Universidad Autónoma del Estado de MéxicoPlantel “Ignacio Ramírez Calzada” Academia de Matemáticas Núcleo de formación: Matemáticas Apuntes de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo. JUNIO 2009 INDICE. Apuntes de Cálculo Diferencial PRESENTACIÒN…………………………………………………………………………………… ………………...3 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………………..5 LÍMITES LATERALES………………………………………………………………………………………… …….8 TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES…………………………………………………………..…10 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS……………………………………………………………………………… …13 LÍMITES INFINITOS……………………………………………………………………………………….. ……..15 EL NÚMERO e………………………………………………………………………………………………………. 17 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………………………18 PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES……………….21 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO…………………………………………………………………………..23 INCREMENTOS…………………………………………………………………………………… …………………25 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………27 TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS………………………………………………………….29 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS………………………………….31 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS………………………………….33 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 2 Apuntes de Cálculo Diferencial DERIVADA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS……………………………………………………………….35 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES………………………………………………………37 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA……………………………………………. ………………………………………39 DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………….41 DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS……………………………………………………………….42 ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA…………………. …………..44 MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………….46 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS……………………………………………..49 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………52 LA INTEGRAL INDEFINIDA………………………………………………………………………………………53 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN…………………………………………………………………………..54 FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN………………. ………………………………………54 GLOSARIO………………………………………………………………………………………… …………………..55 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………… ………………..57 PRESENTACION M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 3 Los conceptos y definiciones que contiene y los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo. así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.Apuntes de Cálculo Diferencial Los presentes Apuntes de Cálculo Diferencial pretenden apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando conceptos y definiciones. por lo que estos apuntes se entregan a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría. De esta manera. ya que los conceptos y ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas. en A. Gustavo Quintana Galindo Página 4 . El alumno al hacer uso frecuente de estos apuntes encuentra un apoyo académico. B. comprendiendo la materia de un modo más completo. M. Los apuntes contienen conceptos y ejemplos de funciones. se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de Matemáticas. así como ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar. límites. derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva. M.Apuntes de Cálculo Diferencial Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias. Gustavo Quintana Galindo Página 5 . B. en A. lo cual es el propósito del programa de esta asignatura. en A. esto es f(a) no está definido. 1. sin embargo los equipos para hacer vació pueden lograr presiones muy cercanas a cero. mirándola desde varios puntos de vista. M. El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que distinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el álgebra o la geometría. Si al acercarse a cero la presión. cuando la presión del aire es cero. Vagamente hablando. Nótese que en este experimento la presión x nunca es igual a cero. En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) de una función f cuando está muy cerca de un número a. Debe advertirse al estudiante que la noción de límite no se llega a dominar fácilmente. es fácil adquirir intuición para los límites. entonces puede suponerse que la medición en el vació sería también L. A pesar de la complejidad de la definición. en muchos casos el número a no está en el dominio de f. una manera natural de abordar el problema es medir dicha cantidad a presiones cada vez más pequeñas. es igual a L. De hecho. las mediciones correspondientes se acercan a un número L. En efecto. antes de que su significado se aclare. y escribimos lim f ( x) L xa Consideremos el caso de un físico que desea hacer mediciones de los efectos del vacío en un experimento. nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Si x se acerca más y más a a (pero x a). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. pero no es necesariamente igual a a. Gustavo Quintana Galindo Página 6 . B. es frecuentemente necesario para el principiante estudiar la definición muchas veces. cuando x tiende a a. f(x) se acerca también cada vez más a algún número L? Si la respuesta es sí decimos que el límite de f(x). Como es imposible lograr un vacío perfecto en un laboratorio.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. 002001 Página 7 .9. El valor hacia el cual tienda la función cuando x esté muy cerca de 1 corresponderá al valor del límite.2 Quintana Galindo 1. por lo cual L es el valor del límite.podemos considerar valores a la izquierda como 2.2.21 3. B.01 1.8 2. en A. cuando los valores de x se acercan 4. se traza la gráfica de la función. tanto menores como mayores y se valúa la función en cada valor asignado a x.2.Apuntes de Cálculo Diferencial Consideremos que x tiende a 3.1 1.2.5 M.2.999 2. se denota: lim f ( x) L x a Que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L.5 2.001.98 0. como x tiende a uno.25 0.44 3. 2 Ejemplo 1: Obtener el valor del límite lim ( x +2) x→ 1 En este caso.81 0. Para interpretar geométricamente el valor de un límite.5.1. la función y = f(x) está muy cerca de L.3. se le asignan a x valores sucesivamente cada vez más cercanos a uno.998 x 1. cuando x está muy cerca de a.3. f(x) está muy cerca de L.8.3.3.99 2.99.5.9999 y desde la derecha 3.2.25 3. Nótese que a la variable x primero se le asignaron valores sucesivamente cada vez más cercanos a 3 desde la izquierda y desde la derecha pero ninguno igual a 3 Concepto de límite de una función: El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo a.2.64 0. X f ( x )=x 2 +2 2 f ( x )=x +2 0.001 En ambas tablas.0201 3. es el valor L hacia el cual tiende la función.01. Gustavo 1.9 2. entonces.999. Significa que cuando x está muy cerca de a. la función y=f ( x ) está muy cerca de un valor L localizado en el eje y. Ejercicios de reforzamiento: Obtenga el valor de los siguientes límites.- lim (4−2 x) x→ 0 2 x2 (¿−3 x + 4) lim ¿ x→ 1 M. para lo cual construya una tabla en donde asigne valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x: 1. la función se acerca cada vez más a 3.- x3 (¿−1) lim ¿ x →1 2.Apuntes de Cálculo Diferencial cada vez más a 1. Gustavo Quintana Galindo Página 8 . B. en A. esto es x2 (¿+2)=3 lim ¿ x →1 Resumen: El limite de una función es que cuando x está muy cerca de un valor a localizado en el eje x.- 3. por lo tanto el límite de la función es igual a 3. Gustavo Quintana Galindo Página 9 . tanto con valores menores como con valores mayores. se denomina límite lateral por la izquierda. pero mayores. se representa por: lim f ( x ) x a El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x. en A. El límite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo a. se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.2. se denomina límite lateral por la derecha. El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x. LÍMITES LATERALES El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x. M. pero menores.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. B. entonces f ( x ) → 0 y por lo tanto: x → 5−¿ √ 5−x lim ¿ ¿ M.99 0.8 0. se determina el valor del límite.1000 4.4472 4.5 0.7071 4. primero se deben obtener sus límites laterales y a partir de ellos. la función se acerca cada vez más a 0.Apuntes de Cálculo Diferencial El límite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x un valor fijo a.0316 Cuando los valores de x se acercan cada vez más a 5 por la izquierda. sí y sólo sí. esto es: lim f ( x) x a existe lim f ( x) lim f ( x) x a xa Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función. En este caso se obtiene el límite de la función elaborando la siguiente tabla: −¿ x → 5¿ f ( x )=√ 5−x 4.3162 4.999 0. cuando −¿ x → 5¿ . en A.9 0. sus límites laterales existen y son iguales. B. esto es. Gustavo Quintana Galindo Página 10 . Ejemplo 1: Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: f ( x )=√ 5−x cuando x tiende a 5. se representa por: tiende a lim f ( x ) x a TEOREMA El límite de una función existe. 3.Calcular el límite de la siguiente función utilizando límites laterales: lim g( x) x→ 2 si √ x para x ¿ 2 g ( x ) =¿ x 2 para x ≤ 2 TEMA No.Apuntes de Cálculo Diferencial Resumen: El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES M. tanto con valores menores como con valores mayores. en A. Gustavo Quintana Galindo Página 11 .-Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: f ( x )=3 x 2+ 5 cuando x tiende a 2. 2. se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.. Ejercicios de reforzamiento: 1. B. lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) x a x a 5. Ejemplo 1: Calcular el valor del límite: 2 x2 (¿−5 x +3) lim ¿ x →2 Utilizando el teorema 5 M. en A. los más importantes son los siguientes: lim k k 1. xa donde f (x) y g (x) son funciones lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) 6. n 8. lim x n a n x a 4. lim f ( x) n lim f ( x) x a x a donde g (x) 0. B. Gustavo Quintana Galindo Página 12 .Apuntes de Cálculo Diferencial Una forma directa para calcular el límite de una función. es mediante el uso de teoremas. x a donde k es un número real (una constante) lim x a 2. reales. x a lim kx ka 3. xa lim x a xa x a f ( x) f ( x) lim x a g ( x ) lim g ( x) x a 7. x a donde k es un número real (una constante). Apuntes de Cálculo Diferencial 2 x2 2 x2 (¿)−lim ( 5 x ) + lim (3) x →2 x →2 (¿−5 x+ 3)=lim ¿ x→ 2 lim ¿ x→ 2 Utilizando los teoremas 3. Gustavo Quintana Galindo Página 13 . entonces x2 x2 (¿+2) lim (3 x−1) x →1 (¿+2) ( 3 x−1 )=lim ¿ x→1 lim ¿ x →1 = (1+2) (3-1) =3 2 Ejemplo 3: Obtener el valor del límite 2 x +3 x−1 lim 4 x +5 x→ 0 Aplicando el teorema número 7. se tiene: lim x→ 0 2 x 2 +3 x−1 0+0−1 −1 = = 4 x +5 0+5 5 M. en A. se tiene el valor del límite. B. =1 Ejemplo 2: Obtener el valor del límite x2 (¿+2)(3 x −1) lim ¿ x→ 1 Se pide obtener el límite de un producto de dos funciones.4 y 1 ¿ 2(2)2 −5 ( 2 )+3 Simplificando. lim x →−2 ( x+ 2 ) ( x+ 2) x 2 +4 x + 4 = lim 2 x +8 x+12 x →−2 ( x+ 6 ) ( x+ 2) Simplificando (x+ 2) x →−2 (x+6) ¿ lim Aplicando los teoremas correspondientes: −2+2 = −2+6 Ejemplo 5: Calcular el valor del límite: = 0 4 =0 lim x−1 √ x−1 x→ 1 La simplificación de una expresión que contiene radicales. 0 porque al calcular directamente el límite resulta la indeterminación 0 . Gustavo Quintana Galindo Página 14 . M. En este caso se debe racionalizar el denominador de la función multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador que es: √ x +1. B. en A. se hace racionalizando.Apuntes de Cálculo Diferencial lim Ejemplo 4: Determinar el valor del límite x →−2 x 2 +4 x + 4 2 x +8 x+12 Factorizando tanto el numerador como el denominador de la función. cuyo producto resulta una diferencia de cuadrados.- 2 x2 (¿−3 x +1) lim ¿ x →2 2. B. en el denominador se tienen dos binomios conjugados. = Simplificando: = lim ( x−1 ) ( √ x+ 1) x→ 1 lim x→ 1 2 ( √ x ) −( 1 )2 ( x−1 ) ( √ x+ 1) x−1 Aplicando los correspondientes teoremas de límites: =2 Resumen: Para el cálculo directo de límites de funciones se aplican los teoremas correspondientes aplicando los productos notables para factorización así como procesos como racionalización. Ejercicios de reforzamiento: Calcular los siguientes límites. 1.Apuntes de Cálculo Diferencial lim x→ 1 x−1 =lim √ x−1 x→ 1 [ √ ][ √√ ] x−1 x−1 x+ 1 x+ 1 Efectuando la multiplicación. Gustavo Quintana Galindo Página 15 . en A.- 3.- lim √3 4 x+11 x→4 lim x 2+ 2 x−8 2 2 x −4 lim 3 x −6 √ 3 x −√ 6 x→ 2 x→ 2 M.- 4. lim sen u sen u 1.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. lim sen u 0 u 0 3. sen u 1 u Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas. lim cos u cos u 2. B. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS En esta sección desarrollaremos fórmulas para los límites de las funciones trigonométricas. El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas. primero se aplican identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente.4. Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites. se tienen las siguientes: M. en A. Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno. supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables. en los cuales se considera que u = f (x). lim u 0 5. lim cos u 1 u 0 4. Gustavo Quintana Galindo Página 16 . [ ( 2 ) ( 8) ] = lim x→ 0 [ sen 8 x 8x ] M. lim x→ 0 [ 2 sen 8 x x ] [ ][ 8 lim = x→ 0 8 2 sen 8 x x ] Factorizando y efectuando productos.Apuntes de Cálculo Diferencial tan u sen u cos u cot u cos u sen u sec u 1 cos u csc u 1 sen u Ejemplo 1: Calcular el límite trigonométrico lim cos 3 x x→ 0 El argumento de la función es 3x. el lìmite se puede escribir lim cos 3 x 3 x →0 Aplicando el teorema lim cos u=1 se tiene el valor del límite. B. entonces haciendo u=3x. tambièn 3x → 0 . Gustavo Quintana Galindo Página 17 . en A. esto es. esto es: u→0 lim cos 3 x =1 x→ 0 Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente límite 2 sen 8 x lim x x→ 0 [ ] En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción 8 8 para igualar el argumento con el denominador y aplicar el teorema correspondiente. cuando x → 0 . en A.Apuntes de Cálculo Diferencial Aplicando el teorema lim u→0 sen u =1 u = (2) (8) (1)= 16 Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables. M. Calcular el valor de los siguientes límites. éste y todos los que le siguen son mayores que cualquier número real dado. Gustavo Quintana Galindo Página 18 . Ejercicios de reforzamiento. éste y todos los que le siguen son menores que cualquier número real dado.- lim x→ 3 x→ 0 [ sen(x−3) 3 x−9 [ 3 sec x csc x ] ] TEMA No. 5 LÍMITES INFINITOS DEFINICIÓN 1 ( x ) Se dice que x tiende a más infinito si a partir de un número real cualquiera. 1.- lim 2. B. DEFINICIÓN 2 ( x ) Se dice que x tiende a menos infinito si a partir de un número real cualquiera. los valores de la función son cada vez menores que cualquier número real dado. los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L. esto es: M. si cuando a x se le asignan valores cada vez mayores. si cuando a x se le asignan valores cada vez menores. si cuando a “x” se le asignan valores cada vez más cercanos a a . los valores de la función son cada vez más grandes que cualquier número real dado. DEFINICIÓN 4 xa Se dice que una función tiende a más infinito cuando . esto es: lim f ( x) L x DEFINICIÓN 7 Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a menos infinito. esto es: lim f ( x) x a DEFINICIÓN 6 Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a más infinito. B. los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L. Gustavo Quintana Galindo Página 19 . esto es: lim f ( x) x a DEFINICIÓN 5 xa Se dice que una función tiende a menos infinito cuando . en A. si cada vez que a “x” se le asignan valores cercanos a a.Apuntes de Cálculo Diferencial DEFINICIÓN 3 ( x ) Se dice que x tiende a infinito ( x ) sí ( x ) ó . Apuntes de Cálculo Diferencial lim f ( x) L x Resumen: en los límites infinitos se considera que la variable x toma valores que tienden a + ∝ y hacia . EL NÚMERO e El número e llamado Número de Euler.∝ TEMA No.6. donde u es una función de x M. B. esta definido por los siguientes límites. Gustavo Quintana Galindo Página 20 . en A. TEMA No.71828. derivadas e integrales de funciones logarítmicas y exponenciales. Resumen: el numero e se presenta como un límite. B.7.. El sistema de logaritmos que tiene como base al número e recibe el nombre de sistema de logaritmos naturales o neperianos. El número e tiende al valor 2... se denota por ln. El concepto de M. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.Apuntes de Cálculo Diferencial 1 e lim (1 u ) u u 0 e lim (1 ó u 1 u )u El conocimiento del número e es indispensable para el cálculo de límites. Gustavo Quintana Galindo Página 21 . Una función es continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos. en A. y este número es la base de los logaritmos naturales. Se presenta una discontinuidad de salto. esto es. el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función. En este caso. Se presenta una discontinuidad evitable. indicar a que tipo de discontinuidad pertenece. cuando la función no está definida en el punto. 2. Discontinuidad evitable o restringible. llamada condición de continuidad. DEFINICIÓN. Ejemplo 1: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado. cuando la función no está definida en el punto y tampoco existe el límite en ese punto. Existen tres tipos de discontinuidad de una función: 1. f (a) lim f ( x) x a Cuando esta condición no se cumple. Se dice que una función real de variable real con regla de correspondencia Y = f(x). pero el límite en ese punto si existe. La condición de continuidad. 2.Apuntes de Cálculo Diferencial continuidad debe de cumplir con algunos requisitos que se proponen en la siguiente definición. cuando cumple la condición siguiente. 3. Se presenta una discontinuidad infinita. en A. primero se valúa la función en la abscisa del punto indicado. Discontinuidad de salto. entonces la función es discontinua en x=a. Gustavo Quintana Galindo Página 22 . es continua en un punto de abscisa x = a. en algunos textos se analiza por separado. B. y=2 x−7 en x= 3 M. pero el límite en ese punto no existe. cuando la función está definida en el punto. Estos tipos de discontinuidad se pueden identificar de acuerdo a las siguientes características: 1. después se calcula el límite de la función y por último se comparan los dos valores obtenidos. Discontinuidad infinita o asintótica. 3. en caso de que la función sea discontinua. Apuntes de Cálculo Diferencial Analizando la condición de continuidad por separado se tiene: a) b) f ( 3 ) =2 ( 3 )−7=−1 lim ( 2 x−7 ) =−1 El cual pertenece a los nùmeros reales. x→ 3 Como f (3) = El cual pertenece a los nùmeros reales. se considera la parte de la función que está definida para x=2. lim (2 x −7) x→ 3 Se cumple la condición de continuidad. B. en caso de que la función sea discontinua. Se trata de una función lineal de primer grado. Analizando la condición de continuidad: a) Para evaluar f (2).6). entonces la función dada es continua en x=3. Entonces: f ( 2 )=3 ( 2 ) −1=5 M. indique a que tipo de discontinuidad pertenece. Gustavo Quintana Galindo Página 23 . tabulamos en el intervalo (-1. y=2 x−7 x -1 0 1 2 3 4 5 6 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 Ejemplo 2: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado. en A. Gráfica. 3x-1 y=¿ 4 si x≤2 si x> 2 en x=2. esto es la función lineal. indique a que tipo de discontinuidad pertenece. B. Gustavo Quintana Galindo Página 24 . Se presenta una discontinuidad de salto.- y=3 x 2−2 en x=3 2. esto es: lim f ( x ) =∄ x→ 2 Entonces f (2) ≠ lim f ( x) x→2 por no existir límite. Por lo tanto la función f(x) es discontinua en x=2 porque no se cumple la condición de continuidad..y= x 2+3 x x en x= M.Apuntes de Cálculo Diferencial lim f ( x ) b) Aquì por tratarse de una funciòn definida en dos x→ 2 secciones. Ejercicios de reforzamiento. El límite por la izquierda es: f ( x )= lim ¿ −¿ x→ 2 3 x−1=5 −¿ x→2 ¿ lim ¿ ¿ El límite por la derecha es: x → 2+¿ 4=4 lim ¿ ¿ Como los límites laterales son diferentes. en caso de que la función sea discontinua. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trace la gráfica. entonces el límite de la función f(x) no existe. en A. el lìmite se calcula mediante los lìmites laterales. 1. Se deja al alumno la elaboración de la gráfica. Resumen: una función se considera continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos. son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no está definida. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales. 8. en A. Ejemplo 1: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función: 3x f ( x )= 2 x −2 x Igualando con cero el denominador x 2−2 x =0 Resolviendo la ecuación por factorización: x ( x−2 ) =0 M. los puntos en los cuales la función g(x) es igual a cero. En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la f ( x) y g ( x) forma . B. Gustavo Quintana Galindo Página 25 . Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. pero su límite en ese punto si existe. Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones. trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta. se tiene lim x→ 2 3x 3 = x −2 x 0 =No existe el lìmite. Calculando el límite de la función en estos dos puntos a) Para x=0 lim x→ 0 3x 3x lim x −2 x = x→ 0 x (x−2) 2 ¿ lim x→ 0 3 x−2 = −3 2 3 La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0. Gustavo Quintana Galindo Página 26 . 2 Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=2.2 ) porque la funciòn no esta definida en x=0.. b) Para el segundo valor x=2. B. Ejercicios de reforzamiento.- f ( x )= 3 x−6 x−2 M. la función es discontinua en x=0 y en x=2. La gráfica de la función es: Resumen: Los puntos de discontinuidad son aquellos donde la gráfica presenta alguna asíntota o una región donde no existe la curva de una manera continua. en A. 1.Apuntes de Cálculo Diferencial x=0 x−2=0 x=2 Por lo tanto. b ) Lo cual implica que no tiene puntos de discontinuidad en todas las abscisas de los puntos que pertenecen a dicho intervalo.Apuntes de Cálculo Diferencial 2. es continua sobre el intervalo. Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) . se dice que es discontinua o que tiene una discontinuidad en a. Si una función no es continua en a. b ). M. en A. Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado.- f ( x )= 3x x +5 x +6 2 TEMA No. sí y sólo sí es continua en todos los puntos con abscisa dada por los números comprendidos dentro del intervalo abierto ( a. DEFINICIÓN 1. 9. Gustavo Quintana Galindo Página 27 . B. es continua en el intervalo ( a. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. 5 ] f ( x )=√ 25−x2 en el y trace la gràfica.5 ) la funciòn es continua. b es continua en el intervalo . lim f ( x) f (a) 2. sí y sólo sí cumple con las siguientes condiciones.-Que x b Ejemplo 1: Analice la continuidad de la función intervalo [ −5. M. Analizando las tres condiciones de continuidad para un intervalo cerrado se tiene: 1.- x →−5+¿ √25−x 2=0 lim ¿ ¿ f (−5 )= √25−(−5)2 Como x →−5+¿ √25−x 2=f (−5) lim ¿ Cumple con la segunda condiciòn de ¿ continuidad. a.-Que xa lim f ( x) f (b) 3.Apuntes de Cálculo Diferencial DEFINICIÓN 2. 2. Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) .En el intervalo abierto (−5. 1. esto es.-Que f(x) no tenga puntos de discontinuidad en (a. B.5 ) . en A. Gustavo Quintana Galindo Página 28 . la función no presenta puntos de discontinuidad en el intervalo abierto (−5. b).. puesto que existe para todos los valores del intervalo. M. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo indicado y trace la gráfica.5 ] . Ejercicios de reforzamiento. en A.- f ( x )=√ 2−x en [ −2. se dice que es continua sobre el intervalo. 1.- f ( x )=2 x 2−4 2. Por lo tanto la función es continua en el intervalo cerrado [ −5. Resumen: si una función es continua en cada punto de un intervalo dado. 10. Gustavo Quintana Galindo Página 29 . B.Apuntes de Cálculo Diferencial x → 5−¿ √ 25−x 2 =0 lim ¿ 3.- ¿ f ( 5 ) =√25−(5)2=0 Como x → 5−¿ √ 25−x 2=f (5) lim ¿ Cumple con la tercera condiciòn de ¿ continuidad. INCREMENTOS.2 ] [ 0.4 ] en TEMA No. Esto es: f ( x) f ( x 2 ) f ( x1 ) En general para cualquier x que pertenece al dominio de la función. y después un valor final x 2 . Si a la variable independiente x se le asigna un valor inicial x 1 . Gustavo Quintana Galindo Página 30 . entonces. B. se llama incremento de la variable x x a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por (se lee: delta x ). se considera: f ( x) f ( x x) f ( x) Ejemplo 1: Determinar el cociente ∆ f (x ) ∆x M. Esto es: x x 2 x 1 INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN.Apuntes de Cálculo Diferencial INCREMENTO DE UNA VARIABLE. si x varia de x 1 a x2 entonces al valor de la función en x 1 se llama valor inicial de la función f(x 1) y al valor de la función en x 2 se llama valor final de la función f(x2). Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con f (x) el valor inicial y se denota por . Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) . en A. Determine el cociente 1. entonces ∆ f ( x )=3 ( x+ ∆ x)2 +2 ( x+ ∆ x ) −1−( 3 x 2 +2 x−1) ¿ 3 ( x2 +2 x ∆ x+ ∆ x2 ) +2 x +2 ∆ x−1−3 x 2−2 x+1 2 2 2 ¿ 3 x +6 x ∆ x+ 3 ∆ x +2 x+ 2 ∆ x −1−3 x −2 x +1 2 ¿ 6 x ∆ x +3 ∆ x +2 ∆ x ¿(6 x +3 ∆ x +2) ∆ x Dividiendo entre ∆x y simplificando.Apuntes de Cálculo Diferencial Para la siguiente función: f ( x )=3 x 2+ 2 x−1 El incremento de la función se obtiene con: ∆ f ( x )=f ( x+ ∆ x )−f ( x) .- f ( x )=3 x 3−4 x 2+ x−5 2. en A. B. se tiene el cociente de incrementos ∆ f (x ) (6 x+ 3 ∆ x+ 2) ∆ x = =6 x+3 ∆ x +2 ∆x ∆x Resumen: si a la variable x se le hace un incremento ∆x entonces la función f(x) presenta un incremento proporcional al realizado en el eje x.- f ( x )=√ 2 x+1 ∆ f (x ) ∆x para las siguientes funciones: M. Ejercicios de reforzamiento. Gustavo Quintana Galindo Página 31 . DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. en A. esto es: f ( x) lim x 0 Derivada de f ( x) x También la derivada de una función se expresa como: M.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No 11. DEFINICIÓN. B. Gustavo Quintana Galindo Página 32 . cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. es indispensable para las investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades. En efecto. La derivada de una función real de variable real continua. se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente. geométricamente representa la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. df ( x) dy dx dx Y’.Apuntes de Cálculo Diferencial f ( x) lim x 0 Derivada de f ( x x) f ( x) x A efecto de simplificar la notación. . en A. es común representar a mediante la letra h. con lo cual se tiene: f ( x) lim h 0 Derivada de x f ( x h) f ( x ) h NOTACIÓN. Gustavo Quintana Galindo Página 33 . . La derivada de una función en cualquiera de sus puntos. La derivada de una función real de variable real con regla de y f (x) correspondencia se denota de las siguientes seis formas: D x f (x ) D x y f ' ( x) . Esto es mT D x f (x) Ejemplo 1: Obtener la derivada de la siguiente función: f ( x )=4 x 2+2 x−3 Aplicando la definición de derivada: f ( x +h )−f ( x) Dx f ( x )=lim h h→ 0 Resulta 4 (x +h)2+ 2 ( x +h )−3−(4 x 2 +2 x−3) ¿ lim h h→0 ¿ lim h→0 4 ( x2 +2 xh+h2 ) +2 x +2 h−3−4 x 2−2 x +3 h M. B. . 12. B. 1. cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Utilizando la definición. Gustavo Quintana Galindo Página 34 .Apuntes de Cálculo Diferencial ¿ lim h→0 4 x 2 +8 xh+ 4 h2 +2 x+2 h−3−4 x 2−2 x+3 h Simplificando: 8 xh+4 h2 +2 h ¿ lim h h→0 Realizando la división 8 x+ 4 h+ 2 (¿) ¿ lim ¿ h→0 Finalmente. TEOREMAS PARA EL CÀLCULO DE DERIVADAS. en A. calcular la derivada de las siguientes funciones.- f ( x )= 2x 3 x+1 TEMA No. calculando el límite cuando h →0 se tiene la derivada de la función Dx f ( x )=8 x +2 Resumen: La derivada de una función real de variable real continua. Ejercicios de reforzamiento. M.- f ( x )=5−2 x +5 x 2 2. se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente. se tienen los siguientes teoremas para el cálculo de derivadas. Dx f ( x) n n f ( x) n 1 Dx f ( x ) Este teorema generalmente se expresa como : Dx u n nu n 1 Dx u donde u es una función de x. Gustavo Quintana Galindo Página 35 .- donde n R. Derivada de un producto. Derivada de un cociente. en A.- donde k es un número real (Constante). Dx x n nx n 1 4. M. Dx f ( x ) g ( x ) f ( x ) Dx g ( x ) g ( x ) Dx f ( x ) 7.- donde k es un número real (Constante). los cuales se obtienen a partir de la definición. Dx x 1 2. 6. 0 Derivada de una función elevada a una potencia. Dx k 0 1. es mediante el uso de teoremas.- Dx kx k 3.Apuntes de Cálculo Diferencial f Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real. D x g ( x ) Dx f ( x ) f ( x) Dx g ( x) f ( x) g ( x) g ( x ) 2 donde g(x) 8. B. Sí f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real continuas: Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas. - f ( x )=2 x 3−3 √ 2 x + 2. Gustavo Quintana Galindo Página 36 .- f ( x )= 7 −2 x2 6 x4 3 x2 +2 x−3 M. en A. B. Calcular la derivada de las siguientes funciones: 1. Ejercicios de reforzamiento.Apuntes de Cálculo Diferencial Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función f ( x )=6 x 4 +5 x 3−7 x 2 +8 x−7 Aplicando los teoremas correspondientes Dx f ( x )=D x ( 6 x 4 ) + D x ( 5 x 3 ) −Dx ( 7 x2 ) + D x ( 8 x )−D x (7) Dx f ( x )=24 x 3 +15 x 2−14 x+ 8 Ejemplo 2: Obtenga la derivada de f ( x )= 3 3 7 − 4+ 3 5 x 2x x Transformando la función a la forma de potencia f ( x )=3 x−5− 3 x −4 +7 x−3 2 Aplicando teoremas y simplificando Dx f ( x )=−15 x−6 + D x f ( x )= 12 x −5 −21 x−4 2 −15 6 21 + − x 6 x5 x 4 Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de manera directa se aplican los teoremas respectivos. sin necesidad de desarrollar la definición de derivada. 13.- f ( x )=(3 x +7) √ x +2 TEMA No. Hemos descrito una función algebraica y expresábamos que una función que no es algebraica es llamada función trascendente. esto es: u = f (x) Dx sen u cos u Dx u 1. en A. M. Dx cos u sen u Dx u 2.Apuntes de Cálculo Diferencial 3. Estas incluyen las funciones trigonométricas. En esta parte estudiaremos el cálculo de aquellas funciones trascendentes comúnmente llamadas funciones trascendentes elementales. B. Dx tan u sec 2 u Dx u 3. Dx cot u csc 2 u Dx u 4. Dx sec u sec u tan u Dx u 5. Gustavo Quintana Galindo Página 37 . las logarítmicas y las exponenciales La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los siguientes teoremas: Considerando que u es una función continua de x. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS. las trigonométricas inversas. ¿ ( 4 x +3 ) sec 2(2 x 2+ 3 x −1) Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones trigonométricas se aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración del valor que toma la función u.- f ( x )=4 tan 7 x−2 sec 5 x 3. Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función Considerando 2 u= 2 x +3 x−1 2 x2 (¿+3 x−1) f ( x )=tan ¿ y que la derivada es de la forma 2 Dx tan u=sec u D x u . entonces Dx f ( x )=sec 2 ( 2 x 2+ 3 x−1 ) D x (2 x 2 +3 x−1) Calculando la derivada indicada y reordenando los términos. Obtenga la derivada de las siguientes funciones: 1.Apuntes de Cálculo Diferencial Dx csc u csc u cot u Dx u 6.- f ( x )= 2 3 x +1 cos 2 x3 M. se tiene la derivada de la función. Ejercicios de reforzamiento. Gustavo Quintana Galindo Página 38 .- f ( x )=sec √1−3 x 2 2. en A. B. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. 14. esto es: u = f (x). Considerando que u es una función continua de x. Gustavo Quintana Galindo Página 39 . Dx arc sen u 1 1 u 2 Dx u 1. se aplican los siguientes teoremas. en A. Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. B. M. Gustavo Quintana Galindo Página 40 . Derive las siguientes funciones: M. Dx arc sec u 1 u u 2 1 Dx u 5. 6x Dx f ( x )= √1−(2 x 3+ 5)2 Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas inversas se aplican los teoremas correspondientes haciendo las consideraciones de los valores que toma la función u. B. se tiene la derivada de la función. Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función Si u= 2 x 3 +5 tiene D x f ( x )= y utilizando el teorema f ( x )=arc sen ( 2 x 3+5 ) D x arc sen u= 1 Dxu √1−u2 se 1 D x (2 x 3 +5) 3 2 √1−(2 x + 5) Derivando la función indicada. Dx arc csc u 1 u u 2 1 Dx u 6. Dx arc tan u 1 1 u 2 Dx u 3. en A. Dx arc cot u 1 1 u 2 Dx u 4. Ejercicios de reforzamiento.Apuntes de Cálculo Diferencial 1 Dx arc cos u 1 u 2 Dx u 2. Apuntes de Cálculo Diferencial 1. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS. en A.- f ( x )=arc sen(2 x 2 +5) 2. M. B. 15.- f ( x )= arc tan7 x cot 5 x TEMA No.- x−1 arc csc √ ¿ f ( x )=( sen 3 x 2) ¿ 3. Gustavo Quintana Galindo Página 41 . Dx log a u 1 log a e Dx u u 1. ¿ 10 x+ 3 log 3 e 5 x 2+ 3 x −4 Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función Considerando u= cos 3 x Aplicando el teorema cos 3 x 2 (¿) f ( x )=ln ¿ 2 1 Dx ln u= D x u u M. se tiene la derivada de la función. B. se tiene: Página 42 . se aplican los teoremas siguientes: Considerando que u es una función continua de x. Dx ln u 2.Apuntes de Cálculo Diferencial Para calcular la derivada de una función logarítmica. esto es u = f (x). Gustavo Quintana Galindo y simplificando. 1 Dx u u Ejemplo1: Calcule la derivada de la función Considerando u= 5 x2 +3 x−4 Aplicando el teorema D x f ( x )= 5 x2 ( ¿+3 x−4) f ( x )=log 3 ¿ 1 Dx log a u= log a e D x u u se tiene: 1 2 log 3 e Dx (5 x +3 x−4) 5 x +3 x−4 2 Calculando la derivada indicada. en A. cos 3 x 2 ¿ 1 (−sen 3 x 2 D x ( 3 x 2 )) 2 cos 3 x = −6 x sen 3 x 2 cos 3 x2 = −6 x tan 3 x 2 Resumen: las funciones logarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y al logaritmo natural se pueden derivar aplicando los teoremas correspondientes y considerando los valores que toma la función u. Gustavo Quintana Galindo Página 43 .- f ( x )= ln(sen 5 x ) cot (2 x +3) M. Ejercicios de reforzamiento.- f ( x )=tan ( log5 x 4 ) 3.Apuntes de Cálculo Diferencial cos 3 x2 1 D x f ( x )= Dx ¿ ). calculando la derivada indicada. en A. B. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 1.- 2 x5 (¿+7) f ( x )=log 3 ¿ 2. Considerando que u es una función continua de x. donde a u Dx e e u D x es una constante. u 2. u = f (x). Gustavo Quintana Galindo Página 44 . se aplican los siguientes teoremas. se tiene: 2 Dx f ( x )=5 x +2 x−5 ln 5 D x ( x 2+2 x−5) Calculando la derivada indicada M. u Dx a a u ln a Dx u 1. esto es. 2 Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función f ( x )=5 x +2 x−5 2 Considerando u= x +2 x−5 Aplicando el teorema Dx au=au ln a Dx u . B. 16. en A. Para calcular la derivada de una función exponencial.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES. h ( x )=4 3 2. se tiene la derivada de la función ¿ 3 e sen 3 x cos 3 x Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el número e son elevadas a una potencia que es una función de la variable independiente x tienen su derivada. se tiene: Dx g ( x )=e sen 3 x D x (sen 3 x ) Calculando la derivada indicada 3x cos ¿ 3 Dx g ( x )=e sen 3 x ¿ Reordenando los términos.- h ( x )=e arc tan √ 3 x M. Gustavo Quintana Galindo Página 45 . B..Apuntes de Cálculo Diferencial 2 ¿ 5x + 2 x−5 ln 5( 2 x +2) Reordenando los términos. se tiene la derivada de la función: ¿(2 x+ 2)5 x +2 x−5 ln 5 2 Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función g ( x ) =e sen 3 x Considerando u= sen 3x Aplicando el teorema Dx e u=e u D x u . la cual se obtiene mediante la aplicación de sus respectivas formulas. en A. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 2 x + x−1 1. Ejercicios de reforzamiento. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA. M. Se iguala la función con y. un cociente o una potencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para derivar.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No. 17. Gustavo Quintana Galindo Página 46 . El método de derivación logarítmica consiste en lo siguiente: 1. Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas. B. en A. Encontrar la derivada de una expresión que es un producto. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizan las simplificaciones correspondientes. Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son: 1. 5.ln AB= ln A+ln B A =ln A−ln B B 2. Se aplican las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión. 6. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de la igualdad. Gustavo Quintana Galindo n ln A =n ln A Página 47 .- ln 3. B. Se despeja Dxy..- ln A =n ln A n f ( x ) = ( 4 x 2+ 3 ) Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función Igualando la función con sen 5 x y y=(4 x 2 +3)sen 5 x Aplicando el logaritmo natural ln y=ln(4 x2 +3)sen 5 x Aplicando la propiedad de los logaritmos: M. 7. 3. obteniéndose la derivada de la función dada. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad. en A. 4. Se substituye la función y = f(x) en el segundo miembro de la igualdad. que es la derivada que se está calculando.Apuntes de Cálculo Diferencial 2. Gustavo Quintana Galindo Página 48 . se tiene la derivada de la función M. B.Apuntes de Cálculo Diferencial 4 x2 (¿¿+ 3) y=( sen 5 x ) ln ¿ ln ¿ x Derivando con respecto a los dos miembros de la igualdad 4 x2 4 x2 (¿+3) Dx (sen 5 x) (¿+3)+ln ¿ 1 D y=( sen 5 x ) Dx ln ¿ y x 2 4x (¿+3)cos 5 x (5) 2 D x ( 4 x +3 ) ¿ ( sen 5 x ) + ln ¿ 2 4 x +3 4 x2 (¿+3)cos 5 x 8x ¿ ( sen 5 x ) 2 +5 ln ¿ 4 x +3 4 x2 (¿+3)cos 5 x 8 x sen 5 x ¿ +5 ln¿ 4 x 2 +3 Despejando Dx y 4 x2 (¿+3)cos 5 x 8 x sen 5 x +5 ln¿ 4 x2 +3 D x y= y ¿ Sustituyendo 2 sen 5 x y ¿(4 x +3) Dx (4 x 2+3) sen5 x =(4 x 2+ 3) sen 5 x [ 8 x sen 5 x +5 ln ( 4 x 2+3 ) cos 5 x 2 4 x +3 ] Efectuando la multiplicación. en A. 18. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y se denota por: 2 D x f ( x) d 2 f ( x) D x y dx 2 2 d2y dx 2 f ‘’(x) Análogamente. Gustavo Quintana Galindo Página 49 . DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN.- f ( x ) ¿ (7 x 2+3 x )sec8 x 2. Ejercicios de reforzamiento. 1. obtenga la derivada de las siguientes funciones. Utilizando el proceso de derivación logarítmica. M.Apuntes de Cálculo Diferencial 4 x2 (¿+3)cos 5 x 8 x sen 5 x ¿( 4 x 2+3) sen5 x +(4 x 2+ 3) sen5 x 5 ln ¿ 2 4 x +3 Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función aplicando las propiedades de los logaritmos. en A. la cual se puede derivar nuevamente. B. etcétera. se llama tercera derivada de la función y se denota por Dx3f(x). Al derivar una función real de variable real continua. la derivada de la segunda derivada. se obtiene como resultado una nueva función.- 3x arc sec¿ ¿ ¿ f ( x ) =¿ TEMA No. Ejemplo 1: Obtener la cuarta derivada de la función: f ( x )=7 x 5 +6 x 4−4 x 3+ 3 x 2−8 x +1 La primera derivada de la función es: Dx f ( x )=35 x 4 +24 x 3−12 x 2+ 6 x −8 La segunda derivada 2 3 2 Dx f ( x )=140 x +72 x −24 x +6 La tercera derivada D3x f ( x )=420 x 2 +144 x−24 Finalmente la cuarta derivada D4x f ( x )=840 x +144 Resumen: las derivadas sucesivas de una función se obtienen derivando a la primera derivada. Gustavo Quintana Galindo Página 50 . siendo la primera derivada la ordinaria. La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadas mediante una fórmula para f(x). 19. B. en A..Halle la segunda derivada de la siguiente función 2.Apuntes de Cálculo Diferencial Las derivadas obtenidas a partir de la segunda. 1. se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas. M. Para tales funciones la derivada se obtiene por aplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas.. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS. a la tercera y así sucesivamente hasta obtener la derivada deseada. a la segunda.Obtenga la quinta derivada de la función f ( x )=√ 3 x 2−2 x f ( x )=sen(4 x−7) TEMA No. Ejercicios de reforzamiento. y 0 . y) =0 se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Gustavo Quintana Galindo Página 51 . Se derivan todos los términos de la función con respecto a x. para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función f x. Se factoriza y ‘. que es la derivada que se desea obtener. cuando ninguna variable está despejada en términos de la otra. se deriva la regla de correspondencia con respecto a x . y) = 0. La derivada de una función implícita de la forma f (x. la derivada con respecto a la variable independiente x . Se efectúan las operaciones indicadas. 3. en A. Se despeja y ‘. esto es.Apuntes de Cálculo Diferencial Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia es de la forma f (x. teniendo en cuenta que y es la variable dependiente y que Dxy = y’ es la derivada buscada. se transforma la ecuación en otra equivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos que contengan a y’. Utilizando las propiedades de la igualdad. En general. B. 2. en la cual. En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediante derivación implícita. se aplica el siguiente procedimiento: 1. 5. Ejemplo 1: Derivar implícitamente con respecto a 2 2 2 2 x y −x y−x=3 y + xy x la función Derivando con respecto Dx ( x 2 y 2 )−D x ( x2 y )−D x ( x )=D x ( 3 y 2 ) + D x ( xy) Calculando las derivadas que aparecen indicadas x 2 2 y y ' +2 x y 2−( x 2 y ' +2 xy )−1=6 y y ' + x y ' + y M. 4. Derive con respecto a x las siguientes funciones 1. M. despejando respecto a x.- ln xy =e + arc tan x 2 xy TEMA No. B. ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA. y)=0 Ejercicios de reforzamiento. Gustavo Quintana Galindo Página 52 .Apuntes de Cálculo Diferencial Para despejar y’ primero se aplica la propiedad distributiva y después se agrupan en el primer miembro lo términos que contienen a la derivada de y 2 x 2 y y ' −x 2 y ' −6 y y ' −x y ' = y +1−2 x y 2 +2 xy Factorizando la derivada de y y ' ( 2 x 2 y− x2−6 y−x )= y +1−2 x y 2+ 2 xy Finalmente.- 3 x 4 +2 y 3 = y 2+ cos xy 2. esto es: y +1−2 x y 2+ 2 xy ' y= 2 2 2 x y −x −6 y−x y’ se tiene la derivada de la función con Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que se presentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x. en A. 20. Es necesario recordar que si m 1 es la pendiente de una recta y m 2 la pendiente de otra recta perpendicular a la primera. cuya pendiente es m=f’(x0) y su ecuación en la forma punto pendiente es: y f ( x0 ) f ' ( x 0 )( x x0 ) Una recta normal a la curva en un punto dado. la recta normal a la curva en el punto de tangencia (x0. B. que tienen una utilidad inmediata.Apuntes de Cálculo Diferencial Una de las aplicaciones de la derivada. en A. M. 1 mn f ' ( x0 ) f(x0)) con pendiente . entonces se cumple m1 m2 1 que . Gustavo Quintana Galindo Página 53 . Por lo tanto. la función f(x) tienen una recta tangente en el punto ( x0 . consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva. f ‘(x0) R. es la recta perpendicular a la recta tangente en ese mismo punto denominado punto de tangencia. y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua.f(x0) ) . esto es. conocida como condición de perpendicularidad. entonces. tiene por ecuación: y f ( x0 ) 1 ( x x0 ) f ' ( x0 ) Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la 2 curva f ( x )=2 x +3 x−2 en el punto de abscisa x=1. Si una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) es continua y tiene derivada en x = x0 . Apuntes de Cálculo Diferencial La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=1 en la ecuación de la curva. f ( 1 )=2( 1)2 +3 ( 1 )−2 ¿3 Entonces el punto de tangencia es P (1,3) La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la función es: f ( x)' =4 x+3 El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es: m=f ' ( 1) ¿ 4 ( 1 ) +3=7 La ecuación de la recta tangente es: y−f ( x 0) =f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ) Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P (1,3). y−3=7(x−1) 7 x− y−4=0 La ecuación de la recta normal es: −1 y−f ( x 0) = ' ( x− x0 ) f ( x0 ) Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta normal a la curva en el punto P (1,3). −1 y−3= ( x−1 ) 7 x+ 7 y−22=0 Resumen: Una de las aplicaciones de la derivada, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva, así como de la pendiente de ambas rectas con lo cual se puede trazar la gráfica. Ejercicios de reforzamiento. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 54 Apuntes de Cálculo Diferencial 1.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva y=2 x 2−4 x +8 con ángulo de inclinación de 135º. 2.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 3 y=x −5 x +2 que tiene pendiente m=5. TEMA No. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN. Función creciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es creciente en ese intervalo, sí y sólo sí: f ( x1 ) f ( x 2 ) para x1 x 2 definidos en el intervalo. Función decreciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es decreciente en ese intervalo, sí y sólo sí: f ( x1 ) f ( x 2 ) para x1 x 2 definidos en el intervalo. Punto máximo de una función: el punto máximo de una función, es el punto en el cual la función cambia de creciente a decreciente. Punto mínimo de una función: el punto mínimo de una función, es el punto en el cual la función cambia de decreciente a creciente. M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 55 Apuntes de Cálculo Diferencial Para determinar los puntos máximos y mínimos, de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el siguiente procedimiento: 1. Se obtiene la derivada de la función. 2. Se iguala con cero la derivada de la función. f ' ( x) 0 3. Se resuelve la ecuación . La solución de esta ecuación corresponde a las abscisas de los puntos llamados puntos críticos, que pueden ser los puntos máximos o mínimos, aunque no necesariamente. 4. Se obtiene la segunda derivada de la función. 5. Se valúa la segunda derivada de la función en cada uno de los punto críticos x0 , Y f (x) f (x) tiene un máximo en x0, sí f’’(x0) < 0. tiene un mínimo en x0 , sí f’’(x0) > 0. 6. Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos sustituyendo el valor de x0 en la función original. 7. Se traza la gráfica de la función. 8. Se establecen los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Ejemplo 1: Obtener los puntos máximos y mínimos de la función f ( x )=x 3−12 x+ 2 Así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente, trazar también la gráfica. Derivando la función f ' ( x )=3 x2 −12 Igualando con cero la primera derivada 2 3 x −12=0 M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 56 -14) A partir de la gráfica.2 ) y en x ∈(2. Gustavo Quintana Galindo Página 57 . ∝) x ∈(−2. La función es creciente en: La función es decreciente en: x ∈ (−∝ . se determinan los intervalos donde la función es creciente y decreciente.2) Se propone al alumno la elaboración de la gráfica. B.18) (2)3 −12 ( 2 ) +2=−14 Se tiene un mínimo en (2. en A. se tiene la abscisa del punto crítico 2 3 x =12 2 x =4 x=± √ 4 x 1=−2 x 2=2 Calculando la segunda derivada de la función f ' ' ( x )=6 x Valuando la segunda derivada de la función en los puntos críticos X f ' ' ( x )=6 x -2 6(-2)=-12 f ' ' ( x ) <0 entonces se tiene un màximo en x=−2 6(2)=12 '' f ( x ) >0 entonces se tiene un mìnimo en x=2 2 Valuando los puntos críticos en la función original. M.Apuntes de Cálculo Diferencial Simplificando y resolviendo la ecuación. se tiene el valor de su ordenada x -2 2 f ( x )=x 3−12 x+ 2 (−2)3−12 (−2 )+ 2=18 Se tiene un máximo en (-2. M. También se obtienen los intervalos donde es creciente y decreciente. en A. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.- f ( x )=x 3−6 x 2 +3 x+10 2. Ejercicios de reforzamiento. así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente. 1.Apuntes de Cálculo Diferencial Resumen: mediante la aplicación de derivadas es posible obtener la abscisa de los puntos máximos y mínimos de la gráfica de una función. B. 22. así como las coordenadas de estos puntos.- f ( x )=3−8 x−x 2 TEMA No. Trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos. Gustavo Quintana Galindo Página 58 . 4.Las condiciones o restricciones del problema. Establecer la función objetivo en términos de las variables propuestas. Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo. B. 3. M. de ser posible realizar un dibujo lo más apegado posible al problema. pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento.Los datos del problema. Asignar las variables con las cuales se planteará y resolverá el problema. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muy variados. 2. Aquí la función objetivo puede ser una función con varias variables. esto es. Gustavo Quintana Galindo Página 59 .Apuntes de Cálculo Diferencial La teoría que desarrollamos para encontrar los valores extremos de funciones puede aplicarse en algunos problemas prácticos. Establecer una ecuación para cada una de las condiciones o restricciones del problema. Esta es la función que se debe maximizar o minimizar según corresponda. . es necesario traducir los enunciados verbales al lenguaje de las matemáticas introduciendo para ello fórmulas. funciones y ecuaciones. . en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. Leer varias veces el problema hasta entenderlo totalmente. La aplicación principal se presenta en problemas de optimización. es difícil dar reglas específicas para hallar las soluciones. transformar el lenguaje común a lenguaje algebraico. pero se recomienda realizar lo siguiente: 1. Para resolverlos.Lo que se pide obtener en el problema. Aquí se deben identificar tres elementos: . Estos problemas pueden describirse oralmente o enunciarse por medio de palabras escritas como se hace en los libros de texto. en A. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo. pero como se encuentra fuera del dominio de x. con base rectangular. Derivando con ¿ 4 ( 3 x 2−37 x +84 ) ¿ 4 ( 3 x−28 )( x−3 ) Por lo tanto los números críticos posibles son 28 3 28 3 y 3. Comenzamos por considerar el cartón de 21 cm de largo por 16 cm de ancho en donde usamos la letra x para denotar la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse en cada esquina. comprobación con el enunciado del problema. realizar del una Ejemplo 1: Se desea construir una caja sin tapa. El volumen V de la caja esta dado por V =x ( 16−2 x )( 21−2 x )=2( 168 x−37 x 2 +2 x3 ) Esta ecuación expresa a respecto a x obtenemos D x V =2 ( 168−74 x+6 x 2 ) V como una función de x. con los resultados obtenidos. en A. 7.Apuntes de Cálculo Diferencial 5. 6. M. Nuestro objetivo es lograr que la caja así construida tenga el máximo volumen posible. a partir de una pieza rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo. B. establecer las conclusiones 8. Despejar una variable en cada una de las ecuaciones y sustituirla en la función objetivo de tal manera que se tenga una función con una sola variable. obtenidos. Determinar los valores máximos o mínimos de la función según corresponda. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. recortando un cuadrado de cada esquina y doblando sus lados. Si es posible. Gustavo Quintana Galindo Página 60 . Con los valores problema. el único número crítico es 3. principalmente en problemas de optimización.Apuntes de Cálculo Diferencial La segunda derivada de V está dado por 2 Dx V =2 (−74 +12 x ) =4 ( 6 x−37 ) Sustituyendo 3 en lugar de x.Una empresa desea fabricar recipientes cilíndricos sin tapa con una capacidad de 6 litros. Resumen: problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo. en A. 2 Dx V =4 ( 18−37 )=−76<0 Y aplicando el criterio de la segunda derivada. Por lo tanto para encontrar una caja con volumen máximo. en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. M. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta. vemos que V tiene un máximo local en x=3. 1. deben recortarse cuadrados de tres centímetros de lado de cada esquina del cartón. dada −1 2 h= t +30 t . ¿Que dimensiones deben tener para que se utilice la menor cantidad de material en su fabricación? 2.. pueden resolverse con la aplicación de la teoría de máximos y mínimos. Ejercicios de reforzamiento..Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica. Gustavo Quintana Galindo Página 61 . donde h es la altura en metros y t el por la ecuación 2 tiempo en segundos. B. la diferencial de una función. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. es igual a la derivada de la función multiplicada por dx . Considérese una función real de variable real continua. con regla de y f (x ). en A. B.Apuntes de Cálculo Diferencial TEMA No 23. se denota por dy o df(x) y se define como: dy f ' ( x )dx Esto es. Gustavo Quintana Galindo Página 62 . La diferencial de la variable dependiente o función y. M. correspondencia La diferencial de la variable independiente x igual a : se denota por dx y es dx x Donde x es el incremento de la variable independiente. - d Sí u y v son dos funciones reales de variable real continuas : d ( u v ) ( Dx u Dx v ) dx 5.Apuntes de Cálculo Diferencial 1. f ( x)dx donde k es un número real (constante). d(x)=dx 3. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS 1. 2. se utilizan los dos teoremas siguientes: M. LA INTEGRAL INDEFINIDA. d(kx)=kdx d x n x n 4. d (u v) (u Dx v v Dx u ) dx d(k)=0 6. Gustavo Quintana Galindo Página 63 . 3. f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx x 1 dx dx ln x c x TEMA No.- u v Dx u uDx v v2 v dx 2. dx x c k dx kx c k f ( x )dx k donde k es un número real (constante). B. 24.n 1 donde v d (u dx n )nu n 1 0 Dx u dx 8. en A. Para calcular integrales utilizando este método. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.- TEMA No. 25. 4. 7. 12. 3. donde n R y n 1 du ln u c u 2.Apuntes de Cálculo Diferencial u n du 1 u n 1 n 1 c 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN. Las principales fórmulas para calcular integrales indefinidas son: 1. 5. du a 2 u 2 u c arc sen u c a 13. 6. Gustavo Quintana Galindo Página 64 . 2. B. tan u du ln sec u c cot u du ln sen u c sec u du ln sec u tan u c csc u du ln csc u cot u c sec u tan u du sec u c csc u cot u du csc u c au c ln a a u du e u du e 11. en A. sen u du cos u c 9. 4. M. cos u du sen u c 10. Asíntota. b) Aproximación. sec 2 a u du tan u c 2 du u 2 1 u arc tan c a a 14. en A. Línea recta que. Esto se consigue utilizando letras para designar los números que se buscan. Álgebra.Apuntes de Cálculo Diferencial 7. GLOSARIO. se acerca de continuo a una curva. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición de un punto en el plano. M. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto. Amplitud. Abscisa. Gustavo Quintana Galindo Página 65 . csc 2 u du cot u c u du u 2 a 2 1 u arc sec c a a 15. 8. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números. prolongada indefinidamente. De un intervalo (a. B. sin llegar a encontrarla nunca. las reglas operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrón que en aritmética ordinaria con el empleo generalizado del número negativo. pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Derivación. un mínimo o un punto de inflexión. y) que determina la distancia que un punto guarda en relación con los ejes de coordenadas rectilíneas o cartesianas. en A.Apuntes de Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial. valores críticos de las. por lo tanto. Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se traslada con arreglo a una determinada ley. derivada de una. Funciones. en este caso como es: “y” es una función implícita de x. Curva. En el cálculo diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades variables. Se llaman valores críticos a los valores en los que una función encuentra un máximo. 5 xy−2 y=8 . es una figura geométrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresión gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de otra u otras. Gustavo Quintana Galindo Página 66 . Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en las cantidades variables. Función. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función. Discontinuo. Son implícitas cuando su dependencia con la variable independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta. Coordenadas. se antepone a ellas el símbolo “d”. Existen varias fórmulas para derivar. lo que significa un incremento. Límite de una función. Como es decir que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k. y la coordenada “y” representa la distancia ortogonal que el punto guarda con respecto al eje X. B. Funciones implícitas. éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Es el valor al que tiende el resultado de la operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente. M. La x se define como la abscisa y es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y. de cuya definición se desprende que una recta es un caso particular de curva. Es la tendencia de una función al acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Los valores de x que satisfacen a f’(x) se llaman valores críticos. Se le llama coordenada a la pareja (x. ANFOSSI. funciones trigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la variable. A. Trascendentes. Alianza Editorial. A.A. 1991.. México. Mc.Apuntes de Cálculo Diferencial Máximo. M. A. Cálculo Diferencial e Integral. Cálculo diferencial e integral. R.C.. Editorial Progreso. México. ARYA. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana. Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. B. 1992. Variable dependiente. métodos y significado (tres tomos). México. Laurentiev.. Variable independiente. La matemática: su contenido. Lardner. F. 2004. Ecuaciones y funciones que no se pueden representar por expresiones algebraicas. Magnitud que en una relación o función depende del valor que se le asigne a otras variables. M. Magnitud que no depende de otra para obtener su valor. porque intervienen en ellas logaritmos. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad variable entre ciertos límites.. Flores. Kolmogorov. Agustín. BIBLIOGRAFIA. en A. Gustavo Quintana Galindo Página 67 . M.. 1980.D.N.. AYRES. J. Graw Hill ALEKSANDROV. México.W. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica. La formación de la actividad cognoscitiva de los escolares. Grupo Editorial Iberoamérica. Cálculo Diferencia e Integral. Universidad Autónoma del estado de México. TALIZINA. Hispanoamericana. 1981. L. COURANT. M. José. A. 1992. 1994. Dale. Cálculo diferencial e integral. 1987. 2004. Editorial del Valle de México. Harla. Prentice Hall. Fundamentos de Matemáticas. 1987. ¿Qué son las matemáticas?. 2002 (edición en español). Cálculo con Geometría Analítica. R. LEITHOLD. México. en A. SILVA. México.. Gustavo Quintana Galindo Página 68 .. México. et al. 2005. S.. H. Robbins... México.A. PURCEL. SESTIER. Ángeles Editores. M.. Universidad Autónoma del Estado de México. Lazo. Edwin J. Dennis G. México. México. Louis. Calculo Diferencial e Integral. Noriega Editores Limusa. N. México.. A. Diccionario Enciclopédico de las Matemáticas (tres tomos). B. Varberg.F. Editorial Fondo de Cultura Económica. México.. J. et al.Apuntes de Cálculo Diferencial CONTRERAS G. México. GUZMÁN.. ZILL.