BOLETÍN DE ARITMÉTICAI.E.P. “SANTA MARÍA” BOLETÍN DE ARITMÉTICA Razones y proporciones/Promedios/Magnitudes y reparto proporcional/Promedios/Regla de tres simple y compuesta/Números racionales/Magnitudes. I.E.P. “SANTA MARÍA” 1 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” 1 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” RAZONES RAZONESYYPROPORCIONES PROPORCIONES LA HUMANIDAD Y LA NATURALEZA EN NÚMEROS Un grano de veneno de cobra puede matar a 150 personas. Una sola pila puede contaminar 175 000 litros de agua. 3 bebes por segundo nacen aproximadamente en el mundo. 5 años tardo Bocaccio en escribir el Decameron. 8 ojos tienen las arañas. 9 días puede vivir una cucaracha sin su cabeza. El 10% del ingreso del gobierno ruso provienen de la venta de Vodka. 16 años de edad tenía la Virgen María al nacer Jesús, según la Biblia. 20 huesos tiene aproximadamente un gato en la cola. 30 minutos dura aproximadamente el orgasmo de un cerdo. El 35% de la gente que usa anuncios personales para citas están casados actualmente. CLASES DE RAZÓN antecedente razón APLICACIÓN Las razones y proporciones, tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo en ingeniería se emplean las escalas para realizar pequeñas maquetas; en el área contable, para realizar movimientos financieros y en la vida diaria, para efectuar ciertos operaciones aritméticas. RAZÓN Si observamos dos magnitudes y una es mayor que la otra nos preguntamos ¿en cuántas unidades es mayor? ó ¿cuántas veces contiene la mayor o la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por división respectivamente. a – “Razón es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operación de diferencia o división”. valor de la b = r Razón Consecuente Antecedente Razón Geométrica Es la comparación de dos cantidades por medio del cociente o división. Ejemplo: La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 años respectivamente. Comparando: Padre : 40 años Hijo : 5 años =8 Interpretación: La edad del padre es 8 veces la edad del hijo. La edad del hijo es la octava parte de la edad del padre. En general: RECORDAR: consecuente En general: Razón Aritmética Es la comparación de dos cantidades mediante la diferencia. Dicha diferencia determina en cuántas unidades excede una magnitud a la otra. Ejemplo: En 4to. año del colegio Trilce asisten 25 varones y 18 mujeres. ¿Cuál es la razón aritmética? Comparando: 25 varones – 18 mujeres = 7 varones = k Donde: a : antecedente b : consecuente k : valor de la razón geométrica 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA SERIE DE EQUIVALENTES RAZONES I.E.P. “SANTA MARÍA” GEOMÉTRICAS Las proporciones aritméticas se dividen en dos tipos: Es la igualdad de 2 o más razones geométricas que tienen el mismo valor. a1 b1 Ejemplo: = a2 b2 = a3 b3 = a4 b4 = ... = an bn =k a - b = c d 24 16 28 = = =4 6 4 7 Observación: Al último término (d) se le denota “Cuarta diferencial” de a, b y c. PROPIEDADES: PROPIEDADES Suma de antecedentes I. =k Suma de con sec uentes Pr oducto de antecedentes II. Observación: A cada término igual (b) se le denomina “Media diferencial” de a y c; y a cada término distinto se le llama “Tercera Diferencial”. n = Número de razones que se multiplican. SERIE DE RAZONES EQUIVALENTES CONTINUAS Luego: GEOMÉTRICAS a b c = = =k b c d Proporción Aritmética Continua “Cuando los términos medios son iguales” a - b = b c Pr oducto de con sec uentes =k Proporción Aritmética Discreta Cuando se cumple que sus cuatro términos son diferentes entre sí. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (EQUI - COCIENTE) Igualdad de dos o más razones geométricas = c = dk b = dk2 a = dk3 o también: PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases: PROPORCIÓN ARITMÉTICA (EQUI - DIFERENCIA) Igualdad de dos o más razones aritméticos. a – b = c d - a : b :: c : d donde: “a” y “d” son términos extremos. “b” y “c” son términos medios. PROPIEDAD “Producto de medios igual a producto de extremos”. a . d = b . c medios extremos PROPIEDAD: PROPIEDAD “Suma de medios igual a suma de extremos” a + d = b + c Las proporciones geométricas se dividen en dos tipos: Proporción Geométrica Discreta Cuando se cumple que sus cuatro términos son diferentes entre sí. 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” = Observación: “Al último término (d) se le denomina “Cuarta proporcional” de a, b y c. PROPIEDADES Si: Proporción Geométrica Continua “Cuando los términos medios son iguales” = Observación: A cada término igual (b) se le denomina “Media Geométrica o Media Proporcional” de a y c; y a cada término distinto se le llama “Tercera Proporcional”. 1. a c b d a.d=b.c 2. ab cd b d 3. ab cd b d 4. ab cd a b cd 5. ac a c bd b d 6. 7. an bn n n a b cn dn n n c d 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” RESUMEN RAZÓN Comparación de 2 cantidades R. ARITMÉTICA R. GEOMÉTRICA Comparación por diferencia PROPORCIÓ N Comparación por Cociente a - b=r =k Igualdad de dos cantidades P. ARITMÉTICA P. GEOMÉTRICA Igualdad de razones aritméticas P.A. DISCRETA Todos los términos diferentes a–b=c–d d : diferencial cuarta P.A. CONTINUA Igualdad de razones geométricas P.G. DISCRETA P.G. CONTINUA Términos medios iguales: a–b=b–c Todos los términos diferentes Términos medios iguales: b : media diferencial o media aritmética a y c : tercera d : cuarta proporcional b : media geométrica o media proporcional a y c : tercera diferencial proporcional 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” a) 10 d) 40 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Dos números están en la relación de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el mayor: a) 20 d) 50 2. b) 82 e) N.A. b) 18 e) N.A. b) 8 e) N.A. b) 25 e) N.A. c) 27 a) 12 d) 20 b) 15 e) N.A. c) 18 13. Hallar la cuarta proporcional de 15; 20 y 18 a) 36 d) 28 c) 188 a) 81 d) 54 c) 24 b) 162 e) N.A. c) 243 TAREA DOMICILIARIA 1. c) 15 En una razón geométrica el antecedente es 108 y el consecuente 4. ¿Cuál es el valor de la razón? a) 25 d) 31 2. c) 10 En una caja se tienen 140 bolas, 80 blancas y el resto iguales, ¿cuántos bolas blancas se deben retirar para que existan 5 bolas blancos por cada 6 bolas azules? b) 21 e) N.A. 14. La media proporcional de “a” y 27 es “b” y además “a” es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar (a - b) c) 120 Mario tiene 38 años y Jessica 24 años, ¿hace cuántos años sus edades fueron como 2 a 1? a) 12 d) 15 9. b) 224 e) N.A. c) 32 12. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 50 625. Hallar la media proporcional. c) 340 Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6? a) 10 d) 12 8. b) 320 e) N.A. a) 20 d) 36 c) 36 Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si su razón aritmética es 72. Hallar el número mayor: a) 60 d) 96 7. b) 75 e) N.A. b) 42 e) N.A. 11. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Hallar la media proporcional. La suma de dos números es 320 y su razón geométrica es 3/7. Hallar el número mayor: a) 336 d) 163 6. c) 180 La suma de dos números es 980 y su razón es 5/9. Hallar el menor: a) 300 d) 350 5. b) 120 e) N.A. a) 48 d) 38 Dos números son entre sí como 5 es a 3 y su suma es 120. Hallar el mayor: a) 60 d) 48 4. c) 40 c) 30 10. En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántos personas habían inicialmente en la reunión? Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. hallar el menor: a) 60 d) 250 3. b) 30 e) N.A. b) 20 e) N.A. c) 29 Determinar el consecuente de una razón cuyo valor es 5/8 y el antecedente es 4/9. a) 32/45 d) 6/5 3. b) 27 e) N.A. b) 45/32 e) N.A. c) 18/15 En una razón el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determinar el antecedente. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA 4. I.E.P. “SANTA MARÍA” La razón entre las velocidades de un tren y de un avión es 2 : 3 si la velocidad del tren es de 600 km/h. ¿Cuál es la velocidad del avión? a) 150 km/hb) 300 c) 450 d) 600 e) N.A. 5. La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? a) 50 cm d) 80 6. b) 34 e) N.A. c) 51 La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la relación de 7 : 4. ¿Calcule el peso del vehículo menos pesado? a) 40 kg d) 160 8. c) 70 Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas de sus edades es 85 años? a) 17 d) 60 7. b) 60 e) N.A. b) 80 e) N.A. c) 120 El perímetro de un rectángulo es 256 cm y la razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el área. 12. Calcular “M” si M = T + P + D Donde: T : media diferencial de 12 y P P : media proporcional de 12 y 3 D : tercia proporcional de T y P a) 10 d) 19 13. En la serie: b) 15 e) N.A. c) 18 a b c k 4 6 9 se cumple: a + b + c - k = 54 Calcule: a – b + c a) 14 d) 36 b) 27 e) N.A. c) 21 14. En una proporción geométrica continua el producto de los extremos es 144. Hallar la media proporcional. a) 10 d) 21 b) 12 e) N.A. c) 18 15. En una proporción geométrica la suma de antecedentes es 130 y la suma de los consecuentes es 208. Si el producto de los términos medios es 5400. Hallar el mayor de los términos. a) 100 d) 180 b) 75 e) N.A. c) 120 a) 3840 cm b) 3640 c) 3440 d) 800 e) N.A. 9. Dos amigos deben repartirse $ 27 000 en la razón de 7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor? a) $ 21000 d) 3000 b) 18000 e) N.A. c) 9000 10. El dinero de 2 personas están en la razón de 12 : 7 y una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene la menor? a) 1090 d) 1000 b) 1190 e) N.A. c) 1120 11. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón de 5, 8 y 2. ¿Cuál es la medida de ángulo mayor? a) 90º d) 106º b) 96º e) N.A. c) 100º 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” Ejm.: PROMEDIOS M.G.(9, 16) = PROMEDIO ARITMÉTICO (P.A.) Si tenemos “n” números ordenados en forma creciente. 9 Se define el promedio aritmético como aquel número comprendido entre el menor y el mayor que puede reemplazar a todos ellos sin que su suma se altere. n a1 < P.A. < an Ejm.: Hallar el promedio aritmético de 2, 5, 9 y 12. MEDIA ARITMÉTICA (Para dos cantidades) M.A. (A, B) = 12 Ejm.: Hallar el P.H. de 4, 6 y 9 3 108 13 1 1 19 = 5 19 4 6 9 P.H.(4, 6, 9) = 1 MEDIA ARMÓNICA (Para dos cantidades) AB 2 2 M.H.(A, B) = Ejm.: Hallar la media aritmética de 12 y 18 M.A.(18, 12) = 12 18 12 = 15 2 15 equidista de 12 y 18 Ejm.: 18 PROMEDIO GEOMÉTRICO (P.G.) Se define el promedio geométrico de “n” números como aquel valor comprendido entre el mayor y el menor y que puede reemplazar a todos ellos sin que su producto se altere. 3 4 x6x9 =6 MEDIA GEOMÉTRICA (Para dos cantidades) M.G.-(A, B) = A x B A.B AB 2 x 40 x 60 40 60 48 PROPIEDADES DE PROMEDIOS: PROMEDIOS: 1. Para números no iguales el promedio aritmético es mayor que el promedio geométrico y este a su vez es mayor que el promedio armónico. P.A. > P.G. > P.H. a1 < P.G. < an Ejm.: Hallar el P.G. de 5, 6, 9 1 1 A B 2 Hallar la media armónica de 40 y 60. M.H.(40, 60) = P.G. (“n” números) = n a1 . a2 . a3 ... an P.G.(4, 6, 9) = 16 PROMEDIO ARMÓNICO (P.H.) Es aquel valor comprendido entre el mayor y el menor y que puede reemplazar a todos ellos sin que la suma de sus inversas se altera. 2 5 9 12 P.A. = =7 4 = 12 n 1 1 1 1 P.H.(“n” números) = ... a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an P.A. (“n” números) = 9 x 16 Media proporcional cocientes iguales a1 < a 2 < a 3 < … a n “n” números Hallar la media geométrica de 9 y 16. 2. Para dos números a y b se cumple: ab M.A.(a, b) = 2 mayor promedio 2ab a b M.H.(a, b) = menor promedio M.G2(a, b) = M.A.(a, b) . M.H.(a, b) 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” a) S/. 2 b) S/. 2,5 c) S/. 1,25 d) S/. 1,8 e) N.A. a=b Observación: Si M.A(a, b) = M.G.(a, b) = M.H.(a,b) a=b 3. 3. Para los números iguales se cumple que P.A. y P.G. y P.H. son iguales. Ejm.: P.A.(k, k, k) = k k k =k 3 P.G.(k, k, k) = 3 k .k .k =k 3 1 1 =k P.H.(k, k, k) = 1 k k k a) En un grupo de 6 personas ninguna de ellas es menor de 15 años. Si el promedio de las edades es 18 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener una de ellas? Rpta.: …………………… b) El promedio de las edades de 4 hombres es 48, ninguno de ellos es menor de 15 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener una de ellos? a) 51 d) 54 4. a) de 2; b) 53 e) N.A. Halle “n” si el promedio geométrico 22 ; 23; 24; … 2n es 64. Rpta.: …………………… b) Hallar “x” si el promedio geométrico de 2 x, 22x y 8x es 1024. P.A. = P.G. = P.H. = k EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN 1.a) Dos números son entre sí como 2 : 1 si se duplica el primero y se quintuplica el segundo su promedio es 9. El promedio original de los números es: a) 2 d) 5 5. a) b) 3 e) N.A. Si geométrica y Hallar a + b 12 y 9 b) Dos números son entre sí como 7 es a 9. Si su media aritmética es 88. Hallar la diferencia de los números. 2. b) 33 e) N.A. c) 11 a) A lleva tres cursos de 6, 5 y 5 créditos cuyas notas son 15; 12,5 y 12,7 respectivamente. Si B ha llevado cuatro cursos de 2, 3, 2 y x créditos obteniendo de notas: 12, 13, 12 y 15 respectivamente, con los cuales sus respectivos promedios ponderados son los mismos. Hallar “x” Rpta.: …………………… b) Se vendieron 150 ejemplares de El Comercio a S/. 3 cada uno y 100 ejemplares del Correo a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuál es el precio promedio de los diarios emitidos? c) 4 3 5 son la media armónica de dos números a y b. Rpta.: …………………… Rpta.: …………………… a) 22 d) 44 c) 57 b) La media aritmética de 2 números es 6 y su media geométrica es 4 2 . Hallar el mayor de los números. a) 4 d) 10 b) 6 e) N.A. c) 8 6. a) El promedio de las edades de 3 personas es igual a p si se aumenta una persona más el promedio disminuye en 2. Entonces hay una persona por lo menos que es mayor que la cuarta. Rpta.: …………………… b) El promedio de las edades de tres personas es de 12 años, si agregamos una cuarta persona cuya edad es de 24 años entonces: a) El promedio no se altera b) El promedio aumenta en 2 c) El promedio aumenta en 3 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” d) El promedio disminuye en 2 e) N.A. 7. “m” primeros impares positivos es 43 entonces (m + n) es: a) La media aritmética de 5 números es 120. Si le agregamos 5 nuevos números, la media aritmética queda aumentada en 80. ¿Cuál es el promedio aritmético de los 5 nuevos números? Rpta.: …………………… b) Si a un grupo de 5 números se le agrega los números 18, 12 y 10 se observa que su media aritmética disminuye en 4 unidades. Determinar el promedio aritmético de este nuevo grupo de números. a) 20 d) 28 8. b) 24 e) N.A. El promedio aritmético de 50 números es 16. Si a 20 de ellos se les añade 7 unidades y a los restantes se les quita 3 unidades. ¿Cuál es el nuevo promedio aritmético? a) 10 d) 20 9. c) 21 b) 17 e) N.A. c) 15 De 500 alumnos de un colegio cuya estatura promedio es de 1,67 m 150 son mujeres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es de 1,60 m. ¿Cuál es el promedio aritmético de la estatura de los varones de dicho grupo? a) 1,7 m d) 1,64 b) 1,59 e) N.A. c) 1,71 10. Halle la media geométrica de M y N. Si: xn . xn . xn ... xn M = "m" veces 5m 5m (y . x) ( y . x)... N = "n" veces m a) 4 d) xmn/2 b) x2m e) N.A. c) x3mn 11. Si el promedio de los “n” primeros números múltiplos de 3, positivos es 57 y el promedio de los a) 80 d) 95 b) 85 e) N.A. c) 90 12. Se tiene 100 números, A es el promedio aritmético de los 30 primeros y B es el promedio aritmético de los números restantes. Se sabe que la media geométrica y media armónica de A y B son 10 2 y 13 1 respectivamente. ¿Cuál es el mayor valor 3 del promedio aritmético de los 100 números? a) 15 d) 18 b) 16 e) N.A. 13. Sabiendo que: a1 1 y 1 a2 2 2 P.A.( a , a 1 a3 3 3 2 , a3 ... a10 ) c) 17 ... a10 10 10 = 11 Calcular el valor de:R = a1 . a3 . a5 . a7 . a9 a) 32 400 d) 31 200 b) 30 240 e) N.A. c) 34 200 14. La media aritmética de 150 números de cuatro cifras, todas impares, es 6125 y de otros 250 números también de cuatro cifras, todas impares, es 7400. ¿Cuál es la media aritmética de los números de cuatro cifras, todas impares, no considerados? a) 3125 d) 3025 b) 3175 e) N.A. c) 3225 15. Sea Yk una variable que representa ingresos en nuevos soles: si la variable Yk esta relacionada con Xk (gastos) de la forma: YK = XK – 3; para k = 1, 2, 3, … n ¿Cuál es el promedio aritmético de los X k si el promedio de los Yk es 15? a) 12 b) 13 c) 18 d) 20 e) N.A. 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA Egipcios I.E.P. “SANTA MARÍA” Nacimiento de Jesús Babilonios 4000 a.C. 3500 a.C. AÑO 0 Comisión Internaciona Siste l Francesa Int. Pesas y Med. 1789 1799 1960 Rev. Picard 1670 ACONTECIMIENTOS 4000 a.C. La cultura Egipcia se desarrollo en el valle del Nilo. Los egipcios usaban el codo, el palmo y el dedo para medir. Construyeron las famosas pirámides por su avance en el concepto de magnitud. 3500 a.C. Los Babilonios usaban la balanza de brazos iguales y pesas metálicas. Los Babilonios fueron los que dividieron la circunferencia en 360 partes iguales. 1670 d.C. El astrónomo Picard propuso como base para un sistema de medidas, la longitud del péndulo simple y cuyas oscilaciones duren 1 segundo. 1799 d.C. Se constituyó en París, la comisión internacional de pesas y medidas. 1960 d.C. Sistema Internacional nace por acuerdo de la undécima conferencial general pesas y medidas (París). Muchos países lo han adoptado. El Perú lo ha adoptado desde 31/12/1982 MAGNITUDES MAGNITUDESYYREPARTO REPARTOPROPORCIONAL PROPORCIONAL 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” MATEMÁTICAS BABILÓNICAS Los babilónicos vivieron en Mesopotamia, en unos claros de tierras fértiles entre los ríos Tigris y Eufrattes, hacia finales del milenio IV antes de cristo. Desarrollaron una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes. SONRÍE Los babilónicos usaban la siguiente fórmula para hacer la multiplicación más fácil puesta que no tenían tablas de multiplicar. a . b = ( a + b)2 - a 2 - b2 2 Aun mejor es la fórmula: a.b= ( a + b)2 (a - b)2 4 4 Un ejemplo numérico es: 2.4= 2 (2 + 4) (2 - 4) 4 4 2 8= 8 Papá, papá ¿me haces el problema de matemáticas? No hijo, no estaría bien. Bueno inténtalo de todas maneras. La lógica es la forma correcta de llegar a la respuesta equivocada pero sintiéndose contento consigo mismo. ¿Qué es un niño complejo? Uno con la madre real y el padre imaginario. ¿Qué le dice la curva a la tangente? No me toques Me gustan los polinomios pero hasta cierto grado. El 20 por ciento de las personas muere por fumar por lo tanto el 80 por ciento de las personas muere por no fumar. Así quedó demostrado que no fumar es peor que fumar. MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL 2 magnitudes serán directamente proporcionales si el cociente de sus valores correspondientes es siempre constante. AB Ejemplo: A = cte. B El espacio es D.P. al tiempo. e 30 60 90 30k = = = = t 10 20 30 10k 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” Gráficamente: Ejemplo: espac io 90 30 tiemp o MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 2 magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de sus valores correspondiente siempre es constante. A 1 B A x B = cte. Ejemplo: 1 1 A x C2 B = cte. C A D2 10 20 30 A A B A 60 A DP B A IP C2 A C E2 B . D2 = E2 REPARTO PROPORCIONAL REPARTO SIMPLE Procedimiento: Procedimiento La velocidad es proporcional al tiempo. Se suman los índices. Se divide la cantidad entre dicha suma siendo el cociente la constante de proporcionalidad (k). Las partes se obtienen multiplicando cada índice por la constante. inversamente v x t = 10 x 30 = 20 x 15 = 30 x 10 Gráficamente: Ejemplo: Repetir 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12 6k 750 7k 12k 25k V(m/s ) 30 PROPIEDADES 20 I. A B II. A 10 III. A B A C 1 C A D T (seg) ABx IV. A B A 6 x 30 = 180 7 x 30 = 210 12 x 30 = 360 B A 1 1 B A 10 20 30 B Ax C B xD 750 = k = 30 25 REPARTO INVERSO Procedimiento: Procedimiento = cte. Se efectúa en forma inversamente proporcional a los índices. Se multiplica a todos por el m.c.m. de los denominadores. Se efectúan el reparto directo. 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2 ; 3 ; 6 y 10 1 2 15k 594 1 3 1 6 1 10 m.c.m . 1 x 30 2 2 x 216 = 432 1 x 216 = 216 = 1 x 30 = 10k 3 1 x 30 = 5k 6 1 x 30 = 3k 10 Ejercicios Ejercicios de de Aplicación Aplicación 33k 594 = k = 19 15 x 18 = 270 33 10 x 18 = 16. a) 180 A es D.P. A B e I.P. a C. Hallar A cuando B = 10 y C = 5. Si cuando B = 20 y C = 15. Rpta.: …………………… 5 x 18 = b) Si A varía D.P. con la diferencia de 2 números. Cuando A = 15, la diferencia es 6. ¿Cuánto vale esta diferencia si A = 18? REPARTO COMPUESTO Procedimiento: Procedimiento Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). Se multiplica los índices de las dos relaciones D.P. (o más según el caso). Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices. Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9. D.P. 4 648 6 648 I.P. 2 3 1 9 17. a) c) Si A es D.P. a B2 y D.P. a C . Hallar A cuando B = 2 y C = 25. Si cuando B = 5 y C = 16; A = 15. 1 3 4 3 = m.c.m. 648 = 216 3 b) 3 e) 6 c) 4 18. a) Si A varía proporcionalmente a B, al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4 entonces D = 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 2D y D = 4C? Rpta.: …………………… 19. a) Dos ruedas de 24 y 45 dientes están engranadas. En el transcurso de 10 minutos una da 280 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad mayor en rev/min. 3 2k c) 5 Rpta.: …………………… 4 x 3 = 4k 3 648 b) 8 e) 7,2 Si M es D.P. a B e I.P. a 3 C . Calcular el valor de M cuando B = 2 y C = 64, si se sabe que cuando M = 16; C = 216 y B = 6. a) 2 d) 5 2 x 3 = 2k 3 k = a) 10 d) 6 k 3k Rpta.: …………………… 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” b) Dos engranajes de 24 y 38 dientes están concatenados y en el transcurso de 4 minutos uno da 70 vueltas más que el otro. Hallar la velocidad menor en rev/min. a) 25 d) 40 20. a) b) 30 e) 60 c) 35 La potencia de un circuito varía en forma D.P. con la resistencia del conductor eléctrico y con el cuadrado de la corriente que circula. Si la corriente se reduce a su mitad y la resistencia se triplica. ¿Qué sucede con la potencia? Rpta.: …………………… b) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si una de ellas disminuye en 1/4 de su valor. ¿En cuánto aumenta o disminuye la otra? a) aumenta 1/4 b) aumenta 1/8 c) aumenta 1/3 21. a) Magnitudes 22. a) Si M y N son magnitudes proporcionales representados mediante el siguiente gráfico. Calcular a . b M 36 b Cantidades x 5 2x 25 108 2 3x 9 324 4 y 16 Sabiendo que A es D.P. a B 2, las variaciones de las magnitudes A y B se muestran en el siguiente cuadro. Hallar: a + b + d A 27 6a + d d a B a b 4 8 a) 48 d) 20 23. a) a Rpta.: …………………… b) b) El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima. Si una casa ubicada a 75 km cuesta S/. 45 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material si su área es el doble y se encuentra a 150 km. de distancia? a) 45 000 b) 22 500 c) 11 250 d) 9 000 e) 18 000 d) disminuye 1/4 e) disminuye 1/8 Se sabe que A es directamente proporcional al cuadrado de B y la cubo de C e inversamente proporcional con la raíz cuadrada de F. Del siguiente cuadro determinar el valor de: (x + y) A B C F “E” de energía su precio es de S/. 360. ¿Cuánto costará un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y consume E/4 de energía? Rpta.: …………………… b) 21 e) 28 c) 35 El precio de un televisor a color varía en forma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume 8 16 N a Rpta.: …………………… b) Si A y B son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico. Calcular “x”. a) b) c) d) e) 14 12 16 18 20 A 18 24. a) En el siguiente6gráfico A y B son rectas y C es la rama de una hiperbola. B x Si: a + b + c + m = 60 4 Hallar “m A y a) b) c) d) e) 2 4 6 7 N.A. B 2 m m C 4 a b c x 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA b) I.E.P. “SANTA MARÍA” Si A y D son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico. Calcular “x” A a) b) c) d) e) 50 30 20 40 60 a) S/. 1344 d) S/. 1056 a 40 20 x D Rpta.: …………………… b) Repartir 1800 en partes D.P. a los números 2; 3 y 4. Dar la menor parte. 26. a) b) 200 e) N.A. Dividir el número 410 en partes I.P. a 2/3; 6 y 11/9. Hallar la parte mayor. b) Repartir S/. 9000 en forma I.P. a los números 1/20; 1/30; 1/40. Dar como respuesta la parte intermedia. a) S/. 2000 d) S/. 5000 b) S/. 3000 e) N.A. c) S/. 4000 Dividir 400 directamente proporcional a 12 , 75 , 147 , y 363 . Dar como respuesta la suma de las 2 menores partes. Rpta.: …………………… b) Repartir 36 en partes proporcionales a 28 , 63 , 343 y dar como respuesta la mayor de las partes. a) 15 d) 9 28. a) c) S/. 1536 b) 18 e) 21 c) 6 Repartir S/. 2712 entre 3 personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 8 es a 5 y que la parte de la segunda sea a la de la tercera como 6 esa 7. Hallar la diferencia entre la mayor y menor de las partes. Rpta.: …………………… Repartir S/. 4536 en 4 partes cuyos cuadrados sean directamente proporcionales a: 20; 45; 80; 125. ¿Cuál es la mayor cantidad repartida? Rpta.: …………………… b) Al repartir 42 900 en 3 partes; tales que los cuadrados de dichas partes son inversamente proporcionales a: 75; 147 y 243. Dar como respuesta la menor cantidad repartida. c) 300 Rpta.: …………………… 27. a) 29. a) Repartir 6000 en forma I.P. a los números 2; 3 y 6 dar la parte intermedia. a) 400 d) 800 b) S/. 1152 e) S/. 1440 16 4 25. a) b) Repartir S/. 3936 entre 3 personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 7 es a 6 y que la segunda sea a la de la tercera como 4 es a 5. Hallar la parte intermedia. a) 18 900 d) 10 800 30. a) b) 10 500 e) 10 000 c) 13 500 Al repartir una cantidad en forma I.P. a 1 y 2 y a la vez también I.P. a 1/6 y 1 se obtuvo que la parte menor fue S/. 7 200. ¿Cuál fue la cantidad repartida? Rpta.: …………………… b) Se reparte una cantidad en forma D.P. a 7 y 12 y a la vez I.P. a 10 y 15; además se obtuvo que la parte menor resulta ser S/. 5 600. ¿Cuál fue la cantidad repartida? a) 15 000 d) 9 000 b) 12 000 e) 64 000 c) 18 000 31. Tres ciclistas deben recorrer una distancia y se ponen de acuerdo para distribuirse S/. 94500 en forma directamente proporcional a sus velocidades. Efectuando el recorrido resulto que el primero tardo 3 horas, el segundo 5 horas y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió el más veloz? a) S/. 35 000 d) 45 000 b) 55 000 e) 50 500 c) 40 500 32. Las edades de siete hermanos son números consecutivos, si se reparte una suma de dinero proporcionalmente a sus edades, el menor recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000. ¿Cuánto recibe el quinto si el primero es el mayor? a) 64 000 d) 54 000 b) 60 000 e) 81 000 c) 56 000 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” 5600. La suma de cifras de la cantidad repartida es: a) 14 d) 17 4. Magnitudes Proporcion ales Inversa (Gráfico) Propiedades 5. Reparto Proporciona l 6. Inverso Compuesto Tarea Tarea Domiciliaria Domiciliaria 1. Repartir S/. 1600 D.P. a 1, 4, 5 y 6. Dar como respuesta la parte mayor. a) 500 d) 604 2. b) 110 e) 140 c) 120 b) 18 000 e) 21 000 c) 63 000 Si 3 A es D.P. a M y P2 y cuando A = 1; M = 20 y P = 3. Calcular el valor de M cuando A = 8 y P = 6. a) 2 d) 10 c) 700 c) 7 b) 4 e) 8 c) 12 Repartir S/. 4 950 en forma I.P a 12, 18 y 6. Indicar la mayor parte. a) 500 d) 604 3. b) 600 e) 720 b) 8 e) 5 Repartir 93 000 en tres partes tales que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que la segunda sea a la tercera como 2 es a 7. ¿Cuál es la menor de ellos? a) 12 000 d) 15 000 8. c) 2 400 Las edades de 4 hermanos son cantidades enteras y consecutivas. Se reparte una suma de dinero proporcionalmente a sus edades de tal manera que el menor recibe los 4/5 del mayor. ¿Cuánto recibe el mayor, si el segundo recibe S/. 140? a) S/. 100 d) 150 7. b) 4 000 e) 5 400 Se divide el número 747 en tres partes tales que sus raíces cuadradas sean proporcionales a los números 3, 5 y 7. La suma de los dígitos de la parte menor es: a) 9 d) 6 Directo c) 16 Al repartir una cantidad en forma D.P. a 10, 35 y 45 y a la vez I.P. de 1/4, 3/2 y 5/2, se obtuvo que la parte mayor resulto ser S/. 3000, ¿Cuál fue la cantidad menor? a) 6 000 d) 6 100 Directa (Gráfico) b) 15 e) 18 b) 600 e) N.A. c) 700 Al repartir una cantidad en forma D.P. a 36, 60 y 45 e I.P. a 16, 24 y 60. Se observo que la diferencia entre el mayor y menor de las partes es 9. Se tienen 3 magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a C a I.P. a B . Hallar A cuando B = C2 sabiendo que A = 10, B = 144 y C = 15. a) 4 d) 16 b) 8 e) 15 c) 12 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA 10. I.E.P. “SANTA MARÍA” Una rueda A de 90 dientes engrana con otra rueda B de 60 dientes y fija al eje B hay otra rueda C de 15 dientes con la cual engrana una rueda D de 45 dientes. Si la rueda A da 10 R.P.M. ¿Qué tiempo empleo la rueda D en dar 500 revoluciones? a) 110 min d) 170 11. b) 200 e) 50 entonces. ¿Cuál es el sueldo de Carlos, su rendimiento es como 8 y falta 3 días? a) S/. 960 b) S/. 1 080 c) S/. 1 280 c) 100 15. d) S/. 1 440 e) S/. 980 Hallar (x + y + z) del siguiente gráfico y de la tabla. (B 5)49 Dos veteranos de guerra tienen concedidas pensiones que son D.P. a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y las pensiones están en la relación de 91 a 65. ¿Cuántos balazos recibió el segundo? x 12 z a) 25 d) 27 12. b) 20 e) 30 El peso “w” de un cilindro varía proporcionalmente a su altura “h” y al cuadrado del diámetro “d” de su base. ¿Cuál es la suma de números con que se llenará los espacios en blanco de la siguiente tabla? w 25 h 2,5 4 d 2 0,6 a) 4,80 d) 7,20 13. A 18 27 a B 25 y 54 a) 39 d) 60 b) 90 e) 40 c) 50 7,2 b) 5,04 e) 7,44 2 c) 6,80 El costo de un terreno es I.P. al cuadrado de la distancia que lo separa de Lima y D.P. a su área. Un cierto terreno cuesta 500 mil soles y otro terreno de doble área y situado a una distancia cuádruple que la anterior costará: a) S/. 250 000 b) S/. 375 000 c) S/. 450 000 14. c) 15 (A - 6) 2 1 d) S/. 500 000 e) N.A. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/. 600 y su rendimiento es como 5 y falto 4 días 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA Nacimiento de Jesús 0 I.E.P. “SANTA MARÍA” Brahmagupt a VI d.C. AÑO Leonardo de Pisa Descubrimient o de América Euler 1202 1492 1768 ACONTECIMIENTOS S. VI d.C. Brahmagupta escribió un libro sobre Aritmética – Álgebra – Geometría. El cual desarrollada cuestiones sobre enteros, fracciones, medidas regla de tres, interés simple, progresiones y algunos problemas sobre geometría plana. 1180 – 1250 d.C. Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, en el año 1202, escribió un libro “Liber Abaci” (Libro del abaco) en el que se encuentran expuestos: Aplicaciones y cálculos comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas de progresiones y ecuaciones… 1768 d.C. Apareció la “Aritmética Universal” de Euler en el cual se generalizan las reglas de resolución de problemas aritméticos. 33 BOLETÍN DE ARITMÉTICA I.E.P. “SANTA MARÍA” 33 Regla de Tres Compuesta 965 km/h es la velocidad que alcanza un estornudo en tu boca. En estrellar tu cabeza contra la pared usas 150 kilocalorías. El músculo más fuerte del cuerpo humano es la lengua. 2000 años antes de Cristo, los egipcios usaban estiércol de cocodrilo como anticonceptivo. Antes de las batallas, los centuriones romanos pasaban por la manicura y además se depilaban el vello de las piernas. La palabra fornicar deriva del latín “fornice” que significa curvatura de los puentes y callejones era donde se podían alquilar los servicios de las prostitutas romanas. La zona de México conocida como Yucatán viene de la conquista, cuando un español le preguntó a un indígena como llamaban ellos a ese lugar… el indio le dijo: Yucatán lo que el español no sabía era que le estaba contestando: “no soy de aquí”. Existen varios métodos para resolver estos tipos de problemas; una de ellas es el MÉTODO DE MAGNITUDES. Ejemplo: 425 obreros hacen en 12 días, de 8 horas diarias 350 m de una carretera. ¿Cuántos obreros serán necesarios para que en 10 días de 12 horas hagan 280 m. de la misma carretera? Solución: Ejercicios Ejercicios de de Aplicación Aplicación 33. a) Para pintar una esfera de 20 cm de radio de gasto 64 000. ¿Cuánto se gastara para pintar una esfera de 25 cm de radio? Rpta.: …………………… REGLA DE TRES Es una forma práctica de resolver problemas relacionados a magnitudes proporcionales, se clasifica en: simple y compuesta. b) Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera pero de doble arista? a) 24 d) 72 Regla de Tres Simple (relaciona solo 2 Directa Ejemplo: Si Cecilia digita 20 problemas en 8 minutos. ¿Cuántos digitará en una hora? Solución: Inversa Ejemplo: Quince cocineros prepararon un buffet en 3 h y 20 minutos. ¿Cuánto habrían tardado si trabajan 20 cocineros? Solución: 34. a) b) 48 e) 96 c) 60 Un recipiente contiene 58 litros de agua con 2 litros de alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe adicionar para que agregando medio litro de alcohol se tenga por cada litro de mezcla 0,04 litros de alcohol? Rpta.: …………………… b) En un recipiente que contiene 8 litros de agua se han disuelto 750 gramos de azúcar. ¿Qué cantidad de agua se habrá evaporado cuando el litro de liquido restante contenga 220 gramos de azúcar? a) 6,8 4,6 d) 5,6 b) 3,4 e) 3,6 c) 35. a) Cuatro caballos cuya fuerza está representada por 150 kg. cada uno, llevan un coche que pesa 1640 kg. ¿Cuántos caballos se necesitan para llevar el mismo coche, si la fuerza de cada caballo se representa por 100 kg.? Rpta.: …………………… b) Jorge es un empedernido fumador, se fuma 5 cigarros por cada 4 horas que transcurren. Compra una caja de fósforos y observa que para encender un cigarro tiene que utilizar siempre 2 fósforos. ¿En cuántas horas Jorge consumirá toda la caja de fósforos (1 caja de fósforos de 40 palitos) y cuántos cigarros consumirá? a) 20 h; 16 cig b) 12 h; 18 cig c) 30 h; 15 cig 36. a) ¿Cuántas horas diarias debe estar en movimiento para recorrer en 4 días la distancia cubierta en 6 día de 8 horas diarias? Rpta.: …………………… b) Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos. ¿En cuánto tiempo 50 monos comerán 150 plátanos? a) 50 min d) 150 39. a) d) 16 h; 20 cig e) 18 h; 12 cig Para levantar 800 kg. se emplean 3 obreros que utilizan una máquina que duplica la fuerza. Si para levantar 1600 kg. se emplea una segunda máquina que triplica la fuerza empleando “n” obreros. Hallar “n” a) 8 d) 2 37. a) b) c) 3 Una cinta metálica esta graduada erróneamente con 40 pies donde en realidad solo hay 39 pies con 8 pulgadas. ¿Cuál es la verdadera longitud de una distancia que con dicha cinta marcó 480 pies? (1 pie <> 12 pulgadas) Rpta.: …………………… Un automóvil pesa 2,7 T.M. ¿Cuánto pesara una reducción a escala de 1:10 hecho del mismo material? a) 270 kg d) 27 38. a) b) 4 e) 5 b) 2,7 e) 0,27 c) 0,027 Un móvil aumenta su velocidad en 1/3. c) 18 Una compañía industrial posee 3 máquinas de 84% de rendimiento para producir 1600 envases cada 6 días de 8 horas diarias de trabajo. Si se desea producir 3000 envases en 4 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántas máquinas de 90% de rendimiento se requieren? Rpta.: …………………… b) Para arar un terreno con 4 tractores, lo hacen en 12 días. La fuerza de los tractores esta representada por 9 y la resistencia del terreno por 6. ¿Cuánto tardaran para arar otro terreno de igual extensión, 3 tractores si la fuerza esta representada por 8 y la resistencia del terreno por 7? Rpta.: …………………… b) En una fábrica había 80 obreros, se calcula que el jornal que cobraba cada uno diariamente iba a alcanzar para 10 días transcurridos 4 días se retiraron 20 obreros. ¿Diga para cuántos días más de lo calculado alcanzó el dinero? b) 6 e) 12 a) 20 días d) 22 40. a) b) 21 e) 25 c) 23 Si “n” hombres trabajando 8 h/d hacen 80m de una obra en 10 días y “m” hombres en 6 días harían 60 m de una obra si trabajarían 6 h/d. Determinar el valor de “n” si: m + n = 48 Rpta.: …………………… b) Un reservorio cilíndrico de 8m de radio y 12 de altura, abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál deberá ser el radio de un recipiente de 6 m. de altura que abastecería a 50 personas durante 2 meses? a) 8 m d) 24 41. a) b) 16 e) 18 c) 11 Si (2x - 15) hombres en (n + 1) días hacen la enésima parte de una obra y (n 2 - 1) hombres con rendimiento igual la mitad que el de los anteriores hacen el resto de la obra en “x” días. Hallar “x” Rpta.: …………………… b) Treinta obreros deben entregar una obra en 29 días, 5 días después de iniciado el trabajo se decidió que se entregue 9 días antes del plazo fijado para lo cual se contrató 10 obreros más y se trabajó cada día 2 horas más. ¿Cuántas horas diarias se trabaja inicialmente? a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 6 42. a) Las máquinas M1 y M2 tienen la misma cuota de producción semanal, operando 30 y 35 horas respectivamente. Si M1 trabajo 18 horas y se malogra debiendo hacer M 2 el resto de la cuota, diga ¿Cuántas horas debe trabajar M2? Rpta.: …………………… b) Se necesitan 12 hombres o bien 18 mujeres para efectuar una obra en 30 días. ¿Cuántas mujeres hay que añadir a 8 hombres para hacer una obra el triple que la primera de difícil en 36 días? a) 15 d) 12 b) 33 e) 9 b) 10 e) 15 c) 24 44. Un envase esférico lleno de cierta sustancia pesa 5 libras pero vacío una libra. ¿Cuánto pasará otro envase esférico del mismo material y lleno con la misma sustancia, si su radio es el doble del anterior? a) 32 libras d) 35 b) 33 e) 36 b) 15 e) 30 c) 34 45. Una cuadrilla de 22 obreros, trabajando 5 horas diarias, han empleado 6 días para abrir una zanja de 220 m. de largo, 1 m de ancho y 0,625 m. de profundidad. ¿Cuántos días más empleará otra cuadrilla de 12 obreros, trabajando 4 horas diarias para hacer otra zanja de 100 m. de largo; 1,5 m. de ancho y 1 m. de profundidad? a) 5 b) 4 c) 9 d) 3 e) 6 46. Las eficiencias de un hombre, una mujer y un niño para realizar un trabajo, están en la relación de 3 : 2 y 1 respectivamente. Si dicha obra puede realizarla 2 hombres y 3 mujeres, trabajando juntos en 15 días. ¿En cuántos días realizaran el mismo trabajo un hombre, una mujer y un niño? c) 25 47. 32 obreros se comprometen a realizar una obra en 16 días, trabajando 10 horas diarias. Al cabo de 8 días solo ha realizado los 2/5 de una obra por lo que se aumenta 8 obreros más y trabajan todos durante 4 días más dándose cuenta que no terminarán la obra en el plazo fijado y deciden aumentar las horas diarias de trabajo. ¿Cuántas horas diarias aumentarán? a) 3 h d) 4 b) 5 e) 2 c) 7 REGLA DE TRES c) 20 43. Cecilia es el doble de rápida que Diana y esta está es el triple de rápida que Silvia. Juntas participan en una carrera de postas (recorriendo espacios iguales) logrando el equipo una marca de 27 segundos. ¿Cuánto tardaría Cecilia en hacer sola todo el recorrido? a) 12 seg. d) 9 a) 20 d) 10 SIMPLE DIRECT A INVERS A COMPUES TA Tarea Tarea Domiciliaria Domiciliaria 1. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m. de lado, un peón cobra 300 soles. ¿Cuánto cobrara por sembrar otro terreno cuadrado de 12 m. de lado? a) 108 d) 111 b) 109 e) 107 c) 110 2. 300 hombres tienen alimentos para 51 días. Si estos alimentos deben alcanzar para 153 días. ¿Cuántos hombres deben disminuirse? a) 100 d) 180 b) 205 e) 200 c) 210 3. Si por pintar un cubo me cobran 30 pesos. ¿Cuánto me cobraran por pintar otro cuyo volumen es 8 veces el anterior? a) 50 d) 200 b) 90 e) 120 c) 360 4. La habilidad de dos trabajadores son como 5 y 13. Cuando el primero haya realizado 280 m 3 de cierta obra. ¿Cuánto habrá realizado el otro? a) 358 m3 d) 728 m3 b) 628 m3 e) 738 m3 c) 78 m3 5. Un ingeniero puede construir un tramo de autopista en 3 días con cierta cantidad de máquinas; pero emplearía un día menos si se le dieran 6 máquinas más. ¿En cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una sola máquina? a) 36 días d) 30 b) 42 e) 32 c) 48 6. Un grupo de obreros realiza una obra en “d” días, pero si agregamos 8 obreros, el número de días disminuirá en 1. Calcule “d” si es el mayor entero posible, además el número de obreros iniciales es menor que 45. a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 7. Diez obreros tienen que hacer un trabajo en “n” días. Luego de 4 días de iniciada la obra, 2 obreros se retiran originando un atraso de 3 días. Hallar “n” a) 16 días d) 18 días b) 15 días e) 10 días c) 12 días 8. En una comunidad cuatro hombres y una mujer cultivan un terreno en 24 días. Si se aumenta un hombre y una mujer cultivan el mismo terreno en 6 días menos. ¿En cuántos días cultivarán el mismo terreno los 4 hombres solos? a) 24 d) 21 b) 27 e) 16 c) 36 9. Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días. ¿En cuántos días talarán 16 leñadores 16 árboles, si estos últimos son 1/4 menos rendidores que los anteriores? a) 10 d) 12 b) 8 e) 16 c) 9 10. En 6 días, 16 obreros han construido una pared que tiene de largo 18 m. de altura, 6 metros y 95 cm. de espesor. Si hubieran trabajado solo 12 obreros. ¿Cuántos días habrían empleado? a) 6 d) 10 b) 7 e) 9 c) 8 11. Si 4 cajistas en 20 días, trabajando al día 6 horas, componen 80 folletos de 50 páginas cada folleto y de 30 líneas cada página, ¿Cuántos días necesitaran 10 cajistas trabajando al día 8 horas, para componer 100 folletos de 500 páginas cada folleto y de 40 líneas cada página? a) 10 d) 12 b) 30 e) 9 c) 15 12. Una cuadrilla de 15 hombres se comprometen a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días solo han hecho 3/7 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el plazo fijado? a) 15 d) 21 b) 18 e) 19 c) 20 13. El transporte en carro de 20 toros hasta una distancia de 800 km. pesando cada toro 400 kg. ha costado S/. 4000. ¿Qué distancia se habrá transportado 50 toros de 1200 kg. cada uno costando el transporte S/. 18 000? a) 980 km. d) 1120 b) 1040 e) 1320 c) 1080 14. Una cuadrilla de 40 obreros hacen los 3/10 de una obra en 18 días trabajando 7 h/d, luego de los cuales abandonan el trabajo 10 obreros por enfermedad. ¿En qué fracción debe aumentar la eficiencia de los obreros que quedan si estos aumentan en una hora el trabajo diario y desean terminar la obra una semana antes de lo planificado? a) 1/4 d) 3/4 b) 3/5 e) 2/5 c) 5/8 15. La hierba crece en un prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 60 vacas se la comerían en 25 días y 40 vacas en 45 días. ¿Cuántas vacas se comerán todo la hierba en 75 días? a) 10 d) 40 b) 20 e) 50 c) 30 NÚMEROS NÚMEROSRACIONALES RACIONALES LOS NÚMEROS Y SU SIGNIFICADO La astrología como ciencia existe desde antes de cristo, esta demostrando que existen fuerzas en el universo que se influyen mutuamente: Así los planetas influyen directamente en los seres vivos. Los colores influyen en nuestra personalidad. Incluso los números tienen un significado que influye en nosotros veamos: 1. Lo que empieza la voluntad, el padre, la unificación, el corazón. 2. La dualidad, urgencia de conciliar, los opuestos, la madre, sopesar los que se opone, actuar con calma. 3. la creación, lo que produce buenos resultados. Hacer las cosas para que sean bellas. 4. Estabilidad. Hacer las cosas con orden y con bases sólidas, no conviene ser impulso consecución de resultados materiales. 5. Eliminar las fantasías. Es el número de la intuición pero basado en realidades tangibles, controlando las personas. 6. El número del amor, el sexo y las decisiones también es el número de las separaciones y divorcios. 7. Anuncia victoria pero con muchas luchas conviene actuar con serenidad. 8. Justicia y paciencia. 9. Representa la soledad pero entendida como una etapa de soledad que puede tener beneficios espirituales. 10. Cambios, movimientos positivos y negativos. Indica que nada es estable. Concepto Es la relación entre dos términos en donde uno de ellos llamado denominador nos indica las partes en que se ha dividido una determinada unidad y la otra llamada numeración nos indica las partes que tomamos de esta división. III. Por comparación de los denominadores IIIA. Homogénea.- Son aquellas cuyos denominadores son iguales. IIIB. Heterogénea.- Son aquellas con denominadores diferentes. Ejemplo: Notación p Numerador F= = q tomadas partes 3 2 , 4 4 / 2 5 , 7 7 3 7 , 5 9 / 3 4 , 11 9 Clasificación I. Por comparación de sus términos IA. Propia.- Cuando el denominador es mayor que el numerador D > N. IB. Impropia.- Cuando el denominador es menor que el numerador D < N. Fracción Reductible o Equivalente Es aquella cuyo numerador y denominador tienen un divisor común diferente de la unidad, es decir se puede simplificar. Ejemplo: Ejemplo: a <1 a < b b a 5 1 2 ; ; ; 7 9 3 7 a >1 a > b b 10 7 9 ; ; 3 4 2 14 Simplificando 21 14 2 21 3 2 3 8 Simplificando 24 8 1 24 3 1 3 Fracción Irreductible Es aquella cuyo términos son primos entre sí. Ejemplo: 5 9 4 7 , , , 7 11 9 3 II. Por su denominador IIA. IIB. Ordinaria.Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10. Decimal.Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplo: 9 3 1 , , 4 11 2 7 13 19 , , , ... 10 100 1000 MCD – MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Máximo Común Divisor El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores. Mínimo Común Múltiplo El MCM de varias fracciones irreductibles es igual a MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores. Ejemplo 1 : Hallar el MCD y MCM de : 21 9 5 , y 8 16 6 MCD : MCM: MCD(21, 9, 5) MCM(8, 16, 6) MCM(21, 9, 5) MCD(8, 16, 6) 1 48 315 2 Ejemplo 2 : Calcular el MCM de: 12 32 , 15 150 NÚMERO DECIMAL Es aquel que consta de una parte entera y de una parte decimal. 4932 parte entera , 03216 parte decimal 0,3222... = ……………………… 0,48383… = ……………………… 0,02333… = ……………………… 1,333… = ……………………… 3,24222… = ……………………… 0,15 = ……………………… 0,92 = ……………………… 0,251 = ……………………… 4,2525 = ……………………… 10,32 = ……………………… 0,342 = ……………………… 6,27 = ……………………… Ejemplo: Clasificación I. Si se cumple que: 0, 00 a 2( 0, 0 a 0, a ) = 0,73 Exactos o limitados Hallar: “a” 75 0,75 = 100 0,8 = II. Solución: 8 10 Inexactos o Ilimitados IIA. Ejercicios Ejercicios de de Aplicación Aplicación Periódicos Puro 0,aaa … = 0,a = a 9 0,2121 … = 48. a) Encontrar un quebrado de denominador 84 que sea mayor que 1/7 pero menor que 1/6. Rpta.: …………………… c) Si se añade 5 unidades al denominador de 7/15. La fracción aumenta o disminuye ¿en cuanto? IIB. Periódicos Mixtos 0,abbb… = 0,ab = ab a 90 a) aumenta en 7/60 b) aumenta en 9/60 c) disminuye en 1/60 d) disminuye en 7/60 e) se mantiene igual b) 49. a) Restar 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3 y 1/5 de 1/4; sumar dichas diferencias, multiplicar las mismas, dividir la suma por el producto, hallar la tercera parte del cociente y extraer la raíz cuadrada del resultado. Entonces se obtiene. a) 43,10 m d) 38,00 m Rpta.: …………………… 53. a) b) Simplificar: 3 4 3 2 1 . 8 5 10 9 6 6 1 1 2 4 7 15 6 5 3 9 12 a) 5/6 d) 45 50. a) b) 21 e) N.A. 3 1 . 2 4 3 c) 13/12 Calcular un número sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se agrega los 2/5 de su 3/8 y se restan los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 21. Rpta.: …………………… b) ¿Cuánto le falta a 2/3 para ser igual al cociente de 2/3 entre 3/4? Hallar una fracción tal que si se le agrega su cuadrado, la suma que resulta es igual a la misma fracción multiplicada por 110/19. Rpta.: …………………… b) Si a los términos de 2/5 le aumentamos 2 números que suman 700, resulta una fracción equivalente a la original. ¿Cuáles son los números? a) 200 y 500 b) 200 y 600 c) 150 y 550 52. a) c) 37,80 m Los 3/8 de un poste están pintados de blanco, los 3/5 del resto de azul y el resto que mide 1,25 de rojo. ¿Cuál es la altura del poste y la medida de la parte pintada de blanco? Rpta.: …………………… a) 60 d) 90 54. a) b) 70 e) N.A. c) 80 Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí, luego recupero 1/3 de lo que no recupero y entonces tengo S/. 42. ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? Rpta.: …………………… b) Un padre le pregunta a su hijo, ¿Cuánto gastó de los S/. 1800 de propina que le dió? El hijo le responde: Gaste los 3/5 de lo que no gaste ¿Cuánto no gasto? a) S/. 1115 d) 675 55. a) d) 100 y 600 e) 250 y 450 La distancia entre Lima y Trujillo es de 540 km. a los 2/3 de la carretera, a partir de Lima, esta situada la ciudad de Casma, a la quinta parte de la distancia entre Lima y Casma, a partir de Lima, se encuentra la ciudad de Chancay. ¿Cuál es la distancia entre Chancay y Casma? b) 25,20 m e) 40,30 m b) Un cartero dejo 1/5 de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un banco, si aún le quedan 34 cartas para distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 1/3 b) 1/6 c) 2/9 d) No le falta nada e) es mayor que el cociente 51. a) A un alambre de 91 m. de longitud se le da 3 cortes de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? b) 1125 e) 775 c) 1130 Después de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su fortuna, 1/9 del resto y los 5/12 del nuevo resto, una persona hereda 60 800 soles y de este modo la pérdida se reduce en la mitad de la fortuna primitiva. ¿Cuál es dicha fortuna? Rpta.: …………………… b) Un granjero reparte sus gallinas entre sus 4 hijos. El primero recibe la mitad de las gallinas, el segundo la cuarta parte, el tercero la quinta parte y el cuarto las 7 restantes. Las gallinas repartidas fueron: a) 80 d) 130 Rpta.: …………………… 56. a) b) 100 e) 240 c) 140 De un tonel que contiene 320 litros de vino se sacan 80 litros que son reemplazados por agua. Se hace lo mismo con la mezcla por segunda y tercera vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la tercera operación? Rpta.: …………………… b) De un tonel que contiene 320 litros de vino se sacan 1/8 y son reemplazados por agua. Se hace lo mismo con la mezcla por segunda y tercera vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la tercera operación? a) 200 b) 214 c) 236 d) 284 e) N.A. 57. a) b) Hallar x + y y x = 0,96 3 11 61. a) b) Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2/5 a 1/3. ¿Cuántos litros había que añadir para llenar el tanque? a) 32 000 d) 16 000 b) 48 000 e) N.A. 0, 00 a 0, 00b 0, 00c Rpta.: …………………… b) Calcular el valor de (a + b) en: 0, ab 0, ba 0,1 = 1,3 a) 4 d) 15 62. a) b) 9 e) 17 N = 0, x(x + 1) (2x + 1) 37 Rpta.: …………………… b) Halla “x” en: N = 0,x(x - 1) 11 c) 24 000 58. Cierta clase de paño se reduce después del lavado en 1/6 de su longitud y en un 1/5 de su anchura. ¿Qué longitud de paño nuevo es necesario emplear para tener 30 m2 de paño, después de mojado, si el paño tenía antes 0,90 m de ancho? 59. a) b) 50 m e) 60 m b) El valor exacto de la siguiente operación es: ( 0,123232...) (3,666...) 6,777 60. a) c) 1 NÚMEROS RACIONALES CLASIFICACIÓ N Rpta.: …………………… b) 1/15 e) 3/5 b) 3 e) 5 c) 40 m Operar y dar el valor de “M” 0,1 0,2 0,3 0, 4 0,5 M= 0,1 0,2 0,3 0, 4 0,5 a) 2/3 d) 1/45 c) 11 Hallar “N”. Sabiendo que: a) 4 d) 2 a) 100 m d) 80 m = 0,10 Los 3/4 de un tonel más 7 litros, son de petróleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua. ¿Cuántos litros son de petróleo? Rpta.: …………………… a) 6 b) 8 c) 7 d) 9 e) 12 Calcular el valor de (a + b + c) en: c) 1/5 Propia Impropia Ordinaria y x = 0,62 9 11 Exactos Decimal P. Puro Homogénea Heterogénea Hallar x + y si: NÚMERO DECIMAL Inexactos P. Mixto Rpta.: …………………… 5. a) 1/4 d) 5/13 Tarea Tarea Domiciliaria Domiciliaria 1. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. 1 1 ……………… 2 3 4 2 ……………… 3 6 6 5 ……………… 9 11 8 1 ……………… 11 2 6 12 ……………… 8 16 4 2 ……………… 11 5 11 1 ……………… 13 2 4 1 ……………… 13 3 7 2 ……………… 2 7 7. 8. b) 10 e) 11 b) 75 000 e) 45 000 c) 140 000 c) 3 Me quedan 9/40 de la hacienda. Me quedan los 5/8 de mi parte. Vendí menos de 1/4 del total de la hacienda. b) Solo II e) II y III c) Solo III En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? a) 22 d) 20 b) 28 e) 4 c) 2 b) 4 e) N.A. c) 5 c) 10. Una persona recibe viáticos por 4 días, el primer día gastó la quinta parte; el segundo día gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedo 15000 soles. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/. 50 000 d) 90 000 b) 8 e) 10 a) Solo I d) I y II 9. b) 150 000 e) 108 000 Yo poseo los 3/5 de una hacienda llamada “Paramo”, si vendo 5/8 de mi parte. ¿Cuáles son correctas? i. ii. iii. c) 1100 c) 1/5 Si a los términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción resulta la misma fracción. ¿Cuánto suman los términos de la fracción original? a) 11 d) 13 Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada uno. Si se vacían los 3/5 de las 15 botellas. ¿Cuántos litros quedan? a) 8 12 d) 9 4. b) 1200 e) N.A. b) 2/13 e) 2/9 Una propiedad es de dos hermanos, la parte del 1ero. es 7/16 y el valor de la parte correspondiente a otro hermano es S/. 63 000. ¿Qué valor tiene la propiedad? a) S/. 120 000 d) 112 000 Un puente cruza un río de 760 pies de ancho, en una orilla se sostiene 1/5 del puente y en la otra orilla 1/6. ¿Cuál es la longitud del puente? a) 1000 pies d) 1300 3. 6. Colocar >, < ó = según el caso: I. 2. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador? c) 150 000 Si a b = 0,781 5 11 Hallar: a + b a) 3 d) 6 11. Dado: 0,m1 + 0,m2 + 0,m3 = Hallar “m” 14 11 a) 5 d) 4 12. b) 2 e) 3 Dado: 0,n3 + 0,n4 + 0,n7 = c) 1 MAGNITUDES MAGNITUDESYYREPARTO REPARTO PROPORCIONAL PROPORCIONAL 4 9 Hallar: “n” a) 5 d) 1 13. b) 2 e) 4 Hallar la suma del numerador más el denominador de la fracción que debo sumar a la fracción periódica 0,8787… para ser igual a la fracción periódica 1,2121… a) 6 d) 3 14. SONRÍE c) 3 b) 2 e) 5 Si suma a 2 La lógica es la forma correcta de llegar a la respuesta equivocada pero sintiéndose contento consigo mismo. ¿Qué es un niño complejo? Uno con la madre real y el padre imaginario. ¿Qué le dice la curva a la tangente? No me toques Me gustan los polinomios pero hasta cierto grado. c) 4 1 1 dos mitades de 2 , luego 2 2 sumo el doble de lo que ya sume; multiplico por los 3 1 de dos mitades de 2 y finalmente 5 2 divido entre los tres tercios de lo que me queda. ¿Cuánto es lo que me queda? a) 5 d) 20 15. b) 10 e) N.A. c) 15 Un moribundo reparte su fortuna entre sus cuatro hijos. Al primero le da 1/3 del total, al segundo 1/4 del resto, al tercero 1/5 del nuevo resto, quedando $ 600 para el último. ¿Cuál era la fortuna del moribundo? a) $ 1200 d) 1600 b) 1000 e) 1800 c) 1500 El 20 por ciento de las personas muere por fumar por lo tanto el 80 por ciento de las personas muere por no fumar. Así quedó demostrado que no fumar es peor que fumar. MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL 2 magnitudes serán directamente proporcionales si el cociente de sus valores correspondientes es siempre constante. AB Ejemplo: A = cte. B El espacio es D.P. al tiempo. e 30 60 90 30k = = = = t 10 20 30 10k Gráficamente: espac io 90 60 30 10 20 30 tiemp o MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 2 magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de sus valores correspondiente siempre es constante. REPARTO SIMPLE Procedimiento: Procedimiento Se suman los índices. Se divide la cantidad entre dicha suma siendo el cociente la constante de proporcionalidad (k). Las partes se obtienen multiplicando cada índice por la constante. 1 A B A x B = cte. Ejemplo: REPARTO PROPORCIONAL La velocidad es inversamente proporcional al tiempo. Ejemplo: Repetir 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12 v x t = 10 x 30 = 20 x 15 = 30 x 10 Gráficamente: 6k 750 PROPIEDADES 30 A B B A 20 1 VI. A 10 B 1 B A T (seg) A C A A B 1 C Ax C B xD = cte. A DP B A IP C2 1 C A D2 A 1 A x C2 1 2 B = 15k = 594 cte. A B A Ejemplo: Ejemplo: Se efectúa en forma inversamente proporcional a los índices. Se multiplica a todos por el m.c.m. de los denominadores. Se efectúan el reparto directo. Repartir 594 en forma I.P. a 2 ; 3 ; 6 y 10 A D REPARTO INVERSO Procedimiento: Procedimiento VII. A B 10 20 30 ABx VIII. 750 = k = 30 25 6 x 30 = 180 7 x 30 = 210 12 x 30 = 360 V(m/s ) V. 7k 12k 25k A C E2 B . D2 = 1 3 1 6 1 10 m.c.m. 30 1 2 x 30 1 x 30 = 10k 3 1 x 30 = 5k 6 1 x 30 = 3k 10 33k E2 594 = k = 19 15 x 18 = 270 33 10 x 18 = 180 5 x 18 = 64. a) Si M es D.P. a B e I.P. a 3 C . Calcular el valor de M cuando B = 2 y C = 64, si se sabe que cuando M = 16; C = 216 y B = 6. REPARTO COMPUESTO e) Si A es D.P. a B2 y D.P. a C . Hallar A cuando B = 2 y C = 25. Si cuando B = 5 y C = 16; A = 15. Procedimiento: Procedimiento Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). Se multiplica los índices de las dos relaciones D.P. (o más según el caso). Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices. Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9. D.P. 4 648 6 648 I.P. 2 3 1 9 1 3 3 4 x 3 = 4k 3 Ejercicios Ejercicios de de Aplicación Aplicación A es D.P. a B e I.P. a C. Hallar A cuando B = 10 y C = 5. Si cuando B = 20 y C = 15. d) Si A varía D.P. con la diferencia de 2 números. Cuando A = 15, la diferencia es 6. ¿Cuánto vale esta diferencia si A = 18? b) 8 e) N.A. b) 7,2 e) N.A. c) 8, 4 c) Dos engranajes de 24 y 38 dientes están concatenados y en el transcurso de 4 minutos uno da 70 vueltas más que el otro. Hallar la velocidad menor en rev/min. b) 30 e) N.A. c) 35 67. a) Una rueda dentada A de 50 dientes esta unida mediante un eje con el engranaje B y este a su vez engrana con otra C. Sabiendo que B y C tienen respectivamente 28 y 42 dientes. Si A da 3690 revoluciones por minuto. ¿Cuánto tiempo empleará la rueda C en dar 48 000 vueltas? 648 = 108 6 a) 10 d) 6 b) Si M es D.P. con P2 e inversamente proporcional con N/2, cuando M = 18, P = 3 y N = 8. Hallar N, cuando P es 6 y M es 45. a) 25 d) 40 4 x 216 = 432 2 x 216 = 216 63. a) c) 4 66. a) Dos ruedas de 24 y 45 dientes están engranadas. En el transcurso de 10 minutos una da 280 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad mayor en rev/min. 2 x 3 = 2k 3 k = b) 3 e) N.A. 65. a) Si A varía proporcionalmente a B, al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4 entonces D = 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 2D y D = 4C? a) 6,4 d) 10,5 4 3 = m.c.m. 648 a) 2 d) 5 c) 5 b) Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes; fija del eje B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes, Si A da 120 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D? a) 70 d) 90 b) 72 e) N.A. c) 60 68. a) La potencia de un circuito varía en forma D.P. con la resistencia del conductor eléctrico y con el cuadrado de la corriente que circula. Si la corriente se reduce a su mitad y la resistencia se triplica. ¿Qué sucede con la potencia? 71. c) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si una de ellas disminuye en 1/4 de su valor. ¿En cuánto aumenta o disminuye la otra? a)Si M y N son magnitudes proporcionales representados mediante el siguiente gráfico. Calcular a . b M 36 a) aumenta 1/4 d) disminuye 1/4 b) aumenta 1/8 e) N.A. c) aumenta 1/3 a b 69. a) Se sabe que A es directamente proporcional al cuadrado de B y la cubo de C e inversamente proporcional con la raíz 8 16 c) Si A y B son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico. Calcular “x”. cuadrada de F. Del siguiente cuadro determinar el valor de: (x + y) Magnitudes A B C F c) 108 2 3x 9 324 4 y 16 2 Sabiendo que A es D.P. a B , las variaciones de las magnitudes A y B se muestran en el siguiente cuadro. Hallar: a + b + d A 27 6a + d d a B a b 4 8 a) 48 d) 20 b) 21 e) N.A. c) El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima. Si una casa ubicada a 75 km cuesta S/. 45 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material si su área es el doble y se encuentra a 150 km. de distancia? b) 22 500 e) N.A. c) 11 250 14 12 16 18 N.A. A 18 6 4 B x 72. a) En el siguiente gráfico A y B son rectas y C es la rama de una hipérbola. Si: a + b + c + m = 60 Hallar “m” A y f) g) h) i) j) c) 35 70. a) El precio de un televisor a color varía en forma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume “E” de energía su precio es de S/. 360. ¿Cuánto costará un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y consume E/4 de energía? a) 45 000 d) 9 000 f) g) h) i) j) Cantidades x 5 2x 25 N a 2 4 6 7 N.A. B 2 m m C 4 a c) b c x Si A y D son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico. Calcular “x” a) b) c) d) e) 50 30 20 40 N.A. A a 40 16 4 20 x D