 problema do neutrino solar. 277 quantiza¸ c˜ ao. 6 pulsa¸ c˜ ao. 5. 645 decaimento. 283 primavera. 671 Richer Burton. 653 radia¸ c˜ ao. 201 radia¸ c˜ ao de fundo. 370 Svein. 175 Rogers Forrest. 175 Riemann Georg. 212 Rayet Georges. 542 Rosseland opacidade de. 385 Roll Peter. 110 raio do horizonte. 370 rota¸ c˜ ao diferencial. 671 Ritchey George. 4 Raio de Schwarzschild. 614 Radiotelesc´ opio. 687 Refrator. 547 Regi˜ ao HII. 665 recombina¸ c˜ ao. 492. 645 Jean. 162 Reber Grote. 238 762 relatividade especial. 369 rea¸ c˜ oes nucleares coeficientes. 493. 691 Rebka Glen. 64 reten¸ c˜ ao da atmosfera. 176 Olaus. 484 Edouard. 677 Roche ´ Edouard. 134 Refletor. 690 raio da Terra. 629. 253 rela¸ c˜ ao massa-luminosidade. 369 ramo horizontal. 622 Relatividade Geral. 539 John. 387 rea¸ c˜ oes termo-nucleares. 718 Ricci Georgorio. 492. 671 tensor. 119 Roemer. 448 Ramsay William. 719 Rheticus Georg. 628 Rosen Nathan. 631. 164 Revolutionibus. 161. 387 se¸ c˜ ao de choque. 265 Rayleigh. 637. 689 Robertson Howard. 628 radio-gal´ axias. 580 Reines Frederick. 272. 664 Rees Martin. 188. 584 . 643 Rossby Carl. 514 refletividade. 669 Renascen¸ ca. 621 geral. 204 teoria. 64. 686 regi˜ ao de ioniza¸ c˜ ao parcial. 333 de corpo negro.quintessencia. 680 redshift. 110 Raman Chandrasekhara. 745 raio. 639 SN1987A. 212 Saha Megh. 539 Salam Abdus. 515 Edwin. 530 sistema equatorial. 220 S´ eculo XXI. 59 sat´ elites. 130 origem. 453. 236 Saros. 216 Schwarzschild Karl. 460. 443. 472. 730 Simon George. 263 Snider. 129 massa. 608 Sandage Allan. 358 SETI. 585 Siderius Nuncius. 17 horizontal. 130 Slipher Vesto. 39 Seitz Fredrick. 212. 16 Sistema Solar. 665 . 498 Secchi Angelo. 560. 202 Rubin Vera. 117 RR Lyrae. 257. 401 Schenberg-Chandrasekhar limite. 718 763 Schr¨ odinger Erwin. 6 sismologia.rota¸ c˜ ao sincronizada. 645 Rutherfund Lewis. 435 M´ ario. 156 Schenberg M´ ario. 688 Shapiro Stuart. 525 Shapley. 420 Rutherford Ernest. 616 Smoot George. 268. 232. 435 Schmidt Bernhardt. 110. 348 Martin. 181 Sch¨ onberner Detlef. 228 Saio Hideyuki. 396. 565 Harlow. 397 semiconvec¸ c˜ ao. 165 sextante. 588 Shibahashi Hiromoto. 261. 466 Scheiner Christoph. 148 Savary Felix. 539 Shu Frank. 409 Salpeter. 262. 689 Sch¨ oner Johanne. 326. 454 Rubens Heinrich. 632 Russel Henry. 548 S´ ırius. 206 tempo civil. 738 Ritchey-Chr´ etien. 685 temperatura. 507 SOHO. 645 William. 307 sideral.Snyder Hartland. 309 de queda livre.superstrings. 345 Teoria da Grande Unifica¸ c˜ ao. 671 espa¸ co-tempo. 549 Stark Johannes. 34 de contra¸ c˜ ao de Kelvin. 543 Sol. 390 spin. 261 supernovas. 369. 688 Newton. 54 Sommerfeld Arnold. 380 Stefan Josef. 645 termodinˆ amica. 308. 645 telesc´ opio. 632 teoria de gauge. 508 Tabelas Alfonsinas. 33 universal. 492. 669 metrico m´ etrico. 548 Steinhardt Paul. 483 Tipo I. 33 solar. 730 Cassegrain. 548 sombra. 259 Str¨ omgren. 251 tensor de curvatura de Riemann. 539 Sturm Jacques. 314 Teukolski Saul. 625 Richard. 205 Stein Robert. 385 Tales. 54 umbra. 153 oscila¸ c˜ oes. 669 teorema do virial. 54 penumbra. 34 Tempo nuclear. 277 temperatura da Terra. 20. 486 Tipo II. 242 primeira lei. 486 T Tauri. 493 tensor momentum-energia. 536 supercordas . 196 Strutt John. 581 Starfield Sumner. 548 vari´ avel. 396 Thompson Benjamin. 669 tensor de Einstein. 244 . 492. 632 Strassmann Fritz. 634 supernova. 689 Telesc´ opios. 2 764 Taylor Joseph. 243 Thomson Joseph. 492. 720 Tabor James. 207 temperatura efetiva defini¸ c˜ ao. 176 velocidade radial. 175 unidade de massa atˆ omica. 486 Vogt Heinrich. 345. 549 velocidade da luz. 132. 199 Truran James. 43 Trumpler Julius. 542 Van Allen cintur˜ ao. 333. 193 UFOS. 401. 257 Tr´ opico. 352 transporte radiativo. 336 triplo-α. 192 curvas de transmiss˜ ao. 604 virial. 165 Virial. 721 Urca. 619 evolu¸ c˜ ao qu´ ımica. 329 Tsallis Constantino. 635 idade. 581 Van Horn Hugh. 257 V¨ ais¨ al¨ a Yrj¨ o. 248 Tolman Richard. 163 Vida Extraterrestre. 722 (U-B). 308 Vogel Hermann. 164. 159 van de Hulst Hendrick. 225. 159 ver˜ ao. 312 Turlay Ren´ e. 71 TNT. 720 modelo. 160 James. 605 torque. 200 UBV. 334. 420 . 420 Vogt-Russel teorema. 645 Titius Johann. 248 tr´ ıtio. 573 morfologia. 44 Via L´ actea. 538 Uraniburg. 496. 584 massa. 503 Tombaugh Clyde. 479 Vauclair Gerard. 152 Toomre. 548 umbra. 637 Tycho. 166 Ulrich Roger. 634 765 Unno Wasaburo. 122 transporte por convec¸ c˜ ao. 488 Urey Harold. 643 Vida. 569 viagem interestelar. 565 estrutura espiral. 166 viagem no tempo.Ting Samuel. 73. 251 Virgem. 258 Universo. 163 Vida no Sistema Solar. 157 unidade astronˆ omica. 571 vento solar. 548 . 479. 549 WKB. 503 Voyager. 247 Wentzel Gregor. 390 Wheeler John. 587 Zel’dovich Yakov. 487 Wollaston William. 209 Wood 766 Matt. 161 Weinberg Steven. 212 Wilhelm. 110 Whipple Fred. 12 Zweig George. 473. 653 Wilson Robert. 265. 653 Wolf Charles. 131. 629. 462. 631 ZZ Ceti. 538 Watt James. 496. 473 Wien lei de. 409 Weiz¨ acker Carl. 392 Wilkinson David. 150 Whole Earth Telescope. 644 Zwicky Fritz. 608 zˆ enite. 643. 677 Walraven Th´ eodore. 242. 644 Wright Thomas. 166 Walker Arthur. 390 WMAP. 481 wormhole. 202 Wigner Eugene.Volkoff George. 628 Winget Donald. 462. 265 Wolf-Rayet.