1COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria A = {Teresa, Nelly, Carmen, Adelina} I Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: Teresa, Nelly, Carmen, Adelina”. TEORÍA DE NOCIÓN DE CONJUNTOS: Por conjunto entendemos como: una colección, agrupación de objetos denominados elementos del conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos, etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.). Así tenemos siguientes: los ejemplos Ejemplo 2: Sea el conjunto: B = {2; 4; 6; 8 } Se lee: “B es el conjunto elementos son: 2; 4; 6; 8” cuyos RELACION DE PERTENENCIA: Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo y en caso contrario se escribe el símbolo . Así tenemos: Ejemplo 1:“La colección de estudiantes de tu grupo”. Cada elemento es un estudiante. Ejemplo 1: Si A = {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que: Ejemplo 2:“La colección de estados de la materia”. Sus elementos son: sólido, líquido, gaseoso. 1 A “1 pertenece a A” 2 A “2 pertenece a A” 3. A “3 no pertenece a A” 4. A “4 pertenece a A” 5. A “ 5 no pertenece a A” 6. A “7 pertenece a A” Ejemplo 3:“La colección de todas las ciudades del Perú”. Lima es un elemento del conjunto. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO: Para representar un conjunto se ha convenido emplear llaves { }, dentro de las cuales se nombran los elementos del conjunto, unos a continuación de otros. Dichos elementos, se denotan por letras minúsculas, gráficas, nombres, números, que van separados por comas y punto y coma (;). Finalmente para dar nombre al conjunto e identificarlo fácilmente se emplea o denota por letras mayúsculas. Así tenemos: Ejemplo 1: Sea el conjunto: S5AR1B Ejemplo 2: Si B = {a; b; c; d}, entonces podemos afirmar que: a B “a pertenece a B” b B “b pertenece a B” f B “f no pertenece a B” c B “c pertenece a B” NUMERO CARDINAL: Se denomina número cardinal al último elemento, después de contar los elementos del conjunto, es decir, se refiere al número de elementos del conjunto. Se denota de la siguiente manera: “Ser los Mejores....” Car (A) = n(A) = Nº de elementos de A Ejemplo 1: Determina el número cardinal siguiente conjunto: A = { r, s, t, u, v, x, y, z} Solución: Analizando el conjunto A, notamos que tiene 9 elementos, porque: {r, s, t, u, v, x, y, z } 1 2 3 4 5 6 7 8 N° cardinal de A Por lo tanto el conjunto A indica que tiene 8 elementos, es decir: Car(A) = n(A) = 8 Ejemplo 2: Sea el siguiente conjunto: B = {2; 4; 6; 8; 10 } Solución: Observando que el conjunto de B tiene 5 elementos, es decir: Car(B) = n(B) = 5 NUMERO ORDINAL: Se llama número ordinal, al número natural que corresponde a cada elemento del conjunto. Así por ejemplo, si contamos los elementos del conjunto A (Ejemplo 1), de izquierda a derecha, el ordinal de los elementos será: son los elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. 1. POR EXTENSIÓN: Un conjunto se determina cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto. Así tenemos: Ejemplo: Sean los conjuntos: R = {este, oeste, norte, sur } S = { a, e, i, o , u } T = {1; 3; 5; 7; 9; ...} En el conjunto de R, se indican cada uno de sus elementos que son los 4 puntos cardinales; en el conjunto S se indican las letras vocales de nuestro abecedario; del mismo modo, en el conjunto T se indican todos los números naturales impares. 2. POR COMPRENSIÓN: Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos: Ejemplo 1: Considerando el conjunto: A = {x / x es P } Se lee: El conjunto de todos los elementos x, tales que x es P (P es la propiedad) Ejemplo 2: Sea el conjunto: De “r” es 1 “r” es el 1er elemento. De “s” es 2 “s” es el 2do elemento. De “t” es 3 “t” es el 3er elemento. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles S5AR1B B = { x / x es una nota musical } Se lee: El conjunto B de todos los elementos x, tales que x es una nota musical. Ejemplo 3: Sea el conjunto: T={x N/2<x<7} “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Se lee: T es el conjunto de los x, tal que x pertenece a N y x es mayor que 2 y menor que 7; o sea que esta formado por los números comprendidos entre 2 y 7; es decir: T = {3; 4; 5; 6 } Venn, en honor al matemático John Venn, quien sistematizó su empleó. Ejemplo 1: Representa gráficamente los siguientes conjuntos: U = {2; 3; 5; 7; 9} A = {2; 5; 7; 9} Ejemplo 4. Sea le conjunto: V = { x N / x = a +2 a < 5 } Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta: Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4 Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así: Valores Si Si Si Si Si a a a a a = = = = = 0 1 2 3 4 x=a+2 x= x= x= x= x= 0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 2 2 2 2 2 = = = = = A .7 .5 .9 .3 5A 3A ; ; Ejemplo 2: Gráficamente representa los siguientes conjuntos: A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 } B = {7; 5; 3; 9; 10 } C = {9; 8; 5; 3; 11 } V = { 2; 3; 4; 5; 6 } 6 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas que tienen diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de las cuales se ubican los elementos que le pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos que no le pertenecen. A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de 10 3 5 8 11 1 A 7 A 7 B 8B 11 C “Ser los Mejores....” E = { x / x es un día de la semana } F = { 3; 6; 9; 12; ...; 2 505 } Dentro el conjunto finito tenemos los siguientes tipos de conjuntos: conjunto nulo o vacío y conjunto unitario. CONJUNTO VACÍO.- Es el conjunto que carece de elementos, y se denota por el siguiente símbolo o { }. Ejemplos: M = {hombres que viven en Marte} N={x/xZ, x>8,x<7} CONJUNTO UNITARIO.- Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: B 1 A Entre las principales clases o tipos de conjuntos, de acuerdo al número de elementos, se pueden considerar los: conjuntos finitos y conjuntos infinitos. 1. Conjunto Finito. Es el conjunto cuyos elementos se pueden contar de uno en uno desde el primero hasta el último. Ejemplos: Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: 2; 5; 7; 9. Además observamos: 2A 7A 2 3 4 5 6 Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera: S5AR1B U .2 7 C = { El alcalde actual de tu ciudad } D={x/xN ,7<x<9} 9 C 10 A B 9 BC 8 AC 1C El conjunto infinito puede clasificarse como: numerable o innumerable. CLASES DE CONJUNTOS 2. CONJUNTO INFINITO. Cuando en el proceso de contar, no se puede llegar al último elemento. Ejemplo: R = { 0; 1; 3; 5; 7; .. } S = { x / x es una estrella del universo } S5AR1B CONJUNTO INFINITO NUMERABLE.Se denomina así, al conjunto cuyos elementos se pueden enumerar consecutivamente, aunque no en su totalidad. Ejemplos: A = {2x – 1 / x Z+} B = { 2 ; 4; 6; 8; 10; ... } CONJUNTO INFINITO INNUMERABLE.- Se llama así al conjunto cuyos elementos no se pueden enumerar consecutivamente. Ejemplo: A={x/5 x 7,xR} B = { x / x Q} OTROS TIPOS DE CONJUNTOS: 1. Conjuntos Disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento común alguno. Ejemplos: A = { 2 ;4 ; 6; 8 } B = { x / x es una vocal } 2. Conjuntos Iguales. Dos conjuntos son iguales si sus elementos son los mismo. Ejemplos: M = { 1; 3; 5; 7 } N = { 2x – 1 / x Z ,1 x < 5} M y N son dos conjuntos iguales. 3. Conjuntos Diferentes. Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro. Ejemplos: A = { 3; 4; 5 } B = {3; 4; 5; 6 } “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 6 es elemento del conjunto B, pero no es elemento A A B. 4. Conjunto Equivalente. Dos conjuntos son equivalentes o equipotentes ( < >), si tienen el mismo número de elementos o el mismo cardinal. Ejemplos: A = {a , e, i, o, u } B = { 1; 2; 3; 4; 5 } Analizando los ejemplos, tenemos que: Card(A) = 5 ó n(A) = 5 Card(B) = 5 ó n(B) = 5 Como n(A) = n(B) = 5 A < > 5 5. Conjunto de Conjuntos. Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto a su vez. Así tenemos: Ejemplo siguientes: 1: Sean los conjuntos a) M = { { 5; 4}, { 7}, } Analizando el conjunto de conjuntos, observamos que: M = { {5; 4}, {7} , } 5. Conjunto Potencia: Se llama el conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P(A). El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por: n[P(A)]=2n donde n elementos Ejemplo: Dado: A = { 14; 17} aves C Entonces N no representa a una familia de conjuntos, pero si es un conjunto de conjuntos. A = { 3; 4; {5 }; 1} B = { {Ana}, {Dora, María }, {Rosa} } C = { {2; 4; 6}; {a, b, c }7 ; 8 } D = { {e, f }, {0; 1; 3} “Ser los Mejores....” B .a .e Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben el nombre de conjuntos disjuntos. Ejemplo. Sean los conjuntos: N = { 5; 7; 9 } B .4 M .2 A B ó B A Se lee : “A es subconjunto de B” “A está incluido en B” ó “B incluye a A” “B contiene a A” 2. Relación de no inclusión. Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es subconjunto de otro. Se presenta dos casos: Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se S5AR1B .5 .6 .8 .7 .9 NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un subconjunto. .5 N .4 Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún elemento que se repite o común. .1 .3 .u A B Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en B. Aplicando el Diagrama de Venn se tiene: A .i M = { 4; 6; 8 } A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5} A = { Aves } B = {peces } C = [ mamíferos} Ejemplo 2: Sean los conjuntos: U Ejemplo: Sean los conjuntos: n[P(A)] = 22 = 4 Analizando los conjuntos, concluimos que el conjunto universal está formando por todos los animales, es decir: U = { los animales } Su diagrama correspondiente es el siguiente: A mamíferos 1. Relación de Inclusión: Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un subconjunto. Simbólicamente se denota: A B o también B A. Ejemplo: Sean los conjuntos Entonces M es una familia de conjuntos. b) N = { { 1; 2} ; {4; 3}; 9 : } A = { a, e, o} B = {i, o, u } RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 6. Conjunto Universal. Es el conjunto referencial que nos permite identificar a otros conjuntos incluidos en él. Se denota por la letra U y su gráfico se realiza preferentemente en un rectángulo; así tenemos: conjunto con 2 elementos peces .o Su conjunto potencia será: P(A)={ {14}, {17}, {14;17}, } conjunto vacío conjunto con 1 elemento S5AR1B representa el número de del conjunto A. tiene una relación de intersección. Ejemplo. Sean los conjuntos: B A Es importante saber que cuando todos los elementos de un conjunto, son conjuntos; recibe el nombre de familia de conjuntos. Así tenemos en el ejemplo anterior. A, B, C, D son conjuntos de conjuntos B, D son familia de conjuntos Subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A está en B. Simbólicamente se denota : A B. Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es parte de B, que A está incluido en B, o que B contiene a A. Ejemplo: Sean los conjuntos: “Ser los Mejores....” A = { a, b, c, d } B={b,d} 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria En los conjuntos observamos que: b B d B y y Dos conjuntos son coordínales cuando tienen el mismo número de elemento: b A d A Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B A. A ={ 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} son coordinables B ={ a ; e ; i ; o ; u } Graficando, tenemos: Si A no es subconjunto de B, se escribe A B; se lee: A no es subconjunto de B A no es parte de B A no está incluido en B Subconjunto Propios: Dado un conjunto A, su número de subconjuntos será: 2n-1. No se considera el mismo conjunto A. Ejemplo: Sea el conjunto A={2; 4; subconjuntos propios de A serán: 6}, los {2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6}, No es subconjunto propio de A: {2; 4; 6} PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN La inclusión goza de las siguientes propiedades: reflexiva, conjunto vacío y transitiva. * Reflexiva: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo; es decir : A A * Conjunto Vacío: Es subconjunto de cualquier conjunto; o sea: A * Transitiva: Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, entonces el primer conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es decir, se cumple: A B .2 .4 .6 .8 .10 a. e. i. o. u. Ejemplo: Dados lo conjuntos: A= {a,e,o} y B={m,i,a}, su unión es: A B. Simbólicamente se denota así: A B. Ejemplo: Si seguimos considerando los conjuntos anteriores, entonces A B es el siguiente conjunto. A B = {e, o, i, m} Gráficamente tenemos: A A B = {a, e, i, o, u} A .e .o .a A continuación te presentamos en forma resumida, las principales operaciones como conjuntos: Intersección, reunión, diferencia simétrica y complementación. 1. Intersección: La intersección de dos conjunto A y B es otro conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Simbólicamente se representa: A B. Ejemplo: Dado los conjuntos: A = {1,2,3} y B={3,4,5}, intersección es: A B = {3} 3. Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Simbólicamente se denota así: A – B. 5. Complemento: Dado el conjunto universal o referencial U y un subconjunto A. Entonces el complemento de A está formado por los elementos que pertenecen a U, pero que no pertenecen a A. Simbólicamente se denota por A’, que se lee: “complemento de A”. Ejemplo: Si consideramos los conjuntos de la operación anterior, entonces la diferencia A – B es el conjunto siguiente: Ejemplo: Dados los conjuntos: U={1;2;3;4;5;6,7} y A={2;4;6}, entonces el complemento de A es el siguiente: .m A’ = {1;3;5;7} A – B = {e,o} Por Diagramas de Venn se tiene: A su B .e Gráficamente diagramas: .i U .a .o .m Si: A = B A B BA 4. Relación de Coordinabilidad conjuntos .3 .2 de “Ser los Mejores....” .5 los .2 .3 .7 .5 B – A = {i, m} B .4 representa .1 A .6 Por otra parte verifica que: .1 se .4 Por Diagramas de Venn se tiene: A .m .i .e OPERACIONES CON CONJUNTOS .i .a B .o Relación de Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. B Por Diagramas de Venn se tiene: Si A B y B D A D S5AR1B 2. Reunión o Unión: La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por todos los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos. Simbólicamente se denota así: A B. 4. Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por la diferencia de AB y S5AR1B LEYES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS En cada una de las operaciones se cumplen las siguientes leyes: “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 1. Idempotencia: Halla: Car(A) + Car(B) a) 3 d) 2 a) A A = A b) A A = A a) A B = B A b) A B = B A 3. Asociativa: 4. Distributiva: a) A (B C) = (A B) (A C) b) (A (B C) = (A B) (A C) b) A A’ = d) (A’)’ = A a) {7} W c) {5;7} W W e) {{7}} W 6. Identidad: b) A U = U b) A U = A a) (A B)’ = A’ B’ b) (A B)’ = A’ B’ a) {5} A b) 4 A A d) {5;6} Ae) N.a. PRACTICA DE CLASE 01. Halla el Car(A) + Car(B) en los siguientes conjuntos: A = {r, s, t, u, v, x, y, z} B = {2; 4; 6; 8; 10; 12} 02. Considerando siguientes conjuntos: A = {a, b, c, d, e, f, g, h} B = {1; 2; 3; 4} S5AR1B b) {{5}} W d) 7 06. Sea el conjunto: A = {2; 4; {5;6}; 8}. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es correcta? 7. De Morgan: b) 13 e) N.a. c) {25;49} e) N.a. 05. Dado el conjunto W = {5;{7}}; indica la proposición verdadera: 5. Complemento: a) 12 d) 10 a) {4;5;6;7} b) {5;7} d) {25;49;64} c) 14 los c) {5;6} 07. ¿Cuál es el número de subconjuntos que tiene M? M = {x N/ x = a-1; a N 2<a<8} a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 08. Calcula el número de elementos del conjunto: R = {xN/ x es múltiplo de 5 14<x44} “Ser los Mejores....” b) 5 e) 8 a) {1;2} d) {5;7} c) 6 09. ¿Cuál de las siguientes proposiciones se cumple, en base al presente diagrama? B U a) Vacío b) Unitario c) Finito d) Infinito e) N.a. 04. Determina por extensión el siguiente conjunto: E = {n2/ 3<n<8; n N y n es impar} a) (A B) C = A (B C) b) (A B) C = A (B C) a) A = A c) A = c) 12 03. ¿A qué tipo de conjunto corresponde R? R = {n, n, n, n, ...., n} 2. Conmutativa: a) A A’ = U c) ’ = U e) U’ = b) 5 e) N.a. a) 4 d) 7 .7 A 13. Dados los conjuntos:: A = {1; 2; 3; 4} ; B = {3; 4; 5; 6} C = {3; 5; 7; 9} y el conjunto universal: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. a) {1;2;3;4} {4;6;8} d) {8} a) A’ = B b) A B B U A U c) B {7; 8} d) {7; 8} U e) N.a. 10. ¿Cuántos tiene: (M - N) (P Q)? si: a) 0 d) 3 elementos N = [2; 4; 6} Q = {3; 4; 5} b) 1 e) N.a. c) 2 a) 12 solo A b) 14 solo L L d) 26 A L e) N.a. e) N.a. a) A B b) B = B – A c) A = A – B d) B = A’ e) (A B)’ (A B) 15. En el siguiente diagrama, A representa a los estudiantes que juegan fútbol, B a los que juegan básquet y C a los que practican gimnasia. La zona sombreada corresponde a: B A C A = {x N / x es divisor de 8} B = {x N /3 < x < 8} C = {x N / x es divisor de 6} S5AR1B c) c) 6 A y Sean los conjuntos: Calcula: (A C) – (B C) b) {2;4;6} 14. Sean A y B dos conjuntos, incluidos en el conjunto universal U, si : (A - B) (B - A)=A B. Determina la proposición falsa: 11. De un grupo de 32 jóvenes, 18 practican ajedrez (A) y 20 ludo (L). Indica la proposición falsa: 12. c) Hallar: [(A - B) (B C)]’ C’ .8 M = {1; 2; 3; 4} P = {1; 3; 5; 7} b) {3;4;5;7} e) N.a. a) Los que practican 3 deportes. b) Los que practican solamente 2 deportes c) Los que juegan fútbol y básquet d) Los que practican básquet y gimnasia e) Los que practican fútbol y gimnasia 16. En un aula de 50 alumnos, aprueban matemática, 30 de ellos, física 30, castellano 35, matemática y física “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 18, física y castellano 19, matemática y castellano 20 y 10 alumnos aprueban 3 cursos. Entonces se deduce que: pierna, 6 en la pierna y en la cabeza. ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza, pierna y brazo a la vez? a) Dos alumnos no aprueban ningún curso. b) Ocho aprueban sólo física. c) Dos aprueban sólo física. d) Cinco aprueban matemática, pero, no aprueban ni física ni castellano. e) Seis aprueban matemática y física, pero no aprueban castellano. a) 6 d) 3 17. Alex practica todos los días del mes de enero los siguientes deportes: Fútbol 17 días y básquet 25 días. ¿Cuántos días practicó ambos deportes? a) 8 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11 18. De un grupo de estudiantes que desean estudiar economía o ingeniería, 27 economía, 11 estudian ambos programas. ¿Cuántos estudiarán solamente economía? a) 27 d) 11 b) 21 e) 5 c) 16 19. De 82 personas que toman gaseosas, la preferencia es la siguiente: 43 toman Coca Cola; 47 Pepsi; 58 Fanta; 28 Coca Cola y Fanta; 30 Pepsi y Fanta; 19 Coca Cola y Pepsi y 11 las tres gaseosas. ¿Cuántas personas toman una sola gaseosa? a) 27 d) 9 b) 20 e) 7 c) 11 .3 U 01. Sean los conjuntos: U = {5; 6; 7; 8; ......; 15} A = {x N / 7 < x < 12} B = {x2+1 / x N 1 < x < 4} C a) 6 d) 2 ; 3 = ¿Cuántos elementos tiene: [(A C) (A – C) B]’ ? b) 8 e) 14 c) 10 02. La expresión: (A B)’ equivale a: a) A’ B’ d) B – A b) A’ B’ e) A B c) A – B 03. En el Instituto Superior “XYZ” de 60 participantes, 40 de ellos estudian computación y 32 secretariado. ¿Cuántas damas estudian ambas opciones a la vez? a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 10 04. Si: A, B y C son subconjuntos del conjunto universal U, tal como se muestra en la figura. ¿Qué zona(s) representa la operación: (A B)’ – (C A’)? “Ser los Mejores....” .1 A B .6 .4 .7 C U b) 5 e) 2 ; 5 05. x1 / x esimpar 17 x 30 2 a) 6 d) 12 B .2 .5 c) 4 PROBLEMAS PROPUESTOS N° 1 20. Después del clásico Alianza – Universitario, los hinchas entablaron una gresca, donde 42 resultaron heridos en la cabeza, 43 en el brazo, 32 en la pierna, 5 en la cabeza y brazo, 8 en el brazo y S5AR1B b) 5 e) 2 A c) 4 Dados los conjuntos: P = {x N / 21 < x 42 , x es divisible por 6} M = {x N / 25 x < 35 , x es divisible por 5} T = {x N / 31 < x < 51 , x es múltiplo de 8} R = {x N / 25 < x 50 , x es múltiplo de 4} C a) A C b) (A C)’ B d) (A C) – B c) (A C) – e) N.a. 08. Indica la operación que representa la parte sombreada de la figura: A B Indica el número de elementos que tiene la siguiente operación: (M – T) (R – P). a) 3 d) 7 b) 5 e) 9 c) 6 06. Indica la operación que representa la parte sombreada del siguiente gráfico: U a) A B b) A B – A B c) (A B) – (A B) d) (A B)’ e) N.a. 09. Dado el gráfico: A A B U a) A B d) (A B)’ b) A – B e) A B C c) A B 07. Observa el gráfico e indica que operación es la parte sombreada: S5AR1B B ¿A qué operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? a) (A C) – (B – C) b) (A B) – (A C) c) (A – B) B d) (A B) (B C) e) N.a. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria A 10. Dado el gráfico ¿A qué operación corresponde? U B P e) N.a. Q 19. La región sombreada del siguiente gráfico es: A B A a) A B d) B’ b) B – A e) A B c) A’ a) A’ b) (A – B)’ c) (A B)’ d) B e) B’ 14. La siguiente gráfica corresponde a la operación: B A 11. ¿A qué operación de conjuntos corresponde la parte sombreada? N a) P Q R c) P Q R e) N.a. a) N P d) N – P b) P – N e) N P c) (P N)’ 12. En el diagrama siguiente, indique que operación es la parte sombreada? 15. El siguiente gráfico es la notación de: B A C U a) (A B) - C (A C) – C d) C – A e) B’ – C b) A – C c) 13. ¿Cuál es la alternativa correcta de la zona sombreada del gráfico? S5AR1B a) [(A B) C]’ c) [(A B) – C]’ e) N.a. C C a) (A B)’ b) (A B)’ – C c) (A – B)’ C d) (B – C) A e) (C – B) A 20. Indica cuál es la operación que corresponde a la región sombreada del siguiente diagrama: A B R a) P Q R b) [(P Q) – R] [R – (P Q)] c) (P Q) R d) P Q R e) N.a. 18. El siguiente gráfico es la notación de: b) (A B) C d) [(A B) C]’ N 16. ¿A qué operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? “Ser los Mejores....” Q b) A (B C) d) (A B) C A B b) P Q R d) (P Q) (P R) P C a) (A B) – C c) C (A B) e) N.a. U R 17. La expresión conjuntista que representa la zona sombreada es: P B M P C a) (A B) – C A c) A – (B C) A e) N.a. d) (B C) TAREA DOMICILIARIA 01. En el siguiente diagrama, sombrea la operación: (B C) – (A B). a) (M N)’ b) (P – M)’ c) (N – P) (M – P) d) (M – P)’ S5AR1B b) (B C) – “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria A M B [(M – N) – (N – P)] (M P) N M C P 02. En el diagrama adjunto sombrea la siguiente operación: R [ (M N)’ P’] N U 06. En el siguiente diagrama, sombrea la operación: (B C) – (A B). P U 10. Dado el siguiente diagrama, sombrea la operación: B M N P R [(M – N)’ – (N – P)’] (M P)’ C M U N A 03. En el siguiente diagrama, sombrea la operación: (B C) – (A B). I. Definición : Es el conjunto de leyes, reglas, convencionalismos y símbolos que se utilizan para representar a los números. Para que la numeración sea sistemática (para poder formar un sistema) se requiere de una base que defina al sistema. II. Base de numeración P U 1) M N P 04. Indica la operación que corresponde a la siguiente región sombreada: B n 2 valores 08. Indica la operación que corresponde a la siguiente región sombreada: A A b) B’ – (A B) d) (A – B)’ 05. Dado el siguiente diagrama, sombrea la operación: [(M – N)’ – (N – P)’] (M P) U a) (A B) – A’ c) A’ – B’ e) N.a. a b c (7) 0 0 1 1 1 2 2 2 :. :. :. 6 6 6 3) abc(10) abc b) U – (A B)’ d) (A – B)’ Principales sistemas: 09. Dado el siguiente diagrama, sombrea la operación: “Ser los Mejores....” a b c (3) 0 0 1 1 1 2 2 2 En base “n” se utilizan “n” cifras Las cifras son menores que la base La mayor cifra disponible en un sistema de numeración es la base menos uno. B U S5AR1B abc n n = {2; 3; 4; ...} infinitos R 2) a) (A B) – A’ c) A’ – B’ e) N.a. nZ U C de Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar una unidad del orden inmediato superior. R [ (M N)’ P’] A sistema Dados : 07. En el diagrama adjunto sombrea la siguiente operación: B un NUMER S5AR1B Bas e 2 3 Sistema Binario Ternario “Ser los Mejores....” Cifras 0;1 0;1;2 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 4 5 6 7 8 9 10 11 Cuaternario Quinario Senario Eptal Octal Nonario Decimal Undecimal 12 Duodecimal Nota 1: 10 = 0;1;2;3 0;1;2;3;4 0;1;2;3;4;5 0;1;2;3;4;5;6 0;1;2;3;4;5;6;7 0;1;2;3;4;5;6;7;8 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9; 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9; ; 11 = 12 = 8. pq 13 = p x 13 + q 9. 361 7 3 x 72 6 x 7 1 10. 2459 12 III. Descomposición polinómica Es el procedimiento de cálculo que permite determinar la cantidad de unidades simples que posee un número y con ello su valor real. + cx10–3 ab n axn1 b 2. abc n a x n2 b x n c 4 = 13. abc, mnp a 102 b 10 c m 101 + n 10–2 + p 10–3 IV. CAMBIOS DE BASE: A. De números enteros 1. De base “n” a base 10 Ejemplos: 3. abcd n = a x n3 bn2 cn d 4. abcde n = 6. xyz z = x . 72 y . 7 2 = m 2013(5) = 258 Convertir 4253(6) x al sistema 26 161 969 = S5AR1B 3. De base “n” a base “m” ( n m 10) Primero se lleva a base 10 y luego a la base “m”. Ejemplo: Llevar 251(7) a base 4. 1ro. 251(7) a base 10: 251(7) = 2x72 + 5x7 + 1 251(7) = 134 5 3 1061 7 36 151 7 11 11 21 7 4 4 0 3 4x63 2x62 5x6 3 4253(6) = 969 “Ser los Mejores....” 966 418 = 3133(5) Llevar 1061 a base 7. decimal. 4253(6) 156 418 5 18 83 5 3 33 16 3 1 2x53 0x52 1x5 3 xy 10x y 24 2. De base 10 a base “n”. Método de divisiones sucesivas. “Se divide el numerador dado entre el valor “n” de la base deseada, el cociente resultante se vuelve a dividir entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente cuyo valor sea menor que la base. El número en base “n” estará formado por el último cociente y los residuos desde el obtenido en la última división hasta el de la primera” Ejemplos: Convertir 518 al sistema quinario. en base 10 el número 2013(5) 5. 3 + (x) 2013(5) a x n4 bn3 c x n2 d x n e 5 + (x) y x z w 2 3 n n n n4 Expresar 2 + = Método I: Se aplica descomposición polinómica. Ejemplo: S5AR1B bx–2 1 y.n2 z.n3 w.n4 0, xyzw (n) x.n Ejm : aa , aba , abba , abcba 53 n . 5 2 p. 5 q + 12. Nota 2 : Número capicúa es aquel cuya lectura de izquierda a derecha o viceversa es la misma. mnpq 5 = ax10–1 4 a b c 10 100 1000 4 17 = 4 10 11 12 17 7. = 6 13 = 13 13 11013 13 1. Convertir 4253(6) a base 10. 2 x 123 4 x 122 5 x 12 9 11. 0, abc = 1061 = 3044(7) Método II: Ruffini. Ejemplo: 2do. 134 a base 4. 134 4 14 33 2 1 4 8 0 4 2 134 = 2012(4) 251(7) 2012(4) Notas básicas: A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa. menor mayor 251 (7) 2012 (4) mayor menor Si: abc(n) xyz(n) a = x , b = y , c = z. B. De números decimales 1. De base “n” a base 10. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Se utiliza la descomposición polinómica. Efectuando la suma de las fracciones se obtiene una fracción resultante y al dividir sus términos se obtiene el decimal en base 10. Ejemplo: Convertir 0,32(4) a base 10. 0,32(4) = 3 2 4 42 = 14 7 16 8 Luego: 0,32(4) = 0,875. 2. De base 10 a base “n”. Método de las multiplicaciones sucesivas. “Se multiplica la parte decimal por el valor “n” de la base deseada, del resultado se separa la parte entera y se sigue multiplicando la nueva parte decimal por “n”, se vuelve a separar la parte entera y así sucesivamente. El número llevado a base “n” tiene como cifras decimales las partes enteras separadas en el orden que fueron apareciendo”. Ejemplo: 0, 38 1, 90 4, 50 x5 x5 x5 2, 50 2, 50 : : x5 Luego: 0,38 = 0,14222 ... 1ro: 0,6875 x 8 = 5,5000 2do: 0,5000 x 8 = 4,0000 3ro: 0,0000 x 8 = 0 Luego: 0,6875 = 0,54(8) (5) 3. De base “n” a base “m” (n m 10) Primero se lleva a base 10 y luego a base “m”. Ejemplo: C. Casos especiales de conversión: 1. De base “n” a base “nk” Dado el número en base “n” se le separa en grupos de “K” cifras a partir de la derecha. El número que se forma en cada grupo se traslada al sistema decimal donde se obtienen las cifras del número en base “n K”. Ejemplo: Expresar 10110101 (2) en base 8. Base 8 < > 23 Luego se separa en grupos de 3 cifras de derecha a izquierda. base 2: 4 5 1ro: 0,45(8) = 8 82 Cada grupo a 2 base 10. 10 110 101 6 2. De base n a base “n”. Dado el número en base “n K”, de cada una de sus cifras se obtienen “K” cifras al convertirse a base “n”. En caso que faltacen cifras se completa con ceros a la izquierda. Ejemplo: Convertir 573(8) a base 2. Base 8 < > 23 (base 2) Notas básicas: De acuerdo al exponente (3); cada cifra del número dado debe generar tres cifras al convertirse a base 2 por el método de las divisiones sucesivas. abc(n) 0, abc(n) 1000(n) Luego: Si: 1011(3) = xyz(4) a) 3 d) 7 5 7 3 Base 2:101111011 (n 1)(n 1)(n 1)(n) 573(8) 101111011 (2) S5AR1B b) 4 e) 9 c) 5 02. Hallar "b" si el número 15(b) queda triplicado al invertir el orden de sus cifras. a) 11 d) 7 b) 5 e) 6 03. c) 4 Hallar x + y si xyx(7) 11y1(6) b) 7 e) 10 c) 8 Si x4(9) y3(x) 16z34(y) . Hallar x+y a) 19 d) 14 b) 16 e) 13 05. c) 15 Si se verifica que: xyz(6) 12002 (x) 2021 (y) 1022 (z) Hallar y xyz a) 1010(7) d) 1102(7) 06. en: Base 8: abc(n) Hallar el valor de x + y 04. k 0, 578125 x 4 2, 312500 x 4 1, 250000 x 4 1, 000000 x 4 = 0 “Ser los Mejores....” 01. + z. Luego: 10110101 (2) = 265(8) 2do: A base 4. 0, abc(n) PRACTICA DE CLASE a) 6 d) 9 5 0,48(8) = 0,578125 Luego: 0,6875 = 0,54(8) S5AR1B (n 1)(n 1)000(n) Convertir 0,45(8) a base 4. En forma práctica las operaciones están dadas de la siguiente manera: 0, 6875 x 8 5, 5000 x 8 4, 0000 x 8 = 0 0, abc de Luego: 0,45(8) = 0,211(4) . Convertir 0,6875 a base 8. abcde (n) abc(n) Convertir 0,38 a base 5. expresado en base x + b) 1202(7) e) 1022(7) Cuál es el valor de "x" 121212 12(x) a) 4 d) 7 “Ser los Mejores....” c) 1020(7) b) 5 e) 8 100(4) c) 6 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 07. En que sistema numeración se cumple: 54 + 43 = 130 a) octal d) nonal 08. de b) quinario c) heptal e) senario Si 303(5) = xyzw (n) siendo x, y, z, w diferentes entre si. Hallar "z". a) 4 d) 1 b) 3 e) 0 c) 2 09. Hallar el menor valor posible de "a". 17(a) = 52(b) a) 8 d) 3 10. b) 25 e) 2 c) 23 Sabiendo que: GOA A1U U2S S35 Hallar M = G + A + U + S + S a) 10 d) 14 b) 11 e) 12 c) 13 11. ¿Cómo se escribe en base 9 el menor de los siguientes números? 545(x) ; 7y3(8) ; x65(y) a) 128(9) d) 244(9) b) 333(9) e) 352(9) c) 252(9) 12. Hallar (a + b) en la siguiente expresión: abb(6) n (n 1) (n 2) (n 3)(n 4) a) 9 d) 5 b) 8 e) 6 c) 7 13. Hallar (x2 + x + 1) Si: 19. xxx 4210x a) 33 d) 30 b) 29 e) 21 b) 128 e) 141 c) 31 c) 139 15. Hallar el menor número en base 9 cuyas cifras suman 1012. Dar el número de cifras. a) 127 d) 123 b) 126 e) 122 c) 125 16. Se tienen fichas que valen 1 sol, 2 soles, 4 soles, 8 soles, 16 soles ... etc y se quiere repartir el equivalente a 2000 soles. ¿Cuántas personas como mínimo serán beneficiadas?. Sabiendo que ninguna persona puede recibir más de una ficha? a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7 17. En la siguiente expresión hallar el valor de "n". 7 7 7 . 7 7 (8) 51219 1 n cifras a) 43 d) 47 b) 57 e) 53 c) 38 18. ¿Cuántos números de la forma a(a 2) b(6 b) existen en el sistema decimal. a) 56 b) 64 c) 72 d) 81 e) 48 n cifras Hallar N = nnn(13) expresado en base 10. a) 2196 b) 2396 c) 2193 d) 2176 e) 2186 20. Si cada letra representa una cifra diferente y 0 es cero, cumpliéndose: 01. José le cuenta a Charo: "A mi cumpleaños asistieron 107 personas de las cuales: - 24 eran mujeres adultas. - 32 eran varones adultos. - 41 eran niños. ¿Qué sistema de numeración está empleando José? a) un decimal b) decimal c) octal d) nonal e) Heptal 02. El cuádruplo de un número es de la forma xy . Pero si al número se multiplica por 3 y luego se le divide entre 2 se obtiene yx . Hallar (x – y) a) 3 d) 2 b) 8 e) 1 Si c) 5 1 x 1 x (y) = 182. ¿Cuánto vale "y"? “Ser los Mejores....” b) 5 e) 4 04. c) 3 Hallar el valor de "a" si: 1 a 4 504(m) a) 3 d) 6 05. cifras que siguientes: b) 4 c) 8 e) 7 Hallar un número de 3 cumpla las condiciones CINTURA (M) AMOR (E) NENITA - La primera es el cuádruple de la tercera. - La segunda es el doble de la Calcular M + E primera. Dar como respuesta la suma de a) 15 b) 16 c) 17 cifras del número. d) 14 e) 18 PROBLEMAS PROPUESTOS N° 2 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 03. S5AR1B a) 7 d) 6 a a a ... . a a (2) 4095 14. Sea: N = 128 20 – 1. Si N se escribe en el sistema binario, ¿cuál será la suma de sus cifras? a) 100 d) 140 Si S5AR1B 06. Hallar 121 xy x + y. Si: 256 a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7 07. ¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300 tal que si es leído al revés resulta el doble del número que sigue al original? a) 295 d) 274 b) 285 e) 284 c) 275 08. Hallar un número de 6 cifras cuya primera cifra de la izquierda es 1 y tal que si esta cifra se traslada a la derecha de la cifra de las unidades, el nuevo número así formado es el triple del original. a) 142857 “Ser los Mejores....” b) 122858 c) 112857 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria d) 124857 09. e) 122457 a) 4110 d) 4111 Calcular (a + m + n + p). Si: 5 a 1(m) 34m(n) 2mp(8) a) 20 d) 18 c) 17 10. b) 16 e) 15 Si x y x y(n) 221. b) 7 e) 10 12. b) 8 e) 11 b) 11 e) 9 Si: 2 2 2 . .. 2 2 (3) 6560 23[23n] 37 . a) 5 d) 8 19. b) 6 e) 9 Si: 1515 Hallar "n" 13. 1515 15( x ) b) 7 e) 6 Hallar x + y. Si 48x(y) 402 a) 15 d) 14 14. b) 12 e) 16 c) 13 Si 1 x 5(2x) a) 6 d) 9 x 2 x(4) . b) 15 e) 12 Hallar 3x c) 18 15. Cómo se expresa en base 5 el menor número de 4 cifras diferentes de base 8? S5AR1B c) 7 122(4) Hallar x c) 10 a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5 20. forma: Cuántos números de la x 2 y (y 4) existen? 3 x 3 a) 30 d) 12 b) 25 e) 15 c) 20 TAREA DOMICILIARIA 01. ¿Cuántos números de 3 cifras se escriben con un “5”, con un “7” y alguna cifra diferente de las anteriores? “Ser los Mejores....” 02. Convertir 1001110110(2) a base 4. el número 03. Convertir 368754(9) a base 3. el número CONTEO POR 04. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras del sistema decimal tienen como suma de sus cifras 24? El problema fundamental consiste en averiguar la cantidad de cifras o tipos que se han utilizado al escribir la sucesión natural desde el número 1 hasta “n”. 05. ¿Cuántas cifras utilizado en la siguiente serie: Problema Ilustrativo: ¿Cuántas cifras se utilizan para numerar del 1 hasta 3475?. se han 13, 16, 19, 22, ... Solución: 500 términos 06. ¿En la numeración de las páginas de un libro de ab páginas se han utilizado 506 cifras menos que en la numeración de otro de 2ba páginas. Hallar: a – b. 07. Si: mnp 8 487 9 . Hallar: m + n + p Hallar "n" c) 12 Si a) 8 d) 9 c) 7 "n"cifras Hallar: (x + y) a) 8 d) 10 c) 240 17. ¿Cuál es el menor número de pesas que se refiere para colocar en el plato de las pesas, de una balanza para pesar 2709 kg. Si se dispone de una colección de pesas de 1kg, 4kg, 16kg, 64kg ... 18. Si x57(y) x14(9) 11. b) 250 e) N.a. a) 9 d) 6 c) 5 c) 6111 16. ¿Cuántos números pares de 3 cifras comienzan con cifra impar? a) 160 d) 260 Hallar: x + y + m a) 8 d) 9 b) 4101 e) 5111 a) 7 d) 8 08. b) 8 e) N.a. c) 9 Hallar “n”. (2n)3n 6 3n3 7 a) 1 d) 4 09. 133(9) a) 4 d) 7 10. b) 2 e) 0 b) 5 e) 8 421(x) = 2bc a y bb c ; están correctamente escritos y a, b y c son cifras diferentes. Hallar: a + b + c. a) 6 d) 5 b) 7 e) 4 c) 8 Para numerar desde el 100 hasta el 999: Se utilizan: ( 999 – 99 ) x 3 = 2700 cifras. Para numerar desde el 1000 hasta el 3475: Se utilizan: ( 3475 – 999) x 4 = 9904 cifras. 9 + 180 + 2700 + 9904 = 12 793 SEGUNDO METODO: Se puede aplicar la siguiente fórmula, si se trata de la base diez: c) 6 Sabiendo que los números 10a 4 ; Para numerar desde el 10 hasta el 99: Se utilizan: ( 99 – 9 ) x 2 = 180 cifras. Total de cifras empleadas para numerar desde el 1 hasta el 3475: c) 3 Hallar “x”. PRIMER METODO: Para numerar desde el 1 hasta el 9: Se utilizan: ( 9 – 0 ) x 1 = 9 cifras. Nº de cifras = (Nº mayor + 1) (Nº de cifras de “n”) 111....111( Tantos unos como cifras tenga el número “n” Para nuestro problema: Nº de cifras = ( 3475 + 1) ( 4) – 1111 = 12 793 . NOTA: Dicha fórmula cumple cuando la sucesión comienza en 1. S5AR1B “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria CUANDO SE TRABAJA DIFERENTE AL DECIMAL, siguiente fórmula: EN SISTEMA Se emplea la Nº de cifras = K . n K – n K –1 / n –1 Donde: n = base del sistema K = Cantidad de cifras del último número. CANTIDAD DE NUMERALES O METODO COMBINATORIO: Sirve para determinar cuantos numerales (números) de “k” cifras existen en base “n”. Se procede de la siguiente manera: 1º Se indica la forma general del numeral (número) buscado, teniendo en cuenta el valor de la base. 2º Se calculan los valores posibles para cada una de las cifras. 3º Cuando hay cifras diferentes expresadas en función de la misma variable, los valores de la variable serán todos aquellos comunes a los calculados individualmente. 4º Cuando una variable se encuentra más de una vez se le considera sólo una vez en el producto. 5º Determinar la cantidad de valores que acepta cada variable, multiplíquese todas ellas; siendo este producto la cantidad de numerales ( números) de la forma dada. EJEMPLO ILUSTRATIVO: ¿ Cuántos números de tres dígitos existen en el sistema octal?. Resolución: 1º Forma general de número: . a b c(8) 2º Valores posibles para cada una de las cifras: a 1 2 S5AR1B b 0 1 c (8) 0 1 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 7 2 3 4 5 6 7 8 d) 482 07. Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro, sabiendo que para enumerar sus últimas 36 páginas se emplearon la misma cantidad de tipos que se empleó en las primeras 63 páginas?. ENTONCES: La cantidad de números que existen en el sistema octal es: (7 ) ( 8 ) ( 8 ) = 448 PRACTICA DE CLASE 01. ¿Cuántos números tiene la siguiente sucesión: 52;57;62;67;72;.........; 382?. a) 64 d) 45 b) 67 e) 21 c) 80 02. ¿Cuántos numerales de dos cifras , todas impares menores que 9 existen?. a) 20 d) 16 b) 27 e) 23 c) 32 03. ¿Cuántos números capicúas existen en el sistema senario?. a) 25 d) 18 b) 30 e) 40 c) 32 04. ¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia: 27;29;30;32;33;35;.....................99?. a) 65 d) 49 b) 45 e) 76 c) 48 05. En la sucesión natural : 1;2;3;4;................;4444.. ¿Cuántas cifras se han escrito?. a) 16 569 d) 16 589 b) 16 669 e) N.a. c) 17 669 06. Si en la serie natural de los números se han empleado 1341 cifras. Hallar el último número escrito. a) 516 valores posibles “Ser los Mejores....” e) N.a. b) 483 c) 515 a) 1002 d) 984 b) 1280 e) 1204 c) 1008 08. ¿Cuántos números de la forma a (a-2) b (6 – b) existen en el sistema decimal?. a) 65 b) 74 c) 56 d) 87 e) 102 09. ¿Cuántos números de 4 cifras tienen una y sólo una cifra significativa?. a) 2187 d) 6541 b) 729 e) 1511 b) 24 e) 64 b) 60,480 c) b) 50 e) 72 c) 54 13. ¿Cuántos números capicúas de 3 cifras del sistema decimal no terminan en cifra 2?. a) 70 d) 80 S5AR1B b) 75 e) N.a. a) 48 d) 23 b) 46 e) 51 c) 78 c) 899 c) 24 16. ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras del sistema decimal tienen como suma de sus cifras 24? b) 49 e) 24 c) 21 17. En qué sistema de numeración hay 30 números de cuatro cifras de la forma: a a 1 b b 1 (n) a) 7 d) 12 b) 8 e) 14 c) 9 18. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? a) 500 d) 635 e) N.a. 12. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 5, 6, 8, 3, 1?. a) 48 d) 60 b) 990 e) 999 15. ¿ Cuántos números de tres cifras se escriben con un “5”, con un “7” y alguna cifras diferente de las anteriores ? c) 36 11. ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras pueden formarse con los 9 dígitos 1,2,3,... 9 y en los cuales no se repite ningún dígito?. a) 48,640 80,460 d) 46,800 a) 900 d) 998 a) 7 d) 30 c) 6961 10. Con los dígitos 1,3,5,8 y 9. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes mayores que 300, se pueden formar?. a) 20 d) 48 14. ¿Cuántos números de 5 dígitos tienen como, sus 2 últimas cifras 2 y 5 en este orden?. b) 625 e) 600 c) 675 19. ¿Cuántos números naturales de 5 cifras existen tales que su cifra de unidades sea un número impar y su cifra de 3er. orden un número par ? a) 2500 d) 22500 b) 5000 e) 25000 c) 10250 20. ¿Cuántos números capícuas impares de 8 cifras existen ? a) 9000 d) 6000 “Ser los Mejores....” b) 4500 e) 3500 c) 5000 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria PROBLEMAS PROPUESTOS N° 3 01. forma: a) 21 d) 42 ¿Cuántos números de la a(a b)b(7) existen ? b) 120 e) 56 c) 36 b) 260 e) 324 c) 286 03. Desde 123 hasta 3323 cuántos tres se han escrito. a) 1281 b) 1283 c) 1285 d) 1287 e) 1289 04. ¿Cuántos números de 7 cifras existen en base 2? a) 64 d) 606 b) 210 e) 840 c) 720 05. Encontrar el 45 término de la siguiente serie: 15 ; 22 ; 29 ; .......................... a) 316 d) 319 b) 317 e) N.a. avo 8 ; c) 318 06. ¿Cuántos términos de la siguiente serie están comprendidos entre 200 y 300. 7 ; 18 ; 29 ; 40 ; .................. a) 8 d) 5 b) 9 e) 6 07. Encontrar el primer término de 4 cifras de la siguiente serie: 12 ; 30 ; 48 ; 66 ; ................. S5AR1B c) 1004 b) 75 e) 81 c) 77 09. Hallar la cantidad de cifras que se emplean al enumerar las primeras 472 páginas de un libro. a) 1310 d) 1307 b) 1309 e) N.a. c) 1308 10. Para numerar un libro de abcpáginas se han utilizado 1866 tipos de imprenta. Calcular: a + b + c. a) 12 b) 19 c) 15 d) 16 e) 17 11. Dada la siguiente sucesión de números: 11 ; 22 ; 33 ; ....... ; abab si para escribirla se han empleado 142 cifras. Hallar: a + b a) 6 d) 4 b) 8 e) 2 c) 7 12. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen en base 9? a) 648 d) 576 c) 7 b) 1002 e) 1008 08. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética: 12n ; 17n ; 24n ; 31n ; ......; 620n a) 73 d) 79 02. ¿Cuántos números capicúas hay entre 222 y 22322 ? a) 240 d) 296 a) 1000 d) 1006 b) 729 e) N.a. c) 512 13. ¿Cuántos números de tres cifras , todas diferentes , de la base 8 terminan en 0 ó en 4 ? a) 78 d) 85 “Ser los Mejores....” b) 91 e) 72 14. En el sistema de base 9 cuántos números de 48 cifras terminan en 47? a) 9 d) 9 47 – 9 48 43 b) 8 9 e) 9 4 ( 9 47 46 c) 8 9 –2) 45 15. ¿Cuántos números naturales de 5 cifras existen tales que su cifra de unidades sea un número impar y su cifra de 3er orden un número par? a) 2500 d) 22500 b) 5000 e) 25000 c) 10250 16. ¿Cuántos números capicúas de 8 cifras de 4 cifras diferentes existen en base 7? a) 300 d) 1438 b) 1470 e) 720 c) 2688 17. ¿Cuántos numerales de la forma siguiente existen: c b (a c) (c a) b(14) a) 273 b) 224 c) 248 d) 216 e) 256 18. Al enumerar las últimas 100 páginas de un libro se emplearon 281 cifras. Averiguar cuántas páginas tiene el libro? a) 100 d) 183 b) 180 e) 94 c) 45 19. ¿Cuántos numerales de 3 cifras tiene por lo menos dos cifras 5? a) 20 d) 210 c) 84 S5AR1B b) 90 e) 27 c) 48 20. ¿Cuántos numerales capicúas pares de 5 cifras existen en el sistema decimal? a) 100 d) 900 b) 400 e) 2000 c) 125 TAREA DOMICILIARIA “Se escriben los dígitos 1, 3, 4, 6, 9 en orden aleatorio “ (para preguntas 1 y 2) 01. ¿Cuántos diferentes se dígitos ? a) 20 d) 72 números de 3 cifras pueden formar con tales b) 40 e) 90 c) 60 02. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5000, se pueden formar con estos dígitos ? a) 30 d) 48 b) 12 e) 60 c) 24 03. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 5, 7, 8, 3, 1. ? a) 48 d) 60 b) 50 e) 72 c) 54 04. ¿Cuál es la mayor cantidad de números de 2 cifras que se pueden formar con 2 fichas en las que se han pintado un dígito en cada una ? a) 2 d) 6 b) 1 e) 8 c) 4 a) 900 d) 998 b) 990 e) 999 c) 899 05. ¿Cuántos números de 5 dígitos tienen como sus 2 últimas cifras 2 y 5 en este orden ? 06. ¿Cuántos números de 6 cifras, no repetidas pueden formarse con las cifras: “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? a) 720 d) 90 b) 360 e) N.a. 07. ¿Cuántos números enteros y desiguales, mayores que 10 y menores que 100, se pueden formar con las 8 primeras cifras, no repitiéndose ninguna de ella? (las cifras se deben considerar a partir de 1). a) 100 d) 56 b) 86 e) N.a. c) 64 08.¿ Cuántos números enteros se expresan con tres cifras significativas distintas en el sistema decimal ? a) 900 d) 504 b) 729 e) N.a. c) 648 09. Se llama capicúa al número de varias cifras que se lee igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. ¿Cuántos números capicúa hay entre 100 y 1000? a) 500 d) 200 b) 10 e) 100 c) 90 10. El número de enteros de 4 dígitos mayores que 4000 y que terminan en 75 es : a) 90 d) 91 b) 60 e) 61 SOLUCIONARIO Nº 01. C D A 02. E C C 03. D B B 04. E C A 05. D B A 06. D C B 07. C A B 08. D A D 09. D D C 10. A A B 11. D D D 12. B B D 13. E A C 14. D D C 15. D D D 16. E B E 17. B A A 18. B D B 19. A D E 20. C E B c) 59 01. El ingreso de 20 familias se presenta en el siguiente cuadro. Determina el ingreso promedio de las familias. Número de familias 8 6 3 2 1 a) 196 d) 202 Ingreso(dólar es) 180 190 200 240 260 b) 172 e) 210 c) 195 02. La edad de un padre y su hijo suman 35 años. Si el padre tuviera 17 años menos y el hijo 8 años más los dos tendrían la misma edad. Determina Cuantos años tiene el padre. a) 30 años b) 25 años años d) 32 años c) a) 17, 18 d) 36, 21 S5AR1B b) 30 e) 41, 45 a) 60 d) 35 28 c) 35, 29 b) 55 e) 40 c) 20 05. Si la longitud y el ancho de un rectángulo de 6 cm y 10 cm se aumenta en la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo excede en 20 cm2 al doble del área original. ¿En cuanto se incremento las dimensiones originales? a) 4 cm d) 5 cm 03. Las pruebas de las compañías Ford Motor Company muestran que uno de sus modelos pueden viajar 480 millas con un tanque de gasolina. Si el tanque tiene 13, 6 galones. ¿Cuál es el promedio de millas por galón? copyright 2003 “Ser los Mejores....” CUATRO OPERACION ES Nº 1 PRACTICA CLASE Ejercicios Propuestos 01 02 03 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL S5AR1B 04. La receta de un panqueque dice que deben utilizarse dos huevos por cada 6 tazas de harina preparada. El departamento de bomberos planea una fiesta para la comunidad. ¿Cuántos huevos se necesitan, si van a utilizar 120 tazas de harina preparada? II c) 180 b) 2 cm e) 2, 5 cm c) 1 cm 06. Manolo reparte su dinero de la siguiente manera: a Fernando le da la cuarta parte, a Ricardo la tercera parte y a Juana la sexta parte, quedándole aún 3600 soles. ¿Cuántos le tocó a Fernando? a) S/. 1600 b) S/. 600 1200 d) S/. 1500 e) S/. 1000 c) S/. 07. En tres días Manuel ganó 185 dólares. Si cada día ganó los 3/4 de lo que ganó el día anterior. ¿Cuánto ganó el primer día? a) $ 80 d) $ 40 b) $ 81 e) $ 45 c) $ 60 08. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque, cuando el número de hojas arrancadas excede en 8 a los 4/47 del número de hojas que quedan? “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 5 de Febrero b) 6 de Febrero c) 7 de Febrero d) 4 de Febrero e) Ninguna de las anteriores 09. El lunes gasté la mitad de lo que tenía y S/. 2 más, el martes la mitad de lo que me quedaba y S/. 2 más, el miércoles la mitad de lo que me quedaba y S/. 2 más, el miércoles la mitad de lo que me quedaba y S/. 2 más y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía el lunes antes de gastar nada? a) S/. 22 d) S/. 28 b) S/. 24 e) S/. 30 c) S/.26 10. Una persona debe viajar 120 Km en un auto. Si aumenta la velocidad en 10 Km/h, llegará a su destino 2 horas antes. Si se decide por esta opción, ¿A qué velocidad viajo? a) 15 Km/h b) 30 Km/ h c) 25 Km/h d) 35 Km/h e) 18 Km/h 11. Halla dos números positivos consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados exceda en 43 a 1/11 del número menor. Da como respuesta el número menor. a) 22 d) 19 b) 23 e) 24 c) 20 12. Los pesos de dos vagones son iguales. El primer vagón se carga con 9000 Kg y el segundo con 1500 Kg. Resultando que el peso total del primer vagón es el doble que el segundo. ¿Cuál es el peso de cada vagón? a) 3000 Kg b) 4500 Kg c) 5000 Kg d) 6000 Kg e) 7500 Kg S5AR1B 13. La edad de Diana dentro de 4 años será un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá Diana dentro de 8 años? a) 15 años b) 18 años c) 20 años d) 14 años e) 25 años 14. Dos embarcaciones parten con direcciones Norte y Oeste, respectivamente, al mismo tiempo y del mimo embarcadero. Una hora después se ha separado 20 millas. Si una de ellas viaja 4 millas/h más rápidamente que la otra. ¿Cuál es la velocidad de cada una? a) 16 y 16 millas/ h b) 13 y 17 millas/h c) 12 y 18 millas/h d) 1 y 15 millas/h e) 10 y 14 millas/h 15. Un estacionamiento del centro de la ciudad de Lima cobra S/. 3 por la primera media hora y S/. 2,50 por cada hora adicional. ¿Cuál es el tiempo máximo que puede estacionar su auto, si no desea pagar más de S/. 15,00? a) 7 h d) 9 h b) 5, 3 h e) 7, 5 h c) 8, 5 h TAREA DOMICILIARIA Nº 1 01. Bob maneja desde columbus, hacia chicago, una distancia de 903 millas. Al mismo tiempo, Mickey comienza a manejar desde chicago hacia columbus. Si se encuentran después de 7 horas y la velocidad promedio de Mickey es de 15 millas por hora más que la velocidad de “Ser los Mejores....” Bod, determina la velocidad de cada auto. a) 50 y 65 millas/h b) millas/h c) 4 0y 45 millas/h d) millas/h e) 57 y 72 millas/h 45 y 60 55 y 70 02. Cuando empiezan a jugar A y B, la relación de lo que tiene A y lo que tiene B es de 10 a 13. Después de que A le ha ganado 10 soles a B, la relación entre lo que tiene A y B es de 12 a 11. Da como respuesta la suma de cifras de la cantidad de dinero con que empezó a jugar B. a) 10 d) 12 b) 9 e) 13 c) 11 03. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4, y si 5 veces el menor se divide entre el mayor, el cociente es 2 el residuo es 17. Da como respuesta la diferencia de dichos números. a) 25 d) 29 b) 26 e) 28 c) 27 04. Las dos terceras partes de la edad del Alberto excede en 6 años a la edad de Bruno y hace 6 años la edad de Bruno era los 2/9 de la edad de Alberto. ¿Qué edad tiene Alberto? a) 20 años b) 24 años c) 16 años d) 22 años e) 26 años 05. ¿Cuál es el número que multiplicado por 10/3 de un producto igual al noveno de su cuadrado más 25? S5AR1B a) 5 d) 35 b) 15 e) 45 c) 25 06. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas. Lleno solo hasta 3/5 pesa los 7/4 del vagón vacío. Halla el peso de la carga (Cuando esta lleno el vagón de cal) y el peso del vagón vació en toneladas. a) 7 y 20 d) 18 y 19 b) 14 y 13 e) 15 y 12 c) 10 y 17 07. Para la rifa de un cuadrado se pusieron a la venta 1890 boletos y se calculo que si se vendían todos, se lograría una ganancia de $ 10680, pero solo se vendieron 980 boletos, originándose una perdida de $240. Halla el precio del cuadrado. a) $ 8400 b) $ 9600 c) $11000 d) $ 10000 e) $ 12000 08. Todos los días Carmen va a la bodega a comprar queso y jamón. En ambos productos gasta $ 2 diarios. Si un dólar equivale a S/. 3, 5. ¿Cuántos soles gasto el mes pasado? a) S/. 190,5 b) S/. 164,8 c) S/. 195,3 d) S/. 217 e) S/. 210, 5 09. La diferencia de los cuadrados de las edades de Juan y José es 31.Si se sabe que nacieron en años consecutivos, halla la suma de dos veces la edad del menor más la edad del mayor. a) 46 d) 43 b) 49 e) 31 c) 52 10. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo, 9 y si 3 “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA DIVISIB 5to. Año Secundaria veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 1 y el residuo 14. Halla el mayor número. a) 23 d) 52 b) 55 e) 25 c) 32 11. Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay? a) 10 d) 30 b) 20 e) 24 c) 18 12. Se compro un objeto que se vendió por 5789, obteniéndose una ganancia igual al doble del precio de compra más 497. Da como respuesta la suma de las cifras de compra de dicho objeto. a) 14 d) 18 b) 15 e) 17 c) 16 13. Un avión puede viajar a 540 millas por hora a favor del viento y 480 en contra del viento. Determina la velocidad del avión sin viento y la velocidad del viento, en millas por hora. a) 510 y 30 b) 500 y 25 c) 450 y 22 d) 510 y 25 e) 525 y 40 14. Robin colecciona monedas de dólar de 1 onza de oro. Su colección consta de 14 monedas, que son águilas de Estados Unidos u hojas de maple de Canadá. El valor total de su colección es de $ 6560. si las águilas tiene un valor de $ 480 cada una y las hojas de maple valen $ 460, determina el número de águilas y hojas de maple que tiene Robin. S5AR1B a) 11 y 3 d) 6 y 8 b) 5 y 9 e) 7 y 7 c) 10 y 4 15. Cuando yo nací, mi padre tenía 38 años. ¿Qué edad tiene mi padre, si actualmente nuestras edades suman 80 años? a) 55 años b) 59 años c) 53 años d) 60 años e) 61 años 16. La compañía Creyel planea incrementar la cantidad de empleados en 25 por año. Si actualmente tiene 427 empleados. ¿Cuánto tiempo pasará para que tenga 627? a) 6 años d) 2 años b) 4 años e) 10 años c) 8 años 17. Una persona compró por S/. 180 cierto número de libro. Si hubiera comprado 6 litros menos con el mismo dinero, cada libro habría costado S/. 1 más. ¿Cuántos libros compró? a) 36 d) 34 b) 18 e) 25 c) 32 18. A un alambre de 37 m de longitud se le hizo tres cortes, de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior, más 1/3 de dicha longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? a) 7 m d) 32 m b) 12 m e) N.a c) 16 m 19. Pancho compra 10 decenas de chocolate a S/. 2 cada uno y recibe 13 chocolates por docena. En la factura le hacen un descuento de S/. 15,50. Si vende “Ser los Mejores....” cada uno en S/. 3. ¿Cuánto ganará al vender todos los chocolates? a) S/. 155 d) S/. 145 b) S/. 165 e) s/. 160 c) S/. 165,5 20. Un estante de libros tiene capacidad para 36 litros de aritmética y 40 de álgebra o para 48 litros de aritmética y 35 de álgebra. ¿Cuántos libros de aritmética entrarán en el estante? a) 68 d) 120 b) 125 e) 132 c) 100 21. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas, pero tanto en las sillas como en las mesas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió, si las mesas cuestan S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 96000 en total? a) 10 d) 13 b) 11 e) 15 24. A un alambre de 104 m se le hizo tres cortes. Si cada parte resultante es igual a la anterior aumentada en su mitad. ¿Cuánto mide el pedazo de alambre más pequeño? a) 28,8 m d) 43,2 m a) 15 d) 19 c) 12 a) 1,3 pies b) 1,4 pies c) 1,5 pies d) 1 pie c) 2 pies 23. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos. Si se compran 9 litros de leche adulterada que pesa 9210 gramos. ¿Cuántos litros de agua contiene? (1 L de agua pesa 1000 gramos). S5AR1B b) 3 e) 2 c) 21,8 m 25. Se tienen S/. 12 en 33 monedas de S/. 0,50 y de a S/. 0,20. halla el número de monedas de a S/ 0, 20 que se tiene. 22. Una bandera de 4 x 3 pies tiene una cruz blanca de ancho uniforme sobre fondo rojo. Encuentra el ancho de la cruz, si esta se extiende de orilla a orilla sobre la bandera y es exactamente la mitad de la superficie total de la bandera. a) 1 d) 7 b) 19,2 m e) 15,8 m c) 5 “Ser los Mejores....” b) 17 e) 14 c) 18 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria DIVISIB I. Definición de Divisor: Se dice que B es divisor de A, cuando lo divide en forma entera y exacta. Es decir: Si: A es número entero. B es número A B natural. K entero. K es número - 66 = 3(22) 66 es múltiplo de 3 Notación: 66 = º 3 Tambien se dice que 3 es factor de 66 3. Observación: 3.1. Cero es múltiplo de todos los números naturales. Ejm: 0 - B es divisor de A ó A es divisible por B. Ejm: 80 - 5 16 5 es divisor de 80 ú 80 es divisible por 5. 2. Definición de Múltiplos: Se dice que A es múltiplo de B, cuando lo contiene un número entero y exacto de veces. Donde Es decir Si: A es número entero. B es número A B natural. K entero. K es número 3.2. La unidad es divisor (o factor) de cualquier número entero Ejm: 66 “Ser los Mejores....” 1 12 Nótese que los múltiplos de 5 pueden escribirse como el producto de 5 por un número entero. 3.3. Un número natural puede tener múltiplos negativos. Es número 7 6 43 6 43 = 7(6) + 1 = 7(7) - 6 º +1 43 = 7 º -6 = 7 5 -7 - 35 es divisibilidad por 5 - 35 es múltiplo de 5 º - 35 = 5 Nótese: º 7 7 7 43 43 (División por defecto) exceso) - 35 (División por º -6 +1= 7 Suman 7 º +3 = 4 º -1; 14 º También 4 -5 º = 14 +9 3 S5AR1B = 5. Número No Divisible: Sabemos que un número es divisible por otro cuando la división es entera y exacta. Pero cuando dicha división tiene un residuo, diremos que el dividendo es múltiplo del divisor más el residuo. Así: 43 1 1 es divisible de 12 Ejm: …- 15, - 10, - 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, …. …- 5(-3), 5(-2), 5(-1), 5(0), 5(1), 5(2), 5(3). entero 0 = 7 (0) 0 es múltiplo de 7 12 - 4. Estructura de los múltiplos de un número Todos múltiplos de un número se pueden generalizar. Así por ejemplo, los múltiplos de 5. Es decir: 5 5(K) 7 0 Ejm: A = B(K) A es múltiplo de B º Notación: A = B Tambien se dice que B es factor de A S5AR1B 22 “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Suman 4 Suman 14 Un numeral es divisible entre 3 (o entre 90) si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9). 6. Operaciones con Múltiplos: º + n º =n º 6.1. n º . n un exponente º + r)m = n º + rm 6.6. ( n n + r)m # impar a + b + c + d = Calcular el valor de «x» sabiendo que 67x414 es divisible entre 9. Resolución: Entonces: º 6 + 7 +x +4 +1 + 4 = 9 º 22 + x = 9 x=5 Criterio de Divisibilidad entre 11 º + rm ; m = # n º º abcd =9 º 67x414= 9 º + r1)( n º + r2)( n º + r3)…= 6.5. ( n º + r r r … 1 2 3 n ( a + b + c + d = Ejercicios: - º )E = n º 6.4. ( n par º abcd = 3 º 9 º - n º = n º 6.3. n º K=n “E” º - rm ; m = n º n Nota: =??(no se puede predecir el º n resultado) CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo. Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11. +-+-+ abcde º e = 11 +-+-+ º = 11 a–b+c+d+ Ejercicio: ¿Cuál es el valor que debe tomar “y” para que el numeral 14 y17 sea divisible entre 11? Resolución: Criterios de divisibilidad entre 3 ó 9 S5AR1B 1 – 4 + y + 1 + 7 = º 11 º 3 + y = 11 y=8 º 3 º - n º =n º 6.2. n Siendo natural Entonces: “Ser los Mejores....” 14 y17 = +-+-+ º 11 Criterios de divisibilidad entre Potencias de 2 Un numeral es divisible entre 25 y si y sólo si el numeral formado por sus 2 últimas cifras son ceros ó múltiplos de 25. Un numeral es divisible entre 125 si y sólo si el numeral formado por sus 3 últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125. abcde= Un numeral es divisible entre 2(21) si y sólo si, su ultimo cifra es cero ó par. Un numeral es divisible entre 8(22) si y sólo si el numeral formado por sus 2 últimas cifras son cero o es múltiplo de 4. Un numeral es divisible entre 8(23) si y sólo si el numeral formado por su 3 última cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. abcde= º 2 º abcde= 4 º = abcde 8 e= º 2 º de= 4 º = cde 8 Ejercicio: ¿Qué valor debe asignársele a «z» para que el numeral 11443z sea divisible entre 8? º Resolución: 11443z = 8 º 43z = 8 Como 8 = 23 z=2 Criterios de Divisibilidad Productos de 5 Un numeral es divisible entre 5 si y sólo si su ultima cifra es 0 ó 5. S5AR1B e=0 ó5 abcde = º 25 de= º 5 abcde = º 125 cde= º 125 Ejercicios: ¿Cuál es el valor de la suma de los valores que deben reemplazar a «M» y «N» en el numeral 87653 MN para que sea divisible entre 125? Resolución: 87653 MN = º 125 Como 125 = 53 3MN = º = 375 125 Luego: M=7 ⋀ N=5 Criterio de Divisibilidad entre 7 Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3… y llego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 7. a b c de f entre º 5 º f=0 ó 7 231231 - + Ejercicio: “Ser los Mejores....” ⇒-2a -3b –c+2d + 3e+ 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria ¿Cuál es el valor de «a» si el numeral 13a372 es divisible entre 7? Criterios de Divisibilidad entre 33 ó 99 Resolución: º 13a372=7 231231 Entonces: + -2 – 9 – a + 6 + 21 + 2 º =7 18 – a º = 7 a= 4 Criterio de Divisibilidad entre 13 Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; -3; -4… y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 13. º a b d c e f = 13 ⇒4a+ 3b– c – 4d– 3e+ f 4 31431 º ó 13 ++- - -+ = 0 ¿Qué valor debe tomar “b” en el º ? numeral 128b306 = 13 Resolución: 1 2 8 b30 6 = º abcde= 33 a +10b +c + º 10d+e = 33 º abcde= 99 º 10d+e = 99 a +10b +c + Ejercicios: Calcular (d+e) si el numeral 56d01e es divisible entre 99. 1 33143 1 º 1 + 8 +24 – b – 12 – 0 + 6 = 13 º 27 – b = 13 b= 1 º ax b º Ejm: Si N = 15 º = 3 8.2. Si “Ser los Mejores....” A= º p ⇒N = ⇒N = A= º r a) 16 d) 4 A = º mcm (p, q, r) º A = 12 8.3. Si: º 24 A= º +r A= P º + r A = Q A = mcm º +r A= R +r (P, Q, R) Ejm: º +2 A= 5 º A= 7 +2 +2 º +2 A= 8 A = mcm (5; 7; 8) º A = 280 +2 º a y º yN 5 01. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 12 y terminan en la misma cifra 6? a) 8 d) 12 b) 7 e) N.a c) 15 02. ¿Cuántos números de la siguiente sucesión: 47; 53; 59;…; 809 son múltiplos de 11 más 2? a) 9 d) 12 b) 10 e) 8 c) 4 03. Si el número abcdes divisible entre 13 y se cumple que S5AR1B cd = 3. ( ab+ 2). Calcular: “a + d”. PRACTICA DE CLASE Nº 2 10(5) + 1(6) + 10d + 1(0)+ 10(1) + e º = 99 º 66 + de = 99 de = 33 Luego: d = 3 e = 3 d+e=6 8.1. Si: N = º b N = A = º A= 3 º A = 8 Resolución: 8. Propiedades: Entonces: S5AR1B Un numeral es divisible entre 99 si al multiplicar a cada una sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1;… y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 99. Ejm: 56d01e = 99 Ejercicio: º 13 Un numeral es divisible entre 33 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1;... y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 33. º A = q º mcm (p, q, r) 04. Hallar a. a) 1 d) 7 b) 12 e) 15 Si b) 2 e) N.a c) 8 2a84 = c) 3 2 05. abc siempre está divisible entre: a) 5 d) 13 b) 2 e) 11 º . 19 2 cba c) 7 06. Calcular la suma de los valores de “a” de modo que el capicúa a55a al ser dividido entre 4 la división sea exacta. a) 10 d) 8 b) 12 e) 20 c) 6 07. Cuantas cifras 8 es necesario aumentar a 43752 para que el resultado sea múltiplo de 9. a) 3 d) 7 b) 4 e) 10 c) 5 08. Sabiendo que 481129 + 5+5+5+5 “n” veces +….+ 5 = º 7 . Hallar el menor valor de “n”. a) 6 d) 8 b) 5 e) 9 c) 7 09. La suma de los números de tres cifras diferentes, que se pueden formar con las cifras a, b y c, siempre será divisible entre: “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 74 d) 18 b) 78 e) 42 c) 12 10. Si: al ser 357a2 dividido entre 9, el resto obtenido es 4. Hallar “a”. a) 1 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 11. Si N = a5(a + 4) 2a es múltiplo de 8. Hallar “a” a) 2 d) 6 b) 3 e) 0 c) 4 Sabiendo que: abc= º . º , ab = 17 º , =5 cba 8 Hallar el valor de “a + b + c” a) 5 b) 9 c) 11 d) 8 e) 10 dos dígitos en orden invertido, entonces el resultado no es siempre divisible por: a) 9 b) El producto de los dígitos. c) La suma de los dígitos. d) La diferencia de los dígitos. e) 11 17. Al convertir N, al sistema de bases 8. ¿Cuál es su cifra de unidades?. Sabiendo que: N = 52 + 94 + 136 + … + 120p1206 a) 3 d) 5 12. 13. Si 8xyx5y es divisible entre 88. Dar como respuesta el valor de “x + y” a) 6 d) 2 b) 3 e) 15 c) 4 14. ¿Cuántos números divisibles por 99 pueden formarse al cambiar por cifras las letras “a” y “b” en el número 7a5b63 ? a) 2 d) 5 15. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones, se ha podido observar que los 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran economistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso? a) 265 d) 295 b) 275 e) 305 c) 285 16. Si el cuadrado de un número de los dígitos se le quita el cuadrado el número formado por los S5AR1B 18. Sabiendo número no múltiplo expresión: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 23. En el sistema de base 8, la cifra de las unidades del número 436543. 793767 es: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 24. ¿Cuál es la última cifra en base 9 de: 256652? a) 1 d) 4 a) 101 d) 111 c) 3 c) 3 b) 011 e) N.a c) 110 EJERCIOS PROPUESTOS Nº 1 01. c) 1 b) 2 e) 5 25. Si 343343 se convierte a base 2. ¿Cuáles son sus tres últimas cifras? Cuantos º 2 y º 7 pero no º hay entre 45,000 y 120,000? 15 a) 1000 d) 4000 “p” un de 5, la 02. A b) 2000 e) 5000 c) 3000 partir de: 15x 16x17x .......... .......... .= E = 32p32 + 36p36 + …. + 120p120; "n"factores es: º 6. Hallar “n” 13 a) 5 + 1 d) 5 + 4 b) 5 + 2 e) 5 c) 5 + 3 a) 4 d) 15 19. Si “n” no es divisible entre 3, entonces cuando H = n 2 + n4 + n6 + … + n20, se divide entre 3 el resto es: a) 0 d) n – 3 b) 3 c) 4 e) Más de 5 b) 2 e) N.a 22. Hallar el resto de dividir 2200 entre 7. b) 1 e) n 03. b) 9 e) N.a “Ser los Mejores....” b) 8 e) 5 En la siguiente serie: 200términos ¿Cuántos existen? c) 2 a) 8 d) 14 términos b) 10 e) N.a º 17 + 2 c) 12 º 04. ¿Cuántos 13 + 10 hay en la serie: 29; 37; 45; 53;…; 4 517? a) 43 d) 23 c) 7 b) 48 e) N.a c) 50 05. Se compran panetones y tortas a $4 y $7 respectivamente. Si el gasto fue de $123 en total. Determinar la suma de los números de panetones más los de tortas, si el 21. Hallar el resto de dividir 7421 entre 9. a) 7 d) 3 c) 11 23, 31, 39, 47.......... .. 20. Hallar el residuo de dividir el número: H = 13 + 23 + 33 + … + 803 entre 19. a) 11 d) 5 b) 7 e) N.a c) 1 S5AR1B “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria producto de estos números es lo máximo posible. a) 4 d) 12 a) 22 b) 24 c) 26 b) 28 e) 30 06. Determinar el valor x para que al dividir el número 90x 1738 por 11 tenga el mismo resto que el número: 123123123. ...............123divididopor 9 300Cifras a) 5 d) 2 b) 3 e) N.a 07. (2727)49 + (4753)21 x (12 729)15 en base siete b) 1 e) 4 08. dividir: c) 2 Hallar el mayor resto de 2 abc + 4 abc+…+ 256 abc entre 3. a) 3 d) 2 b) 5 e) N.a c) 6 09. Si el 25 se convierte a base 9. ¿En que cifra termina? 234 a) 6 e) 2 b) 4 e) 1 10. Si: ab= ef = º 7 º 7 d) 11 TAREA DOMICILIARIA Nº 2 01. En el hospital hay 180 internos. De los que son dados de alta, se sabe que: 2/5 tienen problemas cardiacos, 3/7 son casados y 2/3 padecen de artritis. ¿Cuántos pacientes seguirán en el hospital? a) 108 d) 75 b) 105 e) 95 c) 210 a) 50 d) 48 b) 45 e) 72 c) 36 03. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 3 ó 5, pero no de 12? a) 324 d) 345 b) 275 e) N.a c) 245 04. De la serie: 20; 32; 44; 56;….. Hallar el mayor número de tres º + 2. Dar la suma cifras que sea 9 la sus cifras. a) 20 d) 22 05. b) 18 e) N.a c) 16 El número de la forma: º +2 aaa ........= 9 . Hallar “a” c) 8 40Cifras ab = º 7 -3 +2 +1 abcdefabcd ef Luego: al dividirlo 20 Cifras entre 7. ¿Cuánto dará de residuo? S5AR1B c) 10 02. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 18? c) 8 En que cifra termina: a) 0 c) 3 b) 8 e) N.a “Ser los Mejores....” a) 8 d) 3 b) 4 e) 2 c) 5 06. Todo número de la forma (2a) a (2b)b es siempre divisible por: a) 7 S5AR1B b) 8 c) 9 “Ser los Mejores....” e) 5 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 07. valores de Hallar la suma de x, para los cuales: 52x3x1=º 3 a) 18 d) 15 b) 12 e) N.a a) 17 d) 20 c) 9 08. Podría ahorrar 20 soles diarios pero cada mañana de sol, gasto 9 soles en helados y cada mañana de frió gasto 6 soles en café. Si ya tengo ahorrado 258. ¿Cuántos días ahorré? a) 19 b) 22 b) 21 e) 23 c) 20 º Si ab = 13 + 5; º + 6. ¿Qué residuo se cd = 13 obtendrá al vivir abcd entre 13? 09. a) 9 d) 2 10. Hallar a. a) 2 d) 5 b) 10 e) 8 c) 11 º + 5. Si aaaa = 37 b) 3 e) 6 b) 11 e) 77 c) 9 S5AR1B b) 4 e) N.a c) 7 a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 19 b) 6 e) 4 b) 8 e) 5 a) 2 e) 5 b) 3 e) 6 19. son?: Hallar x +y + z a) 7 d) 2 c) 9 b) Faltan datos e) 5 c) 11 22. Si el cuadrado de un número de 2 dígitos diferentes, se le resta el cuadrado del número formado por los 2 dígitos en orden invertido, el resultado es divisible por: c) 8 a) 7 b) El producto de los dígitos c) La suma de los cuadrados de los dígitos d) La diferencia de los dígitos e) 13 c) 7 23. ¿Cuántos números entre 200 y 1800 son divisibles entre 3 y 5 pero no entre 8? c) 4 a) 106 d) 90 b) 96 e) N.a c) 93 24. ¿Cuántos valores puede tomar ab sabiendo que el número de la forma: 4a2baa2 es divisible entre 56? c) 12 a) 1 d) 3 ¿Cuántos de 2 cifras, º ó II. Ni 2 b) 2 c) 4 e) Más de 4 Si: º 1a + 2a + 3a + ......+ 10a = 9 Hallar “a”. º 3 “Ser los Mejores....” c) 15 Si a > c, la diferencia 25. º ó 3 º I. 2 b) 18 e) 9 abc- cba es múltiplo de: 18. La expresión n3 – n, donde “n” es entero positivo, siempre será divisible entre: b) 9 e) 6 20. 21. 16. Para qué valor de “a”, el número 16a6 al ser dividido entre 41 su resto sea 5. a) 9 d) 5 c) 20; 30 a) 20 d) 12 15. Si: nqp= 88. (n – p + q) hallar “q”. a) 9 d) 5 b) 60; 30 e) 30; 90 º Si 4x4yz = 1125 14. ¿Cuántos números de la forma 7a361b , son divisibles entre 11? a) 4 d) 5 12. ¿Cuántos números enteros de 4 cifras existen, tales que sean divisibles por 11 y terminen en 17? a) 2 d) 8 b) 18 e) 16 a) 60; 20 d) 30; 50 17. Calcular “a”, si el número 7a5 es divisible por 17. c) 4 11. Si a la derecha de un número de 3 cifras se repite el mismo número, el número de 6 cifras formado no siempre es múltiplo. a) 7 d) 13 13. Al dividir 242424…(325 cifras) entre 32, el resto que se obtiene es: S5AR1B “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 5to. Año Secundaria 2 ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 6 d) 5 b) 7 e) 8 c) 9 26. Si “n” no es divisible entre 3, entonces cuando H = n 2 + n4 + n6 +…+ n20, se divide 3 el resto es: a) 0 d) n – 3 b) 1 e) n 27. Hallar dividir el número: NÚMEROS c) 2 el residuo I. NÚMEROS PRIMOS: Número primo o primo absoluto, es aquel que admite únicamente dos divisores, siendo estos divisores: la unidad y él mismo. de H = 13 + 23 + 33 +…..+ 803 entre 19? a) 11 d) 5 b) 9 e) N.a Ejemplo: c) 7 Número 2 3 5 7 … Divisor 1 es 2 1 3 1 5 1 7 … 28. ¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos de 2 ó 3? a) 60 d) 15 b) 45 e) 75 c) 30 LA UNIDAD: Es un número especial que sólo tiene un divisor. 29. ¿Cuántos términos de la siguiente serie son múltiplos de 38? 18.1; 18.2; 18.3;….18.100 a) 48 d) 51 b) 49 e) 52 Nota: La serie de los números primos es ilimitada; no existe aún fórmula que determine totalmente a los números primos. c) 50 30. Hallar el residuo de dividir: E = 12 + 22 + 32 +….+ 802 entre 6. a) 0 d) 3 b) 1 e) 5 26 … 9 1 … 26 9 La unidad (1) no es un número primo porque admite sólo un divisor. II. NÚMERO COMPUESTO: Se denomina así a todos aquellos números que tiene más de dos divisores. c) 2 Ejemplo: 4: 6: 8: 10: 12…………….: etc. Dado el numeral 30 tenemos lo siguientes: S5AR1B “Ser los Mejores....” S5AR1B Númer Divisores ⇒Divisor Unidad o ⇒Divisores 30 1 Primos 2: 3: 5 ⇒Div. Compuestos “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 6:10:15:3 0 III.NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI): Dado un Conjunto de dos o más números, diremos que son primos entre sí (PESI), si es que el único divisor común que comparten es la unidad. Ejemplo: Sean los números 4. 6. 15 Div 4 ⇒ 1: 2: 4 Div 6 ⇒ 1: PESI 2: 3: 6 4: 6 y 15 son SN = 1 a 1 a 10 1 b . b 1 PN = IN = Ú a) Cantidad de divisores de (DN): DN = ( + 1) . ( + 2) . ( + 1) b) Suma de divisores (SN): S5AR1B “Ser los Mejores....” c . 1 c1 02. De los divisores de º pero no 43200. ¿Cuántos son 2 º ? son 3 1 a) 16 d) 22 DN N 2 a) 2 d) 8 SN N VI.FUNCIÓN DE EULER: (N) Llamado también indicador de un número y nos dice cuantos enteros positivos menores que N son PESI con N. Si: N = a . b . c Factores primos diferentes Luego, la cantidad de números que son menores y PESI con N está dado por: (N) = 1 1 1 . 1 . 1 N 1 a b c PRACTICA DE CLASE Nº 3 01. ¿Cuántos tiene 2020? a) 858 d) 429 S5AR1B divisores b) 364 e) N.a b) 18 e) 24 c) 20 03. ¿Cuántos ceros debe tener el número N = 200…00 para que admita 56 divisores? d) Suma de inversa de divisores (IN): nico divisor común V. FORMULAS IMPORTANTES: Sea el numeral N = a. b. c son factores primos y (?) son exponentes de dichos factores. c) Producto de divisores (PN): Div 15⇒ 1: 3: 5: 15 IV. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA: Todo número entero positivo se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes. Esta descomposición es única y recibe el nombre de descomposición canónica. Ejemplo: Sea N un número compuesto, tal que: N = a . b . c Donde: Divisores primos: a; b; c Exponentes positivas: 1 compuestos c) 728 “Ser los Mejores....” b) 4 e) 10 c) 6 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 04. Si: N = 72n. Hallar “n” para que N tenga 117 divisores. a) 3 d) 7 b) 4 e) 8 c) 5 05. Si M = 36.36……….36 (“n” factores) Hallar “n” para que M tenga 169 divisores. a) 3 d) 12 b) 6 e) 13 b) 2 e) 10 c) 6 b) 3 e) 6 01. Cuántos términos deben tener el siguiente producto para el resultado sea un número que tenga 961 divisores. P = 36 x 362 x … x 36n a) 5 d) 10 b) 6 e) N.a c) 26 03. Determinar el número amigo de 2924 a) 2 620 d) 6 426 c) 4 b) 24 e) 30 b) 5 544 e) 4 356 a) 120 d) 130 b) 240 e) 278 el menor tiene 20 c) 4 362 04. Sabiendo que 10 x 25 tiene 33 divisores, hallar m + n. c) 280 09. ¿Cuántos números son menores y primos entre si con 100? a) 12 d) 40 b) 16 e) N.a c) 32 10. Sabiendo que el número aaa tiene 8 divisores. Dar la suma de todos los valores de “a” a) 2 d) 12 S5AR1B b) 7 e) 23 c) 14 a) 5 d) 9 b) 8 e) 6 n c) 4 05. Cuántos divisores primos como máximo puede tener. 3 551 x a (a<10) a) 4 d) 15 b) 32 e) 18 c) 16 06. El número P = 221 701 – 1 es primo ¿Cuál de los siguientes números contiene a un número primo mayor que P? a) P! d) (P+1)! “Ser los Mejores....” b) (P-1)! e) P!! + 1 b) 4 095 e) N.a 13. Hallar la suma de los divisores que tiene el mayor capicúa de cuatro cifras que es múltiplo de siete. c) 255 a) 1288 d) 24576 08. El sistema de factores primos de N es: N = 27 x a x b y la suma de sus c) 8 m 08. ¿Cuál es número entero que divisores? a) 1 d) 2 047 02. Hallar el número de la forma aabb tal que posea 21 divisores y uno de sus dos factores primos es 2; dar la suma de sus cifras. a) 22 d) 28 07. El número 6n + 2. 4n tiene 141 divisores compuestos. Calcular “n”. a) 2 d) 5 07. Determinar la suma de todos los divisores comunes a los números: 19 456; 17 408 y 13 312. c) 9 06. Al multiplicar por 33 al numeral A = 21x11 n se duplica su cantidad de divisores. a) 1 d) 7 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 2 C) P2 divisiones es 85 de N. Determinar 28 a+b a) 8 d) 14 b) 10 e) 16 c) 12 09. Un número tiene dos divisores primos y en total 15 divisores. Si la suma de sus divisores es 403. Determinar la suma de las inversas de todos sus divisores. a) 1.60 d) 2.80 b) 2.40 e) 3.20 c) 2.60 10. Cuál es la mayor potencia de 11 que divide a factorial de 1000 a) 90 d) 98 b) 92 e) 99 c) 12 11. Hallar cuantos divisores tiene: N = 18a x 12b x 3a SN tiene 187 divisores. a) 143 d) 136 b) 154 e) N.a c) 156 12. Si el número: N = 10a x º b x 2 tiene 63 divisores 50 . º Determinar cuantos divisores 36 tiene. 5 a) 30 d) 28 S5AR1B o b) 42 e) 36 c) 24 “Ser los Mejores....” b) 6144 e) N.a c) 3072 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 14. Si “m” y “n” son dos números cuya diferencia es 3. Hallar m + n si 3m + 3n tiene 36 divisores. a) 9 d) 15 b) 11 e) 16 c) 13 15. Si el producto de los divisores de un número es 5 18 x 712. Determinar la suma de las inversas de los divisores de dicho número. a) 1 2565 4 b) 2 6125 5 d) 1.5 c) 1 e) N.a 01. ¿Cuántos divisores 820 son divisores entre 4? b) 2 e) 5 c) 3 02. ¿Cuántos divisores de 14399 no son compuestos? a) 8 d) 4 b) 7 e) 6 c) 5 b) 5 e) 8 c) 6 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 de n y c) 3 05. Si el número 40 x 15 m tiene 116 divisores compuestos. Hallar “m” S5AR1B c) 3 b) 3 e) 6 c) 4 08. Si N = 2 n x 33 se le multiplica por 10 su cantidad de divisores aumenta en 20 calcular la suma de cifras de N. a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8 12. ¿Cuántos rectángulos de 3024 cm2 de área existe, tale que tenga sus lados número enteros de centímetros? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24 13. Si M = 2x3x6 n x 5 n tiene 48 divisores. Determina, º pero no múltiplos cuantos son 5 de 25. a) 12 d) 18 b) 36 e) 35 a) 9 e) 19 “Ser los Mejores....” c) 13 1 Divisores 2 comunes 4 8 1 2 divisores 3 4 6 12 1. Todos los divisores comunes de un conjunto de números, son los divisores del MCD. 1, 2 y 4 En el ejemplo Divisores comunes de 8 y 12 c) 6 son los divisores de 11. Sabiendo que P = 2 x 33 x 5b; tiene 50 divisores cuya º y 80 divisores suma de cifras es 9 cuya cifra de menor orden es par. Determinar: a + b b) 7 e) 8 b) 11 e) 20 I. MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD): Es el mayor de los divisores comunes que tienen un conjunto de números dados. Ejemplo: 8 12 PROPIEDADES FUNDAMENTALES c) 48 a a) 11 d) 9 c) 16 MAXIMO COMUN MCD (8, 12) = 4 10. Si al número: N = 2 a x 7b se le multiplica por 8, su número de divisores aumenta en 12 y si se le multiplica por 49 aumentan en 10. Hallar: a + b b) 5 e) 8 b) 14 e) 20 14. ¿Cuál es el menor º número que es 15 y tiene 15 divisores? Indica la suma de cifras. 09. ¿Cuántos números de la forma ab son primos relativos con 15? a) 4 d) 7 04. Si el número divisores de los números 300 16x90 n son iguales. Hallar “n” b) 2 e) 5 07. Si se sabe que el número 18 x 30 n , tiene el doble cantidad de divisores de 18 n x 30. Calcular el valor de “n”. a) 40 d) 42 03. Sean: A = 3.21 n y B = n 98 . Hallar “n”, Si el número de divisores de A y B están en la relación de 2 a 3. a) 4 d) 7 a) 1 d) 4 a) 2 d) 5 TAREA DOMICILIARIA Nº 3 a) 1 d) 4 a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 06. Hallar “K”, si N = 12x6 k es un número que tiene la mitad del número de divisores de 43200. 4 MCD 2. Para un conjunto de números dados, se cumple que cada uno de ellos se múltiplo de su MCD. En el Ejemplo: 8 = m (4) 12 = m (4) donde 4 es el MCD c) 10 S5AR1B “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 3. Si dos números son PESI, entonces su MCD es la unidad. 45 15 18 6 75 25 3 ⇒MCD = (360, 144, 600) = 23 x 3 = Ejemplo: 4 y 5 son PESI Entonces: MCD (4, 5) = 1 24 4. Si un número es múltiplo de otro, entonces el MCD, los cocientes obtenidos son PESI. Ejemplo: 20 y 4 ⇒MCD (20, 4) = 4 5. Si se dividen varios números entre su MCD, los cocientes obtenidos son PESI. Ejemplo: 8 y 12 ⇒MCD (8, 12) = 4 8 12 = 2; = 3 Luego: 2 y 3 4 4 son PESI METODOS PARA EL CÁLCULO DEL MCD 1. Descomposición en Factores Primos: Consiste en descomponer los números dados en sus factores primos en el MCD será el producto de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes. Ejemplo: 35280 = 24 x ; 32 x 5 x 42 693000 = 2 3 x 32 x 53 x 7 x11 218400 = 25 x 3 x 52 x 7 x 13 3. Por el “Logaritmo de Euclides”: o divisiones sucesivas. Ejemplo: Hallar el MCD de 168 y 126 1 Ejemplo: S5AR1B 360 180 90 144 600 72 300 36 150 168 126 2 “Ser los Mejores....” 42 MCD 42 0 Residuos A = 118.12 = 1416 B = 51.12 = 612 Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores comunes admiten los números: A = 18 4x813; B = 275x723; C = 483x 842? Resolución: Los divisores comunes son todos los divisores del MCD (A; B; C) A = 24 . 320 B = 29 . 321 C = 216 . 35 . 72 MCD (168, 126) = 42 Ejemplo 1: El MCD de los números: 36K, 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los números. Resolución: MCD (36K; 90K) = 18 K 18K = 1620 K = 90 El menor número: 36. 90 = 3240 Ejemplo 2: La suma de dos números e 2028 y los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides fueron: 2; 3; 5 y 3 Hallar dichos números. Resolución: Sean los números A y B (A > B) 2 2 2 3 Cociente ⇒ MDC = 23 x 3 x 5 x 7 = 840 2. Descomposición simultánea: Consiste en extraer a los números todos los factores comunes posibles. El MCD será el producto de ellos. Los números serán: A 3 B 5 16K MCD (A; B; C) = 24 . 3 5 DMCD = 5 . 6 = 30 30 divisores comunes Ejemplo: Cuatro barras de longitudes 260, 280, 420 y 480 cms; se quieren dividir en pequeños trozos de igual longitud ¿Cuál es el menor número de trozos que se pueden obtener? Resolución: Sea «/» la longitud de cada trozo para encontrar el menor número de trozos, la longitud será: / = MCD (260; 280; 420; 480) = 20 3 3K K El número de trozos: MCD 16 3K B = 51K A = 118K S5AR1B K - 51K + 118K = 2028 K = 12 260 280 420 480 + + + = 72 20 20 20 20 Se obtienen 72 trozos. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria En el ejemplo: Ejemplo 5: Hallar el menor número de cuadrados iguales en que se puede dividir un terreno rectangular cuyas dimensiones son 180 y 340 m. Resolución: 340 Sea «/» el lado de cada cuadrado. «/» es divisor de 180 y 340. Para hallar el número de cuadrados / = MCD (260; 340) = 20 #cuadrados = A TOTAL 180.340 = =153 A 1cuadrado 20.20 II. MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM): Es el menor número múltiplo común (positivo) de un conjunto de números dados. Ejemplo: 4 48…. 6 4 6 8 12 12 16 20 24 . 36… 18 24……36…48 … Múltiplos comunes El menor múltiplo común de 4 y 6 es 12 MCM (4, 6) =12 12, 24, 36, 48,…son múltiplos de 12 Múltiplos comunes de 4 y 6 MCM 2. El producto de dos números es igual al de su MCD por su MCM. En el Ejemplo: MCD (4, 6) = 2 MCM (4, 6) = 12 Se cumple que 4 x 6 = 2 x 12 3. Si dos son PESI, el MCM de ellos es su producto. Ejemplo: 4 y 5 son PESI MCM (4,5) = 4 x 5 = 20 4. Si un número es múltiplo de otro, el MCM de ellos es el número mayor. Ejemplo: 20 y 4 MCM (20, 4) = 20 METODOS PARA EL CÁLCULO DEL MCM 1. Descomposición en factores Primos: Consiste en descomponer a los números dados en sus factores primos y el MCM será el producto de todos los factores primos (Comunes y no comunes) elevados a sus mayores exponentes. Ejemplo: 35280 = 24 x ; 32 x 5 x 42 693000 = 2 3 x 32 x 53 x 7 x11 218400 = 25 x 3 x 52 x 7 x 13 S5AR1B El MCM será el producto de todos los factores extraídos. Ejemplo: 360 144 600 2 180 72 300 2 90 36 150 2 45 18 75 3 15 6 25 2 15 3 25 5 3 3 5 3 1 1 5 5 1 1 1 MCM = 2 4 x 32 x 52 = 3600 PROPIEDAD: Si se multiplica o dividen varios números por una misma cantidad, su MCD ó MCM también quedan multiplicados o divididos por dicha cantidad respectivamente. Ejemplo1: ¿Cuál es el número que dividido entre 5, 6, 7 y 17 arroja 3 de residuo? Resolución: N = MCM (5; 6; 7; 17) + 3 N = m 3570 + 3 El menor número es: 3573 Resolución: 2. Descomposición simultánea: Consiste en extraer todos los factores posibles a los números (comunes y no comunes). Hasta que “Ser los Mejores....” P = MCD (216; 126; 72) = 18 S5AR1B # Ladrillos = 216. 126. 27 = 18. 18. 18 336 Ejemplo 3: Hay las tres campanas de una iglesia han sido tocadas simultáneamente; si en adelante la primera será tocada cada 7 días, la segunda cada 4 días y la tercera cada 10 días, ¿Después de cuantos días se volverá a tocar nuevamente juntas? Resolución: Sea t el tiempo en que volvería a tocar simultáneamente. T = MCM (7; 4; 10) t = 140 A los 140 días PRACTICA CLASE Nº 4 01. Se tiene una superficie rectangular cuyas dimensiones son 528 y 288 m. Se les desea cerca con alambre sujeto a postes equidistantes. ¿Cuál será el mínimo número de poste a utilizar? a) 68 d) 136 Ejemplo 2: Se forma un paralelepípedo de dimensiones 216 cm, 126 cm 72 cm con ladrillos cúbicos que tengan el mayor volumen posible. ¿Cuántos ladrillos son necesarios? MCM = 25 x 32 x 53 x 72 x 1 x 13 = 252252000 PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 1. Todos los múltiplos comunes de un conjunto de números, son múltiples del MCM. dichos números queden reducidos a la unidad. b) 34 e) 96 c) 17 02. César, Martín y Aldo visitan a Nathaly y cada 8, 9 y 12 días respectivamente. Si la visitaron juntos al 25 de Julio. ¿Cuál será la fecha más próxima en que volverán visitarla? a) 6 Octubrec) 5 Octubre c) Octubre d) 4 Octubre e) N.a 4 03. N es el mayor número natural tal que al dividir 3999, 5585 y 6378 4entre N deja un mismo residuo. Calcula la suma de las cifras de N. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 17 d) 22 04. MCD MCD MCD MCD b) 19 e) N.a (A, (B, (C, (A, c) 21 Hallar “X” si: B) = x C) = x/2 D) = x/4 B, C) = 12 a) 96 d) 24 b) 72 e) N.a c) 48 05. Calcular A, B sabiendo que: MCD(35A;5B)=70 y MCM(42A;6B) = 504 a) 126 d) 168 b) 135 e) 191 c) 140 06. Hallar: n (n>1) si: A = 18.30n, B = 45.20n Si: MCM = 19440. MCM a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.a 07. Tres reglas de 24000 mm. Cada una están divididas en 300, 200 y 96 partes iguales. Se hace coincidir los extremos de las tres reglas. ¿En cuántas divisiones coinciden (además de los extremos)? a) 1 parte d) 4 b) 2 e) 9 c) 3 08. El número de libros de una biblioteca es tal que si se encuentra de 11 en 11, sobren 9; de 15 en 15 sobran 13; de 18 en 18 sobran 16 y de 20 en 20 sobran 18. ¿Cuántos son los libros si dicho número está comprendido entre 2000 y 4000? a) 3958 d) 3858 b) 2588 c) 3388 c) 2598 09. En la finca de doña Paquita hay más de 700 árboles y menos de 1300. Si se cuentan de 6 en 6, de 10 en 10 ó de 12 en 12 sobran 5, pero si se cuenta de 11 en 11 no sobra ninguno. ¿Cuántos árboles hay? a) 1262 d) 1265 b) 1263 e) 1266 c) 1264 10. Hallar el valor de K, sabiendo que: MCD (210K; 300K; 420K) = 1200 a) 6 d) 40 b) 15 e) 90 c) 30 b) 880 e) 892 c) 883 12. La diferencia de dos números es 44 y la diferencia de su MCM y su MCD es 500 uno de ellos es: a) 32 b) 120 c) 68 d) 57 e) 28 14. Al calcular el MCM de 2 cantidades mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos los números 1; 3; 2; 3, si la diferencia de los mismos es 84, calcular la suma. a) 660 b) 840 15. b) 760 e) N.a Si c) 720 MCD ( x48y ; 5bb5 ) = 33 Hallar: (x + y+ b) sabiendo que es par. “Ser los Mejores....” c) 20 EJERCICOS PROPUESTOS Nº 4 01. Se aplica el algoritmo de Euclides para obtener el M.C.D. de dos números obteniéndose como cocientes sucesivos: 1; 2; 2; 3; 2. Si el M.C.D. es 30 ¿Cuántos es la diferencia de los 2 números? a) 280 d) 480 b) 560 e) 240 c) 420 Al calcular el M.C.D. de y mnmn momo mediante el algoritmo de Euclides, los dos únicos cocientes sucesivos fueron 1 y 12. Hallar la suma de las M.C.D. a) 12 d) 15 b) 10 e) 16 c) 18 03. Para hallar el M.C.D. de 2 números se utilizó el Algoritmo de Euclides hallándose 2 cocientes que son número iguales. Si la suma de dichos números es 341. Hallar el menor de ellos. a) 55 d) 62 b) 93 e) 52 c) 77 04. Al calcular el M.C.D. de los números 5529 y 6441 por divisores sucesivos. ¿Cuál fue la suma de los cocientes? a) 15 b) 18 c) 21 d) 22 e) 23 05. El M.C.M. de dos números es 252888 y los cocientes obtenidos para calcular el M.C.D. de dichos números por divisores sucesivos fueron: 3, 7, 2 y 5 respectivamente. Hallar el mayor de los números. a) 984 S5AR1B b) 14 e) 18 02. 11. La diferencia de los cuadrados de dos números es 37044, hallar dichos números; si su MCD es 42. Dar como respuesta la suma de ellos. a) 882 d) 884 a) 22 d) 16 S5AR1B b) 4,074 c) 2,542 d) 3,084 e) N.a 06. Se tiene un terreno en forma de triangulo rectángulo y cuyos catetos miden 540 mts. Y 288 mts. Se desea cercado con alambre sujeto a postes equidistante de tal manera que haya por lo menos un poste en cada lado vértice y uno de los puntos medios de los lados. ¿Cuántos postes como mínimo se necesitarán? a) 80 d) 96 b) 160 e) N.a c) 240 07. Tres aviones de una campaña comercial salen de un mismo aeropuerto: El 1ro. Cada 8 días, el 2do. Cada 15 días y el 3ero. Cada 2 días. Si los aviones salieron juntos el 2.1.85. ¿Dígase cuál será la fecha más próxima en que volverán a hacerlo juntos? a) 23.4.87 d) 25.4.87 b) 22.4.87 e) 26.4.87 c) 21.4.87 08. Se desea construir un patio rectangular para depositar cajones de 3 clases. 1ra : Base 22 x 24 m2 , Altura 15 m 2da : Base 21 x 33 m2 , Altura 15 m 3ra : Base 18 x 28 m2 , Altura 15 m ¿Cuáles son las dimensiones mínimas que debe tener el patio para cuando se coloque cajones de una misma clase, no quede espacio libre alguno?. Dar como respuesta el lado mayor del patio construido. a) 168 d) 585 09. un censo estadísticas “Ser los Mejores....” b) 1386 c) 1748 e) 198 En un pueblo se realizó por 2 compañías de diferentes, la primera 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria contó en base 6 y la otra en base 5, y se dieron con la sorpresa de que el número de habitantes para las dos compañías terminaba en dos ceros. Hallar el número de habitantes de dicho pueblo si es un número comprendido entre 3000 y 4000. Dar como respuesta la cifra de 3er. Orden de dicho número hallado. a) 9 b) 4 c) 8 d) 3 e) 6 10. Un empleado trabaja 11 días seguidos y descansa el duodécimo. Si empezó a trabajar en lunes; hallar: ¿Cuántos días debe transcurrir para que le toque descansar el domingo?. ¿Cuántos días trabajo hasta ese momento? a) 84 y 76 días c) 82 y 77 días e) 83 y 77 días b) 83 y 76 días d) 84 y 77 días TAREA DOMICILIARIA Nº 4 01. Se tienen 3 obras literarias con 660, 780 y 900 páginas, las cuales se quieren editar en fascículos. Todos iguales estando el número de páginas. Comprendido entre 10 y 20. A razón de un fascículo semanal ¿en cuántas semanas como mínimo se terminará de publicar las 3 obras? a) 1565 d) 204 b) 144 e) 156 c) 196 02. El número de divisores comunes de los números 1760913 y 83853 es: a) 20 d) 27 S5AR1B b) 23 e) 28 c) 24 03. ¿Cuántos múltiplos comunes de 4 cifras tienen los números 45; 48 y 108? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 04. Hallar dos números pesi: a y b, tales que el M.C.M de a y b es 330 y a – b = 7 a) 22 ; 29 d) 22 ; 15 b) 55 ; 52 e) 14 ; 21 c) 18 ; 25 05. Un número es múltiplo de 30. La mitad del número tiene 6 divisores menos y la tercera parte del número tiene 8 divisores menos. ¿Cuál es dicho número? a) 300 d) 720 b) 420 e) 720 b) 360 06. La suma del M.C.D. y M.C.D. de dos números es 4960. Si el menor es la tercera parte del mayor. Dar como respuesta la suma de cifras del número mayor. a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14 07. La suma de dos números a y b es 651; el cociente entre su M.C.M y M.C.D es 108. Luego “a – b” es: a) 11 d) 436 b) 77 e) N.a c) 483 08. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D sea 36 y su M.C.M sea 5148. a) 468 d) 396 b) 486 e) 639 c) 369 09. Dado 3 números A, B y C se sabe que: MCD (A, B) = 30 y “Ser los Mejores....” MCD (B, C) = 198, ¿Cuál es el M.C.D? a) 3 d) 15 b) 6 e) 30 15. Si el MCM de A y B es 4A y el MCD es A/7. Hallar el valor de “A” sabiendo que: A – B =156. c) 12 10. La suma de 2 números pares es 1248. Si los cocientes sucesivos obtenidos al hallar su MCD fueron 2; 6; 4; 1; 1 y 2. Hallar la diferencia de dichos números. a) 852 d) 912 b) 398 e) 456 c) 396 11. Sabiendo que el máximo común divisor de 2 números es 6 y su producto es 7560. ¿Cuántas parejas de números cumplen ello? a) 4 d) 8 b) 32 e) N.a c) 16 12. Si 199 y 369 se dividen entre “n”, se obtienen por residuos a 7 y 9 respectivamente. ¿Cuántos valores pueden tomar “n”? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 14. b) 384 e) 253 Si: c) 234 N S5AR1B a) 21 d) 27 c) 119 b) 36 e) 23 c) 15 18. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y su suma es 288. c) 427 b) 192 e) 144 d) 240 19. El cociente de dos números es m y el MCD es f. Determinar el mayor de los números a) f + 2m d) f + m = MCM (N; 264). Hallar N. b) 538 e) 209 b) 89 e) 129 17. ¿Cuál es el mayor número tal que al dividir 1828 y 2456 entre dicho número, se obtienen como residuos 19 y 26, respectivamente? a) 96 d) 288 (a + b)a (a + 5) y MCM (N; 24)= a) 649 d) 316 a) 209 d) 109 c) 3 13. Se divide un número N en 2 partes tales que su diferencia es 80 y que su MCM es 1056. ¿Cuál es el valor de N? a) 304 d) 272 a) 231 b) 624 c) 1056 d) 364 e) 468 16. Si se cuenta de 2 en 2 las carpetas de un aula sobra 1 y se cuentan de 11 en 11 sobran 10. Si el número de carpetas termina en 9 y es el menor posible. ¿Cuántas carpetas tiene dicha aula? b) f(f + m) e) f – m c) fm 20. ¿Cuántos número de tres y cuatro cifras que sean múltiplos de 3, 7 y 8 existen? a) 134 d) 59 “Ser los Mejores....” b) 168 e) 58 c) 60 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 21. Si números es 9 1620. ¿Cuál es números?. Dar suma de las pedido. el MCD de dos y su producto es el MCM de dichos como respuesta la cifras del número a) 9 b) 18 c) 11 d) 3 e) 6 22. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 336 y 528? a) 5 d) 10 23. b) 6 e) 12 c) 8 Si MCD (A, B) = 14 m MCD (C, D) = 21 m MCD (A, B, C, D) = 42 Hallar m. a) 7 d) 21 b) 6 e) 14 c) 12 24. En una reunión se observa que el número de asistentes está entre 643 y 672, de tal manera que si se cuentan de 3 en 3, de 5 en 5 y de 11 en 11, siempre sobran 2. ¿Cuál es el número de asistentes? a) 648 d) 668 b) 658 e) 670 S5AR1B b) 7 e) 0 SOLUCIONARIO Ejercicios Propuestos 01 02 03 Nº 01. E C D 02. B D C 03. C A B 04. A A B 05. B C C 06. C B A 07. E C E 08. D A D 09. E E B 10. A B B 11. A 12. C 13. B 14. D 15. B c) 8 III BIMESTRE: NÚMEROS DEFINICIÓN: Se llama fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de tal modo que el primero no sea múltiplo del segundo y éste sea distinto de cero: “Ser los Mejores....” R Q puede representar como par ordenado (a, b), donde a recibe el nombre de numerador y b denominador. I FRACCIONES Z N Generalizando: Im (a, b) x ( - {0}) a b ( {0}) Decimos que v pertenece al conjunto de enteros excluidos al CERO, porque la división entre cero no está definida. DEFINICIÓN: Una fracción es una manera de expresar que una cantidad ha sido dividida en cierto número de partes. El numerador indica el número de partes consideradas y el denominador el número de partes en que se ha dividido la cantidad en cuestión. Así 3/10 significa que se están considerando 3 de las 10 partes en que se ha dividido la cantidad. 1 10 3 10 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 C a que también se b 1 10 c) 662 25. El número de páginas de un libro está comprendido entre 600 y 800. Calcular este número sabiendo que si se cuentan de 5 en 5 sobran 2, de 7 en 7 quedan 4 y de 11 en 11 sobran 8. Dar como respuesta la cifra de las decenas del número pedido. a) 6 d) 9 Sea la fracción: Nota: Con frecuencia, en la práctica, a la cantidad que se divide se le considera como todo y se la representa con el número 1. DEFINICIÓN: Números fraccionarios o fracción, es uno o el conjunto de varias partes alícuotas del módulo o unidad que no constituyan un número natural de unidades. LECTURA DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS: Se representa una fracción escribiendo el numerador encima del denominador separados por un trazo horizontal. Se nombra una fracción escrita, nombrando primero el numerador y después el denominador seguido, en general de la denominación “avos” y por excepción con las denominaciones medio, tercio, cuarto o décimas, centésimas, etc. Si los términos vinieran expresados por letras, por ejemplo, la fracción leería “a” betésimas “a” PARTIDO por “b” 1 10 5 7 300 43 a se b o simplemente cinco séptimos trescientos, cuarenta y tresavos m n “m” enésimas c d “c” detésimas La fracción que no tiene más que una parte alicuota, se llama unidad fraccionaria: S5AR1B “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria I. Fracción propia: Es aquella en la que el numerados ES MENOR que el denominador. Ejemplos: 1 1 1 ; ; 4 35 100 FRACCIONES INVERSAS Dos fracciones se dice que son entre si inversas, cuando el numerador de cada una es el denominador de la otra. Así la 3 5 es y la fracción 5 3 m n inversa de es n m fracción inversa SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción, es hallar otra igual a ella de términos menores. Se dice que fracción es irreductible o que está reducida a su más simple expresión, cuando ya no puede ser simplificada esto es cuando el numerador y denominador son primos entres si. Ejemplo: Simplificar 42 70 42 21 70 35 Al pesar de la primera a la segunda se ha simplificado la fracción, pero no se ha reducido a su más simple expresión, ya que a su vez: 21 3 35 5 CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES ORDINARIAS POR LA RELACIÓN DE SUS TÉRMINOS S5AR1B fracción, tal como 2 1 4 35 8 ; ; ; ; ; 3 11 73 41 a 1 a<b en general: b III.Fracciones homogéneas: Aquellas que tiene el mismo denominador. Ejemplos: 6 8 41 11 ; ; ; ; 15 15 15 15 IV. Fracciones Aquella que denominador. Ejemplos: heterogéneas: tienen distinto 3 2 ; ; ; en general 3 2 a 1 = a0 a “Ser los Mejores....” como puede reducir a 1 que se 3 que se fracción: REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR: Se halla el M.C.M. de los denominadores y él será el denominador común, y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el referido M.C.M. por el denominador correspondiente: Dar común denominador a las siguientes fracciones: 5 3 7 ; ; 6 7 12 M.C.M. (6; 7; 12) = 84 entonces: 5 70 3 36 7 49 ; ; 6 84 7 84 12 84 1 7 8 6 ; ; ; ; 35 5 71 13 V. Fracción igual a la Unidad: Es aquella en la que el numerador y denominador son iguales. Ejemplos: expresa 1 2 3 1 1 61 7 2 2 3 3 3 3 II. Fracción Impropia: Es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: 6 11 8 41 ; ; ; ; ; 5 2 7 3 m 1a>b en general: n a b a b m m m VI.Número mixto: Es la suma de un número entero con una OPERACIONES RACIONALES CON NÚMEROS ADICIÓN Definición: Se llama suma de dos números racionales de igual denominador al número racional de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Es decir, que: S5AR1B SUSTRACCIÓN Definición: Definida la adición de dos números racionales, definiremos la sustracción como la operación inversa, diciendo que: la sustracción de dos números racionales y ( > ) llamadas, respectivamente, minuendo y sustraendo, tienen por objeto hallar otro número racional llamada diferencia, tal que Regla General: Para hallar la diferencia entre dos números racionales se reduce a un común denominador. Se restan los numeradores y se pone de denominador el común. Así: 9 3 18 3 15 4 8 8 8 8 MULTIPLICACIÓN Definición: La multiplicación de dos números racionales tienen por objeto, dados dos números racionales y , llamados respectivamente, multiplicando y multiplicador hallar otro número racional que sea respecto al multiplicando , lo que el multiplicador es respecto a la unidad. Con esta definición dada, no hay contradicción con la definición dada en números naturales. a. Ejemplo: “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Si el multiplicador fraccionario x fuese 3 =p. 5 1 de 2 el 1 1 3 6 1 1 1 2 3 3 producto tienen que ser a , lo que 3 es de 1, luego: 5 3 p 3 de 5 p 1 5 escribe DIVISIÓN Considerada la división como operación inversa de la multiplicación, daremos la siguiente definición: b. Ejemplo: Consideremos siguientes: Consideremos Cuadrado: se las situaciones el siguiente Definición: Dados DOS números racionales, el dividendo y el divisor, 0 y la división de números racionales tiene por objeto hallar otro número racional tal que .= Esta definición está justificada porque no hay contradicción la definición dada de división en números naturales y además porque satisface la ley de uniformidad. Regla General: Para dividir dos números racionales, se multiplica el dividendo por la inversa del divisor. Así: Tratemos de calcular la mitad de la tercera parte del cuadrado: 1 de 1 3 2 1 3 7 14 7 9 9 5 9 5 14 10 1 6 MÁXIMO COMÚN DIVISOR MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO NÚMEROS RACIONALES Y DE DEFINICIÓN 1 Se llama máximo común divisor de varios números racionales, al mayor S5AR1B “Ser los Mejores....” número racional divisor común de aquellos. Corolario 1: El máximo común divisor de varios números racionales, será la fracción cuyo numerador sea el máximo común divisor de los numeradores de las fracciones irreductibles equivalentes a aquellos y por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresadas fracciones irreductibles. racionales, será múltiplo mínimo común múltiplo. de su FRACCIÓN COMPLEJA Definición Se llama fracción compleja al cociente indicado en forma de fracción, de dos números de los cuales uno por lo menos NO es número natural. Ejemplo: 1 4 1 7 3 M.C.D. 1 3 1 3 9 12 M.C.D (6;9;12) 3 6 ; ; 4 8 11 17 7 M.C.M (35;14;7) 70 35 14 Corolario 2: Todo número racional divisor común de varios números racionales, será divisor de su máximo común divisor. DEFINICIÓN 2 Se llama mínimo común múltiplo de números racionales, al menor número racional que es múltiplo común de todos ellos. Corolario 3: Si varios números racionales vienen expresados por fracciones irreductibles, su mínimo común múltiplo será la fracción cuyo numerador es el mínimo común múltiplo de los numeradores y el denominador el máximo común divisor de los denominadores. Así: Nota: para simplificar fracciones complejas y reducirlas a fracción simple, las operaciones se deben efectuar en este orden: 1º Multiplicación 2º División 3º Sumas 4º Restas 5º Potenciación radicación y luego NÚMEROS DECIMALES Fracciones decimales: Se le llama fracciones decimales aquellas cuyo denominador es una potencia de 10, es decir, la unidad seguida de ceros. Ejemplo: 157 65 8 ; ; ; 10 100 1000 9 12 M.C.M(6;9;12) 36 6 ; ; 7 M.C.D.(35;14;7)Así como 7 en las aplicaciones de la 35 14 M.C.M. = Corolario 4: Todo número racional múltiplo común de varios números S5AR1B aritmética de los números naturales se prefiere utilizar la numeración decimal; en las de los números racionales son las fracciones “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria decimales las más usadas, y por esto, a pesar de que todas las proposiciones que corresponden a ellas se obtienen como caso particular de las ya estudiadas para las fracciones en general, merece un estudio especial. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS 0,6717171 ............. = DECIMALES I. Exactas o Limitadas: Tienen una cantidad determinada de cifras decimales. Ejemplos: 375,284; 0,325; 62,0078142 II. Ilimitadas: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales y pueden ser: ilimitadas periódicas e ilimitadas no periódicas: las ilimitadas periódicas son aquellas que tienen período o sea que tienen una o más cifras que se repiten en forma constante e ilimitada y pueden ser: periódicas puras o periódicas mixtas: i. Periódicas Puras: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplos: 0,173173173 .......; 378,666 ....... Para abreviar la escritura de un número decimal periódico, se acostumbra a colocar una ligadura que abarque todo un período; también se utiliza una barra o un corchete, así los ejemplos anteriores se pueden representar: Se reduce el quebrado a su mínima expresión y: ii. Periódica mixta: Cuando el período empieza después de una o varias cifras, después de la coma decimal, la parte que no constituye el período se llama parte no periódica o parte exacta. Ejemplos: = 0,671 31,00417417 ........ = 31,00417 1º si el denominador del quebrado posee sólo el factor primo 2 ó 5 ó los dos a ala vez dará origen a una fracción decimal EXACTA o limitada y se puede asegurar que tendrá tantas cifras decimales como indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5. Así: 3 2 = 1,2599210............... 3 = 1,7320506............... 3 3 = 1,4422496............... S5AR1B = = = como el denominador posee sólo los factores primos 2 y 5, dará origen una fracción exacta o limitada y como el mayor exponente de los factores primos es 8, la parte decimal tendrá 8 cifras, efectivamente: 7 0,00109375 6 400 2º Si el denominador del quebrado no posee el factor primo 2 ni 5, dará origen a una fracción decimal periódica pura. Para saber cuantas cifras tendrá el periodo se procede de la siguiente forma: ii. Número decimal ilimitado no periódico trascendente: Son ciertas constantes matemáticas como: = 3,1415926535897932..... e = 2,718281......................... i. Se averigua cuál es el menor número formado por cifras nueve que sea divisible por los factores primos del denominador; la cantidad de “nueves” indica la cantidad de cifras que tendrá el período. Para su resolución ayuda el siguiente cuadro: ORDINARIAS A FRACCIONES DECIMALES “Ser los Mejores....” = = 0,173173173...... 0,173 = 0,173 = 0,[173] REDUCCION DE FRACCIONES 378,666 ............. 378,6 = 378,6 = 378,[6] = 21 7 como 6 400 = 19200 6 400 28 x 52 III.Ilimitadas no periódicas: Son aquellas donde las cifras salen sin guardar ningún orden y en forma ilimitada. No se pueden obtener dividiendo dos números enteros. Pueden ser: limitadas no periódicas irracionales e ilimitadas no periódicas trascendentes. i. Numero decimal ilimitado no periódico irracional: Es el que resulta al extraer raíz de cualquier índice a números que no tienen raíz exacta. Ejemplo: 2 = 1,4142136............... = S5AR1B 9 32 99 32 x 11 999 33 x 37 9 999 32 x 11 x 101 99 999 32 x 41 x 271 999 999 33 x 7 x 11 x 13 x 37 9 999 999 32 x 239 x 4649 99 999 999 32 x 11 x 101 x 73 x 137 Ejemplo 1 ¿Cuántas cifras 33 tendrá el período? Como: 33 = 3 x 11 y 99 es el menor número formado por nueves que contiene a 3 y 11 el período tendrá dos cifras. ii. En la forma general, se descompone (después de hacerla irreductible), el denominador en sus factores primos y se averigua “cuántas cifras” nos da cada factor hallado; calculando después el M.C.M. de las cifras que nos dan los diversos factores. Cada factor da tantas “cifras” como número de nueves tenga el menor de sus múltiplos formado de sólo nueves, como se deduce en el cuadro anterior. “Ser los Mejores....” Ejemplo 1 ¿Cuántas cifras 231 tendrá el período? 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria periódica y 6 en el período. contienea 3 3 nosda 1 Efectivamente: 231 3 7 11 como999999contienea 7 7 nosda 6 M.C.M. (1,6, 2) 6 629 = 0.9984126 630 como99 contienea 11 11nosda 2 Ejemplo: timas cifras del periodo y de la parte entera son distintas (respectivamente 2 y 1). como 9 El período tendrá 6 cifras. En efecto: 1 = 0,004329 231 A ORDINARIA Como: 2 255 = 5 x 11 x 41 iii. Si el denominador del quebrado irreductible, posee el factor primo 2 ó 5 ó los dos a la vez y además posee otro u otros factores primos, dará origen a una fracción decimal periódica mixta, donde la parte no periódica tendrá tantas cifras como lo indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5 (primer caso) y para determinar cuantas cifras tendrá el periodo se aplica el procedimiento descrito anteriormente. Ejemplo: 629 630 Como: 630 = 2 x 32 x 5 x 7 Para la parte no periódica (exacta): 2 x 5 . . . exponente mayor = 1 3 nosda 1 Parael período M.C.M.(1;6) 6 7 nos da 6 2 La fracción tendrá una cifra en la parte exacta o no S5AR1B 2 2255 “Ser los Mejores....” Para la parte exacta (no periódica): 51 ... nos da una cifra Para la parte periódica 11 nos da dos cifras 41 nos da cincocifras M.C.M. (2; 5) = 10 La parte exacta tendrá una cifra y diez cifras el período: Efectivamente: 2 = 0.00088691796 2255 Propiedad: La última cifra del período de la decimal periódica pura equivalente a una fracción irreductible cuyo denominador es primo con 10, será igual o distinta a la última de la parte entera, según respectivamente, que el numerador de la ordinaria irreductible termine o no termine en cero. Así: REDUCCIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL DEFINICIÓN: Reducir una fracción decimal a ordinaria, es hallar la fracción ordinaria que reducida a decimal, nos da la fracción decimal propuesta. A la fracción ordinaria que da origen a una fracción decimal se le llama generatriz. Teorema Nº 1: “La generatriz de una fracción decimal limitada, tiene por numerador el número natural que se forma prescindiendo de la coma en la fracción decimal propuesta y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene la fracción decimal”. Es una consecuencia inmediata de la definición de fracción decimal, pues si: E.abc....... "P" cifras Eabc..... 10p comprendidos en La generatriz obtenida 2p x5P puede o no ser irreductible. En cualquiera de los dos casos como su denominador no tiene ningún factor distinto de 2 y 5 y al hacerla irreductible. Nunca se introducen factores nuevos, se puede asegurar comprobando lo dicho por el Teorema 1. Ejemplos: Hallar las generatrices de: 0,2 2 10 3125 g= 1000 g= 3,125 825,0424 g= 8250424 10000 Teorema Nº 2: La generatriz de una periódica pura tiene por numerador la diferencia que se obtiene restando la parte entera, del número natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera el período, y por denominador, un número formado de tantas cifras 9 como cifras tienen el período. Sea la fracción decimal periódica pura: E, abc......... donde E es la parte entera; sea "g" la este caso aquel que E sea cero y aquellos "P" cifras fracción generatriz: en que E tenga más de una cifra. 30 = 4,285714es periódica pura, como el numerador 30 termina en cero, las úlObservación 7 S5AR1B Eabc..... “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria P (1) g = E,abc....... multiplicando ambos miembros por 10 "P" cifras abc....... 10P g = E,abc....... (2) el período, seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica”. Sea la fracción decimal periódica mixta: (2) - (1) 10P g – g = E abc...... - E g (10P - 1) = P (999 9) Sea “g” su generatriz: g E abc...... - E 999 ....... 9 = lo P que demuestra el teorema. Ejemplos Hallar las generatrices de: "q" cifras = = 8252 - 8 999 = 351 - 0 999 Teorema Nº 3: “La generatriz de una decimal periódica mixta, tiene por numerador la diferencia entre el número natura que se obtiene escribiendo a la derecha de la parte entera las cifras de la parte no periódica y las del período y el número también natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera la parte no periódica, y por denominador un número formado de tantas cifras 9 como cifras tiene S5AR1B "p" cifras 10q Se obtiene: b) 3/7 d) 7/10 c) e) 02.Hallar una fracción equivalente a ........................ 0.375 tal(1)que el producto de sus términos sea 384. dar como respuesta la diferencia entre el denominador y el numerador de dicha fracción. a) 20 b) 18 c) 12 d) 24 e) 16 03. Hallar las fracciones equivalentes La expresión (1) por 10p+q: a: 95/209, tales que la suma de sus p+ q términos sea divisible por 3 y por 8; 10 . g = E,m....n abc.... ........................ (3) abc.... además, la diferencia de esos mismos términos divisible por 7. A la expresión (3) le restamos la (2) ¿Cuál es la fracción cuyos términos y como tiene la misma parte 8244 son los menores posibles? Dar como = decimal, ésta se elimina respuesta el denominador 999 obteniéndose: q 10 g = E,m..............n, abc..................... 10p q g 10q g 356 35 321 9 9 0,351 = E,m..............n abc..................... Al multiplicar ambos miembros por: E abc...... - E 8,252 35, 6 "p" cifras = g a) 3/10 4/7 10/3 abc........................... E, m..................... n "q" cifras E abc...... - E g a al tercera parte de lo que ya me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda. ¿Qué fracción de toda mi agua mineral habré tomado? 10qg (10p - 1) Em....nabc.... a) Em....n 231 = Em....nabc.... Em....n 351 = 999 ........................ (2) 10qg b) 147 d) 63 c) 77 e) N.a 04. El denominador de una fracción en 5 unidades a su numerador. Si al numerador le quitamos una unidad, el quebrado resultante es 2/3. ¿Cuál es el numerador del quebrado original? ( 99....9 ) Em....nabc.... - Em....n excede P g = Em....nabc.... - Em....n 9999 ....... 9 00 ....... 00 p Lo que demuestra el teorema. PRÁCTICA DE CLASE MATERIAL DE CLASE Nº 1 01. ¿La mitad de lo que me queda en una botella de agua mineral es igual “Ser los Mejores....” q a) 17 b) 13 c) 11 d) 19 e) 18 05. Un número racional irreductible x p q tiene propiedades: S5AR1B las siguientes a) 3 4 x 5 5 b) Si se divide el intervalo [3/5; 4/5], en cinco partes iguales, el punto x está en el punto medio del tercer intervalo. Calcular: p + q a) 5 d) 25 b) 12 e) 49 c) 43 06. ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/29, son tales que sus términos son números consecutivos? a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 07. Hallar la suma de los valores enteros de K, para que E también se entera: E = a) 12 d) 16 K 5 K 1 b) 8 e) 18 c) 9 08.El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es esta fracción? a) 180/234 26/117 26/39 b) 52/65 d) 65/117 c) e) 09. Martín puede hacer una obra en 30hrs. Y César puede hacer la misma obra en 45hrs. Si los dos trabajan juntos a razón de 6 horas diarias. ¿En cuántos días harán dicha obra? a) 5 días días días “Ser los Mejores....” b) 3 días d) 1 día c) e) 4 6 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 10. En un depósito se colocan 4lt de lejía y 8lts de agua. Se consume ¼ de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuántos lt de agua hay en la mezcla final? a) 9 b) 6lt d) 4lt c) 3lt e) 8lt 11. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,1363636...... existen, tales que su numerador sea un número de 2 cifras y su denominador un número de 3 cifras? b) 23 e) 43 c) 29 12. ¿A y B pueden realizar cierto trabajo en 4 días; B y C pueden en 12 días en hacer la misma obra. A y C en 9 ¿Cuánto demorarían juntos en hacer una obra? a) 3 días 1/3 días 4,5 días b) 4 días d) 3 1/2 días c) e) 3 13. al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cayó. Después de 3 rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro. ¿De qué altura se dejó caer la pelota al empezar? a) 27mts 54mts 81mts b) 18mts d) 9mts c) e) 14. Si perdiera los 3/7 de mi dinero más S/. 300, luego ganara 4/5 de lo que tengo más S/.100 y finalmente perdiera la mitad del resto, S5AR1B puro. ¿Cuáles son las 2 últimas cifras del período? a) S/.2600 S/.4200 S/.5000 a) 56 d) 06 b) S/.3700 d) S/.4900 c) e) 2a 55 15. Hallar el valor de “a”, si: =0,a36363636........... MATERIAL DE CLASE Nº 2 a) 17 d) 39 entonces me quedaría S/. 2300. ¿Cuánto tengo? a) 2 d) 8 b) 4 e) 3 16. Hallar: a +b Si: b) 46 e) 16 20.Hallar N. sabiendo que: c) 26 N 3a5a es equivalente a 13/17. c) 5 a) 2886 2847 N.a. b) 2860 d) 2873 c) e) a b 11 3 b) 8 e) 11 17. Efectuar: c) 9 T = 1 1 1 1 1 . 1 . 1 1 2 3 4 n 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 2 3 4 n a) n(n+1) n 2 n(n 1) n 1 b) 2 1 d) n c) e) 2 18.Si 0, aa3 - 0.0010 =0. a Hallar a. a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 19. Si la fracción: 18/247 origina un número decimal inexacto periódico “Ser los Mejores....” b) 4/35 d) 13/105 c) e) 04.Sabiendo que A y B pueden realizar una obra en 10 días; B y C lo harían en 12 días; A y C en 15 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra los tres juntos? a) 6 días días días b) 5 días d) 8 días c) e) 7 9 05. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja: la primera en 9 días, la segunda en 10 días y la =0,969696............ a) 7 d) 10 a) 23/105 22/35 4/105 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. Encontrar el número racional entre 2/13 y 41/52 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. a) 11/52 49/104 9/13 b) 19/52 d) 15/26 c) e) 02. El denominador de una fracción excede al numerador de una unidad. Si se agrega a ambos términos de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cuál es la fracción original? a) 3/4 5/6 7/8 b) 4/5 d) 6/7 c) e) 03.Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero, vuelve a apostar y pierde los 3/5 de los que le queda y en una tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente le ha quedado? S5AR1B tercera en 12 días. Se empleó de la primera brigada. segunda y 1 4 1 de la 3 3 de la tercera. ¿En 5 cuánto tiempo hizo la zanja? a)7,8 días días días b) 9 días d) 11,2 días c) 10 e) 13 06.Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? a) 4 hrs. 9hrs. 3hrs. b) 7 hrs. d) 5hrs. c) e) 07.El rebote de una pelota alcanza 2/3 de la altura desde done se la deja caer. Determinar el espacio total recorrido hasta detenerse, si se le deja caer inicialmente desde 17mts. De altura. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 85m. 93m. 60m. b) 102m. d) 51m. 29 0, yzw xy 08. Sabiendo que: Hallar: x + y + z + w a) 21 d) 20 c) e) b) 22 e) 18 c) 19 09.Hallar las 3 últimas cifras del desarrollo decimal generado por la fracción 17/83. dar la suma de sus cifras. a) 5 d) 8 b) 7 e) 3 10. Hallar a + b, c) 4 sabiendo que: a b 7 81 5 11 a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 TAREA Nº 1 01. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si ha perdido en total $12. ¿Cuánto tenía el principio? b) $120 d) $144 c) e) 02. Naty llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película; 6 minutos después llega Ana, y sólo ve os 4/5. si la película empezó a las 16:00 horas. ¿A qué hora termina? S5AR1B b) 17:30 d) 18:20 c) e) 03. Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. Si se sacan 20 000 lt. Quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos lts falta para llenarla? a) 20 000 Lts b) 2 400 Lts c) 3 000Lts d) 18 000 Lts e) 40 000 Lts 04. Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote que da. Si se le deja caer desde un metro de altura. ¿Qué altura alcanzará después del tercer rebote? a) 51,20cm 36,00cm 6,40cm b) 21,60cm d) 12,96cm c) e) 05. Después de vender los 5/9 de un rollo de alambre, queda 1/7 de él más 9,5. ¿Cuál era la longitud original del rollo? a) 33 32,5 N.a. TAREA DOMICILIARIA a) $108 $132 $54 a) 17:20 18:30 N.a. b) 20,5 d) 21 b) 17/24 d) 13/24 c) e) 08. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gastó la quinta parte; el segundo día gasto 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/.150. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/.500 S/.360 S/.900 b) S/.750 d) S/.450 c) e) 09. César demora 6 días en hacer una obra y Martín demora 12 días en hacer la misma obra. ¿Cuánto demorarían junto en hacer una obra? a) 9 días días 4/3 días b) 3 días d) 2 días c) e) 4 12. Se divide un tubo en 4 partes desiguales: la primera es 1/3 de la longitud total del tubo, la segunda parte es ¼ y la tercera parte es 2/7 de la longitud total del tubo. Si la cuarta parte mide 11/14 de metro, ¿Cuál es la longitud del tubo? a) 28mts 12mts 7mts b) 6mts d) 5mts c) e) 13. El producto del numerador por el denominador de un quebrado es 525114. ¿Cuál es dicho quebrado, si al simplificarlo se obtiene 14/31? a) 151/344 154/341 217/242 b) 77/688 d) 182/403 c) e) 14. Al tesorero de una sección de 5to. Grado le falta 1/9 del dinero que se le confió. ¿Qué parte de los que le queda restituirá lo perdido? a) 1/8 1/6 1/9 b) 1/3 d) 1/7 c) e) TAREA Nº 2 b) 180 d) 3600 c) e) 07. Tres personas tienen que reunir cierta suma de dinero. Si han reunido respectivamente los 5/24, los 3/10 y la quinta parte de dicha “Ser los Mejores....” a) 11/24 7/24 5/24 c) e) 06. Marcelo compra lapiceros, la mitad a 5 por S/.6 y la otra mitad a 6 por S/.7 Vende los 3/5 del número de lapiceros a 3 por S/.5 y las demás a 4 por S/.7. ¿Cuántos lapiceros habrá vendido si se sabe que ganó S/.930? a) 900 2400 N.a. suma. ¿qué fracción falta todavía reunir? 10. ¿Cuál es el quebrado impropio que resulta duplicado, si se resta a sus 2 términos, la mitad de su numerador?. Expresarlo en forma de fracción decimal. a) 0,8 0,5 1,5 b) 3,0 d) 2,5 c) e) 11. Hallar la suma de los términos de una fracción, tal que si se le suma su inversa se obtiene: 41/20. a) 5 d) 6 S5AR1B b) 8 e) 10 c) 9 1 15. Si: ab =0,037037037......... Hallar: “a + b” a) 7 d) 8 16. Si c) 5 A 0.(x 5)x. Hallar A 11 a) 2 d) 7 17. Si b) 6 e) 9 b) 4 e) 8 nn 0.ab4 37 “Ser los Mejores....” c) 6 Hallar: a+b 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 14 d) 16 b) 15 e) 2 1º c) 12 RAZONES Y A B Aquella en la que los medios son iguales. Valordela razón n ao – resultado b = b – c dela comparació consecuent e Cuando se comparan 2 cantidades por división, el resultado se llama razón geométrica o por división y sus términos son: 24 6 A B Nos piden “comparar” la altura de los árboles con un cálculo muy simple podemos establecer que la altura del primero (A), sobrepasa a la del segundo (8) en: 24 – 6 = 18 ............................................. (1) Pero también podemos afirmar que la altura del primero es: 24 = 6 4 ..................................................... (2) Cuatro veces, la del segundo. “En matemática, al resultado de comparar dos cantidades se llama razón” Al resultado de comparar 2 cantidades mediante una resta, se llama razón aritmética o por diferencia y sus términos son: b = media diferencial o media aritmética. a y c = tercia diferencial Por propiedad básica: 2b = a + c antecedent e 1º A a c = K valordelabrazón 2 consecuent e 2º B PROPORCIÓN Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. La proporción puede ser aritmética o geométrica, según que las razones sean aritméticas o geométricas respectivamente. Proporción aritmética (equidiferencia) Si: a – b = c – d = Habrá proporción, ya que: 1º a En ambos casos estamos comparando dos cantidades, en (1) mediante una resta y en (2) mediante una división. “Ser los Mejores....” - antecedent e INTRODUCCIÓN S5AR1B 2º - 2º b = 3º c - Medios Proporción (equicociente) Si: Geométrica a c =K =K b d habrá proporción a : b:: c : d 1º 3º medios 2º 4º extremos a c ó b = d Si a c d, la proporción es discreta y cualquiera de sus términos: cuarta proporcional. Propiedad básica 4º d Producto de medios = Producto de extremos (b)(c) = (a)(d) Externos Si a b c d la proporción se llama discreta y cualquiera de sus cuatro términos, cuarta diferencial. Propiedad básica: Suma de medios = suma de extremos b–c = a+d Proporción continua: S5AR1B Proporción continua: Aquella en la que los medios son iguales: a b b c b = media proporcional o media geométrica a y c, tercera proporcional. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Por propiedad básica S.p.d.q.: PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES: I. Toda proporción se puede escribir de 8 maneras diferentes: a c Sea una proporción: se b d a b a b c d c d 3ra. Propiedad.“En toda proporción se cumple que la suma de los primeros términos es a su diferencia como la suma de los segundos es también a su diferencia”. 6ta. Propiedad.“Si a ambos términos de una se le eleva a un mismo exponente o se les extrae raíz del mismo índice, se obtiene siempre una proporción”. puede escribir. a b a ii. c b iii. a c iv. a i. c cambiando medios: d b invirtiendo i y ii d d c d permutando términos b a i, ii, iii, iv: c a d b b a vi. d c d b vii. c a d c viii. b a v. S5AR1B a c una proporción. b d m n p q S.p.d.q.: m n p q 4ta. Propiedad.“En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como cada antecedente es a su respectivo consecuente”. p r Sea una proporción q s S.p.d.q.: 2da. Propiedad.“En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los primeros términos es a la suma o diferencia de los segundos, como los antecedentes son entre si y como los consecuentes son también entre si”. Sea: m p Sea una proporción. n q p r p r q s q s 5ta. Propiedad.“En toda proporción se cumple que la suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es también a su diferencia”. Sea p r una proporción. q s S.p.d.q.: “Ser los Mejores....” p r una propiedad. q s Sea 1º 2º pn n q np nq rn r n s Notamos que todas las razones tienen el mismo valor (k), por lo tanto, podemos expresar. a c e g =k b d f h TEOREMA 1 “En toda serie de razones iguales se cumple que la suma de antecedentes y la suma de consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”. Consideremos la serie: a c e g =k b d f h S.p.d.q.: a c e g a c e g =k b d f h b d f h constante de proporcionalidad o valor de cada razón. Serie de Razones Iguales. De los expuesto se deduce que: “La condición necesaria y suficiente para obtener una serie de razones iguales es que todas las razones tengan el mismo valor”. S5AR1B 1 3 7 11 =0.14287 7 21 49 77 DE RAZONES IGUALES n a c e g k; k; k; k b d f h p r q s p r q s o TEOREMAS RELATIVOS A LA SERIE SERIE DE RAZONES IGUALES Se llama así al conjunto de más de dos razones iguales. Así en las siguientes razones: Ejemplos constante de proporcionalidad valor de cada razón. 2º S.p.d.q.: sn 1 3 9 127 =0.2 5 5 45 635 1º Demostración: De la hipótesis se deduce: a k b c k d e k f “Ser los Mejores....” a bk c dk Sumandoordenadamente e fk 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria g =k h g = hk a c e g bk dk fk hk a+c+e+g= k(b + d + f + h) a c e g a c e g k b d f h b d f h a k b c k d e k f a bk c dk multiplicando ordenadamente: e fk TEOREMA 2 “El producto de los antecedentes y el producto de los consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas, elevada a un exponente igual al número de razones que intervienen en la serie”. axcxe k3 bxdxf Hipótesis: Sea la a c e =k b d f serie: S.p.d.q.: axcxe a bxdxf b 3 c d Demostración: De la hipótesis: 3 e f 3 Luego: axbxc a bxdxf b L.q.q.d. 3 c d 3 e f 3 la serie: r p y a k k s q z b "n"razones S.p.d.q.: n rxpxyx xa r p y a n sxqxzx s q z b xb Demostración: Por teorema anterior: S5AR1B “Ser los Mejores....” n rxpxyx xa n sxqxzx xb kn Extrayendo la raíz “n” a ambos términos: Extrayendo la raíz “n”: r p y a s q z b L.q.q.d. n n (an cn en xn ) n a c e x k b d f z "n"razones iguales S.p.d.q.: n n n (b d f z ) L.q.q.d. k a c e b d f PROPOSICIÓN ARMÓNICA: (*1) Cuatro términos forman una proposición armónica cuando la diferencia de los dos primeros es a la de los dos últimos como el primero es al último, es decir: a b a * ( 1) c d d Hipótesis: Sea la serie: TEOREMA 3 “La raíz enésima del producto de antecedentes y la raíz enésima del producto de los consecuentes de “n” razones iguales, forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”. Hipótesis: Sea (bn dn fn zn ) TEOREMA 4 “La raíz “n” de la suma de antecedentes elevados a la potencia “n”, y la raíz “n”, de la suma de los consecuentes elevados a la potencia “n” de “n” razones iguales, forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas.” a x c x e b x d x f x k3 L.q.q.d. (an cn en xn ) rxpxyx xa kn sxqxzx xb i. Un término extremo proporción es: a b a , de donde c x x ac 2a b de esta x = x = (an cn en xn ) a c e x ii. Para b d f z un medio, se obtiene: n n n n n (b d f z ) n Demostración: Elevando cada razón de la hipótesis al exponente “n” se tiene: an n b cn d n en f n xn n z kn k n Aplicando el primer teorema: S5AR1B a b a , de donde xd d b(2a b) a MEDIO ANARMÓNICO Cuatro términos están en proporción anarmónica cuando formándose la primera razón como se ha dicho en (*1), la segunda está invertida, así: “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a b d c d a Un medio anarmónico (x), se calcula análogamente: a b d , de donde x= x b a a) 1515 1224 2105 a(a b) d2 d 2 2 a x d , de donde x = a d xd a a b PRÁCTICA DE CLASE 3 01.La razón de dos números es y 4 2 los de su producto es 288. 3 a) 24 d) 20 mayor b) 18 e) 30 de los dos c) 15 02. La razón geométrica, entre dos números cuya suma es 89, se invierte si se añade 23 al menor y se quita 23 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números? a) 46 d) 23 S5AR1B b) 26 e) 33 c) e) 04. En una fábrica embotelladora se tienen 3 máquinas A, B y C. se sabe que por cada 7 botellas que produce la máquina A, la máquina B produce 5; por cada 3 botellas que produce la B la máquina C produce 2. Cierto día, la máquina A produjo 440 botellas mas que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? a) 720 600 560 RAZONES MATERIAL DE CLASE 1 al b) 1155 d) 1551 07. En una competencia ciclística, a le gano a B por 400m y B le ganó a C por 100m. ¿Por cuántos metros le ganó A a C, en una competencia de 1600m? a) 500 475 415 b) 425 d) 575 PROPORCIONES MEDIA ANARMÓNICA Es una media proporcional anarmónica y es de la forma: Encontrar números. 03. A un teatro, por cada 5 hombres que entras, 3 entran con un niño y de cada 7 mujeres 4 entran con un niño; además, por cada 6 hombres entran 5 mujeres. Si entraron 678 niños en total. ¿Cuántos adultos entraron al teatro? c) 41 b) 480 d) 640 c) e) 05. Dos personas A y B juegan a las cartas, A empezó con S/.2200 y B con S/.4400. Después de jugar 20 partidos, la razón entre lo que tienen A y B es 3/8. ¿Cuántas partidas ganó B si en cada partida se gana o se pierde S/.50? a) 8 b) 12 c) 14 d) 10 e) 15 06. Se tienen dos escalas de temperatura: la “x” y la escala “y”. la temperatura en que el agua se congela es 0º en “x” y 20º en “y”; el agua hierve es 60º en “x” y 140º en “y”. ¿En qué temperatura coinciden las dos escalas? a) 11º 10º -20º “Ser los Mejores....” b) 40º d) 20º a) 270 820 570 c) e) MATERIAL DE CLASE 2 08. Hallar: S = A + B + C + D, sabiendo que: A Es cuarta proporcional de B; C y D B Es tercera proporcional de 8 y 14. C Es media proporcional de 96 y 24. D Es cuarta proporcional de 80, 15 y 16 a) 138 128 145 b) 125 d) 135 c) e) 09. La suma de los términos de una proposición aritmética continua es 100, si el producto de los 4 términos es 375 000. hallar la diferencia de los términos extremos. a) 10 d) 20 10. En b) 12 e) 25 una proporción c) 15 geométrica continua el primer término es 1 9 del cuarto término. Hallar la suma de los antecedentes si el producto de los términos medios es 144. a) 16 c) e) S5AR1B b) 14 d) 10 11. Si a los 4 términos de una proporción geométrica se le suma un número, se obtiene los números 91; 127; 175 y 253. Hallar la suma de dichos términos. c) 12 e) 8 b) 560 d) 533 c) e) 12. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 20 736 y la suma de los antecedentes es igual al producto de los consecuentes. Hallar la suma de sus términos. a) 46 d) 36 b) 73 e) 48 c) 64 13. En una proporción geométrica y continua el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuentes es 6400. hallar la suma de los 4 términos. a) 210 b) 220 c) 420 d) 510 e) 250 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICOS IGUALES 14. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2, 3 y 8 respectivamente son proporcionales a: 10, 25 y 50; encontrar el número mayor. a) 10 b) 12 d) 16 c) 14 e) 13 15. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5,3 y 16 Hallar los números. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 4 y 16 y8 N.a. b) 4 y 15 d) 8 y 32 c) e) 2 16. En una serie de cuatro razones geométricas iguales, loas antecedentes son: 3,5,7,11 y el producto de los consecuentes 721875. ¿Cuál es el mayor de dichos consecuentes? a) 45 d) 55 b) 30 e) 60 c) 20 17. En una serie de cuatro razones geométricas continuas e iguales, la suma del primer antecedente y del tercer consecuente es 336. determinar la suma de los consecuentes, si se sabe que la suma de las cuatro razones es 4/3. a) 1440 1420 1450 b) 1480 d) 1430 18. Se c) e) tiene: X.Y. X.Z. Y.Z. =4, U.N. U.I N.I Además: X. Y. Z. = 192, U.N.I. a) 24 d) 20 b) 28 e) 32 Hallar: c) 16 19. Sabiendo que: N O R M A 7 , 448 N O R M A Calcular: N + O + R + M + A. a) 433 500 474 b) 434 d) 278 c) e) 20. Si se cumple: a b c d , y b c d e (a2 + b2 + c2 2 2 2 2 (b +c +d +e )=44100. M=5(ab+bc+cd+de). a) 420 840 1260 b) 630 d) 1050 + d2). Calcular: c) e) EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01. De un grupo de niñas y niños se retiran 15 niños, quedando 2 niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan 5 niñas por cada niño. El número de niñas al comienzo era de: a) 20 b) 25 c) 29 d) 43 e) 55 02. La razón del dinero que tienen César y ana se invierte cuando César le dá a ana S/.125. ¿Cuánto tiene ana si entre los dos tienen S/.3235? a) 2365 1655 1555 b) 1645 d) 1550 c) e) 03. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? a) 2/3 3/7 N.a b) 2/6 d) 5/4 c) e) 04. La suma de los cuatro términos de una proporción es 65. Cada uno de S5AR1B “Ser los Mejores....” los 3 últimos términos es los precedente. término? a) 18 d) 9 ¿Cuál es b) 15 e) 8 el 2 del 3 además: b – d = 24. Hallar a +b +c +d último a) 126 146 162 c) 13 05. Si la cuarta parte de A, 1/5 de B y 3/20 de C son entre si como 4, 5 y 6 respectivamente. Hallar A, si: 2B + C = 360. a) 64 d) 45 b) 54 e) 38 c) 65 a) a = b =b = b3 b) b2 = a d) b2 = a3 c) a2 e) 2 07. A, B y C tienen fichas de pago. Lo de A es a lo de B como 4 es a 5; lo de B es a lo de C como 8 es a 5. Si lo que tiene A excede a lo de C en 315. Hallar lo que tiene B. a) 1500 2400 N.a. b) 2100 d) 1800 c) e) 08. En una competencia de 1600m. a le ganó a B por 400m y B le ganó a C por 100m. ¿Por cuántos metros le ganó A a C? a) 500 425 N.a. b) 450 d) 475 c) e) 09. Dada la siguiente serie de razones iguales: S5AR1B 27 b 15 d ; a 70 c 14 c) e) 10. En una serie de razones equivalentes, los antecedentes son: 2, 3, 7 y 11. el producto de los consecuentes es 37422. hallar la suma de los consecuentes. a) 60 b) 63 d) 69 c) 66 e) 72 N A T Y 4 972 N A T Y 11. Si: 06. Si la tercera proporcional de “a” y “b” es la media proporcional también de “a” y “b” luego: b) 143 d) 134 hallar: N + A + T + Y a) 480 420 370 b) 380 d) 450 c) e) 12. Tres números son entre sí como 2; 5 y 7 sise les quita 5; 19 y 26 respectivamente originan 3 números que forman una progresión aritmética creciente. Hallar el mayor de los números a) 49 d) 63 b) 42 e) 70 c) 56 TAREA DOMICILIARIA TAREA RAZONES 01. La suma de tres números es 503 y dos de ellos están en la relación de 17 a 18, que sumados dan 385. ¿Cuál es el menor número? a) 118 d) 187 “Ser los Mejores....” b) 96 e) 198 c) 87 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 02. Un padre tiene 34 años y su hijo 7. al cabo de cuánto tiempo la razón de las edades será a) 10 d) 14 1 . 2 b) 15 e) N.a. c) 20 03. Hallar la razón aritmética entre la 5 2 y y 6 3 1 2 , la cuarta proporcional de 5, 4 3 tercera proporcional de 1 a) 2 2 3 1 b) 3 3 d) 2 c) e) 1 04. Las edades de una pareja de esposos son proporcionales a la suma y a la diferencia de las edades de sus 2 hijos, cuyo producto es 7. Si la esposa tuvo a su primer hijo a los 17 años. Hallar la edad del esposo. a) 32 d) 38 b) 34 e) 40 c) 36 05. Lo que tiene Martín es a lo que tiene César como 13 es a 18. si uno de ellos le da al otro S/.80 ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuántos nuevos soles tiene entre los dos? a) 992 1054 1116 b) 1023 d) 1085 c) e) 06. Iván tiene 24 años y Martín tiene los 5/8 de la edad de Iván. ¿Dentro S5AR1B de cuántos años la relación de sus edades será de 3 a 4? gasta suman S/.640 . ahorro mensual. a) 10 d) 18 a) 560 480 N.a. b) 15 e) N.a. c) 12 07. ¿En qué mes y día de un año común se cumplirá que: el tiempo transcurrido del año, es al tiempo que falta transcurrir del año como 33 es a 40? a) 12 Junio Junio Junio b) 7 Junio d) 15 Junio c) 10 e) 14 08. Un jugador de billar A, le da ventaja a B, 40 carambolas para 100 y B le da ventaja a C, 60 carambolas para 100. ¿Cuántas carambolas debe dar A a C en un partido de 100? a) 35 d) 70 b) 38 e) 76 c) 28 09. En una fiesta concurren 400 personar entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 120 d) 160 b) 240 e) 200 c) 80 10. Ana tiene 400 fichas entre rojas y azules, de las cuales 240 son rojas. ¿Cuántas de estas? Fichas rojas deben de ser pintadas de azul para que estén en la razón de 3 a 5 a) 100 d) 80 b) 600 e) 90 c) 75 11. Lo que gana y ahorra semanalmente un individuo está en la relación e 5 a2. lo que gana y “Ser los Mejores....” b) 640 d) 720 Hallar el c) e) Hallar (a+b+c) a) 27 d) 28 TAREA PROPORCIONES 12. El valor de una razón de una proporción geométrica es 5/9. si el producto de los antecedentes es 1 800 y la suma de los consecuentes es 162. hallar la diferencia de los antecedentes. a) 28 d) 34 b) 30 e) 36 c) 32 13. Entre A, B y C tienen 920 canicas. A tiene 1/3 más que B; y éste 1/3 menos que lo de C. ¿Cuántas canicas tiene uno de ellos? a) 400 200 280 b) 340 d) 240 c) e) 14. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 128. hallar el valor de la razón aritmética. Sabiendo que los extremos son entre si como 5 es a 3. a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 24 15. La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción geométrica continua es 25 si el otro término es 30. Hallar la suma de los términos extremos. a) 35 d) 65 b) 45 e) 75 c) 55 16. Sabiendo que: - “a” es la media proporcional de 8 y 32. S5AR1B - “b” es la tercera proporcional de 32 y a - “c” es la 4ta proporcional de a; b y 6. b) 24 e) 21 c) 32 17. En una proporción geométrica continua la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. hallar la suma de los antecedentes. a) 12 d) 15 b) 18 e) 21 c) 9 18. En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9 si la suma de los antecedentes es 68. Calcular la cuarta diferencial. a) 32 b) 36 d) 28 c) 24 e) 38 19. Si la cuarta proporcional de 48; a y (a + 20) es la media proporcional de 10 y 250. hallar la suma de cifras de “a”. a) 4 d) 10 b) 8 e) 7 c) 6 20. Se tiene una proporción geométrica discreta cuya razón es 3/8 si la razón aritmética de los antecedentes es 19,5. Hallar la suma de los términos extremos. a) 53 d) 64 b) 63 e) más de 68 c) 48 21. Al recorrer 1km Andrea le da ventaja a Elitza de 400 metros y Elitza le da a Carlos 300 metros para “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria una carrera de 500 metros. ¿Cuánto de ventaja debe darle Andrea a Carlos en una carrera de 1 Kilómetro? a) 730m 750m 770m b) 710m d) 760m c) e) 22. En una proporción aritmética continua la suma de los cuadrados de sus términos diferentes es 200 y el producto de los términos extremos es 60. Calcular la media diferencial. a) 7 d) 6 b) 8 e) 5 23.Si: c) 10 03 . 04 . 05 . 06 . 07 . 08 . 09 . 10 . 11 . 12 B A D E B A C A A D A D C D D D A A . 13 . 14 . 15 . Así: b) El tiempo y las trabajo realizado. “a” unidades de Así: a) 3 d) 10 b) 6 e) 15 c) 9 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 SOLUCIONARIO Nº 01 . 02 . S5AR1B a) El número y su precio cuando se paga a razón del número. Si: 8 caramelos cuestan S/.2; 4 caramelos costarán S/.1. (Esto quiere decir que a menos caramelos menos dinero). a c indicar el valor de b d Ejercicios Propuestos 01 02 D B E E Si aumenta una de ellas; aumenta la otra. Si disminuye una de ellas; disminuye la otra. Ejemplo: Son magnitudes directamente proporcionales. Si: 1 cuaderno cuesta S/.6; 3 cuadernos costarán: 3 x S/.6 ) S/.18. (Esto quiere decir que a más cuadernos más dinero). a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16 Además Luego; las magnitudes directamente proporcionales: Si: una cuadrilla de obreros hacen en 3 días 10 metros de una obra, en 6 días harán 20 metros de dicha obra. (Esto quiere decir que más días harán más metros de obra). c) El tiempo de trabajo y el salario percibido. II.MAGNITUDEA INVERSAMENTE PROPORCIONALES: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta multiplicada por el mismo número. Ejemplo: Son magnitudes inversamente proporcionales. a) El numero de obreros y el tiempo necesario para hacer una obra. Así: Si: 7 obreros hacen una obra en 4 días; 14 obreros harían la misma obra en 2 días. (Esto quiere decir que el doble número de obreros necesitará la mitad del tiempo para hacer la obra). b) Los días del trabajo y las horas diarias que se trabajan. Así: IV Así: REGLA MAGNITUDES PROPORCIONALES: I. Magnitudes proporcionales directamente Dos magnitudes son diferentes proporcionalmente cuando al “Ser los Mejores....” multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra resulta multiplicada o dividida por el Si: un obrero por 5 días de trabajo percibe S/.80, por 3 días percibirá S/.48. (Esto quiere decir que a menos días recibirá menos salario). S5AR1B Si: trabajando 10 horas diarias se necesitan 6 días para hacer una obra, trabajando 5 horas diarias se terminará la obra en 12 días. (Esto quiere decir que menos horas de trabajo se necesitaría más días para hacer la obra). “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria c) La velocidad de un automóvil y el tiempo empleado en recorrer una distancia. c) Las magnitudes inversamente proporcionales va de más a menos o menos a más (+ a -; - a +). REGLA DE TRES Así: Si un automóvil a una velocidad de 50 Km/h necesita 8 horas para recorrer una distancia, a la velocidad de 100 Km/h necesitaría 4 horas para recorrer la misma distancia. (Esto quiere decir que mayor velocidad necesitaría menos tiempo), Luego, las magnitudes inversamente proporcionales: Si aumenta una disminuye la otra. Si disminuye una aumenta la otra. de ellas, de ellas, La Regla de Tres.- Es una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de cantidades proporcionales siendo una desconocida o incógnita, hallar el valor de está última. La Regla de Tres puede ser: Simple y compuesta. Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales. Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales. A. IMPORTANTE: a) Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. Así: El precio de una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad, longitud y ancho. El área de un rectángulo es directamente proporcional a su base y altura. La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo. b) Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más, o de menos a menos (+ a +; - a -). Regla de tres simple En la Regla de Tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita. Esta regla que puede ser: Directa o Inversa, según las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales. Métodos de Resolución: En toda Regla de Tres hay dos filas de términos o números. El supuesto formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la parte superior. La pregunta formada por los términos que contiene a la incógnita del problema va en la parte inferior. I. Método de Reducción a al mitad II. Método de las proposiciones y III. Método Práctico “Ser los Mejores....” Supuesto: 20 chocolates S/.80 Pregunta: 6 chocolates x Si: 20 Chocolates cuestan S/.80 1 chocolate costará: S/.80 = S/.4 20 Luego; I. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD. 6 chocolates costarán: S/.4 6x Regla de Tres Simple Directa Rpta. Ejemplo 1 Si: 6 sillas cuestan S/.180. ¿Cuánto costaran 10 sillas? Resolución: Supuesto: 6 sillas Pregunta: 10 sillas S/.180 x Si: 6 sillas cuestan S/ 180 1 silla costará: S/.180 = S/.30 6 Luego; 10 Sillas costarán 10S/.3 x 0 Ejemplo: Si: 5 lapiceros cuestan S/.20. ¿Cuánto costaran 12 lapiceros? S/. Resolución: RAZONANDO: Todo problema que se plantea por una regla de tres puede resolver por tres métodos: RAZONANDO: Supuesto y Pregunta. Supuesto: 5 lapiceros 20 S5AR1B Pregunta: 12 lapiceros S/.x El supuesto está formado por 5 lapiceros y S/.20; la pregunta por 12 lapiceros y la incógnita por S/.x Regla de Tres Inversa Ejemplo 1. Si: 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En cuántos días terminará la misma obra 12 obreros? Resolución: Supuesto: 8 obreros S/.80 Pregunta: 12 obreros x RAZONANDO: Si: 8 obreros hacen la obra en 15 días 1 obrero lo hará en: 15 x 8 = 120 días S/.30 = 00 Rpta. Luego; 12 obreros harán la obra en: Ejemplo 2 Si: 20 chocolates cuestan S/.80. ¿Cuánto costarán 6 chocolates? S5AR1B S/.2 = 4 “Ser los Mejores....” 120días 10= 12 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Rpta. Ejemplo 2 Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros tardan 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminaría la misma obra? Resolución: Supuesto: 10 h/d menos (-a-), es decir son cantidades directamente proporcionales. Por consiguiente la Regla de Tres Directa. Formamos una preposición escribiendo la razón directa de las primeras cantidades de (pollos) igual a la razón directa de las segundas cantidades (soles); Asi: S/.80 Pregunta: 6 h/d x= Trabajando 1h/d tardarían: 18 x 10 = 180 días Trabajando 6 h/d tardarían: 180días30 = días 6 14(11,250) 63 25 Rpta. II.MÉTODO DE LAS PROPOSICIONES: Regla de Tres Simple Directa. Resolución: Ejemplo. Si: 25 pollos cuestan S/.112, 50. ¿Cuánto se pagará por 14 pollos? Supuesto: 10 h/d Resolución: 18 días x RAZONANDO: S/.80 x RAZONANDO: Si: 25 pollos cuestan S/.112, 50 por menos pollos (14) se pagará menos soles. Estas cantidades proporcionales van de menos a S5AR1B Pregunta: 6 h/d Trabajando 10 h/d demoran 18 días, trabajando menos horas diarias (6) lo terminarán más días. Vemos que estas cantidades proporcionales van de menos a más (- a +); sea que son inversamente proporcionales; consiguiente la Regla de Tres es Inversa. “Ser los Mejores....” Ejemplo: Si 3 metros de tela cuesta S/.120. ¿Cuánto se pagará por 5,5 metros de la misma tela? Supuesto: S/.120 3m x Pregunta: 5,5m más Ejemplo. Si: trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra? Rpta. Regla de Tres Simple Directa: Resolución: 10.18 x 30días 6 x= S/.63 Regla de Tres Inversa: Luego; 10 x 6 18 Despejando “x” se obtiene: Despejando “x” se obtiene: Si: trabajando 10 h/d tardan 18 días Pregunta: 14 pollos Así: 25 112, 50 14 x x RAZONANDO: Supuesto: 25 pollos Entonces se forma una proporción escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (h/d) igual a la razón inversa de las segundas cantidades (días). x 30 = Rpta. Regla: 1) Se examina si la Regla de Tres es directa o inversa. Si las cantidades proporcionales van de más a más o de menos a menos, la Regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más la Regla es Inversa. 2) Si la Regla de Tres es Directa; se multiplican los datos en aspa y se divide entre el otro dato; este conciente es el valor de la incógnita. Si la Regla de Tres es inversa; se multiplican los datos del supuesto y se divide entre el otro dato de la pregunta; este conciente es el valor de la incógnita. (ver cuadro) Directa a c b x RAZOMANDO: x = b.c a Luego; x S / .120. 5,5m S / .220 3m Por los 5,5 metros de la misma tela se pagará S/220 Rpta. Regla de Tres Simple Inversa: Ejemplo: Si: 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días? Resolución: Supuesto: 3 días 21 obreros Pregunta: 15días x obreros Inversa x = a.b c S5AR1B más Si por 3 metros se paga S/.120 por más metros se pagará más soles (+ a +); la Regla de tres es directa. III.MÉTODO PRÁCTICO Regla de tres simple: a “Ser los Mejores....” más a menos 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria RAZONANDO: Si en 10 días hacen la obra 21 obreros; para hacerlo en más días se necesitarán menos obreros (+ a -) la Regla de Tres es Inversa. x Rpta. = 12 horas Problema 2: Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo cable? Luego; x Para hacer la misma obra en 15 días se necesitan 14 obreros. Rpta. PROBLEMOS RESUELTOS Problema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorrer un trayecto yendo a 90 Km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 Km/h? l Yendo a: 90 Km/h horas 60 K/h Yendo a: horas 16 m Cuestan S/.x Costo es directamente proporcional al Número de metros lo que se indica por la letra encima de la columna metros. Tanto: tarda 8 tarda x La duración del trayecto es inversamente proporcional a la velocidad, lo que se indica por l coloca en cima de la columna de las velocidades. x Rpta. = 56 soles Problemas 3: Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros que añadir para que la obra se termine en 8 días? Resolución: Si x = # de obreros que hay que añadir para la obra se termine en 8 días. Tanto: 90 x 90.8 ;de donde: x 12horas 60 8 60 Si: 20 obreros “Ser los Mejores....” 65 640 x 640.6 ; de donde: 640 x 80 640 80 640 – x = 520 x= Rpta. corderos 120 Problema 5. Manuel y Sara recorren Cuestan S/.42 12 42 42.16 ; de donde: x 56soles 16 x 12 Resolución: S5AR1B Número de obreros es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir a obreros menos), lo que indica por la l encima de la columna días. Tanto: Resolución: 21obreros. 10días 14obreros 15días Sí: 12 m Por tanto: (20 + x) obreros l 14 20 x 20 .14 distancia y los tiempos que cierta ; de donde: 20 x 8 20 8 15 emplean están en la razón . La 20 + x = 35 21 Rpta. velocidad de Manuel es de 56 Km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara? 15 Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. Los corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la ración. Resolución: Resolución: Sara: Si: x = # de corderos que puede vender Luego; l Si: 640 corderos 65 días (640 - x) corderos (65+15) días = 80 días Por tanto: l Tiempos velocidades 15 Manuel: 56 Km/h x El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad. (Quiere decir mayor velocidad menos tiempo); lo que se indica por la letra l encima de la columna tiempo. 15 x 15.56 ; de donde: x x 40 21 56 21 x = 40 Rpta. Km/h Problema 6: Dos ruedas cuyos diámetros, son 1,5m y 2,4m están movidas por una correa, cuando la menor dá 220 resoluciones. ¿Cuántas revoluciones dá la mayor? Resolución: S5AR1B 21 Por tanto: El número de corderos es inversamente proporcionalal número de días. (Quiere decir que menos corderos tendrán alimentos para más días), lo que se indica por la letra l encima de la columna días. 14 días 8 días x = obreros “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 220 Rev d= 1,5 m Para construir este cubo de 4 cm de arista demora 4 cm 6 horas osea: 4 cm 05. Con 5 Kg de arena se pueden formar 8 cubos de 8 cm de arista. ¿Cuántos cubos de 4 cm de arista se podrán formar con 10 Kg de arena? 54horas 1 162horas 3 PRÁCTICA DE CLASE 4 cm En 6 horas D = 2,4 m Luego; "x" Rev. 1,5 m 2,4 m 220 Rev. x Rev. Sea: “x” el número de horas que demoraría en construir un cubo de 12 cm de arista. a) 10 d) 13 Ósea: l Los diámetros son inversamente proporcionales al número de resoluciones. (Quiere decir que a menor diámetro la rueda dará más vueltas o resoluciones). Lo que se indica por la letra lencima de la columna metros. Por tanto: En x horas De las expresiones obtenemos: Rpta. x = 137,5 Rev Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4 cm de aristas, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista habrá construido? Resolución: La relación que debemos tener presente, es entre el volumen y el tiempo; puesto que Nataly construye un cubo; veamos: (1) y (2); a) 26,24 lts. 26,25 lts d) 26,26 lts D En 6 horas (4cm) En x horas (12 cm)3 Volumen 3 Por tanto: x = 6. (27) x = 162 horas Entonces: En 54 horas habrá hecho: “Ser los Mejores....” c) 12 b) 26,42 lts c) e) 25,26 lts 03. Cesitar al comprar una docena de lapiceros recibe 3 de regalo y al vender una decena, da 2 de regalo. Si en total Cesitar compró 1944 lapiceros. ¿Cuántos docenas de lapiceros vendió Cesitar? Los volúmenes son directamente proporcionales a los tiempos. (Quiere decir que a más volumen, más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna volúmenes. 6 (4cm)3 12cm ; de donde: x 6. x 4cm (12cm)3 b) 11 e) 14 02. Se hace disolver 250 gr de azúcar en 5 lts. de agua. ¿Cuántos litros de agua deben añadirse a esta mezcla para que en un litro de la nueva mezcla exista 8 gr de azúcar? (12cm) 3…. (2) Tiempos 15 x 1,5.220 ; de donde: x 2,4 220 2,4 S5AR1B 01. Juan es el triple de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días. ¿En cuántos días hace el trabajo Juan trabajando solo? 3 (4 cm) .....(1) 3 a) 173 b) 162 d) 243 e) 196 c) 202 04. Un caballo atado a un poste con una cuerda de 2 m tarda 8 h en comer todo el pasto que está a su alcance. ¿Cuántas horas requiere este caballo para consumir todo el pasto que esta a su alcance, si la cuerda fuese de 3 m? a) 12 hr d) 18 hr S5AR1B b) 14 hr e) 24 hr. c) 16 hr a) 32 d) 8 b) 64 e) 26 c) 128 06. Una compañía industrial posee 3 máquinas de 84% de rendimiento para producir 1600 envases cada 6 días de 8 horas diarias de trabajo. Si se desea producir 3000 envases en 4 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántas máquinas de 90% se requiere? a) 8 d) 6 b) 7 e) 9 c) 4 07. Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan lo que falta de la obra, ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo? a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14 08. Una cuadrilla de 15 obreros pueden hacer una obra en 25 jornadas de 8 horas diarias, pasadas 5 jornadas se les pidió que lo terminarán 5 días antes de lo proyectado, esto motivó aumentar el número de horas de trabajo diario y contratar más obreros, ¿Cuál es el menor número de obreros que se debe contratar? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 09. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja, la primera en 9 “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días. Se emplean a la vez ¼ de la primera, 1/3 de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿En cuánto tiempo se hará la zanja? a) 9 días d) 10 días b) 8 días e) 12 días c) 7 días 10. Un grupo de 24 obreros pueden construir una zanja de 80m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad en 16 días trabajando 6h/d. ¿En cuántos días 20 obreros trabajando 8h/d pueden hacer una zanja cuyo ancho sea 0,5 m más; 0,5 m menos de profundidad y 40 m más de largo? a) 15 días b) 18 días c) 20 días d) 12 días e) 10 días EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. Un reloj da tantas campanadas como las horas que marca. Si en dar las 5 hrs tarda 10 segundos. ¿Cuánto tarda en dar las 8hrs? a) 16 seg d) 18 seg b) 15 seg c) 17,5 seg e) 14,5 seg 02. Una guarnición tiene víveres para 121 días si se aumenta 1/3 el número de individuos de la guarnición. ¿Cuánto debe disminuirse la ración para que los víveres duren el mismo tiempo? a) ¾ b) 1/5 c) ¼ d) 1/3 e) 2/5 03. Se piensa construir una pared con 15 hombres en 20 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios contratar, si se quiere concluir la pared 8 días antes? S5AR1B a) 32 d) 25 b) 18 e) 10 c)* 20 04. Un individuo por hacer 20 artículos cobra S/. 300. ¿Cuánto cobrará por hacer 18 artículos similares, si cada uno de estos demandan en su confección los 8/10 del tiempo que le demandaba hacer los primeros? a) S/. 216 b) 240 ) 256 d) 260 ) N.A. 05. Dos obreros hacen 350 obras en 7 días. ¿Cuántos obreros del mismo rendimiento que los obreros anteriores pueden hacer 600 obras en 4 días? a) 10 d) 7 b) 9 e) 6 c) 8 06. Se sabe que “x + 6” máquinas pueden hacer un trabajo en 20 días y que con 3 máquinas adicionales se puede hacer el mismo trabajo en 5 días menos. ¿En qué tiempo se podrá hacer el trabajo con “x” máquinas? a) 40 días b) 50 días c) 45 días d) 60 días e) 75 días 07. Si “a” obreros tienen víveres para “m” días, si estos víveres deben alcanzar “4m” días. ¿Cuántos hombres deben disminuir? a) a/9 d) 3a/4 b) a/7 e) a/2 c) 3a/5 08. Un carpintero ha construido una mesa en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer la mesa. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día? “Ser los Mejores....” a) 8 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10 09. 80 obreros trabajan 8 h/d construyendo 480 m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días requieren 120 obreros, trabajando 10 h/d para hacer 960m2 de la misma obra? a) 16 d) 19 b) 17 e) 20 c) 18 10.1600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. ¿Cuántos días durarán los víveres, si cada hombre toma 2 raciones diarias? a) 12 d) 15 b) 13 e) 8 c) 20 11. ¿Cuántos obreros se necesitan para hacer 200 rollos de alambre en 4 días, trabajando 12 horas por día, si sabemos que en otra oportunidad 14 obreros pudieron hacer 100 rollos de la misma calidad en 8 días, trabajando 6 horas por día? a) 56 d) 14 b) 28 e) 26 c) 42 12. Trabajando 10 h/d durante 15 días, 5 obreros consumen 50 kg de arroz. ¿Cuántos kg serían necesarios para mantener trabajando 9 h/d durante 85 días, 3 obreros más? a) 158 d) 135 b) 408 e) 402 c) 145 13. Ocho obreros trabajando 10 h/d durante 5 días, pueden arar un terreno cuadrado de 400 m de lado. ¿Cuántos obreros de doble rendimiento será necesario para que en 6 días de 8 h/d pueden arar otro terreno de 480 m de lado? a) 2 d) 3 S5AR1B b) 7 e) 4 c) 6 14. 80 0breros pueden hacer una obra en 20 días trabajando 2 h/d. ¿Cuántos obreros doblemente hábiles pueden hacer una obra 4 veces más dificultosa que la anterior en 40 días? a) 60 d) 40 b) 50 e) 80 c) 100 15. Un grupo de 20 obreros ha hecho 2/5 de una obra en 24 días. Si se retiran 4 obreros. ¿Cuánto tiempo emplearán los restantes para hacer lo que le falta de la obra? a) 30 días días d) 48 días b) 40 días c) 45 e) 50 días 16. Veinte obreros han hecho 1/3 de un trabajo en 12 días. En ese momento abandonan el trabajo 8 obreros. ¿Cuantos días se empleó en hacer la obra? a) 28 d) 64 b) 52 e) 30 c) 40 17. Un reservorio de 8 m de radio y 12 m de altura abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál debe ser el radio de un reservorio de 6 m de altura que debe abastecer a 50 personas durante 2 meses? a) 16 m d) 12 b) 15 e) 10 c) 14 18. Si una cuadrilla de 20 hombres pueden hacer un trabajo en 15 días. Otra formada por 10 hombres hace el mismo trabajo en 30 días. ¿Cuántos hombres más se necesitarán para realizar el trabajo en las 3/5 partes del tiempo empleado por 30 hombres? “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 30 d) 25 b) 20 e) N.a. c) 15 19. Si 36 peones, en 15 días de 8 h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240m de lado. En cuántos días, 24 peones trabajando 10 h/d podrán sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado cuya dureza a la cava es los 4/3 del anterior. a) 13.5 días b) 12 días c) 12,5 días d) 13 días e) N.a. 12 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos obreros más se necesitarán si se aumentó en 2 hrs la jornada de trabajo? a) 26 d) 20 20. Ocho obreros pueden preparar una cancha de bulbito de 12 m de ancho y 25 m de largo en 5 días trabajando 10 h/d. Si 4 de los obreros aumentaran su rendimiento en 25% en qué tiempo podrán hacer otra cancha de bulbito de 18 m de ancho y 24 m de largo, trabajando 2 h/D menos cada día? a) 5 días d) 8 días b) 6 días e) 9 días c) 7 días 21. Dos cuadrillas de obreros pueden hacer una misma obra por separado. La 1ra. De 18 hombres lo pueden hacer en 20 días trabajando 8 h/d ; la 2da. De 15 hombres lo pueden hacer en 18 días trabajando 10 h/d. Si el contratista forma un grupo mixto: 8 hombres de la 1ra. Con 15 de la 2da. Para que trabajen 10 h/d. ¿En cuántos días terminarán dicha obra? a) 12 días días d) 14 días b) 11 días c) 10 e) 15 días 22. Se pensó terminar una obra en 45 días empleando 30 obreros laborando 8 h/d. Luego de 24 días de trabajo se pidió terminar la obra S5AR1B “Ser los Mejores....” b) 24 e) 18 c) 22 TAREA DOMICILIARIA d) 8 01. Ocho carpinteros cuya habilidad es como 5 son capaces de hacer 10 mesas y 18 sillas en 24 días. ¿Cuántos carpinteros cuya habilidad es como 7 son capaces de hacer 12 mesas y 20 sillas en 16 días, si se sabe que el hacer 1 mesa es lo mismo que hacer 3 sillas? a) 10 d) 8 b) 12 e) N.a. b) 73 e) N.a. c) 75 03. Sabiendo que 20 hombres pueden hacer una pista de 80 km en 12 días. Después de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar la longitud en 40 km para lo cual se contratan 10 obreros más acabando la obra a los 15 días de empezada. ¿A los cuántos días se aumentó el personal? a) 3 d) 9 b) 5 e) 10 c) 6 04.Se tienen 16 máquinas cuyo rendimiento es del 90% y produce 4800 artículos en 6 días trabajando 10 h/d. S i se desea producir 1200 artículos en 8 días trabajando 9 h/d. ¿Cuántas máquinas cuyo rendimiento es del 60%, se requieren? a) 5 S5AR1B b) 6 05. Quince albañiles de 75% de rendimiento pueden levantar un edificio en 30 días trabajando 10 h/d. Después de 6 días de trabajo se retiran 5 albañiles y los que quedan trabajan con un rendimiento de 90% y 12 horas diarias. ¿Entregarán la obra a tiempo o con retraso? c) 9 02. Una cuadrilla de 60 hombres se comprometieron en hacer una obra en “n” días. Luego de hacer la mitad de la obra 20 obreros aumentan su eficiencia en 25% terminando la obra 3 días antes de lo previsto. Hallar “n” a) 70 d) 78 e) 9 c) 7 a) 1 día antes b) 2 días antes c) 1 día después d) 2 días después e) a tiempo. 06. Una cuadrilla de 18 obreros de un mismo rendimiento se compromete a hacer una obra en 30 días, pero cuando hacen las 2/5 partes de la obra, 10 de ellos abandonan. ¿Qué rendimiento con respecto a los primeros deben tener los 8 nuevos que se contraten para terminar la obra en el plazo pedido? a) 20’% másb) 40% más c) 48% más d) 25% más e) 30% más 07. Un grupo de 20 obreros se comprometen hacer una zanja de 12 m de largo. 9 m de ancho y 4 m de profundidad en 18 días, si al término del octavo día se le pide que la profundidad de la zanja sea de 6 m. ¿Con cuántos obreros tendrán que reforzarse para hacer lo que falta de la obra ampliada en el tiempo fijado? a) 14 d) 20 b) 16 e) N.a. c) 18 08. Para realizar una obra en 60 días se contrató una cuadrilla de 48 obreros. Luego de 15 días de labor se les pidió terminar la obra 9 días antes del plazo ya establecido para “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria lo cual se contrató “n” obreros que son 20% más eficientes que los primeros y que van a reemplazar a 12 obreros. a) 18 b) 15 c) 20 d) 21 e) 12 09. Un grupo de obreros se comprometen hacer una obra en 12 días. Después de hacer ¼ de la obra se les pide que terminen la obra en 3 días antes del plazo estipulado. ¿Con cuántos obreros se deben reforzar para terminar la obra en el nuevo plazo? a) 2 d) 5 b) 3 e) N.a. 13. Un constructor contrata 2 cuadrillas de obreros para hacer 12 casas. La 1ra cuadrilla consta de 10 hombres que trabajan 9 h/d y la segunda cuadrilla de 7 obreros que trabajan 6 h/d. Las 2 cuadrillas juntas terminan las casas en 17 días. ¿Cuántos días necesitan 11 obreros trabajando 8,5 h/d para levantar 7 casas? a) 8 d) 14 c) 4 10. Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden hacer 90 mesas ó 150 sillas. Hallar x sabiendo que 20 de estos carpinteros en 15 días han hacho 120 mesas y x sillas. a) 48 d) 56 b) 45 e) 54 c) 50 11.Un grupo de obreros hacen una obra en 15 días trabajando 10 h/d al 4to día deciden terminar la obra en 3 días antes de lo establecido por lo que aumenta en 1 hr el trabajo diario y el número de obreros en 5. ¿Cuántos obreros trabajaron inicialmente? a) 15 d) 30 b) 20 e) 35 c) 25 12. Un pozo de 6 m de diámetro y 9 m de profundidad fue hecha por 18 hombres en 20 días. Si se quiere aumentar en 1 m de radio del pozo y el trabajo será hecho por 14 hombres. ¿Qué tiempo demandaría? a) 10 días d) 40 días S5AR1B b) 20 días e) 50 días b) 10 e) 16 25 1 25x 25% 100 100 Nota: Todo número puede ser expresado como un porcentaje, multiplicado dicho número x 100% Ejemplos PORCEN 1 1 x 100% 50% 2 2 La expresión “Por ciento” viene de la frase latina “Percentum”, y de ella deriva la palabra porcentaje. Se denomina porcentaje o tanto por ciento, al número de unidades que se toma de cada 100. si decimos “el 70 por ciento de las respuestas de una prueba son concretas”. Queremos significar que de 100 preguntas, 70 son correctas. Se podrá usar 70/100 en vez de la frase “70 por ciento”. La frase “por ciento” se usa cuando una razón está expresada con un denominador 100. 70 por ciento 70 1 70x 100 100 En vez de la expresión “por ciento” se usa el símbolo %. Este símbolo es una abreviatura de 1/100. 70 1 70x 70% 100 100 c) 30 días “Ser los Mejores....” 1<> 1x 100 % <> 100% 2<> 2x 100 % <> 200% 4<> 4x 100 % <> 400% c) 12 S5AR1B 4 3 x 100% 75% 4 4 2 2 x 100% 40% 5 5 Nota: Se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. Ejemplo 1. a) 20% A + 40% A = 60% A b) 50% A – 28 % A = 22% A c) 26% B – 14 % B + 5% B = 17 % B Ejemplo 2: a) 15% del (12% de C) + 4% del (12% de C) se suman = 19% del (12% de C) b) Una cantidad más su 30% = 130% de la cantidad c) Mi edad más el 23% de ella “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Problemas porcentaje fundamentales sobre Resolución: d) 16,2 0,002% x 36 00 = R Los problemas fundamentales de tanto por ciento pueden reducirse a la siguiente expresión: 0,002 x 36 000 = R 100 Se: 0,002% x 360 = R P% = Nos indica el número de centésimos a tomar. 2 1000 N = Representa la cantidad de la cual hay que tomarlas. 2x36 R 100 R = Es el resultado de la operación. A continuación mencionamos algunos puntos que se nos presenta al resolver problemas de tanto por ciento. Primer caso: a) 1,8 d) 0,18 P% de N = R 04. Se conocen: P% y N Se desconoce: R a) 1,5 d) 75 R= 0, 72 Ejemplo 1: Hallar el 40% de 900 Resolución: 40% de 900 = R Resolución: 10% del 25% de 400 000 = R Aplicando obtenemos: R = 360 Ejemplo 2: Hallar el 0,002% de 36 000 10 02. b) 0,021 c) 21 e) N.a. b) 1 620 b) 15 e) 25 c) 150 b) 14,4 e) N.a. c) 1440 b) 3 600 e) N.a. c) 3,6 07. Si: Nataly recibe de propina el 28% de 60 de soles; y vanessa recibe de propina el 32% de 50 soles. ¿Quién recibe más dinero? c) Iguales e) 08. Entre tú y yo tenemos 600 manzanas, si tú me dieras el 15% de las tuyas yo tendría 430 manzanas. ¿Cuántas manzanas tengo? x a) 200 d) 350 09. Hallar el 27% de 6 000. “Ser los Mejores....” c) 180 2 % de (la mitad de 100, 3 a) Nataly b) Vanessa d) No se sabe Ninguna anterior Hallar el 0,05% de 4200 a) 1 640 S5AR1B R = 000 Nota: Las palabras “de”, “del”,o “de los” matemáticamente significan multiplicación y la palabra “es” significativa igualdad. a) 0,12 10-1 d) 2, 01 a) 144 d) 104 a) 0,36 d) 36 10 x 25 400 000 = R 100 100 01. b) 1 800 e) N.a Hallar; el 50% del 32% del A% de B. 06. El 20% del 30% del 0,001 de 60 x 104 es: EJERCICIO DE APLICACIÓN 40 x 900 = R 100 3 % de 3 x 10 5 05. Hallar el 0,03% del 0,2% de 24 x 106 Ejemplo 3: Hallar el 10% del 25% de 400000 10 x 25 x 40 = 40 = R Hallar el A = 20% del 5% de 36 x 103 B = 0,03% del 0,2% de 107 aumentado en 50) x 360 = R Simplificando obtenemos: 40 x 9 = R Hallar el Aplicando obtenemos: P% x N= R cuando en: 03. e) N.a b) 400 e) N.a c) 450 a) 34,56 c) 3456 x 10-3 e) Ninguna. 10. Si: 5 del 0,04% de 120 000 8 4 B = 0, 06% de los % de 2 x 5 A= 107 Hallar el 0,025% del 40% de (A + B) a) 126 x10-3 c) 1260 x 10-5 e) Ninguna b) 12,3 d) 126 Segundo caso: cuando en: P% de N = R Se conocen: P% y R Se desconoce: N Ejemplo 1: ¿25% de que número es 60? Resolución: Sea “N” el número buscado, entonces: 25% de N = 60 25 x N = 60 100 Despejando “N” obtenemos: Sí: c) 162 S5AR1B b) 345,6 d) 4356 x 10-2 “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria e 60x100 N 60x4 N = 240 25 Ejemplo 2: ¿0,06% de qué número es 24? Resolución: Sea “N” el número buscado, entonces: 0,06% de N = 24 0,06 x N = 24 0,06% de N = 2400 100 6 x N = 2400 100 e = años 4 9 % del % de qué número es 9 12 El precio real del libro = P <> 100% P del enunciado, obtenemos: P – 30% P = 17,5 soles 100% P - 20% P = 17,5 soles 70% P = 17,5 soles 70 P = 17,5 soles 100 P = 175 soles 7 P = soles Ejemplo 3: si tuviera 20% de la edad que tengo tendría 48 años. ¿Qué edad tengo en la actualidad? Sea: mi edad actual = e<> 100% e Recordemos que la totalidad de una cantidad es siempre el 100% de ella misma. Del enunciado, obtenemos: 25 EJERCICIOS DE APLICCIÓN 01. Resolución: ¿36% de qué numero es 144? a) 40 d) 1 440 02. a) 15 b) 1500 d) 15 x 103 e¨) 0,15 b) 400 e) N.a c) 360 ¿0,45% de qué número es 9? a) 200 d) 2 x 104 b) 2 000 e) N.a c) 20 03. ¿El 30% de 2/3 % de qué número es 16? a) 0,08 d) 800 “Ser los Mejores....” b) 0,0018 e) N.a c) 8 x 103 c) 1,5 05. ¿El 20% de número es el 40% del 5% de 600? a) 600 d) 6 x 103 N = 40 000 S5AR1B (Edad actual) Sea: 6 120% e = 48 años 120 e = 48 años 100 40 Ejemplo 4: Si vendiera mi libro de razonamiento en un 30% menos, costaba175 soles. ¿Cuál es el precio real del libro? N 2400x100 400x100 100% e + 20% e = 48 años 04. 5 x 10-5 e + 20% e = 48 años 48x10 años 12 b) 6 e) N.a c) 60 a) 200 d) 360 07. b) 30 e) N.a a) Nataly d) Manuel c) César P% de N = R Se conocen: N y R Se desconoce: P% Ejercicio 1: ¿Qué porcentaje de 120 es 48? a) a b) b c) d d) d e) e 08. Si Olga tuviera el 35% menos de la edad que tiene, tendría 13 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 8 años? c) 28 09. Una señora va al mercado, donde al comprar un cierto número d naranjas le regalan un 5% de las que compró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró? S5AR1B cuando en: c) 300 a) Un número cuyo 60% es 240 b) Un número cuyo 80% es 64 c) Un número cuyo 5% del 40% es 80 d) Un número cuyo 0,03% es 15 e) Un número cuyo 0,05% del 6% es 0,003 b) 25 e) N.a b) Vanessa e) N.a Tercer caso: ¿Cuál es el mayor? a) 20 d) 26 c) 400 10. Manuel reparte su forma de la siguiente manera; a Nataly le da fortuna, a vanessa el 20% y a cesar los 112 soles restantes. ¿A quien le tocó más dinero? 06. El 15% del 40% de los 5/8 de un número es equivalente al 25% del 0,02% de 2250. El número. El número es: a) 3 d) 3000 b) 300 e) N.a Resolución: Sea: “P%” el porcentaje buscado P% de 120 = 48 P x 120 = 48 P = 48 x 10 = 4 x 10 100 12 P 40 = Este resultado significa que es el 40%, el signo de % se sobre entiende. Ejercicio 2: ¿Qué porcentaje de 320 es 64? Resolución: Sea: P% el porcentaje buscado “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria P% de 320 = 64 100 P x 320 = 64 P = 64 x 10 = 2 x 10 100 32 P = 20% Ejercicio 3: ¿Qué porcentaje de 0,025 es 0,005? 4 P = 20% Ejercicios: Calcular que % es 40 de 160 Resolución: Sea: P% el porcentaje buscado p% de 160 es 40 Resolución: Sea: P% el porcentaje buscado P% de 0,025 = 0,005 P x 160 = 40 100 = P x 100 Nota: No olvidemos que toda ganancia o pérdida se calcula con respecto al precio de costo (a no ser que se nos indique otra cosa). Ejemplo 7: Una casa comercial vende un televisor en 120 dólares perdiendo en la venta 5 dólares. ¿Qué tanto por ciento perdió? Resolución: Nota: Este tipo de problema también sabe pedirse como incógnita, en lugar de la palabra: que porcentaje so nos pide que % veamos algunos ejemplos: 8 = 28 - Pc Pc = 20 Ejemplo 4: ¿Qué % de 40 es 8? (Precio de costo del libro) Ahora, diremos lo siguiente: El precio de costo representa el 100% Resolución: Sea: P% el porcentaje buscado P% de 40 = 8 P 100 50 100 8 “Ser los Mejores....” 20 x 4000 = 60 100 P = 60 = 15 4 P x 400 = 60 100 125 Luego; 100% P = 15% Ejercicio 10: En la figura mostrada: qué porcentaje del área sombreada es el área no sombreada. (BC // AD) x B b C Por regla de tres: x 5 dólaresx 100% 100% 125dólares 25 Pérdida = 4% Ejercicio 8: ¿Qué % del 15% del 8% de 600 es el 20% de 0,5% de 1 440? x=4 A Resolución: Resolución Luego; Si: 20 P x 40 = 8 P = 8 x 10 = 2x10=20 = Pc dólares 5 dólares Donde: x0,5 1440 100 P = 20% Ejercicio 9: ¿60 qué % es del 50% del 20% de 4000? 5 = Pc - 120 Si: 125 dólares Ganancia = Precio Venta - Precio Costo 20 x 100 P% del 50% del 20% de 4000 es 60 Sabemos que: Sabemos que: 8x 600 = 100 48 x 15 x P = 20 x 5 x 1 440 10 P = 20 x 5 x 144 20 x 1 3 = 48 x 15 1x3 Donde: Ejercicio 6: Si al vender uno de mis libros en Soles gano 8 soles ¿Cuál es el tanto por ciento de las ganancias? 15x 100 Resolución: Pérdida = Precio Costo - Precio Venta P = 25% P = 5 x 100 = 100 = 20 25 5 P = 20% S5AR1B Ganancia 40% Resolución: P = 40 x 10 = 10 x 10 = 25 16 4 P x 0,025 = 0,005 100 P x 25 = 5 100 1000 1000 P% del 15% del 8% de 600 = 20% de 0,5% de 1 440 100% x S5AR1B “Ser los Mejores....” 4b D 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria B A b m S4 n C S5 S1 S2 q q 4b x x S3 Como se observará “h” es altura para todos los triángulos mostrados. A. Somb. = S1 + S2 + S3 Somb = pxh qxh rxh 2 2 2 Calculo del Área No Sombreada: A. no Sombreada = S4 + S5 mh n x h A. no Sombreada = 2 2 A. no sombreada = h x (m + n) 2 Área no Somb. = h x (b) = 2 Luego diremos: Área no Somb. Por regla de tres: S5AR1B 100% x Incógnita: Qué porcentaje del área sombreada es el área no sombreada. a) Aumenta 10% 10% c) No varía Disminuye 4% e) Disminuye 8% “Ser los Mejores....” b) a) 2% d) 8% c) 20% su le se la Disminuye d) b) 4% e) 10% c) 6% 05. Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En qué porcentaje aumenta su área? a) 20% d) 44% a) Si en un aula de 80 alumnos, 55 son mujeres. Hallar el porcentaje de hombres. b) Si en un salón de clases, el 25% son mujeres y hay 48 hombres. Hallar el número de mujeres y el total de la clase. c) ¿Qué porcentaje de 600 es 450? d) ¿120 es el 20% menos de qué número? 02. Si a una cantidad se le aumenta 20% y a la nueva cantidad se disminuye también su 20%, puede afirmar con respecto a cantidad inicial que: b) 60% e) 50% 04. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30 % del 20% de los 2/5 del mismo número? Rpta. 01. Operativo Básico h A.Somb = (4b) = 2 Si: Área Somb. = PRACTICA DE CLASE h A. Somb. = (p + q +r). 2 x 25% a) 45% d) 40% Otra Forma: Para hallar el tanto por ciento en forma directa se procede de la siguiente manera: Calculo del Área Sombreada: A. = bh x 100% 2 25% 2 bh D r 03. Si el 120% de A es igual al 80% de B, el 25% menos de B es igual al 60% más de C. ¿Qué porcentaje de A es el 64% de C? Área no Som. x 100% Area Somb . b) 30% e) 48% c) 36% 06. En una oferta un comerciante disminuye el precio de un artículo en 25%, motivo por cual la demanda aumenta en 60%. ¿En qué porcentaje varía la recaudación? a) Aumenta en 10% b) Disminuye en 20% c) Aumenta en 20% d) Disminuye en 10% e) N.a S5AR1B 100 b a) b/a b) 100a c) 2b –a 100a 100b d) 100 b e) 100 a 09. En un supermercado para determinar el precio de lista de los artículos, se multiplica los costo por un cierto factor K, de tal manera, que pueden descontar 20% más 20% y aún ganar el 80% del costo. Hallar el factor “k”. a) 54/32 d) 9/32 b) 45/16 e) 16/45 c) 9/4 10.¿En cuánto por ciento es M mayor que N?. M N 100 % a) 100( M N ) % N b) c) 100( M N ) (M N ) % 07. Dos artículos “A” y “B” se vendían cada uno de ellos en 1200 soles; ganando en el primero el 20% de su costo y perdiendo en el segundo el 20% de su costo. ¿En dicho negocio se ganó o se perdió y cuánto? a) Se perdió 100 soles. b) Se ganó 400 soles c) Se ganó 200 soles. d) Se perdió 400 soles. e) No se gana ni se pierde. 08. ¿A cómo vendo lo que me costó “a” soles para ganar el “b%” del precio de venta? M N M % d) 100 % e) N EJERCIOS PROPUESTOS Nº 02 01. Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por 45 de 1500. a) 90 d) 120 “Ser los Mejores....” b) 60 e) 150 c) 80 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 02. En una reunión social, el 75% de los hombres es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres? a) 37,5% d) 43,5% b) 62,5% e) 43,5% b) 300% e) 600% d) 4500 c) 400% b) 4800 c) 3200 e) 7200 05. En unas elecciones el 48 que votaron por A es, igual de los que votaron por porcentaje del total votaron a) 68% d) 40% b) 56% e) 60% % de lo al 72 % B ¿Qué por B? c) 50% 06. En un corral se observó, que del total: el 40% son patos, el 35% conejos y el resto pavos. Si el número de patos se triplica y se duplican la de los otros dos. ¿Qué porcentaje del nuevo total son pavos? a) 20,83% d) 50% b) 40,6% e) N.a c) 29,16% 07. En una caja de herramientas el 36% son pernos, el 44% son clavos y el resto son bisagras. Si se duplica el número de bisagras. ¿Qué S5AR1B nuevo a) 18% d) 30% b) 24% e) 32% total son c) 27% 08. Calcular el 20% del 30% del 80% del 50 por 80 de 6000. 04. Si el largo y el ancho de un rectángulo aumentan en 20% y 25% respectivamente, su área aumenta 2400m2. Hallar su área inicial a) 3600m2 del c) 56,5% 03. Si la base de un triángulo se triplica y su altura se duplica. ¿En que porcentaje aumenta su área? a) 200% d) 500% porcentaje pernos? a) 150 b) 180 c) 200 d) 240 e) N.a 09. En la academia el 40% son mujeres, el 30% de mujeres y el 70% de hombres van de paseo, luego el porcentaje de alumnos que no va al paseo es a) 46% d) 58% b) 54% e) 48% c) 42% 10. Calcular el descuento único que reemplace a los tres descuentos sucesivos de 15%, 20% y 25% a) 51% d) 48% b) 50% e) 47% c) 49% 11. ¿El 25% de 280 es el 40% más de qué número? a) 35 d) 60 b) 70 e) 80 c) 50 12. En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres, si las mujeres aumentan 5%. ¿En que porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente 20%? a) 20% d) 40% b) 30% e) 45% c) 50% 13.El ingreso total de una pareja de esposos asciende a s/3375 al mes. El gasta el 70% de su sueldo y ella el 62,5% del suyos, ahorrando ambos la misma cantidad ¿Cuál es la diferencia de sueldos? “Ser los Mejores....” a) S/.375 c) S/.355 d) S/.345 b) S/.365 e) S/.335 14. Por equivocación, a un empleado se le descontó el 20% de su sueldo ¿Qué tanto por ciento se le debe aumentar para devolverlo a su sueldo original, más una bonificación del 8 %? a) 24% b) 35% c) 32% d) 17% e) 36% 15. Si el perímetro de una región circular aumenta en 20% . ¿En qué porcentaje aumenta su área?. a) 30% d) 44% b) 32% e) 20% c) 48% 16. La suma de tres números A, B y C es 1870. A es el 30% de B y el B y C disminuyen en un 80% y 50% respectivamente se hacen iguales. Calcular el mayor de los números. a) 120 d) 2200 b) 1100 e) 2000 c) 2100 17. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número? a) 2% c) 20% d) 24% b) 400% e) 300% c) 600% 19. Si el 40% de los que votan a favor de una moción es el 60% de los que votan en contra. ¿Qué parte de los votantes aprueban la moción? a) 4/5 d) ½ b) 3/5 c) 2/3 e) 1/10 20. Al precio de costo de un objeto se le recarga el 25%. ¿Cuál es el mayor porcentaje de rebaja que se puede hacer sobre el precio de venta, para no perder? a) 16% b) 20% c) 80% d) 12% e) 25% 21. Para fijar el precio de venta de un TV se incrementó su costo en 60%, pero al momento de venderlo se hizo un descuento del 20%, observándose que si se hubiera hecho sobre el incremento estaría ganando $100 de más. ¿En cuánto se vendió el TV? A) $ 640 d) $ 320 b) $ 720 e) $ 620 c) $ 460 22. Un articulo se ha vendido en S/ 1200 ganando el 20% del costo más 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo. b) 10% a) S/.780 S/.860 d) S/.830 e) 15% 18. Una botella de vino cuesta S/. 8,40 pero la botella sola cuesta S/. 6,00 menos que el vino. ¿En qué porcentaje es mayor el costo del vino con respecto al costo de la botella? S5AR1B a) 500% d) 320% b) S/.850 c) e) S/.910 TAREA DOMICILIARIA 01. Una máquina industrial que costó $ 75000 se deprecia cada año 10% de su valor; pero, por el mantenimiento que se le da se revalúa anualmente “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA REGLA DE 5to. Año Secundaria 20%. Al cabo de 1 año, la máquina costará: a) $ 81000 84650 d) $ 82640 b) $ 86000 C) $ a) 40% e) $ 87480 02. Una máquina agrícola que costó $25000 se deprecia cada año 8%, pero por el mantenimiento que se le da se revalúa anualmente 15%.Al cabo d 1 año, la máquina costará: a) $.22950 b) $.26450 c) $.23550 d) $.27000 e) $.25850 03. Si el lado de un cuadrado aumenta en 10%, el área varía en 63 m2. Hallar el área original del cuadrado a) 300M2 240 d) 210 b) 270 c) e) 180 04. Si el largo de un rectángulo aumenta en 25% ¿En qué porcentaje debe disminuir su ancho para que el área no varíe? a) 16% d) 24% b) 18% e) 22% c) 20% 05. Si 20 lt de agua contiene 30% de sal. ¿Cuántos litros de agua se deben evaporar para que la nueva solución contenga 75% de sal? a) 8 lt d) 10 b) 12 c) 6 e) 9 06. A una fiesta asisten hombres y mujeres, el 25% son hombres y el resto mujeres. Sise retiran el 40% de los hombres y el S5AR1B 50% de las mujeres. ¿Qué porcentaje de mujeres que quedan son la de hombres que quedan? b) 80% d) 30% c) 50% e) 53% 07. Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera. Si a peleado100 veces, obteniendo 85 triunfos. ¿Cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar? a) 30 d) 60 b) 40 e) 70 10. Al inicio de 1985 una población tiene 10000 habitantes, el consumo de agua por persona y por hora es de 10 litros. La población crece a un ritmo de 20% anual. Determinar el lado de la base cuadrada de un reservorio de 3/84m de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la población al inicio de 1989. a) 7 d) 35 b) 1100 e) 2000 La centésima parte del tanto por ciento, ósea r/100, es el interés que produce 1 sol en dicho intervalo de tiempo se llama tanto por uno y se designa por “i”. c) 2100 La suma del capital más el interés se llama Monto y se designa por “M”. 09. En una universidad particular ; el departamento de Servicio Social, decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar un 30% al resto. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos? a) 50% d) 80% “Ser los Mejores....” b) 82% e) 85% La cantidad de dinero en préstamo se llama capital y se designa por “C”. El interés o ganancia que produce 100 soles en un cierto tiempo se llama tanto por ciento, o rédito y se designa por: “r”. tres A es el 30% de B y C disminuyen en un 80% y 50% respectivamente se hacen iguales. Calcular el mayor de los números. a) 1200 d) 2200 c) 25 El periodo por el cual se presta el capital se denomina tiempo y se designa por: “T”. c) 50 08. La suma de números A,B y C ES 1870. b) 8 e) 36 En las transacciones comerciales o bancarias, cuando una persona presta una suma de dinero, recibe por éste préstamo, un beneficio, una cantidad que se conoce con el nombre de interés y se designa por: “I”. CLASES DE INTERES: 1. Interés Simple.Cuando los intereses se retiran perteneciendo el capital constante en cada unidad de tiempo. 2. Interés compuesto.- Cuando los intereses no se retiran, los intereses se van acumulando al capital primitivo formando nuevos capitales, se dice entonces que los intereses se capitalizan. c) 79% TASADE INTERES ANUAL S5AR1B “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria La tasa de interés anual viene expresado para diferentes períodos de tiempo y esto debe ser expresada en forma anual. Si r% = 35%, entonces: i = 0,35 Si r% = 20%, entonces: i = 0,20 Si r% = 42%, entonces: i = 0,42 Nota: Para despejar aplicar logaritmos. Ejemplo: el Por dato: C = S/.76000 tiempo Luego, hallamos el 12% del 5 por mil de capital. 15% semestral <> 15.2 = 30% anual 6% mensual <> 6.12 = 72% PROBLEMAS RESUELTOS 10% trimestral <> 10.4 = 40% 01. Si los 5/8 de un capital se imponen al 30% y el resto al 20%, se produciría anualmente S/.1900 más que si las mismas partes se hubieran impuesto con las tasas en orden invertido. ¿Cuál es el 12% del 5 por mil de dicho capital? anual anual 48% bianual <> 48 2 = 24% anual FORMULAS AL r% INTERÉS SIMPLE: I = C .t. r 100 I DE “t” en años a) S/.42,2 d) S/.45,6 b) S/.36,7 e) S/.26,7 C .t. r 1200 = “t” en meses “t” en días Donde si: tasa = r%, Entonces: a) S/.1300 S/.1500 d) S/.1600 5 C 8 y1 = 20% i = r/100 C2 = 21 C 80 “Ser los Mejores....” En 8 meses M I8m = 40% 8m C I8 I8m 60% = 40% C 8 I1m c) e) S/.1700 I1m = 1 C 12 En t meses M tm Itm = 80% C I tm I tm 20% = 80% C t I1m t. En 4 años, su interés será el 80% del monto 0,6 C – 0,02 C = 870 C = 1500 y2 = 30% 19 C 80 S5AR1B El capital S/.1500 1 C = 4C 12 t = 48 m <> 4 años I2 = 0,02 C Luego, por tanto: 3 C 8 I1 + I2 = Ejemplo: Solución: C y = 0,20% mensual <> 0,2 x 12 = 2,4 t = 10 mes 2da Imposición Anual: C1 = b) S/.1400 a) 4 años b) 2 años c) 3 años d) 3.5 años e) 3 años y 8 meses I2 = 0,6 C 2da Imposición: y2 = 20% M = C+ I M = c. (1+i) t Resulta 45,6 impuesto al 0,20% 02. Un capital diario, produce en 10 meses S/.870 más, que el mismo capital impuesto al 0,20% mensual durante el mismo tiempo. Hallar el capital. C y = 0,20% diario <> 0,2 x 360 =72 t = 10 meses 3 5 C1 = C C2 = C 8 8 I1 + I2 = FORMULA DE INTERÉS COMPUESTO 12 5 . . 76000 45,6 100 1000 1ra imposición: Sea C el capital y1 = 30% Mes comercial <> 30 días Año comercial <> 360 días 03. Se impone un capital a cierta tasa y en 8 meses produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho dinero para que a la misma tasa de interés genere una renta igual al 80% del monto? Solución: 1ra imposición anual: C .t. r Para las36000 equivalencias usar: S5AR1B c) S/.73,2 Solución: = I ANUAL 21 19 CC = 1900 80 80 es de 04. Se prestó un capital por 3 años y el monto fue S/.51000. Si se hubiera prestado por 5 años, se recibiría en total S/.75000. ¿Cuál fue la tasa semestral? “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria a) 20% b) 80% d) 50% e) 16% c) 40% Solución: C1 . 18 = C2 . 36 = C3 . 45 = K 2 C1 = 4 . C 2 = 5 . C 3 = K Es decir: C1 Del enunciado M3 años M5 años Solución: Como generan el mismo interés, se tiene: I 3 años = C + = 51000… 1 3 I1año t1 = 5 meses II La mayor diferencia = 1200 K K 1200 2 5 5 I1año K = 4000 De 1 y 2 El valor S/.3800 de N = Peso: I1 año = 12000 15000.1.2x 12000 100 X = 40 Tasa: 40% semestral 05. Una persona dispone de “N” soles que lo ha dividido en 3 partes, tal que imponiéndolas al 18%, 36% y 45% respectivamente le genera el mismo interés bimestral. Calcular N, si la mayor diferencia entre dos de los capitales es S/.1200. b) S/.4100 c) 06. Los 2/5 de un capital se han prestado al 1,5% bimestral durante 5 meses; los 3/8 del capital se han prestado al 0,25% trimestral durante medio año y el resto del capital se ha prestado a una tasa de interés, tal que en un año y medio ha generado un interés que es igual a la suma de los otros 2 intereses, obtenidos. Determinar dicha tasa de interés. a) 5% d) 10% Solución: e) S/.3800 Sea C, el capital total. Solución: Sean las partes C1, C2 y C3 en las que se ha dividido N. S5AR1B b) 6% e) 8% “Ser los Mejores....” 40000 . t . (5% - 3%) = 3840 III C3 = 9 C 40 r3 = r t = 4,8 años <> t3 = 18 meses C1 = 2000 ; C2 = 1000 ; C3 = 800ç Sea, tasa semestral X% <> 2X% anual C2 = 3 C 8 r2 = 0,25% trimestral <> 1% anual t2 = 6 meses Hallando los capitales: C = 15000 I1 año = 12000 Si se hubiera impuesto durante todo el tiempo: Al (5%) – Al (3%) = 3840 Hallamos el tiempo en años: = K K K ;C 2 ; C3 2 4 5 I 5 años = C + = 75000… 2 a) S/.4200 S/.4000 d) S/.3900 I C1 = 2 C 5 r1 = 1,5% bimestral <> 9% anual c) 7% Pero: I3 = I1 + I2 4 años 9meses 18días Ahora, calculamos los intereses por 9 2 3 año, meses y días: C . 18 r C . 9. 5 C . 1. 6 40 5 8 Por años (5%) 1200 1200 1200 r=5 I1 = Se impone al 5 % anual Por meses (4%) I2 = 07. Un capital de $ 40000 estuvo impuesto durante un cierto número de años, meses y días. Por los años se cobró el 5% anual, por los meses el 4% y por los días el 3%. Calcular la utilidad producida por dicho capital sabiendo que, si se hubiera tenido impuesto durante todo el tiempo al 5%, habría producido $ 3840 más que si se hubiera colocado todo el tiempo al 3%. a) $ 9260 b) $ 9620 d) $ 10000 e) $ 9500 S5AR1B 4000. 4. 5 S / .800 100 4000. 9. 4 S / .1200 1200 Por días (3%) I3 = 4000. 18.3 S / .60 36000 Luego, la utilidad total será: 8000 + 1200 + 60 = S/.9260 c) $ 9600 “Ser los Mejores....” Se ganará S/.9260 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria PRACTICA DE CLASE 01. Si los 5/8 de un capital se imponen al 30% y el resto al 20%, se produciría anualmente S/ 1900 más que si las mismas partes se hubieran impuesto con las tasas en orden invertido. ¿Cuál es el 12% del 5 por mil de dicho capital? a) S/ 43,2 d) S/ 45,6 b) S/ 36,7 e) S/ 26,7 C) S/ 73,2 02. Un capital impuesto al 0,20% diario, produce en 10 meses S/ 870 más, que el mismo capital impuesto al 0,20% mensual durante el mismo tiempo. Hallar el capital. a) S/ 1300 1500 d) S/ 1600 b) S/ 1400 c) S/ a) 4 años c) 3 años d) 3,5 años 8 meses b) 2 años 01. Dos capitales impuestos a interés simple: uno al 24% y el otro al 20%, están en la relación de 5 a 7. El segundo capital produce un interés anual de S/ 2420 más que el otro. Calcular el menor capital. a) S/ 12670 12270 d) S/ 45800 b) S/ 90500 c) S/ e)*S/ 60500 02. Un capital es impuesto al 20% anual y al final del primer año retira los intereses y una parte del capital igual a los intereses; al final del segundo año se retiran los intereses y una parte del capital igual a los intereses y así sucesivamente. Si al final del tercer año se nota que el capital ha disminuido en S/ 12200. ¿Cuál es el capital inicial? e) 3 años y 04. Se prestó un capital por 3 años y el monto fue S/ 51000. Si se hubiera prestado por 5 años, se recibiría en total S/ 75000. ¿Cuál fue la tasa semestral? b) 80% e) 16% c) 40% 05. Una persona dispone de “N“ soles que lo ha dividido en 3 partes, tal que imponiéndolas al S5AR1B a) S/ 4200 b) S/ 4100 c) S/ 4000 d) S/ 3900 e) S/ 3800 EJERCIOS PROPUESTOS Nº 03 e) S/ 1700 03. Se impone un capital a cierta tasa y en 8 meses produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho dinero para que a la misma tasa de interés genere una renta igual al 80% del monto? a) 20% d) 50% 18%, 36% y 45% respectivamente le genera el mismo interés bimestral. Calcular N, si la mayor diferencia entre dos de los capitales es S/ 1200. a) S/ 20000 23000 d) S/ 25000 b) S/ 22000 c) “Ser los Mejores....” 04. Un señor divide su capital en 3 partes iguales y los impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente, logrando una renta anual de S/ 10000. ¿Cuál era su capital? a) S/ 29000 62000 d) S/ 32000 b) S/ 75000 c) S/ e) S/ 45000 como gasto total $ 8650. ¿Cuál fue su capital? a) $ 16000 24000 b)*$ 18800 d) $ 26200 c) $ e) $ 32010 08. Una cierta suma de dinero ha sido colocado al 40% durante 2 años y 5 meses, produciendo un cierto interés. Durante cuánto tiempo sería 1 37 % 2 necesario colocarlo al para 05. Los 2/3 de un capital se imponen al 6% anual, los 3/4 del resto al 1,5% bimestral y el resto al 1% mensual. Si al cabo de 2 años 1 mes, se recibe en total S/ 8287,5. ¿Cuál era el capital original? a) S/ 7200 4800 d) S/ 5000 b) S/ 4500 c) S/ e) S/ 5100 06. En una entidad bancaria, los intereses se calculan del siguiente modo: por el millar se da el 30% bianual y por el restante el 4,5% semestral. ¿Qué utilidad habrá generado S/ 20800 en el lapso de un año? A) S/ 1932 1652 d) S/ 1562 e) S/ 28000 b) 615d e) 685d S/ 03. Una persona ha impuesto S/ 10000 a interés simple, si hubiera estado 30 días más, el interés habría aumentado en S/ 50 y si el tanto por ciento hubiera disminuido en 0,8%, los intereses habrían disminuido en S/ 150. Hallar el tiempo que duró la imposición. a) 600d d) 675d b) S/ 1742 c) S/ e) S/ 1872 07. Un usurero vive de los intereses que produce su capital impuesto al 5%. Al final de cada año retira los intereses para cubrir sus gastos; pero, al final del octavo año además de los intereses retira $ 200 de su capital. Al hacer sus cuentas al finalizar el noveno año obtiene c) 645d S5AR1B que reporte el mismo interés. a) 2años 4meses b) 4años c) 7 años 8meses d) 5 años e) 2 años 6 meses y 28 días 09. Se tienen 2 capitales, donde el segundo es el doble que el primero; el primero produce un monto de S/ 22500 en 12 años 6 meses y el segundo un monto de S/ 40000 en 10 años, los 2 a la misma tasa de interés. Entonces, la tasa de interés es : a) 12% d) 15% b) 20% e) 18% c) 10% 10. Tres capitales impuestos separadamente al 12,5% semestral, 4% bimestral y 5% trimestral respectivamente, generan la misma renta. Hallar la suma de los 3 capitales, si el menor de los montos producidos en un año es S/ 3000. a) S/ 7800 8000 d) S/ 8100 b) S/ 7900 e) S/ 8200 TAREA DOMICILIARIA “Ser los Mejores....” c) S/ 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 01. La octava parte de un capital se depositó al 35%, los 3/7 del resto al 40% y el saldo a cierta tasa que permitió obtener una utilidad anual de 45% sobre dicho capital. ¿A qué tasa se colocó el saldo? a) 52,75% 50,75% d) 50,25 b) 51,75% c) e)*51,25% 02. Calcular el interés producido por un capital de S/ N al cabo de cierto tiempo impuesto al 30%. Si se sabe que impuesto al 95% produce S/ 44590 más que impuesto al 80% durante al mismo tiempo. a) S/ 19650 19670 d)*S/ 19680 b) S/ 19660 c) S/ e) S/ 19690 03. Dos capitales están en la relación de 5 a 8, el primer capital se colocó al 25 por 75 durante 8 meses y al segundo al 20 por 60 durante 20 meses, obteniéndose de esta manera un monto total de S/ 83500. ¿A cuánto ascendía el capital total? a) S/ 58200 b) S/ 58300 c) S/ 58400 d) S/ 58500 e) S/ 58600 04. A una persona se le dice: Sí impone la quinta parte de su dinero al 8% durante 4 meses; la mitad del resto al 5% durante 2 años y lo que queda al 2% durante 2 años, capitalizable cada año, obtendría un interés total de S/ 11500. Pero, dicha persona impuso todo su capital a interés simple al 5% durante 4 años. ¿Cuánto ganó o S5AR1B perdió por no aceptar la propuesta inicial? a) Ganó S/ 26000 b) Perdió S/ 2600 c) Ganó S/ 14000 d) Perdió S/ 1400 e) Perdió S/ 520 05. Una persona tiene S/ 16000 que lo presta al 8% trimestral y otra tiene S/ 20000 que presta al 8% cuatrimestral. ¿Dentro de cuánto tiempo los montos serán iguales? a) 10,5 años 12,5 años d) 18,5 años b) 11,5 años c) e) 20 años 06. Una persona vende su auto, y el dinero lo presta por un año y 9 meses al 1,25% trimestral. Los intereses producidos lo reparte entre sus 3 hijas, a una de ellas le dio los 3/7; a la otra 4/11 y a la otra $ 64. ¿En cuánto vendió el auto? a) $ 3265 3015 d) $ 3020 b) $ 3815 c) $ e) $ 3520 07. Martín tenía impuesto un capital al 8% y no siendo suficiente los intereses para cubrir sus gastos, impuso su capital en una industria que le da el 10%. De esta manera ha podido aumentar sus gastos diarios en 2,5 soles ¿Cuál es su capital? a) S/ 39000 b) S/ 45000 49500 d) S/ 55200 e) S/ 68000 c) S/ 08. Ana coloca parte de su dinero en una empresa al 30% y otra parte en una fábrica al 20%. Luego de calcular los intereses, invirtiendo las tasas, obtiene intereses iguales. Se desea saber “Ser los Mejores....” que capital ha colocado en la fábrica, sabiendo que produce $ 500 menos que el colocado a la empresa en un año. a) $ 2000 d) $ 5400 b) $ 3200 e) $ 6450 c) $ 4200 09. Se colocan 3 capitales a interés simple durante 5 años y se convierten respectivamente en: S/ 15840, S/ 14520 y S/ 12480. Hallar el mayor capital, sabiendo que suman S/ 37500. a) S/ 12300 15200 d) S/ 13600 b) S/ 14100 c) S/ e) S/ 13200 10. Después de prestar un capital por 3 años, se obtiene un monto igual al triple del capital prestado. Al prestar S/ 3000, a la misma tasa de interés por un año y 3 meses. ¿Cuál será el interés a recibir? a) S/ 3000 c) S/ 2750 d) S/ 2500 e) S/ 2250 b) S/ 2850 menos que si los 5/11 los colocara al 5% y el resto al 6%. a) $ 80000 90000 d) $ 98000 b) 9:4 e)13:5 a) $ 13000 17500 d) $ 16000 $ e) $ 99000 b) $ 21000 c) $ e) $ 25050 14. Una persona impuso la cuarta parte de su capital al 4% durante 5 años y el resto al 5% durante 6 años. La suma de los intereses producidos es igual a la ganancia que hubiera producido un capital de S/ 6446 al 6% durante 4 años. ¿Cuál es el capital impuesto por esa persona? a) S/ 1036,6 5625,6 d) S/ 1040,5 c) 4:9 12. Hallar un capital, tal que al imponer sus 5/11 al 6% y el resto al 5%, retira anualmente $ 80 S5AR1B c) 13. Se imponen 2 capitales al 5%, durante 10 años; si la diferencia de ellos es $ 4000 y la suma de los intereses es $ 14000. Hallar el mayor de los capitales. 11. La relación de los montos generados por 2 capitales es de 2 a 3; siendo su relación de tiempos de 1 a 3 respectivamente. Si el primero se colocó al 9% y el segundo al 0,25% mensual. ¿En qué relación se encuentran, la suma y diferencia de cuadrados de dichos capitales? a) 2:3 d) 5:3 b) $ 88000 “Ser los Mejores....” b) S/ 1406,2 e) S/ 2812,8 c) S/ REGLA DE 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria “t” en días 2. Descuento Racional (Dr) Es una operación, que consiste en calcular el descuento por ser cobrado antes de su vencimiento. Elementos: D: Vn: Descuento Valor nominal Va: Valor actual (Va = Vn – D) f.g: f.d: f.v: t: fecha de giro fecha de descuento Fecha de vencimiento tiempo (t = f.d f.v) r: tasa de descuento Clases de Descuento: Existen dos clases de descuento, según el capital que se asume. Si tomamos como referencia el valor nominal se denominará Descuento Comercial y si tomamos como referencia el valor Actual se denominará Descuento Racional. 1. Descuento Comercial (Dc) Es el interés que generaría el valor nominal bajo una tasa de descuento durante el tiempo de vencimiento. Tambien se le llama Descuento Externo o Descuento Abusivo. El descuento comercial, está dado por: Dc= Vn. t.r 100 Dc= Vn. t.r 1200 “t” en años “t” en meses Es el interés que generaría el valor Actual bajo una tasa durante el tiempo de vencimiento. Tambien se le llama Descuento Interno o Descuento Matemático. Es el descuento que se hace sobre el Vn del documento. El descuento racional está dado por: Dc= Vn. t.r 100 t. r Dc= Vn. t.r 1200 t. r Dc= Vn. t.r 36000 t. r Nota: Vn. t.r 36000 Vencimiento Común Si se tienen las letras: L 1; L2: L3;…..: Ln ; de valores Vn1; Vn2; Vn3; …..; Vnn y sus respectivos tiempos de vencimiento: t1; t2; t3;…tn ; entonces, estás letras pueden ser reemplazadas por una única letra que vencerá dentro de un tiempo dado por: Vn1 . t1 Vn2 . t2 t.... Vnn . tn Vn1 V2 ....... Vnn PROBLEMAS RESUELTOS “t” en meses “t” en días a) El descuento Comercial (Dc), siempre es mayor que el Descuento racional (Dr). Dc > Dr b) Si se conocieran el descuento comercial (Dc) y el descuento racional (Dr), el valor nominal del documento está dado por: Vn = Dc. Dr Dc Dr Letras Equivalentes Se dicen que dos letras L 1 y L2 son equivalentes, cuando sus valores actuales son iguales, es decir: Dc= S5AR1B “t” en años Vn1 – D1 = Vn2 – D2 01. El valor nominal de una letra es S/.4900, descontando racionalmente se obtiene por ella S/4375. ¿Cuánto se obtendría si el descuento fuese comercial al mismo porcentaje? a) S/. 4220 b) S/.4300 S/.4324 d) S/.4312 e) S/.4336 recibirá Se S/.4312 02. Un comerciante debe 3 letras a un mismo acreedor: La primera de S/.21000 que vence el 18 de Julio. La segunda de S/.35000 que vence el 7 de Agosto. La tercera de S/.1400 que vence el 16 de setiembre. si quiere cancelar su deuda con un solo pago de S/.70000. ¿En qué fecha debe hacerlo? a) 7 de agosto c) 12 de agosto e) 16 de agosto b) 9 de agosto d) 15 de agosto Solución: Haciendo una línea de tiempo: c) S/.21000 S/.35000 18 Julio 7 agosto S/.14000 16 de setiembre Solución: 20 días Datos: Vn = S/.4900; Dr = 4900 – 4375 = S/.525 Es decir el pago único se realizará en 22 días. Dc. 525 Dc = S/.588 Dc 525 Luego, el valor actual comercial: S5AR1B 35000. 20. 14000. 60 21000 35000 14000 º = 22 Hallamos el Dc: 4900 = 40 días Hallamos el vencimiento común y tomando referencia el 18 de Julio: t= Dc. Dr Pero: Vn = Dc Dr Va1 = Va2 “Ser los Mejores....” 4900 – 588 = S/.4312 18 de Julio + 22 días = 9 de Agosto Se efectuará el pago único el 9 de Agosto. “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria otra de $ 240 a 5 meses, siendo la tasa de descuento de 24%. a) $ 400 d) $ 415 b) $ 410 e) $ 404 c) $ 420 Fecha de vencimiento = 4 Juli 48 días Fecha de descuento = 17 May 40.6 40.2 40.8 12000 1 Vn 2 1200 1200 Vn= S/.2250 9600 = Vn . Solución: r = 11% semestral <> 22% anual 03. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de una letra, si los descuentos que sufren el 20 de mayo y el 21 de Junio son entre si como 15 es a 7? Para hallar el precio al contado, calculamos los valores actuales de cada letra: r = 24% a) 30 Junio b) 13 Agosto c) 30 Julio d) 12 Agosto e) 19 Julio Solución: Haciendo una línea de tiempo: r = 24% 4m Vn1 = $ 200 5m 20 Mayo 21 Junio 32 días f.v. = ?? (t - 32) Vn2 = $ 240 24.4 Va1 200 1 $184 1200 t dias 24.5 Va2 240 1 $ 216 1200 Por dato: D20May D21Jun 15 7 Va1 + Va2 = $ 400 El valor del artefacto al contado es $ 400 t 15 t 32 7 Vn = S/.5760 Hallamos el valor actual: Va 2250 48.22 1 S / .2184 36000 Cada letra debe ser de S/.5760 Se recibirá por dicha letra S/.2184 06. Una persona debe a otra una letra de S/.12000 pagadera a los 6 meses, conviene en pagar su deuda mediante 2 pagos iguales, que vence a los 2 y 8 meses respectivamente. ¿Cuál es el valor nominal se estos pagos, si se aplicara un descuento comercial de 40% anual? a) S/.5460 S/.5740 d) S/.5470 b) S/.4860 c) e) S/.5760 Solución: 05. El 5 de Abril de firmó una letra por S/.2250 con fecha de vencimiento el 4 de Julio, si se le descontó dicha letra el 17 de Mayo del mismo año. ¿Cuánto recibió por dicha letra, considerando una tasa de descuento del 11% semestral? t = 60 días La fecha de vencimiento: 20 Mayo + 60 Días = 19 Julio El descuento vence el 19 de Julio 04. Hallar el precio al contado de un artefacto, por el cual se firman 2 letras: una de $ 200 a 4 meses y a) S/. 2120 b) S/.2184 S/.2234 d) S/.3000 e) S/.3500 Solución: c) Haciendo una línea de tiempo: Inicialmente: 6m 2m Nueva Forma: r = 40% Vn1 = 12000 Vn Vn 8m Hallar los valores actuales: Fecha de giro = 5 Abril S5AR1B “Ser los Mejores....” S5AR1B 5 3 “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria PRACTICA DE CLASE 01. El valor nominal de una letra es S/ 4900, descontado racionalmente se obtiene por ella S/ 4375. ¿Cuánto se obtendría si el descuento fuese comercial al mismo porcentaje? a) S/ 4220 4324 d) S/ 4312 b) S/ 4300 c) S/ e) S/ 4336 02. Un comerciante debe 3 letras a un mismo acreedor: La primera de S/ 21000 que vence el 18 de Julio. La segunda de S/ 35000 que vence el 7 de Agosto. La tercera de S/ 14000 que vence el 16 de Setiembre. Si quiere cancelar su deuda con un solo pago de S/ 70000. ¿En qué fecha debe hacerlo? a) 7 de agosto b) 9 de agosto c) 12 de agosto d) 15 de agosto e) 16 de agosto. 03. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de una letra, si los descuentos que sufren el 20 de mayo y el 21de Junio son entre si como 15 es a 7? a) 30 Junio Julio d) 12 Agosto b) 13 Agosto c) 30 e) 19 Julio b) $ 410 c) $ e) $ 404 05. El 5 de Abril se firmó una letra por S/ 2250 con fecha de vencimiento el 4 de Julio, si se le descontó dicha letra el 17 de Mayo del mismo año. ¿Cuánto se recibió por dicha letra, considerando una tasa de descuento del 11% semestral? a) S/ 2120 2234 d) S/ 3000 b) S/ 2184 e) S/ 3500 01. Dos letras, una de S/ 1980 pagadera a los 60 días y otra de S/ 1800 pagadera a los 84 días son descontados al mismo porcentaje. ¿Cuál fue la tasa de descuento considerando que se recibió S/ 185,40 más por la primera que por la segunda? a) 6,5% d) 4,5% b) 3% e) 5% c) 6% 02. ¿Cuál es la tasa de descuento anual a la que ha sido descontado un efecto de comercio, sabiendo que al ser negociado 4 meses antes de su vencimiento se recibe el 84% de su valor nominal? b) 30% e) 30% c) 60% 03. El banquero descuenta dos letras: 30 y 50 días respectivamente, ambas al 5%. Si los valores nominales están en la relación de 4 a 3. Hallar el valor actual de la segunda letra, si la “Ser los Mejores....” suma de los descuentos 13,50. a) S/ 1000 1740 d) S/ 1800 b) S/ 1072,5 es S/ a) S/ 60000 63000 c) S/ e) S/ 1200 04. Dentro de que tiempo, se podrá pagar con S/ 2500, colocados al 6% cuatrimensual, una letra de cambio que vence dentro de 2 años, descontable comercialmente al 15%. El valor nominal del documento es S/ 3000. c) S/ EJERCIOS PROPUESTOS Nº 04 a) 50% d) 48% 04. Hallar el precio al contado de un artefacto, por el cual se firman 2 letras: una de $ 200 a 4 meses y otra de $ 240 a 5 meses, siendo la tasa de descuento de 24% . S5AR1B a) $ 400 420 d) $ 415 a) 2años b) 16 meses c) 18 meses 25 días d) 10 meses 20 días e) 8 meses 15 días 05. En que fecha ha sido aceptada una letra de S/ 2340 al 18% y pagadera a los 45 días; si se sabe que al venderla el 16 de Mayo se recibe por ella S/ 2313,09. a) 20 Abril 24Abri d) 26 Abril b) 22 Abril c) e) NA 06. Para cancelar una deuda de S/ 5350 se firman 25 letras mensuales, descontables al 10%. Hallar el valor nominal de cada letra. a) S/ 60 240 d) S/ 300 b) S/ 120 c) S/ 07. Una letra que vence dentro de 3 meses tiene un valor actual de S/ 60000. Si se descontara dentro de 30 días, el descuento sería S/ 900 mayor que si se descontara dentro de 45 días. Hallar el valor nominal de dicha letra. S5AR1B d) S/ 65400 d) S/ e) NA 08. Una persona vende un artefacto cuyo precio al contado es S/ 2040; dando como pago al contado S/ 1500 y firmando 6 letras de S/ 300 cada una pagadero en 6 meses a partir del día de la venta. ¿Cuál es la tasa de descuento? a) 10% d) 30% b) 50% e)*40% c) 20% 09. Si una letra de S/ 3600 se hubiera negociado 7 días después, su valor actual hubiera sido S/ 84 mayor. ¿Cuánto se recibió por ella, si se negoció 15 días antes de su vencimiento? a) S/ 3420 7340 d) S/ 3220 b) S/ 3180 c) S/ e) S/ 3350 10. Un comerciante debía 3 letras a un mismo acreedor. La primera de $280 que vence el 30 de Mayo; la segunda de $420 y la tercera de $350 que vence el 22 de Junio. Si finalmente cancela la deuda en un sólo pago de $1050 el día 6 de Junio. ¿En qué fecha vencía la segunda letra? a) 28 Mayo Junio d) 4 Junio e) S/ 360 b) S/ 62500 b) 30 Mayo c) 2 e) 6 Junio TAREA DOMICILIARIA 01. ¿Cuánto menos se hubiera recibido por una letra de S/ 42000 si se hubiera descontado “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria comercialmente, si al descontar racionalmente se obtiene S/ 40000?. a) S/ 250 S/ 120 d) S/ 100 b) S/ 200 c) e) S/ 150 02. El valor nominal de una letra es los 4/5 del valor de la otra. Se han descontado comercialmente ambas al 4%, la primera por un mes y 10 días, la segunda por 3 meses. El descuento de ésta fue de S/ 20,50. ¿Cuál fue el descuento de la otra? a) S/ 10,18 S/ 4,10 d) S/ 3,14 b) S/ 8,30 c) e) S/ 8,38 03. ¿Cuál es el valor actual de una letra de cambio de S/ 7200, pagadera el 12 de Setiembre y fue descontada el 20 de Junio del mismo año al 12%. El banco cobró el 1% de comisión y 2,5% por cambio de plazo. a) S/ 6682,40 b) S/ 6746,40 c) S/ 6400 d) S/ 6500 e) S/ 6600 04. Calcular el valor nominal de una letra, que descontada por 4 meses al 5%, da una diferencia de S/ 2 entre el descuento comercial y el descuento racional. a) S/ 7320 7050 d) S/ 4025 b) S/ 3230 c) S/ a) 70 días 72 días días b) 71 días d) 73 días c) e) 74 06. ¿Cuál será el descuento comercial y el valor efectivo de un pagaré de S/ 7200 que vence el 15 de Noviembre y se negocia al 5% el 17 de Agosto del mismo año? a) S/ 90 y S/ 6300 7114 c) S/ 95 y S/ 7105 7109 e) S/ 99 y S/ 7110 d) S/ 91 y S/ 07. Dos letras son descontadas, la primera por 140 días al 50% anual; la segunda por 150 días al 60% anual; el descuento de la primera es al de la segunda como 7 es a 5, y la diferencia de los valores nominales respectivos es $ 560. Dichas letras se desean reemplazar por otra a pagar en 200 días al 40%. Determinar el valor nominal de ésta letra reemplazante. a) $ 1890 1940 d) $ 1980 b) $ 1920 c) $ e) $ 1680 08. Un comerciante tiene tres letras por cancelar, la primera por S/ 8000 dentro de 40 días, la segunda por S/ 7000 y la tercera por S/ 5000 dentro de 3 meses 10 días. Se decide cambiar las letras por una sola cuyo valor nominal sea S/ 20000 y firmada para cancelar “Ser los Mejores....” dentro de 75 días. ¿Dentro de cuánto tiempo vencía la segunda letra? a) 90 días 60 días días b) 98 días d) 65 días c) e) 80 09. El descuento comercial y el descuento racional de una letra de cambio están en la relación de 4 a 3. ¿Qué porcentaje del valor nominal es el descuento racional? a) 10% d) 25% b) 15% e) 30% c) 20% aplicar a dicho efecto de comercio para que al descontarla comercialmente dentro de 2 meses no exista pérdida de dinero? a) 25% d) 30% b) 36% e) 35% c) 48% 13. Una persona compra un artículo, cuyo precio al contado es S/ 6000, pagando S/ 2562 al contado y por el resto firmando letras mensuales de S/ 450 cada una. ¿Cuántas letras se firmó considerando un descuento comercial del 6% semestral? b) S/ 85 y S/ e) S/ 7280 05. Un deudor tiene que pagar al Banco tres letras: La primera por S/ 8000 pagadera dentro de 30 días, la segunda de S/ 20000 pagadera en 60 días y la tercera de S/ 40000 con un plazo de 90 días. Dentro de cuánto tiempo S5AR1B debe ser pagada una letra única, cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras, suponiendo que la tasa de interés es constante. 10. Por un artefacto, cuyo precio al contado es S/ 1880, se ha dado una cuota inicial de S/ 200 y se han firmado letras de igual valor nominal que vencen mensualmente. Hallar al cabo de que tiempo se terminará de cancelar el artefacto, si el valor de cada letra es S/ 1200 y se ha fijado una tasa del 10%. a) 1 año b) 2 años, 2 meses c) 1 año, 3 meses d) 1 año, 5 meses e) 2 años 11. El menor valor actual de una letra es S/ 5940 y su menor descuento es el 10% de su valor actual. Si la letra vence en 8 meses y se descuenta al 15%. Calcular su mayor valor actual. a) S/ 5900 S/ 5994 6500 b) S/ 6006 d) S/ 6000 c) e) S/ 12. Hoy se firma una letra de cambio por una deuda, considerando un interés simple del 30%, con vencimiento en 8 meses. ¿Qué tasa de descuento se debe S5AR1B a) 4 d) 10 b) 6 e) 12 c) 8 14. Si una letra se descontase el día de hoy, se pagaría el 80% de su valor nominal, pero si se hubiera pagado hace 4 meses 20 días, el valor anterior hubiera disminuido en un 10%. ¿Qué tiempo falta para el vencimiento de la letra? a) 6 meses, 20 días b) 8 meses, 10 días c) 9 meses, 10 días d) 11 meses, 20 días e) 1 año 15. Calcular el valor nominal de una letra, que descontada por un año al 12%, da una diferencia de S/ 36 entre el descuento abusivo y el descuento matemático. a) S/ 2000 b) S/ 2300 2800 d) S/3200 e) S/4200 “Ser los Mejores....” c) S/ 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Ejemplo 2: La circunferencia y el diámetro son magnitudes directamente proporcionales, porque el cociente de sus valores correspondientes es la constante ( ) Circunferencia c = 2 r= 1 2 (3) = 6 Antes de pasar a estudiar el reparto proporcional, hablemos primero sobre magnitudes proporcionales. I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. “Dos magnitudes se llaman directamente proporcionales cuando el cociente de sus valores correspondientes es una cantidad constante” Ejemplo1: En el movimiento uniforme, el espacio y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales porque el cociente de sus valores correspondientes es para cada movimiento, una constante llamada velocidad. Magnitudes Valores Correspondientes Espacio e1=20 km e2=40 km e3=60 km e4=80 km Tiempo t1=2h t2=4h t3=6h t4=8h Luego: e1 e2 e3 e4 t1 t2 t3 t4 Valores Correspondientes Magnitudes REPARTO =Constante = Diámetro d = 2r = 1 1 2 (3) = 6 c = 2 r= c = 2 r= 2 2 3 3 2 (4) = 8 2 (5) = 10 X 4/3 X 5/4 c = 2r = 2 2 2 (4) = 8 X 4/3 Luego: d = 2r = 3 3 2 (5) = 10 X 5/4 C1 C 2 C 3 = Constante d1 d2 d3 = Longituddelacircunfere ncia(C) Diámetro delacircunfere ncia(D) = II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. “Dos magnitudes se llaman inversamente proporcionales, cuando el producto de sus valores correspondientes es una constante” Ejemplo 1: En el movimiento uniforme la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales porque el producto de sus valores correspondientes es, para cada movimiento, una constante llamada espacio. Velocidad S5AR1B Espacio (e) =Velocidad (V) Tiempo(t) Magni -tudes Valores Correspondientes Velocidad V1=30 km/h V2=60 km/h V3=80 km/h V4=40 km/h Tiempo t1=8h t2=4h t3=3h t4=6h “Ser los Mejores....” constante, porque: Luego: V1.T1=V2.t2=V3.t3=V4.t4=constante Espacio lo que no es cierto, = Velocidad (V) . Tiempo (t) = Espacio(e) (En este ejemplo (1), se cumple que: a mayor velocidad menor será el tiempo empleado.) NOTA IMPORTANTE: Las definiciones anteriores son las que se deben aceptar bajo un punto de vista estrictamente matemático. Es corriente decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando van de más a más y son inversamente proporcionales cuando van de más a menos. Estos son criterios que se deben desechar, porque hay magnitudes que van de más a más o van de más a menos y sin embargo no son directa o inversamente proporcionales. Ejemplo: La Mayor radio es evidente que tiene mayor área en el círculo sin embargo el radio y el circulo no son magnitudes, directamente proporcionales, como vamos a demostrar. r2 r (3)2 3 = 3 r 2 (4)2 = 4 r 4 (No son iguales) Propiedad Importante en las Magnitudes directamente Proporcionales a1 a2 a3 a4 a a2 a3 a4 1 =K (Constante) b1 b2 b3 b4 b1 b2 b3 b4 Clasificación: 4 6 8 12 4 6 8 12 2 (constant 2 3 4 6 2 3 4 6 Reparto Proporcional: El reparto proporcional es una regla que tiene por objeto repartir una cantidad en partes, directa o inversamente proporcional a dos o más números dados Solución: s: Número o suma que se debe repartir c: Factores de proporcionalidad (puede ser dos o más) z: Partes o sumandos respectivamente proporcionales a; a, b y c S=x+y+z Magnitude s Círculo Radios Valores Correspondiente .r2=(3)2=9 r2=(4)2=16 r=3 r=4 Estas dos magnitudes fueran directamente proporcionales. El cociente de sus valores correspondientes debería ser S5AR1B Problema General: Repartir el número (N) en tres partes que sean directamente proporcionales a tres números dados a, b y c. Resolución: “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Llamemos x, y, z a las partes buscadas, como estas partes deben ser directamente proporcionales a los números a, b y c el cociente debe ser constante, de acuerdo con la definición de magnitudes directamente proporcionales: x y z = Constante a b c Por propiedad: x y z x y z ...(I) a b c a b c Sabemos que: x + y + z = N ...(II) Hacemos que: a + b + c = S ...(III) Reemplazamos (II) y (III) en (I): a.N S N x y z b.N ;Donde: y S a b c S c.N. z S x Fórmulas parausar Resolución: Llamemos x, y, z a las partes buscadas como estas partes deben ser directamente proporcionales a los números 2,3 y 5, el cociente debe ser constante de acuerdo a la definición de magnitudes directamente proporcionales . x y z = Constante 2 3 5 Sean las 3 partes 2K ...(I) 3K 5K x y z x y z ; pero; x +y +z = 1000 2 3 5 2 3 5 1000 x y z 10 2 3 5 Donde: x x = 200 2 y 100 = y = 300 3 z 100 = z = 500 5 100 = perdidas x 45 I) Ejemplo: Repartir 858 en partes directamente proporcionales a los números: 3 5 4 : y 4 6 5 858 x 858.45 x= x = 143 45 143 270 II) 858 y 858.50 y= y = 143 50 143 300 III) 858 z 858.48 z= z = 143 48 143 288 Las partes pedidas son: 270, 300 y 288 Rpta. Método Práctico: los 3 K 4 5 6K 858 ...(I) 3 5 4 45 50 48 ; ; ; ; 4 6 5 60 60 60 S5AR1B = Constante 858 x y z 143 45 50 48 numeradores, 4 K 5 3 5 4 k k 858 4 6 5 Resolución: “Ser los Mejores....” 48 Donde: Rpta. Nota: Si los números a, b y c son heterogéneos habrá que hacer los previamente homogéneos. Tales el caso en que los números a, b y c sean quebrados heterogéneos. En este caso se dá un común denominador y se toman solamente los numeradores. Tomando sólo obtenemos: 50 z x + y + z =858 Resolución: Damos común denominador a los quebrados: Método Práctico: Dividir el número 1 000 en tres partes directamente proporcionales a los números 2,3 y 5. y x y z x y z ;pero: 45 50 48 45 50 48 Reemplazamos el valor de K=100; en (I), obteniendo: 2K = 2 (100) = 200 3K = 3 (100) = 300 5K = 5 (500) = 500 Por propiedad: Luego: 2K + 3K + 5K = 1 000 10K = 1 000 K = 100 Por propiedad: Las tres partes buscadas son: 200, 300 y 500 Rpta. Aplicación: Dividir el número 1 000 en 3 partes que sean directamente S5AR1B proporcionales a los números 2,3 y 5 “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Damos común denominador en le primer miembro: 45K 50K 48K =858 60 = 858.60 K =6.60 K = 360 Reemplazando el valor de K =360, en (I); tenemos: 3 3 K (360) = 270 4 4 5 5 K (360) = 300 6 6 4 4 K (360) = 288 5 5 Rpta. “Para dividir el número (N) en partes inversamente proporcionales a otros números dados a, b y c se divide el número “N”en partes; directamente proporcionales a las inversas de los números a, b y c, es decir a: 1/a; 1/b y 1/c” Aplicación: Repartir 360 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números 3,4 y 6. Resolución: Tomamos la inversa de los números 3, 4 y 6, obteniendo: 1/3; ¼ y 1/6. Reparto Proporcional Inverso: Tema General: En un número (N) en 3 pares que sean directamente proporcionales a 3 números dados a, b y c. Solución: Tenemos x, y, z las partes buscadas como las partes deben ser inversamente proporcionales a los números a, b y c, el producto que debe ser constante de acuerdo con la definición de magnitudes inversamente proporcionales. x.a = y.b = z.c = constante Igualdades pueden escribirse así: x y z = Constante 1/ a 1/ b 1/ c Igualdades nos indican que las partes x, son directamente proporcionales a las de los números S5AR1B a, b, c. se tiene que las siguiente resolución general. Luego, damos común denominador a los quebrados: sólo obtenemos los x y z = 4 3 2 Constante 360 K 4 x+y+z=360 360 9 x 4 Donde: “Ser los Mejores....” y 3 z 2 ... (I) 1 1 es =5 5 5 3 5 es La inversa de: 5 3 1 La inversa de: 3 es 3 La inversa de: Damos común denominador a: 5 1 15 5 1 , , 5, , 3 3 3 3 3 K 6 Donde: Se hace el reparto proporcional directo entre los numeradores: x 4K 3K 2K =360 12 15 9K = Ejemplo: S5AR1B y 5 z 1 = Constante x y z x y z ; pero: x+y+z = 735 15 5 1 15 5 1 735 x y z 21 15 5 1 Reemplazamos el valor de K=480, en (I), obteniendo: K 480 =160 3 3 K 480 =120 4 4 K 480 = 80 6 6 Por Propiedad: 360.12 K=40.12 K=480 pero 1 3 ; y 3. 5 5 Resolución: Se toman los inversos de los factores de proporcionalidad; osea: Las partes pedidas son: 160, 120 y 80 Rpta. Método Práctico: K 3 Por Propiedad: x y z x y z ; 4 3 2 4 3 2 proporcionales a: denominador en le primer miembro: numeradores, que: Repartir 735 en partes inversamente x x 40= x = 160 4 4 y y 40= y = 120 3 3 z z 40= z = 80 2 2 K K K =360; Damos común 3 4 6 1 1 1 4 3 2 ; ; ; ; 3 4 6 12 12 12 Tomando 360 9 360 II) 9 360 III) 9 I) Donde: Rpta. 735 x x 35= X = 525 21 15 15 735 y y ii) 35= Y = 175 21 5 5 735 z z iii) 35= Z = 35 21 1 1 i) “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Hallamos la inversa a 12, 18 y 20 Método Práctico: 1 1 1 ; ; 12 18 20 K /1 = 5K 3 1 ... (I) ; 1 ; 1 12 18 20 15 10 ; ; 9 180 180 180 sólo los numeradores y los multiplicamos por los factores directos 2,4 y 5 puesto que ambos ya son directos, obteniendo: K K/3= 3 5K 735; 2 Damos común denominador en el primer miembro : 15K 5K K 735 3 21K = 735.3 K = 35.3 K = 105 ; 15 5 ; 10 ; 9 2 9 15 ;4 10 ;5 45 30 40 8 9 5 (Sacamos quinta a casa término o sea dividimos entre 5, obteniendo) Desplazamos el valor de K=105, en (I), sabiendo: 5K = 5(105) = 525 5K 5(105) =175 3 3 K 105 =35 3 3 Rpta. i) Ejemplo (1): Repartir 276 en 3 partes directamente proporcional a 2,4 y 5 e inversamente proporcional a 12, 18 y 20. Solución: Factores directos son: 2, 4 y 5 ii) i) 276 23 276 II) 23 “Ser los Mejores....” x 12 = 6 y 12 = 8 x x = 12 6 y y =96 8 Como “x” se x = 35K x = 35(20) x = 700 y = 28K y = 28(20) y = 560 Las partes pedidas son: 700, 560 y 300 Rpta. repite x 5 y 4 x z Donde: I) x 7 z 3 tratamos que sean homogéneos osea que tomen el mis o valor para eso multiplicamos “x 5” a los dos términos de (i) y “x 7” a los dos términos de (ii) y “x 7”a los dos términos de (ii), obteniendo: Por Propiedad: 276 x y z 23 6 8 9 Reemplazamos el valor de K=20; en (II); obteniendo: Del enunciado; obtenemos: x y z = Constante 6 8 9 x y z x y z ; pero: x+y+z = 276 6 8 9 6 8 9 35K + 28K +15K = 1 560 78K = 1 560 K = 20 z = 15K z = 15(20) z = 300 x Primeraparte y Segundaparte x y z 1 560 ...(I) z Terceraparte el reparto sería: Casos Combinados de Reparto Proporcional S5AR1B 4 Ejemplo 2: Repartir el número 1 560 en tres partes de modo que la primera sea a la tercera como 7 es a 3 y que la primera sea a la segunda como 5 es a 4. Resolución: Sean: Donde: 5K K + = 3 3 Reemplazamos los valores de x, y, z en (I): 276 z z 12 = z = 108 23 9 9 Las partes pedidas son: 72, 96 y 108 Rpta. Común denominador a: 3 5K K/ = 5 3 735 III) ii) S5AR1B 7.5 3.5 x z 35 15 x 5.7 x 35 y 4.7 y 28 01. Repartir 288 en partes directamente proporcionales a 3 y 5. Resolución: Sean las dos partes pedidas: x é y X=35K x = 3K 288 Z=15K (II) X=35K ... (I) y = 5K Y=28K PROBLEMAS RESUELTOS Luego: 3K + 5K = 288 8K = 288 K = 36 “Ser los Mejores....” 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria Reemplazamos el valor de “K” en (I) x = 3K x = 3(36) x = 108 y = 5K y = 5(36) y = 180 Rpta. Las partes pedidas son: 108 y 180 02. ¿Cuál es la medida de cada ángulo de un cuadrilátero, si sus ángulos son directamente proporcionales a: 1,4,5 y 8 respectivamente? Resolución: Sabemos que, en todo cuadrilátero la suma de sus 4 ángulos internos es igual a 360º, veamos: 1K + 4K + 5K + 8K = 360º 18K = 360º K = 20º Luego los ángulos pedidos son: A = 5K A = 100º B = 4K B = 80º C = 1K C = 20º D = 8K D = 160º B A C = Cantidad de dinero a repartirse C = x 4K y 5K C 4K 5K 7K C 16K z 7K Del enunciado: El tercero recibió 1K 01. Hallar la mayor parte que resulta de repartir 1740 en forma proporcional a los números 422; 282; 562. a) 1456 1564 d) 1465 más que 02. b) 1546 c) e) 960 Repartir S/. 15500 IP a 3 3 3 24 ; 81 y 375 . los números: ¿Cuántos soles recibe el mayor? Obtenemos: Z – x = 42 7K – 4K = 42 3K = 42 K = 14 a) 7500 4500 d) 3600 Reemplazando el valor de K=14, en (I) C=16(4) C = 224 Rpta. La cantidad de dinero que repartió Vanessa fue de 224 dólares. C D Rpta. La medida de cada ángulo de dicho cuadrilátero son: 100º, 80º, 20º y 160º. 03. Vanessa repartió cierta cantidad de dinero entre 3 niños en partes proporcionales a los números 4,5 y 7 si el tercero recibió 42 dólares más que el primero. ¿Qué cantidad de dinero repartió ? “Ser los Mejores....” c) e) NA 03. Al repartir una cantidad en forma DP a 36; 60 y 45 e IP a 16; 24 y 60. Se observó, que la diferencia entre la mayor y menor de las partes es S/ 5600. La suma de cifras de la cantidad repartida es: a) 14 d) 17 b) 15 e) 18 c) 16 04. Se reparte el número 145800 en partes proporcionales a todos los números pares, desde 10 a 98. ¿Cuánto le toca al que es proporcional a 72? a) 1111 4320 d) 1580 b) 214 c) e) NA 05. Repartir 1750 en forma IP a los números 3; 15; 35; 63;.........;2499. Dar como respuesta, la tercera parte obtenida. a) 102 d) 108 Resolución: Sea: b) 5000 S5AR1B b) 104 e) 110 06. Se reparte una cantidad proporcionalmente a los números 1; 2; 3 y 4; pero, luego se decide hacerlo proporcionalmente a 2; 3; 4 y 6 motivo por el cual una de las partes, disminuye en S/ 180. Hallar la parte del cuarto número. a) S/ 2400 3800 d) S/ 2160 8K S5AR1B 42 dólare s ...(I) el primero 4K 5K PRACTICA DE CLASE c) 106 b) S/ 3080 c) S/ e) S/ 2040 07. Tres socios A, B y C forman una empresa, aportando B el doble de A y C 25% más que B. Después de algunos meses, todos incrementan su capital en un 20% y cuando se reparten las utilidades, el que menos ganó obtuvo S/ 20000 de utilidad. La utilidad total es: a) 100mil 110mil d) 115mil b) 105mil c) e) 120mil 08. Tres socios han ganado en un negocio $ 24000. El primero contribuyó con $ 25000, el segundo con $ 40000 durante 6 meses y el tercero con $ 20000 durante 8 meses. El primero tuvo una ganancia de $ 6000. Calcular el tiempo que tuvo impuesto su capital el primero. a) 4m; 10d c) 4m; 20d d) 5m; 20d b) 5m; 10d e) NA 09. Tres personas se asociaron para establecer un negocio; la primera puso mercaderías y la segunda S/ 10000. Obtuvieron una ganancia de S/ 20000, de los cuales, la primera recibió S/ 8000 y la tercera S/ 7000. Calcular el importe de las mercaderías. a) S/ 14000 b) S/ 16000 18000 “Ser los Mejores....” c) S/ 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria d) S/ 12000 e) S/ 20000 d) S/ 9600 e) S/ 10400 10. Cuatro socios reúnen S/ 200000; de los cuales, el primero pone S/ 40000; el segundo los 3/4 de lo que puso el primero, el tercero los 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria durante 4 años. Si hay que repartir una ganancia de S/ 150000, calcular cuánto le tocó al cuarto socio. 04. Repartir S/ 3936 entre tres personas, de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 7 es a 6 y que la parte de la segunda sea a la tercera como 4 es a 5. La parte intermedia es: a) S/ 40000 b) S/ 30000 c) S/ 50000 d) S/ 60000 e) S/ 56000 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05 05. José reparte semanalmente una propina de S/. 248 entre sus tres hijos en forma IP a sus edades que son: 15; 18 y 20 años respectivamente. Lo que recibe el menor excede a la del mayor en: 01. Dividir 2480 en partes que sean DP a los números 2n; 2n-1 y 2n+1 e IP a los números 3n-1; 3n+1 y 3n. Dar la menor de las partes. a) 80 d) 960 b) 120 e) 1440 c) 40 02. Repartir 42 entre A; B y C de modo que la parte de A sea el doble de B y la de C, la suma de las partes de A y B. Entonces, el producto de las partes de A, B y C es: a) 2058 1110 d) 2110 b) 1050 c) e) N.a 03. Ricardo tiene 3 sobrinos de 15; 17 y 19 años respectivamente y se les deja S/ 24000 con la condición de que se dividan esta suma DP a las edades que tendrán dentro de 3 años. Una de las partes será: a) S/ 6400 8800 S5AR1B b) S/ 5600 c) S/ a) 1344 1536 d) 1056 a) S/ 18 27 d) S/ 21 b) 1152 c) e) 1440 b) S/ 30 c) S/ e) S/ 24 06. Repartir S/ 2712 entre tres personas de modo que, la parte de la primera sea a la de la segunda como 8 es a 5 y que la parte de la segunda a la tercera como 6 es a 7. La diferencia entre la mayor y menor de las partes es: a) S/ 384 480 d) S/ 432 b) S/ 408 c) S/ e) S/ 456 07. Repartir el número 1134 en tres partes, cuyos cuadrados sean DP a 8, 50 y 98. Dar la menor parte. a) 160 d) 163 b) 161 e) N.a c) 162 08. Al dividir 2352 en partes D.P. a las raíces cuadradas de 75; 12 y 27 e IP a las raíces “Ser los Mejores....” cuadradas de 27; 12 y 75 respectivamente, la mayor parte es: a) 1600 d) 1800 b) 1000 e) 1200 c) 1500 09. Se ha repartido cierta cantidad entre tres personas, en partes proporcionales a los números 3, 4 y 5. Sabiendo que la tercera persona ha recibido 600 dólares más que la primera. ¿Qué cantidad se distribuyó? a) 3600 d) 7200 b) 3200 e) 6400 c) 4000 10. Joaquín antes de morir deja a su hermana $ 8400 y una cláusula en su testamento. “Si mi hermana tiene una hija, dejo, para ésta los 2/3 y 1/3 para la madre; pero, si tiene un hijo, a éste le tocará 1/3 y 2/3 para la madre”. Sucede, que la hermana de Joaquín tiene un hijo y una hija. ¿Cuánto le tocará a la hija? a) 1200 3600 d) 4800 b) 2400 c) e) N.a 11. A, B y C poseen juntos un terreno, siendo sus partes proporcionales a 4; 2,5 y 1,5. ”A” vende la mitad de su parte a “C” y éste vende 100m2 a “B”; por lo que las partes de ”B” y ”C” resultan iguales. Hallar el área correspondiente inicialmente a A. a) 160m2 240m2 d) 220m2 b) 400m2 c) e) 420m2 12. Se desea repartir una herencia entre tres hermanos, dos S5AR1B de ellos de 18 y 32 años. Discuten si hacerlo directa o inversamente proporcional a sus edades; le piden al tercero que opine y él responde: ”Me da igual”. Determinar la herencia, si al tercero le tocó S/ 12000 a) S/ 39000 37000 d) S/ 36000 b) S/ 38000 c) S/ e) S/ 35000 13. Diariamente se reparten S/ 330 entre 2 obreros A y B en forma DP a su rendimiento. Un día A recibe S/ 176 y B el resto; al otro día, A disminuye su eficiencia en un 25% y B la aumenta en un 20%. Hallar la diferencia entre las cantidades que recibirán A y B en este nuevo reparto. a) S/ 54 d) S/ 57 b) S/ 55 e) S/ 58 c) S/ 56 14. Una cantidad de $ X se reparte entre 2 personas, de la siguiente forma: 2/5 del dinero en forma IP a 4 y 3; el resto de lo que queda IP a 4 y 5. Si la diferencia de lo que cada uno tuvo al final es de $ 80. Hallar X. a) $ 8700 $*8400 d) $ 8500 b) $ 8600 c) e) $ 8900 15. Dos socios aportan S/ 1500 y S/ 3500 en una empresa. A los 6 meses se retira el primero; la empresa se liquidó al terminar el año y el primero ganó S/ 510. Hallar la ganancia del segundo. a) S/ 2360 c) S/ 2380 d) S/ 2390 “Ser los Mejores....” b) S/ 2370 e) S/ 2400 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 2 5to. Año Secundaria ARITMÉTICA 5to. Año Secundaria 16. Dos personas A y B obtienen S/ 3700 de utilidad total en cierto negocio. ”A” contribuyó con S/ 900 durante 5 meses y ”B” con cierto capital durante 7 meses. Si ”B” ganó los 7/5 de lo que impuso. Determinar dicho capital. a) S/ 1000 b) S/ 1500 c) S/ 2000 d) S/ 2500 e) S/ 2250 17. Tres socios intervienen en un negocio aportando capitales de S/ 2000, S/ 3000 y S/ 7000 durante 2; 3 y 5 años respectivamente. Si el negocio quebró dejando una pérdida de S/ 48000. Halle la perdida del primer socio. a) S/ 4000 b) S/ 40000 c) S/ 3500 d) S/ 35000 e) S/ 9000 TAREA DOMICILIARIA 01. Un tío antes de morir repartió su fortuna entre sus tres sobrinos en partes que son entre si como 7; 6 y 5. Por un segundo testamento, cambia su disposición y el reparto lo hacen proporcionalmente a los números 4; 3 y 2 de tal manera que uno de los sobrinos recibe $ 72000 más. Calcular el valor de la herencia. a) $1269000 b) $1629000 $1962000 d) $1642000 e)*$1296000 c) 02. Diariamente se reparte 2002 pesos entre 2 obreros A y B en forma DP en sus rendimientos. El lunes A recibió 462 pesos más que B. Al día siguiente disminuyó su rendimiento en 25% y B aumentó el suyo en 20%. Calcular ¿Cuánto recibió A el martes? a) 1001 S5AR1B b) 1092 c) 910 d) 1274 e) 2002 03. En una carrera de 2000 m participan tres ciclistas A; B y C, cuyas velocidades son: 15m/s ; 18m/s y 20m/s. Después de 80 segundos de iniciada la carrera, se suspende y se decide repartir el premio proporcionalmente a sus velocidades e IP a las distancias que les faltaba recorrer para terminar la carrera. Si C recibió S/ 420 más que B. ¿Cuánto recibió A? a) S/ 441 420 d) S/ 120 b) S/ 328 c) S/ e) S/ 342 04. Las edades de 7 hermanos son números consecutivos. Si se reparte una suma de dinero en forma proporcional a sus edades, el menor recibe la mitad del mayor y el tercero recibe S/ 8000. ¿Cuál es la cantidad repartida? a) S/ 50000 56000 d) S/ 50400 b) S/ 42000 c) S/ e) S/ 70000 05. Se reparte una determinada cantidad de dinero entre 4 personas. Lo que le toca al primero es a lo del segundo como 2 es a 3; lo del segundo es a lo del tercero como 4 es a 5 y lo del tercero es a lo del último como 6 es a 7. Si el último recibió S/. 5600, la cantidad repartida es: a) S/ 19000 b) S/ 19400 c) S/ 19600 d) S/ 16800 e) S/ 20000 06. Se reparte ”N” en forma proporcional a 2, ”a” y ”b”, observándose que la parte de “a” es 720 y es la media aritmética de las otras dos partes. Hallar ”N”. “Ser los Mejores....” a) 3120 d) 1620 b) 2840 e) 2130 c) 2160 07. Tres amigos compraron un billete de lotería de S/ 10. El primero contribuyó con S/ 3,4 ; el segundo con S/ 5,1 y el tercero con el resto. El billete salió premiado con S/ 50000 y dieron al lotero los 3/25 del premio. ¿Cuánto correspondió al primero de los amigos? a) S/ 19460 14960 d) S/ 15280 22500 b) S/ 18520 e) a) S/ 38400 b) S/ 48000 102400 d) S/ 32000 e)*S/ 44800 S5AR1B b) S/ 1000 e) S/ 1200 S/ c) S/ 09. Tres obreros se reparten una gratificación en partes proporcionales a sus jornales, que son: S/ 2400; S/ 3000 y S/ 4200. No pareciéndoles justo el reparto, después de efectuado, acuerdan que fueran por partes iguales y para ello, entrega el tercero S/ 10000 al segundo y éste una cierta cantidad al primero. ¿Cuál fue esa cantidad que el segundo entregó al primero? b) S/ 8120 a) S/ 2000 c) S/ 1500 d) S/ 2500 c) S/ 08. Un padre decide repartir una herencia en forma DP a las edades de sus hijos: 6; 8 y 10 años. Pero, decide postergar el reparto hasta que el menor tenga la edad actual del mayor, por lo cual uno de los hijos recibe S/ 3200 más de lo que iba a recibir. ¿Cuánto recibió el mayor? a) S/ 8000 8110 d) S/ 9000 10. José decide repartir una suma de dinero entre sus tres sobrinos, proporcionales a sus edades de éstos, sabiendo que sus edades son números pares consecutivos. Si lo que le toca al mayor, es 5 veces de lo que le toca al menor, y ambas partes suman S/ 800. Determinar la suma que se repartió. c) 11. Se reparte un número en forma DP a todos los divisores de 100; si la mayor de las partes es 2800. ¿Cuál es el número repartido? a) 6076 d) 7660 b) 6067 e) 7606 c) 7066 12. Se reparte S/ 14400 entre 3 personas A, B y C, proporcionalmente a sus edades. Se sabe, que la edad de A es el doble que la de B y que a C le corresponde S/ 4200. Hallar la edad de A, sabiendo que la suma de las 3 edades es 72. a) 31 d) 34 S/ e) S/ 9800 “Ser los Mejores....” b) 32 e) 35 c) 33 1 COLEGIO “LA CANTUTA”DE AREQUIPA 5to. Año Secundaria 2 5to. Año Secundaria SOLUCIONARIO Nº Ejercicios Propuestos 01 02 03 04 05 01. C 02. C B E C A D D A 03. C D B C 04. A B D A A C E A C D 05. E 06. D 07. D B D C 08. A E E E 09. A C A A 10. D B A D 11. B 12. B C 13. C B A B 14. E B C 15. C A C 16. C A C 17. A B A 18. B B 19. 20. A A D B 21. 22. A GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 S5AR1B “Ser los Mejores....” S5AR1B “Ser los Mejores....” ARITMÉTICA