Concepto de Armadura• La armadura es uno de los tipos mas importantes de estructuras empleadas en ingeniería. Proporciona una solución, a la ves practica y económica a muchos problemas de ingeniería, especialmente en puentes y edificios. Una armadura consiste en una serie de elementos rectos o barras conectadas entre si mediante juntas o nudos. • En general los elementos de una armadura son delgados y solo pueden soportar cargas laterales pequeñas, por tanto todas las cargas deben aplicarse en las uniones y no en los mismos elementos o barras. • A continuación una armadura. C A D B P Las armaduras pueden ser planas o espaciales. torres de transmisión. se presentan algunos ejemplos de armaduras típicas. Armadura PRATT Armadura HOWE Armadura WARREN . En la Fig. etc. cercas. Ejemplos típicos de armaduras son: puentes.Una armadura es una construcción reticulada conformada generalmente por triángulos formados por elementos rectos y que se utiliza para soportar cargas. cúpulas de estadios. (a) formada de cuatro barras unidas por pasadores en los puntos A. (b) es una armadura rígida. D. (b) formada por tres barras unidas por pasadores en A . • Consideremos la armadura de la fig. . C. La única deformación posible de esta armadura son pequeños cambios en la longitud de sus barras. en el sentido de que no fallará al aplicar una carga . B. Se dice que la armadura de la fig.Armaduras simples. Por otra parte la armadura de la fig. Si se aplica una carga en B la armadura sufrirá una gran deformación perdiendo completamente su forma original. B y C se deformara muy poco por la acción de una carga que se aplique en B. la armadura resultante será rígida si cada vez que agregamos dos nuevas barras las unimos a dos nudos diferentes ya existentes y las fijamos entre si al nuevo nudo. Por Ej. (c) puede obtenerse una armadura rígida mayor incorporando las barras BD y CD a la armadura básica triangular de la fig. F y G. E. La armadura de la Fig.* Una armadura que se construye de esta forma recibe el nombre de ARMADURA SIMPLE. Por otra parte las estructuras rígidas no siempre son armaduras simples. ..• Como se indica en la fig. • Debe observarse que una armadura simple no esta necesariamente formada por triángulos. (b) este procedimiento puede repetirse tantas veces como se desee. (d) es una armadura simple que se construyo apartar del triángulo ABC y agregando sucesivamente las uniones D. (a) .• Fig. La armadura de la fig.• Volviendo a la armadura triangular básica de la fig. es decir tiene en total cinco barras y cuatro nudos. donde n es el número total de nudos . Notemos que cada vez que se añaden dos nuevas barras.3. . (c) tiene dos barras mas y un nudo mas . se aumenta en uno el número de nudos. (b) observamos que tiene tres barras y tres nudos. encontramos que en una armadura simple el número total de barras es m= 2n . Métodos de los nudos. Se trata. Puede comenzarse por el pasador de la izquierda. • Este método consiste en imponer la condición de equilibrio a las fuerzas que se ejercen sobre el pasador de cada nudo. cuyo diagrama de solidó libre se representa en la fig. Se indica el procedimiento en cualquier nudo donde halla al menos una carga conocida y no mas de dos fuerzas desconocidas. por tanto de un caso de equilibrio de fuerzas concurrentes y habrá únicamente dos ecuaciones independientes. . Designando con letras los nudos. la fuerza que soporta cada miembro se expresara con las dos letras correspondientes a los extremos del miembro. 1 . El miembro AB hace contacto en realidad con la parte izquierda del pasador. los sentidos correctos de las fuerzas se evidencian por simple inspección. una tracción ( como AB ) estará siempre representada por una flecha que se aleja del pasador y una compresión ( como AF ) estará siempre representada por una flecha que apunta hacia el pasador. El modulo de AF se obtiene de la ecuación SFy = 0 y luego se halla AB con SFx = 0 . O sea. si sistemáticamente dibujamos las flechas en el mismo lado del pasador donde esta el miembro. Se incluyen también los diagramas de solidó libre de las porciones AF y AB de los miembros para indicar claramente el mecanismo de acción y reacción. aunque la fuerza AB se haya dibujado partiendo del lado derecho alejándose del pasador.• En este caso sencillo. • Fig. 2 Fig. 3 . 1 Fig. En la fig. EF y BF. 2 se muestra el diagrama del solidó libre de cada nudo y el polígono de fuerzas que representa gráficamente las dos condiciones de equilibrio SFx = 0 y SFy = 0. la reacción ya calculada R2 debe estar en equilibrio con las fuerzas en los miembros CD y ED que se determinaron previamente al analizar los dos nudos contiguos. Adviértase asimismo que al aislar el nudo C queda de manifiesto en el acto que la fuerza en CE es nula porque debe cumplirse que SFy = 0. Desde luego. cuando al final se llega al nudo D.• A continuación podemos analizar el nudo F que contiene ya sólo dos incógnitas. Adviértase que. E y D. Este requisito nos proporciona una comprobación de la validez de los cálculos. C. en este orden . Los números indican el orden en que se analizan los nudos. Después se analizan los nudos B. la fuerza en este miembro . • Fig. 2 . Esto significa que al considerar los diagramas de cuerpo libre de todos los pasadores pueden encontrarse las fuerzas en todas las barras y además las dos componentes de la reacción R1 y la reacción R2 . esto es. • A veces es imposible asignar de entrada el sentido correcto a uno o a ambas de las fuerzas desconocidas que actúan en un nudo dado. • en el caso de una armadura simple. • Conviene muchas veces indicar la tracción T y la compresión C en cada uno de los miembros directamente sobre la armadura original. . dibujando flechas que se alejen de los nudos para las tracciones y flechas que apunten al nudo para las compresiones .• No seria nula si en C hubiera una carga vertical . En tales casos pueden asignarse sentidos arbitrarios y si el calculo nos da algún valor negativo ello indica que el sentido verdadero es el contrario al asignado. 2n = m + 3 y el número de incógnitas que pueden calcularse de los diagramas de cuerpo libre de todos los pasadores es entonces m + 3.3. tenemos m = 2n . .Ejercicio • Calcular por el método de los nudos la fuerza en los miembros del entramado en voladizo. este entramado lo analizaremos por completo. Las ecuaciones de equilibrio dan : . Sin embargo.Solución • Si no se deseara calcular las reacciones externas en D y E el análisis de un entramado en voladizo podría iniciarse en el nudo del extremo en que se aplica la carga. por lo que el primer paso será calcular las fuerzas exteriores en D y E empleando el diagrama de solidó libre del entramado en conjunto. . 866AB .5(34. 0. en cuyo caso la fuerza BD debe contrarrestar las componentes hacia la izquierda. Otra vez las fuerzas se obtienen de : .0KN Ex= 69. el siguiente nudo a analizar debe ser B. El equilibrio exige.32 KN C SFx = 0 Donde T significa tracción y C compresión .SME = 0 5T-20(5)-30(10)=0 SFx = 0 80.0 cos30. Como en C actúan mas de dos fuerzas desconocidas.Ex =0 SFY = 0 80.3KN Ey=10KN A continiación dibujaremos los diagramas de sólidos libres que muestran las fuerzas actuantes en cada nudo.64 KN T SFY = 0 AC – 0. La fuerza BC debe tener una componente vertical ascendente. La exactitud de los sentidos asignados a las fuerzas se comprueba al considerar cada nudo en el orden asignado.64) = 0 AC = 17. No debe haber dudas acerca de la exactitud del sentido asignado a las fuerzas actuantes en el nudo A.0sen30+Ey-20-30=0 T= 80.30 = 0 AB = 34. . 64KN T Ahorra en el nudo C hay solo dos incognitas que se determinan como antes : SFY = 0 0.74) = 0 CE = 63.5(57.5)(34.64) = 0 BC = 34.866CD – 0.74 KN T SFx = 0 CE – 17.64) = 0 BD – 2(0.64 KN C BD = 34.32-(0.64)-0. .64)-20 = 0 CD = 57.SFY = 0 SFx = 0 0.00 DE = 11.51KN C Finalmente el nudo E resulta : SFY = 0 0.55KN C Y la ecuación SF = 0 sirve de comprobación.866(34.866CD – 0.866DE = 10.866(34.5)(34. • Este método se basa en el hecho de que si una armadura . Entonces. . cualquier parte de ella también lo estará. de tal manera que no tenga mas de tres incógnitas. está en equilibrio.Métodos de secciones. es posible que las tres ecuaciones independientes disponibles en el caso de las fuerzas copla narres . es tomada como un conjunto. determinar las fuerzas en los miembros involucrados en el corte para obtener la solución respectiva. si se toma una porción de la estructura mediante un corte . DF y DG . una vez determinadas las reacciones se procede a hacer un corte según la línea 1-2. Si tomamos la porción derecha y en los miembros cortados se indica las fuerzas ejercidas sobre ellos se puede tomar entonces dicha sección como cuerpo rígido. .• Por ejemplo se quiere determinar las fuerzas en los elementos EF. . Ejemplo • Usando el método de las secciones determinar las fuerzas en las barras BE. . CF y AD para la estructura compuesta mostrada los triángulos ABC y DEF son equiláteros. CF . Q y S y x1. . AD y P que las denominaremos F1. Para hallar el valor de estas fuerzas usando el método de las secciones con respecto a los puntos T. F2 y F3 respectivamente.Q y S en donde se cortan las barras . asimismo llamaremos h1. F2 y F3 trazadas desde T.Solución • Demos un corte circular y tendremos la parte central en equilibrio por las fuerzas de las barras BE.h2 y h3 las perpendiculares a las rectas de acción de las fuerzas F1 . x2 y x3 la distancia desde estos mismos puntos a la recta de acción P. 288674 L SMT = -P(x3) + F1(h1) = 0 F1 = 0.4483 = -0.64 SMQ = P(x1) + F2(h2) = 0 F2 = 0.2988L AQ = L sen 45/ sen120 = L sen 45/ sen60 TQ = AQ – AT = L( sen 45 – sen 15 ) / sen 60 H1 = TQ sen 60 = 0.0773503 L x2 = L/ 2 – SC cos 15 = 0.2113234 L x3 = L/ 2 – AT cos 45 = 0.4483 L = h2 = h3 x1 = BQ SEN 15 = L sen 15 sen 15 / sen 60 = 0.47 P .077350P/0.AT = L sen 15/ sen120 = Lsen15/sen60 = SC = BQ= 0.288674P/0.2113234P/ 0.4483 = 0.17 P SMS = P(x2) + F3(h3) =0 F3= -0.4483 = -0. (3b). que forman las aristas de un tetraedro ABCD Fig. podemos obtener una estructura rígida mayor. era posible obtener una estructura rígida mayor que definimos como estructura simple. que forman un triángulo y que agregando a la conformación básica dos barras acopladas a un nuevo nudo. (b) vimos que la armadura rígida bidimensional mas elemental consiste en tres barras unidas por sus extremos. BE y CE acoplándolas a los nudos distintos ya existentes y uniéndolas ya en un nuevo nudo.(3) .Armaduras espaciales • Cuando varias barras se unen entre si por sus extremos para formar una configuración en tres dimensiones la estructura obtenida se llama armadura espacial. Análogamente. Agregando tres barras a la conformación básica tales como AE. la armadura espacial mas sencilla consiste en seis barras unidas por sus extremos. la cual definimos como armadura espacial simple fig. • En la Fig. . • Observando que el tetraedro básico tiene seis barras y cuatro nudos y que cada vez que se entreguen tres barras. se considera que cada nudo esta constituido por una rotula. siendo n el número total de nudos . los apoyos deberán ser una combinación de esferas . De esta manera no se aplicara ningún par a las barras de la armadura y cada barra podrá tratarse como barra sometida a dos fuerzas . se aumenta en uno el número de nudos. • Aunque las barras de una armadura espacial están realmente unidas entre si mediante conexiones soldadas o remachadas. Las reacciones desconocidas pueden encontrarse fácilmente resolviendo la seis ecuaciones que expresan que la armadura tridimensional está en equilibrio. • Si la armadura espacial debe presentar construcción total y si las reacciones en sus apoyos son estaticamente determinados. rodillos y rotulas que proporcionen seis reacciones desconocidas. concluimos que en una armadura simple espacial el número total de barras es m = 3n – 6. . los nudos deberán seleccionarse cuidadosamente para descartar aquellos que contengan más de tres fuerzas desconocidas. SFy = 0 y SFz = 0 . Sin embargo para evitar la resolucion de muchas ecuaciones simultaneas.• Las condiciones de equilibrio para cada nudo se expresaran por las tres ecuaciones SFx = 0 . estas ecuaciones son suficientes para determinar todas las fuerzas desconocidas ( fuerzas en m barras y sus reacciones en los apoyos ). al escribir las ecuaciones de equilibrio para cada nudo se tendran 3n ecuaciones. Puesto que m = 3n – 6. . En el caso de una armadura espacial simple que contenga n nudos. 3b . 3 Fig.• Fig. . mientras que las barras 1. Calcular las fuerzas que se desarollan en los miembros que concurren en E e indicar el procedimiento para obtener las fuerzas en los demás miembros de la armadura.Ejemplo • La armadura espacial se compone del tetraedro rigido ABCD anclado en A por una articulación de rótula. La carga L esta aplicada al nudo E rigidamente unido al tetraedro mediante tres barras adicionales. Y y Z respectivamente. 2 y 3 impiden todo giro en torno a los ejes X. . Solución • Empezaremos observando que la armadura esta correctamente ligada mediante seis vinculos adecuadamente dispuestos, que son los tres en A y las barras 1, 2 y 3. Ademas como m = 9 miembros y n = 5 nudos , se cumple la condición 3n = m + 6 para que la armadura sea rigida . • las reacciones en A, B y D pueden calcularse facilmente como primer paso, aunque sus valores los hallaremos determinando sucesivamente las fuerzas actuantes en cada nudo. • Hemos de comenzar por un nudo en el que actúe al menos una fuerza conocida y no mas de tres desconocidas, que en este caso es el E . Se representa el diagrama del solido libre de E indicando todas las fuerzas como si fueran tracciones, es decir, positivas ( alejandose del nudo ). Las expresiones vectoriales de las tres fuerzas desconocidas son : • FEB = FEB/Ö2 (-i - j) • FED = FED/5 (-3j - 4k) FEC = FEC/5 (-3i - 4k) • El equilibrio del nudo E requiere. " SF= 0 • L + FEB + FEC + FED = 0 o sea • -Li+ FEB/Ö2 (-i - j) + FEC/5 (-3i - 4k) + FED/5 (-3j - 4k) = 0 • Reagrupando terminos tenemos : • (-L - FEB/Ö2 - 3 FEC/5 )i + ( -FEB/Ö2 - 3 FED/5)j + (-4 FEC/5 - 4 FED/5)k = 0 • E igualando a cero los coeficientes de i, j y k resulta el sistema de ecuaciones : • FEB/Ö2 + 3 FEC/5 = 0 FEB/Ö2 + 3 FED/5 = 0 • FEC + FED = 0 • • • • Que resuelto da : FEB = -L/Ö2 FEC = -5L/6 FED = 5L/6 • Asi pues FEB y FEC son compresiones y FED es una tracción. Armaduras complejas • Son aquellas que no cumplen con la condicion de armaduras simples y armaduras espaciales y su solucion requiere de metodos especiales en la siguiente figura se muestran 2 estructuras de este tipo . .Es una variante del metodo de los nudos que se usa cuando en cada nudo existen 3 fuerzas desconidas.Metodos de solucion para estructuras complejas • Metodo de la fuerza incognita. de donde se determina el valor de “x” por tanto las fuerzas en todas las barras. . A una de las 3 fuerzas que concurren en un nudo cualquiera se le asigna un valor desconocido “x” y de las cargas aplicadas y luego se aplican las condiciones de equilibrio en cualquiera de ellos. Ejemplo • Determinar las fuerzas en las barras de la estructura mostrada. R1=P/3 R2=2P/3 tg b=3/4 tgq=3/2 sen b=3/5 cos b=4/5 sen q=3Ö13 cos q=2 Ö13 . Solucion • A la fuerza en la barra AD le llamaremos x y la supondremos en compresion Nudo A x F AG q A F AB P/3 SFy = FAG senq .x +P/3= 0 FAG = Ö13 (x-p/3)/3 SFx = -FAB + FAG cosq = 0 . FGE = 2(x-P/3) .• Reemplazando datos y simplificando FAB =2(x-p/3)/3 • NUDO G SFY=0 q FAG G FGE b FBG FGA senq+FBG senb=0 FBG= FAG senq/senb=5(x-P)/3 SFX=0 -FAG cosq.FBG cosb + FGE =0 Reemplazando datos y simplificando se tiene. D x FCD SFY=0 X.DE senb =0 FDE FDE = x/senb =5x/3 SFX = 0 -FCD + FDE cosb =0 FCD = 4x/3 .• NUDO D. FDC q FCE C SFX =0 FCD – FCE cosq =0 FBC FCE= FCD/cosq = 2Ö13 x/3 SFX =0 FBC-FCEsenq=0 FBC= 2x .• NUDO C. AB. FAD = P/3 FCE = 2Ö13 P/9 FDE= 5P/9 FCB= 2P/3 Las barras AD y BC estan en compresión y las CE y DE en tracción. no soportan fuerzas. GE. GB. . FCE FDE b FGE q E P SFY =0 5x senb/3 + 2Ö13x senq-P = 0 x +2x –P=0 x =P/3 Reemplazando se tendra que las barras AG.• NUDO E. pero cuando la estructura posee muchos nudos la solución de las “n” ecuaciones conduce a calculos engorrosos a menos que sea hecho por metodos computarizados . las cuales puden ser resueltas por el método de la fuerza incognita. • El metodo de Henneberg se usa en la solución de estucturas complejas. .Metodo de Henneberg. HENNEBERG que se basa en que si la fuerza que actúa en una barra es nula ésta puede ser eliminada. • El primer método viable para la solución de estructuras complejas fue desarrollado por L. la cual no puede ser resuelta por el método de los nudos y el método de las secciones requiere cortes muy especiales. F1 C B F2 D F1 C B F2 D C B 1 D 1 A F E A F E A F E .• Observemos la fig. la fuerza F´ij en la barra la llamaremos X . a estas fuerzas las llamaremos en forma genérica F´íj. es posible determinar las fuerzas en cada barra por el método de los nudos o el método de Cremona . . • Debido a estas cargas se generan en las barras de la estructura modificadas fuerzas genéricas F´´ij la fuerza en la barra CE la llamaremos Y. • En la estructura modificada apliquemos una fuerza unitaria en los nudos extremos de la barra suprimida cuya dirección será la de esta barra y cuyo sentido lo asumimos.• Si cambiamos la posición una de las barras tal como la AD y la colocamos uniendo los nudos CE en la estructura modificada. suprimida. como en realidad la barra CE no existe podremos decir que la fuerza total que soporta debido a las cargas y a la fuerza KY debe ser cero. aplicamos una carga K veces mayor.• Si en lugar de aplicar una fuerza unitaria. las fuerzas en las barras serán K F´´ ij y el la barra CE. el valor en cada barra será: • Fij = F´ij + K F´´ij . KY. es decir que se debe tener: • X + KY = 0 • K = -X/Y • El valor de K es la fuerza en la barra AD. B 8 C 9 2 5 1 4 A F 3 E 7 30 Kg D 6 90 Kg .Ejemplo • Determinar las fuerzas en las barras de la estructura compleja usando el método de Henneberg. • AF = DE = EF = 0.5m 8 Ti Y 1 X 9 2 X 5 4 Y 3 7 30 Kg 6 90 Kg Se transformo la estructura en algo mas simple . • X = T9 . Tb = 0 • Descomponemos la estructura. Ta = 0 • Y = T8 .• Hacemos una degnación a las barras con números . + X 0 X X 1 + Y Y Y 2 . .Ti = Toi + XTi’ + YTi’’ Ta = Toa + XTa’ + YTa’’ = 0 Tb = Tob + XTb’ + YTb’’ = 0 Ti = Toi + XTi’ + YTi’’ Ta = Toa + XTa’ + YTa’’ = 0 Tb = Tob + XTb’ + YTb’’ = 0 Se resuelve el sistema de ecuación para obtener “X” y “Y”. 4477 -0.6326 -84.4471 -28.6326Y 8 9 --------------- ------------- ------------- Y = 22.43 30 -30 127.28 -90 -90 -30 90 -0.33 Kg X = 111.41 149.6326 -0.8942X – 0.97 -80 -80 90-0.81 Kg Los valores de X y de Y fueron obtenidos de resolver el sistema de ecuaciones.4471 0 -0.86 0.6326 0.30 30 -80 141.6326 0 -0.6326X – 0.4471 0 -0.8942 0 0 0 -0.4471 0 -0. .4471Y b -84.4471 -0. N° Barras 1 2 3 4 5 6 7 a Toi Kg Ti’ Ti’’ Ti = Toi + XTi’ + YTi’’ 42.86 + 0.Realizamos una tabla. Cálculo de Toi: Se hace el calculo de reacciones. a B 1 b 2 C 5 F A 30 E 7 3 30 4 D 6 150 90 . To1 Nudo A: To3 To1 = 42.43 To3 = -30 30 To2 Nudo F: To2 = 30 To7 = .30 To7 -30 30 . 86 42.Nudo D: To4 = 127.28 To6 = -90 To4 To6 40 Toa Nudo B: Toa = 90 Tob = -84.43 Tob 30 . 90 Nudo C: To55 = -90 To 127.28 To5 Calculo de Ti’ B Nudo D F C Regla 1 2 A F E D . 6326 Ta’ -0.8942 Tb’ = 0.Nudo A: T1’ 1 T1’ = -0.6326 T3’ = -0.6326 Tb’ .4471 T3’ Nudo B: Ta’ = -0. 4471 -0.6322 T5’ = -0.4471 Calculo de Ti’’: B A F C E D .Nudo E: T5’ 0. 4471 Ta’’ -0.6326 T5’’ .4471 T4’’ = T1’’ = -0.4471 T5’’ = 0.Nudo D: T6’’ = T3’’ = -0.6326 Nudo C: Ta’’ = -0. Nudo E: Tb’’ = -0.6326 T5’’ Tb’’ T6’’ . Determinar las fuerzas en las barras AD y BC usando el metodo de las secciones. • . se apoya en un plano horizontal y está unida al bloque EFGH fijo a la tierra.EJERCICIO 1 • La estructura reticular compleja . .Solucion • Para determinar las fuerzas en las barras pedidas es necesario hacer los cortes 1-1 y 2-2 y tomar momentos respecto a los puntos m y q en donde se cortan las barras AH con BE y CF con DG. Previamente determinaremos los datos auxiliares que necesitaremos . .• tga = ½ sena = 1/Ö5 cosa= 2/ Ö5 • Am = L sena mn = Am sena = L sen2 a =L/5 • mn = qs qt = L – L/5 = 4L/ 5 • An = Am cosa = L sena cosa = 2L/5 • Consideremos a las barras AB y DC como sólidos rígidos y las fuerzas en las barras AD y BC en compresión y a la fuerza de 10 toneladas descompuesta en sus componentes rectangulares. SMq = 0 FAD (4L/5) – FBC(L/5) =0 SMm = 0 FAD (L/5) – 5 Ö2 (L/5) .. (2) Resolviendo (1) y (2) sacamos FAD = Ö2 N (C) FBC = 4 Ö2 N (C) FBC = 4 FAD .5 Ö2 (2L/5) + FBC (4L/5) = 0 . (1) .... EJERCICIO 2 • Determinar las fuerzas en las barras de la estuctura compleja usando el método de Henneberg. . Solucion : • Quitemos la barra 1-6 y coloquemosla en la posición 7-8 ( ver la fig b ) las reacciones en esta estructura serán : " S M1 = 0 R3 (3) +10 (2) – 40 (2) = 0 R3 = 20 N " S Fx = 0 40 – 10 – R2 = 0 " S Fy = 0 20 + R1 = 0 R2 = 30 N R1 = -20 N . F´4-5 = -20Ö2N F´4-8 = 40N . . en esta estructura. • • • • F´1-8 = 30Ö2N F´2-7 = -30N F´7-8 = -10N F´5-6 = -20N . F´5-8 = 10N • El signo (+) indica tracción y el signo (-) compresión. . F´1-2 = 10N . . .• Usando el método de los nudos se ha determinado las siguientes fuerzas. F´2-3 = -10Ö2N F´3-7 = 20N . F´3-8 = -10Ö2N F´7-4 = -20Ö2N . Resolviendo la estructura se tiene : .• Coloquemos en la estructura modificada. fuerzas unitarias de 1N en tracción. • • • • • F´´1-8 = -Ö2N F´´2-7 = -1N F´´7-8 = -1N F´´5-6 = 1N X = -10N F´´1-2 = 1N F´´3-7 = -2N F´´7-4 = Ö2N F´´4-8 = -2N F´´6-7 = -Ö2N F´´ 2-3 = Ö2N F´´3-8 = Ö2N F´´4-5 = Ö2N F´´5-8 = -1N Y = -1N . Aplicando la ecuación sguiente se tiene : X + KY = 0 K = -X/Y -10 + K ( -1 ) = 0 K = -10N Por la ecuación siquiente las fuerzas en las barras serán: Fij =F´ij + K F ´´ ij F1-8 = 30Ö2N + (-10) (-Ö2 ) = 40 Ö2 N F1-2 = -10 + ( -10 ) ( 1 ) = -20 N . • En forma similar se tienen para las demas barras : • F2-3 = -20Ö2N F2-8 = -20N F3-7 = 40N • F3-8 = -20Ö2N • • F4-5 = -30 Ö2N F7-8 = 0 F7-4 = -30 Ö2N F5-6 = -30N F4-8 = 60N • F5-8 = 20N F6-7 = 10 Ö2N . contar el número de incógnitas y compararlo con el número de ecuaciones independientes. B y. Se desea conocer las fuerzas que actúan sobre los miembros AE. Para comprobar si el sistema es estáticamente determinado hay que desmembrarlo. los marcos son estructuras estacionarias completamente restringidas. . entonces se representan por sus componentes A x. Como las armaduras. las fuerzas en A. D y. E y D son de dirección desconocida. Ay. las fuerzas ejercidas en las juntas no estarán dirigidas a lo largo de este y en general serán de dirección desconocida por lo cual han de trabajarse en términos de sus componentes. si el número de incógnitas es mayor. Dx. el sistema será indeterminado. Consideremos el marco de la figura 1-39. los marcos o bastidores son estructuras que tienen uno o mas elementos sometidos a mas de dos fuerzas. B x. tal como se muestra.Marcos o bastidores A diferencia de las armaduras. ya que sólo se dispone de tres ecuaciones. B. BC y AD cuando se aplica una carga P. Como los miembros están sometidos a fuerzas en tres puntos. etc. entonces aunque el elemento sometido a tal condición sea recto. Desde el punto de vista de la estructura como un todo no es posible determinar las cuatro componentes de las reacciones: Ex. E y. Figura 1-39 . [Fig. . B x y B y. Una forma de comprobar que el procedimiento de especificación de las fuerzas es correcto. es armar mentalmente la estructura y comprobar que las fuerzas internas desaparecen. se deben colocar todas las fuerzas que los miembros ejercen entre sí. por ejemplo la barra 1 ejerce sobre la barra 2 una fuerza de dirección desconocida en B la cual se representa por sus componentes B x y B y cuyos sentidos se seleccionan arbitrariamente. Ahora veamos cuantas incógnitas hay: Ex . una fuerza igual y de sentido contrario. en el mismo punto. Un procedimiento similar debe hacerse en el punto F. quedando la estructura sometida. necesariamente es de sentido opuesto. Para cada elemento de la estructura se pueden plantear tres ecuaciones de equilibrio. es que si se asigna un sentido para una acción. Dx . E y . cuyas componentes –B x y –B y se colocan en el cuerpo 1. Lo importante. D y . Ay . en total nueve ecuaciones independientes. A x . la reacción. 1-40]. son un total de nueve incógnitas. a su vez el cuerpo 2 ejerce. entonces la estructura es estáticamente determinada. en el análisis de estructuras de este tipo. F y .Al desmembrar la estructura. únicamente a fuerzas externas. el signo ha sido omitido puesto que se han colocado en sentido contrario (acción y reacción). se . haciendo halla A x.El procedimiento para determinar las incógnitas es el siguiente: Se selecciona un elemento donde no haya más de tres incógnitas. haciendo . tomando se determina Ex. Ahora considerando el elemento AE y con los valores obtenidos. Tomando se encuentra que Ay es igual a E y. Tomando se obtiene B y. se obtiene F y y de se encuentra que B y = 0. para el ejemplo el elemento BC. Figura 1-40 . es similar al que se ha desarrollado para los marcos. desde el punto de vista estático el número de incógnitas puede ser menor que el de las ecuaciones disponibles. produzcan movimiento o realicen trabajo se considera como una máquina. Sin perder de vista esto. . el procedimiento para analizar máquinas en equilibrio. Como en general una máquina tiene elementos móviles. lo cual en algunos casos es un problema artificioso.Máquinas Un conjunto de elementos estructurales arreglados de tal forma que transmitan una fuerza. En este caso.Problema de Maquinas • Es siempre util reconocer la simetria. Un pasador de seguridad de metal dulce se aloja en un orificio situado en la mitad superior de forma que.Por tanto. . no es posible que exista una fuerza aqctiva aplicada a un miembro en la direccion x positiva y que la reaccion x positva y la reaccion correspondiente tenga la direccion x negativa. las fuerzas S y A carecen de componentes x La maquina representada es un dispositivo de proteccion que libera la carga cuando esta sobrepasa un cierto valor prefijado T. su existencia nos dice que las fuerzas actuantes en ambas mitades se comportan como imágenes especulares la una de la otra respecto al eje x . En consecuencia . Calcular tambien la fuerza corespondiente sobre el pasador A. . Entonces. bajo la accion de las tracciones ejercidas por BD y CD y los rodillos liberan el cancamo .• Cuando la fuerza que soporta es superior a su resistencia. tal como se representa en la segunda fugura. las dos mitades giran en torno de A . se rompe. Determinar el esfuerzo T maximo admisible si el pasador S se rompe por cizalla cuando la fuerza total que actua sobre el es de 800 N . tomamos la mitad superior representadose el diagrama de solido libre correspondiente a este junto con el enlace D. . Para ello. estudiaremos unicamente uno de los miembros articulados . la fuerzas en S y A carecen de componentes x. El equilibrio de este nos da.• Solucion : dada la simetria. Los miembros de dos fuerzas BD y CD ejercen de igual modulo B=C sobre el enlace D. A causa de la simetria. Observese que se ha operado tomando como unidades el newton y el milimetro. .• Mediante el diagrama de solido libre de la mitad superior la nulidad de la suma de momentos respecto al punto A. • nota: tengase cuidado para no olvidar el momento de la componente y de B. Sustituyendo S = 800 N y T por su expresion calculada antes tenemos. . 250 mm θ F 100 mm B 100 mm D C A . Calcular la fuerza de compresión R que ejerce sobre el cilindro E • Y la fuerza que soporta el pasador A aplicar una fuerza F = 200N a la empuñadura de la palanca cuando el θ es 750.• La mandibula D de la prensa se desliza con rozamiento despreciable a lo largo de l columna vertical fija. • Analizandola mandibula D donde P=Cx. R= Cy ∑fx =0 ∑fx =0 . 20m Tg15 = Cx/Cy Cx = tg 15 Cy B 0.1m C .∑fx =0 Cx =Bx • Elemento Bc ∑fx =0 Cy = By B= C 0. 1cos 150). 026 By – 0.026 By = 0 By = 50/0.By(0.25m Ax 0.1 m 0.1 m B BY A A BX .Elemento FAB ∑MA =0 200(0.1sen150) 50 -0.25m 0.6 N F= 200 F=200 0.5 N Bx =257.1 Sen150) 50 – tg150BY(0.052 = 961.1cos150) – By (0.75) BX (0. 4 N ∑Fx =0 -Ay + By – 200 cos 15 = 0 Ay = 768.3 N .C = 9954 N Elemento FAB ∑Fx =0 200sen 15 +AX-Bx =0 Ax = 309. ve/aeronautica /Estructuras%20Aeronauticas/Contenido/Mét odos_de_resolución.htm .edu.Bibliografia • Mecanica Vectorial para Ingenieros – Estática (BEER JOHNSTON) • Mecanica para Ingenieros – Estatica (Pedro Obando Oyola) • Mecanica para ingenieros ESTATICA –(J.L Meriam.L.unefamaracay.G Kraige) • http://www.