UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSOFACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA CURSO DE EXTENSÃO EM GEOREFERENCIAMENTO APLICADO À GEODÉSIA Disciplina: GEODÉSIA APLICADA AO GEOREFERENCIAMENTO Professor: BERTHIER DE CARVALHO FILHO CUIABÁ – MT MARÇO – 2009 Berthier de Carvalho Filho ii APRESENTAÇÃO A Geodésia Geométrica é abrangente, para mim seria válido tentar abranger a totalidade deste assunto de modo genérico. Se assim eu fizesse, encontraria dois problemas. Primeiro, teria dificuldade em introduzir detalhes suficientes em qualquer das áreas da Geodésia; segundo, veria que a grande parte da matéria seria impossível em tão pouco tempo. O que tentamos fazer neste material didático foi selecionar parte dos assuntos que trata do georreferenciamento de imóveis rurais, geoprocessamento e tratá-los em profundidade sem fugir da diretriz traçada com o fim a que se destina o assunto. Parte desta apostila é original, mas a outra inclui a experiência e o trabalho de outros professores, como indicamos na extensa bibliografia. A literatura sobre o assunto é vasta em outros países, sendo muito escassa no Brasil, foi escrita principalmente para programas de ensino, com intuito de suprir a necessidade de um livro a respeito. Tendo esta característica, torna-se necessário fazer revisões periódicas com a finalidade de aprimorar e atualizar o seu conteúdo. As críticas e sugestões, com objetivo de melhorar a qualidade deste trabalho, serão bem vindas por mim. Contato:
[email protected] Professor Berthier de Carvalho Filho Berthier de Carvalho Filho iii INDICE 1 GEODÉSIA: CONCEITOS INTRODUTÓRIOS............................................................. 1 1.1 GEODÉSIA – OBJETO............................................................................................... 1 1.2 GEÓIDE...................................................................................................................... 2 1.2.1 CONCEITO.............................................................................................................. 2 1.3 MODELO GEOMÉTRICO ......................................................................................... 4 1.3.1 ESCORÇO HISTÓRICO: DO PLANO AO ELIPSÓIDE.......................................... 5 1.3.1.1 PRIMEIRAS IDÉIAS............................................................................................ 5 1.3.1.2 ERATÓSTENES – POSIDÔNIO........................................................................... 6 1.3.1.3 PTOLOMEU ....................................................................................................... 11 1.3.1.4 OS ÁRABES....................................................................................................... 12 1.3.1.5 PICARD.............................................................................................................. 13 1.3.1.6 NEWTON............................................................................................................ 14 1.3.1.7 CASSINI ............................................................................................................. 15 2 MODÊLO GEOMÉTRICO COMO SUPERFÍCIE DE REFERÊNCIA........................ 17 2.1 PARÂMETROS DO MODELO................................................................................ 17 2.2 DISTINÇÃO ENTRE GEÓIDE E ELIPSÓIDE......................................................... 19 3 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS E COORDENADAS GEODÉSICAS................................................................................................................... 20 3.1 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS ................................... 20 3.2 COORDENADAS GEODÉSICAS............................................................................ 21 4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE...................................................................................... 23 4.1 ELIPSÓIDE TERRESTRE........................................................................................ 24 4.1.1 ELEMENTOS DO ELIPSÓIDE ............................................................................. 24 4.1.1.1 ACHATAMENTO .............................................................................................. 24 b = 6.356.912,0000 m...................................................................................................... 27 4.1.1.2 PRIMEIRA EXCENTRICIDADE ....................................................................... 27 4.1.1.3 SEGUNDA EXCENTRICIDADE ....................................................................... 29 4.1.1.4 RELAÇÃO ENTRE ACHATAMENTO E EXCENTRICIDADE........................ 30 4.1.1.7 CÁLCULO DA GRANDE E PEQUENA NORMAL........................................... 35 4.1.1.8 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DA SEÇÃO MERIDIANA........... 38 4.1.1.9 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DE SEÇÃO NORMAL QUALQUER DE AZIMUTE α OU OBLÍQUA................................................................................... 40 4.1.2.0 RAIO MÉDIO DE CURVATURA...................................................................... 41 5 APLICAÇÕES DOS RAIOS DA TERRA ..................................................................... 43 a) Raio equatorial (a) ....................................................................................................... 43 b) Raio polar (b) .............................................................................................................. 44 c) Grande normal (N) ...................................................................................................... 44 d) Pequena normal (N’) ................................................................................................... 44 e) Raio da seção meridiana (M) ....................................................................................... 44 f) Raio de um paralelo (r) ................................................................................................ 45 g) Raio médio (R m ).......................................................................................................... 45 h) Raio geográfico ( g R ).................................................................................................. 45 i) Raio da seção oblíqua (R α ) ......................................................................................... 45 j) Raio vetor ( v R ) ........................................................................................................... 45 Berthier de Carvalho Filho iv 5.1 APLICAÇÕES DOS RAIOS DO ELIPSÓIDE.......................................................... 46 5.2 COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO.................................................. 50 5.3 CÁLCULO ENVOLVENDO TODOS OS RAIOS DO ELIPSÓIDE ......................... 51 6 ÁREAS NA SUPERFÍCIE DO ELIPSÓIDE ................................................................ 62 6.1 ÁREA DO QUADRILÁTERO ESFÉRICO............................................................... 62 Constantes do Elipsóide U.G.G.I. – 67 ............................................................................ 64 6.2 ÁREA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO.............................................................. 64 6.3.1 MODELO MATEMÁTICO.................................................................................... 65 6.3.1.1 LADO ................................................................................................................. 65 6.3.1.2 AZIMUTE A PARTIR DO SUL.......................................................................... 66 6.3.1.3 CONTRA AZIMUTE.......................................................................................... 66 7 EXEMPLO APLICATIVO RESOLVIDO.................................................................... 69 7.2 CÁLCULO DO LADO PROVISÓRIO (1ª aproximação) .......................................... 70 7.5 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (3ª aproximação)............................................. 73 7.6 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (4ª aproximação)............................................. 74 7.7 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE DEFINITIVO ................................................. 76 8 ÁREA DE UMA ZONA ELIPSOIDAL........................................................................ 77 9 ALTITUDES ORTOMÉTRICA, GEOMÉTRICA E ONDULAÇÃO DO GEÓIDE. ... 78 9.1 TRANSPORTE DE ALTITUDES COM GPS UTILIZANDO DIFERENÇA DE NÍVEL DE ONDULAÇÃO GEOIDAL........................................................................... 80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................ 87 Berthier de Carvalho Filho 1 1 GEODÉSIA: CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 1.1 GEODÉSIA – OBJETO O objetivo último da Geodésia é a determinação da forma e das dimensões da Terra. Face às irregularidades da superfície terrestre, tal determinação exige o levantamento de pontos escolhidos sobre a mesma em número e distribuição geográfica compatíveis com a precisão desejada e com as restrições de ordem prática e econômica; os demais pontos são obtidos por interpolação. Obviamente numa primeira aproximação as irregularidades da superfície podem ser negligenciadas reduzindo-se o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado. A Geodésia do século XIX praticamente se concentrou na pesquisa dos parâmetros do “melhor elipsóide”. Para atingir o seu objetivo a Geodésia pode valer-se de operações geométricas, realizadas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distâncias) associadas à esparsas determinações astronômicas; ou valer-se de medidas gravimétricas que conduzem ao conhecimento detalhado do campo de gravidade; ou, mais modernamente, valer-se de medidas efetuadas sobre satélites artificiais. Mas, se a superfície terrestre continental se prolonga naturalmente ao leito dos oceanos, cabe também à Geodésia a descrição submarina. Por outro lado o avanço tecnológico, conduzindo a equipamentos sofisticados que permitem medidas cada vez mais precisas, torna obrigatória a consideração da elasticidade do planeta; e daí a necessidade de encarar as coordenadas de um ponto terrestre como função do tempo. Tais implicações e outras mais robustecem de maneira significativa a “ciência geodésica” cuja importância cresce dia a dia seja pelo seu desempenho como ciência independente seja pelos subsídios que proporcionam as outras ciências. Berthier de Carvalho Filho 2 Repetindo para enfatizar: “A GEODÉSIA É A CIÊNCIA QUE TEM POR OBJETIVO DETERMINAR A FORMA E AS DIMENSÕES DA TERRA E OS PARÂMETROS DEFINIDORES DO CAMPO GRAVÍFICO”. Do ponto de vista didático, nos parece conveniente a divisão sugerida linhas acima: Geodésica Geométrica Geodésia Física Geodésia Celeste Nesta apostila cogitaremos apenas a Geodésia Geométrica, a mais antiga e, do ponto de vista utilitário (suporte aos serviços de descrição geométrica a superfície terrestre através do mapeamento) a que ainda continua mais extensiva utilizada, pois as outras foge ao escopo deste trabalho. 1.2 GEÓIDE 1.2.1 CONCEITO Como se sabe, a Terra não é perfeitamente esférica, sua forma real é considerada como sendo aquela obtida pelo prolongamento da superfície média dos oceanos através dos continentes, idealizada por Carl Friedrich Gauss (físico e matemático alemão, 1777-1855), conhecido como Geóide. Figura 1.1 - Geóide Berthier de Carvalho Filho 3 O geóide, porém, em virtude de suas ondulações, é uma figura de difícil tratamento matemático. Mas, felizmente, as muitas determinações feitas em diversos lugares do globo mostraram que o geóide se confunde muito sensivelmente com um elipsóide de revolução, tendo o seu eixo menor, quase que coincidente com a linha dos pólos. Assim, os geodésistas sentiram necessidade de introduzir uma nova superfície que aproximasse do geóide, o que diminuiria a influência dos erros da "aproximação esférica". Esta figura deveria também ser matematicamente conhecida. Desta forma, surgiu o elipsóide (quase sempre se utiliza o elipsóide de revolução), superfície na qual são calculadas as coordenadas geodésicas. O fio de prumo de um teodolito, nivelado num determinado ponto da superfície física da Terra, materializa uma linha perpendicular ao geóide, denominada vertical. Outra linha, que passa por este mesmo ponto, porém, perpendicular ao elipsóide é conhecida como normal. O ângulo formado entre a normal e a vertical é designado como desvio da vertical (Figura 1.2). A diferença entre o geóide e o elipsóide em um dado ponto, ou em outras palavras, o afastamento angular entre as duas superfícies, é determinada em função do desvio da vertical, entre a vertical à superfície do geóide e a normal à superfície do elipsóide. O desvio será máximo nos pontos onde as duas superfícies se interceptam. O leitor já deve ter percebido que o desvio da vertical (normalmente da ordem de poucos segundos de arco) anula-se quando o geóide e o elipsóide na área considerada são “paralelos”; pois neste caso vertical e normal serão coplanares, com a conseqüente coincidência das coordenadas astronômicas e geodésicas. Berthier de Carvalho Filho 4 Geóide Elipsóide Nível do Mar Superfície do Terreno V N i Figura 1.2 – Geóide – Elipsóide – Normal – Vertical – Desvio da Vertical 1.3 MODELO GEOMÉTRICO Seja para estudar a forma e as dimensões da Terra, seja para dar apoio aos trabalhos práticos de mapeamento, a Geodésia procura materializar sobre a superfície física do planeta um arcabouço de pontos fundamentais cujas coordenadas são determinadas rigorosamente levando-se em consideração a curvatura terrestre. O primeiro passo consiste na adoção de um modelo; a superfície terrestre pelas suas irregularidades deve, obviamente, ser substituída por um modelo mais simples, regular, geométrico, que se preste ao tratamento matemático e se afaste o menos possível da forma real. Assim um topógrafo para descrever geometricamente certas regiões adota a hipótese simplista do plano topográfico que restringe severamente os limites do seu campo de ação sob pena de proibitiva acumulação de erros. Solução algo mais refinada, e satisfatória em muitos problemas, é proporcionada pelo modelo esférico. Berthier de Carvalho Filho 5 Mas a Geodésia, nos seus trabalhos rotineiros, adota sistematicamente como modelo geométrico, o elipsóide de revolução. Quando e como chegou o Homem a essa solução? Um rápido escorço histórico sobre o problema da forma e dimensões da Terra trará resposta a essa pergunta. 1.3.1 ESCORÇO HISTÓRICO: DO PLANO AO ELIPSÓIDE 1.3.1.1 PRIMEIRAS IDÉIAS Já em recuadas épocas os mistérios do Universo espicaçavam a curiosidade de quantos se atreviam a levantar os olhos e as idéias para o céu e para os astros dando lugar a eclosão de explicações pitorescas, por vezes misto de pré-ciência e misticismo, por vezes só misticismo, através das quais o Homem ensaiava os primeiros passos na luta titânica que ainda prossegue para desvendar os empolgantes segredos da Natureza. Um retrospecto às mais antigas cosmogonias revela-nos, salvo esporádicas exceções, um ponto comum a todas: a transcendente importância atribuída à Terra no cenário universal; e, como é natural, o interesse nas especulações sobre a sua forma. Os poemas de HOMERO nos apresentam a Terra como um imenso disco flutuando no oceano e o Sol como o coche em que os deuses efetuavam o seu passeio diário; e ANAXÁGORAS, por repelir tais idéias, feriu cânones religiosos da época sendo enclausurado numa prisão de Atenas. Também ARISTARCO, cognominado o Copérnico da Antiguidade por se ter antecipado ao genial polonês ao sugerir que a Terra girava em torno do Sol, foi acusado de sacrilégio por aventar hipóteses que perturbavam o descanso dos deuses. Ignoramos a que épocas remontam as primeiras idéias sobre a esfericidade da Terra; sabemos, contudo, que há dois milênios e meio já o genial PITÁGORAS recusava-se a aceitar a concepção simplista de uma Terra plana; enquanto (século V a.C.,) segundo Berthier de Carvalho Filho 6 revela PLATÃO em seus Diálogos, esposava as mesmas idéias não obstante sua incapacidade em prová-las. No século IV a.C., entretanto, a teoria da esfericidade robustecia-se com os argumentos apresentados por ARISTÓTELES: a) contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipses da Lua; b) variação do aspecto do céu estrelado com a latitude; c) diferença de horário na observação de um mesmo eclipse para observadores situados em diferentes meridianos. Aliás, com o estagirita a teoria ganha um aspecto quantitativo, pois que foram atribuídas - sem que saibamos por que – 400.000 estádias para o equador terrestre; contrapondo-se, porém, aos pitagóricos, defendia a imobilidade absoluta do planeta. No século seguinte ARQUIMEDES afirmava ser o diâmetro da Terra superior ao da Lua e inferior ao do Sol, atribuindo 3.000.000 de estádias ao perímetro de uma circunferência máxima. 1.3.1.2 ERATÓSTENES – POSIDÔNIO a) ERATÓSTENES de Alexandria, nascido em Cirene, colônia grega do Norte da África, no ano 276 a.C., foi o autor de uma notável proeza científica ao determinar as dimensões do planeta, suposto esférico, com uma precisão digna de nota quando se tem em conta a precariedade dos meios disponíveis em sua época. Aliás, mesmo na hipótese de ser questionável a precisão que alguns autores lhe atribuem, mera conseqüência de uma feliz compensação de erros, sobram-lhes os méritos – estes irretorquíveis – da concepção do método, utilizado ainda em nossos dias: obter, por operações de natureza geométrica, o comprimento de um arco de meridiano e através de determinações astronômicas, o ângulo das verticais extremas. Berthier de Carvalho Filho 7 Com um gnômom (Figura 1.3) ERATÓSTENES obteve para distância zenital meridiana do Sol no solstício de verão, em Alexandria, valor igual a 1/50 da circunferência; a vila de Syene (atual Assuam) situada à margem direita do Nilo, próxima a primeira catarata, foi suposta situar-se sobre o trópico de câncer, pois rezava a tradição que no dia solsticial do verão o astro-rei iluminava o fundo de um poço. h L Z h = Altura do Gnomom L = Comprimento da Sombra Z = Distância Zenital tgZ = L h Figura 1.3 – Experiência de Eratóstenes Berthier de Carvalho Filho 8 À distância Alexandria – Syene não teria sido difícil estimar com base nos inúmeros trabalhos de agrimensura realizados no vale do Nilo: 5.000 estádias. Admitindo, finalmente, que as duas localidades se achavam situadas no mesmo meridiano, ERATÓSTENES obteve para comprimento do arco de 1º o valor de 694,4 estádias, resultando para a circunferência equatorial, em números redondos, 250.000 estádias (Figura 1.3). Evidentemente não é possível concluir sobre a precisão do trabalho realizado pelo sábio de Alexandria; faltam-nos, de início, dados de confiança quanto a correspondência métrica da estádia; se aceitarmos a 600 pés egípcios e a este conferirmos 0,27 m, resultará o valor verdadeiramente surpreendente de 40.500 km para uma circunferência máxima terrestre. Adotando para a estádia o comprimento de 157,5 m que lhe atribuem alguns autores, o resultado será não menos surpreendente: 39.374 km. De qualquer forma, porém, sabemos hoje que Syene acha- se aproximadamente 3º a leste de Alexandria e que a sua latitude é de 24º05’ N, enquanto a obliqüidade da eclíptica, admitindo-se para a precessão planetária 47” por século, seria, na época de ERATÓSTENES, da ordem de 23º44’. Acompanhem, abaixo, os cálculos feitos por ERATÓSTENES. φΑ φΒ ∆φ EQUADOR R B (SYENA) N CÂNCER TRÓPICO DE A (ALEXANDRIA) Figura 1.4 – Cálculos feitos por ERASTÓTENES Berthier de Carvalho Filho 9 O ângulo φ φφ φ A é a latitude de Alexandria, φ φφ φ B a latitude de Syene e R, o raio da Terra supostamente esférica, Figura 1.4. Figura 1.5 – Observações Astronômicas de ERATÓSTENES Z A = Distância Zenital do Sol em Alexandria Z B = Distância Zenital do Sol em Syene. A A S Z A S Z A Z Z L 1 tgZ circunferência e ZS 0º h 50 - Z - Z Z (medido através do gnomom) 1 circunferência 50 Φ = = = ∆ = Φ Φ ∆ = ∴ ∆ = ∆ = ∴ ∆ = ∆Φ S S A A Z = - Z = - Φ δ Φ δ EQUADOR A B PN ∆φ ZA D Berthier de Carvalho Filho 10 Sendo a declinação do Sol, ângulo contado no meridiano do Sol, do Equador até o Sol. δ A S A S Então: 1 Z - Z = - = circunferência 50 Resulta na seguinte relação: 1 D 50 1 2 R Φ Φ → → π logo: D x 50 R = 2 x x R como: D = 5.000 estádias = 3,16 valor conhecido por ERATÓSTENES na época, era dado por: 256 = = 3,16 81 π π → π Substituindo os valores, resulta: R = 39.556,96 estádias 1 estádia = 157,5 m logo: R = 6230 km A circunferência máxima será: C = 2 x x R C = 39.374 km π b) Cerca de século e meio mais tarde POSIDÔNIO (130 - 150), natural de Apaméia (Síria), valeu-se do método de ERATÓSTENES, desta feita sem utilização do Sol, chegando a um valor ligeiramente inferior para a circunferência da Terra: 240.000 Berthier de Carvalho Filho 11 estádias (desde que tratar-se da mesma unidade). Há certa confusão sobre o assunto; alguns autores atribuem-lhe apenas 180.000 estádias enquanto outros associam a este número a “estádia real egípcia”, com 210 metros. POSIDÔNIO fundamentou-se nos seguintes dados: 1) a distância entre os portos de Rodes e Alexandria (supostos pertencerem ao mesmo meridiano) seria de 5.000 estádias; 2) a estrela Canopus (α Arg), invisível na Grécia continental, culminaria em Rodes no horizonte e em Alexandria com altura igual a “um quarto de um signo do zodíaco”. Observação: Os cálculos ficam por conta do leitor (Figura 1.6) PN PS Q Q' Q Q' A B A B ZENITE NADIR HN HS Figura 1.6 – Experiência de POSIDÔNIO 1.3.1.3 PTOLOMEU CLÁUDIO PTOLOMEU viveu no Egito, no século de nossa era, provavelmente de 100 a 178; foi o autor do famoso sistema Berthier de Carvalho Filho 12 “geocêntrico” que atravessou incólume 14 séculos até esbarrar no gênio de COPÉRNICO. Duas foram as suas principais obras: a “Geografia” e a “Composição Matemática”, esta depois cognominada o “Grande Astrônomo” e, finalmente, batizada pelos árabes com a denominação que ainda hoje conserva: “Almagesto”. No primeiro dos trabalhos citados, que tanta influência exerceu nos cartógrafos do século XV, PTOLOMEU ensaiou uma estimativa das dimensões e forma do “mundo habitado” (Ecúmeno). Concluiu pela esfericidade da Terra lembrando, entre outros argumentos, que o nascer e o ocultar do Sol, Lua e Estrelas, não se dão ao mesmo tempo para todos os observadores e que, “quanto mais avançamos em direção ao norte, mais estrelas do hemisfério sul se tornam invisíveis”. No que concerne às dimensões do globo terrestre, segundo alguns autores teria repetido as observações de ERASTÓTENES e de acordo com outros simplesmente adotados o valor de POSIDÔNIO (180.000), ou seja, 500 estádias para o arco de 1º atribuindo, portanto, à Terra, as dimensões inferiores às reais. Aliás, tal erro seria de benéficas conseqüências por levar os cartógrafos da Renascença, em especial Colombo, a inclinarem-se com mais entusiasmo pela idéia de atingir à Ásia navegando por Oeste. Observação: As dificuldades normais de informações tornam o assunto controverso; FISHER I., em “Another look at Erastosthene’s and Posidonius determinations of the Eart’s cincunference (152 - 167), 1975, rejeita a determinação de POSIDÔNIO (cujos escritos se perderam) e atribui a redução de 25% nas dimensões terrestres ( que seriam explicadas pela substituição do valor de 250.000 por 180.000) à simples confusão entre a milha romana (-1500 m) e a milha árabe (pouco mais de 2 km). 1.3.1.4 OS ÁRABES No primeiro milênio da era cristã a única tentativa conhecida objetivando a determinação das dimensões terrestres coube aos árabes, na terceira década do século IX. Berthier de Carvalho Filho 13 Por iniciativa do califa Al Mamoun, responsável também pela tradução árabe do original grego Almagesto (do qual surgiria no início XV à primeira tradução latina na Europa), a planície de Sindjar, na Mesopotâmia, foi palco de trabalhos que lançaram um pouco de luz na escuridão da Idade Média e que somente seriam retomados cerca de sete séculos mais tarde. Materializada no terreno a direção da meridiana, dois grupos de astrônomos deslocaram-se em sentidos contrários até se distanciarem um grau do ponto de partido; as distâncias medidas sobre o alinhamento com réguas de madeira, conduziram a um valor médio de 2 56 3 milhas árabes. É grande a incerteza relativa à correspondência métrica daquela unidade; aceitando; entretanto, apenas fixar cifras, o valor de 2.100 metros, resultando uma circunferência máxima algo exagerado, de 42.849 km. 1.3.1.5 PICARD A medida de um arco de meridiano por PICARD (Jean Picard 1620 – 1682) assinala, pela técnica utilizada e precisão alcançada, o início das modernas operações geodésicas. Não queremos, entretanto, neste rápido escorço histórico, deixar de lembrar as realizações de alguns de seus predecessores: FERNEL, SNELLIUS, RACCIOLI e NORWOOD. Em 1527 FERNEL mediu a distância entre Paris e Amiens contando as voltas dadas pela roda de seu carro e chegou ao surpreendente valor de 56.746 toesas (T) para o arco meridiano de 1º. SNELLIUS, em 1615, na Holanda obteve o valor de 55.021 T com o grande mérito de ter calculado a distância por de meio de uma triangulação; enquanto RICCIOLI na Itália, procedendo da mesma forma, obtinha 62.900 T. Ambos errôneos, o primeiro por falta e o segundo por excesso. NORWOOD em 1635, medindo diretamente a distância entre Londres e York, obteve o valor 57.424 T. Trinta anos após o trabalho de SNELLIUS, PICARD estabeleceu uma rede de triangulação entre Paris e Amiens, utilizando, pela primeira vez, lunetas munidas de retículos; concluiu Berthier de Carvalho Filho 14 ser de 57.060 T o arco meridiano de 1º, correspondendo a um raio de 6372 km, valor utilizado por NEWTON para verificação da Lei da Gravitação Universal. 1.3.1.6 NEWTON a) As especulações teóricas sobre a forma de equilíbrio de uma massa líquida isolada no espaço e submetida à ação da gravidade (atração e força centrífuga) começaram com NEWTON, no final do século XVII, quando postulou a forma elipsoidal para a Terra. HUYGENS (1690), MACLAURIN (1742) e CLAIRAUT (1743) desenvolveram o assunto demonstrando o postulado newtoniano; aliás, o trabalho de CLAIRAUT é considerado uma autêntica obra- prima, estendendo a demonstração ao caso de um elipsóide não homogêneo. Posteriormente LAPLACE, LEGENDRE, LIAPOUNOFF, POICARE, DARWIN, HAMY, VÊRONNET, etc., ligaram seus nomes ao tema. Foi JACOBI, entretanto, o primeiro a demonstrar (1834) que também o elipsóide escaleno, nas condições propostas, é uma figura de equilíbrio. b) As raízes talvez estejam em COPÉRNICO que esfacelando as esferas do sistema geocêntrico destruiu duplamente o mito da imobilidade da Terra (que remontava a ARISTÓTELES) conferindo-lhe um movimento roto-translatório. Talvez o genial polonês percebesse estar lançando as bases da Astronomia Moderna, mas certamente ignorava as conseqüências de suas idéias, então revolucionárias, no desenvolvimento da Geodésia. Com efeito, as especulações teóricas de NEWTON não toleravam harmonização entre o movimento de rotação e a forma perfeitamente esférica do planeta; ao contrário, postulavam. Como conseqüência da força centrífuga, um eixo polar mais curto, abrindo caminho para a era elipsoidal. Aliás, NEWTON, em abono de suas conclusões teóricas, alude às observações pendulares de RICHTER (em Paris e em Caiena, 1672), de HALLEY, HAYES e outros, revelando todas, o aumento do período com a diminuição da latitude. Lembrando a fórmula aproximada do pêndulo L t 2 g = π e o valor das latitudes aproximadas de Paris ( 50º N) φ ≅ e Caiena na ( 5º N) φ ≅ , o aumento do período verificado da primeira Berthier de Carvalho Filho 15 localidade para a segunda (tc > tp) implica admitida, a constância do comprimento do pêndulo, na diminuição de g com a latitude: gc < gp. 1.3.1.7 CASSINI Em 1718 surgiu o trabalho de CASSINI (JACQUES CASSINI 1677-1756) “De la grandeur et de la figure de la Terre”, versando sobre a primeira medida do “meridiano da França” que tanta celeuma despertou na Europa. CASSINI prosseguiu a triangulação de PICARD (continuando, aliás, obra já encetada por seu pai), estendendo-se para o norte até Dunquerque e para o sul até os Pirineus; seus trabalhos levaram-no a aceitar que o comprimento de um arco de meridiano decresce com o aumento da latitude (em território francês tal decréscimo seria da ordem de 31 toesas, aproximadamente 55 metros por grau); e o meridiano seria elíptico, coincidindo o eixo de rotação com o eixo maior. Sabe-se hoje que há um acréscimo da ordem de 20 metros por grau. Cabe citar os membros dessa ilustre família; GIOVANNI DOMENICO CASSINI, JACQUES CASSINI, CESAR FRANÇOIS CASSINI, DOMINIQUE CASSINI. 1.3.1.8 AS EXPEDIÇÕES FRANCESAS s'<s CASSINI R=Cte s=s' s s' s' s' NEWTON s s>s' s 1º 1º 1º 1º 1º 1º Os resultados obtidos por CASSINI, em franca contradição com as conclusões newtonianas, deram origem à tão conhecida e polêmica entre as duas escolas que se formaram na Europa: adeptos de uma “Terra achatada” e adeptos de uma “Terra alongada”. Não cremos estar infringindo a verdade ao afirmar que tal controvérsia, pelas conseqüências que determinou, demarca o início da moderna Geodésia. Berthier de Carvalho Filho 16 Com efeito, para dirimir tal dúvida a Academia de Ciências de Paris decidiu patrocinar a medida de um arco meridiano próximo ao equador e de outro junto ao círculo ártico, organizando duas expedições que se encaminharam, respectivamente, para o então Vice Reinado do Peru (1735 – 1744) e para a Lapônia (1736 – 1737). A primeira, integrada por BOURGUER, GODIN E LA CONDAMINE, além de dois jovens oficiais espanhóis, após vicissitudes de toda ordem inclusive à desarmonia entre os seus membros, mediu dois arcos com mais de 3º de amplitude, um deles proporcionando para o arco de 1º o comprimento de 110.614 metros. A segunda expedição, da qual fazia parte MAUPERTIUS, CAMUS, CELCIUS e o depois famoso CLAIRAUT, concluiu os seus trabalhos em menos de um ano obtendo o valor 111.949 metros com o que ficava positivado o achatamento polar e a conseqüente confirmação das idéias newtonianas. Na última década do século XVIII, ainda em meio à revolução francesa, a Comissão de Pesos e Medidas decidiu adotar como unidade de comprimento uma grandeza relacionada com as dimensões do planeta: o “metro” seria a quadragésima milionésima parte de um meridiano terrestre. Baseando-se na remedição do “meridiano de Paris” feita por DELAMBRE e MECHAIN (1792 – 1798) e no arco do peru, a comissão chegou aos seguintes resultados: 1 = ; quadrante = 5.130.740 toesas 334 metro = 443,295936 linhas. α DELAMBRE, refazendo os cálculos da Comissão, sugeriu o achatamento 1 308,6 α = que acabou sendo adotado na elaboração da famosa carta topográfica da França (“elipsóide dos engenheiros geógrafos”, escala 1:80.0000, projeção de BONNE). 1 toesa do peru = 6 pés = 72 polegadas = 864 linhas = 1,949 metros. Berthier de Carvalho Filho 17 Como, viu-se, em capítulos anteriores, a Terra foi objeto de estudo desde remota época, vários anos antes de Cristo, passando por vários cientistas, com um mesmo objetivo: determinar a forma e o tamanho do nosso planeta. Até os dias de hoje este assunto vêm à baila, mesmo com os instrumentos mais modernos antes imaginados, imagens de satélites artificiais de alta resolução, a forma e a tamanho da Terra deixam-nos muitas indagações. 2 MODÊLO GEOMÉTRICO COMO SUPERFÍCIE DE REFERÊNCIA 2.1 PARÂMETROS DO MODELO Todo sistema geodésico supõe um modelo geodésico, podemos deixar bem claro que o modelo rotineiramente utilizado em Geodésia, desde os resultados das “expedições francesas”, é o elipsóide de revolução ou biaxial. “Elipsóide é a figura matemática que imita a forma real da Terra”, ou, “Elipsóide é o sólido geométrico definido pela rotação de uma semi-elipse em torno do seu eixo menor”. PN PS Equador a b Figura 2.1.a – Elipsóide de Revolução a = Semi-eixo equatorial = raio equatorial e b = Semi-eixo polar = raio polar Berthier de Carvalho Filho 18 Figura 2.1.b – Elipsóide de Revolução O passo seguinte é fixar as suas dimensões ou determinar os seus parâmetros. Os parâmetros de um elipsóide são dados pelo valor do raio equatorial e pelo seu achatamento. O elipsóide de CLARKE 1866 ainda hoje é utilizado nos Estados Unidos, México e Canadá; na Rússia, antiga União Soviética o modelo geométrico é o elipsóide de KRASSOWSKY (1945). Já o Brasil, as Américas do Sul e Central e a Europa não russa adotaram até recentemente em seus cálculos o elipsóide de HAYFORD, determinado em 1909 e, recomendado em 1924, pela Associação Internacional de Geodésia como superfície de referência internacional visando uma “uniformização” que jamais foi plenamente atingida. Na verdade, do ponto de vista estritamente cartográfico (elaboração de mapas), os mencionados elipsóides praticamente se equivalem. A perspectiva já não é a mesma do ponto científico, quando então se pesquisam parâmetros cada vez mais refinados; exemplificamos com as dimensões do modelo recomendado pela Associação Internacional de Geodésia para o chamado “Sistema Geodésico de Referência 1967”, hoje adotado em nosso país, cujo Berthier de Carvalho Filho 19 eixo maior é 228 metro menor que o correspondente eixo do elipsóide de HAYFORD e cuja excentricidade também é menor (uma unidade da 5ª casa decimal). 2.2 DISTINÇÃO ENTRE GEÓIDE E ELIPSÓIDE Já visto em capítulos anteriores, o Geóide é uma superfície irregular com saliência e reentrâncias ocasionadas pela maior ou menor concentração de massa no interior da Terra. O geóide, que é simplesmente uma determinada superfície equipotencial do campo de gravidade; especificamente: o geópe que mais se aproxima do “nível médio dos oceanos”. Nos continentes e ilhas (25% da superfície terrestre acham-se no interior da crosta). Em sua qualidade de geópe, o geóide é uma “superfície horizontal” por ser, em qualquer ponto perpendicular, a respectiva vertical. Como visto no primeiro parágrafo deste capítulo, o geóide, apesar de suas saliências e reentrâncias, são superfícies suavemente regulares. Na figura 2.2, mostra a configuração dos dois sólidos, ondulações exageradas em benefício da clareza e da compreensão. PN PS Equador a b Elipsóide Geóide Figura 2.2 – Elipsóide e Geóide Berthier de Carvalho Filho 20 3 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS E COORDENADAS GEODÉSICAS 3.1 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS Como um dos objetivos da Astronomia de Campo é a determinação das coordenadas geográficas ou astronômicas de um ponto, e, do Georreferenciamento, como finalidade alcançar um perfeito cadastro do imóvel rural, através da medição in loco, por profissional devidamente qualificado, levando em consideração as coordenadas estabelecidas pelo Sistema Geodésico Brasileiro, auferindo sua precisa localização e caracterização, tal como área superficial, medidas lineares e as respectivas confrontações. Também, tem por escopo possibilitar uma exata coincidência dos elementos físicos do imóvel com os assentos registrais, refletindo o imóvel no Fólio Real com exatidão, alcançando a segurança jurídica almejada e evitando a sobreposição de áreas (grilagem) ou sobreposição; veja-se, então, o significado destas coordenadas. a) Latitude Geográfica ou Astronômica de um ponto - É o ângulo formado pela vertical desse ponto com sua projeção equatorial. É usualmente representada pela letra grega φ φφ φ (phi). Figura (3.1). Na figura 3.1, mBm' e nAn’ são os paralelos terrestres de A e B; PN A PS e PN B PS são os meridianos terrestres de A e B; a linha que passa pelo centro da Terra (aqui suposta esférica) e por A e B são as verticais dos pontos A e B, sendo CA' e CB’ as suas projeções equatorial. Desta forma, todos os pontos situados no paralelo de A tem a mesma latitude e, os pontos do paralelo B, também, têm a mesma latitude, que varia de 0º a ± 90º, sendo positiva no Hemisfério Norte e negativa no Hemisfério Sul. b) Longitude Geográfica ou Astronômica de um ponto - É o ângulo formado entre o meridiano astronômico do ponto e o meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich (origem). É simbolizada pela letra grega λ λλ λ (lambda). A longitude varia de 0º a 180º por Leste ou 0º a 180º por Oeste. Comumente, representa-se a longitude como variando de 0º a ± 180º, convindo o sinal positivo para Leste. Assim, todos os pontos situados em território brasileiro Berthier de Carvalho Filho 21 terão longitude negativa, pois se está a Oeste no Meridiano de Greenwich. c) Azimute Astronômico de uma direção AB - Chama-se Azimute Astronômico de uma direção AB ao ângulo formado entre o meridiano do ponto e o alinhamento AB, contado do Sul por Oeste, conforme se vê na figura 3.1 B A AzBA AzAB m m' n n' B' A' Gr PN PS L W Q Q' φ λ φ B A B λ A o Figuras 3.1 - Coordenadas Geográficas ou Astronômicas 3.2 COORDENADAS GEODÉSICAS • A latitude geodésica (φ φφ φg) de qualquer ponto é o ângulo que a normal ao elipsóide no ponto forma com sua projeção equatorial (Figura 3.2). Sua variação é igual à da latitude astronômica. • A longitude geodésica (λ λλ λg) do ponto P é o diedro formado pelos meridianos geodésicos de P e de Greenwich Berthier de Carvalho Filho 22 (origem). Como a longitude astronômica, varia de 0º a ± 180º (negativa a Oeste). As coordenadas geodésicas são obtidas a partir do cálculo de uma rede de triângulos medidos na superfície física da Terra, por um processo especial (triangulação ou trilateração). Esta rede é projetada sobre o elipsóide de referência e calculada, obtendo-se assim as coordenadas geodésicas de todos os pontos componentes da rede. A obtenção das coordenadas geodésicas é objeto da Geodésia. Atualmente, as coordenadas geodésicas são determinadas com GPS (global positioning system – sistema de posicionamento global). Este sistema já está substituindo o método convencional de posicionamento, visto que a utilização dos satélites artificiais, aliada à vulgarização dos computadores, trouxe um desenvolvimento (não somente a Geodésia) que em curto prazo ultrapassou as mais otimistas expectativas. Geóide Superfície Topográfica Gr. P P' PN PS Q Q' Φ λ NORMAL Figuras 3.2 – Coordenadas Geodésicas O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), recomendado pelo Instituto de Geografia e Estatística para os cálculos geodésicos, que integra o “South American Datum” – 1969 (SAD – 69), que também Berthier de Carvalho Filho 23 integram o Elipsóide UGGI (União Internacional de Geodésia e Geofísica). O aspecto geométrico concerne às dimensões do modelo elipsoidal adotado nos cálculos: a) parâmetro a = (semi-eixo maior do elipsóide) = 6.378.160 m b) parâmetro α αα α (achatamento do elipsóide) = 1 298,25 Nota: O referencial (datum) altimétrico do Sistema Geodésico Brasileiro, ou seja, a RN inicial da rede altimétrica do Brasil, acha-se junto ao marégrafo na baía de Imbituba, litoral de Santa Catarina. 4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE O estudo do elipsóide de revolução é de suma importância em Geodésia pelo simples fato de ter sido o mesmo eleito como modelo geométrico para os cálculos geodésicos; executando certas técnicas especiais os cálculos geodésicos são conduzidos sobre a superfície do elipsóide de revolução. Já comentado em capítulos anteriores, o elipsóide é um sólido geométrico gerado pela rotação de uma semi-elípse em torno de um de seus eixos. Passando um sistema de coordenadas pelo centro do elipsóide escaleno (três eixos desiguais) cujo plano XY coincide com o plano equatorial temos: a b X Z Y Figura 4.1 – Sistema de coordenada tridimensional. Berthier de Carvalho Filho 24 2 2 2 2 2 2 X Y Z 1 (1) a c b + + = 4.1 ELIPSÓIDE TERRESTRE Elipsóide terrestre é o sólido geométrico gerado pela rotação de uma semi-elípse em torno do seu eixo menor. PN PS Equador a b Figura 4.2 – Elipsóide de Revolução Como a = c 2 2 2 2 2 X Y Z + = 1 (2) a b + Que é a equação do elipsóide terrestre. 4.1.1 ELEMENTOS DO ELIPSÓIDE 4.1.1.1 ACHATAMENTO a - b = a b = 1 - (3) a α α Berthier de Carvalho Filho 25 Exemplo elucidativo 1 – Calcular o achatamento do elipsóide UGGI – 67 Dados do elipsóide: a = 6.378.160,0000 m b = 6.356.774,7192 m α α α α b = 1 - a 6.356.774,7192 = 1 - 6.378.160,0000 = 1 - 0,9966471081 = 0,0033528919 α Na forma escalar, será: 1 = 0,0033528919 α = α α 298,249997276 logo: 1 = 298,249997276 aproximando, teremos: 1 = 298,25 Exercícios Resolvidos: 2 – Calcular o achatamento dos elipsóides : Berthier de Carvalho Filho 26 HAYFORD a = 6.378.388,0000 m b = 6.356.912,0000 m α = 1: 297,000745018 Aproximando, têm-se α αα α = 1: 297,00 GRS – 80 ⇒Datum – WGS - 84 a = 6.378.137,0000 b = 6.356.752,3100 α = 1: 298,257164355 α αα α = 1: 298,26 Da equação (3), conhecendo-se o valor de α e a, pode-se determinar o valor de b. Exemplo resolvido: Do elipsóide UGGI - 67 a = 6.378.160,0000 α = 1: 298,249997276 b = 1 - a b - 1 = - a α α ( ) b 1 = a b = a x 1 - − α α Berthier de Carvalho Filho 27 | | = | \ ¹ substituindo, temos : 1 b 6.378.160,0000 x 1 - 298,25 = b 6.356.774,7192 m Exercício Resolvido: Para o elipsóide HAYFORD, calcular o valor de b. Dados: a = 6.378.388,0000 m e α = 1:297 b = a x (1 - α) b = 6.378.388,0000 x (1 – 1/297,000745018) b = 6.356.912,0000 m 4.1.1.2 PRIMEIRA EXCENTRICIDADE A primeira excentricidade de um elipsóide é dada pela seguinte fórmula: 2 2 2 c e (4) a elevando ambos os membros ao quadrado, resulta : c e (5) a = = 2 2 2 2 2 2 da geometria analítica (cônicas) a b c c a - b (6) = + = Berthier de Carvalho Filho 28 2 2 2 2 substituindo o valor de c na equação 5, temos : a - b e a = 2 2 2 b e 1 - (7) a = 2 2 2 a - b e a = 2 2 2 2 resulta em: b = a x (1 - e ) b = a x 1 - e (8) Exercícios resolvidos 1 - Calcular a primeira excentricidade do elipsóide UGGI – 67 Dados do elipsóide: a = 6.378.160,0000 m b = 6.356.774,7192 m Aplicando a fórmula: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 b e = 1 - a 6.356.774,7192 e = 1 - 6.378.160,0000 2 e = 0,006694541916 e = 0,08182018037 = = 2 2 2 ou a - b e a e 0,08182018037 Berthier de Carvalho Filho 29 2 – Exercícios Resolvidos Calcular a primeira excentricidade do elipsóide de HAYFORD Dados do elipsóide: a = 6.378.388,0000 m b = 6.356.912,0000 m e 2 = 0,006722653187 e = 0,08199178732 4.1.1.3 SEGUNDA EXCENTRICIDADE A segunda excentricidade de um elipsóide é dada pela fórmula: c e' b = 2 2 2 2 2 2 elevando ambos os membros ao quadrado, resulta : c e' b da geometria analítica (cônica) a b c = = + 2 2 2 c a - b = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 daí, resulta : a - b e' b a e' - 1 b ou, simplesmente : a - b e' b Berthier de Carvalho Filho 30 Exercícios resolvidos 1 – Calcular a segunda excentricidade do elipsóide UGGI – 67. Dados do elipsóide a = 6.378.160,0000 m b = 6.356.774,7192 m Pela fórmula, já explicita temos: ( ) ( ) ( ) − = = 2 2 2 2 2 2 2 6.378.160,0000 6.356.774,7192 a - b e' b 6.356.774,7192 = = 2 e' 0,006739660858 e' 0,0820954375 2 – Exercícios Resolvidos Determinar a segunda excentricidade do elipsóide HAYFORD Dados do elipsóide: a = 6.378.388,0000 m b = 6.356.912,0000 m Aplicando a fórmula acima, resulta: e’ 2 = 0,006768153133 → e’ = 0,0822687859 4.1.1.4 RELAÇÃO ENTRE ACHATAMENTO E EXCENTRICIDADE α = = ∴ = = 2 2 a - b b 1 - b a x 1 - e a a b 1- e a Berthier de Carvalho Filho 31 α = → α α α α 2 2 2 2 2 2 2 2 elevando ambos os membros ao quadrado, resulta : (1 - ) ( 1 - e ) no primeiro membro diferença do quadrado de dois números 1 - 2 x 1 x + = 1 - e 1 - 2 + = 1 - e α α α α 2 2 2 2 1 - e = - 2 + 1 e = 2 - = α α = ≅ α 2 2 b 1 - a 1 - 1 - e e 2 Ou seja, “a excentricidade ao quadrado é aproximadamente igual ao dobro do achatamento”. 4.1.1.5 CALCULO DAS COORD. RETILÍNEAS DO ELIPSÓIDE P P' Q' Q Z X N X Z M(X,Z) 90º+ Φ Ο H D Φ Figura 4.3.a Coordenadas Retilíneas do ponto M Na Figura 4.3a, QQ’ é o diâmetro equatorial; PP’ o eixo polar e o, o centro do elipsóide. Pelo ponto M, situado na linha meridiana, passamos uma tangente. Uma normal a esta tangente pelo ponto M cortará o eixo polar no ponto H e o eixo equatorial no ponto D. Berthier de Carvalho Filho 32 Cálculo de X: Da equação do elipsóide: + = + + = 2 2 2 2 2 2 X Z 1 a b derivando em dz e dx, teremos : 2X 2Z dZ 0 a b dX − + = − = − = − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2Z dZ 2X b dX a dZ 2X b x dX a 2Z dZ X b x dX a Z dZ X b dX a Z dZ ora, é o coeficiente angular da tangente no ponto M dX 2 2 2 2 2 2 dZ dZ = tg ( + ) ou = - cotg dX 2 dX X b = cotg Z a X b = Z a cotg X b tg Z = a levando Z na equação do elipsóide, têm-se π Φ Φ Φ Φ Φ 2 2 2 2 X Z + = 1 a b 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 X X x b x tg 1 a a x b X X x b + x tg = 1 a a + Φ = Φ Berthier de Carvalho Filho 33 2 2 2 2 4 2 X X x b x tg a a + Φ = ( ) Φ + Φ ⇒ = − 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a X + X b tg = a colocando X em evidência X (a b x tg ) = a como b a 1 e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − Φ = = + − Φ = + − Φ 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 temos : X x a a 1 e x tg a a a X a a 1 e x tg a X 1 1 e x tg ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 multiplicando ambos as frações por cos , resulta : a cos X 1 (1 - e ) tg x ( cos ) a x cos X cos 1 e x tg x cos a x cos X cos tg xcos e x tg x cos Φ Φ = + Φ Φ Φ = Φ + − Φ Φ Φ = Φ + Φ Φ − Φ Φ 2 2 2 como : cos tg x cos 1 Φ + Φ Φ = 2 2 2 2 2 2 sen cos x cos cos cos sen 1 Φ Φ + Φ Φ Φ + Φ = Temos: 2 2 2 2 2 2 a x cos X 1 e x tg x cos Φ = − Φ Φ 2 2 2 2 2 como : e x tg x cos e x sen Φ Φ = Φ Berthier de Carvalho Filho 34 2 2 2 2 2 2 2 2 a x cos X 1 e x sen ou a x cos X 1 e x sen Φ = − Φ Φ = − Φ que é a abscissa do ponto M em relação a sua latitude geodésica 2 2 2 2 2 2 2 Cálculo de Z X x b Z x tg a Substituindo X por a x cos X= 1 e x sen e b 1 e a do = Φ Φ − Φ = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cálculo da 1ª excentricidade temos: a x cos x 1 e x tg Z= 1 e sen a x 1 e x sen Z 1 e x s n e Φ − Φ − Φ − Φ = − Φ que é o valor da cota ponto M em função da sua latitude geodésica. Berthier de Carvalho Filho 35 4.1.1.6 PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE 4.1.1.6.1 RAIOS DE CURVATURAS DE SEÇÕES O raio de curvatura de uma secção normal ao elipsóide dependerá do azimute dessa seção normal; Em cada ponto existem duas secções normais mutuamente perpendiculares entre si, cujas curvaturas tomam o valor máximo e mínimo; As secções normais que verificam o valor máximo e mínimo de curvatura dizem-se seções normais principais; Sobre o elipsóide de revolução as seções normais principais são: A secção do meridiano, gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois pólos; A secção do primeiro vertical, gerada pelo plano normal de um ponto e que é perpendicular ao plano do meridiano. 4.1.1.7 CÁLCULO DA GRANDE E PEQUENA NORMAL Da figura 4.3.b MH = N Figura 4.3.b – Grande Normal e Pequena Normal Berthier de Carvalho Filho 36 e, X N cos então : X N cos substituindo X na equação, resulta : = Φ = Φ 2 2 a x cos 1 - e sen N cos Φ Φ = Φ 2 2 2 2 a x cos 1 N x cos 1 - e sen a N 1 - e sen Esta é a fórmula para calcular a grande normal Φ = Φ Φ = Φ A pequena normal é o segmento de reta que une o ponto M ao ponto D. MD = N’ = pequena normal A fórmula para calcular a pequena normal é deduzida a partir da figura 4.3.a, onde: Z = N’ sen Φ Z N' = sen Φ 2 2 2 como: a x (1 - e ) x sen 1 - e sen N' = sen Φ Φ Φ Berthier de Carvalho Filho 37 2 a x (1 - e ) x sen N' = Φ 2 2 1 x sen 1 - e sen Φ Φ 2 2 2 2 a x (1 - e ) N' = 1 - e sen então: N' = N x (1 - e ) Esta é a fórmula definitiva para calcular a pequena normal. Φ Vimos que a grande normal (N) é o raio máximo de uma seção normal e M, o raio mínimo. Enfatizando, vamos definir o que é uma seção normal. n n' Gr. PN PS A1 A2 A3 a b O Φ λ P Figura 4.3.c – Seção Normal Seção normal é qualquer seção que contenha a normal ao elipsóide no ponto P. Em outras palavras, é a linha de interseção Berthier de Carvalho Filho 38 entre o elipsóide e qualquer plano que contenha a normal nn’ (esse plano pode girar em torno de nn’), figura 4.3.c. Seção meridiana é uma particular seção normal, aquela que contém o eixo menor b, ou seja, o eixo dos pólos PN – PS. 4.1.1.8 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DA SEÇÃO MERIDIANA Como vimos à seção meridiana que contém um ponto P qualquer, denominada também Meridiano Geodésico, é uma linha sobre o elipsóide que contém a normal ao elipsóide no ponto e passa pelos pólos. Contém a linha Norte – Sul. É uma elipse cujo raio de curvatura pode ser definido em cada ponto pela equação a seguir: Observação: Algumas deduções de fórmulas em capítulos anteriores foram de significativa importância para se estudar o capítulo em epígrafe. Omitiremos, a partir deste capítulo deduções que tornem desnecessárias, pois fogem ao propósito deste curso. PS Q' o Z PN M' Φ Q X M Z'' Y Z' X' X'' m n 90º- Φ Figura 4.3.d – Raio da Seção Meridiana Berthier de Carvalho Filho 39 Seja na figura 4.3.d um ponto M qualquer, da superfície elipsoidal, pertencente ao plano XZ e o a origem do sistema XYZ. Se implantarmos um novo sistema de coordenadas com origem no ponto M, através de uma translação dos eixos X para X’ e Z para Z’ num ângulo correspondente a (90º - Φ), será fácil perceber que MZ’ coincidirá com a normal ao elipsóide no ponto M e o plano XY será tangente ao elipsóide na nova origem das coordenadas (Figura 4.3.e). O novo eixo MY, permanecerá paralelo ao anterior OY. Observe a figura 4.3.e após a translação. Na figura 4.3.e, mostra o novo sistema já implantado; o leitor naturalmente deverá analisar as afirmações acima citadas. PS Q' o Z PN M' Φ Q X M Z'' Y Z' X' X'' m n 90º- Φ Figura 4.3.e – Características do novo Sistema de Coordenadas Implantado Como no estudo da grande normal e pequena normal: X = m = N cos Φ Berthier de Carvalho Filho 40 Z = n = N’ sen Φ Definitivamente, para melhor compreensão omitiremos deduções de fórmulas, será apresentada para calcular o raio de curvatura da seção meridiana, a seguinte fórmula: 2 3 2 2 2 a (1 - e ) M (1 - e sen ) = Φ 4.3.f – Raio de Curvatura da Seção Meridiana (MM’) 4.1.1.9 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DE SEÇÃO NORMAL QUALQUER DE AZIMUTE α OU OBLÍQUA. Este raio calcula-se pela fórmula: α α = + α 2 2 1 cos sen Ra M N Sendo o azimute da seção, que é o ângulo que a seção forma com a seção meridiana. Berthier de Carvalho Filho 41 Para casos especiais em que : Azimute da seção 0º R M Azimute da seção 90º R N = → = = → = Z X n m Y M' o M Φ Azimute da seção = 90º R = N = Segmento MH = Grande Normal H Y Φ o Z m n M Círculo 1º Vertical X Azimute da seção = 0º R = M = Segmento MM' Raio de Curvatura da Seção Meridiana Raio de Curvatura Círculo 1º Vertical 4.1.2.0 RAIO MÉDIO DE CURVATURA O raio médio de curvatura em um ponto M da superfície elipsoidal é igual à média geométrica dos raios de curvaturas principais. 2 2 2 Rm MN ou a (1 - e ) Rm 1 - e sen = = Φ a) Raio Geográfico O raio geográfico é utilizado na disciplina de geografia do 1º grau, é equivalente ao volume de uma esfera de mesmo volume do elipsóide U.G.G.I. Berthier de Carvalho Filho 42 Volume da Esfera = Volume do Elipsóide UGGI - 67 b) Raio Vetor O raio vetor é o segmento de reta que liga o centro do elipsóide a qualquer ponto da superfície elipsoidal. O raio vetor é o segmento de reta que liga o centro do elipsóide a qualquer ponto da superfície elipsoidal. Equador Q' PN Q PS X=r Z ψ R v - Latitude Geocêntrica ψ Q' Equador ψ PS PN X=r R v Q Z o o P P Φ H - Latitude Geodésica Φ Figura 4.4 – Raio Vetor – Latitude Geocêntrica – Latitude Geodésica Da Geômetra do elipsóide: 2 2 a.cos X 1 - e sen Φ = Φ 2 a N 1 - sen . = Φ ( ) = = Φ = Ψ = Φ Ψ 2 r X N cos r Rv tg 1 - e tg cos Berthier de Carvalho Filho 43 = Ψ = Φ = = = onde : Rv Raio vetor Latitude geocêntrica Latitude Geodésica e Pr imeira excentricidade N Grande normal = r Raio do paralelo c) Raio Médio de Curvatura de um Paralelo (r) P O Φ Μ M' Φ r r P' Q Q' H 4.5 Raio de curvatura de um paralelo r = Raio de curvatura do paralelo A seção MM’, originada por um plano que passa por M normal ao eixo polar, forma com o 1º vertical (Grande Normal – N) um ângulo igual a latitude geodésica. A fórmula para calcular o raio é dada pela fórmula: r N cos = Φ 5 APLICAÇÕES DOS RAIOS DA TERRA a) Raio equatorial (a) No histórico, capítulo 1.3.1, viu-se que no passado diversos geodésistas determinaram o valor do raio equatorial com o uso da geodésia terrestre. Berthier de Carvalho Filho 44 b) Raio polar (b) O raio polar é calculado em função do raio equatorial. c) Grande normal (N) A maioria dos cálculos geodésicos utiliza-se a grande normal, principalmente, nas transformações de coordenadas planas sistema UTM/LTM/RTM em geodésicas e vice-versa. Também, a grande normal é utilizada no cálculo do raio de um paralelo. d) Pequena normal (N’) A pequena normal tem o seu emprego quase que restrito nos cálculos geodésicos, entretanto, se constitui num importante elemento geométrico do elipsóide. e) Raio da seção meridiana (M) É usado para calcular o comprimento de arcos pequenos da linha meridiana. Para arcos maiores utiliza-se o raio de curvatura da seção meridiana originada da derivada/integral do binômio de Newton. Chamando de S o comprimento do arco e Φ 1 - Φ 2 os extremos da latitude, a fórmula já deduzida, será: 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( - ) 1 1 (A - B(sen2 - sen2 ) C(sen4 - sen4 ) 180º 2 4 S a (1- e ) 1 1 1 - D(sen6 - sen6 ) E(sen8 - sen8 ) - F(sen10 - sen10 ) 6 8 10 Φ Φ π ¦ ¹ Φ Φ + Φ Φ ¦ ¦ ¦ ¦ = ´ ` ¦ ¦ Φ Φ + Φ Φ Φ Φ ¦ ¦ ¹ ) Para o elipsóide UGGI – 67 Onde: As constantes A, B, C, D, e F, são determinadas através de séries. Berthier de Carvalho Filho 45 -6 -9 -11 -14 A 1,00505262473 B 0,005063232048 C 10,6281071177 x 10 D 20,8218961595 x 10 E 3,93275334635 x 10 F 6,55534022587 x 10 = = = = = = f) Raio de um paralelo (r) O raio de um paralelo é utilizado para calcular o comprimento do arco de paralelo terrestre. g) Raio médio (R m ) O raio médio é usado em diversos cálculos geodésicos, entre os quais, a redução da distância horizontal para o nível do geóide (distância geoidal). h) Raio geográfico ( g R ) O raio geográfico é aceito na geografia do ensino de 1º grau, como sendo o raio de uma esfera de volume igual ao volume do elipsóide UGGI – 67. i) Raio da seção oblíqua (R α ) O raio da seção oblíqua é o raio da linha inclinada em relação ao meridiano e o paralelo geodésico, sendo o ângulo α , o ângulo que a linha forma com a linha Norte-Sul (Rumo). j) Raio vetor ( v R ) O raio vetor ( v R ) é usado no cálculo da altura geométrica (altura elipsoidal) a partir das coordenadas X, Y e Z. Berthier de Carvalho Filho 46 5.1 APLICAÇÕES DOS RAIOS DO ELIPSÓIDE Seja o arco MM’ da elipse meridiana na figura 5.1. Sendo pequeno desprezamos a variação do raio de curvatura ao longo deste arco. Desta forma confundindo com o raio circular igual ao raio de curvatura da elipse meridiana. Para arcos iguais ou maiores que 1º como já foi dito, emprega-se o raio da seção meridiana deduzida a partir da derivada/integral do binômio de Newton. Quanto menor for o arco, menor será o erro a ser cometido. M M' ΦΜ M' Φ ∆Φ S PN PS Q Q' o Figura 5.1 – Arco de meridiano - S Observação: sendo : S Comprimento do arco MM' Diferença entre as latitudes geodésicas dos extremos do arco. = ∆Φ = Berthier de Carvalho Filho 47 Exercício resolvido: Calcular o comprimento do arco da linha meridiana compreendido entre a latitude Φ = 1 28º 23’43” S e a latitudeΦ = 2 28º 35’49” S. Desenvolvimento: Cálculo da seção meridiana no ponto médio Φ + Φ Φ = Φ = Φ = 1 2 m 2 m 28º 29' 46" m Latitude média entre M e M' Φ ∆Φ Φ Φ ∆Φ ∆Φ 2 3 2 2 2 a (1 - e ) M = (1 - e sen m) M = 6.349.970,074 m = 2 - 1 = Diferença de latitude entre M e M' = 00º12'06" φ1 = φ2 = S 28º23'43" 28º35'49" Aplicando uma regra de três simples, resulta: Berthier de Carvalho Filho 48 2 M 360º S 2 x x M x S 360º x M x S 180º S 22.350,290 m π → → ∆Φ π ∆Φ = π ∆Φ = = Sendo o arco M M’ da elipse meridiana da figura, pode-se desprezar a variação do raio da curvatura ao longo deste arco. Desta forma, confundindo com o raio circular igual ao raio médio de curvatura da elipse meridiana. Enfatizando, quanto menor for o arco, menor será o erro a ser cometido. Calculando o comprimento da seção meridiana pela fórmula originada da derivada/integral do Binômio de Newton. 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( - ) 1 1 (A - B(sen2 - sen2 ) C(sen4 - sen4 ) 180º 2 4 S a (1- e ) 1 1 1 - D(sen6 - sen6 ) E(sen8 - sen8 ) - F(sen10 - sen10 ) 6 8 10 Φ Φ π ¦ ¹ Φ Φ + Φ Φ ¦ ¦ ¦ ¦ = ´ ` ¦ ¦ Φ Φ + Φ Φ Φ Φ ¦ ¦ ¹ ) Para o elipsóide UGGI – 67 a 6.378.160,000 m = 2 e 0,006694541916 = Coeficientes: -6 -9 -11 -14 A 1,00505262473 B 0,005063232048 C 10,6281071177 x 10 D 20,8218961595 x 10 E 3,93275334635 x 10 F 6,55534022587 x 10 = = = = = = Berthier de Carvalho Filho 49 1 2 1 2 1 2 28º 23' 43" 28º 35' 49" 2 56º 47' 26" 2 57º11' 38" 4 113º 34' 52" 4 114º 23'16" Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = 1 2 1 2 6 170º 22'18" 6 171º 34' 54" 8 227º 09' 44" 8 228º 46' 32" Φ = Φ = Φ = Φ = ( ) 1 2 2 10 283º 57'10" 10 285º 58'10" a 1 - e 6.335.461,14094 Φ = Φ = = Berthier de Carvalho Filho 50 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 -3 -6 2 1 -8 2 1 A - x 3,537531285 x 10 180º 1 B sen 2 - sen 2 - 9,708183028 x 10 2 1 C sen 4 - sen 4 - 1,52059024 x 10 4 1 D se 6 Φ Φ π = = + Φ Φ = + Φ Φ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -11 2 1 -14 2 1 -17 2 1 n 6 - sen 6 - - 7,237949869 x 10 1 E sen 8 - sen 8 - 9,267583419 x 10 8 1 F sen 10 - sen 10 - 5,956332508 X10 10 _____________________ Φ Φ = Φ Φ = + Φ Φ = + -3 ________________________________ soma 3,527807968 x = ( ) 2 a 1 - e 6.335.461,14094 S 22.350 = = ,29029 m 5.2 COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO As seções do elipsóide de revolução perpendiculares ao eixo de rotação são circulares. Como: r N x cos = Φ 2 2 ou a cos r 1 - e sen Φ = Φ Exercício resolvido Calcular o comprimento do arco de paralelo entre a longitudes 1 λ = 42º00’00” W e 2 λ =42º33’00” W, na latitude 28º38’09,9672” S Berthier de Carvalho Filho 51 Desenvolvimento : 2 - 1 00º 33' 00" Diferença de longitude ente 1 e 2 ∆λ = λ λ ∆λ = ∆λ = 2 2 a cos r 1 - e sen r 5.602.299,614 m 360º 2 r X Φ = Φ = → π λ → λ2 λ1 S 2 r X 360º X 53.778,216 m S 53.778,216 m π ∆λ = = = 5.3 CÁLCULO ENVOLVENDO TODOS OS RAIOS DO ELIPSÓIDE Exercícios: Num ponto de latitude geodésica Φ = 40º Calcular: 1) Grande normal 2) Pequena normal Berthier de Carvalho Filho 52 3) Coordenadas retilíneas 4) Raio de curvatura da seção meridiana 5) Raio médio 6) Raio de curvatura da seção obliqua cujo azimute é 20º 7) Raio do paralelo 8) Raio vetor 9) Raio Geográfico 10) Raio equatorial 11) Raio polar Desenvolvimento: Dados do elipsóide UGGI - 67 a = 6.378.160,000 m 2 e 0,006694541916 = 1)Cálculo da grande normal 2 2 a N 1 - e sen N 6.386.999, 412 m = Φ = 2)Cálculo da pequena normal 2 2 2 a (1 - e ) N' 1 - e sen = Φ N' 6.344.241,377 m = 3)Cálculo das coordenadas retilíneas X N cos X 4.892.725, 408 m = Φ = Z N' sen Z 4.077.999,750 m = Φ = Berthier de Carvalho Filho 53 4)Cálculo do raio de curvatura da seção meridiana 2 2 2 1,5 a (1 - e ) M (1 - e sen ) M 6.361.838,371 m = Φ = 5)Cálculo do raio médio Rm M.N Rm 6.374.406, 477 m = = 6)Cálculo do raio de curvatura da seção obliqua de azimute 20º 2 2 1 cos 20º sen 20º Ra M N Ra 6.364.771,410 m = + = 7)Cálculo do raio do paralelo r N cos como r X r 4.892.725, 408 m = Φ = = O raio da seção oblíqua serve para calcular a distância entre duas cidades, este cálculo é usado, também, para obter-se a distância entre dois pontos para fins de navegação. Para cálculos geodésicos de alta precisão usam-se outras fórmulas. 8) Cálculo do raio geográfico. O raio geográfico equivale ao raio de uma esfera de volume igual ao volume do elipsóide terrestre UGGI-67. Berthier de Carvalho Filho 54 Desenvolvimento: Vol Esfera Elipsóide Vol = 3 4 Volume da esfera = R 3 π 4 Volume do Elipsóide .a.b.c, como a c, resulta : 3 = π = 2 4 V x a x b 3 Igualando as duas equações, têm- se : 4 3 = π π 3 4 R 3 = π ( ) 2 3 2 2 2 3 3 g g g a x b R a x b R a .b 6.378.160,0000 x 6.356.774,7192 R 6.371.023,591 m R 6.371 km ⇔ = = = = ≅ 9) Raio Vetor Calcular a altura elipsoidal (altitude geométrica) do vértice Chuá, a partir das coordenadas tridimensionais (X, Y e Z) e raio vetor. Berthier de Carvalho Filho 55 Chuá ψ PN PS R v H Equador Q Q' Dados – Chuá – SAD – 69 X 4.010.615,30952 - 19º 45' 41,65270" Y - 4.470.080,98267 - 48º 06' 04,06390" Z - 2.143.140,50053 = Φ = = λ = = Cálculo da altura elipsoidal a) Distância de Chuá a origem (centro do elipsóide) = + + = 2 2 2 D X Y Z D 6.376.496,715 m b) Latitude geocêntrica ( ) 2 tg 1 - e .tg - 19º 38' 21,9379" Ψ = Φ Ψ = c) Raio vetor X Rv cos = Ψ Berthier de Carvalho Filho 56 2 2 a cos X X 6.004.834,0298 1 - e sen Rv 6.375733, 434 m Φ = = Φ = d) Altura elipsoidal H D - Rv H 763,281 m = = O valor de H calculado pela Escola Politécnica da USP para o vértice Chuá, no elipsóide UGGI / SAD – 69, é de 763,2819 m 10) Raio equatorial O raio equatorial da Terra é, atualmente, determinado com tecnologia de satélite artificial. No passado, com se viu, diverso geodésistas determinaram o valor do raio equatorial como o uso da geodésia terrestre (Geodésia Clássica). 11) O raio polar é determinado juntamente com o raio equatorial. A seguir, na tabela abaixo, alguns elipsóides e seus respectivos parâmetros. PRINCIPAIS ELIPSÓIDES Elipsóides Data a b -1 α Bessel 1841 6.377.397,000 6.356.679,000 299,15 Clarck 1866 6.378.249,000 6.356.515,000 293,46 Hayford 1909 6.378.388,000 6.356.912,000 297,0 UGGI 1967 6.378160,000 6.356.774,719 298,25 GRS – 80 1980 6.378.137,000 6.356.752,310 298,2572235630 Datas dos principais Elipsóides usados no Brasil ELIPSÓIDE DATUM HAYFORD (Internacional) Córrego Alegre HAYFORD (Internacional) Astro Chuá * UGGI – 1967 Vértice Chuá – SAD – 69 GRS – 1980 WGS – 84 ** Berthier de Carvalho Filho 57 * Datum Astro Chuá é usado somente no SICAD (Sistema Cartográfico do Distrito Federal – Brasília) ** Datum WGS – 84 é usado somente para o Sistema GPS 5.4 PARÂMETROS DE TRANSFORMAÇÃO DE DATUM Parâmetros dos elipsóides ( ) = α = = = α = = = α = 2 2 WGS - 84 a 6.378.137,000 m 1 298,257164355 e 0,006694381317 SAD - 69 a 6.378.160,000 m 1 298,249997276 Para calculadora científica e 0,006694541916 CÓRREGO ALEGRE a 6.378.388,000 m 1 297, = 2 000745018 e 0,006722653187 SAD - 69 WGS - 84 WGS - 84 SAD - 69 X - 66,87 m X 66,87m Y 4,37 m Y - 4, → → ∆ = ∆ = + ∆ = + ∆ = 37 m Z - 38,52 m Z 38,52 m ∆ = ∆ = + Berthier de Carvalho Filho 58 → ∆ = ∆ = + ∆ = + CÓRREGO ALEGRE SAD - 69 X - 138,70 m Y 164,40 m Z 34,40 m SAD - 69 → ∆ = + ∆ = ∆ = CÓRREGO ALEGRE X 138,70 m Y - 164, 40 m Z - 34, 40 m Conhecendo os parâ → → ↔ → ∆ = + ∆ = metros de : WGS - 84 SAD - 69 e SAD - 69 CÓRREGO ALEGRE podemos det er minar os parâmetros de : WGS - 84 CÓRREGO ALEGRE WGS - 84 CÓRREGO ALEGRE X 205,57 m Y ∆ = + → ∆ = ∆ = + ∆ = - 168,77 m Z 4,12 m CÓRREGO ALEGRE WGS - 84 X - 205,57 m Y 168,77 m Z - 4,12 m 5.5 EXEMPLO ELUCIDATIVO Transformar as coordenadas do ponto “Pilar 1 da Base USP” do elipsóide UGGI – 67 SAD - 69 para o elipsóide WGS – 84. (CEBRAPOT – Escola Brasileira de Agrimensura – MÓDULO 10) Berthier de Carvalho Filho 59 Coordenadas do ponto 1 1 1 1 1 1 - 23º 33' 01,28833 - 46º 43' 52,03600 H 724,8371 m (Altitude Elipsoidal) a)SAD - 69 WGS - 84 Sistema 1 - Elipsóide UGGI - 67 (SAD - 69) a 6.378.160,000 m 1 298,249997276 Sistema 2 - Elip Φ = λ = = → = α = 2 2 sóide WGS - 84 a 6.378.137,000 m 1 298,257164355 Parâmetros de transformação SAD - 69 WGS - 84 X - 66,87 m Y 4,37 m Z - 38,52 m Cálculo da primeira excentricidade do elip = α = → ∆ = ∆ = + ∆ = ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 sóide 1 e 2 - e 0,006694541916 Cálculo da grande normal N a N 1 - e sen N 6.381.571,04577 m Cálculo do raio da seção meridiana M = α α = = Φ = = ( ) ( ) 2 1 1 3 2 2 2 1 1 a 1 - e 1 - e sen Φ Berthier de Carvalho Filho 60 = ∆ = ∆ = 1 2 1 M 6.345.631,20865 m Cálculos auxiliares a a - a a - 23,00 2 1 -8 - - 8,056977 x 10 ∆α = α α ∆α = Equações diferenciais simplificadas de Molodenski. ( ) { } ( ) ∆Φ = ∆α + α ∆ Φ ∆ Φ λ ∆ Φ λ + ∆ Φ π ∆α + α ∆ Φ = ∆ Φ λ = ∆ Φ λ = + ∆ Φ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 180 a a sen2 - Xsen cos - Ysen sen Zcos M a a sen2 0, 4329403679 - Xsen cos 18,313293575 - Ysen sen 1,271381531 Zcos = = = π ∆Φ = Φ -6 1 2 - 35,311640519 SOMA - 54, 463375243 x 1 180 x 9,029169461 x 10 M - 00º 00' 01,77033256" Cálculo de Φ = Φ + ∆Φ Φ = + Φ = 2 1 2 2 - 23º 33' 01,28833" (- 00º 00' 01,77033256") - 23º 33' 03,05866224" Berthier de Carvalho Filho 61 ( ) ∆λ ∆λ = ∆ λ + ∆ λ Φ π ∆ λ + ∆ λ = = Φ π ∆λ = λ λ = λ 2 2 1 1 1 1 1 1 -6 1 1 2 2 1 Cálculo de 1 180 - Xsen Ycos N cos - Xsen Ycos - 45,695768782 x 1 180 x 9,794074601 x 10 N cos - 00º 00' 01,611171966" Cálculo de ( ) + ∆λ λ = + λ = 2 2 - 46º 43' 52,03600" - 00º 00' 01,611171966" - 46º 43' 53,6471717204" ( ) ( ) α ∆ = ∆α + α ∆ Φ ∆ + ∆ Φ λ + ∆ Φ λ + ∆ Φ ∆α + α ∆ Φ − ∆ = − − = + ∆ Φ λ = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 Cálculo da altitude geométrica ou elipsoidal H a sen - a Xcos cos Ycos sen Zsen a a sen a 0,0943502298 23,00000000 22,90564977 Xcos cos + ∆ Φ λ + ∆ Φ = ∆ = 1 1 1 - 42,016665329 Ycos sen Zsen 12,4738921674 H - 6,63712339 m 2 1 H H H = + ∆ ( ) 2 H 724,8371 - 6,63712339 = + = 2 H 718,1999766 m Berthier de Carvalho Filho 62 Proposta de trabalho Calcular as coordenadas geodésicas e a altitude geométrica (altura elipsoidal) para o Datum WGS – 84 WGS - 84 SAD - 69 Fazendo, desta maneira, a verificação dos cálculos anteriores. → 6 ÁREAS NA SUPERFÍCIE DO ELIPSÓIDE 6.1 ÁREA DO QUADRILÁTERO ESFÉRICO Chamaremos de quadrilátero elipsóidico a porção da superfície do elipsóide compreendida entre dois paralelos e dois meridianos. Sejam Φ2 e Φ1 as latitudes dos dois paralelos, ∆λ a diferença de longitude entre os dois meridianos e T a área do quadrilátero. A área é calculada pela seguinte fórmula: 2 m m m m b T= (A' sen cos -B'sen3 cos3 +C'sen 5 cos 5 -D'sen7 cos7 ) 90º Φ Φ Φ Φ π ∆λ ∆ Φ ∆ Φ ∆ Φ ∆ Φ Com: Exercício proposto: Calcular a área elipsóidica do quadrilátero, figura abaixo, compreendido entre as coordenadas: 1 2 1 2 20º 00' 00" S 20º10' 00" S 53º 40' 00" W 53º 50' 00" W Φ = Φ = λ = λ = 2 1 2 1 m 2 1 Com: , , 2 2 Φ − Φ Φ + Φ ∆Φ = Φ = ∆λ = λ − λ Berthier de Carvalho Filho 63 λ 1 λ 2 1 Φ Φ 2 − ∆Φ = ∆Φ = + Φ = Φ = ∆λ = λ − λ ∆λ = m m 2 1 20º10' 00" 20º 00' 00" 2 00º 05' 00" 20º10' 00" 20º 00' 00" 2 20º 05' 00" 00º10' 00" ∆Φ = Φ = ∆Φ = Φ = ∆Φ = Φ = ∆Φ = Φ = m m m m 00º 05' 00" 20º 05' 00" 3 00º15' 00" 3 60º15' 00" 5 00º 25' 00" 5 100º25'00 7 00º 35' 00" 7 140º 35' 00" Berthier de Carvalho Filho 64 Constantes do Elipsóide U.G.G.I. – 67 3 6 9 A' 1,00336417159 B' 1,12421676383 x 10 C' 1,69954210042 x 10 D' 2,71805590226 x 10 − − − = = = = − ∆Φ Φ − ∆Φ Φ − ∆Φ Φ ∆Φ Φ = + = + + = − = − 3 m 6 m 9 m m A' sen cos 1,370597544x10 - B' 3sen 3cos 2, 434093515x10 C' 5sen 5cos 2,234628095x10 - D' 7sen 7cos 2,1 − − π ∆λ = = 11 3 2 11 2 37819454x10 1,368161237x10 x b 2,350876171x10 90 Área 321637765,082 m = Área 32163 ha 77a 65 ca 6.2 ÁREA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO 1 2 0º 90º Φ = Φ = 2 1 2 1 m Com: , 2 2 Φ − Φ Φ + Φ ∆Φ = Φ = A área é dada pela seguinte fórmula: ] 2 2 1 m m m 1 A 4 b A' sen cos - B' sen3 cos3 +C' sen5 cos5 - ... 2 Φ Φ Φ Φ Φ = π ∆ Φ ∆ Φ ∆ Φ Berthier de Carvalho Filho 65 Para o elipsóide UGGI – 67 - SAD – 69, as constantes são: 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 -3 1 3 5 35 63 A' 1 e e e e e A' 1,00336417157 2 8 16 128 256 1 3 3 35 45 B' e e e e e B' 1,12421676383 X 10 6 16 16 192 256 = + + + + + → = = + + + + → = 4 6 8 10 -6 3 1 5 45 C' e e e e C' 1,69954210049 x 10 80 16 64 512 = + + + → = 6 8 10 -9 8 10 -12 1 5 15 D' e e e D' 2,71805590226 x 10 112 256 512 5 3 E' e e E' 4, 434838074 x 10 2304 512 = + + → = = + → = 6.3 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS GEODÉSICAS. - MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS. As coordenadas geodésicas são determinadas, atualmente, com técnica GPS. Com as coordenadas geodésicas de dois pontos, pode-se calcular o azimute e distância para aplicação em direcionamento de antena de rádios microondas, navegação, onde, conhecendo a posição do avião e do aeroporto, ou do navio e do porto, calcula-se a distância e o azimute do avião para o aeroporto ou do navio para o porto. Conhecendo as coordenadas de dois aeroportos pode-se determinar o plano do vôo a partir da distância (hora do vôo) e azimute verdadeiro. 6.3.1 MODELO MATEMÁTICO 6.3.1.1 LADO O lado elipsóidico (sobre a superfície do elipsóide) é dado pela seguinte fórmula. Distância provisória: Berthier de Carvalho Filho 66 2 2 e S X Y = + 6.3.1.2 AZIMUTE A PARTIR DO SUL O azimute provisório é determinado pela seguinte fórmula. X Rumo = arc tg Converter em Azimute Y Obs: azimute contado a partir do Sul → 6.3.1.3 CONTRA AZIMUTE ( ) 3 " " m m - A sen sec F é negativo no Hemisfério Sul 2 ∆Φ ∆ = ∆λ Φ + ∆λ → Φ ( ) BA AB A 1 AZ AZ 180º + sec cos = ± ∆ → Α = Α onde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 " " " B B B B A " A A 2 -16 B m A N cos 2 tg X N sen1 cos M sen1 3 2N M sen1 180º N cos M 4,095x10 180º 180º ¦ ¹ π Φ ∆λ | | Φ ¦ ¦ = λ Φ − − ´ ` | \ ¹ ¦ ¦ ¹ ) ¦ ¹ π Φ ∆λ π ∆Φ ¦ ¦ − ´ ` ¦ ¦ ¹ ) ( ) ( ) 2 2 " " m m A 3 " o " o 2 2 A A A 2 2 A 2 " o A A N cos M tg 3e sen cos sen1 1 Y - - 2N M sen1 180 M sen1 180 2 1- e sen 1- 3tg M 1 6N M sen1 180 ¦ ¦ ¹ | | ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ | | | | | π Φ ∆λ π ∆Φ Φ Φ Φ | | | | ¦ ¦ ¦ = ∆Φ + ´ ´ ` ´ ` | | | | | \ ¹ \ ¹ \ ¹ \ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ) | Φ \ ¹ ¦ ¹ ) ¹ ¦ Φ | | π ∆Φ | | ¦ + ´ | \ \ ¹ ¦ ¹ 2 " m m A o N cos M sen1 180 ¹ ¹ π Φ ∆λ | | ¦¦ `` | | ¹\ ¹ ¦¦ )) Berthier de Carvalho Filho 67 1 1 m m m 1 1 A 2 2 A X RUMO Y N cos N X Y 180º 180º a N 1- e sen = π Φ ∆λ π ∆Φ = = = Φ ( ) ( ) B 2 2 A 2 A B 3 2 2 2 2 2 B A m m 2 2 2 2 m m 2 2 A B m B A a N 1- e sen a 1 - e a M M 1- e sen 1 - e sen a a N M 1- e sen 1- e sen a - b - e a 2 - = Φ = = Φ Φ = = Φ Φ Φ Φ = Φ = ∆Φ = Φ Φ B A - ∆λ = λ λ ( ) ( ) ( ) Φ λ = = = = = ∆ = ∆ = 2 1 1 2 1 2 2 3 1 4 1 1 " 5 5 2 3 4 2 " Fazendo : K B Y K C X K D K K E K X K K - K - K + K Y B W ( ) ( ) | | = | \ ¹ = 2 3 1 1 1B 2 -16 2 1 1 C 2 C X A B 3 C 4,095 x 10 X Y = 2 1 2 X W - C - C = = ∆ 1B " " B B A onde os coeficientes são : 1 1 A B N sen1 cos M sen1 Berthier de Carvalho Filho 68 ( ) ( ) Φ Φ = Φ Φ + = = Φ = Φ Φ A " A A 2 " 2 A A 3 2 2 2 A A 2 2 A A tg C 2 N M sen1 3 e sen cos sen1 1 3 tg D E 6 N 2 1- e 1 F sen cos sen 1 12 Φ = λ = Φ = λ = Φ = = = = " A A B A m 1 A Sendo : latitude do ponto A longitude do ponto A latitude do ponto B longitude do ponto B latitude média Se lado elipsóidico provisório Se lado elipsóidico N grande normal no = B ponto A N grande normal no ponto B A B M raio da seção meridiana no ponto A M raio da seção meridiana no ponto B = = 2 AB BA e primeira excentricidade a raio equatorial do elipsóide b raio polar do elipsóide AZ azimute elipsóidico de A para B AZ azimute elipsóidico de B para A = = = = = Para o elipsóide UGGI-67 SAD-69 2 a 6.378.160,000 m b 6.356.774,719 m e 0,006694541916 = = = Berthier de Carvalho Filho 69 7 EXEMPLO APLICATIVO RESOLVIDO Dadas às coordenadas geodésicas dos pontos 1 e 2, determinar o lado e azimute elipsóidico. 1 1 2 2 Ponto 1 28º 38' 09,9672"S 49º 21' 42,6722" W Ponto 2 28º 44' 33,3542"S 49º 08' 30,0198" W Φ = λ = Φ = λ = ( ) ( ) Φ Φ A 2 2 A A 2 A 3 2 2 2 A A a N = 1 - e sen N = 6.383.069,10807 m a 1 - e M = 1 - e sen M = 6.350.101,13436 m ( ) ( ) = Φ = = Φ = = Φ = B 2 2 B B m 2 2 m m 2 m 3 2 2 2 m m a N 1 - e sen N 6.383.102,6082 m a N 1 - e sen N 6.383.085,84812 m a 1 - e M 1 - e sen M 6.350.151,09515 m Berthier de Carvalho Filho 70 π Φ ∆λ = = π ∆Φ = = m m 1 1 m 1 1 N cos X 180º X - 21.518,1279133 m M Y 180º Y 11.803,1060286 m 7.2 CÁLCULO DO LADO PROVISÓRIO (1ª aproximação) ( ) ( ) 2 2 1ª 1 2 1ª S X X S 24.542,6799773 m = + = 7.3 CÁLCULO DO AZIMUTE PROVISÓRIO (1ª aproximação) ( ) ( ) ( ) ( ) − = = + = 1 1ª 1 1ª X Rumo AB arctg 4º Quadrante Y RUMO AB 61º15'15,79179456"NW Rumo da linha AB α ΑΒ Α Β 1 Berthier de Carvalho Filho 71 7.4 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (2ª aproximação ( ) te A A 1 1 1 1 A A A 1 B = C M sen1" M 6.350.101,13434 B = 0,03248212932 K = B Y Y 11.803,1060274 m K 383,390016119 tgΦ C = 2N M s = = = -9 en1" C = - 1,38933103 x 10 C é negativo no Hemisfério Sul ( ) A A A 9 1 2 2 1 2 2 28º 38' 09,9672 N 6.383.069,10807 m M 6.350.101,13434 m C 1,38933103 x 10 X 21.518,1279133 m K C X K - 0,6433017089 3e sen D − Φ = = = = − = − = = Φ = ( ) A A 3 2 2 2 A -8 cos sen1" 2 1 - e sen D -2,052502799 x 10 D é negativo no Hemisfério Sul Φ Φ = 1 X 21.518,1279133 m = − 2 A e 0,006694541916 28º 38' 06,9672" S = Φ = 1 K 383,390016119 = Berthier de Carvalho Filho 72 ( ) ( ) 2 3 1 3 2 A 2 A K D K K - 0,003016930853 1 3tg E 6 N E 7,74 = = + Φ = = -15 9541271 x 10 1 X 21.518,1279133 m = − ( ) 2 4 1 1 3 4 5 2 3 4 5 K E K X K 1,375706421 x 10 K " - K - K K K 384,034694346 − = = = ∆Φ + = 2 3 3 5 B 0,03248212932 K 0,6433017089 K 3,016930853 x 10 K 384,034694346 − = = − = − = 5 2 2 K Y B Y 11.822,953185 m = = ( ) − | | | \ ¹ = − = = − 2 3 1 1 9 1 1 2 C 3 C = X B 2 C 1,38933103 x 10 B 0,03248212932 X 21.518,1279133 m C = - 0,0121519139 C = 4,095 x ( ) 2 -16 1 1 2 10 X Y C = - 0,0012275834 Berthier de Carvalho Filho 73 ( ) te 1B 2 1 2 2 " W C A W = - 21.507,231333 X = W - C - C X - 21.507,2179505 ∆λ = = Lado elipsóidico ( ) ( ) 2 2 2ª 1 1 2ª Se X Y Se 24.542,6699005 m = + = Azimute elipsóidico 2 2ª 2 2ª 2ª X RUMO AB = Y RUMO AB = 61º12'05,44951728" AZIMUTE AB = 298º47'54,550482" 7.5 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (3ª aproximação) ( ) ( ) te 1 -9 te B 0,03248212932 C K 384,034694137 C - 1,38933103 x 10 C = = = ( ) 2 2 2 2 K = C X K = - 0,6426495502 ( ) ( ) ( ) = = = = = -8 te 2 3 1 3 -15 2 4 1 2 D - 2,05250277961 x 10 C K D K K - 0,003027085443 E 7,749541271 x 10 K E K X = 4 K 0,001376622706 Berthier de Carvalho Filho 74 = ∆Φ + = = 5 2 3 4 5 5 3 K " - K - K K K 384,034053298 K Y B ( ) ( ) = | | = | \ ¹ = = 3 2 3 1 2 1 2 -16 2 2 2 Y 11.822,933448 C 2 C X B 3 C - 0,01213343977 C 4,095 x 10 X Y = = = = 2 3 1 2 3 C - 0,001231090789 W - 21.507,2313333 X W - C - C X - 21.507,21797655 Lado elipsóidico ( ) ( ) ª ª 2 2 3 3 3 3 Se = X + Y Se = 24.542,6604087 m Azimute elipsóidico 3ª 3 3ª 3 3ª X RUMO AB Y RUMO AB 61º12' 05,59498212 NW" AZIMUTE AB 298º 47' 54, 4050162" = = = 7.6 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (4ª aproximação) B = 0,03248212932 1 3 1 K B Y K 384,03405294 = = Berthier de Carvalho Filho 75 9 3 C -1,38933103 X 10 X 21507,2179505 m − = = − ( ) ( ) 2 2 3 2 8 2 3 1 3 3 15 1 3 K C X K 0,6426495514 D 2,052502779 x 10 K D x K K 3,027075335 x 10 E 7,749541271 x 10 K 384,03405294 X 21.507,2179505 − − − = = − = − = = − = = = − ( ) 2 4 1 3 4 K E K X K 0,00137662041 = = 5 2 3 4 K K K K 00º 06' 23,3870" = ∆Φ − − + ∆Φ = 2 3 3 4 5 K 0,6426495514 K 3,027075335 x 10 K 0,00137662041 K 384,034053286 − − = − = = ( ) ( ) 2 3 1 1 2 16 2 3 3 3 2 C 2 C X B 3 C 0,01213344031 C 4,095 x 10 X Y C -1,231086614 x 10 − − | | = | \ ¹ = − = = ∆λ = ∆λ = − = = 1B 1B W A 792,6523999" A 0,03685515758 W -21.507,2313333 Berthier de Carvalho Filho 76 = − = = = 4 5 4 4 X 21.507,2179655 m B 0,032482129319 K Y B Y 11.822,933448 7.7 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE DEFINITIVO Lado elipsóidico Como: ª ª 4 3 Se Se = Então Se 24.542,6604 m = Azimute elipsóidico = = ª ª 4 3 AZIMUTE AB AZIMUTE AB AZIMUTE AB 298º 47' 54, 4050" ( ) ∆Φ ∆ = ∆λ Φ + ∆λ = Φ Φ = Φ = ∆λ = ∆Φ = 3 m 2 2 A A -13 m - A" " sen sec F " 2 1 F sen cos sen 1" 12 F - 7,231021102 x 10 - 28º 41' 21,6607 " - 792,6524" 00º 03'11,6935 2 Berthier de Carvalho Filho 77 ∆Φ = ∆ = + ∆ = 00º 06' 23,3870" - A" 380,521725" A" - 380,52157253" ( ) ∆ = = ± + ∆ = = A" - 00º 06' 20,5217253" AZIMUTE BA AZIMUTE AB 180º A AZIMUTE AB 298º 47' 54, 4050" AZIMUTE BA 198º 47' 54, 4050" Verificação Cálculo Inverso: Atividade extra-classe. 8 ÁREA DE UMA ZONA ELIPSOIDAL r A ds X Z o Figura 8.1 – Área de uma zona elipsoidal A área elementar A da zona elipsoidal gerada pela revolução do arco ds (figura 8.1) em torno de OZ, é dada por: Berthier de Carvalho Filho 78 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 m m m m A 4 b A' sen cos - B' sen3 3 cos C' sen5 cos5 - D' sen7 cos7 Φ Φ = π ∆Φ Φ ∆Φ Φ + ∆Φ Φ − ∆Φ Φ Φ = Φ = 1 2 Com : Exercício proposto 50º 60º sendo: 2 - 1 2 + 1 = m = 2 2 Φ Φ Φ Φ ∆Φ Φ Coeficientes : SAD - 69 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 4 6 8 10 1 3 5 35 63 A' 1 e e e e e 1,00336417160 2 8 16 128 256 1 3 3 35 45 B' e e e e e 0,00112421678 6 16 16 192 256 3 1 5 45 C' e e e e 0,00000169954 80 16 64 512 D' = + + + + + = = + + + + = = + + + = = 6 8 10 8 10 -12 1 5 15 e e e 0,00000000272 112 256 512 5 3 E' e e 4, 437627647 x 10 0 2304 512 + + = = + = = 9 ALTITUDES ORTOMÉTRICA, GEOMÉTRICA E ONDULAÇÃO DO GEÓIDE. Por definição, altitude ortométrica (h) de um ponto é à distância contada sobre a vertical desse ponto até o geóide, e, altitude geométrica, é à distância contada sobre a normal do ponto até o elipsóide. Um dos mais importantes problemas geodésicos é a determinação das “ondulações do geóide”, ou seja, da separação (N) entre a superfície equipotencial (geóide) e o elipsóide. As três áreas da geodésia que mencionamos no primeiro capítulo têm solução específica para esse problema; neste trabalho não restringiremos a nenhum método. A figura 9.1 ilustra melhor este assunto. A altitude geométrica é determinada com GPS geodésico de alta precisão, pois o GPS de navegação fornece a altitude Berthier de Carvalho Filho 79 geométrica, porém, de caráter meramente decorativo, pois o erro pode chegar a 200 metros. Ora, se conhecer a altitude geométrica e a ondulação do geóide, pode-se chegar a um valor aproximado da altitude ortométrica. O IBGE confeccionou a carta com as ondulações do geóide, bastando conhecer as coordenadas geodésicas do local, também, disponibiliza em arquivo eletrônico. Com um erro absoluto de 3 metros e um erro relativo de 1 cm/km na determinação da altitude. A Fundação IBGE e a Universidade de São Paulo têm trabalhado ao longo dos últimos dez anos num projeto de melhoria da carta geoidal no Brasil. Neste sentido, um intenso programa de observações com o sistema TRANSIT foi conduzido sobre a rede de nivelamento de 1 a. ordem resultando em um total de mais de 200 pontos. Este trabalho foi realizado na década de 70. No momento, a atenção está voltada para o GPS e já se dispõe de mais de uma centena de alturas geoidais derivadas. Levantamentos gravimétricos também têm sido intensificados de modo a melhorar a cobertura, sobretudo em regiões vazias. N = DETERMINADO COM O MAPGEO 2004 Q' PS Φ λ E P' Q N = ONDULAÇÃO DEOIDAL PN h = H - N H = h + N GEÓIDE N SUPERFÍCIE FÍSICA DA TERRA h H P Figura 9.1 – Altitude Ort., Altitude Geométrica e Ondulação Geóidal. Berthier de Carvalho Filho 80 Sinais de N: N é positivo quando a superfície geoidal estiver acima da superfície elipsoidal N é negativo quando a superfície geoidal estiver abaixo da superfície elipsoidal h H N Superfície do Terreno Geóide Elipsoide Figura 7.2 – Ondulação Geoidal 9.1 TRANSPORTE DE ALTITUDES COM GPS UTILIZANDO DIFERENÇA DE NÍVEL DE ONDULAÇÃO GEOIDAL. No processamento de dados GPS, o grande problema enfrentado, por diversos profissionais da área da geomática, é a determinação das altitudes ortométricas (em relação ao nível do mar) uma vez que os softwares de processamento calculam a altura geométrica (em relação ao elipsóide GRS – Datum WGS – 84). Para linhas de base curtas (menor que 1 km), pode-se, sem cometer erro apreciável, considerar, como altitude a altitude geométrica, pois a diferença da ondulação geoidal entre dois pontos próximos é desprezível. Porém, para linhas de base longas se faz necessário o processamento com a altura elipsoidal e posteriormente o cálculo da altitude ortométrica através da diferença de ondulação geoidal obtida num mapa geoidal confiável. No Brasil, foi desenvolvido, pela Universidade Federal de São Paulo, o software Map-Geo (versão 2.0) que contém o mapa Berthier de Carvalho Filho 81 geoidal do Brasil. Para determinar o valor da ondulação geoidal basta entrar com as coordenadas geodésicas do ponto (latitude e longitude) para o Elipsóide UGGI - 67 A precisão deste software, comentado no capítulo acima, é de 3 metros (precisão absoluta) e de 1 cm/km para precisão relativa. O transporte da altitude ortométrica entre dois pontos leva em consideração a diferença de ondulação geoidal extraída do MapGeo. O primeiro ponto (ponto de origem) deve ser um RN com a altitude ortométrica conhecida (recomenda-se RNs da rede de nivelamento do IBGE). Para os demais pontos devem ser conhecidos os seguintes elementos: Altura elipsoidal Coordenadas Geodésicas Ondulação geoidal extraída do MapGeo As fórmulas para os cálculos são: Diferença das alturas elipsoidais (∆H) n 0 Map Map Map n Map 0 H H - H Diferença das ondulações geoidais do Map - Geo ( N ) N N - N ∆ = ∆ ∆ = Cálculo da altitude ortométrica Berthier de Carvalho Filho 82 0 Map 0 Map 0 h h - N H Cálculo da ondulação geoidal verdadeira (N) N H - h Onde : H Altura elipsoidal do ponto de origem; H Altura elipsoidal dos demais pontos; N Ondulação geoidal da or = ∆ + ∆ = = = = Map Map igem obtida com o Map - Geo; N Ondulação geoidal dos demais pontos obtidas com o Map - Geo; H Diferença das alturas elipsoidais; N Diferença das ondulações geoidais obtidas com o Map - Ge = ∆ = ∆ = 0 o; h Altitude ortométrica da origem; h Altitude ortométrica dos demais pontos N Ondulação geoidal verdadeiro = = = Exercício: Dados as coordenadas de três pontos, uma origem planimétrica, uma origem altimétrica (marco da rede de nivelamento do IBGE) e dois vértices para onde serão transportadas as altitudes ortométrica. Φ = Φ = Φ = λ = λ = Ponto 01 Ponto 02 Ponto RN1256Z 28º 45'15" S 28º 40' 01" S 28º 52' 33" S 49º 52' 22" W 4 λ = = = = 9º 34' 25" W 49º 45' 21" W H 45,325 m H 32,185 m H 46,925 m h = 45,4972 m = + = + = + O MapGeo 2004 calculou as ondulações geoidais dos pontos : Ponto RN 1,52 m Ponto 01 3,12 m Ponto 02 1,70 m Berthier de Carvalho Filho 83 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = 1 0 1-0 1-0 1-0 2 0 2-0 2-0 2-0 Cálculo das diferenças das alturas elipsoidais ( H) H H - H H 45,325 - 46,925 H - 1,600 m H H - H H 32,185 - 46,925 H - 14,740 m ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ = ∆ = ∆ = + Map 1 0 1-0 1-0 1-0 Cálculo das diferenças das ondulações geoidais ( N ) N N - N N 0,312 - 1,520 N 1,600 m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ = ∆ = ∆ = = ∆ + ∆ = + + = = ∆ + ∆ = + 2 0 2-0 2-0 2-0 1 0 1-0 1-0 1 1 2 0 2-0 2-0 2 N N - N N 0,170 - 1,520 N + 0,180 m Cálculo das alturas ortométricas (h) h h - N H h 45,4972 - ( 1,600) (- 1,600) h 42,2977 m h h - N H h 45,4972 - ( + = 2 0,180) (-14,740) h 30,5772 m Os resultados alcançados podem ser comparados a um nivelamento geométrico de média precisão, ou seja, precisão de 10 mm/km. Observação: Berthier de Carvalho Filho 84 1)As alturas elipsoidais devem ser obtidas com GPS geodésico de alta precisão e as ondulações geoidais com a utilização do software Map-Geo ou através de uma carta geoidal, recomenda-se utilizar o software. 2)Cabe informar, oportunamente, que as diferenças de nível elipsoidal, por GPS, não tem aplicação prática. Repetindo para enfatizar: Genericamente podemos dizer que altitude de um ponto da superfície da Terra é à distância desse ponto à superfície que tem, por convenção, altitude zero. Em nosso país a "superfície origem" é o geóide passante pelo ponto do marégrafo de Imbituba, que identifica o nível médio do mar (NMM) local e para a época em que foi determinado. Hoje sabemos que NMM varia com o tempo. Marégrafo é o instrumento destinado à medição e ao registro do nível médio do mar a qualquer hora e é determinado por instituições governamentais. "O DATUM VERTICAL" oficial para todo o território brasileiro, é o marégrafo de Imbituba no litoral de Santa Catarina, ou seja, é origem das altitudes. Com efeito, os registros horários de marés podem revelar variações de vários metros em um dia, um exemplo é a Baia de Fundy (Canadá), aproximadamente 20 m, já as médias mensais de tais registros revelam certa estabilidade (variações de decímetros), estabilidade que se acentua nas médias anuais (variações de poucos centímetros); em outras palavras, as médias anuais praticamente eliminam as variações periódicas do nível do mar. Na figura 6.3 representamos esquematicamente o geóide; a separação entre ele e o NMM local é o que se convencionou chamar topografia do nível médio, a variação dessa topografia não é devido à maré oceânica, pois o NMM esta expurgado das variações periódicas. Mas existem outras causas como as meteorológicas (variação da pressão atmosférica, pois, um aumento de um milibar na pressão atmosférica implica, em média, em uma depressão de 1 cm no nível do oceano, e a pressão do vento); e as oceânicas, como a variação da densidade da água (que depende da temperatura, salinidade e pressão); e ainda as correntes oceânicas, Berthier de Carvalho Filho 85 a descarga de rios próximos aos marégrafo, o derretimento de gelos glaciais, etc. Observações maregráficas de um ou mais anos permitem determinar um nível médio local; a RN inicial terá então a altitude, conforme a figura 6.3, que é transportada por meio de linhas de nivelamento geométrico (assunto que faz parte desta apostila) às demais RN que compõem a rede vertical do país. Existem milhares de marégrafo espalhados pelo mundo, cada um acusando um NMM. As linhas de nivelamento que, em princípio, devem compor círculos fechados, estendem-se normalmente ao longo das vias terrestres de comunicação. Ocorre, porém, que esse nível médio não é uma superfície equipotencial; e o adjetivo “local” é bem posto, pois, o NM varia de uma marégrafo para outro, ainda que situados no mesmo litoral. Em nosso país já foram nivelados mais de 120.000 km de linhas de alta precisão (três voltas ao mundo). O trecho da linha compreendido entre duas RN recebe o nome de seção, cujo comprimento médio é da ordem de 3 km, isto significa que mais de 40.000 referências de nível. Infelizmente, porém, o crescimento e a pavimentação asfáltica do nosso sistema rodoviário aliado a um descaso criminoso, foram responsáveis pela destruição de um enorme número dessas referências, mutilando a rede vertical com tremendo prejuízo econômico e científico. É bom salientar, nestas notas de aula, que as RN s são protegidas por lei e a sua destruição é crime e passível de punição. Berthier de Carvalho Filho 86 RN b a N M M Marégrafo ALTITUDE DA RN INICAL H = a + b Marégrafo RN m n Geóide N M M (local) NÍVEL INSTANTÂNEO maré baixa n = Topografia m = Topografia Estacionária Figura 9 1 – Datum vertical - Marégrafo Berthier de Carvalho Filho 87 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CAMIL, Gemael. Introdução à Geodésia Geométrica 1ª e 2ª parte. Curitiba: Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas/UFP, 1987. FILHO, Berthier de Carvalho. Análise Comparativa de Áreas Calculadas nos Sistemas UTM e Plano Retangular. V PCDET, Belo Horizonte: Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas (Topografia), 1995. ___________________. Altimetria: 2. Ed. Cuiabá, CEFET/MT, 2003. ___________________. Planimetria: 1. Ed. Cuiabá, CEFET/MT, 2002. ___________________. Fundamentos de Astronomia Esférica Aplicada na Determinação do Norte Verdadeiro. 2. Ed. Cuiabá, CEFET/MT, 2001. SILVEIRA, Luis Carlos da. Cálculo Geodésico no Sistema UTM Aplicados à Topografia. 1. Ed. Criciúma: Livraria Luana Ltda., 1990. Berthier de Carvalho Filho ii APRESENTAÇÃO A Geodésia Geométrica é abrangente, para mim seria válido tentar abranger a totalidade deste assunto de modo genérico. Se assim eu fizesse, encontraria dois problemas. Primeiro, teria dificuldade em introduzir detalhes suficientes em qualquer das áreas da Geodésia; segundo, veria que a grande parte da matéria seria impossível em tão pouco tempo. O que tentamos fazer neste material didático foi selecionar parte dos assuntos que trata do georreferenciamento de imóveis rurais, geoprocessamento e tratá-los em profundidade sem fugir da diretriz traçada com o fim a que se destina o assunto. Parte desta apostila é original, mas a outra inclui a experiência e o trabalho de outros professores, como indicamos na extensa bibliografia. A literatura sobre o assunto é vasta em outros países, sendo muito escassa no Brasil, foi escrita principalmente para programas de ensino, com intuito de suprir a necessidade de um livro a respeito. Tendo esta característica, torna-se necessário fazer revisões periódicas com a finalidade de aprimorar e atualizar o seu conteúdo. As críticas e sugestões, com objetivo de melhorar a qualidade deste trabalho, serão bem vindas por mim. Contato:
[email protected] Professor Berthier de Carvalho Filho Berthier de Carvalho Filho iii INDICE 1 GEODÉSIA: CONCEITOS INTRODUTÓRIOS............................................................. 1 1.1 GEODÉSIA – OBJETO............................................................................................... 1 1.2 GEÓIDE...................................................................................................................... 2 1.2.1 CONCEITO.............................................................................................................. 2 1.3 MODELO GEOMÉTRICO ......................................................................................... 4 1.3.1 ESCORÇO HISTÓRICO: DO PLANO AO ELIPSÓIDE.......................................... 5 1.3.1.1 PRIMEIRAS IDÉIAS ............................................................................................ 5 1.3.1.2 ERATÓSTENES – POSIDÔNIO........................................................................... 6 1.3.1.3 PTOLOMEU ....................................................................................................... 11 1.3.1.4 OS ÁRABES ....................................................................................................... 12 1.3.1.5 PICARD .............................................................................................................. 13 1.3.1.6 NEWTON............................................................................................................ 14 1.3.1.7 CASSINI ............................................................................................................. 15 2 MODÊLO GEOMÉTRICO COMO SUPERFÍCIE DE REFERÊNCIA........................ 17 2.1 PARÂMETROS DO MODELO ................................................................................ 17 2.2 DISTINÇÃO ENTRE GEÓIDE E ELIPSÓIDE......................................................... 19 3 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS E COORDENADAS GEODÉSICAS................................................................................................................... 20 3.1 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS ................................... 20 3.2 COORDENADAS GEODÉSICAS ............................................................................ 21 4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE...................................................................................... 23 4.1 ELIPSÓIDE TERRESTRE ........................................................................................ 24 4.1.1 ELEMENTOS DO ELIPSÓIDE ............................................................................. 24 4.1.1.1 ACHATAMENTO .............................................................................................. 24 b = 6.356.912,0000 m...................................................................................................... 27 4.1.1.2 PRIMEIRA EXCENTRICIDADE ....................................................................... 27 4.1.1.3 SEGUNDA EXCENTRICIDADE ....................................................................... 29 4.1.1.4 RELAÇÃO ENTRE ACHATAMENTO E EXCENTRICIDADE ........................ 30 4.1.1.7 CÁLCULO DA GRANDE E PEQUENA NORMAL........................................... 35 4.1.1.8 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DA SEÇÃO MERIDIANA ........... 38 4.1.1.9 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DE SEÇÃO NORMAL QUALQUER DE AZIMUTE α OU OBLÍQUA................................................................................... 40 4.1.2.0 RAIO MÉDIO DE CURVATURA ...................................................................... 41 5 APLICAÇÕES DOS RAIOS DA TERRA ..................................................................... 43 a) Raio equatorial (a) ....................................................................................................... 43 b) Raio polar (b) .............................................................................................................. 44 c) Grande normal (N) ...................................................................................................... 44 d) Pequena normal (N’) ................................................................................................... 44 e) Raio da seção meridiana (M) ....................................................................................... 44 f) Raio de um paralelo (r) ................................................................................................ 45 g) Raio médio (Rm).......................................................................................................... 45 h) Raio geográfico ( R g ).................................................................................................. 45 i) Raio da seção oblíqua ( Rα ) ......................................................................................... 45 j) Raio vetor ( R v ) ........................................................................................................... 45 ....................... 66 6....................................... 64 6...............................................................1 TRANSPORTE DE ALTITUDES COM GPS UTILIZANDO DIFERENÇA DE NÍVEL DE ONDULAÇÃO GEOIDAL.....................................................................................................................7 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE DEFINITIVO .............. 65 6................ 69 7........................................1...................3 CONTRA AZIMUTE ..3............ GEOMÉTRICA E ONDULAÇÃO DO GEÓIDE................................................. 66 7 EXEMPLO APLICATIVO RESOLVIDO................. 50 5...............................3.................. 78 9.......................... 80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................................... 74 7.................1 APLICAÇÕES DOS RAIOS DO ELIPSÓIDE ..................I.......... 62 Constantes do Elipsóide U... 65 6...................................................... – 67 .......1 LADO ........................................................5 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (3ª aproximação)... 87 .............3 CÁLCULO ENVOLVENDO TODOS OS RAIOS DO ELIPSÓIDE ....................................3...1 MODELO MATEMÁTICO.....................................................3............. 77 9 ALTITUDES ORTOMÉTRICA........................6 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (4ª aproximação)....... 46 5.2 CÁLCULO DO LADO PROVISÓRIO (1ª aproximação) ........ 73 7..................2 AZIMUTE A PARTIR DO SUL.... 70 7............................1........................... 76 8 ÁREA DE UMA ZONA ELIPSOIDAL...... 64 6....... 51 6 ÁREAS NA SUPERFÍCIE DO ELIPSÓIDE .............. 62 6....1 ÁREA DO QUADRILÁTERO ESFÉRICO..................................G.................................................................1........................................................2 COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO......... ......................................................2 ÁREA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO.................G.Berthier de Carvalho Filho iv 5....................... conduzindo a equipamentos sofisticados que permitem medidas cada vez mais precisas. se a superfície terrestre continental se prolonga naturalmente ao leito dos oceanos. torna obrigatória a consideração da elasticidade do planeta.1 GEODÉSIA – OBJETO O objetivo último da Geodésia é a determinação da forma e das dimensões da Terra. A Geodésia do século XIX praticamente se concentrou na pesquisa dos parâmetros do “melhor elipsóide”. Face às irregularidades da superfície terrestre. e daí a necessidade de encarar as coordenadas de um ponto terrestre como função do tempo. ou. valer-se de medidas efetuadas sobre satélites artificiais. . mais modernamente. Por outro lado o avanço tecnológico. Tais implicações e outras mais robustecem de maneira significativa a “ciência geodésica” cuja importância cresce dia a dia seja pelo seu desempenho como ciência independente seja pelos subsídios que proporcionam as outras ciências. Obviamente numa primeira aproximação as irregularidades da superfície podem ser negligenciadas reduzindo-se o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado.Berthier de Carvalho Filho 1 1 GEODÉSIA: CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 1. ou valer-se de medidas gravimétricas que conduzem ao conhecimento detalhado do campo de gravidade. os demais pontos são obtidos por interpolação. tal determinação exige o levantamento de pontos escolhidos sobre a mesma em número e distribuição geográfica compatíveis com a precisão desejada e com as restrições de ordem prática e econômica. Para atingir o seu objetivo a Geodésia pode valer-se de operações geométricas. Mas. realizadas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distâncias) associadas à esparsas determinações astronômicas. cabe também à Geodésia a descrição submarina. a mais antiga e. 1777-1855). nos parece conveniente a divisão sugerida linhas acima: Geodésica Geométrica Geodésia Física Geodésia Celeste Nesta apostila cogitaremos apenas a Geodésia Geométrica. pois as outras foge ao escopo deste trabalho.Geóide . Figura 1. a Terra não é perfeitamente esférica.2. do ponto de vista utilitário (suporte aos serviços de descrição geométrica a superfície terrestre através do mapeamento) a que ainda continua mais extensiva utilizada.Berthier de Carvalho Filho 2 Repetindo para enfatizar: “A GEODÉSIA É A CIÊNCIA QUE TEM POR OBJETIVO DETERMINAR A FORMA E AS DIMENSÕES DA TERRA E OS PARÂMETROS DEFINIDORES DO CAMPO GRAVÍFICO”. 1.1 CONCEITO Como se sabe.1 . conhecido como Geóide. idealizada por Carl Friedrich Gauss (físico e matemático alemão. Do ponto de vista didático.2 GEÓIDE 1. sua forma real é considerada como sendo aquela obtida pelo prolongamento da superfície média dos oceanos através dos continentes. O ângulo formado entre a normal e a vertical é designado como desvio da vertical (Figura 1. Assim. nivelado num determinado ponto da superfície física da Terra. Esta figura deveria também ser matematicamente conhecida. é determinada em função do desvio da vertical. é uma figura de difícil tratamento matemático. surgiu o elipsóide (quase sempre se utiliza o elipsóide de revolução). O fio de prumo de um teodolito. felizmente. pois neste caso vertical e normal serão coplanares. .Berthier de Carvalho Filho 3 O geóide. porém. denominada vertical. ou em outras palavras. em virtude de suas ondulações. com a conseqüente coincidência das coordenadas astronômicas e geodésicas. Outra linha. superfície na qual são calculadas as coordenadas geodésicas. O leitor já deve ter percebido que o desvio da vertical (normalmente da ordem de poucos segundos de arco) anula-se quando o geóide e o elipsóide na área considerada são “paralelos”. que passa por este mesmo ponto. quase que coincidente com a linha dos pólos.2). Desta forma. Mas. o que diminuiria a influência dos erros da "aproximação esférica". tendo o seu eixo menor. materializa uma linha perpendicular ao geóide. as muitas determinações feitas em diversos lugares do globo mostraram que o geóide se confunde muito sensivelmente com um elipsóide de revolução. perpendicular ao elipsóide é conhecida como normal. porém. O desvio será máximo nos pontos onde as duas superfícies se interceptam. o afastamento angular entre as duas superfícies. os geodésistas sentiram necessidade de introduzir uma nova superfície que aproximasse do geóide. A diferença entre o geóide e o elipsóide em um dado ponto. entre a vertical à superfície do geóide e a normal à superfície do elipsóide. a Geodésia procura materializar sobre a superfície física do planeta um arcabouço de pontos fundamentais cujas coordenadas são determinadas rigorosamente levando-se em consideração a curvatura terrestre. . a superfície terrestre pelas suas irregularidades deve. e satisfatória em muitos problemas.3 MODELO GEOMÉTRICO Seja para estudar a forma e as dimensões da Terra. O primeiro passo consiste na adoção de um modelo. Assim um topógrafo para descrever geometricamente certas regiões adota a hipótese simplista do plano topográfico que restringe severamente os limites do seu campo de ação sob pena de proibitiva acumulação de erros. seja para dar apoio aos trabalhos práticos de mapeamento. Solução algo mais refinada. obviamente. é proporcionada pelo modelo esférico.2 – Geóide – Elipsóide – Normal – Vertical – Desvio da Vertical 1.Berthier de Carvalho Filho 4 V N i Superfície do Terreno Nível do Mar Geóide Elipsóide Figura 1. geométrico. que se preste ao tratamento matemático e se afaste o menos possível da forma real. regular. ser substituída por um modelo mais simples. através das quais o Homem ensaiava os primeiros passos na luta titânica que ainda prossegue para desvendar os empolgantes segredos da Natureza.1 ESCORÇO HISTÓRICO: DO PLANO AO ELIPSÓIDE 1. Ignoramos a que épocas remontam as primeiras idéias sobre a esfericidade da Terra. cognominado o Copérnico da Antiguidade por se ter antecipado ao genial polonês ao sugerir que a Terra girava em torno do Sol. salvo esporádicas exceções. Um retrospecto às mais antigas cosmogonias revela-nos. adota sistematicamente como modelo geométrico. feriu cânones religiosos da época sendo enclausurado numa prisão de Atenas. por vezes só misticismo.3.. nos seus trabalhos rotineiros. o elipsóide de revolução. o interesse nas especulações sobre a sua forma. um ponto comum a todas: a transcendente importância atribuída à Terra no cenário universal. que há dois milênios e meio já o genial PITÁGORAS recusava-se a aceitar a concepção simplista de uma Terra plana.Berthier de Carvalho Filho 5 Mas a Geodésia. Os poemas de HOMERO nos apresentam a Terra como um imenso disco flutuando no oceano e o Sol como o coche em que os deuses efetuavam o seu passeio diário. Também ARISTARCO. Quando e como chegou o Homem a essa solução? Um rápido escorço histórico sobre o problema da forma e dimensões da Terra trará resposta a essa pergunta.C. como é natural. por repelir tais idéias. foi acusado de sacrilégio por aventar hipóteses que perturbavam o descanso dos deuses. sabemos. contudo.1. por vezes misto de pré-ciência e misticismo.3.1 PRIMEIRAS IDÉIAS Já em recuadas épocas os mistérios do Universo espicaçavam a curiosidade de quantos se atreviam a levantar os olhos e as idéias para o céu e para os astros dando lugar a eclosão de explicações pitorescas. e. e ANAXÁGORAS. 1.) segundo . enquanto (século V a. b) variação do aspecto do céu estrelado com a latitude.000 estádias para o equador terrestre.2 ERATÓSTENES – POSIDÔNIO a) ERATÓSTENES de Alexandria.000 de estádias ao perímetro de uma circunferência máxima. atribuindo 3. com o estagirita a teoria ganha um aspecto quantitativo. No século seguinte ARQUIMEDES afirmava ser o diâmetro da Terra superior ao da Lua e inferior ao do Sol. No século IV a.C. . aos pitagóricos.3. Aliás. nascido em Cirene. esposava as mesmas idéias não obstante sua incapacidade em prová-las. pois que foram atribuídas . colônia grega do Norte da África. suposto esférico.. entretanto. a teoria da esfericidade robustecia-se com os argumentos apresentados por ARISTÓTELES: a) contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipses da Lua. sobram-lhes os méritos – estes irretorquíveis – da concepção do método. porém. mera conseqüência de uma feliz compensação de erros.C. contrapondo-se. o comprimento de um arco de meridiano e através de determinações astronômicas. foi o autor de uma notável proeza científica ao determinar as dimensões do planeta. o ângulo das verticais extremas.. defendia a imobilidade absoluta do planeta. no ano 276 a.sem que saibamos por que – 400.000. mesmo na hipótese de ser questionável a precisão que alguns autores lhe atribuem.Berthier de Carvalho Filho 6 revela PLATÃO em seus Diálogos.1. com uma precisão digna de nota quando se tem em conta a precariedade dos meios disponíveis em sua época. 1. Aliás. por operações de natureza geométrica. c) diferença de horário na observação de um mesmo eclipse para observadores situados em diferentes meridianos. utilizado ainda em nossos dias: obter. valor igual a 1/50 da circunferência.3) ERATÓSTENES obteve para distância zenital meridiana do Sol no solstício de verão. próxima a primeira catarata.Berthier de Carvalho Filho 7 Com um gnômom (Figura 1. foi suposta situar-se sobre o trópico de câncer. pois rezava a tradição que no dia solsticial do verão o astro-rei iluminava o fundo de um poço. a vila de Syene (atual Assuam) situada à margem direita do Nilo. em Alexandria. h = Altura do Gnomom L = Comprimento da Sombra Z = Distância Zenital tgZ = L h Z h L Figura 1.3 – Experiência de Eratóstenes . o resultado será não menos surpreendente: 39. Evidentemente não é possível concluir sobre a precisão do trabalho realizado pelo sábio de Alexandria. De qualquer forma.3). resultará o valor verdadeiramente surpreendente de 40.27 m. sabemos hoje que Syene achase aproximadamente 3º a leste de Alexandria e que a sua latitude é de 24º05’ N. Adotando para a estádia o comprimento de 157.500 km para uma circunferência máxima terrestre. ERATÓSTENES obteve para comprimento do arco de 1º o valor de 694. de início. na época de ERATÓSTENES. Acompanhem. abaixo.Berthier de Carvalho Filho 8 À distância Alexandria – Syene não teria sido difícil estimar com base nos inúmeros trabalhos de agrimensura realizados no vale do Nilo: 5. resultando para a circunferência equatorial.000 estádias (Figura 1. finalmente. seria. faltam-nos. Admitindo.374 km. dados de confiança quanto a correspondência métrica da estádia. enquanto a obliqüidade da eclíptica. que as duas localidades se achavam situadas no mesmo meridiano. 250. admitindo-se para a precessão planetária 47” por século.4 estádias. os cálculos feitos por ERATÓSTENES. N A (ALEXANDRIA) TRÓPICO DE CÂNCER R B (SYENA) ∆φ φΑ φΒ EQUADOR Figura 1. porém.5 m que lhe atribuem alguns autores.4 – Cálculos feitos por ERASTÓTENES . em números redondos. da ordem de 23º44’. se aceitarmos a 600 pés egípcios e a este conferirmos 0.000 estádias. δ .Berthier de Carvalho Filho 9 O ângulo φA é a latitude de Alexandria. PN A D ZA B ∆φ EQUADOR Figura 1. o raio da Terra supostamente esférica.δ ZA = Φ A . Figura 1. tgZ A = ∆Φ L 1 = circunferência e ZS = 0º h 50 = Φ A .ΦS 1 circunferência ∴ ∆ Z = ∆Φ 50 ∆ Z = Z A .4.ZS ∴ ∆ Z = Z A (medido através do gnomom) ∆Z = ZS = Φ S . φB a latitude de Syene e R.5 – Observações Astronômicas de ERATÓSTENES ZA = Distância Zenital do Sol em Alexandria ZB = Distância Zenital do Sol em Syene. desta feita sem utilização do Sol.ZS = Φ A .16 → valor conhecido por ERATÓSTENES na época. Então: 1 circunferência 50 Resulta na seguinte relação: Z A . ângulo contado no meridiano do Sol. natural de Apaméia (Síria). valeu-se do método de ERATÓSTENES. do Equador até o Sol. chegando a um valor ligeiramente inferior para a circunferência da Terra: 240.5 m logo: R = 6230 km A circunferência máxima será: C=2xπxR C = 39.Φ S = 1 50 1 → 2πR logo: D x 50 R= 2xπxR como: D → D = 5.16 81 Substituindo os valores.000 .374 km b) Cerca de século e meio mais tarde POSIDÔNIO (130 150). resulta: R = 39.556.Berthier de Carvalho Filho 10 Sendo δ a declinação do Sol. era dado por: π= 256 = 3.000 estádias π = 3.96 estádias 1 estádia = 157. invisível na Grécia continental. 1.000 estádias.6 – Experiência de POSIDÔNIO 1. 2) a estrela Canopus (α Arg).6) Observação: Os cálculos ficam por conta do leitor (Figura PN ZENITE B A HN B A Q' Q' Q Q HS NADIR PS Figura 1. POSIDÔNIO fundamentou-se nos seguintes dados: 1) a distância entre os portos de Rodes e Alexandria (supostos pertencerem ao mesmo meridiano) seria de 5. Há certa confusão sobre o assunto.1.3. provavelmente de 100 a 178. culminaria em Rodes no horizonte e em Alexandria com altura igual a “um quarto de um signo do zodíaco”. foi o autor do famoso sistema . alguns autores atribuem-lhe apenas 180. no século de nossa era.3 PTOLOMEU CLÁUDIO PTOLOMEU viveu no Egito. com 210 metros.000 estádias enquanto outros associam a este número a “estádia real egípcia”.Berthier de Carvalho Filho 11 estádias (desde que tratar-se da mesma unidade). Concluiu pela esfericidade da Terra lembrando. entre outros argumentos..Berthier de Carvalho Filho 12 “geocêntrico” que atravessou incólume 14 séculos até esbarrar no gênio de COPÉRNICO. esta depois cognominada o “Grande Astrônomo” e. PTOLOMEU ensaiou uma estimativa das dimensões e forma do “mundo habitado” (Ecúmeno). No primeiro dos trabalhos citados. 500 estádias para o arco de 1º atribuindo. 1. FISHER I.000).3.000 por 180. que tanta influência exerceu nos cartógrafos do século XV.4 OS ÁRABES No primeiro milênio da era cristã a única tentativa conhecida objetivando a determinação das dimensões terrestres coube aos árabes. No que concerne às dimensões do globo terrestre. “quanto mais avançamos em direção ao norte. Lua e Estrelas. em “Another look at Erastosthene’s and Posidonius determinations of the Eart’s cincunference (152 167). a inclinarem-se com mais entusiasmo pela idéia de atingir à Ásia navegando por Oeste. 1975. não se dão ao mesmo tempo para todos os observadores e que. tal erro seria de benéficas conseqüências por levar os cartógrafos da Renascença.1. Observação: As dificuldades normais de informações tornam o assunto controverso. batizada pelos árabes com a denominação que ainda hoje conserva: “Almagesto”. mais estrelas do hemisfério sul se tornam invisíveis”. Duas foram as suas principais obras: a “Geografia” e a “Composição Matemática”. que o nascer e o ocultar do Sol. finalmente. segundo alguns autores teria repetido as observações de ERASTÓTENES e de acordo com outros simplesmente adotados o valor de POSIDÔNIO (180. as dimensões inferiores às reais. em especial Colombo. Aliás. ou seja. na terceira década do século IX.000) à simples confusão entre a milha romana (-1500 m) e a milha árabe (pouco mais de 2 km). . portanto. à Terra. rejeita a determinação de POSIDÔNIO (cujos escritos se perderam) e atribui a redução de 25% nas dimensões terrestres ( que seriam explicadas pela substituição do valor de 250. foi palco de trabalhos que lançaram um pouco de luz na escuridão da Idade Média e que somente seriam retomados cerca de sete séculos mais tarde.424 T. pela técnica utilizada e precisão alcançada. as distâncias medidas sobre o alinhamento com réguas de madeira. Em 1527 FERNEL mediu a distância entre Paris e Amiens contando as voltas dadas pela roda de seu carro e chegou ao surpreendente valor de 56.100 metros. o início das modernas operações geodésicas. Ambos errôneos. SNELLIUS. medindo diretamente a distância entre Londres e York. obtinha 62. entretanto. SNELLIUS. de 42.5 PICARD A medida de um arco de meridiano por PICARD (Jean Picard 1620 – 1682) assinala.021 T com o grande mérito de ter calculado a distância por de meio de uma triangulação. o valor de 2. Trinta anos após o trabalho de SNELLIUS.849 km.746 toesas (T) para o arco meridiano de 1º. lunetas munidas de retículos. deixar de lembrar as realizações de alguns de seus predecessores: FERNEL. PICARD estabeleceu uma rede de triangulação entre Paris e Amiens. procedendo da mesma forma. em 1615. NORWOOD em 1635. obteve o valor 57. dois grupos de astrônomos deslocaram-se em sentidos contrários até se distanciarem um grau do ponto de partido.1. a planície de Sindjar. apenas fixar cifras.900 T. 1.Berthier de Carvalho Filho 13 Por iniciativa do califa Al Mamoun. utilizando. o primeiro por falta e o segundo por excesso. entretanto. RACCIOLI e NORWOOD. na Holanda obteve o valor de 55. Não queremos. resultando uma circunferência máxima algo exagerado. concluiu . Materializada no terreno a direção da meridiana. responsável também pela tradução árabe do original grego Almagesto (do qual surgiria no início XV à primeira tradução latina na Europa). neste rápido escorço histórico.3. na Mesopotâmia. enquanto RICCIOLI na Itália. pela primeira vez. É grande a incerteza relativa à correspondência métrica daquela unidade. conduziram a um valor médio de 56 2 3 milhas árabes. aceitando. um eixo polar mais curto. Talvez o genial polonês percebesse estar lançando as bases da Astronomia Moderna. entretanto. 1672). POICARE. nas condições propostas.060 T o arco meridiano de 1º.6 NEWTON a) As especulações teóricas sobre a forma de equilíbrio de uma massa líquida isolada no espaço e submetida à ação da gravidade (atração e força centrífuga) começaram com NEWTON.Berthier de Carvalho Filho 14 ser de 57. postulavam.1. quando postulou a forma elipsoidal para a Terra. HAYES e outros. valor utilizado por NEWTON para verificação da Lei da Gravitação Universal. HUYGENS (1690). 1. Com efeito. etc.. o aumento do período com a diminuição da L e latitude. Foi JACOBI. NEWTON. HAMY. então revolucionárias. ligaram seus nomes ao tema. aliás. alude às observações pendulares de RICHTER (em Paris e em Caiena. ao contrário. LIAPOUNOFF. Como conseqüência da força centrífuga. as especulações teóricas de NEWTON não toleravam harmonização entre o movimento de rotação e a forma perfeitamente esférica do planeta. MACLAURIN (1742) e CLAIRAUT (1743) desenvolveram o assunto demonstrando o postulado newtoniano. no final do século XVII. no desenvolvimento da Geodésia. em abono de suas conclusões teóricas. abrindo caminho para a era elipsoidal. Lembrando a fórmula aproximada do pêndulo t = 2π g o valor das latitudes aproximadas de Paris (φ ≅ 50º N) e Caiena na (φ ≅ 5º N) . o primeiro a demonstrar (1834) que também o elipsóide escaleno. é uma figura de equilíbrio. LEGENDRE. mas certamente ignorava as conseqüências de suas idéias. o trabalho de CLAIRAUT é considerado uma autêntica obraprima.3. de HALLEY. VÊRONNET. Aliás. revelando todas. b) As raízes talvez estejam em COPÉRNICO que esfacelando as esferas do sistema geocêntrico destruiu duplamente o mito da imobilidade da Terra (que remontava a ARISTÓTELES) conferindo-lhe um movimento roto-translatório. estendendo a demonstração ao caso de um elipsóide não homogêneo. DARWIN. correspondendo a um raio de 6372 km. Posteriormente LAPLACE. o aumento do período verificado da primeira . 8 AS EXPEDIÇÕES FRANCESAS s' 1º s' 1º 1º s 1º s 1º s NEWTON s>s' Os resultados obtidos por CASSINI.3. CASSINI prosseguiu a triangulação de PICARD (continuando. Sabe-se hoje que há um acréscimo da ordem de 20 metros por grau.7 CASSINI Em 1718 surgiu o trabalho de CASSINI (JACQUES CASSINI 1677-1756) “De la grandeur et de la figure de la Terre”. obra já encetada por seu pai). JACQUES CASSINI. GIOVANNI DOMENICO CASSINI. e o meridiano seria elíptico. DOMINIQUE CASSINI. CASSINI s'<s R=Cte s=s' . CESAR FRANÇOIS CASSINI.1. versando sobre a primeira medida do “meridiano da França” que tanta celeuma despertou na Europa.3. seus trabalhos levaram-no a aceitar que o comprimento de um arco de meridiano decresce com o aumento da latitude (em território francês tal decréscimo seria da ordem de 31 toesas. pelas conseqüências que determinou. s' 1º 1. demarca o início da moderna Geodésia. Não cremos estar infringindo a verdade ao afirmar que tal controvérsia. aproximadamente 55 metros por grau). coincidindo o eixo de rotação com o eixo maior.1. a constância do comprimento do pêndulo. Cabe citar os membros dessa ilustre família. aliás. deram origem à tão conhecida e polêmica entre as duas escolas que se formaram na Europa: adeptos de uma “Terra achatada” e adeptos de uma “Terra alongada”. na diminuição de g com a latitude: gc < gp. estendendo-se para o norte até Dunquerque e para o sul até os Pirineus. 1. em franca contradição com as conclusões newtonianas.Berthier de Carvalho Filho 15 localidade para a segunda (tc > tp) implica admitida. concluiu os seus trabalhos em menos de um ano obtendo o valor 111. mediu dois arcos com mais de 3º de amplitude. sugeriu o achatamento α = 1 que acabou sendo adotado na 308. quadrante = 5. projeção de BONNE). após vicissitudes de toda ordem inclusive à desarmonia entre os seus membros. CELCIUS e o depois famoso CLAIRAUT. . ainda em meio à revolução francesa. Na última década do século XVIII. A primeira.295936 linhas. A segunda expedição.130.614 metros. organizando duas expedições que se encaminharam.6 elaboração da famosa carta topográfica da França (“elipsóide dos engenheiros geógrafos”. GODIN E LA CONDAMINE. para o então Vice Reinado do Peru (1735 – 1744) e para a Lapônia (1736 – 1737).949 metros com o que ficava positivado o achatamento polar e a conseqüente confirmação das idéias newtonianas. refazendo os cálculos da Comissão. a Comissão de Pesos e Medidas decidiu adotar como unidade de comprimento uma grandeza relacionada com as dimensões do planeta: o “metro” seria a quadragésima milionésima parte de um meridiano terrestre.740 toesas 334 metro = 443.949 metros. para dirimir tal dúvida a Academia de Ciências de Paris decidiu patrocinar a medida de um arco meridiano próximo ao equador e de outro junto ao círculo ártico. DELAMBRE. integrada por BOURGUER. Baseando-se na remedição do “meridiano de Paris” feita por DELAMBRE e MECHAIN (1792 – 1798) e no arco do peru. 1 toesa do peru = 6 pés = 72 polegadas = 864 linhas = 1. além de dois jovens oficiais espanhóis.Berthier de Carvalho Filho 16 Com efeito. um deles proporcionando para o arco de 1º o comprimento de 110. respectivamente. da qual fazia parte MAUPERTIUS. CAMUS.0000. a comissão chegou aos seguintes resultados: α= 1 . escala 1:80. a forma e a tamanho da Terra deixam-nos muitas indagações. 2 MODÊLO GEOMÉTRICO REFERÊNCIA COMO SUPERFÍCIE DE 2. “Elipsóide é o sólido geométrico definido pela rotação de uma semi-elipse em torno do seu eixo menor”.Berthier de Carvalho Filho 17 Como. viu-se. ou.1 PARÂMETROS DO MODELO Todo sistema geodésico supõe um modelo geodésico. em capítulos anteriores. PN b a Equador Figura 2. imagens de satélites artificiais de alta resolução. é o elipsóide de revolução ou biaxial.a – Elipsóide de Revolução a = Semi-eixo equatorial = raio equatorial e b = Semi-eixo polar = raio polar PS . “Elipsóide é a figura matemática que imita a forma real da Terra”. vários anos antes de Cristo. mesmo com os instrumentos mais modernos antes imaginados. passando por vários cientistas. a Terra foi objeto de estudo desde remota época. Até os dias de hoje este assunto vêm à baila. podemos deixar bem claro que o modelo rotineiramente utilizado em Geodésia. com um mesmo objetivo: determinar a forma e o tamanho do nosso planeta. desde os resultados das “expedições francesas”.1. Na verdade. do ponto de vista estritamente cartográfico (elaboração de mapas).1. na Rússia. México e Canadá. Já o Brasil.Berthier de Carvalho Filho 18 Figura 2. as Américas do Sul e Central e a Europa não russa adotaram até recentemente em seus cálculos o elipsóide de HAYFORD. hoje adotado em nosso país. antiga União Soviética o modelo geométrico é o elipsóide de KRASSOWSKY (1945). cujo . O elipsóide de CLARKE 1866 ainda hoje é utilizado nos Estados Unidos. exemplificamos com as dimensões do modelo recomendado pela Associação Internacional de Geodésia para o chamado “Sistema Geodésico de Referência 1967”. quando então se pesquisam parâmetros cada vez mais refinados. A perspectiva já não é a mesma do ponto científico. os mencionados elipsóides praticamente se equivalem. pela Associação Internacional de Geodésia como superfície de referência internacional visando uma “uniformização” que jamais foi plenamente atingida. Os parâmetros de um elipsóide são dados pelo valor do raio equatorial e pelo seu achatamento. recomendado em 1924.b – Elipsóide de Revolução O passo seguinte é fixar as suas dimensões ou determinar os seus parâmetros. determinado em 1909 e. especificamente: o geópe que mais se aproxima do “nível médio dos oceanos”. ondulações exageradas em benefício da clareza e da compreensão. o Geóide é uma superfície irregular com saliência e reentrâncias ocasionadas pela maior ou menor concentração de massa no interior da Terra.Berthier de Carvalho Filho 19 eixo maior é 228 metro menor que o correspondente eixo do elipsóide de HAYFORD e cuja excentricidade também é menor (uma unidade da 5ª casa decimal). o geóide é uma “superfície horizontal” por ser. Elipsóide PN b a Geóide Equador PS Figura 2.2 DISTINÇÃO ENTRE GEÓIDE E ELIPSÓIDE Já visto em capítulos anteriores. a respectiva vertical. apesar de suas saliências e reentrâncias. são superfícies suavemente regulares. o geóide.2. em qualquer ponto perpendicular. Nos continentes e ilhas (25% da superfície terrestre acham-se no interior da crosta). Como visto no primeiro parágrafo deste capítulo. Na figura 2. O geóide. Em sua qualidade de geópe. mostra a configuração dos dois sólidos.2 – Elipsóide e Geóide . 2. que é simplesmente uma determinada superfície equipotencial do campo de gravidade. convindo o sinal positivo para Leste. tal como área superficial.É o ângulo formado entre o meridiano astronômico do ponto e o meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich (origem). então. também. Também. sendo positiva no Hemisfério Norte e negativa no Hemisfério Sul.1. sendo CA' e CB’ as suas projeções equatorial. alcançando a segurança jurídica almejada e evitando a sobreposição de áreas (grilagem) ou sobreposição. tem por escopo possibilitar uma exata coincidência dos elementos físicos do imóvel com os assentos registrais.1). PN A PS e PN B PS são os meridianos terrestres de A e B. através da medição in loco. todos os pontos situados no paralelo de A tem a mesma latitude e. e. como finalidade alcançar um perfeito cadastro do imóvel rural. A longitude varia de 0º a 180º por Leste ou 0º a 180º por Oeste. b) Longitude Geográfica ou Astronômica de um ponto . a) Latitude Geográfica ou Astronômica de um ponto . todos os pontos situados em território brasileiro . mBm' e nAn’ são os paralelos terrestres de A e B. Comumente.1 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS Como um dos objetivos da Astronomia de Campo é a determinação das coordenadas geográficas ou astronômicas de um ponto.É o ângulo formado pela vertical desse ponto com sua projeção equatorial. do Georreferenciamento. refletindo o imóvel no Fólio Real com exatidão. auferindo sua precisa localização e caracterização. representa-se a longitude como variando de 0º a ± 180º. veja-se. que varia de 0º a ± 90º. Assim. levando em consideração as coordenadas estabelecidas pelo Sistema Geodésico Brasileiro. os pontos do paralelo B. Desta forma. Figura (3. a linha que passa pelo centro da Terra (aqui suposta esférica) e por A e B são as verticais dos pontos A e B. É usualmente representada pela letra grega φ (phi). o significado destas coordenadas.Berthier de Carvalho Filho 20 3 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS E COORDENADAS GEODÉSICAS 3. por profissional devidamente qualificado. É simbolizada pela letra grega λ (lambda). medidas lineares e as respectivas confrontações. têm a mesma latitude. Na figura 3. Coordenadas Geográficas ou 3. conforme se vê na figura 3.1 .2 COORDENADAS GEODÉSICAS • A latitude geodésica (φg) de qualquer ponto é o ângulo φ que a normal ao elipsóide no ponto forma com sua projeção equatorial (Figura 3. contado do Sul por Oeste. pois se está a Oeste no Meridiano de Greenwich.Chama-se Azimute Astronômico de uma direção AB ao ângulo formado entre o meridiano do ponto e o alinhamento AB. c) Azimute Astronômico de uma direção AB .Berthier de Carvalho Filho 21 terão longitude negativa. • A longitude geodésica (λg) do ponto P é o diedro λ formado pelos meridianos geodésicos de P e de Greenwich .2).1 PN m' n' B AzBA AzAB L φB m n A Gr φA λB λA A' Q' B' o Q W PS Astronômicas Figuras 3. Sua variação é igual à da latitude astronômica. recomendado pelo Instituto de Geografia e Estatística para os cálculos geodésicos. aliada à vulgarização dos computadores. Q Q' PS Figuras 3.2 – Coordenadas Geodésicas O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). A obtenção das coordenadas geodésicas é objeto da Geodésia. obtendo-se assim as coordenadas geodésicas de todos os pontos componentes da rede. Esta rede é projetada sobre o elipsóide de referência e calculada. visto que a utilização dos satélites artificiais. por um processo especial (triangulação ou trilateração). Como a longitude astronômica. NORMAL P PN Superfície Topográfica Geóide P' Φ λ Gr. Atualmente. As coordenadas geodésicas são obtidas a partir do cálculo de uma rede de triângulos medidos na superfície física da Terra.Berthier de Carvalho Filho 22 (origem). Este sistema já está substituindo o método convencional de posicionamento. trouxe um desenvolvimento (não somente a Geodésia) que em curto prazo ultrapassou as mais otimistas expectativas. que também . as coordenadas geodésicas são determinadas com GPS (global positioning system – sistema de posicionamento global). que integra o “South American Datum” – 1969 (SAD – 69). varia de 0º a ± 180º (negativa a Oeste). ou seja. Já comentado em capítulos anteriores.Berthier de Carvalho Filho 23 integram o Elipsóide UGGI (União Internacional de Geodésia e Geofísica).1 – Sistema de coordenada tridimensional.25 Nota: O referencial (datum) altimétrico do Sistema Geodésico Brasileiro. Y . litoral de Santa Catarina. O aspecto geométrico concerne às dimensões do modelo elipsoidal adotado nos cálculos: a) parâmetro a = (semi-eixo maior do elipsóide) = 6. executando certas técnicas especiais os cálculos geodésicos são conduzidos sobre a superfície do elipsóide de revolução.160 m 1 b) parâmetro α (achatamento do elipsóide) = 298. 4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE O estudo do elipsóide de revolução é de suma importância em Geodésia pelo simples fato de ter sido o mesmo eleito como modelo geométrico para os cálculos geodésicos.378. Passando um sistema de coordenadas pelo centro do elipsóide escaleno (três eixos desiguais) cujo plano XY coincide com o plano equatorial temos: Z b a X Figura 4. o elipsóide é um sólido geométrico gerado pela rotação de uma semi-elípse em torno de um de seus eixos. acha-se junto ao marégrafo na baía de Imbituba. a RN inicial da rede altimétrica do Brasil. 1.1 ACHATAMENTO a-b a b α=1a α= (3) . 4.1.1 ELEMENTOS DO ELIPSÓIDE 4.Berthier de Carvalho Filho 24 X2 Y2 Z2 + 2 + 2 = 1 a2 c b (1) 4.1. PN b a Equador PS Figura 4.2 – Elipsóide de Revolução Como a = c X2 + Y 2 Z2 + 2 =1 a2 b (2) Que é a equação do elipsóide terrestre.1 ELIPSÓIDE TERRESTRE Elipsóide terrestre é o sólido geométrico gerado pela rotação de uma semi-elípse em torno do seu eixo menor. será: 1 α= 0.0033528919 α = 298. teremos: α= 1 298.0033528919 Na forma escalar.9966471081 α = 0.25 Exercícios Resolvidos: 2 – Calcular o achatamento dos elipsóides : .356.160.Berthier de Carvalho Filho 25 Exemplo elucidativo 1 – Calcular o achatamento do elipsóide UGGI – 67 Dados do elipsóide: a = 6.774.249997276 aproximando.0.7192 m α=1- b a 6.249997276 logo: α= 1 298.0000 α=1- α = 1 .7192 6.378.774.356.160.378.0000 m b = 6. pode-se determinar o valor de b.160.Berthier de Carvalho Filho 26 HAYFORD a = 6.3100 α = 1: 298.26 Da equação (3).249997276 α=1- b a b a b 1 − α= a b = a x (1 .912.0000 m b = 6.000745018 Aproximando.0000 b = 6.137.α ) α-1=- .0000 m α = 1: 297.388.84 a = 6.752. Exemplo resolvido: Do elipsóide UGGI . conhecendo-se o valor de α e a.257164355 α = 1: 298.378.0000 α = 1: 298.356.67 a = 6. têm-se α = 1: 297.378.378.00 GRS – 80 ⇒ Datum – WGS .356. 1.0000 x (1 – 1/297. calcular o valor de b.774.b2 (6) . Dados: a = 6.388.356.378.378.7192 m Exercício Resolvido: Para o elipsóide HAYFORD.160.Berthier de Carvalho Filho 27 substituindo.1.912.0000 m 4. temos : 1 b = 6.0000 x 1 298. resulta : c2 = 2 a e 2 (5) da geometria analítica (cônicas) a2 = b2 + c 2 c 2 = a2 .356.388.378.α) b = 6.000745018) e α = 1:297 b = 6.2 PRIMEIRA EXCENTRICIDADE A primeira excentricidade de um elipsóide é dada pela seguinte fórmula: e = c a (4) elevando ambos os membros ao quadrado.25 b = 6.0000 m b = a x (1 . 774.b2 e = a2 (7) resulta em: b2 = a2 x (1 .b2 a2 b2 e2 = 1 .b 2 e = a2 e = 0.e2 (8) Exercícios resolvidos 1 .0000 m b = 6.160.774.08182018037 ou a2 .2 a 2 a .356.356.e2 ) b = a x 1 .006694541916 e = 0.0000 ) 2 e2 = 0.7192 m Aplicando a fórmula: e2 = 1 e =12 b2 a2 ( 6.Calcular a primeira excentricidade do elipsóide UGGI – 67 Dados do elipsóide: a = 6.Berthier de Carvalho Filho 28 substituindo o valor de c na equação 5. temos : e2 = a2 .160.378.7192 ) 2 ( 6.08182018037 .378. 1.Berthier de Carvalho Filho 29 2 – Exercícios Resolvidos Calcular a primeira excentricidade do elipsóide de HAYFORD Dados do elipsóide: a = 6.0000 m b = 6.912.0000 m e2 = 0.1.08199178732 4. simplesmente : e '2 = a 2 . resulta : a2 .b2 b e' = .3 SEGUNDA EXCENTRICIDADE A segunda excentricidade de um elipsóide é dada pela fórmula: c e' = b elevando ambos os membros ao quadrado.378.356.006722653187 e = 0.388.b2 daí.1 b ou. resulta : c2 b2 da geometria analítica (cônica) e '2 = a2 = b2 + c 2 c 2 = a2 .b 2 b2 a2 e '2 = 2 . 0820954375 2 – Exercícios Resolvidos Determinar HAYFORD a segunda excentricidade do elipsóide Dados do elipsóide: a = 6.356.b b = 1 ∴ b = a x 1 .0000 m Aplicando a fórmula acima.Berthier de Carvalho Filho 30 Exercícios resolvidos 67.356.160.4 RELAÇÃO ENTRE ACHATAMENTO E EXCENTRICIDADE α = b = a a .0000 ) − ( 6.356.378.774.774.0000 m b = 6.356.378.0000 m b = 6.378.0822687859 4.e2 a a 1.912.388.006768153133 → e’ = 0.1.7192 m Pela fórmula.7192 ) 2 ( 6.e2 .006739660858 e ' = 0.774.1. resulta: e’2 = 0.b2 = b2 ( 6.160.7192) 2 2 e '2 = 0. já explicita temos: e' 2 = a 2 . 1 – Calcular a segunda excentricidade do elipsóide UGGI – Dados do elipsóide a = 6. 1 . QQ’ é o diâmetro equatorial. situado na linha meridiana.5 ELIPSÓIDE CALCULO DAS Z P COORD. o centro do elipsóide. passamos uma tangente. resulta : (1 .3. RETILÍNEAS DO N X M (X.e 2 = α 2 .1.e2 1 . PP’ o eixo polar e o. Uma normal a esta tangente pelo ponto M cortará o eixo polar no ponto H e o eixo equatorial no ponto D.a Coordenadas Retilíneas do ponto M Na Figura 4. “a excentricidade ao quadrado é aproximadamente igual ao dobro do achatamento”.2 x 1 x α + α 2 = 1 . Pelo ponto M.Z) Z 90º+ Φ Φ Q' Ο D Q X H P' Figura 4.e2 )2 → no primeiro membro diferença do quadrado de dois números 12 .Berthier de Carvalho Filho 31 elevando ambos os membros ao quadrado.e2 4. .2α + 1 e 2 = 2α .α 2 b = 1 .α a 1 .3a.1.α = e 2 ≅ 2α Ou seja.2α + α 2 = 1 .e 2 1 .α )2 = ( 1 . Berthier de Carvalho Filho 32 Cálculo de X: Da equação do elipsóide: X2 Z2 + 2 = 1 a2 b derivando em dz e dx. é o coeficiente angular da tan gente no ponto M dX π dZ dZ = tg ( + Φ ) ou = . têm-se X2 Z2 + 2 =1 a2 b 2 X X2 x b 4 + 4 x tg2Φ = 1 2 2 a a x b X2 X2 x b 2 + x tg2Φ = 1 2 4 a a . teremos : 2X 2Z dZ + 2 + = 0 2 a b dX 2Z dZ −2X + = 2 b dX a2 dZ b2 −2X = x dX a2 2Z 2 dZ −X b x = dX a2 Z 2 dZ −X b = dX a2 Z dZ ora.cotg Φ dX 2 dX X b2 = cotg Φ Z a2 X b2 = Z a2 cotg Φ X b2 tg Φ Z= a2 levando Z na equação do elipsóide. resulta : a2 cos2 Φ 1 + (1 .Berthier de Carvalho Filho 33 X2 + X2 x b2 x tg2Φ = a4 2 a a2 X2 + X2 b2 tg2 Φ = a4 colocando X2 em evidência X2 (a2 + b2 x tg2Φ ) = a4 ⇒ como b2 = a2 1 − e2 ( ) temos : X2 x a2 + a2 1 − e2 x tg2 Φ = a4 X = 2 2 ( ( ) ) a 4a 2 (a 2 + a 2 1 − e2 x tg2 Φ ( ) ) a2 X = 1 + 1 − e2 x tg2 Φ ( ) multiplicando ambos as frações por cos2 Φ.e2 ) tg2Φ x ( cos2 Φ ) X2 = X2 = X2 = a2 x cos2Φ cos2 Φ + 1 − e2 x tg2Φ x cos2Φ ( ) a2 x cos2Φ cos2 Φ + tg2Φ x cos2 Φ − e2 x tg2Φ x cos2Φ como : cos2 Φ + tg2Φ x cos2Φ = 1 sen2Φ cos Φ + x cos 2Φ 2 cos Φ 2 cos2 Φ + sen2Φ = 1 a2 x cos2Φ Temos: X = 1 − e2 x tg2Φ x cos2Φ como : e2 x tg2Φ x cos2Φ = e2 x sen2Φ 2 . Berthier de Carvalho Filho 34 a2 x cos2Φ X = 1 − e2 x sen2Φ ou 2 X= a x cos2Φ 1 − e2 x sen2Φ que é a abscissa do ponto M em relação a sua latitude geodésica Cálculo de Z Z= Substituindo X por X= e b2 = 1 − e2 2 a do cálculo da 1ª excentricidade temos: Z= a x cosΦ x 1 − e2 x tgΦ 1 − e2 sen2Φ a x 1 − e2 a x cosΦ 1 − e2 x sen2Φ X x b2 x tgΦ a2 ( ) Z= ( ) x senΦ 1 − e 2 x s e n2 Φ que é o valor da cota ponto M em função da sua latitude geodésica. . 6 PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE 4. gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois pólos.1.1.1.6.b MH = N Figura 4. são: Sobre o elipsóide de revolução as seções normais principais A secção do meridiano.7 CÁLCULO DA GRANDE E PEQUENA NORMAL Da figura 4.1 RAIOS DE CURVATURAS DE SEÇÕES O raio de curvatura de uma secção normal ao elipsóide dependerá do azimute dessa seção normal.1.3.b – Grande Normal e Pequena Normal .3.1. A secção do primeiro vertical.Berthier de Carvalho Filho 35 4. gerada pelo plano normal de um ponto e que é perpendicular ao plano do meridiano. Em cada ponto existem duas secções normais mutuamente perpendiculares entre si. 4. As secções normais que verificam o valor máximo e mínimo de curvatura dizem-se seções normais principais. cujas curvaturas tomam o valor máximo e mínimo.1. resulta : a x cos Φ N = 1 .e2 sen2Φ 2 2 x 1 cos Φ Esta é a fórmula para calcular a grande normal A pequena normal é o segmento de reta que une o ponto M ao ponto D. MD = N’ = pequena normal A fórmula para calcular a pequena normal é deduzida a partir da figura 4.e2 sen2 Φ cos Φ N = N = a x cos Φ 1 .e2 ) x sen Φ N' = 1 . onde: Z = N’ sen Φ como: Z N' = sen Φ a x (1 .e sen Φ a 1 .3.a. X = N cos Φ então : N = X cos Φ substituindo X na equação.Berthier de Carvalho Filho 36 e.e2 sen2 Φ sen Φ . O Φ a A1 λ A2 A3 PS n' Figura 4.c – Seção Normal Seção normal é qualquer seção que contenha a normal ao elipsóide no ponto P. é a linha de interseção .3. Enfatizando.e2 ) Esta é a fórmula definitiva para calcular a pequena normal.Berthier de Carvalho Filho 37 N' = N' = a x (1 . o raio mínimo. Vimos que a grande normal (N) é o raio máximo de uma seção normal e M.e2 sen2 Φ x 1 sen Φ então: N' = N x (1 . Em outras palavras.e2 ) 1 . PN n P b Gr.e2 sen2 Φ a x (1 .e2 ) x sen Φ 1 . vamos definir o que é uma seção normal. 1.3.8 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DA SEÇÃO MERIDIANA Como vimos à seção meridiana que contém um ponto P qualquer. Seção meridiana é uma particular seção normal. ou seja. aquela que contém o eixo menor b. figura 4. é uma linha sobre o elipsóide que contém a normal ao elipsóide no ponto e passa pelos pólos.Berthier de Carvalho Filho 38 entre o elipsóide e qualquer plano que contenha a normal nn’ (esse plano pode girar em torno de nn’).c. Contém a linha Norte – Sul. a partir deste capítulo deduções que tornem desnecessárias. 4. pois fogem ao propósito deste curso.3. É uma elipse cujo raio de curvatura pode ser definido em cada ponto pela equação a seguir: Observação: Algumas deduções de fórmulas em capítulos anteriores foram de significativa importância para se estudar o capítulo em epígrafe. Omitiremos.1. o eixo dos pólos PN – PS.d – Raio da Seção Meridiana . Z Z' PN Z'' M 90º.Φ X' n Q' Y o M' Φ m Q X'' X PS Figura 4. denominada também Meridiano Geodésico. e). da superfície elipsoidal. Observe a figura 4.d um ponto M qualquer.3. O novo eixo MY. o leitor naturalmente deverá analisar as afirmações acima citadas. pertencente ao plano XZ e o a origem do sistema XYZ.e.Berthier de Carvalho Filho 39 Seja na figura 4.3.3.3.Φ). através de uma translação dos eixos X para X’ e Z para Z’ num ângulo correspondente a (90º .e após a translação. Na figura 4. será fácil perceber que MZ’ coincidirá com a normal ao elipsóide no ponto M e o plano XY será tangente ao elipsóide na nova origem das coordenadas (Figura 4. permanecerá paralelo ao anterior OY.3. Z Z' PN Z'' M 90º. Se implantarmos um novo sistema de coordenadas com origem no ponto M.e – Características do novo Sistema de Coordenadas Implantado Como no estudo da grande normal e pequena normal: X = m = N cos Φ . mostra o novo sistema já implantado.Φ X' n Q' Y o M' Φ m Q X'' X PS Figura 4. será apresentada para calcular o raio de curvatura da seção meridiana. a seguinte fórmula: M = a (1 . .f – Raio de Curvatura da Seção Meridiana (MM’) 4.3.1.1.e2 ) (1 . para melhor compreensão omitiremos deduções de fórmulas.Berthier de Carvalho Filho 40 Z = n = N’ sen Φ Definitivamente.9 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DE SEÇÃO NORMAL QUALQUER DE AZIMUTE α OU OBLÍQUA. que é o ângulo que a seção forma com a seção meridiana. Este raio calcula-se pela fórmula: 1 cos2 α sen2 α = + Ra M N Sendo α o azimute da seção.e2 sen2 Φ ) 2 3 4. 0 RAIO MÉDIO DE CURVATURA O raio médio de curvatura em um ponto M da superfície elipsoidal é igual à média geométrica dos raios de curvaturas principais.I.1.e2 ) 1 .G.G.2. . Rm = ou Rm = MN a (1 .e2 sen2 Φ a) Raio Geográfico O raio geográfico é utilizado na disciplina de geografia do 1º grau.Berthier de Carvalho Filho 41 Para casos especiais em que : Azimute da seção = 0º → Azimute da seção = 90º → Z R = M R = N Z M m n o M' Φ X o m M n Φ Círculo 1º Vertical X H Y Azimute da seção = 0º R = M = Segmento MM' Y Azimute da seção = 90º R = N = Segmento MH = Grande Normal Raio de Curvatura da Seção Meridiana Vertical Raio de Curvatura Círculo 1º 4. é equivalente ao volume de uma esfera de mesmo volume do elipsóide U. sen2 .67 b) Raio Vetor O raio vetor é o segmento de reta que liga o centro do elipsóide a qualquer ponto da superfície elipsoidal.Latitude Geocêntrica Φ .Φ r = X = N cos Φ r Rv = cos Ψ tg Ψ = (1 .Latitude Geodésica PS Figura 4.4 – Raio Vetor – Latitude Geocêntrica – Latitude Geodésica Da Geômetra do elipsóide: X = a. O raio vetor é o segmento de reta que liga o centro do elipsóide a qualquer ponto da superfície elipsoidal. PN X=r Rv PN P Z Q Q' Equador o ψ X=r Rv Φ P Z Q Q' Equador o ψ H PS ψ .cos Φ 1 .Berthier de Carvalho Filho 42 Volume da Esfera = Volume do Elipsóide UGGI .e ) tg Φ 2 .e2 sen2 Φ N = a 1 . forma com o 1º vertical (Grande Normal – N) um ângulo igual a latitude geodésica. originada por um plano que passa por M normal ao eixo polar.3. capítulo 1. viu-se que no passado diversos geodésistas determinaram o valor do raio equatorial com o uso da geodésia terrestre.Berthier de Carvalho Filho 43 onde : Rv = Raio vetor Φ = Latitude Geodésica N = Grande normal Ψ = Latitude geocêntrica e = Pr imeira excentricidade r = Raio do paralelo c) Raio Médio de Curvatura de um Paralelo (r) P M' r r Φ Μ Q' O Φ Q H P' 4. A fórmula para calcular o raio é dada pela fórmula: r = N cos Φ 5 APLICAÇÕES DOS RAIOS DA TERRA a) Raio equatorial (a) No histórico.1. .5 Raio de curvatura de um paralelo r = Raio de curvatura do paralelo A seção MM’. Também. se constitui num importante elemento geométrico do elipsóide. a fórmula já deduzida. entretanto. d) Pequena normal (N’) A pequena normal tem o seu emprego quase que restrito nos cálculos geodésicos.1 F(sen10Φ .1 D(sen6Φ .sen4Φ1 ) 180º 2 4 S = a (1. e F. e) Raio da seção meridiana (M) É usado para calcular o comprimento de arcos pequenos da linha meridiana.sen2Φ1 ) + C(sen4Φ 2 . B. Chamando de S o comprimento do arco e Φ1 . são determinadas através de séries.Φ2 os extremos da latitude.Φ1 )π 1 (A . C. a grande normal é utilizada no cálculo do raio de um paralelo. será: 1 (Φ 2 . .sen6Φ ) + 1 E(sen8Φ . c) Grande normal (N) A maioria dos cálculos geodésicos utiliza-se a grande normal. D.B(sen2Φ1 .sen10Φ ) 2 1 2 1 2 1 6 8 10 Para o elipsóide UGGI – 67 Onde: As constantes A.e2 ) .sen8Φ ) . nas transformações de coordenadas planas sistema UTM/LTM/RTM em geodésicas e vice-versa. Para arcos maiores utiliza-se o raio de curvatura da seção meridiana originada da derivada/integral do binômio de Newton.Berthier de Carvalho Filho 44 b) Raio polar (b) O raio polar é calculado em função do raio equatorial. principalmente. Berthier de Carvalho Filho 45 A = 1. sendo o ângulo α . . i) Raio da seção oblíqua ( Rα ) O raio da seção oblíqua é o raio da linha inclinada em relação ao meridiano e o paralelo geodésico. j) Raio vetor ( R v ) O raio vetor ( R v ) é usado no cálculo da altura geométrica (altura elipsoidal) a partir das coordenadas X. entre os quais.00505262473 B = 0.005063232048 C = 10. Y e Z. g) Raio médio (Rm) O raio médio é usado em diversos cálculos geodésicos.8218961595 x 10-9 E = 3. como sendo o raio de uma esfera de volume igual ao volume do elipsóide UGGI – 67.93275334635 x 10-11 F = 6. h) Raio geográfico ( Rg ) O raio geográfico é aceito na geografia do ensino de 1º grau. o ângulo que a linha forma com a linha Norte-Sul (Rumo).55534022587 x 10-14 f) Raio de um paralelo (r) O raio de um paralelo é utilizado para calcular o comprimento do arco de paralelo terrestre. a redução da distância horizontal para o nível do geóide (distância geoidal).6281071177 x 10-6 D = 20. Berthier de Carvalho Filho 46 5.1 APLICAÇÕES DOS RAIOS DO ELIPSÓIDE Seja o arco MM’ da elipse meridiana na figura 5.1. Sendo pequeno desprezamos a variação do raio de curvatura ao longo deste arco. Desta forma confundindo com o raio circular igual ao raio de curvatura da elipse meridiana. Para arcos iguais ou maiores que 1º como já foi dito, emprega-se o raio da seção meridiana deduzida a partir da derivada/integral do binômio de Newton. Quanto menor for o arco, menor será o erro a ser cometido. PN M' S Φ M' ∆Φ M Q' o ΦΜ Q PS Figura 5.1 – Arco de meridiano - S Observação: sendo : S = Comprimento do arco MM' ∆Φ = Diferença entre as latitudes geodésicas dos extremos do arco. Berthier de Carvalho Filho 47 Exercício resolvido: Calcular o comprimento do arco da linha meridiana compreendido entre a latitude Φ1 = 28º 23’43” S e a latitude Φ 2 = 28º 35’49” S . Desenvolvimento: Cálculo da seção meridiana no ponto médio Φm = Φ1 + Φ 2 2 Φm = 28º 29 ' 46 " Φm = Latitude média entre M e M' M= a (1 - e2 ) (1 - e2 sen2 Φm) 2 M = 6.349.970,074 m ∆Φ = Φ 2 - Φ1 ∆Φ = Diferença de latitude entre M e M' ∆Φ = 00º12'06" 3 φ1 = 28º23'43" S φ2 = 28º35'49" Aplicando uma regra de três simples, resulta: Berthier de Carvalho Filho 48 2πM → 360º S → ∆Φ 2 x π x M x ∆Φ 360º π x M x ∆Φ S = 180º S = 22.350,290 m S = Sendo o arco M M’ da elipse meridiana da figura, pode-se desprezar a variação do raio da curvatura ao longo deste arco. Desta forma, confundindo com o raio circular igual ao raio médio de curvatura da elipse meridiana. Enfatizando, quanto menor for o arco, menor será o erro a ser cometido. Calculando o comprimento da seção meridiana pela fórmula originada da derivada/integral do Binômio de Newton. 1 (Φ 2 - Φ1 )π 1 (A 180º - 2 B(sen2Φ1 - sen2Φ1 ) + 4 C(sen4Φ 2 - sen4Φ1 ) S = a (1- e2 ) - 1 D(sen6Φ - sen6Φ ) + 1 E(sen8Φ - sen8Φ ) - 1 F(sen10Φ - sen10Φ ) 2 1 2 1 2 1 6 8 10 Para o elipsóide UGGI – 67 a = 6.378.160,000 m Coeficientes: e2 = 0,006694541916 A = 1 ,00505262473 B = 0,005063232048 C = 10,6281071177 x 10-6 D = 20,8218961595 x 10-9 E = 3,93275334635 x 10-11 F = 6,55534022587 x 10-14 14094 ( ) .e2 = 6.Berthier de Carvalho Filho 49 Φ1 = 28º 23 ' 43 " 2Φ1 = 56º 47 ' 26 " 2Φ 2 = 57º11'38 " 4Φ1 = 113º 34'52" 4Φ 2 = 114º 23 '16" 6Φ1 = 170º 22'18 " 6Φ 2 = 171º 34 '54 " 8Φ1 = 227º 09 ' 44 " 8Φ 2 = 228º 46 '32" 10Φ1 = 283º 57 '10 " Φ 2 = 28º 35 ' 49 " 10Φ 2 = 285º 58 '10 " a 1 .461 .335. Berthier de Carvalho Filho 50 A ( Φ 2 - Φ1 ) x π = = + 3,537531285 x 10-3 180º 1 B ( sen 2Φ 2 - sen 2Φ1 ) = - + 9,708183028 x 10-6 2 1 C ( sen 4Φ 2 - sen 4Φ1 ) = + -1 ,52059024 x 10-8 4 1 D ( sen 6Φ 2 - sen 6Φ1 ) = - - 7,237949869 x 10-11 6 1 E ( sen 8Φ 2 - sen 8Φ1 ) = + - 9,267583419 x 10-14 8 1 F ( sen 10Φ 2 - sen 10Φ1 ) = - + 5,956332508 X10-17 10 _____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) soma x a 1 - e2 = 3,527807968-3 ( ) = 6.335.461,14094 S = 22.350,29029 m 5.2 COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO As seções do elipsóide de revolução perpendiculares ao eixo de rotação são circulares. Como: r = N x cos Φ r = ou a cos Φ 1 - e2 sen2 Φ Exercício resolvido Calcular o comprimento do arco de paralelo entre a longitudes λ1 = 42º00’00” W e λ 2 = 42º33’00” W, na latitude 28º38’09,9672” S Berthier de Carvalho Filho 51 Desenvolvimento : ∆λ = λ2 - λ1 ∆λ = 00º 33 ' 00 " ∆λ = Diferença de longitude ente 1 e 2 r = a cos Φ 1 - e2 sen2 Φ r = 5.602.299,614 m 360º → 2πr λ → X S λ2 X = 2 π r ∆λ 360º λ1 X = 53.778,216 m S = 53.778,216 m 5.3 CÁLCULO ENVOLVENDO TODOS OS RAIOS DO ELIPSÓIDE Exercícios: Num ponto de latitude geodésica Φ = 40º Calcular: 1) Grande normal 2) Pequena normal Berthier de Carvalho Filho 52 3) Coordenadas retilíneas 4) Raio de curvatura da seção meridiana 5) Raio médio 6) Raio de curvatura da seção obliqua cujo azimute é 20º 7) Raio do paralelo 8) Raio vetor 9) Raio Geográfico 10) Raio equatorial 11) Raio polar Desenvolvimento: Dados do elipsóide UGGI - 67 a = 6.378.160,000 m e2 = 0,006694541916 1)Cálculo da grande normal N = a 1 - e sen2 Φ 2 N = 6.386.999,412 m 2)Cálculo da pequena normal N' = a (1 - e2 ) 1 - e2 sen2 Φ N' = 6.344.241,377 m 3)Cálculo das coordenadas retilíneas X = N cos Φ X = 4.892.725,408 m Z = N' sen Φ Z = 4.077.999,750 m e2 ) (1 .364. também.408 m O raio da seção oblíqua serve para calcular a distância entre duas cidades.374.Berthier de Carvalho Filho 53 4)Cálculo do raio de curvatura da seção meridiana M = a (1 . Para cálculos geodésicos de alta precisão usam-se outras fórmulas. para obter-se a distância entre dois pontos para fins de navegação.e2 sen2 Φ )1. 8) Cálculo do raio geográfico.361.5 M = 6.N Rm = 6.838.771 . . O raio geográfico equivale ao raio de uma esfera de volume igual ao volume do elipsóide terrestre UGGI-67.892.406.725. este cálculo é usado.477 m 20º 6)Cálculo do raio de curvatura da seção obliqua de azimute 1 cos2 20º sen2 20º = + Ra M N Ra = 6.410 m 7)Cálculo do raio do paralelo r = N cos Φ como r = X r = 4.371 m 5)Cálculo do raio médio Rm = M. 378.0000 ) 2 x 6.a.356. Y e Z) e raio vetor.se : Volume da esfera = 4 4 π R3 = π a2 x b ⇔ R3 = a2 x b 3 3 Rg = Rg = 3 a2.160.b.c.b = 3 ( 6. resulta : 3 4 V = π x a2 x b 3 Igualando as duas equações. têm .371 km 9) Raio Vetor Calcular a altura elipsoidal (altitude geométrica) do vértice Chuá. . a partir das coordenadas tridimensionais (X.Berthier de Carvalho Filho 54 Desenvolvimento: Vol Esfera = Vol Elipsóide 4 π R3 3 4 Volume do Elipsóide = π.774.7192 6. como a = c.023.591 m Rg ≅ 6.371. 376.140.tg Φ 2 Ψ = .080.06390 " Y = .010.615.50053 Cálculo da altura elipsoidal a) Distância de Chuá a origem (centro do elipsóide) D = X2 + Y 2 + Z 2 D = 6.2.496.4.19º 38 ' 21.715 m b) Latitude geocêntrica tg Ψ = (1 .9379 " c) Raio vetor Rv = X cos Ψ .143.19º 45 ' 41.470.e ).48º 06 '04.30952 Φ = .Berthier de Carvalho Filho 55 Chuá PN Q' Equador Rv ψ H Q PS Dados – Chuá – SAD – 69 X = 4.65270 " λ = .98267 Z = . determinado com tecnologia de satélite artificial.679.834.356.000 6.397.356.377.000 6.356.137.000 293.000 297.375733. alguns elipsóides e seus respectivos parâmetros.912.515. atualmente.004. diverso geodésistas determinaram o valor do raio equatorial como o uso da geodésia terrestre (Geodésia Clássica).15 1866 6.0 1967 6.000 6.356.719 298.46 1909 6.281 m O valor de H calculado pela Escola Politécnica da USP para o vértice Chuá.2572235630 Datas dos principais Elipsóides usados no Brasil ELIPSÓIDE DATUM HAYFORD (Internacional) Córrego Alegre HAYFORD (Internacional) Astro Chuá * UGGI – 1967 Vértice Chuá – SAD – 69 GRS – 1980 WGS – 84 ** . é de 763.774.310 298. com se viu.388.378160.434 m d) Altura elipsoidal H = D .2819 m 10) Raio equatorial O raio equatorial da Terra é.000 6.e sen Φ 2 2 X = 6.25 1980 6. 11) O raio polar é determinado juntamente com o raio equatorial.378.Berthier de Carvalho Filho 56 X = a cos Φ 1 .356.Rv H = 763. No passado. na tabela abaixo. no elipsóide UGGI / SAD – 69.000 6.000 299. Elipsóides Bessel Clarck Hayford UGGI GRS – 80 PRINCIPAIS ELIPSÓIDES Data a b α -1 1841 6.249.378. A seguir.0298 Rv = 6.752.378. 378.378.249997276 e2 = 0.4.388.Berthier de Carvalho Filho 57 * Datum Astro Chuá é usado somente no SICAD (Sistema Cartográfico do Distrito Federal – Brasília) ** Datum WGS – 84 é usado somente para o Sistema GPS 5. 000745018 e2 = 0.000 m α = 1 298. 37 m + 38.000 m α = 1 297.378.160.006722653187 SAD .69 → WGS .84 ∆X = .66.37 m ∆Z = .000 m α = 1 298.69 ∆X = + 66.137.52 m WGS .84 a = 6.4 PARÂMETROS DE TRANSFORMAÇÃO DE DATUM Parâmetros dos elipsóides WGS .006694381317 SAD .52 m (Para calculadora científica ) .006694541916 CÓRREGO ALEGRE a = 6.69 a = 6.84 → SAD .87 m ∆Y = + 4.257164355 e2 = 0.38.87m ∆Y = ∆Z = . 84 ∆X = .12 m CÓRREGO ALEGRE → WGS . (CEBRAPOT – Escola Brasileira de Agrimensura – MÓDULO 10) .69 → CÓRREGO ALEGRE ∆X = + 138.84 → CÓRREGO ALEGRE ∆X = + 205.57 m ∆Y = + 168.40 m ∆Z = + 34.77 m ∆Z = 4.70 m ∆Y = .12 m 5.205.69 e SAD .40 m SAD .5 EXEMPLO ELUCIDATIVO Transformar as coordenadas do ponto “Pilar 1 da Base USP” do elipsóide UGGI – 67 SAD .69 para o elipsóide WGS – 84.164.69 ∆X = .77 m ∆Z = + 4.40 m Conhecendo os parâmetros de : WGS .84 ↔ CÓRREGO ALEGRE WGS .57 m ∆Y = .168.Berthier de Carvalho Filho 58 CÓRREGO ALEGRE → SAD .138.84 → SAD .40 m ∆Z = 34.70 m ∆Y = + 164.69 → CÓRREGO ALEGRE podemos det er minar os parâmetros de : WGS . 69 → WGS .006694541916 Cálculo da grande normal N1 N1 = a 2 1 .66.e1 sen2 Φ1 N1 = 6.249997276 Sistema 2 .84 ∆X = .04577 m Cálculo do raio da seção meridiana M1 = 2 a1 1 .α1 ) 2 e1 = 0.8371 m (Altitude Elipsoidal) a)SAD .Elipsóide UGGI .69 → WGS .e1 ( ) ) 3 2 ( 2 1 .28833 λ1 = .000 m α2 = 1 298.381.67 (SAD .160.87 m ∆Y = + 4.84 a2 = 6.571 .257164355 Parâmetros de transformação SAD .46º 43 '52.378.23º 33 '01.137.37 m ∆Z = .Berthier de Carvalho Filho 59 Coordenadas do ponto 1 Φ1 = .69) a1 = 6.52 m Cálculo da primeira excentricidade do elipsóide 1 2 e1 = α1 ( 2 .000 m α1 = 1 298.03600 H1 = 724.38.e1 sen2 Φ1 .Elipsóide WGS .378.84 Sistema 1 . α1 ∆α = .4329403679 = 18.8.00 ∆α = α 2 .23º 33 '03.345.54.a1 ∆a = .311640519 SOMA = .23º 33 '01.20865 m Cálculos auxiliares ∆a = a2 .00º 00 '01.056977 x 10-8 Equações diferenciais simplificadas de Molodenski.∆YsenΦ1senλ1 + ∆Z cos Φ1} 180 π ( a1∆α + α1∆a ) sen2Φ1 ∆XsenΦ1 cos λ1 ∆YsenΦ1senλ1 + ∆Z cos Φ1 x 1 180 x M1 π Cálculo de Φ 2 = 0.Berthier de Carvalho Filho 60 M1 = 6.28833 " + (.∆XsenΦ1 cos λ1 .05866224 " .029169461 x 10-6 ∆Φ = .631. ∆Φ = 1 M1 {( a ∆α + α ∆a ) sen2Φ 1 1 1 .313293575 = 1.00º 00 '01.77033256 " Φ 2 = Φ1 + ∆Φ Φ 2 = .35.463375243 = 9.23.271381531 = .77033256 ") Φ 2 = . 8371 + ( .63712339 m H2 = H1 + ∆H H2 = 724.1999766 m .6471717204" Cálculo da altitude geométrica ou elipsoidal ∆H = ( a1∆α + α1∆α ) sen2Φ1 .90564977 = .0943502298 − 23.42.45.6.00000000 = 22.00º 00'01 .∆Xsenλ1 + ∆Y cos λ1 = .016665329 = 12.6.611171966" ) λ 2 = .∆a + ∆Xcos Φ1 cos λ1 + ∆Y cos Φ1senλ1 + ∆ZsenΦ1 = − 0.4738921674 ( a1∆α + α1∆a ) sen2Φ1 − ∆a + ∆Xcos Φ1 cos λ1 + ∆Y cos Φ1senλ1 + ∆ZsenΦ1 ∆H = .00º 00'01 .63712339 ) H2 = 718.Berthier de Carvalho Filho 61 Cálculo de ∆λ 2 ∆λ 2 = 1 180 ( -∆Xsenλ1 + ∆Y cos λ1 ) N1 cos Φ1 π .46º 43'52.794074601 x 10-6 ∆λ = .03600 "+ ( .611171966 " Cálculo de λ 2 λ 2 = λ1 + ∆λ λ 2 = .46º 43'53.695768782 x 1 180 x N1 cos Φ1 π = 9. Sejam Φ2 e Φ1 as latitudes dos dois paralelos.Berthier de Carvalho Filho 62 Proposta de trabalho Calcular as coordenadas geodésicas e a altitude geométrica (altura elipsoidal) para o Datum WGS – 84 WGS . ∆λ a diferença de longitude entre os dois meridianos e T a área do quadrilátero. figura abaixo. compreendido entre as coordenadas: Φ1 = 20º 00'00" S Φ 2 = 20º10'00" S λ1 = 53º 40'00" W λ 2 = 53º 50'00" W Com: ∆Φ = Φ 2 − Φ1 . a verificação dos cálculos anteriores. 2 Φm = Φ 2 + Φ1 . desta maneira. A área é calculada pela seguinte fórmula: π b2∆λ T= (A' sen ∆Φcos Φm -B'sen3∆Φc os3Φm +C'sen 5 ∆Φ cos 5 Φm -D'sen7∆Φcos7Φm ) 90º Com: Exercício proposto: Calcular a área elipsóidica do quadrilátero. 6 ÁREAS NA SUPERFÍCIE DO ELIPSÓIDE 6.1 ÁREA DO QUADRILÁTERO ESFÉRICO Chamaremos de quadrilátero elipsóidico a porção da superfície do elipsóide compreendida entre dois paralelos e dois meridianos. 2 ∆λ = λ 2 − λ1 .84 → SAD .69 Fazendo. Berthier de Carvalho Filho 63 λ 2 λ 1 Φ1 Φ2 ∆Φ = 20º10'00"− 20º 00'00" 2 ∆Φ = 00º 05'00" 20º10'00"+ 20º 00'00" 2 Φm = Φm = 20º 05'00" ∆λ = λ 2 − λ1 ∆λ = 00º10'00" ∆Φ = 00º 05'00" 3∆Φ = 00º15'00" 5∆Φ = 00º 25'00" 7∆Φ = 00º 35'00" Φm = 20º 05'00" 3Φm = 60º15'00" 5Φm = 100º25'00 7Φm = 140º 35'00" . – 67 A ' = 1.434093515x10 −6 + C'5sen∆Φ 5cosΦm = −2.350876171x1011 90 Área = 321637765.I.370597544x10−3 6.Berthier de Carvalho Filho 64 Constantes do Elipsóide U.00336417159 B' = 1 . 2 ] .137819454x10−11 1 . 2 Φm = Φ 2 + Φ1 2 Φ 2 = 90º A área é dada pela seguinte fórmula: 1 Φ2 A Φ1 = 4π b2 A ' sen∆ Φ cos Φ m ..234628095x10−9 D'7sen∆Φ 7cosΦm = −2.71805590226 x 10−9 A ' sen∆Φ cosΦm = B'3sen∆Φ 3cosΦm = +2.082 m2 Área = 32163 ha 77a 65 ca +1 .69954210042 x 10−6 D' = 2..12421676383 x 10−3 C' = 1.2 ÁREA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO Φ1 = 0º Com: ∆Φ = Φ 2 − Φ1 ..G.B' sen3∆ Φ cos3Φ m +C' sen5∆ Φ cos5Φ m .368161237x10−3 x πb2 ∆λ = 2.G. 3 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS GEODÉSICAS. navegação. com técnica GPS.3.71805590226 x 10-9 112 256 512 5 3 10 e8 + e → E' = 4.1.69954210049 x 10-6 e + e + e + e 80 16 64 512 1 6 5 8 15 10 e + e + e → D' = 2. as constantes são: A ' = 1+ B' = C' = 1 2 3 4 5 6 35 8 63 10 e + e + e + e + e → A ' = 1. 6. As coordenadas geodésicas são determinadas. conhecendo a posição do avião e do aeroporto. onde. Com as coordenadas geodésicas de dois pontos.3.12421676383 X 10-3 6 16 16 192 256 3 4 1 6 5 8 45 10 → C' = 1.SAD – 69. ou do navio e do porto. . pode-se calcular o azimute e distância para aplicação em direcionamento de antena de rádios microondas.Berthier de Carvalho Filho 65 Para o elipsóide UGGI – 67 .434838074 x 10-12 2304 512 D' = E' = 6.1 LADO O lado elipsóidico (sobre a superfície do elipsóide) é dado pela seguinte fórmula.1 MODELO MATEMÁTICO 6. Conhecendo as coordenadas de dois aeroportos pode-se determinar o plano do vôo a partir da distância (hora do vôo) e azimute verdadeiro. calcula-se a distância e o azimute do avião para o aeroporto ou do navio para o porto. atualmente. Distância provisória: .00336417157 2 8 16 128 256 1 2 3 4 3 6 35 8 45 10 e + e + e + e + e → B' = 1 .MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS. Rumo = arc tg X → Converter em Azimute Y Obs: azimute contado a partir do Sul 6.∆A = ∆λ "sen Φ m sec AZBA = onde: X = ∆Φ + F ∆λ " 2 ( ) 3 → Φ m é negativo no Hemisfério Sul 1 cos Α ( AZ AB ± 180º ) + ∆ A → sec Α = ( λ N sen1 cos Φ ) " " B B 2 3 2 tgΦ " ( πNB cos Φ B ∆λ ) − MA sen1 − 3 2NAMA sen1" 180º 2 − 4.3.1.e sen Φ ( ) 2 1.2 AZIMUTE A PARTIR DO SUL O azimute provisório é determinado pela seguinte fórmula. M sen1" 180o + 3 " 180o 2 2 2NAMA sen1 2 A 2 1.095x10-16 ( ) ( πNB cos Φm∆λ ) ( πMA ∆Φ ) 180º 180º 2 " πNm cos Φ m ∆λ 3e2senΦ cos Φsen1" πMA ∆Φ tgΦ 1 Y = ∆Φ .3.Berthier de Carvalho Filho 66 Se = X2 + Y 2 6.1.3 CONTRA AZIMUTE .3tg Φ + 6N2 A ( ) πMA ∆Φ πNm cos Φm ∆λ 1 " o 180o MA sen1 180 2 " MA sen1 . . e 2sen2Φ A a 1.λ A Fazendo : K1 = B Y1 K 3 = D (K1 ) 2 K 2 = C ( X1 ) K 4 = E K1 ( X1 ) 2 2 K 5 = ∆"Φ .e 2sen2Φ A a 1.e sen2Φ B a 1.095 x 10-16 X1 ( Y1 ) = W .b2 a ∆Φ = Φ B .e2sen2Φ m a2 .K 2 .e2 ( ) ) 3 2 ( MB = Mm = Φm = 1 .Φ A ∆λ = λB .e2sen2Φ A a 1 .Berthier de Carvalho Filho 67 RUMO = X1 = NA = MA = Nm = e = X1 Y1 Y1 = NB = πNm ∆Φ 180º a 1.ΦB 2 2 πNm cos Φ m ∆λ 180º a 1.C1 .K 3 + K 4 ∆ "λ W = A1B X2 Y2 = 2 K5 B 3 2 C C1 = ( X1 ) 3 B 2 C2 = 4.e 2sen2Φ m Φ A .C2 onde os coeficientes são : A1B = 1 NB sen1" cos ∆B B = 1 MA sen1" . 378.719 m e2 = 0.e Φ A tg Φ A 2 NA MA sen1" E = 2 1 + 3 tgΦ ( 2 ) 3 2 6 (NA ) 2 F = Sendo : Φ A = latitude do ponto A 1 sen Φ A cos2 Φ A sen21" 12 λ A = longitude do ponto A ΦB = latitude do ponto B λ A = longitude do ponto B Φ m = latitude média Se1 = lado elipsóidico provisório Se = lado elipsóidico NA = grande normal no ponto A NB = grande normal no ponto B MA = raio da seção meridiana no ponto A MB = raio da seção meridiana no ponto B e2 = primeira excentricidade a = raio equatorial do elipsóide b = raio polar do elipsóide AZ AB = azimute elipsóidico de A para B AZBA = azimute elipsóidico de B para A Para o elipsóide UGGI-67 SAD-69 a = 6.356.774.Berthier de Carvalho Filho 68 C = D = 3 e2 senΦ A cos Φ A sen1" 2 1.160.000 m b = 6.006694541916 . e 2 sen Φ A a 2 MA = 6.101.6722" W Ponto 2 Φ 2 = 28º 44 '33.383.e2 sen2 Φm Nm = 6.069.Berthier de Carvalho Filho 69 7 EXEMPLO APLICATIVO RESOLVIDO Dadas às coordenadas geodésicas dos pontos 1 e 2.151.383.102.085.350.0198 " W NA = a 1 .350.10807 m a 1 . determinar o lado e azimute elipsóidico.3542" S λ 2 = 49º 08 '30.09515 m . Ponto 1 Φ1 = 28º 38 '09.e2 2 ( ) 2 (1 - e sen Φm 2 ) 3 2 Mm = 6.e sen2 ΦB NB = 6.e2 sen2 Φ A NA = 6.e2 MA = ( ) ) 3 2 (1 .84812 m Mm = a 1 .13436 m NB = 1 .6082 m Nm = a 1 .383.9672"S λ1 = 49º 21' 42. 1279133 m Y1 = πMm ∆Φ 180º Y1 = 11.518.542.6799773 m 7.1060286 m 7.3 CÁLCULO DO AZIMUTE PROVISÓRIO (1ª aproximação) Rumo AB1ª = arctg X1 ( − ) = Y1 ( + ) ( 4º Quadrante ) RUMO AB1ª = 61º15'15.2 CÁLCULO DO LADO PROVISÓRIO (1ª aproximação) S1ª = ( X1 ) 2 + ( X2 ) 2 S1ª = 24.803.79179456"NW (Rumo da linha AB ) α 1 ΑΒ Α Β .21.Berthier de Carvalho Filho 70 X1 = πNm cos Φm ∆λ 180º X1 = . 518.1060274 m K1 = 383.38933103 x 10-9 C é negativo no Hemisfério Sul Φ A = 28º 38 '09.9672 NA = 6.13434 m C = −1.803.390016119 .03248212932 K1 = B Y1 Y1 = 11.9672" S K1 = 383.101.4 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (2ª aproximação B= 1 MA sen1" (C ) te MA = 6.1.10807 m MA = 6.383.390016119 C= tgΦ A 2NAMA sen1" C = .006694541916 Φ A = 28º 38 '06.Berthier de Carvalho Filho 71 7.1279133 m K 2 = C ( X1 ) 2 K 2 = .350.38933103 x 10−9 X1 = −21.0.101.e2 sen2 Φ A ( ) 3 2 D = -2.518.052502799 x 10-8 D é negativo no Hemisfério Sul X1 = −21.6433017089 D = 3e2senΦ A cos Φ A sen1" 2 1 .1279133 m e2 = 0.13434 B = 0.069.350. K 2 .03248212932 X1 = −21.0.1279133 m K 4 = E K1 ( X1 ) 2 K 4 = 1.518.6433017089 K 3 = −3.518.K 3 + K 4 K 5 = 384.03248212932 K 2 = −0.0.003016930853 E = 1 + 3tg2Φ A 6 (NA ) 2 E = 7.Berthier de Carvalho Filho 72 K 3 = D ( K1 ) 2 K 3 = .095 x 10-16 X1 ( Y1 ) 2 C2 = .1279133 m 2 C1 = .749541271 x 10-15 X1 = −21.016930853 x 10−3 K 5 = 384.953185 m 3 3 C C1 = ( X1 ) 2 B C = −1.822.0121519139 C2 = 4.034694346 Y2 = K5 B Y2 = 11.034694346 B = 0.375706421 x 10−3 K 5 = ∆Φ " .0.38933103 x 10−9 B = 0.0012275834 . 6699005 m RUMO AB2ª = X2 Y2 RUMO AB2ª = 61º12'05.6426495502 (C ) te 2 K 3 = .0.38933103 x 10-9 (C ) te K 2 = C ( X2 ) D = .0.231333 X2 = W .03248212932 (C ) te K1 = 384.5 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (3ª aproximação) B = 0.542.1 .21.Berthier de Carvalho Filho 73 W = ∆λ " A1B (C ) te W = .034694137 C = .001376622706 .2179505 Lado elipsóidico Se2ª = Azimute elipsóidico ( X1 ) 2 + ( Y1 ) 2 Se2ª = 24.05250277961 x 10-8 K 3 = D ( K1 ) E = 7.507.550482" 7.2.003027085443 2 K 4 = 0.21.507.44951728" AZIMUTE AB2ª = 298º47'54.C2 X2 = .749541271 x 10-15 K 4 = E K1 ( X 2 ) 2 K 2 = .C1 . C2 ) 2 C2 = .01213343977 ( X2 ) 3 C2 = 4.507.03248212932 K1 = B Y3 K1 = 384.095 x 10-16 X2 ( Y2 W = .Berthier de Carvalho Filho 74 K 5 = ∆Φ " .542.59498212 NW " AZIMUTE AB3ª = 298º 47 '54.001231090789 X3 = .21797655 Lado elipsóidico Se3ª = Azimute elipsóidico RUMO AB3ª = X3 Y3 ( X3 ) 2 + ( Y3 ) 2 Se3ª = 24.6604087 m RUMO AB 3 ª = 61º12'05.933448 C C1 = B 2 2 3 C1 = .03405294 .21.0.2313333 X3 = W .21.K 2 .C1 .4050162" 7.507.034053298 Y3 = K5 B Y3 = 11.K 3 + K 4 K 5 = 384.822.0.6 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (4ª aproximação) B = 0. 231086614 x 10−3 W= ∆λ = −792.034053286 C C1 = B (X ) 3 2 2 3 C1 = −0.749541271 x 10−15 K1 = 384.6426495514 D = −2.052502779 x 10−8 K 3 = D x (K1 ) 2 K 3 = −3.095 x 10−16 X3 ( Y3 ) ∆λ A1B C2 = -1.03405294 X3 = −21.01213344031 2 C2 = 4.Berthier de Carvalho Filho 75 C = -1.00137662041 K 5 = 384.027075335 x 10−3 E = 7.2313333 .6426495514 K 3 = −3.3870 " K 2 − 0.03685515758 W = -21.38933103 X 10−9 X3 = −21507.507.2179505 m K 2 = C ( X3 ) 2 K 2 = −0.6523999 " A1B = 0.2179505 K 4 = E K 1 ( X3 ) 2 K 4 = 0.507.00137662041 K 5 = ∆Φ − K 2 − K 3 + K 4 ∆Φ = 00º 06 ' 23.027075335 x 10−3 K 4 = 0. 507.032482129319 Y4 = K5 B Y4 = 11.2179655 m B = 0.6607 ∆λ " = .933448 7.28º 41' 21.6604 m Azimute elipsóidico AZIMUTE AB4ª = AZIMUTE AB3ª AZIMUTE AB = 298º 47 '54.6935 2 .7 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE DEFINITIVO Lado elipsóidico Como: Se4ª = Se3ª Então Se = 24.6524 " ∆Φ = 00º 03 '11.7.∆A " = ∆λ " senΦm sec F = ∆Φ 3 + F ( ∆λ " ) 2 1 senΦ A cos2 Φ A sen21" 12 F = .4050 " .Berthier de Carvalho Filho 76 X4 = −21.822.231021102 x 10-13 Φm = .542.792. Berthier de Carvalho Filho 77 ∆Φ = 00º 06 ' 23.521725 " ∆A " = .1) em torno de OZ.00º 06 ' 20.52157253 " ∆A " = .3870 " .1 – Área de uma zona elipsoidal A área elementar A da zona elipsoidal gerada pela revolução do arco ds (figura 8.4050 " Verificação Cálculo Inverso: Atividade extra-classe.5217253 " AZIMUTE BA = ( AZIMUTE AB ± 180º ) + ∆A AZIMUTE AB = 298º 47 '54.∆A " = + 380. é dada por: . 8 ÁREA DE UMA ZONA ELIPSOIDAL Z r ds A o X Figura 8.380.4050 " AZIMUTE BA = 198º 47 '54. é à distância contada sobre a normal do ponto até o elipsóide.00336417160 2 8 16 128 256 1 2 3 4 3 6 35 8 45 10 e + e + e + e + e = 0. A figura 9. altitude ortométrica (h) de um ponto é à distância contada sobre a vertical desse ponto até o geóide.00000000272 112 256 512 5 3 10 e8 + e = 4. da separação (N) entre a superfície equipotencial (geóide) e o elipsóide.00112421678 6 16 16 192 256 3 4 1 6 5 8 45 10 e + e + e + e = 0. neste trabalho não restringiremos a nenhum método.Berthier de Carvalho Filho 78 A Φ12 = 4πb2 ( A ' sen∆Φ cos Φm ) . e.69 A ' = 1+ B' = C' = D' = E' = Φ 2 . altitude geométrica. As três áreas da geodésia que mencionamos no primeiro capítulo têm solução específica para esse problema. GEOMÉTRICA E Por definição.00000169954 80 16 64 512 1 6 5 8 15 10 e + e + e = 0.Φ1 2 Φm = Φ2 + Φ1 2 1 2 3 4 5 6 35 8 63 10 e + e + e + e + e = 1 .1 ilustra melhor este assunto.(B' sen3∆Φ3 cos Φm ) + ( C' sen5∆Φ cos5Φm ) Φ − (D' sen7∆Φ cos7Φm ) Com : Exercício proposto Φ1 = 50º Φ 2 = 60º sendo: ∆Φ = Coeficientes : SAD . A altitude geométrica é determinada com GPS geodésico de alta precisão.437627647 x 10-12 = 0 2304 512 9 ALTITUDES ORTOMÉTRICA. pois o GPS de navegação fornece a altitude . ONDULAÇÃO DO GEÓIDE. Um dos mais importantes problemas geodésicos é a determinação das “ondulações do geóide”. ou seja. SUPERF ÍCIE FÍS ICA DA T ERRA P H=h+N h=H-N N = ONDULAÇÃO DEOIDAL N = DETERMINADO COM O MAPGEO 2004 PN N GEÓIDE h H P' Q' E Φ λ Q Figura 9.Berthier de Carvalho Filho 79 geométrica. também. se conhecer a altitude geométrica e a ondulação do geóide. O IBGE confeccionou a carta com as ondulações do geóide. Este trabalho foi realizado na década de 70. Com um erro absoluto de 3 metros e um erro relativo de 1 cm/km na determinação da altitude. No momento. pois o erro pode chegar a 200 metros. PS . um intenso programa de observações com o sistema TRANSIT foi conduzido sobre a rede de nivelamento de 1a. a atenção está voltada para o GPS e já se dispõe de mais de uma centena de alturas geoidais derivadas. Altitude Geométrica e Ondulação Geóidal. bastando conhecer as coordenadas geodésicas do local. pode-se chegar a um valor aproximado da altitude ortométrica. disponibiliza em arquivo eletrônico. sobretudo em regiões vazias.. A Fundação IBGE e a Universidade de São Paulo têm trabalhado ao longo dos últimos dez anos num projeto de melhoria da carta geoidal no Brasil. Neste sentido. Levantamentos gravimétricos também têm sido intensificados de modo a melhorar a cobertura. ordem resultando em um total de mais de 200 pontos.1 – Altitude Ort. Ora. de caráter meramente decorativo. porém. 1 TRANSPORTE DE ALTITUDES COM GPS UTILIZANDO DIFERENÇA DE NÍVEL DE ONDULAÇÃO GEOIDAL. para linhas de base longas se faz necessário o processamento com a altura elipsoidal e posteriormente o cálculo da altitude ortométrica através da diferença de ondulação geoidal obtida num mapa geoidal confiável.2 – Ondulação Geoidal 9. como altitude a altitude geométrica.Berthier de Carvalho Filho 80 Sinais de N: N é positivo quando a superfície geoidal estiver acima da superfície elipsoidal N é negativo quando a superfície geoidal estiver abaixo da superfície elipsoidal Superfície do Terreno h H Geóide N Elipsoide Figura 7. sem cometer erro apreciável. Porém. por diversos profissionais da área da geomática.0) que contém o mapa . pela Universidade Federal de São Paulo. foi desenvolvido. Para linhas de base curtas (menor que 1 km). pode-se. pois a diferença da ondulação geoidal entre dois pontos próximos é desprezível. considerar. No processamento de dados GPS. é a determinação das altitudes ortométricas (em relação ao nível do mar) uma vez que os softwares de processamento calculam a altura geométrica (em relação ao elipsóide GRS – Datum WGS – 84). o software Map-Geo (versão 2. o grande problema enfrentado. No Brasil. comentado no capítulo acima. Para os demais pontos conhecidos os seguintes elementos: Altura elipsoidal Coordenadas Geodésicas Ondulação geoidal extraída do MapGeo As fórmulas para os cálculos são: Diferença das alturas elipsoidais (∆H) ∆H = Hn . é de 3 metros (precisão absoluta) e de 1 cm/km para precisão relativa. Para determinar o valor da ondulação geoidal basta entrar com as coordenadas geodésicas do ponto (latitude e longitude) para o Elipsóide UGGI . O transporte da altitude ortométrica entre dois em consideração a diferença de ondulação geoidal MapGeo. O primeiro ponto (ponto de origem) deve ser a altitude ortométrica conhecida (recomenda-se RNs nivelamento do IBGE).Geo ( ∆NMap ) ∆NMap = NMap n .H0 Diferença das ondulações geoidais do Map .67 A precisão deste software.Berthier de Carvalho Filho 81 geoidal do Brasil.NMap 0 Cálculo da altitude ortométrica pontos leva extraída do um RN com da rede de devem ser . h Onde : H0 = Altura elipsoidal do ponto de origem. Ponto 01 Φ = 28º 45'15" S λ = 49º 52' 22" W H = 45. uma origem altimétrica (marco da rede de nivelamento do IBGE) e dois vértices para onde serão transportadas as altitudes ortométrica. = Altitude ortométrica da origem. H = Altura elipsoidal dos demais pontos. Exercício: Dados as coordenadas de três pontos.185 m Ponto RN1256Z Φ = 28º 52'33 " S λ = 49º 45' 21" W H = 46. NMap ∆H h0 h N = Ondulação geoidal dos demais pontos obtidas com o Map .70 m .∆NMap + ∆H Cálculo da ondulação geoidal verdadeira (N) N = H .52 m Ponto 01 = + 3.Geo.925 m h = 45.325 m Ponto 02 Φ = 28º 40'01" S λ = 49º 34' 25" W H = 32. NMap 0 = Ondulação geoidal da origem obtida com o Map .12 m Ponto 02 = + 1. uma origem planimétrica.Geo.Berthier de Carvalho Filho 82 h = h0 . = Diferença das alturas elipsoidais.4972 m O MapGeo 2004 calculou as ondulações geoidais dos pontos : Ponto RN = + 1 .Geo. = Altitude ortométrica dos demais pontos = Ondulação geoidal verdadeiro ∆NMap = Diferença das ondulações geoidais obtidas com o Map . 46.2977 m h2 = h0 .180 m Cálculo das alturas ortométricas (h) h1 = h0 .1.185 .312 .600) h1 = 42.∆N( 2-0) + ∆H( 2-0) h2 = 45.∆N(1-0) + ∆H(1-0) h1 = 45. precisão de 10 mm/km.325 .925 ∆H(1-0 ) = .180) + (-14.600) + (.520 ∆N( 2-0 ) = 0.740) h2 = 30.600 m ∆N( 2-0 ) = N2 .( + 0.N0 .1. ou seja.5772 m Os resultados alcançados podem ser comparados a um nivelamento geométrico de média precisão.520 ∆N(1-0 ) = + 1 .4972 .Berthier de Carvalho Filho 83 Cálculo das diferenças das alturas elipsoidais ( ∆H) ∆H(1-0 ) = H1 .1.N0 ∆N(1-0 ) = 0.1 ∆N( 2-0 ) = + 0.H0 ∆H(1-0 ) = 45.925 ∆H( 2-0) = .( + 1 .600 m ∆H( 2-0) = H2 .46. Observação: .H0 ∆H( 2-0) = 32.14.170 .740 m Cálculo das diferenças das ondulações geoidais ( ∆NMap ) ∆N(1-0 ) = N1 .4972 . que as diferenças de nível elipsoidal. Na figura 6. . e ainda as correntes oceânicas. ou seja. pois. é o marégrafo de Imbituba no litoral de Santa Catarina. Marégrafo é o instrumento destinado à medição e ao registro do nível médio do mar a qualquer hora e é determinado por instituições governamentais. oportunamente. é origem das altitudes.Berthier de Carvalho Filho 84 1)As alturas elipsoidais devem ser obtidas com GPS geodésico de alta precisão e as ondulações geoidais com a utilização do software Map-Geo ou através de uma carta geoidal. em uma depressão de 1 cm no nível do oceano. Hoje sabemos que NMM varia com o tempo. como a variação da densidade da água (que depende da temperatura. 2)Cabe informar. e a pressão do vento). por convenção. um aumento de um milibar na pressão atmosférica implica. salinidade e pressão). os registros horários de marés podem revelar variações de vários metros em um dia. Repetindo para enfatizar: Genericamente podemos dizer que altitude de um ponto da superfície da Terra é à distância desse ponto à superfície que tem. por GPS. "O DATUM VERTICAL" oficial para todo o território brasileiro. Em nosso país a "superfície origem" é o geóide passante pelo ponto do marégrafo de Imbituba. que identifica o nível médio do mar (NMM) local e para a época em que foi determinado. estabilidade que se acentua nas médias anuais (variações de poucos centímetros). a separação entre ele e o NMM local é o que se convencionou chamar topografia do nível médio. aproximadamente 20 m. as médias anuais praticamente eliminam as variações periódicas do nível do mar. em média. Com efeito. em outras palavras. altitude zero. não tem aplicação prática. já as médias mensais de tais registros revelam certa estabilidade (variações de decímetros). Mas existem outras causas como as meteorológicas (variação da pressão atmosférica. recomenda-se utilizar o software. um exemplo é a Baia de Fundy (Canadá).3 representamos esquematicamente o geóide. e as oceânicas. a variação dessa topografia não é devido à maré oceânica. pois o NMM esta expurgado das variações periódicas. isto significa que mais de 40. Observações maregráficas de um ou mais anos permitem determinar um nível médio local. conforme a figura 6. pois. foram responsáveis pela destruição de um enorme número dessas referências.3. etc. Infelizmente. nestas notas de aula. e o adjetivo “local” é bem posto. o derretimento de gelos glaciais. a RN inicial terá então a altitude. cujo comprimento médio é da ordem de 3 km. Em nosso país já foram nivelados mais de 120. Existem milhares de marégrafo espalhados pelo mundo. Ocorre.000 referências de nível. O trecho da linha compreendido entre duas RN recebe o nome de seção. devem compor círculos fechados. em princípio. cada um acusando um NMM. que é transportada por meio de linhas de nivelamento geométrico (assunto que faz parte desta apostila) às demais RN que compõem a rede vertical do país. porém. que esse nível médio não é uma superfície equipotencial. que as RNs são protegidas por lei e a sua destruição é crime e passível de punição. As linhas de nivelamento que. o crescimento e a pavimentação asfáltica do nosso sistema rodoviário aliado a um descaso criminoso. estendem-se normalmente ao longo das vias terrestres de comunicação. É bom salientar. porém. ainda que situados no mesmo litoral. .Berthier de Carvalho Filho 85 a descarga de rios próximos aos marégrafo. mutilando a rede vertical com tremendo prejuízo econômico e científico.000 km de linhas de alta precisão (três voltas ao mundo). o NM varia de uma marégrafo para outro. Marégrafo .Berthier de Carvalho Filho 86 ALTITUDE DA RN INICAL RN Marégrafo b NMM a H=a+b RN m Marégrafo n Geóide N M M (local) NÍVEL INSTANTÂNEO maré baixa n = Topografia m = Topografia Estacionária Figura 9 1 – Datum vertical . Ed. CEFET/MT. 1995. Belo Horizonte: Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas (Topografia). Planimetria: 1. ___________________. FILHO. Ed. ___________________. Curitiba: Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas/UFP.. Criciúma: Livraria Luana Ltda. 2001. Altimetria: 2. SILVEIRA. Cuiabá. V PCDET. 1990. Luis Carlos da. . Fundamentos de Astronomia Esférica Aplicada na Determinação do Norte Verdadeiro. Berthier de Carvalho. Ed. Cálculo Geodésico no Sistema UTM Aplicados à Topografia. Cuiabá.Berthier de Carvalho Filho 87 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CAMIL. 2. Introdução à Geodésia Geométrica 1ª e 2ª parte. CEFET/MT. 1. 1987. Análise Comparativa de Áreas Calculadas nos Sistemas UTM e Plano Retangular. Cuiabá. 2003. ___________________. Gemael. 2002. CEFET/MT. Ed.