CUADERNO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL APUNTES PARA ADMINISTRADORES Y PROGRAMAS AFINESJOSE MANUEL FUQUEN SANDOVAL UNIVERSIDAD DE LA SALLE FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES PROGRAMA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS Bogotá D.C. Agosto de 2009 reconocido como el “Circo de Blackett”. Maximin y Maximax En 1952 fue investigador en la Corporación RAND( Research And Development ) 2 . simulación. aérea y el ejército. para la época de la segunda guerra mundial se cita que 1 Entre los más usados se encuentran Laplace. el desarrollo del método Simplex en el año 1947 por el reconocido matemático norteamericano George Dantzig2 para resolver problemas de programación lineal.emplea técnicas similares.1-Antecedentes históricos y conceptos Para algunos historiadores .las salidas de un experimento o evento dado afectan al siguiente experimento ) . líneas de espera. Entre los primeros grupos de investigación se destaca el dirigido por Patrick Blakett.corriente del análisis económico. etc.Posteriormente en 1874 León Walras.). o métodos cuantitativos se debe principalmente al auge que tomo la logística estratégica para vencer al enemigo y a la logística de distribución de los recursos de las fuerzas armadas de los aliados. el crecimiento de la capacidad de almacenamiento y la velocidad de los ordenadores. Los primeros citan los diagramas o gráficas del Ingeniero estadounidense Henry Gantt para planificación y control de proyectos . Este inglés contribuyo entre otros.a fines del siglo XIX y las dos primeras décadas del siglo XX y otros señalan como inicio los tiempos de la segunda guerra mundial. programación dinámica. Los que ubican el origen en la segunda guerra mundial tienen el referente de que las técnicas y métodos empleados por los británicos y los norteamericanos no resolvían apropiadamente los problemas complejos mejorando la utilización de los recursos. estadístico e ingeniero Danés Agner Kraup Erlang por su trabajo en la congestión de tráfico telefónico de Copenhague y los problemas de asignación por los húngaros Dénes König y Jenő Egerváry que sentaron las bases para que otro húngaro desarrollara el algoritmo de Kuhn-Munkres.los modelos matemáticos de la investigación de operaciones se originan en el año 1759 cuando el francés François Quesnay cirujano y economista empieza a utilizar modelos primitivos de decisión 1 . por lo tanto se considera que el gran desarrollo de la investigación operacional llamada también ciencia de la administración.También se citan en la década del 40 del siglo pasado al ruso Kantorovich por el estudio de los problemas de distribución y a John Von Neumann y Morgenstern por su trabajo sobre la teoría de juegos y la teoría de las preferencias. detección de barcos y bombardeo a submarinos mediante la optimización del radar y el empleo de bombas. el trabajo probabilístico del matemático ruso Andrei Markov ( las cadenas de Markov . conformado por especialistas de diversas disciplinas. también economista francés y uno de los iniciadores del concepto de utilidad marginal que dio lugar al marginalismo. inventarios. al estudio y mejora del uso de un sistema antiaéreo instalado en naves mercantes. Como ejemplo de la importancia. Minkowsky y Fargas. Otros autores señalan el inicio de la investigación de operaciones –IO. Los modelos lineales tienen como precursores en las tres últimas décadas de siglo XlX a Jordan. y el éxito en la asignación de recursos bélicos . el origen de la teoría de colas acreditada al matemático. destacándose los siguientes factores : el gran avance de las técnicas operativas (programación lineal y no lineal. programación matemática. Los beneficios de las nuevas técnicas abarcaron la fuerza naval. Optimización que se alcanza en virtud de la asignación eficiente de recursos humanos y físicos (involucrados como factores cuantitativos) a las actividades propias de las áreas funcionales que constituyen las organizaciones (en marcha. utilizando modelos físicos ( icónicos. por lo tanto abarca todos los componentes como los insumos (de información. físicos. Entre las organizaciones que tuvieron un impacto significativo están United Airlines. máquinas y equipos). instrucciones o normas que de manera sucesiva permiten solucionar un problema. La investigación de operaciones sigue el método (un camino para encontrar una meta) científico con aplicación de técnicas e instrumentos científicos. Texaco. apoyando la toma de decisiones . con el objetivo de optimizar el rendimiento de los sistemas naturales y las organizaciones. American Airlines y la industria militar norteamericana. La optimización es uno de los resultados 5 . el proceso mismo al considerar la 3 Desarrollo de ideas o pensamientos como abstracciones que solo reflejan partes del mundo exterior y generalmente no corresponden a imágenes o representaciones tridimensionales de la realidad. La investigación de operaciones es una rama de las Matemáticas considerada como ciencia interdisciplinaria (equipos de trabajo mixtos. Tanto la optimización como las restricciones se expresan como funciones lineales o no lineales a través de ecuaciones e inecuaciones.en la Fuerza Aérea Norteamericana para el día D (se refiere así al día en que las tropas aliadas desembarcan en Normandía una región al norte de Francia iniciando la liberación de la Europa continental en poder de los alemanes) habían más de 20 grupos de investigación de operaciones. analógicos) . También figura The Australian Society For Operations Research (ASOR) con alrededor de 400 miembros por todo el mundo y afiliada a la International Federation of Operational Research Societies (IFORS) con más de 30 paises afiliados. simbólicos (matemáticos .del modelo formulado. o nuevas unidades productivas) o de los componentes de los sistemas naturales. Terminada la segunda guerra mundial la investigación de operaciones se extiende hacia la industria y posteriormente a los servicios. que se alcanza mediante medidas de desempeño del sistema representadas en funciones objetivo (las salidas se reconocen como variables endógenas originadas en el interior del sistema) Así las salidas o resultados dependen de variables de entrada o exógenas que pueden ser controlables o incontrolables (parámetros). Las variables generalmente tienen restricciones y además pueden ser continuas o discretas (enteras). Se puede afirmar entonces que la Investigación de Operaciones está interesada en los sistemas como un todo. realizar una función o una acción determinada. verbales) y abstractos 3. adoptando una visión organizacional y buscando soluciones globales y no óptimos locales. Esta Organización es producto de la fusión en el año 1995 entre The Institute of Management Sciences (TIMS ) y the Operations Research Society of America (ORSA) fundada en 1952. humanos.agentes físicos (recursos materiales como instalaciones. 4 Conjunto finito de operaciones. 5 Otro resultado o salida del modelo son las variables de consecuencia .Si se optimiza la participación en el mercado se puede considerar como consecuencia el número de productos embarcados. multiprofesionales) que busca las mejores soluciones a los problemas que surgen en los sistemas . IBM. energéticos). . la estadística y algoritmos4. Se considera al Institute for Operations Research and the Management Sciences (INFORMS) con sede en los EEUU y alrededor de 1200 miembros como la sociedad profesional más grande en el mundo de investigación de operaciones. descompone el problema en otros de menor tamaño que resuelve en etapas optimizando una variable y vinculando las diferentes etapas por cálculos recursivos que pueden darse en un orden inverso (comenzando por la última etapa) de manera sucesiva. para mejorar la eficiencia . En el primer caso se cita por ejemplo cuando el modelo del transporte . humano) externo e interno donde habita el sistema. La técnica empleada en estos casos. Sin embargo la Programación Dinámica soluciona adecuadamente problemas en los cuales el tiempo no es un factor importante. desarrollado de manera independiente por Shor (1970). es decir que cambian con el tiempo y para los cuales se desarrollan modelos que incorporan el factor tiempo. es decir optimizar la función objetivo en un determinado momento del tiempo (Programación No Lineal. Programación Clásica-libre de restricciones o restringida a solo igualdades-) y problemas con marcos de referencia dinámicos (lineales y no lineales) . alternativamente se han desarrollado algoritmos heurísticos que ofrecen soluciones factibles cercanas a las óptimas con una lógica basada en reglas o métodos prácticos.Producto 7 que estudia las interrelaciones existentes entre sectores que conforman la economía de un país se puede clasificar como dinámico. Yudin y Nemirovski (1976) y el algoritmo de Punto Interior Proyectivo de Karmarkar (1984). Para el caso de dos variables también se emplean el método gráfico y el de puntos de vértice ( puntos de esquina). Las técnicas de la investigación de operaciones se pueden utilizar en problemas que de acuerdo con la naturaleza de los datos se pueden clasificar en determinístico6 y probabilísticos .También se clasifican en consideración al tiempo en problemas estáticos si la variable tiempo no es considerada.la solución inicial puede ser heurística asignando los requerimientos o cantidades demandas a la ruta más económica sin violar las restricciones de esquina (oferta y demanda). económico. Programación Entera y Teoría de Juegos.El otro caso se puede ilustrar cuando el vendedor viajero debe visitar solo una vez un 6 7 Ningún problema es determinístico totalmente.secuencia de las operaciones. Por este modelo macroeconómico fue concedido el premio nobel de economía a Wassily Leontief (ruso nacionalizado norteamericano) . a pesar de disponer de los algoritmos apropiados . lineal y determinístico o estático lineal determinístico. Programación Lineal. así por ejemplo el modelo Insumo. Así mismo un problema puede ser clasificado o identificado de manera conjunta atendiendo a la naturaleza de los datos y a la consideración o no del tiempo para su solución. Otro ejemplo es el modelo de Programación Lineal que puede ser estático y determinístico o estático probabilístico (estocástico) Además del método (algoritmo) Simplex mencionado anteriormente para resolver problemas de Programación Lineal se dispone de otros como: el método de Elipsoide para Programación Convexa no Diferenciable . sin presencia de incertidumbre en todas sus variables. En el caso de problemas que por su complejidad no tienen solución óptima por medio de los algoritmos tradicionales. los agentes humanos que actúan sobre los insumos y el medio ambiente( físico. Estos métodos mejoran la velocidad del proceso cuando se utilizan dentro del contexto de un algoritmo de optimización o sencillamente cuando se usan para obtener una buena solución. investigación y desarrollo . la renovación de los sistemas de producción y de las organizaciones . reduciendo considerablemente la Aviación alemana . impulsaron la aplicación de la investigación de operaciones para mejorar la eficiencia de los recursos. mercados. análisis de resultados e implementación. producción. las demás etapas no siguen reglas fijas dadas su dependencia con el tipo de problema y con el ámbito de operación.número de ciudades partiendo y regresando al origen de tal manera que el objetivo sea minimizar la distancia total recorrida. supermercados. dando lugar a una interacción permanente. Las etapas . pasos o fases de lo que suele llamarse enfoque del análisis cuantitativo o la subdivisión metodológica del método científico son : determinar el problema y recolectar los datos. dada la disponibilidad y abundancia de software especializado y variado caracterizado por ser herramientas informáticas amigables y de fácil manejo 3-Planificación del Método Científico en la Investigación de Operaciones Por lo general este proceso de apoyo para la toma de decisiones no necesariamente se realiza en el orden secuencial de las etapas que se presentan a continuación e inclusive algunas o todas se realizan simultáneamente. industriales y de servicios que actualmente emplean la IO como las industrias del acero. tiendas departamentales. Entonces no se trataba de abatir aviones sino de salvar naves. Al interior de las organizaciones las técnicas son aplicables para apoyar la toma de decisiones de los gerentes en áreas funcionales como finanzas. solución del modelo y prueba. ferrocarriles y agricultura . servicios de peaje. Gran Bretaña inicio la aplicación con subsectores básicos. factores como la competencia. formular el modelo. extractivas como la del carbón y otras como textiles. fuerzas armadas y otros servicios públicos.el porcentaje de naves mercantes armadas hundidas por la aviación enemiga Luftwaffe 8 era inferior al porcentaje de naves desarmadas. 2-Aplicaciones de la Investigación de Operaciones Después de la segunda guerra mundial y dado el éxito de la investigación de operaciones en el campo de las fuerzas armadas . 8 Luftwaffe fue disuelta en agosto de 1946 por la Comisión Aliada de Control. carreteras.entre otros. Determinación del problema y recolección de los datos En la segunda guerra mundial un problema era la supresión de la defensa antiaérea a bordo de las naves mercantes por deficiencia en abatir los aviones enemigos . Los gerentes no requieren tener conocimiento profundo de las matemáticas y de los algoritmos para solucionar los problemas. Exceptuando la solución del modelo basada en técnicas bien desarrolladas.Estados Unidos ha aplicado las técnicas por ejemplo en servicios de salud. etc. comunidad). icónicos y análogos. Los datos deben ser confiables. disponer de servicios de laboratorio 24 horas. Formulación del Modelo Entre las representaciones que siempre deben ser menos complejas que la realidad se encuentran los modelos simbólicos. además son facilitadores para mejorar el entendimiento del problema.empleados. muchas bases de datos . o una base con muchas variables y registros que requiere como herramienta de la minería de datos para establecer el patrón de los datos. incoherencia por cambios en los sistemas de información . clientes. impuestos. En esta fase el equipo encargado que comúnmente trabaja a nivel de asesoría incluye la fijación de objetivos (congruentes con los objetivos globales) y el reconocimiento de sus limitaciones. Con el desarrollo de los sistemas de información muchas empresas disponen de bases de datos que son básicos para los sistemas de información gerencial y que además constituyen la fuente de datos para la investigación de operaciones y están relacionados con clientes . Implica seleccionar el modelo más conveniente de los disponibles en la IO que . Algunas situaciones frecuentes en los datos se pueden caracterizar por los llamados datos “blandos” . En la investigación de operaciones el modelo que se establece es matemático mediante símbolos y expresiones matemáticas que representan el problema en términos idealizados pero en forma mucho más clara y concisa revelando las relaciones más importantes causa –efecto que hacen el problema más comprensible. condiciones o restricciones provenientes de los recursos sobre lo que se puede hacer(incluido el límite de tiempo para la toma de decisiones) . atender la consulta de urgencias con médicos urgenciologos. pertinentes. si el problema relevante recae en un individuo o en un grupo. productos. gobierno. entre otros. mejorar la moral de los empleados. la falta de disponibilidad . sin embargo puede dificultarse el establecimiento de unas relaciones claras entre las aspiraciones o intereses de los diferentes públicos que intervienen (proveedores .Es ideal que el problema se formule claramente y sin ambigüedad. errores de registro y falta de validación.De otra parte el caso de un proceso de atención inadecuado en el área de observación de urgencias de una clínica se pude abordar. etc. Así los objetivos que tratan de combinarse y satisfacerse para aumentar por ejemplo las ganancias podrían ser conservar o aumentar la participación en el mercado. a veces las organizaciones lucrativas utilizan el enfoque de combinar varios objetivos en lugar de maximizar uno solo y otras veces los problemas requieren de objetivos específicos ante la dificultad de integrarlos. Al contemplar más de un objetivo es posible buscar una medida de desempeño global de eficacia tangible como las ganancias o abstracta como la “utilidad”. Generalmente esta parte demanda mucho tiempo y se requiere de la colaboración de los empleados claves en la empresa. mercados. si es único o existen varios problemas y si estos se prestan a la aplicación de la IO. relevantes y constituyen un insumo originado en la observación y recolección de los mismos . datos difusos. por los siguientes objetivos: disminución de las horas promedio de permanencia . obsolescencia. los diferentes cursos o alternativas u opciones de acción atractivas posibles dentro de algún rango de valores para un parámetro como política o criterio de evaluación por la administración No obstante que existen métodos alternativos como la Programación por Objetivos para tratar con varios objetivos. se trata como el diagnóstico en medicina de ir más allá de los signos y síntomas para establecer causas y efectos e identificar quien toma las decisiones .atender los pacientes las 24 horas con profesionales especializados. empero esta etapa es considerada a la vez difícil y vital para el direccionamiento del proceso .proveedores. considerados estimaciones burdas o subjetivas. empleados. Además se requiere identificar las áreas comprometidas e involucradas y establecer las interrelaciones del área o sistema de estudio con las otras áreas. mantener el control familiar de la empresa y aumentar la imagen empresarial. y las variables no controlables (exógenas sobre las cuales no es posible actuar ) Y1. Se reconocen diferentes opciones para la construcción de los modelos : un modelado a simple vista de la estructura del sistema . Este proceso de modelado creativo en las organizaciones evoluciona de un modelo mental (abstracto) a uno verbal para llegar al modelo matemático desarrollado con el apoyo de los modelos de hoja de cálculo (Excel y otras). X2. vender o no una sucursal. Siendo la medida del desempeño o de eficiencia del sistema E y las n variables de decisión ( llamadas también variables controlables) X 1.variables endógenas. y las salidas .. (los valores de estas variables son estimaciones que se han llamado parámetros) la función objetivo del modelo tendrán la siguiente forma : E =f (Xi. etc.debe ser menos complejo que el sistema real . los cambios climatológicos.+ Xn/2 Conjunto de limitaciones →Restricciones: 4 X1+ X2 ≤ 15 2 X1.. la localización de una instalación. las tasas de interés.X3. para derivar los posibles cursos de acción.Yj) y las restricciones o requerimientos sobre las variables se expresarán mediante ecuaciones y/ o desigualdades como por ejemplo • Optimizar Z = f (X1. por ejemplo dependiendo de la complejidad de las relaciones matemáticas podría ser de programación lineal o de simulación.. Por último se tienen las restricciones que reflejan las interrelaciones lógicas relevantes entre componentes de los subsistemas.X2. Las variables de decisión son las que un gerente bajo ciertas condiciones controla como el precio.Y2. una limitación física de capacidad .obtención del modelo con base en la experimentación (programación de la producción de un nuevo producto a partir de un pronóstico cualitativo originado en las ventas de un producto similar ( analogía con el ciclo del productoexperimentación del mercado) o ante la imposibilidad de tener datos o experimentación se conceptualiza una estructura artificial.. La representación matemática requiere : establecer las variables exógenas( de entrada al sistema): controlables conocidas como variables de decisión y no controlables (parámetros que se denominan también variables aleatorias). resultados correspondientes a las medidas de desempeño que establecen hasta qué punto se alcanzan los objetivos ( de ahí el nombre de funciones objetivo) y otras variables llamadas de consecuencia que ayudan a la interpretación de los resultados del sistema ..un modelado por aproximación al análisis de cierta información (el sistema de colas puede modelarse a partir de datos por observación de las llegadas al sistema y del tiempo de servicio).….la demanda del mercado. de los insumos.Xn . Xn) = 2 X1+ 5 X2+ . la necesidad de recurrir a un sistema análogo (la localización de instalaciones puede recurrir a los sistemas de redes). mientras que parámetros pueden ser el precio de los productos de la competencia.Ym ..….X2 ≥ 10 4 X 1+ X 2 = 8 Desarrollo de la solución y prueba Resolver el modelo implica optimizar o mejorar la eficiencia y/o efectividad del sistema hallando los valores de las variables dependientes asociadas a los componentes controlables y tales . es decir los problemas se resuelven por repetición sistemática de una secuencia de iteraciones . modificaciones o nuevos procedimientos que conllevan actualización de funciones y recomendaciones para los gerentes sobre la forma de implementar la solución y buscando siempre la cooperación. de manera abstracta . éstas asumen o se les asigna valores arbitrarios. o por ensayos. por lo tanto es importante practicar suficientes pruebas del modelo y hacer los ajustes correspondientes .Otras veces se hace empleando varios enfoques hasta encontrar la mejor solución numérica (por prueba y error ). se procede con pruebas para verificar el modelo y determinar por ejemplo que no se haya omitido ninguna componente controlable importante o que no se haya rechazado ninguna interacción.pasos o procedimientos. Como las salidas dependen de las entradas y del modelo. . La solución óptima o una muy buena aproximación puede ser analítica o numérica . La solución numérica se puede obtener con programas a través de los computadores.También se puede recurrir a la enumeración completa trabajando con todos los posibles valores de las variables. Una alternativa más se hace a través de los algoritmos 9 que son de naturaleza iterativa. Hechas las pruebas sobre los datos. Algunas veces se recopilan datos de otras fuentes utilizando diversos diseños de muestreo y se descartan fuentes de error entre los datos mediante pruebas estadísticas. El modelo debe asegurar que incorpora con exactitud los factores y relaciones relevantes que reflejen la realidad idealmente. con frecuencia en los problemas con riesgo y bajo incertidumbre.La primera se hace con el concurso de varias ramas de las matemáticas. es decir la solución es sensible a dichos cambios dando lugar al análisis de sensibilidad reconocido también con los nombres de análisis de postoptimalidad o análisis de parámetros. de no resultar incongruencia. Los ajustes pueden darse por errores en los datos y/o por problemas en la construcción del modelo que requiere cambios u otro modelo más apropiado.valores dependerán de las interrelaciones que tengan con las variables independientes. Análisis de los resultados e implementación La solución del modelo es válida mientras permanezcan los supuestos o estimaciones de las variables incontrolables y continúen las relaciones entre las variables del modelo. las pruebas se orientan a determinar la validez y confiabilidad de los datos y si el modelo brinda soluciones razonables. imitando o emulando a los sistemas reales con base en modelos matemáticos La solución obtenida se evalúa mediante la comparación de sus resultados con datos anteriores . Validado el diseño del sistema se corroboran las expresiones matemáticas y se verifica que las técnicas se han aplicado correctamente. donde cada nueva iteración lleva o aproxima a la solución . empleando símbolos literales en lugar de números. Un sistema puede ser diseñado para resolver las 9 En honor al matemático Arabe del siglo IX Algorismus. es decir si existe una alta correlación entre las predicciones del modelo y la situación real. La solución implantada apropiadamente implica cambio en la forma de operación de las organizaciones. La numérica implica probar diversos valores variables que arrojan la mejor solución y a veces solo requiere resolver una ecuación (Programación clásica ). Las técnicas de simulación se utilizan. Al modificarse una o más variables pueden resultar cambios importantes que hacen que la solución quede fuera de control. en marketing para la planeación de ventas de ganancia máxima con un gasto mínimo 10 El carácter estático busca optimizar la función objetivo considerando que la decisión tomada no es afectada por decisiones previas en periodos anteriores y que además esta decisión no afectará decisiones que se tomen en periodos futuros. dinero. trimestral. mensual.como por ejemplo: en telecomunicaciones para decidir entre cable. La programación lineal es uno de los modelos más significativos de mediados del siglo pasado basado en transformaciones de álgebra de matrices. tierra y agua. plantea un modelo matemático de optimización caracterizado por contener una función objetivo11 . las organizaciones desarrollan un sistema de apoyo a la toma de decisiones teniendo como fuentes bases de datos o sistemas de información transaccionales. equilibrio financiero de carteras. materia prima. y es considerada como una de las técnicas más conocidas y de aplicación práctica para lograr la optimización (maximización o minimización) de los objetivos de las organizaciones resolviendo el problema de la asignación de los recursos limitados entre diferentes actividades concurrentes y buscando la mejor mezcla de las actividades y los niveles de planeación de estas actividades.modificaciones que la gerencia propone al modelo. si la expectativa es apoyar frecuentemente las decisiones con la solución. restricciones y variables de decisión llamadas también variables instrumentales. 11 La programación matemática también considera más de un objetivo en otros modelos. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL Esta parte de los apuntes se enfocan en problemas de programación lineal estática 10 (o de un periodo) y determinística. ) la mezcla de productos que hace posible maximizar las ganancias se tiene cuando en un entorno competitivo los precios de los productos fluctúan periódicamente y consecuentemente el margen de contribución es variable dando lugar a cambios entre los productos más rentables. la concentración económica y política. la dependencia financiera y tecnológica. La programación lineal se puede clasificar como un modelo estático o dinámico y también como modelo determinístico o probabilístico. en producción para determinar la planificación de tareas o el programa de fabricación de dos o más productos diferentes . switches remotos o terminales de fibra óptica para expandir e instalar una red. etc. el crecimiento demográfico desmedido. Cuando la IO enfoca los problemas macroeconómicamente es característico encontrar barreras burocráticas en los países llamados emergentes y emergentes secundarios a los problemas inmutables como: la inequidad en la distribución de la riqueza. tiempo. se tiene la programación clásica. multiplexores. Así por ejemplo una situación ilustrativa de la necesidad de establecer periódicamente (semanal. así como también a los problemas del transporte y de asignación que pertenecen a la programación lineal llamada problemas de flujo en red La programación lineal es una de las categorías que conforman la programación matemática general. Algunos de los recursos que se asignan (a veces simultáneamente) a las actividades son mano de obra. tasas de productividad bajas y la alta concentración y subutilización de la propiedad de la tierra. Diversas son las actividades que pueden demandar estos recursos y que ilustran su amplia aplicación. . maquinaria y equipo. Cuando considera un solo objetivo sin restricciones o con restricciones solo de igualdades donde el numero de restricciones m es menor que el número de variable n. bajo este contexto se tienen entre otras aplicaciones prácticas las de mantenimiento y reparación de máquinas. espacio de almacenamiento. La programación lineal inicialmente se enfoco en la planeación militar y luego se extendió a otras actividades . control de inventarios y de producción. reemplazo de equipos y comercialización. La refinación y comercialización del petróleo en Citgo Petroleum Corporation constituye el tercer caso que aborda la planeación de suministros. agua y otros ingredientes para producir ingredientes . estimadas por un modelo matemático lineal que representa el 12 En 1958 en Moscú se aplico para determinar el plan óptimo del transporte de arena para la construcción de edificaciones. El impacto se resume en una disminución de $ 6 millones de dólares representada en salarios y prestaciones. habían 10 puntos de origen y 230 de destino . tomando decisiones como : ¿Donde vender?. en organización para determinar la asignación de personas a máquinas o proyectos . líneas de espera y programación discreta. cuentas por pagar y por cobrar . en las importaciones para establecer las cantidades de producción nacional y de importaciones de varios componentes de carrocerías. se disminuyeron los inventarios en US $ 116. suministro. distribución. aceites y otros). en problemas de mezclas como raciones alimenticias balanceadas.6. ¿Qué precio cobrar?.5 millones conjuntamente con un ahorro de US $14 millones . relacionados con una empresa Mexicana la Ponderosa que tiene como objetivo maximizar la ganancia incorporando los precios y sus cambios en un ambiente riesgoso . para producir salsa . para producir diferentes productos a partir del petróleo (tipos de gasolina. vendedores a territorios. en la agricultura para decidir la cantidad de hectáreas que se pueden dedicar a diferentes tipos de cultivos. requiere determinar la mezcla de productos de madera y la necesidad de verificar como cambia esta mezcla si cambian los pronósticos de los precios . combinación de varios alimentos en proporciones deseadas para la dieta alimenticia que asegure la nutrición a mínimo costo. combinación de carne. una mejora del servicio y una hubo reducción de cargas para el personal de apoyo. 10 )deben comenzar a trabajar en que hora de inicio para cada jornada de 24 horas de una semana de 7 días.de publicidad o para la publicidad en dos o más medios distintos . En este caso el núcleo es la programación lineal junto con técnicas como pronósticos. en logística para la programación de los envíos de varios productos desde los orígenes hasta los destinos 12. la distribución y la comercialización.4. en salud para asignar cirugías a quirófanos. El impacto fue de un aumento en las ganancias del 20% y una mejor utilización de materias primas. en finanzas para constituir un portafolio (cartera) de inversión de dos o más activos. contratos a licitadores. ¿Donde comprar o canjear? . emulsiones.un consultor de métodos cuantitativos y se aplicaron técnicas en refinación. Hillier describe tres casos. trabajos a máquinas.8. planeación comercial.¿Cuanto mantener en inventario y cuanto embarcar en cada medio de transporte?.De una parte las ganancias aumentaron en $ 70 millones de dólares.La Ponderosas para obtener este objetivo dispuso de 6 recursos. etc. control de inventarios y adquisiciones.¿ Cuántos empleados según la duración del turno en horas (2. como programas. de aplicación de la programación lineal. bienes de capital y de personal. 4 tipos de troncos y las capacidades de producción en horas por mes para las operaciones de prensado y pulido. El segundo caso citado es la United Airlines que trata del problema de horarios de personal buscando como objetivo reducir los costos de personal de tiempo parcial y de tiempo completo. Se creó un equipo con el director . El vocablo programación utilizado en Programación de Operaciones se refiere planeación de actividades. La pregunta por resolver se plantea como . la cantidad de empleados o maquinas. Así si se trata de producir mesas. Es decir se trata de elegir entre un conjunto de oportunidades o conjunto factible. ya sea maximizando o minimizando la función.entre los cuales se pueda tomar una decisión.. los ingresos. aquellos valores para las variables de decisión (instrumentales) que proporcionan el máximo o el mínimo valor de la función objetivo. Es decir que la función objetivo está sujeta a recursos limitados. o solo producir asientos o solo producir escritorios) o contemplar la posibilidad de producir dos de esos productos y en que proporciones. entre otros. Las aplicaciones industriales que utilizan la programación lineal pueden llegar a involucrar miles de variables gracias al desarrollo de software especializado y del avance de los computadores. de tal manera que las variables aceptables para el problema de programación lineal (términos no libres) están elevadas a la potencia uno.( solo producir mesas.problema que se estudia y no al código o instrucciones empleadas por los programadores cuando desarrollan alguna aplicación en sistemas. cantidad de mano de obra. La segunda propiedad considera que la optimización de función objetivo de los problemas de programación lineal se alcanza dentro de restricciones o limitaciones. cantidad o calidad de los productos. X12+X1/2 (potencia diferente de uno). estas restricciones son llamadas restricciones funcionales (estructurales) La tercera propiedad implica la existencia de cursos de acción – alternativas. consideran cursos de acción – alternativas. Ejemplos de polinomios que no son funciones lineales X1X2+2X3 (contiene un producto). Todos los problemas de programación lineal tienen una función objetivo para optimizar . Generalmente existe interés por los administradores de maximizar magnitudes deseables como las ganancias (beneficios). o producir los tres en iguales o diferentes proporciones. distancias recorridas. la existencia de restricciones.para elegir y la linealidad de la función objetivo y las restricciones. El vocablo lineal se deriva de las ecuaciones e inecuaciones de primer grado que el modelo matemático utiliza. X/2Y (contiene un cociente) . La última propiedad enuncia que tanto la función objetivo (a veces llamada función económica) expresada siempre por una ecuación (igualdad) y las restricciones expresadas como ecuaciones (igualdades) y/o desigualdades son funciones lineales. la cantidad de sangre que se vence en un banco de sangre. tiempo de producción o de respuesta. asientos y escritorios entre las alternativas se pueden considerar las cantidades de producción de solo uno de los tres. desperdicios. etc. el riesgo de una inversión. mientras que otros aspectos son indeseables y se trata de minimizarlos tales como costos. Como se puede deducir el número de alternativas es ≥ 2. disponibilidad de capital. por cantidad de materia prima. cantidad de productos a elaborar. PROPIEDADES Y SUPUESTOS BASICOS DE LA PROGRAMACION LINEAL Los problemas de programación lineal se caracterizan por: optimizar la función objetivo. Por ejemplo la producción de productos nuevos está limitada por capacidad liberada o disponible. Una función lineal es un polinomio 13de la forma : 13 La función lineal es un polinomio pero no todo polinomio es una función lineal. 000.000*3=$240. los coeficientes tecnológicos 14 que acompañan a las variables en las restricciones y el lado derecho de estas restricciones. 3-Aditividad : quiere decir que tanto en la función objetivo como en las restricciones las contribuciones de cada variable se suman. 2-Proporcionalidad: tanto la contribución de cada variable en la función objetivo y en las restricciones (lado izquierdo de las desigualdades o igualdades) es proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de las otras variables de la decisión.Z= C1X1+C2X2+…+CnXn (suma de productos algebraica). En la función objetivo no deben aparecer términos libres o constantes así : optimizar Z = ∑ . FORMULACION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 14 Se llaman coeficientes tecnológicos porque con frecuencia reflejan la tecnología utilizada en la producción de diferentes productos. Solucionado el problema se le adiciona la constante K.000 y esta contribución de cada puerta es independiente de la contribución individual de otros productos como digamos ventanas o mesas.Aparte de las igualdades . ≤) y no se admite productos entre variables o relaciones de la forma mayor o menor ( > . . entonces para cumplir con la restricción de no negatividad se recurre a un artificio o una transformación de equivalencia que se explicará más adelante. Así por ejemplo si una puerta contribuye con $ 80. proporcionalidad. < ). 4-Divisibilidad : implica que las variables y por lo tanto la solución son continuas . De otra parte si para la elaboración de una puerta se requieren de 25 horas de carpintería para la producción de 4 puertas se requieren 25*4 = 100 horas de carpintería y este requerimiento por unidad es independiente de otro que pude ser el acabado de las puertas. 5-Restricion de no negatividad: conocida también como la restricción de signo. aditividad. se debe solucionar ignorando la constante K y el problema que se resuelve sin la constante tiene los mismos óptimos. en consecuencia la función objetivo como el lado derecho de las restricciones es igual a la suma de dichas contribuciones. divisibilidad y no negatividad 1-Certeza: deben ser conocidos con certidumbre los parámetros (constantes o números) del problema de programación lineal. supone que todas las variables deben ser no negativas es decir ≥ 0 (mayores o iguales que cero ).No obstante una variable puede no estar restringida como en el caso de que la variable represente el saldo de caja. la fabricación de 3 puertas contribuye con $80. Los cinco supuestos básicos de la programación lineal son certeza. dando lugar a que las variables asuman cualquier valor real positivo dentro de un intervalo.las inecuaciones o desigualdades admitidas en las restricciones son de la forma mayor-igual o menor-igual ( ≥ . positivos e inclusive valer cero. es decir no solo enteros(discretos) sino también fraccionarios. Estos parámetros no cambian mientras se soluciona el problema. Los parámetros son los coeficientes de la función objetivo. lo que significa que puede asumir valores negativos. si el problema requiere de este tipo de función objetivo. La forma general de un modelo matemático de un problema de programación lineal se hace por medio de las siguientes expresiones matemáticas: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo F. . . . Cj = Coeficiente de proporcionalidad de la función objetivo. .representa la cantidad de recurso j que se necesita por unidad de actividad i Xj = Variables de decisión por determinar o incógnitas. . . .3. .…n Z = valor de la función (Maximizar o Minimizar) Es la medida de desempeño global o de eficiencia que se desea optimizar Ejemplos: ganancias. . tiempo por unidad. o cualquier otra cantidad por unidad de actividad. costos. ingresos .2. . La anterior formulación se puede reescribir matricialmente como [ ] . . aij = Coeficiente de proporcionalidad llamado a veces coeficiente tecnológico (parámetro que se estima). personas. . . Es otro parámetro que se estima. . de horas de mano de obra. . b2 am1x1+ am 2x2+ am 3x3+…+ am nxn Xj ≥ 0 Donde : bm j 1. Es un parámetro que se estima y que puede representar precio por unidad. . n = Cantidad de variables de decisión m = Cantidad de restricciones funcionales o estructurales. . etc. Max o Min Z= C1X1 + C2X2 +…+ CnXn b1 Sujeto a : a11x1+ a12x2+ a13x3+ … + a1nxn a21x1+ a22x2+ a23x3+ … + a2nxn . . .O. costo por unidad.[ ] . .no necesariamente tienen que ser iguales a la cantidad de restricciones funcionales m. de horas de capacidad. horas. . requerimientos de demanda o de oferta o alguna otra cantidad. . riesgo. . . Cuando el problema se plantea solo con dos variables generalmente se designan con X y Y o también como X1 y X2 bj = Representa la disponibilidad de los recursos(limitaciones) o requerimientos como por ejemplo disponibilidad de materias primas. . . no incluye las de no negatividad Uno de estos tres operadores se emplea para determinar la relación La cantidad de variables de decisión n . Representan el nivel de las actividades. ganancia por unidad. REGLAS DE EQUIVALENCIA Existen otras formas equivalentes de la programación lineal a la forma canónica considerando las siguientes cinco reglas de transformación: Regla 1. costos unitarios. utilidades o beneficios unitarios.el valor óptimo en el problema inicial. 1) .[ ] [ ] [ ] ≥ [ ] Alternativamente según Prawda se tiene una forma de programación lineal denominada forma canónica así Maximizar Sujeto a Z = CX AX ≤ b X ≥ 0 Donde : C= es el vector fila o renglón de coeficientes de la función objetivo. conocido también como vector de precios unitarios. X es el vector columna con n componentes denominadas actividades o variables de decisión . A es una matriz de m x n. X3 ) = (5 . es decir el de Maximización no es – 4x5 – 3x4 + 2x1 = – 30 sino 30 El ejemplo del caso b) es Min Z = 5Y-3X+2W es equivalente a Max – Z = – 5Y+3X – 2W Regla 2-Cambio de una desigualdad a) Una desigualdad de la forma AX ≤ b equivale a la desigualdad –AX ≥ –b Ejemplo: 2X1+3X2–X3 ≤ 100 multiplicando por –1 equivale a: –2X1–3X2+X3 ≥ –100 b) Una desigualdad de la forma AX ≥ b equivale a la desigualdad –AX ≤ –b Ejemplo: 4X1–3X2 + X3 ≥ 30 multiplicando por –1 equivale a : –4X1+3X2 – X3 ≤ – 30 Regla 3-Toda igualdad de la forma AX = b puede descomponerse como la intersección de dos desigualdades de la forma AX ≤ b y AX ≥ b Ejemplo: 5X1–2X2 +7 X3 = 50 . y b es el vector de m componentes que recibe el nombre de vector de disponibilidad de recursos o requerimientos. X2 .Cambio en el objetico de la función Z Un problema puede cambiar el objetivo de la función así: a) Max Z = Min – Z b) Min Z = Max – Z Ejemplos : Max Z = 4X1 + 3X2 – 2X3 es equivalente a Min – Z = – 4X1 – 3X2 + 2X3 Si suponemos que la solución está dada por los valores ( X 1 ..4. esta igualdad se pude cambiar por las siguientes dos desigualdades 5X1–2X2 +7 X3 ≥ 50 y 5X1–2X2 +7 X3 ≤ 50 . cantidades. etc. denominada de coeficientes tecnológicos .Sujeto a [ ] . nótese que Si X2 X3 X1 0 Si X2 X3 X1 0 Si X2 X3 X1 0 Aplicación de las reglas y verificación con Solver.Y ≥ 7 equivale a 3X . Ejemplos : a) Sea 5Y-3X ≤ 25 equivale a 5Y-3X + H1 = 25 X + 2Y ≤ 8 equivale a X + 2Y + H2 = 8 b) Sea 4X + 9Y ≥ 18 equivale a 4X + 9Y – S1 = 18 3X . X3 son ≥ 0 . o el cero . X6 ≥ 0 y expresamos a X3 de la siguiente forma X3 = X5 – X6 .Regla 4-Las desigualdades de la forma AX ≤ b se pueden transformar en igualdades ya bien sea por adición de un vector H de m componentes de holguras no negativas y las desigualdades de la forma AX ≥ b agregando un vector S llamado superfluo de m componentes también no negativas .Ahora con base en estas consideraciones buscamos la forma canónica y tenemos la siguiente formulación Max –Z = –3X1+ 4X2 – X3 Max –Z = –3X1 – 4X4 – X5 + X6 al reemplazar X2 y X3 Sujeta a: (1’) – X1 + 2X4 ≤ –3 (sustituir –2X2 por 2X4 . entonces podemos denotarla así X1 = X2 – X3 donde X2 . Las reglas se pueden aplicar para convertir un problema de formulación lineal a la forma canónica. o los valores positivos.Y – S2 = 7 Regla 5-Una variable puede ser no restringida en signo es decir es una variable que puede tomar toda clase de valores negativos.recuerde que hicimos X4 =– X2 ) (2’) – X4 – X5 + X6 ≤ 4 (X2 = – X4 y X3 = X5 – X6 – X3 = – X5 + X6 ) . Esta variable puede escribirse como la diferencia entre dos variables no negativas. Como ejemplo suponga que un problema de programación lineal ha sido formulado así Min Z = 3X1–4X2 + X3 Sujeta a (1) X1+2X2 ≥ 3 = 4 X3 no restringida en signo (2) X2 – X3 X1 ≥ 0. Ejemplo: Sea X1 una variable no restringida en signo . X2 ≤ 0 y Entonces al aplicar las reglas tenemos: Max –Z = –3X1+ 4X2 – X3 Sujeta a: – equivalente por la regla 1 X1 –2X2 ≤ –3 por la regla 2b) al multiplicar por -1 Como X2 es ≤ 0 hacemos X4 = – X2 y así X4 ≥ 0 y como X3 es no restringida en signo por la regla 5 consideramos dos nuevas variables X5 . las propiedades y los supuestos veamos con el ejemplo resumido de Hillier (2008) uno de los textos citados en la biografía como se formula un problema de programación lineal. la calidad. Esta situación permite disponer de capacidad para los dos nuevos productos en sus tres plantas dedicadas a la producción así: la planta 1 fabrica marcos de aluminio y herrerías. Y estos son los resultados para la formulación canónica después de aplicar las reglas de equivalencia EJEMPLO DE FORMULACION DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL Considerando la naturaleza del problema de programación lineal expuesta en la introducción. Después de discutir las características. La Wyndor Glass Company es una compañía pequeña que produce artículos de vidrio de alta calidad incluidas ventanas y puertas de vidrio y que ha venido desarrollando productos novedosos con excelentes resultados. la planta 2 fabrica marcos de madera y la planta 3 fabrica el vidrio y ensambla ventanas y puertas.(2’) X4 + X5 – X6 ≤ – 4 ( restricción trasformada de – X4 – X5 + X6 ≥ 4 al multiplicar por –1 para invertir la relación de ≥ a ≤ ) Para establecer que las transformaciones si son equivalentes resolvemos con Solver de Excel (posteriormente se ampliará la explicación sobre este software). Una puerta de cristal de 8 pies con marco de aluminio y una ventana colgante con doble marco de madera de 4 x 6 pies serán los dos nuevos productos. Actualmente desarrolla un proyecto para lanzar al mercado dos nuevos productos diferenciados que incluyen las características solicitadas por los clientes en las encuestas de mercado. la administración decide seguir adelante con el proyecto. la tecnología. . la diferenciación de los productos y la aceptación en el mercado. Parte de la estrategia de la Wyndor es abandonar la producción de ciertos productos cuando sus ventas son decrecientes.los siguientes son los resultados para la primera formulación. La formulación matemática consiste en determinar las características comunes a los problemas de programación lineal : variables de decisión.Una manera de estimar estos parámetros (margen de contribución) es contar con información sobre las ventas netas y sobre los costos variables : de producción. Por encima de este punto de equilibrio el margen de contribución contribuye a formar las utilidades. a esta función se le conoce con el nombre de función objetivo que abreviadamente se puede referenciar como F. comercialización. Variables de decisión : estas variables representan las decisiones a tomar para todo problema de programación lineal. Maximizar Z = 300 X + 500 Y 15 El margen de contribución = Precio – Costo variable unitario = P–CVu. 3-El margen de contribución15. En el caso que se contempla se puede pensar que contaron con esta información para hallar el margen de contribución por puerta y por ventana. rentabilidad de cada producto o ganancia unitaria establecida por el grupo de métodos cuantitativos por puerta es de $ 300 y por ventana es de $ 500. necesarias para realizar el estudio: 1-La capacidad de producción disponible en la plantas 1. dicho de otra manera se desea establecer las tasas de producción semanal de las puertas y las ventanas que maximicen las ganancias. la función objetivo para La Wyndor Glass Company que maximice sus ganancias es : F. Como sabemos que la ganancia por puerta es de $ 300 y por cada ventana es de $ 500. administración y ventas relacionados con algún volumen de un producto específico. producción y el papel que juega el grupo de métodos cuantitativos primero al definir la pregunta clave: ¿Cuáles son las dos tasas de producción que maximizan las ganancias totales? Describiendo en esta pregunta la medida de desempeño global o de eficiencia para estas decisiones como maximizar las ganancias. . Por último el grupo reconoce que el problema es de mezcla de productos. Las ganancias deseadas se pueden expresar en función de las variables de decisión X y Y . para lo cual definimos: X = el número de puertas de cristal de 8 pies a producir por semana (tasa de producción) Y = el número de ventanas colgantes de madera de 4 x 6 pies a producir por semana Función Objetivo: los administradores. gerentes y otros profesionales desearan optimizar (maximizar o minimizar) alguna función de las variables de decisión. Una vez que este margen contribuye con Qe unidades a recuperar los costos fijos CF entonces se tiene el punto de equilibrio. en la planta 2 se requieren 2 horas por ventana y en la planta 3 se requieren 3 horas por cada puerta y 2 horas por cada ventana. 2.O.18 horas por semana respectivamente 2-El grupo establece que en la planta 1 se requiere de 1 hora por puerta.O. En seguida el grupo de métodos cuantitativos identifica y proporciona las siguientes estimaciones. con la ayuda de otras áreas de la empresa. 3 es 4. 12. es decir se requiere determinar cuántas puertas y cuántas ventanas por semana se deben producir . función objetivo y restricciones. en este caso para La Wyndor Glass Company. y generalmente se denota por variable Z.Las preguntas que surgen posteriormente están relacionadas con Qué cantidad de capacidad se libera y como distribuirla entre los dos productos? Se plantean algunos cursos de acción o alternativas como: ¿Producir el mismo número de productos? ¿O más de uno de ellos? ¿O incluso producir lo más que se pueda de uno de ellos y posponer el lanzamiento del otro? De estas alternativas que se plantean para tomar una decisión ¿Cuál va a ser la mezcla de los dos productos que resulte más rentable para la empresa? Así mismo el ejemplo ilustra la participación de las áreas funcionales de desarrollo de nuevos productos. por lo tanto para expresar la restricción 2 se tiene x La expresión matemática queda así : Restricción 2 2Y ≤ 12 ≤ Restricción 3 Indica que en la planta 3 se fabrica el vidrio y se ensamblan las puertas y las ventanas. .…Cn . Equivale a decir como máximo 4 horas o a lo más 4 horas. El grupo de la Wyndor estimo que cada marco de ventana en madera requiere de 2 horas en la planta 2. obtendría una ganancia igualmente muy grande. solo nos falta referirnos a las restricciones de signo o de no negatividad que determinan que todas las variables (pueden ser cientos de variables) consideradas en el problema de programación lineal deben ser mayores o iguales a cero. Equivale a decir como máximo 18 horas o a lo más 18 horas. El grupo de la Wyndor estimó que esta actividades para cada puerta requieren de 3 horas y para cada ventana se requieren 2 horas. Equivale a decir como máximo 12 horas o a lo más 12 horas. por tanto se escribirá en adelante Max Z o Min Z Restricciones: En la medida que La Wyndor Glass Company haga más puertas y ventanas significa que aumentan sus ganancias.Aquí los coeficientes de la función objetivo (C1) y (C2) son 300 y 500 que anteriormente habíamos denotado como C1. de tal forma que si Wyndor pudiera seleccionar libremente valores muy grandes para X y Y . pero los valores de las variables X y Y es decir el número de puertas y ventanas que puede producir por semana están limitados o condicionados por las siguientes tres restricciones: Restricción 1 No se pueden utilizar más de 4 horas en la planta 1 para hacer los marcos de aluminio de las puertas. la restricción 3 se expresa así: x x ≤ La expresión matemática queda así : Restricción 3 3X + 2Y ≤ 18 Las restricciones 1. la cual está dedicada a la producción de marcos de madera para ventanas. entonces para expresar la restricción 1 se tiene x La expresión matemática queda así : Restricción 1 X ≤ 4 ≤ Restricción 2 No se pueden utilizar más de 12 horas en la planta 2.3 formuladas se denominan restricciones funcionales. para estas actividades .2.Una notación abreviada y aceptada de maximizar y minimizar es Max y Min respectivamente.C2. Como el grupo de la Wyndor estableció que en la planta 1 se requiere de 1 hora para hacer el marco de aluminio de cada puerta y se supone que de estas puertas solo se hacen los marcos de aluminio en esta planta .no se pueden utilizar más de 18 horas. Un caso particular del problema de programación lineal es cuando se está tratando solo con dos variables de decisión como ocurre en el caso de la Wyndor -puertas y ventanas. Esta restricción la podemos expresar diciendo que ≥ 0 (para cualquier mayor igual a cero . Considerando las restricciones de no negatividad y resumiendo tenemos la siguiente formulación matemática para el problema de la Wyndor: Maximizar Z = 300 X + 500 Y s.Si existen variables que no cumplen nos poder valer de las reglas de equivalencia para transformarlas. de holgura.para el cual como veremos más delante de existir solución se puede graficar siempre en el cuadrante positivo del plano cartesiano en virtud de la no negatividad.a.donde representa variables de decisión. Restricción 1 Restricción 2 Restricción 3 X ≤ 4 2Y ≤ 12 3X + 2Y ≤ 18 . superfluas. artificiales) .