8.7 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 8 8.1a Según los métodos de aproximación analítica obtenidos a partir de curvas de respuesta al escalón vistas en el capítulo 5, la función de transferencia de lazo abierto G(s) queda descrita por: G( s ) = 4 4 = s 3 + 6 s 2 + 12 s + 8 ( s + 2)3 A partir del resultado anterior es posible cuantificar el tiempo de atraso Ta. El valor de y(t ) en el punto de inflexión t = 1 es y(t = 1) = 0.1616. El valor de t, que le corresponde a Ta, donde la pendiente de la tangente corta al eje de tiempo, se obtiene a partir de la pendiente de la tangente m: m= 0.1616 − 0 = 0.2706 ∴ Ta = 0.4028 1 − Ta 8.1b Para aplicar la sintonización de controladores, a partir de los métodos que utilizan como punto de partida a la curva de reacción, es necesario determinar primeramente y Ta. La respuesta del sistema de lazo abierto Gp(s) al escalón unitario es: ⎧ ⎪ y (t ) = L − 1 ⎨ Y ( s ) = 4 s ( s + 2)3 ⎫ ⎪ ⎬= (d) La constante de tiempo se determina a partir de la ecuación (8.21), donde bmáxima = 0.5, según indica la figura 8.17: b máxima 0.5 = = = 1.8477 (e) m 1 1 −2 t − e −t e −2 t −t2 e −2 t 2 2 donde la primera y segunda derivadas de (a) son: y (t ) = 2 t 2 e y (t ) = 4 t e •• 2t • 2t 0.2706 (a) A partir de la ecuación (8.20), la ganancia K del proceso corresponde a: K = bmáxima r (t ) = 0.5 = 0.5 1 (f ) (b) 2t − 4 t2 e (c) El punto de inflexión se obtiene al igualar a cero la segunda derivada: •• y (t ) = 4 t e 2t − 4 t2 e 2t =0 Una vez que se han determinado los valores de , Ta y K utilizando la tabla 8.4 (criterio de Cohen-Coon) y la tabla 8.6 (criterio de Ziegler-Nichols), se obtienen los parámetros para sintonizar los diferentes tipos de controladores: P, PI, PD y PID. Los resultados se presentan en las tablas VIII.1a y VIII.1b. 8.2 Para aplicar el método de Ziegler-Nichols de la ganancia máxima, es necesario considerar una configuración de lazo cerrado, de manera tal que con incrementos de ganancia se lleva al sistema a presentar un comportamiento marginalmente estable, según lo muestra la figura VIII.1. por lo que el punto de inflexión se localiza en t = 1. Para determinar la pendiente de la tangente m en el punto de inflexión, se sustituye t = 1 en la ecuación (b): m = y (t = 1) = 0.2706 • Tabla VIII.1a Sintonización de controladores P, PI, PD y PID (criterio de Cohen-Coon). Tipo de controlador Kp Ti Ki Td Kd P PI PD PID 9.8409 8.4235 11.8012 12.7321 0.9100 13.9919 0.9242 9.1143 0.0989 0.1409 1.1675 1.7938 lo que corresponde a la ganancia que requiere el sistema para comportarse en forma marginalmente estable: 6( j )2 + (8 + K ) = 0 ∴ K = 64 y K u = K 64 = = 16 4 4 (b) K s 3 + 6 s 2 + 12 s + (8 + K ) donde K = 4K. se obtiene el valor de la ganancia máxima Ku.9069 4.1b Sintonización de controladores P.3292 0. por lo tanto.2173 R( s ) K Controlador 4 (s 2)3 Proceso Y( s ) 2 2 ⎤ ⎡ ⎤ ( j )⎡ ⎣ ( j ) + 12⎥ + ⎣ 6( j ) + (8 + K )⎥ = 0 Figura VIII. en la que el sistema cruza el eje j : = ± j(12)½ = ± 3. por lo que al sustituir s por j en la ecuación característica se obtienen tanto la ganancia máxima Ku como la frecuencia u asociada al comportamiento libre oscilatorio: ( j )3 + 6( j )2 + 12( j ) + (8 + K ) = 0 La expresión anterior puede separarse en dos partes. a partir de lo cual.5855 0. se procede a determinar el periodo Pu: ∴ Pu = 2 u = 1. De la parte imaginaria se obtiene la frecuencia u. conociendo el valor de u.3 El archivo .0094 1. u = 3. Tipo de controlador Kp Ti Ki Td Kd P PI PID 8 7.1745 8. se muestra a continuación (en este Tabla VIII. 8.5115 0. es posible cuantificar los parámetros de cada uno de los controladores.2.m que lleva a cabo los cálculos para aplicar el criterio de Ziegler-Nichols.Modos de control y diseño de controladores 389 Tabla VIII.2 9.6 1. PI y PID (criterio de Ziegler-Nichols).2267 2.2119 13.8056 6.2571 11.8138 (a) La función de transferencia de lazo cerrado: T (s) = 4K s 3 + 6 s 2 + 12 s + (8 + 4 K ) = De la parte real.2.1 Configuración en lazo cerrado para llevar al sistema a un compor tamiento libre oscilatorio con el ajuste de la ganancia K.2 Sintonización de controladores P. una imaginaria y otra real: A partir de (a) y (b). PI y PID por medio del criterio de Ziegler-Nichols.4641. los cuales se muestran en la tabla VIII.1766 .2014 2.6661 0.7635 10. Tipo de controlador Kp Ti Ki Td Kd P PI PID 9. por el método de la ganancia máxima Ku.4641 j. así como de la tabla 8. 8138 Presionar ENTER para continuar Control P Kp = 8.Wcp]=ma rgin(num.4a Para poner en marcha las funciones de transferencia correspondientes.5 −R 2 / R 1 −1 / R 1 C 2 s −R 2 C 1 s K (s + z) − s K = R 2 / R 1.1766 8.5855 Td = 0.60 Ti = 0. ‘Definir datos de G(s)H(s) entre corchetes’ num=input(‘Definir numerador de G(s)H(s): ’).8c .6*Ku Ti=Pu/2 Ki=Kp/Ti Td=Pu/8 Kd=Kp*Td La ejecución del programa corresponde a: Definir datos de G(s)H(s) entre corchetes Definir numerador de G(s)H(s): [4] Definir denominador de G(s)H(s): [1 6 12 8] La ganancia máxima Ku es: Ku = 16. es necesario identificar el tipo de configuración.Wu=Wcg.den). ‘La ganancia máxima Ku es: ’ Ku ‘La frecuencia de oscilación es: ’ Wu ‘El periodo máximo Pu es: ’ Pu ‘Presionar ENTER para continuar’ pause ‘Control P’ Kp=0.2267 Kd = 2.7635 Control PID Kp = 9.45*Ku Ti=Pu/1. Controlador Gc(s) Combinación de controladores figura 8.4 Derivativo figura 8.6c 1 K i = 1/ R i C i PD figura 8.4641 El periodo máximo Pu es: Pu = 1.20 Ti = 1. que equivale a Ku.2 Ki=Kp/Ti ‘Presionar ENTER para continuar’ pause ‘Control PID’ Kp=0.Wcg. Pu=2*pi/Wu.8c Proporcional figura 8. Wu y Pu’. [Gm. Ku=Gm.7c K = R 2 C 1. .00 La frecuencia de oscilación es:Wu = 3.Pm. den=input(‘Definir denominador de G(s)H(s): ’).3 Integral figura 8. z = 1 / R 2C 2 −K (s + z) s Kp = R 2 /R K p + Kd s K p = R 2 /R1 K d = R dC d Kp+ Ki + Kd s s Kp+ i PI figura 8. los cálculos se realizan partir de la obtención del margen de ganancia MG.9069 Ki = 10.3 muestra un resumen de las diversas configuraciones con amplificadores operacionales. y del hecho de que la frecuencia en que se presenta dicho margen corresponde a u). z = 1 / R 2C 2 ⎡R2 ⎤ 1 −⎪ + + R 2C 1s⎪ R 1 R 1C 2 s ⎣ ⎥ PID figura 8. ‘Obtención de Ku.390 Introducción a los sistemas de control: conceptos. Tabla VIII.5115 Ki = 4. La tabla VIII.3 Funciones de transferencia de los diversos tipos de controladores. aplicaciones y simulación con MATLAB caso.5*Ku ‘Presionar ENTER para continuar’ pause ‘Control PI’ Kp=0.00 Control PI Kp = 7. 7854 + + 2. 8.2167 = R2/R1 y Kd = 1. Para aplicar el método de Ziegler-Nichols.95 K . el controlador PI se implementa como indica la figura VIII. integral y derivativo. las resistencias R son iguales a 1 K .216 K y Rd = 178. A partir de ello se obtienen los siguientes resultados: R2 = 52.7854 K . por lo que se asigna a R1 el valor de 1 K .6379 s s s donde Kp = R2/R1.1024 = 1/RiCi. mientras la adición del tercer operacional tiene la finalidad de invertir la polaridad negativa de la suma de la parte proporcional más la parte integral.Modos de control y diseño de controladores 391 a) La función de transferencia corresponde a un control PI. con lo cual se obtienen los siguientes valores: R2 = 27 K y C2 = 2.18b). R2 R1 R R En este caso. que se implementará mediante la suma de tres elementos: proporcional. a partir de lo cual se calculan los valores de los elementos restantes. se proponen los siguientes valores: R1 = 1 K . en consecuencia: R2 = 27 K y Ri = 5. por lo que queda por determinar R2 y Ri .2a. en relación con la curva de reacción (figura 8. Como hay cuatro incógnitas y dos ecuaciones. las resistencias R son iguales a 1 K . Como existen cuatro incógnitas y dos ecuaciones. Para este caso. se consideran los siguientes factores: La respuesta del sistema al escalón unitario que da lugar a la gráfica de la figura 8. Si se aplican las ecuaciones respectivas de la tabla VIII. Figura VIII. Ki = 1/RiCi y Kd = RdCd. R2 R1 R vi vo C2 R 8. De acuerdo con la tabla VIII.1656 fd 8. Como primera alternativa se considera la configuración mostrada en la figura VIII.2a Configuración de un control PI. Ci = 4.3.4c La ecuación asociada a este inciso corresponde a un controlador del tipo PID.4b La ecuación relacionada con este inciso corresponde a un controlador del tipo PD. Como sólo se tienen tres ecuaciones y seis incógnitas.7 f d y Cd = 10 f d.2b Configuración opcional del controlador PI.5 El sistema bajo consideración queda descrito por la función de transferencia: G p(s) = s3 + 6 s 2 2 + 12 s + 8 Figura VIII.3. la ecuación a considerar es: G c ( s ) = K p + K i = 27 + 17.1024 s s donde Kp = 27 = R2/R1 y Ki = 17. el controlador se implementará mediante la suma de un elemento proporcional más un elemento derivativo.847 K . Ri = 1. Gc ( s) = K p + Ki 159. se asignan los siguientes valores: R1 = 1 K y Cd = 10 f d. Gc(s) = Kp + Kd s = 49. se supondrá que R1 = 1 K y Ci = 10 f d.793 + K d s = 52. que corresponden a: R2 = 49. la ecuación a considerar es: K ( s + z ) 27 s + 17.7895 s Amp Op 1 Ci vi Ri Amp Op 2 R Amp Op 3 vo donde Kp = 49.2167 + 1. lo que hace que sólo quede por determinar los valores de R2 y C2.2b.331 K y Rd = 263.7895 = RdCd. hay tres incógnitas y dos ecuaciones.1024 Gc ( s ) = = s s donde K = R2/R1 y z = 1/R2C2.79 K Como segunda opción.18b procede de la transformada inversa de: ⎧ ⎫ 2 y (t ) = L − 1 ⎨ 3 2 + 12 s + 8) ⎬ s ( s + 6 s ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ y (t ) = 1 1 −2 t 1 −2 t 1 2 −2 t − e − te − t e 4 4 2 2 . 8138 A partir de tales resultados.m para resolver el problema se presenta a continuación. Tipo de controlador Kp Ti Ki Td Kd P PI PID 16 14. no es posible aplicar el método de la ganancia máxima. el hecho de adicionarle un atraso de tiempo al sistema ocasiona que éste se haga inestable.8477 Ganancia del proceso: K = 0. como lo corroborará más adelante el respectivo LGR de la figura VIII.denPade]=pade(Ta.5115 0. se consideran los siguientes factores (evaluados por el método de RouthHurwitz o mediante la sustitución de s por j en la ecuación característica de la función de transferencia de lazo cerrado): Ganancia máxima Ku = 32 Frecuencia máxima u = 3.4346 Tabla VIII.2267 4.4a.4b Sintonización de controladores P.373 0.5. PI y PID. y puesto que el sistema es de grado uno.3531 8. Los resultados se muestran en la tabla VIII. 8. se determinan los parámetros de los controladores P.6 Los parámetros para aplicar el método de CohenCoon se obtienen del problema anterior.’ Ta=input(‘Indicar atraso de tiempo (en segundos: ’). cuyos resultados se muestran en la tabla VIII. en forma simultánea se presentarán los resultados intermedios.4025 Constante de tiempo: = 1. Los resultados se indican en la tabla VIII.2.6. Tabla VIII.3627 16. basado en el cálculo de la ganancia máxima.7037 .20 1. y mediante los datos que se incluyen en la tabla 8. además.4a Sintonización de controladores P.0352 1.3282 0.40 19. printsys(numPade.1710 0. Tipo de controlador Kp Ti Ki Td Kd P PI PID 18. El archivo .8 seg. Para aplicar el método de Ziegler-Nichols. PI y PID (criterio de Ziegler-Nichols de la ganancia máxima). donde el atraso de tiempo es nulo.9069 9. GradoAprox=input(‘Indicar el grado de la aproximación de Padé: ‘).2013 4. [numPade.3333 s + 3. ya que el sistema es estable para cualquier valor de K.25 Con los datos anteriores.GradoAprox).7 Con respecto al inciso a).7037 s^2 + 3. grado para Ta=1. PI y PID (criterio de Ziegler-Nichols de la curva de reacción). ‘Diseño de un sistema de control con atraso de tiempo’ ‘Aproximación de Padé de 2o.5264 22.3. aplicaciones y simulación con MATLAB A partir de ello se obtienen los siguientes parámetros: Punto de inflexión: t=1 Pendiente de la tangente: m = 0.3333 s + 3.denPade) numPade/denPade = s^2 .1353 Tiempo de atraso: Ta = 0.5270 21.392 Introducción a los sistemas de control: conceptos. es posible obtener los parámetros para sintonizar los controladores P.8050 12.3a.4641 Periodo máximo Pu = 1. para lo cual se emplea la tabla 8.4b.4423 27. PI y PID.4. sólo resta cuantificar los valores respectivos de cada controlador. El atraso de tiempo (función irracional) será representado como una función racional mediante la aproximación de Padé (que en este caso será de grado dos). En relación con el inciso b). y por medio de la tabla 8. ya que se generan elementos en el semiplano derecho del plano s. 6956 16.Modos de control y diseño de controladores 393 Tabla VIII.8519 s + 3.9920i −0.6667 s^2 + 21.16.3a Selección del punto aproximado de cruce del LGR con el eje j . considerando H(s)=1’ rlocus(numG.6195 25.9719i k = 1.numProc.0048 − 0.5 Imag Axis 0 0.denLCProp]=cloop(Kprop*numG. se elegirá el punto más cercano al cruce del LGR % con el eje jw (el punto considerado se muestra en la figura VIII. printsys(numLCProp.5265 −0. sin controlador’ [numG.denLCProp) numT(s)/denT(s) = 2.5185 5 s^3 + 17.7037 s ‘Respuesta de lazo cerrado al escalón’ step(numLCProp.0028 poles = −4.3b.0048 + 0.denProc).denG) numG/denG = 5 s^2 .04 s^2 + 6. % que corresponde a la frecuencia Wu: Root Locus 1 0.0230 0.5 1 4 3 X 2 1 Real Axis X 0 1 X X Figura VIII.9093 28. denProc=input(‘Definir denominador del proceso Gp(s): ’).6667 s + 18. −1).denG) % La siguiente instrucción permite evaluar la ganancia en cualquier punto % seleccionado del LGR.3a) [k. printsys(numG.5 Sintonización de controladores P.8519 s^2 + 3. Tipo de controlador Kp Ti Ki Td Kd P PI PD PID 19.denG) Select a point in the graphics window selected_point = 0. .9920i % La ganancia máxima Ku se asocia con la ganancia k Ku=k % Del vector columna que contiene los tres polos. se extrae del arreglo el % elemento imaginario de la segunda fila y primera columna.denG.3351 3.5686 5 s^4 + 17. PD y PID (criterio de Cohen-Coon). ‘Definición de la trayectoria directa G(s).4824 0.denPade.2514 0.0000 + 0.1:1) Wu=imag(poloCrucejw) Pu=2*pi/Wu ‘Presionar ENTER para continuar’ pause ‘Control P’ Kprop=0.9237 18.1408 2.5*Ku ‘Función de transferencia de lazo cerrado T(s)’ [numLCProp.7037 ‘Presionar ENTER para continuar’ pause ‘Obtención del LGR.0989 0.2391 s^3 − 7.5876 ‘Definición del proceso Gp(s)’ numProc=input(‘Definir numerador del proceso Gp(s): ’).6667 s^3 + 21.denLCProp) La respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado con control proporcional se muestra en la figura VIII.poles]=rlocfind(numG. poloCrucejw=poles(2:2.8811 s + 1.denG]=series(numPade.8593 23. PI. Un error de estado estable nulo para entrada escalón. considerando el denominador de T(s). según se explicó.5)( s + 6) = K p s + Ki 1+ s ( s + 1. la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0: K p s + Ki T (s) = Gc ( s )Gp ( s ) 1 + G c ( s )G p ( s ) = s ( s + 1. 3. se obtendrán los valores de Ki y Kp para que el sistema sea estable. con este dato es posible calcular el amortiguamiento . se procederá a determinar los valores que deberá tener el control PI de acuerdo con: Gc ( s ) = K p (s + Ki / K p ) s donde el cero debe ubicarse en z = −Ki/Kp.5)( s + 6) K p s + Ki s 3 + 7. El tercer requisito se satisface al considerar la incorporación de un controlador PI al sistema. sin embargo.25 (c) Una vez cuantificadas las particularizaciones requeridas. 4. Con respecto a la última condición. 1 El proceso considerado es: G p ( s ) = ( s + 1.5 s 2 + ( K p + 9) s + K i 1 + G(s)H(s) = s3 + 7. Un máximo pico de sobreimpulso MP ≤ 8%.6265 El segundo requisito a satisfacer corresponde al tiempo de asentamiento Ta [como consecuencia de estimar el valor final práctico cuando éste alcanza el 98% de y(∞)]: Ta = 8 10 12 Time (sec) 14 16 18 20 4 n ≤ 3 seg. El controlador será PI: G c (s) = K p + Ki K p s + K i K p (s + K i / K p ) = = s s s (a) 1 =4 0. 8.394 Introducción a los sistemas de control: conceptos.5s2 + (Kp + 9) s + Ki = 0 Y de acuerdo con el método de Routh-Hurwitz: s3 s2 s1 s0 1 7.5(Kp + 9) − Ki Ki Kp + 9 Ki b) Cálculo de parámetros de acuerdo con las especificaciones. la constante de velocidad Kv corresponde a: K v = lím sG c ( s )G p ( s ) ≥ s →∞ 8. 2. y con base en el criterio de Routh-Hurwitz.5 7.8 Los métodos de Ziegler-Nichols y el criterio de Cohen-Coon son procedimientos que pueden aplicarse a cualquier sistema en general. que está dado por: = (ln( MP ))2 2 + (ln( MP ))2 ≥ 0. será necesario agregar un controlador PI (o un PID) para incrementar en una unidad al tipo de sistema (debido a la adición de un polo en el origen). donde se especifica que el sistema presenta un error de estado estable a entrada rampa ≤ 25%. Un tiempo de asentamiento Ta ≤ 3 seg (considerando que Ta = 4/ n). como se verá en el siguiente problema.9 El sistema resultante deberá satisfacer las especificaciones de funcionamiento que se dan a continuación: 1. Un error de estado estable ≤ 25% a entrada rampa. para lo cual hay que apegarse a especificaciones propias de funcionamiento. con lo cual se tendrá un error de estado estable nulo a entrada escalón y un error finito para entrada rampa.3b Respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado con control P.3333 (b) Figura VIII.6 0.2 0 2 4 6 Step Response pico de sobreimpulso menor o igual a 8%. Por lo anterior.5 )( s + 6) el cual se cataloga como sistema tipo 0. también es posible llevar a cabo la sintonización de sistemas en forma particular. a) Elección del tipo de controlador. por lo que presentará un error de estado estable finito (y distinto de cero) a entrada escalón. aplicaciones y simulación con MATLAB 1. Por lo anterior. por lo tanto.2 0 0.2 1 0. El primer requisito de funcionamiento que hay que satisfacer es que el sistema resultante presente un máximo .4 0. esto es. así como un error de estado estable infinito para entrada rampa. n ≥ 1.8 Amplitude 0. 8 Pole: 2.4c representa la respuesta al escalón unitario del sistema.5)( s + 6) s ( s + 1.02 Frecuency(rad/sec):4.6265.6 ∑ polos −∑ n−m ceros ( ) 6 4 2 Imag Axis System: sys Gain: 19. .75 2K p 2 con lo cual.4a LGR de G( s)H( s) = K p ( s + 2.8 (2) = 39. Para satisfacer la ecuación (f ). lo que corresponde al segundo término de: 1+ K p ( s + 2) =0 s ( s + 1.5)( s + 6) Figura VIII.6265.8. así como una pauta para cuantificar Ki y Kp.3333 2K p 4 3.8 ( s + 2) = s ( s + 1.8 s + 39.626 Overshoot (%): 8. a la izquierda del eje real: s=− n lo cual satisface el requisito expresado por la ecuación (d).07 −1.5 Las ecuaciones (d) y (f ) contienen las condiciones que se deben cumplir. La figura VIII.6 s 3 + 7.5)( s + 6) La figura VIII.6 K v = lím s s →∞ Para el funcionamiento del sistema en lazo cerrado.5 − 6 − ( − K i / K p ) Ki = = − 3. Se observa que dicha ganancia es Kp = 19.5 0 0. los polos dominantes deben ubicarse.5)( s + 6) = −1. según la ecuación (b). 8. El controlador y el proceso quedan representados: G c ( s )G p ( s ) = K p (s + Ki / K p ) 19. se propone que Ki =2 Kp con la ayuda del respectivo LGR (y empleando Matlab) es posible evaluar la ganancia Kp requerida para que el sistema opere con un amortiguamiento de 0. K p (s + Ki / K p ) Ki = >4 s ( s + 1.3333 K p 0 2 4 X X K i − 3.5 2 1.75 < −1. Hay que recordar que para graficar el LGR se deberá considerar a G(s)H(s).6) .55 3.4d compara resultados.4b muestra el diagrama en Simulink del proceso al que se le ha incorporado el controlador PI. donde la ganancia debe ser Ki > 36.Modos de control y diseño de controladores 395 Para que el sistema sea estable se debe satisfacer que: Ki > 0 y K p > Ki − 9.8 s + 39.4a muestra el LGR respectivo y la ganancia para que el sistema opere con amortiguamiento de = 0.5)( s + 6) se indican en la tabla VIII. y considerando la ecuación (c): 7. según indica la ecuación (b): < −1. La figura VIII. De la ecuación (e) y considerando que Ki/Kp = 2: Ki < 4.171 Damping: 0.3333 (e) Con el anterior y considerando el concepto de centroide (asociado al LGR).8334 Kp K i = 19.5)( s + 6) 9 ∴ K i > 36 (d) La figura VIII.10 Los resultados de los parámetros obtenidos por el método de Ziegler-Nichols (curva de reacción) aplicados al sistema: G p( s ) = 1 ( s + 1.6.5 s 2 + 28. s( s + 1.5 3 2.5 Real Axis 1 0. es posible obtener información con respecto a Kp: mientras que la función de transferencia de lazo cerrado T(s) corresponde a: T (s) = 19. 1049 Tiempo de atraso: Ta = 0. respuesta obtenida mediante sintonización analítica par ticularizada (problema 8.5 1 1. La función de transferencia Gc(s) es: ⎛ 25 K ⎞ G c ( s ) = ( −1) ⎪ − = 25 unidades.5 (II ) 0 t 0 0. se indican los siguientes datos: Respuesta al escalón unitario del sistema en lazo abierto: y (t ) = 1 1 − 6 t 4 − 1.5 3 Tabla VIII.6 Criterio de Ziegler-Nichols para sintonizar el controlador PI.4 0.5 1 1. ⎝ 1K ⎪ ⎟ b) La configuración que se aprecia en la figura 8.0830 Constante de tiempo: = 1.22b corresponde a un controlador PD: Gc(s) = K(s + z) Punto de inflexión: t = 0.5s + 9) para diversos criterios de sintonización del controlador PI: curva (I).11 Las funciones de transferencia Gc(s) de las configuraciones mostradas en la figura 8.8 0.0591 Ganancia del proceso: K = 0.9).3687 0.1111 .5 tiempo y ganancia del proceso K se requerirían si fuera a usarse el ajuste de Cohen-Coon. resultado obtenido mediante el criterio de ZieglerNichols. aplicaciones y simulación con MATLAB K Kp 19. 0.2 1 0. 1. Los métodos de Ziegler-Nichols y Cohen-Coon se aplican a cualquier sistema.22a pertenece a un controlador P. los mejores resultados se obtienen al sintonizar un controlador en forma particular.5 1 Figura VIII. por lo que se usarán como punto de partida.5 t + e − e 9 27 27 8.4 1. Como referencia a los resultados presentados en la tabla VIII.6 0.5 2 2.2 0 0 0. curva (II).3080 Pendiente de la tangente: m = 0. PI 103.4b Diagrama en Simulink del controlador PI sintonizado que actúa sobre el proceso Gp(s).22 corresponden a: a) La figura 8.5 2 2.4c Respuesta al escalón del sistema resultante. al cual se le agrega un amplificador con ganancia unitaria para invertir la polaridad negativa del primer operacional.8 K Escalón unitario 1 1 s2 7.396 Introducción a los sistemas de control: conceptos.3957 Figura VIII.6 Integrador Figura VIII.2739 377.6.5s 9 Proceso Gp(s) Scope Ki 39. y( t ) 2 1.4d Comparación de las respuestas del sistema Gp(s) = 1/(s2 + 7. El detector puede ser cualquier elemento fotosensible (celda fotoeléctrica.085 s + 0. 4.752 K c Y para que el error de estado estable a entrada rampa sea del 2%: 0.752 K c El error de estado estable expresado en grados corresponde a: e ss (t ) 8. Sensor que detecta la posición real de la plataforma. 7. K c = 8.125) ⎤ E( s ) = R ( s ) ⎪ ⎪ 2 ⎣ 0.125 s + 0.02. la función de transferencia resultante es: Gc ( s ) = 2 ( s + 10) s 8. Motor de CD controlado por corriente de campo. Eje transversal movido por los engranes.5 Simplificación del sistema original. Señal de referencia.5. 3.24b.22c es la configuración que describe el comportamiento de un control PI: G c (s) = K (s + z) s El error E(s) corresponde a: ⎡ s (0. elemento usado en la trayectoria de retroalimentación en la configuración de un sistema de control retroalimentado. La función de transferencia de lazo cerrado es: T (s) = K pot K m K c J s2 + b s + K pot K m K c 0.3: Gc(s) = Kp + Kd s = Kp + Kp Td s = Kp Td (s + 1/Td) por lo que al sustituir valores del circuito se obtiene: Gc(s) = −0.1459° donde K = R2/R1 y z = 1/R2C2.6.125 = 0.02 × 180 = 1.125 s + 0. 2. De acuerdo con la tabla VIII. ∴ Gc (s ) = − 4 ( s + 53. El circuito eléctrico utilizado para implementar el dispositivo de rastreo de una señal rampa y el sensor de posición real del panel (ambos utilizan celdas fotoeléctricas).276) El signo negativo significa que no se ha agregado la etapa de inversión de polaridad.752 K c 0.22d representa un control PI al que se le agrega un inversor de polaridad.085 s 2 + 0.1(s + 21. El sensor puede ser cualquier elemento fotosensible (celda fotoeléctrica.125 0. Lo anterior se ilustra en la figura VIII. Tornillo sinfín acoplado al eje del motor de CD.752 K c E Kpot Kc = 1.23b puede simplificarse mediante álgebra de bloques al desplazar ambos potenciómetros (el de referencia y el de retroalimentación) hacia la derecha del punto de suma. fototransistor o fotodiodo). c ) La figura 8.752 K c ⎥ por lo que el error de estado estable a entrada rampa es: e ss (t ) = lím s s→ 0 1 s2 rampa E ( s) = 0. Wo Km Gp(s) = W f Figura VIII. Juego de engranes que hacen girar el eje en donde se monta la plataforma de celdas fotovoltaicas.Modos de control y diseño de controladores 397 donde K = R2C1 y z = 1/R2C2. .311 0. 3 También es posible emplear fototransistores o fotodiodos. detector que sigue una referencia de velocidad constante (variación de la posición de la Tierra con respecto al Sol). fototransistor o fotodiodo).13 = 0. Panel de celdas fotovoltaicas. 6.3 se indican en la figura VIII.12 El diagrama de bloques de la figura 8.085 s + 0.191) s rampa Notación correspondiente a la figura 8. 5. d) La figura 8. Por último.24b. se procede a modificar el arreglo utilizando el circuito de la figura 1.6 0. con lo cual queda concluido el aspecto práctico del sistema de rastreo. corresponde a una función de transferencia: 0.7.6a. la salida de la etapa III se utiliza para alimentar al motor de la figura 8.4 0. LM741 6 4 R2 R1 R1 Figura VIII. En este caso se aplicó una entrada escalón. la etapa II permanece de la misma forma. . engrane Proceso (panel) Integrador y cremallera Y(s) Fotocelda (posición de referencia) Fotocelda (posición real) Figura VIII. aplicaciones y simulación con MATLAB Vcc Celda fotoeléctrica (entrada de referencia) Celda fotoeléctrica (posición real del panel) R2 3 2 7 C.8 0. La figura VIII. Una vez implementada la configuración de la figura VIII.8a es el diagrama de bloques del sistema de rastreo que representa las diversas funciones de transferencia que lo componen.398 Introducción a los sistemas de control: conceptos.8a Diagrama de bloques del sistema de rastreo a par tir del diagrama de la figura 8.I.26 del capítulo 1 y sustituyendo el arreglo de celdas fotoeléctricas por la etapa I (ya que el potenciómetro se utilizó para generar una entrada de referencia constante). Mediante una tarjeta de adquisición de datos es factible obtener el comportamiento real del sistema de la figura 8.24b. que sirven para aplicarse al comparador.6 Arreglo de celdas fotoeléctricas para generar las señales de referencia (rampa) y posición real del panel de celdas fotovoltaicas. Kc R(s) Motor.7 Compor tamiento críticamente amor tiguado de un sistema de segundo grado para una entrada escalón.25) (a) 1 r(t ) 0.2 0 0 5 10 15 20 tiempo 25 Figura VIII. según se muestra en la figura VIII. para lo que se calibró la ganancia ajustable del circuito con la finalidad de obtener la aproximación de un sistema de segundo orden críticamente amortiguado. La aproximación analítica.275 K G( s ) = s ( s + 3. de acuerdo con las técnicas respectivas que vimos en el capítulo 5. R1 = 100 K y R2 = 270 K .24b. 275 K rampa (c) Figura VIII.22.7 Sintonización de controladores mediante el criterio de Ziegler-Nichols (por el método de la ganancia máxima). que lleva implícito el modelo matemático a manera de G(s). por lo cual: G( s )H ( s ) = 0.25.1219 6. representado por la ecuación (a).3989 15.8b es la simplificación del sistema. La siguiente tabla indica los resultados. Tabla VIII.9 muestra el comportamiento del sistema.6591 20. 6 5 4 3 2 entrada de referencia movimiento del panel A partir del conocimiento de G(s).0725 y se sabe que el LGR cruza el eje j en = 0.6 v-seg/rad = 0.5 volt/m =1 = 3 Kg − m2 = 2 Kg = 1 Nw − m/rad = 0. se procede a obtener la función de transferencia de lazo cerrado T(s): T (s) = 0.275 K (b) 1 0 0 1 2 3 4 5 tiempo El error de estado estable a entrada rampa corresponde a: e ss 3.78 unidades para lograr un error de estado estable a entrada rampa de 15%.6 Nw − m/amp r(t ) Figura VIII. El error en estado estable a entrada rampa puede hacerse cero si se agrega un control PI o PID.1 hy b = 5 Nw/(m/seg) La función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s) se obtuvo en la solución del problema 6.25 = 0.7085 .14 Con respecto a la figura 8.25) Y(s) r Ka Kp R J m Kt Kf = 0.7524 15. Tipo de controlador Kp Ti Ki Td Kd P PI PID 17.8571 s 2 + 1.Modos de control y diseño de controladores 399 La figura VIII.1071 s s 3 H ( s )=1 Para la sintonización de los diversos controladores por el método de Ziegler-Nichols de ganancia máxima. por lo que la ganancia K debe ajustarse a un valor de 78.275 s (s 3.9 Compor tamiento del sistema de rastreo solar con un error de estado estable de 15% a entrada rampa. La figura VIII.5 m = 0.9985.275 K s 2 + 3. 8.9377 0.8b Aproximación analítica del sistema de rastreo de la figura 8.0095 3.25 s + 0. según lo indica la ecuación (a).24b. Kc R(s) Gp(s) 0. se consideran los siguientes parámetros: vref (t ) = 1 volt L = 0. se obtiene Ku = 27.0158 3.089286 + 2.8787 5.