UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA.Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 1 APUNTES ONDAS Y FÍSICA MODERNA. INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL. PRIMER SEMESTRE 2014. PROF. MANUEL PLAZA BOMBAL. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 2 PROGRAMA DE ASIGNATURA. I) Identificación de la asignatura: Nombre de asignatura : Física General: Ondas y Física Moderna Clave : CIC 5221 Requisitos : CIC 4221 Taller / Curso : Curso Semestre : Quinto Número de periodos : 3 Facultad : Ciencias Naturales y Exactas II) Descripción de la asignatura: 2.1.- Fundamentación y Conceptualización Básica: Esta asignatura es teórica práctica destinada a entregar los conceptos, fundamentos y aplicaciones sobre las ondas mecánicas y electromagnéticas. Así como, los conceptos y fundamentos que dan origen a la mecánica cuántica. Este curso es de formación básica para cualquier Ingeniería Civil, en forma especial a las Ambientales. III) Objetivos Generales: 1.- Comprender las ideas básicas sobre las ondas mecánicas. 2.- Comprender y aplicar las ideas básicas sobre las ondas electromagnéticas. 3.- Comprender las ideas básicas de la relatividad restringida. 4.- Estudiar los fundamentos y bases necesarias que dan origen a la mecánica cuántica. IV) Objetivos Específicos: 1. Analizar y discutir las propiedades de la ondas mecánicas 2. Analizar y discutir las propiedades de las ondas sonoras 3. Aplicar los conceptos de las ondas mecánicas a situaciones de la vida diaria 4. Analizar y discutir las ondas electromagnéticas 5. Analizar y discutir de las leyes de la óptica 6. Aplicar las leyes de la ópticas a espejos y lentes 7. Analizar y discutir los fenómenos de la interferencia y difracción de ondas electromagnéticas 8. Analizar y discutir los postulados de la relatividad restringida 9. Destacar las principales consecuencias de la teoría de la relatividad 10. Destacar las principales consecuencia de la radiación electromagnética UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 3 11. Analizar y discutir los principales experimentos que dan origen a la Mecánica Cuántica 12. Comprender las teorías que explican el comportamiento de los átomos 13. Realizar aplicaciones sobre la teoría de la relatividad y de los fundamentos de la teoría cuántica V) Unidades Temáticas: I UNIDAD TEMÁTICA: Ondas Mecánicas • Ondas Mecánicas. • Tipos de ondas • Ondas viajeras • Velocidad de la onda • Ecuación de la onda • Potencia e intensidad de una onda • Principio de superposición • Interferencia de ondas • Ondas estacionarias • Resonancia • Reflexión y transmisión de ondas transversales • Velocidad del sonido • Ondas viajeras longitudinales • Potencia e intensidad de ondas sonoras • Ondas estacionarias sonoras • Efecto Doppler II UNIDAD TEMÁTICA Ondas Electromagnéticas • Ondas electromagnéticas, campo eléctrico y magnético • Densidad de energía de un campo eléctrico y magnético • Polarización • Vector de Poynting • Momentum de una onda electromagnética • Dipolos eléctricos oscilante • Dipolos magnéticos oscilante • Radiación de una carga acelerada • Espectro de radiación • Naturaleza y propagación de la luz • Leyes de la Óptica • Principios de Huygens y Fermat • Reflexión y Refracción de ondas Esféricas • Espejos: Planos, cóncavos, convexos • Lentes • Instrumentos ópticos • Interferencias • Películas delgadas UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 4 • Anillos de Newton • Difracción III UNIDAD TEMÁTICA: Relatividad y Mecánica Cuántica • Transformaciones de Galileo. • Experimento de Michelson - Morley • Postulados de la relatividad • Transformaciones de Lorentz • Concepto de simultaneidad • Dilatación del tiempo, contracción de la longitud. • Adición de velocidades, aceleraciones. • Dinámica relativista: masa, energía, momentum • Cuadrivectores, energía –momentum • Transformaciones de fuerzas • Electrodinámica relativista: Campo eléctrico y magnético. • Radiación electromagnética de cargas aceleradas • Radiación del cuerpo negro • Ley de Stefan-Boltmanz • Hipótesis de Planck • Ley de desplazamiento de Wien • Emisión fotoeléctrica • Efecto Compton • Creación y anulación de par • Interacción radiación materia • Partículas y campos. De broglie • Experimento de Davison y Germer • Principio de incertidumbre • Átomo de Bohr VI) Metodología: Es un curso teórico con clases expositivas y con sesiones de talleres de ejercitación. De acuerdo a las condiciones, las clases se pueden complementar con medios audiovisuales como software educativo, experimentos demostrativos, películas o videos. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 5 VII) Evaluación: Se evaluará mediante 3 pruebas integrales coeficiente 2. VIII) Bibliografía: Mínima Obligatoria • Resnick, Halliday, Krane, Física, Tomo I, II. CECSA. • Resnick. Conceptos de Relatividad y Teoría Cuántica. Complementaria • Alonso - Finn . Tomo I,III Física • Schaum. Física Moderna • Serway. Física. Tomo I, II. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 6 Taller Nº1. Tema: Movimiento Ondulatorio. Objetivos: Conocer los conceptos fundamentales que rigen el estudio de las ondas. Representar gráficamente un movimiento ondulatorio. Introducción. La energía se puede transferir de un lugar a otro por diversos medios. Al golpear un clavo, la energía cinética del martillo se convierte en trabajo útil sobre el clavo. El viento, los proyectiles y la mayoría de las máquinas simples también realizan trabajo a expensas del movimiento de la materia. Incluso la conducción del calor y la electricidad implican el movimiento de partículas elementales llamadas electrones. En esta unidad estudiaremos la transferencia de energía de un punto a otro sin que se realice una transferencia física del material entre los puntos. Conceptos Clave. Ondas mecánicas. Onda longitudinal. Onda transversal. Velocidad de la onda. Longitud de onda. Frecuencia. Energía en una onda periódica. Principio de superposición. Ondas estacionarias. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 7 Actividad 1. Utilizando como apoyo el texto Física, Tomo I, Resnick-Halliday-Walker, se pide completar el texto presentado a continuación. 1. El movimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la física. Todos estamos familiarizados con las ondas formadas en el agua. Hay también ondas sonoras, así como luminosas, ondas de radio y otras ondas electromagnéticas. 2. Las ondas ....................se originan al desplazarse alguna porción de un medio elástico de su posición normal, poniéndose a oscilar con respecto a su posición de equilibrio. 3. Las ondas en el agua avanzan continuamente a lo largo de la superficie del agua. Cuando llegan a donde hay objetos flotantes los ponen en movimiento, comunicándoles............................ 4. La transmisión de energía se efectúa pasando una parte de ....................a la siguiente. 5. Las ondas mecánicas se caracterizan por el transporte de ....................., a través de la materia mediante el movimiento generado por una perturbación en esa materia sin que haya un movimiento de un conjunto correspondiente de la materia misma. 6. Para la transmisión de las ondas mecánicas es necesario tener un .............. 7. No necesitamos tal medio para transmitir las ondas................................. 8. Si los movimientos de las partículas de materia que transportan onda son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda misma, decimos que se trata de una onda .................................... 9. Las ondas luminosas no son ondas ................................., pero si son ondas ....................................... 10. Si el movimiento de las partículas que comunican una onda mecánica es un vaivén en la dirección de propagación tenemos entonces una onda .................................. 11. Algunas ondas no son ni puramente longitudinales, ni puramente transversales, por ejemplo, las ondas en la ..................................................... UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 8 Las ondas se pueden clasificar también como en una dimensión, en dos y en tres, de acuerdo con el número de dimensiones en que propaguen la energía. 12. Las ondas que se mueven a lo largo del resorte son ondas en ............................................. 13. Las ondas superficiales en el agua, producidas al dejar caer una piedra sobre ella son ............................................... 14. Las ondas sonoras y luminosas que emanan radialmente de una pequeña fuente son .................................................... 15. Además, las ondas se pueden clasificar de acuerdo con el comportamiento de una partícula de materia que transporta la onda mientras transcurre el tiempo de propagación de la misma. Por ejemplo, podemos producir un ...........................o una sola onda que avance por una cuerda estirada aplicando un solo movimiento lateral en su extremo. 16. Si seguimos moviendo la cuerda en un sentido y otro, producimos un .........................................que avanza por la cuerda. Si nuestro movimiento es periódico, producimos un ........................................................................ 17. Para una onda periódica podemos generalizar la idea trazando superficies tales que todos sus puntos estén en la misma fase del movimiento. Estas superficies se llaman.................................................... 18. Dibuje lo anterior: 19. Si las perturbaciones se propagan en una sola dirección, las ondas se llaman ondas....................................... UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 9 20. Otro tipo de frente de onda es el esférico, dibújelo: Otras características importantes de las ondas son: 19. Frecuencia: .................................................................................................................... .................................................................................................................... 20. Periodo: .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... . 21. Longitud de onda: .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 22. Nodo: .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 23. Antinodo: .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 10 24. Dibuje e indique en una onda alguna de las características anteriores: Actividad 2: “Bibliografía”. Halliday,Resnick,Walker-Física Vol 1- Cáp 28- Editorial CECSA-2002. Tippens-Física, conceptos y aplicaciones-Cáp 21-Editorial M c Graw Hill- 2001. Sears, Zemansky, Young, Freedman-Física-Vol 2-Cáp 22-Editorial Pearson Educación UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 11 Taller N°2. Ecuación de la Onda. Objetivos. Determinar la ecuación del movimiento de una onda. Establecer la ecuación de velocidad de propagación de una onda. Representar gráficamente un movimiento ondulatorio. Conceptos Clave. Ecuación de onda. Velocidad de propagación transversal. Velocidad de propagación longitudinal. Potencia promedio. Intensidad. Introducción. La forma más sencilla para iniciar el estudio de las ondas es considerar la propagación de un pulso a lo largo de una cuerda. Si un extremo de una cuerda estirada tensamente se perturba en forma brusca y vuelta a su posición inicial, la acción genera un pulso de onda que viaja a lo largo de la cuerda hasta el otro extremo. Como puede ver en la figura, la vibración de la cuerda debido a este pulso de onda es perpendicular respecto a la dirección en la cual viaja el pulso. Por esta razón a este tipo de movimiento se le llama pulso de onda transversal. Si observamos muy estrechamente cualquier punto particular de la cuerda, vemos que el movimiento de ese punto a lo largo de la dirección de la cuerda es muy ligero en comparación con el movimiento perpendicular a la cuerda. Cada sección de la cuerda hace una sola oscilación hacia arriba y hacia abajo. Pero las oscilaciones no son independientes, porque cada sección de la cuerda está conectada a las secciones adyacentes. Así, la propagación de un pulso de onda transversal a lo largo de la cuerda es un movimiento colectivo de la cuerda entera, no simplemente el comportamiento aislado de alguna sección. Además de distinguir entre el movimiento de un pulso, o de una onda, y el movimiento del medio (en este caso la cuerda), debemos distinguir la clase de movimientos que participan. Por ejemplo, la velocidad de una onda en una cuerda puede ser constante, mientras que la velocidad transversal de un punto de la cuerda puede ser senoidal en el tiempo. En este caso, las partículas de la cuerda oscilan hacia atrás y hacia delante respecto a una posición de equilibrio, mientras que la onda se propaga a lo largo de la cuerda a su propia velocidad. Las ondas en una cuerda, las ondas electromagnéticas, como las de luz y de radio, son diferentes pues no requieren de un medio para su propagación. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 12 El pulso que hemos descrito se llama onda viajera. El pulso ocurre en un lugar en un momento y en otro lugar en un tiempo posterior. La distancia que el pulso viaja es proporcional al tiempo transcurrido. Aquí tenemos una descripción muy general de una onda: onda es una perturbación que transfiere energía de un punto a otro sin impartir movimiento neto, a través del cual se propaga. Esta onda es muy general y como se puede apreciar, no requiere que la onda sea repetitiva. Actividad 1: “Ondas armónicas”. “Supongamos que el extremo de un medio material es obligado a vibrar periódicamente, variando el desplazamiento “y” (transversal o longitudinal) con el tiempo”. Establecer de acuerdo con la ecuación del movimiento armónico simple la ecuación que rige el movimiento. Lo anterior se interpreta como: durante medio período, a través del medio el desplazamiento es en un cierto sentido, y durante otro medio período se propaga con un desplazamiento en el otro sentido. Actividad 2: “Gráfica de ondas armónicas”. Construya una gráfica de ondas armónicas, de acuerdo a la siguiente tabla: Y(0,t) t 0 T/8 T/4 3T/8 T/2 5T/8 3T/4 7T/8 T Actividad 3: “Ecuación de velocidad”. Deduzca la ecuación de la velocidad constante con la que la onda se propaga, cuando avanza una distancia igual a una longitud de onda en un intervalo de tiempo de un período. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. 13 Actividad 4: “Velocidad de propagación transversal en una cuerda”. Consideremos la cuerda representada en la figura, sometida a una tensión T y con una densidad lineal (masa por unidad de longitud) “µ”. La cuerda se encuentra en reposo. En t = 0, se comunica al extremo izquierdo de la cuerda una velocidad transversal v. La figura siguiente muestra la forma de la cuerda después de transcurrido un tiempo “t”. El límite que separa las partes móvil y fija avanza hacia la derecha con velocidad de propagación “v”. La velocidad de propagación transversal de una cuerda es: ut ut v En movimiento En reposo v V = (T/µ) 1/2 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 14 Actividad 5: “Velocidad de propagación longitudinal en un fluido”. La figura representa un fluido (líquido o gas) de densidad “ρ” contenido en un tubo de sección transversal “A” y a la presión “p”. En la primera figura el fluido se encuentra en reposo. En el instante t = 0, se pone en movimiento el pistón situado en el extremo izquierdo del tubo, con una velocidad v. En la segunda figura el fluido se muestra después de transcurrido un tiempo “t”. Todo el fluido situado a la izquierda del trazo vertical se mueve con velocidad v, mientras que el situado a la derecha está todavía en reposo. El límite que separa la parte móvil de la fija se mueve hacia la derecha con velocidad de propagación “µ”. El pistón ha recorrido una distancia “vt” y el límite de separación ha avanzado una distancia “µt”. Cantidad de movimiento longitudinal = ρµtAv. Utilizando el módulo de compresibilidad, se tiene: B = Variación de la presión/Disminución unitaria de volumen. B = ∆p/Avt/Aµt ∆p = Bv/µ Impulso longitudinal = ∆pAt = BvAt/µ Aplicando el Teorema de la Cantidad de Movimiento, se tiene: BvAt/µ = ρµtAv. De aquí, se obtiene la velocidad de propagación longitudinal en un fluido: pA (p + ∆p)dA En reposo En movimiento µt vt pA µ = (B/ρ) 1/2 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 15 Para una barra, la velocidad de propagación longitudinal será: Actividad 6: “Ecuación de una onda”. Supongamos que una onda sinusoidal (transversal o longitudinal) está avanzando hacia la derecha en un medio que se extiende indefinidamente en la dirección “x”. En un instante cualquiera, “t”, la elongación “y” de una partícula depende de su posición, o sea de su abcisa, “x”. 6.1. Analice la ecuación de la onda, escribiéndola en función de “x” y de “t”. 6.2. Grafique la ecuación de la onda en función de “x” y “t”. Actividad 7: “Ecuación de la onda en un sentido”. Se observa que “y” es función de las variables independientes “x” y “t”. Escriba la ecuación de la onda sinusoidal (transversal o longitudinal) que se propaga en el sentido positivo de “x”. Actividad 8: “Onda sinusoidal”. En las ondas viajeras hemos supuesto que el desplazamiento “y” es cero en la posición x = 0 en el tiempo t = 0. Esto no tiene que ser siempre así. La expresión general para una onda sinusoidal que viaje en la dirección “x” positiva es: Donde: (Kx – wt - φ): fase de la onda. “Se dice que dos ondas con la misma fase (o con fases que difieren en cualquier múltiplo entero de 2π) están en “fase”; ejecutan el mismo movimiento al mismo tiempo. φ: constante de fase. “La constante de fase no afecta a la forma de onda; mueve a la onda hacia delante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo”. µ = (Y/ρ) 1/2 Y(x,t) = y m sen(Kx – wt - φ) UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 16 Actividad 9: “Potencia Promedio e Intensidad”. A menudo se considera que la entrada de potencia a la cuerda es el promedio en un periodo del movimiento. La potencia promedio abastecida, entre t y (t+T), es: Donde “T” es el período. También se puede anotar como: La intensidad “I” se define como: A: área normal a la dirección en que viaja la onda. Nota: Cuando se transmite energía a lo largo de la cuerda, la energía se almacena en cada elemento de la cuerda como una combinación de energía cinética y de energía potencial de deformación. Esto es similar al caso del oscilador armónico simple. P promedio = (1/T)∫Pdt P promedio = (1/2) y m 2 µvω 2 I = P promedio /A UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 17 Actividad 10: “Ejemplos”. Ejemplo 1. Un alambre de acero de 6 [m] de longitud tiene una masa de 60 [gr] y está sometido a una tensión de 100 [N]. ¿Cuál es la velocidad de propagación de una onda transversal en el alambre?. Ejemplo 2. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es: Y(x,t) = 2cos[π(0,5x – 200t)], en la que “x” e “y” se miden en centímetros y “t” en segundos. a) Calcular la amplitud, longitud de onda, frecuencia, periodo y velocidad de propagación. b) Hacer un esquema de la forma de la cuerda para los siguientes valores de t: 0; 0,0025; y 0,005 [s]. c) Si la masa de la cuerda por unidad de longitud es 5 [gr/cm], calcular la tensión. Ejemplo 3. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda es: Y(x,t) = 6cos[π(0,5x – 200t)], en la que “x” e “y” se miden en centímetros y “t” en segundos. Determine la distancia entre los puntos P y Q que se encuentran ambos en y = 2 [cm]. Actividad 11: “Tarea”. Una onda armónica que se mueve en la dirección “x” positiva tiene una amplitud de 3,0 [cm], una velocidad de 40 [cm/s] y una longitud de onda de 40 [cm]. Calcule el desplazamiento debido a la onda a: a) X = 0,0 [cm], t = 2,0 [s]. b) X = 10 [cm], t = 20 [s]. Actividad 12: “Bibliografía”. Halliday,Resnick,Walker-Física Vol 1- Cáp 28- Editorial CECSA-2002. Tippens-Física, conceptos y aplicaciones-Cáp 21-Editorial M c Graw Hill- 2001. Sears, Zemansky, Young, Freedman-Física-Cáp 22-Editorial Pearson Educación. Jones&Childers-Físca Contempránea-Cap 15-Editorial M c Graw Hill-2001. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 18 GUÍA DE EJERCICIOS. Tema: ONDAS ARMÓNICAS. 1.- La función que describe cierto movimiento ondulatorio es: y (x,t) = 0,05 sen (16π(t-x/4)) Determine la amplitud, la frecuencia, el período, la longitud de onda y la velocidad de propagación de este movimiento. Nota: x en metros y t en segundos. Resp: A = 0,05 [m] w = 16π [rad/s] v = 4 [m/s] 2.- Escriba la función que representa a una onda que se propaga en el sentido negativo del eje x, con velocidad de 40 [ciclos/s]. Resp: Y (x,t) = y 0 Cos(Kx+80πt) 3.- Se genera una onda transversal sinusoidal en un extremo de una cuerda horizontal larga, mediante una barra que mueve el extremo hacia arriba y hacia abajo una distancia de 0,15 [m]. El movimiento es continuo y se repite regularmente dos veces cada segundo (MAS). (a) Si la cuerda tiene una densidad lineal de 0,24 [Kg/m] y una tensión de 8,9 [N], calcular la velocidad, amplitud, frecuencia y longitud de onda del movimiento ondulatorio. (b) Suponiendo que la onda se propaga de izquierda a derecha y que para t=0, el extremo de la cuerda ( x=0 ) se encuentra en la posición de equilibrio y=0, escribir la ecuación de la onda. (c) Al propagarse el tren de, cada partícula de la cuerda oscila en dirección perpendicular a la de propagación. Determinar la velocidad y aceleración de una partícula a 3,05 [m] del extremo. ¿Puede escribirse el movimiento de esta partícula para t =4 [s]. 4.- Una partícula (A) de una onda transversal ha efectuado una oscilación completa. ¿A qué distancia de su posición de equilibrio se halla otra partícula (B) situada a 3 [cm] de (A), hacia delante?. Considere que la amplitud es 5 [cm] y la longitud de onda es de 15 [cm]. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 19 5.- La ecuación de una onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda viene dada por y (x,t) = 0,3 senπ (0,5x-50t), donde “x” e “y” están dados en centímetros y “t” en segundos. (a) Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de la onda. (b) Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier partícula de la cuerda. Resp: (a)0,3 [cm];4 [cm];0,5π; 25 [Hz]; 0,04 [s]; 100 [cm/s] (b)47,1 [cm/s] 6.- Considérese una onda en el mar con T = 10[s] y λ =15 [m]. Un bote avanza con una velocidad de 0,5 [m/s] hacia la orilla (en la misma dirección de onda). ¿Con qué frecuencia sube y baja?. Determine una expresión para la frecuencia del bote, si este parte en el instante t=0 con velocidad 0,5 [m/s] y se acelera uniformemente con 0,1 [m/s 2 ]. Resp: 0,03 [Hz]; w = a/(v·tgφ) 7.-Un pescador en un bote anclado observa que las crestas de las olas lo pasan cada 2 [s] y que las crestas de las olas emplean 4 [s] para llegar a una boya a 13 [m] del bote. Calcular la longitud de onda de la ola. Resp: (13/2) [m] 8.- Una onda superficial de mar, de λ = 8 [m] avanza hacia la orilla con velocidad de 10 [m/s] de magnitud. Una balsa a 100 [m] de la orilla se encuentra en cierto instante en la altura máxima. ¿Cuánto tiempo después le toca a un bote que se encuentra a 60 [m] de la orilla estar en la mitad de su altura máxima?. Resp: 4,13 [s] UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 20 9.- Una onda transversal armónica de 10 [cm] de amplitud y de 200 [cm] de longitud de onda, viaja de izquierda a derecha a lo largo de una cuerda horizontal, larga y tensa, con rapidez de 100 [cm/s]. Considere el origen de un sistema de coordenadas en el extremo izquierdo de la cuerda no perturbada y el instante t = 0 cuando ese extremo pasa por el origen moviéndose hacia abajo. (a) Calcule la frecuencia, la frecuencia angular y la constante de propagación de la onda. (b) Determine la ecuación del movimiento del extremo izquierdo de la cuerda, la función de la onda y la ecuación del movimiento de una partícula de la cuerda a 150 [cm] a la derecha del origen. (c) Calcule la magnitud máxima de la velocidad transversal de cualquier partícula de la cuerda. (d) Calcule la velocidad transversal de una partícula a 150 [cm] a la derecha del origen, en el instante t =3,25 [s]. (e) Haga un gráfico de las formas de la cuerda en los instantes t = 0 y t = 3,25 [s], que represente los primeros 500 [cm] de la cuerda. Resp: 0,5 [Hz]; π [rad/s]; π [rad/m]. 10.- Una onda de frecuencia 500 [ciclos/s] tiene una velocidad de fase de 350 [m/s]. (a) ¿Qué distancia hay entre dos puntos que tienen una diferencia de fase de 60º?. (b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos que ocurren en cierto punto con un intervalo de 0,001 [s]?. 11.- Una onda armónica se propaga a lo largo del eje x en el sentido positivo. Considérese dos puntos a una distancia de 3λ/4 entre ellos. ¿Cuál es la diferencia de fase que presentan las perturbaciones producidas por la onda debida a tal separación?. Si la frecuencia de la onda es 20 [ciclos/s] y la amplitud es de 10 [mm]. ¿Cuál será la perturbación del segundo punto 50 [m] después que se produjo la perturbación máxima en el primero?. 12.- Un centro emisor de 1 [Watt] emite ondas esféricas en un medio isotrópico no absorbente. ¿Cuál es la intensidad de onda a 1 [m] del centro emisor?. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 21 13.- Una onda transversal sinusoidal de longitud de onda 20 [cm] se propaga por una cuerda. En el instante t = T/4 un punto ubicado a 4 [cm] del origen tiene una elongación igual a un tercio de la amplitud. ¿ A qué distancia del origen se hallará un punto que en dicho instante ha alcanzado su posición extrema superior?. Resp: 0,08 m. 14.- Una onda transversal en una cuerda produce en cierto instante y en cierto lugar un desplazamiento de 0,5 [cm]. El desplazamiento máximo es 8 [cm], la magnitud de la velocidad de propagación vale 50 [m/s] y la frecuencia de vibración en un extremo es 20 [ciclos/s]. Calcule cuánto tiempo después un elemento de cuerda situado a 10 [m] más adelante tiene una velocidad de magnitud máxima. 15.- Una onda transversal sinusoidal de longitud λ = 20 [cm] se propaga por una cuerda hacia la derecha. En el instante t = T/4, el punto ubicado en el origen ha alcanzado su posición extrema superior. ¿Cuánto tiempo más tarde una partícula a 6 [cm] del origen alcanzará una elongación igual a ¼ de la amplitud por debajo de su posición de equilibrio?. 16.- Un bote avanza con velocidad de 2 [m/s] en la misma dirección de las olas. Para esta T = 10 [s], v =3 [m/s]. Otro bote lo persigue con velocidad V 2 habiendo partido en un instante en que se encontraba en una cúspide a 50 [m] del primer bote, y lo alcanza cuando tiene (el bote 2) por quinta vez la altura máxima. Calcular V 2. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 22 Taller Nº3. Tema: Ondas Sonoras. Objetivo: • Comprender los conceptos fundamentales relacionados con el sonido. • Determinar valores de frecuencias mediante las ecuaciones que estudian el Efecto Doppler. Conceptos Clave: Sonido. Intensidad del sonido. Velocidad del sonido. Ondas ultrasónicas. Decibel. Efecto Doppler. Ondas de choque. Espectro de radiación electromagnética. Introducción: Deben darse dos factores para que exista el sonido. Es necesaria una fuente de vibración mecánica y también un medio elástico, a través del cual se propague la perturbación. La fuente puede ser un diapasón, una cuerda que vibre o una columna de aire vibrando en un tubo de órgano. Los sonidos se producen por materia que vibra. La necesidad de la existencia de un medio elástico se puede demostrar colocando un timbre eléctrico dentro de un frasco conectado a una bomba de vacío. A medida que va saliendo el aire del frasco, el sonido del timbre se vuelve cada vez más débil hasta que finalmente ya no se escucha. Cuando se permite que el aire penetre de nuevo al frasco, el timbre vuelve a sonar. Por lo tanto, el aire es necesario para transmitir el sonido. Actividad 1: “La Leyenda del Eco”. “Los antiguos griegos, explicaban el fenómeno del extraño caso de la reflexión del sonido por medio de la leyenda del “Eco”. Según esta, Eco era una ninfa que tenía el defecto de hablar demasiado, lo que había inducido a Hera a prohibirle que hablara sino le dirigía antes la palabra alguien y, en tal caso, sólo estaba autorizada para repetir lo que oyera. Entristecida por su destino, Eco se dedicó a vagar por los bosques repitiendo las palabras de otros. Un día se enamoró del apuesto Narciso, sin lograr ser correspondida. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 23 La ninfa fue entonces consumida por la ansiedad hasta el punto de que solo quedó su voz vagando por los bosques y las rocas y repitiendo siempre las palabras de los otros”. Actividad 2: ¿Qué es el Sonido? El Sonido es una onda longitudinal que se propaga en un medio material (sólido, líquido o gaseoso), y cuya frecuencia está comprendida, aproximadamente, entre 20 y 20.000 [Hz]. El infrasonido y el ultrasonido Una onda longitudinal que se propaga en un medio material con una frecuencia inferior a 20 [Hz] se denomina infrasonido. Si la frecuencia es superior a 20.000 [Hz], recibe el nombre de ultrasonido. Experimentos recientes demuestran que: Un perro, por ejemplo, es capaz de percibir ultrasonidos cuyas frecuencias alcanzan hasta los 50.000 [Hz]. A ello se debe que algunos perros amaestrados escuchen los ultrasonidos (producidos por silbatos especiales) que una persona no puede percibir. También se sabe que los murciélagos, aún cuando son casi ciegos, puedan volar sin chocar con ningún obstáculo, porque emiten ultrasonidos que luego captan sus oídos después de ser reflejados por dichos obstáculos. Las frecuencias ultrasónicas que emite el murciélago y oye después, pueden llegar hasta los 120.000 [Hz]. En un dispositivo electroacústico denominado sonar, los ultrasonidos se emplean para localizar objetos y medir la distancia entre ellos, de modo similar a lo que hacen los murciélagos. Actividad 3: “Velocidad del sonido”. Tabla de Velocidad del Sonido para diferentes materiales. Medio Material Velocidad [m/s] Caucho (o hule) 54 Oxígeno (0°C] 317 Aire (20°C) 340 Hidrógeno (0°C) 1300 Agua 1450 Hierro 5100 Granito 6000 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 24 Actividad 4: "Intensidad del Sonido”. La intensidad es una propiedad del sonido que se relaciona con la energía de vibración de la fuente que emite la onda sonora. Al propagarse, esta onda transporta energía, distribuyéndola en todas las direcciones. Cuanto mayor sea la cantidad de energía (por unidad de tiempo) que una onda sónica transporta hasta nuestro oído, tanto mayor será la intensidad del sonido que percibimos. La cantidad de energía transportada por una onda es tanto mayor cuanto mayor sea la amplitud de la misma. La intensidad de un sonido es mayor cuando así lo es la amplitud de la onda sonora. Actividad 5: “Onda sonora longitudinal”. Ahora estudiaremos más detalladamente las ondas sonoras longitudinales en el aire que proceden de una fuente que produce vibraciones. Una tira metálica delgada se sujeta fuertemente en su base, se tira de uno de sus lados y luego se suelta. Al oscilar el extremo libre de un lado a otro con movimiento armónico simple, se propagan a través del aire una serie de ondas sonoras longitudinales periódicas que se alejan de la fuente. Las moléculas de aire que colindan con la lámina metálica se comprimen y se expanden alternativamente, transmitiendo una onda como la que se muestra en la figura. Las regiones densas en las que gran número de moléculas se agrupan acercándose mucho entre sí se llaman compresiones. Son exactamente análogas a las condensaciones estudiadas para el caso de ondas longitudinales en un resorte en espiral. Las regiones que tienen relativamente pocas moléculas se conocen como rarefacciones. Las compresiones y rarefacciones se alternan , a través del medio en la misma forma que las partículas de aire individuales oscilan de un lado a otro en la dirección de la propagación de la onda. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Puesto que una compresión corresponde a una región de alta presión y una rarefacción corresponde a una región de baja presión, una onda sonora puede representarse trazando en una gráfica el cambio de presión “P” como una función de la distancia “x” . Actividad 6: “Relación Intensidad del sonido A medida que la onda esférica se expande, la energía se conserva si el amortiguamiento es despreciable, como sucede en los intervalos cortos en el aire, Por tanto la potencia que pasa a través de una capa esférica de un radio es la misma que pasa, a través de una capa de otros radios. La potencia que pasa a través de una capa de radio “r” es el producto de la intensidad “I” con el área de la capa, 4 Para dos diferentes radios r escribir: I 2 /I 1 = r 1 2 /r 2 2 Puesto que una compresión corresponde a una región de alta presión y una rarefacción corresponde a una región de baja presión, una onda sonora puede trazando en una gráfica el cambio de presión “P” como una : “Relación Intensidad del sonido-Radio de propagación”. A medida que la onda esférica se expande, la energía se conserva si el amortiguamiento es spreciable, como sucede en los intervalos cortos en el aire, Por tanto la potencia que pasa a través de una capa esférica de un radio es la misma que pasa, a través de una capa de otros radios. La potencia que pasa a través de una roducto de la intensidad “I” con el área de la capa, 4πr 2 . Para dos diferentes radios r 1 y r 2 , podemos 25 Puesto que una compresión corresponde a una región de alta presión y una rarefacción corresponde a una región de baja presión, una onda sonora puede trazando en una gráfica el cambio de presión “P” como una UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 26 Actividad 7: “Características de la velocidad del sonido”. La velocidad a la cual se propaga el sonido en el aire depende de la presión de la atmósfera, la temperatura y la humedad. A la presión estándar a nivel del mar y 0°C, la velocidad del sonido en aire seco es 331,5 [m/s]. Dicha velocidad a tras temperaturas se representa en forma adecuada por la expresión: V (T) = (331,4 + 0,67T) [m/s], donde la temperatura “T” está en grados Celsius. El sonido viaja lo suficientemente lento para que podamos percibir su magnitud finita. El retraso entre el destello de un rayo y el estadillo del trueno se debe a que la velocidad del sonido es mucho menor que la de la luz. La vibración de la cubierta de un tambor o del cuerpo de una guitarra empuja en contra al aire para producir ondas de presión que se propagan a nuestros oídos y son percibidas. Las frecuencias vibratorias por encima de 20.000 [Hz] se denominan ultrasónicas. El tono de un sonido o nota musical es un juicio subjetivo de lo alto o bajo que es. Se determina principalmente por su frecuencia; un tono elevado corresponde a una alta frecuencia. Sin embargo, la sonoridad de un sonido a una frecuencia dada puede influir en su tono aparente. Actividad 8: “Aplicaciones de las ondas ultrasónicas”. 1. A causa de sus longitudes de onda relativamente cortas, se pueden enfocar en haces angostos y dirigirse con mayor facilidad que un sonido audible. 2. Se usan para medir distancias. Un pulso de ondas de frecuencia entre 25 y 40 [KHz] es emitido a partir del dispositivo clasificador, el cual mide en forma automática el tiempo para que regrese el eco o pulso. La distancia a la pared u otro objeto se calcula a partir del tiempo de viaje del pulso y de la velocidad del sonido en el aire, tomando en cuenta la dependencia de su velocidad de la temperatura y la humedad. El cálculo se hace por microcircuitos dentro del aparato clasificador, y el resultado se despliega sobre una placa numérica. Estos instrumentos pueden medir con una precisión de aproximadamente 0,6 [cm]. Se utilizan dispositivos similares en algunas cámaras de enfoque automático para determinar la posición apropiada de la lente. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 27 3. Cuando las ondas ultrasónicas chocan contra la pared, son reflejadas parcialmente, transmitidas parcialmente y absorbidas parcialmente. Las reflexiones ocurren siempre que las ondas encuentran una diferencia en densidad, en este caso la frontera entre el aire y la pared. La magnitud de la reflexión depende de las velocidades relativas del sonido en cada lado de la frontera (este comportamiento es una propiedad general de las ondas, no solamente de las ondas ultrasónicas). 4. El regreso de las señales que se reflejan de cada frontera se puede emplear para generar una imagen de los objetos encontrados por las ondas. Dentro de su cuerpo, las ondas ultrasónicas incidentes son reflejadas a partir de zonas limite entre tejidos, huesos y fluidos de densidades diferentes. Las imágenes ultrasónicas se utilizan rutinariamente para “ver” dentro del cuerpo humano. La imagen visual se reconstruye con base en la información contenida en la amplitud y fase de las ondas reflejadas. La obtención de imágenes ultrasónicas se considera generalmente como una técnica más segura que la obtención de imágenes por rayos X. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 28 Actividad 9: “Medición de niveles sonoros”. La unidad de medición de intensidad sonora es el decibel, dB. La unidad decibel es el décimo de tamaño que el bel (una unidad nombrada en honor del inventor del teléfono, Alexander Graham Bell). El nivel de intensidad L I en decibeles se define como diez veces el logaritmo de la relación de dos intensidades I e I 0 ; esto es: Donde I 0 es la intensidad de referencia. Dado que la medición del nivel de intensidad de un sonido es en realidad una comparación de dos intensidades, un nivel de sonido dado no se puede establecer en unidades de decibeles a menos que se conozca el nivel de referencia. El nivel de referencia estándar de intensidad de sonido es 10 -12 [W/m 2 ], el cual es aproximadamente la intensidad que apenas puede ser escuchada por una persona con buena audición. Esta intensidad se denomina el umbral de audición. L I (en decibeles) = 10log 10 (I/I 0 ). UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Actividad 10: “Niveles aproximados de intensidad de sonido para un conjunto de fuentes de sonido familiares”. : “Niveles aproximados de intensidad de sonido para un conjunto de fuentes de sonido familiares”. 29 : “Niveles aproximados de intensidad de sonido para un conjunto UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 30 Actividad 11: “Efecto Doppler” Se da, por ejemplo, con la elevación y descenso posterior del tono de la bocina de un automóvil cuando éste se aproxima y cuando ha pasado. A medida que se aproxima a un observador fijo, las ondas del sonido se aprietan causando un aumento en la frecuencia del sonido que se oye. Después que el vehículo ha pasado y se está alejando del observador, las ondas se esparcen y la frecuencia observada es menor. Las ecuaciones que ayudan a entender este fenómeno son: (puede encontrar la deducción en el texto de Física de Resnick-Halliday). Fuente en movimiento, observador en reposo. V: velocidad del sonido. V s : velocidad de la fuente. (+): indica que la fuente se está alejando (baja frecuencia). (-): indica que la fuente se aproxima al observador (alta frecuencia). Fuente en reposo, observador moviéndose. V: velocidad del sonido. V 0 : velocidad del observador. (+): indica que el observador se acerca a la fuente del sonido (alta frecuencia). (-): indica que el observador se aleja de la fuente del sonido (baja frecuencia). Nota: El efecto Doppler no está limitado solamente a ondas sonoras, sino que también se aplica a otras clases de ondas. Incluso se aplica a las ondas electromagnéticas como la luz y el radar, aunque las ecuaciones son diferentes. f¨= f/(1±V s /V) f¨= f(1±V 0 /V) UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 31 Actividad 12: “Formación de una onda de choque”. Ondas de Mach u Ondas de Choques. Cuando un observador está en reposo y una fuente que se mueve con una velocidad µ>v (v: velocidad de propagación de la onda), entonces en un tiempo dado la fuente avanza más rápido que el frente de onda. Sen α= v·t / µ·t ⇒ ⇒⇒ ⇒ Sen α= v/µ α: es la apertura del cono. “Todas las ondas esféricas son tangentes al cono”. Para una carga “q” que se mueve con velocidad V q >V, las ondas electromagnéticas en superficies cónicas forman con la dirección de propagación de la fuente de carga un ángulo “α” dado por: Senα = V/V q “Estas ondas reciben el nombre de Cherenkov”. α µ µµ µ µ µµ µ·t V·t UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 32 Actividad 13: “Espectro de Radiación Electromagnética”. Las ondas electromagnéticas cubren un alto margen de frecuencia y ellas incluyen ondas clasificadas de acuerdo a su frecuencia (fuente). 1. Ondas de Radio Frecuencias: el intervalo de longitud de onda va desde 10 9 [m] a 0,3 [m]; el de la frecuencia de 10 -1 [Hz] a 10 9 [Hz] y el de la energía de los fotones * (energía de las ondas electromagnéticas) de 10 5 [eV] hasta 10 -5 [eV]. *Fotones: partículas elementales que forman la luz, no tienen masa ni carga. Las ondas de radio frecuencia, se encuentra en la TV y radios AM y FM: La onda de TV y FM es la que viaja en línea recta. La onda de AM rebota, puede llegar más lejos que la onda de televisión. 2. Microondas: (U.H.F:Ultra high frequency) El intervalo de longitud de onda va desde 0,3 [m] a 10 -3 [m]; el de la frecuencia de 10 9 [Hz] a 3·10 11 [Hz] y el de la energía de los fotones * (energía de las ondas electromagnéticas) de 10 -5 [eV] hasta 10 -3 [eV]. Estas ondas se usan en el radar y otros sistemas de comunicacionales, así como también en el análisis de detalles finos de estructura atómica y molecular. 3. Infrarrojo: aquí está comprendida la luz visible. El intervalo de longitud de onda va desde 10 -3 [m] a 7,8·10 -7 [m]; el de la frecuencia de 3·10 11 [Hz] a 4·10 14 [Hz] y el de la energía de los fotones (energía de las ondas electromagnéticas) de 10 -3 [eV] hasta 1,6 [eV]. Espectro infrarrojo: Infrarrojo lejano: λ: 10 -3 [m] a 3·10 -5 [m]. Infrarrojo medio: λ: 3·10 -5 [m] a 3·10 -6 [m]. Infrarrojo cercano: λ: 3·10 -6 [m] a 7,8·10 -7 [m]. Estas ondas son generadas por cuerpos calientes y moléculas. Tienen mucha aplicación en la industria, la medicina, la astronomía, etc. Es una manera de detectar cuerpos calientes. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 33 4. La Luz Visible o Espectro Visible: “la retina es sensible a este espectro”. El intervalo de longitud de onda va desde 7,8·10 -7 [m] a 3,8·10 -7 [m]; el de la frecuencia de 4·10 14 [Hz] a 8·10 14 [Hz] y el de la energía de los fotones (energía de las ondas electromagnéticas) de 1,6 [eV] a 3,2 [eV]. La luz es producida por átomos y moléculas como resultado del ajuste interno del movimiento de sus componentes, principalmente electrones. 5. Rayos Ultravioletas: El intervalo de longitud de onda va desde 3,8·10 -7 [m] a 6,0·10 -10 [m]; el de la frecuencia de 8·10 14 [Hz] a 3·10 17 [Hz] y el de la energía de los fotones (energía de las ondas electromagnéticas) de 3 [eV] a 2·10 7 [eV]. Estos rayos son producidos por átomos y moléculas en descargas eléctricas. Su energía es del orden de magnitud de la energía involucrada en muchas reacciones químicas, lo que implica muchos de sus efectos químicos. 6. Rayos X: El intervalo de longitud de onda va desde 10 -9 [m] a 6,0·10 -12 [m]; el de la frecuencia de 3·10 17 [Hz] a 5·10 14 [Hz] y el de la energía de los fotones (energía de las ondas electromagnéticas) de 1,2·10 3 [eV] a 2,4·10 15 [eV]. Los rayos X se usan para el diagnóstico médico, pues la mayor absorción por parte de los huesos en comparación con otros tejidos permiten una fotografía nítida. Los rayos X son peligrosos, pues destruyen los tejidos. 7. Rayos Gamma: El intervalo de longitud de onda va desde 10·10 -10 [m] a <<10 -14 [m]; el de la frecuencia de 3·10 18 [Hz] a 3·10 22 [Hz] y el de la energía de los fotones (energía de las ondas electromagnéticas) de 10 4 [eV] a 10 7 [eV]. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 34 Actividad 14: “Ejemplos”. Ejemplo 1. Un altoparlante en un poste elevado levantado en un campo de pasto alto genera un sonido de alta frecuencia de una intensidad de 1,0⋅10 -5 [W/m 2 ] a la posición de los oídos de una persona que está ubicada a 8,0 [m] directamente abajo. Si la persona camina alejándose del poste de modo que esté a 24 [m] del altoparlante, ¿cuál es la intensidad del sonido en la nueva posición de sus oídos?. Ejemplo 2. En una fiesta, un equipo musical estéreo toca a su volumen máximo. Repentinamente un invitado da un traspié sobre un cable y un parlante deja de funcionar. ¿Cuál es la reducción en el nivel de intensidad de sonido, medido en dB?. Ejemplo 3. La bocina de una patrulla de policía emite un tono de 250 [Hz] cuando se encuentra estacionada. a) ¿Qué frecuencia escuchará un observador en reposo si la patrulla hace sonar su bocina mientras se aproxima a una velocidad de 27 [m/s]?. b) ¿Qué frecuencia se oye si la sirena se hace sonar a medida que la patrulla se aleja a 27 [m/s]?. Ejemplo 4. Si la patrulla del ejercicio anterior estuviera haciendo sonar su sirena mientras permanece estacionada, ¿qué frecuencia podría oír un observador que se estuviera aproximando a una velocidad de 27 [m/s]?. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 35 GUÍA DE EJERCICIOS. TEMA: EFECTO DOPPLER. Prob.1. Un tren está pasando a otro que viaja por rieles paralelos. Ambos emiten pitazos de 300 [ciclos/s] simultáneamente. El maquinista del primer tren escucha batimentos de 3 [ciclos/s] y observa que su rapidez es de 30 [Km/Hr]. ¿Cuál es la velocidad del otro tren?. Prob.2. Un auto se mueve con rapidez de 15 [m/s] sobre una recta a 10 [m] de su observador en reposo. Cuando el auto se ha alejado 15 [m] del observador da un bocinazo de 500 [ciclos/s]. ¿Cuál es la frecuencia del sonido escuchada por el observador?. Resp: 482 [Hz]. Prob.3. Un proyectil se dispara con una rapidez de 2200 [ft/s]. Determinar el ángulo formado por la onda de choque con la dirección del movimiento del proyectil. Resp: 30º Prob.4. La rapidez de la luz en el agua es de unos tres cuartos de la rapidez de la luz en el vacío. Un haz de electrones de alta velocidad provenientes de un betatrón emite radiación Cerenkov en el agua, siendo el frente de onda un cono de un ángulo de 120º. Determinar la rapidez de los electrones en el agua. Prob.5. Un aeroplano de retropropulsión sobrevuela a una altura de 5000 [m] con una rapidez de 1,5 Mach. (a) Determine el ángulo formado por la onda de choque con la línea del movimiento del avión. (b) ¿Cuánto tiempo después que el avión ha pasado directamente por encima llegará la onda de choque al suelo?. Resp: (a) 48,18º ; (b) 19,73 [s]. Prob.6. Un silbato con una frecuencia de 540 [Hz] gira en un círculo de 2 [ft] de radio con una rapidez angular de 15 [rad/s]. ¿Cuál es la menor y la mayor frecuencia oída por una persona que está en reposo y a una gran distancia del centro del círculo?. Resp: 555 [Hz] ; 526 [Hz]. Prob.7.(a) ¿Se podría uno acercar a un alto de semáforo lo suficientemente rápido para que pareciese un “siga”?. (b) De ser así, ¿lo multarían por exceso de velocidad?. λ: Rojo: 625-740 nm; Amarillo: 565-590 nm; Verde: 520-565 nm. Resp: (a) 4,4·10 7 [m/s] ; (b) NO. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 36 Prob.8.Un murciélago está volando dentro de una cueva, orientándose muy efectivamente por el uso de pulsos ultrasónicos (emisiones cortas que duran 1 milisegundo o menos y se repiten varias veces en un segundo). Supongamos que la emisión del sonido del murciélago tiene una frecuencia de 39000 [Hz]. Durante un primer descenso rápido directamente hacia una superficie plana de la pared, el murciélago se mueve a 1/40 de la rapidez del sonido en el aire. ¿Cuál es la frecuencia del sonido que él oye reflejado en la pared?. Resp: 41000 [Hz]. Prob.9. Una fuente de ondas sonoras de frecuencia 1080 [Hz] se mueve hacia la derecha con rapidez de 108 [ft/s] respecto al piso. A su derecha hay una superficie reflectora que se mueve hacia la izquierda con rapidez 216 [ft/s] relativa al piso. Considérese que la rapidez en el aire es de 1080 [ft/s] y determine: (a) La longitud de onda del sonido emitido por el aire en la fuente. (b) El número de ondas por segundo que llegan a la superficie reflectora. (c) La rapidez de las ondas reflejadas. (d) La longitud de las ondas reflejadas. Resp: (b) 2,66π; (c) La misma velocidad con la que llega. Prob.10. Una sirena emite un sonido con una frecuencia de 1000 [Hz] y se mueve alejándose de nosotros hacia un acantilado con una rapidez de 10 [m/s]. (a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que oiríamos llegar directamente de la sirena?. (b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que oiría reflejado en el acantilado?. (c) Se podría oír la frecuencia de los batimentos?. Considérese que la rapidez del sonido en el aire es de 330 [m/s]. Prob.11. Dos automóviles “A” y “B” se enfrentan. “A” toca la bocina cuya frecuencia “f” es 850 [Hz], la cual es escuchada por “B” con una frecuencia “f´” de 920 [Hz]. “B” responde a “A” con otro toque de bocina de frecuencia “f´´” de 550 [Hz], la cual es escuchada por “A” con frecuencia “f´´´” de 610 [Hz]. Determinar la velocidad relativa de acercamiento. Suponer 340 [m/s], para la velocidad del sonido. Resp: 90,7 [m/s]. Prob.12. La frecuencia aparente de la bocina de un automóvil que se acerca a un observador fijo es 10% mayor que cuando se aleja de ese observador. Calcule la velocidad del automóvil, suponiendo que es constante. Resp: 16,2 [m/s]. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 37 Taller Nº4 Tema: Ondas Estacionarias. Objetivos: Establecer la ecuación de superposición para ondas incidentes y reflejadas. Graficar una onda estacionaria. Aplicar las condiciones de contorno para hallar los valores de posición. Determinar longitudes de onda y frecuencia, a partir de las condiciones de contorno. Graficar las ondas estacionarias a partir de la frecuencia y longitud de onda fundamental. Hallar la ecuación de una onda Estacionaria de Presión. Hallar la ecuación general para una Onda estacionaria de desplazamiento. Aplicar las condiciones de contorno para la ecuación de desplazamiento. Conceptos Clave: Onda incidente y reflejada. Onda Estacionaria. Condiciones de contorno. Frecuencia fundamental. Onda estacionaria de desplazamiento. Onda estacionaria de presión. Actividad 1: “Ondas Estacionarias (Fenómeno de Superposición)”. Ondas Estacionarias Transversales. Consideremos dos trenes de onda que viajan sobre un mismo eje, tienen la misma frecuencia, la misma velocidad, pero tienen diferente fase y se mueven en sentido contrario. Las ecuaciones que rigen cada una de las ondas son: Onda Reflejada: Y 1 (x,t) = Y máx Sen(kx – wt -φ 01 ) Onda Incidente: Y 2 (x,t) = Y máx Sen(kx + wt -φ 02 ) Onda Reflejada Onda Incidente UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 38 La ecuación que rige la Superposición: Y(x,t) = Y 1 (x,t) + Y 2 (x,t) De lo que se obtiene: Actividad 2: “Gráfica de una Onda Estacionaria”. Utilizando la ecuación obtenida en la actividad anterior construya la gráfica de una onda estacionaria. Nota: Las partículas efectúan vibraciones con diferentes amplitudes. Nodos: puntos con amplitud cero. Antinodos: puntos con amplitud máxima. Actividad 3: “Condición de contorno nodo”. Utilizando la condición de contorno de nodos y(x,t) = 0, para todo t, encontrar, la coordenada “x” del nodo. Actividad 4: “Condición de contorno antinodo”. Utilizando la condición de contorno de antinodos y(x,t) = 2y máx , encontrar, la coordenada “x” del antinodo. Nota: La distancia entre dos nodos consecutivos es “λ/2” y también lo es para dos antinodos. La distancia entre un nodo y un antinodo consecutivo es “λ/4”. Actividad 5: “Longitud de onda para una cuerda”. Determine la longitud de onda generada en una cuerda de densidad lineal “µ” en la que actúa una tensión “T”. Y(x,t) = 2Y máx Sen(kx – φ 01 )Cos(wt + ρ 0 ) UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 39 Actividad 6:”Onda resultante de superposición”. Suponga que el extremo izquierdo de la cuerda está fijo, es decir. Y(0,t) = 0. Encontrar la ecuación de la onda resultante de la superposición. Nota: Al superponer dos trenes de ondas con las características anteriores, se obtiene una onda que no es de las que viajan, por lo tanto, se llama onda estacionaria. Actividad 7: “Longitud de onda modal”. Suponga que se utiliza la condición de contorno para x = L, es decir: Y(x,t) = 0. Encontrar la ecuación de la longitud de onda modal. Actividad 8: “Gráficos para modos”. Construya gráficos para los n = 1,2,3. Actividad 9: “Frecuencia de onda modal”. Encuentre la ecuación de frecuencia modal. Nota: La frecuencia está cuantizada, este es el número de frecuencias permitidas, es decir, se entiende un número entero de frecuencia. Actividad 10: “Frecuencia fundamental”. a) Encuentre la frecuencia fundamental o primer armónico o primer modo normal. b) Anote la frecuencia “n” en función de la frecuencia fundamental. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 40 Actividad 11: “Interferencia de las Ondas Longitudinales”. Consideremos dos ondas de presión que se propagan en la misma dirección y en sentidos opuestos. Las ecuaciones que rigen cada una de las ondas son: P 1 (x,t) = P máx Sen(kx – wt -φ 01 ) P 2 (x,t) = P máx Sen(kx + wt -φ 02 ) La ecuación que rige las ondas estacionarias longitudinales: P(x,t) = P 1 (x,t) + P 2 (x,t) De lo que se obtiene: Ecuación general de una onda estacionaria de presión. Con: φ 0 = (φ 01 + φ 02 )/2; ρ 0 = (φ 01 - φ 02 )/2 Actividad 12: “Condición de contorno para sobrepresión”. Utilizando la condición de contorno x = 0, en la cual hay un nodo de sobrepresión, y sólo existe la presión atmosférica, determinar la ecuación de presión. P(x,t) = 2P máx Sen(kx – φ 0 )Cos(wt + ρ 0 ) UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 41 Actividad 13: “Ondas de desplazamiento”. Consideremos dos ondas de desplazamiento que se propagan en la misma dirección y en sentidos opuestos. Las ecuaciones que rigen cada una de las ondas son: ξ 1 (x,t) = ξ máx Cos(kx – wt -φ 01 ) ξ 2 (x,t) = ξ máx Cos(kx + wt -φ 02 ) La ecuación que rige las ondas estacionarias longitudinales: ξ(x,t) = ξ 1 (x,t) + ξ 2 (x,t) De lo que se obtiene: Ecuación general de una onda estacionaria de desplazamiento. Con: φ 0 = (φ 01 + φ 02 )/2; ρ 0 = (φ 01 - φ 02 )/2 Actividad 14: “Ecuación de una onda estacionaria de desplazamiento”. a) Utilizando la condición de contorno x = 0, donde existe un antinodo de desplazamiento hallar la ecuación de una onda estacionaria de desplazamiento b) Indicar la longitud de desplazamiento longitudinal. ξ (x,t) = 2ξ máx Cos(kx – φ 0 )Cos(wt + ρ 0 ) UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 42 Actividad 15: “Ejemplos”. Ejemplo 1. Una onda plana armónica, cuya frecuencia es de 400 [Hz] se propaga en el aire con v = 340 [m/s], produciendo en cierto punto y en cierto instante una sobrepresión de 4⋅10 -12 [atm] aumentando. Si la sobrepresión máxima es 6⋅10 -12 [atm]: a) ¿Cuándo se producirá en un punto 40 [cm] más adelante la depresión máxima?. b) ¿Cuál será la velocidad de las partículas en ese instante?. Nota: La rapidez de propagación de la energía por la cuerda se obtiene mediante: P máx = 2πfξ máx ρv Ejemplo 2. Una onda sonora de 400 [Hz] de frecuencia produce en cierto instante y en cierto punto la sobrepresión de 2⋅10 -6 [atm], acelerándose la misma partícula hacia delante con 90 [m/s 2 ]. Calcular el desplazamiento de un punto 50 [cm] más adelante en un instante 0,01 [s] después. Considere: ρ 0 = 1,29 [Kg/m 3 ] v = 340 [m/s]. Actividad 16: “Tarea”. Deduzca la ecuación de potencia indicada en la nota del ejemplo 1. Actividad 17: “Bibliografía”. Halliday,Resnick,Walker-Física Vol 1- Cáp 22- Editorial CECSA-2001. Tippens-Física, conceptos y aplicaciones-Cáp 21-Editorial M c Graw Hill- 2001. Sears, Zemansky, Young, Freedman-Física-Vol 2-Cáp 22-Editorial Pearson Educación. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 43 GUÍA DE EJERCICIOS. TEMA: ONDAS ESTACIONARIAS. 1. Una onda sonora de frecuencia 300 [Hz] e intensidad 2⋅10 -6 [W/m 2 ] produce en cierto punto una sobrepresión de 0,213⋅10 -6 [atm] aumentando de valor. ¿Cuánto valdrá en el mismo instante la velocidad de una partícula de aire en un punto 18,8 [cm] más adelante?. 2. Un alambre de acero tiene una longitud de 2 [m] y un radio de 0,5 [mm] cuelga del techo. (Y acero = 2⋅10 11 N/m 2 ; ρ acero = 7,8⋅10 3 kg/m 3 ). (a) Si un cuerpo de 100 [Kg] de masa se suspende del extremo libre, hallar la elongación del alambre. (b) Hallar el desplazamiento del punto medio y el esfuerzo hacia abajo sobre él. (c) Determinar la velocidad de las ondas longitudinales que se propagan a lo largo del alambre cuando la masa está suspendida. 3. Determinar la amplitud del movimiento resultante al superponerse dos ondas sinusoidales de igual frecuencia que avanzan en una misma recta, si sus amplitudes son 3 [cm] y 4 [cm], y tienen una diferencia de fase de “π/2 [rad]”. 4. Se hace vibrar una cuerda horizontal, de acero (7,8 [gr/cm3]) de largo 80 [cm] y diámetro 0,5 [mm], tensa con 5 [Kgf], con un nodo a 20 [cm] del extremo izquierdo (se trata, por lo tanto, del cuarto armónico o cuarto modo normal) y fija por ambos extremos. En cierto instante, un punto P a 30 [cm] del extremo izquierdo, se encuentra 1,0 [mm] por encima de su posición de equilibrio, moviéndose con velocidad de 5 [m/s] hacia abajo. ¿Cuánto tiempo después le tocará al punto Q, ubicado a 45 [cm] del mismo extremo, por primera vez la elongación de 0,25 [mm] hacia abajo?. 5. El vibrador conectado al extremo de una cuerda tiene una frecuencia de 20 [Hz] y la cuerda una densidad lineal de 7,84⋅10 -3 [Kg/m] y una longitud de 7,3 [m]. La tensión se hace variar mediante un sistema de poleas, cuerda y pesas conectado al otro extremo de la cuerda. Si el operador desea producir resonancia, a partir de una media onda y después con dos, tres y cuatro medias ondas. ¿Qué fuerza (tensión) debe ejercerse sobre la cuerda?. 6. En un tubo cerrado de largo 80 [cm] que oscila con su tercer armónico, una partícula de aire a 10 [cm] del extremo cerrado está con una compresión de 0,01 [atm], aumentando de valor; en el mismo extremo cerrado el valor máximo que alcanza durante la oscilación es 0,02 [atm]. ¿Cuánto valdrá la compresión en un punto a 5 [cm] del extremo cerrado 0,015 [s] después?. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 44 Taller Nº5 Tema: Naturaleza de la luz y Óptica geométrica. Objetivos: • Manejar los conceptos fundamentales acerca de la naturaleza de la luz. • Operar cuantitativamente utilizando la óptica geométrica. • Entender y operar la Ley de Snell. Conceptos Clave: Propagación de la luz. Velocidad de la luz. Rayos y haces luminosos. Reflexión y refracción. Ley de Snell. Introducción. Aunque solemos considerar la luz como un fenómeno ondulatorio, no es esa la única visión posible. La idea de que la luz se compone de una corriente de partículas resulta consistente también con la observación de que un haz de luz de una luz de destello o de un láser parece viajar en líneas rectas, salvo cuando encuentra una interfaz entre dos medios ópticos. Llamamos a esta trayectoria de línea recta un rayo de luz. El modelo de rayos nos permite explicar en términos simples la formación de imágenes en lentes y espejos. Sin embargo, la luz exhibe características semejantes a las de las partículas cuando interactúa con la materia, como ocurre, por ejemplo, cuando la luz solar incide sobre una hoja y se produce la fotosíntesis. El conflicto aparente respecto de esta dualidad onda-partícula no puede comprenderse sólo con las teorías de Newton o de Maxwell, sino que lo resolvió la teoría de la mecánica cuántica del siglo XX. El reconocimiento de que la luz era lo mismo que la radiación electromagnética predicha por las ecuaciones de Maxwell unió los estudios del electromagnetismo y la óptica. El intervalo de longitudes de onda que abarca la luz visible conforma sólo una porción pequeña del espectro electromagnético completo, el cual se extiende muchos órdenes de magnitud. No existen líneas divisorias claras que separen las diversas regiones; sólo se presenta una mezcla continua de una región a la siguiente. Cuando la luz solar se dispersa en un espectro, vemos la banda característica de colores visibles desde el rojo hasta el violeta. Más allá del violeta del espectro visible se encuentran las frecuencias de radiación que exceden a la de dicho color. Utilizamos el nombre de ultravioleta para describir esta extensión invisible del espectro. Más allá del extremo rojo del espectro visible se ubican las frecuencias inferiores a las que podemos observar. Estas longitudes de onda conforman la región infrarroja del espectro. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 45 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 46 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. El comportamiento fundamental de todos los componentes del espectro electromagnético es el mismo y sólo difieren en sus longitudes de onda y frecuencias y los tipos de dispositivos que pueden utilizarse para generarlos y detectarlos. El comportamiento de las ondas electromagnéticas puede predecirse a partir de las ecuaciones de Maxwell y del conocimiento de la composición y forma de los lentes, reflectores y otros componentes implicados. Por ejemplo, el diseño de las antenas de microondas sigue los mismos principios fundamentales del diseño de los espejos de los telescopios. Actividad 1:”Reflexión de la luz”. Propagación Rectilínea de la Luz: Cuando se transmite la luz en un medio homogéneo, su rectilínea. Ejemplo: cuando el Sol pasa entra en una habitación oscura. Actividad 2: “La Sombra”. Cuando un objeto opaco se coloca entre la fuente y una pantalla, interrumpe el paso de una parte de esa luz y produce una sombra. Actividad 3: “Rayos y haces de rayos luminosos”. Las direcciones en que se propaga la luz pueden indicarse como rectas, dichas líneas se denominan rayos de luz Tipos de rayos: Divergente: Convergente: Paralelo El comportamiento fundamental de todos los componentes del espectro electromagnético es el mismo y sólo difieren en sus longitudes de onda y frecuencias y los tipos de dispositivos que pueden utilizarse para generarlos y detectarlos. El comportamiento de las ondas electromagnéticas puede predecirse a partir de las ecuaciones de ocimiento de la composición y forma de los lentes, reflectores y otros componentes implicados. Por ejemplo, el diseño de las antenas de microondas sigue los mismos principios fundamentales del diseño de los espejos de los telescopios. eflexión de la luz”. Propagación Rectilínea de la Luz: Cuando se transmite la luz en un medio homogéneo, su propagación es Ejemplo: cuando el Sol pasa entra por el resquicio de una ventana y entra en una habitación oscura. Cuando un objeto opaco se coloca entre la fuente y una pantalla, interrumpe el paso de una parte de esa luz y : “Rayos y haces de rayos luminosos”. Las direcciones en que se propaga la luz pueden indicarse como rectas, dichas rayos de luz. 47 de las antenas de microondas sigue los mismos principios fundamentales del propagación es por el resquicio de una ventana y Las direcciones en que se propaga la luz pueden indicarse como rectas, dichas UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Actividad 4: “La velocidad de la luz”. En base a mediciones actuales, el (valor que generalmente se representa por “c”), es: (299792458 que puede considerarse para efectos de cálculos, como: Actividad 5: “Reflexión de la luz Se dice que la porción del haz que sigue, a través del aire en otra dirección experimenta una parte de la luz se refleja al llegar a la superficie lisa del vidrio. Actividad 6: “Difusión de la luz”. Cuando cada pequeña porción saliente refleja la luz en determinada dirección, y por consiguiente, el haz reflejado no queda bien definido y se observa el esparcimiento o dispersión de la luz en todas direcciones, se dice, que se produce una reflexión difusa Actividad 7: “Leyes de la reflexión”. El rayo incidente, la normal a la superficie reflejante en el punto de incidencia, y el rayo reflejado, se hallan en un mismo plano. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. La reflexión en una superficie uniforme similar a un espejo recibe el nombre de reflexión especular. La luz que se refleja en cada región pequeña de la superficie lo hace a un ángulo igual al ángulo local de incidencia. La mayor parte de los objetos que vemos se hacen visi superficies. El papel del apunte refleja difusamente la luz, por lo que usted puede verlo desde cualquier ángulo. Para ver una luz reflejada en un espejo, sin embargo, se requiere que usted se encuentre justo e que la luz que se refleja especularmente pueda llegar a su ojo. : “La velocidad de la luz”. En base a mediciones actuales, el valor de la velocidad de la luz en el vacío (valor que generalmente se representa por “c”), es: (299792458±1,2) [m/s], la que puede considerarse para efectos de cálculos, como: c = 3,00·10 8 [m/s] : “Reflexión de la luz”. Se dice que la porción del haz que sigue, a través del aire en otra dirección experimenta una reflexión. Es decir, de la luz se refleja al llegar a la superficie lisa del : “Difusión de la luz”. Cuando cada pequeña porción saliente refleja la luz en determinada dirección, y por consiguiente, el haz reflejado no queda bien definido y se observa el esparcimiento o dispersión de la luz en todas direcciones, se dice, que se sa. : “Leyes de la reflexión”. El rayo incidente, la normal a la superficie reflejante en el punto de incidencia, y el rayo reflejado, se hallan en un El ángulo de incidencia es igual a superficie uniforme similar a un espejo reflexión La luz que se refleja en cada región pequeña de la superficie lo hace a un ángulo igual al ángulo local de incidencia. La mayor parte de los objetos que vemos se hacen visibles por la reflexión difusa de la luz en sus superficies. El papel del apunte refleja difusamente la luz, por lo que usted puede verlo desde cualquier ángulo. Para ver una luz reflejada en un espejo, sin embargo, se requiere que usted se encuentre justo en el lugar adecuado para que la luz que se refleja especularmente pueda llegar a su ojo. 48 valor de la velocidad de la luz en el vacío 1,2) [m/s], la El rayo incidente, la normal a la superficie reflejante en el punto de incidencia, y hace a un ángulo igual al ángulo local de incidencia. La mayor parte de los bles por la reflexión difusa de la luz en sus superficies. El papel del apunte refleja difusamente la luz, por lo que usted puede verlo desde cualquier ángulo. Para ver una luz reflejada en un espejo, sin n el lugar adecuado para UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. 49 Algunas veces tanto la reflexión difusa como la especular se presentan en forma simultánea en la misma superficie. Por ejemplo, cuando la luz solar incide sobre un automóvil, usted puede verlo desde cualquier dirección alrededor de éste. Lo anterior es reflexión difusa. Si el automóvil se encera perfectamente, es posible observar la imagen de objetos distantes reflejados en su superficie. Ésta es reflexión especular. Actividad 8: “Ley de Snell”. Si la luz incide sobre un cuerpo transparente, observamos reflexión con trasmisión. (Un cuerpo transparente contrasta con uno opaco, el cual no permite la transmisión de la luz a través de él). El haz transmitido se desvía o se refracta cuando cruza la superficie entre un medio (como el aire o incluso el vacío) y otro (agua, por ejemplo). En 1621, el matemático holandés Willebrod Snell (1591- 1626) descubrió en forma empírica la ley exacta de la refracción. La Ley de Refracción, llamada también Ley de Snell, puede expresarse como: Donde n 1 ⋅depende únicamente de las propiedades ópticas del medio (1) y n 2 ⋅depende sólo de las propiedades ópticas del medio (2). La constante “n” se denomina índice de refracción del medio. Definimos el índice de refracción “n” de un medio como la proporción entre la velocidad de la luz en el vacío “c” y la velocidad de la luz en ese medio “v”: Es posible utilizar la siguiente terminología para establecer una versión cualitativa de la Ley de Snell: “cuando la luz viaja de un material óptico menos denso a uno más denso, los rayos se desvían hacia la normal. Cuando un rayo luminoso viaja de un material óptico más denso a uno menos denso, los rayos se desvían alejándose de la normal (la desviación ocurre en la frontera o interfaz entre los materiales)”. n 1 ⋅senθ 1 = n 2 ⋅senθ 2 n = c/v UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 50 Tabla de índices de refracción (para λ = 589 nm, luz amarilla del Sodio) Material n Material n Vacío 1 (exacto) Helio 1,000036 Aire (0 °C, 1 bar) 1,0002926 Heptanol (25 °C) 1,423 Butanol (20 °C) 1,399 Hidrógeno 1,000132 Acetaldehído 1,35 Hielo 1,309 Acetona 1,36 Metacrilato 1,491 Agua (20 °C) 1,333 Metanol (20 °C) 1,329 Alcohol etílico (etanol) 1,361 PET 1,58 Ámbar 1,55 Policarbonato 1,585 Arseniuro de galio(III) 3,927 Silicio 4,01 Benceno (20 °C) 1,501 Teflón 1,36 Cloroformo 1,48 Tetracloruro de carbono 1,460 Cloruro sódico (sal común) 1,544 Trementina 1,472 Criolita 1,338 Vidrio Crown 1,52 Cuarzo 1,544 Vidrio Flint denso 1,66 Diamante 2,417 Vidrio Flint ligero 1,58 Dióxido de carbono 1,00045 Vidrio Flint medio 1,62 Disulfuro de carbono 1,630 Vidrio Pirex (borosilicato) 1,470 Fluorita 1,43 Xileno 1,83 Fosfuro de galio(III) 3,5 Zafiro 1,77 Glicerina (glicerol) 1,4729 Zircón 1,923 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 51 Actividad 9: “Ejercicios”. Ejercicio 1. Dos pequeñas fuentes luminosas, F 1 y F 2 , se encuentran situadas frente a un objeto opaco AB, como se observa en la figura. Recordando la propagación rectilínea de la luz y considerando los puntos señalados en la pantalla, responda: (a)¿Cuáles reciben luz de ambas fuentes? (b)¿Cuál sólo la recibe de la fuente F1? (c)¿Cuál solamente la capta de la fuente F2? (d)¿Cuál no recibe luz de ninguna de las dos fuentes? Ejercicio 2. Una persona hace que un haz luminoso estrecho incida perpendicularmente a la superficie de un espejo. (a)¿Cuál es el valor del ángulo de incidencia? (b)¿Cuál es la dirección del haz reflejado? Ejercicio 3 (a) La mayoría de los objetos que nos rodean (paredes, árboles, personas, etc) no son fuentes de luz. Sin embargo, podemos observarlos cualquiera que sea nuestra posición frente o alrededor de ellos. ¿Por qué? (b) Un astronauta en la Luna ve el cielo oscuro, independientemente de que el Sol esté a la vista (o sea, cuando en la Luna es de “día”). En la Tierra, como se sabe durante el día el cielo se ve lúcido o claro en todas direcciones. Explique la causa de esta diferencia. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 52 Ejercicio 4. La figura de este ejercicio muestra un rayo de luz que incide en una superficie reflejante (NP es normal a la superficie). (a)Trace en la figura la posición aproximada del rayo reflejado. (b)Señale en su dibujo el ángulo de reflexión. (c)Si el ángulo de incidencia es 32°, ¿cuál es el v alor del ángulo de reflexión? Ejercicio 5. Considere un rayo luminoso que incide sobre una superficie reflejante en la forma indicada en la figura de este ejercicio. (a)Trace en dicha figura la normal a la superficie en el punto de incidencia. (b)¿Cuál es el valor del ángulo de incidencia? (c)¿Cuál será el valor del ángulo de reflexión? (d)Trace en la figura la dirección del rayo reflejado. Ejercicio 6. Responda las mismas preguntas del problema anterior considerando ahora la figura de este ejercicio. Ejercicio 7. Un hombre en posición vertical tiene sus ojos a una altura h=1,60 [m] sobre el piso. Un pequeño espejo está colocado como se indica en la figura, siendo d=50 [cm] y a=1,20 [m]. Calcule el ángulo que debe formar el espejo con la vertical para que el hombre vea justamente sus zapatos. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 53 Ejercicio 8. Una persona de 1,60 [m] de estatura está parada frente a un espejo plano vertical, los ojos están a 1,50 [m] de altura sobre el piso. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener el espejo para que la persona se vea completamente? Ejercicio 9. Dos jóvenes A y B se miran por un espejo plano E pequeño. Calcule el ángulo que forma la superficie del espejo con la dirección del trazo AB. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 54 Guía de Ejercicios. Tema: Óptica geométrica. Prob.1. Delante de un espejo plano, inclinado en un ángulo de 36º respecto a la vertical, se encuentra una persona cuyos ojos están a una altura h = 1,50 [m] del suelo. Calcular la distancia máxima a la cual puede pararse la persona para que vea sus ojos. Resp: 2,06 [m]. Prob.2. Una linterna “L” produce un haz de luz muy fino. El haz, que incide en un espejo plano horizontal, de largo “l”, se detecta en el punto “P” de una pantalla ubicada como se indica en la figura. Calcular: a) La posición del punto en que el haz incide en el espejo. b) La orientación que debe darse al haz. c) La posición extrema del espejo. Resp: d mín = x - l a P c l b L UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 55 γ Prob.3. Se tienen dos espejos planos paralelos, horizontales, de longitud “l” y cuyas superficies reflectantes se enfrentan y están a una distancia “d”. La linterna “L” produce un haz de luz muy fino dirigido en dirección con la vertical y que pasa por el borde “A” del espejo inferior. Determinar “γ” para que el haz recorra un “camino óptico” “r” dado antes de salir justamente por el borde “B” del espejo superior. Resp: r = l / senγ Prob.4. Un rayo de luz incide del aire con un ángulo de 57º sobre la superficie plana de un cuerpo, observándose que los rayos reflejados y refractados forman un ángulo recto. El índice de refracción del aire es 1,00. Calcular el índice de refracción del cuerpo. Resp: 1,54 (tomando 57º respecto a la normal). Prob.5. En el fondo de un recipiente lleno de agua hasta la altura de 10 [cm], hay un foco luminoso puntual. En la superficie del agua flota una lámina circular opaca, de manera que su centro se encuentra exactamente sobre el foco. Calcular el diámetro mínimo que debe tener esta lámina para que no salga luz, a través de la superficie del agua. Índice de refracción del agua 1,33 y del aire 1,00. Resp: 23 [cm]. Prob.6. Un cubo de cristal está en agua. Sobre una de sus caras incide luz bajo un ángulo de incidencia de 52º. Determinar el índice de refracción del cristal para que ocurra reflexión total interna en la cara lateral del cubo. Resp: 1,69. Prob.7. Un haz de luz incide sobre un espejo plano. Demostrar que si el espejo se hace girar un ángulo “φ”, el rayo reflejado gira un ángulo “2φ”. A B d l UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 56 Prob.8. Dos espejos planos forman un ángulo de 90º. Un rayo de luz incide en uno de ellos, se refleja y va a incidir en el otro espejo. Demuestre que el rayo reflejado en el segundo espejo es paralelo al que incide en el primero. Prob.9. Un acuario de 2.40 m de largo por 0.35 m de ancho y 0.45 m de alto se llena de agua. Un rayo luminoso incide sobre una de las caras con un ángulo de 25º. Despreciando el efecto de las paredes del vidrio, calcule el desplazamiento lateral del rayo emergente. Prob.10. La luz proveniente de un foco luminoso puntual “F” entra por una ventana de altura “a” y se refleja en un espejo horizontal “E” colocado en el techo. Si a =1,2 [m], h =1,0 [m], H = 3,2 [m] y d = 0,80 [m], calcular la posición y el ángulo de la franja iluminada que se forma en el piso. Resp: 2,8 [m]. Prob.11. Dos espejos planos de largos a = 70 [cm] y b = 90 [cm], están dispuestos como se indica en la figura, con c = 50 [cm]. La posición de un foco luminoso puntual “F” está determinada por e = 20 [cm] y d = 60 [cm]. Parte de la luz del foco incide en el espejo vertical y se refleja en el espejo horizontal. Calcule el ángulo del haz de luz formado por los rayos doblemente reflejados. E a h H Piso d F c b d e a F UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 57 Prob.12. ¿En cuánto se desvía un rayo de luz que incide con un ángulo de incidencia de 25º sobre un prisma de vidrio (n = 1,6) cuya base es un triángulo isósceles y cuyo ángulo refringente es de 35º? Resp: 22,7º. Prob.13. Para la construcción de un periscopio se dispone de un objeto de vidrio de la forma indicada en la figura. Determinar el valor de “α” y de “β”, para que los rayos que entran perpendicularmente por la cara A salgan por la cara B. Prob.14. El ángulo de refringencia de un prisma triangular isósceles es igual a 10º. Un rayo luminoso incide sobre una cara lateral de este prisma formando un ángulo de 10º con su normal. Calcule el ángulo de desviación del rayo, con respecto a su dirección primitiva, sabiendo que el índice de refracción del prisma es 1,6. Resp: 6,08º. 25º 35º α β AIRE 1,60 AGUA 1,33 VIDRIO 1,50 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 58 Prob.15. Un rayo de luz, como se muestra en la figura, incide normalmente sobre la cara “ab” de un prisma de cristal (n = 1,52). a) Considerando que el prisma está en el aire, encuentre el máximo valor del ángulo “φ” para que el rayo sea totalmente reflejado en la cara “ac”. b) Encuentre el ángulo “φ” si el prisma está sumergido en agua. Prob.16. Un prisma de cristal con un ángulo en el vértice de 60º tiene n = 1,6. a) ¿Cuál es el mínimo ángulo de incidencia para el cual puede entrar un rayo por una cara del prisma y salir por la otra? b) ¿Qué ángulo de incidencia debería tener el rayo para que pasara por el prisma simétricamente? Prob.17. Un rayo de luz llega a una placa de cristal, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser el índice de refracción del cristal para que ocurra reflexión total interna en la cara vertical? Resp: 1,23. a b φ Luz incidente c a a 45º UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 59 Taller Nº6 Tema: Espejos y lentes. Objetivos: • Manejar los conceptos fundamentales acerca de espejos y lentes. • Operar cuantitativamente utilizando las leyes para los lentes y espejos. • Reconocer aplicaciones de descomposición de la luz y de las leyes de los rayos. Conceptos Clave: Espejos. Lentes. Leyes para espejos y lentes. Actividad 1: “Espejo Plano”. Corresponde a una superficie lisa y plana que refleja especularmente la luz. Actividad 2: “Imagen virtual”. Supongamos un observador situado frente a un espejo plano, y el cual recibe en sus ojos cierta parte del haz reflejado. • Este haz parece haber sido emitido desde el punto “I”, es decir, la reflexión es como si en “I” existiera un objeto emisor de dicho haz. • Debido a lo anterior el observador percibe en ese punto la imagen del objeto O. • La imagen “I” se encuentra ubicada detrás de la superficie del espejo, en el punto de intersección de las prolongaciones de los rayos reflejados. • Se dice por lo tanto que “I” es la imagen virtual del objeto O. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 60 Actividad 3: “Resumen”. La luz emitida por un objeto y reflejada desde un espejo plano, llega a los ojos de un observador como si proviniera del punto de intersección de las prolongaciones de los rayos reflejados. En este punto el observador ve una imagen virtual del objeto. Actividad 4: “Distancia de la imagen al espejo”. Para determinar la posición de la imagen virtual de un objeto pequeño colocado frente a un espejo plano, bastará trazar únicamente dos rayos luminosos que partan del objeto y se reflejen en el espejo. Actividad 5: “Conclusión”. • La imagen de un objeto pequeño en un espejo plano, es simétrica en relación con el espejo, es decir, está situada en la perpendicular al espejo trazada desde el objeto. • Las distancias de la imagen y del objeto relativamente al espejo son iguales. Actividad 6: “Imagen de un objeto no puntiforme”. • Esta imagen se obtendrá determinando la imagen de cada punto del objeto. • La imagen A´ del punto A, se localizará trazando la perpendicular al espejo, desde A, y tomando A´M=AM. • Lo mismo para los demás puntos. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 61 Actividad 7: “Espejos Esféricos”. Espejos cóncavos y convexos. Una superficie lisa, de forma esférica y que refleje especularmente la luz, es un espejo esférico. Si la luz se refleja desde la superficie interna, se dice que el espejo es cóncavo. Si la reflexión se produce en la superficie externa se dice que el espejo es convexo. Actividad 8: “Elementos de los espejos esféricos”. Punto “V” (centro de la superficie reflejante), se denomina vértice del espejo. Punto “C” (centro de curvatura de la superficie esférica), se denomina centro del espejo. La recta CV, se denomina eje del espejo. El segmento “R”, se llama radio del espejo (radio de curvatura de la superficie esférica). Actividad 9: “Imagen real”. “Cuando un haz de luz emitido por un objeto se refleja en un espejo cóncavo y converja luego en un punto, tendremos en éste la formación de una imagen real del objeto” UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 62 Actividad 10: “Foco de un espejo”. “Un haz de rayos luminosos, al incidir en forma paralela al eje de un espejo cóncavo, se refleja y converge hacia un foco real; al incidir en un espejo convexo, divergirá después de la reflexión, como si fuese emitido de un foco virtual” Actividad 11: “El Telescopio”. Los espejos cóncavos se utilizan en algunos telescopios (llamados telescopios de reflexión), permitiéndonos observar (o fotografiar) estrellas y galaxias, incluso las que no se pueden ver a simple vista. Como los cuerpos celestes se encuentran muy alejados de la Tierra, la luz que llega hasta nosotros y que fue emitida por ellos, está constituida por rayos prácticamente paralelos. Esta luz, al ser recibida por el espejo cóncavo de un telescopio de reflexión, converge hacia su foco, formándose ahí una imagen real del astro que se observa. Los telescopios más comunes son el Refractor, Reflector (Newton) y Catadióptrico. ¿Cómo funciona cada uno de ellos? Esquema de un Telescopio Reflector. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 63 Actividad 12: “Distancia Focal”. La distancia focal, “f”, de un espejo esférico es igual a la mitad de su radio de curvatura, “R”; es decir, f =R/2. En otras palabras, el foco de un espejo esférico está situado a la mitad de la distancia entre el centro y el vértice del espejo. Actividad 13: “Imagen de un objeto grande”. Consideremos un objeto grande (no puntiforme), como la lámpara que se muestra en la figura, colocado frente a un espejo esférico. Actividad 14: “Rayos Principales”. Es posible localizar con facilidad la posición de la imagen de un punto en los espejos esféricos mediante el empleo de determinados rayos luminosos que se conocen como rayos principales, los que se describen a continuación: Un rayo luminoso que incide en un espejo cóncavo, paralelamente al eje, se refleja pasando por el foco. Un rayo luminoso que incide en un espejo convexo, en forma paralela a su eje, se refleja de modo que su prolongación pasa por el foco. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 64 Un rayo luminoso que incide en un espejo cóncavo pasando por su foco, se refleja en forma paralela al eje del espejo. Un rayo luminoso que incide en un espejo convexo de manera que su dirección pasa por el foco, se refleja paralelamente al eje de dicho espejo. Un rayo luminoso que incide en un espejo cóncavo pasando por el centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo (este rayo incide perpendicularmente al espejo). Un rayo luminoso que incide en un espejo convexo de manera que su dirección pase por el centro de curvatura del espejo, se refleja sobre sí mismo. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 65 Actividad 15: “Ecuación de los Espejos Esféricos”. Aumento Producido por los Espejos. En los casos anteriores vimos que la imagen de un objeto puede ser mayor o menor que él, dependiendo de la posición del mismo, así como del tipo de espejo que produjo la imagen. La relación entre el tamaño de la imagen, A`B`, y el tamaño del objeto, AB, se denomina aumento o ampliación del espejo, es decir: Aumento = (Tamaño de la imagen/Tamaño del objeto) = A`B`/AB Un aumento mayor que “1” indica que la imagen es mayor que el objeto, y por lo tanto, que hay reducción en vez de ampliación. Cálculo del aumento. (A`B`/AB) = (B`V/BV) (A`B`/AB) = (di/do) Esto sirve para calcular, tanto el aumento de un espejo cóncavo como de uno convexo. La ecuación de los espejos esféricos. o 1/f = 1/do + 1/di o f: distancia focal o Esta ecuación permite calcular a qué distancia del espejo se formará la imagen, cuando conocemos la distancia focal del espejo y la distancia que hay del objeto hasta él. Convención de signos. o La ecuación anterior se dedujo para el caso que se mostró en la figura, es decir, un espejo cóncavo que forma una imagen real de un objeto. o También se podrá emplear cuando la imagen sea virtual, o cuando el espejo sea convexo, siempre que se aplique la siguiente convención de signos para las distancia do, di y f. o La distancia do, siempre es positiva. o La distancia di será positiva si la imagen es real y negativa si es virtual. o La distancia focal será positiva cuando el espejo sea cóncavo (foco real), y negativa cuando sea convexo (foco virtual). UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 66 Actividad 16: “Algunos fenómenos relacionados con la refracción”. Formación de imagen por refracción. o La figura muestra un objeto pequeño O, colocado a cierta profundidad dentro del agua. o Los rayos luminosos emitidos por el objeto al pasar del agua al aire, sufren refracción y se alejan de la normal. o En al figura se ve que los rayos refractados constituyen un haz divergente, y llegan al ojo del observador como si hubiesen sido emitidos desde el punto “I”. o Es por esto, que el observador no verá efectivamente el objeto. o Lo que el observador percibe es una imagen del cuerpo en la posición “I”, situada arriba de la posición real que ocupa el objeto. o Esta imagen es virtual, porque se localiza en el punto de encuentro de las prolongaciones de los rayos refractados. Comentarios Cuando estamos en la orilla de una piscina de agua tranquila, nos parece menos profunda. Este hecho puede entenderse por lo que acabamos de aprender: lo que percibimos no es el fondo de la piscina, sino su imagen, más alta en relación con el fondo de la piscina, en virtud de la refracción de los rayos luminosos (que salen del fondo de la piscina) al pasar hacia el aire. Cuando sumergimos en agua parte de una regla en forma oblicua, tal barra nos parece quebrada. La figura explica la razón de esto: nosotros no vemos su parte sumergida, sino su imagen virtual, situada arriba de la posición real del objeto. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 67 Cuando la luz que proviene de una estrella penetra en la atmósfera terrestre, encuentra capas de aire cada vez más densas, y por consiguiente, con índices de refracción cada vez mayores. Debido a ello, esta luz sufre refracciones sucesivas, aproximándose a la normal. Cuando un observado recibe la luz de la estrella, parece como si esa luz proviniera del punto “I”, situado en la prolongación del rayo refractado que recibe el observador. En otras palabras, lo que éste divisa es una imagen virtual de la estrella, producida por la refracción en la atmósfera terrestre. Reflexión Total. Un rayo luminoso que se propaga en un medio 1 e incide en la superficie de separación de éste y un medio 2, tal que n 1 >n 2 , sufrirá reflexión total si su ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite L. El valor de L corresponde a: SenL = n 1/ n 2 Comentarios. Un prisma de vidrio, como el de la figura, cuya sección es un triángulo rectángulo isósceles, se emplea para reflejar totalmente la luz, sustituyendo a los espejos en algunos instrumentos ópticos. Cuando viajamos por una carretera asfaltada en un día de mucho calor, y miramos a lo largo de ella, a veces tenemos la impresión de que se encuentra mojada. Esto se debe a que como el asfalto se halla muy caliente, las capas de aire cercanas a él presentan menor densidad, y debido a esto, un menor índice de refracción que las capas que están situadas un poco más arriba. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 68 Luego, la luz solar incidente sufre refracciones sucesivas en las capas de aire cuyo índice de refracción es diferente, llegando a las capas más bajas con incidencia superior al ángulo límite, y por lo tanto sufriendo una reflexión total antes de llegar al suelo. Esta luz reflejada al llegar a nuestros ojos, da lugar a reflejos luminosos que parecen provenir del asfalto, dándonos la impresión de que está mojado. Descomposición de la Luz. El índice de refracción varía con el color de la luz. Descomposición de la luz Blanca. La luz blanca, al penetrar en el vidrio sufre descomposición, y se separa en luces de diversos colores. El arco iris. El arco iris se forma en virtud de la refracción y reflexión de la luz solar al encontrar gotitas de agua en la atmósfera. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 69 El color de un objeto. Cuando nos referimos al color de un objeto estamos suponiendo que se encuentra iluminado por luz blanca (solar o la de una lámpara). Si recordamos que la luz blanca está constituida por la superposición de colores del espectro, podemos concluir que un objeto se ve verde, por ejemplo, porque refleja permanentemente la luz verde y absorbe casi totalmente los demás colores; es decir, envía hacia nuestros ojos únicamente luz verde. Actividad 17: “Lentes Esféricas”. ¿Qué es una lente? Los lentes son dispositivos que se emplean en gran número de instrumentos muy conocidos, como los anteojos, las cámaras fotográficas, los microscopios, las lupas, etc. Una lente está constituida por un medio material transparente, limitado por caras curvas que normalmente son esféricas. Dicho medio es, en general, vidrio o algún plástico, pero también podría ser el agua, el aire, etc. Las lentes esféricas poseen caras cóncavas o convexas, pudiendo ser plana una de ellas. Cuando ambas caras de una lente son convexas, decimos que se trata de una lente biconvexa. Cuando ambas son cóncavas, la lente es bicóncava. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 70 Actividad 18: “Lentes convergentes y divergentes”. “Las lentes cuyo borde circular es más delgado que la parte central (como la lente biconvexa) son convergentes, y aquéllas cuyo borde es más grueso que la parte central (como la lente bicóncava), son divergentes”. Actividad 19: “Focos de una lente convergente”. Denominaciones: F 1 : primer foco de la lente. f: distancia focal. F 2 : segundo foco. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 71 Actividad 20: “Focos de una lente divergente”. La distancia focal depende del medio que envuelve a la lente Actividad 21: “Formación de imágenes en las lentes”. Un rayo luminoso que incide en una lente convergente en forma paralela a su eje, se refracta por el primer foco, F 1 . Un rayo luminoso que incide en una lente divergente en forma paralela a su eje, se refracta, de manera que su prolongación pasa por el primer foco F 1 . Un rayo luminoso que incide en una lente convergente y cuya dirección pasa por el segundo foco F 2 , sale de la lente en forma paralela a su eje. Un rayo luminoso que incide en una lente divergente, de modo que su prolongación pase por el segundo foco, F 2 , sale de la lente en forma paralela. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 72 Actividad 22: “La ecuación de las lentes”. Si un objeto de tamaño AB está situado a una distancia D 0 de una lente y su imagen, de tamaño A`B`, se forma a una distancia D i de la lente, el aumento que produce ésta será: A`B`/AB = d i /d 0 De la misma manera, d 0 , d i y f (distancia focal de la lente) se relacionan por la ecuación: 1/f = 1/d 0 + 1/d i (también válida para las lentes) La ecuación anterior se aplica, por tanto, a lentes convergentes y a lentes divergentes, y para imágenes reales y virtuales, pues obedece la siguiente convención de signos: 1º La distancia d 0 siempre es positiva. 2º La distancia d i será positiva si la imagen es real y negativa si es virtual. 3º “f” será positiva cuando la lente sea convergente y negativa cuando sea divergente. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 73 Actividad 23: “Resumen”. Espejos Esféricos. Distancia Focal: La distancia focal es la distancia imagen cuando el objeto está en el infinito, de modo que la luz incidente es paralela al eje. Ecuación del espejo (para localización de una imagen): 1/d o + 1/d I = 1/f ; f: distancia focal (f = r/2) Esta ecuación permite calcular a qué distancia del espejo se formará la imagen, cuando conocemos la distancia focal del espejo y la distancia que hay del objeto hasta él. Convención de signos. La ecuación anterior se dedujo para el caso que se mostró en la figura, es decir, un espejo cóncavo que forma una imagen real de un objeto. También se podrá emplear cuando la imagen sea virtual, o cuando el espejo sea convexo, siempre que se aplique la siguiente convención de signos para las distancias Do, Di y f. La distancia Do, siempre es positiva. La distancia Di será positiva si la imagen es real y negativa si es virtual. La distancia focal será positiva cuando el espejo sea cóncavo (foco real), y negativa cuando sea convexo (foco virtual). Aumento lateral: m = h I /h o = - d I /d 0 Un aumento menor que “1” indica que la imagen es menor que el objeto, y por lo tanto, que hay reducción en vez de ampliación. Esto sirve para calcular, tanto el aumento de un espejo cóncavo como de uno convexo. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 74 Imágenes formadas por refracción: 1. Refracción en una sola superficie: n 1 /d o + n 2 /d I = (n 2 – n 1 )/f Donde n 1 es el índice de refracción correspondiente al lado de incidencia de la superficie. 2. Aumento: m = h I /h o = - n 1 d I / n 2 d 0 3. Convenio de signos: 1. d o es positiva (objeto real) para objetos enfrente (lado de incidencia) de la superficie. 2. d I es positiva (imagen real) para imágenes detrás (lado de transición) de la superficie. 3. r es positivo si el centro de curvatura está en el lado de la luz refractada (lado de transmisión). Lentes delgadas: Distancia focal (fórmula del constructor de lentes): Para un objeto situado en el infinito: 1/f´ = (n – 1)(1/r 1 – 1/r 2 ) Una lente positiva (f>0) es convergente. Una lente negativa (f<0) es divergente. Potencia: P = 1/f Ecuación de la lente delgada (para localización de la imagen): 1/d o + 1/d I = 1/f Aumento: m = h I /h o = - d I /d 0 Convenio de signos: es el mismo que el establecido para la refracción en una superficie esférica. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 75 Actividad 24: “Ejercicios”. Ejercicio 1: Suponga que se encuentra frente a un espejo plano, y sostiene una pequeña lámpara encendida, a 50 [cm] de dicho espejo. (a) ¿Qué sucede con el haz de luz que emite la lámpara cuando llega al espejo? (b) ¿El haz reflejado es convergente o divergente? (c) Al llegar a sus ojos, ¿desde qué punto parece estar viendo el haz que refleja el espejo? (d) Entonces, ¿Qué ve usted en este punto? (e) Haga un esquema que ilustre su repuesta. Ejercicio 2: (a)Una persona está colocada a una distancia de 2 [m] de un espejo plano. ¿Qué distancia hay entre la persona y su imagen? (b)Si la persona se aproximara al espejo, ¿el tamaño de su imagen aumentaría, disminuiría, o no tendría cambio? Ejercicio 3: La figura de este ejercicio muestra un espejo plano EE´ y los pares de puntos AA´, BB´, CC´ y DD´. Indique cuáles pares de puntos son los que pueden estar representando un objeto pequeño y su imagen. Ejercicio 4: El reflector (o espejo cóncavo) de un proyector de luz de un automóvil tiene un radio de curvatura R = 20 [cm]. ¿Cuál es la distancia entre el filamento y el vértice del espejo? UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 76 Ejercicio 5: El objeto AB de la figura, se encuentra frente a un espejo cóncavo, a una distancia mayor que la de su radio. Localice la imagen de este objeto. Ejercicio 6: Un objeto se sitúa a 10 [cm] del vértice de un espejo cóncavo, cuya distancia focal es de 20 [cm]. a) ¿A qué distancia del espejo se formará la imagen del objeto? b) Muestre en un diagrama la formación de la imagen del objeto. c) ¿Cuál es el aumento producido por el espejo? Ejercicio 7: Un pequeño pez se encuentra dentro de un acuario. La figura de este ejercicio muestra rayos luminosos que parten del pez y se refractan al pasar del agua hacia el aire. Muestre, en la figura, dónde está situada la imagen del pez que ve el observador. Esta imagen, ¿es real o virtual? Explique. Si el observador deseara atrapar al pez con un arpón, ¿deberá dirigir el arpón hacia un punto situado arriba o debajo de la posición donde ve el pez? Ejercicio 8: Suponga que en el interior de un bloque de vidrio hay una burbuja de aire con caras convexas, como muestra la figura. Si hacemos que un haz de luz atraviese la burbuja, ésta se comportará como una lente. Esta “lente de aire” biconvexa, ¿será convergente o divergente? Ejercicio 9: El objeto AB de la figura, se encuentra frente a una lente convergente, cuyos focos se localizan en F 1 y F 2 . La distancia del objeto a la lente es mayor que el doble de su distancia focal. Localice la imagen del UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 77 objeto. Guía de Ejercicios. Tema: Espejos y Lentes. Prob.1. (a) Frente a un espejo plano y a 10 [cm] de él se coloca un objeto. ¿Dónde se forma la imagen? ¿Qué característica tiene? (b) Entre dos espejos planos paralelos y equidistantes entre ellos se ubica un objeto. Observe y comente sobre la cantidad de imágenes que se forman. Resp: (a) A 10 [cm] detrás de él; virtual; derecha y de igual tamaño. Prob.2. La distancia focal de una lente convergente es de 15 [cm]. Un objeto de 3 [cm] de altura se coloca sobre el eje principal. Halle la posición de la imagen, su tamaño, diga si es real o virtual, derecha o invertida, cuando el objeto se encuentra en: a) En el infinito. b) A 30 [cm] a la izquierda del centro. c) A 6 [cm] a la izquierda del centro. Prob.3. La distancia focal de una lente divergente es de 25 [cm]. Un objeto de 6 [cm] de altura se coloca en el eje principal. Halle la posición de la imagen y si es derecha o invertida, cuando el objeto se encuentra: a) En el infinito. b) A 45 [cm] a la izquierda del centro. c) A 20 [cm] a la izquierda del centro. Resp: a) 25 [cm], virtual y puntual. b) –16,1 [cm], virtual, derecha, menor. c) –11,11 [cm], virtual, derecha, menor. Prob.4. Indique las características de la imagen producida por una lente convergente si se coloca un objeto: a) Entre el foco y la lente. b) A una distancia 2f (f: distancia focal). c) Construir los rayos principales. Resp: a) Virtual, derecha, mayor. b) Real, invertida, de igual tamaño. Prob.5. Un espejo cóncavo tiene distancia focal de 40 [cm]. a) ¿A qué distancia deberá colocarse un objeto si el espejo forma de una imagen real, invertida y aumentada en un factor cuatro? b) ¿Cuál es la posición de la imagen? Resp: a) 50 [cm]. b) 200 [cm]. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 78 Prob.6. ¿A qué distancia de un espejo cóncavo de 10 [cm] de distancia focal debiera colocarse una pantalla para que en ella se forme la imagen de un objeto colocado a 30 [cm] del espejo? Resp: 15 [cm]. Prob.7. ¿Dónde se formará la imagen para el espejo anterior, si: a) El objeto se coloca a 20 [cm] de distancia. b) El objeto se coloca a 5 [cm] del espejo. Resp: a) 20 [cm] delante del espejo. b) -10 [cm] detrás del espejo. Prob.8. El radio de curvatura de un espejo cóncavo mide 40 [cm]. ¿Dónde se formará la imagen de un objeto colocado a 30 [cm] del espejo? Resp: A 120 [cm]. Prob.9. Un espejo cóncavo tiene un aumento de – 0,5 y su imagen es real y se encuentra a 15 [cm] del espejo. ¿Cuál es la distancia focal y en qué posición debió colocarse el objeto? Resp: 12 [cm], -32 [cm]. Prob.10. dos lentes están separadas 22 [cm]. La distancia focal de la primera lente es de 20 [cm] y la distancia focal de la segunda es –10 [cm]. El objeto está a 60 [cm] a la izquierda de la primera lente. a) ¿Dónde está localizada la imagen final? b) ¿Cuál es el tamaño y carácter de la imagen final? Resp: a) 25 [cm]. b) 4 [cm] de la segunda lente. Prob.11. Un microscopio tiene un objetivo de distancia focal 0,3 [cm] y un ocular de distancia focal de 2,0 [cm]. a) ¿Dónde debe estar la imagen formada por el objetivo para que el ocular produzca una imagen virtual a 25 [cm] delante del ocular? b) Si las lentes tienen 20 [cm] de separación, ¿qué distancia separa al objetivo del objeto que está sobre la platina? c) ¿Cuál es el aumento total del microscopio? Resp: a) A 1,85 [cm] debajo del ocular. b) 0,31 [cm]. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 79 Prob.12. Un microscopio tiene longitudes focales de ocular de 1 [cm] y 2,75 [cm] respectivamente. Dibuje la imagen producida de un objeto colocado a 1,08 [cm] del objetivo si los dos lentes están separados 16 [cm]. Resp: Aumento del microscopio 137,5. Prob.13. Delante de un espejo convexo y a 80 [cm] de él se encuentra una lente convergente. El espejo tiene una distancia focal de 10 [cm] y la lente una distancia focal de 20 [cm]. Si a 30 [cm] delante de la lente se coloca un objeto, determine la posición de la imagen producida por el conjunto lente-espejo. ¿Es real o virtual? Resp: A 6,7 [cm] detrás del espejo y virtual. Prob.14. Una lente divergente de distancia focal – 30 [cm] se encuentra separada de un espejo cóncavo de distancia focal +10 [cm], 40 [cm]. Si un objeto se coloca a 60 [cm] de la lente, encuentre la posición y las características de la imagen. Prob.15. Una lente convergente de distancia focal +20 [cm] se encuentra separada 90 [cm] de un espejo cóncavo de distancia focal +15 [cm]. Si se coloca un objeto a 30 [cm] de la lente, encuentre la posición y las características de la imagen final. Prob.16. Una lente convergente tiene una longitud focal de 10 [cm], se coloca a 30 [cm] a la izquierda de un espejo cóncavo de longitud focal 5 [cm]. a) Hallar la posición de la imagen si se coloca un objeto a 20 [cm] y a la izquierda de la lente. b) ¿Cuál es el aumento de éste sistema compuesto? Prob.17. ¿Cuál debe ser la distancia focal de una lupa si al colocar el ojo sobre ella se observa la imagen de un objeto, aumentada 10 veces, a 25 [cm]? Resp: 2,8 [cm]. f 2 = +10 [cm] f 1 = -30 [cm] UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 1 RAYOS PRINCIPALES ESPEJOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 81 OPTICA 1 LUZ Teoría Ondulatoria Teoría Corpuscular Onda Electromagnética Partículas fotones SEGUNDA UNIDAD. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 82 Naturaleza de la luz 3 Indice de Refracción El índice de refracción de un medio se define como la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en un medio. n = c / v Velocidad de la luz Velocidad de la luz Velocidad de la luz Velocidad de la luz 4 t luz = t rueda 2L θ c ω UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 83 LEYES DE LA OPTICA LEYES DE LA OPTICA LEYES DE LA OPTICA LEYES DE LA OPTICA 5 1° LEY Los rayos incidente, reflejado, transmitido y la normal se encuentran en un mismo plano. 2° LEY: De la Reflexión. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. 3° Ley: De la Refracción o Snell. La razón entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo transmitido es igual al índice de refracción del medio incidente respecto al refractado. 6 Medio Incidente Medio Refractado Normal θ θθ θ 1 θ θθ θ 2 Rayo transmitido Rayo reflejado Rayo incidente LEYES DE LA OPTICA. θ θθ θ´ 1 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 84 Principio de Huygens Principio de Huygens Principio de Huygens Principio de Huygens 7 Todos los puntos de un frente de ondas se pueden considerar como centros emisores de ondas esféricas secundarias . Después de un tiempo t la nueva posición del frente de ondas será la superficie tangencial a esas ondas secundarias Ley de la Reflexión 8 Los triángulos rectángulos alp y a´lp son congruentes θ 1 = θ 1 ´ UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 85 Ley de la Refracción 9 Del triángulo hce sen θ 1 = λ 1 / hc Del t riángulo hce´ sen θ 2 = λ 2 / hc Principio de Fermat 10 Un rayo luminoso que va desde un punto a otro sigue una trayectoria tal que, comparada con otras trayectorias cercanas el tiempo que requiere para recorrerla es un mínimo o es un máximo o bien definido. La distancia óptica recorrida por una rayo luminoso será: L opt = L = n l, donde n es el índice de refracción del medio UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 86 Reflex i Reflex i Reflex i Reflex ió óó ón nn n 11 x d-x A B P a b d θ θθ θ 1 θ θθ θ´ 1 Espejo L 1 L 2 ´L = L 1 + L 2 = n(a 2 + x 2 ) 1/2 + n (b 2 + (d-x) 2 ) 1/2 Calculando el máximos y mínimos (x / (a 2 + x 2 ) 1/2 ) = ((d-x)/(b 2 + (d-x) 2 ) 1/2 ) sen θ θθ θ 1 = sen θ θθ θ´ 1 θ θθ θ 1 = θ θθ θ´ 1 Refracción 12 A B L 1 L 2 P d-x x d θ θθ θ 1 θ θθ θ 2 n 1 n 2 ´L = L 1 + L 2 = n(a 2 + x 2 ) 1/2 + n (b 2 + (d-x) 2 ) 1/2 , calculando máximos y mínimos: (n 1 x / (a 2 + x 2 ) 1/2 ) = (n 2 (d-x)/(b 2 + (d-x) 2 ) 1/2 ) n 1 sen θ θθ θ 1 = n 2 sen θ θθ θ´ 1 UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 87 REFLEXION TOTAL INTERNA REFLEXION TOTAL INTERNA REFLEXION TOTAL INTERNA REFLEXION TOTAL INTERNA 13 Fenómeno que puede ocurrir cuando la luz pasa de un medio de mayor índice de refracción a uno de menor índice de refracción n 1 n 2 n 1 > n 2 θ θθ θ c n 1 sen θ θθ θ c = n 2 sen 90° sen θ θθ θ c = (n 2 / n 1 ) 14 Ondas esféricas reflectoras: Espejo planos do di O I θ θ a v Triángulos rectángulos ∆ OvaO = ∆ IvaI do = - di Por lo tanto: Imagen real :es la que se forma con intercepción de rayos (llevan energía). Imagen virtual :es la que se forma con la prolongación de los rayos reflejados o transmitidos ( no llevan energía). UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 88 15 Espejos esféricos: cóncavos convexos Teorema geométrico a considerar El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos. γ β α 16 Consideremos dos rayos que salen de un objeto y convergen después de reflejados de un espejos esférico ( cóncavo con imagen real). O I C a v α γ β θ θ Usando teorema: (1) β = α + θ (2) γ = α + 2 θ - negativo + positivo UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 89 17 De (1) y (2) γ + α = 2 β Pero: α ≈ av/vO = av/o β ≈ av/ vC = av/r γ ≈ av/ vI = av/i Sustituyendo: f r di do 1 2 1 1 = = + Aumento : do di m − = 18 RAYOS PRINCIPALES espejos cóncavos C F F Eje principal 1 2 3 1.- Todo rayos paralelo al eje principal llega al espejo y se refleja pasando por el foco. 2.- Todo rayo que pasa por el foco se refleja en forma paralela al eje principal. 3.- Todo rayo que pasa por el centro de curvatura se refleja sobre si mismo. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 90 19 RAYOS PRINCIPALES espejos convexos F C F 1 2 3 Eje principal 1.- Todo rayos paralelo al eje principal llega al espejo y se refleja de manera tal que su proyección pasa por el foco. 2.- Todo rayo que apunta al foco se refleja en forma paralela al eje principal. 3.- Todo rayo que apunta al centro de curvatura se refleja sobre sí mismo 20 SUPERFICIES ESFERICAS REFRACTORAS: Lentes gruesas: eje v c I O a n 1 n 2 α β γ θ 1 θ 2 o r i lado real + lado virtual - del teorema: θ 1 = α + β (1) β = θ 2 + γ (2) UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 91 21 de la Ley de la refracción o Snell : n 1 sen θ 1 = n 2 sen θ 2 (3) n 1 θ 1 ≅ n 2 θ 2 (4) combinando las ecuaciones (1), (2) y (4) se obtiene: n 1 α + n 2 γ = (n 2 - n 1 )β Considerando los arcos: α ≈ av/o β = av/r γ ≈ av/i 22 de la Ley de la refracción o Snell : n 1 sen θ 1 = n 2 sen θ 2 (3) usando ángulos pequeños (3) queda: n 1 θ 1 ≅ n 2 θ 2 (4) combinando las ecuaciones (1), (2) y (4) se obtiene: n 1 α + n 2 γ = (n 2 - n 1 )β Considerando los arcos: α ≈ av/o β = av/r γ ≈ av/i UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 92 23 Ecuación para lentes gruesas r n n di n do n 1 2 2 1 − = + Resuelva la siguiente situación: do di m − = aumento aumento m = m 1· m 2 r 1 r 2 n = 1.5 l O do 24 Lentes delgadas: ) 1 1 )( 1 ( 1 1 2 1 r r n di do − − = + ) r 1 r 1 )( 1 n ( f 1 2 1 − − = f di do 1 1 1 = + Ecuación de lentes delgadas: Ecuación del fabricante de lentes: corresponde al caso anterior: convergentes divergentes do di m − = aumento UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 93 25 LENTES CONVERGENTES: RAYOS PRINCIPALES F F 1 2 3 O I f es positivo 1.- Todo rayo paralelo al eje principal atraviesa la lente pasando por el foco. 2.- Todo rayo que pasa por el foco atraviesa la lente y sale en forma paralela al eje principal. 3.- Todo rayo que pasa por el centro de curvatura atraviesa la lente sin desviarse. 26 LENTES DIVERGENTES: RAYOS PRINCIPALES F F 1 2 3 O I f es negativa 1.- Todo rayo paralelo al eje principal llega a la lente y emerge de él de manera tal que su prolongación pasa por el foco. 2.- Todo rayo que apunta hacia el foco atraviesa la lente y sale en forma paralela al eje principal. 3.- Todo rayo que pasa por el centro de curvatura atraviesa la lente sin desviarse. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 94 Taller Nº7. “DUALIDAD ONDA PARTÍCULA Y FÍSICA CUÁNTICA”. 1 TERCERA UNIDAD. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 2 LUZ Teoría Ondulatoria (Hooke- Huygens-Young) Onda Electromagnética Teoría Corpuscular (NEWTON) Partículas Fotones 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 95 Naturaleza corpuscular de luz 3 La difracción de la luz y la existencia de un diagrama de interferencias en el experimento de las rendijas evidenciaron que la luz poseía propiedades ondulatorias. Sin embargo, a principios del siglo XX se demostró que la energía luminosa se intercambiaba en cantidades discretas. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Efecto Fotoel Efecto Fotoel Efecto Fotoel Efecto Fotoelé éé éctrico ctrico ctrico ctrico 4 La naturaleza cuántica de la luz y la cuantización de la energía fueron sugeridas por Einstein en su explicación del efecto fotoeléctrico en 1905. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 96 Ex plicaci Ex plicaci Ex plicaci Ex plicació óó ón diagrama n diagrama n diagrama n diagrama esquem esquem esquem esquemá áá ático para el estudio tico para el estudio tico para el estudio tico para el estudio del Efecto Fotoel del Efecto Fotoel del Efecto Fotoel del Efecto Fotoelé éé éctrico. ctrico. ctrico. ctrico. 5 1. La luz de una sola frecuencia entra en una cámara de vacío. 2. Cuando la luz incide sobre la superficie metálica limpia C (de cátodo) se emiten electrones y algunos de ellos inciden sobre la segunda placa metálica A (de ánodo), dando lugar a una corriente eléctrica entre las placas. 3. La placa A está cargada negativamente, de modo que repele a los electrones; solamente los electrones más energéticos la alcanzan. 4. La energía cinética máxima de los electrones emitidos se mide aumentando lentamente el voltaje hasta que la corriente se hacer cero. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Resultado. Resultado. Resultado. Resultado. 6 “Los experimentos ofrecen el resultado sorprendente de que la energía cinética máxima de los electrones emitidos es independiente de la intensidad de luz incidente”. Clásicamente se esperaría que al aumentar el ritmo con que incide la energía lumínica en la superficie del metal, aumentase la energía absorbida por los electrones individuales y, por lo tanto, la energía cinética máxima de los electrones emitidos. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 97 Resultado. Resultado. Resultado. Resultado. 7 Experimentalmente no es lo que ocurre. La energía cinética máxima de los electrones emitidos es la misma para una determinada longitud de onda de la luz incidente, independiente de la intensidad de la luz. Einstein sugirió que este resultado experimental sólo tiene explicación si la energía luminosa está cuantizada en pequeños “paquetes” llamados fotones. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ecuaci Ecuaci Ecuaci Ecuació óó ón de Einstein para la n de Einstein para la n de Einstein para la n de Einstein para la energ energ energ energí íí ía del fot a del fot a del fot a del fotó óó ón. n. n. n. 8 E = hf = hc/λ Donde: f: frecuencia h: constante de Planck h = 6,62·10-34 Jouleseg = 4,136·10-15 eVseg 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 98 9 En esta descripción, un haz luminoso consta de un chorro de partículas o fotones, cada uno de ellos de energía “hf”. La intensidad de una haz luminoso (potencia por unidad de área) es el número de fotones por unidad de área y unidad de tiempo multiplicado por la energía de cada fotón. La interacción del haz luminoso con la superficie del metal consiste en choques entre fotones y electrones. En estas colisiones el fotón desaparece, cediendo toda su energía al electrón. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 10 Un electrón emitido por una superficie metálica expuesta a la luz recibe su energía de un solo fotón. Cuando la intensidad aumenta, un número mayor de fotones inciden sobre la superficie por unidad de tiempo y se emiten más electrones. Sin embargo, cada fotón tiene la misma energía “hf” y, por lo tanto, la energía absorbida por cada electrón es la misma. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 99 Ecuaci Ecuaci Ecuaci Ecuació óó ón del Efecto n del Efecto n del Efecto n del Efecto Fotoel Fotoel Fotoel Fotoelé éé éctrico de Einstein. ctrico de Einstein. ctrico de Einstein. ctrico de Einstein. 11 ECmáx = (mv2/2)máx = hf - φ Donde: φ : función de trabajo o energía de extracción, es una característica del metal particular. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Datos de Datos de Datos de Datos de Milikan. Milikan. Milikan. Milikan. 12 Los fotones con frecuencias menores que una frecuencia umbral “fu”, y por lo tanto, con longitudes de onda mayores que una longitud umbral, no tienen energía suficiente para expulsar a un electrón de un metal particular. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 100 13 La frecuencia umbral y la correspondiente longitud de onda umbral se relacionan con la función de trabajo “φ” estableciendo que la energía cinética máxima de los electrones sea igual a cero, entonces: Φ = hfu = hc/λu 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ejemplo 1. Ejemplo 1. Ejemplo 1. Ejemplo 1. 14 Calcular la energía de los fotones correspondientes a la luz de 400 nm de longitud de onda (violeta) y de 700 nm (rojo). (Estas longitudes de onda son aproximadamente los valores extremos correspondientes al espectro visible). 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 101 Ejemplo 2. Ejemplo 2. Ejemplo 2. Ejemplo 2. 15 La intensidad de la luz del Sol en la superficie de la Tierra es aproximadamente 1400 W/m 2 . Suponiendo que la energía media de los fotones es de 2 eV (lo que corresponde a una longitud de onda de 600 nm), calcular el número de fotones que inciden sobre un área de 1 cm 2 cada segundo. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ejemplo 3. Ejemplo 3. Ejemplo 3. Ejemplo 3. 16 La función de trabajo del tungsteno es 4,58 eV. (a) Hallar la frecuencia umbral y la longitud de onda umbral para el efecto fotoeléctrico. (b) Determinar la energía cinética máxima de los electrones si la longitud de onda de la luz incidente es 200 nm. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 102 Dispersi Dispersi Dispersi Dispersió óó ón Compton. n Compton. n Compton. n Compton. 17 Arthur Compton utilizó el concepto de fotón para explicar los resultados de sus medidas de la dispersión de rayos X por electrones libres en 1923. De acuerdo con la teoría clásica, si una onda electromagnética de frecuencia f1 incide sobre un material que contiene cargas libres, éstas oscilarán con dicha frecuencia y volverán a radiar ondas electromagnéticas de la misma frecuencia. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 18 Compton interpretó estas nuevas ondas radiadas como fotones dispersados, y señaló que si se consideraba el proceso de dispersión como un choque entre un fotón y un electrón, este último debería absorber la energía debida al retroceso y el fotón dispersado tendría menos energía y, por lo tanto, menor frecuencia y mayor longitud de onda que el fotón incidente. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 103 Momento lineal de un fot Momento lineal de un fot Momento lineal de un fot Momento lineal de un fotó óó ón. n. n. n. 19 De acuerdo con la teoría electromagnética clásica, la energía y el momento lineal de una onda electromagnética están relacionados por la expresión: E = pc p = h/λ 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ecuaci Ecuaci Ecuaci Ecuació óó ón de Compton. n de Compton. n de Compton. n de Compton. 20 λ2-λ1 = (h/mec)(1 – cosθ) 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 104 Ejemplo 4. Ejemplo 4. Ejemplo 4. Ejemplo 4. 21 Un fotón de rayos X de longitud de onda 6 pm realiza una colisión frontal con un electrón de manera que el fotón dispersado se mueve en el sentido contrario al del fotón incidente. (a) ¿Cuál es la variación de longitud de onda experimentada por el fotón? (b) ¿Cuál es la energía cinética del electrón en retroceso? 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ejemplo 5. Ejemplo 5. Ejemplo 5. Ejemplo 5. 22 Hallar el desplazamiento de la longitud de onda de los fotones dispersados a 60°. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 105 Cuantizaci Cuantizaci Cuantizaci Cuantizació óó ón de la energ n de la energ n de la energ n de la energí íí ía de a de a de a de los los los los á áá átomos. tomos. tomos. tomos. 23 La luz blanca ordinaria posee un espectro continuo, es decir, contiene todas las longitudes de onda del espectro visible. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Sin embargo, cuando los átomos de un gas a baja presión se excitan mediante una descarga eléctrica, emiten luz de longitudes de onda específicas que son características del tipo de elemento o compuesto. Cuantizaci Cuantizaci Cuantizaci Cuantizació óó ón de la energ n de la energ n de la energ n de la energí íí ía de a de a de a de los los los los á áá átomos. tomos. tomos. tomos. 24 Como la energía de un fotón está relacionada con su longitud de onda por la ecuación E = hf = hc/λ, una serie discreta de longitudes de onda implica una serie discreta de energías. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. La conservación de la energía exige que cuando un átomo absorbe o emite un fotón su energía interna se modifique en una cantidad discreta e igual a ± la energía del fotón. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 106 Cuantizaci Cuantizaci Cuantizaci Cuantizació óó ón de la energ n de la energ n de la energ n de la energí íí ía de a de a de a de los los los los á áá átomos. tomos. tomos. tomos. 25 Este argumento condujo a Niels Bohr en 1913 a postular que la energía interna de un átomo sólo puede tener una serie discreta de valores. Es decir, la energía interna de un átomo está cuantizada. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Cuando un átomo irradia luz de frecuencia f, el átomo realiza una transición de un nivel permitido a otro nivel de energía menor, según ∆E = hf. Cuantizaci Cuantizaci Cuantizaci Cuantizació óó ón de la energ n de la energ n de la energ n de la energí íí ía de a de a de a de los los los los á áá átomos. tomos. tomos. tomos. 26 De esta forma Bohr elaboró un modelo semiclásico del átomo de hidrógeno dotado de una serie de niveles energéticos concordante con el espectro observado de luz emitida. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Sin embargo, el motivo de la cuantización de los niveles energéticos en átomos y otros sistemas permaneció siendo un misterio hasta que la naturaleza ondulatoria de los electrones se descubrió una década más tarde. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 107 Electrones y ondas materiales. Electrones y ondas materiales. Electrones y ondas materiales. Electrones y ondas materiales. 27 En 1897, J.J. Thompson demostró que los rayos emitidos por un tubo de rayos catódicos pueden desviarse mediante campos eléctricos y magnéticos y, por lo tanto, deben estar formados por partículas eléctricamente cargadas. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Electrones y ondas materiales. Electrones y ondas materiales. Electrones y ondas materiales. Electrones y ondas materiales. 28 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Midiendo las desviaciones de estas partículas, Thompson mostró que la relación carga-masa “q/m” era la misma para todas las partículas. También demostró que se pueden obtener partículas con esta misma relación carga-masa utilizando cualquier material como cátodo, lo cual significa que estas partículas, ahora llamadas electrones, son un constituyente fundamental de toda la materia. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 108 La hip La hip La hip La hipó óó ótesis de Louis de tesis de Louis de tesis de Louis de tesis de Louis de Broglie. Broglie. Broglie. Broglie. 29 Como la luz posee propiedades ondulatorias y corpusculares, parece lógico preguntarse si la materia (por ejemplo electrones, protones) posee también características de onda y partícula. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Relaci Relaci Relaci Relació óó ón de De Broglie para la n de De Broglie para la n de De Broglie para la n de De Broglie para la longitud de onda de las ondas longitud de onda de las ondas longitud de onda de las ondas longitud de onda de las ondas Electr Electr Electr Electró óó ónicas. nicas. nicas. nicas. 30 λ = h/p p: momento lineal del electrón. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 109 Relaci Relaci Relaci Relació óó ón de De Broglie para la n de De Broglie para la n de De Broglie para la n de De Broglie para la frecuencia de las ondas frecuencia de las ondas frecuencia de las ondas frecuencia de las ondas Electr Electr Electr Electró óó ónicas. nicas. nicas. nicas. 31 f = E/h 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 32 Hoy se admite que estas ecuaciones pueden aplicarse a todo tipo de materia. Sin embargo, para un objeto macroscópico, las longitudes de onda son tan pequeñas que es imposible observar propiedades usuales de las ondas, tales como la interferencia o la difracción. Incluso una mota de polvo, tan pequeña como 1µg, tiene una masa demasiado grande para que pueda observarse cualquier característica ondulatoria. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 110 Ejemplo 6. Ejemplo 6. Ejemplo 6. Ejemplo 6. 33 Determinar la longitud de onda de De Broglie correspondiente a una masa de 1µg que se mueve a una velocidad de 1µm/s. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 34 “Esta longitud de onda es mucho menor que el diámetro de un núcleo atómico (del orden de 10^-15 m)” 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 111 Ejemplo 7. Ejemplo 7. Ejemplo 7. Ejemplo 7. 35 Hallar la longitud de onda de De Broglie de una pelota de béisbol de masa 0,17 kg que se mueve a 100 km/hr. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Para part Para part Para part Para partí íí ículas de baja culas de baja culas de baja culas de baja energ energ energ energí íí ía. a. a. a. 36 Longitud de onda asociada a una partícula de masa “m”: λ =hc/(2mc 2 E c ) 0,5 λ =1240eVnm/(2mc 2 E c ) 0,5 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 112 Para part Para part Para part Para partí íí ículas de baja culas de baja culas de baja culas de baja energ energ energ energí íí ía. a. a. a. 37 Longitud de onda del electrón: λ =1,23nm/(E c ) 0,5 E c en electrón voltios. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 38 Las ecuaciones anteriores no son válidas para partículas relativistas cuyas energías cinéticas sean comparables a sus energías en reposo, mc 2 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 113 Relatividad. Relatividad. Relatividad. Relatividad. 39 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 40 La Teoría de la Relatividad se compone de dos teorías bastante diferentes, la Teoría Especial y la Teoría General. La Teoría Especial, desarrollada por Einstein y otros científicos en 1905, se refiere esencialmente a la comparación entre medidas realizadas en diferentes sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante unos respecto a otros. La Teoría General, también desarrollada por Einstein y otros investigadores alrededor de 1916, trata de sistemas de referencia acelerados y de la gravedad. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 114 Relatividad Newtoniana. Relatividad Newtoniana. Relatividad Newtoniana. Relatividad Newtoniana. 41 Un sistema de referencia en el que son válidas las leyes de Newton se denomina sistema de referencia inercial. Todos los sistemas que se mueven con velocidad constante respecto a un sistema de referencia inercial son también sistemas de referencia inerciales. “Si tenemos dos sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante uno con respecto a otro, no existe ningún experimento mecánico que pueda decirnos cuál está en reposo y cuál está en movimiento, o si ambos están moviéndose” Principio de Relatividad Newtoniana. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 42 “No puede detectarse el movimiento absoluto” Principio de Relatividad Newtoniana. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 115 Postulados de Einstein. Postulados de Einstein. Postulados de Einstein. Postulados de Einstein. 43 En 1905, Albert Einstein publicó un artículo sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento. En este artículo postulaba que el movimiento absoluto no podría detectarse mediante ningún experimento. Es decir, el éter no existía (medio que se había propuesto para la propagación de la luz). Puede considerarse que la Tierra está en reposo y que la velocidad de la luz es la misma en cualquier dirección. Su Teoría de la Relatividad Especial puede deducirse de dos postulados. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 44 Postulado 1: No puede detectarse el movimiento absoluto uniforme. Postulado 2: La velocidad de la luz es independiente del movimiento de la fuente. Postulados de Einstein. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 116 45 Postulado 2 (Alternativo): Todo observador mide el mismo valor “c” para la velocidad de la luz. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. La transformaci La transformaci La transformaci La transformació óó ón de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. 46 Los postulados de Einstein tienen importantes consecuencias cuando se quieren medir intervalos de tiempo y de espacio, o bien velocidades relativas. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 117 La transformaci La transformaci La transformaci La transformació óó ón de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. 47 Utilicemos un sistema de coordenadas rectangulares xyz con origen en O, denominado el sistema de referencia S, y otro sistema xý´z´ con origen en O´, denominado sistema S´, que se está moviendo con una velocidad constante v respecto al sistema S. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. La transformaci La transformaci La transformaci La transformació óó ón de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. 48 Respecto a S´, el sistema S de está moviendo con velocidad constante –v. Por sencillez se considerará que el sistema S´se está moviendo a lo largo del eje x en sus sentido positivo respecto a S. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 118 La transformaci La transformaci La transformaci La transformació óó ón de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. n de Lorentz. 49 En cada uno de los sistemas, supondremos que existen tantos observadores como sean necesarios y que están equipados con dispositivos de medida, como relojes y reglas, que son idénticos cuando se comparan entre sí en reposo. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 50 Considerando que los orígenes están coincidiendo en el instante t = t´= 0, la relación clásica es: x = x´ + vt´ y = y´ z = z´ t = t´ Transformación de Galileo. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 119 51 x´= x – vt y´ = y z´ = z t´ = t Transformación Inversa. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 52 x = γ(x´– vt´) y = y´ z = z´ t = γ(t´-vx´/c 2 ) Con: γ = 1/((1-(v/c) 2 ) 0,5 Transformación de Lorentz. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 120 Dilataci Dilataci Dilataci Dilatació óó ón del Tiempo. n del Tiempo. n del Tiempo. n del Tiempo. 53 Consideremos dos sucesos que se producen en x0´en los instantes t1´ t2´ en el sistema S´. Se pueden hallar los tiempos t1 y t2 correspondientes a los mismos sucesos en S, mediante: t1 = γ(t1´-vx0´/c 2 ) t2 = γ(t2´-vx0´/c 2 ) De modo que: t2-t1 = γ(t2´-t1´) 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. 54 El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar en un sistema de referencia se denomina tiempo propio tP En este caso, el intervalo de tiempo ∆tP = (t2´-t1´) medido en el sistema S´es el tiempo propio. El intervalo de tiempo ∆t medido en cualquier otro sistema de referencia es siempre más largo que el tiempo propio. Este crecimiento se denomina dilatación del tiempo: ∆t = γ ∆tP 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 121 Ejemplo 8. Ejemplo 8. Ejemplo 8. Ejemplo 8. 55 Dos sucesos ocurren en el mismo punto x0´ en los instantes t1´y t2´ en el sistema S, que se está moviendo con velocidad v respecto al sistema S. (a) ¿Cuál es la separación espacial de estos sucesos en el sistema S? (b) ¿Cuál es la separación temporal de estos sucesos en el sistema S? 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ejemplo 9. Ejemplo 9. Ejemplo 9. Ejemplo 9. 1 Los astronautas de una nave espacial que se aleja de la Tierra a v = 0,6c interrumpen su conexión con el control espacial, diciendo que van a dormir una siesta de 1 hora y que luego volverán a llamar. ¿Cuál es la duración de su siesta según se mide en la Tierra? 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 122 Contracci Contracci Contracci Contracció óó ón de longitudes. n de longitudes. n de longitudes. n de longitudes. 1 L = Lp/γ Lp: longitud propia Lp = x2´- x1´ 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ejemplo 10. Ejemplo 10. Ejemplo 10. Ejemplo 10. 58 Una regla que tiene longitud propia de 1 m se mueve en una dirección a lo largo de su longitud con velocidad relativa “v” respecto a un observador. Éste mide la longitud de la regla y su resultado es 0,914 m. ¿Cuál es la velocidad “v”? 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 123 Efecto Doppler Relativista. Efecto Doppler Relativista. Efecto Doppler Relativista. Efecto Doppler Relativista. 59 Aproximación: f´= fo [(1+(v/c))/(1-(v/c))] 0,5 Alejamiento: f´= fo [(1-(v/c))/(1+(v/c))] 0,5 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Ejemplo 11. Ejemplo 11. Ejemplo 11. Ejemplo 11. 60 Como miembros de una comunidad de voluntarios, pasamos el día acompañando a dos policías. Acaban de detener un coche que se ha saltado un semáforo en rojo. El conductor argumenta que la luz roja le parecía verde porque el coche se estaba acercando a ella, con lo que la longitud de onda de la luz se desplazaba. ¿Es la explicación del conductor razonable o no? Datos: Longitud de onda del rojo de 725 nm y del verde 675 nm. 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 124 Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 61 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Un cuerpo negro hace referencia a un objeto opaco que emite radiación térmica. Un cuerpo negro perfecto es aquel que absorbe toda la luz incidente y no refleja nada. A temperatura ambiente, un objeto de este tipo debería ser perfectamente negro (de ahí procede el término cuerpo negro.). Sin embargo, si se calienta a una temperatura alta, un cuerpo negro comenzará a brillar produciendo radiación térmica. Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 62 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Todos los objetos emiten radiación térmica (siempre que su temperatura esté por encima del cero absoluto, o -273,15 grados Celsius), pero ningún objeto es en realidad un emisor perfecto, en realidad emiten o absorben mejor unas longitudes de onda de luz que otras. Estas pequeñas variaciones dificultan el estudio de la interacción de la luz, el calor y la materia utilizando objetos normales. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 125 Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 63 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Es posible construir un cuerpo negro prácticamente perfecto. Se construye una caja con algún material que sea conductor térmico, como el metal. La caja debe estar completamente cerrada por todas sus caras, de forma que el interior forme una cavidad que no reciba luz del exterior. Se hace un pequeño agujero en algún punto de la caja. La luz que salga de ese agujero tendrá un parecido casi exacto a la luz de un cuerpo negro ideal, a la temperatura del aire del interior de la caja. Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 64 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. A principios del siglo XX, los científicos Lord Rayleigh, y Max Planck (entre otros) estudiaron la radiación de cuerpo negro utilizando un dispositivo similar. Planck fue capaz de describir perfectamente la intensidad de la luz emitida por un cuerpo negro en función de la longitud de onda. Fue incluso capaz de describir cómo variaría el espectro al cambiar la temperatura. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 126 Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 65 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Lo que Planck y sus colegas descubrieron era que a medida que se incrementaba la temperatura de un cuerpo negro, la cantidad total de luz emitida por segundo también aumentaba, y la longitud de onda del máximo de intensidad del espectro se desplazaba hacia los colores azulados Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 66 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 127 La L La L La L La Lá áá ámpara Incandescente. mpara Incandescente. mpara Incandescente. mpara Incandescente. 67 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 68 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. En 1893 el científico alemán Wilhelm Wein cuantificó la relación entre la temperatura de un cuerpo negro y la longitud de onda del pico espectral con la siguiente ecuación: donde T es la temperatura en grados Kelvin. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 128 La Temperatura del Sol. La Temperatura del Sol. La Temperatura del Sol. La Temperatura del Sol. 69 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 70 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. La ley de Wein (también conocida como la ley del desplazamiento de Wein) puede pronunciarse con las siguientes palabras: «la longitud de onda de la emisión máxima de un cuerpo negro es inversamente proporcional a su temperatura». Esto tiene sentido; a longitud de onda de la luz más corta (mayor frecuencia) le corresponden fotones de mayor energía, lo que hace esperar que haga subir la temperatura del objeto. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 129 Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 71 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. En 1879, el físico austríaco Stephan Josef Stefan demostró que la luminosidad, L, de un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura T. Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 72 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. En 1879, el físico austríaco Stephan Josef Stefan demostró que la luminosidad, L, de un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura T. donde A es el área de la superficie, alpha es una constate de proporcionalidad y T es la temperatura en grados Kelvin. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 130 Radiaci Radiaci Radiaci Radiació óó ón del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. n del Cuerpo Negro. 73 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Cinco años después, el físico austriaco Ludwig Boltzman derivó la misma ecuación que hoy en día es conocida como la ley de Stephan-Boltzman. Si suponemos que tenemos una estrella esférica con radio R, entonces la luminosidad de esa estrella es: donde R es el radio de la estrella en cm, y alpha es la constante de Stephan-Boltzman, que tiene como valor: Espectro Electromagn Espectro Electromagn Espectro Electromagn Espectro Electromagné éé ético. tico. tico. tico. 74 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. El espectro electromagnético (o simplemente espectro) es el rango de todas las radiaciones electromagnéticas posibles. El espectro de un objeto es la distribución característica de la radiación electromagnética de ese objeto. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 131 Espectro Electromagn Espectro Electromagn Espectro Electromagn Espectro Electromagné éé ético. tico. tico. tico. 75 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Región del espectro Intervalo de frecuencias (Hz) Radio-microondas 0-3.0·10 12 Infrarrojo 3.0·10 12 -4.6·10 14 Luz visible 4.6·10 14 -7.5·10 14 Ultravioleta 7.5·10 14 -6.0·10 16 Rayos X 6.0·10 16 -1.0·10 20 Radiación gamma 1.0·10 20 -…. Espectro Electromagn Espectro Electromagn Espectro Electromagn Espectro Electromagné éé ético. tico. tico. tico. 76 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. El espectro electromagnético (o simplemente espectro) es el rango de todas las radiaciones electromagnéticas posibles. El espectro de un objeto es la distribución característica de la radiación electromagnética de ese objeto. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 132 Ejemplo 12. Ejemplo 12. Ejemplo 12. Ejemplo 12. 77 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. ¿Qué cantidad de energía radia el Sol en un minuto?. Considere que la radiación del Sol se aproxima a la de un Cuerpo Negro. La temperatura del Sol en su superficie es aproximadamente 5.800 K y su radio medio es 6,95⋅10 8 m. σ = 5,67 10-8 [W/m²K 4 ]. Ejemplo 13. Ejemplo 13. Ejemplo 13. Ejemplo 13. 78 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. La potencia de radiación de un cuerpo negro es igual a 34 KW. Hallar la temperatura de este cuerpo, sabiendo que el área de su superficie es igual a 0,6 m². UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA. Ingeniería Civil Industrial. Prof. Manuel Plaza Bombal. 133 Ejemplo 14. Ejemplo 14. Ejemplo 14. Ejemplo 14. 79 22/05/2013 Prof.Manuel Plaza Bombal. Hallar la magnitud de la "constante solar" ,es decir, la cantidad de energía radiante que emite el Sol por minuto a través de una superficie igual a 1 cm², situada perpendicularmente a sus rayos y a la misma distancia que se encuentra la Tierra, de él. La temperatura en la superficie del Sol es 4.800 K; considere que la radiación del Sol se aproxima a un Cuerpo Negro, y que la distancia media entre Tierra y Sol es 1,5 10 11 m.