Capitulo I.Axonometría 1 CAPITULO I Axonometría La axonometría es un tipo de representación intermedia entre el sistema de proyecciones ortogonales y la perspectiva, que permite incluir las tres dimensiones de la realidad en un solo dibujo.2 De hecho la axonometría se considera como un tipo de perspectiva en la que las líneas paralelas no convergen en un punto sino en el infinito, y ha llegado a denominarse como perspectiva paralela, y así estamos acostumbrados a llamarla por su gran similitud que tiene con los dibujos que representan los objetos de la forma que los vemos o veríamos desde un punto de vista determinado, que son los que en realidad llamamos perspectivas, sin embargo se trata de dibujos de proyecciones oblicuas y ortogonales. Tipos geométricos de proyección En los dibujos geométricos de proyección que se componen de conjuntos de líneas paralelas que representan las orillas de un objeto se pueden considerar dos tipos genéricos: ortogonales y oblicuos. Los dibujos geométricos de proyección ortogonal, son los obtenidos en la proyección perpendicular sobre un plano de todos los puntos que forman un objeto, con este tipo de proyecciones obtenemos los dibujos que llamamos: plantas, fachadas y cortes, utilizados para la ejecución de una obra, y que normalmente forman parte de lo que llamamos planos constructivos. Los dibujos geométricos de proyección oblicua, resultan cuando los objetos son proyectados en forma inclinada sobre el plano de proyección obteniendo un efecto tridimensional de líneas paralelas. De este tipo de proyecciones resulta lo que llamamos perspectiva caballera y militar, según la ubicación del objeto frente al plano. Este tipo de proyección a veces sustituye a la perspectiva cónica. Las perspectivas paralelas son fáciles de construir, se les considera perspectivas de distancia infinita.3 Cuando queremos dar a conocer el diseño de un objeto para su ejecución o estudio, tenemos que recurrir a una serie de dibujos ortogonales que abarquen todas las vistas necesarias para su mejor descripción, como lo hacemos con la geometría descriptiva en sus diferentes proyecciones sobre los planos: horizontal, vertical y lateral, que corresponde a los dibujos geométricos de proyección ortogonal. Cuando la presentación del diseño de un objeto es para un espectador no técnico, será mejor el uso de dibujos en perspectiva cónica, en donde con un solo dibujo podemos mostrar casi todas sus características. En este tipo de dibujo no técnico (perspectiva), podemos considerar dos tipos genéricos; la proyección paralela oblicua que llamamos perspectiva paralela y la proyección central que se llama 2 perspectiva cónica. Los dibujos de proyección paralela se dividen en dos grupos: los oblicuos entre los que se encuentra la perspectiva caballera y la militar, y los axonométricos a los que pertenece la perspectiva isométrica, bimétrica y trimétrica.4 Perspectiva caballera Los primeros ejemplo de utilización de este tipo de perspectiva se dan en los bocetos o croquis hechos por Leonardo da Vinci en 1490 del proyecto del Codex Atlánticus. En estos dibujos hace una combinación con la planta y las elevaciones. La perspectiva caballera es el dibujo resultado de la proyección paralela oblicua de un cubo sobre un plano vertical, en el que presenta su forma más completa (ver fig. 1). PV PL Para dibujar la perspectiva caballera, se dibuja el alzado a escala en una proyección ortogonal normal, después se trazan las otras superficies hacia atrás desde el alzado no distorsionado. Este dibujo se regirá por tres ejes: uno vertical “Y”, en donde todas las líneas que sean paralelas a este eje se dibujarán en su verdadera magnitud a escala; un eje horizontal “X”, lo mismo que en el anterior todas las líneas que sean paralelas a este eje se dibujarán en su verdadera magnitud a escala; y un eje inclinado “Z”, en el que todas las líneas paralelas a este eje se escorzan, por lo que deberán reducirse en un 25%, es decir que se dibujarán a escala con una medida de ¾ de su longitud real. Este eje inclinado “Z” podrá dibujarse a cualquier ángulo con relación a la línea horizontal, pero generalmente se utilizan los ángulos naturales de las escuadras de: 30°, 45° y 60° (ver fig.2).5 Z AE BF PROYECCIÓN ORTOGONAL EF AB 3/4 CH DG E A F B GH CD X 1 PROYECCIÓN OBLICUA 1 H 30º, 45º Ó 60º C D FRENTE PERFIL Y EJES Y PROPORCIONES DE LA PERSPECTIVA CABALLERA Figura 1 Figura 2 3 PLANTA PERSPECTIVA CABALLERA ELEVACIÓN Figura 3 4 . 3). de manera que se vea lo más completo posible (ver fig.Los ángulos se escogerán de acuerdo con las características del objeto a dibujar. El uso de este tipo de perspectiva paralela no es frecuente. Una de sus características es presentar siempre una de sus caras de frente en su verdadera magnitud y las demás reducidas inclinadas hacia atrás. que pueden variar según el punto de vista seleccionado.6 se buscará que esta cara sea la que permita que el objeto se vea lo más claro y completo posible. En la Fig. 4 se presentan las diferentes vistas. que no se tapen ni queden ocultas partes importantes del objeto. Figura 4 5 . debido a la dificultad que presenta calcular las distancias de las líneas paralelas al eje inclinado para dibujarlas a escala. 7 La perspectiva militar resulta de la proyección paralela oblicua de un cubo sobre un plano horizontal (ver fig. 6). las líneas del eje vertical “Z” se dibujan reducidas a la mitad de su longitud real. dos inclinados “X” y “Y”. El ángulo que forma el eje “X” con la horizontal. la suma de estos dos ángulos deberá ser de 90°. los ejes inclinados deberán formar entre sí un ángulo de 90°. podrá ser mayor. lo que lleva a plantear un sistema de representación para diseñar fortalezas ideales. para corregir la deformación anteriormente señalada (ver fig. cuando el perfeccionamiento de la técnica bélica requiere de fortificaciones.9 45° Figura 5 X 90° 90° 60° 90° 90° 30° Y A + B = 90 Z EJES DE LA PERSPECTIVA MILITAR Figura 6 6 .8 Este dibujo se rige por tres ejes. menor o igual al ángulo que forma con la horizontal el eje “Y”. y uno vertical “Z”. Las líneas paralelas a los ejes inclinados que corresponden a la planta se dibujan en su magnitud real a escala. pueden variar. Los ángulos que forman los ejes inclinados “X” y “Y” con la horizontal. Las características más importantes de esta perspectiva son: la planta permanece sin distorsión y con su verdadera magnitud. las superficies que son perpendiculares a la planta sufren una distorsión la que deberá corregirse al reducir sus medidas a la mitad de su longitud real. procedemos de la siguiente manera: se dibuja la planta a escala en una proyección ortogonal normal. pero por facilidad de trazo normalmente se utilizan los ángulos naturales de las escuadras: 45° y 45° o 30° y 60° (ver fig. 5). Para dibujar la perspectiva militar. 6).Perspectiva militar La perspectiva militar se empezó a utilizar a partir de la segunda mitad del siglo XV. después se trazan las superficies perpendiculares a la planta hacia abajo. utilizándose para publicidad en el manejo de bienes raíces de renta o venta (ver fig. edificios de departamentos.Este tipo de perspectiva es utilizado con frecuencia en la representación de plantas de proyectos arquitectónicos como: casas de interés social. Figura7 7 . 7). que algunas veces sustituyen el uso de la maqueta cuando no se puede gastar en el costo de estas. edificios de despachos. PV A' A' A' L A A A ISOMETRICO PH 120° X Y 30° 120° 30° 120° Z EJES DE LA PERSPECTIVA ISOMETRICA Figura 8 8 . Théodore Oliver publicaron una obra en la que presentaron un nuevo método de proyección que denominaron isométrica. ya presenta tres de sus caras. en el primer giro sobre el eje vertical. uno sobre su eje vertical y otro sobre su eje horizontal. en la proyección sobre el plano vertical ya apreciamos dos caras. tanto en la proyección del plano vertical como en el horizontal (ver fig. y es la que llamamos perspectiva isométrica. 8). Al escorzarse las tres caras en la proyección por no ser paralelas al plano. De estas proyecciones axonométricas que resultan al ir girando el cubo sobre el eje horizontal. se reducen sus dimensiones reales a un 81% aproximadamente. uno horizontal y otro vertical después de realizar dos giros.10 La perspectiva isométrica es el dibujo resultado de la proyección ortogonal de un cubo sobre dos planos de proyección. pero al reducirse todas en la misma proporción. solo vemos una cara tanto en el plano vertical como en el horizontal. en la primera proyección antes de girar el cubo.Perspectiva isométrica En 1820 el matemático Gaspar Monge y M. podemos dibujarlas a escala con sus dimensiones reales sin tener que hacer ningún ajuste. y en el segundo giro sobre el eje horizontal. solo hay una en que las tres caras visibles en la proyección tanto horizontal como vertical se igualan. En las proyecciones oblicuas que utilizamos para definir la perspectiva caballera y militar. En otras proyecciones como el bimétrico y el trimétrico.11 15° 15° DIMÉTRICO 45° 15° TRIMÉTRICO 30° 30° ISOMÉTRICO Figura 9 9 . Los ángulos que se forman entre eje y eje serán de 120°. si varían estos ángulos dejará de ser un dibujo isométrico. dimétrico y trimétrico (ver fig. habrá dos ejes inclinados y uno vertical. es decir ortogonal mente. Los tres tipos principales del dibujo axonométrico son: isométrico. por la distorsión de sus caras sus dimensiones se reducen en diferentes proporciones. las líneas paralelas a dos de los tres ejes se dibujaban sin distorsión. los ejes inclinados “X” y “Y” se dibujarán siempre con un ángulo de 30° con relación a la horizontal. 9). las líneas paralelas a los tres ejes se distorsionan y se representan como paralelogramos reduciéndose todos en la misma proporción. En el caso de la perspectiva isométrica. por lo que resulta laboriosa su representación a escala. se puede dibujar a escala y se puede acotar directamente el dibujo para una identificación rápida de sus medidas. También es de gran utilidad para cumplir las funciones de una maqueta. (ver fig. 11) 30° 30° Figura 10 Figura 11 10 . 10). su construcción es más fácil ya que no se tiene que hacer ningún ajuste en sus medidas. si no se usa plantillas se pueden construir usando arcos que nos aproximen al trazo de la elipse (ver fig. y así facilitar su construcción ya sea en mobiliario. uno de sus usos más frecuentes es en dibujos de instalaciones hidráulicas. sin embargo su uso para representar ciertos proyectos descriptivos desde un punto de vista elevado de conjunto resulta útil. es menos representativa que la perspectiva cónica que presenta con más realidad los objetos tal como aparecen o aparecerían a la vista del observador.12 La perspectiva isométrica en el grupo de la perspectiva paralela es la de uso más frecuente. sanitarias y de gas A pesar de construirse con facilidad y ser popular su uso.Los círculos en los dibujos isométricos son representados con elipses. detalles constructivos u otros. o proporcionar información adicional de diversos espacios interiores desapareciendo la cubierta. Este tipo de perspectiva a diferencia de la perspectiva cónica. Figura 12 11 . APLICACIÓN EN DETALLE CONSTRUCTIVO13 Figura 13 12 . Perspectiva cónica 13 .Capítulo II. y ofrecer una vista parecida a la que ofrece la visión del objeto. Los avances en la perspectiva contribuyeron a conseguir un medio capaz de representar una imagen del espacio parecida a la de la visión humana.CAPITULO II Perspectiva cónica. entre los más importantes están: Fillippo Brunelleschi (1377-1466). Piero de la Francesca (1406-1492) y Leonardo da Vinci (1425-1516). Los elementos básicos de todo método de perspectiva. En las proyecciones ortogonales el objeto ocupa una posición intermedia entre el observador y el plano de proyección. es decir.14 Fue Filippo Brunelleschi. invento a mediados del siglo quince la perspectiva. un método. Para dibujar un objeto en perspectiva cónica debe apegarse a un procedimiento. Para entender el manejo de la perspectiva nos apoyaremos en un sistema de proyecciones cónicas que describiremos a continuación. Su realización consistió en un artificio pictórico por el que. Antecedentes La perspectiva esta dirigida a establecer un sustituto gráfico semejante a la imagen que percibimos en la realidad. el Duomo de Florencia. son un conjunto de planos. líneas y puntos. a través de un orificio hecho en un papel. Mecanismo de las proyecciones cónicas. como puede observarse en la siguiente figura (ver fig. establece gráficos semejantes a las imágenes que percibimos en la realidad. que da un efecto tridimensional en un solo dibujo con líneas paralelas. En las proyecciones cónicas el plano de proyección es el que ocupa la posición intermedia entre el observador y el objeto. 14). Se trataba por lo tanto de producir una pintura que observada desde un determinado punto proporcionaba una imagen idéntica a la que se veía desde el punto donde se producía la verdadera observación. Leon Battista Alberti (1401-1472). se veía la panorámica del baptisterio de la catedral de Santa María de las Flores de Florencia tal y como se observaba desde la puerta de la catedral. que se manejan en este tipo de dibujo. por lo tanto es utilizada para representar los objetos tal y como aparecen o aparecerían a la vista del observador. representa en un plano los objetos del espacio dando un aspecto semejante al que darían vistos al natural. 14 . que además de desarrollar la primera obra parcial considerada renacentista sobre una estructura aún medieval. Fue también en esta época del bajo renacimiento que otros estudiosos contribuyeron en el manejo de los elementos que establecieron las reglas que a partir de ese momento determinaría el empleo de la perspectiva.15 La perspectiva cónica a diferencia de la perspectiva paralela. podríamos decir que este sistema se basa en un punto focal que forma un haz cónico de donde parten los rayos proyectantes. pero lo que el arquitecto necesita es como representar sus proyectos que no existen al natural. por lo tanto describiremos la definición y características de los diferentes elementos geométricos con que se maneja este sistema. solo están representados en geometral. Plano horizontal PH: Es el terreno considerado siempre como un plano horizontal sobre el que se relacionan los objetos del espacio y en el que se apoya el observador. cortes y detalles. La perspectiva cónica se basa en el sistema de proyecciones cónicas. fachadas. plantas. relacionando el punto focal. objeto y plano de proyección.PV A' B' PV AB C' D' CD FRENTE PERFIL PROYECCIONES ORTOGONALES objeto entre el plano de proyeccion y el observador A B C D A' C' B' D' Por medio del sistema de proyecciones cónicas podemos obtener la perspectiva natural de los objetos. se considera siempre perpendicular al centro del cono visual que parte de la vista del observador. Elementos de la perspectiva cónica. y sobre el se realizan las proyecciones cónicas. Plano del cuadro PC: Es el plano que se considera transparente a través del cual ve el observador los objetos. Más adelante en este capítulo se podrá ver como manejar las proyecciones cónicas para obtener las perspectivas partiendo de los geometrales. Para definir el procedimiento del sistema de proyecciones cónicas. su 15 PROYECCIONES CÓNICAS plano de proyeccion entre el observador y el objeto Figura 14 . La altura del punto de vista puede variar. aunque en algunos casos se inclina como se verá en algún ejemplo de este capitulo. no importando la dirección que tengan con relación al plano del cuadro. que viene a ser la base del plano del cuadro y que será de donde partan las alturas reales. siempre será horizontal paralela a la línea de tierra. Todos los elementos del objeto por proyectar que estén en contacto con el plano del cuadro. estarán en su verdadera magnitud. Proyección del punto de vista v: Es el que corresponde a la proyección sobre el plano horizontal del punto de vista PV. Sobre ella se encontrarán todos los puntos de fuga de las aristas del objeto que sean horizontales. y de ahí se podrá transportar a lugares más lejanos o cercanos según el caso. que puede ocupar cualquier posición respecto al objeto. y es de donde parten las líneas que representan la proyección de las visuales hacia la proyección de los puntos en el espacio sobre el plano horizontal. pues el observador podría estar sentado. Punto de vista PV: Corresponde a la vista del observador que se considera monocular. se trata de la posición relativa del observador con relación al objeto y al plano del cuadro. nos determina su altura. ya no se modifican en perspectiva. Si el observador sube o baja automáticamente también lo hará la línea de horizonte. parado o sobre un edificio.posición es vertical es decir perpendicular al plano horizontal. Línea de horizonte LH: Es la línea que siempre consideramos estará a la altura de los ojos del observador. en este plano es en donde podremos dar las alturas reales. PC L PDI A PP L AV V A PV PPV pV V A T H PH Figura 15 16 . Línea de tierra LT: El contacto del plano del cuadro con el plano horizontal define lo que llamaremos línea de tierra. En una perspectiva habrá tantos puntos de fuga sobre la línea de horizonte como lados horizontales no paralelos existan en la planta del objeto. Punto de fuga PF: Es el sitio en donde concurren un conjunto de líneas paralelas. esto quiere decir que todas las líneas que sean horizontales cualquiera que sea su posición respecto al plano del cuadro. Las dimensiones de los planos y líneas que hemos descrito.Visual V: Son las líneas que parten del punto de vista PV a cada punto visado del objeto y que al intersectar el plano del cuadro. Para saber que pasa con las líneas y poder determinar cual es su comportamiento en perspectiva. define su proyección cónica o perspectiva natural. podemos aplicar las reglas que como ya mencionamos al inicio de este capítulo establecieron los estudiosos en la materia y que presenta en su libro “Dibujo arquitectónico” José Luis Moia. 17 . pero para efectos del dibujo en la comprensión del procedimiento. que pase por el punto de vista hasta cortar el plano del cuadro. se representan en planos limitados. donde dicha visual toca al plano del cuadro. Simbología PH PC LT PV v LH V pV VP PP PF AV Plano horizontal Plano del cuadro Línea de tierra Punto de vista Proyección del punto de vista Línea de horizonte Visual Proyección de la visual Visual principal Punto principal Punto de fuga Angulo visual Punto principal PP: Queda determinado en donde la visual principal cruza con el plano del cuadro. Este se determina al trazar una línea paralela a las aristas del objeto en la planta. tendrán su punto de fuga sobre la línea de horizonte. dibujándolos en isométrico (ver fig. 16). son infinitas en su correspondiente posición. Proyección horizontal de la visual pV: Es la línea que representa la proyección de la visual sobre el plano horizontal. si son horizontales el punto de fuga quedará sobre la línea de horizonte. Visual principal VP: Es la visual perpendicular desde el punto de vista al plano del cuadro que define el centro del ángulo visual. y que al tocar la línea de tierra nos permite definir al trazar una vertical desde este punto y cruzar la visual. sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su proyección horizontal. estos estarán en el infinito. en perspectiva permanecen paralelas al plano del cuadro. podemos proyectar una recta. 4. salvo algunos casos especiales. a una altura determinada trazando su proyección (a) sobre el plano horizontal. Describiremos el procedimiento de la proyección cónica de un punto en el espacio.-Todas las líneas perpendiculares al plano del cuadro. verticales o inclinadas paralelas al plano del cuadro. en perspectiva se dirigen a un mismo punto de fuga. en perspectiva se dirigen al punto de fuga principal. en perspectiva tendrán su punto de fuga sobre la línea de horizonte. y a una distancia cualquiera 18 . no tienen puntos de fuga. 5.-Toda línea recta permanece recta en perspectiva. con la premisa que si podemos proyectar un punto. 3. 2.LH PC LT 30° PH 30° Figura 16 Reglas de la perspectiva cónica. 1.-Las líneas horizontales. localizamos el punto A en el espacio al lado derecho del PC.-Las líneas paralelas. una superficie. es decir la forma en que se comportan en perspectiva las líneas en sus diversas posiciones. o un volumen cualquiera que sea la complejidad de este.-Toda línea vertical permanece vertical en perspectiva. Primero veremos cual es el procedimiento de las proyecciones cónicas a través del manejo de los planos en isométrico. 6. Primero trazamos el PH y el PC en isométrico con su respectiva posición uno con relación al otro. Empleando croquis isométricos vamos a estudiar cada una de las reglas.-Todas las líneas horizontales cualesquiera que sea su dirección.-Todas las líneas ascendentes convergen encima de la línea de horizonte y las descendentes debajo de la línea de horizonte. 7. y definimos su posición respecto a los dos planos. una AB en contacto con el PH y otra CD separada. Localizamos la posición del observador del lado izquierdo del PC. y donde cruza la V al plano del cuadro ahí se encontrara la proyección cónica del punto Á.c y d). localizamos dos rectas verticales a la derecha del PC. es decir que todas las líneas que 19 .del PC. para determinar en donde estas visuales tocan al PC.b. cuyo trazo partirá de (v) a la proyección de los puntos proyectados sobre el plano horizontal (a. para saber donde corta la V al PC. utilizando un solo dibujo en isométrico. permanece recta en perspectiva” y “Toda línea vertical permanece vertical en perspectiva. C y´D´ y que al unirlos A´con B´ y C´con D´. localizamos el PV suponiendo al observador de pie y a una distancia cualquiera del PC. trazamos la proyección horizontal de la visual y donde toca al PC que sería también la línea de tierra. en el resultado de la perspectiva se cumplen las dos reglas “Toda línea recta. determinando de esta manera la proyección cónica o su perspectiva natural del punto A (ver fig. donde estas proyecciones de las visuales tocan a la LT. Como primer paso trazamos el PH y PC de acuerdo a las características ya mencionadas. 17). a la izquierda o derecha según sea la propuesta desde donde se quiere ver el punto. Trazamos una visual desde el PV al punto en el espacio A. y ahí precisamente se encontrarán las proyecciones cónicas o perspectiva natural de los puntos en el espacio Á´. trazamos una vertical hasta cruzar con la visual.16 PC A L A' a v PV pV T V PH Figura 17 Con este procedimiento ya podemos hacer el análisis gráfico de la primera y segunda regla de la perspectiva. 18) Como se advierte en esta figura 18. excepto casos especiales”.B´. Trazamos visuales a cada punto extremo de las rectas AB y CD partiendo del PV. A la izquierda del PC. se trazan verticales hasta que crucen a las visuales trazadas para cada punto en el espacio. utilizamos la proyección de las visuales. habremos obtenido la perspectiva natural de las rectas verticales (ver fig. colocándolo cerca o separado del PC. las dos a una distancia cualquiera del PC. C. REGLA 3 Figura 19 Siguiendo el mismo procedimiento de las proyecciones cónicas. Trazamos las visuales correspondientes desde el PV hasta cada uno de los puntos extremos de las rectas A. para dar mayor claridad al análisis de esta regla. determinamos por medio de las proyecciones horizontales de las visuales.y D. 20 . salvo los casos especiales que se verán más adelante. pero que estén contenidas en este plano.B. localizamos la posición del observador PV. la proyección cónica de los puntos visados que al unirlos A´con B´ y C´con D´ obtenemos la perspectiva de las rectas. C PC D A cd C' L D' A' B A B ab C A' B' b C' B' a PV T D' c D d V PH REGLAS 1 y 2 Figura 18 Para hacer el análisis gráfico de la siguiente regla número 3. sobre este plano localizamos dos rectas AB y CD en cualquier posición.son rectas así seguirán en perspectiva. trazamos en posición el PH y PC. no se quiebran o se curvan. trazaremos un plano a la derecha y paralelo al PC. De la misma manera que en los casos anteriores. y las que son verticales así seguirán en perspectiva. en perspectiva tendrán su punto de fuga sobre la línea de horizonte” y la 6 dice “Las líneas paralelas en perspectiva. las rectas CD y EF del mismo tamaño que AB coincidiendo su proyección (cd) y (ef) con AB y (ab). en perspectiva se dirigen al punto de fuga principal”. 20). se traza una visual que sea perpendicular al PC desde el PV hasta cortar al plano del cuadro. para trazar una línea vertical que corte a la visual.Estas rectas en cuanto más cerca se encuentren del PC más grandes se verán en perspectiva y viceversa. 19) La regla No. la cual deberá estar a la misma altura del PV. definiendo su posición sobre el PC por medio de las visuales y su proyección. localizaremos sobre el PH dos rectas con la característica que enuncia la regla. Siguiendo el mismo procedimiento localizaremos una recta AB contenida en el PH con una dirección cualquiera. fig. este PP también nos define la altura de la línea de horizonte. y la otra CD también perpendicular al PC y separada tanto del PH como del PC. 5 y 6 las analizaremos en el mismo dibujo. Localizamos el punto de fuga principal que como ya se dijo cuando definimos sus características. (ver. 4 dice: “Todas las líneas perpendiculares al plano del cuadro. Al aplicar el mismo procedimiento determinamos la perspectiva de las rectas A´B´ y C´D´. vemos que al prolongarlas hacia arriba fugarán al punto de fuga principal (ver fig. y otras dos rectas CD y EF paralelas a AB. La regla 5 dice: “Todas las líneas horizontales cualquiera que sea su dirección. PC L B D A A' B' PP D' C' C d c T PH REGLA 4 Figura 20 Las reglas No. definiendo el PP al trazar la proyección de esta visual y tocar la LT. Localizamos la posición del observador fijando el PV y su proyección (v). sus puntos de fuga se encontrarán en el infinito. Si analizamos la perspectiva de las dos rectas en cuestión. Siguiendo el mismo procedimiento de proyecciones cónicas. una AB perpendicular en contacto al PC y contenida en el PH. 21 . se dirigen a un mismo punto de fuga”. las prolongamos en este caso a la izquierda y veremos que coincidirán en un mismo punto de fuga sobre la línea de horizonte (ver fig. De la misma forma determinamos las perspectivas de las rectas CD y EF las que se encuentran separadas del plano horizontal a una distancia cualquiera. también se demostró que todas las líneas que sean paralelas. todas las líneas que sean horizontales. en perspectiva siempre tendrán su punto de fuga sobre la LH.Trazamos visuales a los puntos A y B y dibujamos la proyección de las visuales desde (v) hasta (a) y (b) que son las proyecciones de los puntos A y B coincidiendo en el mismo lugar ya que como se dijo antes la recta AB esta contenida en el PH. determinando la perspectiva de la recta al unir los puntos A´y B´. 21). donde estas proyecciones de las visuales tocan al PC y a su vez la LT. cualquiera que sea su dirección. En estas dos reglas demostramos que. trazamos verticales hasta cruzar con las visuales correspondientes. en perspectiva concurrirán al mismo punto de fuga. Figura 21 Figura 22 22 . Una vez determinada la perspectiva de cada una de las rectas. lo que el Arquitecto necesita es como representar sus proyectos que no existen al natural. lo abatimos para ponerlo en la misma posición del PH y lo desplazamos hacia arriba para que no interfiera los trazos de la 23 . un punto que representaría tanto a la posición del PV como su proyección (v). trazamos su proyección sobre el PH (ab) y (cd). al prolongar esta línea hacia la izquierda y cruzar con la LH. Para definir la posición del PC en geometral. para definir su posición. En el análisis de las reglas de la perspectiva. por lo que tenemos que determinar como manejar las proyecciones cónicas para obtener la perspectiva partiendo de los geometrales.B.En el análisis de la regla No. De la misma manera. en este caso coincidiendo las dos proyecciones en el mismo lugar. llevaremos los planos a un dibujo en geometral. para encontrar el PF de la línea descendente CD. dibujamos las proyecciones horizontales de las visuales desde (v) a los extremos de la proyección de las rectas (a). una ascendente AB y otra descendente CD. en este caso limitado por un rectángulo. perpendicular y en contacto con el PC.C y D. Una vez que hemos entendido el sistema de las proyecciones cónicas en el espacio auxiliados con el isométrico. 22). trazamos el PH que estaría representado en planta. Para encontrar el PF de la línea ascendente AB. Colocaremos como ejemplo la posición de una recta AB contenida en el PH. definimos el PF. “Todas las líneas ascendentes convergen encima de la línea de horizonte y las descendentes debajo de la línea de horizonte teniendo su punto de fuga sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su traza horizontal”. donde cruzan al PC trazamos verticales hasta cruzar a las visuales. cuya perspectiva sería (a´c´) (b´d´). Colocaremos dos rectas. los que solo están representados en geometral. prolongamos la perspectiva de la recta C´D´ hacia abajo hasta cortar la vertical que pasa por el PF de la traza horizontal (c´d´). Localizamos la posición del PV y su proyección (v). trazamos las visuales a cada extremo de las rectas en el espacio A. De la misma manera determinamos la perspectiva de la proyección horizontal de las rectas (ab) y (cd). determinando de esta manera la perspectiva de las rectas A´B´ y C´D´. con una dirección cualquiera respecto a PC pero no paralelas. (b). A estos puntos de fuga PF1 y PF2. pero como ya lo anotamos en este capítulo. con una línea horizontal al centro representando el PC. plantas. hemos manejado los planos en isométrico y hemos obtenido la perspectiva natural de los objetos en el espacio. (c) y (d). fachadas cortes y detalles. fugarán todas las líneas que sean paralelas a AB y CD respectivamente (ver fig. e iniciamos el procedimiento. 7 que dice. prolongamos la perspectiva de la recta A´B´ hacia arriba hasta cruzar la vertical que pasa por el PF de la traza horizontal (a´b´). siguiendo el procedimiento de las proyecciones cónicas tenemos: Primero dibujamos el objeto sobre el PH. dibujamos la LT que sería la base de este plano. tazamos la LH que estará a la altura del PV. por lo que su fuga sería al PP. ya sabemos que para encontrar la posición de este punto.. se localiza la posición del observador en el lugar desde donde se quiere que se vea la recta. la que será propuesta según se quiera (ver fig. y sabemos que la 24 . en perspectiva se dirigen al punto de fuga principal”. el PP. como ya se indicó. trazamos una V desde PV perpendicular al PC. trazamos una V desde el PV hasta el punto B extremo de la recta.planta. Figura 23 Procedimiento de las proyecciones cónicas En este geometral. este ultimo punto es el dato que ya tenemos conocido en perspectiva. en este caso nuestra línea es perpendicular al PC. Atendiendo al enunciado de la regla No. la V al punto A de la recta. 23). Una vez obtenidos todos estos datos en planta. dibujamos la LH según la altura del observador. en la LT transportamos los datos encontrados como son. iremos al plano del cuadro en elevación. en este caso una recta AB contenida en él y en contacto con el PC el cual se encuentra representado en planta por una línea. el punto (b)´ y el punto A. no es necesario pues ya se dijo que todo lo que este en contacto con el PC ya está en su verdadera posición en perspectiva. trazamos la LT que sería la base del PC. localizamos sobre el PC el punto de intersección (b)´. hasta cruzarlo y ahí se encontrará el PP. 4 que dice: “Todas las líneas perpendiculares al plano del cuadro. bastará trazar una V desde el PV paralela a la recta hasta cortar al PC. 24) 25 . que se vea más completo o que muestre algo importante del proyecto. pero todo dependerá del tamaño del proyecto de que se trate y del tamaño del papel en el que se va a dibujar. se recomienda una escala de fácil manejo como es la escala 1:100. De este procedimiento de proyecciones cónicas. 2. para determinar su longitud en perspectiva. unimos el punto A con PP y obtenemos la fuga de la recta. los dibujos de la planta o plantas arquitectónicas y fachada o fachadas. 23). Para el trazo de cualquier perspectiva. resulta un método exacto para el trazo de perspectivas llamado “Método de Visuales y Dominantes”. pero ya manejados en geometral. Método de “Visuales y dominantes” El PH y PC. los estábamos manejando limitados a una superficie rectangular para su manejo en isométrico. este punto de fuga se determina al trazar una línea paralela a la línea en cuestión que pase por el punto de vista hasta cruzar al plano del cuadro. Esto quiere decir.Se dibuja la planta del objeto a escala conveniente. será la posición en que se trabajará para el trazo de la perspectiva de cualquier objeto. tendremos que determinar la posición de su punto de fuga. buscando el ángulo más interesante. trazamos una vertical desde el punto (b)´ hasta cruzar a la fuga y ahí habremos determinado la proyección del punto B extremo de la recta en perspectiva A´B´ (ver fig. infinitos.. se requiere tener como datos. los consideramos como son en realidad. “ Esta conversión que hemos hecho de los planos representados en isométrico a geometral. esto se hace a base croquis en barios intentos. que para encontrar la posición del punto de fuga de cualquier recta. esto nos ayudará en el manejo de un método simplificado que veremos en el siguiente capítulo. sobre todo cuando se trata de proyectos complejos con muchas alternativas de diferentes vistas (ver fig. El manejo de un método exacto nos permite precisión en el trazo de las perspectivas y nos da las bases del comportamiento de todos los elementos que intervienen en la perspectiva. Cuando las líneas que se van a proyectar en perspectiva no sean perpendiculares al PC. Procedimiento 1.Se selecciona la posición del observador desde donde se quiere ver la perspectiva.. Para hacer la aplicación de este método tomaremos como ejemplo un volumen sencillo que nos permita visualizar con facilidad el proceso (un prisma recto de base rectangular).línea AB debe fugar al PP. y de frente a dos puntos de fuga cuando el observador se desplaza del centro sin rebasar los límites el terreno. este ángulo es el cono visual que envuelve todos los elementos que intervienen en la plantas del proyecto. Cuando el terreno del proyecto es intermedio. si se selecciona la posición No. esto lo definimos por medio del ángulo óptico.45° 2 3 LOCALIZACION DEL PUNTO DE VISTA Figura 24 Si se escoge la posición del PV No.Una vez seleccionada la posición del PV. solo se verá una cara del volumen igual que la No. las perspectivas exteriores se trazan de frente a un solo punto de fuga cuando el PV se encuentra en el centro. 3. con un punto de fuga más cerca y el otro más retirado dando cierta dinámica y evitando la simetría con los puntos de fuga equidistantes que a veces resulta molesto. si es menor de 30° quiere 26 . Regularmente una de las fachadas es más importante que las otras. 2. y si desplazamos el PV de tal manera que esa fachada importante se vea más de frente y la menos importante más de perfil. normalmente se opta por las perspectivas exteriores angulares de dos puntos de fuga.. se recomienda que este ángulo este comprendido entre los 30° y 45°. Cuando el proyecto sobre el terreno está en esquina. debemos determinar a que distancia deberá colocarse. 1. y si lo vemos desde un punto de vista elevado se verán tres de sus caras.4 A 1 B 3 2 PLANTA ELEVACION X ELEVACION Z DH CG 1 AE BF ANGULO OPTICO 30°. ya veremos dos caras del volumen. 3. obtendremos una mejor impresión en la perspectiva. si el ángulo es mayor de 45° el observador se encontrará muy cerca.Se trazan visuales a cada uno de los puntos visibles desde el PV. 5. estos puntos de fuga se encontrarán sobre la LH. 26). indicándolos ya sea con letras si son pocos mayúsculas en el volumen y minúsculas en el PC.. lo que provocará una deformación violenta. se podrán dar las alturas reales a la misma escala a la que se dibujó la planta. ahí se encontrará la proyección cónica o perspectiva de cada uno.Para definir la posición de los puntos de fuga de cada una de las líneas que intervienen en la planta.45° LOCALIZACION DEL PLANO DE CUADRO 4. y la perspectiva resultante tendrá poca deformación. pues sus puntos de fuga quedarán muy cerca. y donde corten al PC. Se recomienda que este PC toque la arista más cercana de la planta. o números y números con prima si son muchos (ver fig. se tendrá que utilizar un punto auxiliar como se verá más adelante. y ahí se localizará el PF de cada línea. es decir perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico (ver fig. 25).. siempre será perpendicular al centro de la visión. pues sus puntos de fuga quedarán muy retirados. 6.decir que el observador se encuentra muy retirado.Se localiza la posición del PC. Cuando el PC no toca al punto más cercano no se podrán dar las alturas en esta arista. Figura 25 27 . ya que en esta arista por estar en contacto con el PC. DH CG AE BF 90° PLANO DEL CUADRO VISUALES BISECTRIZ ANGULO OPTICO 30°. se trazan paralelas a estas líneas que pasen por el PV hasta que crucen con el PC. que como ya quedó anotado en sus características. en el ejemplo AE con relación al PV. si las líneas en la planta son horizontales.. Figura 26 28 . Figura 27 29 . Los puntos de fuga. (cg) (bf) y PFAB. PFAD.7. (dh). a vista de oruga o a vista de pájaro. . paralela a esta línea se traza la LH con una altura según los ojos del observador.Se traza la LT que es base del PC. En el ejemplo se planteo que la vista del observador rebasara la altura del objeto para verlo más completo. es decir a vista de pájaro. Sobre la LT. altura normal parado. se marcan todos los puntos que encontramos en el PC visto en planta. se suben a la LH que es donde se deben encontrar (ver fig. 27).. (de). la fugamos para ponerla en perspectiva (ver fig. . como ya conocemos el punto en perspectiva A´. 28) LH PF AD PF AB LINEADEALTURAS E' H LT dh A' ae cg bf Figura 28 30 ... necesitamos conocer en perspectiva uno de sus extremos y a donde fugará.Sobre la arista (AE) que es la que quedó en contacto con el PC.8. marcando la altura H del volumen a la misma escala que se dibujó la planta determinando así los puntos en perspectiva A y E. que forman parte de la recta AB. y como también sabemos donde se encuentra el PF de esta recta.Para poder trazar la perspectiva de cada una de las líneas que forman el volumen. trazamos la línea de alturas. 9. . L H LINEADEHO RIZO NTE PF AB LINEADEALTURAS H ' F' E' D' B' A' L T LINEAD ETIERRA cg bt dh ae Figura 29 31 .10. trazamos una vertical desde el punto (bf) hasta que cruce las fugas de las rectas AB y EF. y que deberá coincidir con la vertical trazada por el punto (cg) (ver figuras 29 y 30). fugando los puntos H´ y F´ a sus respectivos puntos de fuga. y donde se cruzan estará determinado el punto G. PF AD Una vez conocidos los puntos en perspectiva H´ y F´. ya podemos trazar las perspectivas de las rectas H´G´ y F´G´. De la misma manera podemos determinar la perspectiva de las rectas A´D´ y E´H´. determinando así la perspectiva de las rectas A´B´ y E´F´.Fugamos los puntos A y E al PFAB. para encontrar la perspectiva de las rectas AB y EF. Cuando se tiene que realizar la perspectiva de un proyecto muy grande.De esta manera hemos trazado la perspectiva del volumen aplicando el método de “Visuales y Dominantes”. LH PF AD L H LINEADEHO RIZO NTE P F AB G ' H' C' F' E' D' B' LT dh A' L T LINEADETIERRA bt Figura 30 32 . obteniendo en consecuencia una perspectiva pequeña. se tendrá que usar la escala adecuada que permita que los trazos del método quepan en el papel. para agrandarla se duplican o multiplican las medidas obtenidas en el PC en planta. y lo mismo se tendrá que hacer con las alturas aumentándolas en la misma proporción. . 31). De la misma manera se determina la perspectiva de las demás rectas. b). Los puntos de fuga se determinan en la misma forma que en los casos anteriores. lo que hemos llamado objeto en segundo término (ver fig. objeto en primer término (ver fig. 33). y al trazar la vertical por el punto (a) hasta cruzar dicha fuga se determina el punto A´. 32).el objeto se podrá encontrar adelante del PC pasando el plano del cuadro por algún punto de la planta (ver fig. Se iniciará a poner en perspectiva las rectas partiendo de los puntos conocidos que son los que están en contacto con el PC.el objeto puede encontrarse atrás del PC y en contacto a través de la arista más cercana..Variaciones de la posición del objeto con relación al plano del cuadro. Al fugar el punto D´ hacia el PF que le corresponde a la recta DA. quedando definida la perspectiva de la recta D´A´.el objeto puede encontrarse atrás del PC y despegado. en el ejemplo de la figura 36 serían los puntos D´ y H´. c). G' H' F' E' H E1 D' h B' A' LT A1 C G D H B F E A PC A1 d h e a cg f b 90° ángulo óptico PV Figura 31 33 .. las visuales trazadas a cada uno de los puntos visibles se prolongan hasta tocar al PC. En la figura 36. cuando el objeto está delante del PC. PF LINEA DE ALTURAS LH PF La posición del objeto con relación al PC puede variar de la siguiente manera: a). la perspectiva del objeto más retirado del PC y atrás de él.PF LINEA DE ALTURAS LH PF PF LINEA DE ALTURAS LH PF G' H' F' H E' G' H' F' E' h H D' h B' LT D' LT A' B' A' C G G C D H B D d PC H e a c g 90° F f b B F E E A d h e a PC c g f b A 90° ÁNGULO ÓPTICO ángulo óptico PV PV Figura 32 Como podemos apreciar en estos ejemplos. 34 . Figura 33 resulta más pequeña y en cuanto más se acerca al observador y delante del PC será más grande. es decir el volumen en contacto con el plano del cuadro.4 PV PERFIL Figura 34 35 . P F 1. se presenta la perspectiva de un volumen en primer término.3 1 2 3 1' 3' 1'' 5' 2' 7' 4' 7 5 4 6 8 FRENTE 6' 8' P F 3.Perspectiva de un objeto en primer término En el ejemplo de la figura 31. 8 h3 h2 h1 LT 1' 3' 1'' 5' 2' 7' 4' 6' 8' Figura 35 36 .Perspectiva a vista de pájaro LINEA D E ALTU RAS LH PF 3.1 PF 7. fugamos el punto A1 al punto de fuga PF2 que le corresponde a la recta A1B hacia la derecha.Perspectiva de un objeto en segundo término. y de ahí se transportan hasta la vertical trazada en el punto A´ y determinamos el punto E´ que sería la altura del volumen. y habremos encontrado la perspectiva de la recta A´B´. para facilitar el proceso se recomienda tomar la línea que parta del punto más cercano al observador. Donde se cruzan quedará determinado el punto G´. hasta cortar la línea fugada de la recta A1B. En este caso lo que se hace es prolongar cualquiera de las líneas de la planta hasta tocar al PC. En el punto auxiliar A1 se marcan las alturas reales. Con estos dos datos ya conocidos en perspectiva. que deberá coincidir con la vertical trazada desde el punto (g). Al fugar los puntos H´ y F´ a los puntos de fuga PF2 y PF1. en nuestro ejemplo tomamos la línea AB y la prolongamos hasta quedar en contacto con el PC y ahí tendremos un punto auxiliar A1 del cual podremos partir. al localizar el PC este no toca al punto más cercano de la planta quedando despegado. trazamos verticales desde los puntos (a) y (b). seguimos el procedimiento para determinar la perspectiva de la recta AD. de esta manera quedará definida la perspectiva del volumen en segundo término (ver fig. Cuando en el proceso de trazo de una perspectiva. respectivamente. Figura 36 37 . y de este punto partimos para determinar la perspectiva de las rectas EF y EH. para determinar la perspectiva de la recta AB. 36). no tendremos ningún punto de referencia para iniciar a poner en perspectiva las aristas del volumen. Aplicaremos el método para obtener perspectiva exterior del ejemplo que continuación se presenta (ver fig 37). la a Figura 37 38 .Método de Visuales y Dominantes Aplicado en una perspectiva exterior. que pasen por el punto de vista hasta cruzar el plano del cuadro. en este caso será de 35°. trazando paralelas a los dos sistemas de líneas que intervienen en la planta. en este caso cuando el terreno en el que se encuentra la construcción esta libre de linderos. y donde corten al plano del cuadro ahí se encontrará la proyección cónica de cada uno (Ver fig. 5. 3. Se trazan visuales a cada uno de los puntos visibles desde el punto de vista. 38).Procedimiento: 1. Figura 38 39 . Se selecciona la posición del observador. escogeremos una vista angular. Localizamos la posición del plano del cuadro haciéndolo pasar por el punto (1) del volumen general que es el más cercano al observador y se traza de manera que sea perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico. 4. Determinamos la distancia a la que deba estar el observador respecto al volumen por medio del ángulo óptico. 6. Se localiza la posición de los puntos de fuga. obteniendo a la izquierda el punto de fuga PF1 Y a la derecha el PF2. buscando un punto de vista agradable y descriptivo. Dibujamos la planta a escala conveniente 2. buscando el ángulo de donde se vea más completo y muestre los elementos más importantes del proyecto. 11. de este punto fugamos al PF2. 13. de estos puntos trazamos 40 . y determinamos los puntos 16” y 7”1. Para definir la perspectiva del volumen general. trazamos las fugas desde los extremos de la línea de alturas por los puntos (1) y E hacia PF1 y PF2 respectivamente. Para definir la terraza volada. y 4”. Paralela a la línea de tierra trazamos la línea de horizonte en este caso estará a la altura de los ojos del observador estando parado 1. 12. Sobre el punto (1) que es el que está en contacto con el plano del cuadro.65 metros. obtenemos el punto 8”1. trazamos verticales desde los puntos 3´ y 4´ hasta cruzar la fuga del punto 1 al PF2 determinando los puntos 3”. marcando sobre esta línea las alturas de la fachada a la misma escala que se dibujó la planta. sobre la cual se localizan los puntos de fuga PF1 y PF2. fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical por el punto 13´ y obtenemos los puntos 13” y 13”1. fugamos el punto 13” al PF1 hasta cruzar la vertical por el punto 7´ y obtenemos el punto 7”. 8. y levantamos una vertical por el punto 8´ y determinamos el punto 8”. en este caso duplicamos las distancias obtenidas sobre las líneas de tierra y horizonte. 9. De la misma forma determinamos los demás elementos. trazamos una vertical por el punto 6´ hasta cruzar las líneas de fuga de los punto E y 1 al PF2 y habremos determinado los puntos 6” y 6”1. así como las alturas. Para obtener una perspectiva más grande. y trazamos verticales por los puntos 7´ y 16´ hasta cruzar la fugas. (ver fig. trazamos una vertical por el punto 15´ hasta cruzar la fuga del punto A al PF1. de este punto 15” fugamos a PF2 y trazamos una línea vertical por el punto 14´ hasta cruzar esta fuga. Desde el punto D fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical del punto 6´ y de este cruce D´ fugamos al PF1 hasta cruzar la vertical desde el punto 5´ determinando el punto D” y de este punto fugamos al PF2. de este mismo punto 5” continuamos la vertical para definir la profundidad de los ventanales en el punto 5”1 y lo fugamos al PF2. fugamos al PF2 y al cruzar con la continuación de la vertical desde el punto 14”. desde el punto B de la línea de alturas fugamos a PF1 y al prolongar la vertical del punto 15” obtenemos el punto 15”1. Trazamos una vertical por el punto 2´ para determinar el espesor del muro. desde el punto 6” fugamos al PF1 y levantamos una vertical por el punto 5´ hasta cruzar esta línea de fuga. desde este punto 14” fugamos al PF1. y de esta forma hemos obtenido la perspectiva del volumen de la terraza. Trazamos la línea de tierra y sobre esta se marca los puntos que proyectamos en el plano del cuadro. trazamos la línea de alturas.7.39). 10. determinando el punto 5”. obtenemos el punto 14“1 que al fugarlo al PF1 y cruzar con la prolongación de la vertical del punto 8”. Figura 39 41 . desde estos puntos fugamos al PF1 y trazamos verticales por los puntos 9´ y 11´ definiendo los puntos 9” y 11”. vegetación. 42 . De esta manera hemos aplicado el método de visuales y dominantes para una perspectiva exterior. trazamos una vertical hacia abajo desde el punto 17´.verticales hasta cruzar la fuga del punto A al PF2 definiendo los puntos 3”1 y 4”1. quedando lista para agregar. hasta cruzar con la prolongación de la fuga del punto 13” al PF2. trazamos una vertical desde el punto 18´ hasta cruzar la prolongación de la fuga del punto 3” al PF1. definiendo los puntos 10” y 12“.. Para definir la jardinera. 14. la altura la transportamos desde la línea de alturas punto (a) y (b) fugando primero al PF1 hasta cruzar la vertical del punto en donde cruzan las fugas de los puntos 18” y 1. para determinar su altura marcamos esta sobre la línea de alturas punto (c) y la transportamos a la vertical trazada por el punto donde cruzan la fuga del punto 1 al PF1 y la fuga del punto 13” al PF2 definiendo el punto (c´). y desde ahí fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical del punto 18” determinando los puntos 18”1 y 18”2. 40). y aplicar la técnica que se desee (ver fig. pisos. etc. sombras. figura humana. 15. árboles. desde estos puntos fugamos al PF2 hasta cruzar las verticales trazadas desde los puntos 10´ y 12´. determinando el punto 18” y de ahí fugamos a ambos puntos para definir la posición de la jardinera. de la misma forma que en el inciso 14. Para determinar la posición del muro de piedra. 41). de este punto fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical del punto 17” y definimos el punto 17”1 (ver fig. Figura 40 43 . Figura 41 44 . 42). que como se ve en la figura 36. se aplica la regla número siete.Perspectiva con techumbres inclinadas. se aplica el método de “Visuales y dominantes” en la misma forma que en los casos anteriores. Con los datos de la posición de la cumbrera y su altura. en nuestro ejemplo sería la fachada de frente (ver fig. De la misma manera se encuentra el punto de fuga PF4 para las líneas descendentes paralelas a XB1. prolongamos la línea ascendente A1X hasta que cruce a la vertical que pasa por el punto de fuga de la proyección horizontal de dicha línea inclinada. Para determinar el entramado del tejado. se traza en perspectiva la inclinación del perfil de los techos. Para la solución de perspectivas de casas o edificios con techos inclinados. se define la posición de la cumbrera y su altura en dicha fachada. es decir envolver todo el volumen en un prisma regular. La inclinación de las techumbres se determina tomando como base la fachada en la cual se manifiesta dicha inclinación. E X F F G h2 A1 B1 1 2 3 4 5 6 h1 A B B C FRENTE D H G PERFIL C 6 5 4 3 PF 2 1 d h A a E X F B 90° X 6' 5' 4' 3' 2' 1' f b PC ángulo óptico PF Figura 42 45 . En el trazo de la perspectiva se traza primero la envolvente de los techos inclinados. y ahí se encontrará el punto de fuga PF3 para todas las líneas que sean paralelas a la línea A1X. queda debajo de la línea de horizonte. PF 3 PF 1 LINEA DE ALTURAS LH PF 2 G' 6 H' 5 4 3 2 1 X F' H B1 E' D' B' h2 PF 4 A1 h1 A' d a X g 6' 5' 4' 3' 2' 1' b f LT Figura 43 46 . Con esta última consideración. o el observador se aleja lo suficiente para abarcar la altura del edificio con la vista horizontal. tendrán un punto de fuga arriba de la línea de horizonte si el observador se encuentra parado a vista normal del edificio. 45). Cuando las líneas verticales ya no se conservan verticales. y tomando en cuenta las características del plano del cuadro que debe ser siempre perpendicular al centro del ángulo óptico. lo que hace que se salga de la horizontal. o levanta la vista lo necesario para que su ángulo de visión abarque la altura del edificio. se ha considerado horizontal.Perspectiva inclinado. la proyección de los puntos visibles en planta sobre el plano del cuadro y la determinación de los puntos de fuga sobre la línea de horizonte de las líneas horizontales (ver fig. la visual principal partiendo del punto de vista al plano del cuadro. Procedimiento: El procedimiento seguirá siendo el mismo que hemos utilizado del método de “Visuales y Dominantes” para determinar en planta. pero cuando se trata de un edificio muy alto esto cambia. y este es el caso especial del que habla la regla número dos. porque la distancia del punto de vista al objeto que se ha determinado por medio del ángulo óptico es suficiente para abarcar con la vista horizontal la altura de los objetos. la posición del observador en su distancia al objeto por medio del ángulo óptico. o el punto de fuga se encontrará debajo de la línea de horizonte si el observador rebasa la altura del edificio. E F F G 9 8 7 6 5 h D H G C 4 3 2 1 E A F B A PLANTA FRENTE B B PERFIL C Figura 44 47 . con plano del cuadro En todos los ejemplos que se han visto hasta ahora. el plano del cuadro en el sentido vertical tendrá que inclinarse. trazamos una línea paralela al sistema de verticales que pase por el punto de vista hasta cruzar al plano del cuadro (ver fig. Para determinar el punto de fuga de las líneas verticales. 46). trazamos el ángulo óptico formado por las líneas que abarcan todo el edificio. y perpendicular a esta bisectriz el plano del E 9 8 7 6 5 4 F Z f 9' 8' 7' 6' 5' 4' ÁNGULO ÓPTICO 3 2 1 1' 2' 3' PV A B Y LH LT ELEVACION Figura 46 48 . sobre este plano proyectamos la posición de cada entrepiso trazando visuales igual que como lo hicimos en planta.D H G C PF E A F B b c a 90° ÁNGULO ÓPTICO cuadro que toque al punto del edificio más cercano al observador punto B.B y C. también lo haremos en elevación para determinar la proyección sobre el plano del cuadro inclinado de los entrepisos del edificio y del punto de fuga para las líneas verticales. trazamos la bisectriz del ángulo óptico. PC Y PFC PF Figura 45 PC De la misma forma que determinamos en la (fig 45) la proyección sobre el plano del cuadro de los puntos A. Conservamos en elevación la distancia (y) del observador al edificio obtenida en planta. y determinamos la posición de los puntos de fuga de las rectas horizontales. 7. sobre la línea que está en contacto con el plano del cuadro en el punto B´. F´.9.3. se fugan las aristas del edificio partiendo de los puntos en perspectiva A´. y sobre la línea de horizonte los puntos de fuga de las líneas horizontales AB y BC. trazamos la línea de tierra y sobre esta los puntos (a).8. de ahí se fugará a los puntos de fuga que les corresponde para obtener el complemento de la perspectiva (ver fig. es decir el centro de la visión.4. se levanta una vertical y sobre esta estará a una distancia (z) determinada sobre el plano del cuadro en elevación. Desde el punto (x) donde la bisectriz toca al plano del cuadro que marca el centro del ángulo óptico.(b). 47).Una vez obtenidos todos los datos sobre el plano del cuadro tanto en planta como en elevación. se determinan al llevar las proyecciones obtenidas en el plano del cuadro de la vista en elevación.B´y C´. el punto de fuga de todas las líneas verticales (ver fig.10. de esta manera se obtiene la posición en perspectiva de los puntos.5.6. PFV Z F' 9' E' 8' 7' 6' 5' 4' 3' 2' 1' G' PF A' a X B' d C' c PF LH LT PERSPECTIVA Figura 47 49 .2 y 1. Las alturas del edificio y los entrepisos. previamente determinados al fugar el punto (b) al punto de fuga que le corresponde a la recta BA y al trazar una vertical desde el punto (a) hasta cruzar la fuga determinando el punto A´. 47). Una vez determinada la posición del punto de fuga de las líneas verticales. de la misma manera se determinó el punto C´.(c) y (x). este se vera deformado a la inversa con el punto de fuga de las líneas verticales debajo de la línea de horizonte.LH O PV PF a X d c LH PF h e E H 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Z B' 90° E' D' G' F 9' 8' 7' 6' 5' 4' 3' 2' 1' b A' F' F 9' 8' 7' 6' 5' 4' C' 3' 2' 1' b Z PC LT D A B Y PFV ELEVACION PERSPECTIVA PFC Figura 48 El mismo procedimiento se aplica cuando el observador este localizado en una posición tal que su altura rebase la del edificio. 48 y 49) 50 . así como todos los puntos visibles del edificio. se determinan en la misma forma que el ejemplo anterior sobre el plano del cuadro (ver fig. Figura 49 La altura del edificio y los entrepisos. por lo tanto para resolver las perspectivas interiores. Perspectiva interior. desapareciendo los muros AB y AD (ver fig.Podrá presentarse una perspectiva angular de dos puntos de fuga. que son las que queremos ver en perspectiva. quedaría demasiado cerca rebasando el ángulo óptico y provocando una gran deformación en la perspectiva.Para este caso la proyección de los vértices visibles del edificio corresponderán a la parte superior del edificio (e).(f) y (g).(x). colocado a una distancia tal que el ángulo óptico permita abarcar el espacio que queremos dibujar. 51 . Esta perspectiva interior. el procedimiento es el mismo que para la exterior. que es el que está en contacto con el plano del cuadro. El punto de fuga de las líneas verticales PFV. en algunos casos tendremos que eliminar muros. la vista se encarga de integrar las varias perspectivas que se le presentan produciendo la sensación de conjunto. 50). En este capítulo que se refiere a la perspectiva cónica. igual que la exterior tendrá sus variantes: a). La aplicación del método de “Visuales y Dominantes” para resolver una perspectiva interior. hemos hablado de la representación exterior de los objetos. se determina la distancia del observador por medio del ángulo óptico que en este caso se propuso sea de 45° formado por las líneas que representan las visuales desde el punto de vista hacia los puntos extremos B y D que abarquen todo lo que queremos representar.. si este punto de vista se colocara dentro del espacio interior.(h). se localiza la posición del observador viendo en forma angular los dos muros del fondo en el ejemplo BC y CD. trazamos la bisectriz de este ángulo y perpendicular a ella localizamos el plano del cuadro haciendo que este toque los extremos de las rectas BC y CD. el punto de partida para iniciar la perspectiva será el F. la mayoría de las veces el punto de vista esta fuera del local arquitectónico. su comportamiento y sus variantes. pero tendremos que tomar en cuenta ciertas consideraciones que en realidad son falsas. ahora estudiaremos sus características internas para su representación en perspectiva. los que marcaremos ahora sobre la línea de horizonte y no sobre la línea de tierra. se deberá localizar sobre la vertical trazada desde el punto X que corresponde al centro del ángulo óptico. Considerando que cuando estamos en el interior de un espacio vemos los objetos en forma sucesiva. será igual que para la exterior. la perspectiva quedará en una total simetría en el sentido vertical y horizontal. la simetría en la deformación de los elementos en perspectiva produce cierta monotonía y pasividad (ver fig. cuando esto sucede todas las líneas frontales se conservan paralelas al plano del cuadro. Este tipo de perspectiva a veces resulta de poco interés en espacios pequeños. por lo que las líneas AB y EF se manifiestan paralelas en perspectiva. en la figura 51. b). las líneas perpendiculares al plano del cuadro fugarán al punto de fuga principal.PF D d H a G C PP c 90° A E F b B 45° PC PF E' F' G' H' PF LH H PF C' D' d c B' b LT A' Este tipo de perspectiva de esquinas es poco utilizado. 50). vemos que la distancia del punto de vista a los puntos A y B son iguales. cuando la línea de horizonte queda a la mitad de la altura del espacio interior. por lo tanto la altura de las aristas en ambos puntos será la misma. es decir que el punto de fuga principal esta sobre la línea del centro del espacio interior.Se podrá presentar una perspectiva de frente de un solo punto de fuga. cuando el observador se encuentra situado al centro del muro frontal del interior. se utiliza cuando queremos ver un detalle especial. pues no muestra el conjunto del interior. Figura 50 52 . su punto de fuga estará en el infinito. sin embargo se le puede dar una impresión de conjunto cuando los muebles definen en el piso con su posición una forma rectangular o cuadrada.. para encontrar el punto de fuga de la recta AB y todas las que sean paralelas a ella..Cuando el observador se desplaza hacia la izquierda o derecha del centro. pues no hay simetría resultando una perspectiva dinámica y agradable (ver fig. en este caso la distancia del punto de vista al punto A será menor que la del punto B. Este tipo de perspectiva es más utilizada que la anterior. se presenta una perspectiva interior de frente a dos puntos de fuga. sin rebasar los muros laterales. y tendrán que fugar hacia la derecha o izquierda a un punto de fuga sobre la línea de horizonte.a D d H PP c C G b PC 90° E A F B 45° PF E' F' H' G' PP H LH D' a d c C' b LT B' A' Figura 51 c). y ahí se encontrará el PF2 sobre la línea de horizonte. lo que significa que las rectas AB y EF en perspectiva ya no se mantienen paralelas. De la misma manera trazamos una línea paralela a la línea AD que pase por el punto de vista hasta cortar al plano del cuadro y determinaremos el punto de fuga PF1 de la recta AD y todas las que sean paralelas. se sigue el mismo procedimiento ya planteado en el método. 53 . Para determinar los puntos de fuga de las líneas que intervienen en la perspectiva. por lo tanto la altura en el punto A será mayor que en el punto B. 52). se traza una línea paralela a AB que pase por el punto de vista hasta cruzar al plano del cuadro. y sabemos que en perspectiva los objetos entre más cerca se ven más grandes y entre más se alejan se verán más pequeños. D H G C A E ae F dh B PF1 cg 90° bf 45° PC PF E' F' H' PF1 G ' LH PF2 C' D' B' A' ae dh H LT PP cg bf Figura 52 Cuando el observador se encuentra con una posición muy cerca del centro del muro frontal. el punto de fuga de las líneas frontales se encontrará muy retirado. en algunos casos fuera del papel. en ocasiones será conveniente considerar el punto de fuga en el infinito. 54 . 52) El ejemplo es un espacio interior simple. Al colocar el plano del cuadro paralelo al eje frontal todas las líneas que pertenezcan a este eje se verán de frente y se dibujan horizontales en la vista en perspectiva.. solo requiere un punto de fuga. En el siguiente ejemplo realizaremos la perspectiva interior de frente a un punto de fuga siguiendo los pasos de aplicación del método. Si colocamos el plano del cuadro al fondo del interior. requiere menos tiempo para su ejecución. PLANTA h3 h2 h h1 ELEVACION h5 h4 ALTURA MUEBLES Figura 53 55 .Perspectiva interior de frente con un punto de fuga La perspectiva interior de frente con un punto de fuga. todos los objetos en contacto con este plano se dibujan en proyección ortogonal. a menos que existan muros o muebles que se encuentren fuera del paralelismo general del interior que normalmente tiene dos direcciones y son perpendiculares entre sí los dos sistemas de rectas. 1. es decir en su verdadera forma y magnitud.Para iniciar el trazo es necesario contar con la planta arquitectónica del espacio a dibujar y sus elevaciones correspondientes a la misma escala (ver fig. y este alzado servirá de punto de partida para el trazo de la perspectiva. con una chimenea integrada a un mueble de pared y un conjunto de muebles de sala. las que son paralelas al eje perpendicular al plano del cuadro fugarán al punto de fuga principal. Se localiza la posición del plano del cuadro perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico y en este ejemplo que pase por el muro del fondo del interior por los puntos C y D. C. en este caso estará centrado. Las medidas obtenidas en el plano del cuadro y las alturas. de tal manera que abarque todo lo que se va a dibujar..Proyectamos sobre el plano del cuadro los puntos visibles que forman el interior A. PC ae D dh H PP C G cg bf A E F B 90° visual bisec triz bisec triz 45° PV Figura 54 56 .2. dibujamos el alzado que está contenido en el plano del cuadro. 3. Las visuales a los puntos A y B que forman el ángulo óptico. se podrán duplicar o multiplicar para obtener una perspectiva más grande.. Para iniciar el trazo de la perspectiva. 5. (b). así como el punto de fuga principal.Localizamos la posición del observador. obteniendo sobre el plano del cuadro los puntos (a). B..La línea de horizonte estará a la altura de los ojos del observador en una posición normal parado. como ya se dijo antes deberá estar dibujado a la misma escala que se utilizó para la planta. (c) y (d). 4. y D. es decir sobre la línea que pasa a la mitad de la recta AB. y su distancia será determinada por el ángulo óptico propuesto de 45° formado por las visuales trazadas del punto de vista a los puntos A y B.. se prolongan hasta tocar el plano del cuadro. y los puntos C y D por estar en contacto con el plano del cuadro ya no se modifica su posición en perspectiva. localizamos la posición de la línea de horizonte y sobre esta la posición del punto de fuga principal 7. 55) Figura 55 57 . G´. plafón y muros.. C´. trazamos verticales desde los puntos (a) y (b) hasta cortar las líneas fugadas.Para dibujar en perspectiva los elementos primarios piso. al unir los puntos A´ B´ E´ y F´ determinamos la perspectiva de los elementos primarios (ver fig.Trazamos las fugas desde el punto principal pasando por los puntos D´.. y H´ y habremos obtenido la fuga de los muros laterales. trazamos la línea de tierra y sobre esta el alzado del muro que está en contacto con el plano del cuadro.6. para definir su longitud en perspectiva. 10´.2.3. tendremos que trazar visuales a cualquiera de sus extremos en este caso por los puntos 8.Para el trazo en perspectiva de los muebles.10´. estaremos en condiciones de trazar en perspectiva la retícula sobre el piso.2.8. que determinamos en el punto 7.11´ y 12´.11´.10. fugarán al punto de fuga principal partiendo de los puntos 1. y en esta forma hemos obtenido la perspectiva de la retícula sobre el piso (ver fig.5. En la perspectiva de los elementos primarios. y los fugamos al punto de fuga principal. los marcamos sobre la línea de tierra.9´.11 y 12 hasta tocar el plano del cuadro y obtener los puntos 8´.6 y 7.3.Con los datos sobre el plano del cuadro.5.9.9´. y 12´. extremos de estas líneas que están en contacto con el plano del cuadro.4. desde estos cruces trazamos líneas horizontales paralelas al plano del cuadro. 9. previamente en la planta se traza una retícula que defina su posición..4. los puntos 8´.. sobre la línea de tierra marcamos los puntos 1. y de ahí trazamos verticales hasta cruzar la línea en perspectiva B´C´.6 y 7. Para determinar la proyección sobre el plano del cuadro de uno de los extremos de las líneas que son paralelas al plano del cuadro. 56) a D PP 1 2 3 4 5 6 7 C 8' 9' 10' 11' 12' 8 9 PC 10 11 12 A B PV Figura 56 58 . Todas las líneas de la retícula perpendiculares al plano del cuadro. 58) Figura 58 59 .Sobre la retícula localizamos en planta la posición de los muebles y les damos altura para representarlos sintéticamente en forma prismática.. Las alturas las damos sobre la línea de tierra en el plano del cuadro.Figura 57 11. de esta manera nos será más fácil su representación en perspectiva. y de ahí las transportamos a cada mueble. usando los puntos de fuga para hacer viajar la altura lateralmente o en profundidad (ver fig. Se añade la ambientación. lámparas. cuadros. figura humana.59) Figura 59 60 . quedando listo el trazo para la aplicación de cualquier técnica (ver fig.Finalmente sobre el bosquejo de los muebles se hace el detallado según el tipo de mueble que se quiera. etc. tapetes. en este caso estará desplazado del centro hacia la izquierda sin rebasar el muro lateral.. Resolveremos con esta variante el mismo ejemplo del interior que se resolvió a un punto de fuga Procedimiento: 1.Perspectiva interior puntos de fuga de frente con dos Cuando el punto de vista no se localiza al centro del interior. formado por las visuales trazadas del punto de vista a los puntos A y B.Utilizamos los mismos datos como son: planta arquitectónica del espacio a dibujar y sus elevaciones correspondientes.Se localiza la posición del plano del cuadro perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico y que pase por el extremo del muro del fondo que este más cercano al observador. 3. y su distancia se definirá por medio del ángulo óptico propuesto de 45°. El procedimiento será el mismo que en el caso anterior. la perspectiva será de frente a dos puntos de fuga.. cambiará la posición del plano del cuadro y aparecerá el punto de fuga para las líneas frontales. en este caso los puntos D y H Figura 60 61 . y se desplaza a la derecha o izquierda del eje central. 2.Localizamos la posición del observador. solo que al moverse el punto de vista.. 4.- Proyectamos sobre el plano del cuadro los puntos visibles de las aristas que forman el interior A, B y C, prolongando las visuales hasta cortar el plano del cuadro, obteniendo los puntos (a), (b) y (c), el punto D ya no se modifica su posición en perspectiva por estar en contacto con el plano del cuadro. De la misma forma que en la perspectiva exterior determinamos la posición de los puntos de fuga, trazando paralelas a los sistemas de rectas que pasen por el punto de vista hasta cortar el plano del cuadro, obteniendo los puntos de fuga PF1 al centro y PF2 a la derecha (ver fig. 60) 5.- La línea de horizonte en este caso se traza a la altura de los ojos del observador en una posición normal parado. En la línea de tierra se trazan los datos obtenidos de las proyecciones en planta sobre el plano del cuadro. 6.- Iniciamos el trazo de la perspectiva partiendo de los datos en la línea de tierra cuyas distancias podremos duplicar o multiplicar así como las alturas para obtener una perspectiva más grande. Determinamos la altura del interior sobre la vertical que pasa por el punto D´ que es el que esta en contacto con el plano del cuadro, trazamos la línea de horizonte y sobre ella localizamos la posición de los puntos de fuga. 7.- Trazamos las líneas de fuga partiendo de los puntos D´ y H´ hacia el punto de fuga PF2, trazamos una vertical desde el punto (cg) y donde cruce con las fugas determinamos los puntos C´ y G´, así hemos definido en perspectiva el muro frontal. Trazamos las líneas de fuga que pasen por los puntos D´, C´, G´ y H´ partiendo del PF1. Figura 61 62 8.- Para definir la longitud en perspectiva de los muros laterales, trazamos verticales desde los puntos (ae) y (bf) hasta cruzar las fugas, obteniendo los puntos A´, B´, C´ y E´, al unir estos puntos definimos en perspectiva los elementos primarios; piso, plafón y muros (ver fig 61). 9.- Para el trazo en perspectiva de los muebles, previamente en la planta se trazó una retícula que definió su posición. Para determinar la proyección sobre el plano del cuadro de uno de los extremos de las líneas que son paralelas a las rectas AB y AD, tendremos que trazar visuales a cualquiera de sus extremos en este caso los puntos; 1,2,3,4,5,6,7 y 8,9,10,11 y 12, obteniendo los puntos; 1´,2´,3´,4´,5´,6´,7´ y 8´,9´,10´,11´ y 12´ (ver fig. 62). 10.- Con los datos sobre el plano del cuadro, estaremos en condiciones de trazar en perspectiva la retícula sobre el piso. Todas las líneas paralelas a la recta AB, fugarán al punto de fuga PF2, partiendo de los puntos; 8´,9´,10´,11´ y 12´, que se obtuvieron al trazar verticales desde los puntos sobre la línea de tierra hasta cruzar la fuga de la línea BC, y las líneas paralelas a AD, fugarán al punto de fuga PF1 partiendo de los puntos; 1´,2´,3´,4´,5´,6´ y 7´ que se obtuvieron en la misma forma que los anteriores (ver fig. 63) Figura 62 63 Figura 63 11.- Sobre la retícula localizamos en planta la posición de los muebles y les damos altura, las alturas las marcamos sobre la línea de alturas a partir de la línea de tierra en el punto D que está en contacto con el plano del cuadro, y de ahí las transportamos a cada mueble utilizando los puntos de fuga para hacer viajar la altura lateralmente o en profundidad (ver fig. 64). Figura 64 64 tapetes. etc. quedando listo el trazo para la aplicación de la técnica que se desee (ver fig. 65) Figura 65 65 ..Finalmente sobre los bosquejos de la representación prismática de los muebles. figura humana. Se añade la ambientación. cuadros. se hace el detallado según el tipo de mueble que se quiera. lámparas. Capítulo III. Perspectiva por método simplificado 66 . División de una línea en partes iguales o desiguales. 2. Hay métodos que simplifican en cierto grado el manejo de las plantas. sobre todo cuando son proyectos grandes y los datos obtenidos en el plano del cuadro se tienen que duplicar o multiplicar para obtener perspectivas más y grandes..CAPITULO III: Perspectiva por método simplificado. es fundamental el conocimiento de un método exacto. Cuando se quiere utilizar un método simplificado. trazamos otra línea que se abra a una distancia considerable. Cuando tenemos una línea dibujada en geometral y queremos dividirla en partes iguales o desiguales.Por uno de sus extremos punto A. El Arquitecto en general requiere manejar con rapidez y facilidad la perspectiva en la ejecución de sus proyectos. de pronto se antoja laborioso cuando hay que utilizar como elemento fundamental la planta. Figura 66 67 . El método de “Visuales y Dominantes” como algunos otros. procedemos de la siguiente manera: 1. El método que aquí se propone trata de simplificar trabajo y ahorrar tiempo para el trazo de perspectivas.Trazamos la línea AB que puede estar en cualquier dirección. plantearemos en seguida las características y manejo de los procedimientos prácticos.. y marcamos a cualquier escala el número de partes iguales o desiguales en que se quiera dividir la línea AB. aplicando procedimientos prácticos que lo lleven a obtener de una forma muy aproximada y satisfactoria el trazo de las perspectivas. para estar familiarizado con el manejo de sus elementos y reglas. algunas veces un poco informal en el proceso del diseño y otras para la presentación formal del proyecto Estos procedimientos prácticos no se podrían utilizar con eficiencia si se desconoce el funcionamiento general de la perspectiva. se recomienda que se tome la línea que esté más separada de la línea de horizonte. procurando que su tamaño sea mayor que la línea que se va a dividir. el de la línea que queremos dividir y el de la línea dividida a escala. es utilizando el mismo punto de fuga de la superficie por dividir: 1. 66). en este ejemplo en seis partes iguales. también es válido para dividir una línea o superficie en perspectiva.. 68).17 Cualquiera de los dos procedimientos se podrá utilizar.. Cuando no se quiera que se encimen los trazos. 3. y de esta forma tenemos la superficie en perspectiva dividida en seis partes iguales (ver fig. 67) Otra forma de dividir una superficie en perspectiva.Unimos los dos extremos libres. o a algún sector de esta y las divisiones pueden ser iguales o desiguales (ver fig. con el extremo de la línea que se va a dividir punto C. y desde donde cortan la línea en perspectiva trazamos verticales. 67). Este sistema o procedimiento para dividir una línea en geometral.Trazamos una línea horizontal que pase por el extremo más cercano al observador de cualquiera de sus dos líneas horizontales..3. desde este punto de contacto que llamaremos punto medidor PM... fugamos a cada una de las divisiones de la línea horizontal dividida a escala. Trazamos líneas paralelas a la línea que unió los dos extremos. se fugan cada una de las divisiones de la línea vertical al punto de fuga de la superficie por dividir. Tenemos una superficie en perspectiva que queremos dividir en partes iguales o desiguales. 68 .Se traza una línea vertical que pase por el extremo más cercano al observador de cualquiera de sus dos líneas horizontales punto A o B. lo podemos hacer en dos formas: 1.Se divide esta línea vertical en las seis partes iguales a cualquier escala. 2.Se divide esta línea horizontal que pasa por el punto B a escala en seis partes iguales. donde corten estas fugas a la línea que unió los dos extremos de la línea dividida con la línea por dividir. y así habremos obtenido las divisiones requeridas (ver fig. la línea a dividir se puede desplazar hacia arriba o hacia abajo usando el mismo punto de fuga de la superficie a dividir Este procedimiento se puede aplicar a la línea en perspectiva completa.Se une el extremo de la línea dividida por el punto 6. se trazan verticales y quedará dividida la superficie en perspectiva (ver fig. que pasen por las divisiones de la línea dividida a escala hasta que cruce la línea que queremos dividir. pues da el mismo resultado todo depende del espacio que se disponga para su trazo. y se une el extremo (6) de la línea vertical con el extremo D de la línea por dividir. 2.. y se continúa esta línea hasta tocar la línea de horizonte. Figura 67 69 . Figura 68 70 . habremos obtenido la repetición de la superficie. trazamos diagonales para determinar su centro. obteniendo la repetición de la medida horizontal de la superficie y al trazar una vertical por este punto. 69) Figura 69 71 .Repetición de una superficie “N” veces. Siguiendo el mismo procedimiento podemos repetir la superficie “n” veces (ver fig. 2. se procede de la siguiente manera: 1..-Partiendo del dibujo en geometral de una superficie rectangular o cuadrada. por el que se traza una línea horizontal (línea media). Para repetir gráficamente una superficie dibujada en geometral sin tener que usar un escalímetro. prolongando la línea hasta cortar la línea horizontal que pasa por la base de la superficie.Se traza una línea diagonal que pase por el extremo superior izquierdo y el extremo derecho medio. El mismo procedimiento es aplicable para repetir una superficie dibujada en perspectiva. se define el tamaño de la superficie que se quiere repetir.Se trazan las diagonales para determinar el centro de la superficie.Se traza una línea diagonal que pase por el extremo superior izquierdo y el extremo derecho medio.Partiendo del trazo de una superficie en perspectiva con su línea de horizonte y su punto de fuga. se traza una línea fugada al punto de fuga de la superficie para obtener la línea media.. por este cruce trazamos una vertical hasta cruzar la línea fugada superior y habremos repetido la superficie en perspectiva. 70). siguiendo el procedimiento podemos repetir la superficie en perspectiva “n” veces (ver fig. siguiendo los mismos pasos tenemos: 1. 2. prolongando la línea hasta cruzar la línea fugada que pasa por la base de la superficie. y por este punto que marca el centro.18 72 .. 3.. Figura 70 73 . o horizontales Figura 71 74 . este punto de fuga por ser para líneas inclinadas ascendentes o descendentes se encontrará arriba o debajo de la línea de horizonte sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su proyección horizontal..4.Las líneas diagonales que repiten las superficies son paralelas entre sí. “Regla No 7” líneas inclinadas. por lo que deberán fugar al mismo punto de fuga. 71 y 72).19 módulos en profundidad verticales. La repetición de superficies o perspectiva se podrá hacer en sobre superficies horizontales y longitudinalmente en superficies (ver fig. es la proporción óptica del cuadrado en perspectiva. Para tener una idea más concreta de la proporción de este cuadrado en perspectiva. mayor será la amplitud del cuadrado y cuanto más cerca la amplitud será menor. y la otra más de perfil. Esta proporción óptica del cuadrado variará en relación a la distancia del punto de fuga. lo que nos ayudará al objetivo que perseguimos. 73) Figura 72 Proporción óptica del cuadrado. y obtendremos como resultado en la perspectiva que la cara que se ve más de frente tendrá su punto de fuga más retirado. Figura 73 75 . cuanto más lejos se encuentre el punto de fuga. que vea una de sus caras casi de frente. y la que se ve más de perfil su punto de fuga estará más cerca (ver fig.aplicaremos el método exacto de “Visuales y Dominantes” para obtener la perspectiva de un cubo cuyas caras sabemos perfectamente que son cuadrados. Otro elemento tal ves el más importante que nos servirá para el trazo de perspectivas por el método simplificado. Buscaremos que la posición del observador frente al cubo sea tal. quiere decir que lo que se encuentra de la línea de alturas al PF1. con relación a la distancia de esta línea al punto de fuga PF2. Si analizamos la proporción del cuadrado que tiene el punto de fuga más alejado PF2 y el cuadrado con el punto de fuga más cercano PF1. Para proporcionar ópticamente el cuadrado en perspectiva. observamos que hay una relación directa entre la cercanía o lejanía de los puntos de fuga con la proporción del cuadrado. Cuando el punto de fuga está más cerca es más probable que no se capte con certeza la proporción del cuadrado. tomaremos en cuenta que la proporción será más acertada cuando el punto de fuga este más lejos. mayor será su amplitud. En la figura 74.Figura 74 En conclusión podríamos plantear que. y entre más cerca este el punto de fuga menor será su amplitud. 76 . Si tomamos una tercera parte del cuadrado que fuga al PF2. podemos establecer una relación de proporción entre distancias de puntos de fuga a partir de la línea de alturas. en nuestro caso el cuadrado. vemos que es aproximadamente la proporción del cuadrado que fuga al PF1. y vemos que aproximadamente en números enteros es de 1 a 3. será tres veces menor que lo que hay hacia el punto de fuga PF2. es decir que proporción guarda la distancia del punto de fuga PF1 a la línea de alturas. entre más lejos este el punto de fuga de una superficie en perspectiva. .Para encontrar la altura en el punto B. por ejemplo en el punto A. trazamos una paralela a la línea de tierra que pase por el punto B hasta cruzar la línea de fuga del punto 1 al PF3. desde este cruce en el punto (b) trazamos una línea vertical hasta cruzar la línea de fuga del punto 2 al PF3 y regresamos con la paralela a la línea de tierra hasta cruzar con la vertical que pasa por el punto B.Procedimiento para localizar las alturas en perspectiva Cuando en el trazo de una perspectiva un punto de fuga queda muy retirado fuera del papel. hasta cruzar la vertical trazada por el punto A y definimos la altura del volumen en el punto A´..Se traza la planta del edificio en perspectiva A. Se marcan las alturas tomadas de la fachada tal y como se hace en la línea de alturas. De esta manera se encuentra la altura en los demás puntos y de cualquier punto que pudiera existir en el objeto a dibujar (ver fig.. A una distancia adecuada de esta línea. 75). 3. se localiza un punto de fuga PF3 sobre la línea de horizonte.Se traza una vertical a partir de la línea de tierra colocada a un lado de la perspectiva en un lugar estratégico fuera de los puntos de fuga para no interferir los trazos de construcción de la perspectiva. que servirá para fugar las alturas de la línea descrita 1. para eliminar dicha dificultad se puede utilizar un procedimiento práctico. B. C.2. D.. trazamos una paralela a la línea de tierra que pase por el punto A hasta cruzar la vertical de la línea de alturas en el punto 1. Procedimiento: 1. 2. y habremos determinado el punto B´ que al unirlo con el punto A´ obtenemos en perspectiva la arista A´B´. Si seguimos el procedimiento del inciso 3.Para determinar las alturas en los puntos que se quiera del volumen. y trazamos una línea paralela a la línea de tierra desde la altura punto 2.20 Figura 75 77 . pero como el punto de fuga está fuera del papel se dificulta este proceso. tendríamos que fugar el punto A´ al punto de fuga PF2 hasta cruzar la línea vertical trazada desde el punto B. 4. se dificulta transportar de la línea de alturas a cada punto del edificio la altura correspondiente. utilizando los procedimientos prácticos (ver fig. ventanales. resolviendo la perspectiva de un ejemplo sencillo. etc.Procedimiento del método simplificado: Describiremos la aplicación del método por pasos de una manera simple. requerimos de los datos fundamentales como son la planta o plantas y fachadas El paso inicial será determinar la proporción en las fachadas en base al cuadrado del volumen general dominante. y después definir los elementos complementarios. para después hacer substracción o agregado de volúmenes. o la envolvente si el tema es muy irregular como si lo metiéramos en una caja de cristal. de una figura compuesta de varios prismas. 76) Figura 76 78 . Para poder trazar la perspectiva como en cualquier método. que representarían en forma esquemática edificios. puertas. Localizamos la posición del observador en un croquis de la planta igual que en el método exacto. La altura de esta línea que corresponderá a la altura del volumen general del edificio se recomienda que ocupe una tercera parte aproximadamente de la altura total del espacio disponible (ver fig. y cuanto menos de frente este respecto al observador más cerca estará el punto de fuga. De acuerdo con el criterio planteado en las figuras 73 y 74..Para iniciar el trazo en la superficie del papel disponible.Tomaremos como base la envolvente general del edificio para definir la proporción en perspectiva segun el punto de vista propuesto. y menos de frente la fachada poniente (ver fig. 3. Figura 77 79 .. 78).. el trazo de esta se cargará a la derecha o izquierda del centro del papel de acuerdo con la posición de los punto de fuga. en este ejemplo se plantea una posición angular de manera que se vea más de frente la fachada más importante como es la sur. en que se estableció que. Este será el criterio para proponer la posición de los puntos de fuga.1. es decir que se cargará al lado donde se localice el punto de fuga más cercano con relación a la línea de alturas ya que por lógica la perspectiva se desarrollará hacia el punto de fuga más lejano. mientras más de frente al observador este una superficie más lejos estará el punto de fuga. se debe plantear el encuadre de la perspectiva dentro de ese espacio. como el primer trazo será la línea de alturas la que corresponderá a la arista del edificio más cercana al observador. 77) 2. localizamos el punto de fuga de la fachada poniente más cerca pues de acuerdo con su posición respecto al observador. se traza la línea de alturas a escala.Se localiza la posición de los puntos de fuga según el criterio planteado en el inciso 2. y de acuerdo a esta escala se traza la línea de horizonte a la altura de los ojos del observador que será según la altura a la que se desee ver la perspectiva.Para determinar la longitud en perspectiva de las fachadas. lo que quiere decir que la fachada sur tiene un cuadrado más una cuarta parte de proporción.. lo haremos en base al cuadrado utilizando la proporción óptica del primer cuadrado y su repetición.. a los puntos de fuga PF1 y PF2 y tendremos fugadas en perspectiva las dos fachadas. como se planteo en la descripción del procedimiento. cuanto menos de frente este la fachada el punto de fuga estará más cerca y viceversa. empleando estas proporciones de acuerdo al proyecto y la altura del edificio.Figura 78 4. en consecuencia por estar más de frente la fachada sur. y en la fachada poniente cabe solo una ves. 5..Una vez planteado el encuadre. y la fachada poniente solo un cuadrado. un criterio para su separación sería. que la relación de uno y otro con respecto a la línea de alturas estuviera comprendido entre las proporciones de 1:3 y 1:8. y observamos que en la fachada sur cabe una ves más una cuarta parte. No se deben colocar los puntos de fuga muy cerca uno de otro.. su punto de fuga deberá colocarse más retirado. 80 . pues habría deformaciones muy violentas y desagradables.Fugamos el extremo superior e inferior de la línea de alturas que corresponde a la altura de la envolvente del edificio. 6. 7. es decir cuantas veces cabe la altura en la longitud. Determinamos en las fachadas su proporción en cuanto su longitud y altura de la envolvente general. Figura 79 81 . 3´ (ver fig.. trazamos líneas horizontales a ambos lados. Para terminar la definición de este volumen.L y K. donde cruzan las líneas verticales trazadas desde estos puntos. el segundo cuadrado lo dividimos en cuatro partes y solo tomamos una. Fugamos los puntos obtenidos B”.Para definir el volumen (2). quedando definidas en perspectiva las proporciones de las envolventes de la fachada sur O.el punto J. 12. esta proporción en números cerrados es de 1 a 3. una de estas partes será la dimensión del primer cuadrado en la fachada poniente.3. fugamos los puntos A´. ambas líneas fugarán a PF1.. por lo que utilizaremos la proporción de la distancia de los puntos de fuga con relación a la línea de alturas. y los puntos 1´ y 2´ al PF2. Proporcionamos ópticamente el primer cuadrado y lo repetimos una ves para obtener la longitud total de un cuadrado más un cuarto. con las líneas de fuga que parten desde los puntos 1” y 2” al PF2. con las líneas verticales trazadas desde los puntos 1´ y 2´. 13.En el extremo inferior de la línea de alturas punto O. 82 . encontraremos los puntos E´. y aplicamos el procedimiento practico de “como dividir una superficie en perspectiva en partes iguales o desiguales”.2 y 3. F´ G´. 10. obteniendo los puntos L´y M´. fugamos el punto obtenido 2” y el punto 2´ al PF2 hasta cruzar la vertical trazada por el punto K. C” y al PF1 hasta cruzar con la fuga del punto 3”” al PF2.. que al unirlos ordenadamente definimos la perspectiva del volumen (3).79). unimos los puntos 2´ y 3´. los puntos en la fachada sur en perspectiva A. obteniendo en el cruce de las fugas del punto B´ al PF1 y el punto 2´ al PF2.O´.G. y los puntos 2” y 3”.F. y K´.C y D.Se traza una retícula en la planta para localizar los puntos que determinan los volúmenes.J..B. fueron definidos en el cruce de las líneas fugadas desde el punto h1 de la línea de alturas al PF1.. por lo que si tomamos el primer cuadrado de la fachada sur y lo dividimos en tres partes.. Los puntos 1” y 2”.8.Para definir el volumen (3). J´. lo que nos indica que todo lo que se encuentre en la fachada poniente es tres veces menor a lo que exista en la fachada sur. 11.O´. trazamos líneas verticales por los puntos 2´ y 3´ hasta cruzar la fuga del punto h2 en la línea de alturas al PF1.D.H. y en la fachada poniente los puntos 1.Proporcionamos primero la fachada sur que es la que esta más de frente. 9.B´ y D´ al PF1.D´ y la fachada poniente O. en donde se cruzan estas líneas fugadas definimos los puntos E. trazamos líneas verticales por los puntos B´y C´ hasta cruzar la línea de fuga del punto O´ al PF2. H´. como su punto de fuga está muy cerca es probable que no acertemos con precisión el tamaño del cuadrado. que nos servirán para definir aplicando el procedimiento. Para trazar ópticamente el primer cuadrado en perspectiva de la fachada poniente.Para definir el volumen (1) en perspectiva. es decir la que tiene su punto de fuga más retirado. Figura 80 83 . 14.Todas las alturas de los diferentes volúmenes h1. Aplicación del “Método simplificado” en una perspectiva exterior de vista angular Figura 81 84 . 80. h2 y h3 se marcaron a escala sobre la línea de alturas. De esta manera hemos trazado la perspectiva del ejemplo aplicando el método simplificado (ver fig.. y de ahí fueron llevadas a los volúmenes respectivos asiéndolas viajar a la derecha con el PF2 y a la izquierda con el PF1. Figura 82 85 Figura 83 86 Aplicación del “Método simplificado” en una perspectiva exterior, de frente con dos puntos de fuga. En este ejemplo la envolvente del volumen se tomará en el plano de la línea XY, con el objeto de presentar el manejo de entrantes y salientes. Figura 84 87 Figura 85 88 . Figura 86 89 . espacio interior se tomó como base el muro frontal del fondo. para proporcionar el. de frente a dos puntos de fuga. En el ejemplo. y el muro lateral derecho. Figura 87 90 .Aplicación del “Método simplificado” en una perspectiva interior. Figura 88 91 . Figura 89 92 . Capítulo IV. Localización de la figura humana en la perspectiva 93 . textura. los accesorios. por más detallados que resulten los diferentes volúmenes y elementos que las forman. que harán que el edificio o espacio diseñado tenga vida propia. así como niños y jóvenes en diferentes tamaños. de acuerdo con el punto de vista seleccionado. fugando el punto seleccionado que pase por la base de la altura inicial hasta cruzar el horizonte. sombras y diversos materiales. La incorporación de la figura humana en la perspectiva. la escala humana. La localización de la figura humana en cuanto a su proporción con la perspectiva. deberá dar realismo con actitud y carácter en su presentación que vayan de acuerdo al tipo de proyecto y lugar en que se ubique. que indudablemente enriquecerán la ilustración del proyecto diseñado con su vocación de uso y le impriman el carácter deseado. obviamente también habrá figuras de hombre y mujer más altas o más bajas. el mobiliario. la vegetación.CAPITULO IV: La figura humana en la perspectiva El trazo geométrico en las perspectivas utilizando los diferentes métodos para su realización. 94 . Cuando la línea de horizonte se localiza más arriba de la altura de la figura humana. se marca esta altura de la figura sobre la línea de alturas. utilizando los puntos de fuga del edificio para hacer viajar la figura en un sentido o en otro (ver fig. y desde ese punto fugar por la parte superior de la altura inicial hasta la parte superior del punto seleccionado (ver figuras 91 y 92). En este mismo caso con la línea del horizonte rebasando la altura de la figura. dependerá independientemente de su carácter de la localización de la línea de horizonte. también se puede localizar la figura en distintos puntos. no serán suficientes si carecen de los elementos de ambientación que conforman los ingredientes en la composición de la escena. cuando esto sucede será muy fácil su localización. además de dar la escala para percibir las proporciones del proyecto. y cualquiera que sea su tamaño estará proporcionada su altura en la perspectiva (ver fig. No se podrá prescindir de elementos tan importantes como son. su cabeza estará un poco más abajo de la línea de horizonte. 90). partiendo de la altura inicial marcada en la línea de alturas utilizando un punto de fuga para cada figura.21 Para trazar la figura de la mujer que normalmente es menor que la del hombre. bastara poner la cabeza de la figura coincidiendo la altura de sus ojos con la línea de horizonte. 91). y se transporta a cualquier punto en donde se quiera dibujar la figura. La posición más común es a vista normal cuando la línea de horizonte se encuentra a la altura de los ojos del observador estando parado y este se encuentra hipotéticamente frente al edificio o en el interior. Figura 90 95 . Figura 91 96 . Figura 92 Cuando hay la necesidad de dibujar la figura humana sobre planos en diferentes alturas. hay que elevar la figura a la altura que se requiera.22 97 . pero sobre el mismo plano vertical (ver fig. 93). Figura 93 98 . sobre todo cuando se quiere dibujar una persona en primer término. se cometen errores en el tamaño de la figura.24 Figura 94 Figura 95 99 . o la línea de horizonte falsa que pasa por este punto de fuga (ver fig.23 Es frecuente que cuando no se utilizan los procedimientos adecuados para localizar la figura humana en la perspectiva. 94).Cuando la figura se encuentra en un plano inclinado. 95). para transportarla deberá usar el punto de fuga del plano inclinado. resultando a veces muy grande o enterrada en el piso (ver fig. Capítulo V. Reflejos en perspectiva 100 . CAPITULO V Reflejos en perspectiva Los reflejos de objetos o personas pueden producirse en superficies horizontales como el agua, superficies mojadas u otras menos obvias como el mármol pulido, y verticales como ventanales de vidrio reflector y espejos. Un reflejo no es una repetición invertida de la imagen, la imagen reflejada fugará al mismo punto de fuga de la imagen real, pero con su propia perspectiva. Aún cuando las proporciones de la imagen se repiten, el dibujo verdadero será diferente en deformación y vista al objeto reflejado. Reflejo en superficie horizontal. Cuando el objeto está en contacto con la superficie horizontal reflejante, su reflejo estará en contacto con el objeto y del mismo tamaño pero con deformación en perspectiva diferente (ver fig.96).25 Figura 96 101 Trazo de reflejos de una perspectiva de frente sobre superficie horizontal Trazo de reflejos de una perspectiva angular sobre superficie horizontal Figura 98 En los ejemplos de reflejos de las perspectivas de las figuras 97 y 98 sobre superficie horizontal, podemos observar la repetición de medidas verticales del objeto real al objeto reflejado, y como las líneas horizontales de la imagen reflejada convergen a los mismos puntos de fuga del objeto real. 102 Figura 97 Cuando el objeto no está en contacto con la superficie reflejante, hay que determinar la distancia del objeto real a la superficie reflejante, para poder repetir la imagen (ver fig. 99). Figura 99 103 Reflejo sobre superficie vertical En el reflejo sobre superficie vertical. En el trazo de la perspectiva la distancia a la superficie reflejante se puede determinar y repetir para definir la posición del objeto reflejado. 100). utilizando el procedimiento práctico de “como repetir una superficie en 26 perspectiva” (ver fig. cuando el objeto no está en contacto con la superficie reflejante. Figura 100 104 . se presenta el mismo fenómeno que en la superficie horizontal. Figura 10127 105 . Capítulo VI. Sombras 106 . 29 Bajo esta consideración. Si se quiere manejar estos rayos en una hora y día determinado. indirecta. La valoración tonal con el manejo de las sombras dará más realismo a los proyectos arquitectónicos. La sombra propia. En la proyección de sombras se requiere conocer. La fuente de luz artificial. se podrán utilizar las gráficas solares si es que se quiere ver la proyección de sombras de un edificio con relación a otro. o luz de foco generalmente interna. La sombra arrojada. Fuente luminosa La fuente luminosa puede ser natural o artificial.CAPÍTULO VI: Sombras En la representación de proyectos por medio de perspectivas. dependerá también de la hora del día y la fecha del calendario. Las superficies iluminadas o caras en luz.El ángulo horizontal o azimut de los rayos. se refiere a aquellas superficies que no reciben la luz.El ángulo vertical del rayo respecto al plano horizontal. b). En la práctica para la representación arquitectónica de sombras..30 En el manejo de las sombras. buscando que la proyección de la sombra luzca bien para un dibujo en particular.28 Para determinar la posición de los rayos luminosos. se requieren dos datos que son fundamentales: a). a diferencia de la luz natural no produce rayos paralelos. son aquellas que reciben luz directa ya sea luz natural o luz artificial. es la que proyecta un objeto o superficie y estas se proyectarán solo sobre las superficies iluminadas (ver fig. podríamos proponer la dirección e inclinación de los rayos como más nos convenga buscando dar realismo y profundidad al proyecto. debido a la gran distancia que viajan hasta alcanzar la tierra. cualquiera que sea la técnica que se emplee. es muy importante saber distinguir cuales son las superficies en luz.. 102) 107 . las que están en sombra propia y las que reciben sombras arrojadas. en sombra propia y sombra arrojada. la dirección e inclinación de los rayos se selecciona al gusto. no podrá valorarse el claroscuro mientras no se tracen las sombras que definan con certeza las superficies que reciben la luz directa. puede variar según la hora del día y la fecha del calendario. ésta es central o cónica los rayos son radiales. que marcará cual es su dirección. que ubican al proyecto en el contexto cuando se agregan los elementos de ambientación y que se ponderan con las diferentes técnicas de dibujo.. por ejemplo. las leyes que rigen su proyección en perspectiva y el tipo y posición de la fuente luminosa. La fuente natural son los rayos del Sol que se consideran paralelos. obviamente si esta en contacto no provocará sombra. La dirección del rayo. podrá proyectar la de una recta. no se podrá proyectar su sombra. El ángulo de altitud del rayo.-La proyección del punto sobre el plano horizontal c). La proyección del punto sobre el plano horizontal. 103 y 104). para poder proyectar sombra. paralelo al plano del cuadro con dirección de izquierda a derecha o de derecha 108 Figura 102 . representado con la proyección del rayo sobre el plano horizontal puede ser.-El ángulo de altitud o inclinación del rayo d). si se desconoce alguno de ellos. es indispensable aún cuando la proyección de la sombra se realice sobre un plano vertical o inclinado. Para proyectar la sombra de un punto. este puede ser cualquiera siempre y cuando el ángulo sea mayor de 0° con relación al plano horizontal. estos datos son: a). se requiere conocer cuatro datos.-El punto en el espacio b).Método En el método aquí propuesto para la proyección de sombras.-La dirección del rayo a través de su proyección horizontal El punto en el espacio. se presume que quien pueda proyectar la sombra de un punto. de una superficie y de un volumen por muy complicado que este sea (ver figuras 102. deberá estar despegado del plano de proyección de las sombras. 103).a izquierda. 3..Se traza una línea paralela a la dirección del rayo R..Donde cruzan estas dos líneas se encontrará la sombra A´ del punto (ver fig. que pase por el punto A en el espacio. 2.Se traza una línea paralela a la dirección de la proyección del rayo (r). de atrás hacia delante o de delante hacia atrás. La que se utiliza con más frecuencia sobre todo en perspectiva paralela. que pase por la proyección del punto (a) sobre el plano horizontal. Proyección de la sombra de un punto Mecanismo y normas 1.. es con los rayos paralelos al plano del cuadro. Proyección de la sombra de una superficie Figura 103 Figura 104 109 . para la inclinación convencional de los rayos por comodidad se utilizan los ángulos naturales de las escuadras. y la dirección en planta normalmente se utiliza paralela al plano del cuadro.Todas las líneas paralelas al plano de proyección. y superficie horizontal e inclinada. en los dibujos ortogonales generalmente no se usan los valores reales de los ángulos de inclinación de los rayos del Sol. Antes de determinar la posición de los puntos y sus proyecciones sobre el plano horizontal. proyectan sombras paralelas a la dirección de la proyección del rayo (r). b.. para determinar las sombras procedemos de la siguiente manera: Definimos primero la dirección e inclinación de los rayos.. al momento de unir los puntos para determinar la sombra de las aristas. esto se puede evitar aplicando dos normas muy simples: a. verticales e inclinadas. puede haber equivocaciones. proyectan sombras paralelas a las propias líneas. Las sombras proyectadas pueden ser. Al aplicar estas normas evitamos errores y ahorramos trazos. o combinadas sobre superficie horizontal y vertical. conviene visualizar con la dirección propuesta 110 .Todas las líneas perpendiculares al plano de proyección.Proyección de la sombra de un volumen Figura 105 Cuando los volúmenes de los cuales se va a proyectar la sombra tienen ciertas complicaciones. Proyección sobre superficie horizontal En el ejemplo de la figura 106. sobre superficies horizontales. utilizamos las dos reglas para revisar que la unión de los puntos y el resultado de la sombra de cada arista sea la correcta. Lo mismo hacemos con los puntos B. de esta manera ya tenemos completos los cuatro datos que se requieren para proyectar la sombra de un punto. en el mismo ejemplo. Cuando una superficie o volumen va a proyectar sombra horizontal sobre un volumen de menor altura. Figura 106 111 . y (E´) en el caso de la arista EF. trazamos una línea paralela a la proyección del rayo (r). Cuando se trata de volúmenes más o menos complicados. los unimos y habremos obtenido la sombra arrojada sobre la superficie horizontal de los dos volúmenes. por lo tanto trazamos paralelas a las aristas que pasen por los puntos ya conocidos B´ y E´. conociendo la proyección de la sombra de uno de sus extremos punto (B´) en el caso de la arista BC. cuales son las aristas que van a provocar sombras para no hacer el trazo de las aristas que no van a provocar sombras. trazamos una línea paralela al rayo (R) que pase por el punto (A). se hacen no en el piso.C. y que atendiendo a una de las reglas que dice que deberán proyectar una sombra paralela a la propia arista. como ya se planteo antes en este mismo capítulo. que pase por la proyección del punto (a) sobre el plano horizontal.D. Una vez trazada la sombra de todos los puntos. marcamos los puntos con letras mayúsculas y su proyección correspondiente sobre el plano horizontal con letras minúsculas. se podría ahorrar los trazos de la proyección de la sombra de los puntos C y E.E y F. la proyección de los puntos (d) y (e) en el ejemplo. sino sobre la superficie horizontal del volumen en donde se va a proyectar la sombra. y donde cruzan estas dos líneas se encontrará la sombra arrojada del punto (A´). obteniendo el trazo de la sombra que es visible. Siguiendo el procedimiento planteado en la figura 103. También utilizando estas dos reglas se puede ahorrar trazos.de los rayos. una ves definidas estas aristas. y sabiendo que estas dos aristas son paralelas al plano de proyección. trazamos líneas verticales hasta cruzar con las líneas paralelas al rayo. Proyección de la sombra de una superficie horizontal. como sabemos que las aristas AD y BC son paralelas al plano de proyección horizontal. los puntos C y D por estar en contacto con el plano de proyección vertical no provocan sombra. A con D y B con C. donde cruzan al plano vertical. habremos encontrado la sombra sobre el plano vertical de la superficie horizontal. se presenta la proyección de la sombra de un plano horizontal sobre un plano vertical. el procedimiento para su proyección será el mismo que utilizamos para la proyección de sombras sobre superficie horizontal. veremos en la figura 108 como se obtiene la sombra. al unir los puntos A con B. Siguiendo el mismo procedimiento anterior. y ahí se encontrará la sombra de los puntos (A´) y (B´). Figura 107 Se define cual va a ser la dirección de los rayos y su inclinación. su sombra estará en ese mismo lugar ya no se desplaza.Proyección de sombras sobre superficie vertical. y líneas paralelas a la proyección del rayo (r) que pasen por los puntos (a) y (b). de estos puntos trazamos líneas hasta los puntos D y C extremos de las aristas que provocan las sombras. En la figura 107. trazamos líneas paralelas a estas aristas que pasen por los puntos A´ y B´ hasta tocar al plano de proyección vertical en los puntos (d) y (c). Tomando el mismo ejemplo de la figura 107. parte sobre un plano horizontal y parte sobre un plano vertical. y cambiando la inclinación de los rayos. al unir los puntos A´ y B´ se completa el trazo de la sombra de la que parte 112 . vemos que la sombra de los puntos A y B ahora quedan sobre el plano horizontal. determinamos la posición de la proyección de los puntos A y B sobre el plano horizontal (a) y (b). trazamos líneas paralelas a la dirección del rayo (R) que pasen por los puntos A y B. pero como estos puntos están en contacto con el plano de proyección vertical. trazamos líneas verticales desde estos puntos hasta la arista EF definiendo los puntos G y H. definiendo los puntos A´ y B´. Trazamos las sombras de los puntos A y B como si no existiera el plano inclinado Figura 109 113 . las líneas paralelas a la proyección del rayo (r) que definen estos puntos. las prolongamos hasta la línea (ef) proyección de la arista EF extremo de la superficie inclinada determinando los puntos (g) y (h) .31 Figura 108 Proyección de la sombra de una superficie vertical sobre un plano horizontal y un plano inclinado. se fija la inclinación de los rayos y su dirección de acuerdo a los planos planteados en la figura 109. unimos estos puntos con los puntos 1y2. que se definieron en donde cortaron las líneas paralelas a la proyección de los rayos a la arista CD base del plano inclinado.queda en el plano vertical y parte en el horizontal (ver fig. Aplicando el procedimiento tenemos. 108). se determina la sombra. Figura 110 En la figura 110.Donde las líneas paralelas a la dirección del rayo (R) que pasan por los puntos A y B cruzan a las líneas 1G y 2H se encontrarán los puntos A” y B”. Sombras en perspectiva paralela En el ejemplo de la figura 111. podemos determinar el contorno de la sombra arrojada.1y(b). 109). parte de ella en el plano horizontal y parte en el plano inclinado (ver fig. se muestra la sombra de una superficie vertical apoyada sobre la superficie inclinada.2.A”.32 Figura 111 114 . parte sobre planos verticales y parte sobre planos horizontales. la sombra arrojada parte es en el exterior y parte en el interior. y la sombra arrojada parte se proyecta en el plano horizontal y parte en el plano inclinado. la luz incide sobre el paralelepípedo en forma de cajas una vertical y otra horizontal.B”. Aplicando el procedimiento punto por punto. Uniendo los puntos (a). D. y seguir el procedimiento de proyección punto por punto aplicando las dos normas de las sombras ya mencionadas. Figura 112 Proyección de sombras en fachadas La proyección de sombras en dibujos de líneas paralelas como es el caso de las fachadas.C´.(c). y envolverlas en formas regulares. 3. Cuando se trata de proyectar sombras de volúmenes irregulares y complejos.Se trazan líneas paralelas a la dirección del rayo (R) en el alzado. o puede ser diferente uno de otro. 2. 113) 115 .Se trazan líneas paralelas a la dirección del rayo en planta (r).En el ejemplo de la figura 112.Se selecciona la dirección e inclinación de los rayos. será conveniente descomponerlos en formas más simples. la dirección e inclinación puede ser cualquiera.(d). donde se ve con claridad como se comportan las sombras arrojadas en superficie vertical y horizontal.(b). normalmente se utilizan iguales y a 45°. Podrá utilizarse el mismo ángulo en la planta y en el alzado. pero por comodidad se utilizan los ángulos naturales de las escuadras.F. apreciamos la proyección de las sombras de volúmenes combinados en forma vertical y horizontal.(e).. que pasen por los puntos extremos de las aristas que van a provocar sombras en el ejemplo A. estos se seguirán considerando paralelos entre sí. nos permitirá sugerir profundidad con las sombras arrojadas dando más realce e interés a las fachadas.B. que pasen por la proyección de los puntos (a).(f) y (g).C.. y G.B´. que al unirlos obtenemos la sombra arrojada sobre la fachada (ver fig.D´.E. donde tocan a la superficie vertical se trazan líneas verticales hasta cruzar con las líneas de los rayos en el alzado.E´. Procedimiento 1. pero dependerá de la fachada de que se trate y la intención del dibujo según lo que se quiera resaltar. con una vista en planta. obteniendo los puntos A´.F´ y G´.. Para el trazo de las sombras es necesario contar además de la fachada. la proyección de las sombras le agregará mayor realismo en los planos de presentación Figura 113 116 .Además de representar la volumetría de las fachadas con diferenta calidad de línea que nos permita situar los diferentes planos. La longitud de las sombras. deberá corresponder a la altura de cada elemento. Como el plano de proyección de las sombras es paralelo a las plantas. si las alturas diferentes. estas alturas las podremos apreciar cuando se tracen las sombras produciendo una sensación tridimensional (ver fig. solo la distribución de los edificios que integran el proyecto. SOMBRA EN VOLÚMENES CON DIFERENTES ALTURAS La planta de conjunto nos muestra en geometral. solo requerimos la proyección horizontal es decir la planta. también se usan las sombras en plantas arquitectónicas y plantas de conjunto. 114). En los dibujos de presentación. y solo muestra la proyección horizontal con las líneas que definen el perímetro en planta. se toma una unidad de longitud por ejemplo. Figura 114 117 . 115). Para el trazo de las sombras en las plantas de conjunto.Proyección de sombras en plantas de conjunto. La dirección e inclinación de los rayos que seguirán siendo paralelos. la escala a la que se dibuja y la longitud de sombra que se desee obtener (ver fig. que medio centímetro represente tres metros de altura. esta unidad se escogerá de acuerdo con el tamaño del proyecto. podrá ser cualquiera de igual manera que se consideró en las fachadas. las sombras serán iguales en forma y tamaño. pero no podemos apreciar otras características importantes como por ejemplo sus diferentes alturas. es decir con la dirección que más nos convenga de tal manera que resalten y se observen los elementos más importantes del proyecto. Generalmente estas plantas de conjunto se dibujan a una escala de 1: 250 en adelante. Figura 115 118 . podríamos decir en forma general que puede presentar las siguientes posiciones: a). debido a la gran distancia entre ambos.-Delante del observador Hemos planteado que los rayos del Sol llegan paralelos a la tierra. en perspectiva tienen el mismo punto de fuga” y que “Las líneas ascendentes fugan encima y las descendentes debajo de la línea de horizonte teniendo ambas su punto de fuga sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su traza horizontal”. la sombra se proyecta hacia el frente (ver fig. los rayos van de atrás del objeto hacia el observador.-Lateralmente con dirección a la derecha o izquierda del observador b).Primer caso Cuando los rayos del Sol son paralelos al plano del cuadro.. el Sol se encuentra a la derecha o izquierda del observador y la sombra del objeto se proyecta lateralmente. b). también planteamos en las reglas de la perspectiva que “Todas las líneas paralelas. c).Segundo caso Cuando el Sol se encuentra detrás del observador. 116) 119 . De todas las posiciones imaginables que puede tener el Sol arriba del horizonte con relación al observador.Sombras en perspectiva cónica El manejo de sombras en la perspectiva paralela.Tercer caso Cuando el Sol se encuentra frente al observador. Figura 116 a).. la sombra se proyecta hacia atrás del objeto. los rayos van de atrás hacia delante. sin perder de vista estas reglas haremos el análisis de las tres posiciones planteadas del Sol respecto al observador.. nos ha permitido familiarizarnos con el procedimiento de proyección punto por punto. lo que nos ayudará a entender la construcción de las sombras en la perspectiva cónica.-Detrás o a espaldas del observador c). . que pasen por los puntos que van a provocar sombra en el ejemplo A. pues siendo los rayos paralelos al plano del cuadro. proyectan sombras que deberán fugar al mismo punto de las aristas originales. como ya se dijo anteriormente esta inclinación puede ser cualquiera.Se selecciona la inclinación de los rayos R dependiendo de la longitud de la sombra que se quiera obtener. 2. 3.PRIMER CASO Rayos del Sol paralelos al plano del cuadro. Figura 117 4. aplicamos las dos normas de las sombras para no equivocarnos y ahorrar trazos. 3..Al unir los puntos proyectados para obtener la sombra.Se trazan líneas paralelas a la dirección de la proyección de los rayos (r) que pasen por la proyección de los puntos sobre el plano horizontal de proyección (a).Se trazan líneas paralelas al rayo R. 117) 120 . las aristas AB y BC. el procedimiento de proyección es similar al utilizado en perspectiva paralela.B´ y C´.B y C.. con la condición de que la traza de los rayos se dibuje horizontalmente. ahí se encontrará la sombra de los puntos A´... Procedimiento 1.(b) y (c). pues si dejan de ser horizontales pasaremos al segundo o tercer caso.Donde se cortan las líneas paralelas al rayo y a las proyecciones de los rayos. La dirección de los rayos en este caso solo puede ser de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. todos los rayos y las trazas de los rayos se manejan paralelos entre sí respectivamente. pero en este primer caso normalmente se utilizan los ángulos naturales de las escuadras. Este resulta ser el caso de proyección de sombras en perspectiva cónica más censillo. y las aristas A(a) y C(c) proyectan sombras con la dirección de la traza de los rayos (r) (ver fig. las líneas de los rayos se consideran descendentes y de acuerdo a la regla de la perspectiva número siete.(b) y (c).Se trazan líneas que pasen por la proyección de los puntos (a).(b) y (c). Procedimiento 1..Se define cuales son los puntos que van a proyectar sombra A. cuanto más cerca este la línea de horizonte del punto de fuga de los rayos más larga será la sombra. Cuando el PFRAYOS.(b) y (c). se localiza fuera de los puntos de fuga de la perspectiva. 5. tendrán su punto de fuga debajo de la línea de horizonte. y que fuguen al PFTRAZAS. y si se localiza entre los dos puntos de fuga en una perspectiva angular. 2. 118).Se selecciona la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS desde este punto se traza una línea vertical hasta la línea de horizonte para determinar la posición del punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS. 119). y por la proyección de los puntos (a).B y C y que fuguen al PFRAYOS..SEGUNDO CASO Sol detrás del observador Cuando los rayos del Sol tienen una dirección de atrás hacia delante y obviamente de arriba hacia abajo respecto al observador.. la sombra se proyectará hacia atrás del volumen (ver fig. se encontrará la proyección de la sombra de los puntos A´. la sombra se desplaza hacia la derecha o izquierda según la posición del punto de fuga de los rayos (ver fig.. Figura 118 3.. 121 .Se trazan líneas que pasen por los puntos A.B´ y C´. 4.Donde crucen las líneas fugadas que pasan por los puntos A.B y C.B y C y su proyección sobre el plano horizontal (a). este punto de fuga de los rayos lo localizamos según el tamaño y dirección de sombra que se quiera obtener. según la regle numero siete. en este tercer caso la sombra se proyectará hacia el frente. podrá variar de acuerdo con la sombra deseada.C´ y (c).. se consideran líneas ascendentes con su punto de fuga arriba de la línea de horizonte. TERCER CASO Sol frente al observador Cuando los rayos del Sol tienen una dirección de atrás del objeto hacia el observador. habremos encontrado la sombra arrojada del volumen. 120) Figura 119 Figura 120 122 .6.A´. De la misma manera que en el segundo caso el PFRAYOS.Al unir los puntos (a).(ver fig.B´. el punto A que va a proyectar sombra. para que se pueda trazar la sombra de un punto. se une con la sombra de la otra parte que quedó cortada.Se definen cuales son las aristas que van a proyectar sombras.G y H.. las encontramos aplicando la misma regla ahorrando trazos. 123 . 1. se maneja de la misma forma que la arista CD (ver fig.SOMBRA DE VOLUMENES Proyección de la sombra de volúmenes aplicando el primer caso. y su proyección (a) sobre el plano horizontal. 121). donde cruzan estas dos líneas estará definida la sombra del punto A´. 2. por otro lado tenemos la sombra del punto C´ el otro extremo de la misma arista que deberá fugar al mismo punto de fuga PF2 y donde toca a la superficie vertical del volumen bajo.. La dirección de la sombra de las aristas DE y HI. como su proyección no será en el plano horizontal del piso. aplicando la regla de las sombras sabemos que la arista CD provocará una sombra paralela que fugará al mismo punto de fuga y siendo D uno de sus extremos lo PF2 fugamos obteniendo la sombra hasta el borde del volumen bajo. esta dirección de la sombra resultante en la superficie vertical. y se proyecta la sombra punto por punto. al determinar la sombra de este punto D´.Trazamos una línea paralela al rayo R que pase por el punto A. Figura 121 Como se planteó al inicio de este capítulo. lo mismo hacemos con los puntos B.. Procedimiento. se requiere conocer los cuatro datos fundamentales. nada tiene que ver con la dirección del rayo R.C. La sombra de la arista AJ. su proyección (d) será en este plano siguiendo el mismo procedimiento. la inclinación del rayo R. la traza del rayo (r). y una línea paralela a la traza del rayo (r) que pase por la proyección del punto (a). 3. si no en un plano más alto.Para el punto D. para definir la sombra de la arista vertical A(a). proyectan su sombra sobre la parte superior del volumen bajo. 3.Trazamos los rayos que pasen por los puntos D y E.. 5. y en ese cruce se encontrará la sombra del punto A´. dibujamos la traza del rayo (r) que pase por la proyección del punto (a).Siguiendo el mismo procedimiento.Las aristas D(d) y DE.. dibujamos las trazas de los rayos que pasen por la proyección de los puntos (d) y (e). se escoge la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS según la sombra deseada 2.Se definen cuales son las aristas que van a provocar sombras. se traza una vertical hasta cruzar al rayo. trazamos el rayo R que pase por el punto A. al unir estos dos puntos se obtiene la sombra de la arista AB. como ya tenemos la sombra del extremo A´. la 124 . siguiendo el procedimiento...Para definir la sombra de la arista AB procedemos de la siguiente manera. y el otro extremo B no se mueve por estar en contacto con el plano de proyección vertical.Proyección de la sombra de volúmenes aplicando el segundo caso. y donde cruzan los rayos con las trazas ahí estará la sombra de los puntos que al unirlos se obtiene la sombra de la arista D´E´. en donde cruza con su base. Figura 122 Procedimiento: 1.. proyectamos en forma ortogonal los puntos D y E sobre la superficie en la que se proyectará la sombra obteniendo los puntos (d) y (e). 4. como esta traza es interrumpida por un plano vertical. así como la posición del punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS. Definimos la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS. y seguimos el procedimiento para el trazo de las sombras de cada punto. (ver fig. Figura 124 125 .E. Sombra de un cilindro aplicando el tercer caso.F y G. y definimos la parte del cilindro que provocará sombra.sombra de las aristas verticales D(d) y C(c) tendrán la dirección de la traza del rayo.D. Sombra de un cono recto aplicando el tercer caso. de acuerdo a estas posiciones determinamos los puntos de tangencia del circulo A y B. al unir estos puntos obtenemos la sombra del cilindro (ver fig. 123).33 marcamos puntos intermedios en esta parte de la elipse C.122).34 Figura 123 Para el trazo de la sombra de un cilindro se puede seguir utilizando el procedimiento de proyección punto por punto. y trazamos una vertical hasta cruzar con la línea DE en el punto F. ahí se encontrará el punto A” que al unirlo con el punto O. 124). y se trazan las tangentes a la base en los puntos A y B a partir de C (ver fig. de acuerdo con la sombra deseada. Figura 125 Para determinar la sombra de una varilla delgada que proyectará sombra parte sobre el plano horizontal y parte sobre la superficie inclinada se procede de la siguiente manera: Una vez definido en perspectiva el volumen con una de sus caras inclinada B.Para definir la parte de la sombra de la varilla sobre el plano inclinado.E con sus respectivos puntos de fuga PF1 y PF2.D. determinamos la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS y el punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS. se determina la sombra sobre la superficie inclinada (ver fig. 125). se une este punto F con el punto O y donde cruza con la línea de fuga del punto A al punto de fuga de los rayos PFRAYOS .. 126 .. al punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS.. aplicando el procedimiento de proyección de sombras en el segundo caso tenemos: 1. proyectamos la sombra del punto C de la cúspide del cono. y donde cruzan estas dos fugas estaría la proyección del punto A´ si no existiera el volumen con la superficie inclinada.Fugamos el punto (a) extremo inferior de la varilla que esta en contacto con el piso que corresponde también a la proyección del punto A sobre el plano horizontal. 3. así como la posición de la varilla A(a).Para trazar la sombra de un cono recto cuya base circular está inscrita en el cuadrado en perspectiva. determinamos la posición del punto O en donde cruza la fuga del punto (a) al punto de fuga de las trazas con la línea BC Prolongamos la línea OA´ hasta cruzar la línea (d)(e) en el punto (f).Fugamos el punto A extremo superior de la varilla al punto de fuga de los rayos PFRAYOS 2.35 Sombra sobre una superficie inclinada de una varilla vertical en el piso.C. fugamos el punto (a) al PF1 y donde toca a la arista CD punto (p). para determinar este punto. y donde toca la línea prolongación de la varilla hacia abajo. Aplicamos el tercer caso de proyección de sombras en perspectiva cónica: 1. y se une con el punto (a).Sombra sobre superficie inclinada y horizontal cuando la varilla esta sobre la superficie inclinada. determinamos la proyección del punto (a´). el que se fuga al PF1.La sombra de la varilla sobre la superficie inclinada será la recta O(a) (ver fig. Figura 126 Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior.Para encontrar la sombra sobre la superficie inclinada. 4. determinamos la posición del punto 0 en donde cruza la fuga del punto (a´) al PFTRAZAS con la recta BC. 4. trazamos una vertical hasta cruzar con la arista CG en el punto (p´)..Localizamos arriba de la línea de horizonte el punto de fuga de los rayos PFRAYOS y sobre la línea de horizonte el punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS 2.. y localizada la posición de la varilla A(a)... se determina la proyección ortogonal de la varilla sobre el plano horizontal (a´). 127 .126).Donde se cruzan las dos fugas se localiza la sombra del punto A´ y la sombra de la varilla que se proyecta en el piso. determinaremos la sombra que produce una varilla colocada verticalmente sobre la superficie inclinada BCDE.. Una vez trazado en perspectiva el volumen que presenta una de sus caras inclinada.Fugamos el punto A al punto de fuga de los rayos y el punto (a´) al punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS 3. Figura 127 128 . Figura 128 129 . Figura 129 130 . . y mientras más se alejan los objetos del foco la longitud de sombra es mayor . siguiendo el mismo procedimiento se determina la sombra de los demás puntos. y donde se cruzan estará la sombra del punto A´.. los rayos divergen desde un punto. se requiere la posición del foco luminoso y su proyección sobre el plano de proyección de las sombras.Para el trazo de estas sombras. la sombra se desplaza radialmente a partir del foco y su proyección sobre el plano horizontal (ver figuras 131 y 132).Sombras con luz de foco En el trazo de sombras por medio de luz artificial. Como se ve en la figura 132.36 Procedimiento: 1. a diferencia de la luz natural en donde consideramos los rayos del Sol paralelos. Siguiendo un procedimiento similar al de la proyección de sombras con luz natural. seguimos utilizando el sistema de proyección punto por punto. Figura 130 Figura 131 131 .Se traza una línea desde del punto de fuga de la proyección de los rayos PFTRAZAS que pase por la proyección del punto (a). en la luz artificial o de foco. que pase por el punto A que va a proyectar sombra 2.Se traza una línea desde el punto de fuga de los rayos PFRAYOS (que en este caso es el foco). 74 26 Idem.cit.43 18 Idem. p. Jesús Ignacio. p. op. p.87 11 Griffin. y Víctor Álvarez Brunicardi. pp.212 31 Bärstschi.15 12 Idem.cit.112 15 Idem. Alfredo y Plazola Anguiano. p. op.cit. p.. Anthony W. 2001..cit.. p.cit. Sebastián de Amorrortu e hijos. México.77 25 Idem. p. 9 4 Idem. Pearson educación. Universidad de Valladolid.12 -16 13 Plazola Cisneros. pp. Andrew.10 9 Thomas. El estudio de las sombras en perspectiva. 1997.211 29 Ibídem. Jesús Ignacio. Reiner. 1982. Jesús Ignacio.75 27 Griffin. op.32 Idem. P.22 36 Idem. 22 32 Ibídem. p.cit. Dibujo de éxito. Anthony W.38 19 Idem. Perspectiva geométrica. p.34 35 Idem. op.. México. op.cit. Salamanca. 1979.67 23 Idem.38 20 De la Torre Carbó.75 132 . 82-83 7 San José Alonso. p. México. 84-85 8 Griffin. op.10 6 Thomas. Apuntes sobre el desarrollo del dibujo arquitectónico. p. UNAM. pp. p. México. Anthony W. p. Alfredo. Buenos Aires. Miguel.. Andrew.238 28 Idem. Dibujo arquitectónico 17 Loomis. José Luis. Perspectiva y axonometría. ed. pp. p. México. p.. p. 79 3 Griffin. 2 33 34 Idem. p. p.72 24 Idem.. op.112-114 16 Moya.38 21 Loomis. p. pp. p. 1957. Willy A. y Víctor Álvarez Brunicardi. p.San José Alonso.cit.82 10 San José Alonso. op. p. p. Reiner. p.70 22 Idem. y Víctor Álvarez Brunicardi. Jesús Ignacio. Anthony W. Normas y costos de construcción. 1976. Introducción a la arquitectura y representación gráfica. Gustavo Gili. 12-15 5 Idem. y Víctor Álvarez Brunicardi. 1991. LIMUSA.101 14 San José Alonso. 30 Idem.. p. p. Gustavo Gili.
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