COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVINAño Secundaria III BIMESTRE: 35 5to Año Secundaria ARITMETICA5to C R Q NÚMEROS a que también se puede representar como par ordenado (a, b), b donde a recibe el nombre de numerador y b denominador. Generalizando: (a, b) x ( - {0}) a b ( - {0}) Decimos que v pertenece al conjunto de enteros excluidos al CERO, porque la división entre cero no está definida. N Im LECTURA DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS: Se representa una fracción escribiendo el numerador encima del denominador separados por un trazo horizontal. Se nombra una fracción escrita, nombrando primero el numerador y después el denominador seguido, en general de la denominación “avos” y por excepción con las denominaciones medio, tercio, cuarto o décimas, centésimas, etc. Si los términos vinieran expresados por letras, por ejemplo, la fracción 1 10 1 10 3 10 Nota: Con frecuencia, en la práctica, a la cantidad que se divide se le considera como todo y se la representa con el número 1. DEFINICIÓN: Números fraccionarios o fracción, es uno o el conjunto de varias partes alícuotas del módulo o unidad que no constituyan un número natural de unidades. 5 7 cinco séptimos 300 43 trescientos, cuarenta y tresavos m n “m” enésimas c d “c” detésimas La fracción que no tiene más que una parte alicuota, se llama unidad fraccionaria: 1 1 1 ; ; 4 35 100 FRACCIONES INVERSAS S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...” a se b leería “a” betésimas o simplemente “a” PARTIDO por “b” DEFINICIÓN: Una fracción es una manera de expresar que una cantidad ha sido dividida en cierto número de partes. El numerador indica el número de partes consideradas y el denominador el número de partes en que se ha dividido la cantidad en cuestión. Así 3/10 significa que se están considerando 3 de las 10 partes en que se ha dividido la cantidad. 1 10 I FRACCIONES Z DEFINICIÓN: Se llama fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de tal modo que el primero no sea múltiplo del segundo y éste sea distinto de cero: Sea la fracción: 36 S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...” COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 Dos fracciones se dice que son entre si inversas, cuando el numerador de cada una es el denominador de la otra. Así la fracción inversa inversa de 3 5 es y la fracción 5 3 m n es n m SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción, es hallar otra igual a ella de términos menores. Se dice que fracción es irreductible o que está reducida a su más simple expresión, cuando ya no puede ser simplificada esto es cuando el numerador y denominador son primos entres si. 36 5to Año Secundaria ARITMETICA5to IV. Fracciones heterogéneas: Aquella que tienen distinto denominador. Ejemplos: 1 7 8 6 ; ; ; ; 35 5 71 13 V. Fracción igual a la Unidad: Es aquella en la que el numerador y denominador son iguales. Ejemplos: 3 2 a ; ; ; en general = 1 3 2 a a0 VI.Número mixto: Es la suma de un número entero con una fracción, tal Ejemplo: Simplificar 42 70 1 que se expresa como 3 1 1 61 7 2 2 3 3 3 3 42 21 70 35 como 2 Al pesar de la primera a la segunda se ha simplificado la fracción, pero no se ha reducido a su más simple expresión, ya que a su vez: 2 1 que se puede reducir a fracción: 3 21 3 35 5 CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES ORDINARIAS POR LA RELACIÓN DE SUS TÉRMINOS REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR: Se halla el M.C.M. de los denominadores y él será el denominador común, y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el referido M.C.M. por el denominador correspondiente: Dar común denominador a las siguientes fracciones: I. Fracción propia: Es aquella en la que el numerados ES MENOR que el denominador. Ejemplos: 5 3 7 ; ; 6 7 12 1 4 35 8 a ; ; ; ; ; en general: 1 a<b 3 11 73 41 b M.C.M. (6; 7; 12) = 84 5 70 3 36 7 49 ; ; 6 84 7 84 12 84 II. Fracción Impropia: Es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: 6 11 8 41 m ; ; ; ; ; en general: 1a>b 5 2 7 3 n III.Fracciones homogéneas: Aquellas que tiene el mismo denominador. Ejemplos: 6 8 41 11 ; ; ; ; 15 15 15 15 S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...” entonces: OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES ADICIÓN Definición: Se llama suma de dos números racionales de igual denominador al número racional de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Es decir, que: S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...” el dividendo y el divisor. daremos la siguiente definición: números naturales. Se restan los numeradores y se pone de denominador el común. lo que el multiplicador es respecto a la unidad.. respectivamente. Así: 7 14 7 9 9 5 9 5 14 10 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS RACIONALES S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. llamados respectivamente. Ejemplo: Consideremos las situaciones siguientes: Consideremos el siguiente Cuadrado: S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. tal que Tratemos de calcular la mitad de la tercera parte del cuadrado: 1 de 1 3 2 1 6 1 3 Regla General: Para hallar la diferencia entre dos números racionales se reduce a un común denominador.” . Regla General: Para dividir dos números racionales. a. Ejemplo: 3 Si el multiplicador fuese fraccionario x =p. dados dos números racionales y . lo que es de 1. se multiplica el dividendo por la inversa del divisor. no hay contradicción con la definición dada en Considerada la división como operación inversa de la multiplicación.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 36 5to Año Secundaria ARITMETICA5to a b a b m m m SUSTRACCIÓN Definición: Definida la adición de dos números racionales. Así: 1 1 1 1 1 1 de se escribe 2 3 6 2 3 3 9 3 18 3 15 4 8 8 8 8 MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN Definición: La multiplicación de dos números racionales tienen por objeto..” Definición: Dados DOS números racionales. luego: 5 3 p 3 de 5 p 1 5 b. el producto tienen que ser a 5 3 . Con esta definición dada. multiplicando y multiplicador hallar otro número racional que sea respecto al multiplicando .. minuendo y sustraendo. 0 y la división de números racionales tiene por objeto hallar otro número racional tal que . tienen por objeto hallar otro número racional llamada diferencia. definiremos la sustracción como la operación inversa.. = Esta definición está justificada porque no hay contradicción la definición dada de división en números naturales y además porque satisface la ley de uniformidad. diciendo que: la sustracción de dos números racionales y ( > ) llamadas. 6 9 12 . .M (35. al menor número racional que es múltiplo común de todos ellos.325.7) 70 Corolario 2: Todo número racional divisor común de varios números racionales. es decir. será múltiplo de su mínimo común múltiplo. la unidad seguida de ceros.9.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 36 5to Año Secundaria DEFINICIÓN 1 Se llama máximo común divisor de varios números racionales.. Ejemplos: 375. = 7 M. 1 4 1 7 3 1 3 1 3 4 8 11 17 Nota: para simplificar fracciones complejas y reducirlas a fracción simple.14. será divisor de su máximo común divisor.284.” II.M(6.7) 7 35 14 Corolario 4: Todo número racional múltiplo común de varios números racionales.M. de dos números de los cuales uno por lo menos NO es número natural. a pesar de que todas las proposiciones que corresponden a ellas se obtienen como caso particular de las ya estudiadas para las fracciones en general. y por esto. . en las de los números racionales son las fracciones decimales las más usadas.D. .D..D (6. las operaciones se deben efectuar en este orden: 1º 2º 3º 4º 5º M. Corolario 1: El máximo común divisor de varios números racionales.12) 36 . Ejemplo: Corolario 3: Si varios números racionales vienen expresados por fracciones irreductibles. Ilimitadas: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales y pueden ser: ilimitadas periódicas e ilimitadas no periódicas: las ilimitadas periódicas son aquellas que tienen período o sea que tienen una o más cifras que se repiten en forma constante e ilimitada y pueden ser: periódicas puras o periódicas mixtas: i.9. DEFINICIÓN 2 Se llama mínimo común múltiplo de números racionales. Ejemplo: S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación.C.0078142 FRACCIÓN COMPLEJA Definición Se llama fracción compleja al cociente indicado en forma de fracción. Periódicas Puras: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal. será la fracción cuyo numerador sea el máximo común divisor de los numeradores de las fracciones irreductibles equivalentes a aquellos y por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresadas fracciones irreductibles.” .C.(35. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES I. 7 35 14 M. Así: ARITMETICA5to 157 65 8 . Multiplicación División Sumas Restas Potenciación y luego radicación NÚMEROS DECIMALES Fracciones decimales: Se le llama fracciones decimales aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.C. 10 100 1000 Así como en las aplicaciones de la aritmética de los números naturales se prefiere utilizar la numeración decimal. Ejemplos: S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. 62..14. merece un estudio especial.. su mínimo común múltiplo será la fracción cuyo numerador es el mínimo común múltiplo de los numeradores y el denominador el máximo común divisor de los denominadores.C. 6 9 12 M.12) 3 M.C. Exactas o Limitadas: Tienen una cantidad determinada de cifras decimales. .C. al mayor número racional divisor común de aquellos. 0. M. ..... 378. efectivamente: 0...... Número decimal ilimitado no periódico trascendente: Son ciertas constantes matemáticas como: = 3.. REDUCCION DE FRACCIONES ORDINARIAS A FRACCIONES DECIMALES S5AR33B ARITMETICA5to S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...... Pueden ser: limitadas no periódicas irracionales e ilimitadas no periódicas trascendentes....6 = 378.... la parte que no constituye el período se llama parte no periódica o parte exacta. así los ejemplos anteriores se pueden representar: 36 5to Año Secundaria 1º si el denominador del quebrado posee sólo el factor primo 2 ó 5 ó los dos a ala vez dará origen a una fracción decimal EXACTA o limitada y se puede asegurar que tendrá tantas cifras decimales como indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5.. En la forma general..................COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 0. = 31...C.....00417 7 0.. también se utiliza una barra o un corchete......Ilimitadas no periódicas: Son aquellas donde las cifras salen sin guardar ningún orden y en forma ilimitada.....7320506.....666 .... Así: 21 7 como 6 400 = 28 x 52 como el denominador posee sólo 19200 6 400 los factores primos 2 y 5.........00417417 . 378...173173173. calculando después el M. de las cifras que nos dan los diversos factores.. 0. Ejemplos: 0..... 3 3 = 1. como se deduce en el cuadro anterior..4422496. Ejemplo ii...... Se averigua cuál es el menor número formado por cifras nueve que sea divisible por los factores primos del denominador... Periódica mixta: Cuando el período empieza después de una o varias cifras.173 = 0..2599210..173 = 0..4142136.. Cada factor da tantas “cifras” como número de nueves tenga el menor de sus múltiplos formado de sólo nueves.. la parte decimal tendrá 8 cifras..1415926535897932...666 ... el denominador en sus factores primos y se averigua “cuántas cifras” nos da cada factor hallado.. dará origen a una fracción decimal periódica pura. después de la coma decimal.[6] ii...[173] 378..6717171 .. Se reduce el quebrado a su mínima expresión y: “El nuevo símbolo de una buena educación... la cantidad de “nueves” indica la cantidad de cifras que tendrá el período. Ejemplo: 2 = 1..173173173 ... dará origen una fracción exacta o limitada y como el mayor exponente de los factores primos es 8. e = 2. Numero decimal ilimitado no periódico irracional: Es el que resulta al extraer raíz de cualquier índice a números que no tienen raíz exacta... se descompone (después de hacerla irreductible)......... i... No se pueden obtener dividiendo dos números enteros.. 3 = 1.6 = 378. 3 9 99 999 9 999 99 999 2 = 1. Para su resolución ayuda el siguiente cuadro: i... se acostumbra a colocar una ligadura que abarque todo un período..M.......00109375 6 400 2º Si el denominador del quebrado no posee el factor primo 2 ni 5...... = 0...671 31.718281.” 9 99 999 999 999 999 999 999 Como: 33 = 3 x 11 y 99 es el menor número formado por nueves que contiene a 3 y 11 el período tendrá dos cifras... Para abreviar la escritura de un número decimal periódico. = = = = = = = = 32 32 33 32 32 33 32 32 x x x x x x x 11 37 11 x 101 41 x 271 7 x 11 x 13 x 37 239 x 4649 11 x 101 x 73 x 137 1 ¿Cuántas cifras tendrá el período? 33 ii. Para saber cuantas cifras tendrá el periodo se procede de la siguiente forma: III.” . . según respectivamente. es hallar la fracción ordinaria que reducida a decimal. pues si: 2 2255 “El nuevo símbolo de una buena educación. En efecto: 2 ARITMETICA5to Como: 2 255 = 5 x 11 x 41 como 9 Como: 630 = 2 x 32 x 5 x 7 Para la parte no periódica (exacta): 2 x 5 . Es una consecuencia inmediata de la definición de fracción decimal.285714es periódica pura. dará origen a una fracción decimal periódica mixta.” . Teorema Nº 1: “La generatriz de una fracción decimal limitada.. .6) 6 7 nos da 6 11 nos da dos cifras 41 nos da cincocifras La parte exacta tendrá una cifra y diez cifras el período: El período tendrá 6 cifras. A la fracción ordinaria que da origen a una fracción decimal se le llama generatriz. 629 630 La fracción tendrá una cifra en la parte exacta o no periódica y 6 en el período. nos da una cifra contienea 3 3 nosda 1 231 3 7 11 como999999contienea 7 7 nosda 6 M.6. que el numerador de la ordinaria irreductible termine o no termine en cero. las úl7 timas cifras del periodo (respectivamente 2 y 1). será igual o distinta a la última de la parte entera. posee el factor primo 2 ó 5 ó los dos a la vez y además posee otro u otros factores primos. 2) 6 como99 contienea 11 11nosda 2 Para la parte periódica Efectivamente: 1 = 0. nos da la fracción decimal propuesta.. tiene por numerador el número natural que se forma prescindiendo de la coma en la fracción decimal propuesta y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene la fracción decimal”.M. 5) = 10 Propiedad: La última cifra del período de la decimal periódica pura equivalente a una fracción irreductible cuyo denominador es primo con 10.” son S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. (1. iii.(1.C..004329 231 Así: 629 = 0. Efectivamente: M.9984126 630 Ejemplo: S5AR33B 2 = 0. como el numerador 30 termina en cero. Ejemplo: 3 nosda 1 Parael período M. exponente mayor = 1 5to Año Secundaria y de la parte entera distintas REDUCCIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL A ORDINARIA DEFINICIÓN: Reducir una fracción decimal a ordinaria.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria Ejemplo 35 36 1 ¿Cuántas cifras tendrá el período? 231 Para la parte exacta (no periódica): 51 . Si el denominador del quebrado irreductible..M. .M.00088691796 2255 30 = 4. donde la parte no periódica tendrá tantas cifras como lo indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5 (primer caso) y para determinar cuantas cifras tendrá el periodo se aplica el procedimiento descrito anteriormente.C. (2.C.. Ejemplos Hallar las generatrices de: Observación p 5to Año Secundaria comprendidos en este caso aquel que E sea cero y aquellos en que E tenga más de una cifra... 8252 ....... P g 3.9 ) Em.. Em..... (2) ..... .......n abc..... 9 Teorema Nº 3: “La generatriz de una decimal periódica mixta. p 10 "P" cifras 35 Eabc........nabc. seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica”.... (1) "p" cifras Al multiplicar ambos miembros por: 10q Se obtiene: = E.............. .. 6 P P multiplicando ambos miembros por 10 10P g – g abc....abc...... Nunca se introducen factores nuevos....... E.E lo que demuestra el 999 ...nabc. ésta se elimina obteniéndose: 10p q g 10q g ....” = 356 35 321 9 9 E........ Ejemplos: Hallar las generatrices de: 0.0 999 = 351 999 abc............ y por denominador....8 999 = 0.... 10 g (10 ... tiene por numerador la diferencia entre el número natura que se obtiene escribiendo a la derecha de la parte entera las cifras de la parte no periódica y las del período y el número también natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera la parte no periódica..n Em.... (3) A la expresión (3) le restamos la (2) y como tiene la misma parte decimal. abc..abc. "p" cifras Sea “g” su generatriz: g = E............E = E abc..1) P P g (999 9) S5AR33B = 8244 999 351 ...E = E abc. un número formado de tantas cifras 9 como cifras tienen el período.... “El nuevo símbolo de una buena educación...... Sea la fracción decimal periódica mixta: 2 g= 10 3125 g= 1000 825.0424 = P 2 x5 de los dos casos como su denominador no tiene ningún factor distinto de 2 y 5 y al hacerla irreductible........m..... Sea la fracción decimal periódica pura: E........1) = q p Em.g 10 g = E..............n ( 99........252 35.......Em. "q" cifras .” . (2) La expresión (1) por 10p+q: = E.. E abc.......125 puede o no ser irreductible........... ... se puede asegurar comprobando lo dicho por el Teorema 1.....2 ARITMETICA5to teorema. donde E es la parte entera.n..351 "P" cifras (2) = q 10 g g = E.......... n "q" cifras p+ q 10 ........ La generatriz obtenida 36 10qg P S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación....m.........nabc. abc..................... . del número natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera el período.n .. m....abc.(1) = E abc. abc.........................n abc.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria Eabc.. .... y por denominador un número formado de tantas cifras 9 como cifras tiene el período........... Em....m..E g (10 . sea "g" la "P" cifras fracción generatriz: (1) 8.. En cualquiera g= 8250424 10000 Teorema Nº 2: La generatriz de una periódica pura tiene por numerador la diferencia que se obtiene restando la parte entera...... ... 00 p q 36 5to Año Secundaria 06. al dejar caer al suelo una pelota.. El denominador de una fracción excede en 5 unidades a su numerador... el quebrado resultante es 2/3. cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cayó.a 04... además. Se consume ¼ de la mezcla y se reemplaza con agua.. ¿Qué fracción de toda mi agua mineral habré tomado? a) 3/10 b) 3/7 c) 4/7 d) 7/10 e) 10/3 02. ¿En cuántos días harán dicha obra? a) 5 días b) 3 días c) 4 días d) 1 día e) 6 días 10... ¿A y B pueden realizar cierto trabajo en 4 días. en cinco partes iguales. para que E también se entera: K 5 K 1 a) 12 MATERIAL DE CLASE Nº 1 ARITMETICA5to b) 8 c) 9 d) 16 e) 18 08.. Si los dos trabajan juntos a razón de 6 horas diarias... . Si al numerador le quitamos una unidad. Después de 3 rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro.1363636. son tales que sus términos son números consecutivos? a) 2 Lo que demuestra el teorema.... la diferencia de esos mismos términos divisible por 7.. dar como respuesta la diferencia entre el denominador y el numerador de dicha fracción. el punto x está en el punto medio del tercer intervalo. a) b) 13 d) 19 e) 18 p tiene las siguientes propiedades: q 3 4 x 5 5 b) Si se divide el intervalo [3/5.. tales que su numerador sea un número de 2 cifras y su denominador un número de 3 cifras? a) 17 b) 23 c) 29 d) 39 e) 43 12. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 0. E= PRÁCTICA DE CLASE 01. 07.. En un depósito se colocan 4lt de lejía y 8lts de agua.nabc.. Hallar las fracciones equivalentes a: 95/209. ¿De qué altura se dejó caer la pelota al empezar? a) 27mts S5AR33B b) 18mts c) 54mts d) 9mts e) 81mts “El nuevo símbolo de una buena educación.Em. ¿Cuál es esta fracción? a) 180/234 b) 52/65 c) 26/117 d) 65/117 e) 26/39 09.” . Y César puede hacer la misma obra en 45hrs. ¿Cuántos lt de agua hay en la mezcla final? a) 9 b) 6lt MATERIAL DE CLASE Nº 2 c) 3lt d) 4lt e) 8lt 11....n g = 9999 . Martín puede hacer una obra en 30hrs. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 Em.El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. A y C en 9 ¿Cuánto demorarían juntos en hacer una obra? a) 3 días b) 4 días c) 3 1/3 días d) 3 1/2 días e) 4. B y C pueden en 12 días en hacer la misma obra.5 días 13. tales que la suma de sus términos sea divisible por 3 y por 8. Calcular: p + q a) 5 S5AR33B b) 12 b) 3 c) 43 d) 25 e) 49 “El nuevo símbolo de una buena educación.375 tal que el producto de sus términos sea 384. 9 00 .. ¿Cuál es la fracción cuyos términos son los menores posibles? Dar como respuesta el denominador a) 231 b) 147 c) 77 d) 63 e) N. ¿Cuál es el numerador del quebrado original? a) 17 c) 11 Un número racional irreductible x 05. ¿La mitad de lo que me queda en una botella de agua mineral es igual a al tercera parte de lo que ya me tomé.” c) 4 d) 5 e) 6 Hallar la suma de los valores enteros de K... a) 20 b) 18 c) 12 d) 24 e) 16 03.Hallar una fracción equivalente a 0.. existen. 4/5]... ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/29. ..4200 36 b) 7 hrs. 07..COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 14. d) 5hrs. a) 85m.El rebote de una pelota alcanza 2/3 de la altura desde done se la deja caer. 300. 1 1 2 3 4 n 1 1 1 1 1 .3700 b) 4 c) 5 e) S/. c) 93m. e) 60m.0.. c) S/. si: a) 2 16..” S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. si se le deja caer inicialmente desde 17mts. vuelve a apostar y pierde los 3/5 de los que le queda y en una tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. ¿En cuánto tiempo hizo la 3 5 zanja? d) 06 e) 16 es equivalente a 13/17. Se empleó a)7. b) S/. c) 9hrs. Encontrar el número racional entre 2/13 y 41/52 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. c) 2847 c) 49/104 segunda en 10 días y la tercera en 12 días. ¿Cuál es la fracción original? a b =0. 1 ... 1 ..2600 15.. Determinar el espacio total recorrido hasta detenerse.2 días e) 13 días 06.969696... e) 3hrs.0010 =0.. si todo el viaje lo hace en 12 horas? a) 4 hrs.Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que falta recorrer. 11 3 Hallar: a +b Si: a) 7 d) S/. luego ganara 4/5 de lo que tengo más S/. sabiendo que: a) 2886 b) 2860 c) 26 a) 11/52 a) 3/4 1 n a) 23/105 a) 6 días 05. 55 Hallar el valor de “a”.Sabiendo que A y B pueden realizar una obra en 10 días. Efectuar: a) n(n+1) T= b) d) 10 e) 11 1 1 1 1 . la brigada. 1 2 3 4 n n 1 2 c) n 2 d) 20... Si se agrega a ambos términos de la fracción una unidad. aa3 . Si la fracción: 18/247 origina un número decimal inexacto periódico puro.. B y C lo harían en 12 días.a36363636. Si perdiera los 3/7 de mi dinero más S/.100 y finalmente perdiera la mitad del resto. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 19.Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero. 04.. N b) 19/52 Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja: la primera en 9 días. e) n(n 1) 2 3a5a d) 15/26 e) 9/13 b) 4/5 c) 5/6 d) 6/7 e) 7/8 b) 4/35 c) 22/35 d) 13/105 e) 4/105 b) 5 días c) 7 días d) 8 días e) 9 días 1 de la primera 4 1 3 de la segunda y de la tercera.. ¿Cuánto tengo? a) S/..5000 d) 8 b) 8 c) 9 e) 3 17..8 días d) 2873 e) N.. De altura. 1 . a) 56 ARITMETICA5to 03.4900 2a =0. entonces me quedaría S/.. ¿En cuánto tiempo harán la obra los tres juntos? 18. El denominador de una fracción excede al numerador de una unidad.a. A y C en 15 días.. b) 102m. ¿Cuáles son las 2 últimas cifras del período? b) 46 01.Si 0. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente le ha quedado? 1 5to Año Secundaria 02.. 2300..Hallar N. a Hallar a. d) 51m..” . b) 9 días c) 10 días d) 11. la nueva fracción excede a la original en 1/72. si la película empezó a las 16:00 horas.360 d) S/. Tres personas tienen que reunir cierta suma de dinero. Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote que da. ¿Cuál fue la cantidad entregada? b) S/. Naty llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película. ¿Cuántos lapiceros habrá vendido si se sabe que ganó S/. Sabiendo que: a) 21 29 0.. Se divide un tubo en 4 partes desiguales: la primera es 1/3 de la longitud total del tubo. ¿Cuál es el quebrado impropio que resulta duplicado.0 c) 0. César demora 6 días en hacer una obra y Martín demora 12 días en hacer la misma obra.7 Vende los 3/5 del número de lapiceros a 3 por S/. ¿Cuál era la longitud original del rollo? a) 33 S5AR33B a) 900 b) 180 c) 2400 d) 3600 e) N. Si han reunido respectivamente los 5/24.8 b) 3. ¿Cuántos lts falta para llenarla? a) 20 000 Lts b) 2 400 Lts c) 3 000Lts d) 18 000 Lts e) 40 000 Lts 04. 6 minutos después llega Ana. El primer día gastó la quinta parte.20cm ARITMETICA5to 06. Si se sacan 20 000 lt. a) 0.930? a) S/. el tercer día los 5/3 del primer día. b) 7 c) 4 Hallar a + b..450 e) S/. Expresarlo en forma de fracción decimal. Quedaría llena hasta sus 2/3 partes. Si se le deja caer desde un metro de altura.5 11. si se resta a sus 2 términos. yzw xy b) 22 35 Hallar: x + y + z + w c) 19 d) 20 e) 18 09. la mitad de su numerador?. Si ha perdido en total $12. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda.5 c) 32.900 09. “El nuevo símbolo de una buena educación. ¿Qué altura alcanzará después del tercer rebote? b) 21. El producto del numerador por el denominador de un quebrado es 525114.750 c) S/. la segunda parte es ¼ y la tercera parte es 2/7 de la longitud total del tubo. queda 1/7 de él más 9.. ¿A qué hora termina? b) 17:30 c) 18:30 d) 18:20 e) N.96cm e) 6. dar la suma de sus cifras. Si la cuarta parte mide 11/14 de metro.5 e) 1.5.5 y las demás a 4 por S/. si al simplificarlo se obtiene 14/31? S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación.5 d) 21 e) N. ¿Cuánto tenía el principio? a) 51. a) 5 10. el segundo día gasto 1/8 del resto. ¿Cuál es dicho quebrado. el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/.7. Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. sabiendo que: a) 2 b) 3 d) 8 e) 3 a b 7 81 5 11 c) 4 d) 5 e) 6 b) $120 c) $132 d) $144 e) $54 02.. 07. los 3/10 y la quinta parte de dicha suma.150. 03.5 d) 2.a. ¿Cuál es la longitud del tubo? a) 28mts b) 6mts c) 12mts d) 5mts e) 7mts 13. Una persona recibe viáticos por 4 días. Hallar la suma de los términos de una fracción. Marcelo compra lapiceros.40cm 05.” . ¿qué fracción falta todavía reunir? b) 17/24 c) 7/24 d) 13/24 e) 5/24 08. y sólo ve os 4/5. la mitad a 5 por S/.a. a) 5 b) 8 c) 9 d) 6 e) 10 12.” a) 9 días b) 3 días c) 4 días d) 2 días e) 4/3 días TAREA Nº 2 10.Hallar las 3 últimas cifras del desarrollo decimal generado por la fracción 17/83. tal que si se le suma su inversa se obtiene: 41/20.60cm c) 36.500 TAREA Nº 1 a) 17:20 5to Año Secundaria a) 11/24 TAREA DOMICILIARIA a) $108 36 b) 20.00cm d) 12. ¿Cuánto demorarían junto en hacer una obra? 01.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 08.6 y la otra mitad a 6 por S/. Después de vender los 5/9 de un rollo de alambre.a. en (1) mediante una resta y en (2) mediante una división.......COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria a) 151/344 b) 77/688 c) 154/341 35 d) 182/403 5to Año Secundaria 36 e) 217/242 ARITMETICA5to RAZONES Y 14........... En ambos casos estamos comparando dos cantidades. Si: a) 7 16.....037037037........ “En matemática... al resultado de comparar dos cantidades se llama razón” Al resultado de comparar 2 cantidades mediante una resta. Al tesorero de una sección de 5to. Hallar A Si 11 a) 2 17.....ab4 37 b) 15 c) 6 Hallar: A B Nos piden “comparar” la altura de los árboles con un cálculo muy simple podemos establecer que la altura del primero (A).... se llama razón aritmética o por diferencia y sus términos son: 1º A antecedent e 2º - B Valordela razóno resultado dela comparació n consecuent e Cuando se comparan 2 cantidades por división................” S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...... b) 1/3 d) 16 24 = 4 .. b) 6 Hallar: “a + b” c) 5 d) 8 b) 4 Si a) 14 nn 0. ¿Qué parte de los que le queda restituirá lo perdido? INTRODUCCIÓN a) 1/8 15.... (1) Pero también podemos afirmar que la altura del primero es: a+b c) 12 6 e) 9 A 0...... sobrepasa a la del segundo (8) en: d) 7 e) 8 24 – 6 = 18 ............ 1 ab c) 1/6 d) 1/7 e) 1/9 24 =0......(x 5)x.. Grado le falta 1/9 del dinero que se le confió.......... el resultado se llama razón geométrica o por división y sus términos son: S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación... la del segundo...... (2) 6 e) 2 Cuatro veces...........” . ya que: Proporción continua: Aquella en la que los medios son iguales: 1º a - 2º b = 3º c - a b b c 4º d Medios Externos Si a b c d la proporción se llama discreta y cualquiera de sus cuatro términos. ii. S5AR33B a c una proporción: se puede escribir. Si a c d. Proporción Geométrica (equicociente) Si: S5AR33B vi. según que las razones sean aritméticas o geométricas respectivamente. b = media diferencial o media aritmética. constituyen una proporción. tercera proporcional.” . en un cierto orden. si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. a y c = tercia diferencial iii. a c 2 v.. La proporción puede ser aritmética o geométrica.. Por propiedad básica: 2b = a + c b= iv. b d a b a c b a c a c d b d d c c cambiando medios: d b invirtiendo i y ii d d c d permutando términos a i.. b = media proporcional o media geométrica a y c.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 36 5to Año Secundaria antecedent e 1º A K valordela razón consecuent e 2º B a : b:: c : d ARITMETICA5to 1º 3º medios 2º 4º extremos a c ó b = d PROPORCIÓN Dados cuatro números distintos de cero. cuarta diferencial. iii. a c =K =K habrá proporción b d “El nuevo símbolo de una buena educación. ii. iv: b a b a c b a “El nuevo símbolo de una buena educación. Propiedad básica Producto de medios = Producto de extremos (b)(c) = (a)(d) Proporción aritmética (equidiferencia) Si: a – b = c – d = Habrá proporción. a–b=b–c i. la proporción es discreta y cualquiera de sus términos: cuarta proporcional.. Toda proporción se puede escribir de 8 maneras diferentes: Propiedad básica: Suma de medios = suma de extremos b–c = a+d Sea Proporción continua: Aquella en la que los medios son iguales.” vii. Por propiedad básica PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES: I. d.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria viii. k.: m n p q m n p q 4ta.“En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los primeros términos es a la suma o diferencia de los segundos.: p r p r q s q s 5ta. se obtiene siempre una proporción”. como cada antecedente es a su respectivo consecuente”.p.” .. 35 d c b a 2da. Sea S5AR33B p r una proporción.p.“Si a ambos términos de una se le eleva a un mismo exponente o se les extrae raíz del mismo índice. a c e g =k constante de proporcionalidad o valor de cada razón.p. k b d f h Notamos que todas las razones tienen el mismo valor (k).. Propiedad. Ejemplos 1º 1 3 9 127 =0.d.q. q s pn qn np nq rn S. k. podemos expresar.: 6ta.q. Sea p r una proporción q s S. por lo tanto. S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. Propiedad.: a b a b c d c d 3ra.“En toda proporción se cumple que la suma de los primeros términos es a su diferencia como la suma de los segundos es también a su diferencia”. Sea m p una proporción.q.” 5to Año Secundaria 36 ARITMETICA5to p r q s p r q s S.2 constante de proporcionalidad o valor de cada 5 5 45 635 razón. Sea: a c una proporción.d..: sn n r n s SERIE DE RAZONES IGUALES Se llama así al conjunto de más de dos razones iguales.“En toda proporción se cumple que la suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es también a su diferencia”. Así en las siguientes razones: a c e g k.p. b d f h Serie de Razones Iguales. b d S. n q S. como los antecedentes son entre si y como los consecuentes son también entre si”.. Propiedad. Propiedad.d.p.q. Sea 1º 2º p r una propiedad.q.“En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes. q s “El nuevo símbolo de una buena educación. Propiedad.d. De los expuesto se deduce que: “La condición necesaria y suficiente para obtener una serie de razones iguales es que todas las razones tengan el mismo valor”. p.d.d.” ..” S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación..q. TEOREMA 3 “La raíz enésima del producto de antecedentes y la raíz enésima del producto de los consecuentes de “n” razones iguales.d.d.q. 1 3 7 11 =0. forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”.14287 7 21 49 77 Consideremos la serie: 36 a bk c dk multiplicando ordenadamente: e fk a x c x e b x d x f x k3 axcxe k3 bxdxf Luego: axbxc a bxdxf b 3 c d 3 e f 3 L.q. TEOREMA 2 S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación.: c d 3 e f 3 Demostración: De la hipótesis: a c e g a c e g =k b d f h b d f h g =k h a c e =k b d f axcxe a bxdxf b S.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 2º 35 5to Año Secundaria TEOREMAS RELATIVOS A LA SERIE DE RAZONES IGUALES TEOREMA 1 “En toda serie de razones iguales se cumple que la suma de antecedentes y la suma de consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”.q. elevada a un exponente igual al número de razones que intervienen en la serie”..p.: a k b c k d e k f ARITMETICA5to “El producto de los antecedentes y el producto de los consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas. a c e g =k b d f h Hipótesis: Sea la serie: a k b c k d e k f Demostración: De la hipótesis se deduce: a bk c dk Sumandoordenadamente e fk g = hk a c e g bk dk fk hk a + c + e + g = k(b + d + f + h) a c e g a c e g k b d f h b d f h 3 S.q. Hipótesis: Sea la serie: r p y a k k s q z b "n"razones L.q.. n sxqxzx s q z b xb cn k PROPOSICIÓN ARMÓNICA: (*1) Cuatro términos forman una proposición armónica cuando la diferencia de los dos primeros es a la de los dos últimos como el primero es al último. la segunda está invertida.d. se obtiene: b(2a b) a b a ..q.q.d.” .p. de donde x= a(a b) d x b a d n MEDIA ANARMÓNICA Es una media proporcional anarmónica y es de la forma: Aplicando el primer teorema: (an cn en xn ) (bn dn fn zn ) S5AR33B 2 2 a x d . se calcula análogamente: 2 a b d . Para un medio. es decir: n rxpxyx xa an n (b d f z ) Extrayendo la raíz “n”: S.d.q.q.. de donde x = xd d a Hipótesis: Sea la serie: a c e x k b d f z "n"razones iguales (an cn en xn ) a c e x b d f z n n n n n (b d f z ) n Demostración: Elevando cada razón de la hipótesis al exponente “n” se tiene: bn dn en fn a c e x L.. b d f 2 a b a * ( 1) c d d r p y a L. de donde x = a d xd a a b kn “El nuevo símbolo de una buena educación.d. y la raíz “n”.: ARITMETICA5to xn zn n k k MEDIO ANARMÓNICO Cuatro términos están en proporción anarmónica cuando formándose la primera razón como se ha dicho en (*1).p.q. así: a b d c d a Un medio anarmónico (x).” i. Un término extremo de esta proporción es: a b a ac .. de donde x = c x x 2a b ii.” S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. de la suma de los consecuentes elevados a la potencia “n” de “n” razones iguales.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria S.q.: n rxpxyx xa n sxqxzx xb 35 r p y a s q z b 36 5to Año Secundaria Extrayendo la raíz “n” a ambos términos: n Demostración: Por teorema anterior: n rxpxyx xa kn sxqxzx xb (an cn en xn ) n n n TEOREMA 4 “La raíz “n” de la suma de antecedentes elevados a la potencia “n”. forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas. 50? a) 8 b) 12 06. además. sabiendo que: A Es cuarta proporcional de B. 175 y 253. la máquina B produce 5. entre dos números cuya suma es 89... 25 y 50. B y C. ¿En qué temperatura coinciden las dos c) 10º d) 20º e) -20º 07.La razón de dos números es 3 2 y los de su producto es 288. Después de jugar 20 partidos.4400. en una competencia de 1600m? a) 500 S5AR33B b) 425 c) 475 d) 575 Hallar: S = A + B + C + D. Se tienen dos escalas temperatura en que el agua hierve es 60º en “x” y 140º escalas? a) 11º b) 40º c) 14 d) 10 e) 15 de temperatura: la “x” y la escala “y”.2200 y B con S/. En una competencia ciclística. ¿Cuántos adultos entraron al teatro? a) 1515 b) 1155 c) 1224 d) 1551 e) 2105 04.” 1 del cuarto 9 S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. En una fábrica embotelladora se tienen 3 máquinas A. A un teatro. hallar la diferencia de los términos extremos. C Es media proporcional de 96 y 24. ¿Cuál es el menor de dichos números? a) 46 b) 26 c) 41 d) 23 e) 33 03.. b) 12 c) 15 d) 20 e) 25 En una proporción geométrica continua el primer término es término. se invierte si se añade 23 al menor y se quita 23 al mayor. la se congela es 0º en “x” y 20º en “y”. por cada 5 hombres que entras. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? a) 720 b) 480 c) 600 d) 640 e) 560 05. a le gano a B por 400m y B le ganó a C por 100m. si el producto de los 4 términos es 375 000. RAZONES MATERIAL DE CLASE 1 01. La suma de los términos de una proposición aritmética continua es 100. Si a los 4 términos de una proporción geométrica se le suma un número. encontrar el número mayor. La razón geométrica. la razón entre lo que tienen A y B es 3/8. a) 270 b) 560 c) 820 d) 533 e) 570 12. D Es cuarta proporcional de 80. Hallar la suma de dichos términos. a) 46 b) 73 c) 64 d) 36 e) 48 13. el agua en “y”. la máquina A produjo 440 botellas mas que C. Hallar la medios es 144. Hallar la suma de sus términos.” . 127. hallar la suma de los 4 términos. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 20 736 y la suma de los antecedentes es igual al producto de los consecuentes. se obtiene los números 91. Cierto día.. ¿Por cuántos metros le ganó A a C. por cada 3 botellas que produce la B la máquina C produce 2. a) 210 b) 220 c) 420 d) 510 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICOS IGUALES e) 250 14. En una proporción geométrica y continua el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuentes es 6400. 15 y 16 a) 138 b) 125 c) 128 d) 135 e) 145 09. Dos personas A y B juegan a las cartas. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 13 e) 415 “El nuevo símbolo de una buena educación. A empezó con S/. 3 entran con un niño y de cada 7 mujeres 4 entran con un niño. a) 10 10. Si entraron 678 niños en total. por cada 6 hombres entran 5 mujeres. a) 24 b) 18 c) 15 d) 20 e) 30 02.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 36 5to Año Secundaria ARITMETICA5to PRÁCTICA DE CLASE PROPORCIONES MATERIAL DE CLASE 2 08. ¿Cuántas partidas ganó B si en cada partida se gana o se pierde S/. se sabe que por cada 7 botellas que produce la máquina A. a) 16 suma de los antecedentes si el producto de los términos b) 14 c) 12 d) 10 e) 8 11. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2. Encontrar al 4 3 mayor de los dos números. 3 y 8 respectivamente son proporcionales a: 10. C y D B Es tercera proporcional de 8 y 14. a) 420 a) a = b b) 2100 c) 2400 d) 1800 e) N.Z. b) 630 c) 840 d) 1050 e) 1260 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01. si: 2B + C = 360. a) 433 20. Lo de A es a lo de B como 4 es a 5.Y. a) 1440 36 b) 2/6 c) 3/7 d) 5/4 e) N.a. el producto de los consecuentes es 37422. Y.a. En una serie de cuatro razones geométricas continuas e iguales. 16. ¿Cuánto tiene ana si entre los dos tienen S/. hallar la suma de los consecuentes. 08.3 y 16 Hallar los números. Hallar a +b +c +d a) 126 b) 143 c) 146 d) 134 e) 162 10. 17.I.11 y el producto de los consecuentes 721875. A. U. Además: X. Si la tercera proporcional de “a” y “b” es la media proporcional también de “a” y “b” luego: e) 32 N O R M A 7 . En una serie de razones equivalentes. Hallar: a) 64 b) 54 c) 65 d) 45 e) 38 U.. b) 1480 Se tiene: c) 1420 d) 1430 e) 1450 X. 3. a 70 c 14 además: b – d = 24. En una serie de cuatro razones geométricas iguales. b) 28 Sabiendo que: c) 16 d) 20 06. b c d e cumple: d) 278 e) 474 y (a2 + b2 + c2 + d2).5. la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5.7. Hallar lo que tiene B. loas antecedentes son: 3. Si se retiran 20 parejas. lo de B es a lo de C como 8 es a 5. a) 60 S5AR33B b) 63 c) 66 d) 69 e) 72 “El nuevo símbolo de una buena educación. De un grupo de niñas y niños se retiran 15 niños. 5 y 6 respectivamente..125. U.3235? S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. 1/5 de B y 3/20 de C son entre si como 4.. En una competencia de 1600m. Si la cuarta parte de A. X. Hallar A. Después se retiran 45 niños y quedan 5 niñas por cada niño. La suma. a) 24 19. Y. =4.N.” . a) 4 y 16 b) 4 y 15 c) 2 y 8 d) 8 y 32 e) N. si se sabe que la suma de las cuatro razones es 4/3. b) 450 c) 425 d) 475 Dada la siguiente serie de razones iguales: e) N. = 192. B y C tienen fichas de pago. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? a) 2/3 04.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 15. ¿Cuál es el último término? 3 c) 13 d) 9 e) 8 05.I 5to Año Secundaria a) 2365 b) 1645 ARITMETICA5to c) 1655 d) 1550 e) 1555 03. Calcular: M=5(ab+bc+cd+de).a. determinar la suma de los consecuentes. 7 y 11.a La suma de los cuatro términos de una proporción es 65. El número de niñas al comienzo era de: a) 20 b) 25 c) 29 d) 43 e) 55 02. Si lo que tiene A excede a lo de C en 315. los antecedentes son: 2. Cada uno de los 3 últimos términos es los a) 18 b) 15 2 del precedente.Z. ¿Por cuántos metros le ganó A a C? a) 500 09. Si b) 434 se c) 500 a b c d . quedando 2 niños por cada niña.N. La razón del dinero que tienen César y ana se invierte cuando César le dá a ana S/.I N. Calcular: N + O + R + M 448 N O R M A + A. a le ganó a B por 400m y B le ganó a C por 100m.. ¿Cuál es el mayor de dichos consecuentes? a) 45 b) 30 c) 20 d) 55 e) 60 18.” b) b2 = a c) a2 = b d) b2 = a3 e) 2 = b3 07. a) 1500 (b2+c2+d2+e2)=44100. 27 b 15 d . la suma del primer antecedente y del tercer consecuente es 336. Z. ” b) 7 Junio c) 10 Junio d) 15 Junio e) 14 Junio 08. Un jugador de billar A. a) 28 S5AR33B b) 1023 06. Hallar el ahorro mensual. Iván tiene 24 años y Martín tiene los 5/8 de la edad de Iván. TAREA PROPORCIONES 12. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 3 a 4? a) 100 04. ¿Cuántas carambolas debe dar A a C en un partido de 100? a) 35 b) 38 c) 28 d) 70 e) 76 09.a. ¿En qué mes y día de un año común se cumplirá que: el tiempo transcurrido del año. asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres.” . Tres números son entre sí como 2. a) c) 87 Un padre tiene 34 años y su hijo 7. Lo que tiene Martín es a lo que tiene César como 13 es a 18. ¿Cuál es el menor número? 02. 5 y 7 sise les quita 5. si el producto de los antecedentes es 1 800 y la suma de los consecuentes es 162. En una fiesta concurren 400 personar entre hombres y mujeres. a) 560 b) 640 c) 480 d) 720 e) N. El valor de una razón de una proporción geométrica es 5/9. Ana tiene 400 fichas entre rojas y azules. le da ventaja a B.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 11. 60 carambolas para 100.a. Luego de 2 horas. al cabo de cuánto tiempo la razón de las edades será 1 2 b) 1 3 5 2 y y la 6 3 1 2 . 3 2 e) 1 d) 38 e) 40 “El nuevo símbolo de una buena educación. hallar la diferencia de los antecedentes. que sumados dan 385. Si la esposa tuvo a su primer hijo a los 17 años. Si: 35 b) 380 c) 420 d) 450 e) 370 12. La suma de tres números es 503 y dos de ellos están en la relación de 17 a 18. Hallar la razón aritmética entre la tercera proporcional de cuarta proporcional de 5. de las cuales 240 son rojas.. por cada 2 hombres hay una mujer. si uno de ellos le da al otro S/. Hallar el mayor de los números a) 49 b) 42 c) 56 d) 63 e) 70 01. es al tiempo que falta transcurrir del año como 33 es a 40? TAREA DOMICILIARIA a) 118 5to Año Secundaria 05. 40 carambolas para 100 y B le da ventaja a C. Hallar la edad del esposo. ¿Cuántos nuevos soles tiene entre los dos? N A T Y 4 hallar: N + A + T + Y 972 N A T Y a) 480 36 S5AR33B b) 30 c) 32 d) 34 e) 36 “El nuevo símbolo de una buena educación.. 2 b) 15 c) 20 d) 14 e) N. 19 y 26 respectivamente originan 3 números que forman una progresión aritmética creciente. 4 3 c) 2 3 d) b) 34 c) 36 a) 10 c) 1054 d) 1085 e) 1116 b) 15 c) 12 d) 18 e) N. lo que gana y gasta suman S/. a) 32 a) 992 a) 12 Junio TAREA RAZONES b) 96 ARITMETICA5to 07. Lo que gana y ahorra semanalmente un individuo está en la relación e 5 a2. cuyo producto es 7. a) 10 03.a... ¿Cuántas de estas? Fichas rojas deben de ser pintadas de azul para que estén en la razón de 3 a 5 b) 600 c) 75 d) 80 e) 90 11. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 120 b) 240 c) 80 d) 160 e) 200 10. d) 187 e) 198 1 . Las edades de una pareja de esposos son proporcionales a la suma y a la diferencia de las edades de sus 2 hijos.640 .80 ambos tendrán la misma cantidad. Hallar la suma de los términos extremos. a) 53 S5AR33B b) 63 c) 48 d) 64 e) más de 68 “El nuevo símbolo de una buena educación. a) 7 23. En una proporción geométrica continua la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216.Si: Además b) 8 c) 10 d) 6 e) 5 d) 10 e) 15 a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16 a c indicar el valor de “a” b d Hallar (a+b+c) a) 27 b) 24 c) 32 d) 28 e) 21 a) 3 b) 6 c) 9 17.. B y C tienen 920 canicas.5. Calcular la media diferencial. a) 12 b) 18 c) 9 d) 15 e) 21 18. .COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 13. a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 24 15. ¿Cuánto de ventaja debe darle Andrea a Carlos en una carrera de 1 Kilómetro? a) 730m b) 710m c) 750m d) 760m e) 770m 22.“b” es la tercera proporcional de 32 y a . La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción geométrica continua es 25 si el otro término es 30.” . A tiene 1/3 más que B. Si la cuarta proporcional de 48. Entre A. a) 4 b) 8 c) 6 d) 10 e) 7 20.. Al recorrer 1km Andrea le da ventaja a Elitza de 400 metros y Elitza le da a Carlos 300 metros para una carrera de 500 metros. En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9 si la suma de los antecedentes es 68. hallar la suma de cifras de “a”. Hallar la suma de los términos extremos. Calcular la cuarta diferencial. Se tiene una proporción geométrica discreta cuya razón es 3/8 si la razón aritmética de los antecedentes es 19. Sabiendo que: . Se tiene una proporción aritmética continua.. a) 35 b) 45 c) 55 d) 65 e) 75 16. b y 6..” S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. 36 5to Año Secundaria ARITMETICA5to 21. Sabiendo que los extremos son entre si como 5 es a 3. a y (a + 20) es la media proporcional de 10 y 250.“c” es la 4ta proporcional de a. hallar la suma de los antecedentes. a) 32 b) 36 c) 24 d) 28 e) 38 19. y éste 1/3 menos que lo de C. donde la suma de sus cuatro términos es 128. ¿Cuántas canicas tiene uno de ellos? a) 400 b) 340 c) 200 d) 240 e) 280 14. En una proporción aritmética continua la suma de los cuadrados de sus términos diferentes es 200 y el producto de los términos extremos es 60.“a” es la media proporcional de 8 y 32. hallar el valor de la razón aritmética. 10 .. S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación. 06 . 11 . 03 . 05 . 09 .” S5AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación.COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 35 36 5to Año Secundaria ARITMETICA5to GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 SOLUCIONARIO Nº 01 . 04 . 14 Ejercicios Propuestos 01 02 D B E E B A D E B A C A A D A D C D D D A A . 02 . 08 ... 15 . 07 . 13 . 12 ..” .