ARAUJO - Pesquisa Operacional.pdf

1Palavras do professor A economia, a matemática, a estatística e a informática são consideradas ciências fundamentais para o processo de preparação, análise e tomada de decisão. A Pesquisa Operacional (P.O.) faz uso dessas quatro ciências oferecendo aos gestores e aos administradores um conjunto de métodos e modelos que os auxiliam em suas decisões. Ao estudar esse livro didático você aprenderá a utilizar a planilha Excel® e o software Lindo®, que são dois sistemas muito úteis para a solução de problemas de Pesquisa Operacional. O objetivo deste livro é atingir, principalmente, dois públicos: os estudantes e os profissionais de administração, economia e contábeis que tenham interesse em saber como a Pesquisa Operacional pode auxiliá-los no processo de tomada de decisão. Espero que você aproveite o conteúdo selecionado para o melhor desempenho no seu curso de administração e na sua carreira profissional. Um ótimo estudo! Professor Luis Augusto Araújo 2 SUMÁRIO PALAVRAS DO PROFESSOR.....................................................1 1. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ............................5 1.1 CONCEITO ........................................................................................................................5 1.2 HISTÓRIA ........................................................................................................................6 1.3 APLICAÇÕES.....................................................................................................................8 1.4 FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL....................................................8 1.5 MODELAGEM DE PROBLEMAS GERENCIAIS ....................................................................9 1.5.1 Modelos de Simulação.........................................................................................10 1.5.2 Modelos de Otimização...................................................................................... 11 GLOSSÁRIO ..........................................................................................................................12 SÍNTESE ..............................................................................................................................12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS .....................................................................................................13 2. PROGRAMAÇÃO LINEAR................................................. 15 2.1. APLICAÇÕES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR.....................................................................16 2.2. VANTAGENS DO USO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR ......................................................17 2.3. MODELAGEM DE PROBLEMAS .......................................................................................18 2.4. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS ....................................................................19 2.5. FORMULAÇÃO DE DIETAS DE MÍNIMO CUSTO ......................................................... 20 GLOSSÁRIO ..........................................................................................................................21 SÍNTESE ............................................................................................................................. 22 EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................................................... 22 3. RESOLVENDO PROBLEMAS SIMPLES PELO MÉTODO GRÁFICO .... 34 3.1. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS DA FÁBRICA DE COMPUTADORES.............. 34 3.2. RESOLUÇÃO PELO MÉTODO GRÁFICO ........................................................................ 35 1ª Etapa: Construir a região de soluções das restrições.................................... 35 2ª Etapa: Avaliar o objetivo na região de soluções ............................................. 37 GLOSSÁRIO ......................................................................................................................... 40 SÍNTESE ............................................................................................................................. 40 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................41 3 4. RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO A PLANILHA EXCEL® ......................................................................... 44 4.1. ELEMENTOS DA PLANILHA .......................................................................................... 45 4.2. DESENVOLVENDO O PROBLEMA DA EMPRESA ILHA DA MAGIA ................................ 45 4.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................................................................................51 GLOSSÁRIO ......................................................................................................................... 54 SÍNTESE ............................................................................................................................. 54 EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................................................... 55 5. RESOLVENDO PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO O SOFTWARE LINDO® ....................................................... 57 5.1 DESENVOLVENDO O PROBLEMA DA EMPRESA DE BOLAS ........................................ 58 5.2 ANÁLISE DO RESULTADO ......................................................................................... 63 5.3 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE .................................................................................. 65 SÍNTESE ............................................................................................................................. 67 EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................................................... 68 6. PROBLEMAS DE TRANSPORTES .......................................... 73 6.1. ESTUDO DE CASO: PLANEJAMENTO DE TRANSPORTES DE UMA VINÍCOLA............. 76 6.2. PROGRAMAÇÃO LINEAR .............................................................................................. 76 6.2.1 Solução de Problemas de Transportes com o uso do Software Excel® 77 6.2.2 Solução de Problema de Transporte com o uso do Software Lindo® ... 82 6.3. MÉTODO DE APROXIMAÇÃO DE VOGEL (VAM)......................................................... 83 6.4. REGRA DO CANTO NOROESTE .................................................................................... 87 6.5. CASO DE SISTEMAS NÃO EQUILIBRADOS E DA IMPOSSIBILIDADE DE TRANSPORTE ............................................................................................................................................. 89 GLOSSÁRIO ......................................................................................................................... 90 SÍNTESE ............................................................................................................................. 90 EXERCÍCIOS PROPOSTOS .....................................................................................................91 7. PROGRAMAÇÃO INTEIRA ................................................. 94 7.1 PROBLEMAS TÍPICOS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA ..................................................... 95 7.2 EXEMPLO: PLANEJANDO UMA VIAGEM DE ACAMPAMENTO ....................................... 95 7.3 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA COM O USO DO SOFTWARE EXCEL® ............................................................................................................................... 97 7.4 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA COM O USO DO SOFTWARE LINDO® ............................................................................................................................ 100 SÍNTESE ............................................................................................................................ 101 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................... 101 8. SIMULAÇÃO ............................................................. 104 ..... 128 SOBRE O PROFESSOR CONTEUDISTA ..................3...... 120 SÍNTESE ........................................................................2............ MODELAGEM E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE SIMULAÇÃO EM EXCEL® . PLANEJAMENTO........................2.............. 105 8............................................. 144 ......................................................................4................................................................... 123 SITES DE PESQUISA OPERACIONAL ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 107 8.. 122 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................ ETAPAS DE UM ESTUDO NA REALIZAÇÃO DE UMA SIMULAÇÃO ........................1.................................................4 8................... 130 RESPOSTAS E COMENTÁRIOS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................ 119 9................. VANTAGENS DO USO DA REDE PERT/CPM ..............................1.................. O ESTUDO DE CASO DA ELABORAÇÃO DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL ............. 131 CASOS APLICADOS À ÁREA DE NEGÓCIOS PARA DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL ........................................................................................ PROGRAMAÇÃO E CONTROLE DE PROJETOS: PERT-CPM .................... APLICAÇÕES DE SIMULAÇÃO .....................3................. CAMINHO CRÍTICO .......... 109 SÍNTESE ........................ VANTAGENS DO USO DA SIMULAÇÃO .... 119 9............................................................................................................ 118 9....................... 120 9........... 118 EXERCÍCIOS PROPOSTOS .. 126 BIBLIOGRAFIA..... 107 8..... Identificar as fases de um estudo de Pesquisa Operacional.3 Aplicações 1.1 Conceito 1.1 Conceito . INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL Objetivos de aprendizagem Conhecer o conceito.5 Modelagem de Problemas Gerenciais A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais.5 1. aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção e planejamento de sistemas para atingir seu objetivo. no entanto. A Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão. sem descuidar. 1.4 Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional 1. dos elementos subjetivos que caracterizam os problemas. Tendo como foco a tomada de decisões. Seções de estudo 1. a história e as principais aplicações da Pesquisa Operacional.2 História 1. Entender o significado e os principais tipos de modelagem de problemas gerenciais. . A Pesquisa Operacional baseia-se. A área de estudo da Pesquisa Operacional é mais abrangente que a da Management Sciences.informs.6 A Pesquisa Operacional (PO) é o campo de estudos em que são aplicados métodos analíticos para ajudar os executivos a tomar melhores decisões. tática e de estratégia militar) de grande dimensão e complexidade. dos Estados Unidos. foram então criados grupos multidisciplinares de matemáticos. A Pesquisa Operacional surgiu durante a Segunda Guerra Mundial. no método científico para tratar de seus problemas. físicos e engenheiros e cientistas sociais. na interpretação do resultado do mesmo e na sua aplicabilidade aos problemas gerenciais. estatística e matemática para resolver problemas de negócios. o ensino da Pesquisa Operacional para executivos ou alunos da área de negócios passou a ter o foco na modelagem do problema. Sciences No Brasil.org. a Sobrapo – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional . foi fundada em 1995.br/ Brasileira de Pesquisa Operacional é: 1. É também conhecida como a ciência que se preocupa em fornecer ferramentas quantitativas para apoiar o processo de tomada de decisão. quando os Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logística. “o termo Pesquisa Operacional foi cunhado ainda em 1938. uma vez que busca melhores soluções para além dos problemas da área de negócios. Vale a pena conferir! A "homepage" da Sociedade http://www. para descrever o uso de cientistas na análise de situações militares”. Management Sciences (MS) é a área de estudos que utiliza a informática.org). principalmente. Uma das sociedades profissionais mais respeitadas atualmente é o Informs – Institute for Operations Reserch and the Management (http://www.sobrapo.2 História Segundo Moreira (2007).possui sede no Rio de Janeiro. fundada em 1969. Segundo Lachtermacher (2002). Para apoiar os comandos operacionais na resolução desses problemas. na forma de uma expressão matemática explicita. Todo este trabalho seria de aplicação prática bastante limitada sem um método eficiente. que permitisse encontrar a solução ótima do conjunto de inequações lineares que maximizassem. a função objetivo. ou algoritmo. se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande complexidade. Seguiram-se então grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos que hoje. desenvolveu o algoritmo simplex que resolve de uma forma . simular e avaliar linhas de ação alternativas e encontrar as soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações. Foi Dantzig o primeiro a reconhecer que um programa de planejamento poderia ser expresso por um sistema de inequações lineares. O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que. passando pela Economia. Contabilidade e a Gestão Empresarial. ao que hoje chamamos de função objetivo. a Pesquisa Operacional é uma disciplina científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por praticamente todos os domínios da atividade humana. Leitura complementar Breve Histórico Os primeiros conceitos da programação linear. até à estratégia. foram desenvolvidos entre 1947 e 1949. durante a segunda guerra mundial. Assim. Face ao seu caráter multidisciplinar. que lhes permitissem perceber os problemas em estudo. uma das técnicas de Pesquisa Operacional. simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou decisões alternativas. apoiados em dados e fatos. nos permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades das empresas e. Desenvolveram então a idéia de criar modelos matemáticos. através de adequados modelos de base quantitativa. um critério para seleção do melhor plano. ou minimizassem. assim como foi o primeiro a apresentar. por George Dantzig para serem aplicados a programas militares. com o "boom" econômico que se seguiu. terminado o conflito. esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que.7 Esses cientistas não fizeram mais do que aplicar o método científico aos problemas que lhes foram sendo colocados. com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação. desde a área logística. Foi após a guerra que ele foi impulsionado para encontrar formas eficientes de desenvolver esta metodologia. da Engenharia à Medicina. b) Construção do Modelo O modelo mais apropriado para a representação do sistema deve ser escolhido com base na definição do problema. Esta é a fase que mais criatividade exige do analista. V.4 Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional O processo de resolução de um problema apresenta cinco etapas consecutivas que podem. Kantorovich tinha formulado e desenvolvido um problema de programação linear para aplicação em planejamento da produção.Problemas de Otimização de Recursos . os principais tipos de aplicação da área de Pesquisa Operacional. são os seguintes: . já em 1939 um matemático soviético e economista L. .Problemas de Carteira de Investimento .3 Aplicações Segundo Lachtermacher (2002). Curiosamente.Problemas de Previsão e Planejamento 1. 1.Problemas de Transporte . uma vez que o resultado obtido é conseqüência da qualidade da representação da realidade obtida com o modelo. c) Solução do modelo Esta fase tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído. de interesse para a área de negócio.Problemas de Localização .Problemas de Alocação de Pessoas . identificação das alternativas de decisão existentes.8 eficiente este problema. No entanto. e reconhecimento das limitações. o seu trabalho foi desconhecido durante vinte anos. entretanto. Um estudo de Pesquisa Operacional deve desenvolver as seguintes fases: a) Definição do problema A definição do problema baseia-se em três aspectos principais que precisam ser discutidos: descrição exata dos objetivos do estudo. restrições e exigências do sistema. serem repetidas dependendo da situação. não tendo tido impacto no desenvolvimento da programação linear após a segunda guerra. esta deve ser implementada. deve-se avaliar constantemente os resultados obtidos. as fases de um processo de decisão podem ser observadas na Figura 1. auxiliada por um módulo adicional (solver) para a Programação Linear. pode-se melhor garantir adequação das decisões às necessidades do sistema e aceitação destas decisões por todas as pessoas ou setores envolvidos. Atualmente. Segundo Andrade (2004). Uma prática comum para testar a validade do modelo é analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema manifestou.5 Modelagem de Problemas Gerenciais O processo de decisão de um empresário é caracterizado por alto conteúdo de racionalidade e desenvolvido em ambientes construídos para propiciar condições adequadas para decisões de qualidade. uma das técnicas de Pesquisa Operacional. estavam limitados a um “pequeno” número de variáveis devido ao tempo de cálculo e verificação. dependendo da complexidade do problema. A apresentação da solução deve ser feita à direção ou ao gerente da empresa evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. 1. Curiosidade Os primeiros problemas envolvendo Programação Linear. com o recurso do computador e uma planilha Excel. permite-nos resolver problemas complexos. Procedendo-se desta forma. e) Implementação da solução Avaliadas as vantagens e a validade da solução. . que poderia envolver vários homens durante vários dias. Em todas as etapas de um estudo de Pesquisa Operacional ou de resolução de um problema.9 d) Validação do modelo Um modelo é válido se for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e de fornecer uma resposta que possa contribuir para a qualidade da decisão a ser tomada. sendo o tempo de cálculo muito curto. tais como: .forçar os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos. em que apenas variáveis explicativas (de decisão). devendo esta incerteza ser incorporada no modelo.instrumento de comunicação e discussão com outras pessoas. são chamados de modelos probabilísticos. Os modelos em que uma ou mais variáveis de decisão não sejam conhecidas. parâmetros e medidas de desempenho são representados (variáveis dependentes). Os modelos mais utilizados na modelagem de situações gerenciais são os chamados modelos matemáticos ou simbólicos. . e as relações entre as mesmas por expressões matemáticas. Os modelos permitem para a pessoa envolvida com o problema algumas facilidades. .5. . Os modelos matemáticos em que todas as informações relevantes são assumidas como conhecidas (sem incertezas) são chamados de determinísticos. em que as grandezas são representadas por variáveis de decisão. 1. A seguir.visualizar a estrutura do sistema real em análise. conceituam-se e representam-se os modelos matemáticos de simulação e de otimização.1 Modelos de Simulação .representar as informações e suas inter-relações.sistematizar a análise e avaliação de cada alternativa. . A maneira mais simples de representar um modelo simbólico é através do modelo da caixa preta.10 Percepção Reconhecimento do Problema Criação de Alternativas Avaliação das Alternativas Decisão Critérios Fonte: Andrade (2004) Figura 1 – As fases de um processo de tomada de decisão. segundo critério estabelecido pelo analista. com o auxílio de um modelo. 1. Observe-se que no modelo de simulação o critério de escolha da melhor alternativa não é fixado na estrutura do modelo (é aplicado pelo analista).2 Modelos de Otimização O modelo de otimização é estruturado para selecionar uma única alternativa. que será considerada “ótima”.11 Os modelos de simulação representam o mundo real com objetivo de permitir a geração e análise de alternativas. O processo de decisão com modelo de simulação é mostrado na Figura 2. antes da implementação de qualquer uma delas. o que permite testar algumas hipóteses sobre o valor das variáveis controladas. O processo de decisão com modelo de otimização é apresentado na Figura 3. .5. Simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema. Hipótese 1 Hipótese 2 Solução 1 Modelo de Simulação Hipótese 3 Solução 2 Solução 3 Processo Escolha Melhor Solução de da Solução Escolhida Solução 2 Critérios de Escolha Fonte: Andrade (2004) Figura 2 – Processo de decisão com modelos de simulação. sua importância e principais áreas de aplicação. . No próximo capítulo. nesta seção. Glossário Apresentam-se. você apreendeu o que é Pesquisa Operacional. de forma sistêmica. No final. Síntese Neste primeiro capítulo. as vantagens e possibilidades de aplicação no mundo real. sua história.12 Dados e informações do sistema Modelo de Otimização - Representação do Sistema - Critério de seleção da alternativa Solução Ótima Decisão Fonte: Andrade (2004) Figura 3 – Processo de decisão com modelos de otimização. as fases de seu estudo. Método que faz uso dos conceitos de álgebra matricial e de um conjunto de regras que levam à solução dos problemas de Programação Linear. “é a área do conhecimento que fornece um conjunto de procedimentos voltados para tratar. A solução “ótima” encontrada é tomada como referência para a decisão real. É um ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para análise de decisões. Método simplex. são propostos alguns problemas para que o aluno os represente sob a forma padrão de problemas de programação linear. Pesquisa operacional. alguns conceitos que poderão ser úteis ao entendimento deste capítulo. Segundo Corrar (2004). problemas que envolvem a utilização de recursos escassos”. apresentamos uma breve introdução sobre a técnica de Programação Linear. Quais as diferenças entre o processo de decisão com modelos de otimização e o processo de decisão com modelos de simulação? . a obtenção da solução. As informações contidas neste capítulo servem de referencial para contextualizar e entender os métodos e técnicas a serem aprendidos no restante do livro. O processo de resolução de um problema apresenta cinco etapas consecutivas que podem. num período de tempo satisfatório e serve para aprimorar o processo de tomada de decisão. a validação e a implementação propriamente dita. a modelagem. entretanto. que trata do tema “Breve histórico”. ( ) O ensino da pesquisa operacional para executivos ou alunos da área de negócios passou a ter o foco na modelagem do problema. com larga aplicação em administração de empresas. na interpretação do resultado do mesmo e na sua aplicabilidade aos problemas gerenciais. aponte V ou F caso as afirmações a seguir sejam Verdadeiras ou Falsas. Exercícios propostos 1) Faça uma leitura dos textos complementares. As fases de um estudo de Pesquisa Operacional são as seguintes: definição do problema.13 A Pesquisa Operacional é a ciência que se preocupa em fornecer um conjunto de modelos e técnicas para apoiar a tomada de decisão. ( ) A técnica de programação linear foi desenvolvida por Dantzig. e considerando também os conhecimentos adquiridos na disciplina de Pesquisa Operacional. antes da segunda guerra mundial. serem repetidas dependendo da situação. onde pode-se também aprender a conceituar e a representar os modelos de simulação e de otimização. 2) Para um estudante da área de negócios o algoritmo que está por trás do software não é o mais relevante e sim se este software lhe dá resultados corretos. ( ) Deve-se utilizar ferramental sofisticado para apoio a tomada de decisão sem haver preocupação se os modelos quantitativos conseguem representar a complexa e incerta realidade organizacional. Quais são as fases de um estudo de Pesquisa Operacional? b. Os modelos mais utilizados na modelagem de situações gerenciais são os chamados modelos matemáticos ou simbólicos. Pergunta-se: a. 14 . Modelagem de Problemas 2. as aplicações e as vantagens do uso da técnica de Programação Linear. Programação Dinâmica. ou. Vantagens do Uso da Programação Linear 2. PROGRAMAÇÃO LINEAR Objetivos de aprendizagem Conhecer o que é.3.1. A técnica de Programação Linear pode ajudar a descobrir os melhores usos para recursos limitados de forma que metas desejadas. Problema de Alocação de Recursos 2. Formulação de Dietas de Mínimo Custo A Programação Linear (PL) é uma técnica de Pesquisa Operacional. Aplicações da Programação Linear 2. margem de contribuição. Identificar e modelar problemas de tomada de decisão sobre alocação de recursos e sobre dietas de mínimo custo. . Segundo Prado (1999). Teoria das Filas e etc. retorno esperado.15 2. tais como lucro. Seções de estudo 2.4. “A PL é uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo em situações nas quais temos diversas alternativas de escolhas sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação”. possam ser minimizadas. para otimização de sistemas.2. como custos e perdas. Teoria dos Jogos.5. a qual contém outras técnicas tais como Simulação. metas indesejadas. possam ser maximizadas. PERT/CPM. Agricultura. et alii (eds. tais como: Alimentação. Brasília. Localização industrial.16 Os estudos de Programação Linear podem responder perguntas do tipo: • Qual o preço do produto ou mix de produção maximiza o lucro? • Como se manter dentro do orçamento? • Com que velocidade pode crescer considerando a disponibilidade de capital de giro? • Qual deveria ser a programação de sua frota de entregas para minimizar os custos de transportes? • Sendo impostas algumas especificações. a partir das opções de negócios (culturas agrícolas. qual é a composição da mistura que corresponde ao custo mínimo? • Estando impostas as condições de trabalho. Basicamente. 1 Duas referências básicas para o tema. Na prática tem-se aplicado a Programação Linear em diversas áreas. Carteira de investimentos. EMBRAPA-DDT. rapidamente tornou-se uma ferramenta eficiente para estudos de gestão. Mineração. Análise de riscos. Rotas de transportes. São Paulo: Atlas S. O seu objetivo principal diz respeito à maximização de lucro.1. 2004. E. Siderurgia. são: . . Petróleo.) Planejamento da propriedade agrícola: modelos de decisão. Pesquisa Operacional: Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas Agroindustriais. plantéis de animais. como repartir o contingente de mão-de-obra entre as diferentes tarefas e especialidades. Manufatura.CONTINI.CAIXETA FILHO. etc. Aplicações da Programação Linear A Programação Linear. J. Designação de pessoas e de tarefas. técnica de solução. V. Uma das aplicações mais clássicas de programação linear diz respeito ao planejamento agrícola. com o objetivo de minimizar as despesas ou maximizar a eficiência? 2. uma disponibilidade de mão-de-obra e capital. planejamento de sistemas agroindustriais1. desenvolvida após a Segunda Guerra Mundial como instrumento de administração. 1984. etc.. ou mais genericamente. o tomador de decisão tem à sua disposição uma determinada área.) disponíveis. papéis de investimento. além de observar uma série de características tecnológicas e de capacidade organizacional. . A. que contém uma série de aplicações para casos brasileiros. Para tal.05X400=US$20 milhões por ano). atingindo 30 milhões de dólares. .2. 2. aspectos como as admissões. Pergunta-se: qual o impacto deste benefício dentro das empresas? É comum encontrarmos empresas da área de siderurgia e petrolífera. que determina o número de recursos necessários.Um outro exemplo refere-se à aplicação do método para otimização dos horários de trabalho em quatro estabelecimentos da rede de retaurantes McDonald’s nos Estados Unidos. com faturamento anual de US$ 1 bilhão e com um custo de produção de US$ 400 milhões anuais. obtendo-se uma programação de horários mais convenientes de acordo com as preferências de horário de cada funcionário. Permite a identificação de gargalos nas empresas e nas linhas de produção.17 Leitura complementar Exemplos de aplicação da Programação Linear São vários os exemplos de aplicação da programação linear nos nossos dias que permitiram obter melhoria nas performances das empresas.Um primeiro exemplo refere-se à companhia de óleos TEXACO. promoções e transferências são levadas em consideração no modelo. com a exigência de cobertura durante todo período de funcionamento das unidades. . Numa rápida pesquisa na Internet. abandonos. imaginem o impacto caso a redução de custos seja de apenas 5%!! (0. Fornecem diretrizes para expansão. Nessas áreas é comum encontrar número expressivo dos chamados analistas de Pesquisa Operacional. Vantagens do Uso da Programação Linear - - Permite encontrar o lucro máximo ou o mínimo custo.que permite estimar as necessidades de recursos humanos num horizonte que vai dos 7 aos 20 anos.Um último caso refere-se ao exército norte-americano que desenvolveu um sistema designado de MLRPS – Manpower Long-Range Planning System . que utilizou a programação linear para obter as condições ideais de processamento do petróleo bruto. Possibilita avaliar o potencial de aplicabilidade de uma pesquisa. por exemplo. Permite identificar as melhores opções em estudos de Qualidade Total. A programação linear proporcionou um melhor aproveitamento dos recursos disponíveis. . A aplicação desta metodologia em sete das suas refinarias permitiu obter uma melhoria de 30% nos lucros. encontraram-se três casos referentes a diferentes áreas de atividade econômica. . cj é o coeficiente da função objetivo esperado da j-ésima atividade. . Definir as variáveis do problema....m número de restrições.m) xj ≥ 0 (para todo j = 1. . o termo modelo é empregado para significar a representação de um sistema. A estratégia da Programação Linear para a resolução de problemas de otimização é transformar as características do problema em um modelo matemático constituído de uma função objetivo e de um conjunto de restrições.. As etapas de um processo de modelagem são as seguintes: 1.aij é o coeficiente técnico da j-ésima atividade para o i-ésimo recurso (ou restrição).bi são os níveis de fatores limitantes ou da i-ésima restrição. 2. . . pode ser formulado da seguinte maneira: n Maximizar Z = ∑ c j xj j=1 Sujeito a: n ∑ aijxj ≤ bi (para todo i = 1. na sua forma reduzida. Em Pesquisa Operacional. n) j=1 Onde: . . O modelo de Programação Linear. 3. Definir o conjunto de restrições. 2.xj é o nível da j-ésima atividade.3.. 2. Definir a função objetivo. Modelagem de Problemas A modelagem diz respeito à técnica de como construir modelos. . . .18 2.n número de atividades.. um gabinete pequeno e uma unidade de disco. margem de contribuição e etc). O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. dimensionar a produção de cada tipo de computador. na sua produção. O modelo A fornece um lucro de R$200. b) Função objetivo A Função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro. Devem-se representar as relações entre as quantidades a serem produzidas dos . Problema de Alocação de Recursos Uma fábrica de computadores.00.00 e B de R$300.4. Assim. a equação de lucro total será: Lucro total: L = 200 X1 + 300 X2 Objetivo: Max L = 200 X1 + 300 X2 c) Definição das restrições do problema Cada restrição imposta na descrição do problema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade). analisaremos um exemplo simples. Como o lucro total será a soma dos lucros obtidos com a venda de cada tipo de computador. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno. Representam a relação entre as variáveis de decisão.19 Para ilustrar o processo de modelagem de problemas de alocação de recursos. • X2 = quantidade de computador Modelo (B) a produzir. localizada em Florianópolis. 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. as variáveis de decisão serão: • X1 = quantidade de computador Modelo (A) a produzir. isso significa. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão Como o objetivo da empresa é encontrar o programa de produção para máximo lucro. produz dois modelos de computador: A e B. em outras palavras. em função das variáveis de decisão. custo. 2. mas que mostra os aspectos envolvidos no processo. receita. o lucro unitário por computador e o lucro total. montadas com as variáveis de decisão. perda. O modelo A requer. se deseja obter a dieta de mínimo custo (ou mínimo preço).5. formulação de rações de custo mínimo. . Série didática nº 113. Piracicaba: ESALQ/USP. o corpo necessita de vitaminas e proteínas.5 unidades monetárias”. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Formulação de Dietas de Mínimo Custo2 Uma aplicação bem sucedida de programação linear diz respeito à formulação de dietas. a partir da disponibilidade de uma série de alimentos. • Disponibilidade de gabinete pequeno X1 ≤ 60 • Disponibilidade de gabinete grande X2 ≤ 50 • Disponibilidade de unidades de disco X1 + 2 X2 ≤ 120 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 A última restrição formulada diz respeito a não negatividade das variáveis de decisão. Em termos gerais. as exigências em termos de peças para a produção e a disponibilidade de peças ou gabinetes. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas”. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2. “Para uma boa alimentação. Material de apoio às disciplinas: LES-672 Introdução à Pesquisa Operacional e LES-785 Programação Linear. J. O problema pode ser resolvido da seguinte forma: 2 Adaptado de CAIXETA FILHO. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. e em particular. 2. 1996.20 Modelos de computador A e B. mas respeitando-se as exigências nutricionais pertinentes à idade e tipo da pessoa. V. necessidade mínima de proteína 6 x1 + 6 x2 ≥ 36 . Restrições. Min C = 3 x1 + 2. alguns conceitos que poderão ser úteis ao entendimento deste capítulo.5 x2 c) Definição das restrições do problema • Restrições . Técnica destinada a determinar a melhor utilização de recursos limitados. nesta seção.21 Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão • Alternativas: chamando as alternativas de x1 e x2.necessidade mínima de vitamina 4 x1 + 8 x2 ≥ 32 . Programação linear. de forma a otimizar uma função-objetivo que está condicionada a um conjunto de restrições.positividade das alternativas x1. É uma programação matemática em que todas as funções-objetivo e restrições são representadas por funções lineares. onde: x1 = quantidade de carne a consumir no dia x2 = quantidade de ovos a consumir no dia. Função-objetivo. . b) Função objetivo • Objetivo: minimizar o custo da dieta para consumir carne e ovos. Limites impostos aos possíveis valores que podem ser assumidos pelas variáveis de decisão. Variáveis de decisão. Expressão matemática que relaciona as variáveis de decisão (as alternativas) e o objetivo que se pretende alcançar. São as alternativas ou variáveis que correspondem às decisões a serem tomadas visando encontrar a solução para o problema em estudo. x2 ≥ 0 Glossário Apresentam-se. A combinação de variáveis que deve ser maximizada ou minimizada. que trata do tema “Exemplos de aplicação da Programação Linear”. representam limites impostos pela condição da realidade da empresa. ( ) O texto ressalta três exemplos de aplicabilidade da ferramenta de Programação Linear para apoiar a tomada de decisão. representadas por equações ou inequações matemáticas. Dado um . as principais vantagens e aplicações da Programação Linear no mundo dos negócios. que é um dos mais populares modelos matemáticos. aponte V ou F caso as afirmações a seguir sejam Verdadeiras ou Falsas. antes de entrarmos no mérito da resolução de problemas por programação linear.22 Síntese Nesta unidade você conheceu um pouco sobre a técnica de Programação Linear. de marketing e de carteira de investimentos. ( ) Na Programação Linear tanto as restrições como as funções-objetivo são representadas por funções lineares (equações de primeiro grau). 2) Problemas para Modelagem Atenção especial deve ser dispensada ao esforço de modelagem. As restrições. é chamada de função objetivo. A estratégia da Programação Linear para a resolução de problemas de otimização é transformar as características do problema em um modelo matemático constituído de uma função objetivo e um conjunto de restrições. Exercícios propostos 1) Faça uma leitura do texto complementar. e considerando também os conhecimentos adquiridos na disciplina de Pesquisa Operacional. em casos práticos para resolução de problemas de finanças. Conhecemos as perguntas que podem ser respondidas pela técnica. na forma de uma expressão matemática. É aplicável a problemas quantitativos cujos relacionamentos possam ser expressos por meio de equações e inequações lineares. regulamentações ou restrições de mercado. em termos de escassez de recursos. alternativas e restrições. Para as piscinas Luxo: . Quanto de cada modelo de pneus a fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro máximo? 2) A empresa “Águas de Floripa” produz piscina em fibra em duas linhas de produção: piscina Standard e piscina Luxo.00. em função de seu nível de abstração e de experiência vivida. Com relação à piscina Standard temos as seguintes informações: . 1. Para fabricar um pneu do Modelo P.A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas.00. enquanto que o Modelo R é vendido por R$50. . terá uma maior ou menor facilidade para a representação de objetivo.Cada piscina fornece um lucro de R$40. . Por outro lado.00 cada pneu e custa para ser produzido R$85. . . através de inequações e equações. .00 por pneu. A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e Modelo R (o regular).23 determinado problema. A programação da Produção da fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas.Cada piscina fornece um lucro de R$30.Cada piscina consome 2 homem/dia para ser produzida.A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas. para fazer um pneu do Modelo R. são requeridas nove horas da Máquina A e três horas da Máquina B.00 por pneu.00 cada pneu e tem um custo de produção de R$42. o modelador. são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da Máquina B. O Modelo P é vendido por R$95.Cada piscina consome 1 homem/dia para ser produzida. 00. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.00 e o lucro unitário de P2 é de R$150. Certa empresa fabrica dois produtos. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. devemos informar que a fábrica possui um total de 40 empregados a serem alocados nas duas linhas de produção. . O dono da fábrica tem por objetivo maximizar o lucro diário. 3.24 Além disso. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). O lucro por unidade de P1 é de R$100. 25 4. 5.200 horas de trabalho. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.00 de lucro por caixa. .100 1.200 600 6 4 6 12 6 2 800 600 600 Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços.00 de lucro por caixa. Produto P1 P2 P3 Lucro por unidade Horas de trabalho Horas de uso de máquinas Demanda máxima 2. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período que maximize o lucro da empresa. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7. escolheu três produtos P1. P2 e P3. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$20.. localizado no município de São José. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para abastecer o CEASA. No programa de produção para o próximo período. e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$30. A firma pode obter um suprimento de 4. a empresa Beta Ltda.00 de lucro por caixa. pelo menos 100 caixas de pêssegos a R$10. 000 telespectadores. No decorrer de uma semana.26 6. .000 telespectadores. enquanto o programa “B” com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10. Uma rede de televisão da “Grande Florianópolis” tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. o patrocinador insiste no uso de no mínimo. 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. 00 por unidade e P2. R2 e R3. R1. Se todos os cintos fossem do modelo M2. requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. verificou-se que P1 daria um lucro de R$120. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos: Abrigos para Automóveis (P1) e Toldos em Loja (P2).00 para M2. R$150. ficou com disponibilidade de três recursos produtivos. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.00 para M1 e R$3.00 por unidade. a empresa poderia produzir 1. após um processo de racionalização de produção. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. Produto Recurso R1 por unidade Recurso R2 por unidade Recurso R3 por unidade P1 P2 2 4 3 2 5 3 Disponibilidade de recursos por mês 100 90 120 . Uma empresa localizada em Tubarão fabrica dois modelos de cintos de couro. 8. A empresa “Toldos Sol e Praia”. Os lucros unitários são de R$4.000 unidades por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes.27 7. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. de melhor qualidade. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado. O modelo M1. pede-se o modelo do sistema de produção do sapateiro. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias. cinco cintos por hora. .28 Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema. 9. se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. se fizer somente sapatos. se fizer somente cintos. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora. O problema da sapataria do Ribeirão da Ilha. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. 000. 3 Problema formulado e apresentado pelos alunos da disciplina de Introdução à Pesquisa Operacional da Unisul .6 * Valores projetados conforme dados dos últimos 12 meses.0 15.1 12. as quantias máximas para serem investidas individualmente são de: .R$ 14. Por recomendação do administrador de fundos.para as carteiras de Câmbio máximo 30%. nas carteiras de DI.aplicação de um ano.29 10. .aplicar na Poupança no mínimo 5%. As exigências que o cliente fez para aplicação foram as seguintes: .5 14.0 15. procurando obter o melhor rendimento dos R$100. nas carteiras de Renda Fixa.e por último nas carteiras de Renda Fixa.3. e no máximo 15%.000.1 14.para as carteiras de DI (Depósito Interbancário) máximo 35%.R$ 17. tenta achar a melhor configuração da aplicação nas seguintes carteiras: Carteiras Poupança Câmbio Empresarial Plus Câmbio Especial Plus Câmbio Preferencial DI Empresarial DI Especial Plus DI Preferencial Fix Especial Plus Fix Preferencial Fix Private Rentabilidade* % 7. A Empresa de Administração de Fundos Paulo S.R$ 12.00. .6 15.campus de Araranguá.A.00.000.00 investidos por um cliente antigo. . . . nas carteiras de Câmbio. do segundo semestre do ano 2000. máximo 40%. .00.9 13.000.4 15.0 13. . Isto criou um considerável excedente na capacidade de produção. Uma agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma linha de produto não-lucrativo. A gerência está considerando dedicar esta capacidade excedente a um ou mais produtos. A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela que se segue: Tipo de máquina A B C Tempo disponível (horas de máquina) 500 350 150 O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade). 2 e 3.30 11. identificados como produtos 1. conforme representado a seguir: Tipo de Máquina A B C Produto 1 9 5 3 Produto 2 3 4 0 Produto 3 5 0 2 . Durante o próximo mês.00 e R$15. respectivamente. 00. para a montagem e para testes de qualidade. R$ 300. Formule o problema como um modelo de Programação Linear. a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricação.5. Determinar a quantidade de cada produto que a firma deve produzir para maximizar o seu lucro. Uma fábrica de pranchas de Surfe. R$12.5. quatro horas para montar e uma para testar. localizada em Garopaba. Os números correspondentes para uma dúzia de unidades do modelo B são 3. uma dúzia de unidades do modelo A requer três horas para fabricar. para os produtos 1. As exigências de produção mínimas mensais são de 20 para o modelo A. e para uma dúzia de unidades do modelo C. 5. 5 e 1.00 e R$ 500. 00. 8 e 3. Cada tipo de prancha requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes. 12.00. respectivamente.31 O lucro unitário estimado é de R$30. Especificamente. produz os modelos A. 120 para o modelo B e 60 para o modelo C. B e C. que proporcionam lucros unitários da ordem de R$ 160. 2 e 3. 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade.00. . de modo que uma saída de três horas custará R$240. mas com Sheila. Um jovem está saindo com duas namoradas: Sheila e Ana Paula4. por experiência que: a) Ana Paula.00. 18 horas e 40.00 mensais para diversão. b) Sheila. gasta o dobro. mais caros. d) Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de. mais alegre e extrovertida.32 13. gosta de freqüentar lugares sofisticados. lhe custará R$160. Como ele deve planejar a sua vida social para obter o número máximo de saídas? 4 Extraído de LACHTERMACHER (2002. de modo que. no máximo.000 calorias. mais simples. f) Ele gosta das duas com a mesma intensidade. c) Seu orçamento permite dispor de R$960. Ele sabe. uma saída de três horas. elegante.00. . pg. 57). prefere um divertimento mais popular. e) Cada saída com Ana Paula consome 5.000 calorias de sua energia para atividades sociais. 33 . O modelo A fornece um lucro de R$200. a modelagem e as etapas de resolução do Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores. com objetivo do aluno conhecer a ferramenta de resolução e também melhor compreender a lógica de resolução da Programação Linear. Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores 3.2.00. apresentam-se o problema. produz dois modelos de computador: A e B. O modelo A requer.1. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno. Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores Uma fábrica de computadores. Seções de estudo 3. Compreender a lógica da obtenção da solução ótima. um gabinete pequeno e uma unidade de disco.00 e B de R$300. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? . RESOLVENDO GRÁFICO PROBLEMAS SIMPLES PELO MÉTODO Objetivos de aprendizagem Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização do método gráfico.34 3. Resolução pelo Método Gráfico Neste capítulo aborda-se a técnica de resolução de problemas simples pelo chamado Método Gráfico. 3.1. na sua produção. localizada em Florianópolis. 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Para ilustrar o desenvolvimento do método. 35 Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão • X1 = quantidade de computador Modelo (A) a produzir. • X2 = quantidade de computador Modelo (B) a produzir. .2. Exemplo: • Disponibilidade de unidades de disco X1 + 2 X2 ≤ 120 Para X1 = 0.atribuem-se valores para X1 e X2 para definir-se o comportamento da linha/reta de cada uma das restrições no gráfico. Resolução pelo Método Gráfico A resolução de problemas de programação pelo método gráfico requer a definição da região de solução das restrições e que se avalie o objetivo na região de soluções viáveis. 1ª Etapa: Construir a região de soluções das restrições A construção da região de soluções das restrições possíveis obedece a seguinte seqüência: . temos que X2 = 60. b) Função objetivo Lucro total: L = 200 X1 + 300 X2 Função objetivo: Max L = 200 X1 + 300 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de gabinete pequeno X1 ≤ 60 • Disponibilidade de gabinete grande X2 ≤ 50 • Disponibilidade de unidades de disco X1 + 2 X2 ≤ 120 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 3. Representação das restrições no gráfico. devem ser representadas. temos que X1 = 120.para visualizar o problema de forma gráfica. inicialmente. 80 100 X1 120 .36 Para X2 = 0. conforme apresentado na Figura 1. as restrições do problema. X2 120 100 80 Gabinete Pequeno 60 Gabinete Grande 40 Unidades de disco 20 0 0 20 40 60 Figura 1 . . nada ainda foi dito sobre a função objetivo.00. o comportamento da função objetivo quando o lucro for de R$10. no gráfico. Assim. obtém-se um valor de lucro de R$ 10. 10. que também deverá ser representada. Entretanto. Para isto. Por exemplo. temos: Max L = 200 X1 + 300 X2 Logo. . X1 = 20 e X2 = 20. Basta substituirmos os valores para X1 e X2 na função objetivo.Representação da região viável do problema. devemos adotar o mesmo procedimento anterior para representar as restrições do problema.escolher um ponto dentro ou próximo da região de solução viável.000.00.37 X2 Região viável X1 Figura 2 .calcular o valor obtido para a função objetivo neste ponto. sugerem-se os seguintes procedimentos: . Neste caso.000 = 200 X1 + 300 X2 .representar. 2ª Etapa: Avaliar o objetivo na região de soluções Para avaliarmos o comportamento da função objetivo no gráfico.000. . Observa-se que quanto mais a função objetivo caminhar para a direita.000. X2 Função objetivo quando o lucro é igual a R$10. se X2 = 0. o máximo possível para a direita.000.00 X1 Figura 3 . então X2 = 33.000 . de forma paralela.00.000. então X1 = 50 e se X1 =0. com o máximo lucro de R$21. temos: Max L = 200 X1 + 300 X2 Max L = 200 x 60 + 300 x 30 Max L = 21. Veja que se X1 = 60 e X2 = 30. Portanto. substituindo esses valores na função objetivo. o que no caso resultará no vértice X1 = 60 e X2 = 30. este deverá ser o direcionamento da maximização: a função objetivo deverá se deslocar. dentro da região viável.Representação da função objetivo quando o lucro é R$10. maior o valor de lucro.00.38 Portanto.33. para obter um máximo lucro de R$21.00. Os dois próximos capítulos tratam dos procedimentos de entrada de dados na planilha Excel e no software Lindo bem como na obtenção dos relatórios para análise e interpretação de problemas gerenciais de otimização diversos. ou que estão sendo efetivamente atuantes. Isso significa que tais restrições estão sendo esgotadas. significando que tais restrições estão com folga. x1 = 60 e x2 = 30. Já na restrição de Gabinete Grande. substituindo-se o valor da solução ótima naquelas restrições. Na verdade. sendo que a disponibilidade é de 50 (folga de 20 unidades). os limites superiores correspondentes não serão atingidos. Este vértice. Concluindo-se: a fábrica de computadores deverá produzir 60 unidades do computador Modelo A e 30 unidades de computador Modelo B. . a solução do problema. os limites superiores serão alcançados.000. é a intersecção das retas representativas das restrições de Gabinete Pequeno e Unidades de Disco. Observa-se que para realizar o plano ótimo de produção serão necessárias 30 unidades de Gabinetes Grandes.39 X2 Gabinete Pequeno Solução Ótima 30 X1 = 60 X2 = 30 Gabinete Grande Unidades de disco X1 Figura 4 – Identificação da solução ótima. Síntese Problemas simples de Programação Linear. é o estudo da sensibilidade da solução ótima aos dados do modelo de programação linear. requer a avaliação do comportamento da função objetivo para podermos identificar a solução ótima. ao mesmo tempo. É uma solução que atende ao mesmo tempo a todas as restrições. satisfaça todas as restrições e otimize (maximize ou minimize) a função objetivo. As restrições são representadas no gráfico por linhas retas em que as coordenadas são as duas variáveis de decisão. Segundo Moreira (2007). Representam a quantidade de recursos necessária para produzir uma unidade da variável ou alternativa. A solução ótima está em um dos vértices ou pontos extremos da região permissível. a segunda. e última etapa. É o conjunto de todas as soluções possíveis. Solução ótima. com apenas duas variáveis de decisão. O procedimento de resolução envolve duas etapas: a primeira requer a identificação no gráfico da região de soluções possíveis (região permissível). Coeficientes tecnológicos. . cuja inclinação será determinante para a identificação da solução ótima. podem ser resolvidos pelo método gráfico. Solução permissível ou viável. É o conjunto de valores das variáveis que. A função objetivo é representada por uma linha reta. Região permissível.40 Glossário Análise de sensibilidade. Por outro lado. são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da Máquina B. Para fabricar um pneu do Modelo P.A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas.41 Exercícios Propostos Resolva os seguintes problemas simples. A programação da Produção da fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. 1) A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e Modelo R (o regular).Cada piscina consome a mão-de-obra de 1 homem/dia para ser produzida. enquanto que o Modelo R é vendido por R$50. . . Para as piscinas Luxo: . para fazer um pneu do Modelo R.00. O Modelo P é vendido por R$95.00 por pneu. fazendo uso do Método Gráfico.00 por pneu. Com relação à piscina Standard temos as seguintes informações: . Quanto de cada modelo de pneus a fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro máximo? 2) A empresa “Águas de Floripa” produz piscina em fibra em duas linhas de produção: piscina Standard e piscina Luxo.00 cada pneu e custa para ser produzido R$85.Cada piscina fornece um lucro de R$30. apresentando passo a passo às etapas de resolução.00 cada pneu e tem um custo de produção de R$42. são requeridas nove horas da Máquina A e três horas da Máquina B. 00 e o lucro unitário de P2 é de R$150.00. . A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.00. . Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 3) Certa empresa fabrica dois produtos.42 . O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). .Cada piscina consome a mão-de-obra de 2 homem/dia para ser produzida. O dono da fábrica tem por objetivo maximizar o lucro diário.Cada piscina fornece um lucro de R$40.A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas. devemos informar que a fábrica possui um total de 40 empregados a serem alocados nas duas linhas de produção. O lucro por unidade de P1 é de R$100. Além disso. 43 . O objetivo do presente capítulo é fornecer um roteiro para a resolução de um problema típico de Programação Linear utilizando-se do software Excel® da Microsoft. usando o método gráfico (até duas variáveis) e o método Simplex (três ou mais variáveis). por ser a planilha mais popular no Brasil. Análise dos Resultados Existem dois modos de se resolver um problema em programação linear: o modo tradicional. Analisar a solução final obtida com o propósito de otimizar a alocação de recursos da empresa. utilizar as planilhas eletrônicas como EXCEL. Desenvolvendo o Problema da Empresa Ilha da Magia 4. onde existem programas prontos para resolver problemas de PL (como por ex. o programa "LINDO") ou então. Elementos da Planilha 4. RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO PLANILHA EXCEL® LINEAR UTILIZANDO A Objetivos de aprendizagem Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização da ferramenta Solver do Excel®.2.44 4. ou o método computacional.1. LOTUS 1-2-3 ou QuattroPro.3. Seções de estudo 4. . exercício 1. Os valores nessas células podem ser mudados a fim de otimizar a função objetivo.00 cada pneu e custa para ser produzido R$85. Elementos da Planilha - Dados de Entrada: são os dados fornecidos no problema. - Restrições ou vínculos: no Excel. Esses dados devem aparecer em algum lugar na planilha.00 por pneu. as restrições não aparecem diretamente na planilha. Quanto de cada modelo de pneus a fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro máximo? . Por outro lado.1. É aconselhável colocar o máximo de dados de entrada no canto superior esquerdo da planilha. A programação da Produção da fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. Para fabricar um pneu do Modelo P. utilizar um conjunto de células pré-definidas que fazem o papel das variáveis de decisão. são requeridas nove horas da Máquina A e três horas da Máquina B.00 cada pneu e tem um custo de produção de R$42. os dados da função objetivo e os dados das equações de restrição (maior igual ou menor igual. A ferramenta Solver sistematicamente varia os valores das células variáveis a fim de otimizar o valor da célula destino. deve-se especificar as desigualdades diretamente num quadro de diálogo da ferramenta Solver. enquanto que o Modelo R é vendido por R$50.45 4. Desenvolvendo o Problema da Empresa Ilha da Magia Considere o problema da empresa Ilha da Magia. Para evidenciar essas células. isto é. - Células variáveis: Ao invés de usar nomes de variáveis como X1 ou X21. descrito novamente a seguir: A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e Modelo R (o regular). - Célula destino: essa célula irá acumular o valor calculado da função objetivo.2. para fazer um pneu do Modelo R.00 por pneu. incluindo as condições de não-negatividade). Pode-se convencionar envolver a célula destino em uma borda preta dupla. pode-se convencionar sombrear com determinada cor. são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da Máquina B. 4. O Modelo P é vendido por R$95. apesar de que em alguns problemas específicos pode-se mudar essa regra. Ao invés disso. Níveis de produção: as células B2:C2 são onde os valores das variáveis de decisão são colocados. Dados de entrada: Entre com os dados conforme mostrado no quadro abaixo. nele todos os ingredientes do modelo são incluídos e relacionados entre si. Figura 1 – Entrada de dados na planilha Excel®. que são as seguintes: 1º) Entrada de dados e fórmulas na planilha A primeira etapa consiste na entrada de todos os dados na planilha e das fórmulas que relacionam as células com os dados de entrada e cujo resultado é armazenado na célula destino. Esse primeiro estágio é o mais importante. onde o Solver indicará a solução para o problema. . ou seja. as quantidades disponíveis de cada tipo nas células E4:E5 e o lucro de cada tipo de pneu nas células B3:C3. pois. Lucro obtido: entre com a fórmula abaixo na célula D3: =SOMARPRODUTO(B3:C3.$B$2:$C$2) Essa fórmula calcula o total de lucro de acordo com o número de pneus presentes nas células variáveis.46 A solução completa do problema é obtida realizando-se duas etapas. As quantidades necessárias de horas máquina para cada tipo de pneu nas células B4:C5. na célula D5. feita anteriormente. com a fórmula abaixo.$B$2:$C$2) Uma alternativa mais fácil é copiar a fórmula da célula D3. para a célula D4 e D5. =SOMARPRODUTO(B5:C5. Figura 3 – Detalhes do procedimento de cópia da célula D3 para as células D4 e D5. Recursos utilizados: entre com a fórmula abaixo na célula D4. =SOMARPRODUTO(B4:C4.47 Figura 2 – Utilização da função “somarproduto” no Excel®. .$B$2:$C$2) E. 48 Essa fórmula calcula as unidades de horas Máquina A e B utilizadas pela quantidade de pneus digitados inicialmente. A função SOMARPRODUTO é particularmente útil em modelos de Programação Linear. Aqui ela multiplica cada valor do intervalo de células B4:C4 pelos correspondentes valores nas células B2:C2 e depois soma esses produtos, do mesmo modo que é feito na multiplicação de matrizes. O propósito de colocar o dólar das células variáveis é o de fixá-las quando copia-se a mesma fórmula para as outras restrições. 2º) Parâmetros do Solver Na segunda etapa, devemos acionar o Solver no menu ferramentas do Excel. Se você não encontrar o Solver, escolha o item suplementos, do menu ferramentas, e procure o Solver e clique no respectivo quadrinho. A ferramenta Solver resolve o problema através de ajustes nas células variáveis até que o máximo valor da célula destino seja encontrado. Para os problemas de PL, a ferramenta utiliza o chamado "Modelo Simplex". Precisa-se informar a localização das células variáveis e da célula destino, bem como uma lista de todas as restrições envolvidas no problema, que são escritas em termos de endereços de células. Ao final é só pedir para que o Solver ache a solução otimizada. Os procedimentos de preenchimento dos parâmetros do Solver são apresentados, a seguir. a) Selecione como célula de destino a célula D3, aquela em que seu valor deverá ser máximo, e clique na opção Max. b) Selecione as células variáveis de acordo com a janela apresentada na Figura 4. 49 Figura 4 – Preenchimento dos parâmetros do solver c) Adicione cada restrição, com a respectiva desigualdade correta. Note que deve-se dar corretamente os endereços de cada desigualdade e, por esse motivo, não importa muito onde se coloca na planilha. Figura 5 – Adição das restrições Modelo Linear: antes de pedir para Resolver, clique em Opções e selecione "Presumir modelo Linear", pois afinal se trata de PL. 50 Figura 6 – Opções do solver: presumir modelo linear e não negativos. Resolver: clique em resolver e então o Solver mostrará nas células variáveis o valor ótimo das quantidades de pneus e na célula destino o valor máximo do lucro. Antes ele diz que achou uma solução ótima e, se for selecionado as opções de relatórios, ele criará até três tipos de relatórios diferentes, os quais serão muito úteis futuramente. Figura 7 – Janela indicando que o Solver encontrou uma solução que pode ser visualizada na planilha. no caso maximização.3. nesse caso. a quantidade a ser produzida de pneus Premium deve ser de nove unidades e de pneus Regular deve ser de duas unidades. cada uma com um tipo de relatório. Análise dos Resultados O Relatório de Resposta do problema são apresentados na Figura 8. Os relatórios emitidos para este problema podem ser visualizados na próxima seção. denominada de célula de destino (“target cell”). O Excel criará mais três pastas. O valor máximo encontrado para a função objetivo é um lucro de R$ 106. 4. - Relatório de Limites (Limits Report). - Relatório de Sensibilidade (Sensitivity Report). indica o tipo de problema de otimização tratado. . que trata da análise e interpretação destes relatórios.51 Caso escolha os três relatórios e dê OK. A segunda parte do relatório relaciona os valores ótimos para as variáveis de decisão (células ajustáveis). A primeira parte. e o valor original e final da função objetivo. Observe-se que. são eles: - Relatório de respostas (Answer Report). Figura 8 – Apresentação do Relatório de Resposta do Solver.00. A coluna de valores das células indica os valores das constantes (RHS) de cada uma das restrições. indicando que se atingiu o limite da restrição de horas necessárias (para conferir basta substituir os valores de solução ótima para pneus Premium e para pneus Regular na inequação referente à restrição de horas Máquina A). Observa-se que a restrição referente à disponibilidade de horas Máquina A apresenta folga igual a zero.A primeira refere-se às mudanças que podem ocorrer nos coeficientes das variáveis de decisão da função objetivo. Figura 9 – Apresentação do Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver. abaixo. Da mesma forma.A segunda refere-se as possíveis alterações que as constantes das restrições podem sofrer. . para a restrição de horas Máquina B. O relatório de análise de sensibilidade do problema em questão é apresentado na Figura 9.52 A terceira parte do relatório diz respeito às restrições. pode-se constatar que. Pode-se interpretar os Custos Reduzidos como sendo: . As informações importantes mostradas nesse relatório são os Custos Reduzidos (“Reduced Cost”) e o Preço Sombra (“Shadow Price”). se atingiu o limite da restrição de horas. O relatório de sensibilidade está dividido nas seguintes partes: . também. A última coluna transigência (slack) indica a folga ou excesso de disponibilidade de recursos. Mostra. . . . a penalização a ser paga é zero. for aumentada na qual o valor for aumentada na qual o valor Caso o custo adicional da hora Maquina A e da hora Máquina B seja de R$1. para o problema de alocação de recursos da empresa pode-se concluir sobre o Preço Sombra: . . uma vez que as duas alternativas já fazem parte da solução ótima (deve-se produzir nove unidades de pneu Premium e duas unidades de pneu Regular). da função objetivo será aumentado de R$ 2. dado um aumento de uma unidade adicional do recurso disponível. uma vez que a função objetivo será aumentada de R$ 2. pois as duas alternativas fazem parte da solução ótima.4667). Ilha da Magia.00. Os valores do Preço Sombra (“Shadow Price”) podem ser interpretados da seguinte forma: .53 - - A quantidade que o coeficiente da função-objetivo deve melhorar para que aquela alternativa faça parte da solução ótima do problema. Portanto.00 (obtendo-se um lucro adicional de R$1.A quantidade pela qual a função objetivo altera dado um incremento de uma unidade na constante da restrição. por exemplo. ou seja.4667. do ponto de vista econômico.0667.Se a restrição disponibilidade de horas Máquina B de 42 para 43 unidades. Da mesma forma.O aumento na função objetivo se aumentado de um o limite da restrição.Se a restrição disponibilidade de horas Máquina A de 36 para 37 unidades. tem-se uma nova solução. tem-se uma nova solução. deve-se somente contratar horas Máquina B.4667 e o custo será de R$1. A penalização a ser paga por se introduzir uma unidade de uma alternativa que não deve fazer parte da solução ótima. da função objetivo será aumentado de R$ 0. Observe que o lucro das alternativas de produção não precisa melhorar nada (Custo Reduzido igual a zero). até quanto estaria-se dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso. Foi tomado como exemplo o problema da empresa Ilha da Magia. É também conhecido por preços marginais. para solução dos problemas lineares. . incompatível com o resultado esperado. Indica quanto se deixa de ganhar ou perder por adotar alternativa diferente da indicada pela solução ótima.54 Glossário Preço sombra (“shadow price” ou “dual price”). Indica quanto se deixa de ganhar ou perder por não se dispor de mais uma unidade de determinada variável restritiva. a utilização da ferramenta Solver do Excel® facilita a resolução de problemas de otimização. e. Acontece nos modelos em que o conjunto de restrições apresentam contradições entre si. dos relatórios emitidos pelo Solver. é uma ferramenta ou suplemento do software Microsoft Excel® que. Síntese Para os alunos e profissionais da administração. Acontece nos modelos em que a funçãoobjetivo pode atingir valores infinitos ou zero. não devendo necessariamente ser implementada. utiliza o método simplex. Reduzido custo (“reduced cost”). ou seja. Solver. preencher os parâmetros do Solver. Problema mal dedinido (“unbounded”). Segundo Moreira (2007). para obtenção da solução e para a realização das análises e interpretações pós-otimização. Problema não-solúvel (“infeasible”). A solução ótima serve de referência para a tomada de decisão. A obtenção da solução para determinado modelo é feita em duas etapas: primeiramente. num segundo momento. deve-se entrar com os dados na planilha e das fórmulas. entretanto. O problema consiste em determinar quanto fabricar de cada produto com o objetivo de maximizar a margem de contribuição total (MCT). como mostra a Tabela 2. Departamento Capacidade máxima em homenshora A B C 160 120 280 A margem de contribuição do Produto 1 é de R$ 1.5 X2 c) Definição das Restrições do Problema . A empresa consegue vender todos os produtos.Capacidade máxima em horas do departamento B 1X1 + 2X2 ≤ 120 . Departamento A Departamento B Departamento C 2 2 1 2 4 2 Produto 1 Produto 2 Cada departamento.Capacidade máxima em horas do departamento C 4X1 + 2X2 ≤ 280 .Capacidade máxima em horas do departamento A 2X1 + 2X2 ≤ 160 .00 por unidade e a do Produto 2 é de R$ 1. Modelagem do problema da Calçados Ltda a) Definição das variáveis de decisão X1 = Quanto deve produzir de Sapato Tipo 1 X 2 = Quanto deve produzir de Sapato Tipo 2 b) Definição da Função Objetivo Max MCT = 1 X1 + 1. Tabela 2 – Capacidade produtiva dos departamentos. Tabela 1 – Tempo de fabricação em horas por unidade. Cada produto passa por três departamentos e os tempos de fabricação requeridos encontram-se na Tabela 1. tem uma capacidade fixa de homens-hora por mês.50 por unidade.55 Exercícios propostos 1) A Calçados Ltda de Barreiros fabrica os produtos Sapato Tipo 1 e Sapato Tipo 2. Restrição Lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Pede-se: Resolva este problema através do Solver do Excel®. as etapas de resolução. apresentando.56 . . passo a passo. . Illinois.1 Desenvolvendo o Problema da Empresa de Bolas 5.57 5. Industrial e Extended para rodar no ambiente Windows. Analisar a solução final obtida com o propósito de otimizar a alocação de recursos da empresa. EUA. quadrática ou inteira. 1999. O objetivo deste capítulo é apresentar um exemplo de como proceder à entrada de dados no Lindo. Darci Santos do.2 Análise do Resultado 5. MG: Editora de Desenvolvimento Gerencial.3 Análise de Sensibilidade O software Lindo® foi desenvolvido pela Lindo Systems Inc. Belo Horizonte. 5 Notas de aula baseada em: PRADO. estando disponível nas versões Demonstração. a obtenção da solução e a interpretação dos relatórios emitidos pelo Lindo. Super. RESOLVENDO PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO UTILIZANDO O SOFTWARE LINDO®5 LINEAR Objetivos de aprendizagem Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização do software Lindo. de Chicago. para a resolução de modelos de programação linear. utilizaremos o problema de modelagem de número (3) da lista de exercício proposta aos alunos da disciplina de Introdução à Pesquisa Operacional. Para tanto. Seções de estudo 5. Programação Linear. para problemas envolvendo programação linear. Hiper. 00 e o lucro unitário de P2 é de R$150. devendose digitá-los conforme apresentado na Figura 1. apresenta-se o significado de alguns comandos.58 5. Figura 1 – Entrada de dados no Lindo®. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa”. Na Tabela 1 abaixo. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). . As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. O lucro por unidade de P1 é de R$100. para ser modelado.1 Desenvolvendo o Problema da Empresa de Bolas Considere o problema de número 3. Observa-se que se pode iniciar a digitação de cada linha em qualquer coluna e utilizar o sinal < para ≤. A entrada de dados é realizada na primeira tela fornecida pelo Lindo®. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. “Certa empresa fabrica dois produtos. apresentado anteriormente no capítulo 2.00. Resolver o problema Figura 2 – Opções de resolução do problema através do Lindo®. como por exemplo. aparece uma tela perguntando se é para emitir ou não o relatório de análise de sensibilidade. no menu principal. pois inicia-se com ! Comando para maximizar uma função Informa que a seguir tem-se o conjunto de restrições Finaliza o modelo Depois da entrada de dados no Lindo.ltx. indique o diretório e escolha um nome para o arquivo. apresentada a seguir. Veja a Figura 3. Bolas. é recomendável “salvar”. e clique em Save as. Observe que este arquivo poderá ser lido pelo Word ou outros editores de texto.59 Tabela 1 – Significado de comandos adotados para a entrada de dados na tela inicial do Lindo. Após executar a solução. Na seqüência. ou clicar diretamente no ícone Solve (botão que contem um alvo). Para resolver o problema pode-se clicar em Solve. . Para isto. acesse File. Linhas !Exercício (3) sobre Problemas de Modelagem Max st end Significado Linha de comentário. no menu principal. pode ser observado na Figura 4. clicar em Close para poder visualizar os relatórios. Os relatórios de solução e de análise de sensibilidade. . obtido pelo software Lindo®.60 Figura 3 – Telas que aparecem após a execução do modelo. então. significa que foi encontrada uma solução otimizadora. Feita a opção. Como o Status é Optimal. Pode-se. aparece outra tela contendo um resumo do resultado. um alerta caso o modelo apresente algum problema. . pode ser observado na Figura 5. O gráfico contendo a solução ótima para o problema proposto. O software Lindo possui vários recursos adicionais. e as opções de visualização das telas do Lindo. na Figura 6.61 Relatório de solução Relatório de análise de sensibilidade Figura 4 – Relatório de solução e de análise de sensibilidade obtido pelo software Lindo®. 62 Figura 5 – Gráfico contendo a solução ótima do problema proposto. as opções: . Existem. . uma tela ao lado da outra.com visualização em cascata.com visualização na vertical. Figura 6 – Opções de visualização das telas do Lindo®. . na horizontal. ainda. Atenção!! A Figura 6 ilustra a opção. 63 Para poder visualizar. a tela de entrada e a tela contendo os relatórios do Lindo. finalmente. simultaneamente. no segundo vértice do método simplex.2 Análise do Resultado Depois de obtida a solução do modelo. ou seja. ainda. Considerando-se a apresentação de resultados acima pode-se observar o seguinte: A expressão “lp optimum found at step 2”. indica que o algoritmo simplex encontrou a solução ótima no segundo passo. o Lindo® apresenta o quadro de resultados mostrado a seguir: Valor da função Custo reduzido Folga ou Preço sombra ou Figura 7 – Apresentação de resultado após a execução de um modelo sem erros.000. indica o valor máximo encontrado para a Função Objetivo. deve-se clicar em “Window”. A linha com o número (1). ou seja. a opção de visualização em “Cascade” (aparece em cascata). como é apresentado na Figura 4. Existe. Ver Figura 8 apresentada a seguir. no menu principal. optar por visualização horizontal. . um valor de lucro de R$ 6. depois em “Tile” (aparece uma ao lado da outra) e.00. 5. Observa-se que. Pode-se realizar a seguinte interpretação: . Observa-se que a linha (2) refere-se à restrição de horas necessárias e as linhas (3) e (4) referem-se às restrições de demanda de mercado para o produto P1 e P2. Solução ótima Figura 9 – Valor das variáveis de decisão e Custo reduzido de cada variável. nesse caso.64 Máximo valor de lucro Figura 8 – Valor da função objetivo Os valores ótimos para as variáveis de decisão podem ser visualizados na Figura 9. pode-se interpretar o Custo Reduzido de variável como sendo a redução no lucro obtido com a introdução de uma unidade daquela variável na solução. Figura 10 .A primeira coluna nos indica as linhas correspondentes a cada uma das restrições de nosso problema. Na Figura 10.Folga ou excesso de recursos e valor do preço sombra (preço dual) de nosso problema. Entretanto. . apresentam-se os resultados de folga ou excesso de recursos e do preço sombra (preço dual) de nosso problema. deve-se enfatizar que o Custo Reduzido somente é válido em uma determinada faixa de valores (como veremos quando tratarmos do assunto Análise de Sensibilidade). a quantidade a ser produzida de bolas de futebol (P1) deve ser de 15 e de bola de vôlei (P2) deve ser de 30 unidades. Em relação a última coluna. abaixo. 3 Análise de Sensibilidade O relatório de sensibilidade tem o formato apresentado a seguir e pode ser obtido durante a solicitação de resultados (solver) ou a qualquer momento. tem-se uma nova solução. para a linha (3). clicar em Reports.65 Figura 11 – Relacionando a função objetivo e as restrições da tela de entrada de dados com as linhas do relatório de solução. 5. Da mesma forma. Observa-se que a linha (2) apresenta folga igual a zero. na qual o lucro será aumentado de R$50. deve-se ativar a tela de entrada de dados. indicando que se atingiu o limite da restrição de horas necessárias (para conferir basta substituir os valores de solução ótima para P1 e para P2 na inequação referente à restrição de horas). se a restrição disponibilidade de horas for aumentada de 120 para 121 unidades. e clicar em Range. . Portanto. pode-se constatar que para a restrição de demanda de mercado para o produto P1 tem-se uma folga de 25 unidades. A última coluna apresenta os valores para o Preço sombra (Dual Prices) que representa o aumento na função objetivo se aumentar de um o limite da restrição. - - A segunda coluna indica a folga ou excesso de disponibilidade de recursos. Neste último caso. no menu principal.00. Isto porque o plano ótimo prevê uma produção para P1 de 15 unidades enquanto que a restrição de demanda de mercado é de 40 unidades. um de cada vez. os limites estão entre 150 – 0 = R$150. e. na qual se tem a informação de que o coeficiente fornecido foi de R$100.00 (o aumento permitido é zero). nas seguintes. e para os limites das restrições. Na segunda coluna. Figura 13 – Análise dos coeficientes da função objetivo. . temos as colunas de “allowable increase” e “allowable decrease” desses coeficientes.66 Figura 12 – Apresentação do relatório de sensibilidade do Lindo®.00 (o decréscimo permitido é 100) mantendo-se a mesma solução ótima (ou seja. ver a Figura 14. sem que a solução ótima seja alterada. Portanto. considerando-se a linha para X1. ver a Figura 13. A expressão “ranges in which the basis is unchanged” indica a faixa de valores para os quais a solução fica inalterada para os coeficientes das variáveis da função objetivo.00 e infinito. Essas últimas colunas indicam o intervalo pelos quais os coeficientes da função objetivo podem sofrer alterações.00 e que este coeficiente pode variar entre 100 – 0 = R$100. X1=15 e X2=30). pode-se observar os coeficientes da função objetivo e. 100 – 100 = R$0. Para o caso de X2. temos uma disponibilidade de horas de 120 (RHS). Aprende-se a gerar o gráfico contendo a solução ótima para o problema proposto e a utilizar as opções de visualização das telas do Lindo®. Considerando que o Preço Dual para a restrição disponibilidade de horas é R$50. ver a Figura 10 desta seção. Admitindo-se. para servir como exemplo. O software Lindo possui vários recursos adicionais. a obtenção da solução e a interpretação dos relatórios emitidos pelo Lindo®. precisa-se descontar do ganho adicional por hora contratada esse valor de seu custo. seja de R$20.00. para que a interpretação feita anteriormente para o Preço Dual permanecesse válida. Na Figura 14.00. o acréscimo no máximo lucro será de R$1. significando que se pode aumentar o limite em 120 + 50 = 170. pode-se analisar os limites das restrições. Portanto. também conhecidos como RHS (righthand side ranges). para problemas envolvendo Programação Linear.500. Síntese Nesta unidade aprendeu a como proceder à entrada de dados no Lindo. É de se ressaltar a facilidade para a obtenção da solução através deste software Lindo®. tem-se um acréscimo permissível de 50. para que tenha um acréscimo total no valor da função objetivo de R$2. Segundo a terceira coluna. ao final. por exemplo. que o custo da contratação da hora adicional.67 Figura 14 – Análise dos limites das restrições.00.00.500. . Foi utilizado o exemplo da Empresa de Bolas. Nesse caso. o problema de modelagem de número (3) do capítulo 2. a Empresa de Bolas poderá contratar em até 50 unidades de horas. Considerando-se a linha (2). na sua produção.68 Exercícios propostos 1) Considere o Problema de Alocação de Recursos de uma fábrica de computadores. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? A seguir. produz dois modelos de computador: A e B. Uma fábrica de computadores. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. Depois de obtida a solução do problema de programação linear da questão (1). Figura 1 – Entrada de dados no Lindo®. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno. 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco.00. O modelo A fornece um lucro de R$ 200. o software Lindo® apresentou o seguinte quadro de resultados. . um gabinete pequeno e uma unidade de disco.00 e B de R$ 300. apresenta-se a modelagem e a entrada de dados para esse problema. O modelo A requer. localizada em Florianópolis. . Considerando-se a apresentação do relatório acima.69 Figura 2 – Apresentação de resultado do software Lindo® após a execução do modelo. faça uma análise e interpretação dos resultados. abaixo apresentamos a entrada de dados no Lindo. provavelmente.3. negociar a contratação de horas de trabalho a um custo de R$ 10. O gerente de finanças advertiu que. A firma pode obter um suprimento de 4. Pede-se: a) Faça uma análise e interpretação dos relatórios emitidos pelo Lindo deste problema. Pergunta-se: deveria a Empresa Beta Ltda reconsiderar sua estratégia em termos de plano de produção e qual o aumento de lucro total esperado? . Deveria a direção da empresa contratar trabalho? Em caso positivo. O gerente de recursos humanos pode. uma incerteza recente no mercado para o produto P1. pergunta-se: deveria a Empresa Beta Ltda reconsiderar sua estratégia em termos de plano de produção? b. o relatório de solução e o relatório de análise de sensibilidade. em que quantidade? b. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção.100 6 12 800 P2 1. P2 e P3.200 4 6 600 P3 600 6 2 600 Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. pode baixar sua lucratividade em 10%.. Produto Lucro por unidade Horas de trabalho Horas de uso de máquinas Demanda máxima P1 2. A vice-presidência da empresa juntamente com a gerência de mercado estima um aumento de 100% na demanda para os produtos P1 e P3. escolheu três produtos P1.00/hora. Com objetivo de facilitar. Se isto acontecer. a empresa Beta Ltda. a gerência formulou as seguintes perguntas: b. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período.2.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.70 2) Considere um dos problemas modelados na lista de exercício proposta aos alunos da disciplina de introdução à Pesquisa Operacional: No programa de produção para o próximo período.200 horas de trabalho. b) Admita que durante a apresentação dos resultados.1. Figura 2 – Relatório de solução .71 Figura 1 – Entrada de dados no Lindo®. 72 Figura 3 – Relatório de análise de sensibilidade Vale a pena conferir!! Informações sobre o Lindo®.com/ .lindo. podem ser encontradas em: http://www. com "free download" de versão DEMO. como uma vinícola brasileira decide o fluxo de transporte das caixas de vinho de suas fábricas aos diversos pontos de demanda? Deve-se desenvolver um plano de transporte ou de distribuição. desde as instalações de produção até os mercados consumidores.73 6. Caso de Sistemas Não Equilibrados e da Impossibilidade de Transporte A determinação do melhor plano de transporte de bens.4. em que se estabeleça o número ou quantidade a ser transportada desde cada instalação de produção até cada mercado consumidor. Estas quantidades a serem transportadas não podem exceder a capacidade das instalações de produção e devem satisfazer a demanda dos clientes.3.5. Método de Aproximação de Vogel (VAM) 6. Programação Linear 6. PROBLEMAS DE TRANSPORTES Objetivos de aprendizagem Determinar os fluxos de transportes em rotas que ligam várias regiões de oferta (fontes) a várias regiões de demanda (destinos). Seções de estudo 6. sendo que. Para . com o objetivo de minimizar o custo total de transporte na rede. o melhor programa minimiza os custos totais de transporte. Estudo de Caso: Planejamento de Transportes de uma Vinícola 6. Resolver problemas de transporte por meio da utilização da Programação Linear. com freqüência. do Método de Aproximação de Vogel e da Regra do Canto Noroeste.2. constitui-se entre os muitos problemas que enfrenta um administrador. Por exemplo. Regra do Canto Noroeste 6.1. A demanda dos clientes. O transporte em cada uma das rotas. Uma representação geral do problema de transporte pode ser visualizada na Figura 1. localizadas em Florianópolis e Salvador e três destinos (mercados) para os quais ele pode ser transportado. precisa-se das seguintes informações para desenvolver o modelo de transportes: . deve ser planejado de modo a se obter o mínimo custo total de transporte. de determinado produto.Os custos de transporte da fábrica até o cliente. . indicadas pelas setas. . Observe a existência de duas fontes (fábricas). . com duas fontes e três destinos.74 tanto. Figura 1 – Situação típica de um problema de transporte.A capacidade das fábricas. 75 O modelo de Programação Linear, para o problema de transporte, pode ser formulado da seguinte maneira: m Minimizar Z = n ∑ ∑ cijxij i=1 j=1 Sujeito a: n ∑ xij = ai j=1 m (para todo i = 1, 2, ...,m) ∑ xij = bj (para todo j = 1, 2, ...,n) xij ≥ 0 (para todo j = 1, 2, ..., n) i=1 Onde: - xij é o número de quantidades transportadas da fonte (fábrica) i para o destino (mercado) j; - cij é o custo de transportar uma unidade do produto da fábrica i para o mercado j; - ai é a capacidade instalada da fábrica i; - bj é a demanda do produto no mercado j; - n é o número de destinos ou mercados do produto; - m é o número de fontes ou fábricas do produto. Para que o modelo acima tenha solução, deve-se verificar a seguinte equação de balanço: n m j=1 i=1 ∑ ai = ∑ bj Observe que este é o caso em que o montante ofertado é exatamente igual ao total demandado, ou seja, o problema está balanceado (oferta = demanda). 76 6.1. Estudo de Caso: Planejamento de Transporte de uma Vinícola A Vinícola Itália possui três instalações de produção de vinhos finos localizadas em Florianópolis, Curitiba e Bento Gonçalves. A capacidade de produção mensal de Florianópolis é de 5.000 caixas, enquanto que Curitiba e Bento Gonçalves possuem, respectivamente, 10.000 e 12.000 caixas de vinho. As caixas de vinho da Vinícola Itália são vendidas em duas lojas localizadas na cidade de Porto Alegre e de São Paulo. Os pedidos mensais desses vendedores são de 10.000 unidades para a loja de Porto Alegre e de 17.000 unidades para a loja de São Paulo. O custo de transporte de uma caixa de vinho desde cada fábrica de embarque até cada uma das lojas pode ser observado na Tabela 1. Tabela 1 – Custo de transporte em R$/unidade. Lojas Plantas Porto Alegre São Paulo 10 12 Florianópolis 20 8 Curitiba 6 15 Bento Gonçalves Qual deveria ser a programação de sua frota de entregas para minimizar os custos de transportes? Esse tipo de programação pode ser otimizado usando modelos de pesquisa operacional, como programação linear e o algoritmo dos transportes. Inicialmente, apresentamos o desenvolvimento da modelagem e solução obtidas por programação linear. Nas seções seguintes, apresentamos a solução deste problema obtida pelo Método de Aproximação de Vogel e pela Regra de Canto Noroeste. 6.2. Programação Linear Para obter a solução dos problemas de transportes deve-se inicialmente realizar a sua modelagem, identificando as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições. 77 Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão X11 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Florianópolis para Porto Alegre; X12 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Florianópolis para São Paulo; X21 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Curitiba para Porto Alegre; X22 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Curitiba para São Paulo; X31 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Bento Gonçalves para Porto Alegre; X32 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Bento Gonçalves para São Paulo; b) Função objetivo Custo total: C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32 Função objetivo: Min C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32 c) Definição das restrições do problema - Oferta de Florianópolis X11 + X12 = 5000 - Oferta de Curitiba X21 + X22 = 10000 - Oferta de Bento Gonçalves X31 + X32 = 12000 - Demanda de Porto Alegre X11 + X21 + X31 = 10000 - Demanda de São Paulo X12 + X22 + X32 = 17000 - Lógica X11 ≥ 0; X12 ≥ 0; X21 ≥ 0; X22 ≥ 0; X31 ≥ 0; X32 ≥ 0 6.2.1 Solução de Problemas de Transportes com o uso do Software Excel® O software Excel pode ser utilizado para resolver os problemas de transporte, assim como aprendesse a empregá-lo para resolver os problemas de programação Um exemplo da fórmula . as relações matemáticas das restrições. na segunda tabela. Figura 1 – Entrada de dados na planilha Excel® e fórmula empregada para representar a função objetivo – minimizar o custo total de transportes Na seqüência deve-se digitar. Pretende-se demonstrar sua utilização tomando por base o caso da Vinícola Itália. nas células marcadas com o título “Fabricado” e “Entregue”. representam os valores de custos unitários de transporte de cada uma das rotas e as células B9 a C11. A fórmula para o valor da função objetivo aparece digitada na célula C15.78 linear. para minimizar o custo total de transportes. representam as variáveis de decisão deste problema. Observe também que as células B4 a C6. na primeira tabela. podem ser visualizadas na Figura 1. a) Entrada de Dados e Fórmulas na Planilha A entrada de dados na planilha Excel® e fórmula empregada para representar a função objetivo. “Igual a“. b) Programação do Solver A janela parâmetros do solver. é mostrado na Figura 2. “Células variáveis” e “Submeter às restrições”. . podem ser visualizados na Figura 4. Um exemplo da fórmula referente à restrição de demanda de Porto Alegre. Figura 2 – Fórmula referente à restrição de oferta. informar todas as células que contém os elementos do modelo. na célula B12. na célula D9. O preenchimento dos campos “Definir a célula de destino”.79 referente à restrição de oferta de Florianópolis. é mostrado na Figura 3. Figura 3 – Fórmula referente à restrição de demanda. .80 Figura 4 – Parâmetros do Solver para o problema de transportes da Vinícola Itália. da ferramenta Solver. Figura 5 – Solução do problema de transporte da Vinícola Itália. Antes de acionar o comando “Resolver”. O resultado da otimização é mostrado na Figura 5. assumir modelo linear e a não negatividade para as variáveis de decisão. deve-se ir em “Opções”. Os valores das variáveis de decisão indicam que a vinícola deverá transportar 5.00.00. 10. O Relatório de Sensibilidade apresentado pelo Solver pode ser visualizado na Figura 7.000 caixas de Curitiba para São Paulo. Caso isto ocorra. não se deve transportar nenhuma caixa de vinho de Florianópolis para São Paulo e nem de Curitiba para Porto Alegre. Observe que o mínimo custo de transporte possível. é R$230.000.00 e R$21. 10. .000 caixas de Bento Gonçalves para São Paulo. As informações importantes a serem analisadas referem-se ao Custo Reduzido. dada as condições deste problema. respectivamente. o custo total de transporte terá um aumento de R$7.000 caixas de vinho de Florianópolis para São Paulo. Figura 6 – Relatório de resposta para o problema da Vinícola Itália.81 c) Análise dos Resultados O relatório de resposta para o problema de transportes da Vinícola Itália é mostrado na Figura 6.000 caixas de Bento Gonçalves para Porto Alegre e 2. Pode-se interpretar os Custos Reduzidos como sendo a penalidade a ser paga por se introduzir uma unidade de uma alternativa que não deve fazer parte da solução ótima. Portanto. Figura 8 – Entrada de dados no software Lindo®. devendose digitá-los conforme apresentado na Figura 8. 6.2. . abaixo.82 Figura 7 – Relatório de Sensibilidade para o problema da Vinícola Itália.2 Solução de Problema de Transporte com o uso do Software Lindo® A entrada de dados é realizada na primeira tela fornecida pelo Lindo®. Nas próximas seções. sugere-se a leitura do Capítulo 5 e da Seção anterior 6. .83 O Relatório de solução apresentado pelo Lindo pode ser observado na Figura 9. aprende-se a utilizar alguns algoritmos especiais que foram desenvolvidos para encontrar a solução desses problemas. Normalmente produz melhores soluções. a solução ótima.3. Método de Aproximação de Vogel (VAM) O Método de Aproximação de Vogel (VAM – Vogel Aproximation Method) é uma rotina de cálculos que permite obter uma solução ao problema de transporte. freqüentemente.1. A matriz de transporte para o problema de transporte da Vinícola Itália pode ser observada na Tabela 1. Para realizar a análise e interpretação dos resultados. Figura 9 – Relatório de solução obtido pelo software Lindo®.2. e. 6. A idéia desse método é fazer o transporte com prioridade na linha ou coluna que apresenta a maior penalidade. Portanto. apresenta-se a descrição do método: a) Calcular os valores das penalidades de cada uma das linhas e colunas. subtraindo o menor valor cij do segundo menor valor naquela linha ou coluna cij.Matriz de transporte destacando a linha com maior valor de penalidade e a alocação máxima de caixas de vinho para a célula de menor custo desta linha. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades 10 12 Florianópolis 5000 2 20 8 10000 Curitiba 10000 12 6 15 Bento Gonçalves 12000 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4 4 . Por exemplo. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade 10 12 Florianópolis 5000 20 8 Curitiba 10000 6 15 Bento Gonçalves 12000 Necessidade 10000 17000 A seguir.Matriz de transporte para o problema de transporte da Vinícola Itália.84 Tabela 1 . Tabela 3 . a penalidade para a primeira coluna (Porto Alegre) é 4. escolha arbitrariamente) e aloque o máximo possível à célula de menor cij daquela linha ou coluna (assim as maiores penalidades são evitadas). na primeira coluna o menor valor de custo unitário de transporte é 6 e o segundo menor é 10. Tabela 2 . Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades 10 12 Florianópolis 5000 2 20 8 Curitiba 10000 12 6 15 Bento Gonçalves 12000 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4 4 b) Escolher a linha ou coluna com maior valor de penalidade (se houver empate.Matriz de transporte destacando o cálculo das penalidades. Matriz de transporte destacando a linha com maior valor de penalidade e a alocação máxima de caixas de vinho para a célula de menor custo desta linha. Tabela 5 . Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades 10 12 Florianópolis 5000 2 2 20 8 10000 Curitiba 10000 12 6 15 10000 Bento Gonçalves 12000 9 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4 4 4 3 e) Novamente. recalculando os valores das penalidades. escolha arbitrariamente) e aloque o máximo possível à célula de menor cij daquela linha ou coluna.Matriz de transporte destacando a eliminação da linha já completamente atendida e recalculando as penalidades. “eliminar” a linha ou coluna já completamente atendida e retornar ao passo “a”. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades 10 12 Florianópolis 5000 2 2 20 8 10000 Curitiba 10000 12 6 15 Bento Gonçalves 12000 9 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4 4 4 3 d) Novamente.85 c) “Eliminar” a linha ou coluna já completamente atendida e retornar ao passo “a”. escolher a linha ou coluna com maior valor de penalidade (se houver empate. Tabela 4 . . recalculando os valores das penalidades. tem-se: Custo total: C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32 C = 10(0) + 12(5000) + 20(0) + 8(10000) + 6(10000) + 15(2000) C = 23.Matriz de transporte destacando o balanceamento das células da coluna restante.86 Tabela 6 . multiplicando-se as quantidades a serem transportadas em cada rota pelo seu custo unitário de transporte.Matriz de transporte destacando a eliminação da linha já completamente atendida. . Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 12 5000 2 Curitiba 20 8 10000 12 15 12000 9 Bento Gonçalves 10000 Necessidade Penalidades 10000 4 4 10000 6 2 9 17000 4 3 f) Termine quando sobrar apenas uma linha ou coluna. apresentou o mesmo resultado encontrado através do Solver do Excel e do software Lindo.000 O custo total de transporte. Tabela 7 . segundo Método de Aproximação de Vogel. Assim. segundo Método de Aproximação de Vogel. balanceando-a. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 Curitiba 20 Bento Gonçalves 10000 Necessidade Penalidades 10000 4 4 6 5000 12 5000 2 10000 8 10000 12 2000 15 12000 9 2 9 17000 4 3 Pode-se calcular o custo total de transporte. com o cuidado de não violar as restrições de produção e capacidade. caminhe diagonalmente para a célula mais próxima).87 6. Tabela 2 - Matriz de transporte destacando eliminação de linha já completamente atendida e a alocação na célula adjacente da coluna. A seqüência deste procedimento pode ser visualizada nas Tabelas apresentadas a seguir.Matriz de transporte destacando alocação máxima de caixas de vinho na célula localizada no canto superior esquerdo da Tabela. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis Curitiba Bento Gonçalves Necessidade 5000 10 12 20 8 6 15 10000 5000 10000 12000 17000 b) Elimine a linha ou coluna já completamente atendida e caminhe para a célula adjacente da linha ou coluna “não eliminada” (se tanto a linha quanto a coluna forem atendidas ao mesmo tempo.4. Regra do Canto Noroeste Os procedimentos para obtenção de solução do problema de transporte segundo Regra do Canto Noroeste são os seguintes: a) Comece pelo canto superior esquerdo da Tabela e aloque o máximo possível para X11. Tabela 1 . Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis Curitiba Bento Gonçalves Necessidade 5000 10 12 5000 20 8 10000 6 15 12000 10000 17000 5000 . Matriz de transporte destacando eliminação de coluna já completamente atendida e a alocação na célula adjacente da linha. seria o caso da Regra de Canto Noroeste. ou seja. A adoção deste plano por parte da Vinícola Itália proporcionará um aumento de 60% em relação ao mínimo custo de transporte possível.000 A Regra de Canto Noroeste não apresentou uma solução de mínimo custo. um aumento de R$140. Assim. segundo Regra do Canto Noroeste. tem-se: Custo total: C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32 C = 10(5000) + 12(0) + 20(5000) + 8(5000) + 6(0) + 15(12000) C = 370. . Pode-se concluir o seguinte: não considerar os custos de cada uma das rotas e a adoção de um método não adequado de solução.000.88 Tabela 3 . Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis Curitiba Bento Gonçalves Necessidade Tabela 4 5000 10 12 5000 20 8 10000 15 12000 5000 6 10000 5000 17000 - Matriz de transporte destacando eliminação de linha já completamente atendida e a alocação na célula adjacente da coluna. multiplicando-se as quantidades a serem transportadas em cada rota pelo seu custo unitário de transporte.00. é estar propenso a tomar uma decisão que geraria ineficiências econômicas (e isso tem um preço!). Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis Curitiba 5000 10 12 5000 20 5000 8 10000 12000 15 12000 6 Bento Gonçalves Necessidade 10000 5000 17000 Pode-se calcular o custo total de transporte. 89 6.5. Caso de Sistemas Não Equilibrados e da Impossibilidade de Transporte Caso ocorram sistemas de transporte que não obedeçam à condição de equilíbrio entre oferta e demanda, criar uma origem ou destino fictício para que o balanceamento possa ocorrer. Por exemplo, se a oferta for maior que a demanda total, criar uma demanda fictícia com uma necessidade = oferta total – demanda total, com custos de distribuição nulos. Se a oferta total for menor que a demanda total, deve-se criar uma região de oferta fictícia. Outra maneira de se resolver o problema seria tratar as restrições pertinentes não mais como equações, mas, sim como inequações. As seguintes ações e interpretações podem ser realizadas quando existe um desequilíbrio entre a oferta e a demanda. Tabela 1 – Ações e interpretações para situações de Situação Oferta > Demanda Ação - buscar novos mercados ou destinos Interpretação - capacidade ociosa das fábricas desbalanceamento. Demanda > Oferta - criar nova fábrica ou fonte - necessidade não atendida Fonte: Adaptado de Lachtermacher (2002). Existe também a ocorrência da seguinte situação: determinado transporte de uma origem para um destino não possa ser realizado. Neste caso, pode-se colocar como custo de transporte naquela célula um símbolo M, que representa um número muito grande. Desta forma, evita-se esta célula trazendo como conseqüência à ausência daquele transporte. 90 Glossário Diagrama esquemático: um esquema usado para representar os diversos componentes de um problema. Problema de redes: um problema que se pode representar através de círculos e flechas que os conectam. Problema de transporte: o problema de determinar o plano de mínimo custo para o transporte de bens desde as instalações de produção até o mercado consumidor. Nós: um círculo num diagrama de redes que representa um aspecto importante de um problema, como por exemplo, a origem e o destino de bens em um problema de transporte. Arco ou ramo: uma linha que liga os “nós” em um diagrama esquemático, como por exemplo, identificando a possível rota de transporte de um determinado bem. A seguir, propõem-se alguns problemas para obtenção da solução (não necessariamente a ótima). Síntese Nesta unidade tratou-se das formas de representação e modelagem dos Problemas de Transporte, mostrando os métodos de solução por Programação Linear (através do Solver do Excel e do software Lindo), por Aproximação de Vogel e pela Regra de Canto Noroeste. No Problema de Transporte, existe a necessidade de distribuir bens e serviços de várias fábricas (regiões de oferta) para vários centros consumidores (regiões de demanda). O objetivo é, normalmente, minimizar o custo total de transporte entre as regiões. O Problema de Transporte é um tipo de problema de interesse especial para os administradores e comum de aplicação de Programação Linear. 91 Exercícios propostos 1) No quadro de transporte a seguir, a quarta linha mostra a necessidade nos destinos e, a quarta coluna, a disponibilidade nas origens. Os outros dados representam custos unitários de transportes das origens para os respectivos destinos. D2 D1 D3 Disponibilidades S1 10 15 20 40 S2 12 25 18 100 S3 16 14 24 10 Necessidades 50 40 60 Determinar o plano de transporte que minimiza o custo total das transferências, utilizando-se dos seguintes métodos: a) Método de canto noroeste; b) Método de Vogel para o cálculo da solução inicial. 2) O quadro a seguir apresenta a mesma disposição do problema (1). Resolva-o utilizando-se dos seguintes métodos: a) Método de canto noroeste; b) Método de Vogel para o cálculo da solução inicial. 92 D1 D2 D3 Disponibilidades S1 10 15 20 100 S2 12 25 18 80 S3 16 14 24 20 100 50 60 Necessidades 3) Deseja-se transportar bicicletas de três fábricas (1. Cada fábrica apresentou os seguintes níveis de estoque de bicicletas num determinado mês: Fábricas Bicicletas disponíveis (unidades) 1 200 2 150 3 300 Cada centro consumidor estará apto a receber as seguintes quantidades de bicicletas naquele mês: . 2 e 3) a três centros consumidores distintos (A. B e C). 93 Centro consumidor Demanda por bicicleta (unidades) A 100 B 300 C 250 Os custos de transporte envolvidos são os seguintes: Demanda A Demanda B Demanda C Fábrica 1 10 5 12 Fábrica 2 4 9 15 Fábrica 3 15 8 6 Qual será a quantidade de bicicleta a ser transportada entre cada fábrica e cada centro consumidor. de tal forma que as demandas de cada centro sejam supridas e que o custo total de transporte seja mínimo? . construir ou não construir.1 Problemas Típicos de Programação Inteira 7. Em muitas aplicações reais de pesquisa operacional. devido à imposição da restrição adicional dos resultados aceitáveis serem apenas inteiros. utilizar um veículo ou não.3 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Excel 7. Seções de estudo 7. PROGRAMAÇÃO INTEIRA Objetivos de aprendizagem Conhecer as principais aplicações dos problemas de programação inteira.4 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Lindo Os problemas de programação inteira. as soluções ótimas dos problemas de programação inteira têm valores inferiores às soluções dos problemas de programação linear equivalentes.2 Exemplo: Planejando uma Viagem de Acampamento 7. Como se pode imaginar. em realidade. de uma forma geral. do tipo fazer ou não fazer. investir ou não numa nova fábrica. e assim por diante. há necessidade de obtenção de resultados com valores inteiros. constituem casos particulares da programação linear. Obter a solução de problemas de Programação Inteira com o uso do software Excel e com o uso do software Lindo. .94 7. envolvendo programação de grande escala de instalações industriais e comerciais. Programação Inteira Mista: quando apenas uma parte das variáveis é do tipo inteiro. 7. os problemas de programação inteira poderão ser otimizados. por ordem crescente de importância.Programação Inteira Total: quando todas as variáveis de decisão são do tipo inteiro. . máquinas. tanto no sentido da maximização. como da minimização. Por exemplo. Fundamentalmente. a solução a ser obtida exige valores inteiros como resposta.Achar um percurso de menor distância para um vendedor que deve visitar cada uma de “n” cidades.Programação Inteira com Variáveis Binárias: quando as variáveis de decisão devem assumir os valores zero ou um. mas estes juntos excedem o limite de 60 quilos que ele supõe ser capaz de transportar.6 enfermeiros. começando e terminando sua viagem em uma cidade específica. aviões e tratores. a cada um dos itens.1 Problemas Típicos de Programação Inteira Algumas das principais aplicações dos problemas de programação inteira são apresentadas a seguir: .Problemas de alocação de pessoas ou de designação de tarefas enquadramse na categoria de Programação Inteira. Para ajudar a si próprio no processo de seleção dos itens. enquanto outras são do tipo contínuas. Pode-se alocar dois ou três na segunda-feira. Há cinco itens que o excursionista deseja levar consigo. . 7.95 De forma similar ao que ocorre com os problemas de programação linear. . ele atribuiu valores. as restrições poderão incluir tanto igualdades como desigualdades. conforme apresentado na tabela abaixo. estes problemas podem apresentar três tipos de programação inteira: . por exemplo. Igualmente.2 Exemplo: Planejando uma Viagem de Acampamento Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. no caso de alocar enfermeiros num hospital para os diferentes dias da semana. . . não sendo adequado alocar 2.Para um modelo de aquisição de equipamentos. 96 Tabela 1 .lógica X1.Pesos e Importâncias dos Itens do Excursionista Item a transportar 1 2 3 Peso em quilos 52 23 35 Importância para a Excursionista 100 60 70 4 15 15 5 7 15 A questão a ser resolvida é: quanto dos itens deve ser conduzido de forma a maximizar a importância sem exceder as restrições de peso do excursionista? Modelagem do problema a) Definição das variáveis de decisão X1 = quantas unidades devem ser transportadas do item 1 X2 = quantas unidades devem ser transportadas do item 2 X3 = quantas unidades devem ser transportadas do item 3 X4 = quantas unidades devem ser transportadas do item 4 X5 = quantas unidades devem ser transportadas do item 5 b) Função objetivo Maximizar (importância) I = 100X1 + 60X2 + 70X3 + 15X4 + 15X5 c) Definição das restrições do problema . X3 . X5 inteiros e . A tabela a seguir apresenta o cálculo da relevância de cada um dos itens que o excursionista pretende transportar.X5 ≥ 0 (restrição de não-negatividade). O fator crítico para se determinar se um item deve ser levado ou não é a relação do valor atribuído por quilo de peso. X1 . Esta relação será designada por relevância. X4 . X2. X3.restrição de peso 52X1 + 23X2 + 35X3 + 15X4 + 7X5 ≤ 60 . X4. X2 . . 00 Para se obter a solução inicial do problema. similar aquela já descrita para os problemas de programação linear. A fórmula utilizada na célula de destino (G4) pode ser também visualizada na Figura 1 acima. 7. Esta fórmula deverá ser copiada para a restrição de peso (G5).3 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Excel® A solução de problemas de programação inteira com o uso do software Excel® é. Uma das maneiras de modelar este problema utilizando a planilha Excel é apresentada na Figura 1.92 4 15 15 1. em tudo. 3 e 4. . Figura 1 – Modelagem do problema de planejamento de viagem da excursionista. Item Peso em quilo Valor Atribuído Relevância (valor/quilo) 2 23 60 2.14 3 35 70 2.97 Tabela 1 – Cálculos da relevância (valor/quilo) para cada um dos itens possíveis de serem transportados pelo excursionista.61 5 7 15 2. A definição do modelo na ferramenta Solver do Excel® pode ser observado nas Figuras 2.00 1 52 100 1. toma-se o maior número possível de itens (que não excedam o limite de peso) começando pelos mais relevantes. quando estivermos adicionando restrições. a coluna intermediária deve ter a opção “num” assinalada. Portanto. quando deverão ser usadas as opções NÚMERO para resultados inteiros das variáveis ou BINÁRIOS quando se desejar que as variáveis assumam valores zero ou um. O cuidado a ser tomado consiste no preenchimento da janela de Restrições do Solver do Excel®. . Figura 3 – Opções do solver. como pode ser observado na Figura 4.98 Figura 2 – Parâmetros do solver para o problema do excursionista. para interpretação. A seleção do item 1 implicaria a não seleção de outros itens com maior relevância. ou seja. Figura 5 – Resultado da otimização do problema do excursionista. para que possa maximizar a importância das alternativas a serem transportadas. deve-se observar que os relatórios de Sensibilidade e de Limites não devem ser considerados. o excursionista deverá levar 2 unidades do item (2) e 2 unidades do item (5). . Isto se deve a restrição de peso. Condicionado as alternativas e as restrições deste problema. O resultado da otimização é mostrado na Figura 5. maior valor por quilo de peso. Finalmente. em problemas que envolvam Programação Inteira. Pode-se observar que o item 1 com maior valor de importância não foi selecionado.99 Figura 4 – Janela com escolha de opção de variável inteira. X1 e X4 são inteiras) podem ser indicadas após o comando END. também.100 7. aquelas que sejam inteiras (por exemplo. Uma das maneiras de modelar este problema utilizando a planilha Excel é apresentada na Figura 1. deve-se destacar as variáveis inteiras com o comando GIN (de General Integer) seguida do número 5.4 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Lindo® A solução de problemas de programação inteira com o uso do software Lindo® é. No caso de Programação Inteira Mista. tal como de Programação Linear. similar aquela já descrita para os problemas de programação linear. da seguinte forma: GIN X1 GIN X4 . indicando que as cinco primeiras variáveis do problema são inteiras. Figura 6 – Exemplo de entrada de dados no Lindo® em problema de Programação Inteira Observe que após digitar o modelo. Leite 129 80 20 25 15 10 . valores em mil reais. a disponibilidade de capital a ser aplicado em cada projeto. portanto. Tabela 1 – Dados referentes ao problema de alocação de recursos em projetos a serem desenvolvidos pela Epagri. e todos os projetos apresentam valores presentes líquidos positivos. todos seriam candidatos a serem executados.Maçã 136 90 20 0 30 20 . dentre estes. mostrou-se como obter a solução de problemas de Programação Inteira com o uso do Software Excel® e com o uso do software Lindo®. Projeto Valor presente líquido Capital requerido em mil R$ (9%) Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 . em que as variáveis de decisão devem restringir-se a soluções inteiras. A empresa pré-selecionou quatro projetos e deve escolher. mas o problema em questão não (foi formulado com fins didáticos). através do exemplo “Planejando uma Viagem de Acampamento”.Ostra 117 50 30 40 0 20 Capital disponível 200 70 70 70 70 6 A Epagri é uma empresa real. quais deve priorizar. Os dados relevantes do problema. . Recomenda-se observar o seguinte: existe uma limitação no valor a ser investido anualmente. com uma restrição adicional dos números inteiros para as variáveis de decisão.Camarão 106 70 15 0 20 20 . A Epagri6 têm que planejar seus gastos de Pesquisa e Desenvolvimento para os próximos cinco anos. em cada um dos anos. tais como. mostrou-se que existe um considerável número de situações do dia-a-dia das empresas.101 Síntese Nesta unidade. Por fim. bem como o valor presente líquido de cada projeto. Exercícios propostos 1) Problema de Alocação de Recursos de Projetos. encontram-se na Tabela 1. Um problema de Programação Inteira pode ser visto como sendo um modelo similar ao de Programação Linear. Xi = 0. X4 binários (0 ou 1) Pede-se: resolva este problema fazendo uso do software Lindo e do Solver do Excel. b) Função objetivo Valor Presente Líquido: VPL = 106X1 + 129X2 + 136X3 + 117 X4 Função objetivo: Max VPL = 106X1 + 129X2 + 136X3 + 117 X4 c) Definição das restrições do problema .Disponibilidade de capital no Ano 5 20X1 + 10X2 + 20X3 + 20 X4 ≤ 70 . .Disponibilidade de capital no Ano 4 20X1 + 15X2 + 30X3 + 0X4 ≤ 70 . Maçã (3).102 Modelagem do problema a) Definição das variáveis de decisão Xi = 1.Disponibilidade de capital no Ano 1 70X1 + 80X2 + 90X3 + 50X4 ≤ 200 . se o projeto i não for selecionado. Ostra (4). Onde. X2 . Leite(2). X2 . X3. X4 ≥ 0 X1.Restrição lógica X1.Disponibilidade de capital no Ano 3 0X1 + 25X2 + 0X3 + 40X4 ≤ 70 . se o projeto i for selecionado.Disponibilidade de capital no Ano 2 15X1 + 20X2 + 20X3 + 30X4 ≤ 70 . i = Camarão (1). X3. No Jornal de Barreiros (JDB). A demanda por funcionários é fornecida na tabela abaixo.00 por domingo. R$ 55. um funcionário tem os mesmos dois dias de folga todas as semanas.Formule um programa linear que minimizará o custo total dos funcionários do Jornal de Barreiros (JDB) necessários para suprir as demandas diárias. .00 por sábado e R$ 60. Assim.103 2) Escala dos Funcionários do Jornal de Barreiros. Dia Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Demanda 34 26 30 38 28 32 22 Pede-se: . domingo e segunda-feira). Os números representam a quantidade total de funcionários que devem estar trabalhando nesse dia. os funcionários são escalados para cinco dias de trabalho seguidos por dois dias de descanso.Resolva este problema fazendo uso do software Lindo® e do Solver do Excel®. O custo dos funcionários é R$ 50. Essa demanda deve ser suprida ou excedida em cada dia. . escala esta repetida semanalmente.00 por dia útil. e esses dias são consecutivos (por exemplo. Vantagens do Uso da Simulação 8. Realizar simulações para criação de cenários alternativos para decisões. e na prática é visualizada com o uso de computadores devido à massa de dados a ser processada. com o uso do software Excel®.104 8. O uso moderno da palavra simulação tem sua origem em um trabalho de Von Newmann e Ulan (1940). Etapas de um Estudo na Realização de uma Simulação 8. o que nos permite testar algumas hipóteses sobre o valor das variáveis controladas.4.2. Aplicações de Simulação 8. Modelar processos empresariais que apresentem várias alternativas de soluções.3. . geralmente utilizando o computador. Simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema. com o auxílio de um modelo. quando eles associaram a expressão análise de Monte Carlo a uma técnica matemática para a resolução de problemas de blindagem em reatores nucleares.1. A simulação em sistemas que incorporam elementos aleatórios é denominada Simulação Estocástica ou de Monte Carlo. Modelagem e Resolução de Problemas de Simulação em Excel® A simulação de um sistema é a operação de um modelo que representa esse sistema. SIMULAÇÃO Objetivos de aprendizagem Compreender os conceitos básicos de simulação. Seções de estudo 8. ou seja. 8.1. um estoque de um produto. Atualmente.105 A simulação é uma técnica que. por exemplo. . podemos interagir com uma fábrica virtual.. usando o computador digital. a partir dos anos 80. o funcionamento de um supermercado. uma fábrica. procura imitar o funcionamento de um sistema real. Isto quer dizer que podemos visualizar.uma técnica de solução de um problema pela análise de um modelo que descreve o comportamento do sistema usando um computador digital”. um escritório. um semáforo tal como se fosse um filme passando na tela do computador. um banco. procura montar um modelo que melhor representa o sistema em estudo. Antes de efetuar alterações em uma fábrica real. A técnica de simulação visual. os modernos programas de computador permitem construir modelos nos quais é possível visualizar na tela o funcionamento do sistema em estudo tal como em um filme. um pedágio. “.. O conceito de simulação mais aceito atualmente é. segundo Prado (1999). um porto. Etapas de um Estudo na Realização de uma Simulação Um estudo de simulação pode ser desenvolvido segundo os passos apresentados na Figura 1. apresenta uma aceitação surpreendente em razão de sua maior capacidade de comunicação. do processo de recolhimento dos fatos e informações disponíveis. as relações entre as variáveis. levando em conta todas as relações importantes. dos recursos disponíveis e.106 Formulação do problema e coleta de dados Identificação das variáveis e das condições do sistema Construção do modelo Validação do modelo com dados históricos Não Modelo aprovado? Sim Elaboração de programa ou planilha de computador Realização dos experimentos de simulação Análise estatística dos resultados Figura 1 – Etapas da realização de uma simulação. para a construção do modelo se exige tanto arte como técnica. representar o funcionamento no mundo real. a seguir. da melhor forma. A construção do modelo consiste na formulação das equações que devem . deve-se definir os objetivos da simulação. tanto entre as chamadas variáveis endógenas quanto entre estas e as chamadas variáveis exógenas. Inicialmente. procede-se à coleta dos dados. as condições e as restrições do sistema para que se possa. devem ser identificadas as variáveis do problema. Na Segunda etapa. Fonte: Andrade (1998). Na etapa seguinte. a amplitude e profundidade que se quer da análise. ou seja. realizam-se os experimentos e análise estatística dos resultados. Aplicações de Simulação A simulação pode ser usada em situações em que é muito caro ou difícil o experimento na situação real. No mundo atual. deve-se elaborar um programa específico de computador. deve-se validar o modelo. antes de experimentar no sistema real. 8. Vantagens do Uso da Simulação - - - A simulação permite estudar e experimentar complexas interações internas de um dado sistema seja ele uma empresa ou parte da mesma. Normalmente. A experiência adquirida em construir modelos e realizar a simulação pode conduzir a uma melhor compreensão do sistema. A simulação pode ser usada para experiências com novas situações. Finalmente. Na quarta etapa. sobre as quais se tem pouca ou mesmo nenhuma informação. por representar adequadamente o sistema em estudo. ou dependendo do caso. A simulação de sistemas complexos pode permitir a descoberta das variáveis mais importantes do sistema e a forma como elas interagem. 8. Lotus. com objetivo de se reproduzir o desempenho do sistema obtido na realidade. uma planilha eletrônica do Excel.2. Através da simulação. o . com possibilidade de melhorá-lo. saber se ele atende aos objetivos da simulação. A simulação pode servir como um primeiro teste para se delinear nova políticas e regras de decisão para a operação de um sistema. etc.107 representar as inter-relações do sistema e no estabelecimento dos limites de variação dos resultados e valores.3. opera-se o modelo com dados históricos e condições conhecidas. podem ser estudadas algumas variações no meio ambiente e verificados seus efeitos no sistema total. com objetivo de se estimar o desempenho do sistema e suas possíveis variações. Caso o modelo seja aceito. ou seja. com o intuito de preparar a administração para o que possa acontecer. são inúmeras as aplicações da simulação que vão desde o cálculo do número de caixas em um supermercado. A área de tele processamento possui inúmeras opções de uso. e) Processamento de Dados A modelagem de filas tem sido amplamente utilizada pelas empresas que desenvolvem computadores e pelas universidades de modo a se medir a produtividade ou o tempo de resposta de certo sistema de computadores e terminais. um banco. para atender a legislação no que diz respeito ao tempo de espera na fila. c) Comunicações Pode-se modelar uma configuração ótima de uma rede de comunicações. podendo-se analisar os seguintes casos: Modificações em sistemas existentes. podem se utilizar desta técnica no estudo de seus complexos de comunicações. desde empresas manufatureiras até minerações. d) Hospitais. A próxima seção se ocupa de apresentar um exemplo de modelagem e de aplicação das planilhas eletrônicas no processo de tomada de decisão. escritórios. um navio. mas. O meio de transporte pode ser um automóvel. Planejamento de um setor de produção totalmente novo. bancos. o tráfego de uma cidade. etc. atualmente para os bancos esse dimensionamento é importante não só para melhor atender os seus clientes. por exemplo. a) Linhas de Produção Inúmeros cenários se encaixam neste item. Por exemplo. . supermercados. sem ter a pretensão de esgotar o assunto ou de mostrar todas as funcionalidades e possibilidades de aplicação. também. As empresas de telefonia. um caminhão ou uma empilhadeira. Podem dimensionar o número de atendentes ou de caixas de modo que as filas se mantenham abaixo de um valor especificado. um trem.108 dimensionamento de estoques. a produção em uma manufatura até o estudo de sincronização de sinais de trânsito de certa via. Definição da melhor política de estoques. b) Logística O cenário pode ser uma fábrica. O Caso da Fábrica de Pastéis e Pastelões Ltda7.00 .000x + 5.40 Custo fixo 7 Este exemplo baseia-se em Lachtermacher. os custos da matériaprima. onde x é o preço do pastel da empresa Pastéis e Pastelões e y é o preço médio dos pastéis vendidos pelos concorrentes. pode ser desenvolvido em planilha Lótus da Lótus IBM. fabrica pastéis de forno a partir de dois ingredientes básicos: massa semipronta e recheio congelado. por ser a mais popular no Brasil. Modelagem e Resolução de Problemas de Simulação em Excel® O objetivo desta seção é apresentar um exemplo de modelagem. Tendo em vista que o preço dos pastéis vendidos pela concorrência é uma variável fora do controle da empresa Pastéis e Pastelões.4. a qual se comporta segundo a seguinte equação: z = 15. somente o preço unitário do pastel vendido pela empresa configura-se como variável de decisão do problema. Assim sendo. A empresa pretende estabelecer um modelo de previsão de seu lucro operacional mensal. Quatro-Pro da Corel ou Excel da Microsoft. a seguir. 2002. R$6. os custos de processamento e os custos fixos são os parâmetros do modelo. resolução de um problema e análise de seus resultados através do uso da planilha eletrônica do Excel. a diretoria considera que o preço unitário do pastel e o preço médio praticado pela concorrência são os únicos fatores relevantes na determinação da demanda. o preço médio praticado pela concorrência. apresentados na tabela abaixo: Preço médio praticado pela concorrência (R$ por pastel) R$7.000.109 8. A empresa Pastéis e Pastelões Ltda.00 Custo unitário de processo (R$ por pastel) R$0. sendo que apresentaremos seu desenvolvimento em Excel.000 – 5. Considere ainda os seguintes dados. O Estudo de Caso. Desconsiderando a hipótese de alteração do tamanho e da qualidade dos pastéis.000y.30 Custo unitário do recheio (R$ por pastel) R$2.00 Custo unitário da massa (R$ por pastel) R$1. chega-se as variáveis de medida de desempenho. no entendimento da complexidade do modelo e na identificação das variáveis importantes. No Modelo Caixa Preta. . e. O Diagrama de Blocos mostra como a partir das variáveis exógenas e dos parâmetros. do outro lado. conforme é apresentado na Figura 3. Figura 2 – Modelo Caixa Preta da empresa Pastéis e Pastelões Ltda. O Modelo da Caixa Preta para o problema da empresa Pastéis e Pastelões pode ser observado na Figura 2. cria-se uma caixa central chamada modelo e apresentando de um lado da caixa as variáveis e os parâmetros de entrada. A sua construção requer um pouco mais de atenção. os fatores importantes para obtenção do resultado final. pois é preciso identificar as relações de causa e efeito entre as variáveis.110 Modelo Caixa Preta e Diagrama de Blocos Modelo Caixa Preta e Diagrama de Blocos são instrumentos úteis na organização do problema. As equações que regem o lucro da empresa podem ser escritas da seguinte forma: • Quantidade Demandada de Pastéis = 15000 – (5000 x Preço do Pastel) + (5000 x Preço Médio do Pastel Praticado pela Concorrência) • Custo de Processo = Quantidade Demandada de Pastéis x Custo Unitário de Processo .111 Figura 3 – Diagrama de Blocos da empresa Pastéis e Pastelões Ltda. Caixa Preta e Diagrama de Blocos. como se quer relacionar o preço com o lucro obtido. obter um modelo de previsão do lucro operacional mensal. a receita também varia em função do preço numa relação não diretamente proporcional. tem-se que examinar a relação entre preço e receita. Nesse caso. precisa-se deduzir todas as equações que regem o lucro da empresa. Como preço e a demanda varia numa relação inversa. opções e retirar linha de grade) e solicitar a exibição da barra de ferramentas do desenho ao Excel (clicar em exibir. deseja simular o lucro final que poderia obter a partir de várias hipóteses de preço. Para a construção de ambos os modelos. Equações Matemáticas A Empresa Pastéis e Pastelões Ltda. precisamos retirar as linhas de grade (clicar em ferramentas. Primeiramente. barra de ferramenta e solicitar desenho). considerando que o produto apresenta determinada elasticidade. transformar as relações entre variáveis em equações matemáticas. isto é. ou seja. por conseqüência. 112 • • • • Custo dos Ingredientes = Quantidade Demandada de Pastéis x (Custo Unitário da Massa + Custo Unitário do Recheio) Custo Total = Custo de Processo + Custo dos Ingredientes + Custo Fixo Receita = Preço do Pastel x Quantidade Demandada de Pastéis Lucro Operacional = Receita – Custo Total Definidas as equações matemáticas. a partir da alteração das variáveis de decisão. por exemplo. Representação de Equações no Excel® . conforme nos mostra a Figura 4. podemos modelar o problema na planilha Excel®. Assim. pode-se modificar o preço de venda do pastel e avaliar o impacto desta alteração no resultado final. Figura 4 – Entrada de dados na planilha e modelagem do caso de estudo. O motivo de se realizar a modelagem deste problema em planilha eletrônica é a facilidade de simulação de diversos resultados. o custo de processo do modelo inicial e a quantidade de pastéis produzidos estão apresentados na Figura 5. Figura 5 – Dados contábeis obtidos durante auditoria. O próximo passo é solicitar um gráfico de dispersão ao Excel®. . O gráfico resultante permite visualizar o erro do modelo para previsão do custo de processo. Para identificar a curva e sua função que melhor explique as relações entre variáveis.40 por pastel produzido como inicialmente havia-se assumido. b) escolher a curva que mais se assemelha ao desenho formado pelos dados reais. deve-se solicitar ao Excel a adição de uma linha de tendência (trend line). pode-se utilizar o Excel® para descobrir a equação que melhor representa o comportamento desta variável. A tabela contendo os dados contábeis obtidos no processo de auditoria representado pelo custo de processo real. do custo de processo real e do custo de processo do modelo. precisa-se criar uma tabela com os dados contábeis coletados durante a auditoria e com a previsão destes custos para diferentes níveis de produção de acordo com o modelo inicial. Para representar corretamente o comportamento de uma variável importante. Deve-se proceder da seguinte forma: a) clicar com o botão direito do mouse sobre os pontos dos dados reais representados no gráfico e selecionar a opção adicionar linha de tendência. Primeiramente. selecionando-se a coluna da quantidade de pastéis produzidos.113 Uma auditoria na fábrica de pastéis constatou que o custo unitário de processo é variável de acordo com o número de pastéis produzidos e não R$0. apresentamos nas Figuras 6 e 7. linear.6372. por exemplo. o comportamento da linha de tendência linear e exponencial para o caso em questão. através da análise gráfica. Os dados reais não formam uma reta perfeita e.7868x . deve-se solicitar diferentes tipos de linhas de tendência. Para possibilitar a comparação. 25000 Custos (R$) 20000 y = 0. logarítmica. respectivamente. sim. tais como. apresentam uma certa curvatura. . compará-las e escolher a melhor.9507 15000 10000 5000 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Quantidade Produzida de Pastéis Custo de Processo (R$) REAL Custo de Processo (R$) MODELO Linear (Custo de Processo (R$) REAL) Figura 6 – Comparação do real com o previsto pelo modelo original com adição de linha de tendência linear. polinomial e exponencial.7 R2 = 0. e. Assim sendo.114 c) solicitar na tela de opções que seja exibida a equação da curva adicionada. conforme apresentado na Figura 8. (Custo de Processo (R$) REAL) Figura 7 – Comparação do real com o previsto pelo modelo original com adição de linha de tendência exponencial.9967 15000 10000 5000 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Quantidade Produzida de Pastéis Custo de Processo (R$) REAL Custo de Processo (R$) MODELO Expon. . deve-se substituir a fórmula utilizada anteriormente pela equação exponencial encontrada.115 25000 y = 1305. Por conseqüência.5e9E-05x Custos (R$) 20000 R2 = 0. A linha de tendência exponencial é a que melhor se ajusta aos dados reais. sendo a que melhor representa o comportamento do custo de processo. 00 e decrescente após este nível de preço. uma vez que esta relação cresce até o preço de R$7. pode-se estabelecer os novos preços de venda ao longo das colunas. ser visualizada através de um gráfico. e. O procedimento é simples: copia-se as células com as fórmulas matemáticas em algumas colunas. também. pode-se verificar a alteração no lucro mensal para cada modificação no preço de venda do pastel. Análise de Sensibilidade Para o tomador de decisão é importante projetar o quanto e em que proporção o resultado final do modelo altera-se a partir de modificações dos valores das variáveis de decisão. A relação entre preço de venda e lucro mensal pode. Assim.116 Figura 8 . .Entrada de dados na planilha e modelagem do caso de estudo. com a equação de custo de processo ajustada para uma linha de tendência exponencial. a seguir. conforme pode ser observado na Figura 9. em que se pode observar que esse comportamento não é linear. 117 Figura 9 – Análise de sensibilidade do lucro operacional em relação ao preço. o preço de venda que gera um lucro mensal igual a zero. A partir do modelo definido anteriormente. ou seja. deve-se clicar em ferramentas e solicitar que o Comando Atingir Meta (ver Figura 10) ajuste a célula que contém o resultado de lucro mensal para o valor zero. . Figura 10 – Uso do comando “Atingir Meta” para determinação do ponto de equilíbrio do negócio da Empresa Pastéis e Pastelões. Ponto de Equilíbrio do Negócio É possível obter desse modelo no Excel®. o ponto de equilíbrio do negócio (Break Even Point). encontrando um valor para o preço de venda que se faça necessário para tal. simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema. verificou-se que. obtendo a solução e realizando a análise de seus resultados. Mais recentemente pode-se citar o uso dos jogos eletrônicos. qual o processo o analista deve seguir para encontrar o preço que proporciona o lucro máximo? . Como os modelos de simulação através do uso da computação podem ajudar? 3) No exemplo do modelo de simulação da Fábrica de Pastéis. foi exposto que é de longa data que a humanidade utiliza a simulação para representar situações do mundo real. as vantagens e as aplicações da simulação. Conheceu-se. na prática. 2) Os empresários possuem modelos mentais próprios para a tomada de decisão. a simulação envolve freqüentemente o uso de computador.118 Síntese Nesta unidade. pode-se citar a escultura e a pintura. as fases de estudo. Exercícios propostos 1) Dê exemplos de aplicação. no mundo dos negócios. do cinema e das manobras de guerra simuladas pelas forças armadas. Utiliza-se a planilha eletrônica do Excel para desenvolver o “Caso da Fábrica de Pastéis e Pastelões Ltda”. No mundo empresarial. conhecendo a sua modelagem. também. da técnica de simulação. Nesse caso. para estudar melhor suas propriedades. Por fim. PROGRAMAÇÃO PROJETOS: PERT-CPM8 E CONTROLE DE Objetivos de aprendizagem Elaborar o planejamento de um projeto. PLANEJAMENTO. L.2.119 9. . Seções de estudo 9. Caminho Crítico 9. Introdução à Pesquisa Operacional. Uma estimativa de quanto tempo o projeto consumirá.1998.3. Vantagens do uso da rede PERT/CPM - 8 Uma visão gráfica das atividades que compõem o projeto. A técnica mais empregada para planejar. O Estudo de Caso da Elaboração do Trabalho de Pesquisa Operacional Um projeto é formado por uma combinação de atividades inter-relacionadas que devem ser executadas em determinada ordem antes que a tarefa inteira seja completada. LTC. Uma visão de quais atividades é crítica para o atendimento do prazo de conclusão do projeto. 9. Baseado e adaptado de ANDRADE.1. Vantagens do uso da rede PERT/CPM 9. Montar a rede PERT e identificar as atividades que formam o caminho crítico. Rio de Janeiro. de. seqüenciar e acompanhar projetos é a técnica conhecida como PERT/CPM (Program Evaluation and Review Technique / Critical Path Method). E.1. identificando as principais atividades que devem ser programadas e controladas. O nome da atividade aparece em cima da seta e sua duração em baixo da seta. os quais são chamados de eventos. .2. pois caso tal fato ocorra. Caminho Crítico É a seqüência de atividades que possuem folga total nula e que determina o tempo total de duração do projeto. máquinas. o qual pode ser negociado no sentido de reduzir a aplicação de recursos. A direção da seta caracteriza o sentido de execução da atividade. o projeto como um todo sofrerá este atraso.As setas representam as atividades do projeto que consomem determinados recursos (mão-de-obra. conforme foram definidas pelo professor. A identificação do caminho crítico de um projeto é de fundamental importância. As atividades pertencentes ao caminho crítico são chamadas de atividades críticas. diferente das atividades. O Estudo de Caso da Elaboração do Trabalho de Pesquisa Operacional Considere o projeto de elaboração do trabalho de conclusão da disciplina de Pesquisa Operacional. já os nós representam o momento de início e fim das atividades. pois o administrador pode concentrar seus esforços para que estas atividades tenham prioridade na alocação dos recursos produtivos O objetivo da próxima seção é apresentar um exemplo de aplicação do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional. 9.Os eventos são pontos no tempo que demarcam o projeto e.3. etc. 9.) e/ou tempo. Tabela 1 – Etapas do projeto de elaboração do trabalho Atividade Definição Duração (Dias) . e conseqüentemente custos. visto que as mesmas não podem sofrer atrasos. A Tabela 1 mostra as atividades básicas do projeto. não consomem recursos nem tempo.Os nós são numerados da esquerda para a direita e de cima para baixo.120 - Uma visão de quanto tempo de folga dispõe nas atividades não-críticas. . Uma rede PERT/CPM é formada por um conjunto interligado de setas e nós. . 121 A B C D E F G Definição do tema Modelagem Texto preliminar Digitação Desenhos Revisão Correção e impressão 1 4 2 2 3 2 2 A Figura 1 mostra o Gráfico de Gantt do projeto. Atividade Dias 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 Definição do tema Modelagem Texto preliminar Digitação Desenhos Revisão Correção e impressão Figura 1 – Gráfico de Gantt para o projeto de elaboração do trabalho. Na construção de uma rede para o projeto de elaboração do trabalho de conclusão da disciplina de Pesquisa Operacional, deve-se acrescentar aos dados do projeto as informações de dependência das atividades, conforme mostra a Tabela 2. Tabela 2 – Etapas do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional. Atividade Definição Duração (Dias) Dependência A Definição do tema 1 B Modelagem 4 A C Texto preliminar 2 B D Digitação 2 C E Desenhos 3 C F Revisão 2 DeE G Correção e 2 F impressão A Rede PERT do projeto de elaboração do trabalho pode ser visualizada na Figura 2. A B C D F G 122 3 E Figura 2 - Rede PERT do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional. De uma maneira esquemática, tal seqüência de atividades pode ser representada conforme ilustrado na Figura 2. Note-se que só existe um nó inicial e um nó final, e que a atividade D terá uma folga de um dia, ou seja, ela pode começar no início geral das atividades ou até no segundo dia. O caminho crítico será, portanto: A→B→C→E→F→G Síntese Nesta unidade, estudou-se os métodos de planejamento e controle de atividades de um projeto, por meio da técnica PERT/CPM. Foi apresentado as vantagens do uso da Rede PERT/CPM e o conceito do Caminho Crítico. Para aprender a montagem da rede, a identificação do caminho crítico e do tempo de duração do projeto foi utilizado o exemplo de aplicação do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional. Atualmente, os problemas de planejamento e programação de projetos podem ser facilmente resolvidos com a utilização do software da Microsoft Project. 123 Exercícios propostos 1) Exame Nacional do Curso de Administração –1999. Num projeto de lançamento de um novo produto foi programado, com base na rede PERT abaixo, o tempo necessário para sua execução. Na qualidade de gestor do projeto, a qual seqüência de atividades você dispensaria maior atenção, objetivando não atrasar o lançamento do produto (caminho crítico)? (a) AF (b) BG (c) DH (d) BCH (e) BEF A F 5 3 E B 4 G 3 C D 2 6 2 H 3 2) Construa a rede PERT-CPM dos projetos e identifique as atividades críticas, considerando-se os dados dos projetos abaixo. a) Projeto (1) Tabela 1 – Dados do Projeto (1) Atividade Dependência A B C AeB D B E AeB F CeD G B Duração (Dias) 8 12 10 12 12 16 12 124 b) Projeto (2) Tabela 2 – Dados do Projeto (2) Atividade Dependência Duração (dias) A 10 B 6 C A 7 D B 5 E B 9 F CeD 5 G E 4 . . os nove capítulos deste livro tratam de temas considerados de importância fundamental dentro da Pesquisa Operacional e podem ser usados por você para dar solução a vários problemas dentro da área de negócios. entre outras. Acredite. e. através da abordagem computacional do texto. Aproximação de Vogel. podendo-se citar. Entretanto. Um abraço. . Espero ter mostrado a utilidade e o potencial da Pesquisa Operacional.125 Para concluir os estudos Parabéns! Você concluiu o estudo do conteúdo referente à disciplina de Pesquisa Operacional. isso é apenas o começo. Prof. utilizar técnicas que poderão ser úteis na sua vida profissional. Simulação e PERT/CPM. Finalmente. ao ensinar a utilização da planilha Excel e do software Lindo para solução de problemas diversos. Luis Augusto Araújo .. Teoria das Filas. espero que os conhecimentos adquiridos por você possam ter contribuído para: . Programação Inteira.melhorar a habilidade de seu pensamento lógico. também. Programação Dinâmica.e. Teoria dos Jogos.melhorar a habilidade quantitativa no entendimento e resolução de problemas na área de negócios. tais como a Programação Linear. O texto apresentado trata de várias técnicas de Pesquisa Operacional.. Existem outras técnicas que não foram desenvolvidas neste livro. aimms.Grupo de Pesquisa Operacional Aplicada à Área de Negócios.com/ . a seguir.cudenver.O CNPq desenvolve um programa denominado SOFTEX 2000.html .com/ .com/ .ampl. acessar materiais e trocar experiências sobre o conteúdo da disciplina. catálogo de softwares e informações variadas a respeito de Pesquisa Operacional.Um glossário a respeito de Programação Matemática: http://carbon.edu/~hgreenbe/glossary/glossary.As cinco seguintes homepages referem-se a softwares disponíveis para modelagem e resolução de problemas de grande porte: http://www.cplex. .126 SITES DE PESQUISA OPERACIONAL Apresenta-se.Sejam bem vindos ao ambiente virtual .Se você precisa de orientação sobre a compra de software de otimização. sendo que um deles está localizado em Juiz de Fora. você encontra informação a esse respeito: http://www. existindo vários núcleos espalhados pelo país. Sua homepage: http://www.gams.lindo.palisade. Pode ser acessado em: http://groups. Inteira e Não Linear (quadrática).com/ http://www.ampl.com/ . um software para a resolução de problemas de Programação Linear.modeling. pode ser encontrada em: http://www.com/ .com/group/pesquisa-operacional/ .Informações sobre o LINDO.google.com/cm/cs/what/ampl/ http://www.com/ http://www. com "free download" de versão DEMO. uma relação de comentários sobre sites que contêm novidades.agrosoft.com/ http://www. boas dicas estão expostas nesta site: http://www. Nesta homepage. que permite discutir.O @RISK é um software que permite a análise de risco associada a diversos tipos de atividade econômica. br/ Informações variadas e importantes no contexto de Pesquisa Operacional: http://mat.127 - A "homepage" da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional é: http://www.cmu.org.edu/ .sobrapo.gsia. São Paulo: Editora Atlas. Dissertação (Mestrado) .. C.Res.ESALQ/USP. J. .. CAIXETA FILHO. Material de Apoio às Disciplinas: Introdução à Pesquisa Operacional e Programação Linear. V. ARAÚJO. N. R. A. V. . A. L. Pesquisa Operacional para Decisão em Contabilidade e Administração. São Paulo: Atlas S. V. A. Piracicaba: Esalq. 2004. Série Didática no 113. J. 172p. ARAÚJO. C. LUNA. Revista Análise Econômica. Otimização Combinatória e Programação Linear. 2004. Fronteira de eficiência econômica sob condições de risco para empresas agrícolas do Sul de Santa Catarina. – Rio de Janeiro: Campus. W.84p. L. H. 1996. Rio de Janeiro: LTC . CAIXETA FILHO. CAIXETA FILHO.E. L. JEFERSON. Cornell University. 1998. 1997. L. Fronteira de eficiência econômica sob condições de risco: uma análise da convergência econômica entre empresas agrícolas.Livros Técnicos e Científicos. Pesquisa Operacional: Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas Agroindustriais. R. 89-17. M. 2004.. 1989. BOISVERT. GOLDBARG. THEOPHILO. 2000. L. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e técnicas de análise de decisão. Porto Alegre: UFRGS. J. CORRAR. E.. R. P. Ithaca. A guide to using General Algebraic Modelling System (GAMS) for aplication in Agricultural Economics.128 BIBLIOGRAFIA ANDRADE. J. A. ed. 2007. 1998. A. D. 284 p. Piracicaba: Esalq. (Série Pesquisa Operacional. MATHUR . D. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial. LANZER. Rio de Janeiro: Campus. PERT/CPM. 2. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial. P. D. revista e ampliada. A. Conceitos e Aplicações Básicas de Programação Linear. PRADO. Pesquisa Operacional na Modelagem em Excel. (Série Gerência de Projetos. 2003. São Paulo: Thomson Learning. . S. 148 p. Rui. ed. E. Pesquisa Operacional. Programação Linear. Tomada de Decisões. Programação Linear: conceitos e aplicações. al. D. Vol. PRADO. (Série Pesquisa Operacional. SOLOW. M. S. Série Didática no 95. SILVA. PRADO. 1996. 3). Lima: Printice Hall. S. Usando o ARENA em simulação. São Paulo: Edgard Blücher. Pesquisa Operacional: curso introdutório. 208 p. 2002. REY. MARQUES. 1998. São Paulo: Atlas. 1999. V. et. 1). E. MOREIRA. 4). Rio de Janeiro. Vol. 1998. Investigacion de Operaciones. 1982. IPEA/INPES. G.129 LACHTERMACHER. 3. Planejar e redigir trabalhos científicos. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial. Vol. . 1995. ABAR SUL. Atualmente atua como coordenador do projeto estadual de pesquisa e desenvolvimento intitulado "Administração Rural e Socioeconomia" da Empresa de Pesquisa Agropecuária e Extensão Rural de Santa Catarina . Tem experiência na área de Administração e Economia.Epagri. atuando principalmente nos seguintes temas: pesquisa operacional. administração rural e economia da produção.UFSC.130 Sobre o professor conteudista Luis Augusto Araújo Natural de Florianópolis. . fundamentos de economia. possui mestrado em Economia Aplicada pela Universidade de São Paulo – USP. programação linear. assumiu a presidência da Associação Brasileira de Administração Rural do Sul do Brasil . Recentemente. e como professor da Universidade do Sul de Santa Catarina Unisul e da Faculdade Estácio de Sá. especialização em Administração Rural pela Universidade de Lavras – MG e graduação em Agronomia pela Universidade Federal de Santa Catarina . Os modelos de simulação procuram oferecer uma representação simplificada do mundo dos negócios. Nesses modelos. validação e implementação. uma vez que os critérios de escolha da melhor alternativa já fazem parte da estrutura do modelo.131 Respostas e comentários dos exercícios propostos Unidade 1 1)R: F. F. V. . As fases de um estudo de pesquisa operacional são: definição do problema. 2)R: a. modelagem. No modelo de otimização. o critério de escolha da solução a ser adotada não é fixado na estrutura do modelo. a solução obtida é considerada “ótima”. e dão ao administrador liberdade e flexibilidade com relação à escolha da solução mais conveniente. b. V. os modelos de otimização não permitem flexibilidade na escolha das alternativas. Diferentemente. 2)R: A modelagem para cada um dos problemas propostos é apresentada a seguir: 1. Problema da empresa Ilha da Magia a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de pneus Modelo P (o premium). Unidade 2 1)R: F. obtenção da solução. X2 = quantidade a produzir de bolas de vôlei (P2). Problema da empresa “Águas de Floripa” a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de piscina Standard .132 X2 = quantidade a produzir de pneus Modelo R (o regular). b) Função objetivo Lucro total: L = 30 X1 + 40 X2 Objetivo: Max L = 30 X1 + 40 X2 c) Definição das restrições do problema • Capacidade de produção da linha Standart X1 ≤ 24 • Capacidade de produção da linha Luxo 2X2 ≤ 36 • Disponibilidade total de empregados X1 + 2 X2 ≤ 40 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 3. b) Função objetivo Lucro total: L = 100 X1 + 150 X2 Objetivo: Max L = 100 X1 + 150 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade total de horas . b) Função objetivo Lucro total: L = 10 X1 + 8 X2 Objetivo: Max L = 10 X1 + 8 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de horas Máquina A 2X1 + 9 X2 ≤ 42 • Disponibilidade de horas Máquina B 4X1 + 3 X2 ≤ 36 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 2. Problema da empresa de Bolas a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de bolas de futebol (P1). X2 = quantidade a produzir de piscina Luxo. b) Função objetivo . X2 = quantidade a produzir de produto (P2). e) Função objetivo Lucro total: L = 2100 X1 + 1200 X2 + 600 X3 Objetivo: Max L = 2100 X1 + 1200 X2 + 600 X3 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de horas trabalho 6X1 + 4 X2 + 6 X3 ≤ 4800 • Disponibilidade de horas máquina 12X1 + 6 X2 + 2 X3 ≤ 7200 • Demanda de mercado para o produto P1 X1 ≤ 800 • Demanda de mercado para o produto P2 X2 ≤ 600 • Demanda de mercado para o produto P3 X3 ≤ 600 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 5. X3 = quantidade a transportar de caixas de tangerina. Problema de transporte do vendedor de frutas a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a transportar de caixas de laranja. X3 = quantidade a produzir de produto (P3). X2 = quantidade a transportar de caixas de pêssego. Problema da empresa Beta Ltda d) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de produto (P1).133 • • • 2X1 + 3 X2 ≤ 40 Demanda de mercado para o produto P1 X1 ≤ 40 Demanda de mercado para o produto P2 X2 ≤ 30 Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 4. a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de cintos de couro Modelo M1. Problema da rede de televisão da “Grande Florianópolis” a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade de vezes que se deve levar ao ar o programa A.134 Lucro total: L = 20 X1 + 10 X2 + 30 X3 Objetivo: Max L = 20 X1 + 10 X2 + 30 X3 c) Definição das restrições do problema • Capacidade total de transporte de caixas X1 + X2 + X3 ≤ 800 • Necessidade de transporte de caixas de laranja X1 = 200 • Mínimo a transportar de caixas de pêssego X2 ≥ 100 • Máximo a transportar de caixas de tangerina X3 ≤ 200 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 6. b) Função objetivo Lucro total: L = 4 X1 + 3 X2 Objetivo: Max L = 4 X1 + 3 X2 c) Definição das restrições do problema . X2 = quantidade a produzir de cintos de couro Modelo M2. b) Função objetivo Audiência total: T = 30000 X1 + 10000 X2 Objetivo: Max T = 30000 X1 + 10000 X2 c) Definição das restrições do problema • Mínimo tempo de propaganda 20X1 + 10 X2 ≥ 5 • Máximo tempo de música 1X1 + 1X2 ≤ 80 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 7. Problema da empresa de cintos de couro localizada em Tubarão. X2 = quantidade de vezes que se deve levar ao ar o programa B. 2X1 + 4 X2 ≤ 100 • Disponibilidade de Recurso R2. 5X1 + 3 X2 ≤ 120 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 9. X2 = quantidade a produzir de Toldos em Loja (P2). O problema da sapataria do Ribeirão da Ilha a) Definição das variáveis de decisão X1 = Quanto deve produzir do produto sapato X2 = Quanto deve produzir do produto cinto b) Definição da Função Objetivo Lucro total: L = 5 X1 + 2 X2 Objetivo: Max L = 5 X1 + 2 X2 c) Definição das Restrições do Problema • Disponibilidade de couro 2x1 + 1x2 ≤ 6 . A empresa “Toldos Sol e Praia” a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de Abrigos para Automóveis (P1). b) Função objetivo Lucro total: L = 120 X1 + 150 X2 Objetivo: Max L = 120 X1 + 150 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de Recurso R1.135 • • • • • Capacidade de produção por dia 2 X1 + 1 X2 ≤ 1000 Disponibilidade total de couro X1 + X2 ≤ 800 Disponibilidade de fivelas M1 X1 ≤ 400 Disponibilidade de fivelas M1 X2 ≤ 700 Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 8. 3X1 + 2 X2 ≤ 90 • Disponibilidade de Recurso R3. X8 = o quanto devo investir em Fix Especial Plus.076 X1 + 0. X7 = o quanto devo investir em DI Preferencial.aplicar nas carteiras de Renda Fixa máximo 40%.134 X7 + 0. X3 = o quanto devo investir em Câmbio Especial Plus.151X8 + 0. b) Função objetivo Retorno total: R = 0. X4 = o quanto devo investir em Câmbio Preferencial. Problema da Carteira de Investimentos da Empresa de Administração de Fundos Paulo S.151X3 +0. X5 + X6 + X7 ≤ 35000 . e no máximo 15%.120 X4 + 0.135X5 + 0.134 X7 + 0.150 X2 + 0.149 X6 + 0.151X8 + 0. X1 ≥ 5000 X1 ≤ 15000 . X9 = o quanto devo investir em Fix Preferencial.aplicar nas carteiras de DI (Depósito Interbancário) máximo 35%.140X9 + 0.156X10 Max R = 0. X10 = o quanto devo investir em Fix Private. X5 = o quanto devo investir em DI Empresarial. X2 = o quanto devo investir em Câmbio Empresarial Plus.135X5 + 0.aplicar nas carteiras de Câmbio máximo 30%.150 X2 + 0.máximo para ser investido individualmente nas carteiras de Câmbio X2 ≤ 12000 X3 ≤ 12000 X4 ≤ 12000 .aplicar na Poupança no mínimo 5%.Disponibilidade de recursos para aplicação. a) Definição de variáveis de decisão X1 = o quanto devo investir em Poupança.151X3 +0.120 X4 + 0. X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 ≤ 100000 . X6 = o quanto devo investir em DI Especial Plus.A. X8 + X9 + X10 ≤ 40000 .140X9 + 0.156X10 c) Definição das restrições do problema .149X6 + 0.076 X1 + 0.136 • • Produção de sapatos e cintos por hora (60 minutos) 10x1 + 12x2 ≤ 60 Restrições Lógicas X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 10. X2 + X3 + X4 ≤ 30000 . Agroindústria do ramo alimentício a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de produto (1).137 .Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 X4 ≥ 0 X5 ≥ 0 X6 ≥ 0 X7 ≥ 0 X8 ≥ 0 X9 ≥ 0 X10 ≥ 0 11.máximo para ser investido individualmente nas carteiras de DI X5 ≤ 14000 X6 ≤ 14000 X7 ≤ 14000 . X2 = quantidade a produzir de produto (2). X3 = quantidade a produzir de produto (3). b) Função objetivo Como o lucro total será a soma dos lucros obtidos com a venda de cada tipo de produto.máximo para ser investido individualmente nas carteiras de Renda Fixa X8 ≤ 17000 X9 ≤ 17000 X10 ≤ 17000 . a equação de lucro total será: Lucro total: L = 30 X1 + 12 X2 + 15 X3 Objetivo: Max L = 30 X1 + 12 X2 + 15 X3 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de horas máquina A 9X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 500 • Disponibilidade de horas máquina B 5X1 + 4 X2 + 0 X3 ≤ 350 • Disponibilidade de horas máquina C 3X1 + 0 X2 + 2 X3 ≤ 150 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 . b) Função objetivo Lucro total: L = 16 X1 + 30 X2 + 50 X3 Objetivo: Max L = 16 X1 + 30 X2 + 50 X3 c) Definição das restrições do problema • Exigência mínima de produção do Modelo A X1 ≥ 20 • Exigência mínima de produção do Modelo B X2 ≥ 120 • Exigência mínima de produção do Modelo C X3 ≥ 60 • Disponibilidade de horas de fabricação 3X1 + 3. a) Função objetivo Intensidade total: I = X1 + X2 Objetivo: Max I = X1 + X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de orçamento 160X1 + 240 X2 ≤ 960 • Disponibilidade de horas para atividades sociais . Fábrica de pranchas de Surfe de Garopaba. X2 = quantidade de saídas com Ana Paula.5 X2 + 5 X3 ≤ 1440 • Disponibilidade de horas de montagem 4X1 + 5 X2 + 8 X3 ≤ 1920 • Disponibilidade de horas de teste de qualidade 1X1 + 1. a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de prancha de surfe Modelo A. X2 = quantidade a produzir de prancha de surfe Modelo B.5 X2 + 3 X3 ≤ 576 • Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 16) Problema de planejamento da vida social a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade de saídas com Sheila. X3 = quantidade a produzir de prancha de surfe Modelo C.138 X3 ≥ 0 12. 2)R: A empresa “Águas de Floripa” deve produzir 24 unidades de piscina em fibra Standard e 8 unidades de piscina Luxo.000.040.00. 3)R: A empresa de Bolas deve fabricar 15 unidades de bolas de futebol (P1) e 30 unidades de bolas de vôlei (P2).00. A entrada de dados na planilha Excel e a solução ótima obtida pelo Solver do Excel podem ser visualizadas na Figura 1. para obter um lucro máximo de R$1.00. A empresa conseguirá obter um valor máximo de Margem de Contribuição Total de R$100. para obter um lucro máximo de R$106.00.139 • • 3X1 + 3 X2 ≤ 18 Disponibilidade de calorias para atividades sociais 10000X1 + 5000 X2 ≤ 40000 Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Unidade 3 1)R: A empresa Ilha da Magia deve produzir 9 unidades de pneus Modelo P (o premium) e 2 unidades de pneus Modelo R (o regular). Unidade 4 1) A Calçados Ltda de Barreiros deve fabricar 40 unidades do produto Sapato Tipo 1 e 40 unidades do Sapato Tipo 2. para obter um máximo lucro de R$6. . 600 unidades do produto P2 e 120 unidades do produto P3. Portanto.140 Figura 1 – Entrada de dados na planilha Excel e solução ótima obtida pelo Solver do Excel. 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco.. tem-se uma folga de 20 unidades de gabinete grande. esgotaram-se os estoques de gabinete pequeno e de unidades de disco. na qual o lucro total será aumentado de R$30.00. a empresa Beta Ltda.00. . na qual o lucro total será aumentado de R$150.380.00 2)R: a) No programa de produção para o próximo período. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. na sua produção. teremos uma nova solução. para obter um lucro máximo de R$19. teremos uma nova solução. que deverá ser de 30 unidades deste modelo.800. Como somente vamos precisar de gabinete grande na produção de computador modelo B. caso tenha um aumento adicional de uma unidade na sua disponibilidade. Em relação às unidades de discos. se a restrição disponibilidade de gabinete pequeno for aumentado de 60 para 61 unidades. Para realizar o plano ótimo de produção acima citado. um gabinete pequeno e uma unidade de disco.000.00. os valores para o Preço sombra (Dual Prices) nos representam o aumento na função objetivo se aumentarmos de um o limite da restrição. O modelo A requer. para obter um máximo lucro de R$1. Por último. deve produzir 280 unidades do produto P1. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno. Unidade 5 1)R: A fábrica de computadores deve produzir 60 unidades de computador modelo A e 30 unidades de computador modelo B. 00. respectivamente. que ainda assim o plano ótimo de produção permanece inalterado.00. disponibilidade de horas máquina e da quantia máxima de demanda para o produto P2. para cada hora adicional temos um aumento na função objetivo de R$50. 2)R: a) Método de Canto Noroeste: CT = 100x10 + 50x25 + 30x18 + 20x24 = 3. R$150.400 horas trabalho. não terá nenhum impacto na definição do plano ótimo de produção (observe o valor zero do Dual Prices para a demanda de P1 e de P2). por que conforme o relatório de análise de sensibilidade. teremos uma nova solução. em relação à disponibilidade de horas trabalho. Considerando a coluna intermediária da última tabela do relatório de análise de sensibilidade.520. b)R: b. Observando os valores para o Preço sombra (Dual Prices). caso tenhamos um aumento adicional de uma unidade no parâmetro destas restrições (individualmente).00 e R$100. b) Método de Vogel: .270.290. a empresa poderá contratar até 2. b. b) Método de Vogel: CT = 30x15 + 10x20 + 50x12 + 50x18 + 10x14 = 2. um aumento de 100% na demanda para os produtos P1 e P3. Por último. Não. b. horas máquina e de demanda para o produto P2.1.00.500. Existe uma folga de 520 unidades em relação à restrição de demanda para o produto P1. descontando-se o custo de R$10.00 (no lucro será de R$40. Portanto. Unidade 6 1)R: a) Método de Canto Noroeste: CT = 40x10 + 10x12 + 40x25 + 50x18 + 10x10 = 2.00/hora). considerando os valores para o Preço sombra (Dual Prices).2. uma vez que só devemos produzir 280 unidades deste produto e sua demanda de mercado é de 800 unidades. Mantido o cenário apresentado.3. em relação à disponibilidade de horas trabalho.141 Para realizar o plano ótimo de produção acima citado. o aumento esperado no lucro total é zero.00. estão no seu limite as restrições de horas trabalho. em R$50. na qual o lucro total será aumentado. a lucratividade do produto P1 pode baixar até R$1. 800. 6 funcionários para iniciarem suas atividades na terça-feira. 1 funcionários para iniciarem suas atividades na sexta-feira e 6 funcionários para iniciarem suas atividades no sábado.142 CT = 2x10 + 30x15 + 50x20 + 80x12 + 20x14 = 2.00. 2)R: O Jornal de Barreiros deve alocar 13 funcionários para iniciarem suas atividades na segunda-feira. Os resultados obtidos pelo Solver para o problema de escala de funcionários do Jornal de Barreiros podem ser visualizados na Figura 2. para obter um valor presente líquido máximo de R$352. 3)R: Método de Canto Noroeste: CT = 200x5 + 100x4 + 50x9 + 50x8 + 250x6 = 3. O mínimo custo total dos funcionários do Jornal de Barreiros necessários para suprir as demandas diárias é R$22. Unidade 7 1)R: A Epagri deve selecionar os projetos Camarão.Resultados obtidos pelo Solver para o problema de escala de funcionários do Jornal de Barreiros Unidade 8 1)R: Além dos exemplos apresentados no texto.26. podemos utilizar a simulação para responder as seguintes perguntas de interesse para o mundo dos negócios: .750. 5 funcionários para iniciarem suas atividades na quarta-feira. Figura 2 . Leite e Ostra. 14 funcionários para iniciarem suas atividades na quinta-feira.890. para que a demanda não atendida não ultrapasse 5%? . A partir destes resultados. 3)R: O administrador ou analista deve realizar várias simulações com preços.Como uma empresa deve definir seu plano de produção. realizando várias hipóteses para o preço do pastel.Qual será a probabilidade de que um novo produto seja lucrativo? . os níveis de estoque e de funcionários e planejar suas necessidades de investimento? .Qual o número mínimo de caixas de supermercado requeridas para que o tempo de espera dos clientes na fila. podendo ser facilmente conseguido com o uso da informática. não ultrapasse 8 minutos. poderá escolher aquele preço que proporciona o maior lucro. . qual o resultado esperado em termos de lucro. por exemplo? 2)R: A mente humana não consegue processar uma grande quantidade de dados e de relações entre variáveis. Além disso.143 . podem ajudar o administrador permitindo aumentar a sua experiência e aprimorando o seu processo de tomada de decisão.Quantas unidades de um produto devem ser mantidas no estoque. e verificar para cada hipótese (nível de preço). Unidade 9 1)R: (d) BCH 2)R: a) As atividades críticas são BDF e o tempo previsto para a realização deste projeto é de 40 dias. b) As atividades críticas são ACF e o tempo previsto para a realização deste projeto é de 22 dias. os modelos de simulação através do uso da computação. o objetivo pretendido. ou seja. tipo e/ou características da empresa. Análise e Interpretação dos Resultados As notas de aulas e a bibliografia recomendada no plano de ensino desta disciplina podem servir de auxílio. Anexos Apresentar os relatórios emitidos pelo software de Programação Linear.144 CASOS APLICADOS À ÁREA DE NEGÓCIOS PARA DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL Objetiva-se realizar comentários sobre a apresentação escrita e oral do trabalho e sugerir alguns temas ou casos práticos que podem ser úteis para servir como referência para o desenvolvimento de um estudo de Pesquisa Operacional. a função objetivo e as restrições desse problema. sugestões de estudos futuros e vantagens no uso da técnica de Programação Linear. sugere-se seguir os passos para a modelagem propriamente dita. Conclusões e/ou Principais Recomendações Apresentar principais recomendações para a resolução do problema proposto. se a solução obtida parece adequada. Pode-se também comentar sobre: as dificuldades no desenvolvimento desse trabalho. Referências Bibliográficas . pode ser estruturado da seguinte forma: Introdução Sugere-se descrever detalhadamente o problema. produtos e recursos. a) Apresentação escrita do trabalho Inicialmente gostaria de observar que o trabalho de conclusão da disciplina de “Introdução à Pesquisa Operacional”. A seguir. Modelagem do Problema Sugere-se comentar sobre a aplicabilidade do método de programação linear para a resolução do problema descrito anteriormente. definir as variáveis de decisão. juntamente com um disquete de 3 ½ polegadas ou cd-rom. aqueles que contribuíram para o desenvolvimento do trabalho (aproximadamente 1 minuto). c) Metodologia (dizer como pesquisou. em aproximadamente 5 minutos): por constituir-se na parte mais importante da comunicação. A partir do exposto. limitando-se a situar o assunto e indicar o estado em que se encontrava o conhecimento do tema ou problema que vai ser apresentado e destacar os motivos que o levou a pesquisar. clareza. no máximo –. citando os métodos utilizados ou descrevendo pontos da modelagem realizada. implicando numa linguagem e conteúdo adequados para o conjunto dos alunos. sugere-se de modo prático e sucintamente. d) Resultados (dizer que resultado atingiu com a pesquisa. o seguinte roteiro de apresentação oral. ou seja: concisão. em especial. vocabulário correto e preciso. b) Introdução (dizer o que pesquisou. O(s) autor(es) entregará(ão) uma cópia impressa do artigo. O tempo de duração deverá ser estritamente o necessário para a apresentação sintética do tema do trabalho – em torno de 15 a 20 minutos. em aproximadamente 3 minutos): como o trabalho foi desenvolvido. ou ainda. por que e para que escolheu o tema proposto em aproximadamente 3 minutos): deve ser o mais breve possível. e) Comentários finais (dizer o que aprendeu com este tipo de estudo em aproximadamente 3 minutos): comentar se os resultados apresentados são consistentes com a realidade da empresa.145 Observação! Os artigos deverão ser submetidos obedecendo às normas de publicação da universidade. c) Problemas de Pesquisa Operacional Aplicado à Área de Negócios . b) Apresentação oral do trabalho Durante uma apresentação oral é importante prestar a atenção nas mesmas qualidades específicas que devem ter os trabalhos acadêmicos. Trata-se do momento de expor a análise e interpretação dos resultados obtidos. como segue: a) Agradecimentos. se o trabalho fez avançar o seu conhecimento na área. para que sejam facilmente apreendidos pelos demais colegas. enunciá-lo da maneira mais clara e simples possível. pg. pb. 105-111. 67-75. Mathur & Solon (1996). . Fabricação de Sorvete. O Problema da Cooperativa Agrícola. 111-117. pg. Darci Prado (1999). Mathur & Solon (1996). pg. Goldbarg (2000). O Problema da Fábrica de Móveis. Mathur & Solon (1996). pg. Andrade (2004). Carteira de Investimentos. Lachtermacher (2002). Possibilidade de estudos de propriedades rurais do Sul de Santa Catarina. O Problema de Dietas do Hospital “General Mountain View”. Caixeta Filho (1996). pg 43 e 44. 74-79. O Problema de Administração da Carteira de Valores da High Tech. Goldbarg (2000). 54-56. Problemas de Minimização O Problema da Dieta. Darci Prado (1999). pg 38 e 39. Mathur & Solon (1996). Problemas de Programação Inteira: o Caso de Alocação de Recursos em Projetos. 46-49. 266-269.146 Problemas de Maximização Estudo de Caso: Planejamento de Produção de Produto de Uísque. Lachtermacher (2002). pg. Lachtermacher (2002). pg. Goldbarg (2000). Inc. O Problema de Planejamento da Produção da National Sttel Corporation (NSC). Lachtermacher (2002). 66-70. pg 45 e 46. pg. 71-74. pg 42 e 43. pg. 57. O Problema de “Mescla” de Produtos de Blubbermaid. Escolha de carteira de investimentos: o caso da LCL Investimentos S. O Problema de Produzir ou Comprar da Mtv Steel Company. pg. 84-92 (média complexidade). 63-66. O Problema do Planejamento Agrícola. Goldbarg (2000). O Problema do Sítio. Mathur & Solon (1996). pg. 93105 (média complexidade). Planejamento de Operações para Produção de Móveis da Companhia ALTM. A. 129-134. pg. O Problema do Tipo Fazer ou Comprar da LCL Motores Ltda. Mathur & Solon (1996). pg. O Problema de Formulação de Ração de Custo Mínimo. Problema de Produção e Estoque: o caso da LCL Armazéns e Comércio Ltda. 58-59. pg. pg. (maximizar a taxa interna de retorno controlando o risco). O Problema da American Steel Company. Andrade (1998). pg. Lachtermacher (2002). Andrade (2004).110-111. pg. pg. 306-310. Mathur & Solon (1996). 17-19. Problema de Mistura de Componentes: o caso da LCL Tintas Ltda. pg. 108-109. Darci Prado (1999). Problema do Menor Caminho: o Caso LCL Adornos & Tecidos. Inc. Fluxo de Caixa Multiperíodo: o caso da LCL Restaurantes Ltda. pg. pg. Problema de Transporte e Localização Industrial. O Problema da Mistura de Gasolina da Hexxon Oil Company. Problemas de Rede de Distribuição: o caso da LCL Carros Brasil Ltda. Andrade (2004). Andrade (2004). 80-83. . Joseph F. Lachtermacher (2002). pg. pg. 39-43.147 O Problema de Nutrição de Mínimo Custo: Caso do “McDonald’s”. Lachtermacher (2002). pg 182 e 183. Mathur & Solon (1996). Escala de Funcionários: o caso LCL Correios e Malotes. pg. pg. Lachtermacher (2002). Mathur & Solon (1996). pg. 234-238. O Problema da Designação de Tarefas. Darci Prado (1999). 82. Lachtermacher (2002). Problemas de Programação Inteira O Problema do Jantar de Nero. pg. Lachtermacher (2002). O Problema de Alocação de Pessoal. 135-139. Goldbarg (2000). 224-234. Determinação do Fluxo Máximo de Transporte em Rede com Rotas Limitadas. pg 181 e 182. pg. A Escolha da Melhor Rota. 124-129. Lachtermacher (2002). 117-124. pg. Problemas de Transporte Estudo de Caso: Planejamento de Transporte de uma Fábrica de Cerveja.81-84. pg. Goldbarg (2000). O Problema de Distribuição de Cosmic Computer Company. 86. Problemas de Transporte: o caso da LCL Bicicletas Ltda. O Problema da Designação de Pessoas. Programação Não-linear: o Caso do Lote Econômico (Controle de Estoque). O Problema de Fluxo Máximo da Refinaria da Hexxon Oil Company. O Problema do Desenho de Containers. pg. Mathur & Solon (1996). pg. Aieta. Darci Prado (1999). (1997). 89. 150-160. pg. 19-26. 26-30. Mathur & Solon (1996). 30-35. . pg.148 O Problema de Administração da Carteira de Valores da High Tech (uso de variáveis inteiras 0 ou 1). 149 Luis Augusto Araújo Pesquisa Operacional Aplicada à área de negócios Modelagem em Excel e LINDO Cursos de Administração. Economia e Contábeis Março de 2007 Florianópolis – Santa Catarina . para a solução de problemas da área de negócios. Luis Augusto Araújo. através da abordagem computacional do texto. M.150 Este livro objetiva atingir dois públicos: os estudantes e os profissionais que tenham interesse em saber como a Pesquisa Operacional pode auxiliá-los no processo de tomada de decisão. Os nove capítulos deste livro tratam de temas considerados de importância fundamental dentro da Pesquisa Operacional. . espero ter mostrado a utilidade e o potencial da Pesquisa Operacional. Sc. ao ensinar a utilização da planilha Excel e do software Lindo. Ao final de sua leitura. 151 .