ImprimirINSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> UNIDAD I TEORIA DEL MUESTREO Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra, de una población. El punto de interés es la muestra, la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio. Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden, a que solo se pueden !acer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma. Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto observa. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población. "uestras #leatorias $uando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes, se utili%an muestras por muc!as ra%ones& una enumeración completa de la población, llamada censo, puede ser económicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente. # continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos' (. Política. )as muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión p*blica el apo o en las elecciones. +. Educación. )as muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de ense,an%a. -. Industria. "uestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad. .. Medicina. "uestras de medidas de a%*car en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo. /. Agricultura. )as muestras del maí% cosec!ado en una parcela pro ectan en la producción los efectos de un fertili%ante nuevo. 0. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del p*blico sobre cuestiones relacionadas con el bienestar la seguridad nacional. Errores en el "uestreo $uando se utili%an valores muestrales, o estadísticos para estimar valores poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores' el error muestral el error no muestral. El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población. $uando una muestra no es una copias exacta de la población& a*n si se !a tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tama,o sean representativas de una cierta población, no esperaríamos que las dos sean idénticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que a udará a entender mejor la naturale%a de la estadística inferencial. )os errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales se denominan errores no muestrales. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestra se refiere a una tendencia sistemática in!erente a un método de muestreo que da estimaciones de un parámetro que son, en promedio, menores 1sesgo negativo2, o ma ores 1sesgo positivo2 que el parámetro real. El sesgo muestral puede suprimirse, o minimi%arse, usando la aleatori%ación. )a aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada& una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. )os tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados el muestreo sistemático. Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra a eatoria simp e. Ejemplo (.( Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de / estudiantes en un grupo de estadística de +3 alumnos. +3$/ da el n*mero total de formas de elegir una muestra no ordenada este resultado es (/,/3. maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las (/,/3. en tro%os separados de papel, una tarea tremenda, luego los colocamos en un recipiente después los revolvemos, entonces podremos tener una muestra aleatoria de / si seleccionamos un tro%o de papel con cinco nombres. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los +3 nombres en peda%os separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos después extraer cinco papeles al mismo tiempo. 4tro método parea obtener una muestra aleatoria de / estudiantes en un grupo de +3 utili%a una tabla de n*meros aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. 5ambién se puede prescindir de estas !acer la tabla escribiendo die% dígitos del 3 al 6 en tiras de papel, las colocamos en un recipiente los revolvemos, de a!í, la primera tira seleccionada determina el primer n*mero de la tabla, se regresa al recipiente después de revolver otra ve% se selecciona la seguida tira que determina el segundo n*mero de la tabla& el proceso contin*a !asta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos n*meros como se desee. 7a muc!as situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o no deseado& aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sería mu costoso o tardado. El muestreo estrati!i"ado requiere de separar a la población seg*n grupos que no se traslapen llamados estratos, de elegir después una muestra aleatoria simple en cada estrato. )a información de las muestras aleatorias simples de cada estrato constituiría entonces una muestra global. Ejemplo (.+ Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de los profesores de una gran universidad. 8uede ser difícil obtener una muestra con todos los profesores, así que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de cada colegio, o departamento académico& los estratos vendrían a ser los colegios, o departamentos académicos. El muestreo por "ong omerados requiere de elegir una muestra aleatoria simple de unidades !eterogéneas entre sí de la población llamadas conglomerados. $ada elemento de la población pertenece exactamente a un conglomerado, los elementos dentro de cada conglomerado son usualmente !eterogéneos o disímiles. Ejemplo (.Suponga que una compa,ía de servicio de televisión por cable está pensando en abrir una sucursal en una ciudad grande& la compa,ía planea reali%ar un estudio para determinar el porcentaje de familias que utili%arían sus servicios, como no es práctico preguntar en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la ciudad al a%ar, la cual forma un conglomerado. En el muestreo por conglomerados, éstos se forman para representar, tan fielmente como sea posible, a toda la población& entonces se usa una muestra aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. )os estudios de instituciones sociales como iglesias, !ospitales, escuelas prisiones se reali%an, generalmente, con base en el muestreo por conglomerados. El muestreo sistemático es una técnica de muestreo que requiere de una selección aleatoria inicial de observaciones seguida de otra selección de observaciones obtenida usando alg*n sistema o regla. Ejemplo (.. 8ara obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los n*meros de las páginas del directorio telefónico& al elegir el vigésimo nombre de cada página obtendríamos un muestreo sistemático, también podemos escoger un nombre de la primera página del directorio después seleccionar cada nombre del lugar n*mero cien a partir del a seleccionado. 8or ejemplo, podríamos seleccionar un n*mero al a%ar entre los primeros (33& supongamos que el elegido es el .3, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los n*meros .3, (.3, +.3, -.3 así sucesivamente. Error Muestra $ualquier medida conlleva alg*n error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional , entonces la media muestral, como medida, conlleva alg*n error. 8or ejemplo, supongamos que se !a obtenido una muestra aleatoria de tama,o +/ de una población con media 9 (/' si la media de la muestra es x9(+, entonces a la diferencia observada x: 9 :- se le denomina el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional el error muestral& si e denota el error muestral, entonces' Ejemplo (./ Se toman muestras de tama,o + de una población consistente en tres valores, +, . 0, para simular una población ;grande; de manera que el muestreo pueda reali%arse un gran n*mero de veces, supondremos que éste se !ace con reempla%o, es decir, el n*mero elegido se reempla%a antes de seleccionar el siguiente, además, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada 1+,.2 es distinta de la muestra ordenada 1.,+2. En la muestra 1.,+2, se seleccionó primero . después +. )a siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tama,o + que es posible seleccionar con reempla%o también contiene las medias muestrales los correspondientes errores muestrales. )a media poblacional es igual a 9 1+<.<02=- 9 .. >er la tabla en la siguiente página. ?ótese las interesantes relaciones siguientes contenidas en la tabla' )a media de la colección de medias muestrales es ., la media de la población de la que se extraen las muestras. Si x denota la media de todas las medias muestrales entonces tenemos' 2 1+. Aistribuciones "uestrales )as muestras aleatorias obtenidas de una población son.@ . calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria. 5ales distribuciones . )a suma de los errores muestrales es cero.9(
[email protected] /@.. se quiere estudiar la distribución de todos los valores posibles de un estadístico..</</<+<. 9 :+ .9+ .93 .@. ?o se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tama.@.@ . 9 :( ..+2 1+... / 0 En consecuencia.<-<
[email protected] /@. e1 + e2 + e3 + .<02=6 9 . por ello. + e9 9 1:+2 < 1:(2 < 3 < 1:(2 < 3 < ( < 3 < ( < + 9 3 Muestras ordenadas # Error muestra e $ # % + @ .2 1.+2 1.+2 10. cambie su valor de una muestra a otra. 9 :( . la media poblacional promedio de todos los errores muestrales es cero. el 1+..x 9 1-<. .02 10. . estimar.02 1. / . por naturale%a propia.2 10. como la media muestral. si x se usa para medir. impredecibles.o tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean completamente parecidas& puede esperarse que cualquier estadístico.9( .02 + . . o. varían de una muestra aleatoria a otra. tal como x. podremos ju%gar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para !acer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido.o +3 en una población grande. $omo el análisis de las distribuciones asociadas con los estadísticos muestrales. de una población grande. porque las inferencias sobre las poblaciones se !arán usando estadísticas muestrales. lo podemos ver en la siguiente figura' . En general. )a colección de todas estas desviaciones estándar muestrales se llama distri&u"i'n muestra de a des*ia"i'n est+ndar. Se calcula la madia muestral x para cada muestra& la colección de todas estas medias muestrales recibe el nombre de distri&u"i'n muestra de medias) lo que se puede ilustrar en la siguiente figura' Suponga que se eligen muestras aleatorias de tama.o +3. a distri&u"i'n muestra de un estad(sti"o es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tama. Suponga que se !an seleccionado muestras aleatorias de tama. se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribución de frecuencias. $omo los valores de un estadístico.serán mu importantes en el estudio de la estadística inferencial. )a distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución muestral. se calcula la deviación estándar de cada una. la media de la distribución muestral de medias. la desviación estándar de la distribución muestral de medias. . La media po& a"iona es- b. .o +. grafique las frecuencias para la población muestral de medias. la media poblacional. Solución' a. +. 0. . la desviación estándar poblacional. x. )a desviación estándar de la población es' . con reempla%o. de la población de valores 3.Ejemplo (. para la distribución x #demás. Encuentre' .0 Se eligen muestras ordenadas de tama. # continuación se listan los elementos de la distribución muestral de la media la correspondiente distribución de frecuencias. se puede demostrar que la distribución muestral de medias tiene una media igual a la media poblacional.c. la distribución muestral de medias tiene una media o valor esperado. Esto es' . una varian%a una desviación estándar. )a media de la distribución muestral de medias es' d2 )a desviación estándar de la distribución muestral de medias es' Ae aquí que podamos deducir que' $omo para cualquier variable aleatoria. o de la muestra debe ser ma or o igual a -3. la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución . cuando n es grande.Aistribuciones muestrales Aespués de !aber reali%ado el ejercicio anterior se puede ver que una distribución muestral se genera extra endo todas las posibles muestras del mismo tama. "ientras ma or sea el tama. la distribución muestral de medias será normal sin importar el tama. más cerca estará la distribución muestral de ser normal. a*n en casos donde la población original es bimodal. 8ara muc!os propósitos.o de la población calculándoles a éstas su estadístico. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> Teorema del límite central Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media desviación estándar . para que la distribución muestral tenga una forma acampanada. Si la población de donde se extraen las muestras no es normal. es realmente notable. entonces el tama. )a forma de la distribución muestral de medias sea aproximadamente normal.o de la muestra. entonces.o de la muestra. la aproximación normal se considera buena si se cumple n9-3. Si la población de la que se extraen las muestras es normal. )a desviación estándar de los errores muestrales.9 :+ .2 13.32 3 ( + ( 3 : ..9 :+ + : .9 :( -@-93 ( @ . El error muestral de cada media b.32 13. )a media de los errores muestrales c. las medias de las muestras los errores muestrales' Muestra # Error muestra ) e$#% 13. Solución a. En la tabla siguiente se ven las muestras.02 1+. )a aproximación será cada ve% más exacta a medida de que n sea cada ve% ma or. encuentre' a.9 :( : . Ejemplo 8ara la dsitribución muestral de medias del ejercicio pasado.+2 13.normal con una media igual a una desviación estándar de . @-9( /@-9+ -@-93 ..9 :( -@-93 ..+2 10.2 1.2 10..2 1+.+2 1+...@-9( + @ .02 1.. es entonces' )a desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce como error estándar del estadístico. )a media de los errores muestrales es + . / 0 e + @ . $on esto se puede demostrar . )a desviación estándar de la distribución de los errores muestrales e.1+./B.02 b.02 10.+2 1. / .@-9( /@-9+
[email protected] :( -@-93 . es' c..32 10. 8ara el ejercicio anterior el error estándar de la media denotado por x. + .32 1. es (. o la desviación estándar de la distribución muestral. la media de la distribución muestral el error estándar. $omo regla de cálculo.o de la muestra 1? +32. si el muestreo se !ace sin reempla%o el tama. entonces se puede usar la fórmula.a puede usar la formula siguiente para encontrar x .o de la población es al menos +3 veces el tama. $ + Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tama.o n con reemplazo.os en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas' Maestro de matem+ti"as Antiguedad # 0 D . n es el tama. sin reempla%o.o de la muestra ! el de la población. En general se tiene: $uando las muestras se toman de una población peque.que si de una población se eligen muestras de tama. se Aonde es la desviación estándar de la población de donde se toman las muestras. Solución . $alcule la antigCedad media para cada muestra. El factor Ejemplo' se denomina factor de corrección para una población finita. entonces el error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los errores muestrales.o + sin reempla%o. Suponga que la tabla siguiente muestra la antigCedad en a. )a tabla lista todas las muestras posibles de tama.o +.C (4. con sus respectivas medias muestrales.B (6.4) 5 A.Se pueden tener -$+ 9.2) 4 B.2) 3 )a media poblacional es' )a media de la distribución muestral es' )a desviación estándar de la población es' El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es' Si utili%amos la fórmula del error estándar sin el factor de correción tendriamos que' 8or lo que observamos que este valor no es el verdadero. Muestras Antig. #gregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto' El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula el valor del error estándar' .C (6.muestras posibles.edad Media Muestra A. utili%ando la tabla de la distribución %. entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico. mediante la siguiente fórmula' En donde % es una variable estandari%ada con media igual a cero varian%a igual a uno.o de una población normal. por lo que se puede utili%ar la formula de la distribución normal con . en este caso la media de la muestra .o ma or a -3 o bien de cualquier tama. Sabemos que cuando se extraen muestras de tama. $on esta fórmula se pueden a !acer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio. la mediana la moda tienen un mismo valor es simétrica. esta es una distribución continua.Distri&u"i'n Muestra de Medias Si recordamos a la distribución normal. $on esta distribución podíamos calcular la probabilidad de alg*n evento relacionado con la variable aleatoria. la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal. en forma de campana en donde la media. quedaría de la siguiente manera' . . El n*mero de las medias muestrales que caen entre (E+. con media de B33 !oras desviación estándar de .3 !oras.o +/ sin reempla%o de esta población. determine' a. Solución .6 centímetros. Si se extraen +33 muestras aleatorias de tama. Solución Este valor se busca en la tabla de " )a interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de (0 focos sea menor a EE/ !oras es de 3./ (E/. b. Ejemplo' )as estaturas de (333 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de (E.330+. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de (0 focos tenga una vida promedio de menos de EE/ !oras. El n*mero de medias muestrales que caen por debajo de (E+ centímetros./ centímetros una desviación estándar de 0.para poblaciones finitas muestro con reempla%o' Ejemplo' Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribu e aproximadamente en forma normal.B centímetros. E03E21+3329(/+ medias muestrales b. a.$omo se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita un muestreo sin reempla%o. Se procederá a calcular el denominador de F para sólo sustituirlo en cada inciso. 13. 13. por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección.3--021+3329 E medias muestrales Distri&u"i'n muestra de /ropor"iones . x. Genere la distribución muestral de proporciones para el n*mero de pie%as defectuosas. Se van a seleccionar / artículos al a%ar de ese lote sin reempla%o.=(+9(=-. 8or lo que podemos decir que el --H de las pie%as de este lote están defectuosas. artículos defectuosos. las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera' . )a distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. es el n*mero de éxitos u observaciones de interés . El n*mero posible de muestras de tama. $ualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el n*mero obtenido entre el n*mero de intentos. mientras que una distribución muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los n*meros posibles de éxitos en un experimento binomial. sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra.o de la muestra2 en lugar del estadísitico media. el tama. a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción 1p9x=n en donde .Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra. $omo se puede observar en este ejercicio la 8roporción de artículos defectuosos de esta población es . siempre que np / n1(:p2 /. Genera"i'n de a Distri&u"i'n Muestra de /ropor"iones Suponga que se cuenta con un lote de (+ pie%as. las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial. el cual tiene . Una población binomial está estrec!amente relacionada con la distribución muestral de proporciones& una población binomial es una colección de éxitos fracasos.o / a extraer de una población de (+ elementos es (+$/9E6+. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias. como consecuencia de esta relación.n. $(9+B3 / 3 3=/93 B$/I.$.I. p $/ 5ambién se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones' )a varian%a de la distribución binomial es distribución muestral de proporciones es valores en esta fórmula tenemos que' + + p 9 npq.$+9--0 . B $-I. Esto es' $omo podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la 8roporción de la población.B B $(I.=/93. Si se sustituten los .9B + - -=/93..+ B $.Art("u os 0uenos Art("u os Ma os /ropor"i'n de art("u os de!e"tuoso N1mero de maneras en as 2ue se puede o&tener a muestra ( .$39/0 Tota 345 8ara calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que !acer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral dividirla entre el n*mero total de muestras.0 B $+I. . ( (=/93. por lo que la varian%a de la 918q2=n.$-9((+ - + +=/93. (0B(.//. Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra. Se toma una muestra aleatoria de B33 estudiantes. $alcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 3.. A esta !'rmu a se e puede agregar e !a"tor de "orre""i'n de as "ondi"iones ne"esarias. a que nos falta agregar el factor de corrección para una población finita un muestreo sin reempla%o' )a fórmula que se utili%ará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución normal a la binomial . Solución . si se "ump e "on Ejemplo' Se !a determinado que 03H de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. este valor no coincide con el de 3. 03 p9 3.32 9 J "edia9 np9 1B33213. Este valor significa que existe una probabilidad del 3..// p1p< 3.//21B332 9 .3 fuman cigarrillos.(EH de que al extraer una muestra de B33 estudiantes.//2 9 J ..0329 ..32 9 3. El $ri%ero $uede ser con la a$ro'i%ación de la distribución nor%al a la bino%ial ( el segundo utili"ando la )ór%ula de la distribución %uestral de $ro$orciones.Este e#ercicio se $uede solucionar $or dos %&todos.B3 p1x< . #proximación de la distribución normal a la binomial' Aatos' n9B33 estudiantes p93.. Aistribución "uestral de 8roporciones Aatos' n9B33 estudiantes 893.03 x9 1.33(E. menos de .3 estudiantes p1x< . #proximación de la distribución normal a la binomial' Aatos' n9(/3 personas p93. por lo que diríamos que la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad. Kesolverlo con la distribución muestral de proporciones a. nos da la misma probabilidad de 3. a que estamos !ablando de una proporción. )a interpretación en esta solución. la proporción de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al ! es del 0.33(E./ se esta dividiendo entre el tama. a. por lo que si lo buscamos en la tabla de . Kesolverlo mediante la aproximación de la normal a la binomial b.%.21(/32 9 0 personas p1xL02 9 J "edia 9 np9 1(/3213.o de la muestra."#!. encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa. Si una muestra aleatoria de (/3 personas con malestar estomacal usa el medicamento. más a*n. Ejemplo' Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él.3. exceda el ..H. se piensa que alrededor del -H de los usuarios tienen tal reacción. estaría enfocada a la proporción de la muestra.3x9 13.3-29 ./ . 5ambién se debe de tomar en cuenta que el factor de corrección de 3.4bserve que este valor es igual al obtenido en el método de la aproximación de la distribución normal a la binomial. Este valor significa que existe una probabilidad del (EH de que al extraer una muestra de (/3 personas.3p9 3.2 9 J 4bserve que este valor es igual al obtenido la interpretación es' existe una probabilidad del (EH de que al tomar una muestra de (/3 personas se tenga una proporción ma or de 3.3.3. mas de 0 presentarán una reacción adversa.3. presentando una reacción adversa.(0B/. p1pL3. .p1xL02 9 3. b. Aistribución "uestral de 8roporciones Aatos' n9(/3 personas 893. . b.3p1pM3.3. Aatos' n9 03 artículos 893.+-+E. Solución a.artículos defectuosos es de 3.3-2 9 J )a probabilidad de que en una muestra de 03 artículos exista una proporción menor de 3. p9 3.H.o 03 tenga' a. b. "enos del -H de los componentes defectuosos.Ejemplo' Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de . Aatos' n9 03 artículos 893.3. encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tama.3. "ás del (H pero menos del /H de partes defectuosas. se elige una muestra aleatoria de tama.3(MpM3.p9 3.3/ p13.3( 3. +. "ás a*n.o n+ de la segunda población& se calcula la media muestral para cada muestra la diferencia entre dic!as medias. )a colección de todas esas diferencias se llama distri&u"i'n muestra de as di!eren"ias entre medias o la distri&u"i'n muestra de estad(sti"o . la primera con media ( desviación estándar la segunda con media + desviación estándar (.3/2 9 J Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> Distribución Muestral de Diferencia de Medias Suponga que se tienen dos poblaciones distintas.o n ( de la primera población una muestra independiente aleatoria de tama. os sea al menos +3 libras más grande que el de las +/ ni.os de sexto grado de esa escuela es de (33 libras su desviación estándar es de (. )a fórmula que se utili%ará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es' Ejemplo' En un estudio para comparar los pesos promedio de ni. entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tama.E libras + ( + n( 9 +3 ni.+.E libras.+ libras 9 (+. Si las poblaciones son normales.os ni.as. Si representa el promedio de los pesos de +3 ni. mientras que el promedio de los pesos de todas las ni. por lo que no es difícil deducir que que .as de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de +3 ni.os como para ni..as. Solución Aatos' ( 9 (33 libras 9 B/ libras 9 (.. El promedio de los pesos de todos los ni.os de las muestras.as. encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los +3 ni.os otra de +/ ni.+.)a distribución es aproximadamente normal para n ( -3 n+ -3. En ejercicios anteriores se !abía demostrado que que .as los pesos siguen una distribución normal. Se sabe que tanto para ni.(.as del sexto grado de esa escuela es de B/ libras su desviación estándar es de (+.(.os es el promedio de los pesos de una muestra de +/ ni.+.os . as 9J 8or lo tanto.E.os.n+ 9 +/ ni.3 tubos de la compa.os 9 3.3 tubos 9J .E a.E a.(3/0.os con una desviación estándar de 3.ías. )os tubos de la compa.o más que la de una muestra aleatoria de . Aetermine la probabilidad de que una muestra aleatoria de -.os sea al menos +3 libras más grande que el de la muestra de las ni.E a. Solución Aatos' # 9 E. la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de ni.+ a.+ a.B a.B a. mientras que los de la D tienen una vida media de 0.os 9 0.os 9 3.as es 3.ía # tienen una vida media de E.ía # tenga una vida promedio de al menos un a.os con una desviación estándar de 3. Ejemplo' Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de ra os catódicos a dos compa. tubos de la compa.os D # D n# 9 -.ía D. tubos nD 9 . + autos a.B-Nm=) a favor de la gasolina (J. 9J . O$uál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio ma or de 3.+ autos.+.0/ 3.Ejemplo' Se prueba el rendimiento en Nm=) de + tipos de gasolina. a.+-Nm=) para la primera gasolina una desviación estándar de (.-ENm=) para la segunda gasolina& se prueba la primera gasolina en -/ autos la segunda en .Pm=)to 9 (. por lo que se supondrán que son iguales. O$uál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 3. Solución En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones./Nm=) que la segunda gasolinaJ b. encontrándose una desviación estándar de (. Aatos' ( 9 (..-E Pm=)to + n( 9 -/ autos n+ 9 . 3((E. Qngeniería.: OExiste diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera la máquina # a los que genera la máquina DJ . # continuación se citan algunos ejemplos' • • • • Educación.: OEs ma or la proporción de los estudiantes que aprueban matemáticas que las de los que aprueban inglésJ "edicina.: OEs menor el porcentaje de los usuarios del medicamento # que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco D que también presentan una reacción de ese tipoJ #dministración.0/ 3. Distri&u"i'n Muestra de Di!eren"ia de /ropor"iones "uc!as aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utili%ando proporciones o porcentajes.: O7a diferencia entre los porcentajes de !ombres mujeres en posiciones gerenciales.B.Pm=)to a favor de la gasolina ( es de 3.b. J )a probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 3. la distribución muestral de diferencia de proporciones es aproximadamente normal para tama. $uando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que que .n+p+ / n+q+ /2.$uando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales se trabaja con dos proporciones muestrales. Entonces p( p+ tienen distribuciones muestrales aproximadamente normales.os de muestra grande 1n(p( /. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de (33 !ombres (33 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte. mientras que sólo (3H de las mujeres adultas lo están. Solución . Se cree que el (+H de los !ombres adultos están a favor de la pena de muerte. n(q( /. por lo que no es difícil deducir que que . determine la probabilidad de que el porcentaje de !ombres a favor sea al menos -H ma or que el de las mujeres. así que su diferencia p (:p+ también tiene una distribución muestral aproximadamente normal. )a fórmula que se utili%ará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de proporciones es' Ejemplo' )os !ombres mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. os./0+.(3 n7 9 (33 n" 9 (33 p1p7:p" 3./ por ser una distribución binomial se está utili%ando la distribución normal.Aatos' 87 9 3. encontró que +3H !abían estado sin trabajo durante por lo menos dos a.. al menos -H ma or que el de mujeres es de 3.(+ 8" 9 3. difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Doston $ollege.3-2 9 J Se recuerda que se está inclu endo el factor de corrección de 3. en /H o másJ Solución En este ejercicio se cuenta *nicamente con una población.. O$uál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos a. Se conclu e que la probabilidad de que el porcentaje de !ombres a favor de la pena de muerte.os. Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de -+3 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre (6E6 (6B. Ejemplo' Una encuesta del Doston $ollege constó de -+3 trabajadores de "ic!igan que fueron despedidos entre (6E6 (6B.. de la cual se están extra endo dos muestras se quiere saber la probabilidad de la diferencia de . Aatos' p( 9 3. sólo se conoce la p(9 3.los porcentajes en esas dos muestras. a que es una misma población.os. en /H o másJ. Ocuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos a. o a favor de la muestra dos. por lo que se debe de utili%ar la distribución muestral de proporciones con 8(9 8+.+3 a que al tomar una muestra de -+3 trabajadores se observó esa proporción. por lo que se tendrán que calcular dos áreas en la distribución al final sumarlas. En la fórmula de la distribución muestral de proporciones para el cálculo de probabilidad se necesita saber las proporciones de las poblaciones.os. 4tra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos la proporción de trabajadores despedidos entre (6E6 (6B. la palabra difiera quiere decir que puede existir una diferencia a favor de la muestra uno. por lo que se utili%ará el valor de 3. las cuales en este ejercicio las desconocemos. difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Doston $ollege.+3 como una estimación puntual de 8. que estuvieron desempleados por un período de por lo menos dos a. En el siguiente tema se abordará el tema de estimación estadística se comprenderá el porque estamos utili%ando de esa manera el dato. 5ambién debe de comprenderse la pregunta que nos !ace este problema.+3 n( 9 -+3 trabajadores n+ 9 -+3 trabajadores 8( 9 8 + . )a probabilidad de que su proporcion muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos a. Ocuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina + rebase a la máquina ( en por lo menos 3. difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Doston $ollege.de cada 0 productos fabricados por la máquina ( son defectuosos que + de cada / objetos fabricados por la máquina + son defectuosos& se toman muestras de (+3 objetos de cada máquina' a.. Ocuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina ( rebase a la máquina + en por lo menos 3. n( 9 (+3 objetos n+ 9 (+3 objetos a. p1p+:p( 3. Ejemplo' Se sabe que ./ 8+ 9 +=/ 9 3.os.(32 9 J .3/ o más es de 3.(/J Solución Aatos' 8( 9 -=0 9 3.(+03.(3J b. en 3. +-/E. p1p(:p+ 3. . b.33((.4tra manera de !acer este ejercicio es poner 8 (:8+' )a probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos (3H a favor de la máquina + es de 3.(/29J )a probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos (/H a favor de la máquina ( es de 3. en la cual le media es que en este caso es el n*mero promedio de defectos por unidad.c. debiendo aplicar el factor de corrección de ± 3. Exactamente E c. Esta distribución muestral proviene de la distribución de 8oisson. "a or o igual a 0 b. se aplica esta distribución. la cual consiste en que al extraer un artículo contabilicemos el n*mero de defectos que tiene ese artículo. Aetermine la probabilidad de que el próximo producto inspeccionado tenga un n*mero de defectos' a. se esta utili%ando la aproximación de la normal a la 8oisson.Distri&u"i'n Muestra de N1mero de De!e"tos En el control de calidad específicamente en los gráficos de control . )a formula para la dsitribución muestral de n*mero de defectos quedaría de la siguiente manera' Ejemplo' En cierta empresa se fabrican productos con un promedio de B defectos por unidad./ seg*n sea el caso. $omo a es conocido la varian%a de la distribución de 8oisson es igual a por lo que se puede deducir la formula de la siguiente manera' 8ara la distribución muestral de n*mero de defectos la nomenclatura utili%ada es' c 9 n*mero defectos por unidad de inspección $ 9 n*mero de defectos promedio por unidad de inspección Se debe de recordar que la distribución de 8oisson es una distribución discreta. $omo máximo 6 a. . ..B(30. b..)a probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga por lo menos 0 defectos es de 3. )a probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga exactamente E defectos es de 3.(-. c. determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de' a.3-/ a favor de los !ombres. /ro& emas propuestos (. a favor de los !ombres. Qgual n*mero de bolas rojas (+ bolas rojas B blancasJ B bolas rojas (+ blancasJ (3 ó mas bolas blancasJ blancasJ . )a resistencia media encontrada sea de por lo menos (6/B libras. (. (.E3(6.ó más puntos. )a resistencia media se ma or de +3B3 libras.333 lbs+. b. b. (. difieran en su puntuación media en' a. Oen cuántas cabe esperar a. Si se selecciona una muestra aleatoria de (33 cuerdas& determine la probabilidad de que en esa muestra' a.)a probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga a lo más 6 defectos es de 3. c. "enos de 3. (. . respectivamente. $omo parte de un pro ecto general de mejoramiento de la calidad. Se estima que el n*mero promedio de imperfecciones por cada pie%a de tela es de (+. Entre + / puntos. formados de +B -0 estudiantes. Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribu e normalmente con media de +333 libras una varian%a de +/.H de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo& si se toman muestras de (/3 !ombres (/3 mujeres. determine la probabilidad de que en la próxima pie%a de tela fabricada se encuentren' a. Entre 3. sacadas de la urna con rempla%amiento. un fabricante textil decide controlar el n*mero de imperfecciones encontradas en cada pie%a de tela. "enos de 6 más de (/ imperfecciones. Ae un total de /3 muestras de +3 bolas cada una. c. b.3H blancas.3. 0 o más puntos. Una urna contiene B3 bolas de las que 03H son rojas . Entre (3 (+ imperfecciones. O$uál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes. b.3( 3. b. En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de E+ puntos la desviación estándar es de B puntos. d. Un especialista en genética !a detectado que el +0H de los !ombres el +. 3. a2 3.(. Encuentre la probabilidad de que la diferencia de medias en el tiempo de secado sea ma or a uno a favor de la pintura #..+(/3 b2 3.+B. )a probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 6 de estas máquinas caiga entre 0.o nueve.+++E b2 3. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas (. Se pintan (B especímenes con el tipo # en cada uno se registra el tiempo de secado en !oras..330. Kespuestas a los problemas propuestos' (.os. )o mismo se !ace con el tipo D.o. Suponga que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipo de pintura./3. a2 b2 ligeramente menor que 3. . Sin rempla%amiento (. Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que se comparan dos tipos diferentes de pintura.-++( b2 3. E.6603 b2 3 +. a2 0 b2 6 c2 + d2 (+ 0. $on rempla%amiento b. con una desviación estándar de un a.. b. a2 3.os. El valor de la a la derec!a del cual caería el (/H de las medias calculadas de muestras aleatorias de tama. determinar la media esperada la desviación estándar de la distribución muestral de medias si el muestreo se !ace' a. )a vida media de una máquina para !acer pasta es de siete a. a2 3. a2 3.3 on%as desviación estándar de 3.3. c2 3. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal..+ a. Si se extraen -33 muestras de tama.B /.-(++ -.B on%as.33B . (. )os pesos de (/33 cojinetes de bolas se distribu en normalmente con media de +.o -0 de esta población. encuentre' a. Una estima"i'n puntua es un *nico valor estadístico se usa para estimar un parámetro. el valor de la varian%a muestral s + se podría utili%ar pra inferir algo acerca de . representamos con 1parámetro2 el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utili%ados para unir obleas de semiconductores.EE. Entonces. 8ara !acerlo. $omo vimos en la sección anterior. El estadístico usado se denomina estimador. . esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generali%ar las conclusiones al total de la misma.-/ B.baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en !oras de x(9/.3. 3. Existen dos tipos de estimaciones para parámetros& puntuales por intervalo.0B6B b2 E. Ae forma similar. Estimación 8untual )a inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener alg*n tipo de conclusión acerca de uno o más parámetros 1características poblacionales2. a2 3.6. generalmente de anc!o finito.EE como el valor más adecuado de . Una estima"i'n por inter*a o es un rango. Una muestra aleatoria de . más cercanos serán unos de otros sus valores. es ra%onable considerar /. 8odría tomarse una muestra aleatoria de (3 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una.E. x-9/. que se espera que contenga el parámetro. Se utili%ará la letra griega para este propósito.ue re$resente el valor %-s ra"onable de . si es la varian%a de la distribución de resistencia a la ruptura. se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de las poblaciones en estudio. El ob#etivo de la esti%ación $untual es seleccionar sólo un n*%ero+ basados en datos de la %uestra+ . mientras menor sea el error estándar de un estadístico. los estadísticos varían muc!o dentro de sus distribuciones muestrales. la media muestral de la resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de . las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muestrales .. 8o ejemplo.33(- ESTIMACION El objetivo principal de la estadística inferencial es la estima"i'n. x+90. $uando se anali%an conceptos generales métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. El valor calculado de la duración media muestral es 9 /. En consecuencia. por lo que en sí misma una variable aleatoria.( Suponga que esas observaciones son el resultado de una muestra aleatoria. es importante contar con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas aleaciones. Un estimador natural es la En el mejor de los casos.la estimación puntual de es /..E ... Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad obtenidos de un proceso de fundición a presión' .el estimador puntual de es la media muestral ".+ . El enunciado .-.. El símbolo 1t!eta sombrero2 suele utili%arse para representar el estimador de la estimación puntual resultante de una muestra dada.+ . Sin embargo. )a estadística seleccionada se llama estimador puntua de ...-.. )a estimación puntual se obtiene al seleccionar una estadística apropiada calcular su valor a partir de datos de la muestra dada. se puede escribir en forma abreviada .as diferencias de estimación.. es una función de las Ri muestrales.B .-.. se encontrará un estimador para el cual siempre.. Entonces se lee como . 8ropiedades de un Duen Estimador . de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero. < error de estimación entonces el estimador preciso sería uno que produ%ca sólo peque.0 . Se desea estimar la varian%a poblacional varian%a muestral' . Ejemplo' En el futuro !abrá cada ve% más interés en desarrollar aleaciones de "g de bajo costo.3 .6 .Una estima"i'n puntua de un parámetro es un sólo n*mero que se puede considerar como el valor más ra%onable de .EE. para varios procesos de fundición. aun cuando la distribución de cada estimador esté centrada en el valor verdadero de . escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar. la eficiencia se refiere al tama.% Una estadística es un estimador co!erente de un parámetro de población. si al aumentar el tama.o de error estándar de la estadística. En otras palabras. 5iene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor tendrá una ma or oportunidad de producir una estimación mas cercana al parámetro de población que se esta considerando. seleccione al que tenga varian%a mínima. por lo que la media se convierte en un estimador eficiente e insesgado. . $omo se puede observar las dos distribuciones tienen un mismo valor en el parámetro sólo que la distribución muestral de medias tiene una menor varian%a. por lo tanto la media es un estimador E!i"iente o "on *arian6a m(nima. Si comparamos dos estaíisticas de una muestra del mismo tama.o de la muestra se tiene casi la certe%a de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la . Entre todos los estimadores de que son insesgados.Insesgado.o tratamos de decidir cual de ellas es un estimador mas eficiente. El resultante recibe el nombre de estimador insesgado "on *arian6a m(nima 1">UE. las dispersiones de las distribuciones alrededor del valor verdadero pueden ser diferentes. para todo valor posible de .% Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de si . Co7eren"ia. minimum variance unbiased estimator2 de . un estimador insesgado es aquel para el cual la media de la distribución muestral es el parámetro estimado. o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo. se sabe que la . En otras palabras. Entonces.% Suponga que ( + son dos estimadores insesgados de . Si se usa la media muestral para estimar la media poblacional insesgado. no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión confiabilidad de la estimación. sólo /H de las muestras producirá un intervalo erróneo.os de muestras mas grandes./ 6. se necesitan todos los datos. imagine que se usa el estadístico para calcular un estimado puntual de la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca. etc& se tendrá un estimador suficiente.E. cuando se calcula la media de la muestra.6.B+.I/0 ./ uno superior de 6. 8or ejemplo. es decir que si el experimento donde # está definido re reali%a una otra ve%. Una interpretación correcta de la .confian%a de 6/H. la varian%a. por ser un sólo n*mero. Estimación por Qntervalos Un estimado puntual. suponga que 9 6-++. Aebido a la variabilidad de la muestra. en un nivel de confian%a de 6/H. Su!i"ien"ia. El estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta de . Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza. Esto es solo el dato o los datos del centro son los que van a representar la muestra. $uanto ma or sea el nivel de confian%a podremos creer que el valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo. nunca se tendrá el caso de que 9 . desviación estándar.6/.B+. a largo pla%o # ocurrirá 6/H de las veces.población. Es decir se pretende que al extraer la muestra el estadístico calculado contenga toda la información de esa muestra. es posible tener cualquier valor de entre 6(0+. 8or ejemplo. $uando se calcula la mediana de una muestra sólo se utili%a a un dato o a dos. Un intervalo de confian%a con un nivel de confian%a de 6/H de la resistencia real promedio a la ruptura podría tener un límite inferior de 6(0+. radica en la interpretación frecuente de probabilidad a largo pla%o' decir que un evento # tiene una probabilidad de 3. Un nivel de confian%a de 6/H implica que 6/H de todas las muestras daría lugar a un intervalo que inclu e o cualquier otro parámetro que se esté estimando. $on esto se deduce que si utili%amos a todos los datos de la muestra como es en el caso de la media.6. Si un estimador es co!erente se vuelve mas confiable si tenemos tama.% Un estimador es suficiente si utili%a una cantidad de la información contenida de la muestra que ning*n otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se esta estimando. . que es una medida de el grado de fiabilidad en el intervalo. Entonces. un esti%ado de intervalo o intervalo de con)ian"a . 8ara este caso el 6/H de los intervalos de confian%a calculados contendrán a . Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles. Esta es una construcción repetida de intervalos de confian%a de 6/H se puede observar que de los (( intervalos calculados sólo el tercero el *ltimo no contienen el valor de . Si lo vemos El nivel de confian%a bilateral está dividido en partes iguales bajo la curva' . Ejemplo' Encuentre el valor de % para un nivel de confian%a del 6/H. Ae acuerdo con esta interpretación. el nivel de confian%a de 6/H no es tanto un enunciado sobre cualquier intervalo en particular. En"ontrar 6 a partir de un ni*e de "on!ian6a Existen varias tablas en las cuales podemos encontrar el valor de %. más bien se refiere a lo que sucedería si se tuvieran que construir un gran n*mero de intervalos semejantes. Solución 1 Se utili%ará la tabla que tiene el área bajo la curva de : gráficamente sería' !asta %. En esta sección se reali%ará un ejemplo para encontrar el valor de % utili%ando tres tablas diferentes. seg*n sea el área proporcionada por la misma. se tendrá que buscar el área de 3.3+/.. para este ejemplo (.3+/ para encontrar % de (.6E/.En base a la tabla que se esta utili%ando.60. Solución 2 Si se utili%a una tabla en donde el área bajo la curva es de 3 a %' En este caso sólo se tendrá que buscar adentro de la tabla el área de 3. a que cada extremo o cola de la curva tiene un valor de 3. 8or lo que el valor de % es de (.60. Solución 3 8ara la tabla en donde el área bajo la curva va desde % !asta ' Se busca el valor de 3.E/ el resultado del valor de % será el mismo. .60. de student si la población de donde provienen los datos es normal. es decir igualar la desviación estándar de la muestra a la de la población 1s9 2. por lo tanto' . que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior.-.o de la muestra como el valor de % se conocerán.t. Suponga que la desviación estándar de la población es 3. Ejemplos' (. sólo se despejará de la formula anterior. En el caso de que no se encuentre el valor exacto se tendrá que interpolar.0 gramos por mililitro. 8ara el caso de tama. $omo en este caso no conocemos el parámetro lo queremos estimar por medio de la media de la muestra. El valor de % para un nivel de confian%a del 6/H es (. Se encuentra que la concentración promedio de %inc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de %inc en -0 sitios diferentes es de +. F se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confian%a establecido.os de muestra grande se puede utili%ar una estimación puntual de la desviación estándar. quedando lo siguiente' Ae esta formula se puede observar que tanto el tama.Qndependientemente del valor del ?ivel de $onfian%a este será el procedimiento a seguir para locali%ar a %. Estimación para la "edia Es conocido de nosotros durante este curso. Solución )a estimación puntual de es 9 +. Encuentre los intervalos de confian%a de 6/H 66H para la concentración media de %inc en el río. 8ero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utili%ar otra distribución llamada .60. la formula para el calculo de probabilidad es la siguiente' .0. Si una muestra de -3 focos tiene una duración promedio de EB3 !oras.3 !oras./E/ por lo que el intervalo será más amplio' El intervalo de confian%a proporciona una estimación de la presición de nuestra estimación puntual. encuentre un intervalos de confian%a de 60H para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. sin embargo. podemos tener el nivel de confian%a de que esta diferencia no excederá . Si es realmente el valor central de intervalo. entonces estima sin error. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de . Solución . +. no será exactamente igual a la estimación puntual es errónea. )a magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre .o cuando se reduce a un nivel de confian%a del 6/H. )a ma or parte de las veces.8ara un nivel de confian%a de 66H el valor de % es de +. $omo se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación ma or cuando el nivel de confian%a es del 66H más peque. ar# como estimador puntual del par#metro !. El artículo . 2. El primer caso a se !abía comentado se solucionará utili%ando la desviación estándar de la muestra como estimación puntual de sigma. el valor de la media está en el intervalo 1(0. Utilice un nivel de confian%a inferior del 6/H para estimar la media real de la resistencia al corte. 8ara el intervalo de confian%a unilateral. donde " representa el n)mero de *"itos en n pruebas. )a primera que desconoce la desviación estándar de la población la segunda que nos piden un intervalo de confian%a unilateral. se cargará el área bajo la curva !acia un solo lado como sigue' Esto quiere decir que con un nivel de confian%a de 6/H. !or tanto. la proporci n de la muestra p %"'n se utiu+li.(E ?=mm +. )a prueba de corte sesgado es el procedimiento más aceptado para evaluar la calidad de una unión entre un material de reparación su sustrato de concreto. -.-6. Solución En este ejercicio se nos presentan dos situaciones diferentes a los ejercicios anteriores. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> Estimación de una Proporción Un estimador puntual de la proporci n ! en un e"perimento binomial est# dado por la estad$stica !%&'(.$on un nivel de confian%a del 60H se sabe que la duración media de los focos que produce la empresa está entre E0/ E0/ !oras. .B observaciones de resistencia al corte. informa que. en cierta investigación. la desviación estándar muestral fue -.+B ?=mm+. con una muestra de . se obtuvo una resistencia promedio muestral de (E.5esting t!e Dond DetSeen Kepair "aterials and $oncrete Substrate. 7odos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de 0enderse.sea ma5or o i6ual a 5. el procedimiento del inter0alo de con1ian. reproductores tiene como resultado /5 -ue 1allan en una o m#s pruebas.ar. no se debe utili.Si no se espera -ue la proporci n ! desconocida est* demasiado cerca de . Al despe2ar ! de esta ecuaci n nos -ueda3 4n este despe2e podemos obser0ar -ue se necesita el 0alor del par#metro ! 5 es precisamente lo -ue -ueremos estimar.a de 8.(. se debe re-uerir -ue np n.a -ue se establece a-u$ no es con1iable. se puede establecer un inter0alo de con1ian. 4ncuentre un inter0alo de con1ian.3 .. por lo -ue lo sustituiremos por la proporci n de la muestra p siempre 5 cuando el tama+o de muestra no sea pe-ue+o. de /. Una muestra aleatoria de 5.. % ..8.) % /. Solución: n%5.645 ..9 para la proporci n de los reproductores de discos compactos de la poblaci n -ue no pasan todas las pruebas.. 4l error de estimaci n ser# la di1erencia absoluta entre p 5 !. a /.a de -ue esta di1erencia no e"ceder# 42emplos3 /. por tanto. !ara estar se6uro. Un 1abricante de reproductores de discos compactos utili..a para ! al considerar la distribuci n muestral de proporciones.a un con2unto de pruebas amplias para e0aluar la 1unci n el*ctrica de su producto. . p % /5'5. Cuando n es pe-ue+a 5 la proporci n desconocida ! se considera cercana a . 5 podemos tener el ni0el de con1ian. se encontraron 2.23:.'4..86 Si p%.. accidentes de autom 0il en una ciudad espec$1ica. encuentre el m#"imo error de estimaci n tal -ue se pueda tener un 859 de con1ian... podemos tener un 859 de con1ian.. 4n un estudio de 3.2/ de p. Si la proporci n p de pilas de1ectuosas en esa muestra se usa para estimar P. el error m#"imo de estimaci n ser# apro"imadamente ...a en -ue ! dista menos de .a para apro"imar la proporci n de todos los accidentes automo0il$sticos -ue en esa ciudad tienen consecuencias 1atales. Con base en esta muestra...a del 859.2/ con un ni0el de con1ian. -ue 0endr# a ser la proporci n 0erdadera de todas las pilas de1ectuosas tipo B 1abricadas por la 40erlast Compan5.28 5 .!. pilas tipo B 1abricadas por la 40erlast Compan5....5 se usa para estimar !.5 se usa para erstimar !. Si se requiere un menor error con un mismo nivel de confianza sólo se necesita aumentar el tamaño de la muestra. 2...9 de con1ian..9 -ue la proporci n de discos de1ectuosos -ue no pasan la prueba en esa poblaci n esta entre ... 4n otras palabras.%.:/. si p%. 3. tu0ieron consecuencias 1atales.a del 8..3:6.a del 859 se sabe -ue la proporci n de pulas de1ectuosas de esta compa+$a est# entre . 6. ..a en -ue P dista menos de de p.a se tendr$a3 4sto da por resultado dos 0alores.. Solución: p%"'n % 2.. Con un ni0el de con1ian.5 .. constru5a un inter0alo del 8.:/).28.. (.85)%/. de1ectuosas.....(..23: 5 . 4n una muestra de 4.. !ara calcular el inter0alo de con1ian.. Solución: .3:6 Se sabe con un ni0el de con1ian... A 5 B. % . ?ecordando a la distribuci n muestral de di1erencia de medias3 Al despe2ar de esta ecuaci n / > 2 se tiene3 4n el caso en -ue se descono.ar la 0arian. 2 est# dado por la 2 2 estad$stica . un estimador puntual de la di1erencia entre / / 2 5 5 .) % /. Solución: .'3.!% 6.as respecti0amente. Supon6a -ue las des0iaciones est#ndar poblacionales son 6 5 = para los motores A 5 B respecti0amente.can las 0arian.. 4l rendimiento promedio de 6asolina para el motor A es de 36 millas por 6al n 5 el promedio para el motor B es 24 millas por 6al n.645 ..a de 869 sobre la di1erencia promedio real para los motores A 5 B. !or tanto..an 5./62. se calcula la di1erencia .. de las medias muestrales.. una de cada poblaci n. Se mide el rendimiento en millas por 6al n de 6asolina.2. 42emplos3 /.a 5 las dem#s condiciones se mantienen constantes. 4ncuentre un inter0alo de con1ian..as de la poblaci n 5 los tama+os de muestra sean ma5ores a 3. se seleccionan dos muestras aleatorias independientes. !ara obtener una estimaci n puntual de /> 2.23= Estimación de la Diferencia entre dos Medias Si se tienen dos poblaciones con medias / 5 2 5 0arian. Se lle0a a cabo un e"perimento en -ue se comparan dos tipos de motores. <(. se podr# utili. de tama+o n/ 5 n2.!. e"perimentos con el motor tipo A 5 :5 con el motor tipo B. @a 6asolina -ue se utili.8.a de la muestra como una estimaci n puntual. Se reali. 4s deseable -ue la di1erencia de medias sea positi0a por lo -ue se recomienda restar la media ma5or menos la media menor. 4n este caso ser# la media del motor B menos la media del motor A. 4l 0alor de , para un ni0el de con1ian,a del 869 es de 2..5. 3.43; B > A ;=.5: @a interpretaci n de este e2emplo ser$a -ue con un ni0el de con1ian,a del 869 la di1erencia del rendimiento promedio esta entre 3.43 5 =.5: millas por 6al n a 1a0or del motor B. 4sto -uiere decir -ue el motor B da mas rendimiento promedio -ue el motor A, 5a -ue los dos 0alores del inter0alo son positi0os. 2. Una compa+$a de ta"is trata de decidir si comprar neum#ticos de la marca A o de la B para su 1lotilla de ta"is. !ara estimar la di1erencia de las dos marcas, se lle0a a cabo un e"perimento utili,ando /2 de cada marca. @os neum#ticos se utili,an Aasta -ue se des6astan, dando como resultado promedio para la marca A 36,3.. Bil metros 5 para la marca B 3=,/.. Bil metros. Calcule un inter0alo de con1ian,a de 859 para la di1erencia promedio de las dos marcas, si se sabe -ue las poblaciones se distribu5en de 1orma apro"imadamente normal con des0iaci n est#ndar de 5... Bil metros para la marca A 5 6/.. Bil metros para la marca B. Solución: %+00+.0BM Gráficamente' D : # M0+0+.0E $omo el intervalo contiene el valor ;cero;, no !a ra%ón para creer que el promedio de duración del neumático de la marca D es ma or al de la marca #, pues el cero nos está indicando que pueden tener la misma duración promedio. Estima"i'n de a Di!eren"ia de dos /ropor"iones En la sección anterior se vio el tema de la generación de las distribuciones muestrales, en donde se tenía el valor de los parámetros, se seleccionaban dos muestras podíamos calcular la probabilidad del comportamiento de los estadísticos. 8ara este caso en particular se utili%ará la distribución muestral de diferencia de proporciones para la estimación de las misma. Kecordando la formula' Aespejando 8(:8+ de esta ecuación' #quí se tiene el mismo caso que en la estimación de una proporción, a que al !acer el despeje nos queda las dos proporciones poblacionales es precisamente lo que queremos estimar, por lo que se utili%arán las proporciones de la muestra como estimadores puntuales' Ejemplos' (. Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que E/ de (/33 artículos del procedimiento actual son defectuosos B3 de +333 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confian%a de 63H para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual el nuevo. Solución Sean 8( 8+ las proporciones reales de defectuosos para los procesos actual nuevo, respectivamente. Ae aquí, p(9E/=(/33 9 3.3/ p+ 9 B3=+333 9 3.3.. con el uso de la tabla encontramos que % para un nivel de confian%a del 63H es de (.0./. %8,8893M8(:8+M3.3+(E $omo el intervalo contiene el valor de cero, no !a ra%ón para creer que el nuevo procedimiento producirá una disminución significativa en la proporción de artículos defectuosos comparado con el método existente. +. Un artículo relacionado con la salud, reporta los siguientes datos sobre la incidencia de disfunciones importantes entre recién nacidos con madres fumadoras de mari!uana de madres que no la fumaban' Usuaria No Usuaria Tama:o Muestra (+.0 (((EB N1mero de dis!un"iones .+ +6. /ropor"i'n muestra 3.3--E 3.3+0- Encuentre el intervalo de confian%a del 66H para la diferencia de proporciones. Solución Kepresentemos 8( la proporción de nacimientos donde aparecen disfunciones entre todas las madres que fuman mari!uana definamos 8 +, de manera similar, para las no fumadoras. El valor de % para un 66H de confian%a es de +./B. %8,88;<M8(:8+M3.3+(+ Este intervalo es bastante angosto, lo cual sugiere que 8 (:8+ !a sido estimado de manera precisa. Aeterminación de 5ama,os de "uestra para Estimaciones #l iniciar cualquier investigación, la primer pregunta que surge es' Ode qué tama,o debe ser la o las muestrasJ. )a respuesta a esta pregunta la veremos en esta sección, con conceptos que a se !an visto a través de este material. C+ "u o de Tama:o de a Muestra para Estimar una Media OTué tan grande debe ser una muestra si la media muestral se va a usar para estimar la media poblacionalJ. )a respuesta depende del error estándar de la media, si este fuera cero, entonces se necesitaría una sola media que será igual necesariamente a la media poblacional desconocida , porque 9 3. Este caso extremo no se encuentra en la práctica, pero refuer%a el !ec!o de que mientras menor sea el error estándar de la media, menor es el tama,o de muestra necesario para lograr un cierto grado de precisión. Se estableció antes que una forma de disminuir el error de estimación es aumentar el tama,o de la muestra, si éste inclu e el total de la población, entonces sería igual a cero. $on esto en mente, parece ra%onable que para un nivel de confian%a fijo, sea posible determinar un tama,o de la muestra tal que el error de estimación sea tan peque,o como queramos, para ser mas preciso, dado un nivel de confian%a un error fijo de estimación , se puede escoger un tama,o de muestra n tal que 81 2 9 ?ivel de confian%a. $on el propósito de determinar n. El error máximo de estimación esta dado por' Si se eleva al cuadrado ambos lados de esta ecuación ecuación resultante, obtenemos' se despeja n de la $omo n debe de ser un n*mero entero, redondeamos !acia arriba todos los resultados fraccionarios. En el caso de que se tenga una población finita el error de estimación se convierte en' un muestreo sin reempla%o, Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos ca%ados en el estado de "ar land. . OAe qué tama. libras de . Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de . obteniendo' Ejemplos' (.o de la muestra es -0.3 !oras. OTué pasaría si en lugar de tener un error de estimación de (3 !oras sólo se requiere un error de / !orasJ Se puede observar como el tama. Un estudio anterior de die% ciervos ca%ados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de (+.+ libras. OTué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 6/H de confian%a de que el error de estimación es a lo más de . se puede tener un 6/H de confian%a en que difiere en menos de .o de la muestra aumenta. librasJ Solución En consecuencia.Ae nuevo se eleva al cuadrado ambos lados se despeja la n.o se necesita una muestra si se desea tener 60H de confian%a que la media real esté dentro de (3 !oras de la media realJ Se necesita una muestra de 0B focos para estimar la media de la población tener un error máximo de (3 !oras. +. si el tama. pero esto tiene como beneficio una estimación más exacta. o de la "uestra para Estimar una 8roporción Se desea saber que tan grande se requiere que sea una muestra para asegurar que el error al estimar 8 sea menor que una cantidad específica . por lo que se utili%arán diferentes valores se sustituirán en la formula para observar los diferentes tama./ a que sustitu endo este en la fórmula se obtiene el tama.o debe de ser la muestra.-3. Suponga que en el ejercicio anterior se tiene una población de -33 focos.os de muestras. pero $ se calcula a partir de la muestra.o de la muestra. Si se tiene una población finita de -33 focos sólo se tiene que extraer de la población una muestra sin reempla%o de /0 focos para poder estimar la duración media de los focos restantes con un error máximo de (3 !oras. Solución $omo se tiene una población finita un muestreo sin reempla%o es necesario utili%ar la formula con el factor de corrección. 5omar el valor de p como 3.-.osa. 4bserve el siguiente ejemplo' Se desconoce el valor de 8. Existen ocasiones en las cuales se tiene una idea del comportamiento de la proporción de la población ese valor se puede sustituir en la fórmula. Aespués con el uso de la fórmula se podría determinar de forma aproximada cuántas observaciones se necesitan para proporcionar el grado de precisión que se desea. $álculo del 5ama. . Elevando al cuadrado la ecuación anterior se despeja n nos queda' Esta fórmula está algo enga. se desea saber de que tama. El nivel de confian%a que se utili%ará es del 6/H con un error de estimación de 3. El muestreo se reali%ará sin reempla%o.o de muestra ma or posible. pues debemos utili%ar $ para determinar el tama. pero si no se sabe nada referente a esa proporción entonces se tienen dos opciones' • • 5omar una muestra preliminar ma or o igual a -3 para proporcionar una estimación de 8. ./3 (3.p n 3.60 3.+3 0.(3 -. 3.0E 3.B3 0.B.-3 B. 3.E3 B.60 3.+.B+ 3.03 (3. 3.+.3 (3.B+ . Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para conocer qué proporción del electorado conoce la opinión de ella.3 están suscritas a 7D4. +. Ae nuevo se eleva al cuadrado ambos lados se despeja la n. se puede tener una confian%a de 6/H de que nuestra proporción muestral no diferirá de la proporción real por más de 3.o . $anadá./ el tama. $omo se puede observar en la tabla anterior cuando 8 vale 3.3+.o +363.o de la muestra alcan%a su máximo valor. respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos.3. OTué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 6/H de confian%a de que la estimación de 8 esté dentro de 3.63 -.3+J Solución Se tratarán a las /33 familias como una muestra preliminar que proporciona una estimación de p9-. En una muestra aleatoria de /33 familias que tienen televisores en la ciudad de 7amilton. En el caso de que se tenga una población finita el error de estimación se convierte en' un muestreo sin reempla%o. obteniendo' Ejemplos' (.3=/3393. OTué tama. se encuentra que -.0B. 8or lo tanto si basamos nuestra estimación de 8 sobre una muestra aleatoria de tama.B. de muestra se necesita si se requiere un confian%a del 6/H máximo de estimación de 3. $álculo del 5ama. se desconoce totalmente la proporción de residentes que conoce la opinión de la legisladora.o de la "uestra para Estimar la Aiferencia de "edias Si se recuerda a la distribución muestral de diferencia de medias se tiene que error esta dado por' En esta ecuación se nos pueden presentar dos casos' • • )os tama. .os de muestra son iguales.(3. 8ara el primer caso no se tiene ning*n problema.(3J Solución un error En este problema./ para $. Se requiere un tama. 8ara el segundo caso se pondrá una n en función de la otra.o se sabe que una es 1 veces ma or que la otra. se eleva al cuadrado la ecuación se despeja n a que n1 es igual a n2.o de muestra de 6E residentes para que con una confian%a del 6/H la estimación tenga un error máximo de 3. por lo que se utili%ará un valor de 3. Este caso se utili%a cuando las poblaciones son de diferente tama.o de muestra son diferentes . )os tama. $álculo del 5ama. Ocuántos trabajadores se tienen que incluir en cada grupo de entrenamientoJ $ada grupo debe contener aproximadamente -( empleados. Se divide un n*mero de operarios en dos grupos iguales' el primero recibe el método de entrenamiento (. Se espera que las mediciones para ambos grupos tengan una desviación estándar aproximadamente de + minutos.6/. Este caso se utili%a cuando las poblaciones son de diferente tama.os de muestra son iguales. Si se desea que la estimación de la diferencia en tiempo medio de montaje sea correcta !asta por un minuto. )os tama. el método +.o de la "uestra para Estimar la Aiferencia de 8roporciones Si se recuerda a la distribución muestral de diferencia de medias se tiene que error esta dado por' En esta ecuación se nos pueden presentar dos casos' • • )os tama.o de muestra son diferentes . $ada uno reali%ará la operación de montaje se registrará el tiempo de trabajo. 8ara el segundo caso se pondrá una n en función de la otra. el segundo.o se sabe que una es 1 veces ma or que la otra. con una probabilidad igual a 3. 8ara el primer caso no se tiene ning*n problema.Ejemplo' Un director de personal quiere comparar la efectividad de dos métodos de entrenamiento para trabajadores industriales a fin de efectuar cierta operación de montaje. . se eleva al cuadrado la ecuación se despeja n a que n1 es igual a n2. segundos con una probabilidad de 3. El decano registró debidamente el porcentaje de calificaciones A U otorgadas a los estudiantes por dos profesores universitarios de matemáticas. con +33 (B3 estudiantes. Si la experiencia previa sugiere que 9 (0 seg.33 cinescopios de televisor se encontraron . con un coeficiente de confian%a de 3. a la verdadera fracción de elementos defectuosos.3. Estime la diferencia entre los porcentajes de calificaciones A U otorgadas por los dos profesores. Si la empresa de productos alimenticios quiere estimar la diferencia dentro de 3. Estime el intervalo que contiene. a fin de comparar las proporciones de consumidores que prefieren la comida congelada de la compa.3 defectuosos. +. . Se probó una muestra aleatoria de .6/. exacto dentro de .ía con los productos de sus competidores. El profesor Q alcan%ó un -+H.ía de productos alimenticios contrató a una empresa de investigación de mercadotecnia .Ejemplo' Una compa. con una probabilidad de 3. Se planea reali%ar un estudio de tiempos para estimar el tiempo medio de un trabajo. 8roblemas propuestos (. Ocuántos operarios !abrá que incluir en la muestraJ -. Utilice un nivel de confian%a del 6/H e interprete los resultados. para terminar un trabajo de montaje. Q QQ. mide la variación en el tiempo de montaje entre un trabajador otro al reali%ar una sola operación de montaje. O cuántos consumidores !abrá que muestrear en cada mercadoJ Se tendrá que reali%ar encuestas a (+3( consumidores de cada mercado para tener una estimación con una confian%a del 6/H un error máximo de 3. ?o !a información previa acerca de la magnitud de las proporciones 8 ( 8+..63.3. contra un +(H para el profesor QQ. para muestrear dos mercados.63.. respectivamente. en un proceso que produce antibiótico.3(. B.3/. Se tienen que seleccionar muestras aleatorias independientes de n(9n+9n observaciones de cada una de dos poblaciones binomiales. con un coeficiente de confian%a de 3. 8or la experiencia. E. Se quiere estudiar la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utili%ados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se seleccionaron dos muestras de . Se observa el proceso durante (33 períodos de una !ora.o de muestra debe utili%arse en cada población si se desea que el error en la estimación de la diferencia entre las medias de las tasas de combustión sea menor que . Se sabe que el comportamiento de las resistencias a la tensión de las dos clases de largueros son aproximadamente normal. pero se quiere estar seguro de tener un n*mero adecuado de observaciones en la muestra.. 6.+. # D..0 . con una probabilidad de 3.on%as por !ora. seleccionados al a%ar se obtiene una media de -. Estime la producción media por !ora para el proceso. Ae la línea # se obtuvieron . Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utili%ados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. on%as por !ora con una desviación estándar de . Oqué tan grande tendría que ser nJ. Un ingeniero de control de calidad quiere estimar la fracción de elementos defectuosos en un gran lote de lámparas.6B. Si se desea estimar la diferencia entre los dos parámetros binomiales.(+./ Pg=mm+. utili%ando un nivel de confian%a fe 6/HJ 0.o (+ para el larguero + obteniéndose una media de E.3 Pg=mm+ la del larguero + es de (.63 e interprete los resultados. /. OTué tama. exacta dentro de 3. ( +. cm=s con una confian%a del 66HJ.3E/-+ 8 3. Se sabe que la tasa de combustión de los dos propelentes tiene aproximadamente la misma desviación estándar& esto es (9 9 . 3. exacta dentro de 3. utili%ando un nivel de confian%a del 6/H. OTué tan grande tendría que seleccionar la muestra si se quiere estimar la fracción real.0 Pg=mm +./ Pg=mm+.3 tubos defectuosos de la D B3.. ?o se tiene información anterior acerca de los valores 8( 8+. otra de tama.cm=s. + Respuesta a os /ro& emas propuestos (. )a desviación estándar del larguero ( es de (.33 tubos electrónicos. cree que la fracción real de defectuosos tendría que andar alrededor de 3. Estime la diferencia real en las fracciones de defectuosos para las dos líneas. Estime un intervalo de confian%a del 63H para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio. de cada una de dos líneas de producción. Ae la experiencia pasada con el proceso de fabricación se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. Se toma una muestra de (3 largueros del tipo ( obteniéndose una media de BE. Suponga que se quiere estimar la producción media por !ora. 6.( n9 (3B0 (+. -.3+++ 8(: 8+ 3.. B.. puesto que muc!os tipos de problemas de toma de decisiones..3/6 8D:8# 3.+. El interés se centra sobre la rapide% de combustión promedio. E.(+ -.6B (: + n9 B Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> UNIDAD II /RUE0A DE HI/OTESIS )as secciones anteriores !an mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. n9 . Esta proposición recibe el nombre de 7ip'tesis. /. Esto puede expresarse de manera formal como 7o& 7(& )a proposición 7o& 9 /3 cm=s /3 cm=s 9 /3 cm=s. pueden formularse como problemas de prueba de !ipótesis. Sin embargo. requieren que se tome una decisión entre aceptar o rec!a%ar una proposición sobre alg*n parámetro. 8uesto que la !ipótesis alternativa especifica valores de que pueden ser ma ores o menores que /3 cm=s.(. muc!os problemas de ingeniería. En algunas situaciones. Este es uno de los aspectos más *tiles de la inferencia estadística./BB n9 0(. lo que se desea es formular una 7ip'tesis a ternati*a uni atera . 0. Ae manera específica. .(6EB --. Una 7ip'tesis estad(sti"a es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. también se conoce como 7ip'tesis a ternati*a &i atera . 8uede encontrarse a sea un sólo n*mero 1estimador puntual2 o un intervalo de valores posibles 1intervalo de confian%a2. recibe el nombre de 7ip'tesis a ternati*a.. el interés recae en decir si la rapide% de combustión promedio es o no /3 cm=s. pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería. mientras que la proposición 7(& /3 cm=s.E 3.++ (-. ciencia. 3. Suponga que se tiene interés en la rapide% de combustión de un agente propulsor sólido utili%ado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulación de aeronaves. como en . se conoce como 7ip'tesis nu a. administración. el objetivo de la prueba de !ipótesis es verificar la teoría o modelo. En esta situación. es la afirmación contradictoria a 7o. entonces el objetivo de la prueba de !ipótesis usualmente es determinar si !a cambiado el valor del parámetro. no proposiciones sobre la muestra. En este caso. sólo si la evidencia muestral sugiere que 7o es falsa. las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de !ipótesis son rec$azar %o o no rec$azar %o. Usualmente esto es imposible en muc!as situaciones prácticas. la . se conclu e que esta es falsa. Entonces. /rue&a de una Hip'tesis Estad(sti"a .7o& 9 /3 cm=s 7o& ó 9 /3 cm=s 7(& M /3 cm=s 7(& L /3 cm=s Es importante recordar que las !ipótesis siempre son proposiciones sobre la población o distribución bajo estudio. +. $uando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas. o de obligaciones contractuales. )os procedimientos de prueba de !ipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria de la población de interés. -. a menos que pueda examinarse a toda la población.creencia a priori. ésta es la !ipótesis del investigador. Aebe !acerse !incapié en que la verdad o falsedad de una !ipótesis en particular nunca puede conocerse con certidumbre. el valor del parámetro de la población especificado en la !ipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes' (. es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta 1es decir. 8or lo general. es necesario desarrollar un procedimiento de prueba de !ipótesis teniendo en cuenta la probabilidad de llegar a una conclusión equivocada. Un procedimiento que conduce a una decisión sobre una !ipótesis en particular recibe el nombre de prue&a de 7ip'tesis. )a 7ip'tesis nu a) representada por 7o. se contin*a cre endo en la valide% de la !ipótesis nula. )a 7ip'tesis a ternati*a) representada por 7(. se conclu e que ésta es verdadera& sin embargo si esta información es inconsistente con la !ipótesis. )a !ipótesis nula se rec!a%a en favor de la !ipótesis alternativa.2.o o ingeniería. 8or tanto. tales como las especificaciones de dise. Si la muestra no contradice decididamente a 7o. el objetivo usual de la prueba de !ipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones. 8uede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. Si esta información es consistente con la !ipótesis. 8uede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso. para todos los especímenes bajo prueba. la !ipótesis nula 7o será rec!a%ada en favor de la alternativa 7 (cuando. la media muestral es el estadístico de prueba. entonces se acepta la !ipótesis alternativa 7 (& /3 )os valores de que son menores que . de lo contrario.B. entonces no se rec!a%a la !ipótesis nula 7 o& 9 /3 cm=s. 8or tanto.8ara ilustrar los conceptos generales. En este caso. se desea probar' 7o& 7(& 9 /3 cm=s /3 cm=s Supóngase que se reali%a una prueba sobre una muestra de (3 especímenes. )as fronteras entre las regiones crítica de aceptación reciben el nombre de valores críticos./ /(. que se observa cual es la rapide% de combustión promedio muestral. ./ constitu en la región crítica de la prueba. )a costumbre es establecer conclusiones con respecto a la !ipótesis nula 7 o. en este caso. )a media muestral es un estimador de la media verdadera de la población. es posible que el valor verdadero de la rapide% promedio de combustión del agente propulsor sea igual a /3 cm=s.B. 7o en realidad es verdadera.B./ o ma ores que /(. no se rec!a%a 7o. 5ambién es conocido como ' ni*e de signi!i"an"ia. de !ec!o. Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo &. mientras que la !ipótesis alternativa es que ésta no es igual a /3 cm=s. 8or otra parte. considere el problema de la rapide% de combustión del agente propulsor presentado con anterioridad. que si M. 8or ejemplo. Un valor de la media muestral que este próximo al valor !ipotético 9 /3 cm=s es una evidencia de que el verdadero valor de la media es realmente /3 cm=s& esto es. una media muestral mu diferente de /3 cm=s constitu e una evidencia que apo a la !ipótesis alternativa 7(. El error tipo I se define como el rec!a%o de la !ipótesis nula 7o cuando ésta es verdadera. tal evidencia apo a la !ipótesis nula 7 o. Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones erróneas. #nálogamente si se tiene un nivel de confian%a del 63H entonces el nivel de significancia sería del (3H./ forman la región de aceptación. )a !ipótesis nula es que la rapide% promedio de combustión es /3 cm=s./ ó cm=s. Si tuviéramos un nivel de confian%a del 6/H entonces el nivel de significancia sería del /H. L/(. mientras que todos los valores que están en el intervalo . Supóngase que si . Sin embargo. )a media muestral puede tomar muc!os valores diferentes.B./ /(./. Esto es. se rec!a%a 7o en favor de 7( si el estadístico de prueba cae en la región crítica. 8or tanto./. bien puede observarse un valor del estadístico de prueba que cae en la región crítica. El tama. Un aumento en el tama. )os errores tipo Q tipo QQ están relacionados. siempre se puede reducir al ajustar el o los valores críticos. Qnterpretar correctamente los datos del enunciado diferenciando los parámetros de los estadísticos. se define como la aceptación de la !ipótesis nula 8or tanto. al probar cualquier !ipótesis estadística. es un máximo cuando el valor real del parámetro se aproxima al !ipotético.o muestral n reducirá simultánea. -. será menor . El ensa o de !ipótesis está en función de parámetros a que se quiere evaluar el universo de donde proviene la muestra. existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea. aunque la media muestral caiga dentro de la región de aceptación. de forma 4. Una disminución en la probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro. 3. El error tipo II ' error cuando ésta es falsa. Este tipo de conclusión recibe el nombre de error tipo &&. Entre más grande sea la distancia entre el valor real . Establecer simultáneamente el ensa o de !ipótesis el planteamiento gráfico del problema.o de la región crítica.#!ora supóngase que la verdadera rapide% promedio de combustión es diferente de /3 cm=s. +. +. /ASOS /ARA ESTA0LECER UN ENSA=O DE HI/OTESIS INDE/ENDIENTEMENTE DE LA DISTRI0UCION >UE SE ESTE TRATANDO (. En este punto se determina el tipo de ensa o 1unilateral o bilateral2. De"isi'n Ho es *erdadera Ho es !a sa #ceptar 7o ?o !a error Error tipo QQ ó ?o !a error Kec!a%ar 7o Error tipo Q ó (. Si la !ipótesis nula es falsa. #sí mismo se debe determinar en este punto información implícita como el tipo de muestreo si la población es finita o infinita. En este caso se acepta 7o cuando ésta es falsa. el valor !ipotético. Qnterpretar correctamente !acia que distribución muestral se ajustan los datos del enunciado. por tanto la probabilidad de cometer un error tipo Q. Vustificar la toma de decisión concluir. el cual se obtiene dependiendo del valor de 1Error tipo Q o nivel de significancia2 o en función del estadístico límite de la distribución muestral.o. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> Tipos de Ensayo Se pueden presentar tres tipos de ensa5o de Aip tesis -ue son3 • • • Unilateral CerecAo Unilateral D. en este caso el ni0el de si6ni1icancia se car6a todo Aacia el lado derecAo. Esta se puede establecer en función del valor crítico.-uierdo Bilateral Cependiendo de la e0aluaci n -ue se -uiera Aacer se seleccionar# el tipo de ensa5o. en este caso el nivel de significancia se carga todo !acia el lado i%quierdo. para definir las regiones de aceptación de rec!a%o. 4nsa5o de Aip tesis3 EoF !ar#metro x 7(& 8arámetro > x • Unilateral Q%quierdo' El investigador desea comprobar la !ipótesis de una disminución en el parámetro. Ensa o de !ipótesis' 7o& 8arámetro x . la cual estará en función de la !ipótesis nula o 7o. Establecer la regla de decisión. 0. $alcular el estadístico real. • Unilateral CerecAo. 4l in0esti6ador desea comprobar la Aip tesis de un aumento en el par#metro. $ada una de las !ipótesis deberá ser argumentada correctamente para tomar la decisión. /. para de1inir las re6iones de aceptaci n 5 de recAa. situarlo para tomar la decisión.4. El nivel de significancia se divide en dos existen dos regiones de rec!a%o. 5.6 a.7(& 8arámetro < x • Dilateral' El investigador desea comprobar la !ipótesis de un cambio en el parámetro. Ejemplos' (. Ensa o de !ipótesis' 7o& 8arámetro 9 x 7(& 8arámetro x 8ara reali%ar los ejemplos ejercicios de ensa o de !ipótesis se recomienda seguir los pasos mencionados anteriormente.os. Una muestra aleatoria de (33 muertes registradas en Estados Unidos el a.os.B a. Se trata de una distri&u"i'n muestra de medias "on des*ia"i'n est+ndar "ono"ida. Solución 9. Datos- . teniéndose una variedad de problemas en donde se incluirán a todas las distribuciones muestrales que se !an visto !asta aquí. )os ejemplos siguientes se solucionarán por los pasos recomendados.3/. Suponga una desviación estándar poblacional de B.osJ Utilice un nivel de significancia de 3.o pasado muestra una vida promedio de E(. Oesto parece indicar que la vida media !o en día es ma or que E3 a. / no se rec!a%a 7o.3/ que la vida media !o en día es ma or que E3 a. $omo +. .0.0. en este caso la media de la muestra. $álculos' 0.4 a:os $ 39. Existe otra manera de resolver este ejercicio./ se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3. Vustificación decisión.$38 a:os $ ?. Kegla de decisión' Si %K (. > 38 a:os.os. /.0..8@ A. Ae la formula de la distribución muestral de medias se despeja la media de la muestra' ./ se rec!a%a 7o. tomando la decisión en base al estadístico real.3+ L(. EnsaBo de 7ip'tesis HoC H9C $ 38 a:os.? a:os n $ 988 $ 8. Si %KL (. Solución (.3.. Si una muestra aleatoria de -3 focos tiene una duración promedio de EBB !oras. .B a. +. Omuestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media !a cambiadoJ Utilice un nivel de significancia del 3.0 Se rec!a%a 7o $omo la media de la muestral es de E(.0 por lo tanto se rec!a%a 7 o se llega a la misma conclusión.. +. Aatos' 9B33 !oras 9 .3.0 ?o se rec!a%a 7o L E(.. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.os es ma or al valor de la media muestral límite de E(.3 !oras.Kegla de decisión' Si Si E(. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribu e de forma aproximadamente normal con una media de B33 !oras una desviación estándar de ..3 !oras 9 EBB !oras n 9 -3 9 3. Kegla de Aecisión' Si @+. Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& 9 B33 !oras B33 !oras .3/+ ?o se rec!a%a 7o Si FK M :+.3/+ %9.3/+ ó si FK L +. Vustificación decisión' $omo @+.3/+ por lo tanto.6B .3/+ Se rec!a%a 7o /.3+ B(. Solución $or el otro %&todo EB/. $álculos' 0.<A +. que la duración media de los focos no !a cambiado.... no se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3.3.-.3/+ FK +. on%as..+.o de muestra es ma or a -3 se puede tomar la desviación muestral como un estimador puntual para la poblacional.6B se rec!a%a 7o se conclu e que la $omo la 9 EBB !oras./ on%as contra al !ipótesis alternativa.+./ on%as .3/ -.3/. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar desconocida.+.. 3. on%as 9 /.on%as con una desviación estándar de 3. en pomedio /./ on%as s9 3.3+ ó B(./ on%as en el nivel de significamcia de 3. Solución (. M /. Aatos' 9 /.6B ?o se rec!a%a 7o L B(./ on%as M /. 8ruebe la !ipótesis de que 9 /. entonces no se rec!a%a 7o duración media de los focos no !a cambiado. +.on%as n 9 0.+. 9 3. pero como el tama. Una muestra aleatoria de 0.Kegla de decisión' Si EB/. Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& 9 /. bolsas de palomitas de maí% pesan.3+ Si M EB/. .0../ Se rec!a%a 7o /./ por lo tanto se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3./ on%as.0.. $álculos' 0./ Se rec!a%a 7o . Vustificación decisión' $omo @6 M :(. Kegla de decisión' Si FK :(./ ?o se Kec!a%a 7o M /.3/ que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de /.. Solución $or el otro %&todo Kegla de decisión' Si Si /.0./ ?o se rec!a%a 7o Si FK M :(. E3 p 9 B=(/ 9 3./ FK (./ pot lo tanto se rec!a%a 7 o. +.(3 -.(3.0. Ensa o de !ipótesis 7o& 8 9 3.$omo la 9 /.E3 7(& 8 3. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en E3H de todas las casas que se constru en !o en día en la ciudad de Kic!mond.0..+- este valor es menor que /.E3 .0.0. Aatos' 89 3./ Se rec!a%a 7o /. $álculos' ./ ó si FK L (./ ?o se rec!a%a 7o Si FK M :(. Kegla de Aecisión' Si @(./--n 9 (/ 9 3. . Solución (.. Se trata de una distribución muestral de proporciones.. OEstaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que B de (/ tienen instaladas bombas de calorJ Utilice un nivel de significancia de 3. / ?o se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia de 3. Datos/$ 8. que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad. Solución $or el otro %&todo 9 3./-.por lo tanto no se rec!a%a 7 o se llega a la misma conclusión.8@ p $ <D588 $ 8.0. Kegla de decisión' Si 3. Se trata de una distri&u"i'n muestra de propor"iones.0. 5. 3. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de +33 dispositivos encuentra que cuatro de ellos son defectuosos./3/ pK 3. Vustificación decisión' $omo @(.(3 que la afirmación del constructor es cierta.3/. ?o se rec!a%a 7o Si pK M 3. utili%ando 9 3.0.85 n $ 588 .<9 (./3/ ó si FK L 3.B6. OEl fabricante puede demostrar al cliente la calidad del procesoJ Solución 9./ %9.3/. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos.B6./3/ 3. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea ma or que 3. Se rec!a%a 7o $omo el valor del estadístico real es de 3.B6. / ?o se rec!a%a 7o Si FK M :(.0.8@ A.8@ ./ Se rec!a%a 7o /. 6. esta variabilidad in!erente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. O# qué conclusiones puede llegar el dise. Se prueban dos fórmulas de pintura& la fórmula ( tiene el contenido químico estándar.3/. Ae la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es oc!o minutos. )os dos tiempos promedio de secado muestrales son (+( min ((+ min respectivamente. Kegla de decisión' Si FK :(.3/J Solución . utili%ando 9 3.3/ que la fracción de artículos defectuosos es menor que 3. Se pintan die% especímenes con la fórmula (. la fórmula + tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3. Vustificación decisión' 8uesto que @(.ador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente.0./. $álculos' 0.6.$ 8. otros die% con la fórmula +. Un dise..ador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapaporos.0.0M:(. EnsaBo de 7ip'tesis HoC / $ 8.8@ H9C / < 8. /. +. . $álculos' 0.0. Ensa o de !ipótesis 7o& ( : + 93 7(& (: + L 3 Se desea rec!a%ar 7o si el nuevo ingrediente disminu e el tiempo promedio de secado./ se rec!a%a 7o. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida. Kegla de decisión' Si %K (.0.3/ que la adición del nuevo ingrediente a la pintura si disminu e de manera significativa el tiempo promedio de secado.. se conclu e con un nivel de significancia de 3. /. Si %KL (.0./ no se rec!a%a 7o. Vustificación decisión' 8uesto que +. Aatos' ( 9 + 9B n(9n+9 (3 9 3.3/ -. por eso se pone la diferencia ma or a cero o sea positiva para poder probar que + es menor que (. .(./+L(. se rec!a%a 7o. 3( (0.BB Se rec!a%a 7o este n*mero es ma or a /.3+3 + 9 3.3- (0.3/ MA>UINA 9 MA>UINA 5 (0. OSe encuentra el ingeniero en lo correctoJ Utilice 9 3. :. )as distribuciones de los vol*menes de llenado pueden suponerse normales.Solución $or el otro %&todo Kegla de decisión' Si Si /. Un miembro del grupo de ingeniería de calidad sospec!a que el volumen neto de llenado de ambas máquinas es el mismo.3+ (0.BB ?o se rec!a%a 7o L /.3+/ on%as.BB por 8uesto que 9 (+(:((+ 9 6 lo tanto se rec!a%a 7o. sin importar si éste es o no de (0 on%as.3- . Se utili%an dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de (0. con desviaciones estándar (9 3. Ae cada máquina se toma una muestra aleatoria de (3 botellas.3 on%as. 3( (/.3+ Solución (/. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida.66 (/. Aatos' ( 9 3.3+/ + Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la máquina (. .3/ (0. (0.3+3 9 3.3/ -.(0.60 (/.3/ (0.33 (.6B (0.6E (/.66 (0.3+ (0. Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la máquina +. +.3. n(9n+ 9 (3 9 3.3.3+ (/. Ensa o de !ipótesis 7o& ( : + 93 7(& (: + 3 Si se cae en 7o se podrá probar que el volumen de llenado es el mismo en las dos máquinas. (0.60 (0.3( (0. Solución $or el otro %&todo :3..4?3 (.60 Se rec!a%a 7o /.60 ó si FK L (.. Kegla de Aecisión' Si @(.60 8.3(6 ?o se rec!a%a 7o .3(6 3.60 FK (.3(6 Kegla de decisión' Si @3:3(6 3.60 ?o se rec!a%a 7o Si FK M :(.3/ que las dos máquinas tienen en promedio la misma cantidad de llenado. Vustificación decisión' $omo @(. $álculos' 0.60 entonces no se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia de 3. Aatos' ( 9 + 9 (. Solución (. Ae una muestra aleatoria de tama.Si $omo aceptación M :3. Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. )a tensión de ruptura de ese plástico es un parámetro importante .3(. se tiene una media de (0+.33/ 9 3. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida.3(6 Se rec!a%a 7o 9 (0. $on base a la información contenida en la muestra.3(/ @ (0.3/ -. . Se sabe que (9 +9 (./ para el plástico ( de (// para el plástico +.ía deberá utili%ar el plástico (J Utilice 9 3. )a compa.o (3 (+ para cada plástico respectivamente.3 psi.ía no adoptará el plástico ( a menos que la tensión de ruptura de éste exceda a la del plástico + al menos por (3 psi. =. Ola compa. entonces cae en la región de no se rec!a%a 7o.3(6 ó L 3.3/ para llegar a una decisión.3 psi n(9 (3 n+9 (+ 9 3. +. Ensa o de !ipótesis 7o& ( : + 9 (3 7(& (: + L (3 Se desea rec!a%ar 7o si la media del plástico ( supera a la media del plástico + en por lo menos (3 psi. Vustificación decisión' No e#iste e*iden"ia su!i"iente para apoBar e uso de p +sti"o 9 Ba 2ue E@.. $álculos' 0./ no se rec!a%a 7o.?A 9.0..<@) por o tanto no se re"7a6a Ho./ se rec!a%a 7o. /.. Si %KL (. Kegla de decisión' Si %K (.E3 ?o se rec!a%a 7o L (3.E3 Se rec!a%a 7o .0. Solución $or el otro %&todo Kegla de decisión' Si Si (3. Aatos' p(9 +/-=-339 3. +. Se trata de una distribución muestral de diferencia de proporciones.B. de éstos. Se eval*an dos tipos diferentes de soluciones para pulir.-p+ 9 (60=-339 3. este n*mero es no es ma or a (3.E =.3( Solución (. Aespués se pulen otros -33 lentes con la segunda solución./ por lo tanto no se rec!a%a 7o. +/. Se pulen -33 lentes con la primera solución . para su posible uso en una operación de pulido en la fabricación de lentes intraoculares utili%ados en el ojo !umano después de una cirugía de cataratas. OExiste alguna ra%ón para creer que las dos soluciones para pulir son diferentesJ Utilice 9 3.0/-n(9n+ 9 -33 -. de los cuales (60 resultan satisfactorios./:(// 9 E.8uesto que 9 (0+. Kegla de Aecisión' .. Ensa o de !ipótesis' 7o& 8(:8+ 9 3 7(& 8(:8+ 3 .no presentaron defectos inducidos por el pulido. Vustificación decisión' ./E/ ?o se rec!a%a 7o Si FK M :+. $álculos' En esta fórmula se puede observar que en el denominador se tienen a las proporciones poblacionales o sea los parámetros./E/ ó si FK L +./E/ Se rec!a%a 7o /. los cuales no se conocen. por lo que en el ensa o de !ipótesis la fórmula para poder calcular la FK cambia.Si @+. estimando a el parámetro com*n 8 de la siguiente forma' ó bien Entonces la fórmula de '( quedaría de la siguiente manera: Se calculará el valor de 8' 0./E/ FK +. se rec!a%a la !ipótesis nula se conclu e con un nivel de significancia de 3. .B n( 9 +33 n+ 9 /33 -.03 p+ 9 +.-0L+.3 de /33 residentes del condado también lo !acen.60 no se rec!a%a 7o.3=/339 3. Aatos' p(9 (+3=+339 3. Kegla de decisión' Si %K (. Oestaría de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es más alto que la proporción de votantes del condadoJ Utilice un nivel de significancia de 3. Ensa o de !ipótesis' 7o& 8(:8+ 9 3 7(& 8(:8+ L 3 .. Solución (.. 8ara determinar si !a una diferencia significativa en la proporción de votantes de la ciudad votantes del condado que favorecen la propuesta. (3. Si (+3 de +33 votantes de la ciudad favorecen la propuesta +.8uesto que /.3( que los dos fluidos para pulir son diferentes./E/.3+/. +. Se tomará el voto entre los residentes de una ciudad el condado circundante para determinar si se debe construir una planta química propuesta. se reali%a una encuesta. El lugar de construcción está dentro de los límites de la ciudad por esta ra%ón muc!os votantes del condado consideran que la propuesta pasará debido a la gran proporción de votantes que favorecen la construcción. Se trata de una distribución muestral de diferencia de proporciones. En la estadística aplicada los usuarios !an adoptado de forma extensa la aproximación del valor ). 8or generaciones enteras de análisis estadístico. por supuesto. Si es demasiado grande.3+/ que la proporción de votantes de la ciudad a favor de la propuesta es más alta que la proporción de votantes del condado. Vustificación decisión' 8uesto que +. )a aproximación del valor ) como a uda en la toma de decisiones es bastante natural pues casi todos los paquetes de computadora que proporcionan el cálculo de prueba de !ipótesis entregan valores de 8 junto con valores de la estadística de la prueba apropiada.60 se rec!a%a 7o. se !a !ec!o costumbre elegir un nivel de significancia de 3. Entonces.3/ ó 3. la re6i n cr$tica se puede ele6ir de 1orma arbitraria 5 determinar su tama+o. /. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> Uso de valores P para la toma de decisiones Al probar Aip tesis en las -ue la estad$stica de prueba es discreta.o de la muestra para compensar la disminución que ocurre de manera automática en la potencia de la prueba 1probabilidad de rec!a%ar 7 o dado que una alternativa específica es verdadera2.60.rec!a%o.no rec!a%o.Si %KL (.a para dar al usuario una alternativa a la simple conclusión de .6L(. . el rec!a%o o no rec!a%o estricto de 7 o dependerá de esa región crítica. o .3( seleccionar la región crítica en consecuencia. $álculos' Se calculará el valor de 8' 0. 8uede ser necesario aumentar el tama. se rec!a%a la !ipótesis nula se conclu e con un nivel de significancia de 3. )a aproximación se dise.. se puede reducir al !acer un ajuste en el valor crítico. o que conduce al rec!a%o de la !ipótesis nula 7o. >alor 8 2. El valor ) es el nivel de significancia más peque. Ensa*o +nilateral . la conclusión en cualquier nivel particular resulta de comparar el valor 8 con ⇒ rec!a%ar 7o al nivel . ⇒ ?o rec!a%ar 7o al nivel : /. >alor 8 L .• • • Un valor ) es el nivel 1de significancia2 más bajo en el que el valor observado de la estadística de prueba es significativo. Una ve% que el valor de 8 se !a a determinado.erec$o: Ensa*o +nilateral &zquierdo: Ensa*o -ilateral: . El valor ) es el mínimo nivel de significancia en el cual 7 o sería rec!a%ada cuando se utili%a un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado de información. 3/ se rec!a%a 7o. Si 8 L 3. $álculos' .3/ ?o se rec!a%a 7o.Ejemplos' (.os. L E3 a. +. $alcular el valor de 8 para el primer ejemplo de ensa o de !ipótesis en donde se quería probar que la edad media de los !abitantes de Estados Unidos es superior a E3 a. Kegla de decisión' Si 8 3. -. Solución (. Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& 9 E3 a.os.os. 3/ Se rec!a%a 7o Si 8 L 3.3/ ?o se rec!a%a 7o -.3/ por lo tanto se rec!a%a 73..Esta es el valor de F que se utili%ará para calcular el valor de 8. Ensa o de !ipótesis 7o& ( : + 93 7(& (: + 3 Si se cae en 7o se podrá probar que el volumen de llenado es el mismo en las dos máquinas. Vustificación decisión' $omo el valor de 8 es 3. $alcular el valor de 8 para el ejemplo E de esta sección en donde se tiene dos máquinas se quiere ver si tienen la misma cantidad promedio de llenado en las botellas de plástico. (. +. como es un ensa o unilateral derec!o se calculará el área a la derec!a de este valor. Kegla de Aecisión' Si 8 3.os.+(E es menor al valor del nivel de significancia de 3. . se conclu e que la edad media de los !abitantes es ma or a E3 a. $álculos' . Solución (. $omo este es un ensa o bilateral se procederá a calcular el valor de 8 mediante el valor de la FK. Aecisión. Se afirma que un automóvil se maneja en promedio más de +3. positiva negativa luego se sumarán las áreas./33 Nilómetros una desviación estándar de -633 NilómetrosJ Utilice un valor 8 para su conclusión. 9. se pide a una muestra de (33 propietarios de automóviles que lleven un registro de los Nilómetros que viajen. por lo que se procederá a plantear el ensa o luego calcular % para poder conocer el valor de 8 llegar a una conclusión. se conclu e que (. OEstá de acuerdo con esta afirmación si la muestra aleatoria tiene un promedio de +-.333 Nilómetros. las maquinas tienen el mismo llenado promedio. $álculos' -. . 8ara probar esta afirmación.o. se no se rec!a%a 73. EnsaBo de 7ip'tesis HoC $ 58)888 Fi 'metros. +. 7(& L +3. Solución En este ejercicio no nos manejan ning*n valor de .333 Nilómetros por a. $omo el valor de 8 es ma or al de . Utilice un valor de 8 para su conclusión. por lo que no apo a a la !ipótesis nula se conclu e que los automóviles se manejan en promedio más de +3. o sea no se rec!a%a 7o.8@ H9C / 8.3/. entonces quiere decir que el área a la derec!a de ese valor es "ero este sería el valor de 8. $álculos' -.3/ contra 7(' 8 3. Solución 9. 8ara ello se somete a prueba una muestra de -33 circuitos. en la que (. 4. EnsaBo de 7ip'tesis HoC / $ 8. ni siquiera se encuentra en la tabla.3/. Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografía. ERROR TI/O II ' .o.son defectuosos.333 Nilómetros por a.8@ +. Utilice los datos para probar 7o' 893. Aecisión' Este valor de 8 de 3./60 es mu grande por lo que se conclu e que la fracción defectuosa de circuitos integrados es de 3.Se observa que este valor de F es mu grande. o de muestra de (3 una desviación estándar de la población de +.@ . el cual se denota por 9 81error tipo QQ2 9 81aceptar 7o= 7o es falsa2 8ara calcular se debe tener una !ipótesis alternativa específica& esto es. 7o' 7(' 9 /3 /3 .B cm=s. para un valor medio de 9 /+ ó 9 .ará la prueba. sólo es necesario evaluar uno de los dos casos.30. también es importante examinar la probabilidad del error tipo QQ. debe tenerse un valor particular del parámetro. rec!a%ar 7 o.#l evaluar un procedimiento de prueba de !ipótesis. $omo a sabemos se trata de un ensa o bilateral por lo que se tendrá que calcular el valor del estadístico de la siguiente manera' /ara !a"i itar os "+ "u os se redondear+n estos n1meros a <?. Ocómo trabajará el procedimiento de prueba si se desea detectar. Ae manera específica. puede calcularse la probabilidad de un error tipo QQ para los valores 9 /+ 9 . 8or ejemplo. #demás se evaluará el error tipo QQ con un nivel de significancia de 3.B. 8ara !acer este cálculo se tendrá un tama. esto es. esto es. supóngase que es importante rec!a%ar la !ipótesis nula 7o' 9 /3 cada ve% que la rapide% promedio de combustión es ma or que /+ cm=s o menor que . utili%ar este resultado para averiguar algo con respecto a la forma en que se desempe. Esto es.BJ Aada la simetría./ cm=s. 8ara ello.@ B @9. encontrar la probabilidad de aceptar la !ipótesis nula 7o' 9 /3 cuando el valor verdadero es 9 /+. -. # medida que el tama. )o mismo pasa con el segundo cálculo de . # continuación se procederá a generar algunas curvas características de operación para evaluar al error tipo QQ.B.o de muestra nivel de significancia dadas. menor es la probabilidad del error tipo QQ para un tama. esto quiere decir que no existe área del lado i%quierdo del .o de la muestra aumenta la probabilidad de cometer el error tipo QQ disminu e. $omo se puede observar en cada calculo del valor los dos valores de %. entre más se aleja el valor verdadero de la media de la media de la !ipótesis nula. Ejemplos' . por lo que sólo será el área que corresponda a la %9:3.0-../. $omo las medias de /+ .8ara poder comprender mejor el cálculo del error tipo QQ se delimitará el área de la región de aceptación con dos líneas a que es bilateral se evaluará la probabilidad de caer en esa área cuando la media tiene un valor de /+ de . En caso que no estén equidistantes se tienen que calcular por separado calcular los valores correspondientes de % porque en ocasiones se tiene un área que no está dentro de la región de aceptación. la cual no se tiene que tomar en cuenta para evaluar al error tipo QQ. En el primer calculo de se tuvieron que evaluar se tiene un valor de %9:.B son equidistantes del /3 por este motivo los valores del error tipo QQ son los mismos. Esto se observará en los ejercicios siguientes..B. 8@ -. Se calculará el estadístico límite' . :/.5.5. :3. :/.4 a:os $ 39. :3. Generar una curva característica de operación para el ejercicio n*mero ( de la sección de ensa o de !ipótesis con las siguientes medias supuestas' % :. > 38 a:os. :2. +.(.5. 5 :4.? a:os n $ 988 $ 8. :2.5. Ensa o de !ipótesis HoC H9C $ 38 a:os.. Aatos' $38 a:os $ ?. En la ma oría de los libros de estadística existen las curvas características de operación para diferentes tama,os de muestra éstas se proporcionan tanto para 9 3.3/ como para 9 3.3( 1son las más comunes2. 8ara poder utili%ar las curvas se define un parámetro llamado d, que estandari%a para cualquier valor de ' Si se quisiera consultar en un libro, Ocuál es la probabilidad de cometer el error tipo QQ ó cuando la media verdadera es de E+J& se tendría que calcular el valor de d buscar en las curvas la que pertene%ca a un tama,o de muestra de (33 con un 9 3.3/. Este valor se encuentra en el eje de las x. Si se transforma la curva característica de operación con el valor de d quedaría de la siguiente manera' Se comentó anteriormente que si el tama,o de la muestra aumenta los dos tipos de errores disminu en. 8ara probar esto específicamente en lo que se refiere al error tipo QQ se reali%ará el ejercicio anterior suponiendo que en lugar de tener (33 personas, el tama,o de la muestra aumenta a (/3 personas. Se calculará el estadístico límite' 3-.3.(.. 3.3/ .3+/.3(. 3. Generar una curva característica de operación 1$$42 para el ejercicio / de ensa o de !ipótesis.3+ 3. Suponer los siguientes valores de 8& 3. Enseguida se proporciona la información necesaria para reali%ar la $$4' Aatos' 89 3. 3. 3/ Solución Se procederá a calcular el estadístico límite p)' .3/ 7(& 8 M 3.p 9 .3+ n 9 +33 9 3.3/ Ensa o de !ipótesis 7o& 8 9 3.=+33 9 3. . E. se necesita calcular el valor de n$. Genere un $$4 para el ejercicio n*mero 0 de la sección anterior. Suponga las siguientes diferencias de medias' (: + 9+. que es el que irá en el eje de las x para estandari%ar la curva.En una distribución muestral de proporciones.. 0. Aatos' ( 9 + 9B n(9n+9 (3 9 3. (+ (. ..3/ Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& ( : : + 93 L3 ( + . para graficar la $$4. 6. 2. . 8ara graficar la curva se utili%ará el valor de d. el cual para una distribución muestral de diferencia de medias tiene la siguiente fórmula' . En los libros de estadística lo que se acostumbra en algunos de los ejercicios es preguntar sólo un punto de la $$4, por lo que a continuación se resolverán dos problemas tipo. 3. Se require que la tensión de ruptura de un !ilo utili%ado en la fabricación de material de tapicería se al menos de (33 psi. )a experiencia !a indicado que la desviación estándar de la tensión de ruptura es de + psi. Se prueba una muestra aleatoria de nueve especímenes, la tensión de ruptura promedio observada en ella es de 6B psi. O$ual es la probabilidad de aceptar la !ipótesis nula con un 9 3.3/ si la tensión promedio de ruptura verdadera de la fibra es (3. psiJ Solución Ensa o de !ipótesis' 7o& 7(& 9 (33 L (33 Se calcula el estadístico límite' 4. Ael ejercicio n*mero E de la sección anterior encontrar el error tipo QQ ó suponiendo que la diferencia verdadera entre las medias de las máquinas es fe 3.3Aatos' ( 9 3.3+3 9 3.3+/ + n(9n+ 9 (3 9 3.3/ Solución Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& ( : : + 93 3 ( + 8or ser bilateral se calcularon dos valores de %, como se puede observar del lado i%quierdo de @3.3(6 a no se encuentra área, por lo que el error tipo QQ sólo será el área a la i%quierda del valor de la diferencia del estadístico límite 3.3(6. /ro& emas propuestos (. En un estudio para estimar la proporción de residentes de cierta ciudad sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía nuclear, se encuentra que 0- de (33 residentes urbanos están a favor de la construcción mientras que sólo /6 de (+/ residentes suburbanos la favorecen. O7a una diferencia significativa entre la proporción de residentes urbanos suburbanos que favorecen la construcción de la planta nuclearJ Use un valor de 8 para su conclusión. +. Una compa,ía petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudad se calientan con petróleo. O5enemos ra%ón en dudar de esta afirmación si, en una muestra aleatoria de (333 casas en esta ciudad, se encuentra que (-0 se calientan con petróleoJ Utilice un nivel de significancia de 3.3(. -. Se sabe que la duración, en !oras, de un foco de E/ Satts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de +/ !oras. Se toma una muestra aleatoria de +3 focos, la cual resulta tener una duración promedio de (3(. !oras. a. OExiste evidencia que apo e la afirmación de que la duración promedio del foco es ma or que (333 !orasJ Utilice un 9 3.3/. b. O$ual es el valor 8 para la pruebaJ c. O$uál es el valor de para la prueba del inciso a2 si la verdadera duración promedio del foco es de (3/3 !orasJ .. Se estudia la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utili%ados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustión de los dos propelentes tiene aproximadamente la misma desviación estándar de - cm=s. Se prueban dos muestras aleatorias de +3 especímenes cada una, obteniéndose medias de (B +. cm=s respectivamente. a. 8ruebe la !ipótesis de que los dos combustibles sólidos tienen la misma rapide% promedio de combustión. Utilice un 9 3.3/. b. O$uál es el valor de 8 de la pruebaJ c. O$uál es el valor de para la prueba del inciso a2 si la verdadera diferencia en la rapide% promedio de combustión es +./ cm=sJ .. Un artículo publicado en 2ortune afirma que casi la mitad de todos los ingenieros contin*an sus estudios académicos después de obtener la licenciatura. Un artículo publicado en Engineering 3ori"ons indica que ((E de .B. recién graduados planean continuar sus estudios. a. O)os datos publicados en Engineering 3ori"ons son consistentes con los publicados en 2ortuneJ b. Encuentre el valor de 8 de la prueba. 0. En un invierno con epidemia de gripe, una compa,ía farmacéutica bien conocida estudió +333 bebes para determinar si la nueva medicina de la compa,ía era efectiva después de dos días. Entre (+3 bebes que tenían gripe se les administró la medicina, +6 se curaron dentro de dos días. Entre +B3 bebés que tenían gripe pero que no recibieron la medicina, /0 se curaron dentro de dos días. O7a alguna indicación significativa que apo e la afirmación de la compa,ía de la efectividad de la medicinaJ $alcule el valor 8. E. Se lan%a +3 veces una moneda, con un resultado de cinco caras. OEsta es suficiente evidencia para rec!a%ar la !ipótesis de que la moneda esta balanceada a favor de la alternativa de que las caras ocurren menos de /3H de las veces.J Kealice la prueba con un nivel de significancia de 3.3- cite un valor 8. =. Se supone que los neumáticos para automóvil de cierto tipo recién comprados deben llenarse a una presión de -3 lb=pulg +. Se representa con el verdadero promedio de presión. Encuentre el valor 8 asociado con cada valor del estadístico % dado para probar 7o& = 30 contra 7(& 30. )os investigadores especularon que la tasa de devolución sería menor para la portada sencilla. la resistencia promedio muestral fue de 0/. (3.+ usando 9 3. %9 3.E/ c2 @3. Un artículo probó esta teoría al experimentar con diferentes dise. a2 Se rec!a%a 7o. con el acero de pure%a comercial del mismo tipo. 8M3..-0 b2 valor 8 9 3 0.(E0+ E.3& sí.. a.6.(/B0 e2 3 . $alcule 2 + 9 (. -. Respuesta a os /ro& emas propuestos (.3( +. d2 3./B+. /ortada N1mero de en*(os N1mero de de*o u"iones Sencilla +3E (3.a2 +.3B3+ c2 3. 8ara -+ especímenes. Se reali%ó un experimento para comparar la resistencia a la fractura del acero con níquel maragi%ado.// d2 (. valor de 8 9 3. Aebido que el acero de alta pure%a es más costoso.(3 b2 @(.(./3& se rec!a%a 7o b2 8 9 3.B /. a2 Se Kec!a%a 7o. 8aracaidista +(- (36 OEsta información apo a la !ipótesis de los investigadoresJ 7aga la prueba con un nivel de significancia de 3. mientras que se obtuvo una media muestral de /6. su uso para cierta aplicación puede justificarse sólo si su resistencia a la fractura excede la del acero de pure%a comercial en más de /.(3. la otra utili%ó la figura de un paracaidista.3+3E B.-+ b2 3 c2 3. ?o se rec!a%a 7o. Una portada sencilla. a2 % 9 +..( e2 @/. Si se supone que ( 9 (.330+ c2 3 .+.B en -B especímenes del acero comercial. a2 3.3-/B b2 3. calculando primero un valor 8. Se cree que la portada la naturale%a de la primera pregunta de encuestas por correo influ en en la tasa de respuesta. %9 :0.0 para el acero de alta pure%a. Suponga que ambas distribuciones de resistencias son normales. >alor 8 9 3. b. %9 +.6-.333(& concluir que menos de (=/ de las casas se calientan con petróleo. 893. Kec!a%ar 7o. pruebe las !ipótesis pertinentes 1 para la prueba del inciso anterior cuando − = 6. %9 :((.os de portadas.33(. .+. # la teoría de peque.as siempre cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. b2 3.grados de libertad.os de las muestras fueran ma ores o iguales a -3 ó en muestras más peque.as muestras también se le llama teoría exacta del muestreo. no se debe usar el acero de alta pure%a o se no se rec!a%a 7o.+6B( (3. 8ara definir grados de libertad se !ará referencia a la varian%a muestral' Esta fórmula está basada en n41 grados de libertad 1degrees of freedom2. Esta terminología resulta del !ec!o de que si bien s + está basada en n cantidades . Esta es una condición para utili%ar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad& t de student..6.B6. la cual se podía utili%ar siempre cuando los tama. >alor 8 9 3. éstas suman cero. Este concepto es . . a2 %9+..as si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales.o grande. En esta unidad se verá un nuevo concepto necesario para poder utili%ar a las tres distribuciones mencionadas. si n56 ( & ... así que especificar los valores de cualquier n41 de las cantidades determina el valor restante. entonces automáticamente tenemos están libremen te . R+ ji:cuadrada Uis!er. así que sólo tres de los cuatro valores de determinamos . grados de libertad. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> UNIDAD III TEORIA DE /E>UEGAS MUESTRAS O TEORIA EHACTA DEL MUESTREO En las unidades anteriores se manejó el uso de la distribución %.E. no se rec!a%a 7o. a que también la podemos utili%ar con muestras aleatorias de tama. 8or ejemplo. En esta unidad se podrán utili%ar muestras peque. )a siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. en esta unidad la fórmula de grados de libertad será n41 simbología DISTRI0UCION It DE STUDENTI su Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media varian%a . entonces la distribución es una distribución 2 normal estándar. Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria. $ada curva t. la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar. la distribución t tiene colas más amplias que la normal& esto es. # medida que el n*mero de grados de libertad tiende a infinito. =0 para L+. Sin embargo. el valor máximo de la ordenada se alcan%a en la media = 0. )a media la varian%a de la distribución t son respectivamente. /ropiedades de as distri&u"iones t (.Entonces. )a apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar' ambas son simétricas unimodales. $ada curva t tiene forma de campana con centro en 3. está más dispersa que la curva normal estándar %. . +. la probabilidad de las colas es ma or que en la distribución normal. OTué sucede con la distribución de esta estadística si se reempla%a por sJ )a distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta. Supóngase que la varian%a de la población es desconocida. 8ara evadir esta pro!ibición.6/ 9 :t3. S.o de la muestra siempre es ma or a uno. Rn variables aleatorias independientes que son todas normales con media desviación estándar . t3.o de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas. $omo la distribución t es simétrica alrededor de una media de cero. Entonces la variable aleatoria tiene una distribución t con 9 n:( grados de libertad. En esa época. .3(. por lo que la curva % recibe a veces el nombre de curva t con gl 9 )a distribución de la variable aleatoria t está dada por' Esta se conoce como la distri&u"i'n t con grados de libertad. el valor t que deja un área de a la derec!a por tanto un área de a la i%quierda. R+. )a distribución t difiere de la de F en que la varian%a de t depende del tama. Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Unicamente cuando el tama. . aumenta. Sean R(. Esto es.3. es igual al valor t negativo que deja un área de en la cola derec!a de la distribución. . la dispersión de la curva t correspondiente 4. . la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar. # medida que . Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. )a distribución de probabilidad de t se publicó por primera ve% en (63B en un artículo de W.Student. tenemos & es decir.3/. etc.. Gosset. 8ara derivar la ecuación de esta distribución. se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana a*n proporcionan valores de t que se aproximan mu de cerca a la distribución t. o simplemente distribución t.669:t3. publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de . # medida que disminu e. #unque esto parecería una suposición mu restrictiva. la distribución t normalmente se llama distribución t de Student. t3. Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual se encuentra un área igual a . En consecuencia. . Ejemplo' Encuentre la probabilidad de @t3.3+/ 9 3.8ara encontrar los valores de t se utili%ará la tabla de valores críticos de la distribución t del libro 8robabilidad Estadística para Qngenieros de los autores Walpole. el área sombreada de la curva es de la cola derec!a. es por esto que se tiene que !acer la resta de . Solución' $omo t3.3/ deja un área de 3. por tanto un área de 3.6E/9:t3. es t3.(.6+/ Ejemplo' .3+/ 9 :+. encontramos un área total de (:3./ Si se observa la tabla.3+/ M t M t3.3+/ M t M t3.3/:3.6+/.3+/ a la i%quierda. )a manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla luego buscar los grados de libertad en la primer columna donde se intercepten se obtendrá el valor de t. 81 @t3. Ejemplo' El valor t con 9 (. " ers " ers. grados de libertad que deja un área de 3.3/2 9 3.6E/ a la derec!a.3/ a la derec!a.3+/ a la i%quierda.3/. @t3.3+/ deja un área de 3. Solución' Si se busca en la tabla el valor de t 9(.3. )uego se busca el valor de 3. Ae aquí que es probable que .3/ 3. Si el valor de t calculado cae entre @t3./ se tiene un valor de 3./ Ejemplo' Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es /33 gramos por milímetro de materia prima.E((.3+. para una muestra aleatoria de tama. Se procede a calcular el valor de t' Este es un valor mu por arriba de (.E((. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con +. 8ara verificar esta afirmación toma una muestra de +/ lotes cada mes.3/ a la i%quierda.3. OTué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de /(B gramos por milímetro una desviación estándar de .E((.E0(2 9 3. queda satisfec!o con su afirmación.Encuentre N tal que 81N M t M :(.E(( (. Entonces si se resta 3. pero como el valor de está en el extremo i%quierdo de la curva entonces la respuesta es t 9 :+.3 gramosJ Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.6EE M t M :(./.6EE por lo tanto' 81:+.3/ t3.6EE. grados de libertad es de (. el fabricante queda satisfec!o con esta afirmación si una muestra de +/ lotes rinde un valor t entre @(. Solución Ae la tabla encontramos que t3.E0( con (. grados de libertad se obtiene un valor de t 9 +.3.3/ para +.3/. 8or tanto.33/ en el primer renglón con (. que equivale a .E0(2 9 3.o (/ que se selecciona de una distribución normal.33/. grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un área de 3. por ser negativo el valor.+/ se busca en la tabla es aproximadamente de 3. grados de libertad igual o ma or a +. 6. (3.+. los intervalos de confian%a se pueden calcular cuando la varian%a se desconoce mediante el uso de la distribución t se puede esperar buenos resultados. 6. el uso de la distribución t se basa en la premisa de que el muestreo se reali%a de una distribución normal. s puede reempla%ar a se puede utili%ar el intervalo de confian%a' 8or lo general éste se denomina como un intervalo de con)ian"a de %uestra grande. Se debe !acer énfasis en que esto es solo una aproximación que la calidad de este enfoque mejora a medida que el tama. desconocida. Ejemplos' (.o de la muestra crece más.3.. Encuentre un intervalo de . mientras que para desconocida se !ace uso de la distribución muestral de la variable aleatoria t. (3. que deja un área de Se !ace una distinción entre los casos de conocida desconocida al calcular las estimaciones del intervalo de confian%a. (3..+. Se debe enfati%ar que para el primer caso se utili%a el teorema del límite central. INTERJALO DE CONKIANLA /ARA Si s son la media C CON DESCONOCIDA la desviación estándar de una muestra aleatoria de una .B.0 litros.el fabricante conclu a que el proceso produce un mejor producto del que piensa. 9 n:( grados de libertad. (3. un intervalo de confian%a de población normal con varian%a 1 2(33H para es' donde =+ es el valor t con =+ a la derec!a. )a justificación ace sólo en la presunción de que con una muestra grande como -3.B. s estará mu cerca de la real de esta manera el teorema del límite central sigue valiendo. con desconocida n -3. El contenido de siete contenedores similares de ácido sulf*rico son 6. En tanto que la distribución tenga forma aproximada de campana. Sin embargo. $on muc!a frecuencia los estadísticos recomiendan que aun cuando la normalidad no se pueda suponer. el intervalo de confian%a de 6/H para es' $on un nivel de confian%a del 6/H se sabe que el promedio del contenido de los contenedores está entre 6. Un artículo publicado en el 7ournal o) 8esting and Evaluation presenta las siguientes +3 mediciones del tiempo de combustión residual en segundos de especímenes tratados de ropa de dormir para ni.B.os' 6. 6.0E 6.66 6.6/ 6.0E 6.6/ 6.BE 6.+0 litros.E/ 6..B/ 6..6.B/ 6.E.+B- En la tabla se encuentra que t3.6.6. 6. Supóngase que el tiempo de combustión residual sigue una distribución normal.BB 6.B/+/ s9 3.6+ 6.6+ 6.confian%a del 6/H para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal.E (3.360/ .. de aquí.6. +.E con 0 grados de libertad.3+/9+.6. Solución )a media muestral la desviación estándar para los datos dados son' (3 s9 3.EE 6.B6 Se desea encontrar un nivel de confian%a del 6/H para el tiempo de combustión residual promedio.E/ 6. Solución )a media muestral la desviación estándar para los datos dados son' 6.6. con (6 grados de libertad. de aquí. Oesto sugiere con un nivel de significancia de 3. El Instituto El&ctrico Edison publica cifras del n*mero anual de PiloSatt: !ora que gastan varios aparatos eléctrodomésticos.6.0 NiloSatt:!ora s9 ((.En la tabla se encuentra que t3.3/ que las aspiradoras gastan.36.3+/9+. en promedio. el intervalo de confian%a de 6/H para es' 8or lo tanto. )a estructura de la prueba es idéntica a la del caso de conocida. Solución (. Si una muestra aleatoria de (+ !ogares que se inclu e en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de .6 NiloSatt:!ora . Ejemplos' (. Aatos' 9 .6 NiloSatt:!ora. menos de .B6EE segundos. /RUE0A DE HI/OTESIS SO0RE LA MEDIA DE UNA DISTRI0UCION NORMAL) JARIANLA DESCONOCIDA $iertamente sospec!amos que las pruebas sobre una media poblacional con desconocida.B3E.0 NiloSatt:!ora anualmenteJ Suponga que la población de NiloSatt: !ora es normal.0 NiloSatt:!ora al a.+ NiloSatt:!ora al a. con la excepción de que el valor en la estadística de prueba se reempla%a por la estimación de s calculada la distribución normal estándar se reempla%a con una distribución t.o. se tiene una confian%a del 6/H de que el tiempo de combustión residual promedio se encuentra entre 6. debe incluir el uso de la distribución t de Student. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de .o con una desviación estándar de((. por lo tanto no se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3.E60 ?o se rec!a%a 7o Si tK M :(.0.(0 L :(. $álculos' 0. Kegla de decisión' Si tK :(.o las aspiradoras no es significativamente menor que .3/ que el n*mero promedio de NiloSSatt: !ora que gastan al a.3/ -.+ NiloSatt:!ora n 9 (+ 9 3. Vustificación decisión' $omo @(.E60. Solución $or el otro %&todo . Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& 9 ..0 NiloSatt:!ora .0 NiloSatt:!ora M .E60 Se rec!a%a 7o /.9 . .B (E..Kegla de decisión' Si Si -6. )a carga para la que cada especímen falla es la siguiente en "8a' (6. como el valor de t calculada es de @(.B.Se rec!a%a 7o 9 .. ..0 (-.(0./ (0..?o se Kec!a%a 7o M -6. (/. por lo tanto no se rec!a%a 7o. (B.B ((.. (/.B (/.(-/ con (( grados de libertad. a que sería un valor alto para un nivel de significancia.B.0 E. Un artículo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la ad!esión de ++ especímenes de aleación U:E33.B.6 (/./ (.E ((. Se puede aprovec!ar este ejemplo para calcular el valor de 8 . se busca en la tabla se ve que el area a la i%quierda de este valor es de 3. (.+ este valor no es menor que -6.por lo tanto no se rec!a%a $omo la 7o.. ((.( B. $alcule el valor de 8. $álculos' ..3/ -. Si tKL (..E+( se rec!a%a 7o. Aatos' 9 (3 s 9 -. Solución (. OSugieren los datos que la carga promedio de falla es ma or que (3"paJ Supóngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribución normal..E( n 9 ++ 9 3. /. Kegla de decisión' Si tK (.E ((.( (. utilicese 9 3.6 (+.6 ((.E+( no se rec!a%a 7o./ (3.6 E. Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& 9 (3 L (3 .3/.// 9 (-.(6. $omo . -. (+.63. (+...-3 por lo tanto se rec!a%a 7 o se llega a la misma conclusión. Ae la fórmula de la distribución muestral de medias se despeja la media de la muestra' Kegla de decisión' Si Si ((.E (. ..(. (0.E( "8a es ma or al valor de la media muestral límite de ((.B(6 el cual le corresponde un área a la derec!a de 3.. 7aga una prueba con nivel de /H de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebés de seis meses es distinto a (. tomando la decisión en base al estadístico real. (-.0. )os pesos en libras de una muestra aleatoria de bebés de seis meses son' (.63 L(.0.-3 ?o se rec!a%a 7o L ((. (../..-.63 el valor de ) es practicamente cero. por lo que para el valor de . en este caso la media de la muestra.6. libras.3/ que la carga de falla promedio es ma or que (3"pa. Existe otra manera de resolver este ejercicio. Se obseva que el valor ma or de t que se encuentra en la tabla con +( grados de libertad es de -. 8ara calcular el valor de 8 se va a la tabla se busca en +( grados de libertad el valor de t 9 ..E+( se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3. esto apo a la decisión de rec!a%ar 7o.333/.-3 Se rec!a%a 7o $omo la media de la muestral es de (-. Vustificación decisión.. suponga que sus pesos se distribu en normalmente calcule el valor de 8.6. (/. -0/ Se rec!a%a 7o .-0/ 8.libras n9B 9 3.Solución (.+( libras 9 (. Vustificación decisión' $omo @+. Aatos' 9 (.3/ que el peso promedio de todos los bebés de seis meses es de (. no se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3.3/ +.-0/ ?o se rec!a%a 7o Si tK M :+.-0/ ó si tK L +. $álculos' /.-0/ tK +. Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& 9 (. Solución $or el otro %&todo .-0/ por lo tanto. libras (. libras -.3895 +. libras.. Kegla de Aecisión' Si @+.. libras s 9 (.. Se obseva que este valor no se encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 3..-3 3.(+.E3(+ con E grados de libertad. Error tipo II ' . Qnterpolando linealmente se obtiene el valor de 3.6 3.+/0(.6B Si M (+.3( ?o se rec!a%a 7o L (/.+3 respectivamente.3( se rec!a%a 7o $omo la 9 (.. 8ara calcular el valor de 8 se busca en la tabla el valor de 3./. entonces no se rec!a%a 7o .6B ó (/.6B (/.3( Kegla de decisión' Si (+.B60 con áreas de 3.libras. volts con una desviación estándar de 3. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tama.3( +. recordando que entre ma or sea el tama. utili%ando la tabla de la distribución. volts. Solución (.3(' a. OQndica esto que la media de los voltajes es menor que (. n 9 (/ 9 3.0+.. s9 3./ volts M (.El error tipo QQ se calcula de la misma forma en la que se calculó con la distribución %. (. Ensa o de !ipótesis 7o& 7(& 9 (. Aatos' 9 (. Kegla de decisión' Si tK :+.o $ se distribu en normalmente.+( volts 9 (. $alcular la probabilidad de cometer el error tipo QQ si el voltaje promedio real de las pilas es de (. Se reali%arán algunos ejercicios en los cuales se determinará la probabilidad de cometer el error tipo QQ./ voltsJ b..o de muestra menor será el error./ volts. ?o se rec!a%a 7o . Existen curvas características de operación en los libros con diferentes grados de libertad para determinar los tama. se probó una muestra aleatoria de (/ se encontró que la media es de (./ volts -.os de muestra correspondientes seg*n el grado de error que se quiera. En el nivel de significancia de 3.+( volts.volts.. o $ no son menores a (. Se rec!a%a 7o /. 8ara calcular el error tipo QQ se tiene que obtener el valor de forma' de la siguiente . $álculos' 0..B.Si tK M :+.0+. L :+. por lo tanto no se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significancia del 3.0+./. Vustificación decisión' $omo @(.3( que los voltajes de las pilas tama. volts un tama.(/0(+ esta es la probabilidad de cometer el error tipoQQ cuando la media verdadera es de (.3E0 con un área de 3./ libras.+3 3. Solución 8rimero se calculan los valores de ' . si los pesos verdaderos !ubieran sido de (( (. $omo este valor no se encuentra en la tabla se interpola entre 3.8ara encontrar el valor de se busca en la tabla de la distribución t el valor de (... grados de libertad.(/ respectivamente. #l interpolar se obtiene un área de 3.3/ con (.B0B (.o de muestra de (/. +. calcular el error tipo QQ. 8ara el ejercicio del peso de los bebés de 0 meses. E/<3.33. 8ara el ejercicio en donde se dan los resultados de pruebas de resistencia a la ad!esión de ++ especímenes de aleación U:E33.33. 8or lo que 9(:13.(.E629 3. El área correspondiente a (. al interpolar nos da un área de 3.(. encontrar la probabilidad de cometer el error tipo QQ si la carga promedio de falla es igual a ((.En este *ltimo cálculo para se tendrá que anali%ar las áreas de los dos extremos.E6. pues estas no están dentro de la región de aceptación.E- -. Se busca en la tabla el valor de -..B.(6 con E grados de libertad es de 3.// con E grados de libertad.E/. Solución 8rimero se obtendrá el valor del estadístico límite' Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> DISTRIBU I!" #I$ U%DR%D% &'() . por lo tanto no se deben de tomar en cuenta para el error tipo QQ. $uando nL+. se necesita conocer el estad$stico &2. están sesgadas a la derec!a. +. . el estadístico' tiene una distribución muestral que es una distri&u"i'n Mi%"uadrada con gl9n:( grados de i&ertad se denota R+ 1R es la min*scula de la letra griega ji2. s+ la varian%a muestral la varian%a de la población de donde se extrajo la muestra.4n realidad la distribuci n 2i>cuadrada es la distribuci n muestral de s2. G sea -ue si se e"traen todas las muestras posibles de una poblaci n normal 5 a cada muestra se le calcula su 0arian.a poblacional o la des0iaci n est#ndar. 0. El estadístico ji:cuadrada esta dado por' donde n es el tama.o de la muestra. )a siguiente figura ilustra tres distribuciones R +. ?ote que el valor modal aparece en el valor 1n:-2 9 1gl:+2.a. se obtendr# la distribuci n muestral de 0arian. . !a un n*mero infinito de distribuciones R+. El valor modal de una distribución R+ se da en el valor 1n:-2. 5ienen colas estrec!as que se extienden a la derec!a& esto es.as. /. )a forma de una distribución R+ depende del gl9n:(. Si se eli6e una muestra de tama+o n de una poblaci n normal con 0arian. El área bajo una curva ji:cuadrada sobre el eje !ori%ontal es (. )as distribuciones R+ no son simétricas. la media de una distribución R + es n:( la varian%a es +1n: (2. El estadístico ji:cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión' /ropiedades de as distri&u"iones Mi%"uadrada (.a . En consecuencia. )os valores de R+ son ma ores o iguales que 3. -. !ara estimar la 0arian.. Si se elige al a%ar una . 8or ejemplo para encontrar R+3. 8ara denotar el valor crítico de una distribución R + con gl grados de libertad se usa el símbolo 1gl2& este valor crítico determina a su + derec!a un área de bajo la curva R sobre el eje !ori%ontal. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autob*s para alcan%ar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar 9( minuto. $álculo de 8robabilidad El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varian%as nos sirve para saber como se va a comportar la varian%a o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.)a función de densidad de la distribución R + esta dada por' para xL3 )a tabla que se utili%ará para estos apuntes es la del libro de probabilidad estadística de Walpole.3/102 en la tabla se locali%a 0 gl en el lado i%quierdo a o largo del lado superior de la misma tabla. Ejemplos' /. la cual da valores críticos 1gl2 para veinte valores especiales de . El valor de .6B da un área a la derec!a de 3. el valor de la probabilidad es 81s +L+2 2. Se calcularán dos valores de ji:cuadrada' #quí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de +.muestra de (E tiempos. 8or lo que la 81s+ L6. 8rimero se procederá a calcular el valor de la ji:cuadrada' #l buscar este n*mero en el renglón de +.0 se encuentra un área a la derec!a de 3.3(.E.B. Solución 8rimero se encontrará el valor de ji:cuadrada correspondiente a s +9+ como sigue' El valor de -+ se busca adentro de la tabla en el renglón de (0 grados de libertad se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derec!a de 3. "a or que 6.+.3(.3/ (.6/. encuentre la probabilidad de que la varian%a muestral sea ma or que +.( b.. a. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de +/ observaciones. grados de libertad nos da un área a la derec!a de 3. Entre -.3/. $omo se está pidiendo .0+ (3.(2 9 3. grados de libertad. En consecuencia. #l buscar el valor de (-./ Solución. de una población normal con varian%a . tenga una varian%a muestral' a. 8or lo tanto la 81-..B.3( quedando 3.. de (3 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compa.6/ menos 3. )os siguientes son los pesos.la probabilidad entre dos valores se resta el área de 3.E. #l despejar esta fórmula la varian%a poblacional nos queda' )os valores de R+ dependerán de nivel de confian%a que se quiera al cual le llamamos .0.ía' . . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene' Ejemplos' (./2 9 3.6..(.. ./.6. .0.0+ s+ (3. Estimación de la >arian%a 8ara poder estimar la varian%a de una población normal se utili%ará la distribución ji:cuadrada. en decagramos. 3.6. Encuentre un intervalo de confian%a de 6/H para la varian%a de todos los paquetes de semillas de pasto que distribu e esta compa. el intervalo de confian%a de 6/H para la varian%a es' Graficamente' .3/./. esto es de i%quierda a derec!a. . 8ara obtener un intervalo de confian%a de 6/H se elige un 9 3.ía. Solución 8rimero se calcula la desviación estándar de la muestra' al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varian%a de la muestra s+9 3.B. suponga una población normal.. . .+ ./.6. .0. Aespués con el uso de la tabla con 6 grados de libertad se obtienen los valores de R+. .0.(. 8or lo tanto./.+B0.E.0. Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de R + corre en forma normal. +.+0. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable. Estimar la varian%a de los resultados de la población para este estándar.(. se anali%ó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios./29 ((.B./. usando un nivel de confian%a del 63H.3E. el cual se efect*a como parte del control de calidad. Solución #l calcular la varian%a de la muestra se obtiene un valor de s +9 3./29 (. Entonces el intervalo de confian%a esta dado por' ./ para R+13. $on un nivel de confian%a del 6/H se sabe que la varian%a de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 3. 6.Se observa que la varian%a corre en sentido contrario. pero esto es sólo en la gráfica. 8ara R+13. obteniéndose dos resultados.6-/ decagramos al cuadrado. 6.0(. )os seis resultados en partes por millón fueron 6. Se busca en la tabla los valores correspondientes con / grados de libertad.-+. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar.. )a interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación.6/.3+B/.(-/ 3. 6.3.. 6.E3 6. O!a evidencia para refutar lo que afirma el proveedorJ Use 9 3. Aatos' 9 3. Solución $omo en todos los ensa os de !ipótesis que se !an reali%ado anteriormente el procedimiento es el mismo. Si se supone que las medidas del diámetro se distribu en en forma normal.333+ pulgadas. Si se desea probar una !ipótesis acerca de la varian%a se puede !acer utili%ando las medidas estadísticas con las que se constru ó el intervalo de confian%a Ejemplos' /. Una muestra aleatoria de (3 de dic!as partes dio una varian%a de muestra s + 9 3.3/.EnsaBo de Hip'tesis para a Jarian6a de una /o& a"i'n Norma En la ma oría de los casos se tiene el problema de desconocer la varian%a o desviación estándar de la población. Una compa.3339 3. afirma que tiene una varian%a de diámetro no ma or a 3.333-. .333+ n 9 (3 s+ 9 3.ía que produce una parte maquinada para un motor. en donde las distribuciones son normales. esto es con la distribución Vi: cuadrada. Aespués de que se identifican los datos. se plantea la !ipótesis para determinar el tipo de ensa o.3/ . / en el renglón de 6 grados de libertad. Si R+KL(0.Ensa o de !ipótesis' 7o& 7(& 9 3. El contenido de a%*car del almíbar de los dura%nos enlatados tiene una distribución normal.6(6 no se rec!a%a 7o.+3 se obtiene un valor de 8 de 3.333+ L 3. En la tabla se busca el valor de (-.B./ no es ma or que (0.3/ que no se puede refutar la afirmación del proveedor.6(6 se rec!a%a 7o.(3 3. $álculos' Vustificación decisión' $omo (-.333+ Kegla de decisión' Si R+K (0. Se . Este ejercicio se puede aprovec!ar para calcular el valor de 8.(. Qnterpolando entre 3.6(6 por lo tanto no se rec!a%a 7 o se conclu e con un nivel de significancia de 3. 2. donde se cree que la varian%a es 9 (B mg+.. .se rec!a%a 7o. Solución Aatos' 9 (B n 9 (3 s 9 . O"uestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varian%a !a cambiadoJ..B 9 3.3+.3/ que la varian%a del contenido de a%*car del almíbar no !a cambiado.E R+K (6.3+-.B mg. .3/ calcule el valor de 8.toma una muestra de (3 latas dieron una desviación estándar de .no se rec!a%a 7o.3+. $álculos' Vustificación decisión' $omo ((.E ó si R+KL(6. Use un 9 3. Si R+KM+. se conclu e con un nivel de significancia de 3./+ está entre +.3/ Ensa o de !ipótesis' 7o& 7(& 9 (B (B Kegla de decisión' Si +.E (6. no se rec!a%a 7o. esto es es de (B mg +. #l buscar el valor de ((./+ este n*mero se encuentra a la derec!a de la media. $omo el valor real de R+K 9 ((. lo cual quiere decir que el valor de 8=+ será el área a la derec!a del valor de R+K. el área que se encuentra es la que está a la derec!a de este valor.. Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de *ltimo a.E-/ con (6 grados de libertad. Se toma una muestra aleatoria de +3 estudiantes de *ltimo a.+./+ en la tabla se obtiene un área de 3.. Utilice el valor de 8 para su decisión.o de preparatoria completen una prueba estandari%ada es una variable aletoria normal con una desviación estándar de seis minutos.Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribución ji:cuadrada es 1n:(2. O"uestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviación estándar disminu óJ. -./$ N5ON8. .<?<./( Ensa o de !ipótesis' 7o& 7(& 90 M0 $álculos' 8ara obtener el valor de 8.+-. se busca en la tabla el (3. por lo tanto 8=+ 9 3.o de preparatoria se obtiene una desviación estándar de . por lo tanto la media de este ejercicio es de 6.5<5AO $ 8./(.+. Solución Aatos' 90 n 9 +3 s 9 .+. este valor se sustituirá en la formula. )a decisión depende del error tipo Q que esté dispuesto a tolerar el investigador. #l buscar en la tabla R+13.(3.$omo la media de esta distribución ji:cuadrada es de (6..(. Error tipo II ' El error tipo QQ se calcula de la misma forma en la que se calculó con la distribución %.(+ 3. Se tiene un ensa o de !ipótesis unilateral derec!o.(629-3. #l despejar de la fórmula original de R+ se obtiene' .(3 L 3. entonces no se rec!a%a 7o se concluiría que la desviación estándar no disminu ó. primero se debe encontrar el valor de la varian%a muestral límite. Se reali%arán algunos ejercicios en los cuales se determinará la probabilidad de cometer el error tipo QQ. pero si se utili%a un valor de 9 3.. por lo tanto el valor de (3.(3 si las desviaciones estándar 9 Se quiere calcular el error tipo QQ ó verdaderas fueran de 3. El valor de 8 es de 3. /. con esto se puede concluir que si !ubiéramos utili%ado un nivel de significancia de 3.(..3/ 7o& 7(& 9 3. Solución 8ara poder calcular el error tipo QQ.3E. para poder calcular los valores de R+ posteriormente calcular el área. se rec!a%a 7o se conclu e que la desviación estándar disminu o.E-/ queda a la i%quierda de la media.3/.3/. con n9+3 3. utili%ando la tabla de la distribución Vi: cuadrada. esto es s+). E (6. Encontrar el error tipo QQ para el ejercicio + de esta sección. Estos dos valores se utili%arán para calcular las nuevas ji:cuadradas para calcular el valor de . Suponga una varian%a real de +3 +0. en donde el ensa o es bilateral pues se quiere ver si la varian%a del contenido de a%*car en el almíbar de los dura%nos !a cambiado. . )os cuales se calcularán utili%ando las ji:cuadradas límites que eran de de +.3+-. Solución $omo este es un ensa o bilateral se tendrán dos valores de s +).+. se tendr# poca e0idencia para indicar -ue 5 no son i6uales.Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> CDS7?DBUCDG( "H" HDSE4? @a necesidad de disponer de m*todos estad$sticos para comparar las 0arian. !or otra parte. 5 . Si s2/'s22 es casi i6ual a /. podr$amos comparar las 0arian. utili. un . la estabilidad de un proceso de manu1actura con la de otro o Aasta la 1orma en -ue 0ar$a el procedimiento para cali1icar de un pro1esor uni0ersitario con la de otro.ando la ra. Dntuiti0amente. n de las 0arian.as de dos poblaciones.as de dos poblaciones es e0idente a partir del an#lisis de una sola poblaci n.as muestrales s2/'s22. Hrecuentemente se desea comparar la precisi n de un instrumento de medici n con la de otro. Sean U 5 I dos 0ariables aleatorias independientes -ue tienen distribuci n 2i cuadradas con 6rados de libertad.0alor mu5 6rande o mu5 pe-ue+o para s2/'s22.as de las poblaciones. donde U 5 I son 0ariables aleatorias 2i>cuadrada independientes con 6rados de libertad JK5K respecti0amente. @a distribuci n H tiene una apariencia mu5 similar a la distribuci n 2i>cuadradaF sin . respecti0amente. cada una di0idida entre sus respecti0os 6rados de libertad. 4sto es. 5 la distribuci n tiene un ses6o Aacia la derecAa. 4ntonces la distribuci n de la 0ariable aleatoria est# dada por3 5 se dice -ue si6ue la distribuci n H con 6rados de libertad en el denominador. @a 0ariable aleatoria H se de1ine como el cociente de dos 0ariables aleatorias 2i>cuadrada independientes.a de la distribuci n H son3 para para @a 0ariable aleatoria H es no ne6ati0a. 6rados de libertad en el numerador 5 @a media 5 la 0arian. proporcionar# e0idencia de una di1erencia en las 0arian. .as muestrales independientes de tama+o n/ 5 n2 tomadas de poblaciones normales con 0arian. proporcionan Si s/2 5 s22 son las 0arian.. respecti0amente. .ar el #rea correspondiente.8885 3.. relacion#ndola con los 6rados de libertad uno.4 4l 0alor de 3. se tendr# -ue buscar primero los 6rados de libertad dos para lue6o locali. Si lo 0emos 6ra1icamente3 . .... N 6 .885.as J 5 . 5.embar6o./ .4 es el correspondiente a una HisAer -ue tiene 3 6rados de libertad uno 5 6 6rados de libertad dos con un #rea de cero a HisAer de .. @as tablas tienen la si6uiente estructura3 ! / 2 3 NN.5 .. N. para calcular el 0alor de H... se encuentra centrada respecto a /..... 5 los dos par#metros una 1le"ibilidad adicional con respecto a la 1orma de la distribuci n..5 . entonces3 !ara mane2ar las tablas de HisAer del libro de Dntroducci n a la Dn1erencia 4stad$stica del autor LMentAer.. /. %/. Como el #rea -ue da la tabla es de cero a HisAer..85 directamente en la tabla con sus respecti0os 6rados de libertad. con con %24 Soluci n3 a. lue6o un #rea de . es de . 4ncontrar el 0alor de H..85 con c.85 con con d.-uierda de H. 5a -ue aAora su 1orma depende de dos 0ariables -ue son los 6rados de libertad.ar primero los 6rados de libertad dos -ue son 8.-uierda de H. %=.. es de . 4l #rea a la derecAa de H es de . en cada uno de los si6uientes casos3 a.Como nos podemos ima6inar e"isten 0arias cur0as HisAer.... se tiene -ue locali. . 4l #rea a la i.25 con b. 4n este caso se puede buscar el #rea de . es de . b. 42emplos 3 /. %4 5 %/5 5 %6 5 %24 5 %8.:5 con 4 6rados de libertad uno. 4l #rea a la derecAa de H. 4l #rea a la i.. /. Soluci n3 !rimero se establecen los 6rados de libertad. Se busca directamente el #rea de . Como en el numerador est# la poblaci n uno 5 en el denominador la poblaci n dos.c. 5 n2 %2. Se procede a ir a la tabla a buscar los 6rados de libertad dos -ue son /8 5 se obser0a -ue no est#n.5.. puesto -ue nos piden un #rea a la derecAa de H de .42). encuentre !(s/2's22 2. Se tiene -ue buscar en la tabla un #rea de . entonces los 6rados de libertad uno e-ui0alen a /.>/%8 5 los 6rados de libertad dos a 2. buscando el 0alor de 1isAer -ue -uedar$a3 . Si s/2 5 s22 son las 0arian. con sus respecti0os 6rados de libertad.>/%/8.as muestrales de muestras aleatorias independientes de tama+os n/%/..85. 6rados de libertad..... por lo tanto se tiene -ue interpolar entre /5 5 2. tomadas de poblaciones normales -ue tienen las mismas 0arian.as./. d. . Se procede a Aacer lo mismo pero con 2. por lo -ue se interpolar# para 0er cu#nto le corresponde a los 6rados libertad dos con un 0alor de /8.. ..833 .833.8 2...85/6 . con /5 6rados de libertad dos.42 se busca en la columna de 8 6rados de libertad uno..85 ..8:5 2.8.85/6.. 5 se encuentra los si6uiente3 Area .38 2. Area /5 2.=4 Al interpolar entre estos dos 0alores nos -ueda un #rea de . . AAora 5a se tienen las dos #reas re1erentes a los 6rados de libertad dos. 6rados de libertad dos3 Area .4ste 0alor de 2.85 2..58 Al interpolar entre estos dos 0alores nos -ueda un #rea de . ..85. Ce este par de poblaciones.=8. .42 el #rea a la i.as de las muestras aleatorias independientes de tama+o n/% 25 5 n2 % 3/..a para el Cociente de Iarian.( ) por ciento para el cociente de las dos 0arian.as de Cos Cistribuciones (ormales Sup n6ase -ue se tienen dos poblaciones normales e independientes con 0arian. /2' 22. encuentre !(s/2's22 O /.-uierda de este 0alor se obtiene un #rea de .arlo 5 0er a la i.-uierda es de . por lo -ue se calcula su complemento -ue ser$a . pero esta #rea corresponder$a a la probabilidad de -ue las relaciones de 0arian.as /2 %/.. 2. respecti0amente.as.Al interpolar nos -ueda -ue para 8 6rados de libertad uno 5 /8 6rados de libertad dos con un 0alor de HisAer de 2. Si s/2 5 s22 representan las 0arian.26. Se desea conocer un inter0alo de con1ian.as desconocidas J2 5 22.as muestrales 1ueran menor a /. Al locali. sean s/2 5 s22 las dos 0arian. 6rados de libertad 2 con 24 6rados de libertad uno. se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tama+os n/ 5 n2. Soluci n3 Calcular el 0alor de HisAer3 @ue6o se 0a a la tabla de HisAer a buscar 3. 5 22 % /5.5.a del /.84:=. Dnter0alo de Con1ian.26. tomadas de poblaciones normales con 0arian. siendo esta la probabilidad de -ue s/2's22 O /. respecti0amente. respecti0amente.. Cuando se este en esta posici n se busca adentro de la tabla el 0alor de HisAer de /.as muestrales.26). :. =. 2. Soluci n3 4. !or la recomendaci n de -ue la 0arian. 6.!ara construir el inter0alo de con1ian. 4n este caso los 6rados de libertad uno 0alen 3.a para el cociente de dos 0arian. al despe2ar3 .a 5 de los 6rados de libertad. @os resultados se muestran el la tabla3 P*todo / n/ % 3/ s/2 % 5. 4stos resultados los podemos interpretar de la si6uiente manera3 .9 para 3. se coloca la 0arian. Constru5a un inter0alo de con1ian..a muestral ma5or en el numerador del estad$stico H.as poblacionales. 5 los 6rados de libertad dos 24. 8. P*todo 2 n2 % 25 s22 % 24 /2' 22. 5 /.a del 8. H toma dos 0alores dependiendo del ni0el de con1ian. Un 1abricante de autom 0iles pone a prueba dos nue0os m*todos de ensambla2e de motores respecto al tiempo en minutos. 42emplos3 /.a muestral ma5or 0a en el numerador se tiene la si6uiente 1 rmula3 5. 83. /2.9 se sabe -ue la relaci n de 0arian. 5 una muestra aleatoria de n2%/2 partes del se6undo proceso. 4sto supondr$a -ue la 0arian.a de la poblaci n / es ma5or a la 0arian. 5 4stos resultados los podemos interpretar de la si6uiente manera3 !uesto -ue este inter0alo de con1ian.83.. la cual tiene una des0iaci n est#ndar s/ % 4.: micropul6adas./ micropul6adas. la cual tiene una des0iaci n est#ndar s2 % 5. Al in6eniero de manu1actura le 6ustar$a seleccionar el proceso -ue ten6a la menor 0ariabilidad en la ru6osidad de la super1icie.. 4n este caso los 6rados de libertad uno 0alen // 5 los 6rados de libertad dos /5.9. Con un ni0el de con1ian.a de la poblaci n 2 entre /.as /2' 22.a inclu5e a la unidad.a del 8. no es posible a1irmar -ue las des0iaciones est#ndar de la ru6osidad de la super1icie de los dos procesos sean di1erentes con un ni0el de con1ian.a del 8.//. Se desea encontrar un inter0alo de con1ian.: 5 3. Soluci n3 !or la recomendaci n de -ue la 0arian.9 para el cociente de las dos 0arian.as /2' 22 esta entre /.: 5 3.a muestral ma5or 0a en el numerador se tiene la si6uiente 1 rmula3 al despe2ar3 . . !ara ello toma una muestra de n/%/6 partes del primer proceso. Supon6a -ue los dos procesos son independientes 5 -ue la ru6osidad de la super1icie est# distribuida de manera normal.a del 8. Una compa+$a 1abrica propulsores para uso en motores de turbina. i%quierdo o bilateral. a que para poder comparar las medias de estas dos poblaciones se utili%a la distribución t de Student. 8ara el ensa o de !ipótesis se utili%ará la relación de varian%as. dando pié a reali%ar la comparación de las dos medias seg*n estemos !ablando. "uestras de n(9+/ n+9+3 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias varian%as' O8resentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el +J Kealice una prueba con un 9 3.EnsaBo de Hip'tesis Supóngase que se tiene interés en dos poblaciones normales independientes. depende del tiempo que tarda el proceso. Se desea probar la igualdad de las dos varian%as. Ejemplos' (. donde las medias las varian%as de la población son desconocidas. !i%o un peque. así como la cantidad media de impure%as en los productos químicos. el ensa o podrá ser unilateral derec!o.o ajuste al proceso +. en la cual podemos tener varian%as iguales o diferentes en la población. 8rimer caso en que las varian%as de la población son desconocidas pero iguales.3/. con la esperan%a de reducir la variabilidad. 8ara conocer esto *ltimo se requiere de la distribución Uis!er. . Un fabricante que emplea dos líneas de producción ( +. utili%ada para un proceso en particular. se tomará la decisión de tener o no varian%as iguales en la población. después de utili%arla. o en el caso dos donde se tienen varian%as desconocidas pero disímiles. )a variabilidad en la cantidad de impure%as presentes en un lote de productos químicos. la cual puede dar tres resultados' En base a lo que se quiera probar. ( 9 +/:( 9 +. + 9 +3:(9(6.Solución Aatos' 8oblación ( 8oblación + n( 9 +/ n+ 9 +3 9 3. Entonces los grados de libertad uno será el tama. Kegla de decisión' .3/ Ensa o de !ipótesis' Estadístico de prueba' )a sugerencia que se !ace es que el numerador sea el de valor ma or .o de la muestra de la población uno menos uno. Solución Aatos' Kobo:Uill sKU 9 (.6 on%as en el llenado. es menor que +.(( ?o se rec!a%a 7o. En su incansable b*squeda de un sistema de llenado adecuado. O$ual deberá seleccionarJ Use un 9 3.(( no se rec!a%a 7o.6 nKU 9 (0 9 3. $on #utomat:fill se llenan +( frascos que dan una desviación estándar de +.(3. se conclu e con un 9 3. Si la Uc L +. 2.Si Uc +.3/ que no existe suficiente evidencia para decir que la varian%a del proceso + es menor que la del proceso (. cierta empresa prueba dos máquinas.( n#U 9 +( Ensa o de !ipótesis' . $álculo' Aecisión Vustificación' $omo +. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en función de la uniformidad de llenado.3.(( se rec!a%a 7o.( on%as. Kobo:fill se usa para llenar (0 tarros da una desviación estándar de (.(3 #utomat:Uill s#U 9 +. o de la muestra de la población uno menos uno.Estadístico de prueba' )a sugerencia que se !ace es que el numerador sea el de valor ma or .+3 ?o se rec!a%a 7o. )as capas de óxido en las obleas semiconductoras son depositadas en una me%cla de gases para alcan%ar el espesor apropiado. lo deseable para los siguientes pasos de la fabricación es tener una variabilidad baja. se conclu e con un 9 3. Kegla de decisión' Si Uc +. 8ara ello se estudian dos me%clas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cuál se obtienen mejores resultados en cuanto a la .+3 se rec!a%a 7o. por lo que se selecciona cualquier máquina. Entonces los grados de libertad uno será el tama.(3 que la variación de llenado de la máquina Kobo:Uill no es menor a la de #utomat:Uill. Si la Uc L +.+3 no se rec!a%a 7o. 3. ( 9 +(:( 9 +3 + 9 (0:(9(/. $álculo' Aecisión Vustificación' $omo (.++ es menor que +. )a variabilidad del espesor es una característica crítica de la oblea. reducción en la variabilidad del espesor del óxido.3/. Kegla de decisión' Si 3. OExiste evidencia que indique una diferencia en las desviacionesJ Utilice 93.60 angstroms s+ 9 +. Entonces los grados de libertad uno será el tama. >einti*n obleas son depositadas en cada gas.30 Uc +. .(n+9 +( Ensa o de !ipótesis' Estadístico de prueba' )a sugerencia que se !ace es que el numerador sea el de valor ma or .. )as desviaciones estándar de cada muestra del espesor del óxido son s( 9 (. Solución Aatos' s(9 (.0 ?o se rec!a%a 7o.(.60 n( 9 +( s+ 9 +.o de la muestra de la población uno menos uno.. ( 9 +(:( 9 +3 + 9 +(:(9+3.angstroms. 0 se rec!a%a 7o. Solución .30 ó si Uc L +. se conclu e con un 9 3.Si la Uc M 3.. encontrar la probabilidad de cometer error tipo 2 QQ si la verdadera relación 1 / 2 2 = 2.. 8ara el ejercicio anterior. $álculo' Aecisión Vustificación' $omo 3. Error Tipo II ' /.3/ que existe suficiente evidencia para decir que las varian%a de las poblaciones son iguales.B/ esta entre los dos valores de 7o no se rec!a%a . por lo que se tiene que !acer una doble interpolación a que (6 grados de libertad dos no vienen en la tabla.(( a que esto fue lo que dio la tabla al despejar nos queda los mismo. Solución por lo tanto s(+=s++ 9 +./.o ajuste al proceso +./. Se calcula un nuevo valor de U con la relación de varian%as de (. Si se recuerda para este ejercicio se tienen +. 2 calcular la probabilidad de cometer error tipo QQ si le relación 1 / 2 2 = (./. Ael ejercicio n*mero ( del ensa o de !ipótesis en donde la variabilidad en la cantidad de impure%as presentes en un lote de productos químicos dependía del tiempo que tardaba el proceso el fabricante empleaba dos líneas de producción ( +. e !i%o un peque. /rimero se interpo ar+ para 5< grados de i&ertad uno B 9@ grados de i&ertad dos- . grados de libertad uno (6 de grados de libertad dos. por lo que queda un resultado de 3.3+ 3.63 (.E0/.E.Area Ja or de K 3.B .30 es de 3.-/ 3.E/ (.EE 8or lo tanto al interpolar para (6 grados de libertad dos nos da un valor de 3.EE.. grados de libertad uno libertad dos' +3 grados de Area Ja or de K 3.E/ (.E/.E.(.E. +3 3. se puede calcular el área correspondiente a +./3 (. 5eniendo los dos valores..EE )a interpolación para un valor de Uis!er de (. el cual le corresponde un área de 3. #!ora se procede a interpolar para +.( #l interpolar para un valor de Uis!er de (..E. grados de libertad uno (6 grados de libertad dos' 2 Area (/ 3..30 se ve que este valor está mu cercano a (. INTERJALO DE CONKIANLA /ARA LA DIKERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRI0UCIONES NORMALES) JARIANLAS DESCONOCIDAS /ERO IGUALES Si s(+ s++ son las medias las varian%as de dos muestras aleatorias de tama.as se supone que las poblaciones de interés están distribuidas de manera normal. los intervalos de confian%a se basan en la distribución t. entonces. entonces un intervalo de confian%a del (331 2 por ciento para la diferencia entre medias es' en donde' .as desconocidas. respectivamente. tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varian%as desconocidas pero iguales.os de muestras n( n+ son ma ores que -3. *%RI%"-%S DES !"! ID%S 4n esta secci n se 0er# el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias 5 0arian. cuando se toman muestras peque. Sin embargo.o n( n+. puede emplearse el intervalo de confian%a de la distribución normal.a para la di1erencia de dos medias 1− 2.Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> I"TER*%+! DE !". Si los tama.ERE" I% DE MEDI%S DE D!S DISTRIBU I!"ES "!RM%+ES. 5 se desea encontrar un inter0alo de con1ian.I%"-% P%R% +% DI. supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar. Ejemplos' (... Encuéntrese un intervalo de confian%a del 6/H para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar en cemento contaminado con plomo. . no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias.( expresión que se reduce a @ 3.E+ ?ótese que el intervalo de confian%a del 6/H inclu e al cero& por consiguiente..es el estimador combinado de la desviación estándar com*n de la población con n(<n+ @ + grados de libertad. Solución El estimador combinado de la desviación estándar es' #l calcularle raí% cuadrada a este valor nos queda que s p 9 .E+ 1 − 2 0. )os niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de !idratación del cemento queda bloqueado esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. se encontró que el peso promedio de calcio es de 63 con una desviación estándar de /& los resultados obtenidos con (/ muestras de cemento contaminado con plomo fueron de BE en promedio con una desviación estándar de . #l tomar die% muestras de cemento estándar. 8or otra parte. para este nivel confian%a. -/ Β − Α 6. Se eligieron al a%ar a doce personas para ensa ar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcan%ar un nivel específico en la sangre./E SD+ 9 (E. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribu e normalmente. # D. Solución +. ./.+. Se reali%ó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo !umano para absorber dos medicamentos. $alcule un intervalo de confian%a del 6/H para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varian%as iguales.+/ $on un nivel confian%a del 6/H se sabe que el tiempo promedio para alcan%ar un nivel específico es ma or para el medicamento D. "edicamento # "edicamento D n# 9 (+ nD 9 (+ S#+9 (/. os..0 3. 8ara encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia./RUE0A SO0RE DOS MEDIAS) /O0LACIONES NORMALES) JARIANLAS DESCONOCIDAS /ERO IGUALES )as situaciones que más prevalecen e implican pruebas sobre dos medias son las que tienen varian%as desconocidas.B -. se utili%a la siguiente fórmula' donde' )os grados de libertad están dados por' Ejemplos' (.3/ que el suero es efectivoJ Suponga que las dos poblaciones se distribu en normalmente con varian%as iguales.6 3. Aatos' $on tratamiento . todos con una etapa avan%ada de la enfermedad.. a partir del momento en que comien%a el experimento son los siguientes' Con Tratamiento +. Si el científico prueba mediante una prueba U. $inco ratones reciben el tratamiento cuatro no. se seleccionan nueve ratones. )os tiempos de sobrevivencia en a./ +. que las varian%as de las dos poblaciones son iguales.6 Sin Tratamiento (. .- (.( /. Solución 8rimero se probará el supuesto de varian%as iguales con un ensa o de !ipótesis bilateral utili%ando la distribución Uis!er.( OSe puede decir en el nivel de significancia del 3. Entonces los grados de libertad uno será el tama. + 9 .(3 Uc (/.( se rec!a%a 7o.( ?o se rec!a%a 7o.6E n9/ Sin tratamiento s 9 (.o de la muestra de la población uno menos uno. Si la Uc M 3. Kegla de decisión' Si 3.(3 ó si Uc L (/.:(9-. Ensa o de !ipótesis' Estadístico de prueba' )a sugerencia que se !ace es que el numerador sea el de valor ma or .(0E+ n9.s9 (. ( 9 /:( 9 . $álculo' . B.B Pusti!i"a"i'n B de"isi'n- .B/ esta entre los dos valores de 7o no se rec!a%a .Aecisión Vustificación' $omo +.B6/ ?o se Kec!a%a 7o Si tK L (. $on la decisión anterior se procede a comparar las medias' Ensa o de 7ipótesis 7o& 7(& $5 : : S5 93 L3 $5 S5 )os grados de libertad son 1/<.B6/ se rec!a%a 7o $álculos' por lo tanto sp 9 (.3/ que existe suficiente evidencia para decir que las varian%a de las poblaciones son iguales.:+2 9 E Kegla de decisión' Si tK (. se conclu e con un 9 3. B6/. Se reali%ó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo !umano para absorber dos medicamentos. nA $ 95 n0 $ 95 SA5$ 9@. Se eligieron al a%ar a doce personas para ensa ar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcan%ar un nivel específico en la sangre.@3 S05 $ 93. Entonces los grados de libertad uno será el tama. se conclu e con un nivel de significancia del 3. no se rec!a%a 7 o.(3. $alcule con 9 3. "edicamento # "edicamento D obtenga el valor de 8. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribu e normalmente.3/ si existe diferencia entre los tiempos promedio Suponga varian%as iguales.0--+ es menor que (. ( 9(+:(9(( + 9(+:(9((. 2.$omo 3.@< Solución 8rimero se pondrá a prueba el supuesto de varian%as iguales mediante una prueba de !ipótesis con 9 3.o de la muestra de la población uno menos uno. # D. .3/ que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia. Ensa o de !ipótesis' Estadístico de prueba' )a sugerencia que se !ace es que el numerador sea el de valor ma or . B+ se rec!a%a 7o.(. $on la decisión anterior se procede a comparar las medias' Ensa o de 7ipótesis 7o& 7(& D : : # 93 3 D # )os grados de libertad son 1(+<(+:+2 9 ++ Kegla de decisión' .(3 que existe suficiente evidencia para decir que las varian%a de las poblaciones son iguales.esta entre los dos valores de 7o no se rec!a%a . Si la Uc M 3.-// Uc +.-// ó si Uc L +.B+ ?o se rec!a%a 7o. se conclu e con un 9 3. $álculo' Aecisión Vustificación' $omo (.Kegla de decisión' Si 3. . 8 9 1+213. ó si tc L +.3E. se rec!a%a 7o.33(-62 9 3. se conclu e con un nivel de significancia del 3.6 es ma or que +. $álculos' Pusti!i"a"i'n B de"isi'n- $omo -. 8ara calcular el valor de 8 se ubicará la t calculada en la gráfica para proceder a buscar el área multiplicarla por dos a que es bilateral.3E. )a estadística que se usa con más frecuencia en este caso es' ..3E.33+EB INTERJALO DE CONKIANLA /ARA LA DIKERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRI0UCIONES NORMALES) JARIANLAS DESCONOCIDAS /ERO DIKERENTES $onsideremos a!ora el problema de encontrar una estimación por intervalos de 1− 2 cuando no es probable que las varian%as poblacionales desconocidas sean iguales. tc +. Si la tc M :+.3E. no se rec!a%a 7 o.Si @+.3/ que la media del tiempo para que el medicamento # llegue a un nivel específico en el torrente sanguíneo es distinta de la que toma al fármaco D alcan%ar ese mismo nivel. ?o se rec!a%a 7o.3E. suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con varian%as diferentes.6 se redondeará a (/. Esto es si el valor de nu es de (/.6 con una desviación estándar 3. lo redondeamos al n*mero entero más cercano menor. Solución Aatos' Estación ( Estación + n9 $ 9@ n5 $ 95 . mientras que (+ muestras de la estación + tuvieron un contenido promedio de (. con una desviación estándar de -.que tiene aproximadamente una distribución t con grados de libertad. El departamento de %oología de la Universidad de >irginia llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río Vames.B.3E miligramos por litro. #l despejar la diferencia de medias poblacionales de la formula de t nos queda' Ejemplos' (. El ortofósforo se mide en miligramos por litro.B3 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confian%a de 6/H para la diferencia del contenido promedio real de ortofósforo en estas dos estaciones. donde' $omo rara ve% es n*mero entero.. Se reunieron (/ muestras de la estación ( se ontuvo una media de -. Un fabricante de monitores prueba dos dise.03 a .03 1 − 2 .83 S5 $ 8.?8 8rimero se procederá a calcular los grados de libertad' #l usar 93.3/. encontramos en la tabla con (0 grados de libertad que el valor de t es +.os de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente.(+3.. /RUE0A SO0RE DOS MEDIAS) /O0LACIONES NORMALES) JARIANLAS DESCONOCIDAS /ERO DIKERENTES EMemp o- (..(3 miligramos por litro contiene la diferencia de los contenidos promedios reales de ortofósforo para estos dos lugares. por lo tanto' que se simplifica a' 3.S9$ A. El departamento de ingeniería !a obtenido los datos siguientes' .(3 8or ello se tiene una confian%a del 6/H de que el intervalo de 3. Ensa o de !ipótesis' 0. pero no es posible suponer que las varian%as desconocidas sean iguales. 3. (.+0/ ó si Uc L -. Si 3.3/.(+ ?o se rec!a%a 7o.. B.3 2.os. /rimero se pro&ar+n *arian6as desigua es. Estadístico de prueba' 6. $álculo' .(+ se rec!a%a 7o. (+. Solución <. ((. )a sugerencia que se !ace es que el numerador sea el de valor /. ma or . E. Kegla de decisión' (-.Dise:o 9 n( 9 (0 s(+ 9 (3 Dise:o 5 n+ 9 (3 s++ 9 . /. se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos dise. Entonces los grados de libertad uno será el tama. ( 9 (3:( 9 6 + 9 (0:(9(/. donde se supone que las dos poblaciones son normales.o de la muestra de la población uno menos uno. (/. Si la Uc M 3..+0/ Uc -. $on 9 3. . +0. Si tK M :+. Si @+. (6. Aecisión Vustificación' /=.+3( se rec!a%a 7o A8. $on la decisión anterior se procede a comparar las medias' +3. se conclu e con un 9 3. se necesita saber el valor de los grados de libertad' +.+3( ó si tK L +. +/. C+ "u os- . 7o& 22. 7(& ( : : + 93 3 ( + +-.(0.3/ que existe suficiente evidencia para decir que las varian%a de las poblaciones son diferentes.(+ se rec!a%a 7o . es ma or que -. Kegla de decisión' 2=.+3( tK +. +E. $omo .+3( ?o se rec!a%a 7o +6. 8ara poder buscar el valor de t en la tabla. Este valor se redondea al próximo menor que sería ((. (E. Ensa o de 7ipótesis 2/. Pusti!i"a"i'n B de"isi'n- 33.3/. -.-(. Ael segundo proveedor se toma una muestra aleatoria de (0 engranes. $omo 3. $alcule el valor de 8.os.(-6/ esta entre @+. no se rec!a%a 7 o se conclu e con un 9 3.3/. Una característica importante de estos engranes es la resistencia al impacto la cual se mide en pies:libras. Aos proveedores fabrican un engrane de plástico utili%ado en una impresora láser. Use un nivel de significancia de 3./. Una muestra aleatoria de (3 engranes suministrados por el primer proveedor arroja los siguientes resultados' s( 9 (+.+3( +. A5. Solución Datos- 8roveedor ( 8roveedor + n9 $ 98 n5 $ 9. OExiste evidencia que apo e la afirmación de que los engranes del proveedor + tienen una ma or resistencia promedio al impacto. S9$ 95 S5 $ <@ /rimero se pro&ar+n *arian6as desigua es. donde los resultados son s+ 9 . Ensa o de !ipótesis' .+3(. que no existe diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos dise.. -+3 Uc -.o de la muestra de la población uno menos uno.3( ?o se rec!a%a 7o. $álculo' Aecisión Vustificación' 9 $omo (.3( se rec!a%a 7o. Entonces los grados de libertad uno será el tama. Si la Uc M 3. se necesita saber el valor de los grados de libertad' . $on la decisión anterior se procede a comparar las medias' Ensa o de 7ipótesis 7o& 7(& + : : ( 93 L3 + ( 8ara poder buscar el valor de t en la tabla. se conclu e con un 3.3( se rec!a%a 7 o .. ( 9 (0:( 9 (/ + 9 (3:(96. Kegla de decisión' Si 3.30 es ma or que -.-+3 ó si Uc L -.3/ que existe suficiente evidencia para decir que las varian%a de las poblaciones son diferentes.Estadístico de prueba' )a sugerencia que se !ace es que el numerador sea el de valor ma or . se rec!a%a 7o C+ "u os- Pusti!i"a"i'n B de"isi'n- $omo +. ?o se rec!a%a 7o Si tK L (.E-.3/.Este valor se redondea al próximo menor que sería (B. al interpolar nos da un valor de 8 9 3.33B6. 8ara calcular el valor de 8 se busca adentro de la tabla de t el valor de +.3( 3.E-. .0( es ma or que (. se rec!a%a 7 o se conclu e con un 93.E-.33E/. que existe evidencia suficiente para decir que el promedio de resistencia de los engranes del proveedor + es ma or a el promedio de resistencia de los engranes del proveedor (.0( con (B grados de libertad se observa que se encuentra entre dos áreas que son 3... Kegla de decisión' Si tK (. se necesita tener una muestra de cada poblaci n. se puede pensar -ue las medidas est#n pareadas. son muestras independientes.a aplicando e"#menes antes 5 despu*s a los mismos indi0iduos. .. entonces necesariamente tienen el mismo tama+o. entonces estas dos muestras dan lu6ar a una de pare2as o a una di1erencias. @a media de la poblaci n de di1erencias es i6ual a la di1erencias de las medias poblacionales. una persona o un ob2eto.> !oner a prueba los e1ectos de dos 1ertili. Si se tienen dos muestral aleatorias dependientes de tama+o n. (ote -ue si dos muestras son dependientes.!robar la e1ecti0idad de una estrate6ia de ense+an. se llaman muestras dependientes. 4n consecuencia dos medidas -ue se obtienen del mismo con2unto de 1uentes son dependientes. @as dos muestras ser#n dependientes o independientes de acuerdo a la 1orma de seleccionarlas.Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> I". Industria. -ue produce datos. Enseñanza. Finanzas.ERE" I% RESPE T! % +% DI. Si la selecci n de los datos de una poblaci n no est# relacionada con la de los datos de la otra. Agricultura. como lo indica la si6uiente 1i6ura. @a muestra de di1erencias d % "/ Q "2 se puede pensar como una muestra de la poblaci n de di1erencias de datos pareados de dos poblaciones. donde cada elemento de la primera muestra es pare2a de un elemento de la se6unda. Si dos medidas se obtienen de la misma 1uente.antes en la producci n de 1ri2ol de so5a comparando la producci n de parcelas similares en las mismas condiciones.> !oner a prueba dos marcas de llantas en cuanto al des6aste del piso colocando una de cada marca en los rines traseros de una muestra de cocAes del mismo tipo. PucAas aplicaciones pr#cticas re-uieren Aacer comparaciones entre dos poblaciones con base en datos pareados o en muestras dependientes. @as aplicaciones -ue pueden in0olucrar muestras dependientes inclu5en3 • • • • • Medicina1$ !oner aprueba los e1ectos de una dieta mediante la obtenci n de las medidas del peso en la misma persona antes 5 despu*s de aplicar una dieta. Si las muestras se seleccionan de manera -ue cada medida en una de ellas pueda asociarse naturalmente con una medida en la otra muestra. Cada dato sale de al6una 1uenteF una 1uente es al6o.> Comparar las estimaciones de dos talleres de autos cAocados para las mismas unidades.ERE" I% DE D!S MEDI%S U%"D! SE US%" MUESTR%S DEPE"DIE"TES PE/UE0%S !ara Aacer in1erencias estad$sticas sobre dos poblaciones. @ 0 9 :+ 0 + 0@+9.
[email protected] puede demostrar -ue la media de las di1erencias es la di1erencias de las mismas considerando las dos poblaciones si6uientes con cu5os elementos se Aan 1ormado pare2as3 /o& a"i'n 9 + /o& a"i'n 5 Di!eren"ia d / + @ / 9 :- .9. 0 . (3 B (3 @ B 9 + Suma -3 +/ / Media 0 / ( )a diferencia entre medias poblacionales es' 1 − 2 =0@/9( . B . entonces Si se tiene una muestra aleatoria de n pares de datos distribu en normalmente.la media de la población de diferencias se representa' En consecuencia se ve que la media de la población de diferencias es igual a la diferencia entre las medias poblacionales. $ n%9 )ímites del intervalo de confian%a para 1 − 2 cuando se usa muestras dependientes EMemp os- /. sus pulsaciones. al examinar a die% voluntarios antes después de seguir un programa de ese tipo durante seis meses. si x( @ x+ 9 d. donde sd representa la desviación estándar de la muestra de puntajes diferencia. Esto es. dieron los siguientes registros' >oluntario ( + . Se !i%o un estudio para definirse si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso. se puede demostrar que. para dos muestras dependientes. Siguiendo la misma línea de ra%onamiento. en latidos por minuto. entonces el estadístico' si las diferencias d se tiene una distribución muestral que es una distribución t con gl9n:(. Estadístico donde g. la media de sus diferencias muestrales es igual a la diferencia entre sus medias muestrales. / 0 E B 6 (3 . C+ "u os- (+.? 35 . / 0 E B 6 (3 #ntes 3A 33 .se rec!a%a 7o 99. B.? .? 2.< . Si tK (.8 39 33 3< . . Si tK L (. Use 3.? 35 .3/ para calcular si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco durante el reposo.8 .?o se rec!a%a 7o (3.5 35 ?8 3.< 38 35 Aespués .? Aiferencia @ @ < 5 9 A 5 < . Ensa o de !ipótesis' 5.B-. Kegla de decisión' 8.< .< .8 .< 38 35 Aespués . 7(& Α − − A =0 >0 Α A 3../B.5 35 ?8 3. Se procederá a calcular las diferencias de cada par' >oluntario ( + - . . . #l calcular la media de las diferencias nos da -.8 39 33 3< .#ntes 3A 33 .0 con una s d 9 (.B-.< .? . Solución 9 3. . 7o& 6. < (-. $alcule el valor de 8. (B. 9@. 93A 9?A 9?< Aespués 93? 93@ 9?@ 9?< 583 589 9. )os resultados de los pesos. se conclu e cn un nivel de significancia de 3. Pusti!i"a"i'n B de"isi'n- (0. 29. se muestran a continuación' 7ombre # D $ A E U G 7 Q V #ntes 9?9 935 948 9?.. Aie% !ombres se sometieron a una dieta especial registrando sus pesos antes de comen%arla después de un mes de estar en ella.3/ para determinar si la dieta logró alguna diferencia. 7aga una prueba con 9 3. . a sea positiva o negativa. Solución +(.. 7o& 23. 8ara calcular el valor de 8 se busca el E.8 9.B--. se rec!a%a 7 3.EB( al cual le corresponde una área a la derec!a de 3. se observa que el valor ma or que aparece en dic!a tabla es . Ensa o de !ipótesis' 22.+3 en el renglón de 6 grados de libertad en la tabla t. (E. entonces se puede concluir que el valor de 8 es prácticamente cero. en libras.? 9?8 9?4 /8.333/.+3 es ma or que (.3/ que los datos indican que los ejercicios aeróbicos disminu en significativamente el ritmo cardiaco durante el reposo. 598 585 9. $alcule el valor de 8. $omo E..(. 7(& Α − − A =0 0 Α A 5<. +0+ tc +. Si la tc M :+.? 9?8 9?4 Aiferencia A %A @ 5 A 9 . Pusti!i"a"i'n B de"isi'n- 33. A5.3/E. @ A %@ -3./-.+0+ ?o se rec!a%a 7o. 598 585 9.((. se conclu e con un 9 3. $omo (.2 9 3.3/ que no existe evidencia estadística que apo e la efectividad de la dieta para variar el peso. por lo tanto no se rec!a%a 73.+0+ ó si tc L +.3/E. 5?. -(. Si @+. pero como el ensa o es bilateral este sería un valor de 8=+. +E..B A@.+0+ se rec!a%a 7o.(3 3..E6 está entre los dos valores críticos de @+.3/..+/. 8ara calcular el valor de 8 se interpola entre 3. con 6 grados de libertad obteniendo un área de 3. Se procederá a calcular las diferencias de cada par' 7ombre # D $ A E U G 7 Q V #ntes 9?9 935 948 9?. C+ "u os- +6. por lo tanto el valor de 8 9 1+2 13. Kegla de decisión' +0.+0+. #l calcular la media de las diferencias nos da + con una s d 9 -.8 9. . -.+0+ +. 93A 9?A 9?< Aespués 93? 93@ 9?@ 9?< 583 589 9. no podemos concluir que la dieta sea efectiva para cambiar el peso.+.( ((.( (+. +.. +. Una máquina produce las varillas de metal utili%adas en el sistema de suspensión de un automóvil.+-.. +. // J d. representan el tiempo de recuperación para pacientes que se tratan al a%ar con uno de los medicamentos para curar infecciones graves de la vejiga' .+E. O$uál es la probabilidad de que x sea ma or que /. Si se supone normalidad en los pesos. se encuentra que los diámetros son' +./.B ((..+. +.3 (+./. +.pulgadas. Solución El intervalo de confian%a del 6/H es @3. con media varian%a desconocida.ía.J b.+E.+/. Una muestra de (+ latas de sopa producida por cierta compa. medidos en on%as' ((.3 . O$ómo modificarían las respuestas a las preguntas anteriores si n 9 -0 J +. /. $alcula el intervalo de confian%a del 6/H para la diferencia de medias poblacionales del ejercicio anterior.como contiene a cero.-0. Un economista considera que el n*mero de galones de gasolina que consume mensualmente cada automóvil en Estados Unidos es una variable aleatoria normal con 9/3 varian%a desconocida. /ro& emas /ropuestos /.. Supóngase que una muestra aleatoria de nueve observaciones presenta una varian%a muestral de -0.+ ((. +. El diámetro de la varilla está distribuido en forma normal. constru a un intervalo de confian%a del 6/H para el peso promedio de todas las latas de sopa producidas por la compa.6 ((.+0.+. +.B (+. +.J c.6 (+.0 (+.B ((.(+.. a.ía produjo los siguientes pesos netos. Se toma una muestra aleatoria de (3 pie%as.++ +. Encuentre el intervalo de confian%a del 66H para el diámetro promedio de todas las varillas de metal. O$uál es la probabilidad de que x este comprendida entre . )os siguientes datos registrados en días. O$uál es la probabilidad de que x sea menor que .. -.+/.. 8.6. los (3 5o ota promedian (( Nm=lto con una desviación estándar de 3. Encuentre un intervalo de confian%a de 66H para la diferencia promedio en el tiempo de recuperación para los dos medicamentos. =. (3.( b. "a or que 6.ías cinematográficas. x( 9 (E s(+ 9 (. Si los (+ >W promedian (0 Pm=lto con una desviación estándar de (.. Entre -. de una población normal con varian%a 9 0. tenga una varian%a s+ a. Supóngase que se toma una muestra de -( bolas se encuentra que la varian%a de los diámetros es de 3. E.Medi"amento 9 n( 9 (. sino la variabilidad de los diámetros. constru a un intervalo de confian%a de 63H para la diferencia entre los Nilómetros promedio por litro de estos dos camiones. encuentre 81s(+=s++< . . Suponga que se utili%aron (+ camiones >olNsSagen (3 5o ota en pruebas de velocidad constante de 63 Nilómetros por !ora.0+ (3. tomadas de poblaciones normales con varian%as iguales. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de +/ observaciones.B 0. $onstru a un intervalos de confian%a de 6/H para la varian%a.B62.o n(9B n+9(+. En este caso en particular no interesa el diámetro medio.B Nm=lto.3 Nm=lto./ Medi"amento 5 n+ 9 (0 x+ 9 (6 s++ 9 (.E.. Una máquina que produce bolas para cojinetes se le detiene periódicamente para verificar el diámetro. Si s(+ s++ representan las varian%as de muestras aleatorias independientes de tama./ E. suponga poblaciones normales con varian%as iguales. mm+. e interprete los resultados. Un experimento compara las economías en combustible para dos tipos de camiones compactos a diesel equipados de forma similar. Encuentre el intervalo de confian%a del 63H para la varian%a del diámetro de las varillas del ejercicio + e interprete resultado. Suponga poblaciones normales con varian%as iguales. B. suponiendo normalidad en la población. )os siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas que producen dos compa. Ae acuerdo con un estudio dietético una ingesta alta de sodio se puede relacionar con *lceras. 8ruebe la !ipótesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante en particular es de (3 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de (3 envases son' (3. 6. $onstru a un intervalo de confian%a de 6BH para la relación de desviaciones estándar del problema n*mero /. miligramos de sodio una desviación estándar de +.633 Pilómetros& S# 9 /... ((.. 6.(33 Pilómetros.Compa:(a Q QQ Tiempo NminutosO (3-..6. (-. 6+. BE. ((3. 6B 6E. (E/. (3.633 Pilómetros 8ruebe la !ipótesis de que no !a diferencia en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia de 3. (/. (+-. Mar"a 0.(.. (. (3. (3. cáncer de estómago migra. Utilice un nivel de significancia de 3.3/.-. BB. )os resultados son' Mar"a A' x# 9 -E.B.. 6. suponiendo normalidad varian%as iguales.3/. Si una muestra aleatoria de +3 porciones similares de Special P tiene un contenido medio de +. de acuerdo con los resultados obtenidos. diga si estuvo bien el supuesto de varian%as iguales. que el contenido promedio de sodio para porciones individuales de Special P es ma or que ++3 miligramosJ Suponga que la distribución de contenidos de sodio es normal. ((B $onstru a un intervalo de confian%a del 63H para la relación de varian%as. Aos secciones de un curso de estadística son sometidas a un mismo examen final. en el nivel de significancia del 3. (3.. en el que se usan (+ llantas de cada marca. Una compa.B litros. el cual se rebasa en la ma oría de las porciones individuales de cereales listos para comerse. Ae las calificaciones obtenidas se extrae una muestra .B33 Pilómetros& SD 9 /.+. El requerimiento !umano de sal es de sólo ++3 miligramos por día.a. Se lleva a cabo un experimento para a udar a llegar a una decisión.xD 9 -6. 6.6.(.E. (3. 5ambién calcule el valor de 8.ía armadora de automóviles grandes trata de decidir si compra llantas de la marca o de la D para sus modelos nuevos.3( suponga que la distribución del contenido es normal. B+. (+./ miligramos Oesto sugiere. $alcule el valor de 8 para este ensa o e interprete su resultado c. de no más de /& un ejecutivo de la compa. +.íaJ Use un nivel de significancia de 3. Una empresa empacadora de a%*car está considerando una máquina nueva para reempla%ar su máquina actual.+(. B/. mientras que los pesos de +3 paquetes de / libras empacados por la máquina nueva dan una varian%a de 3.++B.(3 calcule el valor de 8.3. E(. Una muestra aleatoria de (/ bolsas indicó una media de . 0B.aleatoria de tama.E se supone que los tiempos de llegada se distribu en normalmente.. E+. Oaconsejaría usted al gerente a comprar la máquina nuevaJ Use un 9 3.o .(3.(0. B3 a.3(/ libras. ((. Respuesta a os /ro& emas /ropuestos (. 8or medio de un ensa o de !ipótesis diga si estuvo acertada la suposición de las varian%as iguales en el inciso a2. /6.6.. )os pesos de una muestra de +( paquetes de / libras empacados por la máquina vieja producen una varian%a de 3.#. Si una muestra de (+ llegadas a una parada particular produjo una varian%a de /. a2 3. )a "etro Dus $ompan en una ciudad grande afirma tener una varian%a en los tiempos de llegada de sus carros. b2 3. Suponga que provienen de poblaciones normales con varian%as iguales. 6(. +.36.3/. . a las distintas paradas.En base a estos datos.3/ Opodría decirse que los dos grupos tienen las mismas calificaciones promedioJ.+0-/ 3. libras una desviación estándar de 3. E/. Omuestran estos datos suficiente evidencia para contradecir a la compa.33B0+. otra de tama. (/.3/ calcule el valor de 8..ía ordenó tomar los tiempos de llegada en varias paradas para determinar si los conductores están cumpliendo con sus !orarios. BE.3+& si se supone que la distribución de los pesos es normal.(( . $on un nivel de significación de 3. c2 3. de la experiencia pasada se sabe que la desviación estándar de los pesos es de 3. (B. Omuestran los datos suficiente evidencia para decir que !ubo un aumento en la variabilidadJ. 6/ /3.D. Una máquina automática empacadora de a%*car se usa para llenar bolsas de / libras. B+. 7aga la prueba con un nivel de significación de 3. medidos en minutos. /:. b.6E+E0 2.o 6 en la grupo . 7aga la prueba con un nivel de significancia del 3.B/6 (+. en el grupo Grupo IAIGrupo I0I- 0/. . # menudo se desea saber si las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas. 8ara el caso en que solamente son posibles dos sucesos E( E+ como. caras o cruces. 8or ejemplo... E-. .(( /5. ..0B/. . estuvo bien la suposición de varian%as iguales. 2 . Kegión crítica R+ L +-. 3.+E/.+/. o+. no se rec!a%a 7o no conviene comprar la máquina nueva.E vS : 5 a2 3. los resultados obtenidos de muestras no siempre concuerdan exactamente con los resultados teóricos esperados. 0.EE.3E. t 9 3. que ocurren con frecuencias o(. 2 =. llamadas frecuencias observadas que. e+. 3. e-.06. Kegión crítica :+. a2 Kegión crítica :+.eP llamadas frecuencias teóricas o esperadas./. U 9 (./3 //..3.0E6 2 1 / 1 2+ 0(. seg*n las reglas de probabilidad.B. defectuoso.. el problema queda resuelto satisfactoriamente con los . . por ejemplo. Kegión crítica tL(. b2 8 9 3.. U 9 (. t9 ./. t +.((+6 U . .3E./. etc. Estuvo bien la suposición puesto que el uno esta dentro del intervalo. 3.. seg*n las reglas de probabilidad.+/ t -. se espera que ocurran con frecuencias e(..3-EE (E..66 /.BB rec!a%ar 7o. t 9 +. aunque consideraciones teóricas condu%can a esperar /3 caras /3 cruces cuando se lan%a (33 veces una moneda bien !ec!a. Kegión crítica :-. .3/./EB. 8 9 3. 5.03 6. no se rec!a%a 7o. EP.0B6 x (3:/ (.6.-3 rec!a%ar 7o.+3(.EE por lo tanto no rec!a%a 7o. Kegión crítica R+ L (E. (0. .E3 -. .6 1 >S= 52 +.//6 x (3:.(0. no rec!a%a 7o.+3 (.-3 2 − 1 .+E rec!a%ar 7o. o-. E+. no rec!a%ar 7o.-+B3 Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> UNIDAD IJ /RUE0AS CHI%CUADRADA = ESTADISTICA NO /ARAMETRICA $omo a se !a visto varias veces.. R+ 9 +. b2 3. 3. R+ 9 (+. (-. .E+6. oP. 8 9 3. /2./ c2 Kegión crítica 3. t 9 :3. Kegión critica U L +. +.3E. . Supóngase que en una determinada muestra se observan una serie de posibles sucesos E(. (B.4. /4.+3( t +. . es raro que se obtengan exactamente estos resultados. 8 9 3. :. Este procedimiento se llama ensa(o o $rueba de c:i4cuadrado de la !ipótesis. Si las frecuencias esperadas son al menos iguales a /. 8ara examinar tales situaciones. El n*mero de grados de libertad está dado por' 9N@(@m en donde' P 9 n*mero de clasificaciones en el problema. se deduce que las frecuencias observadas difieren signi)icativa%ente de las esperadas se rec!a%a 7o al nivel de significación correspondiente. # valores ma ores de R +. De!ini"i'n de H5 Una medida de la discrepancia existente entre las frecuencias observadas esperadas es suministrada por el estadístico R+. las frecuencias esperadas se calculan de acuerdo con la !ipótesis 7o. no coinciden exactamente. En caso contrario. En esta unidad se considera el problema general. no se rec!a%ará. dado por' donde si el total de frecuencias es ?. la aproximación mejora para valores superiores. las frecuencias observadas esperadas concuerdan exactamente. Si R+ 9 3. Si bajo esta !ipótesis el valor calculado de R+ dado es ma or que alg*n valor crítico.métodos de las unidades anteriores. mientras que si R+L3. puesto que es raro que las frecuencias observadas concuerden demasiado bien con las esperadas. Aebe advertirse que en aquellas circunstancias en que R + esté %u( $ró'i%a a cero debe mirarse con cierto recelo. ma ores son las discrepancias entre las frecuencias observadas esperadas. EnsaBo de Hip'tesis En la práctica. se puede determinar si el valor calculado de R + es menor que . m 9 n*mero de parámetros estimados a partir de los datos muestrales para obtener los valores esperados. . Ensa o de 7ipótesis' . (0 (+3 Kre"uen"ia esperada 58 58 58 58 58 58 B. 7(& )as frecuencias observadas cargado2. Tota Kre"uen"ia O&ser*ada +/ (E (/ +- +. . ?o se tuvo que calcular ning*n parámetro para obtener las frecuencias esperadas.3/. Ejemplos' (. Cara 9 5 A < @ . Cara 9 5 A < @ . Kre"uen"ia O&ser*ada +/ (E (/ +- +. 1dado bien !ec!o2 0. Ensa ar la !ipótesis de que el dado está bien !ec!o al nivel de significación del 3. Solución -. $omo es bien sabido por todos la probabilidad de que caiga cualquier n*mero en un dado no cargado es de (=0. $omo la suma de los valores observados es de (+3. se multiplica este valor por (=0 dando un resultado de +3 para cada clasificación. )a siguiente tabla muestra las frecuencias observadas al lan%ar un dado (+3 veces. (0 2. Grados de libertad 9 N:(:m 9 0:(:3 9 / 6.las R+ críticas o de tabla 1ensa o unilateral i%quierdo2. 7o& )as frecuencias observadas iguales /. esperadas son diferentes 1dado esperadas son significativamente E. 8rimero se procede a calcular los valores esperados. en cu os casos se decide que la concordancia es bastante buena. En los experimentos de "endel con guisantes. se esperaría' lisos amarillos .(3. 8uesto que los n*meros esperados están el la proporción 6'-'-'( 16<-<-<(9(02. Ae acuerdo con su teoría. Si R+K L((. $álculos' (/. $omo / es menor a ((. O7a alguna evidencia que permita dudar de su teoría al nivel de significación del 3. (3B lisos verdes.( no se rec!a%a 7o. Kegla de decisión' /2.( se rec!a%a 7o. (. El n*mero total de guisantes es -(/<(3B<(3(<-+9//0. 7(& )a teoría de "endel no es correcta. (B. Vustificación decisión' (E.( no se rec!a%a 7o se conclu e con una significación de 3. ((.3/ que el dado está bien !ec!o.. Si R+K ((. (3( rugosos amarillos -+ rugosos verdes. (0.3(J Solución Ensa o de 7ipótesis' 7o& )a teoría de "endel es acertada. (-. observó -(/ lisos amarillos. estos n*meros deberían presentarse en la proporción 6'-'-'(. no se rec!a%a 7o. 7(& )a teoría de "endel es mu acertada.E3 es menor que ((.lisos verdes rugosos amarillos rugosos verdes Grados de libertad 9 N:(:m 9 . se procede a !acer un ensa o unilateral i%quierdo' Ensa o de 7ipótesis' 7o& )a teoría de "endel es acertada. $omo el valor de 3.no se rec!a%a 7o se conclu e con un nivel de significación de 3..se rec!a%a 7o. $álculos' Vustificación decisión' $omo 3..:(:3 9 ?o se tuvo que calcular ning*n parámetro para obtener las frecuencias esperadas..3( que la teoría de "endel es correcta..E3 está cercano a cero. Kegla de decisión' Si R+K ((.. Si R+K L((. . puesto que se tienen dos posibles resultados la probabilidad de éxito se mantiene constante en todo el experimento. Ensa o de !ipótesis' ++.Kegla de decisión' Si R+K 3. ni. Si R+K M 3. la probabilidad de éxito será de 3. Una encuesta sobre -+3 familias con / ni.((/ se rec!a%a 7o. +0. +..as no es igualmente probable.E3 no es menor a 3.3/.as es igualmente probable. tomará valores desde 3 !asta /.x. 73& El nacimiento de ni.os ni.os dio la distribución que aparece en la siguiente tabla.os +-..((/ no se rec!a%a 7o. 7(& El nacimiento de ni. N1mero de ni:os @ < A 5 9 8 N1mero de ni:as 8 9 5 A < @ N1mero de !ami ias (B /0 ((3 BB . /8.o. OEs el resultado consistente con la !ipótesis de que el nacimiento de varón !embra son igualmente posiblesJ Use 9 3. Este experimento tiene un comportamiento binomial. $omo el valor de 3. Se le llamará éxito al nacimiento de un varón o ni./.3 B 29. $omo se quiere ver si es igualmente probable el nacimiento de ni.as.os ni. Solución +(. +/.((/ se conclu e que el experimento o la teoría de "endel solo es buena. 8or lo que la variable aleatoria . . 8robabilidad de ( ni.os + ni.a 9 --.ni. es el n*mero de ni.as 9 -/.os .os 3 ni. en donde n 9 / .os / ni.o .3 B A58 Kre"uen"ias esperadas 98 @8 988 988 @8 98 -B. 8robabilidad de 3 ni.x.as 9 -0. Si cada una de estas probabilidades se multiplican por -+3 se obtienen los valores esperados' N1mero de ni:os @ < A 5 9 8 Tota N1mero de ni:as 8 9 5 A < @ N1mero de !ami ias (B /0 ((3 BB . 8robabilidad de + ni. ni.as 9 -. 8robabilidad de .as 9 -+.ni.as 9 -E. ni. -3..os . Grados de libertad' N:(:m 9 0:(:3 9 / . Kecordando la fórmula de la distribución binomial' +6. +B. que multiplicadas por el n*mero total de familias nos darán los valores esperados en cada clasificación. 8robabilidad de / ni. -(.os ( ni. Utili%ando la fórmula de la distribución binomial se calcularán las probabilidades. 8robabilidad de .+E. . . . se rec!a%a 73 se conclu e con un 3.+.3/ si los resultados obtenidos son consistentes con los esperados. 8 9 5 0o as & an"as 5 9 8 N1mero de e#tra""iones 0 /- 0( Solución Este experimento tiene las características de una distribución !ipergeométrica. se anota su color se vuelven a la urna.blancas.3. Si R+K L((. . $álculos' ..3/ que el nacimiento de !ombres mujeres no es igualmente probable. . . $omo el (+ es ma or a ((.-6.E. Kegla de decisión' 4/. Si R+K ((.(.-. por lo cual se calcularán los valores esperados con el ra%onamiento de esta distribución. Este proceso se repite un total de (+3 veces los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla. Se extraen al a%ar dos bolas de la urna. Vustificación decisión' 9 46./. Aeterminar al nivel de significación del 3.( no se rec!a%a 7o. . Una urna contiene 0 bolas rojas .( se rec!a%a 7o. a la variable aleatoria de interés que en este caso serán las bolas rojas. puede tomar valores desde 3 !asta +.8 @8 . 8or lo tanto .Se llamara . )a fórmula de la distribución !ipergeométrica es' Se tiene' 8robabilidad de extraer 3 rojas + blancas' 8robabilidad de extraer ( roja ( blanca' 8robabilidad de extraer + rojas 3 blancas' $on las probabilidades anteriores se obtendrán los valores esperados multiplicando por (+3.x.x. 8 9 5 0o as & an"as 5 9 8 N1mero de e#tra""iones 0 /- 0( Kre"uen"ias esperadas 98 . no es ma or a /. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> PRUEB% 2I$ U%DR%D% P%R% +% B!"D%D DE+ %#USTE A lo lar6o de este curso nos ocupamos de la prueba de Aip tesis estad$sticas acerca de par#metros de una poblaci n como . no se rec!a%a 7 3 se conclu e con un 9 3. $álculos' Vustificación decisión' $omo el . 8.B..3/ que los resultados son los mismos que los esperados. Ejemplo' .66( se rec!a%a 7o. )a prueba se basa en qué tan buen ajuste se tiene entre la frecuencia de ocurrencia de las observaciones en una muestra observada las frecuencias esperadas que se obtienen a partir de la distribución !ipotética.Grados de libertad' N:(:m 9 -:(:3 9 + Kegla de decisión' Si R+K /. Si R+K L/. )a formula que se utili%ará para calcular el valor de c!i:cuadrada es igual a la de la sección anterior. #!ora se considera una prueba para determinar si una población tiene una distribución teórica específica.66( no se rec!a%a 7o.66(. con el mismo concepto de grados de libertad. Solución . (. (. 8ara calcular el valor de $. E. . son las probabilidades respectivas de cara sello en un solo lan%amiento de la moneda.. la media del n*mero de caras es' . / +/ 5otal 9888 2. 8ara la distribución de frecuencias observada. $ . por lo que 9 /p. 8ara obtener los valores esperados se tiene que utili%ar la formula de la distribución binomial' . N1mero de series N1mero de "aras N!re"uen"ia o&ser*adaO 3 -B ( (. se sabe que 9np en una distribución binomial. 9 3. #justar una distribución binomial a los datos con un 3. + -. 73& )os datos se ajustan a una distribución binomial. (0. donde n en este ejercicio vale /. / caras se muestra en la siguiente tabla.+ - +BE .(. /. de / veces cada serie se observó el n*mero de caras de cada serie.3/. Una moneda fue lan%ada al aire (333 series. 7(& )os datos no se ajustan a una distribución binomial. -. 6. El n*mero de series en los que se presentaron 3.. E (0. seg*n el valor de la variable aleatoria. )a probabilidad multiplicada por (333 nos dará el valor esperado. . la distribución binomial . 3. + 3.B.. +/ ((. 8ara los grados de libertad el valor de % será uno. #l seguir esta fórmula se calcula la probabilidad de obtener caras. Se resumen los resultados en la tabla siguiente' N1mero de "aras N#O /N# "arasO Kre"uen"ia esperada Kre"uen"ia o&ser*ada 3 3..+ -. 6. (3. a que se tuvo que estimar la media de la población para poder obtener el valor de $ así poder calcular los valores esperados. 8or lo tanto ajustada viene dada por p1x2 9 .3+6.+ - 3. #sí pues. / 3.+ -B ( 3. (+.-3BE -3B. +6.(/3E (/3.(0(6 (0(.-(0+ -(0.E +BE .6 (. Grados de libertad' N:(:m 9 0:(:( 9 .3--+ --. . )os resultados obtenidos son los siguientes' N1mero de de!e"tos Kre"uen"ia o&ser*ada 3 -+ ( (/ + 6 ./. +3. no se rec!a%a 7 3 se conclu e con un 9 3. (0. Se re*ne una muestra aleatoria de 03 tarjetas de circuito impreso se observa el n*mero de defectos... (E.6 no se rec!a%a 7o. no es ma or a 6.. (. $álculos' (B.(-. Se propone que el n*mero de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución 8oisson. Si R+K 6. Kegla de decisión' /5.6. Si R+K L6.3/ que el ajuste de los datos a una distribución binomial es bueno.6 se rec!a%a 7o. $omo el E. Vustificación decisión' /8. (/ + 3.6B 6 . 73& )a forma de la distribución de los defectos es 8oisson.3.ó más 3. 8uesto que la frecuencia esperada en la *ltima celda es menor que /. Solución +-.ó más . +.3/.( +. +6.. . N1mero de de!e"tos /ro&a&i idad Kre"uen"ia esperada Kre"uen"ia o&ser*ada 3 3. $on esta fórmula se calculan las probabilidades.0 . Esto es la fórmula de la 8oisson es' +B. )a media de la distribución 8oisson propuesta en este ejemplo es desconocida debe estimarse a partir de los datos contenidos en la muestra. pueden calcularse las probabilidades asociadas con el valor de x.(-- E. 7(& )a forma de la distribución de los defectos no es 8oisson. -3.. 2/.-+ -+ ( 3.+. mismas que se multiplican por 03 para obtener los valores esperados. 7aga la prueba de la bondad del ajuste con un 9 3..E/. 22..-/. +(. +/. O"uestran estos datos suficiente evidencia para decir que provienen de una distribución 8oissonJ. se combinan las dos *ltimas celdas. +E. # partir de la distribución 8oisson con parámetro 3.E+ +B. +0. Si R+K -. (/ + ó más (3. )os grados de libertad serían -:(:(9(. no se rec!a%a 7o. debido a que la media de la distribución 8oisson fue estimada a partir de los datos. Si R+K L-.+. $álculos' -E. no es ma or a -.6.B. Kegla de decisión' 34./ desviación estándar 93.3/ que la distribución de defectos en las tarjetas de circuito impreso es 8oisson. (- -(..N1mero de de!e"tos Kre"uen"ia esperada Kre"uen"ia o&ser*ada 3 +B.B. no se rec!a%a 7 3 se conclu e con un 9 3. -/. --. se rec!a%a 7o. 8ruebe la !ipótesis de que la distribución de frecuencia de las duraciones de baterías dadas en la siguiente tabla.E. -B.. $omo el +.B.-+ -+ ( +(. 4. Vustificación decisión' 38. -+. se puede aproximar mediante una distribución normal con media 9 -... -0. Utilice un . .6/ (3 -./ (/ -.6/ .. .6/ - Solución Se procede a elaborar el !istograma.6/ @ +.. +./ @ (..6/ @ -. para visuali%ar los datos' $omo se puede observar el !istograma tiene una forma que aparenta ser normal./ @ .9 3.3/. 73& )os datos provienen de una distribución normal.. )ímites de clase (...6/ Kre"uen"ias o&ser*adas + (./ ( +.. se probará esta !ipótesis./ @ +..6/ @ ./ / ../ @ -. 6/2 9 3.3B06( )a ra%ón por la cual se comien%a con el límite de (.6/2 9 3.. se estimarían a partir de los datos agrupados con las fórmulas que se vieron en la Unidad QQQ del curso de probabilidad estadística.3(-// +. a que se estimaría la media la desviación estándar. se sustitu e el valor de x por los límites de clase comen%ando con el límite de (.6/ se termina con el límite de .6/ L(mite rea /N#O (. es porque la suma de todas las probabilidades debe ser (..7(& )os datos no provienen de una distribución normal../2 9 3.+0(36 ..E+(3 -./2 9 3.6/ 3..-0 81x .. Se procederá a calcular los valores de % para encontrar las probabilidades en la tabla. Kecordando que ./3 81x +./. 81x -.E0 -..6/ :3.300B3 +.+( 81x (..3E 81x -./ :(..0..E6 81x +.+(.6/ :+. por lo que no se tiene que estimar. )as probabilidades que no se muestran en la tabla anterior están en la curva se calcularon por diferencias. En caso de que no se tuviera. bajo la curva normal. seg*n los limites reales. ./ :3. # continuación se muestra la curva normal con sus respectivas probabilidades./ (.6/2 9 3. tomando en cuenta que para los grados de libertad el valor de % sería +../2 9 3. En este ejercicio en particular se cuenta con la media desviación estándar de la población. +0(36:3.+(+ (.(E $on estas probabilidades se calcularán los valores esperados./2 9 3..3(-// 3./ @ (.+(./ E( 3.E0:3.6/ Kre"uen"ias o&ser*adas /ro&a&i idad Kre"uen"ia esperada + 3.9 3.E6/ /.+/E-.6/2 9 3.+0(369 3.6/2 9 3.6/ @ -.6/ 81-. )ímites de clase (./ @ +...(-3(0 +. -.. +../2 9 3.300B:3.E6/-. multiplicando cada probabilidad por .+(./3:3./ (/ 3.3/-+/ +. (3./.(.6/ x x x x x x +.3(-//.E+(:3.(E.E+( 9 3./2 9 3.300B 9 3.3+E6 -./3:3.6/ 81+.+6-03 ./3 81-./ 81-.81(..E0 9 3.6/ @ +.6/ .3/-+/.6(B(+ +. 3..3.3B06(/ 9 3./32 9 3.+-B6( ....(.+/E-.../ 81+. .600B3 .30 no es ma or de E.(E. Si R+K LE. $álculos' Vustificación decisión' $omo el -.B(/ se rec!a%a 7o. es .B(/.. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> TA0LAS DE CONTINGENCIA En muc!as ocasiones.3 -. 8or tanto.3B06( -. los n elementos de una muestra tomada de una población pueden clasificarse con dos criterios diferentes.6/ (3 3..+00B( (3./ @ -..0E+.3/ que el ajuste de los datos a una distribución normal es bueno.B(/ no se rec!a%a 7o.:(:3 9 - Kegla de decisión' Si R+K E.(E 0.6/ - 3. no se rec!a%a 7 3 se conclu e con un 9 3.E003 Grados de libertad' N:(:m 9 .6/ @ ..-./ @ .../ B/ 3. . pij9uiv#+ donde ui es la probabilidad de que un elemento seleccionado al a%ar pertene%ca al renglón de la clase i. pero puede obtenerse un estadístico de prueba aproximado válido para n grande..interesante saber si los dos métodos de clasificación son estadísticamente independientes. si se supone independencia.. 4++ . . $olumnas 9 5 . .. #!ora bien.. Si se rec!a%a esta !ipótesis. . . " 9 4(( 4(+ . 4+c . 4rc El interés recae en probar la !ipótesis de que los dos métodos de clasificación renglón:columna son independientes. los estimadores de ui vj son' 8or lo tanto.. Una tabla de este tipo usualmente se conoce como ta& a de "ontingen"ia r # ". que el segundo tiene c niveles. En general. dado que las dos clasificaciones son independientes. r 4r( 4r+ . . los datos aparecerán como se muestra en la siguiente tabla. 4+( . Supóngase que el primer método de clasificación tiene r niveles. 4(c 5 Reng ones .. 4 sea 4ij la frecuencia observada para el nivel i del primer método de clasificación el nivel # del seg*ndo método de clasificación. . . v# es la probabilidad de que un elemento seleccionado pertene%ca a la columna de la clase #. Sea pij la probabilidad de que un elemento seleccionado al a%ar caiga el la i#:ésima celda. Entonces. )os procedimientos de prueba exactos son difíciles de obtener. . entonces se conclu e que existe alguna interacción entre los dos criterios de clasificación. .. . .. la frecuencia esperada de la celda es' . Ejemplos' /.3 03 /+ 0- /o"a /E 0- 00 0. !aga una prueba para saber si son dependientes la satisfacción en el trabajo el rango. Solución -. Una asociación de profesores universitarios quiere determinar si la satisfacción en el trabajo es independiente del rango académico. 8or consiguiente. el estadístico tiene una distribución aproximada ji:cuadrada con 1r:(21c:(2 grados de libertad si la !ipótesis nula es verdadera. $on 93. 2.. el rango son dependientes. 7o& )a satisfacción en el trabajo .Entonces. la !ipótesis de independencia debe rec!a%arse si el valor del estadístico de prueba R + calculado es ma or que R+ crítico o de tabla. 8ara ello reali%ó un estudio nacional entre los académicos universitarios encontró los resultados mostrados son la tabla siguiente. /. 7(& )a satisfacción en el trabajo el rango son independientes. Kango 8rofesor Instru"tor Satis!a""i'n en e tra&aMo Regu ar EB BE B+ BB asistente /ro!esor aso"iado /ro!esor Mu"7a . para n grande.:(291+21-2 9 0 . Grados de libertad' 1r:(21c:(2 9 1-:(21.3/. E++ (+. columna se mostrarán en la Kango 8rofesor Instru"tor asistente /ro!esor aso"iado /ro!esor Tota Satis!a""i'n en e Tra&aMo Mu"7a .3 03 /+ 0- +(/ Regu ar EB BE B+ BB --/ /o"a /E 0- 00 0. E. ((. Se calcularán los valores esperados E((. Si R+K L (+. E+(. 6. Si R+K (+. $omo los grados de libertad son 0. $omo se necesitan los totales de renglón tabla' E+-. las faltantes se encuentran por diferencia. Kegla de decisión' =. . +/3 Tota (E/ +(3 +33 +(/ ?88 (-.0./6+ no se rec!a%a 7o. Se procederá a calcular los valores esperados de cada celda. E(+./6+ se rec!a%a 7o. esto quiere decir que necesitamos calcular *nicamente 0 frecuencias esperadas. (3. E(-. Rango 8rofesor Satis!a""i'n Instru"tor .(62 +/3 --/ +(/ Tota Tota (E/ +(3 +33 +(/ ?88 (0. (E... (6..3 Mu"7a 1.+B2 /E /o"a 1/. 9@. Se reunieron los siguientes datos' T u r .E/2 B+ 1B-. En un estudio de un taller.3/ que la satisfacción en el trabajo el rango son independientes.3-2 0./6+. vespertino o nocturno. se re*ne un conjunto de datos para determinar si la proporción de defectuosos producida por los trabajadores es la misma para el turno matutino. los que no se calcularon por fórmula se obtuvieron por diferencia con respecto a los totales./32 /ro!esor 01/E..2 BE 1BE.EB2 BB 163.(.3-2 EB Regu ar 1E-.E.E/2 00 10+.2 010/. )os valores entre paréntesis son los esperados.E/ es menor que el de tabla (+. 10E. /=. Aecisión justificación' $omo el valor de +.0+2 /ro!esor aso"iado /+ 1/-.6.062 asistente 03 1/0. por lo tanto no se rec!a%a 7o se conclu e con un 93. -EB no se rec!a%a 7o. . E++.n o Matutino Jespertino No"turno Aefectuosos No de!e"tuosos . Si R+K L E.-EB se rec!a%a 7o. Se procederá a calcular los valores esperados de cada celda. Grados de libertad' 1r:(21c:(2 9 1+:(21-:(291(21+2 9 + Kegla de decisión' Si R+K E. esto quiere decir que necesitamos calcular *nicamente + frecuencias esperadas. $omo los grados de libertad son +. las faltantes se encuentran por diferencia./ // E3 63/ B63 BE3 Utilice un nivel de significancia de 3. Se calcularán los valores esperados E((. 7(& )a proporción de artículos defectuosos no es la misma para los tres turnos. Solución 7o& )a proporción de artículos defectuosos es la misma para los tres turnos.3+/ para determinar si la proporción de defectuosos es la misma para los tres turnos. -2 BE3 +00/ 1B6-.+6 con el valor de tabla de E.E2 B63 1BBB.E2 No de!e"tuosos Tota 6/3 6.32 63/ 1/0. Sin embargo sería riesgoso concluir que la proporción de defectuosos producidos es la misma para todos los turnos por tener un valor de 8 de 3./ 6.3.-EB.3 5?A@ Aecisión' Si se busca este valor dentro de la tabla de ji:cuadrada con + grados de libertad nos dará un valor de 8 aproximado a 3. Si se observa el valor de la ji: cuadrada calculada de 0./ // E3 (E3 63/ B63 BE3 +00/ Tota 6/3 6./ Jespertino // 1/0.$omo se necesitan los totales de renglón columna se mostrarán en la tabla' Matutino Jespertino No"turno Tota Aefectuosos No de!e"tuosos . ... se llega a la decisión de no rec!a%ar 7o.32 1BB-./ 6.-2 No"turno E3 Tota Aefectuosos (E3 1/E.3.3 5?A@ Matutino . )a !ipótesis nula de este problema establece que las poblaciones son $omog/neas con respecto a las categorías 1como el ejemplo pasado de los diferentes turnos2. la determinación de los grados de libertad el cálculo de la estadística ji:cuadrada para la pruebe de !omogeneidad son idénticos a los de la prueba de independencia. 5radicionalmente. excepto que éstas son continuas. cuando se pueden aplicar ambos . que a menudo no suponen conocimiento de ninguna clase acerca de las distribuciones de las poblaciones fundamentales. un grado + a la segunda mejor. estos procedimientos de prueba se denominan m/todos param/tricos. En esta sección se consideran varios procedimientos de prueba alternativos.alar que !a varias desventajas asociadas con las pruebas no paramétricas. Existen muc!as aplicaciones en la ciencia la ingeniería donde los datos se reportan no como valores de un continuo sino mas bien en una escala ordinal tal que es bastante natural asignar rangos a los datos. entonces la prueba de !omogeneidad es en realidad una prueba sobre la igualdad de r parámetros binomiales. llamados no param/tricos ó m/todos de distribución libre. en particular cuando el tama. por ello una prueba no paramétrica será menos eficiente que el procedimiento paramétrico correspondiente. la ma or parte de estas pruebas a*n son confiables cuando experimentamos ligeras desviaciones de la normalidad. El cálculo de las frecuencias esperadas. Se puede utili%ar entonces una prueba no paramétrica para determinar donde existe alg*n acuerdo entre los dos jueces. 4tra situación com*n se presenta cuando existen r poblaciones de interés cada una de ellas está dividida en las mismas c categorías. )os procedimientos no paramétricos o de distribución libre se usan con ma or frecuencia por los analistas de datos. no utili%an la información que proporciona la muestra. los conteos se introducen en las columnas apropiadas del i:ésimo renglón. En esta situación se desea investigar si las proporciones son o no las mimas en las c categorías de todas las poblaciones. dos jueces deben clasificar cinco marcas de cerve%a de muc!a demanda mediante la asignación de un grado de ( a la marca que se considera que tiene la mejor calidad global.Ta& as de Contingen"ia para pro&ar Homogeneidad El uso de la tabla de contingencia de dos clasificaciones para probar independencia entre dos variables de clasificación en una muestra tomada de una población de interés. En primer lugar. ESTADISTICA NO /ARAMETRICA )a ma or parte de los procedimientos de prueba de !ipótesis que se presentan en las unidades anteriores se basan en la suposición de que las muestras aleatorias se seleccionan de poblaciones normales. )uego se toma una muestra de la i:ésima población.o de la muestra es grande. #fortunadamente. Un ejemplo donde se aplica una prueba no paramétrica es el siguiente. es sólo una de las aplicaciones de los métodos de tablas de contingencia. etcétera. Se debe se. cualquier diferencia tiene la misma probabilidad de ser negativa o positiva. . Esto es. o ma or o igual. Uórmense las diferencias #!ora bien si la !ipótesis nula es verdadera. una prueba no paramétrica requerirá la correspondiente prueba no paramétrica. )a mediana de una distribución es un valor de la variable aleatoria R tal que la probabilidad de que un valor observado de R sea menor o igual. Sin embargo. Un estadístico de prueba apropiado es el n*mero de estas diferencias que son positivas. si se puede aplicar una prueba paramétrica una no paramétrica al mismo conjunto de datos. ./. la media de una distribución normal es igual a la mediana. En consecuencia. para lograr la misma potencia. que la mediana es 3. la prueba del signo puede emplearse para probar !ipótesis sobre la media de una población normal. 8uesto que la distribución normal es simétrica. . $omo se indicó antes. . Rn es una muestra aleatoria tomada de la población de interés. . Esto es cierto en particular para la prueba t la prueba 2. 8or consiguiente. que no siempre se tienen mediciones cuantitativas. se debe reconocer que las suposiciones de normalidad a menudo no se pueden justificar. se rec!a%a 7 3 en favor de 7( sólo si la proporción de signos positivos es suficientemente menor . /RUE0A DEL SIGNO )a prueba del signo se utili%a para probar la !ipótesis sobre la mediana de una distribución continua. la prueba de la !ipótesis nula es en realidad una prueba de que el n*mero de signos positivos es un valor de una variable aleatoria binomial con parámetro 8 9 X. R+.métodos. Suponga que las !ipótesis son' Supóngase que R(. ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramétricas estándar. 8or consiguiente. debemos aplicar la técnica paramétrica más eficiente. por ejemplo K<. el valor 8 citado puede ser ligeramente erróneo si existe una violación moderada de la suposición de normalidad. #l probar la !ipótesis que se muestra al principio. 8uede calcularse un valor 8 para el n*mero observado de signos positivos r< directamente de la distribución binomial. En el caso de la prueba t la prueba 2. En resumen. 8or tanto. Esto es equivalente a que el n*mero observado de signos r< sea suficientemente grande o suficientemente peque. 8ara probar la otra !ipótesis unilateral se rec!a%a 73 en favor de 7( sólo si el n*mero observado de signos más. Si las !ipótesis son' se rec!a%a 73 si la proporción de signos positivos difiere de manera significativa de X 1 a se por encima o por debajo2. cada ve% que la fracción observada de signos positivos es significativamente ma or que X. entonces se r< cuando p 9 X2 Si el valor 8 es menor que alg*n nivel preseleccionado rec!a%a 73 se conclu e que 7( es verdadera. si el valor 8 calculado 8 9 81K< r< cuando p 9 (=+2 es menor que .o2. de manera equivalente. Ejemplos' /. entonces se rec!a%a 73 se conclu e que 7( es verdadera.que X 1 o de manera equivalente. 8or tanto. es grande o. si el valor 8 calculado 8 9 81K< r< cuando p 9 (=+2 es menor o igual que alg*n nivel de significancia seleccionado previamente. Una característica importante es la resistencia . entonces 73 se rec!a%a se conclu e que 7( es verdadera. 5ambién puede probarse la alternativa bilateral. r<. Un artículo informa cerca de un estudio en el que se modela el motor de un co!ete reuniendo el combustible la me%cla de encendido dentro de un contenedor metálico. si r< Ln=+ el valor 8 es 89+81K< Y si r< Ln=+ el valor 8 es 89+81K< r< cuando p 9 X2 .o. cada ve% que el n*mero observado de signos positivos r< es mu peque. En consecuencia. /3 Q (/ (E0/.(.-3 Q (..+3 Q + (0EB. +--0.(/ % (+ +-66.+3 Q .al esfuer%o cortante de la unión entre los dos tipos de sustancias.E3 Q (( +(0/.E3 % (E +. utili%ando 9 3./3 Q E (EB.63 Q (6 +0/.E/ Q / ++3E. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos al probar +3 motores seleccionados al a%ar..3 Q B +/E/. Se desea probar la !ipótesis de que la mediana de la resistencia al esfuer%o cortante es +333 psi.-3 % (0 +3/-..(3 Q (B ++33./3 Q 6 +-/E.B3 % ..3/.33 Q (- (EE6. +30(. Solución Se mostrará la tabla del ejercicio con respecto a la mediana.// Q - +-(0.-3 % 0 (E3B. es función del investigador poner los signos O&ser*a"i'n Resisten"ia a es!uer6o "ortante #i Signo de a di!eren"ia O&ser*a"i'n #i%5888 Resisten"ia a es!uer6o "ortante #i Signo de a di!eren"ia #i%5888 ( +(/B. /n varian%a 3.((/.E3 % Ae la tabla se puede observar que el estadístico de prueba r < 9 (..3/.no es menor que 93. dado que la media de la distribución binomial es n$ la varian%a es n$. es ma or que n=+9+3=+9(3. la distribución binomial esta bien aproximada por la distribución normal cuando n es al menos (3. Kegla de decisión' Si el valor de 8 correspondiente a r<9(. cuando p 9 X2 93../. cada ve% que n es moderadamente grande. 8or consiguiente las !ipótesis pueden probarse con el estadístico' )as reglas de decisión se establecerán como cualquier ensa o en una distribución muestral en donde se utili%a la distribución normal. es menor o igual que rec!a%a 73.E3 Q +3 (E/-. la distribución de K< es aproximadamente normal con media 3.3/ se )a 8 se calcula con la fórmula de la distribución binomial' $onclusión' $omo 893. 8or tanto.(3 ++/0.+/n. el valor de 8 se calcula de 89+81K< (. Otra manera de reso *er e pro& ema es "on Apro#ima"i'n norma $uando p93. no es posible rec!a%ar la !ipótesis nula de que la mediana de la resistencia al esfuer%o constante es +333 psi. 8ara resolver el problema anterior' . $álculos' 8uesto que r<9(. Se e-uipan /6 . Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> Prueba del Si3no para Muestras Pareadas 7ambi*n se puede utili. aun si las poblaciones son asim*tricas se puede lle0ar a cabo el mismo procedimiento de prueba.60.ar la prueba de si6no para probar la Aip tesis nula para obser0aciones pareadas. es positi0a o ne6ati0a.60 (.$omo la es ma or que (3 se utili%ará la aproximación normal. Kegla de Aecisión' Si @(.3/ que la mediana es de +333 psi.60 ó si FK L (.60 FK (. A-u$ se reempla.a cada di1erencia. di>d. Sin embar6o. 42emplo3 /.EB6 esta entre @(.60 Se rec!a%a 7o $álculos' Aecisión $onclusión' se conclu e con un $omo (.60 ?o se rec!a%a 7o Si FK M :(. Una compa+$a de ta"is trata de decidir si el uso de llantas radiales en lu6ar de llantas re6ulares con cintur n me2ora la econom$a de combustible. A lo lar6o de esta secci n suponemos -ue las poblaciones son sim*tricas.. di. no se rec!a%a 73 93. con un si6no m#s o menos dependiendo si la di1erencia a2ustada. pero las Aip tesis se re1ieren a las medianas poblacionales en lu6ar de las medias. + ..6 (- /....B 0 .0 0..6 (3 .3 (+ /.6 / 0. E /. Se re6istra el consumo de 6asolina..( 0.6 (( 0.E /.autom 0iles con llantas radiales 5 se mane2an por un recorrido de prueba establecido.- (.E /.. 0. m#s por el recorrido de prueba.6 - 0. Sin cambiar de conductores.( + .E .E 0. E..B 6 E. en Bil metros por litro.+ .6 0.E B 0. de la si6uiente manera3 Autom'*i L antas radia es L antas "on "intur'n ( .+ .3 /.6 . se e-uipan los mismos autos con llantas re6ulares con cintur n 5 se mane2an una 0e./ ... 0./ .3 0.. .( Q + ./ se rec!a%a 7o.3/ que los autos equipados con llantas radiales obtienen mejores economías de combustible que los equipados con llantas regulares con cinturónJ Solución Kegla de decisión' Si %K (../ no se rec!a%a 7o.0.+ .+ Q .( (0 .B OSe puede concluir en el nivel de significancia de 3.0 0.E ..(/ 0.B E.6 .... Si %KL (.6 % - 0. Se procede !a reali%ar las diferencias entre de los Nilómetros por litro entre llantas radiales con cinturón' Autom'*i L antas radia es L antas "on "intur'n d ( .0. 0.(..+ .6 .B % 0 .6 Q / 0.( % (0 .../ .E /....6 8 (( 0.E 0.B E. E.6 Q (3 . 0.B Q #l observar las diferencias se ve que sólo existe una n9(.3/ $omo +. Q E /.E 8 B 0.3 /.. es ma or a (.3 0..6 0.. a que se descartan los valores de cero.- Q (../ se rec!a%a 73 se conclu e con un que las llantas radiales mejoran la economía de combustible.. .6 .6 Q (- /.( 0. Se tiene r< 9 (( Aecisión conclusión' 9 3.3 Q (+ /.E /.0./ Q (/ 0.B Q 6 E. a . W:.4 con .a. Ael mismo modo.4 es peque.4 es grande.a. W:.4 por tanto .+ es grande . Esta prueba se aplica en el caso de una distribución continua simétrica. así sucesivamente. a cada una se le asignaría un rango de /. )os diversos procedimientos de prueba para los casos de una sola muestra de una muestra pareada se resumen en la siguiente tabla' . 8ara una alternativa bilateral se puede rec!a%ar 7 3 a favor de 7( si . respectivamente./ por UranN Wilcoxon. como valores de las correspondiente variables aleatorias W<. Ae esta manera se puede considerar a ./RUE0A DE RANGO CON SIGNO DE RILCOHON Se puede notar que la prueba de signo utili%a sólo los signos más menos de las diferencias entre las observaciones 3 en el caso de una muestra.4. 8or ejemplo.4. si la quinta sexta diferencia son iguales en valor absoluto. propuesta en (6.. 8rimero se resta 0 de cada valor muestral diferencias iguales a cero. un rango de + a la siguiente más peque. W.o. Se asigna un rango de ( a la diferencia absoluta más peque. se clasifican las diferencias de las observaciones paradas sin importar el signo se procede como en el caso de una muestra. rec!a%ar la !ipótesis nula cuando el valor de la estadística apropiada W<.4. )a !ipótesis nula = 3 se puede rec!a%ar a favor de la alternativa < 3 sólo si . #l seleccionar muestras repetidas esperaríamos que variarían . Si la !ipótesis = 3 es verdadera.a. pero no toma en consideración la magnitud de estas diferencias. $uando el valor absoluto de dos o más diferencias es el mismo. se llama a!ora com*nmente prue&a de rango "on signo de Ri "o#on.+ . Dajo esta condición se puede probar la !ipótesis nula = se descarta todas las 3.as. por tanto . la alternativa > 3 se puede aceptar sólo si . . son suficientemente peque./. Se designa el menor de . Una prueba que utili%a dirección magnitud. el total de los rangos que corresponden a las diferencias positivas debe ser casi igual al total de los rangos que corresponden a las diferencias negativas. Se representan esos totales como . ?o importa cuál !ipótesis alternativa puede ser.+ .+ es peque.+ .+ .+ o . Dos Muestras "on O&ser*a"iones /areadas 8ara probar la !ipótesis nula de que se muestrean dos poblaciones simétricas continuas con 1= 2 para el caso de una muestra pareada. o los signos más menos de las diferencias entro los pares de observaciones en el caso de la muestra pareada.. se asigna a cada uno el promedio de los rangos que se asignarían si las diferencias se distinguieran. o W es suficientemente peque. (0 muestra valores críticos aproximados de W< W: para niveles de significancia iguales a 3.-. (.3/.++ . )a !ipótesis nula se rec!a%a si el valor calculado .? Rangos (. +.3/ que este compensador particular opera con una media de (.3/ para una prueba de una cola.++ ./.< (E para que la alternativa unilateral < 0 sea significativa en el nivel 3.(3 para una prueba de dos colas.3/ 3. valores críticos de W para niveles de significancia iguales a 3.3+/ 3. todos los valores posibles de .B. cuando n9(+ la tabla #.+. la tabla #.B !oras antes de requerir una recarga.(0 muestra que se requiere un valor de . es menor o igua 2ue el valor de tabla apropiado.(3 para una prueba de dos colas. )os siguientes datos representan el n*mero de !oras que un compensador opera antes de requerir una recarga' (.3+.3.0.?o es difícil mostrar que siempre que nM/ el nivel de significancia no exceda 3. +. 3.E.@ +. Solución 73& 7(& = 1.- @.3. +. Utilice la prueba de rango con signo para probar la !ipótesis en el nivel de significancia de 3.4+ o ./.6.8 1. conducirán a la aceptación de la !ipótesis nula. Dato di $ dato % 9. 3. (.+ 3. (. Ejemplos' (.+ (. 8or ejemplo. cuando / n -3. 3.4+ o .3/ para una prueba de una cola ó 3.3(. Sin embargo./ :3. 3 . (.8 a poner rango con signo a los Se procederá a efectuar las diferencias datos.. (. + A (.no es menor que B.+ 9 E < .3 3.6 :3.+ por lo que .o puede aumentar su calificación en el área del campo de especialidad del examen de ./ :3.+ A (. no se rec!a%a 7 3 se conclu e con un 9 3.+ A (.( 9 Kegla de decisión' 8ara una n 9 (3.4 9 /.9 (.@ +.42.3.E :3.0 4 (.(0 muestra que la región crítica es S B.B.- @.3/ que el tiempo promedio de operación no es significativamente diferente de (. $álculos' . $omo (.+ :3.B 3 Se anu a (./ < (3 < B < .- :3.< .1menor entre . Se afirma que un estudiante universitario de *ltimo a. la tabla #.+ Aecisión $onclusión' . 9 (.6 98 (./ ? +.< /.0 :3. después de descartar la medición que es igual a (. +.B !oras.3 3./ < 6 < ( 9 . - /-3 (3 /E/ /+.os en la universidad. /E6 /3+ / . 8ara probar esta afirmación.o en (3 pares de modo que cada par tenga casi el mismo promedio de puntos de calidad general en sus primeros a. se dividen +3 estudiantes del *ltimo a.3 - 00- 0BB . )os problemas respuestas de muestra se proporcionan al a%ar a un miembro de cada par una semana antes del examen.registro de graduados en al menos /3 puntos si de antemano se le proporcionan problemas de muestra. Se registran las siguientes calificaciones del examen' /ar Con pro& emas de muestra Sin pro& emas de muestra ( /-( /36 + 0+( /. 0 003 0B- E /6( /0B B E(6 E.B 6 /. 8ruebe la !ipótesis nula en el nivel de significancia de 3./( . Solución .+.3/ de que los problemas aumentan las calificaciones en /3 puntos contra la !ipótesis alternativa de que el aumento es menor a /3 puntos. < $álculos' ((. por lo que se procede a calcular las diferencias entre las muestras luego restarles el valor de /3.@ / . se resta d3 de cada diferencia. +E :+- 5 0 003 0B- :+- :E- ? E /6( /0B +- :+E A. - 00- 0BB :+/ :E/ 4 .@ . /E6 /3+ EE +E A. respectivamente. 73& 7(& 1 − − 2 = 50 < 50 1 2 Kegla de decisión' 8ara n9(3 la tabla muestra que la región crítica es . En este caso las poblaciones no necesitan ser simétricas.)a prueba de rango con signo también se puede utili%ar para probar la !ipótesis nula 1− 2 = d3./( . En este caso d3 9 /3. Se representara con 1 2 la calificación media de todos los estudiantes que resuelven el examen en cuestión con sin problemas de muestra. /ar Con pro& emas de muestra Sin pro& emas de muestra di di E d8 Rangos ( /-( /36 ++ :+B @ + 0+( /. $omo con la prueba de signo.+. se clasifican las diferencias ajustadas sin importar el signo se aplica el mismo procedimiento.3 B( -( . en promedio./ Aecisión $onclusión' $omo (3. Imprimir Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido >> << Contenido >> Problemas Propuestos /. avellanas./ es menor que (( se rec!a%a 73 se conclu e con un 9 3./ < ( 9 (3. /( ( 9 . distribución normal con media 8or tanto. se puede utili%ar la estadística para determinar la región crítica de la prueba. 0eces un dado con los si6uientes resultados3 H ( + . Se encuentra que una lata que contiene /33 . anacardos pacanas a ra%ón de /'+'+'(. no aumentan las calificaciones de registro de graduados en /3 puntos. Apro#ima"i'n Norma para Muestras Grandes $uando n (/.B :+6 :E6 98 6 /.+ 9 0 < -. -. cuando n excede el valor más grande en la tabla #.3(.- /-3 (- :-E 3 (3 /E/ /+.(0. OEs un dado balanceadoJ Utilice un 9 3.3/ que los problemas de muestra. la distribución muestral de W< ó W: se aproxima a la varian%a .a /=. Se lan. / 0 ! +B -0 -0 -3 +E +- 2. Se supone que una máquina me%cla caca!uates.B E(6 E. Se seleccionan tres canicas de una urna que contiene cinco canicas rojas tres verdes. Aespués de repetir el experimento +/0 veces. Z =. Aespués de registrar el n*mero ' de canicas rojas.. #l nivel de significancia de 3. ((+ avellanas. / 0 E B ! (-0 03 -./ pacanas. $on los siguientes datos. L(mite de " ase Kre"uen"ia (3 : (6 - +3 @ +6 + -3 @ -6 - . x 9 (.3/ de que la distribución observada de x se puede ajustar por una distribución geométrica g1x&(=+2.3 @ .3/ pruebe la !ipótesis de que la máquina me%cla las nueces a ra%ón de /'+'+'(. anacardos . pruebe la bondad de ajuste entre las frecuencias de clase que se observan las frecuencias esperadas correspondientes de una distribución normal con 9 0/ 9 +(.de estas nueces me%cladas tiene +06 caca!uates.6 .3/. . 8ruebe la !ipótesis con un nivel de significancia de 3. (+ 6 ( - ( E. )os resultados que se obtienen son los siguientes' H 3 ( + - K ( -( // +/ /. E. /3 @ /6 / . se obtuvieron los siguientes resultados' H ( + . -. 0. utilice un nivel de significancia de 3. 8ruebe la !ipótesis con un nivel de significancia de 3.3/. las canicas se reempla%an en la urna el experimento se repite ((+ veces. de que los datos registrados se pueden ajustar a una distribución !ipergeométrica. +. Se lan%a una moneda !asta que sale cara se registra el n*mero de lan%amientos x. 03 @ 06 (( E3 @ E6 (.3/. En un experimento para estudiar la dependencia de la !ipertensión de los !ábitos de fumar. -E -+ Secundaria (6 . ((.B +0 (6 (3. 8ruebe la !ipótesis de que la presencia o ausencia de !ipertensión es independiente de los !ábitos de fumar.+ (E Universidad (+ (E (3 8ruebe la !ipótesis. Una muestra aleatoria de +33 !ombres casados. se tomaron los siguientes datos de (B3 individuos' No !umadores Kumadores moderados Kumadores empedernidos Con 7ipertensi'n +( -0 -3 Sin 7ipertensi'n .o de la familia es independiente del nivel de instrucción del padre. todos retirados. 6. con un nivel de significancia de 3. 63 : 66 . de que el tama. B3 @ B6 (. se clasifica de acuerdo con la educación el n*mero de !ijos' N1mero de 7iMos Edu"a"i'n 8%9 5%A M+s de A Elemental (.3/. Utilice un nivel de significancia de 3. . B.B6 3. Se registraron las siguientes lecturas diarias en un período de dos semanas' D(a Instrumento A Instrumento 0 ( 3.EE 3.E/ 3./6 3.B+ 3.0( 3.60 3. $on el uso de la aproximación normal a la distribución binomial. realice una prueba de signo para determinar si los diferentes instrumentos .06 B 3.6.0./( (+ 3.// / 3. (. 3.B( 3.B. 3./- (3 3.(+./E 6 3. 3.6( 3.E0 0 3. - 3. Se comparan dos tipos de instrumentos para medir la cantidad de monóxido de a%ufre en la atmósfera en un experimento de contaminación atmosférica. 3.BB (( 3.0B 3.0- .BE + 3.E6 (- 3.0/ 3. 3.0- (-.E.E3 E 3. conducen a diferentes resultados. Utilice un nivel de significancia de 3.3/. (.. )os siguientes datos representan el tiempo, en minutos, que un paciente tiene que esperar durante (+ visitas al consultorio de una doctora antes de ser atendido por ésta' (E (/ +3 +3 -+ +B (+ +0 +/ +/ -/ +. Utilice la prueba de rango con signo al nivel de significancia de 3.3/ para probar la afirmación de la doctora de que la media del tiempo de espera para sus pacientes no es ma or que +3 minutos antes de entrar al consultorio. (/. )os pesos de cuatro personas antes de que dejan de fumar cinco semanas después de dejar de fumar, en Nilogramos, son los siguientes' Indi*iduo 9 5 A < @ #ntes 00 B3 06 /+ E/ Aespués E( B+ 0B /0 EUtilice la prueba de rango con signo para observaciones pareadas para probar la !ipótesis, en el nivel de significancia de 3.3/, de que dejar de fumar no tiene efecto en el peso de una persona contra la alternativa del que el peso aumenta si deja de fumar. (0. )os siguientes son los n*meros de recetas surtidas por dos farmacias en un período de +3 días' D(a Karma"ia A Karma"ia 0 ( (6 (E + +( (/ - (/ (+ . (E (+ / +. (0 0 (+ (/ E (6 (( B (. (- 6 +3 (. (3 (B +( (( +- (6 (+ +( (/ (- (E (( (. (+ (3 (/ (0 +3 (0 (/ (+ (E +3 (- (B (B (E (6 (. (0 +3 ++ (B (E. Utilice la prueba de rango con signo al nivel de significancia de 3.3( para determinar si las dos farmacias, en promedio, surten el mismo n*mero de recetas contra la alternativa de que la farmacia # surte más recetas que la farmacia D. (B. Se afirma que una nueva dieta reducirá el peso de una persona ../ Nilogramos, en promedio, en un período de dos semanas. Se registran los pesos de (3 mujeres que siguen esta dieta antes después de un período de dos semanas, se obtienen los siguientes datos' MuMer /eso antes /eso despuSs ( /B./ 03.3 + 03.- /..6 - 0(.E /B.( . 06.3 0+.( / 0..3 /B./ 0 0+.0 /6.6 E /0.E /... B 0-.0 03.+ 6 0B.+ 0+.- (3 /6.. /B.E (6. Utilice la prueba de rango con signo al nivel de significancia de 3.3/ para probar la !ipótesis de que la dieta reduce la mediana del peso en ../ Nilogramos contra la !ipótesis alternativa de que la mediana de la diferencia en pesos es menor que ../ Nilogramos. 2.. Se toman (3 muestras de un ba,o de cultivo sobre placa utili%ado en un proceso de fabricación de componentes electrónicos, se mide el p7 del ba,o. )os valores de p7 medidos son E.6(, E.B/, 0.B+, B.3(, E..0, 0.6/, E.3/, E.-/, E.+/, E..+. )os ingenieros creen que el valor de la mediana del p7 es E.3. O )a muestra indica que esta proposición es correctaJ Utilice la prueba del signo con 9 3.3/ para investigar esta !ipótesis. Encuentre el valor 8 de esta prueba. +(. Se mide de manera rutinaria el nivel de impure%as 1en ppm2 en un producto químico intermedio. En una prueba reciente se observan los datos siguientes' +.. +./ (.E (.0 (.6 +.0 (.- (.6 +.3 +./ +.0 +.- +.3 (.B (.- (.E +.3 (.6 +.- (.6 +.. (.0 O8uede afirmarse que la mediana del nivel de impure%a es menor que +./ ppmJ Estable%ca pruebe la !ipótesis apropiada utili%ando la prueba de signo con 9 3.3/. O$uál es el valor 8 de esta pruebaJ Respuestas a os /ro& emas /ropuestos (. Kegión crítica R+ L (/.3B0, R+ 9 ...E por lo tanto no rec!a%ar 73, el dado está balanceado. +. Kegión crítica R+ L E.B(/, R+ 9 (3.(., rec!a%ar 73. )as nueces no están me%cladas en la proporción /'+'+'(. -. Kegión crítica R+ L /.66(, R+ 9 (.0E, no rec!a%ar 73. )os datos se ajustan a una distribución !ipergeométrica. .. Kegión crítica R+ L ((.3E, R+ 9 +./E, no rec!a%ar 73. )os datos se ajustan a una distribución geométrica. /. Kegión crítica R+ L (+./6+, R+ 9 (+.EB, rec!a%ar 73. )os datos no se ajustan a una distribución normal. 0. Kegión crítica R+ L /.66(, R+ 9 (..0, rec!a%ar 73. )a presencia o ausencia de !ipertensión !ábitos de fumar no son independientes. E. Kegión crítica R+ L 6..BB, R+ 9 E./., no rec!a%ar 73. El tama,o de la familia es independiente del nivel se educación del padre. B. Kegión crítica @(.60 % (.60, %9 +.0E, rec!a%ar 73. 6. Kegión crítica S: (( para una n9(3, S: 9 (+./, no rec!a%ar 73. (3. Kegión crítica S< ( para n 9 /, S< 9 -./, no rec!a%ar 73. ((. Kegión crítica %L+./E/. %9 +.B3, rec!a%ar 73, la farmacia # surte más recetas que la farmacia D. (+. Kegión crítica S< (( para una n 9 (3. S< 9 (E./, no rec!a%ar 73. (-. +81K< B = p 9 3./2 9 3.(36 , como no es menor a 3.3/, no se rec!a%a 73. (.. 73& 7(& 81K< INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA += p 9 3./2 9 3.333+, se rec!a%a 73. Imprimir Imprimir << Contenido >> << Contenido BIB+I!4R%,I% Ce0ore. Pc LraU Eill.?. PendenAall. Se6unda 4dici n. (2. ?. !rimera 4dici n. @. ?.... !robabilidad 5 4stad$stica para Dn6enier$a 5 Ciencias. !rimera 4dici n. Teimer. !robabilidad 5 4stad$stica Aplicadas a la Dn6enier$a. Suinta 4dici n. (/88=). Imprimir INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA << Contenido . Se"ta 4dici n. Pc LraU Eill.@. (/88=). T. Talpole. C4CSA. P5ers.7. S. 4stad$stica. 4stad$stica para Administradores.C. !rimera 4dici n. !robabilidad 5 4stad$stica para Dn6enier$a. (/88.C. 4. SAea11er. (/886). 7Aomson @earnin6.C. Pont6omer5. Lrupo 4ditorial Dberoam*rica. Serie ScAaum.). ?. (/886). P. !robabilidad 5 4stad$stica para Dn6enieros. Se6unda 4dici n.@. 5 PcCla0e. Spie6el. ?.).). !rentice Eall. R. R.. C. 5 P5ers. 5 ?un6er L. Lrupo 4ditorial Dberoam*rica. (/8:. 4stad$stica.E.