Apostila Teo Dsp

Apostilade Teoria para Processamento Digital de Sinais (Versão A2018M01D18) Universidade Federal Fluminense Alexandre Santos de la Vega Departamento de Engenharia de Telecomunicações – TET Escola de Engenharia – TCE Universidade Federal Fluminense – UFF Janeiro – 2018 . 621.3192 de la Vega, Alexandre Santos (*) D278 Apostila de Teoria para Processamento Digital (*) de Sinais / Alexandre Santos de la Vega. – Niterói: 2018 UFF/TCE/TET, 2018. 330 (sem romanos) ou 358 (com romanos) p. (*) Apostila de Teoria – Graduação, Engenharia de Telecomunicações, UFF/TCE/TET, 2018. 1. Processamento de Sinais. 2. Processamento Digital de Sinais. 3. Telecomunicações. I. Tı́tulo. (*) OBTER INFO NA BIBLIOTECA E ATUALIZAR !!! Aos meus alunos. iii Prefácio O trabalho em questão aborda os tópicos apresentados na disciplina Processamento Digital de Sinais. O material completo foi dividido em três volumes. O presente volume apresenta um conteúdo teórico. O conteúdo prático pode ser encontrado no volume entitulado Apostila com Códigos de Programas Demonstrativos para Processamento Digital de Sinais. As especificações dos trabalhos propostos na disciplina podem ser encontradas no volume entitulado Apostila com Trabalhos Extra Classe de Exercı́cio e de Código (TEC) para Processamento Digital de Sinais. As apostilas foram escritas com o intuito de servir como uma referência rápida para os alunos dos cursos de graduação e de mestrado em Engenharia de Telecomunicações da Universidade Federal Fluminense (UFF). O material básico utilizado para o conteúdo teórico foram as minhas notas de aula, que, por sua vez, originaram-se em uma coletânea de livros sobre os assuntos abordados. Os códigos de programas demonstrativos e as especificações dos trabalhos propostos são completamente autorais. A motivação principal para o desenvolvimento desse trabalho foi a de aumentar o dinamismo das aulas. Portanto, deve ficar bem claro que estas apostilas não pretendem substituir os livros textos ou outros livros de referência. Muito pelo contrário, elas devem ser utilizadas apenas como ponto de partida para estudos mais aprofundados, utilizando-se a literatura existente. Espero conseguir manter o presente texto em constante atualização e ampliação. Correções e sugestões são sempre bem-vindas. Rio de Janeiro, 04 de agosto de 2008. Alexandre Santos de la Vega UFF / TCE / TET v vi Agradecimentos Aos professores do Departamento de Engenharia de Telecomunicações (TET), da Escola de Engenharia (TCE), da Universidade Federal Fluminense (UFF), que colaboraram com crı́ticas e sugestões bastante úteis à finalização da versão inicial deste trabalho. Aos funcionários e ex-funcionários do TET, Arlei, Carmen Lúcia, Eduardo Wallace, Fran- cisco e Jussara, pelo apoio constante. Aos meus alunos, que, além de servirem de motivação principal, obrigam-me sempre a me tentar melhorar, em todos os sentidos. Mais uma vez, e sempre, aos meus pais, por tudo. Rio de Janeiro, 04 de agosto de 2008. Alexandre Santos de la Vega UFF / TCE / TET vii viii . • Com essa percepção. do Instituto de Computação da UFF (IC/UFF). em 1998. Nesse perı́odo. Nessa primeira tentativa de implantação da disciplina. o Processamento Digital de Sinais já era um assunto presente na área de Telecomunicações. da Escola de Engenharia da UFF (TCE/UFF). o autor decidiu ampliar as notas de aula manuscritas. • Em 2008. ele criou a disciplina optativa “Introdução ao Processamento Digital de Sinais”. foram elaboradas as primeiras notas de aula (manuscritas) para a disciplina optativa criada no TET. • Em 1995. • Na época do seu ingresso. surgiu a primeira versão da apostila de teoria. e mesmo algum tempo depois. o TET realizou uma reforma curricular e a disciplina optativa “Introdução ao Processamento Digital de Sinais” tornou-se obrigatória. • Na primeira década de 2000. o autor lançou uma outra disciplina optativa. sob o nome de “Processamento Digital de Sinais”. tratando do Projeto de Filtros Digitais. tem sido responsável por diversas disciplinas oferecidas pelo TET para o Curso de Engenharia de Telecomunicações. ele nasceu. o autor ingressou no Departamento de Engenharia de Telecomunicações (TET) da Universidade Federal Fluminense (UFF) e. ainda não era oferecida pelo TET uma disciplina formal sobre a matemática que o fundamenta. eles foram apenas transcritos para o Sistema de Preparação de Documentos LATEX [Lam94]. E com importância crescente. Assim. planejamento. baseando-se em diversos outros livros. ix . • Durante o afastamento. evoluiu e tem sido mantido de uma forma bem orgânica. a disciplina optativa foi oferecida por outro professor do TET.Apresentação do material didático • O material aqui apresentado não é fruto de um projeto educacional envolvendo idealização. desde então. pesquisa. estruturação. em virtude do seu afastamento para finalização do seu doutoramento. • Para dar suporte às aulas. vinculada à primeira. foi usada a referência [Mit98] como livro texto. • Pelo contrário. revisão e edição. com os objetivos iniciais de melhor organizar os manuscritos e de atender aos apelos dos alunos por cópia dos manuscritos. e para o Curso de Ciência da Computação. desenvolvimento. • A disciplina optativa foi oferecida pelo autor apenas durante dois perı́odos letivos. • Tendo voltado a ministrar a disciplina. Apesar disso. sempre foram preparadas diversas versões de cada documento ao longo de um mesmo perı́odo letivo. • No tocante à apresentação do conteúdo teórico. • Para incentivar os alunos a modificarem códigos existentes e a gerarem seus próprios códigos. Os mais diversos seccionamentos de texto (capı́tulos. [SDD84]. • A partir de 2016. Pode-se dizer que tais manuscritos representavam apenas um roteiro de aula. ao se perceberem dúvidas recorrentes dos alunos. • Na preparação das aulas. [OWY83]. com a incorporação de trabalhos semanais na prática da disciplina. com a maturação gradual que a disciplina foi ganhando a cada perı́odo letivo. [SK89]. pois. uma nova apostila tem sido elaborada. • No ponto de vista estrutural é que o aspecto dinâmico dos documentos mais se tem feito presente. Por essa razão. é demandado aos alunos que eles gerem as suas próprias figuras. os manuscritos originais continham apenas tópicos. [Jac96]. • Por tudo isso. a cada nova versão. a partir de um aplicativo computacional adequado. novos conteúdos foram surgindo. relativos ao conteúdo abordado.x • A partir daı́. Ora por curiosidade dos alunos. • Também como filosofia educacional do autor. trabalhos) são anexadas ao conteúdo. contendo códigos de programas demonstrativos. por demandarem algum assunto em especial. subseções. procurando incorporar um determinado tópico na disciplina. a apostila de teoria não apresenta figuras que ilustrem os assuntos abordados. a partir de 2011. Ora por necessidade pedagógica. – Outros livros indicados: [Rob09]. são mesclados e desaparecem. provas. uma nova apostila tem sido elaborada. Ora por curiosidade do autor. seções. [PL76]. relativos aos tópicos abordados na apostila de teoria. na forma de exercı́cios propostos.) surgem. [Ant86]. etc. novas formas de abordagem têm sido testadas. [OS75]. [Mit98]. como filosofia educacional do autor. as questões que fazem parte de toda e qualquer forma de avaliação formal da disciplina (testes. [PM06]. . em sala de aula e/ou em alguma forma de avaliação formal da disciplina. [Cad73]. têm sido utilizados os seguintes livros: – Livros indicados pela ementa da disciplina: [DdSN10]. com a evolução da apostila de teoria. pode-se asseguradamente dizer que todo o material produzido encontra-se em constante atualização. Gradativamente. desde o inı́cio da sua confecção até o presente momento. destinados à abordagem do conteúdo programático durante as aulas. contendo os trabalhos propostos a cada perı́odo letivo. [She95]. os tópicos têm sido trocados por textos dissertativos. Pelo contrário. o identificador “Versão A<ano>M<mês>D<dia>” aparece logo abaixo do tı́tulo de cada apostila. • Além disso. • Dessa forma. Teoria abordada no material didático • Introdução <2 horas> – Conceitos básicos: que busca contextualizar a disciplina no âmbito do curso e apresentar conceitos que serão necessários ao longo do texto. – Diagrama de pólos e zeros do operador de transferência. – Diagramas de sistema (ou estruturas ou realizações). operações. ∗ Cálculo da resposta de um SLIT FIR (Resposta ao Impulso Finita) com entrada de comprimento indefinido. <2 horas> – Sistemas no domı́nio do tempo: definições. – Equação de diferença. <4 horas> – Seqüências exponenciais: caracterı́sticas relevantes de exponenciais. classificações. – Diagramas de blocos de complexidade genérica. operações. classificações. – Equações de estado. exemplos e caracterizações. funções com dependência exponencial. amostragem de sinais contı́nuos no tempo. exemplos e caracterizações. <4 horas> • Representações de um Sistema Linear e Invariante ao Tempo (SLIT) <12 horas> – Resposta ao impulso. – Operador de transferência. decomposição de funções usando exponenciais. ∗ Cálculo da resposta de um SLIT baseado no uso do operador de transferência. ∗ Cálculo da resposta de um SLIT baseado na solução convencional da equação de diferença. • Respostas de um Sistema Linear e Invariante ao Tempo (SLIT) <10 horas> – Cálculos da resposta de um SLIT <8 horas> ∗ Cálculo da resposta de um SLIT baseado na solução das equações de estado. xi . <2 horas> – Amostragem e interpolação: que apresenta um resumo das representações dos sinais analógicos no domı́nio da freqüência e aborda as duas formas de conexão entre os domı́nios analógico e digital. – Relações e mapeamentos entre as diversas representações. [Opcional] • Sinais e sistemas (com tempo discreto) no domı́nio do tempo <10 horas> – Sinais no domı́nio do tempo: definições. ∗ Função de Transferência ou Função de Sistema. ∗ Relações entre as diversas representações em freqüência. ∗ Transformada de Fourier Discreta (DFT). Transformada de Fourier e Transformada de Laplace). ∗ Série de Fourier de Tempo Discreto (DTFS). pode-se identificar um novo tipo de representação para o sistema. – Função de Transferência: baseado no cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem. [Opcional] – SLIT de ordem qualquer <8 horas> ∗ Tipos de respostas de um sistema. ∗ Resposta ao estado + resposta à entrada. ∗ Representações de um SLIT no domı́nio da freqüência. ∗ Resposta transitória + resposta permanente. para um determinado tipo de sinal de entrada. • Aplicações: exemplos de aplicações são distribuı́dos ao longo do texto e exercitados na forma de trabalhos. ∗ Resposta homogênea + resposta do sistema relaxado (resposta particular + resposta complementar). ∗ Transformada Z. ∗ Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT). parâmetros e efeitos importantes. ∗ Revisão das representações em freqüência com tempo contı́nuo (Série de Fourier. • Sinais e sistemas (com tempo discreto) no domı́nio da freqüência <20 horas> – Sinais <12 horas> ∗ Motivações para a mudança de domı́nio de uma representação.xii – Tipos de resposta de um SLIT <2 horas> ∗ Resposta completa. ∗ Resposta em Freqüência. ∗ Resposta completa em domı́nio transformado. ∗ Seletividade em Freqüência. – Técnicas básicas para aceleração do cálculo da DFT. ∗ Resposta natural + resposta forçada. • Noções da representação em domı́nio transformado para sistemas de primeira ordem [Opcional] – Resposta em Freqüência: baseado no cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem. para um determinado tipo de sinal de entrada. pode-se identificar um novo tipo de representação para o sistema. . • Discutir a aplicação dos conceitos de Operador de Transferência (no domı́nio do tempo) e de Função de Transferência (no domı́nio da freqüência). – Sistema operando com sinais definidos em tempo discreto. o foco está na COMPOSIÇÃO que os sinais apresentam. • Trabalhar com sistemas que apresentem as seguintes caracterı́sticas: – Sistema Linear e Invariante ao Tempo (SLIT). • Discutir a aplicação do conceito de estado de um sistema e da análise do sistema no espaço de estados. o foco está na FORMA que os sinais apresentam. No domı́nio da freqüência. xiii . • Trabalhar com sinais básicos que sejam simultaneamente dependentes das variáveis tempo e freqüência. quantizados (digitais) ou não (amostrados). utilizando-os na composição dos demais sinais envolvidos. bem como a relação existente entre ambos. – Sistema Single-Input Single-Output (SISO). No domı́nio do tempo. – Sistema operando com tempo discreto. • Discutir a análise de sistemas no domı́nio da variável tempo e no domı́nio da variável freqüência.Objetivos da disciplina • Apresentar a base matemática que fundamenta o Processamento Digital de Sinais. xiv . . 10 1. . . .6. . . . . . . . .7 Processamento de sinais . . . .8 Arquitetura de sistemas de processamento digital . . . . . . . .9 Implementações analógicas e digitais . . . .2 Sinais e meios de transmissão . . . 15 2. . . . . . . 9 1. . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . .6.1 Continuous-Time Fourier Series (CTFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Relação da CTFS com a CTFT em um caso particular . . . . .2. . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . .1 Subsistemas de comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Sistemas de comunicação . . . . . . . . . . . .3 Definição de sistemas . . . . . . . . . . 10 1. . . . . . . .2 Caracterı́sticas das implementações analógicas e digitais . 7 1. . . . . . . . 3 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. . . . . .1 Introdução .1 Definição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.Sumário Prefácio v Agradecimentos vii Apresentação do material didático ix Teoria abordada no material didático xi Objetivos da disciplina xiii Sumário xv Lista de Tabelas xxv Lista de Figuras xxvii I Introdução 1 1 Conceitos básicos 3 1. . . .9. . . . . . . . . 3 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Continuous-Time Fourier Transform (CTFT) . . . . 8 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Amostragem e interpolação 13 2. 4 1. . . . . . . . . . .4 CTFT de um sinal periódico . . 15 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. . . . . . 5 1. . . . . . . . . . . 8 1. . . . . . .2 Sinal: definição e classificações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Conceitos básicos . . . . . . . . . 6 1. . . 16 xv . . . . . . . . . . 6 1. . . . 14 2. . . . . . . . . . . . . .5 Estado e variáveis de estado de um sistema dinâmico . . . . . . . .4 Classificações de sistemas . . . . 42 3. . . . . 35 3. . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . 18 2. . . . . . . . .3 Notações para seqüências no domı́nio do tempo . . .8 Exercı́cios propostos . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . 64 4. . . . . . . . . . .4. . . 26 2. . . . . . . . . . . 20 2. .7 Relações de dependência entre seqüências . . .2 Classificações de sistemas . . . . . . . . . . .1 Introdução .6 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. . . . . . . . . . 64 4. . . . 45 3. . . . . . . . . . . . . . . . .1 Sistema numérico . . . . . . .3 Exemplos de sistemas amostrados . . . . 61 4. 67 5 Sistemas no domı́nio do tempo 73 5. . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . .3 Superposição de espectro (aliasing) . . . . . . . . . . . . 65 4. 59 4. . . . . . . . . . 17 2. . .5 Outras classificações . 76 5.3 Simetria .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Amostragem e conversão Analógico/Digital (A/D) . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. . . 59 4. . . . . . . . . . .5 Amostragem de sinais contı́nuos no tempo . . 37 3. . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . MA) . .4 Tipos de seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .2 Modelos matemáticos . . . . . . . . . . 77 5. . . . . . .3. . . . . . . . .5 Operações básicas sobre seqüências . . . . . . . . . . . . . . 63 4. . . . . . . . .2 Associação de ı́ndice com tempo . . . . . . .3 Caracterı́sticas da PAM . . . . . . . .1 Aspectos práticos . . . . .1 Pulse Amplitude Modulation (PAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3. . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5. . . . . . . .4 Generalização do sistema acumulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. . . . . . . . . . . . . . .6 Seqüências mais comumente empregadas . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Interpolação e conversão Digital/Analógico (D/A) . . . . . . . .3 Amplitude Modulation (AM) . 73 5. . . . 76 5. . . .5. . . .xvi 2. .4. .5. 76 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. . .4 Decomposição usando exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . .4 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 II Sinais e sistemas no domı́nio do tempo 31 3 Sinais no domı́nio do tempo 33 3. . . . . .2 PAM com trem de impulsos unitários . . 19 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . .3 Funções com dependência exponencial de Ω . . . . . . . . .1 Aspectos práticos . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Exercı́cios propostos . . . .5.3. . . . . . . .3 Sistema acumulador . . . . . . . 25 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . .2 Sistema de média móvel (Moving or sliding Average . . . . . . . . 47 4 Seqüências exponenciais 59 4. . . . . . . . . .2 Amostragem de sinal senoidal . 35 3. . . . . . 25 2. . . . . .1 Definições básicas . . .1 Sistema deslocador .2 Caracterı́sticas relevantes das exponenciais . . . . . . . 33 3. .2 Comprimento . . . . . . . . . 36 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . 21 2. . . . . . . . . . . . . 64 4. . . . . 36 3. . . 20 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.7. . . . . . . . 117 . . . . . . . . . . . . .2 Definições . . . .2 Resposta ao impulso . . . . . . . 109 6. . .1 Definição .1 Soma de convolução . . xvii 5.5 Diagrama de blocos de complexidade genérica . . . .2. . .6. .2 Diferenciação . . . 112 6. . . . 99 6.7. . . . 94 6. . . . . . 100 6. . . . . . . . . . .6 Tipos de implementação para sistemas digitais . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . .2 Equacionamento das estruturas não recursivas . . . .8 Sistema “expansor + interpolador” . . . . . .6. . . . . . .3. . . . 78 5. . . . 98 6. . 104 6. . . . . . . . 79 5. . . . . . . . .8 Operador de transferência . . .2 Equação de diferença × sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . 93 6. . . . . . . . . .3 Representações gráficas . 99 6. 110 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Estruturas básicas . . . . .4. . . .2. . . . . . . 79 5. . . . . . .5 Variações da Forma Direta de estruturas não recursivas . . . . . . 115 6. . . . . .8. . . . . . . . . .1 Sistemas × comprimento da resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 III Representações de um SLIT 87 6 Representações de um SLIT 89 6. . . . . . . . . . . . . . 91 6. 91 6. . . . . . . . . . . . . .6 Sistema de diferenças regressivas . .3 Resposta do sistema relaxado . . . . . . .2 Associações básicas de sistemas × resposta ao impulso . . . . .3. . .1 Operações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Equação de diferença × resposta ao impulso . . 96 6. . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Definição . . .8. .3 Equação de diferença . . . . . 102 6. . . . . . . . . . . . . .2. . 78 5. .7 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . 91 6. . . . .1 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3. . . . . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . . . 104 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Biquad . . . .7 Sistema compressor (downsampler ) . . . . . . . .1 Operador de deslocamento . . . . . . . . . . .7. . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Sistema de diferenças progressivas . . . . . .8.8. . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . 102 6. . . . . . . .6. . . . . . . .5 Exemplos com estruturas de ordem 1 e de ordem 2 . . . . 103 6. 99 6. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Operador de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5. . . . . . . . . . .3. . . . . . . . .5 Tipos de implementação para sistemas amostrados .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6. . . . . . . . . 97 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Exemplos de resposta ao impulso . . . . . . 102 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6. . . . . .4 Exemplos com estruturas de ordem 1 e de ordem 2 . . .4 Cálculo da saı́da do sistema . . . . . . 78 5. . . . . . . . . . . . . . . . 91 6. . . . .3 Classificação quanto à realimentação da saı́da do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Diagrama de sistema × equação de diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . 80 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6. . .7. . . . . . .4 Decomposições do operador de transferência . . . . .4 Exemplos de aproximação discreta . 95 6. .3 Equacionamento das estruturas recursivas . . . . . . . . . . . . . . . 100 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6. . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6. . . . . . . . .4 Transposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . .6 Diagrama de sistema ou realização ou estrutura . . . . . . . . . . . . .6 Casos particulares de interesse . . 95 6. . . . . . . 99 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6. . . .3 Operador de transferência definido por operadores de avanço . . . . . 131 6. .3. . . .2 Solução das equações de estado . . . . . . . .3 Resposta à entrada . . . . . . . . . . . . . 160 7. . . . . . . . 161 7. . . . . . .12. . . . . . . . . . . . . . . .7 Decomposições do operador de transferência usando biquads . . . . 175 8. . . . . . . 177 8.11. . . . . . . . . . 176 8. . . . . . . . . .3 Espaço de estados . . . 119 6. . . . . . . . . . . 178 9 Motivações para a representação em domı́nio transformado 181 V Noções da representação em domı́nio transformado 183 10 Introdução 185 . 117 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Diagrama de pólos e zeros de T(D) . .12 Equações de estado × equação de diferença . . . . . . . .1 Das equações de estado para o operador de transferência . . . . . . . . 175 8. 174 8 Tipos de respostas de um SLIT 175 8. . . . . .13 Equações de estado × operador de transferência .3 Solução baseada no operador de transferência . . . . . . . . . . . 165 7. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . 160 7. 161 7. . . . 120 6. . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7. .1 Resposta genérica .2 Estrutura IIR na Forma Direta II Transposta . . . . . . . . . . . . . 131 6. . . . . . . . .14 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . 177 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . 118 6. . . . 160 7. . . . .3. . .3 Relação entre o estado inicial e as condições iniciais . .1 Introdução . . . . . . . 123 6. . . . . . . . . . . . 119 6. . . . . 123 6. . . . . . . . . . . . . . . . .12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Um questionamento comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Exercı́cios propostos .3 Casos particulares . . . . .4 Solução convencional da equação de diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Equação de diferença × operador de transferência . 161 7. . . . . . . . . . . 120 6.2 Resposta ao estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7. . . . . . . . . . . . . .4 Não unicidade da representação de estados . . . . . . . . .2 Do operador de transferência para as equações de estado . . .13. . . . . . . . . . . .11. . . . .6 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . 127 6. . . . . . . . . . . .2 Definição . . .11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . .xviii 6. .5 SLIT FIR com entrada de comprimento indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Resposta à entrada . . . . . .10 Operador de transferência × diagrama de sistema . . . . . . . . . . . . .11 Representação no espaço de estados . . . . . . . . 139 IV Respostas de um SLIT 157 7 Cálculo da resposta de um SLIT 159 7. . 118 6. . . . . . . . . . . .12. . . . . . . . . . . . . .13. . . . . . . . . . . . 132 6. . . . . . . .2. . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .2 Resposta ao estado . . . . 121 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7. . .8. . . . . . .1 Estrutura IIR na Forma Direta II . . . . 130 6. . . . . . . . . . . . . . .4 Exemplo de notação alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . 211 14. . . . 191 12.3 SLIT interpretado como filtro . . . . . . . . .3.7 Representação alternativa × respostas de um SLIT . . . . . . . 203 12. . . . .2 Função de Transferência H(z) de um SLIT . . . . . . . 205 13 Principais resultados da representação em domı́nio transformado 207 13. . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Transformada Z . .6 DTFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 12 Função de Transferência 191 12. . . .7 DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Representação alternativa × convolução . . 193 12. . . . . 189 11. . . . . . . . 187 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Pólos e zeros de H(z) . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 14. . . . . . . . . . . . . .3 Resumo das representações em tempo contı́nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . .3 Representação unilateral . . . . . . . . . . . . . 219 14. .8 Relação entre H(z) e h[n] de um SLIT .5 Tipos de mapeamentos realizados . . . . . . . 219 14. . . . . . . . 195 12. . . . . . . . . . 197 12. . . . .2 Representação bilateral . . . . . . . . . .2 Vantagens das transformações de variáveis . . . . . . . . . . . . .1 Representação bilateral . . . . 191 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 12. . .4 Resumo das representações em tempo discreto . . . . . . . . . . . 211 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . 213 14. . .7. . . . . . . . . . .2 Função Resposta em Freqüência H(Ω) de um SLIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Filtros com fase linear . .14Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . 187 11. . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 12. . . . . . . . . . . . . .12Relação entre H(ejΩ ) e H(z) de um SLIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Representação unilateral . . . . . .1 Propriedades gerais comumente utilizadas . . .11Pólos de H(z) × estabilidade do SLIT . . . .1 Introdução . . . . . . . . . .13Relação entre T (D) e H(z) de um SLIT . . . . . .3 Propriedades da DTFT de uma seqüência real . . . . . . 199 12. . . . . 198 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12. . . . . . 193 12. . . . 193 12. 218 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Respostas para uma entrada conhecida . . xix 11 Resposta em Freqüência 187 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Relações complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 12.5. . . . . .1 Respostas para uma entrada genérica . . .3. . . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Exemplos de mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12. . . .2 Resumo dos resultados . . . . . . . . . . . . 202 12. . . . 216 14. 200 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Exercı́cios propostos . . . . . . .6 Representação alternativa × equação de diferença . . . 201 12. . . . .9 Região de convergência de H(z) . .3 Representação alternativa para seqüências . . . . . . .8 Alguns aspectos relevantes da DTFT . . . . . . . . 215 14. . . . . 207 VI Sinais e sistemas no domı́nio da freqüência 209 14 Sinais no domı́nio da freqüência 211 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 FFT (Fast Fourier Transform) . . . . . . . . . . . . . . 223 14. . . . . . . . . . . . .14Exercı́cios propostos . . . . . 245 15. . . . . . . . . . . . . . . . . .xx 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Relacionamento das representações em freqüência . . . . . 230 14. . . . . 244 15. . . . . 247 15. função de transferência. 230 14. . .10. .9. . . . .2 DFT de seqüências reais . .9 Sinais periódicos × DTFT . . . . . .7 Definições . . .3 Transformada de Fourier × DTFS e DFT . . . . . . . . . . . . . 255 16. . . . 254 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 16. . . . 231 14. . . . . resposta em freqüência. . . . . . . . . . . . . . . 220 14.3 Abordagem 2: cálculo alternativo . . . . . . DTFT e transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Aplicação adicional do algoritmo . . . 223 14. . . 232 14. . . . . . . . . . 234 15 Aceleração do cálculo da DFT 243 15. . . . . .9. 253 16. . . . . . . . 247 15. . . . . . . . . . . 232 14. . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. 223 14. . 248 16 SLIT no domı́nio da freqüência 249 16.2 Abordagem 1: definições e resultados . . . . 230 14. . . . . . 243 15.3 Aproximação da DTFT pela interpolação da DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . finita e simétrica . . . . . . . . . . . 249 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 14. .4. . . . . . . . . . . . . . . .11. . . . . .4. .2 Tipos de respostas de um sistema . . . . . . . . .13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Algoritmo de Goertzel .4. . . .2 Representação da DTFT pela DFT . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10. . . . . . . . . .4. . . .10. . . . . . . . . . . . . . 225 14. . . . .4. . . . . 253 16. . . . . . . . . . 247 15. . 232 14. .5 Interpolação do sinal discreto . 245 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 14.1 Associação entre sinais de tempo contı́nuo e seqüências . . . . . . . .3 Respostas de um SLIT em domı́nio transformado . . . . . . . . . . . . . . .2. . .4. . . . . . . . . . .11Transformada Z . . . . . . . . . . 224 14. . 250 16. . . .5 Considerações sobre a aplicação do algoritmo . . . . . . . . . .12Resposta ao impulso. . . . 253 16. . . . . . . .1 Introdução . . . . . .2 Cálculo da DFT de uma seqüência real de 2N amostras .5 Leakage ou smearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 DTFS × DTFT . . . . . . . . . . . . . . . .1 Cálculo da DFT de duas seqüências reais de N amostras . . . . . . . . . . . . . .4 Relações matriciais da DFT . . . . .3 Pré-cálculo das matrizes de transformação . .4. . . . . .8. . . . . . . .3 Ganho extra com componentes simétricas . . . . . . 244 15. . . . . . . . . . . .5 Conclusões . . .1 Definição da DFT . . . . . . . 228 14. . . . . . . .4 Resposta em freqüência H(ejΩ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 . . . . . . . . . . .4. . .4 DTFT de uma seqüência real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Relações entre os parâmetros das representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Caracterı́sticas . . . . . . . . . . .13. . . . . . . . . .2 Algoritmo modificado .1 Propriedades da ROC da Transformada Z . . 224 14.2 DTFT de sinais periódicos . . . . . . . . . . .1 Algoritmo básico . . . . . . . .13. . . . .10DFT (representação computacional da DTFT) . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 14. . . . . . . .13. . 228 14. . . . . . . . . . . 244 15.13. . . . . . .4 Abordagem 3: outras relações . . . . 227 14. . . 254 16. . . . . . . . . .10. . . . . . . 253 16. . . . . . . . . . . . . . . . 245 15.4. . . . . . . . . . .2 Transformada de Fourier × DTFT . . . . . . . . .10. . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Contexto . 246 15. . . . . . .6 Representações temporais discretas de sinais contı́nuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 B. . . . . . . 281 B. . . . . . . . . . .3 Operações com números complexos . . . . . . . .3 Relações entre variáveis analógicas e discretas . . 271 A. . . . . . . . . . . . . . .2 Representações dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Relação entre indexação e sistema de numeração . . . . . . . . . . . . . 275 A. . . . .6 Relações úteis . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . 279 B. . . . 272 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Forma algébrica ou retangular . . . . . . . . . . . 258 16. . . . . . . . . . . . . .4 Referências . . . . . . . 278 B Tópicos sobre divisão entre números inteiros 279 B. . . . . . .5 Relações de equivalência .2 Multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . .1 Formas de indexação em arranjos matriciais . . . . . . . . . . .8. . . . 259 16. .3. . . . . .3 Relação entre indexação e cálculo modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . 273 A. 276 A. . .8. . . . . . . . . . . . .5 Exponencial (base e) . . . . 261 VII Apêndices 269 A Revisão de números complexos 271 A. . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . .1 Adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 B. . . . . . . . . . .2 Números complexos conjugados . . . . 281 B. . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . .2 Amostragem uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 255 16. . . . . . . . . . . . .4 Radiciação . .1 Definição do corpo dos números complexos . . . . . . 282 C Aliasing 283 C. . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Potenciação . . . . . . . . . . 256 16. . . . . . . . . . . . . . 271 A. . . . . . . . . . . . . . . . . 281 B. . . . . 285 .7 Pólos e zeros de H(z) . . . . . . . . . . . .7. . . . . . 280 B. . . . . . .2. . . . . . .10Exercı́cios propostos . . . . . .7 Indexação em arranjos matriciais . . . . . . . 274 A. . .2. . 284 C. 283 C. . . . . .3 Resto . . 276 A. 283 C. . . 284 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Resumo das representações . . . .4 Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Exemplos de resposta em freqüência e de função de transferência . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . . . .4 Fórmula de Euler . 257 16. . . . . . . . 284 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Amostragem sem ambigüidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 A. . . xxi 16. . . . . . . . . . . . .2 Quociente . . . 280 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 A. . 279 B. . . . . . . . . .5 Ambigüidade entre sinais discretos no tempo . . . . . . . . . . 274 A. . . . . . 260 16. .3 Forma trigonométrica ou polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 A.6 Logaritmo (base e) . . . . . . .5 Seletividade de um SLIT no domı́nio da freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . . . 258 16. . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . .4 Equivalência entre valores analógicos e discretos . . . . . . .6 Função de transferência ou função de sistema H(z) . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . .1 Sistema deslocador . . . . . . . . . .1 Algoritmo de divisão entre números inteiros . . . . . . . 274 A. . .4 Formas alternativas de indexação em arranjos matriciais . . .MA) . .9 SLIT equivalente em domı́nio transformado . . . . . . . . 277 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Sistema de média móvel (Moving Average . . . 281 B. . . . . . . . . . . . . . . . 299 D. . . . . . . .4. . . . . . . . . . . .2. . 302 E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. .1 Cálculo para x[n] = δ[n] .4 Equações da DTFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Solução da equação homogênea . .3 Desenvolvimento do cálculo . . . . . . . . . 297 D. . . . . . . . . . . . 286 C. . . . . . .2 Cálculo para x[n] = u[n] . . . . . . . . . .4 Cálculo para x[n] = ejΩ0 n u[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Metodologia de solução . 297 D. . .3. . . . . . . . . . . . . . . . .1 Cálculo para x[n] = δ[n] . . .4.2. . . . . . . . . 306 F. . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . .2 Resultado previamente calculado . . . . . .3 Cálculo para x[n] = z n u[n] . . .5. .3 Freqüências em 3o e 4o quadrantes . . . 304 F.4. . .2. . . . . . . . . 292 D.5. . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 F.2 Cálculo para x[n] = u[n] . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . .1 Rearranjo da equação de sı́ntese da DTFS . .4 Cálculo para x[n] = ejΩ0 n u[n] . . . . . . 299 D. .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Cálculo para x[n] = δ[n] . . 301 E. .3. . . . 295 D. . . . . . . . . . . .5 Cálculo para x[n] = cos(Ω0 n) u[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Análises importantes . . . . . . .4 Decomposição da solução completa . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução .2 Cálculo da equação de análise da DTFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Freqüências em 1o e 2o quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . 290 D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 D Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem 289 D. . . . . . . . . . . . . . . .2. . 299 D. . . . . . . . . .2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 E. . . . . .5 Cálculo para x[n] = cos(Ω0 n) u[n] . .1 Freqüências múltiplas de Ω = π . . 297 D. . 290 D. . . . . . . . .4 Resposta do sistema y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] . . . . . . . . . . . . . . 305 F. . . . . . 302 F Cálculo dos coeficientes da DTFS 303 F. . . . . . 294 D. . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . .4. . . . . . . . . . . . . .xxii C.3 Cálculo para x[n] = z n u[n] . . . . . . . 293 D. . . . . . .3 Solução completa . . . . . . . 285 C. . . . . . . . . . . . . . . . .5 Resposta do sistema y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1] . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . . . . . .5 Cálculo para x[n] = cos(Ω0 n) u[n] . . . . . . . . . . . 303 F. . .2. 307 . . .1 Cálculos auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Resposta do sistema y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Solução da equação homogênea . . . . . . . . . . . 291 D. . . . . . . . . . . . .3 Cálculo para a entrada deslocada x0 [n] = x[n − N0 ] . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . 303 F. . 304 F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 C. . . .2 Cálculo baseado na periodicidade dos coeficientes ck . . . . . . . . . .2. . . 299 D. . . .2 Solução da equação não homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Cálculo para x[n] = u[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 D. . . . . . . . . . . . . . . . 295 D. . . . 293 D. . . 285 C. . . . 293 D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 D. . . . . . . .3 Cálculo para x[n] = z n u[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Cálculo baseado em álgebra linear . . 303 F. . . . . . . . . . . .4 Cálculo para x[n] = ejΩ0 n u[n] . . . . . . . .4 Comparação dos resultados . . . 290 D. . . 289 D. . . . . . . . .7 Amostragem com ambigüidade . . . . . . . . . . 291 D. . . . . . . 299 D. . . . . . . 299 E Exemplo de invariância ao tempo na resposta de um SLIT 301 E. . . . . . . . . . . . .2 Raciocı́nio utilizado no procedimento de cálculo . . . .5. . . . . . . . . . . .2 Algoritmo básico . . . . . . 316 I Identidades úteis 319 I. . . . . . . . . . . . . .3 Equação de diferença de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . 326 Referências Bibliográficas 327 Índice Remissivo 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Algoritmo modificado . . . . . 313 H. .3 Transformada Z bilateral . . . . . . . . . 315 H. . . . . . . . . . 322 J Tabelas úteis 323 J. . . . . . . . . . 319 I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 I. . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . 322 I. . . . . . . . .1 Identidades de cosseno . . . . . . . 314 H. . . . .5. . . . . . . . . . . . . . 319 I. . . . . . . . . .2 Exponenciais complexas .4 Transformada Z unilateral . .5 Casos particulares de interesse . . . . . . . . . . . . . . . . 312 H Respostas de um SLIT em domı́nio transformado 313 H. . . . . . . . . . . . .3 Interpretação algébrica do resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 J. . . 311 G. . . . . . . . . . . .1 Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 I. .5. . 311 G. . . . . 320 I. . . 320 I. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . .3 Identidades de exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Raı́zes N-ésimas complexas da unidade . . . . . .4 Identidades trigonométricas . . . . . . . .5 Equação de diferença de ordem N . . . . . . .2 Transformada de Fourier Discreta (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . .2 Equação de diferença de ordem 1 . . . . . .4 Equação de diferença de ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 G Algoritmo geral de Goertzel 311 G. . . . . . . . . . . . . . . . .2 Identidades de seno . . . . . . . 325 J. . 313 H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) . . . . . . . . . . . . . xxiv . . . . . . . . . . . . . .3 Relação de Parseval na DTFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7. . . . .7 Solução complementar para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. . . . . . . . . . .1 Exemplos de associações entre a equação de diferença que descreve um SLIT e a sua função Resposta em Freqüência H(ejΩ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Solução da equação homogênea para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = 0. . . . . . .7 Relação de Parseval na Transformada Z bilateral. .1 Exemplos de relação entrada-saı́da para um SLIT causal e estável. . . . 325 J. . . . 324 J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Propriedades da Transformada Z unilateral. . . . . . . . . . . . . . . 326 J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11. .1 Exemplos de associações entre a equação de diferença que descreve um SLIT de primeira ordem.1 Diagrama de blocos × SFG: correspondência entre os elementos constituintes.2 Solução particular para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n]. . . . . . . . . .4 Solução particular para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1]. . . .6 Propriedades da Transformada Z bilateral. . . . . . . . . .1 Pares de DTFT.5 Pares de Transformada Z bilateral. 323 J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Solução complementar para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1]. . 168 7. . . . .1 Resultados das operações básicas aplicadas sobre seqüências reais simétricas. . . .170 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a sua Função de Transferência H(z) e o seu Operador de Transferência T (D). . . com condição inicial y[−1]. . . . . . . . . . . . . 188 12. . . . . 325 J. . .1 Classificação dos mapeamentos entre descrições funcionais de sinais e sistemas. . . 326 xxv . . . . . . . . . .3 Solução complementar para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n]. . . .4 Propriedades da DFT. . 323 J. . . . . 208 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lista de Tabelas 3. 168 7. . . . . .6 Solução particular para um SLIT descrito por y[n]+a1 y[n−1] = b0 x[n]+b1 x[n−1]. . . . . . . . . . . . . 215 J. . . . . . . . . . . . . . . . 169 7. . . . . . operando em regime permanente. . . . . . . . . . . . . . . 100 7. . . . . . . . . . 41 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 J. . . . . . . . . 168 7. 192 13. .2 Propriedades da DTFT. . . . . . . . . xxvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Diagrama de caixa preta de um sistema.2 Sistema de comunicação genérico. . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. . . . . 6 1. . . . . . . . . . . . .4 Sistema de comunicação com sistema de transmissão digital genérico. . . . . . . . . . . .3 Sistema de comunicação com sistema de transmissão genérico. . . . .1 Plano de Argand-Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. . . . . .Lista de Figuras 1. 273 xxvii . . . . . . . . . 7 A. xxviii . Parte I Introdução 1 . . t). são breve- mente abordados alguns itens genéricos sobre sistemas de comunicação. 3 . Ex. Ex. – Bidimensional. Em seguida.1 Introdução Tanto na análise quanto no projeto de sistemas fı́sicos é comum que se utilize a teoria matemática de sistemas. embora nem sempre ele seja realizado exatamente nessa seqüência. y. o sistema fı́sico é mapeado em um sistema matemático equivalente. Ex. Além disso.: tomografia/sismologia = f (v1 (t). são apresentadas uma definição e algumas classificações de sinais e de sistemas. Finalmente. y. 1. z = f (x. vV (t). v2 (t). Ex. • Visão fı́sica de sinal: grandeza fı́sica. Os conceitos de estado e de variáveis de estado são também abordados. Inicialmente. y). o problema matemático é resolvido.: y = f (x). – Multidimensional. z). processamento de sinais e implementações analógicas e digitais. O processo sistemático descrito a seguir é comumente empregado.: áudio = f (t). • Tipos de sinais de acordo com o número de variáveis independentes: – Unidimensional. Ex. do processamento de sinais e da arquitetura de sistemas de processamento digital.2 Sinal: definição e classificações iniciais Em relação aos sinais. Nesse capı́tulo são apresentados alguns tópicos básicos da teoria de sistemas. é apresentada uma visão geral dos sistemas de comunicação. – Tridimensional. é apresentada uma comparação entre as implementações analógicas e digitais. podem-se destacar as seguintes definições e considerações iniciais: • Sinal: entidade que carrega informação. y). · · · . w = f (x. Primeiramente. Por fim. • Visão matemática de sinal: variável funcionalmente dependente de uma ou mais variáveis independentes. Em seguida. porém sem o rigor matemático exigido por uma literatura especializada no assunto. t).: imagem = f (x.: vı́deo = f (x.Capı́tulo 1 Conceitos básicos 1. é realizado um mapeamento do resultado matemático em uma solução para o sistema fı́sico. definem-se apenas as relações entre as variáveis externas do sistema (entradas e saı́das). A. Nesse caso. – Sinal quantizado: discretização da variável dependente (quantização). alguma forma de conexão interna e externa deve existir. na definição acima. como definido acima. Uma descrição pictórica de um sistema é mostrada na Figura 1. • Variáveis: que armazenam as informações manipuladas pelos elementos.1: Diagrama de caixa preta de um sistema.4 Capı́tulo 1.1. três partes: os elementos. – Sinal amostrado: discretização das variáveis independentes (amostragem). eles devem. Figura 1. Portanto.S. trocando informação. a existência do sistema está vinculada à existência de uma função a ser realizada. E. a troca de informação em si e a presença de conexões que possibilitem a troca. a interação e o objetivo. um sistema. Porém. 1. pode ser caracterizado pelos seguintes itens: • Função: que é razão pela qual o sistema deve ser implementado. . Primeiramente. apresentar alguma forma de interação. Tal descrição é definida como Diagrama de Caixa Preta (Black Box Diagram). • Sinal amostrado e sinal digital: conjunto ordenado de valores numéricos (seqüência numérica). • Conexão: que possibilita a comunicação entre os elementos. sobretudo.V.” Notam-se. a interação carrega três significados: a existência de uma informação a ser trocada. – Sinal digital: todas as variáveis são discretas (amostragem + quantização). para alcançar o objetivo desejado.3 Definição de sistemas Entre as inúmeras definições de sistemas existentes. para cumprir o objetivo do sistema. Em resumo. • Elementos: que interagem. Pelo contrário. uma vez que não apresenta qualquer descrição interna do sistema. Conceitos básicos • Tipos de sinais de acordo com o tipo das variáveis: – Sinal analógico: todas as variáveis são contı́nuas. para que os elementos interajam entre si e com o exterior. pode-se destacar a seguinte: “Um sistema é um conjunto de elementos que interagem entre si. a fim de realizar uma determinada tarefa. não basta apenas que se reunam elementos. A corrente. é comum que se utilize a teoria matemática de grafos para descrever matematicamente os circuitos e. • Elementos: os elementos mais fundamentais são as denominadas portas lógicas.1. A tensão é associada ao acúmulo de carga elétrica ou à energia potencial. Tipicamente. a conexão existente nos mesmos. invariantes ao tempo. • Elementos: a fim de modelar as fontes fı́sicas de energia elétrica e os efeitos fı́sicos de resistência. auto-indutância e indutância mútua. Classificações de sistemas 5 Os sistemas elétricos costumam ser definidos da seguinte forma: • Variáveis: usualmente a informação é codificada nas grandezas fı́sicas tensão e corrente. por sua vez. são utilizadas as leis de tensão e de corrente de Kirchoff para descrever as conexões entre os elementos. é utilizado o Sistema de Numeração Posicional Convencional. é associada ao movimento de carga elétrica ou à energia cinética.4. • Variante × Invariante ao tempo. na sua grande maioria. capacitor. TET / UFF . Algumas classificações possı́veis são: • Analógico × Amostrado × Quantizado × Digital × Hı́brido. 1. • Conexão: são utilizadas equações lógicas para descrever as conexões entre os elementos. procura-se por alguma caracterı́stica que possa ser útil na sua análise e/ou no seu projeto. capacitância e indutância. de forma geral. como sistemas dinâmicos. resistor. são construı́dos todos os demais elementos. que implementam as funções básicas da lógica clássica. são utilizados os respectivos elementos ideais de circuito: fontes independentes. • Instantâneo (sem memória) × Dinâmico (com memória). com base b = 2 e codificação em complemento a 2. Os circuitos abordados no presente texto serão classificados. portanto. os quais são representados em um determinado Sistema de Numeração. fontes dependentes. será considerado. A associação de ambas permite definir potência e energia. lineares.4 Classificações de sistemas Ao se classificar um sistema. causais e amostrados/digitais. Os sistemas digitais costumam ser definidos da seguinte forma: • Variáveis: a informação mais fundamental é codificada em números. A fim de sistematizar a análise e o projeto de circuitos. Além disso. • Causal × Não causal. A forma como cada elemento manipula as variáveis do circuito é descrita na equação de definição de cada elemento. • Linear × Não linear. inclusive os elementos armazenadores de informação. • Conexão: em circuitos de baixa freqüência. A partir delas. que a relação entre as saı́das e as entradas dos sistemas serão descritas por equações de diferença. o estado de um sistema pode ser determinado por um dos possı́veis conjuntos mı́nimos de suas variáveis. Logo.V. em um determinado instante. Conceitos básicos 1. onde deve ser ressaltado o caráter relativo que possui o conceito de distância.6 Sistemas de comunicação O ato de comunicar pode ser definido como o transporte de uma informação. sendo necessário garantir a escolha de um conjunto mı́nimo. nessa classe. o conjunto de variáveis de estado também não é único e alguns deles apresentam caracterı́sticas especiais que facilitam tanto a análise quanto o projeto de circuitos. telecomunicação significa comunicar à distância. Isso indica que. Surge. existem elementos que conseguem armazenar informação.S. Porém. Portanto. Porém. as tensões dos capacitores e as correntes dos indutores são candidatas naturais para o conjunto das variáveis de estado de um circuito analógico. Assim como as bases dos espaços vetoriais não são únicas e algumas delas apresentam caracterı́sticas especiais (bases canônicas.2: Sistema de comunicação genérico. os capacitores e os indutores são os elementos capazes de armazenar energia. Logo. Nos circuitos elétricos. Logo.” Define-se como ordem de um sistema o número de variáveis que compõem o conjunto de variáveis de estado do sistema. de uma fonte a um destino.5 Estado e variáveis de estado de um sistema dinâmico O estado de um sistema. assim como todos os elementos de um determinado espaço vetorial podem ser descritos por uma combinação linear dos elementos de uma de suas bases. a saı́da de um circuito combinacional é função de uma simples combinação lógica das suas entradas. Figura 1. a denominação seqüencial indica que a ordem segundo a qual as entradas foram aplicadas ao longo do tempo influencia a saı́da do circuito. é capaz de definir as saı́das do sistema para t ≥ t0 . Como o nome indica. bases ortonormais). definidas por: “Variáveis de estado de um sistema é o conjunto mı́nimo de variáveis (linearmente independentes entre si) do sistema que. uma das variáveis será uma combinação linear das demais. Por sua vez. . os circuitos digitais podem ser divididos em dois grandes grupos: circuitos combinacionais e circuitos seqüenciais. Em ambos os casos. A Figura 1. não podendo fazer parte do conjunto de variáveis de estado do circuito. A. essa classe de circuitos não consegue armazenar informação. então. bases ortogonais. pode haver redundância em relação aos elementos armazenadores de informação. De acordo com a capacidade de armazenar informação. Deve-se ter atenção para os seguintes casos: malhas que contenham apenas capacitores e nós onde estejam ligados apenas indutores. conjuntamente com as entradas do sistema no instante t0 . assim como no caso analógico. Por sua vez. as saı́das dos elementos armazenadores são candidatas naturais para o conjunto das variáveis de estado de um circuito digital. o conceito de variáveis de estado. pode ser descrito como o conjunto formado pelos valores que cada uma de suas variáveis assume nesse instante. pode-se mostrar que todas as variáveis de um sistema podem ser definidas por uma combinação linear de um conjunto mı́nimo de suas variáveis. através de um meio adequado. 1.2 ilustra o processo de comunicação através de um sistema de comunicação genérico.6 Capı́tulo 1. TET / UFF . adequar a informação a ser transmitida ao meio de transmissão escolhido. através da decodificação do sinal transmitido. que é definido como uma entidade que carrega informação. A tı́tulo de exemplo.3. deve-se observar a presença de um novo elemento denominado de sinal. A divisão apresentada para o sistema de transmissão é apenas didática e genérica. A fim de modelar as imperfeições do processo de transmissão. Figura 1. os quais são apresentados a seguir. um sinal não desejado (ruı́do) é anexado ao meio. onde vários subsistemas diferentes podem ser utilizados. a função do receptor é tentar recuperar a informação original.1 Subsistemas de comunicação A Figura 1. Porém.3 ilustra uma possı́vel composição para um sistema de comunicação com um sistema de transmissão genérico. Assim.6.4 apresenta o diagrama de blocos de um sistema de comunicação com um sistema de transmissão digital genérico. a Figura 1. Finalmente. basicamente.1. Isso é feito através da codificação da informação em um sinal que o meio possa transmitir eficientemente.3: Sistema de comunicação com sistema de transmissão genérico. possuindo os mais diversos nomes e funções. Na Figura 1.4: Sistema de comunicação com sistema de transmissão digital genérico. alguns pontos merecem destaque. Figura 1. a função do transmissor é.6. Dependendo do sistema de transmissão modelado. inúmeras outras divisões podem ser propostas. Sistemas de comunicação 7 1. Isso também é exemplificado na Figura 1. tanto dos sinais que carregam a informação desejada quanto do meio ou canal que transmitirá tais sinais. um ou mais subsistemas devem ser adicionados. • Nomenclatura usual: “Sinal” (sinal desejado) × “Ruı́do” (sinal indesejado).8 Capı́tulo 1. Da mesma forma.2 Sinais e meios de transmissão Diversas são as possibilidades de implementação. – Conformação (tempo/espaço) × Alteração espectral (freqüência).4. elementos. que interagem entre si. – Tempo/espaço (forma) × freqüência (composição espectral). A. Nas situações onde não é possı́vel um casamento adequado entre sinal e canal. • Domı́nio do processamento: domı́nio no qual a função do agente é definida. diversos sinais intermediários podem ser gerados. – Arquitetura de um sistema: variáveis. – Sistema. Conceitos básicos 1. onde os conversores A/D (Analógico/Digital) e D/A (Digi- tal/Analógico) são utilizados a fim de permitir que técnicas de processamento de sinal digital possam ser empregadas em um sinal originalmente analógico. • Agente do processamento: sistema. com o intuito de melhorar a qualidade e a eficiência da transmissão. com o objetivo de realizar uma determinada função”.S. Assim.4. – Sinal de saı́da (ou resposta). existe uma grande relação entre o sinal a transmitir e o meio ou canal de transmissão. a partir do sinal original.V. 1. com a finalidade de gerar um sinal mais adequado ao meio disponı́vel. • Arquitetura genérica do processamento: – Sinal de entrada (ou estı́mulo ou excitação ou perturbação). Naturalmente.7 Processamento de sinais Algumas das definições básicas em processamento de sinais são as seguintes: • Objeto do processamento: sinal (definido como uma entidade que carrega informação). a escolha de um determinado meio de transmissão possibilitará o uso de uma classe especı́fica de sinais. Isso é ilustrado na Figura 1. – “Um sistema é um cojunto de elementos. . – Condições iniciais ou estado inicial.6. onde os blocos Modulador e Demodulador são responsáveis por compatibilizar a transmissão de sinais digitais através de um canal analógico. Nos casos onde diversas técnicas são empregadas. a escolha de determinado sinal implicará a utilização de uma determinada classe de canais. • Ação do processamento: função exercida pelo agente sobre o objeto. topologia e função. – Conversor Digital-Analógico (D/A): definido como um bloco funcional. é utilizado o Sistema de Numeração Posicional Convencional. formado pela união “Decodificador + Gerador de impulso/pulso”. Arquitetura de sistemas de processamento digital 9 1. • Sinal de saı́da analógico: comumente.8. – Amostragem e retenção (Sample-and-Hold ou S/H): responsável por obter amostras do sinal de entrada analógico e por manter fixo o valor de cada amostra durante um determinado tempo. TET / UFF . • Pós-processamento analógico: – Decodificador: converte uma representação válida no Sistema de Numeração utilizado no sistema digital em um valor de amostra do sinal de saı́da analógico. um sinal elétrico (tensão ou corrente).8 Arquitetura de sistemas de processamento digital A arquitetura genérica de um sistema hı́brido de processamento digital de sinais é formada pelos seguintes elementos: • Sinal de entrada analógico: comumente. • Sinal de saı́da digital: representação numérica computacional. formado pela união “Quantizador + Codificador” ou “S/H + Quantizador + Codificador”.1. Ele é utilizado para que a amostra seja diretamente processada pelo sistema (sistema amostrado) ou para que ela seja convertida em um número (sistema digital). – Codificador: converte o valor de cada amostra em uma representação válida no Sistema de Numeração utilizado no sistema digital. • Processador de sinal digital (Digital Signal Processor ou DSP): implementado por um circuito digital fixo. No caso de um pulso. o valor da amostra é relacionado com a sua amplitude. • Sinal de entrada digital: representação numérica computacional. – Quantizador: condiciona os valores das amostras a valores representáveis no sistema digital. – Filtro de suavização (smoothing): com seletividade em freqüência do tipo passa- baixa. No caso de um impulso. um sinal elétrico (tensão ou corrente). • Pré-processamento analógico: – Filtro anti-aliasing: com seletividade em freqüência do tipo passa-baixa. o valor da amostra é relacionado com a sua intensidade (strength). Tipicamente. – Gerador de impulso/pulso: responsável por gerar um elemento para cada amostra. com base b = 2 e codificação em complemento a 2. – Conversor Analógico-Digital (A/D): definido como um bloco funcional. configurável ou programável. muitas vezes passionalmente polarizadas. Também não é difı́cil perceber que.V. Nesse caso. é realizada uma breve discussão sobre a escolha de uma solução analógica ou digital para o problema de implementação de um sistema de processamento de sinais. ao invés de estabelecer bases reais de comparação. Não para que se defina qual das duas opções de implementação é absolutamente a melhor. devido às caracterı́sticas próprias de cada uma das implementações. Antes de tecer meras comparações absolutas. deve-se lembrar que estão sendo comparadas duas alternativas de implementação essencialmente diferentes. é realizada uma comparação entre as caracterı́sticas das implementações analógicas e digitais. é realizada uma codificação mais complexa. realmente. isolada ou conjuntamente com outros componentes. uma implementação analógica mapeia sinais matemáticos em sinais fı́sicos e realiza as operações matemáticas através de componentes fı́sicos que possuem equações de definição capazes de realizar os cálculos necessários. por um tipo ou outro de implementação. Conceitos básicos 1. Em seguida. pode-se dizer que o problema matemático não é mapeado em um problema fı́sico. apesar de obviamente empregar componentes fı́si- cos. não utiliza os seus sinais e as suas equações diretamente.1 Definição do problema Dado que um mesmo sistema pode ser implementado por sinais/componentes analógicos e digitais. os quais necessitem de tais caracterı́sticas. A. mas para que se possa estabelecer uma base de dados que fundamente a decisão de projeto diante de cada problema diferente. uma implementação digital. até mesmo uma solução que misture ambos os tipos de implementação pode ser a melhor escolha.10 Capı́tulo 1. Diversas são as comparações encontradas na literatura técnica entre implementações de sistemas que empregam sinais/componentes analógicos e digitais. mas que é virtualmente matemática. cada uma delas poderá ser proposta como a melhor solução para problemas especı́ficos.S. . a melhor opção. Por vezes. não é difı́cil perceber que qualquer tentativa para estabelecer parâmetros de comparação entre implementações analógicas e digitais conduz apenas a definições de caracterı́stica relativas de cada uma das opções consideradas. Adeptos de ambos os tipos de implementação facilmente definem parâmetros que os favore- cem e normalmente estabelecem comparações tentando mostrar que a sua implementação de preferência é. Logo. o problema é definido. é importante ressaltar que o levantamento de parâmetros comparativos é importante e deve ser efetuado. por hardware digital ou por ambos simultaneamente. de tal forma que a implementação simula diretamente as operações e os operandos matemáticos. Inicialmente. A comparação direta torna-se ainda mais sem sentido a partir da constatação de que sistemas digitais podem ser implementados por software. Com tais conceitos em mente.9 Implementações analógicas e digitais A seguir. sendo apenas simulado em uma implementação fı́sica. Por um lado. Pode-se dizer que o problema matemático é transformado em um problema fı́sico e implementado por sinais/componentes fı́sicos.9. Finalmente. Ao invés disso. naturalmente surge a questão de qual das opções é a melhor. 1. os parâmetros de comparação normalmente empregados fornecem apenas caracterı́sticas individuais de cada tipo de imple- mentação. Por sua vez. • Repetitibilidade/reprodutibilidade – Analógico: uma vez que os parâmetros são fı́sicos e contı́nuos. Devem ser utilizadas técnicas de projeto de sistemas que controlem a sensibilidade à variação dos valores dos componentes. necessita de um bom processo de fabricação. levando-se em consideração uma implementação eletrônica. – Digital: valor matemático fixo. – Digital: operação baseada em valores matemáticos fixos. são apresentadas algumas caracterı́sticas da implementação de sistemas para os casos analógico e digital. – Digital: dado que os parâmetros são matemáticos. humidade. multiplicador e somador. • Variabilidade na fabricação – Analógico: os componentes possuem um valor nominal e uma incerteza associada ao processo de fabricação. representados por uma quantidade finita de sı́mbolos utilizados na codificação numérica.9. representados por uma determinada codificação. sofre grande degradação. Normalmente. • Ocupação de área – Analógico: de forma geral. • Componentes básicos – Analógico: componentes passivos (resistor. a fabricação é repetitı́vel por construção. menor ocupação. Devem ser utilizadas técnicas de projeto de sistemas que controlem a sensibilidade à variação dos valores dos componentes. sofre pequena degradação. geralmente. – Digital: uma vez que. • Armazenamento de sinal por longo prazo – Analógico: por ser um processo que envolve valores contı́nuos de grandezas fı́sicas. etc.2 Caracterı́sticas das implementações analógicas e digitais A seguir. envolve codificação binária. • Sinais – Analógico: valores contı́nuos de tensão e de corrente. TET / UFF . – Digital: seqüências de números. contendo um número finito de sı́mbolos. é utilizada uma codificação binária. podem ser sujeitos a envelhecimento (aging) e podem sofrer desgaste por uso.).9. OpAmp e OTA). capacitor e indutor) e componentes ativos (transistor. Implementações analógicas e digitais 11 1. – Digital: atrasador unitário (registrador). maior ocupação. • Variabilidade na operação – Analógico: os componentes são influenciados por fatores ambientais (temperatura. associado à quantidade sı́mbolos utilizados na codi- ficação numérica. – Digital: de forma geral.1. – Digital: naturalmente programável. quantização dos valores dos coeficientes dos multiplicadores e aproximação dos valores finais das operações (soma e multiplicação). os componentes são diretamente afetados por ruı́dos dos mais variados tipos. A. surgem os seguintes problemas de aproximação numérica: quantização dos valores das se- qüëncias.12 Capı́tulo 1. – Digital: fácil implementação. . – Digital: facilmente implementada. – Digital: devido ao número finito de sı́mbolos usado na codificação numérica. • Programabilidade – Analógico: componentes podem ser fixos e/ou variáveis. provocados pelos mais diversos mecanismos. • Multiplexação temporal de sinais – Analógico: difı́cil implementação. sendo intrı́nsecos aos próprios componentes e/ou induzidos por fontes externas.S. – Digital: não afetado. Conceitos básicos • Variabilidade com as freqüências envolvidas nos sinais – Analógico: as dimensões e a funcionalidade dos componentes podem ser fortemente afetadas pela faixa de valores de freqüencia utilizada.V. devem ser desenvolvidas técnicas de projeto de sistemas que permitam o controle da variação de um ou mais parâmetros do sistema. • Complexidade funcional – Analógico: implementada com dificuldade. No caso de componentes fixos. • Fontes de erro – Analógico: além da variação provocada por fatores ambientais. é possı́vel que se estabeleça uma relação entre eles. • Os mecanismos que permitem a conexão entre os modelos analógico e discreto/digital são a amostragem e a interpolação.Capı́tulo 2 Amostragem e interpolação 2. pode-se teorizar um deles por meio do outro e pode-se realizar cálculos de um deles por meio do outro. • A modelagem de sinais e sistemas analógicos fundamenta-se na matemática contı́nua. 13 . a conexão “Digital → Analógico” ou D/A. transformar o sinal discreto em um sinal digital (números). • Porém.1 Introdução • A ideia do Processamento Discreto de Sinais Analógicos baseia-se em transformar o sinal analógico em um sinal discreto. Em outros. independentemente um do outro. • A modelagem de sinais e sistemas discretos/digitais baseia-se na matemática discreta. transformar o sinal digital processado em um sinal discreto e transformar o sinal discreto processado em um sinal analógico. deve-se recorrer a uma fundamentação matemática que descreva como a informação carregada pelos sinais envolvidos é afetada em cada etapa do processo. • Para garantir que ambos os tipos de processamento produzam resultados satisfatórios. processar o sinal digital. Com isso. isso não é possı́vel. obtendo-se apenas uma aproximação inexata de um modelo pelo outro. • Em alguns casos. • A amostragem permite a conexão “Analógico → Discreto” e. conseqüentemente. • A ideia do Processamento Digital de Sinais Analógicos baseia-se em transformar o sinal analógico em um sinal discreto. • A interpolação possibilita a conexão “Discreto → Analógico” e. • Estes dois tipos de modelagem coexistem. essa representação mútua é uma relação biunı́voca exata. conseqüentemente. processar o sinal discreto e transformar o sinal discreto processado em um sinal analógico. a conexão “Analógico → Digital” ou A/D. pode-se representar um deles por meio do outro. 14 Capı́tulo 2. TP t0 TP −TB TP kωP     1 . ωP = TP TP  0 . .    X0 = TP (2 TB )     h i  sin(kωP TB )  Xk6=0 = 1 2  TP kωP A. 1   fP = TP Hz • Relações de periodicidade: .2 Conceitos básicos 2. TB < |t| <  2 • Cálculo dos coeficientes: Z t0 +TP Z TB 1 −jkωP t 1 1 X0 = x̃(t) e dt = dt = (2 TB ) TP t0 TP −TB TP e Z t0 +TP Z TB 1 −jkωP t 1 −jkωP t 1 sin (kωP TB ) Xk6=0 = x̃(t) e dt = e dt = 2 . |t| < TB P∞ 2π     x̃(t) = = k−∞ Xk ejkωP t . 1 −jkωP t Xk = x̃(t) e dt  TP t0 Exemplo .V.Trem de pulsos quadrados unitários   1 . Amostragem e interpolação 2. TP 0 . 2π ωP = 2πfP = rad/s  TP  P∞ jkωP t  x̃(t) = k−∞ Xk e • CTFS: R t0 +TP .2.1 Continuous-Time Fourier Series (CTFS) Equacionamento geral • Sinal periódico: x̃(t) = x̃(t − nTP ). |t| < TB • Sinal periódico: x̃(t) = x̃(t − nTP ) = . TB < |t| <      2 • CTFS: 1 .S.    X(j0) = (2 T B )     h i  X(jω) = 2 sin(ωTB ) = (2TB ) sinc ωTB   ω π 2. |t| < TB • Sinal não periódico: x(t) = . −jωt X(jω) = −∞ x(t) e dt  Exemplo . |t| > TB  • Cálculo da função de ponderação: Z ∞ Z TB −jωt −jωt sin (ωTB ) ωTB X(jω) = x(t) e dt = e dt = 2 = (2TB ) sinc . −∞ −TB ω π onde X(j0) = (2 TB ) e sinc πθ = sin(θ) θ . |t| < TB • Definição dos sinais envolvidos: x̃(t) = x̃(t − nTP ) = . Conceitos básicos 15 2. TP TP • Logo.   x(t) .2.2.2.2 Continuous-Time Fourier Transform (CTFT) Equacionamento geral • Sinal não periódico: x(t). TB < |t| <  2 • CTFS de x̃(t): Z t0 +TP Z TB 1 −jkωP t 1 Xk = x̃(t) e dt = x̃(t) e−jkωP t dt TP t0 TP −TB Z TB Z ∞ 1 1 = x(t) e−jkωP t dt = x(t) e−jkωP t dt TP −TB TP −∞ 1 1 = X(jkωP ) = X(jω)|ω=kωP . os coeficientes Xk da CTFS de x̃(t) são pontos da CTFT X(jω) do sinal x(t).      1 . 1 R∞ X(jω) ejωt dω   x(t) = 2π −∞ • CTFT: R∞ . |t| > TB      • CTFT: .3 Relação da CTFS com a CTFT em um caso particular Equacionamento geral • Caso particular: x̃(t) = x̃(t − nTP ) é uma extensão periódica de x(t).2. |t| < TB R∞ 1 x(t) = = 2π X(jω) ejωt dω     −∞ 0 .Pulso quadrado unitário   1 . TP 0 . 0 . no caso particular onde o sinal periódico x̃(t) = x̃(t−nTP ) é uma extensão periódica do sinal não periódico x(t). TET / UFF . obtidos com perı́odo ωP e amplitude dividida por TP . TB < |t| <      2 • CTFS: 1 .Trem de pulsos quadrados unitários e pulso quadrado unitário   1 . TP 0 . TB < |t| < 2    1 . |t| > TB   1 1 1  X0 =  TP (2TB ) = TP [X(jω)|ω=0 ] = TP (2TB ) • CTFS × CTFT: h i h i . com a área de cada impulso dada por A = (2π Xk ).V. de perı́odo ωP . |t| < TB • Sinal periódico: x̃(t) = x̃(t − nTP ) = .4 CTFT de um sinal periódico Equacionamento geral P∞ • CTFS de x̃(t): x̃(t) = x̃(t − nTP ) = k=−∞ Xk ejkωP t .S. é um trem de impulsos periódico. ωP = TP TP  0 .16 Capı́tulo 2. 0 . k=−∞ k=−∞ P∞ jkωP t P∞ • CTFT de x̃(t): x̃(t) = k=−∞ Xk e ↔ X(jω) = k=−∞ (2π Xk ) δ(ω − kωP ).    X0 = TP (2 TB )     h i  sin(kωP TB )  Xk6=0 = 1 2  TP kωP A.Trem de pulsos quadrados unitários   1 . Exemplo 1 . TB < |t| <  2     1 . |t| < TB • Sinal periódico: x̃(t) = x̃(t − nTP ) = . TP 0 . |t| < TB • Sinal não periódico: x(t) = . |t| < TB P∞ 2π     x̃(t) = = k−∞ Xk ejkωP t . • CTFT de x(t): x1 (t) = ejω0 t ↔ X1 (jω) = (2π) δ(ω − ω0 ) e ∞ ∞ jkωP t ∆ X X x2 (t) = Xk e = x̃(t) ↔ X2 (jω) = (2π Xk ) δ(ω − kωP ) . de um sinal periódico x̃(t). a CTFT X(jω).2. • Portanto. Amostragem e interpolação Exemplo .  Xk6=0 = 1 sin(kωP TB ) 1 1 sin(ωTB ) 2 = [X(jω)|ω=kωP ] = 2  TP kωP TP TP ω ω=kωP 2. . • A modulação de amplitude com pulsos (Pulse Amplitude Modulation ou PAM) acontece quando c(t) é um trem de pulsos p(t). c(t) é denominado de função portadora ou sinal portador ou carrier.3. a informação presente em m(t). onde sAM (t) é o sinal resultante da modulação. ωP = T2πP  2. em um de seus parâmetros.3 Amplitude Modulation (AM) • Todo sinal descrito por uma função pode ser representado.2.  • CTFS: Xk = TP t0 TP TP − 2      R T2P R T2P 1 δ(t) e−jkωP t dt = 1 1    = TP T TP TP δ(t) dt = TP − 2P − 2 P∞ 1 R∞ − X(jω) ejωt dω   x̃(t) = n=−∞ δ(t nTP ) = 2π −∞      P∞  X(jω) = k=−∞ (2π Xk ) δ(ω − kωP )   • CTFT: P∞ . Por isso. • A modulação analógica pode ser definida como o processo onde o sinal modulante m(t) controla um dos parâmetros do sinal a ser modulado c(t). • Algumas equações da PAM. pelos parâmetros que definem a relação funcional. bem como algumas caracterı́sticas do processo. 2π     = TP k=−∞ δ(ω − kω P )     = X̃(jω) = X̃ (j(ω − kωP )) .  P∞ P∞   x̃(t) = n=−∞ δ(t − nTP ) = k−∞ Xk ejkωP t      R t0 +TP R T2P 1 x̃(t) e−jkωP t dt = 1 x̃(t) e−jkωP t dt . Amplitude Modulation (AM) 17      1 . |t| < TB R∞ 1 x̃(t) = = X(jω) ejωt dω   2π −∞   TP 0 . de tal forma que sAM (t) = m(t) c(t). conseqüentemente. ωP =   TP k=−∞ ω TP  k6=0 Exemplo 2 .Trem de impulsos unitários P∞ • Sinal periódico: x̃(t) = x̃(t − nTP ) = δTP (t) = n=−∞ δ(t − nTP ).    P∞     X(jω) = k=−∞ (2π Xk ) δ(ω − kωP ) k6=0     n h i o  P∞ sin(ωTB ) 2π 2π = 2 δ(ω − kωP ) . O objetivo é que o sinal c(t) passe a carregar. TET / UFF . Uma forma simples de se representar a modulação de amplitude é a multiplicação dos sinais. são abordadas a seguir. • A modulação de amplitude ocorre quando m(t) controla a amplitude de c(t). TB < |t| <    2       2π X(j0) = (2π X0 ) δ(ω) = (2 TB ) δ(ω)  • CTFT: TP . a CTFT XP AM (jω) do sinal xP AM (t) é formada pela soma de cópias da CTFT X(jω) do sinal x(t). k=−∞ • Portanto. Amostragem e interpolação 2. |t| < TB • Sinal portador pulsado: p(t) = p(t − nTP ) = . TP 0 .3.18 Capı́tulo 2.V. n=−∞ • Sinal modulado: xP AM (t) = x(t) p(t). • CTFT de p(t): P (jω) = ∞ P k=−∞ (2π Pk ) δ(ω − kωP ). uniformemente espaçadas de ωP .2 PAM com trem de impulsos unitários • Sinal modulante: x(t). • CTFS de p(t): p(t) = ∞ jkωP t P k−∞ Pk e . o sinal portador torna-se um trem de impulsos unitários: ∞ X TB → 0 =⇒ pB (t) → p(t) = δTP (t) = δ(t − nTP ) . TB < |t| <  2 • Sinal modulado: xP AM (t) = x(t) p(t). . 2. A. TB < |t| <  2 • Quando TB → 0. • CTFS de p(t): p(t) = ∞ jkωP t P k−∞ Pk e . a cópia centrada em ω = kωP é ainda escalada pelo coeficiente Pk da CTFS de p(t). TP 0 .1 Pulse Amplitude Modulation (PAM) • Sinal modulante: x(t). • CTFT de x(t): X(jω).   1 .S. • CTFT de xP AM (t): 1 XP AM (jω) = [X(jω) ∗ P (jω)] 2π " ∞ # 1 X = X(jω) ∗ (2π Pk ) δ(ω − kωP ) 2π k=−∞ ∞ X = Pk [X(jω) ∗ δ(ω − kωP )] k=−∞ X∞ = Pk X(j(ω − kωP )) . 1 • Propriedade da CTFT: xP AM (t) = x(t) p(t) ↔ XP AM (jω) = 2π [X(jω) ∗ P (jω)]. 1   TB . |t| < TB • Sinal portador pulsado básico: pB (t) = pB (t − nTP ) = . • CTFT de x(t): X(jω). Além disso.3. Todas as cópias são igualmente escaladas pelo perı́odo TP . tais como: H. M. frequency folding ou aliasing.3. podem-se estabelecer as seguintes relações: 1 Tmin ωP > 2 ωmax ←→ fP > 2 fmax ←→ TP < < . • Quando tais relações não são obedecidas. fP . uniformemente espaçadas de ωP . Nesses casos. No caso de PAM com pulsos. 2. J. • Logo. D. Whittaker (1935). deixa de ser possı́vel a recuperação de x(t) a partir de xP AM (t) por uma simples filtragem. para garantir uma representação exata de x(t) por XP AM (jω).2. ocorre o fenômeno denominado de superposição de espectro.3 Caracterı́sticas da PAM • É importante perceber que. • O termo Freqüência de Nyquist encontra várias definições na literatura. para obter-se uma representação exata de x(t) por XP AM (jω). • O processo de PAM pode ser interpretado como uma forma de amostragem uniforme do sinal x(t). de tal forma que x(nTP ) = x(t)|t=nTP . é possı́vel que se recupere x(t) a partir de xP AM (t) por meio de um filtro com seletividade em freqüência do tipo passa-baixa. Amplitude Modulation (AM) 19 P∞ 1 • CTFT de p(t): P (jω) = k=−∞ (2π Pk ) δ(ω − kωP ). pode-se tomar o valor médio da amplitude do pulso como uma aproximação de x(nTP ). os termos Taxa de Nyquist. Gabor (1946) e C. Shannon (1949). TP k=−∞ • Portanto. 2 fmax 2 as quais são creditadas a diversos autores. Nyquist (1928). podendo ser associado às seguintes freqüências: ωP . 1 • Propriedade da CTFT: xP AM (t) = x(t) p(t) ↔ XP AM (jω) = 2π [X(jω) ∗ P (jω)]. de tal forma que |X(jω)| = 0 para |ω| ≥ ωmax e que ωmax < ω2P . ω2P e f2P . Quanto TET / UFF . onde Pk = TP . • Quando tais relações são obedecidas. a CTFT XP AM (jω) do sinal xP AM (t) é formada pela soma de cópias da CTFT X(jω) do sinal x(t).3. • CTFT de xP AM (t): 1 XP AM (jω) = [X(jω) ∗ P (jω)] 2π " ∞ # 1 X 1 = X(jω) ∗ 2π δ(ω − kωP ) 2π k=−∞ TP ∞ 1 X = [X(jω) ∗ δ(ω − kωP )] TP k=−∞ ∞ 1 X = X(j(ω − kωP )) . • Normalmente. Freqüência Crı́tica e Amostragem Crı́tica são associados à freqüência ωP = 2 ωmax ou ao valor ω = 2 ωmax . é necessário que X(jω) seja limitado em banda. pode ser matematicamente interpretada de três formas equivalentes. o ADC emite um sinal denominado de Status ou de Fim de Conversão (End Of Conversion ou EOC). No caso de PAM com impulsos. Por um lado. Caso o acionamento seja periódico. com Tper > Tconv . 2. A. Portanto. O conjunto [S/H + encoder ] recebe a denominação global de Conversor A/D ou A/D Converter ou ADC. o sinal uniformemente amostrado x(nTS ). também. • Com base na associação PAM ↔ Amostragem.V. . um sinal analógico amostrado com fP = 2 fmax é dito criticamente amostrado. Amostragem e interpolação menor for a largura do puso.1 Aspectos práticos Um processo prático de conversão A/D é realizado da seguinte forma. retendo-se o valor x(Tn ) = x(t)|t=Tn por um determinado intervalo de tempo. independentemente uma da outra. Cabe notar que tudo aquilo que foi discutido para uma variável independente t associada ao tempo pode ser diretamente aplicado à sua associação com o espaço. Finalmente. Aqui. a área de cada impulso representa exatamente o valor x(nTP ). São definidos. a conversão A/D é dita uniforme. a partir dos valores do sinal discreto x(nTS ). deve ser fornecido ao ADC um sinal de Inı́cio de Conversão (Start Of Conversion ou SOC). troca-se a estrutura de sucessão temporal do modelo analógico pela estrutura de ordenação indexada atemporal do modelo discreto/digital. Esse processo é denominado de amostragem-e-retenção ou Sample-and-Hold (S/H) ou Track-and-Hold (T/H). melhor será a aproximação.S. a PAM pode ser utilizada na modelagem matemática do processo de amostragem. nas equações envolvidas. a conexão “Analógico → Digital” ou A/D. Nesse caso. Por sua vez. Em seguida. De outra forma. Deve ser ressaltado que. um sinal analógico amostrado com fP < 2 fmax é dito subamostrado. Para sinalizar o estado da conversão. o Conversor A/D é associado a dois sinais de controle. O intervalo de tempo entre o ı́nicio e o fim da conversão é denominado de tempo de conversão Tconv . Inicialmente. Para disparar uma conversão. pode-se dizer que a variável independende t foi normalizada pelo valor TS . que é a amostragem. são apresentados aspectos práticos e modelos teóricos para o processo de amostragem. são definidos os parâmetros TS (intervalo ou perı́odo de amostragem) e FS (taxa ou freqüência de amostragem). onde o operador {·}Q representa um mecanismo de quantização. o aspecto temporal fica inteiramente associado ao parâmetro TS (ou FS ). conseqüentemente. tal que FS = T1S Hz. Um sinal analógico amostrado com fP > 2 fmax é dito superamostrado. a partir do sinal x(t). Operacionalmente. A amostragem permite realizar a conexão “Analógico → Discreto” e.4.4 Amostragem e conversão Analógico/Digital (A/D) A modelagem matemática de sinais e de sistemas em tempo contı́nuo e em tempo discreto coexistem. Dessa forma.20 Capı́tulo 2. foi substituı́do o valor TS = 1 s. A seguir. 2. a seqüência x[n] = x(nTS ) e a seqüência digital xQ [n] = {x(nTS )}Q . ao se obter a seqüência x[n] e/ou a seqüência xQ [n]. é abordada a primeira forma de conexão entre os dois espaços de modelagem. Pode-se dizer ainda que os ı́ndices da seqüência foram organizados de acordo com os ı́ndices da amostragem. o sinal analógico x(t) é discretizado. fazendo com que x[n] = x(nTS ). podem ser definidas três situações. que é implicitamente definido no modelo discreto/digital. o sinal analógico x(t). que é o valor {x(Tn )}Q representado em um determinado código numérico. pode-se dizer que. A formação da seqüência x[n]. um elemento codificador (encoder ) transforma o valor retido x(Tn ) em um padrão digital. ainda. • Descrição matematicamente mais formal do processo de geração da seqüência x[n] a partir do sinal analógico x(t): 1 T =1s x(t) → escalamento temporal → y(t) = x(tTS ) → amostragem −→ y[nT1 ] = x(nTS ) geração da seqüência → x[n] = y[nT1 ] . utilizadas e transmitidas. – Seqüência associada ao sinal amostrado: x[n] = x(nTS ).4. também é mostrado como compensar a inserção do ZOH na cadeia de processamento.4. – Função de amostragem (sinal portador impulsivo): ∞ X p(t) = δTS (t) = δ(t − nTS ) . eles são muito úteis na modelagem dos processos empregados na prática. os impulsos são entidades matemáticas impossı́veis de serem geradas. Nesses casos. TET / UFF . Ambos os modelos são baseados na PAM com trem de impulsos unitários. Não é difı́cil perceber que.2. Por outro lado. O segundo é a amostragem impulsiva com o acréscimo de um Zero-Order Hold (ZOH).2 Modelos matemáticos A seguir. n=−∞ – Sinal em tempo discreto ou sinal amostrado: x(nTS ) = x(t)|t=nTS . Amostragem e conversão Analógico/Digital (A/D) 21 2. para gerar novos resultados teóricos. Além disso. – Seqüência quantizada (sinal digital): {x[n]}Q . n=−∞ – Sinal modulado com PAM impulsivo: xP AM (t) = x(t) p(t) X∞ = x(t) δ(t − nTS ) n=−∞ ∞ X = x(t) δ(t − nTS ) n=−∞ X∞ = x(nTS ) δ(t − nTS ) . a função portadora impulsiva p(t) é denominada de função de amostragem. na prática. O primeiro deles é a amostragem usando um trem de impulsos unitários. • Relações temporais tı́picas do modelo: – Sinal analógico (sinal modulante): x(t). são abordados dois modelos matemáticos para a conversão A/D. para realizar cálculos de interesse ou. Amostragem usando um trem de impulsos unitários • Descrição tı́pica do processo de geração da seqüência x[n] a partir do sinal analógico x(t): x(t) → amostragem → x(nTS ) → escalamento temporal → x[n] . Tais modelos teóricos podem servir para fundamentar matematicamente os processos práticos. . – CTFT de x(t): X(jω). – Seqüência quantizada (sinal digital): {x[n]}Q . pode ser matematicamente interpretada como um escalamento da variável independende t pelo valor TS . também pode ser analisado no domı́nio freqüencial.22 Capı́tulo 2. Amostragem e interpolação • Relações temporais mais formais do modelo: – Sinal analógico (sinal modulante) escalado: y(t) = x(tTS ). por cálculo direto: ∞ X ∞ X xP AM (t) = x(nTS ) δ(t − nTS ) ↔ XP AM (jω) = x(nTS ) e−jωnTS . – CTFT de xP AM (t). com o auxı́lio da CTFT. tal que x[n] = x(nTS ) e x[n] = y[n] = x(nTS ). 1 P∞ – CTFT de xP AM (t). no domı́nio temporal. – A formação da seqüência x[n]. pela propriedade: XP AM (jω) = TS k=−∞ X(j(ω − kωS )). • O relacionamento estabelecido entre x[n] e x(t). 1 P∞ – CTFT de p(t): P (jω) = TS k=−∞ (2π) δ(ω − kωS ). n=−∞ n=−∞ A. • Relações freqüenciais do modelo: 1 – Propriedade da CTFT: xP AM (t) = x(t) p(t) ↔ XP AM (jω) = 2π [X(jω) ∗ P (jω)]. a partir dos valores do sinal discreto x(nTS ) e y[n]. – Seqüência associada ao sinal amostrado: x[n] = y[nT1 ]T1 =1 . n=−∞ n=−∞ TS n=−∞ – Sinal modulado com PAM impulsivo escalado: yP AM (t) = xP AM (tTS ) yP AM (t) = y(t) c(t) ∞ 1 X = y(t) δ(t − n) TS n=−∞ ∞ 1 X = y(t) δ(t − n) TS n=−∞ ∞ 1 X = y[n] δ(t − n) .S. – Função de amostragem (sinal portador impulsivo) escalada: c(t) = p(tTS ) = δTS (tTS ) ∞ ∞ ∞ X X 1 X c(t) = δ(tTS − nTS ) = δ (TS (t − n)) = δ(t − n) . TS n=−∞ – Sinal em tempo discreto ou sinal amostrado: y[nT1 ]T1 =1 = x(nTS ) = x(t)|t=nTS . • O equacionamento acima indica que: – Os valores do sinal amostrado x(nTS ) = x(t)|t=nTS e y[n] = x(nTS ) = x(t)|t=nTS estão relacionados com as áreas dos respectivos impulsos do sinal modulado xP AM (t) e yP AM (t).V. 0 < t < TZOH TZOH hZOH (t) = G TZOH t − = . t < 0 e t > TZOH  • Assim. Amostragem e conversão Analógico/Digital (A/D) 23 – Propriedade da CTFT: x(t) = y(t T1S ) ↔ X(jω) = TS Y (jωTS ). a função aqui denominada de XD (ejΩ ) é conhecida. • Embora possua um enorme valor teórico. TS k=−∞ TS k=−∞ TS TS – Relação x[n] ↔ X(jω):    x[n] = y[nT1 ]T1 =1 = x(nTs ) = x(t)|t=nTS . tal que   1 . na Teoria de Sistemas em Tempo Discreto. como a Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) de x[n]. TS n=−∞ TS n=−∞ • Relacionamento da seqüência x[n] com a CTFT de x(t): – Definição de variável: Ω = ωTS → ΩS = ωS TS = 2π. assim como ele necessita do cálculo da área de um impulso para a obtenção do valor de uma amostra.4. Amostragem impulsiva com o acréscimo de um Zero-Order Hold (ZOH) • Um ZOH é um sistema que possui uma resposta ao impulso hZOH (t) definida por um pulso unitário. uma vez que lida com a geração e uso de impulsos. – Relação de XP AM (jω) com YP AM (jω): ∞ X XP AM (jω) = TS YP AM (jωTS ) = y[n] e−jωTS n n=−∞ ∞ X = TS YP AM (jΩ) = y[n] e−jΩn . esse modelo é de difı́cil implementação direta. por cálculo direto: ∞ ∞ 1 X 1 X yP AM (t) = y[n] δ(t − n) ↔ YP AM (jω) = y[n] e−jωn . a CTFT de hZOH (t) é dada por " # " !# sin ω TZOH ω TZOH TZOH TZOH 2 −jω 2 −jω HZOH (jω) = 2 e 2 = TZOH sinc e 2 . – CTFT de yP AM (t). n=−∞ – Definição de XP AM (jω): ∞ ∞ 1 X 1 X Ω ΩS XP AM (jω) = X(j(ω − kωS )) = X j −k .  XD (ejΩ ) = P∞ −jΩn 1 P∞ Ω − ΩS n=−∞ x[n] e = X j k  TS k=−∞ TS TS – Para destacar o fato. 2 2 0 .2. • Um modelo mais adequado para um dispositivo prático é abordado a seguir. ω π TET / UFF . de largura TZOH . • O equacionamento acima indica que os valores do sinal amostrado x(nTS ) = x(t)|t=nTS podem ser obtidos diretamente do sinal xZOH (t). 1 P∞ • CTFT de p(t): P (jω) = TS k=−∞ (2π) δ(ω − kωS ). Amostragem e interpolação • Logo.S. • Seqüência associada ao sinal amostrado: x[n] = x(nTS ) = xZOH (t)|nTS ≤t≤(n+1)TS . n=−∞ 2 2 • Sinal em tempo discreto ou sinal amostrado: x(nTS ) = x(t)|t=nTS = xZOH (t)|nTS ≤t≤(n+1)TS . A.24 Capı́tulo 2. um dispositivo prático de S/H pode ser modelado por uma associação cascata de um PAM impulsivo com um ZOH. • Seqüência quantizada (sinal digital): {x[n]}Q . onde TZOH = TS . • CTFT de xZOH (t): xZOH (t) = hZOH (t) ∗ xP AM (t) ↔ XZOH (jω) = HZOH (jω) XP AM (jω) . . para nTS ≤ t ≤ (n + 1)TS . 1 • Propriedade da CTFT: xP AM (t) = x(t) p(t) ↔ XP AM (jω) = 2π [X(jω) ∗ P (jω)]. P∞ • Sinal modulado com PAM impulsivo: xP AM (t) = x(t) p(t) = n=−∞ x(nTS ) δ(t − nTS ).V. T sin ω 2S −jω TS • CTFT de hZOH (t): hZOH (t) ↔ HZOH (jω) = 2 ω e 2 . • Sinal xZOH (t): xZOH (t) = hZOH (t) ∗ xP AM (t) X ∞ TS = G TS t − ∗ x(nTS ) δ(t − nTS ) 2 2 n=−∞ ∞ X TS = x(nTS ) G TS t − ∗ δ(t − nTS ) n=−∞ 2 2 ∞ X TS = x(nTS ) G TS t − nTS − . 1 P∞ • CTFT de xP AM (t): XP AM (jω) = TS k=−∞ X(j(ω − kωS )). • CTFT de x(t): X(jω). • Sinal analógico (sinal modulante): x(t). P∞ • Função de amostragem (sinal portador impulsivo): p(t) = δTS (t) = n=−∞ δ(t − nTS ). onde ωmax < ωC < (ωS − ωmax ). O conjunto [decoder + retentor] recebe a denominação global de Conversor D/A ou D/A Converter ou DAC. funcione como um filtro passa-baixa ideal. referente ao valor {x[n]}Q . superamostrado com ωS e. deve-se compensar o seu efeito. assim. TET / UFF . no valor discreto x(Tn ) = {x[n]}Q . independentemente uma da outra. o valor discreto x(Tn ) é retido por um determinado intervalo de tempo. com limitação de banda em ωmax . um elemento decodificador (decoder ) transforma um padrão digital. definido por HI (jω) = TS GωC (jω). Porém. sem a ocorrência de aliasing. A reconstrução pode ser exata ou aproximada. a fim de que o arranjo cascata do ZOH com o sistema de compensação. que é a interpolação. • Dentro do modelo de amostragem puramente impulsivo. 2. a modelagem matemática de sinais e de sistemas em tempo contı́nuo e em tempo discreto coexistem. disparar uma conversão. A interpolação possibilita a conexão “Discreto → Analógico” e.5. A interpolação é o processo de reconstrução de um sinal analógico x(t) a partir de suas amostras. • No caso onde é empregado um ZOH. onde o operador {·}Q representa um mecanismo de quantização. o sinal x(t) pode ser recuperado a partir do sinal xP AM (t). o Conversor D/A é associado a um único sinal de controle.  sin ω 2S   2  ω   2. conseqüentemente. deve ser fornecido ao DAC um sinal denominado de Strobe ou de Inı́cio de Conversão (Start Of Conversion ou SOC). é abordada a segunda forma de conexão entre os dois espaços de modelagem. Operacionalmente. Em seguida.5 Interpolação e conversão Digital/Analógico (D/A) Como já foi dito anteriormente.5. O processo pode utilizar diversas funções diferentes. conseqüentemente. a conexão “Digital → Analógico” ou D/A. O intervalo de tempo entre o ı́nicio e o fim da conversão é denominado de tempo de conversão Tconv . utilizando-se um filtro passa-baixa ideal. o que significa que HZOH (jω) HC (jω) = HI (jω) e    TS   jω  −1  e 2  HC (jω) = HZOH (jω) HI (jω) = T [TS GωC (jω)] . recuperado por interpolação com valor constante. Aqui. tais como funções senoidais e polinomiais. são apresentados aspectos práticos e modelos teóricos para a interpolação. o sinal x(t) também pode ser recuperado a partir do sinal xZOH (t). o que é dado por X(jω) = HI (jω) XP AM (jω) .2. A seguir. Interpolação e conversão Digital/Analógico (D/A) 25 Compensação do Zero-Order Hold (ZOH) • Supondo-se um sinal x(t).1 Aspectos práticos Um processo prático de conversão D/A é realizado da seguinte forma. gerando o sinal analógico xRI (t). definido por HC (jω). Primeiro. A fim de armazenar um padrão digital em um registrador de entrada e. . pode-se dizer que. • CTFT de hI (t): HI (jω) = TS GωC (jω). troca-se a estrutura de ordenação indexada atemporal do modelo discreto/digital pela estrutura de sucessão temporal do modelo analógico. fazendo com que x(nTS ) = xQ [n].5. tal que x(nTS ) = x[n]. Nesse caso. de ordem zero e de primeira ordem. • Recuperação de x(t) por filtragem passa-baixa ideal: X(jω) = HI (jω) XP AM (jω). onde ωmax < ωC < (ωS − ωmax ). que estava implicitamente definido no modelo discreto/digital pelo parâmetro TS (ou FS ). tal que FS = T1S Hz.S. é suposta a existência de uma seqüência x[n] associada ao sinal discreto x(nTS ). A. • Sinal em tempo discreto ou sinal amostrado: x(nTS ) = x(t)|t=nTS . Cabe notar que tudo aquilo que foi discutido para uma variável independente t associada ao tempo pode ser diretamente aplicado à sua associação com o espaço.V. onde as áreas dos impulsos δ(t − nTS ) são iguais aos valores das amostras x(nTS ). Dessa forma. restaura-se o aspecto temporal. foi inserido o valor de TS . o filtro recebe a denominação de filtro suavizador (smoothing filter ). 1 P∞ • CTFT de xP AM (t): XP AM (jω) = TS k=−∞ X(j(ω − kωS )). Por um lado. a partir da seqüência digital xQ [n]. nas equações envolvidas. são definidos os parâmetros TS (intervalo ou perı́odo de amostragem) e FS (taxa ou freqüência de amostragem). Pode-se dizer ainda que os ı́ndices do sinal discreto foram organizados de acordo com os ı́ndices da seqüência. a partir da seqüência digital xQ [n]. também. ao se obter o sinal discreto x(nTS ) e os sinais analógicos xRI (t) e xSF (t). Deve ser ressaltado que. • Seqüência associada ao sinal amostrado: x[n] = x(nTS ).26 Capı́tulo 2. De outra forma. o sinal discreto no tempo x(nTS ) = xQ [n] e o sinal analógico recuperado por interpolação xRI (t). a conversão D/A é dita uniforme. 2. normalmente realiza-se uma filtragem com seletividade do tipo passa-baixa. São definidos. Os dois outros se utilizam de polinômios. h i 1 sin(ωC t) ω ωC t • Resposta ao impulso do filtro passa-baixa ideal: hI (t) = TS π t = TS C π sinc π . A formação do sinal discreto x(nTS ). P∞ • Sinal modulado com PAM impulsivo: xP AM (t) = n=−∞ x(nTS ) δ(t − nTS ). para suavizar as descontinuidades de xRI (t) e gerar o sinal filtrado xSF (t). Dado que a forma descontı́nua do sinal xRI (t) é uma aproximação grosseira do sinal desejado x(t). pode ser matematicamente interpretada de três formas equivalentes. a seqüência digital xQ [n]. pode-se dizer que a variável independende t foi normalizada pelo valor TS .2 Modelos matemáticos A seguir. e de um sinal PAM impulsivo xP AM (t). Em todos os casos. A “Interpolação Limitada em Banda” emprega uma função senoidal. são abordados três modelos para a interpolação. Nesse caso. Interpolação limitada em banda • Seqüência quantizada (sinal digital): {x[n]}Q . com Tper > Tconv . Amostragem e interpolação Caso o acionamento seja periódico. • Caso o sinal xRI (t) não seja aceito como uma boa aproximação para o sinal x(t). com limitação de banda em ωmax . os quais não podem ser exatamente gerados na prática. • Por outro lado. o filtro suavizador ideal será aquele definido pelo arranjo em cascata da função inversa a do ZOH com a função de um passa-baixa ideal. sua implementação será sempre aproximada. esse modelo representa o ponto ideal a ser alcançado. gerando o sinal interpolado xRI (t) = x(nTS ) = x[n] para o intervalo nTS ≤ t < (n + 1)TS .5. Interpolação e conversão Digital/Analógico (D/A) 27 • Interpolação associada à filtragem ideal: x(t) = hI (t) ∗ xP AM (t) ∞ X = hI (t) ∗ x(nTS ) δ(t − nTS ) n=−∞ ∞ X = x(nTS ) [hI (t) ∗ δ(t − nTS )] n=−∞ X∞ = x(nTS ) hI (t − nTS ) n=−∞ ∞ X 1 sin (ωC (t − nTS )) = x(nTS ) TS n=−∞ π (t − nTS ) ∞ X ωC ωC (t − nTS ) = x(nTS ) TS sinc . conseqüentemente. • Então.2. • Seqüência quantizada (sinal digital): {x[n]}Q . esse caso pode ser modelado por um ZOH. esse processo de reconstrução é exato. o polinômio básico é uma constante. sem a ocorrência de aliasing. • Porém. TET / UFF . em teoria. uma vez que só é possı́vel obter-se uma aproximação do filtro passa-baixa ideal. ou. superamostrado com ωS e. entre dois valores (amostras) consecutivos da seqüência a ele associada x[n] e x[n + 1]. n=−∞ π π ωS • Para ωC = 2 : ∞ ∞ X ωS ωS (t − nTS ) X (t − nTS ) x(t) = x(nTS ) TS sinc = x(nTS ) sinc . Interpolação polinomial de ordem zero (ZOH) • O processo de interpolação polinomial emprega um polinômio de ordem N para realizar a reconstrução do sinal analógico x(t) entre dois pontos consecutivos do sinal discreto x(nTS ) e x((n + 1)TS ). • Portanto. equivalentemente. • Além disso. ele envolve impulsos. n=−∞ 2π 2π n=−∞ TS • Supondo-se um sinal x(t). • Quando N = 0. a CTFT de hF OH (t) é dada por " #2 " !#2 1 sin ω TZOH 2 1 ω TZOH 2 HF OH (jω) = 2 = TZOH sinc . TZOH ω TZOH π • Caso o sinal xRI (t) não seja aceito como uma boa aproximação para o sinal x(t). |t| > TF OH  • Assim. • CTFT de xP AM (t): XP AM (jω) = T1S ∞ P k=−∞ X(j(ω − kωS )). • Portanto. o polinômio básico é uma função linear.S. 0 . o filtro suavizador ideal será aquele definido pelo arranjo em cascata da função inversa a do FOH com a função de um passa-baixa ideal. esse caso. equivalentemente. 2 T sin ω 2S −jω TS • CTFT de hZOH (t): HZOH (jω) = 2 ω e 2 . A. n=−∞ 2 2 • Recuperação de x(t) por filtragem ZOH: XRI (jω) = HZOH (jω) XP AM (jω). o qual é definido por: |t|   1 − TF OH .V. • Resposta ao impulso do ZOH: hZOH (t) = G TZOH t − TZOH 2 . entre dois valores (amostras) consecutivos da seqüência a ele associada x[n] e x[n + 1]. • Quando N = 1. • Geração do sinal xRI (t) = xZOH (t): ∞ X TS xRI (t) = hZOH (t) ∗ xP AM (t) = x(nTS ) G TS t − nTS − . • Seqüência quantizada (sinal digital): {x[n]}Q . onde ωmax < ωC < (ωS − ωmax ).28 Capı́tulo 2. . • CTFT de hI (t): HI (jω) = TS GωC (jω). Interpolação polinomial de primeira ordem (FOH) • O processo de interpolação polinomial emprega um polinômio de ordem N para realizar a reconstrução do sinal analógico x(t) entre dois pontos consecutivos do sinal discreto x(nTS ) e x((n + 1)TS ). • Sinal modulado com PAM impulsivo: xP AM (t) = ∞ P n=−∞ x(nTS ) δ(t − nTS ). ou. pode ser modelado por um First-Order Hold ou FOH. • Recuperação de x(t) por filtragem suavizadora ideal: −1 −1 XISF (jω) = HI (jω) HZOH (jω) HZOH (jω) XP AM (jω) = HI (jω) HZOH (jω) XRI (jω) . |t| ≤ TF OH hF OH (t) = T rgTZOH (t) = . Amostragem e interpolação • Sinal em tempo discreto ou sinal amostrado: x(nTS ) = {x[n]}Q . que é denominado de interpolação linear. ligando os pontos x(nTS ) = x[n] e x((n + 1)TS ) = x[n + 1] por um segmento de reta e gerando um sinal interpolado xRI (t) que é linear por partes. 2 T sin ω 2S 1 • CTFT de hF OH (t): HF OH (jω) = TS 2 ω . n=−∞ • Recuperação de x(t) por filtragem FOH: XRI (jω) = HF OH (jω) XP AM (jω). onde ωmax < ωC < (ωS − ωmax ). • CTFT de hI (t): HI (jω) = TS GωC (jω). Interpolação e conversão Digital/Analógico (D/A) 29 • Sinal em tempo discreto ou sinal amostrado: x(nTS ) = {x[n]}Q . • Recuperação de x(t) por filtragem suavizadora ideal: XISF (jω) = HI (jω) HF−1OH (jω) HF OH (jω) XP AM (jω) = HI (jω) HF−1OH (jω) XRI (jω) . • Resposta ao impulso do FOH: hF OH (t) = T rgTS (t). • CTFT de xP AM (t): XP AM (jω) = T1S ∞ P k=−∞ X(j(ω − kωS )). • Sinal modulado com PAM impulsivo: xP AM (t) = ∞ P n=−∞ x(nTS ) δ(t − nTS ).5. TET / UFF . • Geração do sinal xRI (t) = xF OH (t): ∞ X xRI (t) = hF OH (t) ∗ xP AM (t) = x(nTS ) T rgTS (t − nTS ) .2. 0 ≤ t ≤ TB 1. K ∈ R e n ∈ Z. t < 0 e t > TB seguintes gráficos. 0 . |t| ≤ TB 3. Dados o sinal x(t) = TB . K > 1. .6 Exercı́cios propostos t . esboce os 0 . TD . com uma escala única para todos: (a) x̃(t) × t (b) ỹ(t) = x̃(Kt) × t (c) ỹ(t) = x̃( K1 t) × t A. Dados o sinal x(t) = . 0 . |t| ≤ TB 2. TD > TB > 0 e TB .30 Capı́tulo 2. TD > TB > 0 e TB .S. T2P > TB > 0. esboce os seguintes gráficos. TD . com uma escala única para todos: (a) x(t) × t (b) x(t) × −t (c) x(−t) × t (d) x(−t) × −t (e) x(t − TD ) × t (f) x(t − TD ) × −t (g) x(t + TD ) × t (h) x(t + TD ) × −t (i) x(−t − TD ) × t (j) x(−t − TD ) × −t (k) x(−t + TD ) × t (l) x(−t + TD ) × −t |t| 1−. Dados o sinal periódico x̃(t) = x̃(t − nTP ) = . K ∈ R. |t| > TB esboce os seguintes gráficos.V. TB < t < T2P TB . com uma escala única para todos: (a) x(t) × t (b) x(t − TD ) × t (c) x(t + TD ) × t (d) x(Kt) × t (e) x( K1 t) × t (f) x(Kt − TD ) × t (g) x(Kt + TD ) × t (h) x( K1 t − TD ) × t (i) x( K1 t + TD ) × t (j) x(K(t − TD )) × t (k) x(K(t + TD )) × t (l) x( K1 (t − TD )) × t (m) x( K1 (t + TD )) × t 1 . TD ∈ R. K > 1. Amostragem e interpolação 2. Parte II Sinais e sistemas no domı́nio do tempo 31 . . 1 Introdução Nesse capı́tulo são apresentados conceitos básicos relativos aos sinais manipulados pelos sistemas de processamento digital. Inicialmente.Capı́tulo 3 Sinais no domı́nio do tempo 3. por amostragem de um sinal analógico. • Embora a indexação de uma seqüência indique uma ordenação dos seus valores. algumas relações de dependência entre seqüências são evidenciadas. ela pode ser espacial e não temporal. • Entretanto. Finalmente. e mesmo que essa amostragem não seja temporal. essa ordenação não possui significado temporal. onde os seus valores numéricos representam as amostras temporais x[n] = xa (nTS ) = xa (t)|t=nTS . a partir de um sinal discreto. as seqüências são classificadas. há dois casos onde um ı́ndice pode ser associado com o tempo. Em seguida. que são as seqüências. Posteriormente. as operações básicas sobre seqüências e as seqüências mais comuns são exemplificadas. convenciona-se agregar um significado temporal ao seu ı́ndice. 33 . a associação de ı́ndice com tempo e as notações mais comuns para seqüências são apresentadas. Portanto. • Assim. um ı́ndice não carrega informação de tempo. mesmo no caso onde é realizada uma amostragem. não faria sentido tratar de seqüências no domı́nio do tempo. ainda que a seqüência não tenha sido obtida por meio de amostragem. a princı́pio. • Porém. 3. • O segundo caso é na formação de uma seqüência. • Além disso. onde xa (nTS ) = xa (t)|t=nTS .2 Associação de ı́ndice com tempo • As seqüências são os sinais manipulados pelos sistemas de processamento digital. • O primeiro deles é na formação de um sinal discreto. −∞ < n < ∞. independentemente da origem: – Variável independente (ı́ndice): n ∈ Z. A. a seqüência isoladamente não carrega informação sobre o perı́odo de amostragem utilizado (underlying sampling period ). Assim sendo.34 Capı́tulo 3. ∗ Sinal analógico: xa (t). na maioria das vezes. Deve-se tomar cuidado com tal procedimento. −∞ < t < ∞.S. – N-ésimo valor quantizado: x[n]Q . ela é apenas uma variável genérica. – N-ésimo valor da seqüência: x[n]. – Sinal analógico ∗ Variável independente (tempo): t ∈ R. • Seqüência obtida por amostragem uniforme de um sinal analógico: – Em muitos casos. o perı́odo de amostragem TS aparece como um parâmetro da formulação. −∞ < n < ∞. • Notação comumente utilizada. realiza-se um escalamento no tempo (normalização). de tal forma que o ı́ndice n torna-se a variável independente: xa (t)|t=nTS = xa (nTS ) → x[n]. – Sinal discreto ou sinal amostrado (seqüência) ∗ Índice: n ∈ Z. – Amostragem uniforme ∗ Intervalo ou perı́odo de amostragem: TS ∈ R. – Sinal com tempo discreto ou sinal amostrado: {x[n]}. na formação de uma seqüência.V. Sinais no domı́nio do tempo 3. pois.3 Notações para seqüências no domı́nio do tempo • Seqüência naturalmente discreta: – Variável independente (ı́ndice): n ∈ Z. ∗ Taxa ou freqüência de amostragem: FS = T1S ∈ R. – Deve-se observar que. . – Sinal com tempo discreto e quantizado ou sinal digital: {x[n]}Q . ∗ N-ésimo valor (ou amostra) quantizado: x[n]Q = xa (nTS )Q ∗ Seqüência (conjunto ordenado de valores ou amostras): {x[n]} = {xa (nTS )}. Dessa forma. a variável independente t representa realmente a grandeza tempo. – N-ésimo valor (ou amostra) do sinal: x[n]. é necessário conhecê-lo e utilizá-lo. Porém. ∗ Seqüência quantizada: {x[n]}Q = {xa (nTS )}Q . −∞ < n < ∞. sem uma grandeza associada (dummy variable). – Seqüência (conjunto ordenado de valores): {x[n]}. – N-ésimo valor (ou amostra) quantizado: x[n]Q . ∗ N-ésimo valor (ou amostra) da seqüência: x[n] = xa (nTS ) = xa (t)|t=nTS . – Seqüência quantizada: {x[n]}Q . em diversas formu- lações. Por outro lado. Logo. utilizam-se os seguintes padrões: – A notação x[n]P seqüência {x[n]}. é adotada para representar a P Ex. · · · . – Seqüência lateral esquerda (left-sided sequence): x[n] = 0 . 3. n > N2 . wr [n] ∈ R.3.4 Tipos de seqüências • Classificações podem ser estabelecidas com base em alguns critérios.4. onde xc [n] ∈ C e vr [n]. • As variáveis fı́sicas analógicas assumem valores matemáticos reais. a partir de uma valor qualquer K.2 Comprimento • Seqüência de comprimento finito (N-point sequence): – Amostras existentes: x[n] . • Cada classificação imprime caracterı́sticas aos componentes da classe. Tipos de seqüências 35 • Normalmente. – Seqüência anti-causal: N2 ≤ 0. onde K e N ∈ Z. N1 ≤ n ≤ N2 . – Seqüência causal: N1 ≥ 0. (K + 1) . TET / UFF . (K + 2) . • Seqüência de comprimento infinito: – Seqüência lateral direita (right-sided sequence): x[n] = 0 . • Tais caracterı́sticas podem ser utilizadas na análise e/ou na sı́ntese (projeto) de sinais e sistemas. Por exemplo: xc [n] = vr [n] + j wr [n]. (K + N − 1)] = K.4. as seqüências obtidas pela amostragem de tais sinais analógicos também serão do tipo real.4. n < N1 .1 Sistema numérico • Seqüência inteira: x[n] ∈ Z. boa parte do processamento de sinal discreto não restringe o tipo das seqüências manipuladas. – Comprimento ou duração da seqüência: N = N2 − N1 + 1. −∞ < n < ∞. • Seqüência complexa: x[n] ∈ C. a fim de tornar o seu processamento mais eficiente. 3. nos casos onde isso é possı́vel. visando não sobrecarregar o texto. – Seqüência bilateral (two-sided sequence): x[n] . • Seqüência real: x[n] ∈ R. 3. de tal forma que k = hN i = [K. podem ser utilizadas seqüências complexas formadas por seqüências reais.: {x[n]} = N k=0 x[k]{δ[n − k]} → x[n] = N k=0 x[k]δ[n − k]. – A notação k = hN i é empregada para representar a faixa dos N valores consecutivos que a variável k irá assumir. • Algumas classificações mais comuns são apresentadas a seguir. Assim. (K + N − 1). onde xe [n] = 12 (xg [n] + xg [−n]) e xo [n] = 12 (xg [n] − xg [−n]). a energia de sinal Ex é infinita. – Sinal de energia: para o sinal x. Nf é o perı́odo fundamental (menor perı́odo) e N. a simetria pode acontecer em relação a outros valores. a medida fı́sica de energia ou de potência. que podem coincidir com os valores de n ou podem estar localizados no ponto médio entre dois valores consecutivos de n. onde 1 ∗ 1 ∗ xcs [n] = 2 xg [n] + xg [−n] e xca [n] = 2 xg [n] − xg [−n] .4. • Seqüência absolutamente somável: ∞ P n=−∞ |x[n]| < ∞. xo [n] ∈ R. – Sinal de potência: para o sinal x. xg [n] ∈ C. xcs [n] ∈ C. 3. • Seqüências complexas – Seqüência conjugada simétrica: xcs [n] = x∗cs [−n] . • Seqüência aperiódica: seqüência não periódica.4. Não são. Sinais no domı́nio do tempo 3. o ponto n = 0 é intrinsicamente considerado como referência para a simetria.36 Capı́tulo 3. .V.4. 3. a energia de sinal Ex é finita. xca [n] ∈ C. – Seqüência ı́mpar: xo [n] = −x∗o [−n] = −xo [−n] . – Sinal analógico R∞ genérico: 2 Ex = −∞ |x(t)| dt. • Sinal de energia × sinal potência: – Energia e potência de sinal: são medidas da energia e da potência de um sinal. mas a potência de sinal média PMx é finita.3 Simetria • Seqüências reais – Seqüência par: xe [n] = x∗e [−n] = xe [−n] .4 Periodicidade • Seqüência periódica: x[n] = x[n ± N ] = x[n ± KNf ]. – Decomposição de sinal real genérico: xg [n] = xe [n] + xo [n]. 2 1 |x̃(t)|2 dt. • Seqüência de quadrado somável: ∞ 2 P n=−∞ |x[n]| < ∞. • Nas classificações acima.5 Outras classificações • Seqüência limitada (bounded ): |x[n]| ≤ Bx < ∞. – Seqüência conjugada anti-simétrica: xca [n] = −x∗ca [−n] . necessariamente. utiliza-se a seguinte notação para seqüências periódicas: x̃[n]. xg [n] ∈ R. K ∈ N. R – Sinal analógico periódico: PMx̃ = Tper Tper A. xe [n] ∈ R. Em alguns casos. RT PMx = limT →∞ T1 −2T |x(t)|2 dt = limT →∞ T1 ETx . Nf . onde N é perı́odo de repetição. • Comumente.S. – Decomposição de sinal complexo genérico: xg [n] = xcs [n] + xca [n]. definido como w[n] = x[n] + A. (N − |ND |) ≤ n ≤ (N − 1) (3. ∗ Deslocamento para direita (ND < 0): x[(n − |ND |) + N ] . 0 ≤ n < (N − |ND |) wL [n]|ND | = x [hn + |ND |iN ] = . • Deslocamento temporal – Linear: ∗ Fórmula geral: w[n] = x[n + ND ]. o valor do deslocamento circular efetivo é dado por ±|ND | = ±h|ND0 |iN .5 Operações básicas sobre seqüências • Adaptação de comprimento em seqüências finitas (zero-padding ou zero-appending): inserção de valores nulos no inı́cio. x[n − |ND |] . dentro do módulo N . ∗ Fórmula geral: w[n]ND = x [hn + ND iN ]. ∗ Fundamento matemático: · Aritmética modular ou inteira. ∗ Deslocamento para direita (ou atraso): ND < 0. 0 ≤ n < |ND | wR [n]|ND | = x [hn − |ND |iN ] = . · Notação: hkiM = k (mod M ) = k módulo M .1) ∗ Deslocamento para esquerda (ND > 0): x[n + |ND |] . definido como w[n] = x[n] · A. · Cálculo: hkiM = r é o resto da divisão de k por M . • Adição: w[n] = x[n] + y[n]. definidas no módulo 0 ≤ n ≤ (N − 1). – Caso particular: deslocamento de amplitude ou adição com escalar ou inserção de offset. PK+(Nper −1) 1 |x̃[n]|2 = Nper 1 2 P – Seqüência periódica: PMx̃ = Nper n=K n=hNper i |x̃[n]| .2) TET / UFF . tal que k = q · M + r. no final e/ou em pontos intermediários da seqüência. |ND | ≤ n ≤ (N − 1) (3.5. ∗ Deslocamento efetivo: dado um valor genérico ND0 . – Caso particular: escalamento de amplitude ou multiplicação por escalar. • Multiplicação: w[n] = x[n] · y[n]. – Aplicações: modulação e janelamento. com rotação dos valores.3. 3. Operações básicas sobre seqüências 37 – Seqüência P∞ genérica:2 Ex = n=−∞ |x[n]| . ∗ Deslocamento para esquerda (ou avanço): ND > 0. x[(n + |ND |) − N ] . – Circular: ∗ Seqüências finitas. 1 PK 2 1 PMx = limK→∞ 2K+1 n=−K |x[n]| = limK→∞ 2K+1 E(2K+1)x . onde 0 ≤ |ND | ≤ (N − 1). para 0 ≤ n ≤ (N − 1). ∗ Deslocamento linear da seqüência. para 0 ≤ n ≤ (N − 1). por meio de alguma técnica de interpolação. · Portanto. – Relação entre reversões temporais: x [h−niN ] = x̃[−n]. – Relação entre deslocamentos: x [hn + ND iN ] = x̃[n + ND ]. de comprimento N ≤ Nf . • Extensão periódica: geração de um sinal periódico x̃[n]. de comprimento N : x[n].38 Capı́tulo 3. – Relação entre os sinais: x̃[n] é a extensão periódica de x[n]. Sinais no domı́nio do tempo ∗ Cálculo alternativo: · Bem adequado para cálculos vetoriais. (3. observa-se que os valores de x[n] que estão na faixa 0 ≤ n < |ND |. sofrem o deslocamento linear x[(n − |ND |) + N ]. – Variação de taxa de amostragem: ∗ Down-sampling ou decimação: w[n] = x[n ∗ K]. 0 < n ≤ (N − 1) A. n=0 w[n] = x [h−niN ] = .V. K ∈ Z. de perı́odo fundamental Nf = N : x̃[n]. . de perı́odo fundamental Nf . – Relação entre reversão temporal e deslocamento: x[0] . tal que x[n] = [v1 v2 ]. pensando-se na seqüência original x[n] como um vetor adequadamente decomposto em dois subvetores. ∗ Uma vez que hn ± N iN = hniN : wR [n]|ND | = wL [n](N −|ND |) e wL [n]|ND | = wR [n](N −|ND |) . para 0 ≤ n ≤ (N − 1). por meio da repetição periódica de um sinal finito x[n]. sofrem o deslocamento linear x[n − |ND |]. ∗ Na operação de down-sampling. tal que ∞ X x̃[n] = x[n + mNf ] . Por sua vez. – Sinal periódico. Por sua vez. os valores de x[n] que se encontram na faixa (N − |ND |) ≤ n ≤ (N − 1). as amostras intermediárias são naturalmente abandonadas.S. (3. · Deslocamento para esquerda (ND > 0): na composição da seqüência wL [n]|ND | = x [hn + |ND |iN ]. o deslocamento circular w[n]ND = x [hn + ND iN ] pode ser implementado por uma simples troca de posição entre os dois subvetores. para 0 ≤ n ≤ (N − 1). sofrem o deslocamento linear x[(n + |ND |) − N ]. onde as seqüências são representadas por vetores. de tal forma que w[n]ND = [v2 v1 ]. os valores de x[n] que se encontram na faixa |ND | ≤ n ≤ (N − 1).3) m=−∞ • Extensão periódica × deslocamento × reversão temporal – Sinal finito. K ∈ Z. ∗ Up-sampling ou interpolação: w[n] = x[n/K]. ∗ Na operação de up-sampling. • Escalamento temporal – Reversão temporal: w[n] = x[−n]. novas amostras intermediárias devem ser intro- duzidas. sofrem o deslocamento linear x[n + |ND |]. observa-se que os valores de x[n] que estão na faixa 0 ≤ n < (N − |ND |).4) x[−n + N ] . · Deslocamento para direita (ND < 0): na composição da seqüência wR [n]|ND | = x [hn − |ND |iN ]. . .. ∗ Definição: ∞ X yL [n] = h[n − k] · x[k] = h[n] ∗ x[n] . .. . (3. (3. . . . 0 ≤ n.5) k=−∞ ∗ Definição matricial:  .   . . . . ···       . 0 ≤ n ≤ (N − 1) .7) ∗ Definição circular.6) e yC [n] = ỹ[n] . que pode ser reescrita como yL [n] = H · x[n] . .   . . . .. ∗ Comprimento das seqüências: Nx .... . ∗ Intervalo normalmente utilizado: 0 ≤ n ≤ (N − 1).3. . .... ∗ A matriz H é denominada matriz de convolução. .. . com perı́odo fundamental N. ...(3.   . .   . .  y [n]   · · · h[n + 1] h[n] h[n − 1] h[n − 2] · · · h[n − k] ···   x[k]   L     . . onde é considerado apenas o perı́odo fundamental: (N −1) h [hn − kiN ] · x[k] = h[n] Nix[n] . ··· ... ··· . .8) X yC [n] = k=0 TET / UFF ..5...     . ... . – Convolução periódica ou circular ∗ Sinais periódicos: ambos. ∗ Definição periódica: K+(N −1) X X ỹ[n] = h̃[n − k] · x̃[k] = h̃[n − k] · x̃[k] k=K k=hN i = h̃[n] ~ x̃[n] = h̃[n] Nix̃[n] (3.. Operações básicas sobre seqüências 39 • Soma de convolução (ou soma de superposição) – Seqüências envolvidas na operação: h[n] e x[n].... . x[n] ou ambos. . . . – Convolução aperiódica ou linear ∗ Sinais aperiódicos: h[n]..  . . . ∗ Tipo de deslocamento temporal: linear. k ≤ (N − 1) ..  . . . . Nh e Ny = (Nx + Nh − 1). . . . . yL [−1] ··· h[0] h[−1] h[−2] h[−3] · · · h[−1 − k] ··· x[−1]           yL [0] ··· h[1] h[0] h[−1] h[−2] ··· h[−k] ··· x[0]           yL [1] ··· h[2] h[1] h[0] h[−1] · · · h[1 − k] ··· x[1]           = · yL [2] ··· h[3] h[2] h[1] h[0] · · · h[2 − k] ··· x[2]         .. .. . ∗ Solução: cálculo segmentado. . .  .10) 0 . ∗ Problema: cálculo direto da convolução linear pode ser inviável. ..S.. é discutido o método denominado overlap-and-add. ∗ A seguir. por causa do comprimento de x[n]. (Nh − 1) ≤ n ≤ (N − 1) .9) 0 . (3. ∗ Segmentação de x[n] ∞ X x[n] = xb [n − bNb ] . caso contrário · Supondo 2 < Nh < Nx e N = Nx :   yerro [n] . caso contrário  – Cálculo segmentado da convolução linear usando blocos de tamanho fixo ∗ Sinal finito: h[n]. ∗ Comprimento da convolução circular: N . ∗ Comprimento das seqüências: Nx e Nh . usando blocos de x[n]. onde N ≥ Nx e N ≥ Nh . b=0 onde x[n + bNb ] .V. .. 0 ≤ n ≤ (Nb − 1) xb [n] = . ∗ Sinais periódicos: extensão periódica de ambos.. ∗ Definição da equivalência · Supondo N ≥ (Nx + Nh − 1): yC [n] . ∗ Perı́odo fundamental das seqüências: Ny = Nx = Nh = N . ..   . com comprimento Nh . caso contrário A.40 Capı́tulo 3..    .. que pode ser interpretado como um deslocamento circular (do perı́odo fundamental).   . 0 .   . ∗ Sinal muito grande ou infinito: x[n]. ∗ A matriz C é denominada matriz circulante. com tamanho fixo Nb . ∗ Tipo de deslocamento temporal: linear (do sinal periódico). . ∗ Comprimento da convolução linear: Ny = (Nx + Nh − 1). Sinais no domı́nio do tempo ∗ Definição circular matricial:      yC [0] h[0] h[N − 1] h[N − 2] · · · h[1] x[0]  yC [1]   h[1]    h[0] h[N − 1] · · · h[2]   x[1]      yC [2]   h[2]  = h[1] h[0] · · · h[3]  · x[2]  . 0 ≤ n ≤ (Nh − 2) yL [n] = yC [n] . com perı́odo fundamental N . . – Cálculo da convolução linear usando a convolução circular ∗ Sinais finitos: ambos. 0 ≤ n ≤ (N − 1) yL [n] = .   .  yC [N − 1] h[N − 1] h[N − 2] h[N − 3] · · · h[0] x[N − 1] que pode ser reescrita como yC [n] = C · x[n] . . . (3. TET / UFF . · Logo. para 0 ≤ b < ∞.11) b=0 de onde obtém-se ∞ X yb [n] = xb [n − k] h[k] = xb [n] ∗ h[n] . Operações básicas sobre seqüências 41 ∗ Cálculo segmentado y[n] = x[n] ∗ h[n] ∞ ! X = xb [n − bNb ] ∗ h[n] b=0 ∞ X = (xb [n − bNb ] ∗ h[n]) b=0 ∞ ∞ ! X X = xb [n − k − bNb ] h[k] b=0 k=−∞ ∞ ∞ ! X X = xb [(n − bNb ) − k] h[k] b=0 k=−∞ ∞ X = (xb [n − bNb ] ∗ h[n]) b=0 ∞ X = yb [n − bNb ] . Nb e Nyb = Nb + Nh − 1. · Tais valores superpostos serão somados no cálculo final da convolução.5. ocorrerá um overlap de (Nh − 1) valores do final de um bloco com o inı́cio do seguinte. • Operações básicas sobre seqüências simétricas: a Tabela 3. · Pontos de inı́cio de cada bloco: Norg = bNB .1 apresenta um resumo dos resultados das operações básicas aplicadas sobre seqüências reais simétricas. Operações Operandos: seqüências reais simétricas Par e Par Ímpar e Ímpar Par e Ímpar Adição Par Ímpar Geral Subtração Par Ímpar Geral Multiplicação Par Par Ímpar Divisão Par Par Ímpar Tabela 3.3. k=−∞ ∗ Origem do nome do método (overlap-and-add ): · Comprimentos envolvidos na convolução dos blocos: Nh .1: Resultados das operações básicas aplicadas sobre seqüências reais simétricas. (3. (3. − ∞ < n. |n| ≤ Nw GNw [n] = .15) 0 . n = k Nf δNf [n] = . |n| > Nw • Seqüência linear unitária: Lin[n] = n.V. n < 0  • Janela (gate) retangular unitária: 1 .18) • Rampa unitária: n . Sinais no domı́nio do tempo 3.S. n>0 M od[n] = 0 .17) 0 . caso contrário • Constante unitária: Ones[n] = 1.19) 0 .21) N0 A. − ∞ < n < ∞ . n 6= 0 • Trem de impulsos unitários periódicos: 1 . . n≥0 Ramp[n] = . k < ∞ .13) 0 .20) −n . n≥0 u[n] = . − ∞ < n < ∞ .42 Capı́tulo 3. (3. − ∞ < n < ∞ . (3. n=0 . n<0 • Módulo unitário:  n .12) 0 . (3. n < 0  • Seqüência senoidal: – Seqüência naturalmente de tempo discreto: x̃[n] = A0 · cos(θ[n] + Θ0 ) = A0 · cos(Ω0 n + Θ0 ) = A0 · cos((2πF0 )n + Θ0 ) 1 = A0 · cos((2π )n + Θ0 ) . n>0  Sgn[n] = 0 . (3.16) −1 . (3.6 Seqüências mais comumente empregadas • Amostra unitária ou impulso digital unitário ou delta de Kronecker: 1 . (3. n<0 • Signum:  1 . n=0 δ[n] = . (3. n=0 . (3. (3.14) • Degrau unitário: 1 . ∗ Ω0 ∈ R: ângulo denominado freqüência (ou taxa de repetição) fundamental angular discreta ou digital. ∗ T0 ∈ R: perı́odo (ou intervalo de repetição) fundamental analógico. que determina o intervalo (tempo) mı́nimo de repetição de uma determinada parte (fase) da forma de onda. que determina os valores máximo e mı́nimo da forma de onda.6. ∗ F0 ∈ R: valor denominado freqüência (ou taxa de repetição) fundamental cı́clica discreta ou digital. ∗ Θ0 ∈ R: ângulo de fase (ou fase) inicial do sinal. que determina o intervalo (número de amostras) mı́nimo de repetição de uma determinada parte (fase) da forma de onda. que determina o intervalo (tempo) mı́nimo de repetição de uma determinada parte (fase) da forma de onda. que determina o intervalo (tempo) mı́nimo de repetição de uma determinada parte (fase) da forma de onda. (3. ∗ θ(t) e θ[n] ∈ R: variação do ângulo de fase (ou fase) do sinal em função do tempo (t) ou do ı́ndice (n). que determina o intervalo (número de amostras) mı́nimo de repetição de uma determinada parte (fase) da forma de onda. TET / UFF . Seqüências mais comumente empregadas 43 – Seqüência montada a partir de amostras de um sinal de tempo contı́nuo: x̃[n] = xa (nTS ) = xa (t)|t=nTS = A0 · cos(θ(t) + Θ0 )|t=nTS = A0 · cos(ω0 t + Θ0 )|t=nTS = A0 · cos(ω0 nTS + Θ0 ) = A0 · cos((ω0 TS )n + Θ0 ) = A0 · cos((2πf0 TS )n + Θ0 ) 1 = A0 · cos((2π TS )n + Θ0 ) . que identifica uma determinada parte (fase) da forma de onda. ∗ ω0 ∈ R: freqüência (ou taxa de repetição) fundamental angular analógica. ∗ N0 ∈ R: valor denominado perı́odo (ou intervalo de repetição) fundamental discreta ou digital. ∗ f0 ∈ R: freqüência (ou taxa de repetição) fundamental cı́clica analógica. para um determinado valor de tempo (t) ou de ı́ndice (n).3. − ∞ < n < ∞ .22) T0 – Significado dos parâmetros: ∗ A0 ∈ R: amplitude do sinal. que determina o intervalo (número de amostras) mı́nimo de repetição de uma determinada parte (fase) da forma de onda. ∗ (θ(t) + Θ0 ) e (θ[n] + Θ0 ) ∈ R: ângulo de fase (ou fase) do sinal. (3. A. ∗ Taxa ou freqüência cı́clica (f0 ): ciclos/segundo ou Hz. N0 ). · xexp imag [n] = ejΘA · ejΩn = ej(Ωn+ΘA ) . F0 ). Ω0 ). Sinais no domı́nio do tempo – Relação entre os parâmetros: intervalo ou perı́odo de repetição (T0 . ∗ Taxa ou freqüência de amostragem (FS ): ciclos-de-amostragem/segundo.26) f0 F0 = . − ∞ < n < ∞ .44 Capı́tulo 3.27) FS T0 N0 = . Σn j(Ωn+Θ ) · xexp cmplx [n] = |A| · e ·e A . k ∈ Z.28) TS – Dimensões e unidades: ∗ Intervalo ou perı́odo de amostragem (TS ): segundos. (3. (3. ∗ Taxa ou freqüência cı́clica (F0 ): (ciclos/segundo) / (amostras/segundo) = (ciclos/amostra). taxa ou freqüência angular (ω0 .S. amostras/segundo ou Hz. ∗ Ângulo de fase (θ[n] + Θ0 ): rad ∗ Amplitude (A0 ): associada à grandeza fı́sica representada. ∗ Intervalo ou perı́odo de repetição (T0 ): segundos. taxa ou freqüência cı́clica (f0 .25) TS Ω0 = ω0 TS . ∗ Taxa ou freqüência angular (ω0 ): rad/s ∗ Ângulo de fase ((θ(t) + Θ0 )): rad ∗ Intervalo ou perı́odo de repetição (N0 ): amostras. ∗ Taxa ou freqüência angular (Ω0 ): (rad/s) / (amostras/segundo) = (rad/amostra). onde: |A| = |b| = 1. (3. onde: ΘA e Ω = k · π. (3. b ∈ C: A = |A| · ej∠A = |A| · ejΘA e b = |b| · ej∠b = eΣ · ejΩ . · xexp real [n] = ± |A| · eΣn . relacionados por 1 ω0 = 2πf0 = 2π . intervalo ou perı́odo de amostragem (TS ) e taxa ou freqüência de amostragem (FS ).24) N0 1 FS = . quando for o caso. • Seqüência exponencial: – Seqüência naturalmente de tempo discreto: x[n] = A · bn .23) T0 1 Ω0 = 2πF0 = 2π . (3. . (3.V.29) ∗ Casos particulares: · Considerando-se A. 7.3. Relações de dependência entre seqüências 45 – Seqüência montada a partir de amostras de um sinal de tempo contı́nuo: x[n] = xa (nTS ) = xa (t)|t=nTS = ej(ω0 t) |t=nTS = ej(ω0 nTS ) = ej(ω0 TS )n = ejΩ0 n .30) • Seqüências montadas a partir de amostras de um sinal de tempo contı́nuo: – Sinc unitária e Sampling unitária: . (3. sin(πn) sin(πt) . . Sinc[n] = = Sinc(t)|t=nTS = . −∞<n<∞ .31) πn πt . (3. t=nTS . sin(n) sin(t) . . Sa[n] = = Sa(t)|t=nTS = . (3. −∞<n<∞ .32) n t . t=nTS – Dirichlet (ou Periodic Sinc ou Aliased Sinc) unitária: . sin(πN n) sin(πN t) . . N sin(πn) N sin(πt) . N ] = = Drcl(t. −∞<n<∞ . Drcl[n. N )|t=nTS = . t=nTS . (3.33) sin(N n/2) sin(N t/2) . . −∞ < n < ∞ . N sin(n/2) N sin(t/2) . N ] = = Diric(t. N )|t=nTS = . Diric[n. podem-se propor decomposições ortogonais. 3. Tais decomposições serão abordadas em capı́tulos subseqüentes.35) k=−∞ – Trem de impulsos unitários periódicos: ∞ X δNf [n] = δ[n − kNf ] . os picos são todos positivos.34) Nota: Para N ı́mpar. Por sua vez. podem-se estabelecer relações de dependência entre as mesmas. utilizando-se outras como base. (3.t=nTS (3. pode-se pensar em definir decomposições para uma determinada seqüência. • Alguns exemplos de decomposições: – Descrição de uma seqüência qualquer utilizando a seqüência amostra unitária: ∞ X {x[n]} = x[k] · {δ[n − k]} . • De forma similar ao caso analógico. positivos e negativos.7 Relações de dependência entre seqüências • Observando-se as seqüências apresentadas anteriormente. de cossenos defasados ou de exponenciais complexas. • Dito de outra forma. para N par. por meio de combinações de senos e cossenos sem defasamento. alternadamente.36) k=−∞ TET / UFF . (3. os picos são. 40) – Seqüência linear unitária: ∞ X Lin[n] = u[n − k − 1] + (−u[−(n + k + 1)]) = Ramp[n] + (−Ramp[−n]) . (3.39) – Janela (gate) retangular unitária: GNw [n] = u[n + Nw ] − u[n − (Nw + 1)] . (3.V. (3.42) k=0 – Módulo unitário: ∞ X M od[n] = u[n − k − 1] + u[−(n + k + 1)] = Ramp[n] + Ramp[−n] . (3. cosseno e seno. (3.41) k=0 – Rampa unitária: ∞ X Ramp[n] = u[n − k − 1] = Lin[n] · u[n] . Sinais no domı́nio do tempo – Constante unitária: ∞ X Ones[n] = δ[n − k] = δ1 [n] = u[n] + u[(−n) − 1] = u[n] + u[−n] − δ[n] . usando e±jθ = cos(θ) ± j sin(θ) (Relação de Euler): n x̃[n] = A · bn = |A| · ejΘA · eΣ · ejΩ = |A| · eΣn · ej(Ωn+ΘA ) = |A| · eΣn · [cos(Ωn + ΘA ) + j sin(Ωn + ΘA )] .46) 2j 2j A. (3.37) k=−∞ – Degrau unitário: ∞ X u[n] = δ[n − k] .38) k=0 – Signum: Sgn[n] = u[n] + (−u[−n]) = u[n − 1] + (−u[(−n) − 1]) = 2 · u[n] − 1 − δ[n] . (3. (3.44) 1 jΩn 1 −jΩn x̃[n] = cos(Ωn) = e + e .45) 2 2 1 jΩn −1 −jΩn x̃[n] = sin(Ωn) = e + e .43) k=0 – Exponencial.46 Capı́tulo 3. . (3.S. (3. 3. 8. 5. Estabeleça uma relação geométrica entre os números complexos zk = j k . no plano complexo. 12}. 1. 3. 1) e k = {0. 6. 10. esboce os gráficos. (e) Mostre que (za H · zb ) = (zb H · za )∗ . (b) Forma algébrica (ou retangular). Esboce o gráfico. 4. za H e zb H . 7. Dados os vetores complexos z = [ z1 z2 ]T . 3}. bem como a relação z H = (z ∗ )T atenda aos seguintes itens: (a) Mostre que (z ∗ )T = (z T )∗ . (i) Calcule (z1 − z2 )∗ . Calcule os números complexos zk = j k . 1) e k = {0. 4. (b) Calcule z H . 9. (d) Calcule (zb H · za )∗ . (b) Calcule (z1 + z2 ). atenda aos seguintes itens: (a) Calcule os números complexos conjugados z1∗ e z2∗ . no plano complexo. 4. 6}. 1. 3}.8 Exercı́cios propostos 1. (c) Calcule (za H · zb ). 5. (c) Forma trigonométrica (ou polar). 5. (j) Calcule (z1 · z2 )∗ . onde N = {1. Dado N = {2. 3. das N raı́zes complexas do número: (a) z = 1 e (b) z = −1. Dados rk = {0. para j = (0. esboce o gráfico.5. 2. para j = (0. dos números complexos zkN = rk · ejΘN . Dados os números complexos z1 = a1 + j b1 e z2 = a2 + j b2 . 6. (k) Mostre que (z1 + z2 )∗ = (z1∗ + z2∗ ). 1. no plano complexo. 2. TET / UFF .8. (l) Mostre que (z1 · z2 )∗ = (z1∗ · z2∗ ). (d) Calcule (z1 · z2 ). 2. Calcule as N raı́zes complexas do número: (a) z = 1 e (b) z = −1. (h) Calcule (z1 + z2 )∗ . do lugar geométrico definido por |z| = 1. (m) Mostre que (z1 · z2 ) = (z2 · z1 ). 3. (f) Calcule (z1∗ − z2∗ ). com base na sua representação na forma polar e nas operações de multiplicação e/ou de potenciação. empregando as seguintes representações: (a) Par ordenado. (e) Calcule (z1∗ + z2∗ ). 8. (g) Calcule (z1∗ · z2∗ ). Exercı́cios propostos 47 3. za = [ z1a z2a ]T e zb = [ z1b z2b ]T . 2} e ΘN = 2π N . (c) Calcule (z1 − z2 ). 2. onde Θ[n] = nΘN . Valores principais na faixa [−π. (c) Esboce o gráfico ∠x[n] × n. Valores absolutos (unwrapped ). de um conjunto de funções φk distintas. (d) Esboce o gráfico. no plano complexo. 4. no plano complexo. (e) Esboce o gráfico Im{x[n]} × n. no plano com- k+ N plexo. atenda aos seguintes itens: (a) Esboce o gráfico. no plano complexo. A. 8}. −2N ≤ n ≤ (2N − 1) e N = {3. 6}. ii. Indique o valor de n em cada ponto do gráfico. Sinais no domı́nio do tempo 2π 9. Indique o valor de k em cada ponto do gráfico. 3}. no plano complexo. para k < 0. que WNk = −WN 2 . (f) Esboce o gráfico xi [n] × n. (f) Calcule os perı́odos fundamentais de cada uma das seqüências de um conjunto de seqüências φk [n] distintas. para −8 ≤ n ≤ 8. geometricamente a partir do gráfico complexo de x[n]. (b) Esboce o gráfico |x[n]| × n. mostre graficamente. no plano complexo. (e) Esboce o gráfico xr [n] × n. para −8 ≤ n ≤ 8. Indique o valor de n em cada ponto de cada gráfico. 2π 2π 11. de WN .48 Capı́tulo 3. Dadas as constantes WN = e−j ( N ) . ΘN = N . Dados WN = e−j ( N ) e N = 2l . atenda aos seguintes itens: (a) Esboce o gráfico. para −8 ≤ n ≤ 8. (c) Esboce o gráfico. (b) Calcule o número de funções φk distintas. usando: i. de um conjunto de funções φk distintas. Indique o valor de k em cada gráfico.S. as funções φk = WNk = e−jk( N ) e as funções (seqüên- 2π cias em n) φk [n] = WNkn = e−jk( N )n . (g) Esboce um gráfico. de cada uma das seqüências de um conjunto de seqüências φk [n] distintas.V. onde Ω = π4 . no plano complexo. 10. k ∈ Z e −2N ≤ n ≤ (2N − 1). Indique o valor de k em cada ponto do gráfico. (b) Esboce o gráficode x[n]. Dada a função (seqüência em n) complexa x[n] = ejΘ[n] . 2. (d) Esboce o gráfico Re{x[n]} × n. 6. onde l = {1. π] (wrapped around ). 2π 12. . atenda aos seguintes itens: (a) Calcule o perı́odo fundamental de x[n]. de x[n]. onde N = {3. (e) Calcule o número de seqüências φk [n] distintas. (d) Calcule xi [n] = Im{x[n]} e o seu perı́odo fundamental. Dada a seqüência x[n] = ejΩn . para k ≥ 0. para 0 ≤ k ≤ N2 − 1 . (c) Calcule xr [n] = Re{x[n]} e o seu perı́odo fundamental. geometricamente a partir do gráfico complexo de x[n]. para n = [−4. (c) Calcule a componente ı́mpar xo [n] do sinal x[n] e esboce o gráfico xo [n] × n. 0. onde N = 6 e −2N ≤ n ≤ (2N − 1). X[3]. 1. 0. Coeficientes: i. −1. Dada a seqüência x[n] = cos (Ωn) = cos (kΩ0 n) = cos k 2π N n . Sinais: 1 . 0. 1. N −1 N −1 N −1 1 X 1 X 1 X 2π x[n] = X[k] φk [n] = kn X[k] WN = X[k] e−jk( N )n (3. 0]. X[k] = [X[0]. N2 .47) N k=0 N k=0 N k=0 14. −3. −∞ < n < ∞. −2. 2. 0. (b) Calcule a componente par xe [n] do sinal x[n] e esboce o gráfico xe [n] × n. 0. ii. 1. −2. 0. −9. 0. 0. −2. −8. esboce um gráfico x[n] × n para cada valor de k. 1. 0. X[2]. N ∈ Z. x[n] = [0. 0. ]. 3. (d) Baseado nos itens anteriores. −9. (b) Calcule as componentes xe [n] e xo [n] de xr [n]. X[5]] = 0. atenda aos seguintes itens: (a) Esboce o gráfico x[n] × n. Dados −∞ < n < ∞ e Ω = 2π N . X[1]. N8 . 3. 2. caso contrário ii. 0 . N2 . −1 ≤ n ≤ 3 i. −8. Dado o sinal xr [n] = 2 · Ramp[n] = 2n · u[n]. 0. N2 . com os coeficientes definidos abaixo. N = 8 e −∞ < n < ∞. 18. 9. 0. 1. X[5]] = 0. X[4]. para n = [−10. 2. −7 ≤ k ≤ 7. X[1].47). 0. 0. 17. 10]. N8 . 0. Para os sinais descritos abaixo. X[k] = [X[0]. X[2]. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule o perı́odo de x[n]. 3. 0]. 0. iii. 0. iv. 0. −1. · · · . 16. −2. 0. x[n] = [0. N2 . 0 . 8. −2. 3. X[4]. n. N8 . (c) Justifique o gráfico encontrado. −3. x[n] = [0. X[k] = [X[0]. −3. (c) Esboce os gráficos xe [n] × n e xo [n] × n. 10]. 0. 2. atenda aos seguintes itens: (a) Esboce o gráfico xr [n] × n. 3. onde n. 0. X[3]. Dada a seqüência x[n]. X[3]. X[1]. N ∈ Z. 0. X[5]] = 0. N8 . −1. descrita pela Equação (3. 4]. (b) Esboce o gráfico de x[n] × n. Exercı́cios propostos 49 13. (d) Esboce o gráfico (xe [n] + xo [n]) × n.8.3. −2. −1. X[2]. atenda aos seguintes itens: TET / UFF . X[4]. calcule o perı́odo fundamental Nf para as seguintes seqüências: (a) x[n] = cos (Ωn). x[n] = . 9. estabeleça uma relação entre os sinais Ramp[n] (seqüência rampa unitária). −2. 0. 2. 1. −1. 15. M od[n] (seqüência módulo unitário) e Lin[n] (seqüência linear unitária). onde k. Dadas a representação de um número complexo na forma polar z = |z|ej∠z e a Relação de Euler e±jθ = cos(θ) ± j sin(θ). iii. 0. · · · . 0. 1. para n = [−10. (b) x[n] = sin (Ωn) e (c) x[n] = ejΩn . 0. 0. 8. (e) Usando a Relação de Euler. (b) Usando a forma polar. A. A2 (c) x[n] = A u[n]. demonstre como descrever um sinal senoidal sin(ω0 t) em função de um sinal senoidal cos(ω0 t. onde ND representa um deslocamento e Ω0 = N2π0 . (g) x̃[n] = AK1 δK1 [n] + AK2 δK1 [n]. Dado o sinal x[n] = e−j 4 n + ej 4 n . onde A. 23π 15π 19. onde AK1 . mostre que: (−j) = (j). TD ). (h) Usando a Relação de Euler. Ω0 = N2π0 . onde 0 < |a| < 1 e a. onde Θ0 representa um deslocamento angular.V. (j) e (−j). para −8 ≤ n ≤ 8. Ω ∈ R: Ex̃ → ∞ e PMx̃ = 2 . A ∈ R: Ex = 1−a2 . Um aluno de Processamento Digital de Sinais decidiu construir um conjunto de sinais jΩn xk [n]. Demonstre as relações apresentadas para cada um dos seguintes sinais: A2 (a) x[n] = an A u[n]. A. escreva os seguintes números na forma polar: (1). mostre que: (−j) = (−1)(j). onde 0 <i |a| < 1 e a.S. Θ0 ). θ0 ). ND ). 1 (c) Usando a forma polar. Sinais no domı́nio do tempo (a) Com o auxı́lio de um plano complexo. 20. . Ω ∈ R: A2 1 1−a2 cos(2Ω) Ex = 2 1−a2 + (1+a4 )−a2 cos(2Ω) . (b) Esboce o gráfico x[n] × n. k ∈ Z e N0 ∈ N+ . (−1). (b) O aluno garante que existem infinitos sinais xk [n] distintos entre si. A2 (e) x̃[n] = A cos(Ωn). A2 (d) x[n] = A cos(Ωn) u[n]. onde AK ∈ R: Ex̃ → ∞ e PMx̃ = K . 1 (d) Usando a forma polar. demonstre como descrever um sinal senoidal sin(Ω0 n) em função de um sinal senoidal cos(Ω0 n. (b) x[n] = anhA cos(Ωn) u[n]. onde A ∈ R: Ex → ∞ e PMx = 2 . (g) Usando a Relação de Euler. mostre que: (j) = (−j). Atenda aos seguintes itens: (a) O aluno garante que os sinais xk [n] são periódicos em relação à variável n. onde TD representa um deslocamento temporal e ω0 = 2π T0 . Você concorda com ele? Justifique. onde Ωk = k Ω0 . demonstre como descrever um sinal senoidal sin(ω0 t) em função de um sinal senoidal cos(ω0 t. de tal forma que xk [n] = ejΩk n . onde θ0 representa um deslocamento angular. A2K (f) x̃[n] = AK δK [n]. usando o sinal e como elemento básico. Ω ∈ R: Ex → ∞ e PMx = 4 . 21.50 Capı́tulo 3. onde A. demonstre como descrever um sinal senoidal sin(Ω0 n) em função de um sinal senoidal cos(Ω0 n. (f) Usando a Relação de Euler. AK2 ∈ R: 2 A2 K2 +A2K K1 −(AK1 −AK2 ) Ex̃ → ∞ e PMx̃ = K1 2 K1 K2 . atenda aos seguintes itens: (a) Calcule o perı́odo de x[n]. Você concorda com ele? Justifique. (f) x6 [n] = h[−n + 2].3. • x[−n − 2] × n. e a seqüência x[k]. Exercı́cios propostos 51 22. • x[−n] × n. para 1 ≤ k ≤ (N − 1). esboce e compare os seguintes gráficos: • x[n] × n. x[n] × m. Dados a seqüência u[n] e o sinal h[n] = 2 . Dados os sinais w[n] = u[n] e x[n] = an . (b) x2 [n] = h[−n]. (h) x8 [n] = h[n + 2] + h[−1 − n]. x[−n − 2] × m. x[−n + 2] × m. m < ∞. 23. bem como as relações xk [n] = (k +1)u[n]. onde n ∈ Z e a ∈ R. ND = 0 e ND > 0) e esboce o gráfico y[n] × n. (d) x4 [n] = h[n + 2]. |n| > 4 para os seguintes sinais: (a) x1 [n] = u[−n]. wk [n] × n e yk [n] × n. tal que m = −n. esboce os gráficos xk [n] × n 0 . (e) x5 [n] = h[−n − 2]. (i) x9 [n] = h[n + 1] (u[n + 3] − u[−n]). s[n] × n. 2]. x[n − 2] × m. • x[n − 2] × n. 25. Dados dois ı́ndices inteiros −∞ < n. para k = [0. x[−m − 2] × n e x[−m − 2] × m. vk [n] × n. PN −1 s[n] = k=0 vk [n − k]. • x[n + 2] × n. x[m + 2] × n e x[m + 2] × m. vk [n] = xk Nn . wk [n] = s[n − k] e yk [n] = wk [N n]. com variações opostas. x[m] × n e x[m] × m. onde x[k] = [3.8. para −∞ < n < ∞ e 0 < a < 1. x[−n] × m. x[−m] × n e x[−m] × m. (g) x7 [n] = h[−n]u[n] + h[n]. para os demais valores de k. para os seguintes sinais: (a) y[n] = w[n] (b) y[n] = w[n − ND ] (c) y[n] = x[n] (d) y[n] = x[n − ND ] (e) y[n] = w[n] · x[n] (f) y[n] = w[n] · x[n − ND ] (g) y[n] = w[n − ND ] · x[n] (h) y[n] = w[n − ND ] · x[n − ND ] 1 n. TET / UFF . 1. |n| ≤ 4 24. • x[−n + 2] × n. (b) Mostre que y0 [n] = x0 [n] e que yk [n] = xN −k [n − 1]. x[n + 2] × m. considere o deslocamento ND um número inteiro (ND < 0. 2. Dados N = 4 e 0 ≤ k ≤ (N −1). 1]. x[m − 2] × n e x[m − 2] × m. (c) x3 [n] = h[n − 2]. e x[k] = 0. x[−m + 2] × n e x[−m + 2] × m. atenda aos seguintes itens: (a) Esboce os gráficos xk [n] × n. 2. para n = [0. esboce e compare os seguintes gráficos: • xk [hnik ] × n. x5 [n] = [3. quais valores numéricos serão representados e qual será a resolução. 2. Suponha ainda que. • xk [n + 2] × n. 2. • x̃k [−n − 2] × n. 0. 2. 0]. 1. 3]. • xk [h−n + 2ik ] × n. para n = [0. para n = [0. 1. 2. com base b = 2 e nenhuma forma de codificação adicional. 5]. 2. 0]. para a faixa de valores q = [7. 3. 1. 2. (b) Calcule. 2. • xk [−n] × n. • x̃k [−n + 2] × n. x4 [n] = [3. para n = [0. 1. 1. para n = [0. . • xk [h−n − 2ik ] × n. para n = [0. nesse caso. 0. 3]. 23]. esboce e compare os seguintes gráficos: • xk [n] × n. 4. Nota: Considere os perı́odos fundamentais Nfk = k. • xk [−n + 2] × n. Atenda aos seguintes itens: (a) Calcule quantos números poderão ser representados. 0]. x4 [n] = [3. • xk [hn + 2ik ] × n. x5 [n] = [3. 3. 2. Dadas as seqüências finitas x3 [n] = [3. 1. 2. para n = [0. 1. 3]. 1. 3. 1. 1. 1. 1. x4 [n] = [3. 3. 4] e x6 [n] = [3. 1. para n = [0. 5]. Sinais no domı́nio do tempo 26. • xk [−n − 2] × n. para n = [0. 4. 1. 0]. • xk [n − 2] × n. 1]. 0. x5 [n] = [3. 0. • x̃k [−n] × n. • x̃k [n + 2] × n. 3. 4] e x6 [n] = [3. 2. 0. 2. para n = [0. • xk [h−nik ] × n. 0]. 0]. 2]. 1.S. A. 1. 1. 4.52 Capı́tulo 3. 0. 3. para n = [0. 2. 2. esboce e compare os seguintes gráficos: • x̃k [n] × n. 0]. 1. para n = [0. 1. 0. 0]. 2]. Dadas as seqüências finitas x3 [n] = [3. • x̃k [n − 2] × n. 2. 5]. 2. 2. 2. • xk [hn − 2ik ] × n. Dadas as seqüências finitas x3 [n] = [3. 27. 4] e x6 [n] = [3. 0]. 2]. 0. 1].V. as quantidades numéricas são representadas com 8 dı́gitos binários (bits). 1. 2. 28. 1. 2. Suponha que quantidades numéricas são representadas por um Sistema de Numeração Posicional Convencional (SNPC). 2. 1]. 29. 0. 3). y) = z(< x − 2 >4 . z(4. z(3. TS3 ] s = [0. y) = z(−x. z(3. y) = zx (x. Atenda aos seguintes itens: (a) Considerando Nx = Ny = 4 e que a matriz de amostragem possui amostras consideradas pretas nas posições zpreta (x. O eixo x tem valores positivos da origem para a direita. y). São tomadas Nx × Ny amostras. enquanto todas as demais amostras são consideradas brancas. Exercı́cios propostos 53 −L |t| + L TM . com perı́odo fundamental TPj . 0. produzindo amostras (ou picture elements ou pixels) em um grid quadrangular uniforme. TM ∈ R+ . (b) Esboce a imagem referente ao sinal zx (x. y) = zx (x. Mantenha a mesma escala em todos os gráficos.y). Atenda aos seguintes itens: (a) Considerando Nx = 4 e Ny = 3 e que a matriz de amostragem possui amostras consideradas pretas nas posições zpreta (x. y) = zy (−x. |t| ≤ TM 30. −y). 31. (d) Esboce os gráficos x̃k [n] × n. de forma que seja possı́vel visualizar três perı́odos fundamentais. TM = 1 s e TP = 2TM s. (e) Esboce a imagem referente ao sinal zyx (x. y) = zy (< x − 2 >4 . TP3 ] s = [2TM . z(3. derivados de x̃k (nTSk ). esboce a imagem referente ao sinal amostrado z(x. (d) Esboce a imagem referente ao sinal zxy (x. (e) Esboce a imagem referente ao sinal zyx (x. −y). (c) Esboce a imagem referente ao sinal zy (x.5. de forma que seja possı́vel visualizar três perı́odos fundamentais. 2).3.8. y). O eixo y tem valores positivos da origem para a baixo. Dado o sinal analógico x(t) = . 1). em coordenadas cartesianas. 4TM ] s. 1). z(2. TP2 . A origem dos eixos é considerada na parte superior esquerda da imagem. 4). produzindo amostras (ou picture elements ou pixels) em um grid quadrangular. O eixo x tem valores positivos da origem para a direita. de forma que seja possı́vel visualizar três perı́odos fundamentais. onde TP = [TP1 . TS2 . São tomadas Nx × Ny amostras. (d) Esboce a imagem referente ao sinal zxy (x. esboce a imagem referente ao sinal amostrado z(x. < y + 1 >3 ). A origem dos eixos é considerada na parte superior esquerda da imagem. Mantenha a mesma escala em todos os gráficos. 4)}. (b) Esboce os gráficos x̃j (t) × t das extensões periódicas x̃j (t) de x(t). y). 32. z(2.y). TET / UFF . Mantenha a mesma escala em todos os gráficos. < y + 1 >3 ). enquanto todas as demais amostras são consideradas brancas. y). 1). (c) Esboce a imagem referente ao sinal zy (x. onde L. (c) Assuma L = 1. |t| > TM aos seguintes itens: (a) Esboce o gráfico x(t) × t. y) = {z(3. Esboce os gráficos x̃k (nTSk ) = x̃(t)|t=nTSk ×t com as taxas de amostragem TS = [TS1 . z(1.25. 3TM . atenda 0 . 4).1] s. O eixo y tem valores positivos da origem para a baixo. 2)}. Uma imagem é amostrada de forma ortogonal. 0. 1). y) = z(x. y) = z(x. z(3. Uma imagem é amostrada de forma ortogonal. (b) Esboce a imagem referente ao sinal zx (x. y) = {z(2. 4. (c) Distributividade à adição: (x1 [n] + x2 [n]) ∗ h[n] = (x1 [n] ∗ h[n]) + (x2 [n] ∗ h[n]). onde 0 ≤ i. 1. Dadas as seqüências x0 [n] = [3.48) k=−∞ 34. (j) y[n] = x[n] ∗ δ[n − |ND0 |]. 4. 4. para os demais valores de k. h0 [n] = [1. 1. 1.48. 1. 1. • Esboce os gráficos yij [n] × n. 35. 6. 2. j < 2. . 2. 0]. 1. A. 2. • Calcule as seqüências yij = xi ∗ hj . 6. 0]. 0. 2.V. onde 0 ≤ i. (b) Invariância ao “tempo” (ou ao deslocamento). 7]. 37. h1 [n] = [0. 3. 1]. (c) y[n] = δ[n] ∗ δ[n − |ND0 |]. 1. 3. 0. 1. 1. 0. 0]. para n = [1. (i) y[n] = x[n] ∗ δ[n]. 3. 1. 5. Sinais no domı́nio do tempo 33. 1. 2. 1. x2 [n] = [0. (f) y[n] = δ[n − |ND1 |] ∗ δ[n + |ND2 |]. (3. 0. (a) y[n] = δ[n] ∗ δ[n + |ND0 |]. 1. Dados os polinômios pa (v) = a2 v 2 + a1 v + a0 e pb (v) = b2 v 2 + b1 v + b0 .S. de acordo com os seguintes itens: (a) Linearidade. 0]. calcule o resultado da operação e esboce os gráficos v[n]×n. (e) y[n] = δ[n + |ND1 |] ∗ δ[n − |ND2 |]. (d) y[n] = δ[n + |ND1 |] ∗ δ[n + |ND2 |]. Considere |ND2 | > |ND1 | > |ND0 | > 0. e xk [n] = hk [n] = 0. 0. para n = [0. x[n] = [1. (b) y[n] = δ[n] ∗ δ[n]. 0. ∞ X y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[k] h[n − k]. 1. A soma de convolução é definida pela Equação 3. (g) y[n] = δ[n − |ND1 |] ∗ δ[n − |ND2 |]. onde v[n] representa cada um dos sinais presentes na operação. 5. 3.48. 1]. Classifique tal operação. A soma de convolução é definida pela Equação 3. atenda aos seguintes itens: • Esboce os gráficos xk [n] × n e hk [n] × n. 1. j < 2. 0. caso contrário. Para cada uma das operações listadas abaixo. 0. e x[n] = 0. 1. mostre que a operação de multiplicação entre dois polinômios pa (v) · pb (v) é equivalente à operação de soma de convolução entre duas seqüências xa [n] ∗ xb [n]. 6]. (b) Associatividade: (x[n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n] = x[n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]). (h) y[n] = x[n] ∗ δ[n + |ND0 |]. 0. 36. 2. Demonstre que tal operação possui as seguintes propriedades: (a) Comutatividade: x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]. 4. 2.54 Capı́tulo 3. 0]. 1. h2 [n] = [0. x1 [n] = [0. 1. para os demais valores de n. Dadas as seqüências x[n] = {1. para n = [0. −2. 3. para n = [2. para os demais valores de n. e h[n] = [3. calculada pela soma de convolução y[n] = ∞ k=−∞ x[k]h[n − k]. 1. −2. 5}. (h) y[n] = x[n + 7] ∗ h[n − 5]. 0. xD [n] = x[n − Nx ]. 1. demonstre para qual faixa de valores de n a seqüência y[n] não é garantidamente nula. 4]. 2]. h[n] = {−4. calcule a seqüência y[n] = h[n] ∗ x[n] = −∞ h[n − k] · x[k]. hD [n] = h[n − Nh ].3. onde xm [n] = . 41. (e) y[n] = x[n + 7] ∗ h[n]. 2]. 23]. 1]. para n = [0. 42. 3}. 2. 5]. o sinal y[n] = x[n] ∗ h[n] = −∞ x[k]h[n − k]. 1. 22. 40. Dados os sinais x[n] = [1. 2. 4. −∞ < m < ∞ e atenda aos seguintes itens: x[n + mN ] . 0. e x[n] = h[n] = 0 P para os demais valores de n. 5. 2. considere N = 4. 3}. onde Nx . 2. para n = [2. x[n] = [1. yh [n] = x[n] ∗ hD [n] e yxh [n] = xD [n] ∗ hD [n]. bem como y[n]. −1. 0. atenda aos seguintes itens: (a) Esboce os gráficos x[n] × n e h[n] × n. caso contrário (b) Esboce os gráficos de ym [n] × n. Atenda aos seguintes itens: (a) Qual a relação entre yx [n] e y[n] ? (b) Qual a relação entre yh [n] e y[n] ? (c) Qual a relação entre yxh [n] e y[n] ? 43. TET / UFF . 2. Compare os resultados e justifique-os matematicamente. −1. −2. Calcule. 2. 2. graficamente. y[n] = x[n] ∗ h[n]. · · · . (g) y[n] = x[n − 3] ∗ h[n + 7]. 4]. 3]. para n = [0. yx [n] = xD [n] ∗ h[n]. h[n]. bem como x[n] = 0. as seqüências y[n]. 1]. Suponha os sinais x[n]. 5]. 1. 7]. 1. 2. −3. 2. 2. onde ym [n] = xm [h−niN ]. definidas abaixo. 4. para os demais valores de n. −1. 39. 1. (i) y[n] = x[n + 7] ∗ h[n + 7]. 1]. (f) y[n] = x[n − 3] ∗ h[n − 5]. para n = [3. 2. e x[n] = h[n] = 0. graficamente. 3. h[n] = [3. para n = [−4. 0 ≤ n ≤ (N − 1) (a) Esboce os gráficos de xm [n] × n. Dadas as seqüências h[n] = [8. para n = {4. −2. 3. (a) y[n] = x[n] ∗ h[n]. −1]. onde y[n] = m ym [n − mN ]. (b) Calcule os valores de y[n] para a faixa estabelecida no item anterior. Suponha as seqüências x[n] = [1. 3. 1. P∞ (b) Calcule. 6. (d) y[n] = x[n − 3] ∗ h[n]. para n = {1. graficamente. Pe∞h[n] = x[n] = 0. −1. −2. −1]. 1. (b) y[n] = x[n] ∗ h[n − 5]. −2. −5}. atenda aos seguintes itens: (a) Usando apenas notação matricial para representar a convolução. 1. Dado x[n] = [2. 0. (c) y[n] = x[n] ∗ h[n + 7].8. Nh ∈ Z. 4. 1. 0 . P (c) Esboce o gráfico de y[n] × n. Exercı́cios propostos 55 38. para n = [0. graficamente. para N = 3 e 0 ≤ n ≤ (N − 1). (b) Escreva o resultado na forma matricial yC [n] = C · x[n]. 2. Dados os sinais x[n] = [1. onde 0 ≤ n. para −6 ≤ n ≤ 6. (c) Repita o item (b). para −2 ≤ n ≤ 9. 2. para n = [0. (k) Calcule.56 Capı́tulo 3. 3]. k ≤ 6. A. para 0 ≤ n ≤ 6. para os demais valores de n. 1] e h[n] = [0. esboce os seguintes gráficos: (a) x[n] × n e h[n] × n. h2 ]. usando a definição circular P(N −1) yC [n] = k=0 x[k]h [hn − kiN ]. 0 ≤ k ≤ 5 e −6 ≤ n ≤ 6. 45. bem como x[n] = h[n] = 0. para n = [0. para N = 5 e 0 ≤ n ≤ (N − 1). Dados os sinais x[n] = [x0 . a convolução circular yC [n]. para 0 ≤ n ≤ 6. para −6 ≤ n. x3 . 1] e h[n] = [0. 1. 3. para n = [0. 1. (b) Esboce os gráficos x[(−k) + n] × k. 1. Dados os sinais x[n] = [1. x4 ] e h[n] = [h0 . graficamente. 2. graficamente. −Nf ≤ k ≤ (2Nf − 1) e 0 ≤ n ≤ (Nf − 1). 46. bem como x[n] = h[n] = 0. 2. (i) Calcule.V. para Nf = 4. a convolução yL [n] = ∞ P k=−∞ x[k]h[n − k]. k ≤ (N − 1). P(N −1) usando a definição circular yC [n] = k=0 x[k]h [hn − kiN ]. Dados os sinais x[n] = [x0 . 1. (d) Compare todos os resultados. 0]. 2. a convolução yL [n] = ∞ P k=−∞ x[k]h[n − k]. para N = 7. para N = 4 e 0 P ≤ n ≤ (N − 1). atenda aos seguintes itens: (a) Esboce os gráficos x[n] × n e h[n] × n. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule. a soma de convolução circular yC [n]. a convolução circular yC [n]. P∞ (e) Calcule. −Nf ≤ k ≤ (2Nf − 1) e 0 ≤ n ≤ (Nf − 1). para −6 ≤ k ≤ 6 e 0 ≤ n ≤ 6. . graficamente. graficamente. a convolução circular yC [n]. para Nf = 4. para os demais valores de n. 4]. x2 . k ≤ (N − 1). 2]. 0. para −6 ≤ k ≤ 6 e 0 ≤ n ≤ 6. h1 . a convolução circular yC [n]. (f) Esboce os gráficos das extensões periódicas x̃[n] × n e h̃[n] × n. h2 . graficamente. graficamente. onde 0 ≤ n. (b) x[(−k) + n] × k e h[(−k) + n] × k. (d) Calcule. (c) x [h(−k) + niN ] × k e h [h(−k) + niN ] × k. 2.S. para N = 4 e 0 ≤ n ≤ (N − 1). usando a definição P(N −1) circular yC [n] = k=0 x[k]h [hn − kiN ]. usando a definição periódica ỹ[n] = k=hN i h̃[k]x̃[n − k] e yC [n] = ỹ[n]. para 0 ≤ n ≤ 6. para N = 4 e 0 P ≤ n ≤ (N − 1). usando a definição periódica ỹ[n] = k=hN i x̃[k]h̃[n − k] e yC [n] = ỹ[n]. h1 . (c) Esboce os gráficos h[(−k) + n] × k. (b) Calcule. (h) Esboce os gráficos h̃[(−k) + n] × k. 2. a convolução yL [n] = k=−∞ h[k]x[n − k]. 0]. para N = 6. 1. x1 . 1. 0]. 47. 2. para Nf = 4 e −Nf ≤ n ≤ (2Nf − 1). (g) Esboce os gráficos x̃[(−k) + n] × k. graficamente. para os demais valores de n. 3]. para os demais valores de n. x1 . (j) Calcule. 2. bem como x[n] = h[n] = 0. bem como x[n] = h[n] = 0. Sinais no domı́nio do tempo 44. x2 ] e h[n] = [h0 . atenda aos seguintes itens: (a) Calcule. respectivamente. P(N −1) usando a definição circular yC [n] = k=0 h[k]x [hn − kiN ]. Um aluno de Processamento Digital de Sinais. minutos e segundos (HH:MM:SS). 00.260 min = 121 h. decidiu digitalizar o conteúdo musical de alguns dos seus discos de vinil. (3. Demonstre. Dado o sinal x[n] = an .480 bits. expresso em horas. para N = 4 e 6. (Resposta: tT x = 435. também serão transmitidos a alguns de seus amigos. Os LPs 1. Dada uma seqüência x[n] = ∞ P P∞ k=−∞ xk [n] = k=−∞ Ak cos(Ωk n + Θk ). Ele decidiu realizar uma amostragem uniforme com freqüência de amostragem FS = 44 kHz e converter as amostras para um padrão digital com 10 bits. 2 e 3. a convolução circular yC [n]. 16 e 18 músicas.) (b) O total de bits a serem armazenados.) TET / UFF .712.49) 1 jΩn 1 −jΩn cos(Ωn) = e + e . as seqüências xk [n] devem sofrer atrasos proporcionais às suas freqüências Ωk e que a constante de proporcionalidade deve ser igual a ND . para N = 6. A taxa de transmissão é de 9600 bits/s. (3.) (c) O tempo mı́nimo para transmissão de todos os dados.900. para cada transmissão. do tipo LP (Long Play). Suponha ainda que o custo de transmissão é de 1.080. Suponha que os dados de amostras diferentes não possam ser combinados para realizar uma única transmissão. para gerar a seqüência x[n − ND ]. as seguintes relações: e±jΩn = cos(Ωn) ± jsin(Ωn) . Exercı́cios propostos 57 (l) Calcule. demonstre que. Os dados provenientes da digitalização. (Resposta: R$ 8. (n) Compare os resultados dos itens (i)/(j) e (k)/(l) com aqueles dos itens (d)/(e). O sistema de transmissão que o aluno vai utilizar trabalha com quadros de 8 bits de informação mais 3 bits de controle.048 amostras. esboce o gráfico x[n] × n para os seguintes valores: (a) a < −1 (b) a = −1 (c) −1 < a < 0 (d) a = 0 (e) 0 < a < 1 (f) a = 1 (g) 1 < a 49.800. 20 R$/min.3.50) 2 2 1 jΩn −1 −jΩn sin(Ωn) = e + e . (Resposta: 190. onde −∞ < n < ∞ e a ∈ R. Calcule os seguintes parâmetros: (a) O total de amostras a serem armazenadas. Cada música tem uma duração média de um minuto e trinta segundos. graficamente. contêm 14. (Resposta: 1. graficamente. além de serem armazenados. (m) Repita os itens (f) até (l).51) 2j 2j 50. 51.) (d) O custo total mı́nimo para transmissão de todos os dados. para N = 4 e 0 ≤ n ≤ (N − 1). 48.8. (3.600 s = 7. 9 kHz. Um sinal de voz inteligı́vel possui componentes senoidais com freqüências na faixa 0 ≤ f ≤ 3. Atenda aos seguintes itens: (a) Se você discorda dele. Sinais no domı́nio do tempo 52. Para isso. com perı́odo fundamental Nf . em Nf seqüências ck [n]. Considere um grid de quantização uniforme com intervalo mı́nimo (reso- lução) igual a 0. Logo. 53. durante um intervalo de Trec = 40 s. A memória de um computador digital convencional é composta por R registros.58 Capı́tulo 3. gerando as seqüências ck [n]. ele diz utilizar um arranjo de (Nf −1) atrasadores unitários em cascata.S. k) ≤ (Nf − 1). onde 0 ≤ (i. com fator de downsampling L = Nf .V. cada seqüência dk [n] é utilizada como entrada em um sistema downsampler (↓ L). ela pode ser especificada como um dispositivo de armazenamento de R × B (bits). p̃[n]). Especifique o espaço de armazenamento (R × B) necessário. A. JUSTIFIQUE !!! Se você concorda com ele. identifique o tipo das seqüências ck [n]. apresente as seguintes relações funcionais: dk [n] = f (k. Suponha que o sinal foi normalizado antes da amostragem.003 e que as amostras quantizadas são representadas em complemento a dois. p̃[n]) e ck [n] = g(k. gerando as seqüências dk [n]. (b) Para fundamentar sua decisão. Suponha que um sinal de voz seja amostrado com FS = 8 kHz. tal que ci [n] = Aij cj [n]. onde cada registro ocupa B dı́gitos binários (bits). . de tal forma que a sua amplitude reside na faixa 0 ≤ |A| < 1. j. Por sua vez. Um aluno de Processsamento Digital de Sinais garante que consegue transformar qualquer seqüência periódica p̃[n]. todas do mesmo tipo e escaladas entre si. • Definição da variável angular Ω como “freqüência” digital: – Associação fasorial: x[n] = e±jΩn ↔ fasor P = |P | · ej∠P . – Deslocamento angular do fasor: ±Ω rad/amostra.1 Introdução Nesse capı́tulo são apresentados conceitos relativos às seqüências exponenciais. onde Θ = (−ND ) Ω. – Relação entre Ω e ω: Ω = ωTS . – A quantidade Θ = (−ND ) Ω recebe várias denominações: ângulo de fase adicional ou acréscimo de fase ou excesso de fase ou atraso de fase. – Deve-se notar que o acréscimo de fase é proporcional à “freqüência” do sinal original.Capı́tulo 4 Seqüências exponenciais 4. a relação entre sinais contı́nuos e amostrados é estabelecida. com |P | = 1 e ∠P = ±Ωn. é extremamente útil que se conheçam as suas caracterı́sticas. Inicialmente. 59 . Posteriormente. – Componentes do sinal deslocado: y[n] = ej(∠x[n]+Θ) = |y[n]| ej∠y[n] . algumas caracterı́sticas relevantes das seqüências exponenciais são apresentadas. onde |x[n]| = 1 e ∠x[n] = Ωn. onde |y[n]| = 1 e ∠y[n] = ∠x[n] + Θ. • Deslocamento temporal da seqüência exponencial x[n] = ejΩn : – Componentes do sinal original: x[n] = ejΩn = |x[n]| ej∠x[n] . a existência de funções com dependência exponencial da variável angular Ω e a decomposisão de seqüências genéricas usando exponenciais são evidenciadas. Logo. – Sinal deslocado: y[n] = x[n − ND ] = ejΩ(n−ND ) = ej(Ωn−ΩND ) = ej(∠x[n]+Θ) . Em seguida.2 Caracterı́sticas relevantes das exponenciais • As seqüências exponenciais do tipo x[n] = e±jΩn são de particular importância no estudo de sinais e sistemas. 4. – Portanto. – Dessa forma. enquanto os valores próximos de Ω = π são denominados de altas freqüências. as seqüências senoidais do tipo x[n] = cos(Ω0 n). – Faixa 2 (Ω = π): A0 · cos(πn ∓ Θ0 ) = (A0 ) · cos(Θ0 ) · cos(πn) = (A00 ) · cos(πn). ∗ Ambigüidade na representação de sinais: A0 · cos(πn ∓ Θ0 ) = (A0 ) · cos(Θ0 ) · cos(πn) = (A00 ) · cos(πn). serão confundidas com x[n] = cos(Ωn) para Ω = π (ambigüidade em amplitude e em ângulo de fase) e para Ω > π (ambigüidade em freqüência). nota-se que valores de freqüências perto de Ω = 0 geram sinais com baixa taxa de variação. • Faixas de freqüência × ambigüidade na representação de sinais: – Faixa 1 (0 ≤ Ω < π): x1 [n] = cos(Ω1 n) 6= x2 [n] = cos(Ω2 n). 2π cnum p – Caso 1: Ω = cint = 1 = 1 → N = K · p → Nf |Kf =1 = p. Ω ∈ R e que crac = cden = q é uma fração simplificada. o que representa ausência de ambigüidades. – Portanto. A00 = A0 · cos(Θ0 ). – Faixa 4 (Ω > 2π): xK [n] = cos((Ω + K2π)n) = cos(Ωn) = x0 [n]. • Condições para existência de perı́odo N e de perı́odo fundamental Nf : cnum p – Supondo-se: N. 2π – Caso 3: Ω = cirr → N = K · cirr → Nf |Kf =@ = @. K ∈ N+ . • Classificação de faixas de freqüências: – Considerando-se sinais senoidais x[n] = cos(Ωn). enquanto valores de freqüências perto de Ω = π geram sinais com alta taxa de variação. tomadas de tal forma que 0 ≤ Ω0 < π. os valores próximos de Ω = 0 são denominados de baixas freqüências. o que gera ambigüidade em amplitude e em ângulo de fase. tem-se que Ω = K · N =K· K· pq = p = Nf .S. ∗ Transformação cos(·) ↔ sin(·): A0 · cos(Ω0 n ∓ π2 ) = (±A0 ) · sin(Ω0 n). necessária para que ocorra o perı́odo fundamental de Nf = p pontos na seqüência. – Faixa 3 (π < Ω ≤ 2π): x34 [n] = cos(Ω34 n) = cos(−Ω12 n) = cos(Ω12 n) = x12 [n]. 2π 2π q·2π q·2π – Nos casos 1 e 2.V. na faixa básica de freqüências 0 ≤ Ω < π. para Ω1 6= Ω2 . o parâmetro q significa a quantidade mı́nima de ciclos com valor 2π (rad). A. . 2π cnum p p – Caso 2: Ω = crac = cden = q →N =K· q → Nf |Kf =q = p. – Condição para periodicidade: ejΩn = ejΩ(n±N ) = ejΩn e±jΩN → e±jΩN = 1 → Ω · N = K · 2π → N = K · 2π Ω . para Ω34 = −Ω12 . o que gera ambigüidade em freqüência. Seqüências exponenciais • Relações envolvendo a seqüência exponencial complexa e a seqüência senoidal: – Exponencial × cosseno × seno (Euler): e±jΩn = cos(Ωn) ± j sin(Ωn). o que gera ambigüidade em freqüência.60 Capı́tulo 4. – Cosseno × seno: ∗ Decomposição em componentes ortogonais: A0 · cos(Ω0 n ∓ Θ0 ) = (A0 ) · cos(Θ0 ) · cos(Ω0 n) + (±A0 ) · sin(Θ0 ) · sin(Ω0 n). é comum que se encontrem funções que apresentam uma dependência exponencial de Ω. k = 0. (N − 1). – Existe um número finito de seqüências exponenciais periódicas do tipo x[n] = WN∓n f . 4. 2π ±j (Ωf )n ±j n – As seqüências exponenciais do tipo x[n] = e = e Nf = WN∓n f possuem perı́odo fundamental Nf e periodicidade N = kNf . (Nf − 1) . 2π 2π – Seqüência exponencial básica: x[n] = WNn = e−j ( N )n ou x[n] = WN−n = ej ( N )n .4. · · · . harmonicamente relacionadas e distintas (N raı́zes N-ésimas 2π 2π complexas da unidade): WNk = e−jk( N ) ou WN−k = ejk( N ) .3. dadas por 2π ±jk n xk [n] = e±jΩk n = e±jk(Ωf )n = e Nf = WN∓kn f . k = 0. 1. – Exponenciais básicas. representadas por . k ∈ N+ . 1. harmonicamente relacionadas e distintas. · · · .3 Funções com dependência exponencial de Ω No estudo de sinais e sistemas em tempo discreto. Funções com dependência exponencial de Ω 61 • Seqüências exponenciais comumente utilizadas: 2π – Exponencial básica (raiz N-ésima complexa principal da unidade): WN = e−j ( N ) ou 2π WN−1 = ej ( N ) . . jΩ H(Ω) = H(ejΩ ) = . H(ejΩ ). sendo descritas por meio de combinações do seguinte tipo de monômio: Mk (ejΩ ) = (1 − zk e−jΩ ) . Um exemplo desse tipo de função é 2 Y jΩ H(e ) = Nk (ejΩ ) k=1 Y2 = (1 − zk e−jΩ ) k=1 = (1 − z1 e−jΩ ) (1 − z2 e−jΩ ) = 1 − (z1 + z2 ) e−jΩ + (z1 z2 ) e−j2Ω = (1) e−j(0)Ω + [−(z1 + z2 )] e−j(1)Ω + (z1 z2 ) e−j(2)Ω = b0 e−j(0)Ω + b1 e−j(1)Ω + b2 e−j(2)Ω X2 = bk e−jkΩ k=0 2 . ej∠H(e ) . Também é comum que tais funções possuam uma forma polinomial. Hk (ejΩ ). ej∠Hk (ejΩ ) X . . k=0 TET / UFF . = k=0 2 X = Hk (ejΩ ) . que aparece naturalmente em alguns tipos de sistemas em tempo discreto. encontram-se funções polinomiais racionais. Seqüências exponenciais De uma forma geral.62 Capı́tulo 4. é a influência de . do tipo Q2 jΩ Nk (ejΩ ) H(e ) = Q2k=1 Dk (ejΩ ) Qk=1 2 (1 − zk e−jΩ ) = Q2k=1 −jΩ ) k=1 (1 − pk e (1 − z1 e−jΩ ) (1 − z2 e−jΩ ) = (1 − p1 e−jΩ ) (1 − p2 e−jΩ ) 1 − (z1 + z2 ) e−jΩ + (z1 z2 ) e−j2Ω = 1 − (p1 + p2 ) e−jΩ + (p1 p2 ) e−j2Ω (1) e−j(0)Ω + [−(z1 + z2 )] e−j(1)Ω + (z1 z2 ) e−j(2)Ω = (1) e−j(0)Ω + [−(p1 + p2 )] e−j(1)Ω + (p1 p2 ) e−j(2)Ω b0 e−j(0)Ω + b1 e−j(1)Ω + b2 e−j(2)Ω = a0 e−j(0)Ω + a1 e−j(1)Ω + a2 e−j(2)Ω P2 bk e−jkΩ = P2k=0 −jkΩ k=0 ak e C1 C2 = + (1 − p1 e ) (1 − p2 e−jΩ ) −jΩ = H1 (ejΩ ) + H2 (ejΩ ) X2 = Hk (ejΩ ) . k=1 Uma relação importante. uma função H(ejΩ. Nesses sistemas. ) sobre as seqüências exponenciais e senoidais. quando . H(e−jΩ )| = |H(ejΩ ). e ∠H(e−jΩ ) = −∠H(ejΩ ). as seguintes relações podem ser estabelecidas: y[n] = H(ejΩ ). Ω=Ω0 ejΩ0 n = H(ejΩ0 ) ejΩ0 n = |H(ejΩ0 )| ej (Ω0 n+∠H(e )) . . jΩ0 y[n] = H(ejΩ ). Ω=−Ω0 e−jΩ0 n = H(e−jΩ0 ) e−jΩ0 n = |H(ejΩ0 )| e−j (Ω0 n+∠H(e )) . jΩ0 e jΩ . 1 jΩ n jΩ . 1 −jΩ0 n y[n] = H(e ). Ω=Ω0 e 0 + H(e ). Ω=−Ω0 e 2 2 jΩ0 1 jΩ0 n −jΩ0 1 −jΩ0 n = H(e ) e + H(e ) e 2 2 jΩ0 1 j (Ω0 n+∠H(ejΩ0 )) 1 −j (Ω0 n+∠H(ejΩ0 )) = |H(e )| e + e 2 2 |H(ejΩ0 )| cos Ω0 n + ∠H(ejΩ0 ) . . = A.V.S. 2) N0 n=hN0 i O conjunto das Equações (4.1) e (4. por meio de uma decomposição que se utilize de exponenciais. de tal forma que 2π jk N n X x̃[n] = X̃[k] e 0 . pode-se pensar em tentar descrever uma seqüência periódica qualquer x̃[n].2) é denominado de Série de Fourier em Tempo Discreto (Discrete-Time Fourier Series ou DTFS).4. A DTFS será abordada em capı́tulos futuros. k=hN0 i A partir desses resultados. TET / UFF . com perı́odo N0 . Decomposição usando exponenciais 63 4. q·2π Considerando-se θ = Ω0 n e Ω0 = N0 . obtém-se q · 2π x̃[n] = cos(Ω0 n) = cos n N0 1 j q·2π n 1 −j q·2π n = e N0 + e N0 2 2 1 j(q) N n 1 j(−q) N2π n 2π = e 0 + e 0 2 2 2π 2π j(q) n j(−q) n = X̃[q] e N0 + X̃[−q] e N0 2π jk N n X = X̃[k] e 0 k=hN0 i e q · 2π x̃[n] = sin(Ω0 n) = sin n N0 1 j q·2π n −1 −j q·2π n = e N0 + e N0 2j 2j 1 −1 j(−q) N2π n 2π j(q) N n = e 0 + e 0 2j 2j 2π 2π j(q) n j(−q) n = X̃[q] e N0 + X̃[−q] e N0 2π jk N n X = X̃[k] e 0 .1) k=hN0 i Pode-se demonstrar que isso é possı́vel e que os coeficientes X̃[k] são calculados por 1 X 2π −jk N n X̃[k] = x̃[n] e 0 . (4.4. (4. onde será realizada uma análise de sinais e de sistemas no domı́nio da freqüência Ω.4 Decomposição usando exponenciais A Relação de Euler enuncia que e±jθ = cos(θ) ± j sin(θ) . K ∈ N+ .64 Capı́tulo 4. – A amostragem realiza uma conexão entre os domı́nios contı́nuo e discreto.3): cnum p – Supondo-se: N.1 Definições básicas • Processo de amostragem – É a discretização (uniforme ou não) das variáveis independentes de um sinal analógico. (4. Ω ∈ R e que crac = cden = q é uma fração simplificada. – É a transformação de um sinal analógico em uma seqüência de valores com amplitude contı́nua.S.5 Amostragem de sinais contı́nuos no tempo 4. para que o sinal no domı́nio discreto tenha uma relação biunı́voca com o sinal no domı́nio analógico. 2π 2π FS T0 cnum p p – Caso 2: Ω = ωTS = f0 = TS = crac = cden = q →N =K· q → Nf |Kf =q = p. > 0.V. • Condições para existência de perı́odo N e de perı́odo fundamental Nf em (4. 1 • Amostragem periódica: intervalo ou perı́odo (TS ) e taxa ou freqüência (FS = TS ).5.2 Amostragem de sinal senoidal • Amostragem de sinal senoidal xa (t): x[n] = xa (nTS ) = xa (t)|t=nTS = A0 · cos(ω0 t + Θ0 )|t=nTS = A0 · cos(ω0 nTS + Θ0 ) = A0 · cos((ω0 TS )n + Θ0 ) = A0 · cos(Ω0 n + Θ0 ) . alguns requisitos devem ser atendidos. Portanto. A. seguida do cálculo da área (integração) de cada impulso resultante. • Quantidade de pontos armazenados. – Pode ser modelado por um processo de multiplicação do sinal analógico por um trem de impulsos. 2π 2π FS T0 – Caso 3: Ω = ωTS = f0 = TS = cirr → N = K · cirr → Nf |Kf =@ = @.5. 2π 2π FS T0 cnum p – Caso 1: Ω = ωTS = f0 = TS = cint = 1 = 1 → N = K · p → Nf |Kf =1 = p. Seqüências exponenciais 4. considerando-se uma amostragem uniforme e um Trec intervalo de tempo ∆t = Trec : Nrec = int TS + 1. • “Freqüência” digital: Ω = ωTS = 2πf TS = 2π FfS = 2π TTS (rad). Ω0 = ω0 TS = 2πf0 TS . onde int(x) é a parte inteira de x. o valor da amostra deverá ser x(nTS ) = lim→0 x(nTS + ). – Convenção: caso a amostragem deva ser efetuada no instante de uma descontinuidade do sinal analógico. – Condição para periodicidade: cos(Ωn) = cos(Ω(n ± N )) = cos(Ωn ± ΩN ) → Ω · N = K · 2π → N = K · 2π Ω 2π = K · ωT S = K · Ff0S = K · TTS0 .3) rad • Freqüência analógica: ω = 2πf s . . 4. – Caso contrário.: f1 = 250 Hz. f2 = 1250 Hz. • Essa limitação justifica a inclusão do filtro anti-aliasing. a freqüência digital obtida Ω1 = 2π Ff1S está na faixa Ω1 > π. então as amostras x[n] representam unicamente o sinal analógico original. – Portanto. antes da amostragem: evitar erro no processamento em tempo discreto de sinal analógico. tais como: superposição de espectro. entre a freqüência f0 do sinal analógico senoidal xa (t) e a freqüência de amostragem FS . – Nesse caso. frequency folding. conclui-se que TS = Nf . – Dessa forma. • Condição para unicidade na representação x[n] ↔ xa (t) em (4. q·T0 Logo. que garante a unicidade da representação x[n] ↔ xa (t).5. envolvendo a freqüência de amostragem FS e a componente senoidal com maior freqüência fM AX do sinal analógico. – Tal efeito de ambigüidade na representação. o parâmetro q significa a quantidade mı́nima de ciclos com valor T0 (s). f3 = 2250 Hz e FS = 10 kHz. haverá uma ambigüidade na representação x[n] ↔ xa (t). • No caso de um sinal analógico composto por vários sinais senoidais. que irá gerar amostras x[n] semelhantes àquelas geradas por uma freqüência Ω0 = 2π Ff0S . onde um sinal senoidal com alta freqüência será identificado pelas amostras x[n] como sendo um sinal senoidal de baixa freqüência. 2 4. f3 = 2250 Hz e FS = 1 kHz. com seletividade em freqüência do tipo passa-baixa. aliasing. – Ex.3 Superposição de espectro (aliasing ) • Superposição de espectro – Se a relação 0 ≤ f0 < F2S . recebe várias denominações. basta garantir que a relação seja mantida para a maior freqüência envolvida fM AX . necessária para que ocorra o perı́odo fundamental de Nf = p pontos na seqüência. tem-se que Ω = K · 2π N =K· 2π K· pq = p = Nf e que Ω = 2π TTS0 . a freqüência digital obtida Ω0 = 2π Ff0S está na faixa 0 ≤ Ω0 < π. na faixa 0 ≤ Ω0 < π. folding back e frequency translation. – Ex. Nesse sentido. é conhecida como Teorema da Amostragem (Nyquist-1928 × Shannon-1949): 0 ≤ fM AX < F2S . provocado por amostragem realizada de forma inadequada. Amostragem de sinais contı́nuos no tempo 65 q·2π q·2π – Nos casos 1 e 2. é respeitada. TET / UFF . f2 = 1250 Hz. deve-se garantir a relação 0 ≤ fk < F2S para todas as freqüências fk envolvidas.5.4.: f1 = 250 Hz. que surge no processo de amostragem. • Tal limitação. – Uma análise mais detalhada sobre aliasing é apresentada na Apêndice C.3): FS 0 ≤ Ω0 < π → 0 ≤ ω0 TS < π → 0 ≤ f0 < . tais como: – Terminologia 1: ∗ Folding frequency: ff old = F2S = 1 2TS . Ω ∈ R e que crac = cden = q é uma fração simplificada. tem-se que Nf = p. – Terminologia 2: ∗ Sampling period : TS . ∗ Sampling angular frequency: wS = T2πS . – Condição para periodicidade: cos(Ωn) = cos(Ω(n ± N )) = cos(Ωn ± ΩN ) → Ω · N = K · 2π → N = K · 2π Ω 2π = K · ωT S = K · Ff0S = K · TTS0 . FS – Condição para unicidade: 0 ≤ f0 < 2 . . ∗ Nyquist frequency: wM AX . – Terminologia 4: FS ∗ 2 : Nyquist rate. ∗ Nyquist rate: wSmin = 2 wM AX .S. ∗ Folding frequency ou Nyquist frequency: w2S . A. FSmin e 2 . 1 ∗ Sampling frequency: FS = TS . 2π FS p p – Caso 2: Ω = f0 = q → FS = q f0 > 2 f0 → p > 2 q. 2π FS – Caso 1: Ω = f0 = p → FS = p f0 > 2 f0 → p > 2. fM AX . – Amostragem crı́tica (critical sampling): FS = 2 fM AX .V. – Nos casos 1 e 2. o processo de amostragem recebe as seguintes denominações: – Superamostragem (oversampling): FS > 2 fM AX . ∗ Baseband ou Nyquist band : − w2S ≤ w ≤ w2S . • Condições para periodicidade e unicidade da representação x[n] ↔ xa (t) em (4. ∗ Nyquist rate: FSmin = 2 fM AX . K ∈ N+ . – Terminologia 3: 2π ∗ Sampling frequency ou Nyquist frequency: wS = TS . folding frequency e critical frequency. Nyquist frequency. – Subamostragem (undersampling): FS < 2 fM AX . Seqüências exponenciais • De acordo com a taxa de amostragem utilizada. FS . FS • Os parâmetros TS .3): cnum p – Supondo-se: N. 2π FS – Caso 3: Ω = f0 = cirr → FS = cirr f0 > 2 f0 → cirr > 2 (não periódico).66 Capı́tulo 4. ∗ Nyquist frequency: fM AX . recebem diferentes designações na literatura. ∗ Nyquist rate: 2 wM AX . bem como as suas relações. usando a função ejkω0 t como função base. usando a função ejkΩ0 n como função base. construı́do a partir da sua expansão por DTFS. onde ω0 = 2π T0 . e esboce os gráficos |x[n]| × k e ∠x[n] × k. A0 · cos(Ω0 n ∓ Θ0 ) = (A0 ) · cos(Θ0 ) · cos(Ω0 n) + (±A0 ) · sin(Θ0 ) · sin(Ω0 n) (4. que cumpre as condições de Dirichlet. x̃[n] = −cos 2π (b) 5 n . Um aluno de Processsamento Digital de Sinais garante que ocorreu o fenômeno de aliasing (ou frequency folding ou folding back ) no processo de geração de x[n] a partir de x(t). Exercı́cios propostos 67 4. descreva-o em função de exponenciais do tipo e 9 N0 para N0 = {9. 2π 6π (f) x̃[n] = cos 7 n − sin 7 n . x̃[n] = cos 2π 6π (e) 7 n + sin 7 n . Suponha o sinal x̃[n]. x̃[n] = −cos 2π 6π (g) 7 n + sin 7 n . 2π (d) x̃[n] = −sin 5 n . para cada valor de N0 . pode ocorrer um fenômeno relacionado ao truncamento de uma série (Fenômeno de Gibbs). atenda aos seguintes itens: (a) Calcule o perı́odo N0 de x̃[n] para cada caso. 207}. A afirmativa do aluno iniciante de DSP está correta ou não? Justifique! 5. calcule os coeficientes X̃[k] para cada caso. w0 e t ∈ R. N0 . Sabe-se que uma função analógica periódica x̃(t). 108. pode ser descrita por uma Série de Fourier de Tempo Contı́nuo (CTFS).4) 6. gerando a seqüência x[n]. 4. e k ∈ Z. e Ω0 ∈ R. será exato. com a freqüência de amostragem FS = 8 kHz. para cada caso.4. Dado o sinal x̃[n] = cos n . Você concorda com ele? Justifique! TET / UFF . descreva-os em função de exponenciais do tipo 2π ±jk n e N0 e esboce os gráficos |x̃[n]| × k e ∠x̃[n] × k.6 Exercı́cios propostos 1. ao tentar graficar x(t) a partir da sua expansão por CTFS. T0 é o perı́odo fundamental. 2π 6π (h) x̃[n] = −cos 7 n − sin 7 n . x̃[n] = sin 2π (c) 5 n .6. k e n ∈ Z. O sinal analógico x(t) = A cos(2πf t). 3. 2π 8π ±jk n 2. Por sua vez. onde −15 ≤ k ≤ 15. Dados os sinais senoidais definidos abaixo. obtido por amostragem uniforme do sinal analógico x̃(t) = cos(ω0 t). 2π P jk N n (b) Dada a decomposição x̃[n] = k=hN0 i X̃[k] e 0 . onde Ω0 = N2π0 . Um aluno de processamento analógico de sinais aprendeu que. Sabe-se também que uma função de tempo discreto periódica x̃[n] pode ser descrita por uma Série de Fourier de Tempo Discreto (DTFS).4. com perı́odo de amostragem TS . T0 . (c) Esboce os gráficos |X̃[k]| × k e ∠X̃[k] × k. Demonstre a equivalência apresentada na Equação 4. foi amostrado uniformemente. um aluno iniciante de processamento digital de sinais (DSP) garante que tal fenômeno não irá acontecer para x[n] e que o gráfico de x[n]. 45. x̃[n] = cos 2π (a) 5 n . N0 é o perı́odo fundamental. onde f = 4 kHz. Considerando FS = 40 kHz e os casos onde f0 = 4 kHz e f0 = 12 kHz. um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que consegue. f2 . (Resposta: Fs = 44 kHz) 10. 77] kHz. Atenda aos seguintes itens: (a) Dado o sinal analógico descrito pela Equação 4. para i = 6. x(t) = ejω0 t = ej2πf0 t (4.5) 9. o aluno retirou tal módulo da cadeia e conectou diretamente P5 os demais elementos. um conversor digital-analógico (D/A) e um filtro suavizador (smoothing filter ) ideal. A4 . 65 . 11. onde A = [A1 . indique. ele obteve. com uma freqüência de amostragem FS . f30 ] = [2. Para testar a influência dos elementos anteriores e posteriores ao módulo DSP. possuindo freqüência FS .9. x[n] = A0 · cos(Ω0 n ∓ Θ0 ). 3. como saı́da da cadeia. Conhecendo a relação Ω = ω TS . para que ele seja corretamente representado pelo sinal discreto descrito pela Equação 4. um processador de sinal digital (DSP). 0 ≤ Ω0 ≤ π (4. 46. f5 ] = [2.8) xk [n] = xk (nTS ) = xk (t)|t=nTS (4. 63. 2] e f 0 = [f10 . 23 . Dado o sinal descrito pela Equação 4. o sinal x(t) = k=1 Ak cos(2πfk t). 1. atenda aos seguintes itens: (a) Explicar o problema que ocorre para Ω0 = π. 8. 1. considere Ω0 = i . identificar a freqüência F0 (Hz) de um sinal analógico senoidal xa (t) = A0 cos(ω0 t). f20 . −∞ < k < ∞. fixo e periódico. Um aluno de Processamento Digital de Sinais resolveu analisar uma cadeia de blocos funcionais destinada ao processamento digital de sinal analógico. calcule graficamente o perı́odo fundamental N0 de x[n]. onde A0 = [A01 . f4 . k ∈ Z (4. na entrada da cadeia simplificada.8 e as restrições dos itens anteriores. justificando. . A03 ] = [2.7) xk (t) = ejkω0 t = ejk2πf0 t . se ocorreu aliasing em cada caso. usando um sistema digital. A3 . Todos os blocos da cadeia eram submetidos a um único sinal de controle (CK).V. A. A2 . 19. para cada caso.6. Ao aplicar. f3 . envolvendo a freqüência de amostragem e a freqüência do sinal. A02 .5. (b) Supondo que x[n] foi obtido por meio da amostragem uniforme do sinal x(t) = ejω0 t . nas seguintes situações: (a) Caso lhe sejam fornecidos o valor da freqüência de amostragem uniforme FS (Hz) e uma quantidade Nrec de amostras igual ou maior ao perı́odo N0 do sinal digital. o sinal y(t) = 3k=1 A0k cos(2πfk0 t). Dado o sinal x[n] = ejΩ0 n .68 Capı́tulo 4. Seqüências exponenciais 2π 7. A5 ] = [1.7? 2π (b) Qual a vantagem em escolher Ω0 = N0 para o sinal x[n] = ejΩ0 n ? (c) Dados o conjunto de sinais descrito pela Equação 4.9) 11. 19] kHz. e atenda aos seguintes itens: (a) Utilizando um plano complexo. 1] e f = P[f1 . que condições são necessárias. (b) Explicar porque tal problema não acontece para 0 ≤ Ω0 < π. A cadeia era composta por um conversor analógico-digital (A/D). Calcule a freqüência FS utilizada na cadeia. 1.S. 1. calcule o número mı́nimo de sinais diferentes descritos pela Equação 4.6) x[n] = x(nTS ) = x(t)|t=nTS (4. 4.6. Exercı́cios propostos 69 (b) Caso lhe sejam fornecidos FS = 10 kHz e um total de 100 amostras, dado que F0 = 1 kHz. (c) Caso lhe sejam fornecidos FS = 5π kHz e um total de 150 amostras, dado que F0 = 1 kHz. Você concorda com as três afirmativas do aluno em questão? Justifique. 12. Dados os sinais analógicos senoidais xk (t) = cos(ωk t), a freqüência de amostragem FS = 44 kHz e as seqüências xk [n] = xk (nTS ) = xk (t)|t=nTS , atenda aos seguintes itens: (a) Calcule as freqüências digitais Ω1 e Ω2 relacionadas com as freqüências analógicas f1 = 2 kHz e f2 = 20 kHz. (b) Calcule as freqüências analógicas 0 ≤ fk ≤ 100 kHz, para k > 2, dos sinais xk (t) que sofrerão o fenômeno de aliasing com os sinais x1 (t) e x2 (t). (c) Represente o resultado dos itens anteriores de forma gráfica, marcando as respectivas freqüências sobre dois eixos que representem as variáveis f e Ω. (d) Calcule os perı́odos fundamentais dos sinais x1 [n] e x2 [n]. (e) Os sinais x1 (t) e x2 (t) foram amostrados corretamente? Justifique. 13. Dado o sinal descrito pela Equação 4.10, onde f1 = 100 kHz, f2 = 400 kHz e f3 = 1 M Hz, e o sinal x[n] = x(nTS ) = x(t)|t=nTS , onde −∞ < n < ∞, atenda aos seguintes itens: (a) Para TS1 = 250 ns, calcule o perı́odo fundamental de cada componente de x[n]. Com- pare as relações entre os perı́odos fundamentais das componentes do sinal analógico x(t) com as relações entre os perı́odos fundamentais das componentes do sinal discreto x[n]. Explique o resultado da comparação. (b) Para TS2 = 2 µs, calcule o perı́odo fundamental de cada componente de x[n]. Com- pare as relações entre os perı́odos fundamentais das componentes do sinal analógico x(t) com as relações entre os perı́odos fundamentais das componentes do sinal discreto x[n]. Explique o resultado da comparação. (c) Para TS3 = π12 µs, calcule o perı́odo fundamental de cada componente de x[n]. Explique o que acontece com x[n]. (d) Calcule o maior perı́odo de amostragem possı́vel, de tal forma que o sinal original x(t) possa ser recuperado a partir de suas amostras x[n]. x(t) = cos(2πf1 t) − 2sen(2πf2 t) + 3cos(2πf3 t) (4.10) 14. Dado o sinal descrito pela Equação 4.11, onde f1 = 1 kHz e f2 = 9 kHz, deseja-se eliminar o som gerado pela componente de mais alta freqüência. Foi sugerido, para realizar tal filtragem, que se utilize uma cadeia de processamento composta apenas de: i) uma amostragem uniforme de x(t), gerando a seqüência x[n], ii) um escalamento em amplitude de x[n], por uma constante racional e iii) uma interpolação do sinal escalado, para gerar o novo sinal analógico y(t). Prove que a sugestão é VERDADEIRA ou FALSA. x(t) = cos(2πf1 t) + cos(2πf2 t) (4.11) TET / UFF 70 Capı́tulo 4. Seqüências exponenciais 15. Antes de ser transmitido, P um sinal analógico x(t), formado por uma soma de sinais ∞ senoidais do tipo x(t) = k=−∞ Ak cos(2πfk t), onde 500 kHz ≤ fk ≤ 900 kHz e −∞ < t < ∞, é submetido a um deslocamento de espectro, de tal forma que a nova faixa de freqüências passa a ser 10, 5 M Hz ≤ fk ≤ 10, 9 M Hz. Na recepção do sinal, o mesmo deve ser amostrado, para ser tratado digitalmente. Eventualmente, o sinal resultante do tratamento digital deverá ser transformado em um sinal analógico. Um estagiário está em dúvida sobre qual taxa de amostragem FS utilizar e sobre que cuidados devem ser tomados no processo de aquisição do sinal. Suponha que o custo dos conversores analógico-digital (A/D), dos elementos de processamento digital e dos conversores digital-analógico (D/A) cresçam exponencialmente com o aumento da taxa de amostragem (FS ). Suponha que filtros e deslocadores de espectro possuam baixo custo, se comparados com os conversores. Ajude o estagiário a tomar as decisões corretas, justificando detalhadamente a sua escolha. 16. Um aluno, cursando a disciplina de Processamento Digital de Sinais, diz que realizou a seguinte seqüência de eventos. Amostrando uniformemente o sinal analógico definido por x1 (t) = 5m=1 cos(2πFm t), onde Fm = F1 , F2 , F3 , F4 , F5 = 10, 90, 110, 190, 210 kHz, P utilizando um intervalo de amostragem TS = 10 µs, ele gerou a seqüência x2 [n]. Em seguida, levando em consideração o mesmo intervalo de amostragem, ele interpolou a seqüência x2 [n], obtendo o sinal x3 (t) = 5 cos(2πF1 t). Se você concordar com o resultado obtido por tal aluno, justifique o resultado. Por outro lado, se você discordar do aluno, aponte as causas do erro. 17. Os sinais analógicos x1 (t) = A1 cos(2πf1 t), x2 (t) = A2 cos(2πf2 t), x3 (t) = A3 cos(2πf3 t) e x4 (t) = A4 cos(2πf4 t), têm f = [f1 , f2 , f3 , f4 ] = [10, 50, 150, 190] kHz. Suponha que os mesmos foram usados para gerar, respectivamente, as seqüências x1 [n], x2 [n], x3 [n] e x4 [n]. Em seguida, suponha P4 que elas foram processados por um sistema discreto, definido pela operação y[n] = k=1 ck xk [n], onde c = [c1 , c2 , c3 , c4 ] = [1, 2, 4, 8]. Finalmente, suponha que a seqüência y[n] foi usada para gerar o sinal analógico y(t). Suponha ainda que todo o sistema de processamento descrito acima é controlado pelo mesmo sinal de relógio, com freqüência FCK = 70 kHz. Despreze todos os erros numéricos e calcule o sinal analógico y(t). 18. Um supervisor de estágio resolveu testar os conhecimentos de um dos seus estagiários sobre Processamento Digital de Sinais. P Ele perguntou se haveria problema com o processo de amostragem do sinal xa (t) = k cos(2πfk t) nos seguintes casos: (a) fk = [1, 9, 11, 19] kHz, amostrado com FS = 20 kHz. (b) fk = [1, 13, 15, 17] kHz, amostrado com FS = 20 kHz. (c) fk = [1, 9, 11, 19] kHz, amostrado com FS = 40 kHz. (d) fk = [1, 13, 15, 17] kHz, amostrado com FS = 40 kHz. Para cada um dos respectivos casos propostos, o estagiário apresentou as seguintes respostas: (a) Duas das componentes cossenoidais serão confundidas com as outras duas, mas isso não representará qualquer problema. (b) A amostragem será realizada corretamente, mas três das componentes senoidais serão confundidas com a quarta delas. A.S.V. 4.6. Exercı́cios propostos 71 (c) A amostragem não será realizada corretamente, pois ocorrerá aliasing. (d) Não ocorrerá frequency folding. Portanto, a amostragem será realizada corretamente. Você concorda com o estagiário? Justifique !!!. P7 19. O sinal analógico x(t) = k=0 Ak cos(2πfk t), onde f = [ f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 ] = [ 0 1 9 10 11 15 19 20 ] kHz, foi amostrado uniformemente, com o intervalo de amostragem TS = 50 µs, gerando a seqüência x[n]. Um aluno de Processsamento Digital de Sinais garante que a seqüência x[n] também possui oito componentes senoidais distintas. Atenda aos seguintes itens: (a) Você concorda com ele? JUSTIFIQUE !!! (b) Defina matematicamente as diferentes componentes senoidais de x[n]. 20. Dados os sinais x[n] = cos(Ωn) e xa (t) = cos(ωt), atenda aos seguintes itens: (a) Calcule as condições para que x[n] seja periódico e, para esses casos, calcule seu perı́odo fundamental Nf . (b) Para os casos onde x[n] é periódico, indique a relação entre o ciclo fundamental de algumas funções angulares, de valor 2π (rad), o perı́odo fundamental Nf de x[n] e os parâmetros presentes nas condições que garantem a periodicidade de x[n]. (c) Apresente uma interpretação para a relação encontrada no item (b). (d) Suponha que x[n] foi obtido a partir de xa (t), por meio de uma amostragem uniforme, com freqüência de amostragem FS . Calcule as condições para que o sinal amostrado x[n] seja periódico e, para esses casos, calcule seu perı́odo fundamental Nf . (e) Para os casos onde o sinal amostrado x[n] é periódico, indique a relação entre o perı́odo fundamental de xa (t), de valor T (s), o perı́odo fundamental Nf de x[n] e os parâmetros presentes nas condições que garantem a periodicidade de x[n]. (f) Apresente uma interpretação para a relação encontrada no item (e). 21. Considere uma representação geométrica de números complexos na forma de um Plano Complexo (Plano de Argand-Gauss). Considere também a Relação de Euler, definida por e±jθ = cos(θ)±j sin(θ). Considere ainda a relação Ω = ωTS = 2πf TS = 2π FfS = F2πS = 2π R , f FS onde R = f . Assuma que Ω ∈ R e que N ∈ N. Atenda aos seguintes itens: (a) Para valores especı́ficos de Ω e de N , respectivamente denominados de Ω0 e de N0 , 2π j associe o número complexo z = ejΩ0 = e N0 a um fasor P0 . (b) Dada a faixa −∞ < n < ∞, associe cada elemento da seqüência complexa n 2π j n x[n] = z n = ejΩ0 = ejΩ0 n = e N0 a um fasor Pn . (c) Dada a faixa −∞ < n < ∞, mostre que, para N0 finito, existe um número finito de fasores distintos entre todos os fasores Pn definidos acima. 2π j n (d) Mostre que a seqüência complexa x[n] = e N0 é periódica, indicando o valor do perı́odo fundamental. (e) Mostre que a seqüência xcos [n] = cos( N2π0 n) pode ser interpretada como uma projeção 2π j n ortogonal da seqüência x[n] = e N0 . TET / UFF 72 Capı́tulo 4. Seqüências exponenciais (f) Mostre que a seqüência xsin [n] = sin( N2π0 n) pode ser interpretada como uma projeção 2π j n ortogonal da seqüência x[n] = e N0 . (g) Para cada valor de N0 na faixa 3 ≤ N0 ≤ 8, desenhe, em gráficos isolados, os fasores 2π j n distintos associados à seqüência x[n] = e N0 . (h) Para cada valor de N0 na faixa 3 ≤ N0 ≤ 8, desenhe, em um mesmo gráfico, os 2π j n fasores distintos associados à seqüência x[n] = e N0 . (i) Mostre que, para representar unicamente um sinal analógico xa (t) = cos(ω0 t), o sinal discreto x[n] = cos( N2π0 n) deve possuir N0 ≥ 3. (j) Usando N0 = 5, mostre que, para uma constante inteira e ı́mpar Rimp = Ff0S = N0 , o sinal discreto x[n] = cos( N2π0 n), gerado a partir do sinal analógico xa (t) = cos(ω0 t), contém os valores correspondentes aos picos, mas não os valores dos vales, de xa (t). Tente extrapolar a afirmação para qualquer valor de N0 . (k) Usando N0 = 8, mostre que, para uma constante inteira e par Rpar = Ff0S = N0 , o sinal discreto x[n] = cos( N2π0 n), gerado a partir do sinal analógico xa (t) = cos(ω0 t), contém os valores correspondentes aos picos e aos vales de xa (t). Tente extrapolar a afirmação para qualquer valor de N0 . (l) Usando N0 = 5, mostre que, para uma constante inteira e ı́mpar Rimp = Ff0S = N0 , o sinal discreto x[n] = cos( N2π0 n), gerado a partir do sinal analógico xa (t) = cos(ω0 t), possui perı́odo fundamental nos pontos equivalentes a um perı́odo de xa (t). (m) Usando N0 = 8, mostre que, para uma constante inteira e par Rpar = Ff0S = N0 , o sinal discreto x[n] = cos( N2π0 n), gerado a partir do sinal analógico xa (t) = cos(ω0 t), possui perı́odo fundamental nos pontos equivalentes a um perı́odo de xa (t). (n) Usando o valor Rrac = 52 , mostre que, para uma constante racional simplificada n Rrac = Ff0S = dimp par , os valores do sinal discreto x[n] = cos( N2π0 n), são os mesmos daqueles gerados por Rimp = nimp , porém ocorrem em um padrão diferente. Mostre ainda que x[n] possui perı́odo fundamental nos pontos equivalentes a dpar perı́odos de xa (t). (o) Usando o valor Rrac = 83 , mostre que, para uma constante racional simplificada Rrac = Ff0S = dnimp par , os valores do sinal discreto x[n] = cos( N2π0 n), são os mesmos daqueles gerados por Rpar = npar , porém ocorrem em um padrão diferente. Mostre ainda que x[n] possui perı́odo fundamental nos pontos equivalentes a dimp perı́odos de xa (t). A.S.V. Capı́tulo 5 Sistemas no domı́nio do tempo 5.1 Introdução Nesse capı́tulo são apresentados os conceitos básicos relativos aos sistemas utilizados no processamento digital de sinais. Inicialmente, os sistemas são classificados. Em seguida, são apresentados exemplos de sistemas amostrados. Finalmente, alguns tipos de implementação para sistemas amostrados e digitais são citados. 5.2 Classificações de sistemas • Os sistemas podem ser organizados em diversas classes, de acordo com as suas respectivas caracterı́sticas. • Tipo de sinal manipulado: analógico, amostrado, quantizado, digital, hı́brido. • Número de entradas e de saı́das: – SISO (Single-Input Single-Output). – SIMO (Single-Input Multiple-Output). – MISO (Multiple-Input Single-Output). – MIMO (Multiple-Input Multiple-Output). • Dinâmica: instantâneo (sem memória) × dinâmico (com memória). • Estados e variáveis de estado em sistemas dinâmicos: – Uma vez que eles são capazes de armazenar energia, os sistemas dinâmicos podem apresentar diversas configurações energéticas diferentes, denominadas estados. – Uma medida do estado de um sistema, em um instante de tempo t = tn , são os valores assumidos por todas as variáveis do sistema, em t = tn . – Um sistema é dito relaxado, em um instante de tempo t = tn , quando todas as suas variáveis são nulas em t = tn . – Interpretando-se o conjunto de todas as variáveis de um sistema como um espaço vetorial, pode-se selecionar um conjunto mı́nimo de variáveis para formar uma base para esse espaço. Uma vez que, a partir da base, podem ser obtidas todas as demais variáveis e, portanto, pode-se caracterizar o estado do sistema, as variáveis da base são denominadas variáveis de estado do sistema. 73 74 Capı́tulo 5. Sistemas no domı́nio do tempo – Dessa forma, uma definição clássica para estado e variáveis de estado é: “O estado de um sistema, em qualquer instante de tempo t = tn , é o menor conjunto de variáveis (denominadas variáveis de estado), calculadas em t = tn , suficiente para determinar o comportamento do sistema para qualquer instante de tempo t ≥ tn , quando a entrada do sistema é conhecida para t ≥ tn ”. • Linearidade: – Princı́pio da linearidade: ∗ Relação de dependência: y = f (x). ∗ Homogeneidade ou escalamento: se xk → yk , então x = ck xk → y = ck yk . ∗ Aditividade ou Princı́pio P da Superposição: P se xk → yk , então x = k xk → y = k yk . ∗ Linearidade = Homogeneidade P + Aditividade: P se xk → yk , então x = k ck xk → y = k ck yk . – Linearidade × estado inicial: ∗ Matematicamente, a transformação linear y[n] = K x[n] é a única relação da saı́da y[n] com a entrada x[n] que caracteriza um sistema como linear, de acordo com o princı́pio da linearidade. ∗ A transformação afim y[n] = a x[n] + b, ou qualquer outra transformação do tipo y[n] = a x[n] + b[n], aparentementeP caracterizam sistemas não P lineares, pois não obedecem à aditividade (y[n] 6= k ck yk [n] para x[n] = k ck xk [n]) nem à homogeneidade (y[n] 6= 0 para x[n] = 0). ∗ A transformação do tipo y[n] = a x[n] + b[n] pode ser interpretada como um sistema composto pela conexão em cascata do subsistema linear v[n] = a x[n] com o subsistema y[n] = v[n] + b[n]. ∗ Conseqüentemente, surgem dois paradoxos, relacionados entre si. ∗ Paradoxo 1: · A saı́da de um sistema, para t ≥ tn , depende da entrada em t ≥ tn e do estado em t = tn . · Se o sistema é linear, ele deve atender à aditividade. Portanto, pode-se utilizar a Propriedade de Decomposição, a qual diz que ytot = yent + yest , onde yent = ytot |(estado nulo) e yest = ytot |(entrada nula) são, respectivamente, a componente de saı́da relativa à entrada (ou ao estado nulo) e a componente de saı́da relativa ao estado (ou à entrada nula). · Porém, esta separação conduz às formas matemáticas y[n] = a x[n] + b e y[n] = a x[n] + b[n]. · Logo, o sistema deveria ser classificado como não linear. ∗ Paradoxo 2: · Segundo a homogeneidade, se a entrada é nula, a saı́da deve ser nula. · Porém, utilizando-se a propriedade de decomposição, se a entrada for nula a saı́da do sistema será a resposta ao estado (yest ). · No tocante às formas matemáticas, tem-se que y[n] = b e y[n] = b[n]. · Novamente, o sistema deveria ser classificado como não linear. A.S.V. 5.2. Classificações de sistemas 75 ∗ Os paradoxos acima podem ser resolvidos por duas propostas, que, em essência, são equivalentes: · Classificação empregando a entrada e o estado. · Classificação considerando apenas a entrada. · Em ambos os casos, a aplicação do princı́pio da linearidade sobre sistemas é redefinida. ∗ De forma global, empregando-se tanto a resposta à entrada quanto a resposta ao estado, um sistema é considerado linear se ele: · Apresenta a propriedade de decomposição: ytot = yent + yest , onde yent = ytot |(estado nulo) e yest = ytot |(entrada nula) . · É linear em relação à resposta à entrada (yent ). · É linear em relação à resposta ao estado (yest ). ∗ Considerando-se apenas a entrada, o teste de linearidade de um sistema pode ser realizado de duas formas: · Absoluta: dado um sistema relaxado, tem-se que yest = 0. Assim, pode-se aplicar o princı́pio da linearidade utilizando-se apenas a resposta à entrada, que, nesse caso, representa a resposta total (yent = ytot |(estado nulo) ). · Incremental: dado um sistema não relaxado, tem-se que yest 6= 0. Porém, pode-se definir a linearidade incremental, que relaciona as variações da saı́da provocadas por variações da entrada: (y2 − y1 ) = K (x2 − x1 ) ou ∆y = K ∆x ou dy = K dx. • Invariância ao tempo (ou ao deslocamento): – Para um sistema relaxado, ou sob os mesmos estados iniciais: x[n] → y[n] e x[n ± ND ] → y[n ± ND ]. – Isso significa dizer que a forma de onda da saı́da produzida pelo sistema independe do momento da aplicação da entrada, importando apenas a distância entre o momento observado na saı́da e o momento da aplicação da entrada (∆n = ny − Nx ). • Causalidade: – Para os sistemas analógicos, a causalidade é praticamente uma imposição, uma vez que os mesmos são implementados por sistemas fı́sicos, onde as variáveis são grandezas fı́sicas e os componentes são dispositivos que representam fenômenos fı́si- cos. – Por outro lado, no caso dos sistemas amostrados e digitais, a não causalidade não apenas é de simples realização como também pode ser uma técnica útil: ∗ Se a variável independente não for temporal. ∗ Se os dados forem gravados: processamento offline. ∗ Se o tempo real for mais lento que o tempo de processamento: processamento online = armazenamento + processamento offline. ∗ Com a inserção de atrasos extras, que não alteram o throughput do sistema implementado, mas criam uma latência na operação do mesmo. – Sistema causal ou não antecipativo: y[n] = f (x[n − k]), k ∈ N. TET / UFF respectivamente. intrinsicamente. y[n] = x[n − ND ] . – Do ponto de vista fı́sico. uma fonte (ou conversor) de energia. – Sistema ativo: Ey = ∞ P 2 P∞ 2 −∞ |y[n]| > −∞ |x[n]| = Ex < ∞. M2 1 X y[n] = x[n − k] . 5. tem-se um sistema atrasador e um sistema avançador. obtém-se M −1 1 X y[n] = x[n − k] . . – Critério BIBO (Bounded-Input Bounded-Output).3. – Sistema passivo sem perdas (lossless): Ey = ∞ P 2 P∞ 2 −∞ |y[n]| = −∞ |x[n]| = Ex < ∞. 5.S. Sistemas no domı́nio do tempo * y [n] = y [n] .MA) Para M1 . um sistema ativo deve possuir.3 Exemplos de sistemas amostrados A seguir. (M2 − M1 + 1) k=M 1 No caso em que M1 = 0 e M2 = (M − 1). M k=0 A. – Critérios de estabilidade.3. são apresentados alguns exemplos de sistemas amostrados. Nos casos em que ND > 0 e ND < 0. ∗ Instável. ∗ Marginalmente estável (oscilatório).76 Capı́tulo 5. n < N – Se e x1 [n] 6= x2 [n] . 5. • Passividade: P∞ |y[n]|2 < ∞ 2 P – Sistema passivo com perdas: Ey = −∞ −∞ |x[n]| = Ex < ∞. n < N → Não causal. n ≥ N y1 [n] 6= y2 [n] . M2 ∈ Z e M2 > M1 .1 Sistema deslocador Para ND ∈ Z. • Estabilidade: – Equilı́brio × estabilidade. n < N → Causal. – Equilı́brio: ∗ Assintoticamente estável. 1 2 x1 [n] = x2 [n] .V.2 Sistema de média móvel (Moving or sliding Average . 4 Generalização do sistema acumulador Para a1 6= 0. obtém-se a série geométrica 1 SN = . Supondo-se que y[−1] = 0 e x[n] = Ad u[n].3. Para tal. (−a1 ) 6= 1  k=0 1−(−a1 ) é o termo N de uma progressão geométrica com taxa igual a (−a1 ). Exemplos de sistemas amostrados 77 5. obtém-se N X y[N ] = (b0 Ad ) (−a1 )k = (b0 Ad ) SN . (−a1 ) = 1 SN = (−a1 )k = 1−(−a1 )N . a generalização do sistema acumulador é dada pelo sistema y[n] = (−a1 ) y[n − 1] + b0 x[n] . k=−∞ podendo ser reescrito como −1 X n X n X y[n] = x[k] + x[k] = y[−1] + x[k] k=−∞ k=0 k=0 ou n−1 X y[n] = x[k] + x[n] = y[n − 1] + x[n] . Para N → ∞ e |(−a1 )| < 1.3.5. que (−a1 ) > 0 é a taxa de remuneração da conta e que os valores b0 x[n] representam depósitos/retiradas. k=−∞ 5. k=0 onde a soma geométrica  N X  (N + 1) . Progressão geométrica A generalização do sistema acumulador também pode ser associada a uma progressão geométrica.3 Sistema acumulador O sistema acumulador é definido por n X y[n] = x[k] . deve-se considerar que y[n] é o saldo da conta no instante n.3. 1 − (−a1 ) TET / UFF . Sistema “conta remunerada” (savings account) A generalização do sistema acumulador pode servir de modelo para uma conta remunerada. os (L − 1) pontos localizados na faixa (N + 1) ≤ k ≤ (N + L − 1) podem ser calculados por k k xLIL [k] = 1 − xUL [N ] + xUL [N + L] .3.5 Sistema de diferenças progressivas y[n] = x[n + 1] − x[n] .S. para cada par de pontos consecutivos.V. onde n = l · L e l ∈ Z. para 1 ≤ k ≤ (L − 1). 3 3 A. L L Portanto.7 Sistema compressor (downsampler ) Para M ∈ N+ . ±2L.6 Sistema de diferenças regressivas y[n] = x[n] − x[n − 1] . 5. Assim.3.78 Capı́tulo 5.8 Sistema “expansor + interpolador” Sistema expansor (upsampler ) Para L ∈ N+ . Sistemas no domı́nio do tempo 5. localizados nas posições n = N e n = (N + L). ±L. podem-se considerar o caso onde L = 2. dado por 1 2 y[n] = xLI3 [n] = xU3 [n] + (xU3 [n − 2] + xU3 [n + 2]) + (xU3 [n − 1] + xU3 [n + 1]) . y[n] = xDM [n] = x[M n] . pode-se interpretar que o sinal interpolado xLIL [n] é obtido pela soma do sinal k expandido xUL [n] com as suas versões atrasadas xUL [n − k] ponderadas pelo fator 1 − L e com as suas versões adiantadas xUL [n + (L − k)] ponderadas pelo fator Lk . 5. . de tal forma que (L−1) X k k y[n] = xLIL [n] = xUL [n] + 1− xUL [n − k] + xUL [n + (L − k)] . dado por 1 y[n] = xLI2 [n] = xU2 [n] + (xU2 [n − 1] + xU2 [n + 1]) . 2 e o caso onde L = 3. k=1 L L Como exemplos.3. em uma seqüência expandida xUL [n]. caso contrário Sistema interpolador linear (linear interpolator ) A interpolação linear considera que os pontos intermediários a cada duas amostras originais pertencem à reta que os une.3. · · · y[n] = xUL [n] = . x[ L1 n] . 5. n = 0. 0 . são apresentados alguns exemplos de aproximação de processos analógicos por sistemas amostrados.5. Método retangular com diferenças regressivas (backward difference) É adotada uma aproximação baseada no cálculo da área de um retângulo com base TS e altura x[nTS ]. 5. de tal forma que Z (nTS ) x(τ ) dτ ≈ TS · x[nTS − TS ] . obtém-se Z (nTS ) y[nTS ] = y[nTS − TS ] + x(τ ) dτ . (nTS −TS ) Assim.4. −∞ pode-se dizer que Z t0 y(t0 ) = x(τ ) dτ −∞ e que Z t y(t) = y(t0 ) + x(τ ) dτ . Método retangular com diferenças progressivas (forward difference) É adotada uma aproximação baseada no cálculo da área de um retângulo com base TS e altura x[nTS − TS ]. TET / UFF . t0 Considerando-se um tempo discretizado t = nTS e que t0 = t − TS .4. de tal forma que Z (nTS ) x(τ ) dτ ≈ TS · x[nTS ] . Exemplos de aproximação discreta 79 5. o modelo discreto é dado por y[nTS ] = y[(n − 1)TS ] + TS · x[nTS ] ou y[n] = y[n − 1] + TS · x[n] . Será considerado um método de discretização uniforme. como mostrado a seguir. com taxa de amostragem igual a TS .4 Exemplos de aproximação discreta A seguir. (nTS −TS ) Assim. o modelo discreto é dado por y[nTS ] = y[(n − 1)TS ] + TS · x[(n − 1)TS ] ou y[n] = y[n − 1] + TS · x[n − 1] .1 Integração Dada a integral Z t y(t) = x(τ ) dτ . (nTS −TS ) onde a integral definida entre duas amostras pode ser aproximada de diversas formas. 2 Diferenciação Definição Pode-se aproximar a derivada primeira dy(t) dt por . (nTS −TS ) 2 Assim. Sistemas no domı́nio do tempo Método trapezoidal É adotada uma aproximação baseada no cálculo da área de um trapézio com base TS e alturas x[nTS ] e x[nTS − TS ].80 Capı́tulo 5. 2 5.4. de tal forma que Z (nTS ) 1 x(τ ) dτ ≈ TS · (x[nTS ] + x[nTS − TS ]) . o modelo discreto é dado por TS y[nTS ] = y[(n − 1)TS ] + (x[nTS ] + x[(n − 1)TS ]) 2 ou TS y[n] = y[n − 1] + (x[n] + x[n − 1]) . . . dy(t) . . ∆y . . y[t] − y[t − dt] . . y[nTS ] − y[nTS − TS ] ≈ = = . dt t=nTS . ∆t t=nTS . TS . t=nTS TS d dy(t) Conseqüentemente. pode-se aproximar a derivada segunda dt dt por . " . . # d dy(t) . . 1 dy(t) . . dy(t) . . ≈ − dt dt . t=nTS TS dt . t=nTS dt . S. após alguma manipulação. a equação diferencial dy(t) + a0 y(t) = b0 x(t) dt pode ser aproximada por y[nTS ] − y[(n − 1)TS ] + a0 y[nTS ] = b0 x[nTS ] .t=nTS −TS 1 y[nTS ] − y[nTS − TS ] y[nTS − TS ] − y[nTS − 2TS ] = − TS TS TS y[nTS ] − 2 y[nTS − TS ] + y[nTS − 2TS ] = .V. 1 + a0 TS 1 + a0 TS A. TS2 Aplicação Dada a aproximação definida acima. pode ser escrita como 1 b0 TS y[nTS ] = y[(n − 1)TS ] + x[nTS ] 1 + a0 TS 1 + a0 TS ou 1 b0 TS y[n] = y[n − 1] + x[n] . . TS que. pode ser escrita como 2 + a1 TS 1 y[nTS ] = y[(n − 1)TS ] − y[(n − 2)TS ] + 1 + a1 TS + a0 TS2 1 + a1 TS + a0 TS2 b0 TS2 x[nTS ] 1 + a1 TS + a0 TS2 ou 2 + a1 TS 1 y[nTS ] = y[n − 1] − y[n − 2] + 1 + a1 TS + a0 TS2 1 + a1 TS + a0 TS2 b0 TS2 x[n] . a equação diferencial d2 y(t) dy(t) + a1 + a0 y(t) = b0 x(t) dt2 dt pode ser aproximada por y[nTS ] − 2 y[(n − 1)TS ] + y[(n − 2)TS ] y[nTS ] − y[(n − 1)TS ] +a1 +a0 y[nTS ] = b0 x[nTS ] .5. após alguma manipulação. – Tecnologia tı́pica: CMOS. usados como chaves e como estruturas armazenadoras. 1 + a1 TS + a0 TS2 5. – Variáveis analógicas: tensão (armazenada nos capacitores). TS2 TS que.5. – Variáveis analógicas: corrente (armazenada nos transistores). • Circuito a corrente chaveada (SI) – Componentes analógicos: apenas transistores. TET / UFF .5 Tipos de implementação para sistemas amostrados • Circuito a capacitores chaveados (SC) – Componentes analógicos: transistor (usado como chave). capacitor (usado como elemento armazenador) e amplificador operacional (OpAmp). – Tecnologia tı́pica: CMOS. Tipos de implementação para sistemas amostrados 81 Por sua vez. V.82 Capı́tulo 5. PASCAL. . – Programa em ambiente de software de uso especı́fico (MATLAB. Sistemas no domı́nio do tempo 5. • Hardware de uso especı́fico: – Processador de sinal digital (DSP). C++). C. • Hardware dedicado: – FPGA.S. – FPGA (Field-Programmable Gate Array) com IP Core. – Circuito integrado especı́fico para a aplicação (ASIC).6 Tipos de implementação para sistemas digitais • Hardware de uso geral: – Programa em linguagem de programação de uso geral (FORTRAN. DELPHI. A. SciLab). Octave. com entrada vL (t) e saı́da iL (t). saı́da y[n] e que são definidos pelas seguintes equações: (a) y[n] = n2 x[n] + nx[n − 1]. 3. |n| ≤ 2 x[n] = (5.4) 5 4. onde qC (t) é a carga nele acumulada. |n| > 2 y[n] = (−1)n x[n] (5.1) 0 .7.7 Exercı́cios propostos 1. Exercı́cios propostos 83 5. causalidade e invariância ao deslocamento. x[n] (h) y[n] = x[n−1] . (e) y[n] = y[n − 1] + y[n − 2] + x[n] + x[n − 1].5. C é o valor da sua capacitância e vC (t) é a tensão (diferença de potencial) entre os seus terminais.2 a 5. (c) y[n − 1] = 4x[n] + 3x[n − 1]. com entrada iC (t) e saı́da vC (t). Suponha o sistema formado por apenas um desses indutores. L é o valor da sua indutância e iL (t) é a corrente que o percorre. Um indutor linear e invariante ao tempo é definido pela relação λL (t) = L iL (t). classifique os sistemas que possuem entrada x[n].2x[n − 1]. 1 . onde λL (t) é o enlace de fluxo magnético de suas espiras. (f) y[n] = y[n − 1] + x[n + 1] + x[n] + x[n − 1]. Mostre que tal sistema é linear e invariante ao tempo.4. Um capacitor linear e invariante ao tempo é definido pela relação qC (t) = C vC (t).2) 2 y[n] = ((−1)n x[n]) (5. linearidade. (b) Classifique cada um dos sistemas quanto a: dinâmica. (b) y[n] = nx[n] + (n − 1)x[n − 1]. (g) y[n] = x[2n] + x[n − 1].3) 1 2x[n − 1] + x2 [n] + 2x[n + 1] y[n] = (5. de invariância ao deslocamento e de causalidade. TET / UFF . 2. atenda aos seguintes itens: (a) Considere xk [n] = x[n − k] como entrada para cada um dos sistemas e esboce os gráficos xk [n] × n e y[n] × n para k = 0.6y[n − 1] + 0. Suponha o sistema formado por apenas um desses capacitores. (d) y[n] = 0. Dados o sinal descrito pela Equação 5.4x[n] + 0.1 e os sistemas descritos pelas Equações 5. Mostre que tal sistema é linear e invariante ao tempo. Levando em consideração os conceitos de linearidade. 6 e −8. esboce um diagrama de blocos que represente o sistema relaxado descrito pela Equação (5.5) k=1 k=0 8.} que mapeia sua entrada x[n] na sua saı́da y[n]. Desenhe um bloco representativo para cada um dos sistemas. Suponha um sistema linear e invariante ao deslocamento. 4 X 4 X y[n] = − ak y[n − k] + bk x[n − k] (5. y2 [n] = x2 [n − 1] e y3 [n] = x31 [n] + x32 [n]. Suponha um sistema dinâmico relaxado.S. de tal forma que cada um deles ilustre uma das relações acima demonstradas. Supondo: (i) um sistema atrasador unitário. (d) Esboce três gráficos. (b) Demonstre a relação entrada × saı́da que o sistema impõe sobre a freqüência de cada componente senoidal do sinal de entrada.V. . defina o cálculo da saı́da do sistema relaxado em função de uma única operação envolvendo os sinais x[n] e h[n]. os quais apresentam as seguintes relações entre as suas saı́das e as suas entradas: y1 [n] = K x1 [n]. estável e causal. sem distorção. Um sistema é dito sem distorção quando produz uma saı́da y[n] = AS x[n + (−|ND |)]. (c) A partir do resultado do item anterior. dada uma entrada x[n].84 Capı́tulo 5.5). (c) Demonstre a relação entrada × saı́da que o sistema impõe sobre o ângulo de fase de cada componente senoidal do sinal de entrada. Atenda aos seguintes itens: (a) Descreva a entrada x[n] em função do impulso δ[n]. 6. amostrado. Um sistema amostrado pode ser descrito matematicamente por uma transformação ou um operador τ {. 7. para −∞ < n < ∞. de tal forma que y[n] = τ {x[n]}. Em seguida. contendo abscissa freqüencial Ω. definido por y[n] = Kx[n] = GK {x[n]}. com entrada x[n] e saı́da y[n]. Suponha ainda que a resposta ao impulso δ[n] seja definida como y[n]|x[n]=δ[n] = h[n]. Atenda aos seguintes itens: (a) Demonstre a relação entrada × saı́da que o sistema impõe sobre a amplitude de cada componente senoidal do sinal de entrada. para AS ∈ R e ND ∈ Z.3x[n − 2] + 0. SISO.}. (ii) um sistema com ganho constante K. Suponha que você possui três sistemas discretos no tempo. de tal forma que y[n] = τ {x[n]}.5x[n − 1] + 0.7x[n] + 0. utilizando tais sistemas. e (iii) as seguintes notações simplificadas D{D{v[n]}} = D2 {v[n]} e GK {v[n]} + D{v[n]} = (GK + D) {v[n]}. P∞Suponha que a entrada x[n] é definida por uma soma de sinais senoidais do tipo x[n] = k=−∞ Ak cos(Ωk n+Θk ). (b) Com base no resultado do item anterior. com entrada x[n] e saı́da y[n]. definido por y[n] = x[n − 1] = D{x[n]}. relacionadas por um operador linear e invariante ao deslocamento τ {. mostre que tal sistema é linear e invariante ao deslocamento. (b) Calcule a saı́da do sistema y[n] em função dos sinais x[n] e h[n].1x[n − 3] utilizando a notação operacional definida. atenda aos seguintes itens: (a) Escreva a equação y[n] = 0. A. Sistemas no domı́nio do tempo 5. Atenda aos seguintes itens: (a) Esboce os gráficos xk [n] × n das informações de entrada. para n = [0. Suponha um sistema S1 . 5. com entrada w[n] e saı́da yw [n]. C ∈Q wk [n] = vk [n − k] . yk [n] e yw [n]. wk [n]. (c) Esboce os gráficos wk [n] × n dos sinais internos. com três canais de entrada. caso contrário ym [n] = vm [−n + (N − 1)] . vm [n]. xk [ Cn ] . v[n + mN ] . para −∞ < n < ∞. 1.6) m=−∞ wk [n] = w[N n + k] . com entrada v[n] e saı́da yv [n].5. 1.6). x2 [n]. Um sistema MISO (Multiple-Input Single-Output). 3]. 0 ≤ k ≤ (C − 1) 0 . · · · . 7.8) k=0 TET / UFF . ym [n]. definido pelo conjunto de equações (5. yv [n]. (d) Esboce o gráfico y[n] × n da informação de saı́da. (e) Apresente a informação do canal de saı́da na forma vetorial. x2 [n] = [1.7. 0 ≤ k ≤ (C − 1) (C−1) X y[n] = wk [n] (5. 4. é definido pelo conjunto de equações (5. 1. através dos gráficos dos sinais x[n]. 0 ≤ n ≤ (N − 1) vm [n] = . − ∞ < m < ∞ ∞ X yv [n] = ym [n − mN ] (5.7). 3]. 6. relaxado. n ∈Z vk [n] = C n .8). 0 ≤ k ≤ (N − 1) 0 . n ∈Z yk [n] = N n . Suponha um sistema S2 . x(C−1) [n] e um canal de saı́da y[n]. 0 ≤ k ≤ (N − 1) wk [ Nn ] . −∞<m<∞ 0 . x1 [n]. 1]. que apresenta um total de C canais de entrada x0 [n]. N ∈Q (N −1) X yw [n] = yk [n − ((N − 1) − k)] (5. definido pelo conjunto de equações (5. contendo as seguintes informações: x0 [n] = [9. Exercı́cios propostos 85 9. bem como x0 [n] = x1 [n] = x2 [n] = 0 para os demais valores de n. Demonstre se a afirmativa desse aluno é correta ou não. 2. x1 [n] = [2. Suponha um sistema desse tipo. 8]. (b) Esboce os gráficos vk [n] × n dos sinais internos. Um aluno de Processamento Digital de Sinais assegura que os sistemas são equivalentes. relaxado. para N = 2 e o sinal de entrada definido por x[n] = n (u[n] − u[n − 8]).7) k=0 10. −6. para −4 ≤ n ≤ 4. (Resposta: y[n] = (1) yu [n+4]+(−2) yu [n+1]+(2) yu [n−2]+(−1) yu [n−5] ou y[n] = [4. Suponha o sinal de entrada x[n] = [1. para −4 ≤ n ≤ 8. e yu [n] = 0 para os demais valores de n. Calcule a saı́da desse mesmo sistema. −2. 1. para −1 ≤ n ≤ 1. A. −1]. 1. para 0 ≤ n ≤ 3. discreto. 4. para −8 ≤ n ≤ −6 e para 6 ≤ n ≤ 8. 1. estável e relaxado. Sistemas no domı́nio do tempo 11.S. (b) Calcule a saı́da y[n] do sistema para a entrada x[n]. (c) Esboce o gráfico y[n] × n.) 12. x[n] = [−1. estável e relaxado. 1. Para um dado sistema linear e invariante ao tempo (SLIT). −1. para 0 ≤ n ≤ 4. dado o sinal de entrada x[n] = [1. −7.86 Capı́tulo 5. Para um dado sistema linear e invariante ao tempo (SLIT). 2. 2. 3. 6. −1]. 1]. e y[n] = 0 para os demais valores de n. 1]. e x[n] = 0 para os demais valores de n. 3. para −20 ≤ n ≤ 20. 2. para −20 ≤ n ≤ 20. sabe-se que a resposta ao sinal de entrada xu [n] = u[n] é yu [n] = [5. . −2. discreto. −1. 1]. sabe-se que a resposta ao sinal de entrada xu [n] = u[n] é yu [n] = [4. −1. 6. e x[n] = 0 para os demais valores de n. −4. 4. −1. e yu [n] = 0 para os demais valores de n. 1]. Atenda aos seguintes itens: (a) Esboce o gráfico x[n] × n. 1. −3.V. 3. Parte III Representações de um SLIT 87 . . Capı́tulo 6 Representações para sistemas lineares e invariantes ao tempo (deslocamento) 6. conhecidas a entrada e a saı́da desejada. Logo. • Equações de estado. Uma subclasse importante de sistemas do tipo SLIT são os sistemas SISO (Single-Input Single-Output) onde a relação entre a saı́da e a entrada é descrita por uma equação de diferença linear com coeficientes constantes. para que se possa simular a ocorrência do fenômeno de forma mais simples e rápida. A primeira delas é a de modelagem de fenômenos. 89 . diversas variações do fenômeno original também podem ser facilmente simuladas. procuram-se sistemas que realizem tal relação. Um modelo pode ser entendido como uma aproximação de uma realidade. Na análise. Diversas representações podem ser utilizadas para descrever tais sistemas. é desejado calcular a sua saı́da. Na sı́ntese (ou projeto). também são mais fáceis de se projetar. Algumas das representações mais comuns são: • Resposta ao impulso. • Equação de diferença. pode-se estudar o fenômeno desejado sem a necessidade de ocorrência do mesmo. Sistema Linear e Invariante ao Tempo (ou ao deslocamento). Ele representa uma simplificação daquilo que se está modelando. Duas razões justificam o uso da aproximação: i) o desconhecimento dos detalhes do fenômeno em questão e/ou ii) o desejo de se reduzir a complexidade operacional. de forma que se possa compreender o funcionamento dos mesmos (análise) ou que seja possı́vel realizar modificações e/ou novas propostas (sı́ntese). os sistemas matemáticos encontram duas aplicações comuns. duas ações básicas podem ser realizadas sobre sistemas: análise e sı́ntese. Os processos de análise e de sı́ntese necessitam que os sistemas sejam descritos adequadamente.1 Introdução Na prática profissional. Os sistemas do tipo SLIT. De posse de um modelo. • Operador de transferência. são matematicamente mais fáceis de se caracterizar e de se analisar. conhecidos o sistema e a sua entrada. A outra aplicação é baseada na própria definição dos sistemas. onde emprega-se um determinado sistema para realizar alguma função desejada. Seja qual for a aplicação desejada. Além disso. as equações de estado descrevem o sistema em relação às suas variáveis de estado. além de utilizarem as variáveis de entrada e de saı́da. • Função de transferência. Isso permite que tanto a análise quanto a sı́ntese sejam realizadas no domı́nio do tempo. Logo. elas apresentam uma descrição para a estrutura interna de funcionamento do sistema. Outra caracterı́stica de tais descrições. denominadas de variáveis de estado. limitando-se a descrever somente sistemas do tipo SISO (Single-Input Single-Output). Por essa razão. somente as relações entre as variáveis externas ao sistema (entradas e saı́das) são modeladas. . tal abordagem é mais utilizada nos casos de sistemas com poucas entradas e saı́das. • Diagrama de sistema ou realização ou estrutura: diagrama de blocos básicos e diagrama de fluxo de sinal (grafo). • Equações de primeira ordem podem ser resolvidas. sem muita dificuldade. novamente excetuando-se as equações de estado. • Diagrama de pólos e zeros. excetuando-se apenas as equações de estado. Por essa razão. • Equações de primeira ordem apresentam extrema facilidade para computação analógica ou digital. • Diagrama de blocos de complexidade genérica. com o auxı́lio de N variáveis auxiliares. operador de transferência e diagramas temporais. Podem-se destacar as seguintes vantagens do equacionamento por variáveis de estado: • Equações de primeira ordem já foram extensivamente estudadas. • Freqüência (ou ângulo associado ou ı́ndice associado): resposta em freqüência. A. o modelo de equações de estado é capaz de descrever eficientemente sistemas do tipo MIMO (Multiple-Input Multiple-Output). Em relação ao domı́nio da variável independente utilizada no equacionamento. Não é levada em consideração a estrutura interna do sistema. levando em conta caracterı́sticas. Várias técnicas para análise e para sı́ntese (projeto) encontram-se à disposição. função de transferência e diagramas freqüenciais. para sistemas variantes ao tempo e para sistemas não lineares. equação de diferença. no domı́nio do tempo. podem-se destacar duas classes de representações: • Tempo (ou ı́ndice associado): resposta ao impulso. tal abordagem é denominada de “modelo de terminais de acesso” ou de “modelo de caixa-preta”. • Condições iniciais não nulas são mais facilmente manipuladas. parâmetros e técnicas temporais. e como o próprio nome já diz. Representações de um SLIT • Resposta em freqüência. Para um SLIT SISO descrito por uma equação de diferença. o equacionamento por variáveis de estado transforma 1 equação de diferença de ordem N em um sistema de N equações de diferença de ordem 1. Por sua vez.S. é a sua capacidade de relacionar apenas uma entrada com uma saı́da. Em quase todas as descrições.V. sem muita dificuldade. • Equações de primeira ordem podem ser resolvidas. No caso de sistemas com várias entradas e/ou várias saı́das é necessário que se defina um equacionamento para cada relação entrada-saı́da. Por essa razão. equações de estado.90 Capı́tulo 6. pode-se mostrar que a resposta ao impulso digital unitário (δ[n]) caracteriza o sistema. • Resposta ao impulso atrasado: x[n] = δ[n − k] → yent [n] = T {δ[n − k]} . • Convolução × deslocamento: x[n] ∗ δ[n − ND ] = x[n − ND ]. • Resposta do sistema relaxado a uma entrada genérica: x[n] → yent [n] = T {x[n]}. 6. P∞ • Soma de convolução (aperiódica ou linear): y[n] = x[n] ∗ h[n] = k=−∞ x[k] · h[n − k]. • Resposta do sistema P∞ relaxado a uma entrada genérica.2. com entrada x[n] e saı́da y[n]. 6. TET / UFF . k] |SLIT = h[n − k]. computacionalmente. k]. – Distributividade à adição: (x1 [n] + x2 [n]) ∗ h[n] = (x1 [n] ∗ h[n]) + (x2 [n] ∗ h[n]). • Resposta ao impulso atrasado e ponderado: x[n] = ck · δ[n − k] → yent [n] = T {ck · δ[n − k]} = ck · T {δ[n − k]} = ck · h[n.2. • Propriedades da soma de convolução – Comutatividade: x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]. k] • Pela propriedade de invariância ao deslocamento: h[n. SISO. dinâmico. 6.2 Resposta ao impulso Dado um sistema SLIT. só é possı́vel calcular a soma de convolução x[n] ∗ h[n] se a seqüência x[n] e/ou a seqüência h[n] forem finitas.2. relaxado.3 Resposta do sistema relaxado • Resposta ao impulso ponderado: x[n] = c0 · δ[n] → yent [n] = T {c0 · δ[n]} = c0 · T {δ[n]} = c0 · h[n]. – Associatividade: (x[n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n] = x[n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]).6. para ND ∈ Z.2. h[n.1 Soma de convolução • A operação de convolução surge naturalmente na representação de sinais e sistemas. • Pode-se mostrar que: “Para uma soma de convolução convergir. • Resposta ao impulso digital unitário: x[n] = δ[n] → yent [n] = T {δ[n]} . sendo essa P descrita em função do impulso: x[n] = k=−∞ x[k] · δ[n − k] → yent [n] = T {x[n]} = T { ∞k=−∞ x[k] · δ[n − k]}. os sinais envolvidos na operação devem ser limitados e pelo menos um deles deve ser absolutamente somável”. Resposta ao impulso 91 6. h[n]. • Deve ser ressaltado que.2 Definições • Operação linear e invariante ao deslocamento associada ao SLIT SISO: T {·}. x[k] · h[n. k] k=−∞ k=−∞ X∞ (invariância ao deslocamento) = x[k] · h[n − k] k=−∞ = x[n] ∗ h[n] . y[−2] . obtém-se yent [n] = T {x[n]} X∞ = T{ x[k] · δ[n − k]} k=−∞ ∞ X (aditividade) = T {x[k] · δ[n − k]} k=−∞ X∞ ∞ X (homogeneidade) = x[k] · T {δ[n − k]} . P∞ k=−∞ {x[k]} · {h[1 − k]} . P∞ k=−∞ {x[k]} · {h[2 − k]} . . y[0] . (6. (6.S. a convolução pode ser interpretada como uma superposição (soma) de respostas a impulsos deslocados ponderadas.92 Capı́tulo 6. empregando-se as propriedades de um SLIT. y[2] . deslocamento. Isso é descrito por ∞ X y[n] = {x[k]} · {h[n − k]} (6. k=−∞ {x[k]} · {h[−2 − k]} . P∞ k=−∞ {x[k]} · {h[−1 − k]} . · · ·} P∞ = { ··· .4) A.3) k=−∞ e {y[n]} = {· · · .V.2) • Do ponto de vista do cálculo de cada amostra do sinal de saı́da. y[1] . (6. a convolução pode ser interpretada como o seguinte conjunto de operações: espelhamento. multiplicação e soma. Representações de um SLIT • Portanto. y[−1] . P∞ k=−∞ {x[k]} · {h[−k]} . ··· } .1) • Do ponto de vista do cálculo da resposta do sistema para cada amostra do sinal de entrada. Isso é descrito por ∞ X ∞ X {y[n]} = x[k] · {h[n − k]} = {yk [n]} k=−∞ k=−∞ = { · · · + x[−2] {h[n + 2]} + x[−1] {h[n + 1]} + x[0] {h[n]} + x[1] {h[n − 1]} + x[2] {h[n − 2]} + ··· } . tem-se um sistema atrasador e um sistema avançador. 0 .6. h1 [n] = (δ[n − M1 ] − δ[n − (M2 + 1)]) e h2 [n] = u[n]. Resposta ao impulso 93 6.MA) Para M1 . Sistema de média móvel (Moving or sliding Average . h[n] = δ[n − ND ] . M2 ∈ Z e M2 > M1 . 1 onde: KM = (M2 −M1 +1) . n<0  k=−∞ TET / UFF . 0 ≤ n ≤ (M − 1) = 0 . No caso em que M1 = 0 e M2 = (M − 1). h1 [n] = (δ[n] − δ[n − M ]) e h2 [n] = u[n]. respectivamente. caso contrário  1 = (u[n − M1 ] − u[n − (M2 + 1)]) (M2 − M1 + 1) 1 = (δ[n − M1 ] − δ[n − (M2 + 1)]) ∗ u[n] (M2 − M1 + 1) = KM (h1 [n] ∗ h2 [n]) .2. n≥0 h[n] = δ[k] = = u[n] . Sistema acumulador  n X  1 . M2 1 X h[n] = δ[n − k] (M2 − M1 + 1) k=M 1 1   (M2 −M1 +1) . obtém-se M −1 1 X h[n] = δ[n − k] M k=0  1  M .4 Exemplos de resposta ao impulso A seguir.2. caso contrário  1 = (u[n] − u[n − M ]) M 1 = (δ[n] − δ[n − M ]) ∗ u[n] M = KM (h1 [n] ∗ h2 [n]) . Nos casos em que ND > 0 e ND < 0. são apresentados alguns exemplos de resposta ao impulso. Sistema deslocador Para ND ∈ Z. 1 onde: KM = M . M1 ≤ n ≤ M2 = 0 . . em (6.6 pode ser reescrita como N X L X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x[n − k] . em seguida. a seqüência y[n] e.V.7) k=1 k=0 onde x0 [n] = x[n − NF ] e L = NP + NF . tem-se que  1 − |n|  L . A.5). é definida por N X NP X a0k · y[n − k] = b0k · x0 [n − k] . normalizando-se a equação resultante em relação ao coeficiente a00 6= 0. Sistema de diferenças regressivas h[n] = δ[n] − δ[n − 1] = (δ[n + 1] − δ[n]) ∗ δ[n − 1] = h1 [n] ∗ h2 [n] . Representações de um SLIT Sistema de diferenças progressivas h[n] = δ[n + 1] − δ[n] . (6. −L < n < L h[n] = . (6.94 Capı́tulo 6.3 Equação de diferença 6.6) k=1 k=−NF a0 b0 onde ak = ak0 e bk = ak0 .1 Definição Uma equação de diferença linear. caso contrário  6. com coeficientes constantes. 0 0 Aplicando-se NF atrasos à seqüência x0 [n]. NF e NP ∈ N. Sistema interpolador linear (linear interpolator ) Para um fator de interpolação linear L. a Equação 6. (6. Explicitando-se.3.5) k=0 k=−NF onde N. 0 .S. obtém-se N X NP X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x0 [n − k] . onde: h1 [n] = (δ[n + 1] − δ[n]) e h2 [n] = δ[n − 1]. k = 0. um valor de entrada x0 [N0 ] tem influência direta no cálculo do valor de saı́da y[N0 ]. fazendo-se n = m + M . Com a inserção dos atrasos. deve-se ter NF = 0.7). • Nas faixas −NF ≤ k ≤ −1 e 1 ≤ k ≤ NP . é necessário que se conheça N valores da saı́da anteriores a N0 . através da inserção de NF atrasos na entrada do sistema. utilizados no cálculo. k=0 TET / UFF . os valores y[n − k] representam N valores passados da entrada. (6. k = 1. 2. o novo sistema passa a depender apenas do valor atual da entrada e de seus valores passados.7) representa a transformação de um sistema não causal em um sistema equivalente causal. tem-se que M = max{N. bem como NP valores da entrada anteriores a N0 . 2. Tecnicamente. • Em um sistema causal. por definição. ela é definida utilizando-se apenas deslocamentos referentes a avanços.3 Classificação quanto à realimentação da saı́da do sistema • Baseado nos valores dos coeficientes ak e bk .6) na Equação (6. Por exemplo. onde M = max{N.6). L e L > 0  ou L X y[n] = bk · x[n − k] . em seguida. • Sistemas não recursivos ou all-zero ou MA (Moving Average):   ak = 0 .2 Equação de diferença × sistema • Para modelar um sistema SLIT SISO através de uma equação de diferença basta associar as seqüências x[n] e y[n] com a sua entrada e a sua saı́da. · · · . L}. NF valores da entrada posteriores a N0 . tornando-se um sistema causal.3.3. Por vezes. 6. · · · . Com o armazenamento extra. NF valores futuros e NP valores passados da entrada. Matematicamente.6.8) k=1 k=0 6.7 envolve apenas deslocamentos referentes a atrasos. os valores x0 [n − k] representam. respectivamente. diz-se que o novo sistema possui uma latência de NF valores. Equação de diferença 95 A ordem M da equação de diferença descrita pela Equação 6.3. A Equação 6. a saı́da não pode depender de entradas futuras. N e N > 0 ∃ bk 6= 0 . para se calcular o valor da saı́da do sistema em n = N0 . que representa a redefinição da variável de entrada. ela pode ser equivalentemente reescrita como N X L X y[m + M ] = − ak · y[m + (M − k)] + bk · x[m + (M − k)] . o valor da entrada em N0 .7 é definida como o valor máximo entre N e L. 1. • De uma forma geral. Com a inserção de NF atrasos na Equação (6. Nesse caso. L}. os valores originalmente futuros da entrada são armazenados e. • Na Equação (6. um valor de entrada x0 [N0 ] passa a ter influência direta no cálculo do valor de saı́da y[N0 + NF ]. respectivamente. os sistemas podem ser classificados em: não recursivos (sem realimentação da saı́da) e recursivos (com realimentação da saı́da). • A modificação da Equação (6. • Na faixa 1 ≤ k ≤ N . • Para a equação de diferença de ordem N . para n ≥ N0 . 2. • Uma vez que o sistema é invariante ao tempo (ou ao deslocamento). são necessárias N condições auxiliares em n = N0 . k = 1. definida em (6. são empregadas por similaridade a processos estocásticos. N e N > 0 b0 6= 0 e bk = 0 . L e L > 0  ou N X y[n] = − ak · y[n − k] + b0 · x[n] . para n < N0 . • Para o sistema associado à equação de diferença. Representações de um SLIT • Sistemas recursivos: – All-pole ou AR (Auto Regressive):   ∃ ak 6= 0 . o cálculo de y[n]. all-pole e pole-zero. N e N > 0 ∃ bk 6= 0 . é comum que se considere as condições iniciais em N0 = 0. . · · · . k=1 k=0 • As denominações all-zero. 1. • Supondo-se que x[n] = 0. pode ser efetuado com N condições auxiliares em n = N0 . são empregadas por similaridade a sistemas analógicos. · · · . k = 1. · · ·.S. 6.7).4 Cálculo da saı́da do sistema Condições auxiliares • Para resolver a equação de diferença de ordem N . A. as N condições iniciais em n = 0 são equivalentes aos seguintes valores da saı́da: y[−1] = y−1 . k = 1. tais condições auxiliares correspondem ao estado do sistema em n = N0 . k=1 – Pole-zero ou ARMA (Auto Regressive Moving Average)   ∃ ak 6= 0 .96 Capı́tulo 6. as denominações MA. · · · . que passam a ser denominadas de condições iniciais (CI).V. 2. · · · . AR e ARMA. L e L > 0  ou N X L X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x[n − k] . y[−N ] = y−N .3. Por sua vez. k = 0. 2. 2. 4. equivalentemente. considerando-se.4. Portanto. h[n] = b[n]. A outra parcela deve ser provocada apenas pelo estado do sistema em n = 0. é equivalente ao sistema MISO relaxado descrito por N X L X N X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x[n − k] + xy−k [n] . Porém. em (6. a entrada nula. onde yr [n] = yent [n] = y[n]|CI=0 e yh [n] = yest [n] = y[n]|x[n]=0 . equivalentemente.7). 6. o termo FIR pode ser usado para designar tais sistemas. se forem levados em consideração apenas os seus valores não nulos. pode-se pensar em decompor a saı́da y[n] em duas parcelas. Assim. k=1 k=0 k=1 onde N X xy−k [n] = y−k · (−aj ) · δ[n − (j − k)] j=k e os valores y−k = y[−k]. Uma delas deve ser provocada apenas pela entrada x[n]. descrito pela Equação (6. o cálculo de h[n] não é tão elementar. a saı́da y[n] pode ser decomposta em y[n] = yr [n] + yh [n] = yent [n] + yest [n] . Nesse sentido. o estado inicial pode ser interpretado como um conjunto extra de entradas. • Dessa forma. os sistemas recursivos podem apresentar resposta ao impulso finita ou infinita. • Portanto. os sistemas podem ser classificados em: FIR (Finite Impulse Response) e IIR (Infinite Impulse Response). P associando-se uma P seqüência b[n] aos coeficientes bn . uma vez que os sistemas abordados são lineares. Equação de diferença × resposta ao impulso 97 Subdivisão da saı́da do sistema • Supondo-se x[n] = 0.7). embora não seja correto para todos os casos.4 Equação de diferença × resposta ao impulso 6. considerando-se as condições iniciais nulas ou. que pode ser interpretada como uma seqüência finita.6. O mesmo resultado pode ser obtido iterando- se uma equação de diferença não recursiva. Por outro lado. os sistemas não recursivos apresentam resposta ao impulso finita. Devido à sua estrutura. o sistema relaxado. encontra-se comumente o uso da designação IIR para tais sistemas. que coopera com a entrada externa para gerar a saı́da.1 Sistemas × comprimento da resposta ao impulso NosP sistemas não recursivos. TET / UFF . com condições auxiliares nulas e com um impulso unitário aplicado na entrada. para n < 0. Devido ao comprimento da resposta ao impulso apresentada. obtém-se y[n] = Lk=0 bk x[n − k] = Lk=0 b[k]x[n − k] = ∞ k=−∞ b[k]x[n − k] = b[n] ∗ x[n] = x[n] ∗ b[n]. que é aplicada para n ≥ 0. para 1 ≤ k ≤ N . Para os sistemas recursivos. internamente adicionadas ao sistema. a equação homogênea ou. não é difı́cil mostrar que o sistema SISO não relaxado. são as condições iniciais do sistema. 4.98 Capı́tulo 6. Na ligação de dois blocos. tem-se y[n] = y21 [n] = h2 [n] ∗ v[n] = h2 [n] ∗ (h1 [n] ∗ x[n]) = (h2 [n] ∗ h1 [n]) ∗ x[n] = h21 ∗ x[n] = hser [n] ∗ x[n] = (h1 [n] ∗ h2 [n]) ∗ x[n] = h12 ∗ x[n] = hser [n] ∗ x[n] = h1 [n] ∗ (h2 [n] ∗ x[n]) = h1 [n] ∗ w[n] = y12 [n] . sem o emprego de realimentação entre eles. ela também é chamada de associação série.2 Associações básicas de sistemas × resposta ao impulso Associações cascata e paralela A ligação de sistemas. com um subsistema atrasador de ordem |ND |. através da inserção de latência no sistema. Causalidade e resposta ao impulso A transformação de um sistema não causal em um sistema causal. na sua saı́da. descrito por uma equação de diferença que possua adiantamento máximo de |ND |. tem duas formas básicas: associação cascata e associação paralela.V. conectados dois a dois. embora. na área de circuitos elétricos. A associação paralela é formada por um conjunto de blocos funcionais que recebem a mesma entrada e por um bloco somador que adiciona as suas saı́das. . Logo. tem-se y[n] = v[n] + w[n] = (h1 [n] ∗ x[n]) + (h2 [n] ∗ x[n]) = (h1 [n] + h2 [n]) ∗ x[n] = hpar [n] ∗ x[n] . Sistema inverso e resposta ao impulso Um sistema inverso Sinv a um sistema original S é definido como aquele que recebe. Representações de um SLIT 6. na ligação cascata entre um sistema e o seu inverso. a entrada de S. também pode ser visualizada através da resposta ao impulso. Considerando- se um sistema formado pela conexão em cascata de um subsistema não causal. com a saı́da de um bloco sendo aplicada na entrada do bloco seguinte. a saı́da de S e gera. obtém-se h[n] = hN C [n] ∗ hND [n] = hN C [n] ∗ δ[n − |ND |] = hN C [n − |ND |] = hC [n] . Na área de sistemas. A associação cascata é formada por uma seqüência de blocos funcionais. tem-se que h[n] = hS [n] ∗ hSinv [n] = δ[n]. como entrada.S. a associação série represente uma outra forma de ligação entre blocos. A. Na ligação de dois blocos. associada ao operador D−1 {·}. Uma vez que cada realização é associada a uma equação. Além de fornecerem uma melhor visualização da estrutura proposta para o sistema. Isso evidencia a diferença entre uma realização (arquitetura) e uma implementação (organização).6 Diagrama de sistema ou realização ou estrutura 6. • Realimentação – Sistemas em malha aberta (sem realimentação). Porém. 6. • Cálculo da resposta ao impulso global h[n] de um sistema.6. As realizações não são únicas. ele é também denominado de realização ou estrutura. o algoritmo que está sendo calculado ou. – Realimentação × recursividade. • Escalamento em amplitude: w[n] = K · v[n]. o termo “canônica em relação a” também é usado para designar uma estrutura com um número mı́nimo de um elemento qualquer. a operação básica de deslocamento é o atraso unitário (unit Delay). Assim. associando-se um ı́cone funcional a cada operação básica envolvida na definição do sistema. um mesmo sistema pode ser modelado por diversas estruturas diferentes. baseado nas respostas ao impulso hk [n] de seus subsistemas constituintes.6. 6.2 Definição Um diagrama de sistema é uma forma gráfica de se representar um sistema. estruturas canônicas são aquelas compostas por um número mı́nimo de atrasadores unitários. para tais sistemas. – Associação paralela. Por definição. tais diagramas permitem ainda que seus respectivos sistemas sejam analisados ou projetados através de métodos gráficos. Podem ser representados: a arquitetura do hardware. um modelo de operação do sistema. Portanto. – Sistemas em malha fechada (com realimentação).1 Operações básicas As operações mais básicas de um sistema definido por uma equação de diferença são: • Deslocamento unitário: w[n] = v[n − 1] = D−1 {v[n]} ou w[n] = v[n + 1] = D{v[n]}.5. há uma realização diferente para cada forma diferente que uma equação pode assumir. simplesmente. • Tipos básicos para associação de subsistemas genéricos: – Associação cascata.6. a organização do hardware. – Realimentação × computabilidade: loops de computação sem atrasos.5 Diagrama de blocos de complexidade genérica • Representação gráfica de um sistema através da associação de subsistemas genéricos. TET / UFF . Diagrama de blocos de complexidade genérica 99 6. No caso de sistemas causais. os deslocamentos são apenas atrasos. Uma vez que o diagrama de sistema é uma representação genérica de um sistema. • Adição: w[n] = v1 [n] + v2 [n]. Cabe ressaltar que uma estrutura e a sua transposta apresentam a mesma relação funcional entre a saı́da e a entrada do sistema. pode ser realizado através da sua modelagem por um SFG e da aplicação da Regra de Mason.6. Cada nó representa um sinal e os pesos representam os operadores. conectando-os por meio de linhas. os nós de expansão serão transformados em nós de soma e vice-versa. A.S. Os passos para a transposição do grafo de um SLIT SISO são: • Trocar os nós de saı́da e de entrada entre si. A descrição por diagrama de blocos básicos associa um bloco funcional a cada operador básico. mantendo seus respectivos pesos. Normalmente.4 Transposição Dada uma estrutura que represente um SLIT SISO.6. Matematicamente.100 Capı́tulo 6. 6. Devido à sua construção. • Com isso. Por exemplo. que representam os sinais.3 Representações gráficas As representações gráficas mais comumente usadas em um diagrama de sistema são: diagrama de blocos básicos (DBB) e diagrama ou grafo de fluxo de sinal (Signal Flow Graph - SFG).1: Diagrama de blocos × SFG: correspondência entre os elementos constituintes. o diagrama de blocos também é denominado de diagrama esquemático do sistema. pode-se utilizar a propriedade de transposição dos grafos. Para isso. o cálculo da relação entre dois pontos quaisquer de um sistema. Elas apenas estão associadas a diferentes equacionamentos da mesma relação funcional.1 apresenta uma correspondência entre os elementos constituintes de um diagrama de blocos e aqueles do seu respectivo SFG. Representações de um SLIT 6. pode-se obter a sua estrutura transposta equivalente. Diagrama de blocos SFG Variável de entrada Nó fonte (source) Variável de saı́da Nó sorvedouro (sink ) Variável interna Nó interno Nó de distribuição Nó de distribuição Somador Nó de soma Multiplicador Peso de ramo Atrasador Peso de ramo Sentido de sinal Sentido de ramo Tabela 6. A Tabela 6. um grafo é um conjunto de nós e segmentos de retas. A descrição de um sistema por meio de um SFG possibilita que a Teoria dos Grafos seja utilizada para análise e/ou projeto do sistema.V. • Reverter os sentidos de todos os ramos. . as duas representações não são utilizadas simultaneamente na descrição de um sistema. um SFG é um grafo com segmentos orientados e ponderados. Por sua vez. TET / UFF . de todos os multiplicadores e de todos os atrasadores. Diagrama de sistema ou realização ou estrutura 101 Os passos para a transposição do diagrama de blocos de um SLIT SISO são: • Opção 1: DBB −→ SFG −→ SFG transposto −→ DBB transposto. – Reverter os sentidos de todos os sinais. • Opção 2: – Trocar os sinais de saı́da e de entrada entre si. – Trocar cada nó de distribuição por um somador e vice-versa. conseqüentemente. e.6.6. a Equação (6. A. a estrutura transversal representa um SLIT não recursivo. onde k ∈ N. Um combinador linear é uma estrutura MISO. (6. A estrutura transversal também é denominada de estrutura de memória finita.7.S. composta de um arranjo cascata de atrasadores unitários.102 Capı́tulo 6. com entradas xk [n] e saı́da definida por y[n] = k=0 ck · xk [n].12) representa a contribuição dos valores da entrada x[n].V. Representações de um SLIT 6. PK composta de multiplicadores e somadores. armazenados nos atrasadores do sistema.9) k=0 Para destacar a contribuição dos valores internos e externos ao sistema.9) pode ser reescrita como L X y[n] = bk · x[n − k] k=0 L ! X = bk · x[n − k] + b0 · x[n] k=1 L ! X = bk · vk [n] + b0 · x[n] k=1 = yint [n] + yext [n] . e yext [n] = b0 · x[n] (6.1 Estruturas básicas Duas estruturas básicas são largamente utilizadas: • Linha de retardo com derivações (tapped delay line). Uma linha de retardo com derivações é uma estrutura SIMO. onde 0 ≤ k ≤ K e k ∈ N. com entrada x[n] e saı́da definida K por y[n] = k=0 ck · xk [n] = k=0 ck · x[n − k]. Portanto. A associação de uma linha de retardo com derivações e um combinador linear dá origem à denominadaPestrutura transversal. PK que é uma estrutura SISO. (6.7 Diagrama de sistema × equação de diferença 6.10) onde L X L X yint [n] = bk · x[n − k] = bk · vk [n] (6. uma equação de diferença não recursiva é dada por L X y[n] = bk · x[n − k] .2 Equacionamento das estruturas não recursivas Equações gerais Conforme definido anteriormente. 6.7. para a geração da saı́da y[n].11) k=1 k=1 representa a contribuição dos valores vk [n] = x[n − k]. . com entrada x[n] e saı́das definidas por yk [n] = x[n − k]. • Combinador linear (linear combiner ). Ambas consideram que o sistema total é formado por dois subsistemas.17) k=1 onde w[n] e v[n] são variáveis internas do sistema. TET / UFF . aplicando-se a operação de transposição sobre o diagrama de blocos básicos e/ou sobre o grafo de fluxo de sinal da Forma Direta. como o próprio nome já diz.16) k=0 e N X v[n] = − ak · v[n − k] + x[n] . um diagrama de sistema elaborado em uma Forma Direta. No caso particular de uma equação de diferença com recursividade.14) e (6. a Forma Direta tem sua origem na Equação (6.14) k=1 e L X w[n] = bk · x[n − k] (6.16) e (6.17).13) k=1 k=0 pode ser reescrita como N X y[n] = − ak · y[n − k] + w[n] (6. No caso de uma equação de diferença sem recursividade. pode-se também obter a Forma Direta Transposta. (6. Diagrama de sistema × equação de diferença 103 Forma Direta De um modo geral. representa o diagrama obtido diretamente a partir de um determinado equacionamento.15) k=0 ou como L X y[n] = bk · v[n − k] (6. sendo um deles recursivo e o outro não recursivo. representa o diagrama obtido diretamente a partir de um determinado equacionamento. como o próprio nome já diz. com origem nas Equações (6. 6.9).3 Equacionamento das estruturas recursivas Equações gerais A equação de diferença genérica N X L X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x[n − k] (6. Forma Direta I e Forma Direta II De um modo geral.7.7.6. A Forma Direta II. Além disso. com origem nas Equações (6.15). duas formas diretas são definidas. conectados em um arranjo cascata. possui o seguinte arranjo: entrada → sistema não recursivo → sinal interno → sistema recursivo → saı́da. A Forma Direta I. possui o seguinte arranjo: entrada → sistema recursivo → sinal interno → sistema não recursivo → saı́da. um diagrama de sistema elaborado em uma Forma Direta. com várias linhas de retardo e com uma única linha de retardo. 6. Representações de um SLIT Além disso. são apresentadas algumas variações da Forma Direta (e da Forma Direta Trans- posta) de estruturas não recursivas. – Exemplo 1 (N = 1): y[n] = (−a1 )y[n − 1] + b0 x[n].5 Variações da Forma Direta de estruturas não recursivas A seguir. A. são consideradas a Forma Direta e a Forma Direta Transposta. – Exemplo 2 (N = 2): y[n] = (−a1 )y[n − 1] + (−a2 )y[n − 2] + b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2].S. aplicando-se a operação de transposição sobre os diagramas de blocos básicos e/ou sobre os grafos de fluxo de sinal correspondentes. – Exemplo 1 (L = 1): y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. • Estrutura não recursiva (N = 0) PL – Caso geral: y[n] = k=0 bk · x[n − k]. • Estrutura recursiva (caso L = 0) PN – Caso geral: y[n] = − k=1 ak · y[n − k] + b0 · x[n]. ∗ Forma direta I: y[n] = (−a1 )y[n − 1] + (−a2 )y[n − 2] + v[n] e v[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2]. .V. No segundo conjunto. visando estabelecer uma conexão entre algumas equações e algumas de suas possı́veis realizações. No primeiro conjunto de variações. – Exemplo 2 (N = 2): y[n] = (−a1 )y[n − 1] + (−a2 )y[n − 2] + b0 x[n]. ∗ Forma direta II: y[n] = b0 w[n] + b1 w[n − 1] e w[n] = (−a1 )w[n − 1] + x[n]. – Exemplo 0 (L = 0): y[n] = b0 x[n].104 Capı́tulo 6. são apresentados exemplos simples. 6. ∗ Forma direta I: y[n] = (−a1 )y[n − 1] + v[n] e v[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. – Exemplo 1 (N = 1): y[n] = (−a1 )y[n − 1] + b0 x[n] + b1 x[n − 1]. ∗ Forma direta II: y[n] = b0 w[n] + b1 w[n − 1] + b2 w[n − 2] e w[n] = (−a1 )w[n − 1] + (−a2 )w[n − 2] + x[n]. podem-se também obter as Formas Diretas I e II Transpostas.7. é utilizada uma notação matricial. • Estrutura recursiva (caso L = N ) PN PN – Caso geral: y[n] = − k=1 ak · y[n − k] + k=0 bk · x[n − k].7. utilizando-se somadores com qualquer número de entradas.4 Exemplos com estruturas de ordem 1 e de ordem 2 Abaixo. No último conjunto de variações. são utilizados apenas somadores de duas entradas. – Exemplo 2 (L = 2): y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2]. 1 ≤ k ≤ L  que representa a Forma Direta.19) que representa a estrutura denominada de Forma Direta. 1 ≤ k ≤ L .7. com várias linhas de retardo em paralelo. L X y[n] = bk · D−k {x[n]} k=0 b1 · D−1 {x[n]} + b2 · D−1 D−1 {x[n]} + b3 · D−1 D−1 D−1 {x[n]} + = · · · + bL · D−1 D−1 D−1 · · · D−1 {x[n]} · · · + b0 · x[n] = (b1 · v1 [n] + b2 · v2 [n] + b3 · v3 [n] + · · · + bL · vL [n]) + b0 · x[n] (6.6.22) e vk [n] = bk · x[n − 1] = bk · D−1 {x[n]} = D−1 {bk · x[n]} .10) pode assumir as formas dadas por L X y[n] = bk · D−k {x[n]} k=0 = b1 · D−1 {x[n]} + b2 · D−2 {x[n]} + b3 · D−3 {x[n]} + · · · + bL · D−L {x[n]} + b0 · x[n] = (b1 · v1 [n] + b2 · v2 [n] + b3 · v3 [n] + · · · + bL · vL [n]) + b0 · x[n] (6.20) e   v0 [n] = x[n] . e L X y[n] = D−k {bk · x[n]} k=0 = D−1 b1 · x[n] + D−1 b2 · x[n] + D−1 b3 · x[n] + · · · + D−1 {bL · x[n]} + b0 · x[n] = v1 [n] + b0 · x[n] .24) e   vk [n] = vk+1 [n − 1] + bk · x[n − 1] = D−1 {vk+1 [n] + bk · x[n]} .21) vk [n] = vk−1 [n − 1] = D−1 {vk−1 [n]} . (6. (6.25) vL+1 [n] = 0  que representa a Forma Direta Transposta. com várias linhas de retardo em paralelo. TET / UFF . (6. Diagrama de sistema × equação de diferença 105 Forma Direta e Forma Direta Transposta Utilizando-se o operador D−k {·}. L X y[n] = D−k {bk · x[n]} k=0 −1 {b1 · x[n]} + D−2 {b2 · x[n]} + D−3 {b3 · x[n]} + · · · + D−L {bL · x[n]} + b0 · x[n] = D D0 {v1 [n]} + D−1 {v2 [n]} + D−2 {v3 [n]} + · · · + D−(L−1) {vL [n]} + b0 · x[n] = (6. com uma única linha de retardo. 1 ≤ k ≤ L . com uma única linha de retardo. (6. a Equação (6.23) que representa a estrutura denominada de Forma Direta Transposta. (6. 1 ≤ k ≤ L .18) e k z }| { vk [n] = x[n − k] = D−k {x[n]} = D−1 D−1 · · · D−1 {x[n]} · · · . 33) wL+1 [n] = 0  e vk [n] = bk · x[n − 1] = bk · D−1 {x[n]} = D−1 {bk · x[n]} . com uma única linha de retardo.32)   wk [n] = wk+1 [n] + vk [n − (k − 1)] = wk+1 [n] + D−(k−1) {vk [n]} . 0 ≤ k ≤ L. e y[n] = w0 [n] = v1 [n] + b0 · x[n] .V. . 1 ≤ k ≤ L (6. com várias linhas de retardo em paralelo. com várias linhas de retardo em paralelo.35) wk [n] = vk+1 [n] + bk · x[n] . Representações de um SLIT Emprego de somadores de duas entradas na Forma Direta Supondo-se que sejam utilizados somadores de duas entradas.25) assumem. (6.36) e   vk [n] = wk [n − 1] = D−1 {wk [n]} . com uma única linha de retardo. respectivamente. (6. 1 ≤ k ≤ L (6. (6. com saı́da wk [n]. 1 ≤ k ≤ L . (6.28) que representa a Forma Direta. A.26)   wk [n] = wk+1 [n] + bk · vk [n] . as Equações (6.34) que representa a Forma Direta Transposta. as formas y[n] = w0 [n] = w1 [n] + b0 · x[n] . y[n] = w0 [n] = w1 [n] + b0 · x[n] .30) wL+1 [n] = 0  e   v0 [n] = x[n] . 1 ≤ k ≤ L . 1 ≤ k ≤ L  que representa a Forma Direta.18) – (6. y[n] = w0 [n] = w1 [n] + b0 · x[n] . 1 ≤ k ≤ L (6. 1 ≤ k ≤ L . 1 ≤ k ≤ L (6.37) vL+1 [n] = 0  que representa a Forma Direta Transposta.29)   wk [n] = wk+1 [n] + bk · vk [n] .S. (6.27) wL+1 [n] = 0  e k z }| { vk [n] = x[n − k] = D−k {x[n]} = D−1 D−1 · · · D−1 {x[n]} · · · . (6. (6.106 Capı́tulo 6. (6.31) vk [n] = vk−1 [n − 1] = D−1 {vk−1 [n]} . para L = 4.25) assumem. com várias linhas de retardo em paralelo.39)     v4 [n] D−3 ou    0  v1 [n + 1] D  v2 [n + 1]   D−1   v3 [n + 1]  =  D−2     x[n] (6.42)     0 0   v3 [n − 1]   0  v4 [n] 0 0 1 0 v4 [n − 1] 0 ou       v1 [n + 1] 0 0 0 0 v1 [n] 1  v2 [n + 1]   1 0 0 0   v2 [n]   0   v3 [n + 1]  =  0 1      +   x[n] (6. as Equações (6. TET / UFF .6. com uma única linha de retardo.7. as formas   v1 [n]  v2 [n]  y[n] = b1 b2 b3 b4  v3 [n]  + [b0 ] x[n]  (6.   v1 [n]  v2 [n]  y[n] = b1 b2 b3 b4  v3 [n]  + [b0 ] x[n]  (6.18) – (6.40)  v4 [n + 1] D−3 que representa a Forma Direta. Diagrama de sistema × equação de diferença 107 Emprego de notação matricial na Forma Direta Utilizando-se notação matricial.43) 0 0   v3 [n]   0  v4 [n + 1] 0 0 1 0 v4 [n] 0 que representa a Forma Direta.41) v4 [n] e       v1 [n] 0 0 0 0 v1 [n − 1] 1  v2 [n]   1 0 0 0   v2 [n − 1]   0   +   x[n − 1]  v3 [n]  =  0 1 (6.38) v4 [n] e    0  v1 [n] D  v2 [n]   D−1   x[n − 1]  v3 [n]  =  D−2 (6. respectivamente. com várias linhas de retardo em paralelo.47) v4 [n] e        v1 [n] 0 1 0 0 v1 [n − 1] b1  v2 [n]   0 0 1 0   v2 [n − 1]   b2   v3 [n]  =  0 0 0 1   v3 [n − 1]  +  b3  x[n − 1] (6. ∗ Para L ı́mpar: quantidade par de coeficientes. – Quantidade de coeficientes (L + 1) ∗ Para L par: quantidade ı́mpar de coeficientes. com eixo de simetria localizado na posição do coeficiente central.48)        v4 [n] 0 0 0 0 v4 [n − 1] b4 ou        v1 [n + 1] 0 1 0 0 v1 [n] b1  v2 [n + 1]   0 0 1 0   v2 [n]   b2   v3 [n + 1]  =  0 0 0 1   v3 [n]  +  b3  x[n] (6. Representações de um SLIT   v1 [n]  v2 [n]  D0 D−1 D−2 D−3 y[n] =  v3 [n]  + [b0 ] x[n]   (6.46)  v4 [n + 1] b4 que representa a Forma Direta Transposta. .44) v4 [n] e     v1 [n] b1  v2 [n]   b2   x[n − 1]  v3 [n]  =  b3 (6. com uma única linha de retardo.6 Casos particulares de interesse • Estrutura não recursiva com coeficientes simétricos – Estrutura não recursiva: y[n] = Lk=0 bk · x[n − k].49)        v4 [n + 1] 0 0 0 0 v4 [n] b4 que representa a Forma Direta Transposta. A.V. 6.7. P – Posição do eixo de simetria: NS = L2 . com eixo de simetria localizado entre os dois coeficientes centrais.108 Capı́tulo 6.S. e   v1 [n]  v2 [n]  y[n] = 1 0 0 0   v3 [n]  + [b0 ] x[n]  (6.45)     v4 [n] b4 ou     v1 [n + 1] b1  v2 [n + 1]   b2   v3 [n + 1]  =  b3     x[n] (6. ∗ L ı́mpar e simetria par: y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b1 x[n − 2] + b0 x[n − 3].50) TET / UFF . ∗ L par e simetria ı́mpar: y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + 0x[n − 2] + (−b1 )x[n − 3] + (−b0 )x[n − 4]. Operador de transferência 109 – Tipo de simetria dos cooeficientes ∗ Simetria par: bk = bL−k .8. • Associação cascata de estruturas não recursivas do tipo lattice. para um mesmo comprimento L. o seu emprego sobre uma equação de diferença conduz à definição do operador de transferência associado ao sistema por ela descrito.6. – Importância ∗ A implementação de uma estrutura com simetria requer. ∗ Denominação comum · Simetria par: simetria. · Simetria ı́mpar: antissimetria. ∗ L ı́mpar e simetria ı́mpar: y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + (−b1 )x[n − 2] + (−b0 )x[n − 3].8. são apresentadas diferentes decomposições do operador de transferência. definido como c · v[n − 1] = c · D−1 {v[n]} = c · D−1 v[n] .1 Operador de deslocamento Um atraso unitário pode ser representado por um operador linear e invariante ao deslocamento D−1 {·}. ∗ Tipo de simetria: par ou ı́mpar.8 Operador de transferência A definição de um operador e o uso de uma notação operacional podem ser ferramentas úteis para se trabalhar com sistemas. metade do número de multiplicadores apresentado por uma estrutura sem simetria. 6. (6. Dessa forma. – Exemplos ∗ L par e simetria par: y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2] + b1 x[n − 3] + b0 x[n − 4]. ∗ Simetria ı́mpar: bk = −bL−k . Em seguida. Finalmente. – Quatro casos possı́veis ∗ Número de coeficientes (L + 1): par ou ı́mpar. diferentes formas de se decompor ou representar o sistema original por meio de sistemas mais simples. portanto. um operador de deslocamento é definido abaixo. ∗ A função de transferência de um sistema que é modelado por uma estrutura com coeficientes simétricos apresenta argumento (ângulo de fase) linear. • Associação cascata de estrutura não recursiva (comb filter ) com estrutura recursiva do tipo all-pole (resonator ): a estrutura final é do tipo FIR e recebe a denominação de frequency-sampling structure. baseado nas propriedades da notação operacional. que são diferentes formas de se representá-lo por operadores mais simples e. 6. praticamente. (6. podem-se definir as seguintes notações equivalentes: K2 K2 K2 ! X X X ck · v[n + k] = ck · Dk {v[n]} = ck · D k v[n] k=K1 k=K1 k=K1 K2 K2 ! X X = Dk {ck · v[n]} = Dk ck · v[n] .53). a equação de diferença N X L X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x[n − k] k=1 k=0 pode ser reescrita como N ! L ! X X y[n] = − ak D−k y[n] + bk D−k x[n] k=1 k=0 ou ! ! N X L X ak D−k y[n] = bk D−k x[n] k=0 k=0 ou ainda como P L −k k=0 bk D y[n] = P x[n] = T (D) x[n] . Representações de um SLIT Por sua vez. A. .53) Empregando-se (6. (6. (6. pode-se representar um deslocamento genérico por um operador linear e invariante ao deslocamento Dk {·}.V. uma ausência de deslocamento pode ser definida como c · v[n] = c · D0 {v[n]} = c · D0 v[n] . sendo ele formado por uma composição de deslocamentos unitários e definido como c · v[n + k] = c · Dk {v[n]} = c · Dk v[n] . k ∈ Z.2 Operador de transferência Dado o operador de deslocamento Dk {·}. um avanço unitário pode ser representado por um operador linear e invariante ao deslocamento D+1 {·} = D{·}.55) N −k k=0 ak D onde P L −k k=0 bk D T (D) = P (6.56) N −k k=0 ak D é definido como o operador de transferência T (D) do SLIT com entrada x[n] e saı́da y[n]. (6. definido em (6.110 Capı́tulo 6.8.53).54) k=K1 k=K1 6. (6. definido como c · v[n + 1] = c · D {v[n]} = (c · D) v[n] .S.51) Portanto.52) Por fim. 57) ao se aplicar o operador de deslocamento em (6. o operador de transferência de um SLIT também pode definido em função de operadores de avanço.8).3 Operador de transferência definido por operadores de avanço Nas Equações (6.55) pode ser reescrita como y[n + M ] = T (D) x[n + M ] ou DM y[n] = T (D) DM x[n] = DM T (D) x[n] ou ainda como DM y[n] = T (D) x[n] = T+ (D) x[n] .8. a Equação (6. de tal forma que X N XL ak · y[m + (M − k)] = bk · x[m + (M − k)] k=0 k=0 ou ! ! N X L X ak DM −k y[m] = bk DM −k x[m] k=0 k=0 ou ainda P L M −k k=0 bk D y[m] = P x[m] = T+ (D) x[n] . DM onde DM DM −L DL T+ (D) = T (D) = T (D) DM DM −N DN DL N −L = D T (D) DN L PL b D−k D k=0 k = DN −L DN PN a D −k k=0 k P L L−k b k=0 k D DN −L P = N N −k a k=0 k D P L m m=0 b L−m D DN −L P = N m a m=0 N −m D P L + m m=0 mb D DN −L P = . N M −k k=0 ak D TET / UFF .58) Deve-se notar que é possı́vel obter (6.55) e (6. T (D) foi definido em função de operadores de atraso.57) N + m m=0 am D b+ + m = bL−m e am = aN −m . (6. L} e empregando-se a propriedade de invariância ao deslocamento.8. Operador de transferência 111 6. Porém.56).6. (6. Definindo-se a ordem do sistema como M = max{N. a Equação (6. (6. (6. Assim. que define T (D). Logo. Representações de um SLIT onde P P L M −k L M −L L−k k=0 bk D k=0 bk D D T+ (D) = P = P N M −k N M −N D N −k a k=0 k D a k=0 k D P L L−k k=0 bk D M −L D = P DM −N N a D N −k k=0 k P L L−k b k=0 k D DN −L P = N N −k k=0 ak D P L m m=0 b L−m D DN −L P = N m a m=0 N −m D P L + m m=0 bm D DN −L P = . obtém-se L ! X y[n] = bk D−k v[n] (6.V.60) x[n] N −k k=0 ak D pode-se definir uma seqüência auxiliar v[n] e reescrevê-lo como P L −k y[n] b k=0 k D v[n] T (D) = = P .61).56). da variável D.S. pode ser interpretada como uma função polinomial racional. é possı́vel manipular o operador de transferência da mesma forma que se manipula qualquer função polinomial racional.61) x[n] N a D−k v[n] k=0 k Igualando-se os numeradores e os denominadores de (6.112 Capı́tulo 6. tal como P L −k y[n] b k=0 k D T (D) = = P . .59) N + m m=0 am D 6.63) k=0 A. (6.8. com coeficientes constantes bk e ak .62) k=0 e ! N X x[n] = ak D−k v[n] .4 Decomposições do operador de transferência Independentemente do seu significado. algumas decomposições de T (D) são apresentadas a seguir. Decomposição direta (ou cascata de atrasadores unitários) Partindo-se de um operador de transferência composto apenas por operadores de atraso. (6. Uma terceira decomposição direta pode ser alcançada com as Equações (6. reunindo-se as Equações (6. Inicialmente.65). N X L X ak · y[m + (M − k)] = bk · x[m + (M − k)] . Empregando-se as Equações (6. podem ser propostas algumas formas diferentes de decomposição direta do operador de transferência. k=0 k=0 TET / UFF .65) a0 k=1 Substituindo-se (6.62) e (6.66). Decomposição cascata (de operadores mais simples ou iterativa) A equação de diferença. aplicado sobre a variável interna v[n]. as quais se utilizam de um arranjo cascata de atrasadores unitários como elemento central.66) a0 k=1 a0 onde M = max{N. (6.66).64) k=1 e " N ! # 1 X v[n] = x[n] + (−ak ) D−k v[n] (6. a Equação (6. aplicado sobre a variável interna v[n]. um para a entrada e outro para a saı́da.60) a (6. que também se utiliza de um único arranjo cascata de atrasadores unitários.8. k=0 k=0 bem como a sua notação equivalente. N X L X ak · y[n − k] = bk · x[n − k] .6. tem-se que L ! X y[n] = b0 v[n] + bk D−k v[n] (6.65) e (6.63). baseada em atrasos.67) k=1 a 0 k=0 a 0 a qual representa uma decomposição direta que envolve dois arranjos independentes de atrasadores unitários em cascata.60) pode ser reescrita como " X N ! L ! # 1 X y[n] = (−ak ) D−k y[n] + bk D−k x[n] a0 k=1 k=0 N ! L ! X −ak X bk = D−k y[n] + D−k x[n] . que se utiliza de um único arranjo cascata de atrasadores unitários. baseada em avanços. (6.64). obtém-se uma outra decomposição direta. chega-se a N ! L ! b0 X b0 X y[n] = x[n] + (−ak ) D−k v[n] + bk D−k v[n] a0 k=1 a0 k=1 M ! b0 X b0 = x[n] + bk − ak D−k v[n] .62) e (6. Operador de transferência 113 Isolando-se v[n] em (6.65) em (6. L} é a ordem do sistema associado a T (D). Por sua vez. 69) N + m m=0 am D onde M = max{N. as multiplicações presentes em (6.70) e (6. De acordo com as escolhas que se façam para formar as combinações dos operadores mais simples. bem como as possı́veis combinações destes. No caso de L ≥ N . sendo denominadas de pólos de T (D) ou pólos de transferência (ou de transmissão) do sistema a ele associado. o mesmo também pode ser fatorado em um somatório de A.68) e (6. Em toda função polinomial racional. As raı́zes pk do polinômio denominador fazem com que T (D)|D=pk → ∞. As Equações (6. independentemente do seu valor numérico.68) N −k a k=0 k D e P L + m m=0 bm D T (D) = DN −L P . Por outro lado. podem ser pensados como operadores mais simples que T (D).V. é denominado de ganho da fatoração ou ganho de transferência (ou de transmissão) do sistema.71) (D − p1 ) · · · (D − pN ) k=1 (D − pk ) b+ b0 onde KC = L a+ = a0 .S.70) e (6. (D − zk ). existem duas possibilidades para sua classificação. se L < N . na soma de um polinômio (de ordem Mpol = L − N ) com uma fração própria. . N Os valores de zk e pk são pontos singulares ou singularidades de T (D). pode-se pensar em decompor o sistema originalmente associado a T (D) em um arranjo cascata de sistemas mais simples.71). é possı́vel separá-la. (1 − zk D−1 ) e (1 − pk D−1 ) . As raı́zes zk do polinômio numerador fazem com que T (D)|D=zk = 0. aos operadores de transferência P L −k k=0 b k D T (D) = P (6. sendo denominadas de zeros de T (D) ou zeros de transferência (ou de transmissão) do sistema a ele associado. respectivamente. Decomposição paralela (de operadores mais simples) No tocante à relação entre as ordens L e N . Por sua vez. Representações de um SLIT dão origem. considerando-se as singularidades finitas e as infinitas. pode-se chegar a diferentes organizações para tal arranjo cascata.114 Capı́tulo 6. representado por uma fração própria. ela é dita uma fração própria. b+ + m = bL−m e am = aN −m . O parâmetro KC .71) podem ser pensadas como um arranjo em cascata de tais operadores. (6. a função é dita uma fração imprópria.70) (1 − p1 D−1 ) · · · (1 − pN D−1 ) −1 k=1 (1 − pk D ) e QL N −L (D − z1 ) · · · (D − zL ) k=1 (D − zk ) = DN −L KC · QN T (D) = D KC · . Dado um operador de transferência T (D). (6. o número de zeros é sempre igual ao número de pólos.69) podem ser fatoradas de acordo com as raı́zes dos seus polinômios numerador e denominador. −1 Os fatores KC . Se a função racional for uma fração imprópria. obtendo-se QL −1 (1 − z1 D−1 ) · · · (1 − zl D−1 ) k=1 (1 − zk D ) T (D) = KC · = K · C QN (6. L}. (D − pk )−1 . fatorado conforme as Equação (6. Analogamente. por meio de uma divisão polinomial. dos polinômios numerador e denominador da função polinomial racional T (D). que estabelecem uma relação entre os coeficientes encontrados na decomposição de blocos de ordem 2 em arranjos de blocos de ordem 1. considerando-se pólos simples e múltiplos.5 Exemplos com estruturas de ordem 1 e de ordem 2 Abaixo.72) i i (D − pi ) i (1 − pi D−1 ) No caso de pólos múltiplos. envolvendo os pólos de T (D). (6. Decomposição em arranjo cascata Para N = L = 2 e N1 = N2 = L1 = L2 = 1. No caso de pólos simples. Operador de transferência 115 frações de primeira ordem. pode-se pensar em decompor o sistema originalmente associado a T (D) em um arranjo paralelo de sistemas mais simples.73) i j=1 (1 − pi D−1 )j i (1 − p i D −1 ) (1 − p i D De modo geral.74) podem ser pensadas como um arranjo em paralelo de tais operadores. com multiplicidade µi . nas formas cascata e paralelo. Analogamente. tem-se que P2 −k b k D T (D) = P2k=0 −k k=0 ak D (b0 ) + (b1 ) D−1 + (b2 ) D−2 = (a0 ) + (a1 ) D−1 + (a2 ) D−2 (1) + b1 D−1 + b2 D−2 D2 + b1 D + b2 b0 b0 b0 b0 b0 b0 = · = · a0 (1) + aa10 D−1 + aa02 D−2 a0 D2 + aa10 D + aa20 (1 − z1 D−1 ) (1 − z2 D−1 ) (D − z1 ) (D − z2 ) = KC · −1 · −1 = KC · · (1 − p1 D ) (1 − p2 D ) (D − p1 ) (D − p2 ) (1) + [−(z1 + z2 )] D−1 + (z1 · z2 ) D−2 = KC · .8. denominadas de frações parciais. são apresentados exemplos simples. 6. (6. (6. o somatório é dado por X T (D) = Fiµ (D) i µi XX Kij X Ki1 Ki2 Kiµi = = + 2 + ··· + i j=1 (D − pi )j i (D − pi ) (D − pi ) (D − pi )µi µi XX Kij D−j X Ki1 D−1 Kiµi D−µi = = + · · · + −1 )µi . todas as adições presentes em (6. o somatório é dado por X X Ki X Ki D−1 T (D) = Fi (D) = = . o operador de transferência T (D) pode assumir a forma da expansão em frações parciais dada por X X T (D) = Fi (D) + Fiµ (D) .8. Tal fatoração é denominada de expansão ou decomposição em frações parciais. (1) + [−(p1 + p2 )] D−1 + (p1 · p2 ) D−2 TET / UFF . Por sua vez.74) i i Os diversos tipos de frações parciais podem ser pensados como operadores mais simples que T (D).6. com pólos reais e diferentes. (1) + [−(p1 + p2 )] D−1 + (p1 · p2 ) D−2 Para N = 2. L = 1. tem-se que P2 −k k=0 bk D T (D) = P2 k=0 ak D−k (b0 ) + (b1 ) D−1 + (b2 ) D−2 = (a0 ) + (a1 ) D−1 + (a2 ) D−2 (1) + b1 D−1 + b2 D−2 D2 + b1 D + b2 b0 b0 b0 b0 b0 b0 = · = · a0 (1) + aa01 D−1 + aa20 D−2 a0 D2 + aa10 D + aa02 (1 − z1 D−1 ) (1 − z2 D−1 ) (D − z1 ) (D − z2 ) = KP · + = KP · + (1 − p1 D−1 ) (1 − p2 D−1 ) (D − p1 ) (D − p2 ) (1 − z1 D−1 ) (1 − p2 D−1 ) + (1 − z2 D−1 ) (1 − p1 D−1 ) = KP · (1 − p1 D−1 ) (1 − p2 D−1 ) (2) + [−(z1 + p2 + z2 + p1 )] D−1 + [(z1 · p2 + z2 · p1 )] D−2 = KP · (1) + [−(p1 + p2 )] D−1 + (p1 · p2 ) D−2 −1 (1) + 2 (z1 + p2 + z2 + p1 ) D−1 + 12 (z1 · p2 + z2 · p1 ) D−2 = (2KP ) · . N1 = N2 = 1 e L1 = L2 = 0.116 Capı́tulo 6. (1) + [−(p1 + p2 )] D−1 + (p1 · p2 ) D−2 A. Representações de um SLIT Decomposição em arranjo paralelo Para N = L = 2 e N1 = N2 = L1 = L2 = 1. com pólos reais e diferentes.S. . tem-se que P1 −k k=0 bk D T (D) = P2 a D −k k=0 k (b0 ) + (b1 ) D−1 = (a0 ) + (a1 ) D−1 + (a2 ) D−2 b1 b0 (1) + b0 D −1 b0 D + bb10 D 2 = · = · a0 a1 −1 (1) + a0 D + a0 D a2 −2 a 0 D + a0 D + aa02 2 a1 K1 K2 K1 (D) K2 (D) = KP · + = KP · + (1 − p1 D−1 ) (1 − p2 D−1 ) (D − p1 ) (D − p2 ) K1 (1 − p2 D−1 ) + K2 (1 − p1 D−1 ) = KP · (1 − p1 D−1 ) (1 − p2 D−1 ) (K1 + K2 ) + [− (K1 · p2 + K2 · p1 )] D−1 = KP · .V. N ı́mpar  (D−p10 ) l=1 (D−p1l )·(D−p2l ) ou  Q N2 (1−z1l D−1 )·(1−z2l D−1 )    KC2 · l=1 (1−p1l D−1 )·(1−p2l D−1 ) . 2 Devido às caracterı́sticas citadas acima. Operador de transferência 117 6.77)  (b00 +b10 D−1 ) Q N2−1 (b0l +b1l D−1 +b2l D−2 )  KC1 · (1+a10 D−1 ) · l=1 (1+a1l D−1 +a2l D−2 ) .8. a organização de sistemas por meio de arranjos de blocos funcionais do tipo biquad é muito comum. Uma função polinomial racional do tipo x 2 + b1 x + b2 (x − z1 ) · (x − z2 ) T (x) = 2 = .6. quando necessário. com o auxı́lio de uma estrutura de ordem 1.6 Biquad As equações de diferença de ordem 1 e de ordem 2 são bem caracterizadas matematicamente.7 Decomposições do operador de transferência usando biquads Decomposição em arranjo cascata de biquads Considerando-se L = N . N par T (D) = (6. (6. existem formulações simples que relacionam os coeficientes dessas equações com parâmetros temporais e parâmetros freqüenciais associados a elas. pode ser interessante decompor um sistema de ordem qualquer em arranjos de subsistemas de ordem 1 e de ordem 2. é dada por  Q N2 (b0l +b1l D−1 +b2l D−2 )    KC1 · l=1 (1+a1l D−1 +a2l D−2 ) . para os processos de análise e de sı́ntese. a decomposição em um arranjo cascata de estruturas de ordem 2 (biquads). N ı́mpar    Q N2 (D−z1l )·(D−z2l )    KC2 · l=1 (D−p1l )·(D−p2l ) . N par  T (D) = . (6. Por exemplo. (6.76) b+ onde KB = a2+ = ab00 . Também existem formulações simples que relacionam parâmetros temporais com parâmetros freqüenciais entre si.78) h N −1 i  KC2 · (D−z10 ) · Q 2 (D−z1l )·(D−z2l )  . (a0 D2 + a1 D + a2 ) (D − p1 ) · (D − p2 ) (1 − pk D−1 ) · (1 − pk D−1 ) (6. Assim sendo. é denominada de forma biquadrática. denomina-se de biquad um bloco funcional que possui um operador de transferência T (D) descrito por (b0 D2 + b1 D + b2 ) (D − z1 ) · (D − z2 ) (1 − z1 D−1 ) · (1 − z2 D−1 ) T (D) = = K B · = K B · .75) x + a1 x + a2 (x − p1 ) · (x − p2 ) onde b0 = a0 = 1.8.79)  (1−z10 D−1 ) Q N 2−1 (1−z1l D−1 )·(1−p2l D−1 )  KC2 · (1−z10 D−1 ) · l=1 (1−z1l D−1 )·(1−p2l D−1 ) . Por isso.8. N ı́mpar   TET / UFF . N par  T (D) = . 6. N par  T (D) = .83).80)  (b000 +b010 D−1 ) P N2−1 (b00l +b01l D−1 +b02l D−2 )  KP 1 · (1+a10 D−1 ) + l=1 (1+a1l D−1 +a2l D−2 ) . nas citadas equações. A Forma Direta II. quando necessário. A.82)  (1−z10 0 D −1 ) P N2−1 (1−z1l0 D−1 )(1−z2l0 D−1 )  KP 2 · (1−p10 D−1 ) + l=1 (1−p1l D−1 )(1−p2l D−1 ) . para sistemas recursivos e com a realização na Forma Direta. obtém-se o equacionamento que representa a Forma Direta de um sistema não recursivo. Para completar a descrição.81)  (D−z10 0 ) P N2−1 (D−z1l0 )(D−z2l0 )  KP 2 · (D−p10 ) + l=1 (D−p1l )(D−p2l ) . Representações de um SLIT Decomposição em arranjo paralelo de biquads Considerando-se L = N . .118 Capı́tulo 6.67) representa a Forma Direta I.S. Por sua vez. Considerando-se a forma fatorada de T (D). N par  T (D) = . para k 6= 0. pode-se propor mais uma representação para um SLIT descrito por uma equação de diferença.V. Verifica-se também que as Equações (6. assim como a decomposição do operador de transferência que gera o seu equacionamento. é dada por  P N2 (b00l +b01l D−1 +b02l D−2 )    KP 1 · l=1 (1+a1l D−1 +a2l D−2 ) . (6. de tal forma que P L −k b k=0 k D (1 − z1 D−1 ) · · · (1 − zl D−1 ) T (D) = P = KC · . enquanto as posições dos zeros são representadas com o sı́mbolo “O”. Fazendo-se ak = 0. com o auxı́lio de uma estrutura de ordem 1. N ı́mpar   ou  P N2 (1−z1l0 D−1 )(1−z2l0 D−1 )    KP 2 · l=1 (1−p1l D−1 )(1−p2l D−1 ) . N ı́mpar   6. a Forma Direta II Transposta é também denominada de Forma de Kalman 2. as posições dos pólos são representadas com o sı́mbolo “X”.9 Diagrama de pólos e zeros de T(D) Um operador de transferência genérico T (D) pode ser descrito por meio de seus pólos e zeros. que é um gráfico elaborado em um plano complexo da variável D.10 Operador de transferência × diagrama de sistema A decomposição direta (ou cascata de atrasadores unitários) de um operador de transferência pode ser relacionada com as realizações nas Formas Diretas I e II.83) N a D −k (1 − p1 D−1 ) · · · (1 − pN D−1 ) k=0 k onde KC = ab00 . a decomposição em um arranjo paralelo de estruturas de ordem 2 (biquads).62) e (6. para sistemas não recursivos.65) representam a Forma Direta II. N ı́mpar    P N2 (D−z1l0 )(D−z2l0 )    KP 2 · l=1 (D−p1l )(D−p2l ) . (6. o valor da constante KC pode ser escrita em um lugar qualquer do gráfico. N par  T (D) = (6. Pode-se observar que a Equação (6. Em relação às coordendas cartesianas Re{D} e Im{D}. apresentada em (6. 6. é também denominada de Forma de Kalman 1. (6. 11 Representação no espaço de estados 6. • Conseqüentemente. o conjunto de variáveis de estado fornece uma descrição interna de um sistema. é possı́vel determinar o valor de cada uma das suas variáveis de saı́da yk [N0 ]. • Quando o estado de um sistema é definido por um conjunto de N variáveis. TET / UFF . é natural que a primeira escolha para as variáveis de estado sejam as saı́das do blocos atrasadores unitários. Logo. um SLIT de ordem N deve possuir um conjunto de N atrasadores unitários.1 Introdução • Pela definição apresentada anteriormente. diz-se que o sistema tem dinâmica de ordem N. para estruturas canônicas em relação aos atrasadores. pois elas são as variáveis do sistema que guardam informação. • Uma vez que podem existir várias entradas e várias saı́das. – A relação entre as variáveis de entrada v[n] e de saı́da w[n] do operador é uma equação de diferença de primeira ordem: w[n] = v[n − 1] ou w[n + 1] = v[n]. • Portanto. conhecendo-se o comportamento temporal de cada uma das variáveis de entrada ri [n] e o comportamento temporal de cada uma das variáveis de estado xj [n] de um sistema. são definidos dois conjuntos matriciais de equações lineares de primeira ordem: – Equação matricial de estado: que relaciona o valor futuro do conjunto de variáveis de estado com o valor presente do conjunto de variáveis de estado e do conjunto de variáveis de entrada. – Determinar o comportamento temporal das variáveis de saı́da. – Equação matricial de saı́da: que relaciona o valor presente do conjunto de variáveis de saı́da com o valor presente do conjunto de variáveis de estado e do conjunto de variáveis de entrada. a modelagem de um sistema por meio das equações de estado possui duas etapas: – Determinar o comportamento temporal das variáveis de estado. a variável de saı́da de um operador atraso unitário é uma forte candidata a ser uma primeira escolha para um estado xj [n]. conhecendo-se o valor de cada uma das variáveis de entrada ri [N0 ] e o valor de cada uma das variáveis de estado xj [N0 ] de um sistema.6. • Na formação de um conjunto de variáveis de estado x[n] = {xj [n]}. para um determinado instante n = N0 . • De acordo com tal definição.11. Uma vez que as variáveis de estado guardam a informação necessária para a definição dos valores de todas as demais variáveis do sistema. Representação no espaço de estados 119 6.11. é possı́vel determinar o comportamento temporal de cada uma das suas variáveis de saı́da yk [n]. pode-se dizer que. Isso pode ser entendido de duas maneiras equivalentes: – O operador é um elemento capaz de armazenar informação. Para cada valor do ı́ndice n. B. B.11. dim{C} = Y × X. o modelo é definido da seguinte forma: – Vetor de seqüências de entrada: r[n] = [ r1 [n] r2 [n] · · · rR [n] ]T . D} não é único para cada sistema. Para cada próximo valor n + 1 do ı́ndice n. Representações de um SLIT 6. dim{B} = X × R. este pode ser levado a um outro conjunto qualquer Ŝ = {Â. matriz de entrada (ou de distribuição ou de espalhamento). obtém-se um próximo ponto x[n + 1] no espaço. Logo. . – Equação matricial de saı́da: y[n] = C · x[n] + D · r[n].120 Capı́tulo 6. de tal forma que x[n + 1] A B x[n] x[n] = = [S] (6. dim{D} = Y × R. Dado um SLIT e um conjunto qualquer S = {A. • É comum que as matrizes A.11. onde cada dimensão é representada por uma variável de estado xk . obtém-se um ponto x[n] no espaço. sejam respectivamente denominadas de matriz de sistema. as variáveis de saı́da (yk [n]) e um dos possı́veis conjuntos de variáveis de estado (xj [n]) do sistema a ser modelado. pode-se concluir que as dimensões matriciais são: dim{r[n]} = R × 1.3 Espaço de estados A partir do equacionamento de estados descrito acima.S. com dimensão X. pode-se propor a construção de um espaço vetorial Vx . • Matematicamente. dim{y[n]} = Y × 1. obtém-se um valor xk [n] para cada uma das componentes e. representação ou equacionamento de um sistema no espaço de estados. Ĉ. matriz de saı́da (ou de concentração) e matriz de transmissão (ou de bypass). pode-se propor a construção de um espaço geométrico multidimensional. dim{A} = X × X. – Equação matricial de próximo estado: x[n + 1] = A · x[n] + B · r[n]. com 1 ≤ k ≤ X. Na realidade. conseqüentemente. B. 6.2 Definição • O modelo de equações de estado de um sistema é um equacionamento matricial que envolve as variáveis de entrada (ri [n]). B̂. dim{x[n]} = X × 1. – Vetor de seqüências de saı́da: y[n] = [ y1 [n] y2 [n] · · · yY [n] ]T . A. através de uma transformação linear e inversı́vel sobre matrizes. D̂}. • O conjunto de matrizes S = {A. • As duas equações do modelo podem ser representadas por uma única equação matricial. o equacionamento de estados é também conhecido por descrição. D}. desenvolve-se uma trajetória de pontos (estados) no espaço de estados. Assim.V. – Vetor de seqüências de variáveis de estado: x[n] = [ x1 [n] x2 [n] · · · xX [n] ]T . – Vetor de estado inicial: x[0]. C e D. C.84) y[n] C D r[n] r[n] • Das equações definidas acima. que o represente. Por isso. um ponto nesse espaço de estados pode ser representado pelo vetor de variáveis de estado x = [ x1 x2 · · · xX ]T . C. para uma faixa de valores Ninic ≤ n ≤ Nf im . 6.11. Representação no espaço de estados 121 6.11.4 Não unicidade da representação de estados Pode-se mostrar que o conjunto de variáveis de estado associado a um sistema não é único. Portanto, a representação de um sistema no espaço de estados não é única. A partir de um conjunto de variáveis de estado x[n], pode-se obter um outro conjunto x̂[n], através de uma transformação linear, o que é expresso por x̂[n] = Q · x[n] . (6.85) Caso a matriz Q seja não singular, tem-se que Q−1 · x̂[n] = Q−1 · Q · x[n] = I · x[n] = x[n] . (6.86) Combinando-se (6.85) e (6.86) com a equação de próximo estado, obtém-se x̂[n + 1] = Q · x[n + 1] = Q · (A · x[n] + B · r[n]) = Q · A · x[n] + Q · B · r[n] = Q · A · Q−1 · x̂[n] + Q · B · r[n] = Â · x̂[n] + B̂ · r[n] , (6.87) onde Â = Q · A · Q−1 (6.88) e B̂ = Q · B . (6.89) Por sua vez, combinando-se (6.86) com a equação de saı́da, obtém-se y[n] = C · x[n] + D · r[n] = C · Q−1 · x̂[n] + D · r[n] = Ĉ · x̂[n] + D̂ · r[n] , (6.90) onde Ĉ = C · Q−1 (6.91) e D̂ = D . (6.92) TET / UFF 122 Capı́tulo 6. Representações de um SLIT O mesmo resultado pode ser obtido combinando-se as duas equações de estado em uma única equação matricial e realizando-se operações matriciais por blocos. Assim, aplicando-se (6.86) em (6.84), obtém-se x[n + 1] x[n] A B x[n] = [S] = −→ y[n] r[n] C D r[n] Q−1 · x̂[n + 1] Q−1 · x̂[n] A · Q−1 B A B x̂[n] = = −→ y[n] C D r[n] C · Q−1 D r[n] Q · A · Q−1 Q · B x̂[n + 1] x̂[n] = −→ y[n] C · Q−1 D r[n] h i x̂[n] x̂[n + 1] Â B̂ x̂[n] = = Ŝ y[n] Ĉ D̂ r[n] r[n] ou x[n + 1] x[n] A B x[n] = [S] = −→ y[n] r[n] C D r[n] Q−1 · x̂[n + 1] Q−1 · x̂[n] A B = −→ y[n] C D r[n] Q−1 0 Q−1 0 x̂[n + 1] A B x̂[n] = −→ 0 I y[n] C D 0 I r[n] −1 Q−1 0 Q−1 0 x̂[n + 1] A B x̂[n] = −→ y[n] 0 I C D 0 I r[n] Q−1 0 x̂[n + 1] Q 0 A B x̂[n] = −→ y[n] 0 I C D 0 I r[n] x̂[n + 1] x̂[n] = [QS ] [S] QS −1 −→ y[n] r[n] Q · A · Q−1 Q · B x̂[n + 1] x̂[n] = −→ y[n] C · Q−1 D r[n] h i x̂[n] x̂[n + 1] Â B̂ x̂[n] = = Ŝ , (6.93) y[n] Ĉ D̂ r[n] r[n] onde Â, B̂, Ĉ e D̂, são respectivamente definidas em (6.88), (6.89), (6.91), e (6.92). A Equação (6.88) representa a operação algébrica conhecida por transformação de similaridade, de forma que as matrizes A e Â são ditas matrizes similares. Da mesma forma, a Equação (6.93) mostra que as matrizes S e Ŝ são matrizes similares. A.S.V. 6.12. Equações de estado × equação de diferença 123 6.12 Equações de estado × equação de diferença Supondo-se um SLIT SISO, descrito por uma equação de diferença, pode-se facilmente obter uma representação de estados para o sistema a partir de uma estrutura canônica que o defina, considerando-se a saı́da de cada atrasador unitário como uma variável de estado. Como exemplo, considere-se um SLIT SISO, de ordem 4, descrito por 4 X 4 X y[n] = − ak y[n − k] + bk r[n − k] . (6.94) k=1 k=0 A seguir, são apresentadas algumas possı́veis representações de estados para tal sistema. Foi escolhido o caso onde N = L = 4 a fim de que o processo seja descrito sem perda de generalidade, podendo ser seguido para quaisquer valores de N e L. Nessas representações, a matriz A aparece na forma companheira. 6.12.1 Estrutura IIR na Forma Direta II Supondo-se uma estrutura IIR na Forma Direta II e definindo-se a variável interna 4 X v[n] = − ak v[n − k] + r[n] , (6.95) k=1 pode-se escrever 6.94 como 4 X y[n] = bk v[n − k] . (6.96) k=0 A partir dessa estrutura, pode-se propor as representações de estado apresentadas a seguir. TET / UFF 124 Capı́tulo 6. Representações de um SLIT Forma canônica com matriz A na forma companheira - I Definindo-se as saı́das dos atrasadores como variáveis de estado, de tal forma que x1 [n] = v[n − 1] x2 [n] = v[n − 2] x3 [n] = v[n − 3] x4 [n] = v[n − 4] , (6.97) obtém-se x1 [n + 1] = v[n] = −a1 v[n − 1] − a2 v[n − 2] − a3 v[n − 3] − a4 v[n − 4] + r[n] = −a1 x1 [n] − a2 x2 [n] − a3 x3 [n] − a4 x4 [n] + r[n] x2 [n + 1] = v[n − 1] = x1 [n] x3 [n + 1] = v[n − 2] = x2 [n] x4 [n + 1] = v[n − 3] = x3 [n] , (6.98) o que pode ser descrito matricialmente como        x1 [n + 1] −a1 −a2 −a3 −a4 x1 [n] 1  x2 [n + 1]   1 0 0 0   x2 [n]     0   +   r[n]  x3 [n + 1]  =  0 (6.99)    1 0 0   x3 [n]   0  x4 [n + 1] 0 0 1 0 x4 [n] 0 ou x[n + 1] = A · x[n] + B · r[n] . (6.100) Por sua vez, usando-se a Equação(6.96), a saı́da pode ser definida por y[n] = b0 v[n] + b1 v[n − 1] + b2 v[n − 2] + b3 v[n − 3] + b4 v[n − 4] = b0 (−a1 x1 [n] − a2 x2 [n] − a3 x3 [n] − a4 x4 [n] + r[n]) + b1 x1 [n] + b2 x2 [n] + b3 x3 [n] + b4 x4 [n] = (b1 − b0 a1 )x1 [n] + (b2 − b0 a2 )x2 [n] + (b3 − b0 a3 )x3 [n] + (b4 − b0 a4 )x4 [n] + b0 r[n] , (6.101) que, matricialmente, assume a forma  x1 [n]  x2 [n]  y[n] = (b1 − b0 a1 ) (b2 − b0 a2 ) (b3 − b0 a3 ) (b4 − b0 a4 )   + b0  x3 [n]  r[n] x4 [n] (6.102) ou y[n] = C · x[n] + D · r[n] . (6.103) A.S.V. 6.12. Equações de estado × equação de diferença 125 Forma canônica com matriz A na forma companheira - II Definindo-se as saı́das dos atrasadores como variáveis de estado, de tal forma que x̂1 [n] = v[n − 4] x̂2 [n] = v[n − 3] x̂3 [n] = v[n − 2] x̂4 [n] = v[n − 1] , (6.104) obtém-se xˆ1 [n + 1] = v[n − 3] = x̂2 [n] xˆ2 [n + 1] = v[n − 2] = x̂3 [n] xˆ3 [n + 1] = v[n − 1] = x̂4 [n] xˆ4 [n + 1] = v[n] = −a1 v[n − 1] − a2 v[n − 2] − a3 v[n − 3] − a4 v[n − 4] + r[n] = −a1 x̂4 [n] − a2 x̂3 [n] − a3 x̂2 [n] − a4 x̂1 [n] + r[n] , (6.105) o que pode ser descrito matricialmente como        x̂1 [n + 1] 0 1 0 0 x̂1 [n] 0  x̂2 [n + 1]   0 0 1 0   x̂2 [n]   0   r[n]  x̂3 [n + 1]  =  0   x̂3 [n]  +  0 (6.106)       0 0 1  x̂4 [n + 1] −a4 −a3 −a2 −a1 x̂4 [n] 1 ou x̂[n + 1] = Â · x̂[n] + B̂ · r[n] . (6.107) Por sua vez, usando-se a Equação(6.96), a saı́da pode ser definida por y[n] = b0 v[n] + b1 v[n − 1] + b2 v[n − 2] + b3 v[n − 3] + b4 v[n − 4] = b0 (−a1 x̂4 [n] − a2 x̂3 [n] − a3 x̂2 [n] − a4 x̂1 [n] + r[n]) + b1 x̂4 [n] + b2 x̂3 [n] + b3 x̂2 [n] + b4 x̂1 [n] = (b4 − b0 a4 )x̂1 [n] + (b3 − b0 a3 )x̂2 [n] + (b2 − b0 a2 )x̂3 [n] + (b1 − b0 a1 )x̂4 [n] + b0 r[n] , (6.108) que, matricialmente, assume a forma  x̂1 [n]  x̂2 [n]  y[n] = (b4 − b0 a4 ) (b3 − b0 a3 ) (b2 − b0 a2 ) (b1 − b0 a1 )   + b0  x̂3 [n]  r[n] x̂4 [n] (6.109) ou y[n] = Ĉ · x̂[n] + D̂ · r[n] . (6.110) TET / UFF 126 Capı́tulo 6. Representações de um SLIT Relação entre as formas canônicas com matriz A na forma companheira I e II A partir das variáveis de estado usadas nas formas canônicas com matriz companheira I e II, tem-se que         x̂1 [n] x4 [n] 0 0 0 1 x1 [n]  x̂2 [n]   x3 [n]   0 0 1 0   x2 [n]    x̂[n] =   x̂3 [n]  =  x2 [n]   =   0 ·  = Q · x[n] , 1 0 0   x3 [n]  x̂4 [n] x1 [n] 1 0 0 0 x4 [n]   0 0 0 1  0 0 1 0  Q=  0  1 0 0  1 0 0 0 e x[n] = Q−1 · x̂[n] , onde, nesse caso, Q = Q−1 . Portanto, as relações entre as matrizes de estado são dadas por Â = Q · A · Q−1       0 0 0 1 −a1 −a2 −a3 −a4 0 0 0 1  0 0 1 0   1 0 0 0   0   0 1 0  =  · ·   0 1 0 0   0 1 0 0   0 1 0 0  1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0   0 1 0 0  0 0 1 0  =   0  , 0 0 1  −a4 −a3 −a2 −a1      0 0 0 1 1 0  0 0 1 0   0     0  B̂ = Q · B =   0 · =  , 1 0 0   0   0  1 0 0 0 0 1 Ĉ = C · Q−1   0 0 0 1  0 0 1 0  = (b1 − b0 a1 ) (b2 − b0 a2 ) (b3 − b0 a3 ) (b4 − b0 a4 ) ·   0  1 0 0  1 0 0 0 = (b4 − b0 a4 ) (b3 − b0 a3 ) (b2 − b0 a2 ) (b1 − b0 a1 ) e D̂ = D = [b0 ] . A.S.V. 6.12. Equações de estado × equação de diferença 127 6.12.2 Estrutura IIR na Forma Direta II Transposta Supondo-se uma estrutura IIR na Forma Direta II Transposta, pode-se propor as represen- tações de estado apresentadas a seguir. Forma canônica com matriz A na forma companheira - III Definindo-se as saı́das dos atrasadores como variáveis de estado, a saı́da do sistema pode ser definida por y[n] = x1 [n] + b0 r[n] , (6.111) que, matricialmente, assume a forma   x1 [n]  x2 [n]  y[n] = 1 0 0 0  x3 [n]  + b0  r[n] (6.112) x4 [n] ou y[n] = C · x[n] + D · r[n] . (6.113) Em seguida, utilizando-se (6.111) e percorrendo-se a estrutura, pode-se escrever x1 [n + 1] = b1 r[n] + (−a1 )y[n] + x2 [n] = b1 r[n] + (−a1 ) (x1 [n] + b0 r[n]) + x2 [n] x2 [n + 1] = b2 r[n] + (−a2 )y[n] + x3 [n] = b2 r[n] + (−a2 ) (x1 [n] + b0 r[n]) + x3 [n] x3 [n + 1] = b3 r[n] + (−a3 )y[n] + x4 [n] = b3 r[n] + (−a3 ) (x1 [n] + b0 r[n]) + x4 [n] x4 [n + 1] = b4 r[n] + (−a4 )y[n] = b4 r[n] + (−a4 ) (x1 [n] + b0 r[n]) , (6.114) o que pode ser descrito matricialmente como        x1 [n + 1] −a1 1 0 0 x1 [n] (b1 − b0 a1 )  x2 [n + 1]   −a2 0 1 0   x2 [n]   (b2 − b0 a2 )   x3 [n + 1]  =  −a3   (b3 − b0 a3 )  r[n]     +  (6.115) 0 0 1   x3 [n] x4 [n + 1] −a4 0 0 0 x4 [n] (b4 − b0 a4 ) ou x[n + 1] = A · x[n] + B · r[n] . (6.116) TET / UFF (6. a saı́da do sistema pode ser definida por y[n] = x̂4 [n] + b0 r[n] . .S.117) que.118) x̂4 [n] ou y[n] = Ĉ · x̂[n] + D̂ · r[n] .122) A. Representações de um SLIT Forma canônica com matriz A na forma companheira .128 Capı́tulo 6. pode-se escrever x̂4 [n + 1] = b1 r[n] + (−a1 )y[n] + x̂3 [n] = b1 r[n] + (−a1 ) (x̂4 [n] + b0 r[n]) + x̂3 [n] x̂3 [n + 1] = b2 r[n] + (−a2 )y[n] + x̂2 [n] = b2 r[n] + (−a2 ) (x̂4 [n] + b0 r[n]) + x̂2 [n] x̂2 [n + 1] = b3 r[n] + (−a3 )y[n] + x̂1 [n] = b3 r[n] + (−a3 ) (x̂4 [n] + b0 r[n]) + x̂1 [n] x̂1 [n + 1] = b4 r[n] + (−a4 )y[n] = b4 r[n] + (−a4 ) (x̂4 [n] + b0 r[n]) .119) Em seguida. utilizando-se (6. matricialmente.IV Definindo-se as saı́das dos atrasadores como variáveis de estado.V.121) 0 −a2   x̂3 [n]   (b2 − b0 a2 )  x̂4 [n + 1] 0 0 1 −a1 x̂4 [n] (b1 − b0 a1 ) ou x̂[n + 1] = Â · x̂[n] + B̂ · r[n] . (6. (6. assume a forma   x̂1 [n]  x̂2 [n]  y[n] = 0 0 0 1  x̂3 [n]  + b0  r[n] (6. (6.120) o que pode ser descrito matricialmente como        x̂1 [n + 1] 0 0 0 −a4 x̂1 [n] (b4 − b0 a4 )  x̂2 [n + 1]   1 0 0 −a3   x̂2 [n]     (b3 − b0 a3 )   r[n]  x̂3 [n + 1]  =  0 1    + (6.117) e percorrendo-se a estrutura. 1 0 0   x3 [n]  x̂4 [n] x1 [n] 1 0 0 0 x4 [n]   0 0 0 1  0 0 1 0  Q=  0  1 0 0  1 0 0 0 e x[n] = Q−1 · x̂[n] .   0 1 0 0   (b3 − b0 a3 ) 1 0 0 0 (b4 − b0 a4 ) (b1 − b0 a1 ) Ĉ = C · Q−1   0 0 0 1  0 0 1 0  = 1 0 0 0 · 0  1 0 0  1 0 0 0 = 0 0 0 1 e D̂ = D = [b0 ] . tem-se que         x̂1 [n] x4 [n] 0 0 0 1 x1 [n]  x̂2 [n]   x3 [n]   0 0 1 0   x2 [n]    x̂[n] =   x̂3 [n]  =  x2 [n]   =   0 ·  = Q · x[n] . TET / UFF .12. nesse caso. Portanto.6. as relações entre as matrizes de estado são dadas por Â = Q · A · Q−1       0 0 0 1 −a1 1 0 0 0 0 0 1  0 0 1 0   −a2 0 1 0   0   0 1 0   0 1 0 0 · =  ·    −a3 0 0 1   0 1 0 0  1 0 0 0 −a4 0 0 0 1 0 0 0   0 0 0 −a4  1 0 0 −a3  =   0 1 0 −a2   . 0 0 1 −a1       0 0 0 1 (b1 − b0 a1 ) (b4 − b0 a4 )  0 0 1 0   (b2 − b0 a2 )     (b3 − b0 a3 )  B̂ = Q · B =  · =   (b2 − b0 a2 )  . Q = Q−1 . onde. Equações de estado × equação de diferença 129 Relação entre as formas canônicas com matriz A na forma companheira III e IV A partir das variáveis de estado usadas nas formas canônicas com matriz companheira III e IV. 114).V. obtém-se a relação inversa. r[−2]. (6. pode-se utilizar a Equação (6.S. relativo ao vetor de estados x̂[n]. x2 [0]. Por exemplo. xX [0] ].3 Relação entre o estado inicial e as condições iniciais Dado um SLIT SISO.124). por ser descrita por         x1 [0] −a1 −a2 −a3 −a4 y[−1] b1 b2 b3 b4 r[−1]  x2 [0]   −a2 −a3 −a4 0   y[−2]   b2 b3 b4 0   r[−2]   x3 [0]  =  −a3 −a4 0     +   (6.123) 0   y[−3]   b3 b4 0 0   r[−3]  x4 [0] −a4 0 0 0 y[−4] b4 0 0 0 r[−4] ou x[0] = Axy · y CI + B xr · r CI . · · · . dada por y CI = A−1 xy · (x[0] − B xr · r CI ) . obtém-se x1 [0] = b1 r[−1] + (−a1 )y[−1] + x2 [−1] = b1 r[−1] + (−a1 )y[−1] + b2 r[−2] + (−a2 )y[−2] + x3 [−2] = b1 r[−1] + (−a1 )y[−1] + b2 r[−2] + (−a2 )y[−2] + b3 r[−3] + (−a3 )y[−3] + x4 [−3] = b1 r[−1] + (−a1 )y[−1] + b2 r[−2] + (−a2 )y[−2] + b3 r[−3] + (−a3 )y[−3] + b4 r[−4] + (−a4 )y[−4] x2 [0] = b2 r[−1] + (−a2 )y[−1] + x3 [−1] = b2 r[−1] + (−a2 )y[−1] + b3 r[−2] + (−a3 )y[−2] + x4 [−2] = b2 r[−1] + (−a2 )y[−1] + b3 r[−2] + (−a3 )y[−2] + b4 r[−3] + (−a4 )y[−3] x3 [0] = b3 r[−1] + (−a3 )y[−1] + x4 [−1] = b3 r[−1] + (−a3 )y[−1] + b4 r[−2] + (−a4 )y[−2] x4 [0] = b4 r[−1] + (−a4 )y[−1] . que. y[−2].12. L}. Assim. r[−L] ] com o vetor de estado inicial da representação de estados x[0] = [ x1 [0]. matricialmente.125) Para encontrar o vetor de estado inicial x̂[0]. · · · . pode-se facilmente relacionar os vetores de condições iniciais y CI = [ y[−1]. descrito por uma equação de diferença de ordem X = max{N. (6.114) para definir a relação entre as condições iniciais e o estado inicial. pode-se utilizar a transformação dada pela Equação 6. · · · . .124) Manipulando-se a Equação (6. Representações de um SLIT 6. utilizando-se a Forma Direta II Transposta de uma estrutura IIR e escrevendo- se a representação de estados com a matriz A na forma companheira III.130 Capı́tulo 6. fazendo-se n = −1 em (6. A. y[−N ] ] e r CI = [ r[−1].85. (6.13. 1 0 0 pode-se calcular T (D) = C [(D) I − A]−1 B + D −1 D 0 −a1 −a2 1 = [(b1 − b0 a1 ) (b2 − b0 a2 )] − + [b0 ] 0 D 1 0 0 −1 D + a1 a2 1 [(b1 − b0 a1 ) (b2 − b0 a2 )] + [b0 ] .126) na equação de saı́da.128) Por exemplo. (6. Equações de estado × operador de transferência 131 6. C = (b1 − b0 a1 ) (b2 − b0 a2 ) .13 Equações de estado × operador de transferência Dado um conjunto de equações de estado de um sistema. pode-se explicitar o vetor de estados x[n] através da seguinte manipulação da equação de próximo estado de um SLIT SISO: x[n + 1] = A · x[n] + B · r[n] → → x[n + 1] − A · x[n] = B · r[n] → → (D) x[n] − A · x[n] = B · r[n] → → (D) I · x[n] − A · x[n] = B · r[n] → → [(D) I − A] x[n] = B · r[n] → → x[n] = [(D) I − A]−1 B r[n] .127) onde T (D) = C [(D) I − A]−1 B + D . considerando-se um biquad descrito por y[n] = (−a1 ) y[n − 1] + (−a2 ) y[n − 2] + b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2] . 6.13. Por outro lado.6. é possı́vel obter o seu operador de transferência. B= . (6. obtém-se y[n] = C · x[n] + D · r[n] = C · [(D) I − A]−1 B r[n] + D · r[n] = C [(D) I − A]−1 B + D r[n] = T (D) r[n] . (6. D = [ b0 ] . Tais mapeamentos são abordados a seguir. (6.1 Das equações de estado para o operador de transferência Utilizando-se o operador de avanço unitário D{·}. dado o operador de transferência de um sistema.129) com sua descrição por equações de estado dada por −a1 −a2 1 A= .130) −1 D 0 TET / UFF . é possı́vel obter algumas formas diferentes para o seu conjunto de equações de estado.126) Substituindo-se (6. É importante notar que. (6. a Equação 6.131) 1 + a1 D−1 + a2 D−2 que é. 6.132 Capı́tulo 6. . o operador de transferência associado ao biquad descrito pela Equação 6. para um sistema genérico. a decomposição cascata e a decomposição paralela.13.130 pode ser reescrita como 1 D −a2 1 T (D) = [(b1 − b0 a1 ) (b2 − b0 a2 )] + [b0 ] P (D) 1 D + a 1 0 1 D = [(b1 − b0 a1 ) (b2 − b0 a2 )] + [b0 ] P (D) 1 1 = {(b1 − b0 a1 ) D + (b2 − b0 a2 )} + b0 P (D) {(b1 − b0 a1 ) D + (b2 − b0 a2 )} + b0 P (D) = P (D) (b1 − b0 a1 ) D + (b2 − b0 a2 ) + b0 (D2 + a1 D + a2 ) = D2 + a1 D + a2 b0 D 2 + b1 D + b2 = D 2 + a1 D + a2 b0 + b1 D−1 + b2 D−2 = . Decomposição direta (ou cascata de atrasadores unitários ou formas de Kalman) Com a aplicação de uma seqüência auxiliar v[n] sobre o operador de transferência T (D).V. de tal forma que P L −k y[n] b k=0 k D v[n] T (D) = = P .129. por definição.2 Do operador de transferência para as equações de estado Dependendo da decomposição adotada para o operador de transferência de um sistema. o polinômio P (D). denominado de polinômio caracterı́stico do sistema. é possı́vel obter algumas formas diferentes para o seu conjunto de equações de estado.S. −1 D D + a1 D + a2 1 D + a1 P (D) 1 D + a1 onde P (D) = D2 + a1 D + a2 .132) a0 k=1 a 0 A. são abordadadas a decomposição direta. r[n] N a D −k v[n] k=0 k obtêm-se as equações N ! 1 X 1 v[n] = r[n] + (−ak ) D−k v[n] (6. A seguir. Representações de um SLIT Uma vez que −1 D + a1 a2 1 D −a2 1 D −a2 = 2 = . representa o determinante calculado por P (D) = det ((D) I − A) = |(D) I − A| . .134).133) a0 k=1 a0 onde M = max{N..   . define-se a seguinte equação de saı́da: M b0 X b0 y[n] = r[n] + bk − ak xk [n] ...   ..   . xM [n + 1] = xM −1 [n] . .   .. obtém-se o conjunto de equações de estado definido por − a10 − aa20 − aa03 · · · − aMa0−1 − aaM0    a    1  x1 [n + 1] x1 [n] a  x2 [n + 1]   1 0 0 · · · 0 0   x2 [n]   00          x3 [n + 1]   0 1 0 ··· 0 0    x3 [n]   0       =  .. .. bem como atribuindo-se a saı́da de cada atrasador unitário a cada uma das M variáveis de estado xk [n] do sistema. ..134) De (6.   . . (6. Organizando-se os M atrasadores unitários D−1 {·} em uma estrutura cascata.102). (6. (6.99) e (6. Esse conjunto pode ser visto como um caso geral para aquele definido nas Equações (6. (6.136) na forma matricial.134). claramente..138) y[n] = b 1 − a 0 a1 b2 − a0 a2 · · · bM − a0 aM    .      xM −1 [n + 1]   0 0 0 ··· 0 0   xM −1 [n]   0  xM [n + 1] 0 0 0 ··· 1 0 xM [n] 0 (6.  xM [n] que. . ..136) a0 k=1 a0 Reescrevendo-se (6. L} é a ordem do sistema associado a T (D). .135) e (6. .13.. definem-se as seguintes equações de estado: M 1 X ak x1 [n + 1] = v[n] = r[n] + − xk [n] a0 k=1 a0 x2 [n + 1] = x1 [n] x3 [n + 1] = x2 [n] . . .   .6. .. TET / UFF .135) Por sua vez.. . −M D {v[n]} = xM [n] . (6.  r[n]     . Equações de estado × operador de transferência 133 e ! M b0 X b0 y[n] = r[n] + bk − ak D−k v[n] . . podem-se definir as seguintes associações: D−1 {v[n]} = x1 [n] D−2 {v[n]} = x2 [n] D−3 {v[n]} = x3 [n] . encontra-se em uma forma companheira.  +  ..  .133) e (6. . de (6.137) e   x1 [n] h i  x2 [n]  b0 b0 b0  + ab00 r[n] .132) e (6. . M −1 D {v[n]} = x2 [n] D−M {v[n]} = x1 [n] .140) a0 k=1 a 0 Por sua vez. . . . .143) que...140) e (6. Esse conjunto pode ser visto como um caso geral para aquele definido nas Equações (6. . define-se a seguinte equação de saı́da: M b0 X b0 y[n] = r[n] + bk − ak xM −k+1 [n] .  y[n] = bM − b0 aM · · · b2 − b0 a2 b1 − b0 a1  . ..109)..134 Capı́tulo 6..142) e   x1 [n] h i ..S. de (6. .     . .     . . a0 a0 a0  a0  xM −1 [n]  xM [n] (6. ..133) e (6... (6.  r[n]        . obtém-se o conjunto de equações de estado definido por        x1 [n + 1] 0 1 0 ··· 0 0 x1 [n] 0   x2 [n + 1]     0 0 1 ··· 0 0   x2 [n]     0    x3 [n + 1]   0 0 0 ··· 0 0  x3 [n]   0  = . .     .141) a0 k=1 a0 Reescrevendo-se (6. + . . . definem-se as seguintes equações de estado: x1 [n + 1] = x2 [n] x2 [n + 1] = x3 [n] x3 [n + 1] = x4 [n] . .   . claramente. ..139).106) e (6... Representações de um SLIT Um outro conjunto de equações de estado pode ser obtido ao se definir as associações D−1 {v[n]} = xM [n] D−2 {v[n]} = xM −1 [n] D−3 {v[n]} = xM −2 [n] .. (6.139) De (6. . +  b0 r[n] .139).V.132) e (6. encontra-se em uma forma companheira. .    xM −1 [n + 1]   0 0 0 ··· 0 1   xM −1 [n]   0  xM [n + 1] − aaM0 − aMa0−1 − aMa0−2 · · · − aa20 − aa10 xM [n] 1 a0 (6.141) na forma matricial. (6. A.. M 1 X ak xM [n + 1] = v[n] = r[n] + − xM −k+1 [n] . respectivamente. obtêm-se as relações yk [n] (1 − zk D−1 ) vk [n] T1k (D) = = . Definindo-se as variáveis de estado D−1 {vk [n]} = xk [n].147) TET / UFF . dada por M Y T (D) = KC · T1k (D) . Equações de estado × operador de transferência 135 Decomposição cascata (de operadores mais simples ou iterativa) Fatorando-se os polinômios numerador e denominador do operador de transferência. k=1 onde M é a ordem do sistema associado a T (D). rk [n] (1 − pk D−1 ) vk [n] yk [n] = vk [n] − zk D−1 {vk [n]} e rk [n] = vk [n] − pk D−1 {vk [n]} .13. a relação yKC [n] = KC r[n] .146) e yM [n] = xM [n + 1] − zM xM [n] = pM xM [n] + KC r[n] − zM xM [n] = (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] . pode-se reescrever as relações acima como yk [n] = xk [n + 1] − zk xk [n] e xk [n + 1] = pk xk [n] + rk [n] . Supondo-se M = N = L e uma organização em operadores T1k (D). (6. Aplicando-se a decomposição direta em cada operador T1k (D).144) N (1 − p −1 a k D −k k=1 kD ) k=0 onde zk e pk são. (6. bem como KC = ab00 . (6. há várias formas de se organizar as subfunções que surgem em tal fatoração. os zeros e os pólos de T (D). para o operador constante. (1 − pk D−1 ) o operador T (D) pode ser descrito por uma cascata de operadores T1k (D). de ordem 1.145) bem como.6. as relações xM [n + 1] = pM xM [n] + rM [n] = pM xM [n] + yKC [n] = pM xM [n] + KC r[n] (6. Portanto. podem-se definir. de tal forma que P L −k k=0 bk D QL −1 k=1 (1 − zk D ) = KC · Q N T (D) = P . tais como (1 − zk D−1 ) T1k (D) = . para k = M . 154) A.151) e.153) e y[n] = y1 [n] . .S.148) e yM −1 [n] = xM −1 [n + 1] − zM −1 xM −1 [n] = pM −1 xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] − zM −1 xM −1 [n] = (pM −1 − zM −1 ) xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] . finalmente. as relações x1 [n + 1] = p1 x1 [n] + r1 [n] = p1 x1 [n] + y2 [n] = p1 x1 [n] + (p2 − z2 ) x2 [n] + (p3 − z3 ) x3 [n] + · · · + (pM −1 − zM −1 ) xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] . (6. Representações de um SLIT para k = M − 1. para k = 1.149) para k = 2. (6. as relações xM −1 [n + 1] = pM −1 xM −1 [n] + rM −1 [n] = pM −1 xM −1 [n] + yM [n] = pM −1 xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] (6. as relações x2 [n + 1] = p2 x2 [n] + r2 [n] = p2 x2 [n] + y3 [n] = p2 x2 [n] + (p3 − z3 ) x3 [n] + (p4 − z4 ) x4 [n] + · · · + (pM −1 − zM −1 ) xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] (6. (6.152) y1 [n] = x1 [n + 1] − z1 x1 [n] = p1 x1 [n] + (p2 − z2 ) x2 [n] + (p3 − z3 ) x3 [n] + · · · + (pM −1 − zM −1 ) xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] − z1 x1 [n] = (p1 − z1 ) x1 [n] + (p2 − z2 ) x2 [n] + (p3 − z3 ) x3 [n] + · · · + (pM −1 − zM −1 ) xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] (6. (6.V.150) e y2 [n] = x2 [n + 1] − z2 x2 [n] = p2 x2 [n] + (p3 − z3 ) x3 [n] + (p4 − z4 ) x4 [n] + · · · + (pM −1 − zM −1 ) xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] − z2 x2 [n] = (p2 − z2 ) x2 [n] + (p3 − z3 ) x3 [n] + (p4 − z4 ) x4 [n] + · · · + (pM −1 − zM −1 ) xM −1 [n] + (pM − zM ) xM [n] + KC r[n] .136 Capı́tulo 6. . respectivamente.156)   ..    xM −1 [n + 1]   xM −1 [n]  xM [n + 1] xM [n] e   x1 [n]  x2 [n]  y[n] = C ·   + D · r[n] .. C= (p1 − z1 ) (p2 − z2 ) · · · (pM − zM ) .. Um outro conjunto de equações de estado pode ser obtido ao se definir as variáveis de estado por D−1 {vk [n]} = xM −k+1 [n].    .. . . .6. . Deve-se notar que a matriz Â assume a forma triangular inferior. Equações de estado × operador de transferência 137 As Equações (6.. a0 D = KC .154) conduzem ao seguinte conjunto de equações de estado:     x1 [n + 1] x1 [n]  x2 [n + 1]   x2 [n]       x3 [n + 1]   x3 [n]  =A·  + B · r[n] (6.  . claramente..     .   . (6.. encontra-se em uma forma triangular superior muito simples de se construir.155)      .. Ĉ = f liplr(C) e D̂ = D . . .         0 0 0 ··· pM −1 (pM − zM )     0 0 0 ··· 0 pM que. onde as funções flipud(M ) e fliplr(M ) realizam. obtêm-se as seguintes matrizes: Â = f lipud(f liplr(A)) . T B = KC KC KC · · · KC KC e   p1 (p2 − z2 ) (p3 − z3 ) · · · (pM −1 − zM −1 ) (pM − zM )       0 p2 (p3 − z3 ) · · · (pM −1 − zM −1 ) (pM − zM )         0 0 p3 ··· (pM −1 − zM −1 ) (pM − zM )   A=  .13. TET / UFF .  xM [n] onde b0 KC = .    . B̂ = B . . Nesse caso.. .145) a (6. as operações de espelhamento up-down e left-right da matriz M . . .  .159) De (6..161)    . chega-se ao conjunto de equações de estado definido por        x1 [n + 1] p1 0 · · · 0 x1 [n] 1  x2 [n + 1]   0 p2 · · · 0   x2 [n]   1   =  .  . rk [n] (1 − pk D−1 ) vk [n] yk [n] = Ck D−1 {vk [n]} e rk [n] = vk [n] − pk D−1 {vk [n]} . A. cada um deles com saı́da yk [n] e todos com a mesma entrada rk [n] = r[n]. obtêm-se as relações yk [n] Ck D−1 vk [n] T1k (D) = = .  +  . Supondo-se que o polinômio denominador de T (D) possua apenas raı́zes simples.. . (6.138 Capı́tulo 6. (6.. r[n] k=1 k=1 (D − pk ) k=1 (1 − pk D−1 ) o que representa um arranjo em paralelo de operadores T1k (D).160)         ..   .  . . Deve-se notar ainda que K ! K K X X X y[n] = T1k (D) r[n] = T1k (D) rk [n] = yk [n] . . ..  xK [n + 1] 0 0 · · · pK xK [n] 1 e   x1 [n]  x2 [n]  y[n] = C1 C2 · · · CK  + 0 r[n] . a expansão em frações parciais pode ser expressa por K K X Ck D−1 K y[n] X X Ck T (D) = = T1k (D) = = . (6. . (6. .  xK [n] que.V.   . ..157) k=1 k=1 k=1 Aplicando-se a decomposição direta em cada operador T1k (D).157). o mesmo pode ser fatorado em frações parciais. . Representações de um SLIT Decomposição paralela (de operadores mais simples) Dado um operador de transferência definido por uma função polinomial racional própria. de ordem 1..  r[n] (6. encontra-se em uma forma diagonal muito simples de se obter.159).158) e (6.S. pode-se reescrever as relações acima como yk [n] = Ck xk [n] (6.158) e xk [n + 1] = pk xk [n] + rk [n] . claramente. Definindo-se as variáveis de estado D−1 {vk [n]} = xk [n] .   . Calcule a resposta ao impulso h[n] de um SLIT não recursivo y[n] = Lk=0 bk · x[n − k] e P esboce o gráfico h[n] × n.6. • Os limites NyL < NyH de valores potencialmente não nulos de y[n]. 1. 2}. • x[−n] × n. com limite N2 . Dadas a constante ND ∈ N+ e a seqüência finita x[n] = {3. com limites N1L < N1H e N2L < N2H . 5. com valores não nulos apenas no intervalo N1L ≤ n ≤ N1H . onde x1 [n] e x2 [n] são seqüências finitas. Dado o sinal y[n] = x1 [n] ∗ x2 [n]. • x[n − ND ] × n. dadas as seguintes relações: • N1 L < N 1 H < N 2 L < N 2 H . TET / UFF . esboce os seguintes gráficos: • x[n] × n. 4. para n = {0. Exercı́cios propostos 139 6. e x2 [n] é uma seqüência bilateral. 3. • N1 L < N 2 L < N 1 H < N 2 H . e o sinal y[n] = x1 [n] ∗ x2 [n]. (c) x1 [n] é uma seqüência lateral esquerda. • x[n + ND ] × n. • N 1 L = N2 L < N 1 H = N 2 H . apresente exemplos gráficos das três seqüências e calcule o intervalo de valores potencialmente não nulos para o sinal y[n]. 6. • N2 L < N 2 H < N 1 L < N 1 H . Ajuste os limites da equação da soma de convolução y[n] = x1 [n] ∗ x2 [n]. 2.14. calcule: • A quantidade de valores potencialmente não nulos de y[n]. com limite N1 . um sinal x2 [n]. 2. assumindo que os sinais x1 [n] e x2 [n] possuem as seguintes caracterı́sticas: (a) x1 [n] e x2 [n] são seqüências bilaterais. respectivamente. • N2 L < N 1 L < N 2 H < N 1 H . • Associatividade. com valores não nulos apenas no intervalo N2L ≤ n ≤ N2H . 1}. • Distributividade à adição. • x[−n + ND ] × n. (b) x1 [n] é uma seqüência bilateral e x2 [n] é uma seqüência lateral direita. Prove que a soma de convolução y[n] = x[n] ∗ h[n] possui as seguintes propriedades: • Comutatividade. • x[−n − ND ] × n. respectivamente. Dados um sinal x1 [n]. com limites N1L < N1H e N2L < N2H . (d) x1 [n] e x2 [n] são seqüências finitas.14 Exercı́cios propostos 1. Dado um sinal genérico x[n].V. • Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. atenda aos seguintes itens: • Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. atenda aos seguintes itens: • Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. • Reescreva a equação de definição do sistema supondo que x[n] é desconhecida para n < 0 e que x[n] é conhecida para n ≥ 0. • Escreva h[n] em função do degrau unitário u[n]. Dado o sistema “acumulador” y[n] = k=−∞ x[k].S. ND ∈ Z. a partir das equações de diferença dos subsistemas. calcule o efeito da sua convolução com os seguintes sinais: (a) h[n] = δ[n + |ND |]. Dado o sistema “diferenças regressivas” y[n] = x[n] − x[n − 1]. Dado o sistema “diferenças progressivas” y[n] = x[n + 1] − x[n]. 1 PM2 9. (c) h[n] = δ[n − |ND |]. Representações de um SLIT 7. • Esboce o gráfico h[n] × n. A. • Esboce o gráfico h[n] × n. 13. • Reescreva a equação de definição do sistema na forma de uma equação de diferença finita. • Esboce o gráfico h[n] × n.140 Capı́tulo 6. Considere um sistema formado por uma associação cascata do subsistema “atrasador unitário” y[n] = x[n − 1] com o subsistema “diferenças progressivas” y[n] = x[n + 1] − x[n]. (b) h[n] = δ[n]. • Escreva h[n] em função do degrau unitário u[n]. Pn 10. M2 ∈ Z. Atenda aos seguintes itens: • Calcule a equação de diferença do sistema. • Esboce o gráfico h[n] × n. 8. −∞ < n < ∞. . • Calcule as respostas ao impulso h1 [n] e h2 [n] dos subsistemas. • Esboce o gráfico h[n] × n. 12. atenda aos seguintes itens: • Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. Dado o sistema “deslocador genérico” y[n] = x[n − ND ]. atenda aos seguintes itens: • Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. Dado o sistema “média móvel” y[n] = (M2 −M1 +1) k=M1 x[n − k]. a partir das respostas ao impulso dos subsistemas. M2 > M1 e M1 . atenda aos seguintes itens: • Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. 11. que o sistema “acumulador” e o sistema “diferenças regressivas” são sistemas inversos entre si. Prove. • Relacione o sistema em questão com o sistema “diferenças regressivas”. • Calcule os operadores de transferência T1 (D) e T2 (D) dos subsistemas. a resposta ao impulso h[n] do SLIT. dada a entrada x[n] = u[n − 5] − u[n − 12]. a partir dos operadores de transferência dos subsistemas. (e) Calcule. • Calcule o operador de transferência T (D) do sistema. 19. cujos valores não nulos são dados por x[−5 − 4 − 3] = [3 2 1]. para −∞ < n < ∞. Um filtro P de média móvel causal é um sistema definido pela seguinte equação de diferença: 1 (N −1) y[n] = N k=0 x[n − k]. onde u[n] é o degrau unitário. 14. (c) Calcule a resposta do SLIT para xG [n]. 18. Dado o SLIT definido por y[n] = 31 (16x[n − 4] + 8x[n − 5] + 4x[n − 6] + 2x[n − 7] + x[n − 8]). graficamente. esboce o gráfico de xG [n]×n. TET / UFF . Suponha que um dado sistema S seja definido pelo seguinte operador de transferência: T (D) = 4 (1 + D ) (1 − jD−1 ) (1 + jD−1 ). aS2 = [a0 ] = [1] e bS2 = [b0 b1 b2 ] = [0. (b) Calcule a resposta à entrada yent [n] de S. atenda aos seguintes itens: (a) Esboce o gráfico de h[n] × n relativo ao SLIT.4 0. (b) Dada a entrada xG [n] = G6 [n−10]. 16.1]. • Esboce as realizações na Forma Direta dos subsistemas. h2 [n] × n e h[n] × n. onde: aS1 = [a0 ] = [1].6 0.4 0. a resposta do SLIT à entrada x[n]. (f) Calcule.14. (b) Calcule a resposta à entrada do filtro yent [n]. 1 15. (c) Calcule a resposta ao impulso h1 [n] do subsistema S1. Um aluno de Processamento Digital dePSinais garante que consegue implementar o Filtro 4 de Média Móvel definido por y[n] = 91 k=−4 x[n−k] com um SLIT causal. matematicamente. para x[n] = u[n − 5] − u[n − 12].3 0. bS1 = [b0 b1 b2 ] = [0. Você concorda com ele? Justifique !!! 17. atenda aos seguintes itens: (a) Desenhe o diagrama de blocos genéricos do SLIT. (d) Calcule a resposta ao impulso h2 [n] do subsistema S2. • Esboce a realização na Forma Direta do subsistema. Atenda aos seguintes itens: 1 −1 (a) Calcule a resposta ao impulso h[n] de S. onde u[n] é o degrau unitário. algebricamente.2].6. Dado um SLIT composto por uma associação paralela de dois SLITs (S1 e S2) definidos por equações de diferença. Exercı́cios propostos 141 • Esboce os gráficos h1 [n] × n. (b) Desenhe o diagrama de sistema do SLIT. Considere N = 4 e atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a resposta ao impulso do filtro h[n]. P e F . TP (D) e TF (D). (g) Discuta como os zeros e os pólos de Tα . (d) Calcule o Operador de Transferência do ganho de malha aberta (open-loop gain). F }. usando os sistemas C. TC (D) = DC (D) . em função de TA (D). zP . pP . pF } ∈ R. graficamente. 22. Atenda aos seguintes itens: (a) Desenhe o diagrama de blocos genéricos do sistema S. e[n] = x[n] + (−f [n]). C.2]. definido por y[n] = TCLG (D) x[n]. Considere que {K. atenda aos seguintes itens: • Desenhe o diagrama de blocos genéricos do SLIT. definido por f [n] = TLG (D) e[n]. (c) Calcule o Operador de Transferência de cada subsistema: TC (D). (b) Calcule o ganho de malha aberta (open loop gain). • Calcule. (e) Calcule o Operador de Transferência do ganho de malha (loop gain). Atenda aos seguintes itens: (a) Desenhe o Diagrama de Blocos Genéricos de S. O subsistema P é definido por y[n] = pP y[n − 1] + a[n] − zP a[n − 1]. NS (D) (e) Calcule o operador de transferência TS (D) = DS (D) . TP (D) e TF (D). respectivamente NA (D) NC (D) definidos pelos seguintes operadores de transferência: TA (D) = DA (D) . a[n] = TC (D) e[n]. (c) Calcule o ganho de malha (loop gain). a resposta ao impulso h[n] do sistema. assuma que e[n] = r[n] − f [n]. Além disso. F }. O subsistema C é definido por a[n] = K e[n]. saı́da y[n] e composto pelos subsistemas C.142 Capı́tulo 6. bS1 = [b0 b1 b2 ] = [0. onde α = {A.V. zF . aS2 = [a0 ] = [1] e bS2 = [b0 b1 b2 ] = [0.1]. Dado um SLIT composto por uma associação cascata de dois SLITs (S1 e S2) definidos por equações de diferença. definido por y[n] = TOLG (D) e[n]. P e F . onde: aS1 = [a0 ] = [1].5 0. C. definido por f [n] = TLG (D) e[n]. a resposta do SLIT à entrada x[n].4 0. NS (D) (f) Expresse TS (D) = D S (D) exclusivamente em função dos polinômios Nα (D) e Dα (D). do sistema S. P. definido por y[n] = TOLG (D) e[n]. • Desenhe o diagrama de sistema do SLIT. (d) Calcule o ganho de malha fechada (closed loop gain). formado pela conexão dos sistemas A. • Calcule. Representações de um SLIT 20. graficamente. A. P. C. definido por y[n] = TCLG (D) r[n]. cujos valores não nulos são dados por x[2 3 4] = [3 2 1]. (b) Desenhe o Diagrama de Blocos Básicos de cada subsistema na Forma Direta II. .6 0. com entrada r[n]. NP (D) NF (D) TP (D) = D P (D) e TF (D) = D F (D) . O subsistema F é definido por f [n] = pF f [n − 1] + y[n] − zF y[n − 1]. P e F . uma saı́da y[n] e é definido pelas seguintes equações: x[n] = TA (D) r[n]. 21.S. y[n] = TP (D) a[n] e f [n] = TF (D) y[n]. Suponha o sistema S. (f) Calcule o Operador de Transferência do ganho de malha fechada (closed-loop gain).3 0. Suponha um sistema S. • Calcule a resposta ao impulso h1 [n] do subsistema S1. formam os zeros e os pólos de TS (D). Considere que S possui uma entrada r[n]. • Calcule a resposta ao impulso h2 [n] do subsistema S2. onde α = {A. TC (D). 6. para uma dada equação de diferença. • Apresente a equação de diferença do sistema: y[n] = f (x[n − k]. é possı́vel apresentar seis estruturas. a2k . K2 > 0. considerando que os atrasadores possam ser inicializados com suas respectivas condições iniciais. TET / UFF . · · ·. com condições iniciais y[−1] = y−1 . mostre que o sistema SISO não relaxado é equivalente a um sistema PN MISO relaxado. em blocos básicos e em diagramas de fluxo de sinal (SFG). (f) EEFDT transposta. usando. (d) Estrutura das Equações de Estado escritas a partir da FDT (EEFDT). como exemplo. Proponha uma realização não recursiva. • Adapte cada estrutura do item anterior. onde xy−k [n] = y−k · N P j=k (−aj ) · δ[n − (j − k)]. as quais são pictoricamente diferentes entre si: (a) Forma Direta (FD). para K1 = 2 e K2 = 3.PL descrito pela equação PN de diferença modificada y[n] = − k=1 ak · y[n − k] + k=0 bk · x[n − k] + k=1 xy−k [n]. • A partir das estruturas do item anterior. (c) Estrutura das Equações de Estado escritas a partir da FD (EEFD). 23. considerando as seguintes formas: – Forma direta I. com cada entrada possuindo o seu próprio subsistema de elementos básicos de sistema. P 1 K2 24. 26. L ≥ 0. um sistema com três atrasadores. y[−2] = y−2 . onde r[n] e y[n] são. para N = 1. • Redesenhe cada estrutura do item anterior. respectivamente. atenda aos seguintes itens: • Apresente a equação de diferença de cada seção: y1 [n] = f1 (x1 [n − k]. b1k ) e y2 [n] = f2 (x2 [n − k]. N = 2 e N = 3. a sua entrada e a sua saı́da. Seja o SLIT definido por y[n] = K2 −(−K 1 )+1 k=−K1 r[n − k]. bk ). y[−N ] = y−N e x[n] = f [n] · u[n]. na Forma Direta. Um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que. • Desenhe a realização de cada seção. y[−1] = y[−2] = · · · = y[−N ] = 0. para K1 . Dado um sistema SISO descrito por y[n] = − N P PL k=1 ak · y[n − k] + k=0 bk · x[n − k]. que utilize deslocadores apenas do tipo atrasador. a1k . Dado um SLIT formado por uma associação cascata de duas seções não recursivas de 2a ordem. interpretando-as como sistemas MISO relaxados. com condições iniciais nulas. não recursiva.14. ak . onde N > 0. atenda aos seguintes itens: • Desenhe sua estrutura na Forma Direta I. com coeficientes constantes. Exercı́cios propostos 143 (g) Calcule a Equação de Diferença que define S. b2k ). – Forma direta I transposta. (e) EEFD transposta. A afirmativa é correta? Justifique. 25. linear. (b) Forma Direta Transposta (FDT). considerando que o conteúdo de um atrasador possa ser apenas anulado e aplicando a condição inicial como entrada extra. (i) Apresente a equação de diferença ED2 associada ao operador T2 (D). • Calcule a resposta ao impulso do sistema. h[n]. identificando os parâmetros K2 . passo a passo. – Forma direta I transposta. • ED0 (D) × ED1 (D) e F DI0 (D) × F DI1 (D). para r[n] = f [n] · u[n]. relaxado e descrito pela equação de diferença k=0 ak y[n − k] = k=0 bk r[n − k]. z e p. (c) Apresente a estrutura Forma Direta II F DII0 associada a T0 (D) e ED0 . (j) Apresente a estrutura Forma Direta I F DI2 associada a T2 (D) e ED2 . 1+dD−1 (h) Apresente T0 (D) na forma T2 (D) = K2 · 1+cD−1 .144 Capı́tulo 6. a partir de suas equações de diferença. • T0 (D) × T2 (D) e F DI0 (D) × F DI2 (D). na Forma Direta I. d e c. • ED0 (D) × ED2 (D) e F DI0 (D) × F DI2 (D). sem alterar os coeficientes originais e associando um multiplicador para cada coeficiente da equação original. • T1 (D) × T2 (D) e F DI1 (D) × F DI2 (D). h1 [n] e h2 [n]. (d) Apresente T0 (D) na forma T1 (D) = K1 · D−z D−p . modifique a estrutura proposta para incorporá-las na representação. h[n].V. com a0 6= 0 e N = 3. utilizando um processo de convolução. em blocos básicos e em diagramas de fluxo de sinal (SFG). y[−2] = y−2 e y[−3] = y−3 . Dado um sistema linear PNe invariante ao deslocamento PN (SLIT). • Calcule a resposta ao impulso de cada seção. 27. a partir de sua equação de diferença. atenda aos seguintes itens: (a) Desenhe a estrutura que descreve o SLIT em questão. . • T0 (D) × T1 (D) e F DI0 (D) × F DI1 (D). • Calcule a resposta ao impulso do sistema. (f) Apresente a estrutura Forma Direta I F DI1 associada a T1 (D) e ED1 . (k) Apresente a estrutura Forma Direta II F DII2 associada a T2 (D) e ED2 . (e) Apresente a equação de diferença ED1 associada ao operador T1 (D). Representações de um SLIT • Desenhe a realização do sistema formado por uma única seção. Dado o operador de transferência T0 (D) = 1+a1 D−1 . identificando os parâmetros K1 . graficamente. (b) Apresente a estrutura Forma Direta I F DI0 associada a T0 (D) e ED0 .S. (l) Compare as manipulações realizadas entre: • T0 (D) × T1 (D) e ED0 (D) × ED1 (D). b0 +b1 D−1 28. atenda aos seguintes itens: (a) Apresente a equação de diferença ED0 associada ao operador T0 (D). onde y−k ∈ R. A. (b) Supondo a existência das condições iniciais y[−1] = y−1 . considerando as seguintes formas: – Forma direta I. • T0 (D) × T2 (D) e ED0 (D) × ED2 (D). (g) Apresente a estrutura Forma Direta II F DII1 associada a T1 (D) e ED1 . • T1 (D) × T2 (D) e ED1 (D) × ED2 (D). Dado o biquad definido por b0 + b1 D−1 + b2 D−2 (D − z1 ) · (D − z2 ) (1 + d1 D−1 ) · (1 + d2 D−1 ) T (D) = = K1 · = K2 · . e atenda aos seguintes itens: (a) Utilizando apenas as equações de diferença. a partir da Equação (6. K1 } e {dk . 31.163). Dado um sistema linear PN e invariante ao P deslocamento (SLIT). relaxado.00 4. Calcule o operador de transferência T2 (D) do sistema S2 . a = [a0 a1 a2 ] = [1. A resposta ao impulso h[n] do sistema S. iii. ii.12 1. 29. K2 }. – Forma direta I transposta.162) y2 [n] = b20 x2 [n] + b21 x2 [n − 1] + b22 x2 [n − 2] + b23 x1 [n − 3] (6. calcule: i. iii.50 5. graficamente.162). Calcule o operador de transferência T1 (D) do sistema S1 . ck . Dados os sistemas S1 e S2 . onde y1 [n] = x2 [n]. Esboce o gráfico h1 [n] × n. considere um sistema S formado pelo arranjo em cascata de S1 e S2 .164) 30.164).163) ck v[n − 1] = ck Dk {v[n]} = ck Dk v[n] (6. atenda aos seguintes itens: TET / UFF . descritos pelas Equações (6. a resposta ao impulso h[n] do sistema S. desenhe as seguintes realizações. descrito pela equação de diferença k=0 ak y[n − k] = N k=0 bk r[n − k]. a partir de T (D). A equação de diferença do sistema S. realize as seguintes operações: i. a partir da Equação (6. A resposta ao impulso h2 [n] do sistema S2 . respectivamente. com N = 2. ii. (b) Realize as seguintes operações gráficas: i. Calcule a equação de diferença do sistema S.00] e b = [b0 b1 b2 ] = [0. {zk . a0 + a1 D−1 + a2 D−2 (D − p1 ) · (D − p2 ) (1 + c1 D−1 ) · (1 + c2 D−1 ) atenda aos seguintes itens: • Calcule a relação entre os conjuntos de parâmetros das fatorações. passo a passo. ii.162) e (6. pk . Calcule. iii.14.00 2. y1 [n] = b10 x1 [n] + b11 x1 [n − 1] + b12 x1 [n − 2] + b13 x1 [n − 3] (6. – Forma direta II.6. A resposta ao impulso h1 [n] do sistema S1 . (c) Utilizando apenas a notação operacional definida na Equação (6. – Forma direta II transposta. iv. Exercı́cios propostos 145 • ED1 (D) × ED2 (D) e F DI1 (D) × F DI2 (D). e o conjunto de parâmetros originais {bk . a partir de T1 (D) e T2 (D). de tal forma que cada multiplicador seja associado a apenas um dos coeficientes da equação de diferença: – Forma direta I. utilizando blocos básicos e diagramas de fluxo de sinal (SFG). ak }.163). • Para a forma original e para as duas fatorações. Esboce o gráfico h2 [n] × n. Calcule o operador de transferência T (D) do sistema S.00]. iv. Em cada um dos itens acima. (c) Escreva as equações de diferença dos três subsistemas definidos no item (b). sem alterar os coeficientes. de tal forma que cada multiplicador seja associado a apenas um dos coeficientes da equação de diferença: A. 37. Você concorda com ele? Justifique !!! 35. Representações de um SLIT (a) Apresente o Operador de Transferência T (D) do sistema original. Dado um SLIT. Assumindo o significado original para o termo “forma canônica” de uma estrutura. w[n]+0. com os subsistemas representados na Forma Direta II. relacionando apenas y[n] e r[n].1s[n−1] e s[n] = r[n] + 0. na Forma Direta I. Dado um SLIT.2r[n − 1]. w[n]+0. w[n]+0. desenhe as seguintes realizações.2w[n−1] = v[n]+0. 33. As afirmativas são corretas? Justifique. com coeficientes constantes genéricos.3v[n − 1] = s[n] + 0.4w[n−1].2r[n − 1]. Ele garante o mesmo para a associação paralela.4v[n − 1].S. v[n]+0. um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que: i) toda estrutura associada a uma equação de diferença recursiva é não canônica e ii) toda estrutura associada a uma equação de diferença não recursiva é canônica. descritos por equações de diferença lineares. considerando a descrição apresentada no item (b).146 Capı́tulo 6.3v[n−1]. (b) Calcule h[n] do sistema. são sempre não canônicas. Dado um SLIT definido por uma equação de diferença. relacionando apenas y[n] e r[n]. utilizando blocos básicos e diagramas de fluxo de sinal (SFG).1r[n − 1]. 36. você concorda com ele? Justifique !!! 34.1s[n − 1] e s[n] = r[n] + 0. 38. um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que a associação cascata de subsistemas gera sempre um sistema de ordem superior à ordem de cada subsistema utilizado. v[n]+0.4v[n−1]. composto pelos subsistemas definidos pelas equações de diferença y[n] = w[n]+0. Trabalhando com sistemas lineares e invariantes ao deslocamento (SLITs) genéricos. Um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que: (a) As realizações de um SLIT do tipo FIR são sempre canônicas. . atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a equação de diferença global do sistema. (d) Esboce o Diagrama de Sistema do sistema completo.3v[n−1] = s[n]+0.3w[n−1]. com N = L = 3 e a0 6= 1.2w[n−1] = v[n]+0.2w[n−1] = v[n] + 0. é garantidamente do tipo FIR. v[n] + 0. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a equação de diferença global do sistema.3w[n−1]. (b) As realizações de um SLIT do tipo recursivo.V. 1−z1 D−1 1−z2 D−1 (b) Escreva T (D) na forma T (D) = (K) · 1−p 1D −1 · 1−p2 D−1 . As afirmativas são corretas? Justifique. (b) Calcule h[n] do sistema. onde |z2 | > |z1 | e |p2 | > |p1 |.3v[n−1] = s[n]+0. 32.2s[n−1] e s[n] = r[n] + 0. Um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que o SLIT composto pelos subsistemas definidos pelas equações de diferença y[n] = w[n]+0. composto pelos subsistemas definidos pelas equações de diferença y[n] = w[n]+0. considerando cada seção nas seguintes formas: – Forma direta I.169) 1 + a1k · D−1 1 + 2k=1 dk2 · D−k P k=3 e (D−k ) · x[n] = D−k {x[n]} = x[n − k] . – Forma direta II. (6.168) 1 + a 1k · D P −k k=1 1 + k=1 dk1 · D 4 ! P2 −k Y b0k + b1k · D−1 k=0 ck2 · D T2 (D) = = . atenda aos seguintes itens: • Apresente a equação de diferença de cada seção. considerando cada seção nas seguintes formas: – Forma direta I. atenda aos seguintes itens: • Apresente a equação de diferença de cada seção. em blocos básicos e em diagramas de fluxo de sinal (SFG). – Forma direta II. • Forma direta I transposta. em blocos básicos e em diagramas de fluxo de sinal (SFG). (6. 39. • Forma direta II. Suponha o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT). Dado um SLIT formado por uma associação cascata de uma seção de 1a ordem (N = L = 1) e de uma seção de 2a ordem (N = L = 2). Exercı́cios propostos 147 • Forma direta I. relaxado. – Forma direta II transposta. Dado um SLIT formado por uma associação cascata de duas seções de 2a ordem (N = L = 2). • Apresente a equação que descreve o sistema. (6. • Desenhe a realização do sistema. • Apresente a equação que descreve o sistema. • Desenhe a realização do sistema. – Forma direta I transposta. definido por 4 ! Y b0k + b1k · D−1 y[n] = −1 · x[n] = T (D) · x[n] (6. (6.167) k=1 1 + a1k · D−1 2 ! P2 −k Y b0k + b1k · D−1 k=0 ck1 · D T1 (D) = −1 = 2 .6.165) 1 + a 1k · D k=1 ou por y[n] = (T1 (D) · T2 (D)) · x[n] . 41. – Forma direta I transposta.14. 40. • Forma direta II transposta. – Forma direta II transposta.166) onde ! 4 Y b0k + b1k · D−1 T (D) = . (6.170) Atenda aos seguintes itens: TET / UFF . (6. Representações de um SLIT (a) Para cada bloco de ordem 1 da Equação (6. Realização na Forma Direta I. ii. relaxado. Realização na Forma Direta II transposta. Suponha o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT).172) 1 + a 1k · D k=1 ou por y[n] = (T1 (D) + T2 (D)) · x[n] . Realização na Forma Direta I. vi. as seguintes descrições: i.148 Capı́tulo 6. iv. Realização na Forma Direta II. (6. Realização transposta das equações de estado apresentadas.173) onde ! 4 X b0k + b1k · D−1 T (D) = −1 . Realização na Forma Direta I transposta. viii. (c) Para cada bloco de ordem 2 da Equação (6. vi. com os coeficientes clm e dlm . Equações de estado (formas canônicas). iii. iv. v. apresente as seguintes descrições: i. com os coeficientes alm e blm . iv.165).174) 1 + a 1k · D k=1 2 ! P2 X b0k + b1k · D−1 −k k=0 ck1 · D T1 (D) = −1 = 2 . Realização na Forma Direta I transposta. apresente as seguintes descrições: i. Realização das equações de estado apresentadas. Realização na Forma Direta II transposta.S.175) 1 + a 1k · D P −k k=1 1 + k=1 dk1 · D A. iii.166). . v. iii. definido por 4 ! X b0k + b1k · D−1 y[n] = −1 · x[n] = T (D) · x[n] (6. Equação de diferença. (b) Para cada bloco de ordem 2 da Equação (6.171) k=1 k=0 e apresente. Realização na Forma Direta II. Realização transposta das equações de estado apresentadas. ii. ii. (d) Obtenha a equação de diferença na forma 4 X 4 X y[n] = (−αk ) · y[n − k] + βk · x[n − k] (6.166). calcule os coeficientes clm e dlm . v. Realização na Forma Direta I transposta. Realização na Forma Direta II. Realização das equações de estado apresentadas. 42.V. para (6. Realização na Forma Direta I. Realização na Forma Direta II transposta. vii.171). Equação de diferença. Equações de estado (formas canônicas). vii. (6. Realização das equações de estado apresentadas. iv. Realização na Forma Direta II. . Logo. Realização das equações de estado apresentadas. Realização transposta das equações de estado apresentadas. Exercı́cios propostos 149 4 ! P2 −k X b0k + b1k · D−1 k=0 ck2 · D T2 (D) = = . .70v[n − 1] + 0. vi.172). Equação de diferença. Realização na Forma Direta II. apresente as seguintes descrições: i. . v. definidos pelas seguintes equações de diferença: i) v[n] = r[n] +0. com os coeficientes alm e blm .173). ii. (b) Para cada bloco de ordem 2 da Equação (6. Equações de estado (formas canônicas). 43. vii.50y[n − 1] + 0. (d) Obtenha a equação de diferença na forma 4 X 4 X y[n] = (−αk ) · y[n − k] + βk · x[n − k] (6. tem uma dúvida. (6.178) k=1 k=0 e apresente.178). com entrada r[n] e saı́da y[n]. Realização na Forma Direta I transposta. iii. v. Realização na Forma Direta II transposta. (c) Para cada bloco de ordem 2 da Equação (6. iii.02r[n − 2] e ii) y[n] + 0. Realização na Forma Direta II. o filtro digital IIR em questão. Atenda aos seguintes itens: TET / UFF . o aluno garante que ele tem uma resposta ao impulso finita. . Realização na Forma Direta I transposta. Realização na Forma Direta I. com boa base matemática. Realização na Forma Direta II transposta. com os coeficientes clm e dlm . . A dúvida é baseada no fato de que. O trecho de um documento extremamente confiável diz que “. vi.12v[n − 2]. é composto por um arranjo em cascata de dois subsistemas. Um aluno de Processamento Digital de Sinais. as seguintes descrições: i. Realização na Forma Direta I transposta. iii. Realização na Forma Direta II transposta. para (6. (6.6.06y[n − 2] = v[n] + 0. iv. vii. Equações de estado (formas canônicas).177) Atenda aos seguintes itens: (a) Para cada bloco de ordem 1 da Equação (6. calcule os coeficientes clm e dlm .30r[n − 1]+ 0.14.173). Realização na Forma Direta I.176) 1 + a1k · D−1 1 + 2k=1 dk2 · D−k P k=3 e (D−k ) · x[n] = D−k {x[n]} = x[n − k] . ”. Realização transposta das equações de estado apresentadas. apresente as seguintes descrições: i. embora o texto denomine o filtro de IIR. v. Realização na Forma Direta I. iv. ii. Equação de diferença. viii. ii. −0.3. 44.70y[n − 1] + 0. é composto por um arranjo em cascata de três subsistemas. formado pela conexão em cascata dos sistemas S1 . de cada subsistema.5 + j0. Suponha os sistemas S1 . e iii) w[n] + 1. Atenda aos seguintes itens: (a) Esboce o Diagrama de Pólos e Zeros (DPZ) de T1 (D). k ∈ Z. com entrada r[n] e saı́da y[n]. onde K = {K1 . z = {z1 .3.2.4} e p = {p1 . S2 e S3 .1. 47.80v[n − 1] + 0.5}. definidos pelas seguintes equações de diferença: i) y[n] = v[n] + 0. empregando os numeradores e os denominadores dos operadores de transferência tal qual eles foram definidos. definidos pelos seguintes operadores de transferência: N1 (D) N2 (D) T1 (D) = D1 (D) = [K1 (1 − z1 D−1 ) (1 − z2 D−1 )].V. (b) Calcule o operador de transferência do sistema T+ (D). T2 (D) = D2 (D) = [K2 (1−p1 D−11) (1−p2 D−1 )] N3 (D) e T3 (D) = D 3 (D) = [K3 (1−p3 D−11) (1−p4 D−1 )] . em função de avanços.150 Capı́tulo 6.80w[n − 1]+ 0.3v[n − 1] + 0. com coeficientes constantes (onde a0 6= 0). e a notação simplificada ck Dk v[n] = ck Dk {v[n]} = ck v[n + k].5. K2 . r[n]) para o filtro completo e desenhe o diagrama de sistema (em uma Forma Direta) para a equação calculada. 45. T2 (D) e T3 (D).12y[n − 2] = v[n] + 0. (c) Calcule as dimensões das matrizes das equações de estado de cada subsistema. com ordem N = L e condições iniciais nulas. z2 } = {−0. −0. S2 e S3 .06v[n − 2] = w[n]. 1 ≤ k ≤ 3. ii) v[n] + 0. Suponha ainda o sistema S. Atenda aos seguintes itens: (a) Calcule os operadores de transferência Tk (D). (c) Esboce o gráfico da resposta ao impulso do sistema completo h[n] × n. de cada subsistema.5}. Atenda aos seguintes itens: (a) Calcule os operadores de transferência Tk (D). envolvendo os sinais r[n] e y[n]. Assuma o operador atraso unitário D−1 {·}.S.02v[n − 2]. 46. definido por D−1 {v[n]} = v[n − 1]. definidos pelas seguintes equações de diferença: i) y[n] + 0. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule o operador de transferência do sistema T (D).12v[n − 2] = w[n] + 0. ii) v[n] + 0. de tal forma que y[n] = T+ (D) r[n]. (c) Relacione os coeficientes de T (D) com os coeficientes de T+ (D). (b) Calcule o operador de transferência T (D) do sistema completo. é composto por um arranjo em cascata de três subsistemas. −0. recursiva.30r[n − 1] + 0. A.5 − j0.50v[n − 1] + 0. linear. 1 ≤ k ≤ 3.12r[n − 2]. com entrada r[n] e saı́da y[n].30v[n − 1] + 0. S2 e S3 . de tal forma que y[n] = T (D) r[n]. (c) Desenhe a estrutura na Forma Direta II (FDII) de S1 . −0. Um SLIT. definido por D{v[n]} = v[n + 1].15w[n − 2]. e iii) w[n] = r[n] + 0.02v[n − 2]. (d) Calcule as dimensões das matrizes das equações de estado do sistema completo. (b) O aluno está correto na sua afirmativa? Justifique. o operador avanço unitário D{·}. . −0.70r[n − 1] + 0. p3 . p4 } = {−0.40w[n − 2] = r[n] + 1.2. (b) Calcule o operador de transferência T (D) do sistema completo. K3 } = {−0. Um SLIT.30w[n − 1] + 0. em função de atrasos. S2 e S3 . Representações de um SLIT (a) Calcule a equação de diferença y[n] = f (y[n]. p2 . (b) Calcule a Equação de Diferença (ED) de S1 . (d) Justifique a resposta ao impulso encontrada. Dada uma equação de diferença.42r[n − 2]. 0. B. calcule as matrizes A. • Na elaboração do desenho de cada estrutura. atenda aos seguintes itens: T • Na Forma Direta II. não altere os coeficientes da sua ED e represente cada coeficiente por apenas um multiplicador. 50. desenhe a estrutura equivalente. considere o vetor de estados x[n] = x1 [n] x2 [n] . atenda aos seguintes itens: (a) Partindo da estrutura na Forma Direta. onde a = [a0 ] = [1]. de tal forma que seja mantida a mesma associação entre as variáveis de estado e os atrasadores unitários empregada na Forma Direta II (Dk−1 ↔ xk ). Dado um SLIT definido por uma equação de diferença. T • Na Forma Direta II transposta.6. • Apresente cada ED na seguinte forma: N P PL k=0 ak y[n − k] = k=0 bk x[n − k]. C e D e escreva as equações de estado do sistema. Observações: • Em caso de singularidades (zeros e pólos) múltiplos. para 1 ≥ k ≥ N .14. atrasador unitário). com a0 6= 0 e N = 2. calcule a nova 1 2 descrição de estados do sistema. de tal forma que y[n] = b0 v[n] + b1 x2 [n] + b2 x1 [n]. multiplicador. atenda aos seguintes itens: (a) Defina o sistema por meio de um conjunto de equações de estado. r[n]). (g) Desenhe a FDII de S. na forma de blocos básicos (somador. considere o vetor de estados x[n] = x1 [n] x2 [n] . Dado um P sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT). 1 1 (b) Supondo a mudança de estados dada por x̂[n] = x[n]. escreva o número relativo à sua multiplicidade. 48. (e) Esboce o DPZ de T (D). calcule as matrizes A. calcule h[n] e prove que o SLIT é do tipo Finite Impulse Response (FIR) ou Infinite Impulse Response (IIR). descreva o sistema por equações de estado. (f) Calcule a ED de S. Dado um sistema linear PNe invariante ao deslocamento PN (SLIT). ak xk [n]. junto a ela. (c) A partir da nova descrição de estados do sistema. 49. onde x[n] é o vetor de estados. com N = L = 2 e a0 6= 1. TET / UFF . (b) Utilizando as equações de estado propostas. C e D e escreva as equações de estado do sistema. B. usando uma notação simplificada para o valor de cada multiplicador. tal que y[n] = f (a0 . b0 . descrito pela equação de N PL diferença k=0 ak y[n − k] = k=0 bk r[n − k]. e b = [b0 b1 b2 b3 b4 ]. bk xk [n]. faça uma única marcação no DPZ e. relaxado e descrito pela equação de diferença k=0 ak y[n − k] = k=0 bk r[n − k]. Exercı́cios propostos 151 (d) Calcule T (D) de S. y[n] e v[n] são. Ĉ. definido pelas matrizes S = . atenda aos seguintes itens: 0 0  1 0 0 0 A. 0. B.   0 0 0 1  0 0 1 0  56.152 Capı́tulo 6. b3 } = {0. −0. encontre o seu grafo transposto GTS . onde k=0 k b = {b0 . que descrevem o SLIT em questão. (b) Calcule as novas matrizes Â. onde P P r[n]. em uma forma direta. Dado um SLIT descrito pelo vetor de estados x[n] = x 1 [n] x2 [n] e pelas matrizes a11 a12 b1 A = . que também definem S. P3 b D−k 53. .B = .S. Dado um sistema linear PNe invariante ao deslocamento PN (SLIT). a4 } = {1. B̂. Dada a matriz Q =   0 1 . Dado o SLIT definido por y[n] = 4k=0 bk v[n − k] e v[n] = 4k=1 (−ak )v[n − k] + r[n]. descreva o sistema por equações de estado. Dado o sistema S. 0. atenda aos seguintes itens: (a) Desenhe as estruturas na Forma Direta I.5. a3 . (b) A partir da estrutura na FDIIT onde xk [n − 1] é uma função direta de ak e bk . destacando as matrizes A. a entrada. D̂ e Ŝ. considere o novo vetor a21 a22 b2 T T de estados x̂[n] = x̂1 [n] x̂2 [n] = (x1 [n] − x2 [n]) (x1 [n] + x2 [n]) e atenda aos seguintes itens: (a) Calcule as matrizes Q e Q−1 . Ĉ e D̂. que definem o sistema S. −1} e a = {a0 .3.2}. a2 . calcule a 1 0 0 nova descrição de estados do sistema. calcule uma representação para S por meio de Equações de Estado. para 1 ≤ k ≤ N . usando um grafo de fluxo de sinal GS . definido pelo Operador de Transferência T (D) = P4k=0 ak D−k . C e D. associando um multiplicador para cada coeficiente da equação original.V. a saı́da e uma variável interna. B = . b1 . indicando a relação matricial existente entre elas. considerando o seguinte vetor de estados: x[n] = [x1 [n] x2 [n] x3 [n] x4 [n]]T = [v[n − 1] v[n − 2] v[n − 3] v[n − 4]]T . b2 . calcule as novas matrizes Â.7. A B a11 a12 b1 55. 0. a partir delas. atenda aos seguintes itens: (a) Escreva as equações de estado de S e. na Forma Direta II e na Forma Direta II Transposta (FDIIT). Dado o sistema S. (c) A partir de GTS . −0. respectivamente. 52. T 54.   0 0 1 (c) Supondo a mudança de estados definida por x̂[n] =  0 1 0  x[n]. desenhe a estrutura do sistema relaxado. C = c1 c2 e D = d . (d) Compare as matrizes S e Ŝ.A= . a1 . C D a21 a22 b 2 C = c1 c2 e D = [ d ]. de mudança de vetores de estado x[n] ←→ x̂[n]. com a0 6= 0 e N = 3. Representações de um SLIT 51. relaxado e descrito pela equação de diferença k=0 ak y[n − k] = k=0 bk r[n − k]. calcule as matrizes do equacionamento de estados. B̂. (b) A partir de GS . 1. através das operações abaixo e compare os resultados com as matrizes Â. são obtidas as matrizes Â. na Forma Direta II. Obtenha as matrizes Af . Justifique o resultado da comparação. B̂f . B̂f . Justifique o resultado da comparação. na Forma Direta II Transposta. C e D. as operações de espelhamento up-down e left-right da matriz M . Suponha que as funções flipud(M ) e fliplr(M ) realizam. B. Af = f lipud(f liplr(Â)) Af = f liplr(f lipud(Â)) B f = f lipud(B̂) C f = f liplr(Ĉ) D f = D̂ 59. Exercı́cios propostos 153 • Calcule a matriz inversa Q−1 . respectivamente. Cf e Df . Ĉf e D̂f . Ĉ e D̂. Obtenha as matrizes Âf . Justifique o resultado da comparação. são obtidas as matrizes A. através das operações abaixo e compare os resultados com as matrizes A. Suponha que as funções flipud(M ) e fliplr(M ) realizam. através das operações abaixo e compare os resultados com as matrizes Â. com matriz Â na forma companheira IV. sobre a a matriz M . A partir de uma estrutura IIR. Bf .14. em ambas as ordens de aplicação.6. Obtenha as matrizes Âf . com matriz A na forma companheira I. • Prove que a multiplicação QM Q−1 equivale a aplicar as operações de espelhamento up-down e left-right. • Prove que a multiplicação M Q−1 equivale a aplicar a operação de espelhamento left-right sobre a a matriz M . C e D. Âf = f lipud(f liplr(A)) Âf = f liplr(f lipud(A)) B̂f = f lipud(B) Ĉf = f liplr(C) D̂f = D TET / UFF . B̂. as operações de espelhamento up-down e left-right da matriz M . A partir de uma estrutura IIR. A partir de uma estrutura IIR. Suponha que as funções flipud(M ) e fliplr(M ) realizam. Ĉ e D̂. respectivamente. na Forma Direta II. as operações de espelhamento up-down e left-right da matriz M . são obtidas as matrizes A. C e D. B. com matriz Â na forma companheira II. 57. com matriz A na forma companheira III. Âf = f lipud(f liplr(A)) Âf = f liplr(f lipud(A)) B̂f = f lipud(B) Ĉf = f liplr(C) D̂f = D 58. B. • Prove que a multiplicação QM equivale a aplicar a operação de espelhamento up-down sobre a a matriz M . respectivamente. com matriz A na forma companheira I. B̂. com matriz Â na forma companheira II. Ĉ e D̂. B̂. Ĉf e D̂f . b1 . Como resultado. • O estado inicial xi = [ x1 [0]. a1 . As equações apresentadas representam um possı́vel conjunto de equações de estado para o SLIT em questão? Justifique. Ĉ e D̂. . r.180)    x5 [n]  x6 [n]     x1 [0] 0  x2 [0]   0       x3 [0]   0  x[0] =   =  (6. a. bL ] da equação de diferença que o define. B̂. xf ] = f ilter (b. as operações de espelhamento up-down e left-right da matriz M . relaxado. através das operações abaixo e compare os resultados com as matrizes A. b2 .S.181)  x 4 [0]   0      x5 [0]   0  x6 [0] 0 62. com matriz Â na forma companheira IV. com matriz A na forma companheira III. são obtidas as matrizes Â. A sintaxe [y. aN ] e b = [b0 . · · · . Representações de um SLIT 60. · · · . Suponha que as funções flipud(M ) e fliplr(M ) realizam. a3 ] e b = [b0 .179)  =   x4 [n + 1]   0 0 0 0 0 0         x5 [n + 1]   0 0 0 1 0 0   x5 [n]   0  x6 [n + 1] 0 0 0 0 1 0 x6 [n] 0   x1 [n]  x2 [n]     x3 [n]  y[n] = (−a1 ) (−a2 ) (−a3 ) b1 b2 b3 ·   x4 [n]  + [b0 ] · r[n]  (6. b3 ]. r[1].154 Capı́tulo 6. B. a partir de sua descrição dada pela Forma Direta I. Justifique o resultado da comparação. Cf e Df . • A entrada r = [ r[0]. C e D. recursivo. · · · . respectivamente.179) – (6. x2 [0]. A partir de uma estrutura IIR. Af = f lipud(f liplr(Â)) Af = f liplr(f lipud(Â)) B f = f lipud(B̂) C f = f liplr(Ĉ) D f = D̂ 61.181).V. · · · . xi ) indica que foram dados: • A especificação de um sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT) por meio dos coeficientes a = [a0 . r[K] ]. a1 . Obtenha as matrizes Af . Bf . ele apresentou as Equações (6.        x1 [n + 1] (−a1 ) (−a2 ) (−a3 ) b1 b2 b3 x1 [n] b0  x2 [n + 1]   1 0 0 0 0 0    x2 [n]   0          x3 [n + 1]   0 1 0 0 0 0   x3 [n]   0       ·  x4 [n]  +  1  ·r[n] (6. com a = [1. xM [0] ]. b1 . A. na Forma Direta II Transposta. a2 . Foi pedido a um aluno de Processamento Digital de Sinais que escrevesse as equações de estado de um sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT). −1. xM [K] ]. −1]. 0. y[K] ]. para cada uma das seguintes entradas: i. r = [1. que descreve o SLIT. v. ii. r = [1. 6]. 0]. iii. C e D do SLIT.6. −1]. (d) Esboce os gráficos r[n] × n e y[n] × n. r = [1. 0]. Dado um sistema descrito por a = [1. a função retorna: • A saı́da y = [ y[0]. Exercı́cios propostos 155 Baseando-se no cálculo das equações da estrutura denominada de Forma Direta II Trans- posta. para o item (c. 0. • O estado final xf = [ x1 [K]. 1. 5] e b = [0.14. (b) Calcule as matrizes A. TET / UFF . x2 [K]. calcule a saı́da e o estado final. com o estado inicial xi = [0. 0. · · · . (c) A partir dos itens (a) e (b). y[1]. 1]. B. atenda aos seguintes itens: (a) Escreva as Equações de Estado do SLIT. 1. 1. iv. 3. de tal forma que seja possı́vel acompanhar os resultados do cálculo efetuado através das equações de estado diretamente com aqueles obtidos através da função f ilter(·). 4.v). r = [1. r = [1]. · · · . S. .V.156 Capı́tulo 6. Representações de um SLIT A. Parte IV Respostas de um SLIT 157 . . – Cálculo analı́tico: ∗ Solução baseada em algumas iterações das equações de estado. dado um SLIT FIR relaxado. ∗ Solução convencional da equação de diferença. • Procedimentos possı́veis para o cálculo da resposta de um SLIT: – Cálculo numérico iterativo. ∗ Solução baseada em algumas iterações da equação de diferença. – Entrada ou excitação: que representa a energia externamente aplicada ao sistema. • Dados utilizados na definição do problema: – Equação de diferença ou equações de estado: que representam o sistema. por meio do cálculo das respostas homogênea yh [n]. e posterior tentativa de inferência de uma equação geral. a partir do estado inicial. e posterior tentativa de inferência de uma equação geral. ∗ Cálculo da resposta à entrada yent [n]. a partir das condições iniciais. ∗ Cálculo da resposta ao impulso h[n] a partir da resposta ao degrau yu [n]: δ[n] = u[n] − u[n − 1] → h[n] = yu [n] − yu [n − 1]. com o auxı́lio das condições iniciais.Capı́tulo 7 Cálculo da resposta de um SLIT 7. por meio do cálculo das respostas ao estado yest [n] e à entrada yent [n]. empregando implementação do sistema em software ou em hardware dedicado: solução baseada na iteração da equação de diferença ou das equações de estado. ∗ Solução baseada no operador de transferência. para n > 0 e condição inicial h[0]. – Casos particulares: ∗ Cálculo da resposta ao impulso h[n] a partir da resposta homogênea yh [n]: h[0] = yent [0] e h[n] = yh [n].1 Introdução • Um dos principais objetivos a serem alcançados quando se modela um sistema é o cálculo da sua saı́da. com o auxı́lio das condições iniciais. a partir das condições iniciais ou do estado inicial. 159 . particular yp [n] e complementar yc [n]. a qual é interpretada com uma resposta do sistema a uma energia aplicada externamente e/ou a uma energia internamente armazenada. com resposta ao impulso h[n]: y[n] = yent [n] + yest [n] = yent [n] = x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]. – Condições iniciais ou estado inicial: que representam a energia interna do sistema. 7.3) C · An · x[0] .2. n > 0 Conseqüentemente.1) na equação de saı́da.160 Capı́tulo 7. pode-se calcular o vetor de saı́das diretamente a partir do estado inicial e do vetor de entradas. n > 0. a resposta ao impulso unitário é calculada por D .2 Solução das equações de estado No equacionamento de estados. obtém-se C · x[0] + D · r[0] . a partir do próprio vetor de estados. (n−1) X n x[n] = A · x[0] + A(n−1−k) · B · r[k] .1 Resposta genérica Definindo-se o instante inicial por N0 = 0. n > 0 A matriz Φ[k] = Ak é denominada de matriz fundamental. Dessa forma.5) C ·A ·B . n>0 A. . n=0 h[n] = (n−1) .2 Resposta ao estado Para um sistema com estado inicial x[0] e entrada nula. do vetor de entradas e do estado inicial (valor inicial do vetor de estados). o vetor de estados é calculado recursivamente. n=0 y[n] = n P(n−1) (n−1−k) .S. n > 0 7. a resposta é dada por C · x[0] . (7. 7.1) k=0 Substituindo-se a Equação (7.2) C · A · x[0] + C · k=0 A · B · r[k] + D · r[n] .2..2. para n > N0 = 0. o estado inicial por x[N0 ] = x[0] e utilizando-se a equação de próximo estado x[n + 1] = A · x[n] + B · r[n] . (7.4) C · k=0 A · B · r[k] + D · r[n] . a resposta é dada por D · r[0] .V. (7. o vetor de saı́das é computado a partir do vetor de estados e do vetor de entradas. o valor de x[n]. é dado por x[1] = A · x[0] + B · r[0] = A1 · x[0] + I · B · r[0] = A1 · x[0] + A0 · B · r[0] x[2] = A · x[1] + B · r[1] = A2 · x[0] + A1 · B · r[0] + A0 · B · r[1] x[3] = A · x[2] + B · r[2] = A3 · x[0] + A2 · B · r[0] + A1 · B · r[1] + A0 · B · r[2] . n=0 y[n] = . Por sua vez. n=0 y[n] = P(n−1) (n−1−k) . (7.3 Resposta à entrada Para um sistema relaxado e entrada r[n]. . (7. manipulando-se as equações de estado. Cálculo da resposta de um SLIT 7. pode-se escrever que y[n] = −a1 = p1 . onde.3.2 Resposta ao estado A resposta ao estado y[n]|x[n]=0 = yest [n] = yh [n] é a solução da equação homogênea N X ak y[n − k] = 0 .7. a qual é baseada no emprego do seu operador de transferência. é uma progressão geométrica com uma taxa de valor igual a p1 .6) pode ser reescrita. k=0 A seguir. DT (D) k=0 a k D −k k=1 (1 − p k D −1 ) k=1 (1 − p k D então KC = ab00 é a constante de ganho (do arranjo cascata). respectivamente.3 Solução baseada no operador de transferência A seguir. para n ≥ 0. bem como zk e pk são os zeros e os pólos de T (D). de tal forma que yh [n] = Kh1 pn1 u[n] . é apresentada uma outra forma de cálculo para as respostas de um SLIT. a resposta yh [n] é induzida a partir da solução de um sistema de primeira ordem. 7.3.1 Equação de diferença × operador de transferência Dado o SLIT descrito pela equação de transferência N X L X ak y[n − k] = bk x[n − k] . Solução homogênea de um sistema de primeira ordem A equação homogênea de um sistema de primeira ordem.6). dada por y[n] + a1 y[n − 1] = 0 . (7. k=0 k=0 cujo operador de transferência é definido por PL −k QL −1 N NT (D) k=0 bk D k=1 (1 − zk D ) Kpk X T (D) = = PN = KC Q N = −1 ) . 7. Solução baseada no operador de transferência 161 7.3.7) TET / UFF . como 1 + a1 D−1 y[n] = 0 ou ainda como 1 − p1 D−1 y[n] = 0 . y[n − 1] o que é equivalente a dizer que a solução da equação homogênea yh [n]. com o auxı́lio do operador de deslocamento. A partir de (7. para tal sistema. (1 − p1 D−1 ) representa o denominador DT (D) do seu operador de transferência T (D). (7. (7. e yh [1] = (−a1 )y[0] + (−a2 )y[−1] . dada por y[n] + a1 y[n − 1] + a2 y[n − 2] = 0 .V. (7. [(1 − p1 D−1 ) (1 − p2 D−1 )] representa o denominador DT (D) do seu operador de transferência T (D).9) pode ser reescrita. baseando-se na solução definida na Equação (7. que são equações homogêneas de primeira ordem. . A Equação (7.8) Solução homogênea de um sistema de segunda ordem (com pólos pk distintos) A equação homogênea de um sistema de segunda ordem. tem-se que yh [0] = (−a1 )y[−1] + (−a2 )y[−2] . a serem calculadas com o auxı́lio das condições iniciais y[−1] e y[−2]. Portanto. a solução da equação homogênea é dada por yh [n] = Kh1 pn1 u[n] = (p1 y[−1]) pn1 u[n] = y[0] pn1 u[n] . A. De (7.162 Capı́tulo 7.10) onde. podem ser propostas as soluções individuais yh1 [n] = Kh1 pn1 u[n] e yh2 [n] = Kh2 pn2 u[n] .9). tem-se que y[0] = −a1 y[−1] = p1 y[−1] e.6). para tal sistema.6). (7. bem como a solução completa yh [n] = yh1 [n] + yh2 [n] = Kh1 pn1 u[n] + Kh2 pn2 u[n] .11) onde Kh1 e Kh2 são constantes de ajuste. com o auxı́lio do operador de deslocamento. De (7. com a mesma forma que a Equação (7. como 1 + a1 D−1 + a2 D−2 y[n] = 0 ou ainda como 1 − p1 D−1 1 − p2 D−1 y[n] = 0 . Cálculo da resposta de um SLIT onde Kh1 é uma constante de ajuste.7).S. a ser calculada com o auxı́lio da condição inicial y[−1]. (7.7). Portanto.10) é satisfeita se 1 − p1 D−1 y[n] = 0 ou se 1 − p2 D−1 y[n] = 0 . tem-se que yh [0] = Kh1 . de (7. 6). 1 − pN D−1 y[n] = 0 . Solução baseada no operador de transferência 163 De (7. de forma matricial. 1 − p2 D−1 y[n] = 0 . tem-se que yh [0] = Kh1 + Kh2 e yh [1] = Kh1 p1 + Kh2 p2 .7). Portanto. baseando-se na solução definida na Equação (7. que são equações homogêneas de primeira ordem.13) é satisfeita se 1 − p1 D−1 y[n] = 0 . com a mesma forma que a Equação (7. yh [0] 1 1 Kh1 = . .3. ou. yhN [n] = KhN pnN u[n] .. (7. . yh2 [n] = Kh2 pn2 u[n] .12) k=1 pode ser reescrita. Kh2 p1 p2 yh [1] Solução homogênea de um sistema de ordem N (com pólos pk distintos) A equação homogênea de um sistema de ordem N . para tal sistema.11). (7. yh [1] p1 p2 Kh2 de onde Kh1 e Kh2 podem ser calculadas da seguinte forma: −1 Kh1 1 1 yh [0] = .. A Equação (7.13) k=1 Q N −1 onde.7. com o auxı́lio do operador de deslocamento. . TET / UFF . dada por N X y[n] + ak y[n − k] = 0 . como N ! X −k 1+ ak D y[n] = 0 k=1 ou ainda como ! N Y −1 1 − pk D y[n] = 0 . . podem ser propostas as soluções individuais yh1 [n] = Kh1 pn1 u[n] . k=1 (1 − p k D ) representa o denominador DT (D) do seu operador de transferência T (D). De (7..       .. a serem calculadas com o auxı́lio das condições iniciais y[−1] a y[−N ]. Cálculo da resposta de um SLIT bem como a solução completa N X N X yh [n] = yhk [n] = Khk pnk u[n] .. . . ..S. ..   .  . k=1 N X yh [2] = (−ak ) y[−k + 2] .  (N −1) (N −1) (N −1) (N −1) KhN p1 p2 p3 · · · pN yh [N − 1] A.14). (7...14) k=1 k=1 onde Khk são constantes de ajuste.V. ..  . . .. .. k=1 N X yh [1] = (−ak ) y[−k + 1] .. . .. k=1 . tem-se que N X yh [0] = (−ak ) y[−k] . N (N −1) X yh [N − 1] = Khk pk .12).      yh [0] 1 1 1 ··· 1 Kh1  yh [1]      p1 p2 p3 ··· pN   Kh2    yh [2] =   p21 p22 p23 ··· p2N  Kh3  . k=1 N X yh [1] = Khk pk . . . N X yh [N − 1] = (−ak ) y[−k + (N − 1)] . . .   . . . . k=1 . k=1 ou.   . ...  (N −1) (N −1) (N −1) (N −1) yh [N − 1] p1 p2 p3 · · · pN KhN de onde Khk podem ser calculadas da seguinte forma:    −1   Kh1 1 1 1 ··· 1 yh [0]  Kh2   p1    p2 p3 ··· pN     yh [1]    Kh3   p21 p 2 p 2 · · · p2N yh [2] =  .     . k=1 De (7. . tem-se que N X yh [0] = Khk ..   .164 Capı́tulo 7. k=1 N X yh [2] = Khk p2k . de forma matricial.       . 2 3    . . .. k=−∞ Portanto. Em seguida.3 Resposta à entrada A resposta à entrada y[n]|CIs=0 = yent [n] = yx [n] é a solução da equação completa N X L X ak y[n − k] = bk x[n − k] . Assim. cada um dos seus valores x[k] pode ser interpretado como um impulso unitário ponderado e deslocado. o cálculo da resposta à entrada passa a ser dependente do cálculo da resposta ao impulso. TET / UFF . pode-se mostrar que a solução homogênea é dada por yhk [n] = Khk0 + Khk1 n + · · · + Khk(Mk −1) n(Mk −1) pnk u[n]   (Mk −1) X =  (Khkm nm ) pnk u[n] . Nesse caso. yx [n]|x[n]=δ[n] = h[n] . pode-se descrever x[n] por meio de uma soma de funções impulso δ[n]. de tal forma que ∞ X x[n] = x[k] δ[n − k] . k=−∞ onde o sı́mbolo “∗” denota a operação Soma de Convolução. Finalmente. o que é feito a seguir. é estabelecida uma relação entre a resposta à entrada yx [n] e a resposta ao impulso δ[n]. A seguir. (7. a resposta ao impulso de um sistema de ordem N é calculada a partir da resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem. a resposta à entrada yx [n] de um SLIT pode ser pensada como a soma das respostas aos impulsos que compôem a entrada.7.15) m=0 7. com uma simples troca de variáveis. por definição.3. k=0 k=0 quando as condições iniciais são nulas (CIs = 0). k=−∞ que. pode ser reescrita como X ∞ yx [n] = x[n − k] h[k] = h[k] ∗ x[n] . em um sinal x[n] qualquer. Dessa forma. primeiramente é definida a resposta ao impulso. Definição da resposta ao impulso A resposta ao impulso de um sistema é definida como a resposta à entrada do sistema quando a entrada é a função impulso δ[n]. Solução baseada no operador de transferência 165 Solução homogênea de um sistema com pólo pk múltiplo Um pólo pk . dá origem a uma equação homogênea da forma M 1 − pk D−1 k y[n] = 0 . Relação da resposta à entrada com a resposta ao impulso Considerando-se que.3. com multiplicidade Mk > 1. de tal forma que X ∞ yx [n] = x[k] h[n − k] = x[k] ∗ h[n] . com a mesma forma da Equação (7. (7.S.16) (1 − p1 D−1 ) que representa a equação de diferença y[n] − p1 y[n − 1] = Kp1 x[n] .V.17) Resposta ao impulso de um sistema de ordem N (com pólos pk distintos) Supondo-se a fatoração do operador de transferência de um sistema de ordem N em frações parciais. yx [n] = p1 y[n − 1] + Kp1 x[n] = pn1 Kp1 x[0] + pn−1 1 Kp1 x[1] + · · · p11 Kp1 x[n − 1] + Kp1 x[n] . para n ≥ 0. obtém-se yx [n] = h1 [n].18) k=1 k=1 A.17). . yx [1] = p1 y[0] + Kp1 x[1] = p1 Kp1 x[0] + Kp1 x[1] . (7.166 Capı́tulo 7. Portanto. podem-se obter. . que é dada por h1 [n] = Kp1 pn1 u[n] . DT (D) k=0 ak D −k k=1 (1 − pk D−1 ) k=1 a equação de diferença pode ser reescrita como N X y[n] = T (D) x[n] = Tk (D) x[n] . (7. os seguintes valores: yx [0] = p1 y[−1] + Kp1 x[0] = Kp1 x[0] . Cálculo da resposta de um SLIT Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem Dado o operador de transferência Kp1 T1 (D) = . o que gera a igualdade PL −k N N NT (D) k=0 bk D Kpk X X T (D) = = PN = = Tk (D) . de (7. .16). k=1 onde Tk (D) representam sistemas de primeira ordem. yx [2] = p1 y[1] + Kp1 x[2] = p21 Kp1 x[0] + p1 Kp1 x[1] + Kp1 x[2] .. Para x[n] = δ[n]. obtém-se N X N X h[n] = hk [n] = Kpk pnk u[n] . pc = rp ejΩp e p∗c = rp e−jΩp . p∗c ).3. as constantes das frações parciais ∗ associadas a tais pólos também devem ser pares complexos conjugados (Kpc . Isso gera um operador de transferência do tipo ∗ Kpc Kpc Tc (D) = Tc1 (D) + Tc2 (D) = + . pólos complexos pc devem ocorrer em pares complexos conjugados (pc . (1 − pk D−1 )Mk Nesse caso. ∗ Descrevendo-se as constantes e os pólos como Kpc = rK ejθK . Pela mesma razão.19) Resposta ao impulso de um sistema com pólo pk múltiplo Um pólo pk . pode-se reescrever a resposta ao impulso como u[n] + rK e−jθK n −jΩp n hc [n] = rK ejθK n jΩp n rp e rp e u[n] = rK rpn ej(Ωp n+θK ) + e−j(Ωp n+θK ) u[n] = 2 rK rpn cos(Ωp n + θK ) u[n] . Kpc = rK e−jθK . com multiplicidade Mk > 1. (1 − pc D−1 ) (1 − p∗c D−1 ) que possui uma resposta ao impulso dada por ∗ hc [n] = hc1 [n] + hc2 [n] = Kpc pnc u[n] + Kpc (p∗c )n u[n] . (7.7. Solução baseada no operador de transferência 167 Resposta ao impulso de um sistema com pólos complexos conjugados Uma vez que os coeficientes ak e bk são valores reais. dá origem a um operador de transferência da forma Kpk Tk (D) = . (7. pode-se mostrar que a resposta ao impulso é dada por 1 hk [n] = [ (n) (n + 1) · · · (n + Mk − 1) ] pnk u[n] Mk !   (Mk −1) 1  Y = (n + m) pnk u[n] .20) Mk ! m=0 TET / UFF . Kpc ). • As Tabelas 7.2: Solução particular para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n].4 Solução convencional da equação de diferença • Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem. x[n] yh [n] 0 y[−1] (−a1 )n+1 u[n] Tabela 7.1: Solução da equação homogênea para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = 0. x[n] yc [n] b0 δ[n] (−1) · · {(−a1 )n+1 · u[n] − (−a1 )n · u[n − 1]} 1+a1 b0 u[n] (−1) · 1+a 1 · (−a1 )n+1 · u[n] z0n u[n] (−1) · 1+ab0z−1 · z0−1 · (−a1 )n+1 · u[n] 1 0 ejΩ0 n u[n] (−1) · 1+a1be0−jΩ0 · e−jΩ0 · (−a1 )n+1 · u[n] cos(Ω0 n) u[n] (−1) · |HD0 (Ω0 )| · cos(Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) · (−a1 )n+1 · u[n] Tabela 7. A. • As Tabelas 7.5 resumem os resultados para o sistema relaxado descrito pela equação b1 e−jΩ de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1].168 Capı́tulo 7. • As Tabelas 7.S.7 resumem os resultados para o sistema relaxado descrito pela equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1].3 resumem os resultados para o sistema relaxado descrito pela equação b0 de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n]. onde HD1 (Ω) = 1+a1 e−jΩ .3: Solução complementar para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n]. Cálculo da resposta de um SLIT 7.V. . utilizando a solução convencional da equação de diferença.1 apresenta o resultado para o sistema descrito pela equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = 0.4 e 7. com condição inicial y[−1].2 e 7.6 e 7. • A Tabela 7. com condição inicial y[−1]. são apresentados no Apêndice D. onde HD0 (Ω) = 1+a1 e−jΩ . x[n] yp [n] b0 δ[n] · (δ[n]) 1+a1 b0 u[n] · (u[n]) 1+a1 b0 z0n u[n] −1 · (z0n u[n]) 1+a1 z0 b0 ejΩ0 n u[n] 1+a1 e−jΩ 0 · e jΩ0 n u[n] cos(Ω0 n) u[n] |HD0 (Ω0 )| · cos(Ω0 n + ∠HD0 (Ω0 )) · u[n] Tabela 7. TET / UFF .4.5: Solução complementar para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1]. x[n] yc [n] b1 δ[n] (−1) · · {(−a1 )n · u[n − 1] − (−a1 )n−1 · u[n − 2]} 1+a1 b1 u[n] (−1) · 1+a 1 · (−a1 )n · u[n − 1] z0n u[n] (−1) · 1+ab1z−1 · z0−1 · (−a1 )n · u[n − 1] 1 0 b1 ejΩ0 n u[n] (−1) · 1+a1 e−jΩ0 · e−jΩ0 · (−a1 )n · u[n − 1] cos(Ω0 n) u[n] (−1) · bb01 · |HD0 (Ω0 )| · cos(Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) · (−a1 )n · u[n − 1] Tabela 7.7.4: Solução particular para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1]. Solução convencional da equação de diferença 169 x[n] y [n] p b1 δ[n] · (δ[n − 1]) 1+a1 b1 u[n] 1+a1 · (u[n − 1]) −1 b1 z0 z0n u[n] 1+a −1 · (z0n u[n − 1]) 1 z0 b1 e−jΩ0 ejΩ0 n u[n] 1+a1 e−jΩ0 · ejΩ0 n u[n − 1] cos(Ω0 n) u[n] |HD1 (Ω0 )| · cos(Ω0 n + ∠HD1 (Ω0 )) · u[n − 1] Tabela 7. 170 Capı́tulo 7.S. A. x[n] yc [n] b0 (−1) · 1+a1 · {(−a1 )n+1 · u[n] − (−a1 )n · u[n − 1]} δ[n] + b1 (−1) · 1+a1 · {(−a1 )n · u[n − 1] − (−a1 )n−1 · u[n − 2]} b0 (−1) · 1+a 1 · (−a1 )n+1 · u[n] u[n] + b1 (−1) · 1+a 1 · (−a1 )n · u[n − 1] (−1) · 1+ab0z−1 · z0−1 · (−a1 )n+1 · u[n] 1 0 z0n u[n] + (−1) · 1+ab1z−1 · z0−1 · (−a1 )n · u[n − 1] 1 0 b0 (−1) · 1+a1 e−jΩ0 · e−jΩ0 · (−a1 )n+1 · u[n] ejΩ0 n u[n] + b1 (−1) · 1+a1 e−jΩ0 · e−jΩ0 · (−a1 )n · u[n − 1] (−1) · |HD0 (Ω0 )| · cos(Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) · (−a1 )n+1 · u[n] cos(Ω0 n) u[n] + b1 (−1) · b0 · |HD0 (Ω0 )| · cos(Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) · (−a1 )n · u[n − 1] Tabela 7. .V.7: Solução complementar para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. Cálculo da resposta de um SLIT x[n] yp [n] b0 b1 δ[n] · (δ[n]) + · (δ[n − 1]) 1+a1 1+a1 b0 b1 u[n] 1+a1 · (u[n]) + 1+a · (u[n − 1]) 1−1 b0 b z z0n u[n] 1+a z −1 · (z0n u[n]) + 1+a1 0z−1 · (z0n u[n − 1]) 1 b0 0 b e1−jΩ 0 0 ejΩ0 n u[n] 1+a1 e−jΩ 0 · e jΩ0 n u[n] + 1 1+a1 e−jΩ 0 · ejΩ0 n u[n − 1] |HD0 (Ω0 )| · cos(Ω0 n + ∠HD0 (Ω0 )) · u[n] cos(Ω0 n) u[n] + |HD1 (Ω0 )| · cos(Ω0 n + ∠HD1 (Ω0 )) · u[n − 1] Tabela 7.6: Solução particular para um SLIT descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. – Segmentação de x[n] em seqüências xm [n]. caso contrário TET / UFF . com dimensão fixa Nym . – Tempo: atraso excessivo na produção do resultado. – Operações: quantidade excessiva de valores a serem calculados. ∗ Método baseado em convolução circular. é descartada. • Possı́veis problemas – Comprimento: Nx de valor elevado. com resposta ao impulso h[n]: y[n] = yent [n] + yest [n] = yent [n] = x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]. SLIT FIR com entrada de comprimento indefinido 171 7. A parte errada de ym [n]. pois o cálculo só pode ser efetuado após terem sido adquiridos todos os valores dos operandos. Para contornar esse problema.5. – Caracterı́sticas ∗ Overlap-add : o método naturalmente gera superposição em parte dos segmentos ym [n]. com Nym = (Lx + Nh − 1): overlap-add. • Comprimentos das seqüências: Ny = Nx + Nh − 1. relativa à superposição. • Overlap-add – Técnica de block filtering baseada no cálculo da convolução linear. – Espaço: quantidade excessiva de valores a serem armazenados. dado um SLIT FIR relaxado. – Soluções ∗ Método baseado em convolução linear. de comprimento Lx .7. é adicionada uma superposição na montagem dos segmentos xm [n].5 SLIT FIR com entrada de comprimento indefinido • Cálculo da resposta à entrada yent [n]. com Nym = Lx : overlap-save. – Segmentação da seqüência x[n]: ∞ X x[n] = xm [n] (7. • Possı́vel solução – Segmentação do cálculo ou block filtering. onde Nx é indefinido e Nh é finito.21) m=0 e x[n] . • Block filtering – Problema: efeito de borda em cada segmento ym [n] do cálculo de y[n]. Os demais valores são guardadas e justapostos aos demais segmentos assim calculados. (mLx ) ≤ n ≤ (m + 1) (Lx − 1) xm [n] = (7. Os valores superpostos devem ser somados para produzir o resultado final y[n] correto. – Seqüências: h[n] (comprimento finito) e x[n] (comprimento indefinido). ∗ Overlap-save: o método naturalmente gera erros no cálculo.22) 0 . – Cálculo de segmentos ym [n] da convolução y[n]. ∗ Comprimento da superposição nas bordas de ym [n]: Nh − 1.23) m=0 e x[n + mLx ] . A. caso contrário – Cálculo segmentado da convolução: De (7. .25) m=0 e ∞ (m+1)(Lx −1) X X ym [n] = h[n] ∗ xm [n] = h[n − k]xm [n] = h[n − k]xm [n] .21) e (7.27) m=0 e ∞ (Lx −1) X X ym [n] = h[n] ∗ xm [n] = h[n − k]xm [k] = h[n − k]xm [k] . De (7.24) 0 .22). obtém-se: ∞ X y[n] = ym [n] (7. (7.26) k=−∞ k=(mLx ) para (mLx ) ≤ n ≤ (m + 1) (Nh + Lx − 1).V.28) k=−∞ k=0 para 0 ≤ n ≤ (Nh + Lx − 1). para completar o cálculo da convolução nas bordas de cada segmento. 0 ≤ n ≤ (Lx − 1) xm [n] = . ∗ Comprimento de cada segmento da convolução ym [n]: Lx + Nh − 1.S. (7.172 Capı́tulo 7.24). obtém-se: ∞ X y[n] = ym [n − mLx ] (7. – Superposição (overlap) dos segmentos ym [n]: ∗ Comprimento de cada segmento xm [n]: Lx . – Tratamento da superposição dos segmentos ym [n]: adição dos conjuntos de valores superpostos. (7.23) e (7. Cálculo da resposta de um SLIT ou ∞ X x[n] = xm [n − mLx ] (7. 33) m=0 – Superposição (overlap) dos segmentos ỹm [n]: ∗ Comprimento de cada segmento xm [n]: Lx . Os demais valores representam o segmento de convolução linear ym [n] e devem ser guardados para serem justapostos aos demais segmentos assim calculados. – Seqüências: h[n] (comprimento finito) e x[n] (comprimento indefinido).7. Os demais (Lx − (Nh − 1)) pontos representarão a convolução linear corretamente. ∗ Comprimento da superposição nas bordas de xm [n]: Nh − 1. os valores incorretos de ỹm [n] gerados por tais pontos iniciais. ∗ Comprimento de cada segmento da convolução ym [n]: Lx − (Nh − 1). – Segmentação da seqüência x[n]: nesse caso. poderão ser descartados do cálculo da convolução do segmento. para geração de (Nh − 1) valores nulos iniciais: x0[n] = x[n − (Nh − 1)] u[n − (Nh − 1)] . 0 ≤ n ≤ (Lx − 1) .21) a (7. uma vez que eles já foram calculados corretamente no segmento anterior. que representam valores incorretos. (7. que representam o segmento da convolução ym [n]. os (Nh − 1) pontos iniciais de cada convolução circular ỹm [n] = h̃[n] ~ x̃m [n] assumirão valores diferentes daqueles apresentados pela convolução linear ym [n] = h[n] ∗ xm [n]. (7. ỹm [n] = h̃[n] ∗ x̃m [n] .29) Segmentação de x0[n]. (7. 0 ≤ n ≤ (Nx + (Nh − 1) − 1) . TET / UFF . SLIT FIR com entrada de comprimento indefinido 173 • Overlap-save – Técnica de block filtering baseada no uso da convolução circular para efetuar o cálculo da convolução linear. Dessa forma.32) ỹm [n] . com superposição de (Nh − 1) valores iniciais: x0m [n] = x0[n − m (Lx − (Nh − 1))] . (7. ∗ Comprimento de cada segmento da convolução ỹm [n]: Lx .24). 0 ≤ n ≤ (Lx − 1) . pois apresentam valores incorretos. 0 ≤ n ≤ (Nh − 2) ym [n] = .31) 0 . (Nh − 1) ≤ n ≤ (Lx − 1) ∞ X y[n] = ym [n − m (Lx − (Nh − 1))] . Deslocamento inicial de x[n].5. (7. – Segmentação adequada da seqüência x[n]: deve ser realizada uma segmentação onde os (Nh − 1) pontos iniciais de cada segmento xm [n] sejam cópias dos (Nh − 1) pontos finais do segmento anterior. ser for adotada a segmentação definida pelas Equações (7. Armazenamentos dos demais Lx − (Nh − 1) pontos.30) – Cálculo segmentado da convolução: os (Nh − 1) pontos iniciais de cada segmento de convolução circular ỹm [n] devem ser ignorados. – Tratamento da superposição dos segmentos ỹm [n]: abandono dos (Nh − 1) pontos iniciais de cada segmento. Suponha um sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT). estável. A sintaxe [y. Um aluno de Processa- mento Digital de Sinais garante que. xf ] = f ilter (b. a. se você concorda com ele. O sistema é submetido a uma entrada genérica r[n] = f [n] u[n]. Cálculo da resposta de um SLIT 7.174 Capı́tulo 7. A.6 Exercı́cios propostos 1. x2 [0]. a1 . (b) Dadas as seqüências r[n] e yr [n]. Baseando-se no cálculo das equações da estrutura denominada de Forma Direta II Trans- posta. de comprimento finito. com resposta ao impulso de comprimento finito h[n]. a.S. r[K] ]. x2 [K]. discreto. Se você discorda do aluno. dada a função [y. que realize cada um dos citados cálculos. . r[1]. xi ). demonstre matematicamente como os cálculos são possı́veis e apresente um código Octave. y[1]. causal. usando apenas a função f ilter(·). xi ) indica que foram dados: • A especificação de um sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT) por meio dos coeficientes a = [a0 . JUSTIFIQUE-SE !!! Por outro lado. · · · . y[K] ]. usando apenas a função f ilter(·). · · · . que descreve o SLIT. • O estado inicial xi = [ x1 [0]. · · · . xM [K] ]. • A entrada r = [ r[0]. a função retorna: • A saı́da y = [ y[0]. · · · . xM [0] ]. r. xf ] = f ilter (b. aN ] e b = [b0 . relaxado. ele é capaz de calcular a resposta ao impulso do sistema h[n]. · · · . r. usando apenas a função f ilter(·).V. ele é capaz de calcular a saı́da do sistema yr [n]. bL ] da equação de diferença que o define. • O estado final xf = [ x1 [K]. · · · . b1 . consegue realizar os seguintes cálculos: (a) Dadas as seqüências r[n] e h[n]. anterior a n = N0 . pode- se propor uma organização ou classificação da resposta total do SLIT em adições de parcelas com determinadas caracterı́sticas. que é a entrada de interesse. Se o sistema for representado por equações de estado. Embora tal classificação esteja sendo definida a partir de sistemas de primeira ordem. o estado inicial é representado por um vetor de estados inicial em n = N0 . conhecendo-se o estado inicial e a entrada atual. que é normalmente desconhecida. particular e complementar.2 Caso geral • Conceitos básicos – Há um SLIT descrito por uma equação de diferença ou por equações de estado. • A resposta total ytot [n] de um SLIT. e possuindo uma determinada condição ou estado inicial. pode-se mostrar que eles valem para sistemas de ordens superiores. dependendo das caracterı́sticas que se pretende observar: – Solução da equação de diferença: respostas homogênea. – Há um ponto inicial de análise n = N0 . – Forma da resposta: respostas natural e forçada. Normalmente. – Influência interna ou externa: respostas ao estado e à entrada. – Deseja-se calcular a saı́da atual a partir do ponto n = N0 . – Há uma entrada atual. – Caso o SLIT seja representado por uma equação de diferença. – Há uma entrada passada. – Duração da resposta: respostas transitória e permanente. descrito por uma equação de diferença. devido à propriedade de invariância ao deslocamento.Capı́tulo 8 Tipos de respostas de um SLIT 8. 175 . aplicada a partir do ponto n = N0 . 8. o estado inicial é representado por valores da saı́da anteriores a n = N0 . mas que produz um estado inicial em n = N0 . submetido a uma entrada atual x[n]. adota-se n = N0 = 0. pode ser dividida em diferentes partes.1 Introdução Observando-se o resultado dos cálculos das respostas dos sistemas de primeira ordem. o perı́odo de tempo (t) ou de ı́ndices (n) que começa imediatamente após o término do transiente. nele depositada antes da aplicação da entrada atual. .V. encontra-se apenas a resposta permanente yperm [n]: ytot [n]|RP = ytot [n]|SS = yperm [n]. ou transiente. • Define-se por regime transitório. em um SLIT estável. Durante esse perı́odo. • Por sua vez. para n → ∞: – Resposta natural: ynat [n] → 0. – Resposta em regime permanente: ytot [n]|RP = yperm [n] = yf or [n]. podem-se definir a resposta transitória ytran [n] e a resposta permanente yperm [n]: ytot [n] = ytran [n] + yperm [n]. (8. depositada pela entrada atual. a qual é composta pela soma da resposta particular yp [n] com a resposta complementar yc [n]: ytot [n] = yh [n] + yr [n] = yh [n] + (yp [n] + yc [n]). • Caso a resposta natural seja transitória. A. valem as seguintes relações. o perı́odo de tempo (t) ou de ı́ndices (n) desde a aplicação da entrada atual até o momento em que a última componente da resposta transitória retorna a zero. pode-se mostrar que a resposta forçada é calculada por yf or [n] = A0 |H(Ω0 )| cos(Ω0 n + Θ0 + ∠H(Ω0 )) = A00 cos(Ω0 n + Θ00 ) . A resposta complementar yc [n] representa a influência da energia interna do sistema. por definição.176 Capı́tulo 8. são obtidas a resposta da equação homogênea yh [n] e resposta do sistema relaxado yr [n]. Θ00 = Θ0 + ∠H(Ω0 ) e H(Ω) = |H(Ω)| ej∠H(Ω) . coexistem tanto a resposta transitória ytran [n] como a resposta permanente yperm [n]: ytot [n]|RT = ytran [n] + yperm [n]. Nesse perı́odo.S. Tipos de respostas de um SLIT • Da resolução da equação de diferença. a resposta no regime permanente será igual à resposta forçada: ytot [n]|RP = yperm [n] = yf or [n]. • Agrupando-se as partes da resposta total que tendem ou não a zero. define-se por regime permanente. • Em um sistema estável. • Pode-se interpretar a resposta homogênea yh [n] como a resposta ao estado yest [n] e interpretar a resposta do sistema relaxado yr [n] como a resposta à entrada yent [n]: ytot [n] = yest [n] + yent [n]. • A resposta homogênea yh [n] representa a influência da energia interna do sistema.1) onde: A00 = A0 · |H(Ω0 )|. • Portanto. a resposta forçada também o será: yf or [n]|n→∞ = 0. • Uma vez que a forma das respostas homogênea yh [n] e complementar yc [n] é determinada pelo sistema e a forma da resposta particular yp [n] é determinada pela entrada. podem-se definir a resposta natural (do sistema) ynat [n] = (yh [n] + yc [n]) e a resposta forçada (pela entrada) yf or [n] = yp [n]: ytot [n] = ynat [n] + yf or [n]. a resposta natural deve ser um sinal do tipo tran- sitório. A resposta particular yp [n] representa a influência direta da entrada atual. 8. • Para uma entrada senoidal x[n] = A0 cos(Ω0 n + Θ0 ). regime estacionário ou estado estacionário (steady-state).3 Casos particulares • Caso a entrada x[n] seja transitória. apontam uma solução genérica do tipo y[n] = yh [n] + yr [n] = yh [n] + yp [n] + yc [n] = Ch an + Cp x[n] + Cc an . de tal forma que yc [n]|x[n−ND ] = Cc a(n−ND ) = yc [n − ND ]. • Um exemplo ilustrativo dessa situação é apresentado no Apêndice E.8. 8. deve ser lembrado que a resposta complementar yc [n] surge como conse- qüência da aplicação do sinal de entrada. a resposta no regime permanente é dada pela Equação 8. 8. a condição inicial também deve ser deslocada para o novo ponto inicial. a equação indica que y[n]|x[n−ND ] 6= y[n − ND ]. para um SLIT de primeira ordem. ao se testar a resposta para uma entrada deslocada x[n − ND ]. – Resposta particular −→ termo da resposta forçada devido à entrada. Exemplo de notação alternativa 177 – Para x[n] temporário: ytran [n] = ytot [n] e yperm [n] = 0.4 Exemplo de notação alternativa • Notações alternativas podem ser encontradas na literatura.2) pode levantar um questionamento sobre a propriedade de invariância no tempo do sistema. uma vez que. Assim. Logo. Um exemplo é: – Resposta homogênea −→ resposta às condições iniciais. uma análise mais detalhada revela que ambas as exponenciais (yh [n] e yc [n]) são vinculadas ao momento da aplicação do sinal de entrada x[n]. aparentemente. ela representa a resposta ao estado do sistema no momento da aplicação da entrada. de forma que o teste seja realizado com igualdade de estados. – Resposta forçada −→ resposta particular. • Uma análise isolada da Equação (8. – Resposta complementar −→ termo da resposta forçada devido ao sistema.4. • Portanto.2) • Pode-se mostrar que esse formato de equação final é mantido para SLITs de ordens superiores. – Para x[n] = A0 cos(Ω0 n + Θ0 ). Isso irá gerar uma saı́da yh [n]|x[n−ND ] = Ch a(n−ND ) = yh [n − ND ]. – Resposta à entrada −→ resposta forçada.5 Um questionamento comum • Os resultados calculados no Apêndice D. – Para x[n] permanente: ytran [n] = ynat [n] e yperm [n] = yf or [n]. • Por outro lado. • Porém. • No caso da resposta homogênea yh [n].1. (8. para um sistema de primeira ordem e entrada x[n] = z n u[n]. – Resposta natural −→ resposta complementar. um sinal de entrada deslocado x[n − ND ] obrigatoriamente provocará o deslocamento da resposta complementar. TET / UFF . no contexto da dinâmica de operação do sistema: y[n]|x[n−ND ] = y[n − ND ]. 6 Exercı́cios propostos 1. B.5 r[n − 1] + 0.25 r[n − 2] + · · · + 2−L r[n − L]. (e) Calcule as matrizes Pn = A(n−1) . considerando xl [n] = r[n − l]. com uma única linha de retardo. isoladamente das outras componentes. verificando o padrão que se desenvolve. cc e d. Suponha um SLIT não recursivo. (b) A saı́da total ytot [n] é transitória e ele consegue calcular o valor de n = NT acima do qual a saı́da é nula. apresente os valores que ele diz existirem. onde n ≥ 0. Se você discorda dele. n>0 2.V. Para L = 2. para 0 ≤ n ≤ (L + 2). mostrando que yrD [n] = yr [n − ND ]. D . e escreva as equações de estado. (g) Calcule a resposta ao impulso h[n]. onde r[n] e y[n] são. respectivamente. através da estrutura na forma direta. Se você concorda com ele.3) C ·A ·B . Dado o SLIT descrito pela equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. com coeficientes bk . através da Equação (8. dependendo dos valores de L. (d) Apresente a estrutura associada às equações de estado calculadas. C e D. para 1 ≤ l ≤ L.S. . (8. • Compare as respostas calculadas. (b) Calcule a resposta ao impulso h[n]. 3. n=0 h[n] = (n−1) . Seja o SLIT definido por y[n] = r[n] + 0. Um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que: (a) Ele consegue visualizar a componente yh [n] (resposta homogênea) da saı́da.3). iterativamente. (c) Calcule as matrizes A. atenda aos seguintes itens: • Suponha as entradas: δ[n]. a sua entrada e a sua saı́da. com valores não nulos no intervalo n = [N1 .178 Capı́tulo 8. • Calcule a resposta do sistema relaxado yr [n] para a entrada x[n]. Suponha ainda que x[0] 6= 0 é o estado inicial do sistema. z n u[n]. (f) Calcule as matrizes Mn = Pn · B. bl . A. u[n]. onde 0 ≤ k ≤ L. N1 e N2 . atenda aos seguintes itens: (a) Apresente a estrutura na forma direta. justifique. das matrizes A. iterativamente. com uma única linha de retardo. para 1 ≤ n ≤ (L + 2). C e D. verificando o padrão que se desenvolve. Tipos de respostas de um SLIT 8. N2 ]. para 0 ≤ n ≤ (L + 2). ejΩ0 n u[n] e cos(Ω0 n) u[n]. • Calcule a resposta do sistema relaxado yrD [n] para a entrada xD [n] = x[n − ND ]. utilizando os coeficientes alc . Suponha que r[n] é uma seqüência finita. 3 e 4. para 1 ≤ n ≤ (L + 2). para qualquer estado inicial x[0] e para qualquer entrada r[n] aplicada ao sistema. B. 3) x[n − 1].2452) x[n − 1].8. Exercı́cios propostos 179 4. ytran . no regime permanente. discuta o comportamento temporal de cada uma das partes da resposta total ytot do sistema (yh . ynat . definido pela equação de diferença 2y[n] + 1.6966x[n − 1]. yent .05) y[n − 1] = (0. yperm ). tendo como entrada o degrau unitário x[n] = u[n] e definido pela equação de diferença y[n] + (−1. definido pela equação de diferença y[n] + (−0. yc . calcule a resposta total do sistema. para a entrada x[n] = G10 [n − 10].95062y[n − 1] = 0.3483x[n] + 0. Dado o SLIT causal. Dado um SLIT relaxado.2452) x[n] + (0. 6. estável e relaxado. TET / UFF . 5.2) x[n] + (0. atenda aos seguintes itens: (a) Descreva o sinal de entrada em função do degrau unitário: x[n] = G10 [n − 10] = f (u[n]). yp . Dado o SLIT relaxado. no regime permanente. tendo como entrada o gate retangular unitário x[n] = G10 [n − 10]. yest . (b) Calcule a resposta total do sistema. yf or .5095) y[n − 1] = (0.6. yr . V. Tipos de respostas de um SLIT A.180 Capı́tulo 8. .S. Nesse caso. • As funções exponenciais (ou senoidais) envolvem as duas variáveis simultaneamente: o ı́ndice n e a freqüência Ω. são fundamentados em algumas razões básicas. Isso permite que se trabalhe em ambos os domı́nios. 181 . Uma mudança de domı́nio largamente adotada é aquela que envolve a variável de indexação n e a freqüência discreta Ω. aproveitando-se as facilidades e as caracterı́sticas de cada um deles. procura-se representar um sinal v[n] por uma composição de sinais exponenciais (ou senoidais). k j∠zk jΩk onde zk = |zk | e = |zk | e . com freqüências especı́ficas Ωk .Capı́tulo 9 Motivações para a representação em domı́nio transformado O cálculo da resposta de um SLIT através da solução convencional da equação de diferença torna-se inviável para sistemas de ordens elevadas. Portanto. bem como o uso de componentes exponenciais (ou senoidais). encontrar um novo equacionamento para sinais e sistemas pode ser resumido em encontrar uma nova forma de representação para sinais. Uma vez que os sistemas podem ser caracterizados por sua resposta ao impulso h[n]. eles também podem ser representados por seqüências indexadas. Logo. No domı́nio da variável n. de tal forma que X v[n] = Ak cos(Ωk n + Φk ) k ou X v[n] = Ck ejΩk n k ou X v[n] = Ck zkn . a operação do sistema sobre uma soma de sinais componentes é equivalente à soma das operações do sistema sobre cada um dos componentes. Uma solução para tal problema é realizar uma mudança de domı́nio na representação dos sinais e dos sistemas. a fim de se obter um novo equacionamento. de solução mais simples. realizando-se o mapeamento n ↔ Ω. os sinais são representados por seqüências indexadas x[n]. Essa composição é conhecida por representação de sinais e sistemas no domı́nio da freqüência. O emprego de uma combinação linear para compor um sinal. tais como: • O problema em questão trata da análise ou da sı́ntese de um SLIT. Além de facilitar o cálculo da resposta de um SLIT. à medida que essa variável evolui. . compor um espaço vetorial de funções para o qual ele representa uma base. e em como o sistema opera.182 Capı́tulo 9. que são a Função Resposta em Freqüência e a Função de Transferência (ou Função de Sistema). onde H(z) é uma função que caracteriza o sistema no domı́nio da freqüência. No domı́nio da variável Ω. A representação no domı́nio da freqüência é tratada a seguir. os chamados autovetores vk são mapeados nos vetores wk . • Nas transformações lineares.S. o foco da representação é encontrar uma composição de funções básicas que seja equivalente a um sinal e verificar como o sistema trata cada uma das componentes desse sinal. onde λk é o denominado autovalor associado ao autovetor vk .V. a mudança de domı́nio conduz a novas interpretações sobre a composição dos sinais e dos sistemas. o problema é tratado com base no resultado dos cálculos das respostas dos sistemas de primeira ordem. Em seguida. a saı́da será da forma y[n] = H(zk ) Ck zkn . tal que wk = λk vk . as quais podem dar origem a novas técnicas de análise e de sı́ntese. Pode-se mostrar que. a partir desse conjunto. • Nesse caso. com uma abordagem intuitiva. a representação de sinais e de sistemas se preocupa com a forma que o sinal assume. é necessário conhecer apenas a operação do sistema sobre esse tipo. Portanto. Motivações para a representação em domı́nio transformado • É possı́vel definir um conjunto de funções exponenciais (ou senoidais) ortogonais entre si e. uma vez que a base é formada por apenas um tipo de sinal. Com tal mudança de abordagem do problema. é realizada uma formalização matemática para os sistemas de ordens elevadas. Inicialmente. dada a entrada x[n] = Ck zkn . A. as funções exponenciais comportam-se como autofunções para um SLIT. No domı́nio da variável n. surgem novas representações para um SLIT. Parte V Noções da representação em domı́nio transformado para sistemas de primeira ordem 183 . . em um SLIT de primeira ordem. A Transformada Z é definida apenas como um mapeamento entre possı́veis representações de uma seqüência. Após a identificação da Função de Transferência e da definição da Transformada Z.Capı́tulo 10 Introdução Os capı́tulos que compõem a corrente Parte desse documento. A extrapolação para sistemas de ordens superiores e todo o formalismo matemático adequado são apresentados posteriormente. É apresentado o cálculo da Transformada Z para algumas das funções mais comuns. São definidas a Transformada Z Bilateral e a Transformada Z Unilateral. o seu Operador de Transferência. Eles são baseados na observação dos resultados encontrados no cálculo das respostas dos sistemas de primeira ordem. São estabelecidas as relações entre a resposta ao impulso do SLIT. Nos capı́tulos a seguir. são calculadas a Função de Transferência e as respostas de um SLIT. Os conteúdos abordados em tais capı́tulos são apresentados de forma intuitiva e sem um formalismo matemático que os justifiquem. a partir da Função de Transferência do SLIT. em uma análise de sinais e sistemas quaisquer em domı́nio transformado. efetuado no Apêndice D. 185 . são trabalhadas as noções de Função Resposta em Freqüência e de Função de Transferência. bem como a forma como os conteúdos foram organizados. Também é abordado o conceito de um filtro com fase linear. é levantada a idéia de se interpretar um SLIT como um filtro seletor em freqüência. a sua Função Resposta em Freqüência e a sua Função de Transferência. são discutidas as relações da Transformada Z com seqüências que apresentam deslocamentos e com seqüências que resultam da operação de soma de convolução. uma investigação sobre estabilidade é realizada. De posse da Resposta em Freqüência. Com a aplicação da Transformada Z sobre a equação de diferença. Por fim. surgiram naturalmente da necessidade de se abordar a análise de sinais e sistemas em domı́nio transformado durante um perı́odo de tempo bastante reduzido. . Introdução A.S.186 Capı́tulo 10.V. a função H(Ω) é denominada de função Resposta em Freqüência do sistema. facilmente obtida por yperm [n] = yf or [n] = Ak |H(Ωk )| cos(Ωk n + Θk + ∠H(Ωk )) = A0k cos(Ωk n + Θ0k ) . • Para cada valor particular Ωk da freqüência Ω. baseada em H(Ωk ). a resposta forçada é formulada com base na função contı́nua H(Ω) = |H(Ω)| ej∠H(Ω) . e bastante utilizada. Assim.Capı́tulo 11 Resposta em Freqüência 11. uma notação alternativa. para um SLIT estável. para o caso genérico. o cálculo da resposta de um SLIT estável. para uma entrada senoidal. • O conhecimento da função Resposta em Freqüência de um SLIT é bastante útil. para a Resposta em Freqüência é H(ejΩ ). é formulada com base na função ejΩ . em relação à variável Ω. Portanto. efetuado no Apêndice D. 187 . e calculado no Apêndice D. A extrapolação para sistemas de ordens superiores e um formalismo matemático adequado são apresentados em capı́tulos posteriores. Ele é baseado na observação dos resultados encontrados no cálculo das respostas dos sistemas de primeira ordem. no regime permanente. pode-se obter uma resposta diferente.2 Função Resposta em Freqüência H(Ω) de um SLIT • Foi citado. com uma entrada senoidal. que. – Caso seja possı́vel representar uma Pentrada genérica x[n] através de uma combinação linear de sinais senoidais x[n] = k Ak cos(Ωk n + Θk ). a partir do cálculo de H(Ωk ). Θ0k = Θk + ∠H(Ωk ) e H(Ω) = |H(Ω)| ej∠H(Ω) . a sua resposta. é. com função H(Ω). 11. pois: – Dado um SLIT estável. no regime permanente yperm [n].1 Introdução O conteúdo deste capı́tulo é apresentado de forma intuitiva e sem um formalismo matemático que o justifique. • Pode-se mostrar que a dependência da função H(Ω). para uma entrada senoidal x[n] = Ak cos(Ωk n + Θk ). para alguns casos particulares. operando em regime permanente. é extremamente facilitado pelo uso de H(Ω). onde: A0k = Ak · |H(Ωk )|. os cossenos que compõem o sinal de entrada podem sofrer alterações seletivas na amplitude e no ângulo de fase. a Resposta em Freqüência b +b e−jΩ é H(ejΩ ) = 1+a0 1 1e −jΩ . de acordo com as faixas de freqüências ocupadas. na geração do sinal de saı́da. operando em regime permanente. .3 SLIT interpretado como filtro • Uma vez que a função H(ejΩ ) pode apresentar seletividade em freqüência. SLIT Resposta em Freqüência y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] H(ejΩ ) = 1+ab10e−jΩ b1 e−jΩ y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1] H(ejΩ ) = 1+a −jΩ 1 e −jΩ y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] H(e ) = b1+a jΩ 0 +b1 e 1e −jΩ Tabela 11. as faixas são reduzidas à metade: − π2 ≤ Ω < π2 ou 0 ≤ Ω < π. em função da freqüência Ω. • A Tabela 11.1: Exemplos de associações entre a equação de diferença que descreve um SLIT e a sua função Resposta em Freqüência H(ejΩ ). a função costuma ser representada por seus gráficos de módulo |H(ejΩ )| e ângulo de fase ∠H(ejΩ ). para diferentes faixas da freqüência Ω. discreto no tempo. quando representado em função do tempo. conforme os resultados apresentados no Apêndice D. • Normalmente. • Sendo assim. pode ser interpretado como um filtro seletor em freqüência. para o SLIT definido pela equaçãode diferença y[n]+a1 y[n−1] = b0 x[n]+b1 x[n−1]. • Em virtude do comportamento periódico de H(ejΩ ). • Por exemplo. em função da freqüência. 0 ≤ Ωnorm < 2.188 Capı́tulo 11. um SLIT estável. a função H(ejΩ ) pode apresentar diferentes valores de módulo. • A seletividade do sistema pode ser facilmente observada pelo representação gráfica da função H(ejΩ ): gráfico de módulo e gráfico de ângulo de fase. A. bem como diferentes valores de ângulo de fase. − 21 ≤ Ωnorm < 21 ou 0 ≤ Ωnorm < 1.V. • Para as funções que apresentam simetrias (par / ı́mpar). com perı́odo fundamental Ωp = 2π. 11.1 resume os resultados dos cálculos efetuados no Apêndice D. • As alterações seletivas sofridas pelo sinal podem ser percebidas de dois modos equivalentes: – Uma mudança na sua forma. onde Ωnorm = Ωπ . os gráficos são elaborados apenas para uma faixa fundamental: −π ≤ Ω < π ou 0 ≤ Ω < 2π. os gráficos são apresentados com faixas normalizadas: −1 ≤ Ωnorm < 1. • Dependendo dos valores dos coeficientes do sistema. o que é denominado de conformação.S. Resposta em Freqüência • Para facilitar a visualização da influência de H(ejΩ ) no cálculo da resposta forçada do sistema. passa-alta. • Escolhendo-se adequadamente os coeficientes do sistema. deve-se ter |H(Ωp )| = 1 e ∠H(Ωp ) = 0. pode-se admitir que a Resposta em Freqüência apresente |H(Ωp )| = 1 e ∠H(Ωp ) = −ND Ω. podem-se realizar os seguintes tipos básicos de filtros: passa-baixa. filtros com excesso de fase linear. no projeto de um filtro. • Porém. a saı́da y[n] e os coeficientes da equação de diferença ak e bk . Por essa razão. na faixa de passagem. os filtros com fase linear devem apresentar |H(Ωp )| = 1 e τ (Ωp ) = ND . filtros com atraso de fase linear ou. simplesmente. • Se a entrada x[n]. recebendo a denominação de filtro seletor em freqüência. • Em filtros não ideais. a sua função Resposta em Freqüência deve possuir |H(Ωr )| = 0. não é possı́vel garantir que ∠H(Ωp ) = 0.4.4 Filtros com fase linear • Para que um SLIT apresente seletividade em freqüência. • Deve ser observado que a quantização de todos esses valores pode fazer com que o filtro/sistema digital produza resultados significativamente diferentes daqueles gerados pelo filtro/sistema discreto no tempo. TET / UFF . tais sistemas são denominados filtros com ângulo de fase linear. o SLIT pode ser visto como um filtro digital. forem quantizados. rejeita-banda e equalizador (de amplitude ou de fase). 11. na faixa de passagem. • Portanto. nas faixas de rejeição. • Por sua vez. Tal técnica é denominada de overdesign. passa-banda.11. uma vez que a geração do sinal de saı́da envolverá o emprego de atrasos. filtros com fase linear. deve-se garantir que os atrasos acrescentados em cada componente na faixa de passagem não irão distorcer a soma final que irá compor o sinal de saı́da: P x[n] = k cos(Ωk n) → y[n] = x Pp [n − ND ] = k cos Ω k p (n − N D ) Pp = k cos Ω k p n − Ω k p N D Pp = kp |H(Ωkp )|cos Ωkp n + ∠H(Ωkp ) . nas faixas de passagem. • Por essa razão. procura-se utilizar. Filtros com fase linear 189 – Uma mudança na sua composição freqüencial ou espectral. • Pode-se ainda definir a grandeza atraso de grupo: τ (Ω) = − d∠H(Ω) dΩ . uma especificação mais rigorosa do que a original. enquanto ∠H(Ωr ) pode assumir qualquer valor. ele deve possuir faixas ou bandas de passagem (Ωp ) e de rejeição (Ωr ). • Logo. quando representado em função da freqüência. o que é chamado de filtragem. • O que se espera de um filtro ideal é que ele não altere as componentes espectrais do sinal de entrada nas faixas de passagem e que ele anule as componentes nas faixas de rejeição. • Assim sendo. 4.S. Resposta em Freqüência 11. • b1 = b0 . • Calcule a freqüência de corte Ωc do filtro digital ideal.5 Exercı́cios propostos 1. . composto por uma combinação linear de sinais senoidais. jΩ b0 +b1 e−jΩ • H(e ) = 1+a1 e−jΩ . envolvendo freqüências na faixa de 0 ≤ f ≤ 15 kHz. Calcule |H(ejΩ )| e ∠H(ejΩ ) para as seguintes funções: • H(ejΩ ) = 1+ab10e−jΩ . respectivamente definidos pelas funções H1 (ejΩ ) = 1+a1 e−jΩ −jΩ e H2 (ejΩ ) = d1+c 0 +d1 e 1e −jΩ . jΩ b1 e−jΩ • H(e ) = 1+a1 e−jΩ . • Paralela. Dados os subsistemas S1 e S2 .V. (b) Assumindo que o sinal y[n] deve corresponder a um sinal analógico que possua componentes senoidais envolvendo freqüências na faixa de 0 ≤ f ≤ 5 kHz: • Que tipo de seletividade em freqüência o filtro deve apresentar? Justifique. O sinal é limitado em banda. que será processada por um filtro digital. calcule a resposta em freqüência total H(e jΩ ) do sistema S. digitalmente. obtido através das seguintes associações: • Cascata (série). O sinal xa (t) será amostrado com freqüência de amostragem FS . esboce os gráficos |H(ejΩ )| × Ω e ∠H(ejΩ ) × Ω para os seguintes casos: • b0 6= 0 e b1 = 0. gerando a seqüência x[n]. A. Dada a equação de diferença y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. b0 +b1 e−jΩ 3. • b1 = −b0 . produzindo a seqüência y[n]. 2. Deseja-se filtrar.190 Capı́tulo 11. um sinal analógico xa (t). Atenda aos seguintes itens: (a) Que valor deve ser escolhido para a freqüência de amostragem FS ? Justifique. • b0 = 0 e b1 6= 0. para uma entrada composta por uma combinação linear de sinais senoidais. • Portanto. a resposta forçada será também um sinal senoidal. 12.1 Introdução O conteúdo deste capı́tulo é apresentado de forma intuitiva e sem um formalismo matemático que o justifique. a resposta forçada será composta por uma combinação linear dos sinais senoidais de entrada modificados pela função Resposta em Freqüência H(ejΩ ). com a mesma freqüência da entrada. • Foi mostrado que. efetuado no Apêndice D. para um SLIT estável. relativos a respostas de um SLIT descrito por uma equação de diferença de primeira ordem. • Foi observado que. a resposta em regime permanente será igual à resposta forçada. Ele é baseado na observação dos resultados encontrados no cálculo das respostas dos sistemas de primeira ordem. para um sinal de entrada senoidal. foram apresentadas algumas definições para os sistemas abordados. • Tal resultado facilita o cálculo da resposta de um SLIT estável no regime permanente. • Pode-se mostrar que esses resultados valem para um SLIT descrito por uma equação de diferença de ordem genérica.Capı́tulo 12 Função de Transferência 12. A extrapolação para sistemas de ordens superiores e um formalismo matemático adequado são apresentados em capı́tulos posteriores. para um sinal de entrada composto por uma combinação linear de sinais senoidais. 191 . porém com amplitude e ângulo de fase modificados pela função Resposta em Freqüência H(ejΩ ).2 Função de Transferência H(z) de um SLIT • Com base nos cálculos efetuados no Apêndice D. pode-se verificar que a Função de Transferência carrega informação sobre a estabilidade do sistema. utilizando-se a função H(z). duas representações alternativas para seqüências são definidas e são aplicadas em diversos cálculos envolvidos em um SLIT descrito por uma equação de diferença. o processo de análise da resposta total do sistema (transitório + permanente). tais como em sistemas instáveis e no transitório de sistemas estáveis. pode-se observar que os sinais de entrada do tipo zkn são modificados por uma função H(z).192 Capı́tulo 12. as funções exponenciais z n . Função de Transferência • No entanto. como sinais de base. A Tabela 12. • Porém. a função H(z) pode ser denominada de Função de Transferência do SLIT. que emprega a função H(ejΩ ). pode-se mostrar que a combinação linear de funções senoidais não converge para compor uma função que possua variações exponenciais na sua amplitude. Uma vez que ela define uma relação direta entre a entrada do sistema e a resposta à entrada. • Uma vez que se consiga expressar os sinais de entrada como combinações de exponenciais n do tipo zkn = |zk | ejΩk = |zk |n ejΩk n .S. • Nos exemplos apresentados no Apêndice D. a sua Função de Transferência H(z) e o seu Operador de Transferência T (D).1 resume os resultados dos cálculos efetuados. Função Operador SLIT de de Transferência Transferência b0 b0 y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] H(z) = 1+a1 z−1 T (D) = 1+a1 D−1 b1 z −1 b1 D−1 y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1] H(z) = 1+a −1 T (D) = 1+a −1 1 z −1 1 D −1 b0 +b1 z b0 +b1 D y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] H(z) = 1+a1 z−1 T (D) = 1+a1 D−1 Tabela 12.V.1: Exemplos de associações entre a equação de diferença que descreve um SLIT de primeira ordem. • Pode-se pensar em expressar os sinais com variações exponenciais na sua amplitude através da combinação linear de funções exponenciais genéricas do seguinte tipo: j∠z n n n j∠zn z = |z|e = |z| e = rn ejΩn . analisando-se a função H(z) e a resposta natural de um SLIT. • A seguir. pode-se pensar ainda em uma unificação dos dois processos de análise. • Logo. • Finalmente. com base nas funções exponenciais do tipo z n . pode ser similar ao adotado na análise do regime permanente senoidal. A. deve-se lembrar que os sinais formados por uma combinação linear de funções senoidais também podem ser descritos como combinações de sinais exponenciais do tipo ejΩn . ao se definir uma relação entre as funções H(ejΩ ) e H(z). que é caracterı́stica de cada sistema. não é possı́vel utilizar a técnica de análise baseada na função Resposta em Freqüência H(ejΩ ) em situações que envolvam sinais com variações exponenciais na sua amplitude. . • Além disso. uma técnica similar de análise pode ser obtida utilizando-se. onde z = |z| ej∠z = r ejΩ . • Portanto. o seu mapeamento na função V (z).2 Representação bilateral Supondo-se que é possı́vel associar uma seqüência genéria v[n] a uma combinação linear bilateral de seqüências exponenciais do tipo z n . tanto a Função de Transferência quando as respostas do sistema podem ser calculadas de uma forma direta e simples.3. é denominado de Transformada Z. 12. Isso é discutido a seguir. por meio de seqüências exponenciais do tipo z n . os cálculos de H(z) e das respostas do sistema podem ser facilitados ao se utilizar uma representação alternativa para as seqüências. essa nova representação é uma combinação linear de seqüências exponenciais do tipo z n . Essencialmente.1 Transformada Z Dada uma seqüência v[n].3 Representação alternativa para seqüências Para um SLIT descrito por uma equação de diferença.3.3) TET / UFF .3. (12. a Transformada Z unilateral é definida por ∞ X VU (z) = v[l] z −l .1) l=−∞ pode-se expressar o impulso δ[n] por ∞ X ∆(z) = δ[l] z −l = 1 (12. Representação alternativa para seqüências 193 12. onde −∞ < n < ∞. l=0 12. Dois tipos de representação podem ser adotados: bilateral (−∞ < n < ∞) e unilateral (0 ≤ n < ∞). l=−∞ Por sua vez. A Transformada Z bilateral é definida por ∞ X VB (z) = v[l] z −l . de tal forma que ∞ X V (z) = v[l] z −l . Ela é denominada de Transformada Z. (12. Com a aplicação da Transformada Z sobre a equação de diferença.2) l=−∞ e a representação de uma seqüência deslocada v[n − ND ] por ∞ X VND (z) = v[l − ND ] z −l l=−∞ ∞ X = v[m] z −(m+ND ) m=−∞ ∞ X = v[m] z −m z −ND m=−∞ ∞ X −ND = z v[m] z −m m=−∞ −ND = z V (z) .12. 4) k=0 que ocorre em equações de diferença.S.194 Capı́tulo 12.6) k=0 A.5) onde K X P (z) = ck z −k . (12. Função de Transferência No caso da soma de seqüências envolvendo atrasos K X w[n] = ck v[n − k] . (12. obtém-se ∞ X W (z) = w[l] z −l l=−∞ ∞ K ! X X = ck v[l − k] z −l l=−∞ k=0 ∞ K ! X X = ck v[l − k] z −l k=0 l=−∞ K X = ck Vk (z) k=0 XK = ck z −k V (z) k=0 K ! X = ck z −k V (z) k=0 = P (z) V (z) .V. . (12. 12.9) l=0 o impulso δ[n] por ∞ X ∆(z) = δ[l] z −l = 1 (12. TET / UFF . Representação alternativa para seqüências 195 12. (12.7) l=0 Deve-se notar que. para seqüências do tipo x[n] = f [n] u[n]. (12. conforme previsto na Equação (12. tem-se que VND (z)|unilateral = z −ND V (z) = VND (z)|bilateral . será suposto a existência de uma representação alternativa unilateral direita. dada por ∞ X FU (z) = f [l] z −l . as duas representações são equivalentes.11) m=1 Quando v[n] = f [n] u[n].3. por ∞ X VND (z) = v[l − ND ] z −l l=0 ∞ X = v[m] z −(m+ND ) m=−ND −1 X ∞ X −(m+ND ) = v[m] z + v[m] z −m z −ND m=−ND m=0 −1 X ∞ X −(m+ND ) −ND = v[m] z +z v[m] z −m m=−ND m=0 ND X = v[−m] z −(ND −m) + z −ND V (z) . uma vez que ∞ X ∞ X −l FB (z) = f [l] u[l] z = f [l] z −l = FU (z) . (12.8) l=−∞ l=0 Com essa nova representação.8). ND ∈ N+ . (12.3.10) l=0 e a representação de uma seqüência atrasada v[n − ND ].3 Representação unilateral Inicialmente. pode-se expressar uma seqüência genérica v[n] por ∞ X V (z) = v[l] z −l . (12. (12.S.13) k=1 onde K X Pv[−k] (z) = cm z −(m−k) (12. .14) m=k e K X P (z) = ck z −k . obtém-se ∞ X W (z) = w[l] z −l l=0 ∞ K ! X X = ck v[l − k] z −l l=0 k=0 ∞ K ! X X = ck v[l − k] z −l k=0 l=0 XK = ck Vk (z) k=0 XK = ck Vk (z) + c0 V (z) k=1 K k ! X X = ck v[−m] z −(k−m) + z −k V (z) + c0 V (z) k=1 m=1 K k ! K X X X = ck v[−m] z −(k−m) + ck z −k V (z) + c0 V (z) k=1 m=1 k=1 K k ! K ! X X X −(k−m) −k = ck z v[−m] + ck z V (z) k=1 m=1 k=0 K K ! K ! X X X = cm z −(m−k) v[−k] + ck z −k V (z) k=1 m=k k=0 XK = Pv[−k] (z) v[−k] + P (z) V (z) . (12.196 Capı́tulo 12.12) k=0 que ocorre em equações de diferença. Função de Transferência No caso da soma de seqüências envolvendo atrasos K X w[n] = ck v[n − k] .15) k=0 A.V. demonstra-se que as seqüências x[n] = u[n].19) k=−∞ e utilizando-se a associação y[n] ↔ Y (z). |z| > |z0 | .4.17) l=0 l=0 1 − az −1 ∞ ∞ X X l 1 XB (z) = XU (z) = z0l z −l = z0 z −1 = . Tais faixas são denominadas de Região de Convergência (Region Of Convergence ou ROC) do mapeamento.12. (12.16) l=0 l=0 1 − z −1 ∞ ∞ X X l 1 XB (z) = XU (z) = al z −l = az −1 = . |z| > 1 . 12. podem ser expressas. por ∞ ∞ X −l X l 1 XB (z) = XU (z) = z = z −1 = .1 Representação bilateral Considerando-se a convolução de duas seqüências genéricas w[n] e v[n]. que os mapeamentos x[n] ↔ X(z) são definidos apenas para determinadas faixas de valores de z.5 Representação alternativa × convolução A soma de convolução é uma operação que aparece naturalmente na análise de um SLIT. Exemplos de mapeamento 197 12.5. nesses exemplos. tem-se que ∞ X ∞ X −l Y (z) = y[l] z = (w[l] ∗ v[l]) z −l l=−∞ l=−∞ ∞ ∞ ! X X = w[k] v[l − k] z −l l=−∞ k=−∞ ∞ ∞ ! X X = w[k] v[l − k] z −l l=−∞ k=−∞ ∞ ∞ ! X X = w[k] v[m] z −(m+k) m=−∞ k=−∞ ∞ ∞ ! X X = w[k] v[m] z −m z −k m=−∞ k=−∞ TET / UFF . (12. Como será demonstrado.18) l=0 l=0 1 − z0 z −1 Deve-se notar. calculada por ∞ X y[n] = w[n] ∗ v[n] = w[k] v[n − k] . 12. Portanto. (12. o que representa um resultado muito importante. x[n] = an u[n] e x[n] = z0n u[n].4 Exemplos de mapeamento Utilizando-se as representações alternativas em conjunto com as identidades apresentadas no Apêndice I. é interessante conhecer o efeito causado sobre a convolução pela representação alternativa proposta. a representação alternativa realiza um mapeamento da convolução em uma operação de multiplicação. (12. respectivamente. |z| > |a| . 198 Capı́tulo 12. tem-se que ∞ X Y (z) = y[l] u[l] z −l l=0 ∞ X = [(w[l] u[l]) ∗ (v[l] u[l])] z −l l=0 ∞ " ∞ # X X = (w[k] u[k]) (v[l − k] u[l − k]) z −l l=0 k=−∞ ∞ " ∞ # X X = (w[k] u[k]) (v[l − k] u[l − k]) z −l l=0 k=−∞ ∞ " ∞ # X X = (w[k] u[k]) (v[m] u[m]) z −(m+k) m=−k k=−∞ ∞ " ∞ # X X = w[k] (v[m] u[m]) z −m z −k m=−k k=0 ∞ ∞ ! X X = w[k] v[m] z −m z −k m=0 k=0 ∞ ∞ ! X X = w[k] z −k v[m] z −m m=0 k=0 X∞ = W (z) v[m] z −m m=0 ∞ X = W (z) v[m] z −m m=0 = W (z) V (z) .22) A. calculada por ∞ X y[n] u[n] = (w[n] u[n]) ∗ (v[n] u[n]) = (w[k] u[k]) (v[n − k] u[n − k]) . Função de Transferência ∞ ∞ ! X X −k = w[k] z v[m] z −m m=−∞ k=−∞ ∞ X = W (z) v[m] z −m m=−∞ ∞ X = W (z) v[m] z −m m=−∞ = W (z) V (z) . (12.V.21) k=−∞ e utilizando-se a associação y[n] ↔ Y (z).S.5.2 Representação unilateral Considerando-se a convolução de duas seqüências unilaterais w[n] u[n] e v[n] u[n].20) 12. (12. . (12. ocorrendo em um intervalo de tempo finito. para n ≥ 0. Isso é equivalente a dizer que a entrada x[n] foi aplicada ao sistema em n → −∞. deve-se ter em mente que: • São considerados os valores de uma entrada conhecida x[n]. no intervalo −∞ < n < ∞. aplicada a partir de n = N0 . Representação alternativa × equação de diferença 199 12. possibilitando que a representação unilateral seja empregada para encontrar a resposta do sistema ytot [n] = yr [n] + yh [n] = yent [n] + yest [n].12. Porém. pode-se resumir o uso das representações alternativas na resolução de um SLIT estável da seguinte forma: • No caso de sistemas relaxados. o que pode ser representado por y[n − N0 ] u[n − N0 ]. Por outro lado. a equação equivalente pode ser resolvida e a solução Y (z) remapeada para a solução y[n]. onde y[n] = 0. na resolução de uma equação de diferença que descreve um SLIT estável e não relaxado. gerando o mesmo resultado: ytot [n] = yr [n] = yent [n]. descrito pela equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] . Ao aplicar-se a representação bilateral sobre a equação de diferença. Portanto. para n < 0.6 Representação alternativa × equação de diferença Supondo-se um SLIT estável. para n ≥ 0. que podem ser fornecidas na forma de valores de y[n] para n < N0 . é intrinsicamente suposto que se procura uma solução y[n]. para uma entrada x[n]. • No caso de sistemas não relaxados. • Aproveitando-se a caracterı́stica de invariância ao deslocamento. pode-se aplicar a representação alternativa para os sinais de entrada x[n] e de saı́da y[n]. Logo. sua resposta ao estado inicial em n → −∞ é transitória. o que pode ser representado por x[n − N0 ] u[n − N0 ]. o efeito causado no SLIT por tais entradas é descrito pelas condições iniciais para n = N0 .8) indica que ambas as representações alternativas podem ser utilizadas. TET / UFF . envolvendo X(z) e Y (z). aplicar a representação bilateral para resolver um SLIT estável é equivalente a resolver o sistema relaxado.6. a Equação (12. Em seguida. Uma vez que o sistema é estável.11) mostra como as condições iniciais serão incluı́das nos cálculos. a Equação (12. Tais especificações para o processo de cálculo das respostas do SLIT levam naturalmente à representação unilateral. Porém. deve-se notar que o uso das representações bilateral e unilateral carregam significados diferentes no cálculo das respostas dos sistemas. gerando uma equação equivalente. • São calculados os valores da saı́da y[n] a partir de n = N0 . • São desconhecidas as entradas x[n] para n < N0 . o valor N0 = 0 é sempre utilizado como ponto inicial de análise. 1 Respostas para uma entrada genérica Utilizando-se a associação v[n] ↔ VU (z).7. obtém-se yr [n] = yent [n] = h[n] ∗ x[n] (12.S. bem como Yent (z) = H(z) X(z) . as representações alternativas para a resposta à entrada. (12. a resposta ao estado. (12.24) e yh [n] = yest [n] = ynat1 [n] = (−1)(a1 )y[−1](−a1 )n u[n] = (CH )(−a1 )n u[n] . (−1) Yest (z) = (P−1 (z) y[−1]) . respectivamente.200 Capı́tulo 12.17) e (12. a resposta do sistema relaxado e a resposta da equação homogênea. DH (z) 1 + a1 z −1 DH (z) = 1 + a1 z −1 = 1 − zpH z −1 e P−1 (z) = a1 são.23). a equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] . Aplicando-se (12. . a Função de Transferência. o seu denominador e o polinômio relativo à condição inicial y[−1].25) A. respectivamente.23) onde b0 + b1 z −1 NH (z) H(z) = = . Função de Transferência 12. pode ser expressa por Y (z) + a1 y[−1] + z −1 Y (z) = b0 X(z) + b1 x[−1] + z −1 X(z) 1 + a1 z −1 Y (z) + (a1 ) y[−1] = b0 + b1 z −1 X(z) → b0 + b1 z −1 −1 Y (z) = X(z) + (a1 ) y[−1] 1 + a1 z −1 1 + a1 z −1 (−1) = H(z) X(z) + (P−1 (z) y[−1]) DH (z) = Yent (z) + Yest (z) = Yr (z) + Yh (z) . são.7 Representação alternativa × respostas de um SLIT 12. com x[n] = f [n] u[n] e condição inicial y[−1].V.21) em (12. DH (z) Yr (z) = Yent (z) e Yh (z) = Yest (z) . 27) onde KH + CH Ynat (z) = Yc (z) + Yh (z) = Ynat2 (z) + Ynat1 (z) = 1 + a1 z −1 e KX Yf or (z) = Yp (z) = 1 − z −1 são. bem como a1 b 0 − b 1 K H = AD 1 + a1 e b0 + b1 K X = AD . as representações alternativas para a resposta complementar e a resposta particular (ou forçada).7. 1 + a1 De (12. Aplicando-se (12.7. (12. (12. respectivamente. obtém-se y[n] = yf or [n] + ynat [n] = (KX ) u[n] + (KH + CH ) (−a1 )n u[n] .2 Respostas para uma entrada conhecida AD Supondo-se x[n] = AD u[n]. respectivamente.28) TET / UFF .23) e (12. (12. (12. X(z) = 1−z −1 e Yent (z) = Yr (z) = H(z) X(z) b0 + b1 z −1 AD KH KX = = + 1 + a1 z −1 1 − z −1 1 + a1 z −1 1 − z −1 = Yc (z) + Yp (z) = Ynat2 (z) + Yf or (z) .17) e (12. as representações alternativas para a resposta natural e a resposta forçada. respectivamente.16).12.16) e (12. Representação alternativa × respostas de um SLIT 201 12.27).26) onde KH Yc (z) = Ynat2 = 1 + a1 z −1 e KX Yp (z) = Yf or (z) = 1 − z −1 são.23).26) obtém-se Y (z) = Yent (z) + Yest (z) = Yr (z) + Yh (z) = [Yc (z) + Yp (z)] + Yh (z) = [Ynat (z) + Yf or (z)] + Ynat1 (z) 2 KH KX CH = + + 1 + a1 z −1 1 − z −1 1 + a1 z −1 KH + CH KX = + 1 + a1 z −1 1 − z −1 = Ynat (z) + Yf or (z) .21) em (12. obtém-se de (12. 10) e (12.30) 1 + a1 z −1 De (12. Tal faixa de valores é definida como a região de convergência (ROC) de H(z). o número total de zeros é igual ao número total de pólos.31) 1 + a1 z −1 l=−∞ o que justifica a notação H(z) para a Função de Transferência do SLIT.30).18). Sendo assim. dos coeficientes bk e ak da equação de diferença que descreve o SLIT.202 Capı́tulo 12. foi visto que o mapeamento de seqüências genéricas x[n] em funções X(z) só existe para determinadas faixas de valores de z. Quando as singularidades (zeros e pólos) em z → ∞ são computadas. Empregando- se a representação alternativa proposta. a resposta ao impulso yδ [n] = h[n] pode ser expressa por ∞ X ∞ X Yδ (z) = yδ [l] z −l = h[l] z −l = H(z) . (12. A. 12.23).10 Pólos e zeros de H(z) NH (z) Deve-se notar que a Função de Transferência é uma função polinomial racional H(z) = DH (z) .29) l=−∞ l=−∞ Utilizando-se (12.S. Função de Transferência 12. (12. Nota-se ainda que as raı́zes dos polinômios NH (z) e DH (z) dependem. deve-se definir a faixa de valores de z que garanta a sua existência.29) e (12.9 Região de convergência de H(z) Nos exemplos apresentados pelas Equações (12. 12. As raı́zes do polinômio NH (z) são denominadas de zeros da função H(z). pode-se dizer que ∞ b0 + b1 z −1 X H(z) = = Yδ (z) = h[l] z −l .V. uma vez que ela tende a infinito para tais valores de z.8 Relação entre H(z) e h[n] de um SLIT Não é coincidência o fato da Função de Transferência ser denominada de H(z). respectivamente. com variável complexa (z) e coeficientes constantes (bk e ak ). As raı́zes do polinômio DH (z) são denominadas de pólos da função H(z). no mapeamento da seqüência h[n] (resposta ao impulso) na função H(z) (Função de Transferência).16) a (12. Quando os coeficientes são números reais. . uma vez que ela é anulada para tais valores de z. a resposta ao impulso h(n) de um SLIT relaxado. descrito pela equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] pode ser expressa por b0 + b1 z −1 Yδ (z) = Yr (z)|x[n]=δ[n] = H(z) X(z) = H(z) ∆(z) = H(z) = . as raı́zes complexas dos polinômios NH (z) e DH (z) deverão ocorrer em pares complexos conjugados. (12. 12. de multiplicidade Mk . o SLIT será classificado como instável. – Quando |pk | = 1.23) e (12. a fração Hk (z) é mapeada em um termo hk [n] que tende a infinito quando n tende a infinito. • Observando-se as respostas homogênea/estado. pode-se mostrar que uma equação de diferença de ordem qualquer dá origem a uma resposta composta por funções polinomiais racionais de mesma ordem. a fração Hk (z) é mapeada em um termo hk [n] que tende a zero quando n tende a infinito.25).26) a (12. do tipo Hk (z) = (1−pNkz(z) −1 )Mk . nas Equações (12. TET / UFF .23) e (12.11 Pólos de H(z) × estabilidade do SLIT • A posição dos pólos de H(z). de k multiplicidade Mk . • Ainda. • Pode-se mostrar que: – Quando |pk | < 1. independente da multiplicidade Mk . com forma exponencial. – Se houver pelo menos um pólo ou um par de pólos complexos conjugados com multiplicidade M = 1 na região |z| = 1. • Em (12. – Quando |pk | = 1. deverá haver uma outra com pólo z ∗ = p∗k complexo conjugado. pode-se perceber que a resposta à entrada depende dos pólos do sinal de entrada e dos pólos de H(z). o SLIT será classificado como instável. carrega informação sobre a estabilidade do SLIT.23). • No caso de haver uma fração parcial com pólo z = pk complexo. nota-se que elas dependem dos coeficientes ak .28). de multiplicidade Mk . examinando-se H(z) na Equação (12. independente da multiplicidade Mk . que depende dos coeficientes ak da equação de diferença. • Sabe-se que uma função polinomial racional de ordem qualquer pode ser fatorada em frações parciais de primeira ordem. como aquelas calculadas no Apêndice D. a fração Hk (z) é mapeada em um termo hk [n] que tende a infinito quando n tende a infinito. pode-se verificar a mesma dependência para a resposta ao estado. segundo o critério BIBO (Bounded-Input Bounded-Output). Pólos de H(z) × estabilidade do SLIT 203 12. complementar e natural.11. pode-se dizer que: – Se todos os pólos estiverem localizados na região |z| < 1. a fração Hk (z) é mapeada em um termo hk [n] constante (pólo real) ou senoidal (par de pólos complexos conjugados). – Se houver pelo menos um pólo ou um par de pólos complexos conjugados com multiplicidade M > 1 na região |z| = 1. com pólo z = pk . • Portanto. com a entrada e a condição inicial limitadas. – Se houver pelo menos um pólo na região |z| > 1. • De forma geral. • Isso pode ser constatado através da análise de cada uma das partes do sinal de saı́da. o SLIT será classificado como marginalmente estável (oscilatório). – Quando |pk | > 1. e os pólos (reais ou complexos conjugados) possuem multiplicidade Mk > 1. e os pólos (reais ou complexos conjugados) possuem multiplicidade Mk = 1. o SLIT será classificado como assintoticamente estável. foi visto que. para uma entrada exponencial complexa x[n] = z0n .12 Relação entre H(ejΩ) e H(z) de um SLIT • Por meio dos cálculos efetuados no Apêndice D. a resposta é dependente da Função Resposta em Freqüência H(ejΩ ). • Para um mesmo SLIT. calculada em Ω = Ω0 . descrito por uma equação de diferença de primeira ordem. a resposta é dependente da Função de Transferência H(z). foi visto que.204 Capı́tulo 12. de freqüência Ω0 . calculada em z = z0 . Função de Transferência 12. com uma entrada senoidal. • A Resposta em Freqüência H(ejΩ ). para um SLIT estável. é uma . Seus gráficos de módulo .função polinomial racional complexa da variável real Ω. H(ejΩ ). 11). seus gráficos de módulo |H(z)| e de ângulo de fase (argumento) ∠H(z) são superfı́cies. respectivamente. – Do ponto de vista geométrico. de perı́odo Ωp = 2 π. de cı́rculo unitário. • Assim. Portanto. simplesmente.1 apresenta as associações entre o Operador de Transferência T (D) e a Função de Transferência H(z) de três SLITs de primeira ordem.3) e (12.13 Relação entre T (D) e H(z) de um SLIT • A partir dos cálculos efetuados no Apêndice D. respectivamente. é uma função polinomial racional complexa da variável complexa z. 12. pode-se estabelecer uma relação entre H(ejΩ ) e H(z): – Do ponto de vista algébrico. • O mapeamento D−1 ↔ z −1 também é demonstrado nas Equações (12. pode-se facilmente obter as demais. . as curvas de módulo e de fase de H(ejΩ ) são percorridas nas superfı́cies de módulo e de fase de H(z). • Tais associações mostram que. a Função de Transferência H(z). e de ângulo de fase (argumento) ∠H(ejΩ ) são curvas periódicas. • Por sua vez. pode-se realizar o seguinte cálculo: H(ejΩ ) = H(z)|z=ejΩ . a relação w[n] = v[n − 1] = (D−1 ) v[n] é mapeada na relação W (z) = z −1 V (z).S. • Pode-se mostrar que tais resultados são válidos para equações de diferença de qualquer ordem. • As associações encontradas indicam ainda que o mapeamento n ↔ Ω produz um mapeamento D−1 ↔ z −1 .V. onde W (z) e V (z) são as representações de w[n] e de v[n]. A. • A região do plano complexo z definida por z = |z| ej∠z = (1) ejΩ é denominada de cı́rculo de raio unitário ou. a Tabela 12. dada qualquer uma das três representações do sistema. para z = ejΩ . • Assumindo-se que H(z) é definida para o cı́rculo unitário. Dado um SLIT descrito pela equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1]. Dados a seqüência x[n] = an .12. e o deslocamento ND ∈ N+ . calcule a resposta total Y (z) dosP SLITs descritos 1 pelas seguintes equações de diferença.14 Exercı́cios propostos 1. atenda aos seguintes itens: • Calcule a função de transferência do sistema H(z). A Função de Transferência de um Sistema Linear e Invariante ao Deslocamento . 4. y[−3]}. 3. − N P PN • y[n] = k=1 ak y[n − k] + k=0 bk x[n − k]. P P • y[n] = − N P PN k=1 ak y[n − k] + k=0 bk x[n − k]. CI = {y[−1]. CI = {y[−1]. P P • y[n] = − 3k=1 ak y[n − k] + 3k=0 bk x[n − k].14. • Calcule a resposta ao impulso do sistema h[n]. y[−N ]}. −∞ < n < ∞. CI = {y[−1]. Utilizando a associação v[n] ↔ V (z). Exercı́cios propostos 205 12. calcule a Função de Transferência H(z) dos SLITs descritos pelas seguintes equações de diferença: • y[n] = − 2k=1 ak y[n − k] + 2k=0 bk x[n − k]. y[−2]. y[−2]. 5. Utilizando a associação v[n] ↔ V (z). y[−2]}. · · · . P3 P3 • y[n] = − k=1 ak y[n − k] + k=0 bk x[n − k]. compare as representações bilateral XB (z) e unilateral XU (z) para as seguintes seqüências: • x[n] • x[n] u[n] • x[n] u[n − ND ] • x[n − ND ] • x[n − ND ] u[n] • x[n − ND ] u[n − ND ] 2. na forma Y (z) = H(z)X(z)+ DH (z) k P−k (z)y[−k]: P2 P2 • y[n] = − k=1 ak y[n − k] + k=0 bk x[n − k]. (SLIT). Yent (z) Y (z) . é definida por H(z) = X(z) = X(z) . com entrada x[n] e saı́da y[n]. • Calcule as Funções de Transferência dos sistemas formados pela ligação em cascata de cada dois subsistemas: (1) − (2). • Justifique se o sistema do item anterior é estável ou não. TET / UFF . o sistema é classificado como estável. • Calcule a Função de Transferência do sistema formado pela ligação em cascata dos três subsistemas: (1) − (2) − (3).32) a (12. (1) − (3). Sabe-se que.34). (2) − (3). Dados os subsistemas definidos pelas Equações (12. CI=0 se os pólos de H(z) estiverem localizados na região interna ao cı́rculo unitário do plano complexo z. atenda aos seguintes itens: • Calcule a Função de Transferência de cada subsistema isolado. • Justifique se cada subsistema isoladamente é estável ou não. . • Justifique se cada sistema do item anterior é estável ou não. 0x[n] + 0.4y[n − 1] = 2. Função de Transferência y[n] − 0. para a entrada x[n] = 3 u[n]. A partir da equação de diferença.0x[n] − 5.2y[n − 1] = x[n]. Dado o SLIT definido por y[n] − 0.15.34) 6. na forma Ytot (z) = Yent (z) + Yest (z). (b) Calcule a resposta ao estado do sistema yest [n]. ii. calcule a transformada Z da saı́da total do sistema. iv. iii. Dado o SLIT definido por y[n] − 0. calcule a H(z) do SLIT. calcule a resposta à entrada yent [n] do sistema.9x[n − 1] (12. Baseado no mapeamento n → z. Calcule a função resposta em freqüência do sistema. Justifique o cálculo. Dada a entrada x[n] = 5 u[n]. para o domı́nio da variável n.206 Capı́tulo 12. Calcule a resposta ao estado yest [n] do sistema. iv. calcule a H(z) do sistema. atenda aos seguintes itens: (a) Emprego da equação de diferença i. considerando as condições iniciais genéricas y[−1]. A partir do diagrama proposto para o dominio n. (b) Emprego do diagrama de sistema i. com y[−1] = 0. Apresente a definição da Função de Transferência H(z) do sistema. Desenhe o diagrama de sistema do SLIT relaxado. desenhe o diagrama de sistema do SLIT relaxado. A partir do diagrama proposto para o dominio z. yRP [n] = ytot [n]|n→∞ . A. ii.0x[n − 1] (12. Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. iii. . na Forma Direta I. encontre os elementos básicos de um diagrama de sistema para o domı́nio da variável z.32) y[n] − 2. para o domı́nio da variável z. com entrada x[n] = f [n] u[n].3y[n − 1] = 2.1y[n − 1] = 3. (c) Calcule a resposta total do sistema no regime permanente. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a função de transferência H(z) do sistema. saı́da y[n] e condições iniciais y[−1] ∈ R. na Forma Direta I. A partir de Ytot (z).33) y[n] + 0.V.S.8x[n − 1] (12. encontrada acima.0x[n] − 4.04y[n − 1] = x[n]. (c) Cálculos relativos à saı́da i. 7. ii. iii. segundo −jΩk jΩ NH (ejΩ ) k=0 bk e H(e ) = DH (ejΩ ) = 1+PN a e−jΩk . denominada de Resposta em Freqüência do SLIT. operando em regime permanente. conforme apresentado na Tabela 13. possuindo condições iniciais CI P= {y[−1]. y[−2]. segundo b z −k NH (z) k H(z) = DH (z) = 1+Pk=0 N a z −k . • A Resposta em Freqüência.2 Resumo dos resultados A seguir. indica que o SLIT. em regime permanente. é apresentada uma lista de tópicos contendo os principais resultados que surgem da representação de sinais e sistemas em domı́nio transformado.1. k=1 k • A Função de Transferência PL pode ser obtida diretamente da equação de diferença. · ·P · . efetuado no Apêndice D. bk ) da sua equação de diferença. com entrada x[n] e saı́da y[n].Capı́tulo 13 Principais resultados da representação em domı́nio transformado 13. causal e estável. • É dado um SLIT. y[−N ]} e definido por uma equação de diferença do tipo y[n] = − k=1 ak y[n − k] + Lk=0 bk x[n − k]. denominada de Função de Transferência do SLIT. A extrapolação para sistemas de ordens superiores e um formalismo matemático adequado são apresentados em capı́tulos posteriores. Ele é baseado na observação dos resultados encontrados no cálculo das respostas dos sistemas de primeira ordem. N • É identificada uma função H(ejΩ ). 207 . • É identificada uma função H(z). cuja seletividade é controlada pelos coeficientes (ak . • A Resposta em Freqüência PL pode ser obtida diretamente da equação de diferença.1 Introdução O conteúdo deste capı́tulo é apresentado de forma intuitiva e sem um formalismo matemático que o justifique. através dos resultados apresentados na Tabela 13.1. pode ser interpretado como um filtro seletor em freqüência. 13. k=1 k • A Resposta em Freqüência H(ejΩ ) pode ser usada para calcular diretamente a saı́da do SLIT. não apresente distorção de fase. o atraso de grupo τ (Ω) = − d∠H(e dΩ deve ser constante. na faixa de passagem do filtro. Entrada Saı́da (em regime permanente) jΩk n jΩk jΩk n x[n] = Pck e jΩ n y[n] = PH(e jΩ) ck e jΩ n x[n] = k ck e k . o argumento da sua Resposta em Freqüência ∠H(ejΩ ) deve ser uma função linear jΩ ) ou. Principais resultados da representação em domı́nio transformado • Para que um SLIT. operando como filtro seletor em freqüência.208 Capı́tulo 13. de outra forma. y[n] =. k H(e k ) ck e k jΩ k ). A cos(Ω n + φ + ∠H(ejΩk )) x[n] = PAk cos(Ωk n + φk ) y[n] = P H(e . . . k k k x[n] = k Ak cos(Ωk n + φk ) y[n] = k . H(ejΩk ). • Dadas as condições iniciais CI = {y[−1].1) l=−∞ ∞ X Y (z) = y[l] z −l .2) l=−∞ e ∞ X H(z) = h[l] z −l . (13. podem ser descritos. (13. operando em regime permanente. a Função de Transferência H(z) pode ser usada para calcular indiretamente a saı́da do SLIT. e seguindo o critério BIBO (Bounded-Input Bounded-Output).4) DH (z) k=1 onde DH (z) e P−k (z) dependem dos coeficientes ak .3) l=−∞ que é a própria Função de Transferência do SLIT. (13. Ak cos(Ωk n + φk + ∠H(ejΩk )) Tabela 13. pode-se mostrar que. a estabilidade do SLIT está associada com a posição dos pólos de H(z).1: Exemplos de relação entrada-saı́da para um SLIT causal e estável. • De acordo com (13. y[−2]. y[−N ]}. um sinal de saı́da y[n] e a resposta ao impulso h[n]. respectivamente. para uma entrada limitada.4). (13. (13. que são as raı́zes de DH (z). • Dado um SLIT causal e estável. desde a aplicação da entrada atual em n = 0. conforme resumido em N ! 1 X Y (z) = Yent (z) + Yest (z) = H(z) X(z) + P−k (z) y[−k] . • Um sinal de entrada x[n].5) . · · · . pode-se mostrar que H(ejΩ ) = H(z)|z=ejΩ = H(z)||z|=1 . pelas representações alternativas ∞ X X(z) = x[l] z −l . . 5 mostra que as curvas de . • A Equação 13. H(ejΩ ). A. .V. • Sabendo-se da existência da relação h[n] ↔ H(z).S. a Equação 13.5 demonstra a relação h[n] ↔ H(ejΩ ) ↔ H(z). ao se percorrê-las com os valores de z sob o cı́rculo unitário. e de ∠H(ejΩ ) podem ser obtidas das superfı́cies de |H(z)| e de ∠H(z). Parte VI Sinais e sistemas no domı́nio da freqüência 209 . . nR o R ∞ ∞ · y(t) = T {x(t)} = T −∞ x(τ )δ(t − τ ) dτ = −∞ T {x(τ )δ(t − τ )} dτ = R∞ R∞ −∞ x(τ )T {δ(t − τ )} dτ = −∞ x(τ )h(t − τ ) dτ = x(t) ∗ h(t). v2 (t).2 Vantagens das transformações de variáveis • Facilidade matemática: em função das propriedades apresentadas pelas novas represen- tações dos sinais e dos sistemas. Inicialmente. é apresentado um resumo das representações em freqüência. · · ·). – Sistemas ∗ Saı́da de um SLIT relaxado. bem como são abordados alguns tópicos pertinentes. Finalmente. entre variáveis independentes. 211 . • Mudança de ponto de vista no tratamento dos problemas: baseada em novas interpre- tações. As transformações “tempo/espaço ↔ freqüência analógica” e “ı́ndice ↔ freqüência digital”. • Surgimento de novas técnicas para análise e sı́ntese: em função do novo equacionamento.3 Resumo das representações em tempo contı́nuo • Representação no domı́nio do tempo – Sinais ∗ Composição/decomposição de sinais: x(t) ↔ f (v1 (t).1 Introdução A mudança da variável dependente utilizada nas descrições funcionais de sinais e de sistemas pode ser de grande utilidade.}: · y(t) = T {δ(t)} . são estabelecidas relações entre as diversas representações dos domı́nios contı́nuo e discreto. h(t). são comumente empregadas. são definidas as diversas representações em freqüência para sinais de tempo discreto. δ(t−k)) = −∞ x(τ )δ(t−τ ) dτ . que surgem a partir das novas representações dos sinais e dos sistemas. Em seguida. para que se possa estabelecer um paralelo entre os domı́nios contı́nuo e discreto. 14. 14.Capı́tulo 14 Sinais no domı́nio da freqüência 14. definido por um operador T {. Nesse capı́tulo. são abordados os efeitos da transformação “ı́ndice ↔ freqüência digital” sobre as seqüências. R∞ ∗ Caso particular: vk (t) = δ(t−k) e x(t) = f (x(k). 212 Capı́tulo 14. Sinais no domı́nio da freqüência • Representação no domı́nio da freqüência – Freqüências ∗ Freqüência complexa: s = Re{s} + jIm{s} = σ + jω, onde σ = Re{s} e ω = Im{s}. 2π ∗ Freqüência angular, freqüência linear e perı́odo de repetição: ω = 2πf = T . – SLITs ∗ Caso particular de sinal de entrada: x(t) = es0 t = est |s=s0 . R∞ R∞ ∗ Saı́da do SLIT relaxado: y(t) = −∞ x(τ )h(t − τ ) dτ = −∞ h(τ )x(t − τ ) dτ = R∞ R∞ −∞ h(τ )es0 (t−τ ) dτ = es0 t −∞ h(τ )e−s0 τ dτ = es0 t H(s0 ) = [est H(s)]s=s0 , R∞ onde: H(s) = −∞ h(τ )e−sτ dτ . ∗ MotivaçãoPbásica para representar o sistema P∞ por H(s):s t ∞ sk t se x(t) = k=−∞ ck e , então y(t) = k=−∞ ck H(sk )e k . – Funções periódicas 1 2π ∗ Perı́odo fundamental da função periódica fT0 (t): T0 = f0 = ω0 . ∗ Caso particular para função de base, onde sn = σn + jωn = (0) + j(nω0 ): esn t = ej(nω0 )t . ∗ Mapeamento: fT0 (t) ↔ g(fT0 (t), K(ω, t)) = g(fT0 (t), ejωn t ) = g(fT0 (t), ej(nω0 )t ). fT0 (t) = ∞ j(nω0 )t P n=−∞ Fn e ∗ Série de Fourier: t +T . Fn = T10 t0 fT0 (t)e−j(nω0 )t dt R 0 0 ∗ Associação tempo-freqüência: fT0 (t) ↔ Fn . – Funções não periódicas, com variações não exponenciais ∗ Aproximação por extensão periódica: f (t) = limT0 →∞ fT0 (t) = limT0 →∞ ∞ j(nω0 )t P n=−∞ Fn e . ω0 →0 ω0 →0 ∗ Mapeamento: f (t) ↔ g(f (t), K(ω, t)) = g(f (t), ejωt ). 1 R∞ F (jω)ejωt dω f (t) = 2π −∞ ∗ Transformada de Fourier (Ordinária): R∞ . F (jω) = −∞ f (t)e−jωt dt ∗ Associação tempo-freqüência: f (t) ↔ F (jω). – Funções não periódicas, com variações exponenciais ∗ Função de ordem exponencial: f (t) ≤ M eαt . ∗ Função auxiliar: φ(t) = e−σt f (t). R∞ φ(t) = e−σt 1 jωt f (t) = 2π −∞ Φ(jω)e dω ∗ Transformada de Fourier: R∞ −jωt ∞ . dt = −∞ e f (t)e−jωt dt −σt R Φ(jω) = −∞ φ(t)e ∗ Mapeamento: f (t) ↔ g(f (t), K(s, t)) = g(f (t), est ). 1 R∞ F (s)est ds f (t) = 2πj ∗ Transformada de Fourier Complexa (ou de Laplace): R ∞ −∞ −st . F (s) = −∞ f (t)e dt ∗ Associação tempo-freqüência: f (t) ↔ F (s). – Relacionamentos entre representações ∗ Se os valores s = jω (eixo imaginário ω do plano complexo s) pertencerem à região de convergência (ROC) da Transformada de Laplace: F (jω) = F (s)|s=jω . A.S.V. 14.4. Resumo das representações em tempo discreto 213 14.4 Resumo das representações em tempo discreto • Representação no domı́nio do tempo – Sinais ∗ Composição/decomposição de sinais: x[n] ↔ f (v1 [n], v2 [n], · · ·). ∗ Caso particular: vk [n] = δ[n−k] e x[n] = f (x[k], δ[n−k]) = ∞ P k=−∞ x[k]δ[n−k]. – Sistemas ∗ Saı́da de um SLIT relaxado, definido por um operador T {.}: · y[n] = T {δ[n]} , h[n]. P∞ P∞ · Py[n] = T {x[n]} = T k=−∞ x[k]δ[n − k] = k=−∞ T {x[k]δ[n − k]} = ∞ P∞ k=−∞ x[k]T {δ[n − k]} = k=−∞ x[k]h[n − k] = x[n] ∗ h[n]. • Representação no domı́nio da freqüência – Freqüências ∗ Freqüência complexa: z = Re{z} + jIm{z} = |z|ej∠z = RejΩ , onde R = |z| e Ω = ∠z. 2π ∗ Freqüência angular, freqüência linear e perı́odo de repetição: Ω = 2πF = N . – SLITs ∗ Caso particular de sinal de entrada: x[n] = z0n = z n |z=z0 . ∗ Saı́da do SLIT relaxado: y[n] = ∞ P P∞ k=−∞ x[k]h[n − k] = k=−∞ h[k]x[n − k] = P∞ (n−k) n P ∞ −k n n k=−∞ h[k]z0 P = z0 k=−∞ h[k]z0 = z0 H(z0 ) = [z H(z)]z=z0 , ∞ onde: H(z) = k=−∞ h[k]z −k . ∗ MotivaçãoPbásica para representar o P sistema por H(z): se x[n] = ∞ c k=−∞ k k z n , então y[n] = ∞ n k=−∞ ck H(zk )zk . – Seqüências periódicas 1 2π ∗ Perı́odo fundamental da seqüência periódica x̃N0 [n]: N0 = F0 = Ω0 . ∗ Caso particular para função de base, onde zk = Rk ejΩk = (1)ej(kΩ0 ) : zkn = ejkΩ0 n . ∗ Mapeamento: x̃N0 [n] ↔ g(x̃N0 [n], K(Ω, n)) = g(x̃N0 [n], ejΩk n ) = g(x̃N0 [n], ejkΩ0 n ).  2π  x̃ [n] = P jk N n N0 k=hN i X̃k N0 e 0 ∗ Discrete-Time Fourier Series (DTFS): 2π .  X̃ 1 P −jk N n k N0 = N n=hN i x̃N0 [n]e 0 ∗ Associação ı́ndice-freqüência: x̃N0 [n] ↔ X̃kN0 = X̃N0 [k]. – Seqüências não periódicas, com variações não exponenciais ∗ Aproximação por extensão periódica: x[n] = limN0 →∞ x̃N0 [n]. Ω0 →0 jΩn ∗ Mapeamento: x[n] ↔ g(x[n], K(Ω, n)) = g(x[n], e ). 1 R X(ejΩ )ejΩn dΩ x[n] = 2π Ω=h2πi ∗ Discrete-Time Fourier Transform (DTFT): . X(ejΩ ) = ∞ −jΩn P n=−∞ x[n]e ∗ Associação ı́ndice-freqüência: x[n] ↔ X(ejΩ ). ∗ Uma vez que os sistemas discretos no tempo não são capazes de operar com sinais de tempo contı́nuo, é necessário obter uma aproximação discreta para a DTFT. O novo equacionamento é fundamentado pelo uso da DTFS e realizado pela amostragem da DTFT. TET / UFF 214 Capı́tulo 14. Sinais no domı́nio da freqüência ∗ Mapeamento: x[n] ↔ g(x[n], K(Ω, n)) = g(x[n], ejΩk n ) = g(x[n], ejkΩ0 n ). ∗ Discrete Fourier Transform (DFT): ( 2π x[n] = N1 k=0 X[k]ejk( N )n , 0 ≤ n ≤ (N − 1) P(N −1) N-point DFT: −jk( 2π . N ) P −1) X[k] = (N n=0 x[n]e n , 0 ≤ k ≤ (N − 1) ou ( P(N −1) x[n] = N1 k=0 X[k]WN−kn , 0 ≤ n ≤ (N − 1) N-point DFT: P −1) . X[k] = (N kn n=0 x[n]WN , 0 ≤ k ≤ (N − 1) 2π onde: WN = e−j ( N ) . ∗ Associação ı́ndice-freqüência: x[n] ↔ X[k]. ∗ No cálculo da DFT, pelas equações originais, existem valores que podem ser previamente calculados e utilizados por diversas vezes, bem como podem ser encontradas várias redundâncias. Dessa forma, após um estudo adequado, algumas otimizações podem ser implementadas. ∗ Fast Fourier Transform (FFT): famı́lia de diferentes algoritmos computacionais alternativos, utilizados para o cálculo da DFT, cujo objetivo é diminuir a complexidade computacional das equações originais e, portanto, acelerar a operação. ∗ Resumindo: a DFT e a FFT não são novos tipos de transformadas discretas. Elas apenas representam aproximações de cálculo discreto para a DTFT analógica. – Seqüências não periódicas, com variações exponenciais ∗ Mapeamento: x[n] ↔ g(x[n], K(z, n)) = g(x[n], z n ). 1 H X(z)z n−1 dz x[n] = 2πj ∗ Z Transform: P∞C . X(z) = n=−∞ x[n]z −n ∗ Associação ı́ndice-freqüência: x[n] ↔ X(z). – Relacionamentos entre representações ∗ Se os valores |z| = 1 (cı́rculo de raio unitário do plano complexo z) pertencerem à região de convergência (ROC) da Transformada Z: X(ejΩ ) = X(z)||z|=1 . A.S.V. 14.5. Tipos de mapeamentos realizados 215 14.5 Tipos de mapeamentos realizados • As operações que geram um mapeamento entre descrições funcionais de sinais e sistemas trabalham com variáveis dependentes e independentes que podem ser analógicas, discretas ou digitais. • Dessa forma, de acordo com os tipos de variáveis envolvidas, pode-se propor uma classi- ficação para as operações e os mapeamentos. • Operações × mapeamentos entre representações:   analógico ↔ discreto/digital – Amostragem e Série de Fourier: . x1 (v1 ) ↔ x2 [n2 ]    analógico ↔ analógico – Transformadas de Fourier e de Laplace: . x1 (v1 ) ↔ x2 (v2 )    discreto/digital ↔ discreto/digital – DTFS e DFT/FFT: . x1 [n1 ] ↔ x2 [n2 ]    discreto/digital ↔ analógico – Interpolação, DTFT e Transformada Z: . x1 [n1 ] ↔ x2 (v2 )  • A Tabela 14.1 resume a classificação dos mapeamentos entre descrições funcionais de sinais e sistemas. Analógico Discreto/Digital x2 (v2 ) x2 [n2 ] Analógico Transformada de Fourier e Amostragem e x1 (v1 ) Transformada de Laplace Série de Fourier Discreto/Digital Interpolação, DTFS e x1 [n1 ] DTFT e Transformada Z DFT/FFT Tabela 14.1: Classificação dos mapeamentos entre descrições funcionais de sinais e sistemas. • Os processamentos discreto e digital trabalham com sinais na forma de seqüências. • Assim, é necessário que as representações funcionais dos sinais e dos sistemas, no tempo e na freqüência, assumam tal forma. • Portanto, embora as representações contı́nuas geradas pela DTFT e pela Transformada Z possuam grande importância teórica, a implementação dos processamentos discreto e digital utiliza apenas as representações discretas geradas pela DTFS e pela DFT/FFT. • Deve ser ressaltado que a DFT e a FFT não são novos tipos de transformadas. • A DFT é uma aproximação discreta da DTFT, implementada através da DTFS. • Por sua vez, o nome FFT representa uma famı́lia de algoritmos computacionais, cujo objetivo é acelerar o cálculo da DFT. TET / UFF 216 Capı́tulo 14. Sinais no domı́nio da freqüência 14.6 DTFS • Sinal periódico: x̃[n] = x̃[n ± lN ], onde l ∈ N e N ∈ N+ . P • Decomposição de sinal periódico x̃[n] em funções de base φk [n]: x̃[n] = k ck φk [n]. • Caso particular para a função de base, que é uma autofunção para SLITs estáveis: 2π φ1 [n] = z1n = ejΩ1 n = ej1Ω0 n = ej1( N )n , onde Ω0 = 2π N . • Conjunto (finito) de funções de base diferentes entre si e harmonicamente relacionadas: – Ω é uma variável contı́nua, escalar e angular. – Ωk são valores discretos de Ω, harmonicamente relacionados: Ωk = kΩ0 = k 2π N . – Logo, existem N valores distintos para Ωk = k 2π N e, conseqüentemente, para φk [n]: 2π φ [n] = ejΩk n = ejkΩ0 n = ejk( N )n , k = hN i = (K), (K +1), (K +2), · · · , [K +(N −1)]. k – Dessa forma, tais funções de base são periódicas em k, com perı́odo N : 2π 2π ejk( N )n = ej(k±lN )( N )n . • Decomposição de sinal periódico nas funções de base harmonicamente relacionadas: 2π x̃[n] = k ck φk [n] = k ck ejΩk n = k ck ejkΩ0 n = k ck ejk( N )n . P P P P • O conjunto de coeficientes ck pode ser interpretado como uma seqüência: ck = c[k]. • Devido ao número finito de funções de base: – Número finito de funções de base: φk [n] = φk±lN [n]. – Número finito de coeficientes distintos: ck = ck±lN . – O conjunto de coeficientes ck pode ser interpretado como uma seqüência periódica: ck = c[k] = c̃[k] = c̃[k ± lN ]. – Decomposição de sinal periódico nas funções de base harmonicamente relacionadas: 2π ck φk [n] = k=hN i ck φk [n] = k=hN i ck ejk( N )n , P(N −1) PK+(N −1) P P x̃[n] = k=0 ck φk [n] = k=K onde hN i = (K), (K + 1), (K + 2), · · · , [K + (N − 1)]. – A seqüência ck = c[k] = c̃[k] pode ser interpretada como um mapeamento n ↔ k da seqüência x̃[n]: x̃[n] ↔ c̃[k]. – Logo, pode-se adotar a sequinte notação: ck = c̃[k] = X̃[k]. 2π – Deve-se notar que, quando 0 ≤ k ≤ (N − 1), tem-se que 0 ≤ Ωk ≤ (N − 1) N . – Logo, é equivalente dizer que ck = c[k] = c̃[k] = X̃[k] tem perı́odo fundamental N ou que ck = c[Ωk ] = c̃[Ωk ] = X̃[Ωk ] tem perı́odo fundamental 2π. • Procedimentos possı́veis para o cálculo dos coeficientes ck = c̃[k] = X̃[k]: – Álgebra linear: projeção de um vetor sobre um conjunto de vetores ortogonais entre si. – Utilização da periodicidade dos coeficientes ck = c[k] = c̃[k] = X̃[k]. – Resolução de um sistema de N equações a N incógnitas. A.S.V. 14.6. DTFS 217 • O cálculo dos coeficientes X̃[k] é apresentado no Apêndice F e, a partir dele, as equações da DTFS são definidas como  P jk( 2π )n  x̃[n] = k=hN i X̃[k] e N  , 1 −jk( 2π )n  P X̃[k] = N n=hN i x̃[n] e  N onde X̃[k] = X̃[k ± lN ]. • Notação alternativa para a DTFS:  2π 1 X̃[k] ejk( N )n P  x̃[n] =  N k=hN i , −jk( 2π N ) n  P X̃[k] = x̃[n] e  n=hN i onde X̃[k] = X̃[k ± lN ]. • Relações matriciais da DTFS: – Considerando-se a faixa: hN i = 0, 1, 2, · · · , (N − 1). 2π – Considerando-se a notação: WN = e−j ( N ) . −kn  P  x̃[n] = k=hN i X̃[k] WN – DTFS: . X̃[k] = N1 n=hN i x̃[n] WNkn  P – x̃[n] = [ x̃[0] x̃[1] · · · x̃[(N − 1)] ]T . h iT – X̃[k] = X̃[0] X̃[1] · · · X̃[(N − 1)] .  x̃[n] = W −1  N X̃[k] , 0 ≤ n ≤ (N − 1) – DTFS: . X̃[k] = W N x̃[n] , 0 ≤ k ≤ (N − 1)  1 1 1 ··· 1   −1 −2 −(N −1)  1  WN WN ··· WN   −2(N −1) – W −1N =   1 WN−2 WN−4 ··· WN .   . .. .. ... ..  ..  . . .  −(N −1) −2(N −1) −(N −1)(N −1) 1 WN WN · · · WN 1 1 1 ··· 1   (N −1)  1  WN1 WN2 ··· WN   2(N −1) – WN = 1 N  1  WN2 WN4 ··· WN .   . .. .. .. ..  ..  . . . .  (N −1) 2(N −1) (N −1)(N −1) 1 WN WN · · · WN – W −1 ∗ N = N W N. ∗ – WN = 1 N W −1 N . • Deve-se ressaltar que os coeficientes ck = c[k] = c̃[k] = X̃[k] podem ser escritos como ck = c[Ωk ] = c̃[Ωk ] = X̃[Ωk ]. Portanto, a seqüência X̃[k] pode ser interpretada como a representação em domı́nio transformado (freqüência Ω) da seqüência x̃[n]. TET / UFF 218 Capı́tulo 14. Sinais no domı́nio da freqüência 14.7 DTFT   x[n] , N1 ≤ n ≤ N2 • Sinal original, não periódico: x[n] = , onde N2 > N1 . 0 , n < N1 e n > N2  • Sinal periódico, obtido por extensão periódica de x[n]: x̃[n] = x̃[n±lN ], N ≥ (N2 −N1 +1). • Aproximação considerada: x̃[n] → x[n] quando N → ∞. • Cálculo da aproximação:  P jk( 2π )n  x̃[n] = k=hN i X̃[k] e N  – DTFS: . 1 −jk( 2π )n  P X̃[k] = N n=hN i x̃[n] e  N – As equações da DTFS podem ser reescritas da seguinte forma: 2π −jk( 2π ∗ X̃[k] = N1 n=hN i x̃[n]e−jk( N )n = N1 N N ) = n P P 2 n=N1 x̃[n]e 2π 2π x[n]e−jk( N )n = 1 ∞ x[n]e−jk( N )n . 1 PN2 P N n=N1 N n=−∞ P∞ x[n]e−jkΩ0 n , onde Ω0 = 2π ∗ X(kΩ0 ) = X̃[k]N = n=−∞ N . 2π X̃[k]ejk( N )n = k=hN i N1 X(kΩ0 )ejkΩ0 n = P P ∗ x̃[n] = k=hN i Ω0 1 X(kΩ0 )ejkΩ0 n = 2π jkΩ0 n P P k=hN i 2π k=hN i X(kΩ0 )e Ω0 . ∗ Alterando-se a notação: 2π 2π Ω0 = N = ∆Ω → kΩ0 = k N = k∆Ω e (k = hN i) ≡ (Ω = h(2π − ∆Ω)i). 1  X(k∆Ω)ej(k∆Ω)n ∆Ω P  x̃[n] = 2π k=hN i – DTFS reescrita: . P∞ −j(k∆Ω)n X(k∆Ω) = x[n]e  n=−∞ – Se N → ∞: x̃[n] → x[n], ∆Ω → dΩ, (k∆Ω) → Ω e (k = hN i) ≡ (Ω = h(2π − dΩ)i ≈ h2πi). 1 R X(Ω)ejΩn dΩ   x[n] = 2π Ω=h2πi – DTFT: . P∞ −jΩn X(Ω) = x[n]e  n=−∞ • Notação mais comumente utilizada: – X(Ω) = X(ejΩ ). 1  R jΩ jΩn  x[n] = 2π Ω=h2πi X(e )e dΩ – DTFT: . jΩ P∞ −jΩn X(e ) = n=−∞ x[n]e  • Deve-se ressaltar que: – Ω é uma variável contı́nua, escalar e angular. – X(ejΩ ) é uma função analógica e complexa. A.S.V. • Linearidade: x[n] = x1 [n] + x2 [n] ↔ X(ejΩ ) = X1 (ejΩ ) + X2 (ejΩ ). • Simetria das partes real e imaginária – Das relações anteriores: X(e−jΩ ) = Xr (e−jΩ )+j Xi (e−jΩ ) = Xr (ejΩ )+j −Xi (ejΩ ) .1 Propriedades gerais comumente utilizadas • Periodicidade: X(ejΩ ) é periódica. onde: – |X(ejΩ )|2 = Xr2 (ejΩ ) + Xi2 (ejΩ ) = X(ejΩ )X ∗ (ejΩ ). • Convolução no tempo: jΩ jΩ x[n] = x1 [n]∗x2 [n] ↔ X(ejΩ ) = X1 (ejΩ )·X2 (ejΩ ) = |X1 (ejΩ )||X2 (ejΩ )|ej(∠X1 (e )+∠X2 (e )) .14.2 Relações complexas jΩ ) • X(ejΩ ) = Xr (ejΩ ) + jXi (ejΩ ) = |X(ejΩ )|ej∠X(e .3 Propriedades da DTFT de uma seqüência real • Se x[n] for uma seqüência real: jΩ P∞ −jΩn P∞ – X(e P∞ ) = n=−∞ x[n]e P∞ = n=−∞ x[n] (cos(Ωn) − jsin(Ωn)) = n=−∞ x[n]cos(Ωn) − j n=−∞ x[n]sin(Ωn) = Xr (ejΩ ) + jXi (ejΩ ). • Deslocamento no tempo: jΩ xND [n] = x[n − ND ] ↔ XND (ejΩ ) = X(ejΩ )e−jND Ω = |X(ejΩ )|ej(∠X(e )−ND Ω) . • Simetria das partes módulo e argumento (ângulo de fase) – Das relações anteriores: 1 1 |X(ejΩ )| = X(ejΩ ) + X ∗ (ejΩ) 2 = X ∗ (e −jΩ ) + X(e −jΩ 2 ) = |X(e −jΩ )|.8 Alguns aspectos relevantes da DTFT 14. – Xr (ejΩ ) é uma função par. 14. Xi (e−jΩ ) jΩ Xi (e ) jΩ Xi (e ) ∠X(e−jΩ ) = arctan X r (e −jΩ ) = arctan − Xr (ejΩ ) = − arctan Xr (ejΩ ) = −∠X(ejΩ ). • O valor de ∠X(ejΩ ) é indeterminado quando |X(ejΩ )| = 0. de tal forma que X(ej(Ω+k2π) ) = X(ejΩ ). • Simetria da DTFT: X(e−jΩ ) = X ∗ (ejΩ ). – Xi (ejΩ ) é uma função ı́mpar.8.8. – ∠X(ejΩ ) é uma função ı́mpar. jΩ Xi (ejΩ ) – ∠X(e ) = arctan Xr (ejΩ ) . Alguns aspectos relevantes da DTFT 219 14. com perı́odo fundamental Ωp = 2π.8. TET / UFF . – |X(e−jΩ )| é uma função par. 14. – X ∗ (ejΩ ) é o complexo conjugado de X(ejΩ ).8. A. o gráfico da função ∠X(ejΩ ) não é elaborado com os valores originais da função. x0 }. – Tipo 4 (L ı́mpar e simetria ı́mpar): x[n] = {x0 . – Valores antissimétricos ou simetria ı́mpar: x[n] = −x[L − n]. pode-se ter ∠X(ejΩ ) = −kΩ ou ∠X(ejΩ ) = −kΩ ± π. −x2 . Sinais no domı́nio da freqüência • Caracterı́sticas dos gráficos da função X(ejΩ ) – Dado que as funções X(ejΩ ). π]). de comprimento N = (L + 1): x[n] . na elaboração do gráfico de ∠X(ejΩ ). x2 . o que acarreta descontinuidades no gráfico.4 DTFT de uma seqüência real. denominadas funções de fase linear. 0 ≤ n ≤ L x[n] = . x1 . Esse tipo de gráfico pode apresentar descontinuidades (phase jumps) em vários pontos. dado que há uma possibilidade de escolha devido à equivalên- cia angular. utiliza-se 0 ≤ Ωnorm ≤ 1. Para valores positivos de Fr (ejΩ ). −x0 }. – Em todos os casos. x3 . – Tipo 3 (L par e simetria ı́mpar): x[n] = {x0 . −x0 }. • Tipos de seqüências possı́veis – Número de valores da seqüência: par ou ı́mpar. Xi (ejΩ ). −x1 .220 Capı́tulo 14.8. Por convenção. x2 . n<0en>L • Seqüência com valores simétricos – Valores simétricos ou simetria par: x[n] = x[L − n]. • Exemplos – Tipo 1 (L par e simetria par): x[n] = {x0 . o valor de ∠X(ejΩk ) é indeterminado. mas sim com os valores principais correspondentes (valores na faixa [−π. 0 . – Para as freqüências Ωk onde |X(ejΩk )| = 0. x1 . .S. x1 . x1 . considerando L/simetria: Tipo 1 (par/par). – Por convenção. – Tipo de simetria: par ou ı́mpar. −x2 . – Tipo 2 (L ı́mpar e simetria par): x[n] = {x0 . – Quatro tipos possı́veis. x1 . x2 . Portanto. tem-se que Fr (ejΩ ) = |Fr (ejΩ )|ej0 . Tipo 4 (ı́mpar/ı́mpar). Tipo 3 (par/ı́mpar). tem-se que Fr (ejΩ ) = |Fr (ejΩ )|e±jπ . elas só necessitam ser especificadas na faixa 0 ≤ Ω ≤ π ou em outra faixa equivalente. x2 . podem ser utilizados valores arbi- trários. finita e simétrica • Seqüência real e finita. 14. x2 . – As funções do tipo X(ejΩ ) = Fr (ejΩ )e−jkΩ . x0 }. |X(e−jΩ )| e ∠X(ejΩ ) são periódicas (Ωp = 2π) e simétricas. Dessa forma. −x1 . Xr (ejΩ ). Para valores negativos de Fr (ejΩ ). Tipo 2 (ı́mpar/par). onde Ωnorm = Ωπ . x2 .V. 0. os valores principais são escolhidos de tal forma que o gráfico ilustre claramente uma função ∠X(ejΩ ) do tipo ı́mpar. x1 . podem gerar descontinuidades adicionais ao gráfico de ∠X(ejΩ ). Alguns aspectos relevantes da DTFT 221 • Cálculo da DTFT de uma seqüência real e simétrica – L par: ∞ X jΩ X(e ) = x[n]e−jΩn n=−∞ L X = x[n]e−jΩn n=0 L 2 −1 L X L L X = x[n]e−jΩn + x[ ]e−jΩ 2 + x[n]e−jΩn n=0 2 L n= 2 +1 L L 2 −1 2 −1 X −jΩn L −jΩ L X = x[n]e + x[ ]e 2 + x[L − n]e−jΩ(L−n) n=0 2 n=0 L 2 −1 L −jΩ L X x[n]e−jΩn + x[L − n]ejΩ(n−L) = x[ ]e 2 + 2 n=0  L  2 −1 L L X L L = e−jΩ 2 x[ ] + x[n]e−jΩ(n− 2 ) + x[L − n]ejΩ(n− 2 )  2 n=0  L  2 −1 L L X L L = e−jΩ 2 x[ ] + x[n] e−jΩ(n− 2 ) ± ejΩ(n− 2 )  (14.2) n=0 TET / UFF .14.8.1) 2 n=0 – L ı́mpar: ∞ X jΩ X(e ) = x[n]e−jΩn n=−∞ L X = x[n]e−jΩn n=0 L−1 2 X L X −jΩn = x[n]e + x[n]e−jΩn n=0 n= L−1 +1 2 L−1 L−1 2 X 2 X = x[n]e−jΩn + x[L − n]e−jΩ(L−n) n=0 n=0 L−1 X2 x[n]e−jΩ(n) + x[L − n]ejΩ(n−L) = n=0  L−1  2 L L L X = e−jΩ 2  x[n]e−jΩ(n− 2 ) + x[L − n]ejΩ(n− 2 )  n=0  L−1  2 L L L X = e−jΩ 2  x[n] e−jΩ(n− 2 ) ± ejΩ(n− 2 )  (14. – Para o Tipo 3: X(ejΩ ) = 0.6) n=0 2 • Pode-se mostrar que: – Os quatro tipos apresentam ângulo de fase linear (∠X(ejΩ ) = −kΩ + C) e. Sinais no domı́nio da freqüência – Tipo 1 (L par e simetria par):  L  2 −1 L L X L L X(ejΩ ) = e−jΩ 2 x[ ] + x[n] e−jΩ(n− 2 ) + ejΩ(n− 2 )  2 n=0  L  2 −1 L L X L = e−jΩ 2 x[ ] + (2x[n]) · cos(Ω(n − )) (14.V.5) n=0 2 – Tipo 4 (L ı́mpar e simetria ı́mpar):  L−1  2 L L L X X(ejΩ ) = e−jΩ 2  x[n] ejΩ(n− 2 ) − e−jΩ(n− 2 )  n=0  L−1  2 L X L = e−jΩ 2  x[n] · (−2j) · sin(Ω(n − )) n=0 2  L−1  2 L π X L = e−j(Ω 2 + 2 )  (2x[n]) · sin(Ω(n − )) (14.S.3) 2 n=0 2 – Tipo 2 (L ı́mpar e simetria par):  L−1  2 L L L X X(ejΩ ) = e−jΩ 2  x[n] ejΩ(n− 2 ) + e−jΩ(n− 2 )  n=0  L−1  2 L  (2x[n]) · cos(Ω(n − L )) X = e−jΩ 2 (14. para Ω = 0 e π. para Ω = π. – Para o Tipo 4: X(ejΩ ) = 0. para Ω = 0. .222 Capı́tulo 14. – Para o Tipo 2: X(ejΩ ) = 0.4) n=0 2 – Tipo 3 (L par e simetria ı́mpar): L  2 −1 L L L X X(ejΩ ) = e−jΩ 2  x[n] e−jΩ(n− 2 ) − ejΩ(n− 2 )  n=0 L  2 −1 L X L = e−jΩ 2  x[n] · (−2j) · sin(Ω(n − )) n=0 2 L  2 −1 L π X L = e−j(Ω 2 + 2 )  (2x[n]) · sin(Ω(n − )) (14. A. portanto. – Os tipos 3 e 4 possuem uma fase adicional de ∠X(ejΩ ) = − π2 . jΩ ) atraso de grupo constante (τ = − ∠X(e dΩ = k). 14. 0 . x̃[n] . Sinais periódicos × DTFT 223 14. caso contrário • Será assumido que x̃[n] é a extensão periódica de x[n]. 2π 2π • Relação entre X̃[k] e X(ejΩ ): X̃[k] = N1 n=hN i x̃[n]e−jk( N )n = N1 n=M x̃[n]e−jk( N )n P PM +(N −1) 2π −jk( 2π x[n]e−jk( N )n = N1 ∞ N ) = 1 X(ejΩ ). M ≤ n ≤ M + (N − 1) • Sinal não periódico: x[n] = .9. 2π • Coeficientes da DTFS de x̃[n]: X̃[k] = N1 n=hN i x̃[n] e−jk( N )n . P • DTFT de x[n]: X(ejΩ ) = ∞ −jΩn P n=−∞ x[n]e .9 Sinais periódicos × DTFT 14.9.1 DTFS × DTFT • Sinal periódico: x̃[n] = x̃[n ± lN ]. PM +(N −1) n . = N1 n=M P n=−∞ x[n]e N Ω=k( 2π ) . N . • Logo: N X̃[k] = X(ejΩ ). 14. ) = c1 ∞ jΩ P P∞ ∗ X(eP l=−∞ 2πδ(Ω − Ω1 − 2πl) + c2 l=−∞ 2πδ(Ω − Ω2 − 2πl) + · · · + ∞ cM l=−∞ 2πδ(Ω − ΩM − 2πl). jΩ P∞ 2π X(e ) = k=−∞ 2π X̃[k]δ(Ω − k N )  TET / UFF . • Por envolver operações lineares. N • Significado: Os coeficientes ponderados (N X̃[k]). a DTFT de um sinal periódico x̃[n] é igual à soma das DTFTs das exponenciais ejkΩ0 n que o compõem. 1. (N − 1). 2π – DTFS: x̃[n] = k=0 X̃[k]ejΩk n = k=0 X̃[k]ejk(Ω0 )n = k=0 X̃[k]ejk( N )n .9. • DTFT de um sinal periódico: – Escolhendo-se: hN i = 0. P(N −1) P(N −1) P(N −1) – DTFT: X(ejΩ ) = X̃[0] ∞ 2πδ(Ω−2πl)+ X̃[1] ∞ 2πδ(Ω− 2π P P l=−∞ l=−∞ N −2πl)+· · · + P∞ 2π X̃[N − 1] l=−∞ 2πδ(Ω − (N − 1) N − 2πl). para k = hN i. P P – DTFS de um sinal periódico: x̃[n] = k=hN i – DTFT de uma exponencial: x[n] = ejΩ0 n → X(ejΩ ) = ∞ P l=−∞ 2πδ(Ω − Ω0 − 2πl). · · · .Ω=k( 2π ) . uniformemente espaçadas de ∆Ω = Ωk = k 2π N . k = hN i. – DTFT de uma combinação linear e finita de exponenciais: ∗ x[n] = c1 ejΩ1 n + c2 ejΩ2 n + · · · + cM ejΩM n . • Matematicamente: 2π X̃[k]ejk(Ω0 )n = k=hN i X̃[k]ejk( N )n . um sinal periódico x̃[n] pode ser decomposto em uma combinação linear e finita de exponenciais ejkΩ0 n . são amostras de um perı́odo fundamental da função X(ejΩ ).2 DTFT de sinais periódicos • Através da DTFS. 1  R jΩ jΩn  x̃[n] = 2π Ω=[2π] X(e )e dΩ • DTFT de um sinal periódico: . os circuitos discretos no tempo e os circuitos digitais são capazes de lidar apenas com amostras. onde Nmax > 0. eles não são capazes de manipular a função X(ejΩ ). 0 . Sinais no domı́nio da freqüência 14. não periódico e de comprimento finito: x[n] . 0 ≤ n ≤ (Nmax − 1) x[n] = . Portanto. • Tal aproximação é a DFT. que associa uma seqüência finita x[n] a uma seqüência finita X[k]. 14. cujos valores são amostras de um perı́odo da função X(ejΩ ).  P jk( 2π )n  x̃[n] = k=hN i X̃[k]e N  • DTFS do sinal periódico: .10. 0 ≤ n ≤ (N − 1) • N-point DFT: . N ≥ Nmax . 1 −jk( 2π )n  P X̃[k] = N n=hN i x̃[n]e  N • Por construção: – x̃[n] = x[n]. utilizando a freqüência digital Ω.10.2 Representação da DTFT pela DFT • Da Seção 14. 2π −jk( 2π – X̃[k] = N1 n=hN i x̃[n]e−jk( N )n = N1 (N N ) . que é uma variável contı́nua. n < 0 e n > (Nmax − 1) • Sinal periódico auxiliar. é interessante obter uma aproximação discreta de X(ejΩ ). extensão periódica de x[n]: x̃[n] = x̃[n + lN ]. 0 ≤ k ≤ (N − 1)  N 14.1: 2π 2π X(ejΩ ). • Nesse sentido. 1 P(N −1) −jk( 2π )n  X̃[k] = N n=0 x[n]e .224 Capı́tulo 14.1 Definição da DFT • Sinal original. 0 ≤ n ≤ (N − 1).9. P P −1) n n=0 x[n]e  jk 2π n  x[n] = k=0 X̃[k]e ( N ) P(N −1)  .10 DFT (representação computacional da DTFT) • A DTFT associa uma seqüência x[n] a uma função periódica analógica X(ejΩ ). que possa ser utilizada como a representação computacional da mesma. • Por sua vez. .Ω=k( 2π ) = N X̃[k] = n=hN i x̃[n]e−jk( N )n = n=0 x[n]e−jk( N )n . P P(N −1) N . • Definindo-se: X[k] = N X̃[k] = X(ejΩ ). 0 ≤ n ≤ (N − 1) 1 P(N −1)  x[n] =  N k=0 • N-point DFT: . 0 ≤ k ≤ (N − 1)  n=0 2π • Notação comumente utilizada: WN = e−j ( N ) .Ω=k( 2π ) . P(N −1) −jk( 2π N ) n  X[k] = x[n]e . 0 ≤ n ≤ (N − 1)  • N-point DFT: . P(N −1) kn .V. . P(N −1)  x[n] = N1 k=0 X[k]WN−kn . N  2π X[k]ejk( N )n .S. 0 ≤ k ≤ (N − 1)  X[k] = n=0 x[n]WN A. 0 ≤ k ≤ (N − 1). 10.3 Aproximação da DTFT pela interpolação da DFT .10.14. DFT (representação computacional da DTFT) 225 14. • Amostragem de um perı́odo fundamental: X[k] = X(ejΩ ). ej 2 e 2 ej 2 −e−j 2 e 2 2N ) P(N −1) sin( N Ω−k2π ) 2π (N −1) • X(ejΩ ) = 1 k=0 X[k] · 2 sin( N Ω−k2π · e−j(Ω−k N ) 2 . N 2N )  . 0 ≤ k ≤ (N − 1).Ω=k( 2π ) . 0 ≤ k ≤ (N − 1). P(N −1) P(N −1) 1 P(N −1) jΩ • X(e ) = n=0 x[n]e = n=0 N −jΩn k=0 X[k]WN−kn e−jΩn (N −1) (N −1) jk( 2π )n P(N −1) P(N −1) 2π 1 −jΩn 1 e−j(Ω−k N )n . P P = N k=0 X[k] n=0 e N e = N k=0 X[k] n=0 P(N −1) 1−e−jθN 1−e−jθN ej θN ej 2 θ ej θN 2 −e−j 2 θN θ ej 2 sin( θN 2 ) (N −1) • n=0 e−jθn = 1−e−jθ = 1−e−jθ · 2 θN · jθ = θ θ · j θN = sin( θN · e−jθ 2 . N • Interpolação de um perı́odo fundamental: X(ejΩ ) = f (X[k]). jΩ . .   . . .. x[n] = D −1 N X[k] . .. ∗ • DN = N D −1 N . . . . .. • X[k] = [ X[0] X[1] · · · X[(N − 1)] ]T . 0 ≤ k ≤ (N − 1) N )    • DTFT ↔ DFT: . 0 ≤ k ≤ (N − 1) 1 1 1 ··· 1   −(N −1)   1 WN−1 WN−2 ··· WN   −2(N −1) • D −1 N = 1 N   1 WN−2 WN−4 ··· WN .   .  −(N −1) −2(N −1) −(N −1)(N −1) 1 WN WN · · · WN 1 1 1 ··· 1   (N −1)   1 WN1 WN2 ··· WN   2(N −1) • DN =   1 WN2 WN4 ··· WN . X[k] = X(e ) Ω=k( 2π .. X[k] = D N x[n] .10. . . 0 ≤ n ≤ (N − 1) • N-point DFT: ... 1 P(N −1) sin( N Ω−k2π ) −j(Ω−k 2π ) (N −1)  X(ejΩ ) =   k=0 X[k] · 2 sin( N Ω−k2π ·e N 2 N 2N ) 14.4 Relações matriciais da DFT • x[n] = [ x[0] x[1] · · · x[(N − 1)] ]T . . . . .  (N −1) 2(N −1) (N −1)(N −1) 1 WN WN · · · WN • D −1 N = 1 N D ∗N ...   . .. TET / UFF . ..   . se o valor de N não corresponder a um número inteiro de perı́odos do sinal senoidal ou se as demais amostras forem preenchidas com valores nulos (zero-padding).V. • O mesmo fenômeno poderá ocorrer no caso em que o número total de amostras do sinal senoidal (Ntot ) for menor que o tamanho da DFT calculada (N ). espera-se que o cálculo da DFT resulte em uma única amostra X[K]. utilizando-se parâmetros adequados no cálculo da DFT. com um ruı́do de fundo. pode-se tentar evitar tal efeito.226 Capı́tulo 14. a seqüência montada através da extensão periódica será uma forma de onda diferente da senóide original. a amostra esperada aparecerá corretamente no ponto K. • Por outro lado. • Sinais sem limitação temporal devem ser forçosamente limitados de alguma forma. • A limitação mais comumente utilizada é a seleção das N primeiras amostras do sinal x[n]. Caso contrário. Uma vez que o cálculo da N-point DFT pressupõe a extensão periódica de um sinal de comprimento N . • Dessa forma. para sinais compostos de várias componentes senoidais. antes do cálculo da N-point DFT. • Se o número total de amostras utilizado (Ntot = N ) for equivalente a um número inteiro de perı́odos do sinal senoidal. • Dado um único sinal senoidal. • Tal fenômeno é denominado leakage ou smearing. • Supondo-se um sinal senoidal x[n]. a extensão periódica será equivalente ao sinal original. • Forçar a limitação de um sinal x[n] temporalmente ilimitado pode gerar um fenômeno inesperado na sua representação em freqüência. • Tal técnica é equivalente à multiplicação do sinal por uma janela retangular.S. a composição espectral dessa nova forma de onda também será diferente daquela da senóide original. A. o qual fará parte do grid de resolução em freqüência. o qual não fará parte do grid. no valor K correspondente ao perı́odo de x[n]. • Se isso não ocorrer.5 Leakage ou smearing • O cálculo da DFT pressupõe um sinal x[n] temporalmente limitado. de comprimento N e amplitude unitária. a senóide original só é obtida caso o conjunto básico de N pontos forme um número inteiro de perı́odos.10. uma vez que é baseado na extensão periódica do mesmo. aparecerão diversas amostras não nulas em torno do ponto K esperado. • O efeito pode ser explicado ao se pensar em termos de composição espectral. calculada pela DFT. Sinais no domı́nio da freqüência 14. a composição espectral calculada não representa o espectro verdadeiro e o efeito de leakage pode ser confundido. • O uso de outros tipos de janelas limitantes pode minimizar esse efeito. erroneamente. • Nesse caso. . Portanto. torna-se muito difı́cil evitar o fenômeno para todas as componentes. ∗ Caso contrário: série de Taylor. NX (z) ∗ No caso de X(z) = D X (z) : divisão polinomial (long division). 1 H – Assim: x[n] = 2πj C X(z)z n−1 dz. • Transformada Z × DTFT. ∞ jΩ −jΩn = ∞ −n −jΩn P P – DTFT {v[n]} = V (e ) = n=−∞ v[n]e n=−∞ x[n]r e jΩ −n P∞ P ∞ −n = n=−∞ x[n] re = n=−∞ x[n]z = X(z). • Generalização: z = ejΩ → z = rejΩ .11 Transformada Z • DTFT de x[n] e de v[n] = x[n]r−n : – DTFT {x[n]} = X(ejΩ ) = ∞ −jΩn P n=−∞ x[n]e . onde C é um caminho fechado dentro da ROC de X(z). para calcular a transformada Z inversa. – Quando a ROC inclui o cı́rculo unitário: X(z)|r=1 = X(z)|z=ejΩ = X(ejΩ ).14. – Usando a IDTFT: x[n]r−n = 2π 1 R Ω=[2π] X(rejΩ )ejΩn dΩ. ∗ Assim sendo. em torno da origem z = 0. • Transformada Z: Z{x[n]} = X(z) = ∞ −n P n=−∞ x[n]z . basta expandir a equação de X(z) em uma série de potências em z e extrair os coeficientes da série para montar a seqüência x[n]. • Cı́rculo (de raio) unitário: região do plano-z definida por r = |z| = 1. – Expansão em série de potências: ∗ A equação de definição da transformada Z pode ser vista como uma série de potências da variável z. 1 H  x[n] = 2πj C X(z)z n−1 dz  • Transformada Z: . – Conseqüência da troca: z = rejΩ → dΩ dz = jrejΩ = jz → dΩ = 1j z −1 dz. TET / UFF . • Região de convergência (ROC): região do plano-z para a qual a transformada existe. – Troca de variável de integração: Ω → z. Transformada Z 227 14. onde r = |z| e Ω = ∠z. NX (z) – No caso de X(z) = D X (z) : expansão em frações parciais e uso de tabela de transformadas básicas. onde os coeficientes da série são os valores da seqüência x[n] à qual está sendo aplicado o mapeamento x[n] ↔ X(z).11. 1 1 R jΩ jΩ n R – Logo: x[n] = 2π Ω=[2π] X(re )(re ) dΩ = 2π Ω=[2π] X(z)z n dΩ. • Transformada Z inversa: x[n] = f (X[z]) – X(z) = Z{x[n]} = DTFT {x[n]r−n }. P∞ −n X(z) = n=−∞ x[n]z  • Técnicas alternativas para o cálculo da transformada Z inversa: – Teorema Pde resı́duos de Cauchy: x[n] = [resı́duos de X(z)z n−1 nos pólos internos a C]. quando ambas existem: Z{x[n]} = X(z) = ∞ P −n jΩ P∞ jΩ −n – P n=−∞ x[n]z = X(re ) = n=−∞ x[n](re ) = ∞ −n −jΩn P∞ −n −jΩn −n n=−∞ x[n]r e = n=−∞ (x[n]r ) e = DTFT {x[n]r }. Sinais no domı́nio da freqüência 14. podem-se demonstrar as propriedades listadas abaixo. então a ROC será um anel que contém o cı́rculo |z| = r0 . resposta em freqüência. ela não deixa de ser uma seqüência. então a ROC é todo o plano-z. função de transferência. .S.228 Capı́tulo 14. então todos os valores finitos de z tais que |z| > r0 também pertencerão à ROC. • Propriedade 5: Se x[n] é lateral-esquerda e se o cı́rculo |z| = r0 pertence à ROC. A partir do operador do sistema. • Conseqüência da Propriedade 5: Para x[n] anticausal (x[n] = 0.8) n=−∞ A. h[n] .7) n=−∞ e por ∞ X H(z) = h[n]z −n . pode-se definir a resposta ao impulso digital unitário como yent [n] = T {δ[n]} . podem-se calcular a sua DTFT e a sua Transformada Z. DTFT e transformada Z Dado um sistema do tipo SLIT SISO. então todos os valores de z tais que 0 < |z| < r0 também pertencerão à ROC. z = 0 e/ou z = ∞. • Propriedade 4: Se x[n] é lateral-direita e se o cı́rculo |z| = r0 pertence à ROC. 14.12 Resposta ao impulso. exceto. mesmo assim. • Conseqüência da Propriedade 4: Para x[n] causal (x[n] = 0. a ele pode ser associado um operador linear T {·}. e supondo que ele esteja relaxado. n < 0) a ROC extende-se ao infinito. centrado na origem.11. Isso faz com que ela seja vista como uma seqüência especial. • Propriedade 6: Se x[n] é bilateral e se o cı́rculo |z| = r0 pertence à ROC. • Propriedade 3: Se x[n] é de duração finita. que são respectivamente dadas por ∞ X jΩ H(e ) = h[n]e−jΩn (14. (14. pos- sivelmente.V. Portanto. n ≥ 0) a ROC inclui a origem. Mas. • Propriedade 1: A ROC de X(z) consiste de um anel no plano-z. A seqüência h[n] pode ser interpretada como uma das representações de um sistema.1 Propriedades da ROC da Transformada Z • Dados um sinal x[n] e sua transformada X(z). • Propriedade 2: A ROC não contém pólos. para −∞ < n < ∞. as Equações (14.10) indicam que a transformada Z da resposta ao impulso do sistema é a sua Função de Transferência: H(z) = Z{h[n]}.7) e (14. as Equações (14.10) k=−∞ é definida como a Função de Transferência do sistema. função de transferência. a resposta do sistema é dada por yent [n] = T {x[n]} = T {z0n } X∞ ∞ X (n−k) = h[k] · z0 = h[k] · z0−k · z0n k=−∞ k=−∞ ∞ ! X = h[k] · z0−k · z0n k=−∞ = H(z0 ) · z0n . a resposta do sistema é dada por yent [n] = T {x[n]} = T {ejΩ0 n } X∞ ∞ X = h[k] · ejΩ0 (n−k) = h[k] · e−jΩ0 k · ejΩ0 n k=−∞ k=−∞ ∞ ! X = h[k] · e−jΩ0 k · ejΩ0 n k=−∞ jΩ0 = H(e ) · ejΩ0 n .14. No caso particular de uma entrada exponencial x[n] = z0n . resposta em freqüência. Por sua vez.8) e (14. onde a função ∞ X jΩ H(e ) = h[k]e−jΩk (14. a resposta do sistema a uma entrada genérica x[n] pode ser calculada por ∞ X yent [n] = T {x[n]} = T { x[k] · δ[n − k]} k=−∞ ∞ X ∞ X = T {x[k] · δ[n − k]} = x[k] · T {δ[n − k]} k=−∞ k=−∞ X∞ ∞ X = x[k] · h[n − k] = h[k] · x[n − k] k=−∞ k=−∞ = x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] . para −∞ < n < ∞. No caso particular de uma entrada exponencial x[n] = ejΩ0 n .12. Resposta ao impulso. onde a função ∞ X H(z) = h[k]z −k (14.9) mostram que a DTFT da resposta ao impulso do sistema é a sua Resposta em Freqüência: H(ejΩ ) = DTFT{h[n]}. TET / UFF . DTFT e transformada Z229 Por sua vez. Finalmente.9) k=−∞ é definida como a Resposta em Freqüência do sistema. 230 Capı́tulo 14. Sinais no domı́nio da freqüência 14.13 Relacionamento das representações em freqüência 14.13.1 Associação entre sinais de tempo contı́nuo e seqüências Suponha-se uma seqüência x[n], montada a partir de um sinal de tempo discreto x(nTs ), obtido a partir da amostragem uniforme (t = nTs ) de um sinal de tempo contı́nuo x(t). Suponha-se as representações em freqüência analógica ω = 2πf : Série de Fourier, Transfor- mada de Fourier, Transformada de Laplace. Suponha-se ainda as representações em freqüência digital Ω = ωTs : DTFS, DTFT, DFT e Transformada Z. É natural que se questione sobre o relacionamento entre tais representações. Algumas relações são abordadas nos itens que se seguem. 14.13.2 Transformada de Fourier × DTFT 1 R∞ X(jω)ejωt dω   x(t) = 2π −∞ • Sinal de tempo contı́nuo: Transformada de Fourier R∞ . X(jω) = x(t)e−jωt dt  −∞ • Sinal de tempo discreto (amostragem R∞ uniforme com perı́odo R∞ Ts ): 1 jω(nTs ) 1 x(nTs ) = x(t)|t=(nTs ) = 2π −∞ X(jω)e dω = 2π −∞ X(jω)ej(ωTs )n dω. 1 R 1 Rπ • Seqüência: x[n] = 2π Ω=[2π] X(ejΩ )ejΩn dΩ = 2π −π X(ejΩ )ejΩn dΩ. • Associando-se todos os sinais: x[n] = x(nTs )|Ts =1 = x(t)|t=(nTs ) . ? • Relação procurada: X(jω) ↔ X(ejΩ ). • Manipulando-se o sinal amostrado: 1 R∞ – Passo inicial: x(nTs ) = x(t)|t=(nTs ) = 2π −∞ X(jω)ej(ωTs )n dω = P∞ π R (2r+1) Ts 1 j(ωTs )n 2π r=−∞ (2r−1) π X(jω)e Ts dω. – Trocando-se a variável de integração: ω 0 = ω − r 2π Ts → ω = ω 0 + r 2π Ts . P∞ R Tπs 0 2π 1 – Logo: x(nTs ) = 2π r=−∞ − π X j(ω 0 + r 2π Ts ) ej[(ω +r Ts )Ts ]n dω 0 . Ts – Trocando-se a variável de integração: ω 0 = ω. 1 P∞ R Tπs 2π – Portanto: x(nTs ) = 2π r=−∞ − T π X j(ω + r Ts ) ej(ωTs )n ej(r2π)n dω = s 1 R Tπs P∞ e s dω, onde ωs = 2π j(ωT )n 2π − π r=−∞ X (j(ω + rω s )) Ts . Ts – Associando-se as freqüências analógica e digital: Ω = (ωTs ). 1 R π hP∞ Ω 2π i dΩ – Finalmente: x(nTs ) = 2π −π r=−∞ X j( Ts + r Ts ) ejΩn Ts = 1 R π h 1 P∞ Ω+r2π i 2π −π Ts r=−∞ X j( Ts ) ejΩn dΩ. • Comparando-se as representações do sinal amostrado e da seqüência: 1 Rπ R π h 1 P∞ i x[n] = x(nTs ) → 2π −π X(e )e jΩ jΩn dΩ = 2π −π Ts r=−∞ X j( Ω+r2π 1 Ts ) ejΩn dΩ → X(ejΩ ) = T1s ∞ Ω+r2π = T1s ∞ P P j(ωTs ) r=−∞ X j( Ts ) r=−∞ X (j(ω + rωs )) = X e . A.S.V. 14.13. Relacionamento das representações em freqüência 231 • Portanto, a DTFT X(ejΩ ), de perı́odo fundamental Ωp = 2π, guarda uma relação direta com a transformada de Fourier X(jω): versões escaladas da função X(jω) são deslocadas e adicionadas para compor a função X(ejΩ ). 2π 1 • Relações notáveis: Ωp = Ωs = 2π ↔ ωp = ωs = 2πFs = Ts ↔ fp = Fs = Ts . • Assim, dependendo do tipo de sinal e da taxa de amostragem, pode ocorrer o fenômeno de superposição de espectro ou aliasing. • Classificação de sinais quanto à faixa de freqüência ocupada: Ωmax – Sinal não limitado em banda: ωmax = Ts → ∞. Ωmax – Sinal limitado em banda: ωmax = Ts < ∞. • Possibilidades de ocorrência de aliasing: – Sinal não limitado em banda: aliasing garantido. π – Sinal limitado em banda, com Ωmax > π ou ωmax > Ts : aliasing garantido. π – Sinal limitado em banda, com Ωmax ≤ π ou ωmax ≤ Ts : sem ocorrência de aliasing. π • Taxa de Nyquist garante a não ocorrência de aliasing: ωmax < Ts → Fs > 2fmax . 14.13.3 Transformada de Fourier × DTFS e DFT • Sinal de tempo contı́nuo: x(t) ↔ X(jω), onde t ≤ Tmax e ω ≤ ωmax . • Seqüência proveniente de sinal de tempo discreto: x[n] ↔ X(ejΩ ), onde x[n] = x(nTs )|Ts =1 = x(t)|t=(nTs ) , n ≤ Nmax , (Nmax Ts ) ≤ Tmax e Fs > 2fmax . • Seqüência proveniente de extensão periódica: x̃[n] ↔ X̃[k] onde x̃[n] é a extensão periódica de x[n], com perı́odo N > Nmax . • Transformada de Fourier de x(t) × DTFT de x[n]: 1 – X(ejΩ ) = Ts X(jω), −π ≤ Ω ≤ π ou − Tπs ≤ ω ≤ π Ts . • Transformada de Fourier de x(t) × DTFS de x̃[n]: 1 1 1 – X̃[k] = N X(ejΩ )Ω=k( 2π ) = N Ts X(jω)|ω=k( 2π ) 1 . N N Ts • Transformada de Fourier de x(t) × DFT de x[n]: – x[n], 0 ≤ n ≤ (N − 1). 1 – X[k] = N X̃[k] = X(ejΩ )Ω=k( 2π ) = Ts X(jω)|ω=k( 2π ) 1 , 0 ≤ k ≤ (N − 1). N N Ts TET / UFF 232 Capı́tulo 14. Sinais no domı́nio da freqüência 14.13.4 Relações entre os parâmetros das representações • Parâmetros básicos: – Limites temporal e freqüencial: Tmax e fmax . 1 – Resolução temporal (amostragem da representação no tempo): ∆t = Ts = Fs . – Resolução freqüencial (amostragem da representação na freqüência): ∆f ou ∆ω ou ∆Ω ou ∆k. – Número total de amostras (perı́odo de x̃[n] e de X̃[k]) (comprimento da DFT): N . N – Tempo total de armazenamento: Trec = (N Ts ) = Fs . • Relações: – Para cálculo da DFT: Tmax < ∞. – Para evitar aliasing: fmax < ∞ e Fs > 2fmax . – Das definições: ω = 2πf e Ω = (ωTs ). – Devido às relações entre as representações: ∗ Perı́odo de repetição: (kp = N ) ≡ (Ωp = 2π) ≡ (ωp = ωs = 2π T1s = 2πFs ) ≡ (fp = T1s = Fs ). ∗ Resolução freqüencial: [∆k = 1] ≡ [∆Ω = 2π N ] ≡ [∆ω = ( 2π ) 1 = ( 2π N Ts N )Fs ] ≡ [∆f = N1 T1s = N1 Fs ]. 14.13.5 Interpolação do sinal discreto • Pode-se obter x(t) através da interpolação de x[n]: π – Consideração inicial: Ωmax < π ou ωmax < Ts ou Fs > 2fmax . 1 – Logo: X(ejΩ ) = Ts X(jω), para − Tπs ≤ ω ≤ π Ts . – Assim: R R Tπs R Tπs 1 ∞ jωt 1 jωt 1 x(t) = 2π −∞ X(jω)e dω = 2π − Ts π X(jω)e dω = 2π − Tπs s T X(ejΩ )ejωt dω = 1 R Tπs P∞ −j(ωTs )k jωt P∞ 1 R Tπs jω(t−kT ) k=−∞ x[k]e e dω = k=−∞ x[k] ( 2π ) − π e dω = s π ( 2π ) − Ts Ts Ts Ts P∞ sin Tπ (t−kTs ) ( ) P∞ k=−∞ x[k] π s = k=−∞ ck φk (t). ( Ts (t−kTs ))   x[k] = x(kTs ) = x(t)|t=kTs  • Sinal contı́nuo × representação discreta: . sin( Tπ (t−kTs ))  x(t) = P∞ k=−∞ x[k] ( π (t−kTs )) s  Ts 14.13.6 Representações temporais discretas de sinais contı́nuos • Dependendo daP função φk (t) utilizada, podem-se obter diferentes representações discretas do tipo x(t) = ∞k=−∞ ck φk (t). • Para cada caso, os coeficientes ck devem ser calculados adequadamente. A.S.V. 13. para ωmax < Ts ou Fs > 2fmax . π • Assim: y(t) = x(t) ∗ h(t) ↔ y[n] = x[n] ∗ h[n]. Relacionamento das representações em freqüência 233 • A representação onde ck = x[k] = x(kTs ) = x(t)|t=kTs apresenta duas grandes vantagens: i) os coeficientes ck são obtidos diretamente pela amostragem do sinal contı́nuo e ii) a operação de convolução é preservada. e quando a taxa de Nyquist puder ser obedecida.14. a representação só se aplica para sinais limitados em banda. se a taxa de Nyquist for obedecida. TET / UFF . • Como desvantagem. 3. ±Np . 15. ±Np . • Esboce os gráficos |ak | × k e ∠ak × k. · · ·   Np sin(Ω( 21 )) para: Ng = 2 e Np = 10. esboce os gráficos de x̃[n] × n. ±2Np .  sin k N (2Ng +1)( 12 ) 1 p . ±Np . . Dado o sinal x̃[n] = sin(Ω0 n). ±4π. 2. ±Np . atenda aos seguintes itens: • Calcule os coeficientes ak da DTFS de x̃[n]. 20.234 Capı́tulo 14. onde Ω0 = L 2π N .S. 10. ±2Np . Sinais no domı́nio da freqüência 14. k = 0. – L = 3 e N = 5. 20. ±2π.V. 5. Ω 6= 0. • Esboce os gráficos |ak | × k e ∠ak × k. atenda aos seguintes itens: • Calcule os coeficientes ak da DTFS de x̃[n]. · · ·  ak = 2π . 4. para: – L = 1 e N = 3. • Mostre que os coeficientes ak da DTFS de x̃[n] são dados por  2Ng +1    Np . 1 1 sin(Ωk (2Ng +1)( 2 ))  . · · ·  ak = . 10. · · ·  X̃(Ω) = . 20. 5. 40. Dado o sinal x̃[n] = ∞ P −∞ GNg [n − kNp ]. ±4π.14 Exercı́cios propostos 2π 1. ±2Np . ±2Np . juntamente com sua envoltória contı́nua  2Ng +1   Np . de forma gráfica. Dado o sinal x̃[n] = 5 + 3 sin 2 2π n + cos 4 2π N N n . onde Np > Ng . para: Ng = 2 e Np = 10.  1 sin(Ω(2Ng +1)( 12 )) . atenda aos seguintes itens: • Dados Ng = 2 e Np = 10. Dado o sinal x̃[n] = cos(Ω0 n) + sin(2Ω0 n) + cos(3Ω0 n). 40. • Dados Ωk = k N2πp e os coeficientes ak reescritos como  2Ng +1   Np . onde Ω0 = N . k = 0. para: N = 3. Adote −2N ≤ k ≤ 2N . k 6= 0. · · ·   1 Np sin(Ωk ( 2 )) esboce os gráficos |ak | × Ω e ∠ak × Ω. Ω = 0. 20. · · ·    Np 2π sin k N p ( 12 ) • Esboce os gráficos |ak | × k e ∠ak × k. para os seguintes valores de N : a) N = 7 e b) N = 10. para: N = 14. apresente os coeficientes ak da DTFS de x̃[n]. A. • Esboce os gráficos |ak | × k e ∠ak × k. Dado o sinal x̃[n] = sin(Ω0 n). k 6= 0. ±2π. 10. 15. atenda aos seguintes itens: • Calcule os coeficientes ak da DTFS de x̃[n]. – L = 5 e N = 10. 40. onde Ω0 = 2πN . 5. mostre que ∞ X jΩ Xr (e ) = (xr [n]cos(Ωn) + xi [n]sin(Ωn)) n=−∞ e ∞ X Xi (ejΩ ) = (xi [n]cos(Ωn) − xr [n]sin(Ωn)) . Exercı́cios propostos 235 6. (d) X̃[k] = DT F S{x[n]}. 2π PK jk N n • Dado x̃[n] = k=−K ak e p . f1 = f32 = f53 P e FS = 10f3 . onde −16 ≤ k ≤ 16. Suponha P3os sinais x1 [n] = A1 · cos(Ω1 n). f2 = 2f1 e P FS = 10f2 . φi . calcule os coeficientes X̃[k] da DTFS de x̃[n] e apresente-os de forma gráfica. onde Ai . adote −2Nf ≤ k ≤ 2Nf . para K = 1. φi . A2 . 3]. bem como a seqüência x̃[n] = x̃(nTS ) = x̃(t)|t=nTS .2πx3 [n] = A3 · cos(Ω3 n) e x[n] = m=1 xm [n] . adotando −2Nf ≤ k ≤ 2Nf . Dada a relação DT F T {x[n]} = X(ejΩ ). onde −16 ≤ k ≤ 16. onde Ng = 2 e Np = 11. • Calcule os coeficientes ak da DTFS de x̃[n]. (c) Esboce os gráficos |X̃m [k]| × k e ∠X̃m [k] × k.14. • Note que. 3. onde Ai . N3 ] = [3. Ωm = Nm e N = [N1 . atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico de x̃[n] × n. adotando −2Nf ≤ k ≤ 2Nf . 4. 10. P3 9. t ∈ R.14. Dado o sinal periódico x̃[n] = 8cos 2 π3 n + 4sin π π 2 n − 2cos 3 n = m=1 x̃m [n]. calcule os coeficientes X̃[k] da DTFS de x̃[n] e apresente-os de forma gráfica. onde Nf é o perı́odo fundamental da respectiva DTFS. Dado o sinal x̃[n] = ∞ P −∞ GNg [n − kNp ]. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule o perı́odo fundamental Nm de cada componente x̃m [n] do sinal. (c) X̃3 [k] = DT F S{x3 [n]}. os coeficientes da DTFS dos sinais especificados abaixo. bem como a seqüência x̃[n] = x̃(nTS ) = x̃(t)|t=nTS . fi . 5. 5]. esboce o gráfico de x̃[n] × n. fi > 0. n=−∞ onde os ı́ndices r e i indicam. (b) X̃2 [k] = DT F S{x2 [n]}. 4. respectivamente. N2 . 8. Justifique tal fato! 11. para cada componente x̃m [n] do sinal. as partes real e imaginária. na DTFS. onde A = [A1 . para o sinal completo x̃[n]. fi . não ocorre o Fenômeno de Gibbs. que sempre aparece nas aproximações finitas da Série de Fourier. −2. Apresente. t ∈ R. Dado o sinal x̃(t) = 2i=1 Ai cos(2πfi t + φi ). Sinais: (a) X̃1 [k] = DT F S{x1 [n]}. x2 [n] = A2 · cos(Ω2 n). Dado o sinal x̃(t) = 3i=1 Ai cos(2πfi t + φi ). (b) Calcule o perı́odo fundamental Nx do sinal completo x̃[n]. fi > 0. A3 ] = [1. TET / UFF . 7. (d) Esboce os gráficos |X̃[k]| × k e ∠X̃[k] × k. Para cada gráfico. de forma gráfica. 2. Sinais no domı́nio da freqüência 12. linearidade. Considerando uma seqüência real x[n]. 13. atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. Demonstre as seguintes propriedades da DTFT: periodicidade. . • Calcule X(ejΩ ). deslocamento no tempo e convolução no tempo.236 Capı́tulo 14. ND = 0 e ND > 0. prove a seguinte relação de simetria da DTFT: X(e−jΩ ) = X ∗ (ejΩ ). Dado o impulso deslocado x[n] = δ[n − ND ]. para ND < 0. 14. . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). na faixa [−π. n=1  2   0 . × Ω. n=0  x[n] = 1 . 15. n = −1 1 . π]. • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. Dado o sinal  1   2 . • Mostre que X(ejΩ ) = (1 + cos(Ω)). para valores completos do ângulo de fase. • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. . para os valores principais do ângulo de fase. . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). • Mostre que X(ejΩ ) = (1 + cos(Ω)) e−jΩ . .  12 . Dado o sinal  1   2 . n=0 1 . • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. × Ω.  n=2 0 . 16. caso contrário  atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. n=1  x[n] = . . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). × Ω. na faixa [−π. A. • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω.S.V. para valores completos do ângulo de fase. π]. . • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. para os valores principais do ângulo de fase. 14. Dado o sinal 1 3 . −1 ≤ n ≤ 1 x[n] = . 0 . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. • Mostre que X(ejΩ ) = 13 (1 + 2 cos(Ω)). Exercı́cios propostos 237 17. .14. . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). 0 . 18. considerando que ∠X(ejΩ ) é uma função ı́mpar. Dado o sinal 1 3 . × Ω. . • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. • Mostre que X(ejΩ ) = 13 (1 + 2 cos(Ω)) e−jΩ . 0≤n≤2 x[n] = . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. 0 . • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. . • Mostre que X(ejΩ ) = (1 + 2 cos(Ω) + 2 cos(2Ω)). para valores completos do ângulo de fase. × Ω. na faixa [−π. Dado o sinal 1 . π]. para os valores principais do ângulo de fase. caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. −2 ≤ n ≤ 2 x[n] = . 19. . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). 20. −j2Ω sin(5 Ω 2) jΩ • Mostre que X(e ) = (1 + 2 cos(Ω) + 2 cos(2Ω)) e = sin( Ω e−j2Ω . considerando que ∠X(ejΩ ) é uma função ı́mpar. 0 . Dado o sinal 1 . 0≤n≤4 x[n] = . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. × Ω. 2) . . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). na faixa [−π. para valores completos do ângulo de fase. TET / UFF . • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. × Ω. para os valores principais do ângulo de fase. π]. π • Mostre que X(ejΩ ) = (2 sin(2Ω)) e−j 2 . caso contrário  atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. . n=2 . n = −2 x[n] = 1 . Sinais no domı́nio da freqüência 21. 0 .238 Capı́tulo 14. Dado o sinal   −1 . . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). considerando que ∠X(ejΩ ) é uma função ı́mpar. 2 . • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. 1 . Ω π • Mostre que X(ejΩ ) = sin 3 Ω2 + 2 sin Ω e−j (3 2 + 2 ) . × Ω. 22. n=1   x[n] = −1 . n=3    2   0 . n=0  1 . n=2 . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. Dado o sinal  1   −2 . . • Esboce o gráfico . X(ejΩ ). Dado o sinal 1 3 . na faixa [−π. N ≥ 3. • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. • Esboce o gráfico ∠X(ejΩ ) × Ω. 0 . × Ω. π]. para valores completos do ângulo de fase. . • Compare o resultado de X[k] com X(ejΩ ) = 31 (1 + 2 cos(Ω)). • Calcule a N-DFT X[k]. −1 ≤ n ≤ 1 x[n] = . utilizando a equação de definição da DFT. caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n. para os valores principais do ângulo de fase. 23. . • Esboce um gráfico único contendo . X(ejΩ ). 0 . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Esboce o gráfico x[n] × n.V. . A. 24. × Ω e |X[k]| × k. N ≥ 3. 0≤n≤2 x[n] = .S. • Calcule a N-DFT X[k]. utilizando a equação de definição da DFT. • Esboce um gráfico único contendo ∠X(ejΩ ) × Ω e ∠X[k] × k. • Compare o resultado de X[k] com X(ejΩ ) = 31 (1 + 2 cos(Ω)) e−jΩ . considerando que ∠X(ejΩ ) e ∠X[k] são funções do tipo ı́mpar. Dado o sinal 1 3 . Exercı́cios propostos 239 .14.14. . • Esboce um gráfico único contendo . X(ejΩ ). para FS = 40 kHz. os zeros e os pólos de Xi (z) e esboce o seu diagrama de pólos e zeros (DPZ). − 60 . |a| < 1. atenda aos seguintes itens: • Calcule a constante de ganho. 16. com um total de amostras Ntot . 0. P π π π f = [f1 .14. π π π π π π Ω = [Ω1 . φ3 ] = [− 80 . • Ntot = 16. 3 ] rad e φ = [φ1 . N = 64. Ω2 .83. Se você concorda com ele. φ2 . Dado o sinal x(t) = 3k=1 Ak · cos(2πfk t + φk ).8z −1 +0.69. 1 (a) X1 (z) = 1−az −1 . × Ω e |X[k]| × k. x(t) = A1 cos(2πf1 t) + A2 cos(2πf2 t) + A3 cos(2πf3 t). 70. 0. se ocorrerá leakage (ou smearing) no cálculo da N-DFT ou da N-FFT do sinal x[n] = x(nTS ) = A0 cos(2πf0 t)|t=nTS . N = 10. 11. Dados N = 1000 e uma N-point DFT definida por |X[k]| = [42. A2 . − 48 ] rad. • Calcule a Transformada Z Inversa usando frações parciais. onde A = [A1 . A3 ] = [−2. φ3 ] = [− 80 . • Demonstre que o método da divisão polinomial conduz ao mesmo resultado. 930. 5 . para k = [20. 3. 130. π].14] rad. |a| < 1. −8]. tal que a N-point DFT de x[n] = x(t)|t=nTS . Dado o sinal x[n] = k=1 Ak · cos(Ωk n + φk ). 28. A2 . z −1 (b) X2 (z) = 1−az −1 . − 60 . indique. • Ntot = 10. calcule o menor valor de N . calculando os quatro primeiros termos do polinômio quociente e inferindo o polinômio final. f2 . 870. • Esboce um gráfico único contendo ∠X(ejΩ ) × Ω e ∠X[k] × k. −0. −0. TET / UFF . para f0 = 10Hz e FS = T1S = 40Hz.83. Ω3 ] = [ 6 . 11. com FS = 36 kHz. justificando. para os valores principais do ângulo de fase. apresente o sinal x(t). não apresente leakage. 16. 980].6. e |X[k]| = ∠X[k] = 0 para os demais valores de k. para valores completos do ângulo de fase. N = 16. Dadas as Transformadas Z abaixo. − 48 ] rad. f1 = 35 kHz. 1−0. Para os parâmetros abaixo. 27. 25. 0. Um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que consegue calcular uma N-point DFT sem leakage.69. 30.4z −1 (c) X3 (z) = 2 · 1−0. dados FS = 105 kHz. onde A = [A1 . calcule o menor valor de N . −8]. 23. na faixa [−π. f3 ] = [3. 23. justifique. 42] e ∠X[k] = [−0. 6] kHz e φ = [φ1 . para uma seqüência x[n] = x(nTS ) = x(t)|t=nTS . Justifique todas as etapas do cálculo. • Esboce um gráfico único contendo ∠X(ejΩ )×Ω e ∠X[k]×k. Se você discorda dele. N = 64. P3 29. calcule o menor valor de N . • Ntot = 10. 26. tal que a N-point DFT de x[n] não apresente leakage. f2 = 21 kHz e f3 = 15 kHz. • Ntot = 16. tabelas de transformadas básicas e tabelas de propriedades básicas.15z −2 . A3 ] = [−2. φ2 . [A0 A1 A2 ] = [10 100 1]. com esses dados. [A0 A1 A2 ] = [10 1 100]. sem aliasing. 32. com taxa de amostragem de FS = 50 Hz.25] ms. iii. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule o perı́odo Nx . dos seus componentes. 34. onde Nrec = 149. com esses dados. (c) Em uma outra amostragem. onde A3 = A2 /3 = A1 /9 e Ω3 = 3 Ω2 = 9 Ω1 = P 2π/9. Suponha que H[k] é a 100-point DFT da resposta ao impulso h[n] de um Sistema Linear e Invariante ao Deslocamento (SLIT). b) DTFT e c) CTFT. é possı́vel realizar uma N-point DFT sem leakage? Justifique. e os perı́odos Nm . Atenda aos seguintes itens: A. foram gerados valores de x[n] para 0 ≤ n ≤ Nrec .240 Capı́tulo 14. os seguintes casos. da resposta ao impulso h(t) de um sistema analógico. justificando. |H[k]| = [1 2 6 9 11] e ∠H[k] = [25 20 15 10 5] rad. 35. para 0 ≤ k ≤ 5. P com perı́odos fundamentais T = [T0 T1 T2 ] = [1 0. Supondo. Com base na relação entre a DTFT e a CTFT: (a) Explique porque é comum filtrar um sinal contı́nuo no tempo antes de amostrá-lo. (b) Que tipo de seletividade em freqüência deve ser usada no filtro em questão? 33. Com base nas definições de todas as representações em domı́nio transformado. (d) Esboce os gráficos de módulo e de ângulo de fase de X̃[k]. Teoricamente. Sinais no domı́nio da freqüência 31. Atenda aos seguintes itens: (a) A amostragem foi realizada de forma correta? Justifique. (c) Calcule a DTFS X̃[k] de x[n]. (e) A 2025-DFT X[k] de x[n] apresentará leakage ? Justifique.S. do sinal x[n]. para 95 ≤ k ≤ 99. Suponha ainda que h[n] foi obtida por amostragem. onde Nrec = 89. (f) Esboce os gráficos de módulo e de ângulo de fase da 2025-DFT X[k]. O sinal x[n] foi obtido pela amostragem do sinal analógico x(t) = 2i=0 Ai cos(2πfi t). (b) Em uma primeira amostragem. o cálculo de uma 150-point DFT. do pior para o melhor desempenho no cálculo: i. v. ii. (b) Expresse o sinal x[n] na forma de exponenciais.V. causal e estável. vi. [A0 A1 A2 ] = [1 100 10]. foram gerados valores de x[n] para 0 ≤ n ≤ Nrec . iv.5 0. e que a mesma é definida por |H[k]| = [12 11 9 6 2 1] e ∠H[k] = [0 − 5 − 10 − 15 − 20 − 25] rad. na faixa −172 ≤ k ≤ 172. [A0 A1 A2 ] = [100 1 10]. empregando-se uma taxa de amostragem de FS = 100 kHz. classifique. [A0 A1 A2 ] = [1 10 100]. . [A0 A1 A2 ] = [100 10 1]. explique as relações da DFT com: a) DTFS. Dado o sinal x[n] = 3m=1 Am cos(Ωm n). e |H[k]| = ∠H[k] = 0 para os demais valores de k. 14. 0.0. 6. 25. Justifique a escolha final. k = [10. 45} kHz. (d) Apresente uma fórmula de cálculo para o intervalo de amostragem ∆t = TS . ATENÇÃO: Identifique todos os pontos necessários à completa compreensão de todos gráficos.0. dados os seguintes parâmetros: FS = 50 kHz. f1 = 5 kHz e f2 = 12 kHz.5. (b) Esboce os gráficos de módulo e de ângulo de fase da resposta em freqüência H(ejΩ ). 36.2. 35. 17. Exercı́cios propostos 241 (a) Esboce os gráficos de módulo e de ângulo de fase da DFT H[k]. apresente uma fórmula de cálculo para a resolução em freqüência. em função dos perı́odos fundamentais de x1 (t) (T1f ) e de x2 (t) (T2f ). 15. 70. (c) Supondo um intervalo de tempo ∆t = Trec e uma amostragem uniforme de uma função x(t) qualquer.5. 35. apresente uma fórmula de cálculo para o número de pontos amostrados (Nrec ∈ N+ ) de x(t) no intervalo ∆t = Trec . provocada pela representação de X(jω) por X[k]. para (−3π) ≤ Ω (rad) ≤ (3π). 50. (g) Esboce o gráfico |X3 [k]| × k. 200. N = 250.5] e ∠X[k] = [−0.5. sem a ocorrência de aliasing.4.5. e a sua N-point DFT X[k]. −0. −1. onde ω1 = 2πf1 = T2π1 e ω2 = 2πf2 = T2π2 . Dadas as funções periódicas x1 (t) = cos(ω1 t). x2 (t) = cos(ω2 t) e x3 (t) = x1 (t) + x2 (t). e X[k] = 0 caso contrário. Apresente uma equação que represente o sinal analógico x(t). (f) Dados Trec = 4. TET / UFF .14. 37. 220. para (−150π) ≤ ω (rad/s) ≤ (150π). relacionado com a N-point DFT dada por |X[k]| = 104 · [6. 240]. (c) Esboce os gráficos de módulo e de ângulo de fase da resposta em freqüência H(jω). (b) A fim de que se obtenha uma seqüência x[n] por amostragem uniforme de uma função x(t) qualquer. 30.5. atenda aos seguintes itens: f f (a) Apresente uma fórmula de cálculo para o perı́odo fundamental de x3 (t) (T3f ). 17. 180. 35. em Hz.4. de tal forma que a seqüência x3 [n] seja obtida por meio de uma amostragem uniforme de x3 (t) sem aliasing. a sua CTFT X(jω). 1. de tal forma que a N-point DFT X[k] de uma seqüência senoidal x[n] obtida por amostragem uniforme de uma função senoidal x(t) com perı́odo fundamental Tf não apresente leakage. para (−75) ≤ f (Hz) ≤ (75).5 ms. obtida por amostragem uniforme de x(t). indique a faixa de freqüência utilizável para a freqüência de amostragem FS . 40.6. para 0 ≤ k ≤ (N − 1). e escolha um número de amostras N . de tal forma que a N-point DFT X3 [k] não apresente leakage e provoque uma resolução freqüencial menor que 300 Hz. −1.5. (e) Dadas uma função x(t) qualquer. (d) Esboce os gráficos de módulo e de ângulo de fase da resposta em freqüência H(f ).2]. 1. para (−150) ≤ k ≤ (150). 28. utilizando os parâmetros escolhidos no item (f). a seqüência x[n]. 20.6. 30. escolha uma das possı́veis taxas de amostragem FS = {10.5. 28. 0. e atenda aos seguintes itens: (a) Cálculos teóricos i. Dado o sinal x(t). Calcule os valores de N na faixa 1000 ≤ N ≤ 1400 que podem ser usados para implementar uma N-point DFT X[k] de xrec [n] sem leakage. ii. e |H[k]| = ∠H[k] = 0 para os demais valores de k. Calcule as freqüências Ω1 e Ω3 . onde Ai . iv. onde Np é o perı́odo da DTFS. iii. se o sinal x[n] for empregado como entrada. iii.V. na forma xk [n] = Ak cos(Ωk n + φk ). de forma que x(t) = x1 (t)+x3 (t) = A1 cos(2πf1 t)+A3 cos(2πf3 t). ii. Calcule a saı́da no regime permanente yRP [n] do sistema. calcule o comprimento Nrec do sinal xrec [n] obtido do sinal x(t). explicitando os parâmetros analógicos. No caso de N = 1026. (b) Cálculos práticos i. A3 = 13 A1 e f3 = 3f1 . para −2N ≤ k ≤ 2N . Sinais no domı́nio da freqüência 38. causal e estável. fi > 0. N1 e N3 . para 0 ≤ k ≤ 86 e para 940 ≤ k ≤ 1025. para −2Np ≤ k ≤ 2Np . e que a mesma é definida por |H[k]| = 1 e ∠H[k] = −2 k rad. (c) Processamento do sinal Suponha que H[k] é a 1026-point DFT da resposta ao impulso h[n] de um SLIT (Sistema Linear e Invariante ao Deslocamento). formado pela componente fundamental x1 (t) e pelo terceiro harmônico x3 (t). fi . e de x[n]. Escreva as equações de x1 [n] e x3 [n]. x1 [n] e x3 [n]. calcule a N-point DFT X[k] de xrec [n] e esboce os gráficos |X[k]| × k e ∠X[k] × k. suponha que x(t) foi amostado uniformemente com FS = 9f3 . A. x1 [n] e x3 [n] calculando os perı́odos Nx . t ∈ R.242 Capı́tulo 14. . Calcule os coeficientes ak = ã[k] = X̃[k] da DTFS de x[n] e esboce os gráficos |ak | × k e ∠ak × k. gerando os sinais x[n].S. Verifique a periodicidade dos sinais x[n]. Supondo um tempo total de gravação trec = 52 f1 s. • Porém. de forma a torná-lo mais eficiente em termos de tempo e/ou de espaço. 243 . pode ser efetuado sem grandes prejuı́zos de tempo e/ou de espaço computacionais. uma vez que WNkn = e−jk( N )n = cos k 2π 2π N n − j sin k N n . quando se deseja calcular todos os valores da DFT e o valor de N é elevado. para alguns valores do produto kn. • A maioria das técnicas empregadas na otimização no cálculo da DFT exploram duas propriedades de WNkn : k(N −n) ∗ – Simetria complexa conjugada: WN = WN−kn = WNkn . • Nos casos onde o valor de N é pequeno ou onde se deseja calcular apenas alguns valores da DFT. o cálculo direto.Capı́tulo 15 Aceleração do cálculo da DFT 15. • O aproveitamento dos casos particulares dos valores de WNkn e da propriedade de simetria complexa conjugada não produz um aumento efetivo na eficiência do cálculo da DFT. pois. usando as equações originais. os cossenos e os senos assumem os valores 0 e 1. a convolução e a correlação. k(n+N ) (k+N )n – Periodicidade: WNkn = WN = WN . uma vez que a complexidade computacional continua sendo da ordem de N 2 . 2π • Além disso. – Cálculo de uma convolução via equações originais de uma N-point DFT: 50 vezes mais multiplicações do que o cálculo direto da convolução. – Constantes calculadas em uma N-point DFT: N 2 valores de WNkn . o que é equivalente a “4N 2 multiplicações reais + N (4N − 2) adições reais”. torna- se necessário encontrar formas alternativas para o cálculo da DFT. • O cálculo da DFT possui complexidade computacional elevada: – Valores armazenados em uma N-point DFT: N valores de x[n] e N valores de X[k]. algumas multiplicações podem ser eliminadas. – Operações efetuadas em uma N-point DFT: “N 2 multiplicações complexas + N (N − 1) adições complexas”.1 Introdução • Algumas aplicações comuns da DFT são a análise espectral. S. • Seqüência complexa de N amostras: x[n] = g[n] + jh[n]. • Algumas formas de otimização no cálculo da DFT são abordadas a seguir. para 0 ≤ k ≤ (N − 1). A.2 Cálculo da DFT de uma seqüência real de 2N amostras • Seqüência real de 2N amostras: v[n]. para 0 ≤ k ≤ (2N − 1). para 0 ≤ n ≤ (2N − 1). • Seqüências reais de N amostras: g[n] = v[2n] e h[n] = v[2n + 1]. • N-point DFTs das seqüências g[n]. para 0 ≤ n ≤ (N − 1).2. G[k] = 12 (X[k] + X ∗ [h−kiN ]) • Das propriedades da DFT: . para 0 ≤ k ≤ (2N − 1). h[n] e x[n]: G[k]. H[k] e X[k].244 Capı́tulo 15. • Relações entre as seqüências: g[n] = Re{x[n]} e h[n] = Im{x[n]}. H[k] = 2j1 (X[k] − X ∗ [h−kiN ]) • Onde: X ∗ [h−kiN ] = X ∗ [hN − kiN ]. 15.2 DFT de seqüências reais • O cálculo de uma N-point DFT de um sinal complexo de N amostras pode ser usado para otimizar os seguintes cálculos: – Duas N-point DFTs de dois sinais reais de N amostras. H[k] e X[k]. 15. • N-point DFTs das seqüências: G[k]. • 2N-point DFT da seqüência v[n]: V [k]. • Seqüência complexa de N amostras: x[n] = g[n] + jh[n]. . 2 • Dado que W2N = WN : P(2N −1) P −1) P −1) (2n+1)k V [k] = n=0 v[n]W2N nk = (N n=0 2nk v[2n]W2N + (Nn=0 v[2n + 1]W2N = P(N −1) nk P(N −1) nk k P(N −1) nk k P(N −1) nk n=0 g[n]WN + n=0 h[n]WN W2N = n=0 g[n]WN + W2N n=0 h[n]WN . para 0 ≤ n ≤ (N − 1). Aceleração do cálculo da DFT • Por sua vez. o uso da propriedade de periodicidade pode produzir uma melhoria significa- tiva na eficiência do cálculo da DFT. 15.V.1 Cálculo da DFT de duas seqüências reais de N amostras • Seqüências reais de N amostras: g[n] e h[n]. para 0 ≤ k ≤ (N − 1).2. • 2N-point DFT da seqüência v[n]: k V [k] = G[hkiN ] + W2N H[hkiN ]. – Uma 2N-point DFT de um sinal real de 2N amostras. 15. pode-se reduzir o cálculo dos fatores WNm de (N − 1)2 valores para (N − 1).3. n ≤ (N − 1). pode-se montar o vetor dN = WNm . m (mod N ) – Verificando-se que WNm = WN . • Além disso. um SLIT definido por yk [n] = (−a1 ) yk [n − 1] + b0 x[n] = WN−k yk [n − 1] + x[n] (15. Ele utiliza a propriedade de periodicidade de WNkn . – Pode-se ainda usar a relação WN−m = (WNm )∗ para montar a matriz D −1 N .3 Pré-cálculo das matrizes de transformação h im −j ( 2π N ) 2π • As matrizes D N e D −1 N são formadas pelas constantes WNm = e = e−j ( N )m . Pré-cálculo das matrizes de transformação 245 15.4. i. 15.1) r=0 r=0 r=0 que assume a forma de uma soma de convolução. tem-se que 0 ≤ m ≤ (N − 1)2 . o cálculo de várias N-point DFTs pode ser acelerado por meio do pré-cálculo e do armazenamento das matrizes D N e D −1 N . o que produz (N −1) (N −1) (N −1) −k(N −r) X X X X[k] = x[r]WNkr = WN−kN x[r]WNkr = x[r]WN . 2π WN−kN = ejk( N )N = ejk(2π) = 1 . para k ∈ Z. observa-se que: – Vários elementos dessas matrizes podem ser simplificados: WNm ↔ {1. 1 + a1 D −1 1 − WN−k D−1 TET / UFF . −1 T – Há um padrão de simetria nessas matrizes: D N = (D N )T e D −1 N = D N .2) possui um operador de transferência b0 1 Tk (D) = = . • Por sua vez. o cálculo das matrizes D N e D −1 N também pode ser simplificado: – Dado que m = k n. Por sua vez. – Assim. • Com base nessas caracterı́sticas e empregando-se uma fatoração adequada dessas matrizes. a equação da N-point DFT não se altera se for multiplicada por tal fator.15. com o objetivo de reduzir a quantidade de multiplicações encontradas no cálculo das componentes X[k] de uma N-point DFT. a matriz D N pode ser montada por meio de uma indexação adequada desse vetor. • Para um mesmo valor de N . (15. onde 0 ≤ k. identifica a DFT com uma convolução e realiza o cálculo de uma forma iterativa. −i}.1 Algoritmo básico Notando-se que. o que é discutido a seguir. o processo de cálculo de uma DFT também pode ser acelerado. −1. onde 0 ≤ m ≤ (N − 1).4 Algoritmo de Goertzel O algoritmo de Goertzel foi proposto em 1958. Em seguida. 5). ele dispensa o cálculo ou o armazenamento dos fatores WNkn . (15.3) r=−∞ r=−∞ Dado que x[n] = 0 para n < 0 e n ≥ N .V.1) e (15. portanto.4) requer “4N multiplicações reais + 4N adições reais” para cada valor de k. k 2π 1 − 2cos N D−1 + D−2 e. (15. (15. uma vez que eles são naturalmente calculados durante a operação do sistema definido em (15. o único coeficiente que deve ser calculado e armazenado é WN−k . a Equação (15.7) N A. de tal forma que 1 Tk (D) = 1 − WN−k D−1 1 − WNk D−1 1 = · 1 − WN−k D−1 1 − WNk D−1 1 = 1 − WNk D−1 · 2π 1 − 2cos k N D−1 + D−2 = 1 − WNk D−1 · Rk (D) . O cálculo efetuado por (15. (15.2).2 Algoritmo modificado O algoritmo básico pode ser melhorado a partir de uma alteração no operador de transfer- ência Tk (D).4) Isso significa que o valor da componente X[k] da DFT pode ser calculado por meio de um processo iterativo do sistema definido em (15.4.3) indicam que X[k] = yk [N ] = yk [n]|n=N . Nesse algoritmo. as Equações (15. . pois necessita de duas adições reais a mais.2).S.2) pode ser reescrita como yk [n] = Tk (D) x[n] = 1 − WNk D−1 Rk (D) x[n] = 1 − WNk D−1 vk [n] = vk [n] − WNk vk [n − 1] . 15. Aceleração do cálculo da DFT uma resposta ao impulso hk [n] = b0 (−a1 )n u[n] = WN−kn u[n] e a sua saı́da yk [n] pode ser calculada por ∞ ∞ −k(n−r) X X yk [n] = x[n] ∗ hk [n] = x[n − r]WN−kr u[r] = x[r]WN u[n − r] . (15.246 Capı́tulo 15.5) A partir de (15.6) onde 1 vk [n] = Rk (D) x[n] = x[n] . Porém. Isso significa que tal algortimo básico de cálculo é menos eficiente do que a equação original da DFT. 2π vk [n] = 2cos k vk [n − 1] − vk [n − 2] + x[n] . Dessa forma. dados por Ωk = k 2π N .8). Aqui. (15. Por outro lado. Portanto. Após as N iterações. Algoritmo de Goertzel 247 Finalmente. 15. pode-se mostrar que vk [n] = vN −k [n] e que WN = WN−k = WNk . o número de multiplicações reais é novamente reduzido à metade.4.3 Ganho extra com componentes simétricas Uma simplificação adicional pode ser alcançada no cálculo das componentes simétricas X[k] (N −k) ∗ e X[N − k]. a Equação (15. assim como acontece com as equações originais da DFT. Nesse caso. O cálculo efetuado por (15. ele pode ser vantajoso apenas nos casos onde se deseja calcular alguns valores de X[k] e/ou onde o valor de N é pequeno. obtendo-se o algoritmo anteriormente desenvolvido. são realizadas um total de “(2N + 4) multiplicações reais + (4N + 4) adições reais”. o algoritmo de Goertzel é capaz de calcular X(ejΩ ) em uma freqüência genérica Ωg . TET / UFF .6) e (15. Para finalizar o cálculo de X[k]. Logo. (15. mesmo com tais reduções no número de multiplicações reais (metade ou um quarto).4.8) acrescenta “4 multiplicações reais + 4 adições reais”.7) mostram que X[k] = yk [N ] = yk [n]|n=N = vk [N ] − WNk vk [N − 1] .4 Aplicação adicional do algoritmo A componente X[k] da DFT é equivalente ao valor da DTFT X(ejΩ ) calculada no ponto 2π Ωk = k N .4. 15. utilizando apenas uma amostra de x[n] a cada iteração.8). os únicos coeficientes que devem ser calculados e armazenados são cos k 2π N e WNk . dado que ele trabalha com um processo iterativo.7) requer “2 multiplicações reais + 4 adições reais” para cada valor de n. para cada valor de k.4.8) Isso significa que o valor da componente X[k] da DFT pode ser calculado por meio de um processo iterativo do sistema definido em (15.15.10) transformam- se nas Equações (15.7) e (15. o Algoritmo de Goertzel continua a apresentar uma complexidade computacional da ordem de N 2 multiplicações reais. são computadas “2N multiplicações reais + 4N adições reais”. Conforme demonstrado no Apêndice G. 15. pode-se verificar que as Equações (15.5 Considerações sobre a aplicação do algoritmo Deve ser ressaltado que. a iteração é calculada por vg [n] = 2cos (Ωg ) vg [n − 1] − vg [n − 2] + x[n] (15. o algoritmo permite calcular o valor de X(ejΩ ) para valores de Ω diferentes daqueles utilizados nas componentes da DFT.9) e (15. Uma outra vantagem do algoritmo é que ele pode ser utilizado nas aplicações de tempo real sem a necessidade de se acumular os valores de x[n]. para cada valor de k.10) Quando Ωg = Ωk = k 2π N . o que significa aproximadamente a metade das multiplicações reais empregadas nas equações originais da DFT.9) e a finalização do cálculo é feita por X(ejΩg ) = e−jΩg N vg [N ] − e−jΩg vg [N − 1] .7) e finalizado pela Equação (15. (15. Nesse caso. também conhecido como algoritmo com decimação na freqüência (decimation in frequency ou DIF). • Propostas que alavancaram o cálculo da DFT através de algoritmo otimizado: – Cooley & Tukey. – Cooley.S. . para o cál- culo de uma N-point DFT. – Ordenação das amostras de entrada e de saı́da: normal ou em bit-reverso. Algumas dessas caracterı́sticas são apresentadas no Apêndice I. A. – Tipo da decimação: a decimação no tempo (DIT) ou na freqüência (DIF) realiza a fatoração em relação à variável n ou k. – A fatoração organiza a seqüência original (x[n] ou X[k]) em subseqüências menores. – O tipo de fatoração (tempo ou freqüência) acarreta uma reordenação dos dados de entrada ou de saı́da (DIT ou DIF).V. – Runge (1905) e. em 1805. 1966: algoritmo Sande-Tukey. respectivamente. – Gentleman & Sande. – Complexidade computacional de uma N-point DIT/DIF FFT.5 FFT (Fast Fourier Transform) • Fundamentos para o cálculo da DFT através de algoritmo otimizado: – A percepção das propriedades de simetria e periodicidade de WNkn já existia há bastante tempo. associada a caracterı́sticas apresentadas pelas constantes WN . obtidas por decimação. Lewis e Welch (1967) relatam outros dados históricos. Johnson e Burrus (1984) citam Gauss. também conhecido como algoritmo com decimação no tempo (decimation in time ou DIT). foram propostos vários outros algoritmos otimizados. posteriormente Danielson e Lanczos (1942). – Radical (ou base): o comprimento N da DFT pode ser fatorado de modo simples (N = N1l1 ) ou misto (N = N1l1 N2l2 · · · NLlL ). • Algumas caracterı́sticas dos algoritmos otimizados que usam decimação: – Fundamentação: as propostas são baseadas na fatoração (ou decomposição) das matrizes D N e D −1 m N . • Desde então. alcançando uma complexidade computacional da ordem de N . que formam uma única famı́lia de algoritmos denominada Fast Fourier Transform (FFT). – Outras otimizações: variações de algoritmos anteriores que tentam se adequar ao dado a ser manipulado e/ou à máquina digital utilizada. 1965: algoritmo Cooley-Tukey. radical-2 com N = 2l : N 2 log2 N multiplicações complexas + N log2 N adições complexas.248 Capı́tulo 15. Aceleração do cálculo da DFT 15. – Heideman. apresentaram algoritmos que reduziam a ordem da complexidade do cálculo de N 2 para N log2 N . • Alguns desses algoritmos fundamentam-se nas áreas de Teoria dos Números e/ou de Polinômios. Os sinais podem ser mapeados para domı́nio transformado através das seguintes transformações: DTFS. – Resposta ao estado e resposta à entrada: yest [n] e yent [n]. – Resposta total: y[n] = yh [n] + yr [n] = yest [n] + yent [n] = ynat [n] + yf or [n] = ytran [n] + yperm [n]. pode-se mostrar que os citados arranjos são válidos independentemente da ordem do sistema. DTFT. • Arranjos de respostas para um SLIT genérico: – Resposta ao sistema homogêneo e resposta ao sistema relaxado: yh [n] e yr [n]. . tanto para os sinais como para os sistemas que os manipulam. através das transformações adequadas.Capı́tulo 16 SLIT no domı́nio da freqüência 16. A aplicação da transformada Z leva à definição de uma Função de Transferência ou Função de Sistema. em representações equivalentes no domı́nio transformado. DFT e Z. . PN PL • SLIT genérico: k=0 ak y[n − k] = k=0 bk x[n − k]. verifica-se que a mesma pode ser dividida em diversos arranjos diferentes. podem-se também encontrar representações equivalentes. • Com a representação de um SLIT descrito por uma equação de diferença de ordem genérica em domı́nio transformado. em tal domı́nio. utilizada na análise do sistema em Regime Permanente. y[−2]. em domı́nio transformado.2 Tipos de respostas de um sistema • Após o cálculo da resposta de um sistema linear e invariante ao tempo/deslocamento (SLIT) descrito por uma equação de diferença de primeira ordem. Utilizando-se a DTFT e a transformada Z.1 Introdução Para que se possa trabalhar com sistemas em domı́nio transformado é necessário que sejam definidas representações. . A ideia básica é que as representações de um sistema no domı́nio original sejam mapeadas. . empregada para obtenção da resposta total do sistema. com x[n] = f [n] u[n] e condições iniciais y[−1]. y[−N ]. 249 . O emprego da DTFT leva ao conceito de Resposta em Freqüência. 16. dependendo das classificações adotadas. – Resposta natural e resposta forçada: ynat [n] e yf or [n]. para os sistemas. – Resposta transitória e resposta permanente: ytran [n] e yperm [n]. y[−N ]. . – Para x[n] = A0 cos(Ω0 n + Θ0 ). onde: jΩ A00 = A0 · |H(ejΩ0 )|.V. ynat2 [n] → 0. – Resposta no regime permanente ou no estado estacionário (steady-state): yRP [n] = yss [n] = y[n]|n→∞ = yent [n]|n→∞ = yperm [n] = yf or [n]. SLIT no domı́nio da freqüência • Relações em um SLIT genérico: – Resposta ao estado: yest [n] = yh [n] = ynat1 [n]. . . Θ00 = Θ0 + ∠H(ejΩ0 ) e H(ejΩ ) = |H(ejΩ )| ej∠H(e ) . 16. para n → ∞: – Resposta natural: ynat1 [n]. – Resposta à entrada: yent [n] = yr [n] = ynat2 [n] + yf or [n].3 Respostas de um SLIT em domı́nio transformado Utilizando-se a associação v[n] ↔ VU (z). – Para x[n] permanente: ytran [n] = ynat [n] e yperm [n] = yf or [n]. • Relações em um SLIT estável. pode ser expressa por a0 {Y (z)} + a1 y[−1] + z −1 Y (z) + a2 y[−2] + z −1 y[−1] + z −2 Y (z) + ··· + −1 aN y[−N ] + z y[−(N − 1)] + · · · + z −(N −2) y[−2] + z −(N −1) y[−1] + z −N Y (z) = b0 {X(z)} + b1 x[−1] + z −1 X(z) + b2 x[−2] + z −1 x[−1] + z −2 X(z) + ··· + bL x[−L] + z −1 x[−(L − 1)] + · · · + z −(L−2) x[−2] + z −(L−1) x[−1] + z −L X(z) → a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N Y (z) + a1 + a2 z −1 + · · · + aN z −(N −1) y[−1] + a2 + a3 z −1 + · · · + aN z −(N −2) y[−2] + ··· + b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bL z −L X(z) (aN ) y[−N ]} = → A. – Resposta natural: ynat [n] = ynat1 [n] + ynat2 [n]. com x[n] = f [n] u[n] e condições iniciais y[−1].250 Capı́tulo 16. . a resposta no regime permanente é dada por yf or [n] = A0 |H(ejΩ0 )| cos(Ω0 n + Θ0 + ∠H(ejΩ0 )) = A00 cos(Ω0 n + Θ00 ) . a equação de diferença a0 y[n] + a1 y[n − 1] + · · · + aN y[n − N ] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + · · · + bL x[n − L] .S. – Para x[n] temporário: ytran [n] = y[n] e yperm [n] = 0. y[−2]. . obtém-se Yent (z) = H(z) · X(z) NH (z) NX (z) = · DH (z) DX (z) ! KH1 KHN = −1 + ··· + + 1 − zpH1 z 1 − zpHN z −1 ! KX1 KXM −1 + ··· + 1 − zpX1 z 1 − zpXM z −1 = Ynat2 (z) + Yf or (z) . (16. (16. (16.3. Por exemplo. onde b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bL z −L NH (z) H(z) = = . DH (z) = a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N e N X P−k (z) = al z −(l−k) . TET / UFF . respectivamente. respectivamente. l=k são. Além disso. DH (z) a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N NH (z) = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bL z −L . a resposta ao estado. as representações em domı́nio transformado para a resposta à entrada.1) ( N ) (−1) X Yest (z) = P−k (z) y[−k] . as equações das respostas à entrada e ao estado podem ser escritas na forma de expansão em frações parciais. Respostas de um SLIT em domı́nio transformado 251 b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bL z −L Y (z) = X(z) + a + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N 0 −1 −1 −(N −1) a 1 + a 2 z + · · · + aN z y[−1] + a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N a2 + a3 z −1 + · · · + aN z −(N −2) y[−2] + · · · + (aN ) y[−N ] (−1) = H(z) X(z) + {P−1 (z) y[−1] + P−2 (z) y[−2] + · · · + P−N (z) y[−N ]} DH (z) ( N ) (−1) X = H(z) X(z) + P−k (z) y[−k] DH (z) k=1 = Yent (z) + Yest (z) = Yr (z) + Yh (z) .4) são. o seu numerador. a resposta do sistema relaxado e a resposta da equação homogênea. o seu denominador e o polinômio relativo à condição inicial y[−k].3) e Yh (z) = Yest (z) .2) DH (z) k=1 Yr (z) = Yent (z) (16. bem como Yent (z) = H(z) X(z) .16. para X(z) com M pólos simples zpXi e para H(z) com N pólos simples zpHi e L < N . a Função de Transferência. as representações em domı́nio transformado para a resposta transitória e a resposta permanente.V.252 Capı́tulo 16. . Finalmente.S.8) são. respectivamente. obtém-se X Y (z) = (frações parciais que representam sinais transitórios) + X (frações parciais que representam sinais permanentes) = Ytran (z) + Yperm (z) . que representam os sinais transitórios e os permanentes. A. onde X Ytran (z) = (frações parciais que representam sinais transitórios) (16. onde " # (KH1 + CH1 ) (KHN + CHN ) Ynat (z) = Ynat1 (z) + Ynat2 (z) = −1 + ··· + (16.7) e X Yperm (z) = (frações parciais que representam sinais permanentes) (16.5) 1 − zpH1 z 1 − zpHN z −1 e ! KX1 KXM Yf or (z) = −1 + ··· + (16. separando-se as frações parciais em dois grupos. respectivamente. SLIT no domı́nio da freqüência ( N ) (−1) X Yest (z) = P−k (z) y[−k] DH (z) k=1 Nest (z) = DH (z) ! CH1 CHN = −1 + ··· + 1 − zpH1 z 1 − zpHN z −1 = Ynat1 (z) e Y (z) = Yent (z) + Yest (z) = [Ynat2 (z) + Yf or (z)] + Ynat1 (z) = [Ynat1 (z) + Ynat2 (z)] + Yf or (z) = Ynat (z) + Yf or (z) .6) 1 − zpX1 z 1 − zpXM z −1 são. as representações em domı́nio transformado para a resposta natural e a resposta forçada. • Resposta a uma exponencial x[n] = ejΩn : yss [n] = ∞ jΩ(n−k) P k=−∞ h[k]e = P∞ jΩn −jΩk jΩn ∞ −jΩk jΩ = e H(e ) = |H(e )|ej(Ωn+∠H(e )) . • Resposta a uma soma de sinais senoidais: x[n] = Ll=1 cl · cos(Ωl n): P yss = Ll=1 |H(ejΩl )| · cl · cos(Ωl n + ∠H(ejΩl )). • Dado que h[n] é uma seqüência real.1 Contexto • SLIT definido por equação de diferença.4.3 Abordagem 2: cálculo alternativo • Entrada e saı́da sem atraso: x[n] = ejΩn ↔ yss [n] = ejΩn H(ejΩ ).4 Resposta em freqüência H(ejΩ) 16. • Operação em regime permanente: yss [n] = y[n]|n→∞ = yent [n]|n→∞ . jΩn jΩ jΩ P k=−∞ h[k]e e =e k=−∞ h[k]e • Relação com a DTFT: H(ejΩ ) = ∞ −jΩk P k=−∞ h[k]e = DTFT {h[n]}. Resposta em freqüência H(ejΩ ) 253 16. 1 ejΩn + e−jΩn = 1 1 e−jΩn . • Resposta a uma soma de exponenciais x[n] = Ll=1 cl ejΩl n : yss [n] = Ll=1 cl ejΩl n H(ejΩl ). • Equação P de diferença: n→∞ y[n] + N PL k=1 ak y[n − k] = k=0 bk x[n − k] −→ PN PL yss [n] + k=1 ak yss [n − k] = k=0 bk x[n − k] → PN PL ejΩn H(ejΩ ) + k=1 ak ejΩn e−jΩk H(ejΩ ) = k=0 bk e jΩn −jΩk e → H(ejΩ ) + N −jΩk H(ejΩ ) = Lk=0 bk e−jΩk → P P k=1 ak e h i 1+ N −jΩk H(ejΩ ) = Lk=0 bk e−jΩk → P P a k=1 k e PL −jΩk k=0 bk e H(ejΩ ) = N 1+ k=1 ak e−jΩk P .4.16. • Entrada e saı́da com atraso variável: x[n−k] = ejΩn e−jΩk ↔ yss [n−k] = ejΩn e−jΩk H(ejΩ ). de tal forma que são válidas as seguintes relações: |H(ejΩ )| = |H(e−jΩ )| e ∠H(ejΩ ) = −∠H(e−jΩ ).4. • Entrada senoidal: x[n] = cos(Ωn) = 2 2 ejΩn + 2 16. • Entrada exponencial: x[n] = ejΩn . demonstra-se que H(ejΩ ) = H ∗ (e−jΩ ). P 16. • SLIT estável. TET / UFF .2 Abordagem 1: definições e resultados • Resposta a uma entrada genérica x[n]: yss [n] = yent [n]|n→∞ = h[n] ∗ x[n] = ∞ P k=−∞ h[k]x[n − k]. P P • Resposta a uma entrada senoidal x[n] = cos(Ωn): yss [n] = |H(ejΩ )|cos(Ωn + ∠H(ejΩ )).4. • Função Resposta em Freqüência H(ejΩ ): Supondo um sinal de entrada expandido em cossenos. a função H(ejΩ ) pode ser denominada de Resposta em Freqüência do SLIT. observam-se as seguintes relações: – Operador atraso unitário: D−1 {·} ↔ e−jΩ . ponderados e defasados por influência de H(ejΩ ). – Associação: SLIT em regime permanente × transformação linear. – Saı́da: y[n] = h[n] ↔ Y (ejΩ ) = H(ejΩ ). PL −jΩk k=0 bk e – Equação de diferença: H(ejΩ ) = N 1+ k=1 ak e−jΩk P . k=1 k • DTFT: P P ∞ −jΩn P∞ N PL jΩ Y (e ) = n=−∞ y[n]e = n=−∞ − k=1 ak y[n − k] + k=0 bk x[n − k] e−jΩn P∞ P∞ =− N P −jΩn PL −jΩn k=1 ak n=−∞ y[n − k]e + k=0 bk n=−∞ x[n − k]e P∞ P∞ =− N P −jΩm −jΩk PL −jΩm −jΩk k=1 a k m=−∞ y[m]e e + k=0 b k m=−∞ x[m]e e PN jΩ −jΩk PL jΩ −jΩk = − k=1 ak Y (e )e + k=0 bk X(e )e → PL bk e−jΩk Y (ejΩ ) = 1+Pk=0 N a e−jΩk X(ejΩ ) = T (ejΩ ) X(ejΩ ).V. P∞ – Valor caracterı́stico ou autovalor: H(ejΩ ) = k=−∞ h[k] e−jΩk = DTFT {h[n]}. de acordo com as suas freqüências. .5 Conclusões • Interpretação matemática: – Associação: sinais × vetores. PL −jΩk k=0 bk e – DTFT: H(ejΩ ) = T (ejΩ ) = N 1+ k=1 ak e−jΩk P . a resposta em estado permanente (senoidal) será a soma dos cossenos originais. • Operador atraso unitário: v[n − 1] = D−1 {v[n]} = (D−1 ) v[n]. A. PL −k k=0 bk D • Operador linear de transferência: y[n] = 1+PN a D−k x[n] = T (D) x[n].S. SLIT no domı́nio da freqüência 16. k=1 k • Resposta ao impulso: – Entrada: x[n] = δ[n] ↔ X(ejΩ ) = 1. Assim.254 Capı́tulo 16. – Transformação particular: ejΩn → H(ejΩ ) ejΩn . 16.4 Abordagem 3: outras relações PN PL • Equação de diferença: y[n] = − k=1 ak y[n − k] + k=0 bk x[n − k]. – Resposta ao impulso: H(ejΩ ) = DTFT {h[n]}.4.4. – Função caracterı́stica ou autofunção: ejΩn . – Convolução: yss [n] = yent [n]|n→∞ = h[n] ∗ x[n] ↔ Yss (ejΩ ) = H(ejΩ ) · X(ejΩ ). – Resposta em freqüência: T (ejΩ ) = H(ejΩ ). – Operador linear de transferência: T (D) ↔ T (ejΩ ). • No mapeamento entre domı́nios n ↔ Ω. • Função atraso de grupo: τ (Ω) = − dθ(Ω) dΩ . • Parâmetros básicos da especificação em freqüência de filtros ideais: – Existência de bandas de passagem e de rejeição. – Ganho constante e unitário na banda de passagem. k=1 k • Tipos básicos de filtros ideais: lowpass. • Resposta em freqüência: H(ejΩ ) = ∞ −jΩk P k=−∞ h[k]e = DTFT {h[n]}. k=1 k e a jΩ ) • H(ejΩ ) é complexa: H(ejΩ ) = |H(ejΩ | · e∠H(e . • H(ejΩ ) é periódica: Ωp = 2π. – Ganho nulo na banda de rejeição.4.5.16. • Função atenuação ou perda: AdB (Ω) = −GdB (Ω). • H(ejΩ ) é simétrica para h[n] real: |H(ejΩ )| = |H(e−jΩ )| e ∠H(ejΩ ) = −∠H(e−jΩ ).4. – Fase linear (ou atraso de grupo constante) na banda de passagem. – Ausência de bandas de transição. bandpass. 16. • Interpretação do sistema como um seletorPde freqüências (filtro): L jΩ ) P∞ bk e−jΩk H(ejΩ ) = YX(e ss (e jΩ ) = k=−∞ h[k]e −jΩk = 1+Pk=0 N a e−jΩk . • Aplicando a DTFT: Yss (ejΩ ) = H(ejΩ ) · X(ejΩ ). • Função resposta de fase: θ(Ω) = ∠H(ejΩ ).5 Seletividade de um SLIT no domı́nio da freqüência • Resposta ao impulso (pulso) unitário do SLIT: h[n]. • Filtros ideais × filtros reais: sistemas causais. com transmissão sem distorção das componentes do sinal de entrada que possuam freqüências dentro das bandas de passagem e eliminação das componentes do sinal de entrada que possuam freqüências dentro das bandas de rejeição. Seletividade de um SLIT no domı́nio da freqüência 255 16. 16. TET / UFF . highpass. • Função dos filtros ideais: seletividade em freqüência. bandreject. • Função ganho: GdB (Ω) = |H(ejΩ )|dB = 20 log10 |H(ejΩ )| dB.6 Caracterı́sticas P∞ PL −jΩk −jΩk k=0 bk e • Cálculo: H(ejΩ ) = k=−∞ h[k]e = DTFT {h[n]} e H(ejΩ ) = 1+ N P −jΩk . – Freqüências de definição das bandas: Ωlim .7 Definições • Função resposta de magnitude: G(Ω) = |H(ejΩ )|. • Resposta a uma entrada genérica x[n]: yss [n] = yent [n]|n→∞ = h[n] ∗ x[n]. – Fase linear (ou atraso de grupo constante) na banda de passagem. H(z) é polinomial com coeficientes reais. • Considerando-se condições iniciais nulas (CI = 0): y[n]|CI=0 = yent [n]. • Interconexão de sistemas: série (cascata) e paralelo. • Para h[n] real. – Atenuação mı́nima na banda de rejeição. ela é de difı́cil manipulação matemática (análise e sı́ntese). com coeficientes constantes e reais. – Atenuação máxima na banda de passagem. SLIT no domı́nio da freqüência • Parâmetros básicos da especificação em freqüência de filtros reais: – Existência de bandas de passagem. • Resposta à entrada: yent [n] = h[n] ∗ x[n]. – Freqüências de definição das bandas: Ωp e Ωr . • Por sua vez. • Resposta total: y[n] = yest [n] + yent [n]. . Logo. trabalha-se com SLITs descritos por equações de diferença. de transição e de rejeição. • Na prática. tais funções são mais facilmente manipuláveis do ponto de vista matemático (análise e sı́ntese). Portanto. 16.6 Função de transferência ou função de sistema H(z) • A resposta em freqüência H(ejΩ ) é uma função complexa da variável Ω.256 Capı́tulo 16. • Projeto modular: sı́ntese de módulo (|H(ejΩ )|) com correção de fase (∠H(ejΩ )) ou sı́ntese de fase com correção de módulo. a função H(z) = Z{h[n]} é polinomial em z. • Aplicando-se a transformada Z: Yent (z) = H(z) · X(z). Tais sistemas possuem uma função H(z) polinomial racional em z. com coeficientes contantes e reais. Y (z) . Yent (z) • Função de transferência ou função de sistema: H(z) = X(z) . • Portanto. • Sistema causal e estável: ROC de H(z) inclui o cı́rculo unitário. = X(z) = Z{h[n]}. • Na maioria dos projetos.S.V. • Sistema estável: pólos de H(z) encontram-se no interior do cı́rculo unitário. para um sistema causal e estável: H(ejΩ ) = H(z)|z=ejΩ . CI=0 • Se |z| = 1 ∈ ROC|H(z) . • Sistema causal: ROC de H(z) é externa ao pólo mais externo de H(z). trabalha-se com SLITs causais e estáveis. . então: H(ejΩ ) = H(z)|z=ejΩ . • Para H(z) com coeficientes reais: |H(ejΩ )|2 = H(ejΩ )H ∗ (ejΩ ) = H(ejΩ )H(e−jΩ ) = H(z)H(z −1 )|z=ejΩ . A. 7. k=1 k=0 onde: N. NF e NP ∈ N . Pólos e zeros de H(z) 257 16. sua Função de Transferência H(z) é uma função polinomial racional da variável complexa z. a0k b0k ak = . dada por .16.7 Pólos e zeros de H(z) Dado o SLIT descrito por N X NP X a0k · y[n − k] = b0k · x0 [n − k] k=0 k=−NF ou N X NP X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x0 [n − k] k=1 k=−NF ou N X L X y[n] = − ak · y[n − k] + bk · x[n − k] . b k = . a00 a00 x0 [n] = x[n − NF ] e L = NP + NF . PNP 0 −k PNP −k PL −k 0 Y (z) . . k=−NF bk z k=−NF bk z NF k=0 bk z H (z) = 0 . 9) X (z) CI=0 1+ N 1+ N −k P −k P −k k=0 ak z k=1 ak z k=1 ak z ou . = PN 0 = = z (16. PL −k Y (z) . . 10) X(z) . k=0 bk z H(z) = = . (16. 9) e (16. em QL −1 0 NF k=1 (1 + ck z ) H (z) = z KG QN (16. respectivamente.10) podem ser fatoradas.11) −1 k=1 (1 + dk z ) e QL k=1 (1 + ck z −1 ) H(z) = KG QN . (16.CI=0 1 + N P −k k=1 ak z As Equações (16.12) k=1 (1 + dk z −1 ) TET / UFF . as singularidades com valores complexos devem ocorrer em pares complexos conjugados.12). Adicionalmente. ak . • Quando as singularidades em z → ∞ são computadas. respectivamente. de (16. A.258 Capı́tulo 16.8. gera um pólo em z = −dk e um zero em z = 0. Finalmente. pode-se dizer que: • Cada termo (1 + ck z −1 ) = z+c z k .S. Por isso. com zeros finitos e pólos em z → ∞. existem cancelamentos de pólos do numerador com zeros do denominador. pode-se dizer que: • Se NF > 0. são ditas funções all poles. determinam várias caracterı́sticas sobre o sistema.1 Sistema deslocador Para ND ∈ Z.11). contendo zeros e pólos finitos. • Se os coeficientes a0k . • Sistemas recursivos genéricos são representados por funções polinomiais racionais. gera um zero em z = −ck e um pólo em z = 0. onde o numerador é unitário. . b0k . o sistema é não causal. Por isso. os zeros e os pólos de H(z). a resposta em freqüência do sistema deslocador é dada por H(ejΩ ) = e−jΩND . do denominador. do numerador. bem como as suas posições no plano complexo z. o sistema deslocador é definido por y[n] = x[n − ND ] . e bk forem reais. SLIT no domı́nio da freqüência Os valores de z para os quais H(z) = 0 e H(z) → ∞ são denominados. • Cada termo (1 + dk z −1 ) = z+d z k . • Em z = 0. tem NF amostras com ı́ndices negativos em h[n] e o termo z NF gera NF pólos em z → ∞ e NF zeros em z = 0. A sua resposta ao impulso é calculada por h[n] = δ[n − ND ] . com zeros em z → ∞ e pólos finitos. a sua função de transferência é H(z) = z −ND .V. são ditas funções all zeros. 16.8 Exemplos de resposta em freqüência e de função de transferência 16. De (16. • Sistemas não recursivos são representados por funções polinomiais simples. Por sua vez. o número de pólos é igual ao número de zeros. • Sistemas puramente recursivos são representados por funções polinomiais racionais. A quantidade de singularidades (zeros e pólos) de H(z). 8. a sua função de transferência é (ND +M ) " M # 1 X 1 X H(z) = z −k = z −k z −ND .2 Sistema de média móvel (Moving Average . sin Ω2 (2M + 1) k=−M (2M + 1) Finalmente. (2M + 1) (2M + 1) k=(ND −M ) Por sua vez. (2M + 1) k=−M A sua resposta ao impulso é calculada por M 1 X 1 h[n] = δ[n − k] = (u[n + M ] − u[n − (M + 1)]) . (M2 − M1 + 1) k=M 1 Sistema de média móvel não causal Para M2 = −M1 = M > 0. Exemplos de resposta em freqüência e de função de transferência 259 16. a sua função de transferência é M 1 X H(z) = z −k . (2M + 1) (2M + 1) sin 2 k=(N −M )D Finalmente.16.8. (2M + 1) k=−M Sistema de média móvel causal Para ND > M > 0. (2M + 1) (2M + 1) k=−M k=(ND −M ) TET / UFF . a resposta em freqüência do sistema de média móvel não causal é dada por M sin (2M + 1) Ω2 jΩ 1 X −jΩk 1 H(e ) = e = .MA) Para M1 . (2M + 1) k=(ND −M ) A sua resposta ao impulso é calculada por (ND +M ) 1 X 1 h[n] = δ[n − k] = (u[n − (ND − M )] − u[n − (ND + M + 1)]) . M2 ∈ Z e M2 > M1 . a resposta em freqüência do sistema de média móvel causal é dada por (ND +M ) " # Ω 1 X 1 sin (2M + 1) H(ejΩ ) = e−jΩk = Ω 2 e−jΩND . o sistema de média móvel causal é definido por (ND +M ) 1 X y[n] = x[n − k] . o sistema de média móvel não causal é definido por M 1 X y[n] = x[n − k] . o sistema de média móvel genérico é definido por M2 1 X y[n] = x[n − k] . (2M + 1) k=−M (2M + 1) Por sua vez. M1 = ND − M e M2 = ND + M . (CI=0) • Equação de diferença: y[n] + N P PL k=1 ak y[n − k] = k=0 bk x[n − k] ←→ PN P −k L −k 1 + k=1 ak z Y (z) = k=0 bk z X(z) → PL ( k=0 bk z −k ) Y (z) = PN X(z) → Y (z) = H(z) · X(z). • Diagrama de sistemas (blocos ou grafos): – Somador: Z{x1 [n] + x2 [n]} = Z{x1 [n]} + Z{x2 [n]} = X1 (z) + X2 (z). • Assim. SLIT no domı́nio da freqüência 16. pode-se obter uma representação equivalente do sistema no domı́nio transformado. – Escalador: Z{Ax[n]} = AZ{x[n]} = AX(z).9 SLIT equivalente em domı́nio transformado • Com a aplicação de uma transformada nas variáveis (sinais) e nas equações de definição (dos elementos e da topologia) de um sistema.260 Capı́tulo 16. – Atrasador unitário: y[n] = x[n − 1] ↔ Z{y[n]} = Z{x[n − 1]} → Y (z) = z −1 X(z). . os processos de análise e sı́ntese (projeto) podem ser realizados diretamente no domı́nio transformado. (1+ k=1 ak z −k ) • Resposta ao impulso unitário: X(z) = Z{δ[n]} = 1 e Y (z) = H(z) · X(z) → Y (z)|x[n]=δ[n] = H(z). PL Y (z) . bk z −k • Função de transferência: H(z) = X(z) . = 1+Pk=0 N a z −k . • Equações de estado para um sistema MIMO: x[n + 1] = A · x[n] + B · r[n] y[n] = C · x[n] + D · r[n] (16.13) zX(z) = A · X(z) + B · R(z) Y (z) = C · X(z) + D · R(z) → → X(z) = (zI − A)−1 · B · R(z) Y (z) = C · X(z) + D · R(z) → → Y (z) = C · (zI − A)−1 · B + D R(z) (16. CI=0 k=1 k PL −jΩk k=0 bk e • Resposta em freqüência: H(ejΩ ) = N 1+ k=1 ak e−jΩk P .14) • Equações de estado para um sistema SISO: Y (z) = C · (zI − A)−1 · B + D R(z) → . Y (z) . . 15) R(z) . → H(z) = = C · (zI − A)−1 · B + D (16. S.V.CI=0 A. . • Apresente os diagramas de sistema. para os sistemas S1 . S2 . nas Formas: Direta I. Direta II. Esboce o Diagrama de Pólos e Zeros (DPZ) para as seguintes Funções de Transferência: • H(z) = (b0 + b1 z −1 ). (b) H1 (z) = K1 · (1 − z1 z −1 ) e H2 (z) = K2 · (1 − z2 z −1 ). (d) H1 (z) = K1 · 1−p11 z−1 e H2 (z) = K2 · 1−p12 z−1 .10.3z −1 . composto pela conexão cascata (série) dos sistemas S1 e S2 . Direta I Transposta e Direta II Transposta. Dadas as Funções de Transferência abaixo. H2 (z). • Calcule a equação de diferença do sistema Sp . −1 1−z2 z −1 (e) H1 (z) = K1 · (z ) e H2 (z) = K2 · 1−p2 z−1 . H(z). Hc (z) e Hp (z). isoladamente.1z −1 + 1−0. que definem os sistemas S1 e S2 . 3. 2. Sc e Sp . • Calcule a equação de diferença do sistema Sc . Para os sistemas Sc e Sp . no domı́nio do tempo (n) e no domı́nio da fre- qüência (z). • Apresente os diagramas de sistema. Exercı́cios propostos 261 16. H1 (z) e H2 (z). Direta I Transposta e Direta II Trans- posta. considere sempre dois casos: um onde os sistemas constituintes possam ser claramente identificados e outro onde os sistemas constituintes não possam ser identificados. considerando sempre dois casos: um onde os sistemas constituintes possam ser claramente identificados (H(z) = H1 (z) + H2 (z)) e outro onde os sistemas constituintes não possam ser identificados (H(z) = NH (z) + DH (z)). (c) H1 (z) = K1 · (z −1 ) e H2 (z) = K2 · 1−p12 z−1 . • H(z) = 13 (1 + z −1 + z −2 ). • Calcule a Função de Transferência de um sistema Sp . TET / UFF . (a) H1 (z) = K1 · (z −1 ) e H2 (z) = K2 · (1 − z2 z −1 ). 1 • H(z) = 1+a1 z−1 . composto pela conexão paralela dos sistemas S1 e S2 . nas Formas: Direta I. • Calcule a Função de Transferência de um sistema Sc . Direta II. • Calcule a localização dos zeros e pólos de H1 (z).16. atenda aos seguintes itens: • Calcule as equações de diferença dos sistemas S1 e S2 .10 Exercı́cios propostos 1. no domı́nio do tempo (n) e no domı́nio da freqüência (z). Dado o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT) compostopor doissistemas 1 3z −1 de primeira ordem e definido por H(z) = H1 (z) + H2 (z) = 1−0. 1−z1 z −1 1−z2 z −1 (f) H1 (z) = K1 · 1−p1 z−1 e H2 (z) = K2 · 1−p2 z−1 . atenda aos seguintes itens: • Apresente as equações de diferença dos três sistemas. • H(z) = 13 (z + 1 + z −1 ). respectivamente. 5. A. 0 . n ≥ 0 x[n] = 0 . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Calcule a Função de Transferência H(z) do SLIT. Dada a resposta ao impulso an . n ≥ 0 h[n] = . 6. • Desenhe o diagrama de sistema do SLIT. 0 . • Desenhe o diagrama de sistema do SLIT. • Calcule a equação de diferença do SLIT. • Calcule a equação de diferença do SLIT. 0 . −1 ≤ n ≤ 1 h[n] = . 7. Dadas. 0 . caso contrário atenda aos seguintes itens: • Calcule a Função de Transferência H(z) do SLIT. • Calcule a equação de diferença do SLIT.262 Capı́tulo 16. SLIT no domı́nio da freqüência 4. 8. caso contrário atenda aos seguintes itens: • Calcule a Função de Transferência H(z) do SLIT. Dada a resposta ao impulso rn sin(Ωn) .S. caso contrário atenda aos seguintes itens: • Calcule a Função de Transferência H(z) do SLIT. caso contrário atenda aos seguintes itens: • Calcule a Função de Transferência H(z) do SLIT. n ≥ 0 h[n] = . Dada a resposta ao impulso 1 3 .V. • Desenhe o diagrama de sistema do SLIT. 0 . caso contrário e n r sin(Ωn) . n ≥ 0 y[n] = . as seqüências de entrada e de saı́da de um SLIT n r cos(Ωn) . n ≥ 0 h[n] = . • Desenhe o diagrama de sistema do SLIT. Dada a resposta ao impulso rn cos(Ωn) . • Desenhe o diagrama de sistema do SLIT. • Calcule a equação de diferença do SLIT. . • Calcule a equação de diferença do SLIT. • Calcule a função resposta em freqüência do sistema.16) 12. • Esboce o diagrama de pólos e zeros (DPZ) do sistema. • Calcule a equação de diferença do sistema.04y[n − 2] = x[n] − 4x[n − 2] (16.10. • Esboce o Diagrama de Pólos e Zeros (DPZ) de H(z). 10. y[n] − 0. • Calcule a Função de Transferência H(z). Dado o sistema linear e invariante aodeslocamento (SLIT) definido pela função de trans- 1−0. atenda aos seguintes itens: • Calcule os zeros zz e os pólos zp da função de transferência do sistema. yRP [n] = y[n]|n→∞ .1 e y[−2] = 0.2. TET / UFF .16.16). a partir da equação de diferença. Dado o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT) definido pela equação de diferença y[n] − 0. para a entrada x[n] = 2 u[n]. • Calcule a resposta ao impulso do sistema.17). com y[−1] = 0. para a entrada x[n] = 3 u[n]. (b) Calcule a resposta ao estado do sistema yest [n].17) 13.7x[n − 1] + 0.5x[n] + x[n − 1] + 0. Dado o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT) definido pela Equação (16.06x[n − 2]. (c) Calcule a resposta total do sistema no regime permanente. Dado o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT) definido pela equação de diferença y[n] − 0. • Calcule a Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) da resposta ao impulso do sistema. y[n] = 0. • Esboce o gráfico h[n] × n. calcule a resposta total do sistema no regime permanente. 11.5x[n − 2] (16. Exercı́cios propostos 263 9. • Desenhe o diagrama de blocos básicos do SLIT relaxado no domı́nio z. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a função de transferência H(z) do sistema. com y[−1] = 0. Dado o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT) definido pela Equação (16.7y[n − 1] + 0. yRP [n] = ytot [n]|n→∞ . atenda aos seguintes itens: • Classifique o sistema em relação ao critério BIBO de estabilidade. • Apresente a função de transferência do sistema na forma de frações parciais.60z−1 +0. atenda aos seguintes itens: • Desenhe o diagrama de blocos básicos do SLIT relaxado no domı́nio n.06y[n − 2] = x[n] + 0.25z −1 ferência H(z) = (4) 1−0.08z−2 .15.04y[n − 1] = x[n]. (c) Apresente a função de transferência H(z) do sistema.264 Capı́tulo 16. 0. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule Função de Transferência H(z) do sistema.S. 0. 0.2y[n−1]−0. definido por y[n] − y[n − 1] = x[n − 1]. (d) Um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que o sistema em questão pode ser utilizado como um excelente filtro digital. SLIT no domı́nio da freqüência 14. 18. justificando-a matematicamente.1y[n − 1] = x[n]. Expresse sua opinião sobre tal afirmação.2. justificando-a matematicamente.6. 15. Repita o exercı́cio para x[n] = (−0.4. Dado o sistema linear e invariante ao deslocamento (SLIT). 17. 0. . 0. (c) Calcule a resposta particular do sistema yp [n]. Apresente a equação de diferença de cada SLIT causal definido pelos seguintes parâmetros: • K = 2.3.08y[n−2] = x[n]. definido por y[n] − y[n − 2] = x[n − 2]. para entrada e condições iniciais genéricas.1. com entrada x[n] = f [n] u[n] e saı́da y[n]. (c) Um aluno de Processamento Digital de Sinais garante que o sistema em questão pode ser utilizado como filtro digital. 0. Atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a resposta completa do sistema na forma Y (z) = Yent (z) + Yest (z).5. para condições iniciais genéricas.3. A. com y[−1] e y[−2] podendo assumir apenas valores reais finitos. (b) Calcule a resposta complementar do sistema yc [n]. Empregando um processo de análise no domı́nio da freqüência.7. zz = {0. Suponha o sistema descrito pela equação de diferença y[n]−0. onde x[n] = u[n] e y[−1] = 0. Suponha o sistema discreto descrito pela equação de diferença y[n] − 0. onde y[−1] = 0.5 e y[−2] = −0. (b) Esboce o gráfico de yest [n] × n do sistema. para entrada e condições iniciais genéricas. (b) Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a resposta homogênea do sistema yh [n].6} e zp = {0.1. com entrada x[n] = f [n] u[n] e saı́da y[n].4. 0. zz = {0. 16. Atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a resposta completa do sistema na forma Y (z) = Yent (z) + Yest (z).7}.5} e zp = {0. • K = 5. com y[−1] podendo assumir apenas valores reais finitos. Dado o Sistema Linear e Invariante ao Deslocamento (SLIT).3.2)n u[n]. 0.2.8}. Empregando um processo de análise no domı́nio da freqüência.V. Expresse sua opinião sobre tal afirmativa. 0. 0. (b) Apresente a função de transferência H(z) do sistema. (d) Apresente as equações de diferença para a realização desse sistema utilizando subsistemas de ordens inferiores. suponha a realização desse sistema utilizando subsistemas de ordens inferiores. y[n] − 0. NT (D) (b) Apresente o operador de transferência na forma T (D) = DT (D) .10. NT (D) (b) Apresente o operador de transferência na forma T (D) = DT (D) . atenda aos seguintes itens: (a) Apresente um Diagrama de Sistema. relaxado. Dado o SLIT definido por y[n]−y[n−1]+0. (d) Apresente as equações de diferença para a realização desse sistema utilizando subsistemas de ordens inferiores. (e) Apresente um Diagrama de Sistema. Dado o SLIT. Exercı́cios propostos 265 19. 20. Q (1−zm z−1 ) (c) Apresente o operador de transferência na forma T (D) = KC m (1−pm z −1 ) . no domı́nio da variável n. para cada um dos dois sistemas equivalentes. para o sistema em cascata.26x[n − 1]. relaxado.18). definido por y[n] − 0. calcule a função de transferência H(z) do sistema. TET / UFF . para o sistema original. para o sistema em paralelo. Dado o SLIT relaxado que é definido pela Equação (16. calcule a transformada Z da saı́da total do sistema. atenda aos seguintes itens: (a) Apresente um Diagrama de Sistema.4)x[n] + 0. (b) A partir de Ytot (z). Km P (c) Apresente o operador de transferência na forma T (D) = m (1−pm z −1 ) .6y[n − 1] + 0. no domı́nio da variável n. no domı́nio da variável n. arranjados na forma de uma conexão paralela. definido por y[n] − 0. justificando o cálculo. Dado o SLIT. para x[n] qualquer.08y[n − 2] = 6x[n] − 1.6x[n − 1] (16. para x[n] = Kd u[n]. (e) Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. arranjados de duas formas diferentes: i) conexão cascata e ii) conexão paralela. no domı́nio da variável n. com entrada x[n] = f [n] u[n]. (c) A partir de Ytot (z). (d) Calcule a resposta em freqüência H(ejΩ ) do sistema.6x[n − 1]. no domı́nio da variável n.18) 21. justificando o cálculo. y[−2] ∈ R.05y[n − 2] = (−0. 22. calcule a resposta total do sistema. Apresente um Diagrama de Sistema. arranjados na forma de uma conexão cascata.4y[n − 1] − 0. realizados por meio das citadas conexões.16y[n−2] = x[n]. na forma ytot [n] = yent [n] + yest [n]. para o sistema original. na forma Ytot (z) = Yent (z) + Yest (z).16.6y[n − 1] + 0.08y[n − 2] = 6x[n] − 1. (e) Apresente um Diagrama de Sistema. saı́da y[n] e condições iniciais y[−1]. atenda aos seguintes itens: (a) A partir da equação de diferença. 1 24. 11. 0. −0. proposto acima. (b) Dadas as operações soma. A2 . −0.6.266 Capı́tulo 16.2z −1 −0. atenda aos seguintes itens: (a) Desenhe o Diagrama de Sistema do SLIT relaxado. −2. Suponha o sinal analógico x(t) = 8 + 6cos(ω1 t) + 2cos(ω2 t). 0. f2 . −1. Suponha o sinal analógico x̃(t) = 3i=1 Ai ·cos(2πfi t+φi ). Atenda aos seguintes itens: • Apresente a equação que define x̃[n].2. 1. proposto acima. suponha que x̃[n] é aplicada na entrada de um SLIT. cuja DFT de 100 pontos é dada por |H[k]| = [0. 0.8. para o domı́nio da variável z. 9. atenda aos seguintes itens: (a) Calcule a resposta ao impulso h[n] do SLIT. 0. • Calcule a resposta forçada do sistema. 3. 0. 1]. . yf or (t). • Calcule o perı́odo fundamental de x̃[n]. calcule a H(z) do SLIT. 4. para 0 ≤ n ≤ 299. π3 ] rad. 3. com FS = 200 kHz.5. −1. −2. causal e estável. Suponha ainda que x[n] é aplicada na entrada de um sistema em tempo discreto. yf or [n]. em seguida. −π. definido por h[n]. para o domı́nio da variável n. 0. φ3 ] = [ π9 . sendo amostrado uniformemente a uma taxa de FS = 100 kHz. 0.0. 1. causal e estável. onde A = [A1 . no regime permanente.4.0.V. 26. cuja Discrete Fourier Transform (DFT) é definida por |H[k]| = {5. φ2 .6. − π4 . 4. 10.0. A. escalamento e deslocamento unitário. 6. } e 0 ≤ k ≤ 9. para o domı́nio da variável n. 0. 1. 1. linear e invariante ao deslocamento (SLIT). 1. f3 ] = [2. −3. (b) Dada a entrada x[n] = 5 u[n]. calcule a yest [n] do SLIT. 0. 3π . −3.3.0. 2. P f = [f1 . gerada a partir da amostragem uniforme de x̃(t). π .6. 3. 2. A3 ] = [6. que. −0. 8. (d) Apresente a definição da Função de Transferência H(z) do SLIT. SLIT no domı́nio da freqüência 23. na Forma Direta I. calcule a resposta ao estado Yest (z) e. para k = [0. − π2 .1. −3. 5. gera uma seqüência x[n]. − 3π 4 .0. π6 . 0.6] rad. apresente a funções equivalentes para o domı́nio da variável z.7.3. 7.08z −2 . (e) A partir do Diagrama de Sistema em z.8.9. justificando todas as etapas do cálculo. Dada a seqüência x̃[n]. na Forma Direta I. 20] kHz e φ = [φ1 . • Supondo que a saı́da y[n] do sistema é adequadamente interpolada. • Calcule o perı́odo fundamental de cada uma das componentes de x̃[n]. Dado o SLIT definido por y[n] + a1 y[n − 1] + a2 y[n − 2] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2]. (f) A partir do Diagrama de Sistema em z. 10. Dado o SLIT definido pela Função de Transferência H(z) = 1−0. calcule a resposta à entrada yent [n] do SLIT. onde f1 = 10 kHz e f2 = 30 kHz. ∠H[k] = {0. −1. 25. −2.8. π. (c) Desenhe o Diagrama de Sistema do SLIT relaxado. 0. 1.S. para 0 ≤ n ≤ 299. calcule a resposta forçada do sistema. Justifique todas as etapas do cálculo. 0] e ∠H[k] = [0. 3. 4}. com entrada x[n] e saı́da y[n]. 12]. Calcule a resposta y[n] do 4 2 4 sistema. π . calcule a transformada Z da saı́da total do sistema. Desenhe o diagrama de sistema do SLIT relaxado. TET / UFF . calcule a H(z) do SLIT. Dada a entrada x[n] = u[n]. expandida em frações parciais. A partir do diagrama proposto para o dominio z. 28. A partir da equação de diferença. calcule a resposta à entrada yent [n] do sistema. A partir do diagrama proposto para o dominio n. iii. iii. ii. Um aluno de Processamento Digital de Sinais possui dois sistemas que apresentam Resposta em Freqüência com um perfil básico de seletividade em freqüência. iv. na Forma Direta I. para x[n] = u[n]. para o domı́nio da variável z. calcule a H(z) do sistema. ele consegue realizar um sistema que apresente uma Resposta em Freqüência com o seguinte perfil: a) passa-banda (ou passa-faixa) e b) rejeita-banda (ou rejeita-faixa). na forma Ytot (z) = Yent (z) + Yest (z). Calcule todas as singularidades (zeros zz e pólos zp ) da H(z) do sistema. ii. O aluno garante que. na faixa 0 < Ω < π. Calcule a função resposta em freqüência do sistema. De posse das singularidades da H(z). na Forma Direta I. iv. De posse das singularidades da H(z). (c) Cálculo das singularidades i. ii. Para facilitar a visualização. ii. saı́da y[n] e condições iniciais y[−1]. v. A partir de Ytot (z). Apresente a definição da Função de Transferência H(z) do sistema. desenhe o cı́rculo de raio unitário. atenda aos seguintes itens: (a) Emprego da equação de diferença i. (b) Emprego do diagrama de sistema i. para o domı́nio da variável n. Ambos possuem uma freqüência de corte ΩC programável.21y[n−2] = x[n]. iii. Justifique o cálculo. para x[n] = u[n].10. Um deles é um passa-baixas e o outro é um passa-altas. apresente a transformada Z da saı́da total do sistema. calculada acima.16. na forma Ytot (z) = Ynat (z) + Yf or (z). expandida em frações parciais. na forma Ytot (z) = Yent (z) + Yest (z). Calcule a resposta ao impulso h[n] do sistema. Você concorda com ele? Justifique !!!. Dado o SLIT definido por y[n]−y[n−1]+0. desenhe o diagrama de sistema do SLIT relaxado. Esboce o diagrama de pólos e zeros (DPZ) do sistema. bem como utilize o sı́mbolo “O” para zeros e o sı́mbolo “X” para pólos. Exercı́cios propostos 267 27. y[−2] ∈ R. por meio de um arranjo em cascata desses dois sistemas. utilizando condições iniciais genéricas y[−1] e y[−2]. (d) Cálculos relativos à saı́da i. com entrada x[n] = f [n] u[n]. Calcule a resposta ao estado yest [n] do sistema. apresente a transformada Z da saı́da total do sistema. Apresente a função de transferência do sistema expandida em frações parciais. iii. .S. SLIT no domı́nio da freqüência A.268 Capı́tulo 16.V. Parte VII Apêndices 269 . . b) + (c. d). d) ⇐⇒ (ac − bd. existe um isomorfismo entre R0 e R. A. de R2 : 1) igualdade: (a. 271 . b) ∈ C | b = 0} .Apêndice A Revisão de números complexos A. Logo.2. b) = (c. y ∈ R e as definições (1) – (3) são válidas } .1 Definição do corpo dos números complexos Dados R → conjunto dos números reais R × R = R2 → produto cartesiano R2 = {(x. de tal forma que x = (x. b + d) 3) multiplicação: (a. ad + bc) pode-se definir C → conjunto dos números complexos z ∈ C → número complexo C = {z = (x. pode-se mostrar que operar com o número complexo (x. y) | x ∈ R. d) ⇐⇒ a=c e b=d 2) adição: (a.1 Forma algébrica ou retangular Considerando-se o subconjunto R0 = {(a. y) | x ∈ R e y ∈ R} e supondo-se as seguintes definições. b) · (c. ∀x ∈ R e R⊂C. 0) é equivalente a operar com o número real x. envolvendo os elementos (a. 0). b) e (c. d) ⇐⇒ (a + c.2 Representações dos números complexos A. y) = 0 + y · i = y · i (y 6= 0) . 0) · (0. Assim. z = (x. que i4n = 1. 2·i A. 0) + (0. 1) = x·1+y·i = x+y·i . 0) e definindo-se o número complexo i = (0. para n ∈ N.V. 0) = −1 e. i4n+2 = −1 . 0) + (y. 1) como a unidade imaginária. pode-se mostrar que z = z ∗ ⇐⇒ z ∈ R . −y) = x + (−y) · i . 1) · (0.272 Apêndice A. definir a seguinte nomenclatura: Número complexo → z = (x. y) = (x. 0) · (1. . 1) = (−1. y) = (x. um número complexo qualquer z pode ser escrito na seguinte forma algébrica. (z1 · z2 )∗ = z1∗ · z2∗ . i4n+1 = i. i4n+3 = −i . z + z∗ x = Re{z} = 2 e z − z∗ y = Im{z} = . Neste caso. (z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗ . Pode-se. de forma geral. y) = x + y · i Número real (puro) → z = (x. então.2 Números complexos conjugados Os números complexos z e z ∗ são ditos complexos conjugados se. onde x = Re{z} é a parte real de z e y = Im{z} é a parte imaginária de z. 0) = x + 0 · i = x Número imaginário (puro) → z = (0.S.2. denominada forma retangular: z = (x. e somente se. tem-se que i2 = i · i = (0. y) = x + y · i ⇐⇒ z ∗ = (x. Revisão de números complexos Levando-se em consideração a unidade real 1 = (1. A. A. para z = 0. para z 6= 0. Deve-se notar que existem infinitos ângulos congruentes a um valor principal 0 ≤ Θ < 2π. Ele é exemplificado na Figura A. 0y é o eixo imaginário. 0x é o eixo real.2. y) é um número complexo. TET / UFF . Representações dos números complexos 273 A. k∈N. x0y é o plano cartesiano de Argand-Gauss.1: Plano de Argand-Gauss. respectivamente.3 Forma trigonométrica ou polar Os números complexos também podem ser interpretados como pontos de um plano cartesiano. r |z| x Re{z} cos Θ = = r |z| e y Im{z} tan Θ = = . y) = x + y · i = r · (cos Θ + i · sin Θ) e que.2.1) Portanto. tal que y Im{z} sin Θ = = . x Re{z} Logo. que são Θk = (Θ ± k · 2π) . O argumento (principal) de z 6= 0 é dado pelo ângulo Θ. (A. pode-se dizer que um número complexo z 6= 0 possui infinitos argumentos Θk e que 0 ≤ Θ < 2π é o seu argumento principal. por N (z) = z · z ∗ = x2 + y 2 e p p |z| = N (z) = x2 + y 2 = r . r = 0 e Θ é indefinido. denominado Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss. onde: z = (x.1. Figura A. pode-se escrever que z = (x. y) é o afixo de z. A norma N e o módulo (ou valor absoluto) de z são dados. P = (x. exponencial e logaritmo. pode-se escrever as seguintes relações: z = (x. A. y) = x + y · i = r · (cos Θ + i · sin Θ) = r · eiΘ .3 Operações com números complexos A seguir. No caso particular de Θ = π. −y) = x − y · i = r · (cos Θ − i · sin Θ) = r · e−iΘ . p p r = |z| = N (z) = x2 + y 2 . 2·i A.2. . z∗ (z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗ . tem-se ainda as seguintes identidades: z · z ∗ = N (z) = |z|2 = r2 . tem-se a fórmula de Euler. radiciação. divisão. Definindo-se z ∗ = (x. a identidade de Euler fornece e±iΘ = (cos Θ ± i · sin Θ) .S. multiplicação.4 Fórmula de Euler Dado um ângulo Θ. Revisão de números complexos A. subtração. potenciação. Im{z} y Θ = arg(z) = arctan = arctan Re{z} x e i2 = −1 . z + z∗ x = Re{z} = 2 e z − z∗ y = Im{z} = . pode-se escrever π e±i 2 = ±i .2.5 Resumo das representações Com base nas representações descritas acima. (z1 · z2 )∗ = z1∗ · z2∗ . A.V.274 Apêndice A. z = 1 · ei2Θ . Para Θ = ± π2 . são resumidas as operações básicas sobre números complexos: adição. definida por eiπ = −1 . z2 z2 z2 |z2 | No caso dos números expressos na forma polar.3.3. Dados z1 = x1 + y1 · i = r1 · eiΘ1 e z2 = x2 + y2 · i = r2 · eiΘ2 . através do complexo conjugado do denominador. a multiplicação é calculada por zm = z1 · z2 = (x1 · x2 − y1 · y2 ) + (x1 · y2 + x2 · y1 ) · i .2 Multiplicação e divisão Para números complexos expressos na forma retangular. Exemplificando.1 Adição e subtração Conforme a própria definição dos números complexos. z2 (r2 · e ) 2 r2 TET / UFF . dados z1 = x1 + y1 · i e z2 = x2 + y2 · i . Para o cálculo da divisão.A. Dados z1 = x1 + y1 · i e z2 = x2 + y2 · i . dados z1 = x1 + y1 · i e z2 = x2 + y2 · i . as operações de adição e subtração realizam-se através da adição/subtração de suas partes real e imaginária. a divisão é realizada da seguinte forma: z1 1 z∗ z∗ zd = = z1 · · 2∗ = z1 · 2 2 . A. respectivamente.3. para z2 6= 0 . Por isso. é preferı́vel que se os represente na forma retangular. por zm = z1 · z2 = r1 · eiΘ1 · r2 · eiΘ2 = (r1 · r2 ) · ei(Θ1 +Θ2 ) e r1 · eiΘ1 z1 r1 zd = = iΘ = · ei(Θ1 −Θ2 ) . onde z2 6= 0. obtém-se a multiplicação e a divisão. Operações com números complexos 275 A. a multiplicação é realizada conforme a própria definição dos números complexos. os cálculos são extremamente simplificados. é mais prático transformá-la em uma multiplicação. Exemplificando. tem-se que za = z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) · i e zs = z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) · i . que pode ser resumida em 1 Θ 2π Θ 2π zk = r · ei(Θ+k·2π) N = r N · ei( N +k· N ) = r N · ei( N +(k±m·N )· N ) = zk±m·N . (A. conhecido como 1a fórmula de Moivre: z k = (x + y · i)k k = r · eiΘ = rk · eikΘ = rk · (cos kΘ + i · sin kΘ) . A. O ponto inicial possui Θ ângulo Θ0 = N rad. deseja-se calcular o conjunto de N valores √ 1 1 1 Θ zk = N z = z N = r · eiΘ N = r N · ei N . · · · . mostra que as N raı́zes distintas de um número complexo não nulo z = r · eiΘ encontram-se uniformemente distribuı́das em um 1 cı́rculo com centro na origem do plano complexo e com raio igual a r N . 1 1 (A.S. (N − 1) e m ∈ N. Dado o número complexo não nulo z = x + y · i = r · eiΘ . Os pontos seguintes são separados por intervalos angulares de 2π N rad. .3 Potenciação Assim como nas operações de multiplicação e divisão. · · · . . Tal problema é equivalente a resolver a seguinte equação: zkN − r · eiΘ = 0 . A Equação (A.2) que.3) onde k = 0. 2.. 2. é muito mais conveniente realizar a operação de potenciação expressando-se os números complexos na forma polar.3). . 1. 1. 1. o cálculo é realizado do seguinte modo. sendo de ordem N . 2.2). N1 Θ 2π Θ 2π = r N · ei( N +(N −2)· N ) = r N · ei( N +(−2)· N ) 1 1 z(N −2) = r · ei(Θ+(N −2)·2π) = z−2 N1 Θ 2π Θ 2π = r N · ei( N +(N −1)· N ) = r N · ei( N +(−1)· N ) 1 1 i(Θ+(N −1)·2π) z(N −1) = r·e = z−1 1 Θ 2π Θ 2π = r N · ei( N +N · N ) = r N · ei( N +0· N ) 1 1 z(N ) = r · ei(Θ+N ·2π) N = z0 1 Θ 2π Θ 2π = r N · ei( N +(N +1)· N ) = r N · ei( N +1· N ) 1 1 z(N +1) = r · ei(Θ+(N +1)·2π) N = z1 1 Θ i( N +(N +2)· 2π Θ +2· 2π N ) 1 1 i( N N ) z(N +2) = r · ei(Θ+(N +2)·2π) N = r N ·e = r N ·e = z2 .4 Radiciação Na operação de radiciação também é mais conveniente que se utilize a forma polar. (N − 1) . (N − 1) . obtém-se a seguinte seqüência infinita de N raı́zes distintas: ..3. k = 0. k = 0. deve possuir N raı́zes..276 Apêndice A. A.1) em (A. · · · . Neste caso.V. Revisão de números complexos A.3. conhecida como 2a fórmula de Moivre. N1 Θ 2π = r N · ei( N +(−2)· N ) 1 z−2 = r · ei(Θ+(−2)·2π) N1 Θ 2π = r N · ei( N +(−1)· N ) 1 z−1 = r · ei(Θ+(−1)·2π) 1 Θ 2π = r N · ei( N +0· N ) 1 z0 = r · ei(Θ+0·2π) N 1 Θ 2π = r N · ei( N +1· N ) 1 z1 = r · ei(Θ+1·2π) N 1 Θ 2π = r N · ei( N +2· N ) 1 z2 = r · ei(Θ+2·2π) N . . Aplicando-se (A. · · · . onde an . é muito mais conveniente realizar a oper- ação de exponenciação expressando-se os números complexos na forma retangular. são denominadas equações trinômias. Para realizar a operação de logaritmo também é mais conveniente expressar os números complexos na forma polar. A.3. log2(·). Por vezes. a2n 6= 0. Equações desse tipo admitem 2n raı́zes distintas. k = 0. Alternativamente. (n − 1) . A. o logaritmo natural (base e) é representado por ln(·). são denominadas equações binômias. o cálculo é realizado do seguinte modo: exp(z) = ez = e(x+y·i) = (ex ) · ei(y) = (ex ) · (cos(y) + i · sin(y)) . deve-se fazer z n = x. an . log10 (·) e log2 (·). a0 ∈ C. o logaritmo natural (base e) é representado por log(·). Por exemplo: log10(·). o logaritmo comum (base 10) é representado por log(·) e os logaritmos de outras bases são representados por log 0 base0 (·) ou log0 base0 (·). O cálculo é realizado da seguinte forma: ln(z) = ln (x + y · i) = ln r · eiΘ = ln r · ei(Θ±k·2π) = ln(r) + Θ · i . TET / UFF . an 6= 0 e n ∈ N. Operações com números complexos 277 Equações binômias As equações na forma an z n + a0 = 0 . enquanto o logaritmo comum (base 10) e os logaritmos de outras bases são representados por log 0 base0 (·) ou log0 base0 (·). onde a2n . calculadas por r a0 zk = n − . obtendo-se a2n x2 + an x + a0 = 0 . an Equações trinômias As equações na forma a2n z 2n + an z n + a0 = 0 . Resolvendo-se as equações binômias z n = x1 e z n = x2 .3. onde k ∈ N e 0 ≤ Θ < 2π é argumento principal. 1.5 Exponencial (base e) Assim como nas operações de adição e subtração. inicialmente. Equações desse tipo admitem n raı́zes distintas.A.6 Logaritmo (base e) É bom ressaltar que encontram-se algumas notações diferentes para logaritmos. Para calculá-las. Neste caso. que possui raı́zes x1 e x2 . a0 ∈ C. an 6= 0 e n ∈ N.3. 2. determinam-se as 2n raı́zes distintas da equação trinômia. V. Revisão de números complexos A. com mais detalhes.4 Referências Os tópicos abordados neste capı́tulo podem ser encontrados. em [IMD+ 85].S.278 Apêndice A. A. . (B.4 Congruência Dois números inteiros c1 e c2 são ditos congruentes.Apêndice B Tópicos sobre divisão entre números inteiros B. tal que c = Q · d + r.1) 279 . módulo d. existe um único par de inteiros Q (quociente) e r (resto).1 Algoritmo de divisão entre números inteiros Teorema (Divisão com resto): Para cada inteiro c (dividendo) e cada inteiro positivo d (divisor).2 Quociente O quociente pode ser descrito por jck Q= . que representa o maior inteiro menor que x. quando d divide exatamente (exactly divides ou evenly divides) a diferença (c1 − c2 ). d onde bxc é a função f loor(x). B.3 Resto Algumas notações comuns para o resto da divisão de c por d são r = Rd [c] = ((c)) . o que pode ser descrito por c1 ≡ c2 (mod d) . B. onde 0 ≤ |r| < d. B. (c1 − c2 ) Q= d ou c1 = Q · d + c2 . S. d < 0 e c1 > 0 → c1 = (−|Q|) · (−|d|) + rp → r = (−|d|) + rp e d < 0 e c1 < 0 → −|c1 | = Q · (−|d|) + (−|rn |) → r = −|rn | . – Equivalência: se R é reflexiva. • A relação R é definida como o conjunto de todos os pares ordenados que possuem a propriedade em questão. Tópicos sobre divisão entre números inteiros Quando c1 e d são inteiros positivos e 0 ≤ c2 < d. as operações de adição e multiplicação entre números inteiros. simétrica e transitiva. o cálculo do (menor) resı́duo r de c1 . – Transitividade: se (xRy e yRz) → xRz.1) pode ser reescrita como c1 = Q · d + r . módulo d. o que é simbolizado por xRy. de tal forma que x ou y possam representar qualquer elemento do conjunto. Por outro lado. então R é reflexiva. y) possui uma propriedade R que os relaciona.V.5 Relações de equivalência • Quando um par ordenado de elementos (x. • Pode-se demonstrar que a congruência é uma relação de equivalência. pode-se dizer que “x é R-relacionado com y”. – Simetria: se yRx ↔ xRy. então R é transitiva. . • Classificação das relações: – Reflexividade: se xRx é válida para qualquer x.6 Relações úteis Teorema: Para um mesmo número inteiro positivo d. A. uma vez que: – c1 ≡ c1 (mod d) – c1 ≡ c2 → c2 ≡ c1 (mod d) – c1 ≡ c2 e c2 ≡ c3 → c1 ≡ c3 (mod d) B. então R é simétrica. módulo d. B. onde o resto r da divisão inteira é denominado (o menor) resı́duo de c1 . • Pode-se assumir que R é uma relação definida sobre um conjunto de elementos.280 Apêndice B. a Equação (B. considerando-se que c1 e d são inteiros quaisquer. d > 0 e c1 < 0 → −|c1 | = (−|Q|) · d + (−|rn |) → r = d + (−|rn |) . respectivamente. é dado por d > 0 e c 1 > 0 → c 1 = Q · d + rp → r = rp . então R é uma relação de equivalência. (i) Rd [a + b] = Rd [Rd [a] + Rd [b]] (ii) Rd [a · b] = Rd [Rd [a] · Rd [b]] onde + e · denotam. B. Finalmente. tem-se que a(lc)4 ≡ a(n)10 . l.4) No exemplo onde L = C = 4. 0 ≤ c ≤ (C − 1) e 0 ≤ n ≤ (LC − 1). obter n a partir da tripla (C. (B. as relações são redefinidas. c) a partir da dupla (C. de acordo com uma forma alternativa de indexação.7. dada a tripla (C.7. c).1 Formas de indexação em arranjos matriciais Nos arranjos matriciais retangulares (L×C). os ı́ndices são interpretados segundo diferentes sistemas de numeração.3)     a30 a31 a32 a33 a12 a13 a14 a15 B.3 Relação entre indexação e cálculo modular Utilizando-se o cálculo modular.2 Relação entre indexação e sistema de numeração Observando-se as Equações (B. sistemas de numeração e cálculo modular em arranjos matriciais. a Equação (B. são apresentadas duas formas de indexação em arranjos matriciais. Em seguida. assim como obter a dupla (l. Por exemplo.6) TET / UFF . são discutidas algumas relações entre indexação. c).7. os seus elementos podem ser indexados através de uma referência dupla. Baseado nessa interpretação.7. (B.2) pode ser reescrita como a(lc)C ≡ a(n)10 .2) onde 0 ≤ l ≤ (L − 1). o valor de n é dado por n = (Número de módulos completos · quantidade por módulo) + (Deslocamento dentro do módulo final) e pode-se dizer que n≡c (mod C) .7 Indexação em arranjos matriciais A seguir. (B.5) Portanto. pode ser interpretado como um problema de conversão entre bases em um SNPC. (B. pode-se calcular n por meio de n = (l · C) + c .B. pode-se indexá-la das seguintes formas equivalentes:     a00 a01 a02 a03 a0 a1 a2 a3  a10 a11 a12 a13   a4 a5 a6 a7   a20 a21 a22 a23  ≡  a8 a9 a10 a11  . de tal forma que a(lc) ≡ a(n) . B.3). n). para uma matriz onde L = C = 4. Inicialmente. Uma interpretação dos ı́ndices segundo o cálculo modular também é apresentada. um com base b = C e outro com base b = 10. a um único número. ambos os tipos de indexação podem ser interpretados como um arranjo estruturado de números naturais representados por dois diferentes Sistemas de Numeração Posicional Convencional (SNPC). (B. ou por meio de uma referência simples.2) e (B. l. Indexação em arranjos matriciais 281 B. à linha e à coluna. Assim. 2) e (B.282 Apêndice B. c) podem ser calculados por n   c = rem C (B.3) podem ser respectivamente reescritas como a(l0 c0 ) ≡ a(n0 ) (B. (B. definida por D r D = (q · d) + r ←→ =q+ .8) l = (n−c)  C ou  n  l = int C .12) 0 c = c −1  pode-se calcular n e.13) Por outro lado.7.V.14) pode-se calcular a dupla (l. (B. (B. pode-se obter n = n0 − 1 . dada a dupla (C. . finalmente. pode-se chegar em  0  l = l+1 . dados l0 e c0 .15)  0 c = c+1 A. c) e.9) c = n − (l · C)  onde rem (·) e int (·) representam. respectivamente. pode-se obter   l = l0 − 1 . dado n0 . Dessa forma. as Equações (B. (B.7) d d onde n = D (dividendo). pode-se chegar em n0 = n + 1 .10) e     a11 a12 a13 a14 a1 a2 a3 a4  a21 a22 a23 a24    a5 a6 a7 a8    a31 ≡   . n). o resto e a parte inteira da divisão inteira em (·). 1 ≤ c0 ≤ C e 1 ≤ n0 ≤ LC. l = q (quociente).4 Formas alternativas de indexação em arranjos matriciais Em uma forma alternativa. C = d (divisor) e c = r (resto). (B. Tópicos sobre divisão entre números inteiros A Equação (B. onde 1 ≤ l0 ≤ L.6) pode ser interpretada como a divisão entre números inteiros.11) a32 a33 a34   a9 a10 a11 a12  a41 a42 a43 a44 a13 a14 a15 a16 Nesse caso. (B. os valores da dupla (l. finalmente. (B. B.S. A partir das faixas definidas.2 Amostragem uniforme O processo de geração de um sinal discreto no tempo. C.1 Introdução • A geração de um sinal discreto no tempo através da amostragem de um sinal analógico pode produzir um efeito que recebe as seguintes denominações: superposição de freqüên- cias. • Por outro lado. o efeito causa uma distorção no sinal. • Do ponto de vista da geração de sinal discreto. superposição espectral ou aliasing. • A ocorrência de aliasing é controlada por uma determinada relação entre a freqüência de um sinal senoidal analógico e a freqüência de amostragem. gera-se uma ambigüidade na representação de sinais analógicos por sinais discretos. através de uma amostragem uniforme com perı́odo TS . se for usado adequadamente. são ressaltadas as duas análises possı́veis para o problema de aliasing. o efeito faz com que um sinal analógico de alta freqüência seja interpretado como um sinal discreto de baixa freqüência. A ambigüidade entre sinais senoidais discretos no tempo é apresentada. Por fim. são apresentadas as relações de ambigüidade na representação de sinais senoidais analógicos por suas amostras. • Em sinais compostos por diversos sinais senoidais. considerando-se um processo de amostragem uniforme. • Dessa forma. (C.1) 283 . definindo-se faixas especı́ficas de freqüência discreta (ângulos) para cada superposição de sinais. bem como é destacado o escalamento entre elas. pode ser descrito por x[n] = xa (nTS ) = xa (t)|t=nTS . esse efeito pode ser utilizado como uma técnica de demodulação de sinais discretos no tempo. isso pode ser visto como um problema. • Em sinais senoidais. a partir de um sinal analógico. são definidas as relações entre as variáveis analógicas e discretas.Apêndice C Aliasing C. superposição de sinais senoidais. • A seguir. −π. para Ω1 6= Ω2 .6) 2 2 2 2 Ω = [· · · .8) Uma vez que a freqüência discreta Ω é um ângulo. a taxa ou freqüência de amostragem FS e a freqüência (angular) discreta Ω. Caso contrário.4) estabelecem uma relação entre a freqüência (cı́clica) analógica f . −4π. 2FS . FS .284 Apêndice C. −FS . . −3π.4) obtém-se: 2π Ω = (TS )ω = (TS )2πf = (2πTS )f = f .4 Equivalência entre valores analógicos e discretos De (C. 4π.2) a (C. a qual é apresentada em (C.5) FS C. pode-se estabelecer a relação de equivalência entre os valores de freqüência analógi- cos e discretos. −2π. o que gera ambigüidade em amplitude e em ângulo de fase.2) 1 TS = . (C. (C.3 Relações entre variáveis analógicas e discretas As Equações (C. as seqüências senoidais do tipo x[n] = cos(Ωn) são distintas para freqüências Ω tomadas de tal forma que 0 ≤ Ω < π. · · ·] . (C. . Portanto. o que gera ambigüidade em freqüência. −3 . A. dependendo da faixa de freqüência utilizada. 2π. Aliasing C. • Faixa 4 (Ω > 2π): xK [n] = cos((Ω + K2π)n) = cos(Ωn) = x0 [n]. ω = 2πf . utilizando-se a relação A0 · cos(Ω0 n ∓ Θ0 ) = (A0 ) · cos(Θ0 ) · cos(Ω0 n) + (±A0 ) · sin(Θ0 ) · sin(Ω0 n) . −2FS . 0.4) De (C. ocorrerão ambigüidades entre os sinais. (C.6) a (C. podem-se verificar ambigüidades na representação de sinais senoidais discretos. Assim: • Faixa 1 (0 ≤ Ω < π): x1 [n] = cos(Ω1 n) 6= x2 [n] = cos(Ω2 n). · · ·] . − .7).3) FS Ω = ωTS . π. (C.V. o que gera ambigüidade em freqüência.5 Ambigüidade entre sinais discretos no tempo Um sinal senoidal genérico pode ser decomposto em componentes ortogonais. (C. o que representa ausência de ambigüidades.7) C. • Faixa 2 (Ω = π): A0 · cos(πn ∓ Θ0 ) = (A0 ) · cos(Θ0 ) · cos(πn) = (A00 ) · cos(πn). 0. Tal caracterı́stica dos sinais discretos tem influência na amostragem dos sinais contı́nuos.2) a (C.S. para Ω34 = −Ω12 .5). • Faixa 3 (π < Ω ≤ 2π): x34 [n] = cos(Ω34 n) = cos(−Ω12 n) = cos(Ω12 n) = x12 [n]. FS FS FS FS f = [· · · . 3π. 3 . o que é discutido nos itens que se seguem. (C. e a correspondende faixa de freqüência analógica FS 0 ≤ f0 < . C. k = 0. a relação de ambigüidade em freqüência é dada por xa (t) = cos(2πfk t) ↔ x[n] = cos(Ωk n) = cos(Ω0 n) ↔ cos(2πf0 t) 6= xa (t) .6 Amostragem sem ambigüidade Dada a faixa de freqüência discreta 0 ≤ Ω0 < π .C. 2 pode-se estabelecer a seguinte correspondência biunı́voca entre sinais senoidais analógicos e discretos: xa (t) = cos(2πf0 t) ↔ x[n] = cos(Ω0 n) . Dessa forma. para k > 0.7. 3. considerando-se um sinal analógico composto por diversos sinais senoidais. 3. 1. 2 garante a representação correta do sinal analógico pelo seu correspondente discreto e é conhecida como Teorema da Amostragem (Nyquist-1928 × Shannon-1949).8). a relação de ambigüidade em amplitude e ângulo de fase é dada por xa (t) = cos(2πf0 t + Θ0 ) ↔ x[n] = cos(Ω0 n + Θ0 ) = cos(Θ0 )cos(Ω0 n) ↔ cos(Θ0 )cos(2πf0 t) 6= xa (t) . e as correspondentes freqüências analógicas FS fk = (2k + 1) . a relação FS 0 ≤ fM AX < . onde fM AX representa a maior freqüência envolvida. · · · . Por sua vez. k = 0. 2.1 Freqüências múltiplas de Ω = π Dadas as freqüências discretas Ωk = (2k + 1)π . TET / UFF . Para k = 0 e utilizando-se (C. 2.7 Amostragem com ambigüidade C.6. Amostragem sem ambigüidade 285 C. · · · . 2 podem ser definidos dois tipos de ambigüidade na representação de sinais senoidais analógicos por sinais senoidais discretos: i) em amplitude e ângulo de fase e ii) em freqüência. 1. as faixas de freqüência de superposição de sinais analógicos gerada por freqüências discretas nos 1o e 2o quadrantes são FS 1 kFS ≤ fk < kFS + = k+ FS . 2. · · · . 2. k = 0.V. 3. k = 0.3 Freqüências em 3o e 4o quadrantes Dadas as freqüências na faixa de ausência de ambigüidade 0 ≤ Ω0 < π e as freqüências de 3o e 4o quadrantes Ω00 = (2π − Ω0 ) e Ω0k = (k2π) + (Ω00 ) = (k2π) + (2π − Ω0 ) = ((k + 1)2π − Ω0 ) . . a ambigüidade entre representações ocorre para as seguintes freqüências: Ωk = k2π + Ω0 ωk TS = k2π + ω0 TS 2πfk TS = k2π + 2πf0 TS 1 2πfk = k2π + 2πf0 TS fk = kFS + f0 .S.2 Freqüências em 1o e 2o quadrantes Dadas as freqüências na faixa de ausência de ambigüidade 0 ≤ Ω0 < π e as freqüências de 1o e 2o quadrantes Ωk = (k2π + Ω0 ) . pode-se estabelecer a seguinte relação de ambigüidade em freqüência xa (t) = cos(2πfk0 t) ↔ x[n] = cos(Ω0k n) = cos (((k + 1)2π − Ω0 )n) = cos(Ω0 n) ↔ cos(2πf0 t) 6= xa (t) . 1. 3. A. 2 2 C. k = 0. · · · .7.7. · · · .286 Apêndice C. Aliasing C. Portanto. 1. 2. pode-se estabelecer a seguinte relação de ambigüidade em freqüência xa (t) = cos(2πfk t) ↔ x[n] = cos(Ωk n) = cos ((k2π + Ω0 )n) = cos(Ω0 n) ↔ cos(2πf0 t) 6= xa (t) . 1. Utilizando-se as relações entre as variáveis analógicas e discretas. 3. qual o efeito sobre os diversos sinais senoidais analógicos xk (t) = cos(ωk t) ? • Dadas as diversas freqüências de amostragem FSk . 1. Análises importantes 287 Utilizando-se as relações entre as variáveis analógicas e discretas. amostrado com uma determinada freqüência de amostragem FS : • Dada uma mesma freqüência de amostragem FS . 2.C. · · · . 2 C. qual o efeito sobre o mesmo sinal senoidal analógico x(t) = cos(ωt) ? TET / UFF . 3. k = 0. a ambigüidade entre representações ocorre para as seguintes freqüências: fk0 = (k + 1)FS − f0 . as faixas de freqüência de superposição de sinais analógicos gerada por freqüências discretas nos 3o e 4o quadrantes são 0 1 (k + 1)FS ≥ fk > k + FS . considerando-se um sinal senoidal analógico x(t).8 Análises importantes Duas análises podem ser realizadas. Portanto.8. Aliasing A.288 Apêndice C.S.V. . aproveitando os resultados de yD0 [n] e de yD1 [n].2) e y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] .1). as quais pode ser denominadas y[n]. para as seguintes entradas: δ[n]. – Calcular as respostas do sistema relaxado (y[n] = 0. são efetuados os cálculos para as respostas relativas às entradas especificadas. para o sistema descrito pela Eq. é efetuado o cálculo da solução da equação homogênea.Apêndice D Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem D. (D. as quais podem ser denominadas yD1 [n]. • Em seguida.3) – Dada a condição inicial (ou condição auxiliar): y[−1]. • Inicialmente. ejΩ0 n u[n] e cos(Ω0 n) u[n]. z n u[n]. n < 0). as quais pode ser denominadas yD0 [n].1) y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1] (D. para x[n] = 0. são utilizadasaspropriedades de invariância no tempo e de homogeneidade de um SLIT: yD1 [n] = bb01 yD0 [n − 1]. (D. (D. são efetuados os cálculos para as respostas do sistema descrito pela Eq. Para tal. u[n].1 Introdução • Aqui são apresentados exemplos de cálculo das respostas de SLITs. de primeira ordem. (D.2). é utilizada a propriedade de linearidade de um SLIT: y[n] = yD0 [n] + yD1 [n]. são efetuados os cálculos para as respostas do sistema descrito pela Eq. (D.3). Para tal. 289 . • Finalmente. • O problema envolvido nos cálculos é: – Dados os sistemas descritos por: y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] . • Aproveitando os resultados de yD0 [n]. os quais são descritos por equações de diferença lineares. – Calcular a solução da equação homogênea: yh [n] = y[n] u[n]. com coeficientes constantes. Para calcular o efeito de diversas causas simultâneas.2. Por um lado. D. Dado que a equação é linear. Logo. a solução pode ser ponderada por uma constante Kh . provocada por sinais desconhecidos.S. o que provoca a condição auxiliar y[N0 − 1]. a parte recursiva do processo provoca a acumulação e a recombinação do sinal x[n]. Finalmente. o processo de solução ainda pode ser subdividido em duas partes. pode-se propor uma solução complementar. o problema é dividido em duas partes. pode-se facilitar o problema. buscando-se resolver a equação para n ≥ 0. D. aplica-se um sinal conhecido x[n]. Por sua vez. submetida a uma condição auxiliar y[−1] não nula. de primeira ordem e com coeficientes constantes. para sinais xd [n] desconhecidos. com condição auxiliar y[−1] não nula. do tipo yp [n] = Kp x[n] . No caso em questão. é obtida a solução da equação não homogênea. Em seguida. provocada isoladamente pela condição auxiliar. Assim. será utilizada uma técnica semelhante àquela empregada na solução de uma equação diferencial linear. Inicialmente. Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem D. a solução completa é definida pela soma das soluções anteriores.2 Solução da equação não homogênea Considerando-se a equação não homogênea. Pode-se pensar que a aplicação do sinal x[n] provoca dois efeitos. O efeito causado pela parte não recursiva é um simples escalamento do sinal. pode-se propor que a solução da equação homogênea seja da forma yh [n] = Kh ysol [n] u[n] . Portanto. e ii) o sinal conhecido x[n] = f [n] u[n].1 Solução da equação homogênea Dada uma equação de diferença linear. Uma vez que a equação possui coeficientes constantes. do tipo yc [n] = Kc yh [n] . a equação homogênea é aquela obtida ao se fazer x[n] = 0. pode-se pensar em duas influências isoladas: i) a condição auxiliar y[−1]. de primeira ordem e com coeficientes constantes. Portanto. é uma sequência ysol [n] u[n] que segue a regra de comportamento definida por essa equação. para n ≥ N0 .2. A solução para a equação homogênea. é encontrada a solução da equação homogênea. basta combinar os efeitos provocados por cada uma delas. A fim de atender a uma condição auxiliar y[−1] qualquer. pode-se propor uma solução particular ao sinal. de primeira ordem e com coeficientes constantes. Essa é a mesma dinâmica que ocorre na resposta da equação homogênea. para n ≥ 0. submetida a uma condição auxiliar y[−1] nula e a um sinal conhecido x[n] = f [n] u[n]. sendo um processo invariante no tempo.2 Metodologia de solução A fim de se obter uma solução para uma equação de diferença linear.V.290 Apêndice D. Um deles é devido à parte não recursiva do processo e o outro é causado por sua parte recursiva. A. . Em seguida. provocada isoladamente por um dado sinal. é considerada a evolução da equação no intervalo −∞ < n < N0 . o efeito provocado por cada causa isolada pode ser computado separadamente. fazendo-se N0 = 0. anulando-se as demais causas. Por sua vez.2. de tal forma que ynat1 [n] = yh [n]. e que ambas representam uma solução sem a influência direta do sinal x[n]. Por sua vez. yf or [n] = yp [n]. pode ser identificada como a resposta à entrada ou a resposta ao estado nulo yent [n]. Logo. a solução da equação não homogênea. Observando-se que a componente particular yp [n] é uma versão escalada do sinal x[n]. podem ser identificadas várias componentes. ynat2 [n] = yc [n] e ynat [n] = ynat1 [n] + ynat2 [n].2. devido à linearidade do processo. Portanto. o efeito do sinal x[n] é a solução yx [n] = y[n]|y[−1]=0 . basta que se combine os efeitos isolados de cada uma delas. elas podem ser agrupadas de diversas formas diferentes. D. a solução yh [n]. a solução completa admite as seguintes decomposições: ytot [n] = yent [n] + yest [n] = yx [n] + yh [n] = (yp [n] + yc [n]) + yh [n] = yp [n] + (yh [n] + yc [n]) = yf or [n] + (ynat1 [n] + ynat2 [n]) = yf or [n] + ynat [n] = ytran [n] + yperm [n] . enquanto o efeito do sinal y[−1] δ[n + 1] é a solução yh [n] = y[n]|x[n]=0 . para que se calcule o efeito de diversas causas simultâneas.3 Solução completa Em um processo linear. dependendo da causa atribuı́da a cada componente. devido às condições iniciais ou ao estado inicial. pode- se dizer que ela é uma solução diretamente forçada por tal sinal e. Por fim.D. portanto. pode-se dizer que elas são soluções naturais. pode-se ainda agrupar todas as componentes transitórias em uma única solução transitória ytran [n]. bem como agrupar todas as componentes permanentes em uma única solução permanente yperm [n]. Assim. No caso em questão. é dada por yx [n] = yp [n] + yc [n] . para n ≥ 0. a solução completa é definida como ytot [n] = yx [n] + yh [n] = (yp [n] + yc [n]) + yh [n] .4 Decomposição da solução completa Na solução completa. Para n ≥ 0. as causas isoladas são o sinal externo ao processo x[n] = f [n] u[n] e o sinal armazenado internamente no processo y[−1] δ[n + 1]. A solução da equação não homogênea yx [n] pode ser vista como uma composição de uma solução puramente associada à entrada yp [n] com uma solução ligada à acumulação de dados yc [n] (similar à solução da equação homogênea). A solução yx [n]. dado que a componente complementar yc [n] é uma versão escalada da solução homogênea yh [n].2.4) TET / UFF . devido à entrada x[n]. referente ao sinal x[n]. D. Metodologia de solução 291 Finalmente. pode ser identificada como a resposta ao estado ou a resposta à entrada nula yest [n]. (D. . (D. é dada por yh [n] = y[0] (−a1 )n u[n] = (−a1 ) y[−1] (−a1 )n u[n] = y[−1] (−a1 )n+1 u[n] .8) e (D. pode-se propor uma solução do tipo yh [n] = Kh z n . para n ≥ 0. obtém-se: Kh z n + a1 Kh z n−1 = 0 . y[0] = (−a1 ) y[−1] e Kh = (−a1 ) y[−1] .5).6) Substituindo-se (D.9) De (D.6). obtém-se: yh [n] = Kh (−a1 )n .292 Apêndice D. (D. que pode ser fatorada em Kh z n 1 + a1 z −1 = 0 . (D.6) em (D.8) de onde. desprezando-se a solução trivial z = 0. Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem D.7) em (D. com o auxı́lio da condição inicial y[−1] e de (D. (D.7) Substituindo-se (D.V.S.3 Solução da equação homogênea Dada a equação y[n] + a1 y[n − 1] = 0 .5) submetida a uma dada condição inicial y[−1].9). conclui-se que y[0] = yh [0] = Kh . deduz-se que a solução da equação homogênea. (D.10) A.5). de onde. (D. conclui-se que 1 + a1 z −1 = 0 e z = −a1 . 13) pode-se propor uma solução do tipo y[n] = yp [n] + yc [n] . obtém-se. n < 0). z n u[n].11) e.14) onde a solução particular (similar à entrada) é dada por yp [n] = Kp (D. ejΩ0 n u[n] e cos(Ω0 n) u[n]. TET / UFF .2 Cálculo para x[n] = u[n] Dada a equação y[n] + a1 y[n − 1] = b0 u[n] . Assim. = (δ[n]) + (−1) 1 + a1 1 + a1 D.4. para n = 0. com condição inicial dada por (D. Portanto.15) e a solução complementar (similar à solução homogênea) assume a forma yc [n] = Kc z n = Kc (−a1 )n .16) Substituindo-se (D. para n ≥ 0: K p + a1 K p = b 0 . u[n]. que y[0] = b0 (D.10) e (D. n = 0 h[n] = yδ [n] = (D. que y[n] + a1 y[n − 1] = 0 . a resposta pode ser definida por b0 .12) yh [n]|y[0]=b0 . (D.1 Cálculo para x[n] = δ[n] Dada a equação y[n] + a1 y[n − 1] = b0 δ[n] . para as seguintes entradas: δ[n]. (D. n > 0 Substituindo-se (D.12.D.4. (D. o problema se resume ao cálculo da solução de uma equação homogênea.15) em (D.4. tem-se. exceto em n = 0.13). para n > 0. são calculadas as respostas do sistema relaxado (y[n] = 0. Resposta do sistema y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] 293 D.11). obtém-se: n b0 h[n] = (b0 ) (−a1 ) u[n] = (−1) (−a1 )n+1 u[n] a1 n = (b0 ) (δ[n]) + (b0 ) (−a1 ) u[n − 1] b0 b0 (−a1 )n+1 u[n] − (−a1 )n u[n − 1] .4 Resposta do sistema y[n] + a1y[n − 1] = b0x[n] A seguir. D.11) em D. 22) onde a solução particular (similar à entrada) é dada por yp [n] = Kp z n (D. fatorada.20) 1 + a1 1 + a1 D. que.17) resulta em b0 yu [n] = + Kc (−a1 )n . (D.18) 1 + a1 Substituindo-se n = 0 em (D.18).23) e a solução complementar (similar à solução homogênea) assume a forma yc [n] = Kc (−a1 )n . A. (D.3 Cálculo para x[n] = z n u[n] Dada a equação y[n] + a1 y[n − 1] = b0 z n u[n] . (D.19) 1 + a1 1 + a1 De (D. 1 + a1 da qual conclui-se que b0 a1 b0 Kc = = (−1) (−a1 ) . (D. .4. para n ≥ 0: Kp z n + a1 Kp z n−1 = b0 z n .18) e (D. obtém-se. tem-se que b0 + Kc = b 0 . fornece Kp (1 + a1 ) = b0 e b0 Kp = .S. fatorada.24) Substituindo-se (D.17) 1 + a1 A combinação de (D. para n ≥ 0: b0 b0 yu [n] = (u[n]) + (−1) (−a1 )n+1 u[n] .294 Apêndice D.13).23) em (D.14) a (D.19) em (D. (D. fornece Kp z n 1 + a1 z −1 = b0 z n . Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem que.21) pode-se propor uma solução do tipo y[n] = yp [n] + yc [n] . obtém-se. (D.21).V. (D. 25) resulta em b0 yz [n] = z n + Kc (−a1 )n . Resposta do sistema y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] 295 de onde.30) 1 + a1 e−jΩ0 1 + a1 e−jΩ0 D.5 Cálculo para x[n] = cos(Ω0 n) u[n] Definindo-se a relação 1 jΩ0 n 1 −jΩ0 n x[n] = cos(Ω0 n) = e + e .28). TET / UFF .27) 1 + a1 z −1 1 + a1 z −1 De (D. 1 + a1 z −1 da qual conclui-se que b0 a1 z −1 b0 Kc = = (−1) z −1 (−a1 ) .4.31) 2 2 pode-se utilizar o resultado anterior. (D. para n ≥ 0: b0 b0 yz [n] = n (z u[n]) + (−1) z −1 (−a1 )n+1 u[n] .25) 1 + a1 z −1 A combinação de (D. obtém-se: b0 b0 jΩ0 n e−jΩ0 (−a1 )n+1 u[n] . obtém-se.21).29) pode-se utilizar o resultado anterior.29) e (D. onde x[n] = ejΩ0 n u[n].22) a (D.28) 1 + a1 z −1 1 + a1 z −1 D.4 Cálculo para x[n] = ejΩ0 n u[n] Definindo-se a relação n x[n] = ejΩ0 n = ejΩ0 = z n . tem-se que b0 + Kc = b 0 .26) 1 + a1 z −1 Substituindo-se n = 0 em (D.27) em (D. (D. conclui-se que b0 Kp = . (D. (D. (D.4. de (D. Assim.D. desprezando-se a solução trivial z = 0. ye [n] = e u[n] + (−1) (D. para z = ejΩ0 .4.26) e (D.26). onde x[n] = z n u[n]. (D. 33) 1 + a1 e−jΩ e b0 H− (Ω) = = |H− (Ω)|ej∠H− (Ω) .34). (D.35) em (D. . finalmente.V. A.32) 2 2 onde: b0 H+ (Ω) = = |H+ (Ω)|ej∠H+ (Ω) (D. obtém-se: 1 b0 1 b0 ycos [n] = ejΩ0 n + (−1) e−jΩ0 (−a1 )n+1 + 2 1 + a1 e−jΩ0 2 1 + a1 e−jΩ0 1 b0 1 b0 e−jΩ0 n + (−1) ejΩ0 (−a1 )n+1 2 1 + a1 ejΩ0 2 1 + a1 ejΩ0 1 b0 jΩ0 n 1 b0 −jΩ0 n = e + e + 2 1 + a1 e−jΩ0 2 1 + a1 ejΩ0 1 b0 1 b0 (−1) jΩ0 e + e−jΩ0 (−a1 )n+1 2 1 + a1 ejΩ0 2 1 + a1 e−jΩ0 1 jΩ0 n 1 −jΩ0 n = H+ (Ω0 ) e + H− (Ω0 ) e + 2 2 1 1 (−1) H− (Ω0 ) e + jΩ0 H+ (Ω0 ) e −jΩ0 (−a1 )n+1 .35) 1 + a1 e−jΩ Substituindo-se (D.34) 1 + a1 ejΩ De (D. (D. (D. Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem Assim.S.32). ∠H+ (Ω) = −∠H− (Ω) = ∠HD0 (Ω) e j∠HD0 (Ω) b0 HD0 (Ω) = |HD0 (Ω)|e = .31) e (D.30). que ycos [n] = |HD0 (Ω0 )| cos (Ω0 n + ∠HD0 (Ω0 )) u[n] + (−1) |HD0 (Ω0 )| cos (Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) (−a1 )n+1 u[n] . tem-se que 1 j∠HD0 (Ω0 ) jΩ0 n 1 −j∠HD0 (Ω0 ) −jΩ0 n ycos [n] = |HD0 (Ω0 )| e e + |HD0 (Ω0 )| e e + 2 2 1 1 (−1) |HD0 (Ω0 )| e−j∠HD0 (Ω0 ) jΩ0 e + |HD0 (Ω0 )| ej∠HD0 (Ω0 ) −jΩ0 e (−a1 )n+1 2 2 e.296 Apêndice D. de (D. conclui-se que |H+ (Ω)| = |H− (Ω)| = |HD0 (Ω)| .33) e (D. 5.3 Cálculo para x[n] = z n u[n] b1 b0 b1 b0 yz [n] = z n−1 u[n − 1] + (−1) z −1 (−a1 )n u[n − 1] 1 + a1 z −1 b0 b0 1 + a1 z −1 b1 z −1 b1 b0 = n (z u[n − 1]) + (−1) z −1 (−a1 )n u[n − 1] .5 Resposta do sistema y[n] + a1y[n − 1] = b1x[n − 1] Considerando-se yD0 [n] como a resposta à equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n].2 Cálculo para x[n] = u[n] b1b0 b1 b0 yu [n] = u[n − 1] + (−1) (−a1 )n u[n − 1] b0 1 + a1 b0 1 + a1 b1 b1 b0 = (u[n − 1]) + (−1) (−a1 )n u[n − 1] .5. a resposta à equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1] é dada por yD1 [n] = bb10 yD0 [n − 1]. = (δ[n − 1]) + (−1) 1 + a1 1 + a1 D. Portanto. e utilizando-se as propriedades de invariância no tempo e de homogeneidade do SLIT. ye [n] = e u[n − 1] + (−1) 1 + a1 e−jΩ0 b0 1 + a1 e−jΩ0 (D.4 Cálculo para x[n] = ejΩ0 n u[n] b1 e−jΩ0 b1 b0 jΩ0 n e−jΩ0 (−a1 )n u[n − 1] .5.38) TET / UFF .36) 1 + a1 b0 1 + a1 D. Resposta do sistema y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1] 297 D. (D. D. 1 + a1 z −1 b0 1 + a1 z −1 (D. os cálculos que se seguem são apenas adaptações dos cálculos anteriores.5.D.5.1 Cálculo para x[n] = δ[n] b1 h[n] = yδ [n] = b0 (−a1 )n−1 u[n − 1] b0 n−1 b1 = b1 (−a1 ) u[n − 1] = (−1) (−a1 )n u[n − 1] a1 = (b1 ) (δ[n − 1]) + (b1 ) (−a1 )n−1 u[n − 2] b1 b1 (−a1 )n u[n − 1] − (−a1 )n−1 u[n − 2] .37) D. 5 Cálculo para x[n] = cos(Ω0 n) u[n] ycos [n] = |HD1 (Ω0 )| cos (Ω0 n + ∠HD1 (Ω0 )) u[n − 1] + b1 (−1) |HD0 (Ω0 )| cos (Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) (−a1 )n u[n − 1] .5.S.298 Apêndice D. (D. Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem D.V. . 1 + a1 e−jΩ0 b0 A.39) b0 onde: b0 HD0 (Ω) = 1 + a1 e−jΩ0 e b1 e−jΩ0 b1 HD1 (Ω) = = HD0 (Ω) e−jΩ0 . D.6.3 Cálculo para x[n] = z n u[n] b0 b0 yz [n] = −1 n (z u[n]) + (−1) −1 z −1 (−a1 )n+1 u[n] + 1 + a1 z 1 + a1 z −1 b1 z b1 b0 −1 n (z u[n − 1]) + (−1) −1 z −1 (−a1 )n u[n − 1] .5 Cálculo para x[n] = cos(Ω0 n) u[n] ycos [n] = |HD0 (Ω0 )| cos (Ω0 n + ∠HD0 (Ω0 )) u[n] + (−1) |HD0 (Ω0 )| cos (Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) (−a1 )n+1 u[n] + |HD1 (Ω0 )| cos (Ω0 n + ∠HD1 (Ω0 )) u[n − 1] + b1 (−1) |HD0 (Ω0 )| cos (Ω0 − ∠HD0 (Ω0 )) (−a1 )n u[n − 1] . os cálculos que se seguem são apenas adaptações dos cálculos anteriores. Portanto.4 Cálculo para x[n] = ejΩ0 n u[n] b0 b0 jΩ0 n e−jΩ0 (−a1 )n+1 u[n] + ye [n] = e u[n] + (−1) 1 + a1 e−jΩ0 1 + a1 e−jΩ0 b1 e−jΩ0 b1 b0 jΩ0 n e−jΩ0 (−a1 )n u[n − 1] . (D.6. 1 + a1 z b0 1 + a1 z (D. e u[n − 1] + (−1) 1 + a1 e−jΩ0 b0 1 + a1 e−jΩ0 (D.6.1 Cálculo para x[n] = δ[n] h[n] = yδ [n] = b0 (−a1 )n u[n] + b1 (−a1 )n−1 u[n − 1] .6.6 Resposta do sistema y[n] + a1y[n − 1] = b0x[n] + b1x[n − 1] Considerando-se yD0 [n] como a resposta à equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n]. a resposta à equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] é dada por y[n] = yD0 [n] + yD1 [n]. (D. D.41) D.6.2 Cálculo para x[n] = u[n] b0 b0 yu [n] = (u[n]) + (−1) (−a1 )n+1 u[n] + 1 + a1 1 + a1 b1 b1 b0 (u[n − 1]) + (−1) (−a1 )n u[n − 1] .42) D.40) 1 + a1 b0 1 + a1 D.43) b0 TET / UFF . D. yD1 [n] como a resposta à equação de diferença y[n] + a1 y[n − 1] = b1 x[n − 1] e utilizando-se a propriedade de aditividade do SLIT.6. Resposta do sistema y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] 299 D. V.300 Apêndice D. .S. Exemplos de cálculo da resposta de um SLIT de primeira ordem A. 2) 1 + a1 z −1 1 + a1 z −1 301 .2 Resultado previamente calculado Dada a equação y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] (E. através de um exemplo. é calculado o resultado para x0 [n] = x[n − N0 ] = z n−N0 u[n − N0 ].1) e a entrada x[n] = z n u[n] . n < 0). é mostrado que. em um sistema descrito por y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n]. é invariante ao tempo (ou ao deslocamento). • Inicialmente. tem-se x[n] −→ y[n] e x0 [n] = x[n − N0 ] −→ y 0 [n] = y[n − N0 ] . yz [n] = (z u[n]) + (−1) (E. é apresentado o resultado já calculado para x[n] = z n u[n]. será considerada a entrada x[n] = z n u[n]. a solução é dada por b0 b0 n −a1 z −1 (−a1 )n u[n] .1 Introdução • Deseja-se mostrar.Apêndice E Exemplo de invariância ao tempo na resposta de um SLIT E. • Em seguida. que a resposta de um SLIT relaxado (y[n] = 0. E. • Finalmente. por invariância ao tempo. • Como exemplo. (E.8) e (E.7) 1 + a1 z −1 A combinação de (E. (E.4 Comparação dos resultados De (E. tem-se que yz0 [n] = yz [n − N0 ] .5) e a solução complementar (similar à solução homogênea) assume a forma yc0 [n] = Kc (−a1 )n−N0 . que.3) pode-se propor uma solução do tipo y 0 [n] = yp0 [n] + yc0 [n] .302 Apêndice E.10) E.6) Substituindo-se (E. (E.9) 1 + a1 z 1 + a1 z De (E. para n ≥ N0 : b0 b0 yz0 [n] n−N0 −a1 z −1 (−a1 )n−N0 u[n − N0 ] . conclui-se que b0 Kp = .3).5) em (E. de onde.8) 1 + a1 z De (E.S.V. (E.10).4) a (E. obtém-se.2) e (E. tem-se que 0 b0 yz [N0 ] = + Kc = b 0 . Exemplo de invariância ao tempo na resposta de um SLIT E.8). Kc = −1 = (−1) −1 (E. obtém-se. A.7) resulta em b0 0 yz [n] = −1 z n−N0 + Kc (−a1 )n−N0 . . (E. = z u[n − N0 ] + (−1) 1 + a1 z −1 1 + a1 z −1 (E.3). 1 + a1 z −1 da qual conclui-se que b0 a1 z −1 b0 −a1 z −1 .3 Cálculo para a entrada deslocada x0[n] = x[n − N0] Dada a equação y 0 [n] + a1 y 0 [n − 1] = b0 z n−N0 u[n − N0 ] .4) onde a solução particular (similar à entrada) é dada por yp0 [n] = Kp z n−N0 (E. fornece Kp z n−N0 1 + a1 z −1 = b0 z n−N0 . desprezando-se a solução trivial z = 0. para n ≥ N0 : Kp z n−N0 + a1 Kp z n−N0 −1 = b0 z n−N0 . fatorada.9) em (E. (K + 1).2. os seguintes procedimentos podem ser utilizados para o cálculo dos coeficientes ck : • Álgebra linear: projeção de um vetor sobre um conjunto de vetores ortogonais entre si. (K + 2). Logo. observa-se que a decomposição x̃[n] = k=hN i ck φk [n] forma um sistema de N equações a N incógnitas.1 Cálculos auxiliares Do Apêndice I.Apêndice F Cálculo dos coeficientes da DTFS F. a= n=0 303 . Portanto.1 Introdução Pode-se propor a decomposição de um sinal P periódico x̃[n] em uma combinação linear de sinais de base φk [n]. onde 2π Ω 0 = N . de tal forma que x̃[n] = k ck φk [n]. Dessa forma. pode-se dizer que x̃[n] = k=hN i ck φk [n]. existem N valores jk( 2π )n distintos para φk [n] = e P N . • Utilização da periodicidade dos coeficientes ck = c[k] = c̃[k] = X̃[k]. baseado em dois desses procedimentos. a=1 SN = a = 1−aN . tem-se que (N −1) X n N . [K + (N − 1)]. Uma vez que a exponencial ejΩn é uma autofunção para SLITs estáveis. é apresentado o cálculo dos coeficientes ck . · · · . • Resolução de um sistema de N equações a N incógnitas. Com base nessas definições e observações. torna-se interessante 2π utilizar a exponencial φk [n] = zkn = ejΩk n = ejkΩ0 n = ejk( N )n . pode-se pensar que as parcelas ck φk [n] representam projeções vetoriais de x̃[n] nas funções de base φk [n]. P Por fim. F. Além disso. o conjunto de coeficientes ck pode ser interpretado como uma seqüência periódica ck = c[k] = c̃[k] = X̃[k]. para k = hN i = (K).2 Cálculo baseado na periodicidade dos coeficientes ck F. A seguir. Percebe-se que existem N valores distintos para Ωk = k 2π N . 1−a 6 1 . fazendo-se a = ejk( N ) . com perı́odo fundamental N . X X c̃[r] = (F. caso contrário n=hN i n=0 F.304 Apêndice F. Logo. ±2N. N  1−e jk 2π = 0 . k = 0.4) A. (F. ±N.2 Raciocı́nio utilizado no procedimento de cálculo É proposto que um sinal periódico seja decomposto em 2π ck ejk( N )n . F. pode-se modificar (F.3) n=hN i n=hN i que. ±lN 2π ejk( N )n = X jk( 2π )N . · · · . . ejk( N )n = ej(k±lN )( N )n . os coeficientes podem ser interpretados como uma seqüência periódica. da mesma forma que é feito em (F. Portanto. os coeficientes ck também serão periódicos. utiliza a própria função x̃[n] para o cálculo dos seus coeficientes ck . generalizada para uma faixa n = hN i. pode-se propor a decomposição 2π 2π cn ejn( N )r = x̃[n]ejn( N )r .2. k. r) .2) k=hN i 2π 2π Devido à periodicidade das funções exponenciais. · · · . X x̃[n] = (F.V.2).1) 0 . k=hN i (F.2). de tal forma que ck ↔ c̃[k] = c̃[k ± lN ]. ±N. ±lN e = e = . fornece (N −1) X jk( 2π N ) n X jk( 2π N ) n N . ao empregar os valores de x̃[n] como coeficientes cn .3). k = 0.3 Desenvolvimento do cálculo Para se obter uma formulação similar àquela de (F. obtém-se  (N −1)  N . Cálculo dos coeficientes da DTFS 2π de onde. de modo que   2π 2π 2π x̃[n]ejn( N )r =  ck ejk( N )n  ejn( N )r X k=hN i e   2π 2π 2π x̃[n]ejn( )r = ck ejk( )n  ejn( N )r X X X N  N n=hN i n=hN i k=hN i   2π ck ej(k+r)( N )n  X X =  n=hN i k=hN i   2π ej(k+r)( N )n  X X = ck  k=hN i n=hN i X = ck S(N.2.S. ±2N. caso contrário 1−e ( N ) n=0 que. · · · . ela pode ser interpretada como a projeção de um vetor genérico x̃[n] sobre um conjunto de vetores ortogonais entre si φk [n]. a Equação (F. ±lN S(N. F. para calcular os coeficientes X̃[k].7). caso contrário 2π 2π Para que se obtenham N funções ejn( N )r = ejn( N )(r±lN ) diferentes entre si. Por sua vez.6) mostra que apenas um valor de S(N. o que ocorrerá quando r = −k ± lN . k. dada uma faixa r = hN i. X S(N.4) torna-se 2π 2π x̃[n]ejn( N )r = x̃[n]ejn( N )(−k±lN ) X X n=hN i n=hN i 2π x̃[n]e−jn( N )k e±jn2πl X = n=hN i 2π x̃[n]e−jn( N )k X = n=hN i = ck N . Isso é feito a seguir. fazendo r = −k ± lN . Portanto. · · · .3 Cálculo baseado em álgebra linear P jk( 2π N ) . r) =  (F. (F.3. 1 −jk( 2π N ) n  P X̃[k] = x̃[n] e  N n=hN i onde X̃[k] = X̃[k ± lN ]. k. que é dada por x̃[n] = k=hN i X̃[k] e P jk( 2π N ) . r) será diferente de zero e igual a N . (F. para l ∈ N. deduz-se que N . pode ser n A equação de sı́ntese da DTFS.1) e (F. TET / UFF . Portanto. N n=hN i F. a Equação (F. (k + r) = 0. pode-se pensar em calcular tais projeções. k.6) 0 .7) De (F. as equações da DTFS são dadas por  P jk( 2π )n  x̃[n] = k=hN i X̃[k] e N  .5) n=hN i De (F.4 Equações da DTFS Uma vez calculados os coeficientes ck = X̃[k]. onde ck = X̃[k] e φk [n] = e Dessa forma. deve-se ter uma faixa r = hN i = (R).F. n reescrita como x̃[n] = k ck φk [n]. conclui-se que os coeficientes ck são dados por 1 X 2π ck = x̃[n]e−jn( N )k . [R + (N − 1)]. ±N. ±2N.5). (R + 1). Cálculo baseado em álgebra linear 305 onde:   2π ej(k+r)( N )n  .2. r) = . .. .12) k=0 onde x̃ = [ x̃[0] x̃[1] · · · x̃[(N − 1)] ]T . tanto em k como em n. Cálculo dos coeficientes da DTFS F. ..   .. por x̃ = W −1 N X̃ (F.8) X X X X n n x̃[n] = ck φk [n] = X̃[k] e = X̃[k] e = k k=hN i k=K k=0 Definindo-se a constante 2π WN = e−j ( N ) e as seqüências periódicas.. pode-se reescrever (F.V.9) pode ser matricialmente descrita por       x̃[0] 1 1 ··· 1 X̃[0] −(N −1)  x̃[1]   1 WN−1 ··· WN   X̃[1]  =        . . · · · .   .   .. n ≤ (N − 1).10)  .   .  −(N −1) −(N −1)(N −1) x̃[(N − 1)] 1 WN · · · WN X̃[(N − 1)]     w̃0 [0] w̃1 [0] ··· w̃(N −1) [0] X̃[0]  w̃0 [1] w̃1 [1] ··· w̃(N −1) [1]   X̃[1]  =      .306 Apêndice F.8) como K+(N −1) (N −1) X X X X x̃[n] = ck φk [n] = X̃[k] WN−kn = X̃[k] WN−kn = X̃[k] WN−kn k k=hN i k=K k=0 (N −1) X = X̃[k] w̃k [n] = X̃[0] w̃0 [n] + X̃[1] w̃1 [n] + · · · + X̃[(N − 1)] w̃(N −1) [n] .   . 2π w̃k [n] = WN−kn = ejk( N )n = φk [n] .   . A.   . de uma forma concisa. . (F.3. .   . 2. com perı́odo N .   . (N − 1) e 0 ≤ k.. por (N −1) X x̃ = X̃[k] w̃k = X̃[0] w̃0 + X̃[1] w̃1 + · · · + X̃[(N − 1)] w̃(N −1) .. (F. (F.  w̃0 [(N − 1)] w̃1 [(N − 1)] · · · w̃(N −1) [(N − 1)] X̃[(N − 1)]   X̃[0]   X̃[1]  = w̃0 w̃1 · · · w̃(N −1)  (F.11) ou. de uma forma que evidencie a composição. . ..S.9) k=0 Considerando-se hN i = 0. .1 Rearranjo da equação de sı́ntese da DTFS A equação de sı́ntese da DTFS é dada por K+(N −1) (N −1) jk( 2π N ) jk( 2π N ) 2π X̃[k] ejk( N )n . .  X̃[(N − 1)] ou. . . .. . 1. . a Equação (F.. .3. Para os vetores h iT −k(N −1) w̃k = [ w̃k [0] w̃k [1] · · · w̃k [(N − 1)] ]T = WN−k0 WN−k1 · · · WN . onde o sı́mbolo “∗” significa a operação “complexo conjugado”.15) n=0 n=0 e.3. w̃k = [ w̃k [0] w̃k [1] · · · w̃k [(N − 1)] ]T e W −1 N = w̃0 w̃1 w̃2 · · · w̃(N −1) 1 1 1 ··· 1   −(N −1)   1 WN−1 WN−2 ··· WN   −2(N −1) =   1 WN−2 WN−4 ··· WN  .   l    . (N −1) (l−m)N X (l−m) n 1 − WN w̃H l w̃m = WN = (l−m) =0. aplicada à Equação (F. .   . (F. para l = m = k. . . pode-se definir a matriz M H = M T = (M ∗ )T . Cálculo baseado em álgebra linear 307 h iT X̃ = X̃[0] X̃[1] · · · X̃[(N − 1)] . fornece.. 1−a 6 1 .  −m(N −1) WN ] (l−m)0 (l−m)1 (l−m)(N −1) = WN + WN + · · · + WN (N −1) X (l−m)n = WN n=0 (N −1) n X (l−m) = WN ..14).  (F. a= n=0 que. a=1 SN = a = 1−aN . . . . para l 6= m. tem-se que WN−m0   h l(N −1) i  WN−m1  w̃H w̃m = WNl0 WNl1 ··· WN . (N −1) n (N −1) X (0) X w̃H k w̃k = WN = (1)n = N (F.16) n=0 1 − WN TET / UFF .. .14) n=0 Do Apêndice I..  −(N −1) −2(N −1) −(N −1)(N −1) 1 WN WN · · · WN F.. (F.13)  .2 Cálculo da equação de análise da DTFS ∗ Dada uma matriz M ..F. tem-se que (N −1) X n N .   .V. obtém-se w̃H H k x̃ = w̃ k w̃ k X̃[k] = N X̃[k] e w̃H k x̃ w̃H x̃ X̃[k] = H = k . .. (F.   .. . . N      . (F. . podem-se estabelecer as seguintes relações: w̃H0 x̃    N     w̃H1 x̃     X̃[0]   N   X̃[1]     =       . .  (N −1) (N −1)(N −1) 1 WN · · · WN x̃[(N − 1)] X̃ = W N x̃ ... ..  ∗ ∗ H w̃(N −1) [0] w̃(N −1) [1] · · · w̃(N −1) [(N − 1)] x̃[(N − 1)]     1 1 ··· 1 x̃[0] 1 (N −1) 1  1 WN ··· WN   x̃[1]  =  . .. N     . Cálculo dos coeficientes da DTFS Aplicando-se (F.   .. (F..   X̃[(N − 1)]   H    w̃(N −1) x̃    N w̃H   0 1  w̃H1  =  x̃   .16) em (F.. . .17) w̃k w̃k N De (F. . . (F.     . . N   ..19)   1 1 ··· 1 (N −1) 1  1 WN1 ··· WN  WN =   . . ..21) N n=0 N n=hN i A.. .    . .12). N    .S.17).. . .  (N −1) (N −1)(N −1) 1 WN · · · WN 1 ∗ = W −1 N (F.15) e (F...  w̃H (N −1)     w̃0∗ [0] w̃0∗ [1] ··· w̃0∗ [(N − 1)] x̃[0] 1  w̃1∗ [0] w̃1∗ [1] ··· w̃1H [(N − 1)]   x̃[1]  = .20) N e (N −1) 1 X 2π 1 X 2π X̃[k] = x̃[n] e−jk( N )n = x̃[n] e−jk( N )n ...308 Apêndice F.18)     ... . todos ortogonais entre si. uma vez que w̃H l w̃ m = hw̃ l . de tal forma que ||v||2 = hv.3. O vetor unitário v u na direção de um vetor não nulo v pode ser definido como v v v vu = =p =√ . Por fim. a Equação (F. w̃ k i = ||w̃ k || = N . v a i vH b va vp = vb = v b = vb . Cálculo baseado em álgebra linear 309 F. onde o sı́mbolo “∗” significa a operação “complexo conjugado”.15) define a norma de w̃k como w̃H 2 k w̃ k = hw̃ k . vi vH v Por fim. a norma de um vetor v pode ser definida em função do produto interno usual. pode ser definida por hv b . Dados dois vetores v a e v b . vi = v H v . a projeção ortogonal v p .22) k=0 k=0 onde w̃H k x̃ w̃H x̃ hw̃k . N w̃k w̃k ||w̃k || hw̃k . as Equações (F.3 Interpretação algébrica do resultado Todos os vetores citados a seguir serão considerados vetores complexos.16) indica que w̃l e w̃m são ortogonais entre si. x̃i x̃pk = X̃[k] w̃k = w̃k = Hk w̃k = 2 w̃k = w̃k . v b i ||v b ||2 vH b vb Observando-se os cálculos efetuados. ||v|| hv. v b i = v H a vb . pode-se definir o vetor v H = v T = (v ∗ )T . ∗ Dado um vetor v.F. verifica-se que a Equação (F. v a i hv b . Por sua vez. w̃ m i = 0 . para l 6= m. o produto interno usual entre eles pode ser definido como hv a . hv b . w̃k i TET / UFF . do vetor v a sobre o vetor v b . uma vez que (N −1) (N −1) X X x̃ = x̃pk = X̃[k] w̃k . (F.12) e (F.17) mostram que os coeficientes X̃[k] estão relacionados com 2π as projeções ortogonais do sinal x̃[n] sobre os sinais de base φk [n] = ejk( N )n = WN−kn = w̃k [n].3. Por sua vez. x̃i hw̃k . 310 Apêndice F.S. .V. Cálculo dos coeficientes da DTFS A. 1 Introdução O algoritmo de Goertzel foi proposto em 1958. (G.1) r=−∞ e r=−∞ e r=−∞ que assume a forma de uma soma de convolução. as Equações (G. os únicos coeficientes que devem ser calculados e armazenados são ejΩ e −jΩN e . (G. com o objetivo de reduzir a quantidade de multiplicações encontradas no cálculo das componentes X[k] de uma N-point DFT. Por sua vez.2) e finalizado pela Equação (G. 1 + a1 D 1 − e D−1 jΩ uma resposta ao impulso hg [n] = b0 (−a1 )n u[n] = ejΩn u[n] e a sua saı́da yk [n] pode ser calculada por ∞ X ∞ X jΩr yg [n] = x[n] ∗ hg [n] = x[n − r]e u[r] = x[r]ejΩ(n−r) u[n − r] . é demonstrado como o algoritmo de Goertzel é capaz de calcular X(ejΩ ) em uma freqüência genérica Ωg . A componente X[k] da DFT é equivalente ao valor da DTFT X(ejΩ ) 2π calculada no ponto Ωk = k N .2) possui um operador de transferência b0 1 Tg (D) = −1 = . Ele utiliza a propriedade de periodicidade de WNkn .3) indicam que X(ejΩ ) = e−jΩN yk [N ] = e−jΩN yk [n]|n=N .4).2 Algoritmo básico A equação da DTFT pode ser reescrita como ∞ ∞ ∞ X ejΩN X 1 X X(ejΩ ) = x[r]e−jΩr = jΩN x[r]e−jΩr = jΩN x[r]ejΩ(N −r) .Apêndice G Algoritmo geral de Goertzel G.3) r=−∞ r=−∞ Dado que x[n] = 0 para n < 0 e n ≥ N . (G. um SLIT definido por yg [n] = (−a1 ) yg [n − 1] + b0 x[n] = ejΩ yg [n − 1] + x[n] (G. identifica a DFT com uma convolução e realiza o cálculo de uma forma iterativa. Nesse algoritmo. 311 .1) e (G. G.4) Isso significa que o valor da DTFT X(ejΩ ) pode ser calculado por meio de um processo iterativo do sistema definido em (G. A seguir. 6) e (G.8) Isso significa que o valor da DTFT X(ejΩ ) pode ser calculado por meio de um processo iterativo do sistema definido em (G. (G. a Equação (G. (G. de tal forma que 1 Tg (D) = 1− ejΩ D−1 1 − e−jΩ D−1 1 = · 1 − ejΩ D−1 (1 − e−jΩ D−1 ) 1 = 1 − e−jΩ D−1 · 1 − 2cos (Ω) D−1 + D−2 = 1 − e−jΩ D−1 · Rg (D) . 1 − 2cos (Ω) D−1 + D−2 e. os únicos coeficientes que devem ser calculados e armazenados são cos (Ω).5) A partir de (G.7) e finalizado pela Equação (G.8).7) mostram que X(ejΩ ) = e−jΩN yk [N ] = e−jΩN yk [n]|n=N = e−jΩN vg [N ] − e−jΩ vg [N − 1] .S. e−jΩ e e−jΩN . Algoritmo geral de Goertzel G. A. (G. (G. (G.3 Algoritmo modificado O algoritmo básico pode ser melhorado a partir de uma alteração no operador de transfer- ência Tg (D). vg [n] = 2cos (Ω) vg [n − 1] − vg [n − 2] + x[n] .6) onde 1 vg [n] = Rg (D) x[n] = x[n] . .312 Apêndice G.2) pode ser reescrita como yg [n] = Tg (D) x[n] = 1 − e−jΩ D−1 Rg (D) x[n] = 1 − e−jΩ D−1 vg [n] = vg [n] − e−jΩ vg [n − 1] .7) Finalmente. Aqui.5).V. portanto. o resultado para uma equação de diferença de ordem N é finalmente calculado. com x[n] = f [n] u[n] e condições iniciais y[−1]. pode ser expressa por a0 {Y (z)} + a1 y[−1] + z −1 Y (z) = b0 {X(z)} + b1 x[−1] + z −1 X(z) ou a0 + a1 z −1 Y (z) + {(a1 ) y[−1]} = b0 + b1 z −1 X(z) ou. por b0 + b1 z −1 −1 Y (z) = X(z) + {(a1 ) y[−1]} a0 + a1 z −1 a0 + a1 z −1 (−1) = H(z) X(z) + {P−1 (z) y[−1]} . (H. finalmente. Por sua vez.1 Introdução Aplicando-se a Transformada Z sobre um SLIT descrito por uma equação de diferença de ordem qualquer.Apêndice H Respostas de um SLIT em domı́nio transformado H. pode-se facilmente obter as equações relativas ao cálculo da sua saı́da. e iii) obter a entrada y[n] a partir da sua representação no domı́nio transformado Y (z). H.2 Equação de diferença de ordem 1 Utilizando-se a associação v[n] ↔ VU (z). A partir dessas análises. o procedimento resume-se em: i) obter a representação no domı́nio transformado X(z) da entrada x[n]. a equação de diferença a0 y[n] + a1 y[n − 1] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] . A seguir. De posse das equações de cálculo no domı́nio transformado. ii) substituir as condições iniciais e a entrada X(z) nas equações de cálculo.1) DH (z) 313 . para um dado conjunto de condições iniciais e para uma dada entrada. a aplicação da Transformada Z unilateral permite analisar um SLIT com condições iniciais não nulas. A aplicação da Transformada Z bilateral permite analisar um SLIT relaxado. a Transformada Z unilateral é aplicada em equações de diferença com ordens 1 a 3. por b0 + b1 z −1 + b2 z −2 Y (z) = X(z) + a + a1 z −1 + a2 z −2 0 −1 −1 a 1 + a 2 z y[−1] + (a 2 ) y[−2] a0 + a1 z −1 + a2 z −2 (−1) = H(z) X(z) + {P−1 (z) y[−1] + P−2 (z) y[−2]} DH (z) ( 2 ) (−1) X = H(z) X(z) + P−k (z) y[−k] .S.3 Equação de diferença de ordem 2 Utilizando-se a associação v[n] ↔ VU (z). pode ser expressa por a0 {Y (z)} + a1 y[−1] + z −1 Y (z) + a2 y[−1]z −1 + y[−2] + z −2 Y (z) = b0 {X(z)} + b1 x[−1] + z −1 X(z) + b2 x[−1]z −1 + x[−2] + z −2 X(z) ou a0 + a1 z −1 + a2 z −2 Y (z) + a1 + a2 z −1 y[−1] + (a2 ) y[−2] = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 X(z) ou. a equação de diferença a0 y[n] + a1 y[n − 1] + a2 y[n − 2] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2] .2) DH (z) k=1 A. . Respostas de um SLIT em domı́nio transformado H.V. finalmente.314 Apêndice H. com x[n] = f [n] u[n] e condições iniciais y[−1] e y[−2]. (H. finalmente.4.3) DH (z) k=1 TET / UFF . por b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + b3 z −3 Y (z) = X(z) + a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 −1 a + a1 z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 0 a1 + a2 z −1 + a3 z −2 y[−1] + a2 + a3 z −1 y[−2] + (a3 ) y[−3] (−1) = H(z) X(z) + {P−1 (z) y[−1] + P−2 (z) y[−2] + P−3 (z) y[−3]} DH (z) ( 3 ) (−1) X = H(z) X(z) + P−k (z) y[−k] . Equação de diferença de ordem 3 315 H. pode ser expressa por a0 {Y (z)} + a1 y[−1] + z −1 Y (z) + a2 y[−1]z −1 + y[−2] + z −2 Y (z) + a3 y[−1]z −2 + y[−2]z −1 y[−3] + z −3 Y (z) = b0 {X(z)} + b1 x[−1] + z −1 X(z) + b2 x[−1]z −1 + x[−2] + z −2 X(z) + b3 x[−1]z −2 + x[−2]z −1 + x[−3] + z −3 X(z) ou a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 Y (z) + a1 + a2 z −1 + a3 z −2 y[−1] + a2 + a3 z −1 y[−2] + b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + b3 z −3 X(z) (a3 ) y[−3] = ou. a equação de diferença a0 y[n] + a1 y[n − 1] + a2 y[n − 2] + a3 y[n − 3] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2] + b3 x[n − 3] . com x[n] = f [n] u[n] e condições iniciais y[−1]. (H. y[−2] e y[−3].4 Equação de diferença de ordem 3 Utilizando-se a associação v[n] ↔ VU (z).H. .5 Equação de diferença de ordem N Utilizando-se a associação v[n] ↔ VU (z). finalmente.V.S. . . Respostas de um SLIT em domı́nio transformado H. y[−N ]. pode ser expressa por a0 {Y (z)} + a1 y[−1] + z −1 Y (z) + a2 y[−1]z −1 + y[−2] + z −2 Y (z) + ··· + −(N −1) −(N −2) aN y[−1]z + y[−2]z + · · · + y[−N ] + z −N Y (z) = b0 {X(z)} + b1 x[−1] + z −1 X(z) + b2 x[−1]z −1 + x[−2] + z −2 X(z) + ··· + bN x[−1]z −(N −1) + x[−2]z −(N −2) + · · · + x[−N ] + z −N X(z) ou a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N Y (z) + a1 + a2 z −1 + · · · + aN z −(N −1) y[−1] + a2 + a3 z −1 + · · · + aN z −(N −2) y[−2] + ··· + b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bN z −N X(z) (aN ) y[−N ]} = ou.4) A. a equação de diferença a0 y[n] + a1 y[n − 1] + · · · + aN y[n − N ] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + · · · + bN x[n − N ] . por b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bN z −N Y (z) = X(z) + a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N −1 a1 + a2 z −1 + · · · + aN z −(N −1) y[−1] + −1 −2 a0 + a1 z + a2 z + · · · + aN z −N a2 + a3 z −1 + · · · + aN z −(N −2) y[−2] + · · · + (aN ) y[−N ] (−1) = H(z) X(z) + {P−1 (z) y[−1] + P−2 (z) y[−2] + · · · + P−N (z) y[−N ]} DH (z) ( N ) (−1) X = H(z) X(z) + P−k (z) y[−k] DH (z) k=1 = Yent (z) + Yest (z) = Yr (z) + Yh (z) . com x[n] = f [n] u[n] e condições iniciais y[−1]. . (H. .316 Apêndice H. y[−2]. respectivamente. respectivamente.5. a Função de Transferência. a resposta ao estado. a resposta do sistema relaxado e a resposta da equação homogênea. Equação de diferença de ordem N 317 onde b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bN z −N NH (z) H(z) = = . bem como Yent (z) = H(z) X(z) . DH (z) k=1 Yr (z) = Yent (z) e Yh (z) = Yest (z) . l=k são. DH (z) a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N DH (z) = a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + aN z −N e N X P−k (z) = al z −(l−k) . ( N ) (−1) X Yest (z) = P−k (z) y[−k] . TET / UFF . são. o seu denominador e o polinômio relativo à condição inicial y[−k]. as representações em domı́nio transformado para a resposta à entrada.H. S.V. Respostas de um SLIT em domı́nio transformado A.318 Apêndice H. . a=1 k ka = (I. a 6= 1  k=0 (1−a)2  PN   k=0 k2 . a = 1   N X   nhP i o 1 N k 2 ak = (1−a) m=1 (2m − 1)a m − N 2 (N +1) a = (I. a 6= 1  (1−a)3 I.1 Progressões geométricas  N X  (N + 1) . a = 1 ak = (I.1) 1−a(N +1) . a 6= 1  k=0 1−a N (N +1)  N X  2 .Apêndice I Identidades úteis I.4) −jθ −j θ2 j θ2 −j θ2 −j θ2 θ 1+e =e e +e =e 2 cos (I.3)  k=0     a (1 + a)(1 − aN ) − 2(1 − a)N aN − (1 − a)2 N 2 aN .5) 2 319 .2) a 1 − aN − N aN + N a(N +1) .2 Exponenciais complexas e±jθ = cos(θ) ± j sin(θ) (I. para N > 0 e par: N WN2 = W2 = −1 . · · · .4 Identidades trigonométricas 1 sec(θ) = (I.S.3 Raı́zes N-ésimas complexas da unidade A raiz N-ésima complexa principal da unidade é dada por 2π WN = e−j ( N ) . 2. (I.12) cos(θ) 1 cossec(θ) = (I.15) tg(θ) sin(θ) sin(−θ) = −sin(θ) (I.9) Para qualquer inteiro N > 0 e par: 2 k+ N 2 WN 2 = WNk = W Nk . (I. (I.6) As N raı́zes N-ésimas complexas da unidade são dadas por 2π WNk = e−jk( N ) . Identidades úteis I.13) sin(θ) sin(θ) tg(θ) = (I.320 Apêndice I.10) 2 Para qualquer inteiro N ≥ 1 e qualquer inteiro k não negativo e não divisı́vel por N N −1 X n WNk =0.7) onde k = 0. (I.17) tg(−θ) = −tg(θ) (I. . (I.V. (N − 1).8) Conseqüentemente. (I.14) cos(θ) 1 cos(θ) cotg(θ) = = (I. k ≥ 0 e d > 0: dk WdN = WNk .16) cos(−θ) = cos(θ) (I.11) n=0 I.18) A. Para quaisquer inteiros N ≥ 0. 1. 24) 2 2 θ1 + θ2 θ1 − θ2 cos(θ1 ) + cos(θ2 ) = 2 cos cos (I.29) 2 π 1 − sin(θ) = 1 − cos −θ (I.23) 1 ∓ tg(θ1 ) tg(θ2 ) θ1 ± θ2 θ1 ∓ θ2 sin(θ1 ) ± sin(θ2 ) = 2 sin cos (I.28) 2 π 1 + sin(θ) = 1 + cos −θ (I.33) 2 sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1 (I.20) sin(θ1 ± θ2 ) = sin(θ1 ) cos(θ2 ) ± sin(θ2 ) cos(θ1 ) (I.36) TET / UFF .35) cossec2 (θ) = 1 + cotg 2 (θ) (I. Identidades trigonométricas 321 sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ) (I.27) 2 2 θ 1 − cos(θ) = 2 sin (I.25) 2 2 θ1 + θ2 θ1 − θ2 cos(θ1 ) − cos(θ2 ) = −2 sin sin (I.32) 2 1 + cos(2θ) cos2 (θ) = (I.34) sec2 (θ) = 1 + tg 2 (θ) (I.31) 2 1 − cos(2θ) sin2 (θ) = (I.I.26) 2 2 2 θ 1 + cos(θ) = 2 cos (I.4.21) cos(θ1 ± θ2 ) = cos(θ1 ) cos(θ2 ) ∓ sin(θ1 ) sin(θ2 ) (I.22) tg(θ1 ) ± tg(θ2 ) tg(θ1 ± θ2 ) = (I.30) 2 sin(2θ) sin(θ) cos(θ) = (I.19) cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ) (I. (I.44) Quando Ω0 = π.41) 2 Quando Ω0 = π.43) No caso em que Θ0 = π2 .V. da Relação de Euler e das Equações (I.37) e (I. obtém-se π A0 · sin Ω0 n ∓ = (∓A0 ) · cos(Ω0 n) .3 Identidades de exponencial Considerando-se A0 ∈ R+ . obtém-se π A0 · ej(Ω0 n∓ 2 ) = (±A0 ) · sin(Ω0 n) + j (∓A0 ) · cos(Ω0 n) .37) No caso em que Θ0 = π2 .40).2 Identidades de seno Da Equação (I. I.322 Apêndice I.5.38) 2 Quando Ω0 = π. (I.42) I.40) No caso em que Θ0 = π2 . (I. (I. tem-se que A0 · ej(Ω0 n∓Θ0 ) = A0 · [cos(Ω0 n ∓ Θ0 ) + j sin(Ω0 n ∓ Θ0 )] = {[A0 · cos(Θ0 )] · cos(Ω0 n) + [(±A0 ) · sin(Θ0 )] · sin(Ω0 n)} + j {[A0 · cos(Θ0 )] · sin(Ω0 n) + [(∓A0 ) · sin(Θ0 )] · cos(Ω0 n)} .5. (I. (I. obtém-se A0 · cos(πn ∓ Θ0 ) = [A0 · cos(Θ0 )] · cos(πn) . Identidades úteis I. tem-se que A0 · sin(Ω0 n ∓ Θ0 ) = [A0 · cos(Θ0 )] · sin(Ω0 n) + [(∓A0 ) · sin(Θ0 )] · cos(Ω0 n) .22).S.21).45) A. (I. (I.39) I. obtém-se A0 · ej(πn∓Θ0 ) = [A0 · cos(Θ0 )] · cos(πn) + j [(∓A0 ) · sin(Θ0 )] · cos(πn) = A0 · e∓jΘ0 cos(πn) . obtém-se π A0 · cos Ω0 n ∓ = (±A0 ) · sin(Ω0 n) .5. (I.5 Casos particulares de interesse A seguir. . são apresentadas algumas identidades empregadas no estudo de ambigüidade na representação de sinais analógicos por sinais discretos. tem-se que A0 · cos(Ω0 n ∓ Θ0 ) = [A0 · cos(Θ0 )] · cos(Ω0 n) + [(±A0 ) · sin(Θ0 )] · sin(Ω0 n) . obtém-se A0 · sin(πn ∓ Θ0 ) = [(∓A0 ) · sin(Θ0 )] · cos(πn) .1 Identidades de cosseno Da Equação (I. P∞ Rπ n=−∞ x1 [n]x∗2 [n] = 1 2π −π X1 (ejΩ )X2∗ (ejΩ )dΩ Tabela J.1 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) P∞ x[n] X(ejΩ ) = k=−∞ x[k]e−jΩk δ[n] P∞ 1 1 u[n] + π · δ(Ω + 2πk) −jΩ0 n P−jΩ 1−e ∞ k=−∞ e k=−∞ 2π · δ(Ω − Ω0 + 2πk) 1 αn u[n]. Seqüência DTFT x[n] X(ejΩ ) x1 [n] X1 (ejΩ ) x2 [n] X2 (ejΩ ) a1 x1 [n] + a2 x2 [n] a1 X1 (ejΩ ) + a2 X2 (ejΩ ) x[n − ND ] e−jΩND X(ejΩ ) ejΩ0 n x[n] X(ej(Ω−Ω0 ) ) jΩ jΩ x1 [n] ∗ x2 [n] R π X1 (e jθ)X2 (e j(Ω−θ) ) 1 x1 [n]x2 [n] 2π −π X1 (e )X2 (e )dθ jΩ ) nx[n] j dX(e dΩ Tabela J.Apêndice J Tabelas úteis J.1: Pares de DTFT. |α| < 1 1−αe−jΩ Tabela J.3: Relação de Parseval na DTFT.2: Propriedades da DTFT. 323 . 324 Apêndice J.S. A.4: Propriedades da DFT.V. Tabelas úteis J. .2 Transformada de Fourier Discreta (DFT) Seqüência DFT x[n] X[k] x1 [n] X1 [k] x2 [n] X2 [k] a1 x1 [n] + a2 x2 [n] a1 X1 [k] + a2 X2 [k] x[hn − ND iN ] WNkND X[k] WN−KD n x[n] X[hk − KD iN ] X[n] N [g h−kiN ] PN −1 m=0 x1 [m]x2 [hn − miN ] X [k]X2 [k] PN −1 1 1 x1 [n]x2 [n] N m=0 X1 [m]X2 [hk − miN ] Tabela J. TET / UFF .3 Transformada Z bilateral P∞ x[n] X(z) = k=−∞ x[k]z −k ROC δ[n] 1 z 1 u[n] 1−z −1 |z| >1 z − {0} . Seqüência Transformada Z ROC x[n] X(z) Rx x1 [n] X1 (z) R x1 x2 [n] X2 (z) R x2 a1 x1 [n] + a2 x2 [n] a1 X1 (z) + a2 X2 (z) x[n − ND ] z −ND X(z) an x[n] X( az ) z0n x[n] X( zz0 ) z0 Rx ejΩ0 n x[n] X(e−jΩ0 n z) Rx x[−n] X(z −1 ) x[r]. ND < 0 1 αn u[n] 1−αz −1 |z| > |α| αz −1 nαn u[n] (1−αz −1 )2 |z| > |α| 1−cos(Ω0 )z −1 cos(Ω0 n)u[n] 1−2 cos(Ω0 )z −1 +z −2 |z| > 1 1−sin(Ω0 )z −1 sin(Ω0 n)u[n] 1−2 cos(Ω0 )z −1 +z −2 |z| > 1 1−r cos(Ω0 )z −1 rn cos(Ω0 n)u[n] 1−2r cos(Ω0 )z −1 +r 2 z −2 |z| > r 1−r sin(Ω0 )z −1 rn sin(Ω0 n)u[n] 1−2r cos(Ω0 )z −1 +r 2 z −2 |z| > r Tabela J. Transformada Z bilateral 325 J.3. ND > 0 δ[n − ND ] z −ND z − {∞} . n = rk w[n] = X(z k ) 0.6: Propriedades da Transformada Z bilateral.J.5: Pares de Transformada Z bilateral. n 6= rk para algum r x1 [n] ∗ x2 [n] H X1 (z)X2 (z) x1 [n]x2 [n] 1 2πj C X1 (v)X2 ( vz )v −1 dv Pnnx[n] −z dX(z) dz 1 k=−∞ x[k] 1−z −1 X(z) Tabela J. .7: Relação de Parseval na Transformada Z bilateral..326 Apêndice J. Tabela J. A.V.8: Propriedades da Transformada Z unilateral..4 Transformada Z unilateral Elaborar tabela .S. J. Tabelas úteis P∞ x1 [n]x∗2 [n] = 1 X1 (v)X2∗ ( v1∗ )v −1 dv H n=−∞ 2πj C Tabela J. Hazzan. Young. [She95] K. Willsky. NY. 1986. and S. LATEX: A Document Preparation System. Proakis and D. Jackson. O. New York. A. Tata McGraw-Hill. Prentice-Hall PTR. 2010. [Rob09] M. Liu. Cambridge. Oppenheim and R. 1995. UK. NJ. ISBN 0-201-52983-1. 327 . Fun- damentos da Matemática Elementar (vol. [OS75] A. Prentice-Hall. 1985. [Mit98] S. Digital Filters and Signal Processing . R. Englewood Cliffs. Roberts. S. [PL76] A. Algorithms and Applications. 1994. G. NY. Iezzi. [SDD84] W. 1975. [Jac96] L. John Wiley. Englewood Cliffs. G. NJ. B. B. McGraw-Hill. [IMD+ 85] G. 1 – 10). Dolce. Kluwer Academic Publishers. [Lam94] Leslie Lamport. Digital Signal Processing in Telecommunications. 1996. Atual Editora. Prentice Hall. Shenoi. McGraw-Hill. Manolakis. 2nd reprint edition. Machado. 3rd edition. 4th edition. A. [Cad73] J. J. SP. Addison-Wesley. 1998. NJ. [PM06] J. 2009. São Paulo. Cadzow. Digital Signal Processing. Upper Saddle River. A. C. Antoniou. N. [OWY83] A. da Silva. Diniz. 1976. Signals and Systems. Mitra. [DdSN10] P. Dougherty. Virginia. Schafer. Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach. NJ. 2nd edition. J. Digital Signal Processing: System Analysis and Design. Design and Implementation. Prentice-Hall. Oppenheim. New Delhi. V. and N. T. Peled and B. Cambridge University Press. Dougherty. 2nd edition. S. K. 1984. São Paulo. D. SP.with MATLAB exercises. Fundamentos em Sinais e Sistemas. E. G. Reston. and I. Prentice- Hall. Digital Signal Processing: Principles. Discrete-Time Systems: An Introduction with Interdisciplinary Ap- plications. Mas- sachusetts. Signals and Systems. Murakami. Pompeu.Referências Bibliográficas [Ant86] A. Digital Signal Processing: Theory. Englewood Cliffs. 2nd edition. 1983. Digital Filters: Analysis and Design. 2006. Stanley. India. R. Lima Netto. Prentice- Hall. V. 1973. and R. New York. S. W. V. Strum and D. E. . Kirk. Addison-Wesley. First Principles of Discrete Systems and Digital Signal Processing. D. A. Massachusetts.328 Referências Bibliográficas [SK89] R. 1989.S. 4 operações básicas. 10 Diagrama de sistema objeto do. definição. 9 associação “comb filter + resonator ”. 109 resposta de SLIT relaxado. 102 97 equacionamento de estruturas recursivas. 100 aliasing. 8 biquad. 65 SFG (Signal Flow Graph). 65 Equação de diferença teorema da amostragem. 91 ação do. 4 linha de retardo. 36 operador de deslocamento. 99 implementações analógicas e digitais. 65 associação com um sistema. 102 sistema FIR (Finite Impulse Response). 100 Amostragem represetações gráficas. 96 associação cascata. 8 Diagrama de blocos agente do. 91 Índice definição. 109 comprimento. 102 associação com sinal amostrado. 8 diagrama de sistema. 33 interpretação. 110 simetria. 100 mais comumente empregadas. 8 realimentação.Índice Remissivo Aliasing. 92 Processamento de sinais propriedades. 42 329 . sivas. 95 Associações básicas de sistemas cálculo da saı́da do sistema. 117 Processamento digital de sinais casos particulares de interesse arquitetura de sistemas de. 99 arquitetura do. 36 blocos básicos. 99 97 equacionamento de estruturas não recur. 100 processo de. 35 representações gráficas vários critérios. 103 Seqüência estrutura transversal. 99 domı́nio do. 98 sistema. 65 transposição. Resposta ao impulso 109 definição. 91 combinador linear. 8 de complexidade genérica. 64 taxa de Nyquist. 39 associação com tempo. 110 sistema numérico. 93 lattice. 110 periodicidade. 99 classificação quanto a: operador atraso unitário. 36 operador de transferência. sistema IIR (Infinite Impulse Response). 91 FIR com coeficientes simétricos. 94 Convolução linear convergência. 95 definição. 35 operador avanço unitário. 102 associação com sinal digital. 98 classificação quanto à realimentação do associação paralela. 108 exemplos. 63 faixas de freqüências. 75 estabilidade. 75 linearidade. soma de convolução circular. 73 definição de. 60 relação com a seqüência senoidal. 3 classificação quanto a: número de variáveis independentes. 89 extensão periódica. 39 zero-padding. 34 exemplos de aproximação discreta. 37 impulso. 61 periodicidade. 79 notação para seqüência amostrada. 37 cálculo da saı́da usando a resposta ao deslocamento temporal circular. 99 escalamento temporal. 82 operações básicas Sistema Linear e Invariante ao Tempo (SLIT) adição. 37 97 sobre seqüências simétricas. 8 visão fı́sica. 61 perı́odo fundamental. 60 Sinal.330 Índice Remissivo notação comum para seqüências. 34 implemetação de sistemas digitais. 37 realimentação. 45 tipos de. 73 exemplos de sistemas amostrados. 91 deslocamento temporal linear. 73 número de entradas e de saı́das. 74 memória. 59 decomposição usando exponenciais. 34 81 notações. 60 caracterı́sticas relevantes. multiplicação.S. 76 sinal manipulado. 73 passividade. 38 representações. 3 Sistema classificação quanto a: causalidade. 35 Seqüência exponencial ambigüidade na representação. 3 tipo das variáveis. 37 relações de dependência entre seqüências. . 60 funções com dependência exponencial de Ω. 3 definição de. 76 invariância ao deslocamento. 38 sistema FIR (Finite Impulse Response). 39 97 soma de convolução linear. 4 definição. 34 implemetação de sistemas amostrados.V. notação para seqüência discreta. 8 estados e variáveis de estado. 3 visão matemática. 76 A. 41 sistema IIR (Infinite Impulse Response).

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