Aproximaciones Lineales Usando La Diferencial

“CÁLCULO INTEGRAL”PROFESOR: JIMÉNEZ ESTÉVEZ OSCAR UNIDAD 1 APROXIMACIONES LINEALES USANDO LA DIFERENCIAL ALUMNO:  JUAN GARCÍA PEDRO OCTAVIO NÚMERO DE CONTROL: 10680250 G2 08:00-9:00 am SEGUNDO SEMESTRE INGENIERÍA EN MECATRÓNICA H.H. Cuautla Mor. 24 de Febrero del 2011 Página 1 Aproximaciones lineales usando la diferencial Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función con respecto a , la notación de Leibniz , como un símbolo y no como el cociente del símbolo (diferencial de la variable ) entre (diferencial de la variable ). Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición está motivada por el siguiente razonamiento geométrico: Sea ( ) un punto fijo sobre la gráfica de ( ) ( ( )) Página 2 ( ( )) Tomando el punto ( coordenadas cuyos ejes ) como origen, se introduce un nuevo sistema de y son paralelos a los ejes antíguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: , donde es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la ( ), se tiene entonces: misma que la del antíguo, esto es ( ) Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales. Definición: 1. Se llama diferencial de la variable independiente , denotada por incremento ; esto es . ( ) es una función derivable de , la diferencial de 2. Si ( ) , o también , denotada , se define como , al en el punto ( ) . Página 3 Interpretación geométrica de la diferencial Sea una función derivable en . En el triángulo , se tiene: ̅̅̅̅ , en ( ))y por tanto, donde es la pendiente de la recta tangente a la curva en ( ( ). Así que: ̅̅̅̅ Además, ( ) ( ) ( ) Se puede observar entonces que: : es el incremento en : es el incremento en medido sobre la curva. medido sobre la recta tangente. Observaciones: 1. Si la ecuación para cualquier ( ) corresponde a una línea recta, entonces del dominio. ( ) , si 2. Puesto que, si entonces al dividir ambos miembros ( ) y se puede de esta forma de la última igualdad por , se tiene: interpretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales. 3. Todas las reglas de diferenciales se deducen de las reglas de derivación (R.D.1.- R.D.16., sección), multiplicando ambos miembros de estas últimas por . En la tabla siguiente aparecen las principales reglas de diferenciales deducidas de las correspondientes reglas de derivación. Regla de la derivación ( ) ( ( ( ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) Regla de la diferencial Página 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Así por ejemplo, si derivada ( Es decir, √ = ( ) ⁄ , entonces, la viene dada por: )( ( √ ) ) ⁄ = √ Multiplicando ambos miembros de la última igualdad por finalmente ( √ ) ( ), se obtiene ( ) y ( ), entonces la regla de la cadena en forma de 4. Si diferencial se expresa así: ( ) ( ) Página 5 Aproximación de los valores de una función: Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, ( ) corresponde a la de la fig. supóngase que la gráfica de Cuando se da a un incremento , la variable y recibe un incremento , que puede considerarse como un valor aproximado de . Por lo tanto, el valor ) es: aproximado de ( ( ) ( ) ( ) ( ) La cual se deriva de la aproximación utilizar esta fórmula es elegir un valor de ( ) ( ) . “La clave para que facilite el cálculo”. Página 6 Ejemplo 1: Utilizar diferenciales para aproximar √ Solución: Utilizando ( ) ( ) ( ) √ , se puede escribir ( ) y √ √ ( ) √ √ se obtiene la siguiente aproximación ( )( ) es la línea y son muy . Ahora bien, eligiendo ( ) √ La aproximación por medio de la recta tangente a ( ) ( ) . Para valores de próximas entre sí, como se muestra en la figura. √ en cercanos a 16, las gráficas de ( ) √ y ( ) ( ) Página 7 Ejemplo 2: Utilizar diferenciales para aproximar √ Solución: En primer lugar, nótese que √ puede escribirse como √ se puede pensar en la función: ( ) √ √ y hallar . Esto es, Pero, ( ) ( ) ( ⁄ √ . y puesto que con y )( ). √ , con lo cual, Esto se puede escribir: ( ( √ Si se usa la calculadora puede observase que ( ) . ) ( )) ( ) Bibliografías consultadas:  Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. (2006).Aplicaciones de la derivada. Cálculo con geometría analítica (pp.691). México: McGraw-Hill. ]. http://es.scribd.com.  3.8 La diferencial, aproximaciones lineales.[ Disponible en: http://es.scribd.com/doc/6489059/Aproximacion-Lineal [ ]. Página 8