RAZONES Y PROPORCIONES24 6 A B Nos piden “comparar” la altura de los árboles con un cálculo muy simple podemos establecer que la altura del primero (A), sobrepasa a la del segundo (8) en: 24 – 6 = 18 ................................ (1) Pero también podemos afirmar que la altura del primero es: 24 = 4 .......................................... (2) 6 Cuatro veces, la del segundo. En ambos casos estamos comparando dos cantidades, en (1) mediante una resta y en (2) mediante una división. “En matemática, al resultado de comparar dos cantidades se llama razón” Al resultado de comparar 2 cantidades mediante una Si a b c d la proporción se llama discreta y resta, se llama razón aritmética o por diferencia y sus cualquiera de sus cuatro términos, cuarta diferencial. términos son: 1º 2º Propiedad básica: A B Valor de la razón Suma de medios = suma de extremos b–c = a+d antecedente consecuente Proporción continúa: Aquella en la que los medios son iguales. a–b=b–c Cuando se comparan 2 cantidades por división, el resultado se llama razón geométrica o por división y sus términos son: antecedent e 1º A K valordela razón consecuent e 2º B b = media diferencial o media aritmética. a y c = tercia diferencial Por propiedad básica: 2b = a + c PROPORCIÓN ; b= a c 2 PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (EQUICOCIENTE) Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. La proporción puede ser aritmética o geométrica, según que las razones sean aritméticas o geométricas respectivamente. Si: a c =K =K habrá proporción b d a : b:: c : d 1º 3º medios 2º 4º extremos a c ó b = d PROPORCIÓN ARITMÉTICA (EQUIDIFERENCIA) Si: a – b = c – d = Si a c d, la proporción es discreta y cualquiera de sus términos: cuarta proporcional. Habrá proporción, ya que: Propiedad básica 1º a - 2º b = 3º c - Producto de medios = Producto de extremos: (b) (c) = (a)(d) 4º d Proporción continua: Medios Externos 1 10. La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su diferencia, si la razón vale 0,04?. a b b c b = media proporcional o media geométrica a y c, tercera proporcional. Por propiedad básica Aquella en la que los medios son iguales: PRACTICANDO EN CLASE 1) Simplifica cada razón: 1) 4: 8 4) 448 : 336 5) 270: 486 8) 100 : 48 3) 24: 84 6) 75 : 105 9) 36 : 180 e) 0,96 2. Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64?. a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 2) Dos números son entre si como 2 es a 3. Si la suma de sus cuadrados es 52. Hallar el menor. a) 4 b) 6 c) 10 e) 9. 3. La relación geométrica entre 2 números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números?. a) 31 b) 29 c) 28 d) 25 e) 24 3) Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la suma de sus cubos es 280. Hallar el mayor. a) 6 b) 4 c) 12 4) d) 14 c) 24 1. En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional?. a) 8 b) 6 c) 18 d) 4 e) 9 7) 2) 36: 20 d) 10 b) 4 PRACTICANDO EN CLASE 25 : 15 d) 12 a) 13 e) 8. La suma de 2 números es a su diferencia como 9 es a 5 si el producto de los números 0es 22400. Determinar la diferencia de los mismos. a) 200 b) 160 c) 240 e) 80 4. 15 es la media proporcional de p y 25; “2p” es la tercera proporcional de 8 y q. ¿Cuál es la cuarta proporcional de p, q y 15?. a) 16 b) 24 c) 20 d) 25 e) 40 5) Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números es 5/3. ¿Cuál es el número mayor si su producto es 64?. a) 4 b) 8 c) 16 d) 36 e) 64 5. Si “A” es la cuarta diferencial de 18, 9 y 11. “B” es la media diferencial de 16, 12. Hallar la tercera diferencial de A y B?. a) 10 b) 24 c) 26 d) 27 e) N.A. 6) La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su diferencia. Si la razón vale 0,04?. a) 13 b) 4 c) 24 6. Hallar la media proporcional de la cuarta proporcional de 4; 16 y 2 y la tercera proporcional de 50 y 10. a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 10. d) 180 d) 14 e) 0, 96 7) La diferencia de 2 números es 244 y están en relación de 7 a 3. ¿Cuál es el mayor de los números?. a) 427 b) 356 c) 429 d) 359 7. 3 números son entre sí como 2; 6 y 8 si la media diferencia entre el segundo y el tercero es 28. Hallar la media proporcional entre el primero y el tercero. a) 4 b) 8 c) 16 d) 12 e) 4 e) 431 8) La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el mayor de los dos números. a) 84 b) 36 c) 49 d) 48 8. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercia proporcional. a) 9 b) 12 c) 15 d) 8 e) 16 e) 45 9) Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números es 5/3. ¿Cuál es el número mayor si su producto es 64?. a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 12.En una proporción geométrica de razón 7/8, la suma de los términos es 585 y la diferencia de los consecuentes es 56. Hallar el mayor de los antecedentes. e) 64 2 b) 40 d) 25 c) 28 19. dar como respuesta el número mayor.A. 15. Si: 18 a 3 U+N+O bc ed c) 15 y ab + bc + 27c = 4 cd . Hallar los 2 últimos.a) 157 b) 161 d) 176 e) 167 c) 134 18. como 2 es a 1. se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. Hallar la media proporcional entre el primero y el tercero. c) 30 1. Hallar la media proporcional de la cuarta proporcional de 4. Tres números son entre sí como 2. (en litros). Los cuadrados de 1/2. ¿Qué posibilidad tiene “A” de derrotar a “C”?. 6 y 8 si la media diferencial entre el segundo y el tercero es 28.Hallar 3 cantidades que están en relación con los números 4. a) 20 y 22 a) 31 c) 16 e) 4 ON OS 21 y N + S = 15 y D + O = 14. a) 2/3 b) 3/4 d) 5/6 e) 3/7. La relación geométrica entre dos números cuya suma es 65. 5 y 8 respectivamente y que su suma sea 850. c) 12 e) 18 Hallar: 17. a) 17 b) 16 d) 14 e) 13 c) 4/5 3. 4. a) 20 b) 29 c) 350 14. 1/4 y 1/8 son proporcionales a otros 3 números que suman 147/176. a) 300 b) 400 d) 380 e) 420 b) 20 y 24 d) 20 y 26 c) 22 y 24 d) 15 e) 25 1111 aaaa 16.Los antecedentes de varias razones equivalentes son 3. 5 y 6. ¿Cuál es el menor de dichos números?. 13. Hallar la suma de los volúmenes del segundo y el cuarto recipiente.Un cilindro de 60 de capacidad fue llenado completamente por 4 recipientes donde el volumen del primero es al segundo como el del tercero es al cuarto. Si la suma de los 2 primeros consecuentes es 28. a) 4 además:a2 + 4b2 + 9c2 = 392 b) 8 d) 12 Hallar a + b + c 2. Existe una posibilidad contra 3 de que “A” derrote a “B”. Si la posibilidad que “B” le gane a C están en la relación de 5 a 2. Si: DU b) 10 d) 14 c) 16 PRACTICANDO EN EQUIPO 2222 bbbb 3333 k cccc a) 6 c) 1/44 0. 16 y 2 y la tercia proporcional de 50 y 10. Uno de dichos números es: e) N.Si: e) 24 a) 7/176 b) 5/44 d) 1 e) 1/2 a) 4 b) 8 d) 20 e) 10. Hallar la media proporcional entre el primero y el tercero. la suma de sus extremos es 7. Proporcional de 8 y m. Hallar la 3ra. Hallar la suma de los cuatro términos de dicha proporción.G. c) 26 a) 9 e) 20 d) 8 b) 12 c) 15 e) 16 7. el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24.La tercia proporcional de (x – 2) . El producto de los cuatro términos de una P. 11. B. El producto de los cuatro términos de una P. En una P. a) 18 b) 20 d) 24 e) 25 c) 21 a) 8 y 14 b) 4 y 16 d) 6 y 12 e) 6 y 16 8. 9 y 11. Diferencial de “A” y “B”. es 144. diferencial y el producto de 2 números que los números 5. Además se sabe que el producto de dichas edades es 14 580. 3 y 16.G. 8a 3 e 2e a a) 6 a) 2/3 30/17 b) 8/27 d) 45/16 e) 16/45 c) d) 12 b) 24 d) 25 5.Si a cada uno de los cuatro términos de una P. c) 26 6. proporcional de m. 6 y 8 si la media diferencial entre el 2do. es 256 si al diferencia de los a) 344 b) 148 d) 156 e) 160 14. Diferenciadle “A” y “B”. Hallar el mayor de los extremos.Si ”A” es la 4ta diferencial de 18. a) 4 d) 12 b) 8 c) 2 y 8 13. 3.G. Hallar la suma de los antecedentes de dicha proporción. Si: 4 64 a ba bc cd c) 140 d 2 . C. x (x + 6) y (x + 5) .C. a) 16 b) 8 a) 3 b) 18 d) 6 e) 8 c) 10 Las edades de A. Y el 3ro. ¿Cuál es la 4ta. C y D son proporcionales a 2. a) 64 b) 32 d) 80 e) 48 c) 56 21.G. “B” es la media diferencial de 16 y 12. se le quita una misma cantidad se obtiene 20. “B” es la media diferencial de 16 y 12. n y 15?. (x + 2) es (x + 8). Hallar media diferencial de 16 y 12.La suma. a) 10 b) 24 d) 27 e) 14 c) 20 e) 40 a) 10 c) 10 10. proporcional de 12.Si “A” es la 4ta diferencial de 18. c) 16 e) 4 9. cuál es la 4ta. 9 y 11. 15 es la media proporcional de m y 25 “2m” es la 3ra. 28 y 32 y 44. Hallar la 3ra.C. Hallar la suma de dichas edades.Hallar: E extremos es 6. Hallar la tercia proporcional. Hallar estos números. Tres números son entre sí como 2. 5 y 6. es 28. 4. b) 24 d) 27 e) 20. -Una vasija contiene 4 litros de vino... q = 4p . a) 6..1 es a razones para decidir si hay más hombres o 7.. 43 c) 0. Si: p a q b E c) 6 . 52 b) 0.Un equipo ha perdido 7 de 18 juegos y 3. se añade 0.Hallar “d”. 15. otro ha perdido 5 de 12 juegos.Un pan de 120 gramos cuesta 20 céntimos 5 : 12? b) ¿Qué equipo tiene mayor de sol.2.A.A. Determine el valor de: a) 2 b) 4 d) 8 e) N.4 litros de agua ¿En que relación está el vino con el agua? a) 20/1 b) 10/1 c) 5/2 d) 6/3 e) 1/2 ¿Qué razón es mayor 120 a 20 ó 160 a 25? b) Si no hay diferencia en calidad de pan ¿Cuál de los dos resulta más económico? 5 . 32 e) N.Halla el número que es a 5 como 12 es a 5. a) ¿Qué razón es mayor 7 : 18 ó 3.-Halla el número que es a 16 como 8. 2. uno de 160 gramos 25 céntimos de marca? sol. 42 d) 0. APLICACIÓN DE RAZONES Y PROPORCIONES PRACTICANDO EN CLASE 4.En un grupo de razón del número de hombres al de niños es 3:5 y la razón del de mujeres a niños es 5:8 compara estas 1. r = 5p r a (a 2 b 2 c 2 ) (a b c) 2 a) 0. mujeres en el grupo. Determina el menor de dichos números. si el peatón emplea 3 horas? a) 8h b) 24h c) 22. a) 8 b) 12 c) 14 D) 16 E) 18 c) 15.-Determina la cuarta proporcional de: 25. un automóvil se recorre la misma distancia ¿Cuánto se empleará en automóvil. 51 y 104.-Halla la razón equivalente a a) 63 3 12 44 6 22 b) c) 3 .-Dos números están en la relación de 4 a 11.5 b) 5 c) 20 d) 10 11. Si el producto de dichos números es 160.. a) 1 6 b) 2 7 d) 1 5 1 8 3 16 y 4 75 c) e) 3 5 a) 10.-Halla la tercera proporcional entre: 5 13...6 manera que la suma de los cuatro términos de la proporción formada sea igual a 70.Si con una velocidad de 5 Km.5 min d) 23 min e) 25 min 12.Dos números son entre si como 24 es 60.. de altura y otro rectángulo siguiente tiene 8m. a) 121 b) 221 c) 112 d) 122 c) e) c) 20. 6 . a) 27 b) 7 3 c) 21 d) 3 7 17. a) 1 y 4 7. y la razón de dichos números es 7 ¿cuales son los números? 3 a) 21 y 9 b) 35 y 15 26 y 14 d) 28 y 12 e) 42 y 18 x-y = 28 a) 30 40 d) 45 b) 35 c) 19.-Halla el valor de “X” en: 6 5 2 c) 5 18 66 REPARTO PROPORCIONAL REPARTO SIMPLE En este caso el reparto puede ser directo o inverso.Halla la tercera proporcional entre: 5 y 10 a) 7.-Determina la cuarta proporcional de: 5. por hora a pie y 40 Km/h..Halla la media proporcional entre 7 y 63.Halla la media proporcional entre 9.. Halla la razón geométrica entre dichos números.8 b) .62 c) 6. de base y 3m.-La suma de dos números es a su diferencia como 7 es a 3.de base. x y .-La semisuma de dos números es 36 y su semidiferencia es 24.Un rectángulo tiene 4m. 2 y 16. Determina la diferencia de los números. a) 88 b) 44 c) 32 d) 55 e) 23 16.7. a) 5.4 d) 5. si su suma es 120. 3 x 4 8 4 x 3 8 3 x 4 12 4 6 d) 3 x a) b) 14. si 45 9 e) 55 3 5 5 d) 2 b) 18. Establece la proporción entre ambas dimensiones.-La diferencia de los cuadrados de dos números es 640. de tal 11 d) 15 55 9 33 7 4 b) d) 25 3 28 3 21. si su diferencia es 12 ¿Cuál es el mayor de dichos números? A) 8 B) 12 c) 20 d) 24 e) 36 8. 5 y 10 y a su vez I. a) 300 b) 320 c) 450 d) 480 e) 540 11. 3. 311 y 312.... ¿Cuánto le corresponde al que colocó mayor capital? a) $1600 b) $2800 c) $1800 d) $3200 e) $3600 3. 2 y 6.Fue repartida cierta cantidad en 3 partes que sean D. Dar la suma de cifras de la parte menor. se obtuvo que la menor parte fue 75.P.Repartir 2050 en tres partes. 6.144 d) S/. Reparto Directo 7. a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 21 2.. como ya se conoce. Repartir 840 D.P... Dar la parte mayor. Dar la parte menor. Repartir 1560 directamente proporcional a 2...P.P. a 3.. a los números 1/3..P. a sus edades que son 25..P.P. B recorre la misma distancia con el doble de velocidad y C la misma distancia lo hace con el triple de velocidad que el primero.120 c) S/.. ¿Cuánto le corresponde al mayor? a) $4600 b) $4500 c) $3600 d) $3150 e) $2400 12. si la misma suma se hubiera repartido hace 2 años. 2/5 y 3/10 se obtuvo que la parte menor fue: a) 806 b) 548 c) 468 d) 852 e) 752 b) 1580 e) 1530 c) 1660 15..172 Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D. Reparto Inverso Se hace en forma I... 28. ¿cuánto le hubiera tocado al mayor? a) S/... entonces el reparto no se altera. 5 y 8.2. con 4 n – 1. 8 y 10. Al repartir N I. Dar la parte menor. el primero coloca 8000 dólares. 117 b) S/. 30 y 42 años. Dar la parte mayor... Propiedad Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número. a los números 4.152 e) S/.. a los índices. 4.P. Repartir 8150 inversamente proporcional a 4 1/2. Rpta: . el segundo 3/5 de lo que colocó el primero. Si al menor le corresponde $4200.. 0... 5..A.. a D. Rpta: . Al repartir 1612 D. a sus edades que son 18. 10. 21 y 24 años.Se convierte la relación I..Cuatro socios forman una empresa para lo cual reúnen 3000 dólares. (invirtiendo los índices) 2..25 y 0. 9. 5 1/3 y 6 2/5... Se repartió 348 soles entre 4 mendigos en forma D. 5 y 12. 3n -1 y 3n + 1 e I.1 se obtuvo que la cantidad mayor fue 4200.. de tal manera que la primera sea ala segunda como dos es a cinco y la segunda sea ala tercera como tres es a cuatro.5...P.P. PRÁCTICANDO EN CLASE 1.. REPARTO COMPUESTO En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D...P. Si al finalizar el primer año obtuvieron una ganancia de 7000 dólares.P.. Hallar la suma de cifras de N. 6.P.. 8.P. a los números 0. Rpta: . Un padre deja a sus hijos una herencia a repartirse en forma I. 2. a) 1480 d) 1630 Rpta: .P. Dar la parte intermedia. Se multiplican los índice de las dos relaciones D..P.. 0. Hallar la cantidad a repartir. 4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que la primera parte excede a la última en 2/6. Repartir 544 directamente proporcional a los números 4.. a los índices de proporcionalidad... Al repartir N en partes que sean proporcionales a los cuadrados de 0. Repartir 962 inversamente proporcional a 3.3. 14. a ciertos números y a la vez en forma I....5 y 1. a) 1000 b) 1200 c) 1300 d) 1400 e) 1500 13. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices. a 3n.... a) 3250 b) 2840 c) 2400 d) 5150 e) 2325 B..Repartir 1320 en forma D... a 39. el tercero colocó la suma del primero y el segundo y el cuarto lo restante.. Una persona A recorre 360 km a una cierta velocidad. Se procede de la siguiente manera: 1. Si 7 . a otros. Rpta: .. 4... para ello se invierten los índices y luego se efectúan en reparto directo.. Dar la parte menor. Hallar «N».. a las raíces cuadradas de 96. 34 .A. ¿A cuánto ascendió el premio?. 28. 143 más. c) 60 km/h a) 240 d) 280 16.Repartir S/.A. Para concluir mas rápido el trabajo contratan a un peón C. Repartir 4900 en partes D. razón por la cual uno de ellos devuelve s/. Si el 2do.P.5 c) 65. Juan Pedro tienen 3 hijos: Antonio. a) 576 b) 567 c) 500 d) 800 e) N.600 b) S/.P. a 5. Bernardo y César y semanalmente reciben propinas D. ¿cuánto pagará cada uno de los agricultores? a) S/. 300. a) 280 b) 400 d) 270 e) 320 n y n 12 . 5 e) 40 c) 50 7. ¿Cuál fue la cantidad de dinero repartida?.5 . 180.500 c) S/. 1200 y al tercero S/. a) 360 d) 600 c) 210 b) 450 e) 720 c) 540 3. a) 21021 d) 21 b) 2102 b) 180 e) 200 c) 240 2.5 b) 47 e) N. c) 190 2 5 b) 360 d) 480 e) 630 5. ¿Cuánto más recibe “C”?. 3 y 4 sin embargo el reparto se hizo D. Hallar la cantidad repartida (en soles). Dos agricultores A y B tienen terrenos de 4 y 3 hectáreas respectivamente. a los cuadrados de estos números. a) 2500 b) 1800 c) 2400 d) 2200 e) 2000 8. Indicar la diferencia entre la parte mayor y la menor. 230.P. Al primero le correspondió S/. ¿Cuál es la velocidad de B?. siendo estos 36. por lo que la segunda parte disminuye en 16 unidades.A.900 y S/.P. que laborarán en conjunto.P a los números a) 120 d) 210 b) 150 e) N. Luego deciden repartirse la cantidad en partes iguales. a) 396 d) 696 b) 432 e) 1264 c) 484 4. 32 y 30 respectivamente.P. B y C se reparten un dinero en partes I. hubiera resuelto un problema más . a) 45 km/h d) 40 km/h b) 72 km/h e) 7 km/h 1. b) 66.1100 y S/. c) 420 a) 48 d) 52 19.400 e) S/. ¿Cuánto recibe “P”?. e) N. “P” y “C” de modo que la parte de “J” sea ala de “P” como 4 es a 3 y la parte de “P” ala de “C” como 6 es a 5. d) 40. ¿Cuánto le correspondió al segundo?.entre los 3 tardan 22 horas. c) 300 a) 67. a los cuadrados de todos los números naturales menores que 2. a 4.A. a 8 . N se va repartir D. a) 300 .P. 16 PRACTICANDO EN CASA 9.. 950 entre “J”. 8 y 12 respectivamente.1200 y S/. Indicar la mayor de las partes. a) 8 b) 0 c) 10 d) 11 e) 12 18 Repartir 1380 en 3 partes. 6. siendo la menor e las partes S/. 72 . Indicar la parte mayor. Si el peón cobró por su trabajo 1400 soles y todos trabajaron igualmente. 150 y 384. Se reparte una cantidad de dinero entre 3 personas en forma D. a 2. 7 y 9. el equipo ganador de 3 integrantes recibió un premio en efectivo el cual se repartió entre sus tres miembros proporcionalmente al número de problemas resueltos durante el concurso. habría recibido s/.P. a todos los números naturales menores que 50. Una cantidad se reparte I. siendo la parte que le corresponde a 3/n la quinta parte del total Hallar “n”. ¿Cuál es la cantidad menor?. Se reparte cierta cantidad de dinero en partes que son D. Fue organizado un concurso de aritmética por equipos.P. tal que a la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que esta sea a la tercera como 5 es a 7. a 3 números consecutivos. 3 personas A.P. Si al segundo le corresponde S/.P. 3 personas se repartieron una suma de dinero en forma I.300 20. Repartir 1225 en partes D.1000 y S/. a los números n 12 . 17. Repartir en tres partes D.200 d) S/.800 y S/. Repartir 400 directamente proporcional a los números. 6 y 5 respectivamente.A. a 2. Hallar «S». 4 y 5 y el segundo lo hace I. Un padre desea repartir su fortuna entre 3 hijos suyos A. 42 Magnitud Longitud Volumen Número de días Número de obreros Cantidad de obra Cantidad 75 cm 30 litros 25 días 43 obreros 700 m3 RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES 15. 13 y 17 e I.P. a) 108000 b) 110000 c) 112000 d) 114000 e) 116000 10. 11. 2 analizamos las magnitudes.A. a) 750 b) 200 c) 400 d) 500 e) N. CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo. 18 y 22 años. 40 b) 36. a) 36.P.Se propone a 2 alumnos repartir proporcionalmente un número. el primero lo hace D. Dividir N en tres partes. Averiguar cual es el monto de la herencia si en el nuevo reparto uno de ellos habría recibido 1200 más que la primera vez. sabiendo que el menor recibía los 6/7 del mayor y el segundo recibió $3000? a) $10500 b) $12000 c) $11700 d) $16500 e) N. a 5. 39 y 85 respectivamente. 5. 14. 2/3 y 3/10. Hallar el número.30 c) S/.Se reparte la cantidad «S» en 3 partes A. ¿Cuánto le tocó a esta última persona? a) 2070 b) 2060 c) 2090 d) 2870 e) 2640 MAGNITUDES Y PROPORCIONES MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido. Si Antonio recibe 30 soles menos que César. Uno de ellos tenía 38 años el día en que su tío falleció y le correspondió $7020 pero renunció a ellos y el reparto se hizo entre los otros 2. de tal manera que la primera se a la segunda como 3 es a 7 y la segunda es a la tercera como 4 es a 5. a) 1500 b) 1200 c) 1000 d) 1600 e) 1800 19. a los mismos números. 45 y menor. B y C que son D.A. .A. 17. Si la diferencia entre las cantidades que le corresponden a la primera parte es 360. B y C se hace el reparto en partes proporcionales a 3 números consecutivos crecientes.P. Calcular las edades. Dar como respuesta la parte mayor.Las edades de 4 hermanos son números consecutivos.80 d) S/. x4 9 2 x3 x 5/6 . ¿Cuánto recibe Bernardo? a) S/. 12. 60. B y C de manera que las partes sean entre sí como 7. 75 y . 72 e) 36. 45.su edades que son 16. 45 c) 36. también proporcional a sus edades por lo que a uno de ellos de correspondió $2700 adicionales. a) 100 b) 140 c) 160 d) 180 e) N. Luego del reparto se tienen que 1/5 de lo que le tocó a B más lo que le toca a «A» hacen lo que le tocó a «C». a) 29300 b) 36000 c) 31200 d) 31800 e) 32400 16. ¿Cuánto le toca al que recibe mayor cantidad? a) 192000 b) 180000 c) 240000 d) 125000 e) 2 400 13. el cual dejó indicado que se hiciera el reparto proporcional a las edades.Se requiere repartir una herencia de 360000 dólares entre dos hermanos de manera que uno de ellos reciba 1/7 mas que el otro. a 15. 18.P. 40. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (D. ¿a cuánto ascendía la herencia?. 5 y 4. Dar la parte menor. Hallar N. 39. Si reciben una herencia de un tio lejano.Al repartir $5700 entre 3 personas A. 60 b) S/.Repartir 280 directamente proporcional a 1/5. . 60 d) 36. 48 a) 100 b) 120 c) 150 d) 80 e) N.90 e) S/. vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de gaseosa a S/.Repartir 3250 inversamente proporcional a los #s dar como respuesta la parte 45 . Si la parte menor es 288.P) Por ejemplo un. a) 1020 b) 1045 c) 1250 d) 1450 e) 1700 20.120 Posteriormente cambia de opinión y ordena hacer el reparto proporcionalmente a los números 6.Una persona dispuso en su testamento que se entregará a 3 sobrinos suyos la cantidad de $19695 dólares para que se repartan proporcionalmente a las edades que cada uno de ellos tuviera el día en que falleciera. Además la parte que le toca a «A» más 1800 es a la parte que le toca a B más la de C como 6 es a 1. número de botellas vendidas y el precio. 25. B2. 15 27 B .15 = 12 .P.P.. su gráfica será una o parte de una rama de una hipérbole equilátera. 10 8 12 16 24 # de obreros Luego 2 magnitudes son I. 10 8 Sabemos que cuando A I P B: (Valor de A) (Valor de B) = etc.x = m x en donde f(x) es una función de proporcionalidad inversa y = f(x) entonces : f ( x ) x 3/4 16 15 x lo que es una ecuación de una hipérboles equilátera por lo que: Por ejemplo. si al aumentar la presión en 12 atmósferas. cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P. si: X 1728 b. ¿a qué presión está sometido un gas..P) # de Obreros # de días x3 2 24 10 x2 8 30 m ó f(x). Su gráfica será una línea recta o punto de pertenencia o una misma línea recta que pasa por el origen de coordenadas. como función de proporcionalidad.P. (precio). 10 . (# de obreros) I. sean las magnitudes A y B I. Cuando estuvieron presentes 36 alumnos.P. calcule x. 3/4 Podemos Observar que: 24 .P con el volumen. x = m 4 2 1 2 4 5 # de botellas 6 y MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I. 10 = 8. En un determinado momento la temperatura fue de 24ºC. si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 días. Veamos gráficamente. 20 Cuándo dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es constante les llamaremos magnitudes I. el volumen varía en 1/7? 12 Analicemos las magnitudes I. luego reemplazamos y .Si la magnitud A2 es I.La presión es I. 5 10 Se observa que: 1 2 4 8 3 a. Se cumple (valor de A) (valor de B) = etc.30 = 16 . si el producto de sus valores correspondientes es constante. D . sean las magnitudes A y B.5 A B Observamos que la relación entre los valores correspondientes entre las 2 magnitudes es constante. en B asume el valor de 20 # de días 30 20 15 Aplicación 2: La temperatura en grados centígrados en una aula es D. Entonces. a la raíz cuadrada del número de alumnos presentes.P.P. analicemos los valores correspondientes que pueden tomar las magnitudes número de obreros y números de días.# de botellas precio 1 2 4 8 2 4 6 12 Entonces.P 2 4 6 12 5 10 0. calcule el valor que asume la magnitud A cuando B es 16. Cuál será la temperatura cuando ingresen 28 alumnos más. P si la relación entre sus valores correspondientes es constante. P se cumple.P (# de días) Veamos gráficamente Valor de A Valor de B = k (cte) Aplicación 1: Si la magnitud A es D. sabiendo que cuando A asume el valor de 25. 3 m 12 20 Luego 2 magnitudes son D. Llamaremos: “y” al valor de A “x” al valor de B “m” a la etc. P. IP a C e I. Si A = 6 cuando B = 20. Si A es D.Se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes A y B: A 36 144 324 n 4 B 6 3 2 9 18 Hallar “n” a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 2.La magnitud A es DP a B2. Si un metro de hierro forjado de un centímetro de diámetro pesa 0. ¿Cuál será el valor de A cuando B = 60? a) 2 b) 4 c) 8 d) 3 e) 6 4. además cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. ¿Cual de las siguientes relaciones no indica una relación de proporcionalidad entre x e y? a) 5x = 7y b) 9x = 2/4 c) x + y = 12 d) x + y = 2y e) (x+1)2 = y + 2 12. a B e I. Hallar B cuando A=9 y C=4. Si A es D.P.Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B (B 30). a) 2 b) 4 c) 6 d) 6 e) 16 m Lo que nos representa la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas por lo que: y = f(x). a) 60kg b) 75kg c) 90kg d) 105kg e) 120kg 15.6 kg. a) 10 b) 8 c) 16 d) 12 e) 4 13. Hallar A cuando B=48.P. a C. Calcule f(3) + f(2) 10. se cumple. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 1. C=6. entonces B es igual a 24. Hallar A ciando B sea 15 y C igual 10.P.¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55. si uno de 6 kilates cuesta 19800 11 . en donde f(x) es una función de proporcionalidad 9. Hallar A cuando B sea igual a 12. El peso de un eje varía proporcionalmente a su longitud y a su sección transversal. Se tiene tres magnitudes A. en donde f(4) = 12. B y C tales que A es D. a B.P. a D. a B2. A es DP a D y la suma de B y C e IP a B.P. Si: A es D.P. a) 9 b) 27 c) 4 d) 32 e) 64 Llamemos: “y” al valor de A “x” al valor de B “m” a la etc Entonces: y x 8. a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16 14. además cuando A = 12 entonces B es igual a 16. Valor de A Valor de B = k (cte) 7. Si A es I. a B. Se tiene dos magnitudes tales que: 3 A es I.B. Se tiene tres magnitudes A. a B. A=3D cuando B=3 y C=2.P. entonces : F(x) = mx . A es IP a C2. a) 6 b) 9 c) 18 d) 27 e) 36 5. Calcular el peso de un eje de 5m de largo y 5 cm de diámetro. ¿Qué sucede con el valor de A? a) Queda multiplicado por 12 b) Disminuye en 1/11 de su valor c) Aumenta en 1/11 de su valor d) Se triplica e) Se cuadriplica Aplicación 4 Si f(x) es una función de proporcionalidad. siendo: BDP C.000 dólares. e IP a C1/3. a B además cuando A es igual a 10. Calcular A cuando B es igual a 9 y D=5. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus 26/27. Calcular B si A=9 y C=4. calcule x F(3)x F(4) (F(5))2 F(17) x 1 F(9) PRÁCTICANDO EN CLASE 11.C.P como función de proporcionalidad: 6. e I. A DP B (B 30). C=2 y D=3. B y C tales que A es DP a B1/2. B=16.P. a C2 cuando A=8 y B=16 entonces C=6.P. entonces B es igual a 6 y C es igual a 8.P. a B. además cuando AD=2 entonces B=2C. Si cuando A = 8 entonces B = 6. Cuando A=8. además cuando A es igual a 2.Analicemos las magnitudes D. halar A cuando B sea 4. Hallar B cuando A sea igual a 15. Hallar A cuando B sea igual a 3. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5 Sabemos que cuando A es D. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 6 3. Si A es D. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Aplicación 3 Si f(x) es una función de proporcionalidad directa. P.El precio de un pasaje varia inversamente con el número de pasajeros con el número de pasajeros.A varía como la suma de 2 cantidades de las cuales una varía como B y la otra inversamente a B 2 .P. ¿Cuál será la eficiencia a los 36 años? a) 18 b) 25 c) 28 d) 20 e) 22 21.P. B = 6. Si “A” y “B” son magnitudes I.Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una de ellas disminuye en 1/4 d su valor. Señalar cuál es verdadera a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y IIIe) N. Si B = 8 y F = 5.8 e) 2 23. ¿Qué valor toma “A” cuando “B” = 72? a) 18 b) 16 c) 10 d) 12 e) 15 12 . el volumen varía en 40% a) 4atm d) 2 b) 5 e) 3 Disminuye en 23/8% Disminuye en 69. con “B” y que “B” es I. a los años de servicio e I. Hallar A si B = 2 a) 64 b) 216 c) 512 d) 1000 e) 343 26. 18.P.259) a) 6g b) 6. F = 2. El área de un cuadrado es D. a B si cuando A = 8. ¿Qué pasa con “B” cuando “A”. Hallar “X” cuando Y = 16 y Z = 7 a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120 27. con “B” y “C” y “C” varia en forma D. a “C”. “B” es D.25g c) 2.P B C 12 24 x 2k 15 k B Hallar: x/y a) 0. ¿En cuánto aumenta o disminuye la otra? a) Aumenta 1/4 b) Disminuye 1/4 c) Aumenta 1/8 d) Disminuye 1/8 e) Disminuye 1/3 A.De las siguientes afirmaciones: I.I.Las magnitudes A 2 y B son I. al cuadrado de la distancia entre ellos si la distancia entre dos cuerpos aumenta en 20% que pasa con la fuerza de atracción entre ellos? a) Aumenta en 25% C.5g b) c) d) e) 24. al producto de sus masas e I. con F 3 . y cuando A=20.Se sabe que una magnitud A varía en forma B . a la raíz cuadrada de la edad del trabajador .P. Hallar el valor de A. si al aumentar este en 2atm.P. Cuando X = 10 entonces Y= 4 y Z = 14. Si A = 19 cuando B es 2 ó 3. ¿a qué presión está sometida un gas. Hallar A cuando B = 6 a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 a) b) c) d) e) 17.5 b) 0. entonces el cociente entre sus valores correspondientes es constante III.7 29. al volumen que contiene determinada cantidad de gas. De las siguientes gráficas A 22. Se sabe que la eficiencia de Juan es de 2 puntos cuando tiene un año de servicio y 25 años de edad.4% Disminuye en 30.y el precio es proporcional al cuadrado de su peso.P. aumenta en 25 unidades? 16. a “B”.P. cuando A = 160 entonces B = 5. ¿Cuánto será A? a) 4000 b) 3800 c) 3500 d) 3200 e) 2400 20. a “C” entonces “A” es D.Si “A” varia en forma D. A es a B como 10 es 9.P.P. Si “A” es D.5g d) 25g e) 62. ¿Cuántos pasajeros serán cuando el pasaje cueste S/. si para 14 pasajeros el pasaje es de S/.Si “X” varia a razón directa a “Y” e inversa al cuadrado de “Z”.55% Disminuye en 29% c) 6 Aumenta en 10% Aumenta en 20% Disminuye en 15% Disminuye en 25% No varia 25. a) 150 b) 180 c) 120 d) 200 e) 90 19.P D 30 y D c) 0. 15.P.6 d) 0.P. si se proporcional a sabe que al disminuir en 30 unidades entonces el valor se B varía en 9/25 de su valor.Se sabe que “A “ es I.P. a su lado II.P. 6? a) 31 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36 28.P.Se tiene 2 magnitudes A y B tales que 3 A es I.Se sabe que la fuerza de atracción entre 2 cuerpos varia en forma D.A. Si cuando “A” aumenta 15 unidades “C” varia en 20%. con “C”.Según la ley de Boyle.P.D. La eficiencia se mide en puntos y es D. (1 kilate = 0. la presión es I. Se sabe que A es I. ¿Cuál es el peso de un artículo por el cual se pagó 6 monedas? a) 1 221 gr b) 1 396 c) 3 969 d) 11 025 e) 1 023 4x 0 2 3 18. Para las magnitudes A y B se tiene: A x+6 x y 3y B y +6 Indicar el valor de (x + y) a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6 8.P. Si un diamante se parte en 2 pedazos. y concatena con un piñón que da 107520 vueltas por hora ¿Cuál es el número de dientes del piñón? a) 3 b) 15 c) 7 d) 5 e) 30 d) 10 17. a D 2 y C I.B C a) 1/36 d) 1/9 PRACTICANDO EN CASA 1.P.El precio de un diamante es D. Sabiendo que A es I. ¿Cuál es la pérdida sufrida? a) $ 576 b) $ 1 200 c) $ 1 296 d) $ 1 728 e) $ 1 900 a 2 3 0 600 N° Obreros ¿Cuál es el valor de (a + b)? a) 201 b) 300 c) 301 d) 400 e) 602 3. ¿Cuántos años más deberá tener para que la gratificación que reciba sea el cuádruplo de lo que recibió? a) 10 b) 16 c) 18 d) 24 e) 30 2. sufre una pérdida de 24 000 dólares. si cuando A es 720. Hallar el valor de A cuando B = 4 y C = 6.P. Una piedra recorre 9. a) 10 m b) 5 m c) 15 m d) 20 m e) 18 m B c) 16 4.Un anciano repartió su herencia entre sus dos sirvientes proporcionalmente a sus años de 13 .P. si cuando: A = 27. C es 36 y D es 4. a C es I. Hallar “ n” si: Magnitud Valores A 36 n 19.P a C 3 y además B es D. Una rueda dentada de 48 dientes da 560 R.M.P. a E3.P. a) 1 b) 2 c) 4 d) 5/2 e) 64 e) 32 29 6. uno de los cuales pesa 3/5 del otro. D = 3 y A = 1 a) 38 29 b) 39 28 c) 69 d) 34 29 b) 1/2 e) 1/4 1/3 1 c) 1/3 7. La gratificación para los empleados es proporcional al cuadrado de su edad que tiene. Hallar el valor de A cuando B es 10. B = 12 y C = 2. a B D. Hallar “m” en: L1 A 10. a D 2 . C = 4 y D es igual a 3 a) 243 b) 81 c) 162 d) 63 e) 729 L2 2m m H1 8 a 0 a) 12 d) 17 b b) 14 e) 18 c 16. Del siguiente gráfico: N° Días b 200 9 El precio de una esmeralda varia proporcionalmente al cuadrado de su peso. a B D. a la inversa de B 2 . y 25.P. ¿Cuánto costaba el diamante antes de romperse? a) $ 50 000 b) $ 51 200 c) $ 36 000 d) $ 15 000 e) $ 20 800 e) 12 5. Si actualmente tiene 18 años. Si una esmeralda se compró en 3 600 dólares y se rompe en dos pedazos que pesan 11. Determinar la profundidad de un pozo si se sabe que al soltar la piedra esta llega al fondo en 2 segundos. Determinar el valor de A cuando E = 4.Se sabe que un cae libremente recorre una distancia proporcional al cuadrado del tiempo. si cuando E = 2.1 gr. a B 3 y B I.P. Si a + b + c + m = 129. B es 2. Si un artículo costó 2 monedas cuando su peso es 49 gramos. En un cierto país se cumple que el cuadrado del precio de un producto es proporcional a la raíz cuadrada de su peso. D = 9.P.Si una magnitud A es I. a C 2 . e I.8 m en un segundo 4 décimas. al cuadrado de su peso. Sabiendo que A es proporcional a B y que C es proporcional A .P.9gr respectivamente.P. a) $ 14 000 b) $ 12 000 c) $ 14 600 d) $ 15 400 e) $ 16 400 24. si A = 6. 21. "A" es I. a "B". Es un empleado un Es DP a año de servicio e IP al de su coeficiente intelectual.05 5. ¿Qué pasará con su potencial si su corriente se duplica y su resistencia se hace 4 veces menor? a) disminuye 50% b) aumenta 50% c) sigue igual d) aumenta 50% e) disminuye 20% 20. Hallar (m + n). El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B cuando A = 3 y B = 4. si A = 20. hallar "Y" cuando X = 2 14 . A 1 8 0. "Y" = 2.Se tiene que "A" es D.P.Sabiendo que "A" es I. El cuadrado de "X" varía proporcional-mente al cubo de "Y".P. Determinar el monto de la herencia si el mayor recibió $ 1 600 más que el menor.5 b) 2 c) 2.5 d) 3 e) 3. Cuando B=4. B c) A B2 d) A2 I.servicio que son 18 y 20 años e inversamente proporcional a sus edades 26 y 26 años respectivamente. con B2 e I. B = 8 y C = 16. a) 48 d) 52 A 36 m a) 30 d) 22 c) 50 3. hallar "B".Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente al cuadrado de "C".P.P. Si "A" es D.P. C=2 y D=2 entonces A=12. a B3. cuando A = 4. Hallar el valor de B c) 120 cuando A 23.125 B 36 9 144 a) A B b) A I. Si es que trabaja hace ocho años y tiene un coeficiente Intelectual de si 100 gana $2000. Si una plancha consume una potencia que es directamente proporcional con su resistencia y con el cuadrado de su corriente que circula. Si la magnitud A es inversamente proporcional a la inversa de B donde algunos valores correspondientes se muestran en la siguiente tabla: A 100 B m Calcular : (m + n) a) 5 b) 101 d) 57 e) 201 5 0. a) 200 b) 180 c) 160 d) 140 e) 156 2.P. ¿Qué valor tomará D cuando A=48 . entonces. a) 6 d) 4 n 4 b) 12 e) 10 c) 2 6. entonces B = 4. B = 4 y C = 14.5 a) 1 d) 2 1 3 3 3 b) 1 2 c) 3/4 3 e) 22 7.Para las magnitudes P y Q se tiene el gráfico siguiente: P L2 P1 L1 P2 2 1 10 0 1 5 Q 20.Hallar "A" cuando B = 16 y C=36. B3 e) A3 B2 25. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7. entonces B= 30. A es directamente proporcional a B y C e inversamente proporcional a D2. Si "X" = 4. cuando A = 10.P. Si “A” es directamente proporcional a “B”. hallar "A" cuando B = 50 a) 10 b) 12 c) 8 d) 16 e) 20 B c) 36 22. ¿Cuál es el coeficiente intelectual mediante ese que trabaja hace 20 años y gana $5000? a)100 b)80 c)120 d)110 e)90 PRACTICANDO EN CASA 1. a C . B= 25 y C=2? a) 1. Hallar "A" cuando B = 2. a "B". cuando B = 4. si A = 10. Si se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes A y B. Cuando A = 8 a) 1 b) 2 c) 8 d) 4 e) 16 24 0 b) 46 e)4 8 b) 28 e) 14 n 24 4. Una guarnición de 1600 hombres tiene viveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. en terminar la obra? 10. cuando A = 10. Hallar "A" cuando B = 2.Se tiene que "A" es D. con B2 e I. B = 8 y C = 16. Si "A" es D. 15 obreros han hecho 1/4 de una obra. ¿Cuántos días empleará otro grupo de 60 obreros. trabajando en la construcción de un puente hacen 3/5 de la obra en 8 días. cuando A = 1. hallar "B". si A = 6. Si "A" es directamente proporcional con B2 e inversamente proporcional a C . Si 4 gallinas ponen 8 huevos en 8 horas.P. En 16 horas. ¿en cuántos minutos? 9. a) 10 d) 4/3 b) 9 e) 5 c) 5 5. Un grupo de 8 carpinteros demoran 6 días en hacer 24 mesas.P. a C1/2.Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente al cuadrado de "C".Si "A" es D. con "B" e I. Cuando A = 8 a) 1 d) 4 b) 2 e) 16 a) 14 d) 18 c) 8 b) 24 e) 27 b) 12 e) 24 c) 21 c) 10 8.P. entonces. B = 2 y C = 64.Sabiendo que "A" es I. a B3. B = 4 y C = 14.a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 1. Si A = 3 y B = 2 a) 8/9 d) 9/8 c) 6 2. a C2. a "B". a) 200 b) 180 c) 160 d) 140 e) 156 6. Si 3 conejos comen 3 zanahorias en 3 min. entonces 6 gallinas ¿cuántos huevos pondrán en 12 horas? c) 10 a) 18 d) 9 b) 24 e) 15 c) 12 13. entonces B =2 y C = 2. hallar "A" cuando B =1y C = 4 a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1 e) 8 a) 8 d) 7 b) 96 e) 8/3 a) 2 d) 5 c) 48 b) 7/4 e) N. 10 hombres. Si retiran 8 hombres. ¿Cuánto demorarán 8 jardineros en podar otro jardín de 400m²? 3 3 A= b) 3 e) 6 3. Hallar A cuando B = 3. 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio ¿Cuántas horas demoraran 12 pintores.. hallar "A" cuando B = 12 y C = 36. Hallar “B” cuando a) 1/4 d) 4/3 b) 1/2 e) 5/3 c) 3/4 b) 8 e) 6 b) 36 e) 15 a) 3 horas b) 6 d) 4 e) 2 1 2 12.A. cuando B = 4. Si se refuerzan con 400 hombres. a) 7 d) 9 c) 4 c) 18 4. Dos hombres han cobrado 350 colones por un trabajo realizado por los dos. Si “A” = 3 . “B” = 4. Sabiendo que "A" es I.P. entonces B = 4.P. si A = 10. Cuando A = 4. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7. Hallar "A" cuando B = 3 y C = 1/2. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y 15 . entonces un conejo comerá 2 zanahorias. c) 3/8 a) 24 d) 20 11. En 24 días.El cuadrado de “A” varía proporcional-ente al cubo de “b”. ¿cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias? a) 48 d) 52 b) 46 e)4 a) 18 d) 20 c) 50 15. Un grupo de 9 jardineros demoran 4 horas en podar los 600 m² de un jardín. en terminar de pintar el edificio? 14. 12 carpinteros ¿cuánto demoran en hacer 42 mesas? 8. ¿cuánto tiempo emplearán los restantes para terminar la obra? REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTO a) 15 2/3 d) 24 1/3 b)18 2/3 e) 25 3/5 c)26 2/3 9. cuando A = 4.P. 7. a B3.P. Los 2/5 de una obra pueden hacerlo "m" obreros en "2m" días. luego 5 frascos de alcohol de 50cm³ ¿en cuánto tiempo se evaporarán? a) 20 seg.días Rendimiento .Una guarnición de 350 hombres tiene víveres para 100 días a razón de 4 raciones diarias. cada 10 años.obreros 24. ¿Cuántos jardineros más será 16 . ¿Cuántos días.recibió 150 colones. trabajó el segundo? a) 40 días b) 50 d) 42 e) 39 necesario contratar para que poden 3600m² y empleen 8 horas? a) 72 b) 60 c) 52 d) 68 e) 70 c) 36 19. ¿Cuántos días necesitan 100 obreros en cavar una zanja de 1200 m³ cuya dureza es tres veces la del terreno anterior? a) 80 b) 135 c) 105 d) 120 e) 200 12.Si 10 obreros hacen 1 obra en 20 días.Si 18 obreros hacen 3/4 de una obra en 12 días. Si se refuerzan con 150 hombres.Un niño crece 10 cm. ¿Cuántos días empleará otra cuadrilla de 30 obreros doblemente hábiles en terminar la obra? a) 12 b) 18 c) 6 d) 15 e) 13 13. ¿Cuánto debe ser las raciones diarias para que los víveres duren 40 días? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 10.Indicar que pareja de magnitudes son "D. luego 2 niños crecerán 20 cm.obra Rendimiento . ¿cuántos obreros más se necesitaran para que hagan la mitad de la obra en 6 días? a) 24 d) 10 b) 6 e) 15 25. si se contrata "2m" obreros mas ¿en cuántos días acabarán la obra? a) 9/4m b)4/9 c)2/7 d) 1/4 e)2/7 16.12 jardineros demoran 16 horas en podar 1200m² de jardín. ¿qué parte de la obra harán 15 obreros en 4 días? a) 10/3 d) 5/8 b) 1/5 e)3/5 23.Si 2000 hombres hacen un edificio en 3 meses.Un trabajo puede ser hecho por 8 hombres en 16 días trabajando 5 horas diarias cuando habían hecho la mitad de la obra se retiraron la mitad de los hombres. ¿Cuántos obreros hay que incrementar para que la obra se termine en 8 días? a) 15 b) 12 c) 10 d) 8 e) 14 18. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? a) 9 días b) 4 c) 8 d) 12 e)6 11.Si 12 maquinas pueden producir 3500 lapiceros en 21 horas ¿Cuántos lapiceros podrán producir en 18 horas 24 máquinas? a) 3000 b) 6000 c) 4500 d) 12000 e) 4800 c) 3 21. Si 3 monitos comen 3 plátanos en 3 minutos luego ¿8 monitos se comerán 8 plátanos en cuánto tiempo? a) 8 d) 18 b) 6 e) 20 20.60 obreros pueden cavar una zanja de 800m³ en 50 días." a) b) c) d) e) Obreros . a razón de 6 horas diarias.días Difícil obra . ¿Cuántos días adicionales habrá que darles para que acaben el trabajo? a) 20 b) 24 c) 18 d) 12 e) 8 c) 3/10 15.P. ¿en cuántos años? a) 20 años b) 10 c) 15 d) 12 e) no se sabe 14.100 obreros hacen 1/7 de una obra en 15 días.En 24 días 15 obreros han hecho ¼ de la obra que les fue encomendado. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días.3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días.obreros obra . b) 10 d) 25 e) 49 c) 50 22. ¿Qué parte del edificio harán 500 hombres en 15 días? (1 mes = 30 días) c) 8 a) 1/4 d) 1/5 b) 3/2 e)2/7 c) 2/3 PRACTICANDO EN CASA 17. ¿En cuántos días 20 obreros harán 4/7 de la obra? a) 30 b) 38 c) 300 d) 70 e) 100 1.10 frascos de alcohol de 50 cm³ se evaporan en 50 seg. Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4 cm de arista.Un buey atado a una cuerda de 7. trabajando 10 horas cada día.5m y 2. Si la soga fuera de 6 m.A b) 1/ 3 e) 4/ 5 13. ¿Cuántas revoluciones da la mayor? a) 137. 18 obreros tardan 21 días.8 obreros pueden haber una obra en 20 días.2. después de 54 horas de trabajo. ¿Cuántos días tardará en comer todo el pasto a su alcance? a) 10 d) 12 b) 9 e) 15 c) 8 15. ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición? a) 40 días b) 44 días c) 80 días d) 50 días e) 55 dias a) 1/ 2 d) 2/ 3 a) 10 d) 40 5. al terminar el día 23 se retiran 250 hombres. pueden hacer una zanja de 200m de largo. 6. Dos ruedas cuyos diámetros son 1.4 m están movidas por una correa.A 12. ¿Cuántos obreros se necesitarán aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo 2/7 del anterior trabajando la mitad de horas diarias? b) 20 e) N. y los tiempos que emplean están en la razón 15/21. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros.5 rev b) 140 rev d) 175 rev e) N. tiene provisiones para 62 días. ¿En cuántos días.Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias durante 20 días hacen 60 sillas. Una obra lo pueden hacer 28 hombres en cierto tiempo . Si entre los tres pueden terminar una tarea de Aritmética en 16 días. de 8 horas. ¿Cuántos días necesitarán 40 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas? a) 10 b) 20 c) 18 d) 15 e) 23 9.Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. 12 obreros pueden hacer un trabajo en 29 días.Si 180 hombres en 6 días. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? a) 15 días b) 30 días c) 80 días d) 5 días e) 20 dias da 220 revoluciones. ¿Cuántos corderos deben vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración? a) 100 b) 200 c) 300 d) 180 e) 120 c) 1/ 8 b) 20 e) 80 c) 30 14. e hicieron las 3/4 partes de la obra. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea? 4. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance. después se retiraron 7 de ellos. harían 100 hombres una zanja de 400 metros de largo. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h? b) 50 e) N. 3m de ancho y 2m de profundidad. ¿Cuál es la velocidad de B? a) 100 d) 61 b) 54 e) 24 c) 58 18. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Cuánto días se necesitarán para pavimentar 120m de la misma pista con 4 obreros menos? 7. La velocidad de A es de 56 Km/h. Un propietario tiene 649 corderos que puede alimentar durante 65 días.Para pavimentar 180 metros de pista. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista habrá construido? 3. En al construcción de un puente trabajaron 15 albañiles durante 12 días. ¿Con cuántos días de atraso se entregará la obra? a) 10 b) 14 c) 9 d) 12 e) 20 a) 10 d) 60 c) 180 rev 17. Un caballo atado con una soga de 3 m de largo demoran 5 días en comer el pasto que está a su alcance. En cuántos días concluyeron las restantes la obra? a) 18 d) 60 8.5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días.Una guarnición de 2200 hombres. A y B recorren cierta distancia.Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días. si la longitud de la cuerda fuera de 15m?. ¿Cuántos días tardarían 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 10 a) 10 km/h b) 20 km/h c) 30 km/h d) 40 km/h e) 80 km/h 11. 4m de ancho y 3 metros de profundidad? c) 56 10. Cuando la menor 17 .A c) 40 16. a. a) 6h d) 8 h c) 162 kg c) 1.Si con 120 Kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 días. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días? 21.Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros tardan 18 días para terminar una obra. 53 26. 63 c) 12h 29. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias para digitar 90 páginas? a) 6 horas d) 2 horas b) 11h e) 14h c) 14 22. en 14 días de 8 horas.Si 8 secretarias tardan 3 horas para digitar 72 páginas. 50 18 b) 24 e) 64 c) 16 . 44 e) S/. b) 5 horas e) N. han realizado un trabajo de 120m de largo.50. 112.a.225? a) 10 d) 16 b) 220 e) 195 c) S/.Un albañil ha construido un muro en 16 días.5 metros del mismo polystel? c) 1520 a) 200 d) 230 20.Si 25 pollos cuestan S/.Por trabajar 8 horas diarias durante 20 días un peón ha ganado S/.6 horas a) 120 d) 15 25. 120.Por 8 días de trabajo. ¿Cuántas horas diarias habrá trabajado en la misma obra si por 30 días le han pagado S/. ¿Cuántos tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h? a) 10h d) 13h b) 160 kg e) N. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día? 23.Si tres metros de polystel cuesta S/. ¿para cuántos días más alcanzaron los víveres? 24.Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuántos días de 7 horas emplearán 24 obreros para hacer 90m del mismo trabajo? a) 11 d) 30 b) 10 e) 18 b) 12 e) 20 a) 11 obreros b) 14 obreros c) 15 obreros d) 13 obreros e) 12 obreros c) 80 28. ¿Cuánto costarán 14 pollos? b) S/. 15 obreros con los mismos jornales? a) 1600 d) 1810 b) 1800 e) 1740 d) S/.Un grupo de estudiantes tienen víveres para un viaje de 48 días. ¿Cuántos kg de pasto se necesitarán para alimentar a 9 caballos en tres días? a) 16 kg d) 140 kg c) 185 27.Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra. ¿En cuántos días terminarán la misma obra? a) 30 b) 25 c) 33 d) 28 e) 27 a) S/. 62 b) 12 h e) 16 h c) 10 h 30. ¿Cuánto se pagará por 5.120.20 obreros. ¿Cuánto ganarán por 16 días. trabajando 6 horas diarias. 12 obreros han cobrado S/. Si se retiran el 25% de los estudiantes. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer el muro.19.640. 19 .