1Estatística Básica Silvio Alves de Souza ÍNDÌCE Conceitos Básicos de Estatística..................................................................................4 População.................................................................................................................7 Amostra.....................................................................................................................8 Arredondamento de números...................................................................................8 ................................................................................................................................13 Proporção................................................................................................................13 Porcentagem...........................................................................................................15 Exercícios...............................................................................................................15 Fases do Método Estatístico.......................................................................................19 Definição do Problema............................................................................................19 Planejamento...........................................................................................................19 Coleta dos Dados....................................................................................................20 Apuração dos Dados...............................................................................................22 Apresentação dos Dados........................................................................................22 Análise e Ìnterpretação dos Dados.........................................................................23 Questionários..............................................................................................................24 Ordem das Questões...............................................................................................25 Tipo de Abordagem.................................................................................................25 Clareza nas Perguntas............................................................................................25 Não Sugerir Respostas............................................................................................26 A Necessidade do Pré-Teste...................................................................................26 A Prática de Pesquisas por Amostragem................................................................26 Amostragem................................................................................................................27 Amostragem Aleatória Simples...............................................................................27 Amostragem Estratificada........................................................................................28 Amostragem por Conglomerado..............................................................................31 Amostragem Sistemática.........................................................................................32 Exercícios................................................................................................................33 Distribuição de Freqüência..........................................................................................39 Dados Brutos...........................................................................................................39 Rol............................................................................................................................39 Tabela de freqüência...............................................................................................39 Distribuição de Freqüências de Dados Tabulados Não-Agrupados em Classes ..............................................................................................................................40 Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes.........................41 Manual para Normalização de Publicações Técnico ÷ cientificas..........................45 Exercícios................................................................................................................46 Medidas de Tendência Central. ................................................................................52 Medidas de Variabilidade............................................................................................63 ....................................................................................................................................63 Exercícios................................................................................................................67 Representação Gráfica................................................................................................74 Exercícios................................................................................................................89 Probabilidade...............................................................................................................91 Exercício:...................................................................................................................107 Distribuições de probabilidade..................................................................................114 Teste de Hipótese.....................................................................................................140 2 Correlação.................................................................................................................154 Regressão Linear......................................................................................................162 Regressão Múltipla....................................................................................................164 3 Conceitos Básicos de Estatística Definição de Estatística: No plural (Estatísticas) indica qualquer coleção consistente de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. Assim, por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites, etc. As estatísticas econômicas consistem em dados numéricos relacionados com emprego, produção, preços, vendas e com outras atividades ligadas aos vários setores da vida econômica. No singular, indica uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões. A grosso modo podemos dividir a estatística em três áreas: Estatística Descritiva Probabilidade Ìnferência Estatística Estatística Descritiva Pode ser definida como um conjunto de técnicas destinadas a descrever, analisar e interpretar dados, a fim de que possamos tirar conclusões a respeito de características de interesse. É, em geral, utilizada na etapa inicial da análise, quando tomados contatos com os dados pela primeira vez. Probabilidade 4 Aplicada a não poucos das ciências naturais, do comportamento e sociais, e constitui, presentemente, um importante instrumento para análise de qualquer situação (em ciência, administração ou na vida diária) que, de alguma forma, envolva um elemento de incerteza, ou chance. 5 Inferência Estatística É o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação dos resultados, estimação de quantidades desconhecidas e testar hipóteses a partir de um conjunto de dados denominado amostra. Podemos assim chegar a conclusões sobre a população. Natureza dos dados • Dados Nominais: São dados categóricos (qualitativos ou descritivos). Exemplos: solteiro ou casado, sim ou não, gordo ou magro, etc. Podem ser transformados em dados numéricos, como por exemplo: 1 ÷ sim e 2 ÷ não. • Dados ordinais: São dados numéricos os quais podemos estabelecer desigualdades, como por exemplo 1- madeira e 2 ÷ diamante. Temos que 2>1. Em se tratando de dados ordinais , > não significa necessariamente " maior do que¨. Pode representar por exemplo " mais feliz do que¨ , " mais gostoso do que¨ , mais resistente do que, etc. • Dados intervalares: São dados numéricos que podemos estabelecer desigualdades e formar diferenças. Exemplo: Temperaturas. • Dados de razão: São dados numéricos que podemos estabelecer desigualdades, diferenças, formar multiplicação e divisão. Exemplos: peso, altura, dinheiro, volume, etc. 6 População Amostra Estatística Descritiva Ìnferência b!etivo do Estudo da Estatística A utilização da Estatística é cada vez mais acentuada em qualquer atividade profissional da vida moderna. Nos seus mais diversificados ramos de atuação, as pessoas estão freqüentemente expostas à Estatística, utilizando-a com maior ou menor intensidade. Ìsto se deve às múltiplas aplicações que o método estatístico proporciona àqueles que dele necessitam. Po"ulação Conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual de faz uma inferência. Em linguagem mais formal, a população é o conjunto constituído por todos os indivíduos que apresentem pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir). Essas características da população são comumente chamadas de parâmetros, os quais são valores fixos e ordinariamente desconhecidos. Exemplo: Se se quiser realizar um estudo censitário das rendas das famílias, poderia existir uma observação para cada família no Brasil, podemos limitar a população ao estado de Minas Gerais. Observação: É importante ficar bem claro que uma população é estudada em termos de observações de características nos indivíduos, e não em termos de pessoas ou objetos em si. Assim, por exemplo, as alturas dos cidadãos de MG constituem uma população. Poderia haver uma população correspondente aos pesos desses mesmos cidadãos. 7 A#ostra Um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da população. Exemplo: Avaliação de um Programa de Ensino ÷ Toma-se certo número de pares de turmas: a um conjunto de turmas ensina-se um assunto por um novo método, e ao outro conjunto, pelo método clássico. Aplica-se uma prova a ambos os grupos. As notas observadas nesses conjuntos de turmas consistem a nossa amostra. Se os resultados do novo método forem melhores, iremos aplica-lo a todas as turmas ÷ isto é, à população. A partir da amostra estabelecemos o que é conveniente para a população, ou seja, fazemos uma inferência sobre a população. Arredonda#ento de n$#eros Arredondamento por falta Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão ser eliminados, for igual ou menor que quatro, não deverá ser alterado o dígito remanescente. Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 12,489 Ìnteiros 12 20,733 Décimos 20,7 35,992 Centésimos 35,99 Arredondamento por excesso Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão ser eliminados, for maior ou igual a cinco seguido por dígitos maiores que zero, o dígito remanescente será acrescido de uma unidade. 8 Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 15,504 Ìnteiros 16 16,561 Décimos 16,6 17,578 Centésimos 17,58 Arredondamento centrais Quando o dígito situado mais à esquerda dos que serão eliminados for um cinco ou um cinco seguido somente de zeros, o último dígito remanescente, se for par, não se altera, e se for ímpar será aumentado uma unidade. Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 15,500 Ìnteiros 16 16,500 Ìnteiros 16 17,750 Décimos 17,8 17,705 Centésimos 17,70 Arredondamento de Soma Quando se trata de soma, deve-se arredondar primeiro o total, e posteriormente as parcelas. Há aqui dois casos a considerar: a) Se a soma das parcelas da série arredondada for superior ao total, deve-se retornar à série original, arredondando-se, por falta, tantas parcelas quantas forem as unidades excedentes. Serão escolhidas as parcelas anteriormente arredondadas por excesso e cujas frações desprezadas representem o menor erro relativo. 9 O erro relativo será definido como: dados dois números diferentes de zero x e y com y x > , o erro relativo entre eles será calculado pela expressão x y x E R − · O arredondamento do erro é feito de modo a poder identificar a ordem das parcelas. Exemplo: O quadro abaixo apresenta um modelo de arredondamento, para inteiro, da soma total de uma série. Série original Erro relativo Série arredondada Série corrigida 5,51 0,082 6 6 7,50 0,062 8 8 14,63 0,025 15 15 20,10 20 20 24,73 0,011 25 24 * 27,52 0,017 28 27 * Total : 99,99 102 100 Observações: 1. (*) série corrigida 2. O arredondamento do erro foi milesimal para poder identificar as duas menores parcelas. Veja o cálculo dos erros relativos 081667 0 6 51 5 6 , , E R · − · 062500 0 8 50 7 8 , , E R · − · 024667 0 15 63 14 15 , , E R · − · 010800 0 25 73 24 25 , , E R · − · 017143 0 28 52 27 28 , , E R · − · 10 b) Se a soma das parcelas da série arredondada for inferior ao total, deve-se retornar à série original, arredondando-se, por excesso, tantas parcelas quantas forem as unidades em falta. Serão escolhidas as parcelas anteriormente arredondadas por falta e cujas frações desprezadas representem o menor erro relativo. 11 Exemplo: O quadro abaixo apresenta um modelo de arredondamento, para centésimo, da soma total de uma série. Série original Erro relativo Série arredondada Série corrigida 2,514 0,0016 2,51 2,51 12,502 0,0002 12,50 12,50 4,6355 4,64 4,64 11,1028 0,0002 11,10 11,10 35,733 0,0001 35,73 35,74 * 7,524 0,0005 7,52 7,52 Total : 74,0113 74,00 74,01 Observação: (*) série corrigida Exemplo: A tabela a seguir apresenta os resultados de uma pesquisa realizada com 162 alunos de uma escola pública: Ìdades (anos) Freqüênci a simples Porcentagem (calculadora) Porcentagem (décimos) Erro Porcentagem Corrigida Menos 17 1 0,61728 0,6 0,0279938 0,6 17 60 37,03704 37,0 0,0010001 37,0 18 72 44,44444 44,4 0,0009999 44,4 19 24 14,81481 14,8 0,0009997 * 14,9 Mais 19 5 3,08642 3,1 3,1 Total 162 99,99999 99,9 100 12 Tabela 1: Ìdade dos alunos do 3º ano do curso técnico integrado diurno do CEFET ÷ OP no ano de 2008. Ìdades (anos) Freqüênci a simples Porcentagem Menos 17 1 0,6 17 60 37,0 18 72 44,4 19 24 14,9 Mais 19 5 3,1 Total 162 100 Fonte: Relatório de pesquisa CEFET - OP Pro"orção Um certo número de pessoas foi classificado em quatro categorias. Essas categorias são, naturalmente, mutuamente exclusivas e exaustivas. Em outras palavras: uma pessoa só poderá estar incluída em uma única categoria, e todas elas deverão estar classificadas. Em termos simbólicos, pode-se escrever: 1 N = número de pessoas incluídas na categoria 1. 2 N = número de pessoas incluídas na categoria 2. 3 N = número de pessoas incluídas na categoria 3. 4 N = número de pessoas incluídas na categoria 4. 4 3 2 1 N N N N N + + + · = número total de pessoas consideradas. Neste caso, a proporção de pessoas pertencentes à primeira categoria é determinada mediante o cálculo do seguinte quociente 13 N N 1 A proporção de pessoas pertencentes à segunda categoria é determinada mediante o cálculo do seguinte quociente N N 2 Sucessivamente temos N N 3 e N N 4 o cálculo da proporção das pessoas pertencentes à terceira e quarta categoria. Observe que 1 N N N N N N N N N N 4 3 2 1 · · + + + . Exemplo: A tabela a seguir apresenta o número de sócios praticantes e não- praticantes de futebol em um clube hipotético. Tabela 2: número de sócios praticantes e não-praticantes de futebol em um clube hipotético Sócios Praticante (exclusivamente) de: Clube 1 Proporção Futebol de salão 580 0,100 Futebol de campo 430 0,074 Não-Praticantes 4810 0,826 Total 5820 1,000 14 Porcenta%e# As porcentagens são obtidas a partir do cálculo das proporções, simplesmente multiplicando-se o quociente obtido por 100. Para representá-las usamos o símbolo %. Voltando ao exemplo anterior temos: Tabela 3: número de sócios praticantes e não-praticantes de futebol em um clube hipotético Sócios Praticante (exclusivamente) de: Clube 1 Porcentagem (%) Futebol de salão 580 10 Futebol de campo 430 7,4 Não-Praticantes 4810 82,6 Total 5820 100 E&ercícios 1) Considere as situações a seguir e identifique a população e a amostra em cada caso. a. Para a análise de desempenho dos alunos da 8.ª série de uma determinada escola municipal foram escolhidas as notas de português de 35 alunos. b. Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de alto colesterol. c. Uma maternidade entrevista 20 mães de recém nascidos dos 218 partos, no mês de janeiro, para avaliar a satisfação na prestação de serviço. d. A fim de avaliar a intenção de voto dos eleitores para deputado estadual, um candidato entrevista 2.120 eleitores em Minas Gerais. 2) Use os critérios de arredondamento para arredondar cada valor a seguir para décimos. 15 a) 21,24 d) 0,75 g) 3,521 b) 1,088 e) 5,819 h) 9,275 c) 125,5555 f) 0,3333 i) 235,25 3) Aplique os critérios de arredondamento para completar o quadro abaixo: Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 25,458 Centésimo 123,99 Décimo 205,7056 Milésimo 17,561 Ìnteiro 4) Aplique os critérios de arredondamento para completar o quadro abaixo: Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 1,23 Décimo 5,488 Centésimo 0,126 Centésimo 35,4 Ìnteiro 13,99 Décimo 25,7056 Milésimo 7,561 Ìnteiro 690,1555 Centésimo 0,115588 Milésimo 5) A tabela abaixo representa a produção, em unidades, da fábrica X de determinada peça no segundo semestre de 2005. Mês Produção Julho 35.500 Agosto 34.750 Setembro 36.800 Outubro 35.150 Novembro 32.300 Dezembro 31.250 Calcule: (Use arredondamento para centésimos) a) a proporção de peças produzidas no mês de outubro. b) a proporção de peças produzidas até setembro. 16 c) a porcentagem de peças produzidas em dezembro. 6) Uma escola ia contratar um grupo de 8 professores para dar um curso sobre computadores em 48 horas, pagando um total de R$ 9 216,00. No entanto, como medida de economia, ela resolveu contratar somente 6 professores e dar o curso em 36 horas. Quanto a escola economizará? 7) João comprou uma mercadoria em uma loja de utilidades. Quando foi pagar a conta, o vendedor informou-lhe que devido a uma promoção relâmpago, ele teria 8 % de desconto na compra à vista pagando, pelo produto, R$ 276,00. João optou por não pagar à vista. Quanto ele pagará pela mercadoria se compra-la a prazo? 8) Para as situações descritas a seguir, identifique a população e a amostra correspondente. Discuta a validade do processo de inferência estatística, ou seja, se as amostras foram coletadas corretamente, para cada um dos casos. Não esqueça de apontar o erro de cada caso. a) Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de anemia. b) Para verificar a audiência de um programa de TV, 563 indivíduos foram entrevistados por telefone com relação ao canal em que estavam sintonizados. c) A fim de avaliar a intenção de voto para presidente dos brasileiros, 122 pessoas foram entrevistadas em Brasília. 9) Para encher um reservatório em 15 dias, são necessárias 3 torneiras. Em quanto tempo 5 torneiras, idênticas às anteriores, encherão o mesmo reservatório? 10) Um navio dispõe de reservas suficientes para alimentar 14 homens durante 45 dias, mas recebe 4 sobreviventes de um naufrágio. Durante quantos dias durarão as reservas de alimento? 17 11) Calcule: a) 15 % de R$ 2 800,00 ? b) 42 % de R$ 18 300,00 ? 12) Resolva os problemas abaixo: a) Numa classe foram reprovados 15 % dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos alunos haviam nesta classe? b) Em uma cidade haviam 5600 eleitores do candidato A e 7800 eleitores do candidato B. 1) Qual a proporção dos eleitores do candidato A? 2) Qual a proporção dos eleitores do candidato B? 13) Em um colégio existem 1 200 alunos, dos quais 720 são meninos. Determine: a) Qual a proporção do número de meninos? b) Qual a proporção do número de meninas? 14) Num livro de 200 páginas, há 30 linhas em cada página. Se houvesse 25 linhas, quantas páginas teria o livro? 18 'ases do ()todo Estatístico Quando se pretende empreender um estudo estatístico completo existem diversas fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos resultados finais do estudo. Definição do Proble#a A primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado. O problema deve ser preciso, bem determinado e específico. Além de considerar detidamente o problema objeto do estudo, o analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e análogos, uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas vezes, ser encontrada nesses últimos. Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema. Plane!a#ento Consiste em se determinar o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. Mais especialmente, na fase do planejamento a preocupação maior reside na escolha das perguntas. É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Sob esse aspecto, pode haver dois tipos de levantamento: a) Levantamento censitário, quando a contagem abranger todo o universo. b) Levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial. Nesta fase temos outros elementos importantes que devem ser tratados. 19 a) cronograma das atividades, através do qual são fixados os prazos para as varias fases; b) Os custos envolvidos; c) O exame das informações disponíveis; d) O delineamento da amostra; e) A forma como serão escolhidos os dados, etc. Obs: Os livros mais específicos sobre pesquisa de mercado poderão ser consultados. Coleta dos Dados O terceiro passo é essencialmente operacional. A coleta de dados se refere à obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com um objetivo determinado. Es")cies de dados* Ì) Dados Primários: quando são publicados ou comunicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido. ÌÌ) Dados Secundários: Quando são publicados ou comunicados por outra organização. Um conjunto de dados é, pois, primário ou secundário em relação a alguém. É mais seguro trabalhar com fontes primárias, pois: a) Uma fonte primária oferece, em geral, informações mais detalhadas do que uma secundária. b) É mais provável que as definições de termos e de unidades figurem somente nas fontes primárias. c) O uso da fonte secundária traz o risco adicional de erros de transcrição. 20 d) Uma fonte primária poderá vir acompanhada de cópias dos impressos utilizados para coletar as informações, juntamente com o procedimento adotado na pesquisa, a metodologia seguida e o tipo de tamanho da amostra. Essas informações proporcionam ao usuário uma idéia do grau de garantia que os dados oferecem. A coleta de dados pode ser realizada de duas maneiras: direta ou indiretamente. Coleta Direta A coleta é direta quando é obtida diretamente da fonte. Ex.: Uma empresa pesquisa seus consumidores. Há três tipos de coleta direta: a) Coleta direta contínua: quando estes são obtidos ininterruptamente, automaticamente e na vigência de um determinado período. Ex.: Registros de nascimento, de casamento, de óbito, etc. b) Coleta direta periódica: quando é realizada em períodos curtos, determinados, de tempo em tempo. Ex: Recenseamento demográfico. O censo industrial. c) Coleta direta ocasional: Quando os dados forem colhidos esporadicamente, atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma emergência. Ex.: Casos fatais em surto epidêmico. 21 Coleta Indireta A coleta dos dados é indireta quando é inferida a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, ou através do conhecimento de outros fenômenos que, de algum modo, estejam relacionados com o fenômeno em questão. É feita, portando, por deduções e conjunturas, podendo ser realizada: a) Por analogia: quando o conhecimento de um fenômeno é induzido a partir de outro que com ele guarda relações de casualidade. b) Por proporcionalização: Quando o conhecimento de um fato se induz das condições quantitativas de uma parte dele. c) Por indícios: quando são escolhidos fenômenos sintomáticos para discutir um aspecto geral da vida social. d) Por avaliação: quando através de informações fidedignas ou estimativas cadastrais, se presume o estado quantitativo de um fenômeno. A"uração dos Dados Consiste em resumir os dados, através de sua contagem e agrupamento. Ela pode ser manual, mecânica, eletromecânica ou eletrônica. Através da apuração tem-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade. Entretanto, a contrapartida da melhor apreciação dos dados em seu conjunto é a perda correspondentes de detalhes, uma vez que se trata de um processo de sintetização. A"resentação dos Dados Há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente. a) Apresentação Tabular: É uma apresentação numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado. 22 b) Apresentação Gráfica: Constitui uma Apresentação Geométrica. Embora a apresentação tabular seja de extrema importância, no sentido de facilitar a análise numérica dos dados, não permite ao analista obter uma visão tão rápida, fácil e clara do fenômeno e sua variação como a conseguida através de um gráfico. Análise e Inter"retação dos Dados É a última fase e a mais importante e também a mais delicada. O interesse maior, nesta etapa, reside em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno. 23 +uestionários Questionários são o meio mais comum de coleta de informações. Dois tipos de questões são usualmente empregados na redação de questionários: Questões de múltipla escolha Questões de resposta aberta As alternativas em uma questão de múltipla escolha devem ser claras, mutuamente excludentes e, quando pedirem opiniões, fornecer opções dos dois lados do assunto. Ìdealmente, as opções devem cobrir todas as respostas prováveis. Se, entretanto, muitas alternativas são apresentadas, elas podem não ser suficientemente claras e confundir o respondente no momento de sua decisão. A grande desvantagem de questões de múltipla escolha é que tendem a sugerir uma resposta, já que limita as respostas possíveis, impedindo o respondente de dizer exatamente o que pensa. Este tipo de limitação não ocorre nas questões de resposta aberta, em que o entrevistado usa suas próprias palavras para responder à pergunta. Uma pergunta deste tipo produz uma grande gama de respostas que devem ser classificadas em grupos homogêneos antes que se possa fazer uma análise estatística. Esta classificação é uma tarefa difícil quando o número de respostas a serem analisadas é muito grande. Por isso, questões de respostas abertas são mais freqüentemente empregadas em estudos pilotos ou nos estágios exploratórios, quando se procura determinar quais tipos de respostas aparecerão. Essas informações são então usadas na construção do questionário a ser utilizado na obtenção dos dados de um grupo maior. Às vezes é inevitável misturar os dois tipos de pergunta, quando, por exemplo, colocamos a opção "outros¨ e pedimos especificação. Se os dados forem analisados por computador, deve-se pensar na etapa da codificação ao redigir as perguntas. 24 rde# das +uest,es Um questionário consistente em uma bateria de questões arranjadas em certa ordem. As primeiras questões são para estabelecer contato com o respondente e devem ser bem simples. Quando vários tópicos estão envolvidos, deve-se completar um tópico antes de passar a outro. A ordem das questões freqüentemente afeta as respostas dadas pelo respondente, já que as perguntas chamam a atenção do entrevistado para um conjunto de pensamentos e sentimentos, em cujo contexto as outras perguntas serão respondidas. Em pesquisa de mercado, por exemplo, questões que mencionam um produto específico tendem a viciar as perguntas que se seguem; conseqüentemente, estas questões identificando produtos ou firmas devem ser colocadas no final, sempre que possível. -i"o de Aborda%e# Muitas pessoas tendem a racionalizar ou exagerar suas respostas quando são questionadas diretamente sobre seus motivos, realizações ou outros assuntos que envolvam seu prestígio ou auto-estima. Para se evitar a introdução de tendenciosidade nessas respostas, usa-se freqüentemente uma abordagem indireta na elaboração de questões que envolvem prestígio. Por exemplo, ao invés de perguntas: "Você terminou o curso secundário?¨, pode-se perguntar: "Em que ano você estava quando deixou de estudar?¨. Na segunda pergunta tenta-se evitar constrangimento aos respondentes que não terminaram o curso secundário. Clareza nas Per%untas Uma pergunta deve ter aproximadamente o mesmo sentido para todos os entrevistados; caso contrário, os dados obtidos não terão grande utilidade. Termos com sentido dúbio devem ser evitados. As perguntas devem ser simples. Nem todos os entrevistados entenderão questões com enunciado complexo, originando, assim, resultados ruins. 25 Não Su%erir .es"ostas Na formulação das perguntas deve-se evitar um tipo de redação como esta: "Você concorda em que esta bebida, sendo a melhor, deva custar mais caro?¨ Esta pergunta sugere tão obviamente uma resposta que é praticamente inútil. Algumas vezes, entretanto, é difícil perceber que a redação de uma pergunta possa sugerir determinada resposta. A Necessidade do Pr)/-este Assim que um questionário tenha sido redigido, deve ser testado em um estudo piloto. Esta fase é fundamental para detectar dificuldades não observadas, como o lay out do questionário, ordem e redação das perguntas, necessidade de instruções mais claras para os entrevistadores, etc. Naturalmente, a correção dessas imprecisões melhorará a qualidade do levantamento. A Prática de Pes0uisas "or A#ostra%e# O leitor deve convencer-se de que é fundamental conhecer as características específicas da área onde pretende participar de pesquisas por amostragem. O significado especial de algumas palavras, os melhores locais e horários para se fazer coleta de dados, o tipo de entrevistador são, entre outros, fatores importantes para o bom andamento do levantamento. Só lendo literatura na área específica é que se pode, entretanto, conhecer estes detalhes. 26 A#ostra%e# Conceitos 'unda#entais Assim que decidimos obter informações através de um levantamento amostral, temos imediatamente dois problemas: definir cuidadosamente a população de interesse e selecionar a característica que iremos pesquisar. A população-alvo é a população sobre a qual vamos fazer inferências baseadas na amostra. Caracterizada a população-alvo, o próximo passo é escolher as características que iremos medir. Aqui o erro freqüente é querer incluir muitas características. A qualidade da mensuração cai com o aumento do número de perguntas. Devemos, portanto, fixar-nos apenas em perguntas que contribuam para a quantificação adequada da característica populacional de real interesse para o estudo. Para que possamos fazer inferências válidas sobre a população a partir de uma amostra, é preciso que esta seja representativa. Uma das formas de se conseguir representatividade é fazer com que o processo de escolha da amostra seja, de alguma forma, aleatório. Além disso, a aleatoriedade permite o cálculo de estimativas dos erros envolvidos no processo de inferência. A#ostra%e# Aleat1ria Si#"les Neste caso a amostra é escolhida elemento a elemento. A população é numerada de 1 a N. escolhem-se, em seguida, na tábua de números aleatórios, n números compreendidos entre 1 e N. esse processo é equivalente a um sorteio no qual se colocam todos os números misturados dentro de uma urna. Os elementos correspondentes aos números escolhidos formarão a amostra. 27 Exemplo: A tabela a seguir refere-se aos diâmetros de 30 eixos produzidos por uma industria automobilística (dados hipotéticos) 26 32 26 19 20 22 30 31 17 20 16 17 28 15 26 19 14 16 16 26 27 31 13 26 18 29 18 16 21 24 Extrair, sem reposição, uma amostra aleatória de tamanho n = 5. Solução: Primeiramente deveremos numerar a população. Eixo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 Diâmetro 26 32 26 19 20 22 30 31 17 20 16 17 28 15 26 19 14 Eixo 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Diâmetro 16 16 26 27 31 13 26 18 29 18 16 21 24 Escolhemos uma coluna na TNA. Procuramos os 5 primeiros números não superiores a 30, lendo os dos últimos algarismos ou os dois primeiros. Obtemos: 2.ª coluna Leitura na TNA (2 últimos) 18 15 22 24 03 Diâmetro 16 26 31 26 26 A#ostra%e# Estratificada Quando os elementos da população estão divididos em grupos não superpostos, é mais fácil e mais eficiente escolher, independentemente, uma amostra aleatória simples dentro de cada um destes grupos, os quais são chamados estratos. 28 Esta forma de amostragem é uma das mais utilizadas, já que a maioria das populações tem estratos bem definidos: os homens e as mulheres; os alunos das escolas X, Y, Z; os estados brasileiros; ect. O mais comum é utilizar-se a Amostragem Estratificada Proporcional, que consiste em selecionar os elementos da amostra entre os vários estratos, em número proporcional ao tamanho de cada um dos estratos. Em outras palavras, sejam: N o número de elementos da população L o número de estratos i N o número de elementos do estrato i n o tamanho da amostra a ser selecionada i n tamanho de amostra no estrato i Note que N = N 1 + N 2 + ... + N L Calcula-se a fração de amostragem dada por: f = N n Obs: A fração de amostragem calcula o tamanho de amostra por unidade da população. O número de elementos a serem sorteados em cada estrato será: .f N n 1 1 · .f N n 2 2 · .f N n L L · Exemplo: Na execução de uma rede elétrica, uma firma especializada utiliza eletrodutos de dois tipos: E e F. em uma análise do custo do material foram considerados 30 faturas, representadas abaixo pelo preço de 10m de eletroduto. 29 Eletroduto (estrato) E Fatura 01 02 03 04 05 06 Preço (R$) 710 710 715 715 755 760 Eletroduto (estrato) F Fatura Preço (R$) Fatura Preço (R$) Fatura Preço (R$) Fatura Preço (R$) 01 750 07 760 13 770 19 790 02 750 08 765 14 770 20 795 03 750 09 765 15 770 21 795 04 750 10 765 16 785 22 800 05 755 11 765 17 785 23 810 06 760 12 765 18 790 24 820 Extrair, sem reposição, uma amostra estratificada proporcional de tamanho n = 8. Solução: f = 30 8 = 0,27 De cada estrato serão sorteadas respectivamente n E e n F unidades: n E = (0,27) . 6 = 1,62 ≅ 2 n F = (0,27) . 24 = 6,48 ≅6 Para encontrar a amostra referente ao eletroduto E utilizamos TNA (8.ª coluna ÷ primeiro algarismo) e para encontrar a amostra referente ao eletroduto F utilizamos TNA (4.ª coluna ÷ últimos algarismos). Assim obtemos: 30 Estrato E F Leitura na TNA 03 01 20 03 18 17 24 12 Fatura (R$) 715 710 795 750 790 785 820 765 Entre as vantagens da amostragem estratificada destacam-se: a) os dados são geralmente mais homogêneos dentro de cada estrato do que na população como um todo; b) o custo da coleta e análise dos dados é freqüentemente menor nesse tipo de amostragem do que na aleatória simples, devido a conveniências administrativas; c) podem-se obter estimativas separadas dos parâmetros populacionais para cada estrato sem selecionar outra amostra e, portanto, sem custo adicional. A#ostra%e# "or Con%lo#erado Uma amostra por conglomerado é uma amostra aleatória simples na qual cada unidade de amostragem é um grupo, ou conglomerado de elementos. O primeiro passo para se usar este processo é especificar conglomerados apropriados. Os elementos em um conglomerado devem ter características similares. Como regra geral, o número de elementos em um conglomerado deve ser pequeno em relação ao tamanho da população, e o número de conglomerados, razoavelmente grande. Tanto no caso da amostragem estratificada, como no da amostragem por conglomerados, a população deve estar dividida em grupos. Na amostragem estratificada, entretanto, seleciona-se uma amostra aleatória simples dentro de cada grupo (estrato) enquanto que na amostragem por conglomerado selecionam-se amostras aleatórias simples de grupos, e todos os itens dentro dos grupos (conglomerados) selecionados farão parte da amostra. A amostragem por conglomerado é recomendada quando: a) ou não se tem um sistema de referência listando todos os elementos da população, ou a obtenção dessa listagem é dispendiosa; b) o custo da obtenção de informações cresce com o aumento da distância entre os elementos; 31 Exemplo: Supondo que se deseje estimar o rendimento médio familiar em um determinado bairro, como deve ser escolhida a amostra? Solução: A amostragem aleatória simples é inviável, pois pressupõe uma listagem de todas as famílias do bairro, o que é praticamente impossível de se obter. A alternativa da amostragem estratificada é também inviável, já que aqui também é necessária uma listagem dos elementos por estrato. A melhor escolha é a amostragem por conglomerado. O sistema de referência pode ser constituído por todos os quarteirões do bairro. Cada quarteirão é um conglomerado. Extrai-se uma amostra aleatória simples de quarteirões e neles pesquisa-se a renda familiar em todas as casas. A#ostra%e# Siste#ática Uma amostragem sistemática de tamanho n é constituída dos elementos de ordem K, K+r, K+2r, ... , onde K é um inteiro escolhido aleatoriamente entre 1 e n . E r é o inteiro mais próximo da fração n N r ≈ Por exemplo, se a população tem 100 elementos e vamos escolher uma amostra de tamanho 6, K é um inteiro escolhido aleatoriamente entre 1 e 6, e r = 100/6 = 16,6 = 17. Pela TNA (8ª coluna ÷ primeiro algarísmo) K = 3. Assim a amostra será composta pelos elementos de posição: 3, 20, 37, 54, 71, 88 Se o tamanho da população é desconhecido, não podemos determinar exatamente o valor de r. Escolheremos intuitivamente um valor razoável para r. 32 Às vezes a amostragem sistemática é preferida à amostragem aleatória simples, porque é mais fácil de executar, estando portando menos sujeita a erros, e proporciona mais informações com menor custo. Exemplo: escolha a técnica adequada para extrair uma amostra de 50 compradores de uma loja. Solução: A amostragem aleatória simples não pode ser empregada neste caso, pois o entrevistador não pode determinar quais compradores serão incluídos na amostra, uma vez que não se conhece o tamanho N da população, até que todos os compradores tenham ido à loja. Assim, ele pode usar a amostragem sistemática (digamos 1 em cada 20 compradores) até obter a amostra do tamanho desejado. E&ercícios 1) Com relação a amostragem aleatória é CORRETO afirmar que: a) ( ) Utilizamos a tabela de números aleatórios para encontrar o valor do k. b) ( ) É utilizada quando conhecemos parte da população c) ( ) Pode ser utilizada quando não conhecemos a população d) ( ) É um método aleatório em que não há possibilidade do pesquisador interferir na escolha da amostra; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 2) Com relação a amostragem sistemática é CORRETO afirmar que: a) ( ) Permite encontrar amostras de população cujo número total de elementos é desconhecido; b) ( ) A amostra é encontrada utilizando uma progressão geométrica cujo primeiro termo é o primeiro elemento da população ; c) ( ) A amostra é encontrada utilizando uma progressão aritmética cujo primeiro termo é o primeiro elemento da população ; d) ( ) A amostra é encontrada utilizando uma progressão aritmética cuja razão é encontrada na tabela de números aleatórios; 33 e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 3) Com relação a amostragem estratificada é CORRETO afirmar que: a) ( ) Permite encontrar amostras de estratos que não possuem nenhuma característica em comum; b) ( ) Os estratos devem ser disjuntos; c) ( ) A amostra é sempre dividida em partes iguais para cada estrato; d) ( ) Utilizamos uma amostragem aleatória simples considerando todos os estratos juntos; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 4) O gerente de um determinado banco com o intuito de fazer uma pesquisa junto a seus clientes utiliza o seguinte processo: Pega o primeiro cliente que compareceu à agência naquele dia e o entrevista. O segundo a ser entrevistado é o 6.º cliente. O terceiro a ser entrevistado é o 11.º cliente e assim sucessivamente até que a agência feche. É CORRETO afirmar que: a) ( ) O gerente utilizou uma amostragem estratificada proporcional; b) ( ) O gerente utilizou uma amostragem aleatória simples; c) ( ) O gerente utilizou uma amostragem sistemática; d) ( ) O gerente não utilizou nenhum método de amostragem; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 5) Considere o seguinte problema: Deve-se extrair uma amostra estratificada proporcional de tamanho 60 de uma população de tamanho 4.000, que consiste de três estratos de tamanhos N 1 =2.000, N 2 =1.200 e N 3 = 800. É CORRETO afirmar que: a) ( ) Do primeiro estrato deverá ser extraída 18 amostras; b) ( ) Do segundo estrato deverá ser extraída 30 amostras; c) ( ) Do terceiro estrato deverá ser extraída 12 amostras; d) ( ) Deverá extrair 20 amostras de cada estrato; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 34 6) A única opção que traz dois métodos de amostragem em que é preciso conhecer todos os elementos da população é: a) ( ) Aleatória simples e por conglomerado; b) ( ) Por conglomerado e sistemática; c) ( ) Aleatória simples e sistemática; d) ( ) Estratificada e por conglomerado; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 7) Os dados abaixo se referem a taxa de hemoglobina no sangue (em gramas/cm 3 ) de 12 professores de uma determinada escola. Professor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Taxa de hemoglobina 11,1 12,2 15,2 11,3 14,4 12,7 13,5 15,8 11,7 16,3 14,1 12,5 Extrair uma amostra sistemática de 3 taxas de hemoglobina. (Usar 7.ª coluna da TNA, último algarismo). 8) Os dados abaixo referem-se ao salário (em salários mínimos) de 20 funcionários administrativos em uma indústria. 10.1 7.3 8.5 5 4.2 3.1 2.2 9 9.4 6.1 3.3 10.7 1.5 8.2 10 4.7 3.5 6.5 8.9 6.1 a) Extraia uma amostra de 6 elementos usando a amostra aleatória simples. (Usar 2.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); b) Extraia uma amostra de 5 elementos usando a amostra sistemática. (Usar 2.ª coluna na TNA, último algarismo). 35 9) Uma pesquisa com usuários de transporte coletivo na cidade de São Paulo indagou sobre os diferentes tipos usados nas suas locomoções diárias. Dentre ônibus, metrô e trem, o número de diferentes meios de transporte utilizado foi o seguinte: 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2 e 3. a) Extraia uma amostra de 10 elementos usando a amostra aleatória simples. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); b) Extraia uma amostra de 10 elementos usando a amostra sistemática. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 10) A idade dos 20 ingressantes num certo ano no curso de pós-graduação em jornalismo de uma universidade foi o seguinte: 22, 22, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 28, 35 e 40. a) Extraia uma amostra de 8 elementos usando a amostra aleatória simples. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); b) Extraia uma amostra de 8 elementos usando a amostra sistemática. (Usar 3.ª coluna na TNA, último algrarismo); 11) Um novo medicamento para cicatrização está sendo testado e um experimento é feito para estudar o tempo (em dias) de completo fechamento em cortes provenientes de cirurgia. As 30 cobaias tiveram os seguintes tempos: 15, 17, 16, 15, 17, 14, 17, 16, 16, 17, 15, 18, 14, 17, 15, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 17, 15, 16, 14, 18, 18, 16, 15 e 14. a) Extraia uma amostra de 10 elementos usando a amostra aleatória simples. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); b) Extraia uma amostra de 10 elementos usando a amostra sistemática. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 36 12) Um exame vestibular para uma faculdade tem 80 questões, sendo 40 de português e 40 de matemática. Para os 20 melhores classificados, apresentamos o número de acertos em cada disciplina, em ordem decrescente de pontos: Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Português 35 35 34 32 31 30 26 26 24 23 Matemática 31 29 27 28 28 26 30 28 25 23 Aluno 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Português 23 12 11 20 17 12 14 20 8 10 Matemática 21 32 31 20 21 25 20 13 23 20 a) Extraia uma amostra de 5 alunos usando a amostra aleatória simples. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); b) Extraia uma amostra de 5 alunos usando a amostra sistemática. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 13) Em uma escola da rede municipal, estão matriculados 370 alunos no curso da manhã. Eles estão distribuídos na seguinte maneira: Salas 5.ª A 5.ª B 5.ª C 6.ª A 6.ª B 6.ª C 6.ª D 7.ª A 7.ª B 8.ª A 8.ª B 8.ª C Aluno s 30 25 30 30 30 25 25 35 40 35 35 30 a) Extraia uma amostra de 74 alunos usando a amostra estratificada. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos) 14) O Departamento de Ensino de uma Escola Particular, de um bairro de classe média, deseja realizar uma pesquisa para saber se seria conveniente criar o 2.º grau em seu quadro de turmas. Ìsso porque ela ministra apenas da 1.ª série à 8.ª série do ensino básico e fundamental. Para isso ela contrata uma firma de consultoria para realizar esta pesquisa. 37 Suponhamos que você faça parte dessa firma e seja indicado(a) para formular um questionário a fim de coletar dados que irão ajudar na solução deste problema. Então você deverá criar um questionário com esse objetivo. Bom trabalho.!!! 38 Distribuição de 're02ência Dados Brutos Feita a coleta, os dados originais ainda não se encontram prontos para análise, por não estarem numericamente organizados. Por essa razão, costuma-se chamá-los de dados brutos. Exemplo: Na tabela 1, estão relacionadas as notas em estatística dos alunos do 7.º período de Matemática. Tabela 1: Notas em estatística dos alunos do 7.º período de Matemática 16 14 15 14 15 15 12 11 13 16 16 12 15 16 15 18 11 16 15 16 15 13 12 15 15 17 15 12 17 .ol O Rol é uma lista em que os valores estão dispostos em uma determinada ordem, crescente ou decrescente. Tabela 2:Notas em estatística dos alunos do 7.º período de Matemática 11 13 15 15 16 11 13 15 15 16 12 14 15 16 17 12 14 15 16 17 12 15 15 16 18 12 15 15 16 -abela de fre02ência 39 As tabelas de freqüências são representações nas quais os valores se apresentam em correspondência com suas repetições, evitando ÷se assim que eles apareçam mais de uma vez na tabela, como ocorre com o rol. A tabela de freqüências proporciona uma apresentação esteticamente mais vantajosa dos dados, facilitando ainda a verificação do comportamento do fenômeno. É possível, por outro lado, com a utilização de uma tabela de freqüências, a obtenção de estatísticas (medidas) com menos cálculo, e, conseqüentemente, em menos tempo do que se esse trabalho fosse realizado a partir dos dados brutos. As tabelas de freqüências podem representar tanto valores individuais como valores agrupados em classes. Distribuição de 're02ências de Dados -abulados Não/A%ru"ados e# Classes É uma tabela onde os valores da variável aparecem individualmente. Esse tipo de apresentação é utilizado para representar uma variável discreta ou descontinua. Exemplo: A tabela abaixo representa as notas em estatística dos alunos do 7.º período de Matemática da FAFÌDÌA. Tabela 3: Notas obtidas em uma avaliação de estatística dos alunos do 7.º período de Matemática da FAFÌDÌA Notas Freqüência f j 11 2 12 4 13 2 14 2 15 10 16 6 17 2 40 18 1 29 Distribuição de 're02ências de Dados A%ru"ados e# Classes Muitas vezes, mesmo com o risco de se sacrificar algum detalhe manifestado na ordenação de valores individuais, há vantagem em resumir os dados originais em uma distribuição, onde os valores observados não mais aparecerão individualmente, mas agrupados em classes. Para variáveis contínuas sempre usamos agrupar. Para variáveis discretas e número de valores representativos dessa variável muito grande também agrupamos. Elementos de uma Distribuição de Freqüências 1) Freqüência Simples Absoluta: f j É o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor. A freqüência simples absoluta, ou simplesmente freqüência, é simbolizada por f j . 2) Amplitude Total: A t É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo. 3) Número de Classes É cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do conjunto de valores observados da variável. Uma classe pode ser identificada por seus extremos ou pela ordem em que ela se encontra na tabela (valor do índice j) O número de classes pode ser calculado usando a fórmula de Sturges: 41 k = 1 + 3,3 log 10 N Onde k = número de classes N = número total de observações O arredondamento de k é feito para o inteiro imediatamente superior. 4) Limites de classes Os limites de classe são seus valores extremos. a) Limite Ìnferior: É o valor mínimo de uma classe. b) Limite Superior: É o valor máximo de uma classe. Este pode não pertencer à classe atual. 5) Amplitude do Ìntervalo de classe Amplitude do intervalo de classe ou simplesmente intervalo de classe é o comprimento da classe, sendo geralmente definida como a diferença entre seus limites superior e inferior. Pode-se também tomar a diferença entre dois limites inferiores ou superiores. 6) Ponto médio de classe O ponto médio ou valor médio é o valor que a representa, para efeito de cálculos de certas medidas.Na distribuição de freqüências com valores agrupados em classes, considera-se que os resultados incluídos em cada classe distribuem-se uniformemente por seu intervalo. Exemplo 1: A tabela abaixo representa as notas obtidas por 29 alunos em uma avaliação de estatística 42 Amplitude total = 18 ÷ 11 = 7 Número de classes: k = 1 + 3,3 x log 29 k = 1 + 3,3 x 1,4624 k = 5,83 k ≅ 6 Amplitude do intervalo de classe: A t / k = 7 / 6 =1,17 ≅ 1,2 Tabela 4: Notas obtidas em uma avaliação de estatística dos alunos do 7.º período de Matemática da FAFÌDÌA Exemplo 2: Notas f j 11,0 12,2 6 12,2 13,4 2 13,4 14,6 2 14,6 15,8 10 15,8 17,0 6 17,0 18,2 3 Total 29 43 Tabela 5: Notas obtidas em uma avaliação de estatística dos alunos do 7.º período de Matemática da FAFÌDÌA Notas Simples f j Acumulada simples F j "abaixo de¨ Relativa Simples fr j Relativa Acumulada Fr j "abaixo de¨ 11,0 12,2 6 6 0,21 0,21 12,2 13,4 2 8 0,07 0,28 13,4 14,6 2 10 0,07 0,35 14,6 15,8 10 20 0,34 0,69 15,8 17,0 6 26 0,21 0,90 17,0 18,2 3 29 0,10 1,00 Total 29 ROTEÌRO PARA A ELABORAÇÃO DE UMA TABELA DE FREQÜÊNCÌAS COM DADOS AGRUPADOS EM CLASSES Para a construção de uma tabela de freqüências, é conveniente adotar-se um roteiro que, embora baseado em critérios relativamente arbitrários, facilita e torna operacional o trabalho de quem irá montar a tabela. O roteiro proposto consta dos seguintes passos: a) Lista de dados brutos que pode ou não ser transformada em rol; b) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados: c) Calcular o número de classes (k) usando a fórmula de Sturges: d) Determinar a amplitude do intervalo de classe. 44 Menor valor do conjunto Maior valor do conjunto - A t = Muitas vezes convém arredondar o número correspondente à amplitude do intervalo de classe a que se chegou para um número mais adequado, que facilite os cálculos. e) Determinar os limites das classes, escolhendo-se preferencialmente, números inteiros. f) Construir a tabela de freqüências. (anual "ara Nor#alização de Publicaç,es -)cnico 3 cientificas Ed4 5'(6 Tabelas de distribuição de freqüência 1) As tabelas devem ser dotadas de um título claro e conciso localizado acima delas. São numeradas seqüencialmente em todo o trabalho, com algarismos arábicos (1, 2, 3, ...), segundo normas do ÌBGE. 2) No cabeçalho de cada coluna indica-se o seu conteúdo. Os títulos das colunas podem ser datilografados verticalmente, se necessário, para economizar espaço. 3) Não se deve deixar nenhuma "casa¨ vazia no corpo da tabela, usando-se os símbolos, conforme convenção internacional: - quando, pela natureza do fenômeno, o dado não existir Z quando o dado for rigorosamente zero ... quando não se dispuser do cálculo 2) Na construção de tabelas usam-se os seguintes traços: a) traço duplo horizontal, limitando o quadro; b) traço simples vertical, separando a coluna indicadora das demais e estas entre si; no corpo da tabela pode ser eliminado desde que o número de colunas seja pequeno e não haja prejuízo na leitura dos dados; 45 3) a tabela não deve ser fechada lateralmente, tampouco se colocam traços horizontais separando os dados numéricos. E&ercícios 1) As cifras abaixo representam os ganhos de 15 vendedores: 425 440 610 518 324 482 624 390 468 457 509 561 482 480 520 2) Dão-se a seguir os pesos, em libras, de 20 candidatos a empregos no corpo de bombeiros de uma cidade: 225 182 194 210 205 172 181 198 164 176 180 193 178 193 208 186 183 170 186 188 3) Os seguintes números de unidades de um produto foram completados em determinados dia por 20 operários de uma fábrica de artigos de artesanato: 61 58 59 72 47 55 40 73 66 60 71 69 63 58 51 42 67 80 62 53 4) Uma auditoria em 60 faturas de venda revelou os seguintes números de erros na fixação de preços: 0 0 2 1 4 1 0 1 3 2 2 0 1 1 1 4 0 3 1 5 1 1 0 2 0 0 1 1 4 3 0 1 0 2 1 4 3 1 0 0 5 1 2 0 3 0 2 1 1 3 1 4 3 0 2 0 1 1 0 1 46 5) Dão-se, a seguir, os números de alarmes falsos(acionados acidentalmente ou por mau funcionamento do equipamento) recebidos em 30 dias por um serviço de monitoramento da segurança: 3 6 2 4 5 8 2 5 6 3 4 7 4 6 5 5 5 4 3 7 4 4 6 3 9 5 7 4 4 6 As questões de 6 a 11 são referentes à tabela a seguir. Ela se refere a notas de alunos, em uma prova de 30 pontos, de uma determinada escola. 47 6) O valor do limite superior da 4.ª classe é de: a) ( ) 17; b) ( ) 18; c) ( ) 19; d) ( ) 20; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 7) O valor do limite inferior da 3.ª classe é de: a) ( ) 13; b) ( ) 14; c) ( ) 15; d) ( ) 16; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 8) O valor da freqüência acumulada simples da 5.ª classe é de: a) ( ) 8; b) ( ) 10; c) ( ) 20; d) ( ) 26; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. Notas f j 11 6 2 2 10 6 21 4 Total 30 48 9) O valor da freqüência relativa acumulada 4.ª classe é de: a) ( ) 0,2000; b) ( ) 0,2667; c) ( ) 0,3333; d) ( ) 0,6667; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 10) Porcentagem dos alunos que tiraram abaixo de 50% da nota da prova é de: a) ( ) 20%; b) ( ) 27%; c) ( ) 34%; d) ( ) 67%; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 11) A nota em que 66% dos alunos estão acima dela é de: a) ( ) 15; b) ( ) 16; c) ( ) 17; d) ( ) 18; e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. As questões de 12 a 15 são referentes à tabela a seguir. Ela se refere a pacientes internados no hospital X, localidade Y, no ano Z. 49 12) O valor do limite superior da 4.ª classe é de: 13) O valor do limite inferior da 3.ª classe é de: 14) O valor da freqüência acumulada simples da 5.ª classe é de: 15) O valor da freqüência relativa simples da 4.ª classe é de: 16) Os dados se referem aos pesos dos alunos de uma determinada escola: 60.5 60 70 47.4 60 57 52 47 55 50 55 58 54 66 58.5 63 73 95 39 54.5 72.8 47 58 85.2 49.2 52 56 84 75 50 80.9 57.8 68.5 54.5 48 49 58 60 55 71 55 58 63.5 52.5 51.6 59 87 73 49 86 Após construir uma tabela de distribuição de freqüência agrupada em classes, a freqüência simples da terceira classe é de: 17) Os dados abaixo se referem aos pesos dos alunos de uma determinada escola: Grupo etários (em anos) f j 20 1 3 5 6 4 70 1 Total 20 50 60.5 60 70 47.4 60 57 52 47 55 50 55 58 54 66 58.5 63 73 95 44 54.5 72.8 47 58 85.2 49.2 52 56 84 75 50 80.9 57.8 68.5 54.5 48 49 58 60 55 71 55 58 63.5 52.5 51.6 59 87 73 49 86 Siga os passos para a construção de uma tabela de distribuição de freqüência com dados agrupados: a) Determine a amplitude total b) Determine a amplitude de classe c) Construa a tabela usando 7 classes d) Ìnclua na tabela as freqüências relativas simples e) Ìnclua na tabela as freqüências acumuladas (abaixo de) simples f) Ìnclua na tabela as freqüências acumuladas (abaixo de) relativas 18) Com relação à tabela de distribuição de freqüência agrupada acima responda: a) Quantos alunos pesam até 69 kg? b) Quantos alunos pesam mais de 76 kg? c) Qual a porcentagem de alunos que pesam menos de 62 kg? 51 (edidas de -endência Central4 Medidas de Posição 1) Média Aritmética Simples Dados não agrupados A média aritmética simples, amostral, de um conjunto de n observações n x x x , , , 2 1 é definida por n x x n i i ∑ · · 1 A média aritmética simples, populacional, de um conjunto de N observações N x , , 2 x , 1 x é definida por N x N i i ∑ · · 1 µ Exemplo: Os dados a seguir representam as alturas de 5 alunos de uma determinada escola. 1,6 0 1,6 8 1,8 0 1,7 6 1,66 Qual a média aritmética? Solução: A média será 52 700 , 1 5 66 , 1 76 , 1 80 , 1 68 , 1 60 , 1 5 5 1 1 · + + + + · · · ∑ ∑ · · x x x x n x x i i n i i 53 Cálculo da Média de dados em tabela de distribuição de freqüência Considere: x i o ponto médio da classe i , f i a freqüência da classe i, k a quantidade de classe. A média aritmética é definida por: ∑ ∑ · · · k i i k i i i f f x x 1 1 . BS4* Caso ten7a#os u#a tabela de distribuição a%ru"ada e# classes8 o valor de & i será o "onto #)dio da classe4 arredonda#ento será se#"re u#a casa deci#al a #ais 0ue os dados4 Exemplo: A tabela abaixo representa as notas em estatística dos alunos do 7.º período de Matemática da FAFÌDÌA. Calcule a nota média. Notas Freqüência f j i i f . x 11 2 22 12 4 48 13 2 26 14 2 28 15 10 150 16 6 96 17 2 34 18 1 18 29 422 54 Solução: A nota média será 6 , 14 29 422 . 1 1 · · · ∑ ∑ · · k i i k i i i f f x x Exemplo: A tabela abaixo representa as notas obtidas por 500 alunos em um teste de geografia. Calcule a nota média. Solução: A nota média será 95 , 56 500 475 . 28 . . 6 1 6 1 1 1 · · · · ∑ ∑ ∑ ∑ · · · · i i i i i k i i k i i i f f x f f x x 2) Mediana: (d Notas f j x i x i .f i 10 25 44 17,5 770 25 40 70 32,5 2.275 40 55 92 47,5 4.370 55 70 147 62,5 9.187,5 70 85 115 77,5 8.912,5 85 100 32 92,5 2.960 Total 500 28.475 55 Dados não agrupados Para evitar a possibilidade de sermos enganados por valores muito pequenos ou muito grandes, ocasionalmente descrevemos o "meio¨ ou "centro¨de um conjunto de dados com outras medidas estatísticas que não a média. Uma dessas medidas, a MEDÌANA de n valores, exige que os ordenemos, e se define como: O valor do elemento do meio se n é ímpar, ou a média aritmética dos dois valores do meio se n é par. Assim dizemos que a mediana é o valor do 2 1 n + elemento. Exemplo: Em um mês recente, o Departamento de Caça e Pesca de um estado reportou 5 3 3 1 6 7 5 3 36 violações em atividade de caça e pesca em cinco regiões. Qual a mediana? Solução: Ordenando os elementos temos: 31, 36, 53, 53, 67. Como temos 5 elementos, a mediana é o valor do elemento central, 3 2 1 5 · + . A mediana é o valor do 3.º elemento. Logo a mediana é (d 9 :;. Exemplo 2: Em algumas áreas, as pessoas autuadas por certas infrações leves de tráfego podem freqüentar um curso de direção defensiva em lugar de pagar uma multa. Se 12 desses cursos foram freqüentados por 40 32 37 30 24 40 38 35 40 28 32 37 Cidadãos. Qual a mediana? 56 Solução: Ordenando os elementos temos: 24 28 30 32 32 35 37 37 38 40 40 40 Como temos 12 elementos, número par, a mediana será a média aritmética dos elementos centrais. A mediana será a média aritmética dos elementos 35 e 37. Logo a mediana será 36 2 37 35 · + · Md . Cálculo da Mediana de dados em tabela de distribuição de freqüência Se tivermos uma tabela de distribuição de freqüência simples, então podemos proceder como no caso anterior. Exemplo: A tabela abaixo representa as notas em estatística dos alunos do 7.º período de Matemática da FAFÌDÌA. Notas Freqüência f j 11 2 12 4 13 2 14 2 15 10 16 6 17 2 18 1 29 Qual a nota mediana? Solução: Como temos 29 elementos, o valor mediano deverá estar na posição 15 2 1 29 · + . Logo o elemento mediano é o 0 15 elemento. 57 Assim somando as freqüências temos 15 5 2 2 4 2 · + + + + . A mediana será 15. Portanto a nota mediana é 15. Para uma distribuição de freqüência agrupada em classes, a mediana é tal que metade da área total dos retângulos do histograma da distribuição está à sua esquerda, e a outra metade está à sua direita. De modo geral podemos calcular a mediana por: c f j L x ~ Md ⋅ + · · onde L: é a fronteira inferior da classe em que a mediana deve estar. f: é a sua freqüência c: o intervalo de classe j: é o número de elementos que ainda faltam quando atingimos L. Exemplo: A tabela abaixo representa as notas obtidas por 500 alunos em um teste de geografia. Calcule a nota mediana. Notas f j 10 25 44 25 40 70 40 55 92 55 70 147 70 85 115 85 100 32 Total 500 58 Solução: Como temos 500 elementos, o valor mediano deverá estar no 0 250 2 500 · elemento. Assim << = >? = @A 9 A?B e << = >? = @A = C<> 9 ;:; D A:?. A mediana estará na 4.ª classe. Usando a fórmula temos: L = 55, f = 147, c = 15 e j = 250-206 = 44. Logo 5 , 59 15 147 44 55 · ⋅ + · Md Md Portanto a mediana é 59,5. 3) Moda: (o Dados não agrupados É o valor que ocorre com maior freqüência e mais de uma vez. Exemplo: Vinte reuniões de um clube de dança tiveram as seguintes freqüências de seus membros 26 25 28 23 25 24 24 21 23 26 28 26 24 32 25 27 24 23 24 22 Qual a moda? Solução: A moda vale 24, pois ocorre 5 vezes. bservação: A moda é raramente utilizada em inferência estatística pelo fato de nem sempre existir (o que ocorre quando não há dois valores iguais) ou de, eventualmente, não ser única. 59 Exemplo: Os dados a seguir referem-se a quantidade de pessoas que assistiram a 6 sessões de um filme no cinema: 121 133 121 133 114 141 Qual o número modal de pessoas que assistiram ao filme? Solução: Temos que os números 121 e 133 repetem, ambos, duas vezes. Portanto a moda não é única. Logo as modas são 121 e 133. Cálculo da Moda de dados em tabela de distribuição de freqüência Se tivermos uma tabela de distribuição de freqüência simples, então podemos proceder como no caso anterior. Exemplo: A tabela abaixo representa as notas em estatística dos alunos do 7.º período de Matemática da FAFÌDÌA. Notas Freqüência f j 11 2 12 4 13 2 14 2 15 10 16 6 17 2 18 1 29 Qual a nota modal? Solução: A nota que ocorre com maior freqüência é a nota 15, pois ocorre 10 vezes. Logo a nota modal é (o 9 C:. 60 Quando temos uma tabela de distribuição de freqüência agrupada em classes, o cálculo da moda é feito utilizando a fórmula de Czuber. 1.º passo: Ìdentificamos a classe modal ( aquela que possui maior frequência) 2.º passo: Aplica-se a fórmula h L Mo ⋅ ∆ + ∆ ∆ + · 2 1 1 onde L: É o limite inferior da classe modal. 1 ∆ : Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe imediatamente anterior. 2 ∆ : Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe imediatamente posterior. h: Amplitude da classe modal Exemplo: A tabela abaixo representa as notas obtidas por 500 alunos em um teste de geografia. Calcule a nota modal. Notas f j 10 25 44 25 40 70 40 55 92 55 70 147 70 85 115 85 100 32 Total 500 61 Solução: 1.º passo: A classe modal é a 4.ª, pois ela possui a maior freqüência. 2.º passo: Temos L = 55, 55 92 147 1 · − · ∆ , 32 115 147 2 · − · ∆ e h = 15 5 , 64 15 32 55 55 55 · ⋅ + + · Mo Mo Logo a nota modal é (o 9 B<8:. 62 (edidas de Eariabilidade São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média. Considere os dois conjuntos da dados a seguir: Conjunto 1 20 20 20 20 20 20 20 Conjunto 2 30 15 15 20 20 20 20 Ambos os conjuntos têm média 20, no entanto a variabilidade dos elementos do conjunto 2 é maior. Desvio "adrão Símbolo: S Dados não agrupados Amostral Populacional 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − − · ∑ ∑ · · n x x n S n i i n i i 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − · ∑ ∑ · · n x x n n i i n i i 2 1 1 2 1 σ Cálculo do desvio padrão de dados em tabela de distribuição de freqüência Sejam : x i o ponto médio da classe i , 63 f i a freqüência da classe i, k a quantidade de classe. 64 Amostral Populacional 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − − · ∑ ∑ · · n f x f x n S i k i i k i i i 2 1 1 2 . . 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − · ∑ ∑ · · n f x f x n i k i i k i i i 2 1 1 2 . . 1 σ A variFncia de um conjunto de dados é denotada por s 2 O desvio padrão aumenta quando a dispersão dos dados aumenta. Exemplo: A tabela abaixo representa as notas obtidas por 500 alunos em um teste de geografia. Calcule o desvio-padrão. Notas f j x i x i .f x i 2 . f 10 25 44 17,5 770 13.475 25 40 70 32,5 2.275 73.937,5 40 55 92 47,5 4.370 207.575 55 70 147 62,5 9.187,5 574.218,8 70 85 115 77,5 8.912,5 690.718,8 85 100 32 92,5 2.960 273.800 Total 500 28.475 1.833.725 65 Temos que ( ) ( ) ( ) 2 , 19 183868 , 368 75 , 723 . 183 499 1 25 , 651 . 621 . 1 725 . 833 . 1 499 1 500 475 . 28 725 . 833 . 1 1 500 1 2 · · · − · , _ ¸ ¸ − − · s s s s s Logo o desvio-padrão é de 19,2. 66 E&ercícios 1) A tabela abaixo se refere ao peso, em kg, de 50 alunos de uma determinada escola. Peso = x i f i 45 8 55 22 65 8 75 6 85 5 95 1 Total 50 a) Calcule a média dos dados agrupados b) Calcule a variância. 2) A média aritmética é a razão entre: a) ( ) O número de valores e o somatório; b) ( ) O somatório dos valores e o número; c) ( ) Os valores extremos; d) ( ) Os dois valores centrais. 3) Numa distribuição de valores todos iguais, o desvio-padrão é: a) ( ) negativo; b) ( ) positivo; c) ( ) a unidade; d) ( ) zero. 4) A média de um conjunto de valores iguais a uma constante é: a) ( ) zero; b) ( ) o valor da constante; c) ( ) a unidade; 67 d) ( ) a quantidade de valores que temos 5) O desvio-padrão de um conjunto de dados é 4. A variância será: a) ( ) 3; b) ( ) 4; c) ( ) 16; d) ( ) 81. 6) Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de R$ 250,00 cada um, quatro escriturários recebendo R$ 600,00 cada um, um chefe de escritório com salário de R$ 1.000,00 e três técnicos. A média de salários da empresa é de R$ 1.050,00. Quanto cada técnico recebe? 7) A média do conjunto de valores 46,1 57,5 21,6 16,8 4,2 é igual a? 8) O desvio-padrão do conjunto de valores 46 57 21 16 4 É igual a? 9) Os 20 dados abaixo se referem aos índices pluviométricos em determinado Estado: 144 152 159 160 160 151 157 146 154 145 141 150 142 146 142 141 141 150 143 158 Determine: a) O índice médio. b) O índice mediano. 68 10) Os dados abaixo se referem a pesos (em gramas) de 50 ratos usados em um estudo de deficiência de vitaminas. 136 125 135 137 126 129 124 118 120 126 119 92 115 115 127 95 100 113 95 113 146 103 101 118 121 129 110 126 106 148 137 87 126 119 125 132 108 118 119 117 120 110 82 105 102 104 133 104 132 146 a) Construa uma tabela de distribuição de freqüência agrupada em classes. b) Qual o peso modal? c) Qual o desvio-padrão? d) Um rato é considerado magro se seu peso é menor que s x 2 − e gordo se seu peso é maior que s x 2 + . Quais os pesos máximo e mínimo para que um rato seja considerado magro ou gordo? e) Baseado na letra e, um rato cujo peso é de 135 gramas é considerado magro ou gordo? Justifique sua resposta. 11) Dê um exemplo numérico, com no máximo 4 amostras, em que a média e a mediana sejam iguais e o desvio-padrão seja nulo. 12) Dê um exemplo numérico, com no máximo 4 amostras, em que a média é menor que a mediana. 13) Um artigo de jornal fez menção a determinada pesquisa citando que o conjunto amostral acusa Σx = 5, Σx 2 = 7 e s = 0,5. Por erro esqueceram de citar o tamanho da amostra utilizado. Considerando as informações anteriores o que podemos dizer sobre os possíveis tamanho da amostra? 69 14) Uma lista de números acusa Σx =202, Σx 2 = 3.452 e n = 15. Qual o desvio- padrão? 15) Em quatro paradas no box, o mecânico dos pneus dianteiros trocou o pneu dianteiro direito dos carros de corrida em 10,8 12,0 10,5 10,7 segundos. Calcule: a) o tempo médio de troca de pneus b) o desvio-padrão. 16) A tabela a seguir apresenta o tempo que 80 estudantes dedicam a atividade de lazer durante uma semana escolar típica Calcule: a) o tempo médio b) o tempo mediano c) Qual a porcentagem dos alunos que dedicam mais de 25 horas de lazer ? Horas f j 10 15 9 15 20 28 20 25 27 25 30 12 30 35 4 Total 80 70 17) Uma lista de números acusa Σx =40 e Σx 2 = 156. Quantos valores figuram na lista, se seu desvio-padrão é 2,0? 18) Um inspetor de controle de qualidade examinou 15 engradados de telhas de cerâmica, contendo cada um 144 telhas. Os números de telhas trincadas nessas caixas foram 2 5 3 4 2 0 1 5 7 3 0 2 2 4 3 Calcule: a) o número médio de telhas trincadas e b) o desvio-padrão. 71 19) A tabela de distribuição a seguir apresenta o número de peças defeituosas em uma produção de determinado produto N4G de defeitos N4G de "eças 0 5 1 10 2 18 3 12 4 5 Total 40 Calcule: a) a média b) a mediana c) a moda d) Qual das três medidas melhor representa os dados? 20) A tabela a seguir apresenta os salários pagos a 100 operários de uma empresa Calcule: a) o salário médio N.º de salários mínimos f j 0 2 40 2 4 30 4 6 10 6 8 15 8 10 5 Total 100 72 b) o salário mediano c) Qual a porcentagem dos empregados que ganham acima de 4 salários? d) O dono da empresa afirmou, em entrevista, que seus funcionários ganham, em média, R$ 1440,00. Considerando o salário mínimo no valor de R$ 330,00, a afirmação do dono da empresa é verdadeira? 73 .e"resentação 6ráfica 1) Classificação dos gráficos segundo o objetivo É possível distinguir, de certo modo arbitrariamente, dois objetivos que justifiquem o emprego de gráficos. Os gráficos são usados para apresentar visualmente dados numéricos, proporcionando maior facilidade e rapidez de compreensão dos mesmos, ou, então, para apresentar conclusões ou resultados de uma análise. Há, portanto, dois tipos de gráficos, conforme o objetivo ou uso a que se destinam: gráficos de informação e gráficos de análise. a) Gráficos de Ìnformação São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara da intensidade das modalidades e dos valores relativos ao fenômeno observado. São gráficos tipicamente expositivos, devendo, por conseguinte, ser o mais completo possível, dispensando comentários explicativos adicionais. b) Gráficos de Análise Os gráficos de análise prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Quando se usam gráficos para apresentar os resultados de uma análise, esses freqüentemente vêm acompanhados de uma tabela. Ìnclui-se, muitas vezes, um texto dissertativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico ou pela tabela. 2) Uso indevido dos gráficos 74 Muitas vezes, o uso indevido dos gráficos pode trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. 3) Gráficos em linhas ou gráficos lineares Os gráficos em linha são freqüentemente usados para a representação de séries de tempo (quando um dos fatores for o tempo). Para construir o gráfico em linha, basta marcar os pontos correspondentes aos valores observados em cada período e uni-los por meio de um traço contínuo. 75 Exemplo: O dado apresentado na tabela representa as matriculas em uma escola municipal. Tabela: Matrículas em Escola Municipal Ano 200 3 200 2 200 1 200 0 199 9 199 8 199 7 199 6 1995 Matrícula s 158 0 165 0 145 0 180 0 165 0 149 0 159 0 163 0 1530 Matriculas na Rede Municipal de BH 1450 1480 1510 1540 1570 1600 160 1660 16!0 1720 1750 1780 1810 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 2 0 0 0 1 ! ! ! 1 ! ! 8 1 ! ! 7 1 ! ! 6 1 ! ! 5 Ano ( a t r i c u l a s 4) Gráficos em barras Exemplo: A tabela a seguir apresenta a pulsação, por minutos, de alunos do primeiro ano da Faculdade de Ciências Médicas de MG, 1990. Tabela: Pulsação, por minutos, de alunos do primeiro ano da Faculdade de Ciências Médicas de MG, 1990 76 Pulsação (p/m) Freqüênci a 60 3 68 6 82 12 84 4 98 3 100 2 Pulsação8 "or #inuto8 de alunos do "ri#eiro ano da 'aculdade de Ciências ()dicas de (68 C@@? 0 2 4 6 8 10 12 14 60 68 82 84 98 100 Pulsação ' r e 0 u ê n c i a 77 0 2 4 6 8 10 12 're0uên cia 60 68 82 84 98 100 Pulsação Pulsação8 "or #inuto8 de alunos do "ri#eiro ano da 'aculdade de Ciências ()dicas de (68 C@@? 5) Gráficos de Pizza ou setores Exemplo: A tabela a seguir apresenta a pulsação, por minutos, de alunos do primeiro ano da Faculdade de Ciências Médicas de MG, 1990. 78 Tabela: Pulsação, por minutos, de alunos do primeiro ano da Faculdade de Ciências Médicas de MG, 1990 Pulsação (p/m) Freqüênci a 60 3 68 6 82 12 84 4 98 3 100 2 Pulsação8 "or #inuto8 de alunos do "ri#eiro ano da 'aculdade de Ciências ()dicas de (68 C@@? 60 68 82 84 98 100 6) Histograma O histograma é um gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos, de forma que a área de cada retângulo seja proporcional à freqüência da classe que ele representa. Assim, a soma dos valores correspondentes às áreas dos retângulos será sempre igual à freqüência total. O histograma é constituído tomando-se como referência dois eixos coordenados. No eixo horizontal são anotados os valores individuais da variável em estudo, ou os limites das classes. Por conseguinte, a dimensão horizontal de cada retângulo representará a classe. No eixo vertical será construída a escala onde serão lidos os valores relativos ao número de observações ou freqüências da classe. A área de cada retângulo do histograma corresponde à freqüência da classe que o 79 retângulo representa. Para determinar a altura do retângulo, basta tomar a fórmula de cálculo da área de um retângulo: S = b x h Onde: = base do retângulo = amplitude do intervalo de classe ! = altura do retângulo S = área do retângulo = freqüência da classe. Para traçar o gráfico deve-se calcular as alturas dos retângulos. Usando a fórmula acima temos: b S h · Exemplo: A tabela a seguir apresenta a pulsação, por minutos, de alunos do primeiro ano da Faculdade de Ciências Médicas de MG, 1990. Tabela: Casos de Hanseníase em Minas Gerais Anos Número 1980 32903 1984 37582 1988 37102 1992 29070 1996 11459 1999 5118 80 Casos de Hanseníase e# (6 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 1980 1984 1988 1992 1996 1999 Ano N $ # e r o 7) Poligonal Característica A poligonal característica é a representação do contorno do histograma. 8) Polígono de Freqüências Unindo por linhas retas os pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma, obtém-se outra representação dos dados, denominado Polígono de Freqüências. 81 9) Ogiva ou Polígono de Freqüências Acumuladas Tem por finalidade a representação gráfica das tabelas de freqüências acumuladas. Quando o polígono de freqüências acumuladas se refere às freqüências relativas, usa-se a denominação ogiva percentual ou polígono de freqüências relativas acumuladas. 10) Box-plot Box-plot: Gráfico em que temos o ponto de mínimo, 1º quartil, mediana, 3º quartil e o ponto de máximo. Exemplos: a) Considere o conjunto de dados 0 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 No exemplo acima temos: Mínimo = 0 1º quartil = 1 2º quartil = Mediana = 2 3º quartil = 3 Máximo = 3. 82 83 b) Considere o conjunto de dados 0 1 2 3 4 1 2 2 2 1 0 3 4 2 1 0 2 0 2 3 1 2 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Nele temos: Mínimo = 0 1º quartil = 1 2º quartil = Mediana = 1 3º quartil = 3 Máximo = 4. 11) Ramo-e-folhas É uma forma de visualização dos dados originais o qual nos permite ver a distribuição dos dados sem a perda de informações. 84 Permite visualizar a ordenação dos dados. Para a construção de um gráfico ramo-e-folhas tomamos como ramo os algarismos mais a esquerda e as folhas os algarismos mais a direita. Por exemplo, no número 352, o ramo é 35 e a folha é o 2. 85 Exemplo: a) Considere o conjunto de dados a seguir 0 1 2 3 4 1 2 2 2 1 0 3 4 2 1 0 2 0 2 3 1 2 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 O gráfico ramo-e-folhas será Ramo Folhas 0 00000 1 00000000000000000000000000 2 0000000000 3 00000000000000 4 00 b) Considere o conjunto de dados a seguir 10 11 12 12 14 13 12 10 14 15 16 12 12 13 12 11 14 15 10 14 12 O gráfico ramo-e-folhas será Ramo Folhas 10 000 11 00 12 0000000 13 00 14 0000 15 00 16 0 86 c) Considere o conjunto de dados a seguir 100 110 121 124 145 135 122 100 146 151 162 121 123 134 122 118 145 151 100 144 125 O gráfico ramo-e-folhas será Ramo Folhas 10 000 11 08 12 1122345 13 45 14 4556 15 11 16 2 87 Tabelas - Normalização de Publicações Técnico ÷ cientificas - Ed. UFMG 4) As tabelas devem ser dotadas de um título claro e conciso localizado acima delas. São numeradas seqüencialmente em todo o trabalho, com algarismos arábicos (1, 2, 3, ...), segundo normas do ÌBGE. 5) No cabeçalho de cada coluna indica-se o seu conteúdo. Os títulos das colunaspodem ser datilografados verticalmente, se necessário, para economizar espaço. 6) Não se deve deixar nenhuma "casa¨ vazia no corpo da tabela, usando-se os símbolos, conforme convenção internacional: - quando, pela natureza do fenômeno, o dado não existir Z quando o dado for rigorosamente zero ... quando não se dispuser do cálculo 7) Na construção de tabelas usam-se os seguintes traços: a) traço duplo horizontal, limitando o quadro; b) traço simples vertical, separando a coluna indicadora das demais e estas entre si; no corpo da tabela pode ser eliminado desde que o número de colunas seja pequeno e não haja prejuízo na leitura dos dados; 8) a tabela não deve ser fechada lateralmente, tampouco se colocam traços horizontais separando os dados numéricos. 88 E&ercícios 1) Observe o histograma abaixo. N$#ero de defeitos e# instru#entos 1ticos 40 120 340 290 160 30 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 1 2 3 4 5 N$#ero de defeitos ' r e 0 u ê n c i a Complete a tabela de distribuição abaixo. Número de defeitos f i 0 1 12 0 2 3 4 5 Total 89 90 Probabilidade -)cnicas de conta%e# 'atorial O fatorial de um número inteiro positivo n é representado por ! n (Lê-se: n fatorial). O fatorial do número n é obtido pela multiplicação de n por todos os inteiros inferiores até o número 1. ( ) ( ) 1 2 n 1 n n ! n ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ · Exemplos: 1) 24 1 . 2 . 3 . 4 ! 4 · · 2) 720 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 ! 6 · · Por definição: 1 ! 0 · 1 ! 1 · Observação: ! 5 . 6 ! 4 . 5 . 6 ! 6 · · Exemplo: Qual o valor de ! 3 ! 10 ! 12 ⋅ ? Solução: 22 6 11 . 12 1 . 2 . 3 . ! 10 ! 10 . 11 . 12 ! 3 ! 10 ! 12 · · · ⋅ Exercício: Muitas calculadoras ou computadores não podem calcular diretamente valores de ! 70 ou superiores. Para n muito grande, ! n pode ser aproximado por k 10 ! n · , onde o valor de k é dado por ( ) n 43429448 , 0 39908993 , 0 n log 5 , 0 n k − + + · . Calcule ! 50 utilizando a tecla fatorial da calculadora e utilizando a aproximação. 91 Princí"io 'unda#ental da Conta%e# Se um primeiro acontecimento pode ocorrer de 1 m maneiras distintas, um segundo pode ocorrer de 2 m maneira distintas e, sucessivamente, um ésimo n − acontecimento pode ocorrer de n m maneiras distintas, sendo todos eventos independentes, então o número de maneiras distintas em que os n acontecimentos ocorrem conjuntamente é n 2 1 m . . m . m . Exemplos: 1) Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadascom 3 letras e 3 algarismos? ( Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição) 2) Existem 5 ruas ligando os supermercados X e Y e 3 ruas ligando os supermercados Y e W. Quantos trajetos diferentes podem ser utilizados para irmos de X a W, passando por Y? Arran!o Si#"les Corresponde ao estudo da quantidade de maneiras em que se pode agrupar os objetos de uma amostra em que a ordem dos objetos seja relevante. O número de arran!os si#"les (sem repetição) de r elementos escolhidos dentre n elementos é ( )! r n ! n A r , n − · 92 Exemplos* 1) No estoque de uma determinada empresa existem 8 caixas diferentes, das quais devem ser escolhidas e empilhadas 4. De quantas maneiras podemos empilhar estas 4 caixas? Solução: A ordem com que empilhamos as caixas é relevante, logo temos um problema de arranjo. Assim ( ) 680 . 1 ! 4 8 ! 8 A 4 , 8 · − · 2) Um almoxarifado necessita organizar uma estante, destinada a armazenar suprimentos diversos. Sabendo que existem 3 itens diferentes da área industrial (departamento de produção), 6 itens diferentes da área de transporte e 3 itens diferentes do departamento de recursos humanos. Calcule: a) de quantas maneiras os itens poderiam ser organizados? b) se os itens da produção precisassem necessariamente ficar juntos, quantas maneiras de organizar todos os itens possíveis? Solução: a) Temos 12 itens diferentes. Ao organizá-los a ordem é relevante. Assim ( ) 600 . 001 . 479 ! 12 12 ! 12 A 12 , 12 · − · b) Temos 3 itens diferentes da área industrial. Os outros 9 não precisam ficar juntos. Podemos então considerar os 3 itens da produção como um único bloco. Assim teremos ( ) ( ) ! 3 . ! 10 ! 3 3 ! 3 ! 10 10 ! 10 A . A 3 , 3 10 , 10 · − ⋅ − · Co#binação Si#"les Corresponde ao estudo da quantidade de maneiras em que se pode agrupar os objetos de uma amostra em que a ordem dos objetos seja irrelevante. 93 O número de co#binaç,es si#"les (sem repetição) de r elementos escolhidos dentre n elementos é ( ) ! r . ! r n ! n r , n − · Exemplos: 1) Uma empresa de pesquisa mercadológica deseja selecionar uma comissão formada por 4 consumidores de uma amostra previamente selecionada de 8 pessoas. Calcule: a) de quantas maneiras possíveis as 4 pessoas poderão ser selecionadas? b) se a comissão fosse composta por um presidente, um vice-presidente, um relator e um secretário, escolhidos nessa ordem, de quantas maneiras possíveis poderemos formar a comissão? Solução: a) ( ) 70 ! 4 . ! 4 8 ! 8 4 , 8 · − · b) ( ) 680 . 1 ! 4 8 ! 8 A 4 , 8 · − · 2) Em um departamento industrial existem 8 engenheiros eletricistas e 7 técnicos em eletrônica. Sabendo que uma comissão deverá ser formada, calcule de quantas maneiras a comissão poderá ser elaborada, supondo que: a) 5 pessoas devem ser escolhidas. b) 3 engenheiros e 2 técnicos devem ser escolhidos. Solução: a) ( ) 003 . 3 ! 5 . ! 5 15 ! 15 5 , 15 · − · b) ( ) ( ) 176 . 1 ! 2 . ! 2 7 ! 7 ! 3 . ! 3 8 ! 8 2 , 7 3 , 8 · − ⋅ − · ⋅ 94 Probabilidade Definições: E&"eri#ento Aleat1rio: é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Exemplos: 1 ! : Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe. 2 ! :Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras obtidas. 3 ! : Em uma linha de produção, fabricam-se peças em série e conta-se o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas. 4 ! : Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é testada e verifica-se o tempo de vida. 5 ! : Retira-se uma bola de uma urna que contém bolas pretas, vermelhas e amarelas e observa sua cor. Es"aço A#ostral: Para cada experimento E, define-se espaço amostral S o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento. Exemplos: Considerando os experimentos aleatórios anteriores, o espaço amostral para cada um deles pode ser descrito como: 1 S : {ouro, copa, paus, espada} 2 S : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 3 S : {0, 1, 2, 3, ..., N}, onde N é o máximo de peças produzidas em 24 horas. 4 S : {t | t < 0} 5 S : {preta, vermelha, amarela} O espaço amostral pode ser: 1. Finito: formado por um número limitado de resultados possíveis. 95 2. Ìnfinito enumerável: formado por um número infinito de resultados, os quais podem ser listados ou enumerados. Exemplo: número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia em uma rede de computadores. 3. Ìnfinito: formado por intervalo de números reais. Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral. A é um evento ÷ A ⊆ S Em particular S é o evento certo e φ é o evento impossível. Exemplo: Considere o experimento E = jogar uma moeda três vezes e observar os resultados. Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } k , k , k , " , k , k , k , " , k , k , k , " , " , k , " , " , " , k , k , " , " , " , " , " S · Seja o evento: A = ocorrer pelo menos duas caras. Então ( ) ( ) ( ) ( ) { } " , k , " , " , " , k , k , " , " , " , " , " A · Eventos (utua#ente E&clusivos: Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é φ · ∩# A . Exemplo: Considere o experimento E = jogar um dado e observar o número da parte de cima. Então { } 6 5 4 3 2 1 , , , , , S · Sejam os eventos: A = ocorrer um número par, e B = ocorrer um número ímpar. Então { } 6 , 4 , 2 A · , { } 5 , 3 , 1 # · e φ · ∩# A . Definição clássica de probabilidade 96 Dado um experimento aleatório E, S o espaço amostral e A um evento. A probabilidade do evento A, ( ) A $ , é uma função definida em S que associa a cada evento um número real calculada pela relação: ( ) ( ) ( ) S n A n A $ · Onde: ( ) A n : é o número de vezes em que o evento A pode ocorrer ( ) S n : é o número de vezes em que o espaço amostral S pode ocorrer Obs: Ao expressar a probabilidade devemos fazê-la utilizando as frações ordinárias ou com 4 casas decimais. Exemplos: 1. Considere um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de se retirar uma carta de ouro? Solução: Em um baralho temos 13 cartas de ouro. Logo considerando o evento A = retirar uma carta de ouro temos ( ) 4 1 52 13 A $ · · 2. Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas aleatoriamente. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? Solução: Evento A = ambas peças são defeituosas. Número de maneiras do evento A ocorrer = ( ) 6 ! 2 . ! 2 4 ! 4 2 4 · − · , _ ¸ ¸ . Número de maneiras do espaço S ocorrer = ( ) 66 ! 2 . ! 2 12 ! 12 2 12 · − · , _ ¸ ¸ . Logo ( ) 11 1 66 6 A $ · · . 3. A MasterCard Ìnternational efetuou um estudo de fraude em cartões de crédito. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir. Tabela: Tipos de fraude em cartões de crédito Tipo de fraude Número de ocorrência 97 Cartão roubado 243 Cartão falsificado 85 Pedido por correio/ telefone 52 Outros 46 Selecionando aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de: a) a fraude resultar de um cartão roubado? b) A fraude não ser de cartão falsificado? Solução: a) Considere o evento A = cartão roubado. Logo ( ) 5704 , 0 426 243 A $ · · . b) Considere o evento B = cartão não falsificado. Então ( ) 8005 , 0 426 341 # $ · · Propriedades da probabilidade Para cada evento A é associado um número real ( ) A P com as seguintes propriedades: 1) ( ) 1 0 ≤ ≤ A P 2) ( ) 1 · S P 3) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos então ( ) ( ) ( ) B P A P B A P + · ∪ Eventos co#"le#entares: Dois eventos A e B são complementares quando A 5 B 9 S. Neste caso vale a propriedade ( ) ( ) 1 # $ A $ · + . Neste caso simbolizamos c A B · Exemplo: O evento A = chuva e o evento B = não chuva são complementares. Evento Co#"osto: É qualquer evento que combina dois ou mais eventos simples. Exemplo: No lançamento de um dado considere o evento A = {2,5}. 98 .e%ra da Adição: Se A e B são dois eventos quaisquer, então: ( ) ( ) ( ) ( ) # A $ # $ A $ # A $ ∩ − + · ∪ Observações: ( ) # A $ ∪ denota a probabilidade do evento A, ou do evento B, ou de ambos. ( ) # A $ ∩ denota a probabilidade do evento A e do evento B simultaneamente em um mesmo experimento. 99 Exemplos: 1) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em uma locadora de vídeos, estão apresentados na tabela a seguir: Tabela: Preferência de homens e mulheres por filmes Sexo / Filme Comédia Romance Policial Homens 136 92 248 Mulheres 102 195 62 Sorteando-se ao acaso uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade de: a) Uma mulher ter alugado um filme ou o filme é do gênero policial; b) Um homem ter alugado um filme ou o filme é do gênero romance. Solução: a) Considere os eventos A = mulher aluga o filme e B = Filme é do gênero policial ( ) ( ) ( ) ( ) # A $ # $ A $ # A $ ∩ − + · ∪ ( ) 7269 , 0 835 607 835 62 835 310 835 359 # A $ · · − + · ∪ b) Considere os eventos A = homem aluga o filme e B = Filme é do gênero romance ( ) ( ) ( ) ( ) # A $ # $ A $ # A $ ∩ − + · ∪ ( ) 8036 , 0 835 671 835 92 835 287 835 476 # A $ · · − + · ∪ 100 2) Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda, das 12 conexões 4 são defeituosas. Uma conexão é retirada aleatoriamente. Qual a probabilidade de a conexão ser defeituosa ou ter sido retirada da segunda caixa? Solução: a) Considere os eventos A = conexão defeituosa. B = conexão retirada da segunda caixa. ( ) ( ) ( ) ( ) # A $ # $ A $ # A $ ∩ − + · ∪ ( ) 5476 , 0 42 23 42 4 42 12 42 15 # A $ · · − + · ∪ Obs: Este exemplo pode ser melhor visualizado utilizando a árvore de probabilidade. Ou seja: .e%ra da (ulti"licação: Se A e B são dois eventos quaisquer, então: ( ) ( ) ( ) # $ . A $ # A $ · ∩ se A e B são independentes ou ( ) ( ) ( ) A % # $ . A $ # A $ · ∩ se A e B são dependentes Notação: ( ) A % # $ representa a probabilidade de ocorrência do evento B dado que o evento A ocorreu. É chamado de probabilidade condicional. Dois eventos A e B são inde"endentes se a ocorrência de um deles não afeta 101 a probabilidade de ocorrência do outro. Caso contrário eles são de"endentes. Exemplos: 1) Uma determinada companhia produz um lote de 50 filtros de combustíveis, dos quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados: a) com reposição; b) sem reposição. Solução: Considere os eventos A = filtro bom. B = filtro bom. a) Como processo de escolha é com reposição, então a escolha do primeiro filtro não afeta a escolha do segundo filtro. Logo são independentes. Assim ( ) ( ) ( ) # $ . A $ # A $ · ∩ ( ) 7744 , 0 2500 1936 50 44 50 44 # A $ · · ⋅ · ∩ b) Como processo de escolha é sem reposição, então a escolha do primeiro filtro afeta a escolha do segundo filtro. Logo são dependentes. Assim ( ) ( ) ( ) A % # $ . A $ # A $ · ∩ ( ) 7722 , 0 2450 1892 49 43 50 44 # A $ · · ⋅ · ∩ 102 2) Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda, das 12 conexões 4 são defeituosas. Uma conexão é retirada aleatoriamente de cada caixa. Calcule a probabilidade de: a) Apenas uma ser defeituosa. b) Ambas serem defeituosas. c) Ambas não serem defeituosas. Solução: a) Podemos ter os seguintes casos: DB ou BD. Assim Caso 1: A = defeituosa na primeira B = boa na segunda. ( ) ( ) ( ) # $ . A $ # A $ · ∩ ( ) 2444 , 0 360 88 12 8 30 11 # A $ · · ⋅ · ∩ Caso 2: A = defeituosa na segunda B = boa na primeira. ( ) ( ) ( ) # $ . A $ # A $ · ∩ ( ) 2111 , 0 360 76 30 19 12 4 # A $ · · ⋅ · ∩ Portanto a probabilidade de apenas uma ser defeituosa é de ( ) 4555 , 0 2111 , 0 2444 , 0 &'('i)*os+ *m+ +,'n+s $ · + · b) 12,22%. c) 42,22%. 103 -eore#a da "robabilidade total Considere o espaço amostral particionado em k eventos, k 2 1 A , , A , A , satisfazendo às seguintes condições: a) φ · ∩ - i A A para todo - i ≠ . b) S A A A k 2 1 · ∪ ∪ ∪ . c) ( ) 0 A $ i ≥ para k , , 2 , 1 i · . Seja um evento F qualquer, referente ao espaço amostral S . Então: ( ) ( ) ( ) ∑ · · k 1 i i i A % . $ A $ . $ Demonstração: Considere F um evento qualquer em S. Então ( ) ( ) ( ) k 2 1 A . A . A . . ∩ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ · Usando a regra do produto teremos ( ) ( ) ( ) ( ) k 2 1 A . $ A . $ A . $ . $ ∩ + + ∩ + ∩ · Usando a regra do produto teremos o teorema da probabilidade total ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 2 2 1 1 A % . $ A $ A % . $ A $ A % . $ A $ . $ + + + · ( ) ( ) ( ) ∑ · · k 1 i i i A % . $ A $ . $ Cqd. Exemplo: Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas, denominadas X, Y e Z. Sabe-se que X produz o dobro de peças que Y, e Y e Z produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por X e Y são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por Z são defeituosas. Todas as peças são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a peça escolhida seja defeituosa? 104 Solução:Considere os seguintes eventos F = a peça é defeituosa 1 A = a peça provém da fábrica X. 2 A = a peça provém da fábrica Y. 3 A = a peça provém da fábrica Z. Empregando o teorema da probabilidade total temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 A % . $ A $ A % . $ A $ A % . $ A $ . $ + + · Sabe-se que: ( ) 2 1 A $ 1 · ( ) 4 1 A $ 2 · ( ) 4 1 A $ 3 · ( ) ( ) 02 , 0 A % . $ A % . $ 2 1 · · ( ) 04 , 0 A % . $ 3 · Logo ( ) 0250 , 0 04 , 0 4 1 02 , 0 4 1 02 , 0 2 1 . $ · ⋅ + ⋅ + ⋅ · Assim, a probabilidade da peça ser defeituosa é de 0,0250 ou 2,50%. 105 -eore#a de BaIes (Thomas Bayes 1702 - 1761) Considere o espaço amostral particionado em k eventos, k 2 1 A , , A , A , satisfazendo às seguintes condições: a) φ · ∩ - i A A para todo - i ≠ . b) S A A A k 2 1 · ∪ ∪ ∪ . c) ( ) 0 A $ i ≥ para k , , 2 , 1 i · . Seja um evento F qualquer, referente ao espaço amostral S . Então: ( ) ( ) ( ) ( ) . $ A % . $ A $ . % A $ i i i · Exemplo: 1) (voltando ao exemplo anterior) Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas, denominadas X, Y e Z. Sabe-se que X produz o dobro de peças que Y, e Y e Z produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por X e Y são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por Z são defeituosas. Todas as peças são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a peça escolhida seja produzida pela fábrica Y dado que ela era defeituosa? Solução:Considere os seguintes eventos F = a peça é defeituosa 1 A = a peça provém da fábrica X. 2 A = a peça provém da fábrica Y. 3 A = a peça provém da fábrica Z. Sabe-se que: ( ) 0250 , 0 . $ · (pelo exemplo anterior) ( ) 4 1 A $ 2 · ( ) ( ) 02 , 0 A % . $ A % . $ 2 1 · · Logo ( ) ( ) ( ) ( ) . $ A % . $ A $ . % A $ 2 2 2 · 106 ( ) 0250 , 0 02 , 0 4 1 . % A $ 2 ⋅ · ( ) 0250 , 0 005 , 0 . % A $ 2 · ( ) 2000 , 0 . % A $ 2 · 2) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, B, C, D e E). Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 10% vêm do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente C, 2% do cliente D e 8% do cliente E. a) Qual é a probabilidade de o sistema apresentar erro? b) Qual é a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E, sabendo-se que apresentou erro? E&ercício* 1) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em uma locadora de vídeos, estão apresentados na tabela a seguir: Sexo / Filme Comédia Romance Policial Homens 136 92 248 Mulheres 102 195 62 Sorteando-se ao acaso uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade de: c) Uma mulher ter alugado um filme e o filme ser de comédia; d) Um homem ter alugado um filme e o filme ser de romance. 107 2) Uma determinada companhia produz um lote de 50 filtros de combustíveis, dos quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados: c) com reposição; d) sem reposição. 3) Joga-se dois dados equilibrados e soma-se os dois resultados. Qual a probabilidade de se obter o total 5 ? 4) Se 226 dentre 300 assinantes de um jornal, selecionado aleatoriamente, afirmaram que lêem a seção cômica diariamente. Qual a probabilidade de um assinante escolhido aleatoriamente não ler a seção cômica? 5) Diga se cada afirmação é verdadeira ou se ela é falsa. a. Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. b. Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo eles são chamados de mutuamente excludentes. c. A regra da adição é usada para encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente. d. A amostra é um subconjunto da população. Em todo experimento a amostra pode ser igual à população. e. Dado x um evento, então ( ) 1 x P 0 < < . 6) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de o primeiro resultado ser maior do que o segundo? 7) Um grupo de 100 alunos de dois cursos de uma faculdade foram escolhidos para responderem a uma pesquisa. A tabela a seguir apresenta a composição destes alunos: Matemática Pedagogia Homens 31 10 108 Mulheres 23 36 Selecionando aleatoriamente um aluno: a) qual a probabilidade dele ser homem ou ser do curso de Pedagogia? b) qual a probabilidade dela ser mulher dado que é do curso de Matemática? 8) Uma livraria acaba de receber 40 novos livros, entre eles 12 romances históricos. Se quatro desses livros são escolhidos aleatoriamente, e sem reposição, qual a probabilidade de nenhum deles ser romance histórico? (Expressar o resultado em fração) 9) A tabela a seguir apresenta o número de pacientes internados no hospital X, por Alas. Alas Sexo e Número Total Masculino Feminino A 415 220 635 B 250 375 595 C 105 220 325 Total 740 815 1555 A probabilidade de um paciente selecionado aleatoriamente ser do sexo feminino ou estar internado na ala A é de: 10) Complete com E se a afirmação for verdadeira e com ' se for falsa. a. ( ) Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. b. ( ) Se dois eventos podem ocorrer ao mesmo tempo eles são chamados de mutuamente excludentes. c. ( ) A regra da multiplicação é usada para encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente. 109 d. ( ) A amostra é um subconjunto da população. Em todo experimento a amostra nunca será igual à população. e. ( ) Dado x um evento, então ( ) 1 0 ≤ < x " . 11) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de o primeiro resultado ser menor do que o segundo? 12) Um grupo de 100 alunos de dois cursos de uma faculdade foram escolhidos para responderem a uma pesquisa. A tabela a seguir apresenta a composição destes alunos: Matemática Pedagogia Homens 31 10 Mulheres 23 36 Selecionando aleatoriamente um aluno(a): a) qual a probabilidade dele ser homem e ser do curso de Pedagogia? b) qual a probabilidade dela ser mulher ou ser do curso de Matemática? 13) Uma livraria acaba de receber 40 novos livros, entre eles 12 romances históricos. Se um desses livros é escolhido aleatoriamente, e sem reposição, qual a probabilidade dele ser romance histórico? (Expressar o resultado em fração) 14) Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidade? 0 ; 0,0001; -0,2 ; 3/2 ; 2/3 ; 2 ; 2 , 0 15) Quanto é P(A), se A é o evento "Fevereiro tem 30 dias este ano¨? 16) Quanto é P(A), se A é o evento "Novembro tem 30 dias este ano¨? 17) Qual a probabilidade do resultado "cara¨ ao jogar uma moeda? 18) A MasterCard Ìnternational efetuou um estudo de fraude em cartões de crédito. Os resultados estão na tabela a seguir 110 Tipo de fraude Número Cartão roubado 243 Cartão falsificado 85 Pedido por correio/ telefone 52 Outros 46 Selecionado aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de a fraude resultar de um cartão falsificado? 19) Um casal planeja ter 2 filhos. a) Relacione os diferentes resultados, de acordo com o sexo de cada criança. b) Determine a probabilidade de o casal ter 2 meninas c) Determine a probabilidade de exatamente uma criança de cada sexo. 20) Em um teste com 3 questões do tipo verdadeiro/falso, um estudante que não está preparado deve responder cada uma aleatoriamente. a) Relacione os diferentes resultados possíveis. b) Qual é a probabilidade de responder corretamente todas as três questões? c) Qual a probabilidade de "palpitar¨ incorretamente todas as três questões? d) Qual a probabilidade de acertar duas questões? 21) Diga se os dois eventos são mutuamente excludentes: a. Escolha de um espectador de televisão do sexo masculino; b. Escolha de alguém que raramente utiliza o controle remoto. 22) Diga se os dois eventos são mutuamente excludentes: c. Girar uma roleta e obter um número 7; d. Girar uma roleta e obter um número par. 23) De um conjunto de cinco empresas, deseja-se selecionar, aleatoriamente, uma empresa, mas com probabilidade proporcional ao número de funcionários. O número de funcionários da Empresa A é 20; de B é 15; de C é 7; de D é 5 e de E é 3. a) Qual a probabilidade de cada uma das empresas ser selecionada? b) Qual é a probabilidade de a Empresa A não ser 111 Selecionada? 24) Se 4 , 0 " # · A $ e 5 , 0 " # · # $ , o que se pode dizer quanto a " # # A $ ∪ se A e B são eventos mutuamente exclusivos? 25) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; três peças são retiradas aleatoriamente. Calcule: a. A probabilidade de ambas serem defeituosas. b. A probabilidade de ambas não serem defeituosas. c. A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 26) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos leves e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida aleatoriamente. Calcule a probabilidade de: a. Ela não tenha defeitos graves. b. Ela não tenha defeito. c. Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 27) Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nass respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é selecionada aleatoriamente e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? 28) A probabilidade de o aluno X resolver um problema é de 3/5 e a do aluno Y resolver o mesmo problema é de 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 29) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: Homem Mulher Menores 5 3 Adultos 5 2 Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se: a. Qual a probabilidade de ser homem? b. Qual a probabilidade de ser adulto? c. Qual a probabilidade de ser mulher e menor? d. Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser homem? e. Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor/ 112 30) Suponha que um fabricante de sorvete recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda 1 . , 30% de uma outra fazenda 2 . e 50% de . . Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa, e observou que 20% do leite produzido por 2 . estava adulterado por adição de água, enquanto que para 2 . e . , essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. Para um galão escolhido ao acaso, calcule: a) a probabilidade de que o leite tenha sido produzida pela fazenda 1 . b) a probabilidade de que o leite tenha sido produzida pela fazenda 2 . c) a probabilidade de que o leite tenha sido produzida pela fazenda . 31) Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo aleatoriamente o ponto de furo. Não encontrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também não tenha sucesso, faz uma terceira e última tentativa. Admita probabilidade de 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa região. Calcule a probabilidade de: a) encontrar água na segunda tentativa. b) encontrar água em até duas tentativas encontrar água. 113 Distribuiç,es de "robabilidade Eariável Aleat1ria Definição: Sejam E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento S s ∈ um número real ( ) s X é denominada variável aleatória. Veja a ilustração Exemplo: E: Lançamento de duas moedas; J: Número de caras obtidas nas duas moedas; ( ) ( ) ( ) ( ) { } k , k , c , k , k , c , c , c S · , onde c= cara e k= coroa; A variável aleatória J pode assumir os valores 0, 1 e 2. Outros exemplos de variáveis aleatórias: 2. X: número de acidentes com aviões de uma determinada companhia; 3. X: número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos; 4. X: número de peças produzidas por uma empresa em determinado dia; 5. X: altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente. 114 Definições: Uma variável aleat1ria discreta admite um número finito de valores ou um número infinito enumerável de valores. Exemplo: a. O número de espectadores que vêem um filme. b. Número de peças produzidas em um dia. Uma variável aleat1ria contínua admite um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. Exemplo: a) A voltagem em uma pilha. b) Quantidade de leite em um copo. Distribuição de Probabilidade Dada uma variável aleatória discreta, podemos identificar: 1) Quais os possíveis resultados podem ocorrer; 2) Qual a probabilidade de cada resultado ocorrer. Por exemplo: No lançamento de duas moedas não viciadas, o número de caras possíveis e suas probabilidades é dada por: 115 Tabela: Distribuição de probabilidade do nº de caras no lançamento de duas moedas Nº de caras x Probabilidad e 0 1/4 1 2/4 2 1/4 Total 1 Assim, defini#os: A Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é a descrição do conjunto de probabilidades associadas aos possíveis resultados de X. Podemos também chamá-la de função de probabilidade. Simbolicamente temos: ... , 2 , 1 " # " # · · · i "om x / $ x , i i No caso do exemplo anterior temos: 4 1 0 2 / 1 $ 0 2 1 , 4 2 0 1 / 1 $ 0 1 1 , 4 1 0 0 / 1 $ 0 0 1 , · · · · · · · · · O gráfico da distribuição de probabilidade é dada por: 116 Gráfico: Distribuição de probabilidade do número de caras no lançamento de duas moedas A função de probabilidade deve satisfazer às seguintes propriedades: 1) 0 " # ≥ i x , ; 2) 1 " # · ∑ i i x , . 'unção de distribuição acu#ulada Podemos também representar uma distribuição de probabilidade por sua função de distribuição acumulada definida por: ℜ ∈ ∀ ≤ · x x / $ x . ", # " # onde ℜ é o conjunto dos números naturais. Obs.: A distribuição acumulada descreve a probabilidade de ocorrer um valor até x. Exemplo: No lançamento de duas moedas não viciadas, a distribuição acumulada do número de caras possíveis é dada por: ( ) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ ≤ < ≤ < ≤ · x 2 s' 1 2 x 1 s' 4 3 1 x 0 s' 4 1 x . 117 Tabela: Distribuição de probabilidade acumulada do nº de caras no lançamento de duas moedas Valores possíveis x Distribuição acumulada 0 1/4 1 3/4 2 4/4 O gráfico da distribuição acumulada da variável X = número de caras em dois lançamentos é: Gráfico: Distribuição de probabilidade do número de caras no lançamento de duas moedas Ealor es"erado A média ou valor esperado de uma variável aleatória X é dado por: ∑ · · · k 1 i i i 0 x 1 , . x 0 / 1 ! µ EariFncia A variância de uma variável aleatória X é dada por: 2 2 " # " # µ − · / ! / 2+r 118 Exemplo: No lançamento de duas moedas não viciadas, a média e a variância são dadas por: Valores possíveis x Probabilidade p(x) ( ) i i x , x ⋅ ( ) i 2 i x , x ⋅ 0 1/4 0 0 1 2/4 2/4 2/4 2 1/4 2/4 1 Total 1 1 1,5 Assim ∑ · · · k 1 i i i 1 0 x 1 , . x µ 5 , 0 1 5 , 1 0 / 1 ! 0 / 1 2+r 2 2 · − · − · µ Exercícios 1) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente sem reposição. Resolva: a) Encontre a distribuição de probabilidade associada a variável aleatória X = número de peças defeituosas. b) Faça o gráfico do resultado obtido na letra a. c) Encontre a distribuição acumulada de X. d) Faça o gráfico do resultado obtido na letra c e) Encontre a média de peças defeituosas, ou seja, a média de X. f) Encontre a variância do número de peças defeituosas, ou seja, a variância de X. 2) Considere o lançamento de um dado honesto. Encontre a distribuição de probabilidade associada ao resultado da face deste dado. 3) Suponha ( ) 5 x x $ · (onde x assume valores 0, 1, 2, 3). ( ) x $ Define uma distribuição de probabilidade? 4) Suponha ( ) 3 x x $ · (onde x assume valores 0, 1, 2). ( ) x $ Define uma distribuição de probabilidade? 5) Suponha ( ) ( ) [ ] ! x ! x 3 4 3 x $ − · (onde x assume valores 0, 1, 2, 3). ( ) x $ Define uma distribuição de probabilidade? 119 6) O peso de um livro escolhido aleatoriamente é uma variável aleatória discreta ou contínua? 7) O custo de uma peça escolhida aleatoriamente é uma variável aleatória discreta ou contínua? 8) Suponha que a variável aleatória discreta x possa tomar os valores 1, 2, 3, ..., n e que esses valores sejam igualmente prováveis. Mostre que ( ) 2 1 n + · µ e ( ) 12 1 n 2 2 − · σ Pricipais propriedades: Considere c constante e X e Y variáveis aleatórias. Média Variância E(c) = c V(c) = 0 E(X+c) = E(X) + c V(X + c) = V(X) E(cX) = c E(X) V(cX) = c 2 V(X) E(X+Y) = E(X) + E(Y) DP(cX) = |c| DP(X) E(X-Y) = E(X) - E(Y) 120 Princi"ais Distribuiç,es discretas Ì) Distribuição Binomial Premissas assumidas pelo modelo binomial: a) n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; b) cada prova admite apenas dois resultados: sucesso e falha; c) a probabilidade de sucesso em cada prova é , 3 s*"'sso 4 $ · constante em todo o experimento. Neste caso consideramos amostragem aleatória com reposição. A probabilidade da variável X assumir certo valor x, pertencente ao conjunto {0, 1, 2, ...} é dada por x n x 0 , 1 .1 , . x n 0 x 1 , − − , _ ¸ ¸ · Onde , . n 0 / 1 ! · e 0 , 1 .1 , . n 0 / 1 2+r − · . Exercícios: 1) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas aleatoriamente e com reposição. Calcule: a) Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? b) Qual a probabilidade de apenas uma ser defeituosa? Solução: a) Usando probabilidade (regra da multiplicação) temos ( ) 9 1 12 4 12 4 A $ · ⋅ · . Resolvendo usando a distribuição binomial temos: Seja A: uma peça ser defeituosa. Então ( ) 12 4 , A $ · · . Assim a probabilidade de retirar duas peças defeituosas é: 9 1 144 16 0 12 8 .1 12 4 . 2 4 0 12 4 1 .1 12 4 . 2 2 0 2 1 , 0 2 2 2 2 · · , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · − , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · − b) Exercício 2) Dados históricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote de 20 itens, calcule a probabilidade de (com reposição): 121 a) haver algum item com defeito; b) haver exatamente dois itens defeituosos; c) haver mais de dois itens defeituosos; d) qual é o número esperado de itens defeituosos? e) e de itens bons? 3) Se 7% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso e com reposição, tenhamos três defeituosas. ÌÌ) Distribuição geométrica Se um caso satisfaz todas as condições de um experimento binomial, exceto pelo fato de o número de provas não ser fixo, então aplicamos a distribuição geométrica. A distribuição geométrica se aplica quando estamos interessados na probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer em determinada prova. Para que o sucesso ocorra, por exemplo na ésim+ x − prova, deve-se ser precedido por 1 x − fracassos, cuja probabilidade é ( ) 1 x , 1 − − . 122 A distribuição é chamada geométrica porque seus valores sucessivos constituem uma progressão geométrica. Considere um experimento E e uma variável aleatória X com probabilidade de sucesso p. Se X tem distribuição geométrica, então a probabilidade de X obter sucesso na x-ésima prova é dada por ( ) ( ) , 3 , 2 , 1 x , 1 1 , x , 1 x · − · − Exercícios; 1) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Seleciona-se aleatoriamente 5 peças. Qual a probabilidade de a primeira peça defeituosa ser a 3ª peça escolhida? Solução: A probabilidade de uma peça ser defeituosa é ( ) 3333 , 0 12 4 &'('i)o , · · Escolhida 5 peças, a probabilidade da primeira peça defeitosa ser a 3ª é ( ) ( ) 1481 , 0 3333 , 0 1 3333 , 0 3 , 2 · − ⋅ · 2) A probabilidade de uma criança contrair uma doença contagiosa, à qual está exposta é 0,70. Qual é a probabilidade de a sétima criança exposta à doença ser a primeira a contraí-la? 123 ÌÌÌ) Distribuição hipergeométrica A distribuição hipergeométrica é utilizada quando temos uma amostragem sem reposição de uma população finita. Neste caso o experimento também admite apenas dois resultados possíveis, sucesso e fracasso. Considere uma população com N objetos do tipo A e r objetos do tipo B. Se extraírmos n objetos sem reposição, então a probabilidade de obter x objetos do tipo A e n-x objetos do tipo B é dada por n ..., , 1 , 0 x "om n r N x n r x N 0 x 1 , · , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · Onde , n / ! . " # · e 1 r N n r N 0. , 1 .1 , . n 0 / 1 2+r − + − + − · . Exercícios: 1) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas aleatoriamente e sem reposição. Calcule: a) Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? b) Qual a probabilidade de apenas uma ser defeituosa? Solução: a) Consideremos peças boas sendo do tipo B e peças defeituosas tipo A. temos: N = 4, n = 2, r = 8 e x = 2. Assim 11 1 2 8 4 2 2 8 2 4 0 2 1 , · , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · Utilizando probabilidade temos: ( ) 11 1 11 3 12 4 A $ · ⋅ · . 2) Placas de vídeo são expedidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente cinco placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas inspecionadas for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo o lote é inspecionado. Supondo que haja 124 três placas defeituosas no lote, qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a inspeção total? ÌV) Distribuição de Poisson Suponha que queremos avaliar o número de ocorrência de um evento por unidade de tempo, de comprimento, de área, de volume, etc. Exemplo: a) número de consultas em uma base de dados por minuto; b) número de erros de tipografia em um formulário; Se tivermos: a) Ìndependência entre as ocorrências do evento e b) Os eventos ocorrerem de forma aleatória, Então a probabilidade da variável aleatória X assumir um determinado valor é dada por ... , 1 , 0 x "om ! x . ' 0 x 1 , x · · − λ λ Onde λ · · 0 / 1 2+r 0 / 1 ! . Exercícios: 1) Suponha que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de três consultas por minuto. Qual a probabilidade de que no próximo minuto ocorram: a) nenhuma consulta? b) uma consulta? c) duas consultas? d) menos do que três consultas? Solução: Seja λ = taxa média = 3 consultas/min. a) Queremos a probabilidade de não ter consulta no próximo minuto, ou seja, x = 0. Assim 125 0498 , 0 1 1 0498 , 0 ! 0 3 . ' 0 0 1 , 0 3 · ⋅ · · − Portanto a probabilidade de, no próximo minuto, ter nenhuma consulta é 0,0498. b) Queremos a probabilidade de ter 1 consulta no próximo minuto, ou seja, x = 1. Assim 1494 , 0 1 3 0498 , 0 ! 1 3 . ' 0 1 1 , 1 3 · ⋅ · · − Portanto a probabilidade de, no próximo minuto, ter nenhuma consulta é 0,1494. c) Queremos a probabilidade de ter 2 consulta no próximo minuto, ou seja, x = 2. Assim 2241 , 0 2 9 0498 , 0 ! 2 3 . ' 0 1 1 , 2 3 · ⋅ · · − Portanto a probabilidade de, no próximo minuto, ter nenhuma consulta é 0,2241. d) Queremos ( ) ( ) ( ) 4233 , 0 2241 , 0 1494 , 0 0498 , 0 2 , 1 , 0 , · + + · + + 2) Suponha que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de três consultas por minuto. Qual a probabilidade de que nos próximos dois minutos ocorram mais do que 5 consultas? 126 Distribuiç,es contínuas Uma variável aleatória X é dita contínua quando ela assume qualquer valor real dentro de um intervalo. Exemplos: 1) Altura de uma pessoa; 2) Tempo de viagem; 3) Tempo de uma reação química; 4) Volume de leite em um copo; etc Propriedades Seja " #x ( a função densidade de probabilidade da variável contínua X. Então " #x ( deve satisfazer às seguintes propriedades: 1) r'+l x x ( ∀ ≥ , 0 " # 2) 1 " # · ∫ +∞ ∞ − &x x ( 3) Se 5 b , + 6 A · , então ∫ · b + &x 0 x 1 ( 0 A 1 $ . Seja " #x ( a função densidade de probabilidade da variável contínua X, então temos: a) ∫ +∞ ∞ − · · &x x ( x / ! " # . " # µ b) ∫ +∞ ∞ − − · · &x x ( x / 2+r " # . " # " # 2 2 µ σ . Uma curva de densidade é o gráfico de uma distribuição contínua 127 de probabilidade. Deve satisfazer as seguintes propriedades 1. A área total sob a curva deve ser 1; 2. Todo ponto da curva deve ter uma altura vertical não inferior a 0. 128 Ì) Distribuição Uniforme. Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme quando todos os seus valores possíveis tem a mesma probabilidade. A curva de densidade de X é uma reta horizontal. Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme de parâmetros α e β com α β > se ¹ ¹ ¹ ' ¹ ∉ ∈ − · $ , % , 0 $ , % , 1 " # β α β α α β x ,+r+ x ,+r+ x ( Neste caso 2 " # β α + · / ! e 12 " # " # 2 α β − · / 2+r . Exemplos: 1) Suponha por exemplo o lançamento de um dado não viciado. Os valores possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como todos os resultados são igualmente possíveis,1/6, então temos uma distribuição uniforme. A curva de densidade é dada por Gráfico: Curva de densidade da probabilidade de lançamento de um dado 129 2) Um profissional de computação observou que seu sistema gasta entre 20 e 24 segundos para realizar determinada tarefa, segundo uma distribuição uniforme em [20, 24]. Sua curva de densidade é dada por Gráfico: Curva de densidade da probabilidade de um sistema Exercício: Um profissional de computação observou que seu sistema gasta entre 20 e 24 segundos para realizar determinada tarefa. Considere a probabilidade uniforme em [20, 24]. Resolva: a) Encontre, graficamente, a função densidade de probabilidade. b) " 2 # > / $ . c) " # / ! 130 d) " # / 2+r . ÌÌ) Distribuição Exponencial Uma distribuição exponencial é utilizada quando queremos modelar a variável aleatória contínua que representa: a) Tempo até a próxima consulta a uma base de dados; b) Tempo entre pedidos a um servidor; c) Distância entre defeitos de uma fita. 131 Sejam as variáveis aleatórias: ) / = número de ocorrências no intervalo de tempo [0, t]; e 7 = tempo entre as ocorrências. Sendo λ a taxa média de ocorrências por unidade de tempo, então, considerando independência entre as ocorrências, 7 tem distribuição exponencial dada por: ) ' ) ( . . " # λ λ − · Onde λ 1 " # · 7 ! e 2 1 " # λ · 7 2+r A curva de densidade da variável T com distribuição exponencial é dada por A probabilidade ( ) ∫ − · ≤ ≤ b + ) . ' . b 7 + $ λ λ . Exercícios: 132 1) Seja a variável aleatória T definida como o tempo de resposta na consulta a um banco de dados, em minutos. Suponha que essa variável tenha a seguinte função densidade de probabilidade: ¹ ' ¹ < ≥ · − 0 , 0 0 , 2 " # 2 ) ,+r+ ) ,+r+ ' x ( ) Calcule: a) A probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 minutos? b) Calcule " 2 # ≤ ≤7 $ . Solução: a) ( ) 0025 , 0 0025 , 0 0 ' ' ' &) ' . 2 3 7 $ 3 . 2 . 2 3 ) . 2 3 ) . 2 · + · + − · − · · ≥ − ∞ − ∞ − ∞ − ∫ . b) ( ) 0208 , 0 0183 , 0 0025 , 0 ' ' ' &) ' . 2 3 7 2 $ 2 . 2 3 . 2 3 2 ) . 2 3 2 ) . 2 · + · + − · − · · ≤ ≤ − − − − ∫ 2) O tempo de vida (em horas) de um transistor é uma variável aleatória T com distribuição exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas. a) Faça a curva de densidade. b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500 horas. c) Calcule a probabilidade de o transistor durar entre 300 e 1000 horas. 133 ÌÌÌ) Distribuição Normal Uma variável aleatória X tem distribuição normal se seu histograma tem a forma de um sino. Definição Dados os parâmetros µ e 0 > σ reais, a função densidade de probabilidade da normal é dada por: 2 " # 2 1 . 2 . 1 " # σ µ π σ − − · x ' x ( Onde µ · " #/ ! e σ · " # / 2+r . Podemos perceber que o cálculo de probabilidade usando a distribuição normal é muito difícil devido ao tipo de função. Uma forma de contornarmos este problema é utilizar a distribuição normal padronizada. A distribuição normal padronizada tem este nome pois sua média é 0 e a variância é um. Com isso os cálculos ficam muito mais práticos pois podemos utilizar as tabelas de probabilidade normal padronizada. 134 Vendas de auto peças 6 0 0 0 , 0 5 5 0 0 , 0 5 0 0 0 , 0 4 5 0 0 , 0 4 0 0 0 , 0 3 5 0 0 , 0 3 0 0 0 , 0 2 5 0 0 , 0 2 0 0 0 , 0 1 5 0 0 , 0 1 0 0 0 , 0 5 0 0 , 0 0 , 0 200 100 0 Std. Dev = 994,59 Mean = 2516,6 N= 1488,00 Uma conseqüência importante do fato de uma distribuição Normal ser completamente caracterizada por sua média e desvio-padrão é que a área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é função somente do número de desvios- padrões que o ponto está distante da média. Como existem uma infinidade de distribuições normais (uma para cada média e desvio-padrão), transformamos a unidade estudada seja ela qual for (peso, espessura, tempo, etc.) na unidade Z, que indica o número de desvios-padrão a contar da média. Para padronizar um conjunto de dados que tem distribuição normal é só aplicar a fórmula σ µ − · / 8 Utilização da tabela da normal padronizada A tabela nos dá a área sobre o gráfico, ou seja, a probabilidade. Exemplo 1: A resistência à tração do papel usado em sacolas de super-mercado é uma característica de qualidade importante. Sabe-se que essa resistência segue um modelo Normal com média 40 psi e desvio padrão 2 psi. Se a especificação estabelece que a resistência deve ser maior que 35 psi, qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaça a especificação? { } { } 35 / $ 1 35 / $ ≤ − · ≥ { } { } 5 , 2 9 $ 2 40 35 9 $ 35 / $ − ≤ · ¹ ) ¹ ¹ ' ¹ − ≤ · ≤ Pela tabela da normal padronizada temos probabilidade de 0,0062. Logo a resposta é 1-0,0062 = 99,38%. 135 Exercícios 1) Utilizando a tabela da distribuição normal padronizada calcule: a) ( ) 42 , 0 8 $ < b) ( ) 75 , 0 8 $ < c) ( ) 30 , 0 8 $ − < d) ( ) 56 , 0 8 $ > e) ( ) 72 , 0 8 25 , 0 $ < < f) ( ) 20 , 0 8 25 , 0 $ < < − g) o valor de z tal que ( ) 90 , 0 8 9 8 $ · < < − . Propriedades da distribuição normal 1) a curva é simétrica em torno da média; 2) ( ) 0 x ( lim x · ∞ → 3) a área total sob a curva é igual a 1; á r e a = 1 á r e a = 0 , 5 á r e a = 0 , 5 136 137 Comparação entre média e variância & ' B ( f#(" a) da distribuição A para B muda a tendência central, mas a variabilidade é constante; b) da distribuição A para C muda a variabilidade, mas a tendência central é constante; c) da distribuição B para C muda a tendência central e a variabilidade. 138 Exercícios 1) Suponha que a absorção de água(%) em certo tipo de piso cerâmico tenha distribuição normal com média 2,5 e desvio-padrão 0,6. Selecionando, aleatoriamente, uma unidade desse piso, qual é a probabilidade de ele acusar absorção de água entre 2% e 3,5%? 2) Uma fábrica de chocolates comercializa barras que pesam em média 200g. Os pesos são normalmente distribuídos. Sabe-se que o desvio padrão é igual a 40g. Calcule a probabilidade de uma barra de chocolate, escolhida aleatoriamente, pesar a) entre 200 e 250g; b) mais de 230g; c) menos que 150g. 139 -este de Hi"1tese -este de Hi"1tese Em Estatística, uma hipótese é uma afirmação sobre uma propriedade de uma população. Podemos estar interessados em saber informações sobre a média, a proporção ou a variância. Co#"onentes de u# teste de 7i"1tese 1) Hipótese nula - 0 # : é uma afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional. Deve conter o sinal de igualdade e deve escrever-se como ≥ ≤ · , , . 2) Hipótese alternativa - 1 # : é a afirmação que deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa. Não deve conter o sinal de igualdade. Exemplos: a) Testar a afirmação de que a média populacional é 75. Solução: Neste caso temos 75 ) 0 · µ : e 75 ) 1 ≠ µ : . b) Testar a afirmação de que a média é no máximo 2,50. Solução: Neste caso temos 50 , 2 ) 0 ≤ µ : e 75 ) 1 > µ : . 3) Erro tipo Ì: Consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. 0 : verdadeira 0 : falsa Rejeita 0 : Erro tipo Ì Acerto Não rejeita 0 : Acerto Erro tipo ÌÌ 4) Nível de significância - α : A probabilidade do erro tipo Ì ocorrer. 5) Erro tipo ÌÌ: Consiste em não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. 6) A probabilidade de ocorrer o erro tipo ÌÌ é β . 140 7) Estatística de teste: É uma estatística amostral baseado nos dados amostrais. 8) Região crítica: É o conjunto de todos os valores da estatística de teste que levam à rejeição da hipótese nula. 9) Valor Crítico: É o valor, ou valores, que separa(m) a região crítica dos valores da estatística de teste que não levam à rejeição da hipótese nula. Conclus,es no teste de 7i"1tese Em um teste de hipótese concluímos por: • rejeitar a hipótese nula ou • não rejeitar a hipótese nula. -i"os de teste • Bilateral (sinal de 1 # : ≠ ): a região crítica está situada nas duas regiões. Neste caso ( ) 2 α · ; )i,o !rro $ . 141 • Unilateral esquerdo (sinal de 1 # : <): a região crítica está situada na parte esquerda. Neste caso ( ) α · ; )i,o !rro $ . • Unilateral direito (sinal de 1 # : >): a região crítica está situada na parte direita. ( ) α · ; )i,o !rro $ . -este de u#a afir#ação sobre u#a #)dia* %randes a#ostras 142 Considere uma amostra razoavelmente grande ( 0 ≥ n ) para valer o teorema central do limite, ou que os dados provenham de uma distribuição aproximadamente normal. Para testarmos alguma informação com respeito à média populacional utilizamos a estatística de teste dada por: Estatística de teste: n x $ x σ µ − · Caso σ seja desconhecido podemos substituí-lo por s . Os valores críticos são encontrados na Tabela A ÷ 2. Exemplo: O tempo médio entre falhas de um rádio da Telektronic Companhy para aviões de pequeno porte é 420 horas. Após terem sido modificados 35 aparelhos de rádio, em uma tentativa de melhorar sua confiabilidade, os testes acusaram um tempo médio de 385 horas para esta amostra, com desvio-padrão de 24 horas. Ao nível de significância de 0,05, teste a afirmação de que as modificações melhoraram a confiabilidade. Solução: a) As hipóteses são: ¹ ' ¹ ≠ · 420 ) 420 ) 1 0 µ µ : : b) O teste é bilateral, pois o sinal de 1 # é ≠ . c) O nível de significância é 05 , 0 · α ; d) Os valores críticos são 96 , 1 8 2 t · α ; Logo temos: 143 e) Os dados amostrais são: 85 · x e 24 · s ; f) Como n=35 ( 0 ≥ n ), a estatística de teste é dada por: 6 , 8 5 24 420 85 − · − · − · n x 8 x σ µ g) Conclusão: Como a estatística de teste está na dentro da região crítica, então rejeitamos 0 : . 144 -este de u#a afir#ação sobre u#a #)dia* "e0uenas a#ostras Considere uma amostra pequena ( 0 < n ) , que os dados provenham de uma distribuição normal e que o desvio-padrão populacional σ é desconhecido. Para testarmos alguma informação com respeito à média populacional utilizamos a estatística de teste dada por: Estatística de teste: n s x ) x µ − · Os valores críticos são encontrados na Tabela A ÷ 3. O número de Graus de liberdade = n ÷ 1. Exemplo: Os sete valores relacionados a seguir são cargas axiais (em libras) da primeira amostra de sete latas de alumínio de 12oz. A carga axial de uma lata é o peso máximo que seus lados podem suportar, e deve ser superior a 165 libras, porque esta é a pressão máxima aplicada quando se fixa a tampa no lugar. Ao nível de significância de 0,01, teste a afirmação do engenheiro supervisor de que esta amostra provém de uma população com média superior a 165 libras. 270 273 258 204 254 228 282 Solução: a) As hipóteses são: ¹ ' ¹ > ≤ 165 ) 165 ) 1 0 µ µ : : b) O teste é unilateral direito, pois o sinal de 1 # é>; c) O nível de significância é 01 , 0 · α ; d) O valor do grau de liberdade é de 7-1 = 6. Logo o valor crítico é 14 , · α ) ; Logo temos: 145 e) Os dados amostrais são: 7 , 252 · x e 6 , 27 · s ; Como n = 7 ( 0 < n ), a estatística de teste é dada por: 407 , 8 7 6 , 27 165 7 , 252 · − · − · n s x ) x µ f) Conclusão: Como a estatística de teste está na dentro da região crítica, então rejeitamos 0 : . -este de u#a afir#ação sobre variFncia ou desvio/"adrão Ao testar uma hipótese sobre o desvio-padrão σ ou a variância 2 σ de uma população, admitimos que os valores da população sejam distribuídos normalmente. Para testar uma informação sobre desvio-padrão σ ou a variância 2 σ a estatística de teste é dada por: 146 Estatística de teste: ( ) 2 2 2 1 σ χ s n ⋅ − · , onde n = tamanho da amostra 2 s = variância amostral 2 σ = variância populacional Os valores críticos são encontrados na Tabela A ÷ 4. O número de Graus de liberdade = n ÷ 1. Exemplo: O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, com média 7,4 segundos e variância 1,3 segundos. Depois de algumas mudanças na rede, acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados, Além de uma possível mudança na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB e foram coletados os tempos de transmissão, em segundos: 6,8 7,1 5,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,3 6,6 6,3 Resolva: 147 a) Existe evidência suficiente de que as mudanças na rede de computadores alteraram a variabilidade no tempo de transmissão de dados? Ao nível de 0,05. b) Existe evidência suficiente de que as mudanças na rede de computadores alteraram o tempo médio de transmissão de dados? Ao nível de 0,05 Solução da letra a: a) As hipóteses são: ¹ ¹ ¹ ' ¹ ≠ · , 1 ) , 1 ) 2 2 0 1 σ σ : : b) O teste é bilateral direito, pois o sinal de 1 # é ≠ ; c) O nível de significância é 05 , 0 · α ; d) O valor do grau de liberdade é de 10-1 = 9. Logo os valores críticos são 700 , 2 2 · χ e 02 , 1! 2 · χ ; Logo temos: e) Os dados amostrais indicam: 04 , 0 · s ; f) a estatística de teste é dada por: 10 , 2 , 1 04 , 0 " 1 10 # 2 · ⋅ − · χ 148 g) Conclusão: Como a estatística de teste está na dentro da região crítica, então rejeitamos 0 : . -ES-E DE HIPK-ESE PA.A P.P.LM O teste para proporção é aplicado em situações nas quais queremos verificar se a proporção de algum atributo na população pode ser igual a certo valor 0 , . S5PSILNES: 1) São verificadas as condições para um experimento binomial. Ìsto é, temos um número fixo de provas independentes com probabilidade constante, e cada prova comporta dois resultados, que designamos "sucesso¨ e "falha¨. 2) As condições 5 ≥ n, e 5 ≥ n< são ambas verificadas, de modo que a distribuição binomial das proporções amostrais pode ser aproximada por uma distribuição normal com n, · µ e n,< · σ . 149 ______________________________________________________________ N-ALM: n : número de provas; , : proporção populacional (usada na hipótese nula); n x , · * : proporção amostral; , < − ·1 ______________________________________________________________ ES-A-OS-ICA DE -ES-E* n ,< , , 8 − · * Os valores críticos são obtidos na tabela A ÷ 2 (distribuição normal padronizada). Exemplos: 1) Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua linha de produção para análise da qualidade. As peças da amostra são classificadas como defeituosas ou não, sendo que a política da empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidência de mais de 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra, foram encontradas nove peças defeituosas. Usando nível de significância de 1%, o processo precisa ser revisto? Solução: h) As hipóteses são: ¹ ' ¹ > ≤ 015 , 0 ) 015 , 0 ) 1 0 , : , : i) O teste é unilateral direito, pois o sinal de 1 # é > . j) O nível de significância é 01 , 0 · α ; 150 k) O valor crítico é , 2 · α 8 ; Logo temos: l) Os dados amostrais são: 018 , 0 500 ! * · · , m) Critérios para a aproximação normal: 5 , 7 015 , 0 500 · ⋅ · ⋅ , n e 5 , 4!2 !85 , 0 500 " 015 , 0 1 # 500 · ⋅ · − ⋅ · ⋅ < n n) Estatística de teste é dada por: 552 , 0 00546 , 0 00 , 0 500 !85 , 0 015 , 0 015 , 0 018 , 0 * · · ⋅ − · − · n ,< , , 8 o) Conclusão: Como a estatística de teste está fora da região crítica, então não rejeitamos 0 : . 2) Em um estudo da eficácia do air-bag em automóveis, constatou-se que, em 821 colisões de carros de tamanho médio equipados com air-bag, 46 colisões resultaram em hospitalização do motorista. Ao nível de significância de 0,01, teste a afirmação de que a taxa de hospitalização nos casos de air-bag é inferior à taxa de 7,8% para colisões de carros de tamanho médio equipados com cintos automáticos de segurança. 151 Exercícios ()dia P6randes a#ostrasQ 1) O gerente de uma empresa de transporte suspeita da afirmação de um vendedor de pneus de que o seu produto tem uma vida média de, ao menos, 28 000 milhas. Para verificar a afirmação, a firma instala 40 desses pneus em seus caminhões, obtendo uma vida média de 27 563 milhas, com desvio- padrão de 1 348 milhas. Qual a conclusão do gerente, se a probabilidade de um erro tipo Ì deve ser 0.01? 2) A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é 1615 horas. Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio- padrão igual a 120 horas. Utilizando um nível de significância de 2 %, teste a afirmação de que a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual a 1600 horas. ()dia PPe0uenas a#ostrasQ 1) Admitindo que a pressão sanguínea arterial em homens siga o modelo Normal, 7 pacientes foram sorteados e tiveram sua pressão medida obtendo os seguintes resultados: 82 - 84 - 78 - 85 - 69 - 80 - 75 Utilizando um nível de significância de 0,02 , teste a afirmação de a média da pressão sanguínea é de 82. 2) O inspetor de qualidade da JF Construções mediu 25 barras de aço e obteve as seguintes medidas em metros: 4,51 5,38 4,84 5,33 4,74 4,99 5,15 5,52 5,82 5,45 4,68 4,74 5,53 5,40 4,72 4,97 5,24 4,94 4,75 5,50 4,81 5,25 4,86 4,93 4,95 152 Pode-se afirmar, com com nível de significância de 5%, que tais barras foram sacadas de um lote cujo comprimento médio é de 5,00 metros? EariFncia 1) A cofap alega que a variância da vida média de seus amortecedores é de nove meses. A Chevrolet ensaia 18 peças e encontra variância de um ano para a vida média das referidas peças. A 5% de significância, isso lhe permite refutar a alegação da Cofap? 2) Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os valores eram (em mg): 12,4 ÷ 12,6 ÷ 12,0 ÷ 12,0 ÷ 12,1 ÷ 12,3 ÷ 12,5 ÷ 12,7 Teste a hipótese de que o desvio-padrão é 1, ao nível se significância de 0,05. Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica têm reclamado da alta variação na tensão. A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica instalou novos transformadores. O desvio-padrão calculado sobre 30 observações independentes foi de 8V e a distribuição de frequências dos valores da amostra sugere uma distribuição normal. A um nível de 5%, há evidência de redução na variação da tensão, que segund 153 Correlação Correlação Com muita freqüência, na prática, verifica-se que existe uma relação entre duas (ou mais) variáveis. Por exemplo: os pesos dos adultos do sexo masculino dependem, em certo grau, de suas alturas; as circunferências de círculos dependem de seus raios; a pressão de uma determinada massa de gás depende de sua temperatura e de seu volume. Pesquisadores têm estudado os ursos, anestesiando-os a fim de obterem medidas vitais como idade, sexo, comprimento e peso. Como os ursos, em sua maioria, são bastante pesados e difíceis de serem levantados, os pesquisadores têm considerável dificuldade em pesar um urso na selva. Baseado nisso levantamos a seguinte pergunta: Será possível determinarmos o peso de um urso a partir de seu comprimento? A tabela a seguir apresenta 8 dados (comprimento e peso) de ursos machos. No decorrer da exposição nosso objetivo é utilizar os dados da tabela acima para responder aa pergunta inicial. Tabela 1 Comprimento: X (in) Peso: Y (lb) 53,0 80 67,5 344 72,0 416 72,0 348 73,5 262 68,5 360 73,0 332 37,0 34 Dado duas variáveis X e Y, ou mais, nosso objetivo é verificar se existe relação entre elas. Por exemplo: Os conjuntos X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {3, 5, 7, 9, 11} são tais que Y = 2X+1. Portanto dizemos que as variáveis X e Y são correlacionadas. Encontrar uma relação entre variáveis é de fundamental importância para podermos predizer valores futuros. Por exemplo: se soubermos que duas variáveis 154 se relacionam por Y = 2X ÷ 4, então os valores de Y são encontrado apenas atribuindo valores a X. Vamos aqui estudar variáveis que se relacionam linearmente. No final deste estudo daremos um exemplo de variáveis que não se relacionam linearmente e sim de forma quadrática. Definição: Existe uma correlação entre duas variáveis quando uma delas está, de alguma forma, relacionada com a outra. Como estamos interessados em variáveis que se relacionam linearmente, então estas relações são descritas por uma equação de uma reta, ou seja, equações do tipo Y = a 0 + a 1 X. Como não podemos basear nossas conclusões apenas em diagramas, necessitamos de métodos mais precisos e objetivos para tirarmos conclusões. Vamos utilizar o coeficiente de correlação linear. Ele também é conhecido como coeficiente de correlação de Pearson (Karl Pearson). Definição: O coeficiente de correlação linear r mede o grau de relacionamento linear entre os valores emparelhados x e y em uma amostra. Podemos encontrar o valor do coeficiente de correlação linear r através da fórmula: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − − · 2 ) ( 2 . 2 ) ( 2 ) )( ( % % n x x n % x x% n r Como r é calculado com base em dados amostrais, é uma estatística amostral usada para medir o grau da correlação linear entre x e y. Se tivéssemos todos os pares de valores (x, y) para a população, a fórmulas acima seria um parâmetro populacional. Arredonda#ento do coeficiente de correlação linear 155 Arredondamos o coeficiente de correlação linear r para três casas decimais, afim de que seu valor possa ser comparado com os valores críticos da tabela A-6. Os gráficos de dispersão a seguir descrevem alguns dos tipos de correlação existentes. Correlação linear "ositiva 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 X Y A correlação será considerada positiva se valores crescentes de X estiverem associados a valores crescentes de Y, ou valores decrescentes de X estiverem associados a valores decrescentes de Y. Neste caso 0 < r < 1. Correlação linear "erfeita "ositiva 0 10 20 30 0 5 10 J R A correlação linear será considerada perfeita positiva se valores crescentes de X estiverem perfeitamente alinhados a valores crescentes de Y, ou valores decrescentes de X estiverem perfeitamente alinhados a valores decrescentes de Y. Neste caso r = 1. Correlação Ne%ativa 156 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 X Y A correlação é considerada negativa quando valores crescentes da variável X estiverem associados a valores decrescentes da variável Y, ou valores decrescentes de X estiverem associados a valores crescentes da variável Y. Neste caso ÷1 < r < 0. Correlação ne%ativa "erfeita 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 X Y A correlação linear será considerada perfeita negativa se valores crescentes de X estiverem perfeitamente alinhados a valores decrescentes de Y, ou valores decrescentes de X estiverem perfeitamente alinhados a valores crescentes de Y. Neste caso r = -1. Correlação nula 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 X Y Quando não houver relação entre as variáveis X e Y, ou seja, quando as variações de X e Y ocorrerem independentemente não existe correlação entre elas. Neste caso r = 0. 157 Correlação não/linear 0 10 20 30 0 5 10 J R Quando não houver correlação linear entre as variáveis X e Y pode acontecer que haja outro tipo de correlação. Esta correlação pode ser quadrática, exponencial, logarítmica, uma curva do 3.º grau, etc. Cálculo do coeficiente de correlação "ara os dados da tabela C4 Para o cálculo do coeficiente de correlação é conveniente a construção de tabelas ampliadas, onde, a partir dos valores de X e Y, são determinadas todas as somas necessárias. Comprimento: X (in) Peso: Y (lb) X 2 Y 2 XY 53 80 2809 6400 4240 67,5 344 4556,25 118336 23220 72 416 5184 173056 29952 72 348 5184 121104 25056 73,5 262 5402,25 68644 19257 68,5 360 4692,25 129600 24660 73 332 5329 110224 24236 37 34 1369 1156 1258 516,5 2176 34525,75 728520 151879 O valor de r é dado por r 9 ?8S@>. Inter"retação do valor de r Se o valor de r está próximo de 0 (zero), concluímos que não há correlação linear significativa entre X e Y, mas se r está próximo de ÷1 ou +1, concluímos pela 158 existência de correlação linear significativa entre X e Y. Como o termo "próximo¨ é vaga, temos que adotar um critério de decisão. Adotaremos o critério a seguir Se o módulo do valor calculado de r excede o valor na tabela de Valores Críticos do Coeficiente de Correlação de Pearson, concluímos que há correlação linear significativa. Em caso contrário, não há evidência suficiente para apoiar a existência de uma correlação linear significativa. Para encontrar o valor crítico na tabela de Valores Críticos do Coeficiente de Correlação de Pearson precisamos do número de pares (X, Y), representado pela letra n, e do nível de significância α, erro tipo 1, (que pode ser 0,05 ou 0,01). Neste caso temos n = 8. Assim encontramos o valor crítico de 0,707 (para α = 0,05) e valor crítico de 0,834 (para α = 0,01). A interpretação dos valores críticos é muito simples: Com oito pares de dados e sem qualquer correlação linear entre X e Y, há uma chance de 5 % de que o valor absoluto do coeficiente de correlação linear calculado r exceda 0,707. Com os mesmos dados há uma chance de 1 % de que o valor absoluto do coeficiente de correlação linear calculado r exceda 0,834. Em nosso caso, como o valor calculado de r = 0,897 que é maior que 0,707 e 0,834, então concluímos que há correlação linear significativa entre X (comprimento dos ursos) e Y (pesos dos ursos). Pro"riedades do Coeficiente de Correlação Tinear r 1) O valor de r está sempre compreendido entre ÷1 e +1; 2) O valor de r não varia se todos os valores de qualquer uma das variáveis são convertidos para uma escala diferente; 3) O valor de r não é afetado pela escolha de X ou Y; 4) O valor de r mede a intensidade, ou grau, de um relacionamento linear. Não serve para medir a intensidade de um relacionamento não-linear. -este de 7i"1tese "ara deter#inar se 7á correlação 159 Podemos utilizar dois métodos para verificar se duas variáveis possuem correlação linear entre elas. Utilizando a teoria do teste de hipótese vamos verificar se há correlação entre as variáveis X e Y de uma população. Neste caso usaremos o parâmetro ρ para representar a correlação entre duas variáveis de uma população. Assim temos: H 0 : ρ = 0 (Não há correlação linear entre as variáveis X e Y) H 1 : ρ ≠ 0 (Há correlação linear significativa entre as variáveis X e Y) Método 1: A estatística de teste é t. Utilizamos a distribuição t de Student. Estatística de -este t "ara Correlação Tinear 2 2 1 − − · n r r t Valores críticos:Utilizar Tabela A-3 com n ÷ 2 graus de liberdade. Método 2: Estatística de Teste é r. Usamos o valor calculado do Coeficiente de Correlação Linear de Pearson r. Estatística de -este r "ara Correlação Tinear Estatística de Teste: r Valores críticos: Tabela do Coeficiente de Correlação r de Peason. Exemplo: Para os dados da Tabela 1 temos: r = 0,897 (calculado). Utilizando o teste de hipótese teremos: Método 1: A estatística de teste será t 9 <8@>C. Os valores críticos são t = -2,447 e t = 2,447 são obtidos na tabela A-3 com nível de significância 0,05. e 6 graus de liberdade. Como o valor da estatística de teste t = 4,971 está dentro da área crítica, então rejeitamos H 0 . Logo há evidências para apoiar a existência de uma correlação linear. 160 Método 2: A estatística de teste é r = 0,897. Os valores críticos são r = - 0,707 e r = 0,707 com n = 8 e nível de significância 0,5. Como r está dentro da área crítica, então rejeitamos H 0 . Logo há evidências para apoiar a existência de uma correlação linear. Rejeita r ρ = 0 Não Rejeitar ρ = 0 Rejeitar ρ = 0 -1 r = -0,707 r = 0,707 1 Como sabemos que há correlação entre as variáveis X e Y, basta agora encontrar qual a correlação, ou seja, qual a equação que relaciona as duas variáveis. Ìsto podemos facilmente encontrar usando a .e%ressão Tinear. 161 .e%ressão Tinear Definição: Dada uma coleção de dados amostrais emparelhados (X, Y), a equação de regressão x b b y´ 1 0 + · descreve a relação entre as duas variáveis. O gráfico da equação de regressão é chamado reta de regressão. (ou reta de melhor ajuste, ou reta de mínimos quadrados) Esta definição expressa uma relação entre x (chamada variável independente ou variável preditora) e y´ (chamada variável dependente ou variável resposta). Temos que b 0 é o intercepto y e b 1 é o coeficiente angular. Suposições: 1) Estamos investigando apenas relações lineares. 2) Para cada x, y é uma variável aleatória com distribuição normal. Todas essas distribuições de y têm a mesma variância e, ainda, para um dado valor de x, a média da distribuição dos valores de y está sobre a reta de regressão. Fórmulas: Estimamos os valores b 0 e b 1 pelas fórmulas a seguir. 2 2 1 2 2 2 0 ) x ( ) x ( n ) y )( x ( ) xy ( n b ) x ( ) x ( n ) xy )( x ( ) x )( y ( b ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − · − − · Arredonda#entos Cálculos intermediários arredondar para seis casas decimais. Arredondar o resultado final para uma casa decimal a mais que os dados. 162 Voltando ao problema proposto, Tabela 1, vamos calcular a reta de regressão entre as variáveis X e Y. Temos que b 0 = - 351,66 e b 1 = 9,66. Assim y = -351,66 + 9,66 x . Esta relação nos diz que o peso de um urso é dado como 9,66 vezes o valor do comprimento do urso menos 351,66. As equações de regressão podem ser úteis quando usadas para predizer o valor de uma variável, dado um valor determinado da outra variável. Ao predizer um valor de y com base em determinado valor de x: 1) Se não há correlação linear significativa, o melhor valor predito de y é a média de y; 2) Se há correlação linear significativa, obtém-se o melhor valor predito de y substituindo-se o valor de x na equação de regressão. Por exemplo, se queremos saber qual o peso de um urso de 80 in de comprimento teremos: y = - 351,66 + 9,66. 80 = 421,14 lb. 163 .e%ressão ($lti"la _______________________________________________________________ Definição: Uma equação de regressão múltipla expressa um relacionamento linear entre uma variável dependente = e duas ou mais variáveis independentes ( ) k x x x , , , 2 1 . _______________________________________________________________ Notação: ε + + + + + · k k x b x b x b b = 2 2 1 1 0 * : fórmula geral da equação de regressão múltipla estimada; n : tamanho da amostra; k : número de variáveis independentes; =* : valor predito da variável dependente; k x x x , , , 2 1 : variáveis independentes; 0 β : intercepto; 0 b : estimativa de 0 β ; k β β β , , , 2 1 : coeficientes das variáveis independentes k x x x , , , 2 1 ; k b b b , , , 2 1 : estimativas de k β β β , , , 2 1 . ε : erro Exemplos: Os dados seguintes se referem ao mercado brasileiro de tratores e colheitadeiras. Baseados neles, determine a equação de regressão múltipla da produção em função das vendas internas e das exportações. 164 Ano 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Produção 22,20 22,08 32,18 51,33 28,34 22,19 31,66 33,41 28,22 35,43 Vendas internas 18,94 16,84 27,41 46,69 22,74 13,97 21,47 24,85 24,70 31,06 Exportações 4,22 5,82 4,48 5,03 5,26 8,36 10,06 8,86 4,21 5,27 Solução: Saída do Excel 97. (Ferramentas ÷ análise de dados - regressão) .ES5( DS .ES5T-ADS &stat'sti(a de re)ressão R múltiplo 0,998739179 R-Quadrado 0,997479948 R-quadrado ajustado 0,996759933 Erro padrão 0,498084785 Observações 10 ANOVA )l S* M* + + de si)nifi(ação Regressão 2 687,3836208 343,6918104 1385,359963 8,03403E-10 Resíduo 7 1,736619173 0,248088453 Total 9 689,12024 ,oefi(ientes &rro padrão Stat t -alor." Ìnterseção -0,899860129 0,811205051 -1,109288124 0,303955593 Variável X 1 1,002741039 0,019093396 52,51768884 2,378E-10 Variável X 2 1,083108449 0,082237436 13,17050357 3,39691E-06 RESULTADOS DE RESÍDUOS /ser-ação 0 pre-isto 1es'duos 1 22,6627728 -0,462772798 2 22,28999013 -0,209990135 3 31,43759759 0,742402407 4 51,36615447 -0,036154466 5 27,59962153 0,740378468 6 22,16321881 0,026781186 7 31,52506097 0,134939033 8 33,61459554 -0,204595539 9 28,4277301 -0,207730097 10 35,95325806 -0,523258059 165 Ìnterpretações: Na primeira tabela: • o valor de R-quadrado igual a 0,997 indica que, na amostra observada, cerca de 99,7% da variação da produção pode ser explicada por uma relação linear que envolve as vendas internas e as exportações. • o valor de R-quadrado ajustado igual a 0,997 é o coeficiente múltiplo de determinação, R-quadrado, modificado de modo a levar em conta o número de variáveis e o tamanho da amostra.. Na segunda tabela, o valor de F de significação = 8,034E-10, extremamente pequeno, mostra que no teste de hipótese rejeitamos a hipótese nula, 0 ) 1 0 0 · · · · k : β β β . Na terceira tabela temos as estimativas dos coeficientes do modelo. Neste caso o modelo é: s !x,or)+>?' 2'n&+s = ⋅ + ⋅ + − · 08 , 1 00 , 1 !00 , 0 * 166