Simulación y Optimización de Procesos – Tema 66.- OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS QUÍMICOS ..................................................... 223 6.1.- Introducción ...................................................................................................... 223 6.1.1.- Técnicas de optimización ...................................................................................... 225 6.1.2.- Ventajas e inconvenientes en optimización de procesos ....................................... 225 6.2.- Métodos numéricos de optimización de funciones de una variable ........................ 228 6.2.1.- Acotación del óptimo............................................................................................ 230 6.3.- Métodos indirectos: Newton, Quasi-Newton y Secante ........................................ 232 6.3.1.- Método de Newton ............................................................................................ 233 6.3.2.- Método de Quasi-Newton.................................................................................. 235 6.3.3.- Método de la secante .......................................................................................... 235 6.4.- Métodos directos ............................................................................................... 237 6.4.1.- Eliminación de regiones ....................................................................................... 237 6.4.2.- Búsqueda a intervalos iguales............................................................................... 237 6.4.3.- Método de la Sección Áurea, Sección Dorada ó Segmento Áureo ........................ 239 6.4.4- Método de la Bisección o Dicotomía ...................................................................... 241 6.4.5.- Método de Fibonacci ............................................................................................. 242 6.4.5.1.- Método de Fibonacci y aproximación al método de la Sección Áurea ...... 246 6.4.6.- Métodos de búsqueda preplaneada ....................................................................... 247 6.4.7.- Comparación de los métodos de eliminación de regiones ..................................... 249 6.5.- Métodos de aproximación polinomial .................................................................. 250 6.5.1.- Interpolación cuadrática ....................................................................................... 250 6.5.2.- Interpolación cúbica ............................................................................................. 251 6.6.- Programación lineal ................................................................................... 252 6.6.1.- Suposiciones implícitas en la programación lineal ....................................... 253 6.6.2.- Método Gráfico ........................................................................................... 253 6.6.3.- Método Simplex ................................................................................................... 258 6.6.3.1.- Método Simplex sin restricciones ............................................................. 258 6.6.3.1.1.- Tabla del Método Simplex .............................................................. 262 6.6.3.1.2.- Pasos a seguir en la resolución mediante el método simplex .......... 262 6.7.- Programación lineal mixta (MILP) ...................................................................... 270 Optimización de Procesos Químicos 6.7.1.- Método Branch and Bound................................................................................... 271 6.7.1.1.- Algoritmos de mejora para el método Branch and Bound ........................ 272 6.7.2.- Algoritmo SQP..................................................................................................... 285 6.8.- Optimización con simuladores modulares de procesos .......................................... 293 6.8.1.- Introducción ......................................................................................................... 293 a) Enfoque modular-secuencial............................................................................ 293 b) Enfoque Global ................................................................................................ 296 c) Enfoque Modular Simultáneo ......................................................................... 297 6.8.2.- Optimización de procesos con el enfoque modular secuencial ............................. 298 6.8.3.- Ejemplos prácticos aplicados con simuladores modulares .................................... 299 6.8.3.1.- Optimización con HYSYS de una torre con salidas laterales ................... 299 6.9.- Empleo del complemento Solver de Excel ............................................................ 311 6.9.1.- Optimización Restringida..................................................................................... 311 6.9.2.- Herramienta Solver .............................................................................................. 312 6.9.2.1.- Instalación de Solver ................................................................................ 313 6.9.2.2.- Algoritmos y métodos Utilizados por Solver ........................................... 314 6.9.2.3.- Solver y Optimización No Lineal ............................................................. 314 6.9.3.- Solver y Programación Lineal .............................................................................. 322 6.9.4.- Opciones de Solver ............................................................................................... 332 Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 6.- OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS QUÍMICOS. 6.1- Introducción. La industria química utiliza la optimización para ser más competitiva. Esta mejora normalmente lleva asociado un ahorro de costes (por ejemplo al establecer la etapa de alimentación de una columna de destilación en función del consumo energético), una mayor eficacia de operación (por ejemplo, al fijar la temperatura de reacción que maximiza la conversión del producto principal y simultáneamente minimiza la conversión de los productos secundarios) o aspectos relacionados con la logística (por ejemplo, la industria farmacéutica debe garantizar la disponibilidad de ciertos medicamentos en todo momento, a la vez que debe gestionar sus materias primas y productos intermedios). Por lo tanto, queda claro que muchas de las decisiones que se toman en la operación de las plantas químicas están basadas en la aplicación de herramientas de optimización. Se puede definir como optimización al proceso de seleccionar, a partir de un conjunto de alternativas posibles, aquella que mejor satisfaga el o los objetivos propuestos. Para resolver un problema de optimización se requieren dos etapas principales: 1.- La formulación del modelo de optimización no es un procedimiento formal estructurado, sino más bien es un proceso que requiere de experiencia y creatividad. 2.- Una vez generado el modelo, la etapa siguiente es resolver y validar dicho modelo. Si bien, como se mencionara anteriormente, el proceso de modelado es esencialmente cualitativo y requiere de la habilidad y la experiencia de quien desarrolla el modelo, en términos generales se pueden definir los siguientes pasos a seguir para la formulación del modelo: Identificar las Variables de Decisión: Las variables de decisión representan las alternativas de decisión del problema. Pertenecen a la propia naturaleza del problema y no pueden ser establecidas arbitrariamente. Identificar y/o fijar las restricciones: Las restricciones de un problema de optimización definen el conjunto de valores que pueden tomar las variables de decisión. En el caso de restricciones de igualdad, éstas además generan dependencia entre variables, reduciendo los grados de libertad del problema. El conjunto de todas las variables del problema se divide así en el subconjunto de variables independientes y el subconjunto de las variables dependientes. Las restricciones pueden pertenecer a la naturaleza del problema, como lo son las restricciones físicas (límites de presión y 223 la seguridad del proceso. etc. junto con los de estimación económica. según su propio criterio. el criterio seleccionado será el de maximizar o minimizar el objetivo propuesto. Análisis de la Información Disponible: La información acerca de los parámetros del proceso permitirá definir el criterio de decisión a adoptar.Optimización de Procesos Químicos temperatura.). fue más tardía. aspirando a asegurar lo mejor para los peores valores que pueden ocurrir. En el caso que para estos parámetros cuyo valor está sujeto a incertidumbre. Los factores que han contribuido al espectacular auge en la aplicación de técnicas de optimización son: Disponibilidad de ordenadores con una creciente capacidad de cálculo y el establecimiento de redes de ordenadores conectados entre sí. adoptando como criterio de decisión optimizar el valor esperado del objetivo elegido. se dispusiera de una función de densidad de probabilidad. Definición de los Objetivos: Los objetivos no pertenecen a la naturaleza del problema. Desarrollo de algoritmos matemáticos robustos para la optimización. el tomador de decisión podría arriesgarse a tomar decisiones en función de esa información probabilística. La mayoría de los métodos matemáticos se desarrollaron en áreas como la investigación de operaciones y el análisis numérico. pero también puede haber restricciones fijadas arbitrariamente por quien debe decidir. como los estudiados en ingeniería química. la satisfacción del cliente. la calidad del producto. La mejora en la predicción de los modelos de simulación de operaciones unitarias. permite discernir entre alternativas similares. Adoptado el criterio de decisión. El mismo puede definir un único objetivo o varios objetivos a ser considerados simultáneamente. Por ejemplo. Si se conoce con certeza el valor de los parámetros. el paso que sigue es expresar las restricciones y el objetivo como funciones matemáticas de las variables de decisión. etc. quedando así definida una región paramétrica. En el extremo opuesto es posible encontrar parámetros cuyo valor es incierto. sino que son fijados arbitrariamente por quien debe decidir. Los criterios de decisión a utilizar en estos problemas son generalmente conservativos. 224 . se suelen definir como objetivos: la rentabilidad del proceso. Usualmente en estos casos con algún criterio es posible definir para cada parámetro sujeto a incertidumbre un rango de valores posibles. equilibrio liquido vapor. mientras que su aplicación a sistemas complejos. En lo que respecta a los requisitos para la aplicación de la teoría de optimización a problemas concretos de la ingeniería. índice que permita identificar el mejor diseño.1.. mixed integer non-linear programming): incorpora variables discretas (binarias o enteras) a la NLP. utilización de energía mínima. non-linear programming): algunas de las funciones involucradas no son lineales. Programación no lineal (NLP.Técnicas de optimización. éstos se enumeran a continuación constituyendo los puntos 1. El algoritmo de programación cuadrática sucesiva (SQP. Variables independientes del sistema.. costo anual. mixed integer linear programming): algunas de las funciones involucradas no son lineales. Programación no lineal mixta (MINLP.Ventajas e inconvenientes en optimización de procesos. Programación lineal mixta (MILP. El algoritmo más utilizado es branch and bound (ramificación y acotamiento). velocidad de producción máxima. 6. por lo que pueden ser binarias (0 o 1) o enteras. 3. que en la mayoría de ocasiones se obtiene utilizando el método simplex. se dará una visión global de las técnicas de optimización más utilizadas en ingeniería química: Programación lineal (LP. A continuación. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 6. etc. Normalmente el problema original se descompone en varios subproblemas de NLP que se resuelven dentro de una MILP. 4. sequential quadratic programming) es el más utilizado. Factor económico: Capital total. linear programming): tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Seleccionar las variables del sistema que servirán para caracterizar y/o identificar a las alternativas candidatas. Factor tecnológico: Tiempo de producción mínimo. Elegir un criterio cuantitativo para medir la representación del sistema. Parámetros del sistema. a la programación lineal.1. 2. Definir los límites del sistema.1. 225 . 2. Definir un modelo matemático que exprese la forma en que las variables están relacionadas. Tiene una solución única. relación costo-beneficio. por lo que la resolución del problema es más compleja debido a la posibilidad de que existan mínimos locales. 3 y 4 la formulación del problema de optimización: 1. retorno sobre la inversión.2. En primer lugar. 3. es mejor resolverlo a mano. entonces no es necesario utilizar ninguna otra herramienta. MILP. porque es crucial familiarizarse con el problema antes de intentar optimizarlo. No existe ningún método que garantice a priori ni la solución de un problema de optimización. restricciones y variables) y utilizar métodos específicos para cada caso (LP. 4 inecuaciones que definen los rangos de operación permitidos. Esto es. Normalmente es necesario dedicar más tiempo del que inicialmente uno tiene pensado a obtener el modelo del proceso. mientras que planteado de otra forma su resolución puede ser trivial (en muchas ocasiones basta con plantear una restricción de forma equivalente: A-B=0 o A/B=1). De todas formas. 2relaciones de diseño. si el problema se puede resolver rápidamente a mano. La mejor estrategia es mantener el modelo más sencillo posible. Las variables típicas están relacionadas con las condiciones de operación (temperatura. Y. especifican los requerimientos de representación máxima o mínima y/o fijan los límites en las disponibilidades de los recursos).Optimización de Procesos Químicos Modelo matemático: Es una representación matemática de los aspectos esenciales de un sistema y que presenta conocimiento del mismo en una manera útil (Eykhoff. incluso seleccionando un buen algoritmo de cálculo la convergencia y la robustez serán aspectos clave: un problema planteado de una forma puede no converger. 1974). Y si para resolverlo basta con utilizar el solver de Excel. por lo que el enfoque más eficaz radica en aprovechar la estructura del problema (tipo de función objetivo. Aspectos a considerar en el modelado (1 ecuaciones de balances de materia y de energía. MINLP u otros). modificando las variables más importantes del proceso (±5-10%) para conocer su efecto sobre el sistema. Siempre es una buena idea realizar análisis de sensibilidad. purga de una corriente) o con el dimensionado de los equipos. no existe ningún protocolo que garantice la convergencia ni ningún algoritmo intrínsecamente robusto dado la enorme casuística de problemas que se pueden encontrar en ingeniería química. 2. en segundo lugar. 3ecuaciones que describen el fenómeno físico. pese a que sea la fase más sencilla. porque el modelo debe ser robusto. razón de flujo. Al final del presente capítulo se aborda el empleo de dicha herramienta. 226 . NLP. Basándose en esta información se fijan los grados de libertad del proceso (normalmente se seleccionan las variables que tienen un mayor impacto en la función objetivo). se enumera una serie de consejos sobre buenas prácticas: 1. Lamentablemente. A continuación. La existencia de múltiples óptimos se debe. incluyendo las restricciones una a una. 5. mediante análisis de sensibilidad. Verificar las respuestas y examinar la sensibilidad de los resultados a cambios en los coeficientes e hipótesis del problema. b) Simplificar la función objetivo. Preparar una lista de todas las variables. Analizar el proceso y definir las variables y características específicas de interés. Determinar el criterio de optimización y especificar la función objetivo en términos de las variables listadas en 1). que la solución es aceptable para un amplio rango de situaciones. Analizar críticamente los resultados. puesto que todos los métodos de optimización son altamente sensibles al valor inicial. Iniciar la optimización partiendo desde diferentes valores iniciales factibles. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 4. 4. un modelo de proceso o equipo que relaciones las variables de entrada-salida de un proceso con los coeficientes asociados. Aplicar una técnica de optimización adecuada respecto a la formulación matemática del problema. Si la formulación del problema es demasiado grande: a) Dividirlo en partes manejables. Hay que comprobar si el resultado tiene significado físico y si es coherente y confirmar. La posibilidad de resolver un problema complejo al primer intento es remota. añadiendo complejidad a la función objetivo poco a poco. 3. para detectar posibles problemas lo antes posible. el procedimiento genérico para su resolución será: 1. 5. De esta forma se minimiza el riesgo de obtener un mínimo local en lugar del mínimo absoluto (en todo caso. vía expresiones matemáticas. En un principio se debe restringir la zona de búsqueda y después considerar la posibilidad de relajar algunas de las restricciones. conjuntamente con los coeficientes. Se debe considerar que además de las restricciones evidentes (por ejemplo. una vez se dispone de un problema concreto susceptible de ser optimizado. normalmente. las emisiones deben cumplir la legislación ambiental). 227 . Hay que construir el modelo de optimización poco a poco. En resumen. normalmente el número de mínimos locales es pequeño). 6. 7. 6. al comparar opciones mutuamente excluyentes) y restricciones inherentes al proceso (por ejemplo. a discontinuidades en la función objetivo a la no linealidad de las funciones. 2. Desarrollar. estos métodos dan como solución al problema de optimización un intervalo donde puede encontrarse el valor óptimo. 228 . muchas veces obtener las derivadas es una tarea difícil. Sin embargo.Optimización de Procesos Químicos 6.2. Sea como sea. y sobre ellas buscar el óptimo de la función objetivo. Los métodos indirectos requieren el cálculo de las derivadas primeras y segundas. en problemas de ingeniería esta ventaja es muchas veces neutralizada por falta de interés de determinaciones precisas de la función objetivo debido a la falta de precisión de los coeficientes que muchas veces se utilizan. que pueden ser: . según un determinado criterio. Ese es el objetivo de los métodos directos.. Por este motivo se desarrollaron los métodos numéricos de búsqueda unidimensional. se basa. en la búsqueda unidireccional. mientras que en otros significará realizar un experimento. Los métodos directos tienen la ventaja de que pueden tratar más fácilmente problemas que incluyan discontinuidades. Los métodos analíticos imponen demasiadas restricciones a las funciones objetivos. Además. Esto plantea la necesidad de contar con métodos capaces de trabajar únicamente con los valores (experimentos) de la función objetivo. en base a una estrategia basada en definir direcciones. siempre será conveniente llegar al óptimo realizando la menor cantidad de evaluaciones. Métodos directos: sólo utilizan los valores de la función objetivo. a partir de los resultados de las evaluaciones realizadas. sugerirán el siguiente experimento para aumentar la velocidad de convergencia. Los métodos indirectos tienen la ventaja inherente de que la convergencia es normalmente rápida. puntos de inflexión y puntos finales. los cuales son los llamados métodos de búsqueda directa. pero no son buenos para funciones no lineales multivariables. La obtención de un valor de la función objetivo significará en algunos casos evaluar un modelo matemático. de dos o más variables. y hasta es posible que ni siquiera se conozca la forma analítica de la función objetivo. no siempre es posible resolver el sistema de ecuaciones analíticamente. . búsqueda a intervalos iguales. principalmente. Sin embargo. estos métodos dan como resultado un punto que puede encontrarse muy cercano al valor óptimo buscado. pero necesitan la definición de un criterio de precisión.Métodos numéricos de optimización de funciones de una variable. Métodos indirectos: utilizan las condiciones necesarias. las derivadas (analíticas o numéricas) y la función objetivo. Quasi-Newton y Secante. que abarca la resolución de problemas. método de la bisección o dicotomía. La optimización de funciones de una variable. Los métodos directos son: eliminación de regiones. método de Fibonacci y método de la sección dorada. Algunos ejemplos de los métodos indirectos son: Newton. a priori. pero en muchos casos prácticos las funciones presentan estas características. Esta idea está asociada a la noción de unimodalidad cuyo significado es que en el ámbito de búsqueda solo debe existir un óptimo de la naturaleza buscada. por el cual se procede a excluir del análisis espacios de búsqueda. La utilidad de esta propiedad radica en el hecho de que si f(x) es unimodal. generalmente incluyen pasos de búsqueda unidireccional en sus algoritmos. El proceso termina cuando f x k 1 f x k donde el superíndice k designa el número de iteración y es la tolerancia pre-especificada o criterio de tolerancia. Es muy difícil determinar. Las técnicas de optimización con y sin restricciones. En muchos problemas las restricciones se pueden incluir dentro de la función objetivo. Para aplicar los métodos de búsqueda directa se debe comenzar por acotar el punto donde se encuentra el óptimo. se dice. se puede definir un criterio para eliminar regiones donde seguro el óptimo no se encuentra. 2. se comienza con un valor inicial de x y se continua seleccionando valores de x de acuerdo con una estrategia pre-seleccionada. La gran ventaja de estos métodos de búsqueda es que solamente requieren 229 . Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Una buena técnica de optimización de funciones de una única variable es fundamental por al menos tres razones: 1. entonces solamente es necesario comparar f(x) en dos puntos diferentes para predecir cuál de los subintervalos definidos por esos puntos no se va a encontrar el óptimo. por lo que la dimensionalidad del problema se reduce a una variable. Es fundamental el hecho de que la función estudiada sea unimodal. no puede encontrarse el óptimo. 3. Para ello. Para seleccionar el método de optimización se debe alcanzar un compromiso entre la complejidad del procedimiento y el número total de evaluaciones que se debe realizar. al menos dentro del dominio de interés. Uno de los enfoques clásicos en métodos de búsqueda unidireccional es el concepto de eliminación de regiones. necesitamos evaluar la función en dos puntos. donde. si una función es unimodal. la búsqueda termina. Cuando el subintervalo final tenga una longitud suficientemente pequeña. y asegurarse de que la función es unimodal en el intervalo considerado. La eliminación de regiones se centra en la búsqueda de las soluciones óptimas mediante sucesivas reducciones del intervalo de estudio y en la eliminación de subintervalos. Algunos problemas sin restricciones. inherentemente incluyen una única variable. Para llevar a cabo los métodos directos de minimización numérica solamente se usa el valor de la función objetivo. Si la función es unimodal. si fijamos como punto inicial el cero. La ubicación de los puntos de cálculo debe ser simétrica respecto del punto medio del intervalo para que el porcentaje de región eliminada sea independiente de valores relativos de las evaluaciones.1.Criterio de eliminación de regiones. 6. Por ejemplo. podemos movernos 0. 230 . Una alternativa es hacer una transformación de x . Si bien el concepto de unimodalidad es muy simple de plantear y. Casi todos los procedimientos de búsqueda unidimensional requieren que el óptimo esté acotado dentro de un intervalo conocido como primer punto de la estrategia de búsqueda.. 3. es imposible. la más sencilla consiste en fijar un punto y comenzar a movernos una distancia fija en una dirección. en la práctica. dos evaluaciones de la función objetivo para poder desechar una región. 2. como se verá. por ejemplo a una escala logarítmica o bien incluir un factor de aceleración.. mientras que el restante queda en uno de los límites de la misma.Acotación del óptimo. Puede observarse que para llevar a cabo la eliminación de regiones es necesario cumplir con lo siguiente: 1. Aunque el método da buenos resultados es bastante ineficaz. Figura 6. puede convertirse en una estrategia eficiente para la búsqueda de un óptimo. tiene un inconveniente básico y es que para asegurar su cumplimiento debería conocerse exactamente el comportamiento de la función objetivo.1. Se requieren.2. como mínimo.Optimización de Procesos Químicos evaluaciones de la función y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la derivabilidad de la misma. Existen varias estrategias que se pueden usar para acotar el óptimo.01 cada vez. cuestión que. Siempre queda uno de los puntos dentro de la zona no eliminada. por ejemplo. los límites de las variables vienen dados de forma natural por consideraciones físicas. Resolver f 0 para encontrar los valores de x S . x D 1 y x D 2 . Si f 0 entonces x S corresponde a un dx 2 mínimo local en f x . Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 De todas maneras.2b. Evaluar f x S . 4. El procedimiento se puede resumir con el siguiente algoritmo: z f x x xL x xU df x 1. entre otros. Esto se ilustra gráficamente en la Figura 6. si f(x) es discontinua. Si x está ligada a limitaciones. Evaluar f para cada valor de x S . 3. xU que dan los valores más bajos de f x .2b ilustra el caso de una función objetivo discontinua. El óptimo total es el valor del conjunto x L . entonces se deberá revisar el valor de f(x) en cada lado de la discontinuidad. Las funciones discontinuas son bastantes comunes en el diseño de ingeniería. En la Figura 6. Similarmente. límites de temperatura. aunque hay un mínimo local para x S 1 . entonces se debe comprobar también los valores de la función objetivo en los límites restringidos superior e inferior. Cualquier punto estacionario en f(x) se puede entonces encontrar como las soluciones de f’(x)=0. x S . Si la segunda derivada de la función objetivo es mayor que cero en un punto estacionario entonces el punto estacionario es un mínimo local. x. aunque hay un mínimo local a x S . La Figura 6.2a para una función objetivo continua. 231 . la función objetivo f(x) se puede derivar respecto a x para dar f’(x).2b el óptimo es para x D 1 . Si el objetivo es una función de una única variable. surgiendo. como son. límites de presión. Si la segunda derivada es menor que cero entonces el punto estacionario es un máximo local y si es igual a cero entonces es un punto de inflexión. x D 1 . cuando los cambios en la temperatura o en el pH causan un cambio en la metalurgia. Si la función objetivo es discontinua entonces evaluar f x en ambos lados de la discontinuidad. x L es el punto óptimo. En la figura 6. 5. valores de fracciones molares. f x L y f xU . en una buena parte de los problemas de optimización. x D 2 . dx d 2f x 2. Nos referiremos en esta sección a métodos de búsqueda de óptimos en funciones derivables. Convergencia lineal x k 1 x * c 0 c 1 convergencia lenta (6. Recordemos en primer lugar que la condición necesaria para que un punto x* sea óptimo local de una función derivable es que se anule su derivada en ese punto. Es de suponer que. si además de unimodalidad y continuidad en las funciones que queremos optimizar. La efectividad de estas técnicas se evalúa mediante la velocidad de convergencia que presentan. requerimos un método de búsqueda que se aproxime sucesivamente al punto estacionario de f(x).3. la solución analítica de la ecuación f (x) = 0 se complica. Quasi-Newton y Secante. p 1 convergencia muy rápida (6.. podremos incrementar la eficiencia de los algoritmos de búsqueda.Optimización de una variable única entre límites Si la función objetivo se puede expresar como una ecuación diferencial entonces es normalmente fácil también trazar una gráfica como las de la Figura 6 y determinar rápidamente si el óptimo corresponde a un punto estacionario o una limitación. 6. se requiere también la derivabilidad de las mismas. Cuando f(x) es una función de tercer grado o superior. Por tanto.Optimización de Procesos Químicos a b 6 6 4 4 z z 2 2 0 0 XL XS2 XS1 XU XL XD1 XD2 XS XU Figura 6.2) xk x * p 232 .. f´(x*) = 0.Métodos indirectos: Newton.1) xk x * Convergencia de orden p x k 1 x * c c 0.2. x k 1 x * lim 0 convergencia rápida (6. Este método utiliza la condición de que f’(x)=0.. El procedimiento se repite hasta que (xk+1 .Método de Newton. El valor de x en el paso k+1 se calcula del valor de x en el paso k: f '( x k ) x k 1 x k (6. Para una función cuadrática converge con solo una iteración. f(xk+1) < f(xk).3) k xk x * 6. Figura 6. para la búsqueda de un mínimo.3. 233 . Desventajas: se deben calcular las derivadas primeras y segundas.Aplicación del método de Newton a la solución de f’(x)=0. Ventajas: es un proceso que converge cuadráticamente en forma local. si existen más de un extremo el método puede no converger en el valor deseado.xk) sea menor que el criterio de convergencia o tolerancia. si las derivadas segundas son nulas el método converge lentamente. . Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Si p = 2 se dice que la convergencia es cuadrática.. Convergencia superlineal. El método de Newton es un método de búsqueda indirecto superlineal que busca el óptimo resolviendo f’(x) y f’’(x) y buscando f’(x) = 0.1.4) f ''( x k ) asegurando que para cada paso k.3. El método de Newton requiere que la función sea dos veces derivable. Optimización de Procesos Químicos La ventaja de este método radica en que es un proceso que converge cuadráticamente en forma local. Su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial.119 4 1.587 0. si las derivadas segundas son nulas el método converge lentamente. las aproximaciones sucesivas se alejarán del punto estacionario x*. .667 17.500 15.000 12.000 15.543 -0.586 -0. Figura 6.713 15. La Figura 6.556 2 1. Ejemplo: Minimizar la siguiente función utilizando el Método de Newton 16 f ( x ) 2x 2 x El punto de partida es x0=1. La única solución en estos casos es tener un valor inicial que sea “suficientemente” cercano a la raíz. Como desventajas se citan las siguientes: . el método converge en 3 iteraciones Método de Newton Iteración xk f´(xk) f´´(xk) f(xk) 0 1 -12 36 18 1 1.4. Para algunas funciones ningún valor inicial funcionará. Es bastante posible que este método no converja hacia el verdadero punto estacionario. Desafortunadamente el método depende de la elección del punto de partida y de la naturaleza de la función. si existen más de un extremo el método puede no converger en el valor deseado. Si comenzamos en un punto a la derecha de x0. Divergencia.Método de Newton.550 12.4 ilustra esta dificultad.131 3 1. Para una función cuadrática converge con solo una iteración.019 15. Se deben calcular las derivadas primeras y segundas. No hay un criterio general de convergencia para el método de Newton.015 12.119 234 ..333 -3. Un problema potencial en la implementación del método de Newton es la evaluación de la derivada. también es necesario conocer el valor de h (paso de la diferencia finita). existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular..2.8818 18. En dichos casos.543 15. f (x k h ) f (x k h x k 1 x k 2h f ( x k h ) 2f ( x ) f ( x k h (6. . 235 .5555 2 1. El método de quasi-Newton normalmente da la convergencia rápida a menos que f’’(x) sea cercana a cero. estas pueden reemplazarse por aproximaciones de diferencias finitas..593 15.3.Método de la secante.1373 15.5197 15. En el caso en que la función objetivo no sea conocida o no puedan evaluarse las derivadas.1195 15.1197 15. la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás.587 15. Ejemplo: Minimizar la siguiente función utilizando el Método de Quasi-Newton 16 f ( x ) 2x 2 x El paso utilizado fue h=0. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 6. h. Método de Quasi-Newton Iteración xk f(x+h) f(x-h) f(xk) 0 1 17.3.1198 15.3. el método converge en 3 iteraciones.1191 6.Método de Quasi-Newton.333 15.586 15. Hay que tener cuidado al fijar el tamaño de paso.5) h2 La desventaja adicional de este método consiste en la necesidad de evaluar funciones adicionales en cada iteración. En este caso la convergencia es pobre.1218 18 1 1. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios ni para muchas otras funciones. Este método es una solución a las limitaciones del método de Newton.1191 4 1.1263 15.1312 3 1.01. y la tolerancia.1197 15. 119 El intervalo utilizado para optimizar la función fue (1.59132 0.119 7 1 1. este método no se clasifica como un método cerrado.531 19.5969 0.65235 -12 15.5311 -12 15.62401 -12 15.120 6 1 1.58902 0. Se puede observar que el método requiere de dos valores iniciales de x. 236 .131 1 1 2.761 2 1 1. el valor óptimo se obtiene luego de 6 iteraciones.591 1.644 1.6) x k 1 x k Esta aproximación se sustituye de la ecuación f x k x k 1 x k (6.11332 -12 15.64367 1.273 -12 15.597 1.138 4 1 1.47485 -12 15.8) f x k 1 f x k Siendo esta la fórmula para el método de la secante. Sin embargo.726 1.5).610 1.936 7.Optimización de Procesos Químicos f x k 1 f x k f x k (6.36 -12 19.228 3 1 1. debido a que no se necesita que f x cambie de signo entre los valores dados.7) f x k Para obtener la siguiente ecuación iterativa: f x k x k 1 x k x k 1 x k (6.04687 -12 15.531 1. Ejemplo: Minimizar la siguiente función utilizando el Método de la Secante 16 f ( x ) 2x 2 x Método de la Secante Iteración xp xq x* f´(xq) f´(xp) f(x*) 0 1 5 2.936 1.61048 0.122 5 1 1.72579 3. 1. entonces Lk tras k iteraciones viene dado por: 2 k Lk ·L0 (6.4. El método de búsqueda a intervalos iguales reduce en 1/3 la longitud del intervalo en cada iteración. Si la función es unimodal. Este tipo de métodos se centra en la búsqueda de las soluciones óptimas mediante sucesivas reducciones del intervalo de estudio y en la eliminación de subintervalos. La gran ventaja de estos métodos de búsqueda es que solamente requieren evaluaciones de la función y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la derivabilidad de la misma.4. Cuando el subintervalo “sobreviviente” tenga una longitud suficientemente pequeña.Búsqueda a intervalos iguales. al menos dentro del dominio de interés. entonces solamente es necesario comparar f(x) en dos puntos diferentes para predecir en cuál de los subintervalos definidos por esos puntos no se va a encontrar el óptimo.Eliminación de regiones. Para ello necesitamos evaluar la función en dos puntos y aplicar algo de lógica. 6. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 6. la búsqueda termina..9) 3 237 . Es fundamental el hecho de que la función estudiada sea unimodal. En la Figura 6.4. Si L0 es la longitud del intervalo original (b-a) y Lk es el intervalo después de k iteraciones.2.Métodos directos. Si partimos de dos puntos de test sean x1 y x2...1 se indicó cual sería la región eliminada para los tres casos posibles en la búsqueda de un máximo. se puede definir un criterio para eliminar regiones donde seguro el óptimo no se encuentra. La utilidad de esta propiedad radica en el hecho de que si f(x) es unimodal. deberíamos elegirlos de tal manera que la búsqueda fuera lo más eficiente posible. como en cada iteración se llevan a cabo dos evaluaciones de la función objetivo. 6. 667-0. La mejor elección es la temperatura de salida del gas ligero. donde A es el área del intercambiador. .09005·(ln(A))2]. son actualmente enfriador utilizando agua. la función objetivo será: C A 0. Basándose en los siguientes datos determine que debe hacerse. El valor superior de la temperatura de salida del gas es de 440 ºC. minimizando los costos anuales.8248 Cp {A} .5· 440 Tsup Q 500000· 0.0246·Q 0.5 kJ/kg ºC . En una refinería de petróleo. en este caso el costo sería nulo. la planta opera 8200 h/año. debido a que esta puede tomar valores limitados y permite calcular secuencialmente el resto de las variables. en m2 . el costo sería infinito.5 kJ/(h ºC m2) Planteo de la función objetivo: Los costos de operación están relacionados con el calor intercambiado. 80000 kg/h de un gas ligero que salen de una torre de destilación de crudo a 440 ºC. Cp del petróleo crudo: 0. EJEMPLO: Diseño de un intercambiador de calor. temperatura de entrada del petróleo crudo. 45·T inf 240 Balance de energía en el intercambiador: 440 Tinf Tsup 240 Q 24. comenzamos por plantear los balances de energía: Q 80000· 0.Optimización de Procesos Químicos Veremos la aplicación de la búsqueda a intervalos iguales mediante un ejemplo. el cual se dispone a 240 ºC y se caliente utilizando otros medios a un costo de 3/M€ kJ. 238 . U: 24. Costo anual de operación: Cop + 0. el límite inferior es 240 ºC.5·A· 440 Tinf ln Tsup 240 Nuestro objetivo es minimizar el costo anual de operación. antes de ser almacenados. Cp{A}: exp[11.8709·ln(A)+0. Cp del gas ligero: 0. El calor perdido podría ser utilizado para precalentar 500000 kg/h de petróleo crudo.45 kJ/kg ºC . una de ellas será nuestra variable de decisión.8248·C p A En el planteamiento realizado hay variables que no se conocen. ω(xU-xL). El método de la Sección Áurea o Sección Dorada es un método de búsqueda iterativo en una dimensión donde se trata de ir aproximando un punto por medio de anidamiento.65 5837.0 -144.85 2.45 4970.56 272. Se añaden entonces dos puntos nuevos.13 7.66 273.7 -89.4 es el punto B.1 -144.1 6 299.02 5.95 3692. localizando a xL + ω(xU-xL) y xU . etiquetados C y D.8 -129. cada uno localizado a una distancia ωAB de los límites A y B.77 6636.6 8 279.53 6.47 7.0 -114.Método de la Sección Áurea.9 10 266. La investigación de la Sección Dorada o Segmento Áureo comienza con la evaluación de f(xL) y f(xU) correspondientes a los límites superior e inferior del intervalo.78 273.43 7.26 265.63 2150.04 7.1 -141.65 6. por lo tanto AD = (1.3 2 373.4 9 253.3.61 5630.1 -125.75 273.81 3465.53 5272.42 2914.8 El valor óptimo se obtiene con 15 iteraciones.33 251.4 3 284. Se conoce DB = ωAB.44 1403. es decir.2ω)AB.6 -136.29 6. tal que el conjunto nuevo de puntos AECD es simétrico con el conjunto antiguo de puntos ACDB.75 272. En la Figura 6. AE = CD = ωAD.70 5.34 270.17 273.1 11 248.3 -142.4. Se añade un único punto nuevo. Sección Dorada ó Segmento Áureo.8 14 251.47 5041.8 -50.75 4. etiquetados A y B en la Figura 6.6 13 245.0 -108.3 -143.3 7 259.4.52 7.63 270.33 1931.44 267.1 -143. La estrategia de este método se basa en fijar dos puntos iniciales considerados los extremos de un intervalo (xL y xU). el punto que da el valor más elevado de f(x) se elimina. Para que el conjunto Nuevo de puntos sea simétrico con el antiguo conjunto de puntos.1 -144.2 16 253. 6. 239 .82 7.51 268..8 4 328.67 263.89 259.0 -142.21 7. Para un problema de minimización. Sólo un nuevo punto debe ser calculado en cada iteración.1 15 249.1 12 257. E.67 683.71 273.6 -138. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Búsqueda secuencial con dos experimentos igualmente espaciados Punto Tsup Tinf Q·106 [kJ/h] A[m2] CA·103 [€/año] 1 306.85 274.21 4250.6 5 269.87 6.30 4479.99 7.22 2691. de modo que. 618 del intervalo original.Método del segmento áureo.618 evaluaciones de la función. EJEMPLO: considerar el diseño de un intercambiador de calor.ω) = 0. minimizando los costos anuales.618)k 1 L0 (6.61803 2 2 Aplicando nuevamente el ejemplo anterior tenemos que: 240 .4.Optimización de Procesos Químicos 1 2 1 (6.61803.ω) se conoce como medida áurea o segmento áureo. Figura 6. Para reducir el intervalo a una fracción log del intervalo inicial se requieren n log 0. El subintervalo final luego de cada iteración es: Lk (0. El significado de este número se conoce desde los tiempos antiguos. Cada nuevo punto reduce el intervalo a una fracción (1.10) La solución de esta ecuación cuadrática es: 3 5 2 (6.12) El número (1.. tal y como el descrito en el ejemplo anterior La razón dorada viene dada por la siguiente expresión: 1 1 4 1 5 1 R 0.11) siendo la solución positiva de la misma ω = 0. 0 -59.40 261.11 2576.7 -123.1 2 316. Si tenemos la función y ésta es derivable.2 7 246. en un intervalo de búsqueda determinado. Definimos entonces el intervalo (xl.06 816.4 6 251. 241 .89 274.55 5367.37 6.72 6314.4.2 3 287.94 1679.8 -100.97 4. 1 k Lk L0 (6.58 3.4.15 273.60 253.14) 2 Para hallar el máximo o mínimo vamos a realizar los siguientes pasos: 1) Derivamos la función f(x). 3) Una vez obtenemos f’(xr) debemos tener en cuenta: En el caso de tener un máximo: Si f’(xr)<0 entonces podemos eliminar la región (xr.22 267. y calculamos el valor intermedio que vamos a tratar para hallar el máximo o mínimo que estemos buscando de la siguiente manera: x l xu xr (6.1 ºC. manteniendo la equidistancia con los bordes.57 7. Si la función f(x) es unimodal.7 -136.04 272.4 5 258.7 -144.2 103 €/año. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Método de la sección dorada Punto Tsup Tinf Q·106 [kJ/h] A[m2] CA·103 [€/año] 1 363. el valor del costo anual es de -144. entonces el punto óptimo es aquel donde f’(x)=0. xu) y entonces xr pasará a ser xu y debemos hallar un nuevo xr.13) 2 Este método elimina exactamente la mitad del intervalo en cada paso.3 -143.0 -142..Método de la Bisección o Dicotomía. 6. En este caso los puntos de búsqueda xl y xu se encuentran más próximos entre sí.16 6.35 7.4 La solución óptima del sistema se alcanza en la iteración número 6.7 4 269.18 270. 2) Sustituimos el valor xr en la función derivada.33 7. entonces la búsqueda de la región de eliminación se puede llevar a acabo usando un solo punto en vez de un par de puntos para identificar el punto donde f’(x)=0. el intervalo contiene un solo máximo.28 4427.83 3494. La temperatura de salida del gas ligero óptima encontrada es de 251. xu). 00 264.. El intervalo inicial de es L0 y se define ∆1 como el siguiente incremento: Fn 2 1 L0 (6.20 2667.1 8 251. que optimiza nuestra función objetivo.00 5.40 1977.6 -138.10 3997. la secuencia de Fibonacci es entonces 1. 21.25 273.6 5 282.Método de Fibonacci.25 270.3 -135. 3.00 6.40 1381.∆1.50 271. Fn = Fn-1 + Fn-2. 55… Se tiene entonces x1 = ∆1 y x2 = L0 . 1. 6. n = 2.00 3.56 7.3 -140.98 3745. se obtiene luego de 8 iteraciones.56 7. 13.6 2 350.56 6.. es el número de iteraciones que se desea realizar (en función a la tolerancia de error que se desea) y Fn es el número de Fibonacci para n evaluaciones.5.Optimización de Procesos Químicos En el caso de tener un mínimo: Si f’(xr)<0 entonces podemos eliminar la región (xl. . ..60 1021. xr) y entonces xr pasará a ser xl y debemos hallar un nuevo xr. 34.63 271.9 -127.00 6.9 -144. 2. 3.5 -71.4 4 305.00 267.3 6 262.55 5349. En el caso de que f’(xr)>0 en un máximo o mínimo. Ejemplo: Aplicando este método al ejemplo anterior del intercambiador de calor. 8.3 -88. entonces se procederá de manera contraria a la explicada. obtenemos: Método de la dicotomía.3 7 271.75 3363.00 259. Con este método se conoce ya el rango inicial de búsqueda y en cada evaluación el método tiende a acorralar el punto óptimo. y se define así: F0 = F1 = 1. Δx=10 ºC Punto Tsup Tinf Q·106 [kJ/h] A[m2] CA·103 [€/año] 1 330. 242 .00 6.2 9 265.9 -109.00 256.6 En este caso el valor de temperatura de salida del gas ligero.15) Fn donde n. 5.4.2 3 285.56 4.50 268.30 2775. y utilizando un Δx = 10 ºC.6 -125. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Se supone que se quiere minimizar a la función unimodal f(x). Entonces si f(x1) ≥ f(x2), rechazamos el intervalo 0 ≤ x ≤ x1 y si f(x1) ≤ f (x2), rechazamos el intervalo x2 ≤ x1 ≤ L0 . Gráficamente se tiene que, si originalmente la función es como la que se ilustra en la Figura 6.5, en la segunda iteración se rechaza el intervalo 0 ≤ x ≤ x1. En forma gráfica tenemos: Figura 6.5.- Método de Fibonacci. A continuación, se calcula el siguiente incremento ∆2 y se define x3 como L0- ∆2. Fn 3 2 L1 Fn 1 (6.16) En caso de que se hubiera rechazado el intervalo x2 ≤ x1 ≤ L0, entonces L1 = x2 y x3 = ∆2. Se tiene en la segunda evaluación lo siguiente: si f(x2 ) ≤ f (x3 ), rechazamos el intervalo x1 ≤ x ≤ x3 o si f(x2 ) ≥ f (x3 ), rechazamos el intervalo x2 ≤ x ≤ L0. El proceso se repite hasta llegar al número n de iteraciones prefijadas. La efectividad en este caso, 1/Fn, mide la tolerancia del error en el entorno del punto óptimo. Así, por ejemplo, si se desea un error menor al 1%, se necesitan 11 evaluaciones de este método, puesto que F11 = 144 y 1/F11 = 1/144 < 0,01 = 1%. Ejemplo: resolver el ejemplo inicial del intercambiador de calor aplicando el método de Fibonacci con una tolerancia usada del 5%. 1.- Para calcular la primera temperatura hemos de calcular el intervalo, L 0. L0 es el intervalo de búsqueda, que en este caso se corresponde con la diferencia entre la mayor de las temperaturas y la menor de ellas, que en nuestro caso es: L0 = 440 - 240 = 200 ºC 243 Optimización de Procesos Químicos L0 = 200 240 250 300 350 400 440 2.- Ahora calculamos 1=L0·(Fn+2/Fn). Para calcular n tenemos que ver cuál es nuestra tolerancia, que según el enunciado es del 5%. Si nos vamos a la sucesión de Fibonacci, vemos que es F7 (21) el que presenta una tolerancia de 4,76 5%, por lo que: F7 = 21 F5 = 8 Entonces: 1=L0·(Fn-2/Fn) = 200·(8/21)=76,19. 3.- Por lo tanto x1 = 1 = 76,19. Como no partimos de 0 sino de 240, x1 vale: x1 = 1 + 240 = 316,19 ºC, que será nuestra primera temperatura de tanteo. 4.- Calculamos el segundo punto: x2 = L0 - 1 = 200 - 76,19 = 123,81. Por lo tanto, la segunda temperatura es: T2 = 440 - 76,19 = 363,81 ºC. 5.- Calculamos los costes asociados a esas dos temperaturas según las fórmulas anteriores, obteniendo los costes mostrados en la tabla. 6.- Calculamos x3 = L0 - 2, donde: 2=L1·(Fn-3/Fn-1) y L1 = (L0 - x1). Por lo tanto: 2 = (200-76,19)·(5/13)= 47,62 Entonces: x3 = 200 - 47,62 = 152,38 por lo que T3 = 440 - 152,38 = 287,62 ºC 7.- Ubicamos los puntos sobre el gráfico y los costes asociados a cada uno de ellos: 244 Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 L0 = 200 Tª (ºF) 240 287,62 316,19 363,81 440 Costes -123,4 -100,4 -58,9 Los costes vienen indicados como miles de dólares al año y la temperatura en ºC. Como vamos buscando el mínimo, esto implicará el menor de los costes, por lo que se rechazan todos los puntos ubicados por encima de la temperatura de 316,19 ºC, ya que el mayor de los costes se obtiene para la temperatura de 363,81 ºC. De esta forma tenemos un nuevo segmento para optimizar: 8.- Volvemos a repetir los cálculos. En este caso, el intervalo valdrá: L = 316,19 – 240 = 76,19 3=L2·(Fn-4/Fn-2) = L2·(F3/F5) = 76,19·(3/8) = 28,57 Por lo tanto: T4 = 240 + 28,57 = 268,57 ºC L2 = 76,19 Tª (ºF) 240 260 268,57 280 287,62 300 316,19 Costes -136,8 -123,4 -100,4 Al igual que en el punto anterior, el mayor coste está asociado con la temperatura 316,19 ºC, por lo que se elimina este punto, siendo el siguiente intervalo el de 240 – 287,62 ºC. 9.- Trabajamos con el siguiente intervalo. En este caso, el intervalo valdrá: L = 287,62 – 240 = 47,62 4=L3·(Fn-5/Fn-3) = L3·(F2/F4) = 47,62·(2/5) = 19,05 Por lo tanto: T5 = 240 + 19,05 = 259,05 ºC L3 = 47,62 Tª (ºF) 240 250 260 268,57 270 268,57 280 287,62 Costes -136,8 -136,8 -123,4 245 3820 L0. 4000 0.17) 5 Esto indica que.54 3.6 -123. la búsqueda debe comenzarse utilizando la relación ∆1 = 0.6180 1 n 1 Fn (6.09 6. La temperatura de salida del gas ligero óptima encontrada es de 259. Para determinar la ubicación de los puntos según el método de Fibonacci se utiliza.95 1684.5. es decir que la instalación de intercambio de calor provocaría un ahorro.3810 0. el enésimo número de la serie de Fibonacci puede calcularse con la siguiente relación: 1. 3750 0..Optimización de Procesos Químicos En resumen.10 2560.4 7 259.62 267.86 3535. el valor del costo anual es de -141.9 3 287. en el método de Fibonacci para n grandes. pero en ese caso el número de iteraciones aumenta.6 -136.8 6.17 7.4. Si se disminuye la tolerancia especificada puede lograrse un valor de temperatura más cercano al óptimo.09 6.4 2 363.3818 Fn 3 5 8 13 21 34 55 Entonces para valores de n grandes.62 267. 3333 0.0 -58.24 4320.95 1684.19 262.9 103 €/año.48 6. Fn 2 como vimos.3846 0. como se observa en la siguiente tabla: n 3 4 5 6 7 8 9 Fn 2 1 2 3 5 8 13 21 0. la solución óptima del sistema se alcanza en la iteración número 7.9 8 268. tolerancia 5% Punto Tsup Tinf Q·106 [kJ/h] A[m2] CA·103 [€/año] 1 316. La relación de números de Fibonacci para grandes Fn valores de n se acerca a 0.3820.48 6.4 5 268.01 4.8 -100.05 272.57 270.8 6 287.05 813.57 270. la expresión 1 L0 .19 262.4 4 316.1.81 253.Método de Fibonacci y aproximación al método de la Sección Áurea. Método de Fibonacci.3823 0.01 4. La aproximación al valor óptimo obtenida luego de n experimentos será entonces: 246 .86 3535.6 -136.6 -123.10 2560.8 -100.8 -141.05 ºC. para más de cuatro iteraciones se convierte en el método del número del Segmento Áureo. 2 N 1 N 39 0. 247 . Ejemplo: resolver el mismo caso del intercambiador de calor abordado en los apartados anteriores por el método de búsqueda preplaneada. 2 (0.. En este caso el óptimo de temperatura se encuentra entre (245ºC.. localizando el valor óptimo dentro del 5% del rango inicial. que en este caso es del 5%. y N el número N 1 total de experimentos.18) L1 LN 1 LN 2 L1 Como podemos observar esta relación es la utilizada en el método del número áureo.618 k 1 L0 .4. 6.Métodos de búsqueda preplaneada. En este caso los experimentos deben realizarse todos al mismo tiempo.6. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 LN L L L N N 4 . Este método realiza todos los experimentos a la vez. 255ºC). Una vez realizados todos los experimentos se determina el intervalo que contiene el valor óptimo. Lk 0.05 i 440 240) ºC Ti 240 ºC .6180)n 1 (6. Entonces el método de la serie de Fibonacci.. el número de experimentos a realizar está determinado por la tolerancia. determinando luego el intervalo que contiene el óptimo. donde i indica el número de experimento. 00 268.5 5 265.40 319.40 1381.00 265.9 -141.5 29 385.2 -3.9 30 390.00 256.80 425.7 -101.22 1.89 7.2 248 .00 796.00 264.20 539.20 2667.9 28 380.11 3.4 10 290.2 -144.00 259.00 250.5 -79.9 -109.44 2.5 4 260.6 -84.5 -71.60 2126.4 8.78 4.3 -138.Optimización de Procesos Químicos Búsqueda Preplaneada.00 244.00 273.40 599.00 249.8 -53.00 1713.0 -17.00 5.00 242.9 -142.1 -30.00 272.5 36 420.80 1104.20 1840.00 261.3 25 365.20 1283.33 6.00 248.44 6.00 266.80 1595.89 3.40 2891.56 0.4 16 320.44 1.6 -143.8 -66.11 7.8 24 360.00 264.00 269.00 270.6 -121.80 173.0 39 435.00 3.5 -117.6 11 295.00 7.00 248.00 3793.78 2.2 3 255.3 20 340.0 38 430. out Q x 106 [kJ/h] A [m2] CAx103[€/año] 1 245.9 -92.56 4. tolerancia 5% Punto TLGO.0 -39.00 274.6 19 335.00 481.0 2 250.4 -44. out TCO.00 251.9 21 345.4 27 375.60 5581.9 26 370.00 243.40 84.2 -26.00 271.00 272.00 240.3 -75.7 12 300.00 241.6 14 310.2 35 415.00 256.89 0.20 41.8 34 410.78 0.2 23 355.78 5.7 -135.33 4.33 3.67 0.8 -105.6 22 350.33 1.3 -48.00 263.80 727.00 252.00 260.60 371.80 6946.7 13 305.00 262.1 17 325.20 867.00 258.40 4786.2 -21.9 6 270.00 267.89 2.11 5.00 245.80 2289.20 269.0 -132.11 1.2 -129.78 7.5 -97.9 18 330.00 254.67 4.22 3.67 7.00 253.8 -113.44 4.00 246.00 255.1 9 285.6 -125.00 220.67 6.00 1.00 257.22 6.56 2.1 2.5 15 315.6 -7.0 -35.20 4225.40 942.60 3146.60 662.6 8 280.56 6.4 31 395.67 2.3 33 405.60 1021.9 37 425.5 -12.9 7 275.89 5.3 -88.9 -62.40 1977.80 3441.9 32 400.60 128.00 247.22 5.00 2468.60 1484.3 -57.00 1191. 0013 Método de la Sección Áurea 0. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 6.7. después de N evaluaciones de la función objetivo le llamaremos LN Supongamos ahora que consideramos a la reducción fraccional ( RF) del intervalo original como una medida de mérito de los métodos de eliminación de regiones.618)k 1 L0 Las reducciones fraccionales pueden obtenerse fácilmente: Lk 2 k Búsqueda a intervalos iguales: L0 3 L 1 k Método de la bisección o dicotomía: k L0 2 Lk 2 Método de Fibonacci: L0 FN 1 Lk Método de la Sección Áurea: (0. En la práctica. Denotemos el intervalo de incertidumbre original como L0 y al intervalo de incertidumbre final.Comparación de los métodos de eliminación de regiones.998 Método de Fibonacci 0. suele calcularse el número de iteraciones que se requieren 249 .017 0. Tenemos entonces: 2 k Búsqueda a intervalos iguales: Lk L0 3 1 k Método de la bisección o dicotomía: Lk L0 2 2 Método de Fibonacci: Lk L0 FN 1 Método de la Sección Áurea: Lk (0.988 0.154 0.146 0.014 0.0012 De esta tabla se desprende que los métodos más eficientes son el de Fibonacci y la Sección Áurea.132 0.4. N=5 N = 10 N = 15 Búsqueda a intervalos iguales 0. Estos valores son indicativos de la eficiencia de cada método.002 Método de la bisección o dicotomía 0.618)k 1 L0 La siguiente tabla muestra los valores de RF(N) para distintos valores de N.013 0.. Comparemos ahora las eficiencias relativas de los métodos de eliminación de regiones que hemos visto.913 0. y sólo un nuevo valor de función debe ser calculado en cada iteración. entonces puede ser aproximada mediante un polinomio. La idea básica de los métodos de aproximación polinomial es que. Para que esta estrategia sea efectiva. siendo ε la precisión requerida. se ajusta una parábola a los puntos. 250 .. 6. es necesario que la función a optimizar sea tanto unimodal como continua.Optimización de Procesos Químicos para obtener una precisión dada.Métodos de aproximación polinomial. localizan un punto x cercano al óptimo mediante interpolación y extrapolación utilizando polinomios como modelos de la función.. después se puede derivar e igualar a cero. Así como existe una única recta que pasa por dos puntos.19) 2 f (x 0 ) x 1 x 2 f (x 1 ) x 2 x 0 f (x 2 ) x 0 x 1 Este método utiliza evaluaciones de la función. y así obtener una estimación del óptimo.5. si se tienen tres puntos que contienen un punto óptimo. y dicho polinomio puede entonces usarse para predecir la ubicación del óptimo. 1 f (x 0 ) x 1 x 2 f (x 1 ) x 2 x 0 f (x 2 ) x 0 x 1 2 2 2 2 2 2 x* (6. hay únicamente una ecuación cuadrática que pasa por tres puntos. De esta forma. si la función es suficientemente “suave”. Otra clase de métodos de minimización unidimensional. La interpolación cuadrática aprovecha la ventaja de que un polinomio de segundo grado con frecuencia proporciona una buena aproximación de la forma de la función en las cercanías de un valor óptimo. Esto se puede obtener usando LN = ε.5.1. 6.Interpolación cuadrática. o cuatro valores de f(x).190 3 1 1.61 1.70 18 15. El punto xk+1 (mínimo) puede ser determinado como el punto mínimo relativo de esta ecuación cúbica. Este método es de convergencia rápida. f(xk).5 5 1.149 15.5 y x2=5. f '(x k ) 2 1 x k 1 x k x k x k 1 (6. Se necesitan cuatro puntos iniciales.15 1 1 1.9 53.60. el valor óptimo obtenido es x*= 1.66 18 18.20) f '( x k ) f '(x k 1 ) 22 f ( x k 1 ) f ( x k ) 1 f '( x k 1 ) f '( x k ) 3 (6. el método converge en cuatro iteraciones.122 4 1 1. El esquema es similar al método cuadrático. Interpolación cuadrática Iteración x0 x1 x2 x* f(x0) f(x1) f(x2) f(x*) 0 1 2. y f’(xk) es posible ajustar una ecuación cúbica en los puntos.7 1. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Ejemplo: minimizar la siguiente función utilizando el método interpolación cuadrática 16 f ( x ) 2x 2 x Los puntos iniciales utilizados fueron x0=1.21) x k 1 x k 1 2 12 f '(x k 1 )f '(x k ) 2 (6.66 2.2 15.9 15.5 1. o valores de f(x) y sus derivadas cada dos puntos.61 18 15. Este método está basado en la aproximación polinomial mediante un polinomio de tercer grado de la función que se quiere minimizar. x1=2.2. f’(xk-1).7 1..149 18.60 18 15.22) 251 .120 6.5. Dados xk-1 y xk junto a f(xk-1).2 15.Interpolación cúbica.1 15. pero puede presentar errores en funciones no unimodales.122 15.66 1. x1 = 2. inventarios.59.8 0.21 4. y un sinnúmero de aplicaciones en distintas áreas. Cualquier problema de programación lineal requiere identificar cuatro componentes básicos: 1. la optimización en el uso de los recursos humanos y materiales de las organizaciones o instituciones. Interpolación cúbica Iteración xk u1 u2 f’(xk) f(xk) 1 -12 18. El modelo de programación lineal (LP) es una de las técnicas de modelación dentro de la Investigación Operativa. 2.082 15.Programación lineal. El conjunto de variables involucradas en el problema.000 1 1.663 171.21 -24.55 -0. denominada función objetivo.49 6.6.1 14.753 3 1.119 4 9. recorridos. El objeto de la programación lineal es optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdad o desigualdad. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de 252 . 3..16 2 -2.83 24.00 7.926 35. junto con sus dominios respectivos de definición. carteras de inversiones. El conjunto de datos. especialmente utilizada para la planeación óptima y para la toma de decisiones. El método converge en la tercera iteración. Ejemplo: minimizar la siguiente función utilizando el método interpolación cúbica 16 f ( x ) 2x 2 x Para éste método se necesitan dos puntos iniciales.90 10. el valor óptimo es x* = 1.Optimización de Procesos Químicos La aplicación de éste método requiere que xk-1 < xk y f’(xk) > f´(xk-1).122 2 3. y los respectivos valores de la derivada de la función.57 -2.59 -10.8 36. dichos valores iniciales fueron x0 = 1.94 11.98 -10.33 2.264 15. Se emplea para problemas de planeación de la producción dentro de la industria. planear dietas. Aunque la modelación es sólo una aproximación a la realidad. pero también se duplicará el tiempo de producción. si se fabricasen dos unidades de producto A.Suposiciones implícitas en la programación lineal. si una actividad se duplica. De ahí que sea usual representar este tipo de restricciones en el formato. si la fabricación de un producto A supone un ingreso de 55€ y se requieren 2 horas de trabajo. Generalmente. ya que una ecuación de dos variables corresponde a una recta en el plano y una desigualdad de dos variables corresponde a una región en el plano. A continuación. así como también los recursos utilizados. deben ser no negativas de forma natural. partiendo de una función lineal objetivo del tipo x0=x1+x2 (que debe ser 253 .Método Gráfico. para intentar plantear un modelo de tipo lineal es necesario que el problema acepte las suposiciones básicas de proporcionalidad. sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función z y en las restricciones.2.. produce el mejor valor (máximo o mínimo) de la función objetivo. Para ello. Significa que se puede valorar la función objetivo z.. La función lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada). se estudiarán dos métodos de resolución de problemas correspondientes a la programación lineal: 1 Método Gráfico y 2 Método Simplex. La hipótesis de divisibilidad más la restricción de no negatividad. Los problemas de programación lineal que solo tengan dos variables de decisión pueden resolverse gráficamente. las variables representan cantidades físicas y. Indica que. Divisibilidad. 4. Proporcionalidad. por tanto. Nota: una solución del modelo es factible si satisface todas las restricciones. 6. es óptima si. aditividad y divisibilidad que subyacen en el modelo de programación lineal. además de ser factible. Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no enteros para ellas. también se duplican el costo asociado a ella o el consumo de recursos necesario para producirla. 6. significa que las variables de decisión pueden tener cualquier valor que sea positivo o por lo menos igual a cero.1. el ingreso se duplicará.6. Así. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 soluciones admisibles. Aditividad.6. se obtendrán 110€. Identificar el tipo de problema. esto es. que sea un múltiplo de los coeficientes de las variables en la función objetivo y obtener dos puntos (de la misma forma que en el paso anterior) para graficar esta función. evaluar el origen (punto (0. generalmente. por tanto.0)) en cada ecuación. Algunas particularidades que pueden presentarse en un modelo tratado por el método de programación lineal son las siguientes: Si la región factible es vacía esto significa que el método de programación lineal no tiene solución. la solución. El último punto que esta línea toque en esta zona será el óptimo y. se dice que el método de programación lineal tiene soluciones óptimas alternativas o soluciones múltiples. x2) y (x1. asignar otro valor de x0 tal que la función objetivo mejore y graficarla. En este caso.Optimización de Procesos Químicos optimizada) y un conjunto de restricciones. en este caso se dice que el método de programación lineal es no acotado. siendo las variables. Asimismo. serán también óptimos todos los puntos factibles localizados sobre dicha restricción. ya sea maximización o minimización. Obtener la solución óptima moviendo la línea de x0 paralelamente en la dirección en que se optimice a la función objetivo y dentro de la zona de soluciones factibles. Si la recta correspondiente a la función objetivo es paralela a la recta correspondiente a una restricción sobre la que se encuentra el extremo óptimo. Se dice que dicho método es infactible. Se dice que el método de programación lineal no tiene solución factible. Asignar un valor inicial a x0 (variable a optimizar). Tabular cada una de las ecuaciones para graficarlas (obteniendo distintos valores de las variables para cada punto. x1 e x2 bastará con tener los puntos (0. Graficar estos puntos. 4. Esto se debe generalmente. 3. 254 . Si la región factible es no acotada en la dirección en la cual la función objetivo es optimizada. observar en qué dirección se encuentran los puntos que satisfacen a cada ecuación. en este caso todos los puntos extremos localizados sobre dicha restricción serán óptimos. por ejemplo. A continuación. 2. Determinar la zona de soluciones factibles. Caso contrario su sentido será opuesto a donde se encuentre el origen. a un planteamiento inadecuado del problema. entonces todos los puntos hacia donde se encuentre el origen satisfacen a la ecuación. si este satisface a la ecuación. 0)). 5. se siguen los siguientes pasos para llegar a una solución por el método gráfico: Pasos a seguir en la resolución mediante el método gráfico: 1. Si siendo el conjunto de restricciones lineales consistentes ningún punto satisface dichas restricciones para la obtención del valor óptimo de la función objetivo. A causa de los costos de operación. el tipo B es un diseño más económico y cuesta 300 000 € y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. lo primero que habremos de realizar será fijar la función objetivo (la que queremos minimizar) y definir las restricciones a las que se encuentra sujeta esta función.25) y 4 Inicialmente se dibuja el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable "x" y al otro la "y" (generalmente se asocia 'x' al eje horizontal e 'y' al vertical). y ) 600000·x 300000·y (6. Existen dos posibles diseños para las cámaras de reacciones que serán incluidas en la planta. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 A continuación. Cada cámara tipo A cuesta 600 000 € y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 de P2 cada día. La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de P1 y 420 de P2 cada día. Se marca en 255 . a) ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido? b) ¿Cuál es el costo mínimo? Nuestro objetivo es minimizar los costes de construcción de la planta de polímeros. Ejemplo: Una compañía Química está diseñando una planta para producir dos tipos de polímeros: P1 y P2.24) 20·x 30·y 420 x 4 Condiciones de no negatividad (6. por tanto.23) Sujeta a (restricciones de la función): 10·x 4·y 100 (6. con el fin de ayudar a la comprensión del mismo. Definición de variables: Z Coste de construcción X Nº de cámaras de reacción tipo A Y Nº de cámaras de reacción tipo B Función objetivo: z f (x . se expondrá un ejemplo de aplicación del método gráfico. es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. de no ser así.26) (3) x 4 (3) y 4 Para representar cada función obtendremos los puntos de corte en los ejes y representaremos las rectas. y = 4. Las “esquinas” de esta región factible reciben el nombre de puntos extremos o vértices. Como en nuestro caso sabemos que: 𝑥. Comenzando con la primera. Se observa que en ella existe una región factible. En la siguiente tabla se muestran los datos empleados para la representación de las rectas en Excel: x y 0 25 Recta 1 10 0 0 14 Recta 2 21 0 4 0 Recta 3 4 30 0 4 Recta 4 25 4 Para la representación de las rectas x = 4. La región factible está formada por un conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones del modelo. puesto que.6 se muestra la gráfica obtenida.Optimización de Procesos Químicos dichos ejes una escala numérica apropiada a los valores que pueden tomar las variables de acuerdo a las restricciones del problema. se dibuja la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. perteneciente a dichas rectas. se ha añadido un punto adicional cualquiera. al representar en Excel obtendríamos un punto no una recta. 𝑦 ≥ 0 dibujaremos tan solo la parte positiva de los ejes x e y. 256 . se representan las restricciones. A continuación. El punto extremo en el cual se obtiene el mejor valor para la función objetivo se denomina solución óptima. En la Figura 6. 10 10·x 4·y 100 y 25 4 x (1) 20·x 30·y 420 2 y 14 x (2) 3 (6. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 30 x=4 25 Cámaras tipo B 20 15 10 5 y=4 0 0 5 10 15 20 25 Cámaras tipo A Figura 6.. teniendo en cuenta que nuestro objetivo es minimizar la función objetivo. Los puntos extremos obtenidos son: A: (4. 4) 257 .Método gráfico. obtendremos la solución óptima.6. 10) C: (15. y determinar cuáles serán los puntos extremos de la misma. 15) B: (6. Por tanto. es decir. A continuación. el siguiente paso que llevaremos a cabo será determinar cuál es la región factible en la gráfica. sustituiremos los valores de los puntos extremos en la función objetivo y se comprobará cuál de ellos presenta el valor mínimo para dicha función. . Definición 3. Un vector x que satisface Ax b se dice que es solución para el problema.3. se dice que es factible si x 0 . Definición 1. Por tanto. cualquier modelo lineal se puede escribir en forma estándar. A (4. . 6. veremos algunas definiciones que serán utilizadas en el desarrollo del método simplex.6. es decir. Si x es solución para el problema. El método Simplex.4) → Z = 600000·15+300000·4 = 10. El algoritmo simplex que explicaremos en este trabajo está diseñado para maximizar.9·106 € . como el punto B proporciona el menor valor de la función Z.2·106 € Entonces.6. Este método ofrece una ventaja sobre el Método Gráfico. tendremos que para obtener el costo mínimo de 6 600 000 € habrá que instalar 6 cámaras de reacción del tipo A y 10 cámaras de reacción del tipo B.Método Simplex sin restricciones. una solución básica tiene como máximo m componentes distintas de cero. que se ajustan más a problemas reales.1. Como se ha visto.6·106 € MÍNIMO . Si x B tiene todas sus componentes no negativas se dice que es una solución factible básica.15) → Z = 600000·4+300000·15 = 6. Todas las componentes no básicas son 0.10) → Z = 600000·6+300000·10 = 6. B (6.3.. C (15. descartando los “no prometedores” en el sentido de mejorar la función objetivo. Antes de explicar este método. La característica principal de este método es que examina de manera “inteligente” los vértices. . . se dice que x B es solución básica si se verifica B x B =b. Dada una matriz base B formada por m columnas de la matriz A. ya que es capaz de resolver modelos más complejos con un elevado número de vértices (soluciones óptimas). Definición 2. 258 . verifica Ax b . Esto se realiza partiendo de un vértice inicial y de manera iterativa. 6. se va saltando a vértices adyacentes como mínimo igual de favorables hasta alcanzar un vértice óptimo.Método Simplex.Optimización de Procesos Químicos Sustituimos en la función objetivo: . es un procedimiento de resolución de problemas de programación lineal. Definición 7. Lo llamaremos F. El conjunto de todas las soluciones factibles del problema lineal se llama región de factibilidad o conjunto convexo de soluciones factibles. Una solución factible básica se dice que es degenerada si alguna componente básica es cero. Para simplificar la notación suponer que las columnas elegidas para la base son las m primeras columnas de la matriz A. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 . Una solución factible básica que tiene m componentes mayores que cero se llama no degenerada. si tiene menos de m componentes estrictamente positivas. Y denotamos por c N y x N las componentes no básicas de los correspondientes vectores. es decir. Definición 8. . Definición 4.30) xB . Entonces el modelo lineal puede escribirse de la siguiente manera: xB max z (cT | cT ) (6. es decir.29) Sujeto a Bx B Nx N b (6. Consideraremos el modelo lineal en forma estándar max z c T x sujeto a Ax b y x 0 Supongamos que la matriz A tiene m filas linealmente independientes y n columnas. La solución óptima del problema se denota por x * y el valor óptimo de la función objetivo por z * c T x * . z * o z * . con n m . x N 0 259 . Definición 5. Se dice que un problema lineal tiene soluciones óptimas múltiples u óptimos alternativos si tiene más de una solución óptima.28) x N xB . Denotamos por c B y x B las componentes básicas de los vectores c y x respectivamente. Definición 6.27) B N x N Sujeto a xB B |N b (6. x N 0 Haciendo cálculos se tiene el modelo max z c BT x B c TN x N (6. El problema lineal es no acotado cuando la función objetivo no tiene valor óptimo finito. . . Se elige una base B formada por m columnas de la matriz A y el resto de columnas forman la matriz N. entonces xB 1 x m z c B x B c B 1 . x2 . y j B 1a j . x3 .33) i 1 El vector de coordenadas de a j es y1j y yj 2j (6. se tiene Bx B b y se calcula la solución básica x B B 1b . Ejemplo: considerar el modelo lineal en forma estándar max z 3x 1 4x 2 5x 3 6x 4 Sujeto a 2x 1 x 2 x 3 8x 4 6 x 1 x 2 2x 3 x 4 4 x1 .34) x mj Y se calcula resolviendo el sistema a j By j . se utiliza la siguiente notación: m a j y 1 j a1 y 2 j a2 y mj am y ij ai (6. donde xB1 x xB B 2 (6. Para ello.. a2 .32) i 1 x Bm Vector de coordenadas. Si a1 .Optimización de Procesos Químicos Solución básica. x 4 0 260 .31) x Bm Valor de la función objetivo. Haciendo x N 0 . Si c BT = c B 1 . an son los vectores columna de la matriz A.. Es decir.c Bm B 2 c Bi x Bi T (6. para cada vector se pueden calcular sus coordenadas en función de la base B. c Bm .c B 2 . c B 2 . . en función de la base B. 7 z 4 c 4 c BT y 4 c 4 3. 8 2 1 2 1 y 14 1 y 14 1 y 24 1 1 1 y 24 Resolviendo el sistema se obtienen las coordenadas 1 y 2 1 8 7 y 4 14 y 24 1 1 1 6 Cálculo del valor indicador z 4 c 4 . 4 14 2 Coordenadas de un vector que no sea básico. 4 | 5. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Si consideramos la base formada por las dos primeras columnas de la matriz de coeficientes del sistema podemos escribir el modelo en forma matricial. x1 x 2 max z (3. 4 3 6 9 6 261 .6) x3 x 4 Sujeta a x1 x 6 2 2 1 1 8 1 1 2 1 | x 4 3 x 4 x1 . separando la parte básica de la no básica. x3 . 4 2 z c BT x B 3. x2 . Teniendo en cuenta que c BT 3. x 4 0 Solución básica 1 2 1 6 2 1 xB B b 1 1 4 2 Valor de la función objetivo. por ejemplo a4 . Sobre la tabla se tienen las variables originales del modelo. x Bm . .3.c Bi . En la primera fila los valores indicadores z j c j . . x j . El proceso empieza siempre eligiendo la base canónica en la matriz de coeficientes A. 262 .1. Para ello se elige la función objetivo a maximizar y por consiguiente las variables de decisión. El último valor de la fila. aBm . PASO 1: Modelar el problema mediante la programación lineal.j … xBi … … … … … cBm aBm ym1 … ymn ym. 6. aBi . x Bi .3..j xB1 … … … … … cBi aBi yi1 … yin yi.n+1 … ym. La última columna de la tabla contiene las componentes de la solución factible básica: x B 1 .. x 1 .. . z.2.c Bm . En la primera columna los vectores básicos: aB 1 . x n y las artificiales que se han añadido al modelo x n 1 .n+1 … y1.n+1 … y1.. Si una vez obtenida la forma estándar no es posible elegir la base canónica formada por variables de holgura se añaden tantas variables artificiales como sean necesarias.6. es el valor de la función objetivo. En el resto de las columnas aparecen las coordenadas y j de todos los vectores a j del modelo en función de la base. La tabla del simplex es la siguiente: Variables originales Variables auxiliares x1 … xn xn+1 … xj … z1-c1 … zn-cn zn+1-cn+1 … zj-cj … z cB1 aB1 y11 y1n y1..Optimización de Procesos Químicos 6.j … xBm . Fuera de la tabla están las componentes básicas de c: c B 1 . .6. llamada Tabla del simplex.1.Pasos a seguir en la resolución mediante el método simplex..1.Tabla del Método Simplex... Una forma ordenada de proceder para calcular la solución óptima de un modelo lineal en forma estándar es recoger los cálculos asociados a cada base en una tabla.. ... c n x n (6.. obteniéndose de esta manera el valor de las variables de holgura que constituyen la Solución Básica inicial. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Z c 1x 1 c 2x 2 . a11 x 1 a12 x 2 ..35) Posteriormente se plantean las restricciones como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. se debe de partir de una solución básica inicial. Las restricciones funcionales son: a11 x 1 a12 x 2 .36) am 1 x 1 am 2 x 2 . x n 0 s 1 0. 263 ..... en caso de que el signo sea ≥ la variable de holgura entraría restando en la ecuación. x 2 0. a1n x n b1 a21 x 1 a22 x 2 .. s m 0 PASO 3: Definición de la Solución Básica inicial..... x 2 0...... Para comenzar a realizar las iteraciones. Para ello se introducen las variables de holgura.. Para ello se eligen como variables no básicas las variables de decisión y se igualan a 0. a1n x n s 1 b1 a21 x 1 a22 x 2 . a2n x n b2 (6.. Para poder operar de manera algebraica con las restricciones funcionales. Siempre que la desigualdad tenga el signo ≤ la variable de holgura entrará sumando en la ecuación.37) am 1 x 1 am 2 x 2 . x n 0 PASO 2: Conversión de las inecuaciones en ecuaciones. a2n x n s 2 b2 (6. s 2 0. es necesario que pasen de ser restricciones funcionales de desigualdad en restricciones de igualdad equivalentes.... amn x n s m bm Las restricciones de no negatividad quedarían del siguiente modo: x 1 0. Dichas restricciones se clasifican en: funcionales y de no negatividad... amn x n bm Las restricciones de no negatividad son: x 1 0. a mayor valor de xn. se comprueba que dicha solución básica no es óptima ya que.Optimización de Procesos Químicos x 1 0. al aumentar el valor de cualquier variable no básica supone un aumento en el valor de Z. se elige el valor mínimo de todos los que se obtienen sustituyendo el valor de las variables en las restricciones para no incumplir ninguna de ellas... x n 0 s 1 b1 s 2 b2 . Para ello.. La variable de holgura perteneciente a la restricción elegida para el valor de la variable básica entrante será la “variable básica saliente” para la iteración 1. La variable elegida tomaría el nombre de “variable básica entrante”.. se reescribe la función Z en función de las variables que actualmente no forman parte de la base (variables no básicas). por tanto.. En el momento en el cual. obteniéndose el valor de Z. obteniéndose el valor de Z = 0. el de elegir la variable no básica con la mejor tasa de mejoramiento. Si c i c j x i Si c i c j x j Una vez elegida la variable debemos averiguar cuánto puede aumentar su valor sin violar ninguna de las restricciones. x 2 0. supone un aumento del valor de Z. es decir. Posteriormente se obtiene la solución básica sustituyendo los valores actuales de las variables de decisión en la función objetivo. mientras que la variable básica saliente pasaría a ser una variable no básica. mayor valor tomara la función Z. s m bm Se realiza una prueba de optimalidad sustituyendo el valor de las variables de decisión en la función objetivo. A esta etapa se la conoce como “prueba del cociente mínimo” puesto que. PASO 4: Iteración 1 Lo primero que se debe realizar es elegir la variable no básica que debe de aumentar su valor. El criterio que se sigue es. Al obtenerse la función se observa si conviene o no seguir iterando para conseguir una solución óptima. aquella que tiene una constante positiva mayor en la función objetivo. debe de comprobarse si es una solución óptima. no se 264 . Una vez obtenida la solución. Las nuevas variables básicas serán las variables de holgura junto con la variable básica entrante.. Se seguirá iterando si alguna de las variables de las que depende Z en la función reescrita. ya que. Suponiendo que existe demanda de ambos productos. ¿cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la unidad óptima Z? La función objetivo es: Máx Z 10·X 30·Y Las restricciones son: Máquina A: 4X+6Y=12 Máquina B: 8X+4Y=16 X. de C. A y B. produce limpiadores para automóviles (X) y pulidores (Y). Ambos productos requieren procesarse en las mismas máquinas. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 observen variables en la función que permitan un aumento del valor de Z. Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas de capacidad disponible.Y ≥ 0 Condición de No Negatividad Formato simplex: C 10 30 0 0 Valores de solución Variables de la solución Variables de decisión X Y S1 S2 (LD) 0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16 Z 0 0 0 0 0 C-Z 10 30 0 0 0 Elementos de la tabla simplex. pero el limpiador requiere cuatro horas en A y ocho en B. La parte central de la tabla simplex consta de los coeficientes de las restricciones de: 4X+6Y+1S1+0S2=12 8X+4Y+0S1+1S2=16 265 . se pararía la iteración. Ejemplo: Una empresa química Chemical S.V. mientras que un pulidor requiere seis horas en A y cuatro en B. respectivamente.A. y 30€ por cada lote de pulidores. gana 10€ por cada lote de limpiador. Esto se calcula para cada columna multiplicando los elementos de la columna por la contribución en la columna C y sumándolos después Esto es. o la cantidad de contribución que debe ser introducida o (producida) por unidad (o por unidad extra) de la variable en cada columna. y debido a que la holgura no tiene ningún valor deben introducirse X o Y en esta etapa. y un cero (0) a la otra variable de holgura. Esto es. Es decir. Produciendo más holgura obviamente no se incrementan las utilidades. el valor de Z para la columna X es (4 x 0) + (8 x 0) = 0.Optimización de Procesos Químicos Nótese que se ha asignado un uno (1) a la variable de holgura asociada a su propia restricción. La C en la esquina superior izquierda encabeza a la vez un renglón y una columna. Los valores del renglón inferior (C-Z) representan la contribución neta de introducir una unidad de la columna variable en la solución. Esto significa que para introducir una unidad de X (limpiador) en la solución. El valor de Z para la columna LD representa la contribución total de las variables en la solución. y ocho horas de holgura en la máquina B. cada unidad de limpiador (X) contribuye con 10€ a las utilidades y cada unidad de pulidor (Y) lo hace con 30€. En la tabla inicial aparecen simplemente los coeficientes de la función objetivo seguidos por ceros en las columnas de las variables de holgura. 266 . Los números vienen del lado derecho LD de las restricciones (en este caso. El tiempo de holgura de la máquina A y B proporciona 0€ de contribución tanto de S1 como de S2. El renglón de Z en la solución inicial siempre tiene ceros. también con un costo de 0€. con un costo de 0€. debido a que esta solución (inicial) es “producir” 12 horas de holgura en la máquina A (con 0€ de contribución) y 16 horas de holgura en la máquina B con (0€ de contribución). El renglón de Z en la tabla muestra el costo de oportunidad. La columna de variables en la solución indica qué variables están en la disolución (en este caso. sólo las de hoguera) y la columna de valores solución indica las cantidades de solución. la utilidad total de esta solución inicial es cero. Especifican la cantidad de contribución a la función objetivo de cada unidad de las variables a que se refiere. pero cambia al progresar la solución. 12 horas de holgura para la máquina A y 16 horas para la B). deben darse cuatro horas de tiempo de holgura en la máquina A. se puede incrementar el valor de la función objetivo en un total de 10€ por cada unidad de X producida y en 30€ por cada unidad de Y producida. 16 16 2 (mínimo ) 4 2 4 C 10 30 0 0 Valores de Variables de Variables de decisión solución la solución X Y S1 S2 (LD) 0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16 Z 0 0 0 0 0 C-Z 10 30 0 0 0 Por tanto. C. B. El elemento pivote es encerrado en un círculo. del renglón pivote. El renglón pivote es el que tiene la razón más pequeña. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Metodología de cálculo La metodología de solución de los problemas de maximización hace necesario seleccionar una columna y un renglón pivotes y revisar los valores de la tabla hasta que en el renglón inferior sean menores o iguales que cero. A. La columna pivote es la que tiene el número positivo más grande en el renglón inferior. el renglón 1 es el renglón pivote. C-Z 10 30 0 0 0 En este ejercicio es 30. C 10 30 0 0 Valores de Variables de Variables de decisión solución la solución X Y S1 S2 (LD) 0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16 Z 0 0 0 0 0 267 . C 10 30 0 0 Valores de Variables de Variables de decisión solución la solución X Y S1 S2 (LD) 0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16 Z 0 0 0 0 0 C-Z 10 30 0 0 0 PASO 1: Seleccionar una columna y un renglón pivotes. X Y S1 S2 (LD) El renglón del paso 2 se -4·(2/3) -4·(1) -4·(1/6) -4·(0) -4·(2) multiplica por -4 Obtener el resultado -8/3 -4 -2/3 0 -8 Sumarlo al renglón de S2 8 4 0 1 16 Para obtener el nuevo 16/3 0 2/3 1 8 renglón El renglón obtenido se introduce a la nueva tabla del paso 2. Se multiplica el nuevo renglón por -4. C 10 30 0 0 Valores de Variables de Variables de decisión solución la solución X Y S1 S2 (LD) 30 Y 2/3 1 1/6 0 2 0 S2 16/3 0 2/3 1 8 Z Si hay más renglones que convertir. Dado que ahí no hay más. Se multiplica el nuevo renglón (del paso 2) por el negativo del valor que se desea convertir (-4). puede procederse a calcular el renglón Z y C-Z. debe repetirse este paso en el siguiente renglón. el cual tiene 4 en la columna de Y. Se empieza con el renglón S2. Genérense los otros renglones para la siguiente tabla. de tal manera que los elementos de la columna pivote sean iguales a cero. y se suma al anterior renglón de S2.Optimización de Procesos Químicos C-Z 10 30 0 0 0 PASO 2: Divídase cada valor del renglón pivote 1 entre el elemento pivote (6) y colóquense los valores en una nueva tabla. C 10 30 0 0 Valores de Variables de Variables de decisión solución la solución X Y S1 S2 (LD) 30 Y 2/3 1 1/6 0 2 A. el resultado se muestra en la siguiente tabla. Elementos del renglón Z: 268 . Los valores en el renglón Z son ∑ (elementos de la columna) · (C). como se ve en la siguiente tabla.0 2 .2/3 1 8 Z 20 30 5 0 60 C-Z -10 0 -5 0 Repetir los pasos anteriores hasta que todos los valores del renglón inferior sean ≤ 0. 0 . Los valores solución son datos en la columna del lado derecho.1 8 Z . Dado que todos los valores son ≤ 0. 60 Dado que no hay más números negativos.. ha sido alcanzada la solución óptima. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 2 16 Para X: Z ·30 ·0 20 3 3 Para Y: Z 1·30 0·0 30 1 2 Para S1: Z ·30 ·0 5 6 3 Para S2: Z 0·30 1·0 20 Para LD: Z 2·30 8·0 20 Después de que se introducen éste y los valores de C-Z en la siguiente matriz. . Las variables en la solución son identificadas por las columnas en la parte central de la tabla que tienen un 1. 1 . la solución queda de la siguiente manera: Z = 60 X=0 Y=2 S2 = 8 Estos valores nos indican lo siguiente: 269 .. X Y S1 S2 (LD) . y el resto de los valores son cero. se tiene: C 10 30 0 0 Valores de Variables de Variables de decisión solución la solución X Y S1 S2 (LD) 30 Y 2/3 1 1/6 0 2 0 S2 16/3 0 . Programación lineal mixta (MILP). x X RT y 0.. Los modelos donde aparecen variables discretas permiten acercarnos a formular problemas del mundo real basados en decisiones lógicas (toman solo valores 0 o 1) o donde el número de posibilidades es discreto.7. Ax By b x 0. x es un vector de n variables continuas . La Programación Lineal Mixta (MILP) es la extensión de los problemas de programación lineal cuando aparecen variables discretas. La variable de decisión Y indica que se debe producir 2 unidades de pulidores. y es vector de q 0-1 variables . La variable de holgura S2 indica que la máquina B tendrá un tiempo muerto de 8 horas. como las restricciones en x e y son lineales. resuelto mediante MILP. Entonces hay sólo una variable de decisión (no holgura) en la solución (Y) y una restricción agotada (número 1). La función Z nos indica que la máxima utilidad a obtener es de €60. Esto concuerda con el teorema fundamental de programación lineal. lo que indica que no se producen unidades de limpiadores de automóviles. se puede expresar de forma general como: min c T x d T y (6.d son vectores (n x 1) y (q x 1) de parámetros . 270 . c. B son matrices .1 Donde: . A.a. que establece que el número de variables de decisión (no holgura) de la solución siempre será igual a número de restricciones que son agotadas. b es un vector de p componentes Se observa que tanto la función objetivo.38) s .Optimización de Procesos Químicos La variable de decisión X no aparece en la solución. Un problema con variables binarias 0-1. 6. lo cual significa que tiene holgura en la solución y que la restricción no se agotó. Nótese que la variable de holgura asociada con la restricción 2 también tiene un 1 y ceros. Métodos de plano de corte. como: .. Método de descomposición de Benders (Sahinidis y Grossmann. número de cálculos prohibitivos. en los casos en los que hay. Algoritmo fundamentado en relajar las variables discretas. para obtener la solución óptima. combinar las soluciones de los subproblemas. y a continuación. Algoritmo basado en resolver todas las combinaciones posibles (yi = 0. al menos. en la actualidad se usan otro tipo de técnicas. Método de Branch and Bound.…. Si es necesario. existen multitud de algoritmos. la cual debe de estar constituida de las siguientes partes: 1. Estos algoritmos iniciales suelen presentar problemas: incumplimiento de restricciones. El objetivo de este método es evitar la enumeración exhaustiva de las combinaciones existentes. para resolver el problema mediante programación lineal.7. Para resolver el problema se debe diseñar una estrategia. Se usan restricciones disyuntivas o interferencia simbólica. etc. una variable entera. método de ramificación y acotamiento. 2. Dividir el problema en uno o más subproblemas. 1991). Relajación. 271 . Se explota la estructura del modelo a través del particionado de las variables y la noción de dualidad. Por ello. . Algoritmo en el que. se efectúa el redondeo a la solución entera más cercana. basado en la ramificación y criterios para acotar la búsqueda. como primer paso. Acotar. se realiza la relajación del problema. Este método se expondrá a continuación.m) para identificar la mejor. Métodos basados en la lógica.2. 3. El método de Branch and Bound es un procedimiento iterativo de búsqueda en árbol. Resolver cada subproblema.Método Branch and Bound. soluciones no factibles. asignación. principalmente: . Los primeros que surgieron fueron. . también llamado. La región factible no se divide en subdominios. y eliminar los que no cumplen con los objetivos propuestos. llamadas cortes. Ramificar. sino que se añaden nuevas restricciones. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Para la resolución de problemas de este tipo.1. . 6. Con ello se construye un conjunto finito y contable con todas las soluciones del problema. Redondeo. tratándolas como variables continuas.1. que reducen la región factible. . Todo ello aplicando métodos de relajación. i = 1. . la gran mayoría de soluciones. 3. Escoger la variable de mayor parte fraccionaria .Optimización de Procesos Químicos Para escoger las variables sobre la que se ramificará se debe tener en cuenta las siguientes posibilidades: . es decir. cuando el número de restricciones es grande o cuando se 272 . aquella cuya parte fraccionaría se acerque más a 0. Al finalizar el estudio de cada subproblema. la primera variable no entera encontrada . .. Se selecciona el nodo que esté más cerca de la parte superior de la ramificación.Algoritmos de mejora para el método Branch and Bound. En este. La solución es entera. por lo que se genera un gran número de subproblemas. Seleccionar la variable no entera más alejada de los enteros que la rodean. una desventaja es el hecho de que la relajación lineal no siempre se aproxima al conjunto más pequeño de soluciones. desarrollados para el método Branch and Bound. LIFO (last in first out).5 A partir de las ramificaciones. Se descarta ese subproblema. Se expande el nodo más reciente y retrocede en el árbol para seleccionar el siguiente nodo. No hay solución. Estas estrategias se pueden dar conjuntamente. Además.7.1. Mejor cota (breadth first). fue el algoritmo de Land y Doing. En estos casos se escoge una variable y se bifurca en dos subproblemas más. Elegir. de forma selectiva. Búsqueda a lo ancho. 6. se pueden presentar los siguientes casos: . Se expande el nodo con la mejor cota inferior. se realiza el proceso de relajación (variables binarias se toman como 0 y 1). hay tres estrategias para explorar el espacio de soluciones: 1. La solución obtenida no es entera. Se actualiza el valor de la función objetivo y se continúa.1. Uno de los primeros algoritmos de mejora. La principal ventaja de este algoritmo es que elimina. en 1960. . Sin embargo. 2. 2y Sujeto a : x 5y 25 9x 6y 49. Este método se observa más fácilmente mediante un ejemplo. surgió el algoritmo de Dakin. se puede seguir con el procedimiento añadiendo dos nuevos subproblemas a nuestra lista que sean idénticos al subproblema que proporcionó esa solución con la excepción de que en uno de ellos la cota inferior de la variable es E(a)+1 y en el otro la cota superior será E(a). donde. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 añaden desigualdades válidas. se generan solo otros dos. mediante el algoritmo de Dakin. se toma este programa como cota inferior o Z*. 2 y se quiere optimizar (maximizar en concreto) y para ello se emplea el método Branch and Bound. Si la solución satisface que las variables sean de carácter entero. 4. 2. En caso de que si cumpla los requisitos de solución óptima se prosigue. Ejemplo: La ecuación Z x 1. 3. Si no son enteros. ya descrito: Max Z x 1. en cada iteración de búsqueda del valor óptimo de la función dada. Si suponemos que esa variable tiene un valor no entero a. ambos algoritmos coinciden. la que en el paso anterior no era entera. Si no hay ningún subproblema con el que proceder el proceso ha finalizado. se da un problema exponencial. se prosigue con el siguiente paso. por lo que las restricciones no son fáciles de abordar. Si no tuviera solución o la solución no fuera óptima. se selecciona la mayor. a partir de cada subproblema. Se resuelve el problema (con el sistema de ecuaciones). en el caso contrario se debe estudiar uno de ellos. se debe proceder con los siguientes pasos: 1. En el caso de que ambas variables sean no enteras. Si las variables enteras son todas binarias. Para este último método. Para eliminar muchas de esas dificultades.5 273 . Se selecciona una variable. se opta por la mejor solución (cota inferior) obtenida anteriormente. Ahora se debe ramificar el problema P0 en dos direcciones según y ≤ 4 o y ≥ 5. Cada uno de los puntos rojos definen el espacio de soluciones enteras. eliminando la restricción de que x e y sean enteros). 274 . con x = y = 0.5 y 4. En la etapa inicial el problema propuesto relaja la condición de que las variables sean enteras (prescinde de ella).5 Esta gráfica se obtiene mediante la representación de las rectas que se tienen de las condiciones.Optimización de Procesos Químicos x 0 y 0 x . de donde se obtiene que la solución óptima es: Z * 7. Por lo que.9 x 2. se comienza el problema resolviendo el P0 (las condiciones iniciales relajadas. porque no debe haber ninguna solución entera con 4 < y < 5. el fondo azul define el conjunto de restricciones relajado. y enteros Se tiene una cota inferior inmediata en Z = 0. solución óptima por el momento. Esto da una Z*= 6. 275 .633. se reduce el rango de soluciones. se resuelve para el valor de y = 5 y para x = 0. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 P0 y≤4 y≥5 P2 P1 El problema P1. y se toma este valor como cota inferior..833 y la Z = 7. de forma que se obtiene que con una y = 4. Gráficamente. la x = 2. se resuelve. se hace lo mismo con el problema P2. P0 P2 P1 Ahora. Optimización de Procesos Químicos Esta solución es superior a la cota entera encontrada. porque no debe haber ninguna solución entera con 2 < x < 3. pero como las variables no son enteras se debe seguir ramificando. Ahora se debe ramificar el problema P2 en dos direcciones según x ≤ 2 o x ≤ 3. P0 y≤4 y≥5 P2 P1 x≤2 x≥3 P3 P4 276 . Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Ahora resolviendo el P3. se obtiene una y = 3. y por tanto se toma esta como nueva cota de referencia. para una x = 3. mejor que la primera. De igual forma se resuelve el P4. Además. por lo que se ha encontrado una 2ª Cota entera.5. para una x = 2.75 y una Z*=7. por lo que gráficamente queda: 277 . se reduce el rango de soluciones. se quedaría una y = 4 y una Z*=6.8 (solución óptima). Esta solución es mejor que la 2ª cota entera. pero como no tiene variables enteras se debe seguir ramificando. Se debe ramificar. 278 .Optimización de Procesos Químicos P0 y≤4 y≥5 P2 P1 x≤2 x≥3 P3 P4 Solución óptima Z* 7.75 Solución no entera mejor que la 2ª cota entera obtenida.5 x 3 y 3. Por lo que. ya que x = 3 e y = 4. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 De esta forma. 279 . se incluirá en el solo las ramificaciones a partir del P2. Para simplificar un poco el diagrama. sería un punto fuera del dominio. gráficamente. se observa que no hay ningún punto de ordenada 4 que esté dentro de la región de soluciones que se tienen. porque no debe haber ninguna solución entera con 3 < y < 4. P2 x≤2 x≥3 P3 P4 y≤3 y≥4 P5 P6 Resolviendo el problema P5. ahora se debe ramificar el P4 en dos direcciones según y ≤ 3 o y ≤ 4. En este caso.1.Optimización de Procesos Químicos Por tanto. la solución del problema P5 es infactible y se debe proseguir con la resolución del problema P6. que es una solución óptima. la resolución del problema P6 es para una y = 3. la x = 3. mayor que la 2ª cota entera. 280 . Como las variables no son de carácter entero se debe ramificar y seguir resolviendo el problema para una x ≤ 3 y x ≥ 4.5 y se tiene una Z*= 7. 5 x≥3 x0 y4 P3 P4 Max Z x 1.5 x3x3 y 3 x4 y3 Se empieza resolviendo el problema P7.5 2ª Cota entera Nueva referencia x3 y 3 x3 y 4 y 4 x≤3 x≥4 Infactible P7 P8 Max Z x 1.5 x2 y4 x3 y4 y≤3 y≥4 Solución óptima P6 P5 Z * 6. 2 y x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49. 2 y x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49. pero peor que la 2ª cota inferior. se obtiene un valor de Z*= 6. en el que a partir de la x = 3 y la y = 3. 2 y Max Z x 1. 2 y x2 y4 x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49.8 Max Z x 1. 2 y Max Z x 1.5 9 x 6 y 49. cuyo valor es más óptimo.6. 2 y x 5 y 25 x≤2 9 x 6 y 49.5 9 x 6 y 49. Gráficamente la solución del problema P7 es: 281 .5 9 x 6 y 49. que es una solución entera. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 P2 Max Z x 1. 2 y Max Z x 1. Resolviendo el problema se obtiene un valor de y = 2. en el que la x = 4.Optimización de Procesos Químicos Como la solución no es mejor que la última solución óptima obtenida se debe proseguir resolviendo el problema P8. Gráficamente el problema P8 reduce el rango de posibilidades de la forma: 282 .7.25 y una Z*=6. por ello la rama se poda y queda como solución óptima la 2ª cota inferior obtenida en el problema P3. una solución peor que la 2ª cota inferior obtenida y que además no tiene sus variables de carácter entero. 7 x 4 y 2. finalizando el proceso de ramificación y poda.5 x2 y4 283 . 2 y x2 y4 x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49.5 9 x 6 y 49.8 Max Z x 1. el problema queda resuelto. 2 y x 5 y 25 x≤2 9 x 6 y 49. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 P2 Max Z x 1.2 y Max Z x 1.5 x2 y4 x3 y4 y≤3 y≥4 Solución óptima P6 P5 Z * 6. 2 y Max Z x 1. 25 Por tanto.5 9 x 6 y 49.5 9 x 6 y 49. 2 y Max Z x 1. 2 y x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49. 2 y x 5 y 25 9 x 6 y 49. 2 y x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49.5 x3x3 y 3 x4 y3 Solución entera peor que P3 Solución no entera. Max Z x 1. peor que P3 Z* 6.5 x≥3 x0 y4 P3 P4 Max Z x 1.5 2ª Cota entera Nueva referencia x3 y 3 x3 y 4 y 4 x≤3 x≥4 Infactible P7 P8 Max Z x 1. y definiendo la solución óptima entera como la correspondiente al programa P3. 5 x3 y 3 x≤3 Z * 7. 2 y Max Z x 1.833 y 4 x0 y 5 1ª Cota entera P3 x≤2 x≥3 P4 Max Z x 1.5 9 x 6 y 49.75 Z * 6.8 x 5 y 25 9 x 6 y 49. 2 y x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49. 2 y x 5 y 25 x 5 y 25 9 x 6 y 49.Optimización de Procesos Químicos La solución óptima es: Z * 6.8 x 2 y 4 Árbol resumen: P0 Max Z x 1. 2 y x3 y 4 y 4 2ª Cota entera Nueva referencia x 5 y 25 Infactible 9 x 6 y 49.5 y 4.5 x2 y4 P6 y≤3 Max Z x 1.9 Z* 7.5 Max Z x 1.5 9 x 6 y 49. 25 284 .5 y 3 P8 Max Z x 1.5 x 2.5 9 x 6 y 49. 2 y 9 x 6 y 49.5 P5 Solución óptima y≥4 Max Z x 1. 2 y x 3 y 3.7 x 3 y 3 x 4 y 2. 2 y x 5 y 25 x0 y0 x 5 y 25 9 x 6 y 49.5 x2 y4 x3 y4 Z* 7.5 x3x3 y 3 x4 y3 Z* 6.5 Solución óptima x0 y4 x0 y5 Z* 7.633 Z* 6 x 2.6 Z* 6. 2 y Sujeto a P2 y≤4 x 5 y 25 y≥5 P1 Max Z x 1. 2 y Max Z x 1.1 x≥4 P7 x 3. con restricciones de desigualdad. SQP requiere un buen punto inicial (que se puede obtener a partir de análisis de sensibilidad) y que no haya discontinuidades en las derivadas. Así..pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad. Su gran ventaja es.2. Este tipo de programas representan con más fidelidad.Algoritmo SQP. este nuevo tipo de programas. Podemos clasificar el algoritmo SQP según el tipo de restricciones del problema: SQP sólo con condiciones de igualdad: Min o Máx f (x ) Sujeta a: ci(x) = 0 i SQP sólo con condiciones de desigualdad: Min o Máx f (x ) Sujeta a: ci(x) 0 i Los métodos teóricos de resolución de los programas no lineales. publicados en 1951. por lo tanto. si ello no resulta necesario. El algoritmo SQP es un método cuasi newtoniano de resolución de problemas no lineales. al no requerir evaluar un gran número de funciones. SQP es muy eficaz para resolver problemas utilizando simuladores de proceso secuenciales-modulares. que converge rápidamente con una relativamente baja necesidad de cálculo. Este algoritmo funciona bien cuando hay muchas ecuaciones en comparación con el número de variables y únicamente unas pocas son independientes (grados de libertad). son conocidos a partir de los trabajos de los matemáticos norteamericanos Kuhn y Tucker. nos posibilita obtener soluciones óptimas que no saturen necesariamente todas las restricciones. pudiendo quedar recursos que no sea necesario utilizar hasta su agotamiento. 285 . El motivo es que las especificaciones de diseño de las restricciones de operación y las corrientes de ruptura se resuelven simultáneamente con el problema de optimización.más de una vez habremos leído que la economía es la ciencia de la escasez . por lo que su implementación se ha generalizado en estas herramientas de cálculo. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 6. ya que normalmente se dispone de cantidades limitadas de recursos . las circunstancias en las que se desenvuelve la actividad económica.7. llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange. mínimo. y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones.39) j 1 286 . El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables. Los números λi son llamados multiplicadores de Lagrange y la función Lagraniana se expresa: n L( x ) f ( x ) i g i ( x ) (6.Optimización de Procesos Químicos SQP con condiciones de todo tipo: Min o Máx f (x ) Sujeta a: ci(x) = 0 i ci(x) 0 i La idea básica de la programación cuadrática sucesiva es resolver las condiciones necesarias de optimalidad de Karush – Kuhn Tucker utilizando el método de Newton (o métodos cuasi Newton). y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. donde k es igual al número de restricciones. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. una para cada restricción. cuyos coeficientes son los multiplicadores. o punto silla. están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. son llamadas multiplicadores de Lagrange. En los problemas de optimización. es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange. Para determinar la naturaleza de los puntos críticos. Estas nuevas variables escalares desconocidas. el método de los multiplicadores de Lagrange. en presencia de multiplicadores de Lagrange existe un método que emplea la matriz Hessiana para descubrir si un punto crítico v0 es máximo. 𝑃2 (−√2. 4 √2 0 − 2 tanto.𝑦 𝐿𝑥.𝑦 𝐿 √2 =( 2 )representa una forma cuadrática definida negativa en ℝ2 . por √2. 𝜆) = ( 1 − 2𝜆𝑦 ) = (0) → {1 − 2𝜆𝑦 = 0 → 1 →𝑥=𝑦 −𝑥 2 − 𝑦 2 + 4 0 𝑥2 + 𝑦2 = 4 𝜆= { 2𝑦 √2 Entonces. ) . √2) = 2√2 287 . Obtenemos los puntos críticos: 1 1 − 2𝜆𝑥 0 1 − 2𝜆𝑥 = 0 𝜆= 2𝑥 ∇𝐹 (𝑥.𝜆 = ( )y se sustituyen 0 −2𝜆 los puntos críticos obtenidos anteriormente: √2 − 0 𝐻𝑥. en particular el subespacio𝑇(𝑥⃗0 ). Por tanto.𝑦. Obtener los extremos de la función 𝑓(𝑥. 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 que se encuentren en la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 En primer lugar. 𝑦. consideramos la función lagrangiana asociada al problema que viene dada por 𝐹(𝑥. 1. √2. los puntos críticos de la lagrangiana son: 𝑃1 (√2. 𝑦 = ±√2𝜆 = ± 4 √2 √2 Por tanto. 𝑥 2 + 𝑥 2 = 4 → 𝑥 = ±√2. − 4 ) 4 Para clasificar los puntos se obtiene la matriz hessiana de la función lagrangiana con −2𝜆 0 resepcto a las variables principales del problema: 𝐻𝑥. −√2. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Para la función auxiliar L(x) tenemos la matriz hessiana orlada: Lx1x1 Lxn x1 (a) ( g1 ) x1 (a ) ( g p ) x1 (a) Lxn x1 Lxn xn ( g1 ) xn (a) ( g p ) xn (a) 𝐻𝐿 (𝑎) = ( g1 ) x (a ) ( g1 ) xn (a) 0 0 0 1 0 0 0 ( g p ) x1 (a) ( g p ) xn (a) 0 0 0 [ ] Ejemplo: Resolución de diferentes tipos de programación no lineal mediante el método SQP. 𝑦.√2. será definida negativa en cualquier subespacio. √2)es un máximo del problema con 𝑓(√2. 𝜆) = 𝑥 + 𝑦 − 𝜆(𝑥 2 + 𝑦 2 − 4).𝑃1 (√2. Calcular los extremos de 𝑓(𝑥.0) > 0 → (0.𝑃1 (−√2.Optimización de Procesos Químicos √2 − 0 Análogamente.0) (3 . en particular el subespacio 𝑇(𝑥⃗0 ).0) = [0 0 1] = 2(−1) = −2 0 1 0 (−1)𝑝 = −1 (−1)𝑝 𝐻2 (0.√2. 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 + 𝜆(𝑥 3 + 𝑦) 2 𝐿𝑥 = 2𝑥 + 3𝜆𝑥 2 = 0 → 2𝑥 − 3𝑥 2 → 𝑥(2 − 3𝑥 ) = 0 → 𝑥 = 0. −√2) = −2√2 2. por tanto. Por tanto. 𝐻𝑥.𝑦 𝐿 √2 =( 2 )representa una forma cuadrática definida √2. −√2)es un mínimo del problema con 𝑓(−√2. 𝑔𝑦 = 1 𝐿𝑥𝑥 = 2 + 6𝜆𝑥 𝐿𝑦𝑦 = 0 𝐿𝑥𝑦 = 0 2 + 6𝜆𝑥 0 3𝑥 2 ( ) 𝐻𝐿 𝑥 = ( 0 0 1 ) 3𝑥 2 1 0 En este caso n=2 variables p = 1 rango J(g) Hay que considerar un menor principal 𝑖 = +1 𝑖=2 2 0 0 𝐻2 (0. 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 = 0 Lagrangiano𝐿(𝑥. 4 √2 0 − 2 positiva en ℝ2 . será definida positiva en cualquier subespacio. − 27) Hessiano Orlado: Necesitamos 𝑔𝑥 = 3𝑥 2 . 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 sujeta a la restricción 𝑥 3 = −𝑦 La restricción la escribimos como 𝑔(𝑥.0)es mínimo 288 . 𝑥 = 3 𝐿𝑦 = 1 + 𝜆 = 0 → 𝜆 = −1 2 8 Como 𝑦 = −𝑥 3los puntos críticos son (0. 3. Por tanto. 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1 La función lagrangiana es: 𝐿 (𝑥. Resolver el problema: max 𝑓 (𝑥. 𝑦) = 2𝑦 + 1 + 2𝜆𝑦 = 0 (3) La condición complementaria es: 𝜆 ≤ 0. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 4 −2 0 2 8 3 𝐻2 ( .1) con 𝜆 = −3/2 . Si 𝜆 = −1 entonces (3) da 1 = 0. − 27)es un máximo.1) con 𝜆 = −1/2 es otro candidato a óptimo. Consideramos primero la condición (2) que es 2𝑥 (1 + 𝜆) = 0. La condición (3) da 𝜆 = −1/2 y se verifica también (4). − ) = 0 0 1 = −(−2) = 2 3 27 4 [3 1 0] (−1)𝑖 = (−1)2 = 1 2 8 → (3 . Tomemos primero y=1.y) que verifican estas condiciones para un valor adecuado de 𝜆. 289 . Entonces (3) implica que 𝜆 = −3/2 y así se verifica (4). (0. 𝑦) = 2𝑥 + 2𝜆𝑥 = 0 (2) 𝐿2 (𝑥. 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑦 − 1 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎 𝑔(𝑥. Tomemos ahora y = -1. 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑦 − 1 + 𝜆(𝑥 2 + 𝑦 2 − 1) (1) Las condiciones de primer orden son: 𝐿1 (𝑥. Por tanto. Hay dos posibilidades: 𝜆 = −1 𝑜 𝑥 = 0. (0. x = 0. 𝑦 𝜆 = 0 𝑠𝑖 𝑥 2 + 𝑦 2 < 1 (4) Queremos hallar todos los pares (x. es un candidato a óptimo ya que se satisfacen todas las condiciones (2) a (4). que es una contradicción. Supongamos que 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 y así 𝑦 = ±1 ya que según acabamos de ver x = 0. Por tanto. Las variables de decisión del problema son: 𝑥1 : Cantidad de materia prima 1 𝑥2 : Cantidad de materia prima 2 El objetivo es maximizar la cantidad de fertilizante: 𝑀𝑎𝑥 𝑄(𝑥1 .-1/2) con 𝜆 = 0 es un candidato a óptimo. La conclusión es entonces que hay tres candidatos a óptimo. la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por 𝑄(𝑥1 .El coste no puede exceder el presupuesto que la empresa tiene asignado para el fertilizante: 𝑔(𝑥1 . Ejemplo aplicado a un proceso químico: Un joven ingeniero de una compañía ha sintetizado un nuevo fertilizante hecho a partir de dos materias primas. 1 Entonces (4) implica que 𝜆 = 0 y (3) da 𝑦 = − 2. Si la compañía dispone de 24000 euros para la producción de materias primas. 𝑥2 ) = 4𝑥1 + 2𝑥2 − 0′ 5𝑥12 − 0′ 25𝑥22 Restricciones del problema: . Por tanto. Ahora bien: 1 5 𝑓 (0. 𝑥2 ) = 4𝑥1 + 2𝑥2 − 0′ 5𝑥12 − 0′ 25𝑥22 . Al combinar cantidades de las materias primas básicas 𝑥1 y 𝑥2 . (0. Se requieren 480 euros por unidad de materia prima 1 y 300 euros por cada unidad de materia prima 2 que se empleen en la fabricación del fertilizante (en estas cantidades se incluyen los costos de las materias primas y los costos de producción).-1/2) hay un mínimo local. 𝑥2 ) = 280𝑥1 + 300𝑥2 ≤ 24000 290 . −1) = −1 𝑓 (0. plantear el problema para determinar la cantidad de materia prima de forma que se maximice la cantidad de fertilizante. mientras que en el punto (0. − ) = − (5) 2 4 Si sustituimos dichos puntos en la función objetivo. Esto es: -1 < y < 1. deducimos que en el punto x = 0 e y = 1 se encuentra un máximo local del problema.Optimización de Procesos Químicos Finalmente consideremos el caso en que x = 0 y 𝑥 2 + 𝑦 2 < 1 .1) = 1 𝑓 (0. 𝜆 = 0 se tiene que 𝑥1 = 4. 𝑥2 = 4 𝑦 𝐿(𝑥1 . llamada función lagrangiana: 𝐿(𝑥. 𝑥2 ) = 4𝑥1 + 2𝑥2 − 0′ 5𝑥12 − 0′ 25𝑥22 s. 𝑥2 .No negatividad de las cantidades: 𝑥1 ≥ 0. 𝑥2 ≥ 0 Para obtener una solución debemos establecer una función auxiliar. 𝜆) = 4𝑥1 + 2𝑥2 − 0′ 5𝑥12 − 0′ 25𝑥22 + 𝜆(480𝑥1 + 300𝑥2 − 24000) Las condiciones necesarias de mínimo o máximo. 𝑧)=12 Haciendo la matriz hessiana orlada: Lx1x1 Lxn x1 (a) ( g1 ) x1 (a ) ( g p ) x1 (a) Lxn x1 Lxn xn ( g1 ) xn (a) ( g p ) xn (a) 𝐻𝐿 (𝑎) = ( g1 ) x (a ) ( g1 ) xn (a) 0 0 0 1 0 0 0 ( g p ) x1 (a) ( g p ) xn (a) 0 0 0 [ ] Nuestra matriz hessiana orlada será por tanto: −1 0 480 𝐻𝐿 = [ 0 −0′5 300] 480 300 0 291 . 𝑦. están definidas por las condiciones de Kuhn-Tucker: 𝜕𝐿 = 4 − 𝑥1 + 480𝜆 = 0 𝜕𝑥1 𝜕𝐿 = 2 − 0′5𝑥2 + 300𝜆 = 0 𝜕𝑥2 𝜕𝐿 = 480𝑥1 + 300𝑥2 − 24000 ≤ 0 𝜕𝜆 Entonces. 𝑥2 ≥ 0 Por tanto: 𝑀𝑎𝑥 𝑄(𝑥1 . se buscan los puntos críticos (posible máximo o mínimo) del sistema: 𝜆 ∗ (480𝑥1 + 300𝑥2 − 24000) = 0 𝜆≥0 Si.a: 280𝑥1 + 300𝑥2 ≤ 24000 𝑥1 ≥ 0. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 . Condiciones suficientes: .Optimización de Procesos Químicos El determinante de una matriz de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 |𝐴| = |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | 𝑎31 𝑎32 𝑎33 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − (𝑎31 𝑎22 𝑎13 + 𝑎32 𝑎23 𝑎11 + 𝑎33 𝑎21 𝑎12 ) −1 0 480 𝐻𝐿 = | 0 −0′5 300| 480 300 0 = ((−1) ∗ −0′ 5 ∗ 0 + 0 ∗ 300 ∗ 480 + 480 ∗ 0 ∗ 300) − (480 ∗ −0′ 5 ∗ 480 + 300 ∗ 300 ∗ (−1) + 0 ∗ 0 ∗ 0) = −(−115200 − 90000) = 205200 Se calculan Hi(a) para i = p + 1. n si los determinantes Hi(a) son de signo alternado del mismo signo (−1)𝑝 .…. entonces f tiene un mínimo estricto en a bajo las restricciones gj(x) = 0 . Entonces como nuestro (−1)1 = −1 𝑦 detHi(a) = + 205200..…. Si (−1)𝑝 detHi(a) > 0 para i = p + 1. 292 .4) bajo las restricciones. n donde p es el rango J de las restricciones.…. Si (−1)𝑝 detHi(a) > 0. entonces f tiene un máximo estricto en a bajo las restricciones. i = p + 1.f tiene un máximo en (4..n los determinantes Hi(a) son del mismo signo que (−1)𝑝 . Desde que se comenzaron a utilizar los simuladores de procesos. en la forma de cubrir los grados de libertad del modelo. pues existen algunos de los cuales no se conocen todas las corrientes de entrada. Teniendo en cuenta la forma en que se resuelve el sistema de ecuaciones. En él se desarrolla una subrutina para cada tipo de equipo. 6.8. El problema se presenta cuando existen reciclos y no es posible determinar esta secuencia para poder resolver los módulos. Se habla en este caso de modelos orientados a la simulación por su sentido de resolución. Con todas estas subrutinas se construye una biblioteca de módulos. se recurre a algoritmos de particionado y rasgado. Se pueden distinguir tres enfoques distintos: modular secuencial. Se puede afirmar que prácticamente todos los simuladores comerciales e industriales se ajustan a este enfoque. o de otro modo. cada uno con sus ventajas y desventajas. que son muy comunes a partir de la estructura de los procesos químicos. las ecuaciones de equilibrio. etc. y de la posterior forma en que se resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la estructura resultante.1. etc). pero además la manera en que se cubren los grados de libertad del sistema y el nivel de detalle del modelo.8. Estos determinan 293 ... ecuaciones de propiedades fisicoquímicas. la cual calcula sus corrientes de salida teniendo como datos las de entrada y los parámetros del mismo. Las diferencias están fundadas en la forma de seleccionar las incógnitas del problema. De acuerdo a cómo se plantee este sistema de ecuaciones para todos los equipos de la planta se tienen los distintos enfoques para la resolución del problema de simulación de procesos. Evans (1981). En estos casos. cada equipo es representado mediante un sistema de ecuaciones que corresponden a los balances de materia y energía. d) Enfoque modular-secuencial. Las variables de las corrientes de entrada y los parámetros de operación son elegidos para cubrir los grados de libertad del sistema de ecuaciones que modela la unidad. este método ha sido el más usado.Introducción. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 6. (1979). En la simulación de procesos por computadora. surgen los distintos enfoques para la simulación y la optimización de procesos en estado estacionario. los cuales son llamados desde un programa principal en un determinado orden o secuencia de modo de resolver todos los equipos que componen la planta. global u orientado a las ecuaciones y modular simultáneo (Westerberg et al.Optimización con simuladores modulares de procesos. etc. Es por estas razones que. que una vez rasgadas permiten la resolución de todos los equipos. Se pueden incorporar en cada módulo todos los mensajes de error y advertencias que se desee a partir de un fácil diagnóstico de las fallas durante la ejecución de la simulación. en la mayoría de las operaciones unitarias. dado que se conoce la forma de cada expresión. se realizan las transformaciones necesarias para reordenarlo y lograr la mejor estructura y luego. De este modo se aprovechan las propiedades especiales de un sistema de ecuaciones determinado para acelerar la convergencia de los módulos. en particular la optimización que nos ocupa. se ha logrado una notable performance y un alto nivel de desarrollo. no es posible plantear ciertos problemas. de acuerdo a lo obtenido. muy costosa la resolución de problemas de diseño en los cuales se imponen algunas especificaciones o condiciones sobre el valor de una corriente o sobre el resultado de un equipo. lo cual incrementa el costo de la simulación 294 . Si se pretende incorporar un nuevo módulo. pues a partir de la rigidez que tiene el flujo de información en la resolución. y en los distintos niveles de detalle. se conoce el comportamiento físico del módulo y los resultados posibles del mismo. por ejemplo. Luego. además. y luego en cada uno seleccionar un conjunto de corrientes iteradoras o de corte. la cual coincide con el flujo material en el proceso. En principio la confección de la nueva subrutina se puede hacer aparte. También se suele recurrir a controladores. que resulta simple y sencillo construir un simulador que se ajuste a este método de resolución. sin caer en complicadas estructuras iterativas que requieren tiempos de cómputos no realistas. lo cual puede ser aprovechado para inicialización. La gran ventaja del enfoque modular secuencial es su gran robustez y confiabilidad. y existen por lo tanto programas que realizan el cálculo de manera sumamente eficiente. A partir de estos argumentos se puede decir.Optimización de Procesos Químicos aquellos conjuntos de unidades que deben ser resueltos como un grupo pues corresponden a un reciclo o a varios encadenados por nodos comunes. Con la información anterior resulta sencillo ordenar los equipos en la secuencia de resolución. el modelo matemático de cada unidad ha sido muy estudiado. La primera solución para esto suele ser resolver varias veces la simulación hasta que se cumplan las condiciones. eliminándose de este modo los reciclos. Resulta. teniendo valores iniciales de las corrientes de corte. y realizar sobre la misma todos los testeos y verificaciones necesarias. Luego de muchos años de trabajo. verificación de resultados. También en cada uno se puede realizar un análisis sobre la consistencia y realidad física de los datos que se ingresan y de los resultados obtenidos. consistencia. Sobre el sistema de ecuaciones que representa la operación del equipo. sin afectar el resto del simulador. Además. se recorre repetidas veces dicha secuencia y mediante algún método de convergencia se aproximan los valores propuestos de la iteradoras a los valores correctos. Pero esta razón se convierte en la fuente de las desventajas de este enfoque. no existen mayores problemas. se aplica un método adecuado de resolución. De lo anterior se deriva que las ventajas del enfoque modular secuencial surgen de una estructura determinada a priori para el flujo de información. unidades diseñadas de modo de obtener el valor prefijado. cada una de las últimas involucra procedimientos iterativos para obtener los valores de las estimaciones de las propiedades fisicoquímicas. Se debe notar que.7. etc. 295 . que luego serán tratadas. Pasamos ahora al problema más complejo: la optimización.7 es clara al respecto: cada iteración buscando un valor determinado para una corriente de salida de la planta requiere un número de iteraciones para converger las corrientes de corte. Esto lleva a que el costo de la resolución fuera. las menos.Estructura de optimización. pero.) pero no se puede hablar de versatilidad en un simulador de procesos modular secuencial.. como estas ecuaciones están asociadas a los módulos. en cada una de éstas es necesario iterar para resolver cada uno de los módulos que componen la planta. intercambiadores con la temperatura de salida fija. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 pues se requieren iteraciones adicionales para la convergencia del controlador. La Figura 6. a la vez. hay ciertos módulos orientados al diseño (bombas con presión de descarga dada. en la mayoría de los casos. Figura 6. La evaluación de los puntos requeridos para la optimización de un proceso implica resolver repetidamente el sistema de ecuaciones que representa la planta. Esta estructura es muy costosa. prohibitivo para problemas reales hasta hace unos pocos años. no es posible acomodarlas para favorecer la optimización. En otras situaciones. Se han propuesto diversas estrategias que intentan superar las limitaciones que imponen los distintos niveles iterativos anidados en una optimización de procesos con el enfoque modular secuencial. especialmente si es parte de una función de evaluación en un programa de optimización. en la cual se itera sobre todas las variables usando el método de Newton Raphson o algún derivado del mismo. se selecciona un conjunto de variables de modo que. En general se trabaja con una estructura modular. no está determinado a priori qué se debe dar como dato. La otra estrategia que es además la más utilizada. cualquier conjunto de variables que cubra adecuadamente los grados de libertad del sistema puede ser la información suministrada al simulador. sino sobre variables que pueden ser seleccionadas sin ninguna condición. es la de aproximaciones lineales. En el enfoque global. Así. también se encarga de las derivadas correspondientes para generar el jacobiano. Además. es similar a la convergencia del enfoque modular secuencial sólo que el procedimiento no se realiza sobre todas las variables de ciertas corrientes. con una subrutina que escribe las ecuaciones para cada tipo de equipo. la resolución de la simulación es más rápida. se puedan obtener todas las restantes como resultado de una secuencia de problemas en una variable. por ejemplo. Muchas veces. dependiendo de la estructura del simulador. por el contrario. en el caso de un problema de optimización.Optimización de Procesos Químicos e) Enfoque Global. y esta característica es aún más destacada para la convergencia de una optimización. En el caso de especificaciones de diseño. o sea. Biegler (1983)). o sea ubicación de los elementos distintos de cero. se modela el proceso resumiendo todas las ecuaciones que describen la planta en un gran sistema (Shacham et al. y se busca la convergencia mediante algún método numérico. sino que. Luego se comparan los valores propuestos y los calculados. Las ecuaciones que modelan el proceso son incluidas como las restricciones del problema. La primera etapa en la resolución de una simulación con el enfoque global es la generación de las ecuaciones que describen el diagrama de flujo. Queda claro que la optimización se trata sin ningún condicionamiento sobre cómo se deben resolver las ecuaciones como ocurría en el enfoque modular secuencial. En la primera de ellas se realiza el rasgado del sistema de ecuaciones. éstas se incluyen en el sistema de ecuaciones. Perkins (1983). y de la topología de éste. el problema puede ser planteado directamente en este formato. Además. las cuales buscan además aprovechar la estructura sumamente rala del mismo. Si se quiere. sin ninguna consideración adicional a cómo son resueltas. o también denominado orientado a las ecuaciones. Esto queda a cargo de la estrategia adoptada para la optimización. en los casos en que el problema está correctamente formulado e inicializado. Para la resolución propiamente dicha existen dos estrategias para resolver el gran sistema de ecuaciones algebraicas que ha surgido. proponiendo valores para las mismas. 296 . (1982). Más allá de estos híbridos esquemas. Tratando de aprovechar las ventajas de los dos enfoques ya citados. y la mayor velocidad de convergencia del enfoque global. Además. lo cual. Resulta muy difícil también realizar diagnósticos y análisis de consistencia pues el procedimiento de resolución no guarda ninguna referencia respecto a qué módulo pertenece cada una de las ecuaciones que trata. Pierucci et al. y que el modular simultáneo. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Al ganar en flexibilidad en el planteo del problema se pierde robustez. Por ejemplo. las ecuaciones del modular secuencial deberían ser usadas para generar el modelo global. Se debe notar finalmente que el desarrollo de un simulador global es una tarea más ardua ante la imposibilidad de desarrollar cada módulo por separado como en el enfoque modular secuencial. unidos al mejor planteo de los problemas de diseño y optimización. los simuladores que corresponden a este tipo de enfoque. plantea aproximaciones más realistas basadas en modelos físicos. alternativa muy posible en las primeras etapas. no tienen un importante desarrollo. aunque esto no impide que surjan problemas en la convergencia del sistema. resulta realmente complicado. un tercer enfoque ha surgido: el modular simultáneo. El objetivo del mismo es aprovechar los robustos módulos del método modular secuencial. Algunos no ven en este enfoque un nuevo método. f) Enfoque Modular Simultáneo. En general. Por su parte Perkins (1983) habla del enfoque modular simultáneo como un caso particular del global. incluyendo varias torres resueltas de manera rigurosa. A partir de los valores obtenidos para todas las corrientes luego de esta pasada por todos los 297 . puede resultar una alternativa sumamente ventajosa. Existen simuladores que generan automáticamente esta inicialización. con la misma idea. sino que por el contrario lo consideran un caso particular de los dos anteriores. y de superar sus desventajas. si se produce un error. Para ello se afirma en que el método de Newton-Raphson utilizado para la resolución genera una aproximación lineal. y las alimentaciones y los parámetros de equipo si fuera necesario. y ciertos procedimientos incorporados en su resolución. Además. dada la dimensión que enseguida adquieren los sistemas. Realmente cuesta imaginar la resolución global de una planta. hablan de promover la convergencia del enfoque modular secuencial usando lo que denominan modelos evolucionarios. Se recorre en primer lugar la secuencia de resolución del enfoque modular secuencial proponiendo valores para las corrientes de corte. confiabilidad y eficiencia. y menos aún entre qué valores puede variar una solución correcta desde el punto de vista físico-químico. (1982). pese a que se conozca con profundidad el proceso. Sin embargo. es muy complejo determinar la causa y corregir los elementos necesarios para superarlo. al utilizar métodos del tipo Newton-Raphson o derivados. a partir de las ventajas y desventajas citadas. es necesario dar valores iniciales para todas las variables del sistema. Al resolver el sistema de ecuaciones. la base del enfoque modular simultáneo se basa en el uso alternativo de modelos rigurosos y aproximados. para problemas de cierta dimensión y más para un caso de optimización. Optimización de Procesos Químicos equipos de la planta, se generan los modelos aproximados de todas las unidades. Estos se reúnen en un gran sistema y se resuelven de acuerdo al enfoque global. Con los resultados obtenidos se pueden proponer nuevos valores para las corrientes de corte, alimentaciones y los parámetros de los equipos y se vuelve a iterar sobre la secuencia de resolución. Este procedimiento se repite hasta alcanzar la convergencia. Una etapa clave en este enfoque es la generación de los modelos aproximados de los equipos, los cuales pueden ser lineales o no lineales. En el primer caso es más rápida la convergencia del modelo lineal aproximado, pero se requiere un mayor número de iteraciones para la convergencia del método en sí. En el otro caso la convergencia total del sistema requiere menor número de iteraciones, pero cada una de ellas demanda más tiempo. Influye también en este caso la manera en que se generan los modelos aproximados: mediante modelos analíticos reducidos (Jirapongphan (1980), Pierucci et al. (1982)), o a través de perturbaciones numéricas. Con este enfoque se pueden plantear problemas de diseño y optimización para lo cual hay que incorporar en el modelo global las ecuaciones, y la función objetivo si correspondiera. La solución de este problema, en cuanto a valores de corrientes y parámetros de equipos son cargados para la resolución del modelo riguroso de la planta. De este modo se resuelven simultáneamente la convergencia de las corrientes de corte y el problema de diseño u optimización que se hubiera agregado. Siguiendo la estrategia de usar alternadamente modelos simples y rigurosos, se tiene una serie de ventajas. En principio, se utilizan los eficientes programas del enfoque modular secuencial, con los cuales se pueden detectar y diagnosticar fácilmente los errores, realizar chequeos de consistencia y sobre todo realizar cálculos de alta complejidad. Además, estos generan adecuados valores iniciales para el modelo global. 6.8.2.- Optimización de procesos con el enfoque modular secuencial. Se han utilizado distintas estrategias para la optimización de procesos con el enfoque modular secuencial. Estas se pueden clasificar en: o Métodos de caja negra. o Métodos de camino factible. o Métodos de camino no factible. o Métodos híbridos. o Métodos siguiendo el flujo lógico de información. 298 Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 No es objeto de este manual el analizar estas metodologías con detenimiento. Más allá de los programas comerciales, la aplicación práctica, por la misma idea de trabajar con operaciones, lleva al desarrollo de módulos que son probados, ajustados y testeada su consistencia. Sin duda que el paso final es su utilización en algún problema de optimización por lo que el empleo de alguna de estas metodologías resulta inmediata. 6.8.3.- Ejemplos prácticos aplicados con simuladores modulares. 6.8.3.1.- Optimización con HYSYS de una torre con salidas laterales. HYSYS tiene incorporado un optimizador que funciona en simulaciones en estado estacionario (no en el modo dinámico) y que se puede emplear una vez que se ha creado un diagrama de flujo y éste se ha resuelto en modo simulación (ha convergido para dar una solución). El Optimizer dispone de su propia hoja de cálculo (SpreadSheet) para definir la función objetivo y las restricciones que se van a emplear, lo cual proporciona gran flexibilidad al usuario. En este ejemplo, se desea optimizar el funcionamiento de una torre de destilación. La alimentación consiste en una mezcla de parafinas nC5 a nC9, y se alimenta a una torre de 23 platos. El objetivo es ajustar las condiciones de operación de modo que se obtenga un destilado (D) concentrado en nC5, una corriente lateral (S1) concentrada en nC6, otra lateral (S2) concentrada en nC7 y nC8, y una corriente de colas (B) concentrado en nC9. Las condiciones de operación que se deben ajustar (variables de decisión) son la relación de reflujo y los flujos de destilado y de las dos corrientes laterales. Esto se consigue formulando un NLP en el cual se fija el plato de alimentación (11) y los platos de donde se obtienen las salidas laterales (6 y 16, respectivamente): 𝑀á𝑥 (𝐷𝐶5 + 𝑆1𝐶6 + 𝑆2𝐶7 + 𝑆2𝐶8 + 𝐵𝐶9 Con las restricciones: 5 ≤ 𝑅 ≤ 10 0,1 ≤ 𝐷/𝐹 ≤ 0,7 299 Optimización de Procesos Químicos 0,1 ≤ 𝑆1/𝐹 ≤ 0,7 0,1 ≤ 𝑆2/𝐹 ≤ 0,7 𝐵/𝐹 ≥ 0,05 Siendo R la relación de reflujo, y D, F, S1, S2 y B flujos molares de destilado, alimentación, corrientes laterales y producto de colas, respectivamente. Las corrientes que abandonan la torre se consideran líquidos saturados. Todas las fases líquidas y vapores se suponen ideales y en equilibrio en cada etapa de la torre. Para proceder con la simulación siga los siguientes pasos: 1. Agregue los compuesto n-C5 a C9 y escoja como paquete termodinámico Chao- Seader. 2. Agregue las corrientes de materia Alimento, Destilado, Residuo, S1 y S2. 3. Agregue dos corrientes de energía Q-100 y Q-101. 4. La composición de la alimentación (a 50 ºC y 175 kPa) es 220 kg/h de nC5, 110 kg/h de nC6, 160 kg/h de nC7, 50 kg/h de nC8 y 400 kg/h de nC9. 5. Inserte una columna de destilación y configúrela de la siguiente manera: la presión en el condensador es de 138 kPa y de 145 kPa en el primer plato. La presión en el calderín es de 180 kPa. La columna posee 23 platos. La alimentación se introduce en el plato 11. Las corrientes de materia S1 y S2 salen de los platos 6 y 16, respectivamente. En la figura 6.8 se muestra la ventana de configuración de la columna: 300 9). y flujo de las corrientes laterales de 2 kmol/h cada una (hemos de cambiar la base a mol en estos dos casos para poder definirla. En la ventana Specs. En la página Monitor se puede ver el resultado de la simulación. perfil de temperaturas. fije las siguientes condiciones: relación de reflujo: 5 (en base masa). veremos que la simulación converge. flujo de destilado: 200 kg/h. en cuanto a: evolución de la convergencia. valores de las especificaciones de diseño (Figura 6. presiones o flujos. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Figura 6. 301 .Ventana de configuración de la columna de destilación. De esta forma cubrimos los cuatro grados de libertad existentes en el sistema. 6. Si picamos en Run.8.. 5 % del heptano y octano alimentados. mientras que en la corriente de fondo (Residuo) sólo se obtiene el 95% del nonano presente en la alimentación.10. Se observa que el funcionamiento de la columna es bastante pobre. En realidad. con varias zonas de retromezcla y consiguiéndose una separación relativamente pobre de las fracciones pesadas.9.Optimización de Procesos Químicos Figura 6.10). ambos en % en moles (Figura 6. como también se puede ver en el Workbook.. 302 . Figura 6. la corriente lateral S2 sólo contiene el 73. Ventana Monitor con la convergencia de la simulación.Composición (% moles) de cada una de las corrientes. 12. Las variables independientes que se van a manipular durante la optimización (R.11. Figura 6.Definición de las variables independientes. Figura 6. y su estructura sirve de guía al usuario en la formulación y resolución del problema de optimización (Figura 6. accesible desde el menú principal (en la barra de herramientas de Home) o mediante F5.12. 8.Ventana de edición de Optimizer. D.. tal y como se muestra en la figura 6. Insertamos la interfaz del Optimizer.11). Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 7. 303 .. S1 y S2) se especifican en la página Variables. Luego seleccionamos la variable Spec Value y en la columna Variable Specifics seleccionamos las cuatro variables definidas previamente en el diseño de la columna. 304 .13). y los flujos molares de Alimento. 13.Optimización de Procesos Químicos 9. una a una: Distillate Rate. la cuál se irá añadiendo a la ventana de Variables anterior. del n-hexano en S1. Para ello. Presionamos sobre la pestaña Variables y luego en Add. Destilado. del n-heptano y n-octano en S2. en la página Connections se importan todas las variables del diagrama de flujo que intervienen en las ecuaciones de la función objetivo o de las restricciones. HYSYS toma como valores iniciales los resultantes de la simulación realizada 12. Se nos abrirá una nueva ventana donde seleccionaremos el objeto a optimizar. S1 y S2. S1 Rate y S2 Rate (Figura 6. del nonano en el Residuo (usando la opción objeto Destilado/S1/S2 y la variable Master Comp Mass Flow en cada caso). picamos sobre la celda correspondiente y elegimos la indicada en la figura. que en nuestro caso es la columna T-100. El resto de variables involucradas. Figura 6.14. 10.Especificación de las variables a optimizar. De este modo. obtenidas mediante operaciones (lógicas o matemáticas) de las variables importadas del diagrama de flujo se llevan a cabo en el Spreadsheet. Para la signación de las celdas (Cell). se define tanto la función objetivo como las restricciones en la pestaña Functions. A continuación. como suma del contenido de las celdas A1 a A5. La configuración quedará tal cuál se indica en la Figura 6. Reflux Ratio. por ejemplo. 11. Incorporamos el flujo másico del n-pentano en la corriente Destilado. 14.. usando Spreadsheet para llevar a cabo los cálculos necesarios. se calcula el valor de la función objetivo (celda A6).13. análogamente a la selección de variables independientes. Una vez seleccionadas las variables. Añadimos las relaciones B/F. persionamos el botón Spreadsheet Only ubicado en la parte inferior de la ventana (Figura 6. 305 . Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Figura 6. Para ello. S2F y D/F.15).Conecciones del Optimizer. 15. Vamos a ver en detalle como introducir las distintas funciones.14) y se nos abrirá la ventana de edición del Spreadsheet: OptimizerSpreadsheet (Figura 6. S1/F. la ventana ya está totlamente configurada. y por comodidad. En esta figura. situándolos en las celdas C7 a C10.14.. C7: =c5/c1 d.15. nos colocamos con el puntero del ratón en las celdas A6. presentes como cotas en las restricciones. A6: =a1+a2+a3+a4+a5 b.15. Introducir con el teclado las variables que aparecen en la columna B.Optimización de Procesos Químicos Figura 6.05. respectivamente. 16. Para introducir la función objetivo a maximizar (celda A6) así como las restricciones mostradas en las celdas B7 a B10. 18. Para ello. en las celdas D2. basta con situar el puntero del ratón sobre la celda y escribir. tal cual.7 y 0. tal y como se muestra en la Figura 6. De esta forma identificamos la variable con su valor. C9: =c3/c1 f. D4 y D6. operando de la misma manera que la descrita anteriormente. 17. Nos quedará la configuración indicada en la figura 6.Ventana de edición del Spreadsheet: OptimizerSpreadsheet. C10: = c4/c1 Observaremos que a medida que introducimos las funciones nos aparecerán los valores numéricos resultado de la operación en la casilla correspondiente. respectivamente. 0. C5 y C7 a C10. 306 . C8: =c2/c1 e..1. se introducen las constantes 0.15. e introducimos las ecuaciones de la siguiente manera: a. Finalmente. C5: =c1-c2-c3-c4 c. es establecer las relaciones entre la variable de la izquierda con la variable de la derecha. Para ello. en la pestaña Functions se selecciona la celda A6 como función objetivo y se elige maximizar la misma (modificando el valor por omisión de HYSYS: Minimize). existen dos columnas denominadas LHS Cell y RHS Cell.18. fijamos las restricciones. indicando si es <. tal y como se muestra en la figura 6. Antes de configurarlo. Volviendo a la pantalla Optimizer. picando en Add y luego en la pestaña LHS Cell. negro para los calculados por HYSYS en la simulación y rojo para los calculados en la hoja de cálculo.Fórmulas introducidas en el Spreadsheet. y entre ellas existen dos columnas: Current Value y Cond.. tal y como se muestra en la Figura 6. Figura 6.16. en esta misma pantalla. A continuación. que se corresponden con Left hand cell y Right hand cell. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 El código de colores es el estándar de HYSYS: azul para valores definidos por el usuario. Lo que hacemos ahora. En la pestaña de fórmulas aparecen las fórmulas introducidas en los pasos anteriores. tal y como se muestra en la figura 6. Si nos fijamos.17. explicaremos brevemente qué tipo de relaciones se establecen en esta pantalla. > o =.16. en la celda Current Value anexa a LHS Cell se 307 . 18.Selección de la celda donde está ubicada la función objetivo. Figura 6.Edición de las funciones en el Optimizer. En este caso. En la columna Penalty Value se deja el valor de 1 que aparece por defecto.Optimización de Procesos Químicos indica el valor actual calculado por las funciones introducidas previamente con el valor máximo o mínimo prefijado en el Spreadsheet y que aparece en el Current Value anexo a la columna RHS Cell. En la figura 6. la función objetivo será maximizada. 308 ..19 se muestra la ventana de edición totalmente configurada.17. Figura 6.. . d) Opción Selection Optimization. se seleccionan el algoritmo de resolución (SQP en este caso) (Figura 6.BOX Method: está basado en el complejo Complex BOX.Branch and Bound Method 309 .Método Quasi Newton b) Método Hyprotech SQP (método SQP riguroso).Stochastic Method . No es objeto de este capítulo el profundizar en los diferentes algoritmos implementados en HYSYS. los métodos disponibles son: a) Métodos disponibles cuando se selecciona la opción Original Optimizer: . En la página Parameters del Optimizer. Para ello existe información detallada en los manuales del software.19.Método mixto: mezcla del método BOX y el SQP . c) Método MDC Optim. En función de ello. Los algoritmos disponibles dependen de la configuración del Optimizer que hayamos seleccionado.El método SQP .20). el algoritmo Downhill Simplez de Press et al.Método Fletcher Reeves . Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Figura 6.Ventana de edición de Functions totalmente configurada. y el algoritmo Box de Kuester y Mize. . que incluye los siguientes métodos: . . Figura 6.21. La optimización comienza cuando se pulsa Start.20.Selección del método de optimización y definición de sus parámetros.. así como los de las corrientes S1 y S2. en la parte inferior derecha de la ventana.Monitor del Optimizer.Optimización de Procesos Químicos Figura 6. y ha modificado ligeramente el flujo de destilado. 310 . Se puede observar que la optimización ha forzado la relación de reflujo hacia su valor máximo (10). siendo posible seguir el progreso del algoritmo en la página Monitor. 9. mejoran sucesivamente la solución. El método más conocido para encontrar el óptimo de una función es a través del análisis de sus derivadas. 6.. además.. En este trabajo se procura dar una sencilla explicación de su uso como herramienta de optimización.1. lo cual supone una mejora significativa con respecto a la solución inicial.9. Un problema de optimización consiste en encontrar aquellos valores de ciertas variables que optimizan (es decir.. Debido a la segunda limitación. Las planillas de cálculo se han convertido en herramientas obligadas de análisis de datos. y mediante algún algoritmo iterativo. empleando para ello la versión contenida en Microsoft Excel 2016.Empleo del complemento Solver de Excel. Sin embargo. y. A las variables las llamaremos variables controlables o variables de decisión.. El nombre se debe a que podemos ponerle restricciones a las variables. x2. que parten de una solución inicial. no siempre el óptimo nos da una solución que tenga sentido en la práctica.Optimización Restringida. no siempre se aprovechan todas sus potencialidades.. 311 . x2.. xn).. Debido a la primera limitación.. que viene incluida en el paquete Office de Microsoft.. Este método tiene dos limitaciones: no siempre la función es derivable.. xn. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 La solución a los balances de materia y energía indica que la recuperación de todos los componentes en las corrientes deseadas es superior al 90 %. surgieron los métodos de optimización restringida. 6. según el caso). hacen máxima o mínima. una función de estas variables. significa encontrar los valores de x1. surgieron los métodos numéricos. Matemáticamente. de modo que cumplan una o más condiciones. La planilla más difundida en el mercado es Excel. tales que hacen máxima (o mínima) a la función f (x1. y pueden tomar cualquier valor real.. En estas celdas se encuentran los valores de las variables controlables x1. .. Los modelos más sencillos de optimización restringida corresponden a modelos de Programación Lineal. Solver cambia los valores de un grupo de celdas. o a que quizás deseamos imponer ciertos mínimos o máximos de calidad. xn) en una celda. se puede buscar el valor óptimo para una celda. directa o indirectamente.Herramienta Solver... riesgo. por ejemplo. Solver es una herramienta para resolver y optimizar ecuaciones mediante el uso de métodos numéricos. no necesariamente entero. Pero. escribiendo una fórmula gj (x1. tiempo. con la fórmula de la celda objetivo. ... las variables deben ser no negativas.. Se pueden agregar restricciones a Solver. sujetas a restricciones..2. donde tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales. 312 . igual. sujeto a restricciones de tipo gj (x1.. xn). significa encontrar los valores de x1. insumos... x2.. Con Solver. x2. Estas restricciones pueden ser funciones de las variables controlables. x2. . y especificando que la celda deberá ser mayor o igual. xn) ó cj . . o menor o igual que otra celda que contiene la constante cj. debido a limitaciones de horas de trabajo.Optimización de Procesos Químicos La restricción más común que se da en la práctica es que las variables deben ser no negativas. capital. xn. surgen naturalmente otras restricciones en el mundo real. 6. . . además. x2. No tiene ningún sentido una "solución" que implique producir cantidades negativas.. en donde se escribe la fórmula de la función objetivo f(x 1... o llevar un número negativo de paquetes. Podríamos resumir diciendo que en un problema de optimización restringida buscamos los valores de ciertas variables que optimizan una función objetivo. etc.... xn). y que estén relacionadas. x2.. x2. tales que hacen máxima (o mínima) a f(x1. dadas también en términos de funciones. denominadas celdas cambiantes. denominada celda objetivo. donde cj es una constante.9. o sembrar un número negativo de hectáreas. xn. Matemáticamente.. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 También se pueden especificar que los valores sean enteros. 6.1. para evitar dar resultados absurdos de algunos problemas. vaya a Archivo Opciones Complementos. para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo. Para ello siga los siguientes pasos: 1.Instalación de Solver. Solver ajustará los valores de las celdas cambiantes. fíjese si aparece el comando Solver..5 empleados.2. deberá instalar el complemento o macro automática Solver.9. Una vez ejecutado Excel y con una hoja de cálculo activa. En el menú Herramientas. Se nos abrirá la siguiente pantalla: 313 . Si no aparece. tales como que se necesitan 3. Microsoft Excel Solver utiliza diversos métodos de solución. Para los problemas de Programación Lineal utiliza el método Simplex. y aparecerá en el menú de Datos.2..9. 314 . Vaya a Administrar: Complementos de Excel y marque la casilla Solver.9. implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems.3.xls de Solver.2.Solver y Optimización No Lineal. Veremos algunos casos de optimización a partir de un modelo tomado del archivo muestras.. 6. Inc.Optimización de Procesos Químicos 2.2. Para problemas lineales enteros utiliza el método de ramificación y límite. dependiendo de las opciones que seleccione.Algoritmos y métodos Utilizados por Solver. Para problemas no lineales utiliza el código de optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la Universidad Allan Waren (Cleveland). 6. Con esto ya estará activa la macro. 8 1. se tiene: Los factores de temporada: Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4 Factor de temporada 0. Puede utilizar Solver para averiguar si el presupuesto publicitario es escaso y si la publicidad debe orientarse de otra manera durante algún tiempo para aprovechar mejor el factor de temporada. los primeros 5000 € de publicidad producen aproximadamente un incremento de 1200 unidades vendidas. pero los 5000 € siguientes producen cerca de 800 unidades adicionales. Esta función es no lineal y se expresa: Unidades vendidas = 35*factor de temporada*(publicidad+3000) 0.2 Unidades vendidas = 35*factor de temporada*(publicidad+3000)^0.1 0. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Éste es un modelo típico de mercadotecnia que muestra las ventas en función de los gastos en publicidad y de un factor de temporada. pero con una caída constante en el flujo de caja.5 Ingresos por ventas = precio del producto*unidades vendidas. Por ejemplo. el gráfico es: Ventas 7000 6000 Unidades vendidas 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 Gastos en publicidad Observe que aumentan las ventas a partir de una cifra base (quizás debido al personal de ventas) al incrementar la publicidad. 315 .9 1.5 Para un factor de temporada 1 (neutro). Para cada trimestre. Margen bruto = Ingreso por ventas .Costo total. El precio de venta y el costo son constantes a lo largo del año: Precio del producto = 40 Costo del producto = 25 a) Introducción de Datos 1. Se sugiere ingresar los rótulos de la columna A.Optimización de Procesos Químicos Costo de las ventas = costo del producto*unidades vendidas.Costo de las ventas Costo personal = 8000 los dos primeros trimestres y 9000 los dos últimos. Abra una nueva plantilla de cálculo.15*Ingresos por ventas Costo total = Costo personal + Publicidad + Costos fijos Beneficio = Margen bruto . Margen de beneficio = (Beneficio / Ingresos por ventas)*100. La plantilla debe quedar como se muestra en la siguiente imagen. Publicidad = 10000 {éstas serán las variables controlables} Costos fijos = 0. 316 . e ingrese los datos y las fórmulas del modelo anterior. y luego aumentar el ancho de la columna. Como ayuda en la confección de la plantilla. es la suma de los 4 trimestres. 3. el separador seguramente es el punto. la fuente en negrita indica las celdas con valores fijos. Si se alinea a la derecha. Nos aparecerá la siguiente imagen: 317 .9. C. Las dos celdas deben estar relacionadas por medio de las fórmulas de la hoja de cálculo. y ha interpretado que ingresó un rótulo o texto. b) Optimizar una Función de Una Variable. Ingrese las fórmulas de T1 y luego cópielas a los otros trimestres. que suele ser el punto o la coma. ingrese en la celda B3 el número 0. el separador de decimales es la coma. 4. al cambiar el valor de una celda no cambiará el valor de la otra celda. El objetivo es maximizar el beneficio cambiando los gastos en publicidad. T3 y T4. En las columnas B. y en normal las celdas donde debe ingresar una fórmula. En el menú Datos. En la hoja de cálculo se desea saber cuánto es necesario gastar en publicidad para generar el máximo beneficio en el primer trimestre. haga clic en Solver. excepto en el Margen de Beneficio. Puede utilizar Solver para determinar el valor máximo de una celda cambiando el valor de otra. D y E. y lo ha interpretado como número. Si no es así. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 2. Para saber cuál de los dos es el que tiene establecido. se escriben las fórmulas de cada trimestre: T1. Si se alinea a la izquierda. T2. Windows tiene definido un separador de decimales. 1. La columna F (Total). El resultado es que un gasto en publicidad en T1 de 17 093 € produce un beneficio máximo de 15 093 €. 4. aparecerá un mensaje advirtiendo que Solver ha encontrado una solución. En el cuadro “Establecer objetivo”. Después de un momento. ha disminuido. escriba $B$15 o bien pique en la celda B15 antes de ejecutar Solver. Haga clic en “Conservar solución de Solver” y. En el cuadro “Cambiando las celdas”. 5. a continuación. 3. sin embargo. Seleccione la opción Máx. Haga clic en Resolver. Efectivamente. haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla. Aparecerán mensajes en la barra de estado mientras se configura el problema y Solver empezará a funcionar. Esta celda se corresponde con los beneficios del primer trimestre en la hoja de cálculo. se tiene: 318 . El margen de beneficio.Optimización de Procesos Químicos 2. 6. escriba $B$11 o seleccione la celda B11 (publicidad del primer trimestre) en la hoja de cálculo. si se representa la función beneficio para distintos valores de gastos de publicidad. Asegúrese de que la opción Máximo está seleccionada. Por ejemplo. por lo que su optimización mediante métodos numéricos no suele presentar problemas. 5. parece lógico que se gaste más del presupuesto publicitario en el trimestre T4 cuando la respuesta a las ventas es mayor. Utilice Solver para determinar la mejor dotación trimestral. a continuación. y luego en Aceptar. escriba $F$15 o seleccione la celda F15 (beneficios totales del año) en la hoja de cálculo. 2. 7. En el menú Datos. escriba b11:e11 o seleccione las celdas B11:E11 (el presupuesto publicitario de cada uno de los cuatro trimestres) en la hoja de cálculo. para borrar los datos de Solver. 319 . 1. que coincide con el máximo global. y menos en el T3 cuando la respuesta a las ventas es menor. c) Optimizar una Función de Varias Variables También puede utilizar Solver para encontrar los valores que deben tomar varias celdas a la vez para maximizar o minimizar otra celda que tenga una fórmula que dependa de ellas. 3. Haga clic en el botón Restablecer todo. Haga clic en “Conservar solución de Solver” y. Debido a que el factor de temporada en la fila 3 se tiene en cuenta en el cálculo de la unidad de ventas en la fila 5 como multiplicador. haga clic en Solver. Haga clic en Resolver. y tiene un solo máximo local. En el cuadro “Cambiando las celdas de variables”. En el cuadro “Establecer objetivo”. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Beneficios en T1 15200 15000 Beneficios en T1 14800 14600 14400 14200 14000 13800 10000 10650 11300 11950 12600 13250 13900 14550 15200 15850 16500 17150 17800 18450 19100 19750 20400 21050 21700 22350 23000 23650 24300 24950 Gastos en publicidad Observe que esta función es cóncava. puede averiguar cuál es el presupuesto publicitario de cada trimestre que produce el mayor beneficio durante el año. 6. 4. haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla. Debido a que nunca es seguro que el modelo de ventas y publicidad vaya a ser válido para el próximo año (de forma especial a niveles de gasto mayores). Es conveniente siempre probar con diferentes soluciones iniciales. Estas restricciones se pueden aplicar a las celdas de las variables controlables (celdas cambiantes) o a cualquier otra celda que tenga una función (fórmula) de estas celdas. Existe. es decir. Se parte de una solución inicial "apropiada". d. y 2. d) Optimizar una Función con Restricciones. para confirmar que la solución de Solver es realmente la mejor. Los modelos más realistas tienen factores de restricción que es necesario aplicar a ciertos valores. 320 . el presupuesto recupera el costo publicitario y genera beneficios adicionales.1) Agregar una restricción. pero se está alcanzado un estado de disminución de flujo de caja. El resultado de esta optimización sin restricciones muestra que se pueden aumentar los beneficios durante el año a 79 706 € si se gastan 89 706 € en publicidad durante el año. Se trata de un problema no lineal debido a los exponentes utilizados en las fórmulas de la fila 5. debe encontrar los valores para las incógnitas en las celdas de B11 a E11 que maximiza el beneficio anual.Optimización de Procesos Químicos Acaba de solicitar a Solver que resuelva un problema de optimización no lineal moderadamente complejo. no parece prudente dotar a la publicidad de un gasto no restringido. de la siguiente manera: Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4 Gastos en Publicidad 17 093 27 016 12 876 32 721 Los métodos numéricos para problemas no lineales encuentran el óptimo sólo si: 1. o para evitar que se "atore" en puntos de inflexión o en óptimos locales. la solución inicial "apropiada" es gastar 10 000 € en publicidad en todos los trimestres. En este ejemplo. Hasta ahora. puede cambiar una restricción para ver si los resultados son mejores o peores que antes. 1. Agregue al problema una restricción que limita la cantidad en publicidad durante los cuatro trimestres a 40 000 €. Cuando utilice Microsoft Excel Solver. 321 . $F$11<=40000 en el cuadro Sujetas a las siguientes restricciones. 3. Haga clic en “Conservar solución de Solver” y. 3. En el cuadro que se encuentra a la derecha de la relación. d. haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla. 1. sin ningún aumento en el presupuesto publicitario. 2. a continuación. La relación en el cuadro Restricción es <= (menor o igual que) de forma predeterminada. desde un mínimo de 5 117 € en el T3 hasta 15 263 € en el T4. En el cuadro Referencia de celda. En el menú Datos. 4. cambie de 40000 a 50000. El beneficio total aumentó desde 69 662 € en el presupuesto original a 71 447 €. escriba f11 o seleccione la celda F11 (total en publicidad) en la hoja de cálculo. Seleccione la restricción. En el cuadro Restricción. En la hoja de cálculo. haga clic en Solver. Haga clic en Aceptar y. 4. La solución encontrada por Solver realiza una redistribución del presupuesto original de 40 000 €. a continuación. Por ejemplo. haga clic en Resolver. En el menú Datos. de manera que no tendrá que cambiarla. cambie la restricción en publicidad de 40 000 € a 50 000 € para ver qué ocurre con los beneficios totales. haga clic en Solver y después en Agregar. 2.2) Cambiar una restricción. La celda F11 debe ser menor o igual a 40 000 €. puede experimentar con parámetros diferentes para decidir la mejor solución de un problema. Haga clic en Cambiar. escriba 40 000. Aparecerá el cuadro de diálogo “Agregar restricción”. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Supongamos que desea mantener el presupuesto original de publicidad en 40 000 €. se encontrarán numerosas aplicaciones de Programación Lineal y no Lineal. Por otro lado. En la mayoría de las organizaciones no resultará muy difícil justificar un incremento en inversión de 10 000 € que produzca un beneficio adicional de 3370 € o un 33. Esto supone una mejora de 3370 € con respecto al resultado de 71 447 €. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. cuya utilidad neta es de 5000 € y 4000 € por tonelada respectivamente. a continuación. y cada tonelada de F precisa de 10 horas para su producción. y cada tonelada de F. Para la producción global de E y F. El departamento B tiene una disponibilidad de 160 horas mensuales. cada tonelada de E utiliza 10 horas de este departamento. que tienen una disponibilidad limitada. 6. El departamento A dispone de 150 horas mensuales.. cualquiera sea su tipo.Solver y Programación Lineal. es evidente que no pueden producirse cantidades negativas de E ni de F. 3ª edición. el producto E precisa de 30 horas y F de 10 horas por tonelada de verificación. E y F. Esta solución también produce un resultado de 4889 € menos que el resultado no restringido. 6. aplicándolas a un ejemplo muy elemental. Editorial Prentice Hall. Un cliente ha solicitado 5 toneladas. de E o F. 322 . En éste y en otros libros de Investigación Operativa. El Modelo de la Protrac La Protrac Inc. Ambos pasan por operaciones de 2 departamentos de producción. tomado del libro de Eppen.3. Gould y Schmidt. Haga clic en “Conservar solución de Solver” y. 15 horas. La alta gerencia ha decretado que es necesario producir al menos una tonelada de F por cada 3 de E..7% de flujo de caja.9. Haga clic en Aceptar y después en Resolver.Optimización de Procesos Químicos 5. Solver encontrará una solución óptima que produzca un beneficio total de 74 817 €. Cada tonelada de E precisa de 20 horas. Veremos ahora la utilización de Solver para resolver casos de Programación Lineal. se deberán utilizar al menos 135 horas de verificación en el próximo mes. haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla. pero es necesario gastar 39 706 € menos para lograrlo. fabrica dos tipos de productos químicos. las cantidades a producir de cada uno de los productos para maximizar la utilidad global. Modelo Max 5000 E + 4000 F {Función objetivo: maximizar la utilidad global} sujeto a {escribimos ahora las restricciones o requerimientos} 10 E + 15 F 150 {horas del departamento A} 20 E + 10 F 160 {horas del departamento B} 30 E + 10 F 135 {horas de verificación} E-3F0 {al menos una de E cada 3 F significa E 3 F} E+F5 {al menos 5 toneladas} E 0. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Se trata de decidir. 323 . conviene preparar una tabla con los coeficientes de las variables: Productos: E F Utilidad marginal: 5000 4000 Restricciones Departamento A: 10 15 150 Departamento B: 20 10 160 Verificación: 30 10 135 Al menos un E cada 3 F: 1 -3 0 Al menos 5: 1 1 5 Las restricciones de no negatividad no las hemos incluido en la tabla. F 0 {no negatividad} Antes de introducir este modelo en la planilla. para el mes próximo. F: toneladas de tipo F a producir. pero sí las tendremos muy en cuenta al poner restricciones en la planilla. De otro modo. podríamos llegar a obtener soluciones absurdas. El Modelo Variables controlables: E: toneladas de tipo E a producir. el lado izquierdo de las restricciones en el rango D7:D11.B7:C7) de la celda D7 3.. podemos probar con distintas cantidades a producir de E y de F. por lo que escribiremos 0 (cero) en las celdas B5 y C5. Abra una nueva plantilla de cálculo. y el lado derecho de las restricciones en el rango F7:F11. Comenzaremos suponiendo que no producimos nada de E ni de F. Así. Pruebe con éstos y otros valores. Una vez introducidos estos datos. 324 . Antes de introducir los datos en la plantilla. Ingrese: =B4*B5+C4*C5 Copie la fórmula Ingrese: =sumaproducto(B$5:C$5. conviene aumentar el ancho de la columna A para que aparezcan completos los rótulos de esta columna. Seleccione del menú Datos / Solver. 2. se respetan todas las restricciones y se obtiene una utilidad global de 38 000 €. poniendo 6 en la celda B5 y 2 en la celda C5. Aparecerá el cuadro de diálogo Parámetros de Solver. por ejemplo. 1. y cuál será la utilidad global.. Las demás columnas pueden quedar sin alterar. Optimización Observe que en la plantilla hemos introducido la función objetivo en la celda A2. 2. en la que ingresaremos los datos. y ver fácilmente si se cumplen las restricciones.Optimización de Procesos Químicos Introducción de Datos 1. Haga clic en la opción Máximo. Haga clic en la celda B5. debajo de Sujetas a las siguientes restricciones. Haga clic en el botón Agregar. Aparece el cuadro de diálogo Agregar restricción. Cuando el dato sea una celda o un bloque de celdas. 5. puede seleccionarlas haciendo clic en la hoja de cálculo y arrastrando el mouse. 7. Con el cuadro de diálogo abierto. y arrastre el mouse sin soltarlo para seleccionar también la celda C5.. 325 . haga clic en la celda A2 de la planilla.. 6. 4. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 3. 8. En la caja debajo de Celda objetivo se borra el contenido anterior y se muestra $A$2.. Haga clic en la caja debajo de Cambiando las celdas. con lo que aparecerá el cuadro de diálogo Opciones de Solver. Haga clic en el botón Agregar para agregar más restricciones. 10. El cuadro de diálogo Parámetros de Solver debe quedar: 11. 326 .Optimización de Procesos Químicos 9. Haga clic en el botón Opciones. o en el botón Aceptar para finalizar. Como nuestro modelo es lineal. Una vez introducidos estos datos. y luego haga clic en el botón Aceptar. 13. seleccione Resolver. Seleccionar Simplex LP. y Solver. Nos aparecerá el siguiente cuadro donde introduciremos la información en él contEnida. mostrará un mensaje con: 327 . Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 12. Resolución 14. si todo anduvo bien. seleccione la casilla de verificación Adoptar modelo lineal. El Informe de Respuestas Los informes de Solver son tan claros que apenas merecen aclaración. Los Datos de la Planilla Si no ha cometido errores.Optimización de Procesos Químicos 15.5 toneladas de E y 7 de F. el informe puso: Producción: E. por tanto. una por cada informe. seleccione el primero y mantenga apretada la tecla del mouse. Solver ha encontrado los valores óptimos de las variables controlables. 16. por ejemplo. debajo de Nombre. Seleccione “Conservar solución de Solver” y elija los 3 informes. en las celdas B5 y C5 se muestra la solución óptima: Producir 4. Éstos son: El Informe de Respuestas. observe que en Celdas Cambiantes. y. Para esto. el Informe de Sensibilidad y el Informe de Límites. Después de unos segundos. La utilidad máxima del mes próximo será 50 500 €. La razón principal de su claridad se debe a que bajo cada columna Nombre. pone la intersección de fila y columna de rótulos. Solver habrá agregado 3 hojas de cálculo en su libro. Así. hasta seleccionar los 3. o ubíquese en el primero y mantenga apretada la tecla Alt. "Producción" es el rótulo de la fila y "E" el de la 328 . en la primera restricción. nos indica si la restricción es activa. al remplazar: 10*E+15*F = 10*4. o Estado: Nos indica si la restricción se cumple exactamente.5 + 15*7 = 150 horas utilizadas en el departamento A. En Restricciones se tiene: o Valor de la celda: es el valor que toma el lado izquierdo de cada restricción en la solución óptima. En Celdas Cambiantes aparecen las celdas de las variables controlables. ya que puede tener en cuenta esta característica en sus futuros problemas. y no hay un margen. = o . En otras palabras. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 columna de la planilla. Es importante notar esto. 329 . se tiene. Así. En Celda Objetivo aparece la celda de la función objetivo. la solución inicial o valores iniciales de las variables y la solución óptima (valor final). de horas del departamento A. el nombre. o Fórmula: nos recuerda las restricciones que hemos introducido. el valor inicial antes de optimizar y el valor óptimo (valor final). incluyendo si es de . con una igualdad. el Nombre. por ejemplo. por lo que su costo reducido es cero. El Informe de Sensibilidad Celdas Cambiantes Valor: nos recuerda los valores óptimos de las variables controlables.Optimización de Procesos Químicos o Divergencia: es el margen que tiene cada restricción. es el lado izquierdo menos el lado derecho (la constante). En este caso. entonces es el lado derecho de la restricción (la constante) menos el lado izquierdo. 330 . desde luego el margen será cero. Si la desigualdad es . las dos variables controlables son positivas (conviene producir ambos productos). Si la restricción es activa. Aumento permisible: incremento admisible en los coeficientes de la función objetivo sin que cambien los valores óptimos de las variables controlables. Coeficiente objetivo: son los coeficientes de la función objetivo. Si la desigualdad es . Reducido Coste: indica cuánto deberá cambiar el coeficiente de la función objetivo para que la variable tome un valor positivo. Disminución permisible: disminución admisible en los coeficientes de la función objetivo sin que cambien los valores óptimos de las variables controlables. 331 . Sin embargo. el precio dual será otro. mejorando en 175 € por cada hora extra. se puede incrementar el número de horas extras del Departamento B. o el empeoramiento si se la restringe.3333 horas. Sombra precio: son los precios duales. por ejemplo. Disminución admisible: indica en cuánto puede disminuir el lado derecho de la restricción sin que cambie el precio dual de un recurso (o requerimiento). Indican la mejora en el valor de la función objetivo si se "relaja" una desigualdad. o precios sombra de los recursos (o requerimientos) indicados en las restricciones. Por ejemplo. de horas del departamento A. en la primera restricción. al remplazar: 10*E+15*F = 10*4. seguramente menor. Aumento permisible: representa en cuánto puede incrementarse el lado derecho (Constante) sin que se altere el precio Dual. Si disponemos de más de 160+73. se tiene. El Informe de Límites Celdas Cambiantes Valor: nos recuerda los valores óptimos de las variables controlables. este análisis es válido sólo para un incremento de hasta 73.3333 horas. Así.5 + 15*7 = 150 horas utilizadas en el departamento A. Por ejemplo. si dispusiéramos de más tiempo en el Departamento B. podríamos mejorar la utilidad global incrementándose en 175 € por cada hora extra. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 Restricciones Valor final: es el valor que toma el lado izquierdo de cada restricción en la solución óptima. Resultado objetivo: valor de la función objetivo si la variable toma el valor del límite inferior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado. Tiempo máximo: Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. . Cada opción tiene una configuración predeterminada adecuada a la mayoría de los problemas.Optimización de Procesos Químicos Límite inferior: es el menor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen el valor óptimo encontrado). pero el valor predeterminado 100 (segundos) es adecuado para la mayor parte de los problemas. 0. por ejemplo. Pueden controlarse las características avanzadas del proceso de solución. más tiempo se tardará en encontrar una solución. Puede introducirse un valor de hasta 32367. Resultado objetivo: valor de la función objetivo si la variable toma el valor del límite superior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado.9. sino también los Precios Duales correspondientes a cada restricción y el Análisis de Sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo y de las constantes del lado derecho de cada restricción. Iteraciones: Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. Conclusiones El informe de respuestas de Excel no sólo brinda la solución óptima de un Programa Lineal. Límite superior: es el mayor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen el valor óptimo encontrado) sin violar las restricciones. cargarse o guardarse definiciones de problemas y definirse parámetros para los problemas lineales y no lineales. 6. Aunque puede introducirse un valor de hasta 32767. Cuantos más decimales tenga el número que se introduzca. Cuanto mayor sea la precisión.01. limitando el número de cálculos provisionales. 332 . Esta información ha demostrado ser muy útil en el análisis de diversos problemas. el valor predeterminado 100 es adecuado para la mayor parte de los problemas pequeños.0001 indica una precisión mayor que 0. Precisión: Controla la precisión de las soluciones utilizando el número que se introduce para averiguar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite inferior o superior. .4. . Debe indicarse la precisión mediante una fracción entre 0 (cero) y 1.Opciones de Solver. mayor será la precisión.. y satisfacer todas las restricciones. Guardar modelo: Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo. . Cuadrática: Utiliza la extrapolación cuadrática. 0. . . Tolerancia: El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución satisface las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y todavía considerarse aceptable. cuando se maximiza el porcentaje de beneficios basándose en una inversión de medio millón de dólares. por ejemplo. La convergencia se aplica únicamente a los problemas no lineales y debe indicarse mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Adoptar modelo lineal: Selecciónelo cuando todas las relaciones en el modelo sean lineales y desee resolver un problema de optimización o una aproximación lineal a un problema no lineal. el primer modelo se guardará de forma automática. Esta opción es válida sólo en modelos no lineales. Solver se detendrá. Adoptar no-negativo: Hace que Solver suponga un límite de 0 (cero) para todas las celdas ajustables en las que no se haya definido un límite inferior en el cuadro Restricción del cuadro de diálogo Agregar restricción. Cargar modelo: Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo. Lineal: Utiliza la extrapolación lineal de un vector tangente. . donde puede especificarse la referencia del modelo que desee cargar. . Una tolerancia mayor tiende a acelerar el proceso de solución. 333 . Mostrar resultado de iteraciones: Selecciónelo para que Solver muestre temporalmente los resultados de cada iteración. Simulación y Optimización de Procesos – Tema 6 . . por ejemplo. que puede mejorar en gran medida los resultados de problemas no lineales. Úselo únicamente cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo. . Cuanto menor sea el valor de convergencia. menor será la convergencia.0001 indica un cambio relativo menor que 0. más tiempo se tardará en encontrar una solución. Usar escala automática: Selecciónelo para utilizar la escala automática cuando haya grandes diferencias de magnitud entre las entradas y los resultados. . Cuantos más decimales tenga el número que se introduzca. Estimación: Especifica el enfoque que se utiliza para obtener las estimaciones iniciales de las variables básicas en cada una de las búsquedas dimensionales. Convergencia: Si el valor del cambio relativo en la celda objetivo es menor que el número introducido en el cuadro Convergencia para las últimas cinco iteraciones. Opciones para Modelos No Lineales . donde puede especificar la ubicación en que desee guardar el modelo.01. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tengan restricciones enteras. . Progresivas: Se utilizan para la mayor parte de los problemas. . puede ser útil cuando Solver devuelve un mensaje diciendo que no puede mejorarse la solución. . pero menos iteraciones que el método de gradiente conjugado. Aunque esta opción necesita más cálculos. .Optimización de Procesos Químicos . 334 . . Buscar: Especifica el algoritmo que se utiliza en cada iteración para determinar la dirección en que se hace la búsqueda. Use esta opción cuando se trate de un problema grande o cuando al hacer un recorrido a través de iteraciones se descubra un progreso lento. especialmente cerca de los límites. en que los valores de restricción cambien relativamente poco. Centrales: Se utiliza en los problemas en que las restricciones cambian rápidamente. Gradiente Conjugado: Necesita menos memoria que el método Newton. Derivadas: Especifica la diferencia que se utiliza para estimar las derivadas parciales del objetivo y las funciones de la restricción. pero normalmente necesita más iteraciones para alcanzar un determinado nivel de precisión. Newton: Utiliza un método cuasi Newton que normalmente necesita más memoria. .