ARITMETICAI BIM. TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616 ARITMETICA Índice Pág . å Adición y Sustracción en N ............................................7 å Multiplicación y División en N ......................................17 å Números enteros (Z) ....................................................27 å Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas de adición y sustracción en Z ......................................37 å Multiplicación y División en Z.......................................43 å Conjunto de los números racionales ...........................47 å Operaciones con fracciones ........................................53 åRepaso 67 COLEGIO TRILCE Página 2 ARITMETICA ADICIÓN EN N A la acción de agregar, agrupar o añadir le llamamos ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA ADICIÓN: 1. Los números que queremos sumar reciben el nombre de SUMANDOS. 13 + 27 + 58 = 98 2. El signo para identificar la operación es una pequeña cruz (+). 3. El resultado de la operación se denomina "suma total". PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: 1. Propiedad de Clausura. "Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número ______________". Ejemplo: Si: 87 ___ y 13 ___; entonces: 87 + 13 = 100 ___ Si: a Nyb N; entonces: (a + b) N es decir: 2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los sumandos no altera la ______________". Ejemplo: Si: 26 ___ y 14 ___; entonces: 26 + 14 = ___ + ___ = 40 Si: a Nyb N; entonces: a + b = b + a es decir: COLEGIO TRILCE Página 3 Esta propiedad es recíproca de la anterior. entonces: a + b = (x + y) + b. "Es una adición. entonces: (8 + 7) + 5 = ___ + (___ + ___) = 20 SUMAS PARCIALES Si: a N. entonces: (a + b) + c = a + (b + c) es decir: 3. Ejemplo: 6 + (-6) = (-6) + 6 = 0 es decir: a + (-a) = (-a) + a = 0 COLEGIO TRILCE Página 4 . "La forma como agrupamos los sumandos no altera la ______________". el resultado sigue siendo el mismo número natural". porque: a = x + y es decir: 4. Propiedad del elemento neutro. Ejemplo: Si: 3 ___. entonces: 3 + ___ = __ + 3 = 3 Si: a N.ARITMETICA 3. porque 12 = ___ + ___ SUMA PARCIAL Si: a Nyb N. Ejemplo: Si: 8 ___. ya que sumando nos da el módulo cero. entonces: a + 0 = 0 + a = a es decir: Nota: En el conjunto Z. entonces: 12 + 5 = (___ + ___) + 5 = 17. b Nyc N. el número opuesto o contrario de un número "a" es aquel número (-a) llamado elemento inverso aditivo de "a". 7 ___ y 5 ___. Ejemplo: Si: 12 ___ y 5 ___. "Si sumamos cualquier número natural con el ______________.a Propiedad Asociativa.b Propiedad Disociativa. al descomponer uno de los sumandos en dos o más sumandos la suma no se ______________". a. (7 + 3) + 12 = 7 + (3 + 12) ________________________ d. 32 + 27 = 59 ________________________ b. formando grupos de 10.ARITMETICA REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. 210 + 0 = 210 ________________________ c. 7 + 15 = 7 + (3 + 12) ________________________ 2. 23 + 57 = 57 + 23 ________________________ e. Completa el nombre de las propiedades: a. Separa convenientemente. formando decenas. Calcular mentalmente el resultado de la adición: 73 + 27 = (70 + 20) y (3 + 7) 90 10 = 100 Ejemplo: • 23 + 72 = • 17 + 81 = • 64 + 45 = • 42 + 51 = • 86 + 27 = • 76 + 23 = c. Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. Calcular mentalmente. COLEGIO TRILCE Página 5 . Hallar 2 números que sumados resulten: • 10 = 1 + 9 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ • 13 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ • 17 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ • 19 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ b. 2+7+5+1+8+3+4+5+9= Ejemplo: 10 + 10 + 10 + 10 + 4 = 44 • 2+7+5+3+8= • 1+3+5+9+7+5= • 6+2+8+4+7+3= • 9+5+1+6+4+9= d. + 18 + 20 = 2n = ____ = último número n(n + 1) • 1 + 3 + 5 + 7 + .. 9+3=8 ( ) Propiedad del Elemento Neutro c..ARITMETICA 79 + 34 = 79 + (1 + 33) (79 + 1) + 33 80 + 33 = 113 Ejemplo: • 529 + 32 = • 249 + 36 = • 739 + 13 = • 819 + 27 = e. Relaciona correctamente de acuerdo al nombre de las propiedades.. 4+0=4 ( ) Propiedad Asociativa b. + 9 + 10 = n(n + 1) n = ____ = último número 2 • 2 + 4 + 6 + 8 + .. 423 + 17 = b.1 = ___ = último número n2 DEMUESTRA LO APRENDIDO 1... Adiciones particulares: • 1 + 2 + 3 + 4 + . Realiza las siguientes adiciones y halla: abc • 2 + 22 + 222 + 2222 + . (3 + 4) + 9 = 3 + (4 + 9) ( ) Propiedad Conmutativa 2. + 33333333 = . 18 + 7 = 18 + (2 + 5) ( ) Propiedad Clausura e.. abc • 32 + 323 + 3232 + . a... abc f... + 3232323 = .. abc • 1 + 31 + 131 + 3131 + . + 17 + 19 = 2n . 171 + 29 = COLEGIO TRILCE Página 6 .. + 22222222 = .... Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades.. + 1313131313 = ...... a. 7+4=4+7 ( ) Propiedad Disociativa d. abc • 3 + 33 + 333 + . ARITMETICA c. 1 + 2 + 3 + . 6+8+1+4+2+9+5= f...... 989898 ... 812 + 428 = e. 1 + 3 + 5 + .S = D. 5 + 25 + 525 + 2525 + . ab h. ELEMENTOS DE LA SUSTRACCIÓN: 53 . + 17 = 9 99 989 9898 .... abc 20 cifras Hallar el valor de "a + b + c" SUSTRACCIÓN EN N Es una operación inversa a la ADICIÓN. entonces: 53 + 26 + 27 = 53 + (26 + 27) = 53 + ___ = 2 ( ) es decir: COLEGIO TRILCE Página 7 ...26 = 27. 9898 . 2 + 4 + 6 + .. si: 53 ..26 = 27. 524 + 236 = d. + 16 = DESAFÍO f.... entonces: M = D + S es decir: Veamos qué sucede cuando sumamos los tres términos de una sustracción. 26 = 27 Nota: Si: D 1 entonces: M > S (M) (S) (D) PROPIEDADES PARTICULARES: I.. Si: 53 . entonces: 53 = 27 + ___ Si: M . 12 + 7 + 23 + 5 + 8 + 15 = g. + 2525252525 = . + 15 = i. entonces: M+S+D= M + (S + D) M + ____ = 2 ( ) Por lo tanto. Unidades ___ . Complemento aritmético (C.S = D.) Para: 123.3) Complemento Aritmético En general: Para: abcd.c) (10 . abc - 214 238 cba 198 594 xny = ___ = ___ = ___ ___ + ___ = ___ ___ + ___ = ___ ___ + ___ = ___ III. 832 .A.1 = 8 C D U 1 2 3 (___ .A.A. Sustracciones particulares 412 .ARITMETICA si: M .2) (___ . es: 1000 .3 = 7 123 Decenas ___ .b) (9 .2 = 7 877 Centenas ___ .d) Complemento Aritmético IV.1) (___ .123 1000 . su C.a) (9 . la suma de los tres términos de una sustracción es igual a dos veces el minuendo. su C. M + S + D = 2M II. es: 10000 abcd UM C D U a b c d (9 . Relaciones de compra y venta: PV .G = Pc Donde: • PV : ____________________________ COLEGIO TRILCE Página 8 . si: mnp pnm x93 . de 8ab 8 es cd4 a .ARITMETICA • G : ____________________________ • Pc : ____________________________ REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. La suma de los tres términos de una 6. ¿Cuál es el C. Si se cumple: abc cba 2mn . Los tres términos de una sustracción al 7. cuya suma de términos sea 8424. sumarse da 2040. Si el C. Si el C.A. de abc es 327. dos menores términos es 44. En una sustracción. Hallar "x". ¿Cuánto le costó la bicicleta? 5. hallar: a + b + c. 2. hallar el mayor de estos dos términos. Hallar el minuendo.750. la diferencia de los hallar: m + n. 4. ¿Cuál es la diferencia en una sustracción 8. Hallar el minuendo.220. Si el mi- nuendo es el cuádruple del sustraendo. hallar: a + b + c + d.A.A. ganando S/. sustracción es 4208. María vende una bicicleta por S/. 3. 10. sabiendo además que el sustraendo es la cuarta parte del minuendo? 9. de 5782? COLEGIO TRILCE Página 9 . Víctor vendió un equipo de sonido 2. DESAFÍO En una sustracción la suma de sus tres términos es 240. COLEGIO TRILCE Página 10 . 3873 5.970. Hallar "a". hallar: m + x 7. ¿Cuál donde la suma de términos es 5400. Hallar: a + b + c + d 7568- 9. y además la diferencia es el triple del sustraendo. Hallar el sustraendo. La suma de los tres términos de una 6. ganando S/. El complemento aritmético de es .145. es el precio de costo del equipo de sabiendo además que el minuendo es el sonido? triple del sustraendo? 3. 453 4. en una sustracción por S/. ¿Cuál es la diferencia. El complemento aritmético de 2753 es: 925 - 8.ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. si: 2354- 1297 10. hallar el minuendo. Si se cumple: pqr rqp 7mx sustracción es 4800. "Si multiplicamos dos o más números naturales.ARITMETICA MULTIPLICACIÓN EN N La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales. que pueden repetirse muchas veces. Ejemplo: Si: 12 N y 3 N. "El orden de los factores no altera el producto". Propiedad Conmutativa. entonces: 12 × 3 = ___ × ___ = 36 COLEGIO TRILCE Página 11 . Ejemplo: Si: 25 N y 3 N. Propiedad de Clausura. el producto también es otro número natural". entonces: 25 × 3 = ____ N es decir: Si: a Nyb N. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 5 = 15 Se repite ____ veces el 3. Ejemplo: SUMANDOS ELEMENTOS DE LA MULTIPLICACIÓN: 6 × 7 = 42 12 3 × Multiplicando 4 5 Multiplicador 61 5 ___________________ 492 0 ___________________ 553 5 Producto PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: 1. entonces: (a × b) N 2. 7 × ___ = 70 COLEGIO TRILCE Página 12 . "Cualquier número por UNO es igual al mismo número". Propiedad Asociativa. 3 N y 2 N. "Todo número multiplicado por CERO es igual a CERO". Ejemplo: Si: 7 N. b N y c N. Ejemplo: Si: 8 N. entonces: 43 × ___ = 0 Si: a N. a. entonces: (8 × 3) × 2 = ___ × (___ × ___) Si: a N. entonces: 7(23 . 3 N y 7 N. Ejemplo: Si: 8 N. Ejemplo: Si: 43 N. entonces: a × 0 = 0 es decir: 6.13) = 7 × ___ . entonces: a × 1 = a es decir: 5. Propiedad Distributiva. entonces: (a × b) × c = a × (b × c) es decir: 4. entonces: a × b = b × a es decir: 3. b Nyc N. entonces: a(b + c) = ab + ac es decir: b. Ejemplo: Si: 27 N: entonces: 27 × ___ = 27 Si: a N. "Si multiplicamos tres o más factores y juntamos dos sin importar el orden y se reemplaza por el producto parcial. Con respecto a la Adición: "El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos parciales de dicho número por cada uno de los sumandos". entonces: 8(3 + 7) = 8 × ___ + 8 × ___ = 80 Si: a N. 23 N y 13 N. Con respecto a la Sustracción: "El producto de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los productos parciales de dicho número por cada uno de los términos de la sustracción".ARITMETICA Si: a Nyb N. Propiedad del Elemento Neutro o Modulativa. el producto no varia". Propiedad del Elemento Absorvente. a. entonces: ___ × ___ = ___ × ___ Si: a = a1 y b = b 1. c < d. entonces: a(b . entonces: ___ × 5 < ___ × 7 Si: a < b. 5(3 . "Si se multiplican miembro a miembro dos o más igualdades.ARITMETICA Si: a N. Ejemplo: Si: 5 < 7. Propiedad de Monotomia. (7 × 5) × 9 = 7 × (5 × 9) _______________________ g.ac es decir: 7. entonces: ___ × ___ < ___ × ___ Si: a < b. Completa el nombre de las propiedades: a. Ejemplo: Si: a = 5 y b = 3.2) = 5 × 3 . 4(5 + 45) = 4 × 5 + 4 × 45 _______________________ c. el resultado es otra igualdad". 23 × 2 = 46 _______________________ f. 3×1=3 _______________________ b. se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". 7×3=3×7 _______________________ e. 8×0=0 _______________________ d.c) = ab . entonces: a × b = a1 × b1 es decir: 8. Ejemplo: Si: 3 < 6 y 2 < 5. "Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural. se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". b N y c N. entonces: a × c < b × c es decir: b. Propiedad de Uniformidad. "Si se multiplican miembro o miembro dos o más desigualdades del mismo sentido.5 × 2 _______________________ COLEGIO TRILCE Página 13 . entonces: a × c < b × d es decir: REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Hallar 2 números que multiplicados resultan: • 36 = 12 × 3 = ___ × ___ = ___ × ___ • 100 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___ • 60 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___ • 72 = = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___ b. Calcular mentalmente. Calcular mentalmente el siguiente producto: 7 × 32 7 × 32 = 7 × (30 + 2) = 7 × 30 + 7 × 2 = 210 + 14 = 224 Ejemplo: • 8 + 32 = • 9 × 52 = • 6 × 85 = • 7 × 51 = • 9 × 35 = • 5 × 94 = d. Calcular mentalmente el siguiente producto: 8 × 19 8 × 19 = 8 × (20 . agrupando factores potencia de 10.ARITMETICA h. 5<7y3<85×3<7×8 _______________________ 2. a.8 = 152 Ejemplo: • 7 × 19 = • 4 × 18 = • 6 × 49 = • 5 × 19 = • 5 × 18 = • 8 × 49 = COLEGIO TRILCE Página 14 . 2×3×5×7= (2 × 5) × (3 × 7) 10 × 21 = 210 Ejemplo: • 3×5×8×2= • 2×7×5×4= • 7 × 25 × 8 × 4 = • 5×9×2×3= • 4 × 3 × 25 × 7 = • 25 × 7 × 4 × 5 = c. b = 11. Métodos prácticos para multiplicar utilizando las propiedades.1) = 160 .c = 5 b × c = 55 _______________________ i. 7<97×3<9×3 _______________________ j. (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4) ( ) Propiedad del Elemento Neutro c. 50 se murieron y el resto los vendí a S/. Si a 6 de ellos les paga S/.20. ¿cuánto desembolsa el día del pago? c.3 cada una.4b = • ab .12 diarios y S/. a cada uno de los restantes. Efectuar las siguientes multiplicaciones: • 234 × 56 = • 597 × 308 = 4. 5(7 + 2) = 5 × 7 + 5 × 2 ( ) Propiedad de Clausura COLEGIO TRILCE Página 15 .1 cada uno y 4 plumas fuentes a S/. 3×0=0 ( ) Propiedad Conmutativa b. Se compraron 9 libros a S/.10.a × 10 = • 8a . Resolver las siguientes multiplicaciones: a. Compre 120 caballos a S/. ¿cuánto se pierde? b. 3×1=3 ( ) Propiedad Asociativa d.200 cada uno. Un empresario ocupa los servicios de 10 obreros durante dos semanas pagándoles dominical. Si se vende todo por S/.ac + a × a = 3.2 cada uno.229 cada caballo.ARITMETICA e.9 × 70 = • a × 7 + a × 3 . Completa el nombre de las propiedades: a. 6 lapiceros a S/. Resolver las operaciones sacando el factor común: 2×5+3×5+5×5= 2×5+3×5+5×5 5(2 + 3 + 5) 5(10) = 50 Ejemplo: • 3 × 5 + 3 × 7 + 3 × 18 = • 8 × 19 + 8 × 3 + 8 × 8 = • 9 × 43 + 9 × 27 . ¿cuánto gané o perdí? DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 7 × 25 × 9 × 4 = e. 2×7×8×5= b. ¿Cuántos platos le falta entregar? Dato: 1 docena = 12 unidades DESAFIO Un padre reparte su herencia de la siguiente manera: A Luis le toca $9800.La segunda de 180 platos. 9×8=8×9 ( ) Propiedad de Monomomía (a) h. Resolver las siguientes multiplicaciones: a. ¿Cuánto dinero repartió el padre? COLEGIO TRILCE Página 16 . 5 < 6 2 × 5 < 3 × 6 ( ) Propiedad del Elemento Absorvente 2. 8 × 27 = f.6 × 4 ( ) Propiedad Uniformidad g.4) = 6 × 9 . 9 × 52 = g. 25 × 6 × 4 × 7 = d. 10 < 11 3 × 10 < 3 × 11 ( ) Propiedad de Monotomía (b) j. 6(9 .ARITMETICA e. . 25 × 4 = 100 ( ) Propiedad Distributiva (+) f. 7 × 19 = h. a María $300 menos que a Luis y a Arturo tanto como a los tres anteriores. x = 4.y = 28 ( ) Propiedad Distributiva (-) i. 6 × 39 = i. 2 < 3. Resolver el siguiente problema: Nataly venden 60 docenas de platos y hace 2 entregas: .La primera de 170 platos. y = 7 x. 3×2+3×5-3×6= j. 9 ×2×8×5= c. 5 × 29 + 5 × 21 . a Juan $200 más que Luis.5 × 49 = 3. Es cuando en la división el residuo es diferente de CERO.ARITMETICA DIVISIÓN EN N "La división es una operación inversa a la multiplicación". entonces : 45 = 6 × 7 + 3 42 7 donde : "el residuo es igual a 3" 3 Si: D d . División exacta. División inexacta. Ejemplo: Si: 45 6 . Es cuando en la división el residuo es igual a CERO. entonces: D = d × q d Nota: "32 contiene cuatro veces al divisor 8". entonces : 54 = 9 × 6 + 0 54 6 donde : "el residuo es igual a CERO" es decir: Si: D d . ELEMENTOS DE LA DIVISIÓN: 32 8 = 4 Veamos qué sucede al multiplicar el divisor por el cociente: 32 4 Si: 2 . Ejemplo: Si: 54 9 . entonces: D = d × q + r donde: "r 0" q es decir: r Nota: El residuo siempre va a ser menor que el dividendo COLEGIO TRILCE Página 17 . TIPOS DE DIVISIÓN: 1. El cociente (q) indica cuántas veces el divisor (d) está contenido en D. entonces: D = d × q donde: "r = 0" q r 2. entonces: 32 = 8 × 4 Es decir: El "Algoritmo de la división" es: D Si: = q. D = 1 874 . Hallar en cada caso el elemento que falta: a. ¿cuál es el dividendo? 3. D = 420 .23 y le sobraron S/. Si al dividir "n" entre 137 el cociente es el duplo del divisor. Encontrar el dividendo. y a cada uno le toca S/.44. d=9 . D = 83 . q=3 .741 entre varias personas. Vanesa repartió 260 lápices entre sus 47 amiguitos en partes iguales. D = 215 . q = 21 . d = ____ d. r = 34 .ARITMETICA REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. ¿Qué número es "n"? DEMUESTA LO APRENDIDO 1. q = 9 . D = ____ c. Un muchacho compra el mismo número de lápices que de lapiceros por S/. ¿cuántas eran las personas? 4. ¿Cuántos lápices y lapiceros ha comprado? 10. Si el cociente de una división exacta es 853 y el divisor 23. el divisor es 30 y el residuo es la mitad del divisor. q = ____ COLEGIO TRILCE Página 18 . D = 85 . le sobraron 25 lápices. 9. Si a cada uno le repartió S/.165 y lo repartió a cierto número de personas. d = 11 . por partes iguales. ¿Cuántos caramelos habían? 6. r = ____ b. ¿Por qué número hay que dividir a 15 470 para que el cociente sea 17? 5.3 y cada lapicero S/. d = 80 . d = 32 .90. Hallar el valor que falta: a. r=4 . En una división el cociente es 25. ¿cuántas personas habían? 8.7. r=8 . d=9. r=5 . ¿Cuántos lápices repartió Vanesa a cada uno de sus amigos? 7. Esteban tenía S/. q = ____ 2. Se reparten S/. Cada lápiz vale S/. r = ____ b. q=9 . Valeria repartió cierto número de caramelos entre 19 personas y después de dar 7 caramelos a cada persona sobraron 6 caramelos.57. 84. incluido el cero. Hallar el divisor. En una división el cociente es 35. Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el doble del divisor. el divisor 40 y el residuo es la mitad del divisor. -3. Tenía S/. 9. ¿qué número es "x"? 6.731 entre varias personas. por partes iguales. -10 4 -4 -6 -3 Los números enteros se representan en una recta numérica: COLEGIO TRILCE Página 19 . -5. r=3 . 4. d = ____ d. 0. r = 10 . D = 102 . d=8 . compré víveres por un valor de S/.700 y con el resto compré sacos de arroz a S/. ¿Cuántas eran las personas? 7. q = 23 .60 el saco. DESAFIO En una división el dividendo es 625 y además se sabe que el divisor es el cubo del cociente. ¿Cuántos sacos de arroz compré? 5. +3. Son aquellos números positivos y negativos que no tienen parte decimal.43. Si 14 libros cuestan S/.2 500. Encontrar el dividendo. Se reparten S/.ARITMETICA c. ¿cuánto costarían 9 libros? 3. y a cada uno le toca S/. En una división el dividendo es 72. q = 11 . hallar el divisor sabiendo que el cociente y el residuo son iguales a 4. D = ____ 2. -1 -2 • Ejemplos: -5 6 5 2 3 N Z +4. : ___________________ Partida Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 .. Viajan en sentido contrario. se lee: valor absoluto de "-3" es 3. donde: ..ARITMETICA . Ejemplo: Observa detenidamente la figura: . 2. Es el número entero cambiado de signo. . COLEGIO TRILCE Página 20 . RELACIÓN DE ORDEN (>. |-7| = 7. se lee: valor absoluto de "-7" es 7. 1. Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO... Ambos autos parten de un mismo lugar. b.. a. Un número entero es mayor que otro. se lee: valor absoluto de "+9" es 9. |+9| = 9. d. EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO. De la figura podemos observar lo siguiente: a. si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica. |-3| = 3. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 .. * Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo. . =). ¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma? Rpta. Viajan a una misma velocidad. se lee: valor absoluto de "+3" es 3. |+3| = 3. c. por ejemplo: • El opuesto de +7 es -7 • El opuesto de -3 es +3 • El opuesto de 5 es -5 • El opuesto de -1 es +1 3.. <.. porque: 0 +4 * 0 es mayor que -3. con respecto a cero.5 + 17 3° 2° 1° -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 5 Partida 2 Llegada Representar: a.1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 b. Ejemplo: Representar sobre la recta: . porque: -6 -2 4. c. porque: -3 0 * -2 es mayor que -6. Ejemplos: * 6 es mayor que 1. Todo número entero negativo es menor que su sucesor. porque: +1 +6 * 4 es mayor que 0. * El punto de partida es cero "0". indicarán movimientos hacia la derecha de la recta. Todo número entero positivo es mayor que su antecesor. indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta.3 . Reglas de juego * Números negativos. con respecto a cero. -2 .ARITMETICA b. -3 + 5 + 4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 COLEGIO TRILCE Página 21 . * Números positivos.2 . DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA RECTA NUMÉRICA. Coloca (V). El valor absoluto de: +35 es: ______ c. +8 . Indica en los cuadrados si es ">". +82 es opuesto de: ______ g. El valor absoluto de -4 es: ______ b. ( ) c. |-3| +3 c. +4 . "<" o "=". . 36 es opuesto de: ______ e.2 . a. ( ) d. El valor absoluto de 14 es: ______ 3. A TRABAJAR! 1. 0 1 e. Completa las siguientes expresiones: a. 5 +5 g. -8 0 f. El valor absoluto de -1 es: ______ d. si es falsa. si la afirmación es verdadera y (F). 4 0 b.4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ¡LISTOS . 0 -4 d. 5-2-1+3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 d. en cada uno de los siguientes casos: a.ARITMETICA c.2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e. . 0 -60 2. La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los números y el cero. 5 es opuesto de: ______ h. El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo. ( ) COLEGIO TRILCE Página 22 . El valor absoluto de un número entero siempre es positivo. ( ) b. |-1| 0 h.5 . El opuesto de un número entero negativo es negativo. -73 es opuesto de: ______ f. El opuesto de un número entero negativo es positivo.+7 d. -3.+5 Recuerda: para . < ó = |b| |a| + |b| -15 +2 -7 +9 +5 6 -13 15 -100 0 +10 -20 12 -22 4 -8 -7 -7 -14 +14 -1 0 -101 -3 16 +16 -54 52 18 -36 COLEGIO TRILCE Página 23 .3 5. -7. a. Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos correspondientes. +6. -5.-8 e.ARITMETICA e. ( ) f.-6 -4 -3 -1 0 +1 +2 +3 +4 c.4 y +4 b. Completa el siguiente cuadro: a >ó< b |a| >. (En el cuaderno). ( ) 4. 8. La suma de los valores absolutos de dos números opuestos es cero. 7ºC Temblido 14.8ºC 13.4ºC Osodio 7.1ºC 1.3ºC Vallenilla 10. ¿cuál le pondrías? COLEGIO TRILCE Página 24 . + 4 .8ºC Calmadia -0.9ºC 18.8ºC Juantorena 17.8ºC 18.2ºC Conexión 13.0ºC 20.1ºC Capia 5.0ºC 19.5ºC 21.0ºC Puertilla 6.2ºC 23.1ºC 17.0ºC La Serilla 7.10 d.8ºC Balmadia -8.8ºC Valdivia 7. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más alta? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el número (valor numérico)? ¿Por qué no tiene signo? Si tuvieras que ponerle un signo.1ºC Valpedia 11.8ºC 2.6ºC Chillido 14. -8+5 c.6ºC Copadirma -3. -7-2 b.7ºC Antofadia 13.6ºC Pudalia 5.0ºC 6.3ºC 23.9ºC 13.2ºC 14.6ºC 18.6ºC Quintanilla 7.8ºC 17.3ºC 7.4ºC 14.2ºC 17. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más baja? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el signo negativo en ese caso? ¿Qué indica el número (valor numérico)? 8. +5+3 * Observa la siguiente información y responde las interrogantes: Temperatura Ciudad Mínima Máxima Abadia 14. En tu cuaderno traza una recta numérica y representa en ella lo siguiente: a.7ºC 19.8ºC 22.7ºC Cursima 11.ARITMETICA 6.0ºC 16.3ºC Puntillas 0.1ºC Iquedia 12. ARITMETICA 9. |-18| |-3| - | 10 | | 2 | d. ¿Qué indica el cero en esa información? ¿Qué relación tiene el cero con las temperaturas con signo negativo? y ¿el cero lleva signo? 10 Resuelve: a. COLEGIO TRILCE Página 25 . |-4| × |2| + |-8| b. | 5 | Continúa esforzándote porque el éxito depende de ti. |-6| × |-3| + |16| c. x < 1} A = {___________________________________} b. + 3 + 12 5.2 b.ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Escribe en cada cuadrado. |-3| -3 e. 36 es opuesto de: ______ e. -8 |+8| 2. si es "<". D = {x/x Z. Determina los siguientes conjuntos por extensión: a. -8 < x < 8} C = {___________________________________} d. El valor absoluto de +14 es: ______ 3. El valor absoluto de -5 es: ______ b. -1 |1| f. -1 < x} D = {___________________________________} 4. Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica: COLEGIO TRILCE Página 26 . Traza una recta numérica para cada caso y representa en ella: a. -8 es opuesto de: ______ d. -8 +8 d. Completa las expresiones siguientes: a. +35 35 c. ">" o "=". +7-6 c. C = {x/x Z. +15 es opuesto de: ______ f.10 . A = {x/x Z. según convenga: a. -2 -38 g. B = {x Z/x > -4} B = {___________________________________} c. El valor absoluto de 13 es: ______ c. |-48| 48 b. . -10. -17 . E. 0 g. Un número cuya suma de dígitos es 9. Luego del segundo movimiento ¿a cuántos metros de la superficie se encuentra el submarino? 9. b. B. -13 c. -6 . Luego del primer movimiento. multiplícalo por 3 y réstale 5. -7 . ¿Cuál es la mayor profundidad alcanzada por el submarino? ¿En qué movimiento? DESAFÍO Considera un número entero "x" y realiza con él las siguientes operaciones sucesivas: multiplícalo por 2. Luego del tercer movimiento. C. 0 h. +3 6. Un número par. luego realiza los siguientes movimientos: a. 1 d. COLEGIO TRILCE Página 27 . súmale 1. -10 . 0 . Resuelve los siguientes ejercicios: 2 | 7 | | 18 | | 3 | | 5 | | 25 | | 100 | | 6 | | 5 | | 3 | a. Segundo movimiento: asciende 70 metros. * Un submarino se encuentra sumergido a 50 metros de la superficie. +5. -20 . -27 . ¿cuál es la distancia que separa el submarino de la superficie? 10. D. -5 . -13 . . +15 . el valor de "x" es: A. Un número múltiplo de 3. -4 . Un número primo. +6 . Un número entre 40 y 50. -12 .10 . +8 . -21 . 7. -1 b. +16 . Primer movimiento: desciende 120 metros. -1 f. 1 e.ARITMETICA a. -15 . Tercer movimiento: desciende 50 metros. b. -14 . ¿a cuántos metros de profundidad se encuentra el submarino? 8. Si el resultado final fue 220. c. +2 . Ejemplo: a. ya se manipulaban números positivos y negativos en los ábacos.. (-7) + (-3) + (-2) = b. durante el siglo IV. sin embargo.-1 __________________________________ c. (+3) + (+7) + (+10) = b. (+10) . Ejemplo: a. (-2) . . Sumandos de signos diferentes: Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto. 2. .-4 __________________________________ d. • (+4) + (-6) = 4 . en Oriente. ADICIÓN a. 8 .ARITMETICA Sabías que . (+30) + (-16) = SUSTRACCIÓN Para restar dos números enteros se suman el minuendo con el opuesto del sustraendo. 7 8 + 7 = 15 b. es decir "se transforma la resta en suma". usando bolas de diferentes colores.8 ¡LISTOS .(-3) = b. -3. A TRABAJAR! 1. Sumar los siguientes números enteros: a.-8 __________________________________ COLEGIO TRILCE Página 28 . Sumandos del mismo signo: Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo. Ejemplo: a..6 (-3) + (-8) = -3 . La primera consideración sobre el número negativo no llega a Occidente hasta el siglo XVI. (-16) + (+2) = b. +6.(-4) = Recuerda • El valor absoluto de un número es el valor del mismo prescidiendo de su signo. (-8) .(-65) 3.(-6) ______ (-9) .ARITMETICA e.(-36) e. -3. -7.(+9) 4. (+9) .14 = 5.(8) c. Efectuar las siguientes restas de números enteros: a.-1 __________________________________ h. (-18) .9 = e. -7. Afina tu cálculo mental. Completa la tabla y continúa desarrollando.(35) f. (-9) . (15) . (-100) .c) (a + c) (c . (+65) .+2 __________________________________ g.(+23) d.(+13) ______ (-7) .5 + 16 . -8-3-6= c. .5 . a.(-100) g. .(-8) g. + 11 + 15 + 12 = d. "<" o "=". +4+6+9= b. (-25) .12 .(-11) e.(+7) ______ (-7) . (-20) .a) -1 3 -2 +4 -2 5 -6 +1 4 COLEGIO TRILCE Página 29 . según corresponde.(+33) ______ (+18) . a b c (a + b) (b . (12) .(+6) b.+9 __________________________________ 2. + 10 . Escribir ">". (-36) . + 2 __________________________________ f.(+7) b.(+3) d. a. (-36) . (+8) .(-4) ______ (-3) .(+14) c. 75 .8 .49 .: -57 h.: 84 f. .9 Rpta. .15 + 35 .37 + 41 Rpta.7 + 13 . la obstinada rana conseguía subir 3 metros cada día pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros.52 + 106 Rpta. una rana cayó en un pozo de 30m de hondo.68 + 4 .: 114 i.38 Rpta.40 Rpta.20 Rpta. .6 Rpta.47 + 18 Rpta.: -7 b.32 + 92 + 18 .28 + 39 .: -28 c.10 . Buscando agua. 36 + 13 + 47 . En su intento por salir. .14 Rpta.(-3) Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto: P = (+7) + (-2) + (-4) + (+10) + (3) COLEGIO TRILCE Página 30 .4 . Ejemplo: * Efectuar: P = (+7) + (-2) .73 . 53 .: -54 j. ¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo? OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros. . .: 35 d.18 .: 84 g. Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones: a.16 + 10 .12 Rpta.14 .ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 45 + 80 .13 + 14 + 27 .73 + 26 .(+4) + (+10) . debemos realizar los siguientes pasos.: -4 DESAFIO: La rana obstinada.5 .: -83 e. (+5) .4 + 10 + 3 Cuarto : Agrupamos los números positivos y los números negativos: P = 7 + 10 + 3 .(+3) + (+2) .(+6) g.ARITMETICA Segundo : Escribimos los enteros positivos como números naturales: P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3) Tercero : Suprimimos los paréntesis: P = 7 .(-3) j. (-6) .(-4) h. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: a. (-10) .(+10) .6 P = +14 DEMUESTRA LO APRENDIDO I.(+2) e.(+2) + (+8) .(+7) + (-1) .(+30) d. (-4) .(-3) .(-1) c.2 . (-5) + (+8) . el éxito depende de ti. (-9) + (-10) .(+2) Continúa esforzándote. COLEGIO TRILCE Página 31 .(+10) b. (-5) + (-2) .(-1) + (+4) .4 Quinto : Sumamos los positivos y los negativos por separado: P = +20 . (-7) . (-12) + (-11) .(-8) f.(-3) + (-18) .(-11) .(-3) + (-2) . (-10) + (-2) + (-7) i.2 . (+6) (-2) = DIVISIÓN (+) (+) = + (+) (-) = . hacia el año 650 d. COLEGIO TRILCE Página 32 .C.. negativos y cero. el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos. Ejemplo: (-) (-) = + (-) (+) = . corresponde a los hindúes. Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. (-2) (+4) = d.. • En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos. Ejemplo: (.) (-) = + (. (+15) (-3) = d. el resultado siempre será un número negativo. a..) (+) = . a. (+100) (+2) = b. (-16) (+4) = Recuerda • En la multiplicación o división de dos números de igual signo. (+10) (+20) = b. Los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. el resultado siempre será un número positivo. (-8) (-1) = c. MULTIPLICACIÓN (+) (+) = + (+) (-) = . Sin embargo.ARITMETICA Sabías que . (-5) (-9) = c. (5) (-3) d. (+3) (+5) f. de color rojo los productos positivos y de color azul los productos negativos: COLEGIO TRILCE Página 33 . (+12) (-12) j. (-144) (+12) 3. (+100) (+10) e. (-30) 6 i. A TRABAJAR! 1. (+8) (-1) g.ARITMETICA ¡LISTOS . . (-12) (-4) g. (-5) (-4) h. 20 (-5) h. -9 (-8) 2. Colorea los triángulos. (+40) (+7) b. (9) (-10) e. . (-1) (-1) c. Completa la siguiente tabla: a b a×b ab a b a×b ab -8 2 +32 -8 -4 -1 -44 +11 +10 -5 +64 -4 +18 -9 -36 -9 -3 +3 +11 -11 4. (-1) (+78) i. Realiza las siguientes divisiones: a. Realiza las siguientes multiplicaciones: a. 14 2 f. (-1) (-1) b. (+25) (-5) d. (-8) (+8) c. (-10) (-2) j. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a.6 .: 152 e.3A Rpta.2 + 5) d.: -45 c.10 × ( . . A + B + C Rpta.15 ( . .3 B = (+4) (-2) + 4 C =(50) (-2) .3 (2) + (6 .5 × 3 + 8 . Si: A = (-8) (+2) . .1 × 5) b.ARITMETICA (+4)(-5) (-6)(3) (-8)(4) 20(+4) (-7)(+13) (-10)(-2) 5.: 16 2.3 (4 .6 Halla: a. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: COLEGIO TRILCE Página 34 . A-B-C Rpta.2 (8))] DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.: -44 b. A×B-C Rpta.4) + 2 [ .3)] c.2 .(4 . 2A × B Rpta.: 49 d. 2B . .12 × [ . (. 6-2×5 Rpta.3) × 4 .: -40 d. 3 -3 Q : Conjunto de los números racionales.: 27 b.13 + 6) × (-3) + 4 (-1) Rpta.: -4 c.1 Rpta.: 17 DESAFÍO: El lechero ingenioso. que se simbolizan por una "Q".3 7 4 2. Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche? 1. Z Fracciones = Q Gráficamente: Q 1 3 Z N -2 -1 0 1 2 1 N : Conjunto de los números naturales.40 × 5 + 128 Rpta. Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números racionales. 5 3 4 Z : Conjunto de los números enteros. . Representación de Q en la recta numérica. Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así: COLEGIO TRILCE Página 35 . Construcción del conjunto de los números racionales. 32 .ARITMETICA a.: 19 e.2 . (8 . -5+4×3 Rpta. ARITMETICA -3 -2 -1 0 1 2 3 También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica.d = b. Las subdivisiones de la recta numérica son infinitas. IV. 3. podemos afirmar que: b d si se cumple: a. -1 -3 -1 -1 0 1 1 3 1 4 2 4 4 2 4 -4 -3 -2 -1 5 5 5 5 -8 -6 -4 -2 1 2 3 4 10 10 10 10 5 5 5 5 2 4 6 8 10 10 10 10 De la gráfica se define que: I. "Dados dos números racionales diferentes. Dados dos números fraccionarios tales como b d. siempre se puede encontrar otro número racional cuyo valor esté comprendido entre ambos" En forma general: Entre dos números racionales existen infinitos números racionales. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro número racional. Esta propiedad de densidad en Q. III. Por lo que se afirma que el conjunto de dichas fracciones (clases de equivalencia) representa al Número Racional respectivo. RELACIÓN DE ORDEN DE UN NÚMERO FRACCIONARIO (>. II. Un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias fracciones que son equivalentes entre sí. =) a c a c y A.c Ejemplos: 8 4 •6 3 ya que: 8 × 3 = 6 × 4 COLEGIO TRILCE Página 36 . sea por las divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y el compás para dividir un segmento de recta. no la poseen los conjuntos N y Z. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional cualesquiera. Densidad en el conjunto de los números racionales. <. ARITMETICA 6 10 •3 5 ya que: 6 × 5 = 3 × 10 5 30 • 2 12 ya que: 5 × 12 = 2 × 30 B. A TRABAJAR! 1. Dados dos números fraccionarios. -4 - 2 5 3 4 8 3 N Z Q 2. 8 12 _______________________________________ 7 8 c. 8 10 _______________________________________ 8 6 d. 4 6 porque: 3 × 6 < 4 × 5 9 3 b. 1 3 21 16 1 2 3 -2 . usando la regla de los productos cruzados. Ejemplos: 8 × 11 > 9 × 7 11 7 11 7 entonces: > • 9 8 9 8 4×6<8×7 4 7 4 7 entonces: < • 8 6 8 6 12 × 4 < 8 × 20 12 20 12 20 entonces: < • 8 4 8 4 ¡LISTOS. podemos determinar que uno es mayor o menor que otro. "<" o "=". Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">". 0 . 3 5 a. 4 3 _______________________________________ COLEGIO TRILCE Página 37 . Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no. 2 60 _______________________________________ 6 3 f. - 5 3 9 2 3 4 6 N Z Q COLEGIO TRILCE Página 38 . Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no pertenencia. 5 15 _______________________________________ 3.ARITMETICA 5 25 e. 3 2 7 4 9 5 1 6 . Completar con ">". "<" o "=" según corresponda: 1 3 2 7 2 4 2 4 5 8 3 3 3 6 9 4 5 2 4 6 8 7 DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 0 -2 . 12 9 b. "<" o "=": 8 12 3 3 17 5 a.ARITMETICA 2. 5 20 3. 4 f. 5 7 e. Completar con ">". Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">". 3 3 5 5 7 28 2 2 1 d. 13 17 c. "<" o "=" según corresponda: 4 3 5 7 9 2 18 6 2 3 2 2 5 4 6 3 7 2 9 1 5 3 COLEGIO TRILCE Página 39 . Método del mínimo común múltiplo. la sustracción.m. • Para hallar el numerador dividimos el m.m de los denominadores y lo escribimos como denominador del resultado. la potenciación y la radicación. 3 5 30 3 1 5 10 2 1 5 5 5 1 1 1 m.ARITMETICA Con las fracciones se pueden realizar las operaciones que hemos aprendido a efectuar con números enteros: la adición. la multiplicación. Para efectuar la suma o adición de fracciones es necesario reducirlas antes.c. Ejemplo: 3 × 2 3 7 2 × 10 + 3 × 6 + 7 × 1 20 + 18 + 7 45 3 + + = = = = 3 5 30 30 30 30 2 2 Calculando el m. la división. entre cada denominador y luego se multiplica por el respectivo numerador.c. Esta es una regla práctica. [3. Regla de productos cruzados.c.5. luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados.m. ADICIÓN.m. • Hallamos el m. recomendable para sumar dos fracciones de términos pequeños. • Finalmente se suma en el numerador.30] = 3 × 2 × 5 = 30 B. I. A.c. a c a×d+b×c + = b d b×d × Ejemplo: 1 3 1 7 5 3 7 15 22 • 5 7 57 35 35 COLEGIO TRILCE Página 40 . Empleando la regla de productos cruzados. B2 2. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m. 2 3 3 4 ¿Cuántos signos ">" salen? a. A TRABAJAR! 1.c. si: 3 5 3 12 4 16 12 5 a. 72 d. según corresponda: 1 2 5 1 2 1 + 2 2 + I. Calcular "A + B". efectuar las siguientes adiciones: 3 1 1 2 + 4 2 7 3 1 3 1 5 2 1 1 A . Completar con los signos ">" o "<". 5 b. 3 e.) efectuar: 5 2 3 12 9 8 19 23 49 73 31 a. 5 3. 72 c. Efectuar la siguiente operación: 1 1 3 7 2 3 53 59 65 68 69 a. 72 b. 8 e. 72 e. 9 c. 6 5. 4 COLEGIO TRILCE Página 41 .ARITMETICA ¡LISTOS. 2 3 6 II. 72 4. 2 d. 5 d. 6 e. 0 b. 7 9 8 IV. 1 c. 6 b. 6 d.m. 4 3 3 1 1 1 1 1 1 1 + + + III. 6 c. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m. 6 3. 5 e. efectuar las siguientes adiciones: 1 1 2 5 + 2 3 5 4 2 5 3 4 2. si: 2 1 1 A3 . 5 3 4 IV. 5 d. 36 c. 3 5 3 5 ¿Cuántos signos ">" salen? a. Empleando la regla de productos cruzados. 3 b.) efectuar: 1 4 5 2 3 9 6 48 42 65 64 72 a. 4 COLEGIO TRILCE Página 42 . 4 d. 1 c. 36 e.ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 5 c. 3 e. B 1 4 4 4 2 3 3 4 a. 18 4. 18 d. Calcular "A + B".m. 5 5. 4 b. Completar con los signos ">" o "<" según corresponda: 5 7 4 1 3 1 + 3 1 + I. 0 b. 2 d. 2 4 4 3 2 1 2 1 1 2 + + + III. 4 e. 18 b.c. Efectuar la siguiente operación: 3 2 2 1 5 5 2 1 3 4 a. 4 c. 8 8 5 II. 5] = 2 × 3 × 5 = 30 Ejemplo: Resolver aplicando el método del producto en aspa o productos cruzados. 3 c. [2. 7 3 1 3×6-4×1 18 .ARITMETICA DESAFÍO Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro caño puede llenar el mismo depósito en 20 minutos. 9 II.m. ¿En cuántos minutos se puede llenar un depósito si abrimos al mismo tiempo los dos caños? 16 18 20 a. efectuar las siguientes sustracciones: 1 2 1 1 . luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados. Para efectuar la sustracción de fracciones es necesario reducirlas antes. = = = = 6 10 30 30 30 15 15 Calculando el m. 6 10 3 3 5 2 1 5 5 1 1 m. = = = = 4 6 4×6 24 24 12 12 × ¡LISTOS.4 14 7 .c. A TRABAJAR! 1. Empleando la regla de productos cruzados. 7 d. 4 × 4 4 4×5-4×3 20 .12 8 4 .c.m. Ejemplo: Resolver aplicando el método del mínimo común múltiplo. 3 e. 9 7 3 4 2 5 1 3 COLEGIO TRILCE Página 43 . 3 b.3. SUSTRACCIÓN. B". Calcular "A . 5 4 16 6 4 3 5 7 2. efectuar las siguientes sustracciones: 2 1 8 2 . 3 3. 7 6 III. Empleando la regla de productos cruzados. 4 5 COLEGIO TRILCE Página 44 . 4 c. 5 3 II. si: 1 3 3 A 2 .ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. B 1 2 4 4 1 3 3 1 2 a. Indicar cuál es la menor diferencia: 2 1 4 2 1 1 I. 2 d. 2 b. 4 e. ARITMETICA a. 20 DESAFÍO 1 1 Encontrar el número racional entre 7 y 4 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. 20 d. De: 5 4 5 7 8 3 3 11 a. iguales 3 2 2 de 2 4. 12 c. el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores. Restar: 5 3 3 4 8 1 3 a. MULTIPLICACIÓN En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores. 14 III. 15 c. a c a×c × = Es decir: b d b×d 1 3 3 12 6 12 × 6 1×6 3 × = = = 15 8 15 × 8 5×2 5 Ejemplo: 5 2 1 ¡LISTOS. 10 3 1 1 restar 5. 14 b. 14 c. III d. 14 d. 5 b. Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada: COLEGIO TRILCE Página 45 . 15 e. II c. A TRABAJAR! 1. 10 b. I b. 5 d. 10 e. 9 7 6 5 8 a. I y III e. 14 e. 25 d. 9 3. 15 21 6 9 × 8 12 8 16 4 3 8 6 COLEGIO TRILCE Página 46 . 9 b. 5 c. 5 b. 25 e. B 3 5 2 2 9 5 2 4 3 3 5 a. 6 e. 10 e. 25 DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Simplificar: 1 1 1 2 3 1 3 4 3 7 8 3 1 1 11 1 10 a. 50 b. Simplificar: 6 36 12 3 90 15 8 12 3 9 7 2 1 a. Calcular "A × B". 9 5. Completar el siguiente cuadro. simplificando el resultado de la operación indicada.1 d. 9 c. 5 d.ARITMETICA 2 1 4 6 × 3 5 7 10 5 3 1 4 2. B 5 4 3 5 2 3 4 calcular: "A × B" 2 1 3 1 a. 3 b. Se sabe que: 3 1 4 4 1 2 3 A 1 . 2 e. 28 d. 4 4. 10 c. 50 c. si: 3 3 5 3 1 18 A . 9 e. Si: 9 6 8 6 10 21 calcular "A × B" 6 3 9 15 10 a. 3 d. 54 c. a. 5m e. 4 4. 56 3. 4 e. 4m d. 5 b. Simplificar: 2 15 5 3 1 3 16 11 3 5 5 a. 2m b. 9 d. ¿Qué longitud de la tela nueva hace falta emplear para tener 20 metros cuadrados de tela después de mojada? Esta tela antes de ser mojada tenía 8 metros de ancho. 5 DESAFÍO 1 1 Una tela se encoge al ser mojada 4 de su longitud y 3 de su anchura. 3 b. 2 b. 5 d. 3 c. B 2. 9 c. 3m c. Se sabe que: 2 1 1 6 3 4 5 A 2 . 9 5.ARITMETICA 4 18 9 5 3 9 A . 6m COLEGIO TRILCE Página 47 . 6 e. Simplificar: 8 14 36 12 15 27 40 42 18 4 3 4 2 7 6 a. 56 d. 5 c. 56 b. B 3 2 4 5 4 5 6 calcular "A × B" 1 1 2 1 3 a. 56 e. ARITMETICA IV. Hallar el valor de "A × B". 26 c. 3 e. DIVISÓN a c Para dividir una fracción b entre otra no nula d . 10 c. 7 d. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas 3 1 5 6 2 2 3 8 1 2 3 5 2. 11 1 11 3 22 26 a. equivale a multiplicar la primera a c fracción b por la inversa de la segunda d . B 7 5 1 1 4 3 COLEGIO TRILCE Página 48 . 7 45 13 90 II. 7 b. 5 b. 7 e. A TRABAJAR! 1. Es decir: a c a d a×d = × = b d b c b×c Ejemplo: 1 3 4 8 4 9 4×9 3 = × = = 6 9 6 8 6×8 4 2 2 ¡LISTOS. 11 3. 18 4 7 10 3 2 a. Escribir la expresión más simple equivalente a: 7 36 5 I. 22 d. si: 1 1 1 1 A 2 3. Calcular: 2 3 7 7 5 8 8 7 a. 4 d. 2 5. 3 e. 7 e. 4 b. 0 c. 1 d. 9 d. 9 c. Calcular: 1 4 18 1 6 1 1 15 2 3 2 9 3 4 5 2 5 8 3 9 7 a. 7 c. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas: 1 2 1 1 3 5 2 4 3 4 2 3 COLEGIO TRILCE Página 49 .ARITMETICA 8 24 12 15 6 a. 7 b. 8 e. 3 DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 9 4. 6 b. 15 a a a a 4) Resolver: 23 + 71 + 17 + 19 + 20 5) Resolver: 49 + 39 + 21 + 31 SUSTRACCIÓN EN N. 9a 522 3) Hallar el valor de "a": 1 2 3 9 .ARITMETICA ADICIÓN EN N. Hallar el minuendo. 1) La suma de los tres términos de una sustración es 4 820. 1) Resolver: 109 + 291 + 300 + 150 + 50 2) Hallar el valor de "a": 1a 2a 3a .. 2) La suma de los tres términos de una sustracción es 144 y además el sustraendo es el doble de la diferencia..... COLEGIO TRILCE Página 50 . q = 23.20 1 kg papa 1kg papa 0.50 2kg arroz 1kg arroz 1. forma tres grupos (grandes.20 1 leche 1 leche 1. COLEGIO TRILCE Página 51 . hallar el valor de "q". r = 5. ganando $1 300. medianos y pequeños). Si se sabe que el residuo es 9. Si se sabe que en cada grupo hay 9 pedazos y además se le perdieron 2 pedazos. el cociente es el triple del residuo. 1) Resolver: 2 | 10 | | 2 | | 2 | | 6 | | 4 | | 5 | | 2 | a. ¿cuánto es el precio de costo de la casa? MULTIPLICACIÓN EN N. 1) Resolver: 2) Resolver: 357 × 28 253 × 908 3) Resolver: 4) Resolver: 27a .3. Ricardo intentando recoger los pedazos. si se sabe que fueron repartidos equitativamente y sobraron 8 chocolates. el divisor dos unidades menos que el cociente. ¿Cuántos chocolates le tocaron a cada uno? 4) Un jarrón se parte en varios pedazos. 4) Hallar el valor de x + y.80 2 DIVISIÓN EN N. hallar el valor de "d" 3) Se reparten 348 chocolates entre 17 alumnos. d = 19. 1) Si: D = 347. hallar el valor del divisor.ARITMETICA 3) Hallar el complemento aritmético de 32 517. NÚMEROS ENTEROS Z. 2) Si: D = 560. sacar la cuenta: Precio 2kg pollo 1kg pollo S/.9a 7 × 12 + 7 × 8 .7 × 19 5) En la siguiente lista de compras. r = 8. pqr - rqp xy3 5) Si vendo una casa en $48 000. b. ¿En cuántos pedazos se rompió el jarrón? 5) En una división el dividendo es 684. 2 {4 + 5 [ 3 .( . 0.ARITMETICA (| 2 |) 2 | 9 | | 2 | | 24 | | 6 | | 15 | | 10 | (| 3 | | 6 |) 2 | 3 | | 4 | |4| c. 2132332415 e.8 (1 .15 × (. 1) .01 100 c.15} OPERACIONES CON FRACCIONES: Adición. 100 0. COLEGIO TRILCE Página 52 .4) 5) 1 .3 ) (5 . pues está formada por exactamente tres 1.8 [4 . si: | 8 | | 3 | | 1 | | 1 | | 5 | A | 2 | | 1 | 3) Determinar el valor de "2 B".3 + 6 × 8)] + 1 3) 6 ( .01 × 10 000 OPERACIONES COMBINADAS.1 × 0. d. donde: | 36 | | 4 | B | 8 | | 2 | | 20 | 4) La secuencia "22" se describe a si misma pues ella está formada por exactamente dos 2.3 (2) + (6 . 31123318 c. un 2.(2 × 3 . tres 3 y un 5. 41322324151618 5) ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor absoluto? a.5 + 2 (. 2) Hallar el valor de: 3 A 14 .001 × 100 b. 10 000 × 100 10 e.4) .2 × 8 + 10) + 1 ] . Analógicamente la secuencia "31123315" se describe a si misma.4) + 2 [ . 0.3 ) + 7 (.6 ] .2 × 8)] 2) .01 d. 3122331719 d.5 . 21322316 b.6) + 4 . ¿Cuál de las siguientes secuencias no se describe a si msma? a. 10 × 0.5) + 1] 4) [14 ( .3 × [ . 3 c. determinar el dinero que tenía al principio. 4 e. 2 b. Si después de efectuadas las compras le quedan S/. 12 del día. 5 e. S/. ¿Cuántas horas de tiempo libre le quedan? a. 2km b. ¿Qué distancia hay entre las casas de Andrea y Pedro? 7 9 a. 2 2 2) Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacén y 5 de lo que queda en otro almacén. 7 horas. para transporte y alimentación. a. finalmente. 4000 c. 6 COLEGIO TRILCE Página 53 .ARITMETICA 49 3 1) Andrea vive a 20 km a la derecha de su escuela y Pedro vive a 7 veces esa distancia. y. 3 c. para dormir. 2 d. 4 d. 10000 9 2 3) Carlos destina 24 del día para trabajar. 8000 e. pero a la izquierda de la misma escuela. 6000 d.2400.3600 b. ARITMETICA COLEGIO TRILCE Página 54 . ARITMETICA COLEGIO TRILCE Página 55 . TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616 .ARITMETICA II BIM. ...................................................Fracción generatriz .............63 å Repaso ...........27 å Conjuntos .. 69 COLEGIO TRILCE Página 2 ......................................31 å Clases de conjuntos.....................21 å Relaciones entre las cuatro operaciones ..........5 å Operaciones con números decimales ....41 å Operaciones entre conjuntos .....................................ARITMETICA Índice Pág ............13 å Operaciones combinadas en Q ............................... å Notación decimal de los números racionales (Q) .....................47 å Problemas con conjuntos ....................................................................................................................... . 1.5 Números Decimales • 2.5(9) Descomponiendo el numerador Fracción decimal (Demostración) en forma polinómica: Si consideramos a la fracción: 36759 = 30000 + 6000 + 700 + 50 + 9 36759 1000 la fracción decimal quedaría así: 30000 6000 700 50 9 1000 COLEGIO TRILCE Página 3 .ARITMETICA Identifica los números racionales (Q).. 2.. -3.} b donde: "a" es el numerador y "b" es el denominador. 0.9(10) Números Avales • 642. en algunos casos la división será inexacta y generaría un número que en el caso del sistema decimal se llama número ______________.. Si dividimos los dos términos "a" que es el numerador y "b" que es el denominador. donde: Z = {. 3 7 2 2 3 -1 5 0 -2 1 3 9 2 0 3 7 -2 -3 ¿Cómo sabemos si es un número racional? "Un número racional (Q) puede expresarse como el cociente de dos números enteros" y se escribe así: a Q={ / "a" y "b" Z y b 0}. -1. ¿Cómo crees que se llaman los siguientes números? • 1. 3.. -2. .5(7) Números Inexactos • 38. ARITMETICA simplificando: 7 5 9 7 5 9 30 + 6 + + + = 36 + + + 10 100 1000 10 100 1000 que se lee: 36 _____________ + 7 ____________ + 5 ____________ + 9 ____________ Resulta entonces.. y de este modo. décimas. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones y cuál es su notación decimal? 8 10 = _______________________________________________ = ________ 53 100 = _______________________________________________ = ________ 18 1000 = _______________________________________________ = ________ COLEGIO TRILCE Página 4 . 10 b. 0 2. y el escrito a la derecha de la coma se llama parte ___________________ o __________________. ¿Cuál de las siguientes fracciones no son "fracciones decimales"? 8 1152 9 978 9 27 a. milésimas. 3 f. así: Se llama NÚMERO DECIMAL a la expresión en forma entera de una 36759 fracción decimal. centésimas. que toda fracción puede descomponerse en unidades. 100 c. 1000 e. etc. = 36. 4 d.759 CARACTERÍSTICA MANTISA A PRACTICAR LO APRENDIDO 1.759 1000 El número decimal consta de dos partes: el número escrito a la izquierda de la coma se llama parte _________________ o ___________________________. puede expresar en forma entera la fracción decimal anterior. Del ejemplo anterior: parte entera parte decimal 36. En un número decimal encontramos: • A la derecha de la coma = ________________ • A la izquierda de la coma = ________________ COLEGIO TRILCE Página 5 ..ARITMETICA 102 10000 = _______________________________________________ = ________ 3. Escribe la fracción decimal y su notación decimal. • 8 centésimos = _________ = _________________ • 19 milésimos = _________ = _________________ • 115 diezmilésimos = _________ = _________________ • 9 cienmilésimos = _________ = ________________ 4. a b c d e REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 3. xyz. Escribe 4 números racionales expresados como el cociente de dos números. Escribe con tus propias palabras qué es un número aval. Completa el siguiente esquema: Parte _________ Parte _________ . Demuestra por qué: 42379 1000 es igual a 42 unidades + 3 décimos + 7 centésimos + 9 milésimos 4. ___________ ___________ ___________ ___________ 2. 1. COLEGIO TRILCE Página 6 . 1000 ( ) 97. _____ h.23 97324 d. menos tres milésimos? FRACCIÓN GENERATRIZ Todo número decimal tiene su equivalente en forma de fracción. 30. 68. 1. Se escribe la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.423 b. _____ k. 7546 centésimos ( ) 75. = Denominador 3. 0. Se escribe el número formado por todas las cifras de la parte entera y decimal (sin la coma).18 c. Relaciona correctamente: a. 14 milésimos = _________________ 97324 c. _____ l. _____ j. El número decimal 1.75 tiene dos cifras en la parte decimal. Caso I: "Cuando el número decimal es exacto". 1000 = _________________ DESAFÍO ¿Cuál es el resultado de: ocho décimos más 132 centésimos. se simplifica la fracción.46 423 c.ARITMETICA 5. * Ejemplo: a.23 d. La fracción que genera un número decimal se llama "Fracción Generatriz".25 b. Escribe la notación decimal: a. 0.75. 1315 diezmilésimos ( ) 0.85 g. 100 = _________________ 26381 d.5 f.1315 6. Si se puede. _____ i. 0. entonces le corresponde la Numerador unidad seguida de dos ceros. ___________ = numerador 2.75 e. 100 ( ) 4. _____ Procedimiento: Hallar la fracción generatriz de 1.324 ( ) 0. 7 centésimos = _________________ b. 4515151.. 9. 7. 3. Se escribe el número formado por todas las cifras de la parte entera y decimal (sin la coma) y se le resta la parte no periódica. 0. Denominador 3.ARITMETICA Caso II "Cuando el número decimal es periódico puro o periódco mixto". ¡ A PRACTICAR LO APRENDIDO! Caso I: Hallar la fracción generatriz: a. 0. 0. 9.154 .123 c. 9. por la cifra no periódica.1232323.333. _________ f.125 = Caso II: Hallar la fracción generatriz: a. _________ Procedimiento: Hallar la fracción generatriz de 2. _________ g. 0. a. 0..154 tiene dos cifras en el período.1518 = COLEGIO TRILCE Página 7 .. 3. 8.23 = d.. Se escribe un nueve por cada cifra del período y un cero por cada cifra no periódica que está dentro de la parte decimal.18 = c.. se simplifica la fracción.623 = f. un cero.451 e.25 = b.161616. _________ h. ___________ = Numerador 2. 3. entonces le corresponde dos cifras Numerador = nueves y.12 = b. * Ejemplo: 0. 4.16 d. 0. 0. 0....16 = c.3 b. 1. Si se puede.16 = e.15 = d. El número decimal 2. 0.76 = f.76 = b.3 = d.24 5.254 5. 21. 1.50 - 3. 0.012 = c.1 = b.26 COLEGIO TRILCE Página 8 .. además: A. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMERO DECIMALES Para sumar números decimales.ARITMETICA REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS Caso I: Halla la fracción generatriz: a. Ejemplo: • Sumar: 5. 13.5 . si "a" excede en 4 a "b".614 7.333 = Caso II: Halla la fracción generatriz: a. 0.3. colocando la coma en el resultado.58 = e. 5.36 + 0.) y se suman como si fueran enteros.7666. 0. 10. se escriben ordenadamente en columnas (décimos sobre décimos.360 + 0. centésimos sobre centésimos. DESAFÍO Hallar: .08 = d.. etc.24 4. 0.72 = c.254 • Restar: 7. 372.0.7 × 2 cifras decimales 0. se separan con una coma las cifras decimales que tienen en total ambos factores.5 e.476 c.26. en el producto. Ejemplos: COLEGIO TRILCE Página 9 .612 h.0002 j.54 + 0.56. 62. 124.3 + 472.45 1 cifra decimal 2.231 . 4. 3.2514 B.83 + 16.8 + 2.3 .47 + 3. 41. Ejemplo: Multiplicar 2. 26.0.2 .0.4 + 193. 0.0.7 × 0.42 g.1839 i.0 + 15.05 b.6 .8 + 40.368 .4 f. se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia.58 . Resuelve: a.45 135 108 1.6 d. 0.215 3 cifras decimales Para multiplicar un número decimal por una potencia de 10.ARITMETICA A PRACTICAR LO APRENDIDO I. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para multiplicar números decimales se procede como si fueran enteros y. 2. 42 × 10 h. 2. 42.42 × 100 k.0008 × 100 l. 6. 0. 6. 2. 3. COLEGIO TRILCE Página 10 .04 e. 15.54 × 2.6 c.7 × 0.1 División de un decimal por la unidad seguida de ceros Cuando se divide un número decimal entre la unidad seguida de ceros. Efectúa las siguientes multiplicaciones: a.8 × 0.6547 × 10 = 36. 36. 3. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES C.4 × 3.6 × 13. la coma corre hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor.321 × 10000 C.ARITMETICA a.6547 × 10 = 365. 63.7 A PRACTICAR LO APRENDIDO I. 2.6547 × 10 = 3654. 0. 3.2716 × 10 i.547 b.72 × 6.47 c. 54.4 b.02 d.7 g.125 × 100 j.5 f. A PRACTICAR LO APRENDIDO a. 7. 8. 1352 710 Luego se divide como enteros.1 Multiplicamos ambos términos por 10. Ejemplo: • 13.13132 • C. 0.35 10 = 6. 93 + 15.132 100 = 0.222 1000 REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS I.2 3.16 2.8 + 3.721 10 h.56 58 e.52 7.12 f. Adición a. 81 + 0. 7.535 • 13.1 b. 27. 19 + 0.7 2 c. 23.84 + 7 c. hasta lograr cifras enteras. 5. transformando los números decimales en enteros.ARITMETICA Ejemplo: 65.32 5.27 10 i. 232.32 100 j. completando los espacios vacios con cero. 6.36 2.42 g. sucesivamente.132 + 31 COLEGIO TRILCE Página 11 .3 d.003 d.15 b.3 + 0. 24. 9.2 División de un número decimal por un entero Para esto multiplicamos el dividendo y divisor por la unidad seguida de ceros como sea posible. ARITMETICA II. Sustracción a. 0,3 - 0,17 b. 0,39 - 0,184 c. 0,735 - 0,5999 d. 8 - 0,3 III. Multiplicación a. 0,5 × 0,3 b. 0,17 × 0,83 c. 0,324 × 1000 d. 8,114 × 10000 IV. División: a. 8,096 3,2 b. 1,508 2,6 c. 16,134 100 d. 2,5 1000 V. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a. (0,025 × 0,075) 0,5 + 0,35 b. (0,3 3)2 × 5 c. (0,12 × ) + (7 0,05) d. (0,5 + ) ( + 0,25) Continúa esforzándote, porque el éxito depende de ti. DESAFÍO 3 ,666 ... 5 ,3333 ... Efectuar: 4 ,888 ... 13,111 ... COLEGIO TRILCE Página 12 ARITMETICA Resolución de problemas con enunciados A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. Pedro tiene S/.5,64; Ariana S/.2,37 más que Pedro y Ximena S/.1,15 más que Ariana. ¿Cuánto tienen entre los tres? 2. Se adquiere un libro por S/.4,50; un par de zapatos, por S/.2 menos que el libro; una pluma fuente, por la mitad de lo que costaron el libro y los zapatos juntos. ¿Cuánto le sobrará al comprador después de hacer estos pagos, si tenía S/.15,83? 3. Ivanna, que tiene S/.0,60, quiere reunir S/.3,75. Pide a su padre S/.1,75 y éste le da 17 céntimos menos de lo que le pide; pide a su hermana Xiomara 30 céntimos y ésta le da 15 céntimos más de lo que le pide. ¿Cuánto le falta para obtener lo que desea? 4. Un camión conduce cinco fardos de mercancías. El primero pesa: 72,675 kg; el segundo, 8 kg menos que el primero; el tercero, 6,104 kg más que los dos anteriores juntos; y el cuarto, tanto como las tres anteriores. ¿Cuál es el peso del quinto fardo si el peso total de las mercancías es 960,34 kg? 5. La altura de Katherine es 1,85 metros y la de una torre es 26 veces la altura de Katherine menos 1,009 metros. Hallar la altura de la torre. 6. La suma de dos números es 15,034 y su diferencia 6,01. Hallar los números. 7. Una caja de cartas "Yu-gi-oh" vale $4,75 y algunas cartas "mágicas" valen $3,75 más que la caja de cartas. ¿Cuánto valen algunas "cartas mágicas"? 8. La diferencia de dos números es 6,80 y su cociente 5. Hallar los números. 9. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34 pies. De un extremo a otro de un terreno de tenis, da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno? 10. El vino de un tonel pesa 1962 kg. Si cada litro de vino pesa 0,981 kg, ¿cuántos litros contiene el tonel? COLEGIO TRILCE Página 13 ARITMETICA REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Simplifica: (0,03 0,456 8) 6 25 ,458 2. Simplifica: 0,5 3 0,6 0,03 0,5 0,08 8 0,1 0,1 0,01 3. Un hombre se compra un traje, un sombrero, un bastón y una billetera. Esta le ha costado S/.3,75; el sombrero le ha costado el doble de lo que le costó la billetera; el bastón, S/.1,78 más que el sombrero; y el traje, cinco veces lo que la billetera. ¿Cuánto le ha costado todo? 4. Tenía S/.14,25 el lunes; el martes cobré S/.16,89; el miércoles cobré S/.97 y el jueves pagué S/.56,07. ¿Cuánto me quedó? 5. Un comerciante hace un pedido de 3000 kg de mercancías y se lo envían en cuatro partidas. En la primera le mandan 71,45 kg; en la segunda, 40 kg más que en la primera; en la tercera, tanto como en las dos anteriores y en la cuarta lo restante. ¿Cuántos kilogramos le enviaron en la última partida? 6. Se reparte una herencia entre tres personas. A la primera le corresponden $1245,67; a la segunda, el triple de lo que la primera más $56,89; a la tercera, $76,97 menos que la suma de lo de las otras dos. Si además, se han separado $301,73 para gastos, ¿a cuánto ascendía la herencia? 7. La suma de dos números es 1,05 y su diferencia es 0,45. Hallar los números. COLEGIO TRILCE Página 14 ARITMETICA Sabías que . . . Para resolver las operaciones combinadas hay que tener en cuenta los siguientes conjuntos: N, Z, Q. * Donde: Q Z Diagrama de - N = {0, 1, 2, ......., a} - Z = {...; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; ...} N Venn Euler 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; 0; ; ; ; ; - Q = {...; 2 3 4 5 5 4 3 2 ...} Es decir: - N representa al conjunto de los números naturales. - Z representa al conjunto de los números enteros. - Q representa al conjunto de los números racionales * Caso I: En este caso, en primer lugar se agrupan los números enteros positivos y los enteros negativos, luego se halla la suma: • Ejemplo: Sumar: +4 - 5 + 8 + 9 + 15 - 6 - 6 + 7 (+4 + 8 + 9 + 15 +7) (-5 - 6 - 6) +43 - 17 +26 * Caso II: En este caso, primero se suprime los signos de agrupación,y luego seguir con los pasos como el caso anterior. • Ejemplo: COLEGIO TRILCE Página 15 (-18 . y finalmente las sumas y restas.10 .18) . 1er lugar: la potenciación y radicación.18 . d en t r o d e l p a r én t esi s.18 .[+10 + 20 . • Ejemplo A: (-6) (+2) + [18 .10 + 5) S ig n o (+) n o c a m b i a n d e Sig n o (.5 = (-12 .35 -8 • Ejemplo B: 1 ( 11 )( 2)5 ( 256 ) (2)(3) 64 1 ( 11 )( 32 ) 16 ( 2)(3) 64 COLEGIO TRILCE Página 16 . 2do lugar: la multiplicación y división. = -12 + 13 .20 .35 +27 .ARITMETICA Sumar: +(-12 + 13 .) c a m b ia d e s ig n o s lo s n ú m e r o s d e n t r o s ig n o s lo s n ú m er o s d el p a r én t esi s.9 (+3) × (-2 + 4) + 5 (-7) (-3) + [18 .3] × (+2) + (-35) (-3) + (+15) × (+2) + (-35) (-3) + (+30) + (-35) -3 + 30 .20 + 13 + 18 + 10 .10 .13] .5) (+13 + 13 + 18 + 10) = -65 + 54 = -11 * Caso III: Se resuelve teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones matemáticas. 1 + 5 .11 .7] . × × 1 1 2 6 16 1 5 7 12 7 × + + × × 1+ 8 12 3 7 3 5 4 1 2 1 4 1 5 7 12 11 1 + 3 + × × 7 3 5 4 4 3 11 Recuerda: Encontrar la solución de una operación combinada en Q. 5 .18 + 21 . +3 + 9 . teniendo en cuenta las prioridades de las operaciones. quiere decir encontrar un número que sea solución y que pertenezca Q.3 2. • Ejemplos: + + 1 1 16 1 5 1 2 3 ×2 ×2 1+1 2 4 12 3 7 3 5 4 a.(-6) +354 + 6 +360 * Caso IV: Se procede como en el caso anterior. b.2 .ARITMETICA 2 1 (-11) (-32) + × 16 .18 + 21 . es decir.3 + 9 b.[ . [ .(-2) (3) 81 +352 + 2 .3 b. LISTOS … A TRABAJAR 1.11 + 15)] COLEGIO TRILCE Página 17 . Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas: a. Halla: a.6) .12 + 5 .9 .5 + 5 .8 . pero esta vez se operará con números fraccionarios. -3 + 10 + 3 .[ .8 .(3 .( .3) + 7] .( . Hallar el valor de: COLEGIO TRILCE Página 18 . (-6) (+2) + [18 .10 + 5) + 1 .4] .4 + 2 .(+3 + 2)] + (-4)} . Determina el valor de: 8 1 2 3 5 1 27 4 3 1 1 2 5 7. 8. Resolver: a.16} × (-1) + 79 b. Indicar la suma de cifras de la fracción irreductible del resultado de: 2 3 5 3 27 6 10 100 DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.[(+1) + (-4 + 1)] b. Simplifica la siguiente expresión numérica: 4 2 9 3 9 1 5 3 2 4 3 3 9.10 + 5 .9 (+3) × (-2 + 4) + 5(-7) 5.5 . . luego indica cuál es el numerador de la fracción impropia. {[ .3} 4. Desarrolla los siguientes ejercicios: a.2] . Resuelve: a.5 + 10 . Halla el valor de "A × B" si: 0 3 1 A y 8 30 36 2 1 2 B 64 3 2 6. -100 + 400 + 500 . Resta 3 de 5 .1000 .{ .300 b.12 + 2 2. {14 .[ . Halla el resultado de: 3 2 2 4 25 3 3 9 100 2 10.13 .ARITMETICA 3.( .10 × [32 + 6 × (-5) . +3 + 10 . (1 + 2 .4 .ARITMETICA a. Calcular el valor de "T × O". (-4 + 3) (-1) + [3 .3 + 1 .38 + 38 .7 .2 × (5 . si: 3 27 2 15 T y O 9 36 5 4 7 2 10 J J 7. Simplificar: 10 2 1 2 3 2 8 3 3 3 12 2 2 1 4 6 16 3 3 3 3 COLEGIO TRILCE Página 19 .7) 4. Si: 15 15 .12 .2 . el valor de: 15 es: 8. Resolver: a.(-6)2 (9) 6.(-8) (+2)] + (-9) (+3) 5.38 + 76)} .[.20 + 8) . Simplificar la siguiente expresión numérica: . Calcular: 0 1 3 1 2 1 4 5 2 4 3 9.( . si: 2 1 4 2 3 1 80 E 3 3 2 2 4 5 11 3 1 3 3 10.38 .70 × [2 .3 + 3 × 2] b.[21 + 16 . . Hallar el valor de (140 × E)1500.5 × 4) .3) + 1] .(2 + 5)] 3. (4)2 (32 ) 169 b. 144 .4] .7 + 4 . 70 . 16 8 × 8 . .[(-13 . Calcular: a.(15 + 3)] b.( .[.17 + 17 .{ . b). Hemos visto que la suma de dos números más su diferencia es igual al doble del mayor. luego: S+D S-D a= b= 2 2 Ejemplo: La suma de dos números es 124 y su diferencia 22.ARITMETICA DESAFÍO Un niño se propone resolver 20 problemas de fracciones: 2 . Siendo (a > b).73 = 51 entonces. ENTRE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE DOS NÚMEROS Si conocemos la suma (S) de los dos números y la Diferencia (D) de los mismos. MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN. luego: 124 + 22 = 146 = duplo del mayor. COLEGIO TRILCE Página 20 . así entre las más importantes. El primer día resuelve 5 del total. la suma (S) es: (a + b) y la diferencia (D) es (a . la ADICIÓN. 3 . El segundo día resuelve 4 del resto. el resultado es el doble del mayor y si lo restamos el resultado es el doble del menor. los números son 73 y 51. ¿Cuántos problemas quedan aún por resolver? Cuando relacionamos las cuatro operaciones fundamentales entre los números naturales nos referimos a aquellos ejercicios en los que participa. entonces. SUSTRACCIÓN. tenemos: I. el menor será: 124 . Ahora la suma de los dos números es 124. Hallar los números. si sumamos ambas relaciones. Entonces: 146 2 = 73 será el número mayor. siendo el mayor 73. Aplicando y reconociendo los datos como: S = 102 y q = 5. el menor de ellos se obtiene dividiendo la diferencia (D) entre su cociente (q) disminuido en 1. entonces el menor sería: 102 (5 + 1) = 102 6 = 17 y el mayor sería: 102 . siendo: (a > b) D b= q-1 entonces: Ejemplo: La diferencia de dos números es 8 888 y su cociente 9. III. entonces si el menor es 1 111 y como la diferencia de los dos números es 8 888. se obtiene el menor de los dos números. luego.17 = 85. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 45? 45 es el número que se busca más dos veces dicho número. el número buscado será: 45 3 = 15 b. ¿Cuál es el número? COLEGIO TRILCE Página 21 . Hallar los números. ENTRE LA DIFERENCIA (D) Y EL COCIENTE (q) DE DOS NÚMEROS Conocida la diferencia (D) y el cociente (q) de dos números. si: a . Hallar los números.ARITMETICA II. luego: a q si: a + b = S y b (a > b) S b= q+1 entonces: Ejemplo: La suma de dos números es 102 y su cociente 5. Multiplico un número por 6 y añado 15 al producto. OTRAS APLICACIONES Ejemplos: a.b = D y b . entonces. Aplicando la relación anterior.1) = 8 888 8 = 1 111. resto 40 de esta suma y la diferencia la divido entre 25. o sea. luego: 1 111 + 8 888 = 9 999 IV. el triple del número buscado. el número mayor se hallará sumando el menor con la diferencia de ambos. obteniendo como cociente 71. ENTRE LA SUMA (S) Y EL COCIENTE (q) DE DOS NÚMEROS Cuando se divide la suma (S) de los dos números entre su cociente (q) aumentado en 1. a q En efecto. el menor es 8 888 (9 . la diferencia es: 71 × 25 = 1 775. Hallar los números. Un hotel de dos pisos tiene 48 habitaciones.15 = 1 800. ¿Cuánto vale la botella y cuánto vale el tapón? 6. A este resultado. 8.ARITMETICA Esta clase de problemas se comienza por el final y se van haciendo operaciones inversas a las indicadas en el problema. le sumamos 40: 1775 + 40 = 1 815 A 1 815 se le resta 15: 1 815 . 1 775. COLEGIO TRILCE Página 22 . 7. Hallar los números. La mitad de la diferencia de dos números es 60 y el duplo de su cociente es 10. este 71 proviene de dividir entre 25 la diferencia. Hallar los números. Como el resultado final es 71. La diferencia de dos números es 150 y su cociente 4. y en el segundo piso hay 6 habitaciones más que en el primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? 5. Hallar los números. 2. Hallar los números. ¿Qué edad tiene cada uno? 9. El duplo de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de su cociente 36. La suma de dos números es 1 250 y su diferencia 750. ¿Cuántas bolitas tiene en cada mano? 4. 3. Hallar los números. Una botella y su tapón valen 80 céntimos y la botella vale 70 céntimos más que el tapón. El triple de la suma de dos números es 1 350 y el duplo de su diferencia es 700. luego. La edad de "A" es cuatro veces la de "B" y ambas edades suman 45 años. 1 800 se divide entre 6: 1 800 6 = 300 ¡LISTOS … A TRABAJAR! 1. Un muchacho tiene 32 bolitas entre las dos manos y en la derecha tiene 6 más que en la izquierda. 10. y finalmente. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. 20 más que los peces. 8. La mitad de la suma de dos números es 850 y el cuádruplo de su diferencia es 600. 10. La suma de dos números es 3 768 y su cociente 11. 3. 2. y cuando "B" nació. hallar los números. Entre "A" y "B" tienen S/. Hallar los números. Hallar ambas edades actuales. La suma de dos números excede en 3 unidades a 97 y su diferencia excede en 7 a 53. "A" tenía 12 años. 7. La suma de dos números es 45 678 y se diferencian en 9 856. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años. Hallar los números.ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.2 816 y "B" tiene la tercera parte de lo que tiene "A". ¿cuánto vale la pecera y cuánto los peces? 4. Si actualmente nuestras edades suman 56 años. ¿Cuánto tiene cada uno? 9. ¿cuál es la edad de Ricardo? COLEGIO TRILCE Página 23 . La diferencia de dos números excede en 15 a 125 y su cociente es tres unidades menor que 11. Hallar los números. DESAFÍO Dentro de 7 años mi edad será 8 años más que la de Ricardo. y la pecera vale S/. Una pecera con sus peces vale S/. Hallar los números. 5. Hoy la edad de "A" es cuatro veces la de "B". ¿cuáles son las edades actuales? 6. Si 800 excede en 60 unidades a la suma de dos números y en 727 a su cociente. Hallar los números. La edad de un padre y la de su hijo suman 90 años.260. i. personas.r .i. los seres humanos vivimos rodeados de conjuntos: alumnos. a los cuales se les denomina elementos del conjunto.c.e Si a este conjunto "A" lo representamos a través del diagrama de Venn Euler. II. NOCIÓN O IDEA DE CONJUNTOS Intuitivamente se entiende por conjunto.r. etc.l.i. • Ejemplo 1 Al grupo de letras de la palabra "trilce". e Si a este grupo de letras se le representa por "A".ARITMETICA Sabías que: "Uno de los temas más importantes para el desarrollo de las matemáticas lo constituye la "TEORÍA DE CONJUNTOS".c . reunión o colección de objetos debidamente determinados. se graficará como: A .l. Nosotros.t .i . l. c. carpetas. REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS A los conjuntos generalmente se les representa por letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos por letras minúsculas separadas por comas y encerradas entre llaves: { } o escribiendo entre llaves la propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto. a la agrupación.l . r. se puede escribir lo siguiente: A = {t. I.r.e COLEGIO TRILCE Página 24 . También lo podemos representar a través del Diagrama de Venn Euler que se trata de curvas simples y cerradas.e} El cual se lee: "A" es el conjunto cuyos elementos son: t. libros.c. las cuales son: t. ..... B ¡Qué fácil! Si el elemento forma una parte del conjunto diré que pertenece () y si no forma parte del conjunto diré que no pertenece () COLEGIO TRILCE Página 25 .1 1 A 9 A 6 A 4 A • Ejemplo 2: Dado el conjunto "B": B = {t..c...6 ....8 .. La relación de pertenencia se da de elemento a conjunto..... B s ... mediante llaves y el diagrama de Venn Euler...ARITMETICA Ejemplo 2 Representar al conjunto B. B n . B a ..3 3 A 5 A ... Entre llaves En diagrama de Venn Euler B B = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} Veamos: III......... RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece () a este conjunto. B e .2 7 A 8 A ..... en caso contrario se dirá que no pertenece () a dicho conjunto. B y ... B r ... cuyos elementos son los números impares menores que 12.r............e}.....i. B l . Se tiene que: t ..7 .......l.... • Ejemplo 1: Del siguiente diagrama de Venn Euler: Se tiene que: A . A .2 A = {______________________} .3 .12 C = {______________________} .7 D .8 .ARITMETICA ¡LISTOS… A TRABAJAR! 1.4 .15 .12 .1 . C . C A = {______________________} .9 B = {______________________} . A = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} COLEGIO TRILCE Página 26 .10 A = {______________________} A . a.6 .1 .16 . representados por las letras mayúsculas: • "A".5 .6 .4 .3 .11 .8 .11 .13 d.16 .4 C = {______________________} . Utilizando las llaves. escribe los siguientes conjuntos.1 .7 B .14 .13 .10 . .2 .1 B B = {______________________} A .13 . cuyos elementos son las siete notas musicales.2 . Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto.7 B .8 D = {______________________} .9 .2 B = {______________________} .11 .15 .6 B = {______________________} .5 .14 .5 C = {______________________} .4 C c.12 .5 .3 .10 .9 .3 .6 .8 A = {______________________} .7 B A b. Representa en diagramas de Venn Euler cada conjunto: a.. B = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} • "C"... C • u . s...... B • 7 .u}. 7.... cuyos elementos son los nueve primeros números impares.... D • 6 .. D • p . C = {1......... A • 4 .. Selva} d.q....u} Escribe los signos "" (pertenece) o "" (no pertenece) según corresponda: • 2 .....o. B = {2. D • 9 . P = {1..i..e. cuyos elementos son los días de la semana.. 9} b.. B • t .s. 5.. u. 3.. A • 3 . 4. 9}... D • e .... 5. 8. D = {p. R = {Costa... A • 6 ........ 7. Sur..... Sierra.. Oeste} c....... A • 5 ...... o} Demuestra lo aprendido Dados los conjuntos: A = {a........r. t.. C • i .... d... D • i .......... 10}.. 6..... Este. C • 10 .. D • 1 .... B • r .t....... N = {Norte... A • 5 .............. B COLEGIO TRILCE Página 27 . A • 10 . Q = {e...ARITMETICA • "B". C • a . i. cuyos elementos son los números pares mayores que 8 y menores que 20.......... 3.. D = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} • "E".. E = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} 3.. C = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} • "D"....... cuyos elementos son las cinco primeras consonantes del alfabeto.. A = {números impares menores que 12} simbólicamente se escribe: A = {x/x N. En cada caso construye un diagrama para cada conjunto: a.11 .3 .15 . la.9 .10 .11 .10 A . 6 < x < 12} DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS I. N = {1. Veamos el ejemplo anterior.6 . mi. fa. x < 12} COLEGIO TRILCE Página 28 . 29} d. re. Q = {x + 2/x N. 6. sol. C b.14 . a. Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto. si} b.5 . Por Comprensión Cuando solamente se dice la característica común que tienen todos sus elementos.18 .8 . 18} c.12 . 19. 23. "x" es impar.9 . 9.6 . Ejemplo: El conjunto de los números impares menores que 12 Veamos: A = {____________________________________} b. C B . Por Extensión: Cuando se nombra a cada uno de sus elementos. "x" es impar.13 .1 . 13.3 B .16 A .8 D .5 .2 . 15.ARITMETICA 2.7 . M = {do.4 .2 . DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se determinan de dos formas: a.1 .7 A = {______________________} A = {______________________} B = {______________________} B = {______________________} C = {______________________} C = {______________________} D = {______________________} 3.17 . P = {9.4 . S = {x/x N. n(C) = ______ f. 2. Ejemplos: • Dado el conjunto: A = {2. D = {2x + 5/x N. Se denota n(A) y se lee cardinal del conjunto "A" o número de elementos de "A". n(D) = ______ 2. II. 3. x < 10} _________________________________. 2} = {_______} entonces: n(A) = ___________ • Sea el conjunto "B". CARDINAL DE UN CONJUNTO Nos indica la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto. 3. además sus cardinales. P = {es una nota musical} P = {____________________________________}. Q = {es una vocal} Q = {____________________________________}. 7. 1 x < 10} _________________________________. "x" es par. 5 < x < 15} entonces: B = {_______________} y su n(B) es: ________ ¡LISTOS … A TRABAJAR! 1. si: B = {x/x N. hallar n(B). 8. n(S) = _____ c. tal que "x" es un número natural e impar menor que 12. 6. B = {x2 + 2/x N. a. 9} _____________________________________________________ COLEGIO TRILCE Página 29 . A = {1. Determina por extensión los siguientes conjuntos. 3. 4 < x < 10} S = {____________________________________}. 3. "x" es par. 4. C = {x2 . n(Q) = _____ d. n(P) = _____ b. 5. "x" es par. 3 < x < 9} _________________________________. 3.ARITMETICA y se lee: "A" es el conjunto formado por los elementos "x". n(B) = ______ e.3/x N. 4. 2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos: a. "x" es impar. Observa los diagramas.... 12.... 25} ____________________________________________________ • C = {1. S = {es un mes del año} 2.. B 13 . 4. 16.. A 9 . B .13 .. 18} ________________________________________________________ d.. 16} ____________________________________________________ • D = {1. C 2 . 4. 2.... 10.6 ... 7. 30} ____________________________________________________ • B = {0... 5. 6. Q = {3x + 6/x N. B COLEGIO TRILCE C Página 30 .. 11. escribe los signos "" o "" según corresponda: a.. A 4 . C ..12 3 . 3 < x < 12} d.5 12 .. 20} ________________________________________________________ Demuestra lo aprendido 1. 8.. 12. 9.9 7 .2 B 4 .. 3..7 .. B = {5.. x 7} b.3 . 5. 10. P = {x + 5/x N... 13. 18. "x" es par. 24..1 6 . 9.. 6.. Determina por comprensión los siguientes conjuntos: • A = {6. 1..... B = {1..ARITMETICA b. A = {3. R = {x2 + 3/x N. 10. A .. 5 < x 12} c... "x" es impar. 11} ________________________________________________________ e. A . 9... B . 8.. 13} _____________________________________________________ c.... 7.4 . 12... 15.. 9. C = {4.10 . Determina por extensión los siguientes conjuntos y da su cardinal. C 5 .. 7.. a. 17} ____________________________________________________ 3. 16. D A . C .. CONJUNTO NULO O VACÍO Es aquel conjunto que no posee elementos... B .p t ... 6 e.t D . n(C) = 8.. d......b q .. abR II. solo I b. .. 4 b. {e} R ¿Cuáles enunciados son falsos? a...C] a...u .. B r ...... Se le representa como: "" o también así: { } .. {c}.n . Dado el siguiente conjunto: R = {a. 7 d.a DESAFÍOS 1..s r .. A m .. Si tenemos que: n(A) = 10... n(B C) = 5.. n(B) = 15. A t .. solo III d.. I y II e. 8 SEGÚN SU NÚMERO DE ELEMENTOS 1. Y se lee: el conjunto vacío. B . C b . n(A B) = 4. solo II c. A ..m s . II y III 2. 5 c....r ....q C n .. e} I... entonces el conjunto "A" es igual al vacío y se le representa así: A = COLEGIO TRILCE Página 31 . D c .B) .. Ejemplo: A = {x/x es un número impar que termina en 2} Veamos: como ningún número impar termina en 2.. b.... {{c}} C III.. n(A B C) = 2. D .c .ARITMETICA b. entonces hallar: n[(A ... "B incluye a A". Ejemplo: P = {x/x N. Se denota: "A B". 4. Conjunto de los números reales (R). "B contiene a A". Los conjuntos infinitos más conocidos son los conjuntos numéricos: o jo - - - Conjunto de los números naturales (N). . 5. si todos los elementos de "A" pertenecen al conjunto "B". B = {4.ARITMETICA 2.}. CONJUNTO INFINITO Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes. Conjunto de los números enteros (Z). 5. 5 < x < 7} Veamos: como 6 es el único número natural comprendido entre 5 y 7. 3}. . . . x > 2} Veamos: M = {3.Euler será: COLEGIO TRILCE Página 32 . . 4. INCLUSIÓN Se dice que un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B". como los elementos de "M" no tienen fin. 2. . . CONJUNTO UNITARIO Es aquel conjunto que posee un solo elemento. . . x < 8} Veamos: pasando a extensión el conjunto "A" se tendrá: A = {. . Ejemplo: A = {x/x N. . Al conjunto universal se le representa por: "U" Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1. ya que "U" contiene a los conjuntos "A" y "B". ."A es un subconjunto de B". . "B es superconjunto de A". 5. . entonces es un conjunto finito. Su diagrama de Venn . Se lee: . entonces es un conjunto infinito. 6} Luego: un conjunto universal será: U = {x/x N. . Conjunto de los números racionales (Q). . . . CONJUNTOS FINITOS Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada de elementos diferentes. 7. }. . . . . 1 x 6}."A está incluido en B". . Conjunto de los números irracionales (I). . entonces: P = {6} 3."A está contenido en B". . CONJUNTO UNIVERSAL Es aquel conjunto que contiene a todos los elementos de dos o más conjuntos en referencia. . SEGÚN SU RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 1. . . . 6. Ejemplo: M = {x/x N. . El conjunto vacío "" está incluido en todo conjunto "A": A.2 . ii. 3. CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos "A" y "B" son iguales sólo si tienen los mismos elementos. 6} y B = {1. En un conjunto sus elementos pueden ser escritos en cualquier orden.5 . COLEGIO TRILCE Página 33 . entonces podemos afirmar que: A = B ¡Ya veo! Quiere decir que si un conjunto "A" tiene los mismos elementos que otro conjunto "B". 2.8 ¡Ya entendí! Si todos los elementos de un conjunto "A" pertenecen a otro conjunto "B". u} y B = {x/x es una vocal débil} Veamos: los conjuntos "A" y "B" tienen los mismos elementos. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {i. 4. ambos conjuntos son iguales.7 . 4. diré que: "A es subconjunto de B". Observaciones: i. entonces afirmamos que: "A" está incluido en "B". 3.3 .6 . En un conjunto sólo se puede escribir una sola vez cada uno de sus elementos.ARITMETICA B A Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {2. lo cual lo indicamos de la siguiente manera: "A B". Observaciones: i.1 A . ii.Euler es: B . Se denota: A = B Se lee: el conjunto "A" es igual al conjunto "B". Su diagrama de Venn . 2. 8} Se observa que todo elemento de "A" pertenece al conjunto "B". 5. 7. 6.4 . Todo conjunto "A" está incluido consigo mismo y se denota: A A. no interesando el orden como están escritos. {x/x es una vocal} d. {do... 7..... Dados los conjuntos: A = {1.e.. 4. Escribe el símbolo "" o "" según corresponda: a... ( ) {3} A . entonces "A" y "B" son disjuntos..... C = {2. Su diagrama de Venn: A B "A" y "B" son disjuntos Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {2.. 4.. 6} Veamos: como los elementos de "A" son diferentes a los elementos de "B". 7}.. B = {1..... 5} y B = {1. 3..... 4... 2........... 6. C B .. 5} escribe los símbolos "" o "" en cada caso: C ..... sol} . 1} ....... D A .. 3... 5..... 3. ( ) COLEGIO TRILCE Página 34 ....... re.. 10} ... {a . i...... ( ) {{3}} A. m... B B ....... ¡Ya entiendo! Si todos los elementos de un conjunto "A" son diferentes a los elementos de otro conjunto "B". ( ) {{5}} A . CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos "A" y "B" son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. {2... D = {1.... entonces los conjuntos "A" y "B" son disjuntos..... {9. 6}.... 8.. {3}... r} ... ( ) {3} A .ARITMETICA 3..... {x/x es una nota musical} b........ A 3... A C ... Dado el conjunto: A = {2. 4. 5.. ¡ A PRACTICAR LO APRENDIDO ¡ 1.. {x/x es un número par} c.. D A ..... {x/x es un número impar} 2.{5}} Señala verdadero o falso: 2 A ....... 6........ 3. 5.... 6}. ( ) {2} A ... i.... ( ) 4 A . "x" es par.. Dados los conjuntos: A = {2x + 1/x N... B D . 3...... A = {x/x N.. 4. B A .... Dado los conjuntos unitarios: P = {2a ...... m + 2}..e} y N = {x/x N..l... 4... b + 2} halla "a + b" 5.... {2}. ( ) {1} A ... C = {3x/x N...... 7} y Q = {a. A A . M = {x/x es una vocal} y N = {2. 4} y C = {x/x N.... 2} y B = {10... 4} y E = {7..... x > 0} _______________________ d. 5 < x < 7} y Q = {2} _______________________ 3.. D = {11... 3 < x 11} C = {9.. 15}. En cada caso completa la clase de conjunto(s): A = {2x/x N.. 2 < x < 4} __________________________ M = {t. ( ) 2 A ....ARITMETICA 4.. D = {4. 4..... 1 < x < 5} __________________________ P = {3x/x N. halla "m2 + p2" donde: A = {2m + 6. x > 5} _______________________ b.. 15} escribe los signos "" o "" en cada caso C .. Dado el conjunto unitario: A = {6. halla "m" DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. "x" es impar. 4} _______________________ e.... {4}.. D D .... C C ..... 13.r. 7..... ( ) A…………… ( ) COLEGIO TRILCE Página 35 . Si: A = B... A 2.... ( ) 2 Ï A…………….... Completa en cada caso la clase o clases de conjuntos: a. B = {x/x N.. ( ) {6} A ... ( ) {{2}} A...3} 4. 6... 7. x < 8}...... x < 8} __________________________ R = {x/x N} __________________________ 5... D C . 11......( ) {6} A……….. A B .. P = {x/x N.. x < 100} __________________________ B = {2. 6} señala verdadero o falso: {2} A ..3... 7... Dado el conjunto: A = {1.. 8} _______________________ c..... B B ... p .c.. 5. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de "A" con todos los elementos de "B".ARITMETICA DESAFÍO Dados los conjuntos: P = {x/x es dígito y 3 x 8} Q = {x N/x . 4.3 = 2} x 1 3 R = {x N/} 2 Hallar: (P Q) R I. B A B A B A AB AB AB Ejemplos: 1. B = {3. en los tengan elementos no tengan ningún cuales. 4. su gráfico será: COLEGIO TRILCE Página 36 . 2. uno de ellos esté comunes elemento en común. Si: A = {1. Se denota: A B Se lee: A o B Se define: A B = {x/x Aox B} Representación gráfica: No disjuntos Disjuntos Comparables Para conjuntos que Para conjuntos que Para conjuntos. 6. 8} entonces: A B = {____________________________} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes. 7}. 7. incluido en el otro. 8. A TRABAJAR! 1. Así: A U = U ¡LISTOS …. 7. La unión de cualquier conjunto "A" con el conjunto universal. 7} entonces: M N = {____________________________} Como todos los elementos de uno de los conjuntos pertenecen al otro conjunto. es igual al mismo conjunto "A". DIAGRAMA Solución: COLEGIO TRILCE Página 37 . 9. 6. 10}. N = {3. es igual al conjunto universal. Q = {1. La unión de cualquier conjunto "A" consigo mismo. 7}. Si: M = {1. La unión de cualquier conjunto "A" con el conjunto vacío.ARITMETICA 2. 3. 4. "x" es impar. Sean los conjuntos: A = {4. PROPIEDADES a. Así: A A = A b. 10} B = {x/x N. (uno está incluido en el otro) su gráfico será: ¡Ya entiendo! En la unión de dos o más conjuntos se sombrean todos los conjuntos. 4. 9. 5} entonces: P Q = {____________________________} Como ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común. es igual al mismo conjunto "A". su gráfico será: 3. 3. Si: P = {2. Así: A = A c. 6 < x 13} = {_______________} Hallar "A B" y su diagrama de Venn Euler. 6. 6. 5. con sus respectivos diagramas de Venn. Dados los conjuntos: M = {2x + 1/x N. Sombrear en cada caso: a.c. Sean los conjuntos: DIAGRAMA P = {es una consonante de la palabra "trilce"} Q = {t.i.ARITMETICA A B = {_______________} n(A B) = {__________________} 2. 4.e} Hallar "P Q" y su diagrama de Venn Euler.r. "A C".1/x N. "B C".l. M N A P M Q N B COLEGIO TRILCE Página 38 . "x" es par. Dados los conjuntos: A = {3x . 1 x 6}. x < 5} = {_______________} N = {x/x N. Solución: P Q = {_________________________} n(P Q) = {_________________________} 5. 0 x < 8} y C = {x2 + 1/x N. A B b. P Q c. Solución: M N = {_______________} n(M N) = {__________________} DIAGRAMA 3. 4 x < 12} = {_______________} DIAGRAMA Hallar "M N" y su diagrama de Venn Euler. B = {2x/x N. x < 4} hallar: "A B". 4. 13}. 21 d. 12 c. Se denota: A B Se lee: "A y B" Se define: A B = {x/x Ayx B} Representación gráfica: COLEGIO TRILCE Página 39 . 1 < x < 10}. 4.3/x N. 6} calcular la suma de los elementos del conjunto A B a. "x" es par. 11. Dados los conjuntos: M = {2x . INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. -2 x < 4}. 5.8 II. B = {0. 23 3. 13 d. Sabiendo que: A = {x2/x Z.5 c. 5 b. 5 c. Dados los conjuntos: A = {3. 20 c. 9 2. Dados los conjuntos: A = {x + 1/x N.6 d. 5.ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 6 d. 4 b.1/x N. 4. 6 c. Q = {x + 1/x N. 7 e. 2. 14 e. 15 5.7 e. 7. 0 < x 4}. 22 e. 8} hallar: n(A B) a. 8 4. R = {2. x 5} hallar: n(A B) a. 3. B ={2x + 1/x N. B = {2. 1 x < 4} hallar la suma de los elementos del conjunto P Q. 8 e. 6} hallar: n(M R) a. 3 < x < 9}. 7. 11 b. 19 b. a. 4 b. 7 d. Sean los conjuntos: P = {x . 12} entonces: A B = {____________________________} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes.o. 11. B A B A B A AB AB AB Ejemplos: DIAGRAMA 1. es igual al conjunto vacío. elemento en común. Así: A = c. incluido en el otro. 9.e. uno de ellos esté comunes. PROPIEDADES a. en los tengan elementos no tengan ningún cuales. 5. B = {6. 7. Así: A A = A b. La intersección de cualquier conjunto "A" con el conjunto vacío. es igual al mismo conjunto "A". Si: P = {a. Si: A = {3.u} Q = {m.n. Así: A U = A COLEGIO TRILCE Página 40 .ARITMETICA No disjuntos Disjuntos Comparables Para conjuntos que Para conjuntos que Para conjuntos. 9. 10}.p} entonces: P Q = {____________________________} Como ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común. La intersección de cualquier conjunto "A" con el conjunto universal es igual al mismo conjunto "A". La intersección de cualquier conjunto "A" consigo mismo. su gráfico será: ¡Ya entendí! En la intersección de dos conjuntos se sombrea sólo la parte común a ambos. 6. su gráfico será: DIAGRAMA 2. 5. "Q N". 1 x < 5} Q = {x2/x N. x 4} N ={4x . Sombrear en cada caso: a. 9. "N M". 2. 11} Hallar "M N" y su diagrama de Venn Euler. Dados los conjuntos: P = {x . A TRABAJAR ¡ 1.1/x N. A B b. Solución: P Q = {_______________} n[P Q]= {______________________} 3.1/x N. Dados los conjuntos: M = {2x + 3/x N. x < 1} Hallar: "M Q". 2 x 10} = {_______________} DIAGRAMA : N = {1. Sean los conjuntos: M = {x/x N. "x" es par. con sus respectivos digramas de Venn. Dados los conjuntos: COLEGIO TRILCE Página 41 . 1 < x < 12} = {_______________} Q = {x2/x N. Solución: M N = {_______________} n(M N) = {_______________} 2. 10. x < 4} = {_______________} DIAGRAMA : Hallar "P Q" y su diagrama de Venn Euler. "x" es impar.ARITMETICA ¡ LISTOS …. 3. 7. 8. P Q c. 5. M N A M P Q B N 4. Sabiendo que: P = {x2/x Z. 1 c. 11} hallar: n(R S) a. "x" es impar. 22 c. D = {2. 9} hallar la suma de los elementos del conjunto B D. 3 x < 9} hallar la suma de los elementos del conjunto "R S". 2 d. 9. Q = {-1. 2 c. Sean los conjuntos: R = {x + 2/x Z. x 9}. x 3}. Dados los conjuntos: M = {x . 2. 3. S = {1. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de dos conjuntos "A" y "B". R = {2x/x N. 7. -1 c. 2 3. 23 d. 21 b. -3 < x < 4}. 11} hallar: n(A B) a. 5. Dados los conjuntos: B = {x/x N.2/x N. es el conjunto formado por los elementos de "A" pero no de "B". 5 2. 3 e. B = {1. 5 4. a. a. 3 d. 2 x < 6}. 1. 1. 24 e. 2 c. 9. -2 x < 3}. 3. 4. 26 III. x 5} calcular la suma de los elementos del conjunto M R. -2 b. a. 1 b. 0 b. 4 e. 4 e. 1 e. Se denota: A . 7. 1 b. Dados los conjuntos: A = {3x + 1/x N. 5. 6. 3 d.3/x N. 0 d. 0. DEMUESTRA LO APRENDIDO. 7} Calcular la suma de los elementos del conjunto P Q. -2 x < 3} S = {x .B Se lee: "A pero no B" (sólo "A") Se define: A B = {x/x Ayx B} COLEGIO TRILCE Página 42 . 5.ARITMETICA R = {x3 + 1/x Z. 7. 4 5. su gráfico será: n(P . n(N . Si: M = {2. 8. su gráfico será: n(A .B) = _________.P = {____________________} Como todos los elementos de uno de los conjuntos pertenecen al otro conjunto (uno está incluído en el otro). 7. n(B . 9} entonces: P . 5. 4. n(Q . elemento en común.ARITMETICA Representación gráfica: No disjuntos Disjuntos Comparables Para conjuntos que Para conjuntos que Para conjuntos. 9} entonces: A . 5. 9. 6. 10}.P) = _________ COLEGIO TRILCE Página 43 . 7. uno de ellos esté comunes. 9} entonces: M . 8}. su gráfico será: n(M . 3. 10}. 6. Si: A = {1. 5. 5. N = {1. incluido en el otro.A = {___________________} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes. 2. 8. B A B A B A A-B A-B A-B Ejemplos: DIAGRAMA: 1.N = {____________________} N .Q = {____________________} Q .A) = _________ DIAGRAMA: 2. en los tengan elementos no tengan ningún cuales.B = {___________________} B . 8. 3. Q = {5. Si: P = {4.Q) = _________.M = {____________________} Como ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común. 8.M) = _________ DIAGRAMA: 3.N) = _________. 4. 7. B = {2. es igual al conjunto vacío.B". Para todo conjunto "A". la diferencia del conjunto "A" consigo mismo es igual al conjunto vacío. A .= A Así: Recordar: A B = {x/x (A B) x (A B)} A B = (A B) (A B) COLEGIO TRILCE Página 44 .ARITMETICA ¡Ya entendí! En la diferencia de dos conjuntos se sombrea la parte que no pertenece al otro conjunto. A. A.A = Así: c. PROPIEDADES a. la diferencia del conjunto "A" con el conjunto vacío es igual al conjunto "A". entonces la diferencia de los conjuntos "A . Si: A B A . Si un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B".B = Así: b. Para todo conjunto "A". A . B = {x + 1/x N.M" y sus diagramas de Venn Euler. 2 < x 6} = {_______________} Hallar "P Q". "N . "B . "x" es par.P" y sus diagramas de Venn Euler.B". x < 5} = {_______________} Q = {x2/x N. 5 < x < 12} Hallar "A . Sean los conjuntos: P = {2x/x N. Solución: A B = {_______________} B A = {_______________} Diagrama: Diagrama: 2. "x" es impar. Solución: M N = {_______________} N M= {_______________} Diagrama: Diagrama: 3. Dados los conjuntos: M = {x/x N.ARITMETICA ¡ LISTOS ….A" y sus diagramas de Venn Euler. "Q . x < 9} = {_______________} N = {x/x N. Solución: P Q = {_______________} Q P = {_______________} Diagrama: Diagrama: COLEGIO TRILCE Página 45 . x < 10}. A TRABAJAR ¡ 1. 2 x < 10} = {_______________} Hallar "M N". Sean los conjuntos: A = {x/x N. N b.3/x N. M . x < 4} = {____________} DIAGRAMA: C = {x . Sombrear en cada caso: a. S . 3 < x 13} = {____________} Hallar:"B C" y su diagrama de Venn Euler.R N Q P S M R d.P c. D E B D E A C B COLEGIO TRILCE Página 46 . Solución: B C = {_________________} 4. B C f. Q . Sean los conjuntos: B = {x2 + 1/x N. A B e.ARITMETICA 3. Sean los conjuntos: A = {x/x N. 3 d. 7 c. x < 7} hallar: n(N . "x" es impar. A A' = U Así: COLEGIO TRILCE Página 47 . 4 e. Dados los conjuntos: B = {2x + 3/x N. "x" es par. 2 c. x < 4}. 1 b. la unión del conjunto "A" con su complemento es igual al conjunto universal.1/x N. Sean los conjuntos: M = {2x/x N. 4 d. B = {x . 1 b. 2 x < 9} hallar: n(S . 5 e. 5 < x 12} hallar: n(B D D) a. 2c. 3 d. 10 5. Dados los conjuntos: R = {x/x N. x < 5} hallar: n(P Q) a. x < 8}. x < 11}. "x" es par. 6 4.B) a.R) a. 5 3. 2 c. 2 b. A.M) + n(M . 3 c. 6 b.ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 4 e. 1 < x 6}. 8 d.1/x N. S = {x/x N. 2 x < 7}.N) a. 1 b. 3 d. 4 e. 5 2. Q = {x + 1/x N. 5 < x < 12} hallar: n(A . Sean los conjuntos: P = {3x/x N. 9 e. N = {x + 1/x N. Para todo conjunto "A". 5 PROPIEDADES a. D = {x . x < 8} = {___________________} Q = {x + 1/x N. El complemento del conjunto vacío es igual al conjunto universal. la intersección del conjunto "A" con su complemento es igual al conjunto vacío.ARITMETICA b. El complemento del conjunto universal es igual al conjunto vacío. "x" es impar. "x" es par. 4 x < 13} = {___________________} Hallar Q' y su diagrama de Venn Euler.Q = {___________________} Graficamente: COLEGIO TRILCE Página 48 . Para todo conjunto "A".P = {___________________} Graficamente: 2. U' = Así: e. A A' = Así: c. x < 10} = {___________________} Hallar P' y su diagrama de Venn Euler. ' = U Así: d. El complemento del complemento del conjunto "A" es igual al mismo conjunto "A". A. Solución: P' = U . Sean: U = {2x + 3/x N. x < 9} = {___________________} P = {x/x N. (A')' = A Así: A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. Solución: Q' = U . Sean: U = {x + 2/x N. 2. 5. 2. 7. 10} hallar: (A B) C y su diagrama de Venn. 6 x 14} = {___________________} A = {x2/x N.(M N) (M . 3. Sean: U = {x . 6. 6. Solución: A B = {_________________} A B = {_________________} (A B)' = U . 6} Q = {4. (A B)' con sus diagramas de Venn Euler. 1 x < 4} = {___________________} B = {x + 2/x N. x 1} = {_________________} M = {2.N)' = {_____________} (M N)' = {_____________} Diagrama: Diagrama: OPERACIONES CON MÁS DE DOS CONJUNTOS 1. 9}. Solución: M . 7. 4. "x" es impar.(A B) (A B)' = U .N = {_____________} M N = {_____________} (M . 1. 5. 5.N) (M N)' = U . 5. (M N)' con sus diagramas de Venn Euler. 6.(A B) (A B)' = {_________________} (A B)' = {_________________} Diagrama: Diagrama: 4.(M . 8} COLEGIO TRILCE Página 49 . 8. 4.N)' = U . 8.5/x N. 6} B = {3. Dados los conjuntos: A = {0. 9. x 7} = {___________________} Hallar: (A B)'. Sean los conjuntos: P = {3. 8} Hallar: (M . Sean: U = {x/x N. 4. 2. N = {0. 3.ARITMETICA 3. 7. 4. 3.N)'. 8} C = {5. 5. 8} R = {2. 1. 5. 6. A B A B Prefieren sólo "A". Dados los conjuntos: A = {1. 4. 5. para eso veamos con un ejemplo. 5.C) A] y su diagrama de Venn. 6} Q = {2. A B A B Prefieren "A" y "B". 4. 6. 5. 8. las diferentes zonas que se presentan. solamente "A". 4. Dados los conjuntos: M = {1. 6} C = {4. 2. Prefieren la revista "B". 4. 6. Prefieren sólo "B". A B A B COLEGIO TRILCE Página 50 . 3. 5. solamente "B". se debe identificar en su diagrama de Venn.ARITMETICA hallar: (A B) C y su diagrama de Venn. 7} R = {2. 2. 4. 3.M PROBLEMAS CON DOS CONJUNTOS por las Para resolver problemas con dos conjuntos. 7} B = {1. "B" pero no "A". 3. 9} hallar: (Q R) . Prefieren la revista "A". No prefieren ni "A" ni "B". sobre una encuesta a un grupo de personas sobre la preferencia revistas "A" o "B". "A" pero no "B". 8} hallar: n[(B . el conjunto "B" tiene 18 elementos y ambos conjuntos tienen 9 elementos comunes. ¿Cuántas personas leen sólo CARETAS? a. 50 c. 20 b. Si el conjunto "A" tiene 34 elementos. 13 c. 58 e. se conocen que 72 leen GENTE. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión si todos llevaban al menos una de las dos prendas? a. 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. 51 leen CARETAS y 34 leen sólo GENTE. 25 d. 48 b. De un grupo de personas que leen revistas GENTE o CARETAS. 10 b. Se observó en una reunión que: 46 personas usaban relojes. INTERSECCIÓN A B A B C C ¡ A PRACTICAR LO APRENDIDO ¡ 1. A B A B PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON TRES CONJUNTOS a. 56 d. 60 COLEGIO TRILCE Página 51 . 15 d. 19 3. UNIÓN b. Prefieren solamente una revista. ¿Cuántos elementos pertenecen a "A" pero no a "B"? a.ARITMETICA No prefieren "A". No prefieren "B". A B A B Prefieren "A" o "B". 23 c. 17 e. 28 e. 34 2. ¿Cuántos toman leche? a. 21 d. 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los dos artefactos. A 33 niños le gustan los chocolates. 2 b. 28 10. los caramelos y las galletas. ¿Cuántos días desayunó solamente jugo de papaya? a. ¿Cuántos consumen mayonesa pero no ketchup? a. 42 d. Cien alumnos de un colegio solicitan beca y al hacer su estudio socio económico. 12 b. Si 12 días desayunó solamente jugo de naranja. 48 e. 23 e. 220 7. 210 e. 3 días desayunó jugo de naranja y jugo de papaya. 47 tienen refrigeradora. 22 c. . ¿Cuántas personas tienen como computadora solamente? a. 180 b. 90 practican solo ajedrez. 10. se establece que 60 tienen televisor y 78 tienen radio. 23 d. Durante el mes de febrero del 2007. ¿A cuántos deportistas se encuestó? a. . 19 toman solo café. 190 c. 35 practican básquet y ajedrez. 27 b. 10 no consumen ninguna de estas salsas. 5 e. el resto solo leche. Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 57 consumen mayonesa. 57 8. si se sabe además que 9 no tienen ni televisor ni radio? a. 16 6. 6 9. A 17 niños le gustan los caramelos y las galletas. . ¿A cuántos niños no les gusta las golosinas? a. ¿Cuántos tienen sólo radio. café con leche. 33 COLEGIO TRILCE Página 52 . 15 e. . 11 c. En un jardín de infancia se consulta a 55 niños sobre la preferencia de golosinas y contestan lo siguiente: . 4 d. . 13 c. trilcito solo desayunó jugo de narajna y/o jugo de papaya. En una encuesta realizada a un grupo de deportista: 115 practican básquet. 200 d. 20 b. 25 e. 38 b. 14 d. A 29 niños le gustan las galletas. 45 consumen ketchup. 28 c. 29 5. A 31 niños le gustan los caramelos. 31 e. .ARITMETICA 4. En un restaurante donde asisten 40 personas. A 10 niños le gustan los chocolates. 105 no practican básquet. A 18 niños le gustan los chocolates y las galletas. 40 c. 30 d. 10 b. 3 c. En una encuesta a 80 personas. A 19 niños le gustan los caramelos y los chocolates. En un salón de 100 alumnos. 12 y 10 c. 10 b. ¿Cuántos toman leche? a. 10 no practican ninguno de estos deportes. ¿cuántos meses visitó los dos lugares? a. 120 c. En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista "Gente". 10. 20 e. café con leche. 12 c. 4 d. 12 e. 8 c. 19 toman sólo café. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. 54 e.ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 65 aprobaron Razonamiento Matemático. 11 c. 8 3. Se tiene 80 personas de las cuales 6 juegan fútbol y básquet. 10 c. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados? a. 6 2. De 300 alumnos que salen al recreo: 90 bebieron Inca Kola. 5 d. 12 y 8 b. 3 c. ¿Cuántos no leen la revista "Caretas"? a. 10 b. 50 c. 16 e. 56 8. 5 prefieren otros cursos. José realiza un viaje mensual durante todo el año a Chiclayo o Trujillo. 21 9. 2 b. Durante todas las noches del mes de mayo. ¿cuántas noches escucha música y lee un libro solamente? a. De 50 estudiantes encuestados: 20 practican sólo fútbol 12 practican fútbol y natación. 15 aprobaron solamente Razonamiento Verbal. 18 4. 14 5. 19 d. 60 leen solamente la revista "Caretas". 30 no juegan fútbol ni básquet y 20 juegan fútbol. Marlene escucha música o lee un libro. 14 d. 25 Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal. 5 e. 60 bebieron Coca Cola. 110 b. 25 e. 6 b. 10 bebieron ambas bebidas. 3 c. 30 prefieren Lenguaje. 15 c. En un restaurante donde asisten 40 personas. Si 8 viajes fueron a Chiclayo y 11 viajes fueron a Trujillo. 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos practican natación y cuántos solo natación? a. 30 7. 20 d. De un grupo de 65 alumnos. 20 y 12 d. 40 prefieren Matemática. ¿Cuántos solamente juegan básquet? a. 140 e. 150 COLEGIO TRILCE Página 53 . 48 b. 10 b. el resto sólo leche. ¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje? a. 20 y 8 e. 20 y 10 6. 52 d. 7 e. ¿Cuántas alumnos bebieron solo una de estas bebidas? a. 130 d. 2 b. Escribir la fracción decimal y su notación decimal: • 978 décimos = __________ = _______ • 9 unidades 19 milésimos = __________ = _______ • 6 unidades 215 diezmilésimos = __________ = _______ 3. En una reunión de profesores de Ciencias: 47 eran de Matemática.19 + 3. 87 b. 5 COLEGIO TRILCE Página 54 . Hallar la fracción generatriz: a.05 = b.1235 = 4. 38. 3.2 0.7 × 3.36 = d.01 = d.81 + 0. 89 c.ARITMETICA 10. 6 1.1314 = b.723 + 0. 40 eran solo de Física.5222 = c.2 = 9 (0. 9. 17.13 = c. 837. Resolver las siguientes operaciones combinadas: a. 134.17 = e. 90 d. 6) e. 98 1. 0.35. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones y cuál es su notación decimal? 17 • 100000 = ___________________________________ = _______ 17 29 • 100 = ___________________________________ = _______ 31 30 • 10000 = ___________________________________ = _______ 2. 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. 91 e.2 . ¿Cuántos profesores integraban la reunión? a. 0. 0. Resolver y luego indicar el número entero (parte entera) del resultado de: 1 1 1 5 3 4 3 2 8. hallar "m + n + p". 3} son unitarios. ¿cuál es el número mayor? b. n}. si: n(A) = 5. le aumentamos 6 años. ¿Cuál es el mínimo número de elementos que puede tener: (A B) C. p}. Dado el conjunto unitario: B = {8. Resuelve los siguientes problemas: a. Si los conjuntos: A = {m. Juan es mayor que Jorge por 6 años. ¿cuál es la nueva diferencia? e. si el mayor excede al menor en 12. Calcular: 3 ( 27 )2 8 2 ( 4 2 2 2 ) (100 10 ) ( 64 10 2 ) 9. B = {n. n(B) = 4 y n(C) = 3? COLEGIO TRILCE Página 55 .ARITMETICA 5. C = {2p . si al minuendo y al sustraendo le aumentamos 5. ¿cuál es la nueva diferencia de sus edades? 10. Si a ambas edades. b. a . Si sumamos las edades de Rocío y Walter obtenemos 78 años. La suma de las edades de Víctor y Elizabeth es 66 años.1. c. La diferencia de dos números es 24. 3 9 18 b. Simplificar: 7 1 1 5 4 1 36 36 18 72 1 78 2 7. Si hace 10 años la diferencia de sus edades era 2 años. b + 3}.5. ¿Qué edad tiene Víctor si dice ser 18 años mayor que Elizabeth? c. 30 6. Resuelve los siguientes ejercicios de conjuntos: a.. hallar "a + b". ¿qué edad tiene Rocío? d. Resolver: 1 1 1 1 2 1 4 2 3 7 14 2 3 5 30 2 5 1 23 6 5 10 a. Al sumar dos números se obtiene 40. 11 c. 7 e. 5 c. 1 n 5. B = {2x/x N. "x" es impar. 4 b. 10 b. M = {x/x = 2n. n(A B) e. B = {4x/x Z. Dado el conjunto: A = {x3/x Z. 4. x N} B = {x/2x . 4 b. Si tomó helados de fresa 53 mañanas y tomó helados de coco durante 49 mañanas. a. x < 4}. Determinar por comprensión: M = {2. M = {x/x < 11} f. M = {x/x = 2n} e. ¿Cuántas mañanas tomó helado de los dos sabores? a. 12 e. febrero y marzo) del 2004. 5 c. 11 d. 1 x 5} c. n N} d. 15 e. 6. x < 5} hallar: n(A . 8 g. Jessica tomó helados de fresa o coco durante todas las mañanas en los meses de verano (enero. 7 e. M = {x/x es par} b. 8 i. 12 d. B = {3x/x N. x < 7} hallar la suma de los elementos del conjunto A B. Dados los conjuntos: A = {x/9 x2 300.5 30.1/x N. M = {x/x = 2n. 6 d. 0 x 3} calcular la suma de los elementos del conjunto: A B a. x N} hallar. -3 < x 2}. Dados los conjuntos: A = {2x2 + 1/x N. 8. 18 h. -3 x < 4}. 6 d. Dados los conjuntos: A = {x2 . 10 c. 9 b.ARITMETICA d. 15 COLEGIO TRILCE Página 56 . 10} a.B) + n(B A) a. TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616 .ARITMETICA III BIM. c...........................................................Mínimo Común Múltiplo ......7 å Sistema de numeración no decimal ...........29 å Criterios de divisivilidad .......25 å Propiedades de los números ..............m y m..... å Sistema de númeración decimal: descomposición .c..............13 å Cambio de Sistema de numeración ........................43 å Problemas con m...................37 å Máximo Común Divisor .................19 å Repaso de Sistema de numeración ..d.............49 COLEGIO TRILCE Página 2 .ARITMETICA Índice Pág ................... entre los cuales destaca el Sistema de Numeración de Decimal o decuplo SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Es el sistema cuyo principio fundamental es que la agrupación de sus unidades son de diez en diez. 1.. Símbolos utilizados en el sistema decimal.ARITMETICA CONCEPTOS BÁSICOS Número: Es una idea de cantidad. 5. Características del sistema Decimal a. la cual nos permite cuantificar los objetos. Numeral: Es la figura o símbolo que representa o da la idea del número. 6. 0. Tenemos diversos Sistemas de Numeración. Así por ejemplo: 1 < > 1 unidad 10 unidades < > 1 decena 10 decenas < > 1 centena . * Sistema de numeración Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permiten representar y expresar correctamente los números. es un ente abstracto. 4. 7. 2.. 3. 9 cifras COLEGIO TRILCE Página 3 . 8. ___. Mínimo valor no significativo :0 . 1. 3 278 32 78 327 8 3278 3 × 103 2 × 102 7 × 101 8 × 100 Forma general . 210. Con 0. . . 10. 0 se pueden formar: ___. bcba = . 2 se pueden formar: 0. 2. . En el sistema decimal: . 12. . ___. ___. ___. .ARITMETICA b. ___. . Ejemplo: 3 2 7 8 = 3000 + 200 + 70 + 8 = ___ × 103 + ___ + 10 2 + ___ × 101 + 8 Observa: Cada cifra está multiplicada por 10 y ésta tiene como exponente la cantidad de cifras que se encuentran as la derecha de ella. Mínimo valor significativo :1 . Máximo valor :9 Orden: Es la posición que ocupa cada cifra empezando a contar de derecha a izquierda. 11. Descomposición polinómica de un Numeral del Sistema Decimal "Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras". . 4. 1. Con 3. . COLEGIO TRILCE Página 4 . . ___. ___. 20. De la combinación de estas cifras se pueden formar todos los números que conocemos: Ejemplo: . + d × 103 + c × 10 2 + b × 10 1 + a Casos especiales * mmmm = m × 103 + m × 102 + m × 10 1 + m = 1000m + 100m + 10m + m = 1111m * Para un numeral capicúa: aba = a × 102 + b × 101 + a = 100a + 10b + a = 101a + 10b abcba = a × 104 + b × 103 + c × 102 + b × 10 1 + a = 10000a + 1000b + 100c + 10b + a = 10 = _______ × a + _______ × b + _______ × c c. . . R. . .) o el valor absoluto (V. . . .A. a.(1) = _________________ V. Valor Relativo (V.(6) = _____________ c. Indicar la suma de la cifra del primer orden más la cifra del sexto orden en: 42 399 981 301 COLEGIO TRILCE Página 5 . = ________ 1 2 3 4 2do orden o decenas .(2) = _____________ b. = ________ Lugar: Es la ubicación de la cifra según como se lee.): Es absolutamente el mismo valor de cada cifra en cualquier orden que se encuentre. Escribe el valor relativo (V.R. 851 231 V.A.(7) = _________________ b.A. 67 192 V.A. . .(7) = ________ V.): Es relativo al orden donde se encuentra cada cifra (unidades. 567 421 V.(5) = _________________ V. V.A. 34 271 V. = ________ Ejemplo: 4to orden o unidades de millar . .R.) según corresponda. . .(5) = _____________ 2.(4) = _____________ d. .(5) = ________ V.R. .A.R.(8) = _____________ f. 5 314 218 V. . decenas.(7) = _____________ e. de izquierda a derecha.) ¡ LISTOS A TRABAJAR ¡ 1. puede tener dos valores.ARITMETICA UM C D U 1er orden o unidades .R.R. a. 27 235 V.A. . Ejemplo: UM C D U 1er Lugar = ________ 1 2 3 4 2do Lugar = ________ 4to 3er 2do 1er 3er Lugar = ________ 4to Lugar = ________ Valores de una cifra Toda cifra que forma parte de un número. = ________ 4to 3 er 2 do 1 er 3er orden o centenas . . centenas.(4) = _________________ V.(1) = ________ V.A.(4) = ________ 7 5 1 4 V.R. Valor absoluto (V.R.A. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 4. el número resultante es mayor que el anterior en 200 unidades. Hallar el valor de "a". 9 5. solo puedes utilizar una vez cada cifra. Hallar el valor de "a" y "b" tal que: 123 b es el doble de a1a . Si se cumple que: 22 a es el triple de 7a . Calcular la suma del mayor y menor número que se puede formar con las siguientes cifras. Hallar el valor de "b". 1.ARITMETICA 3. 2. 10. Hallar un número de dos cifras. si se cumple que: 78 b es el resultado de invertir el orden de las cifras a b87 y disminuirlo en 99 unidades. tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas de como resultado 72. Calcular el valor de "a". 9. 7. 7. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por la cifra "a". 8. Indicar la suma de la cifra del tercer lugar más la cifra del quinto lugar en: 29 433 167 4. DEMUESTRA LO APRENDIDO COLEGIO TRILCE Página 6 . ¿Cuál debe ser el valor de "x" en: x 32 3x 2 xxx 2323 ? 6. ambas diferentes de cero. Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final. por ejemplo. Si se suman los dos números de cuatro cifras se obtiene 9768. necesito grupos de siete unidades para ser agrupados y formar una unidad de orden inmediato superior. Hallar la suma de las cifras del número original. Así. cuya suma de cifras es 10 y tal que al invertir el orden de sus cifras. Para este segundo tema. Hallar un número de dos cifras. generalizaremos algunos conceptos dados en el tema anterior. queridos alumnos. COLEGIO TRILCE Página 7 . Hallar un número de dos cifras. ambas diferentes de cero. tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado 63. DESAFÍO Un número está compuesto por tres cifras. estudiaremos otros sistemas de numeración. Dar como respuesta el producto de las cifras del número pedido. el número disminuye en 36 unidades. luego al mismo número original se le agrega un 7 al comienzo.ARITMETICA 7. Dar como respuesta el producto de las cifras de dicho número. 1. para lo cual. 10. Dar como respuesta el producto de las cifras del número perdido. Además se sabe que la suma de las dos cifras es 9. 9. aumentándose el número en 4752 unidades. si deseo representar un grupo de unidades en base 7. Base de un Sistema de Numeración: Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar una unidad de un orden inmediato superior. 8. A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha. Calcular el número original. la cifra de las centenas es cuatro veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. 0.1 Toda cifra de un numeral es menor que su base y utiliza "n" cifras: el cero y (n - 1) cifras significativas. . la cifra que ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8. . . 86577(8) Todas las cifras no son menores que la base 8. . 1023(5) Todas las cifras son menores que la base 5. . por lo que la menor base es 2 (Sistema Binario). 222222(3) Todas las cifras son menores que la base 3. 2 . se han formado cuatro grupos y han quedado sin agrupar seis unidades. .ARITMETICA Al agrupar de 7 en 7.1) cero cifras significativas Ejemplo: . el número 10 está correctamente escrito. Entonces de los ejemplos. 1 . luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7) Otro ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3. La agrupación es: 2 grupos de 3 × 3 = 2 × 32 2 grupos de 1 × 3 = 2 × 31 2 unidades sueltas = 2 o también: 222(3) . 2. Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración: 2. afirmamos lo siguiente: En la base "b": COLEGIO TRILCE Página 8 . 3 . 4 . b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades. entonces el número no está correctamente representado. Condiciones de la base: a) La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor que 1. (n . entonces. 3.. Para representar numerales con cifras mayores que 9. 3. 3. 1. Las cifras pueden ser: Significativas = {1. 1. Como consecuencia del cuadro anterior. existen infinitos sistemas de numeración. 1. 1. 3. 6. 4.1)) Cifra máxima No significativa o auxiliar: 0 (cero) Conclusión: Cifra < Base Principales Sistemas de Numeración Base Sistemas de Numeración Cifras diferentes que utiliza 2 Binario o dual 0. 2. 1. .. 6. 3. 2. Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de Numeración abcd (n) = a × n3 + b × n2 + c × n + d Ejemplos: • 1234(5) = 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194 • (9) = a × 92 + a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a • (a) = 3 × a2 + 4 × a + 0 = 3a2 + 4a COLEGIO TRILCE Página 9 . 2. 4. 5. 4. 9 11 Undecimal 0. se toma en cuenta: = 10. 8. 3. 9. 6. 7. 5. etc. 2 4 Cuaternario 0. 1. 7. 7. 9. 5 7 Heptanario 0. 4. 8. 6. 5. 4. 1. = 12. 6. 6 8 Octanario 0.1 3 Ternario 0. (b . 12 Duodecimal 0. 2. 8 10 Denario o decimal 0.ARITMETICA . 3. 1. 2. 2. 2. . 2. 8. 5.. 3 5 Quinario 0. = 11. 5. 3. Se usan "b" cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera. 1. 2. 7 9 Nonario 0. 2. 4. 4 6 Senario 0. 4. 3. 1. . 5. 7. 4. 3. ARITMETICA DEMUESTRA LO APRENDIDO COLEGIO TRILCE Página 10 . a. Hallar dicho número. 56 Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de numeración. pero sin dejar de representar estos números la misma cantidad de unidades. 83 e. Si intercambiamos el orden de sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número original. Caso I: De una base diferente de 10 a la base 10 "Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica. Descomposición polinómica: abc (n) = a × n2 + b × n + c Ejemplos: • 123 ( 4) 142 2 4 3 27 16 8 2 879 (9) 8 9 7 9 6 717 • 648 63 2 aba ( 8) a8 b 8 a 65 a 8b • 64 a 8b También se puede utilizar el "método de Ruffini". 65 d. efectuando para ello las operaciones indicadas". así: 1 2 3 + + 4 4 24 1 6 27 En el sistema decimal × × COLEGIO TRILCE Página 11 .ARITMETICA DESAFÍO Un número consta de 2 cifras. cuya suma es 11. También se le conoce a este tema como cambio de base. 29 c. 47 b. Convertir: 543(6) a base 4 2 543 (6) 5 6 4 6 3 207 a. luego este número. por descomposición polinómica. al sistema decimal. Ejemplo: • Convertir 25 a base 8: 25 8 1 3 25 = 31(8) • Convertir 100 a base 3: 100 3 1 33 3 100 = 10201(3) 0 11 3 2 3 3 0 1 • Convertir 216 a base 6: 216 6 216 = 1000(6) 0 36 6 0 6 6 0 1 Caso III: De una base diferente de 10 a otra diferente de 10 Se utilizan en este caso. que consiste en dividir el número dado del sistema decimal (base 10) entre la base "n" a la cual se desea convertir. se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que "n". y.ARITMETICA 1 7 6 + + 9 72 711 8 79 717 En el sistema decimal × × Caso II: De base 10 a una base diferente de 10 Se utiliza el método de divisiones sucesivas. primero llevamos el número de base diferente de 10. los dos métodos vistos anteriormente. por divisiones sucesivas. Ejemplos: 1. se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones. lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10. desde el último residuo hacia el primero y este será el número expresado en base "n". Divisiones sucesivas: COLEGIO TRILCE Página 12 . Luego. si el cociente es mayor que "n". Descomposición polinómica: 180 24 b. es decir. Descomposición polinómica: 250 25 15 b. b. 1101(2) b. 952 al sistema undecimal. 642 al sistema de base 15. + N = RATÓN(x) = PAVO(y) + Ejemplo: Numeral menor Numeral mayor 134 = 251(7) = 2012(4) Mayor base Menor base ¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1. 1032(5) d. deberá cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa. d. Convertir al sistema decimal: a. 123 al sistema binario. 871 al sistema ternario. c. Convertir: a. 320(4) c. 132(9) 2.ARITMETICA 207 4 3 51 4 3 12 4 Luego: 543(6) = 207 = 3033 (4) 0 3 2. a menor representación mayor base". COLEGIO TRILCE Página 13 . 2031 al sistema quinario. 2031(4) e. Divisiones sucesivas: 294 9 6 32 9 Luego: 2134(5) = 294 = 356(9) 5 3 PROPIEDAD: "En un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes. e. Convertir: 2134(5) a base nueve 3 2 2134 (5) 2 5 15 3 5 4 294 a. 2134(5) al sistema nonario. d. e. abc(7) 4. 12 (a 1)( a 1)( a 2) ( 4) 5. Hallar "a + b + c" si: 1230(5) = a. 4 b. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 8 b. 1023(4) a base 6. 10 d. 123(4) al sistema octanario. Convetir: a. 11 e.ARITMETICA 3. 6 d. 7 e. 9 c. 1002(3) al sistema quinario. 5 c. 432(7) a base 4. a. c. Convertir: al sistema senario. b. 8 DEMUESTRA LO APRENDIDO COLEGIO TRILCE Página 14 . 7 c. 7 c. Si los numerales están correctamente escritos. a. 4 c. 6 b. 7 COLEGIO TRILCE Página 15 . 2083 d. Calcular "a + b" b (b 5) (2a)(a 2)(5) 3 I. 2063 b. 6 e. II. 9 e. 8 d. 2073 c. 6 b. 5 d. 8 d. Hallar el valor de "A + B + C". 8 d. 2093 e. a. C: es el mayor número de tres cifras diferentes. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. 7 c. 10 4. II. 9 e. ( 9) a. ¿Cuál es el menor número cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden. 9 e. La segunda es el triple de la primera. a. 3 b. Hallar la cifra de tercer orden. 10 5. 10 3. a. 6 b. 3113 2. B: es el mayor número impar de dos cifras diferentes. si se sabe que: A: es el mayor número de tres cifras. La primera es el doble de la tercera.ARITMETICA LISTOS … A TRABAJAR 1. Dar como respuesta la suma de sus cifras. Si el numeral (a 1)b(b 1)(a 5)(3 a) es capicúa. 13 8. 10 3. 9 e. Al menor número de tres cifras diferentes de la base nueve. 10 c. 11 4. 6 b. 9 c. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. 2 b. 13 201 (3) abcde (2) 10. si se sabe que: A: Es el menor número de tres cifras diferentes. 9 b. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿Cuál es el menor número cuya cifras suman 30? Dar como respuesta la cifra de mayor orden. 7 c. 6 b. 8 b. 3 c. 11 d. La primera es el triple de la tercera. 6 e. 4 d. 12 e. 12 e. Si se cumple: . 10 9. a. 6 7. Hallar la cifra de segundo orden. a. Hallar el valor de "A + B + C". a. Calcular "x + y". 9 d. ¿cuál es la suma de sus cifras? a. a. 5 d. 5 d. hallar: a + b + c + d + e + n a. La segunda es el doble de la primera. 8 c. 4 c. B: Es el mayor número par de dos cifras diferentes.ARITMETICA 6. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 3 b. 4 c. Hallar: a + b + c. convertirlo al sistema senario. 7 EMUESTRA LO APRENDIDO 1. 5 e. 3 b. 320 2. 290 c. (a 2)(b 1)( c 2) (8) 256 ( 9) Si: a. Si el numeral (x 2)( y 3)( x 1)(6 x) es capicúa. 9 e. 310 e. C: Es el menor número de tres cifras. 10 d. 7 5. COLEGIO TRILCE Página 16 . a. ¿Cuántas numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? a. 300 d. 280 b. Si los numerales están correctamente escritos. II. 8 d. 7 c. 8 d. 10 e. 6 e. 7 b. 6 d. 13 c. 7 e. 8 6. MÚLTIPLOS Un número entero "A" es múltiplo de otro Ejemplo 1: Averiguar si 72 es múltiplo de 6. a. 15 e. 14 d. 8 c. Hallar: a + b + c + d + n. 9 d. 12 b. 6 7. 10 b. a. 11 c. II. 7 b. 5 e. 16 DESAFÍO Al convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario al sistema cuaternario se obtiene: abcd . 10 1. 2 b. si se cumple: a. 5 d. 6 b.1)(n3)(n + 3) = aba(7). 3 c. entonces: 72 = 6(12) 72 es múltiplo de 6. 4 c. 10 e. Si: (n . Dar como respuesta la suma de sus cifras. 11 102 (3) abcd (n) 8. a. 4 b. 7 9. 7 c. Veamos: Para obtener 72 se necesita 12 veces el valor de 6. Hallar: a + b + c + d a. 4 d. 12 d. 14 10. calcular: "a + b + n". Convertir el menor numeral de 4 cifras diferentes del sistema senario al sistema nonario. 9 e. Convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes de la base 5 al sistema octanario.ARITMETICA x y (2x ) ( x 1) ( y 2)( y 3) 3 (7) 2 ( 8) I. 13 e. 3 b. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de sus cifras? a. 6 e. COLEGIO TRILCE Página 17 . a. 5 c. 8 d. 2 × 4. 3 × 4. 40. 24. 5 × 4. 5. 4 × 4. 7 × 4. 45} í tiene 6 divisores D(13) = {1. 6 × 4. 6. Solución: 1 × 4. 12. Veamos: Para obtener 143 necesito 13 veces el valor de 11. 13} í tiene 2 divisores Respuesta: 45 tiene 4 divisores más que 13. Ejemplo 1: * 4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces. DIVISOR DE UN NÚMERO Es el número que está contenido en el primero una cantidad exacta de veces. los múltiplos pueden ser negativos. 4. 24} Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores más tiene 45 que 13? Solución: D(45) = {1. también se le conoce como submúltiplos. 2. 8. así por ejemplo: * Los múltiplos de 15 son: COLEGIO TRILCE Página 18 . 3. 36. Solución: D(24) = {1. 28. 8 × 4. 10 × 4 luego: 4. además del 0. 12. Observación: En el campo numérico de los enteros Z. 20.ARITMETICA Ejemplo 2: Averiguar si 143 es múltiplo de 11. 2. entonces 143 = 11(13) 143 es múltiplo de 11. 32. 3. 2. Ejemplo 3: Escribe los 10 primeros enteros positivos múltiplos de 4. 8. 15. 16. Ejemplo 2: Halla los divisores de 24. 9. 9 × 4. * 8 es factor de 64 porque está contenido en 64 ochos veces. 15(-2). . De todo esto podemos afirmar lo siguiente: i. son aquellos números que tienen unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número. º 15 = 15k 15(0) = cero 15(-1). 15(3). 15(-4). En resumen: I. ii. 15(4). 15(2).ARITMETICA 15(1). Todo número tiene INFINITOS múltiplos.: divisible por A B 12 3 factor de factor de divisor de divisor de 3. NÚMEROS PRIMOS Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS. Número Compuesto Divisores 4 _______________ 6 _______________ 8 _______________ COLEGIO TRILCE Página 19 . . . 15(-3). divisible por Ejm. . . donde "k" es un entero cualquiera. NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos números que tienen más de dos divisores. Ejemplos: Número Primo Divisores 2 _______________ 3 _______________ 5 _______________ 7 _______________ 11 _______________ 4. A = Bº se lee: "A" es múltiplo de "B" múltiplo de múltiplo de II. . . El CERO es múltiplo de todos los números. . . 4.ARITMETICA 10 _______________ 12 _______________ TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100 (Criba de Eratóstenes) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Entonces: Los números primos menores que 100 son: ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ • Propiedades 1. 2. sólo tiene un divisor. cuando tienen como único divisor común a la unidad. • Ejemplo: ¿6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) Dos o más números son primos entre si (PESI). 14 y 9 son números PESI? veamos: COLEGIO TRILCE Página 20 . 3. es considerado como número simple. Los números primos son infinitos. El "dos" es el único número primo par. El "dos" y el "tres" son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos 5. El "uno" no es un número primo. 15 y 8 son números PESI? veamos: Divisores 21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8 :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________. es el único divisor común a dichos números. • Ejemplo: ¿8. 6 y 14 son números PESI? veamos: Divisores 8 :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6 :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________. • Ejemplo: ¿10. 35 y 15 son números PESI? veamos: Divisores 10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________. es el único divisor común a dichos números Entonces: ______________ son números ______________.ARITMETICA Divisores 6 :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que _________. Entonces: ______________ son números ______________. son divisores comunes a dichos números. • Ejemplo: ¿21. son divisores comunes a dichos números. Entonces: ______________ no son números ______________. COLEGIO TRILCE Página 21 . 7. COLEGIO TRILCE Página 22 . b y c : factores primos absolutos m. 2. bn . Propiedades 1. Veamos: 120 Entonces: 120 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nota: Los divisores primos de un número compuesto se observan en su descomposición canónica. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI. Dos o más números impares consecutivos son siempre números PESI. 6. Veamos: 18 Entonces: 18 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120. c p donde: a. n y p : exponentes enteros positivos Entonces: la cantidad de divisores de "N" será: CD(N) = (m + 1)(n + 1)(p + 1) • Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180. • Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (DC) Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus divisores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos. CANTIDAD DE DIVISORES (CD) Sea "N" un número compuesto cuya descomposición canónica es: N = a m .ARITMETICA Entonces: ______________ no son números ______________. ARITMETICA Veamos: 180 Luego: 180 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Finalmente: CD(180) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_____________ =_____________ • Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25? b. Veamos: 480 Luego: 480 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Finalmente: CD(480) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_____________ =_____________ ¡LISTOS… A TRABAJAR ¡ 1. El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480. ¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado? 3. a. ¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras? COLEGIO TRILCE Página 23 . Hallar "a + b". ¿Cuál es el mayor número primo menor que 52? 2. ¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras? 5. si: a = mayor número primo menor que 70 b = menor número primo mayor que 20 4. 390 d. ¿Qué grupo de números son PESI? a. 32 b. A-B DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 53 = 7 ( ) e. 43 4. Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que 23? 3. 420 6. Del 1 al 100. 280 c. Si el número 5a2 es múltiplo de 8. 18. ¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20? 2. Hallar la suma de las partes alícuotas de 12. 9. Si: A = {x/x N. 220 b. 111 = 37 ( ) d. 35 = 5 ( ) b. 35 c. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras? 8. Hallar la cantidad de divisores de: a. 600 5. "x" es divisor de 8} hallar: a. ¿cuántos números son 7? COLEGIO TRILCE Página 24 . ¿cuántos valores puede tener "a"? 9. 25. Indicar verdadero "V" o falso "F". Hallar la descomposición canónica en cada caso: a. 30. 340 b. AB c. 26 = 13 ( ) 7. 27. "x" es divisor de 14} y B = {x/x N. 8.ARITMETICA 6. ¿Cuántos números de dos cifras son 5? 7. según convenga: a. 8 = 16 ( ) c. AB b. 10. Si el siguiente número: 453 x es divisible por 7. DESAFÍO Hallar la cantidad de divisores de: 32 ××× × 75 COLEGIO TRILCE Página 25 . Si: a < 10. hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7. calcular el valor de "x". 9. Del 1 al 80.ARITMETICA 8. ¿cuántos números son 3? 10. ARITMETICA COLEGIO TRILCE Página 26 . ARITMETICA COLEGIO TRILCE Página 27 . ARITMETICA COLEGIO TRILCE Página 28 . 33 c.39 e. ¿Cuántas veces se has aplaudido al terminar el juego? a.ARITMETICA DESAFÍO DESAFIO En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3.43 COLEGIO TRILCE Página 29 . 30 b.36 d. 2 .c.C. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA Se extrae de los números todos los Ejemplo: factores comunes hasta obtener 8 . Método para hallar el m. 4 .6 2 dichos números es el producto de 2 .d. m. de 4 . DEFINICIÓN Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números enteros positivos. del matemático griego Euclides.d) I.d. 6.(8. En dicha obra también se proponía un método parta obtener el mínimo común múltiplo. 8} D12 = { 1 .12 2 números PESI.3 los factores extraídos.12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ II.c.c. luego el m. 4 . = 2 × 2 = 4 COLEGIO TRILCE Página 30 .c. D8 = { 1 . Ejemplo: Sean los números 8 y 12. 3 .d. 12} Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. 2 .d.ARITMETICA ¿Sabías qué? El método de obtención del máximo común divisor por divisiones sucesivas.) en la obra "Elementos".c. aparece ya descrito en el siglo IV (a. Hallar el mc. en cada caso: a.d. 48 y 72 c. 90 y 120 .d. Completa el siguiente cuadro: Número Divisores Número Divisores 36 27 24 18 40 30 Ahora completa el siguiente cuadro: Número Divisores comunes m.d. 18 y 24 30 y 40 18 y 27 24 y 36 2.c. por descomposición canónica. - m. por descomposición simultánea en cada caso: a.ARITMETICA POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA A los números se les descompone Ejemplo: canónicamente.d. luego: 8 = 23 12 = 22 × =3 entonces el m.c. 84 y 96 COLEGIO TRILCE Página 31 . = m.c. 49 y 63 b. = 3.d. 56 y 72 c.c. de 8 2 12 2 dichos números es el producto de 4 2 6 2 2 2 3 3 todos sus divisores primos comunes 1 1 elevados a su menor exponente. 52 y 78 b.d. = m.c.c.d. Hallar el m. luego el m.d.12) = 22 = 4 ¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1.c. .(8. 64 y 96 b. .ARITMETICA 4. si: A = 22 × 34 × 5 B = 22 × 15 m.(A. de A. Ejemplo: Sean los números 4 y 6. 30 .d.d. en cada caso: a.c. 18 y 15 2.d. 60 y 72 d. Hallar el mc. . COLEGIO TRILCE Página 32 . 160 y 180 c. 4 . 36 y 68 d. Hallar el m. 24.B) = DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. ¿Qué ocurrió? • ¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor? MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m. por descomposición canónica. 60 y 90 e. 300 y 600 f. 52 y 72 e. 45 y 95 b.d. 48 y 36 3.m) I.c. º 6 = 0 . de: 5 y 9. 48. .c.c. 24 . si: A = 33 × 54 × 8 B = 12 × 27 C = 25 × 36 DESAFÍO • Hallar el m. 75 y 125 c. por descomposición simultánea. B y C. Hallar el mc. 36 y 40 f. . 6 . 30. 12 . 16 . º 4 = 0 . 30. 12 . 20 . 8 .d. en cada caso: a. 50. DEFINICIÓN Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números enteros positivos diferentes de "0". 20. Hallar el mc.d. 18 . POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA Se extraen de los números todos los Ejemplo: factores comunes y no comunes hasta 4 .c.3 2 luego.m.m.(4. 6=2 × 3 entonces el m. por descomposición simultánea. Completa el siguiente cuadro: Número Múltiplos (10 primeros) Número Múltiplos (10 primeros) 8 15 10 16 12 20 Ahora completa el siguiente cuadro: Número Múltiplos comunes m. Hallar el m. = 22 × 3 ¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1. 2 . el m.m. luego.(4.c. de dichos números es 1 .c. Métodos para hallar el m. 8 y 12 10 y 15 8 y 20 16 y 20 2.m.m.c.6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ II.1 m. de 4 2 6 2 dichos números es el producto de 2 2 3 3 1 1 todos los divisores primos comunes y no comunes elevados a su mayor luego: 4 = 22 exponente.m.c.ARITMETICA Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m.c.3 3 el producto de los factores extraídos.m. el mc. en cada caso: COLEGIO TRILCE Página 33 .m.c. 1 .6 2 obtener la unidad en cada número.6) = 2 × 2 × 3 = 12 POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA A los números se les descompone Ejemplo: canónicamente. 12 y 60 c. Hallar el m.c. . Hallar el m.m.m. 12. en cada caso: a. por descomposición simultánea. de P. por descomposición canónica.c. = m. en cada caso: a. por descomposición canónica.c. - m. 36 y 48 . 120. 24 y 30 e.c.ARITMETICA a.m. 300 y 400 e. 160.c.m. Hallar el m.m. 42. si: A = 23 × 32 × 53 B = 26 × 3 × 52 DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. 35 y 63 b. 14 y 16 c. 75 y 90 b.c. 45. si: P = 32 × 53 × 72 Q = 2 × 33 × 52 × 7 R = 32 × 7 COLEGIO TRILCE Página 34 . 30 y 45 b. 24 y 36 e. 96 y 100 d. 15 y 20 c.c. = 3. 15 y 25 d. 148 y 200 2. Q y R. Hallar el m. 200. 9 y 15 e.m. 180 y 360 3.m. = m. Hallar el m.c.m. en cada caso: a. de A y B. 36 y 99 c. 9 y 15 4. 12. 85 y 30 b. Si la última vez que salieron juntos fue el 14 de julio. 5 días y 10 días.. 3º Identificar lo que se solicita. La primera cada 8 días. y el m. ¡ LISTOS ..d. 5º Comprobar las estrategias y elegir una de ellas. 2º Se debe recoger los datos del problema.c. A TRABAJAR ¡ 1. Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días. ¿Qué sucede? • ¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números? Aca me quede ¿Sabías qué? Para poder resolver problemas sobre el m. ¿cuál será la próxima fecha en que volverán a salir juntos? COLEGIO TRILCE Página 35 . respectivamente.m.m. ¿Cada cuántos días se hallan los buques de los tres compañías simultáneamente en este puerto? DATOS SOLUCION 2. la segunda cada 18 días y la tercera cada 21 días.. Tres compañías de navegación pasan por cierto puerto. 4º Plantear estrategias al problema.c. debes tener en cuenta las siguientes indicaciones: 1º Debes leer el problema las veces que sean necesarias. de 0 y 4.ARITMETICA DESAFÍO • Hallar el m.c. Dos ciclistas dan vueltas en una pista. El primero tarda 20 segundos en dar la vuelta a la pista. ¿al cabo de cuánto tiempo pasarán por el sitio de partida? DATOS SOLUCION 5. 27 cm. ó 45 cm de longitud sin que sobre ni falte nada? DATOS SOLUCION 4. el primero cada 48 segundos y el segundo cada 64 segundos. el segundo tarda 33 segundos y el tercero. ¿Al cabo de cuántos segundos volverán a pasar juntos por la línea de salida. Si salen juntos. Tres perros salen juntos en una carrera. 36 segundos. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que se puede dividir en trozos de 24 cm. si salen juntos? DATOS SOLUCION COLEGIO TRILCE Página 36 .ARITMETICA DATOS SOLUCION 3. 180 cm y 240 cm? DATOS SOLUCION 8. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? DATOS SOLUCION 7. Dos cintas de 12 metros y 16 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. 144 kg y 200 kg de plomo en tres cajas de modo que los bloques de cada una tenga el mismo peso y el mayor posible.ARITMETICA 6. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente 3 cintas de 120 cm. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo? DATOS SOLUCION COLEGIO TRILCE Página 37 . ¿Cuál será la longitud de cada trozo resultante? DATOS SOLUCION 9. Se tienen que envasar 120 kg. Se desean dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud posible. ¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir simultáneamente entre 15 y 20 niñas para que en cada caso una niña reciba una cantidad exacta? 4. Si tardan 10. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 30 cm.ARITMETICA 10. 1120 y 16000 metros? 6. ¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12. ¿Al cabo de qué tiempo pasarán juntos por la línea de partida? 5. ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos? 3. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puede medir exactamente tres dimensiones 280. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez 612. Una puerta se abre cada 20 segundos. 40 cm ó de 50 cm? COLEGIO TRILCE Página 38 . 24 y 60 panes simultáneamente para que. otra cada 12 segundos y una tercera cada 30 segundos. En una competencia automovilística de circuito cerrado. si han salido al mismo tiempo. ¿Cuánto volverán a coincidir? 7. ¿A qué hora vuelven a abrirse simultáneamente? 8. 2040 y 8976? DATOS SOLUCION DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. tres automóviles arrancan juntos. en cualquiera de los casos. a las 9 de la mañana. si se abren simultáneamente a las 12 del día. Un tren sale cada 5 horas. 12 y 15 minutos en dar una vuelta completa. otro tren sale cada 3 horas. 270 cm3 y 330 cm3. Se tiene tres cubos de 84 cm3. cada uno reciba la misma cantidad? 2. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL 1.A. Si: están correctamente escritos. 3ab (65 ) .R. 6. Indicar la suma de la cifra del segundo orden más la cifra del quinto orden en: 956 783 3. En: abc 273.V. Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir.(b) 2. 5. ambas diferentes de cero.(c) + V. 4b2(a) . COLEGIO TRILCE Página 39 . 174 soles y 730 soles. Hallar un número de dos cifras. 9 y 13 niños. Si se sabe que la suma de las dos cifras es 13. Convertir: 15042(6) a base ternaria. Calcular el valor de "a". 23 (b) 7.(a) . en partes iguales.A. de tal manera que en cada caso sobren 4 soles. hallar el V. Si se cumple que: 15(2a) es el cuadruple de 3(3a) . TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN 6. tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas. 10. Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90 caramelos y 75 chocolates. dé como resultado 27. ¿Qué número de cada dulce corresponde a cada uno de ellos? DESAFÍO Hallar la menor cantidad de soles que hay que repartir entre 5.ARITMETICA 9. Indicar la suma de la cifra del primer lugar más la cifra del cuarto lugar en: 9 128 751 4. ARITMETICA hallar: "a + b + c" 3ab (65 ) ; 4b2( a) ; 23 (b) 8. Hallar: (a 1)(a 1)a(3) bc 9. Hallar: (a + b + c); si se cumple: 10. Al mayor número de dos cifras de la base cuaternaria, transformarlo a la base nonaria. Dar la suma de sus cifras (base nonaria). PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS 11. Si: A = cantidad de divisores de 80. B = suma de los tres primeros números primos de 2 cifras. hallar: "A + B" 12. Si: A = 27 × 12 × 5 _____________ B = 16 × 24 _____________ C = 32 × 18 _____________ hallar: CD(A) + CD(B) + CD(C) 13. Si el siguiente número 7843 b es divisible por 9. Calcular el valor de b2. 14. Siendo: M = {x/x es divisor de 12} y N = {x/x es divisor de 18}; hallar la suma de los elementos en: M N. 15. Se tienen los siguientes conjuntos: A = {x/x es múltiplo de 4; x N}; B = {x/x N; "x" es múltiplo de 7} hallar cuántos elementos tiene A B, si todos son de 2 cifras. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 16. Restas al año de tu nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. ¿El resultado obtenido es múltiplo de 9? ¿Por qué? º º 17. Hallar "a + b", si: 3a 7 1 y b5 9 1 . º 18. Hallar la suma de valores de "a", si: 2nnm a 2 . COLEGIO TRILCE Página 40 ARITMETICA º 19. Calcular la suma entre el mayor y el menor valor que puede tomar "x" en: 4 x 21 3 º 20. Hallar la suma de valores de "a", si: 29a2 4 . COLEGIO TRILCE Página 41 ARITMETICA IV BIM. TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616 ............................43 å Repaso...........Propiedad fundamental de proporcionalidad................... 49 COLEGIO TRILCE Página 2 ............................................Interés simple ..................Probabilidades .........7 å Proporciones ...........................................................................ARITMETICA Índice Pág ...........................................29 å Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos ....... å Magnitudes proporcionales ......................................33 å Medidas de tendencia central .......................19 å Porcentaje ..Razón...........13 å Regla de tres simple ...........23 å Iniciación a la estadística ............................... 50 100 A estas divisiones iguales se llama constante de proporcionalidad. Ejemplo: MAGNITUD CANTIDAD CLASIFICACIÓN I. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (M.) Dos magnitudes son directamente proporcionales. ¿Cuánto pesan 25 sacos? Para pasar de la primera fila a la segunda solo se multiplica por 50. CANTIDAD Es el valor de un estado particular de la magnitud... los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan correspondientemente en la misma proporción. Ejemplo: Un saco de papas pesa 50 kg. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas.ARITMETICA MAGNITUD Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido. Observa que: 1 2 .. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kilogramos es: _________________ II. Para pasar de la segunda a la primera fila solo se divide entre 50.) Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas..D.P. los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción.P..I. COLEGIO TRILCE Página 3 .. poseen dos partes: valor numérico y unidad.. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (M. b = r Razón Aritmética Antecedente Consecuente Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas.250. podemos afirmar: COLEGIO TRILCE Página 4 . Si se gasta S/. al compararlas por diferencia. en cuatro días? Observamos: ___________________________________________________ ___________________________________________________ AZÓN RAZÓN Es el resultado de comparar dos cantidades. a . ¿cuántos jardineros son necesarios para un parque similar. a. ¿cuánto se gastaría por 120 invitados? Observamos: ___________________________________________________ ___________________________________________________ * Si cuatro jardineros terminan de podar un parque en 20 días. De las diferentes formas de comparar dos cantidades vamos a estudiar dos.ARITMETICA Ejemplo: Si tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo. ¿cuánto emplearán 18 hombres? Observamos que los productos: 3 × 24 = _____ × 12 = 9 × _____ = _____ _____ × 18 = _____ Por tanto: Número de días Otros ejemplos: * Se invita a 20 personas a una cena. Razón Aritmética o por diferencia Es el resultado de comparar dos cantidades homogéneas mediante la sustracción. dos números cuya razón geométrica 2 sea: 3 5.9 margaritas = 3 rosas más que margaritas. Cita dos números cuya razón aritmética sea 6. Si la relación entre dos números es de 7 a 11. Razón Geométrica o por cociente Es el resultado de comparar dos cantidades mediante la división. hallar los números sabiendo que su diferencia es 8. La edad de Javier es a la edad de Janet como 8 es a 6. Hallar la razón aritmética y geométrica de: COLEGIO TRILCE Página 5 . al compararlas por cociente. o también 3 margaritas menos que rosas. se tiene: 12 rosas 4 rosas * 9 m arg aritas 3 m arg aritas Por cada 4 rosas hay 3 margaritas. A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. Hallar la razón aritmética y geométrica de: a) 40 y 120 b) 25 y 81 c) 144 y 256 d) 49 y 121 2.ARITMETICA * 12 rosas . b. 3. 4. se entenderá que la razón pedida es geométrica. En los siguientes ejercicios. hallar sus edades. o 9 m arg aritas 3 m arg aritas * 12 rosas 4 rosas Por cada 3 margaritas hay 4 rosas. Antecedente a =K Razón Geométrica Consecuente b Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas. cuando se diga simplemente razón. Si el doble de la edad de Javier y el triple de la edad de Janet suman 136. 7.5 d) 8 6. El menor de dos números es 125. Hallar los números.02 c) 5. La razón de dos números es 6 . Cita dos números cuya razón geométrica sea 1/5. 6. Hallar el número menor. ¿cuál es el mayor? 8. ¿cuál es el menor? 8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. si la relación entre ambos es de 25/35.6 y 3. La razón de dos números es 3 y su diferencia 55. Hallar la edad de ambos si se sabe que sus edades suman 24 años. 5. 5 7. ¿cuál es el mayor? COLEGIO TRILCE Página 6 .ARITMETICA 11 5 y a) 60 y 12 b) 12 6 3 y 0. 9. 8 10. La edad de Alejandro es a la edad de Arianne como 4 es a 8. Si el menor es 20. La relación entre dos números es de 3 a 8. si el mayor es 21. Hallar la razón aritmética y geométrica de: a) 25 y 35 b) 6 y 18 b. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 8 y 12 años. Hallar los números sabiendo que su suma es 49. ¿cuáles son los números si se sabe que ambos suman 39? 4. 3. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años. La razón de dos números es de 3 a 7. Cita dos números cuya razón aritmética sea 8. La relación entre dos números es de 5 a 2. ¡ AHORA… HAZLO TU ¡ 1. "y" y "z". Si en un día "x" y "z" produjeron 15 960 chocolates. si se sabe que ambos suman 64.ARITMETICA 9. 10. II. la máquina "y" produce 7 y por cada 5 chocolates que produce la máquina "y" la máquina "z" produce 3. . por cada 11 chocolates que produce la máquina "x". si la relación entre ambas edades es de 1 a 3. La suma de las edades de dos niños de la primaria TRILCE es de 16 años. . DEFINICIÓN Es la igualdad de dos razones. Hallar el producto de dichos números. TIPOS DE PROPORCIÓN Proporción aritmética o Proporción geométrica o equidiferencia equicociente Recuerda: COLEGIO TRILCE Página 7 . ¿Cuál será la edad de ambos dentro de 5 años? DESAFIO En una fábrica de chocolates de marca "DINOSAURIO" se tiene tres máquinas "x". que tienen el mismo valor.A. El matemático Pedro Sánchez Ciruelo señala que la proporción aritmética y geométrica hacen referencia a una relación métrica que se da tanto en la aritmética como en la geométrica. I. La relación de dos números es 5/3. ¿cuántos chocolates más o menos hizo "y" con respecto a "z" ese mismo día? a) 4 500 menos b) 2 940 más c) 2 940 más d) 4 500 más e) N. Sabías qué . en la proporción geométrica se llaman extremos al primero y cuarto de los términos y medios al segundo y tercer término. • Al término medio se llama media diferencial en la progresión aritmética continua y se llama media proporcional en la progresión geométrica continua.ARITMETICA • Los términos de la equidiferencia se llaman extremos al primer y cuarto elemento de la proporción y medios al segundo y tercero.42 = 25 .3 . Hallar el término media diferencial entre: COLEGIO TRILCE Página 8 . • Al al igual que en la proporción aritmética. Hallar el término desconocido: 1 1 5 x a) 50 .x b) 45. Proporción discreta Proporción continua Recuerda: • A cualquier término se llama cuarta diferencial en la progresión aritmética y cuarta proporcional en la progresión geométrica.0. LISTOS … A TRABAJAR 1.03 c) 3 7 6 1 x 6 4 x 1 2 8 16 x 9 d) 5 e) 16 f) x 4 2.x = 18 . y = ? 7 a . Hallar la media diferencial entre: 5 1 1 2 3 y 8. b = ? c) La relación entre dos números es de 5 a 2.14. x = ?.25 COLEGIO TRILCE Página 9 .16 y 5 14 y a) 7 8 b) 5 c) 5 7 5. Hallar "x" en: 1 1 1 8 x 5 14 3 4 12 3.64 b) 81 c) x 0. En las siguientes relaciones.x = x .b = 30. Hallar "x" en: 50 . hallar lo que se pide: x 2 . Hallar dichos números sabiendo que su suma es 49. b) 5 b además: a . a) y 3 además: x + y = 10. DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.ARITMETICA 2 1 y a) 26 y 14 b) 5 3 c) 8. 8 d) La razón de dos números es 3 y su diferencia 55.26 4.04 y 4 3. Hallar "x" en: 5 2 1 x 6 16 5 8 2.49 x x 49 a) x 0. a = ?.16 y 169 c) 4 9 4. Hallar la media proporcional entre: 25 36 x 49 x 0. Hallar el término media proporcional entre: 1 1 y a) 81 y 4 b) 0. Hallar los números. "m" y "n" sabiendo que: a + m + n = 86 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE PROPORCIONALIDAD En toda proporción geométrica el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. hallar "a".ARITMETICA DESAFÍO a m n Si: 2 3 4 . Ejemplos: 6 18 2 10 a) 2 6 b) 5 25 6 × 6 = 18 × 2 2 × 25 = 5 × 10 COLEGIO TRILCE Página 10 . ARITMETICA COLEGIO TRILCE Página 11 . ) COLEGIO TRILCE Página 12 . REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Es cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I. • Por magnitudes proporcionales: a1 a2 x × A A D.P.). ¿cuánto costarán 12 libros? × * Plantea la solución por magnitudes proporcionales.ARITMETICA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Es cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P.6.P. B =K b1 x B • Método práctico: × Ejemplo: Si cuatro libros cuestan S/. P.ARITMETICA • Por magnitudes proporcionales: × A I.6 000 de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo? COLEGIO TRILCE Página 13 . a la misma hora. ¿en cuántos días podrían hacer la misma obra seis hombres? × * Plantea la solución por magnitudes proporcionales. es de 54 m? 2 3. el primero ocupa los 11 de la finca y paga S/. ¿cuál será la altura de una torre cuya sombra.20. Si cuatro libros cuestan S/. A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. ¿Cuál es la capacidad que falta llenarse del estanque? 5 4. Los 5 de capacidad de un estanque es 500 litros. ¿cuánto costarán tres docenas de libros? 2. Dos individuos arriendan una finca. B A × B=K a1b1 = a2x x = • Método Práctico: × Ejemplo: Si cuatro hombres hacen una obra en 12 días. Si una vara de 2 m de longitud da una sombra de 6 m. Si ocho libros cuestan S/. Si una casa de 4 m de altura da una sombra de 5 m. Una guarnición de 500 hombres tienen víveres para 20 días a razón de tres raciones diarias. ¿cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día? 9. ¿Cuántos raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más? 10. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días. Nueve hombres pueden hacer una obra en cinco días. ¿cuántas carpetas fabricará en 12 días? 6. el primero alquila 11 del total de las oficinas y paga S/. es de 35 m? 3 3. ¿cuánto costarán dos decenas de libros? 2. Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 12 días. a la misma hora. en realizar cierta obra. ¿en cuántos días habrían terminado la obra? 8. ¿cuántos hombres habrá que dejar de lado? Dato: 1 mes = 30 días AHORA HAZLO TU 1. Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana.ARITMETICA 5. Los 7 de capacidad de un estanque es 300 liltros. ¿cuál será la altura de un edificio cuya sombra.30. Si hubiera trabajado una hora menos al día. Si se quiere que los víveres duren 110 días más.3 500 de alquiler al mes. Una travesía en un barco de 1 300 hombres tienen víveres para cuatro meses. ¿con cuántos obreros se hará la misma obra en 15 días? 7. Dos individuos alquilan oficinas de un edificio. ¿Cuál es la capacidad que falta llenarse del estanque? 7 4. trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto paga de alquiler mensual el segundo? COLEGIO TRILCE Página 14 . 05 m da una sombra de 33. Una cuadrilla de obreros emplea 28 días. la sombra de una persona cuya estatura es 1. a la misma hora. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 40 días más? 10. ¿qué tiempo emplearán en podar el jardín? 9. Si un equipo de trabajo de 15 obreros hace una obra en 60 días. COLEGIO TRILCE Página 15 . Un grupo de cinco jardineros iban a podar un jardín en seis horas. Un ejército de 600 hombres tiene víveres para 80 días a razón de tres raciones diarias. es decir. Un grupo de exploradores de 120 hombres tiene víveres para seis meses. ¿con cuántos obreros se hará la misma obra en 36 días? 7. ¿cuántos hombres más se podrá llevar? DESAFÍO Una torre de 25.80? Se llama Tanto por Ciento o Porcentaje de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número. ¿cuántas ventanas fabricará en 180 días? 6. El signo para designar el tanto por ciento es "%" y se empezó a utilizar en 1685. ¿Cuál será.ARITMETICA 5. en realizar cierta obra.40 m. Si solo fueron tres jardineros. trabajando 8 horas diarias. una o varias centésimas de un número. ¿en cuántos días habrían terminado la obra? 8. Si un cerrajero hace 20 ventanas en un mes. Si hubiera trabajado una hora menos al día. Si se quiere que los víveres duren 60 días menos. Recuerda que cada vez que veas de. del. Calcular el 4% de 50 000. 5. 3. Calcular el 2% de 6% de 35 000. Calcular el 15% de 60. Calcular el 5% de 40. 2.ARITMETICA * Ejemplo: ¿Cuál es el 1% de 2 500? 2500 25 1% 100 * Ejemplo: ¿Cuál es el 7% de 2 500? 2500 7 (25 ) 7 175 100 * Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 4 200? ( ) ______ A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. El precio de una computadora es 2 800 nuevos soles. 6. Si compro con el descuento del 15%. Calcular el 10% del 30% de 50 000. 4. significa que tienes que multiplicar. de los. ¿cuánto pago? COLEGIO TRILCE Página 16 . ¿Cuánto tenía? COLEGIO TRILCE Página 17 . ¿cuánto se paga? 8. ¿cuántas gallinas y cuántos pavos hay? 10. ¿Qué porcentaje de preguntas respondió correctamente? 9. Calcular el 25% de 120 000. Calcular el 75% de 240 000. El precio de un Play Station IV es de 750. 2.ARITMETICA 7. Si el 45% son gallinas y el resto pavos. 4. Roberto gana 1 800 nuevos soles mensuales. Calcular el 20% de 30 000. El precio de una casa es S/. Si se recaudó 630 000 nuevos soles. En una colecta para la Cruz Roja se fija recaudar como meta 700 000 nuevos soles. En una granja hay 1 600 aves. si la cuota inicial representa el 20% del precio total de la casa. Calcular el 15% del 20 de 2 000. HAZLO TU 1. 3. ¿qué porcentaje representa lo recaudado? AHORA. Calcular el 3% del 4% de 60 000. ¿cuánto pago? 7. ¿qué cantidad de dinero le queda para otros gastos? 9. Si el 9% de su sueldo lo destina a pagar los servicios de teléfono.25 000. En el primer concurso de TRILCE 2007. El precio de un televisor es 350 dólares. 6. Renzo respondió 80 preguntas correctas de una prueba de 120 preguntas. Si compro con el descuento del 10%. 5. Si compro con un descuento del 10%. Rafael gasta 84 nuevos soles que representa el 30% del dinero que tenía. ¿cuánto le restaría pagar? 8. r t = 4 años i= 100 r = 25 i=¿ ? Resolución: COLEGIO TRILCE Página 18 . Al medio día lleva subiendo 30 m. ¿cuánto mide de altura la montaña? DESAFÍO Calcular el 10% del 20% del 5% de 2 500 000.r i= .r i= .r i= . 36 000 Donde: i = interés c = capital t = tiempo r = tasa porcentual * Ejemplo: ¿Cuál es el interés que produce un capital de 15 000 nuevos soles en cuatro años al 25%? Datos: Fórmula: c = 15 000 c. si el tiempo está dado en meses. Si esto representa el 40%.t. Un alpinista decide subir una montaña. INTERÉS SIMPLE El interés es la ganancia que produce un capital a un porcentaje acordado en un tiempo determinado. si el tiempo está dado en años. 1 200 c. 100 c.t.ARITMETICA 10. si el tiempo está dado en días. Usaremos las siguientes fórmulas: c.t.t. 15 000. ¿Qué interés produjo? 5. al 30% mensual durante ocho meses? 3.10 000 y después retiró su capital y sus intereses. Un capital colocado al 30% produce un interés de 6 000 durante ocho meses. Alejandro ahorró por cinco años un capital de S/.12 000. ¿Cuánto ganó? 7. ¿cuánto obtuvo de interés al cabo de 120 días? (Porcentaje = 15%) 10.60 000? 6. Ángel depositó en el banco 30 000 nuevos soles para cinco años. Rocío depositó en un banco S/. ¿Cuánto retiró en total? (Porcentaje = 5%) 9. ¿Cuál fue el capital? 4. PRACTIQUEMOS 1. ¿A qué interés debe ser depositado para obtener una ganancia de S/. ¿cuánto genera de intereses en dos años? COLEGIO TRILCE Página 19 . 2. ¿Cuál fue su ganancia? 8.10 000 impuesto al 30% durante cinco meses. José Luis ahorró en un banco 3 000 nuevos soles durante siete meses al 6%.ARITMETICA 15 000 4 25 i 100 i = 15 000 Respuesta: El interés producido en cuatro años es S/. Al 7% anual un capital de 8 000 nuevos soles. Jacqueline ahorró en un banco 2 000 nuevos soles durante cuatro meses al 3%. Hallar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 15 000 nuevos soles que al 10% produjo intereses por S/. ¿Cuál será el capital que ha producido un interés de 360 nuevos soles. Flor depositó 8 000 nuevos soles. : ________________ 3. ¿Cuántos alumnos tienen calificación AD? Rpta. Calificaciones Calificaciones Conteo Total AD A B C 1.: ________________ 2. ¿Cuántos alumnos tienen más la calificación A que la calificación B? COLEGIO TRILCE Página 20 . Luego ordénalas en esta tabla. Del Egipto de los faraones se tienen datos mucho más exactos: listas de familias. . Ellos aplicaban la siguiente técnica: * Ejemplo 1: Utiliza la técnica de los palotes. Los romanos eran buenos administradores y hacían censos cada cinco años. Recolectar y luego organizar los datos en cada uno de los siguientes casos: Anotar las calificaciones del curso de Aritmética de la sección del sexto grado. de jefes de familias y de profesiones.ARITMETICA DESAFÍO Ricardo depositó en el banco 80 000 nuevos soles en seis meses. La estadística empieza con los grandes imperios de la antigüedad. de casas. Hallar la tasa porcentual con la cual fue depositado? Sabías que . . Sabiendo que su ganancia fue la quinta parte de lo que depositó. ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados? Rpta. de soldados. : ________________ 3. ¿Cuántos alumnos y profesores fueron encuestados? Rpta.: ________________ 4. ¿Cuál es el mes en que más personas cumplieron años? Rpta.: ________________ 2. Mes Conteo Total Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre 1. Aplicar la siguiente encuesta a tus compañeros de aula y profesores.: ________________ * Ejemplo 2: Utiliza la técnica de los palotes. ¿Cuál es el mes o meses en qué no hubo cumpleaños? Rpta. la pregunta es: ¿en qué mes del año cumplen años? Anota los resultados en la tabla. ¿Cuál es el número de personas que cumplen años en el mes de julio? Rpta.: ________________ COLEGIO TRILCE Página 21 .ARITMETICA Rpta. Luego responde las siguientes preguntas: (Sugerencia: consultar el almanaque mundial del presente año) a. Aplica una encuesta a los alumnos de primaria. (Sugerencia: consultar el almanaque mundial) a. con la siguiente pregunta: ¿cuál es su edad? Anota los resultados en una tabla que contenga los siguientes campos: edad. Elabora en tu cuaderno una tabla que contenga las distancias de los planetas al Sol y luego contesta las siguientes preguntas. ¿Cuál es el número de habitantes del continente europeo? COLEGIO TRILCE Página 22 . Luego responde: a. ¿Cuántos alumnos superan los nuevos años? d. ¿Cuál es la población de América? d. total. ¿Cuál es la distancia de la Tierra al Sol? 2. ¿Cuál es el continente que presenta la menor población? c. ¿Cuántos alumnos tienen la menor edad? c. Halla la diferencia entre el número de habitantes del continente asiático y el continente americano. ¿Qué planeta se encuentra más próximo al Sol? c..A TRABAJAR ¡ 1. ¿Qué planeta se encuentra más alejado del Sol? b. conteo. ¿Cuántos alumnos tienen la mayor edad? b.ARITMETICA ¡ LISTOS …. ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados? 3. Elabora una tabla que contenga la población mundial por continentes. e. ¿Cuál es el continente más poblado? b. . GRÁFICA DE BARRAS Ejemplo: A continuación se muestra el sueldo de una persona durante el año 2006. blanco para las construcciones. amarillo para las piezas de oro. unas cuerdas gruesas de las cuales colgaban varios hilos de distintos colores según el objeto que representaban. ¿En qué mes ganó menos? ______________________ 2. rojo para los soldados. ¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año 2 006? ______________________ 4. En el continente americano.ARITMETICA Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos Sabías que . I. . Sueldo (miles de nuevos soles) 20 16 15 13 11 10 8 Mes Enero F M A M J J A S O N D 1. ¿Cuántos meses ganó más del sueldo promedio? ______________________ COLEGIO TRILCE Página 23 . etc. los incas desarrollaron un sistema de estadísticas muy perfeccionado: todos los datos relacionados con las actividades económicas y demográficas se conservaban en los "quipus". ¿En qué mes ganó más? ______________________ 3. Del año 2004 al año 2007 la población de mujeres ¿aumentó o disminuyó? ¿en cuánto? __________________________ III. a diferentes temperaturas e intensidades luminosas. El máximo rendimiento. ¿Cuál fue la población en el 2004? mujeres 25 __________________________ 20 15 2. Intensidad luminosa III I 20 II 10 III Temperatura (ºC) 10 20 30 40 50 1.ARITMETICA II. ¿Cuál era la población en el 2006? 15 __________________________ 10 10 8 5 años 2004 2005 2006 2007 3. Intensidad luminosa I 40 II.2007: # población (miles) hombres 1. GRÁFICA DE BARRAS AGRUPADAS Ejemplo: A continuación se muestran la población de hombres y mujeres de cierta localidad. durante el período 2004 . ¿Qué rendimiento se alcanza. aproximadamente con una temperatura de 30º e Intensidad luminosa III? _____________________________________________ COLEGIO TRILCE Página 24 . se alcanza aproximadamente con una temperatura de: _____________________________________________ 2. Intensidad luminosa II 30 III. GRÁFICO LINEAL Ejemplo: Rendimiento de la cosecha "x". ¿En cuánto aumenta la población de hombres del año 2005 al año 2007? __________________________ 4. Rendimiento 60 50 I. con Intensidad luminosa I. ARITMETICA 3. SECTOR CIRCULAR Ejemplo: En una encuesta se obtuvo la siguiente información. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más el producto "A" que el producto "C"? _____________________________ 2. "B". acerca del consumo de los productos "A". "D" y "E". COLEGIO TRILCE Página 25 . "C". C B 15% D 30% 10% 5% E 40% A 1. Para una mejor cosecha ¿qué intensidad luminosa conviene y a qué temperatura? _____________________________________________ IV. ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto "B"? _____________________________ 3. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos "D" y "E"? _____________________________ A PRACTICAR LO APRENDIDO • Gráfico 1: La siguiente gráfica muestra el volumen de venta obtenido durante los seis primeros meses del año de un equipo de vendedores. de un total de 200 personas encuestadas. ¿Qué procentaje de los consumidores prefieren más el producto "C" que el producto "E"? _____________________________ 4. ) de venta mensual durante esta campaña. 3 c. 45 000 d. mayo y junio b.ARITMETICA Cantidad de artículos 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 Mes ene feb mar abr may jun 1. 28 828 b. 40 000 c. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lo largo de toda la campaña. marzo y abril d. a. durante esta "Campaña de medio año"? a. 4 d. 5 e. 60 000 5. ¿Cuál es el volumen total de venta. 33 333 d. 200 000 d. 30 000 3. 30 300 e. durante un mes? a. 220 000 c. 190 000 e. 2 b. 50 000 e. Indica el promedio (aprox. 160 000 b. 35 000 artículos b. 33 300 c. ¿Durante cuántos meses el volumen de venta estuvo sobre el promedio mensual? a. 242 000 2. abril y mayo e. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caída más apreciable? a. 1 4. mayo y enero • Gráfico 2: La inflación en un país mostró la siguiente evolución entre febrero y junio: COLEGIO TRILCE Página 26 . enero y febrero c. en tres meses del año: COLEGIO TRILCE Página 27 . en tres meses del año. 40% b. 40% c. 80 d. 50% c. se produce en enero? a. 130% d. 70 e.5% e. 20% 9.) a. 25% c. ¿Qué porcentaje más de camote. 120% c. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia mostrada? a. ¿Cuál fue la producción total (en toneladas) de papa en los tres meses? a. 45 10. 50 c. Halla la inflación promedio durante el periodo febrero . 40% b. 33% d. 30% b. 30% e. 10% DEMUESTRA LO APRENDIDO • Gráfico 1: El gráfico muestra la producción (en toneladas) de arroz y cebada. 60 b. 45. 66. 100% b. 180% • Gráfico 3: El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos tubérculos. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote entre febrero y marzo? a.5% d.junio (aprox. 45% d. 150% e.ARITMETICA Tasa de inflación (%) 90 70 50 30 10 Mes F M A M J 6. Producción (toneladas) 35 papa 30 camote 25 20 15 10 5 Mes Ene Feb Mar 8. 36% 7. 45% e. con respecto a la papa. 60 b.3% d.ARITMETICA Producción (toneladas) 35 cebada 30 arroz 25 20 15 10 5 Mes Ene Feb Mar 1. 40% b. segunda b. 45 • Gráfico 2: Sony analiza las ventas de TV de 43" en Lima Metropolitana. 20% 2. 65 d. cuarta d. 80 d. ¿En qué porcentaje desciende la producción de arroz entre febrero y marzo? a. 33. 70 e. en las últimas ocho semanas. sexta 5. ¿Cuál fue la producción total de cebada (en toneladas) en los tres meses? a. ¿En qué semana se vendió un mayor número de televisores? a. ¿Cuántos TV se vendieron en las tres primeras semanas? a. La información se muestra a continuación: Número de TV vendidos 35 30 25 20 15 10 5 Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 45% e. 60 c. quinta e. ¿En qué semana hubo una mayor variación en las ventas? COLEGIO TRILCE Página 28 . 25% c. 75 4. 50 c. 55 b. tercera c. 75 e. 19. 36º e. 10 a.1ra y 2da d. De 8 a. 3 p. ¿Cuál es el promedio de TV que se vende por semana? a.5º c.m. 39º e. De 11 a. 1 p. COLEGIO TRILCE Página 29 .m. c. d. 6ta y 7ma e.m. b.)? a.m. c. 38º 20.m. 4 p. a 5 p.m. 37º c. 6 p. 37.m. 40º 21. ¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentó en el paciente? a. Temperatura (ºC) 40º 39º 38º 37º 36º 35º 34º Hora 8 10 2 4 6 a. a 6 p.ARITMETICA a. 6 a. 19. 5 p. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínima observada (aprox.m. e.75 e.m. 18.m.m. d. durante el transcurso de 12 horas.m. 2 p.m. 5ta y 6ta c.5 • Gráfico 3: La siguiente gráfica muestra la temperatura de un paciente en el Hospital del Niño. c. ¿Cuál fue aproximadamente la temperatura del paciente a las 11 a.m.m. a 6 p. a 4 p. 38º d. De 2 p.m. e. De 10 a.75 b. e. 12 a. b.25 d.m.5º d. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máxima observada? a.m. 8 a. 38. ¿Durante qué periodo tuvo el paciente más de 37º de temperatura? a. 18.m. 19. b. 12:00 m.m. 2da y 3ra 6.m. 3ra y 4ta b.m. 18. 36º b.? a) 37º b. 2 a.25 c. 19.m. De 8 a. a 6 p. 17. d. 240 A. 12. sobre un total de 800 encuestados. 280 b. 256 d. MEDIA ARITMÉTICA Viene a ser la suma de todos los datos dividido entre el número total de datos. ¿Cuántos encuestados prefieren más salsa que rock? a. 15. 19. 11. COLEGIO TRILCE Página 30 . 12 La media aritmética es: 12 15 12 11 16 19 12 13 .ARITMETICA DESAFÍO En el siguiente gráfico circular se muestra los resultados de una encuesta acerca de las preferencias de ciertos géneros musicales. 520 c. 360 e. 40 2. 480 d. ¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa y rock. MODA Es el número que más se repite o de mayor frecuencia en un conjunto de datos ordenados. Ejemplo: Sean las notas de un grupo de alumnos las siguientes: 12. 240 c.85 7 B. 80 e. 280 b. 16. Balada 20% Criollo 10% Rock 30% Otros 5% Salsa 35% 1. que los demás géneros musicales? a. 19 La mediana es: 12 PROBABILIDADES En la actualidad se ha inventado juegos en donde interviene el azar. 16. 12. 15. MEDIANA Es el número ubicado en el centro de la ordenación cuando el número de datos es impar y la semisuma de los dos centrales. 12. 12. Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11. es decir donde no se sabe quien va a ganar solamente se dan resultados probables. 12. 12. 19 La moda: es: 12 C. Sin mirar saco una. ¿cuál es la probabilidad de que me salga el número 5? 1 resultado favorable 1 P Resolución: 6 resultados posibles 6 • Ejemplo 2: En una caja tengo seis bolas de color verde y cuatro amarillas. 16. Pamarillo Resolución: 10 5 10 5 COLEGIO TRILCE Página 31 . 15. ¿cuál es la probabilidad de que me salga verde? ¿y amarilla? 6 3 4 2 Pverde . Fórmula: número de resultados favorables P= total de posibles resultados • Ejemplo 1: Si lanzo un dado al aire.ARITMETICA Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11. 12. cuando el número de datos es par. 6. 40. 7. 50. 8. 3. de Gabriel son: 20. 50. la mediana y la moda son: 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola azul o una bola verde? 7. 25. En una bolsa hay 12 bolas señaladas con los números: 1. 3. 12. Los ahorros mensuales. 7. 4. 7. en nuevos soles. . 7. 14 y 14 2. 20. 5. 40 y 30. a. 25. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola verde? c. 10. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola azul? b. 9. 4. Indica cuál es la moda del siguiente conjunto de datos: 9. 7. Dados los siguientes valores de las edades de algunos niños de primaria: 5. 11. 10. 10.ARITMETICA LISTOS… A TRABAJAR 1. 7. 15. 12. 4 4. 20. . Calcular la media aritmética de las notas obtenidas por 11 alumnos del 6to grado en la asignatura de Aritmética en el Tercer Bimestre. a. Hallar la mediana. 6. 4. 8. 5. Se lanza un dado al aire. 2.11. . En una bolsa hay cuatro bolas azules. 2. 3. 6. b. cinco bolas verdes y dos negras. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola negra? d. 4. Calcula la media aritmética. Nota: 12. 3. 40. ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par? ¿y un número impar? 6. 9 la media aritmética. 7. 12 COLEGIO TRILCE Página 32 . 14. . 20. . 7. 11. 8. 3. 12. 2. ¿Cuál es la moda? c. ARITMETICA a. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un divisor de 12? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un múltiplo de 3? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un número menor que 10? 8. Indica cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número: a. múltiplo de 2. b. divisor de 5. c. menos que 4. 9. Si lanzamos una moneda al aire: a. ¿Qué probabilidad hay de que salga cara? b. ¿Qué probabilidad hay de que salga sello? DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Calcular la media aritmética de las notas obtenidas por un alumno del 6to grado en el curso de aritmética. Nota: 18; 20; 16 y 14 a. 14 b. 15 c. 16 d. 17 e. 18 2. Los gastos diarios, en nuevos soles, de Carlos son: 30; 20; 40; 20; 30; 30; 40 calcular: I. La media aritmética II. La moda III. La mediana Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos. a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150 3. En el último examen bimestral del curso de Aritmética de 10 preguntas se observó que un grupo de alumnos respondieron la siguiente cantidad de preguntas: 7; 6; 8; 10; 7; 3; 9; 3; 8; 7; 10; 8; 7; 6 y 6 Calcular: I. La moda II. La mediana III. La media aritmética Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos. a. 15 b. 18 c. 20 d. 21 e. 24 COLEGIO TRILCE Página 33 ARITMETICA 4. En una bolsa hay dos bolas azules; tres bolas rojas y cinco bolas amarillas. I. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola azul? II. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola amarilla? Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos. 3 4 5 7 9 a. 10 b. 10 c. 10 d. 10 e. 10 5. Indica cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número: I. multiplicado 3 II. menor que 5 Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos. 1 2 3 5 a. 6 b. 6 c. 6 d. 6 e. 1 REGLA DE TRES. 3 1. Los 7 de la capacidad de un estanque es 8 136 liltros. Hallar la capacidad del estanque. 1 2. Si 2 docena de una mercadería cuesta S/.4 050. ¿Cuánto será el importe de dos docenas? 5 3. Una casa es de dos hermanos, la parte del primero, que es los 13 de la casa, está valuada en S/.15 300. Hallar el valor de la parte del otro hermano. 4. Una fuente brinda 1 200 litros de agua en 10 minutos. ¿Cuántos litros más dará en una hora? 5. Un grupo de amigos disponía de S/.360 para gastar vacacionando durante cuatro días. ¿Para cuántos días les alcanzará S/.630? COLEGIO TRILCE Página 34 ARITMETICA PORCENTAJE. 1. Jorge ahorró en una cooperativa 1 500 nuevos soles durante cinco meses al 4%. ¿Cuánto ganó? 2. María prestó su dinero a una amiga, bajo las siguientes condiciones: capital = 60 000 nuevos soles; tiempo = 2 años al 20%; ¿qué intereses se generó? 3. Calcular el 20% del 5% de 80 000. 4. Calcular el 6% del 30% de 30 000. 5. En un colegio el 40% son mujeres, si se sabe que la cantidad de mujeres es 200, ¿cuántos varones hay en el colegio? INICIACIÓN A LA ESTADÍSTICA. 1. Analiza e interpreta los resultados de alguna encuesta de opinión. • Identifica la institución o personas responsables de la encuesta: a. ¿Es una institución conocida? ¿Es especializada en encuestas de opinión? Pertenece a un grupo con características particulares? (Por ejemplo, a un partido político, a un grupo económico, iglesia, etc). • Revisa la ficha técnica de la encuesta: b. ¿Qué cobertura tuvo? c. ¿La respuesta es considerada representativa de qué población? (el país; las mujeres mayores de 18 años; etc). • Discute respecto a las limitaciones que podría tener la encuesta para obtener conclusiones generales: por ejemplo, si fue una encuesta telefónica ¿podría considerarse representativa de toda la población? ¿por qué? • Lee y discute los resultados de la encuesta (gráficos y tablas) y discute sobre las conclusiones que como estudiantes, podrían sacar a partir de esos resultados y justifica. Debate acerca de la validez de las conclusiones propias y de las entregadas por los autores o autoras de la encuesta. • Haz la encuesta analizada en el colegio analizando los resultados y comparándolos con los de la encuesta original. Busca explicaciones a las diferencias o similitudes de los resultados. COLEGIO TRILCE Página 35 ¿Es correcto decir que. Según esta información ¿cada cuántos alumnos de primer año uno de ellos tiene problemas de caries aproximadamente? 3. cronológicamente. (Total de niños y niñas 500 alumnos) Fuente INE. ¿Cuántos niños y niñas por cada 100 de primaria tienen problemas de caries? b.) c. a. Recopilar información en diarios. revistas. etc. ministerios. Relaciona los porcentajes señalados en los gráficos circulares con la porción del área de la circunferencia (aproximadamente) que ocupan. servicios públicos y publicaciones periódicas. según fuentes. 1. (Mínimo cinco preguntas) ELABORACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. COLEGIO TRILCE Página 36 . aproximadamente 6 de cada 100 personas vivas estaban infectadas con el virus de la Hepatitis B? 2.. b. etc. referidas a un tema de su interés. Hasta el año 1999. en general. en general a. ministerios.ARITMETICA 2. discute por qué algunas se presentan en gráficos de barras y otras en gráficos circulares. Recopila en diarios y revistas informaciones presentadas en gráficos. Organizados en pequeños grupos preparar y presentar un trabajo respecto a un tema de interés que incluya información estadística que aporte a la caracterización y análisis del tema que se quiere comunicar. a. Formular preguntas referidas al tema elegido. ¿cuál era la razón entre las personas infectadas y el total de la población mundial? b. Fuente: INE. servicios públicos y publicaciones periódicas. boletines oficiales. Considerando que la población mundial actual se estima en 6 mil millones. incluidos los gráficos circulares. Lee y analiza las informaciones. a. Organizar la información de acuerdo a criterios que deben hacer explícitos (por ejemplo. se había registrado que en el mundo había 350 millones de personas vivas infectadas con Hepatitis B. b. El 55% de los niños y niñas que cursan primaria presentan problemas de caries. Tabula la información. c. Realiza una encuesta entre tus compañeros del colegio referente a los tipos de artefactos de audio y video usados en sus hogares. COLEGIO TRILCE Página 37 . menos usados. etc.ARITMETICA 4. Completa tablas con los resultados de las encuestas. b. Escribe conclusiones referidas al tipo de artefactos de audio y video más usados. Construye un gráfico circular con la información. a. d.