TrigonometriaProf. Marllus Gustavo [email protected] Twitter: Marllus_Neves Nivelamento 2010 Tópicos abordados Introdução Trigonometria do triângulo retângulo Elementos gerais Trigonometria no círculo Relações entre as funções trigonométricas de um mesmo arco Redução ao primeiro quadrante Nivelamento 2010 Introdução Trigonometria tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir) Medida dos Triângulos ou das medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos) Nivelamento 2010 Trigonometria do triângulo retângulo Propriedades de um triângulo retângulo 1 ângulo reto (A) e 2 agudos complementares (B e C) Lados: 1 hipotenusa (a) e 2 catetos (b e c) 3 alturas 2 delas os catetos e outra obtida tomando como base a hipotenusa (AD) Nivelamento 2010 Trigonometria do triângulo retângulo Lados de um triângulo retângulo a hipotenusa b cateto oposto a B e adjacente a C c cateto oposto a C e adjacente a B Cathetós perpendicular Hypoteinusa Hypó (por baixo) + teino (eu estendo) Nivelamento 2010 . Trigonometria do triângulo retângulo funções trigonométricas básicas Nivelamento 2010 . Trigonometria do triângulo retângulo funções trigonométricas básicas sen A =? sen B =? sen C =? cos A =? cos B =? cos C =? tg A =? tg B =? tg C =? Nivelamento 2010 . tg30o / (tg60o.tg60o = 50√3m Nivelamento 2010 .tg30o) = 100.tg30o + a.√3 /3 / (√3 .tg60o 100.tg30o = a.tg30o = a.tg60o / (100 + a) (100 + a)tg30o = a.(tg60o-tg30o) a = 100.EXERCÍCIO Exercício 1: calcule x indicado na figura x = 50√3 m tg30o = x / (100 + a) e tg60o = x / a x = a.√3 /3 / 2√3 /3 a = 50m x = a.√3 /3) a = 100.tg60o 100.tg60o tg30o = a. Elementos gerais Circunferência e círculo orientados Escolhemos um sentido de percurso de um móvel Sentido positivo anti-horário Círculo orientado círculo cuja circunferência é orientada Nivelamento 2010 . Elementos gerais Generalização do conceito de arco e de ângulo 1) os arcos passam a ser orientados 2) passamos a considerar arcos maiores que 360º Nivelamento 2010 . Elementos gerais Generalização do conceito de arco Existe uma infinidade de arcos de origem A e extremidade B Existem várias determinações de um mesmo arco orientado AB As várias determinações de um mesmo arco orientado AB são arcos côngruos arcos de mesma origem e mesma extremidade Nivelamento 2010 . que é um múltiplo de 2 . Como a diferença entre as medidas de dois arcos dados é: d = 19 /3 .7 /3 = 4 . então os arcos são côngruos.EXERCÍCIO Exercício 2: Verifique se os arcos de medidas 7 /3 e 19 /3 são arcos côngruos. Nivelamento 2010 . A medida algébrica de um arco AB é a medida deste arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1). a medida do arco AB. É a mesma em qualquer um dos sentidos. associado a um sinal positivo ou negativo Nivelamento 2010 . é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.Elementos gerais Medida de um arco Feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Elementos gerais Unidades de medida de arcos Grau 1/360 do arco completo da circunferência Grado (não é muito comum) 1/400 do arco completo Radiano (SI) medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência que o contém Nivelamento 2010 . EXERCÍCIO Exercício 3: calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida algébrica A = .2000º Nivelamento 2010 . do raio 8 Nivelamento 2010 . do arco 12 1. em uma circunferência de raio medindo 8 cm Seja m a medida do arco m comprim.EXERCÍCIO Exercício 4: determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm.5 rad comprim. Elementos gerais Unidades de medida de arcos Para toda circunferência. Uma aproximação para o número é dada por: = 3.1415926535897932384626433832795.. Esta constante é denotada pela letra grega . a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. P D π Nivelamento 2010 P πD P 2πr .. que equivale a uma volta completa.EXERCÍCIO Exercício 5: se o perímetro de uma circunferência. vale 2 r. quantos radianos temos nessa volta completa? Pela definição de radianos m(1volta) = 2 r/r = 2 Exercício 6: estabeleça uma expressão para o cálculo do ângulo em radianos de um arco. em função do comprimento do mesmo arco Ângulo central Comprimento em radianos do arco AB 2π ----------------2πr α -------------------s Nivelamento 2010 . 30 = 15 cm Nivelamento 2010 .EXERCÍCIO Exercício 7: determine os valores de e l indicados na figura α = ½ rad l = 15 cm = s/R = 5/10 = 1/2 rad = s/R s = l = .R l = 1/2. Go Nivelamento 2010 R G 180 o .360º R rad -------------.EXERCÍCIO Exercício 8: estabeleça uma expressão para mudança de unidades: graus radianos Ângulo central em radianos Ângulo central em graus 2π rad -------------. Elementos gerais Expressão geral da medida algébrica de um arco Se a radianos é a medida algébrica do arco percorrido por um móvel de A até M quando o móvel atinge M pela primeira vez a é a menor determinação do arco AM O móvel continua a percorrer a mesma circunferência no mesmo sentido toda vez que atinge M.. . 2 x 2 + a.. 2n + a n inteiro não negativo Nivelamento 2010 . a medida algébrica é dada por 2 + a.. n voltas .2 -2 + a .3. Preste atenção no sinal.(n+1).EXERCÍCIO Exercício 9: mostre que.2 + a .b .b = -(2 – a) = -2 + a mais 1 volta . se o móvel se desloca no sentido negativo AM..2 -6 + a . após n voltas ele percorreu o arco -2(n+1) + a.2 + a mais 1 volta (2 voltas) -2.2 -4 + a = -2. Observe na figura que a menor determinação ocorre quando ele percorre b..2 + a . b=2 –a de A para B .2 + a Nivelamento 2010 . de circunferência Nivelamento 2010 . onde k é um número inteiro relativo a menor determinação positiva 2 arcos côngruos diferem de um número inteiro. positivo ou negativo.EXERCÍCIO Exercício 10: podemos resumir o que achamos anteriormente em uma expressão geral? As expressões anteriores podem ser resumidas em uma expressão 2k + a. EXERCÍCIO Exercício 11: marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas x=2k /3. Nivelamento 2010 . onde k é um número inteiro. Trigonometria no círculo Círculo trigonométrico Círculo orientado de raio igual à unidade de comprimento t B Origem dos complementos y s A C x D Nivelamento 2010 . Trigonometria no círculo Funções circulares: seno eixo dos senos x ângulo AM arco correspondente a x OM” senx Variação da função f(x) = senx Nivelamento 2010 . Trigonometria no círculo Funções circulares: seno Nivelamento 2010 . • a imagem é o intervalo [-1.Trigonometria no círculo Funções circulares: seno Observando o gráfico.+1]. Nivelamento 2010 . • a partir de 2π a função seno repete seus valores. concluímos que: • o domínio de senx é o conjunto dos números reais. Trigonometria no círculo Funções circulares: cosseno eixo dos cossenos x ângulo AM arco correspondente a x OM’ cosx Variação da função f(x) = cosx Nivelamento 2010 . Trigonometria no círculo Funções circulares: cosseno Nivelamento 2010 . +1]. concluímos que: • o domínio de cosx é o conjunto dos números reais. • a imagem é o intervalo [-1.Trigonometria no círculo Funções circulares: cosseno Observando o gráfico. Nivelamento 2010 . • a partir de 2π a função co-seno repete seus valores. Trigonometria no círculo Funções circulares: tangente eixo das tangentes x ângulo AM arco correspondente a x AT tgx Variação da função f(x) = tgx Nivelamento 2010 . Trigonometria no círculo Funções circulares: tangente Nivelamento 2010 . -∞ < tgx < +∞ Nivelamento 2010 .Trigonometria no círculo Funções circulares: tangente Observando o gráfico. • a imagem é o intervalo ] -∞. isto é. concluímos que: • o domínio de tgx é D x Rx π k π com k 2 Z .+∞[. Trigonometria no círculo Funções circulares diretas: cotangente x ângulo AM arco correspondente a x BC cotgx eixo das cotangentes Nivelamento 2010 . Trigonometria no círculo Funções circulares diretas: cotangente Nivelamento 2010 . +∞[. -∞ < cotgx < +∞ Nivelamento 2010 . isto é. • a imagem é o intervalo ] -∞. concluímos que: • o domínio de cotgx é D x Rx k π com k Z .Trigonometria no círculo Funções circulares diretas: cotangente Observando o gráfico. Trigonometria no círculo Funções circulares diretas: secante e cossecante Observando os triângulos retângulos cosecx secante Nivelamento 2010 . Relações entre as funções trigonométricas Relações fundamentais OM = 1 OM’ = cosx OM” = MM’ = senx S T No triângulo retângulo OM’M (Pitágoras): sen2x + cos2x = 1 Semelhança entre os triângulos OMM’ e OTA: tgx = senx/cosx Semelhança entre os triângulos OMM” e OSB: cotgx = 1/tgx Nivelamento 2010 . Relações entre as funções trigonométricas Relações fundamentais OM = 1 OM’ = cosx OM” = MM’ = senx 1 Nivelamento 2010 Exercício: mostrar que secx = 1/cosx e cosecx = 1/senx . EXERCÍCIO Exercício 12: Se x está no segundo quadrante e cosx = -12/13. qual é o valor de senx? Nivelamento 2010 . EXERCÍCIO 2 Exercício 13: mostre que Nivelamento 2010 2 sen x 2cos x senxcosx tgx 2cotgx . EXERCÍCIO Exercício 14: mostrar que sec2x = 1+ tg2x cosec2x = 1+ cotg2x Nivelamento 2010 . precisamos saber as relações entre as funções trigonométricas dos arcos. explementares (que diferem de uma semicircunferência).Redução ao primeiro quadrante O que é reduzir ao primeiro quadrante? Reduzir um arco x ao primeiro quadrante é calcular um arco compreendido entre 0 e /2 rad. cujas funções trigonométricas seja. em valor absoluto. iguais às do arco x. Para isto. Nivelamento 2010 . replementares (simétricos). suplementares. x) = .cotgx secx( .cosx tgx( .secx cosecx( .x) = .x) = .tgx cotgx( .x) = senx cos( .x) = cosecx .x) = .Redução ao primeiro quadrante Suplementares (2º 1º quadrante) Nivelamento 2010 sen( . cosx tgx( + x) = tgx cotgx( + x) = cotgx secx( + x) = .senx cos( + x) = .cosecx Exercício: verificar afirmado acima Nivelamento 2010 o que está .secx cosecx( + x) = .Redução ao primeiro quadrante Explementares (3º 1º quadrante) sen( + x) = . x) = .Redução ao primeiro quadrante Replementares (4º 1º quadrante) sen(2 .x) = cosx tgx(2 .x) = .tgx cotgx(2 .x) = .x) = secx cosecx(2 .senx cos(2 .cotgx secx(2 .cosecx Exercício: verificar afirmado acima Nivelamento 2010 o que está .x) = . Nivelamento 2010 .EXERCÍCIO Exercício 15: Determine o valor de sen 4290°.