Física IIIFISICA III APUNTES DE ELECTRICIDAD ING. REYNALDO SOSA DOMINGUEZ Física III INDICE INTRODUCCION ELECTROSTATICA ELECTRIZACION POR FROTAMIENTO LEY DE COULOMB LEY DE LAS CARGAS CAMPO ELECTRICO LINEAS DE FUERZA EN UN CAMPO ELECTRICO LEY DE GAUSS POTENCIAL ELECTRICO Y ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA CONDENSADORES RIGIDEZ DIELECTRICA ENERGIA EN UN CONDENSADOR PROBLEMARIO AGRUPAMIENTO DE CAPACITORES CORRIENTE ELECTRICA LEY DE OHM RESISTIVIDAD TEMPERATURA Y RESISTORES POTENCIA ELECTRICA ENERGIA ELECTRICA RESISTORES EN SERIE RESISTORES EN PARALELO PROBLEMARIO LEYES DE KIRCHHOFF PUENTE DE WHEATSTONE PUENTE REGLA ELECTROQUIMICA PILA VOLTAICA PILA SECA ACUMULADOR RESISTENCIA INTERNA AGRUPAMIENTO DE PILAS PROBLEMARIO BIBLIOGRAFIA 1 2 2 2 2 10 11 13 22 30 31 33 38 40 49 51 55 56 58 59 62 64 74 78 81 82 90 90 91 91 92 92 99 102 Física III INTRODUCCION. El presente trabajo pretende ayudar al estudiante en la comprensión de los diferentes temas de Física III, que se imparte en el semestre V, del Nivel Medio Superior en el IPN, en el área físico-matemático. La finalidad que se persigue con éste es explicar los conceptos básicos de Física III, y en función del proceso de enseñanza aprendizaje inducir al estudiante en la aplicación de éstos en la solución de problemas. Es necesario que el estudiante comprenda el concepto en forma clara, para aplicarlo correctamente en la solución de problemas. Por esta razón, los problemas han sido resueltos de manera platicada para que el alumno pueda asimilar el concepto físico; o sea, sí se entienden las bases de la física se pueden resolver problemas. Se ha puesto especial cuidado en lo fundamental de la Física III y se ha reducido al mínimo el material superfluo. Es más importante comprender lo que significa una relación y como puede usarse, que saber cuales técnicas matemáticas se usaron para deducirla. y se expresa en Newtons (N). K es una constante que vale 9*109 y se expresa en N*m2/C2 r es la distancia entre las partículas eléctricas. como pedacitos de tela o esferitas pequeñas de médula de saúco. vocablo que se deriva de la voz griega elektron y que significa ámbar. razón por la cual resultan buenos conductores de la electricidad. Los metales tienen la virtud de poseer electrones libres. es directamente proporcional al producto de sus cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que estén separadas. En el caso del ámbar. los cuerpos han quedado electrizados con carga eléctrica. que puede ser de atracción o repulsión. La Ley de las Cargas indica que cargas de igual signo se repelen y cargas de signos contrarios se atraen. Coulomb descubre y publica la ley que lleva su nombre. LEY DE LAS CARGAS. la cual dice: la fuerza que se manifiesta entre dos esferillas cargadas eléctricamente. La carga negativa se le asocia al electrón y la carga positiva se le asocia al protón. éste adquiere la propiedad de atraer objetos pequeños. expresadas en coulombs (C). LEY DE COULOMB. éste queda cargado negativamente y la lana queda cargada positivamente.Física III ELECTROSTATICA. Se ha encontrado en los laboratorios de Física que cargas iguales se repelen y que cargas diferentes se atraen. la varilla también atraerá esferitas de médula de saúco. Se dice que un cuerpo está cargado negativamente cuando tiene un exceso de electrones y el cuerpo estará cargado positivamente cuando tenga un déficit de electrones. El mismo efecto se logra sí se frota una varilla de vidrio con una tela de seda. Q y Q1 son las cargas eléctricas de las partículas. Se está hablando de electricidad. expresada en metros (m). En ambos casos. En 1785 el Sr. ELECTRIZACION POR FROTAMIENTO. Cuando se frota ámbar con lana. El modelo matemático de esta ley es: F=K QQ1 r2 F es la fuerza. La varilla de vidrio adquiere carga positiva y la seda carga negativa. como se muestra en el siguiente esquema: Fuerzas de repulsión en cargas eléctricas positivas: . 11*10-31 Kg.Física III Fuerzas de repulsión en cargas eléctricas negativas: Fuerzas de atracción en cargas eléctricas diferentes: Fuerzas de atracción en cargas eléctricas diferentes: La carga mínima que se encuentra en la naturaleza es la del electrón (que se considera negativa) y la del protón (que se considera positiva). .6*10-19 coulombs y se designa con la letra e minúscula. La masa de estas partículas es: Masa del electrón vale 9. con relación a la masa del electrón. siendo sus magnitudes las siguientes: Electrón: su carga es -1. La masa del protón. es 1833 veces más grande (1. y la Masa de protón vale 1. PROBLEMA.67*10-27 Kg.67x10-27 /9.6*10-19 y se designa con la letra p minúscula.11x10-31 = 1833). Protón: su carga es +1. también calcular la masa y el peso de tales electrones: Para determinar el número de electrones que contiene un coulomb determinamos el inverso de la carga del electrón. Calcular el número de electrones que suman una carga eléctrica de un coulomb. Física III Número de electrones que tiene un coulomb = 1 / 1.58*10-11 Kg PROBLEMA. F = m a .6*10-19 = 6.11 x 10-31 Kg la magnitud de la carga eléctrica.11*10-31 = 5.69*10-12 Kg.11*10-31) =4.6*10-19)/(6.25*1018*9. Determinar la relación entre la carga eléctrica y la gravitatoria de 2 electrones: F =(K* Q* Q´/ r2 )/(G* m * m´ / r2 ) = (9*109*1. Cálculo de la fuerza de atracción: F = 9 x 109 x ( 1. es de 1.6 x 10-19 )2 / ( 5 x 10-11 )2 = 9. ecuación de la segunda ley.16*1042 veces. Calcular la fuerza de atracción entre ambas partículas y la velocidad lineal del electrón. DATOS: r = 5 x 10-11 m me = 9.6*10-19*1. .6 x 10-19 C Las fórmulas que se usarán son: F = K Q Q´ / r2 ar = v2 / r . Se supone que la órbita es circular y que el radio es de 5 x 10 -11 m.81 = 5.69*10-12*9. tanto del protón como del electrón.11*10-31*9. por lo tanto el peso de estos es: w = mg = 5. El átomo de hidrógeno tiene un protón en su núcleo y un electrón en órbita.67*1011 *9.22 x 10-8 N Cálculo de la velocidad lineal: F = m a = m ( v2 / r ) Despeje de v y sus cálculo: PROBLEMA. ar es la aceleración centrípeta.25*1018 e La masa de los electrones es: mt = 6. como se muestra en la figura adjunta. se tiene: De acuerdo con el diagrama vectorial se determinan las siguientes ecuaciones: W = Fr*senA Fe = Fr*cosA Despejando de la primera ecuación. o sea.Física III Es decir. Dos esferas chiquitas iguales e igualmente cargadas eléctricamente.16*10 42 mayor que la fuerza de origen gravitacional. anterior. debido a la repulsión entre ambas esferillas se separan 10cm. se suspenden del mismo punto mediante hilos de seda de 13 cm de longitud. a Fr y sustituyendo en la segunda ecuación. de un décimo de gramo de masa. que la fuerza de origen gravitacional no significa nada (la distancia r se eliminan en la relación). PROBLEMA. Calcular la carga de cada una: Haciendo el diagrama de vectores. que la fuerza de origen eléctrico es 4. se tiene: . Determinar la fuerza resultante que actúa en la carga 5 de la figura adjunta: .13x10-8 C. PROBLEMA.Física III Fe = (W/senA )*cosA = W/tanA = K Q Q´/ r2 W/tanA = K(Q Q´/r2) Como Q = Q´ y W = mg.4 Sustituyendo y haciendo operaciones se tiene: Q = 2. queda entonces: mg/tan A = K Q2 / r2 Despejando a Q se tiene: Q= mgr 2 K tan A A vale cos-1 (5/13) = 67.38o La tan de A vale 2. 87o El ángulo de F54 vale: θ54 = 180o + tg-1 5/3 = 239.04o Las distancias de las cargas 1 a la 4 con relación a la carga 5 son: .Física III El diagrama de vectores de este problema se presenta a continuación. la fuerza F53 es de atracción y la fuerza F54 es de repulsión). la fuerza F52 es de atracción. tomando en consideración la atracción o repulsión entre cargas eléctricas (la fuerza F51 es de atracción.46o El ángulo de F52 vale: θ52 = 180o + tg-1 4/7 = 209.74o El ángulo de F53 vale: θ53 = 360o – tg-1 4/3 = 306. Aplicando trigonometría se determinan los ángulos de estos vectores: El ángulo de F51 vale: θ51 = 180o – tg-1 5/7 = 144. 35*10^-5 N Para el cálculo de las magnitudes de los vectores no se usan los signos de las cargas.30*10^-5 N El valor de la resultante después de sustituir es de: Fr = 10.28 * 10^-5 N El ángulo de la resultante vale: θr = 180o + tg-1 (9.Física III F51 = (9*10^9)(2*10^-9)(10*10^-9)/(8.78o .00*10^-2)^2 = 5.83*10^-2)^2 = 6. respectivamente.43*10^-5 N Los caracteres * y ^ significan multiplicación y potencia.30/4.38*10^-5 N ΣFY = -9.49*10^-5 N F53 = (9*10^9)(2*10^-9)(7*10^-9)/(5.38) = 244.60*10^-2)^2 = 2. Ahora se realizará la suma analítica de los vectores fuerza: ΣFX = F51 cos θ51 + F52 cos θ52 + F53 cos θ53 + F54 cos θ54 ΣFY = F51 sen θ51 + F52 sen θ52 + F53 sen θ53 + F54 sen θ54 Sustituyendo se tiene: ΣFX = -4. F52 = (9*10^9)(2*10^-9)(9*10^-9)/(8.06*10^-2)^2 = 2.04*10^-5 N F54 = (9*10^9)(2*10^-9)(12*10^-9)/(5. razón por la cual no es necesario escribirlas. Matemáticamente corresponde con: E = F / Q´ El campo eléctrico en el punto Po también es un VECTOR (por tal razón está formado por módulo. El campo eléctrico en el punto Po del espacio (un punto cualesquiera) se define como el cociente de la fuerza de origen eléctrico que experimente una carga eléctrica de prueba positiva entre la magnitud de dicha carga. será la dirección y sentido del campo eléctrico en dicho punto. que se deberá suponer una carga positiva en dicho punto.y tendrá la dirección y sentido del vector F sí la carga de prueba es positiva (como se muestra en el esquema anterior). CAMPO ELECTRICO.Física III No se deben usar los signos de las sumatorias y las potencias se eliminan. . Dado que el campo eléctrico varía en el espacio. y la dirección y sentido de la fuerza de origen eléctrico que actúa sobre la carga positiva de prueba. para determinar el campo eléctrico en un punto cualquiera. Una línea de fuerza es una línea imaginaria dibujada de tal manera que su dirección en el punto P es la misma que la dirección del campo eléctrico en ese punto. Se debe tener presente. LINEAS DE FUERZA EN UN CAMPO ELECTRICO. el campo eléctrico en el punto Po es creado por la presencia de la carga eléctrica Q. como las que se muestran en el siguiente esquema. una línea de fuerza es una curva. que puede ser positiva o negativa. dirección y sentido). Pero recordemos que F es de origen eléctrico y por lo tanto se tiene: F = K QQ´/ r2 Sustituyendo en la expresión de la definición de campo eléctrico se tiene: E = (K QQ´/ r2 ) / Q´= K Q / r2 (se elimina la Q´) En otras palabras. El campo eléctrico se expresa en newtons / coulombs (N / C). Física III Física III En la figura se presentan las formas que deben tener las líneas de fuerza, sí el campo eléctrico es creado por una carga positiva, por dos cargas; una positiva y la otra negativa y dos cargas positivas. En vista que el campo eléctrico es un vector, las líneas de fuerza deben indicar la dirección del campo, razón por la cual las líneas de fuerza tienen dibujadas puntas de flecha en el esquema anterior, para indicar la dirección de éste. Por otro lado, cada línea de fuerza, de un campo eléctrico, es una línea continua que se inicia en una carga positiva y termina en una carga negativa; además las líneas de fuerza no se cortan. Para determinar el número de líneas de fuerza que se deben dibujar se considera: N = Єo E A Es decir, el número de líneas por unidad de área es directamente proporcional a la magnitud del campo eléctrico (N es el número de líneas de fuerza, A es el área que atraviesan las líneas de forma perpendicular, E es la magnitud del campo eléctrico; perpendicular al área y Єo es una constante que vale 8.85 x 10-12 C2 / N m2). La constante K y Єo están relacionadas por la siguiente expresión: K= 1 4 o Física III Sí ahora se hacen las siguientes operaciones y sustituciones algebraicas, se tiene: El campo eléctrico es: N = o 1 4 o E=K 1 Q Q = 2 4 o r 2 r 1 Q Q A= A 2 4 r 2 r Sí se considera que la carga eléctrica Q está en el centro de una esfera de radio r, el área de ésta es: A = 4 π r2 ; sustituyendo se tiene: N= 1 Q 4 π r2 = Q 2 4 r Es decir, el número de líneas de fuerza que salen de una esfera que contiene una carga positiva Q es igual a dicha carga. LEY DE GAUSS. Recordemos que el campo eléctrico a la distancia r de una carga puntual eléctrica Q es: E = K Q / r2 Se considera que el número de líneas de fuerza por unidad de área es proporcional al campo eléctrico, es decir: N αE A Haciendo la igualdad se tiene: N = Єo E A Єo es : Єo = 1 = 8.85 x 10-12 C2 / Nm2 4K A Єo se le conoce como la permisividad del espacio libre (recuerde que K = 9x109 Nm2/C2). Todos los puntos que están a una distancia r de la carga puntual Q definen una esfera de radio r. En estas condiciones la expresión anterior queda como: despejando a F queda: F = E Q´. También. calcular la . que dice: el número de líneas de fuerza de campo eléctrico que salen de una esfera (la esfera es una superficie serrada) es igual a la carga eléctrica neta positiva que se encuentra dentro de ella. Para trabajar con la ley de Gauss es necesario conocer la siguiente expresión: σ=Q/A ó Q=σA Donde: σ es la densidad de carga eléctrica en una superficie (carga eléctrica por unidad de área). PROBLEMA. b) la fuerza que actúa sobre una carga de 4*10-10 C. distantes 10cm. sustituyendo los valores conocidos queda: F = (500 N/C)(4*10-10 C) = 2*10-7 N PROBLEMA. de la carga Q. La superficie de una esfera está dada por: A = 4 π r2 Sustituyendo ésta en la ecuación X y también la expresión del campo eléctrico se tiene: N = Єo 1 4 o Q 4 π r2 = Q 2 r Generalizando se puede escribir: N = Σ Єo E A = Σ Q Y ésta es la expresión de la ley de Gauss. a) hallar la intensidad del campo eléctrico en el punto medio.Física III N = Єo E A ………………………………………………………………………. Hallar: a) la intensidad del campo eléctrico en el aire a una distancia de 30 cm. en el aire. que tiene una magnitud de 5*10-9 C. entre dos cargas de 20*10-8 C y -5*10-8 C.X Esto implica que se consideran todas las líneas de fuerza que salen de la superficie de la esfera y que tienen su origen en la carga Q (se considera que Q es positiva).. a) E = K Q / r2 = 9*109*5*10-9/(30*10-2)2 = 500 N/C b) E = F / Q´. situada a 30 cm de la carga Q. que es positiva. Con la carga positiva en Po y la carga Q1. la fuerza que experimentan éstas es de repulsión. la dirección y sentido del campo eléctrico E1 en Po corresponde con la dirección y sentido de la fuerza de repulsión (esto está indicado en el esquema anterior) que experimenta la carga de prueba positiva. La carga eléctrica de prueba se considera positiva y la carga Q 2 es negativa. razón por la cual la fuerza que experimentan ambas cargas es de atracción y la dirección y sentido que tiene esta fuerza es la dirección y sentido que tendrá el vector campo eléctrico debido a Q2 (esto está indicado en el esquema anterior). E1 = 9*109*20*10-8/(5*10-2)2 = 720000 N/C E2 = 9*109*5*10-8/(5*10-2)2 = 180000 N/C . A continuación se presenta el diagrama vectorial de los campos eléctricos creados por las dos cargas eléctricas: SOLUCION a: Recuerde que para determinar la dirección y sentido del vector campo eléctrico se debe considerar una carga eléctrica de prueba positiva en el punto en cuestión. Por lo tanto. DATOS: Q1 = 20 * 10-8 C Q2 = -5 * 10-8 C Q´ = 4 * 10-8 C Esquematizando los datos del problema se tiene: Po es el punto medio entre ambas cargas. b) sí en lugar de la carga de -5*10-8 C se coloca otra de 5*10-8 C calcular el campo eléctrico resultante en el punto medio.Física III fuerza que actúa sobre una carga de 4*10 -8 C situada en el punto medio de las dos primeras cargas mencionadas. Er = E1 – E2 = 720000 – 180000 = 540000 N/C. pero el vector E2 cambia de sentido. El vector E1 no cambia. Calcular el campo eléctrico resultante en el punto P4 con los datos presentados en el esquema adjunto.Física III Para calcular el módulo de los vectores campo eléctrico no se debe usar el signo de las cargas eléctricas. simplemente se hace una suma para determinar el vector campo eléctrico resultante. PROBLEMA. de acuerdo con el esquema anterior. Er = E1 + E2 = 720000 + 180000 = 900000 N/C SOLUCION b: La carga eléctrica Q2 ahora tiene el valor 5 * 10-8 C. La magnitud del vector E2 no cambia pero el vector resultante sí. donde se plasma lo dicho. Como los vectores E1 y E2 tienen la misma dirección y sentido. porque ahora la carga eléctrica Q2 es positiva y la fuerza entre ésta y la carga de prueba es de repulsión. . el diagrama de vectores campo eléctrico.81*10^11 N/C Recuerde que para calcular el módulo del vector campo eléctrico no se usan los signos de las cargas.59*10^11 N/C Diferente escritura pero mismo significado.75o Cálculo de los módulos de los vectores campo eléctrico: La formula que se usará es: E = K q / r2 Por lo tanto se tiene: E1 = 9*10^9*13*10^-3 / (32*10^-3)^2 = 1.Física III De acuerdo con los datos proporcionados y lo dicho en el problema anterior. queda como se muestra en el diagrama anterior. Cálculo de las distancias: Cálculo de los ángulos de los vectores campo eléctrico: Θ1 = 360o – tg-1(20/25) = 321.3*10^-3)^2 = 1. E3 = 9*10^9*15*10^-3/ (27. A continuación se calcularán ΣEx y ΣEy: ΣEx = E1 cos Θ1 + E2 cos Θ2 + E3 cos Θ3 .14*10^11 N/C E2 = 9x109x18x10-3 / (25x10-3)2 = 2.34o Θ2 = 0o Θ3 = 180o + tg-1(11/25) = 203. para este problema. 59 x 1011 sen 0o + 1.81 x 1011 cos 203.59 x 1011 cos 0o + 1.Física III Sustituyendo se tiene: ΣEx = 1.75o = 1.82 x 1011 N/C Ahora se calcula ΣEy: ΣEy = E1 sen Θ1 + E2 sen Θ2 + E3 sen Θ3 Sustituyendo se tiene: ΣEy = 1. el campo eléctrico resultante se localiza en el IV cuadrante del espacio X-Y. DATOS: q1 = 10 μC q2 = 15 μC Para determinar la dirección y sentido del vector campo eléctrico que crean las cargas q1 y q2 es necesario considerar una carga eléctrica positiva en el punto .14 x 1011 sen 321.32 x 1011 N/C PROBLEMA. Calcular el campo eléctrico resultante en el punto P de la figura adjunta.1.81 x 1011 sen 203. Ahora se calcula el valor del vector campo eléctrico resultante y su ángulo: ER = 2.34o + 2.75o ΣEy = .14 x 1011 cos 321.34o + 2.44 x 1011 N/C Por lo tanto. 52 .802)/(2*70*138.Física III P.23o = 155.5) = 0.703772 Determinando el ángulo C.5) = 0.911926 A = 24.52)/(2*80*70) = -0.38*103 N/C .5*10-2)2) = 70.138.933315 B = 21.23° Cos B = (a2 + c2 . el diagrama de vectores es el que se muestra a continuación: Para determinar los ángulos de los vectores campo eléctrico es necesario calcular los ángulos A y C del triángulo mostrado.73o El ángulo del vector E2 vale: Θ2 = 180o – A = 180o – 24.52 .c2)/(2ab) = (802 + 702 .04° (el ángulo B no se necesita pero ya está calculado) El ángulo del vector E1 vale: Θ1 = C = 134. se tiene: C = cos-1(-0. Con esta consideración.a2)/(2bc) = (702 + 138.703772) = 134.625*103 N/C E2 = 9*109*(15*10-6/(138. c2 = a2 + b2 .73° Ahora se calcula el ángulo A del triángulo mostrado: Cos A = (b2 + c2 .77o Ahora aplicaremos la fórmula E = K q / r2 para calcular las magnitudes de los campos eléctricos E1 y E 2: E1=9*109*(10*10-6/(80*10-2)2) = 140. Esto se hará con la ley de Cosenos.b2)/(2ac) = (802 + 138.702)/(2*80*138.2abcos C Despejando a cos C y sustituyendo valores se tiene: Cos C = (a2 + b2 . 38 x 103 cos 155.73o + 70.tg-1(1. La separación de las placas es de 3 mm y el diámetro de las placas es de 25 cm.38 x 103 sen 155.77o ΣEx = -163147 N/C ΣEy = E1 sen Θ1 + E2 sen Θ2 ΣEy = 140.64° PROBLEMA.29*105/1.73o + 70.63*105) = 141. . Un capacitor de placas planas paralelas tiene una densidad de carga en éstas de 9 x 10-4 coulombs por metro cuadrado (la carga en cada placa es igual pero de signo contrario).625 x 103 sen 134.Física III Hacemos ΣEx y ΣEy ΣEx = E1 cos Θ1 + E2 cos Θ2 ΣEx = 140.77o ΣEy = 128788 N/C Ahora se calcula el vector campo eléctrico resultante: Sustituyendo se tiene: Θr = 180 . Determinar la magnitud del campo eléctrico entre las placas.625 x 103 cos 134. POTENCIAL ELECTRICO Y ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA.85 x 10-12 = 101. como el que se muestra en la figura adjunta. Se construye un cilindro gaussiano.Física III SOLUCION. despejando a E se tiene: E = σ / Єo Los datos son: D = 25 cm d = 3 mm σ = 9 x 10-4 C / m2 Єo = 8. para la superficie interna de la placa izquierda. La única superficie (A´) que cruzan las líneas de fuerza es la del cilindro. El único campo eléctrico que existe es el que se presenta en el interior de las placas. . como se muestra en la figura.85 x 10-12 C2/Nm2 Sustituyendo en: E = σ / Єo = 9 x 10-4 / 8. Aplicando la ley de Gauss se tiene: Єo E A´ = Q pero Q = σ A´ Єo E A´ = σ A´ o sea.7 x 106 N/C. por unidad de carga (venciendo las fuerzas de origen eléctrico). Otra manera de definir el potencial eléctrico es indicando. ésta manifiesta una energía potencial eléctrica.Física III El potencial eléctrico. A continuación se determinará la relación entre potencial eléctrico y campo eléctrico. se puede escribir de la siguiente manera: Para la evaluación del potencial eléctrico sí se usa el signo de la carga eléctrica. A continuación se determina la expresión matemática para la energía potencial eléctrica de una carga eléctrica inmersa en un campo eléctrico. para desplazarla desde el infinito hasta un punto P. Pero recordemos que trabajo es igual a fuerza por distancia y entonces la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera: V = F r / q´ Pero F es una fuerza de origen eléctrico y de acuerdo con la ecuación de la Ley de Coulomb. realizando las siguientes operaciones algebraicas: Cuando una carga eléctrica se encuentra dentro de un campo eléctrico. en un punto de un campo eléctrico. Recordemos que el potencial eléctrico está dado por: Nota: el significado de Q y q es el mismo. Despejando a la energía potencial eléctrica W. se tiene: . se define como la energía que posee una carga eléctrica positiva en dicho punto por unidad de carga. Lo dicho anteriormente queda plasmado por la siguiente ecuación: V = w/q´ El potencial eléctrico es una magnitud escalar (no es una magnitud vectorial). que es el trabajo que se realiza sobre una carga eléctrica positiva de un coulomb (inmersa en un campo eléctrico). Esta energía potencial eléctrica de una carga eléctrica es similar a la energía potencial que manifiesta un cuerpo de masa m en un campo gravitacional. Calcular el trabajo necesario para trasladar una carga de 5*10 -8 C. en el área. a 50 cm de la carga de 2*10 -6 C.Física III Recordando que V = K q / r y sustituyendo en la expresión anterior. PROBLEMA.6*10-19=1. Calcular el potencial en un punto situado a 10-12m de dicho núcleo y la energía potencial eléctrica de un protón en ese mismo punto.6*10-19/10-12) =72000volts W = Vq = 72000*1. V =K (q/r) V = 9*109*(50*1. Recuerde que en esta ecuación sí se usa el signo de las cargas eléctricas. hasta otro punto a 10 cm de ella. desde un punto. Un núcleo atómico tiene una carga de 50 protones. se tiene: E= V r Al cociente V / r se le denomina gradiente de potencial. De acuerdo con la ecuación que relaciona el potencial eléctrico con el campo eléctrico ( V = E r ) y despejando a E. DATOS: q =2*10-6 C q´= 5*10-8 C Haciendo un esquema con los datos que nos dan en el problema se tiene: . Nota: en este caso el potencial y la energía eléctrica son cantidades escalares y para el cálculo de estas magnitudes sí se deben utilizar los signos de las cargas.152*10-14joules PROBLEMA. se tiene: Y ésta es la expresión que permite evaluar la energía potencial eléctrica de una carga eléctrica q´ que se encuentra inmersa en un campo eléctrico. Sí las dos cargas eléctricas son positivas entonces se da una repulsión entre ellas. calcular el trabajo que se debe realizar para lograr ésto. W = 144000*(5*10-8)) = 7.Física III La carga q´ se debe mover del punto P 1 al punto P2 (y por supuesto. razón por la cual se debe de hacer trabajo para acercar a q´ a q). Las fórmulas que se usarán son: V = K*(q/r) V =w/q W = Vq´ Se calcula el potencial en el punto P1 V1 = 9*109*(2*10-6/50*10-2) V1 = 36000 V Se calcula el potencial en el punto P2 V2 = 9*109*(2*10-6/10*10-2) V2 = 180000 V Ahora se calcula la diferencia de potencial entre el punto P2 y el punto P1: V21 = V2 – V1 = 180000 – 36000 = 144000 V Contando con la diferencia de potencial entre los dos puntos. calculamos el trabajo que se debe realizar para mover la carga eléctrica q´ del punto 1 al punto 2. Hallar el potencial eléctrico en el 4 vértice: . En un vértice de un rectángulo de 3*4 cm se coloca una carga de -20 pC y en los vértices contiguos cargas de +10 pC.2*10-3 J PROBLEMA. de acuerdo con el esquema adjunto.Física III De acuerdo con los datos se cuenta con el esquema anterior. a) calcular el trabajo necesario para trasladar una carga de 5*10 -4 C desde el punto C hasta el D. b) determinar cual de los 2 puntos esta a mayor potencial. respectivamente. su expresión matemática se puede escribir de la siguiente forma: V=KΣ q r Haciendo el desarrollo de la fórmula para nuestro problema se tiene: V = 9x109 x 10-12 ( 10/ 3x10-2 – 20/ 5x10-2 + 10/ 4x10-2 ) El 10-12 de pico también se saco como factor común. Dado que el potencial eléctrico es una magnitud escalar. siendo la distancia entre ambas cargas de 100 cm. Inciso a: .65 V PROBLEMA. En los puntos A y B se colocan cargas eléctricas de +200 pC y -100 pC. Por lo tanto se tiene: V = 1. 6 x 10-19 = 9.88 .6 x 10-17 J (1/2)( mv2 ) = 9.13*(5*10-4)=5.25) = 10.(-2. Inciso b: El punto D está a mayor potencial.6 x 10-19 C me = 9.Física III V =KΣ (q/r) Sustituyendo valores: VD = 9*109[200*10-12/20*10-2 -100*10-12/80*10-2] = 7. Calcular la energía cinética y la velocidad final que adquiere un electrón cuando alcanza el ánodo. entonces. Un filamento emite electrones que se aceleran hacia el ánodo debido a una ddp de 600 V entre cátodo y ánodo.25 V Calculando la diferencia de potencial entre los puntos D y C: VDC = 7.88 V VC = 9*109[200*10-12/80*10-2 -100*10-12/20*10-2] = -2.065*10-3 J Sí el trabajo resultara negativo. la carga eléctrica haría trabajo en lugar de hacer trabajo sobre ella.6 x 10-17 . PROBLEMA.13 V Calculando el trabajo que se requiere hacer para mover la carga eléctrica del punto C al D: V = W/q Sustituyendo valores: W = 10. DATOS: V = 600 V Qe = 1.11 x 10-31 Kg Fórmula: V=W/Q Cálculo de la energía: W = V Q = 600 x 1. Física III v = ( 2 x 9.6 x 10-17 / 9.11 x 10-31 )(1/ 2 ) = 14.52 x 106 m/s PROBLEMA. Calcular el trabajo que realiza un campo eléctrico al mover un electrón entre una diferencia de potencial de 6 V. DATOS: V=6V Qe = 1.6 x 10-19 C Fórmula: W=VQ Calculo del trabajo: W = 6 x 1.6 x 10-19 = 9.6 x 10-19 J PROBLEMA. Una carga eléctrica positiva está en reposo en un campo eléctrico vertical y dirigido hacia arriba, de acuerdo con el esquema adjunto. Calcular la diferencia de potencial V entre las placas, sí la partícula tiene una masa de 7 x 10 -17 Kg y una carga eléctrica positiva de 5 x 10-18 C. DATOS: Q = 5 x 10-18 C m = 7 x 10-17 Kg La fuerzas que actúan en la partícula son: Física III De acuerdo con el diagrama de vectores se tiene: EQ=mg Pero E=V/r O sea (V / r) Q = m g Despejando a V V = r m g / Q = 0.02 x 7 x 10-17 x 9.81 / 5 x 10-18 = 2.75 V PROBLEMA. Partiendo del reposo un electrón, con una diferencia de potencial de 1500 V. ¿Cuál es su velocidad final? DATOS: V = 1500 V q = 1.6*10-19 C m = 9.11*10-31Kg Vo = 0 m/s La ecuación del potencial eléctrico es: V =W/q La ecuación de la energía cinética es: Ec = ½ mv2 Igualamos la energía potencial eléctrica a la energía cinética: W =Vq =1/2mv2 Despejamos a la velocidad: v= 2Vq m Sustituyendo se tiene: Física III v = 23.0 x 106 m/s Sí comparamos esta velocidad del electrón con la velocidad de la luz se tiene: (23 x 106 / 3 x 108) x 100 = 7.67 % La velocidad del electrón es tan solo el 7.67 % de la velocidad de la luz. CONDENSADORES. El condensador se define como un sistema formado por dos conductores (o armaduras) muy próximos, y separados por una placa de un dieléctrico. La característica del condensador es que puede acumular cargas eléctricas en sus armaduras de signos opuestos. Por otro lado, cada conductor de una línea de transmisión de energía eléctrica forma un condensador con el suelo y con cada uno de los demás conductores de la línea. Con este enfoque, cualquier cuerpo puede almacenar carga eléctrica, y la expresión que permite calcular la capacidad del cuerpo para almacenar carga eléctrica está dada por: C=Q/V Donde: Q es la carga almacenada en el cuerpo en cuestión, expresada en coulombs (C). V es el potencial al cual se efectúa la carga, expresado en volts (V). F es la capacidad eléctrica del cuerpo expresada en faradios (F). Un faradio equivale a un coulomb por un volt (1 F = 1 C / 1 V ). Sí el condensador está formado por dos placas planas paralelas su capacidad está dada por la siguiente ecuación: C = ε r εo A / d Donde: A es el área de una de las placas del condensador expresada en m2, d es la separación de las placas expresada en m, εo es una constante que tiene un valor de 8.85 x 10-12 C2 / N m2 (a esta constante se le denomina permisividad del vació), εr es la constante dieléctrica de un material dado (no tiene unidades, es adimensional) y C que es la capacidad del condensador, expresada en faradios ( F ). El capacitor está formado por 2 conductores que transportan cargas iguales y opuestas. es directamente proporcional a la componente perpendicular (al área) del campo eléctrico. por unidad de área. se tiene: ε o En A = Q Pero Q / A se denomina densidad de carga eléctrica en una superficie (σ). por lo que se tiene: ε o En = Q / A = σ O sea: .0 Mica 5.0 Caucho 3.0 Teflón 2.0 Aceite de transformador 4.006 Baquelita 7.Física III A continuación se presenta una tabla con la constante dieléctrica de varios materiales.0 Vidrio 7. La rigidez dieléctrica de un material varía con las condiciones ambientales.0 Papel parafinado 2. εo es una constante. razón por la cual es válido escribir: ΔN / ΔA = εo En Sabiendo que el número de líneas de fuerza que salen de una superficie es igual a la carga neta dentro de ella y haciendo operaciones. que atraviesan a ésta.0 RIGIDEZ DIELECTRICA. MATERIAL CONSTANTE DIELECTRICA DEL MEDIO Aire seco a 1 atm 1.5 Plástico 9. y el número de líneas de fuerza es igual a la carga que está dentro del área. El campo eléctrico entre las placas de un capacitor es: E=V/d El número de líneas de fuerza. se conoce como rigidez dieléctrica de dicho material. del campo eléctrico. El valor límite del campo eléctrico E en el cual un material pierde sus propiedades aislantes. Co = d C = Co es la capacidad de un condensador o capacitor. se pueden tener altos voltajes.Física III En = σ / ε o A εo se le denomina permisividad del espacio libre y se relaciona con la constante K (cuyo valor es 9x109 Nm2/C2) por la siguiente expresión matemática: εo = 1 C2 / Nm2 = 8. Despejando a Q se tiene: Q= A o V d Las ventajas de usar un dieléctrico en un condensador son: 1. sin haber contacto. el cual se expresa en faradios. la separación entre las placas de un capacitor (d) es pequeña. la inserción de un dieléctrico entre las placas de un capacitor provoca una caída en el voltaje V. el dieléctrico no alcanza el punto de ruptura. 3. 6. Se reescribe la ecuación anterior para resaltar que el dieléctrico d A o entre placas del condensador es aire. entonces se puede escribir: Q V = A o d Haciendo algunos cambios queda: A o Q = =C d V cuerpo).85 x 10-12 C2 / N m2 4K Sí E = V / d y E = Q / ( εo A ). 5. lo que ocasiona un incremento en la capacitancia. mayor resistencia mecánica. la inserción de un dieléctrico origina una reducción en el campo eléctrico (E) entre las placas de un condensador. . 2. 4. por lo tanto. (que es la definición de capacidad eléctrica de un O sea: A o . se incrementa la capacidad del condensador. 3. por lo tanto.. Al terminarse la carga del condensador ya se tiene una diferencia de potencial de valor V.. razón por la cual la energía es entonces: W = (1 / 2) V Q.. se tiene: V=Ed (expresiones εr = C / Co = Vo / V = Eo / E Las literales Co. se tiene una diferencia de potencial media. Haciendo operaciones algebraicas con C = Q / V y que se han visto anteriormente).La energía eléctrica debido a la carga eléctrica vale: W = V Q.5 de la diferencia de potencial final en el proceso de carga.Recordando que C = Q / V y haciendo operaciones algebraicas se llega a lo siguiente: Despejando a Q se tiene: Q = C V y sustituyendo en: W = (1 / 2) V Q = (1 / 2) V C V = (1 / 2) C V2 . A continuación se describe la carga del condensador y el porque de la energía. 1.Cuando se inicia la carga del condensador se tiene que la diferencia de potencial entre las armaduras es de cero. Vo y Eo se usan para cuando se tiene vacío o aire entre las placas del condensador y C.Física III Entonces. ε es la permisividad del dieléctrico. la nueva capacidad es: C = εr Co = εr o A d ε = εr εo εr = ε / εo εr es una constante denominada constante dieléctrica o permisividad relativa del material. con un dieléctrico entre las armaduras del capacitor. pero esta V es 0. ENERGIA EN UN CONDENSADOR. La carga eléctrica que se carga en un condensador o capacitor permite que se pueda realizar trabajo con la energía de dicha carga. V y E para cuando hay un dieléctrico entre ellas. Recuerde que V = Q / C (V es de cero porque al inicio Q es de cero). 2. Calcular: a) la capacidad del condensador si el dieléctrico es aire. Un condensador cuyo dieléctrico entre sus placas es aire tiene una capacidad de 8 nF. El coeficiente dieléctrico del vidrio es 6. DATOS: D = 25cm d =2 mm V = 300 V εr = 1 (para aire) εr = 5. Calcular la capacidad que se tendría si se introdujera vidrio entre sus armaduras.Física III Sí ahora se despeja a V se tiene: V = Q / C y sustituyendo en: 1 1 Q2 Q W = (1 / 2) V Q = Q = 2 2 C C En resumen. El diámetro de las placas de un condensador de placas paralelas es de 25 cm y la separación de éstas es de 2 mm. c) sí al condensador se le coloca una placa de mica de 2 mm de espesor como dieléctrico. DATOS: C1 = 8 nF εr = 1 (para aire) εr = 6 (para el vidrio) En este caso la nueva capacidad del condensador es: C2 = 6 (C1) = 6 x 8 x 10-9 = 48 x 10-9 F = 48 nF PROBLEMA.6 (para la mica) . se tiene para la energía almacenada en un condensador que: W= 1 1 1 Q2 QV= C V2 = 2 2 2 C W se expresa en joules. cual es su nueva capacidad y en cuanto se incrementa la carga almacenada y d) la energía almacenada en el condensador cuando tiene la placa de mica. b) la carga almacenada en él. El condensador está conectado a una fuente de 300 V. PROBLEMA. 999 x 10-7 C = 3 x 10-7 C Inciso d) Se calcula la energía almacenada en el condensador: W = (1/2)(QV) = (1/2)*3.Física III Las formulas son: C=Q/V C = ε r εo A / d W = (1/2)(QV) Inciso a) Se calcula el área: A = π D2 / 4 = π (0.6 x 2.85*10-12*0.152 x 10-10 x 300 = 3.48*10-5 J PROBLEMA. separadas por una capa de aire de 3 mm de espesor.04909/2*10-3 = 2. la energía W almacenada y la intensidad del campo .25)2 / 4 = 49.51 x 10-8 = 2. B) Sí se conecta el condensador a una fuente de 1500 V.152 x 10-10 F Se calcula la nueva carga eléctrica en el condensador: Q2 = 12.09 x 10-3 m2 Se calcula la capacidad del condensador: C = 1*8.51 x 10-8 C Inciso c) Se calcula la capacidad del condensador con la mica como dieléctrico: C2 = εr C = 5.17 x 10-10 x 300 = 6.65 x 10-7 – 6.65*10-7*300 = 5. A) Calcular su capacidad. de 13 cm de diámetro.65 x 10-7 C Se calcula el incremento de la carga eléctrica: ΔQ = Q2 – Q = 3.17 x 10-10 = 12.17*10-10 F Inciso b) Se calcula la carga eléctrica almacenada: Q = C V = 2. Un condensador está formado por dos placas circulares paralelas. determinar la carga Q. 0133 m2 Se calcula la capacidad: C = 1*8.136 x 10-10 F Cálculo de la nueva carga: .41*10-5 J Se calcula el campo eléctrico entre las placas del condensador: E = 1500 / 0. DATOS: D = 13 cm d =3 mm εr = 1 aire εr = 8 (madera) V = 1500 V Las fórmulas que se usarán son: C = ε r εo A / d C=Q/V W = (1/2)( Q V ) E=V/r Inciso A.85*10-12*(0.88*10-8*1500 = 4. C) Se introduce entre las placas una lámina de madera de 0.Física III eléctrico en el condensador.003 = 5 x 105 V/m ó N/C Inciso C.88*10-8 C Se calcula la energía: W = (1/2)*5.3 cm de espesor y cuya constante dieléctrica relativa es de 8.92 x 10-11 = 3.92*10-11 F Inciso B. Se calcula el área de una de las placas: A =0. Cálculo de la nueva capacidad: C2 = 8 x 3. Se calcula la carga Q: Q = 3.0133/3*10-3) = 3.92*10-11*1500 = 5. calcular la carga adicional que adquiere el condensador y la energía total almacenada en él. La carga eléctrica del núcleo de azufre es +16e. - - - - - Calcular la fuerza ejercida entre dos cargas iguales de 1 C separadas una distancia de 500 m. 11 mC y -15 mC. de 7 cm por lado. igualmente cargadas.116 x 10-7 / 5.704 x 10-7 – 5. Calcular el campo eléctrico en el punto P de la figura adjunta (los datos se dan en ésta). Calcular la aceleración de un electrón inmerso en un campo eléctrico de intensidad 900 N/C. están separadas 2. ¿Qué tan grande es esta aceleración con respecto a g? La masa del electrón es 9. se colocan cargas de 7 mC. Dos esferitas.88 x 10-8 )(100) = 700 % PROBLEMARIO.11 x 10-31 Kg. En los vértices de un triangulo equilátero. . Determinar la carga eléctrica de cada esferita.704 x 10-7 C Cálculo de la carga adicional: ΔQ = Q2 – Q = 4.136 x 10-10 x 1500 = 4.7 cm. Calcular la fuerza de repulsión entre dos núcleos atómicos de azufre separados una distancia de 2 x 10-8 m.Física III Q2 = 3. las cuales se repelen con una fuerza de 8 x 10-4 N. Calcular la magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga -15 mC por el efecto de las otras dos (ver figura adjunta).88 x 10-8 = 4.528*10-4 J Calculo del porcentaje de incremento de carga en el condensador: Porcentaje = ( ΔQ / Q ) (100) = (4.704*10-7*1500 = 3.116 x 10-7 C Cálculo de la energía: W2 = (1/2)*4. Calcular la intensidad del campo eléctrico y el potencial en un punto situado a 2 cm de una carga de 9.5 x 10-8 C. 5 cm.3 cm de espesor. Calcular: a) la capacidad equivalente del conjunto. Calcular la energía cinética y la velocidad de un electrón. siendo el diámetro de las placas de 25 cm. Cuatro capacitores. que permanece en reposo en el campo.Calcular el trabajo requerido para mover una carga de -3 x 10-7 C desde un punto a 20 cm de una carga de -4 x 10-6 C hasta otro a 6 cm de la misma. Calcular la carga eléctrica de una gota de aceite cuya masa es de 1. b) la diferencia de potencial en las terminales de cada uno de los capacitores. . Calcular la capacidad que adquiere al introducir un dieléctrico cuya constante relativa vale 3.Calcular el trabajo requerido para trasladar la carga 8.60 x 10-19 C. de acuerdo con el dibujo adjunto. se conectan en serie y el conjunto a una fuente de 2000 V. B) El condensador se conecta a una fuente . Un capacitor cuyo dieléctrico entre sus placas es aire tiene una capacidad de 7 μF. cada uno de 90 nF.5 μC desde el punto C al punto D.11 x 10-31 Kg y -1.5. creándose un campo eléctrico dirigido hacia abajo.Física III .5 x 104 V.5 g. después de ser acelerado por una diferencia de potencial de 7 x 10 5 V. A) Determinar la capacidad de un capacitor formado por dos placas paralelas separadas por una placa de baquelita de 0. respectivamente. La constante dieléctrica relativa de la baquelita es 7. se aplica una diferencia de potencialde1. c) la carga en cada capacitor y d) la energía almacenada en el sistema. - - - - - Entre dos placas horizontales paralelas. separadas 1. La masa y la carga de un electrón son 9. El diagrama b representa al condensadores del diagrama a. determinar la carga en las placas y la energía almacenada en el capacitor.6 x 103 N/C.4 x 102 N/C y radial hacia afuera encuentre a) la carga en la esfera conductora. - AGRUPAMIENTO DE CAPACITORES. en tanto un campo eléctrico a 25 cm del centro es de 3. radial hacia fuera. 5 cm.Física III - de 2500 V. 17 cm y 30 cm del centro. b) la carga neta en el cascaron esférico hueco. SERIE. el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los inversos de la capacitancia de los condensadores conectados en serie. condensador equivalente de los tres Cuando los condensadores están conectados en serie. Una esfera conductora solida con un radio de 5 cm concéntrica con un cascaron esférico conductor tiene un radio interior de 16 cm y un radio exterior de 18 cm si el campo eléctrico en 10 cm tiene un valor de 4. Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión: 1 / C = 1 / C 1 + 1 / C2 + 1 / C 3 Despejando a la capacidad equivalente C de la expresión anterior se tiene: C = 1 / ( 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 ) . c) las cargas en la superficie exterior e interior de la esfera conductora hueca y d) el campo eléctrico 3 cm. condensador equivalente de los tres Cuando los condensadores están conectados en paralelo. Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión: C = C1 + C2 + C3 En condensadores en paralelo la carga total es igual a la suma de la carga en cada uno de los condensadores. se puede aplicar la siguiente expresión: C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) (solamente para dos capacitores) Cuando se tienen condensadores en serie.Física III En caso de que solo sean dos condensadores en serie. Matemáticamente corresponde con la siguiente expresión: V = V1 + V 2 + V 3 En condensadores en serie la carga total es igual a la carga en cada uno de los condensadores. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente expresión. la capacitancia equivalente es igual a la suma de la capacitancia de los condensadores conectados en paralelo. Q = Q1 + Q2 + Q3 . El diagrama b representa al condensadores del diagrama a. el voltaje total (o diferencia de potencial total) es la suma de los voltajes en cada uno de los condensadores (la diferencia de potencial en cada uno de los condensadores). Q = Q1 = Q2 = Q3 PARALELO. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente expresión. . c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador (V 1 = 667 V.667 0.0 x 10-6 J). Dos condensadores de capacidades 3 pF y 6 pF. b) La carga total del sistema (2 nC).0 Cálculo de la capacidad: C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) = 3 x 6 / ( 3 + 6 ) = 2 pF Cálculo de la carga: Q = C V = 2 x 10-12 x 1000 = 2 x 10-9 C Cálculo de la diferencia de potencial en las terminales de los condensadores: V1 = Q1 / C1 = 2 x 10-9 / 3 x 10-12 = 667 V V2 = Q2 / C2 = 2 x 10-9 / 6 x 10-12 = 333 V Cálculo de las energías en los condensadores: W1 = (1/2) x 2 x 10-9 x 667 = 6.333 W = 1. respectivamente. d) La energía almacenada en el sistema (1. están conectados en serie y el conjunto a una tensión de 1000 V.67 x 10-7 J W2 = (1/2) x 2 x 10-9 x 333 = 3. V2 = 333 V). En la solución del problema se hará uso de la siguiente tabla: Capacitancia x 10-12 F 3 6 CT = 2 Carga x 10-9 C 2 2 QT = 2 Tensión V 667 V 333 V VT = 1000 V Energía x 10-6 J 0.Física III Cuando se tienen condensadores en paralelo. el voltaje total (o diferencia de potencial total) es igual a los voltajes en cada uno de los condensadores (la diferencia de potencial en cada uno de los condensadores).33 x 10-7 J W = (1/2) x 2 x 10-9 x 1000= 1 x 10-6 J La tabla contiene los resultados que se solicitan en el problema. Matemáticamente corresponde con la siguiente expresión: V = V1 = V 2 = V 3 PROBLEMA. Calcular: a) La capacitancia total (2 pF). 76 QT =1. están conectados en serie y el conjunto a una tensión de 1000 V.76 x10 9 C V3 = 117.58 x 10-7 J .76 x 10-9 x 1000 = 8.03 W = 8.76 x 10-9 x 293 = 2.Física III PROBLEMA.76 x10 9 C Cálculo de la diferencia de potencial en los bornes de los capacitores: V1 Q1 1.76 x 10-9 x 587 = 5.8 x 10-7 J W1 = (1/2) x 1.76 1.33 V C2 6 x10 12 F Q 3 1.76 pF )(1000V ) 1. Tres condensadores de capacidades de 3 pF.8 Cálculo de la capacidad total: CT 1 1 = 1. Calcular: a) La capacitancia total.76 Tensión V 587 293 117 VT = 1000 V Energía x 10-7 J 5. Hacemos uso de la siguiente tablita: Capacitancia pF 3 6 15 CT =1. respectivamente.76 Carga x 10-9 C 1.33 V C3 15 x10 12 F Cálculo de la energía en los condensadores: W = (1/2) x 1. 6 pF y 15 Pf.76 x 10-12 F 1 1 1 1 1 1 C1 C 2 C 3 3 6 15 Cálculo de la carga total: QT CT VT (1.76 1. c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador. d) La energía almacenada en el sistema.76 x10 9 C = 586.17 2.66 V C1 3 x10 12 F V2 Q 2 1.58 1.17 x 10-7 J W2 = (1/2) x 1.76 x10 9 C = 293. b) La carga total del sistema. d) La energía almacenada en el sistema.76 x 10-9 x 117 = 1. Capacitancia (pF) 200 600 CT = 800 Carga ( x10 8 C ) 2. b) La carga total del sistema.2 x10 8 C Cálculo de las energías de los condensadores: La fórmula es: W = (1/2) Q V W = (1/2) x 9.32 x 10-6 J La tabla presenta los resultados solicitados en el problema. Calcular: a) La capacitancia total.76 .44 x 10-6 J W2 = (1/2) x 7.2 x 10-8 x 120 V = 4.6 x10 8 C Cálculo de las cargas de los condensadores: Q1 C1V1 (200 pF )(120V ) 2. Dos condensadores de 200 pF y 600 pF están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 120 V.6 Tensión (V) 120 120 VT = 120 V Cálculo de la capacidad total: CT C1 C 2 200 pF 600 pF 800 pF Cálculo de la carga total: QT CT VT (800 pF )(120V ) 9.2 QT = 9.03 x 10-7 J La tabla muestra los resultados que se solicitan en el problema.44 4.4 x 10-8 x 120 V = 1.Física III W3 = (1/2) x 1.4 7.6 x 10-8 x 120 V = 5.76 x 10-6 J W1 = (1/2) x 2.4 x10 8 C Q2 C 2V2 (600 pF )(120V ) 7. c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.32 W = 5. Haremos uso de la siguiente tabla en la solución del problema. Energía ( x10 6 J ) 1. PROBLEMA. 44 x10 6 J W2 1 / 2Q2V2 1 / 2(7.2 x10 8 C )(120 V ) 4.868 CT C1 C 2 C 3 200 pF 600 pF 15 pF 815 pF QT CT VT (815 pF )(120V ) 9. De acuerdo con el circuito de capacitores que se presenta en el dibujo adjunto.8 x10 8 C )(120V ) 0. h) La energía almacenada en el sistema. Tres condensadores de 200 pF.108 5. c) la ddp en cada uno de los condensadores y d) la energía almacenada en cada uno de ellos.18 QT = 9.78 Tensión (V) 120 120 120 VT = 120 V Energía ( x10 6 J ) 1. Capacitancia (pF) 200 600 15 CT = 815 Carga ( x10 8 C ) 2.2 x10 8 C Q3 C 3V3 (15 pF )(120V ) 1.4 x10 8 C )(120 V ) 1.8x10 8 C WT 1 / 2QT VT 1 / 2(9.2 0.Física III PROBLEMA.868x10 6 J W1 1 / 2Q1V1 1 / 2(2.78 x10 8 C )(120 V ) 5. 600 pF y 15 pF están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 120 V. g) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.4 7. calcular: a) la capacidad equivalente del sistema. f) La carga total del sistema. .32 x10 6 J W3 1 / 2Q3V3 1 / 2(1.32 0.4 x10 8 C Q2 C 2V2 (600 pF )(120V ) 7. b) la carga en cada capacitor. Calcular: e) La capacitancia total.108x10 6 J PROBLEMA.78x10 8 C Q1 C1V1 (200 pF )(120V ) 2.44 4. que están en serie: C1234 = 1 / ( 1/ C123 + 1 / C4 ) = 1 / ( 1 / 12 + 1 / 4 ) = 3 mF A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C 5 y C6. se procede a calcular las cargas eléctricas de cada uno de los condensadores. que están en serie: C756 = 1 / ( 1 / C7 + 1 / C56 ) = 1 / ( 1 / 3 + 1 / 6 ) = 2 mF Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C 1234 y C756. C2 y C3 (están en paralelo) es: C123 = C1 + C2 + C3 = 3 + 5 + 4 = 12 mF. todos los resultados se registrarán en la tabla adjunta. A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C123 y C4. que están en paralelo: CE = C1234 + C756 = 3 + 2 = 5 mF Teniendo las capacidades equivalentes. La fórmula es: .Física III La capacidad equivalente de los condensadores C1. que están en paralelo: C56 = C5 + C6 = 4 + 2 = 6 mF Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C 56 y C7. y V56 = 192 x 10-3 / 6 x 10-3 = 32 volts. .Física III Q = C V = 5 x 10-3 x 96 = 480 x 10-3 coulombs. Como comprobación la suma de V123 y V4 debe ser 96 V. que se encuentran en serie y para los cuales. Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C7 y C56. lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 24 V). la suma de Q1234 y Q756 debe ser igual a QE y se cumple (lo puede verificar con los datos anotados en la tabla). resultado que también se anota en la tabla adjunta. cosa que es verdad. lo que es igual es la carga eléctrica. Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C123 y C4. que se encuentran en paralelo y para los cuales. C2 y C3. entonces la carga es: Q=CV Q1 = C1 V1 = 3 x 10-3 x 24 = 72 x 10-3 C Q2 = C2 V2 = 5 x 10-3 x 24 = 120 x 10-3 Q3 = C3 V3 = 4 x 10-3 x 24 = 96 x 10-3 C. que se encuentran en serie y para los cuales. y V4 = 288 x 10-3 / 4 x 10-3 = 72 volts. pues. la carga de acuerdo con la ecuación: Q=CV Q1234 = C1234 V1234 = 3 x 10-3 x 96 = 288 x 10-3 C Q756 = C756 V756 = 2 x 10-3 x 96 = 192 x 10-3 C Como comprobación. Como comprobación la suma de V7 y V56 debe ser 96 V. entonces el voltaje es: V7 = 192 x 10-3 / 3 x 10-3 = 64 volts. C1234 y C756 tienen el mismo voltaje. entonces. cosa que es cierto. entonces el voltaje es: V=Q/C V123 = 288 x 10-3 / 12 x 10-3 = 24 volts. Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensadores C1. Se calcula. razón por la cual su voltaje es de 96 V. lo que es igual es la carga eléctrica. Dado que para capacitores en paralelo lo que es igual es el voltaje. lo que es cierto. A continuación se calcula la energía almacenada en cada capacitor con la ecuación: W = (1/2)(QV). que se encuentran en paralelo y para los cuales. los correspondientes resultados están registrados el la tabla adjunta.Física III Como comprobación. . Como comprobación. CORRIENTE ELECTRICA. lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 32 V). la suma de estas dos cargas debe ser de 192 x 10 -3. la suma de estas tres cargas debe ser de 288 x 10 -3. Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensadores C5 y C6. lo que es cierto. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C123 C56 C1234 C756 CE C Q -3 x 10 F x 10-3 C 3 72 5 120 4 96 4 288 4 128 2 64 3 192 12 288 6 192 3 288 2 192 5 480 V W V x 10-3 J 24 864 24 1440 24 1152 72 10368 32 2048 32 1024 64 6144 24 32 96 96 96 23040 No tiene sentido calcular la energía para los capacitores equivalentes. razón por la cual no aparecen valores en las casillas correspondientes. entonces la carga es: Q5 = C5 V5 = 4 x 10-3 x 32 = 128 x 10-3 C Q6 = C6 V6 = 2 x 10-3 x 32 = 64 x 10-3 C. Por lo tanto. el tiempo en segundos y la corriente se expresa en amperes. La fem que suministra un generador eléctrico es la energía que le proporciona a la unidad de carga para que se pueda desplazar de un punto de bajo potencial a otro punto de mayor potencial. PROBLEMA. La diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor es el trabajo requerido para desplazar a la unidad de carga eléctrica entre éstos. Una corriente permanente de 5 Amperes de intensidad circula por un conductor durante un tiempo de 1 minuto. matemáticamente es: La carga se expresa en coulombs. se desplaza una carga eléctrica en la unidad de tiempo. La diferencia de potencial (ddp) se expresa en volts. DIFERENCIA DE POTENCIAL. FUERZA ELECTROMOTRIZ (fem).Física III Se dice que se tiene una corriente eléctrica por un conductor. cuando por una sección recta. Por lo tanto se puede escribir: La fuerza electromotriz es lo mismo que la diferencia de potencial. La fem también se expresa en volts y se mide en las terminales del generador a circuito abierto. de éste. Hallar la carga que se mueve: q It (5 A)(60seg ) 300C . un ampere es igual a un coulomb por un segundo. El físico inglés Joule demostró en 1841 que el calor desprendido en el hilo conductor es proporcional al cuadrado de la magnitud de la corriente que .25 x10 18 e 1C PROBLEMA. LEY DE JOULE. se tiene mayor corriente. la resistencia en ohms y la corriente en amperes. El físico alemán George Simon Ohm publicaba en 1828 la ley que lleva su nombre y que matemáticamente se expresa como: I= V R que se presenta en sus terminales La ley de Ohm enuncia: la magnitud de la corriente eléctrica. por el que circula 1 Ampere de intensidad. que a resistencia constante.25 x10 18 e 6. en un resistor a temperatura constante. sí se mantiene constante el voltaje. a mayor voltaje. es decir: 1 ampere = 1volt 1ohm Sí analizamos la ecuación de la ley de Ohm se aprecia.Física III PROBLEMA. El voltaje se expresa en volts. Calcular el tiempo necesario para que pase una carga eléctrica de 36000 C a través de una celda electrolítica que absorbe una corriente de 5 Amperes de intensidad. Por otro lado. LEY DE OHM. éste es calentado. menor corriente. a mayor resistencia. Este tiempo corresponde a 2 horas. es directamente proporcional al voltaje (diferencia de potencial que se presenta en sus terminales) e inversamente proporcional a la resistencia de éste. Determinar el número de electrones por segundo que atraviesan una sección recta de un alambre. q It (1A)(1seg ) 1C 1C 6. Sí una corriente de electrones fluye por un conductor. Sí se desea expresar el calor desprendido en calorías. Un calentador absorbe 9 Amperes cuando se conecta a una tensión de 12 V. se aplica la siguiente ecuación: Q = 0. expresado en amperes. V IR (5 A)(24) 120V PROBLEMA.24 W = 0. R V 12V 1.33 I 9A PROBLEMA. Hallar la intensidad de corriente que circula por un conductor que tiene una resistencia de 22 ohms y se enchufa a una línea de 110 V. La expresión matemática que representa este hecho es: W = I2 R t Y se denomina ley de Joule ó efecto Joule. Calcular la caída de tensión a través de un horno eléctrico que tiene una resistencia de 24 ohms y absorbe 5 amperes de la línea. t es el tiempo durante el cual la corriente se manifiesta en el conductor y se expresa en segundos.24 I2 R t PROBLEMA. . Las literales de la ecuación representan lo siguiente: W es la energía que desprende el conductor en forma de calor y se expresa en joules. entonces. I V 110V 5A R 22 PROBLEMA. R es la resistencia del conductor y se expresa en ohms. Calcular la resistencia. I es la corriente en el conductor.Física III circula por el hilo y al tiempo en el cual circula la corriente. Calcular su resistencia interna. y ésta es: RT R r (4)(1) 5 Cálculo de la corriente: . de 1.38 I 0. en bornes o terminales de la misma.5 V. El volmetro se sitúa en paralelo con la resistencia e indica una caída de tensión.5V 115. sí la corriente de corto circuito vale 25 Amperes.013 Amperes.52V. se desprecian las caídas de tensiones en los propios instrumentos.0608 I 25 A PROBLEMA. c) La caída de tensión en bornes de la batería. El amperímetro es conectado en serie con la resistencia e indica el paso de una intensidad de 0. Deducir el valor de la resistencia. A continuación se presenta el diagrama eléctrico de este problema: Solución a: Para calcular la corriente es necesario determinar primeramente la resistencia equivalente en el circuito. b) La caída de tensión en la resistencia interna y la de carga. R V 1.013A PROBLEMA.Física III Una pila seca tiene una fuerza electromotriz (fem) de 1.52V 0. d) La lectura que indicará un vólmetro que se conecte entre los bornes de la batería en circuito abierto. R V 1. Una batería de 10V y 1 ohm de resistencia interna se conecta a una resistencia de carga de 4 ohms. Para medir la resistencia desconocida R se emplea el método del amperímetrovolmetro. Calcular: a) La intensidad de corriente en el circuito. a circuito abierto.Física III I V 10V 2A R 5 Solución b: Cálculo de la caída de tensión en la resistencia interna de la batería: Vr Ir (2 A)(1) 2V Cálculo de la caída de tensión en la resistencia de carga R: V R IR (2 A)( 4) 8V Como comprobación la suma de Vr y VR debe ser igual a la fem.87 A R 8 PROBLEMA. de 10 V. I V 127V 15. la fem es igual a la suma de las caídas de tensión en las dos resistencias. cuando por su sección recta atraviesa una carga eléctrica de 720 C en un minuto. Solución c: La lectura que debe indicar el vólmetro. en las terminales de la batería es: VR = Є – Vr = 10 – 2 = 8 V Solución d: La lectura que debe indicar el vólmetro en los bornes de la batería. PROBLEMA. o sea. debe ser igual a la fem de la batería. I q 720 C 12 A t 60 seg V IR (12 A)(5) 60V . Calcular la ddp entre los extremos de un hilo conductor de 5 ohm. Є = Vr + VR = 2 + 8 = 10 V Es verdad. Hallar la intensidad de corriente que circula por un tostador eléctrico de 8 ohm de resistencia que funciona a 127 V. La resistencia eléctrica del hilo es 0.Física III PROBLEMA. Una barra de cobre transporta una corriente de 1200 A y presenta una caída de tensión de 1. Calcular la caída de tensión. También depende de las características del material del cual está hecho el conductor.3 0. Se ha comprobado que la resistencia de un hilo conductor está dada por la siguiente expresión matemática: R=ρL/A Es decir. Calcular la resistencia por metro de la barra. R es la resistencia del hilo conductor y se expresa en ohms. A es el área de la sección transversal del conductor y se expresa en m2. Las literales en la ecuación anterior significan lo siguiente: L es la longitud del hilo conductor y se expresa en metros. concepto que se representa por la letra ρ. R50cm V 1.03) 3.2 x10 3 V 1x10 6 I 1200 A R1metro 2x10 6 PROBLEMA. para conectar. . La resistencia por 100 m de hilo es: 100m 0. el local de un abonado. y que se denomina resistividad.3 Ω cada 1000 metros. desde el tendido general. ρ es la resistividad del conductor y que depende del material del cual está hecho el hilo. la resistencia de un hilo conductor es directamente proporcional a la longitud del hilo e inversamente al área de la sección transversal del conductor.6V RESISTIVIDAD. Una compañía eléctrica emplea dos rollos de 50 m cada uno. se expresa en Ω m.2 mV por cada 50 cm de longitud. estimando en 120 A la intensidad de la corriente.03 1000m La caída de tensión es: V IR (120 A)(0. de alambre de cobre. 6 10 Plata alemana 33. el movimiento molecular del material. SUSTANCIA RESISTIVIDAD COEFICIENTE o (A 18 C) DE TEMPERATURA x 10-8 ohm. Cuando un resistor se calienta.0 4 Constantan 49.3 36. .5 Hierro (forjado) 13.4 Acero (dulce) 15.7 16.3 Acero (duro) 45.1 36.0 37 Plata 1.8 43 Mercurio 95.94 38 Bismuto 119 42 Cobre 1.66 38 Estaño 11.2 Platino 11.6 7.42 36. la temperatura y las características del material es: Rt = Ro (1 + α t) Donde: Ro es la resistencia eléctrica del resistor a cero grados Celsius y expresada en ohms.m POR GRADO CELSIU x 10-4 Aluminio 2. La siguiente tabla proporciona valores de resistividad y de coeficiente de temperatura para algunas sustancias.9 42. t es la temperatura a la que se encuentre el resistor en grados Celsius. dificultando el desplazamiento de las cargas eléctricas por el resistor.9 62 Hierro (fundición) 74.78 38.8 Oro 2. Rt es la resistencia eléctrica del resistor a la temperatura t expresada en ohms. que depende del material del cual está fabricado y se expresa en (oC)-1. haciendo que la resistencia eléctrica de éste se incremente.Física III El inverso de la resistividad se denomina CONDUCTIVIDAD.1 Plomo 20.5 Latón 6. del cual está hecho. La expresión matemática que relaciona la resistencia eléctrica.5 TEMPERATURA Y RESISTORES.0 Nicromo 100.5 Cinc 6. se incrementa. α es el coeficiente de temperatura del resistor.0 Tungsteno 5. es necesario conocer el valor de la resistencia a cero grados Celsius).53 x10 6 m 2 Cálculo de la resistencia: R L 2m 1. La resistencia de un termómetro de platino es de 7 Ω a 40 ºC.00392 (40 ) 1 t Contando con la resistencia a 0 oC. siempre. Calcular su valor a 95 ºC.53x10 m PROBLEMA. La resistencia de una bobina es de 4 Ω a 0 ºC. se puede calcular la resistencia a 95 oC (nota: para calcular la resistencia.00392 (ºC)-1.05(1 + 0. Rt = Ro( 1 + α t ) = 4 ( 1 + 0. Ro = Rt 7 = = 6. Para calcular la resistencia a 95 oC.16 x10 6 6 2 A 78.Física III Es importantísimo recordar que Ro es la resistencia eléctrica del resistor a cero grados Celsius. del resistor de platino.53 Ω PROBLEMA. El coeficiente de temperatura de la resistencia de platino vale 0.05 Ω 1 0. PROBLEMA.00426 (ºC)-1.756x10 8 m 447. Cálculo del área de la sección recta del alambre: A D 2 4 (10 x10 3 m) 2 4 78 . es necesario conocer la resistencia a 0 oC. Calcular la resistencia de un alambre de cobre de 2 m de longitud y 10 mm de diámetro.00426 x 90 ) = 5. sabiendo que la resistividad del cobre vale 1. a continuación se calcula Ro.756x10 8 m .00392x95) = 8. El coeficiente de temperatura de la resistencia de cobre vale 0.30 Ω . Rt = Ro( 1 + α t ) = 6. del resistor de platino. de cualesquier resistor a una temperatura dada. Calcular su resistencia a 90 ºC. Despejando a V (voltaje) de la ecuación de la ley de Ohm y sustituyendo en la ecuación XV. porqué I = t t Tenga en mente que la potencia eléctrica es: P=VI ………………………………………………………………………XV Por otro lado. Recuerde que potencia es la rapidez con la cual se realiza trabajo. también es válida la siguiente aseveración: potencia es la rapidez con la cual se genera energía. la ecuación de la ley de Ohm expresa: I= V . sustituyendo en XV se tiene: R V V2 P=VI=V = R R Es decir: V2 R ………………………………………………………………………XVI P= Tampoco olvide esta ecuación.Física III POTENCIA ELECTRICA. se puede escribir: W t ……………………………………………………………………. De acuerdo con esto.XIV P= Por otro lado el potencial eléctrico es: V= W Q ó W=VQ Sustituyendo en la expresión de potencia se tiene: P= VQ Q = V I . se tiene: V=RI P = V I = R I I = R I2 . a una velocidad de 8 m/min. t se expresa en segundos. Calcular la potencia de entrada del motor. La energía que genera un resistor eléctrico se puede determinar con la ecuación XIV (despejando a W). alimentado por 240V. la de salida y el rendimiento global del sistema. En síntesis se tiene: P=VI= V2 = R I2 R ENERGIA ELECTRICA. I se expresa en amperes. W = P ……………………………………………………………………XVIII t Las unidades del SI con las cuales se expresan los conceptos anteriores son: V se expresa en volts. la potencia de salida .Física III O sea: P = R I2 ………………………………………………………………………XVII Tampoco olvide esta ecuación. W se expresa en joules. El motor de un ascensor. P se expresa en watts. PE VI (240V )(12 Amp ) 2880 watts. La potencia es: P = trabajo/ t Pero trabajo es = F d (fuerza por distancia) O sea: Fd d =F =Fv t t queda: P= (porqué d/t es igual a velocidad). PROBLEMA. R se expresa en ohms. absorbe 12 A al elevar una carga de 1000 Kg. Q se expresa en coulombs. para elevar un peso de 4500 N. absorbe 15 Amperes. PE = V I = 127 x 6 = 762 W m PS FVel (4500 N )(5 ) 375 watts.8 La potencia expresada en cal / s es: Q (0.Física III PS FVel (9810 N )(8 m ) 1308 watts. Un motor eléctrico.24)(18000watts) 432cal / seg. Cálculo del costo: La energía consumida en las 4 horas es: W = P t = 1. Calcular el rendimiento del sistema. Un horno eléctrico de 8 Ω de resistencia. El motor de un montacargas consume 6 amperes a 127 V. absorbe 22 amperes a 127 volts de la red. expresando el resultado en watts y en cal/seg. 60 seg La eficiencia del sistema es: n PS 1308 w x100 x100 45 .2 Kw Hr Por lo tanto el costo es = 7.24)(P) (0. También determinar el costo de funcionamiento durante 4 horas a razón de 3 pesos el Kw-hora. con un rendimiento del 95 %.6 pesos.21 % PE 762 PROBLEMA. a una velocidad de 5 m/min. Calcular: . Calcular la potencia calorífica que desarrolla. 60 seg n= PS 375 x 100 = x100 = 49.41 % PE 2880 w PROBLEMA.2 x 3 = 21. PROBLEMA. La potencia expresada en Kw es igual a 1.8 Kw Hr ( 4 Hr ) = 7. 3watts (potencia de salida) 100 100% Solución b) Pcalor PE PS 2794 w 2654 . Un calentador eléctrico tiene una resistencia de 10 Ω y está conectado a una línea de 110 V. La figura m presenta cuatro resistencias conectadas en serie y éstas a una fuente.18 x 106 joules = 2.Hr (energía que se consume en joules y Kw. Nota: La conversión de energía eléctrica en calor se le conoce como efecto JOULE.24)(1210watts. Hallar la cantidad de calor que desarrolla por unidad de tiempo.24)(139.Hr). Hallar el ritmo con el que genera calor.382 Kw.24)(P) (0. expresando el resultado en watts y calorías por segundo. Que potencia se convierte en calor.7watts.794 x 3 = 8.7 watts. Suponiendo que el motor funcione durante 3 horas. sin interrupción. Solución a) PE VI (127 V )( 22 Amp ) 2794 watts.4cal / seg. PROBLEMA. PS nPE (2794w)(95%) 2654.hora consume.24)(Pcalor) (0. Se tiene un conjunto de resistores conectados en serie cuando se conectan uno a continuación de otro.52cal / seg.Física III a) b) c) d) La potencia de salida del motor. (potencia que se convierte en calor) Solución c) Q (0.) 290. P V 2 (110 V )2 1210 watts. . Solución d) W = P t = 2794 (3 x 3600) = 30. RESISTORES EN SERIE. que puede ser una pila seca.) 33. R 10 Q (0.3w 139 . se desea saber que energía en joules y Kw. Matemáticamente es: VT = E . debe ser igual al voltaje que se le administra al conjunto de ellos. De manera similar. se puede decir. o sea: IT = I 1 = I 2 = I 3 = I 4 . el voltaje total es igual a la fem E de la fuente (fem = fuerza electromotriz) menos la caída de tensión en la propia fuente ( V r ). La expresión matemática que representa lo indicado anteriormente es: RE = R1 + R2 + R3 + R4 + … Sí el conjunto de resistores es de diez. que en un conjunto de resistores en serie se tiene: La magnitud de la intensidad de la corriente eléctrica es la misma en cada resistor conectado en serie. matemáticamente es: VT = V 1 + V 2 + V 3 + V 4 Por otro lado. la expresión matemática tendrá diez sumandos. En un circuito con resistores en serie. la expresión matemática tendrá tantos sumandos como resistores conectados en serie se tenga en el circuito.Física III El resistor equivalente de un conjunto de resistores. entonces. lo cual se puede expresar matemáticamente como: IT = I 1 = I 2 = I 3 = I 4 Con relación al voltaje en los resistores en serie. se tiene que la suma de la caída de tensión en cada uno de los resistores. la intensidad de la corriente eléctrica en cada uno de ellos es de la misma magnitud. conectados en serie. es igual a la suma de las resistencias de cada uno de ellos.Vr En resumen. Física III El voltaje total aplicado al conjunto de resistores conectados en serie es igual a la suma de las caídas de tensión en cada uno de los resistores: VT = V 1 + V 2 + V 3 + V 4 La resistencia equivalente del conjunto de resistores es: RE = R1 + R2 + R3 + R4 Y la resistencia total del circuito es: RT = RE + r Se debe recordar que la intensidad de la corriente eléctrica se expresa en Amperes (A). RESISTORES EN PARALELO. la tensión o voltaje en Volts (V) y la resistencia de los resistores en Ohms (Ω). . con una resistencia interna de 1 ohm. y éstos a una fuente de 24 volts de fuerza electromotriz. Resumiendo lo indicado anteriormente se tiene: VT = V 1 = V 2 = V 3 IT = I 1 + I 2 + I 3 Para calcular la resistencia equivalente de resistencias en paralelo. La figura q muestra tres resistencias en paralelo. en cuyo caso la expresión matemática se puede indicar como: RT = R1 R2 / ( R1 + R2 ) PROBLEMA. como se representa en la figura q. La corriente eléctrica que circula por cada una de ellas es diferente. Sí despejamos a RT se tiene: RT = 1 / ( 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 ) Un caso particular es cuando se tienen dos resistencias en paralelo. Calcular la corriente en cada resistor y la total del circuito. 5 y 28 ohms. . se conectan en paralelo. Tres resistores de 12. se hace uso de la siguiente expresión: 1 / R T = 1 / R1 + 1 / R 2 + 1 / R 3 La última expresión matemática permite calcular la resistencia equivalente del conjunto de resistencias en paralelo.Física III Las resistencias están en paralelo cuando el voltaje o tensión para cada una de ellas es el mismo. 806 x 1 = 5.134 Ω (observe que la resistencia equivalente.134 + 1 = 4.806 V Por lo tanto.Física III DATOS: R1 = 12 Ω R3 = 28 Ω E = 24 V R2 = 5 Ω r = 1Ω Cálculo de la resistencia equivalente: RE = 1 / ( 1 / 12 + 1 / 5 + 1 / 28 ) = 3. RT = RE + r = 3.134 = 5. es necesario determinar la resistencia equivalente total del circuito.806 A Cálculo de la caída de tensión o voltaje en la resistencia interna de la fuente: V=IR Vr = IT r = 5. En vista de que la fuente tiene una resistencia interna de 1 Ω. la resistencia equivalente de las resistencias conectadas en paralelo es de 3.134 Ω Cálculo de la corriente total: Aplicando la ecuación de la ley de Ohm se tiene: I=E/R IT = 24 / 4. es menor a la resistencia menor de las conectadas en paralelo). el voltaje que la fuente entrega a las resistencias en paralelo es: . Cálculo de la resistencia total.134 Ω Entonces. de resistencias conectadas en paralelo. 639 A I3 = V / R3 = 18. Calcular: A) la resistencia equivalente del conjunto de resistores. Cuatro resistores están dispuestos como se muestran en la figura adjunta.516 A I2 = V / R2 = 18.194 V Cálculo de las corrientes eléctricas en las resistencias en paralelo: I1 = V / R1 = 18. C) Cálculo de la caída de tensión o voltaje en cada uno de los resistores: .650 = 5.516 + 3. PROBLEMA. B) la intensidad de la corriente del circuito sí la fem de la fuente es de 12 V y C) Calcular la caída de tensión en cada uno de los resistores.Física III V = E – Vr = 24 – 5. el problema está bien resuelto.806 = 18. A) Cálculo de la resistencia equivalente: RE = R1 + R2 +R3 + R4 = 6 + 4 + 5 + 10 = 25 Ω B) Cálculo de la intensidad de corriente: Aplicando la ley de Ohm a la resistencia equivalente se tiene: I = V / R = 12 / 25 = 0.650 A Como comprobación la suma de las tres corrientes eléctricas debe ser igual a la corriente eléctrica total.194 / 5 = 3.639 + 0.48 A. I1 + I 2 + I 3 = I T 1.805 A Por lo tanto.194 / 28 = 0.194 / 12 = 1. Física III Aplicando la ley de Ohm se tiene: V1 = R1 I = 6 x 0.88 V V2 = R2 I = 4 x 0.48 = 2. Cálculo de la resistencia total del circuito: RT = RE + r = 16 + 1 = 17 Ω. Dos resistencias de 9 y 7 Ω se conectan en serie (vea la figura adjunta) y éstas se alimentan con una batería de 24 V de fem y 1 Ω de resistencia interna.00 V. B) Cálculo de las caídas de los voltajes o tensiones en las resistencias: .80 = 12.48 = 2. Calcular: A) la corriente eléctrica que circula por el circuito.92 V V3 = R3 I = 5 x 0.48 = 4.88 + 1. Como comprobación.80 V. en cada resistencia. PROBLEMA.412 A. Aplicando la ley de Ohm se calcula la corriente.40 + 4.40 V V4 = R4 I =10 x 0. I = E / R = 24 / 17 = 1. A) Cálculo de la resistencia equivalente: RE = R1 + R2 = 9 + 7 = 16 Ω. B) las caídas de voltaje en los bornes de las dos resistencias y C) la ddp en las terminales de la batería cuando entrega la corriente del inciso A. V1 + V2 + V3 + V4 = 2.92 + 2.48 = 1. debe ser igual a la fem que proporciona la fuente. la suma de las caídas de tensión. 88 + 1.412 = 1.75V V3 I 3 R 3 (1.39 A)( 25) 34 .41V V5 = I5 R5 = 1.39 Amperes RT 79 Cálculo de las ddp en los resistores: V1 I 1 R 1 (1.85V V2 I 2 R 2 (1.41 = 24. Cálculo de la corriente: RE R1 R2 R3 R4 R5 15 25 12 19 7 78 RT R E r 78 1 79 IT VT 110 V 1. 25. respectivamente. Cinco resistencias de 15.73 V . la suma de las caídas de las tensiones en las resistencias debe ser igual a la fem de la fuente.Física III V1 = R1 I = 9 x 1. 19 y 7 Ω. La ddp en la fuente es: V = E – Vr = 24 – 1.39 x 7 = 9. 12.68V V4 I 4 R 4 (1.39 A)(19 ) 26 .71 V V2 = R2 I = 7 x 1.39 A)(12 ) 16 .412 = 9. Calcular: a) La intensidad de la corriente que circula por el circuito.00 V. PROBLEMA.59 V. c) La diferencia de potencial en bornes de la fuente cuando entrega la corriente en el circuito.39 A)(15) 20 .88 V Vr = r I = 1 x 1. Como comprobación. V1 + V2 +Vr = 12.412 = 12. b) Las caídas de tensión en las cinco resistencias.71 + 9.41 V. C) Cálculo de la ddp. se asocian en serie y el conjunto se alimenta con una fuente de 110 volts y 1 Ω de resistencia interna.41 = 22. para limitar la corriente a 65 mA. La siguiente ecuación presenta lo dicho anteriormente.61 V PROBLEMA.5V 23. Tres resistencias de 40. Se dispone de una pila de 1.5V y 0.86 1 1 1 1 1 1 R1 R 2 R3 40 25 37 Cálculo de las corrientes: IT VT 220 V 20 . Cálculo de la resistencia equivalente: RT 1 1 10.39 A)(1) 1. para que la corriente no se mayor a 65 mA. en serien. Determinar: a) La resistencia equivalente.07 I 65x10 3 A La resistencia total esta formada por la resistencia del termómetro R T. R = RT + r + RR Se despeja a RR: RR = R – RT – r = 23. con la pila y con el aparato.05 Ω de resistencia interna. se asocian en paralelo y el conjunto se alimenta con una fuente de 220 volts. respectivamente. Que resistencia se debe conectar. PROBLEMA.02 Ω es el valor de la resistencia auxiliar conectada en serie.39 = 108. 25 y 37 Ω.07 – 20 – 0. Un termómetro eléctrico tiene una resistencia de 20 Ω y su corriente es de 65 mA.Física III Vr I r R r (1. c) La ddp en los bornes de cada resistencia.02 Ω 3.25 Amperes RT 10 . la resistencia interna de la pila r y la resistencia auxiliar RR. Cálculo de la resistencia total R: R V 1.39V Cálculo de la ddp en los bornes de la fuente de fem: Vfuente = 110 – 1.05 = 3. Que ddp se da en los bornes del termómetro. b) La corriente que circula por cada una de las resistencias.86 . La ecuación es: 1 1 1 = + RT R1 R2 Despejando a R2 y sustituyendo se tiene: R2 1 1 1 RT R1 1 1 1 3 13 3. Calcular la resistencia que se debe colocar en paralelo con una de 27 ohms para reducir la del conjunto al valor de 18 ohms.8 Amperes R2 25 Recuerde que el potencial en cada resistor es igual. Calcular la resistencia que debe colocarse en paralelo con otra de 13 ohms para que la resistencia equivalente del conjunto se reduzca a 3 ohms. Se sustituyen valores y se tiene la solución. Problema parecido al anterior. PROBLEMA. 9 PROBLEMA. R2 1 1 1 RT R1 PROBLEMA.5 Amperes R1 40 I2 V2 220 V 8. 1 1 1 18 27 54 . VT V 1 V 2 V 3 Nota: La resistencia equivalente en un arreglo en paralelo es menor a la menor resistencia en el conjunto. por estar conectadas en paralelo.Física III I1 V1 220 V 5. Física III Hallar el número de resistencias de 36 ohms requeridas para que circulen 10 amperes.0231 0.0091 0. se puede por lo tanto n = R 36 = =3 RT 12 Solución: deben ser 3 resistencias de 36 Ω .5114 5.2644 0. por lo tanto.4651 V volts 6. En la solución del problema se hará uso de una tabla. Por la ley de Ohm se tiene: R= 120 V = = 12 Ω 10 I Las resistencias deben estar conectadas en paralelo. PROBLEMA. b) las caídas de tensión en cada resistor y c) la potencia generada por cada una de ellas. como la que se muestra a continuación: R1 R2 R3 r R23 R Ω 14 19 25 1 10.0231 P watts 3.3281 1. Calcular en el circuito de la figura adjunta: a) las diferentes corrientes. la ecuación es: 1 1 1 1 = + + RT R1 R2 R3 escribir: 1 1 =n RT R Como las resistencias deben ser iguales.4651 5.80 I A 0.0285 1.0231 5.4651 0.2009 0.2163 . sí están conectadas a una línea de 120 volts.4651 0. r y R23 es la misma). e igual a la caída de tensión de la resistencia equivalente R23).5812 Haciendo uso de las siguientes ecuaciones se calcularan los diferentes elementos de la tabla: Ley de Ohm: I = V / R Potencia: P=VI Resistencias en serie: RE = R1 + R2 + R3 Resistencias en paralelo: RE = 1 / ( 1/ R1 + 1/ R2 + 1/R3 ) Se debe recordar que cuando las resistencias están en serie. es la corriente (la corriente de R1. Sí las resistencias están en paralelo. Como en el problema anterior. es el voltaje (el voltaje o la caída de tensión en las resistencias R2 y R3 es igual. se hará uso de una tabla y se usarán las mismas ecuaciones: . Calcular en el circuito de la figura adjunta: a) las diferentes corrientes.Física III RE RT 24. PROBLEMA.8 0. lo que es igual.4651 12 5. lo que es igual. b) las caídas de tensión en cada resistor y c) la potencia generada por cada una de ellas.8 25. la energía almacenada y la magnitud del campo eléctrico en el capacitor.030 32.2202 0. Determinar la capacidad que tendría si se introdujera teflón entre sus armaduras.5914 1. Determinar la energía almacenada en él. una separación de placas de 5 mm y conectado a una fuente de 240 V.5 47 14. tiene una capacidad de 8 μF.03 32.53 I amperes 0. Calcular la carga de cada placa.689 5.2202 0.3394 0. Determinar: a) Su capacidad sí el dieléctrico es aire y la carga eléctrica de cada placa.0765 0.7072 Realizando las operaciones correspondientes se llena la tabla.3513 3.3513 10.7378 V volts 9.5176 0.2122 0. Calcular su . El coeficiente dieléctrico relativo del teflón es de 2. PROBLEMARIO.Física III R1 R2 R3 R4 R5 R6 r R236 R4236 RE RT R ohms 13 7 15 20 5 25 0. determinar la carga.7273 5.2202 0. determinar la carga adicional que adquiere el capacitor y la energía total almacenada en él. La capacidad de un capacitor es de 400 pF y la diferencia de potencial entre sus placas es de 1500 V.7217 1. siendo 15 cm el diámetro de cada placa.7378 0.5414 3. Se tiene un capacitor de placas paralelas. Un capacitor está formado por dos placas circulares paralelas separadas por una capa de aire de 3 mm de espesor.3 cm de espesor y de constante dieléctrica relativa de 9. - - - - Un capacitor. A) Calcular su capacidad. C) Se introduce entre las armaduras una lámina de plástico de 0. cuyo dieléctrico entre sus placas es aire.7378 0.7378 24 17.2722 0. de 200 cm2 de área cada placa. Un capacitor de un circuito de televisión tiene una capacidad de 500 nF y la diferencia de potencial entre sus terminales es de 3500 V. b) Se introduce entre sus armaduras una lámina de caucho de 5 mm de espesor y constante dieléctrica de 3.7378 0.2202 0. B) Sí se conecta el capacitor a una fuente de energía de 800 V.3578 2.3513 P watts 7.3689 10.505 0.303 10. calcular la tensión del mismo. están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 2500 V. Calcular el trabajo y la potencia requerida para desplazar 96000 C de carga eléctrica en 1. b) la caída de tensión en la resistencia interna y en la resistencia de carga. Hr. Calcular: a) La capacidad C equivalente del conjunto. Una dínamo de c. De acuerdo con los datos y el esquema adjunto. tiene una fem de 100 V en circuito abierto.5 horas a través de una ddp de 72 V.5 Ohms de resistencia interna se conecta a una resistencia de carga de 9 Ohms. la ddp en bornes vale 95 V. Dos capacitares de capacidades C1 = 9 pF y C2 = 5 pF están conectados en serie y el sistema se conecta a una fuente de 3000 V. b) suponiendo que se conectase dicho generador a una carga que absorba 37 A.c. Determinar la carga que adquiere cada uno de ellos y la correspondiente al sistema. Dos capacitares de capacidades C1 = 95 pF y C2 = 450 pF. Calcular su resistencia interna r sí la corriente en cortocircuito vale 28 A. b) la carga equivalente y la carga de cada capacitor. c) la diferencia de potencial en los bornes de cada capacitor y d) la energía almacenada en el capacitor equivalente y en cada uno del conjunto. Calcular la potencia y la energía que se suministran al motor durante 8 horas de funcionamiento. Un motor eléctrico consume 6 A de corriente de una línea a 120 V. calcular: a) la capacidad equivalente del sistema. c) La diferencia de potencial en bornes de cada capacitor y d) La energía almacenada en el sistema y en cada capacitor. c) la tensión en bornes de la batería y d) la lectura que indicaría un voltímetro que se conectase a los bornes de la batería en circuito abierto.Física III - - - - - - capacidad y la carga eléctrica en cada placa. b) La carga total del sistema y la de cada capacitor. expresando la energía en J y en KW. Una pila tiene una fem de 1. Una batería de 15 V de fem y 0. Determine su resistencia. c) Determinar el incremento de carga que adquiere el capacitor y d) Hallar la energía total almacenada en él. Determinar: a) la intensidad de corriente en el circuito. . La intensidad de corriente que circula por un calentador eléctrico es de 7 A cuando está conectado a una ddp de 127 V. a) Calcular la resistencia interna r del generador.5 V. Al conectarle una carga que absorbe 25 A. m. Un motor de un elevador alimentado por 220 V consume 15 A al elevar una carga de 10000 New. la de salida y el rendimiento del sistema. b) la corriente que circula por cada una de las resistencias y c) la ddp en los bornes de cada resistencia. R2 = 25 Ω y R3 = 37 Ω. Calcular la resistencia de un alambre de cobre de 2 m de longitud y 10 mm de diámetro.00392 ( oC )-1. Calcular la resistencia que debe colocarse en paralelo con otra de 13 Ω para que la resistencia equivalente del conjunto se reduzca a 3 Ω. 12.8 mm. Determinar: a) la resistencia equivalente. respectivamente.Física III - - - - - - - - - - - - Por una resistencia eléctrica de 29 Ohms circula una corriente de 7 A de intensidad. Calcular la resistencia de un alambre de plata de 200 m de longitud y 0. conectadas en paralelo absorbe una corriente de 15 A de intensidad. sabiendo que la resistividad del platino a esta temperatura vale 10.Hr. b) las caidas de tensión en bornes de las cinco resistencias. Calcular su valor a 95 oC. Calcular la resistencia que se debe colocar en paralelo con una de 27 Ohms para reducir la del conjunto al valor de 18 Ohms. Calcular la potencia calórica que desarrolla.6 mm2 de sección. Calcular su resistencia a 90 oC. Calcular: a) la intensidad de corriente que circula por el circuito. Cinco resistencias de 15. Se dispone de una pila de 1. 19 y 7 Ohms.5 V de fem y 0.05 x 10 -8 Ω. Calcular la resistencia de 190 m de conductor a 35 oC de temperatura. La resistencia de una bobina es 4 Ohms a 0 oC. Un conductor de platino tiene un diámetro de 0. Un horno eléctrico de 10 Ohms de resistencia consume 13 A de la red. Hallar el número de resistencias de 36 Ω requeridas para que. 15 y 30 Ohms. ¿Qué resistencia se debe conectar en serie con la pila y el aparato para que la corriente no sea mayor a 65 mA? ¿Qué ddp se da en los bornes del termómetro? Tres resistencias R1 = 40 Ω. . desprendido durante 30 minutos. Calcular la ddp en bornes del conjunto y la corriente que circula por cada elemento. 25. expresado el resultado en W y en cal / seg. El coeficiente de temperatura de la resistencia de cobre vale 0. La resistividad de este metal vale 33 x 10-6 Ω. La resistencia de un termómetro de platino es de 7 Ohms a 40 oC. por una línea de 120 V. se asocian en paralelo y el conjunto se alimenta con una fuente de 220 V. sabiendo que la resistividad de este metal vale 1. c) la ddp en bornes de la fuente cuando entrega la corriente al circuito. Calcular la potencia de entrada del motor. El coeficiente de temperatura de la resistencia del platino vale 0. a una velocidad de 10 m / min.m.00426 ( oC )-1.756 x 10-8 Ω. se asocian en serie y el conjunto se alimenta con una fuente de 110 V de fem y 1 Ohm de resistencia interna.05 Ohms de resistencia interna. También calcular el costo de funcionamiento durante 4 horas 15 minutos a razón de 50 centavos el KW. Calcular el calor en J y en cal.cm. circulen 10 A. El conjunto de las tres resistencias de 10. Un termómetro eléctrico tiene una resistencia de 25 Ohms y su corriente óptima de funcionamiento es de 65 mA. En cada uno de los circuitos de las figuras a. la ddp en cada resistencia y la intensidad de corriente que circula por cada resistor. b y c. calcular la intensidad de corriente que entrega la batería. Calcular el coeficiente de temperatura y la resistencia que presenta a 350 oC. . (las resistencias están en Ohms).Física III - - Un alambre conductor tiene una resistencia de 12 Ω a 30 oC y de 11 Ω a 0 oC. o en las cuales hay generadores de fem en paralelo. Para resolver este tipo de problemas es necesario conocer dos nuevos conceptos. no pueden resolverse por el método de la resistencia equivalente. ¿Qué longitud de alambre de cobre ( ρ = 1. El motor de un montacargas consume 10 A a 220 V para elevar un peso de 4000 N a una velocidad de 6 m / min.Física III - - - - - Una línea de una fábrica tiene una resistencia eléctrica total de 0. ¿Qué potencia se convierte en calor? Calcular la cantidad de calor que desarrolla en la unidad de tiempo. Como ejemplo de nodo.20 mm2 de sección transversal ( ρ = 100 x 10-8 Ω. Calcular el rendimiento de la transmisión. con un rendimiento del 91 % consume 18 A a 127 V de la red. Se denomina MALLA a cualquier recorrido.5 Ω y suministra 15 KW de potencia a 220 V de tensión.m) Una fuente de 127 V de fem está conectada a un elemento calefactor formado por una bobina de alambre de nicromo de 1. Un motor eléctrico.m ) ¿Qué longitud de alambre se necesita para que la pérdida de potencia resistiva sea de 900 W? LEYES DE KIRCHHOFF. de hilos conductores. (ρ=5. calcular la energía en J y en KW.6 mm de diámetro se necesita para fabricar un resistor de 30 Ω a 20 oC? ¿Qué longitud de alambre de nicromo se necesita? (ρ=100 x 10-8 Ω. que sea cerrado.78 x 10 -8 Ω. M ) de 1. Las redes de resistencias en las cuales las resistencias no forman agrupaciones en serie o en paralelo. Se denomina NODO al punto del circuito en el cual se unen tres o más conductores. Determinar la potencia de salida del motor. M) Calcular la resistencia de 90 m de alambre de tungsteno cuyo diámetro es de 0.9 mm a 20 oC.5 x 10-8 Ω. Considerando que el motor funciona 8 Hrs sin interrupción. los puntos A y D lo son . Calcular el rendimiento del sistema.Hr que se consumiría. . Las reglas proporcionan un método para determinar tanto los sentidos como los valores .La suma algebraica de las intensidades de las corrientes que se dirigen o salen de cualquier nodo del circuito es cero. se obtienen los valores numéricos verdaderos. Las leyes de Kirchhoff enuncian lo siguiente: LEY DE LOS NODOS. Sí una solución de las ecuaciones atribuye valor negativo a una intensidad de corriente. De cualquier manera.. el recorrido ABCDEFA (en el circuito de la figura i) también es una malla. O sea: Σε=ΣRI El primer paso para aplicar las leyes de Kirchhoff es asignar un sentido a todas las intensidades desconocidas (la asignación es totalmente al asar). su verdadero sentido es opuesto al que se le había asignado.La suma algebraica de las fems en una malla cualquiera de un circuito es igual a la suma algebraica de los productos R I en la misma malla. La solución se efectúa basándose en los sentidos supuestos.Física III (vea usted la figura i) y como ejemplo de malla lo es el recorrido ADEFA en el circuito mostrado en la figura i. Matemáticamente es: ΣI=0 LEY DE LAS MALLAS. Como el circuito cuenta con dos nodos solo será posible determinar una ecuación por nodos. Para resolver un problema por medio de las leyes de Kirchhoff será necesario plantear tantas ecuaciones como incógnitas se tengan. y negativo el sentido de las manecillas. PROBLEMA. Todas las corrientes y fems que tengan sentido opuesto al giro de las manecillas del reloj serán positivas y las que tengan sentido opuesto serán negativas. 1 Esta será la ecuación 1. Las expresiones Σ I. o sea. se aplica la regla de los nodos a n – 1 nodos. el resto de las ecuaciones necesarias para la solución del problema deberán ser ecuaciones por mallas. Sí hay n nodos en la red. son sumas algebraicas. será necesario determinar tres ecuaciones. 2ª. Será el nodo A el que se usará para establecer la ecuación.6 Ω r3 = 1. Cuando se aplica la regla de las mallas.. Cuando se aplica la regla de los nodos. que solo se pueden platear n-1 ecuaciones por nodo. Imaginemos la red formada por un número de mallas sencillas (en el circuito de la figura anterior se tienen tres mallas) y la regla de las mallas se puede aplicar a cada una de ellas. Para determinar el número de ecuaciones se hace uso de las siguientes reglas: 1ª. con los datos que se dan.0 Ω R1 = 4 Ω R2 = 6 Ω R3 = 3 Ω R4 = 8 Ω R5 = 7 Ω R6 = 5 Ω R7 = 9 Ω En vista de que se desconocen tres intensidades de corriente. . se elige como positivo el sentido de recorrido de la malla que corresponda con el sentido opuesto al giro de las manecillas del reloj. ε1 = 18 V ε2 = 24 V ε3 = 48 V r1 = 0. Σ R I y Σ ε. se considera positiva la intensidad de una corriente sí se dirige hacia el nodo y negativa sí se aleja del mismo. Determinar las corrientes en el circuito mostrado en la figura i. La siguiente ecuación se determina con la malla ADEF.Física III numéricos de las intensidades de corriente y no es necesario conocer de antemano estos sentidos. Esta será: -I1 – I2 + I3 = 0 ……………………………………………………………….3 Ω r2 = 0. 2. I1 = 0. Esta ecuación se designará como 2. y como comprobación.3 I1 – 9 I1 = -18 +24 Se hacen operaciones: -19.203 A I2 = 2. La figura X presenta el esquema del puente de Wheatstone. en el cual se observa que el puente consta .3. la suma algebraica de las corrientes en los nodos del circuito es cero.6 I2 – 6 I1 – 4 I1 – 0.6 I2 + 21 I3 = 72 ………………………………………………………….Física III R3 I2 + r2 I2 – R2 I1 – R1 I1 – r1 I1 – R7 I1 = -ε1 + ε2 Ahora se sustituyen valores: 3 I2 + 0. es decir. Por otro lado.6 I2 = . PUENTE DE WHEATSTONE. Esta ecuación será la número 3 (se agrego el término 0 I 1 y además se multiplico la ecuación por -1). como se puede comprobar.3 I1 + 3.75 A I3 = 2.24 – 48 Se hacen operaciones y la ecuación queda como: 0 I1 + 3. El puente de WHEATSTONE es un circuito que permite determinar la resistencia desconocida de un elemento resistor. Se le agrega el término 0 I 3. La solución de estas tres ecuaciones simultaneas arroja los siguientes valores para las incógnitas (resuelve el sistema de ecuaciones por el método que mas te guste y comprobarás estos resultados).7 I3 – 8 I3 – 3 I2 – 0. no es necesario hacer cambios de sentido en ellas. los sentidos de las corrientes que se consideraron fueron las correctas. para resolver por determinantes. Aún falta la 3ª ecuación y ésta se establecerá con la malla ABCDA: -R6 I3 – r3 I3 – R5 I3 – R4 I3 – R3 I2 – r2 I2 = -ε2 – ε3 Ahora se sustituyen valores en la ecuación anterior y ésta queda como: -5 I3 – 1 I3 .96 A Estos valores de las incógnitas son la solución del problema.6 I2 + 0 I3 = 6 ………………………………………………………. Física III de una fuente de corriente continua (cc). y se puede denominar I 2. esto se logra mediante la resistencia variable P. de cuatro resistencias. se puede asegurar que la corriente eléctrica por las resistencias N y M es la misma. también consta de un galvanómetro y de un interruptor. y entonces se puede asegurar que la caída de tensión en las resistencias N y P son iguales. y la podemos denominar I 1.ec. es necesario garantizar que la corriente eléctrica en el galvanómetro sea nula. con lo cual se garantiza que la corriente eléctrica a través del galvanómetro sea cero. en el esquema. . la resistencia variable es la resistencia P. Lo dicho anteriormente se puede escribir algebraicamente como: VN = V P VM = V X Por otro lado. El funcionamiento del puente de Wheatstone es de la manera siguiente: Sí el interruptor se cierra. sí la corriente a través del galvanómetro es nula. y también que las caídas de tensión en las resistencias M y X son iguales (vea la figura X). es necesario balancear el puente (para que el puente de Wheatstone cumpla con su función. Aplicando la ecuación de la ley de Ohm se puede escribir: VN = N I 1 Y como NI1=PI2 I y VP = P I 2 VN = V P -------------------------------------------------------------------. y también por las resistencias P y X circula la misma corriente eléctrica. y a esto se le denomina balancear el puente de Wheatstone). una de las cuales es una resistencia variable. de un galvanómetro (el cual se conecta entre las resistencias y un hilo conductor). Dividiendo la ecuación I entre la ecuación II se tiene: NI 1 PI 2 = MI 1 XI 2 O sea N P = M X Despejando a X se tiene: X = MP N Que es la ecuación que permite calcular la resistencia desconocida utilizando el puente de Wheatstone. El PUENTE REGLA es similar al puente Wheatstone. de una fuente de corriente continua (cc) y de un hilo conductor de resistencia uniforme. de una resistencia desconocida X (la cual se desea conocer). éste se compone de una resistencia conocida N. que generalmente tiene una longitud de un metro. PUENTE REGLA.ec. de un interruptor. La figura r presenta un esquema del PUENTE REGLA. y esto se consigue . Para poder determinar el valor de la resistencia desconocida es necesario que la corriente eléctrica a través del galvanómetro sea nula.Física III VM = M I 1 Y como y VX = X I 2 VM =VX MI1=XI2 II ------------------------------------------------------------------. Se usará el nodo A. por medio del Puente Regla. La ecuación es: Σ I = 0..1 . arbitrariamente. desarrollando se tiene: I1 + I 2 + I 3 = 0 ……………………………………………………………………. hasta lograr que la corriente eléctrica por el galvanómetro sea de cero. solo se puede usar una ecuación por nodo.Física III deslizando el cursor (conexión del galvanómetro al hilo conductor) sobre el hilo conductor. Supóngase. La relación matemática que permite calcular la resistencia desconocida es: X N = Y Z Despejando a X se tiene: X= YN Z Expresión matemática que permite calcular el valor de la resistencia desconocida X. Como el circuito tiene dos nodos. PROBLEMA. Calcular las intensidades de las corrientes del circuito adjunto. los sentidos de las corrientes. 5 I2 + 10 I3 = .E2 -0.5 I2 + 0 I3 = 12 ………………………………………………………….5 I2 -21 I2 = -12 + 24 -14 I1 – 21.Física III Ahora se determina la ecuación para la malla izquierda: La ecuación es: Σ R I = Σ E. Primero se forma el determinante del sistema de ecuaciones: Ahora se forma el determinante asociado a la incógnita I1: Ahora se forma el determinante asociado a la incógnita I2: .24 …………………………………………………………3 El sistema de ecuaciones se resuelve por el método de determinantes.5 I2 – 21 I2 + 10 I3 = .24 0 I1 – 21.. desarrollando se tiene: -r1 I1 – R1 I1 – r2 I2 – R2 I2 = -E1 + E2 -I1 – 13 I1 – 0.2 Ahora se determina la ecuación para la malla derecha: -r2 I2 – R2 I2 + R3 I3 = . en el nodo A. su sentido es opuesto al que se consideró.Física III Ahora se forma el determinante asociado a la incógnita I3: A continuación se calculan los valores de las incógnitas: En vista que la corriente I1 resultó negativa. . El siguiente esquema presenta los sentidos correctos de éstas. los sentidos de las corrientes. motivo por el cual se tiene: -I1 – I2 – I3 = 0 …………………………………………………………………. Supóngase. porque se considera que las tres corrientes salen del nodo. . arbitrariamente.1 La ecuación queda así. PROBLEMA. Calcular las intensidades de las corrientes del circuito adjunto. La ecuación por nodo se plantea para el nodo derecho.Física III Y esta es la solución del problema. 5 I2 – 0.606 A I3 = .7 I2 = 16 -6 11 I1 – 14.3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: I1 = 1.298 A De acuerdo con los resultados. Eso es todo y el problema está resuelto. la corriente tres cambia de sentido.5 I3 – 2.Física III Ahora se plantea la ecuación para la malla superior: R1 I1 + r1 I1 – R2 I2 – r2 I2 = E1 – E2 Sustituyendo y haciendo operaciones. .2 A continuación se plantea la ecuación para la malla perimetral: R1 I1 + r1 I1 – r3 I3 –R3 I3 = E1 + E3 Sustituyendo y haciendo operaciones. se tiene: 10 I1 + 1 I1 – 13.2 I2 + 0 I3 = 10 …………………………………………………….2.5 I3 = 16 + 9.692 A I2 = 0.5 ……………………………………………………….5 11 I1 + 0 I2 – 3 I3 = 25. se tiene: 10 I1 + 1 I1 – 0. Los datos son: L=4Ω M=3Ω N = 12 Ω Sí la lectura del galvanómetro es de cero. Se necesita medir la resistencia desconocida. Determine la resistencia desconocida. respectivamente. mediante el puente de Wheatstone. se puede escribir la siguiente ecuación.Física III PROBLEMA. M y N que dan forma al puente. La lectura del galvanómetro es de cero. 3 y 12 Ω. entonces. valen 4. que se muestra en el esquema adjunto. X=L N 12 =4 = 16 Ω M 3 . de un termómetro. Las resistencias L. PILA VOLTAICA. Los elementos de la electroquímica son las moléculas. Los generadores electroquímicos (que transforman la energía química en energía eléctrica) se conocen como pilas. así como electrones libres. La electroquímica es la parte de la Química que estudia la interacción entre la energía química y la energía eléctrica. Por medio de un puente hilo determinar la resistencia desconocida X. Los datos son: N=5Ω K = 30 cm S = 70 cm La ecuación para determinar X es: X=K N 5 = 30 = 2. ELECTROQUIMICA. baterías y acumuladores y se les denomina fuentes electroquímicas.143 Ω S 70 Problema resuelto. La lectura del galvanómetro es de cero. con la resistencia X.Física III PROBLEMA. . los cuales se encuentran fundidos o en solución y son móviles. de acuerdo con los datos proporcionados en el esquema adjunto. y átomos ionizados. lo que permite el desplazamiento de iones de una placa a la otra. Una pila de este tipo proporciona energía eléctrica de corriente directa. A continuación se presenta un esquema con los tipos de pilas que existen: . logrando con esto una diferencia de potencial entre las placas.Física III La pila voltaica fue inventada en 1796 por Alessandro Volta. A continuación se presenta un esquema de la constitución de una pila: El funcionamiento de la pila se fundamenta en la reacción de las placas con el electrólito. motor o cualquier dispositivo eléctrico con los polos del acumulador. El acumulador más común es el de plomo. mientras que la negativa recibe hidrógeno que elimina el oxígeno por reducción. Cuando el oxígeno y el hidrógeno suben a la superficie del líquido en forma de burbujas. Al conectar un foco. La pila seca está formada por un recipiente de cinc que funciona como placa negativa. la placa positiva absorbe oxigeno y se forma en ella peróxido de plomo. Al centro del recipiente se ubica una barra de carbón que funciona como placa positiva. El electrólito es una pasta de cloruro de amonio que llena el espacio entre la barra de carbón y el recipiente de cinc. Cada uno de sus elementos está formado por dos placas de plomo que son bañados en una solución de ácido sulfúrico de densidad 1.26 g / cm3. Cuando estas placas se conectan con los dos polos de una fuente de corriente continua. ACUMULADOR.Física III PILA SECA. es señal de que el acumulador está cargado. . A continuación se presenta un esquema de la pila seca. quedando solamente plomo esponjoso. r es la resistencia interna de una pila. en paralelo o mixto. El voltaje que proporcionan por celda es de 1. Un acumulador simple proporciona una corriente de dos volts y tiene una capacidad de unos 30 A / h. En los cálculos relacionados con una batería se hará uso de la siguiente simbología: E es la fem de la batería expresada en volts. r es la resistencia interna de una pila expresada en ohms.5 volts. no existe ningún cambio de corriente entre ellas. como ya se ha indicado y el acumulador se halla de nuevo en condiciones de proporcionar energía eléctrica. Se utilizan los acumuladores acoplados en baterías de varios elementos. n es el número de pilas en la batería. Ri es la resistencia interna de la batería. El agrupamiento de pilas se da para obtener una mayor fuerza electromotriz o una mayor intensidad de corriente. El agrupamiento de pilas puede ser en serie. Al agrupamiento de pilas se le denomina batería. . Para automotores se usan baterías de seis (12 volts) elementos conectados en serie. expresada en ohms. Este tipo de acumulador es mas ligero que el de plomo.Física III éste se descarga: tanto la placa positiva como la negativa transforman su peróxido y su plomo esponjoso en sulfato y al tener ambas el mismo revestimiento químico. expresada en volts. RESISTENCIA INTERNA. La resistencia interna que manifiesta una pila se debe a la dificultad que se les presenta a los iones para desplazarse en el electrólito. mientras que el electrólito es de potasa. La resistencia interna de la pila hace que una parte de la energía eléctrica se convierta en calor. Otro tipo de acumulador alcalino es el que tiene el electrodo positivo de plata y el negativo de cinc. En los acumuladores alcalinos.25 volts. expresada en amperes). AGRUPAMIENTO DE PILAS. e es la fem de una pila expresada en volts. El voltaje que proporcionan es de 1. e I es la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito. Una nueva carga rompe el equilibrio. expresada en ohms. expresada en ohms. R es la resistencia de carga expresada en ohms. El siguiente esquema presenta los modelos matemáticos para el agrupamiento de pilas (el significado de las literales en las ecuaciones ahí presentadas es: E es la fuerza electromotriz de la batería. las placas positivas son de níquel y las negativas de cadmio y hierro. Ri es la resistencia interna de la batería expresada en ohms. R es la resistencia de carga en el circuito. n es el número de pilas que forman la batería. e es la fuerza electromotriz de una pila o celda. expresada en volts. de los diferentes tipos de agrupamientos de pilas.Física III A continuación se presentan dos esquemas. . b) la fem y la diferencia de potencial en los bornes de la batería y c) la intensidad de la corriente en la resistencia de carga.1 Ω de resistencia interna. Los datos son: .Física III PROBLEMA. La resistencia de carga en el circuito es de 9 Ω. En ambos casos calcular: a) la resistencia total del circuito. Ocho pilas de 1.5 V de fem cada una de 0. las cuales se conectan en: a) en paralelo y b) en serie. La resistencia de carga en el circuito es de 4 Ω. Pilas conectadas en paralelo.0125 = 9. Calcular: a) la fem que entrega el conjunto de pilas. Ahora las pilas están conectadas en serie. b) la resistencia total del circuito y c) la intensidad de corriente que circula por la resistencia de carga.0125 SERIE. Todas las pilas son iguales y tienen 1. Ri = r 0 . se conectan a su vez en paralelo.1664 A RT 9.5 V r = 0.5 = 12 V c) la fórmula es: I = E 12 = = 1.1 = 0. formado cada uno de siete pilas conectadas en serie.5 = = 0. e = 1. a) la fórmula es. Los datos son: n1 = 6 conexión en paralelo. a) la fórmula es: Ri = n r = 8 x 0.3 Ω de resistencia interna.25 V de fem cada una y 0.8 PROBLEMA.8 Ω RT = R + Ri = 9 + 0.8 = 9.25 = 8. n2 = 7 conexión en serie.25 V r = 0.Física III n=8 e = 1.0125 Ω b) la fórmula es: E = e = 1.0125 Ω n 8 RT = R + Ri = 9 + 0.1 Ω R=9Ω PARALELO.5 V c) la fórmula es: I = E 1.224 A RT 9 .1 = = 0.75 V . Seis grupos de pilas.3 Ω R=4Ω a) para una serie de pilas se tiene: E = n e = 7 x 1.8 Ω b) la fórmula es: E = n e = 8 x 1. 67 A Ri 3 d) la fórmula es: I = E 20 = = 1. La fem de cada pila es de 2 V y su resistencia interna de 0.3 Ω R = 15 Ω a) la fórmula es: E = n e = 10 x 2 = 20 V.3 Ω. n 6 Por lo tanto.75 V y como cada serie está en paralelo con el resto de las series. 8. b) la resistencia interna de una serie es: Ri = n r = 7 x 0.3 = 2. RT = R + Ri2 = 4 + 0.35 Ω (en este caso se tomó para r a Ri). todo el conjunto entrega 8. La resistencia interna de la conexión en paralelo es: Ri2 = r 2 . La resistencia de carga a la cual están conectadas es de 15 Ω. c) la intensidad de la corriente que entrega la batería a circuito abierto y d) la intensidad de la corriente que circula por la resistencia de carga. Calcular: a) la fem de la batería a circuito abierto. b) la fórmula es: Ri = n r = 10 x 0.1 Ω Por lo tanto.1 = = 0.75 V. porqué para pilas en paralelo E = e. cada serie tiene una resistencia interna de 2. o sea.01 A RT 4.11 A R Ri 15 3 . b) la resistencia interna de la batería. todo el conjunto entrega.75 V.1 Ω. c) la fórmula es: i = E 20 = = 6.35 = 4.3 = 3 Ω.Física III Por lo tanto.35 PROBLEMA. Diez pilas iguales se conectan en serie.35 Ω. cada serie entrega 8.75 = = 2. c) la corriente en la resistencia de carga es: I= E 8. Los datos del problema son: n = 10 e=2V r = 0. entonces. 7 Ω. Una batería tiene una fem de 12 V y una resistencia interna de 0.5 Ω R = 13 Ω Se calcula la resistencia interna del conjunto de baterías.Física III PROBLEMA. El arreglo alimenta a una resistencia de carga de 13 Ω. está conectada en serie con otra batería de 6 V de fem y resistencia interna de 0. Sí el circuito es como el mostrado en la figura adjunta calcular: a) la intensidad de la corriente en el circuito y b) la diferencia de potencial en las terminales de cada batería. Los datos son: E1 = 12 V r1 = 0.5 Ω. .7 Ω E2 = 6 V r2 = 0. 7 = 0. E = E1 + E2 = 12 + 6 = 18 V Se calcula la intensidad de la corriente en el circuito.478 V PROBLEMARIO.5 = 0.888 = 16. V2 = I r2 = 1. VR = I R = 1.634 V La diferencia de potencial en la batería 2 es: 6 – 0.268 x 0.Física III Ri = r1 + r2 = 0.484 V Se calcula la caída de tensión en la resistencia interna de la batería 1. V1 = I r1 = 1.634 = 5.268 x 0. .5 = 1.366 + 12 – 0.2 Se calcula la caída de tensión en la resistencia de carga.7 + 0. - En el circuito de la figura adjunta calcular las intensidades de las corrientes.268 x 13 = 16.2 Ω Se calcula la fem del conjunto de baterías.268 A R Ri 13 1. I= E 18 = = 1.366 V La diferencia de potencial en la batería 1 es: 5.888 V Se calcula la caída de tensión en la resistencia interna de la batería 2. Física III - Calcular las intensidades de las corrientes en el circuito de la figura adjunta. . .Física III - Aplicando las leyes de Kirchhoff calcular las intensidades de las corrientes en el circuito de la figura adjunta. de acuerdo con el dibujo adjunto. - Por medio del puente regla calcular la resistencia desconocida X. se conectan a su vez en paralelo.25 V y su resistencia interna de 0. Calcular: a) la fem de la batería a circuito abierto. La resistencia de carga en el circuito es de 17 Ω. La resistencia de carga es de 24 Ω. b) la fem y la diferencia de potencial en los bornes de la batería y c) la intensidad de la corriente en la resistencia de carga.5 V de fem cada una y 0. c) la intensidad de la corriente que entrega la batería a circuito abierto y d) la intensidad de la corriente que circula por la resistencia de carga. - - - . Ocho pilas iguales se conectan en serie.2 Ω de resistencia interna. La fem de cada pila es de 1. b) la resistencia interna de la batería. de acuerdo con el esquema adjunto. Todas las pilas son iguales y tienen 1. La resistencia de carga a la cual están conectadas es de 25 Ω. - Diez pilas de 3 V de fem cada una y 0. c) la intensidad de corriente que entrega la batería a circuito abierto y d) la intensidad de corriente que circula por la resistencia de carga ( a circuito cerrado). formado cada uno de cinco pilas conectadas en serie. se conectan en: a) en paralelo y b) en serie. Diez grupos de pilas. b) la resistencia total del circuito y c) la intensidad de corriente que circula por la resistencia de carga. En ambos casos calcular: a) la resistencia total del circuito.2 Ω de resistencia interna (también cada una).3 Ω. Calcular: a) la fem que entrega el conjunto de pilas.4 Ω. b) la resistencia interna de la batería. La resistencia de carga en el circuito es de 15 Ω. la fem de cada una es de 2 V y su resistencia interna es de 0.Física III - Calcular la resistencia desconocida X por medio del puente Wheatstone. Doce pilas se conectan en serie. Calcular: a) la fem de la batería a circuito abierto. WILSON. FISICA. FISICA GENERAL. Ed. Mc Graw Hill FISICA. Pearson Educación. HECTOR PEREZ MONTIEL. FISICA GENERAL. DANIEL SCHAUM. Publicaciones Cultural.Física III BIBLIOGRAFIA. Mc Graw Hill. SERWAY. Ed. Ed. Ed. JERRY D. FISICA. . Conceptos y aplicaciones. Mc Graw Hill. TIPPENS. Ed.