Instituto Tecnológico de Santo DomingoIngeniería Económica Apuntes N o 3 Profesora: Daviana Mazara
[email protected] Febrero-Abril 2012 Apuntes N o 3 Anualidades Anualidad: sistema de pagos de sumas fijas a intervalos iguales de tiempo. No significa “pagos anuales”, sino pagos a intervalos iguales de tiempo. Ej: pago se préstamos, alquileres, sueldos, entre otros. El período de pago de la anualidad es el tiempo fijado entre dos pagos sucesivos (supondremos que todos los pagos se realizan al pagos sucesivos (supondremos que todos los pagos se realizan al final de cada período). El PP, es la frecuencia con que se hacen depósitos, pagos de deudas, entre otros. Para el cálculo de la anualidad, el período de pago debe coincidir con el período de capitalización de intereses, sino debe transformarse la tasa de interés para adaptarla al período de pago de la anualidad. 2 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Tipo de Anualidades Anualidades vencidas: es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al final de cada período de pago. Este es el tipo más frecuente de anualidades, por esto cuando se dice simplemente “anualidad” debe asumirse que se trata de una anualidad vencida. Ejemplo: pago de préstamos, sueldos, alquileres… Anualidades Anticipadas: es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio de cada período de pago. Ejemplos: contribuciones al seguro de vida… Anualidades Diferidas: son aquellas cuyo inicio de pagos comienza después de transcurrido un intervalo de tiempo. Estas anualidades pueden ser vencidas o anticipadas. Ejemplos: compra de electrodomésticos… 3 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Tipo de Anualidades Anualidades Perpetuas: es una anualidad o renta cuyo plazo de pago no tiene fin, es decir se paga indefinidamente. Ejemplo: algunos tipos de bonos… Gradientes Aritméticos: anualidades que se incrementan o reducen a razón aritmética. Gradientes Geométricos: anualidades que se incrementan o reducen a razón geométrica. 4 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Si tenemos un flujo constante de dinero, ya sea de egresos o ingresos, podemos calcular de una manera directa el Valor Futuro de dichos flujos, de aquí despejamos la formula de anualidad: 5 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Ejemplo 1. Una persona deposita cada mes $3,000, en una cuenta de ahorros que paga 20% anual con capitalización mensual. Hallar el valor futuro de estos depósitos luego de 8 años. Mensual Mensual 6 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Mensual Anualidades Ejemplo 2. El Sr. Pérez está ahorrando para comprarle un carro a su hija, con tal objetivo deposita cada 3 meses $12,000 durante 3 años en un Banco que le paga un 16% anual capitalizable mensualmente. Si el primer deposito lo realiza dentro de tres meses, con cuanto dinero dispondrá al finalizar el 3er año?. 7 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades También mediante un diagrama de flujo podemos determinar el Valor Presente de una serie de anualidades. 8 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Ejemplo 3. Determinar el Valor Presente con los datos del Ejemplo 1. Interpretar los resultados. 9 Ejemplo 4. Tetrapak está vendiendo una máquina selladora con una cuota inicial de $100,000 y 16 cuotas mensuales de $50,000. Si la tasa de interés por la cuotas es del 15% con capitalización mensual, hallar el valor al contado de la máquina. Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Solución Ejemplo 4. 10 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Ejemplo 5. La Sra. Medina decide afiliarse al Sistema de Fondo de Pensiones, y por tanto realizará aportes mensuales de $1,200 durante 30 años hasta que se jubile. Si la AFP a la cual decidió afiliarse tiene un rendimiento anual de 24% y capitaliza mensualmente. Con cuánto dinero contará esta persona al momento que se jubile? 11 Ejemplo 6. Se acerca el Día de Las Madres y Pedro decide regalar a su mamá un nuevo juego de muebles que cuesta $18,676. Si él decide financiarlo a 6 meses con el Extracrédito del Banco Popular, que cobra un 2.5% mensual. Calcular el monto de la anualidad que pagará cada mes. Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Ejemplo 7. Con los datos del Ejm. 5. Si esta persona desea gastar el dinero que acumuló hasta su jubilación en 20 años, asuma que la tasa es la misma, Cuál será el monto que recibirá mensualmente durante los 20 años? 12 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Ejemplo 8. Manuel y Ana están pensando comprar un Apartamento en la Urbanización Praderas Verdes que vale $1,200,000. Si ellos cuentan con el 25% del valor del inmueble y el resto lo financian con la Asociación Popular a un 21% anual capitalizable mensualmente durante 15 años. Cuál será el monto a pagar mensualmente a la Asociación?. 13 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Anualidades Ejemplo 9. Calcular el valor actual de una deuda de $ 5,000 semestrales si el primer pago debe hacerse dentro de 2 años y el último dentro de 6 años. La tasa es de 8% capitalizable semestralmente. Note que el intervalo diferido (período de gracia) tiene 3 períodos. 14 VF Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes Gradiente Aritmético: Es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme. Es decir el flujo de efectivo, sean ingresos o egresos, cambian por la misma cantidad aritmética cada período de interés. La primera cantidad del flujo de efectivo recibe el nombre de base. La cantidad del aumento o disminución es el gradiente. 15 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes En este caso tenemos que manejar 2 conceptos: Base (A): es la cantidad inicial sobre la cual se aplica el gradiente período a período. Esta cantidad es la misma durante todos los períodos por lo que equivale a una anualidad (A). Gradiente (G): es la cantidad que se adiciona o sustrae a la base período a período. 16 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes El Valor Futuro de una anualidad con gradiente aritmético será: VF = VF base + VF gradiente 17 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes El Valor Presente de una anualidad con gradiente aritmético será: VP = VP base + VP gradiente 18 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes Ejemplo 10: Una persona contrae la obligación de pagar $2,000 cada final de mes, durante un año, aumentando sus pagos sucesivos en $100 cada mes, hallar a) a la tasa del 24% anual capitalizable mensualmente, el valor presente de la obligación; b) si desea sustituir su obligación por otra equivalente con la misma tasa, con pagos mensuales iguales, ¿cuánto deberá pagar mensualmente? 19 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes Continuación Ejemplo 10: Parte b) 20 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes Ejemplo 11: Los ingresos promedio de un restaurante son de $400,000 mensuales; el dueño inicia una ampliación y estima que sus entradas, a partir del quinto mes, se incrementarán con un gradiente de $50,000 mensuales, estabilizándose al cabo de un año. Hallar el valor actual de sus ingresos durante el primer año. Tasa de interés 18% anual con capitalización mensual. 21 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes Gradientes Geométricos: Son anualidades cuyos pagos periódicos varían formando una progresión geométrica; es decir que el cociente entre 2 términos sucesivos es constante. Este cociente es el gradiente geométrico. 22 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Gradientes Ejemplo 12: Una deuda debe cancelarse en 5 años con cuotas de $10,000 cada final de año a una tasa de interés del 6% anual. Estos pagos se incrementan, después del primero, en un 10% anual cada uno. Determinar: a) El Valor Presente de la deuda, b)Si quisiéramos sustituir esta deuda por una en la cual todos los pagos sean constantes. ¿Cuál sería el valor de ese pago constante? 23 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Ejercicios Repaso Apuntes 3 1. Levi Strauss contrató con la compañía independiente U.S. Garment Corporation algunos de los pantalones deslavados. Si el costo de operación por máquina de esta última empresa es de $22,000 en los años 1 y 2 y después se incrementa en $1,000 anuales hasta el año 5, ¿cuál es el valor presente, con una tasa de interés de 12% anual. Si quisiéramos sustituir esta deuda por una en la cual todos los pagos sean constantes. ¿Cuál sería el valor de ese pago constante? (Libro Blank y Tarkin, Cap.3-3.37, Sexta Ed.) 24 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Ejercicios Repaso Apuntes 3 2. Una compañía que comienza, dedicada a la venta de cera de colores pulidora para autos, recibe un préstamo de $40,000 con una tasa de interés de 10% anual y desea reembolsarlo en un período de cinco años con pagos anuales tales que del tercero al quinto incrementen a razón de $2,000 cada año. Determine el monto de estos dos primeros pagos(Libro Blank y Tarkin, Cap.3-3.40, Sexta Ed.) 25 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara Ejercicios Repaso Apuntes 3 3. Calcule el valor presente (año 0) de un arrendamiento cuyo primer pago es de $20,000 y las cantidades se incrementan anualmente 5% hasta el año 10. Utilice una tasa de 14% de interés anual. (Libro Blank y Tarkin, Cap.3-3.44, Sexta Ed.) 26 Ingeniería Económica Prof. Daviana Mazara