Apostila_MF 30Abr05 - SENAC

Publicação editada e distribuída pelaAdministração Regional do SENAC no Estado de São Paulo. Gerência: Gerência: Gerência: Gerência: Vinícius Victor Barbosa Coordenação Técnica: Coordenação Técnica: Coordenação Técnica: Coordenação Técnica: Laide Duarte Pereira Apoio Técnico: Apoio Técnico: Apoio Técnico: Apoio Técnico: André Aparecido da Silva Elaboração: Elaboração: Elaboração: Elaboração: Anísio Costa Castelo Branco Revisão Técnica: Revisão Técnica: Revisão Técnica: Revisão Técnica: Arnaldo Célio Freire Silva Alexandre Francisco Zanata Editoração Eletrônica: Editoração Eletrônica: Editoração Eletrônica: Editoração Eletrônica: Alessandra Riccagni Rosas © SENAC-SP 2004 É vedada a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa do Senac São Paulo Senac São Paulo Senac São Paulo Senac São Paulo Senac São Paulo Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C SUMÁRIO SUMÁRIO SUMÁRIO SUMÁRIO 1. Operações matemáticas básicas.......................................................................................................... 3 1.1 Potência................................................................................................................................................... 3 1.2 Regra de três .......................................................................................................................................... 3 1.3 Porcentagem.......................................................................................................................................... 4 2. Funções básicas da HP-12C................................................................................................................... 6 2.1 Tecla [ON] ............................................................................................................................................... 6 2.2 Tecla [ . ] .................................................................................................................................................. 6 2.3 Testes de funcionamento..................................................................................................................... 7 2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) ...................................................................................... 7 2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])...................................................................................... 8 2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) ..................................................................................... 8 2.4 Teclado .................................................................................................................................................... 9 2.4.1 A tecla [f] ......................................................................................................................................... 9 2.4.2 Tecla [g]......................................................................................................................................... 10 2.4.3 Teclado branco............................................................................................................................ 10 2.5 Limpeza de registro............................................................................................................................. 10 2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-]) ............................................................................ 11 2.5.2 Limpeza do visor .......................................................................................................................... 11 2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”)................................................................... 11 2.5.4 Limpeza de program.................................................................................................................... 12 2.5.5 Limpeza dos registros financeiros ........................................................................................... 12 2.5.6 Limpeza de todos os registros .................................................................................................. 12 2.6 Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNAL..................................................................................................... 13 2.7 Tecla [STO] ou (STORE)...................................................................................................................... 13 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL)..................................................................................................................... 13 2.9 Tecla [Y X ]................................................................................................................................................ 14 2.9.1 Potenciação.................................................................................................................................. 14 2.9.2 Radiciação .................................................................................................................................... 14 2.10 Tecla [1/x]............................................................................................................................................ 14 2.11 Tecla [%T] e [x><y]............................................................................................................................ 15 2.12 Tecla [∆ ∆∆ ∆%]........................................................................................................................................... 16 2.13 Tecla [%].............................................................................................................................................. 17 2.14 Cálculo em cadeia............................................................................................................................. 17 3. Fundamentos da matemática financeira........................................................................................... 18 3.1 Conceitos básicos ............................................................................................................................... 18 3.2 Definições e terminologias básicas................................................................................................. 18 3.3 Diagrama de fluxo de caixa............................................................................................................... 20 3.4 Apresentação das taxas .................................................................................................................... 20 3.5 Regimes de capitalização.................................................................................................................. 20 4. Juros simples .......................................................................................................................................... 22 4.1 Operações de juros simples.............................................................................................................. 22 4.2 Juros exato e juros comercial .......................................................................................................... 27 4.3 Exercícios sobre juros simples ......................................................................................................... 28 4.4 Exercícios de reforços........................................................................................................................ 30 Senac São Paulo Senac São Paulo Senac São Paulo Senac São Paulo Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 5. Juros compostos.................................................................................................................................... 34 5.1 Conceitos de juros compostos.......................................................................................................... 34 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M).................................................................................................... 35 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos................................................................... 35 5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX].................................................................................. 36 5.5 Valor presente (PV) ou capital (C) .................................................................................................... 37 5.6 Prazo (n)................................................................................................................................................. 38 5.7 Função [FRAC] e [INTG]...................................................................................................................... 39 5.8 Taxas equivalentes a juros compostos........................................................................................... 40 5.9 Exercícios sobre juros compostos................................................................................................... 41 5.10 Exercícios de reforços...................................................................................................................... 41 6. Operações com taxas de juros............................................................................................................ 45 6.1 Taxas equivalentes:............................................................................................................................. 45 6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C....................................................................... 46 6.2 Taxa over equivalente: ....................................................................................................................... 47 6.3 Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis) ........................................................................... 48 6.4 Taxa média de juros............................................................................................................................ 49 6.5 Taxa real de juros ................................................................................................................................ 49 6.6 Exercícios sobre taxas juros ............................................................................................................. 50 7. Descontos................................................................................................................................................ 52 7.1 Desconto racional simples ou “por dentro”................................................................................... 52 7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”........................................................................... 52 7.3 Operações com um conjunto de títulos: ......................................................................................... 54 7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos................................................................................... 55 7.4 Desconto composto ............................................................................................................................ 56 7.4.1 Relação em taxas de desconto simples e composto........................................................... 57 7.5 Exercícios sobre desconto ................................................................................................................ 58 8. Séries uniformes de pagamentos ....................................................................................................... 59 8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” ...................................................... 59 8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada”.......................................................................... 60 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento “postecipada”...................... 60 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme “postecipada”.................................... 61 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados”............................................................................. 61 8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados................................................................ 61 8.5.1.1 Fórmula do valor presente...................................................................................................... 61 8.5.1.2 Fórmula da prestação.............................................................................................................. 61 8.6 Valor futuro de uma série uniforme ................................................................................................. 62 8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos.................................................................... 62 9. Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos....................................................... 64 9.1 Sistema de amortização constante (sac) ....................................................................................... 64 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização ................................................................................... 64 10. Aplicabilidade da matemática financeira ......................................................................................... 66 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito bancário (RDB) ....................... 66 10.2 Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV) .................................................. 70 10.3 Valor da prestação de leasing........................................................................................................ 71 10.4 Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual...................................................... 72 11. Referências Bibliográficas................................................................................................................... 73 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 3 33 3 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 1 11 1 Operações matemáticas básicas Operações matemáticas básicas Operações matemáticas básicas Operações matemáticas básicas 1.1 Potência 1.1 Potência 1.1 Potência 1.1 Potência a) (-12) 2 = 144 b) (2) 5 = 32 c) (-2) 4 = 16 d) (+5) + (-4) 5 – (-100-35) = - 884 e) (150)/(-2) + [2*(40-20) 2 ] = 725 1.2 Regra de três 1.2 Regra de três 1.2 Regra de três 1.2 Regra de três Regra de três é a operação que nos permite, dadas duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais e variando-se o valor delas, determinar a variação da outra grandeza. Pode ser: simples ou composta. 1) Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Que quantidade de farinha pode obter com 480 kg de trigo? R. : 408 g 2) Oito eletricistas podem fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias 6 eletricistas para fazer o mesmo serviço. R. : 4 dias Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 4 44 4 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 3) Se 15m de certo tecido custam $ 90,00 quanto custarão 32m deste tecido? R.: $ 192,00 4) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo de massa de 10kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42cm. Se colocarmos um peso de 15kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola? R.: 63 cm 5) Ao participar de um treino de formula 1 para disputa da pole position, um competidor, imprimindo velocidade de 200km/h faz o percurso em 18segundos. Se sua velocidade fosse 240km/h, qual o tempo que ele teria gastado no percurso? R.: 15 segundos 1.3 Porcentagem 1.3 Porcentagem 1.3 Porcentagem 1.3 Porcentagem 1) Uma multa de $ 800,00 reais sobre um valor de $ 8.000,00 reais corresponde a quantos % sobre o valor? R.: 10% 2) O Sr. Manoel tem aplicado na poupança $ 4.500.00, e no mês de janeiro vai ter um rendimento de 1,2%. Qual será o novo saldo da poupança do sr Manoel? R.: $ 4.554,00 3) Dos 350 candidatos que prestaram um concurso, 28 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados? R.: 8% Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 5 55 5 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 4) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audiência de televisão do horário nobre (20h ás 22h). Foram entrevistadas 1640 residências e verificou-se 45% dessas residências tinham a sua televisão ligada no canal A, quantas residências estavam com a televisão ligada nesse canal? R.: 738 5) Um prejuízo de 40 mil reais sobre o valor 200 mil representa % de prejuízo? R.: 20% 6) O preço de um aparelho de som é de R$ 150,00. Para pagamentos a vista é feito um desconto de 30%. Nessas condições: a) Qual a quantia que corresponde ao desconto? R.: $ 45,00 b) Qual o preço a vista desse aparelho de som? R.: $ 105,00 7) Transforme estas porcentagens em decimais, a saber: a) 25,2% b) 100,25% c) 101,26% d) 85,25% e) 75,29% f) 555,33% 8) Transforme os números decimais em porcentagem: a) 0,01 b) 0,055 c) 0,065 d) 0,125 e) 0,1565 f) 0,1765 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 6 66 6 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2 22 2 Funções básicas d Funções básicas d Funções básicas d Funções básicas da HP a HP a HP a HP- -- -12C 12C 12C 12C Neste capítulo serão abordadas as principais funções da calculadora HP-12C, ou seja, os conceitos básicos relevantes ao desenvolvimento da matemática financeira com a utilização deste equipamento. 2.1 Tecla [ON] 2.1 Tecla [ON] 2.1 Tecla [ON] 2.1 Tecla [ON] Tem a função de ligar e desligar a calculadora, porém, se a calculadora permanecer ligada sem uso, será desligada automaticamente entre sete e oito minutos aproximadamente. 2.2 Tecla [ . ] 2.2 Tecla [ . ] 2.2 Tecla [ . ] 2.2 Tecla [ . ] Esta tecla permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o brasileiro e padrão dólar dólar dólar dólar. Vamos considerar o seguinte exemplo: R$ 1.425,56 (padrão brasileiro) US$ 1,425.56 (padrão dólar) Esta conversão pode ser efetuada da seguinte forma: a) mantenha a calculadora desligada; b) pressione a tecla [.] e segure; c) pressione a tecla [ON] e solte. Se a calculadora estiver no padrão brasileiro passara para o padrão do dólar e vice- versa. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 7 77 7 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.3 Testes de funcionamento 2.3 Testes de funcionamento 2.3 Testes de funcionamento 2.3 Testes de funcionamento A calculadora HP-12C possui três testes de verificação quanto ao seu funcionamento, uma espécie de controle de qualidade, que permite ao usuário uma maior confiabilidade do produto. 2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) 2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) 2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) 2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) Procedimentos: 1) mantenha calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [x] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [x]. Ao final do procedimento aparecerá no visor a palavra “running” piscando, significando que a calculadora está executando o TESTE Nº 1. E em alguns segundos aparecerá no visor o seguinte: Se aparecer a mensagem “ERRO 9” significa que a calculadora precisa de reparos, mas se o resultado for exatamente aquele obtido no TESTE Nº 1. Logo, a calculadora estará pronta para o uso. U8ER f g ßEC|N CRAN0 0.HY 6 PRCH Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 8 88 8 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]) 2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]) 2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]) 2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [+] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [+]; 6) pressione e solte qualquer tecla, exceto a tecla [ON]. Na verdade o TESTE Nº 2 é muito semelhante ao TESTE Nº 1, diverge na duração de execução, que é indeterminado, portanto, para completar o teste é necessário cumprir o procedimento nº “6”, logo após aparecerá o seguinte: Se você pressionar a tecla [ON] o teste será interrompido. 2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) 2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) 2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) 2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [:] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [:]. U8ER f g ßEC|N CRAN0 0.HY 6 PRCH Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 9 99 9 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 6) Pressione todas as teclas da esquerda para direita, de cima para baixo, ou seja, a 1ª tecla a ser pressionada será a tecla [n] e a última será a tecla [+]. Lembre-se, se devem pressionar todas as teclas inclusive a tecla [ON] e a tecla [enter] será pressionada duas vezes, tanto na linha três, bem como na linha quatro. Após o procedimento concluído, aparecerá no visor o nº “12”, assim como nos testes anteriores, a calculadora estará pronta para o uso. Mas se procedimento não for realizado corretamente, aparece à expressão “ERRO 9”. Neste caso a calculadora necessita de conserto. 2.4 Teclado 2.4 Teclado 2.4 Teclado 2.4 Teclado O teclado da calculadora HP-12C é multiuso, ou seja, uma mesma tecla poderá ser utilizada de três maneiras. 2.4.1 A tecla [f] 2.4.1 A tecla [f] 2.4.1 A tecla [f] 2.4.1 A tecla [f] A tecla [f] (amarelo) possui duas funções básicas: 1ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] poderemos acessar todas as funções em amarelo da calculadora; 2ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] seguida de um número, será apresentado à quantidade casas decimais a ser mostrada no visor. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 10 10 10 10 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C Veja o exemplo: Digite o número 2,428571435 e siga os procedimentos: Procedimento (teclas) Visor [f] e [9] 2,428571435 [f] e [8] 2,42857144 [f] e [7] 2,4285714 [f] e [6] 2,428571 [f] e [5] 2,42857 [f] e [4] 2,4286 [f] e [3] 2,429 [f] e [2] 2,43 [f] e [1] 2,4 [f] e [0] 2, [f] e [9] 2,428571435 2.4.2 Tecla [g] 2.4.2 Tecla [g] 2.4.2 Tecla [g] 2.4.2 Tecla [g] Através da tecla ou prefixo [g] é possível acessar todas as funções em AZUL. 2.4.3 2.4.3 2.4.3 2.4.3 Teclado branco Teclado branco Teclado branco Teclado branco Todas as teclas possuem em sua superfície informações em branco, na verdade tudo o que é mostrado em branco nas teclas, não necessita de função auxiliar, como vimos para funções em amarelo e azul. 2.5 Limpeza de registro 2.5 Limpeza de registro 2.5 Limpeza de registro 2.5 Limpeza de registro Apresentaremos as principais formas de executar a limpeza dos registros ou informações, que são armazenadas no teclado ou memórias da calculadora. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 11 11 11 11 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [ 2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [ 2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [ 2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [- -- -]) ]) ]) ]) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada; 2) pressione a tecla [ON] e segure; 3) pressione a tecla [-] e segure; 4) solte a tecla [ON]; 5) solte a tecla [-]. Após a execução desta seqüência de procedimentos, deve aparecer a expressão “PR ERROR” indicado que todos os dados armazenados nos registros inclusive os programas foram apagados. Portanto, é preciso tomar muito cuidado ao executar este procedimento. 2.5.2 Limpeza do visor 2.5.2 Limpeza do visor 2.5.2 Limpeza do visor 2.5.2 Limpeza do visor A utilização desta função é muito simples, basta pressionar a tecla [CLx] e o visor será limpo. 2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”) 2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”) 2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”) 2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”) Com a seqüência de teclas [f] [¿] estaremos processando a limpeza dos registros estatísticos, ou seja, estaremos limpando os registros armazenados nas teclas [1], [2], [3], [4], [5] e [6]. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 12 12 12 12 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.5.4 Limpeza de program 2.5.4 Limpeza de program 2.5.4 Limpeza de program 2.5.4 Limpeza de program Procedimento: 1) pressionar [f] [P/R] para entrar no modo de programação; 2) pressionar [f] [PRGM] para limpar o programa; 3) pressionar [f] [P/R] ou [ON] para sair do modo de programação. Este procedimento se faz necessário, devido a grande dificuldade de elaboração de um programa, ou seja, um programa não pode ser destruído sem a menor proteção. 2.5.5 Limpeza dos registros financeiros 2.5.5 Limpeza dos registros financeiros 2.5.5 Limpeza dos registros financeiros 2.5.5 Limpeza dos registros financeiros Registros Financeiros: a) [n] prazo; b) [ i ] taxa; c) [PV] Present Value ou Valor Presente; d) [PMT] Periodic Payment ou Prestação; e) [FV] Future Value ou Valor Futuro. A limpeza dos registros é feita através da seqüência de teclas [f] [FIN]. 2.5.6 Limpeza de todos os registros 2.5.6 Limpeza de todos os registros 2.5.6 Limpeza de todos os registros 2.5.6 Limpeza de todos os registros Com seqüência de teclas [f] [REG] é possível apagar todos os registros, ou seja, de “ 0 ” a “ 9 ”, e “.0 ” a “.9 ” e os registros financeiros, ficando apenas os programas sem serem apagados. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 13 13 13 13 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.6 Tecla [CHS] ou 2.6 Tecla [CHS] ou 2.6 Tecla [CHS] ou 2.6 Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNAL CHANGE SIGNAL CHANGE SIGNAL CHANGE SIGNAL Esta tecla serve basicamente para trocar o sinal de um número, ou seja, trocar o sinal negativo para o positivo e vice-versa. 2.7 Tecla [STO] ou (STORE) 2.7 Tecla [STO] ou (STORE) 2.7 Tecla [STO] ou (STORE) 2.7 Tecla [STO] ou (STORE) Esta serve para guardamos valores nas memórias. A HP possui 20 memórias diretas; “0” a “9” = 10 e “.0” a “.9” = 10. Considerar que o numero 145 deseja ser guardado na memória, e que decidimos guardar na memória “5”. Como fazer? Procedimento: 1) digite o número 145; 2) digite [STO]; 3) digite [5]. 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL) 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL) 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL) 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL) Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos verificar sua aplicação com base nos dados do item 1.7. Procedimento: 1) digitar [RCL]; 2) digitar [5]. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 14 14 14 14 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.9 Tecla [Y 2.9 Tecla [Y 2.9 Tecla [Y 2.9 Tecla [Y X XX X ] ]] ] Esta tecla pode ser utilizada tanto pra efetuarmos operações de potenciação e como de radiciação. 2.9.1 Potenciação 2.9.1 Potenciação 2.9.1 Potenciação 2.9.1 Potenciação 2.9.2 Radiciação 2.9.2 Radiciação 2.9.2 Radiciação 2.9.2 Radiciação 2.10 Tecla [1/x] 2.10 Tecla [1/x] 2.10 Tecla [1/x] 2.10 Tecla [1/x] Esta tecla é normalmente utilizada para demonstrar o inverso de um número. b) 1,05 b) 1,05 b) 1,05 b) 1,05 6 66 6 1,05 [ENTER] 6 [y x ] 1,340096... 1,340096... 1,340096... 1,340096... a) 2 a) 2 a) 2 a) 2 3 33 3 2 [ENTER] 3 [y x ] 8 88 8 c) 1,045 c) 1,045 c) 1,045 c) 1,045 270/360 270/360 270/360 270/360 1,045 [ENTER] 270 [ENTER] 360 [:] [y x ] 1,033564... 1,033564... 1,033564... 1,033564... a) a) a) a) 9 = 9 = 9 = 9 = 9 1 2 9 [ENTER] 1 [ENTER] 2 [:] [y x ] 3 33 3 b) b) b) b) 27 5 3 33 3 = 27 = 27 = 27 = 27 3 5 27 [ENTER] 3 [ENTER] 5 [:] [y x ] 7,224674... 7,224674... 7,224674... 7,224674... c) c) c) c) ( , ) 1 0 6 30 + 360 360 360 360 = 1,6 = 1,6 = 1,6 = 1,6 360 30 1,6 [ENTER] 360 [ENTER] 30 [:] [y x ] 281,474977... 281,474977... 281,474977... 281,474977... a) 1/8 a) 1/8 a) 1/8 a) 1/8 8 [1/x] 0,125 0,125 0,125 0,125 b) 1,05 b) 1,05 b) 1,05 b) 1,05 1 12 1,05 [ENTER] 12 [1/x] [y x ] 1,0004074 1,0004074 1,0004074 1,0004074 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 15 15 15 15 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.11 Tecla [%T] e [x><y] 2.11 Tecla [%T] e [x><y] 2.11 Tecla [%T] e [x><y] 2.11 Tecla [%T] e [x><y] A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o valor base de cálculo. a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais: • Moradia R$ 450,00 • Educação R$ 500,00 • Combustível R$ 150,00 • Alimentação R$ 200,00 • Lazer R$ 250,00 Total Total Total Total R$ 1.550,00 R$ 1.550,00 R$ 1.550,00 R$ 1.550,00 Determinar quanto representa percentualmente cada valor em relação ao total dos gastos. Solução: Solução: Solução: Solução: 1.550 [ENTER] 450 [%T] 29,03% [x><y] 500 [%T] 32,26% [x><y] 150 [%T] 9,68% [x><y] 200 [%T] 12,90% [x><y] 250 [%T] 16,13% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 16 16 16 16 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.12 Tecla [ 2.12 Tecla [ 2.12 Tecla [ 2.12 Tecla [∆ ∆∆ ∆%] %] %] %] Esta tecla nos ajuda a calculamos a diferença percentual entre dois números. a) Considere que um produto possui um preço de R$ 132,75 em jan/XX, em fev/XX o preço desse produto passou para R$ 155,71. Qual foi o percentual de aumento desse produto? Dados: Preço em jan/XX: R$ 132,75 Preço em fev/XX: R$ 155,71 Solução: 132,75 [ENTER] 155,71 [∆%] 17,30% 17,30% 17,30% 17,30% b) No mês de março/XX o preço do produto passou para R$ 141,00. Qual foi o percentual de desconto? Dados: Preço fev/XX: R$ 155,71 Preço mar/XX: R$ 141,00 Solução 155,71 [ENTER] 141,00 [∆%] - -- -9,45% 9,45% 9,45% 9,45% Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 17 17 17 17 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 2.13 Tecla [%] 2.13 Tecla [%] 2.13 Tecla [%] 2.13 Tecla [%] Esta tecla serve exclusivamente para o calculo de percentagem. a) Calcular 5% de R$ 10.450,00 Solução: 10.450 [ENTER] 5 [%] R$ 522,50 R$ 522,50 R$ 522,50 R$ 522,50 2.14 C 2.14 C 2.14 C 2.14 Cálculo em cadeia álculo em cadeia álculo em cadeia álculo em cadeia a) a) a) a) soma soma soma soma 25,82 + 1.852,25 + 156,68 = 2.034,75 25,82 [ENTER] 1852,25 [+] 156,68 [+] 2.034,75 2.034,75 2.034,75 2.034,75 [STO] [STO] [STO] [STO] 1 11 1 b) b) b) b) subtração subtração subtração subtração 250 – 91,82 – 5,81 = 152,37 250 [ENTER] 91,82 [-] 5,81 [-] 152,37 152,37 152,37 152,37 [STO] [STO] [STO] [STO] 2 22 2 c) c) c) c) multiplicação multiplicação multiplicação multiplicação 21 x 18,41 x 1,0562 = 408,34 21 [ENTER] 18,41 [x] 1,0562 [x] 408,34 408,34 408,34 408,34 [STO] [STO] [STO] [STO] 3 33 3 d) d) d) d) divisão divisão divisão divisão 1.750,25 : 1,08 = 1.620,60 1.750,25 [ENTER] 1,08 [:] 1.620,60 .620,60 .620,60 .620,60 [STO] [STO] [STO] [STO] .5 .5 .5 .5 e) e) e) e) adição, subtração, multiplicação e divisão adição, subtração, multiplicação e divisão adição, subtração, multiplicação e divisão adição, subtração, multiplicação e divisão (memória 1) – (memória 2) x (memória 3) : (memória .5) [RCL] 1 [RCL] 2 [-] [RCL] 3 [x] [RCL] .5 [:] 474,30 474,30 474,30 474,30 Observação: Observação: Observação: Observação: as demais funções e teclas da calculadora HP-12C serão demonstradas com aplicações práticas dos conceitos de matemática financeira. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 18 18 18 18 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 3 33 3 Fundamentos da matemática financeira Fundamentos da matemática financeira Fundamentos da matemática financeira Fundamentos da matemática financeira 3.1 Conceitos básicos 3.1 Conceitos básicos 3.1 Conceitos básicos 3.1 Conceitos básicos A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. (prof. Carlos Shinoda prof. Carlos Shinoda prof. Carlos Shinoda prof. Carlos Shinoda). A matemática financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com tempo nas aplicações e pagamentos de empréstimo (prof. Samuel Hazzan e Prof. José prof. Samuel Hazzan e Prof. José prof. Samuel Hazzan e Prof. José prof. Samuel Hazzan e Prof. José Nicolau Nicolau Nicolau Nicolau Pompeu Pompeu Pompeu Pompeu). A matemática financeira tem como objetivo principal à transformação e manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo (prof. Abelardo de Lima Puccini prof. Abelardo de Lima Puccini prof. Abelardo de Lima Puccini prof. Abelardo de Lima Puccini). A matemática financeira tem como objetivo principal, estudar o valor do dinheiro em função do tempo. (prof. Anísio Costa Castelo Branco prof. Anísio Costa Castelo Branco prof. Anísio Costa Castelo Branco prof. Anísio Costa Castelo Branco). 3.2 Definições e terminologias básicas 3.2 Definições e terminologias básicas 3.2 Definições e terminologias básicas 3.2 Definições e terminologias básicas O valor inicial de uma operação financeira ou capital inicial pode ser expresso por: ( C ) ( C ) ( C ) ( C ) CAPITAL; ( PV ) ( PV ) ( PV ) ( PV ) VALOR PRESENTE ou PRESENT VALUE; ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) PRINCIPAL. Define-se como valor presente o volume de recurso financeiro aplicado ou emprestado em uma determinada operação. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 19 19 19 19 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C Algumas palavras ou expressões, também podem ser associadas a este conjunto de definições apresentadas, como por exemplo: investimento inicial, valor aplicado, etc. JURO ( J JJ J ): é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: a) de quem pagar: de quem pagar: de quem pagar: de quem pagar: neste caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc. b) de quem recebe: de quem recebe: de quem recebe: de quem recebe: podemos entender como sendo; rendimento, receita financeira, ganho, etc. TAXA ( i ii i ): é o coeficiente obtido da relação dos juros ( J JJ J ) com o capital ( C CC C ), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “ i “ vem do inglês interest, que significa juro. PRAZO ou TEMPO ou PERÍODOS ( n nn n ): é o tempo necessário que um certo capital ( C CC C ) aplicado a uma taxa ( i ii i ) necessita para produzir um montante ( M MM M ) . Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo: a) período inteiro: período inteiro: período inteiro: período inteiro: 1 dia; 1 mês comercial ( 30 dias ), 1 ano comercial ( 360 dias ), etc. b) período fracionário: período fracionário: período fracionário: período fracionário: 3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. Podemos também considerar como período inteiro, quando usamos a expressão do tipo: um período de 15 dias, um período de 30 dias, etc. O valor futuro ou montante se refere ao valor presente acrescido do valor referente ao juro oriundo da operação e pode ser expresso por: ( M MM M ) MONTANTE ( FV FV FV FV ) VALOR FUTURO ou FUTURE VALUE Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 20 20 20 20 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 3.3 Diagrama de fluxo de caixa 3.3 Diagrama de fluxo de caixa 3.3 Diagrama de fluxo de caixa 3.3 Diagrama de fluxo de caixa Definimos fluxo de caixa como a movimentação de recursos monetários (entradas e saídas de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, dentro de um período de tempo. (+) entradas tempo (n) (-) saídas 3.4 Apresentação das taxas 3.4 Apresentação das taxas 3.4 Apresentação das taxas 3.4 Apresentação das taxas As taxas podem ser apresentadas de duas formas, a forma percentual e decimal ou unitária, veja um exemplo. EXEMPLO Nº 1: EXEMPLO Nº 1: EXEMPLO Nº 1: EXEMPLO Nº 1: Faça a transformação das seguintes taxas: 3.5 Regimes de capitalização 3.5 Regimes de capitalização 3.5 Regimes de capitalização 3.5 Regimes de capitalização Pode-se definir como regime de capitalização os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes de capitalização podem ser “SIMPLES” e “COMPOSTO” ou método de capitalização linear linear linear linear e exponencial exponencial exponencial exponencial, respectivamente. Conforme o exemplo: Taxa percentual Taxas decimal ou Unitária 25% 5% 1,5% 0,5% 0,025 0,02 0,0018 15 - Na lP-12C, podereros usar as laxas ra lorra percerlua|. - Nas lórru|as, sorerle podereros usar as laxas ra lorra dec|ra| ou ur|lár|a. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 21 21 21 21 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 2: EXEMPLO Nº 2: EXEMPLO Nº 2: EXEMPLO Nº 2: Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta? Regime de Capitalização Simples n nn n Capital Capital Capital Capital Aplicado Aplicado Aplicado Aplicado Juros de cada período Juros de cada período Juros de cada período Juros de cada período Valor Valor Valor Valor Acumulado Acumulado Acumulado Acumulado 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.100,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,00 3 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.200,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00 R$ 1.300,00 R$ 1.300,00 R$ 1.300,00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES M = R$ 1.300,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C = R$ 1.000,00 Regime de Capitalização Composta n nn n Capital Capital Capital Capital Aplicado Aplicado Aplicado Aplicado Juros de cada período Juros de cada período Juros de cada período Juros de cada período Valor Valor Valor Valor Acumulado Acumulado Acumulado Acumulado 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 R$ 1.331,00 R$ 1.331,00 R$ 1.331,00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO C DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO C DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO C DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA OMPOSTA OMPOSTA OMPOSTA M = R$ 1.331,00 C . i = R$ 100,00 M 1 . i = R$ 110,00 M 2 . i = R$ 121,00 C = R$ 1.000,00 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 22 22 22 22 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 4 44 4 Juros simples Juros simples Juros simples Juros simples Pode-se entender como juros simples, o sistema de capitalização linear, conforme foi demonstrado no item 2.3 (regimes de capitalização). No Brasil, a aplicabilidade dos sistemas de capitalização simples ocorre basicamente nas situações em que os períodos não são inteiros. 4.1 Operações de juros simples 4.1 Operações de juros simples 4.1 Operações de juros simples 4.1 Operações de juros simples Serão apresentadas várias operações envolvendo juros simples, ou seja, cálculos de juros, capital, taxa e montante. Para melhor facilitar a compreensão, as fórmulas serão divididas em três grupos. Nº Nº Nº Nº 1º Grupo de Fórmulas 1º Grupo de Fórmulas 1º Grupo de Fórmulas 1º Grupo de Fórmulas Significado Significado Significado Significado 1 J = FV J = FV J = FV J = FV – –– – PV PV PV PV Fórmula de juros 2 FV = PV + J FV = PV + J FV = PV + J FV = PV + J Fórmula do montante ou valor futuro 3 PV = FV PV = FV PV = FV PV = FV – –– – J JJ J Fórmula do capital ou valor presente EXEMPLO Nº 3: EXEMPLO Nº 3: EXEMPLO Nº 3: EXEMPLO Nº 3: Qual o valor dos juros resultante de uma operação onde foi investido um capital de R$ 1.250,18, e que gerou um montante de R$ 1.380,75? Dados: PV = R$ 1.250,18 FV = R$ 1.380,75 J = ? Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: J = 1.380,75 – 1.250,18 J = R$ 130,57 J = R$ 130,57 J = R$ 130,57 J = R$ 130,57 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 1380,75 [ENTER] 1250,18 [-] R$ 130,57 R$ 130,57 R$ 130,57 R$ 130,57 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 23 23 23 23 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 4: EXEMPLO Nº 4: EXEMPLO Nº 4: EXEMPLO Nº 4: Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78? Dados: J = R$ 78,25 PV = R$ 1.568,78 FV = ? Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: FV = 1.568,78 + 78,25 FV = R$ 1.647,03 FV = R$ 1.647,03 FV = R$ 1.647,03 FV = R$ 1.647,03 EXEMPLO Nº 5: EXEMPLO Nº 5: EXEMPLO Nº 5: EXEMPLO Nº 5: Qual o valor do investimento de gerou um resgate de R$ 1.500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25? Dados: FV = R$ 1.500,00 J = R$ 378,25? PV = ? Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: PV = 1.500,00 – 378,25 PV = R$ 1.121,75 PV = R$ 1.121,75 PV = R$ 1.121,75 PV = R$ 1.121,75 Nº Nº Nº Nº 2º Grupo de Fórmulas 2º Grupo de Fórmulas 2º Grupo de Fórmulas 2º Grupo de Fórmulas Significado Significado Significado Significado 4 J = PV x i x n J = PV x i x n J = PV x i x n J = PV x i x n Fórmula de juros simples 5 PV = J / i x n PV = J / i x n PV = J / i x n PV = J / i x n Fórmula do capital ou valor presente 6 i = J / PV x n i = J / PV x n i = J / PV x n i = J / PV x n Fórmula da Taxa 7 n = n = n = n = J / PV x i J / PV x i J / PV x i J / PV x i Fórmula do prazo Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 1568,78 [ENTER] 78,25 [+] R$ 1.647,03 R$ 1.647,03 R$ 1.647,03 R$ 1.647,03 Solução 2: HP 12C Solução 2: HP 12C Solução 2: HP 12C Solução 2: HP 12C 1500 [ENTER] 378,25 [-] R$ 1.121,75 R$ 1.121,75 R$ 1.121,75 R$ 1.121,75 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 24 24 24 24 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 6: EXEMPLO Nº 6: EXEMPLO Nº 6: EXEMPLO Nº 6: Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. Dados: PV = R$ 1.250,23 n = 5 meses ou 150 dias i = 5,5% a.m. Solução1: Solução1: Solução1: Solução1: J = 1.250,23 x ,055 x 5 J = R$ 3 J = R$ 3 J = R$ 3 J = R$ 343,81 43,81 43,81 43,81 EXEMPLO 7: EXEMPLO 7: EXEMPLO 7: EXEMPLO 7: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% a.m? Dados: PV = ? i = 2,5% ao mês n = 11 meses J = R$ 342,96 Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: PV = 342,96 / 0,025 x 11 PV = 342,96 / 0,275 PV = R$ 1.247,13 PV = R$ 1.247,13 PV = R$ 1.247,13 PV = R$ 1.247,13 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 1250,23 [ENTER] 0,055 [x] 5 [x] R$ 343,81 R$ 343,81 R$ 343,81 R$ 343,81 Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP- -- -12C 12C 12C 12C 1250,23 [ENTER] 5,5 [%] 5 [x] R$ 343,81 R$ 343,81 R$ 343,81 R$ 343,81 Solução 4: HP Solução 4: HP Solução 4: HP Solução 4: HP- -- -12C 12C 12C 12C [f] FIN 1250,23 [CHS] [PV] 150 [n] 66 [i] [f] INT R$ 343,81 R$ 343,81 R$ 343,81 R$ 343,81 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 342,96 [ENTER] 0,025 [ENTER] 11 [x] [:] R$ 1.247,13 R$ 1.247,13 R$ 1.247,13 R$ 1.247,13 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 25 25 25 25 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 8: EXEMPLO Nº 8: EXEMPLO Nº 8: EXEMPLO Nº 8: Pedro pagou ao Banco Exemplo S.A. a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de 537,17. Qual foi a taxa mensal de juro aplicado pelo banco? Dados: J = R$ 2,14 n = 1 dia PV = R$ 537,17 i = ? Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: i = 2,14 / 537,17 x 1 i = 2,14 / 537,17 i = 0,003984 x 100 i = 0,3984% ao dia i mensal = 0,3984 x 30 i ii i mensal mensal mensal mensal = 11,95% ao mês = 11,95% ao mês = 11,95% ao mês = 11,95% ao mês EXEMPLO Nº 9: EXEMPLO Nº 9: EXEMPLO Nº 9: EXEMPLO Nº 9: Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.500,00 que gerou rendimentos de R$ 351,00 com uma taxa de 1,8% ao mês? Dados: n = ? PV = R$ 1.500,00 i = 1,8% ao mês J = R$ 351,00 Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: n = 351 / 1.500 x 0,018 n = 351 / 27 n = 13 meses n = 13 meses n = 13 meses n = 13 meses Nº Nº Nº Nº 3º Grupo de Fórmulas 3º Grupo de Fórmulas 3º Grupo de Fórmulas 3º Grupo de Fórmulas Significado Significado Significado Significado 8 FV = PV (1 + i x n) FV = PV (1 + i x n) FV = PV (1 + i x n) FV = PV (1 + i x n) Fórmula do montante ou valor futuro 9 PV = FV / (1 + i x n) PV = FV / (1 + i x n) PV = FV / (1 + i x n) PV = FV / (1 + i x n) Fórmula do capital ou valor presente 10 i ii i (ac) (ac) (ac) (ac) = { ( FV / PV ) = { ( FV / PV ) = { ( FV / PV ) = { ( FV / PV ) – –– –1} x 100 1} x 100 1} x 100 1} x 100 Fórmula da taxa acumulada 8o|ução 2: hP-126 351,00 [ENTER| 1500 [ENTER| 0,018 [x| [:| 13 meses 8o|ução 2: hP -126 2,11 [ENTER| 53Z,1Z [ENTER| 1 [x| [:| 100 [x| 30 [x| 11,957 a.m. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 26 26 26 26 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 10: EXEMPLO Nº 10: EXEMPLO Nº 10: EXEMPLO Nº 10: Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 105.000,00 aplicados em um CDB de 90 dias, a uma taxa de 1,92% ao mês. Dados: FV = ? PV = R$ 105.000,00 i = 1,92% ao mês n = 90 dias ou (3 meses) Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: FV = 105.000 (1 + 0,0192 x 3 ) FV = 105.000 ( 1 + 0,0576) FV = 105.000 ( 1,0576 ) FV = R$ 111.048,00 FV = R$ 111.048,00 FV = R$ 111.048,00 FV = R$ 111.048,00 EXEMPLO Nº 11: EXEMPLO Nº 11: EXEMPLO Nº 11: EXEMPLO Nº 11: Determine o valor da aplicação em um Título de Renda Fixa, cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. Dados: PV = ? FV = R$ 84.248,00 i = 1,77% ao mês. n = 3 meses Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: PV = 84.248 / ( 1 + 0,0177 x 3 ) PV = 84.248 / ( 1 + 0,0531 ) PV = 84.248 / ( 1,0531 ) PV = R$ 80.000,00 PV = R$ 80.000,00 PV = R$ 80.000,00 PV = R$ 80.000,00 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 105000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,0192 [ENTER] 3 [x] [+] [x] R$ 111.048,00 R$ 111.048,00 R$ 111.048,00 R$ 111.048,00 8o|ução 3: hP-126 [l| FlN 105000 [Cl3| [Pv| 90 [r| 1,92 [ENTER| 12 [x| [ | | [l| lNT [÷| R$ 111.048,00 Solução 4: HP Solução 4: HP Solução 4: HP Solução 4: HP- -- -12C 12C 12C 12C 105000 [ENTER] 1,92 [%] 3 [x] [+] R$ 111.048,00 R$ 111.048,00 R$ 111.048,00 R$ 111.048,00 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 84248 [ENTER] 1 [ENTER] 0,0177 [ENTER] 3 [x] [+] [:] R$ 80.000,00 R$ 80.000,00 R$ 80.000,00 R$ 80.000,00 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 27 27 27 27 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 12: EXEMPLO Nº 12: EXEMPLO Nº 12: EXEMPLO Nº 12: Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após seis meses, Salim resolveu cobrar sua dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Salim. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? Dados: PV = R$ 15,00 FV = R$ 23,75 n = 6 meses i (ac) = ? i mensal = ? Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: i (ac) = {(23,75/15) –1} x 100 i (ac) = {1,5833 –1} x 100 i (ac) = 0,5833 x 100 i ii i (ac) (ac) (ac) (ac) = 58,33% a.p. = 58,33% a.p. = 58,33% a.p. = 58,33% a.p. ou (ao semestre) ou (ao semestre) ou (ao semestre) ou (ao semestre) i mensal = 58,33 : 6 i ii i mensal mensal mensal mensal = 9,72% a.m. = 9,72% a.m. = 9,72% a.m. = 9,72% a.m. 4.2 Juros exato e juros comercial 4.2 Juros exato e juros comercial 4.2 Juros exato e juros comercial 4.2 Juros exato e juros comercial Quando falamos em juro exato, estamos na verdade nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como por exemplo: janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias), desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. No caso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e sendo assim, um ano comercial vai ter sempre ter sempre 360 dias. Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 23,75 [ENTER] 15 [:] 1 [-] 100 [x] 58,33% a.p. 58,33% a.p. 58,33% a.p. 58,33% a.p. 6 [:] 9,72% a.m. 9,72% a.m. 9,72% a.m. 9,72% a.m. Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP- -- -12C 12C 12C 12C 15 [ENTER] 23,75 [∆%] 58,33% a.p. 58,33% a.p. 58,33% a.p. 58,33% a.p. 6 [:] 9 99 9,72% a.m. ,72% a.m. ,72% a.m. ,72% a.m. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 28 28 28 28 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 13: EXEMPLO Nº 13: EXEMPLO Nº 13: EXEMPLO Nº 13: Uma prestação no valor de R$ 1.500,00 venceu em 01/02/01 sendo quitada em 15/03/01, com a taxa de 60% ao ano. Determine os juros exato e comercial pago nesta operação. Dados: Dados: Dados: Dados: PV = R$ 1.500,00 i = 60% ao ano Vencimento da Prestação: 01/02/01 Data do Pagamento: 15/03/01 Solução: Solução: Solução: Solução: [f] 6 01.022001 [ENTER] 15.032001 [g] [∆DYS] 42 dias a) J.E. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/ 365 = R$ 103,56 b) J.C. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/360 = R$ 105,00 Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas 4.3 Exercícios sobre juros simples 4.3 Exercícios sobre juros simples 4.3 Exercícios sobre juros simples 4.3 Exercícios sobre juros simples Considerar o ano comercial (360 dias) 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de cinco meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês? Resposta: R$ 875,00 Resposta: R$ 875,00 Resposta: R$ 875,00 Resposta: R$ 875,00 2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2756,31. Determine a taxa correspondente. Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 1500 [ENTER] 0,6 [x] 42 [x] [365] [:] R$ 103,56 R$ 103,56 R$ 103,56 R$ 103,56 1500 [ENTER] 0,6 [x] 42 [x] [360] [:] R$ 105,00 R$ 105,00 R$ 105,00 R$ 105,00 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 29 29 29 29 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunte-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? Resposta: 0,049028% Resposta: 0,049028% Resposta: 0,049028% Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano ao dia ou 17,65% ao ano ao dia ou 17,65% ao ano ao dia ou 17,65% ao ano 4) Sabendo-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos 5) Qual o capital que, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em um ano? Resposta: R$ 2.827,38 Resposta: R$ 2.827,38 Resposta: R$ 2.827,38 Resposta: R$ 2.827,38 6) Um empréstimo de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. Resposta: 5,32% ao mês Resposta: 5,32% ao mês Resposta: 5,32% ao mês Resposta: 5,32% ao mês 7) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 72 dias. Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66 Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66 Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66 Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66 8) Calcular o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. Resposta: R$ 9.834,51 Resposta: R$ 9.834,51 Resposta: R$ 9.834,51 Resposta: R$ 9.834,51 9) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 56.737,59, sabendo-se que a taxa de juros é 2,8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu vencimento. Resposta: R$ 52.340,95 Resposta: R$ 52.340,95 Resposta: R$ 52.340,95 Resposta: R$ 52.340,95 10) Em quanto tempo um capital aplicado a 2,95% ao mês dobra o seu valor? Resposta Resposta Resposta Resposta: 33 meses e 27 dias : 33 meses e 27 dias : 33 meses e 27 dias : 33 meses e 27 dias Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 30 30 30 30 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 4.4 Exercícios de reforços 4.4 Exercícios de reforços 4.4 Exercícios de reforços 4.4 Exercícios de reforços O OO OS EXERCÍCIOS DE REFO S EXERCÍCIOS DE REFO S EXERCÍCIOS DE REFO S EXERCÍCIOS DE REFORÇOS TÊM COMO OBJETI RÇOS TÊM COMO OBJETI RÇOS TÊM COMO OBJETI RÇOS TÊM COMO OBJETIVO PRINCIPAL VO PRINCIPAL VO PRINCIPAL VO PRINCIPAL, , , , COMPLEMENTAR OS EXEM COMPLEMENTAR OS EXEM COMPLEMENTAR OS EXEM COMPLEMENTAR OS EXEMPLOS PLOS PLOS PLOS APRESENTANDOS EM SAL APRESENTANDOS EM SAL APRESENTANDOS EM SAL APRESENTANDOS EM SALA DE AULA E OS EXERC A DE AULA E OS EXERC A DE AULA E OS EXERC A DE AULA E OS EXERCÍCIOS PRATICADOS PEL ÍCIOS PRATICADOS PEL ÍCIOS PRATICADOS PEL ÍCIOS PRATICADOS PELOS ALUNOS OS ALUNOS OS ALUNOS OS ALUNOS. .. . 1. Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. Resposta: R$ 8.400,00 Resposta: R$ 8.400,00 Resposta: R$ 8.400,00 Resposta: R$ 8.400,00 2. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determinar a taxa anual. Resposta: 60% ao ano. Resposta: 60% ao ano. Resposta: 60% ao ano. Resposta: 60% ao ano. 3. Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. Resposta: R$ 53.204,42 Resposta: R$ 53.204,42 Resposta: R$ 53.204,42 Resposta: R$ 53.204,42 4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultantes da aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano, durante 13 meses? Resposta: R$ 31.271,48 Resposta: R$ 31.271,48 Resposta: R$ 31.271,48 Resposta: R$ 31.271,48 5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre? Resposta: R$ 156.500,00 Resposta: R$ 156.500,00 Resposta: R$ 156.500,00 Resposta: R$ 156.500,00 6. Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00? Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 31 31 31 31 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 7. Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado do dia 19/06/X1 e resgatado em 20/01/X2. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivos entre as duas datas. Resposta: R$ 16.722,22 Resposta: R$ 16.722,22 Resposta: R$ 16.722,22 Resposta: R$ 16.722,22 8. Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15/07/XX e resgatou essa aplicação no dia 21/07/XX por R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? Resposta: 4,5% ao mês. Resposta: 4,5% ao mês. Resposta: 4,5% ao mês. Resposta: 4,5% ao mês. 9. Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e três meses, produz um montante de R$ 600.000,00. Resposta: R$ 281.162,14 Resposta: R$ 281.162,14 Resposta: R$ 281.162,14 Resposta: R$ 281.162,14 10. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$ 18.600,00 de juros? Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. 11. Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final de oito meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? Resposta: 66% ao ano. Resposta: 66% ao ano. Resposta: 66% ao ano. Resposta: 66% ao ano. 12. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses. Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses. Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses. Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses. 13. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à ¼ do seu valor? Resposta: 2,5% Resposta: 2,5% Resposta: 2,5% Resposta: 2,5% ao mês. ao mês. ao mês. ao mês. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 32 32 32 32 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 14. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do montante. Resposta: R$ 220.720,00 Resposta: R$ 220.720,00 Resposta: R$ 220.720,00 Resposta: R$ 220.720,00 15. Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? Resposta: 128 dias. Resposta: 128 dias. Resposta: 128 dias. Resposta: 128 dias. 16. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. Resposta: R$ 420.000,00 Resposta: R$ 420.000,00 Resposta: R$ 420.000,00 Resposta: R$ 420.000,00 17. A aplicação de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final de nove meses. Calcular a taxa anual. Resposta: 84% ao ano. Resposta: 84% ao ano. Resposta: 84% ao ano. Resposta: 84% ao ano. 18. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros. Resposta: R$ 285,71 Resposta: R$ 285,71 Resposta: R$ 285,71 Resposta: R$ 285,71 19. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00, por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês. Resposta: R$ 639.000,00 Resposta: R$ 639.000,00 Resposta: R$ 639.000,00 Resposta: R$ 639.000,00 20. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00. Resposta: R$ 400.000,00 Resposta: R$ 400.000,00 Resposta: R$ 400.000,00 Resposta: R$ 400.000,00 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 33 33 33 33 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 21. Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$ 117.760,00 no final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros. Resposta: 5,9% ao mês. Resposta: 5,9% ao mês. Resposta: 5,9% ao mês. Resposta: 5,9% ao mês. 22. Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00 à taxa de 7,2% ao mês? Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. 23. A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de 177.320,00 no final de 186 dias? Resposta: R$ 124,8% ao ano Resposta: R$ 124,8% ao ano Resposta: R$ 124,8% ao ano Resposta: R$ 124,8% ao ano. . . . A lista de exercícios de reforço, foi extraída do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho (MATEMÁTICA FINANCEIRA, 5ª edição, Editora Atlas). Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 34 34 34 34 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 5 55 5 Juros compostos Juros compostos Juros compostos Juros compostos 5.1 Conceitos de juros compostos 5.1 Conceitos de juros compostos 5.1 Conceitos de juros compostos 5.1 Conceitos de juros compostos Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. Mas na verdade os juros são calculados tomando como base o montante, conforme estamos demostrando no diagrama de fluxo de caixa abaixo. Observe novamente a demonstração do regime de capitalização composta. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. Regime de Capitalização Composta N Capital Aplicado Juros de cada período Valor Acumulado ou Montante 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOS DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOS DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOS DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA TA TA TA M = R$ 1.331,00 C . i = R$ 100,00 M 1 . i = R$ 110,00 M 2 . i = R$ 121,00 C = R$ 1.000,00 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 35 35 35 35 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M) 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M) 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M) 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M) EXEMPLO Nº 14: EXEMPLO Nº 14: EXEMPLO Nº 14: EXEMPLO Nº 14: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: FV = ? PV = R$ 5.000,00 i = 4% ao mês n = 5 meses 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos EXEMPLO Nº 15: EXEMPLO Nº 15: EXEMPLO Nº 15: EXEMPLO Nº 15: Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos. Juros Simples a. n = 29 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 29 ) = R$ 57.250,00 ( J. Simples > J. Compostos ) 30 b. n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 30 ) = R$ 57.500,00 ( J. Simples = J. Compostos ) 30 c. n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 31 ) = R$ 57.750,00 ( J. Simples < J. Compostos ) 30 FV = PV ( 1 + } n Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5 FV = 5.000 ( 1,04 ) 5 FV = 5.000 (1,216653...) FV = R$ 6.083,26 FV = R$ 6.083,26 FV = R$ 6.083,26 FV = R$ 6.083,26 Solução Solução Solução Solução 2 : HP 12C 2 : HP 12C 2 : HP 12C 2 : HP 12C 5000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [+] 5 [y x ] [x] R$ 6.083,26 Solução 3 : HP 12C Solução 3 : HP 12C Solução 3 : HP 12C Solução 3 : HP 12C [f] FIN 5000 [CHS] [PV] 4 [i] 5 [n] [FV] R$ 6.083,26 R$ 6.083,26 R$ 6.083,26 R$ 6.083,26 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 36 36 36 36 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C Juros Compostos Juros Compostos Juros Compostos Juros Compostos a) a) a) a) n = 29 dias; n = 29 dias; n = 29 dias; n = 29 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 29/30 = R$ 57.232,75 b) b) b) b) n = 30 dias; n = 30 dias; n = 30 dias; n = 30 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 30/30 = R$ 57.500,00 c) c) c) c) n = 31 dias; n = 31 dias; n = 31 dias; n = 31 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 31/30 = R$ 57.768,50 5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX] 5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX] 5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX] 5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX] Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra “C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse cálculo com base na chamada “convenção linear”, em que os juros são calculados de acordo com o regime de capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários. Vamos comprovar: EXEMPLO Nº 16: EXEMPLO Nº 16: EXEMPLO Nº 16: EXEMPLO Nº 16: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos. Dados: PV = R$ 1.450.300,00 i = 15% ao ano n = 3,5 anos. Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83, vejamos o por quê? Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: FV = 1.450.300 (1 + 0,15) 3,5 R$ 2.365.376,56 R$ 2.365.376,56 R$ 2.365.376,56 R$ 2.365.376,56 Usando a HP 12C com “C” no Usando a HP 12C com “C” no Usando a HP 12C com “C” no Usando a HP 12C com “C” no visor. visor. visor. visor. [f] FIN 1450300 [CHS] [PV] 15 [i] 3,5 [n] FV R$ 2.365.376,56 R$ 2.365.376,56 R$ 2.365.376,56 R$ 2.365.376,56 Usando a HP 12C sem “C” no Usando a HP 12C sem “C” no Usando a HP 12C sem “C” no Usando a HP 12C sem “C” no visor. visor. visor. visor. [f] FIN 1450300 [CHS] [PV] 15 [i] 3,5 [n] FV R$ 2.371.154,39 R$ 2.371.154,39 R$ 2.371.154,39 R$ 2.371.154,39 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 37 37 37 37 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 1º PASSO: 1º PASSO: 1º PASSO: 1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro período inteiro período inteiro período inteiro) pelo regime de juros compostos juros compostos juros compostos juros compostos. FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,01 2º PASSO: 2º PASSO: 2º PASSO: 2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período fracionário) pelo regime de juros simples. J (meio ano) = ( 2.205.725,01 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ 165.429,38 3º PASSO: 3º PASSO: 3º PASSO: 3º PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos) FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,39 5.5 Valor presente (PV) ou capital (C) 5.5 Valor presente (PV) ou capital (C) 5.5 Valor presente (PV) ou capital (C) 5.5 Valor presente (PV) ou capital (C) EXEMPLO Nº 17: EXEMPLO Nº 17: EXEMPLO Nº 17: EXEMPLO Nº 17: No final de dois anos, o Sr. Carlos deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado? Dados: FV = R$ 2.000,00 i = 4% ao mês n = 24 meses PV = ? Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: PV = 2.000 / (1 + 0,04) 24 PV = 2.000 / (1,04) 24 PV = 2.000 / 2,563304... PV = R$ 780,24 PV = R$ 780,24 PV = R$ 780,24 PV = R$ 780,24 Solução 2: Solução 2: Solução 2: Solução 2: PV = 2.000 x 1 / (1 + 0,04) 24 PV = 2.000 x 1 / (1,04) 24 PV = 2.000 x 1 / 2,563304... PV = 2.000 x 0,390121... PV = 2.000 x 0,390121... PV = 2.000 x 0,390121... PV = 2.000 x 0,390121... PV = R$ 780,24 PV = R$ 780,24 PV = R$ 780,24 PV = R$ 780,24 Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP- -- -12C 12C 12C 12C 2000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [+] 24 [y x ] [:] R$ 780,24 R$ 780,24 R$ 780,24 R$ 780,24 Solução 4: HP Solução 4: HP Solução 4: HP Solução 4: HP- -- -12C 12C 12C 12C [f] FIN 2000 [CHS] [FV] 4 [i] 24 [n] PV R$ 780,24 R$ 780,24 R$ 780,24 R$ 780,24 PV = FV / ( 1 + i ) PV = FV / ( 1 + i ) PV = FV / ( 1 + i ) PV = FV / ( 1 + i ) n nn n Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 38 38 38 38 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 5.6 Prazo (n) 5.6 Prazo (n) 5.6 Prazo (n) 5.6 Prazo (n) ou n = EXEMPLO Nº 18: EXEMPLO Nº 18: EXEMPLO Nº 18: EXEMPLO Nº 18: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês. Dados: n = ? PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33 i = 3% ao mês n nn n = == = LN(FV) LN(PV) LN(1 i) − + LN( ) LN(1 i) FV PV + Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: n = LN(41.524,33) – LN(24.278,43) LN (1,03) n = 10,634035... – 10,097344... 0,029559... n = 0,536691... 0,029559... 0,029559... 0,029559... 0,029559... n = 18, n = 18, n = 18, n = 18,156731... meses 156731... meses 156731... meses 156731... meses Solução 2: Solução 2: Solução 2: Solução 2: n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)} LN (1,03) n = LN (1,710338) LN (1,03) n = 0,536691... 0,029559... 0,029559... 0,029559... 0,029559... n = 18,156731... meses n = 18,156731... meses n = 18,156731... meses n = 18,156731... meses Solução 3: (HP 12C) Solução 3: (HP 12C) Solução 3: (HP 12C) Solução 3: (HP 12C) 41.524,33 [g] LN 24.278,43 [g] LN [-] 1,03 [g] LN [:] n = 18,1567 n = 18,1567 n = 18,1567 n = 18,156731... 31... 31... 31... Solução 4: (HP 12C) Solução 4: (HP 12C) Solução 4: (HP 12C) Solução 4: (HP 12C) 41.524,33 [ENTER] 24.278,43 [:] [g] LN 1,03 [g] LN [:] n = 18,156731... n = 18,156731... n = 18,156731... n = 18,156731... Solução 5: HP Solução 5: HP Solução 5: HP Solução 5: HP- -- -12C 12C 12C 12C [f] FIN 41524,33 [CHS] [FV] 24278,43 [PV] 3 [i] [n] 19 meses 19 meses 19 meses 19 meses Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 39 39 39 39 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 5.7 Função [FRAC] e [INTG] 5.7 Função [FRAC] e [INTG] 5.7 Função [FRAC] e [INTG] 5.7 Função [FRAC] e [INTG] Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a parte a parte fracionária. Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e manter a parte inteira. Vamos comprovar: Tomando como base o EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18, temos que o prazo foi de 18,156731... meses, observe que existe uma parte fracionária, que neste caso representa a quantidade de dias. Para calculamos a quantidade de dias, basta multiplicar a parte fracionária por 30 (mês comercial). Solução Única. Estando com o número 18,156731... no visor da calculadora HP 12C, observar o procedimento a seguir: [g] FRAC 30 [x] 4,701928 dias no caso de dias, poderemos arredondar o número para maior, então poderemos dizer que a resposta do EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18, seja 18 meses e 5 dias. Para o mesmo EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18 EXEMPLO Nº 18, poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a parte inteira, fazendo a seqüência teclas: [g] INTG. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 40 40 40 40 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 5.8 Taxas equivalentes a juros compostos 5.8 Taxas equivalentes a juros compostos 5.8 Taxas equivalentes a juros compostos 5.8 Taxas equivalentes a juros compostos EXEMPLO Nº 19: EXEMPLO Nº 19: EXEMPLO Nº 19: EXEMPLO Nº 19: A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Dados: i = ? PV = R$ 10.210,72 FV = R$ 14.520,68 n = 210 dias i ={ ( ) FV PV QQ/QT – 1} x 100 Onde: Onde: Onde: Onde: QQ = Quanto eu Quero QQ = Quanto eu Quero QQ = Quanto eu Quero QQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu Tenho QT = Quanto eu Tenho QT = Quanto eu Tenho QT = Quanto eu Tenho Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100 i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100 i = {1,051592 – 1} x 100 i = {0,051592} x 100 i = 5,16% ao mês. i = 5,16% ao mês. i = 5,16% ao mês. i = 5,16% ao mês. Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 14520,68................................ 10210,72 [:] 30 [ENTER] 210 [:] [y x ] 1 [-] 100 [x] 5,16% ao mês 5,16% ao mês 5,16% ao mês 5,16% ao mês Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP- -- -12C 12C 12C 12C 10210,72 [CHS] [PV] 14520,68 [FV] 7 [n] [i] 5,16% ao mês. 5,16% ao mês. 5,16% ao mês. 5,16% ao mês. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 41 41 41 41 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 5.9 Exercícios sobre juros compostos 5.9 Exercícios sobre juros compostos 5.9 Exercícios sobre juros compostos 5.9 Exercícios sobre juros compostos 1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês. Resposta: R$ 144.504,39 Resposta: R$ 144.504,39 Resposta: R$ 144.504,39 Resposta: R$ 144.504,39 2. Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. 3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23. Respost Respost Respost Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses). a: 5 trimestres (ou 15 meses). a: 5 trimestres (ou 15 meses). a: 5 trimestres (ou 15 meses). 4. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 ao final de 19 meses? Resposta: R$ 769.461,37 Resposta: R$ 769.461,37 Resposta: R$ 769.461,37 Resposta: R$ 769.461,37 5.10 Exercícios de reforços 5.10 Exercícios de reforços 5.10 Exercícios de reforços 5.10 Exercícios de reforços 1. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. Resposta: R$ 1.708.984,38 Resposta: R$ 1.708.984,38 Resposta: R$ 1.708.984,38 Resposta: R$ 1.708.984,38 2. Em que prazo uma aplicação de 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$ 500.000,00. Resposta: 9 meses Resposta: 9 meses Resposta: 9 meses Resposta: 9 meses Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 42 42 42 42 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 3. Um terreno está sendo oferecido por R$ 4.500,00 à vista ou R$ 1.500,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já computado), determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. Resposta: A melhor opção é comprá Resposta: A melhor opção é comprá Resposta: A melhor opção é comprá Resposta: A melhor opção é comprá- -- -lo a prazo lo a prazo lo a prazo lo a prazo 4. A que taxa de juros um capital aplicado pose ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? Resposta: 4,162% ao mês. Resposta: 4,162% ao mês. Resposta: 4,162% ao mês. Resposta: 4,162% ao mês. 5. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao mês. Resposta: 11 meses. Resposta: 11 meses. Resposta: 11 meses. Resposta: 11 meses. 6. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. Resposta: R$ 396.288,79 Resposta: R$ 396.288,79 Resposta: R$ 396.288,79 Resposta: R$ 396.288,79 7. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. 8. No fim quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor: a) no regime de capitalização composta; (Resposta: 35, Resposta: 35, Resposta: 35, Resposta: 35,35 meses 35 meses 35 meses 35 meses) b) no regime de capitalização simples. (Resposta: 75 meses Resposta: 75 meses Resposta: 75 meses Resposta: 75 meses) Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 43 43 43 43 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 9. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580,00, à taxa de 17,5% ao ano, pelo prazo de 213 dias? Resposta: 638,07 Resposta: 638,07 Resposta: 638,07 Resposta: 638,07 10. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00? Resposta: R$ 3.584,32 Resposta: R$ 3.584,32 Resposta: R$ 3.584,32 Resposta: R$ 3.584,32 11. A aplicação de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. ao ano. ao ano. ao ano. 12. Certa aplicação rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? Resposta: 308,41dias ou 309 dias Resposta: 308,41dias ou 309 dias Resposta: 308,41dias ou 309 dias Resposta: 308,41dias ou 309 dias 13. A aplicação de R$ 280,00 proporcionou um rendimento de R$ 240,00 no final de 208 dias. Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de juros. Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a. Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a. Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a. Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a. 14. Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual equivalente. Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a. Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a. Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a. Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a. 15. Um banco cobra 20% a.a. de juros (além da correção monetária) numa operação de capital de giro. Quanto cobrará para uma operação em 182 dias? (considerar o ano como sendo 360 dias). Resposta: 9,66% a.p. Resposta: 9,66% a.p. Resposta: 9,66% a.p. Resposta: 9,66% a.p. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 44 44 44 44 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 16. Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 à taxa de 15% ao ano? E qual a taxa mensal equivalente? Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m. Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m. Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m. Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m. 17. Um certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a 500 dólares rende juros de 15% ao ano. Sendo o seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate (em dólar), antes do Imposto de Renda. Resposta: US$ 549,47 Resposta: US$ 549,47 Resposta: US$ 549,47 Resposta: US$ 549,47 18. Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma aplicação de R$ 10.000,00 efetuada no dia 13 de março de 2001, cujo valor de resgate em 08 de junho de 2001 foi de R$ 10.968,42? R RR Resposta: 3,24% a.m. esposta: 3,24% a.m. esposta: 3,24% a.m. esposta: 3,24% a.m. 19. Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 1.000,00 produza um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao mês? Resposta: 703 dias Resposta: 703 dias Resposta: 703 dias Resposta: 703 dias 20. Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 10.000,00. Determinar seu valor de emissão para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Resposta: R$ 9.842,40 Resposta: R$ 9.842,40 Resposta: R$ 9.842,40 Resposta: R$ 9.842,40 Os exercícios dos itens 4.9 e 4.10 foram parcialmente extraídos e adaptados, do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho José Dutra Vieira Sobrinho José Dutra Vieira Sobrinho José Dutra Vieira Sobrinho, Matemática Financeira, 5ª edição, Editora Atlas e dos Professores Samuel Hazzan Samuel Hazzan Samuel Hazzan Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeu José Nicolau Pompeu José Nicolau Pompeu José Nicolau Pompeu, Matemática Financeira – métodos quantitativos, 4ª edição, Editora Atual. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 45 45 45 45 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 6 66 6 Operações com taxas de juros Operações com taxas de juros Operações com taxas de juros Operações com taxas de juros No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias situações. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da matemática financeira. 6.1 Taxas equivalentes: 6.1 Taxas equivalentes: 6.1 Taxas equivalentes: 6.1 Taxas equivalentes: As taxas são equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo período, geram o mesmo rendimento. Onde: i (EQ) = Taxa Equivalente; i c = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu Tenho. EXEMPLO Nº 20: EXEMPLO Nº 20: EXEMPLO Nº 20: EXEMPLO Nº 20: Calcular a equivalência entre as taxas. Taxa Conhecida Taxa Conhecida Taxa Conhecida Taxa Conhecida Taxa Equivalente para: Taxa Equivalente para: Taxa Equivalente para: Taxa Equivalente para: a) 79,5856% ao ano 1 mês b) 28,59% ao trimestre 1 semestre c) 2,5% ao mês 105 dias d) 0,5% ao dia 1 ano e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias) i (eq) ={ ( 1 + i c ) QQ/QT – 1} x 100 Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: a) i (EQ) = { ( 1 + 0,7958) 30/360 – 1} x 100 = 5% ao mês 5% ao mês 5% ao mês 5% ao mês b) i (EQ) = { ( 1 + 0,2859) 180/90 – 1} x 100 = 65,35% ao semestre 65,35% ao semestre 65,35% ao semestre 65,35% ao semestre c) i (EQ) = { ( 1 + 0,025) 105/30 – 1} x 100 = 9,03% ao período 9,03% ao período 9,03% ao período 9,03% ao período d) i (EQ) = { ( 1 + 0,005) 360/1 – 1} x 100 = 502,26% ao ano 502,26% ao ano 502,26% ao ano 502,26% ao ano e) i (EQ) = { ( 1 + 0,25) 365/360 – 1} x 100 = 25,39% ao ano (exato) 25,39% ao ano (exato) 25,39% ao ano (exato) 25,39% ao ano (exato) Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 46 46 46 46 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C 6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C 6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C 6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C [ f ] [ P/R ] [ f ] [ PRGM ] [ X<> Y] [ : ] [ X<> Y] [ 1 ] [ 0 ] [ 0 ] [ : ] [ 1 ] [ + ] [ x<>y ] [ y x ] [ 1 ] [ - ] [ 1 ] [ 0 ] [ 0 ] [ x ] [ f ] [ P/R ] UTILIZANDO O PROGRAMA 27 [ENTER] 360 [ENTER] 30 [R/S] 2,01% a.m. Solução 2 (HP 12C) Solução 2 (HP 12C) Solução 2 (HP 12C) Solução 2 (HP 12C) a) 1,7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 5% ao mês 5% ao mês 5% ao mês 5% ao mês b) 1,2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 65,35% ao trimestre 65,35% ao trimestre 65,35% ao trimestre 65,35% ao trimestre c) 1,025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 9,03% ao período 9,03% ao período 9,03% ao período 9,03% ao período d) 1,005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 502,26% ao ano 502,26% ao ano 502,26% ao ano 502,26% ao ano e) 1,25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [Y X ] 1 [-] 100 [X] 25,39% ao ano (exato) 25,39% ao ano (exato) 25,39% ao ano (exato) 25,39% ao ano (exato) Este programa foi extraído do livro do professor Carlos Shinoda Carlos Shinoda Carlos Shinoda Carlos Shinoda, matemática financeira para usuários do Excel, 2ª edição, editora Atlas. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 47 47 47 47 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 6.2 Taxa over equivalente: 6.2 Taxa over equivalente: 6.2 Taxa over equivalente: 6.2 Taxa over equivalente: A taxa over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão de mercado financeiro). Nas empresas em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento. Onde: Onde: Onde: Onde: TOE TOE TOE TOE = == = taxa over equivalente taxa over equivalente taxa over equivalente taxa over equivalente i ii i c cc c = == = taxa de juros conhecida taxa de juros conhecida taxa de juros conhecida taxa de juros conhecida QQ QQ QQ QQ = == = nº de dias efetivos da operação nº de dias efetivos da operação nº de dias efetivos da operação nº de dias efetivos da operação QT QT QT QT = = = = nº de dias referente à taxa conhecida ( i nº de dias referente à taxa conhecida ( i nº de dias referente à taxa conhecida ( i nº de dias referente à taxa conhecida ( i c c c c ) )) ) ndu ndu ndu ndu = = = = nº nº nº nº de dias úteis no período da operação. de dias úteis no período da operação. de dias úteis no período da operação. de dias úteis no período da operação. EXEMPLO Nº 21: EXEMPLO Nº 21: EXEMPLO Nº 21: EXEMPLO Nº 21: Calcular a taxa over equivalente para uma taxa de 80% ao ano, para uma aplicação de 30 dias, considerando 19 dias úteis. Dados: i c = 80% QQ = 30 dias QT = 360 dias ndu = 19 dias Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 TOE ={ [ ( 1 + 0,80) 30 / 360 ] 1 / 19 - 1 } x 3.000 TOE ={ [ ( 1 ,80) 0,083333.... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 TOE ={ [ 1 ,050202... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 TOE ={ 1 ,002581... - 1 } x 3.000 TOE = 0,002581... x 3.000 TOE = 7,74% ao mês. 7,74% ao mês. 7,74% ao mês. 7,74% ao mês. Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 1 [ENTER] 0,8 [+] 30 [ENTER] 360 [:] [y x ] 19 [1/x] [y x ] 1 [-] 3000 [x] 7,74% ao mês 7,74% ao mês 7,74% ao mês 7,74% ao mês Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP- -- -12C 12C 12C 12C 100 [CHS] [PV] 80 [i] 30 [ENTER] 360 [:] [n] [FV] 100 [-] (5,02% a.p) [i] 1 [ENTER] 19 [:] [n] [FV] 100 [-] (0,258134 % a.d.u.) 30 [x] (7,74% a.m) (7,74% a.m) (7,74% a.m) (7,74% a.m) TOE ={ [( 1 + i c ) QQ/QT ] 1/ ndu - 1} x 3.000 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 48 48 48 48 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 6.3 Taxa 6.3 Taxa 6.3 Taxa 6.3 Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis) acumulada de juros (com taxas variáveis) acumulada de juros (com taxas variáveis) acumulada de juros (com taxas variáveis) A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situações de correções de contratos, como por exemplo atualização de alugueis, saldo devedor da casa própria, etc. EXEMPLO Nº 22: EXEMPLO Nº 22: EXEMPLO Nº 22: EXEMPLO Nº 22: Com base na tabela abaixo, calcular a variação do IGPM-FGV acumulada durante os meses de jan/2001 a maio/2001. Últimas variações dos índices de inflação: IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGE Maio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01 Junho/200 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23 Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61 Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31 Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23 Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14 Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32 Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59 Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57 Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46 Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38 Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58 Maio/2001 0,86 - - 0,17 - Acumulado no ano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00 Acumulado 12 meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61 Dados: IGMP (jan/2001) = 0,62% IGMP (fev/2001) = 0,23% IGMP (mar/2001) = 0,56% IGMP (abr/2001) = 1,00% IGMP (mai/2001) = 0,86% i (ac) = [(1 + i 1 ) x (1 + i 2 ) x (1 + i 3 ) ... (1 + i n ) – 1] x 100 8o|ução 1: } = [(1 ÷ 0,00ê2) x (1 ÷ 0,0023) x (1 ÷ 0,005ê) x (1 ÷ 0,01) x (1,008ê) - 1| x 100 } = [(1 ,00ê2) x (1,0023) x (1,005ê) x (1,01) x (1,008ê) - 1| x 100 } = [1 ,033113... - 1| x 100 } = [0 ,033113...| x 100 } = 3,317 ao per|odo. Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- - 12C 12C 12C 12C 1 ,0062 [ENTER] 1,0023 [x] 1,0056 [x] 1,01 [x] 1,0086 [x] 1 [-] 100 [x] 3,31% ao período. 3,31% ao período. 3,31% ao período. 3,31% ao período. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 49 49 49 49 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 6.4 Taxa média de juros 6.4 Taxa média de juros 6.4 Taxa média de juros 6.4 Taxa média de juros A taxa média de juros tem como base teórica, o conceito de estatística da média geométrica. É normalmente usada para calcular a média de um conjunto de taxas. Onde, n = número de taxas analisadas. EXEMPLO Nº 23: EXEMPLO Nº 23: EXEMPLO Nº 23: EXEMPLO Nº 23: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 22, calcular a taxa média. Dados: IGMP (jan/2001) = 0,62% IGMP (fev/2001) = 0,23% IGMP (mar/2001) = 0,56% IGMP (abr/2001) = 1,00% IGMP (mai/2001) = 0,86% 6.5 Taxa real de juros 6.5 Taxa real de juros 6.5 Taxa real de juros 6.5 Taxa real de juros A taxa real juro nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou custo de oportunidade. i (média) = {[(1 + i 1 ) x (1 + i 2 ) x (1 + i 3 ) ... (1 + i n ) ] 1/ n – 1 }x 100 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- - 12C 12C 12C 12C 1 ,0062 [ENTER] 1,0023 [x] 1,0056 [x] 1,01 [x] 1,0086 [x] 5 [1/x] [y x ] 1 [-] 100 [x] 0,65% ao mês. 0,65% ao mês. 0,65% ao mês. 0,65% ao mês. Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: i ii i (média (média (média (média) )) ) = = = = [(1 + 0,0062)x(1 + 0,0023)x(1 + 0,0056)x(1 + 0,01)x(1,0086)] 1 / 5 –1 x 100 i ii i (média (média (média (média) )) ) = = = = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086)] 1 / 5 –1 x 100 i ii i (média (média (média (média) )) ) = = = = [1 ,033113... ] 0,2 –1 x 100 i ii i (média (média (média (média) )) ) = = = = 0,0065... x 100 i (média) = 0,65% ao mês. i r = [(1 + i juros ) / ( 1 + i inflação )] – 1 x 100 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 50 50 50 50 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 24: EXEMPLO Nº 24: EXEMPLO Nº 24: EXEMPLO Nº 24: Uma aplicação durante o ano de 2000 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano. Determine a taxa real de juro. Dados: i r = ? i juros = 9,5% ao ano i inflação = 5,8% ao ano 6.6 Exercícios sobre taxas juros 6.6 Exercícios sobre taxas juros 6.6 Exercícios sobre taxas juros 6.6 Exercícios sobre taxas juros 1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. Reposta: 26,82% ao ano Reposta: 26,82% ao ano Reposta: 26,82% ao ano Reposta: 26,82% ao ano 2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. Resposta: 4% ao mês.] Resposta: 4% ao mês.] Resposta: 4% ao mês.] Resposta: 4% ao mês.] 3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia. Resposta: 101,22% ao ano. Resposta: 101,22% ao ano. Resposta: 101,22% ao ano. Resposta: 101,22% ao ano. 4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos. Resposta: 5% ao trimestre Resposta: 5% ao trimestre Resposta: 5% ao trimestre Resposta: 5% ao trimestre 5. Uma determinada revista de informações financeira apresentou as seguintes taxas de CDI’s: Fev = 2,11%; Mar = 2,18%; Abr = 1,69%; Mai = 1,63%; Jun = 1,60% e Jul = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se: a) Qual a taxa média no período? (Resposta: 1,82% ao mês Resposta: 1,82% ao mês Resposta: 1,82% ao mês Resposta: 1,82% ao mês) b) Qual a taxa acumulada no período? (Resposta: 11,41% ao período Resposta: 11,41% ao período Resposta: 11,41% ao período Resposta: 11,41% ao período) Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: i r = [(1 + 0,095 ) / ( 1 + 0,058)] – 1 x 100 i r = [(1,095 ) / ( 1,058)] – 1 x 100 i r = [1,034972...] – 1 x 100 i r = 0,034972... x 100 i r = 3,50% ao ano. Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 1 [ENTER] 0,095 [+] 1 [ENTER] 0,058 [+] [:] 1 [-] 100 [x] 3,5% ao ano. 3,5% ao ano. 3,5% ao ano. 3,5% ao ano. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 51 51 51 51 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 6. Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 80.000,00 por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 94.340,57. Qual a taxa média desta aplicação? Resposta: 5,65% ao mês. Resposta: 5,65% ao mês. Resposta: 5,65% ao mês. Resposta: 5,65% ao mês. 7. O senhor “Dúvida”, pretende investir R$ 6.500.000,00 em uma aplicação no “Banco dos Palmeirenses S/A” que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e correspondentes a 21 dias úteis, Suponha que o “Banco dos Corinthianos S/A” pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis. Você foi contratado como Gerente Financeiro(a), e encontra-se em período de experiência. Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador? Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos 8. Se o preço de um produto de dezembro de 1998 foi de R$ 3.000,00 e em janeiro de 1999 foi de R$ 3.300,00, o índice de preço correspondente foi de: Resposta: 10% ao período. Resposta: 10% ao período. Resposta: 10% ao período. Resposta: 10% ao período. 9. Suponha que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 50,00 e nos três meses subseqüente seja R$ 60,00, R$ 75,00 e 88,50, respectivamente. Obter a inflação acumulada. Resposta: 77% ao período. Resposta: 77% ao período. Resposta: 77% ao período. Resposta: 77% ao período. 10. Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 21% ao ano, e no mesmo período a inflação foi de 19% ano. Qual a taxa real de juros? Resposta: 1,68% ao ano. Resposta: 1,68% ao ano. Resposta: 1,68% ao ano. Resposta: 1,68% ao ano. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 52 52 52 52 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 7 77 7 Descontos Descontos Descontos Descontos A operação desconto pode ser descrita como sendo o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso. 7.1 Desconto racional si 7.1 Desconto racional si 7.1 Desconto racional si 7.1 Desconto racional simples ou “por dentro” mples ou “por dentro” mples ou “por dentro” mples ou “por dentro” Onde: DR = Desconto Racional; VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual. EXEMPLO Nº 25: EXEMPLO Nº 25: EXEMPLO Nº 25: EXEMPLO Nº 25: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional? Dados: VN = R$ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês. DR = ? 7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora” 7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora” 7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora” 7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora” Onde: DB = Desconto Bancário; VN = Valor Nominal; VL = Valor Líquido. DR = VN DR = VN DR = VN DR = VN - -- - VA VA VA VA VA = VN / (1 + VA = VN / (1 + VA = VN / (1 + VA = VN / (1 + i . n i . n i . n i . n) )) ) DR = VN x i x n / (1 + DR = VN x i x n / (1 + DR = VN x i x n / (1 + DR = VN x i x n / (1 + i . n i . n i . n i . n) )) ) DB = VN . i . n DB = VN . i . n DB = VN . i . n DB = VN . i . n VL = VN VL = VN VL = VN VL = VN - -- - DB DB DB DB Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 DR = 25.000 x 0,025 x 2 (1 + 0,025 x 2) DR = 1.250 1,05 DR = R$ 1.190,48 DR = R$ 1.190,48 DR = R$ 1.190,48 DR = R$ 1.190,48 VA = 25.000 – 1.190,48 VA VA VA VA = R$ 23.809,52 = R$ 23.809,52 = R$ 23.809,52 = R$ 23.809,52 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 53 53 53 53 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 26: EXEMPLO Nº 26: EXEMPLO Nº 26: EXEMPLO Nº 26: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? Dados: VN = R$ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês. DR = ? EXEMPLO Nº 27: EXEMPLO Nº 27: EXEMPLO Nº 27: EXEMPLO Nº 27: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa liquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? Dados: VN = R$ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês iADM = 1% (IOF) = 0,0041% ao dia i= 2,8% a.m (empréstimo) VL = ? DB =? DIOF =? DADM =? Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos: i = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = 3,12% ao mês 25.000 x 2 50.000 Ou seja, na verdade o empréstimo seria a melhor opção. Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 DB = 25.000 x 0,025 x 2 DB = R$ 1.250,00 DB = R$ 1.250,00 DB = R$ 1.250,00 DB = R$ 1.250,00 VL = 25.000 – 1.250 VL = R$ 23.750,00 VL = R$ 23.750,00 VL = R$ 23.750,00 VL = R$ 23.750,00 Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 VL = VN – DB - D IOF -D ADM a) DB = 25.000 x ,025 x 2 = R$ 1.250,00 R$ 1.250,00 R$ 1.250,00 R$ 1.250,00 b) D ADM = 25.000 x 01 = R$ 250,00 c) D IOF = 25.000 x 0,000041 x 60 = R$ 61,50 VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50 VL = R$ 23.438,50 VL = R$ 23.438,50 VL = R$ 23.438,50 VL = R$ 23.438,50 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 54 54 54 54 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 7.3 Operações com um conjunto de títulos: 7.3 Operações com um conjunto de títulos: 7.3 Operações com um conjunto de títulos: 7.3 Operações com um conjunto de títulos: EXEMPLO Nº 28: EXEMPLO Nº 28: EXEMPLO Nº 28: EXEMPLO Nº 28: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Borderô de Cobrança Borderô de Cobrança Borderô de Cobrança Borderô de Cobrança Duplicata Duplicata Duplicata Duplicata Valor (R$) Valor (R$) Valor (R$) Valor (R$) Prazo Prazo Prazo Prazo (vencimento) (vencimento) (vencimento) (vencimento) A 2.000,00 30 dias B 4.000,00 65 dias C 8.000,00 82 dias Solução 1 DPL nº A: DB = (2.000 x 0,03 x 30) / 30 = R$ 60,00 DPL nº B: DB = (4.000 x 0,03 x 65) / 30 = R$ 260,00 DPL nº C: DB = (8.000 x 0,03 x 82) / 30 = R$ 656,00 Total R$ 976,00 Total R$ 976,00 Total R$ 976,00 Total R$ 976,00 Valor Líquido Recebido: R$ 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 55 55 55 55 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos 7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos 7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos 7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos EXEMPLO Nº 29: EXEMPLO Nº 29: EXEMPLO Nº 29: EXEMPLO Nº 29: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 28, e utilizando-se do conceito do prazo médio, achar o valor líquido. Solução 1: PM = (2.000 x 30) + (4.000 x 65) + (8.000 x 82) 2.000 + 4.000 + 8.000 PM = 60.000 + 260.000 + 656.000 2000 + 4.000 + 8.000 PM = 976.000 14.000 PM = 69,714286 dias.. PM = 69,714286 dias.. PM = 69,714286 dias.. PM = 69,714286 dias.. Assim temos: DB = (14.000 x 0,03 x 69,714286...) / 30 DB = R$ 976,00 DB = R$ 976,00 DB = R$ 976,00 DB = R$ 976,00 VL = 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00 R$ 13.024,00 R$ 13.024,00 R$ 13.024,00 Pm = ( VN Pm = ( VN Pm = ( VN Pm = ( VN 1 11 1 . n . n . n . n 1 11 1 + VN + VN + VN + VN 2 22 2 . n . n . n . n 2 22 2 + ... + VN + ... + VN + ... + VN + ... + VN n nn n . n . n . n . n n nn n )/ ( VN )/ ( VN )/ ( VN )/ ( VN 1 11 1 + VN + VN + VN + VN 2 22 2 + ... + VN + ... + VN + ... + VN + ... + VN n n n n ) )) ) Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C [f] ¿ 30 [ENTER] 2.000 [¿+] 65 [ENTER] 4.000 [¿+] 82 [ENTER] 8.000 [¿+] [g] [XW] 69,714286 dias 69,714286 dias 69,714286 dias 69,714286 dias 0,03 [x] 14.000 [x] 30 [:] R$ 976,00 R$ 976,00 R$ 976,00 R$ 976,00 [CHS] 14.000 [+] R$ 13.024,00 R$ 13.024,00 R$ 13.024,00 R$ 13.024,00 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 56 56 56 56 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 7.4 Descont 7.4 Descont 7.4 Descont 7.4 Desconto composto o composto o composto o composto O Desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro. e Onde: DC = Desconto composto. EXEMPLO Nº 30: EXEMPLO Nº 30: EXEMPLO Nº 30: EXEMPLO Nº 30: Uma duplicata no valor de R$ 18.000,00, 120 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido. Dados: FV= R$ 18.000,00 n = 120 dias (4 meses) i = 2,5% ao mês PV = ? DC = ? PV = FV (1 – i) n Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 PV = 18.000 (1 – 0,025) 4 PV = 18.000 (0,975) 4 PV = 18.000 x 0,903688 PV = R$ 16.266,38 PV = R$ 16.266,38 PV = R$ 16.266,38 PV = R$ 16.266,38 DC = 18.000 – 16.266,38 DC = R$ 1.733,62 DC = R$ 1.733,62 DC = R$ 1.733,62 DC = R$ 1.733,62 Solução 1: HP Solução 1: HP Solução 1: HP Solução 1: HP- -- -12C 12C 12C 12C 18.000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,025 [-] 4 [y x ] [x] R$ 16.266,38 R$ 16.266,38 R$ 16.266,38 R$ 16.266,38 [CHS] 18.000 [+] R$ 1.733,62 R$ 1.733,62 R$ 1.733,62 R$ 1.733,62 DC = FV -PV Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 57 57 57 57 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 7.4.1 Relação em taxas de desco 7.4.1 Relação em taxas de desco 7.4.1 Relação em taxas de desco 7.4.1 Relação em taxas de desconto simples e composto nto simples e composto nto simples e composto nto simples e composto EXEMPLO Nº 31: Efetuar o desconto de uma duplicata de R$ 100,00 na taxa de desconto fixa de 5% ao mês e calcular a taxa real simples e composta. Prazo em dias Prazo em dias Prazo em dias Prazo em dias Prazo em meses Prazo em meses Prazo em meses Prazo em meses Desconto Desconto Desconto Desconto 30 30 30 30 60 60 60 60 90 90 90 90 120 120 120 120 180 180 180 180 10 10 10 10 12 12 12 12 15 15 15 15 19 19 19 19 20 20 20 20 Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100 Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0 Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal simples simples simples simples 5,26 5,26 5,26 5,26 5,56 5,56 5,56 5,56 5,88 5,88 5,88 5,88 6,25 6,25 6,25 6,25 7,14 7,14 7,14 7,14 10,0 10,0 10,0 10,0 12,5 12,5 12,5 12,5 20,0 20,0 20,0 20,0 100,0 100,0 100,0 100,0 0 00 0 Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal composta composta composta composta 5,26 5,26 5,26 5,26 5,41 5,41 5,41 5,41 5,57 5,57 5,57 5,57 5,74 5,74 5,74 5,74 6,12 6,12 6,12 6,12 7,18 7,18 7,18 7,18 7,93 7,93 7,93 7,93 9,68 9,68 9,68 9,68 17,1 17,1 17,1 17,1 0 00 0 ( ) 100 x QQ QT x liquido desconto s TaxaSimple ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | = 100 1 1 x líquido desconto ta TaxaCompos QT QQ ( ( ( ¸ ( ¸ − | | . | \ | + = Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 58 58 58 58 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 7.5 Exercícios sobre desconto 7.5 Exercícios sobre desconto 7.5 Exercícios sobre desconto 7.5 Exercícios sobre desconto 1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa 2,5% ao mês? Resposta: R$ 150,00 Resposta: R$ 150,00 Resposta: R$ 150,00 Resposta: R$ 150,00 2. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? Resposta: 3% ao mês. Resposta: 3% ao mês. Resposta: 3% ao mês. Resposta: 3% ao mês. 3. Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicas descontas a 5% ao mês conforme o borderô a seguir: A 5.000 15 dias B 3.500 35 dias C 1.500 65 dias Resposta: R$ 9.508,33 Resposta: R$ 9.508,33 Resposta: R$ 9.508,33 Resposta: R$ 9.508,33 4. Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente: Resposta: R$ 64.330,00 Resposta: R$ 64.330,00 Resposta: R$ 64.330,00 Resposta: R$ 64.330,00 5. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00 que sofreu um desconto de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano. Resposta: 63 dias Resposta: 63 dias Resposta: 63 dias Resposta: 63 dias 6. Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de Depósito Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% ao mês. Resposta: R$ 21.944,57 Resposta: R$ 21.944,57 Resposta: R$ 21.944,57 Resposta: R$ 21.944,57 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 59 59 59 59 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 8 88 8 Séries uniformes de pagamentos Séries uniformes de pagamentos Séries uniformes de pagamentos Séries uniformes de pagamentos Ate agora, estudamos situações envolvendo apenas dois pagamentos, ou seja, valor futuro (FV) e valor presente (PV). Neste capítulo, estudaremos operações envolvendo pagamentos periódicos. A série de pagamentos uniforme pode ser de dois tipos; POSTECIPADA e ANTECIPADA: 8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” 8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” 8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” 8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” Onde: PMT = prestação ou pagamentos. EXEMPLO Nº 32: EXEMPLO Nº 32: EXEMPLO Nº 32: EXEMPLO Nº 32: Determinaremos o valor de um financiamento a ser quitado através de quatro pagamentos mensais de R$ 5.000,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 5,5 a.m. a taxa contratual. Dados: PV = ? n = 4 meses i = 5,5% ao mês. PMT = R$ 5.000,00 PV = PMT PV = PMT PV = PMT PV = PMT ( ) ( ) . 1 1 1 + − + ¸ ( ¸ ( i i i n n Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 PV = 5.000 ( , ) ( , ) . , 1 0 055 1 1 0 055 0 55 4 4 + − + ¸ ( ¸ ( PV = 5.000 ( , ) ( , ) . , 1 055 1 1055 0 055 4 4 − ¸ ( ¸ ( PV = 5.000 1238825 1 1 238825 0 055 , ... , ... , − ¸ ( ¸ ( x PV = 5.000 0 238825 0 068135 , ... , ... ¸ ( ¸ ( PV = 5.000 [ ] 3 505150 , ... PV = R$ 17.525,75 PV = R$ 17.525,75 PV = R$ 17.525,75 PV = R$ 17.525,75 Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP Solução 3: HP- -- - 12C 12C 12C 12C [f] FIN 5000 [CHS] PMT 4 [n] 5,5 [i] PV R$ 17.525,75 R$ 17.525,75 R$ 17.525,75 R$ 17.525,75 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12 12 12 12C CC C 5.000 [ENTER] 1,055 [ENTER] 4 [y x ] 1 [-] 1,055 [ENTER] 4 [y x ] 0,055 [x] [:] [x] R$ 17.525,75 R$ 17.525,75 R$ 17.525,75 R$ 17.525,75 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 60 60 60 60 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada” 8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada” 8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada” 8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada” EXEMPLO Nº 33: EXEMPLO Nº 33: EXEMPLO Nº 33: EXEMPLO Nº 33: Um eletrodoméstico é vendido a vista por R$ 1.200,00. Qual deve ser o valor da prestação na venda em três prestações mensais iguais e sem entrada, se o custo financeiro do lojista é de 4% ao mês? Dados: PV = R$ 1.200,00 i = 4% ao mês n = 3 meses PMT = ? 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento “postecipada” “postecipada” “postecipada” “postecipada” EXEMPLO Nº 34: EXEMPLO Nº 34: EXEMPLO Nº 34: EXEMPLO Nº 34: Com base nos dados do exemplo 32, achar o prazo da operação. Dados: PV = R$ 17.525,75 PMT = R$ 5.000 i = 5,5% ao mês PMT = PV PMT = PV PMT = PV PMT = PV ( ) . ( ) 1 1 1 + + − ¸ ( ¸ ( i i i n n Solução Solução Solução Solução 1 11 1 PMT = 1.200 ( , ) . , ( , ) 1 0 04 0 04 1 0 04 1 3 3 + + − ¸ ( ¸ ( = R$ 432,42 R$ 432,42 R$ 432,42 R$ 432,42 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C [f] FIN 1.200 [PV] 3 [n] 4 [i] PMT R$ 432,42 R$ 432,42 R$ 432,42 R$ 432,42 n nn n = = = = LN PV PMT i LN i [ ( / ). ] ( ) 1 1 − + Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 n nn n = = = = - -- - LN LN [ ( . , / . ). , ] ( , ) 1 17 525 75 5000 0 055 1 0 055 − + n nn n = = = = - -- - LN LN ( , ) ( , ) 0 80721675 1055 = 4 meses 4 meses 4 meses 4 meses Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C [f] FIN 17.525,75 [PV] 5.000 [CHS] [PMT] 5,5 [i] n 4 meses Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 61 61 61 61 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme “postecipada” “postecipada” “postecipada” “postecipada” Para o cálculo da taxa de juros, aconselha-se usar somente a HP 12C, tendo em vista que o cálculo algébrico é muito complexo. EXEMP EXEMP EXEMP EXEMPLO Nº 35: LO Nº 35: LO Nº 35: LO Nº 35: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 33, achar a taxa de juros. Dados: PV = R$ 1.200,00 n = 3 meses PMT = R$ 432,42 i = ? 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados” 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados” 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados” 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados” Esta é uma metodologia aplicada em situações de financiamento com prestações ou pagamentos iguais e com entrada. 8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados 8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados 8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados 8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados Na HP 12C, o procedimento é semelhante ao efetuado nas séries de pagamentos postecipados, porém, a calculadora deve conte a expressão BEGIN no seu visor, para tanto, basta pressionar a seqüência teclas [g] [BEG] 8.5.1.1 Fórmula do valor presente 8.5.1.1 Fórmula do valor presente 8.5.1.1 Fórmula do valor presente 8.5.1.1 Fórmula do valor presente 8.5.1.2 Fórmula da prestação 8.5.1.2 Fórmula da prestação 8.5.1.2 Fórmula da prestação 8.5.1.2 Fórmula da prestação Solução 1: (HP 12C) Solução 1: (HP 12C) Solução 1: (HP 12C) Solução 1: (HP 12C) [f] FIN 1.200 [PV] 432,42 [CHS] [PMT] 3 [n] i 4% ao mês. 4% ao mês. 4% ao mês. 4% ao mês. PV = PMT PV = PMT PV = PMT PV = PMT 1 1 1 − + ¸ ( ¸ ( + − ( ) ( ) i i x i n PMT = PV PMT = PV PMT = PV PMT = PV ( ) . ( ) 1 1 1 1 + + − ¸ ( ¸ ( − i i i n n Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 62 62 62 62 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 8.6 Valor futuro de uma série uniforme 8.6 Valor futuro de uma série uniforme 8.6 Valor futuro de uma série uniforme 8.6 Valor futuro de uma série uniforme EXEMPLO Nº 36: EXEMPLO Nº 36: EXEMPLO Nº 36: EXEMPLO Nº 36: Qual é o montante que um poupador acumula em 12 meses, se ele aplicar R$ 1.500,00, à taxa de 4,5% ao mês, no final de cada mês? Dados: PMT = R$ 1.500,00 i = 4,5% ao mês. n = 12 meses FV = ? 8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos 8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos 8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos 8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos 1. Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00, durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. (série postecipada). Resposta: R$ 5.525,63 Resposta: R$ 5.525,63 Resposta: R$ 5.525,63 Resposta: R$ 5.525,63 2. 2. 2. 2. Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Resposta: R$ 53.349,26 Resposta: R$ 53.349,26 Resposta: R$ 53.349,26 Resposta: R$ 53.349,26 3. 3. 3. 3. Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é R$ 1.000,00 e que o prazo é de quatro meses. Resposta: R$ 265,82 Resposta: R$ 265,82 Resposta: R$ 265,82 Resposta: R$ 265,82 FV = PMT FV = PMT FV = PMT FV = PMT ( ) 1 1 + − ¸ ( ¸ ( i i n Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: FV = 1.500 ( , ) , 1 0 045 1 0 045 12 + − ¸ ( ¸ ( FV = 1.500 0 695881 0 045 , , ¸ ( ¸ ( FV = 1.500 [ ] 15 464032 , FV = R$ 23.196,05 FV = R$ 23.196,05 FV = R$ 23.196,05 FV = R$ 23.196,05 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C [f] FIN 1.500 [CHS] [PMT] 4,5 [i] 12 [n] [FV] R$ 23.196,05 R$ 23.196,05 R$ 23.196,05 R$ 23.196,05 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 63 63 63 63 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 4. Um automóvel custa a vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações. Resposta: R$ 453,07 Resposta: R$ 453,07 Resposta: R$ 453,07 Resposta: R$ 453,07 5. Paulo deseja presentear seu filho Marcos com um carro que hoje custa aproximadamente R$ 13.000,00, desde que Marcos consiga aprovação no vestibular, sabemos que a idade de Marcos hoje é de 12 anos, e se tudo correr bem com 18 anos ele estará ingressando na Faculdade. Quanto Paulo deverá economizar por mês, considerando uma previsão de inflação de 7% ao ano. Resposta: R$ 220,30 Resposta: R$ 220,30 Resposta: R$ 220,30 Resposta: R$ 220,30 6. No exercício nº 4, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor da prestação. Resposta: R$ 340,28 Resposta: R$ 340,28 Resposta: R$ 340,28 Resposta: R$ 340,28 7. Uma loja “A” oferece uma televisão por R$ 630,00 em 3 vezes iguais (1 + 2) ou com 5% de desconto para pagamento avista. Na loja “B”, considerando o mesmo preço á vista, a mesma televisão é comercializada em 24 pagamentos iguais de R$ 47,69 sem entrada. Determine a taxa de juros praticados pelas lojas “A” e “B”. Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês. Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês. Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês. Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês. 8. Marcelo paga uma prestação de R$ 375,25 por mês por conta do financiamento de seu apartamento, sabendo-se que a taxa do financiamento é 6,1678% ao ano e que o valor do imóvel foi estimado pelo Agente Financeiro em R$ 50.000,00. Pergunta-se: Em quantos meses foi financiado o apartamento de Marcelo? Resposta: 220 meses. Resposta: 220 meses. Resposta: 220 meses. Resposta: 220 meses. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 64 64 64 64 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 9 99 9. .. . Sistemas de amortização de empréstimos e Sistemas de amortização de empréstimos e Sistemas de amortização de empréstimos e Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos financiamentos financiamentos financiamentos É comum verificarmos no mercado financeiro e nas operações bancárias, dúvidas quanto ao tipo de metodologia empregada no processo de amortização dos empréstimos e financiamentos. Estudaremos os sistemas mais adotados pelo mercado. 9.1 Sistema de amortização constante (sac) 9.1 Sistema de amortização constante (sac) 9.1 Sistema de amortização constante (sac) 9.1 Sistema de amortização constante (sac) Principal característica: o valor da amortização é constante. EXEMPLO Nº 37: EXEMPLO Nº 37: EXEMPLO Nº 37: EXEMPLO Nº 37: Um produto de preço igual a R$ 1.500,00, foi financiado por 5 meses, a taxa de 5% ao mês pelo sistema SAC sistema SAC sistema SAC sistema SAC. Pede-se: Elabore a planilha de financiamento. n nn n Saldo Devedor Saldo Devedor Saldo Devedor Saldo Devedor Amortização Amortização Amortização Amortização Juros Juros Juros Juros Prestação Prestação Prestação Prestação 0 1.500,00 0,00 0,00 0,00 1 1.200,00 300,00 75,00 375,00 2 900,00 300,00 60,00 360,00 3 600,00 300,00 45,00 345,00 4 300,00 300,00 30,00 330,00 5 0,00 300,00 15,00 315,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 225,00 225,00 225,00 225,00 1.725,00 1.725,00 1.725,00 1.725,00 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização Principal característica: prestação constante. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 65 65 65 65 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C EXEMPLO Nº 38: EXEMPLO Nº 38: EXEMPLO Nº 38: EXEMPLO Nº 38: Um produto de preço igual a R$ 1.500,00, foi financiado por 5 meses, a taxa de 5% ao mês pelo Sistema Price Sistema Price Sistema Price Sistema Price. Pede-se: Elabore a planilha de financiamento. n nn n Saldo Devedor Saldo Devedor Saldo Devedor Saldo Devedor Amortização Amortização Amortização Amortização Juros Juros Juros Juros Prestação Prestação Prestação Prestação 0 1.500,00 0,00 0,00 0,00 1 1.228,54 271,46 75,00 346,46 2 943,51 285,03 61,43 346,46 3 644,23 299,28 47,18 346,46 4 329,98 314,25 32,21 346,46 -0,02 329,96 16,50 346,46 1.499,98 1.499,98 1.499,98 1.499,98 232,32 232,32 232,32 232,32 1.732,30 1.732,30 1.732,30 1.732,30 Solução na HP 12C [f] FIN 1.500 1.500 1.500 1.500 [CHS] [PV] 5 55 5 [i] 5 55 5 [n] [PMT] = R$ 346,46 R$ 346,46 R$ 346,46 R$ 346,46 1 [f] AMORT 75,00 75,00 75,00 75,00 [x<>y] 271,46 271,46 271,46 271,46 [RCL] [PV] – –– –1.228,54 1.228,54 1.228,54 1.228,54 1 [f] AMORT 61,43 61,43 61,43 61,43 [x<>y] 285,03 285,03 285,03 285,03 [RCL] [PV] - -- - 943,51 943,51 943,51 943,51 1 [f] AMORT 47,18 47,18 47,18 47,18 [x<>y] 299,28 299,28 299,28 299,28 [RCL] [PV] - -- - 644,23 644,23 644,23 644,23 1 [f] AMORT 32,21 32,21 32,21 32,21 [x<>y] 314,25 314,25 314,25 314,25 [RCL] [PV] - -- - 329,98 329,98 329,98 329,98 1 [f] AMORT 16,50 16,50 16,50 16,50 [x<>y] 329,96 329,96 329,96 329,96 [RCL] [PV] - -- - 0,02 0,02 0,02 0,02 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 66 66 66 66 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 10 10 10 10 Aplicabilidade da matemática financeira Aplicabilidade da matemática financeira Aplicabilidade da matemática financeira Aplicabilidade da matemática financeira 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito bancário (RDB) bancário (RDB) bancário (RDB) bancário (RDB) O CDB e RDB são títulos emitidos por bancos registrados na CETIP (Central de Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos), e utilizados para captação de recursos junto aos investidores. Tais recursos são, posteriormente, repassados aos clientes nas operações de financiamento tradicionais do mercado de crédito. Pela legislação em vigor: 1 – CDB/RDB podem ser pré ou pós-fixados; 2 – CDB/RDB pré-fixados são emitidos com prazo mínimo de 30 dias corridos; os pós- fixados com prazo mínimo de 120 dias corridos; 3 – O CDB é transferível por endosso nominativo e o RDB é intransferível; 4 – CDB/RDB são gravados a alíquota de 20% sobre o rendimento bruto para efeito de imposto de renda retido na fonte por ocasião do resgate. Não incide IOF sobre os rendimentos. EXEMPLO Nº 39: EXEMPLO Nº 39: EXEMPLO Nº 39: EXEMPLO Nº 39: Sr Pedro aplicou $ 25.000,00 em CDB de 33 dias corridos e 22 dias úteis, a taxa de 27% aa (base 360 dias). A alíquota do IR é de 20%, pergunta-se. a) Montante Bruto b) Rendimento Bruto c) Imposto de Renda d) Montante liquido e) taxa efetiva liquida do período f) a taxa over liquida no período Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 67 67 67 67 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C Dados: FV = ? PV = R$ 25.000,00 I = 27% ao ano N = 33 dias corridos B) Rendimento Bruto RB = FV – PV RB = $ 25.553,79 - $ 25.000,00 = $ 553,79 C) Imposto de Renda na Fonte IR = RB x Alíquota IR = $ 553,79 x 20% = $ 110,76 D) Montante Liquido FVL = FV – IR FVL = $ 25.553,79 – 110,76 = $ 25.443,03 E) Taxa Efetiva Liquida no Período Ip = [(25.443,03 / 25.000,00) – 1] x 100 Ip = 1,7721 % a.p. F) Taxa over liquida no período Iover = [( 1 + ip) 1/du - 1] x 3000 Iover = [ 1 + 0,017721) 1/22 - 1] x 3000 Iover = 2,5105% a.m.o. Fvl ip = - 1 x 100 Pv Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- -12C 12C 12C 12C 25000 CHS PV 27 I 33 ENTER 360 ÷ N NN N FV R$ 25.553,79 (A) R$ 25.553,79 (A) R$ 25.553,79 (A) R$ 25.553,79 (A) Resolução pela HP 12C Resolução pela HP 12C Resolução pela HP 12C Resolução pela HP 12C 1 Enter 0,017721 Enter + 1 Enter 22 ÷ Y x 1 – 3000 x Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 68 68 68 68 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios 1. Dona Joana aplicou $ 20.000,00 em um CDB de 33 dias corridos e 18 dias úteis, a taxa de 32% aa. No dia seguinte, ela verificou que a taxa anual do CDB para 30 dias corridos e 19 dias úteis oferecia uma remuneração de 38,04% aa. Muita brava foi ao gerente reclamar que havia perdido 6,04 pontos percentuais de taxa anual. Suponhamos que você seja o gerente deste banco, que resposta você daria a Dona Joana? R.: A taxa será igual para os dois casos 3,39% já descontado o I.R. 2. Dona Sebastiana aplicou $ 300.000,00, num RDB pós-fixado, a taxa de TR + 13,20 aa, para um período de 150 dias. O IR na fonte é de 20 % sobre o rendimento bruto. A variação da TR é de 0,60%. Calcule: a) Montante bruto = R.: $ 317.800,99 b) O rendimento bruto = R.: $17.800,99 c) O imposto de renda = R.: $ 3.560,20 d) Montante liquido = R.: $ 314.240,79 e) Taxa efetiva liquida no período. = R.: 4,75% a.p. 3. Uma empresa no ramo metalúrgico, pretende aplicar sobra de caixa de R$ 5.000.000,00 em um CDB no Banco ZZZ S.A. que paga 17,5% ao ano (base 360 dias), por 30 dias corridos e correspondentes há 21 dias úteis. Suponha que o Banco XXX S.A. pague 17% ao ano (360 dias), 33 dias corridos e correspondentes há 22 dias úteis. A alíquota de Imposto de Renda para os dois casos é de 20%. a) Calcule o Valor Bruto dos dois casos R.: Banco ZZZ $ 5.067.648,61 R.: Banco XXX $ 5.072.480,37 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 69 69 69 69 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C b) Calcule o Imposto de Renda R.: Banco ZZZ $ 13.529,72 R.: Banco XXX $ 14.496,07 c) Taxa efetiva no período R.: Banco ZZZ 1,0823% ap. R.: Banco XXX 1,1597% ap. d) Taxa Over Mensal R.: Banco ZZZ 1,5383% a.m.o. R.: Banco XXX 1,5727% a.m.o. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 70 70 70 70 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C Neste capítulo, estaremos abordando a matemática financeira como ferramenta de análise e toma de decisão. 10.2.Taxa interna de retorno (I 10.2.Taxa interna de retorno (I 10.2.Taxa interna de retorno (I 10.2.Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV) RR) e valor presente líquido (NPV) RR) e valor presente líquido (NPV) RR) e valor presente líquido (NPV) Este caso típico onde a calculadora HP 12C é muito útil, tendo em vista que o calculo da taxa interna de retorno é muito complexo. EXEMPLO Nº 40: EXEMPLO Nº 40: EXEMPLO Nº 40: EXEMPLO Nº 40: Determinar a IRR e NPV dos seguintes fluxos de caixa. n Projeto nº 1 Projeto nº 2 0 R$ (50.000,00) R$ (50.000,00) 1 R$ 5.000,00 R$ 14.000,00 2 R$ 6.000,00 R$ 13.000,00 3 R$ 7.000,00 R$ 12.000,00 4 R$ 8.000,00 R$ 11.000,00 5 R$ 9.000,00 R$ 10.000,00 6 R$ 10.000,00 R$ 9.000,00 7 R$ 11.000,00 R$ 8.000,00 8 R$ 12.000,00 R$ 7.000,00 9 R$ 13.000,00 R$ 6.000,00 10 R$ 14.000,00 R$ 5.000,00 TIR 11,38% a.a. 17,04 a.a. C.OP 15% a.a. 15% a.a. VPL (7.926,68) 3.283,28 Solução na HP 12C (Projeto 2) Solução na HP 12C (Projeto 2) Solução na HP 12C (Projeto 2) Solução na HP 12C (Projeto 2) F FIN F FIN F FIN F FIN 50.000 [CHS] [g] CF 0 14.000 [g] CF j 13.000 [g] CF j 12.000 [g] CF j 11.000 [g] CF j 10.000 [g] CF j 9.000 [g] CF j 8.000 [g] CF j 7.000 [g] CF j 6.000 [g] CF j 5.000 [g] CF j [f] IRR 17,04% a.a. 17,04% a.a. 17,04% a.a. 17,04% a.a. 15 [i] [f] NPV R$ 3.283,28 R$ 3.283,28 R$ 3.283,28 R$ 3.283,28 Solução na HP 12C (Projeto 1) Solução na HP 12C (Projeto 1) Solução na HP 12C (Projeto 1) Solução na HP 12C (Projeto 1) F FIN F FIN F FIN F FIN 50.000 [CHS] [g] CF 0 5.000 [g] CF j 6.000 [g] CF j 7.000 [g] CF j 8.000 [g] CF j 9.000 [g] CF j 10.000 [g] CF j 11.000 [g] CF j 12.000 [g] CF j 13.000 [g] CF j 14.000 [g] CF j [f] IRR 11,38% a.a. 11,38% a.a. 11,38% a.a. 11,38% a.a. 15 [i] [f] NPV R$ R$ R$ R$ - -- -7.926,68 7.926,68 7.926,68 7.926,68 Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 71 71 71 71 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 10.3 Valor da prestação de leasing 10.3 Valor da prestação de leasing 10.3 Valor da prestação de leasing 10.3 Valor da prestação de leasing EXEMPLO Nº 41: EXEMPLO Nº 41: EXEMPLO Nº 41: EXEMPLO Nº 41: Uma empresa contrata uma operação de leasing de 24 meses, à taxa de juros de 2,5% ao mês. Calcule o valor da contraprestação, sabendo-se que o valor do ativo fixo é de R$ 50.000,00 e que o valor residual garantido final é de 1%. Obs.: Obs.: Obs.: Obs.: Se financiarmos o valor de R$ 276,44 com a mesma taxa e prazo, encontraremos o valor de R$ 15,46. Neste caso, basta adicionar ao valor da contraprestação sem valor residual (R$ 15,46 + R$ 2.780,18 = R$ 2.795,64), para encontrar o valor da contraprestação com valor residual incluso. PMT PMT PMT PMT L LL L = = = = PV PV ir i n − + ¸ ( ¸ ( . ( ) 1 . . . . ( ) . ( ) 1 1 1 + + − ¸ ( ¸ ( i i i n n Solução 1 Solução 1 Solução 1 Solução 1 PMT PMT PMT PMT L LL L = = = = 50 000 50 000 0 01 1 0 025 24 . . , ( , ) − + ¸ ( ¸ ( x . . . . ( , ) . , ( , ) 1 0 025 0 025 1 0 025 1 24 24 + + − ¸ ( ¸ ( PMT PMT PMT PMT L LL L = = = = [ ] 50000 276 44 . , − . . . . 0 045218 0 808726 , , ¸ ( ¸ ( PMT PMT PMT PMT L LL L = = = = [ ] 49 72356 . , . . . . [ ] 0 055913 , = R$ 2.780,18 R$ 2.780,18 R$ 2.780,18 R$ 2.780,18 Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP Solução 2: HP- -- - 2C 2C 2C 2C F FIN F FIN F FIN F FIN 50.000 [CHS] [PV] [ENTER] 1 [%] [CHS] [FV] 2,5 [i] 24 [n] [PMT] R$ 2.780,18 (contraprestação R$ 2.780,18 (contraprestação R$ 2.780,18 (contraprestação R$ 2.780,18 (contraprestação sem valor residual) sem valor residual) sem valor residual) sem valor residual) 0 [FV] [PMT] R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual) R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual) R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual) R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual) Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 72 72 72 72 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 10.4 Formação do preç 10.4 Formação do preç 10.4 Formação do preç 10.4 Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual o de venda pelo conceito do valor atual o de venda pelo conceito do valor atual o de venda pelo conceito do valor atual EXEMPLO Nº 42: EXEMPLO Nº 42: EXEMPLO Nº 42: EXEMPLO Nº 42: Calcular o preço de venda de um produto, considerando os seguintes dados: Custo Direto R$ 200,00 ICMS 18% IPI 10% PIS 0,65% Cofins 3% Margem de Contribuição 40% Preço de Venda (PRV) = Preço de Venda (PRV) = Preço de Venda (PRV) = Preço de Venda (PRV) = )] % 1 % ( 1 ).[ 1 ( ipi impostos mc o CustoDiret + − − Solução 1: Solução 1: Solução 1: Solução 1: ( ¸ ( ¸ | . | \ | + + + + − − = 10 , 0 1 03 , 0 0065 , 0 10 , 0 18 , 0 1 ) 04 , 0 1 ( 00 , 200 x PRV ( ¸ ( ¸ | . | \ | − = 10 , 1 3165 , 0 1 ) 6 , 0 ( 00 , 200 x PRV ( ¸ ( ¸ | . | \ | − = 10 , 1 3165 , 0 1 ) 6 , 0 ( 00 , 200 x PRV ( ) [ ] 287727 , 0 1 ) 6 , 0 ( 00 , 200 − = x PRV [ ] = = = 427364 , 0 200 712273 , 0 ) 6 , 0 ( 00 , 200 x PRV R$ 467,99 R$ 467,99 R$ 467,99 R$ 467,99 Referências e Citações Finais: Referências e Citações Finais: Referências e Citações Finais: Referências e Citações Finais: Alguns exercícios desta apostila foram extraídos ou adaptados das seguintes obras. - Matemática Financeira para usuários do Excel, Professor Carlos Shinoda, 2ª edição, editora Atlas. - Matemática Financeira, Professor José Dutra Vieira Sobrinho, 5º edição, Editora Atlas. Senac Senac Senac Senac S SS São Paulo ão Paulo ão Paulo ão Paulo 73 73 73 73 Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C 11. 11. 11. 11. Re Re Re Referências Bibliográficas ferências Bibliográficas ferências Bibliográficas ferências Bibliográficas ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações Matemática Financeira e suas aplicações Matemática Financeira e suas aplicações Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 1992. EWALD, Luiz Carlos. Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas, 1999. HAZZAN,Samuel,POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira Matemática financeira Matemática financeira Matemática financeira. 4ª edição.São Paulo: Editora Atual, 1993. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira objetiva e aplicada Matemática Financeira objetiva e aplicada Matemática Financeira objetiva e aplicada Matemática Financeira objetiva e aplicada, 6ª edição: Saraiva, 1999. SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuário do Excel Matemática Financeira para usuário do Excel Matemática Financeira para usuário do Excel Matemática Financeira para usuário do Excel, São Paulo: Atlas, 1998. VIEIRA SOBRINO, José Dutra. Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira Matemática Financeira. 5ª edição. São Paulo: Atlas, 1996. VIEIRA SOBRINO, José Dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP Manual de Aplicações Financeiras HP Manual de Aplicações Financeiras HP Manual de Aplicações Financeiras HP- -- -12C 12C 12C 12C. 1ª edição. São Paulo: Atlas, 1985. Matemática Financeira com HP 12C SUMÁRIO 1. Operações matemáticas básicas.......................................................................................................... 3 1.1 Potência...................................................................................................................................................3 1.2 Regra de três ..........................................................................................................................................3 1.3 Porcentagem ..........................................................................................................................................4 2. Funções básicas da HP-12C................................................................................................................... 6 2.1 Tecla [ON] ...............................................................................................................................................6 2.2 Tecla [ . ] ..................................................................................................................................................6 2.3 Testes de funcionamento.....................................................................................................................7 2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) ......................................................................................7 2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])......................................................................................8 2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) .....................................................................................8 2.4 Teclado ....................................................................................................................................................9 2.4.1 A tecla [f] .........................................................................................................................................9 2.4.2 Tecla [g].........................................................................................................................................10 2.4.3 Teclado branco ............................................................................................................................10 2.5 Limpeza de registro .............................................................................................................................10 2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-]) ............................................................................11 2.5.2 Limpeza do visor ..........................................................................................................................11 2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”)...................................................................11 2.5.4 Limpeza de program....................................................................................................................12 2.5.5 Limpeza dos registros financeiros ...........................................................................................12 2.5.6 Limpeza de todos os registros ..................................................................................................12 2.6 Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNAL.....................................................................................................13 2.7 Tecla [STO] ou (STORE)......................................................................................................................13 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL).....................................................................................................................13 X 2.9 Tecla [Y ]................................................................................................................................................14 2.9.1 Potenciação..................................................................................................................................14 2.9.2 Radiciação ....................................................................................................................................14 2.10 Tecla [1/x]............................................................................................................................................14 2.11 Tecla [%T] e [x><y]............................................................................................................................15 2.12 Tecla [∆%]...........................................................................................................................................16 ∆ 2.13 Tecla [%]..............................................................................................................................................17 2.14 Cálculo em cadeia .............................................................................................................................17 3. Fundamentos da matemática financeira ........................................................................................... 18 3.1 Conceitos básicos ...............................................................................................................................18 3.2 Definições e terminologias básicas.................................................................................................18 3.3 Diagrama de fluxo de caixa ...............................................................................................................20 3.4 Apresentação das taxas ....................................................................................................................20 3.5 Regimes de capitalização ..................................................................................................................20 4. Juros simples .......................................................................................................................................... 22 4.1 Operações de juros simples ..............................................................................................................22 4.2 Juros exato e juros comercial ..........................................................................................................27 4.3 Exercícios sobre juros simples .........................................................................................................28 4.4 Exercícios de reforços........................................................................................................................30 Senac São Paulo Matemática Financeira com HP 12C 5. Juros compostos .................................................................................................................................... 34 5.1 Conceitos de juros compostos..........................................................................................................34 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M)....................................................................................................35 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos ...................................................................35 5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]..................................................................................36 5.5 Valor presente (PV) ou capital (C) ....................................................................................................37 5.6 Prazo (n).................................................................................................................................................38 5.7 Função [FRAC] e [INTG]......................................................................................................................39 5.8 Taxas equivalentes a juros compostos ...........................................................................................40 5.9 Exercícios sobre juros compostos ...................................................................................................41 5.10 Exercícios de reforços......................................................................................................................41 6. Operações com taxas de juros............................................................................................................ 45 6.1 Taxas equivalentes:.............................................................................................................................45 6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C .......................................................................46 6.2 Taxa over equivalente: .......................................................................................................................47 6.3 Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis)...........................................................................48 6.4 Taxa média de juros ............................................................................................................................49 6.5 Taxa real de juros ................................................................................................................................49 6.6 Exercícios sobre taxas juros .............................................................................................................50 7. Descontos................................................................................................................................................ 52 7.1 Desconto racional simples ou “por dentro”...................................................................................52 7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”...........................................................................52 7.3 Operações com um conjunto de títulos: .........................................................................................54 7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos...................................................................................55 7.4 Desconto composto ............................................................................................................................56 7.4.1 Relação em taxas de desconto simples e composto ...........................................................57 7.5 Exercícios sobre desconto ................................................................................................................58 8. Séries uniformes de pagamentos ....................................................................................................... 59 8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” ......................................................59 8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada”..........................................................................60 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento “postecipada”......................60 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme “postecipada”....................................61 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados”.............................................................................61 8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados................................................................61 8.5.1.1 Fórmula do valor presente ......................................................................................................61 8.5.1.2 Fórmula da prestação..............................................................................................................61 8.6 Valor futuro de uma série uniforme .................................................................................................62 8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos ....................................................................62 9. Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos....................................................... 64 9.1 Sistema de amortização constante (sac) .......................................................................................64 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização ...................................................................................64 10. Aplicabilidade da matemática financeira ......................................................................................... 66 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito bancário (RDB) .......................66 10.2 Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV) ..................................................70 10.3 Valor da prestação de leasing ........................................................................................................71 10.4 Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual......................................................72 11. Referências Bibliográficas................................................................................................................... 73 Senac São Paulo determinar a variação da outra grandeza.1 Potência a) (-12)2 = 144 b) (2)5 4 = 32 c) (-2) = 16 d) (+5) + (-4)5 – (-100-35) = . 1) Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Pode ser: simples ou composta. : 408 g 2) Oito eletricistas podem fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias 6 eletricistas para fazer o mesmo serviço.Matemática Financeira com HP 12C 1 Operações matemáticas básicas 1.2 Regra de três Regra de três é a operação que nos permite. dadas duas grandezas. Que quantidade de farinha pode obter com 480 kg de trigo? R. R. : 4 dias Senac S ão Paulo 3 .884 e) (150)/(-2) + [2*(40-20)2] = 725 1. direta ou inversamente proporcionais e variando-se o valor delas. 3 Porcentagem 1) Uma multa de $ 800.554.000.00 reais sobre um valor de $ 8. Manoel tem aplicado na poupança $ 4.Matemática Financeira com HP 12C 3) Se 15m de certo tecido custam $ 90. imprimindo velocidade de 200km/h faz o percurso em 18segundos. Qual será o novo saldo da poupança do sr Manoel? R. um competidor.2%. Se colocarmos um peso de 15kg na extremidade dessa mola. qual o tempo que ele teria gastado no percurso? R.: 10% 2) O Sr.: 15 segundos 1.00 4) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo de massa de 10kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42cm. Qual a taxa percentual de aprovados? R. qual será o comprimento da mola? R.00 reais corresponde a quantos % sobre o valor? R.: $ 4. 28 foram aprovados.: 8% Senac S ão Paulo 4 . e no mês de janeiro vai ter um rendimento de 1.00 3) Dos 350 candidatos que prestaram um concurso.: 63 cm 5) Ao participar de um treino de formula 1 para disputa da pole position.500.: $ 192.00.00 quanto custarão 32m deste tecido? R. Se sua velocidade fosse 240km/h. : 738 5) Um prejuízo de 40 mil reais sobre o valor 200 mil representa % de prejuízo? R.: 20% 6) O preço de um aparelho de som é de R$ 150.26% d) 85.33% 8) Transforme os números decimais em porcentagem: a) 0.01 b) 0.065 d) 0.00 b) Qual o preço a vista desse aparelho de som? R.1765 Senac S ão Paulo 5 .125 e) 0.: $ 45.055 c) 0.00.25% e) 75.: $ 105.1565 f) 0. Para pagamentos a vista é feito um desconto de 30%.2% b) 100.29% f) 555. Nessas condições: a) Qual a quantia que corresponde ao desconto? R. Foram entrevistadas 1640 residências e verificou-se 45% dessas residências tinham a sua televisão ligada no canal A. quantas residências estavam com a televisão ligada nesse canal? R.00 7) Transforme estas porcentagens em decimais. a saber: a) 25.Matemática Financeira com HP 12C 4) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audiência de televisão do horário nobre (20h ás 22h).25% c) 101. porém.425. ] Esta tecla permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda. 2. 2.425. b) pressione a tecla [.56 (padrão brasileiro) 1. Vamos considerar o seguinte exemplo: dólar R$ US$ 1. os conceitos básicos relevantes ao desenvolvimento da matemática financeira com a utilização deste equipamento. Senac S ão Paulo 6 .] e segure.Matemática Financeira com HP 12C 2 Funções básicas da HP -12C da HP- Neste capítulo serão abordadas as principais funções da calculadora HP-12C. se a calculadora permanecer ligada sem uso. c) pressione a tecla [ON] e solte. será desligada automaticamente entre sete e oito minutos aproximadamente.2 Tecla [ . Se a calculadora estiver no padrão brasileiro passara para o padrão do dólar e viceversa.56 (padrão dólar) Esta conversão pode ser efetuada da seguinte forma: a) mantenha a calculadora desligada. ou seja. o brasileiro e padrão dólar.1 Tecla [ON] Tem a função de ligar e desligar a calculadora. 3. significando que a calculadora está executando o TESTE Nº 1. E em alguns segundos aparecerá no visor o seguinte: Se aparecer a mensagem “ERRO 9” significa que a calculadora precisa de reparos. Senac S ão Paulo 7 . 2) pressione a tecla [ON] e segure. 4) solte a tecla [ON]. uma espécie de controle de qualidade. mas se o resultado for exatamente aquele obtido no TESTE Nº 1. a calculadora estará pronta para o uso.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) Procedimentos: 1) mantenha calculadora desligada.Matemática Financeira com HP 12C 2.3 Testes de funcionamento A calculadora HP-12C possui três testes de verificação quanto ao seu funcionamento. 5) solte a tecla [x]. que permite ao usuário uma maior confiabilidade do produto. Logo. Ao final do procedimento aparecerá no visor a palavra “running” piscando. 3) pressione a tecla [x] e segure. 2. exceto a tecla [ON]. portanto. logo após aparecerá o seguinte: Se você pressionar a tecla [ON] o teste será interrompido. 3) pressione a tecla [+] e segure. que é indeterminado. 2) pressione a tecla [ON] e segure. 4) solte a tecla [ON]. 2. 2) pressione a tecla [ON] e segure. 5) solte a tecla [+].Matemática Financeira com HP 12C 2. para completar o teste é necessário cumprir o procedimento nº “6”.3. 5) solte a tecla [:].3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada. Senac S ão Paulo 8 . 4) solte a tecla [ON]. 6) pressione e solte qualquer tecla.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada. Na verdade o TESTE Nº 2 é muito semelhante ao TESTE Nº 1. diverge na duração de execução. 3) pressione a tecla [:] e segure. de cima para baixo. será apresentado à quantidade casas decimais a ser mostrada no visor. bem como na linha quatro. aparecerá no visor o nº “12”. 2.1 A tecla [f] A tecla [f] (amarelo) possui duas funções básicas: 1ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] poderemos acessar todas as funções em amarelo da calculadora. 2. Senac S ão Paulo 9 . assim como nos testes anteriores.4. se devem pressionar todas as teclas inclusive a tecla [ON] e a tecla [enter] será pressionada duas vezes. 2ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] seguida de um número. Após o procedimento concluído.4 Teclado O teclado da calculadora HP-12C é multiuso. a calculadora estará pronta para o uso. uma mesma tecla poderá ser utilizada de três maneiras. Mas se procedimento não for realizado corretamente. a 1ª tecla a ser pressionada será a tecla [n] e a última será a tecla [+]. Lembre-se. aparece à expressão “ERRO 9”. Neste caso a calculadora necessita de conserto. tanto na linha três. ou seja.Matemática Financeira com HP 12C 6) Pressione todas as teclas da esquerda para direita. ou seja. 428571435 2.43 2.3 Teclado branco Todas as teclas possuem em sua superfície informações em branco. 2.4.428571435 e siga os procedimentos: Procedimento (teclas) [f] e [9] [f] e [8] [f] e [7] [f] e [6] [f] e [5] [f] e [4] [f] e [3] [f] e [2] [f] e [1] [f] e [0] [f] e [9] Visor 2.Matemática Financeira com HP 12C Veja o exemplo: Digite o número 2.4286 2. como vimos para funções em amarelo e azul. 2.42857144 2.428571435 2.4 2.4.4285714 2. que são armazenadas no teclado ou memórias da calculadora. não necessita de função auxiliar.5 Limpeza de registro Apresentaremos as principais formas de executar a limpeza dos registros ou informações. Senac S ão Paulo 10 . na verdade tudo o que é mostrado em branco nas teclas.42857 2. 2.2 Tecla [g] Através da tecla ou prefixo [g] é possível acessar todas as funções em AZUL.428571 2.429 2. 2. [2].1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-]) Procedimento: 1) mantenha a calculadora desligada. 4) solte a tecla [ON]. estaremos limpando os registros armazenados nas teclas [1]. [3]. Após a execução desta seqüência de procedimentos. [5] e [6]. 2) pressione a tecla [ON] e segure. 5) solte a tecla [-].5.5.2 Limpeza do visor A utilização desta função é muito simples. Portanto. deve aparecer a expressão “PR ERROR” indicado que todos os dados armazenados nos registros inclusive os programas foram apagados. 2.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”) Com a seqüência de teclas [f] [ ] estaremos processando a limpeza dos registros estatísticos. ou seja. basta pressionar a tecla [CLx] e o visor será limpo. Senac S ão Paulo 11 . 3) pressione a tecla [-] e segure.5. é preciso tomar muito cuidado ao executar este procedimento. [4].Matemática Financeira com HP 12C [2. 6 Limpeza de todos os registros Com seqüência de teclas [f] [REG] é possível apagar todos os registros.Matemática Financeira com HP 12C 2. [PV] Present Value ou Valor Presente. ou seja. ou seja.5. e “.9 ” e os registros financeiros. 2) pressionar [f] [PRGM] para limpar o programa. devido a grande dificuldade de elaboração de um programa. [FV] Future Value ou Valor Futuro. de “ 0 ” a “ 9 ”. ficando apenas os programas sem serem apagados. 2. um programa não pode ser destruído sem a menor proteção.5 Limpeza dos registros financeiros Registros Financeiros: a) b) c) d) e) [n] prazo.5. [PMT] Periodic Payment ou Prestação. Senac S ão Paulo 12 .5.0 ” a “. Este procedimento se faz necessário.4 Limpeza de program Procedimento: 1) pressionar [f] [P/R] para entrar no modo de programação. 3) pressionar [f] [P/R] ou [ON] para sair do modo de programação. A limpeza dos registros é feita através da seqüência de teclas [f] [FIN]. 2. [ i ] taxa. trocar o sinal negativo para o positivo e vice-versa.9” = 10. “0” a “9” = 10 e “. Procedimento: 1) digitar [RCL]. Como fazer? Procedimento: 1) digite o número 145.7 Tecla [STO] ou (STORE) Esta serve para guardamos valores nas memórias. Vamos verificar sua aplicação com base nos dados do item 1. A HP possui 20 memórias diretas.7. ou seja. 2. 2) digite [STO]. Considerar que o numero 145 deseja ser guardado na memória. e que decidimos guardar na memória “5”. 3) digite [5].Matemática Financeira com HP 12C 2.6 Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNAL Esta tecla serve basicamente para trocar o sinal de um número. 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL) Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Senac S ão Paulo 13 . 2) digitar [5].0” a “. 224674.033564..045 [ENTER] 270 [ENTER] 360 [:] [yx] 1.6 360 30 [ENTER] [ENTER] [:] [yx] 27 [ENTER] 3 [ENTER] 5 [:] [yx] 7.125 [1/x] b) 1. 2. c) 1.05 [ENTER] 6 [yx] 1.1 Potenciação a) 23 2 3 8 [ENTER] [yx] b) 1...Matemática Financeira com HP 12C X 2.. 2.340096. a) 1/8 8 0. 1.05 [ENTER] x 12 [1/x] [y ] 1.0004074 1 Senac S ão Paulo 14 ..9 Tecla [Y ] Esta tecla pode ser utilizada tanto pra efetuarmos operações de potenciação e como de radiciação.474977.9.6 [ENTER] 360 [ENTER] 30 [:] [yx] 281.9.10 Tecla [1/x] Esta tecla é normalmente utilizada para demonstrar o inverso de um número.2 Radiciação a) 9 1 2 3 9 =92 1 b) 5 27 3 = 27 3 5 c) 30 (1 + 0.. 2.6) 360 = 1...05 12 1.05 6 1.045 270/360 1. 03% 32. a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais: • • • • • Moradia Educação Combustível Alimentação Lazer Total R$ 450.11 Tecla [%T] e [x><y] A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total.26% 9.68% 12. Solução: 1.00 R$ 500.550 [ENTER] 450 [x><y] 500 [x><y] 150 [x><y] 200 [x><y] 250 [%T] [%T] [%T] [%T] [%T] 29.00 R$ 150.90% 16.550.00 R$ 250.13% 100.00% Senac S ão Paulo 15 . e a tecla [x><y] recupera o valor base de cálculo.00 Determinar quanto representa percentualmente cada valor em relação ao total dos gastos.00 R$ 1.00 R$ 200.Matemática Financeira com HP 12C 2. Qual foi o percentual de aumento desse produto? Dados: Preço em jan/XX: R$ 132.45% [ENTER] [∆%] [ENTER] [∆%] Senac S ão Paulo 16 .00.75 Preço em fev/XX: R$ 155. a) Considere que um produto possui um preço de R$ 132.71 141.00 -9.71 17.75 155. em fev/XX o preço desse produto passou para R$ 155.Matemática Financeira com HP 12C [∆ 2.75 em jan/XX.71 Solução: 132.30% b) No mês de março/XX o preço do produto passou para R$ 141.71 Preço mar/XX: R$ 141. Qual foi o percentual de desconto? Dados: Preço fev/XX: R$ 155.12 Tecla [∆%] Esta tecla nos ajuda a calculamos a diferença percentual entre dois números.71.00 Solução 155. 60 1. Senac S ão Paulo 17 .37 [STO] 2 408.75 [STO] 1 152.620.41 x 1.5) [RCL] 1 [RCL] 2 [-] [RCL] 3 [x] [RCL] .25 + 156.68 [+] b) subtração 250 – 91.0562 [x] d) divisão 1.30 Observação: as demais funções e teclas da calculadora HP-12C serão demonstradas com aplicações práticas dos conceitos de matemática financeira.68 = 2.5 [:] 474.750.82 – 5.25 [+] 156.00 Solução: 10.450.852. subtração.60 [STO] .13 Tecla [%] Esta tecla serve exclusivamente para o calculo de percentagem.25 : 1.14 Cálculo em cadeia a) soma 25.08 = 1.41 [x] 1.450 5 R$ 522. multiplicação e divisão (memória 1) – (memória 2) x (memória 3) : (memória .60 .25 [ENTER] 1.82 + 1.08 [:] 2.0562 = 408. a) Calcular 5% de R$ 10.81 [-] c) multiplicação 21 x 18.034.82 [ENTER] 1852.34 21 [ENTER] 18.Matemática Financeira com HP 12C 2.37 250 [ENTER] 91.81 = 152.75 25.50 [ENTER] [%] Cálculo 2.620.5 e) adição.82 [-] 5.750.620.34 [STO] 3 1.034. Pompeu A matemática financeira tem como objetivo principal à transformação e manuseio de fluxos de caixa. Pompeu). (prof. Shinoda A matemática financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com tempo nas aplicações e pagamentos de empréstimo (prof. Carlos Shinoda). prof. prof. José Nicolau prof. Abelardo de Lima Puccini Puccini).1 Conceitos básicos A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. ( PV ) VALOR PRESENTE ou PRESENT VALUE. (prof. Samuel Hazzan e Prof. A matemática financeira tem como objetivo principal. estudar o valor do dinheiro em função do tempo. prof.2 Definições e terminologias básicas O valor inicial de uma operação financeira ou capital inicial pode ser expresso por: ( C ) CAPITAL. 3. ( P ) PRINCIPAL. com a aplicação das taxas de juros de cada período. para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo (prof. Anísio Costa Castelo Branco Branco). Define-se como valor presente o volume de recurso financeiro aplicado ou emprestado em uma determinada operação. Senac S ão Paulo 18 .Matemática Financeira com HP 12C 3 Fundamentos da matemática financeira 3. o juro pode ser chamado de despesa financeira. vejamos um exemplo: a) período inteiro: 1 dia. b) de quem recebe: podemos entender como sendo. 5 anos e dois meses. b) período fracionário: 3. que significa juro. JURO ( J ): é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros.8 dias. custo. etc. Podemos também considerar como período inteiro. quando usamos a expressão do tipo: um período de 15 dias. Neste caso. ganho. o período pode ser inteiro ou fracionário. prejuízo. etc. TAXA ( i ): é o coeficiente obtido da relação dos juros ( J ) com o capital ( C ). Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: a) de quem pagar: neste caso. rendimento.5 meses. 1 mês comercial ( 30 dias ). etc. um período de 30 dias. 1 ano comercial ( 360 dias ). também podem ser associadas a este conjunto de definições apresentadas.Matemática Financeira com HP 12C Algumas palavras ou expressões. 15. O valor futuro ou montante se refere ao valor presente acrescido do valor referente ao juro oriundo da operação e pode ser expresso por: ( M ) MONTANTE ( FV ) VALOR FUTURO ou FUTURE VALUE Senac S ão Paulo 19 . como por exemplo: investimento inicial. que pode ser representado em forma percentual ou unitária. receita financeira. etc. A terminologia “ i “ vem do inglês interest. valor aplicado. etc. PRAZO ou TEMPO ou PERÍODOS ( n ): é o tempo necessário que um certo capital ( C ) aplicado a uma taxa ( i ) necessita para produzir um montante ( M ) . etc. Conforme o exemplo: exponencial Senac S ão Paulo 20 . respectivamente. a forma percentual e decimal ou unitária.5% 0.025 0.02 0.5 Regimes de capitalização Pode-se definir como regime de capitalização os métodos pelos quais os capitais são remunerados. (+) entradas tempo (n) (-) saídas 3. Os regimes de capitalização podem ser “SIMPLES” e “COMPOSTO” ou método de capitalização linear e exponencial. EXEMPLO Nº 1: Faça a transformação das seguintes taxas: Taxa percentual 25% 5% 1. dentro de um período de tempo.4 Apresentação das taxas As taxas podem ser apresentadas de duas formas.5% Taxas decimal ou Unitária - 0. veja um exemplo.3 Diagrama de fluxo de caixa Definimos fluxo de caixa como a movimentação de recursos monetários (entradas e saídas de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial.0018 15 3.Matemática Financeira com HP 12C 3. 00 R$ 1.331.00 aplicado a uma taxa de 10% a.00 R$ 1.00 C .200.00 + R$ 121.000.00 Capital Aplicado Juros de cada período R$ 1. i = R$ 100.00 C .210.00 R$ 1.100.00 R$ 1.000. i = R$ 100.00 x 10% = R$ 121.00 R$ 1.00 x 10% = R$ 100.000.00 R$ 1.000.00 + R$ 100.00 + R$ 100.00 R$ 1.200.000.00 + R$ 100.00 R$ 1.000.00 x 10% = R$ 110.00 C .00 = R$ 1.00 R$ 1.00 + R$ 110.000.00 = R$ 1. i = R$ 110.00 Juros de cada período R$ 1.00 Senac S ão Paulo 21 .00 R$ 1.00 = R$ 1.00 x 10% = R$ 100.00 R$ 1.00 C = R$ 1. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta? Regime de Capitalização Simples n 1 2 3 R$ 1.100.00 R$ 1.100.300.100.000.210.00 = R$ 1.210.100.00 C .00 Valor Acumulado DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES M = R$ 1.m.000.331.00 Valor Acumulado R$ 1.00 + R$ 100. i = R$ 100.00 = R$ 1.00 x 10% = R$ 100.100.00 M2 .00 C = R$ 1.00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA C OMPOSTA M = R$ 1.00 M1 .000.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 2: Seja um capital de R$ 1. i = R$ 100. durante 3 meses.00 R$ 1.000.00 = R$ 1.00 x 10% = R$ 100.000.000.210.300.00 Regime de Capitalização Composta n 1 2 3 Capital Aplicado R$ 1. i = R$ 121. 4. conforme foi demonstrado no item 2. as fórmulas serão divididas em três grupos.3 (regimes de capitalização). No Brasil.75 1250.18 R$ 130.75? Dados: PV = R$ 1. Para melhor facilitar a compreensão. e que gerou um montante de R$ 1. a aplicabilidade dos sistemas de capitalização simples ocorre basicamente nas situações em que os períodos não são inteiros.380. cálculos de juros. capital.250. o sistema de capitalização linear.380. ou seja. taxa e montante.250.380.75 J=? Solução 1: J = 1.57 HPSolução 2: HP -12C 1380.18 J = R$ 130. Nº 1 2 3 1º Grupo de Fórmulas J = FV – PV FV = PV + J PV = FV – J Significado Fórmula de juros Fórmula do montante ou valor futuro Fórmula do capital ou valor presente EXEMPLO Nº 3: Qual o valor dos juros resultante de uma operação onde foi investido um capital de R$ 1.75 – 1.18.1 Operações de juros simples Serão apresentadas várias operações envolvendo juros simples.Matemática Financeira com HP 12C 4 Juros simples Pode-se entender como juros simples.18 FV = R$ 1.57 [ENTER] [-] Senac S ão Paulo 22 .250. 78? Dados: J = R$ 78.25 [-] R$ 1.00.25? Dados: FV = R$ 1. sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.25? PV = ? Solução 1: PV = 1.647.500.25 PV = R$ 1. qual foi o valor resgatado.03 HPSolução 2: HP -12C 1568.568.75 Senac S ão Paulo 23 .25 PV = R$ 1.75 Nº 4 5 6 7 2º Grupo de Fórmulas J = PV x i x n PV = J / i x n i = J / PV x n n = J / PV x i Significado Fórmula de juros simples Fórmula do capital ou valor presente Fórmula da Taxa Fórmula do prazo Solução 2: HP 12C 1500 [ENTER] 378.25 R$ 1.121.647.121.00 J = R$ 378.25 durante um determinado tempo.00 – 378.78 FV = ? Solução 1: FV = 1.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 4: Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78. sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378.568.25 FV = R$ 1.78 78.78 + 78.500.568.03 [ENTER] [+] EXEMPLO Nº 5: Qual o valor do investimento de gerou um resgate de R$ 1.500. 247.23 durante 5 meses com a taxa de 5.5% ao mês.m.96 Solução 1: PV = 342.275 PV = R$ 1.250.96 / 0.23 [CHS] [PV] 150 [n] 66 [i] [f] INT R$ 343.5% a.5% a.055 5 R$ 343. Solução1: J = 1.23 0.23 n = 5 meses ou 150 dias i = 5.81 [ENTER] [x] [x] HPSolução 3: HP -12C 1250.m? Dados: PV = ? i = 2.5 5 R$ 343.025 x 11 PV = 342.250.81 HPSolução 2: HP -12C 1250.13 HPSolução 2: HP -12C 342.81 EXEMPLO 7: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 6: Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.23 x .025 [ENTER] 11 [x] [:] R$ 1.23 5.81 [ENTER] [%] [x] HPSolução 4: HP -12C [f] FIN 1250.247.055 x 5 J = R$ 343.96 [ENTER] 0.96 / 0.5% ao mês n = 11 meses J = R$ 342. Dados: PV = R$ 1.13 Senac S ão Paulo 24 .96 durante 11 meses.250. a uma taxa de 2.81 3 43. 14 / 537.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 8: Pedro pagou ao Banco Exemplo S.003984 x 100 i = 0. Qual foi a taxa mensal de juro aplicado pelo banco? Dados: J = R$ 2.95% ao mês ' ! "!# $ ( ( ! "!# $ $ &$ $ $ !" # $ % EXEMPLO Nº 9: Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.17 i=? Solução 1: i = 2.00 com uma taxa de 1.00 Solução 1: n = 351 / 1.17 i = 0.14 n = 1 dia PV = R$ 537.17 x 1 i = 2.8% ao mês? Dados: n=? PV = R$ 1.17.3984% ao dia imensal = 0.018 n = 351 / 27 n = 13 meses Nº 8 9 10 3º Grupo de Fórmulas FV = PV (1 + i x n) PV = FV / (1 + i x n) i(ac) = { ( FV / PV ) – 1} x 100 Significado Fórmula do montante ou valor futuro Fórmula do capital ou valor presente Fórmula da taxa acumulada ! "!# $ ! "!# $ $ &$ % Senac S ão Paulo 25 .500 x 0.8% ao mês J = R$ 351.500.500.14 / 537.14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de 537.3984 x 30 imensal = 11.00 que gerou rendimentos de R$ 351. a importância de R$ 2.A.00 i = 1. 00 aplicados em um CDB de 90 dias.248 / ( 1 + 0.0531 ) PV = 84.0531 ) PV = R$ 80.00 Senac S ão Paulo 26 .048.00 HPSolução 2: HP -12C 105000 1 0.$ & ' ( ) !' ' $ $ EXEMPLO Nº 11: Determine o valor da aplicação em um Título de Renda Fixa.77% ao mês.0192 x 3 ) FV = 105. Dados: FV = ? PV = R$ 105.0192 3 R$ 111. sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1.00 i = 1.248.00 por um período de 3 meses.248 / ( 1.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 10: Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 105.0177 x 3 ) PV = 84.0576 ) FV = R$ 111.000.77% ao mês.000 ( 1 + 0.$ $ ! "!# $ $* " .0177 [ENTER] 3 [x] [+] [:] R$ 80.000. a uma taxa de 1.92% ao mês.92 [%] 3 [x] [+] R$ 111.248 / ( 1 + 0. Dados: PV = ? FV = R$ 84.048. n = 3 meses Solução 1: PV = 84.000.000. cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248.92% ao mês n = 90 dias ou (3 meses) Solução 1: FV = 105.048.000 ( 1.00 HPSolução 4: HP -12C 105000 [ENTER] 1.00 i = 1.00 [ENTER] [ENTER] [ENTER] [x] [+] [x] $)* +$ .00 HPSolução 2: HP -12C 84248 [ENTER] 1 [ENTER] 0.000 (1 + 0.0576) FV = 105. 33% a.p.75 [∆%] 58.00 de Salim.5833 x 100 i(ac) = 58. Como por exemplo: janeiro (31 dias). um ano comercial vai ter sempre ter sempre 360 dias. No caso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias. 6 [:] 9. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? Dados: PV = R$ 15. 6 [:] 9. um ano pode ter 365 ou 366 dias. estamos na verdade nos referindo aos dias do calendário.33 : 6 imensal = 9.p.75 a Salim. fevereiro (28 ou 29 dias).2 Juros exato e juros comercial Quando falamos em juro exato.75 [ENTER] 15 [:] 1 [-] 100 [x] 58. 4.72% a.75/15) –1} x 100 i(ac) = {1.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 12: Joaquim emprestou R$ 15.m. ou (ao semestre) imensal = 58.72% a.72% a. ou seja.00 FV = R$ 23. Senac S ão Paulo 27 .p. HPSolução 2: HP -12C 23. desta forma. Salim resolveu cobrar sua dívida.m. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23. Solução 3: HP-12C HP15 [ENTER] 23.33% a.m. devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Após seis meses.5833 –1} x 100 i(ac) = 0.75 n = 6 meses i(ac) = ? imensal = ? Solução 1: i(ac) = {(23. e sendo assim.33% a. 00 2) Um capital de R$ 12.56 1500 [ENTER] 0. rende juros de R$ 2756.6 x 42 )/360 = R$ 105. = ( 1.500 x 0.6 [x] 42 [x] [365] [:] R$ 103.00.250. Determine os juros exato e comercial pago nesta operação.025 ou 2. pelo prazo de cinco meses.56 b) J.500 x 0.00 i = 60% ao ano Vencimento da Prestação: 01/02/01 Data do Pagamento: 15/03/01 Solução: [f] 6 01.C.E.000.6 x 42 )/ 365 = R$ 103.25.5% ao mês Senac S ão Paulo 28 . = ( 1.5% ao mês? Resposta: R$ 875. Dados: PV = R$ 1. Resposta: 0.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 13: Uma prestação no valor de R$ 1.500.3 Exercícios sobre juros simples Considerar o ano comercial (360 dias) 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5. Determine a taxa correspondente.6 [x] 42 [x] [360] [:] R$ 105.00 Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas HPSolução 2: HP -12C 1500 [ENTER] 0. sabendo-se que a taxa cobrada é de 3.500.31. aplicado durante 9 meses. com a taxa de 60% ao ano.032001 [g] [∆DYS] 42 dias a) J.00 4.022001 [ENTER] 15.00 venceu em 01/02/01 sendo quitada em 15/03/01. 800.01.29 no final de 152 dias. feita de 3.66 8) Calcular o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.5 anos 5) Qual o capital que.95 10) Em quanto tempo um capital aplicado a 2. à taxa de 8% ao trimestre.565. à taxa de 2. Resposta: R$ 52.147. sabendo-se que a taxa de juros é 2. rende juros de R$ 950.32% ao mês 7) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 21. pelo prazo de 12 meses.340.8% ao mês.750.38 6) Um empréstimo de R$ 21. Resposta: 5.59.00 em um ano? Resposta: R$ 2. Calcular a taxa mensal de juros.41 é liquidado por R$ 27. Resposta: 10 trimestres ou 2.00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.997.65% ao ano 4) Sabendo-se que os juros de R$ 7.049028% ao dia ou 17. Pergunte-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? Resposta: 0.64% ao mês.5% ao mês.25.749. Resposta: J = R$ 1.150.Matemática Financeira com HP 12C 3) Uma aplicação de R$ 13. pelo prazo de 72 dias.737. à taxa de 2. pede-se que calcule o prazo.8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu vencimento.66 e FV = R$ 22.847.834.95% ao mês dobra o seu valor? Resposta: 33 meses e 27 dias Resposta : Senac S ão Paulo 29 .000.612.51 9) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 56. Resposta: R$ 9.827.00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.00. certo capital gerou um montante de R$ 64. Em quanto tempo um capital de R$ 800. Resposta: R$ 53. correspondente a um empréstimo de R$ 125. aplicado à taxa de 0.200.Matemática Financeira com HP 12C 4.000.48 5.00 6.00.200. Resposta: R$ 8.4 Exercícios de reforços OS REFORÇOS EXEMPLOS EXERCÍCIOS DE REFORÇOS TÊM COMO OBJETIVO PRINCIPAL.333 meses Senac S ão Paulo 30 .000. aplicado durante 8 meses. no final de cinco meses e 18 dias.204. rendeu juros de R$ 11. 3. resultantes da aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano. determinar o valor do capital aplicado. durante sete meses. gera um montante de R$ 1.400. Resposta: 60% ao ano.00.1% ao dia.500.000.00.00? Resposta: R$ 250 dias ou 8.000.00. Qual o valor a ser pago. Um capital de R$ 28.00.42 4.00 2. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês. Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.00. sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre? Resposta: R$ 156. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.00 aplicado à taxa de 24% ao ano. COMPLEMENTAR OS EXEM PLOS OBJETIVO SALA EXERCÍCIOS APRESENTANDOS EM SALA DE AULA E OS EXERCÍCIOS PRATICADOS PELOS ALUNOS . PELOS 1. Determinar a taxa anual.000. Durante 155 dias.271. durante 13 meses? Resposta: R$ 31. 00 foi aplicado do dia 19/06/X1 e resgatado em 20/01/X2. Obteve-se um empréstimo de R$ 10.162.000. Resposta: R$ 16.00 no dia 15/07/XX e resgatou essa aplicação no dia 21/07/XX por R$ 2. durante dois anos e três meses.000.00. Um capital de R$ 50.14 10.00 no final de oito meses e meio.5% ao mês. produz um montante de R$ 600.00. Calcular o valor do capital que.000. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à ¼ do seu valor? Resposta: 2.675.018. aplicado à taxa de 5% ao mês.4% ao ano.000. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? Resposta: 66% ao ano. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano. 11.600. ou 279 dias. calcular o valor dos juros.0833 anos ou 25 meses. 13. aplicado à taxa de 50.00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? Resposta: 4. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? Resposta: 2. Senac S ão Paulo 31 .00. considerando-se o número de dias efetivos entre as duas datas. 12.5% ao mês.3 meses. produz R$ 18. Resposta: R$ 281.Matemática Financeira com HP 12C 7. Uma empresa aplicou R$ 2.22 8. 9.00 de juros? Resposta: 9.722. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000. para ser liquidado por R$ 14. Calcular o valor do capital. por 225 dias. Resposta: R$ 400. Em quantos dias um capital de R$ 270.00 produzirá juros de R$ 62. calcular o valor do montante. 16.000. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798. produziu um montante de R$ 543.000. Resposta: R$ 220.720.000. aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. à taxa de 5.77 a uma taxa de 5.71 19.00. calcular o valor dos juros.00 no final de nove meses. Resposta: R$ 285.00 Senac S ão Paulo 32 . A aplicação de R$ 35.028. Calcular a taxa anual.00 de juros.Matemática Financeira com HP 12C 14.6% ao mês.00 no final de um ano e meio.420. Resposta: R$ 420.000.00 gerou um montante de R$ 58.4% ao mês? Resposta: 128 dias. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses.00.00 17. Resposta: R$ 639. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês.2% ao mês. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.304.00 20. 18.600. Resposta: 84% ao ano.000.00 15.840. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000. Um capital emprestado gerou R$ 96. por 174 dias.00.720. que aplicado a uma taxa de 6. Matemática Financeira com HP 12C 21. Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$ 117.760,00 no final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros. Resposta: 5,9% ao mês. 22. Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00 à taxa de 7,2% ao mês? Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. 23. A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de 177.320,00 no final de 186 dias? Resposta: R$ 124,8% ao ano. ano . A lista de exercícios de reforço, foi extraída do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho (MATEMÁTICA FINANCEIRA, 5ª edição, Editora Atlas). Senac S ão Paulo 33 Matemática Financeira com HP 12C 5 Juros compostos 5.1 Conceitos de juros compostos Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. Mas na verdade os juros são calculados tomando como base o montante, conforme estamos demostrando no diagrama de fluxo de caixa abaixo. Observe novamente a demonstração do regime de capitalização composta. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. Regime de Capitalização Composta N 1 2 3 Capital Aplicado R$ 1.000,00 R$ 1.100,00 R$ 1.210,00 Juros de cada período R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 Valor Acumulado ou Montante R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA COMPOS TA M = R$ 1.331,00 C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00 C = R$ 1.000,00 Senac S ão Paulo 34 Matemática Financeira com HP 12C 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M) *+ , + - . /0 EXEMPLO Nº 14: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: FV = ? PV = R$ 5.000,00 i = 4% ao mês n = 5 meses Solução 1 FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5 FV = 5.000 ( 1,04 ) 5 FV = 5.000 (1,216653...) FV = R$ 6.083,26 Solução 2 : HP 12C 5000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [+] 5 [yx] [x] R$ 6.083,26 Solução 3 : HP 12C [f] FIN 5000 [CHS] [PV] 4 [i] 5 [n] [FV] R$ 6.083,26 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos EXEMPLO Nº 15: Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos. Juros Simples a. n = 29 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 29 ) = R$ 57.250,00 ( J. Simples > J. Compostos ) 30 b. n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 30 ) = R$ 57.500,00 ( J. Simples = J. Compostos ) 30 c. n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 31 ) = R$ 57.750,00 ( J. Simples < J. Compostos ) 30 Senac S ão Paulo 35 768.365. durante 3.15) 29/30 = R$ 57.376.15) 3.000 (1 . [f] FIN 1450300 [CHS] [PV] 15 [i] 3. FV = 50.371.56 [f] FIN 1450300 [CHS] [PV] 15 [i] 3. Usando a HP 12C com “C” no visor.00.000 (1 .83.5 anos. teclas [STO] e [EEX] Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra “C”.300.376.15) 30/30 = R$ 57.232.00 i = 15% ao ano n = 3.Matemática Financeira com HP 12C Juros Compostos a) n = 29 dias.15) 31/30 = R$ 57.75 FV = 50.50 5.5 anos.5 R$ 2.300. Se a letra “C” não estiver aparecendo no visor.777.300 (1 + 0. c) n = 31 dias.365.154.39 Observe que existe uma diferença de R$ 5. b) n = 30 dias.5 [n] FV R$ 2.4 Função “C” na HP 12C.56 Usando a HP 12C sem “C” no visor.450.00 FV = 50. em que os juros são calculados de acordo com o regime de capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários.000 (1 .500.450. a HP-12C faz esse cálculo com base na chamada “convenção linear”. Solução 1: FV = 1. Dados: PV = R$ 1. vejamos o por quê? Senac S ão Paulo 36 . Vamos comprovar: EXEMPLO Nº 16: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.5 [n] FV R$ 2.450. aplicado à taxa de 15% ao ano. 39 5.. PV = R$ 780.Matemática Financeira com HP 12C 1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro pelo período inteiro) regime de juros compostos compostos.24 Solução 4: HP-12C HP [f] FIN 2000 [CHS] [FV] 4 [i] 24 [n] PV R$ 780. PV = R$ 780.429..563304.5 anos) FV (3.000 x 1 / (1....371.01 2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período fracionário) pelo regime de juros simples.24 HPSolução 3: HP -12C 2000 [ENTER] 1 [ENTER] 0.38 3º PASSO: determinar o valor futuro total (3.01 x 0.04) 24 PV = 2. correspondentes a uma taxa de 4% ao mês.000 / (1 + 0.725.000 / (1.00 i = 4% ao mês n = 24 meses PV = ? Solução 1: PV = 2.000.725.300 (1. Carlos deverá efetuar um pagamento de R$ 2.24 37 24 Senac S ão Paulo . PV = 2.24 24 Solução 2: PV = 2. J (meio ano) = ( 2.205.04) 24 PV = 2. o Sr.450.5 Valor presente (PV) ou capital (C) n PV = FV / ( 1 + i ) n EXEMPLO Nº 17: No final de dois anos.000 / 2.725. FV (3 anos) = 1.15) 3 = R$ 2.563304. mais os juros devidos.000.205.154.5 anos) = R$ 2.000 x 1 / (1 + 0.000 x 1 / 2.205.04 [+] 24 [yx] [:] R$ 780..429.04) PV = 2.38 = R$ 2. Pergunta-se: Qual o valor emprestado? Dados: FV = R$ 2.04) PV = 2.000 x 0.390121.00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje.01 + R$ 165.15 x 180 ) / 360 = R$ 165. HPSolução 5: HP -12C [f] FIN Solução 2: n = {LN(41..156731.634035.33) / LN(24.43 FV = R$ 41.156731. 18.03) n = 10......524..536691. 41524. n = 18.278.43 [g] LN [-] 1.710338) LN (1.156731.278...524. 0.097344.6 Prazo (n) n LN(FV) − LN(PV) = LN(1 + i) ou n= LN( FV ) PV LN(1+ i) EXEMPLO Nº 18: Em que prazo um empréstimo de R$ 24..029559.03) n = 0.03 [g] LN [:] n = 18.278...43) LN (1.156731.03 [g] LN [:] n = 18.33 i = 3% ao mês n = LN(41. 18...278.029559. sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês. meses Solução 3: (HP 12C) 41..156731..278.33 [g] LN 24...03) n = LN (1.33 [ENTER] 24.278.524.. meses Solução 4: (HP 12C) 41..43)} LN (1. n = 0. 0..524..536691.. 0.33) – LN(24.Matemática Financeira com HP 12C 5.. n = 18. – 10.524.33.43 [PV] 3 [i] [n] 19 meses Senac S ão Paulo 38 .156731.029559..33 [CHS] [FV] 24278..43 [:] [g] LN 1. Solução 1: Dados: n=? PV = R$ 24.43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524. observar o procedimento a seguir: [g] FRAC 30 [x] 4. Para calculamos a quantidade de dias.. meses. Senac S ão Paulo 39 . Solução Única.7 Função [FRAC] e [INTG] Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a parte a parte fracionária..156731. Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e manter a parte inteira. poderemos arredondar o número para maior. 18. que neste caso representa a quantidade de dias. Para o mesmo EXEMPLO Nº 18. no visor da calculadora HP 12C.156731. temos que o prazo foi de 18. basta multiplicar a parte fracionária por 30 (mês comercial). 18 observe que existe uma parte fracionária. fazendo a seqüência teclas: [g] INTG. poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a 18 parte inteira.Matemática Financeira com HP 12C 5.. Vamos comprovar: Tomando como base o EXEMPLO Nº 18. então poderemos dizer que a resposta do EXEMPLO Nº 18 seja 18 meses e 5 dias..701928 dias no caso de dias. Estando com o número 18. ..422101....142857 – 1} x 100 i = {1.8 Taxas equivalentes a juros compostos i ={ ( PV ) QQ/QT – 1} x 100 FV Onde: QQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu Tenho EXEMPLO Nº 19: A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 10.520.210...72 ) 30/210 – 1} x 100 i = {(1. 10210.210.68 n = 210 dias Solução 1: i = {(14.051592} x 100 i = 5.68 / 10.16% ao mês.72 14520... Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Dados: i=? PV = R$ 10. para pagamento em uma única prestação de R$ 14.16% ao mês HPSolução 3: HP -12C 10210.72 30 [ENTER] 210 [:] [y ] [:] x 1 [-] 100 [x] 5.....72.72 FV = R$ 14.68 7 [n] [CHS] [PV] [FV] [i] 5..520.68.051592 – 1} x 100 i= {0.210....) 0.. sem entrada.. Senac S ão Paulo 40 .520....Matemática Financeira com HP 12C 5......16% ao mês....68 no final de 210 dias.... HPSolução 2: HP -12C 14520. 00 à taxa de 3.75% ao mês.Matemática Financeira com HP 12C 5. para ter R$ 1. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700. Determinar o montante.00. resultante da aplicação de um capital de R$ 100. 4. 3. Resposta: 9 meses Senac S ão Paulo 41 . de uma só vez.000.00 hoje para receber R$ 507.000. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20. Uma pessoa empresta R$ 80.00% ao ano. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12. Em que prazo uma aplicação de 374. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre. Resposta: 8% ao mês. gera um resgate de R$ 500.00.984.39 2. Quanto devo aplicar hoje.38 2.000.817% ao ano.000.294.00 será resgatado por R$ 36.018.46 no final de dois anos.504.000. calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. Resposta: R$ 144.461. ou 151. no final de dois anos. à taxa de 18.00 que será liquidado.486%. à taxa de 3.000.23. no final de 10 meses.938.708.00 ao final de 19 meses? Resposta: R$ 769.9 Exercícios sobre juros compostos 1. Resposta: R$ 1. Resposta: Respost a: 5 trimestres (ou 15 meses).37 5.000.25% ao mês.10 Exercícios de reforços 1. 588% ao ano. aplicado à taxa de 4% ao mês.00.000. No fim quanto tempo um capital.500.35 meses Resposta: 35. (Resposta: 75 meses) Resposta: meses Senac S ão Paulo 42 .162% ao mês. com o Imposto de Renda já computado). a juros compostos de 3% ao mês. quadruplica o seu valor: a) b) no regime de capitalização composta.5% ao mês (taxa líquida. pelo dobro do seu valor? Resposta: 4.000. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3. Calcular o valor dos juros.00 à vista ou R$ 1. Resposta: 11 meses. 8. Um terreno está sendo oferecido por R$ 4. 5. A aplicação de certo capital. no final de 17 meses. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.Matemática Financeira com HP 12C 3. Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo comprá 4. A que taxa de juros um capital aplicado pose ser resgatado.500. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor.755% ao mês. no final de 6 meses. a juros simples de 5% ao mês? Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. (Resposta: 35. se aplicado a 3. determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. isto é.500.00 no final de 1 ano e 3 meses.00 por 3 anos.00 de entrada e mais uma parcela de R$ 3. 6. à taxa de 69. Resposta: R$ 396. ou aplicar esse mesmo valor.35 meses) no regime de capitalização simples. gerou um montante de R$ 820.79 7. pelo mesmo prazo.288. Senac S ão Paulo 43 .t. à taxa de 17. 14. e 57. Em 154 dias uma aplicação rendeu 21. de juros (além da correção monetária) numa operação de capital de giro.44% a. produziu um montante de R$ 5.Matemática Financeira com HP 12C 9.584.43%. trimestral e anual de juros.2981% a.009.3392% a.m. A aplicação de R$ 280.3% ao mês e 132.07 10.000. 9.00? Resposta: R$ 3.00. Quanto cobrará para uma operação em 182 dias? (considerar o ano como sendo 360 dias). Resposta: 3. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580. Resposta: 0. pelo prazo de 213 dias? Resposta: 638.41dias ou 309 dias 13.00 proporcionou um rendimento de R$ 240.00 no final de 208 dias.033. e 191.7156% a.p.90 proporcionou um resgate de R$ 322.85% a.32 11. 12. Determinar a taxa diária. Resposta: 7. 30. 15. mensal. Qual o valor do capital.58 no final de seis meses. A aplicação de R$ 211. Calcular as taxas mensal e anual equivalente.5% ao ano. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação.a. Resposta: 9.a. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? Resposta: 308. Certa aplicação rende 0.91% ao ano. que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias.d.225% ao dias.m.9505% a.66% a. Um banco cobra 20% a.a. 00 efetuada no dia 13 de março de 2001.000.00.40 Os exercícios dos itens 4. calcular o valor de resgate (em dólar).53 e 1. se a taxa de juros contratual for de 4. Senac S ão Paulo 44 .968. Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor. Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.00 à taxa de 15% ao ano? E qual a taxa mensal equivalente? Resposta: R$ 2. cujo valor de resgate em 08 de junho de 2001 foi de R$ 10.000.Matemática Financeira com HP 12C 16. Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 10. 4ª edição.10 foram parcialmente extraídos e adaptados.8% ao mês? Resposta: 703 dias 20.000. para uma aplicação de R$ 10. Editora Atlas Sobrinho e dos Professores Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeu.m.47 18.42? R esposta: 3.m. antes do Imposto de Renda.000.00 produza um valor de resgate de R$ 3. Matemática Financeira – Pompeu métodos quantitativos.17% a. no regime de juros compostos.842. Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 1. 17. Sendo o seu prazo de 243 dias.00. do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho. Matemática Financeira. Editora Atual.000. Resposta: R$ 9. 5ª edição.9 e 4. Determinar seu valor de emissão para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano.073. Resposta: US$ 549. 19. Um certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a 500 dólares rende juros de 15% ao ano.24% a. QQ = Quanto eu Quero.26% ao ano – 1} x 100 = 25. por um mesmo período.59% ao trimestre c) 2.1 Taxas equivalentes: As taxas são equivalentes se.25) – 1} x 100 = 65. QT = Quanto eu Tenho. i(eq) ={ ( 1 + ic) QQ/QT – 1} x 100 Onde: i(EQ) = Taxa Equivalente.Matemática Financeira com HP 12C 6 Operações com taxas de juros No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais. quando aplicadas a um mesmo capital.39% ao ano (exato) 45 365/360 Senac S ão Paulo . a palavra taxa é empregada de várias formas.025) d) i(EQ) = { ( 1 + 0. ou seja. 6.5% ao mês d) 0. geram o mesmo rendimento. Taxa Conhecida a) 79.2859) c) i(EQ) = { ( 1 + 0.03% ao período 360/1 – 1} x 100 = 502. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da matemática financeira.7958) 30/360 – 1} x 100 = 5% ao mês 180/90 Taxa Equivalente para: 1 mês 1 semestre 105 dias 1 ano 1 ano exato (base 365 dias) b) i(EQ) = { ( 1 + 0.005) e) i(EQ) = { ( 1 + 0.5% ao dia e) 25% (ano comercial) Solução 1: a) i(EQ) = { ( 1 + 0. EXEMPLO Nº 20: Calcular a equivalência entre as taxas.35% ao semestre 105/30 – 1} x 100 = 9. vários conceitos são abordados em várias situações.5856% ao ano b) 28. ic = Taxa Conhecida. Este programa foi extraído do livro do professor Carlos Shinoda matemática financeira para Shinoda.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C [ f ] [ P/R ] [ f ] [ PRGM ] [ X<> Y] [:] [ X<> Y] [1] [0] [0] [:] [1] [+] [ x<>y ] [ yx ] [1] [-] [1] [0] [0] [x] [ f ] [ P/R ] UTILIZANDO O PROGRAMA 27 [ENTER] 360 [ENTER] 30 [R/S] 2. 2ª edição.26% ao ano 25.39% ao ano (exato) 6. Senac S ão Paulo 46 . editora Atlas.2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [Y ] 1 [-] 100 [X] X c) 1.1.01% a.25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 5% ao mês 65.m. usuários do Excel.025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [Y ] 1 [-] 100 [X] d) 1.03% ao período 502.35% ao trimestre 9.005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] e) 1.Matemática Financeira com HP 12C Solução 2 (HP 12C) a) 1.7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] X b) 1. .002581.1 } x 3.052632 .1} x 3. .74% ao mês Senac S ão Paulo 100 30 47 . considerando 19 dias úteis.m) HPSolução 2: HP -12C 1 [ENTER] 0.8 [+] x 30 [ENTER] 360 [:] [y ] x 19 [1/x] [y ] 1 [-] 3000 [x] 7.74% a. ] 0.80) 30 / 360 ] 1 / 19 . TOE ={ [( 1 + ic) Onde: TOE ic QQ QT ndu = = = = = QQ/QT ] 1/ ndu .) [x] (7.002581.2 Taxa over equivalente: A taxa over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil..000 TOE = 0.. HPSolução 3: HP -12C 100 80 30 100 1 [CHS] [PV] [i] [ENTER] 360 [:] [n] [FV] [-] (5.000 taxa over equivalente taxa de juros conhecida nº de dias efetivos da operação nº de dias referente à taxa conhecida ( ic ) nº de dias úteis no período da operação..1 } x 3.000 TOE ={ 1 .083333.74% ao mês. EXEMPLO Nº 21: Calcular a taxa over equivalente para uma taxa de 80% ao ano..Matemática Financeira com HP 12C 6.02% a. para uma aplicação de 30 dias. x 3. Dados: ic QQ QT ndu = = = = 80% 30 dias 360 dias 19 dias Solução 1 TOE ={ [ ( 1 + 0.050202. é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.80) 0.258134 % a. normalmente é multiplicada por 30 (conversão de mercado financeiro)....u.. Nas empresas em geral.000 TOE ={ [ ( 1 . ] 0.000 TOE ={ [ 1 .1 } x 3.052632 .1 } x 3.p) [i] [ENTER] 19 [:] [n] [FV] [-] (0.000 TOE = 7.d. 13 2.46 0. etc.05 0.0056 [x] 1.60 2.23% IGMP (mar/2001) = 0.01 0. calcular a variação do IGPM-FGV acumulada durante os meses de jan/2001 a maio/2001.57 0.29 0.14 0.79 5.80 0.51 0..3 Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis) A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situações de correções de contratos. / 0 1 / 1 / / 2 $ /.62% IGMP (fev/2001) = 0. 1 / 1 / %012 $ %012 $ Senac S ão Paulo .40 1.29 0. / .86% HPSolução 2: HP 12C 1 .82 0.16 0.25 0.67 0.55 0. 48 . (1 + in) – 1] x 100 EXEMPLO Nº 22: Com base na tabela abaixo. / .Matemática Financeira com HP 12C 6.46 0.39 1.0086 [x] 1 [-] 100 [x] 3..59 0.93 1. como por exemplo atualização de alugueis.62 0.69 0.0062 [ENTER] 1.63 0. ! $ % 1 23 4 / 1 / .36 0.49 0.57 2.84 1. 01 / 01 / .05 0.38 0.23 0.56 1.58 2. 0 1 / .0023 [x] 1.79 7.04 INPC+IBGE IGPDI+FGV -0.37 0.77 0.26 1.16 0.11 0.31% ao período.00 6.18 1.61 1.49 0.17 1. Últimas variações dos índices de inflação: IGPM+FGV Maio/2000 Junho/200 Julho/2000 Agosto/2000 Setembro/2000 Outubro/2000 Novembro/2000 Dezembro/2000 Janeiro/2001 Fevereiro/2001 Março/2001 Abril/2001 Maio/2001 Acumulado no ano Acumulado 12 meses 0. i(ac) = [(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) .21 1.31 11.39 2.16 IPC+FIPE 0.85 1.00 0.76 0. saldo devedor da casa própria.07 11.61 0.00% IGMP (mai/2001) = 0.43 0.38 0.23 0.27 0.01 -0.23 1.61 Dados: IGMP (jan/2001) = 0.01 [x] 1.31 0. $ /.52 IPCA+IBGE 0. .39 0.32 0.55 0.30 0.56% IGMP (abr/2001) = 1.34 0.86 3. 65% ao mês.01 [x] 1.5 Taxa real de juros A taxa real juro nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou custo de oportunidade.4 Taxa média de juros A taxa média de juros tem como base teórica.0086)] 1 / 5 –1 x 100 i(média) = [(1 . calcular a taxa média. (1 + in) ] 1/ n – 1 }x 100 Onde. 6..0056 [x] 1.0023)x(1 + 0..0062 [ENTER] 1.01) x (1.00% IGMP (mai/2001) = 0.. ] 0.2 –1 x 100 i(média) = 0..0023) x (1.0086)] 1 / 5 –1 x 100 i(média) = [1 .56% IGMP (abr/2001) = 1.0062)x(1 + 0.0062) x (1.0056)x(1 + 0. ir = [(1 + ijuros ) / ( 1 + iinflação )] – 1 x 100 Senac S ão Paulo 49 .86% Solução 1: HPSolução 2: HP 12C 1 . Dados: IGMP (jan/2001) = 0.62% IGMP (fev/2001) = 0. É normalmente usada para calcular a média de um conjunto de taxas. i (média) = [(1 + 0. EXEMPLO Nº 23: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 22.23% IGMP (mar/2001) = 0.0086 [x] 5 [1/x] [yx] 1 [-] 100 [x] 0. o conceito de estatística da média geométrica. i(média) = {[(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) .0065. n = número de taxas analisadas..0023 [x] 1.01)x(1.65% ao mês. x 100 i(média) = 0.0056) x (1.033113..Matemática Financeira com HP 12C 6. Abr = 1. 0.8% ao ano Solução 1: HPSolução 2: HP -12C 1 [ENTER] 1 [ENTER] 1 [-] 100 [x] 3. Mai = 1.11%. sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5.095 [+] 0. Determinar a taxa anual equivalente a 0.50% ao ano.6 Exercícios sobre taxas juros 1.058)] – 1 x 100 ir = [(1. Pergunta-se: Resposta: a) Qual a taxa média no período? (Resposta: 1. Jun = 1. Reposta: 26. Dados: ir = ? ijuros = 9.095 ) / ( 1.82% ao mês) mês período) b) Qual a taxa acumulada no período? (Resposta: 11..63%.746% em dois anos. Mar = 2. 4.5% ao ano iinflação = 5.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 24: Uma aplicação durante o ano de 2000 rendeu 9. Resposta: 5% ao trimestre 5.18%.8% ao ano.41% ao período Resposta: Senac S ão Paulo 50 .82% ao ano 2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60.058)] – 1 x 100 ir = [1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.69% para o ano de 1998.5% ao ano.103% ao ano.19442% ao dia.5% ao ano.058 [+] [:] ir = [(1 + 0..60% e Jul = 1. Uma determinada revista de informações financeira apresentou as seguintes taxas de CDI’s: Fev = 2.22% ao ano. x 100 ir = 3. 6. Resposta: 4% ao mês. Determine a taxa real de juro.034972.] – 1 x 100 ir = 0..] 3.034972. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47..69%.095 ) / ( 1 + 0. Resposta: 101. Resposta: 77% ao período.Matemática Financeira com HP 12C 6. 7.65% ao mês. Qual a taxa média desta aplicação? Resposta: 5. tendo que pagar no final R$ 94. respectivamente. O senhor “Dúvida”. pretende investir R$ 6. Suponha que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 50.500. Obter a inflação acumulada.00 e em janeiro de 1999 foi de R$ 3.00 e 88.000.00 e nos três meses subseqüente seja R$ 60.57.50.000.00 por 3 meses. Você foi contratado como Gerente Financeiro(a). Suponha que o “Banco dos Corinthianos S/A” pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis.00. Qual a taxa real de juros? Resposta: 1. 10. à taxa de juros de 21% ao ano.000. Senac S ão Paulo 51 .5% ao ano por 30 dias corridos e correspondentes a 21 dias úteis. e no mesmo período a inflação foi de 19% ano.300. Se o preço de um produto de dezembro de 1998 foi de R$ 3.340.68% ao ano. 9. Na sua opinião. qual dos dois seria o melhor para o aplicador? Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos 8. R$ 75. e encontra-se em período de experiência. Um capital foi aplicado por 1 ano.00 em uma aplicação no “Banco dos Palmeirenses S/A” que paga 45. o índice de preço correspondente foi de: Resposta: 10% ao período.00. Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 80. Qual o desconto racional? Dados: VN = R$ 25.190.250 1.48 VA = 25. n Onde: VL = VN . EXEMPLO Nº 25: Um título de valor nominal R$ 25. n ) DR = VN x i x n / (1 + i .000 x 0. VN = Valor Nominal. VN = Valor Nominal.2. à taxa de juros simples de 2.000. DR = ? Solução 1 DR = 25.48 VA = R$ 23.809.Desconto bancário.000 – 1.Matemática Financeira com HP 12C 7 Descontos A operação desconto pode ser descrita como sendo o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso.05 DR = R$ 1.DB DB = Desconto Bancário.52 VA = VN / (1 + i .000. n) 7.190.00 n = 2 meses i = 2.1 Desconto racional simples ou “por dentro” simples DR = VN VA Onde: DR = Desconto Racional.025 x 2 (1 + 0. VL = Valor Líquido.5% ao mês.025 x 2) DR = 1. Senac S ão Paulo 52 . VA = Valor Atual. 7. i .5% ao mês. ou comercial ou “por fora” DB = VN .00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento. obter o valor recebido pelo portador do título.000 x 0.438.750.0041% ao dia sobre o valor do título.00 = R$ 61.50 = 3.5% ao mês.000 – 23.50 = 1.DIOF -DADM a) DB = 25.025 x 2 DB = R$ 1.000.50 Se considerarmos que o PV seja R$ 23.250 VL = R$ 23.00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento.8% ao mês.438.5% ao mês iADM = 1% (IOF) = 0.000041 x 60 VL = 25.000.025 x 2 b) DADM = 25. na verdade o empréstimo seria a melhor opção.000 x 0.00 = R$ 250.12% ao mês 25.0041% ao dia i= 2. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa liquida de 2.000.000. DR = ? Solução 1 DB = 25.250. à taxa de desconto de 2. Qual a melhor opção? Dados: VN = R$ 25.00 n = 2 meses i = 2.50 e FV = 25.250.00 VL = 25. Qual o desconto bancário? Dados: VN = R$ 25.000.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 26: Um título de valor nominal R$ 25.8% a.5% ao mês. Senac S ão Paulo 53 .561. à taxa de juros simples de 2.250 – 250 – 61.00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento.5% ao mês.00 EXEMPLO Nº 27: Uma duplicata no valor de R$ 25.000 x 2 50.00 n = 2 meses i = 2.00. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0.50 = R$ 1.000 x .000 – 1.000 – 1.m (empréstimo) VL = ? DB =? DIOF =? DADM =? Solução 1 VL = VN – DB .438.000 x 01 c) DIOF = 25. então teremos: i = 25.000 Ou seja.50 VL = R$ 23. 00 DPL nº B: DB = (4.00 Valor (R$) 2.000.000 – 976. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Borderô de Cobrança Duplicata A B C Solução 1 DPL nº A: DB = (2.00 Total R$ 976.Matemática Financeira com HP 12C 7.03 x 30) / 30 = R$ 60.000 x 0.00 = R$ 13.03 x 82) / 30 = R$ 656.024.000.000 x 0.00 8.00 Valor Líquido Recebido: R$ 14.00 Prazo (vencimento) 30 dias 65 dias 82 dias Senac S ão Paulo 54 .00 DPL nº C: DB = (8.000.00 4.03 x 65) / 30 = R$ 260.3 Operações com um conjunto de títulos: EXEMPLO Nº 28: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo. para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês.000 x 0. 000 PM = 976.000 + 260.000 – 976. achar o valor líquido.00 VL = 14. + VNn .714286 dias.000 x 82) 2.000 2000 + 4.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos Pm = ( VN1 .Matemática Financeira com HP 12C 7...000 x 30) + (4. e utilizando-se do conceito do prazo médio.000 + 8..00 2.000 + 656.3.000 + 4. + VNn ) EXEMPLO Nº 29: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 28.000 14.000 [ +] 8.000 [ +] 14.000 x 0..000 [+] R$ 13. Assim temos: DB = (14.03 [x] 30 [:] R$ 976. n1 + VN2 .00 = R$ 13.000 PM = 60.714286 dias 0..000 + 8.000 [ +] 4.024. Solução 1: PM = (2.000 PM = 69.000 x 65) + (8.. nn )/ ( VN1 + VN2 + .024.00 HPSolução 2: HP -12C [f] 30 [ENTER] 65 [ENTER] 82 [ENTER] [g] [XW] 69.) / 30 DB = R$ 976.00 Senac S ão Paulo 55 .000 [x] [CHS] 14..03 x 69.714286. n2 + . de acordo com o conceito de desconto composto.62 Senac S ão Paulo 56 .266.903688 PV = R$ 16. PV = FV (1 – i) n e DC = FV -PV Onde: DC = Desconto composto.5% ao mês.000.38 DC = R$ 1. EXEMPLO Nº 30: Uma duplicata no valor de R$ 18. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.266.000.4 Desconto composto O Desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro.00.62 HPSolução 1: HP -12C 18. é descontada a uma taxa de 2.5% ao mês PV = ? DC = ? Solução 1 PV = 18.38 [CHS] 18.00 n = 120 dias (4 meses) i = 2. Dados: FV= R$ 18.000 x 0.025) 4 PV = 18.38 DC = 18.733.Matemática Financeira com HP 12C Desconto 7.000 (1 – 0.025 [-] 4 [yx] [x] R$ 16.000 – 16.975) 4 PV = 18.000 (0.266. 120 dias para o seu vencimento.733.000 [ENTER] 1 [ENTER] 0.000 [+] R$ 1. 68 17.26 5.57 5.5 20.14 6.88 6.00 na taxa de desconto fixa de 5% ao mês e calcular a taxa real simples e composta.41 5.0 7.1 Relação em taxas de desconto simples e composto desco nto EXEMPLO Nº 31: Efetuar o desconto de uma duplicata de R$ 100.12 10 50 50 10.18 Prazo em meses 12 15 19 60 75 95 40 25 5 100. Desconto Desconto Líquido Taxa mensal simples Taxa mensal composta 30 5 95 5.4.25 5.0 7.74 180 30 70 7.56 5.1 20 100 0 0 0 TaxaSimples = desconto (liquido)x QT QQ x100 TaxaComposta = 1+ desconto líquido QQ QT − 1 x100 Senac S ão Paulo 57 .26 Prazo em dias 120 60 90 10 15 20 90 85 80 5.93 9.Matemática Financeira com HP 12C 7.0 12. à taxa de 32% ao ano.00.50.5% ao mês? Resposta: R$ 150.57 Senac S ão Paulo 58 .800.000 15 dias B 3.00. Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicas descontas a 5% ao mês conforme o borderô a seguir: A 5.00? Resposta: 3% ao mês. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata. Resposta: 63 dias 6.330. Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de Depósito Bancário. com vencimento para 90 dias. de valor de resgate igual a R$ 200.500 35 dias C 1.508. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de resgate é de R$ 1.8% ao mês.00 que sofreu um desconto de R$ 548.5 Exercícios sobre desconto 1.00 2.000.000. Uma duplicata de R$ 70. no valor de R$ 9. Resposta: R$ 21.33 4.000. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente: Resposta: R$ 64. 3. à taxa 2.00.944.000.00 e cujo valor atual é de R$ 880.Matemática Financeira com HP 12C 7.70% ao mês.500 65 dias Resposta: R$ 9. foi descontada por um banco à taxa de 2. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.00 5. sabendo-se que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3. com 90 dias a decorrer até o seu vencimento. 055) 4 ... A série de pagamentos uniforme pode ser de dois tipos.5% ao mês. R$ 17.238825..238825.] PV = R$ 17.m.055 [ENTER] 4 [yx] 0.000 [ENTER] 1. x 0.055 PV = 5. estudamos situações envolvendo apenas dois pagamentos.Matemática Financeira com HP 12C 8 Séries uniformes de pagamentos Ate agora. sendo de 5.238825.055 PV = 5.525.525.0.− 1 1.5 a.12C [f] FIN 5000 [CHS] PMT 4 [n] 5.055 [ENTER] 4 [yx] 1 [-] 1. valor futuro (FV) e valor presente (PV).000.000.. EXEMPLO Nº 32: Determinaremos o valor de um financiamento a ser quitado através de quatro pagamentos mensais de R$ 5.55 (1.055) 4 − 1 PV = 5.75 Senac S ão Paulo 59 .000 0. PMT = R$ 5. estudaremos operações envolvendo pagamentos periódicos.00 Solução 1 Solução 2: HP-12C HP. ou seja..068135..055) 4 .055) 4 − 1 PV = 5. Dados: PV = ? n = 4 meses i = 5..75 0.i Onde: PMT = prestação ou pagamentos.75 HPSolução 3: HP .525..000 1. POSTECIPADA e ANTECIPADA: 8.000 [3.00. Neste capítulo.5 [i] PV (1 + 0. PV = 5.000 (1. vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos.055 [x] [:] [x] R$ 17..505150. a taxa contratual.000 (1 + 0.0..12C 5.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” PV = PMT (1 + i ) n − 1 (1 + i ) n . 04) 3 .75 PMT = R$ 5.0.525.000 5.2 Valor da prestação de uma série “postecipada” PMT = PV (1 + i ) n .42 (1 + 0.000).i ] LN (1 + i ) EXEMPLO Nº 34: Com base nos dados do exemplo 32.75 / 5.000 i = 5.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento “postecipada” n= LN [1 − ( PV / PMT ). se o custo financeiro do lojista é de 4% ao mês? Dados: PV = R$ 1.0.5 n 4 meses [PV] [CHS] [PMT] [i] n=n=- LN [1 − (17.200.Matemática Financeira com HP 12C 8.525.80721675) = 4 meses LN (1. Qual deve ser o valor da prestação na venda em três prestações mensais iguais e sem entrada.200.200 = R$ 432.055] LN (1 + 0.055) LN (0.055) Senac S ão Paulo 60 .00 i = 4% ao mês n = 3 meses PMT = ? Solução 1 HPSolução 2: HP -12C [f] FIN 1.04) 3 − 1 8.525.04 PMT = 1. achar o prazo da operação.75 5.00.200 [PV] 3 [n] 4 [i] PMT R$ 432.i (1 + i ) n − 1 EXEMPLO Nº 33: Um eletrodoméstico é vendido a vista por R$ 1.5% ao mês Solução 1 HPSolução 2: HP -12C [f] FIN 17. Dados: PV = R$ 17.42 (1 + 0. 1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados Na HP 12C.42 i=? Solução 1: (HP 12C) [f] FIN 1. aconselha-se usar somente a HP 12C.5.42 [CHS] [PMT] 3 [n] i 4% ao mês.00 n = 3 meses PMT = R$ 432.200.1 Fórmula do valor presente PV = PMT 8.200 [PV] 432.2 Fórmula da prestação 1 − (1 + i ) − n x (1 + i ) i PMT = PV Senac S ão Paulo (1 + i ) n−1. 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme “postecipada” Para o cálculo da taxa de juros.1. basta pressionar a seqüência teclas [g] [BEG] 8. o procedimento é semelhante ao efetuado nas séries de pagamentos postecipados. para tanto. achar a taxa de juros.i (1 + i ) n − 1 61 . a calculadora deve conte a expressão BEGIN no seu visor.1. porém.5.5. tendo em vista que o cálculo algébrico é muito complexo. EXEMPLO EXEMP LO Nº 35: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 33. Dados: PV = R$ 1.Matemática Financeira com HP 12C 8. 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados” Esta é uma metodologia aplicada em situações de financiamento com prestações ou pagamentos iguais e com entrada. 05 8.500 [CHS] [PMT] 4. Resposta: R$ 53.196.Matemática Financeira com HP 12C 8.000.00 i = 4.00.05 (1 + 0. no regime de juros compostos.500 0.82 Senac S ão Paulo 62 . Resposta: R$ 5.00.6 Valor futuro de uma série uniforme FV = PMT (1 + i ) n − 1 i EXEMPLO Nº 36: Qual é o montante que um poupador acumula em 12 meses.5% ao mês.00 e que o prazo é de quatro meses.500. durante 5 meses. Resposta: R$ 265.349.500 [15.5% ao mês.500 0.5 [i] 12 [n] [FV] R$ 23.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos 1.045 FV = 1. Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.26 3.00 no final de cada um dos próximos oito anos. Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10. à taxa de 5% ao mês. Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2.196.000.500. (série postecipada).63 2.045 FV = 1. sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano. se ele aplicar R$ 1. sabendo-se que o valor presente é R$ 1.695881 0. n = 12 meses FV = ? Solução 1: Solução 2: HP-12C HP [f] FIN 1.525.5% ao mês.464032] FV = R$ 23.000.045)12 − 1 FV = 1. à taxa de 4. no final de cada mês? Dados: PMT = R$ 1. Resposta: R$ 220.480. Resposta: Loja A = 5.07 5. Resposta: R$ 340. Quanto Paulo deverá economizar por mês.5% ao mês para recalcular o valor da prestação. 8.00. Senac S ão Paulo 63 .000. Um automóvel custa a vista o valor de R$ 14. considerando o mesmo preço á vista. desde que Marcos consiga aprovação no vestibular. e se tudo correr bem com 18 anos ele estará ingressando na Faculdade. Na loja “B”. sabendo-se que a taxa do financiamento é 6.00.28 7. No exercício nº 4.1678% ao ano e que o valor do imóvel foi estimado pelo Agente Financeiro em R$ 50. e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais.00.8% ao mês. considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1. Resposta: R$ 453. Marcelo paga uma prestação de R$ 375. sabemos que a idade de Marcos hoje é de 12 anos.00 em 3 vezes iguais (1 + 2) ou com 5% de desconto para pagamento avista. Uma loja “A” oferece uma televisão por R$ 630.69 sem entrada. Loja B = 6% ao mês.36% ao mês. Paulo deseja presentear seu filho Marcos com um carro que hoje custa aproximadamente R$ 13. a mesma televisão é comercializada em 24 pagamentos iguais de R$ 47.25 por mês por conta do financiamento de seu apartamento.000.Matemática Financeira com HP 12C 4. com a taxa de 1. considerando uma previsão de inflação de 7% ao ano. Determine a taxa de juros praticados pelas lojas “A” e “B”.30 6. Determinar o valor das prestações. Pergunta-se: Em quantos meses foi financiado o apartamento de Marcelo? Resposta: 220 meses. 00 300.00 360. a taxa de 5% ao mês pelo sistema SAC Pede-se: Elabore a planilha de financiamento.00 300.00 30.00 300.00 600.00 375.00 15.00 345.00.00 45.00 Amortização Juros 0.1 Sistema de amortização constante (sac) Principal característica: o valor da amortização é constante.00 60. EXEMPLO Nº 37: Um produto de preço igual a R$ 1.00 900.725.00 Prestação 0.00 0.00 75.00 300.500.00 1.00 300. SAC.00 225.500.00 300.00 1. Estudaremos os sistemas mais adotados pelo mercado.500.00 0.00 9. n 0 1 2 3 4 5 Saldo Devedor 1. 9. Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos É comum verificarmos no mercado financeiro e nas operações bancárias. dúvidas quanto ao tipo de metodologia empregada no processo de amortização dos empréstimos e financiamentos. Senac S ão Paulo 64 .200. foi financiado por 5 meses.00 330.00 1.00 315.Matemática Financeira com HP 12C 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização Principal característica: prestação constante. 32 Prestação 0.02 Amortização Juros 0.00 285.00 346.732.98 -0.23 1 [f] AMORT 32.23 329.46 75.329.28 47.0.46 1.21 329.50 [x<>y] 329.28 [RCL] [PV] .00 0.500.96 16.00 271.50 1.46 [RCL] [PV] – 1. foi financiado por 5 meses. a taxa de 5% ao mês pelo Sistema Price.644.46 346.98 1 [f] AMORT 16.25 32.54 943.00 1.500. Price n 0 1 2 3 4 Saldo Devedor 1.21 [x<>y] 314.46 346.51 644.30 Solução na HP 12C [f] FIN 1.25 [RCL] [PV] .02 Senac S ão Paulo 65 .499.228. Pede-se: Elabore a planilha de financiamento.46 1 [f] AMORT 75.500 [CHS] [PV] 5 [i] 5 [n] [PMT] = R$ 346.00.98 232.18 314.03 61.43 [x<>y] 285.51 1 [f] AMORT 47.96 [RCL] [PV] .03 [RCL] [PV] .46 346.00 [x<>y] 271.943.228.46 346.18 [x<>y] 299.Matemática Financeira com HP 12C EXEMPLO Nº 38: Um produto de preço igual a R$ 1.43 299.54 1 [f] AMORT 61. Matemática Financeira com HP 12C 10 Aplicabilidade da matemática financeira 10. 3 – O CDB é transferível por endosso nominativo e o RDB é intransferível.000. pergunta-se. Não incide IOF sobre os rendimentos. a taxa de 27% aa (base 360 dias).00 em CDB de 33 dias corridos e 22 dias úteis. EXEMPLO Nº 39: Sr Pedro aplicou $ 25. posteriormente. a) Montante Bruto b) Rendimento Bruto c) Imposto de Renda d) Montante liquido e) taxa efetiva liquida do período f) a taxa over liquida no período Senac S ão Paulo 66 . repassados aos clientes nas operações de financiamento tradicionais do mercado de crédito. Tais recursos são. 4 – CDB/RDB são gravados a alíquota de 20% sobre o rendimento bruto para efeito de imposto de renda retido na fonte por ocasião do resgate.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito bancário (RDB) O CDB e RDB são títulos emitidos por bancos registrados na CETIP (Central de Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos). os pósfixados com prazo mínimo de 120 dias corridos. e utilizados para captação de recursos junto aos investidores. 2 – CDB/RDB pré-fixados são emitidos com prazo mínimo de 30 dias corridos. A alíquota do IR é de 20%. Pela legislação em vigor: 1 – CDB/RDB podem ser pré ou pós-fixados. 1] x 3000 Iover = 2.03 E) Taxa Efetiva Liquida no Período HPSolução 2: HP -12C 25000 27 33 360 FV CHS PV I ENTER ÷ N R$ 25.017721 Enter + 1 Enter 22 ÷ Yx 1 – 3000 x Senac S ão Paulo 67 .017721)1/22 .1 x 100 Ip = [(25.000.79 C) Imposto de Renda na Fonte IR = RB x Alíquota IR = $ 553.553.00 = $ 553.00 I = 27% ao ano N = 33 dias corridos B) Rendimento Bruto RB = FV – PV RB = $ 25.443.1] x 3000 Iover = [ 1 + 0.p.76 D) Montante Liquido FVL = FV – IR FVL = $ 25.00) – 1] x 100 Ip = 1. F) Taxa over liquida no período Iover = [( 1 + ip)1/du .o.000.553.443.76 = $ 25.5105% a.03 / 25.m.79 – 110.79 .$ 25.000.79 x 20% = $ 110. Resolução pela HP 12C 1 Enter 0.7721 % a.553.79 (A) ip = Fvl Pv .Matemática Financeira com HP 12C Dados: FV = ? PV = R$ 25. 99 b) O rendimento bruto = R.480.000.99 c) O imposto de renda = R.61 R.000.240. Muita brava foi ao gerente reclamar que havia perdido 6. Suponhamos que você seja o gerente deste banco.00 em um CDB de 33 dias corridos e 18 dias úteis. por 30 dias corridos e correspondentes há 21 dias úteis.00 em um CDB no Banco ZZZ S. = R.: $ 317.5% ao ano (base 360 dias).79 e) Taxa efetiva liquida no período. 3. A alíquota de Imposto de Renda para os dois casos é de 20%.20 d) Montante liquido = R.067.: 4. a taxa de TR + 13. No dia seguinte.39% já descontado o I. A variação da TR é de 0. a taxa de 32% aa.37 Senac S ão Paulo 68 . 2.75% a.072. pretende aplicar sobra de caixa de R$ 5.: A taxa será igual para os dois casos 3.800. Uma empresa no ramo metalúrgico.A. 33 dias corridos e correspondentes há 22 dias úteis. para um período de 150 dias.800.: Banco ZZZ $ 5.20 aa.648. Calcule: a) Montante bruto = R. Dona Sebastiana aplicou $ 300.: $ 314.: $ 3.560. Suponha que o Banco XXX S. num RDB pós-fixado.Matemática Financeira com HP 12C Exercícios 1. O IR na fonte é de 20 % sobre o rendimento bruto.p.: Banco XXX $ 5.A. a) Calcule o Valor Bruto dos dois casos R.04 pontos percentuais de taxa anual.R. que paga 17. Dona Joana aplicou $ 20.04% aa. pague 17% ao ano (360 dias).60%.00.000.: $17. que resposta você daria a Dona Joana? R.000. ela verificou que a taxa anual do CDB para 30 dias corridos e 19 dias úteis oferecia uma remuneração de 38. 07 c) Taxa efetiva no período R.: Banco ZZZ 1.529. R.: Banco XXX 1.m.496. Senac S ão Paulo 69 .1597% ap.Matemática Financeira com HP 12C b) Calcule o Imposto de Renda R.: Banco ZZZ 1. d) Taxa Over Mensal R.0823% ap.o.: Banco ZZZ $ 13.5383% a.72 R.o.: Banco XXX 1.m.: Banco XXX $ 14. R.5727% a. 000.000.000 [g] CFj 6.00 R$ 6.a.04% a.000 [g] CFj 11.000 [g] CFj 5.000.000 [g] CFj [f] IRR 17.00 R$ 11.000.68 Senac S ão Paulo Solução na HP 12C (Projeto 2) F FIN 50.04 a. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIR C.68) Projeto nº 2 R$ (50.000 [g] CFj 8.926.000 [CHS] [g] CF0 5.00 R$ 7.000.2.00 R$ 9. 15 [i] [f] NPV R$ -7.000 [g] CFj 11.000.00) R$ 5.a.000.00 R$ 13.00 R$ 10.000 [g] CFj 9.00 R$ 8.000.000 [g] CFj 10.926.000.00 R$ 8.283.Taxa interna de retorno (I RR) e valor presente líquido (NPV) Este caso típico onde a calculadora HP 12C é muito útil.000.000.28 Solução na HP 12C (Projeto 1) F FIN 50.000 [g] CFj 7.a.000 [g] CFj 13.a.00 11.000.000 [g] CFj 6.Matemática Financeira com HP 12C Neste capítulo. tendo em vista que o calculo da taxa interna de retorno é muito complexo.000.000.000.38% a. 15% a.000.000 [g] CFj 12.00 R$ 12.00 R$ 5.00 R$ 6. estaremos abordando a matemática financeira como ferramenta de análise e toma de decisão.000 [g] CFj [f] IRR 11. 15 [i] [f] NPV R$ 3.00) R$ 14.000. (7.283. (IRR) 10.000 [g] CFj 14.000.00 R$ 10.00 R$ 13.00 17.000.00 R$ 9.000.a.000 [CHS] [g] CF0 14. 15% a.000.00 R$ 7.000 [g] CFj 10.000 [g] CFj 9.38% a. EXEMPLO Nº 40: Determinar a IRR e NPV dos seguintes fluxos de caixa.00 R$ 12.00 R$ 14.000 [g] CFj 8.OP VPL Projeto nº 1 R$ (50.00 R$ 11. 3.000.a.000 [g] CFj 12.000 [g] CFj 13.000 [g] CFj 7.28 70 . 01 (1 + 0.000 − 276. basta adicionar ao valor da contraprestação sem valor residual (R$ 15.723. encontraremos o valor de R$ 15.3 Valor da prestação de leasing PMTL = (1 + i ) n .: Se financiarmos o valor de R$ 276. (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 EXEMPLO Nº 41: Uma empresa contrata uma operação de leasing de 24 meses.2C F FIN 50.64).ir PV − .18 (contraprestação sem valor residual) [FV] [PMT] R$ 2.00 e que o valor residual garantido final é de 1%.Matemática Financeira com HP 12C 10.025 PMTL = 50.780.795.780.025) 24 − 1 PMTL = [50.18 HPSolução 2: HP .44] . para encontrar o valor da contraprestação com valor residual incluso. Senac S ão Paulo 71 . [0.44 com a mesma taxa e prazo.055913] = R$ 2.56] .5% ao mês.18 = R$ 2.000 1 2. Calcule o valor da contraprestação.64 (contraprestação com valor residual) 0.0.000. Solução 1 50. PMTL = [49.808726 Obs. sabendo-se que o valor do ativo fixo é de R$ 50.025) 24 (1 + 0.045218 0.000 x 0.5 24 0 [%] [CHS] [PV] [ENTER] [CHS] [FV] [i] [n] [PMT] R$ 2.025) 24 .780.46. Neste caso.795.i PV .46 + R$ 2. à taxa de juros de 2. (1 + 0.000 − . considerando os seguintes dados: Custo Direto ICMS IPI PIS Cofins Margem de Contribuição Solução 1: R$ 200.3165 1.10 PRV = 200.712273] 0.03 1 + 0.6) x[1 − (0.04) x 1 − 200.00 18% 10% 0. Professor José Dutra Vieira Sobrinho. 2ª edição.6) x 1 − 0. .65% 3% 40% PRV = (1 − 0.10 PRV = 0. Senac S ão Paulo 72 .6) x[0.18 + 0. Editora Atlas.00 0.00 200 = = R$ 467.287727 )] 200.4 Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual preço Preço de Venda (PRV) = CustoDireto %impostos (1 − mc).Matemática Financeira.0065 + 0.10 PRV = 200. Professor Carlos Shinoda.[1 − ( )] 1 + %ipi EXEMPLO Nº 42: Calcular o preço de venda de um produto. 5º edição.00 (0.00 (0.10 + 0. editora Atlas.99 (0.6) x 1 − 200.3165 1.Matemática Financeira com HP 12C 10.00 (0.427364 PRV = Referências e Citações Finais: Alguns exercícios desta apostila foram extraídos ou adaptados das seguintes obras. .Matemática Financeira para usuários do Excel. Luiz Carlos. Excel 1998. José Nicolau. 1999. Rio Investimento de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas. Saraiva. Financeira. Matemática financeira. 1985. Carlos. SHINODA. São Paulo: Atlas. PUCCINI. EWALD. São Paulo: Atlas. aplicações 1992. 4ª edição.Samuel. José Dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP -12C 1ª edição. Alexandre. 1996. Referências Referências Bibliográficas ASSAF NETO. São Paulo: Atlas. Matemática Financeira para usuário do Excel. Senac S ão Paulo 73 . Matemática Financeira objetiva e aplicada 6ª edição: aplicada. São Paulo: Atlas. Matemática Financeira e suas aplicações. 1993.POMPEO. Abelardo de Lima. VIEIRA SOBRINO. VIEIRA SOBRINO. José Dutra. HAZZAN.Matemática Financeira com HP 12C 11. HP-12C. Matemática Financeira 5ª edição. Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento. 1999.São Paulo: financeira Editora Atual.