AREAS SOMBREADAS Primaria en Orden

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing.Luis Abel Centeno Fuentes SEGMENTOS INTRODUCCIÓN El problema de la determinación de áreas de regiones se remota a la antigüedad y surgió como producto de la actividad práctica del hombre, como medir los terrenos de cultivo, de vivienda, etc. REGIÓN POLIGONAL Es la porción limitado por un polígono. ÁREA Medida de una región poligonal expresados en unidades cuadradas. A = 45 cm 2 ES A A = 40m 2 - Área de una región triangular es 40 m 2 . - Área de una región cuadrangular es 45 cm 2 . NOTA : Para abreviar el área de una región poligonal, se dirá el área del polígono. ÁREAS EQUIVALENTES (< >) Dos regiones poligonales son equivalentes si la medida de sus áreas son iguales. A A = A OPERACIONES CON ÁREAS Si A T = Área del A ABC A T = A 1 + A 2 + A 3 Si AT = Área del ABCD A T = A 1 + A 2 + A 3 ÁREA DEL CUADRADO Es igual a su lado elevado al cuadrado. A = a 2 ÁREA DEL RECTÁNGULO Es igual al producto del largo por su ancho. A = a . b ÁREA DEL ROMBOIDE Es igual al producto de su base por la altura. A = b . h AREAS SOMBREADAS Región triangular Triángulo Región cuadrangular Cuadrilátero 40m 2 45cm 2 12 m 2 12 m 2 < > A B C A 1 A 2 A 3 A B C D A 1 A 2 A 3 a a b b h Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes ÁREA DEL TRIÁNGULO FÓRMULA GENERAL A A = 2 h . b TRIÁNGULO EQUILÁTERO A = 4 3 a 2 HERÓN A = ) c P )( b P )( a P ( P ÷ ÷ ÷ Donde : P = 2 c b a + + ÁREA DEL ROMBO A = 2 b . a ÁREA DEL TRAPECIO Es igual a la mediana por su altura. A = | . | \ | + 2 b a . h RELACIÓN DE ÁREAS TRIÁNGULOS A 1 = A 2 2 1 A A = b a A 1 = 4 A ΔABC CUADRILÁTEROS A = B b b b h h h a a a b a c b a a b h A 1 A 2 a b A 1 A 2 A 1 A B C A B Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Trapecio …………………. A 2 = B . C A = B A = B C = A + B ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES ÁREA DEL CÍRCULO . SECTOR CIRCULAR . CORONA CIRCULAR . SEGMENTO CIRCULAR . A B A C A B A B A B C A = R 2 t t = 3,1416 O R A S = 2 R L × A S = º 360 º o R 2 t L O R R d A = t (R 2 ÷ r 2 ) O R r A = AOB ÷ AOB O B A Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes EJERCICIOS DE APLICACION 1. Si las regiones poligonales son equivalentes. Calcular “x”. a) 12 b) 6 c) 24 d) 3 e) 8 2. Calcular el área del trapecio ABCD, si PBCD es un romboide de área 24 m 2 . a) 24 b) 34 c) 14 d) 44 e) 30 3. Calcular el área sombreada : a) 60 b) 40 c) 100 d) 50 e) 20 4. Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 3 . a) 3 3 b) 9 3 c) 6 3 d) 9 e) 27 5. Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15. Calcular su área. a) 12 b) 84 c) 24 d) 42 e) 21 6. Calcular el área del rombo ABCD. a) 768 b) 384 c) 284 d) 60 e) 30 7. Calcular el área del A ABC a) 24 m 2 b) 8. c) 32 d) 16 e) 48 8. Calcular el área del A ABC a) 4,5 m 2 b) 9 c) 18 d) 36 e) 27 24 x 12 12 P A B C D 5 6 17 10 15 16 A D B C 20 A B C 24m 2 K 3K A B C 9m 2 Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes 9. Calcular “A x ” si ABCD es trapecio a) 8 m 2 b) 2 c) 6 d) 5 e) 10 10. Calcular el área del rectángulo ABCD. a) 16 m 2 b) 32 c) 8 d) 64 e) 44 11. Calcular el área del romboide ABCD. a) 32 m 2 b) 40 c) 20 d) 28 e) 32 12. Calcular el área del A PQR a) 51 b) 85 c) 102 d) 170 e) 36 13. Si el área del romboide es 80 m 2 . Calcular el área sombreada. a) 60 m 2 b) 40 c) 50 d) 30 e) 45 14. Si las regiones poligonales son equivalentes. Calcular “x”. a) 24 b) 24 2 c) 12 2 d) 12 e) 6 2 A B C D 16m 2 4m 2 A x 2m 2 8m 2 6m 2 A B C D A B C D 8m 2 M 2K 3K P F Q R 10 17 6 A B C D x 8 1 8 Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes 15. Calcular el área sombreada. a) 120 b) 60 c) 240 d) 180 e) 90 16. El perímetro de un triángulo equilátero es 36 m. Calcular su área. a) 100 m2 b) 72 c) 36 3 d) 72 3 e) 144 3 17. Los lados de un triángulo son 10, 17 y 21. Calcular su área. a) 42 b) 21 c) 35 d) 84 e) 56 18. Calcular el área del rombo si su lado mide 10 y la diagonal menor 12 m. a) 48 m 2 b) 24 c) 12 d) 36 e) 96 19. Calcular “x”, si el área del A ABC es 60 m 2 a) 10 m 2 b) 15 c) 35 d) 24 e) 18 20. Calcular “A x ”, si el área del romboide es 72 m 2 a) 12 b) 24 c) 18 d) 36 e) 9 28 8 6 A B C N M 2K 3K 7K x A B C D A x Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes PROBLEMAS 01. Del gráfico, si S EBM =2, calcular “S ABC ” A) 12 B) 6 C) 8 D) 4 E) 10 02. Del gráfico calcular la relación de áreas entre las regiones sombreadas y no sombreadas. A) 2 B) 1/2 C) 3 D) 4 E) 1 03. Calcular la relación entre las áreas de las regiones sombreadas y no sombreadas. A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 6 04. En un triángulo ABC: AB=9, BC=11 y AC=12. Se traza la mediana BM . Calcular S (MNC) A) 35 2 B) 35 4 C) 35 6 D) 35 8 E) 35 12 05. Si S ABC =64, BM=MC, AN=NM, calcular: S MNC (S: área) A) 8 B) 16 C) 12 D) 20 E) 24 06. En la figura, S ABC =6, calcular el área de la región triangular EBF. A) 2 B) 1 C) 3 D) 3/2 E) 1/2 09. De la figura, S ABC =90, S PBC =30. Si AC=30, calcular: AP A) 10 B) 15 C) 20 D) 16 E) 18 10. Calcular el área de la región sombreada, si: S (ABC) =60; QC=2(AQ) y 2(BP)=3(PC) A) 16 B) 20 C) 24 D) 25 E) 28 A B C P A B E F C B M C E A a 2a a 4 2 6 A D E C B A C M B N P C A Q B Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes 11. Calcular el área de la región sombreada, si: 3(AD)=4(DC) y S (ABC) =63 A) 18 B) 24 C) 27 D) 32 E) 36 0 Las figuras que se muestran a continuación son cuadrados de 4m de lado. Calcular Ud. el área de la Región Sombreada. 1. Rpta.: ………………………… 2. Rpta.: ………………………… 3. Rpta.: ………………………… 4. Rpta.: ………………………… 5. Rpta.: ………………………… 6. Hallar el área de la región sombreada (aproximadamente) a) 4(4 - t) cm 2 b) (16 - 2t) cm 2 c) (8 - 2t) d) (4 - t) e) N.A. A B C D 4 cm 4 cm Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes 7. Hallar el valor del área sombreada. a) t + 2 b) t - 2 c) 2t + 4 d) 2t - 4 e) 6t + 8 8. Calcular el valor del área sombreada. a) 4tD 2 b) tD 2 /4 c) 5tD 2 /4 d) 0,75tD 2 e) tD 2 9. Hallar el área sombreada. a) 16(4 - t) b) 12(2 + t) c) 48t d) 9t e) 15t + 2 10. Si el área del cuadrado ABCD vale 40m 2 . ¿Cuál es el área de la figura sombreada. a) 20m 2 b) 12m 2 c) 15m 2 d) 10m 2 e) 25m 2 0 En la figura que se muestra a continuación es un cuadrado de 4m de lado. Calcular Ud. el área de la Región Sombreada. 11. a. 6(t + 1) b. 6(t - 1) c. 6(2 - t) d. 6 - 2t e. N.A. 2 2 D 2D 8 A D B C Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes } Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Luis Abel Centeno Fuentes h  2  A A1 = AΔABC 4 C TRIÁNGULO EQUILÁTERO ÁREA DEL ROMBO RELACIÓN DE ÁREAS CUADRILÁTEROS a a b a. a a c h b b.b 2 a TRIÁNGULOS a A B a2 3 A = 4 A = A1 A2 A = B A1 = A2 .h A = 2 A1 a = b A2 B A1 b h b b h A= Donde : P = P(P  a)(P  b)(P  c) h abc 2 A=  a b  . Luis Abel Centeno Fuentes Ing.Ing. Luis Abel Centeno Fuentes ÁREA DEL TRIÁNGULO FÓRMULA GENERAL HERÓN b ÁREA DEL TRAPECIO A1 A2 b a Es igual a la mediana por su altura. A O A = AOB  AOB B A A =B.1416 A SECTOR CIRCULAR .C A = R2  O R B  = 3. B A C 2 ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES ÁREA DEL CÍRCULO . A=B R B A O d R L AS = LR 2 AS = º R2 360 º  CORONA CIRCULAR . Luis Abel Centeno Fuentes Ing. SEGMENTO CIRCULAR .Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Trapecio …………………. A=B A =  (R2  r2) C A B r O R C=A+B . Si las regiones poligonales son equivalentes. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. x 24 12 12 2. 14 y 15. Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 a) 3 d) 9 3 . B C a) b) c) d) e) 3. a) b) c) d) e) 12 6 24 3 8 5. si PBCD es un romboide de área 24 m2. Calcular su área.Ing. b) 9 e) 27 3 c) 6 3 . D A 5 P D 6 24 m2 8. 32 16 A 48 24m2 K B 3K C Calcular el área sombreada : a) b) c) d) e) 60 40 100 50 20 17 Calcular el área del  ABC a) b) c) d) e) 4. Calcular el área del trapecio ABCD.5 m2 9 18 36 A 27 9m2 C 10 15 3 4. 24 34 14 44 30 a) 768 b) 384 c) 284 A d) 60 e) 30 7. Los lados de un triángulo miden 13. Calcular el área del  ABC B a) b) c) d) e) 8. Calcular “x”. B 20 16 C 6. a) 12 b) 84 c) 24 d) 42 e) 21 Calcular el área del rombo ABCD. Luis Abel Centeno Fuentes EJERCICIOS DE APLICACION 1. 9. Luis Abel Centeno Fuentes Calcular el área del  PQR F a) b) c) d) e) 51 85 102 170 36 P 6 Q 10 Calcular “Ax” si ABCD es trapecio B C 4m2 a) 8 m2 Ax b) 2 16m c) 6 2 d) 5 A e) 10 Calcular el área del rectángulo ABCD. Calcular “x”.Ing. R 17 2 13. B a) b) c) d) e) 2m 16 m2 2 32 8 64 A 44 8m 2 D 10. Calcular el área del romboide ABCD. a) b) c) d) e) 32 m2 40 20 28 32 A B 2K M 8m 2 3K C c) 12 2 D . Ing. Si el área del romboide es 80 m . Luis Abel Centeno Fuentes 12. C 6m 2 60 m2 40 50 30 45 A B C D D Si las regiones poligonales son equivalentes. Calcular el área sombreada. 8 x 1 8 a) 24 d) 12 b) 24 e) 6 2 2 11. a) b) c) d) e) 14. a) 48 m2 b) 24 c) 12 d) 36 e) 96 19. a) 42 b) 21 c) 35 d) 84 e) 56 18. Los lados de un triángulo son 10. a) 100 m2 b) 72 c) 36 3 d) 72 3 e) 144 3 17. Calcular su área. Calcular el área del rombo si su lado mide 10 y la diagonal menor 12 m. El perímetro de un triángulo equilátero es 36 m.Ing. Calcular “x”. Calcular el área sombreada. Luis Abel Centeno Fuentes 15. Calcular su área. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. si el área del romboide es 72 m2 B C 6 8 28 a) 12 b) 24 c) 18 d) 36 e) 9 Ax A D 16. a) b) c) d) e) 120 60 240 180 90 20. 17 y 21. si el área del  ABC es 60 m2 B a) 10 m2 b) 15 c) 35 d) 24 A e) 18 x 2K M 3K N 7K C . Calcular “Ax”. Si SABC=64. AN=NM. QC=2(AQ) y 2(BP)=3(PC) B A) B) C) D) E) 16 20 24 25 28 A Q 04. Luis Abel Centeno Fuentes (S: área) M N 06. A) B) C) D) E) 2 1/2 3 4 1 E F C a 2a a 09. En la figura. Calcular P 2 35 8 35 B) 4 35 35 C) 6 35 E) 12 C . SPBC=30. SABC=90. calcular el área de la región triangular EBF. calcular “SABC” B A) B) C) D) E) 12 6 8 4 10 M E A C A C A) B) C) D) E) 8 16 12 20 24 B Ing. BM=MC. En un triángulo ABC: AB=9. Del gráfico calcular la relación de áreas entre las regiones sombreadas y no sombreadas. calcular: AP B A) B) C) D) E) 10 15 20 16 18 03. SABC=6. si SEBM=2. Calcular el área de la región sombreada. Del gráfico. calcular: SMNC PROBLEMAS 01. A) B) C) D) E) 2 1 3 3/2 1/2 A B 02. Luis Abel Centeno Fuentes 05. Se traza la mediana S(MNC) A) D) BM . Si AC=30. Calcular la relación entre las áreas de las regiones sombreadas y no sombreadas. De la figura.Ing. B A) B) C) D) E) 3 2 1 4 6 A 2 D 4 E C 6 A P C 10. BC=11 y AC=12. si: S(ABC)=60. C Rpta.: ………………………… Rpta. Hallar el área de la región sombreada (aproximadamente) a) 4(4 . 6.: ………………………… . 1.2) 4 cm 4 cm d) (4 .Ing. 5. Rpta.) cm2 b) (16 .: …………………………  Las figuras que se muestran a continuación son cuadrados de 4m de lado. Rpta.: ………………………… 2.: ………………………… 3.) e) N. Luis Abel Centeno Fuentes Ing. Calcular el área de la región sombreada.2) cm2 Rpta. Luis Abel Centeno Fuentes 11. c) (8 .A. el área de la Región Sombreada. si: 3(AD)=4(DC) y S(ABC)=63 B A) B) C) D) E) 18 24 27 32 36 A D 4. Calcular Ud. Luis Abel Centeno Fuentes Ing.75D e) D2 9.1) c. Calcular Ud. Calcular el valor del área sombreada. N. 6 . Si el área del cuadrado ABCD vale 40m2. . 2 11. a) 16(4 .2 c) 2 + 4 d) 2 . Luis Abel Centeno Fuentes 7. A b) D2/4 c) 5D2/4 d) 0. Hallar el valor del área sombreada.4 e) 6 + 8 2 2 10.) b) 12(2 + ) c) 48 d) 9 e) 15 + 2 8 e.) d. ¿Cuál es el área de la figura sombreada. 2 a) 20m b) c) d) e) 12m2 15m2 10m2 25m2 B C 8.2 Hallar el área sombreada. 6( + 1) b. a)  + 2 b)  .A. 6( . a.Ing. 6(2 . 2 a) 4D  D 2D D En la figura que se muestra a continuación es un cuadrado de 4m de lado. el área de la Región Sombreada. Luis Abel Centeno Fuentes Ing.Ing. Luis Abel Centeno Fuentes . Luis Abel Centeno Fuentes Ing.Ing. Luis Abel Centeno Fuentes } . Luis Abel Centeno Fuentes .Ing. Luis Abel Centeno Fuentes Ing.