Aproximacion e Interpolacion. Funciones de Forma Para Algunos Espacios de Elementos Finitos

Métodos Matemáticos de Especialidad.Especialidad de Construcción Curso 12-13 Tema 5. Aproximaci´ on e interpolación. Funciones de forma para algunos espacios de elementos finitos. Luis Sanz Lorenzo Dpto. Matemáticas E.T.S.I. Industriales, UPM 10 de diciembre de 2012 ´ Indice 1. Ideas generales sobre interpolación y aproximación 4 1.1. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Algunos problemas de interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Clasificación de las técnicas de interpolación . . . . . . . . . . . 7 1.2. Aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. Interpolación polinomial unidimensional 15 2.1. El espacio de los polinomios. Base de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Expresión de Lagrange para el polinomio interpolador . . . . . . . . . 17 2.3. Error en la interpolación polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Interpolación con polinomios afines, cuadráticos y c´ ubicos . . . . . . 22 2.5. Polinomio interpolador de Newton: Diferencias divididas . . . . . . . 27 2.6. Interpolación lineal iterativa: algoritmo de Neville . . . . . . . . . . . 31 2.7. Interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8. Polinomios de interpolación a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 3. Interpolación polinomial bidimensional 36 3.1. Espacios de polinomios bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. El problema de la interpolación bidimensional . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Interpolación en una malla rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Elementos finitos bidimensionales 40 4.1. Elementos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.1. Rectángulo C0-bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.2. Rectángulo C0-bicuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.1.3. Rectángulo C0-bic´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.4. Elementos de la clase serendipiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.5. Rectángulo C1-bic´ ubico o rectángulo de Hermite . . . . . . . . 48 4.2. Elementos triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.1. Triángulo C0-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.2. Coordenadas naturales para triángulos . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.3. Triángulo C0-cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.4. Triángulo C0-c´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.5. Triángulo Z3-c´ ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.6. Triángulo C1-qu´ıntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3. Elementos isoparamétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.1. Descripción general de la técnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.2. Evaluación práctica de la transformación isoparamétrica . . . 63 4.3.3. Ejemplos de elementos triángulos isoparamétricos . . . . . . . 64 4.3.4. Elemento triángulo lineal isoparamétrico . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.5. Elemento cuadrilátero bilineal isoparamétrico . . . . . . . . . . 67 4.3.6. Elemento cuadrilátero bicuadrático isoparamétrico . . . . . . . 73 4.3.7. Elemento triángulo cuadrático isoparamétrico . . . . . . . . . . 76 4.3.8. Elementos subparamétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5. Interpolación por splines 81 5.1. El espacio de los splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2. El problema de la interpolación por splines . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3. Propiedad extremal de los splines de interpolación. Interpretación geométrica y mecánica para los splines c´ ubicos . . . . . . . . . . . . . 84 5.4. Obtención de los splines c´ ubicos de interpolación . . . . . . . . . . . . 85 2 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 6. Aproximación discreta. M´ınimos cuadrados discretos 88 6.1. Planteamiento general del ajuste por m´ınimos cuadrados . . . . . . . 88 6.2. M´ınimos cuadrados lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2.1. Ajuste de polinomios por m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . 91 6.3. M´ınimos cuadrados no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7. Interpolación y aproximación unidimensional con Matlab 94 8. Ejercicios 95 3 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 1. Ideas generales sobre interpolaci´ on y aproximaci´ on En esta sección se introducirán algunas ideas relativas a las técnicas de la interpolación y de la aproximación, que son técnicas distintas pero relacionadas. 1.1. Interpolaci´ on Nociones generales: La interpolación es una técnica que se utiliza en dos sentidos relacio- nados pero no exactamente iguales: 1. Dados unos datos (x i , y i ), i = 0, ..., m, encontrar una función “suave” f que pase por dichos datos, es decir, tal que f(x i ) = y i , i = 0, ..., m. (x 0 , y 0 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) (x 4 , y 4 ) f Figura 1: Interpolación unidimensional de Lagrange Se dice entonces que f interpola a los datos en los x i . 2. Supongamos que tenemos unos datos (x i , y i ), i = 0, ..., m que se supone que están generados por una función g “suave” que no se conoce. Por ejemplo, g podr´ıa ser el valor de la temperatura en un punto de una barra. No conocemos el valor de la temperatura en todos los punto de la barra, pero hemos hecho mediciones de la temperatura en unos ciertos puntos obteniendo los datos (x i , g(x i )), i = 0, ..., m. Ahora se quiere estimar el valor de g en un punto x ∗ en el que no disponemos de una medición. Entonces podemos proceder como en (1) hallando una función f que pase por los datos, es decir, tal que f(x i ) = y i , i = 0, ..., m, y ahora estimar (“interpolar”) el valor de g en x ∗ a través del valor de f en x ∗ . En esta estimación se habla de “interpolación en sentido estricto” cuando x ∗ pertenece al rango de los datos, es decir, cuando m´ın(x 0 , x 1 , ..., x m ) ≤ x ∗ ≤ máx(x 0 , x 1 , ..., x m ) y de “extrapolación” en caso contrario. Por ejemplo, en la siguiente figura se usa inter- polación en sentido estricto en el punto x ∗ y extrapolación en el punto z ∗ : 4 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales f g x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 z ∗ g(z ∗ ) f(z ∗ ) x ∗ g(x ∗ ) f(x ∗ ) interpolaci´ on extrapolaci´ on Figura 2: Interpolación y extrapolación 1.1.1. Algunos problemas de interpolación A continuación se presentan algunos problemas interpolatorios: 1. Problema de interpolación b´ asico (unidimensional). Sean una serie de datos en R 2 , (x i , y i ), i = 0, ..., m, con x 0 < x 1 < · · · < x m (con lo que en particular los x i son distintos dos a dos). Se quiere ajustar una función f real de variable real perteneciente a una determinada familia de funciones suaves F de forma que se cumpla f(x i ) = y i , i = 0, ..., m. 2. Problemas en los que se interpolan derivadas (unidimensional). A veces se plantean problemas distintos al problema de interpolación anterior, en el sentido de que se quiere interpolar no sólo el valor de la función g en unos determinados puntos sino también el valor de una o varias derivadas de g en dichos puntos. Dados una serie de datos (x i , y (k i ), i = 0, ..., m, k = 0, 1, 2, .., l con los x i distintos dos a dos, que se supone están generados por una función suave g, se quiere ajustar una función f perteneciente a una determinada familia de funciones suaves F de forma que se cumpla f (k (x i ) = y (k i , i = 0, ..., m, k = 0, 1, 2, .., l. La siguiente figura ilustra el caso en que se interpola el valor de una función y de su primera derivada en unos ciertos puntos. La función f debe pasar por unos ciertos 5 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales puntos y además, su tangente en dichos puntos debe tener una pendiente dada f 3. Problemas multidimensionales. Los problemas anteriores también se presentan en varias dimensiones, y se habla entonces de interpolación multidimensional. Supongamos que se trabaja en R n y, por simplificar, que queremos interpolar el valor de la función (pero no el de sus derivadas parciales) en unos ciertos puntos. Entonces los datos son (x i , z i ), i = 0, ..., m, donde x i = _ x 1 i , ..., x n i _ ∈ R n y z i ∈ R y se busca una función f : R n →R tal que f(x i ) = z i , i = 0, ..., m. Por ejemplo, en el caso bidimensional tenemos puntos (x 0 , y 0 ), ..., (x m , y m ) y buscamos una función f(x, y), cuya gráfica se puede interpretar como una superficie en R 3 , tal que f(x i , y i ) = z i , i = 0, ..., m (x 1 , y 1 ) f(x, y) (x 1 , y 1 , z 1 ) (x 0 , y 0 ) (x 0 , y 0 , z 0 ) (x 2 , y 2 ) (x 2 , y 2 , z 2 ) z x y Interpolación multidimensional 6 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 1.1.2. Clasificación de las técnicas de interpolación En esta sección nos restringiremos a los problemas unidimensionales. Las técnicas de interpolación se pueden clasificar atendiendo a distintos conceptos: 1. Clasificación atendiendo a la familia F de funciones utilizadas. Polinomios. Con mucho son las funciones más utilizadas en la interpolación. p(x) = a 0 +a 1 x +· · · +a n x n Como veremos más adelante, para interpolar m+1 puntos basta con tomar un polinomio de grado menor o igual que m. Polinomios a trozos. Se divide el intervalo de trabajo [x 0 , x m ] en subintervalos [x i , x i+1 ] y en cada intervalo se utiliza un polinomio distinto para interpolar los datos que corresponden a dicho subintervalo. El caso más sencillo corresponde a dividir [x 0 , x m ] en m subintervalos [x i , x i+1 ], i = 0, ..., m−1 y utilizar funciones lineales a trozos para interpolar y i y y i+1 , como muestra la siguiente figura (x 0 , y 0 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) (x 4 , y 4 ) f Otra posibilidad es dividir el intervalo [x 0 , x m ] en subintervalos en cada uno de los cuales hay 3 puntos y utilizar un polinomio cuadrático en cada subintervalo, obteniendo entonces una función cuadrática a trozos. Un ejemplo se muestra en la siguiente figura (x 0 , y 0 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) (x 4 , y 4 ) f La función f es un polinomio de grado dos en los intervalos [x 0 , x 2 ] y [x 2 , x 4 ]. Polinomios trigonométricos. Un polinomio trigonométrico de grado m es una función del tipo p(x) = a 0 +a 1 cos x +b 1 senx +a 2 cos 2x +b 2 sen2x +· · · +a m cos mx +b m senmx 7 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Utilizando que cos mx = e imx +e −imx 2 , senmx = e imx −e −imx 2i lo anterior también se puede escribir en la forma p(x) = c −m e −imx +· · · +c −1 e −ix +c 0 +c 1 e ix +· · · +c m e imx Funciones racionales. Son funciones del tipo f(x) = P(x) Q(x) donde P y Q son polinomios. La interpolación por funciones racionales funciona mejor que la interpolación por polinomios en muchos casos Splines (“smooth polinomial interpolation”): son funciones polinómicas a trozos de forma que el empalme entre los distintos trozos es “suave”. En concreto tenemos: Definición 1 Dados los puntos x 0 < x 1 < · · · < x m , un spline de grado l asociado a dichos puntos es una función s : R −→R que cumple: a) En cada intervalo [x i , x i+1 ], s(x) se reduce a un polinomio de grado menor o igual que l. b) s(x) tiene regularidad global C l−1 . Puesto que la función es polinómica en cada intervalo, es de clase infinito en el mismo. Por tanto, la condición (b) anterior es equivalente a esta otra: en cada punto de empalme las derivadas laterales hasta orden l −1 son iguales. Los splines más utilizados son los splines c´ ubicos, que no son más que polinomios c´ ubicos que se unen entre s´ı de manera que haya regularidad global C 2 , es decir, de forma que en los puntos de empalme coinciden el valor del polinomio y de sus dos primeras derivadas a ambos lados. s x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Figura 3: Spline c´ ubico 2. Atendiendo al n´ umero de puntos que se utilizan para llevar a cabo la inter- polación. 8 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Interpolación global: para interpolar el valor de la función desconocida f en el punto x, se utilizan todos o “muchos” de los datos (x i , y i ). Por ejemplo, en el caso de la Figura 2 se está utilizando la información de los 5 puntos de los que se dispone. Interpolación local : para interpolar en el punto x, sólo se utiliza una “peque˜ na parte” de los datos disponibles. En concreto, se utilizan x i que sean “vecinos” de x. Se define el orden de interpolación como el n´ umero de puntos que se utilizan para llevar a cabo la interpolación menos uno. Por ejemplo, en la siguiente figura para interpolar en x ∗ se utiliza sólo la información de los puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) mientras que interpolar en x ∗ se utiliza sólo la información de los puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) mientras que para extrapolar en x ∗ se utiliza sólo la información de los puntos (x 3 , y 3 ) y (x 4 , y 4 ) g x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 f(z ∗ ) x ∗ g(x ∗ ) f(x ∗ ) interpolaci´ on usando 3 vecinos extrapolaci´ on usando 2 vecinos z ∗ g(z ∗ ) La interpolación por polinomios a trozos es una caso particular de interpolación local. Comparación entre la interpolación global/local. Aunque en principio pudiese parecer lo contrario, un orden de interpolación muy alto no es sinónimo de una buena aproximación, . De hecho suele suceder al revés, es decir, un orden de interpolación muy alto puede conducir a resultados muy malos por dos razones: a. La función interpoladora puede oscilar mucho entre los datos. Esto se apreciaa en la 9 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales siguiente figura, en la que se interpolan 9 puntos utilizando un polinomio de grado 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −5 0 5 10 15 x p ( x ) polinomio de interpolación de grado 8 en 9 puntos equidistantes b. El problema puede estar muy mal condicionado, es decir, una variación muy peque˜ na de los datos (x i , y i ) puede hacer que la función interpoladora var´ıe apreciablemente. Por ello, en la práctica se usa interpolación local. Para interpolar el valor de f en x sólo se tienen en cuenta 2, 3 o a lo sumo 4 vecinos de x. Un ejemplo de la aplicación de esta técnica es la interpolación lineal a trozos. 3. Atendiendo al método que se utiliza para llevar a cabo la interpolación. Además, a efectos de la eficiencia del método para llevar a cabo la interpolación, hay que distinguir los casos en los que: Sólo se quiere evaluar la función interpoladora en unos ciertos puntos. Se quiere construir expl´ıcitamente dicha función interpoladora. Esta opción es más cos- tosa que la de simplemente evaluar la función en algunos puntos. Dependiendo de cuál sea nuestro objetivo, se utilizan unas técnicas computacionales u otras. 10 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 1.2. Aproximaci´ on En la aproximación hay dos problemas distintos: la aproximación discreta y la aproxima- ción continua: I. Aproximación “continua” El problema es el siguiente: Se tiene una función g de forma expl´ıcita, por ejemplo g(x) = e −x 2 senx 2 , que se quiere aproximar en un cierto intervalo [a, b] por otra más simple f de una determinada familiaF de funciones suaves. Tipos de familia F. En cuanto a la familia F de nuevo se suelen utilizar polinomios, polinomios trigonométricos, splines o funciones racionales. Con mucha frecuencia F es un subespacio vectorial de dimensión finita en el espacio de las funciones. Por ejemplo, para a, b ∈ R, el conjunto {αxe ax +β cos(bx) : α, β ∈ R} es un subespacio vectorial. Sin embargo el conjunto {βe αx : α, β ∈ R} no lo es. Criterios para elegir la función aproximante f en F. Básicamente hay dos enfoques: 1. Hacer peque˜ na en un cierto sentido la discrepancia con la función original, es decir, elegir f de forma que f −g = m´ın h∈F h −g (supuesto que dicho m´ınimo exista) donde ∗ es una determinada norma funcional para las funciones definidas en [a, b]. f g a b • 1.1. Problemas en los que la norma deriva de un producto escalar. Destacan los problemas en los que F es un subespacio de dimensión finita y la norma utilizada proviene de un producto escalar. En ese caso la solución al problema se puede hallar de forma relativamente simple, pues se sabe que la mejor aproximación a g por funciones de un subespacio vectorial F es precisamente la proyecci´ on ortogonal de g sobre F con el producto escalar que se considere. Se habla entonces de un problema de m´ınimos cuadrados (y a veces se especifica “continuo” para indicar que la norma es una norma funcional). 11 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Por ejemplo, consideremos el caso de la norma dos en un intervalo (a, b) (finito o infinito), es decir, f 2 := _ _ b a f 2 (x)dx _ 1/2 , que proviene del producto escalar estándar en (a, b). Se busca entonces g ∈ F tal que f −g 2 = m´ın h∈F h −g 2 = m´ın h∈F __ b a (h(x) −g(x)) 2 dx _ 1/2 Pues bien, la mejor aproximación a g por funciones de F en la norma dos es la proyección ortogonal de g sobre F con el producto escalar estándar, es decir, es la función f ∈ F tal que ∀h ∈ F , _ b a (g(x) −f(x)) h(x)dx = 0 • 1.2. Problemas en los que la norma no deriva de un producto escalar. Los problemas en los que la norma utilizada no deriva de un producto escalar (por ejemplo el caso de la norma 1 y la norma ∞) son considerablemente más complicados que los anteriores y no los trataremos en este curso. 2. Aproximar g eligiendo f como una función de F que interpole a g en puntos adecuados. De esta forma no se garantiza que la aproximación sea necesariamente buena salvo para los datos en los que se interpola. Sin embargo, este es un procedimiento muy utilizado. f g a b Obsérvese que este enfoque pone de manifiesto la conexión entre la interpolación y la aproximación. 12 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales II. Aproximación “discreta” En este caso no se tiene una función a aproximar sino que se quieren aproximar unos datos. Disponiendo de unos ciertos datos (x i , y i ), i = 0, 1, ..., m, se pretende “ajustar” una función f de una determinada familia de funciones F con el criterio de minimizar, con alg´ un criterio, el error e i := y i −f(x i ) que se comete en los puntos x i . Planteamiento del problema. Dados unos ciertos datos (x i , y i ), i = 0, 1, ..., m, una familia F de funciones y una norma ∗ en R m+1 , se pretende encontrar f ∈ F tal que _ _ ¯ f − ¯ y _ _ = m´ın h∈F _ _¯ h − ¯ y _ _ donde se está denotando ¯ y := (y 0 , ..., y m ) T ; ¯ f = (f(x 0 ), f(x 1 ), ..., f(x m )) T ; ¯ h = (h(x 0 ), h(x 1 ), ..., h(x m )) T es decir, elegir f ∈ F tal que (f(x 0 ) −y 0 , f(x 1 ) −y 1 , ..., f(x m ) −y m ) = m´ın h∈F (h(x 0 ) −y 0 , h(x 1 ) −y 1 , ..., h(x m ) −y m ) (1) Por ejemplo, en el caso de 4 puntos, se busca f ∈ F tal que (e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) = m´ın h∈F (h(x 0 ) −y 0 , h(x 1 ) −y 1 , h(x 2 ) −y 2 , h(x 3 ) −y 3 ) donde e 0 , e 1 , e 2 y e 3 tienen el significado que muestra la figura (x 0 , y 0 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) f e 0 e 1 e 2 e 3 Comentarios: De nuevo, destacan los problemas en los que F es un subespacio de dimensión finita y la norma (discreta) utilizada proviene de un producto escalar (discreto). La función f solución del problema cumple que el error (f(x 0 ) −y 0 , f(x 1 ) −y 1 , ..., f(x m ) −y m ) vale cero si y sólo si la función f pasa por los datos es decir, si y sólo si f interpola a los datos. 13 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales M´ınimos cuadrados discretos. El caso más importante es el de los problemas de m´ınimos cuadrados discretos, correspondientes a considerar la norma 2 en el planteamiento anterior. En ellos f se elige como la función de F que cumple m i=0 (f(x i ) −y i ) 2 = m´ın h∈F m i=0 (h(x i ) −y i ) 2 , Los problemas en los que la norma utilizada no deriva de un producto escalar (por ejemplo, en el caso de la norma 1 y la norma ∞) son considerablemente más complicados. Comentario: En I. se trabaja con normas de funciones (problema continuo) mientras que en II. se trabaja con normas en R m (problema discreto). 14 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 2. Interpolaci´ on polinomial unidimensional Muchas de las ideas que presentamos en esta sección ya fueron estudiadas en el Cap´ıtulo 2. 2.1. El espacio de los polinomios. Base de Lagrange. Sea el espacio P m de los polinomios de grado menor o igual que m. Este espacio tiene dimensión m + 1 y, como es bien sabido, la base más utilizada para P m es la denominada base canónica, formada por el sistema {1, x, ..., x m }. Base de Lagrange o base nodal asociada a unos puntos. Dados m+1 puntos distintos x 0 , ..., x m cualesquiera, se puede construir una base de P m asociada a dichos puntos y a la que se denomina base de Lagrange o base nodal asociada a los x 0 , ..., x m . Las funciones en cuestión están definidas de la siguiente forma: Para cada i = 0, ..., m, se define N i (x) como el (´ unico) polinomio que pertenece a P m y que cumple que N i (x j ) = δ ij ; j = 0, ..., m es decir, vale uno en x i y cero en el resto de los x j . Por simple inspección se comprueba que N i está dado por N i (x) = j=i x −x j x i −x j = (x −x 0 ) (x −x 1 ) · · · (x −x i−1 ) (x −x i+1 ) · · · (x −x m ) (x i −x 0 ) (x i −x 1 ) · · · (x i −x i−1 ) (x i −x i+1 ) · · · (x i −x m ) , i = 0, ..., m A continuación demostraremos que la familia anterior es una base de P m . Para comen- zar, veamos que la familia {N 0 (x), N 1 (x), ..., N m (x)} es libre. En efecto, si se considera la combinación lineal igualada a cero α 0 N 0 (x) +· · · +α m N m (x) = 0 y se hace x = x i se obtiene α i = 0, con lo que la familia es libre. Por otro lado, como la familia es libre y tiene m + 1 elementos y el espacio P m tiene dimensión m+1, dicho sistema debe ser también sistema generador. Es decir, hemos demostrado: Proposición 1 Las funciones {N 0 (x), N 1 (x), ..., N m (x)} son una base de P m . Además, al expresar un polinomio p ∈ P m en función de las N i , los coeficientes de la combinación lineal tienen una expresión muy sencilla. En efecto, haciendo p(x) = α 0 N 0 (x) +· · · +α m N m (x) 15 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales y particularizando en x = x i , se obtiene α i = p(x i ). Por lo tanto, cualquier polinomio p ∈ P m se puede expresar p(x) = p(x 0 )N 0 (x) +p(x 1 )N 1 (x) +· · · +p(x m )N m (x) es decir: Las coordenadas de un polinomio de P m en la base nodal son precisamente el valor del polinomio en los puntos x i . Ejemplos de bases nodales: Polinomios de grado 1. Si tomamos dos puntos x 0 y x 1 la base nodal asociada {N 0 , N 1 } es N 0 (x) = x −x 1 x 0 −x 1 ; N 1 (x) = x −x 0 x 1 −x 0 N 0 N 1 x 0 x 1 1 Polinomios cuadr´ aticos. Si tomamos tres puntos x 0 , x 1 y x 2 , la base nodal asociada {N 0 , N 1 , N 2 } es N 0 (x) = (x −x 1 ) (x −x 2 ) (x 0 −x 1 ) (x 0 −x 2 ) ; N 1 (x) = (x −x 0 ) (x −x 2 ) (x 1 −x 0 ) (x 1 −x 2 ) ; N 2 (x) = (x −x 0 ) (x −x 1 ) (x 2 −x 0 ) (x 2 −x 1 ) N 0 N 2 x 0 x 2 1 x 1 N 1 Polinomios c´ ubicos. Si tomamos cuatro puntos x 0 , x 1 , x 2 y x 3 , la base nodal asociada {N 0 , N 1 , N 2 , N 3 } es N 0 (x) = (x −x 1 ) (x −x 2 ) (x −x 3 ) (x 0 −x 1 ) (x 0 −x 2 ) (x 0 −x 3 ) ; N 1 (x) = (x −x 0 ) (x −x 2 ) (x −x 3 ) (x 1 −x 0 ) (x 1 −x 2 ) (x 1 −x 3 ) N 2 (x) = (x −x 0 ) (x −x 1 ) (x −x 3 ) (x 2 −x 0 ) (x 2 −x 1 ) (x 2 −x 3 ) ; N 3 (x) = (x −x 0 ) (x −x 1 ) (x −x 2 ) (x 3 −x 0 ) (x 3 −x 1 ) (x 3 −x 2 ) 16 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales N 0 N 3 x 0 x 3 1 x 1 N 1 x 2 N 2 2.2. Expresión de Lagrange para el polinomio interpolador El problema de la interpolación de Lagrange. Este problema se puede plantear de dos formas casi equivalentes. El primer planteamiento es: Planteamiento del problema (1). Interpolación de datos. Dados m + 1 datos (x j , y j ), j = 0, ...., m donde los x 0 , x 1 , ..., x m son distintos dos a dos, el problema que nos planteamos es el de encontrar un polinomio p m de grado a lo sumo m que pase por los puntos (x j , y j ), es decir, tal que p m (x j ) = y j , j = 0, 1, 2, ..., m. (2) El segundo enfoque corresponde al planteamiento anterior en el caso en que los puntos y j son el valor de una cierta función f en los puntos x j . En concreto tenemos: Planteamiento del problema (2). Interpolación de una función. Dada una fun- ción f y m+1 puntos x 0 , x 1 , ..., x m distintos dos a dos, se quiere encontrar un polinomio p m de grado a lo sumo m que interpole los valores de f en los x i , es decir, tal que p m (x j ) = f(x j ), j = 0, 1, 2, ..., m. Comentario: en principio la existencia del polinomio p m que cumpla las condiciones (2), aunque no está garantizada de antemano, es plausible, puesto que el n´ umero de condiciones exigidas (m + 1) coincide con el de n´ umero de “grados de libertad”, es decir, con el n´ umero de coeficientes del polinomio. Existencia e unicidad de solución. Nos planteamos si el problema de interpolación anterior tiene solución, y en caso afirmativo, si la solución es ´ unica. El siguiente resultado da respuesta afirmativa a ambas cuestiones: 17 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Proposición 2 Dada f y m + 1 puntos distintos x 0 , x 1 , ..., x m existe un solo polinomio p ∈ P m que cumple que p(x j ) = y j con j = 0, 1, 2, ..., m. Además, dicho polinomio, es p(x) = m i=0 y i N i (x) (3) donde los N i (x) son los elementos de base de Lagrange o base nodal asociada a x 0 , x 1 , ...x m . A la forma anterior de escribir el polinomio interpolador se denomina polinomio interpolador de Lagrange. Dem. Veamos primero que el polinomio p dado por (3) cumple las condiciones. Claramente es un polinomio de P m , pues es una combinación lineal de los N i , que son polinomios de P m . Además, usando que N i (x j ) = δ ij tenemos que p(x j ) = m i=0 y i N i (x j ) = m i=0 y i δ ij = y j , j = 0, ...., m como debe ser, con lo que p es solución a nuestro problema de interpolación. Demostremos ahora la unicidad. Sean dos polinomios p, q que sean soluciones al problema de interpolación.Entonces el polinomio h := p −q cumple que pertenece a P m y además h(x j ) = p(x j ) −q(x j ) = y j −y j = 0, j = 0, ..., m por lo que h tiene al menos m + 1 ceros (en los puntos x 0 , x 1 , .., .x m ). Por el el Teorema Fundamental del ´ Algebra sabemos que el ´ unico polinomio que puede tener más ceros que su grado es el polinomio idénticamente nulo (que tiene infinitos ceros). Por tanto debe ser h = p −q = 0, e sdecir, p = q Cálculo del polinomio interpolador resolviendo un sistema. En vez de utilizar los razonamientos de la Proposición 2 para demostrar la existencia y la unicidad del polinomio interpolador y obtener la expresión del mismo, también se podr´ıa haber razonado planteando un sistema de ecuaciones, aunque este procedimiento es más complicado y poco eficiente a efectos computacionales. En efecto, imponiendo las condiciones del problema de interpolación p(x) = a 0 +a 1 x +· · · +a m x m , (4) p(x i ) = y i , i = 0, 1, ..., m se llega al sistema a 0 +a 1 x i +· · · +a m x m i = y i , i = 0, 1, ..., m es decir _ ¸ ¸ ¸ _ 1 x 0 · · · x m 0 1 x 1 · · · x m 1 . . . . . . . . . . . . 1 x m · · · x m m _ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ _ a 0 a 1 . . . a m _ ¸ ¸ ¸ _ = _ ¸ ¸ ¸ _ y 0 y 1 . . . y m _ ¸ ¸ ¸ _ (5) 18 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales La matriz del sistema anterior es una matriz de Vandermonde. Se sabe que, como los x i son distintos dos a dos, la matriz de Vandermonde anterior es regular. Por ello el sistema es compatible determinado y por ello hay solución y esta es ´ unica. Si se resuelve el sistema se calculan los a i y por ello se tiene el polinomio buscado. Comentario: el polinomio interpolador p m es ´ unico. Lo que se denomina “polinomio interpolador de Lagrange” no es más que una forma particular de escribir el polinomio interpolador p m . Por ejemplo, el polinomio (4) con los a i correspondientes a resolver el sistema (5) es el polinomio interpolador (es decir, coincide con (3) pero no está en la forma de Lagrange. Caso general en cuanto a n´ umero de puntos y al grado del polinomio interpolador. Considérese el caso en el que se tienen m+1 puntos (distintos) y el polinomio buscado es de grado n. Pues bien se tiene: Proposición 3 a. Si m = n, existe solución ´ unica (esto ya se ha demostrado anteriormente) b. Si n > m existen infinitas soluciones. c. Si n < m, en general no existe solución, aunque ésta podr´ıa existir en alg´ un caso particular. Ejercicio 1 Demostrar la Proposición anterior. Indicación: el rango de una matriz de Van- dermonde R p×q asociada a q puntos distintos es el máximo posible, es decir, m´ın (p, q). Inconveniente de la forma de Lagrange para el polinomio interpolador. La forma de Lagrange para el polinomio interpolador tiene los siguientes inconvenientes: a) A efectos de computar expl´ıcitamente el polinomio: Si una vez que se ha obtenido p m , se quieren a˜ nadir más puntos x m+1 , x m+2 , ...x m+h a los m+1 iniciales y obtener un nuevo polinomio que interpole los puntos ya interpolados más los a˜ nadidos, es necesario calcularse de nuevo los N i (x) y no se puede aprovechar el trabajo ya hecho. Con el fin de evitar este inconveniente se utiliza una nueva forma de escribir el polinomio interpolador, denominada forma de Newton del polinomio interpolador. b) A efectos de calcular p m (x) para un x concreto. El implementar la fórmula (3) es muy costoso computacionalmente. El uso de la forma de Newton del polinomio interpolador también es ineficiente, pues no necesitamos calcular p m expl´ıcitamente sino que sólo queremos evaluarlo en un punto. La mejor solución es utilizar un procedimiento de interpolación lineal iterativa, como por ejemplo el algoritmo de Neville. Caso en el que los puntos están equiespaciados. En el caso de tener m + 1 puntos equiespaciados en el intervalo [a, b], conviene resolver el problema de interpolación para m+1 puntos equiespaciados en un intervalo estándar, normalmente el [−1, 1], y pasar luego al intervalo [a, b] mediante un cambio de variable que transforme los puntos equiespaciados de [−1, 1] en puntos equiespaciados de [a, b]. 19 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Para ello se utiliza un cambio af´ın (dilatación seguido de traslación) de variable. El cambio af´ın de variable que transforma [a, b] en [−1, 1] es x = φ(ξ) = b −a 2 ξ + b +a 2 de forma que si el polinomio q(ξ) interpola a f en los puntos equiespaciados ξ 0 , ...ξ m de [−1, 1], entonces el polinomio p(x) = q(φ −1 (x)) = q( 1 b −a [2x −(a +b)]) interpola a f en los puntos equiespaciados x i := φ(ξ i ), i = 0, ..., m de [a, b]. Obsérvese que como el cambio es af´ın, si q es un polinomio de grado menor o igual que m, el polinomio p(x) = q(φ −1 (x)) también es un polinomio de de grado menor o igual que m. 2.3. Error en la interpolaci´ on polinomial Queremos estudiar el error que se comete al aproximar una función f por su polinomio de interpolación p m en unos ciertos puntos x 0 , ..., x m . Error al aproximar una función por su polinomio de Taylor Comencemos haciendo algunos comentarios sobre la aproximación de una función por su polinomio de Taylor en un cierto punto: Sea f una función de clase C m+1 en el entorno de un punto x 0 . Entonces f puede apro- ximarse en el entorno de dicho punto por su polinomio de Taylor de grado m. ´ Este se define como el polinomio t m (x) ∈ P m tal que la función y el polinomio coinciden, ellos y sus m primeras derivadas, en el punto x 0 , es decir, t m (x) cumple las m+ 1 condiciones t (k m (x 0 ) = p (k (x), k = 0, 1, ..., m El polinomio t m (x) está dado por t m (x) = f(x 0 ) +f (x 0 )(x −x 0 ) + 1 2! f (x 0 )(x −x 0 ) 2 + 1 3! f (x 0 )(x −x 0 ) 3 +. · · · · · · + 1 m! f (m (x 0 )(x −x 0 ) m y se puede demostrar que el error en cada punto x está dado por f(x) −t m (x) = f (m+1 (ξ) (m+ 1)! (x −x 0 ) m+1 , ξ ∈ S(x 0 , x) donde S(x 0 , x) denota el segmento que une los puntos x 0 y x. Se observa que la aproximación es buena cuando x está próximo al punto x 0 alrededor del cual se está desarrollando pero no lo es cuando x se aleja de x 0 . Esto es lógico pues t m (x) se elige teniendo en cuenta sólo el comportamiento de la función en el punto x 0 . 20 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Error al aproximar una función por su polinomio de interpolación de Lagrange Queremos ahora encontrar un resultado similar al anterior pero considerando el polinomio interpolador de Lagrange. Como en el caso anterior hay también m+1 condiciones pero ahora el polinomio se elige para coincidir con la función en m+1 puntos distintos. El error cometido en la aproximación viene dado por el siguiente resultado: Proposición 4 Expresión del error de interpolación Sea f(x) una funci´ on derivable m+1 veces en el intervalo [a, b]. Sea p m (x) el polinomio de interpolación que cumple f(x i ) = p m (x i ) con i = 0, 1, ..., m, donde los puntos x i cumplen a ≤ x 1 < x 2 < · · · < x m ≤ b son distintos y están contenidos en el intervalo [a, b]. Entonces, para cada x ∈ [a, b] existe un punto ξ (que depende de x) que cumple m´ın(x 0 , x) ≤ ξ ≤ máx(x m , x) y tal que: f(x) −p m (x) = (x −x 0 )(x −x 1 ).....(x −x m ) (m+ 1)! f (m+1 (ξ) = w(x) (m+ 1)! f (m+1 (ξ) (6) donde w(x) := (x −x 0 ) (x −x 1 ) · · · (x −x m ) ∈ P m+1 Comentarios: Este resultado es válido tanto para la interpolación como para la extrapolación. La forma del resto es similar a la que se obtiene en el caso del polinomio de Taylor con la salvedad de que: • El punto en el que se calcula la derivada no tiene por qué ser el mismo en ambos casos. • Sustitución del factor (x−x 0 ) m+1 en el caso del polinomio de Taylor por el factor w(x) en el caso del polinomio de interpolación. • La comparación de (x − x 0 ) m+1 con (x −x 0 ) (x −x 1 ) · · · (x −x m ) hace pensar que, en la mayor´ıa de las ocasiones, cuando el punto x esté alejado de x 0 , el error será más peque˜ no al utilizar el polinomio de interpolación que al utilizar el polinomio de Taylor. De (6) tenemos que para acotar el error de interpolación en un cierto intervalo, se necesita una cota para w(x) en dicho intervalo. Se puede demostrar que si h es la distancia más grande entre puntos de interpolación vecinos, entonces máx x∈[a,b] |w(x)| ≤ m! 4 h m+1 es decir, w(x) ∞ ≤ m! 4 h m+1 donde se ha usado la definición de norma infinito de una función en un intervalo [a, b], es decir, h(x) ∞ := máx x∈[a,b] |h(x)| 21 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Entonces se puede escribir ∀x ∈ [a, b] , |f(x) −p m (x)| = 1 (m+ 1)! |w(x)| ¸ ¸ ¸f (m+1 (ξ x ) ¸ ¸ ¸ ≤ ≤ 1 (m+ 1)! m! 4 h m+1 ¸ ¸ ¸f (m+1 (ξ x ) ¸ ¸ ¸ = h m+1 4(m+ 1) ¸ ¸ ¸f (m+1 (ξ x ) ¸ ¸ ¸ Por ello, hemos llegado a lo siguiente: Si se conoce una cota para la derivada de orden m+1 de f en el intervalo [a, b], es decir, si se sabe que ∀x ∈ [a, b], ¸ ¸ ¸f (m+1 (x) ¸ ¸ ¸ ≤ M entonces ∀x ∈ [a, b] , |f(x) −p m (x)| ≤ M 4(m+ 1) h m+1 (7) La expresión (7) permite acotar el error o, visto desde otro punto de vista, dada una tolerancia máxima ε para el error, determinar el h máximo tal que el error en todos los puntos es menor o igual que ε. Existen también resultados para caracterizar el error cometido al aproximar las derivadas de la función por las derivadas del polinomio de interpolación. A este respecto se tiene el siguiente resultado: Proposición 5 Expresión del error en las derivadas. En las mismas hipótesis de la proposición 4 anterior, sea k ∈ {1, ..., m}. Entonces, para cada x ∈ [a, b] existen puntos α 1 , ..., α m−k+1 y ξ, todos ellos dependientes de x, contenidos en [a, b] tales que f (k (x) −p (k m (x) = (x −α 1 )(x −α 2 ).....(x −α m−k+1 ) (m−k + 1)! f (m+1 (ξ) 2.4. Interpolaci´ on con polinomios afines, cuadráticos y c´ ubicos En esta sección particularizaremos los resultados de al sección anterior al caso de trabajar con polinomios de grados 1, 2 y 3. Caso general Sea f suficientemente regular en el intervalo [a, b] y sean los puntos x 0 , x 1 , x 2 , x 3 pertene- cientes a dicho intervalo. En lo sucesivo denotaremos y i := f(x i ). 1. Interpolación con polinomios afines: Consideramos los puntos (x 0 , y 0 ) y (x 1 , y 1 ) de [a, b]. El polinomio interpolador en dichos puntos es p(x) = y 0 N 0 (x) +y 1 N 1 (x) = y 0 x −x 1 x 0 −x 1 +y 1 x −x 0 x 1 −x 0 = = 1 x 1 −x 0 (y 1 (x −x 0 ) −y 0 (x −x 1 )) = y 1 −y 0 x 1 −x 0 x + y 0 x 1 −y 1 x 0 x 1 −x 0 22 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales El error de interpolación es ∀x ∈ [a, b] , f(x) −p(x) = (x −x 0 )(x −x 1 ) 2 f (2 (ξ x ), ξ x ∈ [a, b] 2. Interpolación con polinomios cuadráticos: Dados los puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) de [a, b], el polinomio interpolador en dichos puntos es p(x) = y 0 (x −x 1 ) (x −x 2 ) (x 0 −x 1 ) (x 0 −x 2 ) +y 1 (x −x 0 ) (x −x 2 ) (x 1 −x 0 ) (x 1 −x 2 ) +y 2 (x −x 0 ) (x −x 1 ) (x 2 −x 0 ) (x 2 −x 1 ) o bien, operando, p(x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 (8) con _ _ a 0 a 1 a 2 _ _ = _ ¸ ¸ _ y 1 x 0 x 2 2 −x 2 1 x 0 y 2 +x 2 0 x 1 y 2 −x 2 0 x 2 y 1 −y 0 x 1 x 2 2 +x 2 1 x 2 y 0 x 1 x 2 0 −x 1 x 2 2 +x 0 x 2 2 −x 0 x 2 1 +x 2 x 2 1 −x 2 x 2 0 −x 2 0 y 2 +x 2 0 y 1 +y 0 x 2 2 −y 0 x 2 1 −y 1 x 2 2 +x 2 1 y 2 x 1 x 2 0 −x 1 x 2 2 +x 0 x 2 2 −x 0 x 2 1 +x 2 x 2 1 −x 2 x 2 0 − −x 1 y 0 +x 2 y 0 +x 1 y 2 −x 0 y 2 +x 0 y 1 −x 2 y 1 x 1 x 2 0 −x 1 x 2 2 +x 0 x 2 2 −x 0 x 2 1 +x 2 x 2 1 −x 2 x 2 0 _ ¸ ¸ _ (obsérvese lo complicado de la expresión (8). El error de interpolación es ∀x ∈ [a, b] , f(x) −p(x) = (x −x 0 )(x −x 1 )(x −x 2 ) 6 f (3 (ξ x ), ξ x ∈ [a, b] 3. Interpolación con polinomios c´ ubicos: Dados los puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) de [a, b], el polinomio interpolador en dichos puntos es p(x) = y 0 (x −x 1 ) (x −x 2 ) (x −x 3 ) (x 0 −x 1 ) (x 0 −x 2 ) (x 0 −x 3 ) +y 1 (x −x 0 ) (x −x 2 ) (x −x 3 ) (x 1 −x 0 ) (x 1 −x 2 ) (x 1 −x 3 ) + +y 2 (x −x 0 ) (x −x 1 ) (x −x 3 ) (x 2 −x 0 ) (x 2 −x 1 ) (x 2 −x 3 ) +y 3 (x −x 0 ) (x −x 1 ) (x −x 2 ) (x 3 −x 0 ) (x 3 −x 1 ) (x 3 −x 2 ) El error de interpolación es ∀x ∈ [a, b] , f(x) −p(x) = (x −x 0 )(x −x 1 )(x −x 2 )(x −x 3 ) 24 f (4 (ξ), ξ ∈ [a, b] Caso en el que los puntos están equiespaciados Como ya se ha indicado, en ese caso conviene trabajar en el intervalo estándar [−1, 1] y pasar luego al intervalo que nos interese mediante el cambio x = φ(ξ) = b −a 2 ξ + b +a 2 23 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales de forma que si el polinomio q(ξ) interpola a f en los puntos equiespaciados ξ 0 , ...ξ m de [−1, 1], entonces el polinomio p(x) = q(φ −1 (x)) = h( 1 b −a [2x −(a +b)]) interpola a f en los puntos x i := φ(ξ i ), i = 0, ..., m de [a, b], puntos que, al ser φ af´ın, estarán también equiespaciados. 1. Interpolación con funciones afines. Los puntos de interpolación son −1 y 1. Las funciones de base son N −1 (x) = 1 2 (1 −x) y N 1 (x) = 1 2 (1 +x) o, usando una notación más compacta, N a (x) = 1 4 (1 +ax) , a = −1, 1 Estas funciones de base son las que aparecen en los elementos finitos unidimensionales en los que como grados de libertad se consideran el valor de la función en los extremos del elemento. 2. Interpolación con polinomios cuadráticos: Los puntos de interpolación son −1, 0 y 1 Las funciones de base son N 0 (x) = 1 −x 2 , N 1 (x) = 1 2 x(x + 1), N −1 (x) = 1 2 x(x −1) 24 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Su representación gráfica es −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 funciones de base de Lagrange de grado 2 para puntos equiespaciados en [−1,1] f−1 f0 f1 3. Interpolación con polinomios c´ ubicos: Los puntos de interpolación son −1, −1/3, 1/3 y 1 Las funciones de base son N −1 (x) = − 9 16 (x + 1 3 )(x − 1 3 )(x −1), N −1/3 (x) = 27 16 (x + 1)(x − 1 3 )(x −1), N 1/3 (x) = − 27 16 (x + 1)(x + 1 3 )(x −1), N 1 (x) = 9 16 (x + 1)(x + 1 3 )(x − 1 3 ) 25 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Su representación gráfica es −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 base de Lagrange de grado 3 para puntos equiespaciados en [−1,1] f−1 f−1/3 f1/3 f1 26 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 2.5. Polinomio interpolador de Newton: Diferencias divididas Motivación. La forma de Lagrange para el polinomio interpolador tiene los siguientes inconvenientes: Su cálculo requiere muchas operaciones. Si previamente se ha construido el polinomio interpolador p de f en los puntos x 0 , ..., x m y se quiere construir el polinomio interpolador q en un punto más, es decir, en los puntos x 0 , ..., x m , x m+1 , hay que empezar desde cero pues el polinomio p no se puede utilizar. Por las razones anteriores, existe una forma, denominada forma de Newton, para el polinomio interpolador que además de ser más eficiente que la de Newton desde el punto de vista computacional, permite aprovechar el trabajo realizado cuando se a˜ nade un punto más a los nudos de interpolación. Expresión de Newton del polinomio interpolador Planteamiento del problema. Supónganse m+1 puntos distintos (pero no necesariamente ordenados) x 0 , x 1 , ..., x m y supongamos que p m−1 ∈ P m−1 cumple las condiciones p(x i ) = f(x i ) con i = 0, 1, ..., m−1 y que a partir de él queremos obtener p m ∈ P m que cumpla: a) p(x i ) = f(x i ) para i = 0, 1, ..., m−1, m. b) p m (x) = p m−1 (x) +q m (x) con q m ∈ P m , es decir, se quiere determinar p m (x) a partir de p m−1 (x) sumándole un cierto polinomio. Determinemos cuál debe ser la expresión de q m para que se cumpla (a). Puesto que p m y p m−1 coinciden en los m primeros puntos forzosamente q m debe anularse en ellos, y como q m ∈ P m forzosamente debe ser de la forma q m (x) = a m (x −x 0 )(x −x 1 ) · · · (x −x m−1 ). Como además se quiere que f(x m ) = p m−1 (x m ) +q m (x m ) debe cumplirse que a m = 1 (x m −x 0 )(x m −x 1 ).....(x m −x m−1 ) (f(x m ) −p m−1 (x m )) (9) donde a m es el coeficiente del término de mayor grado en q m . Diferencias divididas. A a m en (9) se le denomina diferencia dividida de n-ésimo orden de f correspondiente a los puntos x 0 , x 1 , ..., x m . Para indicar que depende de los valores de la función en los puntos x 0 , x 1 , ..., x m la denotaremos f [x 0 , x 1 , ..., x m ] := a m = f(x m ) −p m−1 (x m ) (x m −x 0 )(x m −x 1 ) · · · (x m −x m−1 ) Expresión de Newton del polinomio interpolador. Teniendo en cuenta que el polinomio interpolador de orden cero es el polinomio constante p 0 (x) = f(x 0 ) se obtiene de inmediato 27 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales que: p 1 (x) = f(x 0 ) +a 1 (x −x 0 ) p 2 (x) = f(x 0 ) +a 1 (x −x 0 ) +a 2 (x −x 0 )(x −x 1 ) y as´ı hasta p m (x) = f(x 0 ) +a 1 (x −x 0 ) +a 2 (x −x 0 )(x −x 1 ) +· · · +a m (x −x 0 )(x −x 1 ) · · · (x −x m−1 ) Por tanto, utilizando la notación en diferencias divididas, p m (x) = f[x 0 ] +f[x 0 , x 1 ](x −x 0 ) +f[x 0 , x 1 , x 2 ](x −x 0 )(x −x 1 ) +· · · + +f[x 0 , x 1 , ..., x m ](x −x 0 )(x −x 1 ) · · · (x −x m−1 ). donde por convenio se define f[x i ] := f(x i ). A esta expresión del polinomio interpolador se la denomina forma de Newton del polinomio interpolador. Recurrencia para las diferencias divididas La forma de Newton del polinomio interpolador de Newton tiene la ventaja, ya comentada, de que para calcular el polinomio interpolador en m puntos se puede utilizar el de m−1 puntos y basta con sumarle un nuevo término. A continuación se trata de encontrar un algoritmo que permita obtener recurrentemente los coeficientes a j que aparecen en la expresión del polinomio. Comenzamos dando una propiedad de las diferencias divididas. Como el polinomio interpolador es independiente del orden en el que se consideren sus puntos y f[x 0 , x 1, ..., x m ] es el coeficiente de x m en el polinomio interpolador, se tiene que las diferencias divididas son funciones simétricas de sus argumentos. Por ejemplo, f[x 0 , x 1, ..., x m ] = f[x m , x 1, ..., x 0 ] Para obtener una recurrencia entre las diferencias divididas de distinto orden se considera el polinomio interpolador de Newton pero tomando primero los puntos en el orden x 0 , x 1 , ..., x m−1 , x m y después intercambiando el lugar de los dos ´ ultimos x 0 , x 1 , ..., x m , x m−1 . El polinomio es ´ unico y por ello independiente del orden en que se consideran los puntos. As´ı, por un lado p m (x) = f[x 0 ] +f[x 0 , x 1 ](x −x 0 ) +f[x 0 , x 1, x 2 ](x −x 0 )(x −x 1 ) +· · · +f[x 0 , ..., x m−1 ](x −x 0 )(x −x 1 )...(x −x m−2 ) +f[x 0 , ..., x m ](x −x 0 ) · · · (x −x m−2 )(x −x m−1 ) y por otro p m (x) = f[x 0 ] +f[x 0 , x 1 ](x −x 0 ) +f[x 0 , x 1, x 2 ](x −x 0 )(x −x 1 ) +· · · +f[x 0 , ..., x m ](x −x 0 )(x −x 1 )...(x −x m−2 ) +f[x 0 , ..., x m−1 ](x −x 0 )....(x −x m−2 )(x −x m ) 28 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Restando estas dos ´ ultimas expresiones y teniendo en cuenta que, seg´ un acabamos de ver, f[x 0 , ..., x m−2, x m−1 , x m ] = f[x 0 , ..., x m−2, x m , x m−1 ], se llega a 0 = f[x 0 , ..., .x m−2, x m−1 , x m ]((x−x m−1 )−(x−x m ))+f[x 0 , ..., x m−2, x m−1 ]−f[x 0 , ..., x m−2, x m ] Despejando la diferencia dividida de mayor orden en términos de las otras, se obtiene: Las diferencias divididas se pueden calcular recurrentemente a través de: f[x 0 , ..., x m−2, x m−1 , x m ] = f[x 0 , ..., x m−2, x m ] −f[x 0 , ..., x m−2, x m−1 ] x m −x m−1 Comentario: Aunque la recurrencia se ha obtenido intercambiando los puntos x m−1 y x m y la notación puede dar a entender que deben ser puntos contiguos, no es as´ı. De hecho, en ning´ un paso se requiere que los puntos x i estén en un orden determinado y el orden podr´ıa ser cualquier otro. Ejemplo. Puesto que f[x] = f(x), se tiene: f[x 0 , x 1 ] = f(x 1 ) −f(x 0 ) x 1 −x 0 f[x 1 , x 2 ] = f(x 1 ) −f(x 2 ) x 1 −x 2 f[x 0 , x 1, x 2 ] = f[x 0 , x 1 ] −f[x 1 , x 2 ] x 0 −x 2 y as´ı sucesivamente. Resumen. El algoritmo de Newton para calcular el polinomio interpolador se sintetiza en el siguiente cuadro: p m (x) = f(x 0 ) +f[x 0 , x 1 ](x −x 0 ) +f[x 0 , x 1, x 2 ](x −x 0 )(x −x 1 ) +.... (10) +f[x 0 , x 1, ..., x m ](x −x 0 )(x −x 1 )...(x −x m−1 ). donde f[x 0 , x 1,...., x m−1 , x m ] = f[x 1 , ..., x m−1, x m ] −f[x 0 , ..., x m−2, x m−1 ] x m −x 0 (11) Con frecuencia se usa otra notación más compacta para las diferencias divididas f 0,1,...m := f[x 0 , x 1,.... x m−1 , x m ] Con esta notación se tiene el siguiente cuadro para obtener las diferencias de forma recurrente: 29 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales x 0 f 0 f 01 = f 1 −f 0 x 1 −x 0 x 1 f 1 f 012 = f 12 −f 01 x 2 −x 0 f 12 = f 2 −f 1 x 2 −x 1 f 0123 = f 123 −f 012 x 3 −x 0 x 2 f 2 f 123 = f 23 −f 12 x 3 −x 1 f 01234 = f 1234 −f 0123 x 4 −x 0 f 23 = f 3 −f 2 x 3 −x 2 f 1234 = f 234 −f 123 x 4 −x 1 x 3 f 3 f 234 = f 34 −f 23 x 4 −x 2 f 34 = f 4 −f 3 x 4 −x 3 x 4 f 4 Nótese que aunque en la expresión para el polinomio interpolador sólo aparecen las diferencias divididas de la diagonal superior, calcularlas implica calcular también otras que no aparecen expl´ıcitamente en el polinomio. Nótese también que si se quieren a˜ nadir más puntos a los ya interpolados basta con ampliar el cuadro sin necesidad de volver a calcular las diferencias que ya se tienen. 30 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 2.6. Interpolaci´ on lineal iterativa: algoritmo de Neville Motivación. Ya se ha visto que si lo que se pretende es tener una expresión del polinomio interpolador, la expresión de Newton es más eficiente que la de Lagrange. Sin embargo, si lo que se pretende simplemente es, dado un x concreto, evaluar p m (x), hay procedimientos mejores que el de la expresión del polinomio de Newton. En esta sección estudiaremos la denominada interpolación lineal iterativa. Mediante esta técnica, lo que se hace es calcular el valor en un puntos x del polinomio interpolador en m puntos a partir del valor en x de ciertos polinomios interpoladores en m−1 puntos. La propiedad básica. Los métodos de interpolación lineal iterativa se basan en el siguiente resultado: Proposición 6 Denotemos mediante p i 1 ···im el polinomio interpolador de f en los puntos distintos x i 1 , ..., x im . Pues bien, si x i 1 , ..., x im , x iα y x i β son puntos distintos, el polinomio interpolador en los puntos x i 1 , ..., x im , x iα y x i β es p i 1 ···imiαi β (x) = (x −x i β )p i 1 ···imiα (x) −(x −x iα )p i 1 ···imi β (x) x iα −x i β Dem. Inmediato pues p i 1 ···imiαi β (x) cumple que p i 1 ···imiαi β (x i j ) = x i j para los m + 2 puntos i j y además tiene grado a lo sumo m+ 1 con lo que es el polinomio interpolador buscado. Hay distintos métodos que emplean el resultado anterior y que sólo difieren en el orden en que son usados los puntos x i . Algoritmo de Neville. Nosotros estudiaremos el algoritmo de Neville, en el que se genera una tabla del tipo x 0 f(x 0 ) x 1 f(x 1 ) p 01 (x) x 2 f(x 2 ) p 12 (x) p 012 (x) . . . . . . . . . . . . . . . x k f(x k ) p (k−1)k (x) p (k−2)(k−1)k (x) · · · p 01···(k−1)k (x) en la que los elementos de la tabla se obtienen a través de p i(i+1)···(i+m) (x) = (x −x i+m )p i(i+1)···(i+m−1) (x) −(x −x i )p (i+1)···(i+m) (x) x i −x i+m Nótese que en algoritmo se usan siempre los dos ´ ultimos valores obtenidos para calcular cada fila secuencialmente. La fila k tiene k elementos y para calcular un elemento de la misma sólo hay que utilizar la fila k −1 y los elementos ya calculados de la fila k. 31 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 2.7. Interpolaci´ on de Hermite Problema general de la interpolación de Hermite. Planteamiento. Dados m + 1 puntos distintos x 0 , ..., x m y una función f, se pretende encontrar un polinomio p ∈ P 2m+1 tal que interpola el valor de f y de su derivada en dichos puntos, es decir, tal que p(x i ) = f(x i ) y p (x i ) = f (x i ), i = 0, ..., m. Puesto que al polinomio en cuestión se le están pidiendo 2m + 2 condiciones, parece razonable pensar que el grado del polinomio para que el problema anterior tenga solución ´ unica es 2m+1. Pues bien, el siguiente resultado asegura que nuestra idea intuitiva es correcta: Proposición 7 El problema de la interpolación de Hermite tiene solución ´ unica. Caso en el que sólo hay dos puntos En lo sucesivo nos centraremos en el caso en que sólo hay dos puntos, es decir, en el caso m = 1, en que se consideran dos puntos a y b. En este caso se quiere interpolar la función f y su derivada en los extremos de un intervalo [a, b], es decir, dados unos valores f(a), f (a), f(b) y f (b) arbitrarios se quiere encontrar un polinomio p(x) que verifique p(x) = f(a), p (a) = f (a), p(b) = f(b) y p (b) = f (b). El polinomio en cuestión debe verificar 4 condiciones. Por ello parece razonable utilizar polinomios del espacio P 3 de los polinomios de grado menor o igual a tres. Pues bien, se demuestra que el problema de interpolación anterior con polinomios de P 3 tiene solución ´ unica. Si se consideran polinomios de grado inferior, en general no habr´ıa solución. Definimos los polinomios N a (x), N a (x), N b (x) y N b (x) mediante las condiciones N a (a) = 1, N a (a) = 0, N a (b) = 0, N a (b) = 0 N a (a) = 0, N a (a) = 1, N a (b) = 0, N a (b) = 0 N b (a) = 0, N b (a) = 0, N b (b) = 1, N b (b) = 0 N b (a) = 0, N b (a) = 0, N b (b) = 0, N b (b) = 1 Se verifica que los polinomios anteriores están dados por N a (x) = (x −b) 2 (2x −3a +b) (b −a) 3 N a (x) = (x −b) 2 (x −a) (b −a) 2 N b (x) = (x −a) 2 (−2x −a + 3b) (b −a) 3 N b (x) = (x −a) 2 (x −b) (b −a) 2 32 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales y, en el caso de trabajar en el intervalo [−1, 1], N −1 (x) = (x −1) 2 (x + 2) 4 , N −1 (x) = (x −1) 2 (x + 1) 4 N 1 (x) = (x + 1) 2 (2 −x) 4 , N 1 (x) = (x + 1) 2 (x −1) 4 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 funciones de base de Hermite en el intervalo [−1,1] fa faprima fb fbprima Pues bien, se demuestra inmediatamente que las funciones anteriores son linealmente independientes, y por tan5to una base de P 3 . A esta base se la denomina base nodal o base interpolatoria de Hermite asociada a los puntos a y b. Además, la expresión de un polinomio p ∈ P 3 en función de las funciones anteriores es p(x) = p(a)N a (x) +p (a)N a (x) +p(b)N b (x) +p (b)N b (x) Es inmediato comprobar que el polinomio c´ ubico p(x) = f(a)N a (x) +f (a)N a (x) +f(b)N b (x) +f (b)N b (x) cumple que interpola la función y sus derivadas en a y b. La base nodal anterior es la que aparece en los elementos finitos unidimensionales con 4 grados de libertad asociados al valor de la función y de su derivada en los extremos del elemento. 33 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 2.8. Polinomios de interpolaci´ on a trozos A continuación se presenta el problema de la aproximación de una función en un intervalo [a, b] mediante el uso de polinomios interpoladores en subintervalos del mismo. ´ Esta es una técnica ampliamente usada, que funciona mucho mejor que aproximaciones basadas en interpolaciones de tipo global y que constituye la base de herramientas como el método de los elementos finitos. En particular se consideran los importantes casos de aproximación lineal a trozos y de aproximación c´ ubica a trozos de Hermite. 1. Aproximación de una función mediante interpolación lineal a trozos. En cada intervalo [x i , x i+1 ] se considera la función lineal que interpola los datos y i y y i+1 . 1 2 3 4 5 6 7 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 interpolacion por funciones lineales a trozos x y Nótese que se obtienen poligonales que son continuas pero no derivables en los nudos. 2. Aproximación por polinomios c´ ubicos a trozos de Hermite Está basado en el problema de la interpolación de Hermite. En cada intervalo [x i , x i+1 ] se considera el polinomio cubico de Hermite que interpola los datos y i , y i , y i+1 y y i+1 . Se interpola as´ı tanto la función 34 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales y como su derivada en los nudos. 1 2 3 4 5 6 7 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 interpolacion por polinomios cúbicos a trozos x y Por ello la función interpoladora resultante es derivable en los nudos y se obtiene regularidad C 1 . 35 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 3. Interpolaci´ on polinomial bidimensional A continuación nos planteamos el problema de la interpolación en varias dimensiones. En concreto, consideraremos el caso bidimensional, pues la extensión a dimensiones superiores es inmediata. 3.1. Espacios de polinomios bidimensionales Los polinomios bidimensionales. Un polinomio de grado r en R 2 es una función del tipo p(x, y) = a 00 +a 10 x +a 01 y +a 20 x 2 +a 11 xy +a 02 y 2 +· · · + (12) +a r0 x r +a r−1,1 x r−1 y +· · · +a 1,r−1 xy r−1 +a 0r y r Denotamos mediante P 2 r al conjunto de los polinomios de grado menor o igual que r en R 2 . Pues bien, es inmediato comprobar que P 2 r es un espacio vectorial. A continuación nos preguntamos cuál es su dimensión. Dimensi´ on del espacio de polinomios bidimensionales. De (12) se tiene que la familia de funciones 1, x, y, x 2 , xy, y 2 , ..., x r , x r−1 y, ..., xy r−1 , y r es un sistema generador de P 2 r . Es inmediato comprobar que dicha familia es libre, con lo que con lo que constituirá una base, denominada base canónica, de P 2 r . Calculemos el n´ umero de funciones en el sistema anterior. Para cada s, s = 0, ..., r hay s + 1 términos de grado s (1 para grado cero, 2 para grado 1, 3 para grado 2, etc), de forma que en total se tienen 1 + 2 + 3 + 4 +· · · + (r + 1) = (r + 1) (r + 2) 2 funciones en la base anterior. Se verifica, por tanto: Proposición 8 La dimensión de P 2 r es (r+1)(r+2) 2 . En particular, dim(P 2 1 ) = 3, dim(P 2 2 ) = 6 y dim(P 2 3 ) = 10. 36 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 3.2. El problema de la interpolaci´ on bidimensional El problema de la interpolación en más de una dimensión no es tan sencillo como el unidimensional debido a la riqueza en la distribución de los nudos que se produce al pasar de una a más dimensiones. Por ello, cuando los puntos (x i , y i ), i = 0, ..., m no tienen una cierta estructura regular, como en el caso de la figura (x 0 , y 0 ) (x 1 , y 1 ) (x 5 , y 5 ) (x 2 , y 2 ) (x 4 , y 4 ) (x 3 , y 3 ) el problema es dif´ıcil. Por ejemplo, no es cierto que dados 6 puntos distintos p i en R 2 y una cierta función f, exista un ´ unico polinomio de P 2 2 que interpole a f en dichos puntos. Por ejemplo, si todos los puntos (p i , f(p i )) están situados sobre una l´ınea recta existen infinitos polinomios, correspondientes a los planos que pasan por dicha recta, que verifican dicha condición. Sin embargo, bajo ciertas condiciones relativas a la elección de los nudos, s´ı se puede demostrar que el problema tiene solución ´ unica. Nosotros sólo trabajaremos con nudos dis- puestos de forma regular de forma que los problemas que se planteen tendrán solución ´ unica. 3.3. Interpolaci´ on en una malla rectangular Sean x 0 , ..., x m puntos distintos dos a dos y sean y 0 , ..., y n puntos distintos dos a dos. Se consideran los (m+ 1)(n + 1) puntos (x i , y j ) , i = 0, ..., m y j = 0, ..., n. La siguiente figura ilustra el caso en que m = 3 y n = 2 y por ello tenemos 4 × 3 = 12 puntos. x 1 x 2 x 0 y 1 y 2 y 0 x 3 (x 0 , y 0 )(x 1 , y 0 ) (x 2 , y 0 ) (x 3 , y 0 ) (x 3 , y 1 ) (x 3 , y 2 ) (x 2 , y 2 ) (x 1 , y 2 ) (x 0 , y 2 ) (x 0 , y 1 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 1 ) Sea f una función definida en un abierto de R 2 que contiene a los puntos anteriores. Planteamiento del problema. El problema es: Encontrar (si existe) un polinomio p(x, y) de grado a lo sumo m en x y a lo sumo grado n en y tal que interpole a f en los nudos anteriores, es decir, p(x i , y j ) = f(x i , y j ), i = 0, ..., m ; j = 0, ..., n y, en caso de que s´ı exista, determinar si dicho polinomio es ´ unico. 37 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Resolución del problema. Para resolver el problema anterior consideremos los polinomios interpoladores de la base de Lagrange X i (x) (de grado m) correspondientes a los puntos x i y los Y j (y) (de grado n) correspondientes a los y j , es decir, los X i pertenecen a P m y cumplen X i (x j ) = δ ij , i, j = 0, ..., m y los Y j pertenecen a P n y cumplen Y j (y i ) = δ ij , i, j = 0, ..., n X i (x) = m k=0; k=i x −x k x i −x k ; i = 0, ..., m Y j (y) = n k=0; k=i y −y k y j −y k ; j = 0, ..., n Ahora definimos los (m+ 1)(n + 1) polinomios en dos variables N ij (x, y) = X i (x)Y j (y), i = 0, ..., m, j = 0, ..., n Estos polinomios N ij : Tienen grado exactamente m en x y grado exactamente n en y. Verifican N ij (x α , y β ) = δ iα δ jβ , i = 0, ..., m, j = 0, ..., n. Por ello: El polinomio p(x, y) = m i=0 n j=0 f(x i , y j )X i (x)Y j (y) (13) cumple que es de grado a lo sumo m en x y a lo sumo n en y e interpola a f en los puntos (x i , y j ) y es por ello una solución a nuestro problema de interpolación. Comentario: el polinomio (13) es de grado a lo sumo n + m pero no tiene los términos x α y β con α > m y β > n. Además, se puede demostrar que la que hemos obtenido es la ´ unica solución al problema de interpolación, es decir, se tiene: Proposición 9 El problema anterior de interpolación polinomial bidimensional tiene solu- ción ´ unica dada por (13), es decir, (13) es el ´ unico polinomio de grado a lo sumo m en x y a lo sumo n en y que interpola a f en los puntos (x i , y j ) ; i = 0, ..., m ; j = 0, ..., n. Caso en que los puntos están equiespaciados 38 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Supongamos que los x i están equiespaciados y lo mismo le sucede a los y i , es decir, x 0 , ..., x m es una partición regular de [a, b] y y 0 , ..., y n es una partición regular de [c, d]. Enton- ces la malla estará formada por los puntos equiespaciados (x i , y j ), i = 0, ..., m ; j = 0, ..., n. En este caso es más cómodo trabajar en el cuadrado estándar [−1, 1] × [−1, 1] y luego pasar al rectángulo [a, b] ×[c, d] mediante el cambio af´ın (x, y) = φ(ξ, η) dado por ξ = 1 b −a [2x −(a +b)] η = 1 d −c [2y −(c +d)] es decir, x = b −a 2 ξ + b +a 2 y = d −c 2 η + d +c 2 , Por ello: Si q(ξ, η) interpola a f en la malla (ξ i , η j ) de [−1, 1] ×[−1, 1], el polinomio p(x, y) = q(φ −1 (x, y)) = q( 1 b −a [2x −(a +b)] , 1 d −c [2y −(c +d)] interpola a f en la malla de [a, b] × [c, d] definida por los puntos (x i , y j ), i = 0, ...m, j = 0, ...n donde x i := b −a 2 ξ i + b +a 2 y i := d −c 2 η i + d +c 2 Obviamente, como q es polinomio y el cambio es “af´ın en cada letra por separado”, p es un polinomio del mismo grado en x y en y que q, con lo que en particular p y q tienen el mismo grado. Además los puntos (x i , y j ) están equiespaciados. 39 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4. Elementos finitos bidimensionales En esta sección abordamos el estudio de los elementos finitos bidimensionales más comunes. Para ello nos serán de utilidad las ideas sobre interpolación bidimensional planteadas en la sección anterior nos serán de utilidad. Atendiendo a su geometr´ıa los elementos bidimensionales podemos clasificar en: Triángulos: Mediante un cambio de variable nos los llevaremos al triángulo estándar, es decir, el de vértices 1 ≡ (1, 0), 2 ≡ (0, 1) y 3 ≡ (0, 0). Cuadriláteros: Mediante un cambio adecuado lo transformaremos en el cuadrado de vértices (−1, −1), (0, −1), (1, 1) y (−1, 1). Por ello, al construir las funciones de base nos restringiremos a este cuadrado. Tanto en el caso de los triángulos como en el de los rectángulos, al variar el espacio de funciones V h e que se considera sobre cada elemento y los grados de libertad que se definan, se tendrán distintos elementos. Recuérdese que el espacio global de funciones V h definido al pegar los espacios V h e de los distintos elementos debe respetar la condición de regularidad global que exija el problema débil. En concreto, en el caso de problemas fuertes de orden 2 la regularidad es C 1 t ( ¯ Ω) mientras que en el caso de problemas de orden 4 la regularidad necesaria es C 2 t ( ¯ Ω). Esta condición restringirá el tipo de funciones que se puede considerar sobre cada elemento de la malla. 4.1. Elementos rectángulos 4.1.1. Rectángulo C0-bilineal Definición del elemento. Sea un rectángulo de lados paralelos a los ejes coordenados con vértices 1 ≡ (x 1 , y 1 ), 2 ≡ (x 2 , y 1 ), 3 ≡ (x 2 , y 2 ), 4 ≡ (x 1 , y 2 ) y sobre él consideramos el conjunto V h e de las funciones bilineales, es decir, las funciones del tipo v(x, y) = (A+Bx)(C +Dy) = a 1 +a 2 x +a 3 y +a 4 xy (14) (x 1 , y 2 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) Ω e Claramente V h e es un espacio vectorial. Como las funciones 1, x, y y xy son linealmente independientes, la dimensión de dicho espacio es 4. Definimos como grados de libertad los valores de estas funciones en los vértices del rectángulo. La teor´ıa de interpolación bidimensional asegura que, como debe ser el caso, los 40 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales grados de libertad anteriores definen de forma ´ unica a las funciones de V h e . As´ı los 4 paráme- tros libres quedan determinados de forma ´ unica con los valores en los nudos del rectángulo. Funciones de base. Las funciones de base del elemento se pueden calcular con facilidad utilizando las ideas de la Sección 3.3. As´ı, tenemos N 1 (x, y) = x −x 2 x 1 −x 2 y −y 2 y 1 −y 2 , N 2 (x, y) = x −x 1 x 2 −x 1 y −y 2 y 1 −y 2 N 3 (x, y) = x −x 1 x 2 −x 1 y −y 1 y 2 −y 1 , N 4 (x, y) = x −x 2 x 1 −x 2 y −y 1 y 2 −y 1 Consideremos el rectángulo estándar y numeremos los vértices en los puntos 1 ≡ (−1, −1), 2 ≡ (1, −1), 3 ≡ (1, 1), 4 ≡ (−1, 1) es decir, empezando por el suroeste y procediendo en sentido contrario a las agujas del reloj, 1 ≡ (−1, −1) Ω e 2 ≡ (1, −1) 3 ≡ (1, 1) 4 ≡ (−1, 1) Entonces las funciones de base adoptan una forma muy sencilla. Vienen dadas por N 1 (x, y) = 1 4 (1 −x) (1 −y) , N 2 (x, y) = 1 4 (1 +x) (1 −y) N 3 (x, y) = 1 4 (1 +x) (1 +y) , N 4 (x, y) = 1 4 (1 −x) (1 +y) o, de forma compacta, N a (x, y) = 1 4 (1 +x a x) (1 +y a y) ; a = 1, 2, 3, 4, 41 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales −1 0 1 −1 0 1 0 0.5 1 x N 1 y −1 0 1 −1 0 1 0 0.5 1 x N 2 y −1 0 1 −1 0 1 0 0.5 1 x N 3 y −1 0 1 −1 0 1 0 0.5 1 x N 4 y Estas funciones son paraboloides hiperbólicos, y se las denomina frecuentemente funciones pagoda. −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x polinomio interpolador bilineal y Estudio de la continuidad interelementos. ¿Habrá continuidad interelementos al pegar dos rectángulos de este tipo? A esta pregunta ya le dimos respuesta en el cap´ıtulo dedicado al MEF unidimensional, pero repetiremos aqu´ı el razonamiento. Consideremos una función bilineal v(x, y). Al hacer x = cte se obtiene que v(cte, y) es un una función lineal en y y por lo tanto queda perfectamente determinada con los valores de v en los extremos del lado. Algo análogo sucede para los lados de ecuación y = cte, con lo que s´ı habrá continuidad interelementos. Claramente, no hay regularidad C 1 . 42 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales El rectángulo bilineal puede ser mezclado con el triángulo lineal preservando la continuidad interelementos, pues ambos están totalmente determinados por el valor de la función en los nudos. Trabajo con cuadriláteros cualesquiera. Hasta ahora se ha trabajado con rectángulos de lados paralelos a los ejes coordenados. Nos preguntamos si lo anterior también es válido para cuadriláteros arbitrarios o, al menos, para rectángulos con lados no paralelos a los ejes coordenados. Pues bien, se puede demostrar que el problema de interpolación por funciones bilineales en los vértices de un cuadrilátero cualquiera tiene solución ´ unica. Por ello, las funciones de V h e están determinadas de forma ´ unica por sus valores en los grados de libertad del elemento, que es la condición que se tiene que cumplir para que el elemento esté bien definido. Sin embargo, estos elementos cuadriláteros bililneales no se puede utilizar en el MEF, pues al juntar dos elementos de este tipo la funci´ on resultante no es continua en las frontera interelementos. En efecto, consideremos dos cuadriláteros (incluso dos rectángulos) unidos por un segmento que no es paralelo a los ejes coordenados, por lo que tendrá ecuación y = ax+b con a = 0. Sobre dicho segmento, una función del tipo (14) tiene la expresión v(x, ax +b) = a 1 +a 2 x +a 3 (ax +b) +a 4 x(ax +b) = α +βx +γx 2 , que es un polinomio de grado dos. Como sabemos, un polinomio de este tipo no queda determinado por su valor en dos puntos, es decir, el valor de una función de V h e sobre un lado no queda determinado por su valor en los nudos de dicho lado. Como conclusión, en general no habrá continuidad interelementos y por ello los elementos bilineales sólo pueden ser utilizados en rectángulos con lados paralelos a los ejes coordenados. El trabajo con cuadriláteros generales es posible mediante la denominada “técnica iso- paramétrica”, que se estudia en la Sección 4.3. Resumiendo, se hace un cambio de variable x = φ(ξ) de forma que el cuadrilátero pasa a ser el rectángulo estándar y se usa como espacio de funciones V h e el correspondiente al transformado inverso de las funciones bilineales. De hecho, veremos que este cambio de variable se puede llevar a cabo utilizando funciones bilineales. 43 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.1.2. Rectángulo C0-bicuadrático Definición del elemento. Sea un rectángulo de lados paralelos a los ejes coordenados. Sobre él se considera el espacio V h e de las funciones bicuadráticas v(x, y) = (A 0 +A 1 x +A 2 x 2 )(B 0 +B 1 y +B 2 y 2 ) = = c 1 +c 2 x +c 3 y +c 4 xy +c 5 x 2 +c 6 y 2 +c 7 x 2 y +c 8 xy 2 +c 9 x 2 y 2 = = 2 i=0 2 j=0 a ij x i y j que tiene dimensión 3 ×3 = 9. Definimos como grados de libertad los valores de estas funciones en los 9 puntos de la malla correspondiente al producto cartesiano de 3 puntos (que se suelen coger equiespaciados) por lado. Ω e x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 La teor´ıa de interpolación bidimensional asegura que los grados de libertad anteriores definen de forma ´ unica a las funciones de V h e , con lo que el elemento está bien definido. El rectángulo bicuadrático estándar, as´ı como la numeración estándar de los nudos, se muestra la figura Ω e 1 ≡ (−1, −1) 2 ≡ (1, −1) 6 ≡ (1, 0) 3 ≡ (1, 1) 7 ≡ (0, 1) 4 ≡ (−1, 1) 8 ≡ (−1, 0) 9 ≡ (0, 0) 5 ≡ (0, −1) Funciones de base. La siguiente figura muestra la representación gráfica de las funciones 44 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales de base del rectángulo bicuadrático estándar −1 1 −1 1 −1 0 1 x N 1 y −1 1 −1 1 −1 0 1 x N 2 y −1 1 −1 1 −1 0 1 x N 3 y −1 1 −1 1 −1 0 1 x y N 4 −1 1 −1 1 −1 0 1 x y N 5 −1 1 −1 1 −1 0 1 x y N 6 −1 1 −1 1 −1 0 1 x y N 7 −1 1 −1 1 −1 0 1 x y N 8 −1 1 −1 1 −1 0 1 x y N 9 Estudio de la continuidad interelementos. Al pegar dos elementos de este tipo (rectángu- los con lados paralelos a los ejes) hay continuidad interelementos pues al hacer x = cte, la función v(cte, y) es una parábola en y y por lo tanto queda perfectamente determinada con los valores de v en los 3 nudos del lado. Lo mismo sucede al hacer y = cte. Claramente, no hay regularidad C 1 . Si se junta un elemento bicuadrático con otro bilineal no podemos garantizar que haya continuidad en la frontera entre los dos elementos. Cuadriláteros bicuadráticos generales. Razonando como en el caso del rectángulo bilineal se llega a la conclusión de que en el MEF no se pueden utilizar cuadriláteros bicuadráticos generales (es decir, con lados que nosean paralelos a los ejes) porque no se respeta la continuidad interelementos. 45 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.1.3. Rectángulo C0-bic´ ubico Definición del elemento. Las ideas anteriores se pueden extender a elementos bic´ ubicos. En efecto, dado un rectángulo de lados paralelos a los ejes se considera el espacio V h e de las funciones bic´ ubicas v(x, y) = (A 0 +A 1 x +A 2 x 2 +A 3 x 3 )(B 0 +B 1 y +B 2 y 2 +B 3 y 3 ) = 3 i=0 3 j=0 a ij x i y j que tienen 4 × 4 = 16 parámetros libres. Definimos como grados de libertad los valores de estas funciones en los 16 puntos de la malla correspondiente al producto cartesiano de 4 puntos (que se suelen tomar equiespaciados) por lado. Ω e x 1 x 2 x 4 y 1 y 2 y 4 x 3 y 3 El rectángulo bicuadrático estándar, as´ı como la numeración estándar de los nudos, se muestra la figura Ω e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 16 13 14 Estudio de la continuidad interelementos. Al pegar dos elementos de este tipo, hay continuidad interelementos pues al hacer x = cte, la función v(cte, y) es un polinomio c´ ubico en y que y por lo tanto queda perfectamente determinado con los valores de v(cte, y) en los 4 nudos del lado en cuestión. Lo mismo sucede al hacer y = cte. Claramente, no hay regularidad C 1 . Por razones similares a las expuestas anteriormente, no se puede trabajar con elementos bic´ ubicos con lados que no sean paralelos a los ejes coordenados. Obviamente las ideas anteriores se pueden extender a elementos bicuárticos, biqu´ınticos, etc. 46 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.1.4. Elementos de la clase serendipiti Los elementos de la clase serendipiti son modificaciones de los elementos bicuadrático, bic´ ubico, etc anteriores en el que se eliminan uno o más nudos interiores. Por ejemplo, en el elemento bicuadrático se podr´ıa eliminar el nudo interior. También existen elementos en los que se eliminan nudos de alguno de los lados. Construcción de las funciones de forma para los elementos “en los que faltan nudos”. Las funciones de base para los elementos de la clase serendipiti y “otros casos” ya no son triviales de obtener pues no se trata de interpolación en una malla regular (pues en ella faltan algunos nudos). Un procedimiento para construir las funciones de base en un elemento rectangular con 4, 5, 6, 7, 8 o 9 nudos es el siguiente. La construcción se hace en el rectángulo estándar partiendo de la situación en la que sólo hay 4 nudos y luego se van agregando nudos paso a paso. Lo que se hace es: a) Numerar los nudos 1,2,3,4 para los vértices (caso bilineal), luego 5,6,7,8 para los puntos medios de los lados y 9 para el nudo interior. Cada grupo está numerado en sentido contrario a las agujas del reloj. b) Partir de N 1 , N 2 , N 3 , N 4 correspondientes al caso bilineal, es decir, N a (ξ, η) = 1 2 (1 +ξ a ξ)(1 +η a η). c) Introducción del nudo 5. Se define N 5 (ξ, η) = 1 2 (1 − ξ 2 )(1 − η) que cumple las condiciones para 1,2,3,4,5. Ahora se modifican N 1 , ..., N 4 , que ya cumpl´ıan las condiciones en los nudos 1,2,3,4 para que cumplan la condición en 5. Lo que se hace es restar un m´ ultiplo de N 5 de N 1 y N 2 (que son las otras funciones de su lado) de forma que las funciones resultantes se anulen en el nudo 5. Como N 1 y N 2 valen 1/2 en el nudo 5, si se hace N a ←N a − 1 2 N 5 ; a = 1, 2 se tiene que las nuevas N 1 y N 2 cumplen las condiciones en los nudos 1,2,3,4,5. Por ello, se tiene resuelto el problema para 5 nudos. Nótese que al introducir el nudo 5 sólo hace falta modificar las funciones bilineales de los nudos correspondientes al lado en el que está el nudo 5. d) Introducción de los nudos 6,7,8. Se procede de forma análoga a lo anterior. Se definen N 6 (ξ, η) = 1 2 (1 −η 2 )(1 +ξ) N 7 (ξ, η) = 1 2 (1 −ξ 2 )(1 +η) N 8 (ξ, η) = 1 2 (1 −η 2 )(1 −ξ) 47 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales y se modifican las funciones N 1 , N 2 , N 3 , N 4 de la siguiente forma N 1 ←N 1 − 1 2 (N 5 +N 8 ) N 2 ←N 2 − 1 2 (N 5 +N 6 ) N 3 ←N 3 − 1 2 (N 6 +N 7 ) N 4 ←N 4 − 1 2 (N 7 +N 8 ) Si algunos de los nudos 5,6,7 o 8 no existen, el procedimiento anterior es válido formal- mente simplemente haciendo igual a cero la función de base correspondiente. Pues bien, las funciones N 1 , ..., N 8 cumplen las condiciones respecto de los nudos 1,....,8. Introducción del nudo 9. Se define N 9 (ξ, η) = (1 −η 2 )(1 −ξ 2 ) que cumple las condiciones en todos los nudos. Ahora se modifican N 1 , ..., N 8 . Es mejor partir de las N 1 , ..., N 4 bilineales iniciales y no las modificadas (es decir, incorporamos el nudo 9 antes que 5,6,7 y 8). Entonces N a ←N a − 1 4 N 9 ; a = 1, 2, 3, 4 N a ←{ N a − 1 2 N 9 si el nudo a está presente 0 si el nudo a está ausente ; a = 5, 6, 7, 8 Ahora llevamos a cabo la modificación de N 1 , N 2 , N 3 , N 4 . 4.1.5. Rectángulo C1-bic´ ubico o rectángulo de Hermite Este elemento es una generalización a rectángulos [x 0 , x 1 ]×[y 0 , y 1 ] de los elementos c´ ubicos de Hermite en una dimensión que, como ya se ha visto, proporcionan continuidad C 1 . Definición del elemento y funciones de base. Sea el rectángulo [x 1 , x 2 ] ×[y 1 , y 2 ] sobre el cual se considera el espacio V h e de las funciones bic´ ubicas y sean X 0 1 (x), X 1 1 (x), X 0 2 (x) y X 1 2 (x) las funciones (c´ ubicas) de base para la interpolación de Hermite en [x 1 , x 2 ] es decir, las funciones c´ ubicas que cumplen D γ X α i (x j ) = δ αγ δ ij , α, γ = 0, 1, i, j = 1, 2 donde D γ denota la derivada de orden γ. Análogamente, sean Y 0 1 (y), Y 1 1 (y), Y 0 2 (y) y Y 1 2 (y) las funciones (c´ ubicas) de base nodal para la interpolación de Hermite en [y 1 , y 2 ], que cumplen D γ Y α i (y j ) = δ αγ δ ij , α, γ = 0, 1, i, j = 1, 2 48 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Sean las 16 funciones N αβ ij (x, y) = X α i (x)Y β j (y), i, j = 1, 2, α, β = 0, 1 Se demuestra que estas funciones son linealmente independientes. Como la dimensión del espacio de las funciones bic´ ubicas es 16, las funciones anteriores forzosamente constituyen una base del mismo. Además, si definimos D α,β v como la derivada de v respecto de x α veces y respecto de y β veces se tiene que las funciones anteriores cumplen D α,β N rs ij (x γ , y κ ) = δ αr δ βs δ iγ δ jκ para α, β, r, s, i, j, γ, k = 0, 1, es decir, son una base nodal para los 16 grados de libertad de V h e correspondiente al valor de la función y a las derivadas ∂v ∂x , ∂v ∂y y ∂ 2 v ∂x∂y en los cuatro nudos. De esta forma, se tiene que si v ∈ V h e , v se puede expresar en la forma v(x, y) = 2 i=1 2 i=1 1 α=0 1 β=0 D α,β v(x i , y j )N αβ ij (x, y) = 2 i=1 2 i=1 1 α=0 1 β=0 D α,β v(x i , y j )X α i (x)Y β j (y) (15) Se demuestra que si se tiene una malla formada por rectángulos y sobre cada rectángulo se consideran las funciones anteriores, el espacio resultante tiene regularidad C 1 . Estudio de la continuidad interelementos. Estudiemos primero la continuidad interelementos. Consideremos por ejemplo el lado que une los puntos (x 2 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ), que tiene por ecuaciones x = x 2 . Sea v ∈ V h e . Como las funciones de V h e son bic´ ubicas, g(y) := v(x 2 , y) es una función c´ ubica de y, que queda perfectamente definida por el valor de g y de su derivada (es decir, de la derivada parcial de v respecto de y) en los extremos del lado. Por ello hay continuidad en lado en cuestión. Para demostrar que hay continuidad C 1 ahora hay que demostrar que las derivadas parciales ∂v ∂x y ∂v ∂y existen en los puntos del lado anteriormente citado. Es claro que la derivada parcial ∂v ∂y existe en todos los puntos del lado, pues para cada punto (x 2 , y) del lado ∂v ∂y (x 2 , y) = g (y) que existe al ser g un polinomio. Lo que no está tan claro en principio es que exista ∂v ∂x (x, y) para cada punto del lado en cuestión. Sea y = c fijo. Entonces r(x) := v(x, c) = 2 i=1 2 j=1 1 α=0 1 β=0 D α,β v(x i , y j )X α i (x)Y β j (c) = 2 i=1 1 α=0 c iα X α i (x) para unos ciertos coeficientes c iα . Ahora, como r(x) es combinación lineal de las funciones de interpolación de Hermite en la variable x, se deduce que la derivada por la izquierda y por la derecha coinciden en cada punto x del lado en cuestión. En definitiva, se ha demostrado la regularidad C 1 en las fronteras interelementos. 49 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.2. Elementos triángulos 4.2.1. Triángulo C0-lineal Definición del elemento. Consideremos un triángulo con vértices 1 ≡ (x 1 , y 1 ), 2 ≡ (x 2 , y 2 ) y 3 ≡ (x 3 , y 3 ). Consideramos el espacio V h e de las funciones afines v(x, y) = ax +by +c y como grados de libertad el valor de la función en los vértices del triángulo. 1 3 2 Ω e V h e ≡funciones afines Funciones de base. Las funciones de base se pueden calcular planteando un sistema de ecuaciones, aunque más adelante se verá que es más cómodo trabar con las coordenadas naturales del triángulo. En efecto, si escribimos N i (x, y) = α +βx +γy tenemos: Primera función de base. El sistema resultante al imponer N 1 (x 1 , y 1 ) = 1, N 1 (x 2 , y 2 ) = 0 y N 1 (x 3 , y 3 ) = 0 es _ _ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 _ _ _ _ α β γ _ _ = _ _ 1 0 0 _ _ y su solución es _ _ α β γ _ _ = 1 det B _ _ −x 3 y 2 +x 2 y 3 −y 3 +y 2 x 3 −x 2 _ _ donde B es la matriz _ _ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 _ _ . Por ello N 1 (x, y) = 1 det B (−x 3 y 2 +x 2 y 3 + (y 2 −y 3 )x + (x 3 −x 2 )y) 50 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Nótese que det B = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 2∆, donde ∆ es el área del triángulo. Para la segunda y la tercera funciones de base se obtiene: N 2 (x, y) = 1 det B (−x 1 y 3 +x 3 y 1 + (y 3 −y 1 )x + (x 1 −x 3 )y) N 3 (x, y) = 1 det B (−x 2 y 1 +x 1 y 2 + (y 1 −y 2 )x + (x 2 −x 1 )y) que, obsérvese, se pueden obtener a partir de N 1 (x, y) mediante una permutación c´ıclica de los ´ındices. Triángulo estándar. En el caso particular del triángulo estándar de vértices 1 ≡ (1, 0), 2 ≡ (0, 1) y 3 ≡ (0, 0) 3 ≡ (0, 0) 1 ≡ (1, 0) 2 ≡ (0, 1) se obtiene N 1 (x, y) = x N 2 (x, y) = y N 3 (x, y) = 1 −x −y Estudio de la continuidad interelementos. Al pegar dos elementos de este tipo hay continuidad en la frontera entre los mismos, pues al hacer y = ax + b la función v(x, y) = α +βx +γy tiene una expresión af´ın Ax +B, y las funciones afines quedan determinadas de forma ´ unica por sus valores en dos puntos. Como conclusión, el valor sobre un lado de las funciones de V h e depende sólo del valor de la función sobre los nudos del lado y por tanto se verifica que hay continuidad interelementos. Claramente, no hay regularidad C 1 . 51 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.2.2. Coordenadas naturales para triángulos En la práctica el expresar las funciones de base en términos de x, y y z conduce a expresiones muy poco compactas. En la práctica resulta más cómodo trabajar utilizando las denominadas coordenadas naturales o coordenadas de ´ area de un punto asociada a un determinado triángulo. Definición de las coordenadas naturales de un triángulo. Sea un triángulo T de vértices (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) de manera que de cada vértice se pase al siguiente girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Dado un punto P ≡ (x, y) perteneciente al triángulo, las coordenadas de área (r, s, t) de P referidas a T se definen como r(x, y) := A 1 ∆ , s(x, y) := A 2 ∆ , t(x, y) := A 3 ∆ donde ∆ es el área del triángulo y A 1 , A 2 y A 3 están definidas en la siguiente figura 1 3 2 A 1 A 2 A 3 (x, y) Comentarios: En el nudo 1 se cumple (r, s, t) = (1, 0, 0), en el nudo 2 se cumple (r, s, t) = (0, 1, 0) y en el nudo 3 se tiene (r, s, t) = (0, 0, 1). Obviamente, de las 3 coordenadas de área solo 2 son independientes, puesto que se cumple r +s +t = 1 con lo que conocidas dos de ellas puedo determinar la tercera. Expresión de las coordenadas naturales en términos de las coordenadas carte- sianas. Sabemos de la Geometr´ıa que el área de un triángulo de vértices de vértices (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) es ∆ = 1 2 det _ _ 1 x 1 x 2 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 _ _ 52 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales si (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) se toman de forma que de uno se pase al siguiente en sentido contrario a las agujas del reloj. Si no, hay que tomar el valor absoluto de la expresión anterior, es decir ∆ = 1 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ det _ _ 1 x 1 x 2 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 _ _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Usando la expresión anterior tenemos: A 1 = 1 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 x y 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = (x 2 y 3 −x 3 y 2 ) + (y 2 −y 3 )x + (x 3 −x 2 )y 2 y por tanto r = A 1 A = (x 2 y 3 −x 3 y 2 ) + (y 2 −y 3 )x + (x 3 −x 2 )y 2∆ Análogamente se obtiene s = (x 3 y 1 −x 1 y 3 ) + (y 3 −y 1 )x + (x 1 −x 3 )y 2∆ t = (x 1 y 2 −x 2 y 1 ) + (y 3 −y 1 )x + (x 1 −x 3 )y 2∆ donde se observa que s y t se pueden obtener de r mediante permutación c´ıclica de los ´ındices. Obsérvese que las coordenadas naturales son funciones afines de x e y. En el caso del triángulo estándar, con vértices 1 ≡ (1, 0), 2 ≡ (0, 1), 3 ≡ (0, 0), se obtiene r = x s = y t = 1 −x −y De las expresiones anteriores se deduce que expresión de x e y en función de las coordenadas de área (r, s, t) es x = x 1 r +x 2 s +x 3 t y = y 1 r +y 2 s +x 3 t es decir _ x y _ = _ x 1 y 1 _ r + _ x 2 y 2 _ s + _ x 3 y 3 _ t De esta expresión se deduce con facilidad que las rectas r = cte son paralelas al lado formado por (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ), y algo análogo sucede para las rectas s = cte y t = cte. Por 53 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales ejemplo, la siguiente figura muestra algunas rectas s = cte: 1 3 2 s = 0 s = 1 s = 1/2 s = 1/3 s = 2/3 Funciones de base para el triángulo lineal estándar. Pues bien, utilizando las coordenadas naturales, las funciones de forma para el triángulo lineal tienen una forma muy sencilla. Para empezar, deduzcamos la expresión de N 1 en términos de r, s y t. N 1 es de grado 1 en x, y, y como r, s y son funciones afines de x e y, esto quiere decir que N 1 es de grado uno también en las coordenadas naturales. Ahora, N 1 se debe anular en los nudos 2 y 3 y valer 1 en el nudo 1. Si escribimos N 1 = Cr entonces N 1 es de grado 1 y además se anula en 2 y en 3, con lo que sólo queda por imponer que valga 1 en el nudo 1. Haciendo esto se obtiene C = 1 y por ello N 1 = r Análogamente se obtienen N 2 y N 3 con el siguiente resultado N 1 = r, N 2 = s, N 3 = t Obsérvese que N 2 y N 3 se pueden obtener a partir de N 1 mediante permutaciones c´ıclicas de los ´ındices. 54 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.2.3. Triángulo C0-cuadrático Definición del elemento. Consideremos un triángulo con vértices 1 ≡ (x 1 , y 1 ), 2 ≡ (x 2 , y 2 ) y 3 ≡ (x 3 , y 3 ). Consideramos el espacio V h e de las funciones cuadráticas v(x, y) = a 00 +a 10 x +a 01 y +a 20 x 2 +a 02 y 2 +a 11 xy y como grados de libertad el valor de la función en los vértices del triángulo y en los puntos medios de los lados. 1 3 2 4 5 6 V h e = polinomios cudr´ aticos Las coordenadas naturales de los nudos son 1 ≡ (1, 0, 0) , 2 ≡ (0, 1, 0) , 3 ≡ (0, 0, 1) 4 ≡ (1/2, 1/2, 0) , 5 ≡ (0, 1/2, 1/2) , 6 ≡ (1/2, 0, 1/2) Funciones de base. Con la numeración de la figura, utilizando las coordenadas naturales se obtiene N 1 = r (2r −1) , N 2 = s (2s −1) , N 3 = t(2t −1) N 4 = 4rs, N 5 = 4st, N 6 = 4rt Obsérvese que las 6 funciones de base se pueden obtener a partir de N 1 y N 4 (por ejemplo) por permutaciones c´ıclicas de los ´ındices. En el caso del triángulo estándar estas funciones tendrán la expresión N 1 = x(2x −1) , N 2 = y (2y −1) , N 3 = (1 −x −y)(2(1 −x −y) −1) (16) N 4 = 4xy, N 5 = 4y (1 −x −y) , N 6 = 4x(1 −x −y) Regularidad interelementos. Al pegar dos elementos de este tipo, hay continuidad interelementos pues sobre un lado de ecuación y = ax + b la función v(x, y) es una parábola que queda determinada de forma ´ unica por el valor de la función sobre los 3 nudos del lado en cuestión. Claramente, no hay regularidad C 1 . 55 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.2.4. Triángulo C0-c´ ubico Definición del elemento. Consideremos un triángulo con vértices 1 ≡ (x 1 , y 1 ), 2 ≡ (x 2 , y 2 ) y 3 ≡ (x 3 , y 3 ). Consideramos el espacio V h e de los polinomios c´ ubicos v(x, y) = a 00 +a 10 x +a 01 y +a 20 x 2 +a 02 y 2 +a 11 xy +a 30 x 3 +a 21 x 2 y +a 12 xy 2 +a 03 y 3 y como grados de libertad el valor de la función en los 10 puntos de la figura 1 3 2 4 6 8 V h e = polinomios c´ ubicos 5 7 9 10 que se obtienen dividiendo cada lado en 3 trozos iguales y a˜ nadiendo el centro de gravedad del triángulo. Sus coordenadas naturales son 1 ≡ (1, 0, 0) , 2 ≡ (0, 1, 0) , 3 ≡ (0, 0, 1) 4 ≡ (2/3, 1/3, 0) , 5 ≡ (1/3, 2/3, 0) 6 ≡ (0, 2/3, 1/3) , 7 ≡ (0, 1/3, 2/3) 8 ≡ (1/3, 0, 2/3) , 9 ≡ (2/3, 0, 1/3) 10 ≡ (1/3, 1/3, 1/3) Se demuestra que los grados de libertad anteriores son adecuados, es decir, que las funciones c´ ubicas quedan determinadas de forma ´ unica por dichos grados de libertad. Funciones de base. Con la numeración de la figura, utilizando las coordenadas naturales se obtiene N 1 = (3r −1) (3r −2) r 2 , N 2 = (3s −1) (3s −2) s 2 , N 3 = (3t −1) (3t −2) t 2 N 4 = 9rs(3r −1) 2 , N 5 = 9rs(3s −1) 2 N 6 = 9st(3s −1) 2 , N 7 = 9st(3t −1) 2 N 8 = 9rt(3t −1) 2 , N 9 = 9rt(3r −1) 2 N 10 = 27rst 56 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Regularidad interelementos. Al pegar dos elementos de este tipo, hay continuidad en el lado com´ un a los dos elementos, pues sobre un lado de ecuación y = ax +b la función v(x, y) es un polinomio c´ ubico en x que se ajusta con los 4 nudos del lado en cuestión. Claramente, no hay regularidad C 1 . 4.2.5. Triángulo Z3-c´ ubico Definición del elemento. Consideremos un triángulo con vértices 1 ≡ (x 1 , y 1 ), 2 ≡ (x 2 , y 2 ) y 3 ≡ (x 3 , y 3 ). El elemento triángulo Z3-c´ ubico con dichos vértices se define de la siguiente forma: Espacio de funciones V h e : polinomios c´ ubicos v(x, y) = a 00 +a 10 x +a 01 y +a 20 x 2 +a 02 y 2 +a 11 xy +a 30 x 3 +a 21 x 2 y +a 12 xy 2 +a 03 y 3 Grados de libertad: los 10 grados de libertad correspondientes a los valores de la función y de sus derivadas parciales en los vértices más el valor de la función en el centro de gravedad, es decir, v(x i , y i ), ∂v ∂x (x i , y i ), ∂v ∂y (x i , y i ), i = 1, 2, 3 v(x g , y g ) donde (x g , y g ) = (x 1 +x 2 +x 3 , y 1 +y 2 +y 3 ) 3 Se demuestra que los grados de libertad anteriores son adecuados, es decir, las funciones c´ ubicas quedan determinadas de forma ´ unica por dichos grados de libertad. Regularidad interelementos. Estudiemos si hay continuidad al pegar dos elementos de este tipo. Sobre el lado y = ax+b com´ un a los dos elementos la función v(x, y) es un polinomio c´ ubico en x. Pues bien, dicho polinomio se ajusta con el valor de la función y de la derivada en la dirección del lado en cada vértice. Recuérdese que la derivada de una función v(x, y) en la dirección de un vector (unitario) d = (d 1 , d 2 ) está definida por D d v(x, y) = gradv(x, y) · d = ∂v ∂x (x, y)d 1 + ∂v ∂y (x, y)d 2 Por tanto, hay regularidad global C 0 pero no C 1 . Esto es as´ı porque aunque las derivadas parciales s´ı son continuas en los vértices, en general no lo serán sobre la totalidad del lado com´ un a dos elementos. 57 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.2.6. Triángulo C1-qu´ıntico Para obtener mallas con regularidad global C 1 trabajando con triángulos se utilizan polinomios qu´ınticos. Veamos cómo se definen estos elementos: Definición del elemento. Se considera un triángulo con vértices 1 ≡ (x 1 , y 1 ), 2 ≡ (x 2 , y 2 ) y 3 ≡ (x 3 , y 3 ) y el espacio de funciones V h e de los polinomios qu´ınticos. Como la dimensión de este espacio es (5 + 1)(5 + 2)/2 = 21, se deben tomar 21 grados de libertad. Estos se definen como el valor de la función y de sus dervadas parciales en los vértices y además la derivada en el punto medio de cada lado seg´ un la dirección perpendicular a dicho lado, es decir, v(x i , y i ), ∂v ∂x (x i , y i ), ∂v ∂y (x i , y i ), ∂ 2 v ∂x 2 (x i , y i ), ∂ 2 v ∂y 2 (x i , y i ), ∂ 2 v ∂xy (x i , y i ), i = 1, 2, 3 ∂v ∂n ( m i ), i = 1, 2, 3 donde m i son los puntos medios de los lados y ∂v ∂n denota la derivada en la dirección perpendicular al lado en cuestión, es decir, ∂v ∂n = ∇v · n donde n es la normal unitaria saliente al lado. Regularidad interelementos. Se demuestra que en una malla definida por estos elementos se obtiene regularidad C 1 . 58 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.3. Elementos isoparamétricos 4.3.1. Descripción general de la técnica En la técnica isoparamétrica trabajaremos sólo con elementos tipo Lagrange. La principal razón para esto es que la técnica isoparamétrica, aunque permite garantizar regularidad global C 0 ( ¯ Ω), no funciona bien para garantizar regularidad global C 1 ( ¯ Ω). Motivación de la técnica isoparamétrica. La técnica isoparamétrica permite trabajar con elementos triángulos y rectángulos de forma fácil, garantizando que el pegado de elementos respeta la continuidad interelementos. Asimismo, permite definir elementos con lados curvos, que es de utilidad para aproximar al frontera de los recintos. Ideas principales de la técnica isoparamétrica. Hasta ahora, para trabajar con un elemento Ω e se segu´ıa el siguiente procedimiento: 1. Definir un espacio V h e y unos grados de libertad, con lo que se pueden definir funciones de forma N i (x) 2. Para hacer los cálculos, efectuar un cambio de variable x = φ(ξ) que lleve Ω e a un dominio estándar ˆ Ω e . Las funciones de forma en el nuevo recinto se definen como ˆ N i (ξ) = N i (φ −1 (ξ)). φ Ω e η ξ y x ˆ Ω e φ −1 φ Ω e η ξ y x ˆ Ω e φ −1 En la técnica isoparamétrica se “invierte” el proceso en el siguiente sentido: En la técnica isoparamétrica se empieza trabajando con un elemento en el dominio estándar ˆ Ω e , es decir, se fija un espacio de funciones ˆ V h e , unos ciertos nudos ξ i , y se definen funciones de base nodal ˆ N i (ξ) asociadas a esos nudos. Después se fijan unos nudos x i (en el dominio x) y usando como herramienta los x i y las funciones ˆ N i (ξ), se define un cambio de variable x = φ(ξ) a través del cual se puede definir un elemento Ω e cuyos nudos son los x i y cuyo espacio de funciones V h e y funciones de base N i son los correspondientes al elemento ˆ Ω e pero “transformados mediante la aplicación φ”. En la práctica no es necesario determinar expl´ıcitamente V h e ni las N i , pues los cálculos se hacen siempre en el dominio estándar usando las ˆ N i (ξ). 59 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales La idea anterior de trabajar con un elemento estándar ya se ha utilizado, sin hablar de elementos isoparamétricos, en el caso de elementos unidimensionales, pues al hacer los cálculos siempre se ha trabajado en el intervalo [−1, 1] y con las funciones ˆ N i (ξ). Etapas para introducir la técnica isoparamétrica. Etapa 1. Definición de el elemento ˆ Ω e . En ˆ Ω e se define un elemento con n e grados de libertad fijando un espacio de funciones ˆ V h e y unos nudos ξ i , i = 1, ..., n e . As´ı se pueden definir funciones de base ˆ N i , i = 1, ..., n e a través de las condiciones ˆ N i ∈ ˆ V h e y ˆ N i (ξ i ) = δ ij i, j = 1, ..., n e . Como sabemos, estas funciones ˆ N i , i = 1, ..., n e son una base de ˆ V h e . Etapa 2. Definición de los nudos. Se consideran n e nudos x i , i = 1, ..., n e . ´ Estos serán los nudos del elemento Ω e que se definirá más adelante. Etapa 3. Definición de un cambio de variable. Se define la transformación x = φ(ξ) a través de x = φ(ξ) := ne i=1 x i ˆ N i (ξ) (17) Algunas propiedades de φ: 1. Esta transformación cumple que φ(ξ j ) = x j , j = 1, ..., n e (18) con lo que φ(ξ i ), es decir, cada nudo ξ i se transforma en x i . 2. Puesto que las funciones ˆ N i (ξ) son polinomios, el cambio φ es polinómico, pero en general (a menos que φ sea af´ın), el cambio inverso φ −1 no será polinómico. A la transformación anterior hay que exigirle que sea un verdadero cambio de variable, es decir, la siguiente condición: (HIP1) Sea Ω e := φ( ˆ Ω e ). La transformación φ : ˆ Ω e → Ω e es un difeomorfismo de clase C 1 , es decir φ es un verdadero cambio de variable cumpliendo por tanto φ ∈ C 1 ( ˆ Ω e ), φ inyectiva en ˆ Ω e y φ −1 ∈ C 1 (Ω e ). Más adelante estudiaremos en algunos casos concretos condiciones suficientes para asegu- rar que una transformación φ cumple HIP1. Etapa 4. Definición del elemento Ω e a partir de ˆ Ω e y del cambio φ. un cambio de variable. A partir de ˆ Ω e se define el elemento Ω e de la siguiente forma: 4.1. Ω e := φ( ˆ Ω e ), es decir, Ω e es el transformado del elemento ˆ Ω e mediante la aplicación φ. 4.2. Los nudos son x i , i = 1, ..., n e . 4.3. Se define V h e := _ funciones v : Ω e →R tales que ˆ v(ξ) := v(φ(ξ)) ∈ ˆ V h e _ 60 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales es decir, V h e es el conjunto formado por las funciones que expresadas en términos de ξ pertenecen a ˆ V h e . Por ello, v ∈ V h e ⇔ ˆ v(ξ) := v(φ(ξ)) = ne i=1 α i ˆ N i (ξ) para unos ciertos α i . (19) Equivalentemente, se puede escribir V h e = _ v(x) = ˆ v(φ −1 (x)) : ˆ v ∈ ˆ V h e _ Puesto que que las funciones de V h e son la composición de las funciones de ˆ V h e con φ −1 y, como se ha visto, φ −1 no es en general polinómico, las funciones de V h e no serán en general polinomios. 4.4. Definimos las funciones N i (x) := ˆ N i (φ −1 (x)), i = 1, ..., n e . Verificación de las condiciones para el elemento Ω e . Como se ve ya hemos definido un elemento Ω e un espacio de funciones V h e , unos nudos x i y una funciones N i . Ahora nos preguntamos: ¿cumplen V h e y los x i las condiciones que necesitamos para definir un elemento? ¿Son las N i una base de V h e tal que N i (x j ) = δ ij ? En concreto nos preguntamos si V h e es un espacio vectorial de dimensión n e , si las N i son base del mismo y si N i (x j ) = δ ij . Veremos que la respuesta a todas estas preguntas es afirmativa. Es inmediato comprobar lo siguiente: Proposición 10 V h e es un espacio vectorial. Además, claramente, N i (x j ) = ˆ N i (φ −1 (x j )) = ˆ N i (ξ j ) = δ ij , i, j = 1, ..., n e . (20) Por otro lado de (19), v ∈ V h e ⇔v(x) = ne i=1 α i N i (x) y ahora, usando (20), α i = v(x i ), es decir v ∈ V h e ⇔v(x) = ne i=1 v(x i )N i (x) (21) Por ello se ha demostrado: Proposición 11 N i , i = 1, ..., n e es un sistema generador de V h e y además los coeficientes de la combinación lineal correspondiente son los valores de la función en los nudos x i . Además, de (20) se deduce inmediatamente: 61 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Proposición 12 Las N i (x), i = 1, ..., n e son linealmente independientes. Ejercicio 2 Demostrar la Proposici´ on 12. Por lo tanto, las N i (x), i = 1, ..., n e son una base de V h e . As´ı, queda demostrado que V h e es un espacio vectorial de dimensión n e , que las N i son base del mismo y que N i (x j ) = δ ij , es decir, el V h e y las N i obtenidas “transformando” ˆ V h e y las ˆ N i permiten definir el elemento Ω e . Comentario: En cada caso concreto, para que la técnica isoparamétrica sea válida hay que asegurarse de que: a. Al pegar distintos elementos se preserva la continuidad interelementos. b. φ es un verdadero cambio de variable. Puesto que φ es un cambio definido por funciones polinómicas, en particular es C 1 ( ˆ Ω e ) y por ello lo ´ unico que hay que exigir es que φ sea inyectivo en ˆ Ω e y que la inversa sea C 1 (Ω e ). En la siguiente sección se mostrará cómo evaluar en la práctica el cambio φ(ξ, η) y la matriz jacobiana φ (ξ, η) de una transformación isoparamétrica en un punto ( ¯ ξ, ¯ η) de ˆ Ω e , algo necesario al programar el MEF. Posteriormente pasaremos a dar ejemplos concretos de elementos isoparamétricos que se utilizan en las aplicaciones. 62 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.3.2. Evaluación práctica de la transformación isoparamétrica Veamos cómo evaluar en la práctica el cambio φ(ξ, η) y la matriz jacobiana φ (ξ, η) de una transformación isoparamétrica en un punto ( ¯ ξ, ¯ η) de ˆ Ω e , algo necesario al programar el MEF: φ(ξ, η) = ne i=1 _ x i y i _ ˆ N i (ξ, η) Por ello φ( ¯ ξ, ¯ η) = _ x 1 y 1 _ ˆ N 1 ( ¯ ξ, ¯ η) + _ x 2 y 2 _ ˆ N 2 ( ¯ ξ, ¯ η) +· · · + _ x ne y ne _ ˆ N ne ( ¯ ξ, ¯ η) que se puede escribir de manera compacta en la forma φ( ¯ ξ, ¯ η) = _ x 1 y 1 x 2 y 2 · · · · · · x ne y ne _ _ _ _ _ _ ˆ N 1 ( ¯ ξ, ¯ η) ˆ N 2 ( ¯ ξ, ¯ η) . . . ˆ N ne ( ¯ ξ, ¯ η) _ _ _ _ _ que es la expresión que se programa en el MEF. En cuanto a la matriz jacobiana φ (ξ, η) = _ ∂φ 1 (ξ,η) ∂ξ ∂φ 1 (ξ,η) ∂η ∂φ 2 (ξ,η) ∂ξ ∂φ 2 (ξ,η) ∂η _ = _ _ _ ne i=1 x i ∂ ˆ N i ∂ξ (ξ, η) ne i=1 x i ∂ ˆ N i ∂η (ξ, η) ne i=1 y i ∂ ˆ N i ∂ξ (ξ, η) ne i=1 y i ∂ ˆ N i ∂η (ξ, η) _ _ _ = = ne i=1 _ x i ∂ ˆ N i ∂ξ (ξ, η) x i ∂ ˆ N i ∂η (ξ, η) y i ∂ ˆ N i ∂ξ (ξ, η) y i ∂ ˆ N i ∂η (ξ, η) _ = ne i=1 _ x i y i _ _ ∂ ˆ N i ∂ξ (ξ, η) ∂ ˆ N i ∂η (ξ, η) _ Por ello φ ( ¯ ξ, ¯ η) = ne i=1 _ x i y i _ _ ∂ ˆ N i ∂ξ ( ¯ ξ, ¯ η) ∂ ˆ N i ∂η ( ¯ ξ, ¯ η) _ que se puede escribir de forma compacta φ ( ¯ ξ, ¯ η) = _ x 1 y 1 x 2 y 2 · · · · · · x ne y ne _ _ _ _ _ _ _ _ ∂ ˆ N 1 ∂ξ ( ¯ ξ, ¯ η) ∂ ˆ N 1 ∂η ( ¯ ξ, ¯ η) ∂ ˆ N 2 ∂ξ ( ¯ ξ, ¯ η) ∂ ˆ N 2 ∂η ( ¯ ξ, ¯ η) . . . . . . ∂ ˆ Nne ∂ξ ( ¯ ξ, ¯ η) ∂ ˆ Nne ∂η ( ¯ ξ, ¯ η) _ _ _ _ _ _ _ que es la expresión que se programa en el MEF. 63 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.3.3. Ejemplos de elementos triángulos isoparamétricos La técnica isoparamétrica se puede aplicar a cualquier elemento ˆ Ω e estándar. En las siguientes secciones se introducen algunos de ellos: Triángulo lineal isoparamétrico. Triángulo cuadrático isoparamétrico. Cuadrilátero bilineal isoparamétrico. Cuadrilátero bicuadrático isoparamétrico. Los dos ´ ultimos permiten trabajar con elementos con uno o más lados curvos, lo que es ´ util para aproximar la frontera del recinto en el caso en que éste no es poligonal. 4.3.4. Elemento triángulo lineal isoparamétrico En la sección 4.2.2 se estudió cómo, utilizando las coordenadas naturales del triángulo, se pueden construir de forma sencilla las funciones de forma de un triángulo lineal. Sin embargo, como ya sabemos, en la práctica no se trabaja con el triángulo Ω e y las funciones de base ˆ N e i sino que se hace una cambio x = φ(ξ) de variable (cambio que en principio hay que determinar) para transformar Ω e en el triángulo estándar ˆ Ω e , de vértices 1 ≡ (1, 0), 2 ≡ (0, 1) y 3 ≡ (0, 0) Pues bien, este proceso es equivalente a utilizar la técnica isoparamétrica, que describimos a continuación para este caso. Seguiremos punto por punto los pasos de la técnica isoparamétri- ca. Etapa 1. Definición de el elemento ˆ Ω e . Elemento ˆ Ω e : triángulo de vértices (ξ 1 , η 1 ) = (1, 0), (ξ 2 , η 2 ) = (0, 1) y (ξ 3 , η 3 ) = (0, 0) (ξ 1 , η 1 ) ≡ (1, 0) ξ η (ξ 3 , η 3 ) ≡ (0, 0) (ξ 2 , η 2 ) ≡ (0, 1) ˆ Ω e x y 64 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Espacio de funciones ˆ V h e : funciones lineales ˆ v(ξ, η) = aξ +bη +c Grados de libertad: valor de la función en los vértices del triángulo Funciones de base nodal: ˆ N 1 (ξ, η) = ξ ˆ N 2 (ξ, η) = η ˆ N 3 (ξ, η) = 1 −ξ −η En definitiva, lo anterior se puede resumir diciendo que ˆ Ω e es el triángulo lineal estándar. Etapa 2. Definición de los nudos del elemento Ω e : Tomamos 3 puntos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) en el dominio ¯ Ω. (ξ 1 , η 1 ) ≡ (1, 0) ξ η (ξ 3 , η 3 ) ≡ (0, 0) (ξ 2 , η 2 ) ≡ (0, 1) ˆ Ω e x y (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) Etapa 3. Cambio isoparamétrico. Está definido por (x, y) = (x 1 , y 1 ) ˆ N 1 (ξ, η) + (x 2 , y 2 ) ˆ N 2 (ξ, η) + (x 3 , y 3 ) ˆ N 3 (ξ, η) es decir x = x 1 ˆ N 1 (ξ, η) +x 2 ˆ N 2 (ξ, η) +x 3 ˆ N 3 (ξ, η) = x 1 ξ +x 2 η +x 3 (1 −ξ −η) y = y 1 ˆ N 1 (ξ, η) +y 2 ˆ N 2 (ξ, η) +y 3 ˆ N 3 (ξ, η) = y 1 ξ +y 2 η +y 3 (1 −ξ −η) que, como debe ser, cumple que φ(ξ 1 , η 1 ) = (x 1 , y 1 ), φ(ξ 2 , η 2 ) = (x 2 , y 2 ) y φ(ξ 3 , η 3 ) = (x 3 , y 3 ). Operando, x = (x 1 −x 3 )ξ + (x 2 −x 3 )η +x 3 y = (y 1 −y 3 )ξ + (y 2 −y 3 )η +y 3 Obsérvese que, al ser las funciones ˆ N i funciones afines, φ es un cambio af´ın. Por ello su inversa φ −1 es también af´ın. Etapa 4. Definición del elemento Ω e a partir de ˆ Ω e y del cambio φ. 65 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.1. Geometr´ıa de Ω e . Ω e se define como Ω e := φ( ˆ Ω e ). Sabemos de (18)) que φ(ξ i , η i ) = (x i , y i ), i = 1, ..., n e . (x 1 , y 1 ) = φ(ξ 1 , η 1 ) x y (ξ 1 , η 1 ) ≡ (1, 0) ξ η (ξ 3 , η 3 ) ≡ (0, 0) (ξ 2 , η 2 ) ≡ (0, 1) (x 2 , y 2 ) = φ(ξ 2 , η 2 ) (x 3 , y 3 ) = φ(ξ 3 , η 3 ) Además, como las transformaciones afines transforman rectas en rectas, se tiene que el transformado del lado que une (ξ 1 , η 1 ) con (ξ 2 , η 2 ) es el segmento que une los puntos (x 1 , x 1 ) con (x 2 , x 2 ), y algo análogo pasa con los otros dos lados. Por ello, Ω e resulta ser un triángulo (de lados rectos) (x 1 , y 1 ) = φ(ξ 1 , η 1 ) x y (ξ 1 , η 1 ) ≡ (1, 0) ξ η (ξ 3 , η 3 ) ≡ (0, 0) (ξ 2 , η 2 ) ≡ (0, 1) (x 2 , y 2 ) = φ(ξ 2 , η 2 ) (x 3 , y 3 ) = φ(ξ 3 , η 3 ) Ω e := φ( ˆ Ω e ) ˆ Ω e (x, y) = φ(ξ, η) 4.2. Los nudos del elemento son (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ). 4.3. Espacio V h e . Se define V h e := _ funciones v : Ω e →R, v(x, y) := ˆ v(φ −1 (x, y)) donde ˆ v es una función af´ın _ Como φ −1 es af´ın entonces las funciones v(x, y) = ˆ v(φ −1 (ξ, η)) son la composición de aplicaciones afines y por ello afines. Conclusión: V h e ≡ funciones afines. 4.4. Funciones de base: Definimos N i (x, y) := ˆ N i (φ −1 (x, y)), i = 1, 2, 3. Estudiemos ahora las 2 condiciones que se deben cumplir para poder trabajar con el elemento lineal Ω e as´ı definido: inyectividad de φ y continuidad interelementos. Estudio de la inyectividad del cambio. La aplicación φ es af´ın, y un cambio af´ın es inyectivo si y sólo si la matriz de la transformación es una matriz regular (es decir, si y sólo si el determinante de dicha matriz es no nulo). En nuestro caso la matriz en cuestión es A = _ x 1 −x 3 x 2 −x 3 y 1 −y 3 y 2 −y 3 _ 66 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Es sencillo verificar que det A = 0 ⇔ los puntos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) están alineados y por ello, si los puntos no están alineados el cambio será invertible y, al ser el cambio inverso φ −1 af´ın, será C 1 . Estudio de la continuidad interelementos. Es sencillo comprobar que al pegar triángulos lineales se respeta la continuidad interelementos. En efecto, como las funciones v(x, y) son afines sobre el lado frontera, de ecuación, y = αx + β, se pueden ajustar con el valor en los vértices del lado. 4.3.5. Elemento cuadrilátero bilineal isoparamétrico Motivación. Recuérdese que en el tema de introducción al MEF ya se estudió lo siguiente: si se toma un cuadrilátero Ω e y en él se considera el espacio V h de las funciones bilineales y se definen 4 grados de libertad correspondientes al valor de la función en los vértices del cuadrilátero, resulta que el elemento está bien definido (pues una función bilineal queda definida biun´ıvocamente por su valor en los vértices de un cuadrilátero). Sin embargo, ese elemento, al que denominar´ıamos “elemento cuadrilátero bilineal” no se puede utilizar en el MEF puesto que al pegarlo con otros elementos (de ese mismo tipo, triángulos lineales, etc) la función resultante no es continua en la frontera interelementos. En esta sección vamos a introducir un elemento, el “elemento cuadrilátero bilineal isoparamétrico” que permite trabajar con cuadriláteros y que se verifique la condición de continuidad interelementos. Para ello vamos a seguir uno a uno los puntos de la técnica general isoparamétrica: Etapa 1. Definición del elemento ˆ Ω e : Elemento ˆ Ω e : rectángulo de vértices (ξ 1 , η 1 ) = (−1, −1), (ξ 2 , η 2 ) = (1, −1), (ξ 3 , η 3 ) = (1, 1), (ξ 4 , η 4 ) = (−1, 1) (ξ 1 , η 1 ) ≡ (−1, −1) ˆ Ω e (ξ 2 , η 2 ) ≡ (1, −1) (ξ 3 , η 3 ) ≡ (1, 1) (ξ 4 , η 4 ) ≡ (−1, 1) x y ξ η Espacio de funciones ˆ V h e : funciones bilineales ˆ v(ξ, η) = a +bξ +cη +dξη 67 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Grados de libertad: valor de la función en los vértices del rectángulo. Funciones de base nodal: ˆ N 1 (ξ, η) = 1 4 (1 −ξ) (1 −η) ; ˆ N 2 (ξ, η) = 1 4 (1 +ξ) (1 −η) ˆ N 3 (ξ, η) = 1 4 (1 +ξ) (1 +η) ; ˆ N 4 (ξ, η) = 1 4 (1 −ξ) (1 +η) En definitiva, lo anterior se puede resumir diciendo que ˆ Ω e es el rectángulo bilineal estándar. Etapa 2. Definición de los nudos del elemento Ω e : Tomamos 4 puntos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) y (x 4 , y 4 ) en el dominio ¯ Ω. (ξ 1 , η 1 ) ≡ (−1, −1) ˆ Ω e (ξ 2 , η 2 ) ≡ (1, −1) (ξ 3 , η 3 ) ≡ (1, 1) (ξ 4 , η 4 ) ≡ (−1, 1) x y ξ η (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 4 , y 4 ) (x 3 , y 3 ) Etapa 3. Definición del cambio isoparamétrico. Definimos el cambio (x, y) = φ(ξ, η) = (x 1 , y 1 ) ˆ N 1 (ξ, η) + (x 2 , y 2 ) ˆ N 2 (ξ, η) + (x 3 , y 3 ) ˆ N 3 (ξ, η) + (x 4 , y 4 ) ˆ N 4 (ξ, η) que, como debe ser, cumple que φ(ξ 1 , η 1 ) = (x 1 , y 1 ) ; φ(ξ 2 , η 2 ) = (x 2 , y 2 ) φ(ξ 3 , η 3 ) = (x 3 , y 3 ) ; φ(ξ 4 , η 4 ) = (x 4 , y 4 ) . (ξ 1 , η 1 ) ≡ (−1, −1) ˆ Ω e (ξ 2 , η 2 ) ≡ (1, −1) (ξ 3 , η 3 ) ≡ (1, 1) (ξ 4 , η 4 ) ≡ (−1, 1) x y ξ η (x 1 , y 1 ) = φ(ξ 1 , η 1 ) (x 2 , y 2 ) = φ(ξ 2 , η 2 ) (x 4 , y 4 ) = φ(ξ 4 , η 4 ) (x 3 , y 3 ) = φ(ξ 3 , η 3 ) Al ser las funciones ˆ N i funciones bilineales, φ es un cambio bilineal, es decir, tiene la forma x = α 1 +α 2 ξ +α 3 η +α 4 ξη (22) y = β 1 +β 2 ξ +β 3 η +β 4 ξη 68 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales para unos ciertos coeficientes α i y β i . Por consiguiente en general φ −1 no será una función polinómica. Etapa 4. Definición del elemento Ω e a partir de ˆ Ω e y del cambio φ. 4.1. Geometr´ıa de Ω e . El recinto Ω e se define a través de Ω e := φ( ˆ Ω e ). Para estudiar qué forma tiene Ω e transformaremos los lados de ˆ Ω e . Por ejemplo, al aplicar la transformación (22) al lado ξ = 1, η ∈ [−1, 1] se obtienen unas ecuaciones del tipo x = γ 1 +γ 2 η y = δ 1 +δ 2 η ; η ∈ [−1, 1] que son las ecuaciones paramétricas de un segmento de recta, concretamente del que une los puntos (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ). Al transformar los otros tres lados se obtienen tam- bién segmentos de recta, con lo que se llega a la conclusión de que la frontera de ˆ Ω e está formada por cuatro segmentos que se cortan en los nudos. Como el punto (0, 0) se transforma en un punto interior al cuadrilátero correspondiente (o, razonando de forma diferente, utilizando que una función continua transforma compactos en compactos, con lo que la imagen del elemento estándar debe ser un conjunto acotado), hemos llegado a la conclusión de que Ω e es dicho cuadrilátero (ξ 1 , η 1 ) ≡ (−1, −1) ˆ Ω e (ξ 2 , η 2 ) ≡ (1, −1) (ξ 3 , η 3 ) ≡ (1, 1) (ξ 4 , η 4 ) ≡ (−1, 1) x y ξ η (x 1 , y 1 ) = φ(ξ 1 , η 1 ) (x 2 , y 2 ) = φ(ξ 2 , η 2 ) (x 4 , y 4 ) = φ(ξ 4 , η 4 ) Ω e := φ( ˆ Ω e ) (x 3 , y 3 ) = φ(ξ 3 , η 3 ) sl 4.2. Los nudos del elemento son (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) y (x 4 , y 4 ) 4.3. Espacio V h e . V h e := _ v(x, y) := ˆ v(φ −1 (x, y)) : ˆ v es una función bilineal _ Al elemento se le denomina “elemento cuadrilátero bilineal isoparamétrico” porque se obtiene a partir del rectángulo estándar bilineal mediante la técnica isoparamétrica. Sin embargo, las funciones de V h e no son funciones bilineales. En efecto, como φ −1 no es polinómico, las funciones de V h e ni siquiera son polinomios. Son funciones “raras” que resultan de la composición de funciones bilineales con la inversa del cambio isoparamétri- co. Sin embargo, en la práctica eso no nos preocupa, pues todos los cálculos del MEF se llevan a cabo usando las funciones de ˆ V h e con las que, al ser funciones bilineales, es fácil trabajar. 4.4. Funciones de base: Son las funciones N i (x, y) := ˆ N i (φ −1 (x, y)), i = 1, 2, 3. Como ya se ha dicho, en general no serán funciones polinómicas. En la práctica no necesitamos calcularlas, pues sabemos que siempre se trabaja con las ˆ N i . 69 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Comentarios: 1. La numeración de los nudos no necesariamente tiene que ser como la de la figura anterior. A continuación se muestran algunas numeraciones posibles: x y 4 1 3 2 x y 4 1 3 2 Lo que no es posible es que el nudo 1 y el 4 (o el 2 y el 3) sean “opuestos”, pues entonces el elemento no ser´ıa un pol´ıgono convexo sino dos triángulos que comparten un vértice, como se aprecia en la siguiente figura x y 4 1 3 2 2. En el caso particular en que Ω e sea un paralelogramo, es decir, cuando los lados opuestos sean paralelos, desaparece el término ξη en el cambio (??) y éste se convierte en un cambio af´ın. Por ello, en ese caso las funciones de V h e serán funciones polinómicas. Más en concreto, las funciones de V h e serán la composición de funciones bilineales a + bξ +cη+dξη con una función af´ın, ξ = αx+βy, η = α x+β y, por lo que serán funciones cuadráticas. Cuando el elemento Ω e es un rectángulo de ejes paralelos a los coordenados, el cambio es del tipo x = α 1 +α 2 ξ y = β 1 +β 3 η es decir, x sólo depende de ξ y y de η. En ese caso las funciones de V h e son funciones bilineales. A continuación estudiamos la inyectividad de φ y la continuidad interelementos. Estudio de la inyectividad del cambio. Como φ no es af´ın, el estudio de la inyectividad de φ resulta algo más complicado. En primer lugar recordaremos algunos resultados relativos a la existencia de inversa de una transformación que tienen que ver con la no anulación del jacobiano de la transformación en el recinto. 70 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Proposición 13 Sea K compacto de R n y M abierto que contiene a K. Sea φ : M → R n , φ ∈ C 1 (M). Sea Jφ(ξ) := det φ (ξ) : φ el jacobiano de φ en el punto ξ. K M φ φ(K) φ −1 ξ x Entonces se cumple: 1. Existencia de inversa local: Sea ξ 0 ∈ K tal que Jφ(ξ 0 ) = 0. Entonces existe un entorno U de ξ 0 tal que φ es inyectiva en U y además si definimos V := φ(U) la aplicación inversa (local) φ −1 : V →U cumple que es C 1 (V ). Sin embargo, en general no es verdad que si para todo ξ ∈ K, Jφ(ξ) = 0 entonces φ sea inyectiva en K. Es decir puede pasar que en el entorno de cada punto φ sea inyectiva y sin embargo no sea inyectiva globalmente sobre K. Un ejemplo es la aplicación φ definida por x = e ξ cos η ; y = e ξ senη (23) definida en K = [0, 1] × [0, 2π]. Operando se obtiene que Jφ(ξ, η) = e 2ξ que no se anula en ning´ un punto, y sin embargo φ(ξ, 0) = φ(ξ, 2π) para todo ξ, con lo que φ no es inyectiva en K. 2. Existencia de inversa global. Si para todo ξ ∈ K, Jφ(ξ) = 0 y además la frontera de K se transforma en la frontera de φ(K), entonces φ es inyectiva en K. Además, φ −1 es de clase 1 en φ(K). Comentario: En el ejemplo dado por (23), se puede comprobar que se incumple la hipótesis de que la frontera de K = [0, 1] ×[0, 2π] se transforme en la frontera de φ(K). En nuestro caso del rectángulo bilineal, se cumple que la frontera de ˆ Ω e se transforma en la frontera de Ω e . Por ello para garantizar que φ es un verdadero cambio de variable sólo hay que cerciorarse de que Jφ(ξ, η) no se anula en ning´ un punto de ˆ Ω e . Se puede demostrar el siguiente resultado: Proposición 14 Jφ(ξ, η) = 0 para todo (ξ, η) ∈ ˆ Ω e si y s´ olo si Ω e es un cuadrilátero convexo, es decir, todos sus ángulos son estrictamente menores de 180 o . Como conclusión, Si Ω e es un cuadrilátero convexo, el cambio isoparamétrico es un verdadero cambio de variable 71 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales La siguiente figura muestra un cuadrilátero que no es convexo x y 4 1 3 2 Estudio de la continuidad interelementos. A continuación se demostrará que al pegar cuadriláteros bilineales utilizando la técnica isoparamétrica se respeta la continuidad en la frontera interelementos. Para ello tómese por ejemplo el lado que une los nudos 2 y 3, que es el transformado del segmento ξ = 1, η ∈ [−1, 1]. Si v ∈ V h e , v se puede escribir en la forma v(x, y) = 4 i=1 v(x i , y i )N i (x, y) = 4 i=1 v(x i , y i ) ˆ N i (ξ, η) y sobre el lado que une 2 y 3 vale 4 i=1 v(x i , y i ) ˆ N i (1, η) y utilizando que ˆ N 1 (1, η) y ˆ N 4 (1, η) se anulan, se obtiene v(x, y) | (x,y)∈lado23 = v(x 2 , y 2 ) ˆ N 2 (1, η) +v(x 3 , y 3 ) ˆ N 3 (1, η) = v(x 2 , y 2 ) 1 2 (1 −η) +v(x 3 , y 3 ) 1 2 (1 +η) = (24) = α +βη que, obsérvese, sólo depende del valor de v en los vértices del lado que une 2 y 3, es decir, es independiente del valor de v sobre los vértices 1 y 2. Por ello se cumple la condición para que haya continuidad interlementos al pegar elementos bilineales isoparamétricos. Es más, como v(x, y) | (x,y)∈lado23 es af´ın en η, si se pega un cuadrilátero bilineal isoparamétrico con un triángulo lineal de forma que coincidan los nudos en el lado, también se respeta la continuidad interelementos. Por ello: Si se pega un elemento cuadrilátero bilineal con otro elemento cuadrilátero bilineal o con un triángulo lineal, se respeta la continuidad de la función en la frontera. 72 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.3.6. Elemento cuadrilátero bicuadrático isoparamétrico A continuación introduciremos el elemento cuadrilátero bicuadrático isoparamétrico procediendo de una forma similar a la utilizada en el caso del elemento cuadrilátero bilineal isoparamétrico. Etapa 1. Definición de el elemento ˆ Ω e Elemento ˆ Ω e : rectángulo estándar con vértices (ξ 1 , η 1 ) = (−1, −1), (ξ 2 , η 2 ) = (1, −1), (ξ 3 , η 3 ) = (1, 1), (ξ 4 , η 4 ) = (−1, 1) Espacio de funciones ˆ V h e : ˆ V h e se define como el espacio de las funciones bicuadráticas ˆ v(ξ, η) = c 1 +c 2 ξ +c 3 η +c 4 ξη +c 5 ξ +c 6 η 2 +c 7 ξ 2 η +c 8 ξη 2 +c 9 ξη 2 = que, como sabemos, tiene dimensión 9. Grados de libertad: valor de la función en los 9 puntos de la malla regular en la que se divide el rectángulo. Estos puntos corresponden al producto cartesiano {−1, 0, 1} × {−1, 0, 1}. ˆ Ω e 1 ≡ (−1, −1) 2 ≡ (1, −1) 6 ≡ (1, 0) 3 ≡ (1, 1) 7 ≡ (0, 1) 4 ≡ (−1, 1) 8 ≡ (−1, 0) 9 ≡ (0, 0) 5 ≡ (0, −1) x y ξ η Funciones de base nodal: ˆ N i (ξ, η) , i = 1, ..., 9. En definitiva, lo anterior se puede resumir diciendo que ˆ Ω e es el rectángulo bicuadrático estándar. Etapa 2. Definición de los nudos del elemento Ω e : Tomamos 9 puntos (x i , y i ), , i = 1, ..., 9 ˆ Ω e 1 ≡ (−1, −1) 2 ≡ (1, −1) 6 ≡ (1, 0) 3 ≡ (1, 1) 7 ≡ (0, 1) 4 ≡ (−1, 1) 8 ≡ (−1, 0) 9 ≡ (0, 0) 5 ≡ (0, −1) x y ξ η 1 2 3 7 4 6 5 9 6 73 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Etapa 3. Definición del cambio isoparamétrico. El cambio es (x, y) = φ(ξ, η) = 9 i=1 (x i , y i ) ˆ N i (ξ, η) Al ser las funciones ˆ N i funciones bicuadráticas, φ es un cambio bicuadrático, es decir, tiene la forma x = α 1 +α 2 ξ +α 3 η +α 4 ξ 2 +α 5 ξη +α 6 η 2 +α 7 ξ 2 η +α 8 ξη 2 +α 9 ξ 2 η 2 (25) y = β 1 +β 2 ξ +β 3 η +β 4 ξ 2 +β 5 ξη +β 6 η 2 +β 7 ξ 2 η +β 8 ξη 2 +β 9 ξ 2 η 2 para unos ciertos coeficientes α i y β i . En particular φ −1 no será polinómico. Etapa 4. Definición del elemento Ω e a partir de ˆ Ω e y del cambio φ. 4.1. Geometr´ıa de Ω e . Para estudiar qué forma tiene Ω e , transformaremos los lados de ˆ Ω e . Por ejemplo, al aplicar la transformación (??) al lado ξ = 1, η ∈ [−1, 1] se obtienen unas ecuaciones del tipo x = γ 1 +γ 2 η +γ 3 η 2 y = δ 1 +δ 2 η +δ 3 η 2 ; η ∈ [−1, 1] que son las ecuaciones paramétricas de una curva que, en general, no será un segmento. Esto se puede razonar también de otro modo: puesto que dicha curva debe pasar por los puntos (x 2 , y 2 ), (x 6 , y 6 ) y (x 3 , y 3 ) , a no ser que los puntos estén alineados la curva no puede corresponder a un segmento. Razonando de forma similar con los otros lados se llega a la conclusión de que Ω e es un “cuadrilátero curvo”. ˆ Ω e 1 ≡ (−1, −1) 2 ≡ (1, −1) 6 ≡ (1, 0) 3 ≡ (1, 1) 7 ≡ (0, 1) 4 ≡ (−1, 1) 8 ≡ (−1, 0) 9 ≡ (0, 0) 5 ≡ (0, −1) x y ξ η 1 2 3 7 4 6 5 9 6 (x, y) = φ(ξ, η) Ω e En el caso particular en que los nudos de un lado (por ejemplo los nudos 2, 3 y 6) estén alineados, se demuestra que el lado que los une es una l´ınea recta, como se aprecia en 74 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales la siguiente figura ˆ Ω e 1 ≡ (−1, −1) 2 ≡ (1, −1) 6 ≡ (1, 0) 3 ≡ (1, 1) 7 ≡ (0, 1) 4 ≡ (−1, 1) 8 ≡ (−1, 0) 9 ≡ (0, 0) 5 ≡ (0, −1) x y ξ η 1 2 3 7 4 6 5 9 6 (x, y) = φ(ξ, η) Ω e De esta forma se puede trabajar con elementos que tengan uno o más lados curvos, para aproximar la frontera de un recinto, como se muestra a continuación 1 2 3 7 4 6 5 9 6 Ω e 4.2. Los nudos del elemento son (x i , y i ), i = 1, ..., 9. 4.3. Espacio V h e . V h e := _ v(x, y) := ˆ v(φ −1 (x, y)) : ˆ v es una función bicuadrática _ Razonando como en el caso del elemento bilineal isoparamétrico, tenemos que las funciones de V h e no son polinomios (y por tanto en particular no son funciones bicuadráticas). 4.4. Funciones de base: Son las funciones N i (x, y) := ˆ N i (φ −1 (x, y)), i = 1, 2, 3. Comentario: como vemos, la técnica isoparamétrica permite trabajar con elementos con lados curvos. Para ello basta con tomar los nudos de un lado de manera que no están formando una l´ınea recta. Esto se usa mucho para aproximar la frontera de recintos que no tengan forma poligonal. Estudio de la inyectividad del cambio. Se podr´ıa llevar a cabo un estudio riguroso de la inyectividad del cambio, pero esto es complicado. De forma laxa, se puede decir que si el 75 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales cuadrilátero curvo tiene ´ angulos en los vértices menores de 180 o y además sus lados no se desv´ıan “demasiado” de l´ıneas rectas, entonces φ será inyectivo. Si las condiciones anteriores no se cumplen o bien porque alg´ un ángulo rebase 180 o o bien porque los lados del cuadrilátero estén demasiado deformados, φ puede dejar de ser inyectiva. En la práctica lo que se hace es monitorizar el valor de Jφ(ξ, η) en distintos puntos del elemento estándar para ver si dicho jacobiano cambia de signo, lo que significar´ıa, utilizando el teorema de los valores intermedios, que se anula en alg´ un punto. En ese caso hay que cambiar los vértices del elemento y volver a probar. Estudio de la continuidad interelementos. Razonando como en el caso del cuadrilátero bilineal isoparamétrico se demuestra que al pegar cuadriláteros bicuadráticos utilizando la técnica isoparamétrica se respeta la continuidad en la frontera interelementos. En efecto, consideremos por ejemplo el lado que une los nudos 2, 3 y 6, que es el transformado del segmento ξ = 1, η ∈ [−1, 1]. Si v ∈ V h e , v se puede escribir en la forma v(x, y) = 6 i=1 v(x i , y i )N i (x, y) = 6 i=1 v(x i , y i ) ˆ N i (ξ, η) y sobre el lado en cuestión vale 6 i=1 v(x i , y i ) ˆ N i (1, η) y utilizando que ˆ N 1 (1, η), ˆ N 4 (1, η), ˆ N 5 (1, η), ˆ N 7 (1, η), ˆ N 8 (1, η) y ˆ N 9 (1, η) se anulan, se obtiene v(x, y) | lado = v(x 2 , y 2 ) ˆ N 2 (1, η) +v(x 3 , y 3 ) ˆ N 3 (1, η) +v(x 6 , y 6 ) ˆ N 6 (1, η) = (26) = v(x 2 , y 2 ) 1 2 η(η −1) +v(x 3 , y 3 ) 1 2 η(1 +η) +v(x 6 , y 6 )(1 −η 2 ) que sólo depende del valor de v en los vértices del lado en cuestión. Por ello se cumple la condición para que haya continuidad interlementos al pegar elementos bicuadráticos iso- paramétricos. Además, la función anterior es de tipo cuadrático, por lo que si se pega un cuadrilátero bicuadrático isoparamétrico con un triángulo cuadrático de forma que coincidan los nudos en el lado, también se respeta la continuidad interelementos. 4.3.7. Elemento triángulo cuadrático isoparamétrico Etapa 1. Definición de el elemento ˆ Ω e Elemento ˆ Ω e : rectángulo estándar. Espacio de funciones ˆ V h e : ˆ V h e se define como el espacio de las funciones cuadráticas ˆ v(ξ, η) = c 1 +c 2 ξ +c 3 η +c 4 ξη +c 5 ξ 2 +c 6 η 2 que, como sabemos, tiene dimensión 6. 76 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Grados de libertad: valor de la función en los vértices del triángulo y en el puntos medio de los lados ξ η (ξ 3 , η 3 ) ˆ Ω e x y (ξ 3 , η 3 ) (ξ 6 , η 6 ) (ξ 1 , η 1 ) (ξ 4 , η 4 ) (ξ 2 , η 2 ) (ξ 5 , η 5 ) Funciones de base nodal: Son las funciones dadas por (16), es decir, N 1 = x(2x −1) , N 2 = y (2y −1) , N 3 = (1 −x −y)(2(1 −x −y) −1) N 4 = 4xy, N 5 = 4y (1 −x −y) , N 6 = 4x(1 −x −y) En definitiva, lo anterior se puede resumir diciendo que ˆ Ω e es el triángulo cuadrático estándar. Etapa 2. Definición de los nudos del elemento Ω e : Tomamos 6 puntos (x i , y i ), , i = 1, ..., 6 ξ η (ξ 3 , η 3 ) ˆ Ω e x y (ξ 3 , η 3 ) (ξ 6 , η 6 ) (ξ 1 , η 1 ) (ξ 4 , η 4 ) (ξ 2 , η 2 ) (ξ 5 , η 5 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) (x 4 , y 4 ) (x 5 , y 5 ) (x 6 , y 6 ) s Etapa 3. Definición del cambio isoparamétrico. El cambio es (x, y) = φ(ξ, η) = 6 i=1 (x i , y i ) ˆ N i (ξ, η) Al ser las funciones ˆ N i funciones cuadráticas, φ es un cambio cuadrático, es decir, tiene la forma x = α 1 +α 2 ξ +α 3 η +α 4 ξ 2 +α 5 ξη +α 6 η 2 y = β 1 +β 2 ξ +β 3 η +β 4 ξ 2 +β 5 ξη +β 6 η 2 77 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales para unos ciertos coeficientes α i y β i . En particular φ −1 no será polinómico. Etapa 4. Definición del elemento Ω e a partir de ˆ Ω e y del cambio φ. 4.1. Geometr´ıa de Ω e . Para estudiar qué forma tiene Ω e , transformaremos los lados de ˆ Ω e . Por ejemplo, al aplicar la transformación (??) al segmento que une los puntos (ξ 1 , η 1 ) y (ξ 3 , η 3 ) , de ecuaciones ξ = 0, η ∈ [0, 1] se obtienen unas ecuaciones del tipo x = γ 1 +γ 2 η +γ 3 η 2 y = δ 1 +δ 2 η +δ 3 η 2 ; η ∈ [0, 1] que son las ecuaciones paramétricas de una curva que, en general, no será un segmento. Esto se puede razonar también de otro modo: puesto que dicha curva debe pasar por los puntos (x 2 , y 2 ), (x 6 , y 6 ) y (x 3 , y 3 ) , a no ser que los puntos estén alineados la curva no puede corresponder a un segmento. Razonando de forma similar con los otros dos lados de ˆ Ω e llegamos a la conclusión de que Ω e es un “triángulo curvo”. ξ η (ξ 3 , η 3 ) ˆ Ω e x y (ξ 3 , η 3 ) (ξ 6 , η 6 ) (ξ 1 , η 1 ) (ξ 4 , η 4 ) (ξ 2 , η 2 ) (ξ 5 , η 5 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) (x 4 , y 4 ) (x 5 , y 5 ) (x 6 , y 6 ) Ω e En el caso particular en que los nudos de un lado (por ejemplo los nudos 1, 4 y 2) estén alineados, se demuestra que el lado que los une es una l´ınea recta, como se aprecia en la siguiente figura ξ η (ξ 3 , η 3 ) ˆ Ω e x y (ξ 3 , η 3 ) (ξ 6 , η 6 ) (ξ 1 , η 1 ) (ξ 4 , η 4 ) (ξ 2 , η 2 ) (ξ 5 , η 5 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) (x 4 , y 4 ) (x 5 , y 5 ) (x 6 , y 6 ) Ω e Como en el caso de los elementos bicuadráticos isoparamétricos, estos elementos con lados curvos se pueden utilizar para aproximar parte de la frontera del recinto. 4.2. Los nudos del elemento son (x i , y i ), i = 1, ..., 6. 78 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.3. Espacio V h e . V h e := _ v(x, y) := ˆ v(φ −1 (x, y)) : ˆ v es una función cuadrática _ Razonando como en el caso del elemento bilineal isoparamétrico, tenemos que las funciones de V h e no son polinomios (y por tanto en particular no son funciones cuadráticas). 4.4. Funciones de base: Son las funciones N i (x, y) := ˆ N i (φ −1 (x, y)), i = 1, 2, 3. Estudio de la inyectividad del cambio. Se podr´ıa llevar a cabo un estudio riguroso de la inyectividad del cambio, pero esto es complicado. De forma laxa, se puede decir que si los lados del triángulo curvo no se desv´ıan “demasiado” de l´ıneas rectas, entonces φ será inyectivo. Estudio de la continuidad interelementos. Razonando como en los casos asnteriores se demuestra que el valor de las funciones de V h e sobre un lado de Ω e sólo depende del valor de la función sobre los nudos de dicho lado, con lo que queda garantizada la continuidad al pegar triángulos de este tipo haciendo coincidir los nudos de los lados comunes. Además, se puede demostrar que sobre cada lado las funciones de V h e tienen una variación cuadrática, con lo que estos elementos también se pueden pegar con cuadriláteros bicuadráticos isoparamétricos (haciendo coincidir los nudos de los lados comunes). 79 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 4.3.8. Elementos subparamétricos Definición. Cuando se aplica la técnica isoparamétrica pero el cambio (17) se lleva a cabo utilizando polinomios de grado menor que el grado de los polinomios de ˆ V h e , es decir, cuando las funciones ˆ N i en (17) corresponden a un elemento de grado menor que el de las funciones de ˆ V h e , se dice que el elemento en cuestión es un elemento subparamétrico. Veamos tres ejemplos: 1. En el caso unidimensional, siempre se trabaja con el intervalo [−1, 1] y el cambio x = φ(ξ) que se hace es af´ın (polinomio de grado 1). Por ello, cuando ˆ V h e se toma como los polinomios cuadráticos o c´ ubicos, se está trabajando, sin decirlo expl´ıcitamente, con la técnica subparamétrica. 2. Sea ˆ Ω e el triángulo estándar sobre el que se considera el espacio ˆ V h e de funciones cuadráticas, es decir, se considera el triángulo cuadrático estándar. Se consideran 3 nudos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) y ahora el cambio se hace de manera que los vértices del triángulo estándar se transformen en los puntos (x i , y i ) anteriores. Eso se puede hacer con la transformación af´ın (x, y) = φ(ξ, η) = (x 1 , y 1 ) ˆ N lin1 (ξ, η) + (x 2 , y 2 ) ˆ N lin2 (ξ, η) + (x 3 , y 3 ) ˆ N lin3 (ξ, η) (27) donde ˆ N lini (ξ, η) es la función de base nodal del vértice i en el triángulo lineal estándar. As´ı ˆ N lin1 (ξ, η) = ξ ; ˆ N lin2 (ξ, η) = η ; ˆ N lin3 (ξ, η) = 1 −ξ −η El cambio (27) es af´ın y por ello transforma los lados del triángulo estándar en segmentos (rectil´ıneos). Por ello, el elemento Ω e será un triángulo (de lados rectos). Además, como el cambio es af´ın, los puntos medios de los lados de ˆ Ω e se transforman en los puntos medios de los lados de Ω e . Como φ −1 también es af´ın, las funciones de V h e son la composición de funciones cuadráticas con funciones afines, es decir, funciones cuadráticas. En definitiva, el elemento Ω e es un triángulo (de lados rectos) cuadrático con 6 nudos que son los vértices y los puntos medios de los lados. 3. Sea ˆ Ω e el rectángulo estándar sobre el que se considera el espacio ˆ V h e de funciones bicuadráticas. Se consideran 4 nudos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ), (x 4 , y 4 ) y ahora el cambio se hace de manera que los vértices del rectángulo estándar se transformen en los puntos (x i , y i ) anteriores. Eso se puede hacer con la transformación (x, y) = φ(ξ, η) = (x 1 , y 1 ) ˆ N bil1 (ξ, η) + (x 2 , y 2 ) ˆ N bil2 (ξ, η) + (x 3 , y 3 ) ˆ N bil3 (ξ, η)+ + (x 4 , y 4 ) ˆ N bil4 (ξ, η) donde ˆ N bili (ξ, η) es la función bilineal de base nodal del vértice i en el rectángulo estándar. Puesto que la transformación anterior transforma los lados del rectángulo estándar en segmentos, el elemento Ω e será un cuadrilátero de lados “rectos”. 80 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 5. Interpolaci´ on por splines Los splines son curvas polinómicas a trozos que se usan mucho en distintas ramas de la ingenier´ıa. 5.1. El espacio de los splines Definición 2 Spline de grado l. Sea el intervalo [a, b] y sea Ω n una partición a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b de [a, b] (con n + 1 puntos). Un spline de grado l asociado a la partición Ω n es una función s : [a, b] →R que cumple: a) s ∈ C l−1 ([a, b]) b) Restringido a los subintervalos de la partición, s es un polinomio de grado a lo sumo l. Nótese que con esta definición, la derivada de un spline de grado l es un spline de grado l −1. Definici´ on 3 S l (Ω n ) ≡ conjunto de los splines de grado n asociados a la partición Ω n . Comentarios: Se demuestra fácilmente que S l (Ω n ) es un espacio vectorial. Nótese que S 1 (Ω n ) no es más que el espacio de las funciones lineales a trozos asociadas a la partición Ω n . Los splines más utilizados son los splines c´ ubicos. En la siguiente figura se muestra un spline c´ ubico 1 2 3 4 5 6 7 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 spline cúbico 81 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Dimensión de S l (Ω n ). En cada uno de los n subintervalos hay l + 1 parámetros libres y en cada uno de los n −1 nudos interiores hay l restricciones (continuidad de la función y de sus derivadas hasta orden l −1) luego intuitivamente se tienen n(l + 1) −(n −1)l = n +l grados de libertad. Esto se ve refrendado con el siguiente resultado: Proposición 15 S l (Ω n ) es un espacio vectorial de dimensión n + l. Además, una base de dicho espacio es _ 1, x, ..., x l , (x −x 1 ) l + , ..., (x −x n−1 ) l + _ donde (x −x i ) l + := _ (x −x i ) l si x ≥ x i 0 si x < x i _ ; i = 1, ..., n −1 5.2. El problema de la interpolaci´ on por splines Sea el intervalo [a, b] y sea Ω n una partición a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b de [a, b] (con n + 1 puntos) y supongamos que tenemos unos valores y 0 , ..., y n Buscamos s ∈ S l (Ω n ) tal que interpole los puntos (x i , y i ), es decir, buscamos un spline asociado a la partición definida por los datos y que interpole dichos datos. Puesto que un elemento de S l (Ω n ) tiene n+l grados de libertad y hay n+1 restricciones correspondientes a los n + 1 puntos, parece razonable pensar que existe siempre solución al problema anterior y haya (n+l)−(n+1) = l −1 grados de libertad adicionales que se pueden utilizar para exigir el cumplimiento de ciertas condiciones de frontera. Si l es par entonces l −1 es impar y no se puede tratar a a y a b en condiciones de igualdad, con lo que se suele trabajar con el caso l impar, y as´ı se imponen m = (l −1)/2 condiciones en cada extremo del intervalo. Tipos de condiciones de frontera: I) Condiciones tipo Hermite. s (k (a) = y k ; s (k (b) = z k ; k = 1, ..., m−1 para unos ciertos y k y z k (que, naturalmente, corresponden a las derivadas en a y b de la función a interpolar). Estas son las condiciones que se deben utilizar si se conocen las derivadas de la función a interpolar en los extremos. II) Condiciones naturales. s (k (a) = s (k (b) = 0 ; k = m, ..., 2m−2 Estas condiciones se pueden utilizar si no se conocen las derivadas de la función a interpolar. Son condiciones muy utilizadas aunque la imposición de que se anulen las derivadas de orden m, ..., 2m−2 es ciertamente arbitraria. 82 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales III) Condiciones peri´ odicas. En ese caso la f a interpolar debe cumplir f (k (a) = f (k (b) ; k = 0, ..., m−1 y al spline se le pide s (k (a) = s (k (b) = 0 ; k = 1, ..., 2m−2 Caso de splines c´ ubicos. En el caso de los splines c´ ubicos (m = 2), que son los más usados, las condiciones anteriores son: I) Condiciones tipo Hermite: s (a) = f (a) ; s (b) = f (b) II) Condiciones naturales: s (a) = s (b) = 0 III) Condiciones peri´ odicas. En ese caso la f a interpolar debe cumplir f(a) = f(b) ; f (a) = f (b) y al spline se le pide s (a) = s (b) ; s (a) = s (b) IV) Condiciones ’not a knot’. Además, en al caso de splines c´ ubicos también se pueden utilizar las denominadas condiciones ’not a knot’, también denominadas de cercha extra- polada. En ellas, se exige que los polinomios c´ ubicos que corresponden a los intervalos 1 y 2 sean en realidad el mismo polinomio, y que lo mismo suceda para los intervalos n−1 y n. Esto es equivalente a utilizar los nudos x 1 y x 2 para extrapolar el calor de s (a) y a utilizar los nudos x n−2 y x n−1 para extrapolar el calor de s (b). En el caso de que no se conozca la derivada de la función a interpolar en los extremos, estas condiciones son preferibles a las condiciones naturales. V) Terminación parabólica. Otra posibilidad en este caso c´ ubico es exigir que se cumpla s (x) = 0 en el primer y el ´ ultimo intervalos, es decir, que el spline comience y termine en una parábola. VI) Curvatura dada en los extremos. Se exige que s (a) y s (b) tomen unos valores dados. Existencia y unicidad del problema de interpolación por splines. Al respecto se tiene el siguiente resultado: Proposición 16 Los tres problemas anteriores de interpolación por splines tienen soluci´ on ´ unica. Lo mismo sucede para la interpolación con splines c´ ubicos y condiciones ’not a knot’, terminación parabólica y curvatura dada en los extremos. 83 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 5.3. Propiedad extremal de los splines de interpolación. Interpretación geométrica y mecánica para los splines c´ ubicos En esta sección veremos que los splines de interpolación verifican unas ciertas propiedades que tienen interesantes interpretaciones geométricas y mecánicas: Proposición 17 Sea f ∈ C m [a, b] , m ≥ 2 y sea ¯ s ∈ S 2m−1 (Ω n ) el spline interpolador de f respecto de cualquiera de las condiciones de frontera I, II o III anteriores. Sea g una función arbitraria en C m [a, b] que verifique las mismas condiciones de frontera que ¯ s y que, el caso III, sea también periódica. Entonces _ _ _¯ s (m _ _ _ 2 ≤ _ _ _g (m _ _ _ 2 En el caso particular de los splines c´ ubicos se tiene que si f ∈ C 2 [a, b] ,y ¯ s ∈ S 3 (Ω n ) es el spline c´ ubico interpolador de f respecto de cualquiera de las condiciones de frontera I, II o III anteriores, y g es una función arbitraria en C 2 [a, b] que verifique las mismas condiciones de frontera que ¯ s y que, en el caso III, sea también periódica, entonces _ b a _ ¯ s (x) ¸ 2 dx ≤ _ b a _ g (x) ¸ 2 dx Interpretación geométrica de la propiedad extremal. La curvatura de una curva definida por y = g(x) es κ(x) = g (x) (1 +g (x) 2 ) 3/2 Si ahora se supone que |g (x)| ≤ 1 en [a, b] entonces κ(x) 2 2 ≈ _ b a [g (x)] 2 dx. Por ello, la propiedad extremal de los splines afirma que el spline interpolador ¯ s minimiza la norma dos de la curvatura κ(x) 2 sobre el conjunto de funciones g ∈ C 2 [a, b] que verifican las condiciones de interpolación. Hablando informalmente, a veces se dice que minimiza la “curvatura”. Interpretación mecánica de la propiedad extremal. Se demuestra que el momento flexor local de una viga isótropa y homogénea cuya linea central esté definida por la curva y = g(x) es M(x) = c 1 g (x) (1 +g (x) 2 ) 3/2 donde c 1 es una constante adecuada. La energ´ıa de deformación de la viga es E(g) = c 2 _ b a M 2 (x)dx Si ahora se supone que |g (x)| ≤ 1 en [a, b] entonces se tiene que E(g) = c 3 _ b a g (x) 2 dx Por ello, el spline de interpolación define la l´ınea media de la viga que minimiza la energ´ıa de deformación de la viga de entre todas las funciones de C 2 que pasan por los puntos de interpolación. 84 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 5.4. Obtención de los splines c´ ubicos de interpolación Definición del problema. Dados x 0 < x 1 < · · · < x n (n+1 puntos) y unos valores y 0 , ..., y n queremos obtener el spline c´ ubico natural que resuelve el problema de interpolación anterior. Sistema de ecuaciones asociado. Veremos que para calcular el spline en cuestión bastará con resolver un determinado sistema de ecuaciones. Sea s(x) el spline buscado y sea s i (x) su restricción a [x i , x i+1 ] ; i = 0, ..., n −1. Se definen h i := x i+1 −x i ; i = 0, ..., n −1 y z i := s (x i ) ; i = 0, ..., n −1 Procederemos en las siguientes fases: a. Se impone que la derivada segunda en cada intervalo debe ser una función lineal y que debe tomar los valores z i y z i+1 en sus extremos (nótese que as´ı se está imponiendo la continuidad de la derivada segunda). As´ı se tiene, utilizando interpolación lineal, s i (x) = z i h i (x i+1 −x) + z i+1 h i (x −x i ), i = 0, ..., n −1 b. Integrando dos veces se obtiene una expresión para s i (x) que depende de dos constantes α i y β i en la forma s i (x) = z i 6h i (x i+1 −x) 3 + z i+1 6h i (x −x i ) 3 +α i x +β i , ; i = 0, ..., n −1 Por comodidad en los cálculos el polinomio α i x + β i se escribe en la forma p i (x i+1 − x) + q i (x −x i ), es decir, s i (x) = z i 6h i (x i+1 −x) 3 + z i+1 6h i (x −x i ) 3 +p i (x i+1 −x) +q i (x −x i ), i = 0, ..., n −1 Ahora imponemos las condiciones s i (x i ) = y i ; s i (x i+1 ) = y i+1 ; i = 0, ..., n − 1 y se calculan las constantes p i y q i teniéndose s i (x) = z i 6h i (x i+1 −x) 3 + z i+1 6h i (x −x i ) 3 + _ y i+1 h i + z i+1 h i 6 _ (x −x i ) + _ y i h i − z i h i 6 _ (x i+1 −x) (28) que, una vez calculados los z i , es el polinomio buscado. c. Para determinar los z 1 , ..., z n−1 se deriva en (28) obteniéndose s i (x) = − z i 2h i (x i+1 −x) 2 + z i+1 2h i (x −x i ) 2 + _ y i+1 h i + z i+1 h i 6 _ − _ y i h i − z i h i 6 _ (29) 85 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales y se utiliza la continuidad de la derivada s i−1 (x i ) = s i (x i ) ; i = 1, ..., n −1. As´ı se llega a h i−1 6 z i−1 + 2(h i +h i−1 ) 6 z i + h i 6 z i+1 = y i+1 −y i h i − y i −y i−1 h i−1 ; i = 1, ..., n −1 o bien h i−1 z i−1 + 2(h i +h i−1 )z i +h i z i+1 = 6( y i+1 −y i h i − y i −y i−1 h i−1 ) ; i = 1, ..., n −1 es decir, h i−1 z i−1 + 2(h i +h i−1 )z i +h i z i+1 = 6(d i −d i−1 ) ; i = 1, ..., n −1 (30) donde, por comodidad de notación se ha denotado d i := y i+1 −y i h i Se tiene as´ı un sistema de n − 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas, con lo que hay dos grados de libertad que se utilizan en imponer condiciones de frontera. Imposición de las condiciones de frontera. T´ıpicamente, las condiciones de frontera se utilizan para expresar z 0 en función de z 1 y la condición en a, y expresar z n en función de z n−1 y la condición en b. Entonces se entra con z 0 y z n en las ecuaciones (30) correspondientes a i = 1 y i = n −1 de forma que z 0 y z n se eliminan como variables. 2(h 1 +h 0 )z i +h 1 z 2 = 6(d 1 −d 0 ) −h 0 z 0 h n−2 z n−2 + 2(h n−1 +h n−2 )z n−1 = 6(d n−1 −d n−2 ) −h n−1 z n As´ı se tienen n−1 ecuaciones para las n−1 incógnitas, z 1 , ..., z n−1 . La matriz asociada A es tridiagonal, y en la mayor parte de las ocasiones es simétrica y diagonalmente dominante. Condiciones de Hermite. Viga sujeta. Las condiciones s (a) = y a y s (b) = y b se imponen utilizando (29) para i = 1 y i = n −1. As´ı se pueden despejar z 0 y z n en función de y a y z 1 o bien y b y z n−1 respectivamente. Se obtiene z 0 = 3 h 0 _ d 0 −y a _ − 1 2 z 1 z n = 3 h n−1 _ y b −d n−1 _ − 1 2 z n−1 Ahora, al entrar en (30) con estos valores se tiene el sistema de ecuaciones _ 3 2 h 0 + 2h 1 _ z 1 +h 1 z 2 = 6(d 1 −d 0 ) −3 _ d 0 −y a _ h i−1 z i−1 + 2(h i +h i−1 )z i +h i z i+1 = 6(d i −d i−1 ) ; i = 2, ..., n −2 h n−2 z n−2 + (2h n−2 + 3 2 h n−1 )z n−1 = 6(d n−1 −d n−2 ) −3 _ y b −d n−1 _ que es un sistema tridiagonal con matriz simétrica y diagonalmente dominante. 86 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Condiciones naturales. En este caso las condiciones s (a) = s (b) = 0 se imponen de forma directa en (30) y se tiene el sistema de ecuaciones 2 (h 0 +h 1 ) z 1 +h 1 z 2 = 6(d 1 −d 0 ) h i−1 z i−1 + 2(h i +h i−1 )z i +h i z i+1 = 6(d i −d i−1 ) ; i = 2, ..., n −2 h n−2 z n−2 + 2(h n−2 +h n−1 )z n−1 = 6(d n−1 −d n−2 ) que es un sistema tridiagonal con matriz simétrica y diagonalmente dominante. Curvatura dada en cada extremo. En este caso las condiciones s (a) = y a y s (b) = y (b) se imponen de forma directa en (30) y se tiene el sistema de ecuaciones 2 (h 0 +h 1 ) z 1 +h 1 z 2 = 6(d 1 −d 0 ) −h 0 y a h i−1 z i−1 + 2(h i +h i−1 )z i +h i z i+1 = 6(d i −d i−1 ) ; i = 2, ..., n −2 h n−2 z n−2 + 2(h n−2 +h n−1 )z n−1 = 6(d n−1 −d n−2 ) −h n−1 y b que es un sistema tridiagonal con matriz simétrica y diagonalmente dominante. 87 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 6. Aproximaci´ on discreta. M´ınimos cuadrados discretos 6.1. Planteamiento general del ajuste por m´ınimos cuadrados Las primeras nociones sobre la aproximación discreta se comentaron en la Sección 1.2. A continuación se profundiza más en ellas. Planteamiento del problema. Se dispone de unos ciertos datos (x i , y i ), i = 0, 1, ..., n, y se pretende “ajustar” una función f de una determinada familia de funciones F con el criterio de minimizar, con alg´ un criterio, el error e i := |f(x i ) −y i | que se comete en los puntos x i . Más concretamente: Dados unos ciertos datos (x i , y i ), i = 0, 1, ..., n, una familia F de funciones y una norma ∗ en R n+1 , se pretende encontrar f ∈ F tal que _ _ ¯ f − ¯ y _ _ = m´ın h∈F _ _¯ h − ¯ y _ _ (31) donde se está denotando ¯ y := (y 0 , ..., y n ) T ; ¯ f = (f(x 0 ), f(x 1 ), ..., f(x n )) T ; ¯ h = (h(x 0 ), h(x 1 ), ..., h(x n )) T es decir, elegir f ∈ F tal que (f(x 0 ) −y 0 , f(x 1 ) −y 1 , ..., f(x n ) −y n ) = m´ın h∈F (h(x 0 ) −y 0 , h(x 1 ) −y 1 , ..., h(x n ) −y n ) (x 0 , y 0 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) (x 3 , y 3 ) f |f(x 0 ) − y 0 | |f(x 1 ) − y 1 | |f(x 2 ) − y 2 | |f(x 3 ) − y 3 | Comentarios: Cuando la norma elegida deriva de un producto escalar el problema anterior se puede resolver con relativa facilidad, pues como ya sabemos la mejor aproximación se puede calcular usando la proyección ortogonal. Cuando se trabaja con la norma infinito, al problema resultante se le denomina problema minimax. Los problemas en los que se minimiza la norma uno del error se les denomina problemas de desviaci´ on absoluta. En estos dos casos la norma no deriva de un producto escalar y son considerablemente más complicados de resolver. 88 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Los problemas más habituales son los problemas de m´ınimos cuadrados discretos, en los que se minimiza la suma de cuadrados del error, es decir, la norma dos del error. En ellos f se elige como la función de F que cumple n i=0 (f(x i ) −y i ) 2 = m´ın h∈F n i=0 (h(x i ) −y i ) 2 , La norma 2 deriva del producto escalar discreto ¸ ¯ h, ¯ g _ = n j=0 h(x j )g(x j ) (32) de forma que _ _¯ h _ _ 2 2 = n j=0 h 2 (x j ) 6.2. M´ınimos cuadrados lineales La técnica de los m´ınimos cuadrados lineales es un caso particular del planteamiento general de la sección anterior en el que (a) se trabaja con la norma dos y (b) la familia F es un subespacio de funciones de dimensión finita. Planteamiento y resolución del problema. Sean n + 1 puntos (x i , y i ), i = 0, 1, ..., n y sea F = E donde E es un espacio vectorial de funciones de dimensión m. En las aplicaciones prácticas normalmente se cumple que m << n+1,es decir, la dimensión del espacio es mucho menor que el n´ umero de puntos. Queremos reeover el problema (31) donde F = E y donde se trabaja con la norma dos, es decir, (f(x 0 ) −y 0 , f(x 1 ) −y 1 , ..., f(x n ) −y n ) 2 = m´ın h∈E (h(x 0 ) −y 0 , h(x 1 ) −y 1 , ..., h(x n ) −y n ) 2 (33) Para resolver el problema, y como es habitual al trabajar en espacios de dimensión finita, se utilizará una base de E para referir todo a la base y terminar obteniendo un sistema de ecuaciones. Sea {φ 1 , ..., φ m } una base del espacio E. Entonces las funciones de E se pueden escribir en la forma h(x) = β 1 φ 1 (x) +· · · +β m φ m (x) Nótese que las funciones de E dependen linealmente de los parámetros β i . Veamos: expresamos el error cometido en cada punto mediante y i −f(x i ) = y i −[β 1 φ 1 (x i ) +· · · +β m φ m (x i )] , i = 0, ..., n 89 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales con lo que el vector de errores ¯ y − ¯ h se puede escribir en la forma ¯ y − ¯ h = (y 0 −f(x 0 ), y 1 −f(x 1 ), ..., y n −f(x n )) = = ¯ y − _ ¸ ¸ ¸ _ φ 1 (x 0 ) φ 2 (x 0 ) · · · φ m (x 0 ) φ 1 (x 1 ) φ 2 (x 1 ) · · · φ m (x 1 ) . . . . . . . . . . . . φ 1 (x n ) φ 2 (x n ) · · · φ m (x n ) _ ¸ ¸ ¸ _ _ ¸ ¸ ¸ _ β 1 β 2 . . . β m _ ¸ ¸ ¸ _ es decir, en forma compacta, ¯ y − ¯ h = ¯ y −Aβ donde A = _ ¸ ¸ ¸ _ φ 1 (x 0 ) φ 2 (x 0 ) · · · φ m (x 0 ) φ 1 (x 1 ) φ 2 (x 1 ) · · · φ m (x 1 ) . . . . . . . . . . . . φ 1 (x n ) φ 2 (x n ) · · · φ m (x n ) _ ¸ ¸ ¸ _ ∈ R (n+1)×m , β = _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ β 1 β 2 . . . β m _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ , ¯ y = _ ¸ ¸ ¸ _ y 0 y 1 . . . y n _ ¸ ¸ ¸ _ Por lo tanto, el problema original (33) es equivalente a: Hallar α ∈ R m tal que ¯ y −Aα 2 = m´ın β∈R m ¯ y −Aβ 2 (34) Ahora, resolver el problema (34) no es más que hallar la o las pseudosoluciones en la norma dos del sistema de ecuaciones Aα = ¯ y (35) ´ Este es un sistema de n + 1 ecuaciones con m incógnitas y, como en la práctica suele ser m < n + 1, en el caso genérico el sistema (35) es incompatible, es decir, no es posible encontrar ninguna función f de E tal que el error cometido sea cero. Tenemos por tanto que resolver las ecuaciones normales correspondientes a (35), que son A T Aα = A T ¯ y (36) aunque, como ya se ha visto, en la práctica las ecuaciones normales no se resuelven en esta forma sino que, utilizando una factorización QR de A, se resuelve un sistema equivalente a (36) que está mejor condicionado. Una vez resuelto, la función f buscada es f(x) = α 1 φ 1 (x) +· · · +α m φ m (x) (37) donde las α i son las soluciones de (36). Comentarios: 90 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales En caso de existir solución para el sistema (35) se tendrá que la función f pasa por todos los datos, es decir, la solución por m´ınimos cuadrados coincide con la función f que interpola a los datos. En el caso en que se cumpla n + 1 = m, si el rango de A es m existirá solución ´ unica a (35), es decir, f interpola a los datos. Si n + 1 < m en general habrá infinitas funciones f que interpolan los datos. Si se elige otra base para F, la matriz A será distinta y también lo será la pseudosolución α. Por supuesto, el resultado final f dado por (37) sea cual sea la base utilizada. Caso particular. En el caso de que los vectores ¯ φ i = _ φ i (x 0 ) φ i (x 1 ) · · · φ i (x n ) _ T , i = 1, ..., m constituyan un sistema ortonormal en R n+1 con el producto escalar estándar se tiene que el sistema A T Aα = A T ¯ y se simplifica extraordinariamente. En efecto, en ese caso las columnas de A constituyen un sistema ortonormal y por ello A T A = _ ¸ ¸ ¸ _ ¯ φ T 1 ¯ φ T 2 . . . ¯ φ T m _ ¸ ¸ ¸ _ _ ¯ φ 1 | ¯ φ 2 | · · · | ¯ φ m ¸ = _ ¸ ¸ ¸ _ ¯ φ T 1 ¯ φ 1 ¯ φ T 1 ¯ φ 2 · · · ¯ φ T 1 ¯ φ m ¯ φ T 2 ¯ φ 1 ¯ φ T 2 ¯ φ 2 · · · ¯ φ T 2 ¯ φ m . . . . . . . . . . . . ¯ φ T m ¯ φ 1 ¯ φ T m ¯ φ 2 · · · ¯ φ T m ¯ φ m _ ¸ ¸ ¸ _ = I m con lo que el sistema A T Aα = A T ¯ y se reduce a α = A T ¯ y, es decir, ya se tiene la solución de forma expl´ıcita. 6.2.1. Ajuste de polinomios por m´ınimos cuadrados Estudiemos, el caso particular en el que el espacio E es el espacio de los polinomios de grado m−1. Si se elige como base la canónica, es decir, _ 1, x, x 2 , ..., x m−1 _ , la matriz A tiene la forma A = _ ¸ ¸ ¸ _ 1 x 0 · · · x m−1 0 1 x 1 · · · x m−1 1 . . . . . . . . . . . . 1 x n · · · x m−1 n _ ¸ ¸ ¸ _ ∈ R (n+1)×m A es una matriz rectangular de Vandermonde, con lo que al ser los x i puntos distintos se tiene (suponiendo n + 1 ≤ m) que r(A) = n + 1. Regresión lineal. Un caso particular importante es el correspondiente a tomar E igual a los polinomios de grado 1. A este problema, estudiado en Estad´ıstica, se le denomina problema de regresión lineal, o también, ajuste de una recta a unos datos por m´ınimos cuadrados. 91 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Sea f(x) = α 0 +α 1 x la función a ajustar. Si se utiliza la base canónica se tiene que (35) toma la forma _ ¸ ¸ ¸ _ 1 x 0 1 x 1 . . . . . . 1 x n _ ¸ ¸ ¸ _ _ α 0 α 1 _ = _ ¸ ¸ ¸ _ y 0 y 1 . . . y n _ ¸ ¸ ¸ _ , y el problema de m´ınimos cuadrados asociado es _ 1 1 · · · 1 x 0 x 1 · · · x n _ _ ¸ ¸ ¸ _ 1 x 0 1 x 1 . . . . . . 1 x n _ ¸ ¸ ¸ _ _ α 0 α 1 _ = _ ¸ ¸ ¸ _ y 0 y 1 . . . y n _ ¸ ¸ ¸ _ es decir _ n + 1 n i=0 x i n i=0 x i n i=0 x 2 i _ _ α 0 α 1 _ = _ ¸ ¸ ¸ _ y 0 y 1 . . . y n _ ¸ ¸ ¸ _ cuya solución está dada por α 0 = [( n i=0 y i )( n i=0 x 2 i ) −( n i=0 y i x i )( n i=0 x i )]/A α 1 = [(n + 1)( n i=1 y i x i ) −( n i=1 y i )( n i=1 x i )]/A donde A = (n + 1)( n i=1 x 2 i ) −( n i=1 x i ) 2 . 92 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales 6.3. M´ınimos cuadrados no lineales En en caso de los m´ınimos cuadrados lineales, F era un subespacio vectorial y por ello las funciones de F eran del tipo h(x) = α 1 φ 1 (x) + · · · + α m φ m (x) con lo que depend´ıan de forma lineal de los parámetros α 1 , ..., α m . Un caso más general es aquel en el que F es una familia de funciones en las que las funciones dependen de unos ciertos parámetros de forma no lineal. Por ejemplo, F puede ser la familia de funciones h de la forma F = _ funciones h(x) = cos ax +e bx , a, b ∈ R _ (38) En el caso general, consideremos una familia F de funciones que dependen de mparámetros α i F = { funciones h(x, α 1 , ..., α m ) : α 1 , ..., α m ∈ R} y que denotaremos, de forma compacta, F = { funciones h(x, α) : α ∈ R m } Entonces resolver el problema (31) es equivalente a hallar α ∈ R m tal que (y 0 , ..., y n ) −(h(x 0 , α), ..., h(x n , α)) 2 = m´ın β∈R m (y 0 , ..., y n ) −(h(x 0 , β), ..., h(x n , β)) 2 Por tanto, si denotamos ¯ y = (y 0 , ..., y n ) T H(α) = (h(x 0 , α), ..., h(x n , α)) T . el problema que tenemos es el siguiente: Hallar α ∈ R m tal que ¯ y −H(α) 2 = m´ın β∈R m ¯ y −H(β) 2 (39) Comentarios: Este ´ ultimo problema (39) es el de hallar las pseudosoluciones en la norma dos del sistema no lineal de ecuaciones H(α) = ¯ y (40) que tiene n + 1 ecuaciones y m incógnitas. En el caso más frecuente se tiene m << n + 1 y por ello el sistema (40) será en general incompatible. Para resolver el problema (39) se utilizan técnicas de minimización de funciones. 93 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Ejemplo. En el caso del ejemplo (??) el problema de minimización ser´ıa: Calcular los valores de ayde b que hacen m´ınima la expresión _ y 0 −cos ax 0 +e bx 0 _ 2 +· · · + _ y n −cos ax n +e bxn _ 2 Transformación de un problemas no lineales en lineales. Ajuste de exponenciales a un conjunto de datos por m´ınimos cuadrados. En ocasiones, ajustes de datos que en principio conducen a un problema no lineal se pueden transformar en lineales mediante mani- pulaciones adecuadas. Por ejemplo, si se quiere ajustar con el criterio de m´ınimos cuadrados unos datos con familias de funciones como y = be ax o bien y = bx a se tiene el inconveniente de que los parámetros no aparecen en las funciones de la familia de forma lineal, con lo que en principio habr´ıa que resolver un problema de m´ınimos cuadrados no lineal. Sin embargo, tomando logaritmos se tiene log y = log b +ax en el primer caso y log y = log b +a log x en el segundo, siendo ambos problemas lineales. 7. Interpolaci´ on y aproximación unidimensional con Matlab Manipulación b´ asica de polinomios. p = poly(r) where r is a vector returns a row vector whose elements are the coefficients of the polynomial whose roots are the elements of r. y = polyval(p,x) returns the value of a polynomial of degree n evaluated at x. The input argument p is a vector of length n+1 whose elements are the coefficients in descending powers of the polynomial to be evaluated. r = roots(c) returns a column vector whose elements are the roots of the polynomial c. Row vector c contains the coefficients of a polynomial, ordered in descending powers. If c has n+1 components, the polynomial it represents is c 1 x n +c 2 x n−1 +· · · +c n . Interpolación con polinomios: Se puede llevar a cabo utilizando la instrucción: yi = interp1(x,y,xi,‘método’) 94 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales yi es el vector resultante de interpolar en el vector de abscisas xi utilizando para ello la función f(x) determinada como aquella que interpola los datos definidos por los vectores x e y (que, por lo tanto, deben tener la misma dimensión) mediante el procedimiento de interpolación definido por ’método’. Las posibilidades para ‘método’ son: ‘nearest’: interpolación por el “vecino más cercano”. ‘linear’: interpolación mediante una función lineal a trozos. ‘cubic’: interpolación usando un cierto tipo de polinomios c´ ubicos a trozos que respeten la monoton´ıa de los datos, es decir, si los datos son crecientes también lo es la función interpoladora. Atención, aunque en la ayuda de Matlab le da el nombre de interpolación c´ ubica de Hermite, NO lo es, pues no se utiliza ninguna información sobre derivadas. ‘spline’: interpolación usando splines c´ ubicos con condiciones de frontera “not a knot”. Por ejemplo, yi = interp1([1 3 4 6],[-1 2 5 6],[2 3.5],’linear’) proporciona el vector yi=[1 4] correspondiente a interpolar en las abscisas 2 y 3.5 usando la función resultante de llevar a cabo interpolación lineal a trozos en los datos (1, −1), (3, 2), (4, 5) y (6, 6). Ajuste de curvas por m´ınimos cuadrados: s = polyfit(x,y,n) calcula los coeficientes de un polinomio p(x) de grado n que ajusta los datos definidos por los vectores x e y con la técnica de m´ınimos cuadrados. El resultado s es un vector fila de longitud n + 1 que contiene los coeficientes del polinomio ordenados en orden descendente. Interface de ajuste básico de Matlab. Se accede a ella dibujando unos datos con “plot” y eligiendo “Basic Fitting” en el men´ u Tools de la figura. 8. Ejercicios Ejercicio 3 Se aplica el MEF al problema de tensión plana en la placa Ω de la figura, donde los triángulos son cuadráticos. Sobre el segmento 53 se especifica que el desplazamiento vale g(x, y) y el resto de la frontera está libre. 1 2 3 4 Ω1 Ω2 5 6 7 8 9 Se pide: especificar exactamente quién es el espacio V ∗ y quién es el espacio V h asociado a la malla. 95 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Ejercicio 4 Considérese la aplicación del MEF al problema bidimensional de la transmisión de calor por conducción. 1. Explicar razonadamente (demostrándolo en caso afirmativo o dando un contraejem- plo en caso negativo) si se podr´ıa utilizar una malla bidimensional formada por elementos triángulos c´ ubicos con los grados de libertad habituales. 2. Idem si se considera una malla formada por cuadriláteros bilineales con los grados de libertad habituales. 3. Idem si se considera una malla formada por triángulos lineales con los grados de libertad correspondientes al valor de la funci´ on en el punto medio de cada lado. Ejercicio 5 Se considera el rectángulo bicuadrático estándar ˆ Ω e . ¿Se podr´ıa efectuar un cambio x = φ(ξ) de forma que el elemento Ω e resultante sea un cuadrilátero (de lados rectos) con vértices (x i , y i ), i = 1, 2, 3, 4? En caso afirmativo, ¿cuál ser´ıa ese cambio? (no hace fata determinarlo expl´ıcitamente) Ejercicio 6 Sea el problema de la transmisión de calor por conducción (F): −div (κgradu) = f ; x ∈ Ω u = g ; x ∈ Γ D (κgradu) · n = h ; x ∈ Γ N −(κgradu) · n = α(u −u gas ) ; x ∈ Γ R donde u gas y α son constantes. El problema débil es: Encontrar u ∈ S ∗ tal que para todo w ∈ V ∗ se cumpla que _ Ω κ∇u T ∇wdx +α _ Γ R uwdl = _ Ω fwdx + _ Γ N hwdl +αu gas _ Γ R wdl El problema se resuelve mediante el MEF utilizando la placa de la figura, 1 ≡ (6, 3) 2 ≡ (5, 2) 3 ≡ (4, 0) 4 ≡ (0, 0) 5 ≡ (2, 2) 6 ≡ (0, 2) 7 ≡ (1, 3) 8 ≡ (0, 4) 9 ≡ (−1, 3) 10 ≡ (−2, 1) 1 2 3 6 7 5 4 8 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 96 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales donde los triángulos son lineales y los cuadriláteros bilineales isoparamétricos y donde Γ D , Γ N y Γ R son las siguientes: Γ D = segmentos 12, 23, 34 Γ N = segmentos 89, 9 10, 10 4 Γ R = segmentos 15, 57, 78 Se pide: 1. Expresión de K 25 y F 1 en función de los k e ij y los ¯ f e i , donde los ¯ f e i contemplan la contribución al vector de fuerzas de las fuentes de calor distribuidas, de las condiciones de Neumann y de las condiciones de Robin. Nota: (i) i y j se refieren a la numeración local. (ii) No se pide K y F sino sólo K 25 y F 1 . 2. Dada una placa cualquiera, ¿cómo se puede saber qué elementos de K son nulos? ¿Qué elementos de K (ojo, de K, no de ¯ K) son nulos en la placa del enunciado? 3. Determinar la expresión final que hay que programar para calcular k 7 ij (para i, j se está utilizando numeración local) si se utilizan las fórmulas de cuadratura _ T f(ξ)dξ ≈ r α=1 W α f(ξ α ) y _ 1 0 f(t)dt ≈ s β=1 H β f(t β ) donde T es el triángulo estándar, los W α y H β son los coeficientes para la integración y los ξ α y t β son los nudos correspondientes. Nota: se deben especificar las parametrizaciones de los segmentos que intervengan en las expresiones. 4. Sean (r, s, t) las coordenadas naturales del triángulo 7. Se sabe que s = 2 −x/2 −y/2 t = 2 +x/2 −y/2 Se pide calcular k 7 13 (para i, j se está utilizando numeración local) de forma exacta suponiendo que κ es constante. 97 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Ejercicio 7 Se considera el MEF para el problema de la conducción del calor en la placa de la figura, donde los triángulos son lineales y el cuadrilátero es bilineal 5 ≡ (0, 0) 1 ≡ (2, 0) 7 ≡ (2, 1) 6 ≡ (0, 1) 2 ≡ (4, 0) 3 ≡ (1, −1) 4 ≡ (−2, 0) Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 Ω 5 Ω 6 d c Datos: a. La conductividad en la placa es constante e igual a κ. b. Sobre la placa hay una fuente de calor de valor f(x, y) = 10 2 (x + 2y 2 ). c. En el punto d = (1/2, 0) hay una fuente de calor de magnitud Q = 2 ∗ 10 2 . d. En el segmento S(2, 3) la temperatura vale 0. e. En el segmento S(3, 4) la temperatura vale l(x, y) = 30 −30y. f. En el segmento S(6, 7) hay un flujo de calor normal a la frontera y entrante de valor g(x, y) = (y + 3x) ∗ 10 2 g. El resto de la frontera es adiabática (flujo de calor nulo) Se pide: 1. Calcular las contribuciones al vector F de la fuente puntual de calor aplicada en d = (1/2, 0) Tfs , y especificar en qué posiciones de F se deben ensamblar. 2. Calcular la contribución del segmento que une los nudos 6 y 7, a F 3 (tercera posición de F) usando la siguiente fórmula de cuadratura _ 1 −1 f(x)dx ≈ 1 4 f(−1) + 3 4 f(−1/3) + 3 4 f(1/3) + 1 4 f(1) 3. Calcular de forma exacta (sin utilizar fórmulas de cuadratura) k 1 57 (donde se está utilizando numeración global) 4. Al resolver el sistema Kd = F se obtiene d = 10 2 (1, 5, 2, 6) T . Calcular la temperatura aproximada en el punto c = (2, −1/3) T Notas: i. Todos los apartados son independientes entre s´ı. ii. Se recuerda que el problema débil correspondiente es: Encontrar u ∈ S tal que para todo w ∈ V se cumple _ Ω κ∇u T ∇wdx = _ Ω fwdx + _ Γ 2 gwdl +Qw(d) 98 Luis Sanz Interpolación, Aproximación y Elementos Bidimensionales Ejercicio 8 Deducir los coeficientes α 1 ,...,α 5 para que la función s(x) = { α 1 +x +α 2 x 2 si x ∈ [−1, 0] α 3 +α 4 x +α 5 x 2 si x ∈ [0, 1] sea el spline cuadrático que interpola los puntos (−1, −1), (0, 1) y (1, 3). Ejercicio 9 Sea s(x) un polinomio a trozos, donde los trozos corresponden a los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. Se sabe que los polinomios en cada intervalo son los de menor grado posible tales que se cumple: (a) s ∈ C 1 [−1, 1] (b) s(x) interpola a la función f(x) = xe x hasta orden dos en x = 1 Se pide: calcular s(−1). 99

Aproximacion e Interpolacion. Funciones de Forma Para Algunos Espacios de Elementos Finitos

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