PRMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PRO-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA CENTRO DE PESQUISAS EM REOLOGIA E FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS PPGEM PMT03 Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco [email protected] Tel: 41 3310-4871 Curitiba – PR 2016 2 CONTEÚDO CAPÍTULO 1 ........................................................................................................... 5 1) REVISÃO MATEMÁTICA ................................................................................... 5 1.1) Operações Vetoriais do Ponto de vista Geométrico .............................................................. 5 1.2) Operações com vetores do ponto de vista analítico .............................................................. 7 1.2.1) Vetores Unitários .................................................................................................................. 7 1.2.2) O produto escalar entre dois vetores ................................................................................... 9 1.2.3) O produto vetorial entre dois vetores ................................................................................... 9 1.2.4) Múltiplas operações vetoriais ............................................................................................... 9 1.3) Tensores ................................................................................................................................... 11 1.3.1) Tensores de Segunda Ordem ............................................................................................ 14 1.3.2) Operações Analíticas com Tensores .................................................................................. 16 1.3.3) O produto tensorial entre dois tensores ............................................................................. 17 1.3.4) O produto de um tensor com um vetor ............................................................................... 17 1.3.5) O produto tensorial de um tensor com um vetor ................................................................ 18 1.3.6) O produto escalar entre dois tensores ............................................................................... 18 1.3.7) Invariantes de um Tensor ................................................................................................... 18 1.4) Operações Diferenciais com Vetores e Tensores ................................................................ 19 1.4.1) O Gradiente de um Campo Escalar ................................................................................... 19 1.4.2) Divergência de um Campo Vetorial .................................................................................... 20 1.4.3) O Rotacional de um Campo Vetorial .................................................................................. 20 1.4.4) Gradiente de um Campo Vetorial ....................................................................................... 21 1.4.5) Divergência de um Campo Tensorial ................................................................................. 21 1.4.6) Laplaciano de um Escalar .................................................................................................. 22 1.4.7) Laplaciano de um Campo Vetorial ..................................................................................... 22 1.5) Teorema de Stokes .................................................................................................................. 25 1.6) O Teorema de Gauss ............................................................................................................... 27 1.7) Regra de Leibniz ...................................................................................................................... 28 1.7.1) Extensão do Teorema de Leibniz para Integral Tripla ....................................................... 29 1.8) Transformação de Coordenadas ............................................................................................ 30 1.8.1) O Gradiente em um Sistema Genérico de Coordenadas Ortogonais ................................ 30 Lista de Exercícios 1 ..................................................................................................................... 35 3 4 . o Teorema de Stokes e a Regra de Leibniz de Integração.1. Também são deduzidos o Teorema de Gauss.1. assim como discutida a forma de transformação entre os vários sistemas de coordenadas.1) Operações Vetoriais do Ponto de vista Geométrico Um vetor v é definido como uma quantidade de uma dada magnitude e direção. ou vice-versa. Dois vetores v e w são iguais quando suas magnitudes são iguais e apontam para a mesma direção. 5 .1) Produto Escalar entre dois vetores O produto escalar entre dois vetores v e w é a quantidade escalar definida por: v w cos vw o ângulo que v faz com w . O produto escalar é a magnitude de w multiplicado pela projeção de v em w . v w sendo vw (1.1) Produto escalar entre dois vetores ( v e w ). 1. como mostrado na Figura 1.Capítulo 1 1) Revisão Matemática Nesse capítulo é apresentada uma sucinta revisão de conceitos e operações matemáticas envolvendo vetores e tensores. A magnitude de um vetor é designada por v . 1.1) v vw | v | cos vw w Figura 1. 7) (v v ) 0 As regras que governam os produtos vetoriais são: Não-Comutativa: (v w) ( w v ) Não-Associativa: (u (v w)) ((u v ) w) ((u v ) w) (u w) (v w) Distributiva: (1. o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado de sua magnitude.Notar que. Figura 1.9) (1.4) (1.2) Produto vetorial entre dois vetores ( v e w ). Da definição de produto vetorial.2) (1.1. Observar que a magnitude de vetor resultante é a área do paralelogramo definido pelos vetores v e w .2) Produto vetorial entre dois vetores O produto vetorial entre dois vetores v e w é a grandeza vetorial definida por: (1.10) 6 .3) (1. 2 (v v ) v As regras que governam os produtos escalares são: Comutativa: (u v ) (v u ) Não-associativa: (u v ) w u (v w) Distributiva: (u (v w)) (u v ) (u w) (1.8) (1. tem-se que: (1.6) (v w) v w sen vw nv w sendo nvw um vetor de comprimento unitário (vetor unitário) normal ao plano que contém v e w e aponta na direção que um parafuso de rosca direita se moveria se fosse girado de v para w de um ângulo vw .5) 1. vetores com magnitude unitária. entre elas: 3 3 j 1 k 1 3 k 1 ijk ijk hjk 2 ih mnk im jn in jm (1. respectivamente. na direção dos eixos 1.12) O símbolo de permutação também é expresso por: 1 2 ijk (i j )( j k )( k i ) (1.11) se i j x2 ijk 1 se ijk 123. A abordagem estará restrita ao sistema retangular de coordenadas cujos eixos serão denominados por 1. isto é. ijk .2. 2 e 3 correspondendo à notação usual x. respectivamente.14) (1.13) Várias relações envolvendo ij e ijk são úteis para manipular ou demonstrar identidades vetoriais ou tensoriais. e do símbolo de permutação.231 ou 312 ijk 321.213 ou 132 ijk 1 se 0 se quaisquer dois índices forem iguais ijk +1 x3 x1 (1. ij . As fórmulas podem ser escritas de forma compacta em termos do delta de Kronecker. y e z.1) Vetores Unitários Considere d1.2 e 3. 7 . d2 e d3 vetores unitários. um tratamento analítico será dado aos tópicos apresentados na seção anterior.2) Operações com vetores do ponto de vista analítico Nesta seção. 1.1.15) O símbolo implica que o produto ijk e hjk seja somado para todos os valores que o índice de pode assumir. Estas quantidades são definidas como: 1 ij ij 0 se i j (1. 3) Vetores Unitários em coordenadas cartesianas.x2 2 1 x1 3 x3 Figura 1. onde serão desenvolvidas expressões para operações vetoriais e tensoriais. pode-se tabular todos os possíveis produtos. Assim. os vetores ou tensores serão decompostos através dos vetores unitários e aplicadas as equações acima.17) Todas essas relações podem ser sumarizadas em duas: i j ij (1.19) i 1 Nas seções subsequentes. 3 v 1v1 2v2 3v3 i vi (1. 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 3 2 3 0 1 1 2 2 3 3 0 1 2 3 // 2 3 1 // 3 1 2 2 1 3 // 3 2 1 // 1 3 2 3 (1.16) j k ijki (1.21) i 1 i i i 8 . Aplicando-se a definição de produto escalar e vetorial.20) v w i vi i wi i vi wi (1.18) (1. 27) 1.2.25) Por exemplo.28) 9 . o produto u v w pode ser escrito como: u v w u v w i i i i j k u v j wk i jk i (1.23) k 1 2 3 det v1 v2 v3 w1 w2 w3 v2 w3 v3 w2 1 v3 w1 v1w3 2 v1w2 v2 w1 3 (1.1.2.então: v w1 i j k v j wk (1. caso contrário: i j k 0 .3 ou 3. portanto: v w 1 123v2 w3 132v3 w2 (v2 w3 v3 w2 ) (1.3) O produto vetorial entre dois vetores O produto vetorial entre dois vetores é expresso como: v w j v j k wk j j k k j k v j wk i j k i v j wk i j (1.26) j k j k Mas os únicos valores que os índices jk podem assumir são: jk 2.2) O produto escalar entre dois vetores Pode-se demonstrar o resultado do produto escalar entre dois vetores como: v w ivi j w j i j vi wi j j i i (1. Por exemplo.4) Múltiplas operações vetoriais Expressões para produtos múltiplos envolvendo vetores podem ser obtidas usando-se as expressões analíticas que expressam os produtos escalares e vetoriais.2. o componente na direção i de v w é: v w i i j k v j wk (1. se i 1 .24) Notar que.22) ij vi w j vi wi i j i 1.2. se o determinante for nulo.29) w1 w2 w3 u v w A magnitude de é o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u . Exemplo 1. v e w . portanto k j i m l i u j vk wl zm j k l m i k m j l k l jm u j vk wl zm j k l m = k m j l u j k wl zm k l jm u j vk wl zm j k l m j k l m k m vk zm j l u j wl k l vk wl j m u j zm k m j l j m k l v z u w v w u z 10 . Além disso.ou u1 u2 u3 u v w det v1 v2 v3 (1. i j k k j i e i l m m l i . implica que os vetores u . v e w são coplanares.1: Mostre que u v w z u w v z u z v w u v i j k iu j vk e i j k w z n l m n wl zm n l m Desse modo: u v w z i j k i u j vk n l m n wl zm i j k n l m i n i j k v j vk nl m wl zm i n l m j k in i j k u j vk n l m wl zm i n j k l m i j k i l mu j vk wl zm i j k l m mas. v e w (1.4) Estado de tensões de um elemento fluido bidimensional.33) u v w z u w v z u z v w (1.32) w v u u v w v u w u v w (1.30) u v w v u w w u v u v w z u v z w u v w z (1.Outras identidades vetoriais podem ser demonstradas de forma análoga. Neste caso 12 representa a tensão que atua no plano (1) perpendicular ao eixo 1 e na direção do eixo (2). 11 . u v w volume de paralelepípedos de lados u.34) 1. ij . O 1 índice refere-se à superfície onde a tensão atua e o 2 índice refere-se à sua direção. (1.3) Tensores A explicação do conceito de tensor será feita através de situações físicas relacionadas à Mecânica dos Fluidos. 2 22 21 12 11 1 Figura 1. Considere o escoamento bidimensional onde o fluido está sujeito a um estado de tensão bidimensional.31) Onde. 12 . energia interna. Existem tensores de ordem superiores a 2. conforme mostrado na Figura 1. As operações tensoriais que serão tratadas neste capítulo referem-se a tensores de ordem 2. Exemplos: velocidade. quantidade de movimento mV . será: F1 11 A1 21 A2 (1. Exemplos de um escalar: temperatura.5. porque para defini-la é necessário conhecer a superfície onde ela atua e sua direção. um escalar é um tensor de ordem 0 (suas propriedades não dependem de sua orientação espacial.Para saber a força resultante no fluido. Na verdade.) e finalmente a tensão é um tensor de ordem 2. Forma especial de tensor de segunda ordem Antes de introduzir algumas operações e propriedades básicas sobre tensores de ordem 2 é conveniente identificar o produto entre dois vetores como sendo uma forma especial de um tensor de segunda ordem. Neste ponto pode-se dizer que a tensão é representada por um tensor de ordem 2.). é necessário associar a uma tensão o plano onde ela atua e sua direção no plano. supondo que se deseja saber a quantidade de movimento que cruza uma superfície. um vetor é um tensor de ordem 1 (suas propriedades dependem da direção que elas assumem no espaço. Assim. a força resultante na direção 1.35) F2 22 A2 12 A1 (1. etc. dado o campo de tensões. Para isso. etc. é necessário multiplicar cada tensão pela área onde ela atua no elemento. entretanto.36) e na direção 2: Nota-se que a tensão ij está associada a um vetor força para cada direção do espaço. cujas áreas transversais ao escoamento A1 e A2 são unitárias. Deve-se destacar também que diferentemente dos vetores. eles raramente ocorrem em fenômenos relacionados à Mecânica dos Fluidos. o produto u u possui i j a natureza de um tensor de 13 . u1 Figura 1. Desse modo. J 1 u1 u1 u2 u1 (1. por: m 1 u1 A1 (1) (1. tanto o fluxo de massa que cruza a área (1) quanto o que cruza a área (2). Nas faces 1 e 2. respectivamente. u2) em cada uma das respectivas faces. a quantidade de movimento na direção (1).5) Campo de escoamento bidimensional. u2 m 2u1 m 1u1 1. u2 x3 1 u 1 x2 1 x1 1 Figura 1. Analogamente. são transportados pelo escoamento que possui componentes de velocidade (u1. o fluxo de quantidade de movimento na direção (2) é: J 2 u1 u2 u2 u2 (1.39) Observa-se que a quantidade de movimento J i (natureza vetorial) depende do fluxo de massa que cruza cada área do elemento e da direção da componente da velocidade.38) 2.37) m 2 u2 A2 (2) Note que.6) Transporte de quantidade de movimento na direção (1). a vazão mássica é expressa. Então. Denota-se a transposta de ij por T T ij 11 21 31 12 22 32 13 23 33 ij (1. Os elementos da matriz são produtos dos componentes dos vetores v1w1 v1w2 vi w j v2 w1 v2 w2 v w v w 3 1 3 2 v1w3 v2 w3 v3w3 (1. enquanto um antissimétrico possui apenas três.1) Tensores de Segunda Ordem Em analogia a um vetor que necessita de três componentes para ser especificado. i j 1.3. Qij é simétrico se. enquanto o segundo é antissimétrico: 3 4 Qi j 4 5 1 2 1 2 2 . Qij Q j i (1. Para um tensor antissimétrico Ri j R j i .segunda ordem. 0 Ri j 3 1 3 0 5 1 5 0 Um tensor simétrico possui seis componentes independentes.42) O tensor é dito ser simétrico se for igual ao seu transposto.40) O produto diádico entre dois vetores v e w é também um tensor de segunda ordem. os 14 . porque precisa da especificação de duas direções.43) O tensor Rij é dito ser antissimétrico se for igual ao negativo de seu transposto. 11 12 13 ij 21 22 32 31 32 33 (1. um tensor de ordem 2 precisa de nove componentes. Rij R j i (1.44) O primeiro tensor abaixo é simétrico. A transposta de um tensor é obtida invertendo-se a ordem de seus índices. Deve ser enfatizado que o produto diádico é representado escrevendo-se os dois vetores sem nenhum símbolo de multiplicação entre eles. A transposta de ij é ji .41) A diádica v w é em geral diferente da diádica w v . Denomina-se u u de produto diádico. i .46) Ti . Para mostrar isto. j Ti . começa-se com Tij somando e subtraindo metade de seu transposto: 1 1 1 1 Tij Tij T j i Ti j T j i 2 2 2 2 (1. j simétrica 24 2 0 1 5 2 3 2 2 5 1 2 0 1 2 0 2 2 0 Ti . j Ti .i . j 1 Ti j T j i 2 (1. j ) é simétrico Ti . portanto: T( i .elementos da diagonal só podem satisfazer esta identidade se eles forem iguais a zero. j T j . Um tensor arbitrário Tij pode sempre ser decomposto em uma parte simétrica e em outra antissimétrica. j T j .47) Ti . portanto: Ti .45) Denotando por: então: Ti . j 1 Ti j T j i 2 (1. j (1. j é antissimétrico Exemplo 1.48) mas: Ti .2: Como decompor uma matriz em uma parcela simétrica e outra antissimétrica. 1 1 2 3 42 ij 4 0 5 2 2 1 3 23 2 24 2 0 1 5 2 3 2 0 2 51 4 2 2 2 2 3 3 2 5 1 3 0 2 0 3 1 3 5 1 3 3 2 2 Ti . j antissimétrica 1 15 . 56) 16 . Correspondentes aos vetores unitários pode-se definir produtos diádicos unitários que corresponderão as duas direções necessárias para definir o tensor.49) Existem nove produtos diádicos unitários. ij 11 11 21 21 31 31 1 2 12 2 2 22 3 2 32 1 3 13 2 3 23 3 3 33 (1.55) Expansão de um tensor em termos de seus componentes Assim como um vetor é escrito em termos de cada um de seus componentes através dos vetores unitários. isto é.52) (1. necessitam de uma direção para serem especificados.51) (1.3. os tensores de segunda ordem necessitam de duas direções.2) Operações Analíticas com Tensores Fazendo um paralelo com os vetores que. As operações com produtos diádicos unitários são introduzidas formalmente através da relação que elas têm com os vetores unitários. com o tensor pode-se proceder de maneira análoga através dos produtos diádicos unitários. uma correspondente ao eixo normal à superfície onde ele atua e outra paralela ao eixo onde ele atua.54) l 1 (1. i j k l j k i l j k il i j k i j k i j k i j k i j k ij k i j k l i j k l jk i l i 3 j k l i l j k i j k i j k i j k (1. m n mi nj (1.53) (1.50) 3 l 1 i jl l k (1. O produto unitário é definido a partir dos vetores unitários.1. Similarmente.3.59) j 1. o componente i do produto τ v é ij v j .61) l jk i l ij kl i j k (1.64) (1.65) i jk ij vk i ij v j i j k (1.57) i 1 j 1 O tensor transposto de τ é: τT i j j i i (1.3) O produto tensorial entre dois tensores O produto tensorial entre dois tensores é expresso por: σ τ i j ij k l kl i j k l = i j k l ij kl i j k (1.3 3 ij i j i j (1. resulta em uma grandeza vetorial.63) 1.4) O produto de um tensor com um vetor O produto vetorial entre um tensor e um vetor.3.66) i Isto é. 17 . Obviamente τv v τ .62) l = i l ij jl i l j (1.58) j O produto diádico de dois vetores v e w é: v w i j vi w j i (1.60) (1. o j componente i do produto v τ é v j ji . a menos que τ j seja simétrico. k i j k ij vk i j k τv i j ij k vk i j (1. i j 1. o componente j k lk de v τ é ijl vi jk .v vi vi . τ v i j ij k vk i j k ij vk (1. Esta grandeza é o quadrado da magnitude do vetor i 18 .3.70) i l k j O componente ( il ) de τ v é jkl ij vk .75) 1. Similarmente.68) jkl i l ij vk (1.73) (1.7) Invariantes de um Tensor Uma grandeza escalar pode ser formada a partir do produto escalar do vetor v com ele mesmo v .3. σ : τ i j ij : k l kl i j i j k k l i j : k l ij kl (1.5) O produto tensorial de um tensor com um vetor O produto tensorial de um tensor com um vetor resulta em uma grandeza tensorial. pode-se mostrar que: τ : vw ij v j wi i j uv : wz ui v j w j zi i j (1.69) i j i j k k i j k l i l jkl ij vk (1. 11 12 13 v1 11v1 12 v2 13v3 τv 21 22 23 v2 21v1 22v2 23v3 31 32 33 v3 31v1 32 v2 33v3 (1.3.67) 1.71) (1.72) l il jk ij kl ij ji i j k l i j Similarmente.6) O produto escalar entre dois tensores O produto escalar entre dois tensores resulta em uma grandeza escalar.74) (1. 4. I ii tr( τ) i 1 tr( τ 2 ) (tr( τ))2 2 (1. daí o nome de operador. é definido em coordenadas cartesianas retangular como: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 i x1 x2 x3 xi i (1. e é conhecida como invariante escalar de v . Para um vetor. tr( ) . 1.78) II ij ji i j i onde tr( ) e det( ) (1. vetorial ou tensorial. Ele deve vir acompanhado a sua direita por uma grandeza escalar. v .1) O Gradiente de um Campo Escalar Se é uma função escalar das variáveis x1.77) III ij jk ki det( τ) (1.76) j k representam o traço do tensor e o determinante. x3. porém ele por si só não possui significado. somente um único invariante escalar pode ser construído.81) (1. é a soma dos elementos da diagonal principal. 1. O traço do tensor. De um tensor τ . x2. porque seu valor é independente do sistema de coordenadas ao qual v é referido.79) O operador vetorial possui os componentes de um vetor.80) O vetor gerado a partir das derivadas de é designado por ou grad . As propriedades do gradiente são: c c (1. podem-se construir três invariantes escalares.82) 19 . conhecido como “nabla” ou “del”. então a operação de em resulta em: 1 2 3 i x1 x2 x3 xi i (1. respectivamente.4) Operações Diferenciais com Vetores e Tensores O operador vetorial diferencial . 3) O Rotacional de um Campo Vetorial O produto vetorial entre e v gera um vetor e é definido por: v j k vk x j k j v j k vk ijk i k xj xj j k i j k (1.83) Sendo uma função escalar e c uma constante. x3. (1.87) onde c é uma constante.4.88) 1 2 3 det / x1 / x2 / x3 v1 v2 v3 (1.84) vi xi A grandeza escalar gerada pelo somatório das derivadas do vetor v é chamada de: divergência de v . então o produto escalar entre e v é: vj v i j v j i j i xi j xi i j ij i j vj xi i (1. x2.86) w v v v (1. algumas vezes abreviada por div v . 1.89) v v v1 v3 v2 v1 1 3 2 2 3 x3 x1 x1 x2 x 2 x3 20 .4.85) v w v w (1. v e w são vetores e é uma função escalar.2) Divergência de um Campo Vetorial Se o vetor v é uma função das variáveis x1. 1. As propriedades do divergente são: cv cv (1. Ele é um tensor de segunda ordem cujo componente ij é vj xi .93) (1.98) 21 .90) (1. v e w são vetores e uma função escalar. gradiente e divergente as quais são identicamente nulas: rot grad i ijk 0 x j xk (1.95) vk div rot v v ijk 0 xi x j (1.91) (1. Devem-se destacar duas identidades relacionadas com rotacional.96) 1. x j ijk j k As propriedades do rotacional são: c v c v v w v w v v v v v v w v w w v w v v w v v v (1.5) Divergência de um Campo Tensorial O produto vetorial entre um tensor e o operador v gera um vetor.4.4. O produto vetorial v é denominado rotacional de v ou rot v . e é definido como: jk τ i j k jk i j k xi j k xi i j k i (1. 1. o componente i de v é vk . pode-se formar v i xi vj i j xi v j j (1.4) Gradiente de um Campo Vetorial Adicionalmente ao produto escalar v e ao produto vetorial v . Note que.94) onde c é uma constante.97) É chamado de gradiente do vetor v e pode também ser escrito como grad v .92) (1. 1.6) Laplaciano de um Escalar O divergente do gradiente de uma função escalar é: i j i x x j j i 2 ij xi x j i xi2 i j (1. 2 . A Tabela 1.99) Este produto é chamado de divergência de τ .1 mostra as principais identidades vetoriais e tensoriais comumente utilizadas em Mecânica dos Fluidos 22 .4. em coordenadas cartesianas é 2 v k .102) Em geral o operador laplaciano está presente nos termos associados a processo de difusão de certa variável nas equações de transporte. é dado o nome de laplaciano. div τ .100) 1.Se τ é o produto v w .4.101) A esta combinação de operadores de .7) Laplaciano de um Campo Vetorial O divergente do gradiente de um vetor é: v k j k x x j k i j i i j k vk xi x j i j k v i (1.103) 2v ij k vk k k2 xi x j i j k k i xi O componente k de v . ij k jk k ik xi i j k k i xi (1. i vw k vi wk k i xi (1. O componente k de τ é ik x i . 2 2 2 2 x12 x22 x32 (1. Em coordenadas cartesianas. Tabela 1.1 – Identidades vetoriais e tensoriais. 23 .2 mostra um quadro comparativo das principais notações utilizadas. 1 2 3 v v 1 v v v v 2 vw v w w v 2 v v v 5 1 v v v v v v 2 v 0 6 0 7 v v t t 8 v (v )v v v k vi k xi i 9 v w v w w v v w w v 10 w w 2 w 4 A Tabela 1. Notação Vetorial Denominação 1 v Notação Indicial vetor vi 2 u v produto escalar ui vi 0 3 u v i produto vetorial ijk u j vk 1 4 τ tensor ij 2 5 uv (produto diádico ui v j 2 6 v τ i produto vetorial v com τ v j ji 1 7 τ : σ produto escalar τ com σ ij ji 0 8 grad gradiente campo escalar 1 9 div v v xi divergente 0 10 rot v v i vi xi rotacional 11 grad v v ij gradiente campo vetorial 12 div τ τ k 13 div vw vw k 14 2 15 2 v . v k divergente campo tensorial divergente campo tensorial laplaciano campo escalar laplaciano campo vetorial ijk Ordem do Tensor 1 vk xj 1 vj 2 xi ik xi 1 vi w k xi 1 2 x12 0 2 vk x12 1 Tabela 1. 24 .2 – Quadro comparativo das notações usuais. dl z y x 2 25 . dl z representa o contorno EFGH e o subíndice z indica que ele está contido no plano xy .104) S A demonstração do Teorema de Stokes é uma decorrência de que a intensidade do rotacional de em um ponto P. 1 n lim dl S 0 S C (1. o produto dl z é: 2 x Lado FE dl j y .7) Esquemático para demonstração do Teorema de Stokes Onde s x y k e A1 i A2 j A3k . dl ds C (1. é o limite da circulação por unidade de área quando a curva C tende para um ponto P. com a integral de superfície do rotacional de na superfície S circunscrita pelo contorno C.7.1.105) A demonstração do Teorema de Stokes é apresentada na sequencia.5) Teorema de Stokes O teorema de Stokes relaciona a integral do vetor ao longo do contorno fechado C. Para o contorno C. contida no plano xy . curva EFGH. z k j i y E x F P x H G y Figura 1. Considere o retângulo EFGH com lados x e y como mostra a Figura 1. obtém-se: dl dS C Outras transformações de integrais de superfície para integrais de linha. y e z.107) Em notação indicial: S ijk Ak ni ds ai dri xj C (1. dl z y x S I Por integração similar em torno dos retângulos nos planos xy e zy. obtém-se: 3 2 dl X y z y z i z y 1 3 dl y x z x z j x z Para um contorno no espaço x.108) 26 . decorrentes do teorema de Stokes.106) S dr dS C (1. dl z y x 2 1 y Lado HE dl i x. 1 y Lado FG dl i x. y . k . dl z x y 2 2 x Lado GH dl j y . dl dl x i dl y j dl z k . portanto: dl S II III IV sendo s o vetor normal à superfície. são: dr ds C (1. x . dl z x y 2 Somando-se os resultados acima. obtém-se: 2 1 x . y . Integrando-se a Equação IV. 111) S v d n v d s V (1. em todas as relações de transformação de integral de superfície para integral de volume. A integral de volume da divergência do vetor v é igual à integral de superfície do vetor v sobre a superfície fechada que envolve o volume. decorrentes do Teorema de Gauss são: d n d s V (1. div v ou v . A integral de superfície é definida como o fluxo de que passa através da superfície S .110) S Outras transformações de integrais de volume em integrais de superfície.114) S Note que.6) O Teorema de Gauss O Teorema de Gauss é expresso pela relação integral: v d n v ds (1. Sua direção sempre aponta para fora de S . v n ds S a integral v n ds é o fluxo resultante total (líquido) que atravessa a superfície S fechada S . o teorema de Gauss mostra que a divergência de em um ponto P é o limite do fluxo resultante total que sai. Então. 27 . pode ser definida por: v lim V 0 n v ds (1. Logo.109) S sendo n o valor unitário normal à superfície S a qual limita o volume .113) S Em notação indicial x v d n v d s i V i i i (1. O teorema de Gauss é demonstrado a partir de que a divergência de um vetor v . por unidade de volume quando S tende ao ponto P.1. o vetor normal n é substituído pelo operador nabla ( ) .112) S τ d n τ d s V (1. pode-se pensar que seja diretamente dependente de t e indiretamente dos valores intermediários de A e B. t ) d x A(t ) (1.8.1.116) No entanto. t ) dt t dt A B f ( x. 3 f dt t f (t dt ) 4 f (t ) 5 2 1 7 A(t ) 6 dB dt dt dA dt dt 8 A(t dt ) 9 B (t ) 10 B (t dt ) Figura 1. Se os limites A e B são constantes e finitos. t ) dx f ( B. a expressão se reduz a: d d f ( x.7) Regra de Leibniz Frequentemente é necessário trabalhar com uma função (t ) definida pela integral do tipo B (t ) f ( x. descreve os termos da equação. uma expressão para derivada (t ) é necessária. a taxa de variação da integral é igual a soma de três termos. t )d x f ( x.8)Teorema de Leibniz em uma dimensão. A diferenciação de (t ) pode ser então expressa pela regra de Leibniz: ' (t ) d d dt dt B (t ) d f dB ( x. O primeiro termo é a contribuição devido ao aumento de f t entre os limites A e B. t ) dx dt dt A t A B '(t ) B (1.115) A( t ) Em particular. 28 . respectivamente: A Figura 1. se os limites não são constantes. f em x=A e x=B é trazido à integral com uma velocidade dA dt e dB dt .114) Note que. t ) f ( . t ) dx (t ) (1. O segundo e terceiros termos aparecem porque os limites de integração estão se movendo. 117) Notar que e S são funções do tempo: t e S S t .6.5.8 dt d f dt Area 4.10 Area 1.3.9.10 dt Portanto: B d 1 f ( x. 4 Area 4.y. t )dx Area 1. se (x.8.7. Dt Df f V f Dt t (1. movendo-se no espaço. 4] A d f () d t Area 1.119) 29 .118) Df é a derivada substantiva ou total. 2. Se a superfície estiver se movendo junto com o fluido.Da Figura 1.z.1) Extensão do Teorema de Leibniz para Integral Tripla Considere o volume fechado.t) é uma função escalar da posição e do tempo.7.7.9. (1. então d Df f d d f v d dt Dt onde.8 dt A t 1. de superfície S . a ser definida no Capítulo 3. Então. d f f d d f vs n ds dt t S (1.6. Considere que a velocidade de qualquer elemento da superfície seja v s .5. o Teorema de Leibniz pode ser demonstrado como: B f t dt d x Area[1.3. 2. v S v . 8. 1. .123) 30 . para coordenadas cilíndricas: r . z e para esféricas: r .122) i onde dl são as coordenadas do novo sistema.1) O Gradiente em um Sistema Genérico de Coordenadas Ortogonais O gradiente de um escalar é o limite da variação da grandeza ao longo das direções do sistema ortogonal x hi dli x i hlim dl i i0 hi dli 1 hi li (1. .9) Elemento de um Sistema Genérico de Coordenadas. k j hk dlk h j dl j hi dli i Figura 1.120) 2 dl fica (1. . O elemento de arco de uma curva é obtido pelo produto do vetor unitário tangente a curva vezes o comprimento do arco. a relação é: dl h d l 2 2 2 i (1. A expressão (1.8) Transformação de Coordenadas Uma das vantagens da notação vetorial é a facilitação da transformação entre os vários sistemas de coordenadas.121) e dl dl x dl y dl z dli dli 2 2 2 2 Para transformar este elemento de um sistema de coordenadas para outro. Os fatores hi são denominados fatores de escala. Em coordenadas cartesianas: dl T dl i dl x j dl y k dl z i dx j dy k dz (1.1. Nesta seção serão tratadas as coordenadas cilíndricas e esféricas.122) é válida somente para sistemas ortogonais. 10) Sistema de Coordenadas cilíndricas. x r cos y r sen z z (1. a expressão fica n ds h dh i j k i hk dh j hk h j d i dlk dl j S d hk dhk h dl hi dli i i Mas d hj dh j hi dli hi dli d i e d i hi dli hi dli Substituindo estas expressões na equação anterior i h j hk S n ds li dli dl j dlk Portanto. y ) Figura 1.Cálculo do divergente em um sistema genérico de coordenadas ortogonais Utilizando-se da definição de divergente lim 0 n ds (1.124) E expandindo a integral de superfície para um sistema genérico: n ds i d i h j dh j dl j hk dhk dlk i h j hk dl j dlk S Desprezando-se os termos de segunda ordem. o divergente do vetor fica: 1 i h j hk li hi h j hk Coordenadas Cilíndricas z r y x P ( x.125) 31 . 128) Comparando os valores da expressão acima com a definição dada para os fatores de escala. .3: Mostrar que a derivada direcional de ao longo da curva C é: grad( T ) .dx cos dr r sen d dy sen dr r cos d d z d z (1.127) dl 2 dx 2 dy 2 dz 2 d r 2 r 2 d 2 dz 2 (1. h r hz 1 e (1. ) r x y x r sen cos y r sen sen z r cos (1.130) dl 2 dr 2 r 2 d 2 r 2 sen 2 d 2 (1.131) os fatores de escala são: hr 1 h r e h r sen (1.126) d x 2 cos2 dr 2 2r sen cos dr d r 2 sen 2 d 2 2 2 2 2 2 2 d y sen dr 2r sen cos dr d r cos d 2 2 dz d z (1. hr 1. onde T é o vetor unitário tangente à curva em qualquer ponto.129) Coordenadas esféricas z ( r . s Solução: o vetor unitário tangente a curva C é escrito em coordenadas cartesianas por: 32 .132) Exemplo 1. z.4: Mostre que se é uma função escalar tal que x.5: Demonstre a identidade: v v v v v 1 2 2 v Solução: v k klm m xi 33 . como mostrado na figura abaixo x2 dr comprimento de arco ds x1 x3 A derivada s é dada por: x1 x2 x3 s x1 s x2 s x3 s Esta soma de produtos é idêntica à operação T . r 1 x1 2 x 2 3 x3 ds ds ds ds e s o comprimento do arco de C. y. dr d x1 d x 2 d x3 T 1 2 3 . onde r é o vetor posição. então d dr dt t Solução: O vetor posição r em coordenadas cartesianas é dado por: r 1 x1 2 x 2 3 x3 e dr 1dx1 2 dx 2 3 dx3 O diferencial de é : d d x dy dz dt x y z t dr d dr dt t Exemplo 1. t . portanto ( T ) s Exemplo 1. jm v j v j porque jm 0 quando jm e jm 1 quando j=m.v v i ijk v j v k ijk klm v j vm xl Definindo o delta de Kronecker ij 1 se i j ij 0 se i j O produto: ijk klm kij klm il jm im jl Portanto. v v il i jm im jl v j vm xl Mas. Procedendo da mesma forma v v i vj vj xi vj vi xj 1 v j v j v v x2 1 2 2 v v v 34 . as isotermas) e indique o vetor q nos dois pontos. 7) Discuta a aplicação da Regra de Leibniz a problemas de Mecânica dos Fluidos. 9) Uma lei mais geral para a condução de calor é expressa por: q K 35 .1/ 2 ) .onde f é um escalar 5) Deduza o Teorema de Gauss.0) e B (1/ 2. 6) Deduza o Teorema de Stokes. Desenhe as curvas de constante (ou seja. 3) Mostre que V 0 4) Mostre que dr f df . encontre o valor de em A(1. 8) Se q denota o vetor fluxo de calor (taxa de transferência de calor/área). Se 2 x12 x22 . a Lei de Fourier para a condução de calor afirma que: q k sendo o campo de temperatura e k a condutividade térmica.Lista de Exercícios 1 1) Mostre que o divergente em coordenadas polares é dado pela expressão: 1 rVr 1 V V r r r Considere o operador nabla operando sobre o vetor V como mostrado abaixo: 1 eˆr r eˆ r eˆrVr eˆV eˆr eˆ eˆ eˆr 2) Calcule V em coordenadas cartesianas e em polares cilíndricas. a) Que o tensor K corresponde à Lei de Fourier para a condução de calor mencionada no exemplo anterior? b) Se K é simétrico. determine q . Mostre que: a) TT é um tensor b) TT ST T S T c) TS ST TT T 11) O tensor T possui a seguinte matriz: 1 2 3 T 4 5 6 7 8 9 a) Encontre a parte simétrica do tensor T . b) Encontre o vetor V V . 36 .0): a) Encontre a matriz de V . 13) Defina a expressão matemática da circulação de fluido e discuta fisicamente o conceito. b) Encontre a parte antissimétrica do tensor T . c) Encontre o V e o V . mostre que há pelo menos três direções nas quais o fluxo de calor é normal à superfície de temperatura constante. d) Se dr ds e1 e2 e3 .1. encontre o diferencial dV . 12) Considere o campo de velocidade V x 2 e1 z 2 e2 y 2 e3 . Para o ponto (1. 3 10) Sejam T e S dois tensores. 2 c) Se 2 x1 3x2 e K 1 0 1 2 0 0 0 .sendo K um tensor conhecido como tensor de condutividade térmica.