ARITMÉTICA ELEMENTAR.pdf

MATEMÁTICAPRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br © 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: 978-85-387-0571-0 1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas Autores Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br .Aritmética Elementar Em geral ap. . mais informações www. a 0 a1 = a 0P = 0. É importante lembrar que a Teoria dos Números é uma área em franco desenvolvimento. 2 3 = 4 9 10) 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 11) (–2)3 = (–2)⋅(–2)⋅(–2) = –8 12) –23 = –(2)⋅(2)⋅(2) = –8 13) –(–2)3 = –(–2)⋅(–2)⋅(–2) = 8 Potência de expoente natural EM_V_MAT_002 Seja a ∈ R a 0 e n ∈ N. desempenhando um papel similar ao dos átomos na estrutura da matéria.. o que facilitaria o processo de contagem primitivo. introduzido por Gauss. n 1 Assim.br 1 . p ∈ N e p ≥ 2. conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética. fatores Os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. e destaca a importância dos números primos na Teoria dos Números. a potência de base a e expoente n é um número an tal que: a0 = 1 an = an–1. p R+* 00 não é definido n par an > 0 n ímpar an tem o mesmo sinal de a Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 1 e -1 pode ser expresso como um produto de números primos. a . O conceito de congruências. no seu “Disquisitiones Arithmeticae”. Esse resultado.a. já aparecia no livro IX dos “Elementos”. em 1801. a p . por exemplo. `` Exemplos: 1) 40 = 1 2) (–5)0 = 1 3) 21 = 2 1 1 1 = 4) 5 5 5) (–4)1 = –4 6) 52 = 5 ⋅ 5 = 25 7) (–3)2 = (–3)⋅(–3) = 9 8) 02 = 0 ⋅ 0 = 0 9) 2 3 2 = 2 3 . de Euclides. Todo número inteiro diferente de 0. será apresentado como importante ferramenta para estudo dos números. a1 = a0⋅ a = 1 ⋅ a = a a 2 = a1 ⋅ a = a ⋅ a a3 = a 2 ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a 1) 2) 3) 4) 5) 6) a0 = 1.com. Em áreas como a eletrônica. assim como o sistema de base 16 ou hexadecimal. n.aulasparticularesiesde. que apresenta aplicações nas mais diversas áreas e que ainda possui muitos problemas em aberto que são um desafio aos matemáticos. ap = a . é muito utilizado o sistema de base 2 ou binário. a. Supõe-se que utilizamos o sistema de base 10 devido à nossa quantidade de dedos. é um produto de p fatores iguais a a. tal que a = b bn = a. a ≠ 0 aq 4) x = x. Propriedades das potências 1) ap ⋅ aq = ap + q 4 4 Da definição temos que 16 = 2 e não 16 = 2.br EM_V_MAT_002 1) 53 ⋅ 52 = 53+2 = 55 1) Só é possível adicionar ou subtrair raízes idênticas (mesmo índice e radicando). Especial cuidado deve ser tomado no cálculo da raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se a2 = a . 3 3 = 3 2. `` 2) 3) (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp Exemplos: (–5) = – 5 = 5 e 2 ap = ap – q. temos:    b 2 . mais informações www. mas apenas para bases não-negativas.Potência de expoente inteiro negativo `` 1 1 = 31 3 1 1 2 ) 3 -2 = 2 = 3 2 1 1 1 −3 3 ) (−3 ) = = =− 3 27 (−3 ) − 27 −2 = 1 2   3 2 = a Em geral.b≠0 5) (ap)q = ap⋅q `` Operações 2) 34 ⋅ 3–1 = 34–1 = 33 25 3) = 25 – 2 = 23 22 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 2 a b p = ap bp .com.3 = −n  b =  a 3 6 Potência de expoente racional Seja a R+* e p q 1 9 = 4 4 9 Q*. 1 a–n = n . temos: p q a q = ap n Raiz enésima aritmética Seja o radicando a R+ e o índice n N. Exemplos: 5 Exemplo: 3 1) 31 = `` 3 3 +2 3 =5 3 Exemplos: 2 4)   3 Exemplo: 2) Para multiplicação ou divisão basta que as raízes possuam o mesmo índice. 2 Exemplos: . a R* a `` `` 32 = 2.aulasparticularesiesde. pois 25 = 32 `` p Expoente q Exemplos: numerador potência da base denominador índice da raiz 1 2 1) 3 2 = 3 3 2) 8 3 = 82 = 4 As potências de expoente irracional são definidas por “aproximação” de potências racionais. existe n sempre a raiz b R+. b≠0 =n b b a m 3.com.(a . 2+1 3+ 2 2 3 – 2 2 2 2 –1 = 2 –1 2 –1 2 2 – 12 2 –1 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. `` Racionalizar consiste em transformar as expressões com radicais no denominador em expressões equivalentes que não apresentem radicais no denominador. Propriedades das raízes Sejam n.3 2 = 3 3 = 3 = 9 3 3 3 3 a 6 2 = 33 .b2 `` Exemplos: 1 = 3– 2 1) 2) 3+ 2 3–2 = = 1 2+1 = 2–1 = 2–1 = 3+ 2 = 3+ 2 1 . As propriedades acima são úteis para redução de potências ao mesmo índice a fim de permitir a sua multiplicação ou divisão. = 25 –(– 2) = 27 2 5) (2 ⋅ 3)2 = 22⋅32 6) –2 3 5 2 32 = `` 52 Exemplo: 36 < 42 < 49 ⇔ 62 < 42 < 72. em geral temos (ap)q ≠ ap . Os dois números citados diferem em 1 unidade e os Racionalização baseada na fórmula: (a + b). p ∈ N* e a. = 2 2 2 2 2 = 2 22 = 3 3 3 32 3.22 = 108 Raiz quadrada aproximada EM_V_MAT_002 `` m = a Exemplo: 3 Racionalização baseada nas propriedades de potências e raízes n As propriedades das raízes são iguais às propriedades das potências para expoentes fracionários.n 6 Exemplos: 1) 2 1 1 . Esse fator é a expressão que multiplicada pelo denominador resulte em uma expressão sem radicais. 7 é a raiz quadrada de 42 por excesso e o resto é 42 – 62 = 6.aulasparticularesiesde.b = am. 3– 2 3 + 1 . b ∈ R+ 1) n 2) n 3) n 4) n 5) p n am = n. 9 3 9 3 3 3 2) 3 =3 . assim 6 é a raiz quadrada de 42 por falta.p n a. 6 6 a = p. mais informações www. e a analogia com as fórmulas da fatoração.4) 25 erros nos dois casos são inferiores a 1 unidade. pode-se falar na raiz quadrada por falta como o maior número cujo quadrado não excede o número dado e na raiz quadrada por excesso como o menor número cujo quadrado excede o número dado. No caso de números que não possuem raiz quadrada exata. 22 = 33 . Esse fator é encontrado tendo por base as propriedades de potências e raízes. 7) (53)2 = 53⋅2 = 56 2 8) 53 = 59 Racionalização Como se pôde notar pelos exemplos 7 e 8 anq teriores.b) = a2 . A diferença entre o número dado e o quadrado da raiz aproximada (em geral a raiz por falta) é chamada resto da raiz quadrada. n b n a a .p a.br 3 . Essa operação é feita multiplicando-se o numerador e o denominador da fração por um fator racionalizante. 7. 1 + 12 3 3 = 2 –1 2 1 4 + 2 – 13 3 3 2 3 2 + 2 . 1 + 12 3 2 + 2 2 . 3 3 3+ 2 3 3+ 2 3 3+ 2 5 Transformação de radicais duplos A B= A+C 2 onde os algarismos podem tomar apenas os valores 0. 2. Por exemplo. . B a 11.ab + b2) e (a3 . Caso a quantidade de símbolos exceda 10. 62 = 65 C = 32– 5 = 2 2) 6 – 2 5 = = 5 –1 Um sistema de numeração de base b se relaciona com a base 10 da seguinte forma: (anan–1. 2 + 0. 8. 9. 22 +1 . 2. Ex. B.com. 1. Esses algarismos são: 0. utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 10+5 e 223 para representar 2 . . .: O sistema de base 6 possui 6 algarismos: 0. E. C a 12 e assim por diante. A. . 102 +2 . a2 +. 6. e os primeiros números são escritos: (1)2 = (1)10 (10)2 = (2)10 (11)2 = (3)10 (100)2 = (4)10 (101)2 = (5)10 (110)2 = (6)10 (111)2 = (7)10 Em geral. 4. 6. onde A equivale a 10 unidades de base 10. F. 6 = 15 (1011)2 = 1 + 1 . 1. 3. . 7. 2. 3. 1 + 12 3 2 + 2 +1 2–1 2 +1 1 3 3 = 3 2 3 3 = 3 9– 6+ 4 3 3 3+ 2 3 3 3 + 2 3 = 3 1 3 3 3 9– 6+ 4 3 3+ 2 3+2 = 3 .(a2 . os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. 5. Dessa forma escreve-se 75 para representar 7 . 3. 10 + 3 Entretanto. dessa forma os símbolos são: 0. os algarismos utilizados são 0 e 1.br EM_V_MAT_002 `` Em geral escreve-se: (anan –1.Racionalização baseada nas fórmulas: (a3 + b3) = (a + b). a2a1a0)b = a0 + b ..+ 10n–1an–1 + 10n an com 0 ≤ ai < 10.. mais informações www. . 2 –1 3 2 + 2 .aulasparticularesiesde.b). Os números restantes são representados por combinações desses símbolos. 23 = 11 6 – 20 = 6+4 + 6–4 2 2 2 C = 6 – 20 = 4 Sistemas de numeração 4 `` (145)6 = 5 + 4 . C. para a base 10: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. . G. 1.. 8.. quando representamos os números da base 10. É usual utilizar um traço acima de variáveis justapostas para representar que as mesmas são algarismos que compõem um número. Exemplos: 1) 3 + 5 = 3 + 2 + 3 – 2 2 2 10 + 2 2 5+ 1 = 2 2 = Exemplos: (23)6 = 3 + 2 . . No sistema de base 2. 9. Na expressão acima podemos notar que num sistema de base b são usados b algarismos e o maior algarismo utilizado é b – 1. .(a2 + ab + b2) Exemplos: 1 1) 3 3 = = 2) 3 3 3 . a2a1a0)10 para representar 100a0 + 101a1 + 102 a2 +. 4 e 5. D. 1. .. Isso quer dizer que utilizamos apenas dez símbolos (algarismos) para representar todos os números. omitimos o subíndice. . b – 1. 6 +1 . a1 + b2 . 4. . + bn .b3) = (a . 5. an A–C 2 C = A2 – B `` Mudança de uma base qualquer para a base 10 O nosso sistema de numeração chama-se hinduarábico e tem base dez. 2. para passar um certo número da base 10 para uma base qualquer b.com. Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde 33 até 333. `` Exemplos: Escrever 171 na base 2.br 5 . Logo. sem incluir o 15. De 10 a 99 há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 algarismos. `` Exemplos: São escritos os naturais de 1 a 150. isto é. De 100 a 150 há (150 – 100 + 1) = 51 números de 3 algarismos. Dessa forma. logo devemos contar a quantidade de números de 11 a 111 inclusive. 171 2 1 85 1 2 42 0 2 21 1 2 10 0 2 5 1 2 2 0 2 1 171 = (10101011)2 Mudança entre bases diferentes da base 10 Para converter um número que se encontra em uma base diferente de 10 para outra também diferente de 10. Outras vezes é solicitado que se contem a quantidade de algarismos escritos. Se no cômputo incluirmos apenas um dos extremos a quantidade de naturais é n – p. As ideias expostas acima podem ser utilizadas na ordem inversa. Mudança da base 10 para uma base qualquer Já sabemos como relacionar um número em uma base qualquer com seu correspondente na base 10. 3) Entre 9 e 100 excluindo (sem os dois extremos) há (100 – 9 – 1) = 90 números. O número de naturais entre n e p exclusive (isto é. Devese proceder como acima considerando os números divididos por k. ou seja. (111 – 11) + 1 = 101 números. como no exemplo abaixo: Exemplo: Qual o vigésimo número após 15? Temos então que contar 20 números começando em 16. mais informações www. 2) Entre 9 e 99 excluindo o 9 há (99 – 9) = 90 números. Quantos algarismos foram escritos? De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo. o total de algarismos escritos é 9 ⋅ 1 + 90 ⋅ 2 + 51 ⋅ 3 = 342.: Escrever (6 165)7 no sistema de base 12 Temos: (6 165)7 = 6⋅7 3 + 1⋅7 2 + 6⋅7 + 5 = 2 154 Fazendo divisões sucessivas: 2154 = 12 ⋅ 179 + 6 179 = 12 ⋅ 14 + 11 Se n e p são números naturais com n > p. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1. 11 até 3 . `` Exemplos: Ex. é necessário calcular quantos números são escritos com cada quantidade de algarismos. o número de naturais entre n e p inclusive (isto é. (6 165)7 = (12B6)12 A tabela a seguir mostra a quantidade de números que se pode formar na base 10 com uma determinada quantidade de algarismos. Muitas vezes precisamos contar a quantidade de números numa sequência de múltiplos de k. Para tanto. deve-se dividir o número sucessivamente por b e a sua representação nessa nova base é dada pelo resto assim obtido tomados na ordem contrária. Quantos números são escritos? Os números escritos vão de 3 . 14 = 12 ⋅ 1 + 2 1 = 12 ⋅ 0 + 1 EM_V_MAT_002 Contagem Logo.xyé usado para representar 10x+y xyz para representar 100x + 10y + z Esse tipo de representação pode ser utilizada também em outras bases.aulasparticularesiesde. `` Exemplos: 1) Entre 10 e 99 inclusive há (99 – 10 + 1) = 90 números. Teremos então (x – 15) = 20 donde x = 35. 111. Isso é feito baseado na expressão do item anterior. contando também n e p) é igual a n – p + 1. Agora vamos ver como obtemos a representação em uma outra base de um número que conhecemos na base 10. 2 154 = (12B6)12 Portanto. deve-se converter o número para a base 10 e então para a nova base. mdc(16. Ex. Diz-se que a divide b (denotado por a | b) se.(1+1). b) = {x Z* x|a e x|b} = {x Z* x D(a) e x D(b)} = D(a) D(b). com a ≠ 0. x. e somente se. então |a| ≤ |b| Se a|b e a|c. Número de divisores positivos O número de divisores positivos de um inteiro positivo n > 1. se houver. Ex. mais informações www. •• Para obter a quantidade de divisores ímpares basta excluir do produto d(n) o fator relativo ao expoente do primo 2. 31. então ac|bd Se a|b e b|c. tal que 10 = 3q.br EM_V_MAT_002 Divisores de um inteiro Total de divisores positivos e negativos de 60 = 2. ±4. pois não existe inteiro q. 0) = a se a b. 51 3 900 4 9000 d (60)=(2+1).aulasparticularesiesde. 24) = 8. é dado por: d(n) = ( 1 + 1)( 2 +1) . b) = a Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A.`` Exemplo: Qtd. ( k + 1) 6 Divisores ímpares de 60 (positivos) = (1+1).0) = 2. (1+1) = 12 Sejam a. então a = ±b Se a|b. cuja decomposição canônica é n = p1 1 p2 2 . b e c inteiros. mdc(–6.(1+1). Divisores positivos de 60 = (2+1). então a|(bx + cy). ±8} Divisores comuns de dois inteiros D(a. pois 6 = 2 3 e 3 10. A condição (1) diz que d é um divisor comum de a e b e a condição (2). então a|c (transitiva) Se a|b e b|a.. pk k. 1) = 1 se a 0.12) = 6. q.: D(12. ±3}.(1+1)=12 Divisibilidade Sejam a e b dois inteiros. basta multiplicar por 2 o valor obtido pela expressão acima.: 2|6. com b ≠ 0. que d é o maior dos divisores comuns. 60) = 12. de números 1 9 Quantos divisores positivos possui o número 60? 2 90 60=22. então c d. mdc(–2. É o conjunto dos números inteiros não-nulos que são divisores de a. •• Para obter o total de divisores positivos e negativos. Corolários mdc (a.. (1+1) = 4 Divisores pares de 60 (positivos) = 12 – 4 = 8 Máximo divisor comum (MDC) Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos.12 = 24 . conforme definido acima.y Z. b) que satisfaz: (1) d a e d b (2) se c a e c b. Se a não divide b escreve-se a b. D(1) = {1. a|0... então mdc (a.1)=1. então mdc (a. Propriedades •• A quantidade de divisores pares pode ser obtida subtraindo esse número do total. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro positivo d = mdc (a.±2. existe um inteiro q tal que b = a . 1|a e a|a (reflexiva) Se a|1. `` Exemplos: mdc (8.: D(0) = Z*. D(a) = {x Z* x|a} Ex. –1} e D(8)={±1.com. – 15) = {±1. de algarismos Qtd. mdc (24. então a = ±1 Se a|b e c|d. o mdc (a. b) = d = a(x + bt) + b(y – at) para qualquer inteiro t. 36. 72 e 936 = 23 . 3 = 12. então mdc (a. O algoritmo de Euclides é baseado na aplicação repetida do lema acima e é normalmente apresentado por intermédio do seguinte dispositivo prático: q1 b r2 Exemplos: M(1) = M(–1) = Z e M (5) = {0. 5. então o mdc (a/d. `` Exemplo: mmc (12. ou seja. kb)=|k| – mcd (a. 32 .c)=1. `` Sejam a e b dois inteiros não-nulos.c) = 1. e somente se. mais informações www. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m = mmc(a. logo mdc (588. então m c. b)=mdc (a. 9 e 16 e 20 e 21. b). então mdc (a. 588 = 22 . . 657) = 9 963 306 2 306 36 M(a) e x M(b) Exemplo: M(18)={18q\q Z}={0.. Teorema de Euclides: Se a bc e mdc (a. . 24. o mdc (a.. b) = 1. b/d) = 1. mdc (a. além disso. c)=1 se. e somente se. M(a) = {x Z tal que ax} = {aq q Z}. rn qn rn-1 0 EM_V_MAT_002 mdc (963. Mínimo múltiplo comum (MMC) O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro qualquer a 0 indica-se por M(a). b) = 1. mdc (a. Teorema: Dois inteiros a e b. 12. Na verdade. mcd (ka.. 15.b) é o produto dos fatores primos comuns as duas decomposições tomados com seus menores expoentes.Existência e unicidade do MDC Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos. 3 . existem inteiros x e y.18) = 36 Corolários 6 45 9 1 36 0 4 9 •• mmc (a. b c e mdc (a...b) ab Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 54. não simultaneamente nulos. com c > 0. 108. b) = ax + by. Corolário: Se a c. `` Z / a x e b x}={x M(a. Números primos entre si Teorema: Para todo k≠0.. 18..936) = 22 .. bc)=1. 36. isto é. MDC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b. existem x e y tais que mdc (a. 48. tais que ax + by = 1. b) = mdc (b. M(a.b) que satisfaz as condições: (1) a m e b m qn+1 rn Exemplos: 1 657 45 Z/x M(12)={12q\q Z}={0. b) como combinação linear de a e b não é única.b).br 7 ..: são primos entre si os pares 2 e 5. 90.. o mdc (a.} O aparecimento do resto 0 indica rn = mdc (a. Corolário: mdc (a. Corolário: Se a b e se mdc (b. são primos entre si se. Ex. 10.b) = {x M(b)} q2 r1 r3 q3 r2 . 13..b) = d. Corolário: Se mdc (a. Dois inteiros primos entre si admitem como únicos divisores comuns 1 e – 1. então ab c.} Algoritmo de Euclides a r1 Exemplos: (2) se ac e bc.. 60. `` Diz-se que a e b são primos entre si se. r). 72. 72.com.} M(18) = {0. Chama-se múltiplo comum de a e b todo inteiro x tal que a x e b x.aulasparticularesiesde.. então mdc (a. . 20. A representação do mdc (a. 36. e somente se. b) existe e é único. 72..b) = M(a) Teorema: Se a = bq + r... b) = 1.} M(12. b) é uma combinação linear de a e b. então a c.18) = M(12) Sejam a e b dois inteiros não-nulos. . 13. mmc(a. 72. 6. b) . Logo. então a possui um divisor primo p a... b) = a . •• Se p é um primo tal que p|ab. mmc (963.aulasparticularesiesde. 13. então a e p são primos entre si. . em seguida. 3 . 5. 17 640 = 23 . 3. 17. Teorema de Euclides: há um número infinito de primos. 3. 72 . 17 640 8 820 4 410 2 205 735 245 49 7 1 MMC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b. mais informações www. 7.936) = 23 .b) é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns às duas decomposições tomados com seus maiores expoentes.5 . que não são primos.657) = 9. 9. `` Exemplos: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 13 = 45 864. Os inteiros maiores que 1. assim devem-se testar os primos 2. são ditos compostos. então mmc (a. Compostos: 4.•• se a b.. 11. 1 e p forem os seus únicos divisores positivos. . então: mdc (a. 2 2 2 3 3 5 7 7 Então.. 10.b) = b •• se mdc (a. bastando dividir os números sucessivamente pelos primos que não excedam a . 17 e 19.. 13. eliminam-se todos os inteiros compostos múltiplos dos primos menores que n . 8. `` Exemplos: 588 = 22 . ou seja. 657).b) = 1. então mmc (a. Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto. 8 •• Todo inteiro composto possui um divisor primo. 5. Corolários: •• Se um primo p não divide um inteiro a.b) = ab Teorema Fundamental da Aritmética: Todo inteiro positivo n > 1 pode ser representado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos. Crivo de Eratóstenes: Construção de uma tabela de primos que não excedem um dado inteiro n: escrevem-se em ordem os inteiros de 2 a n e. n = P1α1 ⋅ P2α2 ⋅ . Como 509 não é divisível por nenhum desses números. têm pelo menos um divisor além de 1 e dele mesmo. o mmc (a. b . ⋅ Pkαk `` `` Exemplos: Decomponha o número 17 640 em um produto de fatores primos. 11.br EM_V_MAT_002 Sejam a e b inteiros positivos. 32 . 657/9 = 70299. 23. Esse teorema indica um processo para reconhecer se um número a > 1 é primo.657) = 963 . `` Exemplos: Primos: 2. Exemplos: Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores primos em ordem crescente como mostrado abaixo: Determinar o mmc (963. Números primos Um inteiro positivo p > 1é um número primo se. 19. então p|a ou p|b. logo mmc (588. `` Exemplos: 22 < 509 < 23. 32 . 12.32 . 7.com. 72 e 936 = 23 . e somente se. então 509 é primo. Pelo algoritmo de Euclides mdc (963.. O único inteiro positivo par que é primo é o número 2. 5 837 7 (mod 10) 5 8372 9 (mod 10) 5 8373 9 x 7 3 (mod 10) 5 8374 3 x 7 1 (mod 10) O aparecimento do valor 1 inicia um novo ciclo de repetição. o resto por 10 é 7. e somente se.: 3|111. mas 4 126. sendo 2 nos expoentes ímpares e 1 nos expoentes pares. pois 4 40. O algoritmo de Euclides nos permite obter os valores xo = 12 e yo = 8. pois 4 16. pois 3 (14 – 8) 10 8(mod 3). a – b é múltiplo de m. `` Solução: 14 543 2 (mod 3) 14 5432 22 1 (mod 3) 14 5433 2 x 1 2 (mod 3) 14 5434 2 x 2 1 (mod 3) EM_V_MAT_002 4n +1 7 4n + 2 9 4n + 3 3 4n 1 3) Calcule x sabendo que 7x 4 (mod 10). com k Z. 7xo – 10yo = 4. Assim. x 12 2 (mod 10) ou x = 10k + 2.8 = 4. devemos ter 10 (x – 12). Teorema: a b (mod m) se. o algarismo das unidades é 7.: 4 3240. Por 4: 4 n o número formado pelos dois últimos algarismos de n é múltiplo de 4.12 – 10. pois 1+1+ 1 = 3. ou seja. Ex. ou seja. Ex. 7. a b (mod m) m (a – b) `` Exemplos: 14 8 (mod 3). e somente se. ou seja.d (mod m) a + c b + d (mod a b (mod m) a + c b + c (mod m) e ac bc (mod m) an bn (mod m). 4 1516. ou seja. Para tanto deve existir yo inteiro tal que 7xo – 4 = 10yo. Critérios de divisibilidade Por 2: 2|n n é par Ex. mais informações www. a é côngruo a b módulo m se. 10 7(x – 12). pois 1 + 1 + 2 = 4.: 2|356 e 2 357 Sugestão para demonstração: Considere n = 10k + r. n Z+*.31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2) Calcule o algarismo das unidades de 5 837649. devemos calcular o resto por 10. Subtraindo. pois 1 + 1 + 4 = 3 2. Por 5: 5 n o algarismo das unidades de n é Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. o resto é 2. Exemplos: 1) Determine o resto de (14 543)567 por 3. onde os valores se repetem em ciclos de 4. os restos das divisões de a e b por m são iguais. pois 4 26. 3|114. onde r é o algarismo das unidades de n. Por 3: 3 | n a soma dos algarismos de n é múltiplo de 3. pois 3 (10-8) Propriedades: a a (mod m) `` b a (mod m) a b (mod m) e b c (mod m) a c (mod m) a b (mod m) e c d (mod m) m) e a. isto é. pos 3 (20 – (–19)) a b (mod m) Expoente 14 543567 2 (mod 3) Pode-se notar que os valores se repetem.12 4 (mod 10). 20 – 19 (mod 3). a b (mod m) Resto por 10 Como o expoente 649 = 4 x 162 + 1.com. mas 3 112. tal que 7x 4 (mod 10) e 7.c b.br 9 . `` Solução: Para obtermos o algarismo das unidades. Como 10 é primo com 7. Observando os expoentes nota-se o seguinte: Congruências Sejam a e b inteiros e m inteiro positivo.aulasparticularesiesde. Então precisamos encontrar x. temos 7(x – 12) 0 (mod 10). `` Solução: Vamos descobrir uma solução particular x o tal que 10 (7xo – 4). (Fatec) Se x e y são números reais tais que x = (0. Ex. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente três horas após. 8|5136.125. Ex.25 e y = 16−0. a) x = y c) x ⋅ y = 2 2 `` B 1 + Ce–kt 1 2 1 2 f(3) = B 1+ 64 .0 ou 5. 2. pois 1+1+ 7 = 9. 10|2100. pois 1+ 7 – 8 = 0. 7 + 7 = (5 7 )2 x = 32+10 7 + 32 – 10 7 = 5 + 7 +5 − 7 = 10 1. pois 8 + 6 – 2 = 12.25)0. b5=57 e c3=38. pois 8|240.0 B 1+C = B 65 C = 64 1 1 4 4 1 =4 2 = 1 4 18 8 1 2 –0.: 6 120.25 = `` c) 6 horas. 340 `` Solução: 566 .: 11|187. x = y. mas 8 1516.com. b e c são números reais positivos e a2=56.: 5 110. x = (0. 3. Por 10: 10 | n o algarismo das unidades de n é 0. então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: a) 4 horas. mas 11 826. Ex. 2) Observando que 32 = 52 + 7.25)0. mas 9 116.br EM_V_MAT_002 `` 4. pois 1 + 1 + 6 = 8. então: 32 10 7 = 52 2. pois 8|136. Sabendo-se que a. 11|627. Por 9: 9 | n a soma dos algarismos de n é múltiplo de 9. calcule (abc)15. mais informações www. Ex. (abc)15 = a15b15c15 = a15 ⋅ (b5)3 ⋅ (c3)5 = (53)15 ⋅ (57)3 ⋅ (38)5 = = 545 ⋅ 521 ⋅ 340 = 545+21 . 9|738.e–k.18 = 100 Como x > 0.aulasparticularesiesde. Solução: a2 = 5 6 f(t) = a = 53 onde B é a população da cidade. Ex. 6 126 e 6 124 Por 8: 8 | n o número formado pelos três últimos algarismos de n é múltiplo de 8.2.e3k = B 9 ⇔ 1 +64 ⋅ e−3⋅k = 9 ⇔ e−3⋅k = ⇔ e −k = 1 2 1 8 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por: . (ITA) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP).: 9|117. 340 b) 5 horas. pois 8 516. e) x + y é um número racional não-inteiro Solução: 10 Solução: A Solução: A B = f(0) = 1 + C. pois 6 + 7 – 2 = 11. (UFCE) O valor exato de 32+10 7 + 32 – 10 7 é: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 `` Solução: C 1) x = 32+10 7 + 32 – 10 7 x2 = 32 + 10 7 + 32 – 10 7 + 2 32 2 – 100.125 y = 16 = 24 = 8 4 = 2 Logo.: 10|110. `` d) x − y é um número irracional. Ex.: 8|3240.5. mas 10 111 e 10 115 Por 11: 11 | n a soma dos algarismos de n de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é múltiplo de 11. então x = 10.7 ⇒ x2 = 64 +2 324 = 64 +2 . b) x > y e) 5 horas e 30 minutos. pois 7 + 3 + 8 = 9. é verdade que: d) 5 horas e 24 minutos. 5 115 e 5 111 Por 6: 6 n n é par e múltiplo de 3. Na base 2. Invertendo-se a ordem desses algarismos. e • para se escreverem os números naturais de 1 até o número natural n. atingem-se 1 341 dígitos durante os números de 3 algarismos. t = 4 horas Assim sendo. b) 483 a) Por exemplo: 13 = 1 . os outros 4 podem ser escolhidos entre 0 e 1.br 11 . são necessários 1341 dígitos. mais informações www. temos 244 números com 45 algarismos. EM_V_MAT_002 –x+y=6 x + y = 12 -x+y=6 n = 39 2y = 18 ⇒ y = 9 e x = 3 1. 20 = 1 101 c) 484 d) 447 b) Escreva o número 26 +13 na base 2.e 5 1 ⇔ 1 +64 ⋅ e − k⋅t = 5 ⇔ e −k⋅t = 16 1 4 1 t 1 4 (e−k)t = = 2 2 2 f(t) = B 5 7.com. temos um total de 2⋅2⋅2⋅2 = 16 números. Simplifique: 7 321 + 323 10 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. escreve-se esse número como soma de potências de 2. Pelo princípio multiplicativo. é correto afirmar que n é igual a: a) 448 5. os insetos dessa espécie se acasalam e produzem novas ninfas que irão cumprir novo ciclo de 17 anos. b) 16 Na base dois podem ser usados os algarismo 0 e 1. 22 + 0 . Em 2004. Logo. Determine o número n.os Para os números de 3 algarismos restam 1 341 − 189 = 1 152 dígitos o que equivale a 1 152/3 = 384 números. 4) = 68 anos. ano bissexto. 21+1 .os 3 algarismos: 100 a 999 dígitos. são necessários 13 dígitos. Solução: (10y + x) – (10x + y) = 54 –9x +9y 900 ⋅ 3 = 2 700 n = 483 8. (UFF) Um número n é formado por dois algarismos cuja soma é 12. (n – 100) +1 = 384 c) 1/64 90 ⋅ 2 = 180 dígitos. (Unicamp -SP) Para representar um número natural positivo na base 2. 90 n. c) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente cinco algarismos? `` entre 1 e 250 temos 250 números naturais. qual a probabilidade de que sejam usados exatamente quarenta e cinco algarismos para representar o número n na base 2? `` (UFMG) Sabe-se que: Solução: A O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será após mmc (17. babilidade é 50 = 6 = 2 2 64 6. 23 + 1 . donde conclui-se que n possui 3 algarismos. O primeiro algarismo deve ser 1. O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será em: a) 2072 b) 2068 c) 2076 d) 2080 `` Número n: xy 900 n. Em revoada.aulasparticularesiesde.B B = –k.t 1+64. os EUA presenciaram outra revoada dessas cigarras. no ano 2004 + 68 = 2072. ressurgindo após 17 anos.os 2 algarismos: 10 a 99 a) (1001101)2 . a pro2 44 1 1 . (UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no Leste dos EUA passa um longo período dentro da terra alimentando-se de seiva de raízes. pois 26 +13 = 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 +0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 +1 ⋅ 20 = (100111)2 `` Solução: B 1 algarismo: 1 a 9 d) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 n 250. Portanto. obtém-se um número do qual subtrai-se n e o resultado encontrado é 54. = • para se escreverem os números naturais de 1 até 11. 9 ⋅ 1 = 9 dígitos. ou seja. Solução: yx – xy = 54 = 54 9 n. 3 .64 8. mais informações www.84 ⋅ 1015 e N = 1. estendendo 11 vezes. O número mínimo de segundos necessários. (Unificado) O número de algarismos do produto 517 ⋅ 49 é igual a: a) 17 b) (−2)3 = 2−3 b) 18 c) 23 + 24 = 27 d) d) M ⋅ N = 1. (Unicamp) a) 240 a) Calcule as seguintes potências: 3 b) 235 −3 b) Escreva os números a. 7. em centímetros.00002. (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxílio de uma régua. (Unicamp) Dados os dois números positivos 4 4 . c.21 ⋅ 1031 c) 26 192 + 402 59 = 131 1312 d) 34 e) 112 ⋅ 362 = 3962 e) 35 4. b = (−2) .23 1016. então a = b e) Se a2 + b2=25 então a + b = 5 6. b) −9 c) 8 d) 4 e) 2 5. faltaram 5cm para atingir o comprimento total. (PUC-Rio) Das opções abaixo. sobraram 15cm da régua. pode-se afirmar que: b) 6. d em ordem crescente. (FGV) Se x = 3 200 000 e y = 0. 3 3 e 11. (PUC-Rio) Assinale a afirmativa correta: a) (2a −1 )b = b 2a b) a2 b3 = (ab)6 c) 5a + 6b = 11ab Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento. enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. a partir daquele instante.4 c) 64 a) M < N d) 640 b) M + N = 1. (UFRN) Dados os números M = 9.br EM_V_MAT_002 −2 a = 3 . determine o maior. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto.2.07 ⋅ 1016 c) M > N e) 6 400 3. então xy vale: 10 e) 10 − 1 2 a) 0. 10 20 30 (UFF) A expressão 1020 + 1030 + 1040 é equivalente a: 10 + 10 + 10 a) 1 +1010 b) 1010 2 c) 10−10 12 d) 1010 c) 225 d) 220 12.com. qual apresenta a relação correta? a) (−68)3 = (−6)24 9.aulasparticularesiesde. (PUC-Rio) O valor de 67 − 6 + 9 é igual a: a) −3 10. O comprimento do sofá. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. b. para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. por outro lado. equivale a: d) Se a3 = b3 . c = 3 e d = (−2) . 782 e 255 são divisíveis por 17. Se p > q. (FGV) Em uma sala de aula. sempre resta uma fita. Dentre esses números. (UFF) Considere p.br 13 . mas sabia-se que era um número inteiro. pode-se afirmar que: a) (pq + 1) é múltiplo de 4. q ∈ N* tais que p e q são números pares. Considere o determinante de ordem 3 abaixo: 2 0 4 7 8 2 2 5 5 EM_V_MAT_002 c) 35 d) p2 – q2 é par.aulasparticularesiesde. 20. (UFF) Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo descrito a seguir: “Se p é um número primo e se 2p +1 é um número primo. só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. c) 6 c) p + q é primo. e) divisível por 4. se ab ⋅ cd = ba ⋅ dc. mais informações www. então a ⋅ c = b ⋅ d. 16. declarada nessa nota foi: b) 16 d) 34 e) 33 19. (UERJ) Considere dois números naturais ab e cd em que a. o auditor deparou-se com a seguinte situação: 18. a) 7 17. de quatro em quatro dias. d) divisor de 500. (Fuvest) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é: a) 37 b) 36 a) N ão era possível ver o número de metros vendidos. (UFMG) José decidiu nadar. (UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. (UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma. de 15 em 15 ou de 20 em 20. Agrupando-as de 12 em 12.” Pode-se afirmar que é primo de Germain o número: Demonstre que esse determinante é divisível por 17. b) 4 b) p – q é ímpar. A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: a) 3 c) quadrado perfeito. b. No valor total. então o número primo p é denominado primo de Germain.com.a) 150 b) 47 b) 160 c) 48 c) 190 d) 49 d) 200 e) 50 13. Começou a fazê-lo em um sábado. c e d são seus algarismos. (UERJ) Os números 204. Demonstre que. nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. (UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. em metros. d) 36 b) ímpar. Um possível valor para N é: d) 19 a) 46 b) 17 c) 18 e) 41 22. e) p(q + 1) é ímpar. 21. o auditor concluiu que a quantidade de cetim. e) 46 14. Com as informações acima. d) 8 15. o maior é: c) 26 a) múltiplo de 3. regularmente. a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). de forma que o número: 2x ⋅ 34 ⋅ 26y possa ser expresso como uma potência de base 39.br EM_V_MAT_002 b) −1 2 . 5 −1 5 5 (UFF) A expressão c) 4 a) 1 – 2 d) 2 b) 244⋅ (288+1) e) 3 c) 9 ⋅ 244 3. com dois algarismos cada um. 9 6 3 b) o valor da expressão: 7 + 4 ⋅ 7 + 25 ⋅ 7 + 2 344 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. o algarismo das 24 a) menor que 9. A equação x x a: x = 2 é satisfeita apenas quando x é igual 6. cujas medidas das arestas são expressas por números naturais. Nesse caso. (CN) Sendo x2 = 343.diante. mais informações www. y3 = 492 e z6 = 75. é 58. (CN) Sabendo que x 2 = 19996 . c) 5–2 d) sexta-feira. 3 . (CN) Simplificando a expressão: ∈ {0. Calcule: a) a quantidade de paralelepípedos retângulos de bases quadradas e volumes numericamente iguais a P(11). (CN) Qual o valor da expressão  1+ 2 + 3 +  + 50    5 + 10 + 15 +  + 250  a) 2 4 3 2 c) 3 5 d) 3 5 e) a) 8 b) 0 7. A soma desses quatro algarismos é um número: d) 52 e) 50 5. o valor de ( x ⋅ y ⋅ z ) 14 3 5 b) 2. temos: n 600 25n +2 − 52n +2 para n a) 5 b) quarta-feira. (UERJ) Considere o polinômio P(n) = (n +1)⋅(n2 +3n +2). na centésima vez em que José for nadar. será: a) terça-feira. (CN) Calcule a diferença y – x. y > 0 e é: e) 288 ⋅ (288 + 1) 8. Os quatro algarismos são distintos entre si. 1}.com. 4. ) ( 2 125 a) 1 2 c) d) 2 ⋅ − 13 5 z 4 = 19998. xy unidades simples do resultado de   é: b) múltiplo de 3.  (x > 0. b) 5–1 c) quinta-feira. 23.aulasparticularesiesde. a) 1 c) primo. n ∈ N. c) 5  z  d) 7 e) 9 1. b) 3 d) maior que 30. (UFMG) A soma de dois números inteiros positivos. a) 1999 9 b) 19996 c) 1999 1 9 d) 1999–6 e) 1999 –9 88 888 − 444 844 − 422 é equivalente a: d) 3 ⋅ (1 – 288) y = 1999 e 4 z > 0). há P(t) = 10 9 ⋅ 43⋅t bactérias no instante t medido em horas (ou fração na hora).25 + 40. que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B. Calcule  1− a −b    18. Para conferir seus cálculos. os valores de n e m são. mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4. agosto.75)2 − 41. (Unirio) Numa população de bactérias. 90 e) 162. julho. 198 117  2(1−b)  117 13. n < m. Assim. demonstre que p2 – 1 é múltiplo de 12. Determine os dois números.br 15 . quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? 16. e que MDC (n. um estudante cometeu um engano.5). 54 b) terça-feira. Então. (Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. só há números primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas.5 ⋅ 40. que também são bissextos. O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. Então. m) = 18. dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores.9. b) 36. (Unesp) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B. isto é. (Fuvest) a) 20 a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000? b) 12 b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1 000? c) 30 d) 15 e) 10 12. a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400. tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. 14. (UECE) Se n = (0. em geral. outubro e dezembro têm 31 dias. (UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos. 15 de outubro do mesmo ano foi: a) quinta-feira. na tabela abaixo. 17. Ao multiplicar um pelo outro. maio. 180 c) 90. (UERJ) Observe que. mais informações www. então 32 ⋅ n é igual a: a) 16 b) 32 c) 48 d) 64 d) 10 15. (UFMG) Sabe-se que os meses de janeiro.aulasparticularesiesde. mas não por 100. março. c) quarta-feira. obtendo 39 como quociente e 22 como resto. totalizando 216 carros.com. (IME) Calcule: 3 2 + 10 3 + 3 2 − 10 3 9 9 b) 47 c) 48 d) 49 e) 51 11. a soma dos algarismos de N é: EM_V_MAT_002 a) 9 b) 7 c) 8 a) Se p é primo e maior que 3. 19. 126 d) 126. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20. Sabendo-se que inicialmente existem 10 9 bactérias. respectivamente: a) 18. o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é: a) 50 10.5⋅(1 + 4−0. Sabendo que: 1989a = 13 e 1989 b = 17. d) sexta-feira. Além disso. (UFSCar) Considere as seguintes informações: • o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números. b).. (Unicamp) Um determinado ano da última década do século XX é representado. N = 10n – n a) Se n é um número par. na qual n é um número natural. todos os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10. (isto é. Exemplo: 29. Ao apertar o botão do “dado eletrônico”. (Fuvest) Um número racional r tem representação decimal da forma r = a1.. ⋅ (tr + 1). o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto. (Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que MDC (a. Assim sendo. da primeira década do século XXI. Supondo-se que: x 0 0 1 2 4 9 5 3 3 1 8 6 2 2 ←← número na base10 x 0 * # ω ⊗ ♣ ♠ ←← número na base b Determine o menor valor aceitável para b. uma pessoa gerou um pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos. dois números naturais distintos. prt r. pelo número cddc. (Unicamp) O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. menores que 37. isto é. obrigatoriamente. também na base 10. o número Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 25. (UFRJ) Um programador precisa criar um sistema que possa representar. determine a probabilidade de ambos serem primos maiores que 3. mdc(a. Justifique esta afirmativa. a2. Então a3 vale: a) 1 28.b) = ab. • a parte inteira de r é o quádruplo de a3.br EM_V_MAT_002 d) 6 . • a1 . onde p1. sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156. p2. par. (UFRJ) Prove que. n2 par ⇒ n par) 16 24. b) A que século pertencerá o ano representado pela soma abba + cddc ? 27. Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10 por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos para os algarismo de 0 a b −1).com. . 0 ≤ a3 ≤ 9. a seguir. b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos. Um desses dispositivos conhecido como “dado eletrônico” é um circuito elétrico que.aulasparticularesiesde. 21. pelo número abba e um outro.. mais informações www.b) = 1. todos iguais a 1. a3 estão em progressão aritmética. b) = 105. utilizando apenas sete dígitos. (UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia. 20. . b) m é um número primo? Justifique sua resposta. b) Determine dois números consecutivos.. (UERJ) Analise a expressão abaixo. (UFRJ) n e m são números naturais. é representado. da tabela. e) 9 23. b) = 5 e o MMC (a. então N também é um número par. 26.. b) Determine o valor da soma dos algarismos de N quando n = 92. então o número de divisores positivos de n é d(n) = (t1 + 1) ⋅ (t2 + 1) ⋅ . • a2 é divisível por 3. a) Calcule o resto da divisão de n por 18. n = 1000! +18 e m = 50! +37. na base 10. 0 ≤ a2 ≤ 9. se o quadrado de um número natural n é par. a) Calcule d(168).. a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9. se n = p1t 1 p2t 2 . o número de divisores positivos de 168. novos dispositivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesa de jogos. • se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1. a2 . a) Escreva esses dois números. pr são números primos distintos. mmc(a. apresenta no visor o número R como sendo o número sorteado.b) Retirando-se aleatoriamente. executa o seguinte procedimento: partindo de um número natural N. de forma lógica. b) 3 a) Qual é o valor de b se a = 35? c) 4 b) Encontre todos os valores possíveis de (a. 22. então o próprio número n tem que ser. transforma-o em um número natural R que corresponde ao resto da divisão de N por sete. a) Prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1. n ∈ N. br 17 . mais informações www.R que aparecerá no visor é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 EM_V_MAT_002 e) 5 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A.com.aulasparticularesiesde. 27 17.com. B 15. E 4. C C 8. C 18. (10a +b) ⋅ (10c +d) = (10b +a) ⋅ (10d +c) 1. 22. C 20. A 3. 3 11. Resposta pessoal. A 4. a) a = 27. A Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A.aulasparticularesiesde. D 21. C 2. c = 1/9. C 5. D 5. C 18 3 1. mais informações www.br EM_V_MAT_002 9. 16. C 12. B 23. d = −1/8 b) b < d < c < a 7.14. D 13. b = −8. A 10. B . A 3. E 6. E 19. D 2. . b) 12 e 13 22. D 14..br 19 . 5) B 29. 100 25. ⋅ 38 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ . 24.com. então N = 10n − n é par b) 818 21. 35). b) 2/35 20. 2 11.. (35. E 23. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 15) e (105. A 16. A 10. a) 1991 e 2002 b) XL EM_V_MAT_002 27. 31 e 41 17. E 8. a) 100 b) 140 18. ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1) 26.aulasparticularesiesde. 105). 3 13. a) 10n é par e n é par. Resposta pessoal. pois n = 37 ⋅ (50 ⋅ 49 ⋅ . C 19. a) Resposta pessoal.6. a) 15 b) (5. E 12. a) 6 b) 345 9. C 7. a) 0 b) Não. B 15. mais informações www. a) Resposta pessoal. a) 16 b) 144 28.. (15. aulasparticularesiesde.com.br . mais informações www.EM_V_MAT_002 20 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. a função exponencial de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x •• o eixo x é assíntota do gráfico. Seja a R. a função f(x) = ax é decrescente. a função f(x) = ax é crescente. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 1) pertence ao gráfico da função exponencial. com 0 < a ≠ 1 é injetora. está diretamente relacionado a ele. Função exponencial •• é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. •• corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1. 6 2) Quando 0 < a < 1. 4) A função f(x) = ax.com. Essa propriedade respalda a solução das equações exponenciais. Na verdade ambos possuem uma característica importante que motivou o seu desenvolvimento no século XVII. f(x1) = f(x2) O estudo das funções exponenciais. mais informações www. que é a possibilidade de simplificar cálculos matemáticos transformando multiplicações e divisões em adições e subtrações. f(x) = (1/2)x e f(x) = ( 5 )X Propriedades É interessante observar que o crescimento exponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio. `` Exemplo: f(x) = 3x.Função Exponencial 3) A função f(x) = ax. Já quando a > 1.aulasparticularesiesde. como por exemplo.br 1 . Os gráficos da função exponencial estão exemplificados abaixo: 1. o montante de um capital aplicado a juros compostos fixos e a desintegração radioativa.º caso: a > 1 (função crescente) y f(x) = ax (a>1) 1) Como f(0) = a0 = 1. tal que 0 < a 1. 4 2 0 < a < 1: x1 < x2 f(x1) > f(x2) a > 1: x1 < x2 EM_V_MAT_006 x1 = x 2 –3 –2 –1 0 1 2 3 x f(x1) < f(x2) Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações exponenciais. tem as seguintes características: •• está todo acima do eixo Ox. Gráfico O gráfico da função exponencial f(x) = ax. o par ordenado (0. As funções exponenciais aparecem em diversas aplicações científicas e profissionais. com 0 < a ≠ 1. com 0 < a ≠ 1 é ilimitada superiormente e a sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (R+*). apesar de ser posterior ao dos logaritmos. onde consequentemente 0 < 1/a < 1. Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x.. f(x) = b . pois f(−x) = g(x). f(x2). y Seja f: R R.. 6 4 1 y= 2 –3 y = 2x 2 –2 –1 0 1 2 3 x Os gráficos seguintes retratam as mudanças nos gráficos quando varia o parâmetro a. xn uma progressão aritmética de razão r.2. reduzir ambos os membros a uma base comum. . é que eles são simétricos em relação ao eixo y. 2 Exemplos de equações 0 1 2 3 x Para a resolução dessas equações basta adotar o procedimento acima. Nesse módulo.com. x2..aulasparticularesiesde.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente) y (4) y = (1/2)x (2) y = (1/3)x (3) y = (1/4)x f(x) = ax (0<a<1) 6 –3 –2 –1 (4) (5) (6) y 4 6 2 4 0 1 2 3 2 x –3 –2 –1 0 1 2 3 x Uma característica peculiar dos gráficos das funções exponenciais f(x) = ax. f(xn) formam uma progressão geométrica de razão ar. vamos estudar as equações que podem ser resolvidas reduzindo os dois membros a uma base comum. e g(x) = (1/a)x... então: ax = an x=n –3 2 –2 –1 4 Serão apresentados exemplos com as variações mais comuns desse tipo de problema. . ax uma função do tipo exponencial e x1. (1) y = 2x (2) y = 3x (3) y = 4x (2) (3) (1) y Equações exponenciais Equações exponenciais são equações cuja incógnita encontra-se no expoente. então f(x1). Sendo 0 < a 1. ou seja. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. com a > 1. mais informações www. . o que possibilita igualar os expoentes em virtude da injetividade da função exponencial.br EM_V_MAT_006 6 . º grau. A seguir serão apresentados exemplos de resolução de inequações exponenciais. A base da função exponencial deve ser maior que 0 e diferente de 1. 9x (: 9x) 23x = 2–5 2 3 3x = – 5 x 2 = 4 3 x= 8 3 No próximo exemplo é necessário observar que. podemos apelar para a injetividade exponencial e igualar os expoentes. mais informações www.com. devemos colocar em evidência 3 elevado ao menor expoente. 2 8) xx – 5x+6 = 1 •• x=0 06=1 (falso) •• x=1 12=1 (verdadeiro) 2–5x+6 •• 0<x 1: xx =1 2–5x+6 xx = x0 x – 5x+6=0 2 x=2 ou x=3 EM_V_MAT_006 S= 1.2x +4 = 0 y = 2x y2 – 5y + 4 = 0 2x = 1 2x = 20 x=0 2x = 4 2x = 22 x=2 y = 1 ou y = 4 Agora a base também é uma variável. para todo a 0. 3 Esse é um caso especial. 42x+3 = 83–x 23x–1. devemos fazer a substituição y=2x e reduzir a equação a uma equação de 2. Exemplos de inequações A resolução das inequações a seguir é feita reduzindo ambos os membros a uma base comum e aplicando a propriedade das consequências imediatas. em que temos várias bases diferentes. Entretanto. (1–52+53) = 505 5x–2 = 51 x – 2=1 101 . 2 2 4) 52x +3x–2 =1 52x +3x–2 =50 2x2+3x – 2=0 x = –2 x= 1 2 23x–1 .1) 3x =243 3x=35 1 32 5 x= – 3 2) 8x = x=5 (23)x=2–5 4 x 3 3) ( 3 )x = 9 34 =3 9) 4x + 6x=2 . Nesse caso. x =1 x=0 2 + 3 – 2=0 x 2 y= y2 + y – 2 = 0 3 y=1 ou y= – 2 (não convém) 2 3 2 3 x + 6 9 – 2=0 x Inequações exponenciais A resolução de inequações exponenciais é baseada na monotonicidade da função exponencial. 5x–2 = 505 2x x 4 9 a > 1: ax >an x > n 0 < a < 1: ax >an x < n As expressões acima refletem o fato da exponencial ser crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. devemos colocar em evidência 5 elevado ao menor expoente.4 5x–2 . 2. tem-se a0 = 1. 7) 4x + 4 = 5 . (22 )2x+3 = (23 )3–x ou 5) 23x–1 . 6) 5x–2 – 5x + 5x+1 = 505 5x–2 – 52 . Assim. 1) 3x >243 3x >35 x>5 x 125 2) 3 5 27 x –3 3 5 x 3) (27x–2)x+1 (9x+1)x–3 5 3 3 3 5 x 3 5 –3 33(x–2) (x+1) 32(x+1)(x–3) 3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3) x2+x 0 x –1 ou x 0 No caso a seguir.aulasparticularesiesde. 24x+6 = 29–3x 27x+5 =29–3x 7x + 5 = 9 – 3x 10x = 4 x = 0. mas podemos reduzir a uma base comum. que consiste em manter o sinal da desigualdade entre os expoentes quando a base for maior que 1 e invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1. é preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou 1. 5x–2 +53 .br 3 . 2x (2x)2 – 5. 5x–2 = 505 x=3 No caso abaixo. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. a relação entre os expoentes é a mesma que entre as exponenciais para bases maiores que 1 e é invertida para bases entre 0 e 1. que devem ser analisados em separado. Os dois casos estão apresentados abaixo: Nesse caso. 34 7 3 72 x 4 x = log 567 33 =7 .3 2x–2 32x–2 . se a>1 x > loga b. 5) 32x – 3x+1 >3x – 3 32x – 3 . pode ser adotada outra base para o logaritmo em vez da base a. podendo alternativamente aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente e posteriormente determinar a variável. logcb ax = b logc ax = logc b x = =logab logca Nesse caso. 3] S = [0. a partir da data de sua admissão. log 3) = 4 . 4 =3 x+2 = log2 3 x = log2 3 – 2 3x+4 2X 1. log 7 = (3x + 4) . ax > b ax < b x > loga b. ax=b x = logab Cabe observar que se deve colocar a equação exponencial na forma ax = b . 3] Equações exponenciais A definição de logaritmo como inversa da função exponencial permite resolver de imediato equações exponenciais.: 7 =33X . 1. 3x +3 > 0 y=3x 2) 7 2x –1 x(2 . a base também é uma variável. 1[ IV) x > 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0 2 x 3 S1 = [2. 34 7 3X = 7 .3 3 Exemplos: . Uma outra maneira de se resolver a equação exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os membros da equação exponencial. I) x = 0 07 0 (verdadeiro) II) x = 1 13 1 (verdadeiro) III) 0 < x < 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0 x 2 ou x 3 S1 = ]0.º grau. log 3 + log 7 32x – 4 . se 0< a<1 Caso seja conveniente. log 3 2x . Considere o gráfico auxiliar abaixo.com.`` 4) 32x+1 – 9x – 32x–1 – 9x–1 42 32x+1 – 32x – 32x–1 – 32x–2 42 2x–2 –3 .a sol.br EM_V_MAT_006 3 . se a>1 x < loga b. devemos fazer a substituição y=3x e reduzir a inequação a uma inequação de 2. utilizando uma função f(d). log29 – 2 1) 23x+2 > 9 3x+2>log2 9 x> 3 1 x 5 x log 5 x – log35 2) 3 3) 2x–2 > 32x–1 x – 2 >(2x – 1) log23 x(1 – 2 log23) > 2 – log23 x< 2 – log2 3 1 – 2log2 3 Note que 1 – 2 log23<0.aulasparticularesiesde. log 7 – 3x log 3 = 4 .: 72x –1 = 33x+4 log 72x –1 = log 33x +4 2X (2x–1) . cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d). se 0< a<1 x < loga b. 2 6) Resolva em R+. xx – 5x+7 x.32x–2 42 3 2 Nesse caso. não é necessário sempre colocar a equação na forma ax = b. log 7–3 .a sol. as inequações podem ser resolvidas pela aplicação de logaritmos. 1] [2. 3 2. log 3+ log 7 x = log 7+4 log 3 2 log 7– 3 log Inequações exponenciais Da mesma forma que as equações exponenciais. que representa a função y = ex Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 3x >3x – 3 32x–2 3 2x – 2 1 x y2– 4y+3>0 3x<1 x<0 3 >3 x>1 x y<1 ou y>3 S= x R x<0 ou x >1 No próximo exemplo. considerando que a função logarítmica é crescente quando a base é maior que 1 e decrescente quando a base está entre 0 e 1. (33 – 32 – 3 – 1) 42 1) 2x+2 =3 –3 2x–2 42 14.3 2 2x–2 –3. (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido. sendo preciso analisar em separado os casos de base 0 e 1. mais informações www. (Fuvest) Das alternativas abaixo.2d = −2 1 2 3 x 0. então e−0. 3. a que melhor corresponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é: a) b) 10 `` A função que representa a população da cidade B é g(n) = q0 + 3000⋅n. o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B cresce linearmente. o que aparece no gráfico 1. mais informações www.03)n . são: População 0 b) y 1 População –1. 2.5 Solução: B f(d) = 100 −100 . c) 15 y d) 20 0. (UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por ano.br 5 .5 Tempo gráfico 2 c) População População y 1 Tempo gráfico 3 Tempo gráfico 4 a) gráfico 2 e gráfico 1.5 –1 –0. onde q0 é a população inicial da cidade B.5 1 1. a população da cidade A cresce exponencialmente.5 2 2.5 d = 10 2.2d e o gráfico acima.d) gráfico 2 e gráfico 4.5 Tempo gráfico 1 0 x 0.13 –2 –1 x 1 Utilizando f(d) = 100 –100 .13 –3 –2 –1 No gráfico dado. respectivamente. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. e−0.13 = e−2. temos 0.aulasparticularesiesde. onde p0 é a população inicial da cidade A. quando d for igual a: a) 5 Logo.d = 0.2d = 87 e−0. c) gráfico 3 e gráfico 1. e−0.com. Dos esboços de gráficos abaixo.72 `` Solução: A A função que representa a população da cidade A é f(n) = p0 ⋅ (1. –3 –2 –1 0 1 2 3 x 1 EM_V_MAT_006 b) gráfico 1 e gráfico 2.2. aqueles que melhor representam a população da cidade A em função do tempo e a população da cidade B em função do tempo.37 0. y=ex e) gráfico 3 e gráfico 4. a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia. 0.2⋅d = e−2 ⇔ −0. 2 (Fatec) Seja m o menor número real que é solução da –x .t em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora. 1 b) meia hora. –3 –2 –1 0 1 2 3 d) 2 horas. x e) divisível por 3.5⋅t =2−2 0.br EM_V_MAT_006 5x2–2 : 25 = .d) 1 O gráfico de f(x) = 1–   2 y x é: y 1 1 –3 –2 0 –1 1 2 3 x –3 1 –2 0 –1 1 2 3 x 1 e) 4. de acordo com a expressão y = y0 .aulasparticularesiesde.5. 1 b) primo Com base no gráfico anterior. m é um número: equação 5x2–2 : 25= 1 125 a) par. Solução: C x 1 O gráfico de g(x) =   x é: 2 c) 1 hora. 0 –1 1 2 3 x 1 `` (UFF) A automedicação é considerada um risco. verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alteravase em função do tempo decorrido (t).t = –2 4 horas 4 = y0 . 1 `` Solução: C –x 1 5x2–2 . Nessas circunstâncias.5. exercendo efeito benéfico ou maléfico. mais informações www.t 2− 0. pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: a) 1/4 de hora.5. x e) 4 horas. Então. 5–2 = (5–3)–x 125 2 5x –4 = 53x x2–4 = 3x x2 – 3x – 4 = 0 x = –1 ou x = 4 6 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 2–0. pois a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo. y 1 –3 –2 y Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos. c) não-real. podemos traçar o gráfico x 1 de h(x) =   2 5.com. –3 –2 –1 0 1 2 3 d) irracional. 1 `` y Solução: E y0 –0. 3 . 5x2= 0.3t +108 = 0 Solução: E Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental.5) = 10 10 x2 = 3–2x –3.(103–x)2.48. o tempo máximo de utilização é um valor bem próximo a 120 minutos.log 10 = log(2 . o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar esse material antes que ele se volatilize totalmente é: b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.78 ≅ 2.001.48 + 1 = 1. c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.001. EM_V_MAT_006 Solução: D 2–x . `` `` Solução: E 2x . a quantidade de poluentes emitidos. admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y = 2x −1.O menor número real que é solução da equação é m = – 1. Para que se consiga o custo ideal. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na Baía de Guanabara.30 + 0. 10) 2 x (1 – log2) = log2 + log3 + 1 log2 + log3 + 1 0.br 7 . 5 = 0. cujos resultados são a seguir relatados: d) x < 3/2 `` (FGV) Adotando os valores log 2 = 0. em kg. (1/2)x. cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa.67 10. de acordo com a fórmula m = –32t – 3t+1+ 108.22x < 23x+3 3 2x < 23x+3 x < 3x+3 2x >–3 x > – 2 (Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil. inferior a 120.3 e log 3 = 0. a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente: b) 2. c) 41 6 – 2X x2 + 2x – 3 = 0 d) 2. 4x < 8x+1. Assim sendo.aulasparticularesiesde.4) a) 1 333 b) 2 333 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. que decresce em função do tempo t.54 = x= 0. ao custo de controle da poluição y = 6 . então + é: b) 10 9.30 1 – log2 5x = 60 log 5x = log60 2–x .54 x = –3 ou x =1 7. porém. deve ser aproximadamente: (Considere log 2 = 0. então: a) – 2 < x < 2 b) x = 1 c) x = 0 e) x > −3/2 x. c) 13 d) 34 2 . m = 32t – 3t+1+ 108 = 0 y = 3t –1 = i que não é real. d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos. logo m= 6. 4x < 8x+1 8. a) 5 `` –y2 – 3y + 108 = 0 –32t – 3.(10 10x2= 103 – 2X ) 3–x 2 x2 (2. mais informações www. e) 2. 3t = 9 = 32 (UECE) Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 .70 1 – 0. essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P.30 e log 3 = 0.28 x2 + t = 2 horas = 120 minutos. em gramas. em horas. a) 2. (22)x < (23)x+1 a) inferior a 15 minutos.com. e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos. = (–3)2 + 12 = 10 (Fatec) Se x é um número real tal que 2–x .15 Solução: B x2 y=9 y = –12 (não convém) Como aos 120 minutos o material se volatilizou totalmente. a quantidade de bactérias.3 2. com a implantação de um programa nesta cidade. 22x − 2x − 6 = 0 a2 − a − 6 = 0 a = −2 ou a = 3 2x = 3 ⇔ x log 2 = log 3 log 3 0. por Q(t) = k ⋅ 5kt. A quantidade de bactérias. é dada pela função Q definida.A . a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto. positivo. para que o risco de infecção se torne igual a 0. relacionando a produção dos operários com sua experiência. sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t.4 4 4 = log 2 = 0.0 11.1 000kg =1 333kg 3 3 a>0 Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.2 2. em anos. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários: ex 8. 5.3 = ton = .5 b) 25 c) 312. qual será a máxima produção possível dos operários dessa empresa? 6. no quarto minuto.t. (FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo. é de: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 3.1). (UFF) Em um meio de cultura especial.br EM_V_MAT_006 1. do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt . em anos.t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. a) Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas. sendo t o tempo. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%.com. conforme o gráfico a seguir. 2. k = 10%. 2(–0.72 e k um número real. mais informações www.5 a) 5 d) 625 b) 7 e) 1 000 c) 8 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. e k uma constante.2 9. (PUC-Rio) Dada a função f(x) = 5 x (5 x − 1) . em minuto. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a .5 O tempo.c) 3 333 d) 9 d) 4 333 e) 10 e) 5333 `` Solução: A Custo da poluição = custo do controle da poluição 2x −1 = 6 ⋅ (1/2)x a = 2x 4. a) Ache f (0) e f (1). Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início? 8 Experiência (meses) Produção (unidades por hora 0 6 200 350 Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t.0 10. em que Ro é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. torna-se. sendo e = 2.4 2.aulasparticularesiesde.0 12. a) 12. fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano. em bilhões. para t ≥ 0. através da função Q(t) = 500 . b) Resolva f (x) = 0. e-k. isto é. (Unesp) Num período prolongado de seca.1 2.2% . (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose. bx.2 x 2. cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0). (UENF) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Suponha que. quantos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora? b) Desse modo. igual a 25 Q(0). 5) b) y1 = y3 − y2 3 d)  . então pode-se dizer que na loja B o produto P está com o preço 100% acima do preço praticado pela loja A. verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo: a) [0.t. O tempo necessário. de bactérias. a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) = Qo⋅(1 − e– ⋅t) sendo: •• Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t. 3k. os números a.com. está no intervalo: a) [0.00 pela loja A e por R$40.   2t forneça o número aproximado de pessoas atingidas por uma epide- Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. 108] 10. 4] 2 (04) Se o produto P é vendido por R$20. e que a loja A está praticando um preço 100% menor do que o praticado pela loja B. é correto afirmar que: a) y0 = y2 − y1 c) [1. 2 e) [72. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).aulasparticularesiesde. para que haja. (02) Se numa área urbana o número de pessoas atingidas por certa doença (não controlada) aumenta b) [4. c e suas imagens. os valores de b e c são.7. e •• λ uma constante. (UFJF) A função c(t)=200 . Considerando λ = ½ e n 10 = 2.00. 12] t c) [12. EM_V_MAT_006 b)  . então a loja está cobrando mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a receber. mais informações www. 72] nece o número (aproximado) de pessoas afetadas pela doença. 1 800 bactérias. (UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de 3 variável real definidas por f ( x ) =   2 x −1 e g (x) = x.00 de entrada e mais dois pagamentos mensais de R$20. ou por R$20. 36] 3 50% a cada mês.00. (UFRN) No plano cartesiano abaixo. (UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função y = 2x no plano cartesiano. 8. 6] c) y1 = y3 + y0 e) (2.00 pela loja B. nessa cultura. Observando-se a figura. t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área.3 determine: a) a expressão de t em função de Q. b. 6) 2 d) y2 = y1 ⋅ y0 12. estão representados o gráfico da função y = 2x . •• Qo a carga máxima. representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. 4] (01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54. em função de a. b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máxima. dá o crescimento do número C. respectivamente: a) a e 4a 2 b) a −1 e a + 2 c) 2a e a 4 d) a + 1 e a − 2 11. (08) Admita que a função n(t) = N . pode-se concluir que. (UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera fotográfica. medido em segundo. em horas. 3] 1 Com base nesse gráfico. no instante t em horas. então a função n (t ) = N ⋅   for- d) [36. e) y3 = y1 ⋅ y2 9.br 9 . com k = 1/12. num aglomerado urbano com 10 000 habitantes. inteiro e positivo.mia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Um tempo depois. (1.5 é: a) {x R l x <1} b) {x R l x >3} Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. que satisfaz a equação 22 x +1 − 3 ⋅ 2x + 2 = 32 .br EM_V_MAT_006 Soma (  1 inequação:    2 . (UFJF) As raízes da equação 2x + 1/ 2x = 17 / 4 são: a) iguais em módulo. caso nada seja feito para debelar o mal.2 c) 0. Após quantos meses a sua dívida duplicou?  1 >   4 m +1 . (PUC-Rio) Uma das soluções da equação 10 é: 2 x −3 = 1 100 (( ) O conjunto solução da equação {−1. x2 − x − 9 = 243 são. 5)x ⋅( x − 2 ) < (0. (UFMG) Suponha que a equação 8ax + bx + c = 43 x + 5 ⋅ 25 x − x + 8 seja válida para todo número real x. Então é correto afirmar que. é: (( ) Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2. obtém-se uma raiz para cada equação. Então.  7 20. (EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação d) quaisquer números reais. levando-o a essa conclusão absurda. b) log2 1. b) Sem cometer o mesmo erro que José. d) log 1.8 b) – 0. José apresentou o seguinte raciocínio: 2 3  1  1 “Como 1 > 1 tem-se   >   e conclui-se que  2  2 4 8 2 > 3. o valor de f(g(1)) é 9. a) log1. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s). respectivamente: 125 a) 1 e –12 16.10 e) log 2. não ocorrendo aumento populacional. mais informações www. (AFA) O conjunto-solução da inequação (0.    5 e) nulas.10 2 c) 4 b) 7 e 12 c) –2 e –8 d) –1 e 12 e) 7 e 10 22. (M. a) 2.  1   7 b) x = 0 log3 ( x 2 − x ) = log3 2 é (( ) O conjunto solução da inequação exponencial a) x = 1 x 2 + 5x + 1 1  1 ≥   é {x ∈ R  −5 ≤ x ≤ 0}.10)t. você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. (Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100. (UFSC) O valor de x. em que a. (UFF) a) Ao resolver uma questão.10 c) log 2 (( ) O gráfico da função f(x) = 2x – 1 não intercepta o terceiro quadrante. 25)x −1. determine o menor número m.10 14. 21. Nessas equações valor de x − y corresponde a: x= 2 d) x = −2 e) x = 3 15. 2}.  3 9.” Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio.00 em um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. oito meses após existirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente. 17.8 b) ambas negativas.aulasparticularesiesde. d) 1 c) ambas positivas. Campos) Resolvendo as duas equações exponenciais 4x −1 = 5 8 e 32 y + 3 = 52 y + 3 .com. a soma a + b + c é igual a: 2 a) b) 2 5 3 17 3 c) 28 3 d) 12 18. ) 13. b e c são números reais. que satisfaz à 10 m 19. c) {x R l 1 < x <3} d) {x R l x < 1 ou x > 3} 1. um novo vendedor. ek. a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. 5.7 e ln 3 = 1. inicialmente a 100ºC. Considere uma xícara contendo café. a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente.1.5. Vinte minutos depois. pede-se: a) determinar as constantes A. Determine f(log23) – g(2). sendo B o número de unidades vendidas em um determinado dia. Sendo V(t)=A . B e k constantes obtidas experimentalmente. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton. 3-t. a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1. (UENF) Em um município. T é medida na escala Celsius. será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho. (UFC) Sejam f: R → R e g: R → R. Adote nos cálculos log2 = 0. após t dias.aulasparticularesiesde. a temperatura do café se reduziu à metade.° de janeiro de 2000. b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida a 6 400 unidades? Considere que log 2 = 3/10. (UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC. 2.° de janeiro de 2000.t. a quantidade diária de vendas era 10 000 unidades. conclui-se que f(n) é igual a ______. sem experiência anterior em vendas. (FGV) Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico. V(t) a quantidade de vendas por dia. 3-k. Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era de 8 000 unidades.72 e k um número real. e k e c são constantes a serem determinadas. colocada numa sala de temperatura 20ºC. c) Mostre que.br 11 . estabeleça o tempo aproximado em que. em anos. em 1.105(1. depois de a xícara ter sido colocada na sala. EM_V_MAT_006 3. tal que: V(t) = B . a temperatura do café passa a ser de 40ºC. indicado na figura. 4.t. após uma pesquisa de opinião. sendo f(x) = 2x. B e k. sendo R o conjunto dos números reais. com A. a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da promoção? a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 3 2 e) 4 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A.com. b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.º de outubro de 2000. e = 2.60)t B(t) = 4. de acordo com as seguintes funções: A(t) = 2. funções tais que: I) f é uma função par e g é uma função ímpar. sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10.4)t Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1. constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t. determinar t para V(t) = 50. (FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma substancial campanha de propaganda e. Imediatamente após. b) Considerando ln 2 = 0. sabendo que o gráfico da função V é b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modifique a função V para V(t) = 55 – 24 .3 e log3 = 0. após t meses do início das atividades na empresa. as vendas diárias decresceram. é igual a 3n. t é o tempo medido em horas. mais informações www.105(0. a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação: T=T0+K e-ct Nessa relação.b . 6. pouco antes de encerrar a promoção. II) f(x) + g(x) = 2x.  t. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t). como verdadeiros (V) ou falsos (F).40]. 11 480 granja pode ser descrita pela equação P (t ) = .aulasparticularesiesde. 301 e log 3 ≅ 0.2 . onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. julgue os itens a seguir. a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.br EM_V_MAT_006 8. 3x + 1. (UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida pela escala Richter. julgue os itens a seguir. 477 . Se necessário. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. suposta constante. 11. 12 9. toda a população de frangos da granja será infectada.7. . em que E0 é uma constante. em graus Celsius. (( ) O número de frangos infectados somente no terceiro dia é inferior a 1 200. em número inteiro de anos. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c) Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0. 13. em 1+ 34 −t que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença. e α e β são constantes. em que o golfinho esteve fora da água durante esse salto foi: joules (J). b) 2 c) 4 e) 10 10. O tempo. após a saída da fábrica. em segundos. (( ) A figura abaixo ilustra corretamente. criada por Charles F. o preço após t anos. (( ) 4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log 3 5 dias do momento da detecção da doença.t. o gráfico da energia liberada em função da magnitude de um terremoto. de acordo com a expressão E = E 0 ⋅10 2 . 2-bt. (Unesp) Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . b) Determine todos os valores de m para os quais a equação f(x) = m +1 não tem solução real x. Com base nessas informações. (( ) Caso a doença não seja controlada. como verdadeiros (V) ou falsos (F) a) 1 (( ) Se a energia liberada por um terremoto for igual a 1 000 000 E0 J. (UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em uma determinada população de 30 000 frangos em uma 12. determine os valores de x para os quais f(x) = 0. Com base nessas informações. dado em minutos. pede-se: a) a expressão para p (t). para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. mais informações www. então um terremoto de magnitude 8 libera mais energia que uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos. h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. Nessa escala. Richter. onde T(t) é a temperatura do corpo. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. (Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia. 20. em 1934. (( ) A quantidade de frangos infectados no momento em que a doença foi detectada é superior a 150. b) o tempo mínimo necessário.com. do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T). a magnitude de um terremoto está relacionada com a energia liberada por ele – E –. que é definido como o momento do aparecimento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. em 3M descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t – t . então a magnitude desse terremoto será igual a 5 na escala Richter. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de −18ºC. d) 8 (( ) A energia liberada por um terremoto de magnitude 5 é. pelo menos. b) Determine o valor de t para o qual a temperatura o 2 do corpo no congelador é apenas   C superior 3 à temperatura ambiente. use: log 2 ≅ 0. foi a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. (( ) Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT) 9 libere 5E 0 ⋅10 2 J durante uma explosão. TA é a temperatura ambiente. com t em segundos. (Unicamp) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + a . a) Quando m = − 4. 3b. no instante t. em um sistema de coordenadas cartesianas. (Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a . 50 vezes maior que a liberada por um terremoto de magnitude 4. 22. 15. os valores reais de x para os quais a2x – (a + a2) . (UFSCar) O par ordenado (x. a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação. o locutor informa: “Atenção. (UFSCar) Numa progressão geométrica. (UFRN) No programa de rádio Hora Nacional.log 5 15 é solução dessa equação. c) x = log 5 3 é solução dessa equação. (3 x ) – 1 = 0 somam: a) Resolva essa equação para m = 1. d) x = log 3 15 é solução dessa equação.   2  3 b)  5. 50% da população do país já conhecia a informação.   3 3 d)  1. uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis”. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do país alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. sendo t ≥ 0. 272λ − 27λ + 27−1 > 0 . Se a soma dos quatro primeiros termos é 3 900. (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. (IME) Determine os valores de l que satisfaçam à 4 inequação. o primeiro termo é 5x e a razão é 5. Então x − y é: a) 8 b) 5 14. (ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12 . y) solução do sistema x+y 4 = 32 é:  y−x 3 = 3 3 a)  5.   2 21. EM_V_MAT_006 c) 9 23. y = 272 x − 4 27x + 27−1 9 3x + 3y = 36 16. e) x = 3. podemos afirmar que: a) Não existe x real que a satisfaça.19. b) x = log 3 5 é solução dessa equação. Então. b) 1 c) –(1/3).log 3 12 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia. Para atender às solicitações que seguem.−  2 2 c)  3. seja dado pela expressão f (t ) = P . considerando que.com. suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação. a) –log 3 12 b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real. Pede-se que mantenham a calma. (3 3x ) – 19 . (3 2x ) + 8 . P a população do .aulasparticularesiesde.( 3−k t ) país e k uma constante. a função. (ITA) Dada a equação 32x + 52x – 15x = 0.   2  1 e)  1. 1+ 9.br 13 . pode-se afirmar que 5x − 2 é igual a: 5 a) 1/25 d) 6 e) 7 20. ax + a3 < 0 são: a) a2 < x < a b) x < 1 ou x > 2 c) 1 < x < 2 b) 1/5 d) a < x < c) 1 a e) 0 < x < 4 d) 5 e) 25 18. em 1 hora após a notícia. (FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação 2x + 3 + 2x +1 = 5y + 3 + 3 ⋅ 5y . senhores ouvintes. mais informações www. onde m é um número real. (UFF) Resolva o sistema  x + y 3 = 243 17. b) Calcule em quantas horas 90% da população teve acesso à notícia. e represente. grafi9 camente. (Unicamp) Considere a equação 2x + m ⋅ 22 − x − 2m − 2 = 0 . Suponha que N = 640 .com. 1[ b) ]1 . (IME) Resolva o sistema  Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. então t1 é igual a: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 x y = y x onde a ≠ 1 e a > 0. do início do processo de fabricação. Se. +∞[ c) ] −1/2 . para t = t1 . (1 − 2−0. mais informações www.br . após t dias. (UECE) Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia.d) –1 e) log 3 7 24. 25. O conjunto de todas as 2 x ⋅( 1− x ) > a x −1 é: soluções reais da inequação a a) ] −1 . 1[ e) vazio. (ITA) Seja a ∈ R com a > 1. 1[ d) ] −∞ . N = 635.aulasparticularesiesde. (ITA) A soma das raízes positivas da equação 4 x − 5 ⋅ 2x + 4 = 0 vale: 2 2 a) 2 b) 5 c) 2 d) 1 e) 3 26.  y = ax 14 EM_V_MAT_006 27.5⋅ t ) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado. mais informações www. A 3. E 9. 5. b) 499 b) m = 2 6. E. E. 60% 2 a) 12 meses. C. 4. E.6s. d Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. E 16.aulasparticularesiesde. 18. C 12. A b) x = 0 2. a 21. A 22. C 15.10. A Q   Q0  19. pois a exponencial de base 1/2  2  2 é decrescente. 8. EM_V_MAT_006 13. C. C ⇒ soma 10 1.com. 3  a) t = −2n  1−  b) t ≈ 4.br 15 . c 7. D 11. C. C 3 1 1 a)   >   ⇒ 2 < 3. C 20. a) f(0) = 0 e f(1) = 20 14. C 17. c 25. a) a = 1024 e b = 1/10 b) 30 anos. 19.81)t⋅F b) 15 anos. a) S = {1} b) (−∞. c 26. −5/24 6. 0] ∪ {1} 1. (2. mais informações www. 3) ou (3. a 2. a) 0 e −1 b) −12 < m ≤ 0 11.18.aulasparticularesiesde.com. c 1 a 27. 12. F. B = 30 e k = 1/2 b) 1. x = a a −1 e y = a a −1 4. a) A = 50. . F. F. 2) 15. c) Razão = 2 > 1 3. C 7. V. b Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A. a) p(t) = (0. b) 20 dias. b a) 22. F 8. F. a) 10% 2 1 ou λ > − 3 3 16. 21. b) 6 meses. 14. a 24. 13. F 9. a) α = 54 e β = −1/90 b) 360 minutos. F. a) 200 000 e 400 000 eleitores.5ºC 20.br EM_V_MAT_006 b) 2 horas. E 10. a) 5 120 unidades. d b) 15 minutos.4 5. c 23. 22. λ < − 16 17.