Facultad de Ingeniería Escuela de Industrias Ingeniería Civil Industrial Apuntes ICI2212 Modelos Estocásticos Distribución Gamma Profesor: MSc. Claudio Araya Sassi Distribución Gamma Una v.a. se dice tener una distribución con parámetros ( por: ( ) { ( ) ( ) ) si su está dada 2° Semestre de 2013. ( ) Donde ( ), llamada la función gamma, está definida como: ( ) ∫ Integrando por partes se tiene: ( ∫ Reemplazando se tiene: ( ) | ∫ ( ) ) ( ) ( )∫ ( ) ( ) ( ) ( ) Relación Recursiva Así hemos demostrado que la función gamma sigue una importante relación recursiva. Hacemos aplicando la ecuación anterior repetidamente. ( ) ( ( ( ) ( ) ( )( ) ) ) ( ( ) ) Profesor: MSc. Claudio Araya Sassi [email protected] 1 esto es.cl 2 . ( ) ∫ | Por lo tanto. ( ) ( ) Propiedades de la Distribución Gamma a) si n = 1 ( ) { } Por lo tanto. b) n > 0 Considérese la integral ∫ luego ∫ Integrando por partes y haciendo y ∫ Profesor: MSc. la fdp exponencial es un caso especial de la distribución gamma.Facultad de Ingeniería Escuela de Industrias Ingeniería Civil Industrial Pero. ( ) ( ) ( ) Reemplazando la ecuación (2) en (1) queda lo siguiente: ( ( ) ) ( ) { Donde la función depende sólo de . Claudio Araya Sassi claudioaraya@managementscience. Facultad de Ingeniería Escuela de Industrias Ingeniería Civil Industrial Por lo tanto. [ ( ) ] [ ] ∑ ( ) Donde Y tiene una distribución de Poisson con parámetro a.cl 3 . ( ) ( ( ) ) y por lo tanto la fda de x se transforma en: ( ) ( ) ∫ Haciendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) con ∑ ( ) Profesor: MSc. Claudio Araya Sassi claudioaraya@managementscience. | ∫ ∫ [ ( ) ] Por lo tanto. Si. cl 4 . N° de ocurrencias de algún evento durante un periodo fijo de tiempo. la fda de la fdp Gamma puede expresarse mediante la fda de la distribución Poisson.t). Distribución del tiempo necesario para obtener un n° especificado de ocurrencias del evento. Gamma Poisson Gamma Distribución continua. Claudio Araya Sassi [email protected] de Ingeniería Escuela de Industrias Ingeniería Civil Industrial Por lo tanto. Tenemos ( ) { ( { ∑ } ( ) } { } [ ]) Profesor: MSc. X~ Poisson (λt) Donde: λ = N° esperado de ocurrencias de A durante un intervalo de tiempo unitario. Supongamos que: X= N° de ocurrencias del evento A durante (0. Sea T= Tiempo necesario para observar n ocurrencias de A. Facultad de Ingeniería Escuela de Industrias Ingeniería Civil Industrial Tasa de Falla Distribución Gamma ( ) ( ) ( ) ( ∑ ( ) ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ] ( ) ( ) [ ( ( ) ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ( ) ) [ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ] ( ) ∑ ( ) ( ) Profesor: MSc.cl 5 . Claudio Araya Sassi claudioaraya@managementscience. U. 1996. Ross.6 n= Tasa de falla n= 0. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Pearson Prentice Hall. Prentice Hall. Sheldon.S. Función tasa de falla para la Distribución Gamma con . Stochastic Processes. Sheldon. Second Edition. U.9 0. Gazmuri. Pedro.1 0.4 0. Academic Press.5 0.2 0. 1994.3 0. Elsevier. Referencias Meyer. Ross.A.S.Facultad de Ingeniería Escuela de Industrias Ingeniería Civil Industrial 0. 1998. Paul. New Jersey. Ediciones Universidad Católica. Claudio Araya Sassi claudioaraya@managementscience. México. U. Sheldon. Chile. Profesor: MSc.A. Massachusetts. Ninth Edition. 2007. John Wiley and Sons. 2006. Introduction to Probability Models.A. Ross.cl 6 .8 0. Seventh Edition.S.7 0. Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas. Ed.0 0 1 2 3 4 5 Tiempo 6 7 8 Figura 1. A First Course in Probability.