www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1com C III BIMESTRE: R Q NÚMEROS RACIONALES Z N DEFINICIÓN: Se llama fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de tal modo que el primero no sea múltiplo del segundo y éste sea distinto de cero: Im LECTURA DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS: Se representa una fracción escribiendo el numerador encima del denominador separados por un trazo horizontal. a que también se puede representar como par ordenado (a, b), donde a recibe b el nombre de numerador y b denominador. Sea la fracción: Se nombra una fracción escrita, nombrando primero el numerador y después el denominador seguido, en general de la denominación “avos” y por excepción con las denominaciones medio, tercio, cuarto o décimas, centésimas, etc. Generalizando: ww (a, b) x ( - {0}) a b ( - {0}) w . M Decimos que v pertenece al conjunto de enteros excluidos al CERO, porque la división entre cero no está definida. DEFINICIÓN: Una fracción es una manera de expresar que una cantidad ha sido dividida en cierto número de partes. El numerador indica el número de partes consideradas y el denominador el número de partes en que se ha dividido la cantidad en cuestión. Así 3/10 significa que se están considerando 3 de las 10 partes en que se ha dividido la cantidad. 1 10 I FRACCIONES 1 10 1 10 3 10 Nota: Con frecuencia, en la práctica, a la cantidad que se divide se le considera como todo y se la representa con el número 1. DEFINICIÓN: Números fraccionarios o fracción, es uno o el conjunto de varias partes alícuotas del módulo o unidad que no constituyan un número natural de unidades. Si los términos vinieran expresados por letras, por ejemplo, la fracción a se leería “a” betésimas b o simplemente “a” PARTIDO por “b” at em at ic 5 7 cinco séptimos 300 43 trescientos, cuarenta y tresavos m n “m” enésimas a1 c d . co “c” detésimas m La fracción que no tiene más que una parte alicuota, se llama unidad fraccionaria: 1 1 1 ; ; 4 35 100 FRACCIONES INVERSAS Dos fracciones se dice que son entre si inversas, cuando el numerador de cada una es el 3 5 m n denominador de la otra. Así la fracción inversa es y la fracción inversa de es 5 3 n m SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Ejemplos: 1 7 8 6 . tienen por objeto hallar otro número racional llamada diferencia. Fracciones heterogéneas: Aquella que tienen distinto denominador. . .M. . diciendo que: la sustracción de dos números racionales y ( > ) llamadas. 12) = 84 entonces: at 5 70 3 36 7 49 . Ejemplos: 6 11 8 41 m .M.C. . minuendo y sustraendo. co m a b ab m m m SUSTRACCIÓN Definición: Definida la adición de dos números racionales. .com/Matematica1com Simplificar una fracción. . Ejemplo: Simplificar 42 70 VI. y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el referido M. definiremos la sustracción como la operación inversa.com www. Se restan los numeradores y se pone de denominador el común. Es decir. pero no se ha reducido a su más simple expresión. respectivamente. . 6 84 7 84 12 84 em OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES at ADICIÓN ic Definición: Se llama suma de dos números racionales de igual denominador al número racional de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. es hallar otra igual a ella de términos menores.w Ejemplos: 1 4 35 8 a . 6 7 12 CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES ORDINARIAS POR LA RELACIÓN DE SUS TÉRMINOS ww . Así: . (6.C.Matematica1. Se dice que fracción es irreductible o que está reducida a su más simple expresión. tal que Regla General: Para hallar la diferencia entre dos números racionales se reduce a un común denominador. . Fracciones homogéneas: Aquellas que tiene el mismo denominador. tal como 2 se expresa como 42 21 70 35 Al pesar de la primera a la segunda se ha simplificado la fracción. Fracción igual a la Unidad: Es aquella en la que el numerador y denominador son iguales.www. Ejemplos: 6 8 41 11 . . de los denominadores y él será el denominador común. . ya que a su vez: 5 3 7 . Fracción propia: Es aquella en la que el numerados ES MENOR que el denominador. . . . . que: a1 . . Ejemplos: 3 2 a .C.youtube. en general = 1 a0 3 2 a 1 1 1 6 1 7 que se puede reducir a fracción: 2 2 3 3 3 3 3 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR: Se halla el M. Fracción Impropia: Es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador. en general: 1 a>b 5 2 7 3 n III. . en general: 1 a<b 3 11 73 41 b 2 1 que 3 M. . M II. por el denominador correspondiente: Dar común denominador a las siguientes fracciones: 21 3 35 5 I. 7. Número mixto: Es la suma de un número entero con una fracción. cuando ya no puede ser simplificada esto es cuando el numerador y denominador son primos entres si.M. . 15 15 15 15 IV. 35 5 71 13 V. D.M (35. daremos la siguiente definición: 9 3 18 3 15 4 8 8 8 8 MULTIPLICACIÓN Definición: Dados DOS números racionales. M MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS RACIONALES at em DEFINICIÓN 1 Se llama máximo común divisor de varios números racionales. 35 14 7 M. 14. al menor número racional que es múltiplo común de todos ellos. no hay contradicción con la definición dada en números naturales. 12) 3 6 M.c 9 12 M. dados dos números racionales y .C. 7) 70 omTodo número racional divisor común de varios números racionales. Así: . división de números racionales tiene por objeto hallar otro número racional tal que .C. ic Tratemos de calcular la mitad de la tercera parte del cuadrado: 1 de 2 1 3 1 6 1 1 1 1 1 1 de se escribe 2 3 6 2 3 3 DIVISIÓN 1 3 a1 . será la fracción cuyo numerador sea el máximo común divisor de los numeradores de las fracciones irreductibles equivalentes a aquellos y por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresadas fracciones irreductibles. Ejemplo: . el dividendo y el divisor. 0 y la Definición: La multiplicación de dos números racionales tienen por objeto. Ejemplo: Si el multiplicador fuese fraccionario x 3 3 =p. = Esta definición está justificada porque no hay contradicción la definición dada de división en números naturales y además porque satisface la ley de uniformidad. será divisor Corolario 2: de su máximo común divisor. al mayor número racional divisor común de aquellos. Corolario 3: Si varios números racionales vienen expresados por fracciones irreductibles. luego: 3 p 3 5 p de 1 5 ww w b. 9. lo que el multiplicador es respecto a la unidad. .Matematica1. Consideremos las situaciones siguientes: Consideremos el siguiente Cuadrado: at Corolario 1: El máximo común divisor de varios números racionales. Así: a. . Regla General: Para dividir dos números racionales.C. el producto tienen que ser a .com www.youtube.www. DEFINICIÓN 2 Se llama mínimo común múltiplo de números racionales. llamados respectivamente. se multiplica el dividendo por la inversa del divisor. su mínimo común múltiplo será la fracción cuyo numerador es el mínimo común múltiplo de los numeradores y el denominador el máximo común divisor de los denominadores. Con esta definición dada. lo que 5 5 7 14 7 9 9 5 9 5 14 10 es de 1. multiplicando y multiplicador hallar otro número racional que sea respecto al multiplicando .com/Matematica1com Considerada la división como operación inversa de la multiplicación.D (6. com/Matematica1com 9 12 M.6 = 378....D. Ilimitadas: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales y pueden ser: ilimitadas periódicas e ilimitadas no periódicas: las ilimitadas periódicas son aquellas que tienen período o sea que tienen una o más cifras que se repiten en forma constante e ilimitada y pueden ser: periódicas puras o periódicas mixtas: i....... II..C.... 10 100 1000 Así como en las aplicaciones de la aritmética de los números naturales se prefiere utilizar la numeración decimal...www. en las de los números racionales son las fracciones decimales las más usadas. 0. la unidad seguida de ceros..0078142 Corolario 4: Todo número racional múltiplo común de varios números racionales...Matematica1. 7 35 14 7 M. Ejemplo: 2 = 1.173 = 0.= . 378.666 .. M Nota: para simplificar fracciones complejas y reducirlas a fracción simple.00417 m no periódicas: III. 3 2 = 1.. Pueden ser: limitadas no periódicas irracionales e ilimitadas no periódicas trascendentes.325..2599210...12) 36 6 M..... Ejemplos: 0.. la parte que no constituye el período se llama parte no periódica o parte exacta... 3 3 = 1...... 3 = 1... será múltiplo de su mínimo común múltiplo.7320506.... Ejemplo: ww 4 1 w 1 3 7 1 3 1 3 4 8 11 17 . Exactas o Limitadas: Tienen una cantidad determinada de cifras decimales...284.14.00417417 ..666 ..173173173...... 62. también se utiliza una barra o un corchete..4142136..M. Para abreviar la escritura de un número decimal periódico. 7) CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES I.C... 378..... es decir... (35.. las operaciones se deben efectuar en este orden: 1º 2º 3º 4º 5º Multiplicación División Sumas Restas Potenciación y luego radicación NÚMEROS DECIMALES Fracciones decimales: Se le llama fracciones decimales aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.. Periódica mixta: Cuando el período empieza después de una o varias cifras. y por esto.C. FRACCIÓN COMPLEJA Definición Se llama fracción compleja al cociente indicado en forma de fracción.... No se pueden obtener dividiendo dos números enteros.[6] at ic ii.= 31... co 0.. a pesar de que todas las proposiciones que corresponden a ellas se obtienen como caso particular de las ya estudiadas para las fracciones en general...youtube..... .173173173 .. Ejemplo: 157 65 8 ...6 = 378.. después de la coma decimal. 0... .4422496.. .... Ejemplos: a1 0..671 31. 9......6717171 .M (6..com www. de dos números de los cuales uno por lo menos NO es número natural. así los ejemplos anteriores se pueden representar: at 0.. Periódicas Puras: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal.... .[173] em 378. Numero decimal ilimitado no periódico irracional: Es el que resulta al extraer raíz de cualquier índice a números que no tienen raíz exacta.173 = 0. Ejemplos: 375. Ilimitadas Son aquellas donde las cifras salen sin guardar ningún orden y en forma ilimitada.. merece un estudio especial. i. = ........... se acostumbra a colocar una ligadura que abarque todo un período. . 1 ¿Cuántas cifras tendrá el período? 231 El período tendrá 6 cifras. e = 2.. el denominador en sus factores primos y se averigua “cuántas cifras” nos da cada factor hallado.9984126 2 2255 ..1415926535897932. dará origen a una fracción decimal periódica mixta. dará origen a una fracción decimal periódica pura.00109375 6 400 M 2º Si el denominador del quebrado no posee el factor primo 2 ni 5. calculando después el M.. En efecto: 1 = 0. como se deduce en el cuadro anterior. dará origen una fracción exacta o limitada y como el mayor exponente wde los factores primos es 8.. Efectivamente: 629 Ejemplo 630 Ejemplo: = 0..C..www. .718281. Para su resolución ayuda el siguiente cuadro: 9 99 999 9 999 99 999 999 999 9 999 999 99 999 999 = = = = = = = = 32 32 x 11 33 x 37 32 x 11 x 101 32 x 41 x 271 33 x 7 x 11 x 13 x 37 32 x 239 x 4649 32 x 11 x 101 x 73 x 137 1 ¿Cuántas cifras tendrá el período? 33 Como: 33 = 3 x 11 y 99 es el menor número formado por nueves que contiene a 3 y 11 el período tendrá dos cifras. REDUCCION DE FRACCIONES ORDINARIAS A FRACCIONES DECIMALES Ejemplo Se reduce el quebrado a su mínima expresión y: como 9 contiene a 3 3 nos da 1 231 3 7 11 como 999 999 contiene a 7 7 nos da 6 M. 6) 6 6 La fracción tendrá una cifra en la parte exacta o no periódica y 6 en el período.com www. (1.. Si el denominador del quebrado irreductible. . efectivamente: .M. En la forma general.. se descompone (después de hacerla irreductible).com/Matematica1com ii. Número decimal ilimitado no periódico trascendente: Son ciertas constantes matemáticas como: = 3.C. ii.. co m 3 2 nos da Para el período 7 nos da 1 M.Matematica1.. posee el factor primo 2 ó 5 ó los dos a la vez y además posee otro u otros factores primos....M..C. Así: 21 7 como 6 400 = 28 x 52 como el denominador posee sólo los factores 19 200 6 400 ww primos 2 y 5... Se averigua cuál es el menor número formado por cifras nueve que sea divisible por los factores primos del denominador.. Ejemplo: 629 630 a1 Como: 630 = 2 x 32 x 5 x 7 Para la parte no periódica (exacta): 2 x 5 .youtube. 6..004329 231 at em at ic iii. exponente mayor = 1 .. Para saber cuantas cifras tendrá el periodo se procede de la siguiente forma: i. la cantidad de “nueves” indica la cantidad de cifras que tendrá el período. 2) 6 contiene a 11 11 nos da 2 como 99 1º si el denominador del quebrado posee sólo el factor primo 2 ó 5 ó los dos a ala vez dará origen a una fracción decimal EXACTA o limitada y se puede asegurar que tendrá tantas cifras decimales como indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5. de las cifras que nos dan los diversos factores....M. donde la parte no periódica tendrá tantas cifras como lo indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5 (primer caso) y para determinar cuantas cifras tendrá el periodo se aplica el procedimiento descrito anteriormente. Cada factor da tantas “cifras” como número de nueves tenga el menor de sus múltiplos formado de sólo nueves. (1... la parte decimal tendrá 8 cifras. 7 0.... .abc.www.8 999 = 8244 999 P ...M.. .E g–g = E abc.. REDUCCIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL A ORDINARIA DEFINICIÓN: Reducir una fracción decimal a ordinaria..E lo que demuestra el teorema. . " P" cifras 2 10 3125 g= 1000 8250424 g= 10 000 g= Teorema Nº 2: La generatriz de una periódica pura tiene por numerador la diferencia que se obtiene restando la parte entera.. es hallar la fracción ordinaria que reducida a decimal.....1) P = E abc... 999 ..... A la fracción ordinaria que da origen a una fracción decimal se le llama generatriz. un número formado de tantas cifras 9 como cifras tienen el período. (2) 10 P g = E.. Nunca se introducen factores nuevos. donde E es la parte entera...C.. 10 p tenga más de una cifra. nos da una cifra 11 nos da dos cifras Para la parte periódica M... puede o no ser irreductible. como el numerador 30 termina en cero.E g (999 9) g Es una consecuencia inmediata de la definición de fracción decimal...... nos da la fracción decimal propuesta... (2. pues si: E.youtube.. será igual o distinta a la últimawde wwla parte entera.com/Matematica1com Observación La generatriz obtenida Para la parte exacta (no periódica): 51 .. .. sea "g" la at "P" cifras fracción generatriz: ic (1) g = E... abc.abc.... 5) = 10 41 nos da cinco cifras La parte exacta tendrá una cifra y diez cifras el período: Efectivamente: 2 2255 = 0. 0. Así: 30 7 M = 4.Matematica1..252 = 8252 ... las úl- timas cifras del periodo y de la parte entera son distintas (respectivamente 2 y 1). a1 multiplicando ambos miembros por 10 "P" cifras .285714 es periódica pura. Teorema Nº 1: “La generatriz de una fracción decimal limitada.. se puede asegurar comprobando lo dicho por el Teorema 1. En cualquiera de los dos casos 2 p x 5P como su denominador no tiene ningún factor distinto de 2 y 5 y al hacerla irreductible. que el numerador de la ordinaria irreductible termine o no termine en cero..E P g (10 . Ejemplos: Hallar las generatrices de: Como: 2 255 = 5 x 11 x 41 = E abc. . ...2 3... del número natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera el período. at em Sea la fracción decimal periódica pura: E. co (2) .0424 Eabc... Eabc. según respectivamente.abc.. 9 P Ejemplos Hallar las generatrices de: comprendidos en este caso aquel que E sea cero y aquellos en que E 8..com www....125 825...(1) m10 P = E abc.. tiene por numerador el número natural que se forma prescindiendo de la coma en la fracción decimal propuesta y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene la fracción decimal”. abc.. y por denominador........00088691796 Propiedad: La última cifra del período de la decimal periódica pura equivalente a una fracción irreductible cuyo denominador es primo con 10.... Si al numerador le quitamos una unidad. tales que la suma de sus términos sea divisible por 3 y por 8...... (1) "p" cifras ww w .....351 01. son tales que sus términos son números consecutivos? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 07.. el quebrado resultante es 2/3....... Calcular: p + q at b) 13 ic a1 a) 5 ..¿La mitad de lo que me queda en una botella de agua mineral es igual a al tercera parte de lo que ya me tomé............. ésta se elimina obteniéndose: 10 p q g 10q g Em....¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/29... Sea la fracción decimal periódica mixta: abc... abc........ ........ el punto x está en el punto medio del tercer intervalo...... m...... 9 00 ........... abc.. = E. E... .... seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica”..n 10 g (10 ........Em. la diferencia de esos mismos términos divisible por 7..com www... 00 p q Lo que demuestra el teorema.n "q" cifras ..n abc...... ¿Qué fracción de toda mi agua mineral habré tomado? Teorema Nº 3: “La generatriz de una decimal periódica mixta.Hallar la suma de los valores enteros de K...n c) 4/7 a) 20 b) 18 c) 12 d) 24 e) 16 03........1) = Em. tiene por numerador la diferencia entre el número natura que se obtiene escribiendo a la derecha de la parte entera las cifras de la parte no periódica y las del período y el número también natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera la parte no periódica..El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. (2) La expresión (1) por 10p+q: 10 p+ q ... Em..... (3) A la expresión (3) le restamos la (2) y como tiene la misma parte decimal......www.. y por denominador un número formado de tantas cifras 9 como cifras tiene el período.youtube...........Hallar las fracciones equivalentes a: 95/209..m. at em b) 147 a) 17 e) 10/3 c) 77 d) 63 e) N.....m........ dar como respuesta la diferencia entre el denominador y el numerador de dicha fracción..n abc............... co m b) 12 c) 43 d) 25 e) 49 06.... Si tomo la cuarta parte de lo que me queda...Em..........Matematica1....n abc...... .... 9 ) Em.......m..Un número racional irreductible x tiene las siguientes propiedades: q 3 4 a) x 5 5 b) Si se divide el intervalo [3/5....El denominador de una fracción excede en 5 unidades a su numerador.....n...... Em... ¿Cuál es el numerador del quebrado original? p 10qg ( 99.n abc.......Hallar una fracción equivalente a 0......... para que E también se entera: E = a) 12 PRÁCTICA DE CLASE d) 7/10 04... 6 MATERIAL DE CLASE Nº 1 356 35 321 9 9 351 .. además.... en cinco partes iguales. ¿Cuál es esta fracción? ......com/Matematica1com 35.n q a) 231 P g = Em.n 9999 .. abc... n "q" cifras g a) 3/10 b) 8 c) 9 d) 16 K5 K 1 e) 18 08..0 351 = = 999 999 = 0.g = E..375 tal que el producto de sus términos sea 384..n abc. ...... ¿Cuál es la fracción cuyos términos son los menores posibles? Dar como respuesta el denominador "p" cifras Sea “g” su generatriz: b) 3/7 02.a c) 11 d) 19 e) 18 p 05...... M Al multiplicar ambos miembros por: 10q Se obtiene: q 10 g = E.. 4/5].. existen. ¿Cuáles son las 2 últimas cifras del período? a) 56 b) 46 at 20. ¿Cuántos lt de agua hay en la mezcla final? a) 9 b) 6lt MATERIAL DE CLASE Nº 2 c) 3lt d) 4lt b) 23 c) 29 d) 39 e) 8lt e) 43 ww w . ¿Cuánto tengo? a) S/. 1 ...www.Si perdiera los 3/7 de mi dinero más S/. sabiendo que: em a) 2886 at N 3a5a b) 2860 ic a1 c) 26 d) 06 e) 16 d) 2873 e) N...¿Cuántas fracciones equivalentes a 0..100 y finalmente perdiera la mitad del resto. 1 2 3 4 n 17..1363636.Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero. ¿En cuántos días harán dicha obra? a) 5 días b) 3 días c) 4 días d) 1 día e) 6 días a) n(n+1) 10.0010 =0.En un depósito se colocan 4lt de lejía y 8lts de agua. vuelve a apostar y pierde los 3/5 de los que le queda y en una tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. luego ganara 4/5 de lo que tengo más S/. co m b) 19/52 c) 49/104 d) 15/26 e) 9/13 a) 3/4 b) 4/5 c) 5/6 d) 6/7 e) 7/8 03...al dejar caer al suelo una pelota. tales que su numerador sea un número de 2 cifras y su denominador un número de 3 cifras? a) 17 b) d) 10 e) 11 a) 23/105 b) 4/35 c) 22/35 d) 13/105 e) 4/105 . Se consume ¼ de la mezcla y se reemplaza con agua.. a) 11/52 . 1 1 2 3 4 n T= 1 1 1 1 1 . 11. M 12.Si la fracción: 18/247 origina un número decimal inexacto periódico puro.Efectuar: 09.youtube.Martín puede hacer una obra en 30hrs.Hallar: a +b Si: a) 7 b) 4 c) S/.El denominador de una fracción excede al numerador de una unidad. ¿Cuál es la fracción original? 2a =0.969696. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente le ha quedado? a b =0.com/Matematica1com b) 52/65 c) 26/117 d) 65/117 e) 26/39 1 1 1 1 1 . cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cayó. 1 ... Y César puede hacer la misma obra en 45hrs.4900 e) S/.Hallar N. A y C en 9 ¿Cuánto demorarían juntos en hacer una obra? a) 3 días b) 4 días c) 3 1/3 días d) 3 1/2 días e) 4.Hallar el valor de “a”.a36363636. a a 3 . 55 c) 5 n1 2 18.3700 15.Si 0.2600 b) S/..Matematica1.5000 d) 8 e) 3 c) 9 n 2 d) 1 n e) n(n 1) 2 a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 19.. 11 3 b) 8 c) 02..a. Si los dos trabajan juntos a razón de 6 horas diarias...5 días 13..4200 d) S/.... a Hallar a. B y C pueden en 12 días en hacer la misma obra. ¿De qué altura se dejó caer la pelota al empezar? a) 27mts b) 18mts c) 54mts d) 9mts e) 81mts 14.¿A y B pueden realizar cierto trabajo en 4 días. 2300. 1 . 300. Si se agrega a ambos términos de la fracción una unidad.0. si: a) 2 16.Encontrar el número racional entre 2/13 y 41/52 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. c) 2847 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. Después de 3 rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro... es equivalente a 13/17... la nueva fracción excede a la original en 1/72. entonces me quedaría S/...com a) 180/234 www. Naty llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película. ww M 07.Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja: la primera en 9 días. 06. A y C en 15 días.20cm c) 18:30 d) 18:20 e) N.450 e) S/. a) 85m. a) 5 b) 7 10.Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que falta recorrer.900 09.7. Si ha perdido en total $12.60cm c) 36.5 y las demás a 4 por S/. Hallar: x + y + z + w c) 19 d) 20 e) 18 09. De altura. ¿Cuánto demorarían junto en hacer una obra? a) 9 días b) 3 días c) 4 días d) 2 días e) 4/3 días . el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/.Sabiendo que: a) 21 b) 102m. si todo el viaje lo hace en 12 horas? a) 4 hrs. si la película empezó a las 16:00 horas.com www. 6 minutos después llega Ana. c) 9hrs. om b) 17/24 c) 7/24 d) 13/24 e) 5/24 08.5.Hallar las 3 últimas cifras del desarrollo decimal generado por la fracción 17/83. queda 1/7 de él más 9. Si se le deja caer desde un metro de altura.El rebote de una pelota alcanza 2/3 de la altura desde done se la deja caer. Si han reunido respectivamente los 5/24.5 c) 32.a. ¿En cuánto tiempo harán la obra los tres juntos? a) 6 días b) 5 días c) 7 días d) 8 días 01.2 días a) 17:20 b) 7 hrs.Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes.Matematica1. la mitad a 5 por S/. 08. ¿Qué altura alcanzará después del tercer rebote? a) 11/24 d) 5 d) $144 03. la segunda en 10 días 1 1 3 y la tercera en 12 días. y sólo ve os 4/5.5 d) 21 e) N.a. dar la suma de sus cifras. e) 3hrs.00cm d) 12.7 Vende los 3/5 del número de lapiceros a 3 por S/. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento. Si se sacan 20 000 lt. sabiendo que: a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 3 a b 7 81 5 11 c) 4 e) 6 TAREA Nº 1 b) 17:30 a) 51.500 TAREA DOMICILIARIA e) $54 a) 20 000 Lts b) 2 400 Lts c) 3 000Lts d) 18 000 Lts e) 40 000 Lts 04. .Una persona recibe viáticos por 4 días.Hallar a + b.a. 07. ¿Cuál era la longitud original del rollo? a) 33 at b) 20.150.Marcelo compra lapiceros.930? ic a1 a) 900 b) 180 c) 2400 d) 3600 e) N. ¿qué fracción falta todavía reunir? . si se le deja caer inicialmente desde 17mts.Después de vender los 5/9 de un rollo de alambre.8 días b) $120 b) S/. el segundo día gasto 1/8 del resto.40cm em 05. 29 0. ¿Cuánto tenía el principio? e) 9 días a) $108 b) 9 días c) 10 días d) 11. de la segunda y de la 4 3 5 tercera. d) 5hrs.6 y la otra mitad a 6 por S/.Tres personas tienen que reunir cierta suma de dinero. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/. ¿Cuántos lts falta para llenarla? e) 13 días 06.750 c) S/. Quedaría llena hasta sus 2/3 partes. Determinarwel espacio total recorrido hasta detenerse.César demora 6 días en hacer una obra y Martín demora 12 días en hacer la misma obra.Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. c) $132 02.Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote que da.com/Matematica1com 04. ¿En cuánto tiempo hizo la zanja? a)7. Se empleó de la primera brigada. los 3/10 c y la quinta parte de dicha suma. el tercer día los 5/3 del primer día. El primer día gastó la quinta parte. ¿Cuántos lapiceros habrá vendido si se sabe que ganó S/. d) 51m. e) 60m. yzw xy b) 22 c) 93m.96cm e) 6.Sabiendo que A y B pueden realizar una obra en 10 días. B y C lo harían en 12 días.www. ¿A qué hora termina? 05.360 d) S/.youtube. at b) 21. youtube.¿Cuál es el quebrado impropio que resulta duplicado.Matematica1. Grado le falta 1/9 del dinero que se le confió.0 c) 0. ¿Qué parte de los que le queda restituirá lo perdido? a) 1/8 1 15.Si: ab b) 1/3 =0.Se divide un tubo en 4 partes desiguales: la primera es 1/3 de la longitud total del tubo..( x 5)x. la segunda parte es ¼ y la tercera parte es 2/7 de la longitud total del tubo. a) 5 b) 8 c) 9 d) 6 e) 10 12.Si d) 1/7 e) 1/9 Hallar: “a + b” b) 6 c) 5 d) 8 e) 9 c) 6 d) 7 e) 8 c) 12 d) 16 e) 2 A 0. si al simplificarlo se obtiene 14/31? a) 151/344 b) 77/688 c) 154/341 d) 182/403 e) 217/242 14. Hallar A 11 a) 2 17. a) 0.5 d) 2.8 b) 3. M 13.Hallar la suma de los términos de una fracción. a) 7 16.. Si la cuarta parte mide 11/14 de metro. tal que si se le suma su inversa se obtiene: 41/20. si se resta a sus 2 términos. co m .5 e) 1.El producto del numerador por el denominador de un quebrado es 525114.. la mitad de su numerador?.. ¿Cuál es dicho quebrado. ¿Cuál es la longitud del tubo? a) 28mts b) 6mts c) 12mts d) 5mts e) 7mts ww w ...com www.Si c) 1/6 nn 0..5 11.Al tesorero de una sección de 5to.com/Matematica1com TAREA Nº 2 10. Expresarlo en forma de fracción decimal.www.ab4 37 a) 14 b) 4 Hallar: b) 15 a+b at em at ic a1 .037037037.. .. co m Por propiedad básica: 2b = a + c ac b= 2 Proporción Geométrica (equicociente) Si: a c =K =K habrá proporción b d ... “En matemática..www.. (2) 6 Cuatro veces..youtube... sobrepasa a la del segundo (8) en: 24 – 6 = 18 ....... según que las razones sean aritméticas o geométricas respectivamente... em Propiedad básica: at Suma de medios = suma de extremos b–c = a+d ic Proporción continua: Aquella en la que los medios son iguales........ constituyen una proporción..com www.....Matematica1.. (1) ww Pero también podemos afirmar que la altura del primero es: w .. INTRODUCCIÓN 24 Proporción aritmética (equidiferencia) Si: a – b = c – d = Habrá proporción.......... La proporción puede ser aritmética o geométrica................. si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. a–b=b–c a1 b = media diferencial o media aritmética. en un cierto orden... la del segundo... cuarta diferencial.... al resultado de comparar dos cantidades se llama razón” Al resultado de comparar 2 cantidades mediante una resta..... M 24 = 4 ... el resultado se llama razón geométrica o por división y sus términos son: = 3º c - 4º d Medios Externos at Si a b c d la proporción se llama discreta y cualquiera de sus cuatro términos. se llama razón aritmética o por diferencia y sus términos son: 1º A antecedent e - 2º B Valor de la razón o resultado de la comparación consecuente Cuando se comparan 2 cantidades por división......com/Matematica1com antecedent e 1º A K valor de la razón consecuente 2º B RAZONES Y PROPORCIONES PROPORCIÓN Dados cuatro números distintos de cero.............. a y c = tercia diferencial ...... ya que: 6 A 1º a B - 2º b Nos piden “comparar” la altura de los árboles con un cálculo muy simple podemos establecer que la altura del primero (A).. En ambos casos estamos comparando dos cantidades... en (1) mediante una resta y en (2) mediante una división.. d.: em at mn pq mn pq 4ta. S. Propiedad. Propiedad.com a : b :: c : d www.“En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes. a c una proporción. tercera proporcional. q s S. Propiedad.: pr p r qs q s c om 5ta.: Proporción continua: Aquella en la que los medios son iguales: Por propiedad básica PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES: I. se obtiene siempre una proporción”. iv. Toda proporción se puede escribir de 8 maneras diferentes: a c Sea una proporción: se puede escribir. como cada antecedente es a su respectivo consecuente”.youtube. Si a c d.p. a b b c b = media proporcional o media geométrica a y c.“En toda proporción se cumple que la suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es también a su diferencia”. ii.“En toda proporción se cumple que la suma de los primeros términos es a su diferencia como la suma de los segundos es también a su diferencia”. iv: b a b a c b a c a 2da.p.“Si a ambos términos de una se le eleva a un mismo exponente o se les extrae raíz del mismo índice. .com/Matematica1com ó 1º 3º medios 2º 4º extremos a c b = d “En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los primeros términos es a la suma o diferencia de los segundos.p. Sea p r una proporción. ic a Sea p r una proporción q s 1. viii. v.q.d.p. la proporción es discreta y cualquiera de sus términos: cuarta proporcional.q. a b a c b a c a c d b d d c d b c cambiando medios: d b invirtiendo i y ii d d c d permutando términos a i. n q S. vi.- ab a b cd c d 3ra.d.q.Matematica1. Propiedad básica Producto de medios = Producto de extremos (b)(c) = (a)(d) S. b d Sea: Sea ww w .d. como los antecedentes son entre si y como los consecuentes son también entre si”. M at m p una proporción.: pr qs pr qs 6ta.www. Propiedad. Propiedad. iii. ii. vii.q. b d i. iii. 2 constante de proporcionalidad o valor de cada razón. co Hipótesis: Sea la serie: ma c b d e =k f 3 S. por lo tanto. elevada a un exponente igual al número de razones que intervienen en la serie”.p. TEOREMA 2 “El producto de los antecedentes y el producto de los consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas. k. a c e g =k constante de proporcionalidad o valor de cada razón.q.Matematica1.p.d.q.: a c e g =k b d f h a bk c dk Sumando ordenadamente e fk a k b c k d e k f g =k h g = hk a c e g bk dk fk hk at a + c + e + g = k(b + d + f + h) em at aceg a c e g k bd f h b d f h ic L.: 3 axcxe a c e bxdxf b d f Demostración: De la hipótesis: 3 . b d f h w . Ejemplos 1º 2º 1 3 9 127 =0.com www. Consideremos la serie: S. k b d f h ww Notamos que todas las razones tienen el mismo valor (k).q.com/Matematica1com aceg a c e g =k bd fh b d f h p r Sea una propiedad.p. 5 5 45 635 1 3 7 11 =0. k.d.d. q s 1º 2º pn qn n n p q rn S. a1 .q.youtube.q.www. De los expuesto se deduce que: “La condición necesaria y suficiente para obtener una serie de razones iguales es que todas las razones tengan el mismo valor”.: sn n r n s Demostración: De la hipótesis se deduce: SERIE DE RAZONES IGUALES Se llama así al conjunto de más de dos razones iguales. Así en las siguientes razones: a c e g k. M Serie de Razones Iguales. podemos expresar.14287 7 21 49 77 TEOREMAS RELATIVOS A LA SERIE DE RAZONES IGUALES TEOREMA 1 “En toda serie de razones iguales se cumple que la suma de antecedentes y la suma de consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”.d. Hipótesis: . de la suma de los consecuentes elevados a la potencia “n” de “n” razones iguales. b d f 2 PROPOSICIÓN ARMÓNICA: (*1) Cuatro términos forman una proposición armónica cuando la diferencia de los dos primeros es a la de los dos últimos como el primero es al último.d. Un término extremo de esta proporción es: ab a ac .p.Matematica1.p. se obtiene: .com/Matematica1com a k b c k d e k f a bk c dk multiplicando ordenadamente : e fk Hipótesis: Sea la serie: a c e x k b d f z " n" razones iguales a x c x e b x d x f x k3 3 3 axbxc a c e bxdxf b d f Luego: Demostración: Elevando cada razón de la hipótesis al exponente “n” se tiene: 3 L.q.d. TEOREMA 3 w “La raíz enésima del producto de antecedentes y la raíz enésima del producto dew los w consecuentes de “n” razones iguales. forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas.: n n rxpxyx xa sxqxzx xb (a n c n e n x n ) a c e x n n n n b d f z n (b d f z ) n S.q.” kn Extrayendo la raíz “n” a ambos términos: a1 n .q. y la raíz “n”.d. forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”.www.q. Para un medio.d.q. co n (a n c n e n x n ) n n n n (b d f z ) k a c e x L. de donde x = cx x 2a b ii.q.com www. s q z b TEOREMA 4 “La raíz “n” de la suma de antecedentes elevados a la potencia “n”.youtube.d.q. es decir: ab a * ( 1) c d d Extrayendo la raíz “n”: rxpxyx xa kn kn (a n c n e n x n ) m n zn Aplicando el primer teorema: Demostración: Por teorema anterior: rxpxyx xa kn sxqxzx xb xn i. Sea la serie: M r p y a k k sq z b " n" razones S.: axcxe k3 bxdxf r p y a s q z b an b at n cn d n en f n em at (b n d n f n z n ) ic n sxqxzx xb r p y a L.q. el agua hierve es 60º en “x” y 140º en “y”. de donde x = x d d a 04.En una fábrica embotelladora se tienen 3 máquinas A.La suma de los términos de una proposición aritmética continua es 100. se invierte si se añade 23 al menor y se quita 23 al mayor. co m b) 125 c) 128 09. por cada 3 botellas que produce la B la máquina C produce 2.4400. ¿Cuántos adultos entraron al teatro? a) 1515 b) 1155 c) 1224 d) 1551 c) 10º d) 20º e) -20º a) 500 b) 425 c) 475 d) 575 e) 415 d) 135 e) 145 PROPORCIONES MATERIAL DE CLASE 2 ic 02.Se tienen dos escalas de temperatura: la “x” y la escala “y”. B y C.Matematica1. D Es cuarta proporcional de 80. además. C Es media proporcional de 96 y 24.50? ab d c d a a) 24 b) 480 e) 2105 a1 A Es cuarta proporcional de B. de donde x = x d a ab .com/Matematica1com ab a b(2a b) . se sabe que por cada 7 botellas que produce la máquina A. se calcula análogamente: b) 18 c) 600 05. Hallar la 9 suma de los antecedentes si el producto de los términos medios es 144.Dos personas A y B juegan a las cartas.La razón de dos números es y los de su producto es 288.youtube. de donde x= xb a d ww MEDIA ANARMÓNICA Es una media proporcional anarmónica y es de la forma: w 2 ax d a d . M 2 c) 41 d) 23 e) 30 e) 33 03. ¿Por cuántos metros le ganó A a C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? MEDIO ANARMÓNICO Cuatro términos están en proporción anarmónica cuando formándose la primera razón como se ha dicho en (*1). a) 46 e) 560 07.En una competencia ciclística. ¿En qué temperatura coinciden las dos escalas? Un medio anarmónico (x).A un teatro. 10. a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25 1 del cuarto término. 3 entran con un niño y de cada 7 mujeres 4 entran con un niño. por cada 5 hombres que entras. Si entraron 678 niños en total.www.com www. ¿Cuál es el menor de dichos números? b) 26 at b) 40º 08. Encontrar al mayor de los dos 4 3 números. la máquina A produjo 440 botellas mas que C. la temperatura en que el agua se congela es 0º en “x” y 20º en “y”. por cada 6 hombres entran 5 mujeres. en una competencia de 1600m? at RAZONES MATERIAL DE CLASE 1 d) 20 a) 11º em PRÁCTICA DE CLASE c) 15 d) 640 a) 8 b) 12 c) 14 d) 10 e) 15 06.Hallar: S = A + B + C + D. a le gano a B por 400m y B le ganó a C por 100m. A empezó con S/. C y D B Es tercera proporcional de 8 y 14. la segunda está invertida. la máquina B produce 5. sabiendo que: 3 2 01. si el producto de los 4 términos es 375 000. así: a) 720 ab d a(a b) d 2 .En una proporción geométrica continua el primer término es a) 16 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8 . hallar la diferencia de los términos extremos.La razón geométrica. entre dos números cuya suma es 89.2200 y B con S/. Después de jugar 20 partidos. la razón entre lo que tienen A y B es 3/8. Cierto día. 15 y 16 a) 138 . ¿Cuántas partidas ganó B si en cada partida se gana o se pierde S/. U. 448 N O R M A a) 2365 at b) 1645 c) 1655 d) 1550 e) 1555 em 03. Hallar la suma de dichos términos.Z. a) 270 b) 560 c) 820 d) 533 a) 433 b) 73 c) 64 d) 36 a b c d .I. si: 2B + C = 360.youtube. 127.Si la tercera proporcional de “a” y “b” es la media proporcional también de “a” y “b” luego: a) a = b b) b2 = a c) a2 = b d) b2 = a3 e) 2 = b3 07. 05. Después se retiran 45 niños y quedan 5 niñas por cada niño. Calcular: c) 840 d) 1050 e) 1260 01.Se tiene: b) 1480 c) 1420 d) 1430 X.com/Matematica1com 11. a) 64 b) 54 c) 65 d) 45 e) 38 06. ¿Cuál es el último término? 3 a1 a) 18 . ¿Cuál es el mayor de dichos consecuentes? a) 45 b) 30 c) 20 d) 55 e) 60 17.La razón del dinero que tienen César y ana se invierte cuando César le dá a ana S/. Calcular: N + O + R + M + A. Y. M 15. quedando 2 niños por cada niña. a) 1500 b) 2100 c) 2400 d) 1800 e) N.La suma de los cuatro términos de una proporción es 65. Hallar lo que tiene B.Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2. a) 46 b) 434 e) 1450 Hallar: U. la suma del primer antecedente y del tercer consecuente es 336.Si la cuarta parte Hallar A. la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5. b c d e M=5(ab+bc+cd+de). encontrar el número mayor. hallar la suma de los 4 términos. 3 y 8 respectivamente son ww proporcionales a: 10.I N. a) 10 b) 630 d) 278 e) 48 13.La suma.(b2+c2+d2+e2)=44100. = 192. Si lo que tiene A excede a lo de C en 315.En una serie de cuatro razones geométricas continuas e iguales. a) 1440 18.a. ¿Cuánto tiene ana si entre los dos tienen S/.Y. a) 420 d) 510 c) 14 d) 16 e) 13 .N. 25 y 50. si se sabe que la suma de las cuatro razones es 4/3. B y C tienen fichas de pago.11 y el producto de los consecuentes 721875.3 y 16 Hallar los números. loas antecedentes son: 3. e) 32 N O R M A 7 .3235? 14.www. .De un grupo de niñas y niños se retiran 15 niños.com www. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? at a) 2/3 b) 2/6 c) 3/7 d) 5/4 e) N.Si a los 4 términos de una proporción geométrica se le suma un número.125. Además: X.a.5.Matematica1.En una serie de cuatro razones geométricas iguales.I a) 24 19. co b) 15 c) 13 d) 9 e) 8 m de A. 16.N. Z.a ic 04.7. Hallar la suma de sus términos. a) 210 b) 220 c) 420 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICOS IGUALES c) 500 20.A.En una proporción geométrica y continua el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuentes es 6400.A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. U. El número de niñas al comienzo era de: e) 250 w b) 12 e) 474 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 a) 20 b) 25 c) 29 d) 43 e) 55 02. X. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. 1/5 de B y 3/20 de C son entre si como 4.En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 20 736 y la suma de los antecedentes es igual al producto de los consecuentes. =4. Lo de A es a lo de B como 4 es a 5.Z. 175 y 253. Y. a) 4 y 16 b) 4 y 15 c) 2 y 8 d) 8 y 32 e) N.Si se cumple: e) 570 12. lo de B es a lo de C como 8 es a 5.Sabiendo que: b) 28 c) 16 d) 20 y (a2 + b2 + c2 + d2). Cada uno de los 3 últimos términos 2 es los del precedente. Si se retiran 20 parejas. determinar la suma de los consecuentes. 5 y 6 respectivamente. se obtiene los números 91. ¿Cuántas carambolas debe dar A a C en un partido de 100? a) 35 . Si la esposa tuvo a su primer hijo a los 17 años. c) 2 3 d) 3 2 e) 1 c) 36 d) 38 e) 40 c) 1054 d) 1085 e) 1116 em 06. M 12. hallar la suma de los consecuentes. Hallar la edad del esposo. e) 162 10. 5 2 y y la cuarta proporcional de 6 3 1 . de las cuales 240 son rojas. 2 b) 7 Junio c) 10 Junio d) 15 Junio e) 14 Junio 08. Hallar el mayor de los números a) 49 b) 42 c) 56 d) 63 d) 187 b) 15 c) 20 d) 14 a) 992 at b) 1023 e) 198 e) N. por cada 2 hombres hay una mujer. 40 carambolas para 100 y B le da ventaja a C.a. 4 3 e) N.Matematica1. los antecedentes son: 2.Hallar la razón aritmética entre la tercera proporcional de 08.Un padre tiene 34 años y su hijo 7. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 120 b) 240 c) 80 d) 160 e) 200 10. al cabo de cuánto tiempo la razón de las edades será a) 10 b) 34 ic 01. 7 y 11. ¿Cuántos nuevos soles tiene entre los dos? at e) 70 TAREA DOMICILIARIA a) 118 1 2 a) 32 e) 72 ww d) 450 a) 04. le da ventaja a B. a +b +c +d a) 126 5. 19 y 26 respectivamente originan 3 números que forman una progresión aritmética creciente. Luego de 2 horas. 60 carambolasc para 100.Si: hallar: N + A + T + Y 972 N A T Y a) 480 b) 380 c) 420 d) 69 w e) 370 .Tres números son entre sí como 2.Ana tiene 400 fichas entre rojas y azules. 07. ¿Cuántas de estas? Fichas rojas deben de ser pintadas de azul para que estén en la razón de 3 a 5 a) 100 b) 600 c) 75 d) 80 e) 90 . que sumados dan 385.www.¿En qué mes y día de un año común se cumplirá que: el tiempo transcurrido del año.Iván tiene 24 años y Martín tiene los 5/8 de la edad de Iván. a le ganó a B por 400m y B le ganó a C por 100m. si uno de ellos le da al otro S/.a.Lo que tiene Martín es a lo que tiene César como 13 es a 18.En una serie de razones equivalentes.Dada la siguiente serie de razones iguales: d) 475 b) 143 27 b 15 d . om b) 38 c) 28 d) 70 e) 76 09.En una competencia de 1600m. el producto de los consecuentes es 37422. asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. además: b – d = 24.La suma de tres números es 503 y dos de ellos están en la relación de 17 a 18.Las edades de una pareja de esposos son proporcionales a la suma y a la diferencia de las edades de sus 2 hijos. 3. cuyo producto es 7. es al tiempo que falta transcurrir del año como 33 es a 40? TAREA RAZONES b) 96 b) 05.a.com www. Hallar a 70 c 14 c) 146 d) 134 b) 63 c) 66 N A T Y 4 11.80 ambos tendrán la misma cantidad.youtube. 5 y 7 sise les quita 5.com/Matematica1com 03. ¿Cuál es el menor número? c) 87 1 3 c) 12 d) 18 e) N. a) 60 1 2 .En una fiesta concurren 400 personar entre hombres y mujeres.Un jugador de billar A. ¿Por cuántos metros le ganó A a C? a) 500 b) 450 c) 425 09. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 3 a 4? a) 10 b) 15 a1 a) 12 Junio 02. e) N.El valor de una razón de una proporción geométrica es 5/9. a) 12 b) 710m a) 7 ic Hallar (a+b+c) a) 27 e) 7 22. Sabiendo que los extremos son entre si como 5 es a 3. ¿Cuántas canicas tiene uno de ellos? a) 400 c) 6 20.640 .Al recorrer 1km Andrea le da ventaja a Elitza de 400 metros y Elitza le da a Carlos 300 metros para una carrera de 500 metros. c) 55 d) 65 e) 75 16.Entre A.com/Matematica1com 11.5. a) 560 b) 640 c) 480 d) 720 a) 4 a) 53 12.La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción geométrica continua es 25 si el otro término es 30. .youtube.Sabiendo que: . c) 10 d) 6 e) 5 d) 10 e) 15 a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16 a c indicar el valor de “a” b d a) 3 17. e) 280 . b) 30 c) 32 d) 34 b) 340 c) 200 d) 240 e) 36 M a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 24 15.Se tiene una proporción aritmética continua. B y C tienen 920 canicas. Calcular la media diferencial.“c” es la 4ta proporcional de a.a.Si la cuarta proporcional de 48. Hallar la suma de los términos extremos. TAREA PROPORCIONES a) 28 b) 8 b) 6 . Hallar la suma de los términos extremos. hallar la diferencia de los antecedentes.En una proporción geométrica continua la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. w hallar el valor de la razón aritmética.Matematica1. hallar la suma de los antecedentes.“a” es la media proporcional de 8 y 32.www. Calcular la cuarta diferencial.“b” es la tercera proporcional de 32 y a . a y (a + 20) es la media proporcional de 10 y 250.com www. a) 32 b) 36 c) 24 at em b) 8 23. hallar la suma de cifras de “a”. A tiene 1/3 más que B. b) 24 c) 32 b) 18 c) 9 d) 28 e) 21 d) 15 e) 21 18. co m c) 9 .Si: d) 28 c) 48 d) 64 e) más de 68 c) 750m d) 760m e) 770m at Además a1 e) 38 19. b) 45 b) 63 a) 730m 14. si el producto de los antecedentes es 1 800 y la suma de los consecuentes es 162. y éste 1/3 menos que lo de C. Hallar el ahorro mensual. ¿Cuánto de ventaja debe darle Andrea a Carlos en una carrera de 1 Kilómetro? 13. b y 6.En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9 si la suma de los antecedentes es 68.En una proporción aritmética continua la suma de los cuadrados de sus términos diferentes es 200 y el producto de los términos extremos es 60.Lo que gana y ahorra semanalmente un individuo está en la relación e 5 a2. donde la suma de sus cuatro términos esw 128. w a) 35 d) 10 21. lo que gana y gasta suman S/.Se tiene una proporción geométrica discreta cuya razón es 3/8 si la razón aritmética de los antecedentes es 19. C A 07. 15. 14. co m . B A 04. C D 10. D E 05. A 12.com www.Matematica1.youtube. B A 06. A at ic a1 . Ejercicios Propuestos 01 02 01. E E 03. D D 11. ww w M at em SOLUCIONARIO Nº . D B 02.www. A D 09.com/Matematica1com 13. A D 08.
Report "Aritmetica Ejercicios Del Tercer Bimestre de Matematica de Quinto de Secundaria en Word"