Apostila_Completa

F A C U L D A D E S D E T A Q U A R AFACULDADES INTEGRADAS DE TAQUARA MATEMÁTICA FINANCEIRA Professor Silvio Quintino de Mello SUMÁRIO 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA............................................................................. . 1.1 Capital (C)...................................................................................................... 1.2 Juros (j).......................................................................................................... 1.3 Taxa de juros (i)............................................................................................. 1.4 Tempo (n)...................................................................................................... 1.5 Montante (M).................................................................................................. 1.6 Juro Ordinário................................................................................................ 1.7 Juro Exato...................................................................................................... 1.8 Regulamentação das operações de Aplicações e Empréstimos................... 1.9 Regimes de Capitalização............................................................................. 1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa........................................................................ 2 JUROS SIMPLES................................................................................................ 2.1 Fórmulas Derivadas....................................................................................... 2.2 Montante (M)................................................................................................. 2.3 Juros Simples pela HP-12C: INT................................................................... 3 JUROS COMPOSTOS......................................................................................... 3.1 Montante (M).................................................................................................. 3.2 Capital (C)...................................................................................................... 3.3 Juros Compostos (j c )...................................................................................... 3.4 Taxa de Juros Compostos (i)......................................................................... 3.5 Tempo (n)....................................................................................................... 3.6 Juros Compostos pela HP-12C...................................................................... 4 DESCONTO......................................................................................................... 4.1 Desconto Simples........................................................................................... 4.1.1 Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro (Dd)................... 4.1.2 Desconto Comercial Simples ou Desconto por Fora (Df)...................... 4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros (i).......................... 4.2 Desconto Composto....................................................................................... 4.2.1 Valor do Desconto Composto (DC)....................................................... 4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d)........................................................... 04 04 04 04 05 05 05 05 05 06 07 09 10 10 22 23 23 24 24 24 24 26 35 35 35 36 37 48 49 49 2 4.2.3 Tempo (n).............................................................................................. 4.2.4 Taxas Equivalentes............................................................................... 5 TAXAS DE JUROS 5.1 Taxa Efetiva.................................................................................................... 5.2 Taxas Proporcionais....................................................................................... 5.3 Taxas Equivalentes........................................................................................ 5.4 Taxa Nominal................................................................................................. 5.5 Taxa Over....................................................................................................... 5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida............................................................................. 5.6 Taxa Aparente e Taxa Real............................................................................ 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS.................................. 6.1Equivalência de dois Capitais........................................................................... 6.2 Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais............................ 6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes.................................................................. 7 RENDAS (ANUIDADES)....................................................................................... 7.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos................................... 7.1.1 Classificação das Séries Uniformes....................................................... 7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas..................................................... 7.2.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Postecipado)...................................... 7.2.2 Cálculo de Valor Futuro - FV (Postecipado)........................................... 7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas........................................................ 7.3.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Antecipado)........................................ 7.3.2 Cálculo de Valor Futuro - FV (Antecipado)............................................. 7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais..................................................... 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS.................................................................. 8.1 Sistema de Amortizações Constantes – SAC................................................. 8.2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE..................................... 8.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE....................................... 8.2.2 Sistema PRICE pela HP-12C................................................................. 8.3 Sistema de Amortização Americano – SAA.................................................... 9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO............................................................................. 9.1 Análise do Fluxo de Caixa............................................................................... 9.2 Valor Presente Líquido (NPV)......................................................................... 9.3 Taxa Interna de Retorno (IRR)........................................................................ 9.4 Equivalência de Fluxos de Caixa.................................................................... 49 50 57 57 57 58 61 62 62 63 69 69 70 71 78 78 78 79 79 80 80 80 80 84 91 91 94 95 96 98 107 107 109 114 119 3 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 1.1 Capital (C) O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira, durante um certo tempo. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. 1.2 Juros (j) Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador. De uma forma simplificada, podemos dizer que juro é o aluguel pago pelo uso de um dinheiro. 1.3 Taxa de juros (i) A taxa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere. A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes: • Taxa percentual: Exemplos: 8 % a.a. (ao ano); 10 % a.t. (ao trimestre). • Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: Exemplos: 0,15 a.m. (ao mês); 4 100 100 100 1000 0 1 2 3 (anos) 0,10 a.q. (ao quadrimestre). Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP–12 C as taxas devem ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrário, ou seja, na utilização de fórmulas matemáticas, devemos expressar as taxas na forma unitária. 1.4 Tempo (n) Representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc...). 1.5 Montante (M) É a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital. M = j + C 1.6 Juro ordinário É o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (mês de 30 dias, ano de 360 dias, etc...). 1.7 Juro Exato É o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias, março 31 dias, setembro 30 dias, etc...). 1.8 Regulamentação das operações de Aplicação e Empréstimos As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A capitalização é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as opções de aplicações (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem a sua disposição, por exemplo, a Caderneta de Poupança, o CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros. Cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os 5 100 100 100 1000 0 1 2 3 (anos) 100 110 121 1000 0 1 2 3 (anos) tomadores de empréstimos têm as várias opções de financiamento (instrumentos) cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, quer seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos, etc... . Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados e ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor é remunerado (quando um investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Da mesma forma ocorre com os fundos de previdência e pensão, no qual o aplicador visa o recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria. 1.9 Regimes de Capitalização Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Temos o regime de capitalização simples ou juros simples e o regime de capitalização composta ou juros compostos. a) Regime de Capitalização Simples ou Juros Simples Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Nesta modalidade os juros são pagos somente no final da operação. Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 % a.a. , em regime de juros simples. Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos foi de R$ 1.300,00. 6 100 100 100 1000 1300 0 1 2 3 (anos) 100 110 121 1000 0 1 2 3 (anos) b) Regime de Capitalização Composta ou Juros Compostos Neste caso, o juro do 1º período se agrega ao capital dando o montante M 1 . O juro do 2º período se agrega a M 1 dando o montante M 2 . O juro do 3º período se agrega a M 2 dando o montante M 3 . Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 % a.a. , em regime de juros compostos. Portanto, o juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte e o montante após 3 anos foi de R$ 1.331,00. 1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa Um diagrama de fluxo de caixa é, simplesmente, a representação gráfica de uma situação financeira. Neste gráfico é representado o conjunto de todas as entradas e saídas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma pessoa, de um investimento, de um empréstimo, etc... . Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, é representado da seguinte forma: • Uma reta horizontal onde são colocados, em escala, os períodos de tempo onde houve ou haverá movimentação financeira. • Flechas verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as saídas de dinheiro ou pagamentos. • Flechas verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as entradas de dinheiro ou recebimentos. 7 100 110 121 1000 1331 0 1 2 3 (anos) Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 à vista ou, se financiado, três prestações mensais de R$ 150,00 sem entrada. Observações.: a) A diferença entre a soma das prestações e o valor à vista do produto correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento. b) Como podemos ver, é indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de cálculo serão sempre os mesmos. 8 - 300 -150 - 150 -150 150 150 150 VENDEDOR COMPRADOR 300 2. JUROS SIMPLES Juros simples ou regime de capitalização simples é o regime no qual, ao final de cada período de capitalização, os juros são calculados sempre sobre o capital inicialmente empregado. Sabemos que: • Juro (j) é diretamente proporcional ao capital (C); • Juro (j) é diretamente proporcional a taxa (i); • Juro (j) é diretamente proporcional ao tempo (n). Então: OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1) Na utilização da expressão acima devemos tomar o cuidado de: • Utilizar sempre a taxa unitária. • Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual está associada à taxa. 2) Embora no regime de capitalização simples a taxa seja diretamente proporcional ao tempo, ou seja, 1% ao dia corresponde a 30% ao mês, da mesma forma 120% ao ano corresponde a 10% ao mês, convém não nos valermos desta proporcionalidade uma vez que no regime de capitalização composta ela não existe. Para deixarmos o tempo e a taxa expressos na mesma unidade é aconselhável transformar o tempo. • 15 dias correspondem a: • 20 dias correspondem a: j = C . i . n 9 exato ano um de 365 15 comercial ano um de 360 15 comercial mês um de 30 15 comercial semestre um de 180 20 comercial trimestre um de 90 20 • 8 meses correspondem a: • 3 meses e 20 dias correspondem a: 2.1 Fórmulas derivadas da expressão 2.2 Montante (M) O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital pode ser expresso por: M = C + j como j = Cin , temos que M = C + Cin, ou seja, ( ) in 1 C M + · Obs.: A calculadora HP-12C, através de suas teclas financeiras, calcula somente juros simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. É portanto, mais fácil, nos utilizarmos somente das fórmulas matemáticas. j = C . i . n 10 dias 240 comercial semestre um de 6 8 comercial ano um de 12 8 comercial ano um de 360 110 comercial mês um de 30 110 n . i j C · n . C j i · i . C j n · Exemplos: a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20% ao trimestre, durante 1 ano, 4 meses e 17 dias. Solução: j = ? C = R$ 900,00 i = 20% a.t ⇒ i = 0,2 a.t n = 1 ano, 4 meses e 17 dias ⇒ n = 497 dias ⇒ n = 90 497 trimestres j = Cin ⇒ j = 900 . 0,2 . 90 497 ⇒ j = R$ 994,00 b) Determine o capital que aplicado a uma taxa de 30% ao trimestre rendeu após 6 meses um juro de R$ 600,00. Solução: C = ? i = 30% a.t ⇒ i = 0,3 a.t n = 6 meses ⇒ n = 2 trimestres j = R$ 600,00 j = Cin ⇒ 600 = C . 0,3 . 2 ⇒ 600 = 0,6 C ⇒ C = R$ 1.000,00 c) Determine o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao semestre produziu um montante de R$ 1.500,00, após 8 meses. Solução: C = ? i = 20% a.s ⇒ i = 0,2 a.s M = R$ 1.500,00 n = 8 meses ⇒ n = 6 8 semestres ( ) in 1 C M + · ⇒ 1500 = C ( ) 6 8 . 2 , 0 1+ ⇒ C = 6 8 . 2 , 0 1 1500 + ⇒ C = R$ 1.184,21 Exercícios: 11 1) Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% a.s. Determine: a) os juros; b) o montante. . 2) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m? 3) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a e paga imposto de renda igual a 20% do juro. Sabendo-se que o imposto pago é no resgate, pergunta-se: a) Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$ 9.500,00? 12 Exercícios Complementares: 1) Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: $21.333,33 2) Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% a.a.. Qual o montante? Resposta: $1.070,00 3) Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m. 13 4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos 5) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00 6) Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a.. Se ela recebeu $384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos 14 7) Uma geladeira é vendida à vista por $1.500,00 ou então à prazo com $450,00 de entrada mais uma parcela de $1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m. 8) Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m. 15 9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? Resposta: 12,5 anos 10) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses 11) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses 16 12) Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 168% a.a. e o segundo à de 120% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses 13) Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a $500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro? Resposta: 12% a.m. 17 14) Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a., durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Resposta: 30% a.a. 15) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: $1.050.000,00 18 16) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta: Lucro de $102.000,00 17) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m.. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $1.125.000,00. Resposta: $250.000,00 19 18) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.000,00? Resposta: $4.172,80 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00? Resposta: $3.450,92 19)Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $12.000,00? Resposta: $12.704,00 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $11.500,00? Resposta: $10.862,72 20 20) Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: $782,61 e $417,39 21) Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m.. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $1.824,00. Resposta: $1.800,00 e $1.200,00 21 MONTANTES C M 1 M 2 ......................................................M n 0 1 2......................................................... n PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO 2.3 Juros Simples pela HP-12C: (INT) Tem uma utilização extremamente limitada. Resolve problemas de juros e montantes, em regime de capitalização simples, quando são informados o valor do capital, a taxa anual de juros (ano de 360 dias) e o prazo em dias. Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 200.000,00 aplicado a uma taxa de 150% ao ano, por 218 dias. TECLAS VISOR SIGNIFICADO 200000 (CHS) (PV) -200.000,00 Introduz o valor do capital 150 (i) 150,00 Introduz a taxa anual 218 (n) 218,00 Introduz o prazo (f) (i) 181.666,67 Calcula os juros (+) 381.666,67 Calcula o montante 3. JUROS COMPOSTOS 22 MONTANTES C M 1 M 2 ......................................................M n 0 1 2......................................................... n PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO Juros compostos ou regime de capitalização composta ocorre quando os juros gerados em cada período se agregam ao montante do início do período, passando este novo montante a produzir juros no período seguinte. 3.1 Montante (M) Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa) • Montante após o 1º período: M 1 = C + j 1 ⇒ j 1 = C . i . 1 ⇒ M 1 = C + Ci ⇒ M 1 = C(1 + i) (1) • Montante após o 2º período: M 2 = M 1 + j 2 ⇒ j 2 = M 1 . i . 1 ⇒ M 2 = M 1 + M 1 i ⇒ M 2 = M 1 (1 + i) (2) Substituindo o valor de M 1 de (1) em (2) temos que: M 2 = C(1 + i) . (1 +i) ⇒ ( ) 2 2 i 1 C M + · É fácil perceber, por generalização, que após “n” períodos, o montante será dado por: ( ) n n i 1 C M + · ou simplesmente: ( ) n i 1 C M + · 3.2 Capital (C) 23 MONTANTES C M 1 M 2 ......................................................M n 0 1 2......................................................... n PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO ( ) n i 1 C M + · ⇒ ( ) n i 1 M C + · 3.3 Juro Composto (j c ) ( ) ( ) [ ] 1 i 1 C j C i 1 C j C M j j C M n c n c c c − + · ⇒ − + · ⇒ − · ⇒ + · 3.4 Taxa de Juro Composto (i) ( ) ( ) 1 C M i i 1 C M i 1 C M i 1 C M n 1 n 1 n n − , _ ¸ ¸ · ⇒ + · , _ ¸ ¸ ⇒ + · ⇒ + · 3.5 Tempo (n) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i 1 ln C M ln n ou i 1 log C M log n i 1 log . n C M log i 1 C M i 1 C M n n + , _ ¸ ¸ · + , _ ¸ ¸ · + · , _ ¸ ¸ ⇒ + · ⇒ + · Exemplos: a) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, à taxa de 2,5% a.m produz um montante de R$ 3.500,00, após um ano? Solução: C = ? i = 0,025 a.m M = R$ 3.500,00 n = 1 ano ⇒ n = 12 meses 24 ( ) ( ) 025 , 0 1 3500 C i 1 M C 12 n + · ⇒ + · ⇒ C = R$ 2.602,45 b) Um capital de R$ 5.520,00, aplicado a juros compostos, após 4 meses, gerou um montante de R$ 6.000,00. Calcule a taxa mensal de juros da operação. Solução: i = ? C = R$ 5.520,00 M = R$ 6.000,00 n = 4 meses 1 5520 6000 i 1 C M i 4 1 n 1 − , _ ¸ ¸ · ⇒ − , _ ¸ ¸ · ⇒ i = 0,0211 ⇒ i = 2,11% a.m Exercícios: 1) Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Pergunta-se: a) Qual o montante? b) Qual o total dos juros auferidos? 2) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a para dar um montante de R$ 1.610,51? 3.6 Juros Compostos pela HP-12C: Na HP-12C, os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras (n), (i), (PV) e (FV). 25 A unidade de tempo utilizada para o período deve ser a mesma da taxa de juros. Exemplo: Um capital de R$ 500.000,00 foi aplicado a uma taxa de 15% a.m. Determine os juros e o montante no final de 6 meses. TECLAS VISOR SIGNIFICADO 500000 (CHS) (PV) -500.000,00 Introduz o valor do capital 15 (i) 15,00 Introduz a taxa 6 (n) 6,00 Introduz o prazo (FV) 1.156.530,38 Calcula o montante Para apurar o valor dos juros compostos basta operar FV – PV, aproveitando os dados já armazenados na calculadora. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (RCL) (FV) 1.156.530,38 Chama o FV (RCL) (PV) -500.000,00 Chama o PV (+) 656.530,38 Calcula os juros Observações: 1) Na solução de problemas de juros compostos através da HP-12C, devemos introduzir o valor de (PV) negativo a fim de alcançarmos um resultado (FV) positivo. A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseado no fluxo de caixa, ou seja, com (PV) e (FV) de sinais contrários. 2) A calculadora HP-12C trabalha também com período “n” fracionário, simplificando a solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você deverá adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir: (STO) (EEX). Note que aparecerá no visor a letra “C”, anunciando que a máquina está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e fracionários. É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação “C” no visor. Exemplo: 26 A empresa J. Alves Ltda. formalizou uma operação de capital de giro de R$ 800.000,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 26% a.m. Determine o montante a pagar no vencimento, considerando que os juros são capitalizados no final de cada mês. • A fim de compatibilizar as unidades de “n” e “i”, vamos transformar 75 dias em meses. meses 5 , 2 n 30 75 n · ⇒ · TECLAS VISOR SIGNIFICADO 800000 (CHS) (PV) -800.000,00 Introduz o valor do capital 26 (i) 26,00 Introduz a taxa 2,5 (n) 2,50 Introduz o prazo (FV) 1.425.661,26 Calcula o montante Se a letra “C” não estivesse no visor, a HP calcularia, no período fracionário (15dias), juros simples e, no período inteiro, juros compostos, resultando em R$ 1.435.190,40, o que não é verdadeiro. Considerando o exemplo anterior, com os mesmos dados do problema, vamos calcular o prazo “n” na HP-12C: TECLAS VISOR SIGNIFICADO 800000 (CHS) (PV) -800.000,00 Introduz o valor do capital 26 (i) 26,00 Introduz a taxa 1425661,26 (FV) 1.425.661,26 Introduz o montante (n) 3,00 Calcula o prazo O resultado acima revela uma limitação da HP-12C: o cálculo do prazo por intermédio da tecla (n) é sempre um número inteiro. A resposta correta é n = 2,5, porém a calculadora arredonda-o para o inteiro imediatamente superior (3,00). Contudo, se necessitar, use a fórmula: ( ) ⇒ · ⇒ + , _ ¸ ¸ · ⇒ + , _ ¸ ¸ · 1,26 ln 1,78 ln n 0,26) (1 ln 800000 26 , 1425661 ln n i 1 ln PV FV ln n n = 2,5 meses Exercícios Complementares: 27 1) Qual o montante de uma aplicação de $50.000,00 a juros compostos, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $56.308,12 2) Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos: Capital Taxa Prazo a) $80.000,00 36% a.a. 2 anos b) $65.000,00 3% a.m. 1 ano c) $35.000,00 7% a.t. 1 ano e meio Resposta: a)$147.968,00 b)$92.674,46 c)$52.525,56 3) Um capital de $7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à taxa de 2,5% a.m.. Calcule os juros auferidos no período. Resposta: $3.917,61 28 4) Uma pessoa aplica hoje $4.000,00 e aplicará $12.000,00 daqui a 3 meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m.. Qual seu montante daqui a 6 meses? Resposta: $17.626,54 5) Qual capital que, aplicado a juros compostos, durante 9 anos, à taxa de 10% a.a. produz um montante de $175.000,00? Resposta: $74.217,08 6) Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, gerando um montante de $3.500,00. Qual a taxa mensal? Resposta: 1,55% a.m. 29 7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? Resposta: 7,18% a.m. 8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? Resposta: 44,22% a.t. 9) Um fogão é vendido à vista por $600,00, ou então à prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada, mais uma parcela de $550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 7,04% a.m. 30 10) Durante quanto tempo um capital de $5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., para gerar um montante de $5.767,00? Resposta: 8 meses 11) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% a.m. para que duplique? Resposta: 31,85 meses 31 12) Alberto aplicou $6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.. a) Qual o montante? Resposta: $7.440,00 b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? Resposta: 1,81% a.m. c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? Resposta: 11,36% a.s. 13) Gisele aplicou $6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,5% a.m.. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os montantes resultantes foram iguais. Resposta: $2.955,78 e $3.044,22 32 14) Aplique hoje $55.000,00 e receba após 6 meses $60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos? Resposta:1,46% a.m. 15) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por $800,00. Estando o aparelho em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros compostos. Resposta: $900,93 16) Uma empresa vende um componente eletrônico por $200,00 a unidade, sendo o pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é 33 $192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 2,06% a.m. 17) Uma pessoa colocou 2/5 do seu capital a 2% ao mês e o restante, a 3% ao mês. Ao final de 18 meses retirou o montante de $31.855,17. Qual foi o capital aplicado? Resposta: $20.000,00 4. DESCONTO Quando uma empresa vende um produto a prazo emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor necessite de dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para vencimento dentro de 2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R$ 200,00. 34 4.1 Desconto Simples • Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) é o valor de uma dívida na data de seu vencimento. • Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) é o valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. FV = PV + PV . i . n ⇒ FV = PV(1 + i.n) ⇒ n . i 1 FV PV + · 4.1.1 Desconto racional simples ou Desconto por dentro (Dd) Nesta modalidade, o valor do desconto é a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente calculado a juros simples, sendo “n” o prazo de vencimento do título e “d” a taxa de desconto utilizada na operação. ⇒ + · ⇒ · PV - .n) d (1 PV Dd PV - FV Dd PV.d.n Dd PV n . d . PV PV Dd · ⇒ − + · Exemplo: Qual o desconto por dentro de um título de R$ 1.500,00, descontado 40 dias antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês? Dd=? FV=1500 n=40 dias meses 30 40 n · ⇒ d=0,03 a.m. 4.1.2 Desconto comercial simples ou Desconto por fora (Df) 35 57,69 $ R Dd 30 40 . 03 , 0 . 31 , 1442 Dd n . d . PV Dd 31 , 1442 PV 30 40 . 03 , 0 1 1500 PV · ⇒ · ⇒ · · ⇒ + · dn 1 FV PV .n) d (1 PV FV .d.n PV PV FV Dd PV FV + · ⇒ + · ⇒ + · ⇒ + · Nesta modalidade, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor futuro (FV) pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. O desconto comercial ou desconto por fora é chamado também de Desconto Bancário. • Valor Futuro (FV): valor escrito no título; • Valor Presente (PV): valor líquido do título antes do vencimento. FV > PV; • Tempo (n); • Taxa de desconto (d) n . d . FV Df · dn - 1 PV FV d.n) - (1 FV PV FV.d.n - FV PV Df FV PV · ⇒ · ⇒ · ⇒ − · Exemplo: Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.. Calcule: a) O valor do desconto; n . d . FV Df · ⇒ 00 , 900 $ R Df 2 . 025 , 0 . 18000 Df · ⇒ · b) O valor líquido recebido pela empresa. 00 , 100 . 17 $ R PV 900 18000 PV Df FV PV · ⇒ − · ⇒ − · . 4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros simples (i) Supondo que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i), temos então: 36 ) dn 1 ( FV PV in 1 FV PV − · + · 1 ) dn 1 ( FV in 1 FV − · + 0 din) - d - n(i 0 din dn in 0 1 din dn in 1 din dn in 1 1 din dn in 1 FV FV ) din dn in 1 ( FV FV ) in 1 ).( dn 1 ( FV FV 2 2 2 2 2 · ⇒ · − − ⇒ · − − − + ⇒ − − + · − − + · − − + · + − · n = 0 0 din) - d - n(i · i – d - din = 0 d.n - 1 d i n . i 1 i d · + · Exemplo: Um banco deseja ganhar 30% a.a. de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de descontos deverá praticar para 2 meses de antecipação? anos 12 2 n meses 2 n a.a. 3 , 0 i · ⇒ · · a.a. 28,57 d a.a. 0,2857 d 12 2 . 3 , 0 1 0,3 d in 1 i d · ⇒ · ⇒ + · ⇒ + · 37 in) d(1 i din d i ⇒ + · ⇒ + · in 1 i d + · dn) - i(1 d din - i d din i d ⇒ · ⇒ · ⇒ + − · − dn 1 d i − · Exercícios: 1) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial 25 dias antes do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual a taxa mensal de juros para o tomador? 2) Uma duplicata de R$ 180.000,00 é descontada 4 meses antes do seu vencimento. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto nas modalidades de desconto racional e desconto comercial. 3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120.000,00 e com vencimento para 180 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% ao ano. 38 Exercícios Complementares: 1) Uma promissória de $20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. a) Qual o desconto comercial? Resposta: $1.080,00 b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: $18.920,00 c) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? Resposta: 1,9% a.m. 2) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a.. a) Qual o desconto bancário? Resposta: $3.000,00 b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título? Resposta: $86.100,00 39 3) Um título governamental com valor de face de $100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% a.a.. a) Qual o preço da aquisição? Resposta: $95.138,89 b) Qual a taxa efetiva de juros anual proporcionada pela aplicação? Resposta: 26,27% a.a. 4) Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.a., um título sofreu um desconto de $15.000,00. Caso o título fosse descontado comercialmente, calcular o valor do desconto. Resposta: $15.750,00 40 5) Um banco deseja ganhar 30% ao ano de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deverá praticar para 2 meses de antecipação? Resposta: 28,57% a.a. 6) Uma empresa descontou uma duplicata de $12.000,00, 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação. Resposta: 1,56% a.m. 7) Uma duplicata de $8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. Resposta: 85 dias 8) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontado num banco à taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $3.500,00 e que o banco 41 cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título. Resposta: $3.739,32 9) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de $15.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou um imposto na data de operação (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,0041% ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: $13.786,30 10) Uma duplicata de $55.900 descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento teve um desconto de $989. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada comercialmente? Resposta: $1.006,20 42 11) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial, a 25 dias do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual o custo mensal real para o tomador? Resposta: 3,08% a.m. 12) Para pagar uma dívida de $1.055.500,00 uma empresa juntou um cheque de $266.500,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $980.000,00, três meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. Resposta: 6,5% a.m. 13) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $7.000,00, para pagamento daqui a 3 meses, qual o valor da promissória que ele deverá assinar? Resposta: $7.954,55 43 14) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m.. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal, se os prazos de vencimento forem: a) um mês; Resposta: 3,09% a.m. b) dois meses: Resposta: 3,19% a.m. c) cinco meses. Resposta: 3,53% a.m. 15) Uma Nota Promissória com valor nominal de $2.500,00, paga em 25 dias antes do seu vencimento, teve uma redução comercial de $50,00. Qual a taxa de desconto empregada? Resposta: 28,8% a.a. 16) Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de 40% ao ano em ambos os descontos? Resposta: 10 meses 44 17) Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento. Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A 18) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva mensal de juros simples de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá cobrar, se os prazos de vencimento forem: a)um mês; Resposta: 2,91% a.m. b)três meses. Resposta: 2,75% a.m. 45 19) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $89,17, sendo o prazo de antecipação de 90 dias e a taxa de 36% ao ano. Qual o valor nominal do título? Resposta: $12.000,00 20) Para promissórias com prazo de vencimento de 2 meses, qual a taxa mensal de desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período? Resposta: 2,83% a.m. 21) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva mensal de juros simples igual a 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, indique a taxa mensal de desconto comercial que deverá ser utilizada, se os prazos de vencimento forem: a)1 mês; Resposta: 2,91% a.m. b)3 meses; Resposta: 2,75% a.m. c)25 dias. Resposta: 2,93% a.m. 46 22) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (Nesse tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa do período, neste caso, nos três meses). Resposta: 11,11% a.p. 23) Um desconto de 20% para pagamento à vista, de um produto cujo preço é dado para pagamento em 4 meses, corresponde a que taxa efetiva de juros no período? Resposta: 25% a.p. 4.2 Desconto Composto A idéia de desconto composto guarda analogia com a de desconto simples. Existem duas modalidades de desconto composto, o racional e o comercial. Contrariamente ao que ocorre no caso do desconto simples aqui o desconto racional é muito mais usado que o comercial. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto racional. Desconto racional ou desconto por dentro é a diferença entre o valor futuro e o valor presente de um documento financeiro. • Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) 47 É o valor de face do documento. Para calcularmos o Valor Futuro usaremos a fórmula do Montante Composto. n ) i . 1 .( C M · onde M = Valor Futuro C = Valor Presente i = d (taxa de desconto) n = período de antecipação Logo: n ) d 1 .( PV FV + · • Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) É o valor do resgate, valor líquido, valor presente de um título resgatado ou descontado antes do seu vencimento. n n d) (1 FV PV ) d 1 .( PV FV + · ⇒ + · 4.2.1 Valor do Desconto Composto: DC É a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente, cujo compromisso foi saldado antes do vencimento. 1 ] 1 ¸ + · ⇒ + − · − · n n d) (1 1 - 1 . FV DC ) d 1 ( FV FV DC PV FV DC 48 4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d) d 1 PV FV ) d 1 ( PV FV ) d 1 ( PV FV ) d 1 ( PV FV n 1 n . n 1 n 1 n n + · , _ ¸ ¸ ⇒ + · , _ ¸ ¸ ⇒ + · ⇒ + · 1 PV FV d n 1 − , _ ¸ ¸ · 4.2.3 Tempo (n) n n ) d 1 ( PV FV ) d 1 ( PV FV + · ⇒ + · n ) d 1 log( PV FV log + · , _ ¸ ¸ ⇒ ) d 1 log( . n PV FV log + · , _ ¸ ¸ ( ) ( ) d 1 . ln PV FV ln. n ou d 1 . log PV FV . log n + , _ ¸ ¸ · + , _ ¸ ¸ · 4.2.4 Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas num mesmo capital e durante o mesmo prazo, produzem montantes iguais. Assim, se " i " 1 e " i " 2 forem as taxas e " n " 1 e " n " 2 o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: 2 1 n 2 n 1 ) i 1 .( C ) i 1 .( C + · + e, portanto, 2 1 n 2 n 1 ) i 1 ( ) i 1 ( + · + 49 Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Resolução: Chamamos " i " 1 a taxa procurada e " i " 2 a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de 1 ano teremos então: a.a. % 82 , 26 i 2682 , 0 i 2682 , 1 i 1 02 , 1 i 1 ) 02 , 0 1 ( ) i (1 ) i 1 ( ) i (1 meses 12 n . m .. a 0,02 i a.m. % 2 i ano 1 n anual) taxa ( ? i 1 1 1 12 1 12 1 1 n 2 n 1 2 2 2 1 1 2 1 · ⇒ · ⇒ · + · + ⇒ + · + ⇒ + · + · · ⇒ · · · Exemplo: Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizável trimestralmente? Resolução: ? PV a.a. 0,4641 d trimestres 3 n meses 9 n 40 , 504 . 16 FV · · · ⇒ · · ( ) 00 , 400 . 12 $ R PV ) 1 , 0 1 ( 4 , 16504 d 1 FV PV . t . a 1 , 0 d 1 1 , 1 d 1 , 1 d 1 ) 4641 , 1 ( ) d 1 ) 4641 , 0 1 ( ) d 1 ) d 1 ( ) d (1 ano 1 n . trim 4 n a.a. 4641 , 0 d (a.t.) ? d 3 n 1 1 1 4 1 4 . 4 1 1 1 4 1 n 2 n 1 2 1 2 1 2 1 · ⇒ + · ⇒ + · · ⇒ − · ⇒ · + · + ⇒ + · + ⇒ + · + · · · · PV ( ( Exercícios: 50 1) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.? 2) Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontado dois meses antes do vencimento a taxa de desconto composto de 15% a.m. Qual o valor do desconto? 3) O desconto racional composto de um título de R$ 85.000,00 foi de R$ 7.903,00. Sendo a taxa de desconto de 5% a.m., qual o prazo de antecipação? 51 Exercícios Complementares: 1) Um título de valor nominal de $50.000,00 foi descontado três meses antes do vencimento à taxa de 5% a.m.. Qual o valor líquido do título pelo desconto racional composto? Resposta: $43.191,88 2) Na venda de uma Letra de Câmbio (LC), 25 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 105,30% a.a., oferece $540.000,00 ao credor da letra . Qual o valor dessa LC? Resposta: $567.658,88 3) Na venda de uma Letra de Câmbio, 36 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 43,30% a.a., ofereceu $30.500,00 ao credor da letra . Qual o valor dessa LC na data do resgate? Resposta: $31.617,28 52 4) O valor do desconto racional composto de uma nota promissória que vence em três anos é de $10.500,00. A taxa de desconto utilizada na operação é de 20% a.a. com capitalização trimestral. Qual o valor nominal da nota promissória? Resposta: $24.923,08 5) O desconto racional composto de um título cujo valor nominal é de $250.000,00 foi de $44.518,22. Sendo de 4% a.m. a taxa de desconto cobrada, qual o prazo de antecipação do resgate? Resposta: 5 meses 6) O desconto racional composto de um título de $50.000,00 foi de $12.698,22. Sendo a taxa de desconto mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação. Resposta: 6 meses 53 7) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de dez meses. O valor de resgate desse título é de $125.000,00. Qual o seu valor nominal? Resposta: $156.250,00 8) O valor nominal de um compromisso é de seis vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de oito anos. Sendo o valor de resgate do título de $500.000,00, determine: a) A taxa de desconto anual. Resposta: 2,31% a.a. b) O valor nominal. Resposta: $600.000,00 54 9) Marcelo propõe a um amigo a venda de um título por $120.563,28. Esse amigo diz que só se interessará pela compra se puder ganhar 20% a.m.. Sendo o valor do título $250.000,00, qual deve ser o prazo de antecipação? Resposta: 4 meses 10) Um banco de investimento deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa, que deverá liquidá-lo no final do sétimo mês por $1.500.000,00. Qual o valor que deve ser abatido no ato da contratação se a empresa deseja limitar esse pagamento final em $1.350.000,00? O banco opera em regime de desconto composto à taxa de 4% a.m.. Resposta: $113.987,67 55 11) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2% a. m. para ser liquidado em dois pagamentos. A primeira parcela será de $250.000,00 e deverá ser paga no final do quarto mês. A segunda parcela será de 300.000,00 e deverá ser paga no final do oitavo mês. Esse empréstimo poderia ser liquidado com um único pagamento de $593.660,60. Em que prazo deve ser efetuado tal pagamento para que a taxa de 2% a.m. não se altere? Resposta: 10 meses 5 TAXAS DE JUROS Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao estudo das taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos onde são usadas apenas taxas “referenciais” em que a capitalização não ocorre na periodicidade indicada pela taxa. Vamos, então, conceituar cada tipo de taxa utilizada no dia a dia das operações financeiras. 5.1 Taxa Efetiva 56 Uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização do investimento. Por exemplo: 10% ao mês com capitalização mensal; 1,5% ao dia com capitalização diária. Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos das taxas de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer simplesmente: 10% ao mês e 1,5% ao dia. 5.2 Taxas Proporcionais Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros simples. Ao falar nisto, devemos lembrar que uma das características é a linearidade e, conseqüentemente, a validade da regra de três simples. Exemplos: • 36% ao ano e 3% ao mês; • 36% ao ano e 9% ao trimestre; • 36% ao ano e 12% ao quadrimestre; • 36% ao ano e 18% ao semestre. As taxas proporcionais podem ser assim relacionadas: . d . a . m . a . t . a . q . a . s . a . a .. a i . 360 i . 12 i . 4 i . 3 i . 2 i · · · · · 5.3 Taxas Equivalentes Duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros compostos Assim, se " i " 1 e " i " 2 forem as taxas e " n " 1 e " n " 2 o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: 2 1 n 2 n 1 ) i 1 .( C ) i 1 .( C + · + e, portanto, 2 1 n 2 n 1 ) i 1 ( ) i 1 ( + · + 57 Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Resolução: Chamamos " i " 1 a taxa procurada e " i " 2 a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de 1 ano teremos então: a.a. % 82 , 26 i 2682 , 0 i 2682 , 1 i 1 02 , 1 i 1 ) 02 , 0 1 ( ) i (1 ) i 1 ( ) i (1 meses 12 n a.m. 0,02 i a.m. % 2 i ano 1 n anual) taxa ( ? i 1 1 1 12 1 12 1 1 n 2 n 1 2 2 2 1 1 2 1 · ⇒ · ⇒ · + · + ⇒ + · + ⇒ + · + · · ⇒ · · · Podemos calcular a taxa equivalente também através da seguinte expressão: ( ) 1 i 1 i q p eq − + · onde: • " i " eq é a taxa equivalente; • “i” é a taxa fornecida; • “p” é o período desejado em dias que se refere a taxa procurada (equivalente); • “q” é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida. 58 59 Exemplos: a) Calcule a taxa mensal equivalente a 413% a.a.. No programa da HP-12C, só usaremos as teclas: (i) Taxa conhecida; (PV) Período desconhecido; (FV) Período conhecido. Então teremos: i = 413% a.a. PV = 1 mês FV = 1 ano = 12 meses TECLAS VISOR SIGNIFICADO 413 (i) 413,00 Insere a taxa conhecida em i. 12 (FV) 12,00 Insere o período da taxa conhecida em FV. 1 (PV) 1,00 Insere o período da taxa desconhecida em PV. (R/S) Running Roda o programa. 14,60 Calcula a taxa equivalente ao mês. b) Determine a taxa diária equivalente a 25% a.t.. i = 25% a.t. PV = 1 dia FV = 1 trimestre = 90 dias TECLAS VISOR SIGNIFICADO 25 (i) 25,00 Insere a taxa conhecida em i. 90 (FV) 90,00 Insere o período da taxa conhecida em FV. 1 (PV) 1,00 Insere o período da taxa desconhecida em PV. (R/S) Running Roda o programa. 0,25 Calcula a taxa equivalente ao dia. c) Aplicando a fórmula, determine em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? i eq = ? 60 i = 0,02 am p = 360 dias q = 30 dias Obs.: È aconselhável trabalharmos com os períodos em dias, pois é comum , no mercado financeiro, períodos em dias. ( ) 1 i 1 i q p eq − + · ( ) 1 02 , 0 1 i 30 360 eq − + · ⇒ 2682 , 0 i eq · a. a. % 82 , 26 i eq · ⇒ 5.4 Taxa Nominal É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais, quadrimestrais, trimestrais, bimestrais, mensais ou diários, Exemplos: • 20% ao ano, capitalizados mensalmente; • 36% ao ano, capitalizados semestralmente. A taxa nominal, antes de ser utilizada em qualquer tipo de cálculo, deve ser “efetivada”, isto é, deve ser calculada sempre a taxa efetiva equivalente à taxa nominal em questão, através da expressão: 1 n i 1 i n N − , _ ¸ ¸ + · onde: • “i N ” é a taxa nominal; • “n” é o número de períodos de capitalização. Exemplo: Qual a taxa efetiva anual , com capitalização mensal, cuja taxa nominal é de 6% ao ano? i = ? i N = 6% a.a. ⇒ i N = 0,06 a.a. n = 12 períodos 61 1 12 0,06 1 i 1 n i 1 i 12 n N ⇒ − , _ ¸ ¸ + · ⇒ , _ ¸ ¸ + · - ⇒ · 0617 , 0 i a.a. % 17 , 6 i · 5.5 Taxa Over A taxa over é uma taxa nominal expressa ao mês com capitalização diária, porém válida somente para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do mercado financeiro. Exemplo: 3% ao mês, por dia útil A taxa efetiva correspondente é expressa por: 1 30 i 1 i n o − , _ ¸ ¸ + · onde: • “i o ” é a taxa over; • “n” é o número de dias úteis do mês. 5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida A taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. A taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. 5.7 Taxa aparente e taxa real 62 A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é aquela calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: ) I + 1 ).( i + 1 ( = ) i + 1 ( r onde: • “i” é a taxa aparente; • “i r ” é a taxa real; • “I” é a taxa de inflação. Por exemplo, a taxa real de um empréstimo a uma taxa aparente de 20% a.m., considerando uma inflação para o mesmo período de 15%, é: ) I 1 ).( i 1 ( ) i 1 ( r + + · + 1 043478 , 1 i i 1 15 , 1 2 , 1 15 , 1 ). i 1 ( 2 , 1 ) 15 , 0 1 ).( i 1 ( ) 2 , 0 1 ( r r r r − · ⇒ + · ⇒ + · ⇒ + + · + i r = 0,043478 ⇒ i r = 4,3478% a.m. Exercícios Complementares: 1) Calcular os montantes acumulados, no final de 3 anos, a partir de um principal de $ 1.500, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 12% a.a., 6% a.s. e 1% a.m. Resp.: $ 2.040, $ 2.040 e $ 2.040. 2) Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 36% a.a. Resp.: 18% a.s., 3% a.m. e 0,10% a.d. 63 3) Qual a taxa mensal equivalente a 10% a.a.? Resp.: 0,7974% a.m. 4) Um capital foi aplicado a 3% a.m. Qual a taxa semestral que produziria o mesmo efeito? Resp.: 19,4052% a.s. 5) Se a taxa de juros é de 2,5% para 28 dias, qual a taxa equivalente para 42 dias? Resp.: 3,7733% a.p. 64 6) Uma instituição cobra juros de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva implícita? Qual a taxa efetiva anual equivalente? Resp.: 2% a.m., 26,8242% a.a. 7) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente? Resp.: 1,9613% a.m. 8) Qual a taxa anual, com capitalização trimestral, cuja taxa efetiva é de 20% a.a.? Resp.: 18,65% a.a., capitalizada trimestralmente 65 9) Uma aplicação de $ 10.000 proporcionou um montante líquido de $ 10.273,26 ao final de três meses. Sabendo-se que a alíquota de IR é de 25% para este tipo de aplicação, qual a taxa bruta mensal que remunerou o investimento? Resp.: 1,20% a.m. 10) Um investidor aplicou $ 25.000 por um período de 180 dias à taxa de 12% a.a. Se o IR incidente é de 20% para este tipo de aplicação, qual a taxa líquida mensal auferida pelo investidor? Resp.: 0,7627% a.m. 11) Se a taxa aparente é de 2% a.m. e a inflação no período de 0,85%, qual a taxa real? Resp.: 1,1403% a.m. 66 12) Se a taxa de inflação é de 0,78% a.m. e no mesmo período a taxa real é de 0,5%, qual a taxa aparente resultante? Resp.: 1,2839% a.m. 13) A taxa aparente é de 1,2% a.m. Se a taxa real embutida é de 0,5% a.m., qual a taxa de inflação? Resp.: 0,6965% a.m. 14) Que taxa mensal remunerará um capital que tenha sido aplicado à taxa over de 1,2% a.m., sendo de 21 o número de dias úteis deste? Resp.: 0,8434% a.m. 67 0 3 1.500.000 y 15) Se a taxa efetiva foi de 0,8098% a.m. para um mês com 22 dias úteis, qual a taxa over considerada? Resp.: 1,1% a.m. 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 68 0 3 x 0 3 1.500.000 y 0 1 2.........................................n ........................................... O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras equivalentes e, conseqüentemente, efetuar comparações entre elas. Consideremos o seguinte exemplo: um prédio é vendido por R$ 5.000.000,00 à vista ou então à prazo, em 3 parcelas mensais de R$ 1.700.000,00 cada uma, sem entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos à taxa de 2% ao mês e tem fundos suficientes para pagar à vista? Uma forma de resolver essa questão é a seguinte: se ele pagar a prazo, após um mês de aplicação ele terá R$ 5.100.000,00. Pagando R$ 1.700.000,00 de prestação, sobram-lhe R$ 3.400.000,00. Aplicando R$ 3.400.000,00 por mais um mês, ele terá no final R$ 3.468.000,00; pagando a 2ª prestação, sobram-lhe R$ 1.768.000,00. Aplicando finalmente R$ 1.768.000,00 por mais um mês, ele terá ao final R$ 1.803.360,00, o que dá para pagar a última prestação e ainda lhe sobram R$ 103.360,00. Vê-se que é melhor pagar a prazo. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos desta forma. Contudo, situações em que o número de prestações seja 36, 48 ou mais, seria muito trabalhoso. Veremos a seguir formas mais simples de resolver questões desse tipo. 6.1 Equivalência de dois capitais Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo, por exemplo, o primeiro na data 0 e o segundo na data n. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se: n n i) (1 y x : seja ou y ) i 1 ( x + · · + Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, R$ 1.500.000,00, daqui a 3 meses equivalem quanto hoje? Sendo x o capital hoje, temos: 69 0 3 x 0 1 2 3 200.000 500.000 y 3 3 0 3 1.500.000 y 0 1 2.........................................n ........................................... 0 1 2.........................................n ........................................... ( ) 50 , 483 . 413 . 1 $ R x 02 , 0 1 1500000 x i) (1 y x 3 n · ⇒ + · ⇒ + · 6.2 Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais Considerando os capitais , y ,......., y , y , y n 2 1 0 nas datas 0, 1, 2, 3,......,n, respectivamente. Chamamos Valor Presente (PV) ou valor atual (VA) na data 0 desse conjunto, a uma taxa de juros i, à soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0. Chamando de PV, o valor presente, teremos: ( ) ( ) ( ) n n 2 2 1 1 0 i 1 y ...... i 1 y i 1 y y PV + + + + + + + · Exemplo: Uma empresa prevê o pagamento de R$ 200.000,00 daqui a um mês e R$ 500.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos, á taxa de 1,5% ao mês para fazer frente a essas despesas? 70 0 1 2 3 200.000 500.000 y 3 3 0 1 2.........................................n ........................................... 0 1 2.........................................m ........................................... 0 1 2.........................................n ........................................... 0 1 0 1 2 y y ( ) ( ) ( ) ( ) 675.202,83 $ R PV 015 , 0 1 500000 015 , 0 1 200000 PV i 1 y i 1 y PV 3 1 3 3 1 1 · ⇒ + + + · ⇒ + + + · RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO 0 (g) (CF 0 ) 0,00 Introduz o pagamento no instante 0 200000 (g) (CF j ) 200.000,00 Introduz o pagamento no instante 1 0 (g) (CF j ) 0,00 Introduz o pagamento no instante 2 500000 (g) (CF j ) 500.000,00 Introduz o pagamento no instante 3 1,5 (i) 1,50 Introduz a taxa (f) (NPV) 675.202,83 Calcula o Valor Presente 6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes Consideremos os conjuntos de capitais: y 0 , y 1 , y 2 ,..........,y n , nas datas 0, 1, 2, 3,.........,n, respectivamente. y’ 0 , y’ 1 , y’ 2 ,..........,y’ m , nas datas 0, 1, 2, 3,........,m, respectivamente. 71 0 1 2 3 200.000 500.000 y 3 3 0 1 2.........................................n ........................................... 0 1 2.........................................m ........................................... 0 1 0 1 2 y y Dizemos que esses conjuntos são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se seus valores atuais forem iguais. Assim chamando de PV 1 e PV 2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos ter: PV 1 = PV 2 Exemplo: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R$ 1.000,00 mais uma parcela de R$ 1.200,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de R$ 600,00, mais duas prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a.m. , qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamentos sejam equivalentes? 1ª Forma: ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 03 , 0 1 1200 1000 PV i 1 y y PV + + · ⇒ + + · 2ª Forma: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 0 2 03 , 0 1 y 03 , 0 1 y 600 PV i 1 y i 1 y y PV + + + + · ⇒ + + + + · como PV 1 =PV 2 ; 72 0 1 2.........................................m ........................................... 0 1 0 1 2 y y 03 , 1 1200 1000 + = y 94259 , 0 y 97087 , 0 600 0485 , 1165 1000 03 , 1 y 03 , 1 y 600 2 + + · + ⇒ + + 1565,0485=1,91346y 817,91 $ R y 91346 , 1 0485 , 1565 y · ⇒ · ⇒ Exercícios Complementares: 1) Uma Nota Promissória, cujo valor nominal é $50.000,00, vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca por outra Nota Promissória, a vencer daqui a três meses. Qual deve ser o valor nominal da nova Nota Promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $52.020,00 2) Uma pessoa tem uma dívida de $60.000,00 para daqui a dois meses e outra de $80.000,00 para daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 2% a.m. para fazer frente a essas dívidas? Resposta: $133.055,91 3) Resolva o problema anterior, considerando as taxas: a)2,2% a.m. Resposta: $132.388,71 b) 1,8% a.m. Resposta: $133.727,93 73 4) Uma empresa prevê pagamentos de $250.000,00 daqui a um, dois e três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a taxa de 1,6% a.m., para fazer frente a esses pagamentos? Resposta: $726.624,98 5) Um aparelho de TV é vendido por $1.500,00 ou por 20% de entrada, mais duas parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6% a.m., qual o valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? Resposta: $654,52 6) Resolva o problema anterior, supondo que haja três pagamentos mensais, além da entrada. Resposta: $448,93 7) Um aparelho de som é vendido por $3.000,00 à vista ou, então, com uma entrada e mais três parcelas mensais de $800,00 cada uma. Se a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m., qual o valor da entrada? Resposta: $758,69 74 8) Um terno é vendido em uma loja por $800,00 de entrada mais uma parcela de $400,00, após um mês. Um comprador propõe dar $200,00 de entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela mensal, sabendo que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m.? Resposta: $1.024,00 9) Um aparelho de som é vendido à vista por $3.000,00, podendo também se financiado da seguinte forma: a) entrada: 30%; b) duas parcelas mensais, sendo a 2ª igual ao dobro da 1ª e vencendo a 1ª dois meses após a compra. Qual o valor de cada prestação se a loja opera a uma taxa de juros de 4% a.m.? Resposta: $777,04 e $1.554,09 10) Um conjunto de sofás é vendido à vista por $1.500,00, ou a prazo por três prestações mensais sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Resposta: $559,92 11) Carlos pretende vender o seu terreno por $50.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento: 75 a) entrada de $10.000,00; b) $10.000,00 no fim de três meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em seis meses e um ano, respectivamente. Admitindo-se que a taxa de juros do financiamento é de 4% a.m. (juros compostos), calcule o valor da última parcela. Resposta: $27.017,59 12) Uma determinada loja vende um conjunto de som em três parcelas, sendo $1.500,00 de entrada, $2.000,00 depois de três meses e $3.500,00 depois de seis meses. Considerando-se que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime de capitalização composta e, ainda, que o comprador precisou adiar a terceira parcela por mais dois meses, a entrada deverá ser alterada para que valor? Resposta: $1.742,82 13) Bruno pretende vender seu imóvel por $600.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento: a) entrada de $120.000,00; b) $250.000,00 no fim de seis meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em um ano e 15 meses, respectivamente. Admitindo-se que a taxa de juros de mercado é de 6% a.m. (juros compostos), calcule o valor da última parcela. Resposta: $405.782,03 76 14) Em uma butique do Shopping Praia de Belas, uma senhora é atendida por um vendedor, que afirma: “O preço desse vestido é de $2.100,00, mas a senhora poderá comprá-lo em três parcelas mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada”. Se a taxa de juros cobrada pela butique, nas vendas a prazo, é de 4% a.m., que porcentagem do preço dado pode a loja dar de desconto para pagamento à vista? Resposta: 3,8% 15) Uma empresa deve pagar três títulos. O primeiro de $250.000,00 exigível em três meses; o segundo de $300.000,00 exigível em seis meses e o terceiro de $450.000,00 exigível em nove meses. A empresa pretende substituir esses três títulos por um único de $1.542.683,00. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 8%, determine o prazo do novo título. Resposta: 12 meses 77 PV FV 0 1 2 3 4 5 7 RENDAS (ANUIDADES) Renda é uma série de pagamentos vencíveis ou de capitais disponíveis (recebimentos) em datas diferentes. Cada um dos pagamentos ou recebimentos da série se chama termo, prestação ou simplesmente pagamento ou desembolso da renda. Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos ou recebimentos consecutivos são chamados períodos da renda. 7.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais e é feito em períodos homogêneos, ou seja, os pagamentos e recebimentos têm vencimentos, valores e número pré-estabelecidos e a taxa de juros fixada. Chama-se Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data anterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros fixada. Chama-se Valor Futuro, Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também fixada. 7.1.1 Classificação das Séries Uniformes a) Quanto ao prazo: • Temporárias: o prazo de pagamentos ou recebimentos é finito. • Perpétuas: o prazo é infinito. b) Quanto aos valores dos termos: • Uniforme: termos iguais. • Variável: termos distintos. 78 PV FV 0 1 2 3 4 5 PV FV 0 1 2 3 4 5 c) Quanto à periodicidade: • Periódica: períodos iguais. • Não periódica: períodos distintos. d) Quanto à ocorrência do primeiro termo: • Imediata: Ocorre no primeiro período de pagamento ou recebimento. • Diferida: Ocorre após o primeiro período de pagamento ou recebimento. Obs.: As séries imediatas e diferidas classificam-se ainda em postecipadas e antecipadas: • POSTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos finais dos períodos de pagamentos ou recebimentos. • ANTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos inícios dos períodos de pagamentos ou recebimentos. 7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado um período antes do primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado juntamente com o último pagamento ou recebimento. 7.2.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Postecipado) ( ) 1 1 ] 1 ¸ + − · − i i 1 1 PMT PV n 79 PV FV 0 1 2 3 4 5 PV = Valor Presente FV = Valor Futuro PMT = Valor do pagamento ou recebimento i = taxa de juros n = número de pagamentos, depósitos ou recebimentos PV FV 0 1 2 3 4 5 PV 2 FV 2 0 1 2 3 4 5 Série Imediata Antecipada Série Imediata Postecipada PV P 7.2.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Postecipado) ( ) 1 1 ] 1 ¸ − + · i 1 i 1 PMT FV n 7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado juntamente com o primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado um período após o último pagamento ou recebimento. 7.3.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Antecipado) ( ) ( ) i 1 . i i 1 1 PMT PV n + 1 1 ] 1 ¸ + − · − 7.3.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Antecipado) ( ) ( ) i 1 . i 1 i 1 PMT FV n + 1 1 ] 1 ¸ − + · 80 PV FV 0 1 2 3 4 5 PV 2 FV 2 0 1 2 3 4 5 Série Imediata Antecipada Série Imediata Postecipada PV PP 0 1 2 3 4 5 PV = 900,00 É importante relacionar as fórmulas utilizadas para os cálculos dos Valores Presentes e dos Valores Futuros das séries imediatas antecipadas e postecipadas com os momentos em que estas variáveis são avaliadas, o que podemos observar nos diagramas sobrepostos abaixo. Exemplos: a) Uma Concessionária de Automóveis vende um carro em quatro prestações iguais de de R$ 10.250,00, sendo a primeira dada com entrada. Sabendo que os juros do mercado são aproximadamente 3% ao mês, qual é o preço do carro à vista? RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (7) BEGIN (Início) Informa que se trata de série Antecipada (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais 10250 (CHS) (PMT) -10.250,00 Introduz a prestação 3 (i) 3,00 Introduz a taxa 4 (n) 4,00 Introduz o número de prestações (PV) 39.243,27 Calcula o Valor Presente 81 PV 2 FV 2 0 1 2 3 4 5 Série Imediata Antecipada Série Imediata Postecipada PMT = 10.250,00 Série Antecipada (Entrada) PV 0 1 2 3 00 0 1 2 3 4 5 PV = 900,00 P Série Antecipada (com entrada) FV 0 1 2 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 20 20 Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o Valor Presente do carro, utilizando uma operação financeira com prestações postecipadas, ou seja, sem entrada, da seguinte forma: TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (8) 39.243,27 Informa que se trata de série Postecipada (PV) 38.100,26 Calcula o Valor Presente b) Qual é o valor das prestações a serem pagas, sem entrada, na compra de um televisor de R$ 900,00 (à vista), em cinco parcelas mensais, iguais, sabendo-se que a taxa de mercado é 2,5% ao mês? RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (8) 0,00 Informa que se trata de série Postecipada (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais 900 (CHS) (PV) -900,00 Introduz o Valor Presente 2,5 (i) 2,50 Introduz a taxa 5 (n) 5,00 Introduz o número de prestações (PMT) 193,72 Calcula o valor das Prestações Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o valor das Prestações, utilizando uma operação financeira com prestações antecipadas, ou seja, com entrada, da seguinte forma: TECLAS VISOR SIGNIFICADO 82 8 0 1 2 3 4 5 Série Postecipada (sem entrada) PV = 900,00 PMT = ? P Série Antecipada (com entrada) FV 0 1 2 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 20 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (g) (7) BEGIN (Início) Informa que se trata de série Antecipada (PMT) 189,00 Calcula o valor das Prestações c) Calcule o Montante (Valor Futuro) que uma pessoa acumulará se desembolsar 4 parcelas de R$ 4.000,00, mensalmente, sendo a primeira no ato da operação, à taxa de 2,2% ao mês. RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (g) (7) BEGIN (início) Informa que se trata de série Antecipada (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais 4000 (CHS) (PMT) -4.000,00 Introduz o valor dos depósitos 2,2 (i) 2,20 Introduz a taxa 4 (n) 4,00 Introduz o número de depósitos (FV) 16.899,57 Calcula o Valor Futuro (Antecipado) (g) (8) 16.889,57 Informa que se trata de série Postecipada (FV) 16.535,79 Calcula o Valor Futuro (Postecipado) 7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da série uniforme de prestações, existem prestações extras (ou reforços). Nesse caso, o Valor Presente do conjunto é a soma do Valor Presente da seqüência uniforme com o Valor Presente das prestações de reforço. Exemplo: Um terreno é vendido a prazo em 12 prestações mensais de 5.000 UR cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em 6 e 12 meses após a 83 8 Série Antecipada (com entrada) FV 0 1 2 3 PMT = R$ 4.000,00 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 20 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 compra, cada uma de 20.000 UR. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a.m.? ( ) ( ) ( ) ( ) 12 6 12 12 12 6 6 n 032 , 1 20000 032 , 1 20000 032 , 0 032 , 0 1 1 5000 PV i 1 y i 1 y i i 1 1 PMT PV + + 1 1 ] 1 ¸ + − · ⇒ + + + + 1 1 ] 1 ¸ + − · − − PV = 49.181,02 + 16.555,86 + 13.704,83 ⇒ PV = 79.441,71 UR RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (g) (8) 0,00 Informa que se trata de série Postecipada 12 (n) 12,00 Introduz o número de prestações 3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa 5000 (CHS) (PMT) -5.000,00 Introduz o valor das prestações (PV) 49.181,02 Calcula o Valor Presente das prestações (STO) (1) 49.181,02 Armazena na memória 1 o PV das prestações (f) (FIN) 49.181,02 Limpa todos os registros financeiros 6 (n) 6,00 Introduz o período do primeiro Reforço 3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa 20000 (CHS) (FV) -20.000,00 Introduz o valor do primeiro Reforço (PV) 16.555,86 Calcula o Valor Presente do primeiro Reforço (STO) (2) 16.555,86 Armazena na memória 2 o PV do 1º Reforço (f) (FIN) 16.555,86 Limpa todos os registros financeiros 12 (n) 12,00 Introduz o período do segundo Reforço 3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa 84 20000 (CHS) (FV) -20.000,00 Introduz o valor do segundo Reforço (PV) 13.704,83 Calcula o Valor Presente do segundo Reforço (RCL) (1) (+) 62885,85 Soma o PV do 2º Reforço com PV das prestações (RCL) (2) (+) 79.441,71 Calcula o valor Presente de toda operação Exercícios Complementares: 1) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 será pago em 10 prestações mensais iguais, consecutivas, postecipadas. Considerando que a taxa de juros a ser cobrada é de 2,5% a.m, calcular o valor das prestações. Resp.: $571,29 2) Um automóvel é vendido por $10.000,00 à vista, mas pode ser financiado a prazo em 6 prestações bimestrais iguais e postecipadas. Qual o valor das prestações, se a taxa de juros anunciada é de 3% a.m.? Resp.: $2.039,38 3) Quanto se deve aplicar hoje de forma que se possa receber $2.000,00 no final de cada um dos próximos 12 meses, considerando uma taxa de juros de 14,4% a.a., capitalizada mensalmente? Resp.: $22.326,36 4) Depositando-se hoje a quantia de $5.000,00 à taxa de 22% a.a. tem-se recebimentos anuais e postecipados de $1.320,56. Qual o número de recebimentos? Resp.: 9 recebimentos 85 5) Uma empresa financia as suas vendas a prazo aplicando juros de 3% a.m. Calcular o valor da prestação para uma venda de $6.000,00, considerando 2 pagamentos, aos 45 e aos 90 dias. Resp.: $3.205,52 6) A compra de um veículo pode ser feita, a prazo, através de 6 prestações mensais iguais, consecutivas, antecipadas. O valor das 3 primeiras é de $7.500,00 e das 3 restantes, de $10.000,00. Considerada uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual o valor à vista do veículo? Resp.: $49.394,33 7) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador e dispõe de 3 alternativas de pagamento: a) à vista, $2.300,00; b) 8 prestações mensais postecipadas de $321,00; c) 6 prestações mensais antecipadas de $412,00. Se a taxa de juros é de 2% a.m, qual o esquema de pagamentos mais favorável para o comprador? Resp.: à vista 86 8) Um financiamento de $10.000,00 será pago em 5 prestações mensais postecipadas. Se as últimas três são de $2.800,00 cada e a taxa de juros aplicada de 3% a.m, determinar o valor de cada uma das duas primeiras prestações. Resp.: $1.324,58 9) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 pode ser pago, na condição a prazo, em três prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira a 90 dias da data da compra. Se a taxa de juros praticada for de 2,5% a.m, qual o valor das prestações? Resp.: $1.839,31 10) Um imóvel pode ser adquirido à vista por $40.000,00. A prazo, através de entrada de 20% do valor à vista, 12 prestações mensais iguais e consecutivas à compra de $2.000,00 cada e dois reforços, ao final do 6º mês e do 12º mês, respectivamente. Se a taxa de juros adotada na transação for de 3% a.m, qual o valor de cada reforço? Resp.: $7.857,28 87 11) Quanto uma pessoa acumularia ao final de 12 meses, numa conta que remunera 0,9% a.m., se nela efetuasse 6 depósitos mensais imediatos antecipados iguais de $1.000,00 ? Resp.: $6.533,84 12) Uma poupança que paga juros de 1% a.m. foi aberta com um depósito inicial de $10.000,00. O poupador, nos meses em seguida, efetuou 12 depósitos mensais iguais de $500,00. Qual o montante à sua disposição imediatamente após a realização do último depósito? Resp.: $17.609,50 13) Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 14,4% a.a., capitalizados mensalmente. Um investidor fez um depósito inicial de $20.000,00 mais 24 depósitos mensais iguais e consecutivos, o primeiro 30 dias após o depósito de abertura. Sendo de $68.063,56 o montante ao final do período, qual o valor dos depósitos mensais? Resp.: $1.529,64 88 14) Um automóvel cujo valor à vista é de $35.000,00 será pago mediante uma entrada de 10%, 24 prestações mensais de $1.200,00 e 4 parcelas semestrais iguais. Considerando- se uma taxa de juros de 2% a.m., qual o valor das parcelas semestrais? Resp.: $2.936,05 15) Um empréstimo contratado à taxa de 2,5% a.m. foi liquidado através de 12 prestações mensais postecipadas de $600,00 cada. Quanto totalizaram os juros pagos no período? Resp.: $1.045,34 89 88 16) Desejando dispor de $10.000,00 dentro de 12 meses, uma pessoa começa hoje a depositar mensalmente em uma conta que rende 2% a.m. Calcular o valor de cada depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao término do 12º mês? Resp.: $730,98 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Freqüentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal ou valor do empréstimo (S 0 ). Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, 3,........., n, na unidade expressa pela taxa de juros (em tudo que segue admitiremos o regime de capitalização composta). Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamarmos de amortização no instante t (indicado por A t ) à diferença entre P t e j t , teremos: i . S j : sendo j A P ou j P A 1 t t t t t t t t − · + · − · O saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t -1), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. t ) 1 t ( t t t ) 1 t ( t A S S ou P j S S − · − + · − − Notação: 90 9 0 1 2 3....................................n Tempo 0 Prestação . t a ) 1 t ( de vai que período no Juros j ; t te tan ins no efetivado Pagamento P juros; de Taxa i 1); - (t anterior te tan ins no devedor Saldo S ; t te tan ins no devedor Saldo S t t ) 1 t ( t − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − Assim, existem inúmeras seqüências de amortizações que têm por soma o principal. 8.1 Sistema de Amortizações Constantes – SAC Entre as inúmeras maneiras que existem para amortizar o principal, o Sistema de Amortizações Constante (SAC) é bastante utilizado na prática. Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. n S A . .......... A A A 0 n 3 2 1 · · · · · O valor da prestação é dado por: n n j A P + · Percebe-se, assim, que as prestações do SAC constituem uma progressão aritmética decrescente, cujo primeiro termo a 1 é A + S 0 .i e cuja razão r é – A.i. Observação: Para progressão aritmética (Pa) temos: ( ) r . 1 n a a 1 n − + · O gráfico da prestação em função do tempo tem o seguinte aspecto: 91 9 A A A A 0 1 2 3....................................n Tempo j j 2 11 Exemplos: a) Um empréstimo de 800.000 dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% ao semestre. Construa a planilha de amortização. 00 , 000 . 800 $ U S 0 · n = 5 prestações i = 0,04 a. s. 00 , 000 . 160 $ U A 5 800000 A n S A 0 · ⇒ · ⇒ · Período Semestral Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 800.000 0 0 0 1 640.000 160.000 32.000 192.000 2 480.000 160.000 25.600 185.600 3 320.000 160.000 19.200 179.200 4 160.000 160.000 12.800 172.800 5 0 160.000 6.400 166.400 6 7 TOTAL 800.000 96.000 896.000 b) Um empréstimo de 800000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência, ou seja, a primeira parcela só é devida no 3º semestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a.s., obtenha a planilha. 00 , 000 . 800 $ U S 0 · n = 5 parcelas i = 0,05 a. s. 00 , 000 . 160 $ U A 5 800000 A n S A 0 · ⇒ · ⇒ · Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 92 J 1 A 3 J n A n A 1 A 2 0 1 2 3 n Semestral S t A t J t P t 0 800.000 0 0 0 1 800.000 0 40.000 40.000 2 800.000 0 40.000 40.000 3 640.000 160.000 40.000 200.000 4 480.000 160.000 32.000 192.000 5 320.000 160.000 24.000 184.000 6 160.000 160.000 16.000 176.000 7 0 160.000 8.000 168.000 8 TOTAL 800.000 200.000 1.000.000 8.2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE No sistema de amortização Francês ou Tabela Price as prestações são iguais e consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações). Lembrando que o fator ( ) 1 ] 1 ¸ + − − i i 1 1 n é chamado de fator de Valor Presente (PV) e que ( ) 1 1 ] 1 ¸ + − · − i i 1 1 PMT PV n . Como PV = 0 S , teremos então que ( ) 1 1 ] 1 ¸ + − · − i i 1 1 PMT S n 0 . Logo: ( ) 1 1 ] 1 ¸ + − · − i i 1 1 S PMT n 0 Por outro lado, se os juros j 1 , j 2 , j 3 ,......,j n formam uma seqüência decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) as amortizações A 1 , A 2 , A 3 ,........,A n formam uma seqüência crescente. Assim o gráfico das prestações em funçã do tempo tem o seguinte aspecto. 93 25 26 27 28..................................40 15 prestações J 1 A 3 J n A n A 1 A 2 0 1 2 3 n Exemplo: Um empréstimo de 800000 dólares deve ser amortizado pelo sistema Francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha de amortização. ( ) ( ) 69 , 701 . 179 $ U PMT 04 , 0 04 , 1 1 800000 PMT i i 1 1 S PMT 5 n 0 · ⇒ 1 1 ] 1 ¸ − · ⇒ 1 1 ] 1 ¸ + − · − − Período Semestral Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 800.000,00 0 0 0 1 652.298,31 147.701,69 32.000,00 179.701,69 2 498.688,55 153.609,76 26.091,93 179.701,69 3 338.934,40 159.754,15 19.947,54 179.701,69 4 172.790,09 166.144,31 13.557,38 179.701,69 5 0 172.790,09 6.911,60 179.701,69 TOTAL 800.000,00 98.508,45 898.508,45 8.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE 94 25 26 27 28..................................40 15 prestações J 3 J 2 J 1 A 3 J n A n A 1 A 2 Prestação Tempo 0 1 2 3 n S 0 = U$ 800.000,00 n = 5 prestações i = 0,04 a.s. Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema Price, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer; com isso eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor. Exemplo: Num empréstimo de R$ 100.000.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40 meses e à taxa de 3 % a.m., qual o saldo devedor no 25º mês?(supor paga a prestação desse mês). O saldo devedor no 25º mês é o valor presente da seqüência uniforme das prestações a vencer (15 prestações). ( ) 1 1 ] 1 ¸ + − · − i i 1 1 PMT S n 25 ( ) 92 , 345 . 646 . 51 $ R S 03 , 0 03 , 1 1 79 , 237 . 326 . 4 S 25 15 25 · ⇒ 1 1 ] 1 ¸ − · − 8.2.2 Sistema Price pela HP-12C: Vamos resolver utilizando, inicialmente, a já conhecida Série Uniforme de Pagamentos, calculando o (PMT) postecipado (prestação). 95 25 26 27 28..................................40 15 prestações S 0 = 100.000.000 n = 40 prestações i = 003 a.m. ( ) ( ) 79 , 237 . 326 . 4 $ R PMT 03 , 0 03 , 1 1 000 . 000 . 100 PMT i i 1 1 S PMT 40 n 0 · ⇒ 1 1 ] 1 ¸ − · ⇒ 1 1 ] 1 ¸ + − · − − Prestações a vencer: Utilizaremos, ainda, a função (f) (AMORT), que aciona um programa interno da máquina para apuração dos valores referentes aos juros, amortização do capital e saldo devedor. Voltemos à planilha do exemplo anterior Período Semestral Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 800.000,00 0 0 0 1 652.298,31 147.701,69 32.000,00 179.701,69 2 498.688,55 153.609,76 26.091,93 179.701,69 3 338.934,40 159.754,15 19.947,54 179.701,69 4 172.790,09 166.144,31 13.557,38 179.701,69 5 0 172.790,09 6.911,60 179.701,69 TOTAL 800.000,00 98.508,45 898.508,45 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (FIN) (REG) 0,00 Limpa os registros financeiros e o visor. (g) (8) 0,00 Pagamento postecipado. 800.000 (CHS) (PV) -800.000,00 Valor Presente (saldo devedor no período zero). 4 (i) 4,00 Taxa de juros. 5 (n) 5,00 Número de prestações. (PMT) 179.701,69 Valor das prestações. 1 (n) (f) (AMORT) 32.000,00 Valor dos juros no primeiro período. (x><y) 147.701,69 Valor da amortização do capital no primeiro período. (RCL) (PV) -652..298,31 Saldo devedor no primeiro período. 1 (n) (f) (AMORT) 26.091,93 Valor dos juros no segundo período. (x><y) 153.609,76 Valor da amortização do capital no segundo período. (RCL) (PV) -498.688,55 Saldo devedor no segundo período. 1 (n) (f) (AMORT) 19.947,54 Valor dos juros no terceiro período. (x><y) 159.754,15 Valor da amortização do capital no terceiro período. (RCL) (PV) -338.934,40 Saldo devedor no terceiro período. 1 (n) (f) (AMORT) 13.557,38 Valor dos juros no quarto período. (x><y) 166.144,31 Valor da amortização do capital no quarto período. (RCL) (PV) 172.790,09 Saldo devedor no quarto período. 1 (n) (f) (AMORT) 6.911.60 Valor dos juros no quinto período. (x><y) 172.790,09 Valor da amortização do capital no quinto período. (RCL) (PV) 0,00 Saldo devedor no quinto período. 96 Observação: Quando pressionamos 1 (f) (AMORT), a calculadora busca o valor dos juros do próximo período. No entanto, se pressionarmos 2 (f) (AMORT), o resultado será o valor dos juros acumulados nos dois próximos períodos. Se em seguida, pressionarmos a tecla (x><y), obteremos o valor amortizado nos dois períodos, enquanto que as teclas (RCL) (PV) nos fornecem o saldo devedor no final do período considerado. Esse procedimento pode ser feito para qualquer número de prestações. Desta forma fica mais fácil trabalhar com prazos alongados. Exemplo: Em um financiamento de R$ 38.000,00 a ser pago em 60 meses, com taxa de 3% a.m., apurar o saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (FIN) (REG) 0,00 Limpa os registros financeiros e o visor. (g) (8) 0,00 Pagamento postecipado. 38.000 (CHS) (PV) -38.000,00 Valor Presente (saldo devedor no período zero). 3 (i) 3,00 Taxa de juros. 60 (n) 60,00 Número de prestações. (PMT) 1.373,05 Valor das prestações. 30 (n) (f) (AMORT) 30.104,08 Valor dos juros acumulados nas prestações de 1 a 30. (x><y) 11.087,42 Valor da amortização pelas 30 primeiras parcelas. (RCL) (PV) -26.912,58 Saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela. 8.3 Sistema de Amortização Americano - SAA Através desse sistema, o pagamento do principal é feito de uma só vez, no final do período do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente; entretanto, podem eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal (tudo depende do acordo entre as partes interessadas). Exemplo: Por um empréstimo de 800.000 dólares, um cliente se propõe a devolver o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha. Período Semestral Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 800.000,00 0 0 0 97 1 800.000,00 0 32.000,00 32.000,00 2 800.000,00 0 32.000,00 32.000,00 3 800.000,00 0 32.000,00 32.000,00 4 0 800.000,00 32.000,00 832.000,00 TOTAL 800.000,00 128.000,00 928.000,00 Exercícios Complementares: 1) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% a.t., obtenha a planilha. Período ......................... Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL 2) Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres de carência somente para as amortizações. Período ...................... Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 1 2 3 98 4 5 6 7 8 TOTAL 3) Um banco libera um crédito para uma empresa no valor de $50.000.000,00. Esse empréstimo deve ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais, só que os valores têm de ser convertidos numa unidade de referência tal que seu valor na data de liberação do crédito seja $2.500,00. Obtenha os 4 primeiros meses da planilha (em UR), considerando uma taxa de 1% a.m.. Período ....................... Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 1 2 3 4 4) Um empréstimo de 250.000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais, sendo 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se: a) o valor da primeira prestação; Resposta: U$10.000 b) o valor da segunda prestação; Resposta: U$9.900 c) o valor da 37ª prestação. Resposta: U$6.400 5) Um empréstimo de 40.000 UR deve ser devolvido pelo SAC com 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, juros, prestação e saldo devedor correspondentes ao 21º mês. Resposta: a) A 21 = 1.000 UR b) j 21 = 400 UR c) P 21 = 1.400 UR d) S 21 = 19.000 UR 99 6) Resolva o problema anterior no 35º mês. Resposta: a) A 35 = 1.000 UR b) j 35 = 120 UR c) P 35 = 1.120 UR d) S 35 = 5.000 UR 7) Um imóvel é vendido por 43.700 UR, sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 100 meses com 1,5% a.m. de taxa de juros. Calcule o valor da primeira e última parcela. Resposta: 874 UR e 354,84 UR 100 8) Um empréstimo no valor de $2.000.000,00 é concedido à taxa de juros compostos de 10% a.a. para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o valor da amortização contido na prestação paga ao final do 3° ano. Resposta: $400.000 9) Um banco libera um crédito de 60.000 UR para uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t.. Obtenha a planilha até o 3° trimestre. Período ........................ Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 1 2 3 10) Se no problema anterior houvesse, somente para as amortizações, uma carência de 2 trimestres, como seria a planilha até o 5° trimestre? Período Trimestral Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 11) Pedro Henrique adquiriu uma fazenda de $3.000.000,00 dando 30% de entrada e financiando o restante em 180 meses pelo sistema francês (Price), à taxa de 1% a.m.. Na ocasião da compra, uma UR correspondia a $1.050,00. Obtenha a planilha em UR até o 4° mês. 101 Período ......................... Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 1 2 3 4 12) No problema anterior, se Pedro Henrique quisesse quitar a dívida após ter pago a 51ª prestação, qual o valor adicional a ser desembolsado? Resposta: 1.735,59 UR 13) Ana Paula recebeu um financiamento a 5.000 UR para compra de uma casa, sendo adotado o Sistema Price à taxa de 1,5% a.m. para pagamento em 180 meses. Qual o estado da dívida no 64° mês? Respostas: a) A 64 =14,11 UR b) j 64 =66,41 UR c) P 64 =80,52 UR d) S 64 =4.413,55 UR 14) Um consultório médico foi financiado pelo “Plano Piloto” do Governo do Estado do RS, em 18 prestações mensais, pela Tabela Price, a juros de 3% a.m., sendo de $200.000,00 seu preço à vista. a) calcule o valor da prestação mensal; b) calcule o valor da parcela de juros referente à 1ª prestação; c) calcule o valor da parcela de amortização referente à 1ª prestação; d) calcule o valor da parcela de juros e amortização referentes à 2ª prestação; e) calcule o saldo devedor existente no final do 8° mês; f) calcule o valor da parcela de juros correspondente à 10ª prestação; 102 g) calcule o valor da parcela de amortização correspondente à 14ª prestação. a) $14.541,74 e) $ 124.043,99 b) $6.000,00 f) $3.396,71 c) 8.541,74 g) $12.543,83 d) $5.743,75 e $8.797,99 15) Um banco financia a importância de $400.000,00 entregue no ato do financiamento, com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros é 10% a.a., que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros serão capitalizados e incorporados ao capital, construa a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha, resolva a questão: se o devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações, deveria pagar quanto? Resposta: $264.995,47 Período ...................... Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 103 Respostas: 1 2 3 4 5 6 TOTAL 16) Carlos comprou um carro, financiando 600 UR, com amortização pelo Sistema Price, para o pagamento em 24 prestações iguais a um juro de 3% a.m.. Após pagar 12 prestações resolveu liquidar a dívida. Pergunta-se: a) Quanto Carlos pagou na 12ª prestação? Resposta: $35,43 UR b) Qual foi a parcela de juros pagos na 12ª prestação? Resposta: $11,30 UR c) Qual a parcela de amortização paga na 12ª prestação? Resposta: $24,13 UR d) Quanto Carlos pagou para liquidar a dívida? Resposta: $352,67 UR 17) Um valor de U$ 1.500.000,00 é financiado à taxa de 10% a.a., para ser amortizado pelo sistema americano, com 3 anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construir a planilha. Período ...................... Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 1 2 3 4 5 6 104 7 TOTAL 18) Um Banco financia R$ 100.000,00 que deverão ser amortizados pelo SAA através de uma única parcela ao final do 3º ano. Os juros são pagos semestralmente à taxa de 14,0175%. Elaborar a planilha. Período ...................... Saldo devedor S t Amortização A t Juros J t Prestação P t 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL 9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO O valor de um investimento é baseado em sua capacidade de gerar fluxos de caixa futuros, ou seja, na capacidade de gerar renda econômica. Assim sendo, as alternativas de investimentos podem ser comparadas somente se as conseqüências monetárias forem medidas em um ponto comum no tempo e, como as operações de investimento ou financiamento têm como característica um espaçamento dos fluxos de caixa ao longo do tempo, os critérios de avaliação econômica devem considerar a atualização ou desconto dos fluxos. Entre os métodos que descontam fluxos de caixa, dois são os mais 105 PV (conhecido) FV (desconhecido) FV (conhecido) PV (desconhecido) 0 1 2 3 4 5 6 Períodos 10/01 10/02 10/03 10/04 10/05 10/06 10/07 conhecidos e utilizados: o do Valor Presente Líquido (NPV) e o da taxa Interna de Retorno (IRR). 9.1 Análise do Fluxo de Caixa O fluxo de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. A Matemática Financeira, portanto, nos permite comparar fluxos de caixa distintos para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo, investimento ou financiamento. Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de um produto, encontramos diversas alternativas de pagamento nos vários estabelecimentos pesquisados: • somente à vista; • sem entrada + 2, + 3, + 4, + 5, + 6; • com entrada + 1, + 2, + 3, + 4, + 5; • com entrada para daqui a 60 dias e restante em + 4 prestações e assim por diante. Qual a melhor opção? Somente poderemos afirmar a opção mais adequada de compra, se analisarmos cada fluxo de caixa, transformando as propostas em seu valor equivalente à vista. Passaremos a trabalhar com fluxo de caixa contendo diversas entradas e saídas de dinheiro. Para isso, basta que saibamos capitalizar e descapitalizar. Relembrando: • Capitalizar: A partir do Valor Presente (PV) obter o Valor Futuro (FV). 106 PV (conhecido) FV (desconhecido) FV (conhecido) PV (desconhecido) 0 1 2 3 4 5 6 Períodos 10/01 10/02 10/03 10/04 10/05 10/06 10/07 0 1 2 3 4 5 6 Períodos FV’ = ? PV’=? • Descapitalizar: A partir do Valor Futuro (FV) obter o Valor Presente (PV). Exemplo: Considere que você tomou um empréstimo de R$ 1.000,00, no dia 10 de janeiro para pagar após 6 meses, ou seja, no dia 10 de julho, de uma só vez, à taxa de 5% a.m. (capitalizados mensalmente): a) Encontre o valor a ser pago no vencimento (10/07); b) Caso você deseja liquidar antecipadamente a dívida, em 10 de abril, que valor deverá ser pago? Resolução: a) ( ) 1.340,10 $ R FV 05 , 0 1 . 1000 FV 6 · ⇒ + · Note que se trata de capitalização. b) Há duas formas de se encontrar o valor FV’ da dívida em 10 de abril: • capitalizando PV por 3 meses, isto é, de janeiro a abril ou; 107 PV 0 1 2............................. n-1....................n Períodos n ) i 1 ( F V P V + · PV (conhecido) 0 1 2...................n Períodos FV (desconhecido) FV (conhecido) 0 1 2...................n Períodos PV (desconhecido) 0 1 2..................................n Períodos PV FV = ? 0 1 2 3 4 5 6 Períodos 10/01 10/02 10/03 10/04 10/05 10/06 10/07 PV = 1.000,00 i = 5% a.m. 0 1 2 3 4 5 6 Períodos FV’ = ? PV’=? +60.000 0 1 2 • descapitalizando o FV encontrado no item (a) por 3 meses, isto é, voltando de julho para abril. 1º) Capitalizando: ( ) 1.157,63 $ R FV' 05 , 0 1 . 1000 ' FV 3 · ⇒ + · 2º) Descapitalizando: 1.157,63 $ R FV' ) 05 , 0 1 ( 10 , 340 . 1 ' PV 3 · ⇒ + · 9.2 Valor Presente Líquido (NPV) O Valor Presente Líquido é a soma das entradas e saídas, descapitalizadas, uma a uma, até o momento zero. Na HP-12C vem indicada pela sigla NPV. Sejam: PV = investimento inicial (momento “zero”) PMT j = fluxos subseqüentes ao momento “zero” (j = 1, 2, 3,..........,n) ( ) ( ) ( ) , _ ¸ ¸ + + + + + + + − · n n 2 2 1 1 i 1 PMT ......... i 1 PMT i 1 PMT PV NPV Fluxos: a) Fluxo com uma saída (PV) e várias entradas ( 1 PMT , ) PMT ,......, PMT n 2 108 PV 0 1 2............................. n-1....................n Períodos 0 1 2..................................n Períodos PV 0 1 2 3 4 5 6 Períodos FV = 1.340,10 PV = 1.000,00 i = 5% a.m. FV’ = ? PV’=? +60.000 0 1 2 i = 20% a.m. PV -100.000 + 52.083,33 + 50.000,00 b) Fluxo com várias saídas (PV, PMT 2 ,......., 1 n PMT − ) e várias entradas (PMT 1 ,......, ) PMT n n PMT Exemplos: a) Francisco emprestou hoje R$ 100.000,00 a um amigo que lhe prometeu pagar R$ 60.000,00 daqui a um mês e R$ 75.000,00 daqui a dois meses. Sabendo que a taxa de descapitalização/desconto é de 20% a.m., calcule o valor presente líquido. 109 2 PMT PV 1 PMT i = taxa de desconto 0 1 2............................. n-1....................n Períodos 1 n P M T − 0 1 2..................................n Períodos 1 PMT 2 PMT n PMT PV i = taxa de desconto + 2.083,33 0 -100.000 0 1 2 +60.000 1 PMT 2 PMT +75.0000 +60.000 0 1 2 i = 20% a.m. PV -100.000 + 52.083,33 + 50.000,00 15 15 10 Para o emprestador (Francisco), trata-se de um fluxo de caixa constituído de uma saída (100.000,00) e de duas entradas (60.000,00 e 75.000,00) para a data 0 (zero), a uma taxa de 20% a.m.. Lembre-se que: ( ) n i 1 FV PV + · ( ) ( ) 52.083,33 (0) PV 0,2 1 75.000,00 (0) PV 50.000,00 (0) PV 0,2 1 60.000,00 (0) PV 2 2 2 1 1 1 · ⇒ + · · ⇒ + · No gráfico temos: O somatório dos valores presentes nos dá o valor presente líquido, ou seja: ( ) ( ) 2.083,33 R$ NPV 2 , 0 1 00 , 000 . 75 2 , 0 1 00 , 000 . 60 00 , 000 . 100 NPV 2 1 · ⇒ + + + + − · O fluxo de caixa final apresenta-se: 110 0 - 100.000,00 + 2.083,33 0 -100.000 0 1 2 +60.000 + 52.083,33 + 50.000,00 15 15 10 - 10 - 2000 1000 1000 1000 3000 Façamos o mesmo exemplo a calculadora HP-12C: Verifique a existência das teclas azuis (CF 0 ) e (CF j ). (CF 0 ) representa o valor do fluxo de caixa no período zero (-100.000,00), (CF j ) representa o fluxo de caixa num período diferente de zero, quando o j assume os valores de 1 a 20. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 100000 (CHS) (g) (CF 0 ) -100.000,00 Introduz a saída do período 0 (CF 0 ) 60000 (g) (CF j ) 60.000,00 Introduz a entrada do período 1 (CF 1 ) 75000 (g) (CF j ) 75.000,00 Introduz a entrada do período 2 (CF 2 ) 20 (i) 20,00 Introduz a taxa de desconto (f) (NPV) 2.083,33 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) b) Calcule, utilizando a HP-12C, o Valor Presente Líquido (NPV) do diagrama abaixo, considerando i = 10% a.m.. 111 NPV + 2.083,33 0 -100.000 0 1 2 +75.0000 +60.000 2000 1000 i = 20% a.m. 0 1 2 3 4 15 15 10 - 10 - 30 - 2000 1000 1000 1000 3000 TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 30 (CHS) (g) (CF 0 ) -30,00 Introduz a saída do período 0 (CF 0 ) 10 (g) (CF j ) 10,00 Introduz a entrada do período 1 (CF 1 ) 15 (g) (CF j ) 15,00 Introduz a entrada do período 2 (CF 2 ) 10 (CHS) (g) (CF j ) -10,00 Introduz a saída do período 3 (CF 3 ) 15 (g) (CF j ) 15,00 Introduz a entrada do período 4 (CF 4 ) 10 (i) 10,00 Introduz a taxa de desconto (f) (NPV) -5,78 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) c) Calcular o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa a seguir, para uma taxa de juros de 3% a.m.. Observe que no diagrama acima aparecem três entradas iguais e consecutivas (CF 1 , CF 2 e CF 3 ). Neste caso, já que o valor de CF j ocorre mais de uma vez, digita-se (g) (N j ) para informar o número de vezes que ele ocorreu. A capacidade máxima da HP-12C é de 99 linhas de programação, ou seja, podemos utilizar, no máximo 99 vezes a repetição de CFj, digitando-se 99 (g) (Nj) TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 2000 (CHS) (g) (CF 0 ) -2.000,00 Introduz a saída do período 0 (CF 0 ) 1000 (g) (CF j ) 1.000,00 Introduz a entrada do período 1 (CF 1 ) 3 (g) (N j ) 3,00 Número de vezes que a entrada de 1.000,00 se repete, isto é, para os períodos 1, 2, e 3 3000 (g) (CF j ) 3.000,00 Introduz a entrada do período 4 (CF 4 ) 3 (i) 3,00 Introduz a taxa de desconto (f) (NPV) 3.494,07 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) 112 0 1 2 3 4 anos 0 1 2 3 4 anos 400 300 200 100 Empresa A Empresa B 2000 1000 0 1 2 3 anos 0 1 2 3 anos - 2000 1000 1000 1000 3000 0 1 2 3 4 mês 9.3 Taxa Interna de Retorno (IRR) Taxa Interna de Retorno (IRR) é a taxa que torna nulo o Valor Presente Líquido (NPV) de um fluxo de caixa. Exemplos: 1) Suponhamos o seguinte fluxo de caixa: Calcule os NPVs para as seguintes taxas de juros: a) i = 10% a.a. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 4500 (CHS) (g) (CF 0 ) -4.500,00 Insere a saída do período 0 (CF 0 ) 1000 (g) (CF j ) 1.000,00 Insere a entrada do período 1 (CF 1 ) 2000 (g) (CF j ) 2.000,00 Insere a entrada do período 2 (CF 2 ) 3000 (g) (CF j ) 3.000,00 Insere a entrada do período 3 (CF 3 ) 10 (i) 10,00 Insere a taxa de juros (f) (NPV) 315,93 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) b) i = 15% a.a. TECLAS VISOR SIGNIFICADO 15 (i) 15,00 Insere a taxa de juros 113 0 1 2 3 4 anos 0 1 2 3 4 anos 400 300 200 100 Empresa A Empresa B 0 1 2 3 anos 3000 2000 1000 - 4500 0 1 2 3 anos 0 1 2 3 anos 30000 40000 (f) (NPV) -145,60 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) Será que existe uma taxa entre 10% e 15% que torne o Valor Presente Líquido (NPV) igual a zero? Sim. Basta que você pressione as teclas (f) (IRR) e aparecerá no visor o número 13,34. Este número é a taxa que torna o NPV igual a zero, ou seja, é a Taxa Interna de Retorno (IRR). Observações: a) A Taxa Interna de Retorno (IRR) é também chamada de Taxa Efetiva de Rentabilidade e vem indicada pela sigla IRR (Internal Rate of Return). b) Devemos lembrar sempre que o dinheiro tem seu valor no tempo. Veja os fluxos abaixo: 114 - 850 - 850 0 1 2 3 4 anos 0 1 2 3 4 anos 400 400 300 300 200 100 200 100 Empresa A Empresa B NPV = -145,60 0 1 2 3 anos 0 1 2 3 anos NPV = 315,93 i = 10% a.a. i = 15% a.a. 1200 0 1 2 3 4 meses 1080 720 0 1 2 3 meses 30000 40000 Observando os fluxos de caixa acima, qual seria a empresa mais rentável? Esta informação podemos obter, calculando a Taxa Interna de Retorno (IRR) de cada uma delas. Empresa A Empresa B (f) (REG) (f) (REG) 850 (CHS) (g) (CF 0 ) 850 (CHS) (g) (CF 0 ) 100 (g) (CF j ) 400 (g) (CF j ) 200 (g) (CF j ) 300 (g) (CF j ) 300 (g) (CF j ) 200 (g) (CF j ) 400 (g) (CF j ) 100 (g) (CF j ) (f) (IRR) ⇒ 5,62% a.a. (f) (IRR) ⇒ 8,65% a.a. Analisando a Tabela percebemos que a Empresa B apresentou maior rentabilidade. A diferença do fluxo da Empresa A para o fluxo da Empresa B está na ordem dos recebimentos. Como a Empresa B recebe valores maiores primeiro, sua rentabilidade é maior, comprovando que o dinheiro tem seu valor no tempo. 2) Paulo aplicou R$ 50.000,00 para resgatar duas parcelas: R$ 30.000,00 em um mês e R$ 40.000,00 em três meses. Determine a taxa efetiva de rentabilidade deste investimento. 115 1200 0 1 2 3 4 meses 1080 720 0 1 2 3 meses - 50000 30000 40000 Devemos observar que no segundo mês o fluxo de caixa tem valor 0 (zero). TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 50000 (CHS) (g) (CF 0 ) -50.000,00 Insere a saída do período 0 (CF 0 ) 30000 (g) (CF j ) 30.000,00 Insere a entrada do período 1 (CF 1 ) 0 (g) (CF j ) 0,00 Insere a entrada do período 2 (CF 2 ) 40000 (g) (CF j ) 40.000,00 Insere a entrada do período 3 (CF 3 ) (f) (IRR) 17,72 Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR) – Taxa de rentabilidade mensal A Taxa Interna de Retorno (IRR) está armazenada em i. Se pressionarmos (f) (NPV) aparecerá no visor um número aproximadamente igual a zero. Isto era de se esperar, pois IRR é a taxa que torna NPV igual a zero. 3) Bruno fez um investimento com quatro meses de duração, conforme o fluxo de caixa abaixo: 116 1200 0 1 2 3 4 meses - 2000 1080 720 262,62 0 1 2 3 4 5 6 a) Calcule o Valor Presente Líquido para uma taxa de 15% a.m.; TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 2000 (CHS) (g) (CF 0 ) -2.000,00 Insere a saída do período 0 (CF 0 ) 720 (g) (CF j ) 720,00 Insere a entrada do período 1 (CF 1 ) 1080 (g) (CFj) 1.080,00 Insere a entrada do período 2 (CF 2 ) 0 (g) (CFj) 0,00 Insere a entrada do período 3 (CF 3 ) 1200 (g) (CFj) 1.200,00 Insere a entrada do período 4 (CF 4 ) 15 (i) 15,00 Insere a taxa de juros (f) (NPV) 128,83 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) b) Calcule a Taxa Interna de Retorno. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (f) (IRR) 18,12 Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR) Conclusão Importante: Um negócio ou investimento torna-se viável, do ponto de vista financeiro, quando sua Taxa Interna de Retorno (IRR) for maior que a Taxa Média de Atratividade (TMA). A Taxa Média de Atratividade é a média das taxas de retorno de um conjunto de investimentos alternativos que está sendo analisado. As aplicações financeiras existentes no mercado, como: Poupança, RDB/CDB e Fundos de Renda Fixa podem fazer parte de tal conjunto. 9.4 Equivalência de Fluxos de Caixa Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, se existir uma taxa única (IRR) tal que torne seus Valores Presentes Líquidos iguais. Exemplo: Considere os fluxos abaixo, ambos sujeitos à taxa de 2% a.m.: 117 262,62 0 1 2 3 4 5 6 2000 1000 1000 1000 1000 1000 0 1 2 3 4 5 6 meses 3000 Façamos o cálculo do Valor Presente Líquido para cada fluxo: Fluxo I Fluxo II (f) (REG) (f) (REG) 0 (g) (CF 0 ) 0 (g) (CF 0 ) 0 (g) (CF j ) 262,62 (g) (CF j ) 5 (g) (N j ) 4 (g) (N j ) 1126,16 (g) (CF j ) 2 (i) 2 (i) (f) (NPV) ⇒ 1.000,00 (f) (NPV) ⇒ 1.000,00 Observação: É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada. Conclusão: Os dois fluxos de caixa são equivalentes, à taxa de juros de 2% a.m., tendo em vista que os seus valores líquidos são iguais. Exercícios Complementares: 1) Um empréstimo de R$ 1.500,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 300,00, R$ 700,00 e R$ 900,00. Considerando-se a taxa de juros de 7% a.m., calcular o Valor Presente Líquido (NPV) da operação. Resposta: 126,45 118 262,62 0 1 2 3 4 5 6 i = 2% 0 1 2 3 4 5 6 1.126,16 i = 2% 2000 1000 1000 1000 1000 1000 0 1 2 3 4 5 6 meses 3000 2) Calcule o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa abaixo, considerando-se a taxa de juros de 4,5% a.m. Resposta: 8.496,12 3) Um automóvel é financiado em 15 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 1080,00, sendo a primeira após 30 dias. A cada 5 meses a partir da efetivação do negócio, é pago um reforço de R$ 220,00, R$ 320,00 e R$ 420,00, respectivamente. Calcular o valor financiado (NPV), sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira é de 12% a.m.. Resposta: 7.660,33 4) O estudo de viabilidade econômica de um projeto apresentou os seguintes fluxos de caixa (R$ mil): 119 2000 1000 1000 1000 1000 1000 0 1 2 3 4 5 6 meses 3000 ANO RECEBIMENTOS ANUAIS PAGAMENTOS ANUAIS 0 0,00 2.000,00 1 500,00 200,00 2 900,00 500,00 3 1.300,00 350,00 4 2.500,00 700,00 5 3.700,00 1.900,00 TOTAL 8.900,00 5.650,00 Qual a rentabilidade (Taxa Interna de Retorno – IRR) anual desse projeto? Resposta: 30,28% a.a. 5) Verifique se os fluxos de caixa A e B, da tabela a seguir, são equivalentes para a taxa de 5% a.m., no regime de juros compostos: Resposta: Sim MÊS FLUXO A FLUXO B 0 2.177,26 0,00 1 0,00 0,00 2 175,00 391,76 3 175,00 0,00 4 175,00 431,92 5 175,00 0,00 6 175,00 0,00 7 175,00 3.253,96 TOTAL 3.227,26 4.077,64 6) Determine as Taxas Internas de Retorno (IRR) dos fluxos de caixa indicados na tabela a seguir: Respostas: IRR(A)=19,42% a.m. – IRR(B)=5,92% a.m. – IRR(C)=19,71% a.m. 120 0 1 2 3 4 5 anos 100 150 200 100 50 50 50 50 550 MÊS FLUXO A FLUXO B FLUXO C 0 -700,00 -3.050,00 -20.000,00 1 0,00 100,00 5.000,00 2 0,00 300,00 6.000,00 3 0,00 495,00 7.000,00 4 0,00 495,00 8.000,00 5 1.700,00 2.505,00 9.000,00 TOTAL 1.000,00 845,00 15.000,00 7) Uma pessoa aplicou R$ 500.000,00 e recebeu R$ 200.000,00 após 1 mês, R$ 250.000,00 após 2 meses e 300.000,00 após 3 meses. Qual a Taxa Interna de Retorno desse investimento? Resposta: 21,65% a.m. 8) Aplicando R$ 120.000,00 uma pessoa recebe R$ 40.000,00 após 3 meses, R$ 60.000,00 após 5 meses e R$ 90.000,00 após 7 meses. a) Qual a Taxa Interna de Retorno desse investimento? Resposta: 8,85% a.m. b) Supondo que a Taxa Média de Atratividade do investidor seja 6% a.m., verifique se ele deve ser feito. Resposta: Sim 121 0 1 2 3 4 5 anos 100 150 200 100 50 0 1 2 3 4 anos 50 50 50 550 0 45 70 87 195 dias 3000 5.000 2.000 8000 8.000 12.000 22.000 9) Considere o projeto abaixo, em que os dados estão em milhares de dólares: a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 6,97% a.a. b) Verificar se ele deve se aceito, considerando uma Taxa Média de Atratividade de 6% a.a.. Resposta: Sim c) Verificar se ele deve se aceito, considerando uma Taxa Média de Atratividade de 10% a.a.. Resposta: Não 10) Considere o projeto abaixo em que os dados estão em milhares de dólares: 122 0 1 2 3 4 5 anos 100 150 200 100 50 - 500 0 1 2 3 4 anos 50 50 50 550 - 500 0 45 70 87 195 dias 3000 5.000 2.000 8000 0 37 87 237 8.000 12.000 22.000 a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 10% a.a. b) Verifique se ele deve ser aceito, se a Taxa Média de Atratividade for de 6% a.a. Resposta: Sim 11) Qual a Taxa Interna de Retorno do investimento abaixo? Resposta: 0,35% a.d. 12) Considere o fluxo de caixa abaixo em dias. Calcule a Taxa Interna de Retorno. Resposta: 17,84% a.m. 123 0 45 70 87 195 dias 3000 5.000 2.000 8000 - 12.000 0 37 87 237 8.000 12.000 22.000 -20.000 124 Professor Silvio Quintino de Mello SUMÁRIO 1 . MATEMÁTICA FINANCEIRA............................................................................. 1.1 Capital (C)...................................................................................................... 1.2 Juros (j).......................................................................................................... 1.3 Taxa de juros (i)............................................................................................. 1.4 Tempo (n)...................................................................................................... 1.5 Montante (M).................................................................................................. 1.6 Juro Ordinário................................................................................................ 1.7 Juro Exato...................................................................................................... 1.8 Regulamentação das operações de Aplicações e Empréstimos................... 1.9 Regimes de Capitalização............................................................................. 1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa........................................................................ 04 04 04 04 05 05 05 05 05 06 07 09 10 10 22 23 23 24 24 24 24 26 35 35 35 36 37 48 49 49 2 2 JUROS SIMPLES................................................................................................ 2.1 Fórmulas Derivadas....................................................................................... 2.2 Montante (M)................................................................................................. 2.3 Juros Simples pela HP-12C: INT................................................................... 3 JUROS COMPOSTOS......................................................................................... 3.1 Montante (M).................................................................................................. 3.2 Capital (C)...................................................................................................... 3.3 Juros Compostos (jc)...................................................................................... 3.4 Taxa de Juros Compostos (i)......................................................................... 3.5 Tempo (n)....................................................................................................... 3.6 Juros Compostos pela HP-12C...................................................................... 4 DESCONTO......................................................................................................... 4.1 Desconto Simples........................................................................................... 4.1.1 Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro (Dd)................... 4.1.2 Desconto Comercial Simples ou Desconto por Fora (Df)...................... 4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros (i).......................... 4.2 Desconto Composto....................................................................................... 4.2.1 Valor do Desconto Composto (DC)....................................................... 4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d)........................................................... 4.2.3 Tempo (n).............................................................................................. 4.2.4 Taxas Equivalentes............................................................................... 5 TAXAS DE JUROS 5.1 Taxa Efetiva.................................................................................................... 5.2 Taxas Proporcionais....................................................................................... 5.3 Taxas Equivalentes........................................................................................ 5.4 Taxa Nominal................................................................................................. 5.5 Taxa Over....................................................................................................... 5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida............................................................................. 5.6 Taxa Aparente e Taxa Real............................................................................ 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS.................................. 6.1Equivalência de dois Capitais........................................................................... 6.2 Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais............................ 6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes.................................................................. 7 RENDAS (ANUIDADES)....................................................................................... 7.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos................................... 7.1.1 Classificação das Séries Uniformes....................................................... 7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas..................................................... 7.2.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Postecipado)...................................... 7.2.2 Cálculo de Valor Futuro - FV (Postecipado)........................................... 7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas........................................................ 7.3.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Antecipado)........................................ 7.3.2 Cálculo de Valor Futuro - FV (Antecipado)............................................. 7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais..................................................... 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS.................................................................. 8.1 Sistema de Amortizações Constantes – SAC................................................. 8.2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE..................................... 8.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE....................................... 8.2.2 Sistema PRICE pela HP-12C................................................................. 8.3 Sistema de Amortização Americano – SAA.................................................... 9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO............................................................................. 9.1 Análise do Fluxo de Caixa............................................................................... 9.2 Valor Presente Líquido (NPV)......................................................................... 9.3 Taxa Interna de Retorno (IRR)........................................................................ 9.4 Equivalência de Fluxos de Caixa.................................................................... 49 50 57 57 57 58 61 62 62 63 69 69 70 71 78 78 78 79 79 80 80 80 80 84 91 91 94 95 96 98 107 107 109 114 119 3 1 Capital (C) O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. 1. sem o símbolo %: Exemplos: 0.2 Juros (j) Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado. Ela vem normalmente expressa na forma percentual. e ainda. em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento.m. Valor Presente ou Valor Aplicado. 1.1. Também conhecido como: Principal. (ao mês).t. que pode ser definido como o custo do empréstimo para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador.15 a. De uma forma simplificada. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. (ao ano). surge o conceito de juro.3 Taxa de juros (i) A taxa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado. 4 . durante um certo tempo. MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. (ao trimestre). A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes: • Taxa percentual: Exemplos: 8 % a. em seguida da especificação do período de tempo a que se refere. 10 % a. podemos dizer que juro é o aluguel pago pelo uso de um dinheiro.a. Valor Atual. 1. • Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 100. para um determinado período. trimestre. etc. ano. tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias.4 Tempo (n) Representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos.. Obs. etc. que capta recursos empresta de outro.0.. A capitalização é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição. mês.q.). tomando-se por base o tempo comercial (mês de 30 dias.6 Juro ordinário É o juro calculado.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP–12 C as taxas devem ser introduzidas sob a forma percentual. 1. semestre. Da mesma forma.8 Regulamentação das operações de Aplicação e Empréstimos As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira. Deve sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia. por exemplo.). etc. caso contrário. (ao quadrimestre).7 Juro Exato É o juro calculado.). 1.5 Montante (M) É a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital. M=j+C 1. ano de 360 dias.10 a. devemos expressar as taxas na forma unitária. na utilização de fórmulas matemáticas. os 5 de um lado e os .. setembro 30 dias. o CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros... 1. a Caderneta de Poupança. março 31 dias. São várias as opções de aplicações (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem a sua disposição.. 1. ou seja. tomadores de empréstimos têm as várias opções de financiamento (instrumentos) cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. o Governo tem uma grande influência. somente o capital aplicado é que rende juros.00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 % a. . Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis. etc. . Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um importante papel na intermediação financeira. 1. Nesta modalidade os juros são pagos somente no final da operação.. 6 .300.00. chamadas regimes de capitalização. em regime de juros simples. cobrando impostos. a uma certa taxa por período. comprando ou vendendo títulos públicos. Temos o regime de capitalização simples ou juros simples e o regime de capitalização composta ou juros compostos.9 Regimes de Capitalização Quando um capital é aplicado por vários períodos. Na determinação das taxas de juros. o investidor é remunerado (quando um investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo número de cotas deste fundo. no qual o aplicador visa o recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria. o montante poderá crescer de acordo com duas convenções.. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados e ações. e o montante após 3 anos foi de R$ 1. 100 1000 100 100 1300 0 1 2 3 (anos) Portanto. e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). quer seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras. a) Regime de Capitalização Simples ou Juros Simples Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa.000. Da mesma forma ocorre com os fundos de previdência e pensão.a. Exemplo: Um capital de R$ 1. a representação gráfica de uma situação financeira.00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 % a.. . representando as saídas de dinheiro ou pagamentos. Neste gráfico é representado o conjunto de todas as entradas e saídas de dinheiro ao longo de um determinado tempo. Exemplo: Um capital de R$ 1. Um diagrama de fluxo de caixa.. de um investimento.331. seja de uma empresa. etc.10 Diagrama de Fluxo de Caixa Um diagrama de fluxo de caixa é. o juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte e o montante após 3 anos foi de R$ 1. de uma pessoa. na maioria das vezes. simplesmente. é representado da seguinte forma: • • • Uma reta horizontal onde são colocados. de um empréstimo. O juro do 2º período se agrega a M1 dando o montante M2. . 7 . apontadas para cima e com sinal positivo. Flechas verticais. apontadas para baixo e com sinal negativo. Flechas verticais. em regime de juros compostos. representando as entradas de dinheiro ou recebimentos.a. O juro do 3º período se agrega a M2 dando o montante M3. 100 1000 0 1 110 2 121 1331 3 (anos) Portanto. em escala.00.000.b) Regime de Capitalização Composta ou Juros Compostos Neste caso. os períodos de tempo onde houve ou haverá movimentação financeira. o juro do 1º período se agrega ao capital dando o montante M 1. 1. se financiado. é indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de cálculo serão sempre os mesmos. 8 .00 à vista ou. b) Como podemos ver.Exemplo: Um produto custa R$ 300.300 . 150 150 150 300 VENDEDOR COMPRADOR -150 . três prestações mensais de R$ 150.150 -150 Observações.00 sem entrada.: a) A diferença entre a soma das prestações e o valor à vista do produto correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento. da mesma forma 120% ao ano corresponde a 10% ao mês. ou seja. 1% ao dia corresponde a 30% ao mês.n OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1) Na utilização da expressão acima devemos tomar o cuidado de: • • Utilizar sempre a taxa unitária. Então: j=C. os juros são calculados sempre sobre o capital inicialmente empregado. Juro (j) é diretamente proporcional ao tempo (n). ao final de cada período de capitalização. Juro (j) é diretamente proporcional a taxa (i). convém não nos valermos desta proporcionalidade uma vez que no regime de capitalização composta ela não existe. • 15 dias correspondem a: 15 15 15 30 de um mês comercial de um ano comercial de um ano exato 360 365 • 20 dias correspondem a: 20 20 90 180 de um trimestre comercial de um semestre comercial 9 . Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual está associada à taxa. 2) Embora no regime de capitalização simples a taxa seja diretamente proporcional ao tempo. Sabemos que: • • • Juro (j) é diretamente proporcional ao capital (C). JUROS SIMPLES Juros simples ou regime de capitalização simples é o regime no qual. Para deixarmos o tempo e a taxa expressos na mesma unidade é aconselhável transformar o tempo.i.2. calcula somente juros simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. M = C(1 + in) Obs.• 8 meses correspondem a: 8 8 12 6 de um ano comercial de um semestre comercial 240 dias • 3 meses e 20 dias correspondem a:110 110 30 de um mês comercial de um ano comercial 360 2.n n= j C.2 Montante (M) O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital pode ser expresso por: M=C+j como j = Cin . n C= j i.i 2. nos utilizarmos somente das fórmulas matemáticas. 10 .: A calculadora HP-12C. i . ou seja. mais fácil. É portanto.n i= j C. temos que M = C + Cin.1 Fórmulas derivadas da expressão j = C . através de suas teclas financeiras. 2 ⇒ 600 = 0.00 aplicado a uma taxa de 20% ao trimestre.2 .s M = R$ 1.00 j = Cin ⇒ 600 = C . Solução: C=? i = 20% a.00 i = 20% a. 4 meses e 17 dias. 497 90 ⇒ j = R$ 994.00.500.21 Exercícios: 11 . 8 6 ( ) ⇒ C= 1500 1 + 0.500.00 b) Determine o capital que aplicado a uma taxa de 30% ao trimestre rendeu após 6 meses um juro de R$ 600. durante 1 ano.3 .2. após 8 meses. 0. 8 6 ⇒ C = R$ 1.00 c) Determine o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao semestre produziu um montante de R$ 1.3 a. 0.2 a.2.000.184. 4 meses e 17 dias ⇒ n = 497 dias ⇒ n = 497 90 trimestres j = Cin ⇒ j = 900 .Exemplos: a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900.s ⇒ i = 0.00 n = 8 meses ⇒ n = 8 6 semestres M = C(1 + in) ⇒ 1500 = C 1+ 0. Solução: j=? C = R$ 900.t ⇒ i = 0.t ⇒ i = 0.2 a.t n = 6 meses ⇒ n = 2 trimestres j = R$ 600. Solução: C=? i = 30% a.t n = 1 ano.00.6 C ⇒ C = R$ 1. 00 é aplicado a juros simples. 2) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.00? 12 .000. Sabendo-se que o imposto pago é no resgate. à taxa de 8% a.000.00 no prazo de 5 meses. durante 1 ano e meio.s. .1) Um capital de R$ 7. rende juros simples à taxa de 22% a. b) o montante.000. se a taxa for de 2% a.m? 3) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses.500. Determine: a) os juros.00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$ 9. pergunta-se: a) Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.a e paga imposto de renda igual a 20% do juro. ? Resposta: $21.a.00 a juros simples.333.000. Qual o montante? Resposta: $1. a juros simples e à taxa de 42% a.Exercícios Complementares: 1) Qual o montante de uma aplicação de $16.a. durante 5 meses.33 2) Um capital de $1. à taxa de 80% a.m.00 de juros.000.00 foi aplicado por 2 meses.070..00 a juros simples.000.00 3) Bruno aplicou $30.000. pelo prazo de 6 meses. 13 . e recebeu $9. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a. 00 a juros simples e à taxa de 10% a. Resposta: 6 anos 5) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1.00 a juros simples e à taxa de 12% a.00. Resposta: 4 anos 14 . Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.00 de juros. obtenha o prazo da aplicação.... o montante recebido foi de $4.m.00 6) Mara aplicou $800. Determine o prazo da aplicação.000. Se ela recebeu $384.a. Resposta: $360.8% a. pelo prazo de 4 meses.800.360.00.4) Numa aplicação de $3.a. 7) Uma geladeira é vendida à vista por $1. 8) Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.00 dois meses após a compra.m.00 ou então à prazo com $450.00 após 4 meses.57% a.m. 15 .150.200.400.00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.00 de entrada mais uma parcela de $1.500. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3.99% a. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5. aplicado a juros simples durante 16 meses. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital. para dar o mesmo juro. sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses 16 . para que duplique? Resposta: 12. rendeu determinado juro. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses 11) Um determinado capital.9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.5 anos 10) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m.a. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses 13) Dois capitais.a.857.m. aplicado à taxa de 10% a. 17 . sendo o primeiro à taxa de 168% a.100.00 menos que o primeiro? Resposta: 12% a.000. foram aplicados numa mesma data.00 e o segundo igual a $500.a.00. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo. um de $200. o primeiro igual a $1..00. e o segundo à de 120% a..00 e outro de $222.12) Dois capitais. estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. rendeu $246. a juros simples.m. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. vende o estoque por $2. o restante foi dividido em duas partes iguais. 15) Um fazendeiro possui um estoque de 1..000 sacas de café e.050. aplicadas por um ano.a. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.a.. recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.00 por saca.00 18 . calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria.m. na expectativa de alta de preço do produto.400. forçado pelas circunstâncias.000.00 a saca. sendo a primeira à taxa de 28% a. durante um ano. Resposta: 30% a. utilizando o regime de capitalização simples.14) Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a. e a segunda à 32% a. Resposta: $1.a. Três meses mais tarde.000.. .16) Um produtor de milho.000 sacas.00 a saca.m. no regime de juros simples.00. calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor. recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5. vende o estoque por $12.000. Calcule o valor do capital inicial aplicado.00 19 .125. possuidor de um estoque de 30. utilizando o regime de juros simples..000. Findo esse prazo.m.000. o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.00 17) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a. na expectativa de alta do preço do produto. Resposta: $250. Seis meses mais tarde. sabendo-se que o montante final recebido foi de $1.m. Resposta: Lucro de $102.00 por saca. 500.80 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3..00? Resposta: $4.m.92 19)Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses.450. rende juros simples à taxa de 1. porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.704.00? Resposta: $3.000.862.000.a.8% a.172.18) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.00? Resposta: $10. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $12. rende juros simples à taxa de 22% a. porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.600.00 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $11.72 20 ..00? Resposta: $12. 20) Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: $782,61 e $417,39 21) Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m.. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $1.824,00. Resposta: $1.800,00 e $1.200,00 21 2.3 Juros Simples pela HP-12C: (INT) Tem uma utilização extremamente limitada. Resolve problemas de juros e montantes, em regime de capitalização simples, quando são informados o valor do capital, a taxa anual de juros (ano de 360 dias) e o prazo em dias. Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 200.000,00 aplicado a uma taxa de 150% ao ano, por 218 dias. TECLAS 200000 (CHS) (PV) 150 (i) 218 (n) (f) (i) (+) VISOR -200.000,00 150,00 218,00 181.666,67 381.666,67 SIGNIFICADO Introduz o valor do capital Introduz a taxa anual Introduz o prazo Calcula os juros Calcula o montante 3. JUROS COMPOSTOS 22 Juros compostos ou regime de capitalização composta ocorre quando os juros gerados em cada período se agregam ao montante do início do período, passando este novo montante a produzir juros no período seguinte. 3.1 Montante (M) Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa) MONTANTES C 0 M1 1 M2 ......................................................Mn 2......................................................... n PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO • Montante após o 1º período: M1 = C + j1 ⇒ j1 = C . i . 1 ⇒ M1 = C + Ci ⇒ M1 = C(1 + i) (1) • Montante após o 2º período: M2 = M1 + j2 ⇒ j2 = M1 . i . 1 ⇒ M2 = M1 + M1 i ⇒ M2 = M1(1 + i) (2) Substituindo o valor de M1 de (1) em (2) temos que: M2 = C(1 + i) . (1 +i) ⇒ M2 = C(1 + i) 2 É fácil perceber, por generalização, que após “n” períodos, o montante será dado por: Mn = C(1 + i) 3.2 Capital (C) n ou simplesmente: M = C(1 + i) n 23 m M = R$ 3. após um ano? Solução: C=? i = 0.500.025 a.5 Tempo (n) M = C(1 + i) n ⇒ M n = (1 + i) ⇒ C M log  = n. log(1 + i) C M ln  C n=   ln(1 + i) M log  C n= log(1 + i) ou Exemplos: a) Qual o capital que. aplicado a juros compostos.4 Taxa de Juro Composto (i) M = C(1 + i) M n = (1 + i) C M   C 1 n n ⇒ ⇒ = 1+ i ⇒ M i=   C 1 n −1 3.500.5% a.m produz um montante de R$ 3.3 Juro Composto (jc) M = C + jc ⇒ jc = M − C ⇒ jc = C(1 + i) − C n ⇒ jc = C (1 + i) − 1 n [ ] 3. à taxa de 2.00 n = 1 ano ⇒ n = 12 meses 24 .M = C(1 + i) n ⇒ C= (1 + i) n M 3.00. 0211 ⇒ i = 2.610. Pergunta-se: a) Qual o montante? b) Qual o total dos juros auferidos? 1 n 1 4 −1 ⇒  6000  i=    5520  −1 ⇒ i = 0.520. gerou um montante de R$ 6.000. Calcule a taxa mensal de juros da operação.m 2) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.a para dar um montante de R$ 1.000. 25 .6 Juros Compostos pela HP-12C: Na HP-12C. os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras (n).000. à taxa de 2% a.00 n = 4 meses M i=   C Exercícios: 1) Um capital de R$ 6. (i).m. à taxa de 10% a. (PV) e (FV). aplicado a juros compostos.602.45 b) Um capital de R$ 5. após 4 meses.000.00.11% a.520.00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses.C= (1 + i ) M n ⇒ C= (1 + 0.51? 3.025 )12 3500 ⇒ C = R$ 2.00 deve ser aplicado a juros compostos.00 M = R$ 6. Solução: i=? C = R$ 5.00. você deverá adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir: (STO) (EEX).000.156.000.38 -500.00 foi aplicado a uma taxa de 15% a.000.38 SIGNIFICADO Introduz o valor do capital Introduz a taxa Introduz o prazo Calcula o montante Para apurar o valor dos juros compostos basta operar FV – PV.38 SIGNIFICADO Chama o FV Chama o PV Calcula os juros 26 .00 656.530. Para isso.m.00 6. A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseado no fluxo de caixa. Exemplo: Um capital de R$ 500. É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação “C” no visor. simplificando a solução de muitos problemas no mercado financeiro.00 15. TECLAS 500000 (CHS) (PV) 15 (i) 6 (n) (FV) VISOR -500. devemos introduzir o valor de (PV) negativo a fim de alcançarmos um resultado (FV) positivo.530.530. Determine os juros e o montante no final de 6 meses.A unidade de tempo utilizada para o período deve ser a mesma da taxa de juros.00 1. 2) A calculadora HP-12C trabalha também com período “n” fracionário. anunciando que a máquina está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e fracionários. Note que aparecerá no visor a letra “C”. TECLAS (RCL) (FV) (RCL) (PV) (+) Observações: 1) Na solução de problemas de juros compostos através da HP-12C. aproveitando os dados já armazenados na calculadora. ou seja. com (PV) e (FV) de sinais contrários.156. Exemplo: VISOR 1. com os mesmos dados do problema.000.00 26. porém a calculadora arredonda-o para o inteiro imediatamente superior (3. vamos transformar 75 dias em meses. a uma taxa de 26% a.435. a HP calcularia. vamos calcular o prazo “n” na HP-12C: TECLAS VISOR SIGNIFICADO 800000 (CHS) (PV) -800.661.5 meses 30 VISOR -800.425.5 meses n= ln (1 + i) ln (1 + 0. pelo prazo de 75 dias. Considerando o exemplo anterior.26 Introduz o montante (n) 3.00 Introduz a taxa 1425661. o que não é verdadeiro.26 SIGNIFICADO Introduz o valor do capital Introduz a taxa Introduz o prazo Calcula o montante TECLAS 800000 (CHS) (PV) 26 (i) 2.661. Alves Ltda.m.5 (n) (FV) Se a letra “C” não estivesse no visor.00 Calcula o prazo O resultado acima revela uma limitação da HP-12C: o cálculo do prazo por intermédio da tecla (n) é sempre um número inteiro. Contudo. se necessitar.00 Introduz o valor do capital 26 (i) 26.26 (FV) 1.26  ln  ln     PV  ⇒ n =  800000  ⇒ n = ln 1. n= 75 ⇒ n = 2. juros compostos.190.40.00).50 1. • A fim de compatibilizar as unidades de “n” e “i”. use a fórmula:  FV   1425661.00 2. juros simples e.00. formalizou uma operação de capital de giro de R$ 800.78 ⇒ n = 2.A empresa J. no período fracionário (15dias).000.000. considerando que os juros são capitalizados no final de cada mês.26) ln 1. Determine o montante a pagar no vencimento. resultando em R$ 1. no período inteiro.26 Exercícios Complementares: 27 .425. A resposta correta é n = 2.5. 7% a. Resposta: $3.m. durante um ano e meio.? Resposta: $56.12 2) Obtenha o montante das aplicações abaixo.00 $65. 3% a.56 Resposta: a)$147.000. à taxa de 2.00 3) Um capital de $7. à taxa de 2% a.61 28 .000.000.525.00 foi aplicado a juros compostos. pelo prazo de 6 meses.t. b)$92.968. considerando o regime de juros compostos: a) b) c) Capital $80.1) Qual o montante de uma aplicação de $50.674..308.00 Taxa 36% a.00 a juros compostos.46 Prazo 2 anos 1 ano 1 ano e meio c)$52.000.917.m.5% a.m. Calcule os juros auferidos no período.00 $35.a.000. 00 daqui a 3 meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 2.m.000.500.6% a.00 e aplicará $12.626.. aplicado a juros compostos.000.54 5) Qual capital que. 29 . Qual a taxa mensal? Resposta: 1.4) Uma pessoa aplica hoje $4.217. produz um montante de $175.00? Resposta: $74.00. durante 10 meses.000.000. gerando um montante de $3.55% a.m. durante 9 anos.00 foi aplicado a juros compostos. à taxa de 10% a.08 6) Um capital de $3.a. Qual seu montante daqui a 6 meses? Resposta: $17. 30 . mais uma parcela de $550.22% a.18% a. 8) Um capital foi aplicado a juros compostos.t.7) Um capital foi aplicado a juros compostos.m.04% a. rendendo um juro igual ao capital aplicado. ou então à prazo.00 dois meses após a compra. rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. sendo 20% do preço à vista como entrada.m. Qual a taxa mensal desta aplicação? Resposta: 7. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 7. durante 9 meses. durante 10 meses. 9) Um fogão é vendido à vista por $600. Qual a taxa trimestral da aplicação? Resposta: 44.00. 10) Durante quanto tempo um capital de $5. para que duplique? Resposta: 31.00? Resposta: 8 meses 11) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos.m.000. à taxa de 1.767.85 meses 31 .2% a.8% a.00 deve ser aplicado a juros compostos.. para gerar um montante de $5.m. à taxa de 2. 12) Alberto aplicou $6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.. a) Qual o montante? Resposta: $7.440,00 b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? Resposta: 1,81% a.m. c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? Resposta: 11,36% a.s. 13) Gisele aplicou $6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,5% a.m.. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os montantes resultantes foram iguais. Resposta: $2.955,78 e $3.044,22 32 14) Aplique hoje $55.000,00 e receba após 6 meses $60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos? Resposta:1,46% a.m. 15) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por $800,00. Estando o aparelho em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros compostos. Resposta: $900,93 16) Uma empresa vende um componente eletrônico por $200,00 a unidade, sendo o pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é 33 $192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 2,06% a.m. 17) Uma pessoa colocou 2/5 do seu capital a 2% ao mês e o restante, a 3% ao mês. Ao final de 18 meses retirou o montante de $31.855,17. Qual foi o capital aplicado? Resposta: $20.000,00 4. DESCONTO Quando uma empresa vende um produto a prazo emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor necessite de dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para vencimento dentro de 2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R$ 200,00. 34 1.4.1.d.n ⇒ Dd = 1442.PV ⇒ Dd = PV + PV.03 a. n ⇒ FV = PV(1 + i.d.n) ⇒ PV = antes do seu vencimento. o valor do desconto é a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente calculado a juros simples.03. sendo “n” o prazo de vencimento do título e “d” a taxa de desconto utilizada na operação.31 40 ⇒ Dd = R$ 57.d. à taxa de 3% ao mês? Dd=? FV=1500 n=40 dias ⇒ n = d=0.2 Desconto comercial simples ou Desconto por fora (Df) 35 . n 4.00.31.n ⇒ FV = PV (1 + d.1 Desconto racional simples ou Desconto por dentro (Dd) Nesta modalidade.0.1 Desconto Simples • • Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) é o valor de uma dívida na data de seu vencimento.n) . 40 meses 30 PV = 1500 40 1 + 0.69 30 Dd = PV.PV ⇒ Dd = PV (1 + d. Dd = FV .n FV 1 + dn Exemplo: Qual o desconto por dentro de um título de R$ 1. FV = PV + PV . i .n − PV ⇒ Dd = PV. descontado 40 dias FV = PV + Dd ⇒ FV = PV + PV .n) ⇒ PV = FV 1+ i .d.03.m. 30 ⇒ PV = 1442.500. 4. Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) é o valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. 00 b) O valor líquido recebido pela empresa. O desconto comercial ou desconto por fora é chamado também de Desconto Bancário.025. • • • • Valor Futuro (FV): valor escrito no título.00 .00 foi descontada num banco 2 meses antes do vencimento.m.2 ⇒ Df = R$900.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros simples (i) Supondo que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i).FV. Valor Presente (PV): valor líquido do título antes do vencimento. d . Taxa de desconto (d) Df = FV .100. a uma taxa de desconto comercial de 2. Tempo (n). d .5% a.n ⇒ PV = FV (1 . FV > PV.000. temos então: 36 . 4.1.n) ⇒ FV = Exemplo: Uma duplicata de R$ 18.. Calcule: a) O valor do desconto.d.d.0. o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor futuro (FV) pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título.dn PV = FV − Df ⇒ PV = FV . n PV 1 .Nesta modalidade. n ⇒ Df = 18000 . PV = FV − Df ⇒ PV = 18000 − 900 ⇒ PV = R$17. Df = FV . din) = 0 i – d .2857 a.d .a.3.57 a. 37 . Que taxa de descontos deverá praticar para 2 meses de antecipação? i = 0. 12 d= i ⇒ d= 1 + in ⇒ d = 0.dn) ⇒ i= d 1 − dn d= i 1 + i.a.d.a. ⇒ d = 28.n Exemplo: Um banco deseja ganhar 30% a.n i= d 1 .3 a.din) = 0 n=0 n(i . n = 2 meses ⇒ n = 2 anos 12 0.a.(1 + in) FV FV (1 − dn) = 1 + in 1 FV = FV (1 + in − dn − din 2 ) FV = 1 + in − dn − din2 FV 1 = 1 + in − dn − din2 ⇒ 1 + in − dn − din2 − 1 = 0 ⇒ in − dn − din2 = 0 ⇒ n(i . de juros simples no desconto de títulos.d .din ⇒ d = i(1 .din = 0 i = d + din ⇒ i = d(1 + in) ⇒ d = i 1 + in − d = −i + din ⇒ d = i .3 2 1 + 0.PV = FV 1 + in PV = FV(1 − dn) FV = FV (1 − dn). 00 é descontada 4 meses antes do seu vencimento.000.00 e com vencimento para 180 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% ao ano.000. calcular o valor do desconto nas modalidades de desconto racional e desconto comercial.Exercícios: 1) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial 25 dias antes do vencimento. 38 . qual a taxa mensal de juros para o tomador? 2) Uma duplicata de R$ 180. 3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre. a taxa praticada foi de 3% ao mês. 00.00 b) Qual o valor líquido recebido pela empresa. 40 dias antes do vencimento.9% a.00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento.920. sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título? Resposta: $86. a) Qual o desconto bancário? Resposta: $3. 2) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $90.00 b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: $18. a uma taxa de desconto comercial de 1. a uma taxa de desconto bancário de 30% a.000.00 c) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? Resposta: 1.000.Exercícios Complementares: 1) Uma promissória de $20.8% a.m..a.080.00 39 .m.100. a) Qual o desconto comercial? Resposta: $1.000. um título sofreu um desconto de $15.000. sendo a taxa igual a 25% a. 4) Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.3) Um título governamental com valor de face de $100.89 b) Qual a taxa efetiva de juros anual proporcionada pela aplicação? Resposta: 26.a.138.000.a. a) Qual o preço da aquisição? Resposta: $95.00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples.. Resposta: $15.750.27% a.00 40 .00. calcular o valor do desconto.a. Caso o título fosse descontado comercialmente.. foi descontado num banco à taxa de desconto comercial de 1.. 6) Uma empresa descontou uma duplicata de $12.8% a.57% a.500.000. sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $3. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $11.. obtenha o prazo de vencimento deste título.000. Calcule o valor de face do título.a. 45 dias antes do vencimento.00 foi descontada em um banco.720. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2.500.m. calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação.00.2% a.00.5) Um banco deseja ganhar 30% ao ano de juros simples no desconto de títulos.m. Resposta: 1. Que taxa de desconto deverá praticar para 2 meses de antecipação? Resposta: 28.00 e que o banco 41 . Resposta: 85 dias 8) Uma duplicata. proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $7.56% a.00.m. 7) Uma duplicata de $8. cujo prazo até o vencimento era de 90 dias. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada comercialmente? Resposta: $1. aplicado sobre o valor nominal do título.cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título.m.5% a.900 descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento teve um desconto de $989. a uma taxa de desconto comercial de 3.20 42 .0041% ao dia.00.006.30 10) Uma duplicata de $55. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa. considerando que esta pagou um imposto na data de operação (imposto sobre operações financeiras) igual a 0. Resposta: $13.000.739.786.. 67 dias antes de seu vencimento. Resposta: $3.32 9) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de $15. m.500. Resposta: 6.00 uma empresa juntou um cheque de $266. para pagamento daqui a 3 meses.055.m.11) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial.00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $980. qual o valor da promissória que ele deverá assinar? Resposta: $7. a 25 dias do vencimento.00. qual o custo mensal real para o tomador? Resposta: 3. 13) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. e entrega ao cliente o valor líquido.000. a taxa praticada foi de 3% ao mês. o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a. Em seguida.00.m.000.500. 12) Para pagar uma dívida de $1.55 43 .5% a. Se uma pessoa precisar hoje de $7. três meses antes do vencimento.954. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada.08% a. 15) Uma Nota Promissória com valor nominal de $2. teve uma redução comercial de $50.00. 16) Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos do desconto comercial..m.m. considerando-se uma taxa de 40% ao ano em ambos os descontos? Resposta: 10 meses 44 . se os prazos de vencimento forem: a) um mês.8% a. Qual a taxa de desconto empregada? Resposta: 28.53% a.00.m. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal.500.09% a. Resposta: 3. c) cinco meses. paga em 25 dias antes do seu vencimento.19% a.m. Resposta: 3. b) dois meses: Resposta: 3.a.14) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a. se os prazos de vencimento forem: a)um mês.1% a. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A 18) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva mensal de juros simples de 3% a. necessitando de capital de giro.m.5% a. Resposta: 2. 45 . Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. sem taxa de serviço.8% do valor do título.17) Uma empresa. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2.91% a.m. o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3. b)três meses.75% a. decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento.m. que taxa mensal de desconto comercial deverá cobrar. em operações de desconto de duplicatas.m. Resposta: 2.m. mais uma taxa de serviço igual a 0. 19) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $89. Qual o valor nominal do título? Resposta: $12.000.17.93% a.83% a. c)25 dias.m. se os prazos de vencimento forem: a)1 mês.m. Resposta: 2.m. Resposta: 2.75% a.m. em operações de desconto de duplicatas. b)3 meses.m. 46 .00 20) Para promissórias com prazo de vencimento de 2 meses. 21) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva mensal de juros simples igual a 3% a. indique a taxa mensal de desconto comercial que deverá ser utilizada. Resposta: 2. qual a taxa mensal de desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período? Resposta: 2.91% a. sendo o prazo de antecipação de 90 dias e a taxa de 36% ao ano. 4. desconto para pagamento à vista.22) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para pagamento. a taxa de desconto utilizada é a taxa do período.11% a.p. • Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) 47 . Se o cliente optar pelo pagamento à vista.2 Desconto Composto A idéia de desconto composto guarda analogia com a de desconto simples. Por esta razão. Existem duas modalidades de desconto composto. 23) Um desconto de 20% para pagamento à vista. corresponde a que taxa efetiva de juros no período? Resposta: 25% a. Resposta: 11. receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal da compra. vamos nos restringir ao desconto racional. o racional e o comercial.p. isto é. Contrariamente ao que ocorre no caso do desconto simples aqui o desconto racional é muito mais usado que o comercial. Desconto racional ou desconto por dentro é a diferença entre o valor futuro e o valor presente de um documento financeiro. de um produto cujo preço é dado para pagamento em 4 meses. neste caso. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (Nesse tipo de situação. nos três meses). cujo compromisso foi saldado antes do vencimento.(1 + d)n Logo: • Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) É o valor do resgate. i) n onde M = Valor Futuro C = Valor Presente i = d (taxa de desconto) n = período de antecipação FV = PV. valor líquido. Para calcularmos o Valor Futuro usaremos a fórmula do Montante Composto.2.(1 + d)n ⇒ PV = 4. DC = FV − PV DC = FV − FV (1 + d)n ⇒  1  DC = FV.É o valor de face do documento. FV (1 + d)n FV = PV. valor presente de um título resgatado ou descontado antes do seu vencimento. M = C.1 n  (1 + d)  48 .(1.1 Valor do Desconto Composto: DC É a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente. (1 + i 2 ) n 2 e.2. Assim. (1 + i1 ) n1 = (1 + i 2 ) n2 49 .   PV  n= ln .(1 + i1 ) n1 = C.2 Taxa de Desconto Composto (d) 1 n 1 n FV = PV (1 + d) n FV ⇒ = (1 + d)n PV ⇒  FV     PV  1 = (1 + d) 1 . portanto. aplicadas num mesmo capital e durante o mesmo prazo.(1 + d) Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando.4.2.   PV  n= log . produzem montantes iguais.3 Tempo (n) FV = (1 + d)n PV  FV  ⇒ log  = n. então deveremos ter: C. se " i1" e " i2 " forem as taxas e " n1" e " n2 " o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas.2.n n ⇒  FV     PV  = 1+ d  FV  n d=  −1  PV  4.4 Taxas Equivalentes ou  FV  ln.(1 + d) 4. log(1 + d)  PV  FV = PV (1 + d)n ⇒  FV  n log  = log(1 + d)  PV   FV  log . Exemplo: Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.Exemplificando: Em juros compostos.00 Exercícios: 50 . PV = (1 + d) FV n ⇒ PV = 16504.2682 ⇒ i1 = 0.02)12 ⇒ 1 + i1 = 1.4641)1 ⇒ (1 + d1 ) 4 = (1. n2 = 1 ano 1 .a.1)3 ⇒ PV = R$ 12.504.82% a. d2 = 0.4 (1 + 0. PV = ? d1 = ? (a.a.504.1 ⇒ d1 = 1. ⇒ n2 = 12 meses (1 + i1 )n1 = (1 + i2 )n 2 ⇒ (1 + i1 )1 = (1 + 0.m.t. capitalizável trimestralmente? Resolução: FV = 16.4641 a.) n1 = 4 trim.4 1 (1 + d1 )n1 = (1 + d2 )n 2 ⇒ (1 + d1 )4 = (1 + 0.40 n = 9 meses ⇒ n = 3 trimestres d = 0.400.? Resolução: Chamamos " i1" a taxa procurada e " i2 " a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de 1 ano teremos então: i1 = ? ( taxa anual) n1 = 1 ano i2 = 2% a.41% a. qual a taxa anual equivalente a 2% a.4641) 4 1 + d1 = 1.t.40 vencível daqui a 9 meses.2682 ⇒ i1 = 26.m..02 a.a.m.0212 1 + i1 = 1.1 a.1 − 1 ⇒ d1 = 0. i2 = 0. à taxa efetiva de desconto racional composto de 46.a.4641 a. m. qual a taxa trimestral equivalente a 15% a. Sendo a taxa de desconto de 5% a.m.00.00 foi de R$ 7..a.? 2) Um título de valor nominal de R$ 35. Qual o valor do desconto? 3) O desconto racional composto de um título de R$ 85. qual o prazo de antecipação? 51 .1) Em juros compostos.000.000.903.00 foi descontado dois meses antes do vencimento a taxa de desconto composto de 15% a. 00 foi descontado três meses antes do vencimento à taxa de 5% a. o comprador.a. o comprador.658. Qual o valor dessa LC? Resposta: $567.88 2) Na venda de uma Letra de Câmbio (LC).000.617. 36 dias antes do resgate.191.00 ao credor da letra .a. Qual o valor dessa LC na data do resgate? Resposta: $31. 25 dias antes do resgate.. ofereceu $30.30% a.500.00 ao credor da letra .m. desejando um ganho de 105. desejando um ganho de 43...30% a. Qual o valor líquido do título pelo desconto racional composto? Resposta: $43.Exercícios Complementares: 1) Um título de valor nominal de $50.88 3) Na venda de uma Letra de Câmbio.28 52 .000. oferece $540. 518.a. a taxa de desconto cobrada.923.500.00.000. qual o prazo de antecipação do resgate? Resposta: 5 meses 6) O desconto racional composto de um título de $50.22.00 foi de $44.m.08 5) O desconto racional composto de um título cujo valor nominal é de $250. Resposta: 6 meses 53 .000.22. A taxa de desconto utilizada na operação é de 20% a. Sendo de 4% a. calcule o prazo de antecipação.00 foi de $12. Sendo a taxa de desconto mensal cobrada de 5%.4) O valor do desconto racional composto de uma nota promissória que vence em três anos é de $10.698. com capitalização trimestral. Qual o valor nominal da nota promissória? Resposta: $24. 00 54 .250.000.00.31% a. b) O valor nominal.000. Resposta: 2. Resposta: $600. Qual o seu valor nominal? Resposta: $156.00 8) O valor nominal de um compromisso é de seis vezes o desconto racional. Sendo o valor de resgate do título de $500. O valor de resgate desse título é de $125. caso a antecipação seja de oito anos.a.000.00. caso a antecipação seja de dez meses. determine: a) A taxa de desconto anual.7) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional. que deverá liquidá-lo no final do sétimo mês por $1..00. Sendo o valor do título $250.987.9) Marcelo propõe a um amigo a venda de um título por $120.000. qual deve ser o prazo de antecipação? Resposta: 4 meses 10) Um banco de investimento deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa.00? O banco opera em regime de desconto composto à taxa de 4% a.563.m. Qual o valor que deve ser abatido no ato da contratação se a empresa deseja limitar esse pagamento final em $1.000.500.00..350. Esse amigo diz que só se interessará pela compra se puder ganhar 20% a.000.m.28.67 55 . Resposta: $113. 00 e deverá ser paga no final do oitavo mês.000.1 Taxa Efetiva na 56 . não se altere? Resposta: 10 meses 5 TAXAS DE JUROS Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao estudo das taxas de juros.11) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos. então. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos onde são usadas apenas taxas “referenciais” em que a capitalização não ocorre periodicidade indicada pela taxa. para ser liquidado em dois pagamentos.m. m.660. A primeira parcela será de $250. à taxa de 2% a. conceituar cada tipo de taxa utilizada no dia a dia das operações financeiras. Vamos. 5. A segunda parcela será de 300.00 e deverá ser paga no final do quarto mês.000. Em que prazo deve ser efetuado tal pagamento para que a taxa de 2% a.60. Esse empréstimo poderia ser liquidado com um único pagamento de $593. 5% ao dia.2 Taxas Proporcionais Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando. = 3.3 Taxas Equivalentes Duas ou mais taxas são equivalentes se. portanto.s.. produzem o mesmo montante no regime de juros compostos Assim.m.i a. se " i1" e " i2 " forem as taxas e " n1" e " n2 " o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas.(1 + i 2 ) n 2 e. costuma-se dizer simplesmente: 10% ao mês e 1.Uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização do investimento. Exemplos: • • • • 36% ao ano e 3% ao mês. 5. 5. 36% ao ano e 12% ao quadrimestre.i a. (1 + i1 ) n1 = (1 + i 2 ) n2 57 . ao serem aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período. = 12. Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos das taxas de juros e dos períodos de capitalização.5% ao dia com capitalização diária. = 2.i a. devemos lembrar que uma das características é a linearidade e. Ao falar nisto.i a. conseqüentemente.a.i a. As taxas proporcionais podem ser assim relacionadas: i a.(1 + i1 ) n1 = C. Por exemplo: 10% ao mês com capitalização mensal.t. 36% ao ano e 9% ao trimestre. então deveremos ter: C.q. a validade da regra de três simples. = 360 . = 4. quando aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período. produzem o mesmo montante no regime de juros simples. 36% ao ano e 18% ao semestre.d. 1. 02 a.2682 . qual a taxa anual equivalente a 2% a. ⇒ i1 = 26.82 % a. Podemos calcular a taxa equivalente também através da seguinte expressão: i eq = (1 + i) p q −1 onde: • • • • " i eq " é a taxa equivalente. n2 = 12 meses (1 + i1 )n1 = (1 + i2 )n 2 ⇒ (1 + i1 )1 = (1 + 0. 58 . ⇒ i2 = 0.m.02 )12 ⇒ 1 + i1 = 10212 . 1 + i1 = 1 2682 ⇒ i1 = 0. “p” é o período desejado em dias que se refere a taxa procurada (equivalente). “i” é a taxa fornecida.m.m.? Resolução: Chamamos " i1" a taxa procurada e " i2 " a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de 1 ano teremos então: i1 = ? ( taxa anual) n1 = 1 ano i2 = 2% a. “q” é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida.a.Exemplificando: Em juros compostos. 59 . PV = 1 dia FV = 1 trimestre = 90 dias VISOR SIGNIFICADO 25 (i) 25. i = 25% a. No programa da HP-12C. 0. (FV) Período conhecido.? ieq = ? 60 TECLAS . determine em juros compostos. só usaremos as teclas: (i) Taxa conhecida.60 SIGNIFICADO Insere a taxa conhecida em i. Calcula a taxa equivalente ao mês.00 12.00 Running 14.a.00 1. b) Determine a taxa diária equivalente a 25% a. c) Aplicando a fórmula. Insere o período da taxa conhecida em FV.00 Insere a taxa conhecida em i.00 Insere o período da taxa desconhecida em PV.. (R/S) Running Roda o programa. Insere o período da taxa desconhecida em PV. 1 (PV) 1. Então teremos: i = 413% a. PV = 1 mês FV = 1 ano = 12 meses TECLAS 413 (i) 12 (FV) 1 (PV) (R/S) VISOR 413.Exemplos: a) Calcule a taxa mensal equivalente a 413% a..t.00 Insere o período da taxa conhecida em FV.a.m. qual a taxa anual equivalente a 2% a. Roda o programa.t. (PV) Período desconhecido.25 Calcula a taxa equivalente ao dia. 90 (FV) 90. isto é. bimestrais. períodos em dias.82% a. A taxa nominal. i eq = (1 + i) p q −1 360 30 i eq = (1 + 0. através da expressão: n  i  i = 1 + N  − 1 n  onde: • • “iN” é a taxa nominal.02 am p = 360 dias q = 30 dias Obs.a. 5. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais. trimestrais.: È aconselhável trabalharmos com os períodos em dias. capitalizados mensalmente.2682 ⇒ ieq = 26. “n” é o número de períodos de capitalização. . mensais ou diários. 36% ao ano. Exemplo: Qual a taxa efetiva anual .02 ) −1 ⇒ i eq = 0. a.a. no mercado financeiro. pois é comum .06 a. deve ser “efetivada”. antes de ser utilizada em qualquer tipo de cálculo. com capitalização mensal. capitalizados semestralmente. deve ser calculada sempre a taxa efetiva equivalente à taxa nominal em questão.i = 0. Exemplos: • • 20% ao ano.4 Taxa Nominal É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. quadrimestrais. cuja taxa nominal é de 6% ao ano? i=? iN = 6% a. ⇒ n = 12 períodos 61 iN = 0. 5. “n” é o número de dias úteis do mês.17% a. sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do mercado financeiro. levando em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. porém válida somente para dias úteis. Exemplo: 3% ao mês. sem levar em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira.0617 n 12    n 12 ⇒ i = 6.1 ⇒ i =  1 +  − 1 ⇒ i = 0. 5. A taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido. 5.a.5 Taxa Over A taxa over é uma taxa nominal expressa ao mês com capitalização diária.7 Taxa aparente e taxa real 62 .06  i = 1 + N  .6 Taxa Bruta e Taxa Líquida A taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto. ou seja. por dia útil A taxa efetiva correspondente é expressa por: n i   i = 1 + o  − 1  30  onde: • • “io” é a taxa over. i   0. 040. mensal e diária.: 18% a.15 ) ⇒ 1. e 0. Resp. no regime de juros simples.a. e 1% a. 3% a.. é: (1 + i) = (1 + ir ).15 ⇒ ir = 0.2) = (1 + ir ).2 = 1 + ir ⇒ ir = 1.m.m.m. 63 . a partir de um principal de $ 1.500. 6% a.(1 + I) (1 + 0.: $ 2. a taxa real de um empréstimo a uma taxa aparente de 20% a.A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. 1.. “I” é a taxa de inflação. $ 2. considerando uma inflação para o mesmo período de 15%. Resp..s.s.a.m.(1 + 0.040 e $ 2.(1 + I) onde: • • • “i” é a taxa aparente.2 = (1 + ir ).10% a.043478 ⇒ ir = 4. Exercícios Complementares: 1) Calcular os montantes acumulados. com as seguintes taxas de juros: 12% a.d.3478% a. Por exemplo.15 2) Determinar as taxas semestral. proporcionais à taxa de 36% a.1. A taxa real é aquela calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: (1 + i) = (1 + i r ).040. “ir” é a taxa real.043478 − 1 1. no final de 3 anos. a.: 3.m. 5) Se a taxa de juros é de 2. Qual a taxa semestral que produziria o mesmo efeito? Resp.m.p.: 19.4052% a.: 0. 64 .? Resp. qual a taxa equivalente para 42 dias? Resp.s. 4) Um capital foi aplicado a 3% a.7974% a.7733% a.5% para 28 dias.3) Qual a taxa mensal equivalente a 10% a. cuja taxa efetiva é de 20% a.. Qual a taxa efetiva implícita? Qual a taxa efetiva anual equivalente? Resp. capitalizada trimestralmente 65 .: 2% a.a.m.8242% a. capitalizada trimestralmente? Resp.9613% a.65% a.a. com capitalização trimestral..a. 8) Qual a taxa anual.a.. 26.6) Uma instituição cobra juros de 24% a. capitalizados mensalmente.? Resp.a.: 1.: 18..m. 7) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% a. 10) Um investidor aplicou $ 25.9) Uma aplicação de $ 10.26 ao final de três meses.20% a. qual a taxa líquida mensal auferida pelo investidor? Resp.1403% a. qual a taxa bruta mensal que remunerou o investimento? Resp.: 0. 11) Se a taxa aparente é de 2% a.: 1. Se o IR incidente é de 20% para este tipo de aplicação.273. 66 .m. e a inflação no período de 0.m.m.: 1.000 por um período de 180 dias à taxa de 12% a.m. Sabendo-se que a alíquota de IR é de 25% para este tipo de aplicação.85%. qual a taxa real? Resp.a.000 proporcionou um montante líquido de $ 10.7627% a. 6965% a. qual a taxa de inflação? Resp. sendo de 21 o número de dias úteis deste? Resp.. 13) A taxa aparente é de 1.m.12) Se a taxa de inflação é de 0.m..2% a.5% a.5%. qual a taxa aparente resultante? Resp.: 0.m. e no mesmo período a taxa real é de 0. 67 .8434% a.m.: 0.2839% a. 14) Que taxa mensal remunerará um capital que tenha sido aplicado à taxa over de 1.: 1.m.2% a. Se a taxa real embutida é de 0.m.m.78% a. 8098% a. qual a taxa over considerada? Resp. 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 68 . para um mês com 22 dias úteis.m.m.1% a.: 1.15) Se a taxa efetiva foi de 0. 400.000.000.1 Equivalência de dois capitais Consideremos dois capitais.360.00. Aplicando R$ 3. sem entrada. sobram-lhe R$ 1.768.000. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos desta forma. 6. sobram-lhe R$ 3. efetuar comparações entre elas.000. Vê-se que é melhor pagar a prazo.000. R$ 1.768. temos: x 3 69 0 3 .00. após um mês de aplicação ele terá R$ 5. seria muito trabalhoso. Contudo.500. x e y.468.00 por mais um mês. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos i.100.700. daqui a 3 meses equivalem quanto hoje? 1. ele terá no final R$ 3. ele terá ao final R$ 1. 48 ou mais. separados por n períodos de tempo. Veremos a seguir formas mais simples de resolver questões desse tipo.00.000 y 0 Sendo x o capital hoje. Consideremos o seguinte exemplo: um prédio é vendido por R$ 5.400. o primeiro na data 0 e o segundo na data n.00. pagando a 2ª prestação.00 por mais um mês. conseqüentemente. em 3 parcelas mensais de R$ 1.700.00.00 de prestação.00.00 à vista ou então à prazo.00 cada uma. Aplicando finalmente R$ 1.500.803.000. o que dá para pagar a última prestação e ainda lhe sobram R$ 103. por exemplo. situações em que o número de prestações seja 36.000.00.O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras equivalentes e. Pagando R$ 1.000.000. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos à taxa de 2% ao mês e tem fundos suficientes para pagar à vista? Uma forma de resolver essa questão é a seguinte: se ele pagar a prazo.000.000.360. se: x(1 + i)n = y ou seja : x= y (1 + i)n Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. x= y 1500000 ⇒x= ⇒ x = R$1.......000....50 n (1 + i) (1 + 0...... a uma taxa de juros i.........413 .. Chamamos Valor Presente (PV) ou valor atual (VA) na data 0 desse conjunto...................... + ( 1 + i) n yn Exemplo: Uma empresa prevê o pagamento de R$ 200.. yn ....02 ) 3 6. y1..... o valor presente. à soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0.....5% ao mês para fazer frente a essas despesas? 70 . 3.........n Chamando de PV.000...483...00 daqui a três meses....... Quanto deverá aplicar hoje.... teremos: PV = y 0 + (1 + i) y1 1 + (1 + i) y2 2 + .. 1.... 0 1 2.2 Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais y 0 ....... respectivamente...... á taxa de 1. y 2 .....n.. Considerando os capitais nas datas 0. a juros compostos.. ..... 2.00 daqui a um mês e R$ 500. ....83 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS 0 (g) (CF0) 200000 (g) (CFj) 0 (g) (CFj) 500000 (g) (CFj) 1.....00 200. nas datas 0.m..50 675.... 0 1 2.. respectivamente...000.83 SIGNIFICADO Introduz o pagamento no instante 0 Introduz o pagamento no instante 1 Introduz o pagamento no instante 2 Introduz o pagamento no instante 3 Introduz a taxa Calcula o Valor Presente 6.. 1....5 (i) (f) (NPV) VISOR 0............ y2.. nas datas 0.......000 y3 3 0 1 2 3 PV = (1 + i) y1 1 + (1 + i ) y3 3 ⇒ PV = (1 + 0......... 2...................... 2..yn.y’m.......... y1.....00 1.015 ) 3 500000 ⇒ PV = R$ 675.00 500.....000......n.200... 3...000 500...... ....015 ) 200000 1 + (1 + 0..... respectivamente. y’2.. 3..00 0.. 71 ..... 1.202...3 Conjunto de Capitais Equivalentes Consideremos os conjuntos de capitais: y0... y’1...202.n y’0...... .......... Um cliente propõe pagar uma entrada de R$ 600.03 ) 2 y como PV1=PV2. qual o valor de cada parcela...03 ) y 1 + (1 + 0.. mais duas prestações mensais iguais. .... de modo que as duas formas de pagamentos sejam equivalentes? 1ª Forma: 0 PV1 = y 0 + y1 ⇒ PV1 = 1000 + 1 1200 ( 1 + i) 1 (1 + 0......000..m....00 após um mês... devemos ter: PV1 = PV2 Exemplo: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R$ 1.m Dizemos que esses conjuntos são equivalentes a uma taxa de juros compostos i....... se seus valores atuais forem iguais.00...................... 0 1 2...200..... vencendo a primeira um mês após a compra...... Assim chamando de PV1 e PV2 os valores atuais desses dois conjuntos....03 )1 2ª Forma: y y 0 PV2 = y 0 + 1 2 ( 1 + i) y1 1 + (1 + i) y2 2 ⇒ PV2 = 600 + (1 + 0.......... 72 .. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a....00 mais uma parcela de R$ 1... 91 1.00 2) Uma pessoa tem uma dívida de $60.m.000.8% a.03 1.93 73 . Resposta: $132.020.1000 + 1200 y y + ⇒ 1000 + 1165. cujo valor nominal é $50.00 para daqui a dois meses e outra de $80. para fazer frente a essas dívidas? Resposta: $133. considerando as taxas: a)2.2% a.03 1.055. O devedor propõe a troca por outra Nota Promissória.91346 Exercícios Complementares: 1) Uma Nota Promissória.388.91 3) Resolva o problema anterior.m.727.91346y ⇒ y = 1565. à taxa de 2% a.00 para daqui a três meses.0485 = 600 + 0. Qual deve ser o valor nominal da nova Nota Promissória para que os capitais sejam equivalentes.m.00.94259 y = 600 + 1.71 b) 1. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 2% a.000. vence daqui a um mês. Resposta: $133.0485 ⇒ y = R$ 817. a vencer daqui a três meses.? Resposta: $52.000.0485=1.03 2 1565.m.97087 y + 0. m. para fazer frente a esses pagamentos? Resposta: $726.. Quanto deverá aplicar hoje.69 74 . qual o valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? Resposta: $654. com uma entrada e mais três parcelas mensais de $800.000. além da entrada. supondo que haja três pagamentos mensais. Se a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 3.00 cada uma. Resposta: $448.4) Uma empresa prevê pagamentos de $250.. então. mais duas parcelas mensais e iguais.m.00 à vista ou.93 7) Um aparelho de som é vendido por $3..500.00 ou por 20% de entrada.6% a. dois e três meses.98 5) Um aparelho de TV é vendido por $1.52 6) Resolva o problema anterior.m. a taxa de 1.000.5% a. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6% a.00 daqui a um.624. qual o valor da entrada? Resposta: $758. Resposta: $559. sabendo que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.024. Qual o valor de cada prestação se a loja opera a uma taxa de juros de 4% a.? Resposta: $777. sendo a 2ª igual ao dobro da 1ª e vencendo a 1ª dois meses após a compra. em face das dificuldades de venda à vista. Obtenha o valor da segunda prestação. podendo também se financiado da seguinte forma: a) entrada: 30%.92 11) Carlos pretende vender o seu terreno por $50.m. está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento: 75 .000.00 de entrada.00. ou a prazo por três prestações mensais sem entrada.m.04 e $1. qual o valor da parcela mensal. Entretanto.00. Nessas condições. após um mês. Um comprador propõe dar $200.554.00 à vista.09 10) Um conjunto de sofás é vendido à vista por $1.000. b) duas parcelas mensais.00. sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5% a.8) Um terno é vendido em uma loja por $800.00 de entrada mais uma parcela de $400.00 9) Um aparelho de som é vendido à vista por $3.m.? Resposta: $1. sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira.500. 742. respectivamente. calcule o valor da última parcela.000.00 de entrada.000. sendo $1. Admitindo-se que a taxa de juros de mercado é de 6% a. $2.00.a) entrada de $10.000.500.m.782.000. Entretanto. (juros compostos). Considerando-se que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime de capitalização composta e.000.00 no fim de seis meses.82 13) Bruno pretende vender seu imóvel por $600. c) duas parcelas. ainda. calcule o valor da última parcela. a entrada deverá ser alterada para que valor? Resposta: $1. sendo a segunda 50% superior à primeira. vencíveis em um ano e 15 meses. b) $10.59 12) Uma determinada loja vende um conjunto de som em três parcelas. Resposta: $405.00 depois de seis meses.00.000. sendo a segunda 50% superior à primeira. em face das dificuldades de venda à vista. está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento: a) entrada de $120.03 76 . (juros compostos). que o comprador precisou adiar a terceira parcela por mais dois meses. respectivamente. b) $250.m.00 no fim de três meses. Resposta: $27. c) duas parcelas. Admitindo-se que a taxa de juros do financiamento é de 4% a. vencíveis em seis meses e um ano.00 à vista.00 depois de três meses e $3.017.500. 100. Se a taxa de juros cobrada pela butique. A empresa pretende substituir esses três títulos por um único de $1.8% 15) Uma empresa deve pagar três títulos.00. sendo a primeira dada como entrada”.00 exigível em seis meses e o terceiro de $450. nas vendas a prazo.00.. mas a senhora poderá comprá-lo em três parcelas mensais iguais sem acréscimo.000.m. o segundo de $300. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 8%.000.683. que porcentagem do preço dado pode a loja dar de desconto para pagamento à vista? Resposta: 3. Resposta: 12 meses 77 .14) Em uma butique do Shopping Praia de Belas.00 exigível em três meses.542. é de 4% a. que afirma: “O preço desse vestido é de $2. O primeiro de $250. uma senhora é atendida por um vendedor.000. determine o prazo do novo título.00 exigível em nove meses. Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos. os pagamentos e recebimentos têm vencimentos. Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos ou recebimentos consecutivos são chamados períodos da renda. calculados numa data posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também fixada. 7.1 Classificação das Séries Uniformes a) Quanto ao prazo: • • Temporárias: o prazo de pagamentos ou recebimentos é finito.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais e é feito em períodos homogêneos. 7.7 RENDAS (ANUIDADES) Renda é uma série de pagamentos vencíveis ou de capitais disponíveis (recebimentos) em datas diferentes. prestação ou simplesmente pagamento ou desembolso da renda. 78 . Cada um dos pagamentos ou recebimentos da série se chama termo. Variável: termos distintos. Chama-se Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos ou recebimentos. Perpétuas: o prazo é infinito. b) Quanto aos valores dos termos: • • Uniforme: termos iguais. calculados numa data anterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros fixada. ou seja. Chama-se Valor Futuro. valores e número pré-estabelecidos e a taxa de juros fixada.1. c) Quanto à periodicidade: • • Periódica: períodos iguais.: • • As séries imediatas e diferidas classificam-se ainda em postecipadas e POSTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos finais dos períodos de pagamentos ou recebimentos. Obs.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado um período antes do primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado juntamente com o último pagamento ou recebimento. depósitos ou recebimentos 79 . Diferida: Ocorre após o primeiro período de pagamento ou recebimento. ANTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos inícios dos períodos de pagamentos ou recebimentos. 7.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Postecipado)  1 − (1 + i) − n  PV = PMT   i     PV = Valor Presente FV = Valor Futuro PMT = Valor do pagamento ou recebimento i = taxa de juros n = número de pagamentos. d) Quanto à ocorrência do primeiro termo: • • Imediata: Ocorre no primeiro período de pagamento ou recebimento. Não periódica: períodos distintos. FV PV 0 1 2 3 4 5 antecipadas: 7.2. 2.7.3.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado juntamente com o primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado um período após o último pagamento ou recebimento.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Antecipado)  (1 + i) n − 1 FV = PMT  .1 Cálculo do Valor Presente – PV (Antecipado) 1 − ( 1 + i ) − n  PV = PMT   .(1 + i) i     7. FV PV 0 1 2 3 4 5 7.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Postecipado)  (1 + i) n − 1 FV = PMT   i     7.3.(1 + i) i     80 . 00. Sabendo que os juros do mercado são aproximadamente 3% ao mês. o que podemos observar nos diagramas sobrepostos abaixo.27 SIGNIFICADO Informa que se trata de série Antecipada Limpa todos os dados registrados Introduz 2 casas decimais Introduz a prestação Introduz a taxa Introduz o número de prestações Calcula o Valor Presente 81 .250.243.250.250.00 39. sendo a primeira dada com entrada.00 4.00 0.00 3. PV2 FV2 Série Imediata Antecipada Série Imediata Postecipada 0 1 2 3 4 5 Exemplos: a) Uma Concessionária de Automóveis vende um carro em quatro prestações iguais de de R$ 10. qual é o preço do carro à vista? PV Série Antecipada (Entrada) 0 1 2 3 PMT = 10.00 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS (g) (7) (f) (REG) (f) (2) 10250 (CHS) (PMT) 3 (i) 4 (n) (PV) VISOR BEGIN (Início) 0.É importante relacionar as fórmulas utilizadas para os cálculos dos Valores Presentes e dos Valores Futuros das séries imediatas antecipadas e postecipadas com os momentos em que estas variáveis são avaliadas.00 -10. Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o Valor Presente do carro, utilizando uma operação financeira com prestações postecipadas, ou seja, sem entrada, da seguinte forma: TECLAS (g) (8) (PV) VISOR 39.243,27 38.100,26 SIGNIFICADO Informa que se trata de série Postecipada Calcula o Valor Presente b) Qual é o valor das prestações a serem pagas, sem entrada, na compra de um televisor de R$ 900,00 (à vista), em cinco parcelas mensais, iguais, sabendo-se que a taxa de mercado é 2,5% ao mês? PV = 900,00 Série Postecipada (sem entrada) 0 1 2 3 4 5 P PMT = ? RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C SIGNIFICADO (g) (8) 0,00 Informa que se trata de série Postecipada (f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados (f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais 900 (CHS) (PV) -900,00 Introduz o Valor Presente 2,5 (i) 2,50 Introduz a taxa 5 (n) 5,00 Introduz o número de prestações (PMT) 193,72 Calcula o valor das Prestações Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o valor das Prestações, utilizando uma operação financeira com prestações antecipadas, ou seja, com entrada, da seguinte forma: TECLAS VISOR SIGNIFICADO 8 82 TECLAS VISOR (g) (7) (PMT) BEGIN (Início) 189,00 Informa que se trata de série Antecipada Calcula o valor das Prestações c) Calcule o Montante (Valor Futuro) que uma pessoa acumulará se desembolsar 4 parcelas de R$ 4.000,00, mensalmente, sendo a primeira no ato da operação, à taxa de 2,2% ao mês. FV Série Antecipada (com entrada) 0 1 2 3 PMT = R$ 4.000,00 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS (g) (7) (f) (REG) (f) (2) 4000 (CHS) (PMT) 2,2 (i) 4 (n) (FV) (g) (8) (FV) VISOR BEGIN (início) 0,00 0,00 -4.000,00 2,20 4,00 16.899,57 16.889,57 16.535,79 SIGNIFICADO Informa que se trata de série Antecipada Limpa todos os dados registrados Introduz 2 casas decimais Introduz o valor dos depósitos Introduz a taxa Introduz o número de depósitos Calcula o Valor Futuro (Antecipado) Informa que se trata de série Postecipada Calcula o Valor Futuro (Postecipado) 7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da série uniforme de prestações, existem prestações extras (ou reforços). Nesse caso, o Valor Presente do 20 20 conjunto é a soma do Valor Presente da seqüência uniforme com o Valor Presente das prestações de reforço. Exemplo: Um terreno é vendido a prazo em 12 prestações mensais de 5.000 UR cada uma, 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 postecipadas, mais duas prestações5 de reforço vencíveis em5 6 e 12 meses após a 8 83 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 compra, cada uma de 20.000 UR. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a.m.?  1 − (1 + i) − n  1 − (1 + 0,032 ) −12  20000 20000 y6 y12 PV = PMT  + ⇒ PV = 5000  + + + 6 6 i 0,032 1,03212 (1 + i)12   (1 + i )   1,032     PV = 49.181,02 + 16.555,86 + 13.704,83 ⇒ PV = 79.441,71 UR RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS (f) (2) (f) (REG) (g) (8) 12 (n) 3,2 (i) 5000 (CHS) (PMT) (PV) (STO) (1) (f) (FIN) 6 (n) 3,2 (i) 20000 (CHS) (FV) (PV) (STO) (2) (f) (FIN) 12 (n) 3,2 (i) VISOR 0,00 0,00 0,00 12,00 3,20 -5.000,00 49.181,02 49.181,02 49.181,02 6,00 3,20 -20.000,00 16.555,86 16.555,86 16.555,86 12,00 3,20 SIGNIFICADO Introduz 2 casas decimais Limpa todos os dados registrados Informa que se trata de série Postecipada Introduz o número de prestações Introduz a taxa Introduz o valor das prestações Calcula o Valor Presente das prestações Armazena na memória 1 o PV das prestações Limpa todos os registros financeiros Introduz o período do primeiro Reforço Introduz a taxa Introduz o valor do primeiro Reforço Calcula o Valor Presente do primeiro Reforço Armazena na memória 2 o PV do 1º Reforço Limpa todos os registros financeiros Introduz o período do segundo Reforço Introduz a taxa 84 tem-se recebimentos anuais e postecipados de $1.326. considerando uma taxa de juros de 14. Qual o número de recebimentos? Resp. calcular o valor das prestações. consecutivas.000.00 será pago em 10 prestações mensais iguais.: 9 recebimentos 85 .a.83 62885.m.000.039.20000 (CHS) (FV) (PV) (RCL) (1) (+) (RCL) (2) (+) -20.000.4% a.56.: $22.00 no final de cada um dos próximos 12 meses.a. Considerando que a taxa de juros a ser cobrada é de 2. postecipadas.: $2.38 3) Quanto se deve aplicar hoje de forma que se possa receber $2.m.: $571.00 à vista.00 13.704. se a taxa de juros anunciada é de 3% a.000.85 79.. capitalizada mensalmente? Resp.00 à taxa de 22% a.29 2) Um automóvel é vendido por $10.? Resp.71 Introduz o valor do segundo Reforço Calcula o Valor Presente do segundo Reforço Soma o PV do 2º Reforço com PV das prestações Calcula o valor Presente de toda operação Exercícios Complementares: 1) Um bem cujo preço à vista é de $5.000.36 4) Depositando-se hoje a quantia de $5. Qual o valor das prestações.5% a.320. Resp.441. mas pode ser financiado a prazo em 6 prestações bimestrais iguais e postecipadas. 00. através de 6 prestações mensais iguais. Considerada uma taxa de juros de 2.000. considerando 2 pagamentos.00.00.m.00 e das 3 restantes. b) 8 prestações mensais postecipadas de $321. aos 45 e aos 90 dias.3% a. O valor das 3 primeiras é de $7. consecutivas.m..52 6) A compra de um veículo pode ser feita.5) Uma empresa financia as suas vendas a prazo aplicando juros de 3% a. Se a taxa de juros é de 2% a.: $49. antecipadas.300. c) 6 prestações mensais antecipadas de $412.00.: $3.m. Resp. qual o esquema de pagamentos mais favorável para o comprador? Resp.: à vista 86 .000. a prazo.33 7) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador e dispõe de 3 alternativas de pagamento: a) à vista. de $10.394. $2. Calcular o valor da prestação para uma venda de $6. qual o valor à vista do veículo? Resp.500.00.205. m. A prazo. a primeira a 90 dias da data da compra. Se a taxa de juros adotada na transação for de 3% a. ao final do 6º mês e do 12º mês.00. na condição a prazo. 12 prestações mensais iguais e consecutivas à compra de $2.: $1.00 pode ser pago. qual o valor das prestações? Resp.800. Se as últimas três são de $2.000. Se a taxa de juros praticada for de 2.8) Um financiamento de $10.00 será pago em 5 prestações mensais postecipadas.000.m. qual o valor de cada reforço? Resp.58 9) Um bem cujo preço à vista é de $5. iguais e consecutivas.28 87 . respectivamente.857.5% a.839.m. através de entrada de 20% do valor à vista.31 10) Um imóvel pode ser adquirido à vista por $40.000.: $1. determinar o valor de cada uma das duas primeiras prestações.324.: $7.000. em três prestações mensais.00 cada e a taxa de juros aplicada de 3% a. Resp.00 cada e dois reforços. : $17.00 mais 24 depósitos mensais iguais e consecutivos.529.9% a.84 12) Uma poupança que paga juros de 1% a.50 13) Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 14. O poupador.533.: $6.000.a.11) Quanto uma pessoa acumularia ao final de 12 meses.00. se nela efetuasse 6 depósitos mensais imediatos antecipados iguais de $1. Sendo de $68.m. o primeiro 30 dias após o depósito de abertura.56 o montante ao final do período. efetuou 12 depósitos mensais iguais de $500.609.: $1.00 ? Resp. nos meses em seguida.00.000.000.4% a. capitalizados mensalmente. Qual o montante à sua disposição imediatamente após a realização do último depósito? Resp.64 88 . Um investidor fez um depósito inicial de $20... qual o valor dos depósitos mensais? Resp.063.m. numa conta que remunera 0. foi aberta com um depósito inicial de $10. qual o valor das parcelas semestrais? Resp.5% a.045.00 e 4 parcelas semestrais iguais.000.: $2. Considerandose uma taxa de juros de 2% a. foi liquidado através de 12 prestações mensais postecipadas de $600. Quanto totalizaram os juros pagos no período? Resp.200.936.14) Um automóvel cujo valor à vista é de $35.m.05 15) Um empréstimo contratado à taxa de 2.m.00 será pago mediante uma entrada de 10%..00 cada.: $1. 24 prestações mensais de $1.34 8 89 . S t = S( t −1) + jt − Pt Notação: ou S t = S( t −1) − A t 9 90 .. no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal ou valor do empréstimo (S0).. Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamarmos de amortização no instante t (indicado por At) à diferença entre Pt e jt. na unidade expressa pela taxa de juros (em tudo que segue admitiremos o regime de capitalização composta).. uma pessoa começa hoje a depositar mensalmente em uma conta que rende 2% a. teremos: A t = Pt − jt ou Pt = A t + jt sendo : jt = S t −1..i O saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t -1).: $730.m. n. 3.. 1. Consideremos os instantes de tempo 0..00 dentro de 12 meses... menos o pagamento feito no instante t. nas operações de médio e longo prazo. Calcular o valor de cada depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao término do 12º mês? Resp.98 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Freqüentemente.000.16) Desejando dispor de $10. acrescido dos juros produzidos por ele. as operações de empréstimos são analisadas período por período.. por razões metodológicas ou contábeis.. 2. . ... Pt ⇒ Pagamento efetivado no ins tan te t. cujo primeiro termo a1 é A + S0......... Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais.S t ⇒ Saldo devedor no ins tan te t.1 Sistema de Amortizações Constantes – SAC Entre as inúmeras maneiras que existem para amortizar o principal......... Assim. S( t −1) ⇒ Saldo devedor no ins tan te anterior (t .....i. A1 = A 2 = A 3 = ..... Observação: Para progressão aritmética (Pa) temos: an = a1 + ( n − 1) .....1). 8. existem inúmeras seqüências de amortizações que têm por soma o principal. r O gráfico da prestação em função do tempo tem o seguinte aspecto: Prestação A 0 1 A 2 j1 A 1 j2 A Tempo 9 91 3.......n ... jt ⇒ Juros no período que vai de ( t − 1) a t... = A n = O valor da prestação é dado por: S0 n Pn = A + jn Percebe-se.i e cuja razão r é – A. o Sistema de Amortizações Constante (SAC) é bastante utilizado na prática. i ⇒ Taxa de juros... que as prestações do SAC constituem uma progressão aritmética decrescente.. assim. 00 n = 5 parcelas i = 0. ou seja.05 a.000.000 480.000 b) Um empréstimo de 800000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização.000 160.000. A= S0 800000 ⇒A= ⇒ A = U$160 . Construa a planilha de amortização.04 a.800 6.Exemplos: a) Um empréstimo de 800.000.000 160.000 896.600 179.000 160. obtenha a planilha. com 2 semestres de carência. S0 = U$ 800 .800 166.s.00 n 5 Juros Jt 0 32. S0 = U$ 800 .000 25. A= S0 n ⇒ A= 800000 ⇒ A = U$ 160 .00 5 Juros Prestação 92 Período Saldo devedor Amortização .000 320.00 n = 5 prestações i = 0.000 160. a primeira parcela só é devida no 3º semestre.000 0 Amortização At 0 160. s.400 Período Semestral 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL Saldo devedor St 800.000.000 800.000 185.000 160.000 dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% ao semestre.000 96. s.400 Prestação Pt 0 192.600 19. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a.200 172.000 640..200 12. teremos então que S0 = PMT   .2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE No sistema de amortização Francês ou Tabela Price as prestações são iguais e consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações).. j3. se os juros j1.000 640.000 176. A2.000 40. i i         Logo: PMT = 1 − ( 1 + i ) − n    i     S0 Por outro lado.000 160.000 24.000 320..000 160... Como PV = S0 ..000 Pt 0 40..000 200.000 800.000 1.000 Jt 0 40.000 8.000..000 160.000 8..000 800.000 160..000 168. j2.. 93 . A3... Assim o gráfico das prestações em funçã do tempo tem o seguinte aspecto.000 40.An formam uma seqüência crescente.000 40.000 800...000 192.  1 − ( 1 + i) − n  Lembrando que o fator   é chamado de fator de Valor Presente (PV) e i    1 − (1 + i) − n  1 − ( 1 + i ) − n  que PV = PMT  .000 480...Semestral 0 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL St 800.000 160.000 0 At 0 0 0 160.000 32.000 200.000 184.jn formam uma seqüência decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) as amortizações A1.000 16. PMT = 1 − ( 1 + i )  i   S0     ⇒ PMT = 800000 1 − (1.04 a.790.701.609.000.934.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE 94 .091.38 6.00 Juros Jt 0 32.947.40 172.15 166.09 0 Amortização At 0 147.557.508.000.69 179.754.s.701.04 ) − 5     0.54 13.701.04    ⇒ PMT = U$ 179.69 153.s.00 26.701.60 98.000.69 −n Período Semestral 0 1 2 3 4 5 TOTAL Saldo devedor St 800.93 19.45 8.688.701.69 898.45 Prestação Pt 0 179.76 159.00 n = 5 prestações i = 0.00 652.144.2.09 800.701.701..31 172.69 179.55 338. S0 = U$ 800.508.298.790.69 179.Prestação A1 A2 A3 J1 J2 0 1 2 J3 3 Jn n Tempo An Exemplo: Um empréstimo de 800000 dólares deve ser amortizado pelo sistema Francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.000. Obtenha a planilha de amortização.31 498.69 179.911. .m.326 ..345.....000 ⇒ PMT = R$4..03    8.Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado instante. ou seja.326 .79   ⇒ S25 = R$ 51...237.. o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer.. Assim esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado...92  0.000. no sistema Price. é o saldo devedor.646 . a já conhecida Série Uniforme de Pagamentos.000 n = 40 prestações i = 003 a.. Prestações a vencer: 15 prestações PMT = 1 − ( 1 + i )  i   S0 ⇒ PMT = 100 . S0 = 100.... 1 − ( 1 + i ) − n  = PMT   i     S25 S25 1 − (1... com isso eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações....03 ) − 40     0..79 1 − (1.000 .03    −n     25 26 27 28. qual o saldo devedor no 25º mês?(supor paga a prestação desse mês). inicialmente. 95 .m... em 40 meses e à taxa de 3 % a.2 Sistema Price pela HP-12C: Vamos resolver utilizando.000. calculando o (PMT) postecipado (prestação).40 O saldo devedor no 25º mês é o valor presente da seqüência uniforme das prestações a vencer (15 prestações)....2.03 ) −15  = 4... Exemplo: Num empréstimo de R$ 100.237...000...00 a ser pago pelo sistema francês. 000.298.091.298.000.00 179.Utilizaremos.31 498.09 0 Amortização At 0 147. Valor da amortização do capital no segundo período. Saldo devedor no terceiro período. Saldo devedor no quinto período.790.000.701. Saldo devedor no quarto período.31 172. Valor dos juros no primeiro período.69 179. ainda.609.557.701.947.40 13.000. Saldo devedor no segundo período. Valor dos juros no quarto período. Valor dos juros no quinto período.144. Taxa de juros.69 153..508.00 4.15 166.000.688.54 159.701. Valor da amortização do capital no terceiro período.00 0.38 166.754. Valor dos juros no terceiro período.790. Saldo devedor no primeiro período.69 898. a função (f) (AMORT).93 19.00 5.144.508. Valor da amortização do capital no quarto período.76 -498.54 13.557.69 32.31 172.45 Prestação Pt 0 179. amortização do capital e saldo devedor.701.947.00 -800.69 -652.790.00 652.701. Voltemos à planilha do exemplo anterior Período Semestral 0 1 2 3 4 5 TOTAL Saldo devedor St 800.911.00 Juros Jt 0 32.31 26.69 179.69 179.55 338.76 159. Valor dos juros no segundo período.55 19.754.00 147.688.60 172. Número de prestações.609. 96 .69 179.40 172.93 153.701.091.60 98. Valor Presente (saldo devedor no período zero). Pagamento postecipado.790.38 6. que aciona um programa interno da máquina para apuração dos valores referentes aos juros.701. Valor da amortização do capital no primeiro período.09 6.911.00 26.00 SIGNIFICADO Limpa os registros financeiros e o visor. Valor das prestações.09 0.45 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C TECLAS (f) (FIN) (REG) (g) (8) 800.000 (CHS) (PV) 4 (i) 5 (n) (PMT) 1 (n) (f) (AMORT) (x><y) (RCL) (PV) 1 (n) (f) (AMORT) (x><y) (RCL) (PV) 1 (n) (f) (AMORT) (x><y) (RCL) (PV) 1 (n) (f) (AMORT) (x><y) (RCL) (PV) 1 (n) (f) (AMORT) (x><y) (RCL) (PV) VISOR 0.934. Valor da amortização do capital no quinto período.15 -338.09 800.934.701. Se em seguida.087.000 dólares.00 1. Desta forma fica mais fácil trabalhar com prazos alongados. no final do período do empréstimo. se pressionarmos 2 (f) (AMORT). 8.00 a ser pago em 60 meses. Em geral.. com taxa de 3% a.42 -26.m.104.00 -38. Saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela.Observação: Quando pressionamos 1 (f) (AMORT). o pagamento do principal é feito de uma só vez. apurar o saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela.08 11. Valor das prestações. um cliente se propõe a devolver o principal daqui a dois anos.000. No entanto. Exemplo: Por um empréstimo de 800. a calculadora busca o valor dos juros do próximo período.58 SIGNIFICADO Limpa os registros financeiros e o visor.373. podem eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez. pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a. Esse procedimento pode ser feito para qualquer número de prestações.00 3. junto com o principal (tudo depende do acordo entre as partes interessadas). enquanto que as teclas (RCL) (PV) nos fornecem o saldo devedor no final do período considerado.000.00 60. Taxa de juros.05 30. o resultado será o valor dos juros acumulados nos dois próximos períodos. Valor Presente (saldo devedor no período zero).00 0. Valor dos juros acumulados nas prestações de 1 a 30. Número de prestações. obteremos o valor amortizado nos dois períodos. os juros são pagos periodicamente. Obtenha a planilha. pressionarmos a tecla (x><y). Pagamento postecipado.3 Sistema de Amortização Americano .SAA Através desse sistema.000 (CHS) (PV) 3 (i) 60 (n) (PMT) 30 (n) (f) (AMORT) (x><y) (RCL) (PV) VISOR 0. entretanto. Período Semestral 0 Saldo devedor St 800.000.912..s.00 Amortização At 0 Juros Jt 0 Prestação Pt 0 97 . Valor da amortização pelas 30 primeiras parcelas. TECLAS (f) (FIN) (REG) (g) (8) 38. Exemplo: Em um financiamento de R$ 38. .. Período . 0 1 2 3 Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 98 .00 832..000.00 32.00 32..00 32.1 2 3 4 TOTAL 800...t. 0 1 2 3 4 5 6 Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt TOTAL 2) Resolva o problema anterior.000...000.000........00 32.000.00 Exercícios Complementares: 1) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000.00 0 0 0 0 800..000.00 800.00 32.00 800.00 928...000.00 800.....00 128. Sendo a taxa de juros de 5% a.000.. Período ......000.000.... obtenha a planilha.00 32....000. supondo que haja 2 trimestres de carência somente para as amortizações.000....00 32.000........000...000 UR para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. .400 5) Um empréstimo de 40.000 UR deve ser devolvido pelo SAC com 40 prestações mensais.000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais. Período .. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.. só que os valores têm de ser convertidos numa unidade de referência tal que seu valor na data de liberação do crédito seja $2...m.. considerando uma taxa de 1% a. sendo 2% a.900 c) o valor da 37ª prestação. Resposta: U$9.000. obtenha a amortização.00.000. Obtenha os 4 primeiros meses da planilha (em UR).. Resposta: U$6..... Resposta: U$10. 0 1 2 3 4 Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 4) Um empréstimo de 250..500. Esse empréstimo deve ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais....m.. Pede-se: a) o valor da primeira prestação.. juros.00.4 5 6 7 8 TOTAL 3) Um banco libera um crédito para uma empresa no valor de $50..000 b) o valor da segunda prestação. a taxa de juros cobrada..000 UR 99 .000 UR b) j21 = 400 UR c) P21 = 1. Resposta: a) A21 = 1. prestação e saldo devedor correspondentes ao 21º mês.....400 UR d) S21 = 19..m. 000 UR b) j35 = 120 UR c) P35 = 1. sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 100 meses com 1. Resposta: a) A35 = 1. Calcule o valor da primeira e última parcela.700 UR.84 UR 100 . de taxa de juros. Resposta: 874 UR e 354.6) Resolva o problema anterior no 35º mês.m.120 UR d) S35 = 5.000 UR 7) Um imóvel é vendido por 43.5% a. para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres. Resposta: $400..000...8) Um empréstimo no valor de $2. A respeito.. uma UR correspondia a $1. Período ..050.000 UR para uma empresa.. pede-se indicar o valor da amortização contido na prestação paga ao final do 3° ano..000 9) Um banco libera um crédito de 60. à taxa de 1% a. Na ocasião da compra.00.. uma carência de 2 trimestres... para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais.. como seria a planilha até o 5° trimestre? Período Trimestral Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 11) Pedro Henrique adquiriu uma fazenda de $3... somente para as amortizações..t.....00 dando 30% de entrada e financiando o restante em 180 meses pelo sistema francês (Price).. pelo sistema SAC. 101 .000. 0 1 2 3 Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 10) Se no problema anterior houvesse.000.m.000.... sendo a taxa de 6% a.a... Obtenha a planilha até o 3° trimestre.00 é concedido à taxa de juros compostos de 10% a. Obtenha a planilha em UR até o 4° mês.. sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano. 59 UR 13) Ana Paula recebeu um financiamento a 5. c) calcule o valor da parcela de amortização referente à 1ª prestação.735. a juros de 3% a.m. em 18 prestações mensais. d) calcule o valor da parcela de juros e amortização referentes à 2ª prestação. e) calcule o saldo devedor existente no final do 8° mês. qual o valor adicional a ser desembolsado? Resposta: 1... 102 .55 UR 14) Um consultório médico foi financiado pelo “Plano Piloto” do Governo do Estado do RS.. sendo de $200.000 UR para compra de uma casa.5% a.m.. f) calcule o valor da parcela de juros correspondente à 10ª prestação..11 UR b) j64 =66.52 UR d) S64 =4.. pela Tabela Price.00 seu preço à vista..000.. a) calcule o valor da prestação mensal.....Período . Qual o estado da dívida no 64° mês? Respostas: a) A64 =14......... se Pedro Henrique quisesse quitar a dívida após ter pago a 51ª prestação... b) calcule o valor da parcela de juros referente à 1ª prestação.413.. sendo adotado o Sistema Price à taxa de 1.. para pagamento em 180 meses.. 0 1 2 3 4 Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 12) No problema anterior.41 UR c) P64 =80. .a.99 f) $3... 0 Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 103 . deveria pagar quanto? Resposta: $264..00 c) 8.743..541. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês.83 15) Um banco financia a importância de $400.000..99 e) $ 124.75 e $8.........797..995. resolva a questão: se o devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações.47 Período .396.541. construa a planilha ou plano de amortização. que a taxa de juros é 10% a.74 b) $6.. com um prazo de carência de 2 anos. que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros serão capitalizados e incorporados ao capital..71 g) $12...00 entregue no ato do financiamento. A partir da planilha.g) calcule o valor da parcela de amortização correspondente à 14ª prestação.74 d) $5.043. Respostas: a) $14.543..000... ...m.43 UR b) Qual foi a parcela de juros pagos na 12ª prestação? Resposta: $11. Pergunta-se: a) Quanto Carlos pagou na 12ª prestação? Resposta: $35.. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente.00 é financiado à taxa de 10% a..30 UR c) Qual a parcela de amortização paga na 12ª prestação? Resposta: $24.13 UR d) Quanto Carlos pagou para liquidar a dívida? Resposta: $352.. Período ... Após pagar 12 prestações resolveu liquidar a dívida.. financiando 600 UR. com 3 anos de carência. construir a planilha.a..1 2 3 4 5 6 TOTAL 16) Carlos comprou um carro... para ser amortizado pelo sistema americano.... para o pagamento em 24 prestações iguais a um juro de 3% a. com amortização pelo Sistema Price......500. 0 1 2 3 4 5 6 Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 104 .67 UR 17) Um valor de U$ 1....000. .. Entre os métodos que descontam fluxos de caixa....... dois são os mais 105 . 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL Saldo devedor St Amortização At Juros Jt Prestação Pt 9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO O valor de um investimento é baseado em sua capacidade de gerar fluxos de caixa futuros.00 que deverão ser amortizados pelo SAA através de uma única parcela ao final do 3º ano.0175%. os critérios de avaliação econômica devem considerar a atualização ou desconto dos fluxos. as alternativas de investimentos podem ser comparadas somente se as conseqüências monetárias forem medidas em um ponto comum no tempo e. Elaborar a planilha..7 TOTAL 18) Um Banco financia R$ 100. Assim sendo.000...... Os juros são pagos semestralmente à taxa de 14. Período ... ou seja..... na capacidade de gerar renda econômica. como as operações de investimento ou financiamento têm como característica um espaçamento dos fluxos de caixa ao longo do tempo.. 1 Análise do Fluxo de Caixa O fluxo de caixa de um investimento. por exemplo. investimento ou financiamento. A Matemática Financeira. para aquisição de um produto. empréstimo ou financiamento. transformando as propostas em seu valor equivalente à vista. 106 . + 6. Para isso. é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. basta que saibamos capitalizar e descapitalizar. + 4.conhecidos e utilizados: o do Valor Presente Líquido (NPV) e o da taxa Interna de Retorno (IRR). + 4. encontramos pesquisados: • • • • somente à vista. Ao fazermos uma pesquisa de preços. + 5. com entrada + 1. portanto. 9. se analisarmos cada fluxo de caixa. nos permite comparar fluxos de caixa distintos para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo. + 3. sem entrada + 2. + 2. com entrada para daqui a 60 dias e restante em + 4 prestações e assim por diante. Passaremos a trabalhar com fluxo de caixa contendo diversas entradas e saídas de dinheiro. Relembrando: • Capitalizar: A partir do Valor Presente (PV) obter o Valor Futuro (FV). + 3. ou mesmo de uma empresa. + 5. diversas alternativas de pagamento nos vários estabelecimentos Qual a melhor opção? Somente poderemos afirmar a opção mais adequada de compra. .........05 ) 6 ⇒ FV = R$ 1...m... 107 .000. de janeiro a abril ou.n Períodos • Descapitalizar: A partir do Valor Futuro (FV) obter o Valor Presente (PV). à taxa de 5% a. no dia 10 de julho...00 i = 5% a...... (capitalizados mensalmente): a) Encontre o valor a ser pago no vencimento (10/07).340.00.. (1 + i) n a) 0 10/01 1 10/02 2 10/03 3 10/04 4 10/05 5 10/06 6 Períodos 10/07 = ? FV FV = 1000 ..(1 + 0.m.10 Note que se trata de capitalização.......n Períodos Considere que você tomou um empréstimo de R$ 1. isto é. b) Caso você deseja liquidar antecipadamente a dívida. ou seja. no dia 10 de janeiro para pagar após 6 meses. de uma só vez... b) Há duas formas de se encontrar o valor FV’ da dívida em 10 de abril: • capitalizando PV por 3 meses.FV (conhecido) PV (desconhecido) 0 1 2.... que valor deverá ser pago? Resolução: PV = 1... FV (desconhecido) PV (conhecido) Exemplo: P V= FV 0 1 2. em 10 de abril.000.. .. PMTn ) 108 ...n)  PMT1 PMT2 PMTn   NPV = −PV +   (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + .. + (1 + i) n    Fluxos: a) Fluxo com uma saída (PV) e várias entradas ( PMT1 . voltando de julho para abril..157..00 i = 5% a... Na HP-12C vem indicada pela sigla NPV.. 0 1 2 3 4 5 6 Períodos FV’ = ? PV’=? FV = 1. isto é.m.10 ⇒ FV' = R$ 1..05 )3 9...63 (1 + 0.340.... PMT2 .340.000.• descapitalizando o FV encontrado no item (a) por 3 meses.05 ) 3 ⇒ FV' = R$ 1... 2... uma a uma.. descapitalizadas.2 Valor Presente Líquido (NPV) O Valor Presente Líquido é a soma das entradas e saídas...10 1º) Capitalizando: FV ' = 1000 .(1 + 0. PV = 1.63 2º) Descapitalizando: PV ' = 1. 3.157.. Sejam: PV = investimento inicial (momento “zero”) PMTj = fluxos subseqüentes ao momento “zero” (j = 1... até o momento zero. PMTn ) PMTn i = taxa de desconto 0 1 2...........000.000...00 daqui a dois meses...... +75.0000 +60.. 2 60.. PMTn −1 ) e várias entradas (PMT1.........n i = taxa de desconto PV PMT1 Períodos b) Fluxo com várias saídas (PV.......000 0 -100..00 daqui a um mês e R$ 75...............000.................. Sabendo que a taxa de PMT2 P M nT1 − 109 .......... n-1.000 PV 1 i = 20% a.... PMT2 .m...n PMT1 Períodos PV Exemplos: a) Francisco emprestou hoje R$ 100. calcule o valor presente líquido.........00 a um amigo que lhe prometeu pagar R$ 2 PMT PMT1 descapitalização/desconto é de 20% a.PMT PMT2 0 1 2.....m...... 000.000.33 + 50.000.000.00 75.00) para a data 0 (zero).000. ou seja: 60.33 No gráfico temos: + 52.000.000.00 PV = (1 + i) n (1 + 0.00 e 75.00 + (1 + 0.2 ) 2 ⇒ PV2 (0) = 52.00 PV2 (0) = 75.2) 1 + (1 + 0. FV Lembre-se que: PV1 (0) = 60.2) 2 ⇒ NPV = R$ 2.m.00 O somatório dos valores presentes nos dá o valor presente líquido.000.2 )1 ⇒ PV1 (0) = 50.083.083.00 (1 + 0. a uma taxa de 20% a.Para o emprestador (Francisco).00 0 . trata-se de um fluxo de caixa constituído de uma saída (100.33 O fluxo de caixa final apresenta-se: 110 ..100.083.000.000.00) e de duas entradas (60.000.00 NPV = −100 . 0 1 2 3 ..000.m.083.m.00 60.NPV + 2. (CF0) representa o valor do fluxo de caixa no período zero (-100.000.0000 +60.000 0 1 2 i = 20% a.00). considerando i = 10% a.000.33 15 10 SIGNIFICADO Limpa todos os registros Introduz a saída do período 0 (CF0) Introduz a entrada do período 1 (CF1) Introduz a entrada do período 2 (CF2) Introduz a taxa de desconto Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) 15 b) Calcule.10 4 111 . (CFj) representa o fluxo de caixa num período diferente de zero. -100. o Valor Presente Líquido (NPV) do diagrama abaixo.30 .000 Verifique a existência das teclas azuis (CF0) e (CFj).00 2.33 0 Façamos o mesmo exemplo a calculadora HP-12C: +75.000.00 -100. TECLAS (f) (REG) 100000 (CHS) (g) (CF0) 60000 (g) (CFj) 75000 (g) (CFj) 20 (i) (f) (NPV) VISOR 0.00 75.00 20. utilizando a HP-12C. quando o j assume os valores de 1 a 20.083. e 3 Introduz a entrada do período 4 (CF4) Introduz a taxa de desconto Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) 112 . digita-se (g) (Nj) para informar o número de vezes que ele ocorreu.00 3.00 10. 3000 1000 1000 1000 0 . Neste caso. digitando-se 99 (g) (Nj) TECLAS (f) (REG) 2000 (CHS) (g) (CF0) 1000 (g) (CFj) 3 (g) (Nj) 3000 (g) (CFj) 3 (i) (f) (NPV) VISOR 0. para os períodos 1.000.00 15..00 10. CF2 e CF3).00 se repete. isto é.2000 1 2 3 4 mês Observe que no diagrama acima aparecem três entradas iguais e consecutivas (CF1.000.00 -30.494.00 3.07 SIGNIFICADO Limpa todos os registros Introduz a saída do período 0 (CF0) Introduz a entrada do período 1 (CF1) Número de vezes que a entrada de 1.00 -10. já que o valor de CFj ocorre mais de uma vez. ou seja.00 15. A capacidade máxima da HP-12C é de 99 linhas de programação.00 -2.000.000. para uma taxa de juros de 3% a.00 3. podemos utilizar.TECLAS (f) (REG) 30 (CHS) (g) (CF0) 10 (g) (CFj) 15 (g) (CFj) 10 (CHS) (g) (CFj) 15 (g) (CFj) 10 (i) (f) (NPV) VISOR 0.78 SIGNIFICADO Limpa todos os registros Introduz a saída do período 0 (CF0) Introduz a entrada do período 1 (CF1) Introduz a entrada do período 2 (CF2) Introduz a saída do período 3 (CF3) Introduz a entrada do período 4 (CF4) Introduz a taxa de desconto Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) c) Calcular o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa a seguir. 2.m. no máximo 99 vezes a repetição de CFj.00 3.00 -5.00 1. 93 SIGNIFICADO Limpa todos os registros Insere a saída do período 0 (CF0) Insere a entrada do período 1 (CF1) Insere a entrada do período 2 (CF2) Insere a entrada do período 3 (CF3) Insere a taxa de juros Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) . TECLAS (f) (REG) 4500 (CHS) (g) (CF0) 1000 (g) (CFj) 2000 (g) (CFj) 3000 (g) (CFj) 10 (i) (f) (NPV) b) i = 15% a.9.4500 Calcule os NPVs para as seguintes taxas de juros: a) i = 10% a.00 2. TECLAS 15 (i) 15.a.3 Taxa Interna de Retorno (IRR) Taxa Interna de Retorno (IRR) é a taxa que torna nulo o Valor Presente Líquido (NPV) de um fluxo de caixa. Exemplos: 1) Suponhamos o seguinte fluxo de caixa: 3000 2000 1000 0 1 2 3 anos .00 VISOR SIGNIFICADO Insere a taxa de juros 113 VISOR 0.00 315.000.a.00 -4.00 1.00 10.000.500.00 3.000. a.850 1 2 3 4 anos 114 .34.850 1 2 3 4 anos 0 .60 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) NPV = 315. Basta que você pressione as teclas (f) (IRR) e aparecerá no visor o número 13. 0 1 2 3 anos 0 1 i = 15% a. Este número é a taxa que torna o NPV igual a zero. Observações: a) A Taxa Interna de Retorno (IRR) é também chamada de Taxa Efetiva de Rentabilidade e vem indicada pela sigla IRR (Internal Rate of Return). ou seja.60 Será que existe uma taxa entre 10% e 15% que torne o Valor Presente Líquido (NPV) igual a zero? Sim. é a Taxa Interna de Retorno (IRR).93 i = 10% a.a. Veja os fluxos abaixo: Empresa A 300 200 100 400 400 300 Empresa B 200 100 0 .(f) (NPV) -145. 2 3 anos NPV = -145. b) Devemos lembrar sempre que o dinheiro tem seu valor no tempo. Determine a taxa efetiva de rentabilidade deste investimento. 2) Paulo aplicou R$ 50.Observando os fluxos de caixa acima. comprovando que o dinheiro tem seu valor no tempo.000. (f) (REG) 850 (CHS) (g) (CF0) 400 (g) (CFj) 300 (g) (CFj) 200 (g) (CFj) 100 (g) (CFj) (f) (IRR) ⇒ 8.62% a. qual seria a empresa mais rentável? Esta informação podemos obter. Como a Empresa B recebe valores maiores primeiro. calculando a Taxa Interna de Retorno (IRR) de cada uma delas.a.00 em um mês e R$ 40. sua rentabilidade é maior. Empresa A (f) (REG) 850 (CHS) (g) (CF0) 100 (g) (CFj) 200 (g) (CFj) 300 (g) (CFj) 400 (g) (CFj) (f) (IRR) ⇒ 5. 30000 40000 0 1 2 3 meses 115 .50000 .00 em três meses.a.65% a.000.00 para resgatar duas parcelas: R$ 30. Empresa B Analisando a Tabela percebemos que a Empresa B apresentou maior rentabilidade.000. A diferença do fluxo da Empresa A para o fluxo da Empresa B está na ordem dos recebimentos. Se pressionarmos (f) (NPV) aparecerá no visor um número aproximadamente igual a zero. conforme o fluxo de caixa abaixo: 1200 1080 720 0 1 2 3 4 meses . 3) Bruno fez um investimento com quatro meses de duração.Devemos observar que no segundo mês o fluxo de caixa tem valor 0 (zero).000.00 17. pois IRR é a taxa que torna NPV igual a zero.00 30.000.00 40.000.72 SIGNIFICADO Limpa todos os registros Insere a saída do período 0 (CF0) Insere a entrada do período 1 (CF1) Insere a entrada do período 2 (CF2) Insere a entrada do período 3 (CF3) Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR) – Taxa de rentabilidade mensal A Taxa Interna de Retorno (IRR) está armazenada em i.2000 116 .00 -50. Isto era de se esperar.00 0. TECLAS (f) (REG) 50000 (CHS) (g) (CF0) 30000 (g) (CFj) 0 (g) (CFj) 40000 (g) (CFj) (f) (IRR) VISOR 0. se existir uma taxa única (IRR) tal que torne seus Valores Presentes Líquidos iguais. Exemplo: Considere os fluxos abaixo.a) Calcule o Valor Presente Líquido para uma taxa de 15% a. As aplicações financeiras existentes no mercado. TECLAS (f) (IRR) 18.4 Equivalência de Fluxos de Caixa Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes.: 117 . A Taxa Média de Atratividade é a média das taxas de retorno de um conjunto de investimentos alternativos que está sendo analisado.000.200. ambos sujeitos à taxa de 2% a. RDB/CDB e Fundos de Renda Fixa podem fazer parte de tal conjunto..83 SIGNIFICADO Limpa todos os registros Insere a saída do período 0 (CF0) Insere a entrada do período 1 (CF1) Insere a entrada do período 2 (CF2) Insere a entrada do período 3 (CF3) Insere a entrada do período 4 (CF4) Insere a taxa de juros Calcula o Valor Presente Líquido (NPV) b) Calcule a Taxa Interna de Retorno.00 0.00 -2. quando sua Taxa Interna de Retorno (IRR) for maior que a Taxa Média de Atratividade (TMA). do ponto de vista financeiro. TECLAS (f) (REG) 2000 (CHS) (g) (CF0) 720 (g) (CFj) 1080 (g) (CFj) 0 (g) (CFj) 1200 (g) (CFj) 15 (i) (f) (NPV) VISOR 0.12 VISOR SIGNIFICADO Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR) Conclusão Importante: Um negócio ou investimento torna-se viável.00 1.00 128.m. como: Poupança.00 1.m.080. 9.00 15.00 720. .00. à taxa de juros de 2% a. Assim.000.62 (g) (CFj) 4 (g) (Nj) 2 (i) ⇒ (f) (NPV) 1.00.16 (g) (CFj) 2 (i) (f) (NPV) ⇒ 1.1.m. Considerando-se a taxa de juros de 7% a.500. Resposta: 126. se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa.16 262.00 Fluxo II (f) (REG) 0 (g) (CF0) 262. Exercícios Complementares: 1) Um empréstimo de R$ 1. Conclusão: Os dois fluxos de caixa são equivalentes.62 i = 2% i = 2% 4 5 6 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 Façamos o cálculo do Valor Presente Líquido para cada fluxo: Fluxo I (f) (REG) 0 (g) (CF0) 0 (g) (CFj) 5 (g) (Nj) 1126. essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada. calcular o Valor Presente Líquido (NPV) da operação.000.00 e R$ 900..45 118 .00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 300. tendo em vista que os seus valores líquidos são iguais. R$ 700.m.126.00 Observação: É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. m.33 4) O estudo de viabilidade econômica de um projeto apresentou os seguintes fluxos de caixa (R$ mil): 119 . considerando-se a taxa de juros de 4. R$ 320.. iguais e sucessivas de R$ 1080. respectivamente. Resposta: 7. sendo a primeira após 30 dias.660. Resposta: 8.00. sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira é de 12% a.m. A cada 5 meses a partir da efetivação do negócio.00.5% a.00 e R$ 420. Calcular o valor financiado (NPV).00.2) Calcule o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa abaixo.496. é pago um reforço de R$ 220.12 3000 2000 1000 1000 1000 1000 1000 0 1 2 3 4 5 6 meses 3) Um automóvel é financiado em 15 prestações mensais. 00 3.000.177. 120 .m.96 4.00 431.64 6) Determine as Taxas Internas de Retorno (IRR) dos fluxos de caixa indicados na tabela a seguir: Respostas: IRR(A)=19.227.26 0.00 1.m. 5) Verifique se os fluxos de caixa A e B.00 0.26 FLUXO B 0. – IRR(C)=19.900.077.42% a.500.76 0.m.900.28% a.00 0.00 Qual a rentabilidade (Taxa Interna de Retorno – IRR) anual desse projeto? Resposta: 30.00 700.00 900. da tabela a seguir.00 350.253.00 175.00 175.00 200.ANO 0 1 2 3 4 5 TOTAL RECEBIMENTOS ANUAIS 0.71% a.00 1. são equivalentes para a taxa de 5% a.00 500.92% a. no regime de juros compostos: Resposta: Sim MÊS 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL FLUXO A 2.00 2. – IRR(B)=5.00 8.00 175.m.00 3.650.92 0.00 5.300.700.a.00 500.00 3.00 175.00 175.00 PAGAMENTOS ANUAIS 2..00 391.00 175. verifique se ele deve ser feito.00 após 1 mês.00 7) Uma pessoa aplicou R$ 500.000.85% a.000.MÊS 0 1 2 3 4 5 TOTAL FLUXO A -700. R$ 60.000.000.000.000.000.00 8.65% a.m. a) Qual a Taxa Interna de Retorno desse investimento? Resposta: 8.700.00 300.00 15.000.00 0.000.000.00 0. 8) Aplicando R$ 120.000.00 FLUXO B -3.00 5.000.00 após 5 meses e R$ 90.00 2.00 0.00 e recebeu R$ 200.00 495.00 7.00 6. Resposta: Sim 121 .00 1. b) Supondo que a Taxa Média de Atratividade do investidor seja 6% a.00 após 3 meses..00 845.00 após 7 meses. R$ 250.00 após 2 meses e 300.m.00 uma pessoa recebe R$ 40.000.505.000.00 9.m.000.00 0.00 após 3 meses.050.00 100.00 1.000.00 FLUXO C -20. Qual a Taxa Interna de Retorno desse investimento? Resposta: 21.00 495. b) Verificar se ele deve se aceito. Resposta: Não 10) Considere o projeto 50 abaixo em que os dados 550 em milhares de dólares: estão 50 50 0 .a. em que os dados estão em milhares de dólares: 100 150 200 100 50 0 . Resposta: Sim c) Verificar se ele deve se aceito.500 1 2 3 4 anos 122 . considerando uma Taxa Média de Atratividade de 6% a.9) Considere o projeto abaixo..97% a.a.500 1 2 3 4 5 anos a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 6.a. considerando uma Taxa Média de Atratividade de 10% a.. 000 8.000 .a. se a Taxa Média de Atratividade for de 6% a. 0 37 87 237 123 -20.000 2.000 12) Considere o fluxo de caixa abaixo em dias.a.000 22. b) Verifique se ele deve ser aceito.35% a. 3000 5.12.d.m.000 12.84% a. Resposta: 17. Resposta: Sim 11) Qual a Taxa Interna de Retorno do investimento abaixo? Resposta: 0.000 8000 0 45 70 87 195 dias .a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 10% a. Calcule a Taxa Interna de Retorno. 124 .