1 AREAS La noción de área está asociada a la extensión o superficie de una figura.El área es un número que nos dice que tan extensa es una región y la expresamos en kilómetros cuadrados (Km2); metros cuadrados (m2); centímetros cuadrados (cm2); etc. AREA DE UN TRIANGULO El área de un triangulo es igual al producto de un lado por su altura correspondiente, sobre 2. El lado que se escoge se llama base. Área del ABC AB CH 2 Área del ABC AB CH 2 QR PA 2 El área de un triangulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos. Área del PQR AREA DE UN RECTANGULO: El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura. El área de un cuadrado es igual al lado al cuadrado. AREA DE UN PARALELOGRAMO Es igual a la base por la altura. 2 AREA DE UN TRAPECIO: Es igual a la semisuma de las bases por la altura. ( AB DC ) h 2 AREA DE UN CÍRCULO AREA = R2 AREA SECTOR CIRCULAR El área del sector circular es: R2 360 0 0 AREA DE UN POLIGONO REGULAR Area perimetro apotema 2 3. Propiedad transitiva BM AH 2 6. HIPOTESIS: CH y FG son alturas A D TESIS: ABC DEF AB AC DE DF . (Demostrarlo) EJERCICIOS 1. Área 4. 5. BM 5. área de un triangulo. Sustitución de 4 en 3. Demostrar que las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo congruente son entre ellas como los productos de los lados que comprenden el ángulo. B H BM AH 2 MC AH 2 M C 1. Se traza AH 2. Área ABM = Área AMC AMC TEOREMA Las medianas de un triangulo lo dividen en 6 triángulos de igual área. Área 3. De 2 y 5. Construcción 2.3 TEOREMA Una mediana de un triangulo lo divide en dos triángulos de igual área. M es punto medio por definición de mediana de un triangulo. De hipótesis. ABM AMC MC BC. HIPÓTESIS: AM es una mediana TESIS: Área de ABM Área de AMC 1. Área de un triangulo 4. 6. DEF DE FG ABC AB AC AB AC 8. DEF DE DF DE DF NOTA: Colocar al frente las razones 1. En el triangulo rectángulo PCB se tiene: x 2 BD (Las diagonales de un cuadrado a2 a x 2 2 Área del triangulo BCE = Área del triangulo BPE menos el área del triangulo BPC x2 a2 2x 2 a2 x2 ( a 2 2 a) 2 a 2 2 a 2 2 BPE PE PB 2 .DEF 2 ABC AB CH 3. ABC 2. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a.4 AB CH 2 DE FG 2. AC son perpendiculares) PC = PB = x. en términos de a Se traza la diagonal BD que corta a AC en P. DE DF FG ABC AB CH 7. AHC DGF AB AC CH 6. A D 5. tal que CE = a. Se prolonga la diagonal AC de A hacia C y se toma en la prolongación un punto E. Encontrar el área del triangulo BCE. DEF DE FG 4. se describen arcos.5 Se siguen las operaciones y se llega a: BPE 2 a2 4 2a 2 El área de BPC es BPE – BPC = 3. En el cuadrado ABCD se inscribe una circunferencia y desde los vértices del cuadrado se describen arcos con radios iguales a la mitad del lado del cuadrado. 2a 2 4 a porque es la cuarta parte del área del cuadrado 4 Desde los vértices del cuadrado ABCD y con radio igual al lado. . Calcular el valor del área de región rayada en función del lado del cuadrado que es a a2 ( 2) Respuesta: 2 5. AD = AE = ED = a 4. Calcular el área de la región rayada en función del lado del cuadrado que es a a2 2 Respuesta: Area 3 3 9 3 El área de la figura es igual al área del cuadrado menos el área de los sectores circulares BEA y CED y menos el área del triangulo equilátero AED. Hallar el área de la región rayada. Respuesta: 9. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo P es un punto cualquiera de la diagonal AC TESIS: Area del DPC = Area del PBC Area del DPA = Area del APB 7. (a b) 2 RESPUESTA: 2 8. a2 ( 3 1) 4 FC 6 . AD AB BC . Respuesta: 6(16 .6 6. F es el centro de la semicircunferencia y C es un punto de tangencia.3 ) . Por cada vértice se trazan arcos de 4 cm. si el radio de la circunferencia es 3. 27 3 RESPUESTA: 4 13. ABCD es un cuadrado de lado 12 cm. Respuesta: 11. Hallar el área de la parte rayada RESPUESTA: 8( 12. 12 3 4 9 ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. RESPUESTA: 96 .16 .7 10. de radio. 2) Calcular el área del triangulo equilátero inscrito en la circunferencia. RESPUESTA : 4( 4 3 3) 3 14. Hallar el área de la región rayada. N. P son puntos medios de los lados del triangulo. Hallar el área de la región rayada en función de a. P es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados. 8 6 3 3 El radio de la circunferencia es R. Encontrar el área de la región rayada en función de a. M. a2 2 3 3 RESPUESTA: 6 19. El triangulo ABC es equilátero de lado a.8 15.) 17. a 2 (2 3 ) RESPUESTA: 8 18. Hallar el área de la región rayada en función de R RESPUESTA: R2 (4 . RESPUESTA: 16. El triangulo ABC es equilátero de lado a. . . 21. hallar el radio R de la circunferencia. Hallar el área de la circunferencia pequeña. O y P son los centros. m EOD 60 . Las circunferencias son tangentes en B. 22.4 m. OA = 1.9 20. La circunferencia pequeña esta inscrita en el EOD . AB AD O es el centro de la circunferencia de radio R Si el área de la región rayada es 16 4 . AB 24cm. OE es bisectriz. Calcular el área del polígono ABCD. sobre MB se construye un triangulo equilátero MBD. Si AF 24 4. que se cortan en N. Hallar el área del triangulo BPE. se toma un punto M tal que AM 2a . Sobre AM se construye un triangulo equilátero AMC. Sobre el segmento AB 3a . Respuesta: 25. 3a 2 Respuesta: 24 24.. . m ( BAE) = 30°. Se traza la mediana AM. 7 3a 2 Respuesta: 4 27. se traza CD.10 23. Se da un triangulo rectángulo ABC donde la hipotenusa BC 2a . Calcular el área de la región rayada. x . Calcular el área del triangulo BCE 3a 2 2 12cm. se trazan las medianas RS y MT. ABCD es un rectángulo. Dado un triangulo cualquiera MQR. Calcular el área del cuadrilátero AMBN. El área del circulo de centro O es 60 cm2. BC a. m ( FBC) = 30°. Calcular el valor de x . AB y CD son diámetros perpendiculares. El ángulo C mide 30°. c. Demostrar que el área del triangulo PMS es igual al área del triangulo PRT. que se cortan en P. E es el punto medio de CD .50 cm. Se traza CH perpendicular a AB. 28. Respuesta: 26. Calcular el área del rectángulo ABCD b. AO y OB son diámetros de las circunferencias pequeñas. Por los puntos A y B se trazan paralelas a BC y a AM. Se toma un punto F sobre AB de tal manera que el área del triangulo FEB sea los 13 del área del cuadrilátero ABED. ABCD es un cuadrado de lado a . Si la cuerda mide 8 cm. 10 centímetros. CE es una altura. m B 45 . En el triangulo ABC. RESPUESTA: 8 2 3 a2 30. RESPUESTA: 8 3 3 34. Las circunferencias son concéntricas y la cuerda AB de la circunferencia mayor es tangente a la circunferencia menor. Hallar el área del polígono DEFHIJ. Hallar en función del radio R. Respuesta: 60 . 33. Hallar el área del círculo. el área de la región circular común. 8. ABCD es un trapecio isósceles y en el se inscribe una circunferencia. Hallar el área del anillo determinado por las dos circunferencias. Si las bases del trapecio miden respectivamente 2 y 6 cm y si m(A) 60º . 3 R2 RESPUESTA: 2 a. En el triangulo ABC rectángulo en A. m C 30 y AB a . Sobre cada lado se construyen exteriormente los cuadrados ABDE.11 29.Hallar el a2 3 2 3 32. m A 31. Se trazan tres circunferencias de igual radio de tal manera que cada una pasa por el centro de las otras dos. Respuesta: 4 cm2. Hallar el área de la región rayada. RESPUESTA: 16 . ACHF y BCIJ. se inscribe una circunferencia. En un triangulo rectángulo de lados 6. Si AE área del triangulo en función de a. Ayuda: trazar el radio OD 36. Hallar el área del triangulo DOC de la siguiente figura. C es el centro de la circunferencia de radio 12 cm. RESPUESTAS: 1) 3(4 3 3) cm2 2) 46. una longitud igual al radio. . T es un punto de tangencia. Este diámetro se prolonga hasta C. Encontrar el área del triangulo rectángulo CDB Triángulos ACB y CDB rectángulos CA 8 3 m(A) 30º 37. ABC es un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 2. Por C se traza una perpendicular a ABC . 1) Hallar el área interior a la semicircunferencia y exterior al triangulo. 2) Hallar el área exterior a la semicircunferencia e interior al triangulo.12 35.59 cm2. ABCD es un trapecio isósceles BD AD AC = BD = 20 AB = 25 39. Si m(CAP) 30º . Hallar el área de la región rayada. 38. La cuerda AD prolongada corta la perpendicular anterior en P. AB es un diámetro de una circunferencia de radio 6 centímetros y centro K. Hallar el área de la región rayada. . El radio de la circunferencia es de 5 centímetros. si el lado del cuadrado es de 8 centímetros. AYUDA: Trasladar algunas áreas a otras regiones para obtener una región conocida.13 40. EJERCICIOS ADICIONALES DE ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS 1. de la manera que se indica en el dibujo porque en el vértice A hay un pozo que han de compartir. AYUDA: Trasladar algunas áreas a otras regiones para obtener una región conocida. Teniendo en cuenta que el lado del campo es de 60 metros y que quieren garantizar que los tres campos tengan la misma superficie. Hallar el área de la región sombreada. Tres hermanos se han de repartir un campo cuadrado en tres partes iguales. Calcular el área de la región sombreada. ¿A qué distancia han de estar los puntos M y N del vértice C. 2. Calcular el área de la región sombreada. 4. Los polígonos son rombos. Hallar el área de la parte sombreada. El radio de la circunferencia de centro O es 8 centímetros. Hallar el área de la región sombreada. ABCD es un cuadrado de lado 4 centímetros. ECB EBC . 5. ABCD es un cuadrado de lado 8 centímetros.14 3. Encontrar el área de la región sombreada. 6. . Ayuda: trazar el segmento AP. 9. 8. Hallar el área de la región sombreada. Hallar el área de la región sombreada . Trazar también el radio CT de la circunferencia y darle el valor de x. Hallar el área de la parte sombreada. El radio AB del sector circular mide 12 centímetros. sabiendo que el triangulo ABC es equilátero y que su lado mide 6 3 10. y es bisectriz del ángulo. este segmento pasa por C que es el centro de la circunferencia. ABCD es un cuadrado de lado 10 centímetros. T es un punto de tangencia.15 7. Hallar el área de la región sombreada. Hallamos el área del triangulo equilátero AMB y la multiplicamos por dos.16 Algunos ejercicios fueron tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS: SOLUCION DEL EJERCICIO # 24 AM a (La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. AB a . BM NA De hipótesis. AMBN es un paralelogramo AM NB. SOLUCIÓN DEL EJERCICIO # 32 CE CD x. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas. AN MB ANB (L – L – L) AM NB AN MB a y se tiene que AMB Área AMBN = 2 área AMB. BM a Definición de mediana AMB es equilátero. El cateto opuesto a un ángulo de 30 grados mide la mitad de la hipotenusa. BF BE z ¿Porque? AFOD es un paralelogramo (¿Por qué?) y = OF = radio x z 10 y z 8 x y 6 Se resuelve el sistema y se llega a que y 2 radio y por lo tanto el área del Círculo es 4 . AD AF y. AM NB. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros. de la serie Awli Geometría de Edwin E. 8 5 2(1.24 h 2. 4 AB 2 HB DC 1. BF BC BF 16 1 BF BE y BE BA BE 16 reemplazando en 1 tenemos que: BF 2 400 BF 20 En el BCF:x 2 BF 2 BC 2 x2 400 256 x 2 144 x 12cm. se tiene: h2 9 x 2 (1) En el triangulo rectángulo CHA.4 CHB KH KH DKA ¿Por qué? y por lo tanto HB = KA = 1.8 Igualamos (1) y (2): 9 x 2 Reemplazamos en (1): h 2 9 (1 2 . hallar el valor de CF. 4 . por tener el mismo complemento el 2 . CH = DK = h HB = KA = x Por Pitágoras se halla que AB 5cm. En un trapecio isósceles ABCD con AD = CB = 3 cm. las diagonales que miden 4 cm. Si EBF = 200 cm2 y ABCD = 256cm2. Hallar el área de trapecio ABCD. En el triangulo rectángulo CHB. son perpendiculares a los lados no paralelos.8) h2 9 3.17 En un cuadrado ABCD se da: D – C – F y A – E – D tales que BE es perpendicular a BF. Lado del cuadrado: 256 16 BE BF 2 200 BE BF 400 (1) 1 3 . por lo tanto BCF BAE por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente.8) 1. se tiene: h2 h2 h2 16 (5 x )2 16 25 10 x 9 10 x h2 x2 16 (25 10 x x2 ) x 2 (2) 9 10 x x2 18 10 x x 1 . De hipótesis.18 Área del trapecio ( AB DC )CH 2 192 25 7. De 1. De 5. Área triangulo CON = Área triangulo BOM 10. 3. CN BM CO 1.4 2 3. OM ON 6. Área del triangulo COB = Área ANOM 5.16cm2 Área del trapecio 2. Por medir lo mismo. 8. De 3 y 4.68cm2 El triangulo ABC es isósceles con AB AC . De 3 y 4. Ley cancelativa .4 2. En un triangulo una mediana determina dos triángulos de igual área. 6. Suma de áreas.36 2. Área del triangulo CMB = Área del triangulo CMA 2. (Dos figuras tienen áreas equivalentes cuando sus áreas son iguales) 1. L – L – L 9. De 8. CON BOM 9. 7. En un triangulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. por ser mitades de segmentos congruentes 8. Teorema de las medianas en un triangulo. De 9 y 2. BN CM 2 1 CM . 2 1 BO BN .16 3. 6. 2. 68cm2 Otra forma de hacerlo: Área del trapecio = Área CHB + Área KHCD + Área DKA Área CHB = Área DKA Área KHCD 1 . 10. 7. Área del triangulo COB + Área triangulo BOM = Área ANOM + Área triangulo CON 3.16 7. 4. ON BN 3 3 5.8 2. BN yCM son medianas y se cortan en O. OM CM 3 3 4. Por medir lo mismo.4 1 .36cm2 2. Demostrar que las áreas del cuadrilátero ANOM y del triangulo COB son equivalentes. OC OB 7. C es el centro de la circunferencia pequeña de radio r. se tiene: CB 2 CE 2 EB 2 R 2 2Rr R Resolviendo se llega a: r 4 (R r )2 (R r )2 R2 r2 R2 2Rr r2 R2 Por lo tanto el área de la circunferencia pequeña es: R 4 2 R2 16 . En el triangulo rectángulo CEB. TESIS: A Continúe con la demostración. AOB. Las circunferencias son tangentes entre si y tangentes a la recta. COB. A y B son los centros de las circunferencias grandes de radio R. Recordar que un radio es perpendicular a la tangente en su punto de tangencia. Hallar el área de la circunferencia pequeña en función de R.19 Demostrar que el área de un triangulo es igual al producto de su semiperimetro por el radio de la circunferencia inscrita HIPOTESIS: r es el radio de la circunferencia inscrita p r p=perimetro 2 Unimos el centro O de la circunferencia inscrita con los vértices del triangulo. El triangulo ABC queda dividido en los triángulos AOC. 15. definición de punto medio 10. De hipótesis. Por ser opuestos por el vértice 9. Sustitución de 6 en 11. APQD es un paralelogramo 5. 14. definición de paralelogramo 5. De 13. Sustitución de 10 en 12 14. Suma de áreas. por ser congruentes. Suma de áreas 16. Sustitución de 15 en 16. 15. NC 10. PQ AD 3. 12. 8 y 7. En un paralelogramo una diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. 13. 1. 1 2 8. De 5. DQ AP 4. 7. Las bases de un trapecio son paralelas 4. 2 1. De 3.20 M y N son los puntos medios de los lados no paralelos AD y CB. 6. L – A – A 11. Area APD = Area DQP 7. ADP DPQ 6. tal que PN es paralelo a AD . Suma de áreas 12. 1 Demostrar que Área de APD = Área de PBCD Área de ABCD. 4 NB AreaCNQ AreaCNQ AreaPNB PNB CNQ AreaDQP AreaDPNC AreaAPD AreaDPNC AreaAPD AreaDPNC AreaAPD AreaPBCD AreaABCD AreaADP 2AreaPBCD AreaPBCD 1 AreaABCD 2 AreaPBCD AreaABCD . Construcción 2 . de un trapecio ABCD y P es un punto sobre AB . De 9.De 1 y de hipótesis 3. 11. De 1 y de hipótesis. 16. De 2 y 3. por ser alternos internos entre paralelas 8. Se prolonga PN y corta a la prolongación de DC en Q 2. 3 9. 13.