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[email protected] É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 ASSERVISSEMENT DES SYSTEMES D’ORDRE 2. Asservissement de vitesse et de couple d'une machine à courant continu. Objectif Connaître les principes de base de la commande en vitesse variable des ensembles électromécaniques. Etre capable de mettre en œuvre et de régler l’asservissement d'un système d’ordre supérieur à 1. Savoir choisir les différents éléments d’un asservissement de vitesse. Pré-requis – – – Calcul complexe Equation différentielle du 2ième ordre Diagramme de bode des systèmes du second ordre 1 Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne
[email protected] É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 Sommaire 1 Introduction 1.1 Généralités sur la commande en vitesse variable des machines électriques. 2 Etude de l’asservissement de couple de la machine à courant continu. 2.1 Mise en équation du moteur 2.2 Etude de la boucle de courant 3 Modélisation des convertisseurs. 3.1 Introduction. 3.2 Modélisation du caractère échantillonné des convertisseurs. 4 Etude de la boucle de vitesse 5 Définition de la marge de phase. 5.1 Limite de stabilité 5.2 Marge de phase, marge de gain. 5.3 Réseau de caractéristique coefficient d'amortissement en boucle fermée / marge de phase. 6 Correction proportionnelle intégrale 6.1 Nécessité d'une action intégrale 6.2 Influence de l'action intégrale sur la stabilité 6.3 Méthodologie de réglage 7 Les capteurs de vitesse et de position. 7.1 Les capteurs de vitesse. 7.2 Les capteurs de position 8 Remarque sur l’étude de l’asservissement des systèmes à retour non unitaire. 9 Exercices autocorrectifs: Etude de l’asservissement de vitesse d’une motorisation à base de moteur à courant continu. 9.1 Etude de la motorisation en régime statique . 9.2 Etude de la commande en courant du moteur. 9.3 Etude de l’asservissement de vitesse. 2 Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne
[email protected] É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 10 Correction exercices autocorrectifs. Etude de l’asservissement de vitesse d’une motorisation à base de moteur à courant continu. 3 qui devient alors supérieur au couple de charge. peut donc se décomposer en deux boucles d’asservissement : une boucle de couple et une boucle de vitesse : C o nsigne vite sse C o nsigne couple C orrecteur vitess e. L’ensemble d’une commande à vitesse variable.lechenadec@libertysurf. la machine à couple / vitesse courant continu doit être de l'ensemble moteur considérée comme un plus charge Déplacement du point générateur de couple.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. Il est nécessaire de bien connaître la nature du couple résistant afin de pouvoir calculer la relation existant entre la vitesse de rotation de la charge et le 4 . Si l'on souhaite augmenter la vitesse de rotation de l'ensemble moteur + charges. quelque soit le type de motorisation utilisée. Ce de fonctionnement de l'ensemble moteur plus charge couple est alors transmis à la charge qui peut entrer en C2 rotation. l’ensemble moteur + charge dt n’est donc pas imposée par le C1 moteur. il faut augmenter le couple fourni par le moteur. C orrecteur co uple. C ouple moteur MC C M oteur C harge Ω C apteur/ estimateur de coup le C ap teur vitesse Il apparaît alors que la caractérisation de la charge entraînée est donc une des étapes importantes dans l’étude d’un asservissement de vitesse. Comme tous les moteurs Couple moteur Caractéristique électriques.1 Généralité sur la commande en vitesse variable des machines électriques. mais par la caractéristique couple/vitesse de l’ensemble moteur + charge. il faut moduler le couple fourni par le moteur à la charge. Le point de fonctionnement de l’ensemble Ω1 Ω2 Vitesse de de la motorisation est situé à rotation l’intersection de la caractéristique mécanique de l’ensemble moteur + charge et de la caractéristique Cmoteur=Cte . dt d’accélération J On peut voir sur la figure ci-dessus le déplacement du point de fonctionnement dans le plan couple vitesse de l'ensemble moteur plus charges pour une augmentation du couple moteur.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 1 Introduction 1. La vitesse de dΩ J. C o nvertisseur sta tique . Il apparaît alors un couple dΩ . Pour faire varier la vitesse de rotation de l'ensemble. ce qui entraîne une augmentation de la vitesse de la charge. Nous allons donc dans un premier temps étudier l’asservissement du courant dans la machine. il est nécessaire de mettre en équation le comportement en courant de la motorisation. Dans le cas de la machine à courant continu. visqueux et aéraulique. réaliser un asservissement de couple revient à réaliser un asservissement de courant.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 couple moteur. Ce calcul est généralement réalisé à partir du principe fondamental de la dynamique. U MCC I Capteur courant Afin de pouvoir mener à bien la réalisation de cet asservissement. où dt .Ω 5 . dt Les caractéristiques couple résistant en fonction de la vitesse les plus couramment rencontrées sont des combinaisons de frottement sec. Cet asservissement a pour schéma bloc : Consigne courant Correcteur courant.I Equations électromécaniques : E = kΦ.Cm le couple moteur . C C C Ω Frottement sec : F = cte (frottement) Ω Frottement visqueux : F = f V (roulement) Ω Frottement aéraulique : F = a V² (frottement fluide) 2 Etude de l’asservissement de couple de la machine à courant continu. c’est à dire évaluer la fonction de transfert C(p)=I(p)/U(p).1 Mise en équation du moteur La modélisation de l ’ensemble moteur + charge est réalisable à partir des équations de base de la machine à courant continu et du principe fondamental de la dynamique (PFD): C = k Φ.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.J représente le moment d’inertie de l’ensemble moteur + charge . dΩ appliqué en rotation : J = Cm − Cr . Convertisseur statique.Cr le couple résistant - J dΩ : couple d’accélération. 2.lechenadec@libertysurf. représentative du comportement en courant de la machine : 6 . L la résistance et l’inductance d’induit J le moment d’inertie du moteur F le coefficient de frottement visqueux de l’ensemble moteur + charge (on considérera le couple de frottement sec comme étant nul) On peut alors en déduire le schéma bloc suivant. E la force contre électromotrice générée par le moteur U la tension d’induit R. représentatif de la fonction de transfert en courant du moteur : U I M oteur 1 R+Lp E kφ Ω 1 f+Jp C kφ Il est alors possible de tracer la réponse indicielle en courant de la machine. montée en vitesse Courant A partir du schéma bloc de la motorisation définie ultérieurement.lechenadec@libertysurf. ce qui ne présente pas d’intérêt particulier au niveau de la mise en œuvre du réglage de la boucle de courant. mais qui permettra une interprétation de la réponse indicielle en boucle fermée : Application d'une tension constante. croissance du curant Vitesse Augmentation de la vitesse et donc de la force contre électromotrice.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 Equation électrique : U = E + RI + L PFD : J dΩ = C − fΩ dt dI dt où C représente le couple électromagnétique fourni par le moteur. diminution du courant (proche de (U-E)/R) Présence d'un courant et donc d'un couple important dans la machine. il est possible de calculer la fonction de transfert C(p)=I(p)/U(p).Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. Il est alors possible d’évaluer la fonction de transfert en boucle fermée H(p)=I(p) / Ic(p). f = Ko.p + 1 L. et la fonction de transfert devient alors : 1+ C( p) = Ko .lechenadec@libertysurf. J 2 kΦ + R. U C(p) I I* Capteur On assimilera le convertisseur à un gain de valeur Go.2 Etude de la boucle de courant Le schéma bloc de la boucle de courant est donné ci-dessous: ε Ic Cor. le dénominateur est décomposable. L + R . f 1+ .p2 p ω1 p 1 + 2. kΦ + R . J) .fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 1 ( R + Lp) C( p) = 1+ kΦ = 2 ( Jp + f ) ( R + Lp )(Jp + f ) + kΦ (R + Lp )(Jp + f ) J C( p) = 2 f f (f .Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. le correcteur à un gain de valeur Kp et le capteur de courant à un gain unitaire. f 1 + 2 p+ 2 kΦ + R. z. + ω 2 ω2 p 2 Sous certaines conditions (z>1). ec Conv. p ω1 p p 1 + 1 + ω3 ω4 Les diagrammes asymptotiques de bode sont alors les suivants : G 20 log Ko ω1 ω3 ω2 ω4 90° ϕ -90° 2. . 7 . ω1 . essentiellement pour mettre en valeur la simplicité de la méthode graphique !) Notons K=KBO=Kp.lechenadec@libertysurf.ω2 Cherchons à décomposer le dénominateur: ∆= 1 2 ω1 − 4 2 K.1 + ω1 p K. ω22 << 1 et il est possible de réaliser un développement 1 1− ε = (1− ε )1/ 2 ≅ 1 − ε . alors limité au premier ordre de ∆≅ 4.ω2 d’où 8 = −ω1 . c’est un des principes de base des asservissements). 1 + 2. ω2 x1 = ≅− et x2 = 2 2 ω 1 2 K.p + p 1+ 2 = 2 ω2 1+ 1 ω1 p ω1 .1 + + . ω2 ω2 ω2 ω1 ω2 ω1 p2 2 ω2 p ω1 p + ω2 p 2 ω22 si K>>1 (ce qui est généralement vérifié. ω1 1 1 2.Ko. 1 + ω1 = = 2 2 2. ω1 K.Go.1 − ω1 K. z. z K K alors (1 + K) ≈ K et + ≈ et on peut écrire: ω2 ω1 ω1 p K. z K p p p p (1+ K ) + + 2 + K. 1− 2 ω1 ω1 K. il vient alors : 1+ K. z.p + p 2 2 K. ω22 on peut alors calculer les deux racines du dénominateur: 2 2 1 2.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 Méthode 1: Par le calcul (ce calcul est donné à titre purement indicatif.ω1 2 K. ω22 K.1 + ω1 H (p ) = K+ K ω1 . p + 2 1 + 2. ω2 ⇒ ∆= 1 2 ω1 − 4 2 K. 2. z.ω2 1 2 K. H (p ) = p ω1 p + ω2 1+ 1 + K. d'où: 2 2 1 2. 1− . ω22 ω1 ω1 K.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.ω2 2 Si K est suffisamment grand. ω1 − − − + . 1+ 2. ω2 = 1 ω1 2 . p K. 1− 4. Le module de la fonction de transfert en boucle fermée (notée HBF) peut s’exprimer à partir du module de la fonction de transfert en boucle ouverte (notée HBO) par: H BO ≈ 1 si H BO >> 1 H BF = 1 + H BO Remarque : il est préférable d’assimiler la fonction de transfert au comportement en régime K BO statique : H BF = 1 + K BO . Le module de la fonction de transfert en boucle fermée vaut alors: H BO H BF = ≈ H BO si H BO << 1 1 + H BO Il est alors possible de tracer le diagramme asymptotique de bode de la fonction de transfert en boucle fermée à partir du diagramme de bode en boucle ouverte : G H BO < < 1 20 log K BO HBO ωc: pulsation de cassure en boucle fermée H ω1 ω2 H BO > > 1 9 BF = K BO 1+ K BO 1 .ω1 K. on obtient. des valeurs de gain très importantes.ω 22 Méthode 2: Graphiquement Le diagramme de bode de la fonction de transfert en boucle ouverte est donné ci-dessous.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 p ω1 p p. dont la ω1 constante de temps est τ = K. 1+ p ωc .les ‘Hautes fréquences’ où la valeur du gain est très inférieure à 1.ω22 Il apparaît que la fonction de transfert en boucle fermée est de type premier ordre. Si la valeur du gain Kp est suffisamment grande. Il est alors possible de séparer deux « gammes » de fréquences: .ω1 1+ 1+ 2 ω1 K.les ‘Basses fréquences’ où la valeur du gain est très supérieure à 1. notamment aux basses fréquences.ω2 = 1+ 1 .
[email protected] LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne 1+ H (p ) = jy. en théorie. peut alors être directement obtenue par lecture sur le diagramme de bode. il est impossible de modifier la valeur de la grandeur de commande au cours d'une période de fonctionnement. Qu'il s'agisse d'un hacheur ou d'un pont à thyristors. En effet on ne peut agir sur la valeur moyenne de la tension de sortie que lors de la commutation d'un interrupteur. les convertisseurs généralement utilisés sont de type hacheur ou pont à thyristors. il faut rechercher une modélisation rendant compte du fonctionnement échantillonné du convertisseur. Malheureusement.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 On montre ainsi que la fonction de transfert en boucle fermée est bien de type premier ordre. il sera toujours possible d’assimiler la boucle de courant à un système du premier ordre. ainsi que des retards pouvant être introduit par le mode de commande. Ils sont généralement assimilés en première approche à un gain constant. Il est donc possible. Lors de l'alimentation de l'inducteur d’une machine à courant continu. si le gain est élevé : 3 Modélisation des convertisseurs. régler le temps de réponse. La valeur de la bande passante. comme nous l’avons vu lors de l’étude de l’alimentation de l’inducteur des machines à courant continu. Dans le cas contraire. et ainsi d’annuler l’erreur statique et de faire tendre le temps de réponse vers zéro. dont on pourra. Un tel type de modélisation est satisfaisant si le circuit alimenté par cette source de tension présente une constante de temps relativement grande devant la période de fonctionnement du convertisseur. ou de la Vitesse "Pointe de tension" permettant la montée rapide du courant Augmentation de l'erreur permettant une augmentation de la tension d'alimentation afin de compenser l'apparition de la force contre électromotrice Consigne courant Courant Tension constante de temps. dont l’amorçage des interrupteurs est synchronisé sur les passages par zéro de la 10 . La réponse indicielle obtenue est alors porche de celle d’un premier ordre.2 Modélisation du caractère échantillonné des convertisseurs.lechenadec@libertysurf. la mise en pratique montrera qu’il n’est pas possible de réduire à l’infini le temps de réponse. On dit alors qu'on utilise un modèle à valeur moyenne instantanée. 3. d’augmenter à l’infini la valeur du gain proportionnel. essentiellement à cause de la saturation de la tension d’alimentation du moteur. 3.1 Introduction. dans une certaine mesure.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. Néanmoins. c'est-à-dire que l'on assimile la tension de sortie sur une période de fonctionnement du convertisseur à sa valeur moyenne. Dans le cas d’un pont à thyristor. De plus. ce retard sera alors égal à la moitié de la période de fonctionnement du convertisseur. Si l’on trace l’évolution de la valeur moyenne sur une période de la tension de sortie en fonction du temps.03 0. pour une évolution en rampe de la grandeur de commande. On peut considérer que statistiquement.06 -100 Prise en compte de la modification du signal de commande par l'électronique du pont -200 Il en résulte des retards importants entre les modifications de la grandeur de commande et la modification effective de la valeur moyenne de la tension de sortie.04 0. un passage par zéro de la tension secteur. il apparaît nettement que la valeur moyenne de la tension de sortie ne peut pas être modifiée entre les instants de commutation des interrupteurs.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. On parle alors de retard statistique égal à Tc/2. Nous allons alors modéliser notre étage de puissance par un gain et un retard pur de valeur égal à la moitié de la période de fonctionnement.05 0.01 Modification de la commande 0. puis l’amorçage du thyristor suivant : 400 Modification effective de l'angle de retard à l'amorçage 300 200 100 0 0.02 0.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 tension réseau. on obtient les graphes suivants : Grandeur de commande Valeur moyenne instantanée Période du convertisseur (Tc) On peut constater que le retard entre la modification de la commande et sa prise en compte au niveau de la valeur moyenne instantanée varie entre zéro et la période de fonctionnement du convertisseur (notée Tc). d’où la fonction de transfert du convertisseur (notée 11 . il faut attendre pour que les modifications de commande soit effectivement prise en compte.lechenadec@libertysurf. On obtient G ( j.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 .ω . Si l’on souhaite tracer le diagramme de bode du convertisseur.ω . Tc=0.d’où 2 2 G ( j.ω) ) = ArcTan 2 Tc cos
[email protected] LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne G(p)) : G (p ) = G. cos .ω) = G Tc − sin .1ms): 30 0 -30 -57° -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 10 100 1000 ω 10000 ω= 2 100000 Tc La prise en compte de ce déphasage supplémentaire dans le réglage de la boucle de courant sera abordé lors des exercices autocorrectifs.ω arg (G ( j.ω 2 Tc Tc = G .e − Tc p 2 jy. il suffit de poser p = j.sin .ω − j.e − Tc j. 12 .ω 2 On obtient alors le diagramme de bode suivant (G=10.ω 2 = − Tc .ω) = G. En effet. . une augmentation de KBO. Ω 1 + τ'e p 1 + τ m p K BO 1 = = = K. Il va donc être nécessaire d’introduire un élément supplémentaire dans le correcteur ayant pour rôle d’annuler l’erreur statique. 13 . τ m 2. ayant pour objectif de réduire l’erreur statique entraîne une diminution de z.τ m )p p p2 1 + K BO . 2 1 1 Ωc 1 + K BO + (τ'e + τ m )p + (τ' e
[email protected] É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 4 Etude de la boucle de vitesse Le schéma bloc de la boucle de vitesse est donnée ci-dessous : Ωc + - Correcteur Consigne Boucle de vitesse couple/courant courant Ensemble mécanique Ω Capteur vitesse En reprenant l’application du principe fondamental de la dynamique. z = τ' e +τ m 1 + K BO 1+ K BO τ 'e . τ m ⇒z= τ' e +τ m 2 1 + K BO τ ' e . et en supposant le correcteur de type proportionnel. τ m Il apparaît alors un dilemme entre stabilité et précision.z. sans pour autant déstabiliser le système. + 2 1 + τ' e p 1 + τ m p ω0 ω0 avec K= K BO 1 + K BO 1 + K BO ω0 = τ' e . et donc déstabilise le système (voir courbe de réponse indicielle typique des systèmes du deuxième ordre ci dessous). 1 + 2. on obtient le schéma bloc suivant : Ωc + - 1 1+τ'e p Kp 1 f+Jp Ω 1 Il est alors possible de calculer la fonction de transfert en boucle fermée Ω/Ωc: 1 1 K BO .Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. . 4 z=
[email protected] z= 0.8 0.2 1.6 z= 1. si en l'absence de consigne (consigne=0).2 0. le système est stable : 14 . « revient » en phase avec lui-même.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 1. Cela revient à dire que le déphasage obtenu en boucle ouverte est égal à 180°. 5.1 Limite de stabilité Soit le système bouclé suivant : Consigne Erreur Sortie Chaine d'action Chaine de contre réaction Un tel système peut devenir instable.8 z= 1.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.4 z= 0. Un tel état peut être obtenu si le signal d’erreur ayant donnée naissance au signal de sortie.4 z= 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 5 DEFINITION DE LA NOTION DE MARGE DE PHASE. et donc entretenir une oscillation. un signal de sorite peut être entretenu. mais de plus en plus petit. Dans ce cas. deux possibilités sont alors à étudier : .le gain pour un déphasage de 180° est inférieur à l’unité : le signal d’erreur ayant donnée naissance à la sortie «revient » en phase avec lui-même.6 1.0 0. après observation et inversion par le comparateur.2 1 0. le système est instable : 25 20 disparition de la consigne 15 La sortie est déphasée de 180° par rapport à l'erreur.25 0. mais est légèrement supérieure en amplitude. le système est stable.25 0.1 0.15 0. Une fois inversé. Consigne 10 5 0 0 0.05 0. mais de plus en plus grand. Une fois inversé. mais son amplitude diminue.3 0.lechenadec@libertysurf. on constate que le signal d'erreur revient "en phase avec lui-même". mais est légèrement inférieure en amplitude.4 -1 -2 Sortie -3 Erreur -4 -5 - le gain pour un déphasage de 180° est supérieur à l’unité : le signal d’erreur ayant donnée naissance à la sortie «revient » en phase avec lui-même.4 -5 Sortie -10 -15 Erreur -20 -25 On en déduit alors la forme des diagrammes de bode pour un système stable et un système instable : 15 .05 0. le système est instable.2 0.3 0.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne 5 disparition de la consigne 4 Consigne 3 jy.1 0. on constate que le signal d'erreur revient "en phase avec lui-même".15 0. 2 1 0 0 0.35 0.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 La sortie est déphasée de 180° par rapport à l'erreur.2 0. mais son amplitude augmente.35 0. On définit la marge de gain comme étant l'écart en décibel entre le gain obtenu pour un déphasage de 180° et le gain unitaire.2 Marge de phase. G>1 pour ϕ = 1 8 0 ° 5. On définit. il est impossible de juger du niveau de stabilité (pouvant être assimilé au dépassement en % de la réponse 16 .Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. plus le système est stable. 0 dB Marge de gain -180° Marge de phase 5.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 0 dB 0 dB -180° -180° Système stable. Le critère le plus couramment utilisé pour juger de la stabilité d’une système est la marge de phase. S’il est vrai que plus la marge de phase est importante.3 Réseau de caractéristique coefficient d'amortissement en boucle fermée / marge de phase. à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte et pour un système stable. marge de gain. la marge de phase comme étant l'écart entre le déphase obtenu pour un gain unitaire et 180° (à la fréquence dite de coupure).lechenadec@libertysurf. G<1 pour ϕ = 1 8 0 ° Système instable. Il est alors indispensable de trouver un type de correcteur permettant de limiter. une tension de commande telle que le système présente une grandeur de sortie égale à la consigne.1 0 0 20 40 60 80 Marge de phase Nous constatons que l'amortissement en boucle fermée dépend de la marge de phase et de l'amortissement en boucle ouverte.1 Nécessité d'une action intégrale Dans de nombreux cas de figure (système d'ordre supérieur à 1).3 0. Nous obtenons alors le réseau de caractéristiques suivant : 0.5 ZBF z bo=0.lechenadec@libertysurf. 6 CORRECTION PROPORTIONNELLE INTEGRALE 6.7 0. doit fournir en sortie. au bout d'un certain temps. les courbes représentant le coefficient d'amortissement obtenu en boucle fermée en fonction de la marge de phase pour différentes valeurs du coefficient d'amortissement en boucle ouverte. Dans le cas de système ou tout dépassement est destructif. il est impératif de valider le réglage par le calcul ou par la simulation.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 indicielle) uniquement à partir de la valeur de la marge de phase.4 0. est la recherche d'une marge de phase comprise en 45 et 60°.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. Cette fonction intégrera l'erreur statique jusqu'à ce que la grandeur de commande soit telle que l'erreur statique soit nulle : ε > 0 ⇒ ∫ ↑ ε = 0 ⇒ ∫ cons tan te ε < 0 ⇒ ∫ ↓ 17 . Le système présentera alors une erreur statique nulle. Par contre.4 0. Néanmoins.8 z bo=1.9 0. dont le résultat est non nul alors que la grandeur d’entrée est nulle est l'intégration. à l'aide d'une correction proportionnelle.2 0. une technique de réglage couramment utilisé.6 0. L’idée largement répandue qu’une marge de phase de 45° correspond à un dépassement de 20% est totalement erronée.9 z bo=1. voire d'annuler l'erreur statique. Une fonction mathématique particulièrement simple. il est possible de tracer pour un système du deuxième ordre. Ce correcteur.3 z bo=0. s'il fonctionne correctement.7 z bo=1.6 z bo=1 0. d'obtenir un bon compromis erreur statique / stabilité. il est impossible. 6. est alors le suivant: 0 dB 1 M(p) Boucle ouverte avec intégration -180° Marge de phase nulle avec intégration Marge de phase sans intégration On peut constater. sur un tel exemple.3 Méthodologie de réglage Nous avons vu qu'il était possible de régler la forme de la réponse d'un système asservi en jouant sur la valeur de la correction proportionnelle.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne Erreur Consigne jy. que l'introduction de l'action intégrale dégrade de façon notable la marge de phase. Il est donc impossible de se contenter d'introduire une action intégrale sans réfléchir à ses conséquences.2 Influence de l'action intégrale sur la stabilité Soit le système du second ordre suivant: M (p) = G p p2 1 + 2. (relation dépassement / marge de phase). 6. avec un correcteur intégral. Nous allons donc rechercher.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 ∫ Grandeur de commande Modulateur d'énergie Grandeur observée Energie Système Grandeur de sortie Capteur On obtient le fonctionnement suivant: erreur > 0 ⇒ ∫ ↑ ⇒ sortie ↑⇒ erreur ↓ ⇒ erreur = 0 ⇒ ∫ cte ⇒ sortie cte ⇒ erreur = 0 t→ Le fonctionnement en régime "quasi statique" correspondant donc à celui que nous attendions. + 2 ω0 ω0 Son diagramme de bode en boucle ouverte.lechenadec@libertysurf. celle qui permet de fixer la 18 . parmi les nombreuses techniques de réglage. p. une fois le réglage proportionnel réalisé.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 forme de la réponse au moyen d'une correction proportionnelle (dépassement pour un deuxième ordre. 1+ τp 1 et on retrouve . Le réglage se fera alors en deux temps: Œ réglage de la forme de la réponse à l'aide d'un correcteur P • annulation de l'erreur à l'aide d'une action intégrale Afin de ne pas modifier la marge de phase. pour des pulsations supérieures 10 à . le correcteur n'a alors Un tel correcteur à pour équation: C( p) = plus aucune action. puis d'annuler l'erreur statique. temps de réponse pour un premier ordre). Il faut donc rechercher un correcteur permettant d'intégrer l'erreur statique.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. τ 19 . Si ω → 0 alors C( p) → τp τp l'action intégrale au niveau de l'erreur statique.lechenadec@libertysurf. Action intégrale 0 dB Dis parition d e l'a ction intég ra le 10/τ 1/ τ -90° B a nde de pu lsation ou la p ha se en b ouc le o uv erte v a etre mod ifiée p ar le co rrec te ur. Un tel correcteur n'introduit donc plus ni gain. il est nécessaire d'annuler l'action de l'intégrale au niveau de la fréquence de coupure. ni déphasage. mais ne modifiant pas le diagramme de bode du système autour de la fréquence de coupure. Si ω >> 1/ τ alors C( p ) → 1 . Ba nde d e pu ls atio n ou la p has e en bo ucle o uve rte ne va p as etre mod ifiée pa r le co rrec te ur. 1 10 On se propose de réaliser la synthèse du correcteur PI de façon à rendre le système aussi rapide que possible. Le diagramme en boucle ouverte de M(p) est le suivant : 20 . F il est possible de prendre une valeur de 1 inférieur.) Ž Introduction d'un correcteur Proportionnel intégrale.. mais la vitesse d'intégration est alors plus τ lente. dépassement.. C1 ( p) = K • Réglage de K (temps de réponse.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 Le principe du réglage est donc le suivant: Œ Introduction d'un correcteur proportionnel.lechenadec@libertysurf. marge de phase. tout en annulant l’erreur statique. C 2 (p) = • Réglage de 1 + τp τp ω 1 a la valeur c où ω c représente la pulsation de coupure en boucle τ 10 ouverte du système avec la correction proportionnelle. et on obtient une réponse du type: Réponse proportionnelle Intégration lente de l'erreur Exemple : Soit un système physique dont la fonction de transfert en boucle ouverte est la suivante : 5 M(p) = 1 1 1 + P 1 + P 0.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 30 0 0. La pulsation de coupure est alors de 6 rad/s.001 -30 0.001 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 -30 -60 -90 -120 -150 Marge de phase = 60° -180 -210 La valeur du gain proportionnel à installer est de 24 dB. On obtient alors les diagrammes suivants : τ 21 .6 .lechenadec@libertysurf. soit un gain Kp=16.01 0. Si l’on souhaite venir rajouter un correcteur proportionnel intégral qui 1 ne modifie pas la marge phase. il faut prendre = 0. Il est alors possible d’évaluer graphiquement la valeur du gain proportionnel à installer : 30 Gain = 24 dB 0 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 -300 Nous allons fixer arbitrairement la marge de phase à 60°.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. 6 p 0. à savoir : pour les capteurs de vitesse : les génératrices tachymétriques les codeurs optiques pour les capteurs de position les codeurs optiques les résolveurs 22 . on obtient la forme d’onde suivante : Le correcteur à installer à donc pour fonction de transfert : C( p) = 16 .5 4 On constate que l’erreur statique est nulle.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. nous allons restreindre notre étude aux capteurs les plus souvent utilisés. et que le dépassement est acceptable.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 120 Boucle ouverte avec PI (Gain) 90 Boucle ouverte sans PI (Gain) 60 30 Correcteur PI (Gain) 0 0. 14 12 10 8 6 4 2 0 0 0. 7 Les capteurs de vitesse et de
[email protected] 2 2. Parmi les nombreuses technologies de capteurs de vitesse et de positions disponibles sur le marché.6 Si l’on trace en simulation la réponse indicielle.01 0.5 1 1.1 1 10 100 1000 Correcteur PI (Phase) Modification de la marge de phase négligeable -90 -120 -150 Boucle ouverte avec PI (Phase) -180 Boucle ouverte sans PI (Phase) -210 1 + p 0.5 3 3.001 -30 -60 0. U ( E − Ub) = k. alors la fréquence de l’ondulation est : f = Ω . due à un mauvais calage des balais. la fréquence de l’ondulation est alors: f = .1. Ω où Z représente le nombre de 2.Ω Rcr Rcr 1+ 1+ Rch Rch On peut donc constater que moyennant certaines hypothèses.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 7. π dents du rotor . Ir = E − Rcr U ⇒U= Rch E k. il est possible d’exprimer la tension U aux bornes de l’induit si l’on néglige la chute de tension aux balais : U = E − Rcr. mais une chute de tension supposée constante Ub.1 Les capteurs de vitesse. il ne faudrait pas considérer au niveau des balais une résistance constante. Φ = . Φ. 7. on peut constater une légère dissymétrie de la tension de sortie. 3 / La tension de sortie d’une génératrice tachymétrique présente toujours une certaine ondulation. Φ. dont le circuit d’excitation est composé d’aimant permanent. qui peut avoir plusieurs origines : n Les variatione de réluctance du circuit magnétique dues par exemple à l’excentricité de l’induit. Si l’on note Rcr la somme de la résistance de l’induit et de celle des balais.1 Les génératrices tachymétriques Les génératrices tachymétriques sont en fait de petites machine à courant continu. dθ . la tension aux bornes de la génératrice tachymétrique est bien proportionnelle à la vitesse de rotation. mais fait apparaître une bande morte dans la caractéristique.lechenadec@libertysurf. Ω = k. La relation entre E et Ω est donnée par E = k. U génératrice Ω 2 / Lors de l’inversion du sens de rotation du capteur. La caractéristique de sortie de la génératrice peut alors s’exprimer de la façon suivante : U = E − Rcr. et dont la force électromotrice est alors proportionnelle à la vitesse. Φ.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. π n Une mauvaise répartition du flux sous les pôles inducteurs du fait de la présence des Z encoches. Remarque : 1 / Lorsque la génératrice travaille en charge. Ω − Ub − Ub ⇒ U = Rcr Rcr Rch 1+ 1+ Rch Rch La prise en compte de la chute de tension aux balais ne remet pas en cause la linéarité de la génératrice. supposé constant. où Φ dt représente le flux d’inducteur. Ir − Ub = E − Rcr. 23 . et Rch la résistance de la charge. 1.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. Ω où Kc vers une autre lame du collecteur. Derrière la piste extérieure sont installées deux diodes photosensibles décalées délivrant des signaux carrés.lechenadec@libertysurf. (DEL).2 0. Luminescentes.m2 21. Une lumière émise par des Diodes Electro.018 Nm 0. (A et B). Pour un tour complet de l'axe du codeur le faisceau lumineu est interrompu "n" fois et délivre "n" signaux consécutifs.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 n La présence du collecteur qui induit une ondulation lors des computations d’une lame Kc .002. ‘n’ s'appelant la résolution ou nombre de périodes. Ce signal est amplifié puis converti en signal carré. la fréquence de l’ondulation est alors: f = 2. Le disque comporte au maximum deux types de pistes : La piste extérieure (A ou A et B) est divisée en "n" intervalles d'angles égaux alternativement opaques et transparents. 4 / Exemple de caractéristique d’une génératrice tachymétrique : (TG-0702A de Kollmorgen Artus) Constante de FEM Ondulation de tension Ondulation de fréquence (fondamental) Couple de friction Moment d’inertie Tension de sortie maximale Vitesse de rotation maximale Résistance d’induit Inductance Résistance de charge recommandée 7. qui est alors transmis à un système de traitement : Les codeurs utilisés en tant que capteurs de vitesse sont des codeurs dits de type incrémental.10-6 Kg. en quadrature : 24 .8V 363 Rad/s 51Ω 21 mH 5100Ω Les codeurs optiques (D’après documentation Télémécanique) Un codeur optique est un capteur de position angulaire.06 V/Rad/s 6% 13 Cycles par tour 0. lié mécaniquement à un arbre qui l'entraîne. son axe faisant tourner un disque qui lui est solidaire. traverse les fentes de ce disque créant sur les photos diodes réceptrices un signal analogique. Le disque comporte une succession de parties opaques et transparentes. π représente le nombre de lames du collecteur. Ce signal Z. Ces codeurs fournissent donc un signal de référence par tour et un signal dont la fréquence est proportionnelle à la vitesse de rotation. B Q=1 D A B Q A H Q=0 D Q H La piste intérieure (Z : top zéro) comporte une seule fenêtre transparente.dans un sens pendant le front montant du signal A. le signal B est à 1. Si l’on souhaite obtenir une information analogique. (durée 90° électrique). . La pista intérieure.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 Le déphasage (90° électrique). appelé "top zéro".lechenadec@libertysurf. n'ayant qu'une seule fenêtre délivre un seul signal par tour. Ce "top zéro" détermine une position de référence et permet la réinitialisation à chaque tour.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. Remarque : 1/ Il est possible d’augmenter la résolution apparente du codeur en utilisant une porte de type ou exclusif : A B A B 2/ Il est nécessaire de convertir cette information fréquence en information vitesse afin de la rendre directement utilisable. le signal B est à 0 Il est alors facile de déterminer simplement le sens de rotation du moteur à l’aide d’une simple bascule D. est synchrone des signaux A et B. il est possible par exemple d’utiliser un montage mettant en œuvre un monostable et un filtre passe bas : 25 .dans l'autre sens pendant le front montant du signal A. des signaux A et B permet de déterminer le sens de rotation : . il suffit de compter le nombre de fronts issus du codeur pendant une période fixe.2 Les capteurs de position 7.lechenadec@libertysurf. L’initialisation du compteur (chargement à une valeur correspondant au nombre de point du codeur lors du décomptage) sera réalisée en utilisant le « top zéro » du codeur.1 Les codeurs optiques Il est possible d’obtenir un capteur de position à partir d’un codeur incrémental. Nous obtenons alors un montage dont le schéma synoptique est le suivant : Compteur / Décom pteur à chargeme nt parrallè le XOR =1 O U CLK B T UP/D OWN Ba scule D D P U T Q C LK Z Load IN PU T No mb re d e p oin ts du code ur 26 Position A .fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 A Monos table sur fronts Sortie filtre m ontant et de s ce ndant Change m ent de vite s se A Sor tie m onos table Sor tie filtr e Si l’on souhaite une information numérique. 7. A chaque incrément du codeur correspond un déplacement élémentaire. il est alors possible de compter ou décompter ces incréments selon le sens de rotation afin d’obtenir une information de position.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.2. Sensibilité aux parasites en ligne. mutuelle inductance dont la valeur dépend de la position : 27 . utilisant les variations de mutuelle inductance entre un rotor et un stator.lechenadec@libertysurf. Ce temps de réinitialisation peut être pénalisant pour certaines applications. ne décrivant jamais un tour complet. le non-comptage d'une période induit une erreur de positionnement qui ne peut être corrigée que par la lecture du "top zéro". sauf en cas de traitement du signal complémentaire. Chaque piste a son propre système de lecture. Un parasite reçu sur la ligne peut être comptabilisé par le système de traitement comme un signal d'incrément. Impossibilité de recalage par le "top zéro" dans le cas de mouvement de type oscillant. chaque coupure du courant peut faire perdre la position réelle du mobile.2 Les résolveurs Le syncro-résolveur est un capteur de position angulaire inductif. Les pistes suivantes permettent successivement de déterminer dans quel huitième de tour.2... La piste intérieure est composée d'une moitié opaque et d'une moitié transparente. 7. (diode émettrice et diode réceptrice). La lecture de cette piste.. Le nombre de sorties parallèles est le même que le nombre de bits ou de pistes sur le disque. Les fréquences des signaux A et B étant généralement élevées.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. on se situe. Principe théorique de fonctionnement : Dans ce concept le disque comporte un nombre "n" de pistes. La piste suivante est divisée en quatre quarts alternativement opaques et transparents. Il faut alors procéder à la réinitialisation. La piste extérieure donne la précision finale et est appelée. Cette piste comporte 2n points correspondant à la résolution du codeur. LSB = Least Significant Bit (bit de poids le plus faible). MSB = Most Significant Bit. - - - - Sensibilité aux coupures du réseau : tous les segments étant d'égale longueur.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 Les codeurs absolus Ce concept a été développé pour pallier aux contraintes suivantes générées par le codeur incrémental lorsqu'il n'est pas associé à une commande numérique. ("bit de poids le plus fort"). etc.. permet de déterminer dans quel demi tour on se situe. seizième de tour.. La lecture de cette piste combinée avec la lecture de la piste précédente permet alors de déterminer dans quel quart de tour on se situe. t ) . sin( θ ). Si l’on dispose un deuxième enroulement statorique en quadrature avec le premier. cos(ω.I. On obtient alors deux e s1 = K. Il en découle l’expression de la tension induite dφ d dθ dans le stator : e s = s = (M .sin( θ) déduire la valeur de θ (il existe des circuits intégrés réalisant cette fonction).I. que la valeur de gain du capteur soit également à 1.cos( ω. sin(ω. .fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 En ro ulemen t rotoriq ue Mutuelle indu ctan ce maximale Enrou lement statorique Mutu elle in ductance min imale (po sition prise co mme origin e an gulaire) On peut admettre que l’expression de la mutuelle inductance en fonction de la position angulaire du rotor a pour expression : M (θ ) = M.cos( θ).t )) : φs = M. cos(θ). cos( θ) Le rotor est alimenté par un courant sinusoïdal haute fréquence (de quelques kilo-hertz). il est alors possible de tensions e s 2 = K . cos( θ). cos( ω. et il est alors possible de calculer le flux induit dans le stator (φs ) par le courant rotorique (I r = I. notamment les asservissements de courant en petite puissance. dt l’expression de es peut être approché par M.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.t ) que : e s 2 = K. cos(θ ). 8 Remarque sur l’étude de l’asservissement des systèmes à retour non unitaire. Connaissant le sinus et le cosinus de l’angle.t ) . de faire disparaître les termes en cos(ωt).sin( ω. cos(θ ) .t ) . on transforme généralement le schéma bloc de l’asservissement de la façon suivante : 28 .I.I.sin( ω.ω.cos( θ ). S’il peut arriver dans l’étude de certain asservissement. dt dt dt dθ La valeur de ω étant très supérieure à .t ) − M.sin( θ ).t ) Il est possible en utilisant des techniques de démodulation d’amplitude (détection synchrone par exemple).I.sin( ω.cos( ω.t ) ) = M. Si l’on tient compte du fait que la grandeur effectivement asservie est la grandeur observée.lechenadec@libertysurf.ω. le gain de la boucle de contre réaction est généralement non unitaire. on dispose alors d’un système de deux tensions telles e s1 = K. B(p ) 1 + A (p ). Ωm: la vitesse de rotation de la machine. Il est C (p ) B( p) 1 + A (p ).B( p) S( p) 1 A( p) B( P) A( p ) = . Nous en déduisons alors C(p ) 1 + A ( p). Em: la force contre électromotrice de la machine. L'inductance de la machine peut être négligée devant l’inductance de lissage. On désigne par Um: la tension d'alimentation de la machine. résultat identique à celui trouvé précédemment.B( p) alors plus simple de traiter l’asservissement comme un système à retour unitaire.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 ε C onsigne A (p) Sortie Sortie B(p) observée ⇔ ε C o nsigne (C ) A(p) Sortie (S) B (p) Sortie observé e(S*) A partir de l’analyse du schéma bloc initial. Γr: le couple résistant appliqué au moteur. nous traitons la boucle d’asservissement comme S * (p ) A (p )B( P ) une boucle à retour unitaire. 9 Exercices autocorrectifs: Etude de l’asservissement de vitesse d’une motorisation à base de moteur à courant continu. où la constante de couple k c est égale à la constante de force contre électromotrice k e . L: l'inductance de lissage.B( p) Si nous travaillons sur le schéma bloc modifié. Γm: le couple fourni par la machine. I: le courant d'induit de la machine. C (p ) 1 + A (p ). On considère un servo moteur à flux constant. R : la résistance de la machine. 10−4 m² kg. puis de prendre en compte dans un deuxième temps le gain du capteur.lechenadec@libertysurf. nous savons que 1/B(p ) Sortie S( p) A( p ) = . fm: le coefficient de frottement visqueux du moteur. Jm: le moment d'inertie du rotor = 2.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. et nous obtenons : = . = . Deux essais ont été pratiqués sur le moteur : 29 . p+fm ke 1/ Déterminer l’expression de la fonction de transfert M i ( p) = 1+ M i ( p) = Ko.z. ω 1 et ω 2.1 Etude de la motorisation en régime statique : 1/ Ecrire le système d'équation reliant Um. Γr.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. 2 Im kc I (p ) . Ωm. Ωm= 980 rad/s. kc.lechenadec@libertysurf. Mettre Mi(p) sous la forme U( p ) . kc. R. Nous allons donc retenir le schéma bloc suivant pour la motorisation : Um 1 R+Lp 1 Jm. 3/ Compléter le schéma bloc ci-dessous représentatif du fonctionnement en courant de la motorisation. 9. Réaliser les 30 . f et R. I=1A. Donner les expressions littérales de Ko. Dans cette étude. (En régime statique) 2/ Déterminer à partir des essais précédants les valeurs de ke. I=4A.2 Etude de la commande en courant du moteur: Le moteur est alimenté par un hacheur de gain Go=4. ke. Essai en régime nominal: Um= 20 V. I. (Remplir les blocs en utilisant les expressions littérales en régime statique) Um I Em Ωm Γm Γr 9. et on place en série avec le hacheur une inductance de lissage de valeur L = 100 mH. + ω 2 ω 2 applications numériques.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 Essai à vide: Um= 20 V. fm et Γr en régime nominal. p ω1 p p 1 + 2. Ωm= 1200 rad/s. nous allons considérer le couple résistant extérieur comme étant une perturbation du système. 7/ Déterminer graphiquement l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée I( p) I BF (p ) = Ic(p ) 9.I Equations électromécaniques : Em = ke. 3/ Tracer les diagrammes asymptotiques de bode en boucle ouverte de I BO ( p) = I( p ) si le Ic( p) correcteur proportionnel est unitaire. 10. en intégrant dans le diagramme de phase le retard introduit par le hacheur.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.1 Etude de la motorisation en régime statique : 1/ Γm = kc. sachant que le gain du capteur de courant (noté KDT) est égal à 0. 6/ Calculer alors l’erreur statique de cet asservissement de courant. 4/ Le hacheur alimentant la machine fonctionne à 16 Khz.Ωm + R. ainsi que le rapport I/Ic en régime statique.Ωm Equation électrique en régime statique : Um = Em + R. = Γm − Γr − fm. 1/ Représenter le schéma bloc de l'asservissement de vitesse en prenant comme grandeur de sortie l’observation de la vitesse.I dΩ m PFD en régime statique: Jm. 3/ Après avoir calculer la fonction de transfert en boucle fermée avec correcteur proportionnel (valeur Kp). Déterminer alors la constante de temps τ du correcteur (voir méthodologie §6.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 2/ Donner le schéma bloc de l'asservissement de courant avec correcteur proportionnel.3) 10 Correction exercices autocorrectifs: Etude de l’asservissement de vitesse d’une motorisation à base de moteur à courant continu.Ωm dt kc. 5/ Déterminer graphiquement la valeur du gain permettant d’obtenir une marge de phase de 90°. Nous allons modéliser son caractère échantillonné par son retard statistique. 4/ Afin d’assurer en toutes circonstances une erreur statique rigoureusement nulle.Ωm + Γr On en déduit alors : Um = ke. Réaliser l’application numérique en faisant apparaître la pulsation de cassure et le coefficient d’amortissement. déterminer la valeur de Kp permettant de fixer la valeur du coefficient d’amortissement en boucle fermée à 0. Tracer le nouveau diagramme de bode en boucle ouverte.7. Tracer alors le diagramme de bode correspondant. nous allons insérer un correcteur PI en série avec le correcteur proportionnel.lechenadec@libertysurf.Ωm = 0 ⇔ Γm = Γ r + fm.I = fm.031.I 2/ Les deux essais nous permettent d’obtenir les deux systèmes d’équations suivant : 31 . 2/ Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte (Correcteur unitaire).3 Etude de l’asservissement de vitesse. kc + R.6.6 2 2/ 32 2 . On obtient après résolution : ke = kc = k = 1.980 + R.p + fm) p Jm 1+ .1200 kc.1 20 = ke.10 Γr =
[email protected] Ω −5 fm = 1.1 = fm.fm ω 2 ω 2 M i ( p) = 0. 1 + 15. = Ko.10 −2 R = 1.kc 1+ ( R + Lp )(Jm.4 soit un système de quatre équations à quatre inconnues. (fm.4 = fm. + 3.fm p p 1+ p+ .p p p 1 + 2.p + 1 f ω1 fm M i ( p) = .980 + Γ r 20 = ke.kc + R.Jm ke.Jm ) L.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.p 2 1 + 2.31 .57.6 3. + ke.3 .05 3/ Um Im 1 R Em ke Ωm 1 fm Γm kc Γr 10.1.fm ke.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 kc.1200 + R .z.L + R .2 Etude de la commande en courant du moteur : 1/ 1 ( R + Lp ) M i ( p) = ke.05.kc + R . Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.01 0.z .fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 1 + Ic Kp Ko .1 1 10 100 4/ 33 1000 10000 100000 1000000 10000000 . p ω 2 p ω I 1 p + ω 2 2 1 3/ 90 60 30 Gain 0 -30 -60 -90 Phase -120 -150 -180 0.lechenadec@libertysurf. Go 1 + 2 .001 0.
[email protected] 0K 0 1 + 6.1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000 1000000 10000000 5/ 90 60 30 0 20 LOG Kp -30 -60 -90 -120 -150 -180 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 On relève sur le diagramme de bode une valeur de Kp peu diférrente de 30dB d’où Kp ≈ 1030 / 20 = 32.01 0.001 0.4 I K BO = = 0 . On en déduit alors le rapport en régime 1 + K BO 1 + K p .fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 90 60 30 0 -30 -60 -90 -120 -150 -180 0.2 : statique : 34 .Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.86 Ic 1 + K BO 7/ Le diagramme de bode en boucle fermée peut alors être obtenu comme indiqué au $2. 6/ ε% Le calcul de l’erreur statique est alors donné par la formule : 100 100 100 = = = = 13% .001 0. 3 Etude de l’asservissement de vitesse.86 fonction de transfert I BF ( p) = = = IBF p p Ic( p) 1 + 1+ 1000 ωi 10.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 90 60 Boucle ouverte 30 0 Boucle fermée -30 -60 -90 -120 -150 -180 0.01 0.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. d’où une K I( p) 0. 1/ Le schéma bloc de l’asservissement est le même que celui vu dans le cours : Ωc + Kp - IBF (p) 1 f+Jp Ω K DT Après modification pour obtenir un retour unitaire en considérant comme grandeur de sortie la vitesse observée : Ωc + - Kp I BF (p) 35 1 f+Jp ΩOBS K DT .001
[email protected] 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 On constate que la bande passante en boucle fermée est de l’ordre de 1000 rad/s.
[email protected] 0.Kp 1 + K BO .K DT = = = p Jp + f Ω C ( p) 1 J p Jp p2 1+ 1 + 1 + 1 + + p + ωi f f ωi ωi f ωi . + 2 1 + 2 . z . l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte est alors la K BO K BO Ω OBS (p ) K IBF 1 suivante : .Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy. ω o ω o d’où K BO. ω o ω o K BO .Kp) ωoBF ωoBF 36 .12 Il est alors possible de tracer le diagramme de bode en boucle ouverte : 90 60 30 Gain 0 -30 -60 -90 -120 Phase -150 -180 0.(1 + K BO .z.z p p p p 1+ .01 0.Kp 2.Kp + 1 + 2. J Ω OBS (p ) 2035 = Ω C ( p) p p2 1 + 2 * 62 * + 8.Kp K BO .Kp Ω 1 1 = = 2 2 Ω c 1 + K BO.fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 2/ En posant Kp=1.z.Kp. .Kp. + BF (1 + K BO . 2 p p + 1 + 2 .z.Kp) ω0 ω0 . 2 K BO . il est alors possible de calculer la fonction de transfert en boucle fermée Ω/Ωc: 1 K BO . + p p ω o ω o + 1 + 2.1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 3/ A partir de l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte.Kp Ω = = 2 1 Ωc p p 1 + K BO .1 8. 4/ Le placement du correcteur PI se fait alors à partir du diagramme de bode en boucle ouverte avec correcteur proportionnel.73. soit environ 50 rad/s. 10 τ 37 1000000 10000000 .fr É : 01 45 14 28 28 Ê : 01 48 73 63 15 ωoBF = ω0 .Kp z BF = z 1 + K BO .KP=7600 soit KP=3.lechenadec@libertysurf. 1 + K BO .01 0.7.Jean-Yves LE CHENADEC Lycée Louis ARMAND 173 Bd de Strasbourg 94736 NOGENT sur Marne jy.001 0. où il est possible de relever la pulsation de coupure où est définie la marge de phase : 90 60 30 Gain 0 -30 -60 -90 -120 Phase -150 -180 0. La pulsation de cassure en boucle fermée est alors de 705 rad/s.Kp Si on souhaite un réglage ou ZBF=0. il faut retenir KBO.1 1 On retient alors comme valeur pour 10 100 1000 10000 100000 ω 1 la valeur c .