Apostila de Estatística Volume 1 – Edição 2007Curso: Matemática e Psicologia Amostragem, Séries Estatísticas, Distribuição de Freqüência, Média, Mediana, Quartil, Percentil e Desvio Padrão Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Prof. Ms. Wiliam Gonzaga Pereira Estatística Capítulo 1 - Introdução 1.1 Histórico A estatística é um ramo da matemática aplicada. A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de registros diversos como os de nascimento, óbitos, riquezas, casamentos. Esses registros eram utilizados para principalmente cobrar impostos. No século XVIII , Godofredo Achenwall batizou esses estudos como uma nova ciência com o nome de Estatística. Surgiram tabelas mais complexas, representações gráficas e cálculo de probabilidade. Formou-se a ferramenta que através da observação de partes (amostras) chega-se a conclusões sobre um todo (população). 1.2 Método Estatístico Método é o conjunto de procedimentos dispostos ordenadamente para se chegar a um desejado fim. Dos métodos científicos pode-se destacar: Método Experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores, componentes, variáveis), menos uma, e variar essa última para descobrir seus efeitos, caso existam. Método Estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, registram-se os resultados dessas variações procurando determinar a influência (os efeitos) de cada uma delas. 1.3 Estatística A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão. Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados. Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da Estatística. Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença. 1.4 Método Estatístico (Pesquisa) Exemplos: - Indústrias realizam pesquisa entre os consumidores para o lançamento de um novo produto - As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha - Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar sua programação - A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos A pesquisa é composta basicamente de 5 fases 1a Coleta de Dados Após planejamento e determinação das características mensuráveis do objeto em estudo, inicia-se a coleta de dados. Esta pode ser direta ou indireta. A coleta direta é feita sobre registros diversos: nascimento, casamento, óbitos, importação, registros escolares; ou ainda quando os dados são coletados diretamente pelo pesquisador através de questionários (ex: censo). A coleta direta pode ser: contínua; periódica (censos); ocasional A coleta indireta é uma coleta feita sobre dados colhidos de uma coleta direta (ex: mortalidade infantil) 2a Crítica dos Dados Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e imperfeições, a fim de não causarem erro nos resultados. Exemplo 1 : Perguntas tendenciosas. Foi realizada a seguinte pesquisa: O tráfego contribui em maior ou menor grau do que a indústria para a poluição atmosférica ? Resposta: 45 % para o tráfego e 32 % para a indústria. A indústria contribui em maior ou menor grau do que o tráfego para a poluição atmosférica ? Resposta: 24 % para o tráfego e 57 % para a indústria. Exemplo 2: Preservação da auto-imagem. Em uma pesquisa telefônica 94 % dos entrevistados disseram que lavam as suas mãos após usar o banheiro, mas a observação em banheiros públicos esse percentual cai para 68 %. Exemplo 3: Más Amostras. As pessoas devem ser escolhidas aleatoriamente para a pesquisa, como por exemplo, numa pesquisa de opinião na rua, deve-se entrevistar somente quem pisou em uma determinada marca pré-determinada na calçada. Exemplo 4. Más perguntas. A pergunta deve conter o linguajar próprio do entrevistado. Geralmente, se o entrevistado não entender a pergunta, ele responderá qualquer coisa, pois tem vergonha de perguntar. 3a Apuração dos Dados É o processamento dos dados obtidos 4a Exposição dos Dados Através de tabelas ou gráficos. tornando mais fácil seu exame e aplicação de um cálculo estatístico 5a Análise dos Resultados Através de métodos de estatística indutiva ou inferencial obtêm-se conclusões e previsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo. . 97 = 24. há duas soluções: a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de 0.80 m indica uma medição com precisão de centésimos. 3. Ex: 24. contagens em geral. 53. 24. Arredonde deixando número inteiro: 2. fica inalterado o último algarismo a permanecer. 24. 17.55 = 4.População e Amostra 2.1.4 .08 passa a 25.75 passa a 24. aumenta-se de uma unidade o último algarismo a permanecer. altura. o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.99 passa a 54.7.24 passa a 53. quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo. quando assume qualquer valor entre dois limites (ex: peso.99 = 328.3 Arredondamento De acordo com resolução do IBGE Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0.829 = 0.6501 passa a 25. A variável quantitativa pode ser contínua.8 . Arredonde deixando uma casa decimal: .7500 passa a 24. números inteiros).3 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6. ou 4.8 .0 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5.Capítulo 2 . quando só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável (ex: número de filhos. 25. b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros.352 passa a 2.24 = 89.6 Exercícios. 2. Ex: 53. cor).9 .6500 passa a 24. ou pode ser discreta. Ex: 1. ou 9. 24.3452 passa a 17.1 Variável Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.87 passa a 42. 2. quando seus valores são expressos em números.65 = 6. 7.65 passa a 24. 25. 1.6 .38 = 2.351 = 5. medições). 2. Ex: 42.2 Precisão A precisão da medida será automaticamente indicada pelo número de decimais com que se escrevem os valores da variável. Ex: 2.35 = Exercícios.2 . ou pode ser quantitativa. aumenta-se de uma unidade o último algarismo a permanecer. A variável pode ser qualitativa. 8. cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido. pelo menos. uma característica comum. Para amostras grandes utiliza-se a Tabela de Números Aleatórios (Página 40).97 = 24. a amostra deve considerar a existência desses estratos e a sua proporção em relação à população.5 Amostragem É o processo de colher amostras. A amostra é escolhida através de processos adequados que garantam o acaso na escolha 2. utilizando dois algarismos.24 = 89.4 População e Amostra População é o conjunto de portadores de. através da leitura da primeira linha (escolhida através de sorteio). amostragem proporcional estratificada e amostragem sistemática.65 = 6.4 36 x 9 / 90 = 3. Nesse processo.55 = 4. Amostra é um subconjunto finito de uma população. a) Amostragem casual ou aleatória simples: É um sorteio. Dentre os processos de amostragem pode-se destacar três: amostragem casual ou aleatória simples.38 = 2.2.99 = 328. por exemplo.6 9 Amostra 5 4 9 . obtém-se: Como a população vai de 1 a 90 escolhe-se os 9 primeiros números dentro dessa faixa: b) Amostragem proporcional estratificada: É comum termos populações que se dividam em subpopulações (estratos) e como cada estrato pode ter um comportamento diferente do outro. Determine uma amostra de 9 pessoas: Sexo Masculino Feminino Total População 54 36 90 Cálculo Proporcional Regra de três simples 54 x 9 / 90 = 5.35 = 2. utiliza-se um sorteio com todos os números dos alunos escritos em papéis dentro de um saco. para retirar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 90 alunos. Assim para o exemplo da sala de aula. Exemplo: supondo que uma sala de aula seja composta de 54 meninos e 36 meninas.829 = 0.351 = 5. 58o . Exercícios de População e Amostra 1) Uma universidade apresenta o seguinte quadro relativo aos seus alunos do curso de Matemática.6. Esse arredondamento é efetuado utilizando as regras de arredondamento. utiliza-se a tabela de números aleatórios para escolher 5 meninos e 4 meninas. deseja-se uma amostra de 50. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela.Posteriormente. Série 1a 2a 3a 4a Qtde 85 70 80 75 Amostra População 35 32 30 28 35 32 31 27 250 Cálculo Proporcional Amostra 40 . então pesquisaríamos o 4o prédio da rua. Faz-se um sorteio entre 1 e 18. a cada 10 itens fabricados. Verifica-se que foi realizado um arredondamento dos números 5. Séries 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a Total c) Amostragem sistemática É quando a amostragem é feita através de um sistema possível de ser aplicado pois a população já se encontra ordenada. Obtenha uma amostra proporcional estartificada de 100 alunos. por exemplo 4. Exemplo 2: em uma rua com 900 prédios. Exemplo 1: em uma linha de produção. assim por diante. distribuídos em séries conforme a tabela. Exercício: Em uma escola existem 250 alunos.4 e 3. o 40o . 900/50 =18 (50 grupos de 18 prédios cada). retira-se 1 para inspeção. tem-se uma amostra de 10 % da população. o 22o . Total 100 . 2) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1o grau: Escola A B C D E F Total Homens 80 102 110 134 150 300 Mulheres 95 120 92 228 130 290 120 Total Homens Amostra Mulheres Total Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes . 4) Ordene uma amostra de 15 elementos de uma população ordenada formada por 210 elementos. utilize a 10a e a 11a coluna para começar o sorteio. sabendo que o elemento de ordem 149 a ela pertence ? .3) Utilizando a tabela de números aleatórios. obtenha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de aula com 85 alunos. ou da espécie.682 16. territoriais ou de localização) .Brasil . Pode-se classificar em: histórica.600 94.1 Japão 126. geográfica.409 13.348 11.4 Brasil 165.648 30.2 Rússia 147.356 18. específica a) Séries históricas (cronológicas.964 18.3 65.1998 Canadá 30.1 Séries Estatísticas Série estatística é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época.6 Fonte: O Estado de São Paulo.1 50.2 China 1255. Nota: (1) Em milhares b) Séries geográficas (espaciais.1900/2000 População de 15 anos ou mais Ano 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 Total(1) 9.7 13. em função da região Exemplo: População Mundial Em milhões de pessoas .269 15.728 17.Capítulo 3 .533 Analfabeta(1) 6.891 119.295 Taxa de Analfabetismo 65. em função do tempo Exemplo: Tabela – Analfabetismo na faixa de 15 anos ou mais .7 25.Séries Estatísticas 3. 01/01/2000 . em determinado local.6 39. Censo Demográfico. em um determinado instante.633 74. do local.272 15.descrevem os valores da variável.564 23.6 Fonte: IBGE.9 19. temporais) .7 33.0 56.100 19.188 40.8 Indonésia 206.descrevem os valores da variável.3 EUA 274 Índia 982.5 Argentina 36.233 53. 3 274 c) Séries Específicas (categóricas) .5 Deputado Federal 1. Fonte: TSE Presidente 25 Governador 6 Senador 3.2 126.5 Ar ge .5 Deputado Estadual 0.4 165.descrevem os valores da variável. Custo médio das campanhas eleitorais em 1998.1 147.5 0 Br as nt EU C hi na a in A il 1255.6 982. em um determinado instante e local.2 36. segundo especificações.8 206. segundo estimativa dos candidatos em milhões de reais.População Mundial em 1998 1400 1200 1000 em milhões 800 600 400 200 30. 2050 42.5 104.2 Rússia 147. 01/01/2000 O exemplo acima é uma série geográfica-histórica Podem também existir séries conjugadas de três ou mais entradas.3 54. fato mais raro. Fonte: TSE 30 25 25 Milhões de Reais 20 15 10 6 5 3.8 1477.5 Deputado Estadual 0 Presidente Governador Senador Deputado Federal d) Séries Conjugadas .2 China 1255.Tabela de Dupla Entrada É a união de duas séries em uma só tabela Exemplo: População Mundial . pois dificulta a interpretação dos dados.8 Indonésia 206.4 Brasil 165.9 121.8 349.3 EUA 274 Índia 982.6 Fonte: O Estado de São Paulo.2 311.1 Japão 126.em milhões de pessoas País 1998 Canadá 30.2 244. segundo estimativa dos candidatos em milhões de reais.3 1528.5 1.5 Argentina 36.5 0.Custo médio das campanhas eleitorais em 1998.7 . há um tratamento matemático dos dados para uma melhor interpretação.85 1 3.em milhões de pessoas 1800 1600 Milhões de pessoas 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 nt Br EU A C hi na a as in il 1998 2050 3.45 6 45 |.Distribuição de freqüência Será tratado em capítulo a parte devido a sua importância. Ar ge .2 .65 4 65 |.3 Dados Absolutos e Dados Relativos Dados Absolutos: são resultantes de uma coleta direta.75 5 75 |.25 22 25 |. sem outra manipulação senão a contagem Dados Relativos: são resultantes de comparações.55 2 55 |. Exemplo: Idade na morte causada por arma de fogo Idade na Morte Freqüência 15 |.População Mundial .35 10 35 |. 55 2 55 |.85 Total Freqüência 22 10 6 2 4 5 1 50 % 44 20 12 4 8 10 2 100 Pode-se agora tirar uma melhor conclusão e também construir um gráfico de setores (pizza). pode-se preencher uma nova coluna Idade na Morte 15 |.1 .65 4 65 |.35 35 |.65 65 |.75 5 75 |.55 55 |.45 45 |.85 1 Calculando a percentagem das pessoas em cada faixa etária.3.3.45 6 45 |.35 10 35 |.As percentagens a) Considere a série: Idade na morte causada por arma de fogo Idade na Morte Freqüência 15 |.25 22 25 |. .75 75 |.25 25 |. 75 10% 55 |.Idade da Morte causada por arma de fogo 65 |.35 20% .25 44% 35 |.55 4% 75 |.85 2% 15 |.65 8% 45 |.45 12% 25 |. apenas números inteiros. .Considere a tabela abaixo: Ano 1960 1970 1980 1991 2000 Qtde de Analfabetos no Brasil acima de 15 anos em milhares de hab. Ex: Relação candidato vaga = Qtde de candidatos / Qtde de vagas Densidade demográfica = população / área de uma superfície Renda per capita = renda total de uma população / população 3.3.3. 1000.2 . Ex: Coeficiente de evasão escolar = no de alunos evadidos / no inicial de alunos Coeficiente de aproveitamento escolar = no de alunos aprovados/ no final de alunos 3.3.3.Os Coeficientes Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total. 40233 53633 74600 94891 119533 % de aumento ____ Complete a tabela com uma coluna de percentagem de aumento de um período para o outro.As Taxas As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10.Os índices Os índices são razões entre duas grandezas independentes. Não utilize casas decimais. 100. É a porcentagem expressa na forma unitária.4 . etc para tornar o resultado mais inteligível (claro) Ex: Taxas de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000 ( lê-se mortes a cada 1000 habitantes) Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 100 Exercícios: Exercício 1 .3 . Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados Candidato A B C Brancos e nulos % do total de votos 26 24 22 Número de votos 196 Determine o número de votos obtido pelo candidato vencedor. Vendas industriais de aparelhos domésticos Variação percentual jul/ago 2003 e jul/ago 2004 Refrigeradores 15.Exercício 2 .18 Fogões . comparando o período de julho e agosto de 2003 com o período de julho e agosto de 2004. .97 Freezers horizontais 42.61 Lavadoras automáticas .000 lavadoras automáticas. Exercício 4 : A tabela abaixo apresenta a variação percentual das vendas industriais de aparelhos domésticos.2 milhões 3.18.Considerando que o Brasil.8 milhões Calcule: a) o índice de densidade demográfica b) a taxa de natalidade c) a taxa de mortalidade Exercício 3 . em 2000. determine o número de unidades vendidas no mesmo período de 2004.45 Supondo que no período de jul/ago de 2003 tenham sido vendidas 200.0. apresentou: População: Superfície: Nascimentos: Óbitos: 164 milhões de habitantes 8 511 996 km2 6.17 Condicionadores de ar 83.06 Freezers verticais 4. é a tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente).elementos da variável ainda não foram numericamente organizados Ex: Total de pontos (acertos) obtidos por 40 alunos em um teste de 175 questões 166 160 161 150 162 160 165 167 164 162 161 168 163 156 173 160 155 164 155 152 163 160 155 155 169 151 170 154 161 156 172 153 157 156 158 158 Rol .Capítulo 4 .154 4 154 |. Ex: 150 151 152 153 154 155 155 155 155 156 156 156 157 158 158 160 160 160 160 160 161 161 161 161 162 162 163 163 164 164 164 165 166 167 168 168 169 170 172 173 160 168 164 161 4.170 5 170 |. Ex: Total de pontos (acertos) obtidos em um teste de 175 questões por 40 alunos Total de pontos Freqüência 150 |.1 Tabela Primitiva e Rol Tabela primitiva .2 Distribuição de freqüência Com isso pode-se construir uma tabela denominada Distribuição de Freqüência. sendo a freqüência o numero de elementos relacionados a um determinado valor da variável.162 11 162 |.158 9 158 |. Ex: Pontos 150 151 152 153 154 155 156 157 Freqüência 1 1 1 1 1 4 3 1 Pontos 158 160 161 162 163 164 165 166 Freqüência 2 5 4 2 2 3 1 1 Pontos 167 168 169 170 172 173 total Freqüência 1 2 1 1 1 1 40 Para uma melhor visualização e economia de espaço.Distribuição de Freqüência 4. agrupam-se os valores em intervalos de classe.166 8 166 |.174 3 Total 40 . 4.k. do rol já partir para a tabela de distribuição de freqüências com intervalos de classe. onde k é o número total de classes. representados por i. Em nosso exemplo k = 6 b) Limites da classe: são os extremos de cada classe.Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anterior.150 = 24 Deve-se notar que AT/h = k 24/4 = 6 e) Amplitude amostral (AA) : é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra AA = x(máx) .4.3 Elementos de uma distribuição de freqüência a) Classes de freqüência: são os intervalos de variação da variável. Limite superior Li Limite inferior li O símbolo li |..li h2 = 154-158 = 4 d) Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da ultima classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira (limite inferior mínimo). ou seja. AT = L(max) ..Li significa inclusão de li e exclusão de Li l2 = 154 e L2 = 158 c) Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida do intervalo que define a classe h = Li .. sendo i = 1..l (min) AT = 174 .3.x(mín) AA = 173-150 = 23 f) Ponto médio de uma classe (xi) : é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais xi = (li+Li)/2 x2 = (154+158)/2 = 156 f) Freqüência simples ou absoluta: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor f1 = 4 f2 = 9 f3 = 11 f4 = 8 f5 = 5 f6 = 3 .2. 6 6 |.3 ⋅ log n h= AA k Quando o resultado não é exato. deve-se arredondá-lo para mais. é apenas uma orientação) onde.4 Número de Classes. Esta fórmula nos permite obter a seguinte tabela n k 3 |-| 5 3 6 |-| 11 4 12 |-| 22 5 23 |-| 46 6 47 |-| 90 7 91 |-| 181 8 182 |-| 362 9 Para determinação do intervalo de classe h aplica-se k = 1 + 3. ou seja.∑f i =1 k i =n ∑f i =1 6 i = 40 4. Exercício: . k é o número de classes e n é o numero total de dados.2 2 |.8 = 4 6 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 .10 xi fi . 6 classes de intervalo 4. No caso h= 173 − 150 = 3. Intervalos de Classe Determinação do número de classes: utiliza-se a regra de Sturges (obs: não é obrigatório.4 4 |.As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram: 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 Complete a distribuição de freqüência abaixo i Notas 0 |.8 8 |. o que significa que existem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe) d) Freqüência Acumulada relativa (Fri): é a porcentagem entre a freqüência relativa acumulada da classe e a freqüência total da distribuição.275 x 100 = 27. onde : ∑f i =1 k i =n b) Freqüência Relativa (fri): é a porcentagem entre a freqüência simples e a freqüência total: fri = i =1 ∑ fi k fi ⋅ 100[%] No exemplo: fr3 = 11/40 = 0. o que significa que 60 % dos alunos acertaram menos de 162 questões .5 % É obvio que: i =1 ∑ fri = 100% k O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise e facilitar comparações. Fk = f 1 + f 2 + f 3 + L + f k ou Fk = ∑ f i i =1 k No exemplo F3 = f1 + f2 + f3 = 4+9+11=24.5 Tipos de freqüências 50 a) Freqüência Simples ou Absoluta (fi) : é o valor que representa o número de dados de uma classe. c) Freqüência Acumulada (Fi): é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.Total 4.6 = 60 %. Fri = ∑ fi i =1 k Fi ⋅ 100[%] No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0. 162 162 |.166 166 |. inclusive. 40-13 = 27 alunos 4. 10% 3) Quantos alunos acertaram menos que 162 questões ? Resp.Pode-se então montar a seguinte tabela: i 1 2 3 4 5 6 Total de Pontos 150 |.00 12. tomando a seguinte forma: Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 6 1 5 2 5 5 6 4 2 6 i 1 2 3 4 5 6 2 3 3 5 2 6 3 1 2 4 resultados 1 2 3 4 5 6 Total 50 1.174 Total xi 152 156 160 164 168 172 fi 4 9 11 8 5 3 40 fri (%) 10.50 27.00 22. 9 alunos 2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154? Resp.00 80.170 170 |.000 Fi 4 13 24 32 37 40 Fri (%) 10.50 20.00 32.000 fi 4 5 3 5 6 fri 3 1 5 1 1 Fi 6 3 4 3 5 Fri 2 6 4 6 2 6 3 2 5 4 5 4 6 1 3 Exercício: Complete a tabela abaixo e responda: i Horas de estudo por xi fi fri Fi Fri .50 7. cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe.6 Distribuição de Freqüência sem Intervalo de Classe Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena. 24 alunos 4) Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158? Resp.00 92. e 158 questões ? Resp.00 Que nos ajuda a responder: 1) Quantos alunos acertaram entre 154.154 154 |.50 60.50 100.50 1.158 158 |. 5 5 |.20 20 |.15 15 |.000 Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas ? Qual a porcentagem de pessoas que estudam 20 ou mais horas ? .1 2 3 4 5 6 semana 0 |.25 25 |.30 Total 5 96 57 25 11 6 1.10 10 |. 7 Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência Pode-se ser representado basicamente por um histograma.170 170 |. de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. por um polígono de freqüência ou por um polígono de freqüência acumulada.166 166 |. sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal. a) Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos.174 Total xi 152 156 160 164 168 172 fi 4 9 11 8 5 3 40 Fi 4 13 24 32 37 40 Histograma 12 10 Frequências fi 8 6 4 2 0 150 154 158 162 166 Total de Pontos 170 174 b) Polígono de freqüência: É um gráfico em linha.162 162 |.158 158 |. Seja o exemplo: i 1 2 3 4 5 6 Total de Pontos 150 |.4. cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal.154 154 |. levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. . 45 40 35 30 25 F 20 15 10 5 0 150 154 158 162 166 170 174 Total de pontos 12 10 8 fi 6 4 2 0 148 152 156 160 164 168 172 176 Total de Pontos .12 10 8 6 4 2 0 148 f 152 156 160 164 168 172 176 Total de Pontos c) Polígono de freqüência acumulada: É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal. levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 75 9.162 4 162 |.170 6 170 |.25 4 2 1 0 148 0.75 8. denominada calculada (fc).A Curva de Freqüência.75 (11+2*8+5)/4 = 8 (8+2*5+3)/4 = 5. do que o polígono de freqüência obtido da mesma amostra limitada. .158 3 158 |.25 (9+2*11+8)/4 = 9. o polígono de freqüência.150 1 150 |.75 (3+2*0+0)/4 = 0.25 8 5.178 Total 12 10 8 fc 6 xi 148 152 156 160 164 168 172 176 fi 0 4 9 11 8 5 3 0 40 Fi 0 4 13 24 32 37 40 40 fc (0+2*0+4)/4 = 1 (0+2*4+9)/4 = 4.Construa o histograma.75 152 156 160 164 168 172 176 4.25 (5+2*3+0)/4 = 2.8 . Curva Polida O polígono de freqüência nos fornece uma imagem real e a curva uma imagem tendencial. fc i = f ( i−1) + 2 ⋅ f i + f ( i+1) 4 No exemplo anterior tem-se: i Total de Pontos 0 146 |.154 2 154 |.25 (4+2*9+11)/4 = 8. o polígono de freqüência acumulada e a curva polida da seguinte distribuição.Polígono de freqüência com o histograma 4.25 2. A curva polida de uma amostra limitada se assemelha mais a curva resultante de um grande número de dados.75 Total de Pontos Exercício . Utiliza-se uma nova freqüência.166 5 166 |.174 7 174 |. 4 4 |.6 6 |.i Total de Faltas de uma sala com 60 alunos xi fi fci Fi 0 1 2 3 4 5 6 0 |.8 8 |.10 5 15 25 10 5 Capítulo 5 .2 Media Aritmética ( x ) .2 2 |. No entanto. As medidas mais importantes são as medidas de tendência central (os dados tendem a se agrupar em torno de valores centrais).1 Introdução Até agora os estudos de distribuição de freqüência efetuados nos permite localizar a maior e menor concentração dos valores de uma dada distribuição. Dentre elas destacam-se: A média aritmética A mediana A moda Outras medidas de posição são as separatrizes que são: A mediana Os quartis Os percentis 5. para destacar as tendências características necessita-se de elementos típicos da distribuição que são as: Medidas de posição Medidas de variabilidade ou dispersão Medidas de assimetria Medidas de curtose As medidas de posição nos orienta quanto a posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.Medidas de Posição 5. 10.7.5 + 8.5 = 7.3 10 .3 10 c) para dados agrupados (distribuição de freqüência sem intervalos de classe) Seja a seguinte distribuição: fi fi . 7.3 -1.5.7. xi no de filhos (xi) que se deseja ter 0 2 0 1 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 .8 0. 7.3 6. Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável.3 Total 0.5 A média é x = Desvios: 8 .5 + 5 + 6.x= ∑x i =1 n i n onde xi são os valores da variável e n o número de valores.3 6 .7.7.3 8.7. 5.3 -0.7. 9.5 .5 .5.5 + 7.7.5 . Exemplo: Seja a nota de 10 alunos: 8.7 1. a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.2 1.7.3 9 .5 .7. a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.0 8 + 9 + 7 + 6 + 10 + 5.7 -0. 5.7 -1.3 5 . 6.7.5. a) Desvio em relação a média (di) di = xi − x i b) Propriedades: ∑d i =1 n =0 A soma algébrica dos desvio em relação a média é nula Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável. 6.3 5.3 7 .8 -2.2 0. 8.3 7.3 2. xi pontos 1 150 |. Adota-se o seguinte: todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.170 168 5 840 6 170 |. Qtde de cursos de extensão realizados por ano (xi) pelos alunos do 3o Mat 1 2 3 4 5 6 fi fi . .294 ~ 2.Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição.Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição.3 = 34 d) para dados agrupados (distribuição de freqüência com intervalos de classe).162 160 11 1760 4 162 |. Seja a seguinte distribuição: i Total de xi fi fi .Total 34 78 x= ∑ (f i =1 n n i ⋅xi ) i ∑f i =1 tem-se então: x= 78 = 2.154 152 4 608 2 154 |.174 172 3 516 Total 40 6440 tem-se então: x = 6440 = 161 pontos 40 Exercício 1 .158 156 9 1404 3 158 |. xi 2 4 6 8 3 1 Exercício 2 .166 164 8 1312 5 166 |. yi -8 -9 0 8 10 9 10 10 ⋅ 4 = 161 pontos 40 . tal que: yi = xi − x0 h x0 é uma constante escolhida convenientemente entre os pontos médios da distribuição.850 850 |.650 650 |.950 950 |.170 170 |. A média então é calculada por: ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ (f i ⋅ yi )⎟ ⋅ h ⎠ x = x 0 + ⎝ i =1 n ∑ fi i =1 Exemplo: Escolhendo x0 = 160 e como h = 4 i 1 2 3 4 5 6 Então: x = 160 + Total de Pontos 150 |.1050 1050 |. e h é o intervalo de classe.750 750 |.550 550 |. xi e) Processo breve Há uma mudança de variável x por outra y.1150 Total xi fi 8 10 11 16 13 5 1 fi .158 158 |.166 166 |.174 Total xi 152 156 160 164 168 172 fi 4 9 11 8 5 3 40 yi -2 -1 0 1 2 3 fi .i 1 2 3 4 5 6 7 Salário Mensal dos alunos do 3o Mat [R$] 450 |.154 154 |.162 162 |. de preferência o de maior valor de freqüência. i 1 2 3 4 5 6 7 Salário Mensal dos alunos do 3o Mat [R$] 450 |. calcule a média aritmética da distribuição.1150 Total xi fi 8 10 11 16 13 5 1 yi fi . yi .650 650 |.850 850 |.1050 1050 |.550 550 |.750 750 |.Exercício 3: Pelo processo breve.950 950 |. Basta identificar o valor da variável que possui maior freqüência. Basta procurar o valor que mais se repete.8. yi 1 2 3 4 5 2 8 12 10 5 5.6. calcule a média aritmética da distribuição. Ex: 3.4.6.4.50 50 |.8.5. Caso 1) Dados não agrupados.6.3.2. Ex: Seja a seguinte distribuição: Mo = 3 no de filhos (xi) fi que se deseja ter 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 Total 34 b) com intervalos de classe.5.6.90 90 |.110 110 |. A classe com maior freqüência é denominada classe modal.7.9 A série tem moda igual a 6 (valor modal 6) Pode acontecer também uma série sem valor modal. Ex: 1.série bimodal Caso 2) Dados agrupados.9 a série tem duas modas (2 e 6) . Ex: 1.3.7.Exercício 4: Pelo processo breve. i Valor da hora aula de profissionais da educação [R$] 30 |.9 série amodal Pode acontecer também uma série com mais de uma moda.7.6.130 Total xi fi yi fi .2.6. a) sem intervalos de classe.7. .3 A Moda (Mo) Denomina-se moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.4.70 70 |.5.8. o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médio do intervalo de classe.6.2.6.2. 170 168 6 170 |. Caso 1 ) Dados não agrupados Dada uma série de valores: 5.1150 Total fi 8 10 11 16 13 5 1 64 fi 4 9 11 8 5 3 40 5.950 950 |.2.9.174 172 Total Então: a classe modal é i = 3.9 Deve-se então ordená-los: 2.750 750 |. ou seja. separa os valores em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.16.16. logo Mo = 160 pontos Exercício: Calcule a moda da seguinte distribuição: i 1 2 3 4 5 6 7 Salário Mensal dos alunos do 3o Mat [R$] 450 |.650 650 |.4 Mediana (Md) A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de números.10.162 160 4 162 |.5.166 164 5 166 |.18 Determina-se então o valor central que é 10 (4 valores para cada lado) Md = 10 .550 550 |.6.158 156 3 158 |.850 850 |.18.154 152 2 154 |.6.Mo = x i = l+L 2 Ex: Seja a distribuição: i Total de pontos xi 1 150 |.13.15.1050 1050 |.13.10.15. que corresponde ao valor 2 da variável. então: Md = 2+3 = 2.9. Aplica-se então: ∑f 2 a) sem intervalos de classe. Exemplo: 2 ∑f 2 i = 18 = F3 .Se a série tiver número par de valores.15. a mediana será dada por: Md = i 1 2 3 4 5 no de filhos (xi) que se deseja ter 0 1 2 3 4 Total fi 2 6 10 12 6 36 Fi 2 8 18 30 36 x i + x i +1 .5 Caso 2 ) Dados agrupados No caso de distribuição de freqüência deve-se primeiramente determinar a freqüência acumulada. o valor que divide a distribuição em duas partes iguais. Dada a série: no de filhos (xi) que se deseja ter 0 1 2 3 4 Total Então: i fi 2 6 10 12 4 34 Fi 2 8 18 30 34 ∑f 2 i = 34 = 17 2 A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18.6. Determina-se então.5.10.16.5 2 Exercícios: . a mediana é a média dos dois valores centrais: 2. No caso de ∑f 2 Md = 2 i = Fi acontecer.18 Md = (9+10)/2 = 9. 162 162 |.154 154 |.158 158 |.170 fi 4 9 11 8 5 Fi 4 13 24 32 37 .166 166 |.Calcula-se ∑f 2 i 3o .Determina-se as freqüências acumuladas 2o .Marca-se a classe correspondente a freqüência acumulada imediatamente superior a ∑f 2 i (classe mediana) e emprega-se a fórmula: ⎤ ⎡∑fi − F(ant )⎥ ⋅ h ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎦ Md = l i + ⎣ fi onde: l é o limite inferior da classe mediana F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana h é a amplitude do intervalo da classe mediana fi é a freqüência do intervalo da classe mediana Exemplo: i 1 2 3 4 5 Total de pontos 150 |.1) Calcule a mediana das seguintes distribuições: i Qtde de anos de Fi fi estudo (xi) 1 13 6 2 14 14 3 15 24 4 16 16 5 17 8 Total i 1 2 3 4 5 6 Qtde de disciplinas em dependência 0 1 2 3 4 5 Total fi 2 5 9 7 6 3 Fi b) com intervalos de classe: segue-se os seguintes passos: 1o . 130 Total fi 2 8 12 10 5 Fi 5.5 Os Quartis .6 ∑f 2 170 |. Exercício: Calcule a mediana das seguintes distribuições: i 1 2 3 4 5 6 7 Salário Mensal dos alunos do 3o Mat [R$] 450 |.850 850 |.5 11 ∑ fi 2 = Fi acontecer.90 90 |.50 50 |.750 750 |.650 650 |. a mediana será o limite superior da classe correspondente.550 550 |.70 70 |.110 110 |.1150 Total fi 8 10 11 16 13 5 1 64 Fi i 1 2 3 4 5 Valor da hora aula de profissionais da educação [R$] 30 |.950 950 |. logo classe mediana é i = 3 2 l = 158 f3 = 11 Md = 158 + No caso de [20 − 13]⋅ 4 = 158 + 2.174 Total 3 40 40 F(ant) = 13 h = 4 i = 40 = 20 .5 = 160.1050 1050 |. Primeiro Quartil (Q1) . logo classe do 1o Quartil é i = 2 4 f2 = 9 l = 154 F(ant) = 4 h=4 Q1 = 154 + 2∑ f i 4 = 13 h=4 [10 − 4]⋅ 4 = 154 + 2.158 3 158 |. logo classe do 2o Quartil é i = 3 2 f3 = 11 l = 158 F(ant) .66 = 156.174 Total Primeiro Quartil fi 4 9 11 8 5 3 40 Fi 4 13 24 32 37 40 ∑f 4 i = 40 = 10 . Então: k∑ f i 4 . há três quartis. Para o caso de dados agrupados.7 9 Segundo Quartil = Mediana = 40 = 20 . sendo k o número de ordem do ⎡∑fi ⎤ ⎡ 2 ⋅ ∑ fi ⎤ − F(ant )⎥ ⋅ h ⎢ − F(ant )⎥ ⋅ h ⎢ 4 ⎢ 4 ⎥ ⎦ ⎦ Q1 = l i + ⎣ Q2 = l i + ⎣ fi fi ⎤ ⎡ 3 ⋅ ∑ fi − F(ant )⎥ ⋅ h ⎢ 4 ⎦ Q3 = l i + ⎣ fi Exemplo: i Total de Pontos 1 150 |. Portanto.154 2 154 |.25 % dos dados são menores que ele e os 75 % restantes são maiores. Segundo Quartil (Q2) . Terceiro Quartil (Q3) .166 5 166 |.170 6 170 |. 50 % para cada lado.Denomina-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.75 % dos dados são menores que ele e os 25 % restantes são maiores.coincide com a mediana.66 = 156.162 4 162 |. São mais aplicados em distribuição de freqüência com intervalos de classe. basta aplicar: quartil. sendo k o número de ordem do percentil.P2. ⎡k ⋅ ∑fi ⎤ − F(ant )⎥ ⋅ h ⎢ ⎢ 100 ⎥ ⎦ PK = l i + ⎣ fi i Total de Pontos 1 150 |.750 750 |..1150 Total 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 16 13 5 1 64 5.850 850 |.P3.170 6 170 |.650 650 |.154 2 154 |.1050 1050 |...Q 2 = Md = 158 + Terceiro Quartil [20 − 13] ⋅ 4 = 158 + 2.P99 Note-se que: P50 = Md. logo classe do 3o Quartil é i = 4 4 f4 = 8 l = 162 F(ant) = 24 h=4 Q 3 = 162 + [30 − 24]⋅ 4 = 162 + 3 = 165 8 Exercício: Calcule os quartis da seguinte distribuição: Fi fi i Salário Mensal dos alunos do 3o Mat [R$] 450 |.550 550 |. P25 = Q1 e P75 = Q3 Calcula-se da mesma forma que os quartis.174 fi 4 9 11 8 5 3 Fi 4 13 24 32 37 40 Exemplo: .6 Os Percentis Denomina-se percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais.158 3 158 |.950 950 |.5 11 3∑ f i 4 = 3 ⋅ 40 = 30 . Indica-se da seguinte forma: P1.166 5 166 |. só que aplicando: k∑ f i 100 .162 4 162 |.5 = 160. 1050 1050 |.2 = 153.Total Tem-se para o oitavo percentil: 40 k = 8 => F(ant) = 0 h=4 f1 = 4 8∑ f i 100 = 8 ⋅ 40 = 3. logo classe do 8o Percentil é i = 1 100 l = 150 P8 = 150 + [3.2 − 0]⋅ 4 = 150 + 3.650 650 |.1150 Total fi 8 10 11 16 13 5 1 64 Fi .2 4 Exercício: Calcule o percentil de ordem 20 da seguinte distribuição: i 1 2 3 4 5 6 7 Salário Mensal dos alunos do 3o Mat [R$] 450 |.2 .750 750 |.550 550 |.950 950 |.850 850 |. Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento. 2a. o desvio padrão fica multiplicado por essa constante.Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 6. simplifica-se o cálculo do desvio padrão com a seguinte: ( x) (x − x ) = ∑ x − ∑ ∑ n 2 i 2 i i 2 que resulta em: s= ∑x n 2 i ⎛ ∑ xi −⎜ ⎜ n ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 Obs: Quando calcula-se a variância ou o desvio padrão de uma população através de uma amostra dessa. 6. a) para dados não agrupados A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios: s 2 ∑ (x − x ) = ∑f i i 2 ∑ (x = i − x) 2 n A variância é um número em unidade quadrada em relação a média. por isso. e 70 AT = 70 . 54.40 = 30 Quanto maior a amplitude total . 45. .: Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero).2 Variância (s2) e Desvio Padrão (s) São mais estáveis que a amplitude total. não sofrem tanto a interferência de valores extremos. o desvio padrão não se altera. 62. O desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios.1 Amplitude total (AT) a) a amplitude total é a diferença entre o maior valor e o menor valor observado: AT = x MÁX − x MÍN Exemplo: 40. 52. Propriedades: 1a: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma variável.Capítulo 6 . 48. deve-se substituir o denominador n por n-1. maior será a dispersão dos valores da variável em torno da média. definiu-se o desvio padrão como a raiz quadrada da variância. xi 0 6 24 21 12 63 2 Qtde de filhos que se deseja ter (xi) 0 1 2 3 4 2 fi .67 − 169 = 3.56 ⎟ 6 ⎝ 6 ⎠ ⎠ 2 b) para dados agrupados sem intervalos de classe: deve-se levar em conta as freqüências. xi2 0 6 48 63 48 165 s= ∑ (f i ⋅ x i2 ) n 2 ⎛ ∑ (f i ⋅ x i ) ⎞ 165 ⎛ 63 ⎞ ⎟ = −⎜ − ⎜ ⎟ = 5.04 ⎜ ⎟ n 30 ⎝ 30 ⎠ ⎝ ⎠ Exercício: Determine o desvio padrão. xi fi . i Qtde de cursos de extensão realizados por ano (xi) pelos alunos do 3o Mat 1 2 3 fi fi .41 = 1. xi2 1 2 3 2 5 8 .5 − 4. s= Exemplo: i 1 2 3 4 5 Total ∑ (f i ⋅ x i2 ) n ⎛ ∑ (f i ⋅ x i ) ⎞ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ n ⎠ ⎝ fi 2 6 12 7 3 30 fi .Exemplo: Calcule o desvio padrão da seguinte série: i 1 2 3 4 5 6 Total xi 8 10 11 15 16 18 78 xi2 64 100 121 225 256 324 1090 s= ∑x n 2 i ⎛ ∑ xi −⎜ ⎜ n ⎝ 2 ⎞ 1090 ⎛ 78 ⎞ ⎟ = − ⎜ ⎟ = 181. 174 Total 2 fi 4 9 11 8 5 3 40 fiyi -8 -9 0 8 10 9 10 fiyi2 16 9 0 8 20 27 80 80 ⎛ 10 ⎞ − ⎜ ⎟ = 4 ⋅ 2 − 0.166 164 8 1312 215168 5 166 |.0625 = 4 ⋅ 1.4 5 6 Total 4 5 6 6 3 1 25 c) para dados agrupados com intervalos de classe: também leva-se em conta as freqüências e xi é o ponto médio do intervalo de classe.154 2 154 |.170 168 5 840 141120 6 170 |.550 1 8 fiyi2 . fi yi fiyi i xi Salário Mensal dos alunos do 3o Mat [R$] 450 |.174 172 3 516 88752 Total 40 6440 1038080 s= ∑ (f i ⋅ x i2 ) − ⎛ ∑ (f i ⋅ x i ) ⎞ ⎜ ⎟ n ⎝ n 1038080 ⎛ 6440 ⎞ = −⎜ ⎟ = 25952 − 25921 = 31 = 5. Exemplo: i Total de Pontos xi fi fixi fixi2 1 150 |.391941 = 5.57 40 ⎝ 40 ⎠ ⎠ 2 2 Processo breve: Da mesma maneira que o cálculo da média.158 3 158 |.158 156 9 1404 219024 3 158 |. muda-se a variável X por outra Y.162 160 11 1760 281600 4 162 |.170 6 170 |.166 5 166 |.9375 = 4 ⋅1. tal que: x − x0 yi = i h Exemplo: e s = h⋅ ∑ (f i ⋅ yi2 ) n xi 152 156 160 164 168 172 ⎛ ∑ (f i ⋅ y i ) ⎞ ⎟ −⎜ ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠ yi -2 -1 0 1 2 3 2 i Total de Pontos 1 150 |.154 152 4 608 92416 2 154 |.57 s = 4⋅ 40 ⎝ 40 ⎠ Resolva: Calcule o desvio padrão pelo processo breve.162 4 162 |. das estaturas. CV = s ⋅ 100 x 5.1150 Total 10 11 16 13 5 1 64 xi fi 2 8 12 10 5 37 yi fiyi fiyi2 i 1 2 3 4 5 Peso kg 30 |.Coeficiente de Variação (CV) É a porcentagem do desvio padrão em relação a sua média.3.850 850 |.459 = 3.2 3 4 5 6 7 550 |.110 110 |.650 650 |.57 cm CV = Resolva: Calcule o CV dos dois últimos exercícios de cálculo de desvio padrão pelo processo breve.70 70 |.750 750 |. tem-se média de 161 cm e desvio padrão de 5.57 ⋅ 100 = 3. a) x = 755 s = 154 .90 90 |.50 50 |.5% 161 Exemplo: Para o exemplo anterior.1050 1050 |.130 Total 6.950 950 |. 3 s = 21.88 Quanto maior o CV maior será a dispersão Quanto menor o CV menor será a dispersão Conclusão: .b) x = 84. Determine: i 1 2 3 4 5 6 7 Idade 0 |. Mediana Primeiro Quartil Terceiro Quartil P40 xi fi 10 26 15 8 4 3 2 Fi yi fiyi fiyi2 fixi fixi2 .20 20 |.50 50 |. Desvio Padrão.Exercícios de Revisão: Os dados abaixo referem-se a idade das pessoas que compraram um determinado produto novo durante um dia.70 Total a) b) c) d) e) f) Média.10 10 |.60 60 |.30 30 |.40 40 |. TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS: 4 9 9 1 5 8 3 4 0 0 4 4 8 9 7 7 0 7 8 9 1 6 6 3 6 2 9 6 6 6 2 6 2 9 9 9 4 8 7 3 9 9 9 2 7 8 4 7 9 8 3 6 6 9 3 6 0 4 1 8 4 9 3 5 9 0 0 8 3 4 2 5 5 7 7 1 3 4 6 6 0 9 4 6 6 2 6 3 3 2 4 3 5 7 6 1 0 3 8 2 9 1 5 4 0 7 3 1 6 1 2 3 8 2 6 9 6 7 3 4 3 3 5 5 7 7 5 0 4 3 1 4 3 0 1 8 9 5 9 7 5 6 6 1 1 8 8 1 8 5 6 7 5 3 4 9 9 6 7 0 2 4 5 8 5 3 3 8 9 9 2 3 3 1 4 1 7 1 8 1 7 8 5 2 8 3 2 1 3 9 2 4 7 9 5 9 0 1 6 4 5 1 6 8 4 2 1 8 2 7 3 9 9 2 2 2 1 1 3 0 6 6 9 1 3 8 3 3 4 4 4 4 3 2 6 7 3 1 0 3 6 6 0 8 9 5 3 3 0 4 5 3 6 2 3 6 5 4 1 4 2 6 7 9 8 7 7 6 4 9 1 0 4 4 8 4 6 3 0 2 2 8 4 5 6 1 8 2 7 5 0 7 8 3 1 0 6 5 7 8 9 0 5 8 3 1 5 5 2 2 1 0 0 2 3 1 0 5 5 0 9 4 1 4 7 6 6 7 0 7 3 8 0 8 5 7 1 3 9 4 8 9 5 7 5 7 2 0 8 9 7 9 0 7 3 4 4 9 2 5 9 2 9 6 3 0 7 4 4 3 9 6 2 0 1 4 1 8 9 8 9 3 5 8 9 9 6 5 8 0 8 1 5 9 3 0 1 7 8 4 9 2 8 8 0 9 6 7 5 7 1 0 1 5 3 3 6 2 2 9 2 6 2 4 6 1 1 1 4 7 3 7 6 0 9 9 2 1 0 8 2 7 1 7 3 0 7 9 0 5 5 7 0 8 0 5 0 2 6 2 7 9 5 0 9 5 5 5 5 0 3 1 6 8 5 3 2 0 8 7 7 5 3 2 6 2 7 7 6 4 8 2 9 5 1 9 5 4 0 8 9 4 8 8 9 6 1 7 6 6 1 4 2 7 8 9 7 4 1 3 8 2 0 1 8 4 4 7 1 6 3 0 8 5 4 5 3 8 1 8 0 0 8 2 9 7 0 9 0 6 2 1 0 8 6 4 5 3 4 8 7 5 3 8 9 9 4 5 2 0 1 6 6 5 3 3 7 5 9 7 1 3 5 3 9 4 8 0 9 2 3 2 2 2 5 4 6 2 6 9 2 3 0 5 9 3 9 4 6 7 8 0 1 5 4 3 2 6 1 0 1 5 1 3 6 0 9 1 8 8 7 6 6 9 1 4 8 3 3 3 5 5 8 3 5 5 5 9 9 0 8 8 4 2 5 4 2 2 2 4 4 1 9 0 3 0 9 3 6 2 0 7 3 0 7 6 3 9 7 7 2 5 6 6 1 0 4 8 8 4 9 1 8 2 9 9 8 0 2 0 2 2 1 5 1 8 1 0 9 0 6 4 4 8 4 1 3 0 8 1 0 8 0 4 7 6 0 1 1 3 4 0 2 4 8 9 8 3 0 1 1 9 6 9 7 2 0 2 1 3 0 9 7 3 4 1 9 6 2 1 0 4 1 9 8 7 8 1 0 0 4 8 0 8 9 8 9 6 0 9 3 8 9 9 1 5 6 0 0 1 0 6 6 8 1 5 0 3 7 7 8 7 1 9 2 6 2 3 2 4 9 3 0 3 8 7 3 0 7 0 2 2 9 4 4 6 5 1 1 5 2 7 9 2 7 2 7 2 6 7 2 4 7 2 3 0 9 3 5 3 1 1 4 0 5 5 3 4 8 3 0 5 9 3 2 3 3 3 5 9 1 4 8 1 0 4 5 0 1 5 7 3 0 4 2 8 9 8 0 7 1 9 9 2 1 3 2 2 5 8 4 4 4 0 4 0 2 5 2 1 3 1 1 3 2 2 9 5 5 8 4 2 6 1 1 2 2 3 3 6 3 7 0 0 3 1 2 6 7 3 2 8 1 9 1 4 5 4 1 5 2 2 9 1 9 8 5 3 9 7 3 1 4 1 1 4 8 7 6 6 9 5 7 6 4 5 8 8 4 7 5 8 6 7 7 9 6 5 7 6 1 1 1 5 3 1 4 5 1 1 1 5 2 4 7 4 2 7 9 5 1 8 8 8 7 0 8 6 1 9 3 7 9 7 8 6 8 3 2 7 3 9 1 2 7 8 1 3 0 3 8 1 4 6 5 2 3 5 9 9 1 0 7 5 5 1 2 1 0 1 4 1 6 4 1 6 2 2 5 6 5 7 3 8 1 8 9 1 7 2 7 2 3 3 6 6 6 8 2 6 0 5 5 6 4 7 2 2 6 0 1 1 6 9 9 5 1 4 3 9 8 1 4 7 1 2 2 0 1 0 6 0 3 0 1 8 9 8 6 9 2 3 2 2 0 7 4 1 1 9 1 0 5 1 4 7 3 1 4 2 9 7 3 5 3 0 8 5 4 4 2 8 8 6 6 2 3 1 9 0 8 7 5 3 4 0 3 8 1 7 1 6 8 4 8 9 0 9 1 6 1 8 6 2 3 8 5 2 9 1 3 0 9 7 0 6 8 1 0 2 8 4 3 0 8 4 7 6 5 9 0 0 6 8 7 4 0 5 5 5 1 5 2 7 0 0 0 3 7 3 7 2 4 5 6 1 1 3 6 2 6 7 7 2 5 7 4 9 6 0 7 5 0 1 7 4 9 5 4 9 7 7 7 8 8 3 2 9 9 5 1 5 7 4 4 3 2 9 2 6 9 6 4 7 7 7 6 0 9 2 8 1 2 8 8 4 4 6 5 9 0 1 4 0 7 7 5 9 1 5 8 0 1 8 8 2 8 1 5 2 1 6 4 1 5 3 5 1 4 9 2 7 3 5 0 7 3 3 0 7 6 5 8 3 5 9 0 3 1 5 9 9 8 6 2 5 6 3 7 9 6 7 0 1 6 2 1 2 4 5 9 0 9 6 7 2 8 9 1 9 1 5 2 5 2 8 9 0 3 9 7 4 3 7 8 8 8 1 0 2 2 3 9 1 1 9 6 0 9 9 5 7 5 7 8 3 0 6 4 3 6 0 4 6 1 0 5 8 0 5 7 5 5 5 0 4 6 9 2 0 8 3 8 9 1 2 3 7 7 2 4 0 6 0 0 6 8 6 1 3 1 5 3 6 6 3 2 8 6 6 7 9 7 5 9 5 0 8 3 5 7 4 9 2 7 7 4 6 8 0 2 4 6 8 4 3 2 5 6 9 5 3 3 5 2 0 1 4 8 5 5 7 1 1 6 2 0 8 6 4 1 6 0 4 4 9 1 2 0 8 4 0 7 6 4 2 2 1 9 2 1 6 5 3 6 0 8 8 7 5 6 9 7 2 0 7 2 1 4 8 1 8 6 7 7 0 7 5 3 7 7 5 5 9 5 8 1 4 7 8 4 3 3 1 6 7 4 8 2 7 3 9 6 8 2 9 3 9 4 3 8 8 9 2 5 3 8 4 2 8 5 8 9 3 2 4 7 6 6 7 9 0 6 0 8 7 5 3 2 2 4 9 5 7 5 6 7 2 8 4 8 0 2 2 2 8 6 4 0 0 6 9 6 5 9 8 6 6 5 1 3 8 3 4 8 0 5 0 3 2 7 4 4 8 3 9 9 3 7 6 2 5 5 0 5 5 0 9 1 4 1 0 1 3 1 7 6 5 2 1 9 6 8 2 4 1 0 4 2 6 2 9 7 6 3 6 2 5 9 4 2 5 7 7 2 5 5 7 5 3 6 7 6 7 3 8 8 3 4 0 2 5 2 7 8 8 5 9 6 4 5 0 5 5 1 9 7 0 8 0 5 2 0 6 9 0 7 8 7 9 5 3 7 4 9 8 1 6 3 0 7 6 7 4 0 4 5 7 6 8 0 9 3 4 5 1 3 8 2 0 1 4 8 0 7 4 8 4 6 9 2 6 6 5 8 0 1 7 6 8 8 2 6 7 0 2 5 5 1 2 9 3 8 0 8 8 3 3 9 5 3 6 8 1 0 5 8 5 9 2 3 9 3 0 1 7 6 2 9 4 2 5 2 6 3 0 7 5 8 2 1 6 2 1 1 5 8 1 5 2 0 0 0 6 6 9 2 6 7 2 3 6 3 2 3 7 0 6 2 9 3 8 2 9 8 1 4 3 8 2 0 9 8 3 4 1 0 7 6 8 9 6 4 0 1 2 9 7 3 8 6 9 7 0 4 9 7 5 0 9 8 2 1 9 3 8 0 3 1 9 5 4 7 7 2 3 7 3 3 7 0 3 4 7 0 2 1 8 8 5 5 5 6 9 9 6 2 5 1 3 4 4 1 1 9 0 8 3 3 0 3 4 3 3 9 3 2 9 5 0 5 2 4 1 4 4 . 96 0.50] 0.50] ⋅ N = n= 2 2 (N − 1) ⋅ e + 1.96 para 95% de confiança (valor usual) 2.50 ⋅ [1 − 0. O valor de n é máximo para x/n = 0.02 1. 1.962 ⋅ 0.50 ⋅ [1 − 0.9604 Exemplo: erro 2% z= x/n = 0. x/n = proporção esperada.5 .50 Resultando em: 1.58 para 99% de confiança.9604 ⋅ N n= (N − 1) ⋅ e 2 + 0.96 ⋅ 0.Tamanho da Amostra para populações finitas z 2 ⋅ (x / n ) ⋅ [1 − (x / n )]⋅ N n= (N − 1) ⋅ e 2 + z 2 ⋅ (x / n ) ⋅ [1 − (x / n )] n = tamanho da amostra N = tamanho da população e = % de erro na forma unitária z = intervalo de confiança. 96 e x/n = 0.População Amostra 100 96 200 185 300 267 400 343 500 414 600 480 700 542 800 600 900 655 1000 706 1100 755 1200 800 1300 844 1400 885 1500 923 1600 960 1700 996 1800 1029 1900 1061 2000 1091 População Amostra 1000000 2395 2000000 2398 3000000 2399 4000000 2400 5000000 2400 6000000 2400 7000000 2400 8000000 2400 9000000 2400 10000000 2400 115000000 2401 População Amostra 10000 1936 20000 2144 30000 2223 40000 2265 50000 2291 60000 2309 70000 2321 80000 2331 90000 2339 100000 2345 População Amostra 100000 2345 200000 2373 300000 2382 400000 2387 500000 2390 600000 2391 700000 2393 800000 2394 900000 2395 1000000 2395 Cálculo do erro e = z⋅ e = z⋅ (x / n ) ⋅ [1 − (x / n )] n para população desconhecida (x / n ) ⋅ [1 − (x / n )] ⋅ n 1 n N−n N −1 para população conhecida para z = 1.98 ⋅ para população desconhecida .50 tem-se: e = 0. 15 40 0. São Paulo: Editora HARBRA Ltda.08 70 0.05 90 0.06 80 0. Estatística Aplicada à Administração.00 Bibliografia STEVENSON. 1981 .20 30 0.10 60 0. W.03 100 0.12 50 0. J.e = 0.30 20 0.98 ⋅ N−n n ⋅ ( N − 1) para população conhecida População = 100 Amostra Erro 10 0. 17o ed. P. P. TRIOLA. STEVENSON. Estatística Aplicada à Administração. Fundamentos de Estatística para as Ciências do Comportamento. 1999. 1999. C. 2000. 1978. CLARK. COSTA NETO. 1985. L. 7a ed. NICK. D. São Paulo: Editora Makron books Ltda. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda.A. M. F. São Paulo: Editora Saraiva. Estatística. J. Rio de Janeiro: Editora Renes. São Paulo: Editora Lapponi.BIBLIOGRAFIA: COSTA NETO. . Introdução à Estatística. L. 2a edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S. LAPPONI. KAZMIER. CRESPO. de O. SIEGEL. S. 1971. DANTE. J. W. Probabilidades. 2000. J. 1981. LEVIN. Matemática: Contexto de Aplicações. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda. Estatística Usando Excel. E.. 1999. Estatística Aplicada. J. Estatística Aplicada a Ciências Humanas. Estatística Aplicada à Economia e Administração. R. 1975. Estatística Fácil. O. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil Ltda. S. KELLNER. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda. R. 1982. São Paulo: Editora Saraiva. L. J. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil Ltda. 17o ed. . . A. Estatística Não Paramétrica. L. DOWNING. São Paulo: Editora Ática. 1999.. de O. A. 00 pela viagem. Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro 1a ano 2460 2388 2126 1437 931 605 619 421 742 2a ano 3152 2963 2049 1614 1024 898 910 648 937 .2. 3). 3.5 – 0. Os dados na tabela ao lado referem-se ao número de umidades de um livro didático vendidas.3. no mínimo. b) Determine os possíveis valores inteiros de x de modo que x A não ultrapasse 4 e x B seja.5 – 0. a) Determine x para que as médias aritméticas dos dois conjuntos sejam iguais.5 – 0. Os demais pagaram cada um R$ 340. Sejam A = (x. 6. 11 – 8 – 7 – a – 16 – 10. Qual foi o preço médio que cada turista pagou nessa excursão? 3. 4. 5) e B = (9. 11. Calcule em cada caso. Determine a de modo que: a) x = 11 b) 12 ≤ x < 13 c) x < 0 6. Para que os valores de a as médias aritméticas de (. . a2. 10.25 A–a–a–a–a–b–b–b–b–c–c 43 – 49 – 52 – 41 – 47 – 50 – 53 – 44 2. a média aritmética dos valores: a) b) c) d) e) f) 18 – 21 – 25 – 19 – 20 – 23 – 21 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 40 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 10 – 10 – 10 – 10 0.5) coincidem? 5. 4.25 – 0. 8. 9) e (. 6. 4. a.5 – 0.00.Apêndice 01 1. Um ônibus de excursão partiu com 40 turistas a bordo dos quais 8 reservaram a viagem com antecedência e pagaram cada um R$ 300. x é uma variável que assume os valores. mês a mês. 3. igual a 5. x. nos dois primeiros anos após seu lançamento. se às quantidades mensais de CDs do cantor x vendidos durante um ano. Qual é o valor de y? 7. sabendo que a diferença entre eles é igual a 14. . Qual é o valor de x? b) Do primeiro para o segundo ano de vendas. A média aritmética de 45 números é igual a 6. Qual foi o número retirado? . Curiosamente.5. A média aritmética de 80 números é igual a 40. A média de “pesos” de 25 clientes hospedadas em um SPA era de 84 Kg. 12. A média aritmética de uma lista formada por 55 números é igual a 28. a) Qual é o valor de x? b) Qual é a média aritmética dos números x x x x x . com n e m alunos. a média geral foi 5. a média mensal de livros vendidos aumentou em y%. 10. Adicionando – se dois números a essa relação. . Juntando as notas das duas turmas. a média aumenta em 50%. a média aumenta em 2 unidades. A média aritmética de 15 números é 26. qual será a média aritmética? 9. respectivamente.8 e a da turma B foram 5. Uma prova de Conhecimentos Gerais foi aplicada em duas turmas. Os dados seguintes referem . sabendo que a média de ¨pesos¨ de todas as clientes hospedadas no SPA aumentou em 1 quilograma.8. A elas juntou-se um grupo de n amigas.se um deles. a média mensal de livros vendidos aumentou em x unidades. a média dos demais passa a ser 25. .2. a) Intuitivamente. sabendo que um deles é o triplo do outro. A e B. 13. Ao acrescentarmos o número x a esses valores. Retirando . ? 2 4 6 8 12 11. Adicionando-se a esse conjunto de valores o número 243. Determine o valor de n. A média das notas da turma A foi 6. responda O que é maior n ou m? b) Determine n e m. Determine-os. 3000 – 4000 – 3500 – 5200 – 6700 – 5000 8500 – 7600 – 6500 – 6400 – 7000 – 5400 a) Em quantos meses as vendas mensais superaram a média de CDs vendidos? 8. cada amiga desse grupo pesava 90 Kg.Outubro Novembro Dezembro 687 1043 1769 702 1051 2016 a) Do primeiro para o segundo ano de vendas. Cidade A B C Salário médio (em reais) 530. A tabela seguinte mostra o salário médio dos trabalhadores de três cidades.00 600.08 . Na situação do exercício anterior. 17.2 ≅ 0. x1. a fim de que o salário médio dos trabalhadores da região seja R$ 560. a média aumenta para 30. A crescente de razão 6. Determine o percentual de trabalhadores que vivem em B e C. que compõem uma região metropolitana.00. log 4 e log 5. Retirando-se o número 24. O gráfico seguinte informa a distribuição do tempo de serviço (em anos) dos funcionários de uma pequena empresa. sabendo que log 1. é 4. suponha que A concentre 70% dos trabalhadores da região metropolitana. respectivamente.14. b) A têm 200 000 trabalhadores. x2. 21. A média aritmética de 7 números inteiros é 4.. x10. Determine n a fim de que a média aritmética dos números 2 n. A média aritmética de n números é 29. A. Qual será a nova média se : a) x1 for aumentado de 4 unidades e x2 aumentado de 8 unidades? b) x1 for subtraído de 10 unidades e x2 aumentado de 6 unidades? 19..00 Determine o salário médio na região metropolitana se: a) A B e C têm o mesmo número de trabalhadores. c) A tem o dobro de trabalhadores de B. que tem o triplo de trabalhadores de C. . . Qual é o valor de n? 15. 16. 20. sabendo que eles formam uma P. B e C.00 700. 18. Determine-os. B tem 300 000 e C tem 500 000. A média aritmética de 10 números. 2n + 1..2n + 2 e 2 n + 3 seja igual a 60. Calcule a média aritmética entre os números reais log 3. n) é multiplicado por – 2 e ao resultado são acrescentadas três unidades.n) é diminuído de cinco unidades.2.. Cada xi (i = 1. () a) b) c) d) Cada xi (i = 1..3.3... 23.. xn os n valores assumidos por uma variável quantitativa e x a média aritmética correspondentes a tais valores. A tabela seguinte mostra o número de gols por partida registrada nas duas primeiras rodadas de um campeonato brasileiro.2.3...Tempo de serviço 50% 40% 45% porcentagem 30% 20% 10% 0% 1 8% 26% 11% 10% 2 3 anos 4 5 Qual é o tempo médio de trabalho dos funcionários dessa empresa? 22. Cada xi (i = 1. Cada xi (i = 1. ..2..2. x2..2. Sejam x1.n) é aumentado de duas unidades. Estabeleça uma relação entre a nova média x′ e x em cada caso a seguir....n) é multiplicado por três...n) é subtraído de x unidades.3.. e) Cada xi (i = 1. No de gols 0 1 2 3 4 5 6 Freqüência Absoluta 5 jogos 6 jogos 8 jogos 4 jogos 5 jogos 3 jogos 1 jogo a) Qual foi a média de gols por partida registrada nas duas primeiras rodadas? ..3.. nota 5 ou nota 10. Cada um dos 60 alunos da turma A obteve.b) A rodada seguinte previa a realização de n jogos sábado e a dos demais no domingo. Em cada um dos jogos desabado foram marcados 3 gols. Qual o valor de n? 26. A e B .e as médias obtidas foram 7. as médias das duas turmas seriam iguais. É comum encontrarmos produtos com conteúdo líquido menor que o declarado nas embalagens. Qual será a nova média salarial se: a) Cada funcionário receber um aumento de R$50. Pergunta-se: Notas de uma questão do vestibular 6 10% 1 20% 5 10% 4 12% 2 32% 3 16% .5 g. Qual será a nova média de salários na empresa se: a) O aumento for dado antes do abono? b) O aumento for dado após a incorporação do abono ao salário? 27. na avaliação de um trabalho. a média de gols do campeonato (comparadas às duas primeiras rodadas e os jogos de sábado) elevou-se para 2. Em uma empresa. 28. A média dos salários dos funcionários de uma loja é de R$ 620. Dois fabricantes.3. A média aritmética dessas notas foi 6. Ele mostra. Uma prova foi aplicada em duas turmas. respectivamente. que 32% desses candidatos tiveram nota 2 nessa questão. A e B. Qual é o valor de n? 24. Em uma pequena cidade. fornecem doces com conteúdo real médio de 190 g e 195 g.00. Pretende-se dar a cada funcionário um aumento de 5% e um abono de R$80. Se cada aluno da turma A tivesse obtido n pontos a menos e cada aluno da turma B tivesse obtido n pontos a mais.00. O gráfico ao lado. Um supermercado comprou um total de n copos (somadas as duas marcas) de doce de leite. respectivamente. a média salarial é R$540.. representa as notas obtidas em uma questão pelos 32 000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Determine quantos alunos obtiveram nota 5 e quantos obtiveram nota 10? 29.2 e 6.00? b) Cada funcionário receber um aumento de 20%? 25. Com isso. e verificou-se que o conteúdo médio líquido do lote era 193.00. por exemplo. em forma de pizza. doces de leite são vendidos em copos de vidro em cujos rótulos constam à informação relativa ao peso de 200g.5 gols por partida. está treinando para uma competição. Com essa decisão. 20 ou 50 reais e ligar para o número correspondente ao valor escolhido a fim de fazer a doação.. O telespectador poderia escolher entre 10. xn é p.. cuja média de altura é 1. a14. Um deles. 37... atingiram nota para aprovação? 36. qual será a média de altura dos 27 atletas? 34.. A média aritmética dos números a1.000 pessoas contribuíram para a campanha. x4 +1. sabendo que a doação média das duas primeiras horas foi R$ 22. A média aritmética dos números x1.a) Quantos candidatos tiveram nota 3? b) É possível afirmar que a nota média.. o jogador mais velho entre os onze titulares foi substituído por um jogador de 16 anos.. foi afastado. Um grupo de 20 nadadores.. quantos alunos.92 m se juntar ao primeiro grupo. enquanto a média dos aprovados foi 77. Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. é 520 reais.. 30. inicialmente reprovados. Em um time de futebol. 33. Após a divulgação dos resultados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65. xn + (-1)n. Em uma fábrica.. 50 000 pessoas fizeram doações. a15 + 15? 35. Determine a média aritmética dos números x1 – 1 x2 + 1. a2 + 2. Um programa beneficente veiculado em um canal de TV tinha como objetivo arrecadar fundos para crianças carentes. b) n é impar. a15 é 24. Qual é a média aritmética dos números a1 + 1.. Isso fez com que a média de idade dos 11 jogadores diminuísse 2 anos. considerando que: a) n é par.. a3.. foi menor ou igual a 2? Justifique sua resposta. Determine o valor doado pelas demais pessoas. a2. o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. 30.. x2. que ganhava 550 reais. Qual é o número inteiro mais próximo da nova média de salários nesse setor? 31. nessa questão. a) Qual foi a média de doações na primeira hora? b) Na hora seguinte. a14 + 14. a média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68. um com salário de 480 reais e o outro com salário de 630 reais.8. 37% com o valor intermediário e cada uma das demais com o valor maior. a) Calcule a média das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras? b) Com a atribuição dos 5 pontos extras.80. das quais 48% contribuíram com o valor mínimo... Qual é o número de crianças com 4 anos e 9 meses que devem ingressar nessa classe a fim de elevar essa média para 4 anos e 4 meses? 32. Realizando o exame. Em uma classe de educação infantil.88 m. Na primeira hora. verificou-se que oito alunos foram reprovados. e foram contratados 2 novos funcionários. das quais 1 colaborou 3 com o valor mínimo. que emprega 20 funcionários. Se um grupo de 7 atletas cuja média de altura é 1. a média de idade das 25 crianças é 4 anos e 3 meses. 1 . a média salarial de determinado setor. Calcule a idade do jogador mais velho que foi substituído. 38. Cresce o percentual de mulheres na população (em milhões de habitante) Calcule o percentual da população feminina e da população masculina relativo a cada ano constante no gráfico .A seguir, utilizando apenas uma casa após a vírgula, determine, relativamente a cada sexo: a) a média desses percentuais no período considerado; b) a média desses percentuais de 1940 a 2000. 39. O gráfico abaixo representa as temperaturas médias mensais nas cidades de Goiânia e Aragarças (consideradas a cidades mais quentes do Estado de Goiás), no período de janeiro a agosto de 2001. Com base nesse gráfico, julgue como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir: a) Em Goiânia, a temperatura média no mês de agosto é 4% superior à temperatura média no mês de abril. b) Em Goiânia, a média das temperaturas médias mensais no período de janeiro a agosto é igual à temperatura média do mês de junho. c) No período de janeiro a agosto, a amplitude (diferença entre o maior e o menor valor) da temperatura média mensal, em Goiânia, é maior do que em Aragarças. d) No período de janeiro a agosto, a diferença das temperaturas médias mensais entre Aragarças e Goiânia é máxima no mês de maio. 1 40. Suprimindo-se um dos elementos do conjunto { ,2,3,...,201}, a média aritmética dos elementos restantes é 101,45. Sendo m o elemento suprimido, calcule o valor de: m+ 201. 41. Considere um conjunto de dados formado por n valores. Adicionando-se a esse conjunto o número 119, a média aumenta 4 unidades em relação à média inicial; retirando-se do conjunto original o número 54, a média diminuiu 1 unidade em relação à média inicial. a) Qual é o valor de n? b) Qual é a média aritmética inicial do conjunto de dados? 2 Apêndice 2 1. Calcule a moda e a mediana de cada um dos seguintes conjuntos de valores: a) b) c) d) 9 – 8 – 8 – 7 – 10 – 12 – 11 – 8 – 8 – 7 – 6 – 14 – 10 0–0–0–1–1–1–1–2–2–2–2–2–3–3–3–3–3–3 40 – 44 – 42 – 23 – 36 – 40 0,6 – 0,7 – 0,7 – 0,5 – 0,8 – 0,6 – 0,4 – 0,9 2. Determine as medidas de centralidade (média, mediana e moda) correspondentes aos percentuais relacionados na tabela a seguir: 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 10o 11o 12o 13o 14o 15o 16o 17o 18o 19o 20o Os 20 municípios com menor taxa de analfabetismo no Brasil ( % ) Município Taxa de analfabetismo São João do Oeste (SC) 0,9 Morro Reuter (RS) Harmonia (RS) Pomerode (SC) Bom Princípio (RS) São Vendelino (RS) Feliz (RS) Lagoa dos Três Cantos (RS) Salvador das Missões (RS) Ivotí (RS) Quatro Pontes (PR) Vale Real (RS) Timbó (SC) Dois Irmãos (RS) Jaraguá do Sul (SC) São José do Hortêncio (RS) Teutônia (RS) Blumenau (SC) Linha Nova (RS) Nova Petrópolis (RS) 1,6 1,8 1,9 1,9 1,9 1,9 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,6 2,6 2,7 2,7 2,8 2,8 2,8 3 3. As tabelas seguintes relacionam os países com consumo anual de peixe. Os maiores consumidores Quantidade de peixe consumido (milhões de tonelada ) 1 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 10o o País China Japão Estados Unidos Índia Indonésia Rússia Coréia do Sul Filipinas França Espanha 30 8 6 4 4 3 2 2 2 2 a) Calcule a média, a mediana e a moda dos dados apresentados. Por que a média é bem maior que as outras duas medidas? b) Sabendo que a população da China é 1,285 bilhões de habitante e a da Espanha é 39,9 milhões de habitante, mostre que o consumo per capita anual na Espanha é maior que o dobro do consumo per capita na China. (dados extraídos de: Almanaque Abril, 2002.). 4. As tabelas seguintes informam o número de jornais diários em circulação na região metropolitana das capitais brasileiras. Cidade Aracaju Belém Belo Horizonte Boa Vista Brasília Campo Grande Cuiabá Curitiba Jornais em circulação 3 3 6 3 2 2 3 8 Cidade Aracaju Belém Belo Horizonte Boa Vista Brasília Campo Grande Cuiabá Curitiba Jornais em circulação 3 3 6 3 2 2 3 8 Cidade Porto Velho Recife Rio Branco Rio de Janeiro Salvador São Luís São Paulo Teresina Jornais em circulação 3 4 4 11 4 2 16 5 4 Os resultados estão na tabela abaixo. Qual é o menor valor possível de n? 8. Um instituto de pesquisa fez um levantamento dos preços por quilo de vários produtos em um sacolão. cada uma com 3 defeitos. 48 – 52 – 58 – 63 – 68 – x – 76 – 82 – y – 96 – 98 – 102 a) Sabendo que a mediana desses valores é 73 e que a média é 75 quais são os valores de x e de y? 5 . Os valores ordenados abaixo referem-se ao número de desistências mensais de reservas solicitadas a uma companhia aérea.00 4. a moda e a mediana do preço por quilo dos produtos á venda nesse sacolão? 6. cada uma com exatamente 1 defeito? c) Adicionando-se ao lote inicial n peças. o valor da mediana passa a ser 3. a moda e a mediana.Florianópolis 3 Florianópolis 3 Vitória 2 a) Intuitivamente. 5.00 3.00 Freqüência (%) 30 40 20 10 Responda: Qual é a média. encontrados durante uma inspeção feita em um lote de 80 peças que chegou a um porto. A tabela seguinte informa o número de defeitos.00 6. a) Quantos funcionários têm exatamente 2 filhos? b) Qual é a mediana do número de filhos? c) Qual é a moda do número de filhos? 7. O gráfico ao lado informa a distribuição do número de filhos de 800 funcionários de uma empresa. Número de defeitos por peça Número de peças 0 12 1 20 2 24 3 16 4 8 a) Considerando o número de defeitos por peça. por peça. Preço (em reais ) 2. qual é a mediana dos valores encontrados? b) Qual será a nova mediana se forem acrescentadas a esse lote 18 peças. c) Elimine os dois Estados com maior número de jornais e recalcule a média. responda: Qual medida de centralidade – a média ou a mediana – é mais adequada para representar esses valores? b) Calcule a média. 2n – 1 . qual será o valor da mediana relativa a esses 17 meses? 9. 2n – 5 (em que n é um número natural) Sabendo que a mediana dos elementos dessa seqüência é 6.. Considere a seqüência decrescente: 2n . determine: a) O valor de n. Uma pesquisa realizada com 280 pessoas fez o levantamento da freqüência anual de visitas ao dentista..b) Supondo que em cada um dos 5 meses seguintes o número de desistências variou entre 50 e 60. b) A média aritmética dos elementos dessa seqüência. b) Durante o período de levantamento desses dados. abaixo de 3. Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No de peças defeituosas 6 4 3 4 2 4 3 5 1 2 Dia 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 No de peças defeituosas 1 5 4 1 3 7 5 6 4 3 Dia 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 No de peças defeituosas 2 6 3 5 2 1 3 2 5 7 Considerando S a série numérica de distribuição de freqüências de peças defeituosas por lote de 100 unidades. o percentual de peças defeituosas ficou. A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças durante um período de 30 dias úteis..7%. Os resultados aparecem na tabela abaixo. julgue os itens abaixo: a) A moda da série S é 5. em média. 10. Número de visitas ao dentista por ano 0 1 2 3 Número de pessoas 63 105 39 47 6 . . c) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de distribuição de freqüências com a mesma mediana da sérieS. 11. 5 visitas? 7 .4 5 ou mais total 16 10 280 a) Qual é o número mediano de visitas? b) Quantas pessoas dessa amostra que visitam o dentista uma única vez por ano deveriam passar a visitá-lo duas vezes por ano a fim de que a mediana passasse a ser 1. 8% 1.1) – 0 – 1 – 3 d) 1 1 1 1 1 .Apêndice 3 1.9% 0.3% 0. Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores: a) 2 – 3 – 4 – 5 – 6 b) 2 – 2 – 3 – 4 – 4 c) (-2 ) – ( .7% 2.1 ) – ( .4% 1. Alagoas Bahia Ceará Maranhão Paraíba Pernambuco Piauí Rio Grande do Norte Sergipe 0. O gráfico seguinte mostra os números relativos aos turistas estrangeiros que estiveram no Brasil no período de 1998 a 2002. A tabela seguinte informa a participação percentual dos Estados da região Nordeste no produto interno bruto (PIB) nacional. x + σ]? 2 2 3.5% a) Calcule a média ( x ) e o desvio padrão() dos percentuais acima..5% 0.0% 0. Números de turistas ( em milhões ) a) Qual é o desvio padrão dos dados apresentados? 8 .2 8 4 5 10 e) 70 – 65 – 60 – 60 – 65 – 68 – 72 – 60 2. b) Quantos Estados têm participação pertencente ao intervalo [ x 1 1 σ.9% 4. b) A variância correspondente aos pontos obtidos pelos alunos.. . Os dados seguintes referem-se às porcentagens da população de países sul americano que vive em áreas urbanas. Argentina Bolívia Brasil Chile Colômbia Equador Paraguai Peru Uruguai Venezuela 90% 63% 81% 86% 74% 65% 56% 73% 91% 87% a) Calcule a média e o desvio padrão dos percentuais acima. O que ocorrerá com o desvio padrão? Faça os cálculos para confirmar sua resposta. Encontre uma expressão para a variância desses valores. x2. 8. 35% conseguiram 0.. A tabela seguinte informa a distribuição do número de cartões amarelos recebidos por um time durante os 35 jogos de um torneio: Número de cartões 0 1 2 3 4 Número de jogos 5 19 10 7 4 a) Calcule o desvio padrão referente ao número de cartões recebidos. nk. xk os valores distintos assumidos por uma variável x. respectivamente.. Um professor aplicou um exercício em sua turma de 60 alunos e as notas possíveis eram zero.. 3 6. 10 e x. determine: a) A mediana dos pontos obtidos pelos alunos nessa atividade.5 ponto. 5. 7. com freqüências absolutas iguais a n1. n2.. 0. 9 . b) Elimine os dois países com menores percentuais. Determine os possíveis valores de x 26 para os quais a variância desses elementos é igual a .5 pontos e o restante atingiram a pontuação máxima.4. Sabendo que 40% dos alunos não obtiveram pontuação. Sejam x1.. Um conjunto é formado por três elementos: 8. .. 4 Dado o conjunto X= (2. Qual é a média das freqüências de atividades físicas? Qual é a moda e a mediana dos dados obtidos? Qual é o desvio padrão dos dados obtidos? 10. a média aritmética de X é definida por x = x + x + x + x + x e a variância e x é definida por: 4 1 v = [( x1 . pede-se. x2. + (x4 . b) Calcular a variância de x. seja M sua média aritmética. 8. Para um conjunto X = ( x1.. c) Quais elementos de x pertencem ao intervalo [ x - v. Observe os dados apresentados pelo gráfico: a) Encontre o desvio padrão correspondente ao número anual de ações registradas no período de 1988 a 2001. Por que se observa uma queda em relação ao desvio encontrado no item a? 10 .9. xn.. a) Calcular a média aritmética de x. x2. Um conjunto de dados possui n valores (n > 3 ). b) Considere os períodos de 1988 a 1993 e de 1996 a 2000..x )2 + . A secretaria de saúde de uma cidade está interessada em saber com que freqüência semanal seus habitantes praticam atividades físicas. Chama-se variância desses valores ao número σ2 dado por: σ2 = ∑ (x i =1 n i − M )2 n A raiz quadrada não negativa da variância chama-se desvio padrão.x )2]. Calcule o desvio padrão correspondente a cada período. b) Determine o maior valor inteiro de n para qual a variância desse conjunto de valores seja maior que 2. qual o desvio padrão dessa taxa de rendimento? b) Se em cada um de 6 meses consecutivos o fundo render 1% ao mês 3% ao mês em cada um dos quatro meses seguintes. Para isso. x + v ]? 12. x4). dos quais três são iguais a 2 e os demais iguais a 5. a) Determine. 5.. uma equipe entrevistou n pessoas e os resultados encontram-se no gráfico seguinte: a) b) c) d) Determine o valor de n. Dados n valores x1. 11. qual o desvio padrão dessas taxas de rendimento? 13. em função de n. a média aritmética desses elementos. 9 ). a) Se em cada um de 10 meses consecutivos um fundo de investimentos renderem 1% ao mês. x3. x3. n ) é dividido por 5.. 4.. 17. x2. De cada xi subtraem-se 10 unidades.86% .. Seja um conjunto de valores 4. Determine a relação existente entre a nova variância (σ2) e a variância original (σ ) quando: a) b) c) d) e) Cada x1 (i =1. 3. } Compare σ2a com σ2b.88% . Cada xi ( i = 1.1... Qual será o novo desvio padrão? 18.88% . A tabela de freqüências ao lado informa o número de filhos dos 80 funcionários de uma escola.92% . Qual é o valor de n que minimiza a variância desses valores? Qual é. e σ2 a variância correspondente a tais valores..14. 7 e n. 19. Os dados estão relacionados a seguir: Companhia A: Companhia B: 90% . 11 . 3. O departamento de Aviação Civil registrou durante cinco dias o percentual diário de vôos de duas companhias aéreas. A cada xi ( i = 1. 3. Sejam x1... 3.. xn. 4. Os saldos (xi) em cadernetas de poupança de 1000 clientes de um banco em uma pequena cidade são tais que: ∑x i i = 322. 8. os valores assumidos por uma variável x... 2. } e B= {2.000 ...000 e ∑x i 2 i = 119.98% . para i є {1.. Considere os seguintes conjuntos de valores: A={3.2.. n ) são adicionadas 3 unidades. 2. o valor da variância? 16. 3. nesses casos.. n) é multiplicado por 2. Números de filhos 0 1 2 3 4 Freqüência absoluta 20 36 14 8 2 a) Qual o desvio padrão correspondente ao número de filhos? b) Suponha que cada funcionário dessa escola tenha um novo filho. que decolaram sem atraso.95% .. Cada x é multiplicado por 4 e ao valor obtido são adicionadas 3 unidades.90% a) Qual companhia apresentou percentual médio mais alto? b) Qual companhia apresentou desempenho mais regular? 15. A e B.000}. 4. 2..91% 97 % . 1..309. 4. 2. .5 e 7 a fim de que a variância aumente 3.00.... Que número deve ser acrescentado ao conjunto de valores 2. x2.(an – x)2... que é chamado de variância de a1. Uma pastelaria situada no centro de uma cidade funciona os sete dias da semana. n ) subtraímos a média e dividimos a diferença obtida pelo desvio padrão... 2.a) Determine o saldo médio das cadernetas..... (a2-x) 2.3 unidades? 22. a2. em que x é um número real qualquer: a) Determine x de modo que a média M(x) seja mínima. . Dados os números a1. Sejam x1.... xn valores assumidos por uma variável x a média aritmética e o desvio padrão..an. a receita média diária era R$ 1200.. 12 .. a2. .an e considerando a média aritmética M(x) dos n números ( a1x )2 . Qual foi o desvio padrão da receita diária registrada nessa semana? 21. b) Qual é o desvio padrão correspondente aos saldos das cadernetas? 20. b) Determine o valor mínimo da média M(x).00 e a soma dos quadrados das receitas diárias totalizava R$ 10086300. Qual será a nova média e o novo desvio padrão desse conjunto? 23. Suponha que de cada x1 ( i = 1. 6. Em certa semana. 13 .