Apostila Raciocinio Logico Reta Final Inss Weber Campos

Apostila deRaciocínio Lógico CURSO RETA FINAL DE EXERCÍCIOS PARA O INSS Prof. Weber Campos [email protected] Agora Eu Passo - AEP www.cursoagoraeupasso.com.br www.cursoagoraeupasso.com.br ÍNDICE 1. LÓGICA PROPOSICIONAL Proposição Conectivos Lógicos Conjunção: “A e B” Disjunção: “A ou B” Disjunção Exclusiva: “ou A ou B, mas não ambos” Condicional: “Se A então B” Bicondicional: “A se e somente se B” Negação: “não A” Ordem de Precedência dos Conectivos Construção da Tabela-Verdade para uma Proposição Composta Tautologia, Contradição e Contingência Negação dos termos Todo, Algum e Nenhum Negação de Proposições Compostas Proposições Logicamente Equivalentes Regras de Simplificação Diagramas Lógicos Proposições Categóricas Representação das Proposições Categóricas por Diagramas de Conjuntos Argumento Sentenças Abertas 10 11 14 15 2. CONJUNTOS 17 3. PORCENTAGEM 21 EXERCÍCIOS 26 GABARITO 32 PROGRAMA DE RACIOCÍNIO LÓGICO DO CONCURSO P/ TÉCNICO DO SEGURO SOCIAL DO INSS: 1. Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposições simples; proposições compostas. 2. Tautologia. 3. Operação com conjuntos. 4. Cálculos com porcentagens. Raciocínio Lógico 2 Prof Weber Campos 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 8 9 www.cursoagoraeupasso.com.br LÓGICA PROPOSICIONAL 1. PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. 23 > 10 Existe um número ímpar menor que dois. João foi ao cinema ou ao teatro. Não são proposições: 1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?” 2) frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!” 3) frases imperativas: “Estude mais.” 4) frases optativas: “Deus te acompanhe.” 5) frases sem verbo: “O caderno de Maria.” 6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): “x é maior que 2”; “x+y = 10”; “Z é a capital do Chile”. 2. CONECTIVOS LÓGICOS Conectivos (linguagem idiomática) Conectivos (Símbolo) Estrutura lógica Exemplo e  Conjunção: A  B João é ator e alagoano. ou  Disjunção: A  B Disjunção exclusiva: AB Ou Tiago é médico ou dentista, mas não ambos. Irei ao cinema ou à praia. ou ... ou, mas não ambos  se ... então  Condicional: A → B Se chove, então faz frio. se e somente se  Bicondicional: A  B Vivo se e somente se sou feliz. # CONJUNÇÃO: “A e B” A B AeB V V F F V F V F V F F F A B A ou B V V F F V F V F V V V F # DISJUNÇÃO: “A ou B” Raciocínio Lógico 3 Prof Weber Campos Exemplo: Dada a condicional “Se chove.br # DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou A ou B. 7) B é condição suficiente e necessária para A. 3) Quando A. 7) B é condição necessária para A. B. 5) A somente se B e B somente se A. 4) A implica B. 2) Se A então B e se B então A.www. são expressões equivalentes: 1) Se chove. 5) Todo A é B. então B” As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A. então fico molhado”. 2) Fico molhado. 8) Chove somente se fico molhado. “ A ↔ B “ é a mesma coisa que “ (A  B) e (B  A) “ Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes expressões: 1) A se e só se B. mas não ambos” A B A ou B V V F F V F V F F V V F A B AB V V F F V F V F V F V V # CONDICIONAL: “Se A. 4) Chover implica ficar molhado. 6) Chover é condição suficiente para fico molhado. 6) A é condição suficiente para B. se chove. 4) Todo A é B e todo B é A. 2) B. Raciocínio Lógico 4 Prof Weber Campos . ou seja. fico molhado. B. 6) A é condição suficiente e necessária para B.cursoagoraeupasso. fico molhado. 7) Ficar molhado é condição necessária para chover. 3) Quando chove. então B": 1) Se A. # BICONDICIONAL: “A se e somente se B” A B A↔B V V F F V F V F V F F V Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: “se A então B e se B então A”. 3) A implica B e B implica A. fico molhado. se A.com. 5) Toda vez que chove. 8) A somente se B. verdade pelo menos um dos dois for falso A ou B A ou B A B pelo menos um dos dois for verdade A e B tiverem valores lógicos diferentes nos demais casos A B A e B tiverem valores lógicos iguais A e B.cursoagoraeupasso. Estrutura lógica É verdade quando É falso quando AeB A e B são. VISÃO GERAL DOS CONECTIVOS A B AeB A ou B A ou B AB A↔B V V F F V F V F V F F F V V V F F V V F V F V V V F F V No quadro abaixo. A ~A V F F V 4. ambos. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA n O número de linhas da tabela-verdade de uma sentença é igual a 2 . mostrando as condições em que o valor lógico é verdade e em que é falso. MODIFICADOR “NÃO” # NEGAÇÃO: “não A” As seguintes frases são equivalentes entre si: Lógica não é fácil.  Exemplo 01) ~( P  ~Q) Raciocínio Lógico número de linhas = 22 = 4 linhas 5 Prof Weber Campos .br 3. É falso que Lógica é fácil. ambos.com. Não é o caso que Lógica é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil.www. ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIVOS 1º) ~ (Negação) 2º)  (Conjunção) 3º)  (Disjunção) 4º)  (Condicional) 5º)  (Bicondicional) 6. onde n é o número de proposições simples (letras) que há na sentença. apresentamos uma tabela muito interessante a respeito dos conectivos. são falsos A e B tiverem valores lógicos iguais A é verdade e B é falso A e B tiverem valores lógicos diferentes 5. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia. se todos os resultados da última coluna forem FALSO. 8. Ou seja... como se pode observar na tabela-verdade abaixo: A B (A  B)  (A  B) AB AB V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observemos que o valor lógico da proposição composta (A  B)  (A  B). TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A.cursoagoraeupasso.com. . que aparece na última coluna. que a compõem. será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira. pois é sempre verdadeira. se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso). independentemente dos valores lógicos das proposições A.. B.www. . que a compõem... conforme verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A. . então estaremos diante de uma contradição. então estaremos diante de uma Tautologia. B. Só isso! Exemplo: A proposição (A  B)  (A  B) é uma tautologia. . construiremos a sua tabela-verdade! Daí. independentemente dos valores lógicos de A e de B. C. C. será dita uma contradição se ela for sempre falsa.br P V V F F Q V F V F ~Q ~(P  ~Q) (P  ~Q)  Exemplo 02) (P  ~R)  (Q  ~R ) P V V V V F F F F Q V V F F V V F F R V F V F V F V F número de linhas = 23 = 8 linhas (P  ~R) ~R (Q  ~R) (P  ~R)  (Q  ~R) 7. construindo a tabela-verdade de uma proposição composta.. B. é sempre verdadeiro. Vejamos: Raciocínio Lógico 6 Prof Weber Campos . independentemente dos valores lógicos das proposições A. C. Exemplo: A proposição (A  ~B)  (A  B) também é uma contradição. B.. C.. 7) Negação de “Alguém ganhou o bingo” é: “Ninguém ganhou o bingo”.. Algum .NÃO.. E para obter a negação desta proposição. como se pode observar na tabela-verdade abaixo: A B A  (A  B) (A  B) V V V V V F F F F V F V F F F V E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem é uma contradição! 10. 9.. Nenhum .. Todo . pois o seu valor lógico depende dos valores lógicos de A e B.. ou melhor: “Nunca ela me amará”. é sempre Falso. Nenhum .. Exemplos: 1) Negação de “Algum carro é veloz” é: “Nenhum carro é veloz”. independentemente dos valores lógicos que A e B assumem. 9) “Nem todo livro é ilustrado” é o mesmo que: O termo “nem” na frente do “todo” significa que devemos negar a proposição “todo livro é ilustrado”. “Nenhum gato tem sete vidas”.. basta trocar o termo ALGUM por NENHUM.. Algum ... (Resposta!) 10) “Não é verdade que algum gato tem sete vidas” é o mesmo que: O termo “não é verdade que” significa que devemos negar tudo o que vem em seguida...... Algum . basta trocar o termo TODO por ALGUM. ou seja. 8) Negação de: “Algum dia ela me amará” é: “Nenhum dia ela me amará”. Teremos: “Algum livro não é ilustrado”.. CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.. 4) Negação de “Toda meditação é relaxante” é: “Alguma meditação não é relaxante”. 6) Negação de “Alguma arara não é amarela” é: “Toda arara é amarela”. 2) Negação de “Nenhuma música é triste” é: “Alguma música é triste”. não . 5) Negação de “Todo político não é rico” é: “Algum político é rico”... (Resposta!) Raciocínio Lógico 7 Prof Weber Campos .cursoagoraeupasso. E para obter a negação desta proposição.www.. Exemplo: A proposição "A  (A  B)" é uma contingência. Todo .com. 3) Negação de “Nenhum exercício não é difícil” é: “Algum exercício não é difícil”.. não . NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO.. negar a proposição “algum gato tem sete vidas”.br A B (A  ~B) (A  B) (A  ~B)  (A  B) V V F V F V F V F F F V V F F F F F F F Observemos que o valor lógico da proposição composta (A  ~B)  (A  B). que aparece na última coluna de sua tabela-verdade. NENHUM E ALGUM Proposição Negação da proposição Algum . Equivalência entre “nenhum” e “todo”: 1ª) Nenhum A não é B = Todo A é B Exemplo: Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela. através da seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo. 12. Equivalências que envolvem a Condicional:  1ª) Se A.1. então não A.  2ª) Se A. então B = não A ou B. 12. 2ª) Todo A não é B = Nenhum A é B Exemplo: Todo médico não é louco = Nenhum médico é louco.com. percebemos que essa outra forma equivalente para AB pode ser obtida pela seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo.br 11. 2º) Mantém-se o segundo termo.www. 2º) Mantém-se o segundo termo. então B A ou B = ~A  B A relação simbólica acima nos mostra que podemos transformar uma disjunção numa condicional equivalente. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Proposição Negação da Proposição (A e B) ~A ou ~B (A ou B) ~A e ~B (A  B) (A  B) A e ~B 1ª forma) ~(AB e BA) = (A e ~B) ou (B e ~A) 2ª forma) A ou B AB (A ou B) 12. percebemos que a forma equivalente para AB pode ser obtida pela seguinte regra: 1º) Trocam-se os termos da condicional de posição. A  B = ~A ou B Observando a relação simbólica acima. 3º) Troca-se o símbolo do implica pelo “ou”.cursoagoraeupasso. Raciocínio Lógico 8 Prof Weber Campos . PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. 2º) Negam-se ambos os termos da condicional.2. 3º) Troca-se o “ou” pelo símbolo “”.  3ª) A ou B = se não A. A  B = ~B  ~A Observando a relação simbólica acima. então B = Se não B. REGRAS DE SIMPLIFICAÇÃO: 1. p e (p ou q) = p (Lei da Absorção) Raciocínio Lógico 9 Prof Weber Campos .4. p ou (p e q) = p (Lei da Absorção) 12. 5ª) A  B = B  A 6ª) A  B = (A  B) e (B  A) Leis Associativas. p ou V = V (na disjunção. p  p = V (tautologia) 10. o F é quem manda) 9. concluiremos ainda que: A não é não B = Todo A não é não B = Algum A não é não B = Nenhum A não é não B = A é B Todo A é B Algum A é B Nenhum A é B 13. p ou ~p = V (tautologia) 4.3. p ou p = p (Lei idempotente) 2.br 12. o V é elemento neutro) 8. p ou F = p (na disjunção. p e ~p = F (contradição) 5. p  ~p = F (contradição) 11. p e F = F (na conjunção. o V é quem manda) 6. o F é elemento neutro) 7. Equivalências Básicas: 1ª) A e A = A 2ª) A ou A = A 3ª) A e B = B e A 4ª) A ou B = B ou A 12. Distributivas e da Dupla Negação: 1ª) Leis associativas: (A e B) e C = A e (B e C) (A ou B) ou C = A ou (B ou C) 2ª) Leis distributivas: A e (B ou C) = (A e B) ou (A e C) A ou (B e C) = (A ou B) e (A ou C) 3ª) Lei da dupla negação: ~(~A) = A Daí.www.cursoagoraeupasso. p e V = p (na conjunção. p e p = p (Lei idempotente) 3.com. Todo A é B Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B. Todo gaúcho é brasileiro  Todo brasileiro é gaúcho Também. Todo A é B 2. no sentido lógico de algum. ou seja. e também é logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A.br 14. são equivalentes as expressões seguintes: Todo A é B = Qualquer A é B = Cada A é B 2.www. quando dizemos que Algum A é B. A e B não tem elementos em comum. Algum A não é B 1.com. algum e nenhum são chamadas de proposições categóricas. Nenhum A é B 3. Nenhum A é B Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos. mesmo sabendo que “todos eles são ricos”. Raciocínio Lógico 10 Prof Weber Campos . Exemplo: Algum fiscal não é honesto = Algum fiscal é não honesto = Algum não honesto é fiscal Atenção: dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Algum A não é B Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições formadas com os termos todo. Exemplo: Algum médico é poeta = Algum poeta é médico Também. são equivalentes as expressões seguintes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B Exemplo: Algum poeta é médico = Pelo menos um poeta é médico = Existe um poeta que é médico 4. está perfeitamente correto afirmar que “alguns alunos são ricos”.cursoagoraeupasso. Contudo. Algum A é B Por convenção universal em Lógica. Algum A é B 4. Exemplo: Nenhum diplomata é analfabeto = Nenhum analfabeto é diplomata 3. Entretanto. pressupomos que nem todo A é B. Temos as seguintes formas: 1. Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. isto é. proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. todo elemento de A também é elemento de B. Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é não B. .www. está. # REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para a solução de diversas questões de concurso. 1. são. usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar. .br Exemplo: Algum animal não é mamífero  Algum mamífero não é animal IMPORTANTE: Nas proposições categóricas. foi. então temos somente a representação: a Não há elementos em comum entre os dois conjuntos (Não há intersecção!) A Raciocínio Lógico B 11 Prof Weber Campos . em termos de conjunto. Se a proposição “Nenhum A é B” é verdadeira.. Se a proposição “Todo A é B” é verdadeira. tais como é. e veremos adiante que uma proposição categórica pode possuir mais de um desenho. Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto. eram. Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Relembremos os significados.cursoagoraeupasso. como elo de ligação entre A e B. então temos duas representações possíveis: a b O conjunto A é igual ao conjunto B O conjunto A dentro do conjunto B B A=B A 2.com.. e isso é quem definirá o desenho do diagrama. Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. de cada uma das proposições categóricas: Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum. com. b Todos os elementos de B estão em A. temos quatro representações possíveis: Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum. a b Todos os elementos de A estão em B. c A B Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira. “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. temos três representações possíveis: Os dois conjuntos possuem uma a parte dos elementos em comum. Se a proposição “Algum A não é B“ é verdadeira. “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. é correto inferir que: a) b) c) d) e) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.cursoagoraeupasso. Se a proposição “Algum A é B” é verdadeira. Raciocínio Lógico 12 Prof Weber Campos . “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. A B A B Não há elementos em comum entre os dois conjuntos. B c A B A d Todos os elementos de B estão em A.www. O conjunto A é igual ao conjunto B A A=B B 4. “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.br 3. Resta necessariamente perfeito que “algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.cursoagoraeupasso. A opção E é incorreta! Pois na análise da opção C já havíamos concluído que “algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente falsa. Isso pode ser constatado nos dois desenhos acima. Como vimos anteriormente há duas representações possíveis: a b instrutivo instrutivo = livro livro A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. Já achamos a resposta correta.: Temos que a proposição “todo livro é instrutivo” é verdadeira. Resposta: opção B. Baseando-se nesta proposição. construiremos as representações dos conjuntos dos livros e das coisas instrutivas.br Sol.www. A opção C é incorreta! Pois a proposição “algum livro não é instrutivo” é necessariamente falsa. mas continuaremos a análise das outras opções. A opção D é incorreta! Pois na análise da opção B já havíamos concluído que “algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.com. Raciocínio Lógico 13 Prof Weber Campos . E estamos com a situação inversa! A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima os conjuntos em vermelho e em azul possuem elementos em comum. vejam que não há um livro sequer que não seja instrutivo. Para testar a validade de um argumento.cursoagoraeupasso. Prof Weber Campos . mas preferencialmente quando o argumento tiver no máximo duas proposições simples. os valores lógicos relativos a coluna da conclusão forem também V.com. Raciocínio Lógico 14 O argumento é válido quando. mal construído.. o valor encontrado para a conclusão é obrigatoriamente verdadeiro. devemos considerar as premissas como verdadeiras. . . em cada caso. argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1. # MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS Na seqüência. que será conseqüência das primeiras! Dito de outra forma.... nenhum.. quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. respectivamente. e houver uma premissa. ARGUMENTO Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final. falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. mesmo quando o conteúdo da premissa é falso. e quando se deve lançar mão de um ou de outro... 1º Método Considerar as premissas verdadeiras e verificar a validade da conclusão por meio da utilização dos Diagramas (circunferências) o argumento apresentar as palavras todo..que seja uma proposição simples. 3º Método Considerar as premissas verdadeiras e verificar o valor lógico da conclusão o 1º Método não puder ser empregado. chamadas premissas do argumento.www. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese.. um quadro que resume os quatro métodos. chamada de conclusão do argumento. # ARGUMENTO INVÁLIDO: Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo. p2.. a uma proposição c. pn . nas linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas têm valor V. ou . Vejamos: Deve ser usado quando.. que esteja na forma de uma conjunção (e). a partir dos diagramas verificarmos que a conclusão é uma conseqüência obrigatória das premissas. # ARGUMENTO VÁLIDO: Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído). ou algum 2º Método Construção da TabelaVerdade do argumento em qualquer caso.br 15.. "algum".1.. f) Ele é o juiz do TRT da 5ª Região.). para cada. SENTENÇAS ABERTAS 1. que resulta em 4 = 4. tendo. O pronome ele que aparece na última sentença acima. b) Cada um dos alunos participará da excursão. x é a variável. Há. pois se fizermos. 2ª) utilizar quantificadores.com. A seguir. 2.br 16. 2. mas vejamos outros exemplos: Ao atribuir a x o valor 5 na sentença aberta x + 3 = 10. Sentenças Abertas No capítulo um. e) Existe uma pessoa que é poliglota. N é o conjunto dos números naturais e x + 3 = 10 é a sentença aberta. por exemplo. Quantificadores Consideremos as afirmações: a) Todo sangue é vermelho. Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x. Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta (x+1)2 – 5 = x2. (É freqüente em questões de concurso a sentença aberta ser chamada de predicado ou propriedade. "pelo menos um".www. esta transforma-se na proposição 5 + 3 = 10. veremos a transformação de uma sentença aberta numa proposição por meio de quantificadores. d) Pelo menos um professor não é rico. valor lógico V. “nenhum” são quantificadores. teremos 1 + 3 = 10 (resultado falso!). Veremos agora exemplos de transformações de sentenças abertas em proposições: 1) (x)(xN)(x + 3 = 10) O símbolo  é o quantificador universal.. Raciocínio Lógico 15 Prof Weber Campos . duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1ª) atribuir valor às variáveis. c) Algum animal é selvagem. a qual se pode atribuir nomes de pessoas. temos que x + 3 = 10”.cursoagoraeupasso. O Quantificador Universal O quantificador universal é indicado pelo símbolo  que se lê: para todo. funciona como uma variável. entretanto. portanto. o x igual ao número natural 1.) A proposição (x)(xN)(x2 = 4) se lê da seguinte maneira: “Para todo elemento x do conjunto dos números naturais. Expressões como “todo”. A primeira maneira foi mostrada no capítulo um. f) Nenhum crime é perfeito. “existe”. qualquer que seja. que são sentenças do tipo: a) x + 3 = 10 b) x > 5 2 2 c) (x+1) – 5 = x d) x – y = 20 e) Em 2004 foram registradas 800+z acidentes de trânsito em São Paulo. comentamos sobre as sentenças abertas. Qual o valor lógico dessa proposição? É claro que é Falso. “cada um”. z.. esta transforma-se na proposição (2+1)2 – 5 = 22. y. Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal e Existencial. cujo valor lógico é F. a 2 2 proposição (x)(xQ)(x  x) tornar-se-ia Falsa. então a proposição tem valor lógico Verdade.com. sendo apenas o primeiro um número natural. -3. cortando o y de cada lado da igualdade.. se substituirmos x por 1/2.. ele é chamado de quantificador existencial de unicidade.. 3. encontramos como raízes os valores 2 e -2. Passemos a exemplos de transformações de sentenças abertas em proposições usando o quantificador existencial: 1) (x)(xN)(x2 = 4) O símbolo  é o quantificador existencial. -1. Da mesma forma que o quantificador universal.www. A proposição (x)(xN)(x2 = 4) se lê da seguinte maneira: “Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números naturais tal que x 2 = 4”. também podemos simplificar a representação simbólica das proposições com quantificador existencial. existe um e um só.}. 2 A proposição (x)(xZ)(x  x) se lê da seguinte maneira: “Para todo elemento x do conjunto dos números inteiros.  (x)(xZ)(x2  x) pode ser escrita como (x  Z)(x2  x). resultando em 1 = 2. daí a proposição tem valor lógico Verdade. teremos (1/2)  1/2. temos que x 2  x”. Qual o valor lógico dessa proposição? Ao resolver a equação x 2 = 4. A proposição (y)(yR)(y + 1 = y + 2) se lê da seguinte maneira: “Existe pelo menos um y pertencente ao conjunto dos números reais tal que y + 1 = y + 2”. 3 Raciocínio Lógico 2 3 16 2 Prof Weber Campos . 2. 2. existe. O Quantificador Existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo  que se lê: existe pelo menos um. -2. Pois. só existe o número 2 que satisfaz essa sentença. y é a variável. Z é o conjunto dos números inteiros 2 e x  x é a sentença aberta. x é a variável. Se mudássemos do conjunto dos inteiros (Z) para o conjunto dos números racionais (Q).br 2) (x)(xZ)(x  x) O símbolo  é o quantificador universal. Como existe uma raiz que é um número natural.2.cursoagoraeupasso. 2 Se substituirmos qualquer um desses números na sentença x  x. Podemos simplificar a sentença y + 1 = y + 2. Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial. para algum. o valor lógico da proposição é Verdade. Não há y que dê jeito de fazer 1 igual a 2. R é o conjunto dos números reais e y + 1 = y + 2 é a sentença aberta. Portanto. que resulta em 1/4  1/2 (resultado falso!). x é a variável. Realmente. o resultado será sempre verdadeiro. simbolizado por | que se lê: existe um único.  (| x)(x  N)(x + 5 = 7) pode ser escrita como (| x  N)(x + 5 = 7). por exemplo:  (x)(xZ)(x = 5x ) pode ser escrita como (x  N)(x = 5x ).. N é o conjunto dos números naturais e x2 = 4 é a sentença aberta. existe um. 2) (y)(yR)(y + 1 = y + 2) O símbolo  é o quantificador existencial. 1. Qual o valor lógico dessa proposição? Os números inteiros são {. Exemplos: 1) (| x)(x  N)(x + 5 = 7) que se lê: "existe um único número x pertencente ao conjunto dos números naturais tal que x + 5 = 7". portanto a proposição é Falsa. conforme mostrado abaixo:  (x)(xN)(x + 3 = 10) pode ser escrita como (x  N)(x + 3 = 10). 2 Podemos simplificar a notação simbólica das proposições. 0. encontrar o conjunto das partes de A. 2. 2. 3. 2}. simbolizado por P(A). 3}  {2.br CONJUNTOS 1) Relações de Pertinência Relacionam elemento com conjunto. 1. 5.  }. 3} é subconjunto de {1. 5} b) {2. 3} b) {1. 7}  3) Subconjunto Diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. 1. 2} 2) Relações de Inclusão Relacionam um conjunto com outro conjunto. 5}  {2. {1. 1. Exemplo 2:  a) {2. é o conjunto cujos elementos são todos partes (subconjuntos) de A. 3}. 5} 4) Conjunto das Partes de um Conjunto O conjunto das partes de um conjunto A. 7}  {0. 2. Exemplo 3: a) {2} é subconjunto de {1. 2. 5} d) {0. 5} c) {0.cursoagoraeupasso. Exemplo 4: Dado o conjunto A={1. 5}  {0. Temos a seguinte simbologia de inclusão:  (está contido). 8} (Resposta!) Raciocínio Lógico 17 Prof Weber Campos . 1. 8} = {1. {2}. 1. 5.  (contém) e (não contém). 2. {1.  (não está contido). {3}. 2. {1. Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB}. 3}. em que n é o número de elementos de A. Solução: 3 Como A tem 3 elementos.com. AB. 2. daremos a definição de cada operação com conjuntos: a) União () A união entre dois conjuntos. 2. Onde o símbolo  representa o conjunto vazio. Exemplo 5: {1. 5) Operações com Conjuntos Considerando os conjuntos A. Exemplo 1: a) 2  {0. 2.www. 2} b) 4  {0. 3}. 3}. B e o conjunto-universo U. Este é sempre subconjunto de qualquer conjunto. O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2n. {2. 1. 3. E a indicação de que o elemento pertence ou não pertence a um conjunto é feita pelos símbolos:  (pertence) e  (não pertence). é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A e de B. O conjunto P(A) é { {1}. 5} {2. P(A) terá 8 elementos (=2 ). 5. Exemplo 7: {1. Exemplo 6: {1. 3} – {2. é o conjunto formado pelos elementos do conjunto universo (U) que não pertencem a A.com. Simbolicamente: A'={xU|xA}. 8} = {1. 3} (Resposta!) A representação gráfica da diferença entre dois conjuntos (B-A) é dada pelo seguinte desenho: d) Complementar (') O complementar do conjunto A. é o conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem a A. AB. 8} = {2} (Resposta!) Representação gráfica da intersecção entre dois conjuntos: c) Diferença (–) A diferença entre dois conjuntos.br A representação gráfica da união entre dois conjuntos é dada pelo seguinte desenho: U A B b) Interseção () A intersecção entre dois conjuntos. Simbolicamente: AB = {x | xA e xB}. Simbolicamente: B–A = {x | xB e xA}. 3}  {2.cursoagoraeupasso.www. 2. A representação gráfica do complementar do conjunto A é dada pelo seguinte desenho: A Raciocínio Lógico U 18 Prof Weber Campos . B–A. 5. simbolizado por A'. 2. é o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. 8}. 5. Fazendo o desenho dos círculos e escrevendo nestes os dados fornecidos. 8} (Resposta!) A representação gráfica da diferença simétrica entre dois conjuntos (AB) é dada pelo seguinte desenho: f) Fórmula da União Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união. 5. 8} = {2} AB = (AB)–(AB) = {1. da intersecção e dos conjuntos individuais. 2. 5. encontre AB. 3. 8} = {1. Exemplo 8: Considerando os conjuntos A={1. A fórmula é dada por:  n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) Se forem três conjuntos a fórmula será:  n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(AB)–n(AC)–n(BC)+n(ABC) Exemplo 9: Calcule o número de elementos da união dos conjuntos A e B a partir dos seguintes dados: n(A)=10. 2. 3. n(AB)=5. 3} e B={2. 2. 2. Teremos:  n(AB) = n(A)+n(B)–n(AB) = 10+7-5  n(AB) = 12 (Resposta!) Esta não é a única maneira de se chegar à resposta. 5. Solução: (AB) = {1. 8}–{2} = {1. 8} (AB) = {1. 3}–{2. 5. 2. 3}–{2. Solução: Substituiremos os dados na fórmula da união.com.br e) Diferença simétrica entre dois conjuntos () A diferença simétrica entre dois conjuntos é definida por: AB = (AB)–(AB). n(B)=7.cursoagoraeupasso. facilmente chegaremos à mesma resposta! Raciocínio Lógico 19 Prof Weber Campos . 3.www. 5. : B . 4.www.: AB = (AB)–(AB) = {1. 6.com. 9} Raciocínio Lógico 20 Prof Weber Campos .: B' = U .A = {6. 8.: A = {1.B = {1. 8. 7. 5. 3} h) A diferença B–A Sol.cursoagoraeupasso.: A  B = {1. 8.: A  B = {4. 7. 8. 2. 2. 5} g) A diferença A–B Sol. 5. 10. determine: a) O conjunto A Sol.: 2n = 26 = 64 subconjuntos e) A união de A e B Sol. 11. 7. 3. 3.br Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjunto-universo U e os círculos representam os conjuntos A e B. 5} e n(A)=5 b) O conjunto B Sol. 8. 7. 9} f) A intersecção entre A e B Sol. 2.: A-B = {1. 9} i) O complementar de A Sol. 6. 13} l) Diferença simétrica entre A e B Sol. 3.9} e n(B)=6 c) O número de subconjuntos de A Sol. 4. 13} j) O complementar de B Sol. 9.A = {6. U B A 6 1 4 2 3 10 7 5 8 13 9 11 12 Com base no desenho. 7.: 2n = 25 = 32 subconjuntos d) O número de subconjuntos de B Sol.: A' = U . 2. 11. 6.: B = {4. 3. 2. 10. 12. 12. quando escrita na forma de 15%. 100 100 100 Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais: 5  5% (cinco por cento) 100 50  50% (cinquenta por cento) 100 135  135% (cento e trinta e cinco por cento) 100 33.www. Exemplos: 48% = 0.374 = 0. 7% = 0. é chamada de forma percentual. decimal.com. Exemplos: 3 3 =  100 %  3  25 %  75% 4 4 2 2 200 b) =  100 %  %  66.50 = 2.br PORCENTAGEM 1) RAZÃO CENTESIMAL – é a razão cujo denominador é igual a 100. .cursoagoraeupasso.374 x 100 % = 37. 0. 70% = 0.50 x 100 % = 250% f) 3 = 3 x 100 % = 300% 3) PORCENTAGEM SOBRE QUANTIDADES Para calcular uma porcentagem de uma quantidade qualquer.67% 3 3 3 5 5 c) =  100 %  5  25 %  125% 4 4 a) d) 0. 2) TRANSFORMAÇÃO EM TAXAS PERCENTUAIS Multiplicando-se a taxa (fracionária.8  33. 700% = 7 Observação: A porcentagem. por exemplo.8% (trinta e três vírgula oito por cento) 100 Tais razões estão expressas em taxas percentuais.07 . Toda percentagem está associada a um número decimal. Exemplos: 5 . Exemplos: a) Quanto é 15% de 300? Solução: 15%  300  15  300  15  3  45 100 b) Quanto é 20% de 650? Raciocínio Lógico 21 Prof Weber Campos .7 . 100 50 135 33.8 . enquanto que seu equivalente 0.4% e) 2.48 .7% = 0... obtém-se a taxa percentual.15 é dito forma unitária ou decimal. basta multiplicá-la pela taxa percentual.) por 100 e acrescentando-se o símbolo %.007 . 00. Qual foi o aumento percentual de salário obtido pelo jogador nesse ano? Solução: i  (1  10%)  (1  5%)  (1  20%)  1 i  (1  0.15 Exemplo: Num certo mês a inflação foi de 10% e no mês seguinte foi de 20%.3  0.N Exemplo: Um produto que custava R$ 80. Raciocínio Lógico 22 Prof Weber Campos . se o número N sofre um decréscimo percentual x%.01)  1 i  1.1583  15.N = (1 + x%).1)  (1  0.35) x 250 = 0. podemos definir que aumentos percentuais são taxas percentuais positivas e que reduções (descontos) percentuais são taxas negativas. em seguida uma redução de 10% e logo depois uma redução de 1%.50.15 = 579. teremos a fórmula: i  (1  i1 )  (1  i2 )  (1  i3 )   (1  in )  1 Exemplo: O salário de um jogador de futebol teve três aumentos percentuais num ano: o primeiro de 10%.cursoagoraeupasso.9  0.1583  1 i  0.N = (1 – x%).00.N Da mesma forma. Qual é a inflação acumulada nesses dois meses? Solução: INF  (1  10%)  (1  20%)  1.00. Exemplo: Um artigo custa R$ 250. Com uma redução de 35% no seu valor.99  1 i  1.386  38.76 100 100 4) AUMENTO E REDUÇÃO PERCENTUAL Se um número N sofre um aumento percentual x%. Quanto passou a custar? Solução: novo preço = (1 + 15%) x 80 = (1 + 0.83% x 500 = 500 + 79.386  1  i  0.83% Novo preço da mercadoria = 500 + 15.15 x 80 = 92. seu novo valor passará a ser: N + x%. o segundo de 5% e o terceiro de 20%.6% Exemplo: O preço de certa mercadoria era de R$ 500.com.2)  1 i  1.www. passará a valer: N – x%. 5) TAXAS PERCENTUAIS SUCESSIVAS A fim de estabelecer uma única fórmula para aumentos e descontos sucessivos.br Solução: 20%  650  20  650  2  65  130 100 c) Quanto é 12% de 148? Solução: 12%  148  12 1776  148   17.15) x 80 = 1. quanto passará a custar? Solução: novo preço = (1 – 35%) x 250 = (1 – 0.05)  (1  0. Qual é o novo preço da mercadoria? Solução: A taxa percentual sofrida nesses três meses será de: i  (1  30%)  (1  10%)  (1  1%)  1 i  (1  0.3)  (1  0.2  1 i  1. Desse modo.1)  (1  0.65 x 250 = 162.05  1.1 1.00 sofreu um aumento de 15%. Mas nos três primeiros meses do ano. sofreu as seguintes variações mensais: aumento de 30%. o produto não foi bem aceito no mercado e. então.br INF  (1  0.cursoagoraeupasso. Qual foi a taxa de prejuízo sobre o preço de venda? Solução: Temos os seguintes dados: C = 250 e V = 180 O prejuízo equivale a um lucro negativo. As duas fórmulas são apresentadas a seguir:  Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Custo: L V C C  Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Venda: L V C V Exemplo: Um computador que foi comprado nos EUA pelo equivalente de R$ 1. o L será positivo.00.com. indicando que houve prejuízo.1)  (1  0.32  32% 6) LUCRO E PREJUÍZO O lucro é definido como a diferença entre o valor de venda e o valor de custo (ou compra) e simbolizamos por: L(R$) = V – C Quando o valor de venda (V) for maior que o valor de custo (C). indicando que houve um lucro. usaremos a fórmula do “Lucro sobre o preço de venda” que é dado por: L V C V Vamos substituir os dados na fórmula: Raciocínio Lógico 23 Prof Weber Campos .32  1  0. Qual foi o valor de venda do computador no Brasil? Solução: Temos os seguintes dados: C = 1400 e L = 15% A fórmula do “Lucro sobre o preço de compra” é dado por: L V C C Vamos substituir os dados na fórmula: 15%  V  1400 1400 Resolvendo vem: V  1400  0.00.1  1.15  1400 V  1400  210 V  1610.00.400. teremos um L negativo.2)  1 INF  1. a empresa resolveu vendê-lo pelo preço de R$ 180.www. o valor de venda menor que o de custo. Contudo. Caso contrário.2  1 INF  1.00 (Resposta!) Exemplo: Uma empresa fabrica certo produto a um custo de R$ 250. será vendido no Brasil com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Daí. A taxa percentual do lucro pode ter como referência o preço de custo ou o preço de venda. 4 x 800 = 4 x 80 = 320 (Resposta!) Exemplo: Numa urna.3. Qual foi a taxa percentual de aumento? Solução: Aumento em reais = 30 – 24 = 6. a quantidade de meninos representará 40% do total. o prejuízo foi de aproximadamente 38.8.65 65 13 Portanto.3.br L 180  250 180 Resolvendo vem: L  70  7  180 18 Vamos multiplicar por 100 para encontrar o valor percentual: L 7  7  50  350  100 %  % %  38.C Raciocínio Lógico 24 Prof Weber Campos . Teremos:  A = 1.B = 1. Qual é a quantidade de meninos? Solução: Como a quantidade de meninas representa 60% do total. Exemplo: Certo produto passou de R$ 24. 7) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exemplo: Numa escola de 800 alunos.89%.com. Qual é o salário de cada um deles? Solução: Vamos designar as seguintes letras: A = salário de Amarildo B = salário de Bruno C = salário de Carlos Do enunciado. teremos: Número de meninos = 40% de 800 = 0.C = 0. para tanto vamos colocar A em função de C.00.00 A variação percentual pode ser calculada dividindo-se o aumento em dinheiro pelo valor inicial do produto: 6  0.00.(0. 35% das bolas são pretas e as outras 455 são brancas. A soma dos salários dos três é igual a R$ 5680.B = 1. temos que 60% são meninas.www.00 para R$ 30. há 700 bolas na urna. Daí.B  B = C – 20%.25  25% (Resposta!) 24 Exemplo: O salário de Amarildo é 30% maior que o de Bruno e o salário deste é 20% menor que o de Carlos.89% 18 9 9 Portanto.cursoagoraeupasso. Quantas bolas há na urna? Solução: A porcentagem de bolas brancas na urna é igual a 65% (=100% – 35%) do total. podemos montar a seguinte equação: 65% X  455 Resolvendo vem: X  455 455  100 91  100    7  100  700 0.C Devemos trabalhar apenas com uma letra.8C) = 1.04. temos que:  A = B + 30%.3. Considerando que o total de bolas da urna é X. 84C = 5680  C = 5680/2.00. o salário de Amarildo é R$ 2080.8.C = 1.cursoagoraeupasso.8 .00.84  C = 2000 Daí:  A = 1. 2000 = 2080  B = 0.04C + 0.www. 2000 = 1600 Portanto.04.com.C = 0.br A expressão da soma dos salários é:  A + B + C = 5680 Vamos substituir as letras A e B em função de C:  1. o de Bruno é R$ 1600.8C + C = 5680  2.04 . Raciocínio Lógico 25 Prof Weber Campos .00 e o de Carlos é de R$ 2000. (C) Clóvis faltou. (C) Todos os homens são sábios e há justiça para todos. (B) Benício faltou.www. há justiça para todos. Sabedor de que. então não há justiça para todos. (TRT-SP Anal Jud 2008 FCC) São dadas as seguintes proposições: . (E) Todos os homens são sábios se há justiça para todos. (TRT-SP 2008 FCC) Considere as seguintes premissas: "Se todos os homens são sábios. (D) Todos os homens são sábios e não há justiça para todos. é correto concluir que: (A) Todos os homens são sábios se. pelo menos um desses três enfermeiros não havia comparecido ao local designado. . Raciocínio Lógico 26 Prof Weber Campos .p: Computadores são capazes de processar quaisquer tipos de dados." Para que se tenha um argumento válido. então Abigail faltou. (E) Benício e Clóvis faltaram. (Metrô-SP 2009 FCC) Entre outros. Benício e Clóvis − foram incumbidos de acompanhar um Programa de Vacinação contra o vírus da dengue. e somente se. então todos os homens são sábios. é correto afirmar que. Clóvis: Se Benício compareceu. (C) ser possível provar que  + 1 =  é uma condição suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. Se p implica em q. no dia estipulado para a execução do programa.q: É possível provar que  + 1 = . e somente se. Benício: Clóvis compareceu ou Abigail faltou.br EXERCÍCIOS PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS 01. 03. três enfermeiros − Abigail. apenas. não há justiça para todos. (D) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados é condição necessária para que seja possível provar que  + 1 = . (B) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados não é condição necessária e nem suficiente para que seja possível provar que  + 1 = . a ser executado em uma mesma estação de trens metropolitanos da cidade de São Paulo. (A) Abigail faltou. (E) ser possível provar que  + 1 =  é condição necessária para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. ouvindo deles as seguintes declarações: Abigail: Benício faltou e Clóvis faltou. o Coordenador do Programa convocou-os a prestar esclarecimentos. então o fato de (A) ser possível provar que  + 1 =  é uma condição necessária e suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. Considerando que as três declarações são falsas. (D) Abigail e Benício faltaram.com.cursoagoraeupasso. 02. (B) Todos os homens são sábios se." "Se não há justiça para todos. (E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.www.” Diante de tal inverdade. Nessas condições. Raciocínio Lógico 27 Prof Weber Campos . (Escriturário Banco do Brasil 2011 FCC) Um jornal publicou a seguinte manchete: “Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. (E) Se Maly não é usuária do Metrô. é necessário concluir que (A) nenhum funcionário da manutenção conseguiu atende a qualquer chamada dentro do prazo recomendado. se Maly não é usuária do Metrô. então ela gosta de dirigir automóvel. (D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. (D) apenas um funcionário da manutenção teve pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. sendo falsa sua sentença. (D) Não é verdade que. Das sentenças seguintes.br NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 04.cursoagoraeupasso. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (E) 100% das chamadas feitas a funcionários da manutenção deixaram de ser atendidas dentro do prazo recomendado. 06. (B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.com. 05. (B) pelo menos um funcionário da manutenção não conseguiu atender nenhuma chamada dentro do prazo recomendado. (C) todos os funcionários da manutenção tiveram pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado. publicando uma negação de tal manchete. na mesma reunião. então ela não gosta de dirigir automóvel. os dados apresentados pelos outros setores da indústria mostraram que o chefe da manutenção se equivocara. o jornal se viu obrigado a retratar-se. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) A sentença a seguir foi dita pelo chefe da manutenção de determinada indústria durante uma reunião: “Não é verdade que todos os funcionários do meu setor deixaram de cumprir a meta de atender a 100% das chamadas dentro do prazo recomendado. (Metrô-SP 2010 FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p  ~q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel.” Mais tarde. aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: (A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. (C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. (B) uma tautologia. (ISS São Paulo 2007 FCC) Considere a seguinte proposição: “Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento. então ele progride na carreira. então o presidente da mesa dará início à votação. então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. (C) uma equivalência.www.” Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição: (A) Não é verdade que. então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira. (B) se as manifestações desrespeitosas não continuarem. (Assembléia Legislativa/SP 2010 FCC) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa. então ele não progride na carreira. ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (D) se o presidente da mesa não deu início à votação. (E) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas. (D) uma contingência. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura.se às galerias da casa: “Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas. o presidente da mesa fez a seguinte declaração. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação (A) se as manifestações desrespeitosas continuarem. 08. a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo. (E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira. TAUTOLOGIA 09. então o presidente da mesa não começará a votação. (B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento. então eu não darei início à votação”. (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.com. (E) uma contradição.br EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES 07. dirigindo. o candidato A será eleito ou não será eleito”. (C) se o presidente da mesa deu início à votação. Do ponto de vista lógico.cursoagoraeupasso. (C) Não é verdade que. então o presidente da mesa começará a votação. Raciocínio Lógico 28 Prof Weber Campos . II. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as afirmações abaixo. (C) III. então ele é escriturário. (E) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo podem não ter noções de Matemática. observou-se que: − todos os que planejaram a arrecadação de impostos também planejaram a fiscalização de contribuintes. certo mês. I. − alguns. com certeza. (B) Se Joaquim tem noções de Matemática. 11. arrecadação e cobrança de impostos. ~q ou ~r. (E) Somente uma das três: p.3 = 6)” é falsa. é correto afirmar que. (E) I e III. ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. (D) Somente uma das três: ~p. estiveram envolvidos no planejamento das atividades de fiscalização de contribuintes. (C) Somente uma das duas: q ou r. q ou r. também planejaram a fiscalização de contribuintes. q. Assinale a opção que responde a essa condição (A) Somente q.www. (TCE-SP 2010 FCC) Considere as seguintes afirmações: . r ou a sua negação ~p. complete o espaço com uma e uma só das sentenças simples p. DIAGRAMAS LÓGICOS 12. . Com base nas observações feitas. Se as duas afirmações são verdadeiras. então é correto afirmar que: (A) Todo funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo deve ter noções de Matemática.com. então ele é escriturário. Com base nas observações feitas. É verdade o que se afirma APENAS em (A) I. é correto afirmar que. (B) Somente p. (ISS São Paulo 2007 FCC) Considerando os Auditores-Fiscais que. (C) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo.br 10. 13. Se p e q são proposições.cursoagoraeupasso. com certeza.Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo são escriturários. (ICMS/SÃO PAULO 2006 FCC) Dada a sentença → ~(~p  q  r). então ele é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo. A proposição “(10 < 10 )  (8 . (B) II. Raciocínio Lógico 29 Prof Weber Campos . III. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. (D) I e II. (D) Se Joaquim é escriturário. que planejaram a cobrança de impostos.Todo escriturário deve ter noções de Matemática. então a proposição “(pq)  (~q)” é uma tautologia. então o povo vive melhor. (TRT22-Piauí Analista Judiciário 2010 FCC) Considere um argumento composto pelas seguintes premissas: – Se a inflação não é controlada. É verdade que APENAS (A) I e II são sentenças abertas. um processo seja arquivado em um fórum. (D) existem Auditores-fiscais que estiveram envolvidos no planejamento da arrecadação de impostos e não no da fiscalização de contribuintes. então ele também planejou a fiscalização de contribuintes. (C) A inflação é controlada ou há projetos de desenvolvimento.www.cursoagoraeupasso. (E) Se a inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento.br (A) todo Auditor-fiscal que planejou a fiscalização de contribuintes esteve envolvido no planejamento da arrecadação de impostos.com. (C) existe um Auditor-fiscal que esteve envolvido tanto no planejamento da arrecadação de impostos como no da cobrança dos mesmos. então não há projetos de desenvolvimento. Considerando que todas as três premissas são verdadeiras. (D) O povo vive melhor e a inflação não é controlada. com x sendo um número natural. então o povo vive melhor. – Se a inflação é controlada. SENTENÇAS ABERTAS 15. Uma proposição aberta. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II. uma conclusão que tornaria o argumento válido é: (A) A inflação é controlada. IMPLICAÇÃO LÓGICA / ARGUMENTO 14. (B) I e III são sentenças abertas. equivalente à sentença interrogativa “em quantas semanas são arquivados mais de 210 processos nesse fórum?” é: Raciocínio Lógico 30 Prof Weber Campos . (B) Não há projetos de desenvolvimento. III. – O povo não vive melhor. (D) I é uma sentença aberta. a cada dia. 16. (E) pelo menos um Auditor-fiscal que esteve envolvido no planejamento da cobrança de impostos também planejou a arrecadação dos mesmos. (TRT 9ª região 2004 FCC) Admita que. (C) II e III são sentenças abertas. então. (x + y)/5 é um número inteiro. (B) se algum Auditor-fiscal esteve envolvido nos planejamentos da arrecadação e da cobrança de impostos. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. (E) II é uma sentença aberta. ele teve (A) lucro correspondente a 6. é verdade que (A) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências. (ICMS/SP 2006 FCC) Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã. (D) o desconto oferecido pela loja Y excedia o dado pela loja X em 5%. essas duas lojas fizeram as seguintes promoções para a venda de tal tipo de cartucho: Loja X: “Compre 4 cartuchos e leve 5. Dentre os que compareceram de manhã.www. (D) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.” De acordo com essas promoções. mas não de manhã.cursoagoraeupasso. Constatou-se que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos. (B) quem optou por comprar na loja X. Vendeu-os no mesmo dia. Certo mês. (C) quem optou por comprar na loja Y obteve 27% de desconto. 144 compareceram de manhã. (E) os descontos oferecidos pelas duas lojas eram iguais. 19. (C) lucro correspondente a 2% de P. outra à tarde e a terceira à noite. PORCENTAGEM 18. com lucro de 4% e outro com lucro de 3% sobre o valor que havia pago. 16 compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde.br a) 210x > 7 b) 210x = 7 c) 7 + x = 210 d) 7x = 210 e) 7x > 210 CONJUNTOS 17. com abatimento de 5% sobre o preço unitário P.65% de P. Do total de inscritos. (D) prejuízo correspondente a 3% de P. (E) o número de inscritos no seminário foi menor que 420. Nessa transação. é verdade que (A) era mais vantajoso comprar na loja X. (B) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências. 168 à tarde e 180 à noite. (TC/SP 2010 FCC) Duas lojas X e Y vendem um mesmo tipo de cartucho de tinta para impressoras pelo mesmo preço unitário. 54 não voltaram mais para o seminário. (E) prejuízo correspondente a 2% de P. Raciocínio Lógico 31 Prof Weber Campos . (TRT 15ª Região 2009 FCC) Um analista comprou dois aparelhos celulares iguais. obteve 25% de desconto.35% de P. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite.” Loja Y: “Compre 4 cartuchos e pague 3. mas não compareceram à noite. (B) lucro correspondente a 3. Nessas condições.com. (C) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências. Nessas condições. Após certo tempo. (E) 2 110.00 e o coloca à venda por um preço que lhe proporcionará uma margem de lucro de 40% sobre o preço de venda. (D) 2 105. um Técnico recebeu um desconto de 10% sobre o preço de M reais. com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago.00 cada. (TRT 22ª Região 2004 FCC) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário de R$ 48. (TRF 1ª 2011 FCC) Na compra de um computador. deu o primeiro computador como entrada.00 21. e mais três parcelas sem juros de R$ 250.00 (E) R$ 90.br 20.00 (B) R$ 80.00 e.com.00 (D) R$ 86.cursoagoraeupasso. GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Raciocínio Lógico e b c c c a c d b e 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 32 e e b b a e d d a b a Prof Weber Campos . para fazer o pagamento. (B) 2 050.www. comprou um novo computador por R$ 2 370. O preço unitário de venda desse artigo é (A) R$ 78. M é igual a (A) 2 000. (C) 2 100.00 (C) R$ 84. Documents Similar To Apostila Raciocinio Logico Reta Final Inss Weber CamposSkip carouselcarousel previouscarousel nextProbabilidade Aplicada às Telecomunicaçõesbasesv6List a 1Apostila Bm (Caputi & Miranda)Raciocinio Logico Completodicionário terminológicoApostila de Raciocinio LogicoCal CuloA1. 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