APOSTILA_FADIGA

ANÁLISE DE RESISTÊNCIA MECÂNICA (MECÂNICA DA FRATURA E FADIGA) Edison da Rosa UFSC - 2002 ANÁLISE DE RESISTÊNCIA MECÂNICA DE PEÇAS E COMPONENTES ESTRUTURAIS (MECÂNICA DA FRATURA E FADIGA) Prof. Edison da Rosa Grupo de Análise e Projeto Mecânico Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Santa Catarina Agosto 2002 ÍNDICE APRESENTAÇÃO PREFÁCIO v vi 1 3 4 9 11 15 16 18 21 22 27 29 34 40 44 PARTE 1 - CONCEITOS INICIAIS 1 - METODOLOGIA MODERNA DE PROJETO 1.1 - O processo de projeto 1.2 - Determinação dos esforços 1.3 - Análise de tensões 1.4 - Análise de falha 1.5 - Análise de segurança 1.6 - Integração numérico-experimental 2 - MODOS DE FALHA E CONFIABILIDADE 2.1 - Modos de falha independentes do tempo 2.2 - Modos de falha dependentes do tempo 2.3 - Confiabilidade 2.4 - Modelos para falha por sobrecarga 2.5 - Modelos para falha por desgaste 2.6 - Conclusões 3 - COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS 3.1 - Generalidades do ensaio de tração 3.2 - Resultados obtidos do ensaio de tração 3.3 - Diagrama tensão-deformação real 3.4 - Deformação plástica e o efeito de Poisson 3.5 - Modelos da curva tensão-deformação 3.6 - Ensaio de impacto 3.7 - Teoria clássica da transição dútil-frágil 46 47 58 65 71 74 77 84 89 91 91 94 102 103 117 118 125 127 132 135 139 143 147 153 154 156 161 167 183 190 PARTE 2 - FALHA ESTÁTICA 4 - CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO 4.1 - Introdução 4.2 - Definição do fator de concentração de tensão 4.3 - Formas de reduzir a concentração de tensão 4.4 - Efeitos na resistência estática 5 - ANÁLISE PLÁSTICA 5.1 - Teorias de falha 5.2 - Considerações sobre as principais teorias 5.3 - Flexão plástica 5.4 - Fator de forma 5.5 - Flexão com plastificação parcial da seção 5.6 - Desenvolvimento de tensões residuais 5.7 - Escoamento com concentração de tensão 5.8 - Tensões primárias, secundárias e de pico 6 - MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR 6.1 - Propagação da trinca 6.2 - Critério de Griffith 6.3 - Fator de intensidade de tensões 6.4 - Fator geométrico e o princípio da superposição 6.5 - Efeito de deformações plásticas 6.6 - Determinação experimental da tenacidade 7 - MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTO-PLÁSTICA 7.1 - Limitações da MFEL 7.2 - Deslocamento de abertura da trinca 7.3 - A tensão crítica de falha 7.4 - O método de Dowling e Townley 7.5 - Propagação estável da trinca 7.6 - Resumo do procedimento de análise 199 199 201 205 213 217 219 221 223 224 226 231 235 241 244 246 249 250 254 259 265 272 274 277 277 279 294 296 306 311 PARTE 3 - FALHA POR FADIGA 8 - O FENÔMENO DA FADIGA 8.1 - Introdução 8.2 - Comportamento microscópico 8.3 - Comportamento macroscópico 8.4 - Curva tensão-deformação cíclica 8.5 - Exigênciais de uma análise de fadiga 8.6 - Critérios de projeto para fadiga 8.7 - Comentários finais 9 - RESISTÊNCIA À FADIGA DOS MATERIAIS 9.1 - Ensaios de fadiga 9.2 - Resultados experimentais 9.3 - Estimativa da curva σ - N do material 9.4 - Estimativa da curva ε - N do material 9.5 - Obtenção da curva tensão-deformação 9.6 - Dano acumulado 10- RESISTÊNCIA À FADIGA DOS COMPONENTES 10.1- Introdução 10.2- Efeitos sobre o diagrama σ - N 10.3- Efeitos sobre o diagrama ε - N 10.4- Efeito de descontinuidades geométricas 10.5- Análise com uso da Regra de Neuber 10.6- Comentários 11- O EFEITO DE SOLICITAÇÕES MÉDIAS 11.1- Diagramas σ a - σ m 11.2- Concentração de tensão sob tensões médias 11.3- Coeficiente de segurança 11.4- Uso do diagrama ε - N 11.5- Carregamento combinado 12- A PROPAGAÇÃO DE TRINCAS DE FADIGA 12.1- A correlação å - ∆K 12.2- A vida de propagação 12.3- Projeto com tolerância à dano 12.4- Análise do significado de defeitos 12.5- Estimativa de defeitos 12.6- Procedimentos normalizados 13- UMA VISÃO DE CONJUNTO DA FADIGA 13.1- Análise crítica 13.2- Diagrama de desenvolvimento da trinca 13.3- Conclusões REFERÊNCIAS NOMENCLATURA 313 313 327 330 337 344 348 349 357 362 369 373 377 380 380 382 385 388 394 na apresentação da presente edição desta obra. bem como aos Profs. 9. O autor. AEA. que complementaram e revisaram muitos tópicos dos Capítulos 3. Romeu Odilo Trauer e Arno Blass que revisaram o texto. 4. [75]. promovidos seja pelo GRANTE . 10 e 11. seja pela Associação Brasileira de Engenharia Automotiva. O conteúdo deste texto foi também inúmeras vezes utilizado para cursos junto à indústria. quando na forma de apostila. 5. passando no entanto por inúmeras revisões. Com a reformulação do currículo do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina. complementações e correções.UFSC. para realizar uma análise de fadiga. foi introduzida a disciplina de Fadiga e Confiabilidade. . que de uma forma ou de outra colaboraram. gostaria de agradecer ao auxílio dado pelos seus colegas do Departamento de Engenharia Mecânica da UFSC. ocasião em que o conteúdo deste trabalho recebeu a atual estruturação. em especial aos Professores Lauro Cesar Nicolazzi e Paulo de Tarso Rocha de Mendonça. quando foi elaborado um primeiro texto coletando os diferentes enfoques e tecnologias.APRESENTAÇÃO Este trabalho iniciou há mais de quinze anos. à época existentes. . pela determinação mais exata da tensão característica de falha do material. Grande parte dos aspectos apresentados no texto já estão consagrados. em parte por existir um grande volume de informações. Tal permite um melhor conhecimento da real margem de segurança e um uso mais eficiente do material. Outros pontos estão ainda em desenvolvimento. Assim é apresentado um processo integrado de dimensionamento e de análise que procura . em termos acessíveis. dispersas em publicações as mais variadas. havendo um consenso entre os especialistas da área. em parte por serem assuntos relativamente novos e pouco divulgados. Este desenvolvimento. Mecânica da Fratura. Confiabilidade Estrutural e Métodos Numéricos de Análise Estrutural. está sendo pouco aproveitado nos Cursos de Engenharia. sendo que o enfoque apresentado é o que mais se adapta a uma aplicação prática em Engenharia. ainda bastante atuante. bem como de que forma deve ser determinada a margem de segurança necessária. a nível industrial. tornando difícil um primeiro estudo sobre o assunto.vi PREFÁCIO A análise de componentes estruturais sofreu um desenvolvimento bastante acentuado nas últimas décadas. É opinião do autor que o conhecimento atual sobre Fadiga e Mecânica da Fratura atingiu um nível que justifica a publicação deste trabalho. formando um todo consistente. que torna viável o uso imediato destas informações no projeto ou na análise de componentes submetidos a cargas mecânicas ou térmicas. com o surgimento de estudos detalhados nos campos de Fadiga. O objetivo deste trabalho é fornecer um conjunto de informações e métodos de dimensionamento para a análise de resistência de componentes estruturais. visando preencher uma lacuna existente na maioria dos atuais currículos dos Cursos de Engenharia Mecânica e na literatura disponível no País. Como o objetivo da obra é o seu uso como livro texto em um curso de Engenharia. passando a seguir à análise de segurança. esboçados no Capítulo 2. Um dos maiores problemas enfrentados pelo autor foi o de selecionar o material que devia ser incluido no texto. mais baseado na experiência anterior com construções semelhantes. Assim. o material possui uma capacidade de suportar carga que não pode ser excedida. a tensão calculada é usualmente comparada com uma tensão característica do material. A terceira parte trata dos problemas relacionados com uma falha por fadiga. visando o uso deste modelo no projeto e dimensionamento de componentes mecânicos e estruturais. sem risco de falha. do que em uma quantificação que permita afirmar se a estrutura está ou não em segurança.vii aliar precisão de resultados com um roteiro de cálculo prático. Com estas informações é possível definir qual a tensão de falha do material. ou sistema estrutural. Assim. bem como definir qual a tensão admissível a ser utilizada no projeto. usando o mínimo possível de informações das disciplinas de Mecânica dos Sólidos e de Materiais de Construção Mecânica. de um componente. que possa ser usado em nível industrial. O objetivo é permitir a identificação dos possíveis modos de falha de um componente. a partir das condições de uso. Em todo o trabalho é dada ênfase à importância de considerar deformações plástica. pois o volume de informações atualmente disponível é grande. No entanto. em função da maior ou menor responsabilidade envolvida. o conteúdo insere-se entre um curso de Mecânica dos Sólidos e um curso de Elementos de Máquinas. o nível de segurança que existe fica avaliado de uma forma subjetiva. O dimensionamento. não deve ser longa. O enfoque dado ao longo do texto é de. avançando para Análise Plástica e Mecânica da Fratura na segunda parte. e com o nível de segurança necessário. podendo chegar ao ponto de desenvolver um texto completo sobre o assunto tratado em cada um dos capítulos aqui apresentados. Na primeira parte do texto é feita uma revisão sobre as Propriedades Mecânicas dos Materiais e Mecânica dos Sólidos. tanto para fratura como para fadiga. e como uma referência que seja útil aos engenheiros da área. pois o objetivo final aqui é determinar uma tensão admissível com a qual deverá ser feito o projeto preliminar dos diferentes componentes estruturais. Por outro lado. ou análise. formular um modelo que represente de forma adequada o comportamento do material. mas . com o uso dos conceitos de confiabilidade. bem como qual a margem de segurança que deve ser usada. admissível para o tipo de aplicação. Esta seqüência normalmente inicia com a determinação das solicitações devidas ao carregamento que atua e na análise de tensões nas seções mais críticas. envolve uma seqüência de procedimentos intimamente interligados. O objetivo deste trabalho é justamente dar ênfase nestes aspectos. compatível com o modo de falha em estudo do componente. juntamente com o desenvolvimento de tensões residuais e suas conseqüências. conforme detalhado no Capítulo 1. Para aceitar ou não a tensão calculada é necessário estudar o modo de falha do material para o tipo de carregamento que age. o texto muitas vezes corresponde às necessidades ou procedimentos típicos destes tipos de empresas. da Universidade Federal de Santa Catarina. Por outro lado. que podem ser deixados de lado. Finalizando. iniciando diretamente no Capítulo 5. agosto de 2002 . O conteúdo no seu todo é mais extenso do que o necessário a um curso de graduação com duração da ordem de sessenta horas de aula. o autor convida a todos os leitores desta obra a manifestarem a sua opinião a respeito da mesma.viii suficientemente completa de modo a cobrir todos os pontos fundamentais. UFSC. é a ampla possibilidade do uso de calculadoras programáveis. Foi procurado ao longo de todo o texto fazer uma apresentação das informações da forma mais objetiva possível. sem uma maior preocupação com rigorismos matemáticos. em Engenharia Mecânica. ao longo dos anos. bem como certos exercícios propostos. a casos da indústria aeronáutica. como está apresentado. nos Cursos de Pós-Graduação e de Graduação. muitas situações correspondem a casos de sistemas de usinas nucleares. Desta forma. O presente trabalho engloba grande parte da experiência adquirida pelo autor ao ministrar as disciplinas de Confiabilidade Estrutural e de Mecânica da Fratura e Fadiga. O material apresentado na primeira parte é na sua maioria revisão de conceitos. visando a correção de falhas que tenham passado desapercebidas e a um aprimoramento do seu conteúdo. onde procurou-se dar um tratamento homogêneo entre os diferentes enfoques do problema da análise de resistência estrutural. Em outros casos surgem situações típicas da indústria automotiva e em outros ainda. algo como noventa horas. Uma grande vantagem do método de análise.br Florianópolis. bem como o uso de micro-computadores. exigindo. Assim. ou hidrelétricas. tendo em vista a aplicação eminentemente prática que é pretendida. o assessoramento prestado a diversas empresas. exigindo às vezes um conhecimento mais profundo e podem ser deixados de lado em uma primeira leitura.ufsc. apresentam um detalhamento do assunto. Edison da Rosa darosa@emc. referente à análise plástica. ou ainda termoelétricas. bem como a orientação de inúmeras pesquisas nesta área. fornecendo ainda meios para o leitor interessado prosseguir no seu estudo. Alguns trechos. na forma de consultoria. contribuiu sensivelmente para moldar este trabalho. para a sua completa absorção. . O Capítulo 1 situa o problema de análise de resistência mecânica dentro do contexto de um procedimento de projeto de produtos e equipamentos. dando assim uma visão de conjunto do processo. em situações típicas de projeto e o efeito destes modos sobre a confiabilidade do produto. neste é feita uma revisão dos conceitos tradicionais que estão envolvidos com os ensaios de materiais metálicos. O Capítulo 2 enfatiza a necessidade de se definir com precisão todos os modos de falha que podem surgir. Quanto ao Capítulo 3. . englobando os Capítulos 1 a 3.PARTE 1 CONCEITOS INICIAIS Nesta primeira parte são apresentados os conceitos básicos usados efetivamente ao longo do texto. com o objetivo de caracterizar o comportamento mecânico destes. . que são solicitados por cargas e esforços durante a operação. constituindo-se. No caso específico de produtos industriais. produção e controle de qualidade e assistência ao usuário. Este sistema. T . o que em geral envolve toda uma seqüência de atividades. na maioria dos casos. passando pelo projeto preliminar. com um projeto que visa. em componentes estruturais do sistema. este trabalho preocupa-se com os vários aspectos de resistência mecânica que estão habitualmente acoplados com o projeto e a análise de sistemas de Engenharia. desde o início da concepção do produto. ou mesmo quando da armazenagem. logo. planejamento da produção.CAPÍTULO 1 METODOLOGIA MODERNA DE PROJETO radicionalmente o termo Engenharia está relacionado com a criação de algum objeto de utilidade. Praticamente em qualquer tipo de sistema que venha a ser projetado existem componentes cuja função é suportar e transmitir cargas mecânicas. análise. no que diz respeito ao seu desempenho. quando solicitado. deve satisfazer uma série de restrições e especificações. detalhamento. a minimizar o custo total ao longo do período de vida útil. até a sua produção propriamente dita. um dos pontos mais críticos do projeto é o correto dimensionamento para suportar as cargas que irão se desenvolver. Estes componentes devem ser dimensionados de modo a resistir às cargas previstas. De uma forma geral o termo projeto é empregado no sentido de sintetizar um sistema que venha a produzir uma resposta específica. Assim. principalmente se for regido por um conjunto de normas coerentes. temperatura de operação. para aquele tipo de produto. Estes requisitos deverão ser bem elaborados. seu desempenho em serviço. em relação ao mercado consumidor.1 . da forma mais ampla possível. em condições normais de uso ou ainda em condições de emergência. de modo a definir com precisão o que deverá ser o produto. Do ponto de vista do engenheiro de projeto. bem como previsões sobre eventuais sobrecargas devidas a falhas nos componentes. o projeto propriamente dito fica mais fácil. A partir deste ponto é desencadeada toda uma sequência de ações. seu custo de fabricação e operação. pois estes irão orientar todo o desenvolvimento do mesmo. quando de grande porte. Dentre as variáveis de projeto. O grande problema é quando o equipamento não possui os requisitos de projeto ou. para que se tenham informações confiáveis sobre a intensidade do carregamento.O PROCESSO DE PROJETO O desenvolvimento de um certo produto tem início quando existe uma exigência ou quando é detectada uma necessidade. podemos citar algumas das mais importantes como sendo: . o conjunto de todos os fatores que influem sobre a configuração do projeto. cujas falhas tenham elevados custos econômicos ou sociais. Em casos de equipamentos e sistemas de Engenharia de grande responsabilidade torna-se necessário o ensaio de protótipos do equipamento em condições tão próximas quanto possível do real ou a simulação matemática deste. pois muitas vezes deve-se apenas seguir um roteiro préestabelecido. Procurando definir de uma forma ampla. ou especificações do produto. o projetista de processo e o usuário deste sistema. etc. muitas vezes com a necessidade de consultores externos que possuam experiência anterior no tipo de sistema em consideração. quanto à sua funcionalidade e expectativa de vida. No caso particular de um projeto estrutural este deve estar baseado em requisitos de operação do sistema. ou em um conjunto de condições a serem satisfeitas.4 Análise de Resistência Mecânica 1. Estas últimas considerações são relevantes quando se trata de equipamentos de alto custo ou que trabalham em instalações de responsabilidade. Normalmente a definição dos requisitos de um dado equipamento ou sistema de Engenharia. então. Os requisitos do equipamento baseiam-se em condições de operação típicas deste. o engenheiro de projeto trabalha com um grande número de variáveis. que procuram definir. que tem como ponto de partida o estabelecimento dos chamados requisitos de projeto. ciclos de trabalho. ou seja. que formam os requisitos de projeto do equipamento. quando se está elaborando estes requisitos. etc. que formam o chamado espaço de projeto. se existem os requisitos do equipamento e se estes foram elaborados de forma criteriosa. o que deve ser o produto. ou mesmo falhas humanas na operação do sistema. é obtido após discussões entre o fabricante. Propriedades dos materiais usados. pela complexidade do problema.Variação de temperatura durante a operação. Esta quantificação pode.Uma análise de tensões feita com base nos conceitos da Mecânica dos Sólidos clássica apresenta bons resultados apenas quando o componente estrutural se enquadra adequadamente no modelo usado na análise. Esta resistência deve ser compatível com o modo pelo qual o material irá falhar. já que para cada um destes modos o material terá uma propriedade específica. muitas são incógnitas quando da etapa de projeto preliminar. a sua definição exige um maior envolvimento. No caso particular de sistemas estruturais. o problema torna-se ainda mais difícil. Quando. quais sejam: . as dimensões da seção transversal do componente. o componente possui uma geometria mais complexa.Tipos de vínculos e restrições. ou a especificação do tipo de material. momentos e pressão. . existem três fontes bastante distintas de incertezas. . Um dos grandes problemas na Engenharia de projeto é a incerteza que existe na quantificação das variáveis necessárias para o projeto e análise do sistema em questão. Usualmente temse como incógnitas em um projeto preliminar variáveis como. cuidando-se explicitamente como são definidos os modos de falha do componente. pode-se estimá-la razoavelmente. a resistência do material que forma o componente é fundamental.Nível de segurança. sendo necessária a obtenção de dados de campo em muitos casos. no entanto. já que um tratamento mais objetivo fica prejudicado. embora em muitos casos conheça-se ao menos a ordem de grandeza que os valores numéricos devem assumir.Valores máximos de carregamento. . baseada em experiência anterior. Quando a carga é estática.Conhecimento apenas orientativo da magnitude das cargas e esforços que agem sobre o equipamento.Finalmente. ou então pode ser feita uma determinação experimental através de ensaios. como forças. . a precisão dos valores de tensões calculados pelos métodos simplificados da Mecânica dos Sólidos é motivo de preocupação. ou ser estimada por uma análise aproximada. . das variáveis de interesse.Valores nominais de carga. exigindo maior atenção. .Metodologia Moderna de Projeto 5 . por exemplo. Se a carga for de natureza aleatória. pois ela é o termo de comparação para se definir o nível de segurança do componente. No caso de cargas dinâmicas. . . Destas variáveis. a espessura de parede de um reservatório. A figura 1.1 mostra esquematicamente as diferentes etapas em um processo genérico de projeto estrutural.. Um estudo de custo. eficiência. fracamente definidas. com ênfase estrutural.6 Análise de Resistência Mecânica MERCADO REQUISITOS DO PRODUTO CONCEPÇÃO MODELO DO AMBIENTE SIMULAÇÃO DINÂMICA MODELO DE ANÁLISE ANÁLISE DE TENSÕES MODELO DO MATERIAL SIMULAÇÃO DE FALHA MODELO DE SEGURANÇA ANÁLISE DE SEGURANÇA REQUISITOS DO PRODUTO Figura 1. Esta etapa parte de informações que muitas vezes são um tanto nebulosas. A partir deste ponto começa a etapa de concepção do produto.Etapas no desenvolvimento de um produto.1 . limita as várias tentativas e . viabilidade. Esta etapa pode gerar várias alternativas de configuração para o produto bem como diferentes princípios operacionais. que é de início uma primeira aproximação do que deverá ser este produto. partindo de uma solicitação do mercado. etc. que estabelece os requisitos de projeto. 2 . passamos então para o detalhamento do projeto de engenharia. A figura 1.Metodologia Moderna de Projeto 7 alternativas a umas poucas opções.3 ilustra como a partir dos requisitos de projeto do produto é desenvolvido um modelo sobre o que deverá ser o produto. armazenado em disco. A partir deste banco de dados. Muitas vezes ocorre a situação onde já temos um produto em fabricação. seja em 2D ou em 3D. ao menos de uma forma preliminar. e desejamos criar um modelo geométrico deste produto. A figura 1. Em um ambiente de projeto centrado sobre um sistema computacional. deve procurar quantificar as diferentes variáveis que estão relacionadas com o produto. em um enfoque mais restrito ao campo estrutural. MERCADO Figura 1. ou no estágio de protótipo. como uma máquina de medida de coordenadas.Definição dos requisitos de projeto do produto a ser desenvolvido.2 mostra como uma solicitação do mercado gera os requisitos de projeto do produto. . que é o caso mais corriqueiro. o modelo geométrico passa a ficar residente em um banco de dados. a ser realizado ao longo do projeto de engenharia. como um relatório. Este projeto. Uma vez definido o modelo geométrico do produto. algo como duas ou três. através de um equipamento adequado. através da criação de um modelo geométrico. é que o projeto tem continuidade. que tem como forma final um documento. Para tal é necessário então um processo de digitalização do produto. que passam para uma etapa de um maior detalhamento. Isto pode ser feito utilizando-se métodos mais precisos de análise. Este processo de verificação consome a maior parte do tempo de projeto. com uma estimativa inicial das cargas que agem sobre a estrutura e das tensões de falha do material.Concepção do produto e arquivamento do modelo geométrico. Em geral é feito um pré-dimensionamento da estrutura. Com as cargas que atuam na estrutura já determinadas.8 Análise de Resistência Mecânica Figura 1. por meio de uma simulação em laboratório. pode ser feito um prédimensionamento. Em seguida torna-se necessária uma verificação do prédimensionamento. já que ele envolve um número bastante grande de detalhes a ser verificado e calculado. usando um modelo simplificado de análise. é óbvio. é possível realizar o dimensionamento da estrutura ou a verificação do projeto preliminar. tomando por base o projeto preliminar. ou de um protótipo. não apresenta um grau de segurança uniforme. obtido apenas com o dimensionamento. Assim. ou mesmo de um ensaio em campo. de uma forma iterativa. Apenas em estruturas bastante simples o número de variáveis envolvidas é relativamente pequeno. usando a estrutura real definida na etapa anterior. devendo em muitas situações ser refeito várias vezes. .3 . com base nas expressões clássicas da Mecânica dos Sólidos. Uma primeira necessidade é a determinação mais precisa das cargas que agem. com o uso de modelos matemáticos ou através da medida e monitoração das cargas durante a operação do equipamento. Este projeto preliminar. dos principais componentes estruturais do equipamento. Torna-se assim necessário realizar um estudo mais detalhado. de forma a permitir um projeto rápido. muitas vezes podendo pecar por falta ou por excesso. tanto estáticas como dinâmicas. ou projeto preliminar. desenvolve-se um processo iterativo de projeto e verificação. que devem descrever de forma adequada os pontos relevantes quanto ao meio ambiente onde o sistema deve operar. de flutuação dos pneus e alguma outra informação adicional. . das solicitações que agem sobre a estrutura. para permitir uma análise de tensões nestes componentes. Para determinar as cargas dinâmicas pode-se adotar dois caminhos distintos. Uso de um modelo matemático que representa o comportamento dinâmico do sistema. Em geral. é necessário que tenhamos uma idealização do sistema estrutural. o modelo do material procura caracterizar o seu comportamento. de modo a fornecer dados sobre o perfil do terreno. como o uso de modelos de comportamento dos componentes. a situação altera-se bastante em estruturas com movimento relativo ao meio ambiente. O modelo da geometria visa fornecer uma idealização simplificada da configuração dos componentes. etc. através da elaboração de um conjunto de modelos. quanto à curva tensão-deformação. dos níveis de carga nos pontos de interesse. permite a determinação. quanto aos níveis admissíveis de resistência mecânica. de forma a aperfeiçoar o projeto final e eliminar desta forma qualquer erro eventual.Análise teórica. Em outros casos. que podem não representar adequadamente a realidade. Determina as cargas com o equipamento em condições típicas de utilização. Este modelo. Por outro lado. como a idealização de uma viga sob flexão. quanto à geometria deste sistema e também quanto ao material que será utilizado na fabricação das várias partes que formam o sistema. . em conjunto com a idealização do sistema. mas que são complementares na realidade: . para que seja possível o desenvolvimento criterioso de todo o projeto. como por exemplo a temperatura onde o sistema deve operar. 1. Para estruturas estáticas não existem grandes problemas na determinação das cargas. O modelo do meio ambiente pode ter alguma caracterização simples.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS O projeto de uma estrutura requer um conhecimento prévio. como um modelo de elementos finitos tridimensional. No entanto. onde a ocorrência de cargas dinâmicas é habitual. condições de aderência. Assim. ou significativamente mais complexo.Análise experimental. se não exato ao menos aproximado. o modelo do meio ambiente deve incluir uma caracterização do tipo de piso onde o veículo vai trafegar. via simulação. como no caso de veículos terrestres. O modelo da geometria pode ser extremamente simples. para sistemas mais complexos. ou.2 .Metodologia Moderna de Projeto 9 A verificação é necessária porque no projeto preliminar foram feitas várias simplificações. através da integração numérica ao longo do tempo. Para situações mais complexas é necessário recorrer a processos numéricos para obter-se solução.10 Análise de Resistência Mecânica A solução teórica é obtida com o uso dos conceitos da dinâmica. temos informações adequadas para prever o desempenho em operação do sistema. flexibilidade e amortecimento. como forças ou cargas em determinados pontos. e assim obter as informações de interesse. A figura mostra um resultado típico de esforços obtidos desta forma. por uma análise estatística.4 mostra um modelo de simulação de um veículo. PDF.Análise dinâmica de um sistema mecânico. O equacionamento das condições de equilíbrio leva habitualmente a um sistema de equações diferenciais de segunda ordem. Com a solução é possível determinar a resposta deste sistema. Outra possibilidade é o uso de um ensaio experimental. onde buscamos cruzar informações entre o modelo numérico de análise e o modelo . Por outro lado. onde o sistema é idealizado através de um modelo que considera os efeitos relevantes de inércia. PSD. que pode ser resolvido analiticamente no caso de modelos simples. z t β x Registro no tempo f(x) γ θ y t Distribuição estatística FDE (PSD) F f Densidade espectral t Figura 1.4 . bem como a sua caracterização através de uma redução de dados. rodando sobre um terreno irregular. ao longo do tempo. unindo o modelo do sistema com o modelo do meio ambiente. Assim. ou acelerações nestes pontos. através da função densidade espectral. fornecendo a função densidade de probabilidade. e deve ser idealizado e definido na forma de um modelo. A figura 1. o meio ambiente onde o sistema irá operar é uma das principais fontes das cargas que irão atuar sobre o sistema. e por uma análise de Fourier. ou seja. pré-concebida.ANÁLISE DE TENSÕES Em estruturas complexas o processo de análise de tensões deve ser capaz de tratar com formas geométricas e casos de carregamento que não são triviais. porém tem uma grande desvantagem. ou de deformações. de cada frequência contida no sinal. sendo que os principais são classificados como: MÉTODOS ANALÍTICOS O mais simples dos métodos analíticos para a análise de tensões está baseado na metodologia da Mecânica dos Sólidos. o que de uma forma isolada. Com o cruzamento de informações é possível um ganho significativo do conhecimento sobre o sistema. A análise experimental exige o uso de equipamentos adequados para a medida e o registro das grandezas em que existe interesse. Este protótipo é posto a operar em condições análogas às que se espera em serviço e as cargas atuantes são então registradas. o que pode levar a erros. não necessariamente verdadeira. Apenas em casos particulares é que aquelas soluções são corretas.3 . já que parte de uma distribuição de tensões. A área sob a curva da densidade espectral é a energia total do sinal.Metodologia Moderna de Projeto 11 físico ensaiado. o seu valor médio quadrático. desde que analisado de forma correta. em termos de energia. deve ser buscada uma solução para o cálculo das tensões. não seria possível de ser obtido. como por exemplo forças. o que pode ser feito de diversos modos. Com o registro da solicitação é possível compactar os dados usando os conceitos da função densidade de probabilidade do sinal e do espectro de frequência deste mesmo sinal. Para estruturas e máquinas mais complexas o método usual começa a tornar-se muito laborioso e sujeito a erros decorrentes das simplificações feitas no problema para tornar possível a solução. deslocamentos. A função densidade de probabilidade fornece as informações quanto à maior ou menor possibilidade de ocorrer um dado valor do sinal. nada informa sobre a frequência da solicitação. etc. com transdutores de força nos pontos de interesse. O conteúdo de frequência é fornecido pelo espectro de frequência. Assim. A forma mais atual e difundida de transdutores de força são dinamômetros com extensômetros de resistência. Uma análise feita baseando-se nos conceitos da Mecânica . outro dado importante. que indica qual a contribuição. 1. seja em laboratório. que no caso de cargas dinâmicas é fundamental. disponibilidade e responsabilidade da estrutura. momentos. A análise de tensões pode ser feita usando vários métodos. O registro obtido experimentalmente fornece informações valiosas ao projetista. seja em campo. dependendo da conveniência. trabalhando só com o modelo numérico ou só com o modelo físico. ou função densidade espectral. No entanto. A determinação experimental das cargas sobre a estrutura é feita normalmente com um protótipo instrumentado. [103]. Pela relativa facilidade de uso. A estrutura sob análise é dividida em um conjunto de elementos com dimensões finitas. o Método de Elementos Finitos tem uma aplicação cada vez mais abrangente e generalizada. pois alguns minutos de computador fornecem todos os resultados. [Fancello]. Os principais Métodos Numéricos em uso são o de diferenças finitas. Um procedimento mais elaborado pode fazer uso da Teoria da Elasticidade. Estes métodos possibilitam a análise para geometrias quaisquer. com maior exatidão do que se fosse feita uma análise usual. . embora mais trabalhosa. ultimamente. carregamento e condições de contorno. em casos de estruturas complexas. [22]. [23]. Assim. não é possível tolerar imprecisões na análise. tomando por base apenas a geometria. dando assim grande flexibilidade na solução de problemas. solução esta normalmente obtida com auxílio da Mecânica do Contínuo. para então obter o comportamento de toda uma estrutura. pelo Método de Elementos de Contorno.12 Análise de Resistência Mecânica dos Sólidos clássica apresenta bons resultados apenas quando o componente estrutural se enquadra adequadamente no modelo usado para realizar a análise. pessoal especializado para preparar o modelo a ser analisado. seguido de perto. as referências [17]. O Método de Elementos Finitos é um processo numérico que usa a solução de um "elemento" de forma geométrica relativamente simples. desde que disponível o programa de cálculo. o uso de Métodos Numéricos torna-se uma exigência. que estão baseados na Mecânica do Contínuo. a partir do comportamento de um elemento. [31]. a qual procura determinar o campo de tensões e de deformações. existindo várias publicações de excelente nível. ou mesmo impossível de determinar analiticamente. [95]. Devido à limitação dos métodos analíticos é que se desenvolveram os Métodos Numéricos de Análise Estrutural. a solução é exata. pois o contorno deve ser representado através de uma função matemática. para ser utilizado de maneira eficiente. por exemplo. A desvantagem básica é a limitação da forma das peças que podem ser analisados. como a Teoria da Elasticidade e a Teoria da Plasticidade. o de elementos finitos e o de elementos de contorno. MÉTODOS NUMÉRICOS Quando. Assim. [99]. com forma qualquer. O método exige. Esta etapa não está em discussão no presente trabalho. é obtida a solução da estrutura. Formas mais complexas são difíceis de analisar. Mesmo em casos mais simples estes processos podem se tornar atrativos. a qual pode ser difícil. como. consumindo dezenas ou mesmo centenas de horas. Extensômetros de resistência. bem como os resultados típicos que obtemos. A análise experimental pode ser feita utilizando: . determina o campo de deslocamentos na superfície da peça. bem como a holografia. de plástico birefringente. Normalmente o interesse é sobre os deslocamentos da estrutura. necessitando uma análise mais complexa dos resultados. . .Foto-elasticidade. . A figura . específica para o material. bem como uma estimativa das direções principais das tensões que agem. O método de Moiré exige que a peça a ser ensaiada seja previamente gravada com uma malha e. Este efeito gera franjas de interferência. Através de uma calibração. ou então sobre as tensões e deformações nos pontos críticos. Exigem. com espaçamento entre linha da ordem de 10 a 50 µm. O método por emissão térmica utiliza um processo de leitura da temperatura sobre a peça com precisão da ordem de 0.5 mostra um modelo para análise por elementos finitos de uma peça. O método de Moiré. quando carregada. onde foram instalados os extensômetros. temos definida a relação temperatura-tensão e assim gera-se um mapeamento do estado de tensões na peça. que caracteriza o trabalho de deformação gerado em cada ponto e portanto a energia dissipada na forma de calor. A análise dos resultados é bastante trabalhosa. Com o uso de extensômetros de resistência é possível determinar a solicitação. Apresentam como vantagem uma aplicação direta sobre a peça e interpretação bastante fácil dos resultados obtidos. em termos de deformações. que tem o seu plano de polarização alterado. a menos que as deformações sejam grandes. [99]. no entanto. devido ao efeito de histerese. Uma vez conhecido o estado de deformações pode-se obter o estado de tensões no ponto pelo uso da lei de Hooke. um conhecimento prévio de quais são os pontos mais solicitados. A figura 1.Emissão térmica. da peça.Métodos holográficos. ou de igual direção das tensões principais.Metodologia Moderna de Projeto 13 MÉTODOS EXPERIMENTAIS Outra possibilidade para determinar as tensões no material é usar uma análise efetuada diretamente sobre o produto. Maiores detalhes sobre os métodos apresentados podem ser obtidos nas referências [32].001 °C. torna-se necessário o uso de malhas de alta precisão. . Este método é sensível ao valor da tensão equivalente.Método de Moiré. A peça é submetida a um carregamento típico de modo que pode ser obtido um mapeamento da temperatura que o material da peça atinge sob carga. conforme a solicitação no ponto. porém permite obter todo o campo de tensões sobre o modelo. em apenas alguns pontos do componente. Uma análise por foto-elasticidade exige a confecção de um modelo. o qual será carregado e submetido a luz polarizada. desde que o material esteja seguramente dentro do regime elástico. que são linhas de igual tensão cisalhante. obtidos com o modelo numérico. como por exemplo a definição das condições de contorno (engastado. σmáx Extensômetros Modelo numérico Peça real (Strain gages) Figura 1. ou qual a confiabilidade do projeto. atrito. . um ponto crucial é estabelecer as condições de validade dos resultados obtidos pela análise de tensões. dentro do prazo estabelecido para a vida do componente. seja uma análise experimental.Análise de tensões numérica e experimental. apoiado. com os resultados obtidos com o modelo experimental. o efeito de folgas. a região e a intensidade com que a carga externa atua. Em problemas complexos. permite um refino da solução. flexível). qual a margem de segurança existente. Em ambos os casos temos vários aspectos que podem fazer com que o modelo idealizado não corresponda bem à realidade física. o cruzamento de resultados. pela melhor correspondência entre os modelos de análise e a realidade.5 . Com a verificação experimental das tensões nos pontos críticos é possível determinar. seja uma análise numérica.14 Análise de Resistência Mecânica mostra também alguns extensômetros de resistência. Assim. etc. de uma forma mais precisa. tanto para cargas estáticas como para cargas dinâmicas. Quando a solicitação é dinâmica.4 . por uma propagação brusca da trinca. porque os fenômenos envolvidos são distintos. . Esta etapa preocupa-se em determinar a tensão nominal que pode solicitar o material. Em componentes estruturais. que vão crescendo e reduzindo a seção resistente. Atualmente é possível prever a vida de um componente sujeito à fadiga. uma instabilidade. que excitam uma falha por fadiga. dentro de uma faixa estreita. em ambiente não agressivo. que corresponde a uma medida do comprometimento do material para um dado modo de falha. quais sejam: . mesmo para solicitações aleatórias. ou mesmo com a ruptura do material.6 ilustra esquematicamente esta etapa da análise de falha. Isto implica na obtenção das características de resistência mecânica do material. Neste caso o processo usado para definir os ciclos de carga que vão sendo completados passa a ser de importância vital. Esta resistência deve ser compatível com o modo de falha pelo qual o material irá romper. o material deve ter sua capacidade de suportar cargas analisada de diferentes formas.Resistência à falha estática. [86]. [34]. para o material isento de defeitos. onde buscamos definir o que se pode chamar de dano generalizado. já que as dispersões e incertezas são significativas. . pois ela é o termo de comparação para se definir o nível de segurança do componente.Metodologia Moderna de Projeto 15 1. Algumas referências básicas neste tópico são [4]. . Aqui são usados os métodos mais recentes para a Análise de Fadiga. o de nucleação e o de propagação da trinca.ANÁLISE DE FALHA A resistência do material que forma o componente é fundamental. Deste modo. até que uma sobrecarga faz com que ocorra a ruptura final.Resistência à fadiga. Para quantificar este dano devemos utilizar um modelo que descreva o comportamento do material para o modo de falha em estudo. A figura 1. a falha se inicia sempre nos pontos mais solicitados. quando o material possui defeitos. para o período de vida previsto para o componente. para a análise do efeito nocivo de fissuras e eventuais defeitos internos do material. bem como os conceitos da Mecânica da Fratura. esta falha começa na forma de pequenas trincas de fadiga. Para o caso de solicitações dinâmicas.Resistência à ruptura estática. Esta falha pode estar associada a um escoamento. Tal define o tamanho admissível de trinca para não ocorrer a ruptura final do componente. Neste caso é necessário distinguir os dois períodos. levando a variações no dano e logo na vida prevista para o produto. pelo uso de corpos de prova adequados. sem provocar falhas. é necessário um procedimento experimental para validar a análise efetuada. Nesta etapa entram os conceitos de Confiabilidade Estrutural. significativa quando tratamos com ajuste. definindo o dano sobre o material. Esta aleatoriedade ocorre no carregamento que atua sobre o produto. que une os resultados das anteriores com as informações referentes ao grau de segurança necessário. bem como com as dispersões que ocorrem nos dados. é possível desenvolver o projeto com um nível de confiabilidade adequado. . Apenas quando todo o conjunto de informações relacionadas com o produto está disponível.6 . V f ) D = D (σmáx . como também nas propriedades do material. D = D ( ∆K . a ) D=D( VALIDAÇÃO DO MODELO DE FALHA a . sem onerar ou aumentar de forma excessiva os custos. N ε ε t . 1. para definir o coeficiente de segurança ou o fator de projeto adequado. onde o aspecto aleatório das variáveis de projeto é considerado.16 Análise de Resistência Mecânica σ CRITÉRIO DE DANO ε ∆ε ε p.5 ANÁLISE DE SEGURANÇA Finalmente temos a última etapa. As tolerâncias dimensionais são outra fonte de aleatoriedade. τmáx ) D = D ( ∆ε .Análise de falha. ∆K σ Figura 1. N i ) . de uma forma coerente. sempre teremos. f 0 T ) . com a sua função densidade de probabilidade. Quanto à resistência do sistema.7 ilustra de forma esquemática o procedimento. esta também possui alguma aleatoriedade.C D= f ( f S f R . A confiabilidade é definida como a probabilidade de que o sistema não falhe. comparativamente com as flutuações de carga induzidas pelo uso do sistema. devido às heterogeneidades do material. de que a carga venha a exceder a resistência. torna-se necessário inicialmente definirmos com exatidão em que consiste a falha do sistema e quais modos de falha devem ser . mas também pode ocorrer que a vida afete de forma significativa o nível de resistência.7 . Pf D = 1 . ou vida. o importante é reconhecermos a possibilidade. porém é possível trabalhar com as suas características estatísticas. ou seja. Assim. A figura 1. Seja em uma ou em outra situação. Na análise de segurança o objetivo é verificar se o nível de resistência é adequado. Dependendo dos modos de falha que são relevantes. que a carga atuante possui uma distribuição estatística e. a resistência também possui a sua distribuição estatística. se a resistência sofrer uma deterioração ao longo do tempo. imperfeições de fabricação ou montagem.Metodologia Moderna de Projeto 17 ANÁLISE DE CONFIABILIDADE Pf S = 1 . ) MODELOS DE CONFIABILIDADE SOBRECARGA DESGASTE Figura 1.Análise de segurança para falha por sobrecarga e por desgaste. Esta probabilidade pode ser obtida através das distribuições estatísticas da solicitação e da resistência e será tanto maior quanto maior a vida. Considerando a carga variável ao longo do tempo. pode ser que o nível de resistência seja pouco influenciado pelo tempo de uso do sistema.C S= f ( P I. em um dado intervalo de tempo. de igual forma. expressa na forma de uma probabilidade. etc. existe uma imprevisibilidade quanto ao seu valor absoluto. Na análise de segurança. em um dado instante de tempo. 6 . onde as informações geradas em uma etapa formam um banco de dados que vai sendo complementado conforme novas informações vão sendo agregadas pelas novas etapas.O conceito do Computer Integrated Engineering. mas também as atividades experimentais. Neste aspecto não só as atividades baseadas em um modelo numéricocomputacional estão conectadas ao banco de dados. quando foram definidos os requisitos de projeto do produto. ou se deve ser revisado. é essencial.8 . Assim podemos avaliar se o projeto está de acordo com os requisitos.INTEGRAÇÃO NUMÉRICO-EXPERIMENTAL Dentro do moderno contexto de projeto. Esta integração forma então o conceito do CIE. A confiabilidade assim determinada deve ser comparada com os critérios de segurança estabelecidos inicialmente. 1.8 ilustra a situação discutida. Modelo numérico Modelo experimental CAE/CAD/CAM Digitalizador 3D Análise de falha Ensaio CI E Análise numérica Extensometria Análise dinâmica Ensaio dinâmico Figura 1.18 Análise de Resistência Mecânica observados. retornando às etapas anteriores. Para tal a funcionalidade do produto. . sendo portanto liberado para fabricação. Computer Integrated Engineering. estão conectadas ao sistema computacional e logo ao banco de dados. definida nos requisitos do projeto. baseadas em um modelo físico. as diferentes etapas que são seguidas durante o desenvolvimento estão suportadas por sistemas computacionais. A figura 1. a realimentação de resultados experimentais sobre o modelo numérico. Quanto à análise experimental sobre a peça propriamente dita. Isto permite uma análise totalmente integrada sobre todo e qualquer aspecto do projeto mecânico. A integração entre as técnicas de análise estrutural. esta pode passar a sofrer a ação de um ensaio destrutivo. é sempre necessário termos um aguçado senso crítico sobre os resultados obtidos. bem como quanto ao comportamento dinâmico. para uma determinação dos modos de vibração. Como objetivo final deve-se ter a integração entre todos os sistemas de Engenharia. o acoplamento entre um analisador digital de tensões e o sistema CAD/CAM. pode ser controlado digitalmente e assim ser usado para simular condições típicas de uso. . a tendência é o uso de uma integração cada vez maior entre as técnicas analítico-numéricas e as técnicas experimentais. resposta dinâmica a excitações controladas. um sistema de atuadores servocontrolados. Devemos finalmente lembrar que mesmo com o grande desenvolvimento nos sistemas computacionais. experimental e numérica. de modo a estabelecer a vida de fadiga da peça. viabilizando um rápido desenvolvimento deste. quanto aos softwares de simulação. pois estes não são melhores do que o são os dados de entrada para o software. Desta forma o máximo de informações é obtido a partir de uma peça ou de um protótipo desta. melhorando o conhecimento do modelo experimental. otimizando o seu projeto e aumentando a confiabilidade em operação.Metodologia Moderna de Projeto 19 Assim. buscando como objetivo final um conhecimento mais profundo e detalhado do comportamento do produto. ou mesmo condições extremas de operação do produto. permitindo assim um avanço neste. no qual os dados e informações podem ser compartilhados e transmitidos entre os vários sistemas. bem como identificar o melhor procedimento experimental para atingir os objetivos propostos no experimento. bem como a simulação numérica do ensaio. para caracterizar o comportamento da resistência mecânica do sistema geometriamaterial-carregamento. identificação de parâmetros e outras aplicações. Adicionalmente. permite. seja numérico-computacional. para levantamento dos campos de tensões sob várias condições de carregamento. sob condições de carga estática ou dinâmica. até a pouco tempo divorciadas. onde os dados e informações são igualmente acessados por qualquer sistema e o processo iterativo de refino do produto é acelerado. para a aplicação de esforços sobre a peça ou componente mecânico. com indicações sobre o que deve ser esperado como resultados. após o esgotamento dos dados possíveis de serem obtidos com a peça. por exemplo. bem como ainda a simulação das condições de serviço em testes de durabilidade. permite uma verificação experimental para os resultados numéricos obtidos. seja experimento-computacional. juntamente com um software de CAE. Exemplificando. esta pode ser quanto ao comportamento estático. Por outro lado. Estando executados estes cinco passos. Cálculo da solicitação no material. Determinação dos modos de falha prováveis. seja de uma forma seqüencial. Verificação da segurança do projeto. Caracterização do material para cada modo de falha. pelo cálculo da confiabilidade. com uma ênfase bastante grande sobre os últimos desenvolvimentos e técnicas. Resumidamente podemos dizer que todo problema de projeto.7 CONCLUSÃO Este Capítulo apresentou uma visão geral e abrangente sobre os princípios sobre os quais todo e qualquer projeto estrutural está baseado. função do carregamento. quanto à capacidade de carga das diferentes peças e componentes. no caso de grandes projetos. . esta seqüência é o que podemos caraterizar como sendo a metodologia recomendada para o desenvolvimento do projeto. seja de uma forma iterativa. necessita dos passos: Definição do carregamento atuante.20 Análise de Resistência Mecânica 1. abaixo da qual a temperatura ultrapassa os valores toleráveis pelo lubrificante ou pelos materiais sintéticos dos isolamentos.CAPÍTULO 2 MODOS DE FALHA E CONFIABILIDADE falha de elementos mecânicos é um processo que pode assumir as mais distintas formas. A . ou uma voltagem máxima. etc. das condições ambientais. condições ambientais. limitada pela capacidade de isolamento elétrico. etc. Os termos capacidade e demanda foram escolhidos para indicar que o desempenho do componente pode ser limitado de diversas formas. Neste capítulo vamos procurar identificar e descrever sucintamente as principais formas pelas quais um componente mecânico pode falhar. ou tempo de aplicação do carregamento e os modos que dependem do tempo de vida ou de carregamento. tipo do material. ou uma taxa de dissipação do calor gerado. etc. a sua capacidade é inferior à demanda. do material. considerando os modos que não são influenciados pela idade do componente. acima do qual ocorre a ruptura do material. ou seja. De um modo genérico. As formas com que o componente estrutural pode falhar dependem do tipo de carregamento. um valor máximo de carga. cuidados com manutenção. Aqui vamos nos preocupar apenas com os componentes mecânicos e os seus modos de falha mais característicos. como por exemplo. tempo de vida. dependendo do tipo de aplicação. Uma distinção bem marcante pode ser feita. a falha pode ser definida como a incapacidade do componente corresponder à demanda que lhe é exigida. Esta situação engloba uma falha por colapso total do sistema. em que deixa de operar por completo. esta funcionalidade deve ficar muito bem definida quando da determinação dos requisitos de projeto do produto. a falha é simplesmente o fato de que a funcionalidade do produto deixa de ser atendida. ou seja.1 . de uma maneira bastante abrangente.1 ilustra. verificar a ocorrência ou não de uma falha. de forma a permitir. ou excitação. deixa a descoberto a funcionalidade desejada. mas fora de uma faixa tolerada. o desempenho de um sistema pode ser colocado como a resposta que este fornece à uma dada entrada. Deste modo. Assim. . ou seja. Pode ser colocado como a perda da habilidade de executar a função requerida.Representação esquemática de um sistema e a definição de falha. como a figura 2. Generalizando. ou condições em que o sistema continua operando. em decorrência de algum evento. em todas as etapas do ciclo de vida do produto. deixa de atender e desempenhar a função para a qual foi projetado. em que uma dada entrada é transformada em uma saida. a exata definição do que é a falha do produto é fundamental. S SOLICITAÇÃO S RESISTÊNCIA SAIDA v t SISTEMA R Figura 2. DEFINIÇÃO FUNCIONAL DE FALHA A falha é a situação em que o sistema deixa de cumprir seu requisito funcional. resposta do sistema à excitação a que foi submetido. A funcionalidade do sistema é representada pela entrada . O conceito de falha parte então da definição funcional do sistema.saída. desviando-se assim do ponto desejado de operação e comprometendo sua funcionalidade. Definição funcional ENTRADA u v = F(u) Faixa tolerada SISTEMA SAIDA v Resposta nominal u Definição física R. A falha física depende dos valores no tempo de S e R. A falha do produto corresponde ao instante em que este deixa de cumprir a função a que se propõe. na forma v = F(u).22 Análise de Resistência Mecânica Quando do estudo da confiabilidade. ou seja. Para simplificar o desenvolvimento vamos nos restringir a um carregamento estático de tração. nos Capítulos seguintes. muitas vezes S = u.1 . DEFINIÇÃO FÍSICA DE FALHA A falha funcional ocorre porque a capacidade do sistema de suportar uma dada demanda foi excedida. Estes modos se manifestam quando a estrutura em questão sofre uma sobrecarga ou um pico de solicitação. quando a resposta cai fora da faixa tolerada o sistema já deixa de cumprir sua função e logo falhou. Um metal pode ter uma ruptura dútil ou frágil. Já a resistência é uma característica intrínsica do sistema. Uma fratura frágil nos metais é caracterizada por uma grande velocidade de propagação da trinca. a definição física de falha. ou seja. Em geral o processo de desenvolvimento da fratura é dividido em duas etapas distintas. figura 2. 2. na forma de uma ruptura. etc. FRATURA Neste caso vamos considerar inicialmente os modos de falha que levam à ruptura do material. Neste ponto devem ser deixados bem claros os conceitos de fratura frágil e de fratura dútil. qualquer que seja a vida ou tempo de uso do produto considerado. com pequena deformação plástica. levando a uma falha na forma de uma ruptura. sendo que alguns são detalhados ao longo do texto.2. A solicitação está diretamente ligada à entrada u. ou um empenamento. que leva à ruptura. R. Uma fratura dútil é caracterizada por uma apreciável deformação plástica na nucleação e na propagação da trinca. dependendo da temperatura. ou qualquer outra causa ainda. mesmo em um nível microscópico. Assim. ou uma falta de rigidez. à separação do sólido em duas ou mais partes. ou pode ser um desgaste excessivo. estado de tensões e velocidade de carregamento. não é suficiente para suportar a solicitação. Uma deformação plástica em nível macroscópico é também encontrada nas superfícies de falha. a falha é definida pelo evento S > R. Para entendermos melhor o que ocorre com o sistema na condição de falha é necessário introduzir o conceito de modo de falha. Isto deve-se à necessidade de diferenciar uma classificação que pode ser quanto ao aspecto macroscópico da fratura. início da fratura e propagação desta. dependendo de como este é construido. S. Uma fratura pode ser classificada em duas categorias gerais.Modos de Falha e Confiabilidade 23 Com esta definição de falha. dimensões. o que em problemas estruturais pode ser colocado na forma de que a resistência do sistema. A causa desta falha pode ser realmente um colapso.MODOS DE FALHA INDEPENDENTES DO TEMPO Os modos de falha tratados como independentes do tempo são os que possuem igual probabilidade de ocorrer. . materiais. fratura dútil e fratura frágil. Os principais modos de falha deste tipo estão comentados logo a seguir. com a continuidade da deformação plástica. Os modos dúteis de fratura ocorrem como resultado de uma extensiva deformação plástica. uma ruptura macroscopicamente dútil possui elevadas deformações plásticas. O modo de falha por crescimento de vazios ocorre quando a deformação plástica atinge um nível tal que os vazios originados nas impurezas do material passam a coalescer. O resultado é a familiar fratura tipo cone e taça.2. a deformação plástica produz uma redução na seção transversal. macroscopicamente a falha pode ter uma aparência frágil. O critério de ruptura dútil por cisalhamento é dado pela expressão (2. crescimento e coalescimento de vazios é expresso pela equação (2.24 Análise de Resistência Mecânica ou quanto ao mecanismo metalúrgico envolvido. como ilustrado na figura 2. levando à ruptura da região central. extendendo-se após por cisalhamento. de metais moderadamente dúteis. ao menos a nível microscópico. A discussão que segue diz respeito ao comportamento microscópico associado ao mecanismo metalúrgico de falha.2). formando uma trinca de dimensões comparáveis com a geometria do componente. provocando um estado triaxial de tração no interior do material. Esta nucleação passa a uma etapa de crescimento destes vazios. no centro do material.1) e o critério para uma ruptura dútil por nucleação. τ ≥ τE (2. medido pela relação σ m / σ eq. Embora o mecanismo metalúrgico de ruptura seja dútil. logo no aspecto microscópico.1) ε ≥ ε∗ = f (σ / σ ) f m eq (2. até o instante em que os vazios começam a se unir. bem como à curva tensão-deformação do material. em torno de impurezas. Assim. Esta triaxialidade diminui a capacidade de deformação plástica e a ruptura pode processar-se por um mecanismo de nucleação de vazios.2) . FRATURA DÚTIL Corpos policristalinos de metais muito dúteis podem se deformar plasticamente até que a seção transversal fique reduzida a um ponto. Esta deformação plástica crítica é altamente sensível ao estado de tensões a que a região está sujeita. seja por crescimento de vazios seja por cisalhamento. Já uma ruptura microscopicamente dútil pode ser macroscopicamente dútil ou frágil. Já para a ruptura sob tração. a qual não pode ultrapassar a tensão crítica de clivagem.3) τ σ m / σeq σcl ε* f σ γ 1/3 ε CISALHAMENTO τ > τE CRESCIMENTO DE VAZIOS ε > ε*f CRESCIMENTO COM CISALHAMENTO CLIVAGEM σ1 > σcl Figura 2. sendo este um plano atômico da rede cristalina. enquanto a ruptura por cisalhamento. devido à reflexão da luz nos planos de clivagem expostos. O critério de falha na ruptura frágil é dado pela máxima tensão normal que atua no material.Mecanismos de ruptura de corpos de prova sob tração. o critério de ruptura frágil é: σ 1 ≥ σ cl (2. quando observada com pequena ampliação. se mostra cinzenta e fibrosa. Quando esta tensão ultrapassa um valor crítico tem início o processo de ruptura.2 . a superfície rompida apresenta uma ruptura mista. σ 1. Em geral.Modos de Falha e Confiabilidade 25 FRATURA FRÁGIL Uma ruptura metalurgicamente frágil é caracterizada pela separação das duas porções do material segundo um plano perpendicular à tensão de tração. A superfície rompida por clivagem aparece brilhante e granular. com uma fração da área fraturada de modo frágil e o restante de modo dútil. sendo controlado pelas tensões de tração que agem perpendicularmente ao plano cristalográfico de clivagem. Este é o chamado mecanismo de ruptura por clivagem. Assim. σ cl. . no entanto. . o qual não pode ultrapassar um valor crítico. que em muitas situações o material da peça possui defeitos no seu interior.4) σ eq máx = σ E PLASTIFICAÇÃO GENERALIZADA (2. para garantir um nível de deformações baixo e recuperável. é mais realista considerar como falha a situação em que ocorre uma plastificação generalizada na seção crítica. provavelmente localizada em detalhes que levam a uma concentração de tensão.26 Análise de Resistência Mecânica FRATURA NA PRESENÇA DE DEFEITOS Os dois modos de falha por ruptura acima discutidos consideram o material isento de defeitos macroscópicos. Outro exemplo é quando se necessita de precisão de posicionamento do mecanismo que está sendo projetado. Esta carga é também chamada de carga de colapso plástico. considerar como critério de falha o início de escoamento é muito conservativo. K IC. Em qualquer uma das duas situações o problema de analisar a ruptura do material deve ser feito com o uso das ferramentas e conceitos da Mecânica da Fratura. K I. Outro caso típico é o de dispositivos de medição e de controle dimensional. este modo de falha passa a ser muito conservativo. Nestes casos o início de escoamento já caracteriza a falha do componente. como no caso de eixos de alta velocidade. por exemplo. como discutido nos Capítulos 6 e 7. Assim. sejam defeitos oriundos do próprio processo de fabricação. A Mecânica da fratura define o fator de intensidade de tensão. Ocorre. A falha ocorre no ponto mais solicitado da peça e assim o critério de falha é: (2. condição em que a capacidade de suportar carga fica esgotada. uma propriedade do material da peça. de modo a manter o balanceamento em serviço.5) No caso de aplicações em que pode ser tolerada uma deformação plástica. em que a rigidez é fundamental e as tensões devem ser bem inferiores à tensão limite de escoamento. que caracteriza a solicitação no extremo da trinca. sejam defeitos que surgiram pela operação em serviço. não sendo econômico. denominado tenacidade à fratura. onde um pequeno escoamento pode provocar uma deformação permanente na geometria e levar a uma conseqüente perda de precisão do dispositivo. O critério de falha neste caso é: K I ≥ K IC INÍCIO DE ESCOAMENTO Em muitas aplicações é necessário que o material esteja integralmente dentro do regime elástico. Para situações em que um pequeno escoamento nos pontos de concentração de tensão não é problema. Esta é uma hipótese conservativa. ou solda.6). alterando a geometria. que deve se verificar para todo e qualquer ponto da seção transversal analisada. quando a instabilidade fica restrita a uma deformação local nas paredes da peça. difundindo-se pela estrutura cristalina do material. onde novos átomos vão chegando. devido ao seu diâmetro muito pequeno. Este é um critério de falha em que o cálculo de uma tensão máxima no ponto mais solicitado do material não é significativo. FLAMBAGEM A falha por flambagem ocorre quando temos uma combinação crítica de rigidez da combinação estrutura-sistema de aplicação de carga. na qual os deslocamentos transversais passam a crescer de uma forma significativa.Modos de Falha e Confiabilidade 27 Outra possibilidade é admitir um certo nível de deformação plástica no ponto mais solicitado. como no caso de tratamentos de galvanização. . Neste caso a falha tem início quando átomos de hidrogênio são liberados. mesmo com carga constante. Se o hidrogênio penetra no material em consequência do ambiente de trabalho. este modo de falha pode ser encarado como dependente do tempo. σ eq = σ E FRAGILIZAÇÃO POR HIDROGÊNIO (2. com a formação de um estado de tensões de tração. O acúmulo de moléculas faz com que a pressão gerada no material atinja valores extremamente elevados. Estes átomos acomodam-se em certos pontos do material. da ordem de 0. mas que pode levar após a um colapso a nível global da estrutura. como no caso clássico de colunas. adotar o nível da deformação de início de escoamento. que agora não tem mais mobilidade dentro da rede cristalina. com a peça. apenas armazenada. Nesta situação a falha fica caracterizada por uma plastificação que ocorre sobre um volume finito do material. Como exemplo. Este modo de falha é característico de estruturas esbeltas nas quais ocorrem tensões de compressão. gerando assim uma molécula de hidrogênio H2. o que compromete sua operação em serviço. ou então em consequência do ambiente de trabalho. Neste caso o critério de falha pode ser escrito como na equação (2. que pode levar o material a sofrer uma ruptura espontânea. Neste caso pode ocorrer uma ruptura sem razão aparente. por exemplo.002. Neste caso a peça perde a sua forma original. A instabilidade que leva à falha por flambagem pode ocorrer de um modo global. logo sem encruamento. pelas suas dimensões. ou de uma forma local. combinando-se com os existentes. No modo de falha por plastificação generalizada se considera que o material é do tipo elasto-plástico ideal.6) Um modo de falha que em certos aspectos se assemelha a uma corrosão sob tensão é a fragilização por hidrogênio. 2 . O processo de nucleação da trinca de fadiga depende das tensões cisalhantes cíclicas que atuam.28 Análise de Resistência Mecânica DEFORMAÇÃO ELÁSTICA EXCESSIVA Em muitas situações práticas as tensões que se desenvolvem no material são relativamente baixas. Temos vários modos de falha que podem ser considerados como dependentes do tempo. vai crescendo. porém todos estes modos de falha são caracterizados por algum tipo de envelhecimento ou desgaste do material. dependendo do modo de falha. FADIGA A fadiga é um processo de redução da capacidade de carga de componentes estruturais pela ruptura lenta do material. Ocorre no entanto que cargas adicionais. fazendo com que a funcionalidade da peça fique pouco a pouco comprometida. enquanto que para a propagação são importantes as tensões de tração. No entanto a peça ou estrutura pode vir a falhar por uma flexibilidade excessiva. A fadiga ocorre pela presença de tensões que variam com o tempo. Isto é traduzido como uma perda gradativa das propriedades que tornam o material adequado ao uso pretendido. que fazem com que as pequenas trincas que foram nucleadas venham a crescer e levem à ruptura final. acima de um máximo admissível. Estas deformações levam a uma deterioração do material que dá origem a uma trinca de fadiga que. não levando o material a nenhum modo de falha que comprometa a sua resistência mecânica. levando a deslocamentos inaceitáveis. que provocam deformações plásticas cíclicas localizadas nos pontos mais críticos. com o prosseguimento do carregamento variável. Como os mecanismos que atuam na nucleação e na propagação são distintos. . é necessário usar critérios diferentes para avaliar uma falha por fadiga na nucleação e na fase de propagação. que age em uma direção. até atingir um tamanho suficiente para provocar a ruptura final. 2. Nestes casos se torna necessário atuar sobre a rigidez do projeto. onde os deslocamentos passam a ser muito grandes.MODOS DE FALHA DEPENDENTES DO TEMPO O tempo de uso do produto pode afetar a falha de componentes das mais variadas formas. Este caso pode ocorrer facilmente quando adota-se seções relativemente esbeltas para suportar a carga. desgaste. como devido a uma excentricidade. ou também chamados de modos de falha por envelhecimento ou ainda. podem surgir em direções diferentes. através do avanço quase infinitesimal da trinca a cada ciclo de carregamento. Logo a seguir são discutidos os mais importantes. Como os materiais não metálicos não exibem esta propriedade. Este eletrólito é usualmente uma solução aquosa de um sal. a existência de uma carga média faz com que as deformações plásticas sejam direcionadas no sentido da carga média. para um dado material. em cada ciclo de carga as deformações plásticas não são simétricas. Numa situação como esta. Este tipo de corrosão difere da corrosão tradicional por dois aspectos básicos. Todos os outros fenômenos de corrosão envolvendo reações químicas entre o metal e um líquido. Em segundo lugar. Neste caso a aparência externa do material não evidencia a degradação que o material sofre. Em primeiro lugar. a chamada corrosão sob tensão. No caso dos metais o ataque ocorre quase sempre por uma ação eletroquímica. o meio ambiente que provoca a corrosão sob tensão no material é um meio com composição química particular. a corrosão ocorre apenas em pontos muito localizados. devida à característica estrutural dos metais. para aquele tipo de material. que não é um eletrólito. CORROSÃO A corrosão pode ser definida como a destruição de um corpo sólido por uma ação química ou eletroquímica não intencional. Este ataque localizado vai penetrando. podendo comprometer a capacidade de carga da peça pelas trincas que se formam a partir dos pontos de ataque. Deste modo. que permite fenômenos como o movimento de elétrons dentro da rede cristalina. que invariavelmente inicia na superfície do corpo. a corrosão sob tensão ocorre apenas em certas combinações de material e meio ambiente. resultante da diferença entre o escoamento em um e outro sentido. de todos os meios agressivos que levam a uma corrosão. Muitos fenômenos de corrosão são em essência eletroquímicos e envolvem a presença de um eletrólito em contato com o metal. em decorrência da carga média. ou gás. CORROSÃO SOB TENSÃO A superposição de um esforço mecânico com um meio ambiente agressivo ao material pode levar ao surgimento de um outro tipo de corrosão. pela distorção final que resulta após um certo número de ciclos. cada ciclo de carga provoca uma pequena deformação plástica. deformação esta que vai se acumulando até inviabilizar o uso da peça ou do produto. desde que somada a . que vem assim a ativar o processo. eles podem ser atacados apenas pelos meios corrosivos capazes de reagirem quimicamente com eles dentro de certas condições. são classificados como corrosão a seco. como por exemplo nos contornos de grão. apenas uns poucos provocam uma corrosão sob tensão. ácido ou álcali e conseqüentemente este tipo de corrosão é denominado úmido. produzindo um efeito de deformação progressiva da peça. Isto significa que. Desta forma.Modos de Falha e Confiabilidade 29 DEFORMAÇÃO PLÁSTICA PROGRESSIVA Quando a peça sofre um carregamento cíclico de magnitude tal que o material experimenta deformações plásticas. Este último caso foi praticamente eliminado nos equipamentos atuais pelo uso de um acabamento esmerado nas superfícies duras. seja por arrancamento de metal por partículas mais duras. um por deformação excessiva da estrutura e outro por ruptura do material.30 Análise de Resistência Mecânica esta combinação tenhamos a ação de um estado de tensões. Outro problema é a oxidação. que colidem com este. presente no material. . que se tornam operantes a temperaturas da ordem de 0. metais encruados irão recristalizar e sofrer um crescimento de grão. mesmo que o carregamento seja mantido constante. Estes mecanismos passam a provocar no material uma deformação irreversível que cresce de forma constante com o tempo. DESGASTE Aqui nos referimos ao desgaste do material. enquanto que as ligas endurecidas por precipitação podem sofrer um super envelhecimento e perder resistência devido ao crescimento das partículas de segunda fase. A velocidade com que a deformação ocorre depende tanto da temperatura a que o material está submetido como do nível de tensão aplicada. O desgaste abrasivo pode ocorrer pela presença de partículas duras entre as duas superficies em atrito ou então pelo contato de uma superfície dura e áspera sobre outra mole. sendo TF a temperatura absoluta de fusão do material. FLUÊNCIA Para componentes que operam a temperatura elevadas temos a presença de outros mecanismos de falha. onde a principal variável é a dureza do material. Em uma análise mais detalhada a fluência pode levar a dois modos de falha. Nestas temperaturas novos mecanismos de deformação podem se tornar ativos.35 a 0. O segundo tipo de desgaste é o tipo abrasivo. Neste último caso uma técnica muito usada é pela definição do chamado parâmetro de Larson-Miller. por remoção deste. seja através do processo de aderência e remoção de partículas do material de um dos elementos do par de atrito para o outro. mesmo na ausência de cargas externas. ou seja.70 TF e superiores. que se torna sensivelmente mais ativa a altas temperaturas. Este estado de tensões pode ser proveniente dos esforços de operação. Outro fator a considerar é o efeito de uma exposição prolongada à alta temperatura sobre a estabilidade metalúrgica. O primeiro tipo de desgaste é denominado de desgaste adesivo e depende muito das condições de lubrificação e também da compatibilidade dos dois metais em contato. ou produzido por um estado residual de tensões. tratado de uma forma subjetiva. pelo uso de um fator de projeto calculado adequadamente. com custos bastante elevados. quanto ao tipo de solicitação atuante. para não dizer empírica. O enfoque proposto para a análise de segurança faz uso dos conceitos probabilísticos. com métodos precisos na determinação da performance estrutural. mas que variam dentro de um certo intervalo. e quanto aos requisitos da segurança em operação. como os veiculares. No método clássico a probabilidade de falha do projeto fica oculta por um coeficiente de segurança. para fazer frente a estas novas situações. aplicações em casos diferentes do habitual e o uso de modernas ferramentas de projeto. A metodologia desenvolvida pode ser aplicada de uma forma bastante simples. possuem características peculiares. Por outro lado. Com a exigência sempre crescente de competividade.3 CONFIABILIDADE O projeto de sistemas e componentes estruturais de muitos sistemas mecânicos. o que implica em uma grande responsabilidade por parte do projetista. excitando dinamicamente a estrutura. em geral na forma do tradicional coeficiente de segurança. o procedimento tradicional de projeto mecânico deve sofrer significativas reformulações. é simples e fácil de empregar. ou então em uma etapa de avaliação do projeto. e menores prazos de desenvolvimento do produto. de forma a fornecer uma ferramenta suficientemente potente para resolver situações onde a solicitação é aleatória. como os sistemas CAE/CAD/CAM. A diferença fundamental entre o método clássico do projeto mecânico e o enfoque probabilístico consiste no fato de se admitir neste último uma probabilidade de falha. em que um mínimo de peso. mas peca pela falta de um maior rigor no tratamento quantitativo das variáveis de projeto. ainda hoje. Esta segurança deve ser traduzida em parâmetros de projeto. permitindo uma criteriosa avaliação do nível de segurança existente ao longo da vida do produto. admitimos a existência de uma chance de falha. com o uso de um coeficiente de segurança. em termos de desempenho de produto. tipicamente dinâmica e imprevisível. extrema segurança e confiança no desempenho são exigências primordiais. tornou-se clara com um uso cada vez maior de sistemas com requisitos de alto desempenho. Nestes tipos de aplicações. . O assunto deste capítulo procura enfocar um dos pontos que é. A necessidade de estabelecer uma base mais racional. quando no desenvolvimento do projeto preliminar. que é da caracterização dos níveis de segurança adequados a um dado projeto. ou ainda com métodos experimentais.Modos de Falha e Confiabilidade 31 2. como o método de elementos finitos ou de elementos de contorno. com o enfoque probabilístico. A teoria clássica de projeto ignora o fato de que muitas variáveis em Engenharia não são valores perfeitamente definidos. onde pode ser acoplada diretamente com os modernos métodos numéricos de análise de tensões. redução de custos. O processo clássico de projeto. de uma maneira mais condizente com a realidade. o caminho mais aceitável para trabalhar com as variáveis de projeto é adotar um procedimento probabilístico. está relacionado com a confiança sobre um projeto executado. a confiabilidade é: C(t) = N(t) / N 0 Introduzindo o conceito de taxa de falhas. de escolha um tanto arbitrária.32 Análise de Resistência Mecânica O termo confiabilidade está intimamente ligado à confiança em algo. esta pode ser expressa. ou sistema. de modo aproximado. podendo assumir qualquer valor. após um certo tempo de operação. Desta definição vemos que três fatores são relacionados com a confiabilidade. h(t) = ∆ N / N(t) / ∆ t . A segurança de um sistema estrutural é habitualmente obtida através de um coeficiente de segurança. na unidade de tempo. operando dentro dos limites de projeto. pois apenas em raras ocasiões o projetista conhece com exatidão o valor de todas as variáveis de projeto. dentro das condições de agressividade do meio". para um conjunto de produtos idênticos postos a operar. O uso de uma margem de segurança se faz necessário. se a precisão de seus resultados for diluida pelo uso de fatores empíricos. teremos um número de produtos ainda operacionais N(t). Assim. o qual pode ser então colocado como: "Confiabilidade é a probabilidade de que um componente. menor ou igual ao número inicial. de escolha arbitraria. No caso do projeto em Engenharia. N 0. através de um fator de projeto. considerando um conjunto com N 0 produtos idênticos. Em segundo lugar tem-se o período de vida e em terceiro lugar. como sendo a fração destes produtos que ainda é operacional. Da teoria da confiabilidade. um dos objetivos da análise de confiabilidade é justamente definir a margem de segurança a usar. em primeiro lugar a definição do que é a falha do sistema. não falhe durante o período de tempo previsto para a sua vida. postos a operar em iguais condições de trabalho. h(t). É conveniente neste ponto definir com precisão o termo confiabilidade. que são. como a fração de produtos que falham. Assim. e considerando que durante um intervalo de tempo ∆ t falham ∆ N produtos. podemos escrever. O coeficiente de segurança real que existe é tratado como uma variável aleatória. o meio ambiente onde o produto foi posto a operar. no instante de tempo considerado. Tal pode ser traduzido pela segurança do projeto quando em uso. para um instante de tempo qualquer. baseados em considerações as vezes pouco relevantes. uma análise feita com todo o cuidado e rigor pode ficar desprovida de valor. Por outro lado. Assim. O fator de projeto é determinado a partir das dispersões das variáveis de projeto e do grau de segurança necessário. definido como a relação entre os valores médios da resistência e da solicitação. ∫ h(t) dt ] (2. falta de lubrificante. O comportamento típico da taxa de falhas em função do tempo está ilustrado na figura 2. que inicia após o instante t 1. Estas falhas são decorrentes de produtos que foram colocados em operação. por problemas de peças fora de tolerância. etc. Assim. ou períodos de vida bem distintos. na média.3. ou de infância. chegamos a h( t ) = − dC( t ) 1 dt C( t ) Desenvolvendo esta equação obtemos uma expressão para a confiabilidade. montagem errada.Curva típica da taxa de falhas função do tempo. como C(t) = exp [ .7) A taxa de falhas pode ser pensada como a fração de produtos que falham. a .3 . folgas e calibração erradas. por unidade de tempo.Modos de Falha e Confiabilidade 33 e aplicando a expressão da confiabilidade. mas que estão fora das especificações. onde o produto apresenta um percentual elevado de falhas. No primeiro período temos as chamadas falhas prematuras. a partir da taxa de falhas. a gestão da qualidade é que atua sobre a intensidade da taxa de falhas. para ∆ t ⇒ 0. A taxa de falhas tem sua curva característica dividida em três regiões. esta região tem como ponto central a qualidade do produto. ou seja. h(t). No segundo período. h(t) Controle de qualidade Projeto do produto Política de manutenção λ I t1 II t2 III t Figura 2. ultrapassa pela primeira vez a capacidade deste mesmo sistema. para que iniciem a atuar. dependentes do tempo de operação do produto. sendo portanto mais prováveis de ocorrerem conforme a vida vai aumentando. ou ainda de modos de falha por chance. Estes modos de falha correspondem aos modos de falha dependentes do tempo. levando-o à falha. assumindo um valor mínimo. a solicitação atuante. que necessitam de um certo tempo de vida para ativar os mecanismos de deterioração. Estes modos de falha começam a se manifestar apenas após o instante t 2. C(t) = P [não ocorra falha para vida < t] onde a não ocorrência de falha implica que o sistema não venha a falhar por nenhum dos modos de falha possiveis de ocorrerem. seja um dos modos por sobrecarga ou um modo de falha por desgaste. Neste período as falhas ocorrem de uma maneira totalmente aleatória. A avaliação da confiabilidade para um produto é feita considerando que. Estes modos atuam em geral quando a demanda que é exigida do sistema. onde as peças mais sensíveis a um ou outro modo de falha dependente do tempo começam a comprometer o desempenho do produto. Isto está relacionado com o grau de segurança que o produto possui. flambagem. em serviço ou não. Assim. ou em outras palavras. ou seja. também designados de modos de falha independentes do tempo.34 Análise de Resistência Mecânica taxa de falhas tem um comportamento que é praticamente constante. como consequência de sobrecargas eventuais que o produto sofre. plastificação. ou seja. ou por sobrecarga. ou seja. seja nos primeiros cinco minutos de operação do produto. ela é a probabilidade de que não ocorra uma falha. etc. são também chamados de modos de falha por acúmulo de dano ou por envelhecimento. decorrência da vida deste. O valor da taxa de falhas depende aqui da distância relativa entre os níveis de solicitação e de resistência do produto. Esta é a região de desgaste. Estes modos caracterizam-se por necessitar um certo tempo de operação do sistema. Os modos de falha por desgaste. o terceiro período corresponde ao início da deterioração de certas propriedades dos materiais que formam o produto. Os modos de falha que ocorrem são os modos de falha independentes do tempo. para uma dada vida. correspondente ao instante de tempo t. são os modos que caracterizam-se por terem igual probabilidade de ocorrerem. Estes modos atuam na . a sua resistência. Os modos de falha por sobrecarga. Finalmente. a confiabilidade depende diretamente do projeto do produto. onde a taxa de falhas é denominada de taxa média de falhas. seja nos últimos cinco minutos da vida deste produto. Esta categoria engloba os modos de falha por ruptura. Esta região corresponde ao período de vida útil do produto. λ. Neste período a política de manutenção é essencial para garantir uma confiabilidade adequada. A figura 2. função dos requisitos do produto.8) sendo CS(t) a confiabilidade para os modos de falha por sobrecarga e CD(t) a confiabilidade para os modos de falha por desgaste. onde S(t) é a variável aleatória da solicitação e R(t) é a variável aleatória correspondente à resistência do sistema no instante considerado. como solicitação que atua no componente. com uma degradação crescente nas propriedades dos materiais empregados na fabricação do sistema.4 ilustra o comportamento que se pode esperar para S(t) e R(t). como a resistência do componente à cada modo de falha. Esta categoria engloba as falhas por desgaste. Diz-se que se trata de uma falha por sobrecarga.Modos de Falha e Confiabilidade 35 forma de uma redução gradativa das propriedades dos materiais que formam as diferentes peças do sistema. CONFIABILIDADE PARA FALHA POR SOBRECARGA Para a falha por sobrecarga passam a ser relevantes. que influem diretamente sobre sua capacidade. CD(t) (2. MODELOS PARA FALHA POR SOBRECARGA Quando um sistema é solicitado por um carregamento aleatório. por corrosão sob tensão. por corrosão. A variável R(t) vai sofrendo o efeito do tempo de uso do equipamento. envolvendo diferentes modelos para caracterizar tanto o carregamento que atua. para cada uma das duas categorias. são feitas de forma independente. por fluência. De uma forma geral é possível dizer que a confiabilidade é dada por C(t) = CS(t) . devemos analizar como que a falha do produto se relaciona com os modos de falha das peças. por fadiga. que foram gerados quando do início do desenvolvimento do projeto. Uma cuidadosa definição do que consiste a falha do produto deve ser realizada. bem como por um aumento na faixa de dispersão dos valores da resistência. Esta degradação é traduzida por uma redução dos níveis de R(t) com o tempo. O objetivo passa a ser agora o de detalhar os modelos de falha por sobrecarga. os pontos de máximo do . para permitir o cálculo da confiabilidade correspondente. possui como possibilidade de falha mais provável um modo em que a falha se caracteriza pelo evento S(t) ≥ R(t). pois a análise de resistência mecânica bem como a análise de confiabilidade. Adicionalmente. considerando as características específicas de cada uma. conforme discutido no Capítulo 1. que vão permitir o cálculo da confiabilidade do sistema para os modos de falha que se enquadram neste caso e após. etc.4. 2. para permitir uma análise de resistência e de confiabilidade consistentes. apresentar os modelos de falha por desgaste ou acúmulo de dano. Esta divisão entre os modos de falha é fundamental. Desta forma. Com a caracterização dada pela figura 2. mas sim porque um pico da solicitação ultrapassou a resistência.Probabilidade de que ocorra a falha . Deste modo. atingiu o valor da resistência. De modo a desacoplar os efeitos de uma falha por sobrecarga com os efeitos de degradação da resistência. a probabilidade de que este valor tenha atingido o nível da resistência. por sobrecarga. calculada como PI = P [ S ≥ R ] e usando as distribuições estatísticas dos máximos da solicitação e da resistência. a probabilidade de interferência corresponde ao que se denomina na teoria da confiabilidade de caso fundamental. com a resistência não degradando-se com a vida. além da distribuição dos máximos desta solicitação. seja analitica ou seja numericamente. que são decorrentes dos modos de falha por envelhecimento. sendo portanto constante no tempo. onde é estudado o efeito de uma única aplicação de carga.36 Análise de Resistência Mecânica carregamento. a probabilidade de falha para cada sobrecarga será PI (caso fundamental) e assim. Isto é decorrência do fato de que a falha ocorre não porque o carregamento. já raciocinando em termos de máximos do carregamento.PI . Para uma solicitação dinâmica. .4 a probabilidade de interferência é função do tempo. é necessário agora considerar as peculiaridades de cada caso. num dado instante. Estes máximos é que serão considerados como a solicitação que atua sobre o carregamento mecânico. é denominada de probabilidade de interferência. para os modos de falha por sobrecarga. Como o interesse é para uma solicitação dinâmica. as informações relativas à freqüência com que estes máximos ocorrem passam a ser também fundamentais. será considerado que R(t) não é afetado pela vida. é a própria probabilidade de interferência. dependendo do caso. para cada aplicação de carga. Analisando um único ponto de máximo. e portanto leve à falha. Para este caso a probabilidade de falha do sistema. PI . é relevante a distribuição estatística dos máximos do carregamento. Para outras situações. que atua várias vezes ao longo do tempo. já que a resistência do material sofre uma degradação.Probabilidade de que não ocorra a falha PI 1 . pode ser calculada. Modos de Falha e Confiabilidade 37 FALHA ? R(t) S(t) t Figura 2. então a equação da confiabilidade fica sensivelmente simplificada. passa a ser constante. que a solicitação seja um processo estocástico. que as propriedades estatísticas de S(t) não variem no tempo. sobre um intervalo de tempo. denominada de taxa média de falhas e portanto C(t) = exp [ . portanto.4 . Como o interesse é em geral sobre o tempo de vida até a primeira falha. em um sistema com degradação da resistência. chega-se assim a uma distribuição de Poisson. este tempo passa a seguir uma distribuição exponencial. para zero.λ t ] (2. já que a taxa de falhas.9) A taxa média de falhas é dada pela probabilidade de ocorrência dos eventos de Bernoulli. ou seja. que fornece a probabilidade de ocorrer um certo número de falhas para uma dada vida. pela probabilidade de interferência do .7). equação (2. Considerando agora a função como variável no tempo. com indicação de um provável ponto de falha. Esta situação é caracterizada estatisticamente através de uma distribuição de Bernoulli e se a ocorrência dos picos for repetida um número N de vezes. e se este intervalo de tempo for levado ao limite. estacionário e ergódico. Isto é válido quando se considera. desde que em cada novo pico a probabilidade de falha permaneça igual. o que leva para a confiabilidade uma expressão simplificada. ou seja. se o interesse é sobre o número de eventos de Bernoulli. então existe uma seqüência de eventos de Bernoulli. o que leva a uma distribuição binomial.Solicitação aleatória. pois a taxa de falhas h(t) passa a ter um valor constante λ. PI fp t ] (2. . Para o cálculo da probabilidade da interferência é necessário no entanto trabalhar com a distribuição dos máximos da solicitação S e não com a distribuição de S diretamente.11) abaixo. fp. que é uma hipótese bastante viável. uma distribuição normal. conforme mostra a figura 2. em geral tabelada. como um processo de banda estreita. Com estas hipóteses. Para a resistência que o sistema apresenta é possível também adotar. e no outro caso. o que permite que se chegue a soluções analíticas para o cálculo da probabilidade de interferência. a probabilidade de interferência é calculada diretamente pela expressão (2. freqüência de picos. como discutido. Adicionalmente. ou seja. Para a condição em que a densidade espectral é de banda larga. Em um extremo. e geralmente feita. na maioria dos casos. vamos adotar para a solicitação a hipótese de que tenha uma distribuição gaussiana. a distribuição de máximos coincide com a distribuição do sinal. onde o conteúdo de freqüência fica restrito a uma pequena faixa.10) O ponto agora passa a ser o cálculo da probabilidade de interferência.6. ou seja. A distribuição de máximos de S pode ser deduzida a partir do conteúdo de freqüência de S e temos dois casos extremos. que sua função densidade de probabilidade siga a distribuição normal. A PROBABILIDADE DE INTERFERÊNCIA Vamos considerar que a solicitação que atua sobre o ponto crítico seja um processo estocástico ergódico. os máximos seguem também uma distribuição normal. então tanto a solicitação atuante como a resistência seguem distribuições normais. onde φ(z) é a função de probabilidade acumulada da distribuição normal. ou seja.38 Análise de Resistência Mecânica caso fundamental. ou λ = fp PI e assim finalmente a confiabilidade é calculada por C(t) = exp [ . e pela freqüência com que os pontos de máximo ocorrem.5 ilustra a situação em que ambas as distribuições são normais. em que para alguns casos particulares é possível uma solução analítica. A figura 2. onde as propriedades estatísticas não variam com o tempo. Desta forma. um processo aleatório estacionário. o conteúdo de freqüência de S(f) está distribuido sobre uma ampla faixa de freqüências. conforme já comentado. a solicitação é tratada como um processo de banda larga. ou seja. φ(z) (2.Modos de Falha e Confiabilidade 39 PI = 1 . BANDA LARGA BANDA ESTREITA S (f) S (f) f f Figura 2. dada por: z = ( µS .Solicitação segundo um processo estocástico gaussiano e a resistência também seguindo uma distribuição normal.6 .Solicitação gaussiana de banda larga e de banda estreita.µR ) / ( σR2 + σS2 ) 1/2 DISTRIBUIÇÃO DA RESISTÊNCIA DISTRIBUIÇÃO DA SOLICITAÇÃO Figura 2. .11) Nesta equação z é a variável normal padronizada.5 . Coeficiente de dispersão da solicitação. Situa-se.Coeficiente de dispersão da resistência.δRδ S ] / δ R (2. tem-se n=[1+ 1 . a distribuição dos máximos segue uma distribuição de Rayleigh. VR . definindo este como a relação entre a média da resistência e a média da solicitação.30.1) 2 PI = exp 2E E VS (2. cujo parâmetro de definição é o desvio padrão da distribuição normal da solicitação. Indica o grau de aleatoriedade da excitação dinâmica que é sobreposta ao valor de carga estática.02 a 0.12) onde n = µR / µS (2.13) δi = 1 . em geral.08 para materiais metálicos. Pode ser pensado como um índice de homogeneidade das propriedades do material. O desenvolvimento analítico leva à expressão: (n . Valores típicos na faixa de 0. A probabilidade de interferência deve ser calculada entre a distribuição de Rayleigh dos máximos e a distribuição normal da resistência. análogo ao usual coeficiente de segurança. Em uma condição de projeto.14) onde E vale: E = VS2 + (n VR ) 2 .Fator de projeto.[z Vi ]2 VR = σR / µR VS = σS / µS sendo: n .40 Análise de Resistência Mecânica As variáveis µR e σR são respectivamente a média e o desvio padrão da resistência e µR e σS são os correspondentes valores para a solicitação. na faixa de 0. É muito dependente da aplicação e do meio ambiente em que o produto deve operar. Para a condição onde a densidade espectral é de banda estreita. um índice da maior ou menor aleatoriedade das propriedades do material.02 a 0. VS . em que não se tem o dimensionamento da peça e se procura determinar qual o coeficiente de projeto a adotar. podem não ser adequadas a um caso real. definido por α = f0 / fp onde f 0 é a freqüência esperada do sinal e f máximos. a probabilidade de interferência PI como sendo: PI = [1 . equação (2. de uma densidade espectral da solicitação de banda estreita. m i = ∫ f i W(f) df (2.16) Para uma densidade espectral de banda estreita. idealmente o número de picos é muito maior do que as passagens pelo valor médio do sinal. Uma maneira de avaliar o tipo de densidade espectral do sinal é através do chamado fator de irregularidade α. f p = m 4 / m 2 (2. α = 0. e logo α = 1. ou gráfica. Para uma situação mais geral em que 0 < α < 1.Modos de Falha e Confiabilidade 41 Pela estrutura da expressão de PI não é possível neste caso explicitar o fator de projeto como uma função de PI .φ (z 3 )] (2. em que se tem que a densidade espectral da solicitação não se enquadra nos casos extremos. para determinar qual n deve ser usado em um dado projeto. Isto leva a que.15) é a frequência dos p onde m i é o momento de ordem i da densidade espectral unilateral W(f) do sinal da solicitação. [89]. Um extenso trabalho analítico de integração permite calcular. Para um sinal agora com uma densidade espectral da banda larga.17) onde PIR é dado para o caso em que α = 1. [106].φ (z 1 )] + α PIR [1 . que leva a uma distribuição de Rayleigh para os máximos e a de uma densidade espectral de banda larga. caracterizando assim uma distribuição gaussiana para os máximos. a frequência de picos praticamente coincidente com a freqüência do sinal. a probabilidade de interferência assume um valor intermediário entre a situação com α = 0 (menor PI ) e com α = 1 (maior PI ). Esta expressão . para um processo ideal de banda larga.14). [29]. As duas condições limites. dentro da vida especificada. como já visto. que podem ser obtidas por 2 2 f 0 = m 2 / m0 . VR e VS. para o caso geral. n. sendo necessária uma solução iterativa. para atingir uma probabilidade de interferência compatível com o nível de segurança desejado para o produto. que leva a uma distribuição normal para os máximos. e z 1 e z 3 são funções de α. De uma forma geral pode-se dizer que o material vai sofrendo um acúmulo de dano. Esta perda gradativa de propriedades está quase sempre relacionada com fenômenos químicos.18) onde FT (t) é a função de probabilidade acumulada. considerando a vida como aleatória. é possível então calcular a confiabilidade devida ao desgaste. que indica o colapso do material. e como tal possui uma dispersão em torno de um valor médio. 2. tanto o dano solicitante. uma falha por fadiga é a que se apresenta . e dano crítico. dano este que aumenta com o tempo. é uma característica deste. Caracterizando a distribuição estatística da vida de desgaste. que leva o material ao colapso. que solicita o material. seja analiticamente.FT (t) (2. de comportamento similar ao mostrado na figura 2.5. É possível dizer que o valor crítico de dano. que o material consegue suportar. e converge para a solução de banda estreita quando α = 1. como o dano crítico. Assim.42 Análise de Resistência Mecânica converge para a solução de banda larga quando α = 0. sobre o material. que o material suporta. como CD (t) = 1 . são variáveis aleatórias. físicos ou metalúrgicos. que vai se acumulando com o aumento da vida. seja experimental. até atingir um valor crítico.7. DANO SOLICITANTE DANO RESISTENTE Figura 2. Dentre os vários modelos de falha que são classificados como dependentes do tempo.Dano acumulado. MODELOS PARA FALHA POR DESGASTE Uma falha por desgaste fica caracterizada por uma perda gradativa das propriedades que tornam o material usado na fabricação do equipamento adequado ao uso.7 . para a falha por desgaste. ou se o período de propagação. na forma ∆ε = M N c + B N b (2. na forma σ = C Nm (2. conforme detalhado no capítulo 9. mas irreversível. que no contexto da fadiga é dado por Di = ni / Ni (2.20) A aplicação destes modelos de fadiga para o caso de solicitações aleatórias exige que consideremos o conceito de dano. a resistência à fadiga fica definida pelas equações de Coffin-Mason. pela complexidade dos fenômenos envolvidos e pela freqüência com que ocorre nos problemas de projeto mecânico do dia a dia. Outra possibilidade é adotar a solicitação cíclica em termos da tensão atuante. pois os fenômenos envolvidos em um e outro período são totalmente diferentes. que levam a um dano. a relação entre o número de ciclos em que atua um dado nível de tensão e o número de ciclos que o material resistiria sob este mesmo nível de tensão.21) ou seja. O mecanismo que atua no período de nucleação está ligado às deformações plásticas cíclicas que se desenvolvem localizadamente.Modos de Falha e Confiabilidade 43 como de maior importância. quando então a resistência do material à fadiga fica caracterizada pela curva de Woehler. se o período de nucleação das trincas. Com a continuidade da solicitação cíclica o dano provocado no material vai se acumulando. a regra linear de acúmulo de dano é traduzida por: D = Σ Di . microscópico. que relacionam a flutuação de deformação com a vida que o material suporta. o que leva finalmente à formação de uma trinca. Capítulo 9. Para a atuação de vários níveis de tensão. em especial em meios ambiente não inócuos.19) sendo N a vida em ciclos e os demais são constantes específicas do material. Para o período de nucleação os modelos mais usados estão divididos em modelos com base nas tensões atuantes e em modelos com base nas deformações que agem. A caracterização da resistência à fadiga do material deve considerar de uma forma explícita o período sob estudo. sendo analisados por modelos também diferentes. Quando o comportamento do material é caracterizado pelo nível de deformação cíclica que atua. o valor unitário. 34].25) (2. w=-1/m (2. [29. É possível ainda obter o coeficiente de dispersão do dano. Um dado componente estrutural deve ser dimensionado para suportar uma solicitação que apresenta um valor estático (médio) de 25 kN e uma parcela dinâmica com um desvio padrão de 21 kN. da equação (2. quando à falha por sobrecarga.24) Este modelo integral para a análise de dano é bastante útil.22) onde σS é o desvio padrão da solicitação.20). é possível determinar o dano médio esperado após uma vida específica como. A frequência média do sinal é de 0. Assim. sendo ξ o coeficiente de amortecimento.075 exp [ 0.23) Tipicamente consideramos como valor limite para o dano que o material pode resistir.553 w ] (2. e para um número elevado de ciclos para a ruptura.85. 2 σS / C] w Γ (1 + w / 2) D = f0 t [ (2.44 Análise de Resistência Mecânica Considerando que o carregamento é um processo gaussiano de banda estreita. de 50% para uma vida de 18000 horas de operação. VD desde que o sistema sob análise seja considerado de baixo amortecimento. de uma forma explícita e simples. Por outro lado. O material a ser usado apresenta as propriedades abaixo . f0 é a frequência média. Assim. o que deve ser feito com a comparação com outros resultados. sem romper. tendo um fator de irregularidade de 0.1 Nesta seção é apresentada uma aplicação das formulações e procedimentos discutidos. com o objetivo de ilustrar de forma clara como devem ser usadas em uma situação de projeto. para haver segurança é necessário que D < 1. vem VD2 = f 1 (w) / [ ξ f0 t ] onde f 1 (w) é função que pode ser aproximada por [83] f 1 (w) = 0. o modelo está baseado em um sinal gaussiano de banda estreita.38 Hz. Γ é a função gama e finalmente. Torna-se assim necessário validar certas hipóteses. o que para aplicações práticas pode não corresponder exatamente à realidade. Deseja-se uma confiabilidade. EXEMPLO 2. pois fornece uma estimativa do comprometimento que o produto apresenta quanto à fadiga. 47E-8 6.39E-9 e a uma confiabilidade de 96% para a vida prevista. Inicialmente foi apresentado o conceito de falha. resulta D = 0. A definição física foi detalhada para os principais modos de falha.38 . onde VS foi calculado em 0.1 mm. PI = 2.C) / (t fp ) A solicitação tem f0 = 0. Na seqüência.205. ambos enfocando o aspecto falha. 42.78 MPa. como no caso do presente exemplo. bem como w = 5. 2. a análise de dano é imediata. Para calcular o fator de projeto que leva à esta probabilidade de interferência. o que leva a uma probabilidade de interferência de 1.45 Hz.205.84. Este valor.85. como indica a tabela abaixo. na sua definição funcional e na sua definição física. ou seja. resulta PI = .78 / 2103] 5. quando comparado com a informação de que estamos seguros a três desvios padrão da média.C) / t . o que leva a uma seção transversal de 457 mm2. Usando estes valores. necessitando-se apenas calcular o desvio padrão da solicitação em termos de tensões.3 2. é necessário um processo iterativo. Logo. o que fornece portanto uma tensão admissível de 54. 3. a partir do desvio padrão da força atuante. o que indica uma vida de fadiga adequada para o projeto. assim fp = 0. vem λ = .ln (1 .9 desvios padrão da média da solicitação. 6. a 6.52 . no caso a força de 25 kN. e a um diâmetro de 24. que corresponde à relação entre a média da resistência e a média da solicitação. de 21 kN.05 O primeiro passo é calcular qual a probabilidade de interferência que deve ser usada de modo a garantir a confiabilidade de 50%. Da expressão da confiabilidade. Esta tensão deve ser usada com o valor médio do carregamento.6 CONCLUSÃO Este Capítulo desenvolveu dois pontos diretamente relacionados com o comportamento de um componente ou equipamento em serviço.77. Para este dimensionamento. o fator de projeto a usar deve ser de 6. o fator de projeto passa a ser de 6. classificados como dependentes ou independentes do tempo de vida.31 2. mostra que esta indicação não se aplica nas situações em que é exigida uma confiabilidade elevada para o produto.31. a tensão resistente que é relevante é a tensão limite de escoamento do material. ou seja. o que leva a um valor de σS de 42.41E-7 6.31E-2 4 2. 10 .33E-2 5 2. D = 0.87E-5 6 1.38 .38 Hz e α = 0. Isto leva a um valor de resistência média da peça de 170 kN. Assumindo que o critério de falha seja quanto ao colapso plástico.1921 V R = 0. Adotando 25 mm. apresentou um conjunto de técnicas e procedimentos .7 MPa.Modos de Falha e Confiabilidade 45 σ R = 620 MPa σ E = 345 MPa σ N = 2103 N .33E-8 Desta forma. e como λ = PI fp .ln (1 .0. -8 n PI 3 6.825.48E7 [ 2 . é possível dizer que.11). é a situação mais conservativa. de uma forma rápida. na forma integral. conforme visto no exemplo de aplicação. como para a análise de dano. a determinação não é imediata. nos pontos críticos. é possível usar a expressão (2. o desenvolvimento de modelos adequados para uma análise expedita. embora muitas vezes o uso das ferramentas probabilísticas no projeto mecânico seja visto com reservas. Deste modo. conforme usado no exemplo de aplicação. para uma etapa de projeto preliminar. como a solicitação que atua no material. seja a solicitação imposta ao sistema mecânico. para um coeficiente de irregularidade qualquer. o que permite. os máximos têm uma distribuição normal e no caso geral. fazer uma avaliação do grau de comprometimento quanto a uma falha para fadiga. o caso extremo de banda estreita. levando a critérios de projeto mais objetivos e versáteis. permite um ganho de conhecimento sobre o real desempenho do produto em operação. . corrigida para o ponto crítico da peça.46 Análise de Resistência Mecânica para o desenvolvimento de um processo de projeto mecânico. o que permite a aplicação direta dos modelos descritos para a análise de falha por sobrecarga. No primeiro caso o resultado é o histórico de solicitações. que leva a uma distribuição de Rayleigh para os máximos. para um dado desvio padrão da solicitação. ou sofrer uma análise estatística. ou uma análise dinâmica com integração no tempo. uma alternativa viável é o uso da expressão integral do dano. Em outras situações. No caso extremo de uma solicitação de banda larga. Quanto à falha por fadiga. o qual pode ser usado para uma análise de dano ponto a ponto. No segundo caso obtém-se diretamente a densidade espectral dos esforços nos pontos de interesse. exigindo. com excitação via a função densidade espectral. em casos simples estes estão diretamente relacionados com as forças e solicitações atuantes no sistema. quanto à determinação dos esforços que atuam no material. que usa direta e explicitamente as características estatísticas da solicitação. Quanto aos modelos para o cálculo da probabilidade de interferência. o que torna o processo de dimensionamento análogo ao processo usual. em ambientes aleatórios. Como critério para o projeto preliminar é definido o conceito de fator de projeto. ou uma análise com o uso de métodos numéricos. com base nos modelos de falha por sobrecarga. que usa o conceito do coeficiente de segurança. já que fornece a maior probabilidade de interferência. Finalmente. Neste caso o efeito de tensão média ou de tensões residuais deve ser usado diretamente nas constantes que definem a curva de fadiga do material. CAPÍTULO 3 COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS dos primeiros aspectos a serem considerados em qualquer projeto estrutural é a tensão que leva o material à falha, ou ao colapso. Como primeira aproximação a tensão limite de escoamento, no caso de materiais dúteis, ou a tensão limite de resistência, para os materiais frágeis, é usada como referência para comparação com as tensões que solicitam o material, devido às cargas externas. Por outro lado, a partir do ensaio estático de tração, por meio de uma análise mais detalhada, é possível obtermos informações de grande valia para uso com modelos que permitem prever tanto a falha estática como a falha devida a cargas dinâmicas, como é o caso de uma falha por fadiga. Este Capítulo preocupa-se em analisar em detalhes, embora não exaustivamente, alguns ensaios que são comumente realizados com materiais metálicos. Inicialmente é discutido o ensaio de tração, ao qual é dada uma atenção particular, com um detalhamento da curva tensãodeformação, tanto a convencional, como a curva real. Além do ensaio de tração, é visto ainda o ensaio de impacto, com corpos de prova do tipo Charpy. Estes ensaios fornecem informações bastante valiosas, indicativas quanto ao comportamento mecânico do material, que são utilizadas mais à frente no texto. Um Comportamento Mecânico dos Materiais 48 3.1 - GENERALIDADES DO ENSAIO DE TRAÇÃO O ensaio mais simples que é normalmente feito é o de tração, sobre um corpo de prova de seção, em geral, circular ou retangular, dependendo do produto metalúrgico de onde o corpo de prova foi retirado. O ensaio de tração fornece uma repetibilidade de resultados bastante boa, sendo desta forma um ensaio usado para testar a uniformidade de produção de um material. Outra possibilidade é o uso do ensaio de tração para levantar dados característicos do material, fundamentais para a análise do seu comportamento mecânico. Esta aplicação é que será desenvolvida nesta e nas seções seguintes. O ensaio de tração consiste em aplicar uma força, logicamente de tração, coincidente com o eixo do corpo de prova, medindo-se simultaneamente, durante o ensaio, a força aplicada e a deformação que o material sofre, devida à ação da carga. Um cuidado importante que devemos ter é no que diz respeito à colinearidade do eixo do corpo de prova com a linha de ação da força, pois qualquer excentricidade provoca um efeito de flexão que se sobrepõe à tração, mascarando os resultados finais, indicando, por exemplo, um baixo módulo de elasticidade e uma baixa tensão limite de escoamento. No caso de um corpo de prova circular, uma excentricidade de 1% leva a um aumento de tensão no material de 6%. A força aplicada é medida por um dinamômetro calibrado que, dependendo do tipo da máquina de ensaio, pode ser baseado nos mais diferentes princípios. Como o objetivo aqui não é o de descrever o equipamento e mais o de analisar os resultados, não vamos nos deter nestes aspectos. Quanto à deformação que o material sofre, esta é medida normalmente pelo deslocamento relativo entre dois pontos de referência, previamente marcados, na seção útil do corpo de prova. A medida deste deslocamento pode ser feita por um processo mecânico, com a necessidade de fazermos a leitura do deslocamento a cada incremento de carga, ou então de uma forma eletroeletrônica, permitindo o traçado da curva força-deslocamento simultaneamente com o ensaio, em um "plotter" acoplado à máquina de ensaio. O comprimento padrão, que é a distância que separa os dois pontos de referência, é uma característica do extensômetro usado. Este tipo de extensômetro é denominado de extensômetro axial, pois mede a deformação que o material sofre ao longo do seu eixo longitudinal. Com a aplicação de carga o material alonga-se, na direção da força, e pelo efeito de Poisson, sofre também uma redução na seção transversal, diminuindo o diâmetro, no caso de uma seção transversal circular. Deste modo, uma outra forma de medirmos a deformação pode ser feita através da medida da variação de diâmetro. Este processo é necessário quando o corpo de prova é de diâmetro variável, ou quando o comprimento da parte útil é muito pequeno, não permitindo a instalação de um extensômetro axial convencional. O extensômetro que trabalha desta forma é denominado de extensômetro diametral, já que mede a variação de diâmetro. Comportamento Mecânico dos Materiais 49 A figura 3.1 mostra um esquema de um corpo de prova cilíndrico sendo monitorado por um extensômetro axial e um extensômetro diametral, quando submetido a uma força trativa, bem como um gráfico mostrando resultados típicos de um ensaio de um material metálico. F F ∆ ∆d ∆l F Figura 3.1 - Corpo de prova com extensômetros instalados. A figura 3.2 ilustra uma curva típica de um ensaio de tração de um material metálico, onde estão registrados os valores da força aplicada, F, e do deslocamento relativo ∆l, entre os pontos de referência, medidos pelo extensômetro axial, que inicialmente estavam afastados do comprimento padrão l 0 , indicando como que o material se deforma, na região central monitorada do corpo de prova. A curva apresenta algumas peculiaridades que são típicas de materiais metálicos. Enquanto a força é pequena verifica-se uma relação linear entre a força e o alongamento, o que caracteriza um comportamento elástico do material. Este comportamento ocorre para as cargas inferiores a Fp, que define o limite de proporcionalidade entre força e alongamento. Acima da carga Fp o gráfico apresenta uma curvatura, que pode ser bastante acentuada nos materiais dúteis. Com o aumento da carga, o alongamento segue crescendo, até o ponto de máximo da carga, que, dependendo do tipo da máquina de ensaio, pode representar uma condição de instabilidade, ou não, para o corpo de prova. Exemplificando, se a máquina trabalha com controle sobre a carga que está atuando, que vai crescendo ao longo do ensaio com uma dada velocidade, denominada de máquina mole, o ponto de carga Comportamento Mecânico dos Materiais 50 máxima indica o início da instabilidade, pois o material não suporta mais qualquer aumento de carga. Se, no entanto, a máquina trabalha com controle de deslocamento, sendo então denominada de máquina dura, o deslocamento que é imposto ao corpo de prova é a variável controlada, e neste caso o ponto de carga máxima não representa o ponto de instabilidade para o conjunto máquina de ensaio-corpo de prova. O corpo de prova admite um aumento de deslocamento além do ponto de carga máxima, dando continuidade à deformação, sem que venha a romper, agora com carga decrescente. F F R F E F e F p F f ∆l Figura 3.2 - Curva força-alongamento de um material metálico típico. Ao tratar as informações de um ensaio de tração é pouco usual falar em cargas ou em alongamentos, sendo bem mais comum recorrermos ao conceito de tensão média de tração e de deformação específica, ou simplesmente tensão e deformação. A tensão, que é considerada como uniformemente distribuida ao longo de toda a seção do corpo de prova, é obtida por ### 0 = F / A 0 (3.1) sendo ### 0 a tensão nominal que age e A 0 a área original da seção do corpo de prova. A deformação de engenharia é normalmente definida como a relação entre o alongamento e o comprimento l 0 de referência, ou o que é equivalente, pela integração do alongamento infinitesimal dl, referido ao comprimento l 0, que define a deformação infinitesimal, entre os limites especificados pelo comprimento inicial e pelo comprimento final. Sendo "de" a deformação infinitesimal, Comportamento Mecânico dos Materiais 51 e = ∫ de onde de = dl / l 0 e, portanto, integrando entre o comprimento inicial e o final, e = ∆l / l 0 (3.2) Desta maneira, a partir da figura 3.1 é possível construir o diagrama tensão-deformação para o material, usando as definições (3.1) e (3.2). A curva obtida é a curva tensão-deformação nominal, ou de engenharia, mostrada na figura 3.3, que é similar à curva de cargadeslocamento, a menos das escalas dos eixos coordenados. σR σE σe σp σf σ0 e Figura 3.3 - Curva tensão-deformação nominal, para o material ensaiado com resultados da figura 3.2. Alguns fatos interessantes são observados em um ensaio de tração, se, ao invés de mantermos a carga, ou o deslocamento, continuamente crescendo, o ensaio for parado em um ponto antes da ruptura e o corpo de prova descarregado. Em primeiro lugar, se a tensão aplicada for inferior à tensão σ p, chamada tensão limite de proporcionalidade, que limita a porção linear da curva, a descarga ocorre exatamente sobre a Comportamento Mecânico dos Materiais 52 linha de carregamento, ficando o material, após a descarga completa, exatamente nas mesmas condições de antes do ensaio. É lógico que a tensão σp é calculada para a força Fp. Aumentando a tensão além do limite de proporcionalidade, σp, começamos a penetrar na região do comportamento não linear do material. Se não aumentarmos muito a tensão, verificamos que a descarga coincide ainda com a linha de carregamento, ou seja, o material retorna às condições iniciais, originais, quando totalmente descarregado. A máxima tensão a que o material pode ser solicitado, sem apresentar qualquer deformação residual, é denominada de tensão limite de elasticidade, σe , sendo necessário observar que a sua determinação exige a aplicação de sucessivos ciclos de carregamento, aumentando, levemente, o nível de solicitação entre ciclos consecutivos, de modo a medir o início do aparecimento de deformações residuais. σ0 σE σe e Figura 3.4 - Curvas de descarga para um material solicitado acima de σ e. Para uma solicitação acima de σe, ao sofrer descarga, o material não mais segue a linha de carregamento, ou seja, o corpo de prova não retorna mais à sua forma original, quando removida a carga. Isto ocorre pela presença, dentro do material, de deformações plásticas, resultando um gráfico como o mostrado na figura 3.4. Com o aumento da carga, ao ultrapassar a tensão limite de elasticidade, começam a ocorrer deformações plásticas a nível macroscópico. Enquanto o material está na região linear da curva tensão-deformação, toda a deformação é elástica, e verificamos então a validade da lei de Hooke, a qual pode ser escrita, para um estado uniaxial de tensões, como Comportamento Mecânico dos Materiais 53 σ=Ee (3.3) onde E é o módulo de elasticidade do material, ou módulo de Young, e "e" é a deformação que o material sofre, no caso totalmente elástica. Quando a tensão limite de elasticidade é atingida e ultrapassada, iniciam a atuar, de forma sensível, dentro do material, os mecanismos de movimento de discordâncias, fazendo com que surjam, portanto, deformações plásticas. Macroscopicamente, a deformação plástica é definida como sendo a deformação que, somada à parcela elástica, fornece a deformação total, que é a deformação que temos condições de medir experimentalmente. Assim, sendo "e" a deformação total, dada por e = ∆l / l 0, a deformação plástica será ep= e - ee (3.4) onde e e = σ / E é a deformação que o material sofreria sob a ação da tensão σ, se fosse perfeitamente elástico, ou seja, a deformação plástica é definida como o desvio da linha elástica, como mostra a figura 3.5. Esta definição pode parecer equivalente a dizer que a deformação plástica é a deformação que permanece após a descarga do material, ou seja, ep.=.e(σ.=.0), porém esta última definição apresenta inconvenientes. Um destes é que para medir a parcela de deformação plástica torna-se necessário realizar a descarga do material, até o nivel de tensão zero, enquanto que com a definição anterior apenas o conhecimento do módulo de elasticidade é suficiente. Esta descarga da tensão até zero é facil de ser realizada em um ensaio de tração, pela descarga da força aplicada até zero também. Esta situação é, no entanto, muito particular, pois é a única em que é possível conseguir uma descarga das tensões de toda uma seção transversal até zero, com a retirada do carregamento. Em qualquer outra situação em que a distribuição de tensões não é uniforme, é impossível descarregar até zero as tensões em todos os pontos de uma seção transversal, quando a carga externa for retirada, se ocorreram deformações plásticas na seção. Outro aspecto que compromete a última definição de deformação plástica é que, com deformações plásticas crescentes, verifica-se que a linha de descarga apresenta um módulo de elasticidade menor do que o original, do material indeformado. Deste modo, as duas definições não são equivalentes. A figura 3.5 ilustra a definição de deformação plástica como indicada pela equação (3.4), ou seja, como o desvio da linha elástica. Comportamento Mecânico dos Materiais 54 σ0 ee ep σ ( ep ) e Figura 3.5 - Definição de deformação plástica, como desvio da linha elástica. Conforme já mencionado, a presença de uma deformação plástica fica evidenciada por uma não linearidade da relação entre tensão e deformação. Como as deformações plásticas são permanentes, esta não linearidade significa que o material permanece deformado mesmo após a descarga, ficando assim um efeito residual. Outro efeito que caracteriza uma deformação plástica é que ela é dependente do tempo, podendo este comportamento ser observado de dois modos: - Se a velocidade de deformação é aumentada, como no exemplo da figura 3.6, ocorre um deslocamento vertical na curva tensãodeformação, o que corresponde a um encruamento do material. A figura mostra um resultado típico obtido com um corpo de prova de aço de baixo carbono. - Quando a carga é mantida constante por algum período de tempo, é observado um aumento da deformação com o tempo, que é o fenômeno da fluência. Esta deformação plástica ocorre com velocidade decrescente, mas não cessa, mesmo para longos períodos de tempo. Estes efeitos são menos acentuados a baixa temperatura, embora estejam sempre presentes, mesmo a baixíssimas temperaturas. Em altas temperaturas estes efeitos passam a ser importantes, pois ocorrem de um modo bastante sensível e significativo. Uma das propriedades mecânicas mais úteis e importantes é a que define o campo de validade do comportamento elástico do material. Conforme visto, a tensão limite de proporcionalidade, ou o limite de elasticidade, representa a extensão do comportamento linear ou do regime elástico. No entanto, alguns aspectos fazem com que estas tensões não sejam quase utilizadas na prática. Em primeiro lugar, a . em vista dos sucessivos ciclos de carga e descarga necessários. Algumas formas típicas estão mostradas na figura 3. que pode ser facilmente obtida a partir da curva tensãodeformação determinada no ensaio. onde o material sofre uma acentuada deformação plástica. sob a ação de uma tensão constante. a curva tensão-deformação pode assumir formas bastante distintas. A curva da figura 3.7. que é a tensão máxima que ocorre antes de iniciar o escoamento. no estado recozido.Comportamento Mecânico dos Materiais 55 determinação de σ e é trabalhosa. . Por outro lado. existem indicações de que os materiais reais não possuem um limite elástico verdadeiro. o limite superior de escoamento pode atingir valores próximos ao da tensão de ruptura do material. σ0 e2 e1 . sendo caracterizada por um patamar de escoamento. que é a tensão correspondente ao patamar de escoamento.Efeito da velocidade de deformação na curva σ-e.6 . e do tratamento termo-mecânico a que foi submetido. Este comportamento é caracterizado pelo limite superior de escoamento. e Figura 3. pequenas excentricidades na aplicação da carga. se mole ou dura. bem como pelo limite inferior de escoamento.7 a) é típica de aços com baixo teor de carbono. bem como ao tipo de máquina de ensaio. desde que existam instrumentos suficientemente sensíveis para medir ínfimos desvios da linha elástica. a extensão da faixa elástica do material é mais comumente definida pela tensão limite de escoamento. A curva apresenta uma descontinuidade. Dependendo do material. A tensão limite superior de escoamento é extremamente sensível a detalhes como o acabamento superficial do corpo de prova. Exemplificando. para um corpo de prova com superfície perfeitamente polida e com uma transição bastante suave para os pontos de contato com as garras. Desta forma. Já para . e2 > e1 . 7 representam dois materiais frágeis.Comportamento Mecânico dos Materiais 56 um corpo de prova com acabamento rugoso.Diferentes formas da curva tensão-deformação. um dos quais apresenta um comportamento não linear.7 . tomando o ponto da curva cujo módulo definido pela linha tangente à curva tensão-deformação é um valor menor que o módulo de elasticidade do material. A definição da tensão limite de escoamento é baseada em algum critério de natureza empírica. Na curva da figura 3. A figura 3.2% a 0. um valor 50% menor do que o módulo no regime elástico do material.5%.8 mostra os processos de determinação da tensão limite de escoamento citados.5 E.7 b) temos um material dútil. mas a deformação total. ou seja. . As duas curvas restantes da figura 3. O critério mais usado é definir o limite de escoamento como a tensão em que a deformação plástica atinge um valor arbitrário. Por estas razões é que o ponto de referência para definir a extensão da zona de comportamento elástico é dado pela tensão limite inferior de escoamento. da ordem de 0. σE a) Material dútil com patamar de escoamento b) Material dútil sem tensão de escoamento definida c) Material não linear Material frágil d) Figura 3. H. ou simplesmente tensão limite de escoamento. para definir a tensão de escoamento. bem como o processo que usa uma redução no módulo de elasticidade. o limite superior pouco se distingue do limite inferior. mas sem um limite de escoamento perfeitamente definido como no caso anterior. σ E. Outra possibilidade é considerar não a deformação plástica. É usual usar para o módulo tangente. H = 0. σE . como é o caso.2%. normalmente definida para uma deformação plástica de 0. a tensão limite de escoamento. a tensão σ2 pela deformação plástica e2 e σ3 pela deformação total do valor e3. o diagrama tensão-deformação fornece duas tensões características do material. ponto de máximo da curva.7 c). por exemplo. e a tensão limite de resistência. Deste modo. a tensão limite de resistência é dada pelo ponto de máximo da curva. Esta forma de curva é típica de materiais cerâmicos e ligas fundidas de elevada dureza. Similarmente. A tensão σ1 fica definida pelo critério do módulo tangente. do ferro fundido. embora com carga decrescente. Para um material com características frágeis a tensão limite de escoamento tem pequeno significado. mas totalmente errado no caso dos dúteis. Isto é correto para os materiais frágeis.8 . definida como o ponto de máximo da curva tensão-deformação. figura 3.Possíveis critérios para definir a tensão limite de escoamento. pois este segue se deformando plasticamente. σR. em termos práticos. Nestes materiais é usada a tensão limite de resistência do material. σR. podendo inclusive não satisfazer o critério usado para definir σE. σ0 σ3 σ2 σ1 Módulo tangente Offset Deformação total e2 e3 e Figura 3. para caracterizar as propriedades de resistência mecânica. A figura 3. para um material dútil. porém nestes materiais σR não coincide com o ponto de fratura do corpo de prova.Comportamento Mecânico dos Materiais 57 iniciando em níveis bastantes baixos de tensão. Este aspecto leva muitas vezes a conceitos equivocados. Conforme o corpo de prova se deforma a carga tende a .7 d) ilustra um material frágil com um comportamento essencialmente elástico até próximo do ponto de ruptura. em especial quando é usada a designação de σR como tensão de ruptura. o que leva a uma nova redução de diâmetro. o efeito relativo do encruamento diminui com o prosseguimento do ensaio e eventualmente a redução da área da seção transversal excede o ganho de resistência devido ao encruamento. a deformação ocorre de uma maneira uniforme sobre todo o corpo de prova. há uma redução da seção transversal. que já é mais fraca.2). O valor crítico de deformação para o coalescimento é fortemente influenciado pelo estado de tensões dentro do material. A nucleação dos vazios ocorreu com deformações menores. A fratura vai iniciar após o CP ter atingido Fmáx. Desta forma. pela redução da seção. ficam com deformação constante. que leva a um estreitamento no corpo de prova. Após a carga máxima. enquanto que todas as outras seções. e σeq é a tensão equivalente segundo a teoria da máxima energia de distorção. fica submetida a uma tensão superior à do resto do corpo. sendo em geral representado na forma: ε * = β ⋅ exp − f LM N 3 σm 2 σ eq OP Q sendo σm a tensão média. já que esta ainda não iniciou. ficando a deformação real superior à calculada segundo (3.Comportamento Mecânico dos Materiais 58 aumentar devido ao encruamento. ou até decrescente. e assim tem lugar um processo de instabilidade. aumentando a carga. tem a sua seção transversal mais reduzida. que passa a diminuir a seguir. O ponto de Fmáx. ou hidrostática. a deformação passa a concentrar-se na região estriccionada. Exatamente neste máximo qualquer parte do corpo de prova que seja mais fraca do que o restante irá se deformar sob esta carga. Assim existe uma região que se deforma mais e. Por outro lado. sobre todo o comprimento de referência l0. que requerem um aumento de carga para seguir a deformação. calculada como a média entre as três tensões principais. portanto. ao menos para os materiais dúteis. O ponto de fratura fica definido quando ε for tal que inicia-se o processo de coalescimento de vazios. e portanto de σR. Nos primeiros estágios do ensaio o efeito de encruamento predomina. resultando deste modo um máximo para a carga. particular para a geometria e tipo de carregamento. até o ponto de máximo. não tendo qualquer ligação com o processo de fratura propriamente dito. Deste modo a tensão limite de resistência dos materiais dúteis define na realidade o início da instabilidade plástica. existente. pois esta expressão faz a média do alongamento ∆l sofrido. Logo. o que tende a fazer com que a carga diminua. corresponde apenas ao início da instabilidade plástica do material. No entanto. levando finalmente à ruptura. agora localizado nesta região mais fraca. . esta região. quando a deformação plástica avança até a ruptura final. Comportamento Mecânico dos Materiais 59 Apesar de ser um dado fictício. através da curva tensão-deformação nominal ou de engenharia. ef. em vista do acima exposto. ou de engenharia. é comum calcular o alongamento percentual no ponto de ruptura do material.2 . Usando a medida do diâmetro mínimo no corpo de prova já rompido é definida a estricção ϕ do material como: ϕ = (A 0 .3. e não ao comprimento original da peça sem carga. e f.RESULTADOS OBTIDOS DO ENSAIO DE TRAÇÃO Nesta seção é feito um resumo das características do ensaio de tração e das informações que podem ser obtidas. . 3. A figura 3. onde estão indicadas tensões características. pelo qual a deformação axial induz deformações nos eixos transversais. A análise deste tipo de diagrama é feita na seção 3. no qual a tensão é calculada usando a área real do corpo de prova. Uma medida mais precisa da deformação que o material sofre nos instantes finais do ensaio é obtida a partir do diâmetro da seção estriccionada. para fornecer uma idéia da maior ou menor capacidade de deformação plástica que o material apresenta. bem como o alongamento de ruptura. Este diagrama tem maior importância para a especificação e controle da qualidade de materiais. quando este ensaio é analisado com o uso do procedimento clássico. Esta redução da seção transversal é consequência direta do efeito de Poisson. A figura 3.9 mostra um diagrama tensão-deformação nominal. e a deformação é medida em relação a um valor instantâneo de referência.A f ) / A 0 (3.9 ilustra as principais informações que são obtidas habitualmente a partir do diagrama convencional. bem como para uma amostragem sobre a uniformidade de um produto metalúrgico.5) sendo A 0 a área original da seção transversal e A f a área da seção transversal após a ruptura. usando o comprimento do corpo de prova rompido. Para a análise das propriedades mecânicas dos materiais existe mais interesse no diagrama tensão-deformação real. da temperatura de operação e do estado de tensões imposto durante o teste. . onde vale a lei de Hooke. equação (3. .Comportamento Mecânico dos Materiais 60 σ0 σR σE σe 3 2 1 4 Início da estricção 5 Deformação uniforme ao longo de todo o comprimento útil Deformação concentrada 0 ef e Figura 3.ponto de carga máxima (início da instabilidade). da sua composição química. As tensões usadas nesta curva tensão-deformação são as tensões nominais que agem no corpo de prova tensionado. medido sobre o comprimento padrão.9.Principais informações obtidas a partir de um diagrama tensãodeformação convencional.1).porção linear da curva. A curva tensãodeformação de engenharia é obtida a partir da medida da carga e da elongação e os pontos característicos. A forma e a magnitude da curva tensão-deformação de um material depende.ponto correspondente ao limite de proporcionalidade.ponto correspondente ao limite elástico.9 . Esta tensão nominal é obtida pela divisão da carga pela área da seção transversal do corpo de prova indeformado. O teste de tração é bastante usado para fornecer informações básicas a respeito da resistência do material para projeto e é um teste aceitável para a especificação de materiais. da curva da figura 3. . designadas por σ 0 .2). pela sua dimensão original l0. equação (3. .ponto de ruptura final. . .ponto correspondente ao limite de escoamento. são: 01 1 2 3 4 5 . As deformações são obtidas pela divisão do acréscimo ∆l. entre outros fatores. dos tratamentos termo-mecânicos. já que a transição do comportamento elástico para o comportamento plástico é gradual. É a tensão requerida para produzir uma deformação plástica especificada.005 ( 0. . basicamente: . nestes casos a tensão limite de escoamento é definida como a tensão que provoca uma deformação total préestabelecida. usualmente de 0. Conforme comentado. em função dos equipamentos que estão disponíveis e do uso pretendido para os resultados. A figura 3. . por meio da especificação de um valor para a deformação plástica não pode ser usado. É a maior tensão em que existe proporcionalidade direta entre as tensões e as deformações.Tensão limite de resistência . como por exemplo o cobre recozido e o ferro fundido cinzento.Alongamento percentual . como de 0. após a completa remoção da carga. Para estes materiais a determinação da tensão limite de escoamento. Vários critérios para a determinação do início de plastificação são usados. .2%.Comportamento Mecânico dos Materiais 61 Os parâmetros que são usados para descrever a curva tensãodeformação.Limite de proporcionalidade. pois não é definido com exatidão o módulo de elasticidade.5%) por exemplo.Limite de escoamento. mesmo para baixos níveis de tensão. são. . É a maior tensão que o material pode suportar sem que exista alguma deformação plástica que se possa medir macroscopicamente. É o valor em que inicia o desvio do relacionamento linear no diagrama tensãodeformação. Alguns materiais não tem um comportamento linear em seu diagrama tensão-deformação.Tensão limite de escoamento . Assim.Redução da área da seção transversal CRITÉRIOS PARA DEFINIR O COMPORTAMENTO ELÁSTICO.8 mostra as diferentes maneiras que podem ser usadas para definir um ponto que separe o comportamento elástico do comportamento elastoplástico. que procuram caracterizar as propriedades de resistência do material e as propriedades de dutilidade. em geral admite-se um pequeno desvio do comportameto elástico puro de forma a facilitar a determinação experimental do referido valor limite.Limite elástico. quando o material não apresentar um patamar de escoamento. O nível de tensão em que as deformações plásticas começam depende muito da sensibilidade do equipamento usado para monitorar o ensaio. denominada usualmente de elongação. já que um maior volume de impurezas reduz significativamente a dutilidade. (3.l0 ) / l0 . A ruptura só irá ocorrer após a estricção avançar consideravelmente. extrusão e estampagem.O nível de impurezas do material. consequência das condições do processo metalúrgico.7) ϕ = ( A0 . . que podem ocorrer devido a sobrecargas ou pontos de concentração de tensão não esperados. e f. no ponto de carga máxima. As medidas convencionais de dutilidade. É uma forma para indicar: . considerando a área original da seção transversal no seu cálculo.Quanto que o material pode ser deformado plasticamente sem que ocorra fratura. é um valor de pequeno significado físico para avaliar a resistência real do material. ou redução de área. são a deformação de fratura. Para metais dúteis a tensão limite de resistência pode ser entendida como uma medida da máxima solicitação que o metal pode resistir sob condições de carregamento uniaxial. para operações de conformação tais como laminação. não é A 0. σR = Fmáx / A 0 (3. Deve-se no entanto ter cuidado para não cair no erro de caracterizar σR como a tensão de ruptura do material. e a estricção. pois a área instantânea. Para materiais frágeis a tensão limite de resistência é uma informação válida para projeto. ϕ. CRITÉRIOS PARA MEDIR A DUTILIDADE A dutilidade é uma importante propriedade do material.8) . com diferentes maneiras de definir e quantificar. A tendência atual para o projeto de estruturas de materiais dúteis é o uso da tensão limite de escoamento para definir o início de plastificação.6) A tensão limite de resistência é o resultado mais usual do teste de tração e.Af ) / A0 (3.Comportamento Mecânico dos Materiais 62 TENSÃO LIMITE DE RESISTÊNCIA A tensão limite de resistência é a tensão nominal correspondente à máxima carga que ocorre no ensaio. obtidas a partir do ensaio de tração. entretanto. ef = ( lf . Esta afirmação decorre do fato de que a tensão σR não ocorre na realidade.A capacidade do metal de fluir plasticamente antes da ruptura. . Esta característica permite deformações localizadas sem fratura. de elongação. O módulo de elasticidade é resultado das forças de atração entre os átomos. o comprimento de referência também deve ser dado.Comportamento Mecânico dos Materiais 63 O valor da deformação de fratura depende do comprimento l 0 . para módulos grandes. no qual as medidas são tomadas. O módulo de elasticidade é necessário para o cálculo de defleções e de deformações para todo e qualquer elemento estrutural. apenas levemente. para um mesmo nível de tensão. MATERIAL Aço carbono Aço austenít. menores são as deformações elásticas. logo. sofre uma significativa redução de valor com o aumento da temperatura. sem que haja problema de comprimento de referência. No entanto. sendo um valor importante para a análise e projeto. Ele é alterado. A redução da área não sofre esta influência. tratamentos térmicos ou trabalho a frio. para materiais de uso comum em Engenharia. estão listados na Tabela 3. Para altas temperaturas o módulo de elasticidade deve ser medido por métodos dinâmicos. TABELA 3. fará com que a deformação e f tenda ao valor real. normalmente como um múltiplo do diâmetro. já que as deformações plásticas mais intensas ficam concentradas na região da estricção. no qual as medidas são tomadas. Liga de Ti Liga de Al 20°C 207 000 193 000 114 000 72 000 200°C 186 000 176 000 97 000 66 000 430°C 155 000 158 000 74 000 54 000 540°C 134 000 155 000 70 000 650°C 124 000 145 000 - .1 Efeito da temperatura sobre o módulo de elasticidade. função da temperatura. Um menor comprimento de referência. o módulo de elasticidade é uma propriedade intrínseca do material. pela adição de elementos de ligas.1 a seguir. Desta forma quando são dadas as deformações percentuais. O módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material. ou seja. Valores típicos do módulo de elasticidade. logo pode ser considerada como uma medida mais adequada da dutilidade do material. [MPa]. como estas forças não podem ser alteradas sem a variação da natureza básica do material. MÓDULO DE ELASTICIDADE A inclinação da região linear do diagrama tensão-deformação é denominada de módulo de elasticidade ou módulo de Young. Ela é dada usualmente pelo módulo de resiliência. ε E Usando a lei de Hooke. tais como molas e peças de mecanismos de precisão.9) Esta equação indica que o material adequado para absorver a energia de deformação. para um estado uniaxial de tensões. é aquele que possui uma alta tensão de escoamento e baixo módulo de elasticidade. que é a energia de deformação por unidade de volume requerida para as tensões variarem de zero até a tensão limite de escoamento σE. dentro do regime elástico. ε x Com a definição de módulo de resiliência temos U r = 0.Comportamento Mecânico dos Materiais 64 RESILIÊNCIA A capacidade de um material absorver energia quando deformado elasticamente e retornar. resulta U r = 0.5 σ E2 / E (3.5 σ E . A energia de deformação do material. quando descarregado. σ0 σE eE e Figura 3. para um estado uniaxial de tensões. por unidade de volume.2 . é dada por: U 0 = 0.Definição do módulo de resiliência. às dimensões originais. em condições que o elemento estrutural não pode permanecer com distorções permanentes.10 .5 σ x . A Tabela 3. é denominada de resiliência. 0 2.Comportamento Mecânico dos Materiais 65 fornece alguns valores de módulos de resiliência para diferentes materiais.0 965.11) onde σ L é a chamada tensão limite. porém este é mais dútil e tem elongação maior. que possuem um diagrama tensãodeformação semelhante ao do aço estrutural.004 2.8 MÓDULO DE RESILIÊNCIA 0. sem romper. .10) (3. acoplamentos. A capacidade de suportar. Esta área é a representação de quanto trabalho por unidade de volume o material pode absorver sem romper. A figura 3. Para materiais dúteis.0 28. logo a área sob a curva do aço estrutural é maior. permitindo-se que penetre no regime plástico. O aço mola tem tensão limite de escoamento mais alta que um aço estrutural. ESPECIFICAÇÃO DO MATERIAL Aço médio carbono Aço mola Duralumínio Cobre Borracha Acrílico MÓDULO DE ELASTICIDADE 207 000 207 000 72 400 110 000 1 3 400 TENSÃO LIMITE DE ESCOAMENTO 310.230 2. TABELA 3. tensões maiores que as de escoamento.110 0. A tenacidade pode ser considerada como a área total sob a curva do diagrama tensãodeformação.0 124. o que implica em maior tenacidade. definida como a média aritmética entre a tensão limite de escoamento e a tensão limite de resistência. etc. a área sob a curva pode ser aproximada por uma das seguintes equações: Ut = σR ef Ut = σL ef (3.11 mostra curvas tensão-deformação para materiais de alta e baixa tenacidade.2 Módulo de resiliência para alguns materiais.028 TENACIDADE A tenacidade de um material é definida como a sua capacidade de absorver energia.330 0. ocasionalmente.205 0. é desejada em elementos tais como engrenagens. cabos.1 13. correntes. 12) Como esta medida da tenacidade considera a energia por unidade de volume que o material absorve sem romper. 3.667 σ R e f (3. é também denominada de tenacidade volumétrica. A tensão nominal erra pelo uso da área original. o uso da tensão nominal e da deformação nominal.Curvas tensão-deformação típicas para aços de alta e baixa resistência.DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REAL O diagrama tensão-deformação convencional apresenta resultados que não são adequados para um estudo mais profundo sobre o comportamento do material.11 .Comportamento Mecânico dos Materiais 66 σ0 σR σR Aço mola Aço estrutural eE e Figura 3. Quando o material está submetido a grandes deformações. ou do estudo do comportamento do material próximo aos instantes de ruptura. A deformação nominal apresenta problemas para uso quando o material está muito . não são adequados. que não é a área real no instante em que a força está atuando. a curva tensão-deformação pode ser considerada como sendo parabólica e a área sob a curva é assim dada por: U t = 0. como no caso do estudo de processos de conformação. obtidas do ensaio de tração. Para materiais frágeis.3 . devido à maneira simplificada como os resultados do ensaio foram avaliados. em relação ao novo comprimento inicial. "l 0". será ε = 0.693. Uma barra é deformada ao dobro do seu comprimento original. já que l = 2 l 0. já que ∆l = l 0. acréscimo do comprimento.5. pois em valor absoluto a deformação deveria ser a mesma nos dois casos.0. após ser tracionada. "de". de modo que dε = dl / l. levando a uma medida do acréscimo instantâneo de deformação errônea. resulta portanto: ε = ldε. Este problema pode ser contornado definindo a deformação real de tal forma que o acréscimo de deformação real. Se agora. A deformação. temos e = .1.693. quando calculada pela equação (3.0. é calculado pelo acréscimo de comprimento. EXEMPLO 3.5 l 0 . onde. resultando uma deformação final nula. Integrando agora entre o comprimento inicial e o comprimento final. É intuitivo que estes valores de deformação não são corretos.5 l 0 . a barra for reduzida à metade do comprimento.2). temos ε = .13) Consideremos a mesma barra do exemplo 3. a deformação é igual nos dois casos.Comportamento Mecânico dos Materiais 67 deformado e além disto não considera o efeito da estricção. em valor absoluto. "dl". l 0. após ser tracionada.2. Quando se trabalha com grandes deformações este processo não é adequado. e não o comprimento original. onde o acréscimo de deformação. já que faz uma média da deformação sobre o comprimento de referência. Se agora. .0. referido ao comprimento original.2). seja a relação entre dl. pois l = 0. resultando assim em uma deformação final nula.1. será e = 1. 0 z l ε = ln ( l / l 0 ) EXEMPLO 3. calculada agora pela equação (3. dε. (3. for reduzida à metade do comprimento. ε = lnl − lnl 0 . pois ∆l = . Antes de atacar o problema do diagrama tensão-deformação real é conveniente definirmos o que é deformação e tensão real. sendo deformada ao dobro do seu comprimento original. A deformação de engenharia é definida pela equação (3.13). e o comprimento instantâneo. mas que não ocorre. l. Estes valores de deformação são coerentes com a nossa espectativa intuitiva. pois o comprimento de referência pode mudar bastante em relação ao comprimento original. A deformação. Considerando o comportamento elástico do material. limitado por um comprimento de referência. σ=F/A (3. mesmo para grandes deformações. e desta forma. experimentalmente. porque os níveis de deformação são baixos. como na equação (3. como segue. Na realidade a densidade varia um pouco. A tensão real será denotada por σ e a de engenharia por σ 0 . porém. Com isto temos que o volume. não ocorre variação de volume. Assim.13) com a equação (3.Comportamento Mecânico dos Materiais 68 Comparando a equação (3. A tensão de engenharia. esta é a carga dividida pela área da seção transversal.15) Com o uso desta equação a deformação real pode ser dada em função da variação da área da seção transversal. esta distinção não é necessária. Em certos problemas da plasticidade.2) podemos obter um relacionamento entre a deformação real e a deformação de engenharia. com boa aproximação podemos considerar que o volume do sólido fica constante durante o processo de deformação plástica. em um dado instante. ou seja. ou então: ε = ln A 0 / A (3. esta variação é menor que 0. e = ∆l / l ε = ln ( l / l 0 ) ε = ln ( l 0 + ∆l ) / l 0 ε = ln (1 + e) (3. ou tensão convencional.14) Para uma deformação plástica pura do material.17) . verifica-se que o processo é incompressível. particularmente quando do tratamento matemático do teste de tração. o que permite escrever l0 A0 = l A e rearranjando a equação: l / l0 = A0 / A (3.23). fica constante durante o processo de deformação. é importante a distinção entre as duas definições de tensão. é a carga dividida pela área original da seção do corpo de prova.1%.16) Quanto à tensão real. para a curva tensão-deformação convencional. porque é completamente baseada nas dimensões originais do corpo de prova. o comportamento continua elástico até atingir o nível de tensão anteriormente atingido.18) A tensão real pode ser relacionada com a tensão de engenharia considerando σ= F A0 ⋅ A0 A e com a substituição das equações (3. Se as tensões verdadeiras. após o ponto de máxima carga. de forma similar ao que ilustra a figura 3. ou de operações de conformação. o que ocorre antes do surgimento da estricção. pode ocorrer o escoamento sob compressão. como em análises do processo de fratura. para continuar deformando o material. Os testes de tração realizados com materiais dúteis. a curva tensão-deformação então obtida cresce continuamente até a fratura. após algumas manipulações σ = σ 0 (1 + e) (3. fazendo com que as tensões necessárias. tornamse instáveis e a estricção surge durante o desenvolvimento do ensaio. necessária quando os níveis de deformações plásticas são elevados. A equação (3. A curva tensão-deformação real deve ser vista como uma maneira mais exata de caracterizar o comportamento mecânico do material. Caso entre na região compressiva. Na realidade. Por ser a redução de área da seção transversal rápida neste estágio do teste. também precisem ser aumentadas. quando carregado sob tração. a carga necessária para continuar a deformar o corpo de prova também decresce. baseadas na área instantânea do corpo de prova. a curva assim obtida é conhecida como curva tensão-deformação real. baseada na área original. A tensão nominal. usando a equação (3. Se a carga for novamente aplicada.13). e isto faz com que a curva tensão-deformação comece a baixar.4. sob controle de carga.19) assume que exista constância de volume durante o processo de deformação. forem usadas. Deste modo.2) na equação acima obtemos. a curva tensão-deformação real representa também o comportamento qualitativo do material. o metal segue encruando até a fratura. Se a carga é removida o material comporta-se elasticamente ao longo de toda a linha de descarga. Se as deformações são também baseadas em medidas instantâneas.19) A curva tensão-deformação de engenharia não fornece boas indicações das características de deformação dos materiais. Acima do ponto . diminui.15) e (3. bem como uma distribuição homogênea de deformações ao longo do comprimento de referência do corpo de prova. e estas dimensões variam continuamente durante o teste.Comportamento Mecânico dos Materiais 69 σ0 = F / A0 (3. 20) (3. a deformação real deve ser determinada através de medidas instantâneas da área ou do diâmetro da seção transversal. [36].21) A figura 3.12 compara a curva tensão-deformação real com a curva tensão-deformação de engenharia. Com o início da estricção o afastamento das duas curvas é ainda mais significativo. conforme equação (3. em um estado uniaxial de tensões. pelas razões explicadas acima. Este estado de tensões triaxial exige. as tensões reais devem ser determinadas a partir de medidas instantâneas da carga e da seção transversal. Do diagrama tensão-deformação real. provocado pela triaxialidade do estado de tensões. podemos obter os seguintes parâmetros: TENSÃO REAL DE FRATURA A tensão real de fratura é σ f . como decorrência da estricção que leva a uma região com seção transversal variável. Essa tensão deve ser corrigida. pois o efeito de restrição depende desta geometria. já que as deformações são muito pequenas. ε = ln (D 0 / D) 2 ε = 2 ln D 0 / D (3. definida como a carga de fratura dividida pela área da seção transversal. ou de engenharia. pelo efeito de Poisson. Devido a isto. devido à redução da a'rea. é um pouco menor. Nesta figura constatamos que no regime elástico as duas curvas praticamente coincidem. dependendo da geometria do local da estricção. pois na seção da fratura o estado de tensões é triaxial. no instante de fratura. calculada simplesmente como força sobre área. ou então pela relação de diâmetros. Já no regime plástico a curva real começa a se distanciar.17). Além da carga máxima. . Assim.14). desenvolvem-se tensões tangenciais e radiais. conforme dado por (3. a tensão real de fratura.16). para prosseguir com a deformação plástica. A deformação real ε pode ser determinada a partir da deformação convencional. A tensão que efetivamente o material suporta. com a equação (3. porém esta equação só pode ser aplicada até o ponto de aparecimento da estricção. adicionalmente à tensão axial.Comportamento Mecânico dos Materiais 70 de carga máxima. considera também o efeito de restrição à deformação plástica. uma tensão axial maior do que se o estado fosse uniaxial. Outra maneira de calcular ε f é a partir da estricção na fratura. exatamente no ponto em que inicia a estricção.22) onde A f é a área da seção transversal na seção que rompeu.24) . ou seja. Pode ser calculada pela equação (3. é a máxima deformação em que ocorreu. ainda. n.5). onde A R é a área da seção transversal do corpo de prova quando foi atingida a carga máxima. ε f.Comportamento Mecânico dos Materiais 71 σ0 σ σf σR σE εf e ε Figura 3. é dada por: ε f = ln ( A 0 / A f ) (3. ε f = ln [ 1 / ( 1 .ϕ ) ] DEFORMAÇÃO REAL UNIFORME (3. a curva real e a curva de engenharia. ε u = ln ( A 0 / A R ) (3. definida pela equação (3. Esta deformação é da ordem do expoente de encruamento do material.24). uma deformação uniformemente distribuida sobre todo o comprimento de referência. ϕ. ou seja.23) A deformação real uniforme é a deformação no ponto de carga máxima.12 .Comparação entre as duas curvas tensão-deformação. DEFORMAÇÃO REAL DE FRATURA A deformação real de fratura. ν ( σx + σy )) / E sendo válida para um estado de tensões genérico. contudo sem a ocorrência de um acoplamento entre as várias direções. Se o estado de tensões no ponto considerado é uniaxial. Sendo γ a deformação cisalhante. uma característica do material. No caso de um estado de tensões não uniaxial devemos usar a lei de Hooke generalizada. a lei de Hooke fica neste caso expressa por (3.ν εx (3.DEFORMAÇÃO PLÁSTICA E O EFEITO DE POISSON A redução da seção transversal é consequência do efeito de Poisson.25) onde ν é o coeficiente de Poisson. que pode ser a deformação no plano xy.4 .26) γ=τ/G (3. se o material sofre uma deformação na direção do eixo x. pela equação: G = E / (2 (1 + ν)) (3. na forma εx = ( σx . a qual incorpora o efeito de Poisson sobre as deformações nos três eixos. como evidenciado pelo efeito de Poisson. esta deformação ε x induz deformações em direções perpendiculares.ν ( σy + σz )) / E εy = ( σy . temos uma similaridade direta com a lei de Hooke para as tensões normais. ou seja. como no caso do corpo de prova do ensaio de tração. quando dentro do campo elástico. xz ou yz e τ a tensão cisalhante associada ao plano correspondente. provocada por uma carga nesta direção. que é correlacionado com o módulo de elasticidade e com o coeficiente de Poisson.ν ( σx + σz )) / E εz = ( σz . o qual pode ser escrito como εy = εz = .28) . Para as tensões cisalhantes.27) onde G é o módulo de elasticidade transversal do material. dando origem às deformações εy e εz.Comportamento Mecânico dos Materiais 72 3. por exemplo. então as deformações ε y e ε z são provocadas unicamente pelo efeito de Poisson. y e z no caso. as deformações devem ser decompostas nas suas parcelas elásticas e plásticas.2 0. se colocam. o que leva a um coeficiente de Poisson de 0.367 1. podemos definir um coeficiente de Poisson efetivo.318 0.433 5. Neste sentido. Considerando a equação (3. conforme pode ser desprendido das equações (3.400 2. onde o efeito de Poisson deve ser considerado separadamente sobre cada uma das parcelas. pois o coeficiente de Poisson no regime plástico é diferente do coeficiente no regime elástico. Assim quando a deformação plástica for nula. assumindo ν = 0. A tabela abaixo mostra este comportamento.29). Para um estado uniaxial de tensões. para satisfazer as condições de equilíbrio. sendo respectivamente as parcelas elástica e plástica da deformação total ε x .0 0.29) Para a maioria dos materiais metálicos o coeficiente de Poisson.482 O estado de tensões em um dado ponto do material. as deformações passam a ter uma parcela elástica e uma parcela plástica. com ε xe e ε xp . e também pelas restrições à deformação. fica definido em função do carregamento aplicado. Assim. EXEMPLO 3.30. no regime elástico. . função da distribuição de material. EPT e EPD. de grande importância na análise de problemas práticos.5 0.5 ε xp ) (3. podendo fazer com que surjam tensões em direções outras que as das tensões provocadas pelo carregamento.3 ou 1/3. e quando a deformação plástica for muito maior do que a parcela elástica. nos eixos de interesse.( ν ε xe + 0.0 0. Deste modo.28 a 0.5. νeq = ν. a deformação transversal ε y que é provocada por ε x será: ε y = . νeq = 0. εp/εe νeq 0.3. duas situações particulares. que são os estados ditos plano de tensões e plano de deformações.26).Comportamento Mecânico dos Materiais 73 Se o limite elástico do material for ultrapassado. sendo usual adotar um valor de 0. quando no regime elástico. como sendo a relação entre as deformações totais.0 0. quando não é conhecido o coeficiente para o material em consideração. cada uma afetada por um valor do coeficiente de Poisson.5 para as parcelas plásticas de deformação.467 10.0 0.333 0.35. apresenta um valor que tipicamente está na faixa de 0.1 0. esta processa-se praticamente a volume constante. o seu valor depende da relação entre as parcelas elásticas e plásticas das deformações. Pelo mecanismo microscópico de deformação plástica. sendo νeq este valor do coeficiente de Poisson. quando as tensões atuantes no ponto considerado situam-se num único plano. resulta σz = ν ( σx + σy ) (3. quando a peça não está sujeita a um carregamento superficial no ponto considerado. geralmente em pontos internos ao material. todos os pontos situados na superfície de componentes estruturais estão em um estado plano de tensões. desenvolve-se dentro do material apenas quando a deformação transversal é totalmente impedida. Assim. pois mesmo sendo a tensão transversal σz igual a zero. Deve ser salientado que o conceito de espesso ou fino tem uma interpretação relativa. pois pode ocorrer que uma peça com 1 mm de espessura não possa ser considerada fina. como em pontos sobre a superfície externa do material. ou seja. pelo volume de material que envolve o ponto considerado. ou seja. surge a tensão transversal σz. se existe uma restrição à deformação transversal. sendo denominada de estado plano de deformações. as únicas tensões existentes são as tensões normais σx e σy . sendo as outras componentes de tensão necessariamente nulas. εz é igual a zero.26). Esta situação atinge uma condição limite quando o volume de material adjacente ao ponto considerado restringe totalmente a deformação transversal. pelo efeito de Poisson. por exemplo. Nesta situação temos apenas deformações ocorrendo nas direções X e Y. esta situação pode ocorrer desde que não exista restrição à deformação transversal.Comportamento Mecânico dos Materiais 74 Um estado de tensões é denominado de plano de tensões. Esta é uma situação que ocorre em peças fabricadas a partir de chapas finas. εz .1 mm de raio. para que o material existente não venha a restringir o desenvolvimento da deformação transversal. desenvolve-se dentro do material uma tensão transversal σz. quando na presença de um detalhe com 0. como podemos ver das equações (3. EPT. para que pontos internos ao material estejam em um estado plano de tensões. ou seja. respeitando a restrição da ausência de cargas de superfície. Quando não podemos caracterizar para os pontos no interior do material um EPT. no estado plano de tensões. Quando ocorre um estado plano de deformações.30) que é a tensão que deve se desenvolver. o que pode não ser exatamente o caso de peças espessas e com significativas descontinuidades geométricas. as tensões normais existentes no plano provocam o desenvolvimento da deformação εz. EPD. τ xy . . por exemplo. Deste modo. quanto às outras dimensões da peça. e a tensão cisalhante no plano. a peça deve ser relativamente fina. que é decorrência do efeito de Poisson. Para pontos internos ao material. como consequência da restrição à deformação. ou de uma forma abreviada. de um EPD. se estamos analisando o plano XY. Este estado de tensões é facilmente encontrado em problemas reais. Se fizermos a deformação transversal igual a zero. Esta condição. passando pelos modelos de um material elastoplástico ideal e de um material com encruamento linear.13 ilustra os modelos mais usados para uma análise de tensões. Este último é uma simplificação do primeiro.13 . que deve ser adequado ao tipo de análise a ser realizada. Para uma análise plástica. Para um material idealizado como elástico ideal é lógico que o modelo deverá ser usado dentro dos limites do comportamento elástico do material real. A idealização do material como tendo um encruamento linear já é uma melhor aproximação para os materiais reais. partimos dos modelos mais simples. A figura 3.5 . como o de um material perfeitamente elástico. são o de um material elasto-plástico ideal e o de um material rígido-plástico. do que a de um material elasto-plástico ideal. No caso de muitos materiais metálicos a curva tensão-deformação fica caracterizada por um comportamento chamado de encruamento potencial. ELÁSTICO IDEAL RÍGIDO PLÁSTICO ELÁSTO PLÁSTICO ENCRUAMENTO LINEAR ENCRUAMENTO POTENCIAL σ=εE |σ| < σE ε=0 σ=εE ε > ε E σ = σE H= σ=εE σ − σE ε − εE σ=εE σ = k εn Figura 3. ou o de um material rígido-plástico. expresso pela equação abaixo: σ = k εn onde n .Comportamento Mecânico dos Materiais 75 3.31) . que apresentam encruamento. os modelos mais simples para idealizar a curva tensão-deformação do material. chegando a um modelo de um material com encruamento potencial. de modo que seja possível desprezar a parcela elástica da deformação. adotar um modelo para a curva tensão-deformação.expoente do encruamento (3.MODELOS DA CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO É necessário.Curvas tensão-deformação segundo modelos normalmente usados para uma análise plástica. para a realização de uma análise de tensões. aplicável quando temos elevados níveis de deformação plástica. Assim. logo n = ln (1+e).31) for satisfeita pelo material. onde k é interpretado como a tensão limite de escoamento do material. enquanto que o coeficiente de resistência está no intervalo (σ E . A equação (3. o expoente de encruamento situa-se no intervalo (0 . onde k agora representa o módulo de elasticidade do material. e k é a tensão real para o ponto onde ε = 1. caracterizando um sólido perfeitamente plástico. A inclinação desta reta é n. em escalas logarítmicas.14 . O gráfico em escalas logarítmicas da curva tensão-deformação real. O ponto de instabilidade para estes materiais ocorre com ε = n. como: σ = k (ε o + ε p ) n . um material com Os valores de n variam desde n = 0. que caracteriza um sólido perfeitamente elástico. Deste modo.1 e 0. 1). resulta numa linha reta se a equação (3.3 mostra valores de n e k para alguns materiais de uso comum. A Tabela 3. σ = k ε.Diagrama tensão-deformação para encruamento potencial. outros modelos foram sugeridos e a seguir estão apresentadas algumas equações que também podem representar os resultados dos ensaios de forma condizente. a partir do início do escoamento. até n = 1.5.Comportamento Mecânico dos Materiais 76 k .31) nem sempre fornece resultados que são coerentes com os experimentos.tensão real ε . E). Desta forma. σ = k.1.0.coeficiente de resistência σ . 10 3 σ 10 2 Linha elástica k Encruamento potencial 10 1 10 0 ε 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 Figura 3. Para a maioria dos metais os valores de n estão situados entre 0. ou e ≈ exp(n) .deformação real. onde agora apenas a parcela plástica da deformação é que faz parte da equação (3. em um processo de trabalho a frio.19 0. Material Aço 0.54 0. A deformação total é dada pela soma das duas parcelas de deformação: ε = σ / E + ( σ / k )1/n (3. como por exemplo trefilação ou laminação. pelo uso da definição convencional da tensão limite de escoamento. Outra possibilidade é usar a expressão σ = σ E + k ε pn TABELA 3.10 0.002 na equação (3. usando o valor ε p = 0.n (3. rev.31).49 k [MPa] 541 654 1600 1250 330 920 O modelo da curva tensão-deformação com encruamento potencial pode ser posto na forma abaixo. sendo a parcela elástica dada pela lei de Hooke.05% de C Aço SAE 4340 Aço 0. que pode ser pensada como a tensão limite de elasticidade. Em muitas situações de análise plástica é usado o modelo de um material elasto-plástico ideal.3 (3. 704-C Recozido Recozido n 0. quando é usado o modelo de encruamento potencial. 538-C Temp.6% de C Aço 0. pela simplicidade que apresenta.Comportamento Mecânico dos Materiais 77 onde ε 0 é a deformação que o material sofreu antes do ensaio.32) Parâmetros para a curva tensão-deformação com encruamento potencial.26 0. rev.34) ou então.6% de C Cobre Latão Condição Recozido Recozido Temp. resultando σe = ( k / E n ) 1 / 1 .15 0.33) Podemos mostrar que a tensão que delimita o regime elástico do regime plástico. é obtida da intersecção da porção plástica da curva tensão-deformação com a linha do comportamento elástico. e ε p é a parcela plástica da deformação.33). Quando . σe . Existem outros metais que podem apresentar uma ruptura dútil ou frágil em serviço. a maior parte dos estudos. No caso de uma ruptura em serviço. o grau de dutilidade. Se for frágil no ensaio de tração. Para os materiais com comportamento semelhante ao dos aços ferríticos. o comportamento à fratura pode ser previsto a partir das propriedades de tração. Assim é considerado. No caso dos aços auteníticos. em especial os com estrutura cristalina cúbica de face centrada. pois em aplicações práticas sempre rompem de um modo frágil. não se correlaciona com a resistência à fratura em serviço. estando sujeitos a uma transição de comportamento. que representa a energia absorvida por unidade de volume da barra. que possuem um grande encruamento. normalizado. Devido a estes fatos. temos uma falha que geralmente inicia a partir de um defeito pré-existente. baixas temperaturas. 3. será frágil com entalhe. como por exemplo em uma barra de seção uniforme tracionada. Assim. uma fratura dútil é caracterizada por uma grande absorção de energia. como no ensaio de tração.6 . Estes materiais possuem um comportamento complexo. como os aços austeníticos. σL. onde a tensão de escoamento é substituida pela tensão limite de análise plástica. recomenda-se definir σL 15 % maior do que a média. sobre a fratura frágil. difícil de prever com exatidão. também será dútil com um entalhe. Assim.ENSAIO DE IMPACTO Existem materiais intrinsecamente frágeis. é possível ainda usar o modelo elasto-plástico ideal. ao menos de forma orientativa. os aços ferríticos são os mais importantes e possuem um comportamento muito variável quanto à forma de fratura. sob impacto ou ainda sob um estado triaxial de tensão. foram feitos com estes materiais. o que se traduz em uma tenacidade elevada. exceto no caso de entalhes muito agudos ou profundos. o encruamento que o material apresenta. é dútil sob a ação de um carregamento uniaxial. Mesmo baixas temperaturas não alteram este comportamento. ou seja. Esta é definida como a energia específica absorvida durante o processo de ruptura. um aço de baixo carbono. Em alguns casos a tenacidade pode ser facilmente obtida. pois indicam. de um modo aproximado. O parâmetro que caracteriza a resistência à ruptura do material é a tenacidade. Este mesmo aço torna-se frágil quando na presença de entalhes. medida desta maneira. o que nos corpos de prova de . definida como a média aritmética entre σE e σR. e se for dútil no ensaio. Uma fratura frágil possui uma baixa absorção de energia e logo baixa tenacidade. como por exemplo o ferro fundido. dependendo de muitos fatores. os ensaios de impacto são muito úteis. Dentre estes. Infelizmente a tenacidade volumétrica. Para outros materiais.Comportamento Mecânico dos Materiais 78 os materiais reais apresentam encruamento. Isto ocorre porque no ensaio de tração grande parte da energia consumida é utilizada para colocar o material em condições de iniciar a ruptura. A tenacidade é fornecida pela área sob a curva tensão-deformação. em um nível de deformações plásticas suficiente para iniciar o processo de ruptura. Em vista disto. Assim.Comportamento Mecânico dos Materiais 79 tração não ocorre. enquanto o restante é consumido para a sua propagação. Em componentes isentos de defeitos. já que deve-se dispender uma grande parte desta energia para a formação da trinca. . o que eleva a temperatura de transição do material. a energia para a ruptura é elevada. a partir do defeito inicial. a falha ocorre quando energia suficiente é fornecida para propagar a trinca já existente. que podem ser pensados como trincas.15 . A tenacidade volumétrica é de interesse em situações onde é necessário estimar a capacidade de absorção de energia por uma estrutura homogênea. A tenacidade à fratura é fundamental para a análise ou previsão de falhas. bem como causa um estado triaxial de tensões de tração elevado. muitos testes de tenacidade são realizados com corpos de prova já fissurados. em elementos estruturais que habitualmente possuem falhas e defeitos. Assim. é necessário distinguir entre a tenacidade volumétrica. e a tenacidade superficial. Em aplicações práticas esta última é que tem importância.Curva típica CV versus temperatura para aços. que o material consome durante a sua fratura. por unidade de área rompida. pela propagação da fissura. medida como a energia consumida no aumento da área rompida. A fissura inicial reduz a energia necessária para a ruptura. medindo-se a energia. CV [J] ENERGIA PATAMAR SUPERIOR Ruptura dútil Nucleação de vazios Ruptura frágil Mecanismo de clivagem PATAMAR INFERIOR TRANSIÇÃO T [ oC] Figura 3. Esta tenacidade é denominada de tenacidade à fratura. medida no ensaio de tração. um estado triaxial de tensões. Para os materiais fragilizáveis existe uma faixa de temperatura em que ocorre a transição no modo de fratura.Curva típica força versus tempo no ensaio Charpy.17 ilustra o princípio do ensaio e a geometria do corpo de prova Charpy com entalhe em V. estando incluido em muitas especificações de projeto e controle de qualidade. ENSAIO CHARPY Para os materiais com transição no comportamento dútil-frágil os ensaios de impacto são muito úteis. após a ruptura do corpo de prova. A aplicação da carga de impacto é feita por um pêndulo que é deixado cair e. Deve-se observar que a tenacidade medida pelo ensaio Charpy é distinta da tenacidade volumétrica. Os ensaios são feitos a diversas temperaturas para o corpo de prova e assim é obtida a influência desta sobre a tenacidade do material ensaiado. o material passa a romper de um modo predominantemente frágil. em Joules [J]. O entalhe provoca restrições à deformação em direções perpendiculares à direção da máxima tensão principal. ou seja. embora o teste não possa ser usado diretamente para assegurar o desempenho da estrutura em serviço.16 . . bem como é distinta da tenacidade à fratura. medida pelo ensaio de tração. ou seja. O ensaio Charpy mostrou-se valioso para verificar a suscetibilidade dos aços à fragilização na presença de entalhes. A figura 3. A figura 3. é a medida da tenacidade Charpy do material. sendo o ensaio com corpo de prova Charpy com entalhe em V o mais difundido.18 mostra uma curva da tenacidade contra a temperatura para um aço de baixa liga. Esta transição é detectada por uma queda brusca na tenacidade.Comportamento Mecânico dos Materiais 80 F [N] CARGA MÁXIMA CARGA DE PLASTIFICAÇÃO CARGA DE RUPTURA FRÁGIL ENERGIA PÓS FRATURA FRÁGIL ENERGIA PÓS CARGA MÁXIMA t [ms] ENERGIA PRÉ CARGA MÁXIMA Figura 3. medida pelos ensaios de K IC. com um efeito também de concentração de tensão. é determinada a energia absorvida na fratura do material. Esta energia. 25 55 2 45 o Figura 3. conforme já citado. CV [J] ENERGIA Faixa de dispersão de resultados Transição T [ oC] Figura 3. Existem ao menos três métodos para avaliar o grau de fragilização que o material sofre.17 .Comportamento Mecânico dos Materiais 81 LINHA DE CARGA 10 10 40 r 0. é um deles. A aparência da . a uma dada temperatura de ensaio. A energia consumida na ruptura.Corpo de prova Charpy com entalhe em V e princípio do ensaio.18 .Curva tenacidade versus temperatura para um aço de baixa liga. FRATURA FRÁGIL FRATURA DÚTIL EXPANSÃO CONTRAÇÃO Figura 3. menor a energia absorvida na ruptura do corpo de prova. a inspeção do aspecto da superfície rompida fornece informações relevantes. Por esta razão foram propostas vários critérios para definir o valor da temperatura de transição. onde o material fica comprimido. indicando as diferentes regiões da superfície rompida e a deformação lateral de contração junto ao entalhe e da expansão no topo do corpo de prova. a deformação plástica decorrente da fratura dútil provoca uma contração lateral na zona de entalhe.A temperatura na qual a curva energia-temperatura intercepta o nível de 20 J (15 lb.Aspecto de seção rompida do corpo de prova Charpy. pois quanto maior a área que rompeu por clivagem.ft). CRITÉRIOS BASEADOS NA ENERGIA DE TRANSIÇÃO . seja pela aparência da ruptura. . mas. a transição dútil-frágil baseada em um único tipo de medida não é suficientemente abrupta de forma a definir claramente uma temperatura específica. Finalmente.Comportamento Mecânico dos Materiais 82 fratura fornece meios para avaliar a tenacidade do material.ft).19 . . e uma expansão lateral no lado oposto. Assim. em geral. Alguns destes critérios estão descritos a seguir. seja pela energia absorvida.A temperatura na qual a curva intercepta o nível de 55J (40 lb. que fica tracionada. Não existem apenas estes métodos para medir o efeito de fragilização do material por efeito da temperatura. visto que a fratura dutil absorve muito mais energia por unidade de área. A mínima temperatura na qual é ocorre uma ruptura 100% dútil.Propagar a fissura no restante da seção. não há preocupação sobre as diferentes parcelas no consumo de energia. CRITÉRIOS BASEADOS NA APARÊNCIA DA FRATURA . com um consequente comportamento frágil. (Nil Ductility Temperature).Vencer a resistência do ar e dos mancais. Em ensaios normais.Comportamento Mecânico dos Materiais 83 . Em muitas aplicações é dada importância fundamental à temperatura máxima do nível inferior da curva da energia. No ensaio de impacto a energia absorvida do pêndulo é usada para: . A ruptura por cisalhamento consome uma grande fração da energia. Como esta é a temperatura abaixo da qual o aço não se deforma plasticamente na presença de um entalhe. com a ruptura ocorrendo quase que inteiramente . Para os materiais frágeis. geralmente por clivagem. . Para temperaturas ainda maiores atingimos o patamar superior de energia. a região de transição e o patamar superior. sendo considerada apenas a energia total absorvida do pêndulo. NDT.Energia média de transição. a parcela de energia combinada pelos outros fatores pode ser uma porcentagem sensível da energia total. ficando limitado pela temperatura de referência. onde o material é perfeitamente dútil. parte da superfície com uma fratura plana e parte por cisalhamento. . ou seja. conforme figura 3.A temperatura na qual 50% de ruptura dútil é obtida.A máxima temperatura na qual é obtida uma ruptura 100% frágil. é referida como temperatura de transição para dutilidade nula. à temperatura em que a tenacidade começa a subir. . No patamar inferior temos uma nucleação frágil da fissura e uma baixa energia para a sua propagação. Na região de transição ocorre um modo misto de ruptura. Os dois últimos ítens são considerados pela calibração da escala de leitura A curva de energia apresenta três regiões características: o patamar inferior de energia.Acelerar a massa do corpo de prova. usualmente NDT. A temperatura correspondente ao valor médio entre os limites máximo e mínimo de energia absorvida nos ensaios. Esta temperatura em geral situa-se na faixa de 10% a 20% da temperatura absoluta de fusão. Apenas os dois primeiros itens são relevantes nos materiais tenazes. Este valor particular parece ser menos sensível aos métodos de ensaio do que os outros critérios. . No patamar inferior temos uma ruptura frágil. A temperatura determinada por qualquer um destes critérios deve ser comparada apenas com dados obtidos com o mesmo tipo e tamanho do corpo de prova. . .15.Deformar os pontos de contato com o corpo de prova.Iniciar a fissura no fundo do entalhe. Curvas carga-deslocamento para diferentes temperaturas. As limitações que o ensaio Charpy apresenta podem ser listadas como: . Por outro lado. como testes de recepção ou testes para identificar diferentes lotes de um mesmo aço. a propagação também é dificultada. A temperatura de transição para a estrutura não coincide com a temperatura obtida pelo ensaio dos corpos de prova Charpy. dos aços usados em componentes de grandes estruturas. A figura 3.20 mostra as curvas carga-deslocamento em cada uma das diferentes regiões. o ensaio Charpy vale como uma indicação qualitativa sobre o comportamento dútil-frágil. Como o ensaio Charpy não permite prever diretamente o tipo de comportamento em serviço. ou ainda para selecionar um aço dentre vários. F F F T < Tcr δ T ~ Tcr δ T > Tcr δ Figura 3.Comportamento Mecânico dos Materiais 84 por cisalhamento. se dútil ou frágil. É usado principalmente na comparação de diferentes tratamentos e materiais. a simples realização de análises químicas. bem como o volume de material envolvido. quando a correlação do resultado do ensaio com o comportamento em serviço esteja estabelecida e seja confiável. falhando no aspecto quantitativo. Aqui temos dificuldade de formação da trinca. pois a geometria do entalhe é diferente. exigindo altos níveis de deformação plástica.Difícil de correlacionar com o comportamento real em serviço. . os testes devem ser usados comparativamente. De uma forma resumida. ensaios de tração e de dureza podem deixar de indicar a influência de alguns importantes fatores de processamento e fabricação que afetam a suscetibilidade à fratura frágil.20 . Em serviço a ruptura é formada apenas pela propagação. viabilizando uma análise bastante criteriosa dos resultados do ensaio.MODELO PARA A TRANSIÇÃO DÚTIL-FRÁGIL Para explicar a diferença de comportamento de um mesmo material. que produz uma fratura frágil. ou mesmo devido a falhas no próprio processo de fabricação. no sentido de permitir o registro de um diagrama de cargadeslocamento. várias experiências mostraram a existência de duas tensões que fornecem as características de fratura do material. não sendo desta forma representativo da heterogeneidade que a estrutura real possui. Assim. 3.Não é aplicável para aços de alta resistência e para ligas não ferrosas. o qual é pré fissurado por fadiga antes de ser submetido ao ensaio de impacto. originada no fundo do entalhe. Esta tensão provoca a falha por deformação plástica.Comportamento Mecânico dos Materiais 85 . como o ilustrado na figura 3. . a condição que o material apresenta em uma aplicação real fica muito melhor caracterizada pelo corpo de prova e o resultado do ensaio será exclusivamente a energia necessária para propagar a trinca. Isto faz com que o material tenha agora uma trinca aguda.16. pelo movimento de discordâncas segundo um dos planos cristalográficos da estrutura do metal. σeq responsável pelo início do escoamento. . e não mais um raio de concordância no ponto mais solicitado. decorrente de um problema de fadiga. inexistindo assim a energia de nucleação. o ensaio Charpy deve ser modificado. Uma tensão.7 . .O ensaio não separa a energia de nucleação e a energia de propagação. pois apresentam um valor da energia absorvida muito baixo. Outra modificação é agora a de instrumentar a máquina de ensaio. Este registro permite assim obter todos os valores mostrados na figura. pela separação ao longo de um plano cristalográfico. pela perda de coesão entre os átomos. corrosão ou outros mecanismos metalúrgicos.Corpo de prova pequeno. σcl . O ensaio Charpy instrumentado pode ser feito usando um corpo de prova padrão ou um corpo de prova pré-fissurado. É a tensão em que ocorre a ruptura por clivagem. Além do ensaio tradicional duas formas derivadas são atualmente mais usadas. Estas tensões são: Uma tensão. Uma primeira modificação é sobre o corpo de prova. pois a trinca inicial já existe. quanto à energia absorvida na ruptura. MODIFICAÇÕES DO ENSAIO CHARPY Para permitir uma análise mais rigorosa sobre o comportamento real do material. Tal não ocorre com a outra tensão. Esta tensão é a tensão principal σ1 na qual o escoamento tem início.21 .18. Assim a curva de σeq se move para a direita e.Comportamento Mecânico dos Materiais 86 A tensão σeq pode ser encarada compo a tensão principal que corresponde ao início de escoamento do material.21 mostra a variação destas tensões com a temperatura. A figura 3. a ruptura ocorre porque a tensão aplicada ultrapassou σcl . em um . σ1 σ1 : σeq= σE σcl T T1 Tcr T2 Figura 3. que é coincidente com σE no caso de um estado uniaxial de tensões. σcl . Deste modo um carregamento por impacto pode provocar uma ruptura frágil. Se a temperatura for inferior a Tcr . conforme visto na figura 3. mas dentro de uma faixa de temperaturas. acima da qual a falha será por escoamento e portanto com apreciável deformação plástica. σeq . pois o movimento de discordâncias é mais facil de ocorrer a altas temperaturas do que a baixas. o ponto de intersecção com σcl se translada para maiores temperaturas. EFEITO DA VELOCIDADE DE CARREGAMENTO Com um carregamento que é aplicado mais rapidamente. Na realidade a transição entre uma falha por fratura frágil e dútil não ocorre bruscamente. logo é esperado um aumento de σeq com o aumento da velocidade de carga. A tensão de ruptura das ligações atômicas.Tensões características de falha. tendo um valor constante. que varia inversamente com a temperatura absoluta. não depende da temperatura. O ponto de intersecção das duas curvas determina a temperatura critíca. a resistência ao escoamento do material aumenta. portanto. sendo então a falha uma fratura frágil. aumentando a temperatura crítica. Quando as tensões no ponto são de compressão. aumentando assim a temperatura crítica com um maior volume do corpo. a tensão normal necessária para obtermos este será maior. Os contornos de grão funcionam como barreiras para o crescimento das trincas. embora com velocidade normal seja extremamente quebradiço. EFEITO DO ESTADO DE TENSÕES Num estado tridimensional de tensões. havendo assim efeitos contrários sobre a temperatura crítica. a resistência à clivagem do aço diminui. Com granulação fina. em que a temperatura crítica é superior à de um corpo de prova liso. pode-se esperar uma redução da resistência à clivagem σcl . Este fator deve ser considerado quando forem usados resultados de ensaios com corpos de prova pequenos em projetos com grandes dimensões. O resultado final depende da importância relativa deste dois fatores. o que corresponde a uma maior temperatura crítica do que para os aços com granulação fina. logo aumentando a resistência do material considerado. dificultando a fratura. . diminuindo a temperatura crítica. Assim. tem-se uma rede de contornos de grão muito mais intensa do que com granulação grossa. portanto a curva de σeq fica deslocada para a esquerda. quanto à fratura frágil. EFEITO DO TAMANHO DO CORPO Com o aumento das dimensões. com pequenos valores desta tensão de tração já ocorrem valores da tensão tangencial que ultrapassam o valor crítico. que pode ser fletido sob uma deformação lenta. para os aços com granulação grossa a reta de σcl está mais abaixo. embora a tensão de cisalhamento necessária para o deslizamento dos planos atômicos não seja afetada. Em conseqüência. ou seja. escoando a peça. e é aplicada uma tensão externa de tração.Comportamento Mecânico dos Materiais 87 material que é dútil normalmente. É o que ocorre com o zinco. EFEITO DO TAMANHO DE GRÃO Com o aumento dos grãos. desde que todas as tensões no ponto sejam de tração. os valores de σeq aumentam e a curva se move para a direita. pois a probabilidade de haver defeitos críticos aumenta com o volume. Estados de tensão não uniaxiais são obtidos em reservatórios e corpos entalhados. Por outro lado. um maior volume também reduz a tensão crítica de deslizamento. As experiências com corpos cilíndricos lisos mostram que o efeito predominante é sobre a resistência coesiva. Um aumento do tamanho da estrutura tem o mesmo efeito. a fim de se evitar situações perigosas. reduzindo a tensão real nas fibras externas. CONSIDERAÇÕES FINAIS Para se ter uma margem de segurança suficiente deve-se usar materiais com uma baixa temperatura crítica. ou seja. As fibras próximas ao eixo neutro podem suportar parte da carga das fibras mais afastadas. Semelhante argumento pode ser aplicado nos casos de concentração de tensão produzidos por ranhuras ou concordâncias. aumentando assim a temperatura crítica do material. As tensões aumentam nas reentrâncias e nas soldas mal feitas. também. contribuindo para uma maior temperatura de transição. sob tensões mais baixas. Tal se explica porque na flexão a tensão de escoamento é atingida primeiro pelas fibras situadas mais distantes do eixo neutro. nas quais a temperatura crítica do material é a temperatura de serviço do equipamento. Este aumento de tensão de escoamento deve então ser considerado. através de um tratamento térmico que refine o grão. . É importante a determinação correta de Tcr . a curva de σeq é movida para cima. e a formação de planos de deslizamento nestas fibras é evitada em parte pela presença do material contíguo. Esta pode ser reduzida não apenas pela alteração da composição química como. sendo esperado um aumento da temperatura crítica para barras entalhadas.Comportamento Mecânico dos Materiais 88 EFEITO DO GRADIENTE DE TENSÕES É fato sabido que na flexão o escoamento do material inicia com uma tensão sensivelmente superior à tensão de escoamento sob tração. . No Capítulo 4 é discutido o efeito da concentração de tensão. o Capítulo 6 apresenta os conceitos básicos da Mecânica da Fratura Elástica Linear. PARTE 2 FALHA ESTÁTICA Nesta parte 2 são discutidos os modos de falha que ocorrem sob solicitações estáticas. e como que este efeito deve ser considerado. Um ponto que também é detalhado no Capítulo 5 diz respeito ao desenvolvimento de tensões e de deformações residuais. No Capítulo 5 temos a discussão sobre o comportamento elasto-plástico do material e como que tal comportamento afeta a distribuição de tensões e de deformações. que ocorre na totalidade de situações reais. . sendo que no Capítulo 7 é desenvolvida a análise dos processos de fratura que ocorrem com deformações plásticas. no caso de solicitações dinâmicas. ou em eventuais picos de máximo. Para o estudo de peças que apresentam defeitos no interior do material. . porque as tensões que atuam no material excedem em alguns pontos aqueles valores calculados pelo uso das expressões clássicas da Mecânica dos Sólidos. INTRODUÇÃO As tensões calculadas nos diversos componentes e peças estruturais. na forma de uma tensão ou uma deformação. visto serem estes os prováveis pontos críticos. ou seja. Esta situação ocorre seja por uma baixa resistência localizada naquele ponto. É justamente esta última condição que procuramos atacar no presente Capítulo. onde a máxima tensão que atua no material pode ser várias vezes superior à tensão nominal calculada naquela seção da peça.1. seja por um aumento local na solicitação que atua no material. o que faz com que a distribuição de tensões fique perturbada. formando o que chamamos de pontos de concentração de tensão. P 4. que na grande maioria dos casos reais não ocorre. ocorrendo pontos onde temos um . pelo uso das expressões da Mecânica dos Sólidos. Estes pontos são portanto para onde a nossa atenção deve se dirigir. o ponto de início da falha está localizado em um local onde o nível de solicitação ultrapassou o nível de resistência. são valores nominais. [97]. pois as regiões mais prováveis de falha são as que contém seções com alterações da geometria. são válidos apenas se fôr satisfeita uma série de condições. ou seja.CAPÍTULO 4 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO odemos afirmar que para todo e qualquer processo de falha que um dado componente venha sofrer. tais como: . visto que praticamente em toda e qualquer peça ocorre o efeito de concentração de tensão. tipo força sobre área ou momento fletor sobre módulo de rigidez. Estes detalhes estão associados com a funcionalidade da peça. em função da necessidade de introduzirmos .. um rebaixo. devemos ter condições de avaliar o estado de tensões nestes pontos. com indicação dos pontos críticos.Alteração de propriedades elásticas.1 . . Este efeito de um aumento localizado de tensões é fundamental na análise dos modos de falha onde as características locais de resistência do material são importantes. uma rosca. entre outros mais.Cargas concentradas. que ocorrem em toda e qualquer situação onde existem descontinuidades. como os vários exemplos que a figura 4. Assim.1 mostra. O primeiro tipo de descontinuidade é o mais comum em peças e componentes mecânicos. De um modo geral o efeito de concentração de tensão leva a perturbações localizadas na distribuição de tensões.Alteração da geometria. etc. e de usar corretamente esta informação. os pontos de concentração de tensão. Nestes pontos as tensões que atuam podem ser muito maiores que as tensões nominais. pela necessidade de introduzirmos detalhes na geometria da peça.Localização dos pontos críticos Figura 4.Concentração de Tensão 92 aumento localizado de tensões.Exemplos de regiões com concentração de tensão provocada pela geometria da peça. como no caso da fadiga. um rasgo de chaveta. de corrosão sob tensão. de início de escoamento. calculadas usando as expressões habituais. na forma de um furo. . . de uma ruptura frágil. 2 ilustra a distribuição de tensões em uma barra submetida à flexão.2) σ0 M H σ máx σ0 M h Figura 4.2. onde fica evidente a perturbação provocada pela descontinuidade. que é referida como seção ou área líquida. Resultados obtidos por uma análise numérica. considerando como seção resistente a seção mínima. etc.1) (4.Concentração de Tensão 93 detalhes construtivos que são definidos pelas características funcionais do produto. Alguns exemplos são ilustrados na figura 4.2 .Distribuição de tensões em uma barra escalonada submetida à flexão. tanto na região onde a variação de seção não influencia a distribuição de tensões como na seção da transição. No caso ilustrado na figura 4. a tensão nominal será σ0 = M / Wf sendo. Wf = b h2 / 6 (4. Normalmente o estado de tensão na peça ou componente estrutural tem a sua magnitude caracterizada pelo valor da tensão nominal que atua na seção sob análise. . é o ponto onde ocorre de forma mais acentuada o efeito de concentração de tensão. descontando a área devida à presença de furos. Esta tensão é calculada com o formulário tradicional da Mecânica dos Sólidos. Os pontos assinalados como críticos são os pontos onde a tensão que solicita o material atinge um máximo. para uma seção retangular de altura h e largura b. ou seja.1. A figura 4. rebaixos. ou seja. A solução deste problema. K t. submetida a uma solicitação de tração. sendo α = a / r .3 α 2 ) cos ( 2 θ ) ] / 2 σ θ θ = σ 0 [ ( 1 + α 2 ) . Estes métodos podem ser tanto analíticos.σ 0 [ ( 1 . leva às expressões abaixo para o estado de tensões em um ponto de coordenadas (r .Concentração de Tensão 94 Quanto à tensão que ocorre na seção crítica. [75].α 2 ) ( 1 + 3 α 2 ) cos ( 2 θ ) ] / 2 (4. ou experimentais. ou ao menos da tensão ou deformação no ponto mais solicitado do material. porém é necessário recorrer a métodos de análise de tensões mais sofisticados para poder determinar a tensão de pico. como numéricos. O fator de proporcionalidade entre a tensão máxima no local perto da descontinuidade e a tensão nominal é denominado de fator de concentração de tensão.5) (4.( 1 + 3 α 4 ) cos ( 2 θ ) ] / 2 τ r θ = . já que se considera como hipótese básica.α 2 ) ( 1 .DEFINIÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO A tensão máxima. K t. conforme comentado no Capítulo 1.3) EXEMPLO 4. A definição é dada por: Kt = σ máx σ0 (4. σmáx. ou seja.2 . que o material tenha um comportamento elástico linear.3. θ). na forma de gráficos ou equações. O fator de concentração de tensão. σ máx. pela Teoria da Elasticidade.6) . que ocorre na região próxima de uma descontinuidade de um elemento estrutural é proporcional à tensão nominal atuante. Estas perturbações no campo de tensões podem ser previstas e calculadas com o uso de métodos de análise de tensões mais exatos. [107]. esta atinge um valor máximo que é significativamente superior a σ 0.4) (4. contendo um orifício circular de raio a. σ r r = σ 0 [ ( 1 . e independe da intensidade deste último. enquanto o material estiver dentro do regime elástico. na definição deste fator. Para geometrias e carregamento mais comuns a bibliografia possui soluções já obtidas. é compressiva.σ 0.1 Vamos considerar a distribuição de tensões em uma placa. É importante observar que nos pontos com θ = 0 e θ = π a tensão tangencial atinge o valor de . pois com o tratamento convencional da Mecânica dos Sólidos não é possível determinar a concentração de tensão causada pela descontinuidade. depende da geometria do componente e do modo de carregamento. como mostra a figura 4. que possibilitem a determinação do campo de tensões.α 2 ) + ( 1 . 4. com os valores das tensões.4.4. que são os prováveis pontos críticos. em θ = π / 2. σ0 θ 2a σ máx = 3 σ 0 σ0 Figura 4. Nestes pontos temos a distribuição de tensões esquematizada na figura 4.4 . mostrados na figura 4. nos pontos indicados. .3 e 4. Pela análise da distribuição de tensões esquematizada concluimos que os pontos críticos estão localizados sobre o perímetro do orifício.3 . para o ponto mais solicitado.Concentração de Tensão 95 Os pontos mais solicitados. σ /σ0 3 σ máx = 3 σ 0 σθθ 2 1 a σrr r/a 0 0 1 2 3 4 5 6 Figura 4.Placa infinita com orifício circular sob tração. estão em θ = π / 2 e em θ = 3 π / 2.Distribuição das tensões radial e tangencial. Concluimos assim que K t = 3. A tensão nominal na direção y induz uma tensão de tração igual a 3 σ 0 nos pontos A. onde a é o semieixo da elípse. realizada também pela Teoria da Elasticidade. para referir ao caso do furo elíptico. leva à expressão (4.σ 0.Concentração de tensão em placa com furo elíptico. O carregamento aplicado sobre a placa está esquematizado na figura 4. perpendicular à direção de atuação do carregamento e b é o semi-eixo paralelo à direção do carregamento. Podemos determinar as tensões nos pontos críticos pelo uso do princípio da superposição. Sobrepondo os dois carregamentos. com igual intensidade nas duas direções. igual a . para a geometria de um orifício elíptico em uma placa infinita sob tração.Concentração de Tensão 96 Uma análise similar. (4. Kt=1+2(a/b) (4.σ 0 = 2 σ 0 resultando assim em um fator de concentração de tensão efetivo K t= 2.6. resulta que os pontos A e B terão uma tensão máxima dada por σ máx = 3 σ 0 .7). o que é preocupante em termos de segurança. considerando o resultado anterior. e uma tensão compressiva. O valor de K t algumas vezes é referido como K te. nos pontos A temos uma tensão compressiva de . alongados.5 .σ 0 e nos pontos B desenvolve-se uma tensão de tração de 3 σ 0.8) . como é de se esperar.7) σ0 2a 2b σ máx σ0 Kt= 1 + 2 ( a / b ) Figura 4. Para a tensão nominal horizontal. nos pontos B. é fácil obtermos valores de K t da ordem de 5 ou mais.2 Neste exemplo vamos considerar uma placa com orifício circular submetida a um estado biaxial de tensões. Desta expressão vemos que para orifícios elípticos. pois o comportamento elástico é uma hipótese para a definição de K t. Para o caso onde a = b a elipse passa a ser uma circunferência e portanto resulta K t = 3. EXEMPLO 4. 7. submetida a tensões de intensidade diferentes nas bordas ( σ X. .3 Vamos tratar agora o problema de uma placa plana com orifício circular. A geometria e o carregamento do problema estão indicada na figura 4. σY B σX A B A σX σY Figura 4. EXEMPLO 4.Concentração de Tensão 97 σ0 B σ0 A B A σ0 σ0 σA = σB = 2 σ0 Figura 4.Placa com furo sob a ação de cargas em direções ortogonais.2.6 .Tensões nos pontos críticos do exemplo 4. σ Y ).7 . Estas expressões podem ser particularizadas para outros casos de carregamento. O outro caso é de um tubo cilíndrico de parede fina.Tubo circular sob torção. respectivamente: σA=3σY-σX σB=3σX-σY (4. que levam a tensões principais de diferentes magnitudes. No primeiro caso é considerado um reservatório cilíndrico de parede fina. bem como do tipo de solicitação imposta. de parede fina.14) (4. sob pressão interna. Como são iguais em módulo.12) Para um tubo de seção circular. A tensão nominal é igual à tensão cisalhante. A tensão cisalhante no tubo pode ser calculada como: τ = M / ( 2 A t) (4. obtemos que o fator de concentração de tensão no ponto crítico é de 2.Reservatório cilíndrico. onde σ 1= τ e σ 3 = . neste caso: σ A = 3 σ 0 / 2 . com o uso do princípio da superposição resulta σB=3(-σ0)-σ0=-4σ0 σA=3σ0-(-σ0)=4σ0 (4. De acordo com as equações anteriores. este fornece para o ponto A e para o ponto B. serão denominadas de σ 0.5.σ 0 = 0. significativamente maior do que nos outros casos estudados. Aplicando este estado de tensões na região do orifício. podemos dizer que a tensão longitudinal σ Y é a metade da tensão circunferencial σ 0.5 σ 0 .13) sendo M o momento torsor.σ 0 / 2 = 2. A a área média da seção e t a espessura da parede. Aplicando novamente o princípio da superposição. de parede fina.5 σ 0 σ B = 3 σ 0 . sob torção.10) Vemos assim que o efeito de concentração de tensão depende dos valores particulares das tensões que atuam no local considerado. . que fornecem as tensões nos pontos A e B. a tensão nominal do reservatório.15) Para esta situação o fator de concentração de tensão tem um valor 4. onde é aplicado o princípio de superposição sobre o campo de tensões provocado por uma e por outra tensão principal. o estado de tensões fica definido pelas tensões principais σ 1 e σ 3. Para reservatórios cilíndricos longos.Concentração de Tensão 98 As tensões σ X e σ Y podem ser interpretadas como as tensões principais que ocorrem na região do orifício.11) (4. . pois pode-se escrever. A seguir são destacados estes casos particulares. (4.9) (4. função do carregamento externo.τ. 8 . A Tabela 4.σ0 A B B A σ0 . ao final do texto.1 resume os resultados das várias situações discutidas nos exemplos acima.0 σ0 M Figura 4. Com os exemplos vistos fica claro que o efeito de concentração de tensão não é função apenas da geometria.4.5 σ0 σB = 2.Tubo cilíndrico submetido à torção.9 .0 σ0 σB = . Uma coletânea de dados de concentração de tensão para diversas geometrias mais usuais está colocada no Apêndice 3. M σ0 = τ = M / ( 2 A t ) . Maiores informações podem .Concentração de Tensão 99 σ0 = p D / 2 t σ0 / 2 B A B A τ σ0 σ σ0 σ0 / 2 σA = 0.Reservatório sob pressão interna. com orifício.σ0 τ σ σ0 σA = 4.5 σ0 Figura 4. mas também depende do modo de carregamento. Concentração de Tensão 100 ser encontradas na bibliografia especializada.10 0. Igualando as tensões máximas. principalmente nas referências [75] e [79]. Tração uniaxial Tração equibiaxial Reservatório cilíndrico Torção pura K t = 3.0 K t = 2. o que não é usual no caso de concentração de tensão. logicamente. submetida a um estado uniaxial de tensões de tração.50 3.75 4. As tensões nominais são σ 01 = F / A 1 e σ 02 = F / A 2.40 0. No caso deste gráfico deve ser observado que as curvas foram obtidas usando a área plena da placa para definir a tensão nominal.1. vamos determinar os valores do fator de concentração de tensão com base na área líquida. sendo K t1 o fator de concentração de tensão baseado na área plena e K t2 o correspondente fator baseado na área líquida. independe da definição de K t.20 0.31 Figura 4.30 0.4 Neste exemplo vamos considerar uma placa com orifício circular.15 3.10 . σ máx = K t2 σ 02. . TABELA 4.1 do Apêndice 3 fornece os correspondentes valores. r h c b r/c Kt 0. calculado com base na área plena. A tabela na figura abaixo fornece os valores de K t a partir das curvas da figura 2. σ máx = K t1 σ 01 e.38 3.0 EXEMPLO 4. para uma dada carga.1 Fator de concentração de tensão para os casos de carregamento estudados.04 3.Concentração de tensão em placa de largura finita. mas agora com largura finita. A figura 2.5 K t = 4. Assim. logo.0 K t = 2. Para obter o valor de K t baseado na tensão nominal calculada na área líquida devemos inicialmente reconhecer que a tensão máxima que atua no material. Concentração de Tensão 101 K t1 F / A 1 = K t2 F / A 2.74 0.1 0.00 0.0.20 3. As áreas A 1 e A 2 são calculadas como A 1 = b h e A 2 = b ( h . Kt 3. resultando logicamente.10 3.30 3. K t2 = K t1 ( 1 . K t2 = K t1 ( 1 . ou o que é equivalente.00 3.2 0.15 A solução de placa infinita corresponde à relação r / c = 0.75 2. r/c K t1 K t2 0.15 2.0 c 2.37 0.50 4.38 2. K t = 3.r / c ) A tabela abaixo fornece os valores do fator de concentração de tensão conforme a equação acima deduzida.04 2. K t1 / A 1 = K t2 / A 2.40 3. K t2 = K t1 A 2 / A 1.2r ) / h . ou. qualquer que seja a definição da tensão nominal.5 r 3. Substituindo.00 3.52 0.31 2.5 2.5 r/c Figura 4.2r ).11 .3 0. baseado na tensão nominal da área líquida. K t2 = K t1 ( h .2r / h ) e finalmente.Fator de concentração de tensão para uma placa de largura finita sob tração. . logicamente.25 0.0 0 0. Para esta relação temos.4 0. procurando melhorar. levando assim a uma tensão máxima também menor. de forma similar ao esquema c. Os esquemas da figura 4. Em muitas peças a resistência mecânica fica comprometida pela existência de pontos de concentração de tensão. esquemas c e d. fazendo com que a soliciação nominal neste ponto seja muito baixa.12 ilustram estas maneiras de reduzir o fator de concentração de tensão. enquanto que as outras podem ser aplicadas também para . através de rebaixos. como mostra o esquema b. pela necessidade de apoio a uma outra peça que vai montada.12 a. Existem duas maneiras fundamentais de reduzir o fator de concentração de tensões. e assim é interessante suavizar o seu efeito. Do comportamento das curvas do fator de concentração de tensão. Esta última solução só vale para peças planas. Nestes casos uma possibilidade é embutir o raio de concordância.FORMAS DE REDUZIR A CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO Em muitas situações devemos procurar maneiras alternativas de configuração para a geometria do componente sob estudo. ou até otimizar. na figura 4. através de medidas que diminuam o valor do fator de concentração de tensão.3 . A primeira opção de reduzir K t. é no sentido de aumentar o raio de curvatura na concordância na seção crítica. Outra opção é desviar o fluxo de tensões do ponto crítico. ou de um orifício. Em muitos casos isto não pode ser feito como desejado. uma possibilidade que podemos visualizar é aumentar o raio de concordância no ponto crítico e outra é desviar o fluxo de tensões do ponto crítico. Situação original Alternativas de melhoria a) c) Kt r b) d) Figura 4.Formas de alterar a concentração de tensão em entalhes.12 . a sua resistência mecânica.Concentração de Tensão 102 4. por exemplo. 4 .13 . mas de pouco efeito para uma fratura dútil.EFEITOS NA RESISTÊNCIA ESTÁTICA O efeito que a concentração de tensão tem sobre a resistência que uma dada peça apresenta tem pesos diferentes. pelo uso de contornos curvos. M E. No caso da concentração de tensão ser provocada pelo contato entre duas peças. estabelece o fim do comportamento elástico desta peça. uma de comprimento menor em relação à outra. Assim. ou de um modo geral. A carga de início de escoamento é denotada F E. pode ser extremamente prejudicial. ou suavizando a transição de forma do conjunto. Situação original Alternativas de melhoria σ Figura 4. como mostra a figura 4. pinos e parafusos. Q E.Diferentes formas de reduzir o efeito de concentração de tensão para condições de contato entre dois corpos. Como critério de falha temos portanto. 4. é necessário definirmos inicialmente qual o modo de falha em estudo.13. a carga de início de escoamento é a carga que. como é o caso de rolamentos de rolos cilíndricos. atuando na peça.Concentração de Tensão 103 peças com simetria de revolução. para uma falha por fadiga ou por fratura frágil. dependendo do modo de falha considerado. Assim. podemos reduzir o efeito de concentração diminuindo a rigidez das peças na região de fim de contato. . para considerar a concentração de tensão. ou seja. como eixos. para uma carga generalizada. FALHA POR INÍCIO DE ESCOAMENTO Uma falha por início de escoamento é definida quando a tensão máxima que atua no material atinge pela primeira vez a tensão limite de escoamento. ou seja. Se o material for perfeitamente frágil. Com o conhecimento de qual a tensão nominal que satisfaz o critério de falha. FALHA POR RUPTURA RUPTURA FRÁGIL: Uma primeira aproximação sobre o efeito da concentração de tensão na resistência estática. e que neste ponto a solicitação seja definida pela tensão σ 1máx.17) onde σ R é a tensão limite de resistência do material. elástico até a ruptura. σ 0R = σ R / K t (4. portanto. após igualar (4.18).16) e como o material está necessariamente respondendo dentro do regime elástico.17) a (4. é correto escrever σ 1máx = σ 0 K t (4. que é. temos: σ R = σ 0R K t onde σ 0R é a tensão nominal que leva à ruptura e logo. a tensão máxima pode ser calculada pelo uso do fator de concentração de tensão. usando o critério acima. O critério de ruptura é então: σ 1máx = σ R (4.19) . σ eq máx = σ 0 K t e também σ 1 = σ máx .18) e na condição de ruptura. Este critério é equivalente a considerar que σ R = σ cl. é considerar que a ruptura do material inicie no ponto mais solicitado da seção. a carga de início de escoamento. σ 2 > 0 e σ 3 = 0.Concentração de Tensão 104 σ eq máx = σ E (4. quanto à ruptura. a correspondente carga pode ser obtida. (4. ou então baseado em tensões. Assim. sendo designado por εf*. que é o mais correto. da curva tensão-deformação real.) εeq máx. o limite desta para o início do coalescimento dos vazios depende da triaxilidade do estado de tensões no ponto.= σf (depende apenas do material) σmáx. porém é de dificil f aplicação prática. Resumidamente temos então quatro critérios para avaliar a ruptura dútil. portanto (4. σf. Uma maneira mais conservativa é adotar diretamente σR como o valor limite da tensão máxima atuante no material. ε ∗ . Uma forma mais simples é considerar a fratura ocorrendo quando a deformação atingir εf. o critério de ruptura a ser usado é diferente do de ruptura frágil. mas como o material escoa. Os critérios baseados em tensão são mais simples de aplicar.22) . capítulo 2. No caso do critério baseado em deformação.21) σ 0R ≥ σ R / K t (4.= εf* (depende da relação σm. Neste caso o limite é a tensão real de fratura. / σeq. será considerando o critério baseado em tensão. porém tem uma menor precisão do que os critérios baseados em deformação. Assim. Limite na deformação: εeq máx. pela redistribuição de tensões na seção. O critério de ruptura dútil pode ser considerado baseado em deformações. σ máx < σ 0 K t e adotando como critério de ruptura. dois baseados em deformação e dois baseados em tensão.= εf (depende apenas do material) Limite na tensão: σmáx.20) σ máx = σ R temos.= σR (depende apenas do material) No caso de uma ruptura com deformações plásticas o critério mais correto é o da deformação plástica crítica. que não é tão preciso.Concentração de Tensão 105 RUPTURA DÚTIL: Se agora o material apresentar alguma deformação plástica no ponto crítico. o cálculo como feito acima apresentará erros grosseiros. o que leva a uma necessidade da determinação de um grande número de resultados experimentais. é definido o fator de ruptura K R.σ 0 Material Elástico ∆σ 2 = K t σ 0 . Os acréscimos assim definidos serão: Material Real ∆σ 1 = K R σ 0 .Redistribuição de tensões devida ao escoamento do material. O fator de ruptura é função tanto da geometria como do material. σ0 K t Distribuição Elástica Distribuição Elastoplástica σ0 σmáx σ0 K t Figura 4.σ 0 ) . entre o aumento de tensões verificado na realidade sobre o ponto crítico e o previsto para o material elástico.σ 0 ) / ( K t σ 0 .Concentração de Tensão 106 Para quantificar a tensão nominal. como sendo.14 . considerando o instante da ruptura. em um mesmo material. na ruptura com plastificação. para várias geometrias de peças.23) (4. Isto pode ser contornado pelo uso da relação entre os acréscimos de tensão no ponto crítico em relação a σ 0 .σ 0 e logo a relação é q R = ∆σ 1 / ∆σ 2 = ( K R σ 0 .24) onde a igualdade vale para o caso de um material elástico. ou seja. ou seja. K R= σ R / σ 0R KR ≤ Kt (4. um material perfeitamente frágil. os valores da Tabela 4.R aproximadamente constante para um dado tipo de materiai. Podemos considerar o valor de q.R 0. como discutido no Capítulo 2.25 0. se o material for frágil. que fornece o ponto a partir do qual inicia o processo de ruptura por crescimento e coalescimento de vazios. o valor de q.Concentração de Tensão 107 qR = ( KR .R seja próximo de zero. TABELA 4. Carregamento lento Aço temperado e revenido Aço só temperado Ferro fundido Carregamento de impacto Materiais dúteis Materiais duros e frágeis Ferro fundido q. Deste modo.1 ) (4.2 Valores do fator estático de sensibilidade ao entalhe [91]. evidenciando um comportamento intermediário entre um material perfeitamente dútil e um frágil. o ponto de ruptura ocorre com deformações significativamente maiores do que a correspondente ao máximo de carga no ensaio de tração. como uma primeira aproximação. Nas duas situações limites de comportamento do material temos: Material perfeitamente frágil Material perfeitamente dútil q.R situado entre os dois extremos. Assim.00 q.2. No caso dos materiais dúteis o critério de falha mais indicado é o da deformação plástica crítica.6 1. teremos diferentes valores de q.R = 1 q. válida para materiais frágeis.2. dependendo da deformação onde ocorre a ruptura.R denominado de fator estático de sensibilidade ao entalhe. a ruptura ocorre no ponto de máxima carga. fazendo com que q.1 ) / ( Kt .R.R = 0 Os materiais reais normalmente possuem q. ou seja.R depende da forma da curva tensão-deformação do material considerado. .0 0. Assim a tensão máxima.25) sendo q. No caso de um material dútil.4 a 0. podendo-se adotar. é muito maior que σ R . [91]. considerados no ponto correspondente à falha.R 0.5 O fator de sensibilidade ao entalhe depende da diferença existente entre o diagrama tensão-deformação do material e o diagrama de um material elástico. e corresponde à tensão σ R e não existe grande diferença entre σ máx e σ R quando da ruptura. Como critério de falha podemos adotar que a tensão no ponto crítico seja igual à tensão limite de resistência. elasticamente calculada.15 0. como mostra a Tabela 4. 05 D / d = 1.5 . A tensão máxima é dada por σ máx = σ 0. nos gráficos de anexos. As grandezas necessárias para o uso deste são: r / d = 0. EXEMPLO 4.16.5 kNm. é a tensão nominal determinada de acordo com a especificação do gráfico de K t. b) Idem. sob tração.K t onde o fator K t é obtido em função do tipo do carregamento e da geometria da peça. SOLUÇÃO: a) A barra com uma carga de tração de 100 kN está esquematizada na figura 4. c) As cargas de início de escoamento para tração e flexão. porém para uma carga de flexão de 1.1 do Apêndice 3 se adapta perfeitamente para este caso.16 é contruida com um aço SAE-ABNT 4340. por impacto. laminado a quente.15 . O gráfico 1.5 A peça esquematizada na figura 4. d) A carga de ruptura. no Apêndice 3. com as seguintes propriedades: σ E = 635 MPa σ R = 825 MPa ε f = 0.57 Determinar: a) A tensão máxima para uma carga de tração de 100 kN. Quanto à σ 0 .Concentração de Tensão 108 σ σ0 K t σR σR σ0 ε Figura 4.Curvas tensão-deformação para materiais frágeis e dúteis. K t pode ser aplicado no cálculo. é calculada por: σ 0 = 6. segundo o gráfico. sem problemas.4.17.50 = 135 MPa Como o valor da tensão máxima é bem menor que σ E. logo. A tensão máxima é dada novamente por: σ máx = σ 0.16 .M / b.2. logo o uso de K t é válido.2.45 = 99 MPa A tensão σ máx é menor do que a de escoamento.Concentração de Tensão 109 r=5 D = 150 d = 100 b = 20 Figura 4. significa dizer que o material está trabalhando dentro da faixa elástica. está esquematizado na figura 4. será dada por: σ 0 = F / 2000 σ 0 = 50 MPa Com as duas relações geométricas podemos obter do gráfico K t = 2. com carga de flexão de 1.K t Usando as relações anteriores.5 kNm. de dimensões 100 x 20. e através do gráfico 1. A tensão nominal na seção líquida. b) O modelo.d 2 logo σ 0 = 45 MPa σ máx = 2. obtemos o valor K t = 2. . A tensão nominal.7 Com o valor de σ 0 e o fator K t.Barra sob tração para o exemplo 4.7. temos o valor da tensão máxima como σ máx = 2.2. i .Concentração de Tensão 110 σ0 σmáx Figura 4. ou seja: σ E = σ máx = K t σ 0 σ0=σE/Kt e σ0 M σ máx M Figura 4.4.18 .Tensões na barra do exemplo 4. c) Carga de início de escoamento para tração e flexão.Tração: Para o início de escoamento temos que a tensão máxima que pode ocorrer é igual à tensão de escoamento.17 .Distribuição de tensões na flexão. . sendo necessário.M / b.2.b. . implica que as tensões máximas serão maiores do que a de escoamento e ocorrerá plastificação.7 . a definição de K t para o regime elástico não se aplica. d) A carga de ruptura. por impacto.1 ) e portanto.Flexão: Para o início de escoamento a tensão máxima é igual a de escoamento.d 2 / 6.K t . resulta: K R= 1 + 0.5.b. logo: σ E = σ máx = K t. Sendo a tensão nominal σ 0 = 6.1 ) / ( K t .d F R = 891 900 N F R = 892 kN Esta força é que causa a ruptura da peça por uma solicitação de impacto.5. Adotando q. ou M E = 9 621 212 N mm M E = 9. q. Assim: σ 0 = 635 / 2. logo: M E = σ E. 0.R = 0. K R = 1.19.R < 0.7 = 235.σ 0 onde K t é agora o fator de concentração de tensão para flexão.d 2 . temos para carregamentos de impacto e materiais dúteis.1 ) K R = 1 + q.62 kN m Este momento é o necessário para início de escoamento.85 A tensão nominal de ruptura da peça é dada por: σ 0R = σ R / K R σ 0R = 445.100 F E = 470 370 N F E = 470.95 MPa A força de ruptura é assim F R = σ 0R.19 MPa Como F = σ 0 b d .4 < q. Assim. aplicar a definição de q s para o cálculo de K R.4 kN A força acima é a necessária para o início de escoamento. chamada assim de F E. ii . logo F E= 235.( 2. de acordo com o calculado. não muda com a intensidade da carga.( K t .20.R = ( K R . logo é igual ao levantado no ítem a.1 ) Da Tabela 4.R.6. então.Concentração de Tensão 111 O fator de concentração de tensões K t. conforme mostrado. com carga de impacto.12 K t = f( D/d .2 kN. figura 4. Determinar a carga de ruptura para a peça. figura 4.R = 0. σ 0R = F / A σ 0R = 672 MPa 65 r1 30 65 10 16 24 20 1 80 160 2 80 4 Figura 4.Concentração de Tensão 112 EXEMPLO 4. K t = 2. K R = 2. Para determinar a sensibilidade estática do material.68 . A carga de ruptura do corpo de prova foi de 13. Material: Aço SAE-ABNT 4130 com dureza 365 HBN. r/d ).5. sob o efeito de concentração de tensão.R = (K R .1) / (K t .20.20.19 .64 q. foi ensaiado um corpo de prova sob tração.6 A peça ilustrada na figura 4.Geometria da peça do exemplo 4.1) q.19 é solicitada por uma carga de impacto. K R = σ R / σ 0R . σ R = 1427 MPa σ E = 1358 MPa SOLUÇÃO: a) Determinação de q s pela análise do ensaio com o corpo de prova. 5 5 10 Figura 4.Concentração de Tensão 113 r 0. esta seção 2 passa a ser a crítica. Assim. mesmo sob compressão. pois o ponto com concentração está sob a ação de tensões compressivas. pois será a primeira a escoar. . isto porque o material.20 . Se o modo de falha for de início de escoamento.Idealização da peça do exemplo 4.40 N mm 80 80 M Figura 4.5. sob compressão vai escoar. Temos as seções 1 e 2 da figura 4.5. mas não romper.Corpo de prova do exemplo 4. logo não comprometendo a resistência estática da peça. A seção 2 não será a crítica. na seção 1. temos que M = F 80 / 2 = F.19 como candidatas à seção crítica. na posição x = 80 mm. sendo dútil.21 . pela existência de pontos com concentração de tensão. b) Discussão da seção crítica. R ( K t .05 Como a carga é de impacto e existe plastificação.Concentração de Tensão 114 c) Carga de ruptura Como foi comentado anteriormente.1 ) onde q.05 . como detalhado na figura 4.68 ( 1. F R = M R / 40 = 368 000 / 40 .R é o fator de sensibilidade ao entalhe determinado pelo ensaio com o corpo de prova.22.03 30 20 10 Região crítica Figura 4. para esta geometria e carregamento.R = 0. a seção crítica está localizada em x = 80 mm. devemos determinar o fator de ruptura usando o fator estático de sensibilidade ao entalhe. em função da força F. onde.1 ) K R = 1.0 K t = 1.Região de concentração de tensão na peça do exemplo 4.5. conseguimos determinar o seu valor para a ruptura da peça.2 do Apêndice 3. O fator de concentração de tensão. ou seja.4 c / e = 1.034 σ 0R = 1380 MPa O momento que causa a ruptura da peça é obtido a partir da fórmula da flexão M R = σ 0R W f M = 368 000 Nmm A partir da equação do momento fletor.22 . Com isto a tensão nominal de ruptura será dada por: σ 0R = σ R / K t σ 0R = 1427 / 1. e o entalhe que existe neste local é um orifício. q. para obtermos os valores do fator de concentração de tensão são necessárias as seguintes relações: r / c = 0. K R = 1 + 0. é fornecido pelo gráfico 2.68. K R = 1 + q. Escoamento generalizado na área líquida da seção 1. tais como: . F E. . neste Capítulo vimos o conceito e o uso do fator de concentração de tensão. Outro conceito importante é o de carga de início de escoamento. .Escoamento generalizado na seção 2. desde que a tensão σ máx calculada seja menor do que a tensão limite de escoamento. Q E. fazendo com que σ máx = σ E. definida como a carga onde pela primeira vez é atingida a tensão limite de escoamento do material. ou seja. M E. . ressaltando que este uso fica restrito ao campo elástico do material.Concentração de Tensão 115 F R = 9200 N A análise completa desta peça deverá ainda incluir os outros modos de falha prováveis de ocorrer. Resumindo.Escoamento por contato no orifício de aplicação de carga. . o comportamento elástico do material fica limitado pela tensão limite de elasticidade. para que possamos analisar em maiores detalhes o comportamento de uma dada peça quando nas suas condições críticas. pela dificuldade de sua obtenção. porém. Conforme discutido no Capítulo três. podemos dizer que o início da falha vai ocorrer nos pontos mais solicitados do material e nestes pontos a solicitação atuante muito provavelmente ultrapassa o limite elástico do material. de importância fundamental para o estudo da fadiga. Agindo desta forma o material já tem alguma deformação plástica quando o critério de início de escoamento é satisfeito. por algum modo de falha que dependa da resistência e não da estabilidade. Este Capítulo preocupa-se em detalhar alguns aspectos relacionados com a análise do comportamento de uma peça ou componente estrutural. Q . ou quanto à formação de tensões e deformações residuais no material. na prática usamos a tensão limite de escoamento. quanto à capacidade de carga da peça. quando solicitado acima da tensão limite de escoamento. ou da ruptura frágil. na eminência de falha. mas é necessário que o tenhamos sempre em mente. torna-se necessário o estudo do que ocorre com o material quando este penetra dentro da região elasto-plástica. de modo a interpretar adequadamente os resultados obtidos.CAPÍTULO 5 ANÁLISE PLÁSTICA uando uma dada peça ou um componente estrutural vem a falhar. Para aplicações práticas de um modo geral este fato não chega a apresentar problemas ou dificuldades. Assim sendo. por exemplo. quanto à sua resistência mecânica. ou seja.TEORIAS DE FALHA Dentre os mais variados modos de falha que podem ocorrer em componentes estruturais de um produto. ou equipamento. qualquer peça mecânica. Em um enfoque macroscópico. A partir deste estado de tensões podemos determinar. ou elemento estrutural. na figura 5. que é uma situação bastante comum. que habitualmente é dado pelo estado de tensões e de deformações que existe no ponto crítico. as tensões principais e a máxima tensão cisalhante. está sujeita a um complexo estado de tensões. com a correspondente convenção positiva. A tensão σ i é uma das tensões principais e τ máx é a tensão cisalhante máxima no plano. por exemplo. o ponto mais solicitado. de que sempre σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3. .Estado plano de tensões considerado no plano xy. σy τ xy σx τ xy σy σx Figura 5.1 . Uma falha por escoamento é provocada por mecanismos de deformação plástica. para o estudo de uma falha por início de escoamento.1 . As variáveis envolvidas nas equações de transformação de tensões estão indicadas.118 Análise de Resistência Mecânica 5. As equações de transformação de tensões estão colocadas a seguir. Assim. é o de início de escoamento. um dos que primeiro despertou interesse. Devemos lembrar a convenção a respeito das tensões principais.1. como o movimento de discordâncias ao longo de um plano atômico. é necessário conhecermos o estado de tensões no ponto de interesse. e que foi exaustivamente estudado. o início do escoamento deve ser caracterizado pelo nível de esforço que atua sobre o material. para o caso em que o ponto do material sob análise se encontre em um estado plano de tensões. Devido aos carregamentos impostos. Do ensaio de tração podemos. em função das tensões principais. Este relacionamento é feito com grandezas de mesmo tipo.5 (5. A partir do estado de tensões existente na peça podemos determinar as tensões principais. calcular as tensões principais para o ponto de início de escoamento. cujos resultados são listados a seguir. a tensão cisalhante máxima e a energia de distorção. desenvolvidos para prever o início de escoamento. estabelecem os critérios de falha. .1 é calculada a partir das tensões principais σ 1 . A equação que fornece a densidade de energia de distorção para um estado triaxial de tensões. a tensão cisalhante máxima e a energia de distorção. obtidas a partir do estado de tensões existente na peça. por exemplo. com o que acontece em um corpo de prova do mesmo material.σ 2 e σ 3. comparadas com as mesmas grandezas. que ocorrem na peça e no corpo de prova.σ 2 ) 2 + ( σ 1 .5 τ máx = [( σ x . as quais dependem do modo de falha que o material pode apresentar. que ocorrem quando da falha do corpo de prova.An á l i s e Pl á s ti c a 119 σ i = 0. σ 1 = σ ET σ2 = 0 σ 3 = σ EC τ máx = σ E / 2 U d = 2 σ 1 / 12 G (5. Os diferentes critérios de falha procuram relacionar o que acontece na peça em estudo.σ y ) / 2 ) 2 + τ xy2 ] 0.σ 3 ) 2 + ( σ 2 .5 ( σ x + σ y ) ± [( σ x . No caso de uma peça de uma estrutura. Estas grandezas. tomam como referência os resultados obtidos a partir de ensaios de corpos de prova por tração simples. para o estado de tensões indicado na figura 5.σ 3 ) 2 ) / 12 G (5. que ocorrem na peça. os carregamentos normalmente impõem um estado de tensões complexo no material.σ y ) / 2 ) 2 + τ xy2 ] 0. é: U d = (( σ 1 .4) Convém ressaltar que os resultados acima são obtidos a partir dos dados fornecidos pelo diagrama tensão-deformação.3) Todos os critérios de falha. a tensão cisalhante máxima ou então a energia de distorção.1) (5. A tensão normal máxima. caso obtenhamos dados também de um ensaio de compressão. Os índices ET e EC indicam escoamento na tração e compressão respectivamente. no seu ponto crítico. o qual não se assemelha com o que se desenvolve no interior do material em um corpo de prova do ensaio de tração.2) A energia de distorção. Igualando as colunas da tabela fica definido o critério de falha para cada uma das teorias. ou seja. segundo a teoria adotada.σ 3 (5. Essa tensão normal é a tensão equivalente. TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL σ eq.t = σ x / 2 + [( σ x2 / 2 ) + τ xy2 ] 1/2 (5.σ 3 ) / 2 σ eq = ( 6 U d G ) 1/2 Exemplificando para uma situação particular.7) . onde o estado de tensões é o indicado na figura 5. considerando um estado uniaxial de tensões. σ 3 τ eq = ( σ 1 .120 Análise de Resistência Mecânica permitem definir o conceito de tensão equivalente. podemos calcular a tensão normal que. que é a tensão que. A Tabela 5. TABELA 5. σ EC τ eq = σ E /2 σ eq = σ E σ eq = σ 1. leva o material ao mesmo valor limite que o estado de tensões existente na peça.2. no ensaio de tração e na peça.6) TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO σ eq = [ σ x2 + 3 τ xy2 ] 1/2 (5. para a grandeza adotada como a que caracteriza o estado limite do material.c = σ x / 2 . a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante e a Teoria da Máxima Energia de Distorção.5) σ eq. TEORIA TMTN (Rankine) TMTC (Tresca) TMED (von Mises) ENSAIO PEÇA σ eq = σ ET. atuando no corpo de prova do ensaio de tração.[( σ 2 x /2)+τ 2 xy ] 1/2 TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE σ eq = [ σ x2 + 4 τ xy2 ] 1/2 σ eq = σ 1 . considerando um estado plano de tensões nesta.1 Expressões da tensão equivalente segundo as teorias de falha por início de escoamento mais usuais. leva ao mesmo valor para a grandeza considerada como relevante pela teoria que está sendo usada. atuando isoladamente.1 mostra para cada um das teorias de falha a expressão da tensão equivalente. respectivamente a Teoria da Máxima Tensão Normal. As equações abaixo mostram as tensões equivalentes para as teorias indicadas. diferença entre os critérios usados para definir a falha.Elemento de volume submetido a tensões σ x e τ xy. . para uma aplicação correta. .Deformação axial. Estas hipóteses são normalmente colocadas como: . Com isto. temos valores bem definidos para .Energia de deformação. assim.O material é homôgeneo.2 . podemos falar que a causa da falha não é conhecida exatamente. . a situação é bastante diversa. quando da falha. já que as quatro grandezas discutidas anteriormente não atingem os seus valores críticos simultaneamente. . para o instante de falha. No caso de uma solicitação uniaxial. Os critérios de falhas mais comuns. Para o caso de carregamentos uniaxiais. todas as grandezas anteriores atingem o correspondente valor limite ao mesmo tempo. as quais devem também ser satisfeitas quando do uso das teorias.An á l i s e Pl á s ti c a 121 τ xy σx τ xy σx Figura 5. como ocorre para o caso do estado uniaxial de tensões.Tensão normal máxima (tensão principal). sendo que cada uma destas grandezas pode ser usada como parâmetro crítico de um critério de falha.O material é isento de defeitos. Para o desenvolvimento das teorias de colapso foram feitas hipóteses sobre o material. não havendo. .Tensão cisalhante máxima. Para componentes estruturais submetidos a esforços que causam estados bi ou triaxiais de tensões. desenvolvidos a partir das grandezas listadas anteriormente são discutidos a seguir. para qualquer estado de tensão.σ3 σY σE (5. é: . com σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3. considerando a tensão de escoamento como critério para definir o início de falha. Para esta teoria o critério de falha. σE ≥ σ1 . TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL A teoria da máxima tensão normal.8) satisfeita para que o material não venha a deformar-se plasticamente. prevê que a falha do material ocorre quando a maior tensão principal. Para o ensaio de tração a tensão cisalhante se relaciona com a tensão limite de escoamento através da fórmula τE = σE / 2 Para a peça. sob tração. A teoria da máxima tensão cisalhante prevê que a falha do material ocorre quando a máxima tensão cisalhante que atua.3 . Este limite pode ser a tensão limite de escoamento ou a tensão limite de resistência. atingir o limite correspondente ao do material obtido em um ensaio de tração ou compressão uniaxial. em módulo.σ Y .Região de segurança no plano σ X . temos. Esta teoria foi originalmente apresentada por Tresca. ou sob compressão. em função das tensões principais. conforme o caso.122 Análise de Resistência Mecânica TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE.8) − σE σE σX − σE Figura 5. para a teoria de Tresca. para este mesmo material. conhecida também como teoria de Rankine. atingir o valor correspondente ao obtido em um ensaio de tração simples. no material da peça. que devemos ter a desigualdade da equação (5. σRT σY − σRC σRT σX − σRC Figura 5.4 . .9) σ 3 > σ EC . σ RC σET σRT σEC σRC Figura 5.An á l i s e Pl á s ti c a 123 σ 1 < σ ET . σ RT (5.5 .Região de segurança para a teoria da máxima tensão normal.Diagrama tensão-deformação sob tração e compressão. for maior que o valor limite obtido no ensaio de tração do material.6 mostra a representação do critério de von Mises. equação (5.σ 2 ) 2 + ( σ 1 . está representado por: ( σ 1 . prevê que a falha ocorre quando. Para um estado bidimensional de tensões.11) σE σY − σE σE σX − σE Figura 5. Como uma particularização.τ e logo.Região de segurança de acordo com o critério da máxima energia de distorção. sendo a região de segurança definida pelo interior da região eliptica.124 Análise de Resistência Mecânica TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO A teoria da máxima energia de distorção.10).σ 3 ) 2 + ( σ 2 . temos σ 1 = τ e σ 3 = . a energia de distorção. para o caso de torção pura. τ 2 + τ 2 + τ 2 < σ E2 3 τ 2 < σ E2 . em qualquer ponto do material. para um estado triaxial de tensões. a equação anterior fica ( σ x2 + σ y2 .10) onde a desigualdade indica a região de segurança.σ x σ y + 3 τ xy2 ) < σ E2 (5. também conhecida como critério de von Mises. A figura 5. por unidade de volume.6 .σ 3 ) 2 < 2 σ E2 (5. ou de Henky. Este critério. σ3 = 0 σ 1 = τ.p. Em uma análise mais rigorosa para os casos 3 e 4. onde σ e τ são as tensões nominais.Tração uniaxial. σ1 = σ .2 . com pressões elevadas. podemos enquadrá-los em dois grupos principais. através de uma fratura por clivagem. σ 1 = σ. σ 2 = 0.Reservatório esférico com pressão interna. é necessário considerar σ 3 = . com os resultados apresentados na Tabela 5. como porosidades e inclusões. Os casos considerados são os quatro abaixo. σ 1 = σ. σ3 = 0 Para selecionarmos qual a teoria de colapso a ser empregada em uma dada situação devemos saber distinguir os prováveis modos de falha.CONSIDERAÇÕES SOBRE AS PRINCIPAIS TEORIAS A seguir são apresentados alguns casos clássicos de problemas da Mecânica dos Sólidos e as respectivas tensões principais e cisalhante máxima. Este crescimento instável leva à ruptura final. independentes do tempo. cujos mecanismos de falha são comentados a seguir. para esta situação. comparativa entre cada um dos critérios de falha. σ 2 = 0. Ver o capítulo 2 para mais detalhes. para o tipo de problema e carregamento. ocorrendo um crescimento instável de pequenos defeitos. Para a maioria dos materiais usados na prática. σ3 = 0 4 .Reservatório cilíndrico com pressão interna.2. 1 . 2 . Estes modos de falha vão estar ligados com o tipo de comportamento que o material apresenta.12) 5. MATERIAIS FRÁGEIS A falha nestes materiais é em geral por ruptura. σ 2 = σ. σ3 = .577 σ E (5.An á l i s e Pl á s ti c a 125 e na condição de escoamento iminente resulta: τ = σ E / 3 = 0. . σ 2 = σ /2 .Torção pura.τ 3 . [25. e assim é necessário um desenvolvimento teórico mais adequado.Ruptura Frágil.126 Análise de Resistência Mecânica MATERIAIS DÚTEIS A falha por deformações plásticas ocorre por escorregamento dos planos atômicos. 37. . Quando desejamos um maior aprofundamento sobre o comportamento mecânico do material. os modos de falha mais comuns são: . embora a teoria de Mohr seja mais precisa em certas situações. 60]. Para falha devida ao início de escoamento. objeto de estudo dos capítulos 6 e 7. . baseado no nível de deformação plástica que ocorre no ponto crítico e na triaxialidade do estado de tensões neste ponto. após o início do escoamento. Desta forma. podemos considerar que a Teoria da Máxima Energia de Distorção é recomendada para uma análise de início de escoamento. [98]. porém a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante apresenta resultados não muito diversos. a teoria mais exata é a da Máxima Energia de Distorção. com movimento intenso das discordâncias. já que modela melhor o mecanismo de deformação plástica pelo escorregamento dos planos atômicos. o uso da Teoria da Máxima Energia de Distorção ou da Máxima Tensão Cisalhante é uma questão pessoal. sendo de uso mais simples que a primeira. Para o início do escoamento. em peças isentas de defeitos. pela energia de distorção. Para ruptura frágil. estas teorias baseadas em modelos mais simples não se adaptam.Escoamento ou colapso plástico. No caso da existência de defeitos é obrigatório o uso da teoria da Mecânica da Fratura. quando é usada uma ou outra teoria. uma de início do processo de deformação plástica e outra de continuidade da deformação. Para a falha por escoamento. devemos dividir a falha por escoamento em duas partes. o movimento das discordâncias inicia quando é atingido um estado crítico no material. A fratura dútil por sua vez ocorre por um crescimento e coalescimento de vazios que são formados em torno de impurezas do material e um cisalhamento final leva à ruptura. já que os resultados práticos não são muito diferentes. Para a ruptura dútil. enquanto que a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante é recomendada para a análise de deformação plástica. como orientação. a Teoria da Máxima Tensão Normal é suficientemente exata. tratada de uma forma genérica. . de acordo com resultados experimentais. o qual está diretamente relacionado com a tensão cisalhante que age. que é melhor representado. Assim.Ruptura Dútil. O uso das teorias de falha apresentadas adapta-se aos dois primeiros modos. a equação da flexão elástica está baseada em distribuições lineares de deformação e tensão.M y / I onde o sinal negativo vem da convenção adotada para o sistema de coordenadas.FLEXÃO PLÁSTICA O estudo da flexão pura de peças prismáticas. .5 σ E σ=σE σ=σE σ=σE τ = 0. Diz que as seções. é conveniente recordar alguns pontos básicos da teoria da flexão elástica.An á l i s e Pl á s ti c a 127 TABELA 5.Hipótese das seções planas.3 . é assunto dos primeiros contatos com a teoria da Mecânica dos Sólidos. para duas seções planas e paralelas. Assim. Para que possamos estender agora o nosso campo de interesse para a região do comportamento do material com deformações plásticas. deduzida na Mecânica dos Sólidos.Hipótese de material elástico linear. A equação de flexão. planas antes da deformação do material. Esta teoria possui como premissas básicas duas hipóteses: . permanecem planas após a deformação. fornece a tensão na fibra que fica a uma distância y da linha neutra. com a flexão elas permanecem planas. o que implica que a sua abrangência está limitada pelo campo de validade da lei de Hooke. para um material com comportamento elástico ideal. Considera-se na flexão plástica a mesma hipótese cinemática das seções planas.577 σ E σ=σE σ = 1.1547 σ E 5. ou seja. Assim. a distribuição de deformações varia direta e linearmente com a distância ao eixo neutro. .2 Comparação das teorias de falha para os quatro casos apresentados. como: σx = . Acoplada com a anterior leva a uma distribuição de tensões linear ao longo da seção. mas não mais paralelas. conseqüência da segunda hipótese. Esta hipótese tem como conseqüência uma distribuição linear de deformações na seção. PROBLEMA Tração Torção Resevatório esférico Reservatório cilindrico TMTN TMTC TMED σ=σE σ=σE σ=σE σ=σE σ=σE τ = 0. bem como definição das demais variáveis. para desenvolver a formulação que segue.8 . para o caso de flexão plástica.7 . Vamos considerar uma viga submetida a um momento fletor. a distribuição . Como a variação de deformações na seção transversal da barra é fixada pela premissa cinemática. σ1 ε1 Distribuição de deformações ε1 σ1 Material plastificado Distribuição de tensões Figura 5.Seção transversal de elemento sob flexão.128 Análise de Resistência Mecânica M dA y M LN CG Figura 5.Distribuição de tensões e deformações. segundo uma direção principal de inércia. y . que ocorre em um ponto a uma distância y 1 da linha neutra. as equações da estática também são usadas para a formulação da flexão plástica. Para uma seção qualquer.An á l i s e Pl á s ti c a 129 de tensões pode ser obtida pela curva tensão-deformação.Distância do eixo z à área dA.8.Binário de forças internas na flexão.9 . no diagrama da figura 5. a uma deformação de tração ε 1 . atuando na área dA. corresponde. estabelecendo as condições de equilíbrio: Σ F = 0 ou ∫A σ dA = 0 Σ M = 0 ou ∫A σ y dA = M onde: σ . + Distribuição de tensões T C Forças resultantes a b Figura 5. .Tensão normal. Devemos observar que o eixo neutro contém o centro de gravidade da seção apenas quando a seção transversal tem dois eixos de simetria e o diagrama tensão-deformação tem um comportamento simétrico na tração e na compressão. De modo similar temos que para um ponto a uma distância y 2 ocorre uma deformação ε 2 e uma tensão σ 2 . a uma tensão σ 1. já que a posição da linha neutra não é conhecida a priori. para resolver as equações anteriores é necessário um procedimento iterativo de tentativas e erros. Tal é feito sucessivamente para todos os outros pontos da seção . Como no caso de flexão elástica. Por exemplo. pois permite uma visualização do comportamento da viga em flexão. e para as de compressão (abaixo da linha neutra). a distribuição é bastante discrepante. serve para fixar o mecanismo do comportamento plástico de uma barra sob flexão. localizando assim um eixo provisório. . Σ F = 0. formada por um material com diagrama tensão-deformação de mesmo comportamento na tração e na compressão. Se a tensão σ R corresponder à resistência de ruptura do material. como mostra a figura 5. σ3 σ2 σ1 Distribuição de deformações ε1 ε2 ε3 σ1 σ2 σ3 Distribuição de tensões Figura 5. Este modo de cálculo é bastante trabalhoso e métodos mais rápidos para solução do problema foram desenvolvidos. Com a distribuição de tensões consegue-se determinar as forças resultantes T e C. porém se o diagrama tensãodeformação apresentar curvatura pronunciada. a partir da linha neutra. resultando na distribuição de tensões da figura 5.8. O momento resistente é calculado por T (a + b) ou C (a + b). para as tensões de tração (acima da linha neutra).Tensões de flexão em uma seção retangular. Iterativamente a determinação das forças. O caso particular de uma viga de seção transversal retangular.130 Análise de Resistência Mecânica Outra maneira de resolver o problema consiste em admitir uma distribuição de deformações. conforme determinada no ensaio de tração. tal como o da figura anterior.9. o momento fletor de ruptura pode ser determinado já que está associado à distribuição de tensões na viga. isto é. localizadas por a e b. a distribuição de tensões apresenta poucas diferenças daquela prevista pela teoria da flexão elástica. é feita até que a condição de equilíbrio seja satisfeita. Para materiais que apresentem um comportamento quase linear até a ruptura. além do limite elástico.10 . Este processo é equivalente à integração da equação de equilíbrio de momentos e a convergência é alcançada quando T = C e T (a + b) = M. porém o processo é interessante do ponto de vista didático. pois todos os pontos da seção transversal já atingiram a tensão limite de escoamento e portanto não existe mais material elástico que possa ter a sua tensão elevada. a distribuição de tensões é constante na zona plastificada e logo qualquer aumento de carga só pode ser equilibrado por um aumento da zona plastificada.An á l i s e Pl á s ti c a 131 Outro exemplo clássico de flexão plástica é mostrado na figura 5. fazendo portanto com que esta penetre mais no material. A situação limite ocorre quando toda a seção atingir a tensão limite de escoamento e logo a viga não possuir mais capacidade de suportar qualquer aumento de carga. necessariamente. uma plastificação que inicia nas fibras externas do material.11. Até o momento M E. σE σ1 Distribuição de deformações εE σE σ1 σE Distribuição de tensões Figura 5.E é atingido pela primeira vez. de início de escoamento. a distribuição é linear e logo todo o material está no regime elástico.Tensões e deformações de flexão para um material elastoplástico ideal. Nesta situação temos que o momento aplicado atinge o chamado momento de plastificação. Como o material é considerado elasto-plástico ideal. Nesta figura temos ilustrado como a distribuição de tensões se altera conforme o carregamento externo de flexão é aumentado. Para qualquer aumento no esforço de flexão ocorre agora. para uma barra de material elastoplástico ideal. a tensão limite de escoamento é atingida na seção crítica. . para equilibrar um aumento de carga. penetrando para o seu interior a medida que a carga aplicada cresce. Quando M.11 . que é a máxima carga possível de ser suportada pela peça. 13) Esta expressão será particularizada para o ponto de início de escoamento e para o ponto de plastificação total da seção.13. O momento resistente é dado por M = ∫A σ y dA (5. Esta situação corresponde à máxima carga que pode ser suportada pela viga. σ = σ E y / ( h / 2 ). PLASTIFICAÇÃO TOTAL DE UMA SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR Agora vejamos o caso limite de plastificação total da seção transversal. NO PONTO DE INÍCIO DE ESCOAMENTO Aqui vamos considerar que o material tem um comportamento perfeitamente elástico e que a tensão na fibra mais solicitada é igual à tensão limite de escoamento do material. Da geometria da distribuição de tensões temos σ / y = σ E / ( h / 2 ) e logo.132 Análise de Resistência Mecânica 5.FATOR DE FORMA No estudo do comportamento plástico de peças e componentes estruturais. quando todos os pontos escoaram. uma hipótese normalmente feita quanto à relação constitutiva do material (relação tensão-deformação) é de que o material possui um comportamento elasto-plástico ideal.11. M E = σ E W f onde W f é o módulo de resistência à flexão da seção da viga e M E é o momento de início de escoamento. Assim. portanto sem encruamento. dado pela . ficando a tensão igual à σ E durante toda a região de comportamento plástico. levando a uma distribuição de tensões como a ilustrada na figura 5. Para ilustrar o procedimento vamos considerar uma viga de seção retangular submetida à flexão pura.4 . como mostra a figura 5. que é produzido pela carga para a qual pela primeira vez é atingida a tensão limite de escoamento. ME = σE b h2 / 6 (5. obtida no ensaio de tração.14) ou ainda. COMPORTAMENTO ELÁSTICO. M = 4 b σ E / h ∫0h/2 y 2 dy = σ E b h 2 / 6 ou. pois não existe maneira de um aumento do momento interno. 13 . .Tensões de flexão no início da plastificação. vem M P = 2 ∫0h/2 σ E b y dy M P = σ E bh2 /4 (5. e usando a equação (5.12 . σE σE Material plastificado Plastificação parcial da seção εE σE σE Material plastificado Plastificação total da seção Figura 5.Distribuição de tensões na plastificação total da seção.15) σE σE Comportamento elástico εE σE σE Início de escoamento Figura 5.An á l i s e Pl á s ti c a 133 distribuição de tensões ao longo da seção transversal. Para o caso de um material sem encruamento.13). ainda elástico.16) onde k é denominado de fator de forma. É teoricamente a carga máxima que a seção pode suportar.P. No início de escoamento temos M.33 - Basicamente o fator de forma cresce quando aumenta a fração de material próximo à linha neutra.P = k M. ou colapso plástico que corresponde ao momento para a qual todos os pontos da seção estão dentro do regime plástico. no interior da seção para suportar novos acréscimos de carga.7 2.5 ou seja. O fator de forma depende do tipo de seção transversal.P é a carga de plastificação. logo a relação entre a carga de início de escoamento e a de plastificação é: M.E (5. e a tabela abaixo apresenta os valores para algumas das seções mais empregadas em problemas estruturais. para que a viga possa suportar todo o momento M. como no caso de uma seção de forma losângular.E. Neste caso. é necessário que o material possua dutilidade suficiente. temos k = 1.06 a 1. pois caso contrário podemos ter o início da ruptura com uma carga inferior à carga de plastificação. . já temos plastificada uma grande parcela da seção transversal. Tipo de seção Seção retangular Seção circular Seção em losango Seção tipo I Flexão 1.P seja muito maior que M. É conveniente salientar que. num material sem encruamento. onde o material está concentrado longe da linha neutra.3 Fator de forma para algumas seções. Para o caso da seção retangular analisada.134 Análise de Resistência Mecânica O momento M.E = σE Wf. TABELA 5. Isto tem como resultado um baixo fator de forma.18 Torção 1. para flexão e torção. o momento necessário para plastificar toda a seção é 50% maior do que para o requerido para o início de escoamento. mal iniciado o escoamento. O inverso ocorre com uma seção do tipo I. com M.E . de modo a permitir a plastificação de toda a seção. dentro da hipótese de um material elastoplástico ideal.5 1. já que depende única e exclusivamente da forma da seção transversal considerada.P apenas ligeiramente superior a M. fazendo com que M. restando pouco material.0 1. 16) é válida apenas para situações em que a seção transversal é constante. rapidamente atingimos a carga de plastificação.5 1. pela relação entre carga de plastificação e a carga de início de escoamento. quando o material é elastoplástico ideal. porém uma vez iniciado o escoamento neste tipo de seção. k Flexão 1. Assim. A figura 5. o momento aplicado pode ser obtido como segue. É importante salientar que a equação (5. Assim. por apresentar um momento de inércia maior.5 . Para uma seção tubular a figura 5. como definido.0 0 Tração 0. para o cálculo da carga de início de escoamento o efeito de concentração de tensões é importante e deve ser usado.Fator de forma para seções circulares vazadas. mas para a determinação da carga de plastificação este não tem efeito. uma seção do tipo I é muito mais resistente.0 di / do Figura 5. conforme deduzido acima.An á l i s e Pl á s ti c a 135 Por outro lado. quanto à flexão elástica. O fator de forma.15 mostra a distribuição de tensões para uma seção parcialmente plastificada.14 . é lógico que.5 di do Torção 1. o fator de forma na realidade vale somente para o caso em que Kt é unitário. sem efeitos de concentração de tensões. na obtenção do valor de 1.14 mostra o fator de forma em função do tipo de carregamento.K t. no caso com concentração de tensão. A região plastificada da seção . ficando a relação entre a carga de plastificação e a de início de escoamento. pois estes afetam a carga de início de escoamento. 5. não sendo considerado.FLEXÃO COM PLASTIFICAÇÃO PARCIAL DA SEÇÃO Para uma plastificação parcial da seção transversal. seria afetado pelo fator de concentração de tensão. em uma viga de seção retangular constituída de um material elastoplástico ideal.5 para a seção retangular. dada pelo produto k. devido ao baixo valor de k. até a tensão de escoamento na interface elastoplástica. M. ainda elástico. tem-se logo M = σ E W f (1 + 2 ξ .136 Análise de Resistência Mecânica penetra uma profundidade c no material.2c h Figura 5.1 é o momento da parte plástica da distribuição de tensões e M. é a razão entre a altura do material plastificado e a altura total da seção.15. onde a tensão é constante e igual à tensão de escoamento. resulta .2 o momento da parte elástica da distribuição de tensões. na parte interna. ou seja. e outra equilibrada pela distribuição elástica.2 ξ 2 ) e como M E = σ E W f . a tensão possui uma distribuição linear. desde zero sobre a linha neutra. M = M1 + M2 M1 = ( σE b c ) ( h . No núcleo. Executando a soma dos momentos chega-se a: M = σE Wf [ 1 + 2 ( c / h ) . uma equilibrada pela distribuição de tensões da região que escoou.c ) M 2 = σ E b ( h .Seção parcialmente plastificada. correspondendo respectivamente desde um comportamento elástico até um comportamento plástico total.5.2c ) 2 / 6 σE Material plastificado c Plastificação parcial da seção h .15 . portanto variável desde 0 até 0. Podemos decompor o momento externo aplicado em duas partes.2 ( c / h )2 ] Denominando a relação c / h de ξ. figura 5. o resultado pode ser obtido pela solução da equação do segundo grau.2 ( M / M E . desde que permaneça válida a hipótese de uma distribuição linear de deformações ao longo da seção. . é possível obter a deformação na fibra externa.Determinação da deformação máxima. 0.1) = 0 cuja solução fornece ξ = [ 1 .An á l i s e Pl á s ti c a 137 M / M E = (1 + 2 ξ .1) ) 1/2 ] / 2 (5.2 ξ 2 ) com a condição de que M > M E. εE ε máx h . já que só uma raiz satisfaz o limite físico de plastificação total. (5. ξ 2 .16 . Conhecendo a profundidade plastificada.2c h c Plastificação parcial da seção Figura 5.5 (M / M E . Sendo assim.17) Quando é conhecido o momento M aplicado e se deseja saber a profundidade plastificada. as equações.ξ + 0.18) com a condição de que ξ esteja no intervalo ( 0. pois a deformação na profundidade c é igual a εE.( 1 .5 ). derivada da equação anterior. 000 1.000 1.429 0.581 1.5 Linha elástica 1.0 εmáx / ε E 10.Variação de M / M E em relação a variação de ε máx / ε E e ξ. permitem determinar a deformação máxima na fibra mais externa. Por semelhança de triângulos.350 1.146 0.082 5.470 1.4 Evolução da profundidade plastificada relativa e da deformação máxima. da distribuição de deformações.490 1.378 0.536 4.499 1. para uma viga com seção retangular. ε máx / ( h / 2 ) = ε E / ( h / 2 .440 M / ME 0.184 0.414 1.100 1.5 ξ Figura 5.4 mostra a evolução de ξ e de ε máx / ε E à medida que a relação M / M E cresce.2 ξ ] .250 1.342 0.480 1.498 1.500 2.300 1.291 1.1 onde ξ = c / h.000 0.478 0.0 0. desde 1 até 1.0 0.000 15.000 7.420 1.500 M / ME 0.468 0.113 0.236 2.460 1.450 1.500 3.0 0.450 0. para uma seção retangular.17 . TABELA 5.327 1.162 3.826 2.118 1.0 5.811 22.361 ∞ 1.887 1.400 1.053 0.071 10. Substituindo na equação anterior resulta ε max M = 1− 2 −1 ME εE R F S GH T IJ U KV W −1/ 2 (5. ou seja.5 1.359 0.226 0.19) A tabela 5.c ) ou ε máx / ε E = [ 1 .400 0.0 1.495 1.276 0.138 Análise de Resistência Mecânica desenvolvidas a seguir. .5.300 0. M/ME ξ ε máx /ε E M/ME ξ ε máx /ε E 1. do início de escoamento até a plastificação total da seção.200 1. a viga age como uma rótula na seção escoada. Assim. dobrando sob a ação do momento M P. fica uma curvatura residual. conforme mostra a curva M / M E ε máx / ε E.5.6 .4 e 3. como a figura 5.17 ilustra que quando M ultrapassa M E. a . pois caso contrário teríamos uma resultante não nula agindo. é elástico durante a descarga e devido às deformações plásticas. e a seção não tem mais condições de suportar qualquer acréscimo de carga e a curvatura tende a infinito. as deformações e deslocamentos passam a aumentar mais rapidamente do que no caso elástico. 5. desde que a tensão de descarga não ultrapasse a duas vezes a tensão limite de escoamento. temos o limite ε máx ∞.18 . MP Região plastificada MP MP Rótula plástica MP Figura 5. sob ação do momento M P. O estado de tensões residuais pode ser determinado considerando que.Representação da rótula plástica de uma barra submetida a flexão. tanto de forças como de momentos. quando do fim da descarga. após o material ter escoado. e se aproxima de M P. Assim. o material se comporta linearmente. pois caso contrário o material escoará agora sob compressão.18 ilustra. durante a descarga o material passa a ter um comportamento perfeitamente elástico.An á l i s e Pl á s ti c a 139 A figura 5. Esta descarga é elástica. ou seja. quando do carregamento. Como a viga está descarregada e em equilíbrio. Esta situação final corresponde a um estado deformado da viga e dentro do material fica um estado de tensões e deformações residuais. previamente existentes. como pode ser visto nas figuras 3. Para M = M P.DESENVOLVIMENTO DE TENSÕES RESIDUAIS Quando a carga de flexão é aliviada. o que violaria o equilíbrio. a distribuição de tensões deve também estar em equilíbrio. 140 Análise de Resistência Mecânica distribuição de tensões resultante da descarga. σE σE M1 εE M1 Plastificação parcial da seção σE σE σE Descarga elástica da seção Figura 5. de igual magnitude. com a condição de que ME < M1 < MP (5. com comportamento elastoplástico. agora. com os devidos à descarga. De um modo geral. Vamos considerar que M 1 seja o momento que plastifica parte da seção. Desta forma é possível obtermos as tensões e deformações residuais na seção da viga.19 .20) sendo M E o momento de início de escoamento.Tensões da flexão em carga e descarga. é a distribuição de um material elastoplástico ideal e a do segundo é a distribuição linear correspondente à descarga elástica que o material sofre. Para determinar o estado de tensões e deformações residuais. a descarga pode ser imaginada como um carregamento simétrico ao aplicado. assumindo. O campo de tensões e de . A distribuição de tensões do primeiro momento. imaginada agindo isoladamente. M 1 o momento externo aplicado e M P o momento de plastificação total da seção. mas de sinal oposto ao do carregamento. pode ser considerada como uma distribuição de tensões de um material com uma tensão limite de escoamento igual a duas vezes a tensão limite de escoamento do material real. um material com comportamento elástico. devemos sobrepor os campos de tensões e de deformações devidos ao carregamento. de comportamento elástico. No caso da flexão plástica a descarga pode ser pensada como a soma de um momento. o de carregamento. o estado de tensões e deformações residuais.20 .An á l i s e Pl á s ti c a 141 deformações quando da descarga é obtido adotando um carregamento de sinal oposto ao que atua na peça. como é ilustrado no diagrama da figura 5. a descarga é caracterizada por um momento M 1. presumindo um comportamento puramente elástico do material. no caso da flexão plástica. é igual ao estado devido ao comportamento real que o material apresenta ( elastoplástico ). A superposição dos dois campos de tensão está representada na figura 5. de igual intensidade ao aplicado.19. obtido após a descarga completa. esquematicamente é possível escrever: E ESTADO RESIDUAL = E ESTADO ELASTOPLÁSTICO .21) . sobreposto ao estado de tensões e deformações devido à descarga. designada σ r. após a descarga do momento.E ESTADO NA DESCARGA ELÁSTICA ou seja. que é a máxima da seção. agindo sobre um material elástico.Estado de tensões residuais. mostrando a distribuição resultante de tensões residuais. porém de sinal oposto. Isto implica que a tensão máxima do momento de descarga é maior que a tensão máxima que ocorre no momento de início de plastificação. considerada elástica. σE σ σr Plastificação parcial sobreposta com a descarga elástica da seção Estado de tensões residuais resultante Figura 5. vale: σr = σE . Assim. Sendo E o estado de tensões e deformações.σ (5. A tensão residual que fica na fibra externa.20. então ocorre uma nova plastificação. o material se comportará elasticamente. ε r.1 ) σE (5.142 Análise de Resistência Mecânica sendo σ a tensão da descarga elástica.21 . Se M 2 < M 1. reduzindo a quantidade de material elástico na seção. A deformação residual. como a figura 5. a tensão residual máxima. o material vai ter uma solicitação que é agora a superposição do campo de tensões residuais com o provocado pelo momento atuante. . Em uma nova aplicação de carga. Se M 2 > M 1.21 ilustra. é de igual sinal ao do carregamento imposto. em módulo. na seção fica limitada a | σr | < ( k .22) onde k é o fator de forma. bem como nas tensões residuais que se desenvolvem. digamos M 2. com o estado residual σ r e ε r.M1 / Wf Desta forma. calculada como σ = M 1 / W f. σ σE σ εr ε σr Figura 5. como M 1 < M P. Esta nova plastificação leva a um aumento nas deformações residuais no material.Descarga do material. σr = σE . e logo. sob compressão. independente do tipo de carregamento.Efeito de uma nova carga.t > 2 σ. já que não ocorre escoamento.0 K.el = σ.E.el. ocorre uma nova plastificação na descarga. e portanto a tensão residual será nula. sobre σ r e ε r.E. a tensão no ponto crítico mantém-se igual ao valor da tensão limite de escoamento. com alteração no campo de tensões quando da descarga. quando da descarga não ocorre nova plastificação.23) Se o campo de tensões fornecer no ponto crítico uma tensão elasticamente calculada. tal que σ. se σ 0 for a tensão nominal devida ao carregamento aplicado. maior que a anterior.ESCOAMENTO COM CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO O mesmo raciocínio descrito na seção anterior pode ser usado para determinar o estado de tensões e deformações residuais em qualquer peça mecânica..0 K. A tensão residual será obtida somando à tensão limite de escoamento a tensão calculada elasticamente. Mas. a tensão no ponto crítico é obtida usando o fator de concentração de tensão.22 . ocorrendo escoamento no fundo do entalhe. aplicada pela descarga.el = σ. σ.σ0 Kt (5. Para o caso de peças com pontos de concentração de tensão. a tensão residual quando da descarga será σr = σE . Neste caso o escoamento é sob compressão e vem que . caso estejamos no regime elástico. Mantendo a hipótese de um comportamento elastoplástico ideal. 5. No caso de σ.7 .t < 2 σ.An á l i s e Pl á s ti c a 143 σ σE σ εr ε σr Figura 5. 144 Análise de Resistência Mecânica σr = . bem como a distribuição de tensões residuais.24 .24.Distribuição de tensões residuais com escoamento na descarga. Distribuição Elástica Distribuição Residual Distribuição Elastoplástica σ0 K t . σ0 K t Distribuição Elástica Distribuição Residual Distribuição Elastoplástica σE σr σ0 2 σE Figura 5.24) como ilustra a figura 5. .23 .que mostra a distribuição de tensões durante a carga e a descarga.Tensões residuais em uma região de concentração de tensão.σE (5.σE σE σ0 2 σE σr Figura 5. 2 (1/4) 2 ) M = 100. ξ = 1/4 e logo. A tensão residual é . para uma seção retangular as cargas sob flexão para início de escoamento e de plastificação são: ME=σEbh/6 MP=σEbh/4 M E = 73. Assim. bem como M E e M P.83 kNm εE ε máx= 2 εE 200 h/2 h h/4 50 Plastificação de 50% da seção Figura 5.1 e distribuição de deformações com plastificação parcial.17).1 Determinar a tensão e deformação residuais na fibra mais externa para uma viga de seção retangular submetida a um momento fletor que plastifique 50% da altura da seção. As características da seção transversal e do carregamento são dados a seguir. segundo (5.25 . o momento aplicado.3 kNm M P = 110 kNm Para a plastificação de parte da altura da seção.An á l i s e Pl á s ti c a 145 EXEMPLO 5.Geometria do exemplo 5.2 ξ 2 ) e para plastificação de 50% da seção tem-se c = 50 mm. O material é um aço SAE-ABNT 1018 com as seguintes propriedades: E = 210 000 MPa σ E = 220 MPa SOLUÇÃO: Conforme visto anteriormente. M = M E (1 + 2 ξ . substituindo. M = M E (1 + 2 (1/4) . ε E = 0.00210 ε r = ε . ocorre em componentes que possuem pontos com concentração de tensão.00105 2 ε E = 0. menos a deformação elástica da descarga.00105 σ ( 302. anteriormente determinada. quando do carregamento. passa a existir uma restrição à deformação plástica do material. mesmo sem considerar qualquer encruamento que o material venha a apresentar.26 .P. que no caso vale 2 ε E . em muitos casos. ou M. não representa ainda. A carga de plastificação da seção.1.5 ) ε e = 0. onde justamente nas seções onde estão estes pontos temos uma redistribuição de tensões. é necessária uma tensão maior do que a tensão limite de escoamento .Carga e descarga da peça do exemplo 5.00143 Figura 5.ε elástico ε r = 0.82.5 MPa A deformação residual é calculada a partir da deformação na fibra externa. o limite máximo da capacidade da peça suportar carga. ou seja.00210 ε σr ( -82.P.00066 ) 0.00066 σ σE ( 220 ) ε E = 0. que pode levar ao surgimento de um estado triaxial de tensões. Nesta situação. Esta capacidade de suportar carga além de F.146 Análise de Resistência Mecânica σr=σE-M/Wf onde W f = 333333 mm logo σ r = .5 ) εr ( 0. . . como discutidos no Capítulo 2. Quando o campo de tensões é plenamente conhecido.Corrosão sob tensão. Este aumento de tensão. .Corrosão. para atingir a condição de plastificação completa da seção. comparativamente.Fadiga.P ou M. tanto analíticas como experimentais. Uma pergunta cuja resposta é fundamental é o que fazer com estes números calculados de tensão.Deformação plástica progressiva (incremental). Tratando com estes modos de falha. a menos que esteja definida também a sua localização.An á l i s e Pl á s ti c a 147 para que o material venha a escoar efetivamente. ou não. e como estão relacionados com a adequacidade.8 . seja analítica. do projeto.L.Fadiga sob corrosão.L ou M. Esta nova carga limite de colapso plástico é chamada simplesmente de carga limite e é denotada por F. Para uma tensão de origem térmica podemos admitir que venha a atingir um valor bem maior do que uma tensão que é provocada por peso próprio ou pela pressão interna em um reservatório. Assim. Alguns dos possíveis modos de falha de um componente estrutural. seja experimentalmente. SECUNDÁRIAS E DE PICO Com o desenvolvimento de técnicas de análise de tensões mais refinadas. Por outro lado a tensão máxima na seção considerada não é um critério adequado para uma análise de segurança. acima de F.Ruptura frágil. partimos da hipótese de que é conhecido o campo de tensões no componente. Um valor pontual de tensão tem pouco significado. Isto pode ser obtido.P. são: . . distribuição ao longo da seção e tipo de carga que solicita o material. . Diferentes tipos de tensões possuem significados diversos e logo os valores admissíveis serão também diferentes.Deformação elástica excessiva (flambagem). 5.Deformação plástica excessiva (distorção).TENSÕES PRIMÁRIAS. . é possível determinar as tensões que ocorrem no material com bastante precisão. podemos usar uma tensão admissível mais elevada que quando apenas uma tensão nominal é conhecida. abaixo da tensão que atua no fundo do entalhe em uma outra barra. tem como conseqüência um aumento na carga de colapso plástico.Fluência. Eles asseguram uma operação sem riscos e satisfatória do componente? É para cada um daqueles modos de falha que o projetista compara e interpreta seus valores de tensão. . . . a tensão que age em uma barra de seção uniforme tracionada deve ser mantida. TENSÕES PRIMÁRIAS (Pm e Pb ) São tensões que surgem pelo carregamento imposto. tanto as tensões de flexão como as de tração são tensões primárias.27. A característica básica é que elas não são autolimitantes. mas ao contrário do que ocorre com fadiga e corrosão sob tensão. a tensão máxima na seção não possui toda a informação necessária. como exemplificado na figura 5.27 . A classificação de tensões segundo o tipo de carregamento e a influência destas sobre a capacidade de carga passa a ser fundamental. que equilibram a ação da força externa. a capacidade de carga do componente passa a depender exclusivamente da capacidade de encruamento do material. . o problema de flambagem não pode ser analisado com base nas tensões atuantes apenas.27. como veremos a seguir. Pm Pb + + - + Figura 5. A falha por deformação plástica pode ser controlada limitando as tensões. Devemos considerar atentamente as conseqüências do escoamento e logo. mas é fundamental a geometria. necessárias para satisfazer as condições de equilíbrio entre as forças e momentos externos e os internos. Na figura 5. devem ser analisados o tipo de carregamento e a distribuição de tensões. ou seja. Uma tensão primária pode ser ainda dividida em uma tensão primária de membrana (ou de tração) e uma tensão primária de flexão.148 Análise de Resistência Mecânica Exemplificando. por ele provocada. Esta classificação de tensões segue as recomendações contidas nas normas da ASME para o projeto de vasos e reservatórios sob a pressão [1].Tensões primárias de membrana e flexão. se uma tensão primária excede σ E sobre toda uma seção. An á l i s e Pl á s ti c a 149 TENSÕES SECUNDÁRIAS (Q) São as tensões desenvolvidas pela autovinculação da estrutura. e não ficar em equilíbrio com cargas externas. Devem satisfazer a um campo de deformações imposto. A característica básica de uma tensão secundária é que ela é autolimitante. elasticamente calculada. pois caso exceda a tensão limite de escoamento não provoca distorções no componente.28 exemplifica um caso de uma barra fixa nas duas extremidades sob a ação de tensões térmicas. TENSÃO DE PICO (F) É a tensão a ser adicionada à soma das tensões primárias de membrana e de flexão com a tensão secundária. ou seja. um escoamento local e pequenas distorções na peça podem satisfazer as condições de descontinuidade ou expansões térmicas que provocam o surgimento das tensões secundárias. σ ∆T α ∆T ε Q σE Figura 5. de modo a fornecer a máxima tensão na seção. A tensão de pico é importante para análise de fadiga ou quando o material está sujeito a corrosão sob tensão ou ainda é muito frágil.25) . σ máx = Pm + Pb + F (5. Pm + Pb + Q.30. ou seja.Tensões térmicas numa barra fixa nas duas extremidades. A decomposição de uma distribuição de tensões está na figura 5.28 . A figura 5. A tensão de pico em materiais dúteis não é relevante para falha estática. A tensão máxima na seção mostrada na figura 5.30 é obtida pela soma de todas as classes de tensão. ou seja. Assim. temos: . = + + Pm Pb F Figura 5. Conforme comentado. a importância da divisão é que diferentes classes possuem diferentes limites que levam à falha.150 Análise de Resistência Mecânica M M F Pb Pb Figura 5.Tensões de pico.Decomposição de tensões. quanto às tensões primárias.29 .30 . 26) .An á l i s e Pl á s ti c a 151 Tensão Primária de Membrana: Não pode ultrapassar σ E . ASME Curva limite para colapso plástico 0 0.5.5 Pm + Pb < σ E e Pm + Pb + Q < 2.0 Pm / σE Figura 5. a falha ocorre quando Pb = 1. Para uma seção retangular sob flexão pura.6 0.0 0. Tensão Primária de Flexão: Não pode ultrapassar k σ E .2 0. (Pm + Pb )/ σE 1.Região de falha por colapso plástico para uma seção retangular. O código ASME para reservatórios sob pressão (Seção III e Seção VIII.6 0. também para um material elastoplástico ideal. Sob tração axial a falha ocorre para Pm = σ E.8 1.4 0.6 1.2 1.8 0.2 Região admissível.σ E (5. caso contrário a deformação plástica não é limitada. divisão 2) estabelece um coeficiente de segurança de 1. A região interior define as tensões admissíveis adotadas pela norma da ASME. limitando assim Pm < σ E / 1. para um material elastoplástico ideal.4 1. calculada elasticamente.4 0.31 . sendo k o fator de forma da seção.5 σ E. sob cargas de tração e de flexão. . como. reservatórios soldados e oleodutos. O processo de ruptura do material ocorre pelo crescimento de uma fissura. decorrente do processo de fabricação. é quase impossível assegurar que não ocorram defeitos internos no material. como na nucleação de trincas de fadiga. como trincas de tratamento térmico. O modo de falha habitual nestes casos era a propagação instável de uma trinca. Esta fissura pode ser um defeito inerente ao material. utilizados normalmente. grandes rotores fundidos ou soldados. etc. a energia que era absorvida no processo de fratura era pequena. Assim. sem que tivessem ocorrido apreciáveis deformações plásticas. Quando o controle de O . uma trinca. O principal ponto de estudo da Mecânica da Fratura é o comportamento do material quando contém uma fissura. sem que venha a falhar. Em outros casos a fissura pode se desenvolver devido a uma solicitação dinâmica. falhas internas em componentes fundidos. Este aspecto é extremamente importante em peças de elevado custo de fabricação. Devido aos processos de fabricação. defeitos de soldagem. por exemplo. ou seja. que estão sujeitas à ocorrência de defeitos. O uso cada vez mais generalizado da Mecânica da Fratura se deve ao fato de que esta permite quantificar de uma forma bastante precisa os níveis admissíveis em que um componente com trincas pode operar.CAPÍTULO 6 MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR desenvolvimento dos estudos a respeito da Mecânica da Fratura iniciou quando os processos usuais de cálculo estrutural se tornaram insuficientes para explicar falhas de estruturas solicitadas por níveis de tensões bastante abaixo dos admissíveis. passa a ser uma decisão com um peso econômico bastante elevado. ou seja. que vão crescendo até levar à falha final. é mais adequado para iniciar o estudo da fratura. Assim. Nestas situações é que a Mecânica da Fratura encontra plena aplicação. para refugar ou não uma peça. baseado em um balanço de energias. o componente. portanto. onde E é o módulo de elasticidade do material. A fratura pela propagação de trincas pode ser induzida de várias maneiras. a decisão de rejeitar. sem que antes seja detectada em uma inspeção. exige que a tensão no seu extremo ultrapasse a tensão coesiva do material. com intervalos de inspeção obtidos de forma que uma trinca eventual não atinja o tamanho crítico. Sob uma carga dinâmica é certo que este nível de tensão provoca o desenvolvimento de trincas de fadiga. podemos dizer que consiste na separação ou fragmentação de um corpo sólido em duas ou mais partes. Testes de sobrecarga podem ser utilizados para fornecer uma idéia de qual o tamanho máximo de defeitos que o componente pode eventualmente conter. pela ação de tensões. A fratura. as tensões de operação. por fadiga. pois permite prever a velocidade de crescimento das fissuras. devido a gradientes de temperatura ou ainda por deformações dependentes do tempo. a fratura deve ser tratada no todo como um fenômeno envolvendo as mais diferentes áreas do conhecimento humano. prevê a força que deve ser aplicada em um corpo para propagar a fissura ou trinca. para se propagar. Deste modo é possível estabelecer uma política de inspeção e de manutenção. pois estes podem passar desapercebidos. ou não. a ciência dos materiais e a mecânica do contínuo. de impacto. devido ao custo do componente. Um critério para materiais frágeis. quando o controle de qualidade não detecta qualquer defeito isto não significa que o componente esteja isento de defeitos. Este critério não é muito útil em aplicações práticas porque é impossível medir a tensão que realmente atua na ponta de uma trinca. Neste Capítulo será feita uma apresentação do comportamento do material na presença de uma trinca. 6. tornando possível uma decisão conscienciosa sobre o procedimento a adotar. como pela aplicação de cargas lentas. Esta tensão pode ser determinada teoricamente como sendo da ordem de E / 10. A Mecânica da Fratura pode ser utilizada de uma forma vantajosa neste caso. Por outro lado. Outra situação igualmente importante surge quando a estrutura deve ter o seu peso reduzido a um mínimo. de um modo geral.1 . elevando. por exemplo. formando um conjunto consistente. .PROPAGAÇÃO DA TRINCA Uma trinca. Sem dúvida. denominado de critério de Griffith. o assunto de fratura é bem vasto e envolve áreas tão diversas como a física do estado sólido. que é a tensão que mantém os átomos unidos.154 Análise de Resistência Mecânica qualidade detecta um defeito de tamanho significativo. com uma introdução à Mecânica da Fratura Elástica Linear. a programação de inspeções é estabelecida como ponto de partida para o projeto. eixo menor da elípse σ0 2b 2a ρ 2b ρ 0 2a lim σ0 Kt= 1 + 2 ( a / b ) Kt oo σ máx oo Figura 6. conforme apresentado na figura 6. é bem menor.1) σmáx 2a 2b . Para a análise de um defeito interno ao material. baseada no modelo analítico da solução elástica da distribuição de tensões em torno de um orifício elíptico. que no limite tende a uma trinca.Placa com orifício elíptico. esta situação pode ser pensada como um processo de limite.eixo maior da elípse . este pode ser idealizado como uma trinca que apresenta espessura zero.1 . Griffith propôs que a queda de resistência é provocada por defeitos internos ao material.1 e pode ser calculada pela equação σmáx = σ 0 (1 + 2 a / b) onde: (6. que observamos nos materiais de uso corrente. Na equação (6.tensão nominal . da ordem de E / 100 ou até E / 1000. Considerando inicialmente. mas a resistência real. .7).1) o semi eixo b da elipse é paralelo à direção da carga aplicada. para este caso. A. o efeito de concentração de tensão. em uma placa infinita. Griffith. A tensão máxima ocorre na extremidade do eixo maior da elipse. A primeira tentativa de obter uma explicação para esta discrepância foi de A. Assim. a tensão teórica de fratura de um sólido é da ordem de E / 10.Mecânica da Fratura 155 Como mencionado. sejam estes macroscópicos ou não. o correspondente fator é o apresentado pela equação (4. As outras parcelas de energia são determinadas a partir da consideração de que é possível obter-se as curvas de carga versus deslocamento para o corpo trincado. permitido por esta solução. deve ser fornecida de alguma forma. γ. situada em uma placa infinita. a trinca poderá crescer espontaneamente pela ação da tensão aplicada. Este entalhe elíptico. por unidade de área. 6.2 . chamada de energia de superfície. e diz que.156 Análise de Resistência Mecânica onde a elipse vai se tornando mais e mais achatada e logo b tende a zero e a elipse tende a uma trinca de comprimento 2a. serve para iniciar a abordagem do critério de Griffith.3. consumida pelo material ao romper as ligações atômicas. Este critério relaciona a variação total na energia de um corpo trincado com a variação do tamanho da trinca. O modelo considera um material elástico linear. esta pode ser escrita como: σmáx = σ 0 (1 + 2 a/ρ ) (6. ainda não se explicava porque as trincas maiores se propagam com maior facilidade que as pequenas. . dissipada pela ruptura do material. as fórmulas exatas para o cálculo de σmáx variam. o menor raio de curvatura é fornecido por: ρ = b2 / a Substituindo na equação (6.2) Nota-se que se ρ ⇒ 0. da. Apesar do avanço na análise dos problemas de peças com trincas. As curvas resultantes deste ensaio estão esquematizadas na figura 6. é consumida para criar novas superfícies livres no material e é o produto da energia de superfície. temos σmáx ⇒ ∞.1). pelo acréscimo da área da trinca. Para uma elipse qualquer. Esta energia. Vamos considerar a variação da energia do sistema quando a trinca sofre um aumento infinitesimal. mas em todos os casos o efeito de concentração de tensão aumenta com o aumento da profundidade do entalhe e com a diminuição do raio de curvatura da ponta do entalhe. somente se a energia total decrescer. A energia necessária para provocar a propagação da trinca.CRITÉRIO DE GRIFFITH Griffith idealizou uma base teórica para prever a tensão nominal de fratura de corpos sólidos que contenham trincas. além de produzir uma concentração de tensão também induz uma condição não uniaxial de tensões. Esta é a chamada geometria de Griffith.2 mostra uma trinca de comprimento 2a. para as condições de trincas de comprimento a e (a + da). a partir de um critério termodinâmico. dA. A figura 6. Nos casos reais em que a geometria é diferente da analisada. já que o corpo. por exemplo em u 1 . com o aumento da trinca de a para a + da. com a trinca maior. Se para os dois tamanhos de trinca o deslocamento for fixado e mantido constante.2 .Ensaio hipotético de tração em uma placa com trinca. se comporta como fosse uma mola mais flexível em relação ao corpo com a trinca menor. Carga P1 δP P2 a δu a + da Deslocamento u1 u2 Figura 6. haverá uma redução da energia elástica de deformação. sob carga uniaxial. de 1/2 P 1 u 1.3 .Mecânica da Fratura 157 σ0 2a σ0 Figura 6. para 1/2 P 2 u 1. ou seja.Trinca em uma placa infinita. o aumento da trinca diminui a rigidez da placa . 4) 0.u 1 ) . funcionando como uma mola mais fraca. temos que: • Com deslocamentos iguais a energia de deformação decresce de: (6.5 P 1 ( u 2 .P 2 e du = u 2 .5 ( P 1 .0.P 2 ) u 1. para os dois tamanhos de trinca.158 Análise de Resistência Mecânica fazendo com que a força exercida sobre a placa se reduza de P 1 para P 2. o corpo com a trinca maior. o aumento da trinca libera a energia elástica 1/2 ( P 1 . ao considerarmos a condição de carregamento constante.u 1 ) Chamando dP = P 1 .u 1 ) = 0.8) (6. absorvida pelas novas faces geradas pelo avanço da trinca.5 P 1 ( u 2 .6) dU = .3) 0.5 P 1 ( u 2 .0.5 P du A relação entre u e P é dada por: u=CP (6.u 1 ) Resumindo.0. Sob estas condições.5 u dP • Variação de energia potencial: (6. que pode ser transformada em energia de superfície. sofre um deslocamento maior que quando tinha a trinca menor e a energia elástica de deformação armazenada é maior. Desta forma a variação da energia potencial é dada pela variação da energia complementar.7) dV = .P 2 ) u 1 • Com cargas iguais a energia potencial total decresce de: (6.5) (6. Agora.9) .u 1 podemos escrever que: • Variação de energia de deformação: (6. como segue: P 1 ( u 2 . Assim.Mecânica da Fratura 159 onde C é uma constante para um dado comprimento de trinca. A partir disto. para o estado plano de tensões.13) a trinca tem um comportamento estável. Griffith propôs que a força crítica. Do critério dU = dS. o inverso da rigidez. e se dU > dS (6. o valor de C é igual para as trincas de comprimento a e (a + da). Como a variação do comprimento da trinca tende a zero.10) Com estas duas últimas expressões.5 C P dP . quando ocorre o crescimento da trinca. pode ser consumida.5 P du = . necessária para provocar a ruptura do material. no todo ou em parte. as equações da variação da energia podem ser reescritas como: .0.14) a condição de instabilidade é atingida e ocorre a propagação da trinca. é relacionada com o equilíbrio entre a energia liberada.12) o que prova que os dois conceitos são equivalentes quando o acréscimo da trinca é pequeno. necessária para propagar uma trinca.0. pela energia de superfície dS. Assim. tem-se que. ou tensão crítica. com condições de deslocamento constante.11) (6. logo du = C dP (6. que é liberada pelo material. para uma dada dimensão da trinca. denominada de flexibilidade do sistema. é igual à redução da energia potencial sob condições de carga constante. e a energia necessária para criar novas superfícies. a redução da energia elástica de deformação de um corpo trincado. podemos dizer que a energia dU. como sendo . da 0. para um aumento infinitesimal do comprimento da trinca.5 u dP = . portanto com o trabalho das forças externas nulo. Griffith determinou a tensão nominal de falha. Na condição de propagação com o deslocamento mantido constante. se dU < dS (6. Na condição de igualdade entre dU e dS ocorre um equilíbrio instável para a trinca.0. com o aumento da trinca. já que a energia liberada é menor que a necessária para propagação.5 P C dP (6.0. na forma de energia de deformação. como vidros e cerâmicas.160 Análise de Resistência Mecânica σ cr2 = 2 E γ / π a onde (6. Para tal. por unidade de área exposta. especialmente para materiais frágeis. .Tensão crítica . enquanto que o termo da direita representa as propriedades do material. o que é verificado experimentalmente. ao contrário da energia de deformação.15) deve ser reescrita como: σ2 π a = 2 E γ cr (6. onde A é toda a área de material exposto pela presença da trinca.15) mostra a dependência entre a tensão crítica e o tamanho da trinca.16) onde o termo da esquerda contém informações relacionadas com a geometria e a carga.Dimensão característica da trinca. sendo o uso da Mecânica da Fratura feito com novas definições. não é usual. O uso dos conceitos. A energia de superfície é dada pela equação a seguir. inicialmente a equação (6. É portanto uma parcela dissipativa. como expostos. para conseguir quebrar as forças de coesão atômica. γ a A densidade de energia de superfície representa o consumo de energia pelo material para romper as ligações atômicas. S = ∫A γ dA A equação de Griffith mostrou boa concordância com resultados experimentais.Densidade de energia de superfície . como a do fator de intensidade de tensão. Em termos de uma aplicação prática.Módulo de elasticidade . sendo considerada uma propriedade do material.15) σ cr E . a equação (6. Esta é uma energia que deve ser entregue ao material. o que pode ser feito. como . 6.3 . ρ. como ρ ⇒ 0.17). Neste caso o fator de concentração de tensão é dado por (6.FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO O efeito de uma trinca na concentração de tensão pode ser visualizado a partir da solução analítica para um orifício elíptico. Desta forma o conceito do fator de concentração de tensão não é útil na resolução de problemas com singularidades. em que a tensão máxima é dada por (6. K te = 1 + 2 ( a / b ) (6. temos K te ⇒ ∞ e logo σmáx ⇒ ∞.2). o que não contribui para a solução do problema.Mecânica da Fratura 161 Carga P1 δP da da P2 dU a 2a a + da u u1 Figura 6. como K te = 1 + 2 a/ρ (6. σ 0 ≠ 0. o fator de concentração de tensão pode ser escrito. considerando a trinca como condição limite para uma elípse achatada. para melhor entendimento.18) Em uma trinca.4 .1). sendo denominado de K te justamente para caracterizar o fato de que se trata de uma elipse.Esquema da variação da energia de um corpo em função do acréscimo da trinca. Daí surgiu a necessidade de definir o fator de intensidade de tensão. pelo limite do produto da tensão σmáx e a raiz de ρ.17) Considerando agora o menor raio de curvatura. temos sempre σmáx ⇒ ∞. pois com qualquer tensão nominal. a partir de (6. mas o produto possui um limite.5 .162 Análise de Resistência Mecânica K I = lim σ máx ⋅ ρ ⋅ ρ⇒ 0 π 2 (6. K t = 1+ 2 a ρ . Nesta definição a tensão σmáx tende a infinito. 2b 2a ρ 2b ρ 0 2a lim Kt= 1 + 2 ( a / b ) K I = σ0 π a Figura 6. Este valor fornece uma maneira de quantificar o nível de solicitação que ocorre dentro do material situado à frente do extremo da trinca. Deve ser salientada a diferença entre K I e K t. Logo temos σmáx = σ 0 1+ 2 a ρ . Substituindo d i na equação (6. em um único parâmetro. resulta K I = lim σ 0 1 + 2 ρ⇒ 0 F GH a ρ I JK ρ π π 2 .19).19) onde a constante π / 2 é adotada por conveniência. o efeito do . que é então definido como o fator de intensidade de tensão.Solução do problema de um furo elíptico e de uma trinca. que é o valor do fator de intensidade de tensão.21) Esta equação permite calcular um valor numérico. K I = lim σ 0 ρ 2 + lim σ 0 a π ρ⇒ 0 ρ⇒ 0 (6. unindo. pois este último é adimensional. No caso particular da geometria de um orifício elíptico em uma placa infinita. K I.20) K I = σ0 π ⋅ a (6. enquanto que K I tem como unidades MPa m no sistema internacional. 071 100 21 0.0005 0.653 1. para a instabilidade da trinca. o que leva que o fator de intensidade de tensão é calculado a partir de K I = lim σ 0 ( 1 + 2 a / ρ ) ρ 0 ρ π /2 Neste exemplo vamos calcular um valor aproximado para o fator de intensidade de tensão. Isto nos leva à suposição.497 44.246 0. A última linha mostra a razão entre o valor aproximado e o exato. denominado de tenacidade à fratura. segundo Griffith. O valor exato para o fator de intensidade de tensão é 39. mas finito.001 0.Mecânica da Fratura 163 carregamento e do tamanho do defeito. função do módulo de elasticidade e da densidade de energia de superfície.142 0. de instabilidade da trinca. a/ρ Kt 10 7. verificamos a semelhança que existe entre a expressão de K I e a de Griffith. Este relacionamento entre o nível de carga e o tamanho da trinca também surge na teoria de Griffith.450 1.005 0.325 0.454 40. de acordo com a teoria de Griffith.5.00005 0. crítico para o material.907 1. ou seja. no caso.111 50 15. ou seja.470 41. Pelo critério de Griffith a falha ocorre quando σ cr2 π a = 2 E γ. de que.015 ρ [m] Kt √ρ KI aproximado Razão .235 1. através do seu critério para definir a condição crítica. Com os valores numéricos torna-se evidente o que se está fazendo durante o proceso de limite.21). trabalhando com ρ pequeno. KIC.0025 0. onde o valor calculado tende assintoticamente para o valor exato. no instante de instabilidade da trinca. depende de uma constante que é característica do material.518 45. que. EXEMPLO 6. sem levar a expressão acima ao limite. a solução exata do fator de concentração de tensão é a da expressão da figura 6. é igual a raiz quadrada de 2 E γ.158 20 9.045 1. quando da condição crítica.944 0. o fator de intensidade de tensão atinge um valor limite.633 MPa √m.051 1000 64.479 42. K IC = 2 ⋅ E ⋅ γ . Desta forma a tabela a seguir ilustra os valores numéricos para o caso em que 2a = 100 mm e σ0 = 100 MPa.1 Para a geometria de Griffith. lógica. Comparando a expressão de Griffith com a equação (6. sem comprometer o resultado.2 ilustra de forma clara estes aspectos. Rσ U |σ | = S V |τ | T W x y xy KI cos(θ / 2) 2πr R 1 − sen ( θ / 2) sen ( 3 θ / 2)U | 1 + sen ( θ / 2) sen ( 3 θ / 2)| S | sen ( θ / 2) cos( 3 θ / 2) V | T W (6. Na prática é aceitável usar as equações (6.Estado de tensões em um ponto próximo da trinca.22) Estas expressões são exatas apenas para r ⇒ 0. y σx r σy τ xy τ xy σy σx θ 2a a x Figura 6. desde que r << a. r e θ definidos de acordo com a figura 6. sendo r e θ as coordenadas polares de um ponto próximo ao extremo da trinca.22) para o cálculo das tensões para valores de r até 10% do tamanho da trinca. sendo uma boa aproximação com r << a. com a.164 Análise de Resistência Mecânica O campo de tensões nas proximidades do extremo de uma trinca fica definido univocamente por K I.22) a seguir. .6 .6. em relação a um sistema com origem no extremo da trinca. equação (6. O exemplo 6. já que correspondem ao termo predominante de uma expansão em série da solução exata do problema. ou seja.22). porém os aspectos físicos deste continuam idênticos. no caso de uma ruptura por crescimento de vazios. rompendo o material à sua frente.Mecânica da Fratura 165 σy σy = σ 0 a / 2r x. e não apenas a tensão no ponto mais solicitado. não sendo eliminada com a definição de K I. Nesta equação z é a soma a + r. é fornecida pela expressão abaixo. visto que este fato é uma característica do problema físico. no caso da ruptura por clivagem. r 2a a r Figura 6. Deve ser observado de que a introdução do conceito do fator de intensidade de tensão é uma nova maneira de atacar o problema. com θ = 0.7 .2 Para a geometria de Griffith. é lógico então supor que o início da propagação da trinca depende diretamente do fator de intensidade de tensão. que é o extremo da trinca. depende de um particular estado de tensões. Como o campo de tensões à frente da trinca fica univocamente definido pelo valor do fator de intensidade de tensão. . que neste caso não é relevante. com r ⇒ 0. ou de um particular estado de deformações plásticas. a solução exata para a distribuição de tensões à frente da trinca.Distribuição da tensão σ y próxima à frente de uma trinca. como faz o fator de concentração de tensão. se considerarmos que o início da propagação da trinca. conforme evidenciado pelas equações (6. as tensões continuam tendo um ponto de singularidade junto ao extremo da trinca. obtida a partir da teoria da elasticidade. A grande diferença entre o fator de concentração de tensão e o fator de intensidade de tensão é de que este último define o estado de tensões em uma região próxima ao ponto de singularidade. EXEMPLO 6. 9642 0.a 2/ z 2 A solução aproximada. . segundo a equação (6. à frente da trinca. σ y' / σ y. para pontos muito afastados da trinca. r/a 0. A partir da equação de σ y.23) sendo esta a definição mais usual para o fator de intensidade de tensão.8740 0. conforme o ponto se aproxima do extremo da trinca.02 0.9926 0. depende da posição relativa do ponto considerado. σ y deve tender ao valor da tensão nominal. ou seja. Deve ser salientado que todas as equações vistas estão baseadas em um comportamento elástico linear do material. A tabela abaixo mostra os valores. σz = 0 σz = ν ( σx + σy ) estado plano de tensões (6. é possível obter uma outra definição para K I. como ocorre com a solução exata do problema.01 0. e como o erro cresce rapidamente para r maior do que 10% de a. denominado K IC. se a ruptura inicia com um estado crítico de tensões à frente da trinca.20 0. o que não corresponde às condições de contorno do problema. conforme (6. como sendo K I = lim σ y 2 π r r 0 (6. este estado é caracterizado por K I e logo a ruptura inicia com um valor crítico de K I.22) o campo de tensões no extremo da trinca fica univocamente definido por K I fortalecendo a justificativa de que K IC é uma propriedade do material.9853 0.6124 2. adotada pela ASTM [12].50 0. A tensão σ z. depende do estado de tensões no ponto.24) estado plano de deformações Das equações (6.166 Análise de Resistência Mecânica σy = σ0 1 . para θ = 0. representada por r / a.05 0.22). σ 0. onde fica evidente a convergência de resultados.22). Assim. que pode ser escrita como: σy' = σ 0 a / 2r A relação entre as duas equações.00 0. é σ y'.2357 σ y' / σ y A solução aproximada apresenta valores cada vez menores da tensão porque no limite a tensão cai a zero.10 0.00 0.9315 0.7454 1. 23) trata a geometria de uma trinca no material e faz o limite sobre o campo de tensões que se desenvolve próximo ao extremo da trinca. a energia consumida passa a ser γ+γp sendo γ p a energia correspondente à deformação plástica. Para tal.23) consideram situações totalmente diversas para definir K I. convergindo para este ponto. vamos considerar a igualdade entre K IC e 2. tendo em vista que o mecanismo de fratura não é por clivagem. Assim. já que a primeira expressão parte de uma geometria onde a trinca.FATOR GEOMÉTRICO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO As expressões (6. Já a equação (6.Mecânica da Fratura 167 EXEMPLO 6. com a energia plástica.19) e (6. Para um aço assim. valores típicos do módulo de elasticidade e da tenacidade à fratura. com mecanismos dúteis de fratura. elástica. distintas desta. enquanto que nos materiais com comportamento mais frágil. para um acréscimo em da no tamanho da trinca. é uma elipse e o processo de limite transforma a geometria para uma trinca. para a chamada geometria de Griffith. onde é incluida uma parcela de energia consumida pelo trabalho de deformação plástica. No caso de materiais metálicos. Uma grande parte desta energia é usada para deformar plasticamente o material à frente da trinca. Desejamos saber qual o valor da sua densidade de energia de superfície. Assim. na realidade. como pode ser deduzido. quando da aplicação do critério de Griffith para materiais metálicos foi proposta uma modificação. que apresenta um comportamento macroscopicamente frágil quando da ruptura. na realidade não é correto. γ = 4. Por outro lado. a . a energia consumida no processo de fratura não é usada exclusivamente para a ruptura das ligações atômicas. junto à energia de superfície. ou seja. 6.8. a energia de superfície γ é que predomina. Assim. o fator de intensidade de tensão calculado por K I = σ 0 √( π a) é válido apenas para a geometria de uma placa infinita com um carregamento ortogonal à fissura. para a densidade de energia de superfície.0 kJ / m2 Este valor.γ. a parcela γ p é predominante. ou seja. O valor calculado de 4 kJ / m2 é assim a soma da energia de superfície. Para outras configurações geométricas. resulta portanto. como as mostradas na figura 6. K 2C I 2E γ= Substituindo os valores.3 Vamos considerar um aço de alta resistência. são: E = 200 000 MPa e K IC = 40 MPa √m. formando uma camada de material plastificado sobre a superfície rompida.E.4 . A equação (6. Desta forma.25) Na expressão (6. equações (6.17) e (6. a de uma elipse em uma placa infinita. A sua aplicação para outras geometrias é bastante facilitada com a definição do fator geométrico Y.18).Limitações da aplicação da fórmula de K I. também de forma relativa. como Y = lim ( K t / K te ) ρ 0 (6.8 .23).168 Análise de Resistência Mecânica formulação apresentada não é válida. o cálculo de K I deve partir da definição geral.19). em relação à geometria de referência. O fator geométrico representa o quanto mais severa é a concentração de tensão da geometria de interesse.21).19) pode ser reescrita como: Kt K te K I = lim ρ 0 σ 0 ρ π K te 2 . ou seja. Em todos os casos ilustrados o fator de intensidade de tensão não pode ser calculado como indicado pela equação (6. Usando a definição do fator de intensidade de tensão conforme a equação (6.25) temos que K t é o fator de concentração de tensão para a geometria de interesse e K te é o fator de concentração de tensão para um orifício elíptico. conforme a equação (6. sob tração. o fator geométrico pode ser interpretado como a maior ou menor severidade do campo de tensões. 2a a 2a 2a σ0 Geometrias nas quais σ0 K I = σ0 σ0 π a não se aplica! Figura 6. localização do defeito e tipo de carregamento. nas tabelas 6. e o segundo termo está definido pela equação (6.26) é geralmente calculada na área plena. . σ0 Assim. está colocado logo abaixo. permitindo assim a determinação direta de K I.Tensão nominal na peça. Com as devidas substituições. sendo uma correção aplicada para calcular K I para a geometria específica. uma vez conhecido o fator geométrico para a configuração da peça.26) KI Y a . Um resumo das geometrias. K I = Y σ0 π a (6.6 deve ser observado que a força concentrada F0. É importante salientar que para o caso de trincas internas o comprimento total é 2a.Fator geométrico.Mecânica da Fratura 169 K I = lim ρ Kt K te 0 lim . é por unidade de espessura da placa.1 e 6. com seus correspondentes fatores geométricos. onde Y é unitário. Esta convenção é oposta ao que normalmente é feito na definição do fator de concentração de tensão.2.Fator de intensidade de tensão para a geometria. Nas tabelas 6. como nos casos das tabelas 6. em que a tensão nominal é definida para a área líquida.1 a 6.Tamanho característico da trinca. como indicado. A tensão nominal a ser usada na equação (6. .21). em relação à geometria de Griffith. em unidades coerentes com as usadas para o tamanho da trinca e a tensão.9.26) torna imediato o cálculo do fator de intensidade de tensão. o uso da expressão (6. sem considerar a existência da trinca.5 e 6. Para alguns outros casos o fator geométrico pode ser obtido do Apêndice 4. enquanto que para trincas superficiais o comprimento é apenas a. O fator geométrico tem um valor normalmente próximo à unidade.25). ρ 0 σ0 ρ π K te 2 O primeiro termo da equação acima está definido pela equação (6. . . 11 2. com trinca central.2 0.32 1. a/w 0.5 Y 1.16 1. a/w 0.3 Fator geométrico para placa com trinca na borda.30 2a 2w σ0 TABELA 6.0 0.1 0.2 0.170 Análise de Resistência Mecânica TABELA 6. a/w 0.1 0.03 1.4 0.10 w M a M .5 0.11 1.2 Fator geométrico para placa de largura finita.19 1. com trinca na borda.83 a w σ0 TABELA 6.6 Y 1.1 Fator geométrico para placa de largura finita.3 0.1 0.06 1.4 0.37 1.67 2.62 2. sob flexão.4 0.5 0.12 1.02 1.3 0.06 1.3 0.19 1.6 Y 1.01 1.2 0. sob tração.Mecânica da Fratura 171 TABELA 6. A força F0 é a força por unidade de espessura.12 1.6 Fator geométrico para placa com força concentrada.14 1.15 1.2 0. A força F0 é a força por unidade de espessura.4 0.13 1.4 Fator geométrico para placa com trinca nas duas bordas.3 0. F0 K I = 0.12 1.5 π a (σ 0 + π a F0 ) 2a σ0 .5 0.22 a a 2w σ0 TABELA 6.5 Fator geométrico para placa com força concentrada na trinca. KI= F0 F0 F0 2a π a TABELA 6.6 Y 1. a/w 0.0 0. equilibrada pela tensão nominal no outro extremo. 0 2.15 1.13 16.00 2a L 2r σ0 TABELA 6.4 0. a partir de um furo.05 1.1 0. 2 Y = sec π λ sen x x 2 2w e w1 2a λ=a/w1 ε =e/w x=2 λε σ0 TABELA 6.2 0.02 1.2 0.0 Y 0.82 0.172 Análise de Resistência Mecânica TABELA 6.98 1.3 0. L/r 0.7 Fator geométrico para placa com duas trincas.6 1.55 a d D σ0 .9 Fator geométrico para barra circular com trinca concêntrica.38 6.48 2.12 1.0 0.05 1.1 0. a/D 0.45 Y 1.4 0.8 Fator geométrico para placa com trinca excêntrica. Mecânica da Fratura 173 A figura 6.9 apresenta os modos de abertura da trinca, onde Y é o fator geométrico para cada tipo de carregamento. Estes modos de abertura da trinca são os modos básicos, de forma que uma situação geral de carregamento sobre um corpo trincado sempre pode ser decomposta nestes três modos. Para os casos usuais, podemos dizer que o modo I de solicitação é o mais perigoso, pois pode excitar o mecanismo de ruptura por clivagem, logo levando a uma ruptura frágil, com pequena absorção de energia no processo de fratura. Assim, em termos práticos, a grande maioria dos problemas e soluções apresentadas são para o modo I, daí surgindo a notação, universal, de K I para o fator de intensidade de tensão no modo I de abertura da trinca. Para os outros modos o fator de intensidade de tensão correspondente é denominado de K II e K III. Modo I K I = YI σ 0 Modo II Modo III πa K II = YII τ 0 πa K III = YIII τ 0 πa MODO I MODO II MODO III Figura 6.9 - Modos de abertura da trinca, função da solicitação aplicada. EXEMPLO 6.4 Uma situação bastante comum é a formação de trincas a partir de pontos de concentração de tensão, como por exemplo a nucleação nas bordas de um furo. A solução exata deste tipo de problema depende da geometria particular que se está analisando, o que muitas vezes dificulta obtermos uma solução na literatura. Uma maneira aproximada para o cálculo do fator de intensidade de tensão pode ser usada, considerando dois casos limites. No primeiro caso a trinca é muito pequena, quando comparada com as dimensões do detalhe que gera a concentração de tensão. Neste caso a trinca está totalmente imersa no campo de 174 Análise de Resistência Mecânica tensões dominado por σ máx, ou seja, para o tamanho da trinca o gradiente de tensões é muito suave. Para esta condição limite podemos usar o modelo onde a trinca é considerada como sendo uma trinca externa em uma placa sob tração, conforme Tabela 6.2. L 2r a=L 2a a 2a σ0 Problema real. σmáx Solução para trincas pequenas. σ0 Solução para trincas grandes. Figura 6.10 - Modelos da geometria do exemplo 6.3. A tensão nominal que atua sobre a trinca será a própria tensão σ máx devida à concentração de tensão. Assim, usando a nomeclatura da figura 6.10, o fator de intensidade de tensão será K I = 1,12 K t σ 0 πa e para uma concentração de tensão provocada por um furo circular, como K t = 3,0, vem: K I = 3,36 σ 0 πa Para comparar esta solução com os dados da Tabela 6.7, devemos usar uma nova definição para o tamanho da trinca, ou seja, K I = 3,36 σ 0 πL e como L = a - r, definindo a constante α = L / r, o fator de intensidade de tensão será Mecânica da Fratura α σ0 1+ α 175 K I = 3, 36 πa Esta expressão é exata para L tendendo a zero, ou, o que é equivalente, α tendendo a zero. A tabela abaixo fornece os valores do fator geométrico correspondente a esta expressão aproximada e os valores da solução exata, conforme Tabela 6.7. No caso de trincas longas, com L > r ou α > 1, a existência do furo é irrelevante, ou seja, é como se houvesse apenas a trinca na chapa. Neste caso o fator de intensidade de tensão é calculado como K I = σ0 πa ou seja, Y é unitário, pois recaimos na geometria de Griffith. Este valor constante é portanto independente de α. α Y APROX Y EXATO 0,01 0,334 0,326 0,05 0,733 0,646 0,10 1,01 0,82 0,20 1,37 0,98 0,40 1,79 1,05 0,60 2,05 1,05 1,00 2,37 1,02 2,00 2,74 1,00 2 Y Solução para trincas curtas Solução analítica exata 1 Solução para trincas longas, Y = 1 Considerar trinca curta se α < 0,05. Considerar trinca longa se α > 0,20. 0 0,0 0,2 1,0 2,0 α Figura 6.11 - Soluções para o fator geométrico do exemplo 6.3. Das curvas da figura 6.11 fica evidente que a aproximação para trincas curtas deve realmente ser limitada para α < 0,1, e que a solução para trincas longas apresenta bons resultados já para α > 0,2. Estes valores particulares de α são, no entanto, específicos para a geometria tratada. 176 Análise de Resistência Mecânica EXEMPLO 6.5 Uma geometria de defeito que se apresenta com bastante frequência em problemas práticos tridimensionais é o de uma trinca com projeção elíptica, ou semi elíptica. Neste caso o fator de intensidade de tensão varia ao longo da frente da trinca, como este exemplo mostra. 2a 2c 2c a c a TRINCA ELÍPTICA TRINCA SEMI-ELÍPTICA TRINCA 1/4 DE ELIPSE Figura 6.12 - Situações de geometria para uma trinca elíptica. Modo I. A solução para o fator geométrico para trincas de projeção elíptica, em um plano perpendicular à direção de carregamento, modo I, figura 6.12, é fornecida pelas expressões: Trinca elíptica interna: Y= 1 f (β ) φ Trinca circular interna: Y= 2 π Trinca semi elíptica na face: Y = 1,12 1 f (β) φ Trinca um quarto de elípse, na aresta: Y = 1,12 2 1 f (β) φ Mecânica da Fratura 177 Estas expressões fazem uso da integral elíptica do segundo tipo, φ, que depende da relação entre os semi-eixos da elípse, conforme a tabela abaixo. a/c φ 0,0 1,00 0,1 1,02 0,2 1,05 0,3 1,10 0,4 1,15 0,5 1,21 0,6 1,28 0,7 1,35 0,8 1,42 0,9 1,49 1,0 1,57 f (β ) = [ sen2 β + ( a / c )2 cos2 β ] 1/ 4 Quanto à função f(β), esta caracteriza a variação do fator geométrico, e logo do fator de intensidade de tensão, ao longo da borda da trinca, ou seja, a solicitação na frente da trinca é variável ponto a ponto, ao contrário dos casos vistos até agora, onde a solicitação na borda da trinca era independente do ponto considerado. O cálculo da função depende do ângulo β, que é obtido com o uso de uma circunferência auxíliar, circunscrita à elipse, conforme indicado pelo esquema ao lado. Pela expressão da função f(β), vemos que esta assume um máximo, igual à unidade, para pontos β sobre o semi eixo menor da elipse, ou seja, β = 90°, atingindo um mínimo para os pontos sobre o semi eixo maior, β = 0°. Desta forma os pontos mais propensos a iniciar a propagação da trinca são os pontos próximos aos extremos do semieixo menor, aumentando este, fazendo com que a trinca elíptica tenda assim a uma trinca circular, onde f(β) é constante ao longo de todo o perímetro da trinca, como pode ser visto, fazendo a = c na expressão de f(β). Uma geometria de trinca semi elíptica é bastante comum em peças onde a trinca tem origem a partir de um defeito superficial, que nucleia a trinca e esta vai penetrando no material. F = 20 kN DETALHE DA TRINCA 1500 15 2,5 M=Fl/8 Tubo 5" schedule 40 Diâmetro 141,3 mm Espessura 6,55 mm Figura 6.13 - Geometria do exemplo 6.5. 178 Análise de Resistência Mecânica EXEMPLO 6.6 Calcular o fator de intensidade de tensão, K I , para a geometria e o carregamento que estão indicados na figura 6.13. SOLUÇÃO: O fator de intensidade de tensão para esta geometria é dado pela equação (6.26), onde Y é obtido conforme o exemplo 6.5 acima, no caso para uma trinca semi elítica. Y = 1,12 1 f (β ) φ onde a = 2,5 . 10 -3 m 2c = 15 . 10 -3 m e φ é uma integral elíptica do segundo tipo, que é função de a/c, conforme a tabela do exemplo 6.5. Para a/c = 0,33 e interpolando os valores da tabela obtemos φ de 1,1150. Para esta mesma geometria, vem que f (β ) = [ sen2 β + ( a / c )2 cos2 β ] 1/ 4 e calculando para β = π / 2, no fundo do entalhe, onde ocorrerá o máximo valor de Y, resulta f(β) = 1. Logo Y = 1,003 e assim K I = 1, 003 ⋅ σ 0 π ⋅ a A tensão nominal é dada por: σ0 = Mf Wf R 4 − Ri4 Wf= e 4 Re W f = 89 289 mm 3 1 ( 20000 ) ⋅ (1500 ) 8 89 289 σf = σ f = 42 MPa K I = 1, 003 ⋅ 42 π ⋅ 0, 0025 K I = 3,73 MPa ⋅ m Mecânica da Fratura 179 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Como a solução de K I é baseada no comportamento elástico linear do material, é possível o uso do princípio da superposição de efeitos. O seu uso permite a solução de muitos problemas pela combinação de soluções já conhecidas, sejam soluções de uma mesma geometria, submetida a diferentes carregamentos, ou diferentes geometrias, com uma superposição de condições de contorno. Os exemplos que seguem permitem que se tenha uma visão da metodologia e da potencialidade da aplicação do princípio da superposição. 2w 2w : σ0 σ0 KI = ? 2a + − σ0 = σ0 1 2 3 Figura 6.14 - Geometria da trinca do exemplo 6.7 e sua decomposição em soluções conhecidas. EXEMPLO 6.7 Determinar o fator de intensidade de tensão para uma trinca central com carregamento de pressão interna atuando nas suas faces, conforme figura 6.14. SOLUÇÃO: Este problema pode ser resolvido pelo princípio da superposição, considerando as três geometrias ilustradas na figura 6.14. O caso número 3 é de uma placa sem trinca, logo o fator de intensidade de tensão é nulo. As duas outras situações são para uma placa com trinca central, onde a presença da trinca, no caso 2, está sendo compensada pelas tensões atuantes nas faces desta trinca, na geometria 1, fazendo o papel que o material deveria realizar, na transferência de carga da parte superior para a parte inferior, na região trincada. Deste modo a superposição das geometrias 1 e 2, com as correspondentes condições de carregamento, equivale a uma placa sem trinca. Assim é possível escrever, como K 3 = 0, 180 Análise de Resistência Mecânica K3=K1+K2 K1=-K2 K 2 = - σ0 π⋅ a E logo, K I = σ0 π⋅ a σ0 σ0 2w F + F σ0 2w F = F σ0 KI = ? 2a 1 2 3 4 Figura 6.15 - Geometria do exemplo 6.8, obtida como a superposição de três casos. EXEMPLO 6.8 Determinar o fator de intensidade de tensão para uma trinca que inicia em um orifício de rebite, onde este suporta a carga transmitida pelo painel, conforme figura 6.15. SOLUÇÃO: Vamos novamente decompor a situação sob análise em outras situações já conhecidas, como mostra a figura 6.15. Os casos 2 e 3 estão colocados nas tabelas 6.1 e 6.5, tendo assim soluções conhecidas. Colocando a solicitação do material em termos do fator de intensidade de tensão, podemos escrever K1=K2+K3-K4 reduzida por um coeficiente de segurança n = 2. em termos da solicitação no extremo da trinca a quarta situação é idêntica à primeira.7 .5 = 199 kN. Considerar. F = 498 / 2. SOLUÇÃO: A força de trabalho será a força de plastificação da seção líquida dividida por n. lembrando que F0 é força por unidade de espessura da placa que forma o painel considerado. o valor da força de plastificação da seção. = coeficiente de segurança.16. = força de plastificação. F = FP / n onde: F FP n = força de trabalho. K 1 = K 4. 560 = 498 kN Desta forma a força de plastificação. para a força F que está atuando.5.K1=K2+K3 Porém.9 Determinar K I para a geometria e carregamento ilustrados na figura 6. Adotar um valor σ E = 560 MPa.Mecânica da Fratura 181 Porém. na seção líquida. σ= F0 a EXEMPLO 6. é FP e a força de trabalho. K2=σ0 K3 = 1 2 F0 πa πa πa K1 = Fσ H 1 0 + F0 πa K1 = σ 0 πa FG 1 + σ IJ πσ K 2 H 0 I K Usando a definição do fator geométrico. é possível escrever Y= FG 1 + σ IJ πσ K 2H 1 0 onde a tensão σ é dada abaixo. ou seja. = 70 . 12. e assim K1+K4=K2+K3 2. Deste modo a tensão nominal vale σ 0 = 131 MPa . 17.6. 7 = 64 mm πa FG 1 + σ IJ πσ K 2H 1 0 σ 0 = 131 MPa F = 15. como discutido no exemplo 6.182 Análise de Resistência Mecânica O problema a ser resolvido é esquematizado no diagrama de corpo livre da figura 6.Geometria do exemplo 6.16 . desde que consideremos a trinca como longa. K I = σ0 com 2a = 50 + 2 .8. F σ0 . O fator geométrico Y deste problema pode ser aproximado pelo esquema da geometria da tabela 6. temos K I = 45.57 kN / mm Assim.5 MPa√m 7 F F 120 50 12.4.7 Detalhe das trincas Figura 6. 6. para um material elastoplástico. Considerando que o material esteja em um estado plano de tensões e adotando a teoria da máxima tensão cisalhante como critério de escoamento. este ocorre quando σ y = σ E e podemos ter assim. para o ponto onde ocorre a igualdade.7.5 . ocorre um escoamento na região próxima à ponta da trinca.22).22).Comportamento elastoplástico ideal para o material. se a distância r → 0. pois corresponde a um maior consumo de energia antes da ruptura.Diagrama do corpo livre do exemplo 6. usando um critério de escoamento. dada pelas equações (6.Mecânica da Fratura 183 Figura 6. σ ε Figura 6. Deste modo.EFEITO DE DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS.17 .18. como o esquematizado na figura 6.27) . com θ = 0. KI 2 π rp σE = (6. Para um comportamento elastoplástico ideal. embora comprometa uma análise elástica do problema da fratura. Conforme visto quando estudamos a distribuição de tensões na região próxima ao extremo da trinca. é possível estimar o comprimento da zona plastificada. equação (6. então a tensão σ y tende a infinito. Para isto partimos da equação de σ y . A formação desta região plastificada contribui para aumentar a tenacidade do material. levando assim a uma redistribuição de tensões no local.18 . Distribuição das tensões σ y na extremidade da trinca.28) .184 Análise de Resistência Mecânica sendo rp a distância do extremo da trinca até o ponto considerado. O raio de plastificação no estado plano de deformações é da ordem de três vezes menor do que o correspondente raio para um estado plano de tensões. . provocada por este estado de tensões. neste caso. a região em que ocorre o escoamento fica mais próxima ao extremo da trinca.19 .Raio de plastificação com um estado plano de tensões (EPT) 1 KI rp = 2π σE FG IJ H K 2 (6. logo o raio de plastificação para cada uma destas condições tem valores diferentes. σy σE σy = σ 0 a / 2r 2a a x. pelo surgimento da tensão transversal. termos ou um estado plano de tensões ou um estado plano de deformações.29). que ocorre em um estado plano de deformação. A distribuição de σ y.28) e (6. Esta restrição à deformação plástica faz com que a tensão necessária para provocar o escoamento seja maior. está mostrado na figura 6. assim. Esta diferença é decorrência da restrição à deformação plástica. o que ocorre mais próximo ao extremo da trinca. como será mostrado a seguir.19. r. abaixo. Para os dois estados de tensão. em um estado plano de deformações a tensão σ y é aproximadamente 3 σ E e. o que se traduz em um menor raio de plastificação. Porém é possível. ε rp r Figura 6. os raios de plastificação são dados pelas equações (6. Desta forma. para o comportamento elástico. A espessura mínima para garantir um estado plano de deformação é da ordem de 50 vezes o raio de plastificação em um EPD. o estado de tensões.Mecânica da Fratura 185 . Se a espessura for menor que o valor mínimo. B máx. indica o grau de restrição à deformação plástica no sentido transversal à direção de propagação da trinca. ou seja.5 (K I / σ E ) 2 B máx = 0. ou seja. um pequeno raio de plastificação dificulta a contração transversal.31). Este último ocorrerá sempre nas superfícies livres do material. Assim. intermediário entre as duas situações. enquanto que um grande raio facilita a contração plástica. ter uma espessura menor que uma espessura máxima. ou seja. relativamente à espessura da peça. podemos estar em um estado misto. Para os casos onde a espessura é maior que B máx. da ordem de duas vezes o raio de plastificação em um EPT. de acordo com a discussão que segue. Se a peça for de grande espessura. de modo aproximado.Z = 0. o que corresponde a um raio de plastificação obtido pela equação (6. B mín. o estado de tensões dentro do material será um estado misto.Z .29). necessária para uma tensão transversal nula. relaxando as eventuais tensões transversais que tenham se formado.3 (K I / σ E ) 2 (mínimo para garantir EPD) (6.30). resultando assim na equação (6. mas para que os pontos internos também estejam em um estado plano de tensões.Raio de plastificação num estado plano de deformações (EPD) 1 KI rp = 6 π σE FG IJ H K 2 (6. de modo que o material possa escoar transversalmente também.29) A espessura da peça pode ser usada para definir. B mín = 2. tiver uma espessura maior que um valor mínimo. então o material à frente da trinca está num estado plano de deformações. ou então em um estado plano de tensões. σ.30) (máximo para garantir EPT) (6. comparada com a zona plástica. A espessura mínima para garantir um EPD está justamente definida em função do raio de plastificação. pois o tamanho da zona plastificada. equação (6.31) . mas menor que B mín. a espessura deve ser pequena. desenvolvendo a deformação ε. Para garantir um estado plano de tensões a peça deve ser suficientemente fina. 32) onde r. ou seja.21. gerando assim uma região plastificada de forma aproximadamente circular. como mostra a figura 6.p é dado pela equação (6. na região próxima ao extremo da trinca.21 esquematiza o comentado. provocada pelo escoamento do material.20 . ou seja. porém com escoamento. A redistribuição de tensões. segundo Irwin. . ao menos para a geometria de Griffith. é como a distribuição elástica de uma trinca com comprimento igual a a + r. a eq = a + r p (6. com raio igual a r.p.p) é denominada comprimento de trinca equivalente. como está mostrado na figura 6. para que a condição de equilíbrio seja satisfeita entre a distribuição de tensões com escoamento e o carregamento externo aplicado. A idéia ao definir o comprimento da trinca equivalente é de permitir uma análise elástica em uma geometria com uma trinca levemente maior. com a trinca física. o comprimento real da zona plastificada passa a ser de duas vezes o raio de plastificação.29).Efeito da espessura sobre a zona plastificada na frente da trinca. Com o deslocamento para a direita da curva de σ. ou (6. A figura 6.21. A soma (a + r.y .186 Análise de Resistência Mecânica Y X Z Estado Plano de Deformações Estado Plano de Tensões Estado Misto de Tensões Figura 6.p. Pode-se mostrar que este deslocamento é igual a r p. dependendo do estado de tensões. Assim a distribuição de tensões σ y será assintótica a um eixo transladado de r.y. que forneça a mesma distribuição de tensões que o caso real.p.28). faz com que tenhamos um deslocamento para a direita da curva de σ. Esta restrição se impõe pela necessidade de termos um volume suficiente de material elástico à frente da trinca.22). a restrição de que o raio não pode ser grande. definindo a trinca equivalente. Com a correção da zona plástica. é necessário que tenhamos um volume suficiente de material elástico à frente da trinca. ou seja.7 que segue. b. r. r. a. Assim. que r. quando comparado com o tamanho da trinca. Estes aspectos são de fundamental importância na determinação experimental da tenacidade à fratura do material. é possível estender um pouco o campo de validade da MFEL (Mecânica da Fratura Elástica Linear). Estes pontos serão discutidos na seção 6. Assim. se aquelas equações são válidas apenas para pontos próximos ao extremo da trinca. ε rp a r rp a r Distribuição elástica da tensão em y. ou ao ligamento.Redistribuição de tensões devido ao escoamento. está diretamente ligada às equações (6.Mecânica da Fratura 187 σy σE σy = σ 0 a / 2r σy σE x. desde que r p seja pequeno em relação ao tamanho da trinca. Por outro lado. de extensão 2r p. que corresponde a parte não rompida. (b = W . Distribuição plástica da tensão em y.a). de modo a controlar as condições em que os ensaios são realizados.p seja pequeno quando comparado com o ligamento. e assim a zona plastificada.22. das quais as expressões para o cálculo do raio de plastificação foram obtidas. Figura 6. ocupa no máximo 10% do material à frente da trinca. de modo a validar o cálculo elástico. indicados na figura 6.21 . . ε σy = σ 0 a / 2r zona plastificada x. o mesmo se aplica para qualquer outra equação deduzida a partir daquelas. Uma orientação neste sentido pode ser de considerar um raio de plastificação de no máximo 5% da dimensão do ligamento. para que possamos usar a MFEL em condições com plastificação. Dimensões características da trinca e da placa. igual a a eq.23. usando o conceito da trinca equivalente a eq. e não para o seu tamanho físico.33) Nesta equação o fator geométrico deve também ser obtido para o tamanho corrigido da trinca. o cálculo do fator de intensidade de tensões K I. com comprimento físico a. em um material elastoplástico. mas em um material elástico. Considerar um material com espessura igual a 2 mm e com uma tensão limite de escoamento de 300 MPa. usando as equações da MFEL. através do uso de um problema similar. Com o conceito de trinca equivalente é possível analisar um problema onde temos uma trinca. EXEMPLO 6. onde agora a trinca tem um tamanho um pouco maior.10 Determinar r p e K I para a placa ilustrada na figura 6. 2a = 200 mm 2W = 400 mm σ 0 = 100 MPa .22 . onde temos os dados abaixo. fica: K I = Y ( a eq ) ⋅ σ 0 ⋅ π⋅a eq (6.188 Análise de Resistência Mecânica Y X Z b a B W Figura 6. Sendo assim. Bmín = 2.3 (K I / σ E )2 sendo que K I é dado por: K I = Y ( a eq ) ⋅ σ 0 ⋅ π ⋅ aeq π ⋅ 0. Bmáx e Bmín .9 mm Com este resultado.1. logo ocorre um estado plano de tensões no material.10.5 vem Y = 1. o comprimento equivalente da trinca será .7 MPa m Substituindo este valor nas equações acima.6 mm Bmáx = 14. K I = (1.19) . K I = 66.23 .Mecânica da Fratura 189 Y X 2a Z 2W Figura 6.19. e logo. logo a determinação do K I deve levar em conta este fato. A partir deste dado. tem-se: Bmín = 123. temos que t << Bmáx. a equação para a determinação do raio de plastificação será dada por: rp FG K IJ = 2π H σ K 1 I E 2 r p = 7.Exemplo 6. tabela 6. A verificação do estado de tensões é feita comparando a espessura com os valores limites.8 mm Uma vez que t = 2 mm. SOLUÇÃO: Considerando o material como elastoplástico ideal podemos prever que a zona na ponta da trinca vai escoar. (100) . 1 Para a / W = 0.5 (K I / σ E )2 Bmáx = 0. 234 . Estas tensões. usando por exemplo a equação (6. Y = 1. K I = 1.190 Análise de Resistência Mecânica a eq = 100 + 7. Assim. deve ser feita pelo ensaio de um corpo de prova no qual exista uma trinca.Pré-fissuramento por fadiga. π ⋅ 0. medindo a carga no instante da instabilidade podemos calcular K IC para esta combinação de carga e de geometria. Para que o ensaio seja considerado válido.234. 1079 6. detalha todo o procedimento do ensaio. levam a valores de tenacidade superiores ao real. com baixa velocidade de carregamento.1. o ensaio consiste na aplicação de uma carga. No entanto.26).DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA TENACIDADE A determinação experimental do valor crítico do fator de intensidade de tensão. uma série de verificações sobre como transcorreu o ensaio devem ser feitas. 100 .9 a eq = 107. A especificação E-399 da ASTM. A carga cíclica deve satisfazer a condição Kmáx < 0. que de acordo com a teoria de Griffith vale (2 E γ)2 . conforme discutido no texto a seguir.54 Interpolando os dados da tabela 6. ETAPAS DE VERIFICAÇÃO DO ENSAIO DE K IC.54 MPa m Recalculando r p . e logo. Esta carga é aplicada até a ruptura do material ou instabilidade da trinca. O .1 mm onde o processo de iteração é realizado até que haja convergência dos resultados. se não forem eliminadas com a deformação plástica do ensaio de ruptura. registrando-se ao mesmo tempo a intensidade da carga e a abertura da trinca junto à superfície do corpo de prova.9 mm A partir de a eq calculamos o fator de intensidade de tensão.6 . . deve ter sofrido uma solicitação de fadiga para provocar uma trinca aguda no fundo do entalhe usinado. a determinação experimental da tenacidade à fratura não é tão imediata assim. [1]. usando a trinca equivalente: a eq / W = 0. que leva à condição de instabilidade da trinca. bem como a análise dos resultados para ao final chegarmos ao valor de K IC. K I = 71. K IC. o que corresponde a uma estimativa do valor de K IC. De forma resumida.6 K IC de forma a limitar o volume de material com deformação plástica e logo com tensões residuais compressivas no extremo da trinca. anteriormente ao ensaio. O corpo de prova. temos r p = 9. para o material isento de tensões. havendo uma série de requisitos e condições para realizar um ensaio válido. a . Trincas muito curvas invalidam o ensaio. no caso de uma ruptura dútil. maiores que Bmín. temos que a fratura é do tipo misto.Cálculo de KQ. . detalhadas no Apêndice 4.24. temos um estado plano de deformações que faz com que a ruptura seja plana.Se forem satisfeitas todas estas condições então KQ. W .É necessária ainda uma boa linearidade da frente do extremo da trinca. levando a um baixo consumo de energia quando da ruptura.5% de W ou então 1. ou próximo a ela. Conforme a peça passe a ter uma espessura menor. Esta dependência é função do estado de tensões à frente da trinca. . como ilustrado na figura 6. . desenvolvendo-se os modos de ruptura por clivagem. em um EPT. chamada de Bmáx. Em situações onde a espessura está entre as duas condições limites. seja significativamente maior do que o valor de KIC. sendo chanfrada na região . O mesmo se aplica no caso de uma trinca com a frente inclinada. No caso de B < 2.a) > 2. Para espessuras de peça.3 mm. onde V é o deslocamento medido.Realização do ensaio: São úteis apenas os ensaios que resultarem num diagrama F x V quase linear. é a tenacidade à fratura do material. no caso de uma ruptura microscopicamente frágil ou por coalescimento de vazios. um desvio máximo de 10% em relação à linha média da frente da trinca. Neste caso. para pequenas espessuras. o que for maior. verifica-se que KC é uma função da espessura B do corpo de prova. como calculado acima. Assim. não estamos em um estado plano de deformações e aqui o valor de KQ calculado é denominado de KC e não K IC.Mecânica da Fratura 191 comprimento da parte rompida por fadiga deve ser ao menos 2. a fratura normalmente ocorre em um plano que forma um ângulo de 45°.Verificação de dimensões mínimas. . com um grande trabalho de deformação plástica. uma tentativa do valor de KIC. Este tipo de ruptura plana ocorre com pequeno deslocamento do corpo de prova. por um mecanismo de cisalhamento. pois as expressões para o cálculo do fator de intensidade de tensão consideram uma trinca com frente retilínea. com espessuras menores que a espessura limite para assegurar um EPT. ou seja. ou seja. o que leva a um grande consumo de energia para levar o material à ruptura. saímos de um estado plano de deformações e nos aproximamos de um estado plano de tensões. na boca da trinca. é K IC. no plano que contém a trinca. e F é a carga aplicada.5 (K Q / σ E ) 2 .5 (K IC / σE ) . Para esta situação. usando as expressões adequadas à geometria do corpo de prova usado. fazendo com que KC. a tenacidade à fratura é elevada. As três dimensões básicas da seção que contêm a trinca devem satisfazer (B . conforme as geometrias padrão. onde a situação tende a um EPD. de forma a garantir que a região plastificada.22). . onde predomina um EPT. e plana na região central. onde ocorre o processo de fratura. segundo (6.24 . O tamanho da trinca deve ser também maior que Bmín.Variação de KC com a espessura do corpo de prova. para assegurar um volume de material elástico a frente da trinca suficiente de modo a validar a análise com base em um comportamento elástico.192 Análise de Resistência Mecânica próxima às superfícies livres. KC Aspecto da seção rompida KIC EPT Estado Misto de Tensões EPD B B máx B mín Figura 6. esteja dentro do domínio do campo da singularidade. O ligamento deve também ser maior que Bmín. caracterizado por KI. 3 < a/W < 0.Corpo de prova CT com o tamanho admissível da zona plástica. EXEMPLO 6. SOLUÇÃO: As características do fator geométrico deste corpo de prova são dadas na geometria 18.Mecânica da Fratura 193 F H b=W-a B W a F Figura 6.25 . Apêndice 4.2 W 0.11 Verifique se o ensaio com o corpo de prova do tipo CT como o ilustrado na figura 6.26 é válido. sendo válidas para H = 1. sabendo que σ E = 750 MPa.7 KQ= F B W Y . 30 5.70 21.4.194 Análise de Resistência Mecânica F V Figura 6.3 kN. de serem maiores que B mín e assim.60 13.40 7.32 0.45 8. Do diagrama F x V obtido temos a força máxima F = 38. a restrição de espessura da ASTM pode levar a um corpo de prova muito grande. Assim. 3 0.54 As dimensões do corpo de prova são a = 26. possui um elevado K IC.0226m = 22. ou seja.0 mm. 025 0. . Usando a tabela acima e interpolando resulta Y = 10.55 11.85 0. No caso de aços de baixo e médio carbono chegamos facilmente a um B mín de 500 mm ou mais. Quando o material é muito tenaz.35 6. ou seja. o fator geométrico é dado por: a/W Y 0. K IC = 71.11.26 0.5.Curva F x V obtida no exemplo 6.60 0.6 mm Logo as dimensões satisfazem o critério da ASTM.3 mm.54 0.5 (K Q / σ E ) 2 = 0. W = 50.27 .a.0 mm e B = 25.50 0.2 MPa√m. Preferencialmente as dimensões são escolhidas tais que a / W ≈ 0. Então KQ= 38. 050 10.78 0.2 MPa m B mín = 2.34 0. Para este tipo de corpo de prova. inviabilizando o ensaio. 4 = 71253 = 71.50 9. a ≈ W .65 16. IC.55 2.2126 0.36) sendo A a área sob a curva carga-deslocamento.IC.1042 Dentro da Mecânica da Fratura Elástica Linear.75 2.70 2. O principal uso da integral J é na determinação de J.37) KI =J E (6. b é a área não rompida à frente da trinca. Um destes desenvolvimentos é a denominada integral J.45 2.1586 0. a integral J está relacionada com K I para um estado plano de deformações. com base em estudos mais aprofundados do comportamento elastoplástico do material nas proximidades do extremo da trinca. a expressão é igual.80 2. o valor da integral J é dado por A 2 ⋅B ⋅ b J= (6. verifica-se assim que existe um J.2650 0. que varia entre 2.1858 0.38) Assim. na forma JI = K 2C I E ⋅ (1 − ν2 ) Se existe um valor de K. pois pela ASTM E813 a espessura mínima para o ensaio de J IC ser válido é.65 2. e B .50 2. à exceção do valor numérico no denominador.Mecânica da Fratura 195 desenvolveram-se outras técnicas de medida da tenacidade. Para o corpo de prova do tipo CT. a/W f 0. a relação entre as espessuras mínimas de um ensaio de K IC e J IC é . conforme a tabela a seguir.IC correspondente. B J = 25 J IC / σ E sendo recomendada a relação 2 (6. No caso particular de um corpo de prova de flexão em três pontos.60 2. para as restrições da ASTM. a partir de corpos de prova de tamanho reduzido.2896 0.1042.1314 0.2392 0. derivada a partir de conceitos de energia de deformação. que representa o trabalho realizado.2896 e 2. IC e de J. bem como um valor do crescimento da trinca. Assim.IC. como a E. a carga aplicada é suficiente apenas para uma pequena propagação estável da trinca. onde cada corpo de prova ensaiado não precisa ser levado à ruptura. . valor crítico da integral J. sem que ocorra portanto ruptura do material. ∆a. de 1996.1 ⋅ σE BJ (6. J JI C . cada corpo de prova tem o valor de J.Determinação experimental de J IC. calculado pelo trabalho realizado pelo sistema de aplicação de carga.1737. O ensaio para medir J IC deve ser feito com o uso de vários corpos de prova. ou seja.39) Exemplificando para um aço de σ E = 500 MPa. A interseção desta reta com a reta da equação (6. B K / B J = 40.196 Análise de Resistência Mecânica BK E = 0.Pontos experimentais ∆a Figura 6. fornece agora o valor de J IC.28 .40) Além dos testes padronizados para a determinação de K. a ASTM desenvolveu outras especificações.28. conforme mostra a figura 6. que fornece o valor de J em função do crescimento da trinca dependendo apenas da deformação plástica à sua frente.40). uma sensível redução de tamanho no corpo de prova requerido. O conjunto de resultados é registrado em um gráfico e uma reta é ajustada ao pontos experimentais. J = 2 ∆a σ E (6. No caso da determinação da tenacidade à fratura de materiais plásticos a norma aplicável é a D.IC. a especificação E.Na menor temperatura 100% dútil. 4 . ksi . √in. lb-ft 3 .Mecânica da Fratura 197 para o ensaio de J. no caso para um aço Ni .IC.1820. pondo IC LMK OP Nσ Q IC E 2 = 5⋅ LM CVN − 0.IC e COD. sem recorrer a ensaios de custo elevado. que é uma especificação para a determinação simultânea. J.V. para diversos níveis de temperatura. 1 .45 σ E unidades ksi .Unir os pontos obtidos por segmentos de retas e manter K constante no patamar superior. √in .CVN no 2 . IC A figura 6.29 relaciona a previsão acima com dados experimentais. Uma maneira muito útil de estimar a curva K IC versus temperatura. de K.1290. usar a correlação K patamar superior de tenacidade. juntamente com os dados do ensaio de tração. ksi. Os passos abaixo ilustram o método. 5 . é a partir da curva de energia absorvida no ensaio Charpy. de forma unificada. e finalmente a E.Mo . . usando apenas um corpo de prova. para o ensaio de COD. adotar K IC = 0. típico para a construção de grandes rotores de turbinas.5045 de 1999. de 1989.05OP Nσ Q E com unidades ksi .Na temperatura de -320° F adotar K IC = 25 ksi √in.Na maior temperatura com 100% de ruptura frágil.Na temperatura de transição da aparência da fratura (FATT) considerar K IC como a média aritmética entre os dois valores acima.Cr . 29 .°F Figura 6.198 Análise de Resistência Mecânica 250 K IC 200 K IC 250 σE 200 150 150 σE 100 100 50 50 0 -200 0 0 200 400 600 T. .Estimativa de K IC pelo ensaio Charpy. σc .1 . Apenas nos casos de materais de alta dureza e grande resistência mecânica.1) ou seja. A 7. π ⋅ a (7. tendo em vista que grande parte dos materiais com que muitas peças e estruturas são fabricadas apresentam uma tenacidade de média a alta.26). fazendo KI = KIC . . KIC = Y . Em outros casos a sua aplicação pode ser um pouco extendida com o uso do conceito da trinca elástica equivalente.CAPÍTULO 7 MECÂNICA DA FRATURA ELASTOPLÁSTICA aplicação da Mecânica da Fratura Elástica Linear. pequena quando comparada com as dimensões da trinca e do ligamento. Ocorre que em muitas situações práticas as limitações da MFEL não podem ser respeitadas. em que um comportamento do tipo frágil se verifica.LIMITAÇÕES DA MFEL As limitações da Mecânica da Fratura Elástica Linear podem ser visualizadas a partir da equação da tensão de falha. derivada da expressão (6. está limitada a situações onde a plastificação é restrita. é que a MFEL pode ser diretamente aplicada. MFEL. 2) Esta é a tensão crítica que leva o material à falha.Tensão de falha em função do tamanho de trinca.1. portanto com tensão crítica nula. Esta região será o interesse do presente Capítulo.W) ⇒ 0. W σR 1 1 a 2 K I = K IC 3 2 3 a [m] a=W Figura 7. para o tamanho da trinca tendendo a zero. para (a . da MFEL. MFEL. W) ]1/2 (7. . W. Considerando a correção no extremo 3 da curva.1 . σC = KIC / π ⋅ a . No outro extremo. da placa. a / (2 . que para a geometria deste problema é dado por Y = [sec π . o problema tende ao de uma peça com ligamento nulo. para materiais dúteis e bastante tenazes.3) cuja função é justamente corrigir a solução para a largura finita.200 Análise de Resistência Mecânica σc = K IC Y⋅ π⋅a (7.1. esta é bem aproximada pela aplicação do fator geométrico Y.2). conforme previsto pela Mecânica da Fratura Elástica Linear. ou tensão de falha. No extremo 1 da curva da figura 7. diferentemente do valor infinito como previsto pela expressão (7. o que contraria os pressupostos para a aplicação da Mecânica da Fratura Elástica Linear. 2 . Observando o exemplo ilustrado na figura 7. logo a tensão crítica deve tender a σR ou σf do material. a falha é precedida por uma plastificação generalizada da seção. já rompida. o problema tende ao de uma peça sem trinca. 2 .1 Para um material elastoplástico ideal. de coordenadas (r. (1 + ν)) Como G = E / 2 . o deslocamento v passa a ser portanto. usando o conceito de trinca equivalente. FG K IJ r = 2π H σ K 1 I p E 2 e logo.DESLOCAMENTO DE ABERTURA DA TRINCA O deslocamento de um ponto. EXEMPLO 7. SOLUÇÃO: Usando a expressão para o deslocamento de um ponto em um material elástico.σE . no extremo da trinca. determinar o deslocamento δ entre as faces. π ) v ( rp . rp / 2 π ( 2 / (1 + ν)) Para um estado plano de tensões. π ) = KI /G . KI2 / (π . porém calculando os deslocamentos através da trinca equivalente. vamos considerar este ponto como sendo o extremo da trinca física. θ). devido ao escoamento. π . segundo a solução pela teoria da elasticidade. σE ) Resulta assim . vem δ = 2 . situado em uma região próxima ao extremo da trinca. v ( rp .Mecânica da Fratura Elastoplástica 201 7. dada acima. na direção do eixo y. v = KI2 / (G . é dado por v= KI r 2 ⋅ ⋅ sen θ / 2 ⋅ − cos 2 θ / 2 2π G 1+ ν LM N OP Q (7. v = 2 . E . (1 + ν).4) válido para um estado plano de tensões e r << a. KI2 / ( π .000 84 m = 0.2 . levada a cabo por Dugdale. ou seja. EXEMPLO 7. considerando um material elastoplástico ideal. para a geometria de Griffth. r Figura 7. do deslocamento de abertura da trinca na condição quando KI = KIC? KIC E = 250 MPa . m = 210 000 MPa = 450 MPa σE SOLUÇÃO: Com as expressões anteriormente vistas calculamos: δIC δIC rp = 0. Uma análise mais exata.840 mm = 49 mm .σE ) para um estado plano de tensões. Qual o valor de δIC .2. Para um aço carbono estrutural temos as propriedades mecânicas abaixo listadas.202 Análise de Resistência Mecânica δ = 4 .5) Trinca real Trinca elástica equivalente Zona plastificada δ a aeq rp x. leva a uma expressão do tipo 8 σE ⋅ a δ= π ⋅ E ln sec π⋅σ 2 ⋅ σE (7. E .Abertura da extremidade da trinca devida ao escoamento. os valores são: KIC E = 60 MPa . h. 1 . Já para os cálculos da mecânica da fratura é convencional a tensão ser calculada na área plena e logo h = 60 mm. determine a força de plastificação e o máximo tamanho de uma trinca superficial que pode ser admitida.016 mm e rp = 0. σE = 1370 MPa e KIC = 60 MPa .= 60 mm. m .31 mm EXEMPLO 7. Sendo constituido de um aço SAE-ABNT 4340. m = 210 000 MPa = 1370 MPa σE que resultariam em δIC = 0. A peça ilustrada é parte de um escarificador. de 57 mm. para preparo do campo para a aragem. temperado e revenido.3. B = 20 mm.Seção para cálculo da mecânica da fratura 2 .3 . ou seja.Mecânica da Fratura Elastoplástica 203 No caso de um aço liga tratado termicamente. a = 3 mm. SOLUÇÃO: Para a solução deste problema é necessário considerar que para o cálculo da carga de plastificação deve ser utilizada a altura efetiva da seção.3. Usar l = 600 mm. por exemplo.Geometria do exemplo 7. . para uma força de trabalho igual à metade da força de plastificação da seção crítica.Seção para cálculo do colapso plástico + + Trinca h h 1 2 l B a Equilibra o momento F Detalhe da trinca 2αh Equilibra a força Equilibra o momento Distribuição de tensões na seção Figura 7. 02 Yt = 1.1 kN. vem M = σE B ⋅ h2 1 − 4 ⋅ α2 4 b g e quanto a força F. os correspondentes fatores geométricos são Yt = 1. se existir uma trinca com a = 3 mm.l / h Para este exemplo. de altura igual a (h / 2 .31 mm.204 Análise de Resistência Mecânica a) Determinação da força de plastificação.27 + 943. α . α .3. o tamanho da trinca. Resolvendo-se para α resulta α = ( l / h) 2 + 1 4 .53. l / h = 10. F = 2 . σf . Neste caso então a força é calculada como 2 . qual a força máxima que pode ser aplicada para um valor da tenacidade à fratura KIC = 60 MPa m ? Yf = f( 3 / 60 ) = f( 0. resultando um valor de 37.5 kN. finalmente obtemos α2 + 2 .5) .α . h .41 MPa σf = 925.0 MPa Substituindo.01187. b) Análise da fratura para uma força de 18. Assim. equilibram o momento fletor. KI = (17. l e substituindo as equações acima de M e F. h equilibra a força de tração e as duas partes externas. KI = KIt + KIf K π ⋅ a = Yt . 003 1200 12000 . a = 1. B . Sobrepondo os efeitos de tração e flexão no cálculo de KI.02. h). onde a parte central. l / h – 1/4 = 0. σt . no ponto de ruptura. h . B . σE. α . π ⋅ a σt = 15.12 K I = 1. 003 + π ⋅ 0. σE Considerando que M = F . logo α = 0. rp = 0. Devemos assim usar uma força de trabalho de 18. α .24 mm. Esta pode ser calculada considerando a distribuição de tensões da figura 7. 12 F F ⋅ 600 π ⋅ 0.05 ) Yf = 1. Por outro lado.12 e Yf = 1.5 kN. considerando um estado plano de tensão. de altura 2 . π ⋅ a . Fazendo KI = KIC obtemos o valor crítico para c) Podemos ainda calcular. π ⋅ a + Yf . 12 1200 ⋅ F ⋅ π ⋅ 0. F ⋅ 0. sendo K o fator de intensidade de tensão corrigido devido ao escoamento. α .Mecânica da Fratura Elastoplástica 205 Igualando este valor de KI calculado com KIC . 003 F = 38 kN que é superior à força de plastificação total obtida no item (d).3) K = Y .4) . e é. B . 06 ⋅ π ⋅ 0. O raio de plastificação calculado fornece r = 13 mm. que possui σE = 700 MPa e KC = 200 MPa m temos: d) Força de colapso plástico: F = 2 . h . Deste modo. Assim. maior que o admitido pela Mecânica da Fratura Elástica Linear.3 .5 kN Adotando agora um aço do tipo SAE-ABNT 1045. obtemos a força crítica que leva a trinca de 3 mm à instabilidade. para este material a ruptura é essencialmente dútil. o raio de plastificação é 1 K rp = 2 π σE e logo FG IJ H K 2 (7.9 kN e) Para ruptura frágil. não podendo ser prevista corretamente pelo uso dos procedimentos vistos até o momento. a força máxima pode ser obtida da mesma forma que no item (c). F = 11. 003 + 1. ou seja. 7. σ . com uma trinca de a = 3 mm. no caso. π (a + rp ) (7. σE = 18. 6 12 200 = 1. Uma forma de trabalhar no regime elastoplástico é pelo uso do valor de aeq .A TENSÃO CRÍTICA DE FALHA. σ / σE )2 ]-1/2 (7. σE ))]1/2 (7. ln sec ( π .6) onde Yp é um fator de correção devido ao escoamento. Yp . mesmo dentro do regime plástico. σ . π a . π . [8 . K 1 KC σC = C π ⋅ a + Y 2 σE LM MN FG IJ OP H K PQ 2 −1/ 2 (7.5) De um modo geral podemos escrever que o fator de intensidade de tensão é dado.σ. σ / σE )2 ]-1/2 (7. π a (7.9) .8) A falha ocorre quando KI = KIC (ou KC ). K = Y . π . σ2 . σ2 . por K = Y . devido a Dugdale. (a + 1/2π .206 Análise de Resistência Mecânica e substituindo rp. com o início da propagação da trinca. Pela trinca equivalente. (K / σE )2 ) K2 = Y2 . π . a K = Y . / .1/2 (Y . e assim é possível obter a tensão nominal que leva à falha do componente. [1 . π a+ LM MN 1 K 2π σE FG IJ OP H K PQ 2 K2 = Y2 . Para materiais elásticos é lógico que Yp = 1 Se for usada a correção da trinca equivalente. σ / ( 2 . / 2 . σ2E + Y2 . σ . σ2 .1/2 (Y . obtemos uma expressão como Yp = σE . K2 . σ .7) Adotando agora o conceito do deslocamento de abertura da trinca. Yp = [1 . Dugdale 2a K I = K IC 1 a [m] a = W = 0. A curva 2 .Mecânica da Fratura Elastoplástica 207 e por Dugdale σC = 2 ⋅ σE π L π FK ⋅ arc cos exp M − MN 8 ⋅ a GH Y ⋅ σ C E IJ K 2 OP PQ (7. devemos então substituir σE por σR nas duas expressões acima.4 Vamos considerar uma placa metálica com uma trinca central (Center Cracked Panel). A figura 7. A curva 1 é obtida para o caso como se a placa fosse infinita. π ⋅a .Y=1 2 .9) e (7.4 apresenta as curvas KC versus o tamanho de trinca a. calculando σC = KC / Y π ⋅ a com Y = 1. estamos considerando que a falha ocorre quando σ = σE .10) Nas duas expressões. Se o critério é a ruptura.Tensão crítica em função do tamanho da trinca para corpo de prova de trinca centrada (CCP) para o exemplo 7.Y = f( a / W ) 3 . com a ⇒ 0. (7. Considere Y2 = sec 2⋅W W = 300 mm KC = 200 MPa m σR = 440 MPa σ 440 2W 3 2 1.4 . com as características abaixo.30 Figura 7. EXEMPLO 7.4.10). será calculada como KI = σC . sabendo que o material é um aço SAE-ABNT 4340 com dureza Brinell de 409 HBN e de características: σE σR σf εf KIC = 1370 MPa = 1470 MPa = 1560 MPa = 0. tabela 6.0333 ) Y = 1. 5 ⋅ 10 5 Quanto ao fator geométrico.3.0 A tensão nominal crítica.6 kN .5 Calcular a força crítica para a viga abaixo ilustrada e determine a carga de falha.208 Análise de Resistência Mecânica é obtida pela mesma equação. π ⋅ 0. π ⋅ a ] EXEMPLO 7. para a falha.38 = 60 MPa m SOLUÇÃO: A tensão nominal devida à flexão é 6 ⋅M b⋅h 2 σ0 = = F ⋅ 400 1. equação (7. porém usando Y segundo a equação da secante.10). temos Y = Y ( a / W ) = Y ( 0. σC = KIC / [ Y . resulta σC = 479 MPa FC = 179. dada acima e a curva 3 é obtida por Dugdale. 005 Fazendo KI = KIC . substituindo os valores resulta σC = 464. W sendo δ = KIC2 / ( E . da equação (7.Geometria da peça do exemplo 7. σE . logo apresenta um raio de plastificação pequeno. devida a Hayes e William [4].10). Logo temos δ* = c 2⋅π⋅G K IC 2 2 (1 + ν ) ⋅ W E ⋅ σ E (7. Usando agora a Mecânica da Fratura Elasto-Plástica. grande σE e baixo KIC . para esta geometria.11) . rp = 0. fornece δ* = 2 . ou seja. para um estado plano de tensões. Notamos que. G . σE ) no instante de falha. δ / ( 1 + ν ) .5 . F 5 150 400 40 Figura 7.Mecânica da Fratura Elastoplástica 209 pela aplicação direta da Mecânica da Fratura Elástica Linear. π .5 MPa logo FC = 174 kN Não existe grande diferença entre as duas soluções porque o material é relativamente frágil.5.31 mm. Uma solução mais exata para o problema de flexão. equação (7.12) e substituindo os valores resulta δ*C = 0.34 e logo σC = 465 MPa. a zona plástica na ruptura possuía um raio de 13 mm para um ligamento de 57 mm. Do gráfico da figura 12 da referência [4]. resulta δ* = c 2 π K IC 2 2 (1 + ν ) W ⋅ σ E (7. EXEMPLO 7. σC L FK = ⋅ Mπ ⋅ a + G Y M N H Y⋅σ KC C E IJ K 2 −1/ 2 OP PQ σC = 674 MPa Logo FC = 13. para uma trinca de 3 mm.3.6 Na segunda parte do exemplo 7. SOLUÇÃO: Pelo uso das expressões da Mecânica da Fratura Elasto Plástica. invalidando a aplicação da Mecânica da Fratura Elástica Linear. K π ⋅ IC 2 δC = 2 (1 − ν ) W ⋅ σ E * 2 .0238.10) σC = 2 ⋅ σE π L π FK ⋅ arc cos exp M − MN 8 ⋅ a ⋅ GH Y ⋅ σ C E IJ K 2 OP PQ σC = 699 MPa Logo FC = 14 kN Usando a solução de Hayes e William. pelo conceito da trinca equivalente.5 kN ou por Dugdale. ao adotarmos um aço mais tenaz. não havendo quase diferença com a solução anterior porque o comportamento é quase elástico linear. usando apenas a tensão de flexão. Vamos aplicar agora a Mecânica da Fratura Elastoplástica na avaliação.9).210 Análise de Resistência Mecânica e usando a equação (3. temos σ / σE = 0. SOLUÇÃO: Uma vez que a trinca é longitudinal a tensão que leva a sua abertura é a tensão tangencial σt . é provável que não ocorra ruptura. Assim. Posição inicial da trinca Figura 7. EXEMPLO 7. O material do cilindro é um aço carbono-manganês.5 mm.6 . t ) .Mecânica da Fratura Elastoplástica 211 δ * = 2. σt = ( p .Trinca longitudinal criada durante a conformação. pois σE = 700 MPa. com pressão de 17. A ruptura ocorreu durante o abastecimento. mas sim uma deformação plástica acentuada. 529 C o que nos leva a uma plastificação completa da seção.7 Vamos fazer a análise da ruptura que ocorreu durante o reabastecimento de um reservatório de gás pressurizado (cilindro de oxigênio). temperado e revenido.25 MPa. Em reservatórios cilíndricos sob pressão interna. com σE = 517 MPa σR = 687 MPa KC= 209 MPa m As dimensões do reservatório fornecem um diâmetro médio de 217 mm e uma espessura t = 6. D ) / ( 2 . conforme referência [1]. Detalhe da trinca. inicialmente estável ao longo da espessura da parede (ruptura da faixa de 0. Vamos então verificar qual é a tensão de falha calculada pela Mecânica da Fratura Elastoplástica. a tensão nominal que levou à falha foi σt = 288 MPa. σC = 2 ⋅ σE π L π FK ⋅ arc cos exp M − MN 8 ⋅ a ⋅ GH Y ⋅ σ C E IJ K 2 OP PQ σC = 517 MPa KC = 209 MPa m a = 0.212 Análise de Resistência Mecânica e neste caso. 6. segundo Folias [3]. em cilindros sob pressão interna. 255 ⋅ − 0. com ruptura total do cilindro. A falha ocorreu pela propagação.038 m Para trincas longitudinais passantes.7 .9 76 Figura 7. 0135 ⋅ J R⋅ t R t K H 2 4 ⋅ 2 2 1/ 2 . ocorreu a propagação longitudinal da trinca.5 5. Após isto.6 mm). com consequente vazamento. o fator geométrico é dado por F I a a Y = G 1 + 1. até um material elastoplástico ideal.14) Usando a expressão elástica para o fator de intensidade de tensão. desenvolveram um processo para análise de falha de componentes estruturais que abrange toda a gama de comportamento mecânico do material. Deste modo. ou seja. Partindo do modelo de Dugdale para o deslocamento de abertura da trinca.87 σC = 329 . [2].4 . a 2 R⋅ t = 2. Dowling e Townley. ocorre a igualdade KI = KIC. sendo σIC a tensão nominal correspondente.O MÉTODO DE DOWLING E TOWNLEY.906 σC = 298 MPa Resumindo. quando este atinge a tenacidade à fratura.Mecânica da Fratura Elastoplástica 213 e para os dados do problema.13) e Dowling e Townley consideram que no instante da falha.483 )] σC = 329 . conforme já visto. arc cos [ 0. usando o modelo de Dugdale.048 resultando assim Y = 1. é K I = Y ⋅ σE ⋅ π ⋅ a ⋅ 1 ⋅ 8 ⋅ ln sec π ⋅ σ / ( 2 ⋅ σE ) π 1/ 2 (7. arc cos [exp ( -0. que é elástico linear até a ruptura. 0. com início da propagação da trinca. 2 ⋅ σE σC = π F π ⋅K I ⋅ arc cos exp G − H 8 ⋅ a ⋅ Y ⋅ σ JK 2 IC 2 2 E (7. ou seja. desde um material extremamente frágil. os valores são: Tensão crítica prevista: Tensão crítica verificada: σC = 298 MPa σC = 288 MPa 7. σ = σC . . O fator de intensidade de tensão.617 ] σC = 329 . que é falha por instabilidade plástica. isolando σC . conforme mostra a figura 7. substituindo as correspondentes cargas generalizadas. que pode ser uma força. uma pressão. este fica linear quanto a Qf. um momento. permitindo uma análise imediata sobre os efeitos de alterar a carga sobre a estrutura. que para a análise de segurança e dimensionamento é mais útil.214 Análise de Resistência Mecânica KIC = Y σIC πa e substituindo. as cargas que correspondem às situações limites.16) Esta equação pode ser posta em uma outra forma.8. Qf Qf 8 π Q = ⋅ ⋅ ln sec ⋅ f 2 Q I C QL π 2 QL LM N OP Q −1/ 2 (7. . σ C = ⋅ σE ⋅ arc cos exp − 2 π R L S MN T π 2 σ 2C ⋅ I2 8 σE OPU QV W (7. usando a nomenclatura dos Capítulos anteriores. temos: Tensão Valor estimado de falha Valor para colapso plástico Valor para ruptura frágil Carga Generalizada Qf QL QIC σc σE σIC Com esta nomenclatura.17) pois em um gráfico de Qf / QIC versus Qf / QL . uma diferença de temperatura. etc.15) Dowling e Townley generalizaram esta expressão colocando ao invés das tensões. ou seja. chamando de Q a carga generalizada. π 2 Q2C Qf 2 = ⋅ arc cos exp − ⋅ I2 QL π 8 QL R L S MN T OPU QV W (7. 0 Q / QL Figura 7. porém tomando os dois extremos do comportamento do material. Os valores QIC e QL são calculados com a geometria real do componente trincado.0 Região de falha frágil Região de transição Controle de carga Linha de falha Região de falha 0 0 dútil Controle de deslocamento 1.2 Ponto de trabalho 0 0 1. que pode estar em qualquer uma das três .0 Linha de carregamento Ponto de falha previsto Q I C / Q L = 1.0 Q / QL Figura 7.8 .Mecânica da Fratura Elastoplástica 215 Q / Q IC 1. ou seja.9 . Q / Q IC 1.Região de falha num diagrama Q / QIC versus Q / QL. A razão QIC / QL define o inverso da declividade da reta de carregamento. considerando o material perfeitamente elástico definimos QIC e considerando o material plástico ideal obtemos QL .Reta de carregamento no diagrama Q x QIC x QL . 216 Análise de Resistência Mecânica regimes assinaladas na figura 7.8. Se QIC / QL > 2 é quase certo um comportamento dútil do componente. Por outro lado se QIC / QL < 0,5, uma ruptura frágil é esperada. No intervalo de 0,5 a 2 temos uma transição entre as duas formas de falha. Uma vez conhecida a reta de carregamento é possível definir qual a carga de falha para o componente em estudo e pelo uso de um coeficiente de segurança adequado, obtemos a carga admissível ou carga de trabalho. EXEMPLO 7.8 Refaça o exemplo 7.5, calculando agora a carga de falha pelo método de Dowling e Townley. Qual a carga de trabalho para um coeficiente de segurança igual a 2 ? SOLUÇÃO: Aplicando diretamente a Mecânica da Fratura Elástica Linear, a carga de falha prevista será portanto QIC, e pela análise limite é determinada a carga de colapso plástico, QL, QIC = 179,6 kN QL= 1,5 σE . Wf / 400 QL = 770,6 kN onde foi considerado um fator de restrição da deformação plástica L = 1, pois a trinca é de baixa profundidade. Resulta assim, QIC / QL = 0,233 e como QIC / QL < 0,5, a falha é frágil, com Qf / QL dado por Qf QL Qf QL = 2 π ⋅ arc cos exp − LM N π 2 Q 2C I 8 ⋅ 2 QL OP Q = 0,2304 logo Qf = 177,6 kN Mecânica da Fratura Elastoplástica 217 7.5 - PROPAGAÇÃO ESTÁVEL DA TRINCA. Em situações onde a espessura do material, na direção perpendicular ao avanço da trinca, não é suficiente para garantir um estado plano de deformações, e em que o material não apresenta um mecanismo de ruptura por clivagem, verificamos que pode ocorrer uma propagação estável da trinca. Esta propagação estável corresponde a um aumento da tamanho da trinca sem que isto leve ao colapso da peça, necessitando um acréscimo de carga para que ocorra um novo crescimento da trinca. Esta situação de uma propagação estável leva a existência de um valor crítico de KI que depende da geometria da peça em estudo, do sistema de aplicação de carga, bem como ainda do tamanho da trinca. Nesta situação é difícil caracterizar o valor de KI como uma propriedade do material. Uma forma alternativa de avaliar a resistência do material à propagação da trinca é pelo levantamento das chamadas curvas de resistência à propagação da trinca, ou curvas R. Estas curvas caracterizam o crescimento da trinca em função da solicitação no material, a qual pode ser medida por K, pela taxa de liberação de energia, pelo deslocamento de abertura da trinca, ou mesmo pela integral J. A figura 7.10 mostra uma curva típica, onde o ensaio foi realizado com uma trinca inicial de 50 mm de comprimento. Quando a solicitação atinge o valor de 60 MPa m inicia a propagação estável da trinca, conforme a curva crescente. No caso de um material que rompe de um modo frágil macroscopicamente, a curva passa a ser a com o patamar horizontal no nível de 60 MPa m . Esta diferença no comportamento da curva passa a ser relevante quando agora juntarmos a curva de solicitação, função do tamanho da trinca, característica da geometria em estudo, usando por exemplo a equação (7.1), com a curva do material. Trabalhando agora com as curvas, a situação fica como a ilustrada pela figura 7.11, onde a curva 1, para um dado nível de solicitação, intercepta a curva do material no seu trecho vertical. Isto significa que estamos em uma situação estável, sem que ocorra aumento no tamanho da trinca. Já para a curva 2, ocorre uma pequena propagação estável, com a trinca aumentando em 4mm. Para a curva 3, é atingida uma condição de instabilidade, já que esta tangencia a curva do material e, portanto, o material não consegue suportar qualquer aumento de solicitação. Este ponto de instabilidade, dado pela tangência entre as duas curvas, depende muito da forma da curva de solicitação, ou seja, depende da geometria da peça e do tamanho inicial do defeito. Já para o caso de um material com comportamento perfeitamente frágil, estes efeitos não são relevantes, pois o ponto de instabilidade (tangência) é sempre o mesmo, qualquer que seja a geometria e o tamanho da trinca. A curva do material, de resistência à propagação da trinca, deve ser obtida em laboratório, através de ensaios normalizados, como a especificação E 561 da ASTM. 218 Análise de Resistência Mecânica R[J/m ] 2 K = 60 MPa m a [ mm ] a 0 = 50 mm ∆a [ mm ] Figura 7.10 - Curva característica de resistência à propagação estável da trinca. R, G 3 2 1 a0 a Figura 7.11 - Condição de instabilidade para um material com propagação estável da trinca. Mecânica da Fratura Elastoplástica 219 7.6 - RESUMO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE. A análise para determinar a capacidade de carga de um componente, sob solicitação estática, usa o esquema abaixo detalhado. Este esquema apresenta de uma forma geral a seguência de etapas que deve ser seguida, sendo que um maior detalhamento do procedimento de análise, incluindo a questão da propagação das trincas inclusive por fadiga está colocado na seção 12.6, ao final do capítulo 12. GEOMETRIA COM TRINCA? - SIM - NÃO ⇒ Mecânica da Fratura. ⇒ Análise limite (falha dútil). ⇒ Sensibilidade estática (ruptura). Capítulos 6 e 7. Capítulo 5. Capítulo 4. Na Mecânica da Fratura, deve-se seguir um procedimento passo a passo, conforme abaixo: - Definir a geometria; - Determinar o carregamento; - Calcular KI = Y . σ . π ⋅ a ; - Calcular rp para EPD e comparar com: a; (W - a) e B; - Decidir quanto ao estado de tensões existente, EPT, EPD ou misto; - Decidir quanto a KIC ou KC , avaliando os valores relativos de B e rp; - Decidir quanto à MFEL ou MFEP comparando a e (W - a) com rp. - Aplicar as expressões correspondentes para determinar a tensão crítica de falha e avaliar o grau de segurança existente. PARTE 3 FALHA POR FADIGA A parte 3 discute os vários aspectos relacionados com uma análise para prevenir e evitar uma falha por fadiga, iniciando no Capítulo 8 com uma discussão dos principais pontos do fenômeno da fadiga em materiais metálicos e das filosofias de projeto para fadiga. Busca-se caracterizar de uma forma qualitativa o comportamento cíclico do material. O Capítulo 9 preocupa-se em descrever como é possível caracterizar o material quanto à sua resistência à fadiga, a partir de ensaios com corpos de prova, realizados em laboratório, bem como sua estimativa, pela correlação com outras propriedades mecânicas. Os Capítulos 10 e 11 apresentam por sua vez como que a caracterização do material é usada para o cálculo de uma peça mecânica, de modo a garantir uma vida especificada. O Capítulo 12 estuda o comportamento de uma trinca de fadiga e como que o projeto pode considerar explicitamente a propagação de defeitos no interior do material. No Capítulo 13 é feito um apanhado geral das técnicas usadas para a análise de fadiga, visando consolidar uma visão integrada do problema de fadiga. . CAPÍTULO 8 O FENÔMENO DA FADIGA literatura especializada tem mostrado que, dentre as distintas causas de falha de componentes mecânicos, a mais comum é devida à fadiga do material, [7], [17]. Do número total de falhas, as provocadas por fadiga perfazem de 50% a 90%, sendo na maioria das vezes falhas que ocorrem de forma inesperada, repentinamente, portanto bastante perigosas. A fadiga é uma redução gradual da capacidade de carga do componente, pela ruptura lenta do material, consequência do avanço quase infinitesimal das fissuras que se formam no seu interior. Este crescimento ocorre para cada flutuação do estado de tensões. As cargas variáveis, sejam cíclicas ou não, fazem com que, ao menos em alguns pontos, tenhamos deformações plásticas também variáveis com o tempo. Estas deformações levam o material a uma deterioração progressiva, dando origem à trinca, a qual cresce até atingir um tamanho crítico, suficiente para a ruptura final, em geral brusca, apresentando características macroscópicas de uma fratura frágil. Este Capítulo apresenta uma introdução do problema da falha por fadiga, destacando os principais pontos, como os mecanismos metalúrgicos envolvidos e o comportamento mecânico do material. São ainda discutidos os diferentes enfoques existentes para atacar o problema, na busca de uma solução. A usado para armazenar um fluido sob pressão. Isto implica em aproximadamente 50 ciclos por dia para uma vida de 10 anos. o que leva a uma maior vida. Com a operação de um implemento em condições adversas. desde valores da ordem de 10 ciclos até mais de 10 7. Como situações práticas do número de ciclos esperados ao longo da vida do componente os exemplos que seguem são ilustrativos. na época do preparo do campo.Um reservatório pressurizado. por exemplo. Uma falha por fadiga ocorre dentro de uma gama bastante ampla de ciclos de carga. No entanto. resultam assim 1000 ciclos devidos à sobrecarga.Implemento agrícola. isto não ocorre. pela ação das forças centrífugas e do gradiente de temperatura. embora com um pequeno número de ciclos esperados ao longo da vida. embora muitas vezes sejamos levados a crer que o carregamento seja estático. EXEMPLO 8. A vida de fadiga para uma mola de suspensão de um automóvel é considerada para projeto como sendo da ordem de 200 000 ciclos. Sendo acionado uma média de 4 vezes por dia. ao longo de 15 anos teremos acumulados 15000 ciclos de operação. as pás das turbinas e os discos centrais destas sofrem um carregamento cíclico cada vez que o motor é acionado. Sendo o implemento usado durante 50 dias por ano.1 . para um período de vida útil de 10 anos.4 . em uma primeira observação.224 Análise de Resistência Mecânica 8. duas vezes por dia.3 . devido à rigidez exigida para este eixo. é um exemplo de carregamento estático. a pressão baixa ao valor atmosférico. É lógico que o número de ciclos que o componente resiste depende do nível da solicitação. Estamos portanto na presença de um problema de fadiga. Neste caso cada ciclo é formado pela ação de liga-desliga do motor. considerando 250 dias de uso por ano.INTRODUÇÃO A grande maioria das estruturas de engenharia está sujeita a cargas que são de um modo geral variáveis no tempo. Esta vida considera que a carga atuante seja a carga máxima esperada em serviço. pois com uma maior carga dinâmica temos uma vida baixa.1 . Um motor a jato possui uma velocidade de rotação do eixo bastante elevada e assim a flexão pelo peso próprio poderia provocar um efeito de fadiga. . sensivelmente reduzida quando comparada com uma situação onde a solicitação cíclica é menor. EXEMPLO 8.2 . EXEMPLO 8. 10 8 ciclos.Motor a reação. que causa tensões térmicas.Mola de suspensão de automóvel. temos uma sobrecarga ocorrendo na média de. usualmente de 10 a 20 anos. ao longo da vida útil do reservatório. EXEMPLO 8. o número de ciclos de pressurização e despressurização será de 60 a 120 ciclos. Por outro lado. porém quando o fluido é drenado. Com uma drenagem a cada 2 meses. que leva a uma corrosão na superfície do material. No entanto. Para uma vida de 200 000 km.10 8 ciclos. EXEMPLO 8. temos 2. que pode levar à falha. muito severo.6 . pois nestes se desenvolve uma plastificação localizada. No caso de um uso mais intenso. uma análise plástica no estudo de fadiga torna-se necessária. Em componentes estruturais formados por materiais isentos de defeitos. forjamento.O eixo de um motor elétrico. ou mesmo pelo uso do equipamento. 2. a válvula é acionada 1 000 vezes por minuto. retífica. na forma de defeitos oriundos do processo de fabricação. Nas estruturas e máquinas bem projetadas. as tensões nominais devidas ao carregamento externo ficam dentro do regime elástico. sofre 10 8 ciclos.Mola de válvula de um motor de combustão interna de quatro tempos. ao menos para regiões do material próximas aos pontos onde temos concentração de tensão. a uma velocidade média de 50 km/h. o que corresponde a uma utilização apenas esporádica do motor. temos. que leva à falha. Esta vida deve assegurar uma operação segura. descontinuidades metalúrgicas ou ainda devido a sobrecargas quando em operação. provenientes do processo fabricação. portanto.10 9 ciclos ao longo de 10 anos de vida. fundição.7. . o material não estará necessariamente respondendo. pois a peça possui trincas previamente existentes. com o número de ciclos que a estrutura deve resistir variando em uma ampla faixa.O Fenômeno da Fadiga 225 EXEMPLO 8. como soldagem. por exemplo.4. o que implica que as eventuais trincas que tenham se formado no material não comprometam a operação do equipamento. da ordem de 50 horas semanais. quer sejam estas generalizadas. quer sejam confinadas a um pequeno volume de material. operando a 1 750 rpm. ou devidos a um tratamento térmico inadequado. no caso de existirem pontos com elevado nível de tensões. ou ainda devido um ataque do meio ambiente agressivo. Nestes pontos com escoamento é que inicia o processo de nucleação das trincas de fadiga. como um todo. de uma maneira elástica. com o restante do material tendo ainda uma resposta elástica. nestes irá desenvolver-se o processo de nucleação de trincas de fadiga. Assim. Para que o processo de nucleação inicie é necessário (ao menos para os materiais dúteis) que ocorram deformações plásticas. ao longo de 1 000 horas de uso. Em muitos casos a trinca. Estes defeitos podem ser. não passa pelo período de nucleação. sem falhas. Com uma rotação média do motor de 2 000 rpm. Pela análise dos casos citados acima vemos que a possibilidade de uma falha por fadiga ocorre nas mais diferentes situações. quer devido a descontinuidades geométricas.5 . associadas com tensões cisalhantes. a deformação plástica inicia nos grãos mais desfavoravelmente orientados. para um material real.NUCLEAÇÃO DE TRINCAS A falha por fadiga está geralmente ligada a deformações plásticas e. No caso dos materiais dúteis. a deformação plástica é preponderante na direção da máxima tensão de cisalhamento. para um dado carregamento. para . novos planos vão se formando. Para um material policristalino. Estes planos de deslizamento surgem já nos primeiros ciclos do carregamento. ou seja. mesmo para tensões abaixo da tensão limite de proporcionalidade. conforme os exemplos citados no texto ilustram. ou seja.1 . e. não é possível afirmar que. Neste caso é bastante difícil detectar a deformação plástica. Assim pode ocorrer que tenhamos um deslizamento em uns poucos grãos apenas. 8. provenientes da deformação plástica no grão mais desfavoravelmente orientado. a nucleação de fissuras ocorre pela formação de planos de deslizamento.2 . com os seus planos de deslizamento próximos da direção da tensão cisalhante máxima. estas. Este deslizamento é mais acentuado quando a tensão cisalhante é maior. Este movimento tem como resultado final o deslocamento relativo entre dois planos atômicos.226 Análise de Resistência Mecânica Reservatório Motor a reação Implemento agrícola Mola de válvula Mola de suspensão Eixo de motor elétrico Figura 8. pois esta é de magnitude muito pequena. ou do limite elástico.Diferentes tipos de carregamento de fadiga possíveis. Em um material cristalino a deformação plástica ocorre pelo movimento de discordâncias. sob a ação de tensões cisalhantes. ficando o restante do material perfeitamente elástico. onde os grãos possuem uma orientação aleatória dos planos atômicos. e com o prosseguimento da solicitação. tenhamos apenas deformações elásticas. cuja densidade de planos vai gradativamente aumentando. e saliências de forma irregular. O modelo representado na figura 8. chamadas extrusões. apenas durante meio ciclo. [6]. como minúsculas cadeias de montanhas.Formação das bandas de deslizamento pela solicitação cíclica e seu aspecto. Deste modo o conjunto de planos de deslizamento forma uma banda de deslizamento. cada plano atua uma única vez. [7]. Após um número de ciclos da ordem de 1% da vida de fadiga as bandas de deslizamento já estão plenamente formadas na superfície do material. Direção de escorregamento σ τ τ τ Superfície livre Detalhe τ τ σ Estágio I Estágio II τ Figura 8. em um e em outro sentido. que levam à formação de microtrincas.2 . coincidentes com um plano de máxima . umas mais a frente e outras mais para trás. [13]. fazem com que as cartas. pois. onde movimentos alternantes de cisalhamento. ocasionam na superfície da peça reentrâncias na forma de pequenas fendas superficiais. de concentração de tensão. chamadas intrusões. fiquem totalmente fora de posição. O surgimento desta topografia na superfície do material pode ser visualisada se fizermos uma analogia dos planos cristalinos com as cartas de um baralho. inicialmente emparelhadas. propagando-se paralelamente aos planos atômicos de deslizamento. devido ao encruamento do material. Estas microtrincas formam-se em geral nas intrusões.2 mostra a sequência de movimentos de deslizamento responsáveis pela formação de uma intrusão e de uma extrusão. Os deslizamentos cíclicos que formam as bandas de deslizamento. [4].O Fenômeno da Fadiga 227 acomodar as novas deformações plásticas. Estas irregularidades formam pontos reentrantes. Estágios de propagação de uma trinca de fadiga. ficando o restante da vida para a propagação no estágio II. sendo relevantes as propriedades médias do material. Muitas vezes a propagação no estágio II produz uma superficie que fica marcada macroscopicamente pelas sucessivas posições da frente da trinca. sem entalhes. No primeiro estágio de propagação as tensões cisalhantes é que são importantes. sendo muito sensível a diferenças locais de micrestrutura. Neste caso a trinca não vai mais crescer e logo a peça não romperá. No entanto tal pode não ocorrer. que marcam o crescimento da fissura a cada ciclo de carregamento. resultando assim uma vida infinita. Muitas vezes as linhas de repouso ficam mais evidenciadas pela ação da corrosão sobre as superfícies já rompidas. como um contorno de grão. Grande parte da vida de fadiga é dispendida nesta etapa do crescimento da trinca. dentro de um único grão. Já a propagação no estágio II corresponde ao modo macroscópico de propagação. como para corpos de prova. Os estudos mais recentes sobre a formação e propagação das trincas de fadiga indicam que as trincas se formam já nos primeiros ciclos de carregamento. As microtrincas seguem crescendo até que atinjam um tamanho tal que passam a se propagar de forma perpendicular às tensões de tração que agem no material. A propagação da trinca no estágio I corresponde ao modo microscópico de propagação. presença de partículas de segunda fase. enquanto que no estágio II as tensões de tração é que controlam o crescimento. devido aos obstáculos que encontra ao seu avanço. Esta propagação se dá com velocidade decrescente. Quando a carga que provoca a falha por fadiga é de amplitude constante. e depois propagando-se no estágio I para dentro do grão. como é o caso da falha em corpos de prova de fadiga. em que o material pode ser considerado homogêneo. Dependendo do nível da solicitação de fadiga a trinca pode se imobilizar ao encontro de algum obstáculo um pouco mais resistente. Para a propagação no estágio II é necessário que existam tensões de tração no extremo da trinca. seja por uma redução da carga ou por uma parada do equipamento. e as diferenças a nível metalúrgico são de menor importância. dando origem às chamadas linhas de praia ou linhas de repouso. contornos de grão. etc.. Estas são formadas por paradas no crescimento da trinca. as linhas de repouso praticamente não aparecem. A propagação no estágio II fica caracterizada pela formação de estrias microscópicas. Em componentes lisos. ou então por uma sobrecarga que imobiliza a trinca por algum tempo. tendo a trinca um comprimento da ordem do tamanho de grão. levando a uma . com a formação das bandas de delizamento. de forma a possibilitar a ruptura do material. O tamanho da microtrinca em que ocorre a transição do estágio I para o estágio II de propagação depende do nível de solicitação. mais de 70% da vida é usada para a nucleação e para a propagação no estágio I. pois em um material altamente solicitado a microtrinca passa para o estágio II com um tamanho menor do que no caso da solicitação ser mais baixa. mudanças de direção dos planos cristalográficos. conforme a frente da trinca penetra dentro do material.228 Análise de Resistência Mecânica tensão cisalhante. como inclusões e outros defeitos ou impurezas. levando dentro de um pequeno espaço de tempo a uma ruptura final. sendo afetada por diversos fatores. é extremamente sensível a diferenças locais de microestrutura.3 . a existência de tensões residuais.O Fenômeno da Fadiga 229 propagação da trinca agora no modo macroscópico. já que a matriz não chega a ser deformada plasticamente. No caso de materiais frágeis ou duros. com uma velocidade de propagação crescente. . na escala metalúrgica. Linhas de repouso. ou linhas de praia Provável ponto de nucleação da trinca Zona de ruptura final Ruptura por cisalhamento Figura 8.Aspecto macroscópico de uma ruptura por fadiga. indicando o ponto de início da trinca e sua propagação. como a topografia da superfície. a agressividade do meio ambiente e diversos outros fatores. a nucleação das trincas inicia na interface entre a matriz e as inclusões existentes. como as ligas de alta resistência de alumínio e os aços tratados para uma alta dureza. comprometendo assim de forma irreversível a peça. A propagação da trinca no modo microscópico. as alterações microestruturais no extremo da fissura são irrelevantes.COMPORTAMENTO MACROSCÓPICO Entendemos como comportamento macroscópico do material. Inúmeros pontos de formação de microtrincas ocorrem. estágio II. ou mesmo a partir dos contornos de grão. retardando ou acelerando a propagação da trinca. usando propriedades médias. 8. Dependendo do material e do modo como ocorrem os planos de deslizamento. ou seja. podendo passar a transgranular com o crescimento. são importantes. logo difícil de ser medida com precisão.230 Análise de Resistência Mecânica Desta forma não surgem as bandas de deslizamento na superfície livre. é necessário levar em conta o tipo de controle usado no . Em materiais mais duros. algumas de pequeno tamanho são absorvidas pelas maiores. sendo as microtrincas intergranulares logo na sua formação. este regime de alto ciclo é mais bem representado pelas deformações elásticas cíclicas. o que é equivalente. Em qualquer dos processos de nucleação as microtrincas surgem logo no início do carregamento. Neste ponto. até que reste no material um pequeno número de trincas remanescentes. resultando em geral numa superfície corrugada.. umas poucas trincas surgem de defeitos microestruturais. e após. microestrutura. as diferenças de orientação de grãos. Neste caso formam-se degraus na superfície. No regime a alto número de ciclos para a falha. formando em geral uma frente única de propagação. Este processo é referido como de nucleação múltipla. Após esta ter um certo tamanho. pelas tensões cíclicas. podendo o material ser tratado como um contínuo. bastante comuns na forma de inclusões. normalmente à direção das tensões de tração aplicadas. sendo a nucleação de trincas um fenômeno muito raro. inferior à deformação elástica. ou. pelo elevado grau de deformação plástica. varia de modo bastante aleatório no interior do corpo pelas diferenças locais da microestrutura. ao longo dos contornos de grão. Enquanto a trinca é pequena. A maior parte da superfície permanece sem alteração. a nucleação e a propagação da trinca de fadiga ocorrem acompanhadas por um escoamento generalizado na superfície da peça. Além de ser bastante pequena. as microtrincas podem ser nucleadas a partir das bandas de deslizamento. com a nucleação iniciando mais no interior do material. estágio I. Com a propagação das trincas. na fadiga. de igual forma ao comentado no Capítulo 3. os quais se propagam inicialmente de modo cristalográfico. a deformação elástica é predominante. e a propagação de uma delas é suficiente para provocar a ruptura. a sua resposta quanto às tensões e deformações provocadas pelo carregamento cíclico. etc. Neste regime de fadiga a alto ciclo a deformação plástica cíclica não é uma variável muito útil para correlacionar com a falha. No regime de baixo número de ciclos para a falha. representando uma pequena parcela da vida de fadiga. devidos a um escorregamento intergranular. ocorrendo em zonas bastante localizadas. ocorrendo a formação de poucas microtrincas. quando o corrugamento superficial for excessivo. Assim. Este modo de nucleação é dito homogêneo.3 . [11]. diretamente relacionados com os valores de Fmín e Fmáx usados na regulagem da máquina de ensaio. ou se controle de deslocamento (deformação). assumindo que a área da seção transversal permaneça constante. Controle de força σ F σ σmáx ∆σ t σmín ∆l ε ε Controle de deslocamento σ ε mín t ε ε máx ∆ε Figura 8.O Fenômeno da Fadiga 231 ensaio. Nos ensaios com controle de deslocamento a forma da curva ε(t) geralmente não é senoidal. No caso de um ensaio com controle de deslocamento a deformação oscila ciclicamente entre εmin e εmáx. dependendo apenas da resposta cíclica do material. o que . sendo preferida uma onda triangular. A deformação do material é livre. a tensão cíclica varia entre os limites de σmin e σmáx. Ensaio com controle de força e deslocamento. controlada apenas pela sua resposta mecânica às tensões cíclicas aplicadas. Para um corpo de prova sendo testado com controle de carga. o efeito do tipo de controle no ensaio é muito mais importante do que no caso do ensaio estático de tração.4 . No caso da fadiga.Comportamento macroscópico de um corpo de prova solicitado por uma carga cíclica. enquanto que a tensão pode variar livremente. se controle de carga (tensão). Um sólido.3) . figura 8.1) (8. No entanto. sendo que a altura do laço é ###σ = 2σa.5. ∆ε = ∆εe + ∆εp ∆εe = ∆σ / E (8. embora quase imperceptíveis. ∆εp. onde σa é a amplitude da tensão cíclica aplicada. mesmo quando solicitados abaixo do limite elástico. A faixa de deformação total. figura 8. que se refletem no diagrama tensãodeformação. Apesar de bastante reduzidas. Quanto maior a deformação plástica mais sensível e imediato este efeito de reorganização da estrutura cristalina. No caso de materiais que são sensíveis à taxa de deformação este cuidado é essencial. ocorrem alterações permanentes na estrutura cristalina. ou seja. figura 8.2) Em um ensaio medimos diretamente ∆ε e ∆σ e. O tipo de teste mais conveniente para o estudo destes aspectos é o de solicitar o corpo de prova ciclicamente. A componente plástica. Estas indicações fornecem indícios de que não existe limite elástico verdadeiro. é a tensão alternante. ou deformações cíclicas. ao invés de tensões. assim. ocorrem pequenas deformações plásticas. Com a aplicação de tensões. é formada pelas componentes elástica e plástica. onde são mostrados os parâmetros usados para caracterizar este laço. podemos calcular a faixa de variação da deformação plástica como: ∆εp = ∆ε .∆εe (8. com o carregamento sucessivo elas levam a um rearranjo da estrutura cristalina e a consequentes alterações nas propriedades mecânicas. elástico perfeito. pode ser solicitado ciclicamente sem que a sua rede cristalina apresente alterações. pois caso contrário o laço de histerese resultante se apresenta com os extermos arredondados. é a largura do laço de histerese. desde que existam instrumentos bastante sensíveis para registrar ínfimos desvios do comportamento elástico. qualquer que seja o número de ciclos de carregamento aplicados.5. existem indicações que nos materiais reais.4.232 Análise de Resistência Mecânica proporciona uma velocidade de deformação constante. Durante a deformação cíclica desenvolve-se um laço de histerese provocado pela deformação plástica cíclica. ∆ε. entre valores fixos de deformação. por outro lado. por exemplo. fazendo com que a densidade de discordâncias se reduza significativamente. O mecanismo básico de alteração da curva tensão-deformação. Estes efeitos parecem sugerir que cada metal ou liga possui uma faixa de resistência em potencial que pode ser atingida por um trabalho a frio. enquanto que materiais trabalhados a frio tendem a amolecer. recozimento. Um estado intermediário parece ser a situação de equilíbrio para o metal. devido a um processo de trefilação ou laminação.O Fenômeno da Fadiga 233 ∆ε e σ ∆ε p ∆σ σa ∆σ ∆σ ∆ε ε ∆ε ∆ε p ∆ε ∆σ Figura 8. ele encrua ciclicamente e se. etc. resultado de um elevado trabalho a frio. Materiais com um grau intermediário de trabalho a frio inicialmente encruam e após amolecem.5 . devido às deformações plásticas cíclicas. está associado com a movimentação de discordâncias. então ele amolece. apresenta uma alta densidade de discordâncias. está no extremo superior.Esquema de um laço de histerese típico com os parâmetros envolvidos. É amplamente aceito que os materiais recozidos encruam no ensaio. Se o metal está inicialmente no extremo inferior desta faixa. Durante a solicitação cíclica o material pode tanto encruar como amolecer. algo da ordem de 108 discordâncias por cm2. dependendo dos tratamentos termomecânicos a que foi submetido. dependendo das condições de carregamento. Exemplo de laços com idênticos ∆σ e ∆ε. Com as deformações plásticas cíclicas as discordâncias passam a se movimentar e passa a ocorrer o fenômeno de aniquilamento de discordâncias de sinais contrários. tendo o seu limite elástico alterado. Esta redução tem como . Quando o material está altamente encruado. dependendo da deformação e do número de ciclos. . é necessário um maior número de ciclos para o material amolecer até o regime permanente. mas se for usada uma série de amplitudes decrescentes.O Fenômeno da Fadiga 235 Laços de histerese ε σ σ t ε ε ∆ε Material com: Encruamento ∆ε Amolecimento Figura 8. poucos ciclos são necessários para o material endurecer até o estado de equilíbrio. o efeito de encruamento pode elevar o limite elástico a um valor até cinco vezes superior ao original. recozido. devido ao amolecimento cíclico.Condições em que o ensaio é executado e representação esquemática da formação dos primeiros laços de histerese. Em um metal puro. Se o material estiver inicialmente bastante encruado. No caso do cobre.6 . o período transitório consome aproximadamente 5% da vida e para os materiais que amolecem consome algo da ordem de 20%. ocorrendo a estabilização mais rapidamente do que quando o material amolece. . Para os materiais que endurecem ciclicamente a curva tensãodeformação cíclica situa-se acima da estática. a redução no limite elástico pode ser de um fator dois. se um corpo de prova recozido é submetido a uma série de ciclos de amplitude crescente. Para os materiais que encruam. material encruado σ Curva estática . definir se o ensaio deve ser feito com amplitude de tensão ou de deformação constante.recozido σ A A Curva estática . Este ponto. ε1 ). até que o laço de histerese praticamente não se altere.n.1. obtido pela estabilização a ε1 . Realizando outros ensaios a diferentes faixas ∆εi .encruado Curva cíclica . obtemos dos laços de histerese estabilizados os pontos A.εi ) que no conjunto permitem formar a curva tensão-deformação cíclica do material. i = 1. após um certo número de ciclos o material sofre progressivamente um endurecimento cíclico.material recozido t ε ε Figura 8.. é um primeiro ponto do que será a curva tensão-deformação cíclica. alcançando a estabilização.Variação da tensão com o número de ciclos e comparação das curvas σ-ε estáticas e cíclicas para um material em duas condições. .i = (σi . Na figura 8.8 localizamos então o ponto A.2.7 .material recozido Curva estática . que corresponde portanto à sua resposta estabilizada às solicitações cíclicas. No caso exemplificado. Para a determinação experimental da curva cíclica o primeiro passo é a determinação do parâmetro a ser controlado. de coordenadas (σ1 . Tomemos por exemplo o caso da figura 8. ou seja.8.. um teste com controle de deformação.236 Análise de Resistência Mecânica σ B σ Curva estática .material encruado t B Curva cíclica Curva cíclica . de bloco para bloco. a curva que une os extremos dos laços de histerese estabilizados é a curva tensão-deformação cíclica. a deformação é aumentada e um novo bloco de solicitação inicia. como ilustra a figura 8. Neste caso o processo é mais rápido. pode também ser usada uma mudança gradual. Ao invés de uma série de blocos em que a deformação é alterada. após atingido o equilíbrio.Determinação da curva tensão-deformação cíclica. com o material já em equilíbrio. dentro do bloco.O Fenômeno da Fadiga 237 σ σ A1 ε ε Ensaio cíclico Curva tensão .8 . sendo a amplitude constante dentro de cada bloco. pois um único tipo de bloco de carregamento é usado.deformação Figura 8.8. Após a aplicação de uma série destes blocos o material passa a ter uma resposta tensãodeformação estabilizada. até atingir o regime estável. Neste teste a solicitação é formada por blocos onde a deformação varia linearmente de zero até um máximo. A duração de cada bloco deve ser tal que permita a estabilização. Com o registro dos laços de histerese de um bloco. Uma outra maneira de obter a curva tensão-deformação cíclica é solicitar um mesmo corpo de prova com blocos de solicitação cíclica. Uma vez atingido o nível estável de tensão. . para obter a curva tensão-deformação. a curva tensão-deformação a ser usada deve ser a correspondente ao número de ciclos que já solicitou o material. enquanto que os pontos menos solicitados estarão ainda numa transição entre a curva estática e a curva cíclica. Deste modo. A extensão do campo elástico da curva tensão-deformação cíclica fica definida através da tensão limite de escoamento cíclica.10 mostra um conjunto de laços de histerese estabilizados. . com a correspondente curva tensão-deformação cíclica. enquanto que para baixas deformações a vida é maior. com 350 HBN de dureza.01 t Figura 8. pois para altas deformações a vida é bastante curta. na seção sob análise. Os pontos mais solicitados provavelmente já estarão respondendo de acordo com a curva tensão-deformação cíclica. Pelo acima exposto. definida pelo lugar geométrico dos extremos dos laços de histerese.9 .002.238 Análise de Resistência Mecânica ε 0. não é uniforme. medida na curva cíclica. do aço AISI 4137H. usualmente estabelecida por uma deformação plástica de 0. a curva tensão-deformação cíclica é o meio mais apropriado de fornecer o comportamento mecânico do material. para um estudo dinâmico. A figura 8. para um componente estrutural em que a distribuição de tensões.Controle de deformação imposto ao corpo de prova para obter a curva tensão-deformação cíclica. pois ocorre uma estabilização mais rápida. Deve ser salientado que os pontos sobre a curva tensão-deformação estabilizada correspondem a diferentes números de ciclos. ou seja.0 0. É mostrada também a comparação entre as curvas tensão-deformação cíclica e estática. A curva tensão-deformação cíclica da maioria dos materiais usados em Engenharia pode ser descrita pelo modelo com encruamento potencial.01 0. para alguns materiais. estão disponíveis no Apêndice 1. O material amolece. Nestas curvas nota-se que a posição relativa entre a curva estática e a cíclica depende em certos casos do nível de deformação considerado.O Fenômeno da Fadiga 239 ∆σ / 2 = k' (######p / 2)n' (8.1). Na figura 8.4) sendo k' o coeficiente de resistência cíclica e n' o expoente de encruamento cíclico. e a tensão limite de escoamento σE .7) (8. .8) sendo n' o expoente de encruamento cíclico do material. Um modo bastante simples de estimar se um dado material vai encruar ou amolecer ciclicamente é usando a relação entre a tensão limite de resistência σR . (8. que. obtidas no teste de tração convencional. Em outros casos existe um efeito grande de encruamento ou de amolecimento cíclico. se σR / σE > 1. pela equação (8. a sua curva tensãodeformação cíclica não difere muito da curva estática.2 O material encrua. A deformação plástica é obtida da equação (8. ou seja. Para as relações intermediárias o material possui então um comportamento relativamente estável. (###εp / 2) = ( ###σ / 2 k')1/n'' onde temos (8.4). Assim. obtidos experimentalmente.6) ∆ / 2 = ###εe / 2 + ######p / 2 resulta (###### / 2) = ∆σ / ( 2E ) + ( ∆σ / 2 k')1/n' (8.4 σR / σE < 1.9 estão mostrados resultados experimentais das curvas cíclicas e estáticas para alguns materiais.5) ∆εe / 2 = ∆σ / ( 2E ) e. existe uma grande chance do material apresentar um transiente cíclico importante.02 Waspaloy A 0. Tal se baseia na constatação de que o coeficiente de encruamento da curva cíclica se situa praticamente sempre entre 0.01 7075-T6 0. aumentando as tensões nas fibras .01 0.240 Análise de Resistência Mecânica Outra forma de prever se o material encrua ou amolece ciclicamente é quanto ao expoente de encruamento do material.02 350 350 Ti 811 0. da curva σ-ε estática.01 0.02 Aço Man-Ten 0. Assim. n > 0.10 .20 n < 0.02 Estática Cíclica Estática 0. A curva tensão-deformação cíclica explica de uma forma concreta a diferença que é verificada experimentalmente entre a tensão limite de fadiga sob flexão e sob tração compressão. quando as tensões são calculadas elasticamente a partir dos momentos e das forças externas. No caso de flexão. se na curva estática o expoente está fora desta faixa.01 0.02 Cíclica Cíclica 700 700 700 Estática 350 SAE 4340 350 HB 0.20.Exemplos de curvas tensão-deformação cíclica e monotônica para diferentes tipos de materiais. O material amolece.10 O material encrua.10 e 0. a tensão que age independe da forma da curva tensão-deformação. No caso de um ensaio de tração.02 Figura 8. há uma completa redistribuição de tensões na seção. para uma tensão de flexão superior ao limite elástico cíclico do material. tal não ocorre necessariamente.01 0.01 0. Assim. É fato comprovado que a resistência à fadiga sob flexão é maior do que sob tração. 700 Cíclica 350 Estática 700 Cíclica Estática 700 Cíclica 350 Estática 350 2024-T4 0. Desse modo a tensão real nas fibras externas é inferior à tensão nominal. Logicamente é interessante reduzir e simplificar os ensaios tanto quanto possível. que leva à falha final. por exemplo. σ 450 Curva estática Curva cíclica 0.9. No caso da indústria aeronáutica. é afetado por um número tão grande de variáveis que em geral é necessário testar a estrutura. A resistência à falha por fadiga durante a sua vida útil é uma consideração importante.Determinação da curva tensão-deformação cíclica a partir de um carregamento em blocos de amplitude variável. Ao mesmo tempo os ensaios não devem ser excessivamente longos ou onerosos. O engenheiro de testes deve realizar os ensaios de forma que eles reflitam com exatidão a capacidade da estrutura quanto à resistência à fadiga. vários anos de serviço podem ser simulados em alguns poucos meses e apenas um ou dois protótipos de um novo avião precisam ser usados para os testes de fadiga. O acúmulo do dano provocado pela fadiga. conforme figura 8. pois muitas estruturas estão sujeitas a cargas ou defleções cíclicas.O Fenômeno da Fadiga 241 internas e reduzindo-as nas fibras externas. mantendo uma relação conhecida entre os resultados dos testes e o desempenho em serviço.01 ε Figura 8. 8. seja no campo.EXIGÊNCIAS DE UMA ANÁLISE DE FADIGA As estruturas de Engenharia devem fornecer um serviço seguro no seu ambiente de trabalho. para provar que ela é confiável. seja em laboratório. o que não ocorre no caso de um ensaio de tração-compressão.11 .5 . onde a tensão nominal coincide com a tensão que está atuando. Uma forma de encurtar os testes é submeter a estrutura a uma versão . Um caso extremo o de um corpo de prova de fadiga. etc. um mecanismo articulado. Se o equipamento é submetido a cargas variáveis. Outra forma para simplificar os ensaios é atuar sobre a estrutura. volume de produção. então apenas uma parte é que pode necessitar um ensaio. que pode ser o ensaio de um corpo de prova liso ou entalhado sob as condições de serviço. Aqui a desvantagem de simplificar a estrutura é que se torna difícil relacionar a vida do ensaio com a vida esperada em serviço. Mais recentemente. ele deve ser dimensionado quanto a uma falha por fadiga. O grau de sofisticação na análise não exige maior número de informações do que as contidas ao longo deste texto. Às vezes apenas as partes críticas da estrutura são testadas. O caso ideal em termos de reprodução da condição real é o ensaio da estrutura completa sob a ação das cargas esperadas. Assim. sem afetar os resultados. Segundo Fucks e Stephens. podemos ensaiar apenas os pontos críticos da estrutura. dependendo do tipo de projeto desenvolvido e de sua responsabilidade. PROJETO DE UM EQUIPAMENTO PARA USO RESTRITO É o caso de um equipamento que vai ser usado na própria indústria. [7].242 Análise de Resistência Mecânica simplificada das solicitações previstas em serviço. [14]. porém os custos são aqui exorbitantes na maioria das vezes. Assim. Uma desvantagem da simplificação das solicitações é que isto complica a análise requerida para relacionar os resultados experimentais com o desempenho. o grau de sofisticação na análise e no projeto de fadiga pode ser dividido em quatro classes. Estas classes são discutidas no texto que se segue. seja para auxiliar a produção. simulando exatamente as solicitações medidas em serviço. para ensaios ou para obter dados. ou então qualquer outra combinação intermediária. como um eixo rotativo. sendo necessário o uso de várias hipóteses para fazermos a correlação. que corresponde ao caso mais elementar de estrutura.. Um modelo simplificado da estrutura pode fornecer muitas informações úteis quando ensaiado..11 mostra os estágios possíveis na simplificação da estrutura e das solicitações devidas ao meio ambiente. O projetista deve assegurar uma segurança suficiente quanto à operação. é possível em muitos testes eliminar os períodos de repouso e as cargas de amplitude muito pequena. etc. com o uso das técnicas digitais de controle. nestes mesmos pontos críticos. . se apenas uma parte da estrutura é um projeto novo. A figura 8. pelo uso de um coeficiente de segurança adequado. Outra possibilidade é o ensaio da estrutura completa sob a ação de um carregamento de amplitude constante. Assim é necessário adotar uma solução de compromisso. industrial. pesquisa. são necessários testes para confirmar as hipóteses assumidas no cálculo. a partir de memoriais ou modelos anteriores. . Antes de fazer uma análise completa de tensões é possível determinar a relação entre as tensões nos pontos mais significativos e a carga. dados adicionais precisam ser conhecidos. pode-se partir para a análise detalhada de fadiga de todos elementos. Depois do levantamento das cargas. seja sobre a estrutura. realístico. já que não existe sentido em efetuar uma análise de tensões minuciosa. Sempre que possível. que podem levar a modificações do projeto. Servem para ajustar o procedimento de testes para produzir falhas que sejam semelhantes às falhas que ocorrem em serviço. básico. Simples. Corpo de prova Componente Produto completo Detalhe Registro de carga Solicitação em bloco Complexo. a partir de medidas em protótipos e assim reproduzir as mesmas condições para o novo projeto. protótipos de modelos devem ser testados para confirmar o desempenho e a estimativa de cargas que foi feita preliminarmente. Amplitude constante Figura 8. A previsão das cargas atuantes é o fator mais importante. Peças rompidas de modelos anteriores fornecem dados preciosos.Graus de sofisticação que podem ser adotados em ensaios de fadiga. com comprovação por meio de testes dos componentes. PROJETO DE UM NOVO PRODUTO Este passo requer um enorme cuidado no projeto à fadiga. se tivermos uma avaliação errada dos carregamentos.O Fenômeno da Fadiga 243 PROJETO DE UM NOVO MODELO Quando existe um projeto e este sofre alterações.12 . seja sobre o carregamento. Adicionalmente às exigências discutidas acima. criados por sociedades de regulamentação e de normalização. em geral. onde os procedimentos. Molas de válvulas de um motor de combustão. levando em conta a fadiga. etc. A regra de projeto de acordo com código interno à empresa. FAA. tendo sido proposta ainda no século passado. Muitos destes critérios são ainda válidos. Os principais critérios de projeto. o projeto deve seguir um roteiro préestabelecido.244 Análise de Resistência Mecânica PROJETO DE ACORDO COM NORMAS Muitas empresas estipulam valores para as tensões admissíveis para o projeto de seus equipamentos. Este é o enfoque mais clássico da análise de fadiga.6 . exigências de segurança. Esse critério exige que as tensões atuantes estejam suficientemente abaixo da tensão limite de fadiga pertinente. PROJETO PARA VIDA INFINITA Os primeiros projetos mecânicos. Projetos aeronáuticos. são ainda aplicáveis.. EXEMPLOS: Eixos de motores. com os componentes dimensionados para uma vida infinita. ciclos de carga. devem ser dimensionadas para vida infinita. usando os conceitos da curva de Woehler e da tensão limite de fadiga. com o uso de diferentes materiais.CRITÉRIOS DE PROJETO PARA FADIGA Os sistemas e equipamentos de Engenharia onde as peças e componentes devem ser projetados e calculados para resistir a uma falha por fadiga são as mais diversas. 8. é um procedimento conservativo de projeto. Os critérios para projeto de fadiga foram sendo substancialmente alterados com o desenvolvimento da técnica e do conhecimento do problema de fadiga. navais e de reservatórios submetidos a pressão são exemplos típicos de situações governadas por normas. como da ASME. ISO e outras. . muitas peças que operam com um carregamento cíclico aproximadamente constante durante vários milhões de ciclos. DIN. colocados aproximadamente em uma ordem cronológica de desenvolvimento. eram baseados em uma segurança quanto à falha quase ilimitada. métodos e limites admissíveis estão contidos em normas e códigos. são descritos a seguir. Engrenagens industriais. Em outras situações. Ainda hoje. Tais dados permitem ao projetista projetar de acordo com dados baseados na experiência de muitos outros projetistas. pois as condições de uso de diferentes componentes mecânicos são as mais diversas possíveis e existem situações onde os critérios. mesmo os mais antigos. fazendo com que o critério de projeto e análise da resistência à fadiga tenha que ser também diferente para cada caso considerado. O Fenômeno da Fadiga 245 PROJETO PARA VIDA FINITA Em muitas ocasiões as condições de carregamento são sensivelmente imprevisíveis. O dimensionamento ou análise pode ser tanto feito com base nas relações tensão-vida (σ . seja devida à operação (fadiga. pois a carga máxima ocorrerá apenas algumas poucas vezes ao longo da vida útil do equipamento.). corrosão sob tensão.. ou elementos para impedir a propagação da trinca a intervalos. usar uniões rebitadas ou parafusadas ao invés de soldadas. Alguns meios de possibilitar o comportamento "fail safe" em uma estrutura são os de permitir percursos alternativos para transferir a carga. etc. peso. A figura 8. (crack arresters). custo. ao menos. A vida selecionada para o projeto deve incluir uma margem de segurança para levar em consideração a grande dispersão da vida de fadiga (relações de vida máxima. já que estes não podem tolerar o peso adicional requerido por um coeficiente de segurança alto. nem o risco de falha implícito por um coeficiente muito baixo. introduzir bloqueadores de propagação. ou. EXEMPLOS: Mancais de rolamento Reservatórios Pressurizados Componentes automobilísticos Motores a jato PROJETO PARA FALHA EM SEGURANÇA (FAIL SAFE) Este critério foi desenvolvido pelos engenheiros aeronáuticos.N). ou ainda de propagação de trincas pré-existentes (a . inconstantes. antes que sejam detectadas pelas . e com os conceitos da Mecânica da Fratura são desenvolvidos os projetos de modo que as trincas pré-existentes não cresçam a um tamanho tal que leve à falha. serão excessivos. etc. logo o projeto para vida finita sob a ação destas cargas é plenamente justificável. Assim. desnecessários. EXEMPLOS: Fuselagens e asas de aviões Cascos de navios Pontes. deformação-vida (ε .∆K). vida mínima da ordem de 10 para 1 podem ser facilmente encontradas nos ensaios de fadiga) bem como outros fatores não conhecidos ou não considerados. Partimos do princípio de que a estrutura possui uma fissura. seja por defeito de fabricação.. se um componente for projetado para a carga máxima esperada. PROJETO COM TOLERÂNCIA AO DANO Este critério é um refino da filosofia anterior de projeto. O critério para falha em segurança considera a possibilidade de ocorrência de trincas de fadiga e dispõem a estrutura de modo que as trincas não a levem ao colapso antes de serem detectadas e reparadas. etc.N). ilustra o procedimento comentado. as dimensões.13. K I C1 K I C2 Estrutura soldada Estrutura rebitada Uso de bloqueadores Percursos alternativos de carga Figura 8. A grande maioria dos ensaios estava voltada para o . Woehler foi o primeiro que apontou para a importância da amplitude das tensões cíclicas sobre a vida de fadiga. 8. que levam a uma falha prematura.COMENTÁRIOS FINAIS Historicamente a análise de fenômenos da fadiga iniciou com os trabalhos pioneiros de Woehler sobre as falhas repentinas que ocorriam nos eixos dos vagões das estradas de ferro alemãs. por pesquisadores de todo o mundo. Se o componente sobrevive ao ensaio está assegurado que não existem defeitos (trincas) acima de uma dada dimensão. O tamanho inicial do defeito pode ser estimado (ao menos o seu limite superior) através de um ensaio prévio de sobrecarga. Tubulação e oleodutos. Este critério aplica-se melhor a materiais com baixa velocidade de propagação de trincas e com alta tenacidade.13 . isto na segunda metade do século XIX. através de ensaios realizados com os mais diversos tipos de corpos de prova e de carregamento.246 Análise de Resistência Mecânica inspeções periódicas. Reservatórios.7 . EXEMPLOS: Fuselagens e asas de aviões. A partir destes estudos iniciais o problema da fadiga passou a ser estudado de uma forma exaustiva. É um critério que usa extensivamente as modernas metodologias de projeto. bem como para o efeito de pequenos raios de concordância no fundo de entalhes.Exemplos de estruturas para falha em segurança. outros fatores influem sobre a resistência à fadiga de componentes mecânicos. Nesta etapa do desenvolvimento do estudo da fadiga vários aspectos causavam controvérsias. O processo da análise de fadiga convencional. ou clássico. pois para qualquer ponto dentro do regime plástico a tensão solicitante é sempre a mesma. e outros mais. tamanho. para afinal obtermos a tensão limite de fadiga para o componente. É lógico que se o material sofre uma deformação cíclica mais elevada a vida de fadiga fica reduzida.. Assim. as vezes pouco lógicos para explicar certos efeitos verificados na prática. sensibilidade ao entalhe. além do efeito do entalhe. é baseado no conceito da tensão limite de fadiga. A importância desta diferença é claramente verificada no caso de um componente estrutural com uma descontinuidade geométrica. Sobre a tensão limite de fadiga para um corpo de prova liso são adicionados os efeitos de concentração de tensão. constante. A análise do fenômeno de fadiga pelas tensões que atuam no material é aplicável quando o nível de deformação plástica induzida for baixo. como o efeito de tamanho. Devido ao grande número de variáveis envolvidas. usando as tensões nominais que atuam na seção crítica como a indicação do nível de solicitação que atua no material.N. dentro da zona plástica. Foi verificado que. o estado de tensões na zona plástica perde significado. mas sim com a . No caso em que as deformações plásticas crescem. A maior diferença entre a análise de fadiga convencional. Neste caso. ou clássica. do tipo de carga. que exigiam hipóteses e modelos. embora a deformação possa variar entre limites bastante amplos. sensibilidade ao entalhe. e não da tensão. acabamento superficial. embora a tensão fica. é que neste a solicitação no material é fornecida em termos da deformação que o material sofre. quando a vida for relativamente elevada. O efeito de uma descontinuidade deste tipo é o aumento da magnitude das tensões na sua proximidade. que se reflete sobre a previsão de vida do componente mecânico.O Fenômeno da Fadiga 247 extremo da curva de fadiga correspondente ao regime de alto número de ciclos para falha. principalmente se o material não possui um encruamento apreciável. Um caso extremo é o de um material elastoplástico ideal. passando-se assim a coletar dados experimentais sobre estes efeitos e colocá-los sob a forma de fatores de correção empíricos. não havendo uma explicação correta. baseada no conceito da tensão limite de fadiga e o processo baseado na curva ### . etc. já que a tensão máxima é constante e igual à tensão limite de escoamento (estado plano de tensões). tipo de carregamento. existe uma grande dispersão nos resultados de ensaios de fadiga e isto leva a uma imprecisão na análise de fadiga. Este aumento localizado de tensões pode fazer com que nesta região o material sofra deformações plásticas. Para um material sem encruamento. de acordo com o modelo adotado. a vida do componente não pode ser correlacionada com a tensão no ponto mais solicitado. ou seja. é mais difícil relacionar a vida com o nível de tensão. apenas com a sofisticação dos métodos de ensaio e de análise dos resultados é que foi possível resolver vários aspectos duvidosos. quando o componente estrutural é controlado por tensões. Assim. a ocorrência de tensões residuais é possível se o material é solicitado por um carregamento onde são impostas deformações. possui pouco significado. decorrentes das cargas externas. Sendo a tensão nominal normalmente elástica. Assim. mais usualmente. em um comportamento plástico. momentos) as zonas plásticas confinadas ficam controladas por deformações. O comportamento do material nestas zonas confinadas pode ser comparado com o comportamento de um corpo de prova ensaiado com controle de deformação. as deformações que atuam na zona plástica confinada podem ser simuladas pelo ensaio de corpos de prova de pequenas dimensões. a vida de nucleação do componente será a mesma que a vida do corpo de prova. Se a deformação cíclica que age no ponto mais solicitado do componente for a mesma que age no corpo de prova. ou. As deformações na zona plástica ficam governadas pelos deslocamentos. Uma conseqüência da análise plástica é a possibilidade de considerar-se o desenvolvimento. Um valor mais significativo é o limite de escoamento de uma curva tensão-deformação cíclica. (forças. Devido ao efeito de encruamento cíclico que alguns materiais apresentam e ao efeito de amolecimento cíclico que outros apresentam. dependendo da amplitude de deformação cíclica. .248 Análise de Resistência Mecânica deformação que age neste ponto. para prever os efeitos de pontos de concentração de tensão no comportamento à fadiga de componentes estruturais. em algum ponto. de um estado de tensões residuais. para solicitações cíclicas. que o material elástico sofre. conhecendo a dependência da deformação sobre a vida. um comportamento inicialmente elástico pode se transformar. Em vista do acima exposto. em geral. é possível prever a vida do componente estrutural. obtida para o material em uma situação já estabilizada. após um número de ciclos suficientes. desenvolvem-se quando existe um gradiente de tensões ao longo da seção e. Quando a distribuição de tensões na seção é uniforme. pois. a vida pode variar entre limites bastante amplos. o limite elástico. Estas tensões residuais. desde que se tenha conhecimento da deformação que age no ponto mais solicitado. como no caso de tensões térmicas. no interior do material. a zona constituída por material deformado plasticamente. na proximidade do ponto de concentração de tensão. pois neste o período de propagação é extremamente pequeno. é envolvida por um campo elástico de tensões. que pode alterar sensivelmente o seu comportamento à fadiga. em condições de deformação controlada. de seção uniforme. o limite elástico é ultrapassado. Em outras palavras. já que o material pode encruar ou amolecer ao longo da vida. obtido em um ensaio estático de tração. para o material em questão. a tensão limite de escoamento. Quando o projeto deve iniciar. ou então a resistência à propagação destas trincas. devemos ter critérios para ao menos estimar o comportamento do material. seja experimentalmente ou não. Esta resistência à fadiga deve ser compatível com o critério de projeto adotado. Assim.CAPÍTULO 9 RESISTÊNCIA À FADIGA DOS MATERIAIS m qualquer projeto quanto à fadiga. este Capítulo tem como objetivo também fornecer dados que permitam estimar o comportamento à fadiga do material. E . quando então devemos levantar em laboratório estes dados. dependendo do tipo de aplicação podemos necessitar de informações quanto a resistência à nucleação de trincas de fadiga. Outro ponto importante diz respeito à estimativa das curvas. Seja na determinação experimental seja na estimativa das curvas de resistência à propagação das trincas de fadiga o Capítulo 12 discute os diferentes aspectos envolvidos e fornece os dados necessários para uma avaliação da vida de propagação. O objetivo deste Capítulo é de justamente comentar os aspectos relativos à determinação experimental da curva de resistência à fadiga do material de interesse. como discutido no Capítulo 8. para o material de interesse. a resistência a fadiga do material. Assim. um dos pontos fundamentais é determinar. sem dados quanto à resistência à fadiga. quanto a nucleação de trincas. Estas informações podem muitas vezes não estarem disponíveis. a partir de poucas informações a respeito do material. o que faz com que cada ponto do material. submetido a um momento fletor constante.1 . Os resultados destes . com tensão média nula. submetidos a esforços de flexão e postos a girar. até a falha. Isto faz com que seja necessário considerar não só a influência da amplitude da tensão alternante.1. conforme mostra a figura 9. O corpo de prova assim permanece até que venha a romper. com diferentes intensidades de carregamento.Variação da tensão em um ensaio de flexão rotativa e definição das tensões em um caso geral. devido à rotação. Nos ensaios de flexão rotativa o material é solicitado por uma tensão cíclica alternante. permitindo desta forma uma avaliação do efeito do nível do carregamento cíclico sobre a vida à fadiga do material em questão. temos o número de ciclos que o material suportou. tenha o seu nível de tensão variando senoidalmente.ENSAIOS DE FADIGA. Em outras situações a tensão varia ciclicamente sobre um valor de tensão média que não é zero.1. como também a intensidade da tensão média sobre a resistência à fadiga.250 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a 9. correspondente ao nível de tensão cíclica atuante.1 . Novos corpos de prova são ensaiados. a tensão varia senoidalmente com o tempo. embora a carga seja constante. Os primeiros ensaios de fadiga para pesquisar a resistência a carregamentos cíclicos foram feitos com corpos de prova de seção circular. A nomenclatura adotada para identificar as tensões atuantes neste caso está ilustrada na figura 9. Contando-se o número de rotações até a ruptura do corpo de prova.σmín) / 2 σm ∆σ = 2 σa R = σmín / σmáx Figura 9. fazendo com que a alternância não seja simétrica. σmáx σa ∆σ σa ∆σ σmín σm = ( σmáx + σmín ) / 2 σa = ( σmáx . Neste tipo de ensaio. devido a rotação do corpo de prova. Neste ensaio um corpo de prova é posto a girar. . como ilustra a figura 9. Como a vida pode ser tão curta como 10 ciclos ou tão longa como 109 ciclos. σa 10 4 σR 10 3 σm = 0 σa 10 2 Curva de Woehler N 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Figura 9. ε máx εa t ∆ε ε mín Figura 9.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 251 ensaios são usualmente apresentados na forma gráfica.Aspecto geral de uma curva tensão alternante-número de ciclos.Variação da deformação num ensaio com deformação controlada. ao menos no eixo horizontal.3 . a escala usada é normalmente logarítmica.2 . de valores da tensão alternante aplicada contra o número de ciclos da vida.2. Os equipamentos de ensaio são na sua grande maioria máquinas eletro-hidráulicas servocontroladas. tração-flexão. entre outras combinações. . Nos ensaios com controle de deformação as curvas são de εa (componente dinâmica da deformação) contra N ou de ∆ε. é a grande dispersão de resultados existente. que fica bastante influenciado pelas heterogeneidades metalúrgicas. flexão-torção. ∆ε < 0. e que deve ser levada em consideração em todo e qualquer problema relacionado com fadiga. de tração-compressão. sendo que atualmente a tendência é de usar predominantemente testes axiais. Muitas vezes o interesse é de obtermos o comportamento do material quando à propagação de trincas de fadiga. faixa de variação da deformação. Isto é devido ao processo de nucleação. com realimentação do sinal de controle e possibilidade de medida de várias grandezas simultaneamente.Tipos de corpos de provas. que são aleatoriamente dispersas pelo volume do material. torção cíclica ou de flexão plana. tração-torção. com controle de carga na região a alto ciclos e com controle de deformação na região a baixo ciclos. contra a vida N. principalmente para vidas superiores a 104 ciclos.04 ∆ε > 0. Alguns ensaios são realizados com o uso de carregamentos combinados. Neste caso o corpo de prova é pré-fissurado e a velocidade com que a trinca cresce e a intensidade do carregamento cíclico são monitoradas. para diferentes ensaios de fadiga.04 Flexão plana Torção Tração-compressão Corpos de prova para ensaios de nucleação Flexão rotativa ou carga axial Flexão em três pontos Concentração de tensão Propagação de trincas Figura 9. ou seja. Outros tipos de ensaios realizados são os de tração-compressão.252 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a Uma característica importante. Atualmente o estudo da fadiga é feito tomando por base os dados obtidos com ensaios de tração-compressão.4 . . dimensões do corpo de prova. ou seja. que busca reproduzir o mais próximo possível as condições reais de serviço que o produto encontra na prática. os blocos são formados por uma sequência aleatória. como por exemplo. forma da seção transversal. Esta necessidade é decorrência do grande número de variáveis que influem sobre a resistência à fadiga do material. colinearidade entre o eixo do corpo de prova e a carga de ensaio. cada bloco formado por sequências de vários níveis de carga. Desta forma. Outra possibilidade é uma solicitação cíclica definida através de blocos de carregamento. grau e direção do acabamento superficial. 1 2 3 Registro de carga Solicitação em bloco Amplitude constante Carga senoidal Carga trapezoidal Carga triangular Figura 9. etc. em uma primeira aproximação para modelar uma carga real de serviço. A figura 9. temos.5 .Tipos de solicitações variáveis ao longo do tempo. Num grau mais sofisticado. orientação do corpo de prova em relação às direções de laminação. tipo de carregamento empregado. Assim. de modo a simular cargas reais de serviço. a confecção de . trefilação ou forja. a aplicação de uma carga flutuante. sobre corpos de prova ou sobre estruturas completas. uma solicitação senoidal com tensão média não nula.5 ilustra estas diferentes formas de carregamentos que são aplicadas em laboratório. Os corpos de prova usados para determinar as propriedades de fadiga estão sujeitos a um controle muito mais intenso do que no caso de corpos de prova para uso no ensaio de tração.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 253 Outro aspecto que é investigado diz respeito à aplicação de cargas não senoidais. cada nível considerado com um carregamento com amplitude constante. agressividade do meio ambiente. mais usuais em casos práticos. Apresentação de resultados com amplitude constante. quanto à nucleação. os materiais podem apresentar dois tipos de comportamento. Testes de fadiga com ambiente agressivo. se o ensaio for realizado com controle de carga. como uma função decrescente do número de ciclos. Os ensaios de fadiga. um com a tensão decrescendo continuamente com a vida. Análise estatística das curvas σ . sendo ensaiados ou com carga axial ou sob flexão rotativa. O critério de falha pode ser a ruptura do corpo de prova. Neste caso. ou seja. baixo número de ciclos. Número ASTM E 206 E 466 E 467 E 468 E 513 E 606 E 647 E 739 E 742 Assunto da especificação Testes e tratamento estatístico dos resultados. bem como um cuidado especial na forma da transição entre a seção útil e os extremos a serem fixados nas garras. Verificação de máquinas de ensaio axial. Nomenclatura de ensaios a baixo número de ciclos.Normas e especificações da ASTM para ensaios de fadiga [ ]. Os corpos de prova usualmente são de seção circular com um diâmetro da ordem de 6 a 10 mm.N. Para o caso de um ensaio com controle de deslocamento.1 . ou então o surgimento de uma trinca observável. sendo geralmente necessário um acabamento esõerado na superfície. existem situação nas quais o interesse não é na curva de fadiga por inteiro. Teste de amplitude constante.2 . com amplitude constante. Por outro lado.RESULTADOS EXPERIMENTAIS. para evitar ao máximo pontos com concentração de tensão. tensão ou deformação. Estes ensaios levam a resultados típicos da solicitação.N e ε . mas apenas no seu extremo para altas vidas. e o número de ciclos necessários para levar à falha o corpo de prova. permanecendo constante dentro de um patamar.1 indica as principais normas da ASTM que estabelecem os requisitos e orientações necessárias para a realização de ensaios de fadiga. os resultados serão de deformação contra vida. a falha sempre vai ocorrer. TABELA 9. menor deve ser a solicitação cíclica aplicada ao material. quanto maior a vida desejada. A tabela 9. Neste tipo de material a vida de fadiga é sempre finita. geram então curvas de tensão cíclica versus vida. 9. para vidas superiores a 106 ou 107 ciclos. chamado tipo I. Neste caso . Outro critério que pode ser aplicado é a perda de rigidez. ou seja. com polimento manual após a operação de retífica. tensão ou deformação. Testes de fadiga axial. No tipo II a tensão diminui até um certo valor. Os resultados experimentais de ensaios de fadiga quanto a resistência à nucleação relacionam o carregamento dinâmico aplicado.254 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a corpos de prova para ensaios de fadiga é estabelecida nas normas de ensaio. embora a vida possa ser elevada. Ensaio de propagação de trincas de fadiga. Nestes casos. a curva apresenta um patamar.N apresenta um comportamento importantíssimo para aplicações práticas. não rompe.N tem um aspecto sempre decrescente. quanto menor a amplitude das tensões cíclicas. O nível de tensão alternante correspondente ao patamar é denominado de tensão limite de fadiga. para o qual a vida passa a ser infinita. limite para que ocorra uma falha por fadiga. Esta curva tem como característica básica o fato que. ao menos para componentes que exigem uma vida elevada.ε σN Tensão limite de fadiga σN σF 10 N Material do tipo I 10 8 10 N Material do tipo II 10 8 Figura 9. um ponto de grande interesse. σF. denotando a existência de um nível mínimo. que pode ser . Para os materiais tipo I. Este comportamento à fadiga pode ficar caracterizado pela curva de tensão alternante aplicada no corpo de prova contra vida. Conforme comentado no Capítulo 8. não importa quanto tempo a tensão seja ciclicamente aplicada. como na figura 9.2.ε Tensão de resistência à fadiga σ. comumente chamada apenas de curva σ .Tipos de curva de fadiga. Nestes casos não se define uma tensão limite de fadiga e sim uma tensão alternante correspondente a uma dada vida. como a tensão abaixo da qual a vida passa a ser infinita. é a tensão limite de fadiga. No entanto muitos projetos são efetuados sob condições de vida finita e assim geralmente há interesse no comportamento completo à fadiga do material.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 255 define-se a tensão limite de resistência à fadiga. principalmente ligas de alumínio e de magnésio. no caso de ligas ferrosas e ligas de titânio. para tensões alternantes situadas abaixo do nível deste patamar a peça. não importa o nível de tensão alternante. No extremo de alto número de ciclos a curva σ . uma propriedade fundamental para o projeto de peças que são solicitadas ciclicamente com uma frequência elevada. ou seja. embora bastante longa. medida em número de ciclos. ou corpo de prova. maior é a vida à fadiga. acarretando assim vidas da ordem de vários milhões de ciclos. σF. com diferentes comportamentos na região de grande número de ciclos. σ. ou seja. materiais tipo II. sempre teremos uma vida finita. a curva σ .6 .N ou curva de Woehler. pois a tensão calculada é sempre o valor nominal. conforme reproduzido na figura 9. adimensionais em relação à tensão limite de resistência. em aço.7 abaixo. σN. usando as expressões: Tração: Torção: Flexão: σ0 = F / A τ0 = Mt / Wt σ 0 = M f / Wf . é apresentado por Heywood [ ].8 + + + 0. sendo N a vida. Este efeito ocorre por uma interpretação incorreta dos resultados. baseada em um cálculo elástico. A figura 9. ou seja. Comparando os resultados de ensaios de tração-compressão com os resultados obtidos com flexão rotativa. para igual número de ciclos.Resultados experimentais obtidos com ensaios de traçãocompressão alternante. na forma da relação σN / σR. havendo assim a necessidade de reunir os resultados de um modo coerente para permitir uma comparação dos valores experimentais. com diferentes composições e tratamentos térmicos. nota-se que geralmente estes últimos possuem uma pequena vantagem quanto à resistência à fadiga.7 . para aços sob carga axial de tração-compressão.2 0 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 N Figura 9. A maneira mais usual é usar uma forma adimensional.4 + + + +20% -20% 0.256 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a denominada de tensão de resistência à fadiga. σN/σR + 0. [ ]. é plotar a relação entre a resistência à fadiga e a tensão limite de resistência.6 ++ + + + + + + + 0.7 ilustra dados para vários tipos de aços. Um resumo de um grande número de resultados experimentais. Para um material que sofre um amolecimento cíclico este efeito é bastante pronunciado.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 257 No caso de tração. σ Distribuição elástica.7 .8 . σR. esta diferença pode levar a vidas de fadiga muitas vezes maiores ou menores. . [ ]. o que é uma aproximação conservativa. Tensão real que atua. considerando que a faixa de pontos experimentais situa-se acima da curva assim prevista. a situação é totalmente diversa. obtida a partir de 106ciclos. para os aços forjados sob flexão rotativa. a tensão calculada é correta. pois com o material no regime plástico a tensão máxima na seção é menor do que a computada elasticamente e assim os ensaios fornecem a falsa impressão de uma maior resistência à fadiga quando a solicitação é de flexão. σF. é a de considerar uma reta em coordenadas logarítmicas. σR em 106ciclos.Diferença entre o campo elástico e o campo real de tensões de flexão. Os resultados mostram que uma estimativa bastante razoável da curva σ . para igual momento fletor. Para a solicitação de flexão.5 . esteja o material no regime elástico ou no regime plástico. Embora muitas vezes a diferença entre as tensões máximas não seja muito grande. o material pode começar a sofrer deformações plásticas após uns poucos ciclos. teórica. A figura 9. quando ocorrer plastificação na seção. Distribuição elasto-plástica.5 . σR em 103ciclos e 0. Tensão nominal.N. pois mesmo com um carregamento inicialmente elástico. para igual momento aplicado. Figura 9. Isto implica em uma tensão limite de fadiga. ligando os pontos 0. a tensão real na seção será sempre menor que a tensão nominal.7 mostra a diferença entre a distribuição real e a idealizada no caso elástico. de menos de 10%. de 0. Assim. sob flexão rotativa. correspondem ao patamar da tensão limite de fadiga.8 . ou seja. Assim a tensão limite de fadiga para torção alternante é estimada em 57. onde é flagrante a redução da tensão alternante que pode ser sobreposta a uma tensão média. ou o que é equivalente. σF ou τF. ou seja. A tensão limite de fadiga para carga axial. à flexão rotativa. a medida que esta aumenta. traçãocompressão. Um resumo do comportamento de vários aços é mostrado abaixo. a tensão alternante que pode ser aplicada ao material na presença de uma tensão média trativa é menor.258 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a σa σR σN = 0. Quando é sobreposta à tensão alternante uma tensão média de tração. Pontos experimentais simulados. ou seja. pode ser estimada como 85% da tensão limite de fadiga correspondente.5 σR N 10 2 3 4 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 Figura 9.8 σR σF = 0. influenciada pelo efeito de uma tensão média.N para aços forjados e laminados. considerando sempre a tensão alternante que fornece uma vida infinita. Estes valores correspondem à tensão alternante que separa a região de vida finita da região de vida infinita. para igual vida. é verificada uma redução na vida. . os materiais dúteis apresentam uma resistência à fadiga que segue a teoria da máxima energia de distorção. Sob torção. quando comparada com a vida para a tensão alternante pura. com boa precisão.Estimativa da curva σ .7% da tensão limite de fadiga sob flexão rotativa. 9 . [ ]. enquanto os ensaios são executados. obtidos de forma mais imediata.4 -0. Neste caso torna-se necessário partir para a determinação experimental das propriedades de fadiga. . [ ] pode mostrar-se frutífera.2 - + - .8 -0.4 0.6 + 0. porém em outras situações mais particulares não conseguimos todas as informações desejadas. procurando sempre obter uma estimativa da curva de fadiga do material ou do produto. tomando como informações iniciais dados básicos do material. ou onde se necessite de alguma informação preliminar para dar início ao projeto preliminar. segundo [ ].-+ -+ + 0.Efeito da tensão média sobre a resistência à fadiga do material.6 -0. Todo projetista encontra-se frequentemente com o dilema de determinar a curva σ-N do material específico com que está trabalhando.0 0. tratamento termomecânico.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 259 σa σR 1. 9.2 0 0.3 .0 -0. com as características de composição química. condições do meio ambiente.6 σm σR 1. Este enfoque terá uma atenção especial ao longo deste texto. Se o volume de produção for suficientemente elevado ou se o grau de segurança exigido for grande.4 0.N DO MATERIAL. Em casos em que não se justifica um programa experimental. torna-se valiosa a possibilidade de fazer uma estimativa do comportamento à fadiga do produto. para alguns materiais metálicos. encontramos amparo para a realização de um plano experimental de caracterização da resistência à fadiga do material ou do produto.8 0. como ilustrado na figura 8.11.ESTIMATIVA DA CURVA σ. para vida infinita.8 -1. a pesquisa na bibliografia especializada [ ]. seja do produto. seja do material.2 0. Em certos casos. como através de um simples ensaio de dureza ou do tradicional ensaio de tração. etc. ou seja.0 Figura 9. para Nf = 106 ciclos.8. para Nf = 103 ciclos σF = 0. logo. Para diferentes materiais e tipos de carregamento. a qual por sua vez é avaliada como 0.N. com dois pontos temos a curva totalmente definida. como seria obtida pelo uso de corpos de prova adequados.75 de σR. e assim a tensão alternante nesta vida será a tensão limite de fadiga. temos os casos abaixo. para Nf = 103 ciclos.577 para definir a tensão limite de fadiga. σR .6 e 9. σF = 0. σR . para torção. [ ] σN = 0.9 da tensão limite de resistência sob torção. para aços forjados.N será sempre considerada como uma reta em coordenadas logarítmicas. σR . que ocorre para Nf = 103 ciclos. σR Sob carregamento axial. para carga axial alternante e para torção alternante. usando a idéia introduzida nas figuras 9. σR . Foram. σR . para Nf = 106 ciclos Sob carregamento de torção alternante. σF.29 .5 . vamos inicialmente fazer uma estimativa da curva σ . correlacionar a tensão alternante da curva com a tensão limite de resistência do material. no caso dos metais ferrosos.4 . considerados os fatores 0. A tensão alternante neste ponto será σN. σR . resultando assim no valor de 0. vida que define o início do patamar da tensão limite de fadiga. para Nf = 106 ciclos. σF = 0. para aços forjados.8 . τN = 0. ainda. Sob carregamento de flexão rotativa.260 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a Assim. respectivamente. Nestas relações foi considerada.68 . para Nf = 103 ciclos. Um ponto será considerado em 106 ciclos. No caso de aços inoxidáveis. usamos um valor de 0. σN = 0. Em todos os casos a curva σ .425 . a tensão limite de fadiga sob flexão rotativa.N do material. para aços forjados e laminados. τF = 0. O outro ponto escolhido será em 103 ciclos. como tensão de referência. que normalmente limita a vida mínima onde a curva σ .N pode ser aplicada.68 σR.75 .850 e 0. . ou seja. conforme consta no Apêndice 1. para estimativa da curva σ . Para o caso da resistência em 103 ciclos. tração-compressão. 107 ciclos. σF = 0. no limite inferior. [ ] σN = 0.107 ciclos.22 . σR Para o latão. σR Para o Zamack.35. liga de zinco para fundição sob pressão. Dos dados da figura 9.17 .4 a 0. σR.35 σR 500 σR Figura 9. σF = 0. a 108. σR Para aços fundidos podemos usar σF = 0. segundo Heywood [ ]. σR Para ligas de magnésio. σR (forjadas) Para ligas de titânio.25 a 0.10. a 2. segundo Heywood.36 . . σN = 0.Faixa de dispersão dos resultados experimentais típicos de σF em relação a σR no ensaio de flexão rotativa para o ferro fundido. a 108 ciclos σN = 0.10 .48 . σR Para ligas de cobre. [ ] σN = (0. a 2.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 261 250 σF σF = 0.5) .7 . σR (extrudadas) σN = 0.40 . para o ferro fundido.5 σR σF = 0. 5 . σR = 0. σR = 0. 1200 σN = 900 MPa para Nf = 103 ciclos σF = 0. A tensão limite de resistência do material é obtida da dureza Bienell.Cr .1 Estimar a curva σ .75 . 1200 σF = 600 MPa para Nf = 106 ciclos Para carregamento axial o diagrama é estimado pelas seguintes relações: σN = 0.N para o aço SAE-ABNT 4340. 1200 σF = 510 MPa para Nf = 106 ciclos .8 .4 .262 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a EXEMPLO 9.N. 353 = 1200 MPa σ ? 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 N Figura 9.75 . para flexão rotativa como: σN = 0. 1200 σN = 960 MPa para Nf = 103 ciclos σF = 0.Mo é relacionada como: σR = 3.Exemplo 9.1. que para um aço liga Ni .5 . σR = 0. Tendo-se este valor podemos estimar o diagrama σ . com dureza de 353 HBN.8 .425 .425 .11 . σR = 0. Curva σ . temos: τN = 0.N do exemplo 9.13 . para carregamento axial alternante.90 . τN = 810 MPa para Nf = 103 ciclos τF = 0.1. Para carregamento de torção alternante.Curva σ .12 . usando τR = 0.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 263 σ 960 600 102 103 104 105 106 107 N Figura 9.1. τF = 348 MPa para Nf = 106 ciclos . σR .N do exemplo 9.29 . para flexão rotativa. σ 900 510 102 103 104 105 106 107 N Figura 9.75 σR.τR . 264 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a τ 810 348 102 103 104 105 106 107 N Figura 9. σN = C Nm (9.1. que será.1).N do exemplo 9.N anteriormente citadas são tratadas como lineares. ou seja. segundo nossa estimativa. como é a equação de uma reta. Esta equação pode ser posta sempre na forma da equação (9.1) Nesta equação C e m vão depender das propriedades de resistência à fadiga do material. Todas as curvas σ . quando em coordenadas logarítmicas. sendo no entanto válida apenas dentro do intervalo de 103 a 106 ciclos.N considerada. a partir de 106 ciclos.14 . a equação de uma reta em coordenadas logarítmicas.N. no caso. que ocorre.1) é obtido como . para carga alternante de torção.N do material. o expoente m da equação (9. Esta equação pode ter as suas constantes determinadas a partir da orientação dada para estimar a curva σ . Chamando de σN a tensão alternante para 103 e de σF a tensão limite de fadiga. Este fato leva à possibilidade de obtermos uma equação que represente exatamente a nossa estimativa da curva σ .Curva τ . com dois pontos ela fica univocamente definida. Estes dois pontos podem ser os correspondentes às vidas de 103 e de 106 ciclos. que é o campo de validade da aproximação da curva σ . devido ao efeito de encruamento ou amolecimento cíclico. na equação (9. sejam estes axiais ou diametrais.5) . que age no corpo de prova. m = 3 6 log N 1 / N 2 log 10 − log 10 1 ⋅ log σ N σ F 3 m=− (9. principalmente se considerarmos um material com comportamento elasto-plástico ideal. juntamente com o uso de um extensômetro diametral. Quando o material que forma o componente estrutural fica solicitado ciclicamente dentro da região plástica. ou. como ∆εe = ∆σ / E (9. sendo medida por extensômetros instalados no corpo de prova. ficando a partir daí uma situação mais estável. para evitar a flambagem.ESTIMATIVA DA CURVA ε . esta pode ser obtida através da substituição dos valores de σ e N.4 . podemos determinar σN.1). ∆εe. Conforme comentado no Capítulo 8. com C e m calculados. juntamente com o expoente m.02.3) Assim. Neste tipo de ensaio a força aplicada sobre o corpo de prova pode variar. para uma dada vida de N ciclos ou.N DO MATERIAL. é obrigatório. sendo no entanto esta variação mais acentuada nos primeiros 20% da vida. o uso de corpos de prova de seção variável. já determinado.4) 9. Em testes onde a amplitude da deformação imposta exceda 0. conhecendo a tensão máxima do ciclo. as deformações são mais significativas para qualificar as solicitações no material do que as tensões. então. resultando C = σN N-m (9. Se a variável que é controlada ao longo do ensaio é a faixa de variação da deformação total. a resistência à fadiga de zonas plásticas confinadas pode ser estimada pelo ensaio de corpos de prova sob níveis controlados de deformação. correspondentes a 103 ou 106 ciclos.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 265 m= log σN − log σ F log σ1 / σ 2 . obter a vida para uma dada tensão alternante como N = ( σ / C )1/m (9. é possível determinar a faixa da deformação elástica.2) Quanto à constante C. Neste tipo de ensaio a deformação cíclica é mantida constante. nos extremos das curvas onde as respectivas deformações predominam. condição necessária.266 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a e portanto. A curva correspondente à faixa de deformação total. soma das duas curvas anteriores. ficando aproximadamente linhas retas as curvas de ∆εe . Esta dependência .Definição das variáveis de um laço de histerese. já que o valor constante no ensaio é ∆ε. tendo sido confirmada por um considerável volume de estudos. a faixa de deformação plástica será ∆εp = ∆ε .N. sendo assintótica àquelas curvas. pelo fato das escalas serem logarítmicas.15. medidos do laço de histerese estabilizado. ∆ε e ∆ε p σa ∆σ ε ∆ε p ∆ε Figura 9. quando usamos um gráfico com ambos os eixos com escala logarítmica.15 . ou seja. o número de ciclos para levar à falha. A dependência da vida do material com a faixa da deformação plástica foi proposta no início da década de 1950. é possível correlacionar cada uma das faixas de deformação com a vida do corpo de prova. é mostrada também. A partir dos valores de ∆ε e ∆εe.14 estão mostradas as variáveis citadas quando medidas sobre um laço de histerese estabilizado típico de um ensaio de fadiga.∆εe Na figura 9.N e ∆εp . As curvas típicas estão ilustradas na figura 9. ∆εe = B Nfb (9.Curvas de resistência à fadiga para ensaio com controle de deformação. ou mais abreviadamente. como evidenciado pelo laço de histerese. Esta é caracterizada pela presença de deformações plásticas. onde M é a deformação plástica necessária para levar o material à falha em um ciclo.6) é uma reta em coordenadas logarítmicas. Quanto à componente elástica da faixa de deformação total. Dependendo da resistência do material e da sua dutilidade. ou seja.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 267 foi proposta separadamente por Coffin [7] e Manson [12]. Esta relação é expressa como ∆εp = M Nfc (9. a equação abaixo ajusta-se adequadamente aos dados experimentais. fadiga a baixo ciclos. ∆ε constante.16 . ∆ε 10 -1 10 N Fadiga de baixo ciclo tr Fadiga de alto ciclo 10 -2 Deformação elástica -3 Deformação total 10 Deformação plástica N 10 -4 10 2 10 3 10 4 10 5 10 N tr 6 10 7 10 8 Figura 9. o limite superior de ciclos para a região de baixo número de ciclos pode variar de 101 a 105 ciclos aproximadamente. como mostra a figura 9.7) . Nf = 1. em nível macroscópico.6) onde Nf é o número de ciclos para falha e M e c são constantes que dependem essencialmente do material. ciclícas. sendo referida como relação de Coffin-Manson. o regime de baixo ciclos é limitado a aproximadamente 50 000 ciclos.15. A região em que há predominância das deformações plásticas é usualmente referida como de fadiga a baixo número de ciclos de carga para falha. A equação (9. Para os materiais dúteis usuais. obtendo assim: Ntr = (B/M) 1/(c-b) (9. Com este dado. sugeriu que o expoente c da equação (9.6) temos εf = M (1/4) -0. em geral.10) . Da equação (9. A faixa de deformação total é obtida somando (9. e sendo εf a deformação real de fratura do ensaio de tração. Esta é a chamada equação na forma de Coffin-Manson. definindo o número de ciclos de transição. ∆ε = B Nfb + M Nfc (9. é denominado de ponto de transição.15. Nestas equações B e b são constantes que dependem do material. figura 9. Para alguns materiais o valor de Ntr pode ser elevado. No caso de N > 10 Ntr a deformação plástica existe ainda. no caso de um aço com uma dureza de 660 HBN. Este ponto separa a região em que ocorre predominância de ∆εp da região na qual predomina ∆εe.5. assim com M e c. uma primeira estimativa do coeficiente M pode ser feita.6) com (9. resulta em um baixo valor de Ntr . para qualquer material. o que é equivalente. enquanto que em um material frágil N é bastante pequeno. raciocinando que para altos valores de deformação total a parcela elástica pode ser desconsiderada. ou. igualando as duas parcelas de deformação.8) é possível obtermos a vida de transição. Assim o limite superior para a fadiga a baixos ciclos fica definido pela relação entre a deformação elástica e a deformação plástica. onde o número de ciclos para falha pode ser considerado como 1/4. M = εf /2 (9. da ordem de 10.9) A partir dos dados experimentais Coffin [ ]. O ponto em que ∆εe = ∆εp .268 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a conforme proposto inicialmente por Basquin. mas não é tão importante e agora é definido o regime de fadiga a alto níumero de ciclos. com N < 10 Ntr a deformação plástica é importante e nesta região é definido o regime de fadiga a baixo ciclos.5. a soma da faixa de deformação elástica com a faixa de deformação plástica.7). pela geometria do laço de histerese. O que se observa é que. ou seja. atingindo valores tão baixos como 6. Supondo que a equação de Coffin-Manson seja válida mesmo para o ensaio estático de tração. Ntr.000 ciclos. por exemplo. altos valores de dutilidade e baixa tensão limite de resistência resultam em valores elevados para Ntr . uma alta resistência e baixa dutilidade. usando a equação (9. De uma forma geral.8) ou seja. Inversamente.6) pudesse ser tomado universalmente como -0. ϕ)-1 Nf -1/2 + σF. denominado de inclinações universais.60 respectivamente./.25 ln (1 . MÉTODO DAS INCLINAÇÕES UNIVERSAIS.0. para todos materiais. como visto no Capítulo 3.6 O coeficiente B por sua vez.12 e . sendo em muitas situações recomendado o seu uso [ ]. εa = 0. com a sua capacidade de deformar-se plasticamente. que correspondem aos valores de ∆ε para N de um ciclo.N. conhecidos os expoentes falta apenas definir os valores dos coeficientes M e B. O coeficiente M. ficando desta forma ∆ε = 1/2 ln (1 .R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 269 O valor de εf pode ser obtido através do valor da redução de área. Uma forma alternativa para obter a equação de ∆ε é utilizando o método proposto por Manson [ ]. Manson recomenda tomar M como M = εf 0. εf = ln (1 . Sendo εf a deformação de fratura do ensaio estático de tração. da parcela plástica.11) Esta expressão permite fazer-se uma estimativa bastante razoável da curva εa . para qualquer vida. Coffin sugeriu que uma primeira aproximação pode ser feita considerando-a constante.ϕ)-1 e assim M = 0. e igual à que corresponde à tensão limite de fadiga. Assim.0. está intimamente ligado com a dutilidade do material.ϕ)-1 Quanto à parcela elástica da deformação total. pois considera que os expoentes b e c são constantes e iguais a .E (9.ϕ)-1 Nf-1/2 + 2. ou seja. εa .σF.E ou.5 ln (1 . depende da resistência do material./. considerando a amplitude de deformação. ou seja. onde Manson propõe para B . que fornece a parcela elástica da deformação total. sendo σf' uma constante do material.12 + (εf 0. Manson recomenda determinar as três constantes envolvidas na equação (9. e acima será finita.12) que é a expressão final do método das inclinações universais. o coeficiente D é semelhante ao coeficiente M. apresentando ótimos resultados quando comparados os valores previstos com os experimentais. Uma maneira alternativa de obter uma equação que permita prever a faixa de deformação correspondente a uma dada vida do material é considerar apenas a deformação total e a faixa de deformação que corresponde à tensão limite de fadiga. Segundo Morrow a tensão alternante. que pode ser aproximada pela tensão real de .6 (9.12) não apresentou bons resultados apenas no caso do berílio. diferenciação que.6 ) Nf -0. é dada por σf' = (2N)b. 103 e 105 ciclos. que considera não o número de ciclos. é irrelevante. Para grandes deformações a equação acima praticamente coincide com a equação (9. ligas de alumínio e outros metais. recozidos e temperados.∆εF = D Nf (9. aços inoxidáveis.N é através da equação de Morrow [ ].5 σR /E) Nf -0. ou 2N reversões.270 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a B = 3.5 σR / E ficando portanto a expressão em função de Nf. a vida é infinita. As constantes D. MÉTODO DE MORROW. e v é numericamente próximo de c. mas que faz diferença quando a carga é do tipo aleatório. A previsão do comportamento à fadiga feita por (9.13) usando os valores de ∆ε correspondentes a 10. Uma outra maneira de apresentar a curva ε . onde a definição de ciclo não é óbvia. v e ∆εF podem ser estimadas a partir da curva de deformação total obtida experimentalmente. O valor de ∆εF é próximo a 2σF /E. Assim. na região a baixos ciclos de falha. ∆εF .6). Isto leva a uma expressão da forma ∆ε . para N ciclos de carga. A comparação da equação acima com dados experimentais mostra que ela fornece uma indicação bastante boa para a maioria dos materiais ensaiados [ ]. para um carregamento cíclico do tipo senoidal. mas sim o número de reversões de carga. Dentre estes materiais estão aços de baixa liga. para deformações abaixo de ∆εF . ∆ε = (3. ou a partir da previsão usando por exemplo o método de inclinações universais.13) onde. obtidas experimentalmente. Isolando das equações (9.14) As constantes da equação de Morrow.15) 9. obtida com o material já estabilizado. Se o material segue a equação (9.)b + εf' (. como B = 21+b σf'.2Nf. cujo valor numérico é próximo ao valor da deformação real de fratura. Nf = (∆εp /.2Nf.OBTENÇÃO DA CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA.14). ∆εp = 2εp εp = M/2 (2σ / E./.e.2 = σf'.B / 2) εpb/c Esta equação pode ser escrita na forma de uma curva tensãodeformação com encruamento potencial. σ = (2/M)b/c (E.)c (9. de acordo com Morrow. para alguns materiais selecionados estão colocadas no Apêndice 1.B)c/b εp = M/2 (2 / E. em termos da tensão alternante./. Nf = (∆εe /B)1/b Igualando as expressões de N e isolando ∆εp ∆εp = M (∆εe /B)c/b e como ∆εe = ∆σ/E e. como σ = k' εpn' n' = b/c (9.R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 271 fratura. qualquer que seja a formulação.B)c/b σ c/b ou.E (. (9.E M = 21+c εf' Os expoentes b e c permanecem inalterados.5 . σf.7) o número de ciclos N. permitem que calculemos as constantes da equação (9. As constantes da equação (9. inclinações universais ou Morrow./. é possível determinar então a curva tensão-deformação cíclica.8).8).M)1/c. se tal for necessário.16) . A parcela plástica da deformação alternante por sua vez é dada por εf' (2N)c em que εf' é uma constante denominada de coeficiente de dutilidade à fadiga. ∆ε. A amplitude da deformação total alternante passa a ser.6) e (9. N para o aço SAE-ABNT 4340. Adotando este método. a formulação que apresenta resultados bastantes bons para a maioria dos materiais é a de Manson.84 logo: ∆ε = 3.840. então este apresenta um encruamento potencial na curva tensão-deformação cíclica.6 as relações já conhecidas temos σR = 3.17) Considerando agora a curva tensão-deformação. ∆ε = 3.12 + 0. é usando a curva ε . também conhecida como método das inclinações universais.12 + εf0. para o material estabilizado.0.9007 Nf .19) (9. o que nos leva a ε = σ / E + εf' ( σ / σf' )1/n' onde portanto temos k' = σf' / εf' n' ) (9.18) Desta forma. com dureza de 370 HBN.6 Nf .0. esta fica ε = σ / E + ( σ / k')1/n' (9.N conforme proposta por Morrow.B / 2 (9. que apresenta as propriedades εf = 0.20) EXEMPLO 9.6 210 000 f ∆ε = 0.12 + 0.18). conforme (9.272 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a k' = (2 / M)n' E.5 1260 N .12).2 Estimar a curva ε . 370 σR= 1 260 MPa Dos dados: εf .4 HBN = 3. se o material segue a equação (9.0210 Nf .8). Outra forma de obtermos as constantes da curva tensão-deformação cíclica do material.5 ( σR / E ) Nf .0.0. levando em conta a deformação total.0. e da equação (9.6 .deformação real de fratura no ensaio estático εf = 0. SOLUÇÃO: Como foi comentado.0.4 .84 e E = 210 000 MPa.6 Nf . 6 . ao longo da vida de fadiga.0159 . No laboratório é prática usual testar cada corpo de prova com uma amplitude constante.2.2262 .N do exemplo 9.0030 . 9. porém em serviço a carga no componente varia em uma grande faixa.16. ∆εp = 0.N. De acordo com esta regra. ∆ε = 0.17 . desta estimativa da curva ε .2422 ∆εe = 0.DANO ACUMULADO. está na figura 9. o dano que a peça sofreu sob a ação de uma dada amplitude da tensão cíclica é diretamente proporcional ao . Um processo simples foi proposto por Palmgren e reapresentado por Miner [10]. e daí é obtida a curva ### . ficando conhecido como a regra de Palmgren-Miner ou regra linear de acúmulo de dano. Na maioria das vezes o componente mecânico sofre cargas variáveis.Curva ε .R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 273 Com esta equação.N no projeto de um componente que deva resistir a uma condição de trabalho onde as cargas são de amplitude variável. temos os pontos: Nf = 10 Nf = 10 6 ∆εe = 0. de amplitude não necessariamente constante. Em muitos casos a sequência com que a magnitude da carga varia é aleatória. 100 ∆ε 10-1 ∆εe 10 -2 10-3 10 -4 100 101 102 103 104 105 ∆εp 106 107 N Figura 9.N. ∆ε = 0. [14].0031 O gráfico que se obtém. dificultando sobre-maneira a análise de fadiga do componente. A questão que se apresenta é como usar o diagrama ### .0001 . ∆εp = 0. Para vários níveis de tensão o dano total pela regra linear de acúmulo de dano. o que é intuitivo se pensarmos no caso de um carregamento com um só nível. EXEMPLO 9. o dano provocado por esta solicitação cíclica será. para uma amplitude de tensão σi . Di = ni / Ni (9. σ 800 500 5. em uma situação com acúmulo de dano. segundo a regra de Palmgren-Miner.0.N do material e carregamento aplicado.18 .Curva σ .22) O critério de falha por fadiga.201. onde a falha ocorre logicamente quando ni = Ni . atuando isoladamente. .21) onde Ni é a vida que o material teria quando submetido ao carregamento de amplitude σi. Sendo ni o número de ciclos atuantes. é dado por D = Σi Di (9.10 3 n=? 300 200 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 N 7 Figura 9. indica um dano máximo de D = 1. conforme a figura abaixo.N dada por σ = 3207 N . exemplo 9.274 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a número de ciclos em que atuou aquela amplitude de tensão.3.3 Um aço possui a sua curva σ . .R e s i s tê n c i a à F a d i g a d o s M a t e r i a i s 275 Qual o número de ciclos que o material deverá suportar sob um carregamento com 300 MPa de amplitude.201 N1 = 10 365 ciclos Assim restam 0.N é a definida acima.Existe uma interação nos danos entre os vários níveis de tensão. A expressão de acúmulo linear de dano é usada extensivamente pelos projetistas. para os blocos de carregamento cíclico subsequentes. Apesar das limitações. Foram aplicados n1 = 5. então N = (3 207/σ) .Em muitos casos foi verificado que a soma dos danos parciais no instante da falha é muito diferente de 1.482 e logo D2 = 1 . principalmente pela presença de tensões residuais que ficam nos pontos críticos.1/0. ou com a razão ni / Ni . podendo atingir.O dano em fadiga não é necessariamente linear com o número de ciclos. respectivamente.518 .201 N2 = 13 1600 ciclos. para caracterizar a falha. valores tão baixos como 0. a regra de Palmgren-Miner é muito usada como uma orientação preliminar. e logo n = 0. pois o dano provocado no primeiro nível de carga foi.103 ciclos de 500 MPa de amplitude ? SOLUÇÃO: Será adotado que o dano final é D = 1. porém tendo-se em mente as limitações da regra e as dispersões inerentes do processo de fadiga.518. . Estes valores são atingidos quando o carregamento é de amplitude sucessivamente crescente.518 de dano admissível.1/0. . e não existem dados experimentais seguros que indiquem que uma teoria seja melhor do que a outra.103 ciclos no nível inicial. N = 68 174 ciclos 2 2 será o máximo número de ciclos que ainda poderá ser aplicado. ao menos explicitamente. pois no momento não existe uma alternativa prática tão simples e versátil quanto a regra linear de acúmulo de dano. que a regra linear de dano não considera. Uma recomendação para projeto é . porém apresenta algumas desvantagens. se antes foi solicitado por 5. Assim é recomendada a regra de Palmgren-Miner. em situações extremas. [14].13 ou tão elevados como 22 [11]. para σ1= 500 MPa. Para o segundo bloco. D1 = n1 / N1 = 5 000/10 365 = 0. às vezes de aplicação limitada. N2 = (3 207/300) . com σ = 300 MPa. ou de amplitude sucessivamente decrescente. Se a curva σ . As outras teorias desenvolvidas são mais trabalhosas de usar.D1 = 0. Quando a teoria de Palmgren-Miner é usada em situações com cargas cíclicas de amplitude decrescente. a alternância entre cargas com diferentes níveis não cria uma tendência de gerar tensões residuais.0. diminuindo o dano que os níveis seguintes de tensão causam no material. as cargas maiores deixam no material um estado de tensões residuais compressivas.Ni. se estas tensões residuais forem explicitamente levadas em conta.3. D = 1. ou seja. No caso especial de um carregamento de natureza aleatória. os resultados voltam a se aproximar do valor nominal de falha. Assim. para os casos onde não existe experiência anterior. como sendo o valor limite que indica a falha iminente do material [ ]. sejam trativas sejam compressivas. e assim os resultados de dano tendem para o valor de D = 1. que são benéficas.=.276 A n á l i s e d e R e s i s tê n c i a M e c â n i c a adotar Σni. ./. Estes procedimentos são desenvolvidos para tratar do problema da nucleação das trincas de fadiga. A aplicação destes dados para o projeto do produto não é. de média zero. em relação aos resultados obtidos no ensaio com os corpos de prova. ou seja. no entanto. já que a peça não é o corpo de prova e as diferenças entre ambos deverão ser consideradas.1 .N. As . imediata. 10. ou então estimada por alguns dos procedimentos descritos no Capítulo 9. e com amplitude constante. No Capítulo anterior o comportamento quanto à resistência à fadiga de um material foi analisado para cargas cíclicas alternantes. de acordo com os modelos tradicionais representados pelas curvas σ . Para um componente mecânico não nos é possível aplicar diretamente estes resultados. porque existem vários aspectos que alteram a resistência à fadiga do componente.INTRODUÇÃO.N ou então do diagrama ε . Este Capítulo discute os vários aspectos que devem ser considerados neste caso e a forma de aplicar cada um deles na análise de fadiga da peça e na avaliação de sua vida.N e ε .N. através do diagrama σ . podendo ser obtida através de ensaios. pois os mesmos são válidos apenas para os corpos de prova.CAPÍTULO 10 RESISTÊNCIA À FADIGA DAS PEÇAS A resistência à fadiga do material é o inicio do processo de análise. Existe também o efeito aparente do tamanho. o que compromete a resistência da peça. Nas peças de grandes dimensões as regiões centrais são mais sujeitas a segregações. principalmente para vidas elevadas. Acima deste valor de temperatura a queda é mais acentuda. 2 . quando é necessária uma confiabilidade superior a 50%. 3 . quando o nosso projeto deve usar os dados da resistência de fadiga com um nível de segurança que considere a dispersão existente. Estas diferenças são importantes. com um pequeno volume de material solicitado pelas tensões máximas. .278 Análise de Resistência Mecânica diferenças dizem respeito quanto ao tipo de solicitação e a distribuição de tensões dentro do material. Esta redução de vida pode ser de 103 vezes ou mais. quando comparamos carga de tração com carga de flexão.TEMPERATURA. As principais diferenças entre um corpo de prova de fadiga e uma peça real podem ser resumidamente listadas como: 1 .TAMANHO. É plenamente conhecido que o processo de falha por fadiga apresenta uma considerável dispersão de resultados. das tensões nominais de flexão. O corpo de prova tem a sua superfície retificada ou muitas vezes polida. Isto faz com que a tensão limite de fadiga fique abaixo do correspondente valor médio. enquanto que o componente mecânico é apenas usinado ou mesmo é usado no estado bruto de fabricação. o que reduz as heterogeneidades que podem existir no volume. inclusões e outros defeitos metalúrgicos. O corpo de prova é em geral de pequeno diâmetro. Quando o componente que está sendo projetado deve trabalhar a uma temperatura distinta da temperatura em que os ensaios de fadiga foram realizados é necessária uma correção na resistência à fadiga do material para adequá-la à temperatura de trabalho. Um acabamento superficial de pior qualidade em geral degrada a resistência à fadiga da peça. pela existência de deformações plásticas não levadas em conta no cálculo. Em geral ocorre uma pequena queda da resistência à fadiga para temperaturas até 200 a 250 °C. a tensão de esistência à fadiga deve ser corrigida por este efeito.CONFIABILIDADE. em geral elástico. diminuindo em muito a sua vida útil. bem como a fatores que afetam a resistência do material propiamente dito. de forjamento. Assim.ACABAMENTO SUPERFICIAL. 4 . acima da vida de transição do material. de solda ou de fundição. como de laminação. através de um modelo matemático. O modo de tratamento apresentado neste Capítulo considera apenas o caso de carregamentos em fase. tratamentos superficiais. 7 . Para os componentes mecânicos reais normalmente existe uma superposição de vários tipos de solicitações. em que a direção das tensões principais não muda. medida através de ensaios. Os corpos de prova possuem seção uniforme.Resistência à Fadiga dos Componentes 279 5 . Como foi comentado. tração ou torção. 10. realizados com corpos de prova. ou seja. tornando necessária uma análise do efeito combinado. pois não é possível.EFEITOS SOBRE O DIAGRAMA σ . caracterizada pelos diagramas σ .N. prever. e a resistência à fadiga da peça propriamente dita.2 .N. o comportamento .OUTROS EFEITOS. ambiente agressivo etc.CARGA. ao menos até o momento. a forma de atacar o problema depende do tipo de diagrama usado. As discrepâncias das vidas entre o corpo de prova e o componente mecânico serão consideradas pelo uso de vários fatores empíricos obtidos experimentalmente. Uma grande parcela deste Capítulo é dedicada à discussão do problema de concentração de tensão. ou em outras palavras.N ou ε . seja a tensão ou a deformação atuante. que é a resistência que esta apresentará quando em serviço. Para o caso de carregamento fora de fase o problema ainda hoje não apresenta unanimidade quanto a forma de tratamento. Sendo assim. também influenciam na vida do componente mecânico em relação à vida dos corpos de prova. 6 .GEOMETRIA. consiste em estudar separadamente os efeitos sobre cada um dos dois tipos de diagramas comentados no Capítulo anterior. Outras variáveis tais como tensões residuais. enquanto que nos componentes mecânicos sempre existirão variações bruscas da geometria que acarretarão concentrações de tensão.. é afetada pelo conjunto de efeitos citados. a resistência à fadiga do material. depende da variável usada para definir o nível de solicitação no material. com uma transição suave para os extremos onde são fixadas as garras. Pelo efeito cumulativo destes aspectos é necessário distinguir entre a resistência à fadiga do material. Isto faz com que devamos levar em consideração estes efeitos quando do projeto de produtos que irão trabalhar naquelas condições. Na grande maioria dos casos os ensaios de corpos de prova de fadiga a solicitação é simples. de flexão. Estes pontos de concentração de tensão tem uma importância bastante grande. pois é a partir deles que a falha inícia. de apenas um tipo. A curva σ . o estado desta superfície exerce uma grande influência sobre o limite de resistência à fadiga ou sobre o período útil de trabalho da peça.1.Curva de resistência à fadiga para a peça e material. A seguir são apresentados os diversos fatores de correção e a forma de sua determinação. estes fatores são usados de modo a permitir a estimativa da vida do componente.1) sendo ki o fator de correção para o iésimo efeito.. podendo ser estimada por: σF' = k1 k2 k3 k4 . Assim. bem como a forma de sua aplicação. para definir a curva da peça. σ Ensaio de corpos de prova Ensaio de peças N Figura 10. a tensão limite de fadiga será menor e denominada de σF'.. pelos diversos aspectos comentados. Nos cálculos de resistência à fadigade uma peça.1 . A tensão limite de fadiga do material é σF . por isso.N da peça fica assim caracterizada pela tensão σF' em 106 ciclos. porém no componente. INFLUÊNCIA DO ACABAMENTO SUPERFICIAL.. as particularidades referentes ao acabamento da superfície são consideradas pela definição do . Na maioria das peças o dano devido à fadiga começa na superfície do material e.280 Análise de Resistência Mecânica real de componentes sujeitos à ação da fadiga. conforme mostra a figura 10. em 103 ciclos. Para vidas menores verifica-se que os efeitos diminuem de magnitude e assim considera-se o mesmo valor de σN .. ki σF (10. quando sujeita à fadiga.. 8.2 . σF . k1 = σF' / σF onde (10. Estes valores apresentados foram obtidos como uma tendência dos dados disponíveis na literatura.tensão limite de fadiga do corpo de prova polido.2) σF' .tensão limite de fadiga do corpo de prova com acabamento real. 1.0 POLIDO RETIFICADO USINADO DESBASTADO OU LAMINADO A FRIO k1 0. . No caso de acabamentos cuidadosos de amostras de ligas magnésio. para o ensaio realizado em condições normais de temperatura.Resistência à Fadiga dos Componentes 281 coeficiente de qualidade do acabamento da superfície.5 FORJADO LAMINADO A QUENTE OU ESMERILHADO 0. O bom acabamento de amostras de ligas de alumínio dá valores de k1 = 0. O limite de resistência das amostras de ligas de titânio com acabamento simples. recomenda-se usar k1 = 0.Fator de acabamento superficial k1 . A corrosão do metal exerce. uma grande influência sobre a tensão limite de fadiga. os quais não são necessariamente coincidentes. denominado de fator de acabamento superficial.9. Na figura 10.2 estão dados os valores aproximados do coeficiente de qualidade da superfície de diversos aços em função da tensão limite de resistência e do tipo de acabamento superficial.0 500 1000 1500 σR Figura 10. é inferior em 33% o limite de resistência das amostras retificadas. k1 . por sua vez.8 a 0.7 a 0. para aços. Estes tratamentos superficiais não visam a alteração geral das características de resistência do material. não ocorrendo qualquer interação nas outras situações. é que o fator de acabamento superficial contém alguma interação com o efeito de concentração de tensão. É conveniente reforçar que para a fadiga de alto ciclo a influência do acabamento superficial é grande. ou por trabalho com rolos. Apenas na primeira situação.282 Análise de Resistência Mecânica Os fatos comentados acima sempre reduzem a vida do elemento. Estes tratamentos superficiais tem duplo efeito. sendo mantidas inalteradas as propriedades das camadas inferiores. para o material que forma o componente. para peças usinadas. etc. Em peças usinadas o acabamento superficial representa um maior ou menor efeito de concentração de tensão. em segundo lugar. Na indústria são utilizados vários métodos de endurecimento superficial de peças que trabalham nas condições de carregamentos cíclicos como molas e semieixos de automóveis. é importante que nos pontos mais solicitados a superfície tenha um bom acabamento superficial. engloba diferentes mecanismos. na camada superficial são criadas tensões residuais de compressão que impedem. em especial para materiais de alta resistência. dentes de engrenagens. Em componentes laminados a quente ou forjados o efeito de superfície considera o aspecto geométrico do acabamento. ao usar um material de alta resistência. Assim. como a nitretação. Em peças polidas. enquanto que na fadiga a baixos ciclos ela é desprezável. a formação de trincas.2. Entre estes métodos. como também a redução de resistência mecânica à fadiga pela descarbonetação superficial nestas peças. porém existem alguns tratamentos superficiais que aumentam a resistência à fadiga. e. pois caso contrário uma grande parte do potencial da resistência à fadiga do material será perdido. a qual se acrescenta a exigência de aumentar a resistência ao desgaste. o aspecto de ataque químico também está embutido no fator de acabamento superficial. aplicados em diversas combinações. mas tratam-se de processos que visam o aumento da resistência à fadiga. . Esta tensão residual faz com que o efeito geométrico do acabamento superficial (concentração de tensão) fique parcialmente mascarado. devido às irregularidades provenientes do processo de usinagem. têmpera com cementação. têmpera superfícial com correntes de alta frequência e ainda o endurecimento a frio da camada superficial por jateamento de granalha. convém assinalar os métodos termoquímicos. Quando o meio ambiente é agressivo. ficam encruadas e com um estado de tensões residuais de compressão. podemos dizer que o efeito do acabamento superficial. conforme ilustrado pela figura 10. os quais serão comentados a seguir. as camadas superficiais sofrem trabalho a frio. em primeiro lugar elevam a resistência da camada superficial. que levam a uma alteração da resistência à fadiga do material. Resumindo. ou retardam. ou seja. A primeira é o chamado efeito estatístico. A redução da tensão limite de resistência à fadiga correspondente ao aumento das dimensões da peça é denominada de efeito de tamanho e é considerada na equação (10. fornecendo k2 = 1.0 TRAÇÃO k 2 0. à conclusão que a tensão limite de fadiga diminui com o aumento do diâmetro.1) pelo fator de tamanho. e que o limite de resistência à fadiga não é uma função apenas das propriedades do material. A melhor maneira de quantificar este efeito é a de acumular. sistematizar e analisar os dados experimentais.Fator de tamanho k2 a usar na determinação de σF'. ou corpo de prova. que são complementares.3 . para solicitações de flexão e de torção. pois ainda não existe um modelo teórico que forneça resultados confiáveis. O efeito de tamanho geralmente pode ser explicado de duas maneiras. a tensão limite de resistência à fadiga deixa de diminuir com o aumento do diâmetro. Os dados mostrados indicam que para carga de tração este efeito de tamanho não é relevante.6 TORÇÃO PARA QUALQUER AÇO 10 20 30 40 50 100 200 300 d [mm] Figura 10.0. Este efeito deve ser interpretado como uma consequência evidente de que a tensão máxima numa peça. chega-se. k2.7 0.9 0. através do ensaio de fadiga. o que leva a crer que quando os corpos de prova se tornarem suficientemente grandes. 1.8 FLEXÃO AÇO LIGA FLEXÃO AÇOS CARBONO 0. Se fabricarmos. vários grupos de corpos de prova de diâmetros diferentes. Este considera que com maiores dimensões existe um maior volume de material e a probabilidade da existência de pontos . do mesmo material. não caracteriza totalmente o processo de falha por fadiga. Uma orientação quanto ao valor de k2 a usar em um projeto de fadiga para vida infinita é dado na figura 10.3.Resistência à Fadiga dos Componentes 283 INFLUÊNCIA DO TAMANHO. Esta dependência tem um caráter assintótico. Os esquemas da figura 10. pois se as tensões forem calculadas com o comportamento elastoplástico do material ele deixa de existir. mesmo que sejam em uma pequena região localizada. ou corpos de prova. Assim.3. Desta forma a aparente resistência à fadiga em peças pequenas é maior do que em peças grandes. o que leva a erros na determinação da tensão máxima. considerar um cálculo elástico apresenta erros e estes erros são maiores com peças de pequenas dimensões. para o caso da fadiga. quanto à falha por fadiga do material deve ser feita. para caracterizar a resistência à fadiga do material.4 dão a idéia da dimensão característica para o uso da figura 10.0. apenas nas curvas σ . Este efeito de tamanho é portanto aparente. este efeito aparente de tamanho surge apenas pelo fato das tensões serem calculadas elasticamente. ou de torção. a tensão máxima que realmente atua é proporcionalmente menor em peças pequenas do que em peças grandes. o material sempre tem deformações plásticas.284 Análise de Resistência Mecânica mais fracos. ou com maiores defeitos. Uma estimativa mais conservadora para o fator de tamanho para carga axial pode ser dada por: k2 tração = 1 . Assim. com menor resistência. quando submetidos a carregamentos de flexão. definindo assim a confiabilidade para um certo nível de tensão como a probabilidade de que a peça não falhe por fadiga. o fator de tamanho tem um efeito bastante reduzido. deve considerar a dispersão de resultados inerentes ao processo de falha. A segunda maneira de explicar o efeito de tamanho é que as peças. ou estruturais.k2 flexão ) (10. na vida considerada. sendo inclusive desconsiderado por varios autores. Quando são usadas as curvas ε . nível este que. Esta é geralmente considerada na sua fase elástica. Assim. Para carga axial. passa a ser maior. ou seja. têm uma distribuição de tensões tal que para ser calculada a tensão máxima é necessário conhecer a curva tensão-deformação do material. Este efeito estatístico é mais significativo em certos materiais do que em outros. INFLUÊNCIA DA CONFIABILIDADE. com um nível de segurança adequado. devemos usar o valor k2 = 1. as tensões são calculadas pelas fórmulas tradicionais de flexão ou de torção elástica. Os dados de dispersão dos .N. quando usada uma análise elástica.5 (1 . para uma dada vida. Deste modo. o fator k2 pode ser obtido da figura 10. com o uso do diagrama tensão-deformação cíclico. as deformações plásticas estão explícitas. pois atua apenas o efeito estatístico. o que faz com que o efeito de tamanho não se aplica neste tipo de curvas. Se for feita uma análise elastoplástica.N.3. o nível de segurança é interpretado com base na Teoria da Probabilidade.3) Para flexão. Ocorre que se o problema é de fadiga. O projeto de peças e componentes mecânicos. Assim. . Para confiabilidades superiores a 0. caso necessitemos de confiabilidades superiores.0.4) sendo Z a abcissa padronizada da distribuição normal. pois um grande número de ensaios deverá ser realizado para definir a cauda inferior da distribuição. pois a distribuição exata deve ser conhecida. FLEXÃO LN LN LN d TRAÇÃO d Figura 10. o que pode não ser fácil. no sentido de que a forma da cauda da distribuição estatística da tensão limite de fadiga passa a ser fundamental. de confiabilidade.08 Z (10.Dimensão característica para uso na determinação de k2. Esta equação considera um desvio padrão de 8% da média da resistência. Considerando que temos uma distribuição normal para a tensão limite de fadiga. os valores de Z para altas confiabilidades devem ser encarados apenas como orientativos. será calculado por k3 = 1 .Resistência à Fadiga dos Componentes 285 resultados de ensaios de fadiga indicam que o desvio padrão da tensão limite de fadiga do material fica na faixa de 6% a 8% do correspondente valor médio. o fator k3 . o uso da hipótese de uma distribuição normal pode ser perigosa.99.4 . [ ]. que indica quantos desvios padrão abaixo da média vamos ficar para definir a tensão limite de fadiga a ser considerada no projeto. A Tabela 10.2 indica os valores de Z para alguns níveis de confiabilidade. 00 1. as propriedades mecânicas alteram-se e portanto a resistência à fadiga também é influenciada. Com o efeito combinado dos diferentes fatores. Valores de Z para o cálculo do fator de confiabilidade.2. como na figura abaixo.65 2. uma estimativa do efeito.5) abaixo [3].450) EFEITO COMBINADO. Quando o material deve trabalhar a temperaturas distintas do ambiente. no caso de aços.29 1. Confiabilidade 0. pode ser feita pelo uso da equação (10. a tensão σF' é determinada e como os efeitos diminuem conforme a vida fica menor. Acima de 550 °C a falha por fluência do material passa a ser importante e pode interagir com o mecanismo de fadiga.90 0.0. para altas temperaturas.0058 (T .95 0.50 0.286 Análise de Resistência Mecânica Tabela 10.33 σ Curva do material (corpos de prova) σF Curva da peça ' σF N . Este efeito da temperatura deve ser obtido a partir de dados experimentais. exigindo uma análise mais elaborada. (10. k4 = 1 . seja através de um levantamento em laboratório ou por busca na literatura especializada.99 EFEITO DA TEMPERATURA. é usual se considerar que a curva de resistência à fadiga da peça converge para a curva do material para 103 ciclos. Quando tal não for possível. para uso em temperatura na faixa de 450 °C a 550 °C.5) Valor de Z 0. Na figura 10. principalmente para materiais dúteis e com pequenos entalhes.5 nota-se .6). KN. A variação de KN com a vida é devida principalmente à plastificação no fundo do entalhe. de alumínio. cada uma para um valor do fator de concentração de tensão para a geometria do corpo de prova. pois a tendência será de KN << Kt.5 . a relação entre as tensões alternantes para diferentes valores de Kt não é constante. em que a resistência à fadiga é a tensão.5. A partir de um gráfico típico como este nota-se que. onde temos diversas curvas σ . nominal alternante. O uso de Kt para a fadiga então tenderá a ser conservativo. Isto sugere um fator.Efeito de concentração de tensão na fadiga. denominado de fator de concentração de tensão em fadiga. com entalhe. para a liga 7074-T6. com entalhe e sem entalhe. que leva à falha o corpo de prova. o que não permite que as tensões atinjam o limite máximo definido por Kt. já que a tensão no ponto crítico tende a aumentar com o aumento da concentração de tensão. carregada axialmente e.N. A geometria dos corpos de prova usados era uma barra. para uma dada vida. mas varia ao longo da vida. como indicado na equação (10. A forma como um entalhe em um componente altera a vida à fadiga pode ser vista pelas curvas da figura 10.6) σ 100 80 60 40 30 20 Kt = 2 10 8 6 4 3 10 Kt = 4 Kt = 5 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 N 10 8 Figura 10. Resistência à fadiga sem entalhe para N ciclos Resistência à fadiga com entalhe para N ciclos KN = (10. como esperado. tiveram a sua vida reduzida com o aumento de Kt . para uma dada amplitude de tensão nominal σ0 .Resistência à Fadiga dos Componentes 287 INFLUÊNCIA DA CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO. N.8 0.8 0.0 RAIO DO ENTALHE.700 MPa 3 .5 2.N ou ε .288 Análise de Resistência Mecânica ainda que para altos valores de Kt a redução na tensão é menos acentuada que para pequenos Kt .0 0. de peças sem e com entalhe.0 3. chamado de fator de concentração de tensão para fadiga.Fator de sensibilidade ao entalhe para solicitação de fadiga.7) similarmente ao utilizado no Capítulo 4. q. O valor de Kf pode também ser estimado através do uso do conceito do fator de sensibilidade ao entalhe para fadiga.0 2. que deve ser obtido experimentalmente pela equação (10.6 0. trabalhando agora com a tensão limite de fadiga. ou de fator de redução da resistência à fadiga.6 0.5 2. σF.5 1.5 3.0 2. a análise do efeito para vidas infinitas. O uso de Kt para valores elevados é demasiado conservativo em relação a KN. r [ mm ] Figura 10.0 RAIO DO ENTALHE.1000 MPa 3 .1400 MPa AÇO LIGA ALUMÍNIO 0.5 4. r [ mm ] 1. usando ou as curvas σ .5 1.2 0 0 0. .0 AÇOS RECOZIDOS (HB < 200) LIGA ALUMÍNIO 1. KN torna-se Kf. Para vida infinita. para o caso de uma solicitação estática.1) (10. definido como q = (Kf .6). trabalhando com a tensão limite de fadiga. para as duas condições.1) / (Kt .5 4. 1.0 1.400 MPa 2 .2 0 0 4 3 2 1 σR 1 . e a análise para vidas finitas.5 3.4 AÇOS LAMINADOS E TEMPERADOS (HB > 200) 0.0 0.0 3.6 . A análise do efeito de concentração na fadiga é assim feita em duas etapas distintas.4 0. devido à possibilidade do desenvolvimento de tensões residuais e de cargas combinadas. é usar Kf como um fator de aumento das tensões ou deformações aplicadas na peça. este problema desaparece pois cada tensão nominal é mutiplicada por Kt. como o acabamento superficial. levando em conta o efeito do acabamento superficial neste ponto.6 em função da tensão limite de resistência. é fácil de compreender. O problema com os casos de carregamentos combinados.7.1) (10. r. a confiabilidade e outros fatores. adequado. comparando esta com a resistência à fadiga que o ponto crítico apresenta. Porém. O uso do fator Kf. pois qual o valor de Kt a usar para o cálculo de Kf na redução da resistência? Vamos usar Kt para tração ou para flexão? Considerando Kf como um fator que aumenta a solicitação. em relação à Kf. sugerindo que seja usado como os fatores k1 e k2. Esquematicamente podemos então dizer que o problema se resume a verificar o nível de solicitação e a resistência à fadiga do ponto. os efeitos de concentração de tensão. σR ou da dureza HBN. ou seja. onde vamos determinar o nível de solicitação. considerando os efeitos locais para a correção da curva de resistência à fadiga. como ilustrado na figura 10. quando necessário. considerando o efeito de concentração de tensão. para reduzir a curva σ . embora apresente . Da discussão acima podemos então resumir o enfoque que será adotado ao longo de todo este trabalho como sendo o de analisar o que está ocorrendo no ponto mais solicitado da peça. tanto para caracterizar a solicitação como para definir a resistência. obtido via equação (10. pois a tendência de KN é diminuir. Devemos observar que Kf foi definido como um fator de redução de resistência à fadiga. como tração e flexão.8).Resistência à Fadiga dos Componentes 289 Então Kf pode ser obtido como Kf = 1 + q (Kt . adequado então à vida infinita. no seu ponto crítico. fornece resultados cada vez mais conservativos quanto menor a vida. com o decréscimo da vida. A solicitação no ponto crítico deve então ser comparada com o nível de resisténcia do material. Este enfoque contrasta com o procedimento muitas vezes encontrado na bibliografia sobre o projeto para evitar falhas por fadiga. Neste ponto devemos verificar qual é a solicitação que está efetivamente ocorrendo. q. considerando o carregamento atuante. Este enfoque da tensão nominal é mais simples de usar. e do raio no fundo do entalhe. bem como ainda as eventuais tensões residuais que podem estar presentes. o correto. Usando este conceito podemos também analisar a resistência à fadiga da peça pela resistência no ponto crítico. ou Kf .8) O fator de sensibilidade ao entalhe.N de resistência à fadiga do corpo de prova para a peça com entalhe. flexão e torção é obtido da figura 10. para tração. onde a referência é a tensão nominal que atua na seção crítica. seja para o uso das curvas σ . Para o caso agora da análise de concentração de tensão para vida finita. A razão desta divisão é a escala em que as deformações plásticas ocorrem. Este método é discutido rapidamente no Capítulo 11. que se ocorrer a propagação. para o caso de carregamentos combinados. Como nos materiais com alguma dutilidade falar em fadiga é sinônimo de falar em deformações plásticas. A figura 10. ou seja. sendo a tensão nominal usada para definir a solicitação que atua no material. macroscópicamente falando. Deve ser dito ainda que conceitualmente o método é o mesmo. as tensões residuais que podem se formar no ponto de concentração de tensão não poderão ser calculadas e muito menos consideradas no cálculo da solicitação. sendo a solicitação definida pela tensão nominal. para mostrar o procedimento. O procedimento . Colocando de forma resumida o procedimento recomendado no presente texto. não estamos considerando o efeito de concentração de tensão. levarão à falha. Devido a estes pontos. a deformação plástica é muito localizada. justo os que levarão à nucleação de trincas. detectável pelo laço de histerese. Em primeiro lugar. A deformação plástica está confinada a uma pequena região. e não o chamado método da tensão nominal. bem como. Neste caso o material responde de uma forma completamente elástica. devemos sempre ter esta perspectiva. representa a resistência em termos da tensão nominal. sem no entanto ser recomendado.N como para o uso das curvas ε . ocorrendo apenas em uns poucos grãos. diferenças locais de resistência deverão ser consideradas de um modo artificial. que deve então ser corrigida pelo fator Kf . e logo pode levar à nucleação de trincas. Assim. Quanto à resistência à fadiga do material. quanto à nucleação de trincas.N. ao fato de que o uso das solicitações locais é conceitualmente mais correto. começa a ocorrer uma plastificação a nível macroscópico. devemos então inicialmente dividir o problema em duas partes. mas existente. principalmente. será sempre enfatizado o uso das informações de solicitação e de resistência no ponto crítico. relevante apenas a nível metalúrgico. acima de 106 ciclos. é um aspecto sem uma resposta final. como a solicitação é maior.7 mostra esquematicamente o procedimento a ser adotado para a análise de resistência à fadiga de peças. que são o efeito de concentração de tensão nas condição de vida infinita. e o efeito de concentração de tensão para vidas finitas. e não a que existe no ponto crítico. e a definição de qual fator Kf deve ser usado. No caso de vida infinita. Neste caso o procedimento é ainda hoje baseado em considerações empíricas. Neste caso a deformação plástica pode ser tratada como em um material homogêneo e a mecânica do contínuo é aplicável. Por outro lado.290 Análise de Resistência Mecânica alguns problemas conceitualmente. ou para os materiais do tipo I. usando os dados de sensibilidade ao entalhe e calculando Kf. o que deverá ser feito usando o fator Kf como um fator que reduz a resistência à fadiga do material. e seus fatores Kσ e Kε.Procedimento geral para a análise de fadiga. na sua forma original.7 . ou na forma modificada.Resistência à Fadiga dos Componentes 291 mais utilizado é fazer uso da Regra de Neuber. SOLICITAÇÃO NO PONTO CRÍTICO VERSUS RESISTÊNCIA NO PONTO CRÍTICO SOLICITAÇÃO Solicitações Nominais σ0 ε0 σ0 ε0 K K K K t f σ ε Solicitações no Ponto σmáx ε máx σ Concentração de tensão e de deformação ε ENFOQUE DA ANÁLISE NO PONTO CRÍTICO ANÁLISE DE SEGURANÇA RESISTÊNCIA Resistência do Material σ N σ= CN b m Resistência do Ponto σ c ε= BN +MN ε N N Fatores de correção ε N Figura 10. . com ênfase sobre o comportamento no ponto crítico da peça . (tensão média zero)? Dados: D = 80 mm d = 55 mm r = 2 mm Aço SAE-ABNT 1045.8·(724) = 579 MPa = 0. submetido à flexão. cuja seção crítica está esquematizada abaixo.292 Análise de Resistência Mecânica EXEMPLO 10. r d D Figura 10.1. se a tensão nominal varia ciclicamente com amplitude de 65 MPa.1: Qual o coeficiente de segurança para vida infinita do eixo. σN σN σN σF = 0. com 225 HBN εf = 1.5·σR para N = 106 ciclos . para o material em flexão rotativa.Geometria da peça do exemplo 10. como os passos a seguir indicam.04 σR = 724 MPa σE = 634 MPa SOLUÇÃO: Para chegarmos ao coeficiente de segurança é necessário estimar o valor de σF . Estimativa da curva σN .8·σR para N = 103 ciclos = 0.8 . O fator de concentração de tensão. . 7 Isto significa dizer que a peça tem uma margem de segurança de 70%. porque as tensões nesta região são maiores.15 Como a tensão nominal de flexão σ0 . k1 k2 = 0.1) 80 55 2 55 Para esta geometria. = = 1.N. é dada no problema.5·(724) = 362 MPa Esta curva fica alterada. Kf D d r d = 1 + q·(Kt .3. que o fator de sensibilidade ao entalhe para flexão é: q = 0. e não para a construção do diagrama σ . Fator de acabamento superficial. k1 e k2 tendem a zero. em função dos fatores de acabamento superficial e de tamanho. da figura 10. com as seguintes relações.4 . porque para fadiga a baixo ciclo.45 = = 0. os quais serão introduzidos a seguir. O fator de concentração de tensão para fadiga é dado pela equação (10. para r = 2 mm.6 obtemos.78·362 σF' = 237 MPa O valor de σN não é alterado pelos fatores de correção.Resistência à Fadiga dos Componentes σF σF 293 = 0. como segue n= σf ' σ máx . Kf = 1 + 0. para a peça.1. para a vida infinita.04 e do gráfico 3.82·(2.84 (σR = 724 MPa) = 0.25 e da figura 10. será considerado para o cálculo das tensões aplicadas à mesma. é o diâmetro da seção crítica. 15 ⋅ 65 σ máx =140 MPa A comparação entre a tensão na peça e a admissível pelo material fornece o coeficiente de segurança.1) Kf = 2. n= 237 140 = 1. quanto ao carregamento. da figura 10.82 e com isto. ou seja.2 do Apêndice 3 temos Kt = 2. O menor dos dois diâmetros da peça é o usado na determinação de k2 . devido à geometria da peça.78 (d = 55 mm) Fator de tamanho.8). a tensão máxima vale σ máx = K f ⋅ σ 0 = 2.84·0. σF' = k1 k2 σF = 0. Sendo assim. GEOMETRIA. 2 . Se os corpos de prova forem somente retificados. A maneira de trabalhar com estes efeitos está detalhada a seguir. como descrito no uso da curva σ . dificultando a análise se o efeito for considerado como uma redução da resistência. verifica-se que o único efeito atuante sobre a curva ε .294 Análise de Resistência Mecânica 10. O fator k1 de acabamento superficial deve ser usado na análise. ou mesmo apenas usinados. Quando a solicitação que atua no ponto crítico é calculada considerando as deformações plásticas existentes. pois para vidas curtas não existe um efeito acentuado do acabamento superficial. Os efeitos decorrentes do acabamento superficial e de pontos com concentração de tensão serão comentados a seguir. não são agora tão relevantes.N.N. Quando o cálculo é feito a partir de uma tensão nominal elástica. a partir das características cíclicas do material. variável ao longo do eixo do número de ciclos. muitas vezes.ACABAMENTO SUPERFICIAL.3 . para este caso da curva ε . para uma escala logarítmica. quando trabalhamos com o diagrama ε . 3 .9 representa esta equação. A deformação total é definida como ∆ε = ∆ε e + ∆ε p A figura 10. porém é mais conveniente que seja encarado como fator de aumento de solicitação da peça.N. aplicados somente em situações especiais. Os fatores de correção vistos na seção anterior. uma vez que a grande deformação plástica dos materiais mascara o efeito das irregularidades superficiais.N é o fator de acabamento superficial.9) . Isto é considerado com a aplicação do fator k1 sobre a parcela elástica da deformação total da resistência à fadiga do material.TAMANHO. surge a necessidade do emprego do fator de tamanho. só que atuando apenas na parte elástica da deformação total. do que como um fator de redução de resistência. mesmo no ponto crítico.N. Devemos usar k1 quando os dados do material foram obtidos a partir de corpos de prova retificados e polidos. sendo os demais efeitos. O fator de tamanho não é relevante pois as deformações são calculadas para o ponto mais solicitado. o fator k1 não deve ser empregado. e assim este efeito é considerado como: ∆ε = k1 ∆ε e + ∆ε p (10.EFEITOS SOBRE O DIAGRAMA ε . pois o efeito das descontinuidades geométricas será. 1 . Como comentado o efeito do acabamento superficial é importante só para vidas superiores a Ntr. O efeito de concentração de tensão é plenamente atuante. Nesta.9 .9) é similar ao que verificase com o uso da curva σ .N. inalterada. . e o efeito de k1 fica reduzido para vidas menores do que 106 ciclos.10 . k1 é aplicado sobre σF apenas. se anulando para 103 ciclos.Resistência à Fadiga dos Componentes 295 sendo que comportamento da equação (10.Deformações elásticas e plásticas em função da vida N. ∆ε ∆ε p ∆ε e ∆ε e k 1 (PONTO CRÍTICO) N tr N Figura 10. em 103 ciclos. σ σE ELÁSTICO IDEAL σ σ0 K t (ELÁSTICO IDEAL) ELASTO PLÁSTICO IDEAL σE ELASTO PLÁSTICO IDEAL X 0 X1 X2 ε A) B) Figura 10. ficando σN.Distribuição de tensões e deformações próximas a um entalhe. temos um comportamento elastoplástico para o material. os estados de tensão e deformações no ponto crítico podem ser calculados a partir da tensão nominal.tensão real na peça. Kσ e Kε . com o uso do fator de concentração de tensão. portanto as concentrações de deformação e de tensão não podem ser determinadas diretamente a partir de Kt. alcançam valores maiores que a deformação de escoamento. entre 0 e X2 . A seguir é estabelecido um critério de cálculo que permite considerar estes efeitos. que leva às seguintes desigualdades σ ≤ σ0 K t ε ≥ ε0 K t em que: σ . Desta forma é necessário definirmos os fatores de concentração de tensão e de deformação. dentro do regime plástico. a tensão no ponto crítico é menor que a prevista para o caso elástico. ou seja. Kt .EFEITO DE DESCONTINUIDADES GEOMÉTRICAS. apesar de se redistribuirem. para os pontos situados no intervalo de 0 a X2 a tensão é sempre igual à de escoamento. pontos com concentração de tensão. A obtenção da deformação máxima existente nesta região. é tratada a seguir. ocorre uma redistribuição de tensões na região e o processo de cálculo das tensões e deformações não pode ser realizado diretamente a partir de Kt . A distribuição de tensões para o material elastoplástico ideal nunca excede a σE . com a finalidade de obtermos a influência das descontinuidades geométricas na determinação das solicitações na peça. Quando ocorre um escoamento localizado. ε . como na figura 10.fator de concentração de tensão. ou seja. enquanto que na distribuição elástica de tensões esta deformação ocorria em X1 .4 . Porém as deformações.deformação real no ponto.tensão nominal. porém a deformação é maior.10.deformação nominal. ε0 . a deformação correspondente à tensão limite de escoamento ocorre no ponto X2 para o material elastoplástico. Na figura 10. Porém quando a tensão no ponto crítico for superior à tensão de escoamento. caso as tensões atuantes nestes pontos forem menores que tensão limite de escoamento.296 Análise de Resistência Mecânica 10. Devido à redistribuição de tensões. bem como a respectiva tensão. σ0 . Quando uma peça possui pontos onde existam descontinuidades geométricas.10 estão mostradas as distribuições de tensões para um material com comportamento elástico e para outro com comportamento elastoplástico ideal. ou seja. fazendo com que a deformação no ponto crítico não aumente significativamente com o escoamento. . e assim. ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES.11) σ . o uso de Kf no lugar de Kt. de um estado plano de tensões e de um estado plano de deformações. Kε fica contido. para a determinação de εmáx. ajustando-se melhor aos resultados experimentais. e outras peças que tipicamente são solicitadas sob um estado plano de deformação. de modo a usar o diagrama ε . diferindo apenas no diagrama de resistência à fadiga usado na análise. Kε . tais como placas de grande espessura. deformação no ponto mais solicitado σ0 . eixos. é mais exato.10) (10. ε0 . em uma primeira aproximação. o qual reduz a capacidade de deformação do material.tensão. impedido de crescer além do valor de Kf.N.Resistência à Fadiga dos Componentes 297 respectivamente como Kσ = σ /σ0 Kε = ε/ε0 (10. ou seja.12) Isto significa que a análise de fadiga através da definição da solicitação por deformação fica idêntica à análise de fadiga por tensão. verificou-se experimentalmente que é possível adotar. a chamada regra linear [1].fatores de concentração de tensão e deformação A partir destas definições podemos afirmar que: Para o regime elástico Para o regime elastoplástico Kσ = Kt Kε = Kt Kσ ≤ Kt Kε ≥ Kt Verificou-se que para a análise de fadiga usando o diagrama ε . deformação.N. Este fato pode ser justificado pela existência de um estado triaxial de tensões. valores nominais na seção Kσ . ε . expressa pela igualdade Kε = Kf (10. é função do estado de tensões na peça e desta forma temos as duas situações limites.tensão. as desigualdades passam a ser Kσ ≤ Kf Kε ≥ Kf A obtenção de Kε. Em peças espessas. mesmo com a redistribuição de tensões. regra linear. No entanto. enquanto que para vidas menores que Ntr. ou seja.16). a Regra de Neuber não apresenta resultados tão bons e assim é usada na sua forma modificada. aplica-se a problemas axissimétricos.298 Análise de Resistência Mecânica ESTADO PLANO DE TENSÕES. ∆ε = BNb + MNc K ε = K f [ 1 + (N / Ntr )c −b ]1/ 2 (10. pode haver escoamento apenas na região crítica. O diagrama σ .12 e c = .N.13) Esta equação é óbvia para o regime elástico. é possível obter a equação (10. Se n = 0. apresentam resultados similares quando utilizados para um número de ciclos maior ou igual a dez vezes Ntr . [ ].60.14) O problema do cálculo de Kε. Usando o método das inclinações universais os expoentes b e c são b = . conforme comentado. e desta forma a última equação pode ser posta como Kσ Kε = Kf2 (10. Esta equação é válida quando a tensão nominal está abaixo da tensão limite de escoamento.0.18) O valor do expoente n define o estado de tensões. a . é que devemos recorrer à curva tensão-deformação do material. A equação correspondente à regra de Neuber é Kσ Kε = Kt2 (10. Se n= 1.N. os dois métodos apresentam discrepâncias pequenas. onde não chega a desenvolver-se uma tensão transversal. sendo escrita na forma: FG K IJ FG K IJ = 1 HK K HK K n σ f ε f (10.5. Em peças mais finas. como eixos e barras de seção circular. ou seja.15) (10. se o material segue a equação ∆ε .48 ]1/2 (10. bem como o ε . a equação proposta por Neuber apresenta melhores resultados que a proposição da regra linear [ ]. neste caso do uso da equação de Neuber. porém para o estudo da fadiga o valor relevante é Kf e não Kt . e com isto a expressão anterior fica: K ε = K f [1 + (N / Ntr ) − 0.0. é EPD. Com n = 0. Na faixa entre Ntr e 10 Ntr.17) Para situações outras que um estado plano de tensões. exigindo muitas vezes uma solução gráfica ou iterativa.N.16) onde Ntr é o número de ciclos de transição. é EPT. 84 σEC σR εf SOLUÇÃO: Para determinar a curva ε . Resumindo.Peça do exemplo 10. o que é tratado com dificuldade usando as curvas σ . EXEMPLO 10. considerando um aço SAE-ABNT 4340. podemos então dizer que.N.Resistência à Fadiga dos Componentes 299 única solução é trabalhar com o diagrama ε . Dados D d r E = 150 mm = 100 mm = 5 mm = 200000 MPa = 758 MPa = 1240 MPa = 0. na peça esquematizada na figura 10. pelo método das inclinações universais. o critério a ser adotado será: Vida Critério apropriado: N > 10 Ntr Ntr < N < 10 Ntr N < Ntr Os dois critérios apresentam resultados próximos. temos .2: Determinar o momento fletor que provoca uma fissura de fadiga em 105 ciclos.11 . Os dois critérios tem pequenas discrepâncias.N.N. r d D Figura 10. dependendo da vida. O critério apropriado é o da curva ε .2. devido ao alto grau de plastificação.N.N. com 350 HBN. usando o diagrama ε .11. Isto é conseguido fazendo ∆ε e = ∆ε p . conforme a equação (9. 9007 N− 0.48 . 9007 IJ =G H 0. podemos determinar a deformação total que leva à falha para N = 105 ciclos. levando a uma vida de 105 ciclos. está caracterizada a fadiga de alto ciclo. 5 logo 1240 200000 N − 0.12 + 0. 9007 N− 0. 0050 σ ε ∆ε ∆ε = 0. ∆ε = 0. é necessário determinar Ntr .12 + 0.6 N − 0.75 e logo ∆ε = 0. N tr F 0.6 é a curva ε . e consequentemente o fator de acabamento superficial influencia de forma apreciável a curva ε N para o ponto crítico.N do material.12 .6 ∆ε = 0.300 Análise de Resistência Mecânica ∆ε = 3. 0217 N− 0. 0163 (105 ) − 0.12 + 0.12 + εf 0. .12 + 0. o que representa a deformação total que pode atuar em cada ciclo. 0217 N− 0. Para verificar se a falha ocorre em fadiga de baixo ciclo. 0217 N− 0. 84 0. 5 σR E N − 0. 75 0. logo: ∆ε = k 1 0.9).6 ∆ε = 0. 0217 K 1/ 0. 9007 N− 0.6 Substituindo os valores vem ∆ε = 3. Ntr = 2350 ciclos Como a falha deverá ocorrer em 105 ciclos.12 + 0. 9007 (105 ) − 0.Deformação cíclica no ponto crítico.0050 Figura 10. ou seja.6 De posse da curva para o ponto crítico.6 N − 0.6 O fator de acabamento superficial é k1 = 0. 1) Para esta geometria.Resistência à Fadiga dos Componentes 301 Pela definição de fator de concentração de deformação temos Kε = ε / ε0 =Kf Porém para o caso de um eixo. 0025 ε0 = 0. Kf = 1 + q (Kt .8) obtemos Kf . 175 = 0. Se o material está no regime elástico .Laço de histerese com as deformações e tensões nominais. 00115 σ σ0 ε ε0 ∆ε 0 Figura 10.13 .25 e o fator de sensibilidade ao entalhe obtido vale q = 0.13.94 e logo Kf = 2. o fator de concentração de tensão é Kt = 2. Kε e pela equação (10. Estas grandezas nominais estão representadas na figura 10.175. A amplitude da parcela alternante da deformação nominal na seção é ε0 = ε / K f porém ε = ∆ε / 2 ε= então: 0. Kε pode ser obtido pela regra linear. 0050 2 = 0. 0025 2. Para prosseguir com os cálculos é necessário determinar a amplitude da tensão nominal. 1 240 σF = 620 MPa Considerando o mesmo k1 = 0.6 kNm EXEMPLO 10. σF = 0. resulta σF' = 0.75 · 0. é bem maior do que σ0 .3 k2 = 0. logo o momento fletor alternante que causa esta tensão nominal é Mf = σ 0 Wf e para a seção em questão Wf = πd3 32 = π 1003 32 3 Wf = 98175 mm logo: Mf = 22. as constantes C e m são calculadas por m= log σ1 / σ 2 log N1 / N2 m C = σ1 / N1 Adotando o ponto 1 em 103 ciclos e o ponto 2 em 106 ciclos.5 σR = 0. determinar qual o momento fletor alternante que provoca uma fissura de fadiga em 105 ciclos.6.0.5.200000 = 230 MPa Como a tensão de escoamento cíclica.302 Análise de Resistência Mecânica σ0 σ0 σ0 = ε0 E = 0.1 240 σ1 = 992 MPa σ2 = σF' σF' = k1 · k2 · σF Da seção 9.1831 C = 992 · (103 ) 0.8 · σR = 0.6 · 620 = 280 MPa e portanto m = .N do material é dada por σ N = C ⋅ Nm e conforme visto no Capítulo 9.2. podemos obter σ1 = 0. SOLUÇÃO: A equação para a curva σ .2.N. garante-se que o comportamento na seção nominal é elástico.4.1831 .75 usado no exemplo 10.8. e da figura 10. σEC .00115. usando o diagrama σ .3: Para a peça do exemplo 10. 175 ) = 0.0.N é: ∆ε = 0. Do exemplo 10.1831 Calculando para 105 ciclos.2. Quanto à solicitação.8 MPa e logo Mf = 19. σ = E ε0 = 733 MPa Uma vez que σ0 < σEC . 01595 2 ( 2. sendo no entanto usado para comparação.01595 ε0 = ∆ε/2Kε Do exemplo 10. determinar: a) O momento fletor que provoca uma fissura por fadiga em 2000 ciclos. 0217 ⋅ N− 0. Wf = 98 175 mm3 e Kf = 2.4: Para a mesma peça do exemplo 10.2. esta pode ser obtida da tensão nominal que leva à falha em 105 ciclos. 750 ⋅ 0.3. σN = 426 MPa.N é σN = 3 514 · N . a curva σ . σ0 = M / Wf = σN / Kf Do exemplo 10.175 e assim σo = 195.2. SOLUÇÃO: a) A equação ε . é: ε0 = 0.161 . EXEMPLO 10.Resistência à Fadiga dos Componentes 303 C = 3 514 MPa Portanto a equação σ .2. usando o diagrama ε .6 e para N = 2000 ciclos ∆ε = 0. uma vez que o problema é de fadiga a alto ciclo.0. 9007 ⋅ N− 0.2.2 kNm Nota-se que o valor do momento obtido é próximo daquele do Exemplo 10. obtido pelo uso do diagrama ε .N. conforme será mostrado.N. ε0. b) Idem ao item a.96 kNm b) Deve ser salientado que o procedimento a seguir não é correto. ou seja. M = 733 MPa 98175 mm3 M = 71.N.175.12 + 0. O momento fletor é M = σ0 Wf e tomando Wf do exemplo 10. A amplitude da deformação nominal.N é σN = 3016 N . elástica. Kε = Kf = 2. 00367 Supondo que esta deformação nominal máxima esteja na faixa linear. realmente podemos considerar que estamos na faixa elástica do material. porém usando o diagrama σ . N. .304 Análise de Resistência Mecânica Para N = 2000 ciclos σN = 887. O uso de Kf para amplificar o carregamento é equivalente a utilizá-lo para reduzir toda a curva σ . pois o efeito da plastificação não foi corretamente considerado no diagrama σ .N e ε . pois na realidade temos que Kσ = f(N) e foi utilizado Kf para vida infinita.04 kNm Para fadiga a baixo ciclo vemos que a diferença entre as soluções.N de resistência à fadiga do material.85 MPa = σ0 · Wf = 407. σ0 = σ N 887. σ σF ' σF / K ' t 10 3 10 6 N Figura 10. para qualquer número de ciclos o efeito de redução da resistência à fadiga é considerado constante.N é muito conservativo.14 .14. são significativas. σ0 = M / Wf = σN / Kf Para Wf = 98175 mm3 .175 σ0 M M = 407. e Kf = 2.08 MPa Quanto à solicitação.08 Kf = 2. que é menor que Kf. quando para vida finita devemos usar o fator Kσ. usando as curvas σ . O valor obtido pelo uso do diagrama σ .175.N.85 · 98175 = 40.Uso incorreto de Kf na redução da resistência. como mostra a figura 10. ou seja. quando do uso das curvas σ . item b.N.=.ε.4. a tensão σ . b = -0.N e da equação da curva tensão-deformação cíclica tirar ε. usando o diagrama ε .15 . Este último procedimento é mais complexo. EXEMPLO 10.73 σf ' = 1655 MPa .15.Uso correto de Kf como redutor de resistência. ε = ∆ε / 2 = σ / E + ( σ / k ' )1/ n' para este material.1). para baixa vida é necessário o uso de Kf .N é de 887 MPa. Da equação (8. obtendo assim ε0.4 temos que.076 c = -0. obter a tensão do diagrama σ . de forma que tenhamos KN = 1 para uma vida de 103 ciclos. Como usaremos Kf apenas como um fator de aumento das tensões nominais aplicadas. obtida pelo uso do diagrama ε .62 εf ' = 0.Resistência à Fadiga dos Componentes 305 O correto é adotar a correção mostrada na figura 10. SOLUÇÃO: Do exemplo 10. onde Kε = Kf. onde o efeito do fator aplicado diminui gradativamente com a redução da vida. Se ε0 for elástico obter σ0 = E. para N = 2000 ciclos. da tabela 2.N e a curva tensão-deformação cíclica. adotando Kε = Kf para o cálculo de ε./.5: Refazer o exemplo 10. σ σF ' σ F / Kf ' 102 103 104 105 106 107 N Figura 10.ε0.Kε . A deformação deverá ser obtida da curva tensão-deformação cíclica. Com o valor calculado de σ0 podemos agora obter as dimensões ou cargas conforme desejado. mas útil quando não temos Kf disponível.N. ou então. N é muito mais simples para resolver problemas a baixo ciclo que o uso das curvas ε .03) 10 -3 = 8.12 k' = σf ' 1655 = n' ε f ' 0.3 kNm que é um momento que difere apenas em 7% do obtido no exemplo 10. O cálculo de ###0 deverá ser feito pela curva tensão-deformação cíclica.12 k' = 1719 MPa Então ε = 887/2. Kε . conforme a equação (8.12 ε = (4.105 + (887/1719) 1/0.9.10-3 . aparentemente com duas . εEC = σEC /E = 3. 46.5 .N. A deformação nominal plástica ε0p é ε0p = ε0 . devida ao entalhe e finalmente a solicitação nominal ( σ0 ou εo ) devida ao carregamento.10 −3 − σ 0 / 2. Na análise de peças entalhadas conhecemos geralmente as curvas de resistência à fadiga do material.1). obtidas de corpos de prova sem entalhe e conhecemos também o fator de concentração de tensão Kt .46. σ . quando foi usada a curva ε .105 )0. 10 2. σ ou ε. O momento fletor será portanto M = σ0 · Wf = 686 · (98175) M = 67.N ou ε -N.12 e fazendo algumas tentativas encontramos σ0 = 686 MPa. que são obtidas via Kσ . A regra de Neuber relaciona Kσ . ou Kf . Sem dúvida o uso da curva σ .N e curva tensão-deformação cíclica. 730.4. 10.ANÁLISE COM USO DA REGRA DE NEUBER. ε0 = ε Kε = ε Kf = 8. que está próximo à tensão limite de escoamento.306 Análise de Resistência Mecânica e da equação (9. Substituindo uma equação na outra.ε0 /E Como não conhecemos ε0 . σ 0 = k ' ( ε 0 − σ 0 / E )n' ou σ 0 = 1719 ( 3. 9.79. temos um sistema não linear de duas equações. Kε e Kt ou Kf . 175 −3 ε0 = 3. logo ε0 está na faixa plástica. principalmente se a tensão σ0 não estiver dentro do regime elástico.4 + 4.10 -3 Quanto à deformação alternante nominal. A comparação com a resistência requer então o conhecimento das tensões e deformações locais no fundo do entalhe.17) n' = b/c = 0.10 -3 Como a tensão de escoamento cíclica é σEC = 758 MPa. analiticamente.13).20) A última operação restringe a dedução a seguir ao caso onde a tensão nominal é elástica. portanto existe uma outra equação a relacioná-las.21) nos dará a tensão e a deformação que ocorrem no fundo do entalhe.21) O gráfico das duas equações é visto na figura 10. ∆ε K σ ∆ε 0 = K f ∆ε 0 ∆σ 0 (10.ε estarem dentro do regime elástico o uso de (10. K ε ∆ε 0 K σ ∆ε 0 = K f ∆ε 0 2 2 (10. para certos casos particulares da curva tensão-deformação. até a convergência dos resultados. Juntando com a equação da curva tensão-deformação cíclica do material temos um sistema não linear de duas equações a duas incógnitas.12) ou de (10. A determinação de σ ou ε via σo . que são Kσ e Kε . o sistema de equações (10. respectivamente σ e ε. chamada hipérbole de Neuber. Na figura 10. a curva correspondente à hipérbole de Neuber e a correspondente à curva tensão-deformação cíclica.16) fornece rapidamente a solução. ε0 . Caso contrário. ∆ε = ∆σ / E + 21+1/n' ( ∆σ / k ' )1/n' ∆ε = (1 / ∆ σ ) K f ∆ε 0 E 2 2 (10. podemos multiplicar a equação da regra de Neuber por ∆ε02 .21) representa sempre uma hipérbole. com o traçdo das curvas. Temos então uma equação em ∆σ e ∆ε. . No caso de uma curva tensão-defromação geral a solução não é simples. O ponto C representa a solução pelo uso da regra linear.18) e das definições de Kσ e Kε . σ0 = E · ε0 . a solução é mais complexa. a partir de uma estimativa inicial. Partindo da equação (10. porém estas são funções das tensões e deformações que ocorrem no ponto crítico bem como dos valores nominais na seção. uma vez que não é possível explicitar qualquer uma das incógnitas.16 para um caso geral. A solução pode se obtida graficamente.16 o ponto A é o correspondente ao estado de tensões e deformações nominais e a solução para o estado local de tensões e deformações é o ponto D.19) Multiplicando pelo módulo de elasticidade. usando a regra de Neuber e a curva tensão. e Kf . as constantes k' e n' da curva tensão-deformação cíclica do material e o fator de concentração de tensão representado por Kf.deformação cíclica é detalhada a seguir. que é a equação da curva tensão-deformação cíclica. conhecidas as tensões e deformações nominais.Resistência à Fadiga dos Componentes 307 incógnitas. σ0 e ε0. De forma geral. e o problema deve ser resolvido iterativamente. ou. O ponto correspondente ao estado de tensões e deformações que está ocorrendo no fundo do entalhe é o ponto de intersecção das duas curvas. No caso de σ . ∆ε K σ ∆ε 0 = K f ∆ε 0 2 2 2 (10. Por outro lado a curva da equação (10. A vida tanto pode ser obtida de ∆σ. num diagrama σ . na seção 9.5 mostramos que a curva tensãodeformação cíclica tem também uma forma potencial ∆σ/2 = k' (∆εp /2) n' com k' e n' obtidos experimentalmente ou aproximados por n' = b/c k' = (2/M)n' BE/2 Uma vez que (10. Kσ Kε = Kt2 .Determinação do estado de tensões e deformações no ponto de concentração de tensão pela regra de Neuber. potencial acima.308 Análise de Resistência Mecânica σ B D C A ε Figura 10.16 .27) ∆σ/2 = k' (M Nc /2)n' ou .N tiver a forma das equações de Coffin-Manson. Se a curva ε .N quanto de ∆ε num diagrama ε .εp e obter σ .26) ∆εp = M Nc podemos substituir na equação σ . para uma expressão do tipo Kε = função (N). Desde que a tensão nominal esteja na faixa elástica e que a relação ε .N. como detalhado a seguir.25) (10.N.N seja na forma ∆ε = ∆εp + ∆εe ∆ε = M Nc + B Nb é possível transformar a regra de Neuber. (10. 30) ∆εe = B Nb logo ∆σ = E B Nb Para a dedução de Kε função de N.b ] -1/2 (10.Resistência à Fadiga dos Componentes 309 ∆σ = 2k' (M/2)n' Ncn' (10.1/2 (10.31) (10. ∆σ = 2k' (M/2)n' Ncn' ∆σ = (2/M)n' 2 B E/2 (M/2)n' Ncb/c ∆σ = E B Nb Esta expressão pode ser simplesmente obtida lembrando que. Kσ =Kf LM cMN + BN hE OP MN BN E PQ c b b (10.N. partimos de Kσ Kε = Kf2 Kσ1/2 Kε1/2 = Kf Kσ = Kf (Kε /Kσ ) .36) Kσ = Kf [1 + (N/Ntr )c .34) − 1/2 Substituindo as expressões para ε .N tem a forma potencial.N e σ .37) . Simplificando. (10.1/2 (10. do diagrama tensão-deformação cíclico. o diagrama σ .35) Kσ =Kf 1 LM N M c −b N B OP Q − 1/ 2 (10.32) Kσ =Kf Desde que FG ∆ε / ∆ε IJ H ∆σ / ∆σ K 0 0 − 1/ 2 (10.28) Isto significa que se a curva ε .N.N também o terá.29) ∆σ = E∆εe e da curva ε .33) ∆σ0 /∆ε0 = E então podemos escrever: Kσ = Kf [E∆ε/∆σ] . (10. 39) O gráfico de Kε /Kf versus N/Ntr pode ser visualizado na figura 10. c = .c.0 EPD 10-3 10-2 10-1 1 10 102 N/N tr Figura 10. Para um problema de uma peça entalhada. Kε tende a Kf quando a vida N ultrapassa 10 vezes Ntr .37). b = . Tanto em um estado plano de deformações quanto em um estado plano de tensões.12. função de N. definido por Kf sob um estado plano de tensão e propriedades do material definidas por B. Kε Kf EPT 2 1.0.17 . Uma vez que Kε = Kf2 Kr -1 Kε = Kf [1 + (N/Ntr )c -b ] 1/2 (10. sob carga alternante nominal. conforme visto no Capítulo 9. dentro do regime elástico ∆σ0 = E ∆ε0. c.0. ou seja. ∆ε = Kε ∆ε0 = Kf [1 + (N/Ntr )c . M.Variação de Kε versus N para um estado plano de tensão e um estado plano de deformação. ∆σ e ∆ε no fundo do entalhe são calculados pelas equações. N .6.310 Análise de Resistência Mecânica onde Ntr é a vida de transição. A vida N e o estado de tensões e deformações máximas.b ]1/2 ∆ε = MNc + B Nb (10.38) que é a relação que desejamos obter. Nesta figura foram utilizadas as constantes do método das inclinações universais.17 para um estado plano de deformação quando Kε = Kf e estado plano de tensão quando Kε é dado pela equação (10. Ntr = (M/B)1/b . b. Resistência à Fadiga dos Componentes 311 , ou seja, para fadiga a alto ciclo. Estas duas curvas representam aproximadamente os limites extremos de qualquer estado de tensão real numa peça, isto é, entre um estado plano de tensões e um estado plano de deformações. Em casos reais então a tendência mostrada pelo desenvolvimento acima é de que Kε cresce com a redução da vida N. Se Kσ = Kf2 /Kε , então Kσ tende a decrescer com a redução da vida N. Assim Kf é o máximo valor de Kσ , e utilizando Kf como amplificador de tensão, para fadiga a baixo ciclos, teremos resultados bastantes conservativos. 10.6 - COMENTÁRIOS. Quando se usa o diagrama σ - N ou ε - N em peças entalhadas, sob um estado plano de deformação: a) Se Kf for usado para amplificar o carregamento, usando σ=Kf σ0 , como nos exemplos 10.1, 10.3 e 10.4, a solução será razoavelmente precisa para fadiga a altos ciclos (valores semelhantes aos obtidos via diagrama ε - N e ε = Kf εo, exemplos 10.2 e 10.4. Para fadiga a baixo ciclos o uso da curva σ - N dará resultados cada vez mais conservativos quanto menor a vida, enquanto que usando a curva ε -N os valores são razoáveis. Então para o regime de alto ciclo é indiferente o uso da curva σ - N ou da curva ε -N, da forma acima, b) Se calcularmos σ do diagrama σ - N, em baixo ciclos, e obtivermos ε da relação tensão-deformação cíclica, e aplicarmos ε0 = ε/Kf , como no exemplo 10.5, os resultados obtidos também serão razoáveis, embora o processo de cálculo torne-se muito mais laborioso se ε0 não estiver no campo elástico. Um outro problema no uso do diagrama σ - N, para baixo ciclo, é que este diagrama normalmente não é disponível para vidas inferiores a 1000 ciclos; c) Pode-se usar o outro procedimento não detalhado aqui, mas ilustrado na figura 10.15, de usar Kf como correção na extremidade de vida infinita da curva σ - N. Automaticamente a correção é atenuada quando se reduz a vida, até 103 ciclos, quando o fator aplicado torna-se unitário. Neste caso, como a intensificação de tensão é aplicada sobre o diagrama de resistência, o valor de σ obtido para uma dada vida já corresponde ao valor nominal σ0. d) De forma geral é recomedável usar ε - N para baixo ciclo, e σ - N para alto ciclo. Estas conclusões estão resumidas na Tabela 10.4, onde temos os principais valores obtidos na resolução dos exemplos 10.2 a 10.5. 312 Análise de Resistência Mecânica Tabela 10.4 - Comparação de resultados dos exemplos de análise. EXEMPLO VIDA MÉTODO RESISTÊNCIA 10.2 10.3 10.4a 10.4b 10.5 105 105 2000 2000 2000 ε-N σ-N ε-N σ-N σ-N 22,6 kNm 21,3 kNm 71,9 kNm 40,0 kNm 67,3 kNm CAPÍTULO 11 O EFEITO DE SOLICITAÇÕES MÉDIAS grande parte das situações que ocorrem na prática, a solicitação cíclica no ponto crítico apresenta um valor médio não nulo, em torno do qual a tensão varia ciclicamente. Em muitos casos temos que, mesmo que o carregamento externo aplicado no equipamento, que gera as tensões cíclicas dentro do material da peça em estudo, seja de natureza alternante, o estado de tensões no ponto crítico pode ter sobreposto um valor de tensão média não nulo, pela presença, por exemplo, de tensões residuais. Desta forma, passa a ser fundamental estudarmos o que ocorre com o material quando as solicitações cíclicas possuem uma média diferente de zero. Em 11.1 DIAGRAMAS σa - σm. Conforme rapidamente observado, no Capítulo 9, quando uma tensão média, não nula, atua sobreposta a uma tensão alternante, a resistência à fadiga do material fica bastante prejudicada, em especial no caso em que as tensões médias são de tração. Em geral este efeito é representado por meio de diagramas onde a tensão média aplicada é um parâmetro, ou então uma variável. Para representar os dados experimentais sobre o efeito de tensão média sobre a resistência à fadiga, vários tipos de diagramas e curvas foram propostas e utilizadas, 314 Análise de Resistência Mecânica dependendo do sistema de coordenadas utilizado, ou seja, de quais variáveis estão sendo consideradas sobre os dois eixos coordenados, dentre as diferentes tensões que definem o ciclo de carregamento. O levantamento experimental tem como resultado, por exemplo, de curvas σa - N, com σm constante para cada curva. Esta forma de apresentar os dados não é a mais conveniente. Dos vários tipos de diagramas existentes, todos os que aqui serão comentados apresentam curvas onde a vida é uma constante, ou seja, são curvas que representam as várias combinações de tensões, σa e σm, que levam a uma mesma vida, sendo também chamados de diagramas de vida constante, ou ainda diagramas com linhas de vida constante. O levantamento experimental de um diagrama deste tipo requer um apreciável esforço, pois é necessário ensaiar dezenas ou mesmo centenas de corpos de prova, para cobrir todo o campo de combinações de tensões médias e tensões alternadas, com a devida consideração da dispersão de resultados, inerente ao processo de fadiga. O diagrama mais antigo é o chamado diagrama de Smith, que usa a tensão média no eixo das abcissas e as tensões máximas e mínimas no eixo das ordenadas, como mostrado na figura 11.1. σmáx σm σmín σmáx σmáx σa σm σmín σm σmín σm Figura 11.1 - Diagrama σmáx / σmín - σm, ou diagrama de Smith, e a definição das tensões que caracterizam o carregamento. A resistência à fadiga do material fica definida pela região limitada pelas duas linhas do diagrama, a de σmáx - σm e a σmin - σm. A figura 11.1 mostra o diagrama e as tensões características mais importantes. A tensão média, σm, é, evidentemente, dada por O Efeito de Solicitações Médias 315 σm = σ máx + σ mín 2 σ máx − σ mín 2 (11.1) e a amplitude da tensão aplicada, ou tensão alternante, é σa = (11.2) Uma forma bastante útil em muitas ocasiões de descrever o nível de tensão média é adotar uma media relativa, pelo uso dos fatores A ou R, que podem ser chamados de fator de simetria do ciclo, definidos respectivamente por: R= σ mín ,e σ máx A= σa σm Outro tipo de diagrama, de uso comum na indústria aeronáutica, é similar ao diagrama σmáx / σmín - σm, o qual permite uma interpretação e uso mais eficiente. Neste tipo de diagrama podemos trabalhar com qualquer um dos tipos de tensão que definem o carregamento cíclico, seja máxima, mínima, alternante ou média, conforme figura 11.2, pois os eixos inclinados a 45° fornecem as coordenadas de tensões médias e alternantes e os eixos horizontal e vertical fornecem as coordenadas de tensões mínimas e máximas, respectivamente. A figura 11.2 mostra este tipo de diagrama, muitas vezes denominado de diagrama padrão, também chamado "master diagram". σmáx σ t σa σm σ Alternada t σ σmín Flutuante t Pulsante Figura 11.2 - Diagrama σmáx - σmín, σa - σm e definição do tipo de carga cíclica. 316 Análise de Resistência Mecânica Uma nomenclatura bastante usada para definir o tipo de carregamento cíclico que ocorre é definir a carga como alternante, pulsante ou flutuante. Assim, se σm = 0 a carga é dita alternante, caso contrário ela será flutuante. Se σmín= 0, a solicitação, embora flutuante, será agora denominada pulsante. Uma outra forma de apresentar os resultados do efeito de uma tensão média, não nula, sobre a resistência à fadiga do material, é usando um sistema de coordenadas de tensão média-tensão alternante. Estes são chamados de diagramas σa - σm e são os diagramas mais simples, onde o efeito de σm é marcado pela redução da tensão alternante σa que o material resiste, isto para diferentes vidas. Vamos nos deter, ao longo deste texto, apenas no uso dos diagramas do tipo σa - σm, deixando de lado os diagramas tanto do tipo σmáx - σmín, σa - σm como os do tipo σmáx , σmín,, σm , pois a diferença de uso entre um tipo de diagrama e outro é pequena, sendo fácil de transpor o processo de cálculo de um para outro tipo. O diagrama do tipo σa - σm é o mais simples de traçar e de trabalhar, permitindo uma boa visualização do processo. Para uma aplicação o ideal é que se tenha o diagrama σa - σm do material, obtido experimentalmente, quando então o resultados dos cálculos serão bastante confiáveis, a menos da dispersão inerente ao processo de fadiga. Ocorre que em muitos casos esta situação não acontece, forçando-nos a trabalhar com estimativas da curva σ - N e, por sua vez, também com uma estimativa das curvas σa - σm. Assim, é interessante avaliar os modelos propostos na literatura para fazer uma estimativa do diagrama σa - σm para o nosso material. O ponto de partida está baseado nas propriedades mecânicas estáticas do material, σE, σR, σf, sendo que devemos iniciar o processo com a estimativa da curva σ - N do material, da curva σ - N da peça ou componente e finalmente do diagrama σa - σm para a peça. σa σN N = 10 5 3 N = 10 N = 10 7 σE / σR / σf Figura 11.3 - Diagrama σa - σm típico, de forma esquemática. σm O Efeito de Solicitações Médias 317 Com os processos do Capítulo 9, a curva σ - N do material pode ser obtida, e a partir desta podemos estimar a curva σ - N da peça, usando os fatores de correção no extremo direito da curva. O próximo passo é a estimativa do diagrama σa - σm. Isto é feito considerando que no diagrama σa - σm existem dois pontos de fácil obtenção. Um ponto é, para uma dada vida N, a amplitude da tensão alternante que leva à falha, com σm = 0, que é o valor obtido da curva σ - N da peça, na vida de N ciclos. Na figura 11.5 este é o ponto (0; σN). O outro ponto característico é obtido considerando um limite para a tensão média, em que a componente alternante do carregamento é zero. Neste caso a tensão média identifica-se com a tensão máxima, o que corresponde a um carga estática. O valor limite que a tensão pode alcançar é, por exemplo, σR. Se considerarmos que σm + σa = σmáx = σR , resulta portanto σm = σR, e temos assim o segundo ponto da figura 11.5. σa σF ' σF 10 3 Curva do material Curva do componente 10 6 N Figura 11.4 - Curva σ - N do material e do componente. Os dados dos ensaios respeitam os dois pontos extremos, mas os pontos intermediários podem se distribuir das mais diversas formas, dependendo do material, da geometria da peça, das condições de carregamento e outros fatores. Na falta de maiores informações, podemos utilizar uma reta unindo os dois pontos, como uma forma de estimar a curva. Existem vários critérios para definir a curva σa - σm, dependendo de como é definido o modo de falha para carga estática do componente, e, portanto, como é limitada a resistência para este modo de falha. Este limite pode ser a tensão limite de escoamento, a tensão limite de resistência ou então a tensão real de fratura. O uso de uma ou outra vai depender da aplicação que estamos dando ao diagrama e da maneira que as tensões são tratadas, se como tensões locais, no ponto crítico ou como tensões nominais na seção crítica. 318 Análise de Resistência Mecânica σa Curva de iso-vida, ou N constante σN ? σR σm Figura 11.5 - Estimativa do diagrama σa - σm, a partir de dois pontos extremos, definidos sobre os eixos de tensão média e de tensão alternante. Neste último caso, limitando a carga ao valor da carga de início de escoamento, para a seção líquida, impedimos que a peça venha a se deformar plasticamente de forma macroscópica, o que poderia comprometer o seu uso adequado. No caso da análise de fadiga concentrar-se sobre o ponto crítico, a situação é diferente, pois agora o fato de que a tensão limite de escoamento tenha sido atingida, ou mesmo excedida, não compromete o componente, já que a deformação plástica passa a ser localizada, em um ponto, ou em uma pequena região próxima ao ponto de concentração de tensão. Assim, é possível adotar como limite para a tensão média não só a tensão limite de escoamento, mas também a tensão limite de resistência ou mesmo a tensão real de fratura. O uso de uma ou de outra depende do critério adotado, mas de uma forma geral pode-se dizer que o uso da tensão real de fratura tem aplicação quando o critério de faha estática adotado é a ruptura do material, já que esta é a tensão que realmente caracteriza o ponto de falha no ensaio de tração. A tensão limite de resistência, conforme visto anteriormente, é uma tensão definida pelo ponto de máxima carga, mas que não caracteriza a capacidade de resistência mecânica do material, e sim o início da instabilidade plástica no ensaio de tração. O processo de interpolação a ser adotado entre as duas condições limites, de tensão média nula e a de tensão alternante nula, deve acompanhar a tendência dos dados experimentais, sendo esta interpolação em geral linear. Diferentes critérios para definir as curvas σa - σm estão colocados nas figuras a seguir. Alguns são apenas para referência, de pequena aplicação prática, sendo outros intensamente usados no dia a dia. A tensão alternante sobre o eixo vertical passa a ser o valor da tensão limite de fadiga. seja estimado.Critério de Goodman modificado. quando desejamos uma curva que forneça as diferentes combinações de σa e σm para uma vida especificada. Considera que a tensão limite de fadiga do material é σR / 3.6 . de N ciclos. Podemos usar também uma tensão σN. seja experimental. A tensão média fica limitada por σR. .Critério de Goodman. agora.7 .O Efeito de Solicitações Médias 319 σa σF = σR / 3 σR σm Figura11. σa σN σF σR σm Figura11. um valor conservativo se comparado com o uso recomendado de σR / 2. Este critério corresponde à linha de Goodman modificada. o que corresponde à reta descendente a 45º.Critério de Soderberg. que induz um estado benéfico de tensões residuais. Quando o critério é usado para representar a resistência no ponto crítico é excessivamente conservativo. O critério de Soderberg é mais conservativo que o de Goodman.320 Análise de Resistência Mecânica σa σN σF σE σR σm Figura11. impedindo um escoamento localizado. já que restringe a tensão média a no máximo a tensão limite de escoamento. . que passa por σE. σa σmáx = σE σN σF σE σR σm Figura11.9 Critério de Haigh.8 . limitando agora a tensão máxima no valor da tensão limite de escoamento. como para os aços para a construção de molas. Este critério foi apresentado por mostrar um bom ajuste com os resultados experimentais. tensão limite. Para o caso de aços de alta resistência.O Efeito de Solicitações Médias 321 σa σN σF σR σm Figura 11. O critério adota uma curva quadrática.Critério de Peterson (1952). . tomada como a média aritmética entre σR e σE.10 .Critério de Gerber. simétrica em relação ao eixo vertical. ou ainda k σE. passando por σN e σL. passando por σN e σR. à época coletados por Gerber.11 . Peterson sugeriu que o efeito da tensão média ficaria mais bem representado através de uma equação cúbica. σa σN k σE σE σL σR σm Figura 11. pois o valor de σR não corresponde à ruptura do material e sim à condição de instabilidade plástica do ensaio de tração.322 Análise de Resistência Mecânica σa σN σR σf σm Figura 11. Este critério considera que o máximo valor que a tensão média pode assumir é a tensão real de fratura. σa σN σF σR σm Figura 11. que não são conservativos para estes casos.13 . sendo inviável o uso dos critérios anteriores. Nestes casos.Critério de Morrow (1965). os pontos experimentais formam uma curva com forma côncava.12 . ou de alta resistência. com elevado efeito de concentração de tensão. .Critério de Smith. Este critério procura ajustar-se aos resultados experimentais de materiais frágeis. mas com grande concentração de tensão. σM e σa. 11. sendo σA.5) (11.Critério de Fucks (1965).σM / σE σA / σN = 1 .σM / σR) / (1 + σM / σR ) (11. Sendo os pontos sobre a linha de falha definidos como σA e σM. formada no fundo de um entalhe. sendo representado por σA / σN = (1 .6) A distinção entre σA.3) (11. da região de falha. região abaixo da linha.σM / σR σA / σN = 1 . σM as tensões resistentes do material e σa.4) (11. as equações são: Soderberg Goodman modificado Morrow Gerber σA / σN = 1 .O Efeito de Solicitações Médias 323 σa σmáx = σE σN σF σProp σE σR σm Figura 11.7) .14 . Para materiais frágeis. Cada equação estabelece a linha que limita a região de segurança. ou mesmo os dúteis.13. Vários mecanismos de falha foram considerados neste critério com a tensão média limitada na tensão limite de escoamento. σm as tensões que o solicitam. o critério de Smith é mais adequado. σm faz-se necessária para a análise de segurança do problema.σM / σF σA / σN = 1 . Os critérios mais usados são os colocados abaixo. A tensão máxima é limitada a um valor médio entre σE e σEC do material.(σM / σR)2 (11. região acima da linha. É também considerada a tensão necessária para a propagação de uma trinca. 5 .σm para o eixo esquematizado. 0. para flexão rotativa e N = 10i. Smith é o mais adequado. A obtenção do diagrama de Morrow ou do diagrama de Goodman. corrigida para a peça é: σF = k1 k2 σF = 0.5.15 .Obtenção dos diagramas de Morrow e Goodman. EXEMPLO 11. não é aconselhado por um excessivo conservadorismo e também porque reduz ou até elimina a possibilidade da formação de tensões residuais benéficas nos pontos críticos.1: Estimar a curva σa . com o material dado. 1200 σF = 600 MPa A tensão limite de fadiga.15. 600 ′ σF = 274 MPa ′ σN = 0. σa σN σN σa 10 3 N 10 6 N σR σf Escalas lineares σm Escalas logaritmicas Figura 11.60 . enquanto que para os frágeis.324 Análise de Resistência Mecânica O critério de Soderberg.76 . segundo o critério de Goodman modificado.8 σR = 0. a partir do diagrama σ .4. Para materiais dúteis recomenda-se usar Goodman ou Morrow. limitando σm a σE. Considerar um aço SAE-ABNT 4340 com 350 HBN.N é mostrada na figura 11. SOLUÇÃO: A tensão limite de fadiga do material é: σF = 0. 1200 para N = 103 ciclos .5 σR = 0.8 .6. i = 3. 2: Para os dados considerados no exemplo 11.N é dada por σ = C Nm. Figura 11. responda: a) Para uma tensão alternante. onde m = .log (σN / σF' ) / 3 = .0. qual a tensão média que leva à falha em 104 ciclos.O Efeito de Solicitações Médias 325 σN = 960 MPa A curva σ .18 N 103 960 104 643 105 419 106 274 σN (MPa) As curvas σA .18 C = σN /N1m = 960 (103 ) 0.Peça do exemplo 11.log (960/274) / 3 m = .16 . de 400 MPa.σM estão mostradas na figura 11.17. devida a uma força axial sobreposta ? .1. devida à flexão rotativa.1. EXEMPLO 11.0.18 C = 3329 MPa logo σ = 3329 N . .17. . O diagrama a R ) .###M / ###R vem ###M = σR (1 . σA 103 634 533 419 105 279 10 6 10 4 500 1000 1200 σM Figura 11. ###A / ###N = 1 .18 = 533 / 3329 logo a vida será de 26 200 ciclos. c) Qual a vida se σa = 400 MPa e σm = 300 MPa ? SOLUÇÃO: a) Da equação do critério de Goodman modificado.###a / ###N ) ###M = 1200 (1 .326 b) Idem para o ítem a).σm para os exemplos 11.2.17.Curva σa .###m para esta vida é mostrado na figura 11.1 e 11.###m / ###N = 533 MPa N -0. com uma vida de 105 ciclos.400 / 634) ###M = 443 MPa b) Para uma vida de 105 ciclos. ###M = 54 MPa Análise de Resistência Mecânica c) A tensão alternante pura que produz a falha com o mesmo número de ciclos que a combinação ###a = 400 e ###m = 300 é ###N = ###a / (1 . não considerando portanto o efeito do encruamento. Vamos considerar um modelo simplificado para o comportamento do material. admitindo um escoamento localizado nas proximidades do ponto mais solicitado. [5]. pelo uso de um diagrama tensão-deformação elastoplástico ideal. O segundo processo é mais simples. faz uma análise mais rigorosa. embora não corresponda a um comportamento tão realista do material.9) σE = σ0 Kσ vem (11. denominado de método da tensão residual. excede σE.σ0 Kt e como σE é a tensão que age no ponto mais solicitado.σm. sendo σ0 a tensão nominal. [ ]. Em um diagrama σ . Este diagrama é considerado no seu estado já estabilizado. dependendo das hipóteses feitas. bastante difundidos na literatura. o efeito de concentração de tensão pode ser enfocado de diversos modos. ou seja.11) . a tensão residual é dada por σr = σE .2 . MÉTODO DA TENSÃO RESIDUAL. Inicialmente vamos analisar o efeito de pequenas deformações plásticas sobre as solicitações no ponto crítico do componente. Este segundo processo é denominado de método da tensão média nominal.8) Como a máxima tensão que atuaria no material. quando da descarga do primeiro ciclo de carga forma-se um estado de tensões residuais.10) σr = σ0 (Kσ . (11. (11. σEC.CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO SOB TENSÕES MÉDIAS. Aqui vamos nos deter em dois processos apenas.N e σa .Kt ) no caso geral.O Efeito de Solicitações Médias 327 11. logo a tensão de escoamento deve ser identificada com a tensão limite de escoamento cíclica do material. cujo valor no ponto crítico pode ser obtido se considerarmos que a descarga é elástica. conforme já visto no Capítulo 5 e no Capítulo 10. isto é. O primeiro. σE = σEC (11. no caso elástico igual a Kt σ0. ou seja.328 Análise de Resistência Mecânica σ σE σ0 σ0 σ0 máx σ0 m σ0 mín ε0 ε σr σ0 . σmáx = σ0máx Kt + σr σmáx = σ0máx Kt + (σE .13) (11.18 .12) .K t σ σmáx = σ E t t t σmín Figura 11. resultando nas tensões indicadas no esquema da figura 11. Esta tensão residual soma-se algebricamente às tensões impostas pelo carregamento.σ0máx Kt ) σmáx = σE σmín = σ0mín Kt + σr σmín = σ0mín Kt + (σE .Efeito de concentração de tensões com carga flutuante.Kt 2 σ0a σm = (σmáx + σmín ) / 2 σm = σ0m Kt + σr (11.18.σmín) σmín = σE .Kt (σmáx .σ0máx Kt) σmín = σE . em módulo. MÉTODO DA TENSÃO MÉDIA NOMINAL.17) independente de qual seja o valor do carregamento externo. em termos da carga média ou da carga alternante. Para que ocorra este escoamento sob compressão é necessário que.σ0a Kt σa = (σmáx . Neste caso a amplitude da tensão alternante no ponto crítico passa a ser σa = σEC e a tensão média será nula.16) e.14) (11. mudando apenas a tensão média. σ a = σ EC σm = 0 (11.15) Assim. Kf. a tensão residual não altera a tensão alternante que age no ponto mais solicitado.18) A justificativa deste procedimento está no fato de que nos materiais dúteis a resistência estática não fica afetada pela descontinuidade . desde que não ocorra escoamento sob compressão. tenhamos Kt σ0 > 2 σEC e deste modo temos um escoamento tanto na parte tratativa do ciclo como na compressiva e assim o ponto crítico fica solicitado por tensões que variam entre . no ponto crítico a solicitação será considerada como σ a = K t ⋅ σ 0a σm = σ 0m (11.σEC. Este escoamento passa a ocorrer se | σr | < | σEC | ou σmín > . quando de um novo carregamento. ou seja. O método da tensão residual considera o desenvolvimento de tensões residuais.σEC (11. Este método considera que o fator da redução da resistência à fadiga. ou seja.O Efeito de Solicitações Médias 329 σm = σE .σmín ) / 2 σa = Kt σ0a (11. atua apenas sobre a parcela dinâmica do carregamento.σEC e σEC. Quando σr > σEC. a tensão real será sobreposta a esta. de modo que a máxima tensão do ciclo de carga não ultrapasse a tensão limite de escoamento cíclica. então o material escoa sob compressão. ficando σr = . para um material com comportamento elastoplástico ideal. σm ). n.σM / σR (11. σm ) e o ponto correspondente à resistência que o material apresenta é o ponto A. representa a resistência do material.3 .20) (11. σM ).σm. No uso deste método o fator Kf pode ser usado tanto como fator de aumento da solicitação como fator de redução da resistência à fadiga.19.21) σA / σN = 1 . ou da peça. tem a equação (11. Esta reta é extrapolada até interceptar a curva de resistência. Assim. de coordenadas ( σa. enquanto que a resistência à fadiga fica. no sentido de distinguir entre o par de pontos de tensão média e tensão alternante que estão envolvidos na análise. Então cabe determinar o ponto A. como discutido no Capítulo 10. reduzida pelo fator Kf. 0 ). Da equação (11. sendo assim afetada pelo efeito de concentração de tensão. n = OA / OB n = σM / σm n = σA / σa (11. que passa pelo ponto ( 0. conforme a figura 11. definindo o ponto A. à fadiga para uma dada vida. no ponto A. σN ) e por ( σR. σm ). de coordenadas ( σA. σA / σa = σM / σm A linha de Goodman. Uma forma de definir o coeficiente de segurança. de coordenadas ( σa. é considerar uma reta que passa pela origem e pelo ponto de carga ( σa. σm ).19 pelo ponto a. de coordenadas ( σa.22) . o ponto que caracteriza a solicitação que está atuando no ponto crítico é o ponto a. 11. relacionada à distância dos pontos B e A até a origem. O carregamento é representado no diagrama ilustrado na figura 11. isto é. A segurança para a vida considerada está.19) Conhecido o carregamento aplicado temos o ponto a. então.COEFICIENTE DE SEGURANÇA. Uma curva no diagrama σa . ou seja. σm ). Aqui estamos introduzindo uma pequena alteração na nomenclatura.20) temos a reta OA.330 Análise de Resistência Mecânica geométrica. com coordenadas ( σa. O Efeito de Solicitações Médias 331 σa Reta de carregamento σN σA σa B Ponto de trabalho O A Ponto de falha σm σM σR σm Figura 11.20 .5 t 35 Figura 11.23) σA = σa σM / σm F [kN] 3 28 φ4 8 17.19 .5 17. obtemos σM = σN ( σa / σm + σN / σR ) -1 e também (11. Eliminando σA das duas equações.Exemplo 11.Coeficiente de segurança no diagrama de vida constante. .3. 91 A = 35 . Considere a figura 11. Determinar a condição de segurança para vida infinita.1. σ0a = 95. logo Kf = 1 + q (Kt .2 MPa Como σ0máx Kf = 776 MPa > ###EC. 7 + 76. e o fator de sensibilidade ao entalhe é q = 0. 3 = 105 mm2 0 Força de plastificação total Fp = 67. SOLUÇÃO: A tensão limite à fadiga é: ###f = 0.15 kN Força de início de escoamento FE = 24.7 MPa σ 0mín = Fmín A0 = 8 000 105 ###0mín = 76. entre 8 kN e 28 kN.3. 510 ###F' = 387.332 Análise de Resistência Mecânica EXEMPLO 11. baseado na área plena. 7 − 76.6 MPa Para esta geometria.425 ###R ###f = 510 MPa ###F' = k1 ###F = 0. O carregamento apilicado é trativo. 2 2 266.4 MPa σ 0a = σ 0máx − σ 0mín 2 = . 2 2 . ocorre um escoamento localizado.1) = 1 + 0.45 kN As tensões nominais são: σ 0máx = Fmáx A0 = 28 000 105 ###0máx = 266. ficando uma tensão residual no ponto interno do orifício igual a: . logo Kf = 2. Kt = 3.1 . com a peça sendo fabricada com um material com ###EC = 722 MPa e σR = 1200 MPa.2 MPa σ 0m = σ 0máx + σ 0mín 2 = 266.91. 2.91 . ###0m = 171.76 .20. 3.6 277 N = 106 444. Conclusão: A vida será finita.54.O Efeito de Solicitações Médias ###r = ###E . σa [MPa] σ 'F = 387.###0máx Kf = 722 .54. .Diagrama de Goodman para o exemplo 11. ###r = . o que mostra que o procedimento está correto.91 .21. 92 o que confirma que não há segurança quanto à vida infinita.21 .91 .1 MPa Sobrepondo-se aos valores elasticamente calculados para o ponto mais crítico.226. ###M = Kf ###0m + ###r ### = 2. 171. 7 OP n= N 387 1 200 Q −1 a m R N −1 = 0 .7 . O coeficiente de segurança.1) M 333 ###M = 444.7 MPa ###A = Kf ###0a = 277 MPa Nota-se que ###máx = ###M + σA = 722 = ###EC. conforme pode ser visto na figura 11. pois o ponto está um pouco acima da linha de Goodman. para a vida infinita é: L σ + σ OP n= M Nσ σ Q LM 277 + 444. 2.7 σR σm [MPa] Figura 11.4 + (. 6)/3 m = . obtemos o valor da vida N como segue: Para N1 = 103 ciclos.0.N é obtida por m = .σm para outras vidas.log (900 / 387. temos σN = σa 1 − σm σR σN = 588 MPa Entrando com o valor de σN = 588 MPa na curva σ .N.497 MPa Logo σm = Kf σ0m + σr σm = 265 MPa σa = Kf σao = 458 MPa Para este carregamento espera-se que o componente tenha vida finita. figura 11.Kf σ0máx σr = . além da curva correspondente a σF.3 determinar a vida. As tensões nominais devidas ao carregamento imposto são: σ0mín = 95. C = 2090 MPa . Do critério de Goodman modificado. Para determinar esta vida.122 . com o carregamento cíclico variando entre 10 kN e 40 kN. σ1 = 0.122 C = σ1 N1.6 MPa.log (σ1 / σF') / 3 = .2 MPa σ0máx = 381 MPa σ0m = 238 MPa σ0a = 143 MPa A tensão residual é: σr = 722 .3.334 Análise de Resistência Mecânica EXEMPLO 11. A equação da curva σ .m = 900 (103 ) 0. é necessário o uso das curvas σa . σF' = 387.22. SOLUÇÃO: Este exemplo será resolvido pelo método da tensão residual.4: Para a peça do exemplo 11.75 σR = 900 MPa Do exemplo 11. σa [MPa] 588 458 265 σR = 1200 σ m [MPa] Figura 11.22 .Diagrama de Goodman modificado para o exemplo 11.5: Refazer o exemplo 11.122 e é plotada na figura 11. Para a tensão σN = 588 MPa.122 . N= Fσ I HCK N 1/ m = F 588 I H 2090 K −1/ 0. SOLUÇÃO: Do exemplo 11.91 = Kf σ0a = 458 MPa De acordo com o método da tensão média nominal. σa .O Efeito de Solicitações Médias logo a curva σ .4. N = 32 697 ciclos EXEMPLO 11.4 temos: σ0a Kf = 143 MPa σ0m = 238 MPa = 2.4. adotando agora o método de tensão média nominal.22.N fica 335 σ = 2090 N -0. 122 N = 41 585 ciclos .N.336 Análise de Resistência Mecânica σm = σ0m = 238 MPa Com estes resultados.N para o exemplo 11. Da equação do diagrama acima σN = σN = σa 1 − σm σR 458 1 − 238 1200 σN = 571 MPa Da equação do diagrama σ .Diagrama σ . para a peça tem-se Fσ I N= HCK F 571 I N= H 2090 K N 1/ m −1/ 0.23 . pode-se entrar no gráfico σa .4. [MPa] σ σ 1 = 900 588 ' σF = 387 10 3 32697 10 6 N Figura 11.24.σm como na figura 11. N para caracterizar a resistência à fadiga da peça.O Efeito de Solicitações Médias 337 que pode ser comparada com a vida de 32697 ciclos obtida no exemplo 10. existindo pouco volume de informações.24 .O USO DO DIAGRAMA ε . No caso de ser usado um diagrama ε .5. Número de reversões de carga. no ponto de ruptura no ensaio estático de tração.4. frequentemente a discrepância entre os resultados dos dois métodos é irrelevante. de tensão e deformação. σf'. respectivamente.4 . εf' .27) Amplitude da deformação cíclica. para a curva ε .N. Partindo da equação de Morrow.N. σa [MPa] σN = ? σa = 458 571 σ 0m = 238 σR=1200 σm [MPa] Figura 11. o efeito de tensões médias está pouco explorado experimentalmente. para deformação média nula. Uma recomendação sobre o efeito de σm é o proposto por Morrow. εa = σf' (2N)b / E + εf' (2N)c εa 2N (11.Diagrama de Goodman para o exemplo 11. Apesar do método ser mais grosseiro. Tensão e deformação correspondentes à falha por fadiga com uma reversão de carregamento (2N = 1). 11. São aproximadamente os valores reais. se comparada com a discrepância dos resultados dos ensaios de fadiga. e obtemos assim o segundo ponto.25 e as equações das retas são: σ′ − σm b f ⋅ 2N E εe = b g (11.εm ) (2N)c (11.εm ) foi simplificado para εf'.σm) / E (2N)b + (εf' . considerando uma primeira aproximação. falha estática. com tensão média nula.27) representa a amplitude de deformação plástica admissível εp quando a deformação média εm é nula. O procedimento para a obtenção do diagrama εp .εm é o mesmo do εe . limitando a deformação média ao valor εf'. Por outro lado.εm) (2N)c (11. σf'.σm) Nb + εf' 2 2c Nc ∆ε = LM 2 σ′ − 2 σ′ OP ⋅ N E Q N E 1+b 1+b f m b + ε ′ ⋅ 21+ c Nc f (11. à direita da igualdade. que εa = (σf' .30) É conveniente para certas situações alterar a forma da equação (11.27) o primeiro termo.338 Análise de Resistência Mecânica Uma maneira de considerar os efeitos de um estado médio de tensões e deformações não nulo é adotar um critério similar aos usados com o diagrama ε . Expandindo os termos resulta: ∆ε = 2 εa = 2 2b/E (σf' . Na equação (11.N.εm. se a tensão média for a que provoca a falha em 1/2 ciclo. O diagrama resultante é mostrado na figura 11. Pode-se compactar a nomenclatura chamando . Os dois pontos definidos podem ser agora unidos por uma reta.31) onde (εf' . εe.29) Deste modo resulta para. de modo sililar ao diagrama de Goodman. unindo mais uma vez os dois pontos por uma reta. dado que εf' >> εm em geral. O segundo termo da equação (11. ou seja.30) para deixá-la em termos do número de ciclos N em lugar de número de reversões 2N. representa a amplitude da deformação elástica admissível. onde a tensão média afeta a parcela elástica da deformação e a deformação média afeta a parcela plástica da deformação.28) εp = (εf' .25. usando Morrow. um caso geral. e assim obtém-se um ponto no diagrama εe -σm mostrado na figura 11. a amplitude admissível de deformação é zero. 34) . seus valores podem ser obtidos da tabela de propriedades de materiais do Apêndice 1. para os expoentes b e c.σm e εp .O Efeito de Solicitações Médias 339 B = 21+b σf' /E M = εf' 21+b D = 21+b /E Então a equação (11.25 .###m segundo o modelo de Morrow.32) (11.6.33) εe σ'f E (2N)b εp ε'f (2N)c εp = ( ε'f . usando a equação das inclinações universais. b = -0. Uma formulação que produz resultados semelhantes é obtida baseada nas equações de Coffin-Manson. 5 ⋅ σR −0.D σm] Nb + M Nc (11. 3. da formulação das inclinações universais.σm (2N)b εe= E σ 'f σm ε'f εm Figura 11. e para os coeficientes σf' e εf'.6 f E ∆ε = (11. Podem ser usados os valores.ε m ) σ'f .12 ⋅N + ε 0.6 ⋅ N−0.12 e c = -0.Diagramas εe .31) fica ∆ε = [B . a equação (11. para σm e εm não nulos. figura 11. quando a tensão média atinge o valor de σR.26. As equações das duas retas são: ∆εe = 3.12 ∆εp = (εf .0.12 E ∆ε p ε f0.36) Assim.12 + ε f − εm b g 0. segundo o modelo de Coffin-Manson.6 (11.εm.37) .340 Análise de Resistência Mecânica Analogamente à equação (11.27).27) define o diagrama ∆εp .6 ⋅ N−0. temos pelo método das inclinações universais. de forma análoga. não é admissível qualquer ∆εe. quando σm e εm são nulos.34).5 (σR .σm e ∆εp . 5 ⋅ σR − σ m E ∆ε = b g ⋅N −0. do método das inclinações universais.σm)/E N-0.26.6 N-0. ∆ε e 3.σm.35) (11.εm) 0.0.Diagrama com as curvas ∆εe . A segunda parcela da equação (11. tem seus primeiro e segundo termos à direita da igualdade representando as parcelas dinâmicas de deformação elástica e plástica. e obtém-se o segundo ponto.6 σR σm εf εm Figura 11.6 (11. figura 11.6 N .εm. enquanto que. A parcela elástica define o primeiro ponto na curva ∆εe .5 σR N . 3. respectivamente.26 . .73 σE = 1170 MPa E = 2.105 MPa Sem considerar a eventual sobrecarga de 70 kN. para um coeficiente de segurança igual a 1. calcular a amplitude de deformações admissível pelo critério de Coffin-Manson. e comparar com o valor obtido no item anterior.Exemplo 11. conforme as tabelas do Apêndice 1 são: σR = 1240 MPa εf = 0. SOLUÇÃO: a) As propriedades mecânicas do material. usando o método de Morrow? b) Usando as dimensões obtidas no ítem a).27 .O Efeito de Solicitações Médias 341 EXEMPLO 11. podemos usar a equação de Neuber. deve ser dimensionada para resistir ao menos a 104 ciclos de carga.5 F [kN] F 30 F 14 70 48 t .84 Fmín = -12 kN Fmáx = 48 kN Fm = 18 kN Fa = 30 kN σf' = 1655 MPa εf' = 0. o carregamento fica caracterizado por Pressupondo um estado plano de tensões.12 Figura 11. cujo registro típico está mostrado no lado do esquema da peça.6. a) Qual a espessura adequada.6: A peça ilustrada abaixo.b ] 0. parte do sistema de um trem de aterrisagem de um caça a jato. onde Kε = Kf [1 + [N/Ntr ]c . O material da peça é um aço SAE-ABNT 4340 com 350 HBN de dureza.4. obtemos Kε= 3. do método das inclinações universais. A= FG 2 ⋅ 1.6.4. ao produto do diâmetro do furo pela espessura da peça.0152 M = εf' 21+b = 0. Kt = 2.342 Análise de Resistência Mecânica Para este material temos Ntr = 2350 ciclos e.33) e usando o coeficiente de segurança n. 331 IJ F 0. 6 ⋅ 3 ⋅ 10 H 2 ⋅ 10 11 4 + 9. b = 0. 0512 ⋅ 0. A= F 2n K F + D F N I cB N H E K ε a b b m +MN c h Substituindo os valores. ∆ε = 2n εa = 2n Kε σ0a / E ∆ε = 2n Kε Fa / AE A tensão média é σm = Fm / A Então ∆ε = [B . 96 ⋅ 4 I 10 K K H 3 .12. baseado na área projetada do furo. 2 10 12 ⋅ 18000 ⋅ 0.2 10 -12 A amplitude de deformação alternante aplicada é: εa = Kε ε0a se ε0a < εE então resulta que εa = Kε σ0a / E Igualando a deformação aplicada à deformação admissível. por sua vez. igual. fornecida pela equação (11. c = -0.D σm] Nb + M Nc 2n K ε Fa A ⋅E D Fm N A b + = BN +MN b c isolando a área A. As constantes da equação (11.963 D = 21+b / E = 9. 4 ⋅ 3. Do gráfico 2. 331 + 0. como Kf = Kt = 2. Para N = 104 ciclos.4.6.33) são: 1+b B= 2 E ⋅ σ′ f B = 0.9 de fatores de concentração de tensão. 45 ⋅ 10 −3 Pode-se verificar a precisão dos cálculos usando a área A. obtida.83 .10-4 m2 343 Como A = d · t. para calcular ∆ε = [B .37).77. t = 12. 10-3 + 3. 5 ⋅ bσ R − σm E g ⋅N + bε − ε g f m 0. 19 ⋅ 10 como εE = σE /E = 5. ε0a < εE b) Para usar a equação (11. 10-3 ε 0a = ∆ε 2K ε −3 = 1.Dσm] Nb + M Nc σm = Fm A = 18 000 1.(9. 10-3. 106 ] N -0. 10-3 = 8. logo.2 .12 ∆ε = 3.6 ⋅N −0.85 . 1⋅ 10 −4 < εE −0.55 . 10-12 ) 102 .0152 .6 ∆ε = 4. N -0.O Efeito de Solicitações Médias A = 1.72 .6 . 77 ⋅ 10 −4 σm = 102 MPa ∆ε = [0. εm = σm E = 5.6 mm A tensão alternante aplicada é: σ0a = Fa / A = 170 MPa A deformação admissível é: σ 0a E ∆ε = 2n K ε = 8.963 .12 + 0. 6 h ⋅N −0.N para flexão rotativa.N para a análise. para σm e εm dados. σf = 0.425 σR. 84 − 5. aparentemente. portanto. como comentado no item 9. é necessário que a tensão alternante devida à carga de tração-compressão seja corrigida pelo inverso de k6. A definição de k6 pode ser vista voltando a seção 9. sob carga axial. em aços forjados. Mesmo no caso de um carregamento de tração com flexão sobrepostas.N para flexão rotativa como referência para caracterizar a resistência à fadiga. 1⋅ 10 c −4 0.N. para vida infinita. é prática comum tomar como referência a curva σ .12 + 0. Quando temos um carregamento combinado.4. o que constitui a maioria dos casos práticos.N para uma solicitação de flexão rotativa. é necessário levar em conta os diferentes valores de σf. as tensões médias dos dois tipos de carregamento podem ser somadas diretamente.N estimadas como recomendado. No ponto mais solicitado temos portanto as solicitações. Usando a curva σ . e corrigir as tensões atuantes para este diagrama. mais flexão. USO DO DIAGRAMA σ .85. e. no caso de aços com suas curvas σ .N esta diferenciação já não é necessária.CARREGAMENTO COMBINADO. desde que usemos o diagrama σ . é justamente a definição do fator de carga.5 . σf = 0. não podemos tratar o problema de uma forma tão imediata como vista até agora. Para um carregamento de flexão rotativa.3. No caso das tensões alternadas é necessário que consideremos a diferença na resistência à fadiga sob tração e sob flexão.5 = 0. 5 ⋅ 1240 − 102 2 ⋅ 10 11 Análise de Resistência Mecânica ∆ε = a f ⋅N −0. então a tensão limite de resistência à fadiga axial é igual a 0.N. 85% da resistência à fadiga sob flexão rotativa. para um comportamento elástico do material. enquanto que para carregamento de tração-compressão. . como comentado na Capítulo 9. este critério fornece um valor de amplitude de deformação alternante admissível superior ao do critério de Morrow para o mesmo problema.5 σR em 106 ciclos. 11. No diagrama ε . aumentando assim a solicitação que estaria agindo no material para compensar a menor resistência à fadiga que o material apresenta. temos k6 = 0.344 3. ou seja. Analisando inicialmente uma carga de tração. corrigidas para usar a curva σ . Quando sobre o componente age mais de um tipo de solicitação. que está refletida pelo uso do fator k6. para a vida desejada.425 / 0.6 o que mostra que. onde fizemos a estimativa das curvas σ . Esta relação entre a resistência à fadiga sob carga axial e carga de flexão. se as deformações atuantes forem calculadas corretamente.85. k6. as tensões no ponto crítico são: σm = σ0mt Kft + σ0mf Kff + σr . σ τ Figura 11. σm ) seguimos o procedimento usual.Carregamento combinado em uma peça com concentração de tensão.28 .O Efeito de Solicitações Médias 345 σm = σmt + σmf σa = σ at + σ af k6 (11. pois inclusive a sensibilidade ao entalhe muda com o tipo de solicitação. com o uso do diagrama σa . dispensando o seu uso na tensão resistente do material. Se usarmos o método da tensão residual então Kf atua tanto sobre σm como sobre σa. através do fator Kf correspondente.N da peça. Adotando o método da tensão residual. Para o método da tensão média nominal Kf age apenas sobre σa. onde a tensão limite de fadiga deve estar corrigida por um fator k6 = 1. já que ele foi considerado na tensão que age no material. é necessário obter Kt para as diferentes solicitações existentes. pois os fatores de concentração de tensão são diferentes.σm e após usando a curva σ .38) Com o par de valores (σa . Quando temos uma situação com concentração de tensão. devendo ser aplicados separadamente a cada parcela da tensão. o procedimento é o já descrito. é: σeq = (σx2 + 3 τxy2 ) 1/2 (11. devemos agora fazer uso de uma teoria de início de escoamento. Para uso do método da tensão média nominal.41) quando é usado o método da tensão residual. tanto para a componente alternante como para a componente estática do carregamento.40) Denominando de σa eq a tensão alternante equivalente e de σm tensão média equivalente. embora não tão bem como a teoria de Von Mises. afetadas pelo correspondente fator de concentração de tensão. A tensão normal equivalente a um estado de tensões definido por σx e τxy. recomenda-se que seja definida uma tensão equivalente segundo Mises. pois os valores nominais das tensões médias estão afetadas pelos fatores Kf correspondentes. Extensivos ensaios efetuados. sendo que a teoria da máxima tensão tangencial também segue os resultados experimentais. definidas σa eq e σm eq. com diferentes relações entre o momento torçor e o momento fletor. segundo o critério de Von-Mises.39) Na situação de um carregamento de torção sobreposto a um de flexão. O efeito de concentração de tensão deve atuar sobre as componentes de tensão provocadas por cada carregamento em separado. Assim. por exemplo.346 Análise de Resistência Mecânica σa = σ0at Kft + σ0af Kff (11. . pois podemos tratar agora o problema como um estado uniaxial de tensões. a tensão σm eq passa a ser 2 2 σ m eq = σ m f + 3τ m d i 1/ 2 sendo que a partir deste ponto. caso comum em eixos. vem eq a σa eq = (σ0a f2 Kff2 + 3τ0a2 Kft2 )1/2 σm eq = (σ0m f Kff2 + 3τ0m2 Kft2 )1/2 + σr (11. mostraram que a teoria da máxima energia de distorção fornece uma ótima concordância com os resultados experimentais. pelo estado biaxial de tensões que passa a existir. .O Efeito de Solicitações Médias 347 Segundo Juvinall [ ]. devemos usar a teoria da máxima tensão normal na definição da tensão média equivalente. que depende do material. principalmente em componentes de grandes dimensões. na forma de pequenas trincas que vão crescendo e reduzindo a seção resistente do componente. o material não pode ser considerado homogêneo. pois sempre existem defeitos oriundos do processo de fabricação. pois os fenômenos envolvidos são distintos. ou å. A vida é calculada unicamente pela propagação do defeito desde seu tamanho inicial até o correspondente tamanho crítico. . Em muitos casos. da/dN. A resistência à fadiga do componente deve ser analisada de forma diferente para o período de nucleação da trinca e para o período de propagação. a vida de fadiga depende só da resistência à propagação dos defeitos do material. já que a nucleação da trinca é imediata.CAPÍTULO 12 A PROPAGAÇÃO DE TRINCAS DE FADIGA A falha por fadiga em componentes mecânicos inicia-se nos pontos mais solicitados. com uma propagação brusca da trinca. Nestes casos. a qual é função da solicitação cíclica no extermo da trinca. A previsão de vida depende diretamente da velocidade de propagação da trinca. A previsão da resistência mecânica deve nestes casos levar em conta explicitamente a propagação da trinca. a partir do defeito. até que uma sobrecarga leve à ruptura final. do carregamento e da geometria. caracterizada por ∆K. para vários níveis da tensão cíclica. Os dados de propagação da trinca são obtidos monitorando o seu tamanho durante o ensaio. de crescimento do tamanho da trinca contra vida. levando à ruptura final num curto espaço de tempo. dependendo portanto deste estado de tensões. KIC ou KC. R>0 a σ2 σ1 σ3 σ4 σ1 > σ2 > σ3 > σ4 N Figura 12. conforme estejamos em um estado plano de deformações ou não. da/dN.∆K. O término da vida útil de uma estrutura.Curvas a . A velocidade de propagação da trinca depende da solicitação que está atuando. cresce lentamente. no início. resulta em uma curva tipicamente da forma mostrada na figura 12.A CORRELAÇÃO å .1 . que descreve a magnitude do estado de tensões existente nas proximidades do extremo da fissura. ou seja.2. . por sua ruptura brusca. quando colocada em um gráfico em termos da parcela dinâmica do fator de intensidade de tensão. porém. A velocidade de propagação. obtendo-se a curva de seu crescimento. A trinca.N. desde um tamanho microscópico até o tamanho crítico requerido para ruptura final. o conceito do fator de intensidade de tensão pode ser usado para um enfoque quantitativo na interpretação do comportamento de propagação da trinca por fadiga. fica definido pelo fator de intensidade de tensão crítico. e como sua propagação é um fenômeno localizado. ou simplesmente å. ∆K. O fator de intensidade de tensão fornece um parâmetro único.A Propagação de Trincas de Fadiga 349 12.1 . A vida útil entretanto depende da velocidade de crescimento da trinca. conforme aumenta de tamanho a velocidade de crescimento sobe rapidamente. ∆K é calculado usando somente a parcela sob tração do ciclo. O gráfico de å . o que corresponde a um crescimento por ciclo da mesma ordem de grandeza do espaçamento atômico na rede cristalina. são relevantes. nesta região. não podendo o material.2. então ∆K = Y∆σ π a (12. para que a trinca passe a crescer sob a ação de cargas cíclicas.1) e no caso de haver tensões da compressão.350 Análise de Resistência Mecânica O valor de ∆K é calculado assumindo um valor constante para o tamanho da trinca (no ciclo considerado). permanecendo do mesmo . Na primeira região.2 .∆K. trincas que. Se o ciclo for sempre trativo (σmín > 0). levando a efeitos muitas vezes contraditórios se não for feita uma análise mais detalhada. Região A na figura 12. 10 10 10 10 10 10 -4 da dN Região A K MÁX = K C -5 -6 Região B Região C -7 å = C (∆K) -8 m -9 ∆K 1 ∆K 0 10 10 2 Figura 12.Regiões típicas em um gráfico å . Nesta região o crescimento da fissura é extremamente influenciado pela microestrutura do material. não se propagam. para o estudo do crescimento da trinca.∆K apresenta três regiões bem distintas. uma vez que os aspectos metalúrgicos. denominado de ∆K0 . mesmo com um carregamento cíclico. que solicita a frente da trinca. sendo calculado a partir da variação de carga. Uma peculiaridade nesta região é a existência de um nível mínimo para ∆K. a velocidade de propagação é muito baixa. onde os fenômenos envolvidos são diferentes. ou seja. A existência de ∆K0 pode levar à ocorrência de trincas estacionárias. da ordem de 10-9 m/ciclo. ser tratado como um contínuo. como no vácuo ou em atmosfera protetora.22 UM ESPAÇO ATÔMICO 10 -8 POR CICLO R 0.8 -10 0. sobre o valor de ∆K0.9 5. Considerando uma precisão na leitura do tamanho da trinca. Por outro lado a carga média apresenta um efeito acentuado sobre o valor de ∆K0. no entanto. com o aumento do nível de resistência do material. Em aços testados com baixos valores de R.3 . e.05 0. onde R é a relação de simetria do ciclo. Na Região A a zona plástica é muito pequena. este efeito fica sensivelmente reduzido. isto significa que a velocidade de propagação será certamente menor que 10-11 m/ciclo.1 mm. Este comportamento é válido quando os testes foram feitos no ar ambiente. . durante o ensaio.4.1 0 10 10 R = 0.A Propagação de Trincas de Fadiga 351 tamanho indefinidamente. indicando que o meio ambiente possui uma influência sensível na Região A. Um resumo do efeito de R sobre ∆K0 . é muitas vezes definido como o máximo ∆K para o qual não é detectado o crescimento da trinca em 107 ciclos.2 . para vários aços carbono de baixa liga.∆K para o aço SA 387-2-22. Este limite de sensibilidade. R = Kmín / Kmáx. não sendo.Gráfico å . ∆K0 diminui e a velocidade tende a aumentar.1 5.3. o a [m/ciclo] 10 -7 AÇO SA 387 . não oxidante. observada uma tendência nítida para R > 0. ou seja. com σE < 620 MPa. também o valor de ∆K0.5 a 0. tendendo a zero a velocidade de propagação.3 -11 10 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 ∆ K Figura 12. da ordem de grandeza do tamanho de grão. Para um ∆K menor do que ∆K0 a trinca não se propaga. está na figura 12. e assim a microestrutura afeta de forma marcante a velocidade de propagação.5.80 R = 0. em conseqüência. ∆K0.50 0. Ensaiando em um meio inerte.0 6.30 R = 0.05 -9 ∆K 9. mostrando que a tendência geral é de diminuir ∆K0 à medida que R aumenta. de 0. como ilustrado na figura 12. propiciando condições para a ruptura por fadiga do material.5 .2 .4 . .5 1.1 t Figura 12.Diagramas da variação cíclica de KI . corresponde à parte trativa do ciclo de carga. ∆K.8 R 0. Na ausência de tensões residuais a parcela dinâmica do fator de intensidade de tensão.352 Análise de Resistência Mecânica K K K t t R = -1 R=0 R = 0.0 R Figura 12. representada pelo fator de simetria do ciclo. quando a trinca fica aberta e seu extremo solicitado sob tração. ∆ K0 [MPa m ] 16 14 12 10 8 6 4 2 AÇO DE ALTA RESISTÊNCIA AÇO DE BAIXA RESISTÊNCIA ∆ K 0 = 2.Variação de ∆K0 com a tensão média.0. R. para aços de alta e baixa resistência. para vários valores do fator de simetria R. Kmín ∆K = Kmáx . no instante de carga máxima? SOLUÇÃO: Para determinar a carga no instante de máximo.1 MPa m .1: Uma peça fabricada com o aço SAE-ABNT 1045 com as propriedades.1. qual o valor do raio de plastificação na região do extremo de uma pequena trinca.Efeito do fator de simetria do ciclo sobre ###K0 para aços com vários tamanhos de grão. é solicitada ciclicamente de forma que tenhamos ###K = 10 MPa m e R = 0. Kmáx = 11. 225 HBN de dureza e σE = 634 MPa. R.5 1.0 R Figura 12. na forma: R = Kmín / Kmáx Kmín = R Kmáx ∆K = Kmáx .A Propagação de Trincas de Fadiga 353 ∆ K0 [MPa m ] Aço curva 1 - AISI 316 8 6 4 2 1 2 3 4 2 3 4* - grão 330 µm 63 µm 50 µm 50 µm (material envelhecido) 0.6 .R Kmáx ∆K = Kmáx (1 . devemos usar a definição do fator de simetria do ciclo. EXEMPLO 12.R) Substituindo os valores numéricos.R) Kmáx = ∆K / (1 . Deformação real de fratura (εf). como a tensão nominal.2) sendo C e m constantes empíricas a serem obtidas a partir dos dados experimentais. o fator de intensidade de tensão. a qual geralmente diminui com o aumento do tamanho do grão. pela equação (6. Tensão real de fratura (σf). o tamanho da fissura. os dados obtidos com um tipo de corpo de prova são aplicáveis para uma grande variedade de configurações de geometria e de carregamento. (procura-se então refinar os grãos) ou na propagação de trincas. Uma vantagem óbvia do uso da Mecânica da Fratura no estudo da propagação de trincas é a possibilidade de incorporar. A constante C sofre a influência das propriedades mecânicas do material. Este efeito é oposto ao verificado com a tensão limite de resistência à fadiga. o que corresponde a uma equação do tipo å = C (∆K)m (12. como ferrita ou austenita. é necessário conhecer se o projeto deve basear-se na nucleação de trincas.2 verificamos um relacionamento linear entre log å e log ∆K.6 10-5 m = 16 µm O valor de ∆K0 pode ser melhorado com um aumento no tamanho de grão. todas as variáveis pertinentes. como. em microestruturas com uma única fase. rp = 1. Tensão limite de escoamento (σE ). De modo a obter um ótimo quanto às propriedades de fadiga.354 Análise de Resistência Mecânica Para um estado plano de deformações. em um único parâmetro. Tenacidade à fratura (KIC ). Módulo de elasticidade (E). . por exemplo.29). [16]. Deste modo. a geometria do componente e até o comportamento plástico do material pelo uso da trinca elástica equivalente. mesmo que diversas da usada para realizar os ensaios. Esta equação foi proposta pela primeira vez por Paris e Erdogan. existindo atualmente uma grande quantidade de dados experimentais que confirmam esta relação e mostram que o fator de intensidade de tensão é o principal parâmetro que controla a propagação da trinca de fadiga. Na Região B da figura 12. (procura-se grãos maiores). com baixas velocidades de propagação. Na Região B não se verifica uma grande diferença entre as taxas de propagação.7 . . [ ]. fazendo com que a vida de propagação restante seja curta. de formação de estrias. Com o aumento do tamanho da trinca a velocidade passa a ser sensivelmente maior. o comportamento na Região A pode alterar de modo substancial a vida de fadiga do componente.7 a seguir ilustra esquematicamente o mecanismo de crescimento das trincas conforme proposto por Mc Millan e Pelloux. Nesta região o mecanismo de crescimento da trinca é um mecanismo dútil transgranular. Isto indica que para garantir uma vida de propagação suficiente. Extremidade da trinca σ σ t σ t t Figura 12. devemos nos preocupar com os aspectos relacionados com trincas pequenas. principalmente se for considerado que uma grande fração da vida de propagação é dispendida quando a trinca é pequena. A figura 12.Seqüência para a formação de estrias por um processo de afilamento do extremo da trinca. quando da descarga.A Propagação de Trincas de Fadiga 355 O aumento em qualquer destas variáveis faz com que a constante C diminua. podendo o material ser tratado como contínuo. Entretanto. sendo pouco influenciado pela microestrutura. o que indica que a vida de propagação não é substancialmente alterada pela escolha de um ou outro tipo de aço. pouco afetando a vida os aspectos relacionados com trinca próximas ao tamanho crítico. para diferentes tipos de aços. embora a orientação da trinca em relação ao plano de laminação possa afetar m. como por exemplo a tenacidade do material. O expoente m normalmente está situado na faixa de 2 até 5. devido ao sentido predominante das impurezas. sobrepostos. Como ∆KI = ( 1 . onde além do mecanismo de ruptura com formação de estrias surgem. provocando um grande aumento na velocidade de propagação. å = 5. ou seja.∆K.00 Aços para vasos de reator.35 . temos que [ ( 1 . [ ].7 KIC (ou KC). Nesta situação.3) . 10-12 (∆KI )3.R ) KC .7) (12. a espessura do material influi também de forma sensível. 10-12 (∆KI )3. (12. na iminência da ruptura estática. com å [m/ciclo] . pois em chapas espessas a ruptura por microclivagem é percentualmente maior.6) (12. å = 1.726 (na água) Na Região C ocorre uma sensível aceleração da trinca.5) (12. Se o mecanismo de ruptura é exclusivamente por formação de estrias.R ) KImáx. å = 0. excitando então os mecanismos estáticos de ruptura. Segundo Forman. a velocidade de propagação da trinca deve tender a infinito quando KImáx tender para KC . Estes modos estáticos de fratura incluem microclivagem.4) (12.∆K [MPa m ]. 10-12 (∆KI )3. A microclivagem vai surgir quando o material estiver abaixo da temperatura de transição dútil-frágil.356 Análise de Resistência Mecânica DADOS EXPERIMENTAIS PARA A CORRELAÇÃO å . a espessura passa a ter um efeito muito pequeno na taxa de propagação. separação intergranular. de acordo com [ ]. sendo as expressões mais significativas dadas a seguir. mecanismos que são característicos de uma ruptura estática. Aços martensíticos segundo [ ]. 10-12 (∆KI )3. A aceleração da trinca dentro da Região C foi levada em consideração em várias expressões empíricas para å.477 . ou KIC.25 Aços ferríticos-perlíticos segundo [ ]. 10-11 (∆KI )3. Equação de Paris-Erdogan. å = 1 .25 Aços ferríticos no ar. Isto ocorre porque nesta região o valor de KImáx durante o ciclo é da ordem de KIC.9 .∆KI ] 0 quando KImáx KC.00 Aços inoxidáveis austeníticos segundo [ ].6 .786 .726 (ao ar) å = 6. Isto começa a ocorrer quando KImáx > 0. com formação de estrias. segundo [ ]. 10-10 (∆KI )2. bem como coalescimento de vazios. ferríticos. como consequência da maior restrição quanto ao desenvolvimento de deformações transversais (tendência para um estado plano de deformação). å = 6. onde o registro do tamanho da trinca contra a vida. ou seja.9. orientação dos defeitos. onde todas consideram o efeito do fator de simetria do ciclo sobre a região final de propagação da trinca. quando fabricado com este material.12) (12. propostas para å. espessura. Para a determinação da vida de propagação é agora necessário integrar a correspondente equação da velocidade de propagação da trinca.13 Imed (12. EQUAÇÕES PROPOSTAS PARA A CORRELAÇÃO å . Paris-Erdogan [ ] Forman [ ] Walker [ ] å = C ( ∆KI )m å= C ( ∆K I )m (1− R) K C − ∆K I (12. considerando o crescimento de trincas a partir de defeitos iniciais. microestrutura.A VIDA DE PROPAGAÇÃO.A Propagação de Trincas de Fadiga 357 Forman propôs então a equação å= C ( ∆K I )m (1− R ) K C − ∆K I onde o limite acima para å é safisfeito.∆K do material. ou mais precisamente por via experimental.39 K 2.. A seguir temos outras equações além da de Paris-Erdogan e da equação de Forman. A vida de propagação de um dado componente mecânico é obtida pelo conhecimento da curva å . conforme a figura12.∆K.3) a (12.13) 12.7). o que pode ser feito por uma das equações (12. mas no caso geral deve ser feita numericamente. permite o cálculo da curva å .9) (12. ou I å = C ( 1− R )m ⋅ K Imáx n Elber [ ] Radon & Culver [ ] Mukherjee & Burns [ ] å = C1 (C2 + C3 R) ( 1 − R ) ⋅ K n Imáx å = C ( K 2máx − K 2mín )m I I å = C f -0.10) å = C ( ∆K I )m ⋅ K nmáx .11) (12.2 . Dependendo do caso esta integração pode ser analítica. durante o ensaio e o simultâneo cálculo de ∆K para cada N.8) (12. .8. etc.∆K do material.43 ( ∆KI )2. é possível determinar a vida que um componente terá. Uma vez conhecida a curva å . conforme figura 12. em função de meio ambiente. nas condições de uso.∆K. ou a partir de microtrincas nucleadas durante o carregamento cíclico anterior. Se considerarmos que o fator geométrico Y não é função do tamanho da trinca.15) ∆K = Y∆σ πa (12. é possível determinar o número de ciclos para este crescer até o tamanho a2. Usando a equação de Paris-Erdogan. podemos chegar a uma expressão analítica que fornece o número de ciclos para a trinca propagar-se entre os dois limites. ao menos entre os limites a1 e a2. A partir do tamanho inicial do defeito.17) (12. para m ≠ 2: da / dN = C ( Y∆σ πa )m dN = da C ( Y∆σ πa )m (12.Determinação da curva å . Este tamanho a2 pode representar o tamanho crítico definido pela tenacidade do material.14) (12. quando ocorre então a ruptura final. å = C ∆Km å = da / dN (12.8. digamos a1.18) .8 .358 Análise de Resistência Mecânica a da / dN ~ ∆a / ∆N da / dN ∆a ∆N N ∆K Figura 12.∆K do material.16) sendo o fator geométrico Y calculado no valor instantâneo do tamanho da trinca. figura 12. laminado a frio.2: Uma placa com 1.20) da dN a ∆K ∆K0 N Figura 12. EXEMPLO 12.∆K para uma peça com trinca de tamanho ai. é submetida a esforços cíclicos entre 200 MPa e -50 MPa. a integração da vida de propagação fornece a 1 ln 2 2 a1 C ( Y∆σ π ) N12 = N2 − N1 = (12. As propriedades mecânicas deste aço são: σE = 630 MPa σR = 670 MPa E = 207 000 MPa KC = 104 MPa m .Aplicação da curva å .A Propagação de Trincas de Fadiga 359 z N2 dN N1 = 1 C ( Y ∆σ π )m z a 2 −m / 2 a a1 da N12 = N2 − N1 = a1−m / 2 − a1−m / 2 1 1 2 m m / 2−1 C ( Y∆σ π ) (12.19) No caso de m = 2.0 m de largura de aço SAE-ABNT 1020.9 . para esta geometria. 12 ⋅ σ K aC = 0.12 σ πa σ = 200 MPa KC = 104 MPa aC 1 C m FG K IJ 2 = π H 1. logo o máximo tamanho inicial da trinca é de 1 mm.360 Análise de Resistência Mecânica Qual a vida de fadiga que pode ser esperada. 12 200 π ) N12 = 8. para a relação ac / W = 0. SOLUÇÃO: Quando a chapa possui defeitos acima de 1 mm estes são removidos. a1 FG H 1− m 2 − a2 1− m 2 IJ e como m = 4. podemos aumentar KC. Para esta geometria temos ∆KI = 1. desde que a trinca seja suficientemente pequena. se qualquer defeito na borda da chapa é detectada quando for maior do que 1 mm? Use a equação 12.5 N12 = 1 10 −11 0. na integração. Isto é válido no início da vida.6 para obter a velocidade de propagação. no ponto de carga máxima. 5 (1.89 104 ciclos EXEMPLO 12. fazendo com que a trinca leve mais tempo para crescer até o tamanho crítico.0686. 0686 0. Como a trinca cresce no início lentamente e apenas na última fração da vida é que atinge um tamanho da ordem de ac. o número de ciclos será −0. K N12 = constante .5 −0. O tamanho crítico da trinca. e igual a 1.0686 m Do Capítulo 6. correspondente ao tamanho inicial. pois o erro não será grande. mas no fim desta a trinca será bem maior.16.12 ∆σ πa . Outra alternativa é diminuir o tamanho inicial dos defeitos. 001 3 − 0. vamos considerar um material que segue a lei de Paris-erdogan. temos Y = 1. Assim. é perfeitamente possível usar um valor de Y constante. com o que a trinca cresce mais antes de se tornar instável. com o expoente m = 4. Para ilustrar a importância relativa entre as duas alternativas. Qualquer defeito até 1 mm passa desapercebido. pode ser obtido.12. Isto leva a uma equação de N12 que pode ser escrita na forma: N12 = constante .3: Para aumentar a vida de propagação de uma dada estrutura. a1 − a 2 d −1 −1 i . em uma primeira aproximação: KI = KC = 1. a vida deve ser obtida por um processo numérico de integração. de modo que apenas as trincas menores que 5 mm passem desapercebidas. vem = constante . N12 = constante . menos de 10% no exemplo dado. mas com o uso de um controle de qualidade mais acurado.10) N12 = 90 . após i ciclos. (100 .10 m.18) para determinar N12. onde dN = 1 e da = å. pelo maior tamanho da trinca final. a1 = 0. correspondente ao fim da vida.A Propagação de Trincas de Fadiga 361 N12 Se tivermos a1 = 0. constante Dobrando o valor de KC. em cada ciclo. em especial no passo 10 desta seção. é necessário fazer uma integração numérica da equação (12. pela ruptura final. . Assim. então a2 = 0. (100 . constante 12 Se agora. logo. por exemplo. calcula-se ∆K do ciclo e obtemos å da curva experimental ou da equação de Paris.40 m. Assim. for mantido o mesmo material. Neste tipo de cálculo o fator geométrico pode ser considerado constante durante um certo número de ciclos.10) N = 190 . ai = a1 + ∑i ∆ai e o processo segue até que tenhamos Kmáx do ciclo igual a KC. dependendo da forma da função Y( a / W). onde o ganho de vida é percentualmente muito baixo. ao invés de alterar KC. Nestas condições a vida de propagação fica aumentada. com um controle mais rigoroso.5) N = 97.01 m e a2 = 0. A vida de propagação pode ser obtida como: N12 = constante .5 . é muito mais conveniente diminuir o tamanho inicial da fissura. do que usar um material mais sofisticado. ou de ∆σ ser também variável ao longo do tempo. através do uso de um material mais tenaz. de alta tenacidade. constante 12 Assim. A trinca cresce com incrementos ∆a = da = å. Quando o produto Y∆σ é variável ciclo a ciclo. No caso de Y ser uma função de a. ciclo por ciclo.2. a2 fica aproximadadamente quatro vezes maior. Na seção 12.4 deste Capítulo temos um melhor detalhamento do procedimento de cálculo da vida de propagação.005 m. (200 . podendo seguir o crescimento até t3.PROJETO COM TOLERÂNCIA A DANO. Uma destas formas é a realização de ensaios periódicos de sobrecarga. próxima do limite t2. Assim. pode escapar ainda a um exame. provocada pelo crescimento instável da trinca. A figura 12. No instante t1. a a adm a det t t1 t2 t3 Figura 12.10. figura 12.t3. Nos casos onde o tamanho crítico da trinca é muito pequeno. onde possa vir a se desenvolver uma trinca.Tamanho da trinca numa peça ao longo do tempo. em função da sensibilidade do método. automotiva e outras. como em materiais de alta resistência e baixa tenacidade.10 . Esta ambigüidade é contornada com o uso dos conceitos da Mecânica da Fratura e com inspeções regulares nos pontos ou regiões críticas. é desejado um compromisso ótimo entre peso próprio da estrutura e a segurança de operação. pois uma trinca muito pequena. . para que a estrutura seja usada com segurança. As técnicas de controle de defeitos no material não admitem ainda a deteção de defeitos muitos pequenos.3 . Em estruturas de equipamentos móveis. existem outras formas de eliminar o risco de uma falha em serviço. onde chega ao máximo tamanho admitido para operação em segurança. é necessário que tenhamos ao menos duas inspeções no intervalo t2 . Vamos considerar uma estrutura que é submetida a inspeções regulares. atingindo em t2 o tamanho mínimo que a torna detectável pelo procedimento de inspeção e controle. dificultando os ensaios. forma-se uma trinca que vai crescendo.11 ilustra o efeito sobre a tensão nominal de falha de um trinca de tamanho a.362 Análise de Resistência Mecânica 12. como as da indústria aeronáutica. resultando uma vida calculada. obtemos o valor a3. pela remoção de material ela pode ser reduzida para o tamanho a1. σ0. que tenham tamanhos críticos de trinca . Deste modo é possível assegurar uma vida ao menos igual a N12.a1). o componente será seguro quanto à ruptura por fadiga em operação. devido à redução da seção transversal. a2 .a3) < (a2 -a1 ). ou se a trinca se desenvolver em um local inacessível para a inspeção. (a2 . mas em compensação a vida fica garantida por N12 ciclos. é pelo uso da técnica de remoção periódica de material. o material suspeito de conter uma trinca é periodicamente removido. Assim. Aplicando uma sobrecarga de modo que a tensão nominal passe a ser α . σ0. com seções espessas. ou seja. menor que a2. ou seja. Realizando periodicamente este ensaio de sobrecarga. se o componente resistir ao ensaio. admitindo portanto uma trinca com um tamanho a2 no máximo. pois (a2 . Logicamente o intervalo entre ensaios deverá ser no máximo igual a N12.11 . figura 12. N12. levará a um pequeno aumento na tensão nominal.11. podemos verificar se existe ou não alguma trinca através de um ensaio de sobrecarga.Deteção de trincas pequenas pela aplicação de sobrecarga. então qualquer trinca ou defeito que eventualmente contenha no seu interior será menor ou menos severo que Y1 a1 . Outra maneira de tornar um componente seguro quanto à propagação instável de defeitos. sob a carga normal de seviço. para pequenos tamanhos críticos. O material removido. Se este tamanho for muito pequeno para ser detectado. Se for usada a Mecânica da Fratura Elástica Linear no cálculo do tamanho crítico sob a carga de ensaio. para uma trinca com tamanho a1 crescer até a2. Se existia uma trinca de tamanho crítico. o tamanho crítico passa a ser a1.A Propagação de Trincas de Fadiga 363 σ σR MFEP α σ0 σ0 MFEL a1 a3 a2 a Figura 12. A tensão nominal de serviço é σ0. inferior. o que leva a um cálculo conservativo na avaliação de N12. Esta solução pode ser a indicada para estruturas de elevado custo. Peça do exemplo 12. uma das peças mais críticas é o êmbolo do sistema hidropneumático de suspensão. da ordem de 2 mm. A geometria do componente está ilustrada a seguir. 100 DETALHE r=4 75 DETALHE 120 Figura 12.12 . O material usado na peça é um aço SAE-ABNT 4340. assegura que no máximo tenhamos trincas com o tamanho a1.13. a remoção de uma pequena camada de material.364 Análise de Resistência Mecânica muito pequenos.4. por exemplo. EXEMPLO 12.4: Em um sistema de trem de aterrisagem de um avião de tamanho médio. temperado e revenido para 409 HBN. o que lhe confere σE = 1370 MPa σR = 1470 MPa σf = 1560 MPa εf = 0. Assim. já que este recebe todo o carregamento de carga axial e de flexão. O próximo exemplo ilustra em detalhes este procedimento.48 KIC = 60 MPa m . O carregamento no ponto crítico é na forma ilustrada na figura 12. através de um processo de usinagem. com a indicação do ponto crítico. ∆ε = 3.6 no cálculo da vida. σ σE 1. ∆ε = 0. o que leva a um carregamento idealizado do tipo mostrado na figura 12. durante o carregamento de impacto.6. 104 ciclos.02573 N-0.A Propagação de Trincas de Fadiga 365 A tensão nominal que atua na seção crítica.5 . Determine se é necessária alguma inspeção para assegurar a vida desejada.6 t EM VÔO EM TERRA ATERRISAGEM Figura 12. SOLUÇÃO: A tensão nominal.12 E + εf 0.13 .Carregamento para o exemplo 12. será considerada igual a σE / 1.6.64379 N-0.N. estimada pelo método das inclinações universais. considerando um coeficiente de segurança de 1. quando do impacto.4.6 N −0.6 Ntr = 819 ciclos . é admitida até σE / 1.14. 5 σR N−0. A vida da peça deve ser de ao menos 1. aplicado sobre o carregamento.6 e substituindo os valores. A vida de fadiga para nucleação será obtida pelo uso da curva ε .12 + 0. 1 pois estamos em um caso predominante de um estado plano de deformação. Assim. é Kt = 2.00429 = 0. logo: Kf = 2.1 0. podemos assim adotar Kf = Kt.14 .366 Análise de Resistência Mecânica σ 856 t Figura 12.Carregamento idealizado para o exemplo 12. para uma carga de flexão para a geometria da peça.1 A concentração de deformação será neste caso também igual a 2.00429 O fator de concentração de tensão.4.14. ε0 = 2.00899 o que corresponde a uma vida de N = 26700 ciclos .1 e como o raio é muito grande. A deformação nominal no ponto crítico será ∆ε0 = ∆σ0 /E onde ∆σ0 será 856 MPa do carregamento idealizado na figura 12. a deformação no ponto crítico será ∆ε = Kε . Logo ∆ε0 = 0. 6.Geometria provável de trinca para o exemplo 12. podemos recuperar a peça com a técnica de remoção periódica de material.A Propagação de Trincas de Fadiga 367 Para verificar a vida. Logo a vida não é satisfatória. Considerado a/c = 0. devemos inicialmente determinar o tamanho crítico da trinca. com um coeficiente de segurança de 1.4. A geometria considerada como mais provável para uma trinca que venha a se formar na seção crítica é a mostrada na figura 12.5. Para tal. um valor típico para trincas superficiais. 2c a Figura 12.15.15 . o que por tentativas nos leva a N = 3580 ciclos.Divisão da vida total em quatro intervalos de inspeção. resulta ∆ε = 0. devendo haver substituição da peça.16 . Se no entanto lembrarmos que esta estimativa é para a nucleação. a "NUCLEAÇÃO" PROPAGAÇÃO 1 PROPAGAÇÃO 2 PROPAGAÇÃO 3 a2 a1 3 750 7 500 11 250 15 000 N Figura 12.01438. . 1. ficando a espessura a ser eliminada. 6 ⋅ σ K 1 IC 2 a2 = 0. 92 ⋅ 856 ⋅ π i 10 ⋅ a1 − a2 1−1125 .1 mm ao longo de toda a sua vida.25 e da equação (12. evitando que venha a introduzir tensões residuais.086 mm Em termos práticos é possível tratar a1 praticamente como zero.25 1−1125 .72 mm. Logo.12 / φ . que pode ser colocado como 0. Deste modo. Esta redução deve ser avaliada quanto ao aumento de tensão nominal. como ocorrem 3 remoções de material. 92 ⋅ 856 K 2 aC = 1.22441 a1 = 0. (φ = 1. usar a propagação desde a1 até a2 em 3750 ciclos.72 mm O tamanho a1 será obtido a partir da informação que N12 = 3750 ciclos. .00072 m = 0. a2 F K IJ = G π H Y ⋅ 1. ou seja.7 mm. É lógico que o tamanho da trinca a2. admitido como o tamanho existente ao fim do intervalo entre inspeções.125 = 3. sendo e a espessura de material a ser usinada. å = 1. a peça soferá uma redução total de espessura na seção crítica de 2.63 mm.000086 m = 0. Outro cuidado é quanto ao processo de remoção do material. 125 − 1 Como a2 = 0. 3750 = 1.a1. dividindo a vida em quatro parcelas iguais de 3750 ciclos. resulta para o tamanho inicial a1-0.22) Y = 0.92 aC = (KIC / Yσ)2 / π 1 Análise de Resistência Mecânica F 60 IJ ac = G π H 0. como uma espessura igual a a2 .85 mm Vamos fazer uma tentativa de cálculo.19). Para um aço martensítico. 35 ⋅ 10 −10 d0. −10 2. para N12 dado. vem e = 0. Vamos calcular a2 como o tamanho crítico para uma carga 60% maior que a real de impacto.368 Y = 1. conforme esquematizado abaixo.35 10-10 (∆K)2. em cada inspeção. deve ser menor que aC. idealizada. Com a máxima carga esperada em serviço calcula-se KImáx . é possível determinar o fator de intensidade de tensão. apresenta várias configurações de indicações. na Seção XI. No caso de estruturas de responsabilidade torna-se imperativo um exame integral do material para verificar a existência de eventuais defeitos. levando em conta os efeitos das falhas e defeitos muitas vezes provocados pelo processo de fabricação. Definição geometria da trinca. com as correspondentes geometrias de trincas equivalentes. que sobrepuje a indicação do defeito. conforme comentado na seção 12. A partir da geometria do defeito indicado.4 . Na possibilidade de ser detectado algum defeito. . deve-se definir uma trinca equivalente. Uma vez definida a geometria da trinca.6. do componente em análise. a partir dos fatores de correção quanto à forma da trinca. bem como do carregamento nominal que atue. ou semielíptica quando junto à superfície livre. com base em extensos programas experimentais.A Propagação de Trincas de Fadiga 369 12. O procedimento está baseado na teoria e metodologia da Mecânica da Fratura. PASSO 2. quando este for possível. Com a metodologia desenvolvida pela Mecânica da Fratura tornou-se possível uma análise criteriosa. PASSO 1. sobre a continuidade do uso. ou não. de modo a permitir a aplicação da Mecânica da Fratura.ANÁLISE DO SIGNIFICADO DE DEFEITOS O estudo da resistência mecânica de peças e estruturas que pudessem apresentar defeitos. Normalmente adota-se uma trinca elíptica. que levam a uma quantificação que permite uma tomada de decisão criteriosa. bem como a eventual necessidade de reparo. Determinação do fator de intensidade de tensão. sendo formado por uma série de passos. quando interna. O ASME Boiler and Pressure Vessel Code. o procedimento discutido a seguir é usado na análise sobre o risco que a presença do defeito apresenta. era feito tradicionalmente de uma forma bastante empírica. até o desenvolvimento da Mecânica da Fratura. por meio de um ensaio não destrutivo. são necessários critérios para decidir sobre a rejeição ou não do componente. como no caso de estruturas soldadas. PROCEDIMENTO GERAL Tendo sido detectado um defeito em uma estrutura de responsabilidade. Propagação por corrosão sob tensão. as condições ambientais (temperatura e meio). o meio ambiente não vai atacar o material das bordas do defeito. A tenacidade à fratura para o ponto onde o defeito está localizado é fundamental para avaliar o risco de ruptura frágil do componente. (Stress Corrosion Cracking).meio ambiente.meio ambiente propicie a corrosão sob tensão.22) (12. Se ocorrer que a combinação material . onde KISCC é o limite de sensibilidade para que ocorra o ataque do meio ambiente ao material. etc. A tenacidade deve ser compatível com o material. O seu valor depende especificamente da combinação material . PASSO 6. deve-se verificar a possibilidade de ruptura estática da peça. Como critério de aceitação do defeito pode-se adotar: KImáx < 0. Em geral. Se o defeito for interno ao material. Tal ocorre para KImáx > KC Se KImáx < KC então o componente não irá romper quando da primeira aplicação de carga. Para KImáx > KISCC (12. em contacto com o meio. PASSO 4. Se no passo 4 não foi detectada a ruptura estática do componente e a carga aplicada varia ao longo do tempo. então podemos ter uma propagação do defeito mesmo sob a ação de uma carga estática. Verificação quanto à ruptura estática.370 Análise de Resistência Mecânica PASSO 3. Sendo KC a tenacidade à fratura pertinente ao ponto com defeito. a espessura do componente. deve ser verificada a . a orientação relativa da trinca nos planos de laminação do material.21) ocorre a propagação por corrosão sob tensão. o tratamento térmico. não se admite a existência de trincas superficiais. Flutuação do fator de intensidade de tensão. Tenacidade à fratura do material.7 KC PASSO 5. quando existe a possibilidade de corrosão sob tensão. 25) O cálculo exato de aC não chega a ser muito importante. Para o meio ambiente. Ocorrendo a propagação por fadiga. para ruptura estática. . Em caso contrário. Verificar para cada ∆Ki a desigualdade ∆Ki < ∆K0 (12. o defeito vai crescer até atingir o tamanho crítico.7) ou (7. dependendo do modelo de correção da solução elástica adotado. determinar o nível de sensibilidade para propagação por fadiga. ∆σi. Para cada flutuação de tensão. PASSO 8. material e coeficiente de simetria do ciclo. aC = (1/π) (KC / σMÁX Y Yp )2 (12. ou seja. PASSO 7. ∆K0. por intermédio da integração da taxa de crescimento da trinca. devido à grande velocidade de crescimento da trinca nos últimos 5% da vida de propagação.23) que é a variação. O fator de correção Yp é calculado por (7. Nível de sensibilidade. Estacionaricidade do defeito. então a trinca fica estacionária. Tamanho crítico do defeito. Este tamanho crítico é necessário para estabelecer a vida de propagação de fadiga. calcular ∆Ki = f (∆σi ) = Y∆σ i πa (12. ocorrerá o crescimento da trinca nas flutuações de tensão em que ∆Ki > ∆K0 .A Propagação de Trincas de Fadiga 371 possibilidade de propagação por fadiga do defeito. durante um ciclo de carga. do fator de intensidade de tensão.24) Se tal for satisfeita para todos os níveis de flutuação de tensão. PASSO 9.8). o defeito não se propaga por fadiga. ai aj Yi Yj ∆Ki ∆Kj N(∆σi) N(∆σj) ∆a ∆a aj ak . para m ≠ 2: N12 = ( C ( Y∆σ π ) ) m −1 a1− m / 2 − a1− m / 2 2 1 1− m / 2 (12. Colocando a taxa de propagação na forma: å = C (∆K)m vem N2 N1 z dN = ( C ( ∆σ Y πa )m ) −1 da a1 a2 z Dependendo do tipo de solicitação e do comportamento de Y. temos várias possibilidades: Para Y∆σ constante durante toda a vida do componente. com duração N (∆σi) para o nível de tensão ∆σi. Isto é feito arbitrando acréscimos ∆a no tamanho da trinca. A vida de propagação é obtida pela integração da taxa de propagação entre os tamanhos a1 (indicação do defeito) e a2 (tamanho crítico ou fração deste). N12 = (C (Y∆σ π )2 ) -1 ln a2/a1 (12. o processo é como esquematizado. ai aj Yi Yj ∆Ki ∆Kj ∆a ∆a aj ak ∆Ni ∆Nj Se ∆σ for variável em blocos. como função do tamanho da trinca. numericamente.26) Se ocorrer m = 2. é possível realizar a integral analiticamente. que fornece. ocorrerá a propagação por fadiga. Se no passo 8 não ficou definida a estacionaricidade da trinca. para todas as flutuações de tensão.372 Análise de Resistência Mecânica PASSO 10.27) Se o fator geométrico Y for variável com o tamanho a da trinca. a integração deve ser feita de modo discreto. Determinação da vida. De um modo. entre o corpo de prova usado nos ensaios e o material real da estrutura. bem como mais alguns eventuais. que além de eliminarem estruturas defeituosas. então os passos 4 e 5 são os fundamentais. Outro aspecto a considerar é a dispersão das propriedades do material. nestas situações são feitas aproximações ou estimativas com casos semelhantes disponíveis na literatura ou de experiências anteriores.5 .A Propagação de Trincas de Fadiga 373 Para carga aleatória. As cargas que agem na estrutura podem também ser diversas das usadas na análise. se os defeitos detectados comprometem ou não a estrutura. ai aj ∆σ ∆σ Yi Yj ∆Ki ∆Kj ∆a ∆a PASSO 11. nos pontos críticos das estruturas sobreviventes. O passo final é avaliar.16. Sendo aC o tamanho crítico da trinca que leva a estrutura ao colapso.ESTIMATIVA DE DEFEITOS. e a partir desta desenvolver os passos do procedimento discutido na seção anterior. ou de outro. Uma orientação neste caso é adotar a vida admissível na faixa de 5% a 10% da vida calculada. A decisão é muitas vezes extremamente difícil. introduzem um estado de tensões residuais benéfico. N = 1. Com uma indicação de defeito por um processo não destrutivo é possível definir a trinca equivalente. Se a estrutura é solicitada estaticamente. é o dado relevante. Estes testes de sobrecarga são particularmente úteis em reservatórios . Assim. Critério de segurança. sendo que os resultados finais devem ser considerados como uma orientação da ordem de grandeza e nunca como um valor numérico exato. aplicáveis ao caso em particular. Outra forma de avaliar a existência de defeitos é pelo uso de testes de sobrecarga. ou mesmo ainda. calculada no passo 10. pois na maioria dos casos não estão disponíveis todas as informações e dados que são necessários. a partir dos resultados obtidos anteriormente. que irão definir o comprometimento da estrutura pela existência de defeitos. seja pela ruptura ou pela deformação plástica excessiva. o que é equivalente a considerar um coeficiente de segurança sobre a carga de 3. uma orientação quanto ao tamanho admissível da trinca equivalente é tomar 10% do tamanho crítico. Assim. a menos que análises mais criteriosas justifiquem vidas admissíveis maiores. temos duas situações. onde o critério de segurança é aplicado de diferentes formas. a heterogeneidade do material dentro da própria estrutura. 12. a integração deve ser feita ciclo a ciclo. De uma forma resumida. na forma desejada. absoluto. o critério para aceitar ou não o componente estrutural com uma indicação de defeito deve ponderar todos os aspectos acima citados. Para uma estrutura solicitada ciclicamente. a precisão da análise fica comprometida. que deve ser comparado com a vida prevista para o componente. a vida N12. α o fator de sobrecarga e KC a tenacidade do material. O método de sobrecarga baseia-se no fato de que. então todos os defeitos existentes serão tais que a1 < a1MÁX considerando iguais fatores geométricos. Quando a estrutura é operada com σ0 . Se a estrutura sobreviveu ao teste. A ruptura em serviço. o limite superior a1MÁX para o tamanho da trinca será dado por KC = Y Yp (ασ0) π a1MÁX ou a1 MÁX Y 2 = 1 C K2 π ( Ypα σ 0 )2 já que não conhecemos também o fator geométrico onde se localiza a1MÁX. pois se existisse algum. Sendo σ0 a tensão nominal de trabalho. maior que este limite. como ilustra a figura 12. se existir tal defeito. embora possam ser aplicados em outros tipos de estrutura. Este limite é obtido das solicitações que atuam no teste de sobrecarga e a tenacidade à fratura do material.374 Análise de Resistência Mecânica pressurizados. para a estrutura que sobreviveu ao teste. fica assegurado um limite superior para os possíveis defeitos existentes. sob σ0 .17. irá ocorrer se a trinca crescer deste valor a1MÁX até o seu valor crítico aC. o fator de intensidade de tensão será portanto KI = Y Yp σ0 π a1 . teria levado a estrutura ao colapso. a1−m / 2 − a1−m / 2 2 1 C (1− m / 2) ( ∆σ YYp π ) m N12 = m≠2 . um estado de tensões residuais com sinal contrário ao estado de tensões que se desenvolveu durante a operação normal da peça. que assegure esta vida.17 . para o caso de Y∆σ constante ao longo da propagação. devido a um escoamento localizado. de tamanho a1. é possível estimar a vida de propagação. e logo de KI. retardando tanto para a propagação por fadiga como para a propagação por corrosão sob tensão. O crescimento de qualquer defeito inicial.Após a sobrecarga desenvolve-se nos pontos mais solicitados. pode ocorrer por fadiga ou então por corrosão sob tensão. onde å = C (∆K)m resulta para a vida de propagação. Se a estrutura deve ser projetada e construida para uma dada vida é possível então determinar o fator de sobrecarga adequado. embora não se saiba quanto menores. por dois aspectos: . desde a1MÁX até aC.Diagrama para determinar as condições ótimas de ensaio. .As prováveis trincas existentes serão menores que a1MÁX. Ilustrando no caso de uma propagação por fadiga. ao limitar a1MÁX. Em qualquer dos casos. entre a1 e a2 . Esse estado de tensões residuais é benéfico. vida esta que será um limite inferior para a vida da estrutura. o parâmetro que controla a velocidade de propagação é o fator de intensidade de tensão. e portanto críticos para a estrutura. com o conhecimento do limite superior de a1.A Propagação de Trincas de Fadiga 375 σ σL ασ 0 TENSÃO DE ENSAIO σ0 TENSÃO DE TRABALHO K c = Y Yp s 0 πa a a1máx ac Figura 12. Assim. GR 50. C ( Y∆σ π )2 onde Yp vale para a carga de teste de sobrecarga. conforme a figura 12.17 resulta para a vida N12 ( α Yp )m−2 − 1 CK c m− 2 N12 = N12 = (m / 2 − 1) π ⋅ Y∆σ ⋅ b 1 g 2 m≠2 m=2 (12.8).376 Análise de Resistência Mecânica N12 = ln ( a2 / a1 ) C ( ∆σ Y Yp π )2 m=2 Se agora a1 = a1MÁX e a2 = ac .62. Determinar a taxa de sobrecarga para assegurar esta vida. e isolando o produto αYp .29) 2 ln( αYp ).000 pressurizações.σ0).31) Deve ser observado que em ambas as expressões o produto αYp é sempre maior do que a unidade. Falta separar os fatores α e Yp.28) (12.1) ou então. vem SOLUÇÃO: .30) (12.30) obtém-se αYp = 1. para m = 2. de acordo com o modelo de Dugdale. vem (αYp)m-2 = 1 + N12 C (Y∆σ)2 πKCm-2 (m/2 . Os dados relevantes do material são: KIC å σE σR = 63 MPa m = 10-11 (∆K)3 = 345 MPa = 450 MPa Pela substituição direta na equação (12. eq (7.5 Seja um reservatório construido com aço ASTM A572. pois os fatores estão acoplados. sendo portanto função de α também.σ0 = 250 MPa. (αYp ) = exp N12 C (Y∆σ)2 π/2 (12. já que Yp = f (α. EXEMPLO 12. sabendo que para a geometria do defeito provável. devendo ter uma vida prevista de 10. Y. Considerando σ0 = 250 MPa e σL = 389 MPa. que opera a -40ºC. α. são orientações completas sobre a análise de defeitos. o que leva a uma tensão nominal no ensaio de sobrecarga. na publicação PD 6493/80. DA BSI [6]. A seguir é feita uma descrição sucinta dos enfoques de cada um dos procedimentos. Yp= 1. A publicação da BSI. pela BSI. assim como a da Seção XI do código da ASME e a API 579.62 A tabela abaixo mostra uma das maneiras de se obter o valor de α.4 é uma aplicação imediata dos conceitos da Mecânica da Fratura. RESUMO DO PD 6493/80. Esta publicação não possui efeito de norma.31.61 1. sendo mais uma orientação sobre o estado do conhecimento na especificação de níveis de defeitos admissíveis em soldas.5 MPa. 12. no caso. no seu Boiler and Pressure Vessel Code. possuindo uma finalidade mais didática. .PROCEDIMENTOS NORMALIZADOS. devendo ser enfatizado que em uma aplicação real devemos usar o próprio procedimento. para realimentação no processo de desenvolvimento. na sua última edição disponível. na íntegra. será 1. ou na edição que for referida no contrato ou nas especificações do equipamento. O procedimento geral descrito no item 12. [ ]. Existem procedimentos de análise de defeitos publicados pela ASME. de acordo com o esquema proposto. além da API 579 e mais recentemente a proposta européia SISTAB. α αYp 1.A Propagação de Trincas de Fadiga 377 Yp = σE πσ 0 8 ln (sec πσ 0 / 2σE ) e assim.10 1.30 1.6 . Esta decisão foi tomada devido a dois aspectos: . embora seja perfeitamente aplicável em qualquer situação real.31 1. [ ]. por tentativas. Seção X.Necessidade de testar em campo as recomendações contidas no documento.63 Logo o fator de sobrecarga a usar.Necessidade de mais pesquisas antes de ter-se informações em número suficiente para permitir a especificação de padrões normalizados.25 1. No cálculo dos valores foi usada a tensão σL.σ0= 327. . derivados de soluções elásticas modificadas.378 Análise de Resistência Mecânica O objetivo do documento é apresentar uma metodologia para níveis de aceitação de defeitos em uniões soldadas. Os principais modos de falha analisados são: . intervalos destas inspeções. sendo o critério de aceitabilidade o de ruptura estática ao fim da vida. o defeito é considerado aceitável. A partir das curvas de projeto de COD.0 quanto ao tamanho da trinca. é recomendado usar o conceito do deslocamento de abertura da trinca. crítico. o que corresponde a um coeficiente de segurança de 1. na forma: am = C (KIC /σE)2 am = C (δC /εE ) sendo aceitável o defeito se o tamanho efetivo for menor que o admissível. até a vida prevista. caracterização das indicações. uma análise mais detalhada. Quando a tensão máxima na seção ultrapassa σE. etc.Fadiga. corrosão sob tensão. sendo geralmente necessário usar experiência anterior para comprovar a aceitabilidade do defeito nestes casos. RESUMO DA SEÇÃO XI DO ASME BOILER AND PRESSURE VESSEL CODE [2].43 quanto às cargas ou de 2. Na verificação quanto à ruptura frágil. é definido o tamanho admissível am . No Capítulo IBW 3000. δC. Se a tensão máxima existente na região do defeito (calculada como se este não existisse) for menor que a tensão limite de escoamento. Quanto à propagação por fadiga. . através da definição de tamanho efetivo a*. de acordo com o Apêndice A da norma.Fratura frágil. com espessura mínima de 10 mm. fluência. em termos de percentagem de área. são fornecidos os padrões para a aceitabilidade dos defeitos. para várias categorias de componentes de soldas. o uso de δC é obrigatório. com requisitos quanto aos procedimentos para inspeção. .Escoamento na seção remanescente. Se o fator de intensidade de tensão calculado for menor que 70% de KIC. COD. Quando a indicação de defeito for maior do que a admissível. deve ser feita. dependendo do nível de solicitação no material. pelo uso de gráficos. é recomendado o uso da Mecânica da Fratura Elástica Linear. Essa seção diz respeito a inspeções em serviço de vasos sob pressão. Se o valor de KIC não é válido. são consideradas duas situações. com base na Mecânica da . Outros modos de falha como corrosão. não são abordados com profundidade. o procedimento recomendado é de integrar a equação de propagação ciclo a ciclo. O procedimento do Apêndice A é limitado a espessuras maiores que 100 mm e com aços com uma tensão limite de escoamento de 345 MPa ou menos. ao longo da vida. O fator de intensidade de tensão é calculado pela soma dos efeitos da tensão de membrana e da tensão de flexão. com a propagação por fadiga. o tamanho final não exceda 10% do tamanho crítico de defeito. na seção que contém a trinca. .A Propagação de Trincas de Fadiga 379 Fratura Elástica Linear. O tamanho máximo do defeito deve ser tal que. é de pouca valia. usando uma tensão admissível adequada. o processo clássico de estudo da fadiga. O estudo da fadiga se preocupa sempre com a fratura da peça.ANÁLISE CRÍTICA o estágio atual atual de conhecimento sobre a fadiga. obter uma visão do processo. como a detectada pela largura do laço de histerese tensão-deformação. baseado na tensão limite de fadiga.CAPÍTULO 13 UMA VISÃO DE CONJUNTO DA FADIGA 13. que fornece uma indicação dos principais fenômenos envolvidos. ao menos. Desta forma. para estudar o modo de falha do material. existem ainda muitas lacunas. Este conceito de fadiga a baixo núnero de ciclos em geral vai até valores de vida da ordem de 105 ciclos. embora seja variável de material a material. para provocar a ruptura do material é necessário um nível de solicitação que leve o material ao estado plástico. mas já é possível. Desta forma. embora ainda um incompleta nos detalhes. ou seja. pois se preocupa basicamente em evitar a ruptura do metal. Para uma vida de fadiga com pequeno número de ciclos de carga. a fadiga a baixo número de ciclos fica evidenciada por uma deformação plástica macroscópica. Este método de enfoque é referido como Wöhler . conhecendo o modo como o material falhou é possível dimensionar um componente impedindo que venha a romper em serviço. N .1 .Gerber. (11). a nucleação e mesmo a propagação da fissura são acompanhadas pela formação de uma superfície rugosa e ondulada. Além disto. Para uma vida de fadiga com alto número de ciclos. ocorre a união de pequenas fissuras formando outras maiores. quando ocorre a ruptura final. todo o período de vida será usado na propagação desta fissura. a deformação plástica se distribui aleatoriamente no meterial.6 caracterizaria melhor a ruptura final do componente. mais a parcela necessária para a propagação até um tamanho crítico. Esta ruptura brusca ocorre quando o fator de intensidade de tensões atinge o correspondente valor crítico. e no caso de uma solicitação dinâmica. As equações de Coffin-Manson fornecem uma indicação da vida da peça. Usando os conceitos da mecânica da fratura é possível prever a velocidade de crescimento da fissura e o instante em que ocorrerá a ruptura brusca do componente. existem indicações de que o expoente c = . proveniente por exemplo do processo de fabricação. como a um corpo perfeito que tenha atingido o estágio final do período de nucleação da trinca. a deformação plástica não é um parâmetro útil para relacionar com a falha. Em ambos os casos ocorre apenas propagação da fissura. decorrente de instrusões ou extrusões formadas nas bandas de escorregamento. Este processo é o de nucleação múltipla. . em regiões de deformação plástica altamente localizada. ou simultânea. até que umas poucas trincas restam no material. após. enquanto que c = . até o início da fissura. K IC. ou seja. com a posterior propagação de microtrincas. Continuando a propagação. Muitos pontos de nucleação da trinca ocorrem. normalmente à direçào das tensões de tração aplicadas (estágio II). Se eventualmente o componente possuir uma fissura inicial. a nucleação da fissura é um evento bastante isolado. até a ruptura. dependendo da orientação dos planos de arranjo atômico nos grãos em relacão à carga aplicada.Uma Visão de Conjunto 381 Com grandes deformações plásticas aplicadas ciclicamente. proveniente do grande trabalho plástico. O número de ciclos previsto corresponde à formação da trinca. quando Kmáx = K IC ou K C. ficando descartado o período de nucleação. De um modo geral a mecânica da fratura se aplica tanto a um corpo com algum defeito inerente.5 caracteriza melhor a nucleação da trinca.0. Em solicitação a baixo número de ciclos. No caso de um corpo de prova liso. pois é geralmente bastante pequena. em que a deformação plástica é predominante. mas eventuais microtrincas que venham a se propagar levam à falha. Neste caso de solicitação. durante a nucleação.0. ou K C. A superfície do material fica inalterada. levando à ruptura final da peça ou componente so estudo. a vida deste fica dada pela parcela necessária para a nucleação da trinca. inicialmente de um modo cristalográfico (estágio I de propagação) e. é o tempo necessário para nuclear a fissura e iniciar a sua propagação. tem uma influência bastante importante no processo de fratura que ocorre no pico de tração do ciclo de carga. a propagação. deste modo. e considerar que até este tamanho de trinca ocorre a nucleação e. O ambiente também é importante e efeitos químicos na superfície. exceto na zona plástica no extremo da trinca. uma determinação quantitativa da propagação da trinca pode ser feita pelos métodos da mecânica de fratura. No entanto. a zona plástica também. para determinar a vida. esta é bastante pequena e . Quando a trinca atinge um tamanho tal que a zona plástica pode ser tratada como um contínuo. Este problema é fundamental na fadiga a alto ciclos pois a nucleação da trinca representa a maior parte da vida e não pode ser despresada. o tamanho desta ao fim da nucleação. De uma maneira mais prática o período de nucleação pode ser tomado como o número de ciclos necessário para que a trinca passe ao estágio II de propagação. com plena aplicação da mecânica da fratura. por exemplo. como a oxidação. nos grãos mais desfavoravelmente orientados. deve ser definido o tamanho inicial da trinca. assim. Quando a propagação da fissura é tratada pela mecânica linear da fratura. não mais sofrendo a influência de aspectos microscópicos. a nucleação é o período em que a deformação plástica de cisalhamento cíclica forma as intrusões e extrusões na superfície externas. Outra possibilidade de definição do fim do período de nucleação é considerar o ponto em que o material no extremo da trinca pode ser tratado como um contínuo. . da ordem de 1 a 2 mm. Em relação a este último enfoque. ou seja. é necessário que o estado do material seja essencialmente elástico. quando a trinca pode ser tratada macroscopicamente. Conforme comentado. a partir daí. pois a microestrutura representa um fator que altera o comportamento da trinca. a zona plástica que se forma no extremo da trinca assume importância fundamental. fácil de medir e suficientemente pequeno. A rigor. Uma maneira mais conveniente é definir um tamanho padrão da trinca. é interessante definir o ponto inicial de aplicação. Neste estágio a propagação é sensível à variações das propriedades do material ao passar de um a outro grão.382 Análise de Resistência Mecânica A mecânica da fratura se aplica apenas na propagação da fissura e. experimentalmente é difícil definir o ponto em que termina a nucleação e inicia a propagação. Existe uma certa ambiguidade quando à distinção exata entre o período de nucleação da trinca e o período de propagação desta. No estágio inicial da fissura. solicitado por uma tensão senoidal de amplitude constante. é representada pelo fator de assimetria de carga. Para simplificar o raciocínio. R. definida por Rice ( 58 ). Deste modo.R) σ R Figura 13. a [mm] 10 2 ∆ K = (1 .Diagrama de nucleação. que se aplica quando a tensão nominal for inferior à tensão de escoamento. propagação e ruptura final (diagrama de desenvolvimento da trinca de fadiga). a ruptura ductil ocorre quando J > J C. sem descontinuidades geométricas. A figura 13. é conveniente usar um diagrama ∆ σ versus a. esta ocorre quando o fator de intensidade de tensão atinge um valor crítico.DIAGRAMA DE DESENVOLVIMENTO DA TRINCA A ruptura final de um corpo de provas pode ocorrer de um modo frágil ou ductil. No caso de uma ruptura frágil. é conveniente tratar com um corpo de prova liso.Uma Visão de Conjunto 383 13.R) σ E (1 . dependendo do material e do nível de solicitação.R) K C JC 10 1 ∆K=∆ K0 0 10 10 -1 10 -2 ∆σ 2σ F (1 . Uma ruptura ductil fica caracterizada por um valor crítico do deslocamento de abertura do extremo da fissura ( 6 . ou equivalentemente por um valor crítico da integral J. Usando este último critério. 70). . não necessariamente nula. para uma dada geometria. Assim este critério indica K > K C para a falha. bem como os que fornecem o critério de propagação da fissura. onde ∆ σ é a faixa de tensão que está submetido o corpo de prova e a é uma dimensão característica da fissura (72).2 .1 . dependem da tensão nominal aplicada e do tamanho da trinca. A tensão média. para estudar os possíveis modos de falha por fadiga. Todos os parâmetros que definem a ruptura final.1 ilustra o que é proposto. Para a fadiga a baixo ciclos. apenas levando em conta a zona plástica no extremo da fissura. para que ocorra a propagação da trinca. porosidades. Pode ocorrer no entanto que a trinca cresça um pouco e após venha a parar. De modo semelhante ocorre quando temos σ máx = σ R e quando K máx = K IC. a ruptura final é normalmente frágil. Quando a tensão nominal máxima não excede σ E.R) σ E a partir da definição de R.384 Análise de Resistência Mecânica O ponto em que σ máx = σ E é dado por ∆ σ = (1 . a tensão nominal máxima é sempre superior ao limite de escoamento e o período de nucleação da trinca é No diagrama de desenvolvimento. 25. No caso em que a tensão de escoamento é excedida. com ∆ K 0 a um nível mais elevado. Com o crescimento da fissura. a tensão nominal tende a aumentar. No entanto é possível que existam inicialmente trincas no material. de tal forma que ∆ K > ∆ K 0. não importa o número de ciclos aplicado. Ainda no que se refere às tensões. ou porque chegou a uma região de maior resistência. o conceito do fator de intensidade de tensões já não encontra aplicação. σ F é a tensão limite de fadiga. reduzindo ∆ σ no extremo da trinca. ou seja. etc. pelo fato de encontrar uma região com tensões residuais de compressão. seja ela frágil ( K C ) ou dúctil (J C). Abaixo da curva ∆ K = ∆ K 0 não há propagação por fadiga da trinca. obtida através da linha de Gerber ou Goodman ou outra análoga. No caso da fadiga a alto ciclos. como mostra a curva 3. é necessária a existência de trincas iniciais.2 ilustra a primeira situação descrita. A linha de ∆K = ∆K 0 é a linha do fator de intensidade de tensões limite. abaixo da qual não ocorre propagação da fissura. que se desenvolve basicamente com tensão constante. Para uma tensão alternante superior a σ F. 47). (8. conforme indica a curva 1 da figura 5. no caso aqui considerado. Apenas após o início da propagação é que a tensão nominal passa a crescer. Para ocorrer a falha com tensões inferiores à σ F. a região limitada pelas curvas de . é possível aplicar a mecânica linear de fratura. a solicitação cíclica no material provoca um dano que vai acumulando. A curva 2 da figura 13. No entanto. existem indicações de que o fator de intensidade de deformações correlaciona adequadamente a propagação da trinca de fadiga (61). ∆ K = ( 1 .2. para o valor de R considerando. corresponde aos possíveis pontos em que não ocorre uma ruptura estática. no início lentamente e após mais rápido. Para tensões alternantes abaixo da tensão limite de fadiga é razoável supor que não ocorra a nucleação de trincas de fadiga que venham a comprometer a integridade do componente. Este dano é a nucleação da fissura. na forma de inclusões.R) K C e J = J C. A região limitada por ∆ K = ∆ K 0 e por ∆ σ = 2 σ F.R) σ R Figura 13. Neste caso o conceito de tensão limite de fadiga encontra plena justificativa e é a base de todo o estudo. A curva 4 mostra o percurso neste caso.Uma Visão de Conjunto 385 sensivelmente reduzido. dependendo da capacidade do material de resistir a cargas externas. a [mm] 10 2 ∆ K = (1 .R) σ E (1 . A ruptura final se dá de uma forma geralmente dúctil.2 . Em componentes isentos de fissuras iniciais e que devem durar indefinidamente. ou não. o projeto será adequado. a variável de controle que atua sobre o material é a tensão. com excessão dos pontos onde ocorrem concentração de tensões.CONCLUSÕES No método usual de tratar o problema de fadiga. Em qualquer outra região do diagrama.R) K C 10 1 ∆K=∆ K0 0 JC 10 10 -1 10 -2 ∆σ 2σ F (1 . quando fissurado. . fornece uma indicação de quando o corpo de prova. De uma forma geral o material se comporta elasticamente. o componente terá uma vida finita. de modo que o limite de escoamento do material pode ser ultrapassado. baseado nos trabalhos pioneiros de Wöhler.Possíveis trajetórias para o crescimento de uma trinca. o processo é ainda hoje válido. Isto ocorre porque a deformação plástica nos planos de escorregamento é maior bem como porque a trinca necessária para o início da propagação é de tamanho menor do que no caso da fadiga a alto ciclos. terá vida infinita.3 . O processo visa dimensionar o componente de modo a impedir a formação de trincas. com um período de nucleação da trinca e outro período de propagação desta. Neste caso. ou a peça. logo J C é o critério da falha final. 13. 386 Análise de Resistência Mecânica Quando a vida do componente é finita. Resumindo as informações.R) K C 10 1 ∆K=∆ K0 0 MFEP MFEL JC 10 10 -1 COFFIN . Este aspecto assume importância quando existe a possibilidade de sobrecargas.Manson são de fundamental importância. o método de cálculo derivado das equações de Coffin . a [mm] 10 2 ∆ K = (1 . seja porque o material sofre deslocamentos pré determinados ou porque o registro da solicitação que se tem é de deformação (obtido experimemtalmente por extensômetros). enquanto que a mecânica da fratura fornece meios de estudar quantitativamente o período de propagação da fissura. de uma forma relativamente frequente. o processo de nucleação da trinca não está quantificado suficientemente. se este for isento de fissuras e a solicitação fornecida em termos de deformações. a deformação é uma variável muito mais relevante do que a tensão. No entando. Dentro do regime elástico não há qualquer diferença substancial em se usar deformações ou tensões mas. pela forma quase horizontal que o diagrama σ .R) σ R Figura 13. . no regime plástico. as regiões em que cada método de estudo do problema da fadiga se aplica. de forma a ser acoplado efetivamente com a mecânica da fratura e fornecer uma previsão da vida do componente que seja confiável. que levam o material ao escoamento.Manson.MANSON -2 WHOELER .3 mostra no diagrama de desenvolvimento da trinca. a figura 13.3 . de modo que podem provocar a falha por fadiga.GERBER 2σ F 10 ∆σ (1 .R) σ E (1 .ε possui habitualmente.Campo de aplicação dos principais métodos de estudo da fadiga. O período de nucleação da trinca é dado aproximadamente pelas equações de Coffin . desta forma. um esforço no sentido de aliar a teoria das discordâncias com conceitos probabilísticos pode apresentar bons resultados. é interessante observar que o processo de nucleação da trinca é. (14. 30). . Este raciocínio se baseia no fato de que a dispersão que ocorre em ensaios de fadiga é devido principalmente à grande variação que há no período de nucleação da trinca.Uma Visão de Conjunto 387 Finalmente. em essência. aleatório e. Diâmetro externo .Constante da equação de Basquim.Expoente da equação de Coffin-Manson .Espessura mínima para um ensaio de J IC .Diâmetro . área instantânea da seção transversal .Área.Distância da linha neutra à fibra mais solicitada . espessura . expoente da equação de Basquim.Coeficiente da equação de Paris .Espessura mínima para um ensaio de K IC .Diâmetro interno .Confiabilidade.Tamanho da trinca equivalente .Área original da seção transversal do corpo de prova . largura .Dureza Brinell .Área final da seção transversal do corpo de prova .NOMECLATURA A Af A0 a a eq B BJ BK B máx B mín BHN b C C C CV c c D Di D0 .Espessura máxima onde ocorre um EPT .Espessura mínima para assegurar um EPD .Energia absorvida no ensaio Charpy . flexibilidade .Tamanho da trinca .Coeficiente da equação tensão-vida .Dimensão do ligamento. Deformação na direção do eixo y .Estado plano de deformações .Fator de intensidade de tensão no modo III .Força.Deformação de engenharia (convencional) .Fator de concentração de tensão para fadiga .Deformação na direção do eixo z .Momento de inércia de área .Fator teórico de concentração de tensão .Diâmetro . no regime plástico .Fator de intensidade de tensão no modo I .Tenacidade à fratura .Força de ruptura frágil .Limite de sensibilidade para corrosão sob tensão .Fator de concentração de tensão para vida finita .Tenacidade fratura em um EPD .Fator de concentração de deformação.Módulo tangente . no regime plástico .Deformação na direção do eixo x .Valor máximo de K I no ciclo de carga .Momento polar de inércia de área .Força máxima .N o m e cla t u r a 395 d d0 E EPD EPT e e ef ex ey ez F FE FL Fmáx FP FIC FR G H I J KC Kf K máx KN KR Kt KI K II K III K IC K Iscc Kσ Kε . tensão de pico .Força de colapso plástico .Módulo de elasticidade transversal .Estado plano de tensões .Força de início de escoamento .Fator de ruptura .Força de ruptura .Força de plastificação da seção .Fator de intensidade de tensão no modo II .Espessura . elongação .Fator de concentração de tensão.Diâmetro inicial .Módulo de elasticidade longitudinal .Deformação de fratura. Mecânica da fratura elástica linear .Carga generalizada de falha lf l0 l M ME ML MP MR M IC MFEL MFEP m N N tr n n n n' ni Pb PI Pm p pm Q QE QF .Fator de confiabilidade .Comprimento instantâneo .Fator de tamanho .Momento de início de escoamento .Mecânica da fratura elasto-plástica .Coeficiente de segurança.Carga generalizada.Número de ciclos aplicados .Momento de ruptura .Número de ciclos de transição .Número de ciclos para falha .Comprimento final .Pressão média . na curva tensão-deformação cíclica .Tensão primária de membrana .Fator de forma . fator de intensificação de tensão . ou fator de projeto .Coeficiente de resistência.Momento de ruptura frágil .Pressão .Fator de restrição da deformação plástica .Probabilidade de interferência .Momento de plastificação da seção .Momento de colapso plástico .Comprimento inicial . na curva tensão-deformação estática .Tensão primária de flexão .Expoente de encruamento cíclico .396 Análise de Resistência Mecânica k k k' k1 k2 k3 k4 L .Expoente de encruamento estático .Coeficiente de resistência.Expoente da curva tensão-vida .Carga generalizada de início de escoamento .Constante da equação de Coffin-Manson. momento .Fator de temperatura .Número de ciclos aplicados .Fator de acabamento superficial . Raio de plastificação na frente da trinca . tempo . raio .Módulo de rigidez flexão .N o m e cla t u r a 397 QL QP Q IC q qs R r r rE rp S T TE TF TP t U Ud U0 Ur Ut u VR VS VHN v W Wf w x.Temperatura absoluta de fusão .Deslocamento na direção z .Raio do núcleo elástico .Deslocamento na direção y .Torque.Carga generalizada de falha.Deslocamento na direção x .Coeficiente de dispersão da resistência .Carga generalizada de colapso plástico .Torque de início de escoamento .Módulo de tenacidade .Coordenada radial em um sistema polar .Fator de simetria do ciclo.Fator de sensibilidade ao entalhe .Densidade de energia de distorção .Torque de plastificação da seção .Largura .Eixos cartesianos α β γ .Ângulo de posição frente da trinca .Coeficiente de dispersão da solicitação .Energia de superfície .Carga generalizada de plastificação .Fração da seção transversal que resiste a tração .Fator estático de sensibilidade ao entalhe . para comportamento frágil .Densidade de energia de deformação . temperatura .Módulo de resiliência .Espessura.Dureza Vickers .Energia de deformação .Deformação cisalhante .Raio de concordância . z . y. Coeficiente de Poisson equivalente .Densidade de energia de superf!cie .Faixa de variação de deformação plástica .398 Análise de Resistência Mecânica γ δ δ* δ IC ∆σ ∆ε ∆ε e ∆ε p ∆ε 0 ∆K ∆K 0 ∆l ε εa εE εe εf εm εp εr ε0 ν ν eq σ σA σa σ cr σ cl σE σe .Deformação residual .Faixa de variação de deformação .Tensão de falha por clivagem .l 0 .Faixa de variação de tensão . solicitante .Deslocamento de abertura da trinca .Faixa de variação de deformação elástica . deformação nominal .Variação de comprimento.Deformação inicial.Limite de sensibilidade para propagação .Deformação real de fratura .Deformação média .Tensão alternante.Deformação plástica .Coeficiente de Poisson .Deformação real .Tensão crítica . resistente .Deslocamento crítico de abertura da trinca .Tensão limite de escoamento .Deformação alternante .Deformação elástica .Tensão limite de elasticidade . l .Tensão alternante.Tensão real do ensaio de tração .Faixa de deformação correspondente tensão limite de fadiga .Faixa de variação de K I .Deformação de escoamento .Deslocamento de abertura da trinca adimensional . .Tensão residual .Desvio padrão da solicitação .Tensão principal .Desvio padrão da resistência .Tensão mínima do ciclo de carga .Tensão nominal .Tensão alternante.Tensão média.N o m e cla t u r a 399 σ eq σF σ'F σf σL σM σm σ máx σ mín σN σp σR σR σS σr σx σy σz σ IC σ0 σ1 σ2 σ3 τE τR τ máx τ xy .Tensão máxima na seção ou no ciclo de carga .Tensão cisalhante de início de escoamento .Tensão cisalhante no plano xy .Tensão de falha para fratura frágil .Tensão cisalhante máxima . média entre σ E e σ R.Tensão média.Tensão principal .Tensão real de fratura .Tensão equivalente .Tensão limite de proporcionalidade .Tensão limite de fadiga do material .Tensão principal .Tensão normal na direção z . para vida de N ciclos .Tensão limite de fadiga da peça .Tensão limite.Tensão normal na direção y .Tensão limite de resistência . solicitante . resistente .Tensão normal na direção x .Tensão cisalhante limite de resistência .