MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS IIParte 1ª: Operaciones financieras de constitución de capitales. Tema 1: Operaciones de constitución o formación de capitales. Yakira Fernández Torres [email protected] Despacho 9-FEET Dpto. Economía Financiera y Contabilidad MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.1: Constitución de capitales - Son operaciones compuestas: prestación múltiple y contraprestación única al final. - Objetivo: formación de un capital(Cn, tn) mediante “n” imposiciones periódicas. Cn: Capital constituido en “n” a: Términos impositivos o constitutivos o imposiciones t0: Origen definido por el vencimiento del primer capital de la prestación tn: Final definido por el vencimiento del capital de la contraprestación - Dos modalidades: imposiciones prepagables(más comunes) y pospagables. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. a₁ 1 a2 2 a3 3 a4 4 an n . a₀ a₁ 0 1 a2 2 a3 3 an-1 n-1 n Imposiciones pospagables: la última imposición coincide con la retirada del capital constituido.1: Constitución de capitales Imposiciones prepagables: transcurre un período completo desde la última imposición hasta la retirada del capital constituido. prospectivo y recurrente .“n” períodos Equivalencia Financiera en el final(1) y origen(2): (1)Cn= Σ as (1+i) S=0 n-1 n-s (2) a0 +S=1 Σ as (1+i) = Cn (1+i) n-1 -S -n Saldo Financiero en “s” o capital constituido hasta “s”: .1: Constitución de capitales 1.Se halla por la izquierda : C¯ s .“s” términos constitutivos variables y prepagables .Según 3 métodos posibles: retrospectivo. Constitución de un capital con imposiciones prepagables.“ i” constante . Cuadro de constitución. Supuestos: . Planteamiento general.1.MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. [as + Σ ar (1+i) ] r=s+1 n-1 • Método recurrente: A partir de C¯ s-1 C¯= (C¯ + a s s-1 s-1 s-1 ) (1+i) C¯.C¯= (C¯+a s s-1 s-1 ) i + as-1 ∆¯ s Cuota Constitución de “s” I¯ s Cuota intereses de “s” .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.1: Constitución de capitales • Método retrospectivo: C¯= Σ ar (1+i) s S-1 s-r r=0 • Método prospectivo: C¯=Cn (1+i) s -(n-s) -(r-s) . MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.C¯ ∆¯ = C¯ . ∆¯ = C¯ ..1: Constitución de capitales Capital pendiente de constituir tras ―s‖ períodos: M¯ = Cn-C¯ s s Si ∆¯ = C¯.C¯ ∆¯ = C¯.C¯……….C¯ 1 1 0 s s s-1 2 2 1 n n n-1 Cn=Σ ∆¯ n k=1 k Cs=Σ ∆¯ s k=1 k=1 k Ms=Σ ∆¯ k=s+1 k n . I¯. ∆¯.MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.1: Constitución de capitales Cuadro de constitución: Elementos: as. . C¯. M¯ s s s s Realizar ejemplo en clase. 2.2. prepagable. prospectivo y recurrente: .1: Constitución de capitales 1.=an-1=a a a 0 1 a 2 a 3 a n-1 n Equivalencia Financiera en ―n‖: Al tratarse de una renta constante.. Principales métodos de constitución con imposiciones prepagables. temporal.MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. 1. inmediata: Cn= a · sn┐i . Términos impositivos o constitutivos constantes. Capital constituido en ―s‖ Según los métodos retrospectivo. Se verifica: a0=a1=….1. s • Método prospectivo: C¯=Cn (1+i) s -(n-s) .[a · an-s┐i] • Método recurrente: .C¯= (C¯+a ) i + a s s-1 s-1 s Cuota Constitución de “s” ∆¯ s Cuota intereses de “s” I¯ ... A partir de C ¯ s-1 C¯= (C¯ + a) (1+i) s s-1 C¯.MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.1: Constitución de capitales • Método retrospectivo: C¯= a · ss┐i . .C¯) (1+i) S+1 s s s-1 ∆¯ S+1 Cuota Constitución de “s+1” ∆¯ s Cuota Constitución de “s” ¡¡Las cuotas crecen en progresión geométrica de razón (1+i)!! .C¯= (C¯ .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. s s-1 C¯ .1: Constitución de capitales • Si reiteramos el método recurrente para ―s+1‖: C¯= (C¯+ a) (1+i) S+1 s • Y restamos por la anterior expresión: C¯= (C¯ + a) (1+i) . 000 euros brutos anuales durante 5 años en una entidad financiera que abona intereses al 4%. Obtener: a) Montante constituido b) Cuadro de constitución .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.1: Constitución de capitales ∆ =∆ (1+i)=…= ∆ı(1+i)=a·(1+i) S S+1 S S+1 Cn= ∆¯· sn┐i= a·(1+i) · sn┐i 1 C¯ s = ∆¯· ss┐i 1 a= C n/(1+i) sn┐i Ejemplo: Una persona efectúa aportaciones de 10. Retira el capital constituido después de transcurrido un año desde la última aportación. = ∆n ¯ = ∆¯‖ entonces: s .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. Cuotas de constitución constantes.Los intereses serán crecientes( cada vez se calculan sobre un capital mayor) . 1. Se verifica: ∆¯=∆¯=…=∆¯=∆¯ 1 2 n Cn=Σ ∆¯ = n· ∆¯ n 1 k ∆¯=Cn/n Si ha de verificarse: ―∆¯ = Is + as-1" y ―∆1¯ =….2.2.Los términos constitutivos serán decrecientes Capital constituido hasta ―s‖ C¯=Σ ∆¯ = s · ∆¯ = s/n · Cn s 1 k s . Principales métodos de constitución con imposiciones prepagables.2.1: Constitución de capitales 1. C¯+ as -a s-1)· (1+i) s+1 s s s-1 ∆¯ ∆¯ a = a .C¯=(C¯ .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.(∆¯·i)/ (1+i) s ¡¡Decrecen en progresión aritmética!! a0=∆¯/ (1+i) s-1 .1: Constitución de capitales Capital pendiente de constituir en ―s‖: M¯ = Σ ∆¯ = (n-s) · ∆¯ = (n-s)/n · Cn Términos constitutivos: s S+1 n k Si: C¯= (C¯+ a ) (1+i) C¯= (C¯+ a ) (1+i) s s-1 s s-1 s s+1 (C¯/ (1+i))-C¯=a s s-1 s-1 Si restamos: C¯ . Si las cuotas de constitución serán constantes en todo el período. determinar: a) Importe de las cuotas b) Capital constituido en el año tercero c) Cuadro de constitución .1: Constitución de capitales Ejemplo: Una persona efectúa aportaciones anuales al inicio de cada período durante 5 años en una entidad financiera que abona intereses al 4%.MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.000 euros. con el objetivo de constituir un capital de 55. q)n┐= a 0 [----------](1+i) i 1+i-q temporal. 1. prepagable. Cn= S (a0 .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. Principales métodos de constitución con imposiciones prepagables. la ecuación de equivalencia financiera en el final será: . conocida la cuantía del primer término.2.2.q para q≠ 1+i para q= 1+i Cn= a 0∙ n/(1+i) . n n (1+i) .3. Se cumple a partir conocer a0: a1 = a 0· q a2= a 0 · q² S as = a 0· q • Al tratarse de una renta variable en progresión geométrica.1: Constitución de capitales 1.. inmediata y entera. Términos impositivos variables en progresión geométrica y aritmética. Imposiciones variables en progresión geométrica: consiste en constituir un capital Cn mediante ―n‖ imposiciones que varían en progresión geométrica de razón ―q‖ . 1: Constitución de capitales a0 = Cn [------](1+i) n n (1+i) .q -1 Si despejamos: a0 = Cn/n(1+i) n • A partir de la ecuación de equivalencia financiera en tn anterior podremos calcular la reserva matemática o capital constituido en ―s‖ sustituyendo el período ―n‖ por el ―s‖ que corresponda. Is = ∆s – as-1 = (C s-1+as-1)i .∆s .as )(1+i) • Se cumple también: Cs = Cs-1 +∆s = Σ ∆r r=1 s excepto: ∆1=a 0(1+i) .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. • Si hallamos la reserva por recurrencia para los períodos ―s‖ y ―s+1‖ y luego restamos ambas igualdades obtenemos: ∆ s+1 = ∆ s (1+i)+(a s+1 . Ms= Cn-Cs = Ms-1 .q (1+i) . conocida la cuantía del primer término.– — s n┐i i . temporal.d)n┐i = [(a 0+— )s n┐i – d∙ -----](1+i) i i • La reserva o capital constituido en ―s‖ se obtiene sustituyendo el período que corresponda en la ecuación anterior. • Se cumple entonces conociendo a 0: a 1 = a 0 +d.1: Constitución de capitales Imposiciones variables en progresión aritmética: consiste en constituir un capital Cn mediante ―n‖ imposiciones que varían en progresión aritmética de razón ―d‖(si ―d‖ es negativo. • Si despejamos el primer término impositivo: Cn + ( d ∙ n/i) (1+i) d a0= ------------------.. prepagable. inmediata y entera. a 2 = a0 + 2d a s = a 0 + (s)d = a s-1 + d • Al tratarse de una renta variable en progresión aritmética. final será: . la ecuación de equivalencia financiera en el ..MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. d n Cn = S(a 0 . a 0 deberá ser positivo). MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. r=1 r Ms= Cn-Cs = Ms-1 . Is = ∆s – as-1 = (Cs-1+as-1)i .1: Constitución de capitales • Si hallamos la reserva por recurrencia para los períodos ―s‖ y ―s+1‖ y luego restamos ambas igualdades obtenemos: ∆ s+1 = ∆ s (1+i)+d(1+i) = (∆ s +d)(1+i) excepto: ∆ 1=a 0(1+i) • Se cumple también: r Cs = Cs-1 +∆s = Σ ∆ .∆s . 1: Constitución de capitales Planteamiento general • Coinciden la última aportación y el capital constituido.1.Σ ar (1+i) r=s+1 n -(r-s) Método prospectivo Método recurrente Cs= C s-1(1+i)+as Si despejamos: Cs-C s-1 =C s-1∙ i + as ∆s= Is + as . • La ecuación de equivalencia financiera suponiendo ―i‖ constante y términos impositivos variables: n n-s Cn=Σ as (1+i) s=1 • El saldo financiero se hallará por la derecha(un instante después de haberse entregado el término constitutivo).3. Constitución de un capital con imposiciones pospagables. Planteamiento general y casos particulares. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. • Capital constituido hasta el momento ―s‖: s s-r Cs=Σ ar (1+i) Método retrospectivo r=1 Cs= Cn (1+i) -(n-s) . la ecuación de equivalencia financiera en ―n‖ es: Cn = Sn┐i = a∙ sn┐i • Capital constituido hasta el momento ―s‖: Cs = Ss┐i = a∙ ss┐i Método retrospectivo Cs = Cn (1+i) -(n-s) .=an • Al tratarse de una renta constante.a∙ an-s┐i Método prospectivo Cs = Cs-1 (1+i) + as Si despejamos se cumple lo que en el caso general: Método recurrente Cs-Cs-1 =Cs-1 ∙ i + as ∆s= Is + as .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. temporal y entera.. inmediata. Cs = Σ ∆k . Ms = Σ ∆k siendo a1 = ∆1 = C1 k=1 k=1 k=s+1 Caso particular: Términos constitutivos constantes • Se verifica: a1 =….1: Constitución de capitales • Partiendo del despeje anterior podemos deducir: n s n Cn = Σ ∆k . pospagable. obtener: a) Montante constituido b) Montante constituido después de 3 años c) Cuadro de constitución .1: Constitución de capitales • Si aplicamos el método recurrente nuevamente para el período ―s+1‖ y restamos ambas ecuaciones obtenemos: C s+1 –Cs = (C s– Cs-1)(1+i) La cuotas crecen en progresión geométrica de razón ―1+i‖. cuando el momento de la última aportación coincide con la retirada del capital constituido.MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. siendo ∆1 = a = Cn/s n┐i ∆ s+1 ∆s • Entonces: Cn= ∆1 ∙ s n┐i • Ejemplo: Para aportaciones anuales de 10000 euros al 4% de interés durante 5 años. cada cuota será el cociente entre el capital a constituir y los períodos de la operación: ∆= Cn/n El capital constituido hasta ―s‖ será igual al total de las ―s‖ cuotas: Cs= s ∙ ∆= s ∙ Cn/n Ms= (n-s) ∙ ∆ = (n-s)/n ∙ Cn El capital constituido irá aumentando en cada período y. Si restamos: [ Cs+1= Cs (1+i) + as+1 ] y [ Cs= Cs-1(1+i)+as] Cs+1 – Cs = (Cs – Cs-1)(1+i)+ as+1 – as ∆=∆(1+i)+ as+1 – as as+1 = as . por lo que si las cuotas de constitución son constantes y las cuotas de intereses crecientes.=∆n= ∆ El capital constituido al final será igual a la suma de todas las cuotas: Cn = n ∙ ∆ Así.• • • • • • MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. las cuotas de intereses también al calcularse sobre el capital constituido.∆ ∙ i ¡Los términos impositivos decrecen en progresión aritmética! a1=∆ Razón de progresión . entonces los términos impositivos serán decrecientes.1: Constitución de capitales Caso particular: Cuotas de constitución constantes Se verifica: ∆1=…. • En las operaciones de constitución distinguimos: . finales e intermedios). Tantos efectivos en las operaciones de constitución • Hasta ahora hemos trabajado estableciendo equivalencias financieras en operaciones financieras puras.1: Constitución de capitales 1.Tanto medio efectivo del impositor(ahorrador o acreedor): tanto constante de la ley de capitalización compuesta que cumple la equivalencia: Prestación real entregada por el impositor ≈ (ia) Contraprestación real recibida por el impositor . que influyen en la equivalencia financiera de las operaciones y que una vez incluidas en el conjunto de capitales de prestación y contraprestación. • Existen una serie de características comerciales(gastos iniciales.4. éstos pasan a denominarse prestación real y contraprestación real.MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. • Surgen entonces los conceptos: tanto efectivo real para del acreedor (ia) y tanto efectivo real deudor (id). Impositor/ahorrador/acreedor: a a n n n-r Vn – Zf – Gi (1+ia) = Σ ar(1+ia) r=1 .Deudor: d d n n n-r Vn + Gf – Gi (1+id)= Σ ar (1+id) r=1 .Tanto medio efectivo del deudor: tanto constante de la ley de capitalización compuesta que cumple la equivalencia financiera: Prestación real recibida por el deudor • ≈ (id) Contraprestación real entregada por el deudor Suponiendo las características comerciales más frecuentes: Bilaterales: bonificaciones que implican que se abone Vn y no Cn al final Unilaterales: Gastos iniciales a cargo del deudor (Gdi) y del acreedor (Ga i ) d a Gastos finales a cargo del deudor (Gf ) e Impuestos al acreedor (If ) El tanto efectivo real para el impositor y deudor será el que cumpla la equivalencia en tn como sigue: .MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.1: Constitución de capitales . empresa. Planes de asociados(promotor: cualquier colectivo y partícipes: asociados) y Planes individuales(promotor: entidad financiera y partícipe: persona física).MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. formado por las aportaciones de sus miembros y los rendimientos obtenidos de las inversiones. . Es uno de los constituyentes. . Son administrados por entidades gestoras con el concurso de una entidad depositaria que se encarga de custodiar y depositar los activos financieros .5. Rentabilidad de las operaciones realizadas a un plan de pensiones. sindicato o colectivo que promueva su creación. • Fondo de pensiones: patrimonio afecto al cumplimiento de un Plan de Pensiones. . • Planes de pensiones: tienen por objeto canalizar los ahorros de las personas en época de actividad laboral hacia colocaciones que permitan realizar previsiones cuando llegue la jubilación.Promotor: cualquier entidad. • Elementos personales de los Planes de Pensiones: . asociación.1: Constitución de capitales 1.Según sean los constituyentes serán: Planes de empleo(promotor: empresa y partícipes: empleados). Es uno de los constituyentes. Rentabilidad financiero fiscal de un plan de pensiones. .Partícipe: persona física interesada en la creación del Plan y titular de las aportaciones. Se benefician de la inversión colectiva y tienen un tratamiento fiscal favorable.Beneficiarios: personas físicas con derecho a recibir las prestaciones que ofrece el Plan. La rentabilidad dependerá de los resultados de la gestión del fondo. La incógnita: ―a‖. Planes de prestación definida: se fijan las prestaciones que se desean entregar a los beneficiarios. ―i‖ constante . el caso general para calcular els Fondo de Capitalización constituido hasta el año ―s‖ sería : s Fs = Σ ar ∙∏(1+ih) Método Retrospectivo r=1 h=r+1 Fs = Fs-1 (1+is)+as Método Recurrente • • - Fs – Fs-1 = ∆s Fs-1 ∙ is = Is Casos particulares(ver procedimientos de clases anteriores): ―a‖. ―i‖ : constantes ―a‖ crecientes en progresión geométrica. La incógnita: ―Cn‖ . En el caso de la modalidad de aportación definida. Planes mixtos: se combinan las características de los anteriores.• - • MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T.1: Constitución de capitales Existen tres modalidades según sea la forma en que se materializan las aportaciones: Planes de aportación definida: la magnitud conocida es la cuantía de las aportaciones de los partícipes y promotor. • • • MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS T. . las aportaciones que realizan propiamente los partícipes o terceros en su favor podrán ser deducidas de la base imponible de su IRPF hasta el límite máximo de la menor de las dos cantidades siguientes: 30% de la suma de rendimientos de trabajo y actividades económicas (50% para mayores de 50 años) 10.1: Constitución de capitales El Fondo de Capitalización. llegada la jubilación.500€ para mayores de 50 años) Si el Plan es de Empleo: las aportaciones que realiza la empresa a favor de sus empleados será gastos deducible para ésta a efectos del Impuesto de Sociedades. en general. se entregará a los beneficiarios en alguna de las siguientes modalidades de prestación: Un capital igual al constituido hasta dicho período o Derecho Consolidado Una renta(vitalicia o temporal) Un combinación de ambos En cuanto a los beneficios fiscales actuales.000€ de aportaciones anuales (12.