Apostila Resistência Dos Materiais

RESISTÊNCIADOS MATERIAIS © SENAI - PR, 2001 CÓDIGO DE CATÁLOGO : 2801 Trabalho elaborado pela Diretoria de Educação e Tecnologia do Departamento Regional do SENAI - PR , através do LABTEC - Laboratório de Tecnologia Educacional. Coordenação geral Elaboração técnica Marco Antonio Areias Secco Edmilson Gabriel de Lima Equipe de editoração Coordenação Diagramação Ilustração Revisão técnica Capa Lucio Suckow Dalva Cristina da Silva Dalva Cristina da Silva Edmilson Gabriel de Lima Ricardo Mueller de Oliveira Referência Bibliográfica. NIT - Núcleo de Informação Tecnológica SENAI - DET - DR/PR S474r SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001, 98 p CDU - 620 Direitos reservados ao SENAI — Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Regional do Paraná Avenida Cândido de Abreu, 200 - Centro Cívico Telefone: (41) 350-7000 Telefax: (41) 350-7101 E-mail: [email protected] CEP 80530-902 — Curitiba - PR SUMÁRIO CAPÍTULO I .......................................................................................................................... 05 1. Introdução........................................................................................................................ 05 2. Hipóteses simplificadoras ............................................................................................... 07 3. Tensões ........................................................................................................................... 08 4. Deformações .................................................................................................................. 09 5. Tipos de esforços ............................................................................................................ 10 Lei de Hooke......................................................................................................................... 11 Simbologia das tensões ....................................................................................................... 17 Razão ou coeficiente de poisson ......................................................................................... 18 Equilíbrio dos corpos ............................................................................................................ 19 Condições de equilíbrio ........................................................................................................ 19 Estrutura .............................................................................................................................. 22 Exercícios resolvidos ........................................................................................................... 26 CAPÍTULO II ......................................................................................................................... 31 Cisalhamento ....................................................................................................................... 31 Tensão de cisalhamento ...................................................................................................... 31 CAPÍTULO III ........................................................................................................................ 39 Torção .................................................................................................................................. 39 Momento torçor ou torque .................................................................................................... 39 Distorção .............................................................................................................................. 40 Diâmetro dos eixos .............................................................................................................. 42 CAPÍTULO IV........................................................................................................................ 47 Flambagem .......................................................................................................................... 47 Carga crítica ......................................................................................................................... 47 Comprimento livre de flambagem ........................................................................................ 48 Índice de esbeltez ................................................................................................................ 48 Tensão crítica ....................................................................................................................... 49 Flambagem nas barras no campo das deformações elasto-plásticas ................................ 49 ...... 80 Momento de inércia raio de giração e módulo de resistência ................................................................................... 83 ............................................................................. 75 Alfabeto Grego ....................................................................................... 71 Tensão Ideal: Flexão + Torção ................................................................................................................................................. 81 Solucionando problemas ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 76 Propriedades mecânicas .............................................................................. 73 CAPÍTULO VII ........................................................................ 75 Velocidade (MRU) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................... 53 Momento fletor m .............CAPÍTULO V ...... 71 Tensão Normal: Tração + Flexão ...... 72 Tensão Tangencial: Flexão + Cisalhamento ............................................................................................................................................................................................ 53 Flexão .prefixo SI .. 72 Problemas resolvidos ............................................................... 79 Características geométricas das superfícies planas ........ 71 Solicitação composta ........................... 56 Força cortante Q .................................................................................................................................................................................................................. 75 Sistema MKS (Glorgl) Sistema internacional (SI) ................................................... 56 Exercícios resolvidos ....................................................................................................... 60 CAPÍTULO VI....................................................................................................................................................... 72 Tensão Ideal: Tração + Cisalhamento .................................................................................................................................................................................................................. 75 Unidades fundamentais e derivadas .............................. 75 Sistema CGS ................................... 76 Tabela I ........................ 55 Dimensionamento na flexão ........................................................... .................................... .............. ........................................................... As equações de equilíbrio estático são aplicadas às forças que atuam em alguma parte do corpo para que se obtenha uma relação entre as forças externas atuando no elemento e as forças internas que RESISTEM à ação das extermas................ transformar as forças internas resistentes em externas............................ .................................... teríamos: 5 SENAI-PR ..... o paragráfo acima......................... .CAPÍTULO I 1.................................................................. ..................... ............ A parte do corpo situada em um dos lados do plano secante é removida e substituída pelas forças que ela exercia sobre a região seccionada da outra parte do corpo..... ............. a deformação e as cargas externas.......................... a resistência dos materiais considera não somente os esforços............... .............. . ........... ................................................ .. ...................................................... à forças de atração molecular.................................................................. .......... Já que as forças atuando no “corpo livre” o mantêm em equilíbrio............. onde se estuda somente as forças externas (condições de equilíbrio) e se supõe que os corpos não apresentam deformações (corpos rígidos)........ ....... .............. ........................ .... As forças internas resistentes correspondem na verdade..... .......... uma vez que as equações de equilíbrio devem ser expressas em termos de forças atuando externamento ao corpo.................................................................... ............ ........ ................................. .................................... chamado de TENSÃO..................................... ................... .......... O primeiro passo para o método de análise mais comum utilizado em resistência dos materiais consiste em se admitir que o elemento está em equilíbrio............................................... ................... Diferentemente da Mecânica........... .......... ............................................... ...... ................................................................ ............. como também o material e as condições de estabilidade e segurança..... INTRODUÇÃO A resistência dos materiais é parte da ciência que lida com a relação entre as forças internas......................................................................................... ................................................................................ ............................ ...................... .......... pelo ponto de interesse............................................................. .......... e são geralmente expres-sas por um termo muito utilizado em resistência dos materiais...................... podem-se aplicar ao problema as equações de equilíbrio................... . ...................... ........ Isto pode ser conseguido passando-se um plano através do corpo............................................................................. ........................ É necessário então. .............. Ilustrando esquematicamente.................................. ................................................................... .................................................................... ................................ ................................................................................................................................ submetido à algumas cargas externas (ativas e reativas) onde: P1............................. ......... de modo que a porção do corpo considerada permaneça em equilíbrio: onde: σ = tensão (característica que depende da estrutura interna do material considerado) 6 SENAI-PR ................ ...................... ..... ............................... ................................... ............ ............................................ P2 e P3 = cargas ativas R1 e R2 = cargas reativas (2) sobre o corpo anterior..... passamos um plano secante em qualquer porção corpo.................................................... ........... ..................................................................................................................... ........... ..... ........ ..... ................. .......................................................... ... ................ ............................................... .......... .... ...... ...................................................................... .................. ................... ................................................................................. ........................... ........ . removendo uma das partes: (3) como uma parte do corpo foi removida...................................................................... ............... ......................................................................................(1) um corpo qualquer em equilíbrio..................................................................................................... .................... .. .............................................................. devemos representar o efeito das forças internas (forças de atração molecular) sobre esta parte....... .................................. ................. ........ .................. .................................................................................. ....................... Enquanto materiais comuns na engenharia como aço....................................................................... 7 SENAI-PR ............................................. .. .. (03) o corpo asalisado é homogêneo ............................................. ....................................... com propriedades mecânicas variadas................ . ....................................... .... . ............................... ............................................................................. ...................................................ou seja........... • descontinuidades estruturais podem ser encontradas em peças fundidas ou peças obtidas por metalurgia do pó.... ................ .............................................. ............................................. . ................................................. Isto ocorre em função dos seguintes fatores: • a maioria dos metais é constituído de mais de uma fase.............. .... (02) o corpo analisado é contínuo ................... Contra-exemplo: cimento (sendo o cimento uma mistura de diversos mateirais.ou seja... ...........ou seja........ .......... . de modo que as propriedades não são idênticas a cada ponto........................................................................... Contra-exemplo: madeira (um pedaço de madeira é mais resistente na direção de suas fibras do que em outras direções)........ .. não apresentam qualquer homogeneidade ou características isotrópicas quando vistos através de um microscópio.. ........... ............................................................... ....................... apresenta propriedades idênticas em todos os pontos de sua estrutura........ ......... ............................................................. possuindo propriedades variadas em direções cristalográficas diferentes...................... possuem segregações químicas........ mesmo que monofásicos.................................. ........ existem pontos resistentes do que outros)...................... .............. .......... ...........2....................................................... • os metais são constituídos de grãos cristalinos.... • etc....................... .............................. .. ......................................................................... .... ..... ............................................ São elas: (1) o corpo analisado é isotrópico .............................. .............................................................. ........... ....... caracterizando defeitos como vazios e discordâncias.. Hipóteses simplificadoras Existem hipóteses importantes em Resistência dos Materiais e que devem ser conhecidas para aplicação das equações a serem apresentadas posteriormente............................ ferro fundido e alumínio satisfazem aparentemente estas condições se observados macroscopicamente......................................................... • os metais................................ o corpo em análise não possui cavidades ou espaços vazios de qualquer espécie em sua estrutura (ocorre uma distribuição uniforme da matéria).......... possui propriedades idênticas em todas as direções e orientações............. ................. .......................... ......................... ............. ...... .. ........ .......................................................... atuante sobre a secção transversal considerada σ = componente de “p”................. onde substituímos a parte direita do corpo por “infinitas” parcelas de forças internas e substituindo estas “infinitas” forças por uma resultante....................................................... .................................................................................... . entre outros........ ......................................... ...................... ...... Tensões Genericamente pode-se definir “tensão” como a resistência interna de um corpo a uma força externa aplicada sobre ele... .................................................................... ............. ............ ............................................... .................. Isto se deve ao fato das análises serem feitas a nível macroscópico e a utilização dos chamados “coeficientes de segurança”......... .. .............. ............ ..... ................ ............................................................................................... ............................................................................. teríamos: onde: p = tensão total resultante. tangente ao plano ............. .................................................................................................................. 3...................................... normal ao plano -TENSÃO NORMAL τ = componente de “p”.... .................................................................................... .......... ..................... ......................................................................................... . .......TENSÃO TANGENCIAL 8 SENAI-PR ....... . ou seja... ............................ ... a Resistência dos Materiais utiliza equações que supõem as hipóteses simplificadoras......................................................................... Retornando a figura anterior............ equações simplificadas que desprezam os fatores acima............. ....................................................................................... .................................. ......................Deve-se ressaltar finalmente que............................................... ... por unidade de área.................... . ............................................ apesar dos fatores acima listados................. .................................. ................... ........... ........................................................ ................................................................. que os corpos são deformáveis........ ou seja................................ .................... considerando então....................................... ............ . ............ ................... ............................................................................................... .................................................. não existe nenhum corpo que seja perfeitamente rígido e não deformável................ ....................... não existe em situações reais....... (1............................................................ .................. Deve-se ressaltar....................................... ....................... . ou seja............ 4.................... ......... por unidade da mesma dimensão........................................ Deformações Deformação pode ser definida como a variação de uma dimensão qualquer de um corpo... ....................... .... ............. ................................. 9 SENAI-PR ...........................................................................2) Deve-se observar que as forças internas estão contidas no plano da secção transversal............. um esforço cortante. ..apesar de matematicamente iguais........ Deve-se observar que as σ= forças internas são perpen-diculares F A (1...... ............ Em Resistência dos Materiais trataremos então dos casos reais.................................................1) ou normais ao plano da secção transversal............Forças axiais Chamamos de tensão normal ao tipo de tensão oriunda de um esforço que tenha a direção do eixo da barra............ ..2) fornece a tensão tangen-cial em uma barra submetida à ação de força cortante: Nota ......................... um esforço axial................................... A equação (1.............. que o conceito de “corpo rígido” visto em Mecânica................................................... Tensão normal ...................................... .................... ....... .................... ...................... . ....... .. . o que poste-riormente será discutido com aprofundamento................. ......................................... .... ............ ................. .................. ........... ..a......................................................... Tensão tangencial ........................................ ................................. ............................Forças de cisalhamento Chamamos de tensão tangencial ao tipo de tensão oriunda de uma esforço que tenha a direção perpendicular ao eixo da τ= F A barra.............................. ..................................... ....................... quando esse corpo é submetido a um esforço qualquer....................... A equação (1......... ...................... ou seja............................1) fornece a tensão normal em uma barra submetida à ação de força axial: b.................... ................... ....... a diferenciação das tensões normal/tangencial é extremamente importante para o entendimento dos esforços existentes em Resistência dos Materiais............... ............................................................................... ............ ................................. ................ (2) Esforço de COMPRESSÃO ............ ... .......................................................................... ......................................................................................................................... Tratase também de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal. .............. F F Exemplo prático: cabo de aço de um elevador....... ................ .......... ......................................... ........ F F Exemplo prático: parafusos......... .................................................................................................... ......... ........................................................................... . ...........esforço que tende a cortar ou cisalhar o corpo/estrutura em questão..................... . .......................... .................................................... .. ................... o conhecimento de todos os esforços existentes e as respectivas tensões a serem conside-radas em cada caso.................................................. Trata-se de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal................................ .......... Trata-se de um esforço transversal (perpendicular ao eixo) e a tensão correspondente é a tensão tangencial........ (3) Esforço de CISALHAMENTO .................... ..................... ................ ......................................... ....................... Para nós é importante então................. pinos e rebites de uniões 10 SENAI-PR .................................. Tipos de esforços A Resistência dos Materiais é na verdade um conjunto de capítulos...5.. ..........................................esforço que tende a “empurrar” ou encurtar o corpo/estrutura em questão............................. .......................................................... ........... ......................................esforço que tende a esticar ou alongar o corpo/estru-tura em questão.......................................... ................... .............. A princípio será feito um comentário geral sobre cada tipo de esforço................................................ ............. divididos em função do tipo de esforço que possa vir a comprometer a peça ou estrutura em questão................................................................... .... ..... ............................................................. ................................. ficando a sua análise detalhada nos capítulos seguintes....... .... ... (1) Esforço de TRAÇÃO ............ .................................................... F F Exemplo prático: colunas ou vigas de uma estrutura civil................. ... .......... .............. ................................... ... ..................................... ................ bem como na área da secção transversal inicial........................ ......................... ................................. ............... Trata-se de um esforço tangencial (perpendicular ao eixo) e a tensão correspondente é a tensão tangencial......................................................................................... ........................................................... .. .......... ...esforço que tende a girar uma secção transversal em relação à outra adjacente de um eixo de transmissão................................. Robert Hooke........................................................................................................... .... .... .................................................................... .......... (5) Esforço de TORÇÃO ................................. F Exemplo prático: vigas estruturais.............. .. ....... ... .................................. ..................... . ........................ Exemplo prático: eixos de transmissão de potência....... ...... Ao fenômeno da variação linear............................ ...................... o cientista inglês.. ............................................................................................................................................................. ............................................... Hooke denominou alongamento................ .. ........ ................................ sofre variação na sua dimensão linear inicial........... ......................................... ................ constatou que uma série de materias..................................................(4) Esforço de FLEXÃO .....esforço que tende a flexionar ou encurvar uma viga/eixo em questão... ................... Lei de Hooke Após uma série de experiências............... Trata-se de um esforço normal (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal (trata-se na verdade de uma combinação dos esforços de tração e compreesão............................... ............................ quando submetidos à ação de carga normal......................................................................... ................................................ ....................................................... ........................................................................................................ ....................... .............. constatando que: 11 SENAI-PR .... .. ............. conforme veremos adiante). no ano de 1678......... ............ ....................................................... ... .carga n orm al a plicad a {N .... .... ............................. menor o alongamento....................... ....................................... médio através do seu módulo de elasticidade................................ ....... quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material....................................................} σ ................ ............. A E Como σ = F A podemos escrever a Lei de Hooke: ∆l = σ......................................................... e o comprimento inicial da peça....................................a lon ga m en to da pe ça {m .................................................... .∆l lB l ∆l .............. ..} ....á rea da se cção tra nsve rs al { m 2......... .....................................................alongamento {m............ ....................... ........................ .......................................................... .. ................} l ........ e será negativo quando a carga aplicada comprimir a peça............... maior o alongamento................. ...........................................................} F ..................... .... ............................... ........ F l lf ∆l lf l l f = l +∆ l O nde: F l f = l ........................... .....comprimento final da peça {m........ ........................... .. .... ........................................ten são n orm al { P a ........................... l E onde: ∆l ...............• quanto maior a carga normal aplicada......... ............. .............. ........................ .......... ............. .........m ó du lo d e elasticid ad e do m ate rial {P a .....................com prim en to inicial d a pe ça {m ............... .........................................} A ..} .............. ..} E ...... .................................................. ....... .................... .................................. ....... ......... e que.................................................................................} O alongamento será positivo............................................ ....................... resultando daí a equação: .... ............. .. .. .....} 12 SENAI-PR ∆l ................................................................................................ ........................................l ∆l = F .................................................................................. ...comprimento inicial da peça {m............. ....................... quando a carga aplicada tracionar a peça....... ..................................................... .... ..............................................................................................................} µc ε εt F 13 SENAI-PR ...............Deformação longitudinal ( ε ) Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (µ......... ..... ........ ................ ...............................................} ε .............................................. ........................................................coe ficien te de P o isson a dim en sion al ........ .............alon ga m en to {m ................................................ .................. .................} E ..... .................................... ........ ... .............................................. ..... ........................................................ ........... ...... ...ten são n orm al a tu an te { P a .................................................. ... .......................................................................................................com prim en to inicial {m ......... .........m ó du lo d e ela sticida de do m aterial { P a .....................................c) de uma peça submetida à ação de carga axial....... .......... ..} ............................... Sendo definida através das relações: ε µc ε= ∆l l = σ E F Deformação transversal (εt) Determina-se através do produto entre a deformação unitária (ε) e o coeficiente de Poisson ( ν )....... ... ............................. como ε= ∆l l = σ podemos E escrever: εt = νσ E εt = _ νε Ou onde: εt .............................................. ................... ............................................... .......... ......................... ........................................................................................................de form açã o tran sversa l ad im e nsio na l σ ..................................... ..... ............................ ............ ........................................... ...................de form açã o lon gitu dina l a dim en sion al ν .................................................... ............................................. ........................................................................ ......... ................. ... ........................ .............. ........................................................................................ “A” E máx r F B e A p “B” C D A α R e giã o de D ef.L im ite d e ru p tu ra d o m aterial 14 SENAI-PR . P lá s tic a P onto 0 . quando submetido a ensaio de tração. Ex. apresenta deformação plástica. quando submetido a ensaio de tração não apresenta deformação plástica. para atingir o rompimento. precedida por uma deformação elástica.: aço. gesso.L im ite in fe rio r d e es coam e n to D .L im ite s u perior d e e sco am ento C .L im ite m áxim o de res istência P on to F . alumínio.L im ite d e p ro po rc ion alidad e B . Ex.: concreto. cristal. são classificados como dúcteis ou frágeis. Material frágil (B) O material é classificado como frágil. porcelana. níquel. Material dúctil (A) O material é classificado como dúctil. cerâmica.Início de en saio carga nula P onto A . passando da deformação elástica para o rompimento. conforme as suas características. ponto de ruptura do m aterial P on to P on to P on to P on to P on to 0 .Início d e en saio carga n u la A .F in al d e esc oam en to início d a recup eração do m aterial P on to E . latão. vidro. baquelite etc. cobre.Materiais dúcteis e frágeis Os materiais. E lá stic a 0 E sc oa m e nto R e cu peraç ã o E stric çã o de form ação elástica ε R e giã o d e D e f.Lim ite m á xim o de resistência. etc. acrílico. bronze. .... ........... ........... ............ essa tensão deverá ser mantida na região de deformação elástica do material.. ... .......................... Para o nosso estudo............. visando principalmente a redução do peso de construção como acontece no caso de aviões......................................................... ................ podemos citar: Um parafuso prenden- (ten são ) do uma luminária..................Tensão admissível σou σadm A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias apresentadas........ ............................ ............................................................................................... . .......................................................................................................... ........ ............................................. ......................... ............................... ................... ... Porém...................... ................... restringir-nos-emos somente ao primeiro caso (região elástica) que é o que freqüentemente ocorre na prática.................................................. .............................. ................ há casos em que a tensão admissível poderá estar na região da deformação plástica do material.......................................................................... ................... .. .................................................................................................. σr (tensão de ruptura) coeficiente de segurança para os materiais frágeis....................... .. .......................... mísseis.. t (ten são ) 15 SENAI-PR ............................... ............................ .......................................... ...................... foguetes........................................ A tensão admissível é determinada através da relação σe (tensão de escoamento) coeficiente de segurança para os materiais dúcteis............. ..................................................................... .................................. ............ .......... etc...................................... ........................................................................... ........................ σ= σk e σ= σr k materiais dúcteis materiais frágeis Os esforços são classificados em 3 tipos: Carga estática A carga é aplicada na peça e permanece constante...................... ............. ...... .................. como exemplos.......................................... .............................................. ...................... Geralmente....................................................... .... ............................ ........ Uma corrente suportando um lustre... .............. ......... .............. ................................................. Ao atingir o ponto máximo.............................................. ......................................... amortecedores. Ex....................... 16 SENAI-PR ................ ......................................................Carga intermitente Neste caso............ ....... .......... ................ .... ..................................... a carga é retirada gradativamente no mesmo (ten são ) intervalo de tempo utilizado para se atingir o máximo................ .. molas..... ......................................................... .. ................................................... ............................................... constituindo-se na pior situação para o material................................... ............................................ a carga é aplicada gradativamente na peça............... ............................................. O projetista poderá obter o coeficiente em normas ou determiná-lo em função das circunstâncias apresentandas............................................................ ............................ ....................... ............................... ........ ............. Coeficiente de seguranla k O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de construção................................... etc............................. . ...... ................................... utilizando para isso um determinado intervalo de tempo......................... .....................: eixos...... .............. ............................. .... .............................................. fazendo com que a tensão atuante volte a zero................ ............................. ................................................................... E assim sucessivamente..............................: o dente t (ten são ) de uma engrenagem............................ a carga (ten são ) + - aplicada na peça varia máx de máximo positivo t (ten são ) máx para máximo negativo ou vice-versa.............................................................................................. ............................. ...... . ......................... .......................... fazendo com que o seu esforço atinja o máximo................ Ex...................................................... . visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo...................... .................................................................................. Carga alternada Neste tipo de solicitação..... ....... .......... ............................. ........ .............. ................................... .......... ................. .5 para aços de qualidade e aço liga valores para y (fator do tipo de solicitação) y = 1 para carga constante y = 1 para carga interminente y = 3 para carga alternada valores para z (fator do tipo de carga) z = 1 para carga gradual z = 1..................... ................... ..... ............ ................................ ...................................... ...........................................w valores para x (fator de tipo de material) x = 2 para materiais comuns x = 1............................. ........... para o material dúctil e ou aplicado a σ .......... ........................................................................................ ..... SIMBOLOGIA DAS TENSÕES 17 SENAI-PR ................................................... normalmente utiliza-se 2 ≤ k ≤ 3 aplicado a σe (tensão de escoamento do material)........................................................Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias apresentadas......... ... ................................... ....................... o valor de k cresce como nos mostra a equação para sua obtenção...... ................................................................. .. ... ................ (tensão de ruptura do material) para o material frágil.................. ............................................................. ... ....... deverá ser utilizada a expressão a seguir: k=x........... ...................................................................... ......................... ........................................................................... .5 para aços e outros materiais w = 1............................................ ...... .......... ......................................................................................................... . ...........z...................................................................................................................................................................... ............5 para choques leves z = 2 para choques bruscos valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação) w = 1 a 1..........................y......................................................................5 a 2 para fofo Para carga estática.............. ................... ..................... ..................................................................................... .... .................................... Para o caso de cargas interminentes ou alternadas..................... ......... ...... dependendo do sentido da tensão normal aplicada........... ................................. Com isso em mente. .......................... . ................................................................................ ............... Geralmente está na vizinhança de 0......... a expansão ou contração lateral (transversal) que ocorre perpendicularmente a direção da tensão aplicada.......................... e é normalmente alcançado durante o escoamento plástico significando constância de volume.. ................................. Em casos extremos ocorrem valores baixos como 0................................ Para clareza pode-se redescrever assim o fenômeno: se um corpo sólido for submetido à tensão axial................................ onde as deformações aparecem exageradas................... ........ por outro lado............................. ...................... se ele for comprimido.................................................................. .......................................................... ........................ ........................................ ....... ............................................ P .......1 (alguns concretos) e elevados como 0................................... a saber....... .... sabe-se que além da deformação dos materiais na direção da tensão normal aplicada..................... ......................... ..................................... ............. ....... ............. ........................................................................ .................... ........ outra propriedade marcante pode ser observada em todos os materiais sólidos............... A relação entre o valor absoluto da deformação na direção lateral e a deformação na direção axial é a razão ou coeficiente de Poisson... as direções das deformações laterais são facilmente determinadas..................................... Esse fenômeno está ilustrado nas figs...... ..25 a 0............... ............ ...................................................................Razão ou coeficiente de poisson Pela experiência.. (B) (A) Form a final Form a final P Form a inicial Form a inicial Contração e expanção lateral de corpos maciços submetidos a forças axiais (efeito de Poisson)........... ................. ................................... ................ o material se expande para os lados......... ............ para diferentes materiais........... . ................................. ..........35................................................................................5 (borracha)............ numa faixa relativamente estreita............................................. ε ε ν= _ ε _ ε = y z d e fo rm a çã o la te ra l x x d e fo rm a çã o a xia l Pela experiência sabe-se que o valor ν flutua......................... ele se contrai lateralmente.............. ..................... ................................... O último valor é o maior possível para materiais isotrópicos......................................................................................... isto é..... . ............ 18 SENAI-PR ..................... .... .... ................. ............................................. (a) e (b)...... .............................. ...................... ......................................................................... ................................ ............. ........... determinando assim duas condições de equilíbrio: a resultante e o movimento em relação a qualquer ponto devem se anular....................................................... ................ .... ......................................... ................................................................. ....... 3 condições de equilíbrio: CO NVENÇ Õ ES M om ento Mi Forças verticais Vi Forças horizontais H i Y F1 Y1 Y2 V1 V2 F2 H1 H2 H3 Y3 F3 V3 X1 X3 X2 X 19 SENAI-PR ............................Equilíbrio dos corpos Quando o sistema de forças aplicadas num corpo se reduzir a uma única força resultante............. o problema pode ser resolvido decompondo-se as forças em duas direções X e Y perpendiculares.. ........................................... ......................................... segundo a direção dessa resultante............... ......................................... ............................ .............................................................................. ................................................. ....................................................................... ...... ......... obtendo-se dessa maneira........................ ................................... .... .......................................................................................... Condições de equilíbrio No caso em que o sistema é coplanar....... ......... ................................................................... .................................. Quando o sistema se reduzir a um binário............ o corpo deslicar-se-à em movimento retilíneo............. .................................................................................................................. . ....................... .............. . ...................... ............................................................ o corpo sofrerá uma rotação F1 F F F2 resultan te bin ário Para o corpo permanecer em equilíbrio é necessário que ele não tenha nenhum desses movimentos................. . ..................................................... .... .................... ................................................................. ........................................................... ..................................... ............................... ............ ...... .... por exemplo)............................ .... 8 0N Solução: A 200 F orça de extraçã o do pre go : ∑ M =0 B 50 F cos 3 4° = 80 x 20 0 F = 3 85 N B F c os34 º 34 º 50 20 SENAI-PR ..........1 ........... ... ........................V3 = 0 3ª condição: impede deslocamento horizontal........................................... ...................................H1 + H 2 ...................... ................................................ .................... quando uma carga de 80 N atua na extremidade A do exterior (“pé de cabra”)......................... ....................................................... ............. ...... .. ............. .......................... . ..................................................... ∑ Mi =0 H1y1 + V1x1 ...................................................................... .................................. ............................................................ em relação a um ponto qualquer................ ...................... ......................................... .............. ............. ..................... ∑ vi = 0 V1 + V2 ........................................... ............................ .............. ∑ Hi = 0 ................................................1ª condição: impede a rotação Para que um corpo não entre em rotação é necessário que a soma algébrica dos momentos de todas as forças.................................. seja nula (em relação ao ponto 0.......... ....................... ............................ ............................................................................................... Para que um corpo não seja deslocado verticalmente é necessário que a soma algébrica de todas as forças verticais seja nula.......................................................................... ........................... ........ ........................V3x3 = 0 2ª condição: impede deslocamento vertical............................. ............ ................................................................ ................................... Para que um corpo não seja deslocado horizontalmente é necessário que a soma algébrica de todas as forças horizontais seja nula.. ...........................................................................................Determinar a força que atua no prego............ ............................................................ ..................... ............. .......... .H 3 = 0 Ex.... ... ................................................................H2y2 + V2x2 + H3v3 ........ no caso representado na figura dada... 25 + R 2 2 AV AH 2 A R A ≅ 15 kN 2 AV .8 = 15 kN F C sen 37° = 1 8.2 .6 = 11.O guindaste da figura foi projetado para 5kN.3 . para que atue no parafuso o torque de 40 Nm.Determinar a intesidade da força F.21 7 m 2 3° ∑ 40N M0 =0 0.2 17 F = 40 m F= 2 0cm 40 0.9 2 cos2 3° a = 2 1.Ex.75kN C o m po ne nte s d e F C F C cos37 ° = 18 .75 x 0 .5 = 1 0 kN RA = 4 00 F C cos3 7° = 5 x 1 20 0 F C = 18 .7 5 x 0. Solução: 4 00 A Esforços na viga AC 8 00 B C 4 00 8 00 3 7° F c se n 3 7 ° 5kN R AH RA A R AV F c 3 7° 5 kN F c co s 3 7° F orça atuan te na ha ste d o cilind ro : R e aç õe s n a a rtic u laç ã o A R e aç õ e s n a a rticu laç ã o A ∑M A = 0 ∑F H = 0 R A H= F c s en 3 7 ° = 11 . Determinar a força atuante na haste do cilindro e a reação na articulação A .2 5 k N ∑F V = 0 R AV = F c c on 3 7 °.5 R AV = 1 5 .25 kN 21 SENAI-PR √R + R R = √11 . A distância a (centro do parafuso ao ponto de aplicação da carga F) será determinada por: 20 20 = 0.7 cm a= F a A a = 0 .2 17 ≅ 18 4N Ex. ................... .................... .............................................................. ............. ...... ............. .......................................... ........ Estruturas isostáticas A estrutura é classificada como isostática quando o número de reações a serem determinadas coincide com o número de equações da estática............... Exemplo: P1 P2 α R AH B R AV RB Estruturas hipoestáticas Estes tipos de estruturas são instáveis quanto à estaticidade.... ........................................................................ ............................. ............................. ...................................................................Estrutura Denomina-se estrutura o conjunto de elementos de construção....................................................... ............................................... composto com a finalidade de receber e transmitir esforços....... ....... . Exemplo: P A B RB RA núm ero de equações > número de incógnitas 22 SENAI-PR ............................................... .... ................................................... ..... em 3 tipos.................... ........................................... ....................... ...... ................................................................................................................... As estruturas planas são classificadas através de sua estaticidade................... .................................................................................................................... ................................................................................................................. ... sendo bem pouco utilizadas no decorrer do nosso curso............. ... .......................................... ... .............. ... ......................................... .............................................................................................................................................. ...... A sua classificação como hipoestáticas é devido ao fato de o número de equações da estática ser superior ao número de incógnitas........................... ................... ............................................................................................ .......................................................... ........ ... ......... ........................... ......... ..................... .......................................... ................................... ....... .................... ................ ......................................... ............................ ................. Representação simbólica: 23 SENAI-PR ............... ................ quando as equações da estática são insuficientes para determinar as reações nos apoios............................ ................................................................................................ Nas estruturas planas................ .......... ............................................................................... .................................................................. ............ ............. ........................................................... uma única reação (normal ao plano de apoio).. podemos classicá-los em 3 tipos..................................................................... .... ............. .................................. Exemplo: P B R RB núm ero de e quações < núm ero de inc ógnitas Vínculos estruturais Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os movimentos de uma estrutura............................... .... ......................................................... .................................................... fornecendo-nos desta forma. que serão estudadas posteriormente em resistência dos materiais... .............................................. ............................................ ................................. .. .. ........ ...........Estruturas hiperestáticas A estrutura é classificada como hiperestática.... Vínculo simples ou móvel Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção normal ao plano de apoio.......... .............. ............................ ................... .............. ..... devemos suplementar as equações da estática com as equações do deslocamento.......... ............................................ ................................................................................................................ ...................................... ................... .......... ............. Para tornar possível a solução destas estruturas............... ................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..... .......................... ................................................................... podendo desta forma nos fornecer................. ..................... ........................ ................................ . desde que solicitado........................ ............. ......... .................. ............................................................................ ...................................................... impedindo também a rotação do mesmo.. provoca uma deformação....................................... ................................. Rx M = im pede a rotação .......................... .............. ............................. na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio................................................................. .................. isto é.................................................................... ........ R x = im pede o m ov im ento de translação na direç ão y......... ......................... .. ................................................... ..................... .............................. .......................... Representação simbólica: Y Y X X Engastamento Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção...... ..... sendo uma para cada plano citado............. ....... ........................................ .................. ..................................................................................................... através de um contramomento......... .... ........................ ........................................................ Energia armazenada na deformação Já foi visto que a ação de qualquer força sobre um corpo altera sua forma................................. M P RY PY Px Rx M RY R x = im pede o m ov im ento de translação na direç ão x.................... que bloqueia a ação do momento de solicitação........................................................... ...........Vínculo duplo ou fixo Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções.............................. ................................................................. ........... lim ite de elasticidade P ∆T ∆l 24 SENAI-PR .............................................. ............... ...... ...... duas reações.................................................. ................. ......................... ..... ................................................................. ............................. ....................................... ......... ................................................................. o trabalho armazenado é medido pela área do triângulo hachurado em figura............................... ...................... ............................ .............................. .......... ..................... ................................... ...................................................... logo: 1 2 ∆T = P ∆l ((K kgm ) ) gm Quando a carga P atinge o limite de elasticidade a ENERGIA armazenada pela peça sem sofrer deformações permanentes é a MÁXIMA............. ................................ .................. .................. .......... o fator de segurança deverá ser o dobro........................................................................ Este esforço dispendido realiza um trabalho que é armazenado sob forma de energia potencial de deformação e desenvolvido quando o corpo de prova readquire a forma primitiva........... Resistência é a capacidade de um corpo de resistir à ação de forças.... ..........Por este gráfico nota-se que a carga aplicada cresce uniformemente de zero até um certo P.... ........ ............................. ......... ............ ................................................................................................................ ...................... ... 25 SENAI-PR .... .................................... .................................................... ................ .......................... .. ............... ............................................................... 2° .................................................................. .. ............Os materiais de pequena resiliência são chamados frágeis enquanto os de grande resiliência sâo chamados tenazes........................ Conclui-se que......................... Se a carga for aplicada lenta e gradualmente até o valor P inferior ao limite de elasticidade........................... ........................... ..................................................................................................................... rigidez é a capacidade de um corpo de resistir às deformações e a resiliência é a resistência aos choques..................................................... ............................. ....................... ................. ............................................... ................................... ............................. .. uma carga aplicada repentinamente produz um esforço interno duas vezes maior do que aplicado lenta e gradualmente.......................Não confundir resiliência com rigidez ou resistência...................... .................. Nestes casos................................... ............................. Q ∆T Q ∆I = 1 2 P ∆I ∴ P =2 Q ∆l Observações: 1° ..................... ........................... ................................. .................. E = 2000000 K g/cm .............. .......................................... ..................................................................... .........................................026 cm............ 12 t ......................................................... uma carga de 20 kg.... 4 cm 5 cm ....................................................... ∆ l = 1200000 ..................d ) ∆l = 2000000 .... .......... .. ............................................ ................. .......... .......... Calcular o alongamento total de um fio de cobre com ..........0314 = 0...... ....... .............0................ P ...... P = 3000 K g .... ........................................ ∆l = 0....................80 ............... S = π d /4 = π 0............... = 80 cm ..................... diâmetro 2 mm e comprimento 50 cm quando lhe é aplicada ... 3000 ......................................... .................. ... S ............... M aterial: aço m eio carbono ...............................................4 ) S= = 7 cm = 4 4 ...................................................................................... Problemas resolvidos l l 2 2 2 ∆l 2 80cm ∴ l 2 2 2 2 2 2 26 SENAI-PR .......... 1.................... P = 20 Kg ..... ........017 cm ....................... ....................................................................................................................................................... E = 1200000 Kg/cm . ∆l = E ... .......................... ............................................... Calcular o encurtamento dos pés da mesa em figura............................ S ...........................0314 cm ................................... 2.. l ∆l = E ........................................................... 20 50 l P...................... π (D ............. = 50 cm ................................................................................................................................................................................2 /4 = 0................ ......... Secção dos pés ...........7 π (5 .................................................................. ......................................................... ....... . categoria 8 x 19................ .................... ..... ...................................................... C arga de ru ptu ra P rup : P rup = n P coef..................... ......... . ................5 Kg/m m b.. ........ .................... cabine de 300 Kg e carga máxima 700 Kg.... ........................................................ .................... diâmetro d = 20 mm (adotado) 27 SENAI-PR ........................ ................. .... .............................. ....................... ........ ............................. Calcular os diâmetros do´d e D quando a porca exerce uma força axial de 2 t...... 4................. ..................................................................................................................................... ........................ ........................................... ................................ ............................................................. Escolher o cabo de aço para um elevador de baixa velocidade.................. ............................. ..................... .............................................. ........... ............................................................. ... diâm etro 5/8”........................................................................... ............................................................... ................. No dispositivo em figura a bucha é de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço ABNT 1030...... a.......................................................................................................................... ...... ..... diâmetro do (parafuso à tração) P σt = S do D d P d D P = 2000 Kg S = π d 2o /4 2 σt = 13.................... .................. .............................. ....................... ............ de seg........................................................................................ ........................3............................. ................................... .............................. n = 10 P = 300 + 700 = 1000 K g P rup = 10 10000 Kg Cabo de aço polido................................................ ................... 5 4 = 13..................................... .......... ...........................20 ) = 2 π (D .............................. ..... ........................................................................ ............................. ........................... ...................................... .. ................... ............................................................5 = 2000 π 4 ∴Parafuso W 11/16´´ 5... .........5 = do = 2 σt = 8 K g/m m 2000 D 2....... ....... ............................... ........ ........ alongamento porcentual............................................................................................. ............................................ ......0026 cm/cm ε = 0..................................... ............................................ ............c................................. ........26% 28 SENAI-PR ................................ a..........8 cm 8π 2000 π d 2o /4 ∴d 2000 13.......08 cm.. ....................20 )/4 2 √ 13............................................ ...........................08 cm = 30 cm ε= 0........ ............................. ................ . .......................... Um fio de comprimento 30 cm e diâmetro 1 mm foi submetido ao ensaio de tração e com uma carga de 40 Kg obteve-se um alongamento total de 0............. .....................................20 2 = D = P = 2000 K g 2 2 S = π (D ... ................................................. ......................................................................................7 m m π √ 2 o 13....................... tensão e módulo de elasticidade.......... ............................................................ Calcular o alongamento unitário............ ....... diâmetro D (bucha à compressão) σt = 8= ∴ 8 (D ..................... ....................... . ......d ) /4 P S 2 2000 8π 4 2 ∴D = 20008 π 2 2000 π 4 4 +20 2 2000 4 2 +20 = 26.................. ..................... ...................... ...................................... .................................................................... ....... alongamento unitário e percentual: ε = ∆l l ∆l l 30 cm ø 1 mm = 0.. ................................................................. ........08 30 = 0.......................................................................................................... ........................................... ................0026 ≅ 2000000 Kg/cm 2 6......................... ............... ....................................................... ......... ................................. ..b......................................................2 m m 29 SENAI-PR 1t ................................................. ................. tensão: σ= P = 40 K g P S 2 2 2 S = π d /4 = π 0.. ................................5d P σt = S d 1..................... ....0078 cm 40 0.................. .............................................. módulo de elasticidade: σ= E E= ε σ = ε 5130 0...................................................................................................................................... ........5 = d = √ 1000 π d 2 /4 1000 2 π 9.......................... .........0078 σ= = 5130 K g/cm 2 = 51.... ............................3Kg/m m 2 c........... ........ ..................................... ............................ . Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 t................ ............ ............... ..........................................5 ∴d 2 9.. .. t = 3....... ........................................... ....................................5 = 1000 2 π = 8.................................................................................5 d 1t P = 1000 K g 2 2 S = 2 π d /4 = π d /2 2 σ = 9................... ..................... ..... ................................................................................ ..... ....................... .. ....................... .................................................................. ............ ......1 /4 = 0............................................................. ...................... Material: aço ABNT 1040............................................................................. ............................................................................ .......... .... . ........... ................5 K g/m m t 9................................................................................................ ... .. .............. ......................... ..................................................................... ........ ....... ............................ P σt = S aço trefilado carregam ento I d P = 200 K g 2 S = π d /4 2 σ = 15. ........................... ...................5 ∴d 2 15........... ...................................................... ...... ........................ ............................................................... ...............5 = d = √ 200 π d 2 /4 200 15................. ............ ................. ...................................................................................... ............................................................ ....................5 = 200 4 π P 4 = 4 mm π 30 SENAI-PR ........................................... ............................................... ...........5 K g/m m t 15.......................... ...................................................................... .............................................................................................................. . ......... .................. ........................ ............ . Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030 destinado a manter suspenso um peso de 200 Kg......................................... . ..................................................................................... .................................... ............................................................................................ ......................... .......................... ........................................................................................................................................................................................................ ........................ ............................ .................... ................................................... ......7.................... ....... ............................................................. ............................... ................................................................ ............................................................... . a força cortante dá origem a um momento fletor......................... .. .............................................................. ............................................................. ..................................... .............................. ..... ...... .............................. .............CAPÍTULO II Cisalhamento Um elemento de construção submete-se a esforço de cisalhamento...... ................ ........ .................................... ............ τ= Q n........................................................ ......... que por ser de baixíssima intensidade................................................................................................... ................................. ................................... Se os elementos possuírem a mesma área de secção transversal............ ................................. Além de provocar cisalhamento............... que é definida através da relação entre a intensidade da carga aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento............... .................................................. quando sofre a ação de uma força cortante.. ....... Tensão de cisalhamento (ττ) A ação da carga cortante sobre a área da secção transversal da peça causa nesta uma tensão de cisalhamento.................... ......... .................................. .......................................... ............... Área da secção transversal Q Q τ= Q A cis Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento........................................................................... .......................................... ....................... ......................................................................A cis 31 SENAI-PR .. . ........... basta multiplicar a área de secção transversal pelo número de elementos (n)...... utiliza-se o somatório das áreas das secções transversais para o dimensionamento............................................................................................... .............................. ............... .......... .............................................................................................................................................. ......... ..... ........................ .......... .... Ex...... . ...................... ........................... τ = 105 MPa................................................................................ ..................................... .................................................. ... ............... ..... ........................ ............ ........... ou seja... ........... .... ..................... .............................. cada rebite sofre cisalhamento na sua respectiva secção AA........ ................ ........................ .............................................Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN aplicada conforme a figura. ................................ ............................................................................................. σd = 225MPa..................τ = tensão de cisalham ento [Pa.................................................... ..... A A 125 kN Solução: a. que a junta é simplesmente cisalhada................................. ........ ............. o esforço atuante em cada elemento será proporcional a sua área de secção transversal.................................... .......................................] Q = carga cortante [ N ] A cis = área da secção transversal da peça [ m 2 ] n = núm ero de elem entos subm etidos a cisalham ento [ adim ensional ] Se as áreas das secções transversais forem desiguais........................... .. ................................................ ................................................................. .................................................................. ................................................. ..... ............. Tem-se então que: τ= Q n ................................ ...................... ......................................... A cis Como os rebites possuem secção transversal circular e a área do círculo é dada por: A cis = πd 2 4 32 SENAI-PR .......... .............................................................................. tch = 8mm (espessura das chapas)................ ...................... .......................................................................................... ............. A junta deverá contar com 5 rebites....... ... ... ........................................... ...........................................................................................: 1 ....................................... Cisalhamento nos rebites Observa-se na figura........... .............................................. ........................ .. Distribuição Os espaços entre os rebites desta distribuição são os mínimos que poderão ser utilizados.......................... ................ ....... ............. ......... Para que possa ser mantida e reforçada a segurança da construção......................... .............. .................. t ch ....................................................................... .......... σd 125000 -3 5 x 8 10 x 225 x 10 6 d = 13...... ......4 m m 6 b...................................... os rebites a serem utilizados na junta terão d = 18mm (DIN 123 e 124)........... ........................... ......................................................... ........................... ................... ...................................................... ............... ....... ................................................................................................................................................................ .. ................................ ................................... .......................................................... ................... ................. c...................9 m m Prevalece sempre o diâmento maior para que as duas condições estejam satisfeitas.... Portanto......... Pressão de contato (esmagamento) σd = d= Q d = n ................................................ ..................................................................a fórmula da tensão do cisalhamento passa a ser: τ = 4 Q2 n πd d = √ 4 x 125000 5 x π x 105 x 10 d = 17.................................................................. o diâmetro normalizado do rebite deverá ser igual ou maior ao valor obtido nos cálculos. .......... ..................... d .................................... ................................ ................................................................................................... .................. 33 SENAI-PR ......... ... ............................................ ..................................................... ....... ............................ ............. ..................... ..................... As cotas de 38 mm representadas na junta são determinadas da seguinte forma: Supõe-se que as cotas iguais no sentido longitudinal e transversal................ .............. .... .................... .................................... t ch Q n ..................................................................................... ................................................................................. ............................... ......... ..... .......................................... ......... ................. .........................................................................38 38 36 27 36 38 54 54 38 54 27 54 Tem-se então que: 54 a a portanto: a = 54 cos 45° a ≅ 38 mm 34 SENAI-PR ...... ............................................................... ....................... ................................................................................ ............... ................................................... .... ................................................................................................................................................................. .................................................. ............... ... .................... ........................ ......................................................... ................. ............ ................................................................................................................................................................... ..................................... .......................................... ................................................... .......................... ...................................... ............................... .............. ......... ................ .......................... ........................... ........................................ ............................... .................... ........................................................................................................................................... . .... .............................. ................................... .................................................................................................................................................... 50 0 1 10 0 4 2 3 Solução: a..... Carga de cisalhamento A carga de 60kN divide-se igualmente para os 4 parafusos da junta....... ................. ....................................................... ............. ... ................... ...................................................................................................................................... ............ ............................. ................................ ........................................................................... ................... ....... .................. .......... Tem-se então: A excentricidade da carga provoca momento na junta.................................. ...... .................... ................................................ ............................. o que acarreta maior esforço nos parafusos.................................... σd = 225MPa espessura das chapas 16 mm................................................ 35 SENAI-PR .............. ........................ 1 5 kN kN 1m 1 5 kN Fm A carga de 60kN divide-se igualmente para os 4 parafusos da junta.. .... .... ................................................................................................................................................................ ............................................................. .................................................... ........................ .............Dimensionar os parafursos para se construir a junta excêntrica representada na figura τ = 105 MPa.............. ................................... ..................... ....... .................................. .................... Tem-se então: Fm 1 5 kN 30 1 5 kN Fm m Fm 0...........................................................: 2 .................................... ........ .................................... ....................... ....... ............ ... . ....Ex................. ..................................................................... ............ .................. ........................ .................................................. ......1 x F m = 60 x 0................. ....... sendo a sua intensidade 90kN.................................................................................... ..............1........ .... ............... ........ ......................15 = 6 0kN 15 kN F3 75 kN As cargas nos parafusos 1 e possuem a mesma 3 intensidade: F1 = F3 = √ 75 2 + 15 2 F 1 = F 3 = 76 ..................................................... ... .................................... .......................................... ................................. ........................................... ..........................................5kN Porém a carga máxima atua no parafuso 4 ............ .......................... ..... Dimensionamento b..Transformando-se as unidades para metro........................................ .... ...................................................................................................................................................... .................................................................................................. ........................... ............................................ b...................................... ......... .......................4 F m = 75kN 75 . .................... ........... ..................... .......................... escreve-se que: Fm: carga gerada pelo momento A carga que atua em cada parafuso é: F1 ∑M o = 0 15 kN 75 kN 4 x 0........................ .........................5 = 30 Fm = 75 + 1 5 = 90 kN 30 0...... ............. ............................................... .. .................. Cisalhamento A junta tende a acarretar cisalhamento simples nos parafusos................................................... ............................................................................................................ ....................................................................... ................................ ................ ..... ........................................ Tem-se portanto: τ= dc = 4 F4 πd c 2 4 F4 πτ dc = 4 x 90000 π x 105 x 10 6 = 33 x 10 -3 m d c = 33 m m 36 SENAI-PR ................. .................................................... ....... ................................................ d .................................. ................. ............................... ..... .......... .................. ................................................................................................... Esmagamento σd = d e= F4 d e= n .................. ........................................... ......................................................2................. ................................................. .................................................... ....................................................... .................. ............ ....................... ............................................ .... .. ....................................................................................................................... ............................................................... .................................. ..................................... ........ t ch 90000 x 10 -3 m 90000 225 x 10 6 x 1 x 16 x 10 -3 d e = 25 m m 225 x 16 A junta será construída com parafusos com d = 36 mm DIN 931............... 37 SENAI-PR ...... ............................................. .............................................. ................. ....... .................. .......................................................... ................................................................................ ............................ ...........................................................b........... ...................................................... . .................................................... ....................................................................................... ........................................ ........... ........... ................................................ ... . .................................... ........................ ..................... ..... ...................................................................... . ....................................Torque (N m ] 0 F T .... ................ ............... ............. etc..................... r M T ................................................... .. ...................................... ......raio da peça (m ) 39 SENAI-PR T ....................... ......................... ........................ ....................................................................... ...... .. ............................................... ........ ............................................. ............................................................................................................. ............................ .......... o torque é determinado através de: ω F r MT = FT ..................M o m en to d e torç o r o u to rq u e (N m .... .. ............................................................................. ...................... correntes............................ ..................... ... ] S .....................C arga a plica da (N ....................Distân c ia e n tre o p o n to d e ap lic aç ão d a c arg a e o polo (m .................................................... .... ....................Força tangencial (N ] r ....................................................... ..... .................. . S M T ............................................ ................ M T = 2F ........ ......... .............................................CAPÍTULO III Torção Uma peça submete-se a esforço de torção...... ...................... ........................................................................................... Momento torçor ou torque O torque atuante na peça representada na figura é definido através do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da secção transversal (pólo)................. quando atua um toque em uma das suas extremidades e um contratorque na extremidade oposta............................... engrenagens................. ..................................................................] F ..........] F d l MT MT P ó lo S S F Para as transmissões mecânicas construídas por polias.... .................................... ..................... .................................. rodas de atrito............................. ...... ..........................quando funcionar parado........................................... ....................................................................... ....... ...................... .... l M ’T MT A 0 0 A γ ... ......................................................................... ................ .................................................] l ................. ......] Dimensionamento de Eixos-Árvore Denomina-se: eixo .....m om ento polar de inércia [m 4. ........ .............. ................distorção [rad].....com prim ento da peça [m ............................................................. .............. ................................... .. ........................... ....m om ento torçor ou torque [N m ... Nm m ................................. com o elemento de transmissão.......................... m m 4 ....tensão atuante [P a]....... suportando cargas........m ódulo de elasticidade transversal do m aterial [Pa.......] M T ......... ...............] G .............................. ........... .................... m m .... que é determinada em radianos................ G θ M T ..... ................................................ ............................ ....... ...................................................................... ......... .m om ento torçor ou torque [N m .... ........................................................... ................................................................ ............................................................. ... .... ..................................... ................................. .......... ... .................... y d eixo m aciço d D x eixo-árvore vazado 40 SENAI-PR ............................ ................................................. Jp .......... origina-se uma deformação de cisalhamento denominada distorção γ............... ......................... .................... o deslocamento do ponto A da periferia para uma posição A’.............................................. τ ............. .... ... ......... Na longitude do eixo.................................... .................................... ..............quando girar...............Distorção (γ) O torque atuante na peça provoca na secção transversal desta................................................ .. através da tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material.................... Nm m ........................] Jp ............... γ= τ G θ= l MT...... ........... eixo-árvore ............. .......... ......... . ................velocidade angular [ rad/s ] ................................... ........................ ................................................................................................ ................................... .......torque [ N .. ............... D=2d d ......................................................... .............................. ...............................................................rotação [ rpm ] ω τ ...................65 d = 1...................................... ............. ..................................................................................88 nτ 3 = 15 πd 3 MT τ d = diâm etro inteiro da árvore......... ................................................. ......... ....... D = D iâm etro externo da árvore.m ] P ..................................... ............ ............. .... ...... . .... .. ...................... ............. ................................................................. ............ ............................... .............................tensão adm issível do m aterial [ Pa ] W p = m ódulo de resistência polar da secção transversal vazada 41 SENAI-PR ........................................... ................... ...............................72 d ≅ 3....diâm etroda árvore [m ] M T ........................................ ............................... .............................................................................................................................................. ............. ............................... ..................................... ................................. ..... ......................................... .................................................................................. .........................vazado m aciço d ≅ 1.................................... .....................................................................................potência [ W ] n ............................ .....72 3 M T Wp τ 3 P P ωτ 3 32 d ≅ 0........................... ..... ......... ................... .........................................................................33 14 32 ......................... o eixo deve ser mais robusto. ...............5 D C o n vé m ad o tar o s trec h os A B e C D c om um m es m o d iâm e tro d 1 d1 C d2 A 10 13 7 m ed id as e m c m M t = 4 77 ............... ............................... ........................................................ .................. .................................................................................................................................. ................... conforme figura: 5 4 B 2.. .. ............................ ................ ................ ..................................32 5 K g m σ f = 6 50 K g /cm 2 M M t f = 47 7................................. ..5 m m .............. ................................... ..........4 = 0.87 5 K g m σ f = 6 50 K g /cm 2 42 SENAI-PR .............................................................................. ................................Diâmetro dos eixos 1......................................... ............5 K g cm = 2 3.............................. ..4 K gc m D iâ m etro d 2 M f = 2 38 7........... ................................................ ............................ ................................................................................ ....... .......................................................................... ................................................5 p elo g ráfic o d 0 = 28 m m 1 d0 1 t b b = 10 m m ...4 K gc m D iâ m etro d 1 M f = 1 43 2.................. d 1 = 37 m m C h av eta e n ca ixa da 1 0 x 8 M t = 4 77 ......................5 K g cm = 1 4.................. ............. .... ....................................................... ............................................ .......................................................................................... ................... .................. t = 4 ......... .......... .. .................. ............... ....... ...................................... Nos trechos em que Mf é grande................................................ ............. ................................................................. ........................................................ ....................... .............................................................................................5 1432......................................................5 2 + 477........... ............................................ .................................. .......................... ... ....... .................. ..........1 M t M f 47 7.. ....................... ............................................4 2 650 Para o eixo d0 2 adota-se σ f = 5 00 K g /cm < σ f 1 d0 = 1 Para o eixo 3 1432............................................................................................................... ............ ...... 500 ≅ adota-se σ f 2 d0 = 2 3 2387.................. .........5 = = 0..5 2387........................................5 + 6........... 1432........... ............................. ... .............. d 2 = 43 m m C h av eta e n ca ixa da 1 2 x 8 Observações: d0 = 1 d0 = 2 3 3........................... t = 4 ...................................................5 m m .... ...........1.............. ................5 2 + 477............ ........................ . ......................................................................... .. ..4 2 650 3 .........2 p elo g ráfic o d 0 = 34 m m 2 23 87 ......... ................................................ ............... 2387..........8 cm = 3......... ........................... = 3 cm ≅ 50 0 K g/cm 2 3..................6 cm 500 43 SENAI-PR = 2.................................................................... ...........5 0.................................................................. .. .. .5 3......1 d0 ...........1 .... ...........5 + 6................................................................................................................. .7 cm ........................... ....................... .. ..........5 b d02 t b = 12 m m ..... ...5 ...................................................................................... ......................................5 0........................ .............. ................. ................................2 τ 0.... M M ...... ........................................................ .... M 3 3 7 16 ... M τ = 60 0 K g/cm .5 d . A engrenagem I absorve ............ Ten sã o ad m is sível: ................................................................................................ 500 rpm................ b = 8 m m ............................ t = 4 m m ......................................... e o restante é absorvido pela ................................................................................................5 K g c m .. D iâ m etro d ..................... O eixo em figura faz parte de um mecanismo de 1 2 2 e n g re n a g e m m o to ra I 1 2 t t t 1 2 t1 2 t3 t2 t 1 t 0 1 1 t t d0 1 2 t 0 2 2 t 2 44 SENAI-PR ..................... 6 00 ... M om e n to r to rce do res : ........ 0 ........................................2 .............................2 ...............42 9.............. d d 5 M = 7 16 20 = 71 6...........................................5 m m .............................. ........... b ....2 = 4 29 ... C h av eta e n ca ixa d a 6 x 6 .... .........................................7 K g cm 5 ............................................ b = 8 m m ..........................................7 = 28 6....... .................2 K g cm ..3 c m 0........... ................................... ............................................................... material aço ABNT 1040................. 3/5 do momento torcedor......... ...... ............................ C a lcu la r o s d iâ m etro s d e d ....................... onde são conhecidos: potência N = 5 HP......................................2 τ 0 .................. rotação ..1 D iâ m etro d ................................... ........................................... 2 C h av eta e n ca ixa d a 8 x 7 .... .. ...................... M 3 3 28 6..8 cm ........... 2.............................. 50 0 ...............2 d = = = 1 .. ............................................................ .. ......................................................... 6 00 ................................. d = 20 m m .... ..... 2.... M = 3 7 16 ........................... d = 26 m m ........... = = = 1.................... transmissão............................................................................. M = 7 16 . t = 3.....2 ....................................... . engrenagem 2.................................. ................................................... ..................................5 K g ...................... 15 + 573 .......................... medida em cm .. Dimensionar o eixo das polias em figura.............................................. .............................2 = 26 2....................... 4 = 4 77.....................................................2 = 0 ..... ∴F = 47 7 ..................... 4 .7 = 3 58............... 10 + 358 .. .............................................. M = .............4 K gcm ...........5 K g F 15 ........................ M M om ento torce dor ......................... 10 4 5 ..........F ........................... ........ R es u ltan te R (c arg a n o eixo ) .......... ........................... M = 7162 0 N n R es ultan te R (c arga n o eixo ) ..................................... C on diçõe s de e quilíb rio ...................... M = 7162 0 f = 6 R =f F 600 ....................... M R = 6 .. 4 = 0 .................. R = 6 ... D 1 = 16 D 2 = 10 3... Rotação do eixo: 600 rpm ... F = 477 ..................... 10 + 358 .......... 1 5 = 57 3 ............... Correias planas sem esticador....................................477....................................5 K gcm ..............................7 K g ........ Material do eixo: aço ABNT 1030 ..... R = f F F o r ça tan g en cia l F ...................................................5 K g cm ......... R R F ........................................................... M om ento s fleto res: ...........5 K g r .................................................................................................. ..................... . F = 4 77............................................ M M =0 ........................................................... M r = D /2 = 16 /2 = 8 cm F = r ............ 1 2 3 4 573 ............................... ....... .............................................F + 35 8............................................ M =0 .... 5 = 238 7............................. 5 10 4 477 ..................... M om ento torcedo r no eixo: ........................... Potência transmitida: 4 HP .. 95 .....4 / 5 = 95 ............. ......5 ..57 3 .5 = 5 73 K g F = ............................ M = 4 77..... ..................5 ...........2 ..............5 ...................................... dados: t 1 t 1 t 1 1 t 1 t 1 1 t 1 t 1 2 1 2 t 2 t 2 2 t t t 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 f f 1 f 2 f 3 f 4 t t 45 SENAI-PR ..... M = ....5 . 59 .. .......... F = = 4 77.....................573 + 358...............................................4 / 8 = 59.........................2 .....477.....2 K g Força tan gencial F ...... 10 = 143 2...4 K gcm ................................................... 46 SENAI-PR CAPÍTULO IV Flambagem Ao sofrer de ação a uma carga axial de compressão, a peça pode perder a sua estabilidade, sem que o material tenha atingido o seu limite de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua secção tranversal. Carga crítica Denomina-se carga crítica, a carga axial que faz com que a peça venha a perder a sua estabilidade, demonstrada pelo seu encurvamento na direção do eixo longitudinal. P π EJ 2 P cr = P cr E J - l π- l 2 f ca rg a crítica [ N ; kN ;...] m ód ulo de e la sticid ad e do m ate rial [M pa ; G P a ;...] m om e nto d e in ércia da se cção tra nsve rsal [m 4 ; cm 4 ; ...] co m p rim e nto livre de fla m b ag em [m ; m m ; ...] f co nsta nte trig o n om étrica 3 ,14 15 ...] 47 SENAI-PR ........................................ ........................................ ........................................ ....................................... ....................................... ....................................... ....................................... ....................................... ........................................ ....................................... ...................................... ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ ....................................... ....................................... ...................................... ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ ....................................... ........................................ ....................................... ...................................... ........................................ ...................................... ....................................... ...................................... ........................................ ........................................ ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ ......................................... ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ Comprimento livre de flambagem Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta diferentes comprimentos livres de flambagem. P P l P l eng asta da e livre bia rticulada lf lf = l lf l l = 2 lf = 0,5 l articulada e enga sta da bie ngastada P l l = 0,7 Índice de esbeltez ( λ) É definido através da relação entre o comprimento de flambagem ( l f ) e o raio de giração mínimo da secção transversal da peça. λ =l f i min λ - índice de esbe lte z [adim ensio nal] lf - com prim en to de flam bagem [m ; m m ;...] i min - ra io de giração m ínim o [m ; ...] 48 SENAI-PR ........................................ ........................................ ........................................ ....................................... ....................................... ....................................... ....................................... ....................................... ........................................ ....................................... ...................................... ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ ....................................... ....................................... ...................................... ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ ....................................... ........................................ ....................................... ...................................... ........................................ ...................................... ....................................... ...................................... ........................................ ........................................ ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ ......................................... ....................................... ....................................... ........................................ ........................................ ................................................................................. utiliza-se o estudo Tetmajer que indica: Índice de Esbe ltez M aterial σf (Tetm a jer) [M Pa ] lI λ Fofo cinze nto λ < 80 Aço duro λ < 89 Aço N íqu e l a té 5% λ < 86 M ad eira pinh o λ < 10 0 σf σf σf σf l = 77 6 .... a fórmula de Euler perde a sua validade.......................................... Desta forma.... ........................................... ..................] λ ...................... .. ..................................... ................ ...........0............................... ..................... ................................con sta nte trigonom étrica 3........03 6...................... ..................... Para estes casos.12 λ + 0...............................................................00 23 λ pa ra λ < 10 5 2 = 1 ............3 λ l = 29 . ................ .............. ......... ................................................ .] E ........................................ ............................................... .. π . ....... G Pa..19 4 λ 2 A B N T N B 14 (a ço ) σf l σf l 2 = 24 0 ....... .............................. ........................ pois o límite de proporcionalidade constituiu-se no limite máximo para validade da lei de Hooke..........................................................................................2.. ................ ... .......0. ...... .. ................................................Tensão crítica ( σ ) cr A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de proprorcionalidade do material.................. ..................... ....................... ......0..........................................14 15...3 ...................................................................m ódu lo de elasticidade do m ate rial [M P a.... .................... ......... cr Flambagem nas barras no campo das deformações elasto-plásticas Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de proporcionalidade do material..........................30 0 λ2 pa ra λ > 10 5 49 SENAI-PR .............................. .......... ......... .......................... ............................... ...... te m -se σf l σf l σf l = 12 0 ......índice de esbeltez [a dim ensiona l] π ................E λ σ 2 cr 2 σ ........................ .................................................... observa-se que o material deverá estar sempre na região de formação elástica... ............................. .....................00 46 λ pa ra λ < 10 5 πE 2 = pa ra λ > 10 5 λ2 A d ota nd o-se um coe ficien te de seg uran ça k = 2.................................................. ..............................................05 3 λ l = 33 5 .....................................tensão crítica [M pa.......... ...... ................62 λ l = 47 0 ............. .........0 ............................... ..................... ......58 0 12 po rtan to : J = 1.......E..................J π..... .... ....................... .................................................. ...... admitindo-se coeficiente de segurança k = 4............................................................... ..............58 J J = 1 J 0 ........................................... .........Ex... temse que: πa 4 J0 J = 64 a 4 πa x 4 J = J 64a 12 4 J0 = 0 ............................. ............................................... .. ....... .E................................................. a carga crítica para o dimensionamento será: Pcr = 4 x 20 80kN O momento de inércia na secção circular é J x = πd 64 4 Solução: Como as cargas são de mesma intensidade (P)...................... ................................................. ... ................. . .......................................................................................................................... encontra-se articulada nas extreminadades... .................................................................... sendo o seu l comprimento = 0.................... .................. .................7 J 0 Conclusão: A barra de secção transversal quadrada é a mais resistente........................................... .......................... .............................................................................. ..................................... .................................8m..... .................... ..................................................................... ............................................ 50 SENAI-PR .......................J 2 l f2 0 = J0 l f2 =J Através da relação entre os momentos de inércia............................................. possui secção circular...... ................... escreve-se que: P fl 0 = P fl πd ................. .... .............................. .......... ................. ....................................... de material ABNT 1025......... .................. . ..................................................................... .......... Determinar o diâmetro da biela........................ Eaço = 210GPa 8 00 d Solução: Como o coeficiente de segurança indicado para o caso é k = 4......... 1 Uma biela................. ...... ... ....................... .................................................... ....................... e submetida à carga axial de compressão de 20kN.................... ........................................................... .......................................................................................................................Ex........... .... então...............................................5 l x 4 d Como a peça está duplamente engastada l f l= = 0.... ............................................................................. conclui-se que a barra encontra-se no domínio da equação de Euler................................ Determinar a carga axial de compressão máxima que poderá ser aplicada na barra....... ................... então.......................2 m a) Índice de Esbeltez O raio de giração da secção transversal circular é d 4 portanto..... 51 SENAI-PR . ........................................... ........................................... para que possa ser aplicada a equação de Euler................. Solução: Para que possa ser aplicada a equação de Euler..... ........................................... ..................... ........................ possui comprimento l = Pa d 1 ...... ................................................................................... λ > 105 (aço doce)................................................................. ... ................ ..................... .................. Tem-se..............E aço = 21 0G P a Solução: A barra sendo biarticulada.................. ....................... .. ...................... ....................................... ...................................... ............................................. a admitindo-se um coeficiente de segurança k = 2............ ..... ............................................................................ ... que: 4 l= 1 05 x 5 0 2 2 62 5 m m 50 Ex.................................... ............ l = l = 1 ......... .................... ....................................................... . o seu comprimento de flambagem é o comprimento da própria barra.... que: λ l f = i = min P 0 ............... ........................ ....... ...............2 m e d iâ m e tro d = 34 m m ............ .................................. .................................. ........................ Determinar o comprimento mínimo.. 2 A figura dada representa uma barra de aço ABNT 1020 que possui d = 50 mm................ ............... tem-se: λ = 4 lf Como = d λ = 4 x 12 00 34 14 1 ........... λ = 14 1 portanto maior que 105..............................5 l e i m in λx d 2 = = d conclui-se..... ............ . ...... ............. ........................ ................................................................. .............................. 3 Uma barra biarticulada de material ABNT 1020................................ .................... ............................... ...... .......................................... ..... .. ..................................................................... .......................2 x 64 4 3 -3 P cr = 2 94400N Como o coeficiente de segurança é k = 2..................................................... ..................... ......................................... .......... ....................... ... ......... .................. ......................... ........................... ......................................................................................................... ....... .. ........................................................ ........................................................................................................................................E.......................................................................................................................................2 x 64 9 2 -3 4 ) 2 P cr = π x 210 x 34 x 10 1.................. ..................................................................................................................... . ....................................... ............... ..................................................................E..................... ...........J = 1.................. ........ .................... ............................ ............... ........................... ........... .......... ........................... πd P cr = πl.. .................................................................... ........................... .........2 x 64 2 2 d Jx = π 64 4 4 2 2 f P cr = π x 210 x 10 x π (34 x 10 1........................ a carga máxima que se admite que seja aplicada na barra é: P ad = P cr k = 94400N 2 = 47200N P ad = 47200N 52 SENAI-PR ....... ................. ...................................... ............... .....................................................................................b) Carga Crítica O momento de inércia de secção circular é π............................ .......... ........ ..................... ............................................................... ................................................. ............................................................. co m p rim id as c m áx S N A RA B a - b + t m áx A RB f.............. .................................... ...................................................... ........................................................................... P f........ ............................. . atua tensão normal e tensão tangencial.............................. Neste caso.............................................. . ........... que venham a originar momento fletor significativo...................................... ................................... .. ...... ............ ....... ................. ............... ......................................................................... Tensão Normal na Flexão Suponha-se que a figura representada a seguir seja uma pela com secção transversal A qualquer e comprimento... que encontra-se submetida à flexão pela ação das cargas cortantes representadas................. ...................... ............ .............................................. ........... fracio n ad as 53 SENAI-PR ... ........... P a A P b C a B D A flexão é denominada simples............................................................................................ ...... ...............CAPÍTULO V Flexão O esforço de flexão configura-se na peça............................................................................................. ............................ ........................ ............................................ ...................... ....................... ................................... .......................................................... .................... ......................... Exemplos: intervalos AC e DB da figura anterior................ ........ .................................................. ................................... .............................. ................. quando as secções transversais da peça estiverem submetidas à ação de força cortante e momento fletor simultaneamente........................... quando esta sofre a ação de cargas cortantes.............................................................................................................. .... é determinada em relação à fibra ............................ por convençâo.. ........ ......................... ............ ...................................................................... ............................................... ... .................... σt σc será sempre < 0 (negativo)........................... Força Cortante Q A força cortante será positiva..........aos distantes da secção transversal... ........ ....... ...................... .... ......... ...................................... ..................... .............. 54 SENAI-PR ........................................................ quando provocar na peça momento fletor positivo................................................................ ................................................................................. ............................ .......... σt será sempre > 0 (positivo)... Vigas horizontais Convenciona-se a cortante como positiva....... através da relação entre o produto do momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fribra.............................. ............... ................. .......................................................................... ................................... ............................... .... ................... Como.. ........................................ ........... ................... de baixo para cima.... ....... ..... aquela que atua à esquerda da secção transversal estudada............................................................. ................................ ............................................................................................ σc = M a J Onde σc σt = M b J tensão máxima nas fibras comprimidas....... ......... ....... .................................................................. ................................. o momento fletor é positivo nas fibras tracionadas................................................................... Como se convenciona o momento fletor nas fibras comprimidas negativo.............................. e o momento de inércia baricêntrico da secção...................................... com o sentido dirigido da esquerda para direita. ............A tensão normal atuante máxima................... Vigas verticais Convenciona-se cortante positiva aquela que atua à esquerda da secção estudada............................................ .............................................. .............tensão máxima nas fibras tracionadas....... ........ também denominada tensão de flexão...................... .......... ................................................................... .......................................... ...................................... .......................... ................................ .......................................... ........ .... .... ....... ................................................................................... ................................................. ............................. ...................................................... .. . ............................................................. .........................................Momemnto fletor M Momento positivo O momento fletor é considerado positivo............... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ................ . fib ras su p erio res tração P R LN fib ras co m pressão in ferio res Para faciliatar a orientação....................................... ............................................... .................... ................................................ ...................... ........................... ...................... ...... .... ........................................................ ... convencio-na-se o momento horário à esquerda da secção tranversal estudada.......................... ...... ......... .... .............. ..................... como positivo................ ......... ............. ........................................ P co m press ão N L A B fib ras in ferio res RA RB tração Momento negativo O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes na peça comprimirem as suas fibras inferiores........................................ 55 SENAI-PR ......................... ............. ..................................................... .......................................................... quando as cargas cortantes atuantes na peça tracionam as suas fibras inferiores........ .. .... ................ .............................] m o m e nto fle to r [ N m ........... ..... Exemplos: P1 A RA A P2 B B P3 C C RB secção A A Q = RA secção BB Q = RA ..... .......... ..................... ............... ............................................................. .... utiliza-se a tensão admissível........................................................... ......................................................................................................... ....... .............. ....................................................... ....................................................................... ....................................] Força Cortante Q Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da peça................................................................. N ......... ......... .......] m ó d ulo de res is tê n cia da s e cç ã o tra n sv e rs al [ m 3 .... .................... ............................................................ ...............................Dimensionamento na flexão Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão... através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção transversal estudada.................................P1 secção CC Q = RA ............... ................................... ... ......... que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada......... .. .......................................................] d is tâ nc ia m á x im a e ntre L N (lin ha ne u tra ) e e xtre m id ad e d a s ec ç ão [ m ............................................................ não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida.............. ....................... ............................ .......P2 56 SENAI-PR .. ............... ............................................. . ..... N /m m ................................................... ..... Y RB P Y RA X A Z SN (s uperfície neutra) L Wy = B Jy x max RB N A RA X WX = σx e σy σ M Wx e Wy x m áx e Y m áx - M σx = W x Jx Y max M σy = W y te n sã o n o rm a l a tu a nte n a fib ra m a is a fa s tad a [ P A ... m m ....................... .....................................................................................................................] 2 te n sã o a d m is sív e l [ P A .................................................... ...................P1 .......... ........... ....... ................ ...... ........... ......... m m 3 ..................................................................................................................... ..................................m m .......................... ............... ................. ........... conforme mostra a figura............................... ...................a ) secção CC M = R A ..........P l Solução: a) Através da variável x.................................................................... ...Momento Fletor M O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça....................... .. ............................................................................................................... ................................................................... ........... 1 .... .............................................................................. ........................... X .................... Ex........................................................................................................................ .....P 2 [x .............................. ..... .................Pl 57 SENAI-PR ..... ......... . .................................................... P1 a o x RA X P2 b P3 c A B C A B C d RB X X secção AA M = RA .. da extremidade livre ao engastamento.............................................................. .... ................ .. ..................... ................ ....x M = ........................ ... ................... ........................ estudam-se todas as secções transversais da viga.............. .. ou seja ........... ..................... . ......P1 ( x ........Determinar as expressões de força cortante (Q) e Momento fletor (M)..... .......... .................... ....... ................. P l o x L in h a z ero da Q Q = -P L in h a z ero da M M máx = ...... .................. O momento fletor máximo ocorrerá no engastamento............................................................................................ ............. ....(a + b)] Observação: O sím bolo ox significa origem da variável “x”........ e construir os respectivos diagramas na viga em balanço solicitada pela carga concentrada P atuante na extremidade livre................... ................................................................... ......................................................................... para o maior valor de x..................................................................................a ) ..... X secção BB M = RA . b) Expressões de Q e M 0 < x <l X=0 Q=-P M=0 x=l M=-P....... .. obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da secção estudada.......P 1 ( x ........ . ................................................ ................................................................ ............................... X ................................... ......... A distância entre a linha zero da Q e a linha limite inferior do diagrama representa a intensidade da carga P................... ........... o diagrama será um segmento de reta paralela à linha zero da Q............................................. ................................ .............................................................. ......................................1.............................. .... ............................. ...... .................................... ........................................ ............................................................... ... ........................... ................... .................. .............. ....................... ...................................... 40 = 4000 K gcm Tensão adm issíve l à flexão: σf = 900 K g/cm 900 = 6 .............6) a 2 a= 6 .8 cm (10 .................................... .............. ................. portanto............6) 900 2 58 SENAI-PR .......................... ............ ................................................. a sua representação será uma reta decrescente que parte da linha zero do M até o valor que representa Mmáx.................................... .... portanto................................1.............................................................................c) Construção dos diagramas A equação da Q é uma constante negativa....................................... Para o esforço de flexão numa solda em “v” vale a seguinte fórmula experimental: P 6 Mf σf = (b ........... ......... ............... 4000 (10 ......................... .... ......... ... .................6) a 2 a b Valores da tensão admissível { σf = 2 900 K g/cm ca rga e stática 600 K g/cm 2 carga enterm ite nte 2 250 K g/cm ca rga a lte rnada 1......................................................................1..................................................................... ........................... ....................... ..................... ... 4000 = 1............... a 300 kg 10 40 20 R2 R1 R eação de ap oio: R 1 = cm 30 300 ..................................... ... .................................. ................ .... . ....... 30 0 90 = 100 K g M om ento fletor na so lda: M f = 100 .................................................................... ................... 1........................................ A equação do M é do 1° grau com a < 0................. ............................ .....................1 ........................................ Calcular a espessura a da viga soldada na figura abaixo (carga estática)............................................. ........................ ...................... ............................................................................................. ...2.................................................... 6 = 24 cm e 2 W f2 3 6............................................... ........................................ ...............................3/8” x 1 /4 ” 3....................... carregada nas extremidades com dois pesos de 300 Kg.............................................. ....................................... Calcular a tensão à flexão da viga 4 x 6 cm em figura.......... ............... ...................... ............. ........................................... . .. ......... ......................... ... ................... .............. ......... 40 = 11 28 0 K g cm W f = 1 02 ................... ........................ ...................... .............................. ...................................................................... ....................................... ............ P=It R eaçõe s de apo io: R = P = 10 00 Kg l = 40 cm M fmáx M o m e n to s fle to re s : M fmáx = 1 0 0 0 .......................... .4 = = 16 cm 6 P 20° Ten são à flexã o : 11 28 0 = 47 0 K g /cm 2 24 σf 2 = 401680 = 25 5 K g /cm 2 σf = 1 A ten sã o total σf σf é a som a 2 = 47 0 + 25 5 = 7 25 K g /cm 59 SENAI-PR ............................................................ .................................................. ................................... .................................................................... 4 6 20° 40 cm 40 cm D e co m p osiçã o da fo rça P : 300 kg 300 kg P2 P 1 = 300 cos 20 ° = 2 82 K g P 2 = 300 sen 2 0° = 10 2 K g P1 M o m en to fleto r da s forç as P 1 e P 2 n os p on to s d e a po io: W f 1 = 2 82 ............... ....... Dimensionar a secção da viga I em figura................................ ................................................................................. ................ .......................................................... .............................. 40 = 4 08 0 K gc m 2 M ó du lo d e fle xã o: 2 3 W f 1 = 4 6..... ............................................. ............................................. ................................................................................................................................. .................................. ... ..................... ............... ...... 4 0 = 4 0 0 0 0 K g c m σf = D im ensõe s da secção: σf = 14 00 K g /cm 14 00 = 40 00 0 Wf 2 Mf Wf 3 40 00 0 W f = 14 00 = 29 cm vig a I 3 ” x 2 ..................... . .......... ................................................................. ........................... ...................................... ..... l a) q B A 60 SENAI-PR ...................................................................... ..... ....................................................... .......................... ............. ... ............. ... .... .................................... 1........... ............................................................................................................................. ...... ........................................................................................................................................... ...........................Flexão Vigas fletidas Φ fibras com prim id os linha neutra ϕ M M 1 σ’ y’ h 1+E y” y σ” fibras tracion adas 1 ϕ = Mf EJ r = Φ = ϕl = M f EJ 2 M2 l 1 EJ Φ T = 2 M f Φ = 2 Ef J = 2 l ϕ= Φ= L = Mf= J = E= T= âng ulo de curva tu ra u nitá rio (ra d /m ) âng ulo de curva tu ra to tal (ra d) co m p rim e nto d a viga m om e nto fle to r M m om e nto d e in ércia da se cção m ód ulo d e e lasticid ad e d o m ate ria l ene rg ia d e de form ação (N m ) Exercícios resolvidos Ex.................................. ...... ................................. .............. ..................................................................................... ........................................................................................................... ........................... Determinar as reações nos apoios................................. ........ .................. ................. nas vigas solicitadas pela ação das cargas distribuídas............................ ........................................................................................................................................................ ........................ conforme as figuras dadas..... ................ ........................... ........................................................ ................ .................................. ........................................... ........... ....................................................................... ................ .................................. ............. ........ .. .................................. ............ ......... .................................. variando linearmente de 0 a q.............. ............................... ............. Teremos........................................ ..... como já foi anteriormente...... .......................... e atuará no ponto l / 2 em relação a A ou B........ . ....................... ................................................................. ...................... possui l resultante com intensidade q / 2.......... ........................... ............................................................................................................................................. ........................... ........... ............................................. ....... ............................................................... ................................................................... ........................................................................ que atuará a uma distância l / 3 de B (centro de gravidade do triângulo).................. .................................... .................................................................... .................................................. 2 B l A carga distribuída.......................................................................... ............................. ....... Teremos..................... 2 R =q l l B b) RA = q 2 l 2 MA = 0 q RB = 2 .......................................................... ............................. então: 2 3 q l l 2 l/3 RA RB MB = 0 q RA = 2 .................... ............................................................................ ............................ ................................. ................. 3 q RB = 3 l l l l q B A l l l RA = q ...... ... ..................... então: q l /2 l l /2 RA RB MB = 0 MA = 0 l R l = q l......................... ...........................................A resultante da carga distribuída de intensidade q e comprimento l será q l ............. ............. 3 q RA = 6 l l l l 61 SENAI-PR ............ . ............. .............................. ............................... ........ ............................ ............................................................................................ 30kN 15kN 3m 2m 1m RA RB Fv = 0 MA = 0 6R B = 4 x 15 + 30 x 3 R A + R B = 30 + 15 R B = 25kN R A = 20kN d) 6m 3m 8kN m A B Solução idêntica ao exercício anterior........................................ então: 48kN 3m 12kN 1m 3m RB RA MA = 0 2m Fv = 0 6R B = 7 x 12 + 48 x 3 R A + R B = 48 + 12 R B = 38kN R A = 22kN 62 SENAI-PR ..................................................................... ............ ............................... ................ ................... ..................................................................................................................... ................................................. ................... ........................................ ........................... ........................................... .............................................. .............................................................................. ................... ...... ................................................................ ..... Teremos. ................................. ................................................................................................................................................................... ............. ........... .................... ................. ................. obtendo desta forma as concentradas a seguir.......................................................... ...... . ...................... . .......................... .................................. ......................................... .............................................. ............. ... vimos dividir o trapézio em um triângulo e um retângulo........................ ................ ................................................................................................c) 6m 10kN m 5kN m A B Na solução deste exercício................................................. ......................... ..... ................................................... ........... ................... .... . ............. ....... .................... ....... ..............1) + 10 x=1 M = 25kNm x=2 M = 20kNm 63 SENAI-PR ....................................................... ....................................................... ....................... ........ conclui-se que: Rc = F1 = 20kN b) Expressões de Q e M na viga AB Reações nos apoios A e B 20kN 10k Nm 30kN m B A x x’/2 30x ’ x x’ 20kN 30kN 10kNm RA Fv = 0 R A + R B = 20 + 30 R A = 50 ........................................................................... ........... ............................... ......... ......... ........................ ........................... D a) Carga Axial na barra (1) RC Como a concentrada da carga distribuída é simétrica ao apoio C e a barra 1......... X x=0 M=0 x=1 M = 15 kN m 0........................................... .......... .. ....... ............. ............................................. é necessário 1m conhecer a intensidade da 40kN 1m F1 carga axial atuante na barra (1)............................. .............................................................................................................. ............................................................................... .................................5m 0<X<1 Q = R A = 15kN M = RA ......35 R A = 15kN 1m 1................................................................... ....................5m RB 1<X<2 Q = R A . ...........................................................20 = 5kN M = R A .......................... x ............................................................. ............................................. .... ................................................................... .................................. .................................... ....................................................... ........... ...................... 2............................. Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas da viga AB da construção representada na figura... ............................ .............. ........................20 (x ............... .....................................................Ex.................................................. .......................................................................... ........... ........... .......... 1m 1m 1m 10kNm O x A 30kN m B E O1 2m Solução: 20kN m Para determinar Q e M C na viga AB................. ..... ......... ... ........................................................ O diagrama cremoniano permite determinar o esforço e ......... ................. R R .......................................... ............................ A utilização deste artifício ............ ..................................... Q = + 30 x ....................................................................................... M m áx = 25 km ......R = ............................................................ x ’ ...........................35 kN ............................................................................................................. ................... ...... -5 O...................... M = R ................ c) Diagramas de Q e M ........................ ....... o tipo de solicitação em cada barra de uma estrutura........................................................................................................................................Calcular as reações de apoio.......................................................... 10kNm .......................................................... 20 15 .......... .............................................. .......... Tem-se então o intervalo 0 < x ’ < 1........... ..................................Desenhar a estrutura em escala. + Q = 15kN O .... B A .. 1 ........................................................... O intervalo 2 < x < 3 pode ser calculado através da variável B B 2 B A B 64 SENAI-PR .. ........... O ........................................................................ 1m 1m 1m ...............5k N ............................ ........... 30kN m .. x ’ ........... implica na inversão da convenção de sinais... Q = 35 kN ....... 2 ........ x=0 M=0 x=1 M = 2 0k Nm .............................................................. 20kN .............. Para traçar o diagrama procede-se da seguinte maneira: ....30 x ‘ 2 .............................. ......................................................................... x=1 Q = ................................................................................ .......... partindo do apoio B até a extensão total da carga distribuída................ ........ Diagrama Cremoniano ................................................................... .......... ............R x=0 Q = ........................ ....................... ................ ............................................... ......................................... ........................Estabelecer o sentido da leitura dos elementos em cada nó..............................3 ............... ........................ . P ................................................... 4 ............ limitadas por barras e forças (as barras e forças são denominadas pelos 2 números das regiões contíguas: exemplo: barra 0-6................................ ............... ........................................................................................ ........................................... 6 ................... 5 ...................................... ............. ............... ............................... .................................... ............. ............................................... ............. ........... ...........................Comparando o sentido de leitura das forças com o esquema da estrutura..... ......... ......................................... ............................................................... .... .. .................................................................................................... considerar: forças entrando para o nó: compressão (traço grosso) forças saindo do nó: tração (traço fino) P1 P2 D O1 E O0 O2 P3 O3 F A C B O4 O5 RA r RB POLÍG ONO FUNICU LAR 65 SENAI-PR ........... ....................................................Numerar as regiões do sistema.................................................... ......................................................................Escolher uma escala para as forças (ação e reação).......... ................................................................. G ............................................ ........................................... ......... .......................... . força 0-1).............................. ........ 4 ........................................ ................................. 7 ................................................................... ......................... .................... .................... ............Traçar o diagrama de Cremosa transportando paralelamente as forças agindo em cada nó e estudar um nó de cada vez com apenas 2 incógnitas (o comprimento dos segmentos obtidos é o esforço em cada barra).................. .................. .............. Exemplo: sentido horário............ ............. Fazem parte destas forças as cargas (P) sobre a estrutura.......... os quais têm por reta de ação os próprios eixos das barras................................. ................... ... ................. ........................................... .................................. .................................................... nó A 5 re ta d e a ção da forç a 5 ................... .................................................. ..................... ............................................. ...... Assim....... ........... ..... .......................................................................................................................................................................... ............................ ................. .......... para equilibrar o nó A da estrutura da página anterior.. ........................................................................... ................. ..... .......................6 66 SENAI-PR ...... ........................................................................ ........................ ...................... basta fazer com que as forças que neles atuam formem um polígono fechado. as reações (R) de apoio e os esforços em cada barra................... ........................................ .......... ....... .......................................................... .... ................ ........................... ......0 RA P1 r//r’ 6 8 5 7 1 P2 P RB 2 P3 3 9 P4 4 10 D IA GRAM A CR EM ONIA NO POLÍGONO DA S FOR ÇA S Observações: Traçar o diagrama Cremoniano consiste em equilibrar seguidamente cada nó da estrutura..................................................................... ........................................................... ................... ........................................................................ Para isto.................................... ............ .............. .................... logo ............................. ......................................................................................................... procede-se da seguinte maneira: ad ea çã od af or ça 06 0 re t Es te ponto só pode rá s e r 6 6 RA O polígono das fo rças que atuam no nó A está de fato fechado....... . ............................... A está em equilíbrio........................ ................................................................................ ..................................... ..... .... .......................Na tesoura metálica em figura.... .............. ............................................... ............................................................ .... .......................... .................. ........ ... . ............................ . ............. ..................................................................... O2 O4 O 0 O5 60 ° 3 0° O3 200 cm R2 R1 POLÍG ONO FUNICU LAR 67 SENAI-PR ............. ..................................................Repetindo este processo para cada nó................................................................. ....................................... .......................................................................... ................... ............................... o esforço e a solicitação em cada barra................. .............................................................................. .............................................................................................................. Problemas resolvidos 1 .............................................. ..................... . ...................................... ......................... ................................................ .................................................. ............. ............ ................................................ .............................................................................................................................................................. ........................................................................ ....................................................................... determinar as reações O1 P 2 = 300 kg P 1 = 200 kg de apoio............................................................. ... ...... tem-se: 8 0 5 2 8 P3 7 P1 RB 3 1 nó F 9 P2 nó E 6 nó D 6 10 5 8 nó B 7 nó C 7 1 2 3 9 P4 10 4 9 nó G 4 10 O diagrama Cremoniano da página anterior é o agrupamento destas figuras numa só........................................ ........... .... ... ........................... .............................................................................................................. .....................................170 1 5 ................ ....... ...............480 237...................................................... ..... ............................................................. .................................................. ........................................................................................... .............. .............. .......................................................................................... ..........................com pressão + tração . ... ................ ..................... 2° Não poderá haver 2 apoios entre 2 articulações...... ....... .DIAGRAM A CREM ONIANO 0 POLÍG ONO DAS FO RÇAS P1 4 1 5 3 P2 2 Escala do desenho 0 50 100 150 cm 200 300 Escala das forças 0 100 400 500 kg RE AÇÕ ES DE A POIO E ES FO RÇOS NAS B ARR AS re g iõ e s 0 1 2 0 3 4 262..........5 + 480 ..............350 Vigas Gerber São vigas hiperestáticas com mais de 2 apoios que se transformam em isotáticas com a introdução de uma quantidade de articulações........... ........480 + 480 ....... ..................170 ......... .. ................................................... tanto quanto o número de apoios superabundandes......................... 68 SENAI-PR ............ .................350 .................... .........................5 ........................................100 5 ..... ................... .................................................... ...................................................... ........ .. .... .........................100 2 237.............................. .......... ............................... ................................ intermediários................................ .......................................................5 3 262.................. ............ .............................5 4 .............. 1° Não poderão ser colocadas mais de 2 articulações entre 2 apoios....................................................................................... ....... ........ ........... ................................................. ................................................. .......................................................................... ........... ........................................ ............................................................................. .......................... ........ . ................................................................................... ................... . ..................Exemplos: Cálculos São feitos separando os vários trechos em correspondência das articulações........ ......................... ................................... .......... ............................ ........................... ............ .................................. F E A D=A-F=F D C a l1 B Pelo trecho DB temos: D ( λ + l 2 ) + C l 2 = 0∴C = ............................. .......... ................. ................................................................................................................................................................D B= D λ =F l2 λ+ l2 l2 = a λ l1 l2 a λ l1 l2 69 SENAI-PR ............................................. ................................. ...................................... .......................................................F(a + l 1 ) = 0 ∴A = F l1 l1 a+ a D A l1 λ C l2 B A reação m útua D se deduz do equilíbrio da viga ED ao deslocam ento vertical......... ....................................... ........ ..... ............ Calcular as reações A B C e D.................................... ....................................................... .............................................. ...... ........................ ................................... ................................ Exemplo 1.... .................... ............................. ......... ................................... ...................... ........................................... ........................................ 1° Pelas equações de equilíbrio os momentos em relação a D teremos: A F l 1 .............................................................. Nas articulações os movimentos são nulos......................................................................................................................................................................... ....................... ....... ................... .............. .................. ............................................... ........................................................... Porém........................................................ . ..................................... ................................... . . ........................................................................................................Exemplo 2..................................... ............................................... 6° Reduzem os momentos sobre os apoios............................ ......................... .............. . ........ D F a λ1 b D l1 A l2 C1 C2 B Utilizando o mesmo artifício anterior: A= F b D= F a l1 C1 = D l1 λ1 + C2 = ................... 5° Permitem a montagem mais facilmente................. Determinar os momentos: AD.............. ................................... 2° Apresentam maior segurança.................................................... ................. 70 SENAI-PR ........... 4° São mais econômicas................... ... ........................... ......... ........ ................................................... .... apresentam uma rapidez menor às cargas dinâmicas.......... ................................................ ....... ................................................................................ ................................ ............................................................... C1 ..................................... ......................................... ..... ................ ................ 3° O cálculo é mais fácil....................... ..... ............................................... ....................................................................................... ........................................ . .............................D l2 λ1 l2 l2 = F = -F ( λ1 + l 2 ) l1 l2 a λ1 l1 l2 A reação B = 0 devido a rotação na articulação E do trecho EB sem carga...................................................................................................................................... ......................... .......... ............ As vigas Gerber apresentam as seguintes vantagens em relação às vigas contínuas: 1° São insensíveis ao cedimento dos apoios.................... .. Tensão Tangencial: Cisalhamento + Torção .................................................................................................................. .. ........................ ...................... ............ com freqüência estar sendo submetido as mais diversas ............................. ........................................ P ............................................................................................. ..................... de acordo com as ........................................................................................................................ τ t M σt .. CAPÍTULO VI ...................................................... ....................... compressão........................ .............. . As solicitações podem ser divididas.... Tensão Ideal: Tração + Torção .............................................................. solicitações................ ..... 1 t t 71 SENAI-PR ........................... . ........................................................................ ................................. no mesmo tempo....... São elas tensão normal ................................. .................................. tensões as quais estão submetidas............................ P τt τc τt + τc .............................. ..................... ........................ Tensão Tangencial: cisalhamento e torção................................... + = ........... ......................................................... Tensão Normal: Tração + Flexão ...... ........................ Conceito: Um elemento de construção mecânica pode................................. e tangencial..... .... Tensão Normal: tração............... M ........... .......................... flexão........................................................ σt σf P ..................................................................................................... Tensão Ideal: Normal + Tangencial ...... Solicitação compostas ............................................................. P σt σf .......................... .............................................. .. ....................................................................... ................................. ... ........... ............. .............. ................ ..................................................................................................................... ...................................................................................................... ......................... ................................................................... .................................................................................... ..................................................... ..................................................... ........ .............................................................. .................................................... .............................. ...................................... .......... Compressão...................................................................................................................................................................... .... ........Tensão Ideal: Flexão + Torção P M t τt σf Tensão Ideal: Tração + Cisalhamento P2 σt τc P1 Tensão Tangencial: Flexão + Cisalhamento P τc eixo n eutro σf Legenda P = Cargas ou Forças Mt = Momento Torçor σ τ = Tensões de Tração.............................................................. ............................................................................................ ......................................... .......................... ............... . ............................... .... .... ...................................................... ................... .................... ................................................ .............. .......................................... .............. ...................... .......................... ........................ Flexão = Tensões de Torção e Cisalhamento 72 SENAI-PR ............... ............... .............................................................................. .. .......... ................................ Problemas resolvidos b f f f f 2 2 2 2 f f h t 73 SENAI-PR ............. b 12 / 6 b 12 ... logo: .................................... m om ento fle tor força norm al ........ 8c l2= h ......... .......................................... ........................................................... l P ......... ............ .. Dimensionar a secção h x h da barra em figura.............. ........................................................................... P = 50 kg M M ........................................................................................................ P = 4000 kg M = P l = 4000 20 = 80000 kgcm ........................ 2.......................................................................... ............... Material: aço ABNT 1030............................... ...................... ........... A coluna está submetida à tração e flexão.......... P m .......................................... ............................................3 cm ......................... M P ..................................... 1........................................................................................... Dimensionar a secção indicada na prensa em figura...................................... x P ........................................ ....... l1 ......................................................................................................... =2 0c m ........................... ........................................................................................................................................................................................... l = 20 cm ............................. .... M edida adotada: h = 12 cm b = 5.................................... P ........................................................ ..... S=bh 4000 80000 6 + b= .. w = bh 700 12 b 12 / 6 6 ......... ............. P=4t ............ h M ............................. σt = S + w ........................ Material da coluna: aço ABNT 4524 AF ................ ................. ............................................................... .................. dados: .......................... 4000 80000 + 700 = σt = 700 kg / cm ............. ......... .................. ................................................. ................................. ..................... ......................... .................................................................................................... .... ............. ............................................. .. ........... ........................ .... ...35 950 = 0............................................................................................................... ........ .................208) 950 Barra 3/4 ^ x 3/4 ^ D e fa to ........................ .. .................................................. ..................................... ............................................ .................. ...........35 h= 3 M M f f 1000 6 950 ∴ σt 950 kg / cm 2 = 2 f + 4 f M M 2 1000 + 0................65 3 1000 3 h /6 + 4 2 t t 400 3 0........ ................. ...65 h 3/ 6 0....................................... ....................................................... ....................... ............... to m an do σt 2 = 750 Kg/cm < σt para le va r e m co nta o e feito d a torçã o.................... ................. ... ..........................35 h = 1..................................... .......................................... ............ tem -se: 750 = 10 00 3 h /6 2 ∴h= 3 6 1 00 0 = 2 cm 75 0 3/4^ 74 SENAI-PR ...A barra está submetida à flexo-torção: M om ento fletor : M f = 50 20 = 1000 kgcm M om ento torcedor: M t = 50 8 = 400 kgcm M ódulo de flexão: w f = h 3 / 6 M ódulo de torção: w f =0 ........................................208 h Tensão adm issível à flex ão : σ id = 0.................................................. ............................................................................................................................................208 h 2 + 2 0..................................................................................... ................................ ............................................. .............................. ................... ........ ... .91 cm M M + 0........................................................................................... ............................................65 (1000 6) + 4 (400/0.................. ..................................................... .............................................. .......... .................... ....................................................................................... .................... Sistema CGS É um sistema do tipo LMT sendo contituído pelas seguintes unidades fundamentais: L ............ ........................................................ ......................................................... .............(cm) M .. ..................(s) Exemplos de unidades derivadas no CGS: Velocidade (MRU) [ cm ] [ v ]= S = t [s] = [ cm / s ] aceleração norm al da gravidade aceleração [ ] [ ] = v t = cm / s s = cm s2 g = 98 0................... ....................comprimento M ....6 65 cm /s 2 Sistema MKS (Glorgl) Sistema Internacional (SI) É também um sistema do tipo LMT................................................................................................................................................................................ . ....................... ............ ............................tempo As unidades derivadas são obtidas em função das fundamentais....................... ................. ... .................. ..... .................... ............. ............................................. ............................ .......................CAPÍTULO VII Unidades fundamentais e derivadas As unidades fundamentais foram definidas arbitrariamente e constituem-se em: L .......................................................... ..................[ kg ] T-[s] 75 SENAI-PR ...................... ...................................................................................(g) T ........força T ..................................... .. .....massa ou T ............................. ..................................................comprimento L .......... .............. ................................... sendo suas unidades fundamentais: L-[m] M ............. .................. ....... ...................... ...... ............................ ..............................................................................................................tempo F .............................................. ............................................................. ............................. .... ........................... ............ ........ N o m e S ím b olo Fa tor de M ultip licação ........................ ........... alfa beta gam a delta épsilon zeta eta teta iota capa lâm bda m u ............................0 1 .............................................................................................................................................000 000 000 001 ................................................................... chi psi ôm ega sigm a tau úpsllon fi nu csi ôm icron pi ro .................... E exa 10 = 1 000 000 000 0 00 000 000 pe ta P 10 = 1 000 000 000 0 00 000 .... ........................................... de 03/05/78......................................0 01 .................................................................................................... ................................................. .................0 00 000 001 ................... m eg a M 10 = 1 000 000 qu ilo 10 = 1 000 k ................................ Exemplo de unidades derivadas: 2 2 2 18 15 12 9 6 3 2 -1 -2 -3 -6 -9 -1 2 -1 5 -1 8 76 SENAI-PR ....... gradativamente..... ............................................... ................................. velocidade (M RU) força ...............................................................000 000 000 000 0 00 001 ....................................................................... ........... ................................ cen ti c 10 = 0.... ......................... ........... da gravidade ..... [m ] s [ V ]= t = [F ] = [m ] [a] = [kgm / s ] = [N ] ................. fem to f 10 = 0....................... 10 = 0...............................................80 66 5 m /s t s ............................................. he cto h 10 = 10 0 .... m m ili 10 = 0..................... m icro 10 = 0..............................................................................1 .................................................................... p pico 10 = 0....... substituirá o sistema técnico............................ de ca da 10 de ci d 10 = 0.................................................. ...........0 00 001 na no n 10 = 0. ....................... gig a 10 = 1 000 000 000 G ........... = [ m / s ] [s] ................................................ ............................ Este sistema é o recomendado pelo decretro n° 81621 ......................... ALFABETO G REG O ....000 000 000 000 0 01 atto a .......... [ ]= v = m/s =[m /s ] g = 9.......... ............. ..................... aceleração norm al aceleração (M UV ) .................... Tabela I ............................................ .............p refixos S I ....................................... tera T 10 = 1 000 000 000 0 00 .. m /s Ângulo plano Aceleração angular Radiano Radiano por segundo.. por segundo . fluxo de energia Watt W J/s Pressão Pascal Pa Tensão Pascal Pa N/m Tem po Segundo s ** Trabalho Joule J N. Kg ....m Velocidade M etro por segundo . m Com prim ento M etro m ** Energia Joule J N. rad/s Volum e.. sólidos M etro cúbico ....segundo . Kg .Principais Unidades do SI Usadas em M ecânica Grandeza Unidade Sím bolo Fórm ula Aceleração M etro por segundo. m 3 M om ento de um a força...m Potência. 77 SENAI-PR . Torque New ton-m etro ... m /s Velocidade angular Radiano por segundo . N... líquidos Litro 1 * Unidade suplem entar ( 1 revolução = 2 2 2 2 -1 ** 2 3 10 -3 m 3 rad = 360º). m /s M om ento angular Quilogram a-m etro quadrado por segundo .... m /s Freqüência Hertz Hz s Im pulso New ton .. m Volum e. m 2 M om ento linear *** Quilogram a-m etro por segundo . * * Unidade de base.. m 2/s M assa Quilogram a kg M assa específica Quilogram a por m etro cúbico . rad .... N. * * * O M om ento Linear é m ais com um ente denom inado Q uantidade de M ovim ento.m Força New ton N kg . por seg. * 2 rad/s Área M etro quadrado .s M om ento de inércia Quilogram a-m etro quadrado . Kg .. Kg .. L -T ABNT 1020 .....Tensões M ateriais Tabela IV Tensão de Tensão de escoamento ruptura de [M Pa] [M Pa] Aço Carbono ABNT 1010 . ...31 ......... .........2 7 0.......0..............laminado T .............................. ............. ..0..................................... .................L -T ABNT 1030 ........ . ......................... ...L -T ABNT 1050 ...........L -T ABNT 1040 ................................650 140 ...................150 - 80 - M ódulo de E lasticidade Transversal G [G Pa] M aterial Aço 80 Alum ínio Bronze Cobre 26 Duralum ínio 14 28 Fofo 88 M agnésio 17 Nylon Titânico 10 45 Zinco 32 50 45 Tabela V ............................0....................500 230 ............................................. ..............34 vid ro 0.....................Características elásticas dos m ateriais Tabela II Material M ódulo de elasticidade e G Pa Material M ódulo de elasticidade e G Pa Aço 210 Latão 117 Alum ínio 70 Ligas de Al 73 Bronze 112 Ligas de chum bo 17 Cobre 112 Ligas de estanho 41 Chum bo 17 Ligas de m agnésio 40 100 Ligas de titânico M agnésio 45 114 179 Fofo M odular 137 M anoel (lig a níquel) 179 Ferro 200 Zinco Estanho Fofo Tabela III .. .................................................... ... 5 .....32 . ............. ..................... ... ...... .............................. ....120 100 ........... ...........................L -T ABNT 8620 ............25 .......................... ........................200 100 .........................L Aço Liga 220 380 280 480 300 500 360 600 400 ABNT 4140 ..............33 As tensões de ruptura das m adeiras deverão ser consideradas paralelas às fibras.07 co m pensada B ronze 0 ..........................0....23 ....32 ................. ............................................................0..............10 F .......... ..................................................................................8 ....... ...................350 300 ............... ....25 C obre 0 ...7 - 100 ..36 0.................0.............. ...750 210 ..32 ...........................16 ................... ....trefilado 96 30 .............. ............ ............. .........................C oeficie nte de P oisson ( ) M aterial A ço M aterial 0...........................................21 0 ...............................Perlítico 78 SENAI-PR .............. ................................... .............. ........... ...............................................Ferrítico P ..........35 pedra 0.........34 zinco Fofo -0 ............420 60 ............42 latão M adeira A lum ínio 0 ............................................200 520 - 320 420 360 500 480 550 600 700 650 70 ................................... ....120 100 ........ ..........80 0................................................. ............ ...................................................0.......320 120 ............................. ...................... .................L -T Ferro Fundido Cinzento Branco Preto F P Modular Materiais não Ferrosos 650 700 440 700 780 1000 700 780 - 200 450 350 550 650 Alum ínio Duralumínio 14 Cobre Telúrio Bronze de níquel Magnésio Titânio Zinco Materiais não Metálicos Borracha Concreto Madeiras Peroba Pinho Eucalipto Plásticos Nylon Vidro Vidro plano L ............ ......230 200 .................. ....................300 600 290 20 .... ........... ................................................ ..... ................................................................80 x 10 4 M aterial Alvenaria tijolo Alum ínio Concreto 4 4 4 Diam ante 3..............................7 x 1 0 Chum bo Constanta n Cobre -5 -5 2.59 x 10 4 0........4 x 1 0 -5 P la tina 0.................00 x 10 4 Porcelana 2..43 x 10 Estanh o 7....................8 x 1 0 -5 Zinco 1.............87 x 10 -5 7........3 x 1 0 -5 -5 Vidro 0..63 x 10 4 1.....................47 x 10 4 Papel 0. .........55 x 10 4 8............ ..... .........02 x 10 4 1... ........ ........70 x 10 4 Gasolina 15°C 0......................................98 x 10 4 Cobre Cortiça 2......... ..................................80 x 10 4 Chum bo 11....................................................................................... ................6 x 1 0 -5 Fe rro 1.......95 x 10 Cim ento em pó 1................................................................0 x 1 0 -5 0.. .........................78 x 10 0....................................18 x 10 4 1..........10 x 10 4 Talco 2..........................6 x 1 0 -5 2............ ..................................................... ......... .....................9 x 1 0 P rata 2.................93 x 10 4 Leite (15°C) M agnésio 8......................................................... .2 x 1 0 -5 Alum ínio 2........... ........ .........................................................................00 x 10 8........... .............50 x 10 4 4 18...........65 x 10 4 Ferro 7.......... ..................................... .................. ........2 x 1 0 -5 M aterial Coeficiente de dilatação linear -1 [ °C ] La tão M agnésio 1..............87 x 10 Níquel 1..............90 x 10 4 Ta bela VII .. . ....................9 x 1 0 -5 Bronze Borrach a [20°C] 1........ ..72 x 10 4 Cal H idratado Cerveja 1..........63 x 10 4 Peroba Pinho 0............. .... ..6 x 1 0 -5 Tijolo P orcela na 0.... ........................................... .......... ................................. .......Peso específico dos m ateriais Peso Específico 3 [ N/m ] M aterial Peso Específico 3 [ N/m ] Aço 7. ................. ............. ..............................00 x 10 4 Níquel Ouro 8.................. ......................9 x 1 0 1.................90 x 10 4 Latão Bronze Borrach a 2... ..........35 x 10 4 Prata 9...................... ... ........................................67 x 10 -5 E stanh o 2.24 x 10 4 Platina 20............. .......88x 10 4 0.3 x 1 0 -5 Baquelite 2..............P ro p ried ades M ecânicas Tabela VI ......83 x 10 4 Água destilada 4°C 0........ ..................................5 x 1 0 -5 1..........63 x 10 4 0......................................... ...................7 x 1 0 79 SENAI-PR -5 -5 ..........Coeficiente de dilatação linear dos m ateriais M aterial Coeficiente de dilatação linear -1 [ °C ] Aço 1.. ...............................98 x 10 4 1...... .....................47 x 10 4 Gelo Graxa 0.......................3 x 1 0 -5 O uro 1....70 x 10 4 Zinco 6............... ................... ......................................... ................................................................................ ...... ........... ............................................................................................................................................................................................................................ ................................................................ ............ .......23a 3 Wp 0... ........23a 3 Wp = d3 16 a h Y Jp = x bh (b2+ h2) 12 b Y d d4 J p = 32 x Y d Jp = x (D 4 .......... ....................... ....... . ...... .... ......................d 4 ) 16D Wp = D a d Y d4 J p = 32 x - a4 6 d3 W p = 16D ............................2b 3 Y a a a 4 Wp = a3 20 Y d a x 4 d4 5 3a J p = 32 8 d W p = 16 3 80 SENAI-PR ................. ......................... ........................................................ ..................... ............................................ ........................5 4d3 a 4 .................................................................................... ...... ......d 4 ) 32 (D 4 .................... ................................................................ .. ........ ................. ................................................................................................................................................................ ......... .................. ................................... ................... ............. ........................ ................................................... .................................. ............................................................... ............................. ............................ ................................... ................................................ ...................................................................................Características Geom étricas das Superfícies Planas Tabela de m omento polar de Inércia (Jp ) e o módulo de resistê ncia polar (W p ) M omento de Inércia Polar J p S ecçã o M ódulo de Resistência Polar W p Y a 4 Jp = x a 6 Wp 0...3da 4 D a b Y Jp = 5 3a 8 x Jp = 3a 48 a x 4 W p = 0.. ....................................b ) .......... a .................................. M om e nto de Inércia R aio de giração e M ódulo de Re sis tência .............................................................................................. a .. ............................. .... ..................... x hb b 3 hb ... 2 3 x x y y h x 3 2 y b a 4 x y x y 3 x x y y 3 4 x 4 d x x y 2 4 y y x y 2 x 4 4 4 4 y a x y 4 3 y x y a x 3 2 h x x x y y 2 3 y 4 x y 4 2 x 2 x y 81 SENAI-PR y ................................................... ............................................................................. Y ...... i = W = J = 24 36 x 6 ........................................... a 3 a a 2 i = i = J =J = W =W = x 12 6 12 ................................... x .................................. M omento Raio de M ódulo de .......................................................................................... 36 6 24 b 2 bh bh ......d ) D -d (D ...................................... .... b ........................................................................................ .......... Y .............................................................................. a -b a -b W =W = i = i = x J =J = 12 12a 12 ......d ) W =W = i = i = J =J = 32D 4 64 x ......................... .. b 2(a ...... Y .................................................................................. h 3 bh J = bh i = 6 W = 6 12 ..................................... .................... ..................................................................................................... ............. ..... Y a ........................ .............................................................................. d d d d W = W = 32 J =J = i = i = x 64 4 ........ Y .................................................................. J = i = 6 W = 12 6 ............. . Secção de Inércia Resistência (W ) Giração (I) ................. a a 3 a W =W = J =J = i = i = 6 12 6 . ............... ........................................... (D ................................................................................................................................................................................... Y h 2 bh i = J = W = bh ......................................................................... Y D ........ . de modo a satisfazer as condições de segurança.Calcule o diâmetro mínimo da barra ilustrada na figura.s.s. Para atender os objetivos da estrutura. = 2 (sobre a tensão de ruptura) material: SAE 1030 p = 10 tf 200 cm 02 . a sua deformação longitudinal não poderá ultrapassas 5 mm.Dimensionar a seção a x b e o núcleo do parafuso esticador na figura abaixo para uma carga de 15 tf. = 4 (sobre a tensão de escoamento) 03 .Calcule o diâmetro mínimo da barra ilustrada na figura.s.Tração e compreesão 01 . Dados: material do corpo SAE 1030 material do parafuso SAE 1020 c. de modo a satisfazer as condições de segurança.Exercícios . a sua deformação longitudinal não poderá ultrapassas 5 mm. = 3 (sobre a tensão de escoamento) b=2xa d a b P P 83 SENAI-PR . Dados: E = 2100000 Kgf/cm2 c. Dados: E = 200 GPa c. Para atender os objetivos da estrutura. = 2 (sobre a tensão de ruptura) 80 60 3000 kgf ( cm ) 84 SENAI-PR .s.04 .75 05 . Sabe-se que E = 210 GPa. sendo dados: . deprezando o peso próprio: a) o deslocamento do ponto B.número de parafusos: 2 .3 mm.25 B 1. Determinar o diâmetro d da parte BC para o qual o deslocamento do ponto c seja de 1. A D 50 KN (m ) 06 .A haste ABCD é feita de alumínio cm E = 70 CPa.Selecionar o parafuso do suporte representado na figura. para as cargas indidcadas. d=? = 30 A B C P 1200 900 d (m m ) 30 100 KN 2 C A = 500 m m 2 75 KN 1.c. Determinar.5 A = 800 m m 1. b) o deslocamento do ponto D.material de parafusos: SAE 1010 .7 kn.Aplica-se à extremidade c da barra de aço ABC a força axial P= 66. utilizando c.dimensões: b = 45 mm d = 60 mm h = 50 mm I > @ 08 . o coeficiente de segurança indicado para o caso é igual a 2. sendo dados: .Dimensionar a seção transversal dos montantes da prensa da figura.material = Fofo .c.carga máxima = 4.P = 5 tf . O material a ser utilizado é o ABNT 1020 com tensão de escoamento 280 N/mm2.s. Dados .alta = 15° . = 8 . = 4 sobre a tensão de escoamento.Dimensionar a barra 1 da construção representada na figura.material SAE 1020 .beta = 40° B A C 85 SENAI-PR .D 07 .Determine as áreas das barras perfiladas AB e BC do guindaste em figura.s.5 tf . B 6 kN 6 kN m 53 ° A 4m 2m C 3m 09 . h = 10 mm. 04 .4 mm.78 mm.A = 95.10 .53 mm2 .19 E-2 m.06 mm.A barra 1 da figura é de aço.71 mm. 02 .8 m e área da seção transversal A1 = 400 m2.d = 2. δ d = 5. 08 . Abc = 3330.9 mm.d = 54. 03 . 09 . 86 SENAI-PR .5 m 4 kN 8 kNm 2 kNm A 1m 3m RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE TRAÇÃO X COMPRESSÃO 01 . 06 .5 m C 2. 10 .D = 22. B 2.σ1 = 24 N/mm2 .d = 9. Determinar a tensão normal na barra e o seu alongamento (deformação). 07 . a = 22.24 mm.06 E5 N/mm2.74 mm2. Dado: E = 2.Aab = 2614.d = 12. d = 21.91 mm.6 mm.δ b = 0. possui coprimento l1 = 0. 05 .43 mm2. b = 44.12 mm. = 2). 106. Calcular o diâmetro dos parafusos com um coeficiente de segurança 3.7 KN 87 SENAI-PR . 2 2 02 . com um coeficiente de segurança 4. que deve suportar.A placa indicada é presa à haste por meio de 3 parafusos de aço.5.Calcular a carga de corte “p” necessária para produzir a peça ao lado. uma força de 1000 kgf.Cisalhamento 01 . A tensão de cisalhamento do aço utilizado é 331 MPa. sabendose que a espessura da chapa é de 1. (c.s.5 mm e o material aço SAE 1030.Exercícios .Calcular o diâmetro mínimo do rebite de aço SAE 1015. r 10 R 20 10 0 m m 03 . Calcular o diâmetro do pino.garfo com haste de espessura 6 mm. 4 .arruela de pressão.porca M12 . h q h 88 SENAI-PR . 2 .Calcular o comprimento “l” do cordão de solda para uma carga p de 1 tf.O conjunto representado na figura é formado por : 1 . 5 . 05 .parafuso sextavado M12. Sabendo-se que a carga “Q” atuante no conjunto é de 6 kn.: considerar que o cisalhamento ocorrerá ao longo da dimensão “a” (garganta da solda). de-terminar a tensão de cisalhamento atuante no parafuso.chapa de aço ABNT 1020 espessura 8 mm.No dispositivo de segurança da figura. o pino de aço ABNT 1040 deverá romperse com uma força tangencial de 500 N.04 . Obs. O lado do cordão “h” vale 5 mm e a tensão admissível ao cisalhamento é 750 kgf/cm2. 3 . 1 4 2 A A Q B B 3 5 06 . A junta da figura une 2 eixos através de rebites de 20 mm de diâmetro. 08 . 89 SENAI-PR . Determinar a tensão de cisalhamento nos rebites. Dimensionar o diâmetro mínimo dos parafusos para o aço SAE 1020 e coeficiente de segurança 5. transmite uma potência de 70 CV girando com uma freqüência de 2 Hz. Determinar o comprimento mínimo da chaveta sendo: b = 28 mm. para transmitir uma potência de 50 kw com uma freqüência de 4 Hz. O diâmetro do eixo é de 100mm. h = 10 mm e t1 = 6. 50 m m 09 .Por meio de um acoplameto transmite-se 10 CV a 500 rpm.O eixo de uma máquina unido a uma polia através de uma chaveta. O material da chaveta possui tensão admissível ao cisalhamento 60 MPa e tensão admissível ao esmagamento 100 MPa.9 mm.df df = 80 m m 07 . l = 264.d = 1. 09 . 07 . 03 . 63 mm. 08 .Determinar o comprimento da chaveta que une um eixo de diâmetro 100 mm a uma polia.10 .67 Kgf. 04 .Q = 25048.87 mm.53 MPa. RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE CISALHAMENTO 01 . h = 16mm e t1 = 10 mm. 05 .1 MPa. As dimensões da chaveta são: b = 28mm.25 mm. 90 SENAI-PR .d = 21.l = 37.τ = 26.d = 13.88 mm.d = 4.7 mm. para a transmissão de uma potência de 50 kw girando com uma freqüência de 2 Hz.23 mm. 10 .τ = 21. 06 .42 mm. O material possui tensão admissível ao cisalhamento 50 MPa e tensão admissível ao esmagamento 100 MPa.l = 132. 02 . Exercícios .Um momento de torção de 3 KN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze indicado. Ca bo 05 .m a 250 rpm. c) a parcela do momento (%) resistida pelo cilindro interior (imaginário) de 15 mm de raio.Calcular a tensão de cisalhamento máxima de um eixo de 25 mm de diâmetro submetido a 5000 kgf.A figura dada representa a chave para movimentar as castanhas da placa de um torno. 06 .cm de torque. A carga máxima que deve ser aplicada em cada lado do cabo é de 120 N. 12 D 03 .Torção 01 . Determinar: a) a máxima tensão de cisalhamento. M t = 3 Knm 30 60 200 m m 91 SENAI-PR . Qual a potência que o mesmo desenvolve ? F 02 . b) a tensão de cisalhamento no ponto D que fica em uma circunferência de 15 mm de raio.cm atua sobre o mesmo.Um motor tem torque de 183 Kgf. sabendo-se que o material a ser utilizado é o ABNT 1040 com coeficiente de segurança igual a 8.Calcular a tensão máxima e mínima para um eixo vazado de diâmetro externo 25 mm e interno 12 mm.Qual torque no eixo de um motor elétrico de 2 HP a 1000 rpm ? C ha 0 12 ve 0 F 04 . Dimensionar a extremidade de seção quadrada (lado = a) da chave. quando um momento torçor de 5000 kgf. C A B 1 2 92 SENAI-PR .m.5 KN. O momento torçor aplicado em A é de 7. necessária para equilibrar o sistema abaixo figurado. Latão Aço B A T 08 . onde são conhecidos: potência = 5 CV e rotação = 500 rpm.07 . Calcule também o valor do momento torcedor atuante nos pontos 1 e 2.O eixo figurado faz parte de um mecanismo de transmissão. b) da barra BC. Determine o momento torcedor atuante nas seções “1” e “2” do eixo em questão. 1 2 A 10 kg F R 30 R 15 R 12 B C 6 kg 09 .Sabe-se que as tensões admissíveis das barras circulares AB e BC são respectivamente 83 MPa e 48 MPa.Determine o valor da força “F”. A engrenagem “B” absorve 3/5 do momento torcedor e o restante é absorvido pela engrenagem “c”. Determinar o diâmetro necessário: a) da barra AB. 74 MPa b .37 MPa 07 .13 Kgf/cm2 05 .a = 13.Mt1 = 716. 1 = 10 1 6C V .51N.Mt = 187.Mt2 = 286.94 Kgf/cm2 93 SENAI-PR c .N = 63.Tmax = 1721.Tmax = 70.cm 09 . sabendo-se que o Mesmo tem 25 mm de diâmetro.dBC = 92.2 Kgf.cm .25%) .67 mm 08 .1800 rpm 2 = 20 (cm ) A 2 B C 50% 30% 20% Resposta .Tmax = 1629.TD = 35.Mt1 = 120 Kgf.25 Kgf.58 mm 06 .a .Mt = 145.Mt2 = 210 Kgf.Torção 01 .cm 10 .2 mm b .a .cm .cm 03 .75 Kgf/cm2 04 .48 Kgf.Tmax = 108.m (6.dAB = 77.10 .11 Kgf/cm2 - Tmin = 826.88 CV 02 .Calcular a máxima tensão de cisalhamento que atua no eixo abaixo figurado. Exercícios - Flambagem 01 - Determinar o índice de esbeltez de uma barra de madeira de 8 m de comprimento e secção retangular 20 x 25 cm. Considerar engastada em ambas as extremidades. 02 - Uma barra quadrada de 25 cm de lado e 800 cm de comprimento, apresenta módulo de elasticidade 2E4 Kgf/mm2. Calcular a carga crítica de Euler para a barra engastada em uma extremidade e livre na outra. 03 - É dada uma barra prismática de aço com extremidade engastada e outra articulada com 5 x 7 cm de secção. Sendo a tensão de proporcionalidade do material 23 Kgf/mm2, determinar o comprimento para a aplicação da equação de Euler. 04 - Qual a carga crítica de flambagem no problema anterior, se as extremidades forem engastadas e o comprimento da coluna for de 2,5 m ? Determine a carga útil utilizando um coeficiente de segurança de 2. 05 - Calcular o diâmetro de uma biela para suportar uma carga de flambagem de 8 tf, sendo E = 2,1 E 6 Kgf/cm3, seu comprimento de 80 cm, limite de proporcionalidade do material 22 Kgf/mm2 e o coeficiente de segurança adotado 2. 06 - Uma barra birrotulada de 500 cm de comprimento e secção transversal retangular de 30 x 15 cm é solicitada por uma força de compressão P = 14 tf. Verificar as condições de segurança da barra, considerando o fenômeno da flambagem. Dados: - E = 15 E 4 Kgf/cm2 - tensão prop. = 100 Kgf/cm2 - tensão escoamento = 120 Kgf/cm2 - H = 1,64 Kgf/cm2 - K = 300 Kgf/cm2 - n = 2 (sobre a tensão de escoamento). 07 - Uma barra de aço doce possui secção transversal circular e encontra-se articulada nas extremidades, devendo ser submetida a uma carga axial de 1600 Kgf. Sabendo-se que o seu comprimento é de 1,2 m, determinar por Euler o seu diâmetro, considerando um coeficiente de segurança de 8. (Eaço = 210 GPa). 94 SENAI-PR 08 - Uma barra de aço de 7 x 5 cm de secção é duplamente articulada e seu comprimento é de 2,5 m. Usando um c.s. de 2,0 e E = 21000 Kgf/m2, determina a carga máxima admissível na barra. 09 - Uma barra de 200 cm, duplamente articulada é4 feita de madeira com E = 10 E 5 Kgf, utilizando um c.s. de 3,0. 10 - Uma barra de aço doce tem secção retangular; de 10 x 5 cm com um furo central de 3 cm de diâmetro. Sabendo-se que seu comprimento é de 200 cm e é duplamente articulada, detrmine a carga crítica. Dados: E = 2,1 E 6 Kgf/cm2 . RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE FLAMBAGEM. 01 - 69,3 02 - Pcr = 2,509 E 5 Kgf 03 - I > 195,74 cm 04 - P = 48361 Kgf 05 - d = 32 mm 06 - P - 24880 Kgf 07 - d = 116 mm 08 - P = 12090 Kgf 09 - a = 56,5 mm 10 - σcr = 1209,2 Kgf/cm2 95 SENAI-PR 19,6 Exercícios - Flexão 24 01 - Uma viga cuja secção transversal é mostrada na figura está solicitada por um momento fletor máximo de 17 tfm. Calcular as tensões máximas na secção. 10 02 - Uma barra de aço SAE 1020, engastada numa das extremidades, deverá suportar, com segurança, uma carga de 500 Kgf, concentrada na extremidade livre, conforme figura. Detrminar o diâmetro da barra, sabendo-se que seu comprimento é de 0,5 m e adotando um coeficiente de segurança = 5. 20 10 (cm ) P L 03 - No problema anterior, supondo uma barra de mesmo material e com diâmetro 40 mm, determinar a carga máxima que pode ser aplicada, com segurança, na extremidade livre da barra. Adotar novamente um coeficiente de segurança = 5. 04 - Construir o diagrama de momentos fletores e força cortante dos carregamentos indicados abaixo, indicando o valor do momento máximo. P = 100 Kgf A B 30 20 50 ( cm ) 05 - Uma viga simplesmente apoiada, é solicitada por uma carga concentrada no meio da viga de 4,4 tf. Sabendo-se que o vão entre os apoios é de 3 m e que o material da viga é um aço SAE 1020, determinar o tamanho do perfil I e a flecha máxima (CS = 5,0 ). 96 SENAI-PR 1 350 N 0.1 0.06 .6 m 0. cuja secção é dada na figura. 1200 N 0.m.Para o momento fletor M = 400 Kgf.25 (m) 08 . 250 N 0.6.0 e considerar 1 kgf = 10 N. dimensionar o diâmetro mínimo da secção transversal indicada.Dimensionar o eixo vazado para que suporte com segurança o carregamento indicado na figura. 38 2 Dados: material da viga = aço SAE 4150 9 2 9 ( cm ) 07 . O material utilizado é o ABNT 1040 e a relação entre diâmetros é 0.6 m 800 N 0. Adotar um coeficiente de segurança = 2.3 m D d A RA 9 x x x RB 97 SENAI-PR . verificar as condições de segurança da viga.Dado o carregamento abaixo. 1000 N 1m 1500 N 1m 1m 1000 N 1m h A B RA RB b 10 . Sabendo-se que E = 175 GPa.53 Kgf/cm2 (verifica!) 07 .76. determinar as máximas tensões de tração e compressão no perfil.Dimensionar a viga de madeira que deverá suportar o carregamento representado na figura.8 mm 09 . madeira = 10 MPa e h = 3b.0 MPa (tração) e 131.m.155 Kgf/cm2 (compressão) e 190 Kgf/cm2 (tração) 02 .Viga I 10” x 4 5/8” x 44.h = 120 mm 10 .3 MPa (compressão) 98 SENAI-PR . = 1200 Kgf. Utilizar tensão adm.32 mm 08 .cm 05 .105. RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE FLEXÃO 01 .5 Kgf 04 .Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à ação do conjugado de 3 KN.67 mm 03 .d = 12.09 .7 Kg/m 06 .(a) Mmáx.10.