MEC - SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO - DEPEM- UNIDADE I: VÍNCULOS E APOIOS São elementos de construção que impedem os movimentos de uma estrutura. Em estruturas planas, podem ser classificados em três tipos: I.1 – Vínculo Simples ou Móvel Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção normal ao plano de apoio, fornecendo uma única reação (normal ao plano de apoio). Representação simbólica: I.2 – Vínculo Duplo ou Fixo Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções, ou seja, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio, podendo fornecer duas reações, uma para cada plano. Representação Simbólica: I.3 - Engastamento Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção, além de impedir a rotação do mesmo, através de um contra-momento, que bloqueia a ação do momento de solicitação. 1 MEC - SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO - DEPEM - ESTRUTURAS Denomina-se estrutura ao conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade de receber e transmitir esforços. As estruturas planas são classificadas através de sua estaticidade em 3 tipos: a) Estruturas Hipoestáticas: São instáveis quanto à estaticidade, e por isso serão bem pouco utilizadas nesse nosso contexto. Recebem essa classificação devido ao fato de o número de equações da estática ser superior ao número de incógnitas. Exemplo: b) Estruturas Isostáticas: A estrutura é classificada como isoestática quando o número de reações a serem determinadas coincide com o número de equações da estática. Exemplo: c) Estruturas Hiperestáticas: A estrutura é classificada como hiperestática quando as equações da estática são insuficientes para determinar as reações nos apoios. Para tornar possível a solução destas estruturas, deve-se também, utilizar as equações de deslocamento, estudadas posteriormente em resistência dos materiais. Exemplo: 2 um efeito de tração ou compressão. por ser perpendicular à seção transversal da peça.MEC . a carga que atua na direção do eixo longitudinal da peça.DEPEM - UNIDADE II: EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio. FY = 0 e ∑ Desta forma conclui-se que. É denominada normal. 2-) A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do plano de forças será nula. ∑ FX = 0. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . 3 .2 – Tração e Compressão Em uma peça. a ação da força axial atuante. M = 0. ∑ II. II.1 – Força Axial ou Normal F É definida como força axial ou normal.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. é necessário que sejam satisfeitas as seguintes condições: 1-) A resultante do sistema de forças atuante deve ser nula. para forças coplanares. originará nesta. Compressão na peça: A peça estará comprimida quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o interior.4. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO .SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. II. – Tração e Compressão em Relação ao Nó Peça Tracionada: Sempre que a peça estiver sendo tracionada. Peça Comprimida: Sempre que a peça estiver sendo comprimida. o nó estará sendo “empurrado”. componentes de uma estrutura. o nó estará sendo “puxado”. II.DEPEM - Tração na peça: A peça estará tracionada quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o seu exterior.MEC .3 – Ligação ou Nó Nó é todo ponto de interligação dos elementos de construção. 4 . Exercícios: II.DEPEM - II. Exercícios: II.a) Determine as componentes ortogonais F X e FY de uma carga F de 100N que forma 40º com a horizontal: II. em x e y. b) O ângulo que F forma com a horizontal.6. c) O ângulo que F forma com a vertical: II.6. podendo ser resolvida gráfica ou analiticamente: II.c) As cargas F1= 200N e F2= 600N formam entre si um ângulo α = 60º. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . (2) e (3): 5 . Determinar a resultante das cargas (F) e o ângulo ( γ ) que F forma com a horizontal: Determinação analítica da direção da resultante ( γ ) II.7. Consiste na determinação da resultante de um sistema. Calcular as forças normais atuantes nos cabos (1).b) As componentes de uma carga F são respectivamente F X= 120N e FY= 90N.6 – Determinação Analítica da Resultante de duas Forças que Formam entre Si um Ângulo α . Determinar: a) A resultante F.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.a) A construção representada na figura está em equilíbrio.MEC .5 – Composição e Decomposição de Forças em componentes ortogonais Determinação de alfa (α) e beta (β) a partir de F x e Fy .6.7 – Método das Projeções O estudo do equilíbrio neste método consiste em decompor as componentes das forças coplanares atuantes no sistema. b”.b) Considerando a figura em equilíbrio. Determinar as forças normais atuantes nas barras (1).8 – Momento de uma força O momento de uma força em relação a um ponto qualquer de referência é definido como sendo o produto entre a intensidade de carga aplicada e a respectiva distância em relação ao ponto. Observa-se que a direção da força e a distância estarão sempre defasadas de 90º.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. (2) e (3): II. Adotaremos positivo (+). 6 . (2) e (3): II.c”.MEC . Na figura abaixo. calcular as forças normais atuantes nos cabos (1). o momento que obedecer ao sentido horário.7.DEPEM - II.c) Uma carga de 1000kgf está suspensa conforme a figura. o momento da força F em relação ao ponto A será obtido através do produto “F.7. da mesma forma que o produto da carga P em relação a A será obtido através de “P. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . Rd = Hb + Vc Exercícios: II. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . c. Ou seja. carregadas conforme mostram as figuras a seguir: a) Viga solicitada por carga perpendicular: 7 .DEPEM - Teorema de Varignon O momento da resultante de duas forças concorrentes em um ponto “E” qualquer do seu plano.MEC . b. em relação a um ponto “A” de referência.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.8.a) Determinar as reações nos apoios das vigas a. é igual a soma algébrica dos momentos das componentes da força resultante. em relação a este ponto. d. MEC . isto é. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . cargas que atuam em um determinado ponto ou região com área desprezível. estudou-se somente a ação de cargas concentradas.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.DEPEM - b) Viga solicitada por carga inclinada: c) Viga solicitada por carga paralela ao suporte principal: d) Viga solicitada por torque: UNIDADE III: CARGA DISTRIBUÍDA Até o presente momento. Nesta 8 . ou seja.MEC .1.1 – Exemplos da cargas distribuídas Exemplo III.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. cargas que atuam ao longo de um trecho.3 – O peso de uma laje em uma viga 9 .1 – O próprio peso de uma viga Exemplo III. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . III.1.1. os estudos passam a levar em consideração a ação de cargas distribuídas.2 – O peso de uma caixa d’água atuando sobre uma viga Exemplo III.DEPEM - Unidade III. a) III. conforme as figuras dadas: III. que é determinada calculando-se a área total da figura.1. de áreas elementares correspondentes. etc.b) 10 .MEC .1. comportas. nas vigas solicitadas pela ação das cargas distribuídas.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. Exercícios: III. Observam-se nos exemplos anteriores que as superfícies das figuras estão sujeitas a infinitas forças elementares.DEPEM - Podem ser citados ainda como exemplos barragens. O somatório dessas cargas elementares expressará uma única resultante. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . tanques.1) Determinar as reações nos apoios. c) III.2) Determinar a reação no apoio A e a força normal na barra (1).MEC . Qual o ângulo α que RA forma com a horizontal? 11 .1.1. na viga carregada conforme a figura dada. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO .DEPEM - III.d) III.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. 3) Determinar as reações nos apoios A e B. Qual o ângulo α que RA forma com a horizontal? Partindo-se para a construção de um esquema de forças.DEPEM - III.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. da construção representada na figura dada. obtem-se o esquema abaixo: UNIDADE IV: CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA 12 .MEC . CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . quadrados. tais como retângulos. IV. FÓRMULAS DE ALGUNS CENTROS DE GRAVIDADE DE SUPERFÍCIES PLANAS 13 .MEC . etc. no qual se concentra a superfície.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. cujos centros de gravidade são conhecidos. triângulos. As coordenadas do centro de gravidade são determinadas através da relação entre somatório dos momentos de inércia dessas superfícies e as áreas totais das mesmas.1. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . divide-se a superfície plana em superfícies geométricas. Para simplificar a determinação do centro de gravidade.2 – Momento de Inércia de um Elemento de Superfície O momento de inércia de um elemento de superfície é definido através do produto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo de referência. que serão obtidas através da relação entre o respectivo momento estático de superfície e a área total desta. A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas X G e YG. ou fora desta.DEPEM - IV.Centro de Gravidade O centro de gravidade de uma superfície plana é um ponto localizado na própria figura. MEC .DEPEM - 14 .SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . a) Determinar as coordenadas do centro de gravidade de cantoneira de abas desiguais representada na figura a seguir: 15 .SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.DEPEM - Exercícios: IV.MEC . CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . representada na figura a seguir: 16 .c) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície hachurada.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. representada na figura a seguir: IV.c) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície hachurada.b) Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil “U”.MEC . CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . representado na figura a seguir: IV.DEPEM - IV. DEPEM - UNIDADE V: ATRITO E PLANO INCLINADO Considerando-se as seguintes leis da Física: 1ª Lei de Newton: Todo corpo que não se encontra sob a ação de forças. este reagirá exercendo em B uma outra força. se está em movimento. V. permanece parado. as mesmas tendem a se interpenetrarem. uma em relação a outra. mas de sentido contrário. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . se ele está parado. 2ª Lei de Newton: A resultante das forças que agem sobre um ponto material é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida. continua em movimento.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. Enquanto as superfícies são deslocadas. 17 . não sofre variação de velocidade.1. mantendo sempre a mesma velocidade. de mesma intensidade e direção.ATRITO Conceitua-se Atrito como a resistência que os corpos em contato oferecem ao movimento. Isso significa que.MEC . É provocado pela rugosidade (aspereza) existente nas superfícies em contato. F = ma (kgm/s2 = N) Peso de um corpo é a força com que a Terra o atrai: P = mg 3ª Lei de Newton: Sempre que um corpo B exerce uma força sobre um corpo A. oferecendo resistência ao movimento relativo. 1. o solo é liso.2. 3ª) A força de atrito estático é proporcional à força normal (perpendicular às superfícies). o solo é muito áspero.1.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.1. se o coeficiente de atrito é pequeno. FAT = µe N O coeficiente de atrito (µe ou µd) permite saber se o solo exerce muito ou pouco atrito sobre o corpo que está em contato com ele. 2ª) A força de atrito estático depende da natureza das superfícies de contato. 1ª) A força de atrito estático é independente da área de contato entre as duas superfícies. denominado força de atrito de destaque (ou de arranque). 0 ≤ FATRest ≤ FATRdest onde.Plano Inclinado 18 .DEPEM - Tipos de Atrito: V. V. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO .2. A intensidade da força de atrito varia do zero (quando não há solicitação de movimento) até um valor máximo. Se o coeficiente de atrito é grande.Atrito Dinâmico: É aquele que atua quando há movimento relativo entre os corpos.Atrito Estático: É aquele que atua enquanto não há deslizamento.MEC . V. determine: a) a aceleração comunicada ao sistema.3.a) No sistema da figura. Aplica-se ao bloco A uma força horizontal constante de intensidade F=50N.3 e o coeficiente de atrito dinâmico vale 0.4 e 0. O fio é inextensível e passa sem atrito pela polia.2. O fio e a polia são ideais e g=10m/s2. Responder: a) Qual a intensidade da força de atrito entre o bloco A e o plano inclinado? B) Qual a aceleração do sistema? 19 . As massas de A e B são respectivamente iguais a 10kg e 8kg. c)Fm=50N.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.b) No esquema a seguir. Considerando g=10m/s2. O coeficiente de atrito entre os blocos e a mesa vale 0. Considerar g=10m/s2. b) a intensidade da força tensora da corda.DEPEM - Exercícios V. A e B. e o sistema é abandonado a partir do repouso. V.MEC . de massa respectivamente iguais a 3kg e 7kg. O plano inclinado é perfeitamente liso. V.4. os corpos A e B tem massa m A=6kg e mB=4kg. b)Fm=10N. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o bloco e a superfície são µ e e µd iguais a 0.2. Determine a intensidade da força de atrito que atua sobre o bloco quando:a) F m=0N.2. vale 0. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . Sabendo-se que g=10m/s2. o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano. apóiam-se sobre uma mesa horizontal.b) Dois blocos.a) Um bloco tem massa igual a 8kg e repousa sobre uma superfície horizontal. respectivamente. Aplica-se ao bloco uma força motriz horizontal F m.1.1. Responder: a) Qual a aceleração dos corpos A e B? b)Qual a intensidade da tração no fio? V. etc. tais como: energia mecânica. Ela se manifesta de formas diferentes.TRABALHO Num conceito geral. Ta. podese dizer que energia é a capacidade de realizar trabalho.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. calorífica. etc. Como energias renováveis podem-se citar o Sol. Desta forma. a palavra “trabalho” é usada para designar qualquer atividade exercida por um ser humano. Uma força aplicada num corpo realiza um trabalho quando produz um deslocamento desse corpo. as ondas.1. o conceito de trabalho tem o significado de trabalho mecânico.MEC . As fontes de energia classificam-se em não-renováveis e renováveis. Logo. elétrica. Dentre as nãorenováveis podem-se citar os combustíveis nucleares. Logo. etc. química. a energia tem a capacidade de fazer algo funcionar. a biomassa. os ventos. os combustíveis fósseis.DEPEM - UNIDADE VI: TRABALHO E ENERGIA VI.2. magnética. nuclear. o mesmo será chamado simplesmente de trabalho.ENERGIA A energia encontra-se em todo o Universo. Neste estudo. VI. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . Seja qual for a forma que assuma. o trabalho é então representado pela fórmula: Ta.b = Fd (Nm = J) Quando a força não tem a mesma direção do deslocamento.b = Fd cosα (Nm = J) 20 . Trabalho da força peso Considerando um corpo de massa m que se desloca de um ponto A (nível mais alto) para um ponto B (nível mais baixo).b = Ph → Ta.2.2.2. em movimento uniformemente variado. Considerando g=10m/s2.a) Um corpo de massa 2kg e velocidade inicial 2m/s.2.1.b = Pd cosα → Ta. VI. b) O trabalho realizado pela força peso e pela reação normal do apoio durante todo o percurso.b = mgh (Nm = J) Exercício VI. segundo uma trajetória qualquer: Sendo o desnível entre A e B igual a h. adquirindo velocidade final de 3m/s. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0.c) Um corpo com massa de 2kg é abandonado em repouso num plano inclinado. 21 . determinar: a) O trabalho realizado pela força de atrito até o corpo atingir o repouso.MEC . P o peso do corpo e d o deslocamento entre A e B. sobre uma superfície plana e horizontal.2.DEPEM - Exercícios VI. O coeficiente de atrito entre o plano e a superfície é 0. o trabalho realizado pela força peso é dado por: Ta.2. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . Considerando g=10m/s 2. Qual o trabalho realizado pela força resultante nesse deslocamento? VI.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.b) Um corpo de massa 6kg é lançado horizontalmente com velocidade de 20m/s. determinar os trabalhos da força peso e da força de atrito no percurso do corpo. desloca-se em linha reta por 3m. de A até B. VI.2. onde Pot.2. Neste caso. = T/∆t = Fd/Δt . a potência é chamada de potência térmica. = Fv onde Pot.MEC . denominadas de quilowatts (kW). Se a energia é transferida sob a forma de energia elétrica. tem-se: Pot. a potência é chamada de potência elétrica. Méd. ficará caracterizada a potência instantânea. 1kW = 1000W Cavalo-vapor: cv = 735W Horse-power: hp = 746W megawatt: 1MW = 106 W Se a energia é transferida sob a forma de trabalho. Se a energia é transferida sob a forma de calor. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO .2. Méd. F = Intensidade da força aplicada.Potência A potência média de um sistema ou de uma força que realiza um trabalho é o quociente entre o trabalho realizado e o intervalo de tempo gasto na realização desse trabalho. = T/∆t (J/s = W) A potência média pode ser dada por: Pot. V = Velocidade Instantânea Como a unidade watt é uma unidade de potência muito pequena. = Potência Instantânea. 22 .DEPEM - VI.Rendimento Uma máquina é um dispositivo mecânico utilizado para executar uma tarefa de modo mais rápido ou mais conveniente. usam-se unidades de 1000W. Méd. Pot. = Fvm Se o tempo gasto na realização do trabalho for muito pequeno (Δt→0).3.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. a potência é chamada de potência mecânica. o trem desenvolve uma potência útil (Pu). em metros por segundo? . além de multiplicar força. em metros por segundo ao quadrado? . Por exemplo: para um trem elétrico funcionar. pois uma parte da potência total é utilizada para vencer as resistências passivas.Sabendo-se que a massa do carro é 1000kg. η = Pu /Pt Exercício VI.Qual a potência do carro no instante 10s? VI. Isto quer dizer que a potência fornecida por uma máquina não pode ser maior do que a potência nela aplicada. pois durante o seu funcionamento há dissipação de energia devido principalmente ao atrito. essa velocidade máxima é 108km/h. em linha reta.Qual a aceleração média do carro nesse trecho. A bomba leva água para um reservatório situado a 27m acima do nível do solo. deve-se fornecer a ele uma potência denominada potência elétrica ou potência total (P t). por outro lado. Entretanto uma máquina não multiplica potência. 23 . que provoca o seu deslocamento. responda: . representadas principalmente pelo atrito.Qual o valor dessa velocidade máxima. desprezando-se os atritos? .SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO.8m/s2 e dH2O=1kg/l. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . A potência útil é sempre menor que a potência total. Considerando g=9. qual a potência média (em watts) que ele desenvolve nesse trecho. Nessa situação.2. Para um certo carro.e) Uma bomba é acionada por um motor de 5cv e o seu rendimento é 48%. A parcela da potência total que é dissipada é denominada potência dissipada (P d) ou potência perdida. define-se a grandeza rendimento (η) como sendo o quociente entre a potência útil e a potência total recebida. aproximadamente. a partir do repouso. determinar o volume de água bombeada em 1h.2.d) A potência de um carro geralmente é medida pela velocidade máxima que ele é capaz de atingir em 10s de movimento.DEPEM - Toda máquina transforma energia. A relação entre essas grandezas é dada por Pt = P u + P d Para qualificar uma máquina quanto a sua eficiência.MEC . Walter. 2ª Edição. CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE NÍVEL MÉDIO . RJ. Sarkis. Volume Único. BONJORNO.MEC . Clinton Márcico. Estática. James L. Regina Azenha.SETEC INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO. 24 . Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. FTD. 672 p. SP: 2007. Editora Érica Ltda. Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. José Roberto.. RAMOS. São Paulo. BONJORNO. 2ª Edição. BONJORNO.DEPEM - UNIDADE VII: REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MELCONIAN. SP: 2005. 1985. MERIAM. 361 p. Ensino Médio. São Paulo. Rio de Janeiro. 326 p. Física: História & Cotidiano. 18ª Edição.