12ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 6) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. O domínio de uma função de duas variáveis do tipo ) , ( y x f z = é o conjunto de valores ) , ( y x do espaço real 2 R que pode ser testado na função. A imagem da função é o conjunto de valores que a variável dependente z pode assumir. Por exemplo, a condição de existência da função de duas variáveis dada por 2 x y z ÷ = é: 2 2 0 x y x y > > ÷ O domínio da função 2 x y z ÷ = é o conjunto { } 2 2 / ) , ( x y R y x D > e = , esboçado na figura 1. Figura 1. Representação gráfica do domínio da função 2 x y z ÷ = . A imagem da função 2 x y z ÷ = é o conjunto { } 0 / > e = z R z I , pois, nesse caso, a expressão dada nos informa que z só pode resultar em valores positivos. Com base nas definições acima, assinale a alternativa correta. a) O domínio da função x y z ÷ = 1 é o conjunto { } x y R y x D > e = / ) , ( 2 . b) O domínio da função 2 1 x y z ÷ = é o conjunto { } 2 2 / ) , ( x y R y x D > e = . c) A imagem da função 2 2 y x z ÷ = é o conjunto { } 0 / > e = z R z I . d) O domínio da função ) ln( 2 x y z ÷ = é o conjunto { } 2 2 / ) , ( x y R y x D > e = . e) A imagem da função ) ln( 2 x y z ÷ = é o conjunto { } 0 / > e = z R z I . 13 Justificativa. 2. A equação de Clapeyron, também conhecida como equação de estado para um gás ideal ou gás perfeito, é dada por nRT PV = . Nessa equação, P é a pressão (em Pascal, Pa), V é o volume (em m 3 ), T é a temperatura (em Kelvin, K) e n é o número de mols do gás ideal. Para as unidades indicadas, a constante universal dos gases, R, vale 8,31 J/mol.K. Se mantivermos a quantidade de gás inalterada, o produto do número de mols por R pode ser expresso pela constante R n k . = . Desse modo, é possível escrever a equação de forma resumida como kT PV = . Nesse caso, podemos observar que há três variáveis relacionadas entre si (P, V e T) e que uma delas é função das outras duas. Podemos explicitar P em função de V e de T do seguinte modo: V T k P = Observando a função de duas variáveis V T k P = , assinale a alternativa correta. a) A pressão é diretamente proporcional ao volume e à temperatura. b) A pressão é inversamente proporcional ao volume e à temperatura. c) A pressão é diretamente proporcional à temperatura e inversamente proporcional ao volume. d) A taxa de variação da pressão em relação à temperatura é V k T P = c c , confirmando que a pressão varia com a temperatura de forma diretamente proporcional ao volume. e) A taxa de variação da pressão em relação ao volume é T k V P . = c c , confirmando que a pressão varia com o volume de forma diretamente proporcional à temperatura. Justificativa. 14 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 7) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. Os gráficos das funções de duas variáveis podem ser esboçados no sistema cartesiano Oxyz. Por exemplo, a função 2 2 y x z + = apresenta o comportamento ilustrado na figura 1. Figura 1. Gráfico da função 2 2 y x z + = . Observe o ponto de mínimo em x=0 e y=0. A função 2 2 y x z + = apresenta apenas um ponto crítico: o valor mínimo z=0 em x=0 e y=0. Essa função não tem valor máximo no domínio 2 R . A função 2 2 y x z ÷ = apresenta um ponto crítico em x=0 e y=0. Conforme ilustrado na figura 2, esse é o ponto de sela da função, que não representa um valor de máximo ou um valor de mínimo da função. No ponto de sela, a função apresenta comportamento crescente numa direção (x) e decrescente em outra direção (y), não caracterizando um valor máximo ou mínimo. 15 Figura 2. Gráfico da função 2 2 y x z ÷ = . Observe o ponto de sela em x=0 e y=0. Os pontos críticos de uma função, caso existam, estão localizados onde as suas derivadas de primeira ordem são iguais a zero. Geometricamente, isso significa que o plano tangente ao gráfico da função nesse ponto tem inclinação igual a zero. Com base na discussão exposta acima, assinale a alternativa correta. a) A função 2 2 16 y x z ÷ ÷ = apresenta valor máximo igual a 4 no ponto x=0 e y=0 e não apresenta valor mínimo. b) A função 1 2 2 + + = y x z apenas apresenta valor de máximo. Esse valor é igual a 1 e ocorre no ponto x=0 e y=0. c) A função 2 2 y x z + = apresenta valor máximo igual a 0. d) A função 2 2 25 y x z ÷ ÷ = apresenta valor máximo igual a 5 e valor mínimo igual a zero. e) A função 2 2 1 y x z + = apresenta valor máximo igual a 1 no ponto x=0 e y=0 e não apresenta valor mínimo. 16 Justificativa. 2. Diante do que foi exposto no enunciado da questão anterior, assinale a alternativa correta. a) A função ) ( 2 2 y x e z + ÷ = apresenta o seguinte esboço gráfico: b) A função ) ( 2 2 y x e z + = apresenta o seguinte esboço gráfico: c) A função 2 2 1 y x z + ÷ = apresenta o seguinte esboço gráfico: 17 d) A função 2 2 25 y x z ÷ ÷ = apresenta o seguinte esboço gráfico: e) A função 2 2 1 y x z + = apresenta o seguinte esboço gráfico: Justificativa. 18 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 8) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. Imagine que você tenha de confeccionar uma caixa retangular, sem tampa, com 12 m 2 de papelão. As medidas dos lados da caixa são representadas por x, y e z, como mostrado na figura 1. Figura 1. Esboço de uma caixa, sem tampa, com lados de medidas x, y e z (em metros). O volume da caixa é dado por xyz V = , mas pode ser expresso apenas em termos de x e de y. Vejamos o porquê dessa condição. A área dos quatro lados e do fundo da caixa é 12 2 2 = + + xy yz xz . A variável z pode ser explicitada em termos de x e y, ou seja, ) ( 2 12 y x xy z + ÷ = . Assim, a função volume V pode ser escrita como ) ( 2 12 . y x xy xy V + ÷ = . Uma vez que escrevemos a função ) , ( y x V V = , é possível determinar seus valores máximos verificando em que pontos as derivadas de primeira ordem são iguais a zero. Se necessário, há a possibilidade de testar os valores dos pontos críticos obtidos, para determinar se são máximos ou mínimos, utilizando-se o teste da derivada segunda. Fonte: STEWART, J. Cálculo. V. 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Quais são as medidas dos lados x, y e z, em metros, para que a caixa tenha volume máximo? a) Não é possível determinar os valores dos lados, pois a função não aceita as derivadas parciais sugeridas. b) Os valores dos lados x, y e z são 4 m, 2 m e 0,5 m respectivamente. c) Os valores dos lados x, y e z são 4 m, 2 m e 2 m respectivamente. d) Os valores dos lados x, y e z são 2 m, 2 m e 0,5 m respectivamente. e) Os valores dos lados x, y e z são 2 m, 2 m e 1 m respectivamente. Justificativa. 19 2. A família de curvas de nível de uma função ) , ( y x f z = é dada por uma função do tipo k z = , sendo k uma constante. Temos, por exemplo, a família de curvas de nível de 2 2 y x z + = é k y x = + 2 2 ou ( ) 2 2 2 k y x = + . A última expressão representa círculos circuncêntricos de raio r igual a k , com centro na origem (0,0). Podemos escrevê-la de maneira mais detalhada como ( ) 2 2 2 ) 0 ( ) 0 ( k y x = ÷ + ÷ . A constante k é tal que 0 > k e, se k cresce, o raio do círculo também é crescente. A tabela 1 mostra alguns valores de r em função de k. Tabela 1. Variação do tamanho do raio em relação ao valor de k. k (constante) r (raio) 0 0 1 1 4 2 9 3 16 4 25 5 36 6 A curva de nível também pode ser compreendida como a interseção de um plano paralelo ao plano do domínio com o gráfico da função ) , ( y x f z = , na cota ou altura k. Observando o exposto acima sobre curvas de nível, assinale a alternativa correta. a) A função 2 2 y x z + = apresenta uma família de curvas de nível dada por 2 2 2 ) 0 ( ) 0 ( k y x = ÷ + ÷ , ou seja, círculos concêntricos de raio r=k. b) A função 1 ÷ = x y z apresenta uma família de curvas de nível representada por ) 1 ( ÷ = x k y , ou seja, elipses equidistantes da origem. c) A função 2 2 25 y x z ÷ ÷ = apresenta uma família de curvas de nível representada por ( ) 2 2 2 25 ) 0 ( ) 0 ( k y x ÷ = ÷ + ÷ , ou seja, círculos concêntricos com raio variando de 0 a 5. d) A função y x z ÷ = 1 apresenta uma família de curvas de nível dada por elipses equidistantes da origem de k em relação aos quatro quadrantes do plano xOy . e) A função 2 2 1 y x z + = apresenta uma família de curvas de nível dada por k y x 1 ) 0 ( ) 0 ( 2 2 = ÷ + ÷ , ou seja, círculos concêntricos de raio k r 1 = . Justificativa. 20 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 9) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. Imagine que a temperatura T da superfície de uma chapa de metal retangular, orientada no plano xOy, conforme mostrado na figura 1, seja dada por 3 2 2 ) ( 01 , 0 y x T + = . Nessa expressão, considere a temperatura T dada em ºC e as dimensões x e y dadas em centímetros. A constante 0,01 refere-se ao material constituinte da placa e é dada em ºC/cm 6 . Figura 1. Placa metálica cuja temperatura varia com as coordenadas (x,y) de um ponto da sua superfície. Em relação a essa situação, assinale a alternativa correta. a) A taxa de variação da temperatura com a posição, no ponto (2,1), é positiva e da ordem de 0,6 ºC/cm 2 . b) A taxa de variação da temperatura com a posição mostra que a função é crescente e, no ponto (2,1), é da ordem de 1,25 ºC/cm 2 . c) A função temperatura, no ponto (2,1), é decrescente, pois resultou numa taxa de variação negativa. d) A função temperatura, no ponto (2,1), é crescente, com taxa de variação da ordem de 3 ºC/cm 2 . e) A taxa de variação da temperatura com a posição, no ponto (2,1), é crescente e vale 0,75 ºC/cm 2 . Justificativa. 21 2. As derivadas parciais em relação à variável x e em relação à variável y de uma função ) , ( y x f z = , nos pontos em que existem, são indicadas, respectivamente, por x f x y x f c c = c c ) , ( e y f y y x f c c = c c ) , ( . Quando se deriva uma função do tipo ) , ( y x f z = em relação à variável x, observa-se a taxa de variação da função na direção de x, isto é, somente x é variável; os outros termos que aparecem na expressão matemática são considerados constantes. Quando se deriva uma função do tipo ) , ( y x f z = em relação à variável y, observa-se a taxa de variação da função na direção de y, isto é, somente y é variável; os outros termos que aparecem na expressão matemática são considerados constantes. Desse modo, assinale a alternativa correta. a) A função ) , ( y x f z = , tal que 4 3 2 2 2 + ÷ = y x z , tem como derivadas parciais 4 3 4 2 + ÷ = c c y x x f e 4 6 2 2 + ÷ = c c y x y f . b) A função ) , ( y x f z = , tal que 2 2 y x z ÷ = , tem como derivadas parciais 2 2 2 y x x x f ÷ = c c e 2 2 2 y x y y f ÷ ÷ = c c . c) A função ) , ( y x f z = , tal que 2 2 y x e z ÷ = , tem como derivadas parciais 2 2 . 2 y x e x x f ÷ = c c e 2 2 . 2 y x e y y f ÷ ÷ = c c . d) A função ) , ( y x f z = , tal que ) 3 2 ( y x sen z ÷ = , tem como derivadas parciais ) 3 2 cos( y x x f ÷ = c c e ) 3 2 cos( y x y f ÷ ÷ = c c . e) A função ) , ( y x f z = , tal que ) ln( y x z + = , tem como derivadas parciais y x y x f + = c c e y x x y f + = c c . Justificativa. 22 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 10) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. Sabe-se que o volume do cilindro circular reto é dado por h r V 2 t = , sendo que r é o seu raio e h é a sua altura, como mostrado na figura 1. Considere que o raio de um cilindro esteja aumentando à taxa de 0,2mm/min e que a sua altura h esteja aumentando à taxa de 0,6mm/min. Figura 1. Cilindro circular reto de raio r e altura h. O volume de um cilindro depende do seu raio r e da sua altura h. Na situação acima, o raio e a altura estão variando com o tempo t. O diagrama em árvore abaixo apresenta a relação entre as variáveis: r t V h t Utilizando a regra da cadeia, é possível verificar como o volume V do cilindro está variando com o tempo. Observando-se os dados acima e considerando-se que, num dado instante, o raio r é igual a 10 cm e a altura h é igual a 30 cm, a taxa de variação do volume do cilindro com o tempo é aproximadamente igual a a) min / 6 , 12 3 cm t . b) min / 14 3 cm t . c) min / 2 , 1 3 cm t . d) min / 2 , 3 3 cm t . e) min / 18 3 cm t . Justificativa. 23 2. Um condutor é aquecido ao ser percorrido por corrente elétrica. Quando isso acontece, há transformação da energia elétrica em térmica. Esse fenômeno, conhecido como efeito Joule, ocorre devido ao choque dos elétrons da corrente elétrica com as partículas do próprio condutor. Os elétrons sofrem colisões com os átomos do condutor, agitando-os e, consequentemente, a sua temperatura aumenta. A possibilidade da transformação da eletricidade em calor permitiu que o homem construísse aparelhos como o chuveiro e a lâmpada. Esses aparelhos possuem resistores (ou filamentos) que são aquecidos, conforme explicado acima. Além dos exemplos apresentados, há o caso dos circuitos elétricos que são protegidos por fusíveis (resistores). Se a corrente tiver uma intensidade muito alta, a ponto de danificar o circuito, o calor gerado por ela derrete o filamento (do fusível), interrompendo o fornecimento de energia e protegendo o circuito. O calor gerado no filamento é quantificado pela potência dissipada. Essa potência P, em um resistor elétrico, pode ser representada pela equação R U P 2 = , sendo U a tensão elétrica e R a resistência do resistor. Se a tensão elétrica U for dada em volts (V) e a resistência elétrica R em ohms (O), então a potência P será dada em watts (W). Observando o caso em que a tensão elétrica é 100 V e a resistência é 4 O, a taxa de diminuição da potência, em relação ao tempo, quando a tensão diminui em 5 V/s e a resistência varia à taxa de -0,2 O/s, devido ao aquecimento do resistor, é a) s W dt dP / 150 = . b) s W dt dP / 125 = . c) s W dt dP / 125 ÷ = . d) s W dt dP / 375 ÷ = . e) s W dt dP / 0 = . Justificativa. 24 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 11) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. O plano tangente a uma função de duas variáveis pode ser determinado utilizando-se o conceito geométrico da derivada. A inclinação do plano tangente à função em determinado ponto ) , ( 0 0 y x dependerá da inclinação da reta tangente à função na direção de x (ou seja, da derivada parcial da função em relação a x no ponto dado, x y x f c c ) , ( 0 0 ) e na direção de y (ou seja, da derivada parcial da função em relação a y no ponto y y x f c c ) , ( 0 0 ). Para uma função de duas variáveis do tipo ) , ( y x f z = , a equação do plano tangente à função no ponto ) , ( 0 0 y x pode ser obtida por ) )( , ( ) )( , ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y x y f x x y x x f y x f z ÷ c c + ÷ c c = ÷ . Na figura 1, mostra-se uma representação esquemática do plano tangente ao gráfico de uma função do tipo ) , ( y x f z = . Figura 1. Representação esquemática do plano tangente ao gráfico de uma função do tipo ) , ( y x f z = . Assinale a alternativa correta. a) O plano tangente a uma função do tipo ) , ( y x f z = , tal que 2 2 y x z + = , no ponto P(1,2), é dado por 15 4 2 + + = y x z . b) O plano tangente a uma função do tipo ) , ( y x f z = , tal que 3 2 3 y y x x z ÷ + = , no ponto P(0,-1), é dado por 2 3 3 ÷ ÷ ÷ = y x z . c) Se a inclinação do plano tangente for igual a zero, as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero e, desse modo, pode-se identificar um ponto de máximo ou de mínimo local da função. d) A função ) , ( y x f z = , tal que 2 2 y x z + = , com domínio 2 R , apresenta valor mínimo igual a zero no ponto P(-2,-2). e) A função ) , ( y x f z = , tal que y y xy x z 4 4 3 2 + + ÷ = , com domínio 2 R , apresenta valor máximo no ponto P(4,2). 25 Justificativa. 2. Suponha que uma empresa produza tanques cilíndricos circulares retos para armazenamento de melaço. Os tanques apresentam volume h r V . 2 t = , sendo o r o seu raio e h a sua altura, conforme ilustrado na figura 1. Figura 1. Tanque de melaço de forma cilíndrica, com raio r e altura h. Os tanques têm 7 m de altura e 1,5 m de raio. A variação do volume, causada por pequenas variações do raio (dr) e da altura (dh), pode ser analisada utilizando-se a variação total do volume, dada por dh h V dr r V dV c c + c c = . A variação do volume total pode, portanto, ser escrita como dh r dr rh dV . . 2 2 t t + = . Para as medidas dos tanques em questão, a variação total do volume é dh dr dV t t 25 , 2 21 + = . Em relação a essa situação, assinale a alternativa correta. a) O volume do tanque é mais sensível à variação da altura do que à variação do raio. b) A variação da altura em 0,1 unidades variará o volume em t 25 , 2 unidades. c) A variação total do volume para variações de 0,1 unidades no raio e 0,1 unidades na altura é t 25 , 4 unidades. d) A variação de r em 0,1 unidades fará com que o volume varie em t 1 , 2 unidades. e) A variação de r em 0,01 unidades não variará o volume significativamente. Justificativa. 26 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 12) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. Suponha que um arquiteto tenha planejado uma rampa de acesso a um mezzanino com o formato de uma cunha sólida, conforme mostrado na figura 1. Figura 1. Representação tridimensional da rampa de acesso ao mezzanino, com formato de cunha sólida. O perfil da rampa obedece à equação 2 2 y x z + = . A figura 2 apresenta o mapa de curvas de nível da função e está de acordo com as dimensões exigidas no projeto arquitetônico. A representação foi gerada utilizando-se o programa computacional Wolfram, disponível em <http://www.wolframalpha.com>. Figura 2. Representação gráfica das curvas de nível da função 2 2 y x z + = . O engenheiro responsável pela execução do projeto precisa calcular o volume do sólido para planejar a construção da rampa e determinar o volume de material necessário. O volume calculado localiza-se entre a rampa e o nível onde ela será construída. Sabe-se que a rampa deve ser erguida numa área retangular medindo 4 m no sentido de subida (x) e 2 m de frente (y), sendo que o desnível solicitado é de 5 m. 27 De acordo com os dados apresentados, o volume entre a superfície da rampa e o local onde ela será construída é de, aproximadamente, a) 40 m 3 . b) 12 m 3 . c) 2,3 m 3 . d) 3 3 128 m . e) 3 3 64 m . Justificativa. 2. Para a elaboração de um produto, um engenheiro solicitou a construção de uma caixa retangular, sem tampa, com volume de 12 m 3 . A caixa deve ser construída com materiais específicos, sendo que o custo do material para o fundo é de R$ 400,00 por m 2 , para as laterais frontais é de R$ 300,00 por m 2 e para as outras laterais restantes é de R$ 200,00 por m 2 . Assinale a alternativa que mostra as dimensões da caixa que minimizam o seu custo. a) Fundo de 3 m por 1 m e altura de 4 m. b) Fundo de 3 m por 2 m e altura de 2 m. c) Fundo de 2 m por 2 m e altura de 3 m. d) Fundo de 3 m por 1,5 m e altura de 1,5 m. e) Fundo de 4 m por 1 m e altura de 3 m. Justificativa. 28 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 13) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. O operador nabla, representado por V, quando aplicado a uma função de duas variáveis, representa o vetor gradiente da função. O vetor gradiente de uma função indica a direção e o sentido da sua maior taxa de variação. O vetor gradiente, para uma função de duas variáveis do tipo ) , ( y x f z = , é definido como: j y y x f i x y x f y x f o o o o o o c c + c c = V ) , ( ) , ( ) , ( . Um ciclone pode ser representado por uma família de curvas de nível, indicando a intensidade do vento (em km/h). A figura 1 apresenta uma imagem de sensoriamento remoto (tipo RGB) em que se observa o Furacão Dean, no Oceano Atlântico, na região do Caribe. Na imagem, pode-se observar o olho do furacão, ponto de maior velocidade do vento no ciclone. Quanto mais longe do núcleo, menor é a velocidade do vento. Figura 1. Imagem de sensoriamento remoto (RGB), mostrando o furacão Dean, em 2007, a região do Caribe, Oceano Atlântico. Disponível em <http://disc2.nascom.nasa.gov/data/TRMM/Gridded/Hurricane_Maps/Archive/2007/Dean>. Acesso em 18/08/2010. Um mapa de curvas de nível também poderia representar o ciclone, sendo que as curvas representam a velocidade do vento. Nesse caso, as curvas de nível de maior valor estariam no centro, enquanto as curvas de nível de menor valor estariam posicionadas mais externamente. O olho do furacão desloca-se segundo uma trajetória que pode ser indicada pelo gradiente da função, o qual relaciona a velocidade no olho do furacão com a posição em que ele se localiza. Suponha que a velocidade S (em km/h) do olho de um furacão possa ser modelada como uma função de duas variáveis x e y, dadas em km e relacionadas à posição do olho, num plano cartesiano. Os valores de x e y são exclusivamente positivos, sendo a origem do sistema xOy apontada no ponto de surgimento do olho do furacão. A função S é apresentada como 87 , 2 ) 1 ( 3 2 ÷ + + = y x S . Desse modo, pode-se determinar o vetor gradiente da função, ou seja, a direção e o sentido da maior taxa de variação de S. Assinale a alternativa correta. 29 a) O vetor gradiente de S é dado por 87 , 2 ) 1 ( 3 2 2 ÷ + + = V y x S . b) O vetor gradiente de S, no ponto P(2,1), é dado por j i S 12 4 + = V . c) O vetor gradiente de S é dado por j y i x S 2 3 2 + = V . d) O vetor gradiente, no ponto P(1,2), é dado por j i S 9 2 + = V . e) O vetor gradiente de S é dado por | |j y i x S 87 , 2 ) 1 ( 3 ) 87 , 2 2 ( 2 ÷ + + ÷ = V . Justificativa. 2. A derivada direcional de uma função pode ser obtida por u f D u . V = . Ou seja, a derivada direcional de uma função f é o produto escalar do gradiente da função ( f V ) pelo vetor unitário u . A derivada direcional é um escalar que indica o módulo de um vetor na direção do vetor unitário u . Quando se deseja verificar a taxa de variação numa direção específica u , pode-se utilizar a derivada direcional. No caso do Furacão Dean, conforme o enunciado da questão anterior, pode-se determinar o módulo da velocidade S do vento numa direção dada. Considerando o ponto P(2,1), a taxa de variação de S na direção do vetor unitário j i u 2 2 2 2 + = é a) 16. b) ) 2 16 ( + . c) 2 8 . d) 2 24 . e) 2 10 . Justificativa. 30 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 14) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. O campo elétrico de uma distribuição de cargas pode ser calculado pelo gradiente do potencial elétrico. Assim, V E ÷V = , sendo E o vetor campo elétrico e V o potencial elétrico. Suponha que o potencial elétrico numa região do espaço, dependente das coordenadas do ponto P (x,y,z), seja dado por yz x V 1 2 2 + = . As coordenadas x, y e z são dadas em metros (m) e o potencial V é dado em volts (V). O campo elétrico no ponto ) 2 , 1 , 2 ( P vale a) m V k j i E / ) 1 2 8 ( + + = . b) m V k j i E / ) 1 8 5 ( ÷ ÷ ÷ = . c) m V k j i E / ) 1 2 8 ( ÷ ÷ ÷ = . d) m V k j i E / ) 1 2 9 ( ÷ ÷ ÷ = . e) m V k j i E / ) 1 6 8 ( ÷ ÷ ÷ = . Justificativa. 2. Na figura 1, observa-se um silo de cereais que precisa ter a temperatura interna T controlada por um equipamento de refrigeração. A temperatura é controlada por um sistema baseado no modelo z y x e z y x T ÷ ÷ ÷ = 2 2 ) , , ( , sendo T medida em graus Celsius e as coordenadas x, y e z dadas em metros. O sistema é automatizado, controla a temperatura em três dimensões e está localizado no centro do silo, de modo que as coordenadas x, y e z podem variar de -10 a +10 metros. 31 Figura 1. Silo de cereais com temperatura e umidade controladas para garantir uma boa silagem. O equipamento controla a temperatura por uma malha de pontos (x, y, z) com sensores elétricos (resistores) conectados ao equipamento central. Utilizando-se o conceito do gradiente, é possível verificar a direção da maior taxa de variação de T. Observando a função z y x e z y x T ÷ ÷ ÷ = 2 2 ) , , ( , assinale a alternativa correta. a) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é ) 1 2 2 ( 1 2 k j i e T + + = V . b) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é k j i T 1 2 2 + ÷ ÷ = V . c) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é ) 1 2 2 ( 1 2 k j i e T ÷ ÷ ÷ = V . d) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é ) 1 2 2 ( 2 k j i e T ÷ ÷ ÷ = V . e) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é k j i T 1 2 2 ÷ + = V . Justificativa. 32 ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 15) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Data: / / Nome: RA: Turma: 1. O centro de massa ou centro de gravidade de uma lâmina, cuja espessura pode ser desprezada frente às suas outras dimensões, pode ser determinado com base na sua densidade ) , ( y x p p = . A densidade ρ é função das coordenadas x e y. A massa m da placa é íí = D dA y x m ) , ( p . As coordenadas ) , ( y x do centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região D do espaço são dadas por: íí = D dA y x x m x ) , ( . 1 p e íí = D dA y x y m y ) , ( . 1 p . Considere uma lâmina de geometria triangular, cujos vértices estejam posicionados nos pontos (0,0), (1,0) e (0,2), conforme mostrado na figura 1. Figura 1. Placa de geometria triangular. Se a densidade da lâmina segue a função y x y x + + = = 3 1 ) , ( p p , sua massa (em kg) e as coordenadas do seu centro de massa (em m) são, respectivamente, a) . 3 2 3 1 , 3 8 m y e m x kg m = = = b) . 3 1 3 1 , 3 8 m y e m x kg m = = = c) . 3 2 8 3 , 3 1 m y e m x kg m = = = d) . 16 11 8 3 , 3 8 m y e m x kg m = = = e) . 16 11 8 3 , 3 16 m y e m x kg m = = = 33 Justificativa. 2. A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. Esse tipo de lâmina pode ser considerado a metade superior de um círculo de equação geral 2 2 2 a y x = + . Podemos escrever 2 2 y x a + = , sendo a o raio do círculo. A distância do ponto (x,y) ao centro do círculo (origem) é 2 2 y x + . Logo, a função densidade é 2 2 ) , ( y x k y x + = p , sendo k uma constante relacionada ao tipo de material da lâmina. Como a lâmina tem formato circular, a conversão da fórmula para o sistema de coordenadas polares é simples, isto é, 2 2 y x r + = e a massa da lâmina (em gramas) é: íí íí íí íí = = + = = D D D D drd r k rdrd r k m dA y x k dA y x m u u p 2 2 2 . . . . ) , ( A massa de uma lâmina semicircular, de raio igual a 3 cm e constante k=0,01, vale aproximadamente a) 0,28 g. b) 0,84 g. c) 0,14 g. d) 2,28 g. e) 9,84 g. Justificativa. Justificativa. 2. A equação de Clapeyron, também conhecida como equação de estado para um gás ideal ou gás perfeito, é dada por PV nRT . Nessa equação, P é a pressão (em Pascal, Pa), V é o volume (em m 3), T é a temperatura (em Kelvin, K) e n é o número de mols do gás ideal. Para as unidades indicadas, a constante universal dos gases, R, vale 8,31 J/mol.K. Se mantivermos a quantidade de gás inalterada, o produto do número de mols por R pode ser expresso pela constante k n.R . Desse modo, é possível escrever a equação de forma resumida como PV kT . Nesse caso, podemos observar que há três variáveis relacionadas entre si (P, V e T) e que uma delas é função das outras duas. Podemos explicitar P em função de V e de T do seguinte modo: Pk Observando a função de duas variáveis T V Pk T , assinale a alternativa correta. V a) A pressão é diretamente proporcional ao volume e à temperatura. b) A pressão é inversamente proporcional ao volume e à temperatura. c) A pressão é diretamente proporcional à temperatura e inversamente proporcional ao volume. d) A taxa de variação da pressão em relação à temperatura é temperatura de forma diretamente proporcional ao volume. e) A taxa de variação da pressão em relação ao volume é volume de forma diretamente proporcional à temperatura. Justificativa. P k , confirmando que a pressão varia com a T V P k .T , confirmando que a pressão varia com o V 13 Ficha 7) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1. 14 .ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . Por exemplo. Essa função não tem valor máximo no domínio A função R2 . A função z x 2 y 2 apresenta apenas um ponto crítico: o valor mínimo z=0 em x=0 e y=0. a função z x 2 y 2 apresenta o comportamento ilustrado na figura 1. Observe o ponto de mínimo em x=0 e y=0. No ponto de sela. Conforme ilustrado na figura 2. Gráfico da função z x 2 y 2 . a função apresenta comportamento crescente numa direção (x) e decrescente em outra direção (y). esse é o ponto de sela da função. não caracterizando um valor máximo ou mínimo. Figura 1. que não representa um valor de máximo ou um valor de mínimo da função. Os gráficos das funções de duas variáveis podem ser esboçados no sistema cartesiano Oxyz. z x 2 y 2 apresenta um ponto crítico em x=0 e y=0. c) A função d) A função e) A função z 16 x 2 y 2 apresenta valor máximo igual a 4 no ponto x=0 e y=0 e não apresenta valor z x 2 y 2 1 apenas apresenta valor de máximo. a) A função mínimo. Gráfico da função z x 2 y 2 . Observe o ponto de sela em x=0 e y=0.Figura 2. z 25 x 2 y 2 apresenta valor máximo igual a 5 e valor mínimo igual a zero. Os pontos críticos de uma função. Com base na discussão exposta acima. assinale a alternativa correta. b) A função y=0. isso significa que o plano tangente ao gráfico da função nesse ponto tem inclinação igual a zero. Geometricamente. z 1 apresenta valor máximo igual a 1 no ponto x=0 e y=0 e não apresenta valor mínimo. Esse valor é igual a 1 e ocorre no ponto x=0 e z x 2 y 2 apresenta valor máximo igual a 0. caso existam. x y2 2 15 . estão localizados onde as suas derivadas de primeira ordem são iguais a zero. assinale a alternativa correta. 2.Justificativa. a) A função z e ( x 2 y2 ) apresenta o seguinte esboço gráfico: b) A função z e( x 2 y2 ) apresenta o seguinte esboço gráfico: c) A função z 1 x y2 2 apresenta o seguinte esboço gráfico: 16 . Diante do que foi exposto no enunciado da questão anterior. 17 .d) A função z 25 x 2 y 2 apresenta o seguinte esboço gráfico: e) A função z 1 x y2 2 apresenta o seguinte esboço gráfico: Justificativa. 2 m e 0. V xyz . y e z são 4 m. y e z são 2 m. J. sem tampa. Figura 1. y e z são 4 m. c) Os valores dos lados x. Quais são as medidas dos lados x. 2( x y ) 2( x y ) Uma vez que escrevemos a função V V ( x. As medidas dos lados da caixa são representadas por x. b) Os valores dos lados x. Justificativa.ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . y) . é possível determinar seus valores máximos verificando em que pontos as derivadas de primeira ordem são iguais a zero. V. 2. Vejamos o porquê 2 xz 2 yz xy 12 . Assim. utilizando-se o teste da derivada segunda. 2 m e 1 m respectivamente. a função volume V pode ser escrita como V xy.5 m respectivamente. e) Os valores dos lados x. ed. mas pode ser expresso apenas em termos de x e de y. Cálculo.5 m respectivamente. d) Os valores dos lados x. 18 . sem tampa. para que a caixa tenha volume máximo? a) Não é possível determinar os valores dos lados. há a possibilidade de testar os valores dos pontos críticos obtidos. como mostrado na figura 1. . y e z (em metros). z 12 xy 12 xy . 6. 2 m e 0. y e z são 2 m. Se necessário. para determinar se são máximos ou mínimos. 2009. y e z. 2 m e 2 m respectivamente. ou seja. Fonte: STEWART. A variável z pode ser explicitada em termos A área dos quatro lados e do fundo da caixa é de x e y. Esboço de uma caixa. y e z.Ficha 8) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1. O volume da caixa é dado por dessa condição. em metros. com lados de medidas x. Imagine que você tenha de confeccionar uma caixa retangular. São Paulo: Cengage Learning. pois a função não aceita as derivadas parciais sugeridas. com 12 m 2 de papelão. ou seja. e) A função z 1 x2 y2 apresenta uma família de curvas de nível dada por ( x 0) 2 ( y 0) 2 . círculos concêntricos de raio r=k. c) A função ( x 0) 2 ( y 0) 2 d) A função z 25 k . ou seja. círculos concêntricos de raio r Justificativa. y) é dada por uma função do tipo z k . Variação do tamanho do raio em relação ao valor de k. elipses x 1 z 25 x 2 y 2 apresenta uma família de curvas de nível representada por equidistantes da origem. se k cresce. Observando o exposto acima sobre curvas de nível. sendo k uma z x 2 y 2 é x 2 y 2 k ou x 2 y 2 constante. Podemos 2 ( x 0) 2 ( y 0) 2 k . A família de curvas de nível de uma função z f ( x. A constante k é tal que k 0 e. a família de curvas de nível de k . ou seja.2. b) A função z y apresenta uma família de curvas de nível representada por y k ( x 1) . assinale a alternativa correta. a) A função z x 2 y 2 apresenta uma família de curvas de nível dada por ( x 0) 2 ( y 0) 2 k 2 . 2 A última expressão representa círculos circuncêntricos de raio r igual a escrevê-la de maneira mais detalhada como k . 2 1 apresenta uma família de curvas de nível dada por elipses equidistantes da origem de k em x y 1 k relação aos quatro quadrantes do plano xOy . círculos concêntricos com raio variando de 0 a 5. 19 . na cota ou altura k. A tabela 1 mostra alguns valores de r em função de k. ou seja. Tabela 1. 1 k . por exemplo.0). o raio do círculo também é crescente. Temos. k (constante) 0 1 4 9 16 25 36 r (raio) 0 1 2 3 4 5 6 A curva de nível também pode ser compreendida como a interseção de um plano paralelo ao plano do domínio com o gráfico da função z f ( x. y) . com centro na origem (0. a) A taxa de variação da temperatura com a posição. é da ordem de 1.01 refere-se ao material constituinte da placa e é dada em ºC/cm6. c) A função temperatura. é decrescente.y) de um ponto da sua superfície. orientada no plano xOy.25 ºC/cm2. Imagine que a temperatura T da superfície de uma chapa de metal retangular.6 ºC/cm2. no ponto (2. pois resultou numa taxa de variação negativa. considere a temperatura T dada em ºC e as dimensões x e y dadas em centímetros. no ponto (2. no ponto (2.1).ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . no ponto (2. conforme mostrado na figura 1. é crescente e vale 0. Placa metálica cuja temperatura varia com as coordenadas (x.75 ºC/cm2.1). Justificativa.1). b) A taxa de variação da temperatura com a posição mostra que a função é crescente e. Nessa expressão. 20 . no ponto (2. A constante 0. d) A função temperatura. assinale a alternativa correta.1). Figura 1.Ficha 9) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1. é crescente. Em relação a essa situação. com taxa de variação da ordem de 3 ºC/cm2. seja dada por T 0. e) A taxa de variação da temperatura com a posição.01( x 2 y 2 )3 . é positiva e da ordem de 0.1). tem como derivadas parciais Justificativa. tal que z ln( x y) . por f ( x. tem como derivadas parciais 2 2 f 4x 3 y 2 4 e x f 2x2 6 y 4 . tem como derivadas parciais f x 2x x2 y2 e f 2y . y) . somente x é variável. observa-se a taxa de variação da função na direção de y. y e) A função z f ( x. isto é. são indicadas. y x y x x y 21 . tal que z ex y 2 2 . y) em relação à variável y. os outros termos que aparecem na expressão matemática são considerados constantes. tem como derivadas parciais f cos(2 x 3 y) e x f cos(2 x 3 y) . y y x x Quando se deriva uma função do tipo z f ( x. y b) A função z f ( x. Desse modo.e x y e y x d) A função z f ( x. f x f y e . a) A função z f ( x.e x y . tal que z x 2 y 2 .2. y) em relação à variável x. y) . y ) f e . Quando se deriva uma função do tipo z f ( x. y) . tal que z sen(2 x 3 y) . As derivadas parciais em relação à variável x e em relação à variável y de uma função z f ( x. nos pontos em que existem. y) . 2 x. isto é. tal que z 2 x 3 y 4 . respectivamente. observa-se a taxa de variação da função na direção de x. somente y é variável. os outros termos que aparecem na expressão matemática são considerados constantes. y) . y ) f f ( x. assinale a alternativa correta. y) . tem como derivadas parciais 2 2 f 2 2 f 2 y. 2 y x y2 c) A função z f ( x. 2cm 3 / min . Considere que o raio de um cilindro esteja aumentando à taxa de 0. Cilindro circular reto de raio r e altura h. Observando-se os dados acima e considerando-se que. Sabe-se que o volume do cilindro circular reto é dado por V r 2 h . 3. O volume de um cilindro depende do seu raio r e da sua altura h. sendo que r é o seu raio e h é a sua altura.6cm 3 / min . o raio r é igual a 10 cm e a altura h é igual a 30 cm.Ficha 10) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1.6mm/min. 1. 18cm 3 / min . Figura 1. num dado instante. 14cm3 / min . 22 . O diagrama em árvore abaixo apresenta a relação entre as variáveis: r V h t Utilizando a regra da cadeia. o raio e a altura estão variando com o tempo t.2mm/min e que a sua altura h esteja aumentando à taxa de 0. é possível verificar como o volume V do cilindro está variando com o tempo.ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . Na situação acima.2cm 3 / min . como mostrado na figura 1. a taxa de variação do volume do cilindro com o tempo é aproximadamente igual a a) b) c) d) e) t 12. Justificativa. há transformação da energia elétrica em térmica. em um resistor elétrico. a ponto de danificar o circuito. em relação ao tempo. é a) dP 150W / s . Esses aparelhos possuem resistores (ou filamentos) que são aquecidos. devido ao aquecimento do resistor. pode ser representada pela equação P U2 . Esse fenômeno. O calor gerado no filamento é quantificado pela potência dissipada. então a potência P será dada em watts (W). Quando isso acontece. Os elétrons sofrem colisões com os átomos do condutor.2 /s. Um condutor é aquecido ao ser percorrido por corrente elétrica. a taxa de diminuição da potência. 23 . agitando-os e. Além dos exemplos apresentados. sendo U a tensão elétrica e R a resistência do resistor.2. há o caso dos circuitos elétricos que são protegidos por fusíveis (resistores). dt dP 125W / s . o calor gerado por ela derrete o filamento (do fusível). conforme explicado acima. Se a tensão R elétrica U for dada em volts (V) e a resistência elétrica R em ohms (). Se a corrente tiver uma intensidade muito alta. ocorre devido ao choque dos elétrons da corrente elétrica com as partículas do próprio condutor. A possibilidade da transformação da eletricidade em calor permitiu que o homem construísse aparelhos como o chuveiro e a lâmpada. quando a tensão diminui em 5 V/s e a resistência varia à taxa de -0. interrompendo o fornecimento de energia e protegendo o circuito. Observando o caso em que a tensão elétrica é 100 V e a resistência é 4 . a sua temperatura aumenta. dt Justificativa. consequentemente. dt dP 375W / s . Essa potência P. dt b) c) d) e) dP 0W / s . dt dP 125W / s . conhecido como efeito Joule. y) . desse modo. y0 )( y y0 ) . c) Se a inclinação do plano tangente for igual a zero. as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero e.2). mostra-se uma representação esquemática do plano tangente ao gráfico de uma função do tipo z f ( x. tal que z x 2 y 2 . x y Para uma função de duas variáveis do tipo z f ( x. tal que z x 3 x 2 y y 3 . e) A função P(4. da derivada parcial da função em relação a y no ponto ). y) . y0 ) dependerá da inclinação da reta tangente à função na direção de x (ou seja. y0 ) f ( x0 . y0 )( x x0 ) ( x0 . com domínio R 2 . tal que z x 2 4 xy y 3 4 y . y) . no ponto P(0.-1). d) A função P(-2. Representação esquemática do plano tangente ao gráfico de uma função do tipo z f ( x.Ficha 11) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1. y) . é dado por z 2 x 4 y 15 . x y Na figura 1. z f ( x. y) . A inclinação do plano tangente à função em determinado ponto ( x0 . O plano tangente a uma função de duas variáveis pode ser determinado utilizando-se o conceito geométrico da derivada. pode-se identificar um ponto de máximo ou de mínimo local da função. apresenta valor mínimo igual a zero no ponto z f ( x. no ponto P(1. a) O plano tangente a uma função do tipo z f ( x. a equação do plano tangente à função no ponto ( x0 . f ( x0 . y) . apresenta valor máximo no ponto 24 . com domínio R 2 . é dado por z 3x 3 y 2 .-2). y) . b) O plano tangente a uma função do tipo z f ( x. y0 ) pode ser obtida por z f ( x0 . tal que z x 2 y 2 .2). y0 ) f f ( x0 . Figura 1.ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . da derivada parcial da função em relação a x no ponto dado. y0 ) ) e na direção de y (ou seja. Assinale a alternativa correta. e) A variação de r em 0.dh . c) A variação total do volume para variações de 0. d) A variação de r em 0.25 unidades. Os tanques têm 7 m de altura e 1. A variação do volume. 2. com raio r e altura h.25dh .1 unidades variará o volume em 2.1 unidades fará com que o volume varie em 2.h . 25 . dV 21dr 2.dr r .25 unidades. b) A variação da altura em 0. r h Para as medidas dos tanques em questão.5 m de raio. a variação total do volume é Em relação a essa situação. causada por pequenas variações do raio (dr) e da altura (dh).1 unidades. assinale a alternativa correta. Os tanques apresentam volume V r 2 . a) O volume do tanque é mais sensível à variação da altura do que à variação do raio. pode ser analisada utilizando-se a variação total do volume. portanto. conforme ilustrado na figura 1. Justificativa. Suponha que uma empresa produza tanques cilíndricos circulares retos para armazenamento de melaço. Tanque de melaço de forma cilíndrica.1 unidades na altura é 4. Figura 1. ser escrita como dV 2rh.01 unidades não variará o volume significativamente.Justificativa.1 unidades no raio e 0. sendo o r o seu raio e h a sua altura. dada por dV A variação do volume total pode. 2 V V dr dh . 26 .wolframalpha. Figura 1. A representação foi gerada utilizando-se o programa computacional Wolfram. Figura 2. Sabe-se que a rampa deve ser erguida numa área retangular medindo 4 m no sentido de subida (x) e 2 m de frente (y).com>. disponível em <http://www.ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . sendo que o desnível solicitado é de 5 m. Representação tridimensional da rampa de acesso ao mezzanino. conforme mostrado na figura 1. O engenheiro responsável pela execução do projeto precisa calcular o volume do sólido para planejar a construção da rampa e determinar o volume de material necessário. O perfil da rampa obedece à equação z 2 x y 2 . O volume calculado localiza-se entre a rampa e o nível onde ela será construída. com formato de cunha sólida. Representação gráfica das curvas de nível da função z 2x y 2 . Suponha que um arquiteto tenha planejado uma rampa de acesso a um mezzanino com o formato de uma cunha sólida. A figura 2 apresenta o mapa de curvas de nível da função e está de acordo com as dimensões exigidas no projeto arquitetônico.Ficha 12) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1. sem tampa. c) Fundo de 2 m por 2 m e altura de 3 m. o volume entre a superfície da rampa e o local onde ela será construída é de.00 por m2. 12 m3. 3 e) 64 3 m . a) Fundo de 3 m por 1 m e altura de 4 m. A caixa deve ser construída com materiais específicos. 3 Justificativa.5 m.00 por m2 e para as outras laterais restantes é de R$ 200.3 m3. 2. b) Fundo de 3 m por 2 m e altura de 2 m. d) Fundo de 3 m por 1.De acordo com os dados apresentados. com volume de 12 m3. 27 . 128 3 m . Assinale a alternativa que mostra as dimensões da caixa que minimizam o seu custo.00 por m2. 2. Para a elaboração de um produto. sendo que o custo do material para o fundo é de R$ 400.5 m e altura de 1. a) b) c) d) 40 m3. aproximadamente. um engenheiro solicitou a construção de uma caixa retangular. e) Fundo de 4 m por 1 m e altura de 3 m. Justificativa. para as laterais frontais é de R$ 300. O vetor gradiente de uma função indica a direção e o sentido da sua maior taxa de variação. é definido como: gradiente da função. y) . Oceano Atlântico. as curvas de nível de maior valor estariam no centro. Assinale a alternativa correta. em <http://disc2. Quanto mais longe do núcleo. sendo a origem do sistema xOy apontada no ponto de surgimento do olho do furacão.nascom. pode-se determinar o vetor gradiente da função. Os valores de x e y são exclusivamente positivos. dadas em km e relacionadas à posição do olho. a região do Caribe. O vetor gradiente. menor é a velocidade do vento. na região do Caribe.ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . em 2007. yo ) i j. para uma função de duas variáveis do tipo f ( xo . yo ) f ( xo . Na imagem. representa o vetor z f ( x. A função S é apresentada como S x 2 ( y 1) 3 2. indicando a intensidade do vento (em km/h).nasa. x y Um ciclone pode ser representado por uma família de curvas de nível. num plano cartesiano. a direção e o sentido da maior taxa de variação de S. O operador nabla. o qual relaciona a velocidade no olho do furacão com a posição em que ele se localiza. sendo que as curvas representam a velocidade do vento. Disponível 18/08/2010. pode-se observar o olho do furacão. representado por .87 . Acesso em Um mapa de curvas de nível também poderia representar o ciclone. mostrando o furacão Dean. ou seja. enquanto as curvas de nível de menor valor estariam posicionadas mais externamente. Nesse caso. quando aplicado a uma função de duas variáveis.Ficha 13) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1. no Oceano Atlântico. yo ) f ( xo . ponto de maior velocidade do vento no ciclone. Suponha que a velocidade S (em km/h) do olho de um furacão possa ser modelada como uma função de duas variáveis x e y.gov/data/TRMM/Gridded/Hurricane_Maps/Archive/2007/Dean>. A figura 1 apresenta uma imagem de sensoriamento remoto (tipo RGB) em que se observa o Furacão Dean. Figura 1. O olho do furacão desloca-se segundo uma trajetória que pode ser indicada pelo gradiente da função. Imagem de sensoriamento remoto (RGB). Desse modo. 28 . Justificativa. b) O vetor gradiente de S.1). conforme o enunciado da questão anterior. 8 2. pode-se utilizar a derivada direcional. é dado por c) O vetor gradiente de S é dado por S 4i 12 j .2).87 . u . Considerando o ponto P(2. A derivada direcional de uma função pode ser obtida por Du f . 24 2 . no ponto P(1. a taxa de variação de S na direção do vetor unitário u a) b) c) d) e) 2 2 i j é 2 2 16 . No Quando se deseja verificar a taxa de variação numa direção específica caso do Furacão Dean.a) O vetor gradiente de S é dado por S 2 x 3( y 1) 2 2. A derivada direcional é um u. (16 2 ) . 10 2 . S 2i 9 j . 29 .1). é dado por e) O vetor gradiente de S é dado por Justificativa. pode-se determinar o módulo da velocidade S do vento numa direção dada. S (2 x 2.87 j . Ou seja. no ponto P(2.87)i 3( y 1) 2 2. d) O vetor gradiente. S 2 xi 3 y 2 j . 2. a derivada direcional de uma função f é o produto escalar do gradiente da função ( f ) pelo vetor unitário escalar que indica o módulo de um vetor na direção do vetor unitário u .u . E (8i 6 j 1k )V / m . y e z podem variar de -10 a +10 metros. y.ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . seja dado por V 2 x 2 1yz . O campo elétrico de uma distribuição de cargas pode ser calculado pelo gradiente do potencial elétrico. z ) e x y z . y e z dadas em metros.1.2) vale E (8i 2 j 1k )V / m . 2. A temperatura é controlada por um sistema baseado no modelo T ( x. Assim. As coordenadas x. sendo E o vetor campo elétrico e V o potencial elétrico.Ficha 14) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1.z).y. E (8i 2 j 1k )V / m . de modo que as coordenadas x. dependente das coordenadas do ponto P (x. sendo T medida em graus Celsius e as coordenadas x. O sistema é automatizado. y e z são dadas em metros (m) e o potencial V é dado em volts (V). E (5i 8 j 1k )V / m . E V . 30 . E (9i 2 j 1k )V / m . O campo elétrico no ponto a) b) c) d) e) P(2. controla a temperatura em três dimensões e está localizado no centro do silo. Na figura 1. Suponha que o potencial elétrico numa região do espaço. observa-se um silo de cereais que precisa ter a temperatura interna T controlada por um equipamento de 2 2 refrigeração. Justificativa. é possível verificar a direção da maior taxa de variação de T. 1 (2i 2 j 1k ) . O equipamento controla a temperatura por uma malha de pontos (x.0) é T 2i 2 j 1k .1. y.0) é T e (2i 2 j 1k ) . Utilizando-se o conceito do gradiente. y.1. e2 2 d) O gradiente da temperatura no ponto P(1. e2 b) O gradiente da temperatura no ponto P(1. c) O gradiente da temperatura no ponto P(1.0) é T Justificativa.1. e) O gradiente da temperatura no ponto P(1.1.0) é T 2i 2 j 1k . a) O gradiente da temperatura no ponto P(1.1. Silo de cereais com temperatura e umidade controladas para garantir uma boa silagem. Observando a função T ( x. z) com sensores elétricos (resistores) conectados ao equipamento central.0) é T 1 (2i 2 j 1k ) . assinale a alternativa correta. 31 . z ) e x 2 y2 z .Figura 1. m D Considere uma lâmina de geometria triangular. x m e y m. y )dA . Placa de geometria triangular. A densidade ρ é função das m ( x. (1. y )dA . A massa m da placa é As coordenadas ( x. y ) do centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região D do espaço são dadas por: x 1 x. x m e y m. 3 3 3 1 3 2 m kg.0) e (0. O centro de massa ou centro de gravidade de uma lâmina. y) . pode ser determinado com base na sua densidade coordenadas x e y. y )dA m D e y 1 y. ( x. x m e y m. respectivamente.Ficha 15) Disciplina: Estudos Disciplinares Campus: Nome: RA: Turma: Data: / / 1. 3 8 16 b) c) d) e) 32 .ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis . cujos vértices estejam posicionados nos pontos (0. sua massa (em kg) e as coordenadas do seu centro de massa (em m) são. D ( x. 3 8 16 m 16 3 11 kg.0). 3 8 3 8 3 11 m kg.2). a) 8 1 2 m kg. conforme mostrado na figura 1. Se a densidade da lâmina segue a função ( x. Figura 1. y) 1 3x y . 3 3 3 8 1 1 m kg. x m e y m. cuja espessura pode ser desprezada frente às suas outras dimensões. ( x. x m e y m. 84 g. Logo. 9. isto é.r. y) k x 2 y 2 . 2. 0.rdrd k . sendo k uma constante relacionada ao tipo de material da lâmina.28 g. Esse tipo de lâmina pode ser considerado a metade superior de um círculo de equação geral escrever x 2 y 2 a 2 .84 g. a função densidade é ( x.28 g. x 2 y 2 dA D D m k .Justificativa. 2. A distância do ponto (x. r x 2 y 2 e a massa da lâmina (em gramas) é: m ( x. vale aproximadamente a) b) c) d) e) 0. A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. y )dA k . Podemos a x 2 y 2 .01.y) ao centro do círculo (origem) é x 2 y 2 . 33 . de raio igual a 3 cm e constante k=0. a conversão da fórmula para o sistema de coordenadas polares é simples. sendo a o raio do círculo. Como a lâmina tem formato circular.r 2 drd D D A massa de uma lâmina semicircular.14 g. Justificativa. 0.
Report "APS - Cálculo de Funções de Várias Variáveis"