Capítulo3 Vibrações Livres com Amortecimento Viscoso Na natureza não existe uma vibração sem nenhum amortecimento. Por menor que seja ele sempre está presente. Este amortecimento será responsável pela atenuação do movimento, tendendo a diminuir a sua amplitude com o tempo. A força de amortecimento viscoso, F, é proporcional à velocidade ݔሶ e pode ser expressa como: (3.1) ܨൌ െܿݔሶ Onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso, e o sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade. Um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso é mostrado na próxima figura. Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton dá a equação de movimento: ݉ݔሷ ሺݐሻ ൌ െܿݔሶ ሺݐሻ െ ݇ݔሺݐሻ Ou ݉ݔሷ ሺݐሻ ܿݔሶ ሺݐሻ ݇ݔሺݐሻ ൌ Ͳ (3.2) Figura 3.1: Sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso Dividindo a equação 3.2 pela massa (m), temos: (3.3) 28 ݔሷ ሺݐሻ ܿݔሶ ሺݐሻ ݇ݔሺݐሻ ൌͲ ݉ ݉ Assim temos, ߱ଶ ൌ ݇Ȁ݉ e definindo o parâmetro ߞ(zeta) = ܿȀʹ݉߱ , que passará a se chamar como fator de amortecimento, sendo uma constante real, positiva. A equação 3.3 pode ser escrito como: (3.4) ݔሷ ሺݐሻ ʹߞ߱ ݔሶ ሺݐሻ ߱ଶ ݔሺݐሻ ൌ Ͳ Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento ߞ(zeta) é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico: ߞൌ Onde: (3.5) ܿ ܿ ݇ ܿ ൌ ʹ݉ඨ ൌ ʹξ݇݉ ൌ ʹ݉߱ ݉ (3.6) Para solucionar a equação 3.4, admitimos uma solução na forma: (3.7) ݔൌ ݁ܣఒ௧ ݔሶ ൌ ݁ߣܣఒ௧ ݔሷ ൌ ߣܣଶ ݁ ఒ௧ Onde A e ߣ são constantes indeterminadas. A inserção das equações anteriores na equação 3.4 resulta na equação característica: (3.8) Cujas raízes são: ߣଶ ʹߞ߱ ߣ ߱ଶ ൌ Ͳ ߣଵ ൌ ሾ߱ ቀെߞ ඥߞ ଶ െ ͳቁሿ (3.9) ߣଶ ൌ ሾ߱ ቀെߞ െ ඥߞ ଶ െ ͳቁሿ Com isso, chega-se a uma solução geral: Ou da forma: ݔൌ ܣଵ ݁ ݔൌ ܣଵ ݁ ఒభ௧ ܣଶ ݁ ఒమ௧ ሾఠ ቀିାඥ మ ିଵቁሿ௧ ܣଶ ݁ 29 ሾఠ ቀିିඥ మ ିଵቁሿ௧ (3.10) (3.11) se aproximará do equilíbrio mais rapidamente do que um sistema superamortecido. e. a solução é própria equação 3. SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO ( ࣀ ൌ ) Neste caso. 3. ߣଵ ൌ ሾ߱ ቀെߞ ඥߞ ଶ െ ͳቁሿ (3. e a solução da equação 3.12) ߣଶ ൌ ሾ߱ ቀെߞ െ ඥߞ ଶ െ ͳቁሿ Nesse caso. (ߣଵ ൌ ߣଶ ൌ െ߱ ). Um sistema criticamente amortecido.13) Novamente. o movimento decai com x aproximando se de zero para tempos grandes e o movimento é não periódico. quando excitando com uma velocidade ou deslocamento inicial. · Sistema Criticamente Amortecido: ߞ ൌ ͳ. Não há oscilação.11. O movimento da equação 3.2 é dada por: ݔሺݐሻ ൌ ሺܣଵ ܣଶ ݐሻ݁ ିఠ ௧ (3. negativo ou nulo. dando origem às seguintes três categorias de movimento amortecido: · Sistema Superamortecido: ߞ ͳ. · Sistema Sub-amortecido: ߞ ൏ ͳ. SISTEMA SUPERAMORTECIDO (ࣀ ͳ) As raízes ߣଵ e ߣଶ são números reais negativos e distintos. portanto não existe período associado ao movimento. Este sistema também possui como característica: ܿ ܿ ݇ ܿ ඨ ݉ ʹ݉ 3. as raízes ߣଵ e ߣଶ são números reais negativos iguais.11 decaí de modo que x se aproxima de zero para grandes valores de tempo. Este sistema também possui como característica: ܿ ൌ ܿ ܿ ݇ ൌඨ ʹ݉ ݉ 30 . o radicando ሺߞ ଶ െ ͳሻ pode ser positivo.Como Ͳ ߞ λ.2 CASO 2.1 CASO 1. que nos permite escrever a equação anterior como: ݔൌ ሾܣଵ ሺ ߱ௗ ݐ ݅߱݊݁ݏௗ ݐሻ ܣଶ ሺ ߱ௗ ݐെ ݅߱݊݁ݏௗ ݐሻሿ݁ ିఠ ௧ ݔൌ ሾሺܣଵ ܣଶ ሻ ߱ௗ ݐ ݅ሺܣଵ െ ܣଶ ሻ߱݊݁ݏௗ ݐሿ݁ ିఠ ௧ ݔൌ ሾሺܣଷ ሻ ߱ௗ ݐ ݅ሺܣସ ሻ߱݊݁ݏௗ ݐሿ݁ ିఠ ௧ ݔൌ ሾ݊݁ݏܥሺ߱ௗ ݐ ߶ሻሿ݁ ିఠ ௧ Onde: ݔൌ ሾܥ ܿݏሺ߱ௗ ݐെ ߶ ܣଷ ൌ ܣଵ ܣଶ ܣସ ൌ ܣଵ െ ܣଶ ሻሿ݁ ିఠ ௧ ܥൌ ܥ ൌ ඥሺܣଷ ሻଶ ሺܣସ ሻଶ ߶ ൌ ܽ ݃ݐܿݎ൬ ܣଷ ൰ ܣସ ߶ ൌ ܽ ݃ݐܿݎ൬െ ܣସ ൰ ܣଷ (3. como: ݔൌ ሺܣଵ ݁ ඥଵି మఠ ௧ ܣଶ ݁ ିඥଵି మఠ ௧ ሻ݁ ିఠ ௧ (3. Assim: ݔൌ ሺܣଵ ݁ ఠ௧ ܣଶ ݁ ିఠ௧ ሻ݁ ିఠ ௧ (3. É conveniente adotar uma nova variável ߱ௗ para representar a combinação ߱ ඥͳ െ ߞ ଶ .14) Onde ݅ ൌ ξെͳ.11.16) (3. o radicando ሺߞ ଶ െ ͳሻ é negativo e recordando que ൌ ݁ Ǥ ݁ .19) A frequência ߱ௗ é denominada a frequência de vibração amortecida.18) (3.3.3 CASO 3.15) O uso da formula de Euler ݁ േ௫ ൌ ܿ ݔݏേ ݅ݔ݊݁ݏ. podemos reescrever a equação 3. SISTEMA SUBAMORTECIDO ሺࣀ ൏ ͳሻ ݁ ሺାሻ Para essa condição.17) (3.20) ߱ௗ ൌ ߱ ඥͳ െ ߞ ଶ 31 . E é definida como: (3. 32 . É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por ݐଵ e ݐଶ os tempos correspondentes a duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas medidas.2: Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento Na figura 3.4 DECREMENTO LOGARÍTMICO O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida.3 esta representando este movimento.21) ൌ ߬ௗ ൌ ଶ ߱ௗ ߱ ඥͳ െ ߞ 3. a figura 3. que é dado por: ʹߨ ʹߨ (3.2 podemos observar o período de amortecimento. Este sistema possui como característica: ܿ ൏ ܿ ܿ ݇ ൏ඨ ʹ݉ ݉ Figura 3. O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é único que resulta em um movimento oscilatório.Pode-se ver que a frequência de vibração amortecida é sempre menor do que a frequência natural não amortecida. 25) .Figura 3.23: ݔଵ ʹߨ ʹߨߞ ߜ ൌ ݈݊ ൌ ߞ߱ ߬ௗ ൌ ߞ߱ ൌ ݔଶ ߱ ඥͳ െ ߞ ଶ ඥͳ െ ߞ ଶ (3.23) (3.3: Movimento oscilatório Pela equação 3.24) O decremento logarítmico é adimensional e. na realidade. Por conseqüência. ߞൌ ߜ ඥሺʹߨሻଶ ߜ ଶ 33 (3. ݐଶ ൌ ݐଵ ߬ௗ onde ߬ௗ ൌ ʹߨȀ߱ௗ é o período de vibração amortecida. ߞpode ser determinado resolvendo-se a equação 3. Uma vez conhecido ߜ.16. ሺ߱ௗ ݐଶ െ ߶ ሻ ൌ ሺʹߨ ߱ௗ ݐଵ െ ߶ ሻ ൌ ܿݏሺ߱ௗ ݐଵ െ ߶ ሻ e a equação 3.22) ିఠ ௧భ ሺ߱ௗ ݐଵ െ ߶ ሻ ݔଵ ܥ ݁ ൌ ݔଶ ܥ ݁ ିఠ ௧మ ሺ߱ௗ ݐଶ െ ߶ ሻ Porém.24. podemos expressar a razão: (3. é outra forma do fator de amortecimento adimensional ߞ.22 pode ser escrita como: ݔଵ ݁ ିఠ ௧భ ൌ ൌ ݁ ఠ ఛ ݔଶ ݁ ିఠ ሺ௧భାఛሻ O decremento logarítmico ߜ pode ser obtido pela equação 3. Solução: 34 . Após o bloco ser deslocado e solto. c=2kg/s e k=10kN/m. Calcule os valores de ߞ e ߱ . Determine o coeficiente de amortecimento viscoso c. Solução: E3. subamortecido ou criticamente amortecido? Solução: E3.3 Um bloco de 0.1 Para um sistema massa-mola-amortecedor temos m=1kg.5 N quando a velocidade é de 0.8kg está suspenso por uma mola de rigidez igual a 120 N/m. O sistema é superamortecido. determine o período amortecido. Se um amortecedor apresenta força de amortecimento de 2.2 Um bloco possui massa de 20 kg e a mola tem rigidez k=600 N/m.Exemplos E3.2 m/s. efetuaram-se duas medidas da amplitude x1=150 mm e x2=87 mm. E3. Solução: 35 . Dados c = 42 Ns/m e k = 98 N/m. Determine o deslocamento x em função do tempo.4 A massa de 2 kg é solta a partir do repouso a uma distância x 0 à direita da posição de equilíbrio. Determine o deslocamento x em t=0. quando t=0.E3.5s se c=200 Ns/m. Solução: 36 .5 A massa do sistema mostrado na figura é liberada a partir do repouso em x0 = 150 mm. onde t=0 é o tempo em que a massa foi solta.E3.6 A massa de 2kg é solta a partir do repouso a uma distância x0 para a direita em relação à posição de equilíbrio. Solução: 37 . Determine o deslocamento x em função do tempo t. 3. Calcule os valores do fator de amortecimento e da frequência natural do sistema.5 Um oscilador harmônico possui massa m=30kg e constante de rigidez k=100kN/m. E depois diga se o sistema é superamortecido. temos m=1kg.s/ft. 3. 3. onde m= 40 lb.3 Determine o valor do fator de amortecimento para o sistema massa-mola amortecedor simples mostrado. b) O decremento logarítmico e a frequência natural amortecida. c= 2kg/s e k=10N/m.2 Um aprimoramento do projeto original da plataforma de pesagem é mostrado aqui com dois amortecedores viscosos que foram introduzidos limitando para 4 a razão entre amplitudes positivas sucessivas da vibração vertical na condição descarregada. 3.5. 38 .4 Determine o valor do coeficiente de amortecimento c para o qual o sistema é criticamente amortecido se k = 70 kN/m e m= 100kg.5 e (b) 1.6 Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual o sistema mostrado na figura apresenta uma taxa de amortecimento de (a) 0. Determine o coeficiente de amortecimento viscoso c para cada um dos amortecedores. Admita m=4000kg e k=474 k N/m.5 lb. k = 3 lb/in e c = 2. Determinar: a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento ߞ ൌ Ͳǡͳ.1 Para um sistema massa-mola-amortecedor.Exercícios 3. subamortecido ou criticamente amortecido? 3. quando t=0.3. Determine o fator de amortecimento viscoso para a extremidade traseira e o coeficiente de amortecimento viscoso 39 . Trate a oscilação como um problema unidimensional com uma massa equivalente igual à metade da massa do carro. 3.7 Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual o sistema mostrado na figura é criticamente amortecido. Determine o deslocamento x em t=0. desce até um deslocamento máximo de 12 mm abaixo da posição de equilíbrio sem carga.10 O proprietário de uma picape testa a ação dos amortecedores traseiros aplicando uma força permanente de 450 N ao para-choque traseiro e medindo um deslocamento estático de 75 mm. 3.9 A massa do sistema mostrado na figura é liberada a partir do repouso em x0 = 125 mm. em seguida. Determine o deslocamento negativo de x1.8 O sistema mostrado na figura é liberado a partir do repouso a uma posição inicial x0. o para-choque se levanta e. Ao se retirar repentinamente a força. 3.65s se c=300 Ns/m. Admita que o movimento de translação ocorra na direção x. Admita a massa do veículo igual a 1. 40 .600 kg.c para cada amortecedor supondo que sua ação seja vertical. Também em estruturas. a força requerida para produzir deslizamento é proporcional à força normal atuante no plano do contato. são utilizados elementos que provocam amortecimento por atrito seco.1b apresenta os diagramas de corpo livre para as duas possíveis orientações do movimento. A força de atrito F: ܨൌ ߤǤ ܰ (4. dependendo somente da força normal atuante entre as superfícies em deslizamento. O movimento se dá oscilatoriamente. A força de atrito atua em sentido oposto ao da velocidade. 41 . uma vez que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da velocidade. O amortecimento de Coulomb é.1) onde N é a força normal e ߤ é o coeficiente de atrito. A Lei de Coulomb para o atrito seco estabelece que quando dois corpos estão em contato. A figura 4. A figura 4.1a. Em muitos sistemas mecânicos. portanto o sistema está ora em uma situação. chamado de amortecimento constante. mostra um sistema de um grau de liberdade com amortecimento de Coulomb. componentes frequentemente deslizam um em relação ao outro e o atrito seco aparece internamente. algumas vezes. ora em outra. Em cada uma destas orientações a equação do movimento tomará uma forma diferente.Capítulo 4 Vibrações Livres com Amortecimento de Coulomb O amortecimento de Coulomb aparece quando corpos deslizam em superfícies secas. que é a solução da equação (2.19a). a força de atrito será negativa e a Segunda Lei de Newton aplicada resultará: Ou então. coeficientes constantes. Primeira fase do movimento: Quando a velocidade tiver sentido positivo (segundo o referencial adotado). consequentemente. resultando: (4. e a outra chamada particular. uma chamada homogênea. Segunda fase do movimento: Quando a velocidade troca de sinal.Figura 4. linear.2) e. valem somente enquanto a velocidade permanecer com o sinal positivo. ݉ݔሷ ൌ െ݇ ݔെ ߤܰ (4.Sistema com amortecimento de Coulomb. A solução geral desta equação compõe-se de duas partes.3). não homogênea.15). que inclui o termo do lado direito da equação. de segunda ordem.3) ߤܰ ݔሺݐሻ ൌ ܣଵ ܿ߱ݏ ݐ ܣଶ ߱݊݁ݏ ݐെ ݇ A equação (4. dada em (2.1 .2) ݉ݔሷ ݇ ݔൌ െߤܰ que é uma equação diferencial ordinária. a força de atrito também muda de sinal resultando na equação: 42 . sua solução (4. as condições iniciais: Solução: Deslocamento Inicial: ݔሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ ݔ Velocidade Inicial: ݔሶ ሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ Ͳ (2. apenas com o sinal da solução particular invertido.5) Em (4.4). O sistema inicia o seu movimento a partir de um deslocamento inicial.2) e (4. então. São. resultando: ݔሺݐሻ ൌ ܣଵ ܿ߱ݏ ݐ ܣଶ ߱݊݁ݏ ݐ ఓே (4. com velocidade inicial nula.54.3) e (4. deve-se analisar o movimento a partir de condições iniciais.58) Figura 4.10.4) ݉ݔሷ ݇ ݔൌ ߤܰ que tem solução análoga a 2.(4. para caracterizar a inversão do sentido do movimento em cada meio ciclo. Para complementar a solução das equações (4. Como a força de atrito muda de sentido a cada meio ciclo (período em que a velocidade permanece com sinal inalterado). 43 .2 – Movimento do sistema com amortecimento de Coulomb.5). o termo μN/k representa o deslocamento da mola devido à força de atrito estabelecendo uma nova posição de equilíbrio. esta posição de equilíbrio também muda a cada meio ciclo como pode ilustrar a figura 2. para 0 ≤ t ≤ ߨൗ . A equação que descreve esta fase do movimento é (4.5 se torna. As condições iniciais para esse meio-ciclo são: ʹߤܰ (4. temos: ܣଵ ൌ ൬ݔ െ ͵ߤܰ ൰ܣଶ ൌ Ͳ ݇ 44 . Quando t = ߨൗ . o primeiro meio ciclo ocorrerá com velocidade negativa.Se o movimento começa com um deslocamento inicial positivo e velocidade nula. portanto a equação 4. a redução em െݔଵ ൌ െݔ magnitude de x no tempo de ߨȀ߱ é ଶఓே . a massa estará em sua posição extrema esquerda e seu ߱ ߱ deslocamento em relação à posição de equilíbrio pode ser determinado pela equação acima. o valor de x tornou-se Ȃ ሾݔ െ ሺʹߤܰȀ݇ሻሿ.4).8) na equação (4. a massa movimenta-se da esquerda para a direita. cuja solução é dada em (4.8) ൰ ݔሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ ݐ݉݁ݔ݁݀ݎ݈ܽݒൌ ߨൗ߱ ൌ െ ൬ݔ െ ݇ ݔሶ ሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ ݔ݁݀ݎ݈ܽݒሶ ݁݉ ݐൌ ߨൗ߱ ൌ െ߱ ൬ݔ െ ߤܰ ൰ ߨ݊݁ݏൌ Ͳ ݇ Substituindo as condições iniciais (4. portanto: ݔሺݐሻ ൌ ൬ݔ െ ߤܰ ߤܰ ൰ ܿ߱ݏ ݐ ݇ ݇ (4. Introduzindo as condições iniciais (4.5). െݔଵ ൌ ݔ൫ ݐൌ ߨൗ߱ ൯ ൌ ൬ݔ െ ߤܰ ߤܰ ൰ ߨ ݇ ݇ ʹߤܰ ݇ Uma vez que o movimento começou com um deslocamento de x = x0 e. No segundo meio-ciclo. em um meio-ciclo. isto é. as constantes podem ser determinadas por: ߤܰ ݔሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ ݔ ൌ ܣଷ ݇ Resultando em: ݔሶ ሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ Ͳ ൌ ߱ ܣସ ܣଷ ൌ ݔ െ ߤܰ ݁ܣସ ൌ Ͳ ݇ A equação 4.7) Está solução é válida apenas para metade do ciclo.3).6) em (4.5).3 deve ser usada. 10) serão as condições iniciais do terceiro meio ciclo. para ߨൗ ݐ ʹߨൗ .10) ሶ ݔሶ ଶ ൌ ݔ൫ݐଶ ൌ ʹߨൗ߱ ൯ ൌ Ͳ Os valores da equação (4.5). novamente. isto é. mudando de equação a cada meio ciclo até que no final de um determinado meio ciclo. como já foi dito anteriormente. passa a valer a equação (4. No final desse meio-ciclo. com a amplitude caindo variando േ ఓே ଶఓே a cada meio ciclo e com a posição de equilíbrio também a cada meio ciclo.4) e sua solução (4.O deslocamento.11) A característica principal do amortecimento causado por atrito seco.9. ambas representam movimentos harmônicos na frequência ߱ . quando.9) Esta equação é válida somente para o segundo meio-ciclo. é regido então por: ݔሺݐሻ ൌ ൬ݔ െ ߤܰ ͵ߤܰ ൰ ߱ ݐെ ݇ ݇ (4. O movimento prosseguirá desta forma. Isso acontecerá no final do meio ciclo de ordem r que pode ser determinado por: ݔ െ ݎ Ou ʹߤܰ ߤܰ ݇ ݇ ݎ ݔ െ ఓே ଶఓே (4. o deslocamento seja tão pequeno que a força de mola seja incapaz de vencer a força de atrito estático. é que a amplitude diminui sempre uma quantidade constante a cada ciclo (ou meio ciclo). neste segundo meio ciclo do movimento. 45 . o valor de x(t) é: ߱ ߱ ݔଶ ൌ ݔ൫ݐଶ ൌ ʹߨൗ߱ ൯ ൌ ݔ െ Ͷߤܰ ݇ (4.7 e 4. Observando 4. Exercícios 4. Se a mola é inicialmente deslocada de 5 cm para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: a) O número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso. Solução: 46 .1 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma de rigidez 10 N/mm.2 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 1000N/m. c) Posição em que ocorrerá a parada. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executar quatro ciclos? Solução: 4. b) Tempo transcorrido até atingir o repouso. Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. O movimento vertical da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50N. Admitindo que a massa movimenta-se sobre uma superfície horizontal.12. verificou-se que a amplitude é de 100 mm. Qual é o coeficiente médio de atrito entre as duas superfícies se a amplitude original era de 150 mm? Quanto tempo transcorreu durante os 4 ciclos? 4.4. Determine a magnitude de força de amortecimento. (b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até pararem completamente.6 Um peso de 25 N esta suspenso por uma mola que tem uma rigidez de 1000 N/m.5 cm em cada ciclo.7 Um bloco de metal colocado sobre uma superfície irregular esta ligado a uma mola e sofre um deslocamento inicial de 10 cm em relação á sua posição de equilíbrio.3 A massa de um sistema massa-mola com k = 10. Suponha que o coeficiente de atrito entre a massa e a superfície seja 0. 47 .2 e cinético μ = 0. (a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à força de atrito.08. Quando o peso é inicialmente puxado para baixo até uma distância de 10 cm em relação à sua posição de equilíbrio estático e então é solto. atinge o repouso após exatamente dois ciclos completos. como mostrado na figura abaixo. 4. Constata-se que o período natural de movimento é 1. O peso vibra no sentido vertical sob uma força de amortecimento constante. 4. b) O número de ciclos de movimento executados pelo bloco antes de parar.4 Uma massa de 10 kg esta ligada a uma mola de rigidez 3000 N/m e é solta após sofrer um deslocamento inicial de 100 mm.000 N/m e m = 5kg é posta para vibrar sobre uma superfície irregular.0 s e que a amplitude decresce 0. 4. 4. determine a posição na qual a massa atinge o repouso.8 A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático μ s = 0. Após 4 ciclos completos. determine o tempo transcorrido para completar os 10 ciclos.5 Uma massa de 20 kg desliza para frente e para trás sobre uma superfície seca devido à ação de uma mola com rigidez de 10 N/mm. Determine: a) O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de metal e a superfície. Se a força de atrito for F=20N e observarmos que a amplitude da massa diminui 50 mm em 10 ciclos.